UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE FILOLOGÍA TESIS DOCTORAL La transmisión textual del corpus de Sacrobosco: edición crítica del Algorismus Textual Transmission of Sacrobosco’s Corpus: Critical Edition of the Algorismus MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR Sara López-Maroto Quiñones DIRECTORES María Isabel Velázquez Soriano Álvaro Cancela Cilleruelo © Sara López-Maroto Quiñones, 2024 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE FILOLOGÍA Programa de Doctorado en Estudios del Mundo Antiguo TESIS DOCTORAL La transmisión textual del corpus de Sacrobosco: edición crítica del Algorismus Textual Transmission of Sacrobosco’s Corpus: Critical Edition of the Algorismus MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTORA PRESENTADA POR Sara López-Maroto Quiñones DIRECTORES María Isabel Velázquez Soriano Álvaro Cancela Cilleruelo Madrid, 2024 La presente tesis doctoral ha sido elaborada en el marco de un contrato FPU (ref.: FPU18/00407), financiado por el Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades, y se adscribe a los Proyectos de Investigación AVIPES-CM (Archivo Virtual para las Investigaciones sobre Patrimonios Epigráficos Medievales de la Comunidad de Madrid, ref.: H2019/HUM5742) y DOCEMUS-CM (Red digital para un milenio de epigrafía documental en Museos y Archivos de la Comunidad de Madrid, ref. S2015-HUM/3377) de la Comunidad de Madrid/Fondo Social Europeo. AGRADECIMIENTOS La elaboración de una tesis doctoral, como bien saben quienes ya han pasado por esto, es lo opuesto a un camino de rosas. Especialmente en nuestro ámbito, no son pocos los momentos de soledad y desesperación durante estos años, a los que desde luego no ha ayudado que entremedias hubiera una pandemia mundial. Sin embargo, ahora que parece que hay luz al final del túnel, echando la vista atrás sólo puedo estar agradecida a todo aquello que he tenido la oportunidad de vivir en estos cuatro o cinco años: desde trabajar en varias ciudades hasta conocer a gente maravillosa, pasando por dar clases en la universidad y consultar manuscritos en las bibliotecas más espectaculares. Son muchas las personas y entidades a las que querría expresar mi agradecimiento, tantas, que es inevitable que alguna se quede en el tintero, por lo que pido disculpas de antemano. En primer lugar, me gustaría agradecer a María José y a Rocío, mis profesoras de latín en el instituto, puesto que fueron las que me descubrieron las puertas del mundo de las clásicas, campo que me sigue apasionando década y media después. Tras ellas vino todo un plantel de profesores del Departamento de Filología Clásica de la Universidad Complutense de Madrid que me guiaron a través del grado, del máster de investigación y del máster de educación: a todos ellos expreso mi gratitud, pero quisiera mencionar especialmente a M.ª José Muñoz, Patricia Cañizares, Vicente Cristóbal, Fernando García Romero, Ana Moure y a Teresa Callejas. A otros tantos miembros del Departamente no tuve el placer de tenerlos como docentes, pero pude disfrutar de sus conocimientos y cercanía fuera de las aulas: Montserrat Jiménez, Javier Bran, Berta González, Miriam Blanco, Sonia Madrid, Rodrigo Verano y Alberto Bolaños. Esta tesis no habría podido realizarse de no ser por Isabel Velázquez y Álvaro Cancela quienes, además de ser mis maestros, tengo la suerte de que hayan querido embarcarse en este aventura sacrobosquiana como tutores. Sin su guía y apoyo este trabajo no solo habría sido peor, sino que probablemente no habría sido. He tenido la enorme oportunidad de realizar dos estancias durante este período. De la primera de ellas, realizada en la Università degli Studi di Milano me llevo las enseñanzas de Rossana Guglielmetti y Paolo Chiesa, quienes transmiten su amor por la filologia mediolatina a todos sus estudiantes, incluida yo misma. De esta etapa me llevo la amistad de Emma Le Brech, quien compartió conmigo el confinamiento milanés. De la segunda estancia, realizada en la École Pratique des Hautes Études de París, agradezco la simpatía de los miembros del Institut de Recherche et d’Histoire des Textes y en particular a Anne-Marie Turkan-Verkerk, Jérémy Delmulle, Elisa Lonati y Silverio Franzoni. También he podido disfrutar de los ambientes de trabajo más variados. Con especial cariño recuerdo mi etapa en el Archivo Epigráfico de Hispania y las personas que prácticamente vivían en él; quiero destacar a Charo Hernando, Paloma Balbín, Enrique Paredes, Arturo Moreno, Elisabeth Menor, David Sevillano y Antonio. Agradezco también a los miembros del Aula de Informática y Laboratorios de Idiomas de la Facultad de Filología, con quienes tuve el placer de trabajar y aprender: Jorge Arús, Mercedes y Fernando. Mención especial merecen los bibliotecarios, a quienes no solo debo sus respuestas a miles de consultas, sino que los admiro profundamente, pues sin su labor ninguna investigación podría sustentarse. Son muchas las bibliotecas que tienen en abierto su material de archivo, contribuyendo al avance de la investigación en este ámbito, pero también son muchos los archiveros que comparten su conocimiento con el resto del mundo y con la mejor de las disposiciones: a todos ellos les doy las gracias. Más allá del mundo virtual, he tenido el privilegio de consultar material en algunas de las bibliotecas más reputadas del mundo, como la Biblioteca Nacional de España, la Biblioteca Ambrosiana, la Bibliothèque Nationale de France, la Bibliothèque Sainte-Geneviève, la British Library, la Oxford Library, la Cambridge University Library y la Gonville & Gaius College Library, todas ellas con un personal amabilísimo. Dentro de este apartado debo incluir a mis alumnas de la asignatura «Latín práctico para archivos y bibliotecas», que sin duda serán las mejores bibliotecarias. Un recuerdo especial dedico a mis amigos de la carrera, sobre todo a Paula López de Hontanar, Marina Gaitero, Pilar Galán y Francisco José Alonso: fue un placer que nos convirtiéramos juntos en filólogos. También a aquellos que han compartido conmigo sus años como doctorandos y que ahora son doctores: Julia Aguilar, Juan Briceño, Iván López, Alejandro Abad, Marina Míguez y Daniel Ayora; y a aquellos que lo serán dentro de poco: Elvira Rodríguez, M.ª Belén Boned, Macarena Cabrera, Silvia Gómez, Álvaro Lorenzo, Aitor Boada, Hugo Martín, Lucía Macero. Asimismo, fue un placer realizar el máster de profesorado con las ya docentes Clara, Marta y Verónica. Fuera de los muros del Edificio A he conocido a personas increíbles dentro de la Academia, a los que debo mucho aprendizaje: a todos los miembros de los varios Proyectos de Inovacción Docente sobre leyes romanas tutelados por José Domingo Rodríguez; a la Asociación Ganimedes y en especial aquellos con quienes compartí junta: Miguel, Rocío, Maru, Sandra, David, Miriam, Carmen y Guillermo; a los doctorandos de la Universidad de Durham: Pietro, Giulia, Marco, Laura, Magdalena, Roberto y Fausto; a los ganadores y subganadores de Tesis en 3 minutos de la UCM 2021: Bea, Jon, Ada, Juan y Zoila; y a otras agradables coincidencias en pro de la ciencia, en especial a Andrea. Finalmente, quisiera dar las gracias a todos los miembros de mi familia en sentido amplio, que siempre me han apoyado. A mis padres, José y Susana, y mi hermano, Álvaro. Y, por último, a mis compañeras de viaje: a Sara y Helena, animae sodales leporesque vitae. ÍNDICE RESUMEN ....................................................................................................... 4 ABSTRACT ..................................................................................................... 6 RIASSUNTO .................................................................................................... 8 ABREVIATURAS ........................................................................................... 10 1. Obras de Sacrobosco...................................................................................................................... 10 2. Otras abreviaturas .......................................................................................................................... 11 3. Siglas y términos utilizados en las ediciones ................................................................................. 12 4. Simbología en los stemmata .......................................................................................................... 13 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 28 PRIMERA PARTE: LA OBRA DE SACROBOSCO ............................................. 33 1. Testimonia ..................................................................................................................................... 35 2. Biografía ........................................................................................................................................ 46 1. Sphera ............................................................................................................................................ 61 2. Algorismus ..................................................................................................................................... 69 3. Compotus ....................................................................................................................................... 74 4. Quadrans ....................................................................................................................................... 79 5. Otras obras atribuidas .................................................................................................................... 83 1. Introducción ................................................................................................................................... 87 2. Censo de la tradición conservada ................................................................................................... 92 3. Tradición perdida ......................................................................................................................... 250 4. Testimonios descartados .............................................................................................................. 254 5. Conclusiones del censo de manuscritos ....................................................................................... 260 1 SEGUNDA PARTE: EL ALGORISMUS ........................................................... 267 1. Siglo XII: ante Sacrobosco .......................................................................................................... 270 2. Siglo XIII: la época de Sacrobosco .............................................................................................. 279 1. Estructura y contenidos ................................................................................................................ 286 2. Fuentes ......................................................................................................................................... 306 1. Comentarios ................................................................................................................................. 322 2. Traducciones ................................................................................................................................ 333 3. Otros algorismos y obras asociadas ............................................................................................. 335 1. Introducción ................................................................................................................................. 345 2. Estudio de la tradición textual ..................................................................................................... 347 3. Conclusión y stemmata codicum ................................................................................................. 452 1. La primera tradición impresa (siglos XV-XVI) ........................................................................... 458 2. James Orchard Halliwell (1839) .................................................................................................. 473 3. Maximilian Curtze (1897) ........................................................................................................... 475 4. Fritz Saaby Pedersen (1983) ........................................................................................................ 477 1. Siglas por orden alfabético .......................................................................................................... 482 2. Siglas por familias y orden de cita ............................................................................................... 483 3. Stemma de los códices utilizados en la edición............................................................................ 484 CONCLUSIONI GENERALI .......................................................................... 652 La tradizione (s)vincolata dell’opera di Sacrobosco ........................................................................ 653 La tradizione sovrabbondante e contaminata dell’Algorismus ........................................................ 657 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................... 666 2 ÍNDICES ...................................................................................................... 697 APÉNDICES ................................................................................................ 739 1. Estudio de la tradición textual ..................................................................................................... 741 2. Stemma del Quadrans .................................................................................................................. 756 4. Conspectus siglorum .................................................................................................................... 759 Quadrans: edición crítica y traducción ........................................................................................... 760 5. Anexo: láminas relativas al cuadrante ......................................................................................... 794 1. La tradición manuscrita ............................................................................................................... 801 2. Estudio de la tradición del Carmen de algorismo ........................................................................ 806 3. Conclusiones del estudio de la tradición del Carmen de algorismo ............................................ 829 4. Criterios de la presente edición .................................................................................................... 831 5. Conspectus siglorum .................................................................................................................... 833 Carmen de algorismo: edición crítica y traducción ........................................................................ 835 Comentario al Carmen de algorismo del ms. Paris, BNF, Lat. 7477: edición y traducción ........... 923 Comentario al Carmen de algorismo del ms. Paris, BNF, Lat. 14070: edición y traducción ......... 933 Comentario al Algorismus del ms. Lilienfeld, SB, 144: edición y traducción ................................ 993 3 RESUMEN LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO: EDICIÓN CRÍTICA DEL ALGORISMUS La presente tesis doctoral ofrece el primer estudio de conjunto de la obra de Johannes de Sacrobosco y la edición crítica de dos de sus cuatro obras: el Algorismus y el Quadrans. Ambas obras fueron compuestas por este autor de origen insular y profesor de la Universidad de París en el s. XIII junto con el Tractatus de sphera y el Compotus, todas ellas vinculadas con las disciplinas del Quadrivium. A excepción del artículo de O. Pedersen (1985), que hace un somero recorrido por la vida y obra de Sacrobosco, no contábamos, hasta la fecha, con estudios que recogieran la totalidad de datos disponibles de este importante autor para la historia de la ciencia en Europa. En la Primera parte: la obra de Sacrobosco, nuestro objetivo principal es suplir tal carencia. Iniciamos esta sección con una biografía del autor a partir de los testimonia con los que contamos, que no habían sido recogidos en su conjunto hasta ahora. A continuación, analizamos cada una de las obras del corpus del autor, tanto sus contenidos como sus fuentes y tradición manuscrita. Finalmente, presentamos el primer censo que recoge la totalidad de manuscritos encontrados hasta la fecha de las obras de Sacrobosco, donde incluimos más de 700 códices. En la Segunda parte: el Algorismus, desarrollamos el primer estudio completo de esta obra, una de las principales composiciones del autor y piedra angular para la introducción de la matemática indoarábiga en Europa. En él, no sólo investigamos los precedentes, contenidos, fuentes y posteridad de la obra, donde hemos localizado numerosos comentarios desconocidos hasta ahora, sino que ofrecemos el primer estudio estemático del texto. En este sentido, aunque contábamos con ediciones de la obra (Halliwell, 1839; Curtze, 1897 y Pedersen, 1983), ninguna de ellas analiza su transmisión manuscrita en aras de establecer un stemma codicum que muestre las relaciones entre testimonios a fin de constituir un texto crítico lo más fidedigno posible. Por ello, hemos analizado y colacionado los 79 manuscritos antiquiores, así como la tradición impresa precedente. Jerarquizada estemáticamente la información obtenida de tal colación, hemos constituido el texto crítico a partir de una selección de códices representativos de las ramas más altas del stemma, ofreciendo una nueva edición crítica de la obra, acompañada de un aparato de fuentes y loci paralleli, de un aparato crítico y de una traducción española anotada, en páginas enfrentadas. Esta visión panorámica de la obra de Sacrobosco ha permitido conocer mejor su circulación y difusión. Así, hemos podido demostrar una tradición inicial conjunta de las principales obras del autor, Algorismus, Tractatus de sphera y Compotus, que viajan unidas en los manuscritos copiados en la primera centuria desde la publicación de las obras. Dicha circulación como corpus, mayoritaria en el s. XIII, se irá disgregando en los siglos posteriores, donde cada una de las obras cuenta con una tradición propia y aislada del resto. En segundo lugar, el estudio estemático de la tradición del Algorismus ha puesto 4 de manifiesto una serie de dificultades intrínsecas a la transmisión de este tipo de literatura. Así las cosas, nos hemos enfrentado a un texto de una tradición masiva, hipercontaminada y sometida a reelaboraciones deliberadas, cuya transmisión fluida y polifacética es muestra de la calidad y cantidad de lectores que la manejaron. Particular importancia ha cobrado, en el estudio estemático de la tradición y la constitución del texto, el análisis metodológico de algunos problemas específicos, como los criterios de selección de códices para su colación, los mecanismos escogidos para la detección de errores en la tradición manuscrita (donde el análisis previo de las fuentes y del estilo del autor ha resultado fundamental) o las estrategias seguidas para hacer frente a los distintos tipos de contaminación detectados. Por último, se añaden en Apéndice, acompañadas de traducción española anotada, las ediciones de varias obras que hasta la fecha no contaban con edición crítica y que son del todo relevantes en nuestro estudio La primera de ellas es la del Quadrans de Sacrobosco, nunca antes siquiera impreso. Le sigue el estudio y la edición del Carmen de algorismo de Alexandre de Villadei, que, aunque contaba ya con las ediciones de Halliwell (1839) y Steele (1922), nunca se había prestado atención a su transmisión, algo que resultaba de extrema importancia en nuestro estudio por ser esta obra una fuente fundamental para el establecimiento del texto del Algorismus y quizá para su propia génesis. Por último, presentamos las ediciones críticas de tres comentarios: dos del Carmen de algorismo y uno del Algorismus, todos ellos compuestos en el s. XIII e inéditos hasta la fecha. 5 ABSTRACT TEXTUAL TRANSMISSION OF SACROBOSCO’S CORPUS: CRITICAL EDITION OF THE ALGORISMUS This PhD dissertation offers the first comprehensive study of Johannes de Sacrobosco’s works and the critical edition of two of them: Algorismus and Quadrans. Both were composed by this insular author, professor at the University of Paris in the 13th century, along with Tractatus de sphera and Compotus. All of them are linked to the disciplines of Quadrivium studies. To date, O. Pedersen’s article (1985) is the only work which deals with Sacrobosco’s life and production. In the First Part: The Work of Sacrobosco, our main objective is to fill this lack. It begins with the author’s biography from the ancient testimonies, which had not been collected as a whole until now. Next, each of the works of the author’s corpus is analyzed, with special attention to their contents, sources, and manuscript tradition. Eventually, we present the first census that gathers the totality of testimonies found to date from the works of Sacrobosco, where more than 700 codices are included. In the Second Part: the Algorismus, a first complete study of this work is developed, that is one of Sacrobosco’s main compositions and a cornerstone for the introduction of Indo-Arabic mathematics in Europe. Here, its precedents, contents, sources and the posterity of the work are analyzed, with the inclusion of many commentaries which were unknown until now. Then, it is investigated the textual transmission of the text. Although some editions had been already made (Halliwell, 1839; Curtze, 1897 and Pedersen, 1983), none of them analyzes their handwritten transmission to establish a stemma codicum. It would show the relations between manuscripts in order to constitute a critical text as reliable as possible. Therefore, we have collated the 79 ancient manuscripts, as well as the previous printed tradition. As a result, a critical text has been constituted from a selection of manuscripts that represent its older branches, offering a new critical edition of the Algorismus, accompanied by an apparatus of sources and loci paralleli, a critical apparatus and an annotated Spanish translation. This panoramic view of Sacrobosco’s production has allowed a better knowledge of its circulation and diffusion. In this sense, we demonstrate an initial joint tradition of the author’s main works, Algorismus, Tractatus de sphera and Compotus. They travel together in the manuscripts copied in the first century since the publication of the works. This transmission as a corpus in the 13th century changes in the following centuries, when each of the works developes its own tradition isolated from the rest. Secondly, the study of the Algorismus tradition has revealed some inherent difficulties of the transmission of this type of literature. Thus, we have faced a text of a massive tradition, hypercontaminated and subjected to deliberate reworking, whose fluid and multifaceted transmission is proof of the quality and quantity of readers who handled it. The methodological analysis of some specific problems, such as the criteria for selecting codices to collate, has become particularly important in the study of the tradition and the 6 constitution of the text, the mechanisms chosen for the detection of errors in the handwritten tradition (where prior analysis of sources has been essential) or the strategies followed to deal with the different types of contamination detected. Finally, in Appendix, editions of several inedited works are added: Sacrobosco’s Quadrans, never before even printed; Alexandre of Villadei’s Carmen de algorismo, an important source of Algorismus and edited by Halliwell (1839) and Steele (1922), but needed of an analysis of its transmission; and three anonimous commentaries: two of the Carmen de algorismo and one of the Algorismus, all of them composed in the 13th century and unpublished to date. 7 RIASSUNTO LA TRASMISSIONE TESTUALE DEL CORPUS DI SACROBOSCO: EDIZIONE CRITICA DELL’ALGORISMUS La presente tesi di dottorato offre il primo studio complessivo dell’opera di Johannes de Sacrobosco e l’edizione critica di due delle sue quattro opere: l’Algorismus e il Quadrans. Entrambe le opere furono composte da questo autore di origine insulare e professore dell’Università di Parigi nel XIII secolo, insieme al Tractatus de sphera e al Compotus, tutti legati alle discipline del Quadrivium. Ad eccezione del lavoro di O. Pedersen (1985), che presenta una breve panoramica della vita e dell’opera di Sacrobosco, non disponiamo di studi che riuniscano tutti i dati disponibili di questo importante autore per la storia della scienza in Europa. Nella Prima parte: l’opera di Sacrobosco, il nostro obiettivo è cercare di colmare tale lacuna. Da inizio ad essa una biografia dell’autore ricostruita a partire dalle testimonianze indirette, che fino ad ora non erano mai state raccolte nella loro totalità. In seguito, analizziamo ciascuna delle opere del corpus dell’autore, rendendo conto tanto dei suoi contenuti come delle fonti e della tradizione manoscritta. Per finire, presentiamo il primo catalogo che censa tutti i manoscritti identificati fino ad oggi delle opere del Sacrobosco, in cui includiamo più di 700 codici. Nella Seconda parte: l’Algorismus, abbiamo sviluppato il primo studio completo di quest’opera, una delle principali composizioni dell’autore e pietra angolare per l’introduzione della matematica indoaraba in Europa. In esso, non solo esaminiamo i precedenti, i contenuti, le fonti e la posterità dell’opera, che ci hanno permesso di individuare numerosi commenti finora sconosciuti, ma offriamo anche il primo studio stemmatico del testo. Pur avendo a disposizione edizioni dell’opera precedenti (Halliwell, 1839; Curtze, 1897 e Pedersen, 1983), nessuna di esse analizza la trasmissione manoscritta al fine di stabilire uno stemma codicum che mostri le relazioni tra le diverse testimonianze, per poter costituire un testo critico il più fedele possibile all’originale. Con tal finalità, abbiamo analizzato e collazionato 79 dei manoscritti più antichi che tradono il testo; ciò ha reso possibile la costruzione di uno stemma codicum, da cui poter selezionare i codici più rappresentativi, al fine di stabilire un testo critico. Si offre, per tanto, una nuova edizione critica dell’opera, accompagnata da un apparato di fonti e loci paralleli, da un apparato critico e da una traduzione spagnola annotata, in pagine contrapposte. Questa visione panoramica dell’opera di Sacrobosco ha permesso di conoscere meglio la sua circolazione e diffusione. In questo senso, abbiamo potuto dimostrare una tradizione iniziale congiunta delle principali opere dell’autore, Algorismus, Tractatus de sphera e Compotus, che viaggiano unite nei manoscritti copiati nel primo secolo a partire dalla pubblicazione delle opere. Tale trasmissione come corpus, predominante nel XIII secolo, si disgregherà nei secoli successivi, quando ciascuna delle opere avrà una tradizione autonoma, isolata dal resto. In secondo luogo, lo studio stemmatico della 8 tradizione dell’Algorismus ha evidenziato una serie di difficoltà intrinseche alla trasmissione di questo tipo di letteratura: ci siamo trovati di fronte a un testo con una tradizione sovrabbondante, ipercontaminata e sottoposta a rielaborazioni deliberate, la cui trasmissione fluida e poliedrica dimostra la qualità e la quantità di lettori che hanno interagito con essa. Nello studio stemmatico della tradizione e della costituzione del testo, particolare importanza ha assunto l’analisi metodologica di alcuni problemi specifici, quali i criteri di selezione dei codici da utilizzare, i meccanismi scelti per l’individuazione di errori nella tradizione manoscritta (in cui l’analisi preliminare delle fonti e dello stile dell’autore si è rivelata fondamentale) o le strategie seguite per affrontare i vari tipi di contaminazione rilevati. Infine, si presentano in Appendice tre edizioni critiche, accompagnate da traduzione spagnola annotata, di altrettante opere, estremamente rilevanti per il nostro studio e per le quali facevamo affidamento su edizioni critiche previe poco dettagliate o del tutto assenti. Il primo testo è il Quadrans dello stesso Sacrobosco, di cui finora non si conosceva nessuna versione a stampa. Segue il testo del Carmen de algorismo, di Alexandre de Villadei: le edizioni critiche precedenti di questo testo (Halliwell, 1839 e Steele, 1922) non davano conto della sua trasmissione, cruciale per l’elaborazione del Algorismus di Sacrobosco e, supponiamo, anche per la sua genesi. Infine, presentiamo l’edizione critica di tre commenti: due del Carmen de algorismo e uno dell’Algorismus, tutti composti nel XIII secolo e finora inediti. 9 ABREVIATURAS Abreviaturas generales 1. Obras de Sacrobosco Debido a su aparición continua en este trabajo, nos referiremos a las obras atribuidas a Sacrobosco de la manera que sigue. En todas ellas hemos optado por emplear la grafía medieval acorde con la época de composición de estas, así Compotus y no Computus, Sphera y no Sphaera. A este respecto, apuntamos que no hay unanimidad en la forma de citar tales obras en los códices, siendo así que contamos con numerosos alógrafos para todas ellas. Algor. Algorismus Compot. Compotus Quadr. Quadrans Spher. Sphera 10 Abreviaturas 2. Otras abreviaturas ex. exeuntis (saeculi, a finales del siglo) f(f). folio(s) in. ineuntis (saeculi, a comienzos del siglo) med. medii (saeculi, a mediadios del siglo) ms(s). manuscrito(s) n.º número(s) p(p). página(s) r recto del folio ra, rb primera columna del recto del folio, segunda columna del recto del folio s(s). siglo(s) U.C. Unidad(es) Codicológica(s) v verso del folio va, vb primera columna del verso del folio, segunda columna del verso del folio 11 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO 3. Siglas y términos utilizados en las ediciones En la presente tesis doctoral incluimos seis ediciones críticas, todas ellas acompañadas, como mínimo, de un aparato de variantes y otro de fuentes. Dado el alto número de códices con el que trabajamos, en el aparato de variantes el lector advertirá que con frecuencia empleamos para los códices siglas compuestas por varias letras, como Br, e incluso con números, como Bo2. Además, dada la fluidez de los textos, el número de variantes es elevado, haciendo que el aparato sea de un tamaño considerable. Por estos dos motivos hemos optado por un sistema minimalista en las abreviaturas y términos empleados, a fin de aligerar en la medida de lo posible los aparatos. Para ello hemos optado, por ejemplo, por notar las lecturas ante correctionem y post correctionem como a y c en lugar de ante corr., ac o a.c. y post corr., pc o p.c. Xa Lectio ante correctionem Xc Lectio post correctionem ab ipso scriba exarata Xm Lectio in margine ab ipso scriba exarata Xr Lectio in rasura ab ipso scriba exarata Xs Lectio supra lineam ab ipso scriba exarata X2 Lectio altera manu exarata add. addidit, addiderunt app. apparatus corr. correxit, correxerunt del. delevit, deleverunt iter. iteravit, iteraverunt om. omisit, omiserunt praem. praemisit, praemiserunt tit. titulus transp. transposuit, transposuerunt [ x ] his uncis verba delenda indicantur < x > his uncis verba ope ingenii restituta includuntur < * * * > in textu lacuna archetypi †x† cruces desperationis, id est locus corruptus 12 Abreviaturas 4. Simbología en los stemmata A B es un codex descriptus de A B A B es una conflatio de A y de otro/s modelo/s desconocido/s *B A C desciende de algún punto de la relación A B: puede ser descriptus de A, de B o de la rama que los une B C A C desciende de un modelo desconocido situado en un punto indeterminado de la rama A B B C A C B es descriptus de A y ha tomado algunas lecturas de C por contaminación B A C B es una conflatio de A y de C B A B A y B presentan una relación de dependencia sin que se sepa la dirección: o bien A es una conflatio de B y otro/s modelo/s, o bien B es una conflatio de A y otro/s modelo/s 13 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Obras de referencia Bib. Phil. Bibliotheca Phillippica: Catalogue of a Portion of the Famous Collection of Classical, Historical, Topographical, Genealogical and Other Manuscripts and Autograph Letters, &c. of the Late Sir Thomas Phillipps (London: Auktionskataloge Sotheby, Wilkinson & Hodge, 1895-). CCLB Catalogus codicum Latinorum Bibliothecae Regiae Monacensis (München: Sumptibus Bibliothecae regiae,1892-). Ceruti Paredi, Angelo, ed. Inventario Ceruti dei manoscritti della Biblioteca Ambrosiana, 33 vols. (Trezzano: Etimar, 1973-1978). CGM in-4º Catalogue général des manuscrits des bibliothèques publiques des départements (série in-4º), 7 vols. (Paris: Plon, Nourrit & cie., 1849-1885). CGM Catalogue général des manuscrits des bibliothèques publiques de France : Départements (Paris: Plon, Nourrit & cie., 1889-). CMB Add. Catalogue of Additions to the Manuscripts in the British Museum, 18 vols. (London: Trustees, 1834-1967). CMB Harleian A Catalogue of the Harleian Manuscripts in the British Museum, 4 vols. (London: Eyre and Strahan, 1808-1812). CMB New Catalogue of Manuscripts in the British Museum. New Series, 3 vols. (London: Trustees, 1834-1841). CVL Codices Vaticani Latini (Biblioteca Vaticana, 1902-). IGBN Inventario general de manuscritos de la Biblioteca Nacional, 13 vols. 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Tabulae codicum manu scriptorum praeter Graecos et orientales in Bibliotheca Palatina Vindobonensi asservatorum, 10 vols. (Graz: Akademische Druck- und Verlagsanstalt, 1864-1899). 15 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Bases de datos y repositorios digitales Aim25 Archives in London and the M25 area, AIM25 Charitable Incorporated Organisation: https://aim25.com/cgi-bin/vcdf/bsearch0 Alchemy Alchemy Web Site, creador: Adam McLean: https://www.alchemywebsite.com/ Alvin Alvin, Platform for digital collections and digitized cultural heritage, Göteborgs Universitet, Lunds Universitet, Uppsala Universitet: http://www.alvin-portal.org/ Ambrosiana Cat. 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De temática científica, cada uno de estos tratados es fundamental para entender el desarrollo de la matemática, la computística, la astronomía y el instrumental de medida astronómico, respectivamente. Compuestos con una finalidad didáctica, tal como demuestran el estilo y el carácter explicativo que emanan de todos ellos, su vínculo con la universidad es evidente y no son pocos los manuscritos que atestiguan su uso como material escolar. En esta línea, su importancia en la historia cultural y científica europeas es capital. Estas cuatro obras, además, presentan características que las aúnan. Todas ellas se encuentran, a menudo, copiadas una a continuación de otra en los manuscritos del s. XIII, lo que sugiere una idea de conjunto que se va disolviendo conforme avanzan los siglos. Además, a excepción del Quadrans, su tradición textual es inmensa y se cuentan por centenares las copias que conservamos. A esto se suma el hecho de que ninguna de ellas cuenta con una edición crítica satisfactoria. Tampoco tenemos, hasta la fecha, un estudio de conjunto que permita conocer su tradición al completo. La presente tesis doctoral contribuye a completar algunos de estos espacios en blanco que no se han conseguido llenar a lo largo de los años en relación a la obra de Sacrobosco y su ingente transmisión. Para ello, hemos dividido en dos grandes bloques nuestro trabajo. En la primera parte, que lleva por título La obra de Sacrobosco, nos ocupamos del autor, de los tratados a él atribuidos y de su transmisión textual. Dentro del apartado El autor, hemos reunido los testimonios antiguos que aportan datos sobre su origen, vida, vínculo con la universidad y muerte y que, pese a su fama posterior, son parcos y, sobre todo, sorprendentemente tardíos. A partir de esta recopilación, de la que hasta el presente carecíamos, hemos analizado las informaciones más antiguas de las que disponemos y los datos que estudios más recientes han aportado, contraponiendo unas y otros para conseguir establecer una biografía lo más veraz posible. En Corpus de obras, se examina cada uno de los tratados sacrobosquianos: sus contenidos, fuentes, tradición manuscrita, ediciones, bibliografía y otros datos, como comentarios y traducciones, cuando estos existen. Algunos de estos campos, como el estudio de las fuentes del Compotus o la síntesis de la tradición textual del Quadrans, no habían sido hasta la fecha explorados. Al final del capítulo listamos los opúsculos espurios que en algún momento se creyeron del autor. Sigue a este apartado La tradición manuscrita, en la que, a través de una labor de búsqueda o recensio, hemos hecho un censo donde damos cuenta de todos los manuscritos que hemos encontrado que contienen una o más obras de las estudiadas. Supone este el estudio más grande que se ha llevado a cabo hasta la fecha en lo que concierne a la tradición textual de las obras de Sacrobosco, y alcanza un total de 722 códices catalogados entre conservados (710 mss.) y perdidos (12 mss.). Cierran el primer bloque unas conclusiones sobre la biografía de Sacrobosco, el corpus de obras por él escrito y su circulación. De ellas destacamos la transmisión conjunta de los tratados sacrobosquianos en su primer siglo de circulación y la ruptura paulatina de este conjunto en los manuscritos en siglos posteriores. Ello denota un interés inicial (s. XIII) en mantener unidas las obras del autor, probablemente por ser concebidas como manuales complementarios entre sí. Más adelante (s. XIV y, sobre todo, s. XV), este interés en preservar el corpus completo decayó, provocando dos escenarios opuestos: mientras que la Sphera y el 28 Introducción Algorismus se copiaron masivamente en solitario por la importancia intrínseca que cada una de ellas suscitaba per se, la tradición del Compotus bajó considerablemente en número de copias por tratarse de un tratado ampliamente superado por otras obras más completas y actualizadas. La segunda parte, El Algorismus, está dedicada por completo a este tratado, un manual universitario clave por dos motivos. El primero de ellos es su contribución a la difusión de la matemática en las universidades del s. XIII y siguientes ya como una ciencia separada de la filosofía. El segundo motivo es que el Algorismus (en adelante, Algor.) es una de las principales obras que contribuyeron a la transición del sistema de numeración romano que hasta la fecha se empleara al sistema indoarábigo, lo que se tradujo en un cambio radical en la forma de entender la matemática, con la introducción de conceptos como el cero, y en la manera de operar, permitiendo realizar operaciones más complejas en menos tiempo. El objetivo de este segundo bloque, por tanto, es analizar el Algor. desde varios puntos de vista. En primer lugar, desde la perspectiva de la historia de la ciencia, poniendo sus contenidos en relación con obras análogas, tanto anteriores como posteriores. Para ello, en Los tratados sobre el algorismo en latín, hemos investigado la historia del «algorismo» latino, es decir, las obras que explican las operaciones con numerales indoarábigos junto con la descripción de dichos numerales y sistema1. A continuación, en Estructura, contenidos y fuentes del Algorismus estudiamos con detalle cada uno de estos aspectos del Algor. aportando información desde el punto de vista lingüístico y matemático para ofrecer al lector una visión del proceso compositivo del tratado lo más completa posible. En esta sección destacamos la importancia del anónimo Liber Alchorismi (s. XII) y del Carmen de algorismo de Villadei (ca. 1200-3) en la génesis, contenidos y fraseología del Algor., concebido quizá como un comentario en prosa del Carmen en el que Sacrobosco se habría servido del Liber Alchorismi para explicar, ampliar y completar la teoría versificada de aquel. Seguidamente, en Posteridad del Algorismus, hemos listado y estudiado los comentarios, traducciones y reelaboraciones de la obra, en su mayoría inéditas y desconocidas. En este apartado no pasa desapercibido el uso escolar y universitario de la obra, que sirvió de base para el estudio de la matemática básica en muchos puntos de la Europa de los ss. XIV y XV. En Estudio estemático se analiza la relación entre los testimonios del s. XIII a partir de la disciplina de la crítica textual, cuyo objetivo principal ha sido el de conocer las relaciones codicológicas existentes entre los manuscritos estudiados y su ulterior plasmación gráfica en un stemma codicum. Para realizar este análisis contábamos con 427 testimonios localizados del Algor. desde el s. XIII hasta el s. XVI, un número que obliga a una selección tanto para la colación y el estudio estemático, como para la edición. Por ello, hemos seleccionado 79 testimonios copiados en el s. XIII y/o principios del s. XIV, es decir, los antiquiores de la tradición. Tras colacionar los códices y estudiar su relación, ha quedado patente que la transmisión del Algor. presenta un carácter ultracontaminado, fruto de su circulación en ámbito universitario, donde tales testimonios convivían. En estas condiciones, ha sido determinante el empleo de las fuentes de la obra para identificar la lectura auténtica del tratado, a menudo coincidente con los introductores de la matemática indoarábiga (como el Liber Alchorismi y el Carmen de algorismo de Villadei), pero no solo (la obra Boecio también está muy presente en Sacrobosco). También ha resultado fundamental un conocimiento profundo del estilo sacrobosquiano para identificar la lección 1 Empleamos el término «algorismo» a la manera medieval, es decir, como el arte o ciencia que enseña los rudimentos del sistema posicional matemático indoarábigo junto con los guarismos que lo conforman y la descripción de las operaciones básicas a partir de él. Hemos preferido no emplear la voz «algoritmo» porque en la actualidad su significado ha evolucionado considerablemente respecto a su origen, de tal suerte que, según la RAE, dicha palabra se define como «1. Conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema. 2. Método y notación en las distintas formas del cálculo». 29 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO correcta, dada la tendencia del autor a usar determinados términos, secuencias y junturas de palabras a menudo casi fijadas. Sigue a esta la sección de Ediciones anteriores, donde hemos descrito y analizado la primera tradición impresa de los siglos XV y XVI y las ediciones más recientes de la obra: las de J. O. Halliwell (1839), M. Curtze (1897) y F.S. Pedersen (1983). A pesar del uso masivo de estas ediciones por parte de los estudiosos para conocer el Algor. de Sacrobosco, ninguna de ellas es crítica; ni siquiera la de Pedersen en 1983, que, aun siendo la única que presenta aparatos de variantes, presenta un texto que no se establece sobre un estudio estemático, sino que en realidad funda su edición en un solo manuscrito, eventualmente corregido con lecturas de otros de los escasos códices que maneja. A los Criterios de la presente edición y Conspectus siglorum sigue el núcleo central de esta segunda parte: Algorismus: edición crítica y traducción, donde damos muestra del resultado mayor de nuestro estudio, es decir, un texto crítico del Algor., establecido conforme a una selección de una treintena de testimonios representativos de las principales ramificaciones del estudio estudio estemático, con aparatos de loci paralleli y de variantes y con su traducción castellana enfrentada y anotada. El texto que aquí presentamos resulta, de esta manera, profundamente diverso del que se ha conocido hasta ahora y el primero establecido con arreglo a métodos ecdóticos modernos. Finalmente, cerramos esta segunda parte de la tesis con los principales resultados de nuestra investigación que redundan en un mejor conocimiento de la obra que estudiamos, el Algor., siendo este el primer análisis completo de los precedentes de la obra, de sus fuentes y contenidos, posteridad y, sobre todo, de su tradición textual. A estos dos grandes bloques en los que se divide y organiza nuestro trabajo, les siguen unas Conclusioni generali, escritas en italiano tal como dictan los criterios para optar a la Mención Internacional de la tesis doctoral. En este apartado hemos puesto por escrito las conclusiones a las que hemos llegado tras el estudio del corpus de Sacrobosco en general y del Algor. y su contexto en particular, relacionando ambos bloques en aquellos puntos que así lo permitían para completar y complementar las informaciones de uno y otro. Concretamente, ahondamos en dos puntos clave que esta investigación ha sacado a la luz: la transmisión conjunta del corpus de Sacrobosco en su primer siglo de tradición frente a la copia individual de cada uno de los tratados desde mediados del s. XIV en adelante y la naturaleza sobreabundante y ultracontaminada de la tradición textual del Algor., lo que nos lleva a reflexionar sobre la metodología que se puede adoptar para abordarla. Finalmente, incluimos una Bibliografía dividida en dos secciones: por un lado se encuentran las ediciones empleadas para la cita de autores y obras; por otro, los estudios consultados a lo largo de nuestro trabajo. A ella le siguen cuatro índices, a saber: de autores y obras, manuscritos, incipit y escribas, con el objetivo de que el lector los pueda consultar a placer. Adicionalmente, presentamos tres apéndices. En el primero de ellos aportamos la primera edición de otra de las obras de Sacrobosco, el Quadrans (en adelante, Quadr.), atendiendo a los manuscritos del s. XIII que lo transmiten, previo estudio estemático. En el segundo, hemos creído conveniente elaborar una edición preliminar del Carmen de algorismo en tanto en cuanto constituye una de las fuentes principales del Algor. Para este estudio, hemos empleado testimonios escogidos de entre aquellos datados del s. XIII y hemos establecido un texto crítico. A estos apéndices se añade el primer texto crítico de dos comentarios al Carmen de algorismo y uno al Algor., todos ellos compuestos en el s. XIII. Cada una de estas exégesis fueron compuestas en el s. XIII y transmitidas en codices unici que como tal editamos. Todas las ediciones que incluimos en este trabajo vienen acompañadas de su traducción castellana, lo que permitirá un acercamiento a estas por parte de cualquier persona no necesariamente instruida en la lengua latina. Esto supondrá que el carácter matemático de estas obras podrá ser estudiado en un futuro por especialistas de este ámbito, transpasando las barreras idiomáticas que hasta ahora han impedido estudios de este género y poniendo en valor el carácter interdisciplinar que nos regala esta suerte 30 Introducción de obras científicas medievales. Este volcado desde el latín a la lengua castellana, sin embargo, no está exento de problemas, puesto que son numerosos los tecnicismos que encontramos en este tipo de textos. Para su traducción, siempre que ha sido posible, hemos recurrido a la palabra correspondiente castellana; en cuanto a las nociones expresadas mediante perífrasis y las explicaciones en genereal, hemos mantenido las estructuras latinas cuando su uso no impedía la inteligibilidad del texto. Además, hemos elaborado cada una de las traducciones con la idea de que puedan leerse de manera independiente respecto al texto, con notas explicativas cuando lo hemos considerado necesario. Dentro de los resultados descritos, por tanto, ofrecemos la edición de dos de las cuatro obras de Sacrobosco: el Algorismus y el Quadrans; junto con numeroso material exegético inédito o apenas conocido. Hemos optado por incluir el estudio del Quadr. en apéndice porque su nivel de profundización está lejos de poder equipararse con la atención recibida por el Algor., cuyo examen detallado es uno de los puntos nucleares de este trabajo. Así, mientras que nuestro objetivo en el Apéndice I es el de ofrecer una edición crítica prístina y nunca antes hecha del Quadr. con su correspondiente estudio estemático, en el caso del Algor. hemos querido ir más allá en el análisis de la obra extendiéndolo a todo su contexto compositivo, para lograr así un conocimiento profundo de la génesis del algorismo en Europa y su primera difusión, en la que el Algor. juega un papel clave. En lo que concierne al Compotus y el Tractatus de sphera, conviene apuntar que ninguna de ellas cuenta hasta la fecha con una edición satisfactoria2. El hecho de que no los incluyamos en este estudio responde a criterios espaciales y temporales: no habría sido posible en el tiempo del que disponíamos y en un espacio coherente un análisis completo de estas dos obras. No obstante, sí incluimos una descripción sustanciosa de sus contenidos, fuentes, la síntesis de su tradición manuscrita, ediciones y comentarios en el apartado Corpus de obras en la primera parte de la tesis, donde aportamos informaciones preliminares que podrían ser ampliadas en futuros estudios. Metodología Metodológicamente, además de la revisión bibliográfica necesaria y pertinente para aquellos capítulos más bien descriptivos (por ejemplo, para El autor, Corpus de obras o Los tratados del algorismo en latín), este trabajo sigue la teoría de la estemática clásica presentada por Maas (1927, 41960) y revisada por Pasquali (1952) para la elaboración de la edición del Algor. en particular y también para las ediciones que incluimos en los apéndices: la del Quadr., la del Carmen de algorismo y la de los comentarios al Carmen y al Algor. del s. XIII. Además de estos pilares de la estemática, nos hemos servido de trabajos teóricos más recientes y de estudios de obras de temática similar a la que nosotros manejamos o con problemáticas parecidas3. En su aplicacion, primeramente hemos buscado todos los testimonios existentes de las obras de nuestro interés. En este punto, además de consultar los catálogos de manuscritos al uso de 2 La Spher. fue editada por Thorndike (1949a), quien apenas empleó una veintena de manuscritos cuyas relaciones no explora, mientras que la única edición del Compot. que conservamos es la de Moreton (1994), cuyo objetivo era únicamente el de establecer un texto base de estudio a partir de la transcripción de un único códice. Esperamos que esta transcripción del Compot. sea superada en breves con la edición que está preparando Lohr, cuyo texto constituido a partir de los manuscritos antiquiores nos hizo llegar amablemente en 2020. 3 Algunos de estos trabajos son los de Chiesa (2016, 2019 y 2020), Burnett (1996 = 2010 y 2002), Nothaft (2014 y 2019), Allard (1978 y 1992), Orlandi y Guglielmetti (2014), Reeve (2017), Martinelli (2014), Delmulle (2018) y Guglielmetti (2007 y 2014). 31 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO distintas bibliotecas y estudios que recopilan códices temáticamente, por autor, procedencia, etc., han sido imprescindibles las bases de datos. En ellas hemos encontrado a menudo las descripciones más recientes hasta la fecha de los códices que recogen, siendo instrumentos en constante crecimiento y actualización. Con estos materiales, hemos elaborado un censo en el que describimos someramente cada uno de los manuscritos, una síntesis que responde a la imposibilidad de realizar descripciones extensas de cada ejemplar por motivos de espacio y tiempo. Esta opción, ya empleada por Orlandi y Guglielmetti (2014, CXXXII-CCLI) en su edición de la Navigatio Sancti Brendani, permite al lector tener una panorámica suficiente y funcional de los testimonios aquí recogidos, de manera que se puedan consultar las informaciones más relevantes de cada uno de ellos en este catálogo y ampliarlas, si se desean, con la bibliografía que adjuntamos. Especialmente en el estudio del Algor., pero también en el del Carmen de algorismo, nos hemos tenido que enfrentar a una serie de problemáticas específicas. La primera de ellas es el número de testimonios con el que cuenta la obra. Su tradición es tan masiva, que impide la colación y el estudio de todos y cada uno de los ejemplares. Esto ha supuesto la necesidad de seleccionar con arreglo a criterios estrictos los códices para realizar un estudio y colación del texto que fuera a la vez completo y útil, a pesar de la obligada selección. El principal filtro que hemos adoptado para reducir el número de testimonios ha sido el de la datación de los códices, seleccionando los antiquiores, teniendo a su vez en cuenta el lugar de copia de cada uno de los testimonios, de manera que hubiera variedad geográfica en nuestra selección. En base a estos criterios hemos colacionado 79 de los 427 testimonios del Algor. (y 23 de los 141 del Carmen de algorismo). A este proceso de selección de códices en la fase de colación del Algor. le sigue un segundo proceso en la fase de edición, en la medida en la que un texto fundado en 79 códices y un aparato que los represente proporcionaba un resultado inmanejable, oscurecía los problemas textuales relevantes con lecciones de menor importancia y no redundaban en un texto de mayor claridad. Por ello, tras el establecimiento del stemma, hemos seleccionado 32 códices en la edición del Algor. de los 79 colacionados que representan los principales desarrollos de la tradición manuscrita primitiva y permiten una constitutio textus crítica. La segunda dificultad ha sido la misma naturaleza de estas obras, que es tal que favorece la contaminación. Nos referimos aquí a su carácter universitario y una circulación que en muchas ocasiones acabaría en las manos de personas eruditas con capacidad de modificar el texto con el cotejo o no de otros ejemplares. Dicha contaminación adquiere varios carices: no sólo nos enfrentamos en este punto a una tradición que muchas veces podríamos calificar como horizontal, sino que en ocasiones las interpolaciones eruditas que hemos hallado proceden directamente de los propios textos fuente empleados por Sacrobosco para componer su obra. A esto se añade el hecho de que, en ciertos pasajes, parece que el propio autor ha podido influir en su texto en un punto determinado en la transmisión de su obra. Fruto de esta contaminación masiva hemos reconstruido un stemma complejo y un número no desdeñable de manuscritos cuyo texto presenta innovaciones comunes a tres ramas o más, que hemos clasificado como hipercontaminados e inclasificables. Puesto que estas dificultades son intrínsecas al estudio de la obra y surgen a raíz de problemas precisos de estemática, edición y/o fuentes, las hemos desarrollado en cada uno de los análisis correspondientes. Para las Conclusioni generali, que cierran el trabajo, hemos reservado los resultados y reflexiones finales más relevantes de corte metodológico. 32 PRIMERA PARTE: LA OBRA DE SACROBOSCO El autor Establecer datos concretos y fiables sobre la vida de un autor medieval a menudo es una empresa ardua y con resultados, en ocasiones, limitados en relación a la investigación previa. La falta de documentación contemporánea y las noticias que parecen surgir de fuentes perdidas o, a veces, inexistentes, hacen que los datos fiables que se pueden extraer de ellas sean escasos, más aún cuando se trata de un personaje famoso en su época. No es diferente para Johannes de Sacrobosco, quien, como ya advertía O. Pedersen (1985, 175), hoy es tan solo un nombre –y ni siquiera muy conocido− ligado a unos pocos tratados de temática esencialmente astronómica. En este apartado nos proponemos dar cuenta, en primer lugar, de los testimonios antiguos conocidos que ofrecen una o varias pistas de lo que debió ser la biografía de Sacrobosco. En segundo lugar, someteremos a análisis cada una de las fuentes recogidas para abordar hasta qué punto podemos ratificar la información recibida. 1. Testimonia Ofrecemos aquí los testimonios de los que disponemos para reconstruir la vida de Johannes de Sacrobosco, desde las propias obras del autor hasta finales del s. XVIII inclusive. Hemos mantenido los términos en cursiva tal como aparecen en los impresos citados infra; no así sus grafías, a efectos de una mayor uniformidad. Advertimos que, en aquellas ocasiones en las que un autor tan solo recoge datos ya citados por sus predecesores, nos limitamos a incluir la referencia en nota al pie para evitar reiteraciones innecesarias. (1) Johannes de Sacrobosco, Compotus, 12344 Sed ab incarnatione Domini elapsi sunt 1232 anni5. aaaaa 1232 B K L Lh Vp Wb, 1235 C D La Ma Mo P V Vu W6 4 Texto tomado de la edición de Lohr (2020, cap. 15, l. 18), con la adición propia de algunos testigos en el aparato crítico. 5 «Pero desde la Encarnación del Señor han transcurrido 1232 años». 6 Seguimos las siglas de Lohr (2020) en su edición inédita: B = Bamberg, Staatsbibliothek, Astr. 1 (HJ.V.1), ff. 9v-27v; C = Cambridge, Gonville and Caius College, 504/271, ff. 2r-14v; D = Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2661, ff. 170r-192r; K = København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 277, ff. 89v-98r; L = Leipzig, Universitätsbibliothek, 1486, ff. 3r-23v; La = London, British Library, Add. 26770, ff. 21v-46r; Lh = London, British Library, Harley 531, ff. 12v-25v; Ma = Madrid, Biblioteca Nacional de España, 8918, ff. 14r-27v; Mo = Montpellier, Bibliothèque Interuniversitaire, Section de médicine, H 323, ff. 42v-73r; P = Paris, Bibliothèque Nationale de France, Latin 7421, ff. 33r-56r; V = Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1356, ff. 50r-79r; Vp = Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1400, ff. 24v-50r; Vu = Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Urb. Lat. 1428, ff. 18r-64v; W = Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 2445, ff. 16r-31r; Wb = Ioannis de Sacro Busto libellus de sphaera. Eiusdem autoris libellus, cuius titulus est computus, eruditissimam anni et mensium descriptionem continens, Wittenberg, 1538. 35 LA OBRA DE SACROBOSCO (2) Johannes de Sacrobosco, Quadrans, s. XIII in.7 Numerus igitur solis declinationis addatur ad numerum stabilem, scilicet 42 Parisius, et habebitur ascensus solis in meridie presentis die8. aaaaa 1 42] 41 Pa | Parisius] si declinatio fuerit septentrionalis si vero fuerit meridionalis subtrahatur a numero stabili add. R | habebitur] habetur Pa, parisius add. Li 2 presentis diei] presenti die N9 (3) Epitaphium Sacrobosci, s. XIII med. De Sacrobosco qui computista Iohannes tempora discrevit, iacet hic a tempore raptus. Tempora qui sequeris, memor esto quod morieris. Si miser es, plora: miserans pro me precor ora10. aaaaa 1 computista] compotista Sphaera Io. | Johannes] Joannes Demp., Iaonnes Vin. sic 2 tempora discrevit] cfr. Add. ad C.: discrevit tempora 3 tempora] tempore Sphaera Io. 4 miser es] miseres Demp.11 (4) Addenda ad Compot., s. XIII med. Mille Christi bis centum quarto deno quater anno de Sacrobosco discrevit tempora annis. Gratia cui nomen dederat divina Iohannes annuat hoc nobis huius sic carpere fructum Ecclesie Christi, quod nos hinc fructificemus12. aaaaa 1 Mille - anno] mº ccº xliiiiº add. Ns, 56 add. Va10s Y2s | 1/2 Mille - annis] om. Va7, si quindenos domini diviseris annos cum tribus adiunctis indicio certa notatur Lo9 2 discrevit] decrevit Li, discernit Mu4, descedit A | annis scripsi, ramis Fz Lo2 Lo3 Va4 Z, ramus E D1 Fi1 G Li Mu4 Mu6 N P2 Pa4 Pa5 Pa6 To Va1 Va8 Va10 W1 Y1 Y2, minus A 3 dederat] dederit Li 4 annuat] annua Lo9, annuet To 5 hinc] hunc Li, huic A To, sic Mu613 7 Texto tomado de la edición del Quadr. (cfr. infra Apéndice I, en el texto latino, l. 92/94). 8 «Al número estable se le añade el número de la declinación del sol, o sea, en París, 42º, y se tendrá la ascensión del sol en el mediodía del día actual». 9 Las siglas se corresponden con las empleadas en la edición del Quadr. (cfr. infra, Apéndice I). 10 «Johannes de Sacrobosco, el computista que discernió los tiempos, yace aquí por el tiempo arrebatado. Tú, que persigues los tiempos, ten presente que vas a morir. Si sientes conmiseración, llora; al sentirla por mí, te lo suplico, ora». 11 Para el aparato del sepulcro de Sacrobosco, las abreviaturas son las siguientes: Add. ad C. = Addenda ad Compot. (s. XIII, ca. med.) (§ 4); Demp. = Thomas Dempster (1627) (§ 13); Sphaera Io. = Sphaera Ioannis de Sacrobosco (1545) (§ 7); Vin. = Élie Vinet (1557) (§ 9). 12 «En el mil doscientos de la cuarta década y el cuarto año, de Sacrobosco discernió los tiempos de los años. La gracia divina —a él ya le había dado el nombre de Johannes— tiene a bien otorgarnos a nosotros lo siguiente: recoger el fruto de esta su Iglesia de Cristo, para que, a partir de él, él fructifiquemos.». 13 Hemos empleado las siglas utilizadas en el estudio de la tradición del Algor. para aquellos manuscritos que también transmiten el Compot. En concreto, hemos empleado los mss. E D1 Fi1 Fz G Li Lo2 Lo3 Lo9 Mu4 Mu6 N P2 Pa4 Pa5 Pa6 To Va1 Va4 Va7 Va8 Va10 Y1 Y2 Z. A estos se añade A = Assisi, Biblioteca del Sacro Convento di San Francesco, Assisi Com. 174 (n.º 6 de nuestro listado). Finalmente, hemos colacionado algunos en los que hemos descubierto que, a pesar de transmitir el Compot., no transmiten el colofón, a saber: Co Pa2 R1 W1 y el códice Madrid, Biblioteca Nacional de España, 8883 (n.º 352). 36 El autor (5) Robertus Anglicus, 1271, Commentum in Spheram14 Ad cuius scientie introductionem habendam inventus fuit iste tractatus per quem tractatum potest homo disponi ut habeat sub compendio ea que prolixiori modo in scientia astronomie demonstratur. Istius vero tractatus causa efficiens fuit magister Iohannes de Sacrobosco Anglicus. Causa materialis est corpus celeste. Causa formalis est sicut in aliis scientiis. Causa finalis est utilitatis eius, que utilitas patet ad expositionem sententiarum habendam15. aaaaa 3 Anglicus Am D E F Q Pa2 Pa3, om. G Pa1 R Sa16 (6) Bartholomeus de Parma, 1297, Tractatus spere17 Quapropter Iohannes de Sacro Boscho dixit in suo tractatu, quem composuit de Spera, existens in studio Parisiensi, etiam bene: Spera secundum accidens dividitur in speram rectam et obliquam18. (7) Sphaera Ioannis de Sacrobosco, 154519 Ioan. de Sacrobosco vita. Ioannes de Sacrobosco summus sua tempestate Philosophus, ad annum Domini 1232 floruisse creditur. Eius enim anni meminit in suo Computo: in cuius operis fine est et hoc carmen, M. Christi bis C. quarto deno quater anno, De Sacrobosco discrevit tempora ramus. De eius patria nihil habemus aliud, quam quod veluti per manus a maioribus traditum accepimus, Anglum scilicet fuisse: puerum autem Lutetiam literarum gratia venisse, ubi quod reliquum fuit vitae totum transegerit. Obiit ergo illic cum opusculum de Sphaera, et Computum 14 En Thorndike (1949a, 143). 15 «Para que hubiera una introducción de esta ciencia se inventó este tratado; un tratado tal que el hombre pueda disponer de él para que tenga a mano todo aquello que se demuestra en la ciencia de la astronomía, bajo un único compendio y del modo más prolijo posible. Aunque en verdad, la razón de ser de este tratado fue el maestro insular Johannes de Sacrobosco. La razón material es el cuerpo celeste, la razón formal es la misma que en el resto de ciencias, la razón final es su utilidad, una utilidad que queda patente al contar con esta exposición de los hechos». 16 Seguimos las siglas de Thorndike (1949a), a saber, D = Oxford, Bodleian Library, Digby 228, ff. 66ra-73va (n.º 496 de nuestro listado); E = Oxford, Bodleian Library, Digby 48, ff. 48r-88r; F = Chicago, University Library, 3, ff. 7ra-18vb; G = Basel, Universitätsbibliothek, F.IV.18, ff. 2ra-17vb; Q = Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7392, ff. 2ra-43rb (n.º 541); R: Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7280, ff. 46ra-57vb. A estas hemos añadido Am = Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 2º 178, ff. 121r-137v; Pa1 = Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 566, ff. 26r-41v (n.º 567), Pa2 = Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7420A, ff. 87r-98rb (n.º 545); Pa3 = Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 10268, ff. 23r-47v (n.º 555) y Sa = Salzburg, Benediktiner-Erzabtei Sankt Peter, Stiftsbibliothek, a.V.7, ff. 111r-124v. 17 En Narducci (1884, 73). 18 «Por lo tanto, esto dijo Johannes de Sacrobosco en su tratado, el que compuso sobre la esfera, estando en la Universidad de París, muy acertadamente: la esfera se divide según su composición en esfera recta y oblicua». 19 Para esta referencia (Sphaera typis auctior, s.a., 1545, s.p.), hemos consultado la edición New York, Public Library, Rare Book Division, *KB 1545, ff. 51b-52a. La edición aparece en la base USTC con los n.º 149486 y 203623. Los datos que aquí se ofrecen, sobre todo el año de su floruit y su patria inglesa, fueron tomados y transmitidos por Clavius en su comentario a la Spher. de 1581: Ideo Ioannes de Sacro Bosco natione Anglus, egregius sua tempestate Philosophus, ac Mathematicus, qui floruit circa annum Domini M.CC.XXXII («Así Johannes de Sacrobosco, inglés de nacionalidad, filósofo egregio en su tiempo y matemático, quien floreció alrededor del año 1232»). Para esta referencia hemos consultado la edición de Clavius (1602, 2). 37 LA OBRA DE SACROBOSCO Ecclesiasticum edidisset: sed quoto aetatis anno, id non traditur. Sepultus est in Claustris sodalium Maturinorum: cuius medio tumulo qui ex sectili lapide est, Sphaera insculpta spectatur cum Epitaphio hoc: quod licet barbarum infelixque seculum illud plane redoleat, tamen hic apponendum duximus, ut inde posthac omnibus palam sit, de Sacrobosco non busto autori huic nomen fuisse. De Sacrobosco qui Compotista Ioannes Tempora discrevit iacet hîc à tempore raptus. Tempore qui sequeris, memor esto quòd morieris. Si miser es plora: miserans pro me, precor, ora. Parisiis. Excudebat Ioannes Lodoicus Tiletanus. Mens. Februar. 154520. (8) John Leland, ante 1548, Commentarii de scriptoribus Britannicis21 Cap. CCCLXXVI. De Joanne Sacrobosco. Joannes Sacroboscus, a loco natali dictus, quod ego nomen Saxonice interpretor Haligwalde, vel Halifex, cuius appellationis et emporium apud Brigantes lanicio celeberrimum: unde et hunc, coniectura ductus, ortum facile crediderim. Thomas Grynaeus, mathematicorum Britanniae nostrae decus, unicum idem sentit. Studuit adolescens, quantum ego colligere possum, in academia, quae ad Isidis Vadum notissima est. Maturiorem illum annis accepit Lutetia Parisiorum, et usque adeo non modo dilexit ac mirifice amavit, verum etiam coluit quoque: et quemadmodum viventem honoribus prosecuta est, ita et funeri sua iusta impendebat. Studebat autem in primis philosophiae Aristotelicae. Mathesin quoque coluit, tam expedito cognitionis successu, ut exemplum paene inimitabile posteris se exhibuerit. Contendere quidem multi, et strenue, scopum ab eo propositum contingere. At nullus adhuc inventus, qui laudem cum eo parem recte sibi vindicer. Joannes Regiomontanus, eloquentiae praesidio, ad matheseos vel fastigia usque conscendit: ita tamen, ut suam relinquat Sacrobosco dignitatem, nulla diminutam parte. Philippus Melanchton, mathematicarum rerum amator candidus, praefatus in libellum Sacrobosci de Anni Rationi, seu de Computo Ecclesiastico, auctorem fuse, accurate, magnifice collaudat. Sed quid ego, laudatores, quorum numerus est, quaero? Liber, quem de Sphaera edidit, minutus quidem est. Quid tum? Ab universo quaeritur, legitur, teritur mathematicorum grege. Extat eiusdem de Algorismo libellus Grantae Girviorum in bibliotheca Petrina. Obiit Lutetiae. 20 «Vida de Johannes de Sacrobosco. Johannes de Sacrobosco, sumo filósofo en su tiempo, floreció al parecer en el año del Señor de 1232. Fecha que, en efecto, es recordada en su Cómputo, obra en cuyo final se lee este poema: En el mil doscientos de la cuarta década y el cuarto año, la rama del Sacro-bosque discernió los tiempos. De su patria nada tenemos sino aquello que hemos recibido de mano de lo que cuentan los mayores, o sea, que había sido inglés: pero de niño, por gracia de las letras, vino a Lutecia, donde se quedó y pasó toda su vida. Por tanto murió allí, tras haber editado los libros Sobre la esfera y el Cómputo eclesiástico; mas en qué año de vida, eso no lo dicen. Fue sepultado en el claustro de los hermanos maturinos, en cuyo centro hay un túmulo hecho de piedra tallada, donde se ve una esfera esculpida con el siguiente epitafio, aunque rezume por todas partes a aquel siglo bárbaro y desafortunado, y sin embargo aquí lo traemos para que conste, para que de aquí en adelante a todos les quede claro que “de Sacrobosco”, no “Busto”, fue el nombre de este autor: Johannes de Sacrobosco, el computista que discernió los tiempos, yace aquí por el tiempo arrebatado. Tú, que lo persigues, ten presente que en el tiempo vas a morir. Si sientes conmiseración, llora; al sentirla por mí, te lo suplico, ora. En París, lo compuso Jean Loys Tiletano en el mes de febrero, 1545». 21 Aunque citamos el texto a partir de la edición de 1709 (Leland, 1709, 353-4), la obra de Leland debe remontarse a una fecha muy anterior. Cfr. O. Pedersen (1985, 215, n. 11): «This was the first printed edition, but the work can be roughly dated from the fact that Leland’s manuscript was used by Bale in 1548». 38 El autor Elatus est publico Parisiorum luctu, et sepultus in fano Maturini, insculpto saxo sepulchrali astrolabio, signo mathematico22. (9) Élie Vinet, 1557, Sphera Ioannis de Sacrobosco Emendata (…) emendata Eliae Vineti Santonis scholia23 Ioanni de Sacro Bosco patria fuit, quae nunc Anglia insula, olim Albion et Bretania appellata. Lutetiae literas, et philosophiam didicit, doctorque Parisiensis fuit. Scripsit de sphaera mundi, de astrolabio, de algorithmo (supputandi artem ita vocarunt barbari) et de computo ecclesiastico, ad annum Christi millesimum ducentesimum quinquagesimum sextum: ut ex eo carmine liquet, quo is libellus de computo concluditur. Lutetiae sepultus est, in sodalium Maturinanium claustris: cuius medio tumulo insculpta sphaera, ac circum allam hoc epitaphium: De Sacrobosco qui computista Iaonnes [sic] Tempora discrevit, iacet hic a tempore raptus. Tempora qui sequeris, memor esto quod morieris. Si miser es, plora: miserans pro me precor ora. Ex eo quidam vel solo carmine, quale id fuerit saeculum, coniicere satis, ni fallor, iis liceret, qui quod in Ioannis de Sacro Bosco sermone non placet, nihil verentur statim detrahere, commutareve, hoc non considerantes, ei tempestati Latinum visum probatumque fuisse, quicquid formam aliquam Latinae linguae haberet, et aliquo modo posset ab illis intelligi, qui literas Latinas tractarent. Hinc maiorari, et minorari, et alia huiusmodi innumerata nata: quae ipsis adeo lepida visa sunt, qui effinxerunt, ut iis saepius quam Latinis ipsis, quae etiam in promptu erant, uterentur. Nihil itaque in eius saeculi scriptis tam temere audendum: quae si cui ex elegantioribus ita nimium barbara videntur, scribat ille quidpiam purius, quod pro illis legamus: postquam veteres illi Latini nihil quicquam tale, quod quidem ad nos pervenerit, ediderunt. Mea quidem certe sic semper fuit ratio, mi Tacite: ut verum omnium, etiam barbarorum, scripta, in quibus sit quod discamus, sancta et integra pro viribus conservanda curemus. Quare ne mireris, si tam diligens fuerim in hoc restituendo libello, explicandisque obiter locis compluribus, quae aut rudiori imponere lectori, aut eum remorari posse videbantur, sed tantum laborem hunc, nostrum probes: et si dignus tibi visus 22 «Capítulo 376. Sobre Johannes de Sacrobosco. Johannes Sacrobosco, llamado así por su lugar natal, nombre que yo interpreto en sajón como Haligwalde o Halifax, cuyo nombre y celebérrimo imperio proviene de la lana de los brigantes; de ahí que ahora, llevado por la conjetura, me parece fácilmente creíble que este fuera su origen. Thomas Griner, orgullo entre los matemáticos de nuestra Britania, es el único que escuchó esto mismo. Según he podido recoger, siendo adolescente estudió en la academia que es conocidísima en Vadum Isidis [Oxford]. Unos años después, ya en la madurez, lo acogió Lutecia [París], y no solo la apreció mucho y la amó en gran medida, sino que también la habitó: y de igual manera que lo acompañó con honores estando él vivo, así para su muerte le dedicó lo que era justo. Aunque al principio estudiaba la filolosofía, también cultivó la ciencia; con tanta sed y ganas de conocimiento que para la posteridad se mostró como un ejemplo prácticamente inimitable. En efecto, muchos intentaron compararse con él y con afán, de forma que alcanzaron el objetivo propuesto por él. Hasta ahora ninguno he encontrado que pueda yo reivindicar justamente con una alabanza igual a la suya. De Johann Regiomontano, altar de la elocuencia, quien ascendió al conocimiento o hasta lo más alto, sin embargo que su dignidad quede par frente a la de Sacrobosco, sin disminuir la de este ni un ápice. Philip Melanchthon, amante cándido de las cuestiones matemáticas, en el prefacio al libro de Sacrobosco Sobre el conteo del año, o Sobre el cómputo eclesiástico, profusa, cuidada y magníficamente lo alaba. Pero, ¿qué busco yo, loadores, sea cual sea vuestro número? El libro que editó Sobre la esfera es en efecto pequeño. ¿Entonces qué? La grey de matemáticos pregunta, lee, investiga sobre el universo. También de él queda el libro Sobre el algorismo en la biblioteca Petrina de Granta de los de Gyrwe. Murió en Lutecia [París]. Con público lamento de los parisinos fue enterrado y sepultado en el templo de los maturinos, en la piedra sepulcral está esculpido un astrolabio, signo matemático». 23 Citamos la carta que cierra esta edición de la Spher. de 1557, «Elias Vinetus de Ioanne de Sacro Bosco ad Ioannem Tacitum φιλίαζον [sic]» (Vinet, 1557, s.p.). 39 LA OBRA DE SACROBOSCO fuerit, qui in lucem exeat, eum in tuo nomine apparere sinas. Vale, Burdingalae tuae, Calend. Mart. M.D.L24. (10) Richard Stanyhurst, 1577, Description of Irelande25 Ioannes de sacro bosco, borne in Holywoode, and therof surnamed de Sacro bosco. He wrote an excellent introduction, De Sphaera. (11) Nathan Chyträus, 1594, Variorum in Europa itinerum Deliciae26 [Parisiensia] In S. Maturini, Joh. de Sacrobosco De Sacrobosco qui computista Johannes Tempora discrevit, jacet hic a tempore raptus. Tempore qui sequeris, memor esto quód morieris. Si miser es, plora: miserans pro me precor ora27. (12) Seyfried Rybisch, 1599, Itinéraire28 Dans le déambulatoire du monastère situé près de Saint-Mathurin, est enterré le fameux mathématicien Jean de Sacro busco. 24 «La patria de Johannes de Sacrobosco fue la que ahora llamamos isla de Anglia, en otro tiempo llamada Albión y Britania. En Lutecia aprendió las letras y la filosofía, y fue doctor parisino. Escribió Sobre la esfera del mundo, Sobre el astrolabio, Sobre el algoritmo (así llamaron los bárbaros el arte de calcular) y Sobre el cómputo eclesiástico, en el año de Cristo de 1256, como se deduce de este poema, con el que concluye este libro sobre el cómputo. Fue sepultado en Lutecia, en los claustros de los hermanos maturinos, en cuyo centro hay un túmulo con una esfera esculpida y alrededor, por ambos lados, este epitafio: Johannes de Sacrobosco, el computista que discernió los tiempos, yace aquí por el tiempo arrebatado. Tú, que persigues los tiempos, ten presente que vas a morir. Si sientes conmiseración, llora; al sentirla por mí, te lo suplico, ora. De todo esto o del solo poema, algunos, fuera cual fuera su siglo, tenían todo tan al alcance, si no me equivoco, que no dudan en borrar o cambiar de inmediato aquello que no les place del sermón de Johannes de Sacrobosco. Sin considerar que, para el tiempo de los latinos, habría sido visto y aprobado todo aquello que, aun teniendo una forma distinta de la lengua latina, de alguna forma pudiera ser entendido por ellos, quienes tenían verdadera competencia en las letras latinas. Y aquí se aumenta, disminuye y otros cambios de este calibre a aquello que es genuino: algo que hasta ahora han visto como algo positivo los que han querido fingir ser más sabios que los mismos latinos. Aquello que en cambio les resultaba muy simple, de ello sí se han servido. Y así, nada han tratado de manera tan desconsiderada como lo que se ha escrito en el siglo de aquel: si para uno había algo que pareciera mínimamente bárbaro, por elegante que fuera, que este otro escriba en su lugar algo que suene más pío para que lo leamos. Puesto que los antiguos latinos nada compusieron así, para que de esa otra forma nos llegara, lo editaron. Pero en verdad que mi máxima siempre fue esta, mi querido Tácito: que los escritos de todos los autores, incluso de los bárbaros, en los que hay conocimientos que podemos aprender, nos preocupemos en conservarlos con vehemencia como sagrados e íntegros. Por lo que no te sorprendas si he sido muy diligente para restituir este libro y para poner explicaciones en multitud de lugares por el camino, las que me parecían que podía poner o para un lector menos docto o para detener la lectura. Pero todo este trabajo quiero que me lo apruebes y, si tras verlo fuera digno para ti, que salga a la luz, que permitas que tu nombre aparezca en él. Saludos. En tu Burdingala [Burdeos], en las calendas de marzo de 1550». 25 Esta obra fue incluida en el trabajo colectivo Holinshed’s Chronicles. Citamos el texto a partir de la edición de esta colección de textos (AA.VV., 1577, vol. 3, 596). 26 Citamos el fragmento de la 2.ª ed. de la obra de 1599, siendo la original de 1594 (Chyträus, 1599, 551). 27 En París. En San Mathurin, Johannes de Sacrobosco. Johannes de Sacrobosco, el computista que discernió los tiempos, yace aquí por el tiempo arrebatado. Tú que lo persigues, ten presente que en el tiempo vas a morir. Si sientes conmiseración, llora; al sentirla por mí, te lo suplico, ora. 28 Citamos la obra a través del trabajo de Hiernard (2017, 102), quien recoge los textos del Itinéraire de Seyfried Rybisch (1548-1554). 40 El autor (13) Thomas Dempster, 1627, Historia Ecclesiastica Gentis Scotorum29 Joannes a Sacrobosco P. 1038 Joannes a Sacrobosco Scotus, vulgo Halybush, quae familia adhuc durat apud nostrates, es certissimam de eo memoriam conservat. Acta nationis Germanicae ad D. Cosmi Parisiis, et Scotum fuisse diserte loquuntur, et venisse in eam academimam adoptatumque v. Junii anno MCCXXI. Fuit canonicus in monasterio Nithisdaliae, vulgo Haliwud, quod fundavit Deo Virgilla comitissa Gallovidiae, Richardus Gibbonus Anglus in Angl. Histor. Scotum vocat, incolam Halywod. Hoc cum sit indubitatum, non defuit tamen maledicentissimus Lelandus, qui futili argumento et ridicula, ut solet, ratione Anglum fuisse et Oxoniae studuisse affirmet: et Gulielmus Camdenus in Britanniae Descriptione, ubi de Brigantibus, Halifax oppidum, quod sacram silvam significat, eum produxisse voluit; sed falso, nam nomen illud est ignobile et nuperum, oppidum enim ante vocabatur Hortau. Deinde perridiculum est ex Halifax efficere velle a Sacrobosco. Scripserat ille: De Sphaera Mundi, lib. I. Opus celebratissimum, quod mathematicorum nobilissimi commentariis illustravere, Gemma Frisius, Petrus Ramus, et Christophorus Clavius De Algorismo, lib. I. De Ratione Anni, lib. I. De Computo Ecclesiastico, lib. I. Breviarium Juris, lib. I. Claruit anno MCCLV, ut Balaeus voluit, sed et Genebrardus eo anno Lutetiae mathematicam professum scribit; uterque falso. Nam Aubertus Miraeus in Chronico diem suum obiise recte annotat anno MCCXXXVI. Consentit et sepulchralis cippi inscriptio ad D. Mathurini Parisiis, ubi ille sepultus, insculpta sphaera cum his versiculis: De Sacrobosco, qui Computista Joannes Tempora discrevit, jacet hic a tempore raptus. Tempora qui sequeris, memor esto quod morieris; Si miseres, plora, miserans pro me precor ora30. 29 Citado aquí a través de la edición de 1829 (Dempster, 1829, 578-9), la primera de ellas que se imprimió en territorio británico (antes impresa en Bolonia). 30 «Johannes de los de Sacrobosco. Johannes de los de Sacrobosco, en Escocia, por el pueblo llamados Halybush, es una familia que dura hasta nuestros días y que conserva una muy cierta memoria de él. En el acta de la nación de Germania en San Cosme, París, también se dice de manera muy elocuente que fue escocés y que vino a esta academia y fue admitido en ella el 5 de junio del año 1221. Fue canónigo en el monasterio de Nithsdale, el que fundó la condesa de Galloway Deo Virgilla [Devorgilla]. Richard Gibbon el inglés en la Historia de Inglaterra lo llama escocés, habitante de Halywod. Aun siendo esto indudable, no faltó sin embargo el muy embustero de Leland, que con un argumento estúpilo y una hipótesis, como siempre, ridícula, afirmó que había sido inglés y que había estudiado en Oxford. También William Camden en la Descripción de Britania, en la ciudad de Halifax, donde los brigantes, que significa “bosque sagrado”, quiso que proviniera; pero esto es falso, porque ese nombre es innoble y reciente: la ciudad se llamaba antes Horton. Por lo que es extremadamente ridículo querer hacer de Halifax Sacrobosque. Había escrito Sobre la esfera del mundo, en un libro, obra celebérrima hasta tal punto que los más nobles de los matemáticos la ilustraron con comentarios: Gemma Frisio, Pierre de La Ramée y Cristopher Clavius. Sobre el algorismo, en un libro. Sobre el cálculo del año, en un libro. Sobre el cómputo eclesiástico, en un libro. Breviario judicial, en un libro. Según quiso Bale se hizo famoso en el año 1255, aunque Génébrard escribe que en ese año profesó la matemática en París; ambos son falsos. Pues Aubert le Mire en su crónica anota de manera acertada el día de su muerte en el año 1236. Concuerda con ello la inscripción del cipo sepulcral en los maturinos de París, donde está sepultado con una esfera esculpida y estos versillos: Johannes de Sacrobosco, el computista que discernió los tiempos, yace aquí por el tiempo arrebatado. Tú, que persigues los tiempos, ten presente que vas a morir. Si sientes conmiseración, llora; al sentirla por mí, te lo suplico, ora». 41 LA OBRA DE SACROBOSCO (14) James Ware, 1639, De scriptoribus Hiberniae31 Iohannes a Sacro Bosco, Philosophus et Mathematicus insignis, claruit anno 1230. Hunc, Balaeus, ex Lelando Anglum facit, natumque Halifaxae tradit in agro Eboracensi, ac inde nomen accepisse, sed perperam proculdubio: Nam Haly-fax sacrum capillum significat, non sacrum Boscum. Dempsterus Scotum facit. Stanihurstus et alii Hibernum volunt et Hollywoodae natum, in agro Dubliniensi. In hac opinionum varietate nihil desinio. Scripsit opus insigne de Sphaera, quod multi viri docti commentariis illustrarunt. Item de Algarismo, De ratione anni, Breviarium iuris, et alia nonnulla. Obiit Parisiis (ut aliqui habent) anno 1235. Et in ecclesia D. Maturini sepultus est. Alii vitam eius longius producunt32. (15) Giovanni Battista Riccioli, 1651, Almagestum novum astronomiam veterem novamque complectens observationibus aliorum33 Ioannes de Sacrobosco Anglicus, Parisiensis Academiae Doctor, ex Ptolemaeo, Albategnio, Alfragano coeterisque [sic] antiquioribus composuit suam sphaeram libris 4 comprehensam, in qua licet errores 84 deprehenderit Franciscus Barocius, initio Cosmographiae enumeratos, tantam tamen auctoritatem in Scholis obtinuit, ut plurimi viri eo doctiores commentariis aut expositionibus illam illustrarint, quos enumerabo in principio libri 1. Sed de tempore, quo floruerit, non omnes consentiunt: floruisse enim circa annum 1232 ait Clavius in paefat. ad Sph., Gordonus in Chronico Anno 1245, Blancanus inter 1200 et 1300, sed Iunctinus in Catalogo illum consignat ad annum 1393, et Sansovinus in sua Chronologia ad annum 1389, sed hi duo procul dubio errant, nam Elias Vinetus Santon in dedicatione suorum ad hanc Sphaeram Scholiorum ait, eum scripsisse de Sphaera, de Astrolabio, et de Algorithmo Anno Domini M CC LVI, et confirmat ex eo carmine, quo libellus Ioannis huius de computo Ecclesiastico concluditur; additque sepultum Lutetie fuisse in Claustris sodalium Matturinalium [sic], et in medio tumuli insculptam Sphaeram videri cum hoc Epitaphio, Barbari seculi indice: De Sacro Bosco qui Compotista Ioannes / Tempora discrevit, iacet hic a tempore raptus. / Tempora qui sequeris, memor esto quod morieris. / Si miser es plora: Miserans pro me precor ora. Sed et Genebrardus in Innocentio IV et noster Gualterius in Chronol. includunt illum seculo Christi 1334. 31 Texto tomado de Ware (1639, 59). 32 «Johannes desde Sacro Bosco, filósofo y matemático insigne, se hizo famoso en el año 1230. A este Bale, de Leland, lo hace inglés, y transmite que nació en Halifax en el campo eboracense, y que de ahí había adquirido el nombre; pero sin duda de forma incorrecta: pues Haly-fax significa “sagrado cabello”, no “bosque sagrado”. Dempster lo hace escocés. Stanyhurst y otros quieren que sea de Hibernia y nacido en Hollywood, en el campo de Dublín. De entre esta variedad de opiniones no saco nada en claro. Escribió la obra insigne Sobre la esfera, que muchos hombres doctos ilustraron con comentarios. También Sobre el algarismo, Sobre el cálculo del año, Breviario jurídico y algunas otras. Murió en París (como algunos sostienen) en el año 1235 y en la iglesia de los hermanos maturinos está sepultado. Otros dicen que su vida fue más larga». 33 En Riccioli (1651, xxxix). 34 «Johannes de Sacrobosco, inglés, doctor de la academia de París. De Ptolomeo, Albategnio, Alfragano y otros autores antiguos compuso su esfera condensada en 4 libros, de la que es lícito que se diga que Francesco Barozzi extrajo 84 errores, enumerados en el principio de su Cosmografía. Sin embargo, obtuvo tanta autoridad en las escuelas que muchísimos hombres más sabios que él la ilustraron con comentarios y exposiciones, los que enumeraré al principio del libro 1. Pero de la fecha en la que floreció no todos están de acuerdo: Clavius en el prefacio a la Sphera dice que floreció alrededor del año 1232; Gordonus en la Crónica, en el año 1245; Biancani entre 1200 y 1300; pero de Giunti en su Catálogo lo incluye en el año 1393; y Sansovino en su Cronología en el año 1389. Pero estos dos últimos se equivocan con mucho, pues Élie Vinet Santon, en la dedicación de sus escolios a esta Sphera dice que había escrito Sobre la esfera, Sobre el astrolabio y Sobre el algoritmo en el año del Señor de 1256 y se confirma por el 42 El autor (16) Johannes Tonjola, 1661, Basilea sepulta relecta continuata35 A.S.1240. DE SACROBOSCO qui computista IOHANNES Tempora discrevit, jacet hic à tempore raptus. Tempore qui sequeris, memor esto, quòd morieris. Si miser es, plora, miserans, pro me, precor, ora. Parisiis. (17) André Thevet, 1671, Histoire des plus illustres et scavans hommes de leurs siecles36 D’autre costé les Anglois ne veulent pas permettre, quoy qu’ils ne foient gueres discordans d’avec les Allemands, qu’autres s’approprient la naissance d’un homme qu’ils maintiennent à corps & à cry avoir esté éclos dans l’enceinte de leur Isle Britannique, d’un lieu du quel portant le nom il a esté surnommé de Sacro Busto, au lieu donc qu’auparavant il estoit appellé Halifax. Ie ne veux point tenir plutost le party de l’un que de l’autre, attendu qu’ils se debattent de la chappe à l’Evesque, d’autant qu’ils l’ont à la verité en recommandation, pour avoir cét heur d’estre compatriots d’un si brave Astrologne : mais les François doiuent à beaucoup plus iuste occasion s’en glorifier, ayans ésté honorées de son sçauoir, duquel particulierement il les a voulu rendre depositaires. Jean Baleus au quatre vingt treiziesme Chapitre de la sixiesme Centurie des personages Illustres d’Angleterre, témoigne qu’au raport de l’Historien Leland, il a fait son apprentissage dans cette celebre Academie d’Oxfort, où il se fortifia si bien en toutes sortes de sciences, & nommément en l’Astrologie, qu’il fut trouvé digne, non point seulement de civiliser sa patrie de la rareté du sçavoir, qu’il avoit acquis, mais aussi faisant retentir la renommée Angloise par tout l’Vnivers [sic], regenter en la plus estimée Vniversité de tout le monde, à sçavoir à Paris. Où il fit un tel devoir, qu’il n’y eut petit ny grand, qui ne reverast l’exquis sçavoir de ce personnage, qui avec telle facilité monstroit tout les secrets de l’Astrologie, que quand ses Auditeurs eussent pû avoir une eschelle assez grande pour toucher jusqu’aux Cieux, à peine eussent-ils pû découvrir si à l’aise & veritablement les singularitez, tant de la voute, distinction, figure & qualitez des lieux celestes, comme d’une methode tres-facile leur a representé ce docte Mathematicien. Lequel pour eterniser le comble des loüanges qui entouroient sa teste, a daigné mettre la main à la plume, pour engraver dans les monumens eternels de la posterité, ce que ceux qui l’ont suivy ont pû apprendre par les certitudes de ses tres-doctes demonstractions. Nous avons quelques oeuvres de luy, qui sondez ric à ric, n’ont point la perfection qui pourroit estre requise par ceux, qui se plaisent d’avoir in stile & moyen d’enseigner haut, & élevé. Il nous a dans son traité de la sphere ébauché tout ce qui estoit selon les anciens, le plus necessaire pour la connoissance de la Cosmographie, avec telle dexterité, que les plus lourds, rudes & grossiers ont assez dequoy profiter sous un tel Docteur, dautant qu’outre les point qu’il éclaircit fort à propos, touchant la description de la sphere, de ses cercles, mouvements & circonvolutions ; & de la longueur, largeur & autres qualitez, tant de la terre que de l’air, il y a adjouté ses non moins rares poema que concluye el libro de este Johannes Sobre el cómputo eclesiástico. Y añade que había sido sepultado en Lutecia en el claustro de los hermanos maturinos, y que en el medio del túmulo se ve una esfera esculpida con este epitafio, con la indicación del siglo bárbaro: Johannes de Sacrobosco, el computista que discernió los tiempos, yace aquí por el tiempo arrebatado. Tú, que persigues los tiempos, ten presente que vas a morir. Si sientes conmiseración, llora; al sentirla por mí, te lo suplico, ora. Pero también Génébrard en Inocencio IV y nuestro Gualterius en Cronología incluyen a este en el siglo de Cristo, 13». 35 El extracto está tomado de Tonjola (1661, Appendix, 10), en el apéndice que se incluye al final de su obra Basilea sepulta relecta continuata de título Selectissimorum orbis monumentorum appendix. 36 Tomamos el texto de Thevet (1671, 235-40), quien dedica el capítulo 24 a Sacrobosco (pp. 233-40), pero realiza un largo preámbulo sobre la astrología. 43 LA OBRA DE SACROBOSCO que tres-certaines demonstrations, qui font toucher au doigt la verité de ses propositions. Vous avez le comput Ecclesiastique, qu’il a dressé avec une si serieuse observation, que ce grand cerueau Philippes Melancton a daigné aussi bien que sur sa Sphere passer sa plume, pour racommander l’excellence d’vn [sic] tel ouurage, qui, estant polis auec vn si rare artifice peut de beaucoup seruir à ceux, qui sont curieux de l’histoire. (...) Elles ont esté trouvées de si bonne grace, que le commencement d’Astrologie est tousiours pris dans toutes les Vniversitez fameuses par la sphere, qu’il a fot à propos accommodée. Apres avoir de telle façon passé le cours de cette vie, laissant plusieurs trophées de la diligence qu’il a mis, à remettre en lumiere la splendeur & la gloire de l’Astrologie, il changea cette vie caduque & perissable avec celle qui est immortelle & incorruptible, l’an 1536, non sans grand regret des gens vertueux & amateurs des sciences, quand ils re virent privez de leur bon pere, lequel avec grands honneurs fut enterré dans le Cloistre des Mathurins de Paris : maison qui autresfois appartenoit à l’Vniversité, pour ce les assemblées publiques s’y font, & les processions tant des Recteurs que de l’Vniversité faut qu’elles sortent de ce Monastere. Quelque temps apres les Recteurs, Procureurs & Doyens de cette Vniversité firent de nouveau refaire son tombeau, sur la pierre duquel ils firent graver une sphere, avec cette inscription : Hic conditus est Ioannes de Sacrobusto, pour l’honneur & respect qu’ils portoient à cét excellent Astrologue. L’âge duquel a esté assez rudement descrit par ces vers Latins. M. Christi bis C. quarto deno quater anno, De Sacro Busto discrevit tempora ramus, Gratia cui nomen dederat divina Ioannes. (18) Gerardus Johannes Vossius, 1696, De artium et scientiarum natura et constitutione37 Quod circa annum est factum MCCXXX. Anno MCCXXXII longe lateque nominis famam diffundebat Joannes de Sacro Busto, vel Bosco. De ingenio, doctrinaque eius, existimare possumus ex Sphaera mundi; quae hactenus fere in Scholis obtinet. Adhaec ex opere de Astrolabio. Aliis item, de quibus in Chronologis dicam (sic Jacobus Faber nuncupat). Elias Vinetus, qui notis suis Sphaeram eius illustravit, Brabantum esse putavit. Sed omnino Anglus fuit, ac natus in oppido Eboracensi Holiwod, quod nunc Holifax appellatur. Oxonii operam studiis dedit: sed reliquam vitam transegit Parisiis. Ubi etiam vita excessit, anno MCCLVI: ut colligere est ex rudibus his versiculis, qui, cum Astrolabio eius, insculpti sunt lapidi sepulcrali: M Christi, bis C, quarto deno quater anno, De Sacrobosco discrevit tempora ramus, Gratia cui nomen dederat divina Joannes. Sphaerae eius quatuor sunt partes. Quarum prima est de partibus sphaerae, et forma mundi. Altera de circulis sphaerae. Tertia de motu secundo; sive de ortu, et occasu signorum, diversitate dierum, noctiumque, deque divitione climatium. Quarta est de motu primo, qui XXIV horarum spatio ab ortu sit in occasum, deque caussis eclipsium38. 37 Tomamos el fragmento de Vossius (1696, 122). 38 «Qué se hizo alrededor del año 1230. En el año 1232 se difundía a lo largo y a lo ancho la fama del nombre de Johannes de Sacro Busto o Bosco. Sobre su ingenio y doctrina, podemos juzgarlos a través de su Esfera del mundo, lo que se obtiene por lo general y hasta ahora en sus escolios. Lo mismo de la obra Sobre el astrolabio. Y esto mismo en otros, de los que hablaré en las Cronologías (así lo relata Jacques Lefèvre). 44 El autor (19) Joseph Jérôme Le Français de Lalande, 1792, Astronomie39 État de l’astronomie en Europe depuis 1230 jusqu’à l’établissement des académies de France et d’Angleterre (...) Sacro-bosco (Jean de) fut le premier écrivain qui acquit de la célébrité dans le 13e siecle. Son nom, suivant l’usage de ces temps là, est une traduction de celui de son pays, Halifax, autrefois Holywood, dans la province d’Yorck [sic] en Anglaterre, où il étoit né. Il étudia [sic] dans l’université d’Oxford ; mais ensuite il fut attiré par la réputaton de l’université de Paris, où il enseigna publiquement la philosophie et les mathématiques : ce fut là qu’il composa un abrégé d’astronomie sphérique et théorique, d’après les ouvrages de Ptolémée et des Arabes, sut-tout d’Alfragan ; il est intitulé, de Sphaera, et il a été imprimé pour la premiere fois à Venise en 1499. Cet ouvrage mit presque l’astronomie à la mode ; il devint si célebre, que pendant 300 ans l’on n’en connut point d’autre dans les écoles. Clavius, écrivant son cours d’astronomie en 1585, ne crut pouvoir mieux faire que de commenter Sacro-bosco, et d’étendre son ouvrage en un volume in-folio. Sacro-bosco fut le premier, suivant Scaliger, qui mit les cercles appellés polaires à une distance fixe et constante des poles, au lieu qu’auparavant on donnoit ce nom au cercle qui, du côté du nord, touchoit l’horizon de chaque lieu. (...) Sacro-bosco donna aussi des traités sur l’Astrolabe, et sur les Années ou le Comput ecclésiastique. Il mourut à Paris en 1256, et fut enterré dans le cloître des Mathurins, où l’on voit encore un astrolabe sur son tombeau avec des vers latins. Élie Vinet, que ilustró con sus notas su Esfera, pensaba que era de Brabante. Pero fue totalmente inglés, y nacido en la ciudad eboracense de Holiwod, la que ahora se llama Halifax. En Oxford dedicó sus esfuerzos a los estudios: pero el resto de su vida transcurrió en París. Donde también cesó su vida en el año 1256, como se puede deducir de estos bastos versillos, que, con su astrolabio, fueron esculpidos en la lápida sepulcral: En el mil doscientos de la cuarta década y el cuarto año, la rama del Sacro-bosque discernió los tiempos. La gracia divina a él ya le había dado el nombre de Johannes. En su Esfera hay cuatro partes. De ellas, la primera trata de las partes de la esfera y de la forma del mundo. La otra, de los círculos de la esfera. La tercera, sobre el segundo movimiento; o del nacimiento y ocaso de los signos, la diversidad de los días y las noches y sobre la división de los climas. La cuarta es del movimiento primero, que tiene un espacio de 24 horas desde el nacimiento hasta el ocaso, y de las causas de los eclipses». 39 Citamos aquí la tercera edición revisada y ampliada por el autor de la obra original escrita 1764 (Lalande, 1792, 142-3). 45 LA OBRA DE SACROBOSCO 2. Biografía Johannes de Sacrobosco es un nombre que encontramos a menudo en los títulos, incipit, márgenes y colofones de la Spher., el Algor., el Compot. y/o el Quadr. desde el s. XIII. Aunque presenta multitud de alógrafos y deturpaciones (Sacro Buscho, Sacro Busto, Sagero Bosco, Sagro Bosco, Sacro Boscho, etc.), podemos afirmar que su forma original más verosímil fue, probablemente, Sacrobosco o quizá Sacro Bosco gracias a varias fuentes que así lo confirmam, como su epitafio (§ 2), el colofón al Compot. (§ 4) o los comentarios a la Spher. (§ 5 y § 6). Es probable, incluso, que sea este el dato del que podemos estar más seguros de este autor, resultando un misterio, como veremos, gran parte de su biografía. Cuando nos acercamos al estudio de la vida de Sacrobosco, lo primero que se advierte es una división de la información de la que disponemos en dos grandes bloques temporales. En primer lugar, destacan los testimonios que se pueden remontar a la época contemporánea o muy cercana al tiempo en el que Sacrobosco estuvo en vida. Nos referimos aquí a los datos que han viajado junto con la obra del autor (§ 1, § 2 y § 4), la información que nos proporcionan los comentaristas recientes (§ 5 y § 6) y la existencia en el pasado de la tumba de Sacrobosco (§ 2). En segundo lugar, a partir de las vidas de Sacrobosco transmitidas junto con las ediciones de la Spher. de mediados del s. XVI (§ 7 y § 9), comienza una sustanciosa lista de menciones, hipótesis, teorías y, en definitiva, datos verosímiles (que no siempre verídicos) sobre la vida de Sacrobosco. Estas informaciones, que a menudo se sustentan en fuentes poco fiables o inexistentes, se han ido multiplicando exponencialmente con el paso de los años hasta llegar a nuestros días. El hecho de que estos datos se hayan transmitido como reales a lo largo de los siglos sin un examen previo ha fomentado que en obras muy actuales encontremos datos falsos o, al menos, muy dudosos sobre este autor sobre este autor. Atendiendo a esta división de los datos, procederemos primeramente a una descripción y análisis de aquellas informaciones de la «primera época». Después, expondremos todo el material que hemos podido recabar del s. XVI en adelante a la luz de aquellas primeras noticias que podrían ser, dada su cercanía temporal con el autor, las más ciertas. 2.1. Datos tempranos Como decíamos, lo que llamamos «datos tempranos» son aquellas noticias sobre el autor que podemos hacer remontar al s. XIII, algunas de ellas incluso estando el autor en vida. Todas ellas las encontramos en un tipo de literatura muy concreto: la prosa científica. La aparente carencia de rasgos literarios presentes en este género podría traer como consecuencia una oscuridad total en lo que respecta a la vida de su autor. Sin embargo, encontramos en ella una ventaja sustancial respecto al resto: la búsqueda constante de la objetividad y el aporte de datos concretos. 2.1.1. La fecha en el Compot. (§ 1) En tanto que escritor científico, cuando Sacrobosco ofrece una fecha o una indicación espacio- temporal en su obra, a excepción de un posible error de cálculo o un fallo en su transmisión, generalmente no es motivo de duda. Esto lo podríamos aplicar a la fecha que expone en su obra Compot.: ab incarnatione Domini elapsi sunt 1232/5 anni. Esta referencia interna señalaría la fecha precisa en la que se encontraba el autor mientras escribía esta frase. 46 El autor En esta cita se presenta un problema de transmisión que hemos señalado en el aparato: la existencia de la variante 123540. Esta confusión entre el 2 y el 5 podría ser fácilmente explicable por una mala lectura del numeral, tanto si pensamos en su forma de escritura romana como en su forma indoarábiga. Si el error se hubiera ocasionado en numerales romanos, basta pensar en una pequeña inclinación de una de las astas para provocar el error de lectura, tanto del II al V como del V al II. Por otro lado, podría haberse generado la confusión a partir de numerales indoarábigos atendiendo a que el copista podría no estar en absoluto familiarizado con ellos, vista que su inserción en Europa fue entre finales del s. XII y principios del s. XIII. En esto discrepa Knorr (1997a, 218, n. 18), quien apunta que la dirección del error necesariamente habría sido del numeral dos al cinco, pero no a la inversa. Como se ha argumentado arriba, nosotros mantenemos la postura de que, de tratarse de un error de copia, la direccionalidad en uno u otro sentido no es concluyente. Por otro lado, O. Pedersen (1985, 188-9) reflexiona sobre los resultados matemáticos de los cálculos que se llevan a cabo en este fragmento del Compot. (Lohr, 2020, cap. 1541), para valorar cuál de las dos fechas es más probable o se ajusta en mayor medida a estas operaciones. El problema principal reside en la interpretación de los datos que rodean esta fecha: Sed in 19 annis solaribus secundum Ptolemaeum in tertia dictione Almagesti sunt 6939 dies et 18 horae, licet nimis prodige fiat computatio. In cyclo vero decennovennali, sicut ab eodem in dictione quarta eiusdem habemus, sunt totidem dies et 16 horae et fere duae tertiae horae unius. Unde in quolibet cyclo secundum istam suppositionem recedit media coniunctio sive primatio a nostra computatione per unam horam et tertiam horae unius. (...) A quo numero si cyclus decennovennalis, quotiens poterit, subtrahatur, patebit, quod in 65 horis et totidem tertiis a veritate nunc extenditur nostra computatio. Quibus in dies redactis habebimus tres dies et 14 horas. Unde per tres dies et dimidium recessit iam media coniunctio a loco primae impositionis42. El cálculo al que cualquier erudito medieval (y moderno) podría llegar a través de las palabras de Sacrobosco es el siguiente: partiendo de que en un ciclo solar hay 6939 días y 18 horas y en un ciclo lunar 6939 días, 16 horas y dos tercios, tenemos un desajuste de una hora y un tercio entre uno y otro ciclo que se acumula a través de los años. Puesto que Sacrobosco está en x fecha, desde la encarnación del señor ha habido un desajuste de 65 horas y un tercio, lo que hace un total de 86 horas y dos tercios. Si dividimos esas 86 horas y dos tercios entre el desfase de una hora y un tercio que se produce en cada ciclo, se obtiene un total de 65 veces que se ha producido dicho desajuste. Si multiplicamos esas 65 veces por los 19 años de cada ciclo, tenemos un total de 1235 años. En efecto, 1235 años es la primera hipótesis que lanza O. Pedersen (1985, 189) ante la evidencia matemática. Sin embargo, no descarta la fecha de 1232, la cual logra obtener a través de una serie de cálculos que, a nuestro juicio, son demasiado forzados y construidos ad hoc. En este contexto, sí podría tener cabida el hecho de que un copista docto, tras hacer los cálculos 40 El hecho de que en la cita del testimonio escojamos la variante 1232 (dejando en aparato, por tanto, 1235) responde únicamente al respeto por la elección de Lohr, el editor del texto, para este pasaje. 41 Edición del tratado sin publicar, cfr. infra nota 112. 42 «Pero en 10 años solares, según Ptolomeo en la tercera lección del Almagesto, hay 6939 días y 18 horas, lo que permite que se haga el cómputo con la mínima desviación posible. En cambio, en el ciclo [lunar] de diez años, como tenemos en la lección cuarta del mismo autor, hay los mismos días, 16 horas y dos terceras partes de una hora. Por lo tanto, según esta suposición, en nuestro cómputo [del ciclo lunar respecto al solar] falta una hora y una tercera parte de una hora para que se complete de nuevo la conjunción lunar o la luna nueva. [Pero de la encarnación del Señor han pasado 1232 años]. A este número, si le quitáramos tantos ciclos de diecinueve años cuantos nos fuera posible, nuestro cálculo nos dará que ahora nuestro cómputo se ha extendido a 65 horas y tres cuartos. De este tiempo volcado en días, tendremos tres días y 14 horas. De ahí que ya haya un desajuste de tres días y medio desde el día de la primera imposición hasta la conjunción». 47 LA OBRA DE SACROBOSCO pertinentes, corrigiera hacia 1235 el texto de un modelo que transmitiera la variante 1232, mientras que es muy improbable que ocurriera a la inversa: un lector erudito no corregiría la fecha lógica de 1235 por 1232 (a no ser, de nuevo, por error de lectura). Knorr (1997a, 218, n. 18), quien se postula claramente a favor de interpretar la variante 1235 como original, ofrece un argumento más en esta discusión. Para él no se explica que, si 1232 fuera la fecha original, esta variante esté tan poco representada en los manuscritos. Según su razonamiento, si la variante 1232 remontara al original, esta habría sido copiada más veces por haber sido la única de las dos opciones en los tres primeros años de tradición de la obra (o sea, desde 1232 hasta 1235). Este argumento, aunque lo presentamos aquí para mostrar el panorama general, queda descartado por los problemas que plantea. Para empezar, aunque la variante de 1232 tuviera una representación menor en los manuscritos (que no ocurre), consideramos que este dato no sería concluyente al no disponer de un estudio completo de la tradición textual del Compot. Por otro lado, el argumento de los posibles tres años en los que la variante 1232 habría viajado en solitario no es demostrable en tanto en cuanto, primero, no disponemos de manuscritos que podamos datar en esos años y, segundo, un error de copia de un escriba despistado podría haber generado la variante de 1235 aunque estuviera en el año 1233 o 1234. Como conclusión, podemos decir con certeza que Sacrobosco en alguna fecha entre los años 1232-5 estaba en proceso de escribir su obra más larga, el Compot. Concuerda esto, además, con la datación ante 1240 del testimonio más antiguo de esta obra: København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 277 fol. (n.º 270), el cual habría sido copiado tan solo unos años después de que se escribiera este tratado43. Sobre cuál de las dos fechas tiene más visos de ser original, nosotros proponemos 1235 por ser la más lógica en el plano matemático, mientras que la aparición de 1232 en algunos testimonios podría explicarse bien como un error de copia. Sin embargo, como veremos más adelante, no podemos descartar el año 1232 (cfr. infra). 2.1.2. La referencia en el Quadrans (§ 2) y el comentario de Bartolomeo (§ 6) De tipología científica es también el Quadr., la obra más breve atribuida a Sacrobosco. Dentro de ella, se presenta una indicación gradual: 42 Parisius. En los testimonios consultados no hay variantes para la referencia de la ciudad, aunque sí de los grados (41º Li, 45º Vt Wi). Gracias a este dato, parece evidente que el lugar de composición del tratado debió de ser París. También lo fue la Spher., atendiendo al comentario escrito por Bartolomeo de Parma44. Este autor enseñó astronomía en Bolonia y compuso un tratado sobre la esfera (Thorndike 1949, 28). En él se señala: Quapropter Iohannes de Sacro Boscho dixit in suo tractatu, quem composuit de Spera, existens in studio Parisiensi. El texto lo hemos tomado de la edición de Narducci (1884, 43-120), quien transcribe directamente el manuscrito Roma, Biblioteca Nazionale Centrale Vittorio Emanuele II, Sess. 145 (1410) (Santa Croce 228). A falta de un estudio completo de las obras compuestas por el autor y concretamente de su Commentum, a priori no dudamos de la originalidad de este párrafo, máxime cuando el manuscrito tomado para la transcripción del texto data del s. XIII. Esto sitúa su composición tan solo unos años después de que Bartolomeo compusiera su obra. Con estos datos, podemos afirmar que tanto la Spher. como el Quadr. fueron escritos en París. No podemos saber con certeza que lo mismo ocurriera con sus otros tratados, Compot. y Algor., 43 En el margen inferior del f. 91v se lee: nunc scilicet anno Domini MCCXL («ahora, o sea, en el año del señor de 1240») y en el f. 92r: hodie autem scilicet MCCXL gratie anno («sin embargo hoy, o sea, en el año de gracia de 1240»). Puesto que las glosas al margen son necesariamente posteriores a la escritura del texto principal, sirve este año que citan para establecer el terminus ante quem de copia del manuscrito. 44 Inc.: Spere tractatus in hoc nostro opere triplex est. 48 El autor por carecer de datos que así lo confirmen, aunque es plausible pensar que en esta sede el autor pudo haber escrito toda su obra. 2.1.3. El comentario de Roberto Ánglico (§ 5) De nuevo un comentario a la Spher.45, esta vez atribuido a Roberto Ánglico, nos ofrece datos sobre Sacrobosco. Este autor, de nuevo ligado a la academia, escribió esta exégisis de la Spher. para exponerlo en la Universidad de París o quizá en la Universidad de Montpellier en torno al año 1271 (Thorndike, 1949a, 28). Fechado gracias al colofón transmitido en los manuscritos, al inicio del comentario Roberto Ánglico menciona a Iohannes de Sacrobosco Anglicus como su causa efficiens, donde el adjetivo Anglicus es el dato importante para nuestra investigación. Este gentilicio, quizá de vital importancia para entender toda la transmisión posterior del origen de Sacrobosco donde se ofrecen una gran variedad de teorías, no es transmitido por la totalidad de códices con el Commentum. Esta razón explica las dudas de Thorndike (1949a, 2) respecto a su autenticidad, quien dice que Anglicus podría haber sido añadido por escribas posteriores. Frente a la ausencia de un stemma codicum en la edición de Thorndike que permita valorar en lugar de todo esto la calidad de los cuatro manuscritos que transmiten el adjetivo frente a los que lo omiten, no es posible actualmente saber con certeza si el original decía o no Anglicus. En los testimonia hemos incluido los 6 códices que estudiaba Thorndike (códices D E F Q G R) y las lecturas de otros 5 testimonios localizados (códices Am Pa1 Pa2 Pa3 Sa)46. El códice más antiguo de los localizados es Sa, un testimonio datado en el colofón: Iste libet fuit scriptus sive finitus anno domini 1295 (Thorndike, 1949a, 75), escrito tan solo 24 años después de que Roberto publicara su comentario (1271). Este testimonio, sin embargo, omite el adjetivo, haciendo que la tradición más antigua conservada de esta obra no presente este dato. Esto supone que, de asumir que el adjetivo Anglicus referido a Sacrobosco estuviera en el original, su supresión es una variante que se remonta a la primera tradición de esta obra. El resto de manuscritos estudiados datan de los siglos XIV-XV y presentan lugares de copia muy diferentes entre sí47. Puesto que la tradición que sí presenta el adjetivo se dispersa por varias regiones geográficas (la transmiten manuscritos italianos, franceses e ingleses), podríamos estar tentados de asumir que fue esta la variante original al ser común a tantos ejemplares de lugares distintos. Sin embargo, puesto que no se conoce el origen de tres de los manuscritos que no contienen el adjetivo (G R Sa) y, de nuevo, dado que el manuscrito manifiestamente más antiguo y, por tanto, más cercano al autor no lo contiene, seguimos sin poder afirmar que el adjetivo Anglicus sea original. Pese a tal incerteza, la presencia del calificativo en la tradición más antigua es indudable. En este sentido, si no fue el propio Roberto Ánglico el que calificó a Sacrobosco en su obra como inglés, al menos contamos con copias manuscritas de este comentario datadas en el s. XIV que sí lo transmiten. Sigue siendo esta, por tanto, la primera ocasión en la que se otorga expresamente un origen a Sacrobosco, una información que nos es imposible contrastar por la ausencia de documentos oficiales al respecto, pero que al menos podemos recoger aquí como la idea común que se tenía acerca de la patria de Sacrobosco a finales de la Edad Media. 45 Inc.: Una scientia est nobilior. 46 Thorndike (1949a, 74-5) menciona otros manuscritos que localizó con el comentario solo después de que terminara su edición, por lo que no pudo incluirlos, a saber: Cambridge, Peterhouse Library, 250 (s. XV); Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 366 (s. XIV); Pisa, Biblioteca Cathariniana, 63 (desaparecido, s. XIV). 47 De los manuscritos estudiados, Am D G Pa2 Q datan del s. XIV (están datado Pa2, año 1331) y E F Pa1 Pa3 R datan del s. XV (está datado Pa3, años 1470 y 1478). Respecto a su lugar de copia, Pa1 Pa3 F son italianos (Pa3 concretamente de Nápoles), Pa2 es francés, Am podría ser italiano o francés, D E son ingleses y de G Q R no se sabe el origen. 49 LA OBRA DE SACROBOSCO Tras advertir que la calificación de Anglicus remonta al s. XIV, independientemente de que se deba o no a Roberto Ánglico, conviene hacer un pequeño apunte sobre su significado. Tal como advierte Butler (2014-5, 77), podría no referirse exactamente a los habitantes de lo que ahora consideramos Inglaterra. El autor postula que en aquella época los estudiantes de la Facultad de Artes de la Universidad de París cuya proveniencia se adscribía al norte de Europa (los países escandinavos, Alemania, Escocia, Inglaterra e Irlanda) se agrupaban en la llamada Natio Anglicana. Dada la gran probabilidad de que Sacrobosco estuviera incluido en este sector, es plausible pensar que autores como Roberto Ánglico y otros muchos (como veremos) confundieran esta pertenencia a la asociación con un origen genuinamente inglés. 2.1.4. El colofón del Compot. (§ 4) Otro dato más confuso lo encontramos en muchos de los manuscritos que contienen el Compot., concretamente al final del texto. En esta obra, tras una cita a Boecio48, aparece un colofón que cierra el tratado en gran parte de los manuscritos que lo transmiten (muchos de ellos incluso del s. XIII). El primer problema que nos aborda en relación a este testimonio es su originalidad. Siguiendo la edición crítica de Lohr (2020, sin publicar), que omite deliberadamente estos versos, podemos suponer que no los considera originales de Sacrobosco, por lo que estaríamos ante una interpolación que, sin embargo, cuenta con una abundante tradición textual. De esta opinión es también O. Pedersen (1985, 187), quien aporta dos argumentos. El primero de ellos concierne al manuscrito más antiguo que contiene el Compot., København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 277 fol. (nuestro n.º 270). Dado que es el testimonio más antiguo de esta obra, Pedersen lo considera el más relevante a efectos del texto que transmite. Puesto que este testimonio omite el colofón, esto sería un indicio de sospechar de su originalidad. En segundo lugar, el autor compara los «bonitos y poéticos» versos de la cita de Boecio con la que se cierra el tratado frente a estas líneas «realmente malas desde el punto de vista literario». Aunque los argumentos de Pedersen nos parecen insuficientes para demostrar que estas líneas no son originales de Sacrobosco, no descartamos que así sea. Si asumimos la hipótesis de que se trata de una adición, conviene preguntarse en qué momento se interpolaron estos versos como colofón del Compot. La tradición más temprana de esta obra, que remonta a los años 30 y los años 40 del s. XIII49, no transmite los versos. El primer manuscrito donde sí los encontramos es New York, Public Library, Manuscripts and Archives Division, 69 (n.º 459)50, que fue compuesto antes del año 1262. Podríamos establecer que esta es la fecha ante quem de composición del colofón, es decir, 1262; mientras que el terminus post quem deberíamos establecerlo en la propia fecha de composición del Compot., quizá en 1234 (cfr. infra). Estos versos han sido estudiados abundantemente con motivo del deseo de resolución de la enigmática fecha que allí se cita: Mille Christi bis centum quarto deno quater anno. La frase, tal como dice O. Pedersen (1985, 187-8), es ambigua. En este sentido, si quater califica a quarto deno, estaríamos ante el año 1256 (14 × 4), opción que sigue Elias Vinetus (testimonio § 9): et de computo ecclesiastico, ad annum Christi millesimum ducentesimum quinquagesimum sextum: ut 48 Lohr (2020, cap. 24, l. 43/46): O, qui perpetua mundum ratione gubernas, / terrarum caelique sator, qui tempus ab aevo / ire iubes stabilisque manens das cuncta moveri. / Tu stabilire velis opus hoc per temporis aevum. 49 Estos son, los manuscritos København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 277 fol. (n.º 270, compuesto antes de 1240) y Innsbruck, Universitäts- und Landesbibliothek Tirol, 373 (n.º 261, datado en el año 1244) respectivamente. 50 No así el manuscrito Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 2910-2920 (n.º 81), compuesto también ante 1262. 50 El autor ex eo carmine liquet, quo is libellus de computo concluditur51. Sin embargo, si quater está calificando solamente a deno, la frase se referirá al año 1244 [(10 × 4) + 4], hipótesis seguida por Tannery (1897, 583)52. O. Pedersen (1985, 188) transmite otras hipótesis interpretativas, como aquella que atribuye a una comunicación privada de C. M. Taisbak, en la que quarto deno quater haría referencia al cuarto año de la cuarta década, por lo que el año quedaría como 1234. En cualquier caso, tenemos una fecha comprendida en las décadas de los 30’ y los 50’ del siglo XIII. Pero, como dice Pedersen, ¿qué hizo Sacrobosco exactamente en esta fecha?. Entre estos años situaríamos quizá su floruit, o bien, la opción que nos parece más probable, la fecha en que acabó el Compot. Descartamos la hipótesis de que esta fue la fecha de su muerte por carecer de datos que así nos lo hagan pensar y por el propio significado de estos versos: en esta fecha «Sacrobosco discernió los tiempos», pero eso no quiere decir que muriera entonces. Este dato es preciso cruzarlo con la fecha ante 1240 del ya citado códice København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 277 fol. (n.º 270) (cfr. supra). Si fuera este el terminus ante quem para datar el códice, tan solo queda espacio para la teoría de Taisbak, es decir, que la fecha de composición fuera el año 1234. Esta fecha, además, afecta a la referencia interna del Compot. que antes hemos analizado. Al establecer que en el año 1234 se hubo de componer el Compot., es imposible que en su interior se refiera al año 1235, de tal forma que 1232 debería ser la fecha que se ha de reconstruir en ese apartado para hacer coincidir todos los datos, a pesar de los problemas comentados supra. En relación con este manuscrito, como anotaba Pedersen (cfr. supra), conviene apuntar que no transmite el colofón. La cuestión de quién y cuándo compuso estos versos es todavía un misterio, entre otras cosas porque todavía no se ha establecido un estudio completo de la transmisión del Compot. Sin embargo, siendo el manuscrito de Copenhague el más antiguo conservado, copiado apenas unos pocos años después de que Sacrobosco escribiera su obra, quizá podríamos hipotetizar que por aquel entonces aún no se había compuesto. 2.1.5. El epitafio de Sacrobosco (§ 3) La muerte de Sacrobosco debió de ocurrir en torno a la mitad del siglo XIII. El único terminus post quem seguro con el que contamos para establecer la fecha de su muerte es el año de composición del Compot. de 1234. Sin embargo, todavía podemos obtener un dato más si atendemos a la hipótesis de Knorr (1997b, 189) respecto a la datación de Quadr. post 1239. Esta fecha es, en efecto, cuando se compusieron las Tabule Humeniz, fuente de las Tabule solis que son, a su vez, fuente del Quadr.53. Con este dato de 1239, se descartaría la fecha que proponen Dempster (§ 13) de 123654 y la de Ware (§ 14) de 1235 (aunque apunta que alii vitam eius longius producunt). Podríamos tomar en 51 También es esta la interpretación que dan los copistas de los manuscritos Va10 e Y2 de nuestro aparato (cfr. § 2), quienes sobre el verso anotan un pequeño 56 en numerales indoarábigos. 52 «Je préférerais au reste interpréter le vers en question comme indiquant la date de 1244». Este apunte es bien acogido por Duhem (1958, 240-1, n. 3), quien dice que Tannery corrige la interpretación errónea de Elias Vinetus de la fecha, error que remontaría, a su juicio, a una mala lectura o una mala copia de la fecha. Sobre esta interpretación también contamos con la adición supra lineam del manuscrito N de nuestro aparato (cfr. § 2), quien anota sobre este verso: mº ccº xliiiiº. 53 Inc.: Sciendum quod Humenix philosophus summus Egyptiorum. Edición de Millás Vallicrosa (1993, 379-82). 54 Tomada de la obra de Mire (1608, 283), donde se lee, a propósito del año 1236: Ioannes à Sacro- bosco, qui librum de Sphaera et Computum Ecclesiasticum conscripsit, Lutetiae moritur («Johannes de Sacro-bosco, quien escribió en conjunto el libro de la Esfera y el Cómputo, murió en Lutecia [París]»). 51 LA OBRA DE SACROBOSCO consideración, en cambio, el testimonio de Tonjola (§ 16), que, aunque no dice de dónde ha extraído la información, cita el año 1240. Descartamos aquí la hipótesis de que su muerte ocurriera en el año 1244 o 1256, fechas que a menudo se han ofrecido por la confusión entre el epitafio de Sacrobosco y los versos del final del Compot. a partir de Thevet (1671, 240) y Vossius (1696, 122). Thevet (§ 17) fue el primer autor que relacionó la fecha de la muerte de Sacrobosco con los versos que encontramos en el colofón del Compot. A este le sigue Vossius (§ 18), quien directamente cita tales versos como si estuvieran insculpti lapidi sepulcrali. A partir de entonces, el equívoco se fue transmitiendo de la mano de autores posteriores, como Mackenzie (1708, 161-8)55, quien interpreta que las líneas del colofón donde se desarrolla la fecha son en realidad las primeras líneas del epitafio no transmitidas por el resto de autores56. Mackenzie, a su vez, fue seguido por otros autores hasta llegar incluso a la bibliografía actual sobre el autor, donde se sigue perpetuando el error57. Sea como fuere, sí conviene destacar el paralelismo ya percibido por estudiosos anteriores entre la construcción del colofón discrevit tempora annis y la del epitafio tempora discrevit58, lo que podría ser la causa del error que mencionábamos antes respecto a la fecha del deceso de Sacrobosco. Parece bastante plausible pensar que o bien el autor del colofón conocía el epitafio o viceversa. En este sentido, podría haber ocurrido que un seguidor de Sacrobosco leyera su epitafio en S. Mathurin (en cuyo claustro se encontraba la tumba, cfr. infra) y de ahí tomara inspiración para componer un final de cierre al Compot., la obra de la que precisamente se hace mención en su tumba en tanto en cuanto se refiere a Sacrobosco como computista al lado de un astrolabio esculpido. Si así fuera, contaríamos con un terminus ante quem claro para situar la muerte de Sacrobosco: la fecha de composición del colofón. Puesto que la primera vez que aparece este añadido es en el ms. New York, Public Library, Manuscripts and Archives Division, 69 (n.º 459), como decíamos antes, y dado que su copia debió de realizarse ante 1262, este año haría las veces de terminus ante quem, tanto para la composición del colofón como para la muerte de Sacrobosco. A este respecto, algunos autores han postulado que el epitafio de Sacrobosco se compuso en una fecha mucho más tardía. Así Tannery (1904, VIII)59 opina que quizá haya que atrasar la construcción de la tumba de Sacrobosco hasta cien años después de su muerte. La razón que otorga para explicar este hiato temporal es el hecho de que habrían hecho falta unas cuantas décadas hasta que Sacrobosco se hiciera tan famoso como para ser merecedor de un epitafio de esas características60. Esta teoría explicaría, en parte, la ausencia de datos sobre su vida, que nadie se habría molestado en recoger estando él en vida por no ser tan conocido; aunque no podemos descartar que ocurriera al contrario, es decir, que fuera tan conocido por los de su época que resultara innecesario ponerlo por escrito. En nuestra opinión, la hipótesis de que Sacrobosco 55 Su trabajo es una recopilación de los datos que transmiten los autores que le precedieron, razón por la cual no lo hemos incluido en el apartado de Testimonia. 56 «He died in the Year 1256, as is appears from his Inscription upon his Tomb, in the Church of the Mathurines at Paris, written round about a Sphere. M. Christi bis C, quarto deno quater anno, / De Sacro- Bosco qui computista Joannes / Tempora discrevit, iacet hic a tempore raptus, / Tempora qui sequeris, memor esto quod morieris, / Si miser es, plora, miserans pro me precor ora. Dempster and Camerarius have this Inscription, without the First Line; but Gerardus Vossius has the First Line, and only the Two following Lines. De Sacro-Bosco discrevit tempora Ramus, / Gratia cui nomen dederat Divina Joannes» (Mackenzie, 1708, 161-8). 57 Siguen este error Kingsford (1891, 217), Gunther (1923, 27), Emden (1959, 1621), Youschkewitsch (1964, 353) y Daly (1975, 60). 58 Una similitud ya recogida por O. Pedersen (1985, 188) y que ha servido a lo largo de los años para perpetuar aún más la confusión mencionada antes entre estos versos y el epitafio. 59 Recogida a su vez por O. Pedersen (1985, 190). 60 Si así fuera, habría que postular que el colofón del Compot., escrito antes de 1262, sirvió como fuente para su epitafio y no al revés (cfr. supra). 52 El autor carecía de renombre y fama en su época no se sostiene en el momento en el que hemos podido localizar más de 150 manuscritos datados en el mismo s. XIII que contienen sus obras cuya autoría se reconoce en la mayoría de ellos, por no hablar de los comentarios tempranos a la Spher. y al Algor. Además, destaca el hecho de que el epitafio recuerde su labor como computista, pues las obras que alcanzaron mayor fama desde el s. XIV en adelante fueron el Algor. y sobre todo la Spher. Por esta razón, consideramos que la importancia del Compot. se circunscribe únicamente al s. XIII, estando Sacrobosco en vida o en los años inmediatamente posteriores a su muerte. Aun así, esto no invalida el hecho de que el epitafio podría haber sido levantado varios años después de su muerte, lo que implica que no estamos en condiciones de poder establecer qué fue antes, si el colofón o los versos de su epitafio. Más aún, Thevet (§ 17) transmite la noticia de que la tumba de Sacrobosco se construyó en el monasterio de S. Mathurin a su muerte pero que unos años más tarde, los rectores y otras personalidades ilustres de la universidad rehicieron el monumento insculpiendo una esfera. Aunque el testimonio tiene visos de no ser absolutamente veraz, puesto que, entre otras cosas, es el único que transmite la inscripción Hic conditus est Ioannes de Sacrobusto ligada al epitafio, sí podría haber ocurrido que el túmulo funerario con el bajorrelieve del astrolabio se construyera unos años más tarde respecto a la muerte del autor, momento en el que se habría movido su cuerpo a este nuevo sepulcro más elaborado que el anterior. Sobre el lugar donde fue enterrado, ya las ediciones del s. XVI mencionan el claustro de S. Mathurin. Aquí se encontraría un sepulcro con un astrolabio esculpido alrededor de la cual o cerca de la cual se encontraban cuatro versos con una transmisión bastante uniforme (cfr. testimonios § 7, § 9, § 11, § 12, § 13, § 15, § 17 y § 19)61. S. Mathurin era un hospital que se convirtió en un monasterio de la Orden de los Trinitarios cuando el obispo de París, el filósofo Guillaume d’Auvergne, se lo donó a los monjes de la Orden de la Santísima Trinidad en 1229. El convento estuvo muy ligado a la Universidad de París e hizo las veces de sede de la misma, puesto que la academia no tenía edificios de su propiedad (O. Pedersen, 1985, 181-2). Este hecho podría indicarnos que Sacrobosco estaba ligado con esta institución parisina. Probablemente, incluso, podamos hipotetizar que ejerciera de profesor dada la gran cantidad de manuscritos que junto al nombre de Johannes de Sacrobosco añaden magister. Con los testimonios directos de quienes vieron su tumba y a tenor de las relaciones de S. Mathurin con la Universidad de París, en la que presumiblemente pudo haber impartido clases Sacrobosco, no tenemos razones para dudar de que la tumba estuviera allí situada. Actualmente, por desgracia, no se conserva nada de ella, siguiendo la misma suerte que el resto del monasterio, que fue abandonado en 1792 y sus últimos restos, tras un expolio de más de medio siglo, demolidos en 1863. El último testigo de la tumba fue Joseph Lalande a finales del s. XVIII (§ 19), quien comentaba que se podía ver todavía un astrolabio sobre la tumba con los versos latinos. Puesto que esta es la última vez que tenemos noticia de que alguien la viera, O. Pedersen (1985, 181) aventura que habría sido presumiblemente destruida durante las revueltas causadas por la Revolución francesa, pero la realidad es que no podemos saber con certeza quién y cuándo acabó con este monumento. 2.1.6. Resultado de los datos A modo de conclusión de este apartado, a partir de estos datos, somos capaces de trazar un arco geográfico-temporal en el que enmarcar a este autor. Johannes de Sacrobosco es el nombre de un autor cuyo origen se sitúa en alguna parte del norte de Europa a juzgar por el calificativo Anglicus. 61 Aunque algunos testimonios transmiten que el relieve de la tumba era una esfera, consideramos más probable que se tratara de un astrolabio. A este respecto, cfr. López-Maroto Quiñones (en prensa). 53 LA OBRA DE SACROBOSCO Compuso sus obras a principios del siglo XIII, aunque la única fecha que sabemos con relativa certeza es la fecha de escritura del Compot. Este tratado hubo de componerlo en el año 1232 o 1235. Contrastando esta fecha con el manuscrito más reciente ante 1240 y las posibilidades de interpretación de la fecha que aparece en el colofón al Compot. (1234, 1244 o 1256), la única opción que permite encajar todos los datos es que Sacrobosco estuviera escribiendo el Compot. en 1232, lo publicara en 1234 y en el arco de 1234-1240 se copiara el testimonio más antiguo conservado. Sobre el lugar de composición de sus obras es plausible que fuera París, puesto que sabemos que allí escribió la Spher. y el Quadr. En este período probablemente enseñara en la Universidad de París, siendo profesor (magister). Falleció hacia mediados del s. XIII, en una fecha posterior a 1239, y fue levantado un epitafio en su honor en el claustro del Convento trinitario de los maturinos de París. 2.2. Datos tardíos 2.2.1. Sobre el origen de Sacrobosco Como hemos visto en los datos que hemos podido extraer el s. XIII, no sabemos nada del origen de Johannes de Sacrobosco. Podemos postular que, a juzgar por la tradición textual del comentario de Roberto Ánglico, al menos desde el s. XIV se atestigua el apelativo Anglicus como adjetivo atribuido a este autor, sin saber siquiera si tal calificativo podría remontar o no al original. Sin embargo, en palabras de O. Pedersen (1985, 176), la situación cambió drásticamente gracias al esfuerzo de los anticuarios de los siglos XVI y XVII. Fueron todos ellos estudiosos empujados, por una parte, por el interés en la historia reciente y, por otra, por el deseo de salvaguardar todo lo posible de las ruinas de la civilización medieval. En el caso de Sacrobosco, esto se tradujo en el afloramiento de tres teorías respecto a su origen: la inglesa, la irlandesa y la escocesa. A continuación, examinaremos las teorías sobre el origen de Sacrobosco, sus «fundadores», seguidores y detractores. Conviene apuntar que, aunque no existen datos que las desmientan explícitamente, la mayoría de estas hipótesis carecen de evidencias que las confirmen y fueron emitidas sin ofrecer pruebas que las ratifiquen. Este hecho, unido a que quizá estos anticuarios podrían haber tenido acceso a material hoy perdido, nos complica la labor de discernir qué podría ser cierto de lo que es meramente fantasía en estas fuentes. La primera teoría sobre el origen de Sacrobosco que sigue la estela de Roberto Ánglico y que contará con un gran número de adeptos es la que desarrolla el calificativo de Anglicus. Así lo dice el primer testimonio del s. XVI con el que contamos, es decir, la vida anónima de 1545 (§ 7): De eius patria nihil habemus aliud, quam quod veluti per manus a maioribus traditum accepimus, Anglum scilicet fuisse. Así también Élie Vinet (§ 9) unos años más tarde: patria fuit, quae nunc Anglia insula, quae nunc Anglia insula, olim Albion et Bretania appellata. Sobre este adjetivo, conviene recordar la advertencia de Butler (2014-5, 77) en relación a su uso para referirse a los originarios de las islas del norte de Europa. Dentro del grupo que quiso situar a Sacrobosco en territorio sajón, algunos intentaron precisar un lugar concreto. El primero de ellos fue John Leland (§ 8), quien propuso, sponte sua, que quizá Sacrobosco podría ser la latinización de Halifax (quod ego nomen Saxonice interpretor Haligwalde). Este error de traducción tuvo muchos seguidores: uno de los más recientes fue William Camden, quien escribió su obra Britannia en 1586. Este autor menciona a Sacrobosco en el capítulo que dedica a Halifax62: 62 Citamos aquí la 3.ª ed. de la obra, Camden (1617, 564). 54 El autor Inter ipsos montes Calder postea a sinistra Halifax relinquit opidum celebratissimum in declivi collis ab Occasu in Ortum positum. Tum authore de Sphaera Ioanne de Sacro Bosco, quem suum fuissem alumnum praedicat. Nec multis ante seculis hoc nomen assumpsit: Horton enim antea dicebatur, ut ex incolis perhibent nonnulli, qui et hanc historiolam de nominis immutatione habent (...). Unde peregrinatio a vicinis huc instituta, et ita frequentata fuit, ut Horton viculus in amplum opidum accreverit, nomenque novum Haliz-fax sive Hali-fex, id est, Sacri capilli acceperit. Fax etenim Transtrentanis Anglis capillum significat. Unde etiam nobilium familia in hoc agro Fairefax a pulchro capillitio nominatur. (...) Celebritas vero huius magna est apud vulgus ex ea lege qua furto deprehensos statim capite obtruncant, nec non apud doctos quod Ioannem de Sacro Bosco authorem de Sphaera hinc oriundum perhibent63. Camden señala la debilidad del argumento de Leland (aun sin mencionar su nombre directamente): primero, Halifax antes se llamaba Horton; segundo, la traducción del lugar no es Sacrobosco, es decir, Bosque santo, sino Sacros cabellos. Así las cosas, aunque apud doctos se conozca este lugar por ser la patria de Sacrobosco, Camden remarca que para el pueblo la notoriedad de esta ciudad nada tiene que ver con este autor. Mucho más fuerte es la crítica de Dempster en 1627 (§ 13) frente a la hipótesis de Leland, quien lo tilda de maledicentissimus, y considera que su hipótesis presenta «argumentos futiles y ridículos, como suele hacer». Finaliza con la sentencia clara de que, por tanto, «es sumamente ridículo querer traducir Sacrobosco por Halifax». Ware (§ 14), una década más tarde que Dempster, también hace notar que la etimología es errónea: Nam Haly-fax sacrum capillum significat, non sacrum Boscum. Aun así, a pesar de que la teoría de Leland –que, por otro lado, era una mera hipótesis tentativa que él mismo reconocía como tal− ha sido desmontada desde pocos años después de su publicación, muchos autores siguieron su estela hasta la actualidad64. Otra teoría, inaugurada por Dempster, atribuye a Sacrobosco una patria escocesa65. Sin embargo, como ya advertía O. Pedersen (1985, 178-9), el testimonio de este erudito del s. XVII probablemente sea una especulación de dudoso fundamento. Para empezar, Dempster es conocido por sus grandes polémicas con aquello con lo que no estaba de acuerdo, tal como hemos podido comprobar más arriba en la forma de referirse a Leland. Más allá de esto, llama la atención los muchos datos sobre la vida de Sacrobosco que aporta, los cuales tan solo transmite él mismo, sin citar fuente alguna, como que fue parte de la familia de los Halybush, la que «conserva una muy cierta memoria de él», o que apareció en «el acta de la nación de Germania en San Cosme, París» y se vinculó con el monasterio de Nithsdale, fundado según él por Devorgilla (dato erróneo, pues esta condesa lo que en realidad fundó fue la abadía de Sweetheart en 1275). Todo ello, tal como expresa O. Pedersen (1985, 179), resulta de una veracidad muy discutible a tenor de las 63 «Entre estos mismo montes, Calder, después a la izquierda, queda Halifax, una ciudad famosísima en la ladera de la colina con una orientación desde el poniente hacia el oriente. Allí se dice que Johannes de Sacro Bosco, autor de la Esfera, había sido criado. Pero este nombre no lo adoptó hace muchos siglos, sino que antes se llamaba Horton, pues de sus habitantes aún quedan varios que saben de la historieta del cambio de nombre. (…) De ahí que se instituyera una peregrinación de los lugares vecinos, y así fue frecuentada, de forma que el vecindario de Horton creció hasta ser una amplia ciudad, y obtuvo el nuevo nombre de Haliz-fax o Hali-fex, es decir, Sagrados cabellos. Fax en efecto significa cabello para los ingleses transtrentanos. De ahí también que la familia de nobles en este campo se llama Fairefax por su bonita cabellera. (…) Sin embargo la fama de esta entre el vulgo es grande por esta ley, la de que cuando se coge a alguien robando se le corta la cabeza de inmediato; pero no entre los doctos, quienes afirman que Johanenes de Sacro Bosco, el autor de la Esfera, es oriundo de este lugar». 64 Aquí citamos tanto autores que dicen expresamente que Sacrobosco es originario de Halifax como aquellos que, aun sin decirlo expresamente, se refieren a él como «John of Halifax»: Kingsford (1891, 217); Smith y Karpinski (1911, 59, 133); Thorndike (1949a, 1-2); Glorieux (1971, 235); Ambrosetti (2008, 235- 6). 65 De ahí Ware (§ 14): Dempsterus Scotum facit. 55 LA OBRA DE SACROBOSCO incoherencias históricas y la doble atribución del nombre de Sacrobosco: a los Halybush primero y al monasterio de Holywood en Nithsdale después. La mayoría de los datos que aporta Dempster son difíciles tanto de probar como de desmentir. Quizá fuera la verosimilitud de su discurso lo que hizo que su hipótesis fuera respaldada por quienes lo siguieron. De entre ellos, destaca Mackenzie (1708, 161-8), quien, como ya hemos visto a tenor de los versos de la tumba de Sacrobosco, es propenso a unir toda la información que está a su alcance ensamblando elementos. Toma de Dempster muchos datos, aunque también estos los mezcla. Según él nació en Nithsdale y en su juventud se lanzó al estudio de las letras, matemática y teología. Tras acabar sus estudios pasaría a formar parte de la Orden de S. Agustín en el famoso monasterio de Holywood, en el mismo Nithsdale, y de ahí le viene el nombre de Sacrobosco. Después, iría a París, donde habría sido admitido en la universidad, concretamente en la Natio escocesa, desde el día 5 de junio del año 1221. Las especulaciones de Dempster y de Mackenzie fueron seguidas por parte de los estudiosos no solo de Sacrobosco, sino de los monjes regulares de Holywood e incluso de los agustinos66. A finales del s. XVI, Stanyhurst (§ 10), de manera muy concisa y sin decir de dónde ha obtenido esta información, incluye a Sacrobosco entre los personajes famosos de Irlanda, concretamente «nacido en Holywoode, y de ahí su apellido de Sacro bosco». El problema de esta hipótesis es que el autor ni siquiera dice a qué lugar se refiere con Holywood. Según O. Pedersen (1985, 178), una posibilidad podría ser Holywood o quizá un lugar histórico llamado Ardicnise en el condado de Down, a unas cinco millas al noreste de Belfast. Ware, en 1639, cita a Stanyhurst y unos misteriosos alii que al parecer concordaron en que Sacrobosco era irlandés nacido en Hollywoodae, in agro Dubliniensi. El estudioso que más ha profundizado en esta teoría hasta la fecha es Butler (2014-5, 77-86). El autor identifica varios lugares en Irlanda que podrían haber sido el origen del nombre de Sacrobosco. Para empezar, cita dos asentamientos conocidos como Holywood (uno en el condado de Down y otro en el de Wicklow) que existían en Irlanda entre finales del s. XII y principios del s. XIII. A estos se añaden tres ciudades al norte del condado de Dublín llamadas Holywood Great, Holywood Little y Holywoodrath (Butler, 2014-5, 80). De entre estos sitios, Butler (2014-5, 81-5) concluye que, aunque no tiene pruebas fehacientes, quizá el sitio que más requisitos reúne para considerarse la patria de Sacrobosco sea el asentamiento Hollywood, en el condado de Wicklow. Entre las razones que le llevan a postular este sitio, Butler comienza con la mención de numerosos restos arqueológicos que prueban que el lugar estuvo ocupado en los primeros siglos de la cristiandad, con una posición óptima por las rutas que lo circundaban. En este lugar, existía un bosque al que se le atribuye el adjetivo Holy, «sagrado», por su asociación con S. Kevin (s. VII), quien habría pasado por allí dirigiéndose a Glendalough, donde fundó un monasterio. Hay evidencias en manuscritos desde el s. XII hasta el s. XVI del uso de diversos nombres para referirse a la zona, todos ellos relacionados con este origen: Sanctum Nemus, Sanctus Boscus, Sancto Bosco, Holywood. Más allá de estas cuestiones toponímicas, el dato que impulsa a Butler a tomar posición por este sitio es el hecho de que fuera famoso entre los años 1215 y 1228 por ser el lugar donde Geoffrey de Marisco, «el justiciero de Irlanda» construyera su castillo en 1185 y desde esa fecha tuviera allí su residencia. Dada la estrecha relación de este personaje con el rey de Irlanda y su importancia en la historia de la 66 Cfr. Erens (1936, 23), quien bajo la entrada de «Prémontrés» cita a «Juan de Sacrobosco (Holybusch o Holywood), escocés de origen, inscrito a la Universidad de París en 1221, estudiante de Oxford y religioso en la abadía de Holywood». Backmund (1952, 106-7), años más tarde, rechaza esta teoría en la entrada sobre el convento de la S. Crux, Holywood: Joannem de Sacrobosco (…) fuisse professum huius abbatiae, non est certum, pero esto no fue óbice para que otros sí hayan continuado esta noticia, como Daly (1975, 60). 56 El autor región, Butler considera bastante probable que fuera famoso entre la jerarquía anglonormanda, que en ese período estaba muy ligada con los terriorios de Inglaterra y Francia. Así pues, el lugar de residencia de Geoffrey de Marisco no pasaría desapercibido en la época, siendo así que Sacrobosco bien podría haber sido reconocido entre sus contemporáneos como Johannes «el de Sacrobosco (donde Marisco)». Por lo tanto, aunque Butler no es capaz de ofrecer datos definitivos que demuestren su nacimiento en Irlanda, parece que no es improbable que este fuera su origen67. Es más, teniendo en cuenta que la hipótesis de Halifax queda descartada, que la de Escocia defendida por Dempster es sospechosa y ante la ausencia total de lugares de nombre Holywood en Inglaterra, es esta la teoría que cobra más sentido hasta la fecha. Para acabar este apartado, citamos otros tres orígenes que han sido atribuidos a Sacrobosco. O. Pedersen (1985, 180) menciona dos manucritos del s. XV (Cambridge, Trinity College, R.2.86 y Oxford, Bodleian Library, Add. A.2) donde Sacrobosco es considerado catalán y francés respectivamente. También comenta la hipótesis de Russell (1936, 73) sobre Sacrobosco como un judío converso que habría traducido tratados del hebreo al latín; confusión creada por la aparición del nombre Johannes en un manuscrito del Computus Iudaicus (ms. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 23; hoy destruido). Todas ellas, aunque las incluimos aquí para completar el cuadro, actualmente están descartadas. 2.2.2. Estudios y vida en París Sobre la vida de Sacrobosco, las fuentes consultadas de los siglos XVI-XVIII transmiten una suerte de informaciones variadas, que a menudo se contradicen entre sí, y y cuya veracidad o falsedad es imposible determinar. En la vita de 1545 (§ 7), se afirma que puerum autem Lutetiam literarum gratia venisse. Es este un dato que se ha seguido transmitiendo en el resto de fuentes hasta llegar a la concretísima fecha de Dempster (§ 13) del 5 de junio de 1221, día en que, según él, fue admitido como estudiante en la escuela de París. No sabemos de dónde tomó los datos Dempster ni si, como él afirmaba, tuvo acceso a esa Acta nationis Germanicae ad D. Cosmi Parisiis que cita68. Otros, en cambio, discrepan sobre la formación de Sacrobosco en París. Según Leland (§ 8): Studuit adolescens, quantum ego colligere possum, in academia, quae ad Isidis Vadum notissima est. Thevet y Vossius (§ 18) comparten también este dato, quizá tomado directamente de Leland: Oxonii operam studiis dedit: sed reliquam vitam transegit Parisiis (Vossius, 1969, 122). Siguiendo a O. Pedersen (1985, 195) no sería descabellado pensar que sus conocimientos los 67 Una hipótesis para la que, quizá, tal como apunta Butler (2014-5, 84-5), puedan resultar fundamentales los estudios recientes sobre el cómputo en los monasterios insulares. En ellos se está poniendo de relieve el gran desarrollo matemático y computístico de los monjes de Irlanda y Britania, quienes habían cultivado estas disciplinas desde el s. VII y contaban con un conocimiento muy superior al resto de Europa. A estos efectos, un estudio en profundidad de las fuentes y conocimientos previos detectables en la obra Sacrobosco podría ser clave para inclinar la balanza hacia uno u otro lado. 68 O. Pedersen (1985, 178-9) tiene grandes dudas sobre que Dempster pudiera ver de facto esta acta. Sin embargo, esta asociación existía en la época y, como decía Butler (cfr. supra), este era un grupo consistente de eruditos insulares que iban a estudiar a París. Así lo explica O. Pedersen (1985, 193), quien dice que la Facultad de Artes de París era una institución de personas muy jóvenes, quienes a menudo tenían que enfrentarse a serios problemas humanos y sociales. Para solventarlos, se unieron en estas corporaciones que llamaron Nationes, segmentadas en función del origen geográfico de sus miembros. La Natio Anglicana, concretamente, incluía estudiantes y también maestros de las islas británicas, los países escandinavos y Alemania. Para Pedersen no hay duda de que Sacrobosco perteneción a esta Natio, aunque cabría preguntarse si, en el caso de que Sacrobosco hubiera llegado ya como profesor y no como estudiante, igualmente se habría enrolado en tal agrupación. 57 LA OBRA DE SACROBOSCO adquiriera en un lugar distinto a París, pues el bagaje que demuestra poseer a través de sus obras refleja unos conocimientos que difieren de lo que se estaba enseñando en París por aquel entonces, especialmente en lo tocante al uso que hace de Aristóteles69. En estas circunstancias, no es extraño pensar en Oxford como centro universitario donde pudo estudiar Sacrobosco, siendo la primera universidad fundada en territorio anglosajón y la única existente a principios del s. XIII junto con las de Bolonia y Salamanca70. Todos concuerdan, en cambio, en que después de sus estudios (fueran o no en París) se estableció en esta ciudad para ejercer de maestro. Antes de este acontecimiento, Dempster (§ 13) reconstruye un paso previo: después de que Sacrobosco estudiara en París y antes de que se estableciera en la misma ciudad como profesor, durante un tiempo que no llega a definir, el autor habría ingresado en un centro monástico: in monasterio Nithisdaliae, vulgo Haliwud (la que Mackenzie identificaba con los agustinos, cfr. supra). Ante esta información, tenemos grandes dudas para darlas por ciertas a causa de las incongruencias en el discurso de Demsper analizadas supra. Aun así, quizá sí haya algo de verdad en que Sacrobosco podría haber llevado alguna clase de vida religiosa, pero esto debió de ocurrir estando ya en París. De acuerdo con O. Pedersen (1985, 195), como profesor de la Universidad de París su salario debió de ser una prebenda dependiente de alguna iglesia o emplazamiento religioso, de lo que se deduce que fue al menos clérigo, circunstancia corriente entre los estudiantes y maestros universitarios de aquella época. Con los datos que tenemos a nuestro alcance, podemos afirmar que su paso por París es bastante obvio: allí compuso, al menos, Spher. y Quadr., y fue también el lugar de su muerte. No sabemos la fecha en la que llegó, aunque es muy plausible pensar que fuera en algún momento entre los años 20 y 30 del s. XIII. Si llegó como estudiante o estudió en Oxford, como otros dicen, es un dato que no halla confirmación entre las fuentes conocidas, aunque es probable que así fuera. También lo es el hecho de que fuera o no parte de alguna comunidad religiosa o, en el caso de que así fuera, qué grado llegó a alcanzar. 2.2.3. Floruit El siguiente dato que queremos someter a examen es la fecha de su floruit. La primera de las fuentes, la vita anónima de 1545 (§ 7), dice que floreció en el año 1232. Este dato lo recoge a su vez Clavius (1602, 2) medio siglo después, quien añade un discreto circa antes del año. Es bastante plausible que este dato se obtuviera a partir de una de las pocas fechas ciertas de la vida de Sacrobosco: el año que se transmite internamente en el Compot. En efecto, podemos concordar que en este año estuvo escribiendo una de las obras que más fama le dieron al autor. Esto hace que no contemos con motivos para descartar este como el año en que alcanzó la fama. No obstante, no fue la única fecha que se propuso. Dempster (§ 13) rechaza el dato que algunos ofrecen de 1255: Claruit anno MCCLV, ut Balaeus voluit, sed et Genebrardus eo anno Lutetiae mathematicam professum scribit; uterque falso. También Riccioli (§ 15) recoge todas las informaciones de las que dispone, abriendo así un amplio abanico de posibilidades: floruisse enim circa annum 1232 ait Clavius in paefat. ad Sph., Gordonus in Chronico Anno 1245, Blancanus inter 1200 et 1300, sed Iunctinus in Catalogo illum consignat ad annum 1393, et Sansovinus in sua Chronologia ad annum 1389, sed hi duo procul dubio errant, (…) eum scripsisse de Sphaera, de Astrolabio, et de Algorithmo Anno Domini M CC LVI. 69 En el año 1210 se decretó en París la prohibición de leer a Aristóteles ya fuera privada o públicamente. Este decreto causó huelgas y protestas y no se solventó hasta 1255, cuando la universidad volvió a autorizar la lectura de Aristóteles en todos los ámbitos (O. Pedersen, 1985, 194-5). 70 Aunque seguida de cerca por Cambridge, fundada en 1209. Sobre la universidad medieval, sus comienzos y evolución, cfr. Bender (1991). 58 El autor En el período que abarca desde su llegada a París hasta su muerte, las fuentes dicen que escribió varios tratados. Sobre su número y sus títulos no se ponen de acuerdo, pero estas informaciones las examinaremos más adelante cuando hablemos de su obra (cfr. infra). 2.2.4. Muerte del autor Respecto a su muerte, prácticamente todas las fuentes dicen que ocurrió en París y que de hecho fue enterrado en el claustro de los hermanos maturinos. Como hemos observado al examinar los datos que podemos retrotraer al s. XIII, es muy probable que en efecto así fuera. Algunos de los autores de los ss. XVI-XVII incluso precisan la fecha de su muerte, como hemos comentado supra en relación a la tumba de Sacrobosco. Sobre este dato, resulta muy críptica la aseveración de Riccioli (1651, xxxix), quien dice que en su tumba hay un epitafio con un astrolabio esculpido Barbari seculi indice. Aunque aclara: Sed et Genebrardus in Innocentio IV et noster Gualterius in Chronol. includunt illum seculo Christi 13. Sobre la datación de Sacrobosco en su propia tumba, es esta la única mención que tenemos; pero resulta extraño pensar que se empleara un «sistema bárbaro» para ello. Sea como fuere y aunque no tenemos forma de comprobar las fechas para establecer la muerte de este autor, es probable que debamos situarla post 1239, fecha de composición del Quadr. (cfr. supra). Este dato invalida las hipótesis que señalan años anteriores a este y queda en duda el críptico año de Tonjola de 1240 (§ 16). 2.3. Reconstrucción de la vida de Sacrobosco Es evidente que contamos con dos grandes bloques de información para reconstruir la vida de Sacrobosco: los que se circunscriben al s. XIII y las fuentes del s. XVI en adelante. Uniendo los datos que podemos obtener de todas estas referencias y tras desechar todo aquello que es falso o muy improbable, todo lo que podemos reconstruir sobre Sacrobosco es lo siguiente. Johannes de Sacrobosco, quizá John Holywood en su tierra natal, fue un hombre que nació hacia finales del s. XII o principios del s. XIII con claros orígenes insulares. Dentro de este territorio, es verosímil que fuera oriundo de alguna región irlandesa, siendo Hollywood, en el condado de Wicklow, el punto que reúne más requisitos para ser considerado la cuna de Sacrobosco. De sus primeros años no se sabe prácticamente nada: algunos dicen que estudió en Oxford, otros en París. En ninguno de los dos casos tenemos pruebas suficientes para desmentirlo o confirmarlo. Sea como fuere, es probable que en la década de 1220 estuviera ya asentado en París, donde permanecería hasta su muerte. En esta ciudad estuvo ejerciendo de maestro en la universidad, cargo que implicaba en la mayoría de los casos su pertenencia a la clerecía. Allí escribió sus cuatro obras: Spher., Algor., Compot. y Quadr. en un arco temporal de unos 20 años. En 1232 estaba componiendo el Compot. que acabó en 1234, mientras que el Quadr. se compuso más de un lustro después, post 1239, que podría ser su última producción antes de morir en la misma ciudad en el que lo escribió, París. Su muerte podría haber ocurrido unos años después, después de 1239 y quizá antes de 1262. En ese momento o unos años después, se levantó un epitafio en su honor en el claustro del convento de los monjes maturinos, muy ligados a la institución de la universidad parisina. Su tumba, que se conservó hasta la Revolución Francesa, quedó como recuerdo de este matemático y astrónomo. En ella se esculpió un astrolabio o quizá una esfera como tributo a su dedicación a estas artes; allí también cuatro versos fúnebres recordaban su nombre y la consideración que sus contemporáneos tenían de él como «el hombre que dividía los tiempos». 59 LA OBRA DE SACROBOSCO Tras su muerte, su fama se multiplicó. Sus tratados se copiaron en múltiples rincones de Europa desde el mismo s. XIII. Hacia medidados de este siglo se escribió un colofón para el Compot., que encierra su fecha de composición, y empezaron a proliferar los comentarios a sus obras. Las obras de la Spher. y el Algor. fueron con mucho las más copiadas, con una tradición manuscrita que llega hasta el s. XVI y una tradición impresa que abarca desde los inicios de la imprenta hasta el s. XVII. Esta difusión, de carácter masivo, divulgó entre el público erudito el nombre y la obra de Sacrobosco, un personaje tan importante en la historia de la ciencia como misterioso por los escasos datos que se tienen de su vida. Esta fama motivó que los humanistas empezaran, desde el s. XVI, a indagar en un intento por descubrir los orígenes, la vida y muerte de Sacrobosco. En este proceso, hubo hipótesis que podemos descartar en la actualidad, como el hecho de que tuviera sus orígenes en Halifax (resultado de un error de traducción) o que muriera en el año 1256 (por la confusión del colofón del Compot. con los versos de su tumba). No obstante, la mayoría de los datos que proporcionan las fuentes de los ss. XVI-XVII son prácticamente imposibles de verificar o rechazar en la actualidad, en ausencia de fuentes fehacientes o explícitas que los confirmen. 60 Corpus de obras Este epígrafe tiene como objetivo ofrecer al lector una visión panorámica de las obras escritas por Johannes de Sacrobosco y aquellas que le han sido atribuidas. Spher., Algor., Compot. y Quadr. están ordenadas de mayor a menor según la tradición manuscrita que conservamos de ellas. cuando nos refiramos a ellas en su conjunto, las denominaremos colectivamente como «Corpus de Sacrobosco». Esto responde al hecho de que, primero, todos los estudios actuales están de acuerdo en que son genuinamente suyas y, segundo, por haberse trasmitido juntas en gran parte de los manuscritos conservados del s. XIII y muchos del XIV (a excepción del Quadr., cuya tradición es considerablemente menor que la del resto). En cada una de las obras se indica el incipit y desinit para evitar confusiones sobre a qué tratado nos estamos refiriendo y evitar confusiones con obras similares. A continuación, hemos dividido la información en cinco apartados: contenidos (donde incluimos los datos, cuando los tenemos, de la fecha y lugar de composición), fuentes, síntesis de la tradición manuscrita, ediciones y bibliografía. En este último apartado hemos recogido otras informaciones que hemos considerado suficientemente relevantes como para incluir algunos apuntes al respecto, como las traducciones y/o comentarios de las obras que los tienen. 1. Sphera Inc.: Tractatus de sphera quattuor capitulis distinguimus. Des.: Aut deus nature patitur aut mundana machina dissolvetur. 1.1. Contenidos El tratado de la Spher. es, con mucho, el más famoso de Johannes de Sacrobosco. Sobre su composición, aunque no tenemos ninguna prueba fehaciente dentro del propio texto que nos permita saber cuándo ni dónde se escribió, sí contamos con algunos datos que pueden arrojar luz al respecto. El primero de ellos es el testimonio de Bartolomeo de Parma en su comentario a la Spher. del año 1297 (§ 6), quien afirma que la Spher. fue escrita por Johannes de Sacrobosco en París. Puesto que este dato concuerda con el resto de informaciones analizadas sobre su vida (cfr. supra), no tenemos razones para dudar de su veracidad. Respecto su datación, Thorndike (1949a, 14) fecha el texto antes del año 1220 empleando, entre otros argumentos, el comentario adscrito a Miguel Escoto y la influencia de Sacrobosco en la Sphera de Grosseteste. No obstante, puesto que el comentario que Thorndike adscribe a Scotus no tiene ni una autoría ni una fecha de composición claras y, dado que la influencia de Sacrobosco en Grosseteste es todavía objeto de estudio71, no podemos ofrecer esta datación como definitiva. Por otro lado, O. Pedersen (1985, 190-2), intenta establecer la fecha de composición de la Spher. a través de las citas que el autor incluye en este tratado. Así las cosas, puesto que para la Spher. Sacrobosco aparentemente empleó menos fuentes científicas que en el Compot., Pedersen 71 Según O. Pedersen (1985, 192), el problema reside en que es imposible dar un fecha precisa para el tratado de Grosseteste. Además, ante las similitudes entre ambos textos, no es posible establecer una direccionalidad, es decir, si Grosseteste depende de Sacrobosco o si es más bien al contrario. 61 LA OBRA DE SACROBOSCO concluye que que la Spher. debió ser compuesta antes, en una época en la que todavía Sacrobosco no había leído tanta bibliografía. Si esto fuera así, habría que datar la Spher. antes del año 1232 usando para ello la referencia interna del Compot. No estamos seguros de que este criterio pueda ser definitivo, dado que Sacrobosco podría deliberadamente haber decidido no citar en la Spher. autores de los que sí tenía conocimiento, o podría haber conocido, incluso en fecha posterior, menos fuentes relevantes para la Spher. que para el Compot. las cosas, sí podemos establecer que la Spher. hubo de ser compuesta antes del año 1240, terminus ante quem de copia del códice más antiguo que la transmite (København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 277 fol., n.º 270). El tratado se divide internamente en cuatro capítulos en los que se organizan los contenidos temáticamente. El primero de ellos define la forma de la esfera celeste, del universo, ofrece una definición de los ejes y los polos, estudia las regiones sublunar y supralunares, la forma de la Tierra y sus dimensiones. El segundo recoge los diez círculos de la esfera, mayores y menores, con la descripción de los signos del zodiaco; comenta los cuatro elementos de Heráclito y la división terrestre en función de los trópicos y los polos, paralelos, longitud, latitud y la habitabilidad de la zona tórrida. El tercero aborda el nacimiento y ocaso de los cuerpos celestes, contempla las teorías sobre la desigualdad de los días y las noches en función de sus diferentes latitudes geográficas o climas y las variaciones que experimentan los hombres según la zona que habiten. El cuarto, el más breve, resume los movimientos de los planetas y las causas de los eclipses. El objetivo de la obra parece ser otorgar al lector una perspectiva básica de astronomía. Dado este carácter introductorio, en muchas ocasiones en los manuscritos, acompañando a la Spher., se copian obras más técnicas o con contenidos más desarrollados. El caso más frecuente es su combinación con la Theorica planetarum, con una tradición muy ligada a la propia Spher. (cfr. infra). 1.2. Fuentes En la Spher. a menudo encontramos citas de muy diversa índole: desde autores científicos hasta literarios, tanto antiguos como medievales, griegos, latinos e incluso árabes. Este crisol es el que quiere reflejar Andrade Martins (2003, 307), quien menciona a autores como Ptolomeo y Alfragano, Aristóteles, Guillaume de Conches, Macrobius y otros filósofos y astrónomos. El autor apunta, además, que Sacrobosco no se limita a los filósofos y a los astrónomos, sino que incluso transmite citas de autores clásicos, como Virgilio, Ovidio y Lucano. A continuación, Andrade Martins (2003, 307-14) analiza la presencia de estos autores clásicos en la obra de Sacrobosco. Sin embargo, discrepamos en cuanto a la finalidad de la inclusión de estos autores en la Spher.: mientras que para Andrade esto responde a la intención de Sacrobosco de explicar los autores clásicos, nosotros pensamos, en cambio, que probablemente fuera al contrario. Queriendo el autor acercar los conocimientos astronómicos a los alumnos de las universidades de la época –aunque no solo−, la utilización del material de los autores clásicos no haría sino aportar referencias que sus estudiantes sin duda conocían, haciendo así más cercana la nueva información que les proporcionaba. Esto está en sintonía con lo que apuntaba O. Pedersen (1985, 194) sobre el ambiente universitario de París, donde, según él, todo estaba imbuido por la admiración por la Antigüedad clásica y un íntimo conocimiento de la literatura latina. En este ambiente, Cicerón destacaba como filósofo sobre el resto de autores, pero también los poetas formaban parte del currículo de la enseñanza básica, de forma que cualquier profesor sabría cómo manejar estos textos e incluir citas de Virgilio, Horacio u Ovidio para embellecer sus clases y captar la atención de sus alumnos. 62 Corpus de obras Más allá de las citas casi anecdóticas de estos autores clásicos, Sacrobosco basa casi toda su obra en el Almagesto de Ptolomeo72 y el Liber 30 differentiarum o Liber de aggregationibus de Alfragano (latinización del árabe al-Farghani). De estas obras coge los postulados teóricos que le interesan y los organiza de una manera clara hasta crear un tratado didáctico ideal para iniciarse en cuestiones básicas del tema, en este caso, la astronomía; un modus operandi muy característico de Sacrobosco que veremos que se repite en todas sus obras. Sobre la utilización de estas obras como fuentes, cfr. Daly (1975, 60), quien rechaza la idea de que Sacrobosco se limita a parafrasear las ideas de Ptolomeo y los astrónomos árabes y apunta que la estructura de la Spher. es muy superior a la que encontramos en el Liber 30 differentiarum de Alfragano. Además, añade que los paralelismos entre este último y Sacrobosco son muy esperables en la medida en que ambos tienen como objetivo resumir el Almagesto, pero que, de hecho, Sacrobosco omite mucha de la información que transmite Alfragano, condensa lo que sí emplea y reescribe y reestructura el material de una forma mucho más efectiva. Lo mismo puede decirse de lo que toma del Commentarii in Somnium Scipionis de Macrobio, aunque a este autor apenas lo menciona. Concluimos esta sección con una reflexión sobre la finalidad de Sacrobosco al escribir la obra. Como profesor y como conocedor de la ciencia astronómica, parece que el autor quiso solventar una laguna que había percibido en la bibliografía que tenía a su alcance. Siendo la obra de Ptolomeo demasiado larga y la versión de Alfragano demasiado confusa en cuanto a la presentación de los materiales, Sacrobosco toma esta última para dar a conocer la primera en su círculo. Al hacerlo, reordena el material, introduce las ideas de Macrobio y algunas de Aristóteles y completa el conjunto con unas citas a autores clásicos muy pertinentes en el ámbito de la Universidad de París. Con esto, consigue elaborar un manual básico de astronomía, estructurado y plenamente inteligible, que estará en boga durante más de 300 años, lo que demuestra el éxito de su creación. Aun así, todavía queda mucho por estudiar a este repecto, pues aún no contamos con un estudio definitivo que identifique cada una de las fuentes manejadas por el autor y establezca en qué medida han sido modificadas para componer la Spher. 1.3. Síntesis de la tradición manuscrita La difusión de la Spher. es tan masiva como cabe esperar de un tratado que constituye un manual por antonomasia, tanto que podría considerarse, según Oosterhoff (2015, 3), que es el conjunto de textos matemáticos con mayor vigencia en las universidades occidentales tras Euclides. Su tradición manuscrita es inmensa: en nuestro censo (cfr. infra) recogemos unos 500 códices que la transmiten, con un tradición in crescendo a lo largo de los siglos. En el s. XIII contamos con más de una centena de copias de la obra, a las que se suman unas 150 del s. XIV y dos centenares más del s. XV. A partir de mediados del s. XV, a la tradición manuscrita se añade la tradición impresa (cfr. infra), con más de 300 ediciones. Su éxito, en palabras de Ludwig (2010: 156-157), se debió a tres ingredientes principales: su presentación concisa, el uso de frases simples y el acompañamiento de las enseñanzas con imágenes. Es habitual encontrar esta obra en códices misceláneos, copiada junto con otros tratados, siendo tan solo en el s. XV cuando disponemos de manuscritos que la transmiten en solitario. En el s. XIII, como ocurre con el resto de obras de este autor, es muy común la copia conjunta del corpus de Sacrobsoco al completo (a excepción del Quadr., con una tradición mucho menor). Desde finales del s. XIII en adelante, la obra se va separando progresivamente del resto de tratados de Sacrobosco y va entrando en misceláneas de carácter científico, filosófico y, sobre todo, astronómico. Oosterhoff (2015, 4-5) señala las obras que suelen acompañar en mayor medida a 72 Sobre el uso de Ptolomeo por parte de Sacrobosco y cómo llegó esta obra a Occidente, cfr. Ludwig (2010, 154-7). 63 LA OBRA DE SACROBOSCO la Spher. De entre ellas destaca la Theorica planetarum, introducciones al cálculo y operaciones geométricas y tratados prácticos de la aplicación del horóscopo para hacer predicciones judiciales y médicas. Otras obras que a veces se encuentran en los manuscritos que contienen la Spher. son tratados sobre el cómputo (uno o más de los muchos que han circulado a lo largo de la Edad Media) y las tablas solares y lunares, de entre las que destacan las Tablas alfonsinas. De todas estas, la obra que sin duda más veces aparece en los códices junto con la Spher. es la Theorica planetarum. En nuestro censo, contamos con una centena de manuscritos que transmiten los dos tratados conjuntamente. La razón que explica este hecho podría ser la complementariedad de ambos tratados, tal como postula O. Pedersen (1975). La Spher. estaba más enfocada a una introducción general de la astronomía que sirviera esencialmente como herramienta para la computística, quedando la parte del movimiento de los astros en un segundo plano al que se dedica tan solo un breve capítulo. Para los astrónomos más interesados en este aspecto que en cuestiones computísticas, resultaba insatisfactoria la cantidad de información procurada por Sacrobosco, de manera que fue necesaria la introducción de un tratado que supliese las carencias de la Spher. De esta forma entró la Theorica planetarum en el que Pedersen denomina Corpus astronomicum, una Theorica que desarrolla la teoría de los movimientos astrales. En este Corpus, la Theorica planetarum muchas veces aparece en los manuscritos acompañando a la Spher., pero no son pocas las ocasiones en las que se copia en los códices junto con otras obras, siendo así que se calcula que su tradición manuscrita podría ser comparable a la de la Spher., aunque de nuevo carecemos de un estudio del tratado que nos aporte estos datos. 1.4. Ediciones de la obra Las ediciones de la Spher., desde los primeros incunables hasta las ediciones críticas recientes, se cuentan por decenas y por cientos. Este hecho no es una novedad, sino que era del todo previsible tras analizar el gran número de copias manuscritas con el que cuenta la Spher. incluso en los siglos XV y XVI. Así pues, la tradición impresa es tan solo la continuación natural de la transmisión manuscrita de un manual de rotundo éxito. 1.4.1. La primera tradición impresa Con la primera tradición impresa nos referimos a aquellas ediciones realizadas en los siglos XV- XVII. Son textos tomados de uno o varios manuscritos que las imprentas de este período van a reproducir en cantidades ingentes, aunque este hecho no impidiera que, simultaneamente, se siguiera copiando este manual a mano (como se puede comprobar infra en el censo). En relación con las ediciones impresas de la Spher., el proyecto más grande realizado hasta la fecha es el que ha facilitado la creación de Sphaera CorpusTracer73. Es esta una base de datos que recoge hasta 359 ediciones relacionadas con la Spher. de Sacrobosco publicadas desde el año 1472 hasta el 165074. Anteriormente, Roberto de Andrade Martins (Universidad de Campinas, Brasil) ya había compartido los resultados de su propia investigación en la base de datos Editions of Sacrobosco’s Tractatus de Sphaera75, donde se recogen más de 200 ediciones de la Spher. Puesto que Sphaera CorpusTracer es la base de datos que ofrece datos 73 Base de datos consultable en http://db.sphaera.mpiwg-berlin.mpg.de (cons. 07/09/2023) y desarrollada por el Max-Planck-Institut für Wissenschaftsgeschichte (MPIWG) como resultado del proyecto «The Sphere. Knowledge System Evolution and the Shared Scientific Identity of Europe». 74 Lo que supone un aumento considerable de las 144 que mencionaba Glorieux (1971, 235). 75 Base de datos consultable en http://www.ghtc.usp.br/server/Sacrobosco/ (cons. 07/09/2023). 64 http://db.sphaera.mpiwg-berlin.mpg.de/ http://www.ghtc.usp.br/server/Sacrobosco/ Corpus de obras más actualizados, es esta la que emplearemos en este apartado para el estudio de las ediciones de este tratado. Aun así, conviene tener en cuenta que todavía no contamos con un estudio completo y exhaustivo sobre este tema, siendo todavía vigente lo que decía Gingerich (1988, 269): «No one, in fact, knows precisely how many [editions] there were». En primer lugar, partiendo del dato de las 359 ediciones relacionadas con la Spher., advertimos que solo 232 transmiten el texto latino de Sacrobosco (número que supone, sin embargo, un incremento de ediciones respecto a las 227 que contaba Gingerich, 2015, 101-276). Esto es así porque en la cifra total de 359 se incluyen, además de las ediciones que transmiten el texto de Sacrobosco en latín con anotaciones y/o comentarios (172) o sin ellos (60), las adaptaciones del texto (127), es decir, los tratados fuertemente influenciados por la obra original. Dentro de estas adaptaciones se incluyen las traducciones, la mayoría de las cuales escritas en italiano (24), seguidas por las francesas (13), inglesas (10), españolas (10) y portuguesas (3). A estas traducciones hay que sumar, al menos, otras tres ediciones de la traducción alemana de Conrad Heinfogel (Crowther et al., 2015, 7-10). En cuanto a las fechas de publicación, llama la atención que el ritmo de impresión fuera extraordinariamente regular. Dentro del arco temporal de 1472-1650, podríamos decir que en casi todos los años se imprimió, al menos, una edición. Las primeras ediciones, según Gingerich (1988, 269-73) y coincidiendo con la información de la base de datos, datan del año 1472 y fueron impresas en Ferrara (impresor: Andreas Belfortis) y Venecia (impresor: Florentinus de Argentina). Según Houzeau y Lancaster (1887, 397), en Amberes, en el año 1673, una edición impresa in octavo «fut la dernière fois que la Sphère de Sacrobosco fut reproduite par la voie de la presse» (edición que no se incluye en la base de datos). Respecto a su espectro geográfico, la inmensa mayoría de ellas fueron publicadas en territorio europeo, si bien la citada base de datos recoge incluso una edición mejicana. Dentro de este territorio, Venecia fue la ciudad que más ediciones imprimió (70), seguida de cerca por París (69) y Wittenberg (48); aunque la lista de ciudades que imprimieron una o varias ediciones de este tratado es extensa. Sobre las fases de transmisión de estas ediciones, Oosterhoff (2015, 3-4) distingue tres etapas. La primera de ellas incluye los libros que contienen, además de la Spher., un gran aparato de imágenes y comentarios. La segunda fase comienza en la década de 1530, cuando las ediciones in folio e in quarto (publicadas especialmente en Venecia y París) dieron paso a otras más pequeñas –y baratas− in octavo, publicadas por primera vez en Wittenberg y normalmente con el prefacio de Philip Melanchthon sobre la astronomía. Fue entonces cuando Sacrobosco se convirtió en el modelo de todo un género de libros de textos en auge, aquellos que a menudo fueron recogidos bajo el nombre de Cosmographia. La tercera y última fase ocurrió hacia la segunda mitad del s. XVI, cuando de nuevo encontramos libros de textos grandes y pesados basados en gran medida en la Spher. 1.4.2. Ediciones críticas El único trabajo que se ha publicado con pretensiones de ser una edición crítica de la Spher. es la obra de Thorndike (1949a, con la edición en las pp. 76-117). Es este un volumen dedicado a la Spher., que edita en latín y traduce al inglés, y a varios comentarios a la misma: el atribuido a Miguel Escoto, el de Roberto Ánglico, el de Cecco d’Ascoli, notas marginales de dos manuscritos que contienen la Spher. y extractos de otros cinco escritos, de los cuales el único no anónimo es el atribuido a John Peckham. 76 Quien recoge y aumenta, a su vez, las ediciones que contaba y estudiaba Hamel (2014, 115-70). 65 http://db.sphaera.mpiwg-berlin.mpg.de/resource/:viewPerson?personiri=http%3A%2F%2Fsphaera.mpiwg-berlin.mpg.de%2Fid%2Fperson%2F2713ca02-ea64-4f04-8a02-8322aa8bf03b http://db.sphaera.mpiwg-berlin.mpg.de/resource/:viewPerson?personiri=http%3A%2F%2Fsphaera.mpiwg-berlin.mpg.de%2Fid%2Fperson%2F2713ca02-ea64-4f04-8a02-8322aa8bf03b LA OBRA DE SACROBOSCO La edición de Thorndike, sin embargo, presenta varios problemas, los cuales ya fueron señalados por Rosen (1949, 460-2). Suscribimos aquí las críticas expuestas por este autor en la reseña citada, especialmente el hecho de que Thorndike tan solo edite el texto con los testimonios de 12 códices escogidos sin criterio aparente; la ausencia de stemma o, al menos, de un estudio sobre la transmisión del texto y ciertas carencias percibidas a lo largo del texto reconstruido (como, por ejemplo, que no incluya los diagramas que en el texto se mencionan). Por todo ello, el trabajo de Thorndike tiene carencias conocidas, pero que hoy sigue siendo la edición de referencia de la obra, en espera de una publicación y estudio que la superen. Así las cosas, supone un punto de partida importante sobre el que ya han trabajado muchos autores para comprender mejor la obra de Sacrobosco. 1.5. Bibliografía sobre la obra 1.5.1. Contenidos y fuentes Sobre los contenidos y fuentes de la obra, cfr. sobre todo la obra de Thorndike (1949a), dedicada por entero a la Spher. y algunos de sus comentarios. También se puede leer información al respecto en Daly (1975, 60), O. Pedersen (1985, 183-4), Andrade Martins (2003, 307-14) y Ludwig (2010, 153-85). 1.5.2. Tradición manuscrita Listan manuscritos con la Spher. los siguientes autores: Thorndike (1949a, 57-75), Glorieux (1971, 235), Hadravová y Hadrava (2019, 22-9). Ludwig (2010, 158-9) establece un panorama general a la gran tradición manuscrita de esta obra. Sobre las obras que acompañan a la Spher. en los códices, cfr. O. Pedersen (1975, 59-76) y Oosterhoff (2015, 1-54). 1.5.3. Ediciones Sobre las ediciones impresas de la Spher., remitimos a las obras citadas en este apartado: Houzeau y Lancaster (1887, 506-10), quienes elencan varias ediciones de la Spher.; Gingerich (1988, 196- 273), Oosterhoff (2015, 1-54) y las bases de datos Editions of Sacrobosco’s Tractatus de Sphaera y Sphaera CorpusTracer. En Hadravová y Hadrava (2019, 319-21) se puede encontrar también un pequeño comentario a las ediciones de la Spher., especialmente las checas. En lo referente al estudio concreto de las imágenes de las ediciones de la Spher., cfr. Gingerich (1999). Sobre algunos datos sobre ciertos editores de Sacrobosco (especialmente Melanchthon y Rethicus), tanto para esta obra como para el Compot., cfr. Rosen (1974, 245-8). En cuanto a ediciones críticas, remitimos a la ya comentada de Thorndike (1949a, 76-117). A esta podemos añadir la edición del cuarto libro de la Spher. en López-Maroto Quiñones (2018). 1.5.4. Comentarios La amplia difusión de la Spher. y su empleo como libro de texto fomentó en gran medida la aparición de comentarios. Los más antiguos son el de Roberto Ánglico y el de Bartholomeo de Parma (cfr. § 5 y 6), compuestos a finales del s. XIII, a los que tal vez haya que sumar los comentarios de John Pecham (quizá ante 1270) y Bernard de Le Treille (1263-6), ambos citados por Daly (1975, 60). En cualquier caso, estamos ante una tradición exegética temprana que 66 Corpus de obras arranca pocos años después de la publicación de la obra. Thorndike (1949a, 14, 21-3) menciona un comentario que podría ser anterior a estos dos, este es, el atribuido a Miguel Escoto77. Teniendo en cuenta que la muerte de este estudioso ocurrió alrededor del año 1235, contaríamos con un terminus ante quem para la composición de la Spher. No obstante, como el mismo Thorndike apunta, este atribución no es en absoluto segura y podría proporcionarnos datos más erróneos que certeros. Tras estos, se sucede un nutrido elenco de nombres que comentan la Spher., cuyas producciones se conservan a veces en manuscritos, otras en ediciones impresas, e incluso en ambas. Thorndike (1949a, 25-42) lista y define brevemente los comentarios de Bernardo de Trillia, Campano de Novara, Cecco d’Ascoli, Andalò di Negro, Ugo de Castello, Conrad de Monte Puellarum y Pierre d’Ailly, además de muchos otros de autoría anónima; todos ellos escritos en un amplio abanico temporal, desde el s. XIII hasta el XVI. Daly (1975, 60) añade los comentarios de Henry of Sinrenberg y Blasio de Parma del s. XIV; Prosdocimo de Beldemandis, Francisco Capuano de Manfredonia, Jacques Lefévre, Wenceslao Faber de Budweis78 y Pedro Ciruelo de Daroca del s. XV; los comentario de Joannes Baptista Capuano, Bartolomeo Vespuccio, Erasmo Oswald, Mauro Florentino y Christoph Clavius de los ss. XVI-XVII. Otro comentario, citado por Narducci (1884, 3, n. 1), es el de Biagio Pelacani del s. XV79. Concretamente, sobre los comentarios a la Spher. en ediciones impresas, contamos con el volumen colectivo editado por Valleriani (2020). En él, se estudian distintos comentarios impresos a partir de los datos que ofrece la ya comentada base de datos Sphaera CorpusTracer. 1.5.5. Traducciones Tampoco son escasas las traducciones con las que cuenta la Spher., compuestas, al menos, desde el s. XIV. Tal como se ha dicho supra, hemos encontrado traducciones, al menos, en italiano, francés, inglés, español, portugués y alemán. Sobre las traducciones de la Spher., Houzeau y Lancaster (1887, 509-10) listan algunas de ellas. En italiano recoge una traducción del s. XIV de Salomon ben Abraham Abigedu, cuatro del s. XVI de Mauro Florentino, Antonio Brucioli, Danti de Rinaldi y Francesco Giuntini, y una del s. XVII de Francesco Pifferi. Las traducciones francesas son las de Nicole Oresme (s. XIV), Martin Perer (s. XVI) y Guillaume Desbordes (s. XVI). Traducciones alemanas son las de Conrad von Megenberg y de Heynfogel, ambas del s. XVI. En español citan la traducción del Maestro de Veas del s. XV; las traducciones del s. XVI compuestas por Jerónimo de Chaves y por Rodrigo Sáenz de Santayana; del s. XVII recogen una expositio española de Luis de Miranda. Finalmente, citan la traducción inglesa de William Thomas. Estudios más recientes son los de Crowther et al. (2015, 4-28), quienes analizan cuatro traducciones de los ss. XV-XVI: una en alemán (de Conrad Heinfogel), una en francés (de Guillaume des Bordes), una en italiano (de Piervincenzo Danti) y otra en inglés (de Thomas Hill). Para las traducciones españolas, cfr. la tesis doctoral de Gómez Martínez (2006), quien analiza cinco traducciones castellanas compuestas en los ss. XV-XVI extraídas de tres manuscritos y dos impresos (a saber, las traducciones de Diego de Torres, el Maestro de Veas, Jerónimo de Chaves, Rodrigo Sáenz de Santayana y una anónima). En portugués, Ziller Camenietzki (2011, XVII- XVIII) menciona tres ediciones del s. XVI, todas ellas acompañadas de textos útiles para la 77 Editado por el propio Thorndike (1949a, 247-342). Inc.: Sicut dicit philosophus in principio libri de anima. 78 Comentario editado en Hadravová y Hadrava (2019, 119-88). 79 Muchos de estos comentarios también citados en Ziller Camenietzki (2011, XV-XVI). Un panorama general sobre los comentarios de la Spher. se encuentra en Ludwig (2010, 159-61). 67 LA OBRA DE SACROBOSCO navegación; de ellas solo la última tiene autoría reconocida, Pedro Nunes80. Sobre la Spher. en lengua alemana (y su influencia posterior en la escuela germánica), cfr. Ludwig (2010, 161-81). En cuanto a traducciones actuales, contamos con las traducciones al inglés de Thorndike (1949a, 118-42) y Grant (1974, 442-51). 80 A cuyo estudio, edición y traducción al portugués actual está consagrado el volumen de Ziller Camenietzki (2011). 68 Corpus de obras 2. Algorismus Inc.: Omnia que a primeva rerum origine processerunt ratione numerorum formata sunt. Des.: Et hec de radicum extractione sufficiant tam in numeris quadratis quam cubicis. 2.1. Contenidos El Algor. lo encontramos en los manuscritos, además de Tractatus de algorismo o Algorismus, como De arte numerandi, como Algorismus prosaicus, para distinguirlo del Carmen de algorismo o Algorismus metricus, que abordaremos más adelante; o Algorismus de integris para distinguirlo del Algorismus de minutiis81. No conocemos su fecha de composición, aunque resulta llamativo que en los dos manuscritos más recientes que conservamos con obras de Sacrobosco, y que datan de los años 30 y 40 del s. XIII82, tan solo aparezcan el Compot. y la Spher. En cualquier caso, debió de escribirse antes de 1262, marcando este terminus ante quem los mss. Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 2910-2920 (n.º 81) y New York, Public Library, Manuscripts and Archives Division, 69 (n.º 459), ambos compuestos antes de esta fecha y los primeros que contienen el Algor. En él se presentan los numerales indoarábigos y cómo operar con ellos. Para ello, la obra se divide en siete species que siguen a una introducción general a esta nueva «arte» y sus conceptos clave. Se suceden entonces los capítulos sobre la suma, resta, duplicación, mediación, multiplicación, división, progresión83 y extracción de raíces cuadradas y cúbicas. En todas ellas se procede a explicar cómo realizar cada una de las operaciones aritméticas a partir del sistema decimal y posicional con los guarismos indoarábigos que apenas un siglo antes se habían introducido en Europa. Además, se limita a los números naturales y enteros, omitiendo cualquier operación con fracciones (las que sí aparecen, por ejemplo, en el Algorismus de minutiis atribuido a Ricardo Ánglico o en el Liber abaci de Fibonacci). A pesar de que ha habido autores que han considerado esta obra espuria84, nosotros la tomamos como auténtica del autor. Tanto la estructura del tratado como las expresiones empleadas en él, coinciden con aquellas que encontramos en la Spher. y el Compot., cuya autenticidad nunca ha sido puesta en duda. Además, contamos con múltiples rúbricas y colofones en los manuscritos antiquiores que adscriben la obra al magister Sacro Bosco, que no hacen más que confirmar su legítima autoría. 81 Es este el nombre que reciben varios tratados que estudian el cálculo con fracciones. Más adelante, en las obras espurias atribuidas a Sacrobosco, veremos dos, el atribuido a Richard de Mores y el Algorismus de minutiis philosophicis. 82 Estos son, respectivamente, los manuscritos København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 277 fol. (n.º 270) y Innsbruck, Universitäts- und Landesbibliothek Tirol, 373 (n.º 261). 83 Operación que consiste en, dada una secuencia de números ascendente de sumas no infinita, hallar su mitad. 84 Cfr. De Morgan (1847, XIX y 13-5), quien arguye que en la época de Sacrobosco no haría falta un manual que explicara este sistema, por otro lado muy integrado (según él) en la ciencia de su tiempo. Además, el hecho de que no haga referencia al arte del algorismo en sus otros tratados parece ser una razón más para no tomar como auténtica la obra. 69 LA OBRA DE SACROBOSCO 2.2. Fuentes Tal como dice O. Pedersen (1985, 182-3), Boecio es el único autor que Sacrobosco menciona a lo largo de esta obra. Concretamente, en las dos ocasiones en las que se sirve de los postulados de este autor, Sacrobosco utiliza el tratado boeciano de la Institutio arithmetica. No obstante, no es Boecio la fuente predominante en este tratado, siendo su aparición algo casi anecdótico. Más allá de esta cita, resulta sorprendente que no exista bibliografía que investigue las fuentes de este tratado que resulta fundamental para el desarrollo de la matemática en Europa. Para solventar esta gran laguna, en este trabajo hemos elaborado por primera vez un estudio exhaustivo sobre las fuentes del Algor. (cfr. infra). Tomando los datos de este análisis, a continuación presentamos una síntesis de nuestros resultados sobre los autores y las obras utilizadas para la composición del Algor. Empezaremos por la otra fuente obvia de la obra a partir de una cita directa. Tras la indicación unde versus, en cierto momento se recogen tres versos extraídos del Carmen de algorismo. Al estudiar la obra con detenimiento, parece que la deuda que contrae Sacrobosco con este famoso poema de aritmética no concierne solamente a tres versos, sino que a lo largo de todo el Algor. encontramos ecos constantes del Carmen. La relación entre estas dos obras no es de extrañar, puesto que ambas tienen un objetivo común: introducir en la Europa del s. XIII los conocimientos de la matemática indoarábiga que acaban de llegar al continente través de las traducciones del árabe al latín. Es más, no son pocos los mansucritos, como veremos, que transmiten las dos obras en conjunto; a veces incluso alternándose los capítulos de uno y de otro tratado haciendo patente su carácter complementario85. Dentro de esta dinámica de las obras de aritmética medieval, tanto el Algor. como el Carmen de algorismo siguen la estela de la tradición que parte desde el tratado De numero Indorum, traducción latina de la obra árabe de al-Khwarizmi (ca. 780-850). Concretamente, parece que ambas obras parten del llamado Liber Alchorismi, un tratado realizado a partir de los conocimientos transmitidos por el De numero Indorum con ampliaciones y restructuraciones internas (edición y estudio de la obra en Allard, 1992). Más aún, Sacrobosco se habría servido también de lo que Burnett, Zhao y Lampe (2007, 149-82) consideraban la «segunda parte del Liber Alchorismi», un pequeño tratado que hace las veces de continuación del Liber Alchorismi donde se presentan algunos contenidos que encontramos en Sacrobosco, pero que no aparecen en la «primera parte» del Liber. En este proceso, Sacrobosco mantuvo prácticamente la ordenación original del Liber Alchorismi suprimiendo todo aquello referente a las fracciones, reordenando el material y reescribiendo la obra en unos términos más propedéuticos. Por último, a lo largo del Algor. en ocasiones encontramos algunos postulados que podemos adscribir a otros autores, como Euclides o Isidoro de Sevilla. Su empleo por parte de Sacrobosco 85 Beaujouan (1991, XI, 106-15) analiza los paralelismos entre estas dos obras para llegar a la conclusión de que el Algor. nace desde el inicio como un comentario al Carmen. Es cierto que ambas obras son innegablemente complementarias y que, además, comparten fuentes, lo que hace de ellas un tándem perfecto para la enseñanda de la nueva aritmética en la época; además, tenemos que contar con que el primer testimonio que conservamos del Algor. (manuscrito n.º 551, cfr. infra) son unos excerpta que aparecen en unas glosas marginales al Carmen de algorismo. Por ello, pensamos que es posible que el Algor. naciera de esta manera, pero desde luego fue mucho más allá en la medida en la que Sacrobosco aporta una serie de elementos originales que no aparecen en el Carmen. Así las cosas, es probable que Sacrobosco viera necesario incorporar un manual de aritmética que aportara más claridad que el Carmen, que con seguridad ya circulaba por Europa, y que esto comenzara con unas glosas al Carmen que quizá podrían incluso haber sido apuntes propios para explicar en sus clases esta nueva forma de numerar, naciendo así una obra nueva y complementaria que sirviera a los estudiantes para entender mejor esta nueva «ciencia». 70 Corpus de obras no es en absoluto anómalo y, de hecho, encontramos su influencia en sus otros tratados: Spher. y Compot. 2.3. Síntesis de la tradición manuscrita El Algor. es la segunda obra más copiada del corpus de Sacrobosco, quedando apenas por debajo de la Spher. Su carácter didáctico y su prosa sencilla resultan muy útiles para aquellos que buscaran un primer acercamiento al sistema de numeración indoarábigo que se empezaba a imponer en Europa. Contamos, pues, con más de una centena de copias en el s. XIII, a las que se suman 150 más en el s. XIV y otras tantas en el s. XV, llegando a una cifra que supera los 400 testimonios. Es habitual encontrar este tratado junto con las otras obras de Sacrobosco, especialmente en el s. XIII. En los siglos posteriores, va adquiriendo cada vez más independencia respecto al corpus del autor y muchas veces aparece en misceláneas de carácter matemático y aritmético. Con todo, bien sea en sus primeros años de copia como en los siguientes, si hay una obra que sirve de acompañante por excelencia para el Algor., esta es el Carmen de algorismo. Este tratado versificado, cuyo contenido es prácticamente idéntico al del Algor. pero en su versión métrica, lo hemos encontrado en medio centenar de manuscritos junto a esta obra de Sacrobosco86. Más allá del hecho de que ambas obras aparezcan juntas en los códices, llama la atención el hecho de que de alguna manera «interactúen» entre sí en no pocas ocasiones. Con esto nos referimos a aquellos manuscritos, presumiblemente del s. XIII e inicios del s. XIV, donde el Algor. aparece en los márgenes del Carmen como si fuera su comentario, o bien en los testimonios que alternan capítulos del Carmen con los correspondientes del Algor. para ofrecer al lector una suerte de panorama completo. El estudiante, así, podría aprender los versos mnemotécnicos de esta nueva «arte» a través del Carmen y a su vez entenderlos con la explicación prosaica que ofrece el Algor. De esta manera, ambos tratados funcionan como un tándem en el que el Carmen se complementa con el Algor. y viceversa. 2.4. Ediciones de la obra Sin contar con un estudio exhaustivo al respecto, remitimos infra para un análisis de la primera tradición impresa de la obra, donde hemos recogido 21 ediciones del s. XV hasta el XVI. De acuerdo con los datos examinados, no sabemos con exactitud cuál fue la editio princeps del Algor. al no contar con una fecha exacta de la edición de Bonaccorsi. Así las cosas, esta podría ser o bien la de Florencia, publicada por Francesco Bonaccorsi en torno a los años 1486-90 o quizá la de Estrasburgo, publciada por Johann Prüss el 14 de noviembre de 1488. A estas siguen otras 19 ediciones estampadas entre los siglos XVI-XVII, cuya transmisión e interrelación todavía no se ha estudiado en profundidad. Contemplando los primeros datos obtenidos de esta tradición impresa, llama la atención la gran cantidad de testimonios que fueron impresos en Cracovia, lo que podría responder a un interés específico en esta obra para su estudio en la universidad de esta ciudad. A estas ediciones, además, hemos de sumar otras dos que transmiten el comentario de Johannes Widmann (cfr. infra). 86 También lo hemos encontrado en manuscritos que, no conteniendo el Algor., sí presentan la Spher., llegando a la treintena de casos de esta índole. Esto responde a que se trata de una obra que encaja bien en las misceláneas científicas de la época, al igual que el Algor., como introducción al sistema de numeración indoarábigo. 71 LA OBRA DE SACROBOSCO Ediciones modernas de esta obra son tres. La primera de ellas es la publicada por Halliwell (1839, 1-26), quien toma el texto de un manuscrito de su colección personal, tal como él dice, comprado «at the sale of the Library of the Abbate Canonici of Venice». No hemos podido localizar de qué manuscrito se trata, aunque sí sabemos que data del s. XV. A esta edición sigue la de Curtze (1897, 1-19), quien emplea principalmente el ms. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 11067 (n.º 414) con algunas lecturas de München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14684 (n.º 421), el primero del s. XV y el segundo del XIV. La edición más reciente es la de F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 174-201), quien se apoya en cuatro manuscritos principalmente, aunque dice haber visto once más; todos ellos de los ss. XIII-XIV. Aun así, ninguna de estas ediciones ofrece un estudio de la transmisión del texto, concibiéndose todas ellas como textos preliminares del Algor. útiles para trabajar sobre él. 2.5. Bibliografía sobre la obra 2.5.1. Contenidos y fuentes En O. Pedersen (1985, 182-3 y 199-201) se puede encontrar una breve introducción y reflexión sobre esta obra. Sobre las fuentes, apuntan relaciones entre la tradición del De numero Indorum y Sacrobosco: Allard (1992, XXX), Burnett (1996a, 308-9; 2002, 24 y 2010, 240) y Burnett, Zhao y Lampe (2007, 149-82). Beaujouan (1991, XI, 106-15), por su parte, analiza las similitudes entre el Carmen de algorismo y el Algor. 2.5.2. Tradición manuscrita Listan manuscritos con el Algor. los siguientes autores: Curtze (1897, III-IX), Glorieux (1971, 236), F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 167-73) y Ambrosetti (2008, 351-85). 2.5.3. Ediciones Sobre las ediciones impresas del Algor., se citan algunas en D.E. Smith (1908, 32-5); Curtze (1897, v) y Benedict (1916, 13). No obstante, ante la carencia de fuentes para el análisis de las ediciones impresas de esta obra, remitimos al apartado correspondiente infra. Ediciones modernas son las de Halliwell (1839, 1-26), Curtze (1897, 1-19) y F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 174-201). 2.5.4. Comentarios Son muchos los comentarios que recibió el Algor. desde el s. XIII, aunque el período de más proliferación de estos fue el s. XV. Sin embargo, puesto que no han sido suficientemente estudiados en su conjunto, remitimos a lo expuesto infra en este trabajo, donde analizaremos cada uno de los comentarios sobre el Algor. que hemos podido localizar y que rondan en número la veintena. Aun siendo escasa, sí podemos ofrecer algunas referencias bibliográficas para el comentario de Pedro Filomena de Dacia, el más antiguo: por una parte las dos ediciones con las que cuenta, Curtze (1897, 20-92) y F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 81-163); y algunos datos más en Benedict (1916, 16-7) y O. Pedersen (1976, 1-54). También cuenta con una publicación al respecto el comentario escrito por Nicolaus Matz en el siglo XV, cfr. Hellmann (2006). 72 Corpus de obras Dentro de este apartado de comentarios, llama la atención que ninguno de los mencionados hasta ahora tuviera continuidad en ediciones impresas. Solo contamos con un comentario al Algor. con tradición exclusivamente impresa, probablemente concebido desde el inicio para este formato. Se trata del comentario escrito por Johannes Widmann publicado en dos ediciones: una en Leipzig, publicada por Martin Landsberg en torno a los años 1490-5; y otra en Amberes, publicada por Govert Bac en torno al año 1500 y reimpresa en Deventer por de Borne en 1514. 2.5.5. Traducciones Sobre las traducciones del Algor., de nuevo, hemos notado una gran laguna bibliográfica. En la actualidad tenemos conocimiento tan solo de dos traducciones del Algor., aunque probablemente existan muchas más a tenor de su gran influencia en Europa hasta el s. XVI. La primera traducción de la que tenemos noticia es el tratado inglés Art of Nombryng, obra que Steele (1922, vi) considera que es una traducción bastante literal (aunque con ampliaciones) del Algor., para el cual habría consultado un testimonio muy deturpado a juzgar por el texto que transmite. Su edición se puede encontrar en Steele (1922, 33-51). Además de esta, hemos localizado una segunda traducción inédita del Algor. escrita en alemán. Se conserva en dos manuscritos87 y tiene el siguiente inc.: Allew dinkck die von ersten wegunstnuzz der ding sind wekomen. Ambos testimonios fueron copiados en el s. XV en zona centroeuropea, por lo que quizá su composición podría remontar a esta fecha y, desde luego, a alguna zona de habla germánica. La única traducción moderna que se ha realizado hasta la fecha es la de Steele (1922, 33-51), quien traduce el tratado en lengua inglesa. 87 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Germ. 2º 1278 y Lat. 4º 577. 73 LA OBRA DE SACROBOSCO 3. Compotus Inc.: Computus est scientia considerans tempora ex solis et lunae motibus. Des.: Dicitur etiam aevum idem quod mora. Unde Boethius: «O, qui perpetua mundum ratione gubernas, terrarum caelique sator, qui tempus ab aevo, ire iubes stabilisque manens das cuncta moveri. Tu stabilire velis opus hoc per temporis aevum». 3.1. Contenidos La computística puede considerarse un género en sí mismo que desde la alta Edad Media se ha ocupado del cálculo de los días, meses y años con una finalidad muy concreta: seguir los ciclos del año marcados por la Biblia y, concretamente, calcular de forma correcta la Pascua. En este contexto, la obra de Sacrobosco Compot. –también llamada Compotus ecclesiasticus, De anni ratione o Compotus philosophicus– se inserta en una amplísima tradición de tratados que abundan en esta temática. La obra está internamente datada, como se ha visto supra, en el año 1232 o quizá 1235 y cuenta con unas 19000 palabras, siendo con diferencia la más larga de las compuestas por Sacrobosco. Este tratado examina la división del tiempo, marcada por los movimientos del sol y la luna. La primera parte del Compot. trata de los movimientos del sol y su influencia en la duración de los días, meses y años. En la segunda mitad, en cambio, estas consideraciones se aplican a la luna. En este contexto, se enfatiza sobre los sistemas de cálculo y cómo establecer las fiestas móviles del año litúrgico. Para finalizar con este apartado, conviene decir que, si bien el Compot. no fue con mucho la más copiada ni la que más atención recibió andando el tiempo, en su época Sacrobosco era conocido como «el hombre que dividía el tiempo». Esta frase fue grabada en su tumba (y repetida en el colofón del Compot.) y conviene preguntarse qué novedad introdujo Sacrobosco en el arte de la computística, por otro lado tan desarrollada y con tantos tratados dedicados a ella, para que fuera considerado así de importante en este ámbito. La respuesta la ofrece Moreton (1994, 239), quien explica que, aunque hubiera muchos compoti circulando en este siglo por Europa, era necesario un método de cómputo del tiempo más racional. Para ello, parece que fue Sacrobosco el primero que se dio cuenta que las medidas astronómicas, derivadas del antiguo sistema sexagesimal babilonio, podían aplicarse a la medición del tiempo. Aunque Sacrobosco no fue el primero en usar el sistema sexagesimal en contexto astronómico, sí lo fue en el ámbito de la computística, lo que le haría pionero en aplicar este sistema a dicha disciplina. Al introducir este sistema, que resultaría novedoso y práctico para sus contemporáneos (y que, de hecho, ha llegado hasta nuestros días), Sacrobosco se pudo convertir, al menos durante unos años, en el computista por excelencia, hasta tal punto que esta hazaña se puso por escrito en su tumba para que no se olvidara. Otra posibilidad que hemos apuntado supra es que quizá esta fuera la última obra compuesta por Sacrobosco. Por una parte, así lo cree O. Pedersen (1985, 190-2) aplicando su teoría de la «madurez» de la prosa de Sacrobosco a tenor de sus citas; por otra parte, si tenemos por cierto lo que las ediciones de los ss. XVI-XVII transmiten, Sacrobosco habría muerto en el año 1235-6, tan solo uno o dos años después de que terminara su Compot. Siendo probable, por tanto, que esta fuera la última de las obras de Sacrobosco, además de la más larga y la más compleja por su ingente número de fuentes y citas, quizá podamos estar ante la causa de que fuera recordado a través de ella. 74 Corpus de obras 3.2. Fuentes La cuestión de cómo empleó Sacrobosco sus fuentes para componer el Compot. comienza por un grave confusión entre dos obras de temática similar y con una relación de dependencia. Se trata de dos tratados sobre el cómputo con incipit prácticamente idénticos: Computus est scientia considerans tempora ex solis et lunae motibus y Compotus est sciencia considerans tempora distincta secundum motus solis et lune. El primero corresponde al Compot. de Sacrobosco, mientras que el segundo es otro tratado sobre el cómputo que recibe el nombre de Compotus ecclesiasticus88. El tratado de Sacrobosco sería posterior a este y bebería en gran medida de él89. Sobre este fenómeno, Moreton (1994, 236) lanza la idea de que, así como Beaujouan decía que el Algor. tenía su origen en servir de comentario al Carmen de algorismo, en esta ocasión Sacrobosco estaría haciendo lo propio con el Compotus Eclesiasticus. Sea como fuere, después de analizar las tres obras principales compuestas por Sacrobosco, parece que hay un modus operandi que se repite. En cada una de ellas, parece que el autor ha reelaborado y reorganizado la información presente en una obra ya existente cuyo contenido quizá no se entendiera lo suficiente y precisara de una explicación adicional; así compuso la Spher. a partir de la traducción latina de al-Farghani, el Algor. a partir del Carmen de algorismo y el Compot. a partir de este Compotus Eclesiasticus. Este hecho podría responder a su propia profesión como docente, en la que quizá se viera obligado a reestructurar los contenidos de estas obras clave en la enseñanza de la época para una mejor intelección de ellas con especial enfoque a los alumnos universitarios. Sobre la elección de este manual en concreto, el Compotus Eclesiasticus, como fuente para su obra, conviene decir que era el tratado por excelencia para enseñar el arte de la computística a principios del s. XIII. De hecho, debió de ser un texto tan elemental que no solo Sacrobosco hizo una versión basada en él, sino que de la misma época datan otras dos obras de idéntica índole, esto es, derivadas del Compotus Eclesiasticus que han sido atribuidas a Grosseteste (Moreton, 1994, 236-7). En cuanto a qué porción del texto de Sacrobosco se debe a esta fuente, el Compotus Eclesiasticus, Moreton (1994, 237) llama la atención sobre lo cercanos que son ambos tratados, pues prácticamente el Compot. queda como una reescritura del otro cómputo. Sin embargo, además de reordenar los materiales para un mayor éxito didáctico, podemos atribuir a Sacrobosco la adición de numerosas citas. Dentro de ellas, destacan las citas de autores clásicos, un procedimiento que ya veíamos en la Spher. Encontramos así pasajes de Lucano, Ovidio y Boecio, algunos de ellos ya citados por la fuente, pero que se ven ampliados y multiplicados en el Compot. No sorprenden en este ámbito citas de la Biblia, muchas de ellas ya presenten en el Compotus Eclesiasticus. Sí destaca, en cambio, que, además de estos, el autor también utilice y nombre los que Moreton denomina «newly-available scientific writers», como Ptolomeo (Almagesto), Alfragano (Liber 30 differentiarum o Liber de aggregationibus) o Johannes de Garlandia (especialmente su Compotus). Este crisol de citas para Moreton (1994, 236-7) demuestra un enfoque más tendente a lo filósofico que a lo meramente escolástico, diferenciándose así el Compot. de su fuente principal en el público al que lo dirige, que ya no es tan escolar, sino más bien erudito. Sin embargo, volvemos a apuntar aquí, como ya hacíamos en el apartado correspondiente de la Spher., que los alumnos universitarios de París, que parecen ser los destinatarios principales de la obra, sin duda conocían los autores clásicos y estaban familiarizados con ellos. Sabiendo esto, la inclusión de las citas más «doctas» no deben ser tomadas como síntoma de una obra dedicada a un ámbito erudito más allá de la escuela, sino que 88 La edición de este otro tratado sobre el cómputo se puede encontrar en Moreton (1992, 188-276). 89 En Moreton (1994, 242-4) se aportan varios pasajes paralelos entre ambas obras que demuestran su relación. 75 LA OBRA DE SACROBOSCO precisamente esta es una característica más para decir que este tratado también es, de facto, escolar. Más allá de estas citas directas que el mismo Sacrobosco identifica, al leer el tratado, a menudo nos encontramos con rimas y versos que a menudo algunos estudiosos como Thorndike (1955, 163-93) han identificado como rimas populares de autoría anónima, cuya característica principal es que siempre vienen precedidas por la expresión unde versus. Tras examinar la obra, podemos decir que no todas las citas que Thorndike asumía como populares, anónimas y transmitidas textualmente por primera vez por Sacrobosco son tales. Para una mejor comprensión del uso de este recurso por parte de Sacrobosco, dividiremos en dos grupos estas citas sin autoría explícita: las que provienen del Compotus Eclesiasticus y las que no. En el primer grupo se introducen aquellas que remontan al Compotus Eclesiasticus, obra que, como la de Sacrobosco, está plagada de versos que ejemplifican o podrían servir como mecanismo mnemónico para los estudiantes de la materia. Aquí destacan las muchas citas que hemos podido localizar como correspondientes a la obra Massa computi de Alexandre de Villadei (compuesta en ca. 1200)90. Es este un tratado que, bebiendo de varias fuentes, expone los rudimentos de la computística en forma métrica. En cuanto a su uso por parte de Sacrobosco, hemos de advertir que parece que este autor cita la Massa computi exclusivamente a través del Compotus Eclesiasticus, pues no hemos encontrado citas de la Massa en el Compot. que no transmita a su vez el Compotus Eclesiasticus. En un segundo grupo se agrupan las citas que Sacrobosco incluye en su obra sin mediación de su fuente principal. Dentro de estas citas, encontramos fundamentalmente versos extraídos del Regimen sanitatis Salernitanum91 (s. XII, med.), referencias puntuales a obras de otros autores92 y, por último, pequeños poemas cuya autoría no hemos conseguido atribuir a ningún precedente textual. Estos últimos (que constituyen alrededor de una treintena de versos en total) son los únicos para los que sí podemos postular un origen quizá popular, rimas que probablemente conocerían bien los contemporáneos a Sacrobosco. Un ejemplo de estos versos de origen quizá vulgar son los que Sacrobosco emplea para explicar los días fastos y nefastos (egipcíacos), los que se conocen, por su comienzo, como Armis gunfe. A este propósito, cfr. el exhaustivo estudio de Skemer (2010, 75-196), quien considera que Sacrobsoco es el primer autor que pone por escrito este poema que hasta ese entonces habría viajado de alguna forma oral o escrita en el Medievo. Otra idea que lanza Thorndike (1955, 168) al respecto es que quizá estemos ante creaciones genuinas de Sacrobosco, quien habría compuesto manu sua este material versificado como complemento a las enseñanzas en prosa. Tras exponer las principales fuentes localizadas de la obra de Sacrobosco, advertimos que todavía no existe un trabajo completo al respecto, por lo que estos apuntes han de tomarse como una aproximación incial. Así las cosas, convendría hacer un estudio exhaustivo de las numerosas citas de este tratado, tanto de la que remiten a autores conocidos como a las que podrían remitir a rimas populares. Para estas últimas, además, se plantea el objetivo de establecer si Sacrobosco fue su creador, el primer autor que las puso por escrito o si, por el contrario, podrían remontar a una tradición escrita no conservada o quizá tan solo no suficientemente estudiada. 90 Para esta obra contamos con dos ediciones: la de Steele (1926, 268-89) y la de Wijk (1936, 52-64). 91 Edición en Frutos González (2010, 143-95). 92 Como la Summa de ecclesiasticis officiis de John Beleth (ca. 1160), editada por Douteil (1976, 30- 1); o un verso que parece remontar a la Aurora de Pierre Riga (ca. 1140-1209), editada por Beichner (1965). 76 Corpus de obras 3.3. Síntesis de la tradición manuscrita La tradición manuscrita del Compot. es curiosa en tanto en cuanto parece que su interés viene ligado directamente a su autoría. Frente al Algor. o la Spher., es muy ilustrativo el hecho de que el Compot. cuente con un número muy inferior de copias. Además, en relación con aquellas, cuyos testimonios aumentan considerablemente en número en los siglos XIV y XV, para el Compot. ocurre lo contrario: con el pasar de los siglos, cada vez se copia menos, hasta contar con cero copias en el s. XVI. A este hecho se une que la mayoría de copias que conservamos son aquellas que se presentan en los manuscritos junto con el resto del corpus de Sacrobosco. Esto nos hace hipotetizar que es muy probable que el Compot. tuviera más relevancia por el hecho de ser una obra escrita por Sacrobosco que por su contenido. En efecto, no es extraño pensar que esto ocurriera teniendo en cuenta los muchos otros tratados sobre el cómputo que circulaban desde hacía siglos por Europa y que se seguirían componiendo hasta el s. XV, lo que haría del Compot. una obra más de las muchas pertenecientes este género. Aparte de otras obras sobre cómputo que a menudo acompañan a esta en los manuscritos, un caso curioso que hemos detectado en su tradición manuscrita es el de las Tabule Gerlandi. Son estas unas tablas astronómicas que en ocasiones siguen al Compot.93. Lo anómalo de su transmisión es que al menos en dos manuscritos hemos encontrado las tablas insertas dentro del propio tratado como si formaran parte de él. Esto ocurre en el ms. New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 556 (n.º 447), donde las Tabule siguen al Compot. como si fueran parte de la misma obra, tanto es así que al final de las tablas se lee Explicit compotus magistri Johannis de Sacro bosco. Lo mismo ocurre en el ms. Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Plut. 29.15 (n.º 228), donde las Tabule se insertan entre el Compot. y la Spher. sin solución de continuidad, de nuevo como si formaran parte del Compot. Este detalle podría ser utilizado en estudios futuros sobre la tradición textual de esta obra, puesto que quizá esta adhesión errónea podría ayudar a establecer parte de la historia de su transmisión. 3.4. Ediciones de la obra O. Pedersen (1985, 184) contaba en total 35 ediciones de la obra, siendo la primera de ellas la impresa en Wittenberg en 1531 y la última la de Amberes del año 167394. Muchas de estas ediciones, además, fueron impresas en Wittenberg y normalmente junto con la Spher. Esta tradición conjunta, según Pedersen, responde a los esfuerzos de Philip Melanchthon para reformar la universidad del s. XVI con estas obras como libros de texto95. Resaltamos, además, que, frente a las numerosas ediciones de la Spher. traducida en distintas lenguas, no hemos encontrado ningún Compot. traducido. Esto podría responder a la nula necesidad de traducir un texto cuyos postulados habían sido superados con mucho por los científicos posteriores. 93 Como en los mss. Lincolnshire, Lincoln Cathedral Chapter Library, 148 (B.1.8) (n.º 301) y en † Tournai, Bibliothèque de la Ville, 87. 94 Daly (1975, 60), menciona algunas de ellas: «It was printed at Paris in 1538(?), 1550, and 1572, and at Antwerp in 1547 and 1566». 95 Sobre este hecho, O. Pedersen (1985, 217, n. 59) apunta que Melanchthon añadió un prefacio a la edición publicada en Wittenberg en 1537 que fue republicado en ediciones posteriores. En él, es evidente la importancia que Melanchton otorga a los trabajos de Sacrobosco para el estudio de las ciencias exactas, lo que repite en otras orationes a él atribuidas, como la Oratio de Alfragano et mathematicis disciplinis Ioannis Regiomontani. 77 LA OBRA DE SACROBOSCO Sobre las ediciones modernas, contamos con la transcripción del texto hecha por Moreton (1992, 428-508), quien toma el texto de la edición de Wittenberg de 1538 con el prefacio de Philip Melanchthon. Para consultar una edición crítica de la obra, habremos de esperar a la publicación que está preparando el profesor Alfred Lohr junto con otros 15 compoti del s. XIII96. 3.5. Bibliografía sobre la obra 3.5.1. Contenido y fuentes Sobre el Compot., para unos apuntes generales, cfr. O. Pedersen (1985, 184-5). Para sus fuentes, cfr. Moreton (1992, 76-897 y 1994, 229-44). Para el caso concreto del Armis gunfe, cfr. Skemer (2010, 75-196), aunque apenas se dice nada más allá de este poema. 3.5.2. Tradición manuscrita Listan manuscritos con el Compot. los siguientes autores: Glorieux (1971, 235-6), O. Pedersen (1985, 184-5), Lohr (2020, sin publicar). 3.5.3. Ediciones Sobre algunos datos sobre ciertos editores de Sacrobosco (especialmente Melanchthon y Rethicus), tanto para esta obra como para la Spher., cfr. Rosen (1974, 245-8). 3.5.4. Comentarios Llama la atención los escasos comentarios que parece haber recibido esta obra y los nulos estudios al respecto. Para intentar subsanar de alguna forma esta laguna, transmitimos a continuación los testimonios que hemos identificado de comentarios al Compot. En toda su transmisión manuscrita, tan solo contamos con cuatro manuscritos que transmiten el Compot. con un comentario, aunque ninguno de ellos ha sido todavía estudiado. El primero de ellos es el que aparece en el códice de finales del s. XIII o principios del XIV München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 10273 (n.º 414). Del s. XIV, datado y con autor reconocido es el comentario del ms. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, XIV.F.1 (n.º 604), cuyo explicit ofrece detalles sobre su composición: Explicit compotus phylosophycus Johannis de Smola finitus ab a. 1396 in scola ante Letam curiam et auditus in universitate Pragense. El siguiente comentario es el que consta en el ms. del s. XIV-XV Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.37 (n.º 708). El último comentario que hemos podido localizar es el que aparece en el ms. del s. XV Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, VII.E.9 (n.º 596). 96 Información que poseemos gracias a la comunicación personal del autor al respecto. 97 Estas páginas especialmente, aunque encontramos de forma recurrente el nombre de Sacrobosco en su tesis doctoral contraponiéndose constantemente con otros tratados sobre el cómputo contemporáneos. 78 Corpus de obras 4. Quadrans Inc.: Omnis scientia per instrumentum operativa. Des.: Et hec mihi dicta de simplici et composito quadrante ad presens sufficient. 4.1. Contenidos El Quadr. es un tratado de unas 2000 palabras (el más breve de todos) escrito por Sacrobosco en una fecha incierta. Mosley (2007, 598) defiende que el tratado fue compuesto alrededor de los años 1245-50, aunque no ofrece evidencia al respecto. Podemos establecer el terminus ante quem, al igual que habíamos hecho con el Algor., en el año de 1262, antes del cual hubieron de ser copiados los manuscritos más antiguos que lo contienen, estos son, Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 2910-2920 (n.º 81) y New York, Public Library, Manuscripts and Archives Division, 69 (n.º 459). Además, en el caso del Quadr. podemos aportar un terminus post quem para la composición de la obra, que es, como hemos visto supra, el empleo de las Tabule solis como fuente. Escribiéndose las Tabule en algún momento post 1239, fecha de composición de las Tabule Humeniz, fuente de las Tabule solis, esta data se convierte automáticamente en la fecha tras la cual se hubo de componer el Quadr., cuya constitución queda en una horquilla temporal entre 1239 y 1262. Respecto a su ubicación, la colatitud de París, cifrada en 42 grados, se emplea como ejemplo en el propio texto (O. Pedersen 1985, 186). En él se describe la construcción y el uso de un instrumento para medir el tiempo conocido como quadrans vetus. A este respecto, en primer lugar, se hace la distinción entre el cuadrante simplex y compositus, donde la diferencia reside en la existencia de un cursor en el segundo. Sobre estos dos conceptos, después, el autor enseña a construir y usar uno y otro cuadrantes, ofreciendo información técnica como las medidas de cada elemento y qué materiales emplear (Knorr, 1997b, 187-9). La autenticidad del Quadr. ha sido a veces discutida por varias razones: por su extensión, mucho menor que el resto de obras de Sacrobosco, por el empleo de un estilo más sobrio y por carecer de las referencias a autores clásicos que se encuentran en Spher. y Compot. Sin embargo, todas estas características que han servido para secluir esta obra de aquellas compuestas por Sacrobosco se pueden explicar atendiendo al carácter práctico de la obra, como ya decía O. Pedersen (1985, 186). A este respecto, ni una extensión excesiva, ni la inserción de múltiples citas en el texto habrían contribuido a la finalidad de Sacrobosco al componer esta obra: ofrecer a sus contemporáneos el primer tratado práctico para la composición de un cuadrante vetus y explicar su funcionamiento. Es por esto que encontramos en él un manual que se presta más bien a explicaciones técnicas, como por otro lado ya hacía el Algor., donde el autor tampoco se recrea en giros literarios y citas clásicas. 4.2. Fuentes En este apartado, examinaremos la fuentes que empleó Sacrobosco para componer su Quadr. No obstante, hemos de advertir que el hecho de que este quizá sea el primer tratado que define la construcción y el modo de empleo del quadrans vetus dificulta la labor en tanto en cuanto son pocas las fuentes localizadas, al menos hasta ahora. El único estudioso que ha dedicado parte de su investigación en trazar las líneas para establecer al menos algunos de los tratados que sirvieron al autor para escribir esta obra es Knorr (1997b, 188-222, especialmente 200-11). Aun así, la 79 LA OBRA DE SACROBOSCO porción de texto que podemos adscribir a las fuentes mencionadas por Knorr es tan solo un tercio del total, quedando gran parte de la obra desprovista de fuentes localizadas. Siguiendo, por tanto, a Knorr (1997b, 188-96), podemos decir que una de las fuentes empledas por Sacrobosco para componer el Quadr. son las Tabule solis (Inc.: Per istas quatuor tabulas). Son estas cinco tablas astronómicas de utilidad práctica para el uso de instrumentos astronómicos y cálculos de astronomía. Las cuatro primeras son una suerte de listado de longitudes solares para cada día del año, mientras que la quinta recoge la inclinación solar para cada grado de la eclíptica. Además, vienen acompañadas por un canon que explica cómo utilizarlas. Leyendo el Quadr. es evidente que Sacrobosco consideraba esencial tener presentes estas tablas como material de trabajo para realizar ciertos cálculos concernientes a las latitudes de los lugares. Al explicar estos cálculos, se apoya en el texto que encuentra en las Tabule solis, donde los paralelismos encontrados son prácticamente verbatim. Tanto es así, que nos preguntamos si las Tabule solis no serían, de facto, un elemento complementario al Quadr. compuesto por él mismo. Al no contar con argumentos que así lo confirmen, nos conformaremos por ahora con seguir la hipótesis de Knorr (1997b, 188-96), quien anota gran cantidad de pasajes paralelos entre esta obra y el Quadr. Las conclusiones de Knorr en este punto implican necesariamente, como ya decíamos supra, una datación post 1239 de la obra, terminus post quem, a su vez, de la composición de dichas tablas. En los últimos capítulos de la obra, en cambio, encontramos varias correspondencias entre el Quadr. y la segunda parte del conocido como Astrolabium de Messehallah (inc.: Scito quod astrolabium est nomen grecum)98. La primera parte de esta obra parece ser una mezcla de varios tratados de origen árabe mientras que la segunda, aquella que toma Sacrobosco para su Quadr., se trata de una versión de la traducción del s. XII de Juan de Sevilla de la obra de Maslama al- Majrīṭī (inc.: Primum horum armilla per quam suspenditur astrolabium) (Knorr, 1997b, 200-8)99. Por último, Knorr (1997b, 200-8) indica que parte del Quadr. encuentra paralelismos con una obra de geometría práctica anónima transmitida como parte de las obras escritas por el papa Silvestre II (Inc.: Si fuerit altitudo in equalitate; o bien inc.: Geometricales tractanti diversitates premonstrandum est)100. Sin embargo, Knorr apunta que esta Geometria también cuenta con pasajes paralelos en la obra antes citada de Pseudo-Messehallah; tanto es así, que podemos concluir que Sacrobosco toma las informaciones de la Geometria siempre a través de Pseudo- Messehallah. Una sola cita encontramos a lo largo de este tratado, que son los versos Linea protracta basis est porrecta cathetus / tenditur ad metas ypothenusa duas. No hemos encontrado ninguna obra que contenga este fragmento, lo que quizá podría responder a que se trata en realidad de una frase hecha, tal vez mnemotécnica, popular en la formación universitaria de la época (una tipología de citas muy frecuente en el Compot., como hemos visto). 4.3. Síntesis de la tradición manuscrita La tradición manuscrita del Quadr. es ínfima, al menos si se la compara con la gran cantidad de manuscritos que transmiten el Algor., el Compot. y la Spher. Este hecho refleja una popularidad de la obra mucho menor que el resto de las producciones de Sacrobosco. Concretamente, hemos 98 Sobre esta obra, cfr. la edición (aunque no crítica) de Gunther (1929), el trabajo de Kunitzsch (1981) y, sobre todo, el completo estudio y edición crítica de R.B. Thomson (2012-21). 99 Tal como indica Knorr (1997b, 200), Poulle (1954, 86-7) ya advertía estos paralelismos entre la obra de Pseudo-Messehallah y el Quadr., aunque se confunde al situar al Quadr. como fuente del Astrolabium. 100 Obra editada por Bubnov (1899, 317-36). 80 Corpus de obras identificado un total de quince manuscritos que contienen el Quadr. Dada su brevedad, frente a la difusión de las otras obras del autor, ofrecemos el listado a continuación101: Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 898, ff. 91v-97r (s. XIII, ASCQ102) Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 2910-2920, ff. 97v-100v (s. XIII, ACSQ103) Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3099, ff. 24ra-28va (s. XV, Q) Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 5335, ff. 27v-36v (s. XIII, ASQC) Gotha, Forschungs- und Landesbibliothek, Memb. II 60, ff. 26r-29v (s. XV, Q) København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 1810 kvart, ff. 56r-60r (s. XIV, SCAQ) Lilienfeld, Stiftsbibliothek, 144, ff. 48ra-49rb (s. XIVin., ASCQ) Lincolnshire, Lincoln Cathedral Chapter Library, 148 (B.1.8), ff. 95v-102v (s. XIII, ASCQ104) New Haven, Yale University, Medical Historical Library, 11 Vault, ff. 98ra-100vb (s. XIII-XIV, ASCQ) New York, Public Library, Manuscripts and Archives Division, 69, ff. 70r-79v (s. XIII, CQSA) Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7196, ff. 25r-27v (s. XIV, ACSQ) Praha, Archiv Hradu, Knihovna Metropolitní Kapituly, M.CIII, ff. 58v-66v (s. XV, QA105) Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5228, ff. 86v-90r (s. XV-XVI, Q) Wien, Schottenkloster, 166, ff. 262r-265r (s. XV, QA) † Tournai, Bibliothèque de la Ville, 87, ff. 112ra-116rb (s. XIII, ASCQ106) De ellos, siete datan del s. XIII, tres del s. XIV y cinco del s. XV. El hecho de que las copias disminuyeran a partir del año 1300, tal como ya percibió Knorr (1997b, 187), podría responder a que fuera rápidamente sustituido por otros tratados sobre el cuadrante. Especialmente, Knorr menciona el Quadrans vetus de Johannes Ánglico107; aunque también hemos encontrado a menudo en los códices el cuadrante atribuido a Campano de Novara108. En la mayoría de los manuscritos (10), el Quadr. viene acompañado por el resto de obras atribuidas a Sacrobosco. Dentro de este gran grupo, la disposición de las obras suele ser con el Algor. al comienzo y el Quadr. al final, variando la Spher. y el Compot. en los lugares segundo y tercero. Conviene apuntar que no siempre se transmiten las obras una inmediatamente a continuación de la otra, sino que es habitual que se intercalen entre ellas tablas u obras relacionadas con la temática astronómica-computística. A pesar de ello, es muy relevante el hecho de que la transmisión del Quadr. durante los ss. XIII y XIV esté directamente relacionada con el resto de obras de Sacrobosco. Estos datos son muy coherentes con lo que se comentaba en el apartado de contenido de esta obra en relación con la rápida obsolescencia que sufrió el tratado: parece que los eruditos que se interesaron en el Quadr., lo hicieron tan solo en tanto en cuanto su atribución a Sacrobosco coincide con Algor., Spher. y Compot., prevaleciendo así la autoría frente a su posible utilidad. En contraposición con estos datos, en el s. XV solo tenemos copias del Quadr. en solitario, a excepción de dos manuscritos que lo transmiten junto con el Algor. De estos dos manuscritos que presentan el Algor., en uno de ellos están a tanta distancia de folios una y otra obra, que podríamos decir que se transmiten por separado. Todos estos códices son un compendio de instrumentos astronómicos, en los que, junto al Quadr., se copian otras obras homónimas y tratados sobre 101 Incluimos en el listado el siglo en el que se data cada uno de los manuscritos y la disposición interna de las obras de Sacrobosco en ellos en aquellos casos en los que el Quadr. se transmite en conjunto (donde A = Algor., S = Spher., C = Compot. y Q = Quadr.). 102 Entre el Compot. y el Quadr. se intercalan unas tablas y el De practica quadrantis de Campano de Novara, inc.: Scire debes quod circulus solis duas habet medietates. 103 Entre Algor. y Compot. se introducen unas tablas y el Carmen de algorismo. 104 Entre el Compot. y el Quadr. se insertan las Tabule Gerlandi. 105 Entre el Quadr. y el Algor. hay 150 folios con múltiples obras entre medias. 106 Entre el Compot. y el Quadr. aparecen las Tabule Gerlandi. 107 Inc.: Geometrie due sunt partes. Sobre esta obra, cfr. Thorndike (1947b, 150-3), Tannery (1897, 561-640) y Hahn (1982). 108 Inc.: Debes scire quod circulus solis duas habet medietates. 81 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1237#224429 LA OBRA DE SACROBOSCO herramientas afines, como el astrolabio o el almanaque. Parece que en este siglo el interés varía frente a la primera tradición del Quadr. y, mientras que antes se copiaba por ser una obra atribuida a Sacrobosco, en el s. XV se hacía lo propio por tratar de un instrumento de medida astronómico. En efecto, en esta época surgió un florecimiento del interés por la astronomía y astrología y, sobre todo, desde mediados del s. XV en adelante, por la navegación y los instrumentos relacionados con ella. 4.4. Ediciones de la obra No hemos encontrado ninguna edición impresa de esta obra. Ante esta carencia, aportamos en apéndice la primera edición crítica del Quadr. elaborada sobre la colación de los testimonios antiquiores, a la que añadimos nuestra traducción castellana. Tampoco contamos en la actualidad con ningún comentario sobre la obra. Lo mismo ocurre con las traducciones. 4.5. Bibliografía 4.5.1. Contenidos Delambre (1819, 243-7) explica detalladamente cómo formar un cuadrante y su funcionamiento a partir de las explicaciones de Sacrobosco. A estas añade cálculos matemáticos para una mejor comprensión desde el punto de vista de la matemática actual (especialmente de la trigonometría). 4.5.2. Fuentes El autor que más ha ahondado hasta la fecha en las fuentes del Quadr. es Knorr (1997b, 188-222, especialmente 200-11). 4.5.3. Tradición manuscrita Listan manuscritos con el Quadr. los siguientes autores: Glorieux (1971, 236), O. Pedersen (1985, 185), Knorr (1997b, 215). 82 Corpus de obras 5. Otras obras atribuidas Tal como comenta O. Pedersen (1985, 186), es muy previsible que a un autor de renombre como Sacrobosco se le asocien otros trabajos que no pueden ser aceptados como genuinamente suyos. Así pues, contamos con una serie de tratados que han sido atribuidos a lo largo de la historia a Sacrobosco de los que no tenemos datos suficientes como para establecer que fueron escritos por él, a pesar de que su autoría a menudo sigue siendo un misterio. 5.1. Theorica planetarum Inc.: Circulus excentricus vel egresse cuspidis vel egredientis centri dicitur. Des.: Erunt iuncti lumine ipsi planete et non corporaliter. Edición: Carmody (1942). Es esta una obra de astronomía planetaria anónima, atribuida en los manuscritos indistintamente a Gerardo de Cremona o a Sacrobosco ya desde el siglo XIII (duda que comparte Glorieux, 1971, 236, quien no acierta a escoger)109. Debió de componerse hacia medidados del s. XIII y, desde que se introdujo en lo que O. Pedersen (1981, 113-5) llama el corpus astronomicum110, su popularidad aumentó de tal forma que este autor cuenta más de 200 manuscritos que transmiten la Theorica. Su atribución a Sacrobosco tiene su origen, por una parte, en las numerosas ocasiones en las que esta obra acompaña a la Spher. y/o al Algor. en los manuscritos (cfr. supra). Por otra parte, la Theorica debe parte de su contenido y el motivo mismo de su composición a la Spher. Tanto es así, que la Theorica se plantea como una continuación a esta obra de Sacrobosco o una profundización y desarrollo de su capítulo cuarto, dedicado a los movimientos planetarios. Sobre su autoría, O. Pedersen (1981, 120) añade que, puesto que los manuscritos más recientes aparecen en la segunda mitad del s. XIII y dado que la Theorica se añadió al Corpus astronomicum para suplementar el último capítulo de la Spher., la conclusión más probable es que esta fuera la obra de un profesor desconocido de astronomía que trabajó hacia la mitad del s. XIII en algún lugar donde los manuales de Sacrobosco ya se habrían establecido como el núcleo del currículo astronómico. 5.2. Astrolabium Sobre la composición de un tratado acerca del astrolabio por parte de Sacrobosco contamos con más de una referencia. La primera de ellas es la de Élie Vinet en 1557 (§ 9), donde dice: Scripsit de sphaera mundi, de astrolabio, de algorithmo (supputandi artem ita vocarunt barbari) et de computo ecclesiastico. Esta información fue repetida por Riccioli (1651, xxxix) (§ 15) y Vossius (1696, 122) (§ 16). 109 No confundirse con la Theorica planetarum de Campano de Novara, editada por Benjamin y Toomer (1971). 110 Esto es, según O .Pedersen (1981, 113-4), el compendio de obras astronómicas que solían ir juntas en los manuscritos y que aportaban una visión conjunta y completa de todos los conocimientos que un estudiante de astronomía debía tener. En este corpus astronomicum entrarían, por ejemplo, las obras de Sacrobosco, la Sphera de Grosseteste, el Quadrans vetus de Johannes Ánglico, el De astrolabio de Pseudo- Messahallah, el Liber 30 differentiarum de al-Farghani, calendarios, tablas astronómicas, etc. Sobre este corpus astronomicum, cfr. O. Pedersen (1975, 57-96). 83 https://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7981#162800 LA OBRA DE SACROBOSCO Según O. Pedersen (1985, 186), esta atribución se debe a una confusión con el Quadr., pues, en sus palabras, es natural asumir que estos autores confundieron el objeto de estudio del tratado, citando, en lugar del cuadrante, el instrumento astronómico más famoso de toda la Edad Media, o sea, el astrolabio. Sin embargo, nos preguntamos si este autor podría haber compuesto de facto un tratado sobre dicho instrumento, especialmente tras conocer el dato de que quizá en su tumba se esculpiera un astrolabio sobre la piedra para acompañar los versos conmemorativos. Si así fuera, no tenemos ninguna noticia siquiera de cuál de todos los tratados existentes sobre el astrolabio podría adscribirse a este autor. Incluso podría haber ocurrido al revés: de su tumba con un astrolabio insculpido que haría referencia al cálculo del tiempo en relación a al Compot., quizá algunos estudiosos pudieron interpretar esto como señal de que el autor habría compuesto un tratado sobre este instrumento. 5.3. Cautele algorismi Inc.: Sint hic milites, pedites et puellae. Des.: Que duo capitalia per artem cautele precedentis habentur, per istam: Si quis intrans monasterium, etc.111 Edición: Curtze (1895, 77-85)112. Atribuidas a Sacrobosco por Glorieux (1971, 236), las Cautele son una suerte de problemas matemáticos con una tradición bastante complicada, puesto que, dada su naturaleza compilativa, varían en número y formulación de un manuscrito a otro. Responde a un género específico de opúsculos matemáticos, los que Beaujouan (1991, XI, 115) llama «recueils de problèmes», que incluyen los que se titulan en los manuscritos como subtilitates, enigmata, ludi, astucie o cautele. Algunos de estos problemas remontan a aquellos atribuidos a autores como Alcuino de York, Beda e incluso hay manuscritos que transmiten algunos enunciados por Leonardo de Pisa alias Fibonacci. Según Beaujouan (1991, XI, 116), además, todos estos recueils podrían depender de un único compendio a juzgar por las muchas analogías que no pueden explicarse separadamente. Para Beaujouan, siguiendo a su vez la dirección a la que apuntaba Curtze (1895, 77-88), estas Cautele debieron de componerse en, y para, un contexto universitario. Pero no solo se queda aquí, sino que la recopilación de problemas existentes y su ordenación en un compendio que tuviera sentido tendría como finalidad servir como complemento a las enseñanzas del Algor. Sobre su vinculación con esta obra, es cierto que en algunas ocasiones hemos encontrado las Cautele copiadas inmediatamente después del Algor. e incluso algunos autores mencionan alguno de los problemas en los márgenes de esta obra o en los comentarios. El estudio reciente de Lamassé (2019, 75-96) coincide en la vinculación de todos estos compendios de problemas, los cuales, a su juicio, han de tomarse como un conjunto. Sin embargo, ante la falta de un estudio completo de los códices que contienen estos problemas, es más precavido con sus conclusiones y dice que, según parece, algunos de estos textos parece que 111 Escribimos aquí el desinit de la edición de Curtze, pero advertimos que este cambia de manuscrito en manuscrito: al ser un compendio de problemas matemáticos, su transmisión es muy variable y se presta con mucha facilidad a adiciones, transposiciones, elisiones, etc. El desinit del ms. New York, Public Library, Manuscripts and Archives Division, 69 (n.º 459), por ejemplo, es el siguiente: Usque ponantur 15 iudei et tot christiani et semper nonus lapillus est deponendus; el desinit del ms. Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 161 (n. º 483), en cambio, es el siguiente: Habemus in numero multiplicato quot recipiunt in uno anno. 112 Edición realizada exclusivamente a partir del ms. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14684 (n.º 421). 84 Corpus de obras buscan asociarse con el contenido del Algor. A continuación, incide en la necesidad de continuar con el estudio de estas Cautele y de analizarlos también desde el punto de vista codicológico. 5.4. Algorismus de minutiis Inc.: Minutiarum vulgarium scribes superius numeratorem et inferius denominatorem. Des.: Et iste regule, licet non sint nece predictis, tamen utiles sunt. Edición: Busard (1998, 83-90). De esta obra, atribuida a Sacrobosco por Glorieux (1971, 236), él mismo no acierta a saber si fue compuesta por Sacrobosco o por Ricardus Anglicus (refiriéndose al jurista Richard de Mores). Daly (1975, 60) es más favorable a esta segunda hipótesis. Se trata de un tratado de autoría dudosa, si bien actualmente se está de acuerdo en que no fue compuesto por Sacrobosco. El trabajo más reciente sobre este Algorismus de minutiis es el realizado Busard (1998, 74-91), donde incluye su edición. 5.5. Algorismus de minutiis philosophicis Inc.: Cum multos de numeris tractatus vidisses nec in illo. Des.: Solum necessarium desit operi tam brevissimo. Esta obra de autoría anónima, atribuida a Sacrobosco por Glorieux (1971, 236), recibe en los manuscritos el nombre de Algorismus de minutiis o Algorismus de fractionibus. Como se puede entender por su título, trata de operaciones con fracciones y, de hecho, suele venir acompañada por unas tablas de multiplicar y dividir fracciones. El tratado no ha sido estudiado en profundidad y la bibliografía sobre él es prácticamente inexistente. Tan solo podemos remitir al catálogo de Thorndike y Kibre (1963, 230), quienes recogen algunos manuscritos que contienen esta obra. 5.6. Comentarios a Aristóteles: De caelo y De generatione et corruptione Siguiendo a O. Pedersen (1985, 186), Sacrobosco aparece como autor de dos comentarios a las traducciones latinas De caelo y De generatione et corruptione de Aristóteles en unos antiguos catálogos de la Biblioteca Vaticana. Dichos catálogos son los códices Cità del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. 3024 y Ottob. 3290. Esta autoría tan solo aparece en estos manuscritos y no parece probable que sea cierta, sobre todo porque, según O. Pedersen (1985, 186), Sacrobosco se oponía al acercamiento aristotélico a la astronomía. 5.7. Otros Daly (1975, 60) menciona algunas otras obras supuestamente escritas por Sacrobosco siguiendo el comentario a la Spher. de Prosdocimo de Beldemandis, aunque el propio Daly indica que la adscripción es muy dudosa. De entre estos tratados menciona una breve obra física o filosófica (es decir, sexagesimal o astronómica) sobre fracciones y un tratado más sobre el cuadrante, aunque Daly acierta a decir que suele ser atribuido más bien a Campano de Novara. Además de estas, Dempster (§ 13) cita entre las obras de Sacrobosco un De Ratione Anni, lib. I, que probablemente se refiera al Compot. y, además de este, una obra de nombre De Computo 85 LA OBRA DE SACROBOSCO Ecclesiastico, lib. I, que sería otra suerte de tratado sobre el cómputo. Siendo esta la única referencia a este otro cómputo, estimamos que su atribución es falsa. Quizá en esta ocasión Dempster podría haber confiado en alguna adscripción espuria que encontrara en algún manuscrito, pues es habitual que en los códices aparezcan tratados sobre el cómputo bajo el nombre de Sacrobosco. Este mismo autor menciona un Breviarium Juris, lib. I, información que es copiada a su vez por Ware (§ 14), del que no tenemos más noticia que estas. 86 La tradición manuscrita 1. Introducción 1.1. Historia del proceso de inventariado La gran notoriedad de Johannes de Sacrobosco en la Edad Media y en el Renacimiento, así como el uso y el prestigio de sus obras en el ámbito universitario y erudito, se traducen en una difusión masiva y multiforme de la tradición manuscrita de su obra. Tal vastedad de testimonios ha disuadido hasta ahora a los estudiosos de realizar un inventario de los manuscritos que transmiten un tratado o más de los atribuidos a Sacrobosco, así como de proponer la historia de la transmisión de cada una de las obras y mucho menos establecer stemmata codicum de ellas, lo que se refleja en unas ediciones críticas (cuando las hay) deficientes113. En el presente trabajo nos hemos propuesto, como uno de nuestros objetivos primarios, llevar a cabo el establecimiento de un censo que recoja los manuscritos que transmiten una o más obras de las atribuidas a Sacrobosco. Este catálogo, si bien sabemos que con total seguridad que habrá testimonios que se nos han escapado, pretende ser lo más completo posible y de utilidad para futuras investigaciones acerca de este autor y su obra. En cuanto a su redacción, hemos partido de los datos que hemos recogido en artículos académicos y libros que citan expresamente manuscritos que contienen una o varias de las obras de Sacrobosco. Tales estudios normalmente abordan una obra concreta del autor, es decir, tratan particularmente de cada una de ellas, a excepción del trabajo de O. Pedersen (1985), donde se incluyen testimonios de las cuatro. En lo que concierne a Algor., de especial interés han resultado las ediciones críticas precedentes de la obra (cfr. infra, Ediciones anteriores), sobre todo Curtze (1897) y F.S. Pedersen (1983, vol. 1), quienes suman un total de quince manuscritos. Aparte de ellos, el trabajo de Ambrosetti (2008) supone una excepción en lo que concierne a la recensio de testimonios de obras aritméticas. En su trabajo se recogen más de 200 testimonios del Algor.114, número que hemos duplicado en nuestro censo. Respecto al Compot., agradecemos la amabilidad del Dr. Alfred Lohr, quien nos ha enviado sus anotaciones personales sobre los manuscritos que contienen esta obra, resultado de un trabajo todavía inédito115. En su listado, Lohr ofrece 56 manuscritos que contienen el Compot. datados en el s. XIII. A partir de esta cifra, hemos conseguido aumentar en algo más de una veintena el número de códices del s. XIII que contienen el Algor. Sumando a estos los más de cien testimonios del Compot. que hemos localizado de los ss. XIV-XVI, alcanzamos una cifra que supera los 180 testimonios. 113 Es muy honesto en este punto F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 167), cuando introduce su edición del Algor.: «The number of extant manuscripts has hitherto prevented critical editing of the text, nor has this been attenmpted for the present purpose». 114 Testigos que se recogen especialmente en las tablas de las pp. 351-85 (Ambrosetti, 2008). 115 El Dr. Lohr actualmente está preparando una edición de dieciséis tratados sobre el cómputo compuestos en el s. XIII, entre los que se incluye el Compot. de Sacrobosco. Su edición la citamos con fecha de 2020, momento en el que nos hizo llegar amablemente el documento para nuestro uso personal. 87 LA OBRA DE SACROBOSCO Para los códices que contienen la Spher., hemos partido de la única edición existente realizada por Thorndike (1949a), quien censa dieciocho manuscritos. A estos hemos sumado los 30 que añaden Hadravová y Hadrava (2019, 22-9), mayoritariamente de Praga y Polonia. Actualmente, podemos afirmar que O. Pedersen (1985, 183) tenía razón en afirmar que «there is not doubt that it [sc. the number of extant manuscripts] must be counted by hundreds», pues en nuestro catálogo superamos los 450 testimonios de este tratado. En lo tocante al Quadr., hemos seguido principalmente los testimonios indicados en Knorr (1997b). Este autor contaba dieciocho testimonios, algunos de los cuales no hemos incluido porque la referencia era errónea. Restando los descartados y sumando los poquísimos que hemos encontrado, el número de testimonios queda en quince. A partir de estos datos, hemos consultado un sinfín de catálogos de manuscritos de toda índole y procedencia. Especialmente relevante por su utilidad en nuestro trabajo es el catálogo de incipit de Thorndike y Kibre (1963), aunque sería necesaria una actualización de este manual de consulta. Por último, no podemos dejar de notar la importancia que han tenido las bases de datos en este trabajo: tanto aquellas que son resultado de proyectos de investigación recientes o incluso todavía en activo (como Mirabile y Manuscripta Mediaevalia), como las que son fruto de investigaciones de particulares, aunque no por ello más modestas (mención especial a Ptolemaeus y Jordanus, dirigidas por Menso Folkerts). 1.2. Problemas en el proceso de inventariado El primer problema de este proceso de inventariado ha sido el gran número de copias de las que dispone cada una de las obras de Sacrobosco. Como ya se ha dicho, no son pocos los testimonios de los que disponemos de cada uno de los tratados estudiados: O. Pedersen (1985, 182-6) sugería más de cincuenta copias para el Algor., 26 para el Compot. y 5 para el Quadr. En lo que respecta a la Spher., Pedersen estima que los ejemplares habrían de contarse por cientos, mientras que Ludwig (2010, 158-9) los concreta en torno a los 300 testimonios. En este catálogo, como adelantábamos, hemos superado con creces todas las estimaciones que se habían propuesto con anterioridad: son más de 700 los códices que aquí se recogen que contienen un tratado o más de los escritos por el autor. Una vez localizados los manuscritos de nuestro interés, hemos procedido a su descripción. Los datos, siempre que ha sido posible, han sido recogidos a través de la autopsia directa del códice, lo que además nos ha permitido ampliar datos que no se conocían y/o corregir incorrecciones de los catálogos existentes. De no ser posible la autopsia directa del códice, cuando la disponibilidad y el estado de conservación del códice lo han permitido, se han consultado las reproducciones digitales pertinentes. Sin embargo, como es lógico, nos ha resultado imposible estudiar todos y cada uno de los manuscritos censados –de nuevo por su ingente cantidad. Por esta razón, ha sido necesario en numerosas ocasiones confiar en los datos proporcionados por distintos catálogos de manuscritos, artículos, libros, bases de datos y, en general, de las referencias bibliográficas que han servido para completar información sobre los ejemplares. Este hecho, si bien muestra la patente utilidad de estos compendios y recursos, sin los cuales no habría sido posible describir todos estos manuscritos, se traduce en una serie datos que no siempre hemos podido comprobar. Por esta razón, hemos de advertir que podría haber errores en el inventario, tales como una numeración no precisa de los folios, dataciones muy amplias y, en general, una información menos precisa de lo que nos gustaría. Por otro lado, queremos hacer notar las dificultades que entraña el hecho de que haya múltiples tratados escritos en este período, además de los de Sacrobosco, con el nombre Sphera, Compotus, 88 La tradición manuscrita Algorismus y Quadrans o similares. Y también al contrario, es decir, que los tratados de Sacrobosco a veces adoptan otros nombres, como De arte numerandi en lugar de Algorismus. Esto ha supuesto que, cuando no se ha podido comprobar la información, hemos confiado en los catálogos que adscriben obras con estos nombres a Sacrobosco, sabiendo que esta información podría estar errada. En otras ocasiones (de nuevo en aquellos casos en los que no hemos podido corroborar los datos), cuando las descripciones mencionan tratados con nombres idénticos a los de Sacrobosco pero adscritos a otros autores, hemos confiado en ellas. Especialmente este es el caso del Quadr., pues en numerosas ocasiones los catálogos recogen «obras de instrumentos astronómicos» o «sobre el cuadrante» (e incluso «sobre el astrolabio») sin aportar ninguna información adicional. Este hecho se une a la brevedad del tratado, lo que hace que a veces se confunda con la continuación de la obra precedente o que directamente quede olvidada en los catálogos. Para suplir esta carencia, siempre que en la bibliografía se dice que un manuscrito contiene obras sobre instrumentos de medida astronómicos, lo hemos hecho notar. 1.3. Protocolo de descripción: observaciones En el inventario de la tradición manuscrita hemos dividido los códices que contienen obras de Sacrobosco en tres apartados. En el primero de ellos, «Censo de la tradición conservada», listamos los manuscritos que se conservan actualmente en cada una de las bibliotecas señaladas. El segundo, «Tradición perdida», se subdivide a su vez en «Manuscritos en paradero desconocido» y «Manuscritos destruidos»; este segundo subapartado con los manuscritos de los que tenemos noticias seguras de que ya no existen. Por último, «Testimonios descartados», recoge los códices que en apariencia, según los informes disponibles, son testimonios de una o más obras de Sacrobosco, pero que, tras nuestro estudio, tenemos datos suficientes para descartarlos como tales. Para el «Censo de la tradición conservada» y «Tradición perdida» hemos elaborado se siguiente esquema: N.º x. Ciudad, Biblioteca, (Fondo), signatura (Sigla) (Ms. compuesto, x U.C.) (Hojas de guarda en romanos) ff./pp., material, dimensiones, datación (datado: x), origen (procedencia). (U.C., ff.), obra: ff (obra: ff; obra: ff…). Contenido del manuscrito. Bibliografía. Bases de datos. Cada uno de los manuscritos censados lleva un número de referencia que será empleado en otras partes de este trabajo para referirnos a los mismos. Asimismo, cuando han sido colacionados para el estudio de la transmisión del Algor. (cfr. infra), hemos añadido la sigla correspondiente bajo el número. En lo que respecta al nombre dado al manuscrito, hemos optado por escribir por extenso las bibliotecas y/o fondos para una mayor claridad. Las ciudades y las bibliotecas están escritas en el idioma principal del país, siguiendo sus convenciones lingüísticas y gráficas. Para la signatura, hemos eliminado todo aquello que hemos juzgado superfluo, como las indicaciones «ms.», «ma.» o «Hs.» delante de la signatura alfanumérica (excepto en aquellos casos donde esto supone un dato necesario para su identificación). Cuando el manuscrito censado es un códice compuesto, así lo hemos indicado añadiendo el número de unidades codicológicas (U.C.) que contiene. Para aquellos manuscritos donde no se 89 LA OBRA DE SACROBOSCO ha explicitado que sea compuesto no quiere decir que que, eventualmente, no pueda serlo en algunos casos, sino que no tenemos evidencia, directa o indirecta, en uno u otro sentido que así lo confirme. En relación con la cantidad de folios o páginas de la que el manuscrito se compone, hemos mantenido las convenciones de cada fondo, indicando usualmente la extensión mediante la foliación, pero respetando la indicación de páginas cuando el códice está paginado en cada recto y verso. Hemos indicado el número de hojas de guarda que contiene el códice siempre que hemos encontrado esta información en catálogos o a través de la autopsia directa; consecuentemente, en aquellos manuscritos donde no se señalan hojas de guarda, no queremos decir que no las tenga, sino que no viene explicitada en la bibliografía consultada. Por último, siempre que hemos tenido constancia de ello, hemos señalado el material de las hojas de guarda cuando difiere del material del resto del manuscrito. Para el material del manuscrito precisamos su composición material en papel y/o pergamino, sin ofrecer mayores indicaciones sobre el tipo de piel, animal, tratamiento, etc. o bien filigranas, procedencia del papel, etc. Las medidas se indican en milímetros. Cuando no hemos podido disponer de esta información a través de la bibliografía consultada y/o por autopsia directa, hemos intentado proporcionar al menos una aproximación: in folio, in quarto, in octavo, in duodecimo. Respecto de la datación, usualmente derivada de los catálogos correspondientes, la indicación de siglo va acompañada, cuando hemos tenido el dato, de las usuales precisiones in. (para inicios de la centuria), ex. (para finales), etc. Para los manuscritos que presentan diferentes dataciones, se ha indicado la U.C. o parte a la que nos referimos entre paréntesis y, a pie de página, la datación del resto del códice. En el caso de los códices fechados, a la indicación del siglo le sigue la del año presente en el códice; en ocasiones, hemos indicado más de una fecha en este punto. Podría ocurrir que, por no haber encontrado el dato en la bibliografía consultada y/o autopsia directa, no hayamos podido precisar el año de escritura aun estando presente en el códice. En cuanto al origen, se ha procedido a escribir, siempre que ha sido posible, el lugar de copia del manuscrito: bien la ciudad (si disponíamos del dato), el país o la región. En algunos códices tenemos incluso la noticia de la procedencia del códice, es decir, del lugar o los lugares donde ha estado antes de incorporarse al fondo de la biblioteca actual; a veces incluso el escriba si la mano se ha identificado. Este dato, si se conoce, se ha escrito a continuación del origen entre paréntesis. Nótese que a lo largo de todo el censo distinguimos entre origen y procedencia, remitiendo la primera a la ubicación donde se ejecutó la copia del códice y la segunda al fondo histórico que perteneció. A continuación, se han señalado los folios que abarca/n la/s obra/s de Sacrobosco dentro del manuscrito. Cuando se trata de más de una obra, se han listado en función del orden que siguen dentro del códice. En aquellas ocasiones en las que el manuscrito ha resultado ser facticio, primero se ha puesto la U.C. a la que nos referimos con los folios o páginas que comprende dicha U.C. entre paréntesis. A veces, después de citar los folios o páginas que comprende/n dicha/s obra/s ha sido necesario dar explicaciones acerca del estado en el que se encuentran. Así pues, hemos indicado si la obra es acéfala, esto es, si le falta el comienzo debido a un daño del material manuscrito por factores externos; si es mútila, cuando le faltan folios, páginas o fragmentos bien en el medio, bien al final, siempre debido a deterioros del material; si se trata de un fragmento o fragmentos, cuando tan solo se conserva una parte de la obra que no corresponde ni al inicio ni al final por daños materiales del códice. Cuando la obra se interrumpe porque el escriba no ha seguido copiando el texto, lo hemos señalado poniendo «incompleto». En uno y otro caso hemos indicado a pie de página, siempre que se ha podido, las partes de los tratados que se han visto 90 La tradición manuscrita afectadas y a cuánta porción del texto afecta. También hemos apuntado aquellas veces en las que el texto principal viene acompañado de un comentario, así como cuando se trata de un excerptum o excerpta de la obra. Conviene advertir, una vez más, que en aquellas ocasiones en las que no hemos anotado una falta de texto, la inclusión de un comentario o que se trata de un excerptum o excerpta, no quiere decir necesariamente que el texto esté completo o que no venga acompañado de un comentario, sino que no hemos encontrado información que lo indique. En lo concerniente al contenido de los manuscritos, se ha señalado lo más relevante dentro del mismo, porque la amplitud de la tradición impide una descripción sistemática y completa. Así pues, hemos especificado la temática predominante y en ocasiones alguna obra concreta merecedora de atención (como el Carmen de algorismo, por su importancia en la tradición textual del Algor., o la Theorica planetarum, por su importancia en la tradición de la Spher.). Cuando hemos descrito manuscritos compuestos, hemos especificado con más detalle el contenido de la/s U.C. donde se encuentra/n la/s obra/s de Sacrobosco, indicando de forma general de qué trata el resto de U.C. Para la bibliografía hemos recogido los autores y obras más relevantes para su descripción y/o que nos han servido para recoger datos acerca del manuscrito. No pretendemos que este apartado sea exhaustivo, porque el carácter masivo de la tradición haría las referencias excesivamente numerosas, pero sí ofrecer aquellas fundamentales. Por último, hemos citado las bases de datos y los recursos web consultados que contienen información sobre los manuscritos recogidos o, incluso, su digitalización. Indicamos la inclusión en estos repertorios digitales mediante un tipo de imprenta monoespacial (Mirabile, Jordanus), para advertir tipográficamente que tales términos son, en la versión digital, hipervínculos que conducen a sus descripciones en red. Muchas de estas entradas presentan, además, la descripción más reciente de los testimonios censados, por lo que su importancia es insoslayable en la investigación actual. Hemos indicado, como es habitual, la fecha de consulta de estos recursos web, pues cabe la posibilidad de que en el futuro dichos registros sean ampliados, corregidos o eliminados. 91 LA OBRA DE SACROBOSCO 2. Censo de la tradición conservada 1. Aberystwyth, National Library of Wales, Peniarth 359B Ms. compuesto, 5 U.C. 170 ff., papel y pergamino, 210 × 155 mm, s. XV-XVI, origen: ¿Inglaterra? U.C. 1 (ff. 1-12), Algor.: ff. 1r-11r116; U.C. 4 (ff. 36-47), Spher.: ff. 36r-47v. Obras de aritmética, astronomía (incluidos opúsculos sobre instrumentos astronómicos y tablas), astrología y geometría; algunas están escritas en inglés. Davies (1940, 4); Ambrosetti (2008, 359). Jordanus (cons. 12/04/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 2. Admont, Stiftsbibliothek, 442 76 ff., pergamino, in quarto, s. XIV, origen: ¿Francia? Compot.: ff. 53r-73r. Tratados sobre geometría y perspectiva, astronomía de Alfragano, obras de cómputo y un libro de medicina. Wichner (1888, 193); Zinner (1925, 152). HMML (cons. 12/03/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021). 3. Aix-en-Provence, Bibliothèque Méjanes, 152 (766-R.651) 330 pp., papel, 292 × 210 mm, s. XV (datado: año 1445), origen: desconocido. Spher.: pp. 297-318. Saturnales de Macrobio, vidas de santos de Alberto Magno, sobre las costumbres de los filósofos, la Theorica planetarum y De motu octave sphere de Thābit ben Qurra. CGM (1894, vol. 16, 88-9). CCFR (cons. 18/02/2021). 4. Alençon, Bibliothèque municipale, 25 198 ff., pergamino, 278 × 202 mm, s. XIII, origen: desconocido (prov.: Saint-Evroult-Notre- Dame-du-Bois, Normandía). Algor.: ff. 1ra-2ra (incompleto)117. El manuscrito contiene un vocabulario, comentarios, sermones y un cómputo. CGM (1887, vol. 2, 36); Ambrosetti (2008, 354). Jordanus (cons. 12/04/2021). 5. Arras, Bibliothèque municipale, Médiathèque 821 (512) 95 ff., pergamino, in quarto, s. XIV, origen: desconocido (prov.: Saint-Vaast, Arras). Algor.: ff. 1r-9r; Spher.: f. 9r (mútilo)118. El manuscrito comienza con estas dos obras de Sacrobosco (con una tabla de multiplicar que las separa), seguidas de un tratado de moral escolástica, un florilegio de autores clásicos y el Carmen de algorismo. 116 El Algor. se presenta intercalado con el Carmen de algorismo: cada capítulo del Algor. va precedido por los versos correspondientes del Carmen. 117 Falta el capítulo final sobre las raíces cuadradas y cúbicas. Des.: multiplicetur ternarius sic: ter tria, et erit novenarius. 118 Únicamente se conserva parte del tercer capítulo. Des.: tota est habitabilis quoniam partes illius propinque equinoctiali inhabitabiles sunt propter nimium calorem. Similiter partes… (Thorndike, 1949a, 110). 92 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5770#3_58 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/5770 http://18.235.151.129/detail.php?msid=9769 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=26273 https://ccfr.bnf.fr/portailccfr/jsp/index_view_direct_anonymous.jsp?record=eadcgm:EADC:D22010505 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3822#1_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3822#160211 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3822#160211 La tradición manuscrita CGM in-4º (1872, vol. 4, 325, n.º 821); Glorieux (1971, 235-6); Ambrosetti (2008, 354). CCFR (cons. 18/02/2021); Jordanus (cons. 12/04/2021). 6. Assisi, Biblioteca del Sacro Convento di San Francesco, Com. 174 115 ff., pergamino, 260 × 190 mm, s. XIII-XIV, origen: desconocido (prov.: fondo antiguo de la Biblioteca del Sacro Convento de San Francisco de Asís). Spher.: ff. 59r-68r; Compot.: ff. 80r-95v. Tratados teológico-morales, de astronomía y cómputo. IBI (1894, vol. 4, 51); Cenci (1981, 88-9). IC (cons. 18/02/2021); Manus (cons. 18/02/2021). 7. Assisi, Biblioteca del Sacro Convento di San Francesco, Com. 407 164 ff., pergamino, 160 × 105 mm, s. XIV, origen: desconocido (prov.: fondo antiguo de la Biblioteca del Sacro Convento de San Francisco de Asís). Algor.: ff. 43r-49v; Spher.: ff. 49v-50v (mútilo)119. El manuscrito contiene estas dos obras de Sacrobosco además de una pasión de Jesús y unas distinctiones poco legibles y mútilas. IBI (1894, vol. 4, 88); Cenci (1981, 555, n.º 259). IC (cons. 18/02/2021); Manus (cons. 18/02/2021). 8. Assisi, Biblioteca del Sacro Convento di San Francesco, Com. 551 Ms. compuesto, 2 U.C. 234 ff., papel y pergamino, 220 × 160 mm, s. XV, origen: desconocido (U.C. 2)120 (prov.: fondo antiguo de la Biblioteca del Sacro Convento de San Francisco de Asís). U.C. 2 (ff. 118-234), Algor.: ff. 225r-233v (incompleto)121. Obras de carácter variado, aunque abundan los contenidos religiosos, bíblicos o relacionados con el oficio, además de tablas y pocos textos científicos. Cenci (1981, 305, n.º 155). IC (cons. 18/02/2021); Manus (cons. 18/02/2021). 9. Assisi, Biblioteca del Sacro Convento di San Francesco, Fondo Moderno, 81 128 ff., papel, medidas desconocidas, s. XVII, origen: desconocido (prov.: convento de San Antonio abad de los padres capuchinos, Asís). Spher.: ff. 2v-128v (con comentarios). El manuscrito contiene exclusivamente la Spher. con fragmentos de comentarios de varios autores a la misma. IBI (1894, vol. 4, 137); IBI (1988, vol. 104, 44). 10. Aubervilliers, Institut de recherche et d’histoire des textes, Fragm. 13 4 ff., pergamino, 165-170 × 133 mm, s. XIIIex., origen: París. Algor.: 1ra-4rb. El manuscrito, compuesto tan solo por un binión, contiene una versión del Algor. que se va intercalando con el Carmen de algorismo. BVMM (cons. 24/11/2022). 119 Ni siquiera se conserva el primer libro completo del tratado. Des.: in qua non est assignare principium neque finem (Thorndike, 1949a, 80). En el reclamo se leen las palabras siguientes: comoditas quia omnium. 120 Parte de la U.C. 1 fue copiada por Nicolaus de Assisio. 121 Falta parte del último capítulo. Des.: alicuius numeri in se bis vel semel in suum quadratum. Radix. 93 https://ccfr.bnf.fr/portailccfr/jsp/index_view_direct_anonymous.jsp?record=eadcgm:EADC:D04011099 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3832#1_58 http://www.internetculturale.it/opencms/opencms/it/viewItemMag.jsp?id=oai%3Awww.internetculturale.sbn.it%2FTeca%3A20%3ANT0000%3APG0213_ms.174 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=235961 http://www.internetculturale.it/opencms/opencms/it/viewItemMag.jsp?id=oai%3Awww.internetculturale.sbn.it%2FTeca%3A20%3ANT0000%3APG0213_ms.407 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=236066 http://www.internetculturale.it/jmms/iccuviewer/iccu.jsp?id=oai%3Awww.internetculturale.sbn.it%2FTeca%3A20%3ANT0000%3APG0213_ms.551 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=236017 https://bvmm.irht.cnrs.fr/mirador/index.php?manifest=https://bvmm.irht.cnrs.fr/iiif/34435/manifest LA OBRA DE SACROBOSCO 11. Augsburg, Universitätsbibliothek, II.1.2° 110 195 ff., papel, 315 × 220 mm, s. XV (datado: años 1452, 1469, 1470), origen: sur de Alemania (prov.: basílica de San Alexander y San Theodor, Ottobeuren) (copista: Nicolaus Ellenbog). Compot.: ff. 135v-159v; Spher.: ff. 184r-194r. Tratados astronómicos, astrológicos y tablas y una obra sobre geometría en alemán. Grupp (1897, 20, 33); Zinner (1925, 156)122; Hilg (1999, 84-8). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 12/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); Mirabile (cons. 03/03/2021). 12. Augsburg, Universitätsbibliothek, III.1.4º 1 XIII + 224 ff., papel, 195-197 × 145 mm, s. XV (datado: años 1405, 1414), origen: Ulm (copista: Johannes Wissbier von Gmünd). Algor.: ff. 181r-186r (incompleto)123. Obras de matemática (incluido un comentario sobre Algor.), astronomía, cómputo, calendario y tablas fundamentalmente en su mayoría escritas en alemán. Grupp (1897, 11, 20-36); Schneider (1988, 240-8); Ambrosetti (2008, 359). Jordanus (cons. 12/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); Ptolemaeus (cons. 03/03/2021). 13. Bad Berleburg, Fürstlich Sayn-Wittgensteinsche Bibliothek, N 1 (887) 146 ff., papel, 295 × 220 mm, s. XV, origen: desconocido. Algor.: ff. 17r-24v; Compot.: ff. 63r-73r. Tratados sobre el cómputo fundamentalmente. Hinz (1999, 394, n.º 0887). Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2022). 14. Baltimore, MD., Walters Art Gallery, 377124 I + 119 + I ff., papel, 195 × 135 mm, s. XV, origen: Italia. Spher.: ff. 89v-112r. El manuscrito contiene las Epistulae de Horacio, dos libros de la Aquileida de Estacio, De raptu Proserpinae de Claudiano y la Spher. De Ricci y Wilson (1935, vol. 1, 831, n.º 437); Villa (1992, 98). 15. Bamberg, Staatsbibliothek, Astr. 1 (HJ.V.1) B Ms. compuesto, 4 U.C. 101 ff., pergamino, 197 × 145 mm, s. XIII2/4 (U.C. 1)125, origen: desconocido (prov.: convento carmelita de Bamberg). U.C. 1 (ff. 1-41), Algor.: ff. 1r-8v (acéfalo)126; Compot.: ff. 9v-27v (mútilo)127; Spher.: ff. 28r-40r. 122 Este autor sitúa el manuscrito en la Öttingische Bibliothek Maihingen. 123 Falta el último capítulo sobre las raíces cuadradas y cúbicas. Des.: et sunt novem summa totius progressionis. 124 Agradecemos la completísima ficha bibliográfica de este manuscrito, aún inédita, realizada por Nicole Berlin, quien nos envió, muy generosamente, toda la información. 125 Las U.C. 2-4 datan del s. XIV. 126 Falta un folio al inicio de la obra. 127 Faltan un par de folios al final de la obra. 94 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28556 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1034#5_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90718557,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/augsburg-universit%C3%A4tsbibliothek-ii-1-2%C2%B0-110-manuscript/129006 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1041#45_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90302402,T https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/1041#341529 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90289171,T La tradición manuscrita La U.C. 1 está compuesta íntegramente por las obras de Sacrobosco; las U.C. 2-3 contienen tratados sobre astronomía, cómputo y la composición del cuadrante; mientras que la U.C. 4 recoge dos tratados de gramática. Zinner (1925, 152-4); Leitschuh (1966, 482-4); Pfändtner y Westphal (2015, 259-61, n.º 175). Jordanus (cons. 12/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); Mirabile (cons. 03/03/2021). 16. Bamberg, Staatsbibliothek, Astr. 2 (HJ.V.2) 137 ff., papel, 145 × 110 mm, s. XV (datado: año 1444), origen: desconocido (prov.: convento dominico de Bamberg). Spher.: ff. 1r-72r (con comentarios). Esta obra va seguida de unos comentarios sobre los tratados de Aristóteles sobre el cielo y el mundo, además de un tratado sobre la proporción. Leitschuh (1966, 484-6). Jordanus (cons. 12/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021). 17. Bamberg, Staatsbibliothek, Class. 84 (M.II.7) 298 ff., papel, 315 × 206 mm, s. XIV (datado: año 1361), origen: desconocido (prov.: convento dominico de Bamberg). Spher.: ff. 133r-141r. Contiene la Historia destructionis Troiae (de Guido delle Colonne), tratados astronómicos, astrológicos y sobre la composición de instrumentos de medida (un astrolabio y un cuadrante atribuidos a Sacrobosco). Zinner (1925, 154); Leitschuh (1966, 90-3). Jordanus (cons. 12/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021). 18. Barcelona, Archivo de la Corona de Aragón, Ripoll 197 56 ff., pergamino, 188 × 130 mm, s. XIII (datado: año 1260), origen: desconocido. Compot.: ff. 1r-34r; Spher.: ff. 41r-56v (mútilo)128. Obras de cómputo, un opúsculo sobre el reloj solar y una obra sobre el número áureo. García Villada (1915, 88); Cordoliani (1950, 112-4). Jordanus (cons. 12/04/2021). 19. Barcelona, Biblioteca de Catalunya, 39 Ms. compuesto, 3 U.C. 67 ff., pergamino, 205 × 147 mm, s. XIV (U.C. 2)129, origen: ¿Cataluña?130 U.C. 2 (ff. 48-63), Algor.: ff. 59r-63v. La U.C. 2 se compone íntegramente de obras que versan sobre aritmética, entre las que se cuenta el Carmen de algorismo, mientras que la U.C. 1 presenta unos cánones y tablas en catalán y la U.C. 3 un tratado sobre el cómputo. Massó Torrents y Rubió i Balaguer (1916, 95-6); Cordoliani (1950, 120-1). BNC Cat. (cons. 08/06/2021); Jordanus (cons. 12/04/2021). 128 Al tratado parecen faltarle uno o dos folios, quedando mútilo el final. Des.: Inter duas staciones interceptus dicitur directio et quando planeta… (Thorndike, 1949a, 115). 129 La U.C. 1 data del s. XV y la U.C. 3, del año 1283. 130 Es indudable la procedencia catalana de las U.C. 1 y 3, que quizá se pueda extender a la U.C. 2. 95 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1069#1_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj40117741,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/bamberg-staatsbibliothek-astron-1-(hj-v-1)-manuscript/7468 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1070#1_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj40117730,T http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1062#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj40119489,T http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12562#1_58 https://cataleg.bnc.cat/search~S13*spi?/cMs.+39/cms+39/1%2C81%2C81%2CB/frameset&FF=cms+39&1%2C1%2C http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12565#4_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12562#166471 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12562#166471 LA OBRA DE SACROBOSCO 20. Barcelona, Biblioteca de Catalunya, 634 92 ff., papel y pergamino, ca. 200 × 140 mm, s. XVin., origen: ¿Cataluña? Spher.: ff. 2v-14v. Obras de astronomía y, sobre todo, astrología, incluyendo obras sobre instrumentos astronómicos (cuadrante, esfera, astrolabio). Cordoliani (1950, 123-4); Kristeller (1989, vol. 4, 489); Burnett (1996b, 1-6). BNC Cat. (cons. 08/06/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 12/04/2021); Mirabile (cons. 03/03/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 21. Basel, Universitätsbibliothek, A.X.73 230 ff., papel, 215 × 145-150 mm, s. XV (datado: años 1392, 1404, 1415), origen: Viena y Constanza. Algor.: ff. 111r-119v (incompleto131). Obras de astronomía (incluidos opúsculos sobre instrumentos de medida, calendarios y un comentario a la Spher.) y obras sobre el cómputo. Ph. Schmidt (1919, 208, n.º 166); Scarpatetti (1977, 100, n.º 269). Handschriftencensus (cons. 12/04/2021); Jordanus (cons. 12/04/2021); Mirabile (cons. 12/04/2021); Swisscollections (cons. 25/05/2021). 22. Basel, Universitätsbibliothek, B.X.35 Ms. compuesto, 5 U.C. I + I (papel) + 120 ff., pergamino, 139-140 × 950 mm, s. XIV (U.C. 2)132, origen: desconocido (prov.: monasterio cartujo de Basilea). U.C. 2 (ff. 29-40), Spher.: ff. 29r-39v. En la U.C. 2, además de la Spher., se encuentra una serie de tratados sobre métrica y nociones astronómicas y astrológicas, incluida la composición del astrolabio. Las otras U.C. presentan un contenido variado, donde se cuentan obras teológicas, tratados gramaticales, sobre retórica, epístolas y sentencias moralizantes. Meyer y Burckhardt (1966, vol. 2, 767-80); Bursill-Hall (1981, 28, n.º 19.8); Janner y Jurot (2001, 47). Jordanus (cons. 12/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 04/03/2021); Swisscollections (25/05/2021). 23. Basel, Universitätsbibliothek, F.II.8 208 ff., papel, ca. 204 × 113 mm, s. XV (datado: años 1468, 1469, 1470), origen: desconocido (prov.: monasterio cartujo de Basilea). Spher.: ff. 22r-44v. El manuscrito contiene, además de este tratado, varias obras de Aristóteles en su traducción al latín y una obra de aritmética. Hughes (1972, 15-6). Jordanus (cons. 12/04/2021); Ptolemaeus (cons. 12/04/2021). 24. Basel, Universitätsbibliothek, F.IV.25 55 ff., pergamino, ca. 203 × 144 mm, s. XIII-XIV, origen: desconocido. 131 Le faltan los últimos capítulos sobre las raíces cuadradas y cúbicas. 132 La datación es igual para las U.C. 1, 3 y 5, mientras que la U.C. 4 data del s. XIII. 96 https://cataleg.bnc.cat/search~S13*spi?/cMs.+6329/cms+6329/-3%2C-1%2C0%2CB/frameset&FF=cms+634&1%2C1%2C http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28557 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12605#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/barcelona-biblioteca-de-catalunya-(olim-biblioteca-manuscript/3462 http://ptolemaeus.badw.de/ms/603 https://handschriftencensus.de/24800 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7944#3_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/basel-b%C3%A2le-universit%C3%A4tsbibliothek-(olim-%C3%B6ffentlich-manuscript/160734 https://swisscollections.ch/Record/9972432549505504 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7952#1_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90539924,T https://swisscollections.ch/Record/9972440060205504 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7956#2_58 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/7956 La tradición manuscrita Algor.: ff. 11ra-13vb (mútilo)133. El manuscrito contiene, además de esta obra, un cómputo y un calendario. Ph. Schmidt (1919, 240, n.º 462); Hughes (1972, 31-2). Jordanus (cons. 12/04/2021). 25. Basel, Universitätsbibliothek, F.IV.50 272 ff., papel, 211 × 145 mm, s. XV (datado: años 1472 y 1473), origen: Duisburgo. Algor.: ff. 87v-105r. Además de esta obra, tratados gramaticales y religiosos y obras sobre el cómputo y calendarios. Hughes (1972, 35-8); Scarpatetti (1977, 188, n.º 523); Nothaft (2014, 379). Handschriftencensus (cons. 12/04/2021); Jordanus (cons. 12/04/2021); Mirabile (cons. 12/04/2021). 26. Basel, Universitätsbibliothek, F.VI.77 255 ff., papel, 215 × 152 mm, s. XIV-XV, origen: desconocido (prov.: monasterio cartujo de Basilea). Spher.: ff. 160r-181r. Contiene una serie de tratados filosóficos, astronómicos, de cómputo y matemáticos. Hughes (1973, 38-9); Scarpatetti (1977, 295, n.º 570). Handschriftencensus (cons. 12/04/2021); Jordanus (cons. 12/04/2021). 27. Basel, Universitätsbibliothek, F.VII.12 231 ff., papel, 205-210 × 140-145 mm, s. XV1/2, origen: Basilea. Algor.: ff. 130r-145r (con glosas). Obras sobre cómputo y astronomía además de otros muchos y variados tratados: sentencias, sermones y la vida de san Hugberto en alemán, Tomás de Aquino, matemática en latín y en alemán, botánica, sobre los colores, el Apocalipsis y recetas de cocina en alemán. Escher (1917, 128, n.º 159); Hughes (1972, 39-41, n.º 31); Scarpatetti (1977, 209 n.º 579). e-codices (cons. 04/03/2021); Handschriftencensus (cons. 04/03/2021); Jordanus (cons. 12/04/2021); Swisscovery (cons. 24/05/2021). 28. Basel, Universitätsbibliothek, F.VIII.16 206 ff., papel, 200 × 142 mm, s. XV (datado: años 1433, 1436, 1437), origen: sur de Alemania. Algor.: ff. 2r-12v y 36v-38r. Obras bíblicas, matemáticas (entre las que se incluyen un comentario al Algor.), de cómputo y calendarios. Hughes (1972, 41-3, n.º 32); Scarpatetti (1977, 213); Bodemann y Dabrowski (2000, 22). DTM (cons. 12/04/2021); Handschriftencensus (cons. 26/04/2022); Jordanus (cons. 12/04/2021). 29. Basel, Universitätsbibliothek, O.II.7 Ba 167 ff., pergamino, 320 × 230 mm, s. XIII (datado: años 1291-1292), origen: Francia (prov.: monasterio dominico de Basilea). Algor.: ff. 1ra-5va; Spher.: ff. 13ra-20va; Compot.: ff. 23ra-38vb. 133 Aunque el inicio se mantiene incólume, algunos de los folios de la mitad del tratado se han perdido, así como el final de la obra. 97 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7967#2_58 https://handschriftencensus.de/22129 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7972#1_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/basel-b%C3%A2le-universit%C3%A4tsbibliothek-(olim-%C3%B6ffentlich-manuscript/9615 https://handschriftencensus.de/22130 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7974#1_58 https://www.e-codices.ch/en/description/ubb/F-VII-0012/HAN https://handschriftencensus.de/22131 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7975#5_58 https://swisscovery.slsp.ch/permalink/41SLSP_NETWORK/1ufb5t2/alma991018619894005509 http://dtm.bbaw.de/HSA/Basel_700279460000.html https://handschriftencensus.de/6883 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7976#1_58 LA OBRA DE SACROBOSCO Obras de aritmética, astronomía (incluida la Theorica planetarum), cómputo y tablas astronómicas. Escher (1917, 68); Smichdt (1919, 244, n.º 497); Zinner (1925, 152-3); Hughes (1972, 46-9, n.º 36); Knorr (1997°, 30, 59, 62). Jordanus (cons. 12/04/2021); Swisscollections (cons. 25/05/2021). 30. Basel, Universitätsbibliothek, Inc. 657 Ms. compuesto, manuscrito e impreso. 80 ff., papel, 277 × 199 mm, s. XVI (datado: año 1541), origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-16v. Obras de astronomía y matemáticas. Parece que el códice incluye un impreso de finales del s. XV sobre De arte loquendi et tacendi, lo que hace de este libro un compuesto híbrido entre manuscrito e impreso. Hughes (1972, 44-5, n.º 34). Jordanus (cons. 12/04/2021); Mirabile (cons. 12/04/2021); Ptolemaeus (cons. 12/04/2021). 31. Bergamo, Biblioteca Civica Angelo Mai, 266 Ms. compuesto, 14 U.C. III + 260 + IV ff., papel134, 206 × 145 mm, s. XV (datado: año 1467; U.C. 6)135, origen: ¿París? U.C. 6 (ff. 92-120), Spher.: ff. 102r-119r136. En la U.C. 6, la Spher. va precedida por un tratado sobre métrica. El resto de U.C. presenta un contenido variado con una predominancia de textos gramaticales y patrísticos, si bien no faltan tratados moralizantes. Kristeller (1963, vol. 1, 10, n.º Delta IV 30); Agrimi (1976, 7, n.º 10); Lo Monaco (2003, 43- 4). BDL (cons. 04/03/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Manus (cons. 04/03/2021); Mirabile (cons. 04/03/2021). 32. Bergamo, Biblioteca Civica Angelo Mai, 279 42 ff., pergamino, 192 × 128 mm, s. XV, origen: desconocido (prov.: biblioteca de Bérgamo). Spher.: ff. 1r-22r. Siguen a la Spher. la Theorica planetarum y el tratado de Euclides sobre la geometría. Manus (cons. 04/03/2021). 33. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Hamilton 213 Ms. compuesto, 3 U.C. II, 68 ff., pergamino, 210 × 140 mm, s. XV, origen: Italia. U.C. 2 (ff. 41-58), Algor.: ff. 41r-58v. La U.C. 2 está compuesta íntegramente por el Algor., mientras que la U.C. 1 presenta la Periegesis de Prisciano de Cesarea y la U.C. 3, la Vita Dionisii Poetae. 134 Excepto los ff. 121-151, los cuales componen la U.C. 7, que son membranáceos. 135 El siglo de copia es idéntico para el resto de U.C., a excepción de la U.C. 7, datada en el s. XIII-XIV. 136 Según Agrimi (1976, 7, n.º 10), la obra no sería exactamente la Spher. de Sacrobosco sino un comentario a la misma. Sin embargo, tras examinar el códice en BDL (cons. 04/03/2021), podemos confirmar que se trata del tratado de Sacrobosco con un comentario inédito de apenas una página de extensión al final, con el siguiente inc.: Notandum quod sunt vii celi scilicet aereum, ethereum, igneum, sidereum, aquereum [sic] sive cristalinum et epireum. 98 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7981#1_58 https://swisscollections.ch/Record/9972432674805504 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7977#1_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/basel-b%C3%A2le-universit%C3%A4tsbibliothek-(olim-%C3%B6ffentlich-manuscript/136410 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/7977 https://www.bdl.servizirl.it/vufind/Record/BDL-OGGETTO-4035 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28558 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=234636 http://www.mirabileweb.it/manuscript/bergamo-biblioteca-civica-angelo-mai-ma-266-(delta-manuscript/94687 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=247834 https://www.bdl.servizirl.it/bdl/bookreader/index.html?path=fe&cdOggetto=4035#page/246/mode/2up La tradición manuscrita Boese (1966, 105-6); Folkerts (1981, 62, n.º 8); Ambrosetti (2008, 360). Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/03/2021); Mirabile (cons. 04/03/2021). 34. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 2º 192 Ms. compuesto, 6 U.C. 225 ff., papel y pergamino137, 220-230 × 140-160 mm, s. XV, origen: desconocido (U.C. 1)138 (prov.: Trier, S. Maximin). U.C. 1 (ff. 1-32), Algor.: ff. 9v-12r. La U.C. 1 incluye obras de astronomía (incluida la Theorica planetarum) con tratados sobre instrumentos de medida (varios sobre el cuadrante, astrolabio) y tablas. En las U.C. 2-6 la temática continúa siendo eminentemente científica: astronomía, física, metereología, geología, medicina. Rose (1903-5, 1199-209, n.º 963); Folkerts (1981, 63, n.º 11); Kristeller (1967, vol. 3, 474); Ambrosetti (2008, 360). Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/03/2021); Mirabile (cons. 08/06/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 35. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 2º 438 163 ff., papel, in folio, s. XV (datado: año 1421), origen: deconocido (copista: Johannes Sellator). Algor.: ff. 118r-121v (con glosas, incompleto)139. Tratados de teología, matemática y astronomía. Folkerts (1981, 65-6, n.º 15); Ambrosetti (2008, 360). Mirabile (cons. 08/06/2021). 36. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 2º 610 Be 250 ff., pergamino, 312 × 226 mm, s. XIII (datado: años 1276, 1277), origen: ¿París? Algor.: ff. 15r-21r (con glosas); Spher.: ff. 21r-33v; Compot.: ff. 34r-56r. Obras de astronomía, incluido un tratado sobre el cuadrante y la Theorica planetarum. Bib. Phil. (1899, vol. 10, n.º 78); Zinner (1962, 12-3); Brandis (1975, 102-3, n.º 87); Folkerts (1981, 66, n.º 19); F.S. Pedersen (2002, 92-3); Ambrosetti (2008, 359). Jordanus (cons. 13/04/2021); Mirabile (cons. 08/06/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 37. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 46 302 ff., papel, 160-180 × 110 mm, s. XV (datado: años 1449, 1455), origen: Osnabrück. Algor.: ff. 185r-212r (con glosas y comentarios); Spher.: ff. 238r-252v140. Obras de matemática, cómputo, astronomía (con numerosos comentarios); un tratado sobre cómo escribir y algunos doctrinales. Rose (1903-5, 1192-96, n.º 960); Zinner (1925, 156); Folkerts (1981, 68-9, n.º 26); Ambrosetti (2008, 361); Nothaft (2014, 379). Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/03/2021). 137 Son de pergamino los ff. 1-32, donde se incluye U.C. 1, y de papel los ff. 33-225. 138 Aunque no sabemos el origen de los folios que conforman la U.C. 1, Rose (1903-5, 1199-209, n.º 963) apunta un origen inglés para los ff. 71-151 a tenor de su análisis paleográfico. 139 El tratado acaba en el capítulo sobre la progresión, faltando los último de raíces cuadradas y cúbicas. 140 Inmediatamente a continuación comienza un comentario a la Spher. que presenta el siguiente incipit: Circa inicium tractatus spere materialis quia est de astronomia. 99 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3133#4_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90017940,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/berlin-staatsbibliothek-zu-berlin-preu%C3%9Fischer-kult-manuscript/136528 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1132#8_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj60001932,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/berlin-staatsbibliothek-zu-berlin-preu%C3%9Fischer-kult-manuscript/114674 http://ptolemaeus.badw.de/ms/606 https://www.mirabileweb.it/manuscript/berlin-staatsbibliothek-zu-berlin-preu%C3%9Fischer-kult-manuscript/136524 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1148#8_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/berlin-staatsbibliothek-zu-berlin-preu%C3%9Fischer-kult-manuscript/136510 https://ptolemaeus.badw.de/ms/523?mark=%28%3Fis%29%28Sacrobosco%29 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1185#14_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj60001929,T LA OBRA DE SACROBOSCO 38. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 97 243 ff., papel, 150-170 × 100-120 mm, s. XV, origen: desconocido. Spher.: ff. 122r-145r. El códice contiene la Summa naturalium de Ps. Alberto Magno, tratados sobre el cómputo y astronómicos y algunas obras filosóficas sobre ciencias naturales. Rose (1903-5, 1246-7, n.º 982); Zinner (1925, 155); Nothaft (2014, 380). Fama (cons. 28/05/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 04/03/2021); Mirabile (cons. 04/03/2021). 39. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 179 39 ff., papel, 220 × 155 mm, s. XV (datado: año 1414), origen: Jawor. Spher.: ff. 1r-39r. Solo contiene la Spher. Schipke (2007, 163-4). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/03/2021); Mirabile (cons. 04/03/2021). 40. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 181 68 ff., papel, 220 × 155 mm, s. XIV-XV, origen: Alemania. Algor.: ff. 1r-6v. Obras de matemática, cómputo y calendario, astronomía, estatutos y constituciones; tratados de medicina y otros opúsculos misceláneos, algunos en alemán. Folkerts (1981, 69, n.º 28); Schipke (2007, 165-9); Ambrosetti (2008, 361). Jordanus (cons. 13/04/2021); Handschriftencensus (cons. 04/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 13/04/2021). 41. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 183 244 ff., papel141, 210 × 160 mm, s. XV (datado: años 1489-1491)142, origen: Cracovia143. Algor.: ff. 96v-114v (con glosas); Spher.: ff. 132r-152v. Tratados sobre el significado de las cosas, un compendio de métrica, tablas astronómicas escritas en alemán, manuales astronómicos, varios de ellos sobre el cómputo, Tomás de Aquino con comentarios y un compendio sobre el tratado meteorológico de Aristóteles. Folkerts (1981, 69, n.º 29); Schipke (2007, 171-5); Ambrosetti (2008, 361). Fama (cons. 04/03/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021); Mirabile (cons. 04/03/2021). 42. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 382 Ms. compuesto, 9 U.C. I + 345 + I ff., papel, 210 × 155 mm, s. XV (datado: años 1478-1480), origen: Alemania144. U.C. 7 (ff. 287-310), Algor.: ff. 299r-310v (incompleto)145. La U.C. 7 contiene los Secreta mulierum y el Algor. El resto de U.C. son de carácter misceláneo, con tratados escritos en latín y alemán en los que abunda el contenido 141 Excepto los ff. 1 y 244 que son de pergamino. 142 Excepto en los ff. 1 y 244, donde se leen fragmentos del s. XIV. 143 Al final del Algor. el copista añade: Telos et finis huius per me Thomam Skzyothla anno domini 1490; no tenemos más noticia que esta sobre este escriba. 144 La U.C. 3 fue copiada por el escriba Johannes Gramug. 145 El tratado finaliza con el capítulo sobre la progresión, faltando los últimos sobre raíces cuadradas y cúbicas. Des.: Et erunt novem summa tocius progressionis. 100 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28559 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj60001956,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/berlin-staatsbibliothek-zu-berlin-preu%C3%9Fischer-kult-manuscript/103992 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28560 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1192#1_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj60003034,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/berlin-staatsbibliothek-zu-berlin-preu%C3%9Fischer-kult-manuscript/130940 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1194#1_58 https://handschriftencensus.de/20225 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj60003036,T http://fama.irht.cnrs.fr/en/manuscrit/37252 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1195#4_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/berlin-staatsbibliothek-zu-berlin-preu%C3%9Fischer-kult-manuscript/131694 La tradición manuscrita moralizante, propedéutico (gramática y retórica especialmente) y ciertas nociones de astronomía (sobre todo en U.C. 8). Förster y Mayer (1883, 136, n.º 2535); Sottili (1975, 35-41, n.º 232); Folkerts (1981, 70, n.º 31); Schipke (2007, 489-96); Ambrosetti (2008, 361). Handschriftencensus (cons. 04/03/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 13/04/2021); Mirabile (cons. 04/03/2021). 43. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 517 136 ff., pergamino, in quarto, s. XV (datado: año 1406), origen: desconocido. Spher.: ff. 70r-85r. Obras de astronomía y cómputo. Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 13/04/2021). 44. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 530 II + 97 ff., papel, 262 × 190 mm, s. XIV-XV, origen: desconocido (prov.: Biblioteca privada de Boncompagni). Algor.: ff. 81r-89v (mútilo)146. El manuscrito contiene la Perspectiva del teólogo franciscano John Pecham, un tratado de geometría, un comentario al Algor. de Sacrobosco y esta misma obra. Narducci (1892, 307, n.º 535); Folkerts (1981, 74, n.º 41); Ambrosetti (2008, 361). Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 04/03/2021); Ptolemaeus (cons. 04/03/2021). 45. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 561 50 ff., pergamino, 215 × 145 mm, s. XIV, origen: desconocido. Algor.: ff. 15r-26r147. Tratados de aritmética (incluido el Carmen de algorismo) enfocados especialmente en la multiplicación. Folkerts (1981, 74-5, n.º 42). Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons 04/03/2021); Ptolemaeus (cons. 04/03/2021). 46. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 576 198 ff., papel, 221 × 146 mm, s. XV (datado: año 1482), origen: norte de Italia. Spher.: ff. 60r-79v. Tratados de astronomía y geometría principalmente. Narducci (1892, 75-7, n.º 121 [247]); Folkerts (1981, 75, n.º 43). Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 13/04/2021); Ptolemaeus (cons. 13/04/2021). 47. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 577 149 ff., papel, 215 × 145 mm, s. XV (datado: año 1418), origen: Paderborn. Algor.: ff. 9v-23r. Obras matemáticas y de cómputo en latín y alemán; también hay tablas astronómicas. 146 Falta un folio al final, quedando mutilado el último capítulo. 147 A pesar de que el desinit de la obra pueda llevar a parecer que la obra está inconclusa (summa totius progressionis), en realidad esto se debe a que este testigo transmite el capítulo sobre la progresión después de los correspondientes a las raíces cuadradas y cúbicas. 101 http://www.handschriftencensus.de/20231 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1202#3_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj60003243,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/berlin-staatsbibliothek-zu-berlin-preu%C3%9Fischer-kult-manuscript/130901 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1215#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31019444 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1219#4_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31019457 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/1219 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1222#5_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31019488 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/1222 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1225#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31019503 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/1225 LA OBRA DE SACROBOSCO Narducci (1892, 206-7, n.º 350 [330]); Folkerts (1981, 75, n.º 44); Ambrosetti (2008, 360). Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/03/2021). 48. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 583 48 ff., pergamino, 226 × 168 mm, s. XIV1/2, origen: ¿Landshut (Baviera)? Compot.: ff. 1r-27r. Tratados de astronomía, astrología y diversas tablas. Narducci (1892, 190-1, n.º 328 [327]). Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/03/2021). 49. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 587 241 ff., papel, 222 × 152 mm, s. XV (datado: año 1446), origen: Erfurt (copista: Nikolaus Currificis de Freiberg). Algor.: ff. 126r-159v (incompleto, con comentario) y ff. 188r-191v (incompleto)148. Obras de aritmética, cómputo y tratados sobre instrumentos de medida en latín y alemán. Narducci (1892, 246-9, n.º 404); Folkerts (1981, 76-8, n.º 46); Ambrosetti (2008, 360); Nothaft (2014, 380). Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/03/2021). 50. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 787 228 ff., papel, in quarto, s. XV, origen: monasterio cartujo de Buxheim. Algor.: ff. 97r-106r (incompleto, con comentario)149. Tratados de medicina y regímenes, retórica, gramática y aritmética. Folkerts (1981, 78, n.º 47); Ambrosetti (2008, 361). Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/03/2021). 51. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 898 100 ff., pergamino, in quarto, s. XIII, origen: ¿Francia? ¿Trier? (prov.: S. Maximin, Trier)150. Algor.: ff. 5r-13r; Spher.: ff. 13v-32v; Compot.: ff. 33r-70v; Quadr.: ff. 91v-97r. Obras aritméticas, astronómicas y de cómputo, tablas y calendarios y dos tratados sobre el cuadrante. Zinner (1962, 11); Folkerts (1981, 79, n.º 50); Knorr (1997b, 215). Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/03/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 148 En la primera copia, la de los ff. 126r-159v, faltan los dos últimos capítulos sobre las raíces cuadradas y cúbicas (Des.: Et erunt novem summa tocius progressionis). En la segunda copia, la de los ff. 188r-191v, tan solo se transmiten los capítulos sobre las raíces cuadradas y cúbicas (Inc.: Extractio Radicum. Sequitur de radicum extractione et primo in numeris quadratis). 149 El tratado presenta únicamente los primeros capítulos de la obra hasta la resta incluida. Des.: est enim subtractio addicionis probacio et econtra. etc. 150 En la bibliografía consultada este manuscrito aparece datado en el s. XIV, con un lugar de procedencia incierto, quizá Trier. Sin embargo, a juzgar por las miniaturas que presenta, de un estilo idéntico a las que encontramos en los manuscritos franceses o del sur de Inglaterra del s. XIII, consideramos que habría que atrasar un siglo la datación del manuscrito. Esta nueva fecha de composición viene avalada por el análisis paleográfico del manuscrito, cuyas grafías son prácticamente idénticas al códice n.º 459, escrito ante 1262, que también contiene miniaturas del mismo estilo que este ejemplar. Respecto a su lugar de origen, consideramos más probable que sea francés por los argumentos dados, pero no descartamos que pudiera haber sido copiado en zonas colindantes, como la propia ciudad de Trier. 102 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1226#1_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31019504 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31019509 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1232#22_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31019513 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1234#5_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31019616 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1237#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31019723 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/1237 La tradición manuscrita 52. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 926 96 ff., papel, in quarto, s. XV, origen: Alemania. Algor.: ff. 54r-75r (con glosas). Reglas gramaticales y tratados de aritmética en latín y alemán. Folkerts (1981, 79-80, n.º 51); Ambrosetti (2008, 361). Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/03/2021). 53. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 8º 157 52 ff., pergamino, in octavo, s. XIV, origen: desconocido (prov.: biblioteca personal de Sir Tomas Phillipps, Inglaterra). Algor.: ff. 46v-52v (mútilo)151. Obras de cómputo y aritmética. Bib. Phil. (1897, 80, n.º 632); Folkerts (1981, 80-1, n.º 54). Jordanus (cons. 13/04/2021). 54. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 8º 267 150 ff., papel, in octavo, s. XV, origen: desconocido. Algor.: ff. 63v-66r (mútilo, con comentario y glosas)152. Obras de gramática, música, teología y astronomía. Kristeller (1967, vol. 3, 480); Folkerts (1981, 82, n.º 58); Ambrosetti (2008, 360). Jordanus (cons. 13/04/2021). 55. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 8º 416 118 ff., papel, in octavo, s. XIV (datado: años 1357-1359), origen: Alemania. Compot.: ff. 2r-25v153. Obras de cómputo, astronomía, incluidas tablas, calendarios y astrología, algunas en alemán. Folkerts (1981, 82, n.º 59). Jordanus (cons. 13/04/2021); Ptolemaeus (cons. 13/04/2021). 56. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, theol. Lat. 8º 111 48 ff., papel, ca. 150 × 100 mm, s. XV, origen: desconocido (prov.: Archivos estatales de Alemania) (copista: Johannis de Bacis)154. Algor.: ff. 35r-44r. Obras de cómputo y aritmética fundamentalmente. Rose (1903-5, 1186-7, n.º 958); Folkerts (1981, 85, n.º 72); Ambrosetti (2008, 361). BVMM (cons. 12/03/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/03/2021). 151 La obra se transmite hasta la mitad del capítulo de la progresión, faltando el final de la obra. Des.: imparibus media pars maior multiplicetur per medietatem posicionem multiplicentur extrema coniuncta. 152 La obra queda interrumpida hacia el final del primer capítulo, este es, sobre la numeración. Des.: Notandum etiam quod quelibet figura primo loco posita significat suum digi. 153 Esta obra, aunque adscrita a Sacrobosco, se presenta con el título Computus philosophicus. Al no disponer del incipit de la misma, cabría la posibilidad de que no fuera el Compot. de Sacrobosco, sino una obra homónima. 154 En el explicit del Algor. se da el nombre del copista: Johannis de Bacis, del cual no tenemos más noticia que el hecho de que aparezca aquí escrito. 103 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1238#4_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31019751 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1169#6_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1175#10_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1176#2_58 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/1176#12_10 https://bvmm.irht.cnrs.fr/consult/consult.php?reproductionId=5261 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1244#14_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj60001927,T LA OBRA DE SACROBOSCO 57. Bern, Burgerbibliothek, 454 150 ff., papel y pergamino155, in octavo, s. XIV, origen: desconocido. Spher.: ff. 44r-54v. Tratados astronómicos (incluida la Theorica planetarum) y numerosas tablas astrales. Hagen (1875, 396); Zinner (1925, 154). Bibale (cons. 12/03/2021); Fama (cons. 12/03/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021); Medium (cons. 12/03/2021). 58. Bern, Burgerbibliothek, 483 198 ff., papel, in octavo, s. XIV-XV, origen: desconocido. Spher.: ff. 54r-61v. Tratados de astronomía, fenómenos atmosféricos y una obra sobre aritmética. Hagen (1875, 413-4); Zinner (1925, 154). Fama (cons. 12/03/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 59. Bernkastel-Kues, Bibliothek des S. Nikolaus-Hospitals (Cusanusstiftsbibliothek), 212 III + 407 ff., papel y pergamino156, 298 × 215 mm, s. XV (datado: años 1416, 1421, 1430), origen: ¿Italia septentrional? Spher.: ff. 146r-166r. Tratados sobre astronomía (donde se incluyen excerpta, comentarios y glosas), tablas astronómicas, opúsculos sobre instrumentos de medida astral y una obra sobre aritmética. Marx (1905, 203-8); Zinner (1925, 155); Krchňák (1963, 168-71); U. Roth (2001, 1-29); Hadravová y Hadrava (2019, 28). HMML (cons. 12/03/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 60. Beromünster, Stiftsbibliothek, C 40 Ms. compuesto, 2 U.C. 150 ff., papel, 290 × 210 mm, s. XV (datado: año 1451, U.C. 2157), origen: ¿Heidelberg? U.C. 2 (ff. 199r-211r), Spher.: ff. 199r-211r. La U.C. 2 está compuesta exclusivamente por la Spher., mientras que la U.C. 1 contiene Quaestiones sobre los libros de Aristóteles. Kopp (1904, 20); Zinner (1925, 156); Führer y Mangold (2020, 79-81). Swisscovery (cons. 24/05/2021). 61. Bologna, Biblioteca dell’Archiginnasio, Coll. A.51 I + 104 + II ff., pergamino, 178 × 130 mm, s. XIV, origen: ¿Venturoli? Algor.: ff. 1r-10v; Spher.: ff. 11r-30r; Compot.: ff. 30v-63r. El manuscrito contiene las obras de Sacrobosco, tablas astronómicas, un tratado sobre el cuadrante y otro doctrinal. IBI (1924, vol. 30, 34); Roversi (1987, 706); Bellettini (2001, 150-1). Archiginnasio (cons. 12/03/2021). 155 Hagen (1875, 396) dice partim membr. partim chart. sin especificar los folios concretos de uno y otro material. 156 Son de pergamino los ff. 1-117 y de papel los ff. 118-407. 157 La U.C. 1 data tambiñén de mediados del s. XV. 104 http://bibale.irht.cnrs.fr/50211 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/31145 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8007#5_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100035214 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/29977 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8009#3_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/bern-universit%C3%A4tsbibliothek-burgerbibliothek-(bibl-manuscript/171075 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/8009 http://18.235.151.129/detail.php?msid=110154 http://www.mirabileweb.it/manuscript/bernkastel-kues-bibliothek-des-st-nikolaus-hospita-manuscript/41777 http://ptolemaeus.badw.de/ms/18 https://swisscovery.slsp.ch/permalink/41SLSP_NETWORK/1ufb5t2/alma991170473387205501 http://badigit.comune.bologna.it/books/A51/scorri.asp?Id=1 La tradición manuscrita 62. Bologna, Biblioteca Universitaria, 154 (132) 142 + VII ff., pergamino, 235 × 172 mm, s. XIV, origen: desconocido (prov.: biblioteca de Giovanni Garzoni, Bolonia). Algor.: ff. 128r-133r; Spher.: ff. 133r-141v. Tratados astronómicos principalmente, con tablas y opúsculos sobre instrumentos de medida (astrolabio, cuadrante). Frati (1908, 166-7); Thorndike (1959b, 43-5); Thorndike y Kibre (1963, 991); Ambrosetti (2008, 378). Jordanus (cons. 13/04/2021). 63. Bologna, Biblioteca Universitaria, 164 (153) Ms. compuesto, 2 U.C. I + 161 + II ff., pergamino, 260 × 180 mm, s. XIV, origen: desconocido (prov.: biblioteca de Carlo Francesco Caprara). (U.C. 1, ff. 3-58), Algor.: ff. 53r-56r. La U.C. 1 contiene obras de cirugía, ciencias naturales, recetas médicas, cetrería y aritmética; la U.C. 2, en cambio, es un palimpsesto, con textos superiores didáctico-morales y religiosos escritos sobre un texto inferior que parece de derecho canónico. Frati (1908, 169-70); Ambrosetti (2008, 378). Jordanus (cons. 13/04/2021); Manus (cons. 13/04/2021). 64. Bologna, Biblioteca Universitaria, 495 (869) 39 ff., pergamino, 134 × 82 mm, s. XV, origen: Milán. Spher.: ff. 1r-39v. Contiene únicamente la Spher. Frati (1908, 278). 65. Bologna, Biblioteca Universitaria, 1444 (2739) 63 ff., pergamino, 205 × 140 mm, s. XV, origen: desconocido (prov.: Venecia). Spher.: ff. 1r-63v. Solo contiene esta obra. Frati (1909, 99). 66. Boston, Medical Library, 20 193 ff., pergamino, 180 × 120 mm, s. XIV (datado: año 1345), origen: Inglaterra. Algor.: ff. 8v-15r158; Spher.: ff. 88r-97v. Obras de aritmética (incluido el Carmen de algorismo), astronomía (incluidos opúsculos sobre instrumentos de medida y la Theorica planetarum), música, astrología, metereología y un calendario. De Ricci y Wilson (1935, vol. 1, 914-5); Thorndike (1949a, 66-7); Thorndike y Kibre (1963, 301); Glorieux (1971, 235); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 218). Jordanus (cons. 13/04/2021). 67. Boston, Medical Library, 29159 35 ff., papel, 210 × 150 mm, s. XV, origen: Austria. 158 El Algor. presenta el incipit alternativo: Cum hec scientia de numerus que algorismus. 159 Este manuscrito es un membrum disiectum: antes formaba parte de Melk, Benediktinerstift, Cod. s.n. 11 (864, P 58), ocupando los ff. 39-102 del mismo. 105 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8266#2_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8268#1_58 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=217960&lang=en http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/26#27_58 LA OBRA DE SACROBOSCO Compot.: ff. 13r-35v (mútilo)160. El manuscrito contiene un calendario y un libro de dietas además de esta obra mútila de Sacrobosco. Faye y Bond (1962, 204, n.º 29). Manuscripta (cons. 29/03/2021). 68. Brescia, Biblioteca Civica Queriniana, A.IV.11 I + 105 + I ff., papel, 287 × 215 mm, s. XV (datado: año 1440), origen: Venecia. Algor.: ff. 57v-62v. Obras astronómicas con tablas, de meteorología y aritmética. Kristeller (1963, vol. 1, 31); Agrimi (1976, 46-7, n.º 53); Marchioli y Pantarotto (2008, 12- 3, n.º 5). Mirabile (cons. 12/03/2021). 69. Brescia, Biblioteca Civica Queriniana, D.VI.16 III + 70 ff., papel, 213 × 140 mm, s. XV, (datado: año 1463), origen: desconocido. Spher.: ff. 26r-51r (con el comentario de Cecco d’Ascoli). Obras astronómicas y astrológicas. Kristeller (1963, vol. 1, 31); Agrimi (1976, 53-4, n.º 60); Marchioli y Pantarotto (2008, 37, n.º 50). Manus (cons. 12/03/2021). 70. Brescia, Biblioteca Civica Queriniana, D.VII.9 II + 79 + II ff., papel, 210 × 154 mm, s. XV, origen: Brescia. Algor.: ff. 72r-78r. Tratados doctrinales y consejos. Kristeller (1963, vol. 1, 36); Ruggeri (2004, 118-21). Mirabile (cons. 12/03/2021). 71. Bressanone, Seminario Maggiore, E.15 214 ff., papel, 215 150 mm, s. XV, origen: Alemania meridional. Algor.: ff. 170r-184v. El manuscrito contiene florilegios, vidas de santos, una obra sobre el cómputo, algunas religiosas y otros tratados en latín y alemán. Handschriftencensus (cons. 29/03/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021). 72. Bressanone, Seminario Maggiore, S.1 132 ff., papel, 205 × 150 mm, s. XV (datado: año 1415 y 1418), origen: ¿Alemania meridional? Spher.: ff. 2r-31v. Además de esta obra, contiene un comentario a la Spher., obras de medicina y sobre el alma en latín y alemán. Manuscripta (cons. 29/03/2021). 160 En Faye y Bond (1962, 204, n.º 29) tan solo se dice «incomplete», no sabiendo exactamente cuánto falta del tratado. Puesto que transmiten el incipit de la obra, entendemos que la mutilación afecta a la parte final de la obra. 106 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=41565 http://www.mirabileweb.it/manuscript/brescia-biblioteca-civica-queriniana-a-iv-11-manuscript/6617 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=242770 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/brescia-biblioteca-civica-queriniana-d-vii-9-manuscript/170398 https://handschriftencensus.de/26009 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=35138 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=35189 La tradición manuscrita 73. Brno, Moravská Zemská Knihovna, Mk 66 (II. 63) I + 205 ff., papel, 225 × 160 mm, s. XV (datado: años 1474, 1475), origen: desconocido. Spher.: ff. 2r-30v. Obras astronómicas con tablas, filosofía natural y tratados sobre gramática y las partes de la oración; llaman la atención los numerosos folios que han quedado en blanco entre las obras. Dokoupil (1958, 113-5). Czech Libraries (cons. 12/03/2021). 74. Brugge, Openbare Bibliotheek, 521 Ms. compuesto, 2 U.C. I + 120 ff., pergamino, 340 × 225 mm, s. XIV, origen: desconocido (prov.: Notre-Dame des Dunes, Bélgica, U.C. 2)161. U.C. 2 (ff. 114-120), Algor.: ff. 114r-116r; Compot.: ff. 118r-120v (mútilo)162. La U.C. 2 está compuesta exclusivamente por estas obras con un calendario entre medias, mientras que la U.C. 1 contiene los libros de Euclides. Zinner (1925, 152); De Poorter (1934, 609-10); Glorieux (1971, 235-6); Isaac (1984, 405- 6); Ambrosetti (2008, 353). Brugge Cat. (cons. 12/03/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021). 75. Brugge, Openbare Bibliotheek, 522 I + 85 + I ff., pergamino, 263 × 185 mm, s. XIV, origen: desconocido (prov.: Saint-Martin, Tournai). Algor.: ff. 17ra-22va; Spher.: ff. 22va-32vb; Compot.: ff. 32vb-49rb. Tratados astronómicos, donde se incluyen la Theorica planetarum, obras de cómputo, tablas y opúsculos sobre la composición de instrumentos de medida (astrolabio y cuadrante). Zinner (1925, 152-4); De Poorter (1934, 610-4), Glorieux (1971, 235-6); Isaac (1984, 413, 416-7, 421, 436, 450); Hoste (1993, 220); Ambrosetti (2008, 353). Brugge Cat. (cons. 12/03/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021). 76. Brugge, Openbare Bibliotheek, 523 H Ms. compuesto, 5 U.C. I + 110 ff., pergamino, 207 × 152 mm, s. XIII2/2, origen: desconocido (prov.: ¿Ter Doest, Bélgica?)163. U.C. 5 (ff. 79-110), Algor.: ff. 86r-90v. La U.C. 5, además del Algor., contiene el tratado sobre el astrolabio de Messehallah y el Compotus de Grosseteste. El resto de U.C. presenta un contenido relacionado con la astronomía (como la Theorica planetarum) y la astrología, donde no faltan tablas y tratados sobre instrumentos de medida. De Poorter (1934, 615-8); Isaac (1984, 393, 406, 412-3, 417, 420); F.S. Pedersen (1984, vol. 2, 574); Ambrosetti (2008, 353); Nothaft (2019, 25). Brugge Cat. (cons. 12/03/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 161 La U.C. 1 quizá provenga de la abadía de Ter Doest, Bélgica. 162 Falta el final de la obra. Des.: propter diem, según Jordanus (cons. 13/04/2021). Este desinit puede responder al capítulo 12, l. 36 o al capítulo 14, l. 93 de la edición de Lohr (2020, sin publicar). 163 La datación es compartida por todas las U.C. a excepción de la U.C. 1 (ff. 1-45), que data del s. XIV y la U.C. 2, que fue copiada a finales del s. XIII o a principios del s. XIV. 107 http://www.digitalniknihovna.cz/mzk/view/uuid:1ed2eebf-297b-4006-b1d9-201ea50e4bf3?page=uuid:6be622bf-0894-4072-ad59-8f6e19790967 https://brugge.bibliotheek.be/catalogus/euclides-alexandrinus/ms-521-libri-euclidis-cum-algorismo-et-compoto-titel-fenestra/handschrift/library-v-obbrugge-oudedrukken_3377 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/277#362047 http://www.mirabileweb.it/manuscript/brugge-hoofdbibliotheek-biekorf-(stadsbibliotheek)-manuscript/24546 https://brugge.bibliotheek.be/catalogus/robertus-grosseteste/ms-522-kalendarium-tabula-gerlandi-compotus-balduini-algorismus-liber-de-spera/library-v-obbrugge-oudedrukken_3386?p=brugge_erfgoed http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/278#7_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/brugge-hoofdbibliotheek-biekorf-(stadsbibliotheek)-manuscript/136425 https://brugge.bibliotheek.be/catalogus/al-qabisi-abu-s-saqr-abd-al-aziz-ibn-utman/ms-523-canones-tabularum-illustris-regis-alfoncii-ac-eciam/library-v-obbrugge-oudedrukken_3403?p=brugge_erfgoed http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/279#19_58 http://ptolemaeus.badw.de/ms/526 LA OBRA DE SACROBOSCO 77. Brugge, Openbare Bibliotheek, 524 Ms. compuesto, 3 U.C. 74 ff., pergamino, 210 × 140 mm, s. XIII-XIV (UC 1 datada: año 1346), origen: desconocido (prov.: ¿Ter Doest, Bélgica? U.C. 1; Notre-Dame des Dunes, Bélgica, U.C. 2). U.C. 1 (ff. 1-36), Spher.: ff. 27r-35ra; U.C. 2 (ff. 37-46), Compot.: ff. 37ra-42va; Algor.: ff. 42vb-45rb. La U.C. 1 está conformada por la Spher., precedida por un comentario escrito por Henri de Sinrenbergh y una serie de tablas; por su parte, en la U.C. 2 están las dos obras citadas de Sacrobosco y el Carmen de algorismo. La última U.C. contiene un tratado de geometría. Zinner (1925, 152); De Poorter (1934, 618-20); Glorieux (1971, 235-6); Isaac (1984, 411- 2). Brugge Cat. (cons. 12/03/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021). 78. Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 905-918 258 + III ff., pergamino, in quarto, s. XIV, origen: desconocido (prov.: Saint-Martin-lès- Melle). Spher.: ff. 216r-223r. Obras de astronomía, calendario, cómputo, el Carmen de algorismo y el Secretum secretorum. Van den Gheyn (1904, 16-7, n.º 2517); Silvestre (1951, 155, 157, 159-60); Thorndike y Kibre (1963, 1525); Calcoen (1965, vol. 1, 29-30, n.º 28); Ambrosetti (2008, 353). Jordanus (cons. 13/04/2021). 79. Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 961-971 215 ff., papel, 288 × 204 mm, s. XV (datado: años 1437, 1439), origen: ¿Colonia? (prov.: cartuja de Colonia). Spher.: ff. 134r-156v (con comentarios); Compot.: ff. 174r-194r. Tratados de física, meteorología, astronomía, cómputo y calendario, muchos de ellos con comentarios. Marchal (1842, vol. 2, 90); Van den Gheyn (1904, 340-1, n.º 2913); Zinner (1925, 153); Lacombe (1939, vol. 1, 314-5, n.º 166); Calcoen (1965, vol. 1, 33-4, n.º 31); Nothaft (2014, 380). BNM-I (cons. 19/03/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021). 80. Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 1022-1047 II + 252 ff., papel y pergamino, 288 × 206 mm, s. XV, origen: Colonia (prov.: Universidad de Colonia). Algor.: ff. 210r-216v. Tratados astronómicos (incluida la Theorica planetarum), de cómputo y aritmética; tablas astronómicas. Inventaire des manuscrits (1839, 21); Michel (1949, 200-3); Silvestre (1951, 148-60); Calcoen (1965, vol. 1, 34-6, n.º 34); Manuscrits datés (1972, vol. 2, 17, 21-2); Kristeller (1967, vol. 3, 90); Ambrosetti (2008, 354). BNM-I (cons. 19/03/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 81. Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 2910-2920 R1, R2 Ms. compuesto, 2 U.C. 108 https://brugge.bibliotheek.be/catalogus/conradus-de-megenberg/ms-524-commentum-super-librum-de-spera-compotus-algorismus-prosayce-et-metrice/library-v-obbrugge-oudedrukken_3423 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/280#3_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/brugge-hoofdbibliotheek-biekorf-(stadsbibliotheek)-manuscript/186961 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/526#8_58 https://bnm-i.huygens.knaw.nl/tekstdragers/TDRA000000014691 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/529#4_58 https://bnm-i.huygens.knaw.nl/tekstdragers/TDRA000000014692 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/532#28_58 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/532 La tradición manuscrita I + 105 + I ff., pergamino, 157 × 113 mm, s. XIVin. (U.C. 1), s. XIII3/3 (U.C. 2) (ante 1262), origen: Países Bajos164. U.C. 1 (ff. 2-17), Algor.: ff. 2ra-17va (incompleto)165; U.C. 2 (ff. 18-105), Algor.: 18r-27v; Compot.: ff. 42r-76r; Spher.: ff. 78r-97r; Quadr.: ff. 97v-100v. Mientras que la U.C. 1 solo transmite el Algor., la U.C. contiene tratados sobre aritmética (incluido el Carmen de algorismo), cómputo y astronomía, donde se incluyen calendarios, predicciones astrológicas y el Quadr. Inventaire des manuscrits (1839, 59); Marchal (1842, vol. 2, 90); Zinner (1925, 152-4); Gaspar y Lyna (1937, 175-8, n.º 74); Michel (1949, 200-3); Silvestre (1951, 156, 159); Calcoen (1965, vol. 1, 55, n.º 69); Knorr (1997b, 215); Ambrosetti (2008, 353). Jordanus (cons. 13/04/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 82. Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 10117-10126 150 ff., papel, in octavo, s. XV (datado: año 1440), origen: ¿Turnhout? Algor.: ff. 14r-23v. Tratados de astronomía (incluida la Theorica planetarum) y astrología con diversas tablas, además de un opúsculo sobre el astrolabio y otro sobre el cuadrante. Michel (1949, 199-204); Silvestre (1951, 148-54); Manuscrits datés (1972, vol. 2, 73); Calcoen (1975, vol. 3, 20-2, n.º 275); Kristeller (1967, vol. 3, 99); Ambrosetti (2008, 353). Jordanus (cons. 13/04/2021). 83. Budapest, Országos Széchényi Könyvtár, Lat. 29166 45 ff., pergamino, 150 × 120 mm, s. XIV167, origen: desconocido. Algor.: ff. 1v-8r; Spher.: ff. 8r-10v (mútilo)168; Compot.: ff. 12r-36v. Además de estas obras, el manuscrito contiene notas y tablas astronómicas además del Computus de Villa Dei. Bartoniek (1940, 29-30); Zinner (1962, 21). 84. Budapest, Országos Széchényi Könyvtár, Lat. 39 Bu 31 ff., pergamino, 113 × 86 mm, s. XIII, origen: ¿Bolonia? 164 Calcoen (1965, vol. 1, 55) data el manuscrito en el s. XIII, año ca. 1272. En Ptolemaeus (cons. 12/03/2021), en cambio, dan fecha a las distintas obras, especificando que, de entre las obras de Sacrobosco, la primera copia del Algor. (ff. 2-17) y el Compot. datan del año 1262, el Quadr., del año ca. 1270 y la Spher., ca. 1272-8. La segunda copia del Algor. (ff. 18-27), en cambio, dataría del primer tercio del s. XIV. Sin duda este es un error de la base de datos, puesto que el primer Algor. es de una mano diferente a la del resto del manuscrito, escrito todo por el mismo copista, con anotaciones de otras manos en los márgenes. Llegamos a la conclusión, a través del análisis de la reproducción del manuscrito, que debe de tratarse de un códice compuesto: la U.C. 1 la podemos datar paleográficamente a principios del s. XIV, mientras que para la U.C. 2 podemos dar la fecha de 1262 como terminus ante quem. Esta información la extraemos de la glosa del margen inferior del f. 42r: Sexta etas ab adventu Christi ad nos M. CC. LX duo anni, entendiendo que esto hubo de copiarse después del texto principal y de ninguna manera antes. 165 Faltan los dos últimos capítulos completos (aquellos que versan sobre raíces cuadradas y cúbicas). Des.: Et erit novenarius summa totius progressionis. 166 Además de la bibliografía seleccionada, para este y los siguientes manuscritos de la National Széchényi Library, queremos agradecer la información proporcionada por Miklós Janzsó, personal de biblioteca de la Országos Széchényi Könyvtár. 167 Aunque Zinner apunta a una datación del s. XIII, preferimos apuntar aquí la información proporcionada por la misma biblioteca, presumiblemente más actualizada. 168 El texto de la Spher. no llega siquiera al segundo capítulo de la obra. Des.: omne enim graue tendit ad centrum (Thorndike, 84-5). 109 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/561#1_58 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/561 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/672#2_58 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/561 LA OBRA DE SACROBOSCO Algor.: f. 31v (mútilo)169. El manuscrito contiene un compendio de rethoricae venustatis. Bartoniek (1940, 39). 85. Budapest, Országos Széchényi Könyvtár, Lat. 275 22 ff., pergamino, 268 × 190 mm, s. XV2/2, origen: desconocido (prov.: Italia). Spher.: ff. 1r-12r. Además de esta obra, el manuscrito contiene la Theorica planetarum. Bartoniek (1940, 249). 86. Cambrai, Médiathèque municipale, 931 (830) Ca II + 182 ff., pergamino, 214 × 162 mm, s. XIIIex.-XIVin., origen: desconocido. Algor.: ff. 39r-45r; Spher.: ff. 54r-63r. Tratados sobre la fe, obras doctrinales religiosas, tratados matemáticos, astronómicos y de cómputo y otros filosóficos. CGM (1891, vol. 17, 380-1); Ambrosetti (2008, 354). Biblissima (cons. 12/03/2021); BVMM (cons. 12/03/2021); CCFR (cons. 12/03/2021); Initiale (cons. 12/03/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021); Medium (cons. 12/03/2021). 87. Cambridge, Corpus Christi College, Parker Library, 66a 238 ff., pergamino, 300 × 205 mm, s. XIII (datado: años ca. 1281-1287), origen: Inglaterra. Spher.: ff. 130v-138v. Obras sobre la historia de Oriente (Jerusalén), tratados astronómicos y contenido religioso hagiográfico, narraciones de la vida de Cristo y revelaciones. James (1912a, 137-45); Wilkins (1993, 43-4); Freeman (2005, 45). Fama (cons. 28/05/2021); French mss. (cons. 26/05/2021); Manus (cons. 12/03/2021); Medium (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021); Parker (cons. 12/03/2021). 88. Cambridge, Corpus Christi College, Parker Library, 456 II (papel) + 340 pp. + II (papel) ff., pergamino, 174 × 122 mm, s. XIV (datado: años 1375- 99), origen: desconocido. Spher.: pp. 4-23. Tratados astronómicos (incluida la Theorica planetarum), el Philobiblon de Richard de Bury, el Carmen de algorismo y el Secretum secretorum. James (1912a, 379-80); Freeman (2005, 45). Biblissima (cons. 12/03/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021). 89. Cambridge, Emmanuel College, 36 Ms. compuesto, 2 U.C. 43 ff. + 63 ff., papel y pergamino respectivamente, 216 × 162 y 220 × 136 mm respectivamente170, s. XV (U.C. 2)171, origen: desconocido. (U.C. 2, ff. 1-63), Spher.: ff. 52r-59v. 169 El fragmento se interrumpe al comienzo del segundo capítulo introductorio sobre la numeración. Des.: Differentia vero quanto per illam ostendit qualiter figura sequens. 170 James (1904, 37) describe las dos U.C. por separado, detalle que hemos respetado en nuestra descripción. 171 La U.C. 1 está datada en el s. XIV. 110 https://portail.biblissima.fr/fr/ark:/43093/mdatae47ef9b67b7256fe907db5167309506060e064e9 https://bvmm.irht.cnrs.fr/resultRecherche/resultRecherche.php?COMPOSITION_ID=5250 https://ccfr.bnf.fr/portailccfr/ark:/06871/004D23013746 http://initiale.irht.cnrs.fr/codex/9898 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3878#2_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=4782 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28562 https://leidenuniversitylibrary.github.io/manuscript-stats/details/ms_47.html https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=234264 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=4910 http://www.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-corpus-christi-college-ms-66-a-manuscript/171904 https://parker.stanford.edu/parker/catalog/nh671tc2872 https://iiif.biblissima.fr/collections/manifest/f691ebbbe15779d0c76890864817b1edb45f2214 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5879#2_58 La tradición manuscrita La U.C. 2 contiene, además de esta obra, un opúsculo sobre el astrolabio y tablas astronómicas. La U.C. 1, en cambio, presenta obras de carácter médico (remedios, anatomía, etc.) y unas latitudes. James (1904, 37). Jordanus (cons. 13/04/2021). 90. Cambridge, Fitzwilliam Museum, McClean 166 Fz 77 ff., pergamino, 220 × 160 mm, s. XIIIex., origen: ¿París?172 Algor.: ff. 11v-20r; Spher.: ff. 20r-38v173; Compot.: ff. 39v-71v. Obras astronómicas sobre el cuadrante, tablas, calendarios y las obras de Sacrobosco. Narducci (1892, 187-9 n.º 323 [324]); James (1912b, 319-21); Thorndike (1949a, 67-8); Glorieux (1971, 235); Ambrosetti (2008, 373). Jordanus (cons. 13/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021). 91. Cambridge, Gonville and Caius College Library, 95 (174) Ms. compuesto, 8 U.C. 558 ff., pergamino174, 219 × 159 mm, s. XIV-XV (U.C. 1)175, origen: desconocido. U.C. 1 (ff. 1-96), Spher.: ff. 1r-12v. La U.C. 1 comprende obras astronómicas (incluida la Theorica planetarum), tablas y tratados sobre el astrolabio. El contenido del resto de U.C. es muy variado: desde comentarios latinos a obras astronómicas hasta poemas y cartas escritos en inglés. J.J. Smith (1849, 8-9); James (1907, vol. 1, 196-9). Jordanus (cons. 13/04/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 92. Cambridge, Gonville and Caius College Library, 191 (141) II + 656 + II pp., pergamino, 248 × 150 mm, s. XIVin., origen: desconocido. Spher.: pp. 115-124. Obras astronómicas con comentarios (incluida la Theorica planetarum), de aritmética (entre las que hay varias con nombre Algorismus, entre ellas el Carmen de algorismo, un Algorismus de minutiis y las Cautele) tablas, calendarios y opúsculos sobre el cuadrante. J.J. Smith (1849, 65-6); James (1907, vol. 1, 155-8). Jordanus (cons. 13/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021). 93. Cambridge, Gonville and Caius College Library, 271 (504) 178 ff., pergamino, 324 × 216 mm, s. XIIImed., origen: Inglaterra (prov.: fondos del Gonville and Caius College). Algor.: ff. 1r-2r (acéfalo)176; Compot.: ff. 2r-14v; Spher.: ff. 126r-133r. 172 El análisis paleográfico del manuscrito apunta un origen parisino, aunque investigaciones recientes no descartan un posible origen alemán a juzgar por ciertas características en el calendario incluido entre sus páginas (esta información nos ha sido proporcionada gracias a la amabilidad de la Dra. Sara Oberg Stradal, investigadora del Fitzwilliam Museum, a quien agradecemos profundamente su labor). 173 Este manuscrito, tal como indican James (1912b, 321) y Thorndike (1949a, 67), comenzaba por el folio ahora numerado como 13 (es decir, por el Algor.). Más adelante, se incluyeron las obras que preceden los tratados de Sacrobosco, lo que explica que haya una doble (e incluso triple) numeración en sus folios, hecho que dificulta la localización de las obras en su interior. 174 Solo para las U.C. 1 y 5, el resto están escritas en papel. 175 Las otras U.C. se datan en un período que abarca desde el s. XIV hasta el s. XVII. 176 El manuscrito tan solo contiene una parte del capítulo final sobre las raíces cuadradas y cúbicas (cfr. Jordanus: «De radicum extractione, end of a tract»). 111 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5886#7_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6086#4_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-fitzwilliam-museum-mcclean-166/136648 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5894#3_58 https://ptolemaeus.badw.de/ms/607?mark=%28%3Fis%29%28Sacrobosco%29 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5903#8_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-gonville-and-caius-college-141-191-manuscript/219173 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5911#5_57 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5911#407103 LA OBRA DE SACROBOSCO Obras científicas: matemáticas (incluido un Carmen de algorismo acéfalo), astronomía, física, geometría y filosofía. J.J. Smith (1849, 231-2); James (1908, vol. 2, 572-4); R.M. Thomson (2013, vol. 2, 79-80, n.º 44). Jordanus (cons. 13/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021). 94. Cambridge, Gonville and Caius College Library, 411 (402) Ms. compuesto, 3 U.C. IV + 359 + III ff., pergamino, 210 × 150 mm, s. XIIIex. (U.C. 3)177, origen: Inglaterra (prov.: fondos del Gonville and Caius College). U.C. 3 (ff. 206-359), Algor.: ff. 217r-222r. La U.C. 3 se compone del Algor. seguido por la epístola de Aristóteles a Alejandro, una obra astronómica de Beda, la Historia de excidio Troiae de Dares Frigio, un tratado sobre vicios y virtudes y ciertos relatos bíblicos. James (1908, vol. 2, 466-8); Ambrosetti (2008, 373); R.M. Thomson (2013, vol. 2, 56-60, n.º 27). Jordanus (cons. 13/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021). 95. Cambridge, Library of Peterhouse, 184 I + 227 ff., pergamino, 285 × 185 mm, s. XIV-XV, origen: Inglaterra. Spher.: ff. 218r-223v. Obras de aritmética (incluido el Carmen de algorismo), cómputo, astronomía (incluidas obras sobre instrumentos de medida) y cierto contenido moral y filosófico. James (1899, 214-6); R.M. Thomson (2013, vol. 2, 136-7, n.º 90; 2016, 111). Mirabile (cons. 12/03/2021). 96. Cambridge, Library of Peterhouse, 277 Ms. compuesto, 2 U.C. II + 224 + II ff., pergamino, 317 × 248 mm, s. XVin., origen: ¿París? (U.C. 1). U.C. 1 (ff. 1-132), Algor.: ff. 45r-49v. En la U.C. 1 se encuentran obras de aritmética, astronomía (incluida la Theorica planetarum), algunas con tablas; otras sobre proporciones y medidas y un tratado sobre el astrolabio. La U.C. 2 sigue la temática de la U.C. 1. James (1899, 353-7). Jordanus (cons. 13/04/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 97. Cambridge, Magdalene College, Pepys 2329 Ms. compuesto, 2 U.C. II + 224 + I ff., pergamino, 315 × 245 mm, s. XV (datado: año 1407), origen: París. U.C. 1 (ff. 1-132), Algor.: ff. 45r-50r. Diversas obras sobre aritmética y algunas sobre la construcción de objetos de medida (astrolabio, turquet). Ambrosetti (2008, 373); R.M. Thomson (2016, 196-8). Jordanus (cons. 13/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021). 98. Cambridge, Pembroke College, 278 119 ff., pergamino, 162 × 114 mm, s. XIVin.-XV, origen: desconocido. 177 Las U.C. 1-2, en cambio, datan del s. XIV. 112 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5911#5_57 http://www.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-gonville-and-caius-college-504-271-manuscript/99257 http://www.mirabileweb.it/title/historia-de-excidio-troiae-title/32415 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5916#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-gonville-and-caius-college-402-411-manuscript/40099 http://www.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-peterhouse-mediaeval-and-musical-manuscr-manuscript/136653 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5978#3_58 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/5978 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5945#4_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-magdalene-college-pepys-2329-manuscript/24022 La tradición manuscrita Compot.: ff. 25r-61r; Spher.: ff. 61v-69r; Algor.: ff. 117r-119v (incompleto)178. Además de estas, el manuscrito contiene varios cómputos y tratados sobre el cuadrante. James (1905, 253-4). Jordanus (cons. 13/04/2021). 99. Cambridge, Saint John’s College, F. 18 138 ff., pergamino, 178 × 127 mm, s. XV, origen: desconocido. Spher.: ff. 38r-40v. Obras de Pseudo-Aristóteles, astronomía (incluida una sobre el astrolabio), aritmética y geometría. James (1913, 186-8, n.º 155). Jordanus (cons. 13/04/2021). 100. Cambridge, Trinity College, B.1.37 Ms. compuesto, 5 U.C. 116 ff., pergamino, 213 × 145 mm, s. XV (U.C. 5)179, origen: desconocido (U.C. 5) (prov.: donación de John Whitgift, arzobispo de Canterbury)180. U.C. 5 (ff. 106-116), Algor.: f. 116r (mútilo)181. Obras de carácter religioso especialmente; en numerosas ocasiones, epístolas. James (1900, vol. 1, 46-8, n.º 35). Cat. Trin. (cons. 13/04/2021); Jordanus (cons. 13/04/2021); Mirabile (cons. 13/04/2021). 101. Cambridge, Trinity College, O.2.5 II + 211 + VIII ff., pergamino, 229 × 152 mm, s. XIV, origen: ¿Oxford? Spher.: ff. 1r-8r. Obras astronómicas, sobre cómputo y calendario, física, adivinación y pronósticos, astrología, tablas, tratados de medicina y medicamentos, algunos Secreta mulierum, filosofía natural y quiromancia; algunas de ellas en francés. James (1903, vol. 3, 84-92, n.º 1109); P. Meyer (1903, 95-101); R.M. Thomson (2013, vol. 2, 172-5, n.º 125). Cat. Trin. (cons. 12/03/2021); French mss. (cons. 26/05/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021). 102. Cambridge, Trinity College, O.2.45 T II ff. + 366 pp.182 + II ff., pergamino, 219 × 136 mm, s. XIII2/2, origen: Inglaterra. 178 Tan solo constan los últimos capítulos sobre las raíces cuadradas y cúbicas. Inc.: Si velis radicem alicuius numeri quadrati extrahere. 179 El resto de U.C. están datadas en el s. XII. 180 Se desconoce el lugar de copia de todas las U.C. excepto de la U.C. 3, cuyo origen se sitúa en Salisbury. 181 Tan solo se conserva el inicio del tratado: la introducción y el principio del primer capítulo sobre la numeración. Des.: Ideo non fuit necesse plures figuras significativas invenire. 182 De las cuales faltan las pp. 43-78. 113 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5959#3_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5985#3_58 https://mss-cat.trin.cam.ac.uk/manuscripts/uv/view.php?n=B.1.37&n=B.1.37#?c=0&m=0&s=0&cv=3&xywh=-901%2C-1%2C5555%2C2687 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5996#2_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-trinity-college-ms-b-1-37-(35)-manuscript/149799 https://mss-cat.trin.cam.ac.uk/Manuscript/O.2.5 https://leidenuniversitylibrary.github.io/manuscript-stats/details/ms_130a.html http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6049#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-trinity-college-ms-o-2-5-(1109)-manuscript/16573 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5959#231446 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5959#231446 LA OBRA DE SACROBOSCO Algor.: pp. 20-21 (incompleto)183 y 37-42 (mútilo)184; Compot.: pp. 125r-179r. Entre sus obras destacan las aritméticas (incluido el Carmen de algorismo) y las tablas, si bien se encuentran entre sus páginas fábulas, poemas, relatos bíblicos, etc. James (1903, vol. 3, 150-60, n.º 1149); P. Meyer (1903, 108-15); Thorndike y Kibre (1963, 991); Ambrosetti (2008, 374). Cat. Trin. (cons. 12/03/2021); French mss. (cons. 26/05/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021). 103. Cambridge, Trinity College, O.3.13 V + 193 ff., papel, 298 × 216 mm, s. XVI, origen: Roma. Spher.: ff. 58r-64v. Obras sobre astronomía y astrología con tablas y diagramas. James (1903, vol. 3, 195-7, n.º 1185); Paravicini Bagliani (2001, 14-5). Cat. Trin. (cons. 12/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 104. Cambridge, Trinity College, O.5.4 II + 294 + II ff., pergamino, 413 × 273 mm, s. XV, origen: ¿Inglaterra? Spher.: ff. 290r-293v. Contenido retórico, doctrinal, églogas, lengua, diccionario y en la parte final, tratados de aritmética, cómputo y astronomía. James (1903, vol. 3, 301-8, n.º 1285). Cat. Trin. (cons. 12/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021). 105. Cambridge, Trinity College, R.15.18 Ms. compuesto, 6 U.C. II (papel) + 80 + II (papel) pp., pergamino, 220 × 165 mm, s. XV (U.C. 6)185, origen: desconocido. U.C. 6 (pp. 55-80), Spher.: pp. 55-80. La U.C. 6 está compuesta exclusivamente por esta obra. Las U.C. 1-5 presentan contenido principalmente astronómico con diversas tablas y diagramas. James (1903, vol. 3, 356-7, n.º 941); Eisner (2002, 72-3). Cat. Trin. (cons. 12/03/2021); Scribes (cons. 12/03/2021). 106. Cambridge, University Library, Add. 6860 IV + 149 + III ff., pergamino, 227 × 170 mm, s. XIVin., origen: Inglaterra. Algor.: ff. 118rb-123ra; Compot.: ff. 123r-137r; Spher.: ff. 137v-143v. Obras de astronomía, cómputo y calendario y composición de instrumentos de medida (astrolabio, cuadrante y cilindro). 183 Tan solo aparece el primer capítulo de la obra. Conviene anotar que no se han perdido páginas en el manuscrito, sino que a este primer capítulo del Algor. sigue otra obra distinta de aritmética. Des.: Ut in legendo consuetum ordinem servantes maiorem numerum minori praeponamus. 184 Entre estas páginas, escritas por la misma mano que había transmitido en las pp. 20-21 el primer capítulo del Algor., se encuentra una segunda versión del tratado con un incipit muy distinto al habitual: Circa algorismum primo docendum procedere, secundo addere, tertio subtrahere. Este testigo, además de la caída de folios del final, omite algunos párrafos e incorpora adiciones explicativas. Des.: Quo facto inveniendus est quidam digitus sub proxima figura ante duplatum, qui ductus in duplatum. 185 Las U.C. 1-3 también datan de este siglo, mientras que U.C. 4 está datado en el año 1501 y U.C. 5 se data entre los ss. XIV-XV (si fuera XV, a principios). 114 https://mss-cat.trin.cam.ac.uk/Manuscript/O.2.45 https://leidenuniversitylibrary.github.io/manuscript-stats/details/ms_134.html http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6052#5_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-trinity-college-ms-o-2-45-(1149)-manuscript/1696 https://mss-cat.trin.cam.ac.uk/Manuscript/O.3.13 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6054#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-trinity-college-ms-o-3-13-(1185)-manuscript/116319 http://ptolemaeus.badw.de/ms/414 https://mss-cat.trin.cam.ac.uk/Manuscript/O.5.4 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6062#7_58 https://mss-cat.trin.cam.ac.uk/Manuscript/R.15.18 https://www.medievalscribes.com/index.php?navtype=authors&navauthor=Chaucer&browse=manuscripts&id=13&nav=off La tradición manuscrita Thorndike y Kibre (1963, 990); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 219-20); Ambrosetti (2008, 374); Ringrose (2009, 275-80); R.M. Thomson (2013, vol. 2, 187, n.º 139). Fama (cons. 28/05/2021); French mss. (cons. 26/05/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021). 107. Cambridge, University Library, Ff.6.13 81 ff., pergamino, 190 × 125 mm, s. XIIIex.-XIVin., origen: desconocido. Spher.: ff. 26v-34r. Contiene una obra de invectiva, tratados sobre astronomía (incluido uno de la composición del cuadrante), filosofía, física, gramática hebrea y griega y un libro en francés acerca de la cetrería. Hardwick y Luard (1857, vol. 2, 517-8, n.º 1351); P. Meyer (1886, 277-81); Nolan y Hirsch (1902, lxxi); Thorndike (1949a, 64-6); Glorieux (1971, 235). French mss. (cons. 12/03/2021); Peraldus (cons. 12/03/2021). 108. Cambridge, University Library, Gg.4.29 99 ff., pergamino, 260 × 185 mm, s. XIVmed., origen: desconocido. Compot.: ff. 74r-86r; Spher.: ff. 90r-98r. Obras de filosofía incluido el Secretum secretorum, cómputo y astronomía. Hardwick y Luard (1858, vol. 3, 175-6, n.º 1528); R.M. Thomson (2013, vol. 2, 191, n.º 143). Mirabile (cons. 12/03/2021). 109. Cambridge, University Library, Ii.1.13 204 ff., pergamino, in folio, s. XIVin., origen: Inglaterra. Compot.: ff. 18r-25r; Spher.: ff. 32r-36r. Contiene un gran número de obras astronómicas (incluida la Theorica planetarum), astrológicas, de aritmética (incluido el Carmen de algorismo), matemática, óptica y adivinación, incluidas tablas, calendarios y opúsculos de medida (astrolabio, cilindro). Hardwick y Luard (1858, vol. 3, 321-7, n.º 1705). Jordanus (cons. 14/04/2021); Peraldus (cons. 12/03/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 110. Cambridge, University Library, Ii.1.15 88 ff., pergamino, 218 × 156 mm, s. XIV, origen: desconocido. Spher.: ff. 18r-25v; Compot.: ff. 25v-38ra. Tratados sobre el cuadrante, tablas, astronomía, cómputo y calendario, aritmética (incluido el Carmen de algorismo), aforismos religiosos y una obra sobre los sacramentos. Hardwick y Luard (1858, vol. 3, 328-9, n.º 1707). Jordanus (cons. 14/04/2021); Peraldus (cons. 12/03/2021). 111. Cambridge, University Library, Ii.1.17 154 ff., pergamino, in quarto, s. XIVin., origen: desconocido (prov.: biblioteca de Anthony Rous). Algor.: ff. 7v-15v; Compot.: ff. 15v-39v; Spher.: ff. 42v-56r. Obras sobre cómputo y calendario, aritmética, astronomía (incluida la Theorica planetarum), tablas y un tratado sobre el cuadrante. Hardwick y Luard (1858, vol. 3, 331-2, n.º 1709); Ambrosetti (2008, 374). Jordanus (cons. 14/04/2021); Peraldus (cons. 12/03/2021). 115 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28563 https://leidenuniversitylibrary.github.io/manuscript-stats/details/ms_176.html http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6107#10_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-university-library-add-6860-manuscript/136654 https://leidenuniversitylibrary.github.io/manuscript-stats/details/ms_199.html http://www.peraldus.ch/getrefs.php?current_ms_id=cbrid-17-254 http://www.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-university-library-gg-iv-29-manuscript/155723 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6158#5_58 http://www.peraldus.ch/getrefs.php?current_ms_id=cbrid-17-228 https://ptolemaeus.badw.de/ms/610 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6159#6_58 http://www.peraldus.ch/getrefs.php?current_ms_id=cbrid-17-258 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6160#2_58 http://www.peraldus.ch/getrefs.php?current_ms_id=cbrid-17-259 LA OBRA DE SACROBOSCO 112. Cambridge, University Library, Ii.3.3 I I + 283 ff., pergamino, 245 × 175 mm, s. XIIIex.-XIVin., origen: Francia. Algor.: ff. 20r-25r; Spher.: ff. 25r-35v; Compot.: ff. 36r-55v. Tratados sobre astrología y astronomía, incluidas tablas, calendarios, obras sobre el cómputo y sobre instrumentos de medida (astrolabio y cuadrante). Hardwick y Luard (1858, vol. 3, 404-6, n.º 1767); Thorndike (1949a, 63-4); Glorieux (1971, 235-6); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 221; 2002, 102-3); Robinson (1988, 34, n.º 56); Ambrosetti (2008, 374); Binski y Zutshi (2011, 290-1, n.º 316). Jordanus (cons. 14/04/2021); Peraldus (cons. 12/03/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021). 113. Cambridge, University Library, Mm.3.11 199 ff., pergamino, 305 × 190-200 mm, s. XV, origen: desconocido. Spher.: ff. 155v-161ra. Tratados de aritmética y matemática, geometría y astronomía, donde se incluyen tablas. Hardwick y Luard (1861, vol. 4, 181-5, n.º 2327). Jordanus (cons. 14/04/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 114. Catania, Biblioteca regionale universitaria, Biblioteca Ventimiliana, Vent. 41 I + 76 + II ff., pergamino, 167 × 122 mm, s. XVI (datado: año 1531), origen: desconocido (prov.: biblioteca del monseñor Salvatore Ventimiglia, Palermo). Spher.: ff. 1r-19v. El manuscrito contiene, además de la Spher., parte del Ars poetica de Horacio, unas epístolas y una gramática griega en italiano. Manus (cons. 16/02/2021); Pinakes (cons. 12/03/2021). 115. Chantilly, Musée Condé, 322 (641) II + 125 ff., papel, 292 × 210 mm, s. XIV-XV, origen: Italia. Spher.: ff. 1r-9v; Compot.: ff. 13r-28r. Obras de astronomía, geomancia y astrología, incluyendo tablas y calendarios y opúsculos sobre instrumentos de medida (astrolabio, cuadrante). Delisle y Macon (1897, 258-60); Kristeller (1967, vol. 3, 205); Burnett (2006, 334). Jordanus (cons. 14/04/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 116. Charleville-Mézières, Bibliothèque municipale Médiathèque Voyelles, 62 I + 73 + II (perg.) ff., papel, in quarto, s. XIVex.-XVin., origen: Francia. Spher.: 45r-62r. El manuscrito contiene el Itinerarium de Mandeville, la Spher. y una obra titulada Mapa mundi. CGM in-4º (1879, vol. 5, 575-6); Glorieux (1971, 235). BVMM (cons. 10/05/2021); CCFR (cons. 12/03/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Medium (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021). 117. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Chigi E.IV.130 68 pp., pergamino, 182 × 130 mm, s. XIII, origen: desconocido (prov.: biblioteca privada de la familia Chigi). Spher.: pp. 1-68 (mútilo)186. 186 Falta el final de la obra. 116 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6163#3_58 http://www.peraldus.ch/getrefs.php?current_ms_id=cbrid-17-253 https://ptolemaeus.badw.de/ms/178 http://www.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-university-library-ii-iii-3-manuscript/136944 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6188#8_58 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/6188 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=114100 https://pinakes.irht.cnrs.fr/notices/cote/12354/ http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3887#2_58 https://ptolemaeus.badw.de/ms/391?mark=%28%3Fis%29%28Sacrobosco%29 https://bvmm.irht.cnrs.fr/consult/consult.php?reproductionId=2609 https://ccfr.bnf.fr/portailccfr/jsp/index_view_direct_anonymous.jsp?record=eadcgm:EADC:D05030220 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28564 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=45040 http://www.mirabileweb.it/manuscript/charleville-m%C3%A9zi%C3%A8res-m%C3%A9diath%C3%A8que-voyelles-(olim-bi-manuscript/123431 La tradición manuscrita Tan sólo contiene la Spher. de Sacrobosco con el comentario de Roberto Ánglico al inicio187. Baronci (s.d., 47-8). Fama (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021). 118. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 309 Va5 160 ff., pergamino, in quarto, s. XIII-XIV, origen: Francia ¿París? (prov.: colección privada del cardenal Ottoboni). Algor.: ff. 111r-114r. Obras de aritmética principalmente y las tablas toledanas. Teoli y Galletti (1748-60, vol. 1, 55v) ; Daly (1964, 5-7); F.S. Pedersen (2002, 798); Ambrosetti (2008, 380). Jordanus (cons. 14/04/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 119. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 1430 VIII + 120 ff., pergamino, 313 × 220 mm, s. XIV-XV, origen: ¿Italia? (prov.: colección privada del cardenal Ottoboni). Algor.: ff. 44rb-45vb188. Obras de matemáticas: aritmética, fracciones y geometría, incluido el comentario al Algor. de Pedro Filomena de Dacia. Teoli y Galletti (1748-60, vol. 1, 273v-274r); Daly (1964, 13-4); Ehrle y Pelster (1970, 154- 5); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 73); Ambrosetti (2008, 380). DVL (cons. 14/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 04/08/2021); OVL (cons. 14/03/2021); Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 120. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 1489 I + 131 + VIII ff., papel y pergamino, 204 × 142 mm, s. XV, origen: Italia (prov.: colección privada del cardenal Ottoboni). Algor.: ff. 121v-127v. El manuscrito contiene la Chorographia de Pomponio Mela, excerpta de la obra de Raymundus Llull y de Cicerón, el Carmen de algoritmo y una obra de jurisprudencia. Pellegrin et al. (1975, vol. 1, 586-7). Biblissima (cons. 08/04/2022); Mirabile (cons. 08/04/2022). 121. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 1507 114 ff., papel, in quarto, s. XV1/2, origen: Bolonia (prov.: colección privada del cardenal Ottoboni). Algor.: ff. 72r-82v. El manuscrito contiene, además de esta, la Ephemeris belli Troiani (traducción latina de la obra de Dictis cretense), otra sobre la vida de los emperadores y dos tratados teológico- morales. Teoli y Galletti (1748-60, vol. 1, 291v-292r); Daly (1964, 15); Kristeller (1992, vol. 6, 379); Ambrosetti (2008, 381); Oakley (2020, 296). DVL (cons. 14/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 187 Comentario editado por Thorndike (1949a, 143-245). 188 El Algor. presenta el incipit alternativo: Cum hec scientia de numeris que algorismus ab inventore dicitur. 117 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28565 http://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/7769 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10112#1_58 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10112#285414 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Ott.lat.1430 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10287#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/136957 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Ott.lat.1430 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10287 https://portail.biblissima.fr/ark:/43093/mdata7338c725115bd8849a60104a19e40995668b87fd http://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/177663 https://www.mirabileweb.it/title/ephemeris-belli-troiani-title/16716 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Ott.lat.1507 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10289#1_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/136959 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Ott.lat.1507 LA OBRA DE SACROBOSCO 122. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 1552 121 ff., pergamino, in folio, s. XV2/2, origen: desconocido (prov.: biblioteca de Giovanni Angelo, duque de Altemps). Spher.: ff. 1r-19v. Obras astronómicas y astrológicas. Teoli y Galletti (1748-60, vol. 1, 298r-v). Ptolemaeus (cons. 12/03/2021). 123. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 1675 40 ff., papel, medidas desconocidas, s. XV, origen: desconocido (prov.: colección privada del cardenal Ottoboni). Compot.: ff. 1r-20v; Algor.: ff. 21r-30v. El manuscrito contiene, además de estas obras de Sacrobosco, dos tratados de medicina. Teoli y Galletti (1748-60, vol. 1, 317v); Daly (1964, 5); Daly y Ermatinger (1965, 14); Ambrosetti (2008, 381). Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 124. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 1809 82ff., papel, in quarto, s. XIV, origen: desconocido (prov.: colección privada del cardenal Ottoboni). Algor.: ff. 1r-10r (incompleto)189. Obras de aritmética y astrología. Teoli y Galletti (1748-60, vol. 2, 90v); Daly y Ermatinger (1965, 14); Folkerts (1981, 317- 8); Ambrosetti (2008, 380). Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 125. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 300 Va6 Ms. compuesto, 4 U.C. I+ 182 + I (papel) ff., pergamino, 197 × 129 mm, s. XIII-XIV (U.C. 4)190 , origen: desconocido (prov.: Heidelberg). U.C. 4 (ff. 95-182), Algor.: ff. 150r-152v. Las obras de la U.C. 4 son de tipología variada, si bien destaca el bloque final de tratados sobre cómputo y calendario y las tablas; las otras obras que componen la U.C. son de temática religiosa, entre ellas una traducción de san Antonio abad. Las U.C. 1-3 se componen de tratados doctrinales y ejemplares enfocados a la vida religiosa católica. Stevenson (1886, 76-8). DVL (cons. 12/03/2021); Heidelberg (cons. 12/03/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 189 Faltan los capítulos sobre las raíces cuadradas y cúbicas. Por otro lado, en Jordanus (cons. 14/04/2021) se especifica que «has an introduction which differs in part from that of other copies», aunque el incipit que transmite no da muestras de esto: Omnia que a primeva rerum origine processerunt ratione numerorum formata sunt. 190 Esta datación es pertinente tan solo para el Algor. y el calendario que lo precede, pues la propia U.C. 4 presenta divergencias respecto a la datación de las obras que en ella se insertan: las tablas finales son del s. XII mientras que las otras obras datan del s. XIV (de entre ellas destaca un palimpsesto sobre escritura del s. IX-X). Respecto a las otras U.C., consta que la U.C. 2, compuesta tan solo por sermones papales, se fecha en el s. XIII; las restantes, datan del s. XII. 118 http://ptolemaeus.badw.de/ms/481 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10296#1_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/136960 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Ott.lat.1675 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10297#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/136956 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Ott.lat.1809 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Pal.lat.300 https://doi.org/10.11588/diglit.13386 https://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/84043 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.300 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10297#1_58 La tradición manuscrita 126. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 884 Ms. compuesto, 5 U.C. I + 257 + I ff., papel, 307 × 215 mm, s. XV, origen: Países Bajos. U.C. 4 (ff. 210-243), Algor.: ff. 237r-243v. La U.C. 4 está formada por obras sobre cómputo, tablas y dos oraciones añadidas en una fecha posterior. El resto de U.C. contienen obras de temática variada entre las que destacan las de Salustio y Cicerón. Stevenson (1886, 314-5). DVL (cons. 12/03/2021); Heidelberg (cons. 12/03/2021); Mirabile (cons. 12/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021); REMACCLA (cons. 12/03/2021). 127. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1047 I (papel) + 303 + I (papel) ff., pergamino, 209 × 150 mm, s. XIV, origen: Francia. Spher.: ff. 49ra-53rb. Contiene una obra sobre el alma, tratados sobre cómputo y astronomía, obras de gramática, sentencias con comentarios y versos bíblicos. Walz y Zimmermann (1999, 204-6). DVL (cons. 03/03/2021); Fama (cons. 03/03/2021); Heidelberg (cons. 03/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); Mirabile (cons. 03/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 128. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1053 Ms. compuesto, 2 U.C. I + 202 + I ff., papel, 210 × 140-150 mm, s. XV (U.C. 1 datada: año 1469), origen: Heidelberg. U.C. 1 (ff. 1-153), Spher.: ff. 60r-86r. La U.C. 1 presenta obras sobre botánica, astronomía (incluido un tratado sobre el astrolabio) y filosofía, con varios comentarios sobre obras de Aristóteles. La U.C. 2 contiene el Didascalion de Hugo de San Víctor. Walz y Zimmermann (1999, 217-8); Ambrosetti (2008, 380). DVL (cons. 03/03/2021); Fama (cons. 03/03/2021); Heidelberg (cons. 03/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); Mirabile (cons. 03/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 129. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1353 133 ff., papel, 218 × 145 mm, s. XIV (datado: año 1382), origen: Alemania. Algor.: ff. 64r-67v. Tratados sobre cómputo, astronomía y astrología (inlcuidas obras sobre el astrolabio). Schuba (1992, 23-6). DVL (cons. 14/04/2021); Heidelberg (cons. 14/04/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 14/04/2021). 130. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1356 Va7 Ms. compuesto, 6 U.C. II + 154 + VI ff., pergamino, 189 × 140 mm, s. XIII3/3 (U.C. 3)191, origen: sur de Alemania. U.C. 3, (ff. 27-79), Algor.: ff. 27r-34v; Spher.: ff. 35r-49v; Compot.: ff. 50r-79r. 191 La datación del resto de U.C. abarca un amplio espectro que oscila entre los ss. XII-XVI. 119 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Pal.lat.884 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_884 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/147245 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.884 https://remaccla.unibg.it/index.php/schede-per-vita/details/3/a1a7b379675b821ec125734c004abea4.html https://digi.vatlib.it/view/MSS_Pal.lat.1047 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/27220 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1047 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90734870,T http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/227627 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.1047 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Pal.lat.1053 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28566 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1053 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90735089,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/128996 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.1053 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Pal.lat.1353 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1353 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9975#11_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90323163,T http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/96461 LA OBRA DE SACROBOSCO La U.C. 3 está íntegramente compuesta por las obras de Sacrobosco. El resto de U.C. presenta un contenido misceláneo donde abundan las obras astronómicas y de cómputo. Schuba (1992, 34-9); Ambrosetti (2008, 380). DVL (cons. 03/03/2021); Geschichtsquellen (cons. 03/03/2021); Handschriftencensus (cons. 03/03/2021); Heidelberg (cons. 03/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manus (cons. 03/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); Mirabile (cons. 03/03/2021); MMMO (cons. 03/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021); Ptolemaeus (cons. 03/03/2021). 131. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1376 III + 409 + I ff., papel, 298 × 212 mm, s. XV (datado: año 1447-1458), origen: Ratisbona. Spher.: ff. 224r-236r. Presenta una gran cantidad de obras de temática centrada en astronomía (incluidos tratados sobre instrumentos de medida y la Theorica planetarum), geometría y tablas; algunas obras están en alemán. Inventarium manuscriptorum (1678, 491); Schuba (1992, 94-102). DVL (cons. 03/03/2021); Heidelberg (cons. 03/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); Mirabile (cons. 03/03/2021); OVL (cons. 03/03/2021); Ptolemaeus (cons. 03/03/2021). 132. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1377 Ms. compuesto, 4 U.C. I+ 194 + I ff., papel192, 278 × 213 mm, s. XV (U.C. 2)193, origen: Países Bajos (U.C. 2)194. U.C. 2 (ff. 21-58), Algor.: ff. 47ra-50vb; Spher.: ff. 51ra-58rb. La U.C. 2 está constituida por obras de temática astronómica. El resto de U.C. siguen con el contenido astronómico, al que añaden obras de pronósticos, astrología, meteorología y ciencias afines. Schuba (1992, 103); Ambrosetti (2008, 380). Computus (cons. 03/03/2021); DVL (cons. 03/03/2021); Heidelberg (cons. 03/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); Mirabile (cons. 03/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021); Ptolemaeus (cons. 03/03/2021). 133. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1383 II + 108 + I ff., papel, 215 × 165 mm, s. XVex., origen: Heidelberg. Algor.: ff. 1r-21v. El manuscrito contiene esta obra de Sacrobosco seguida de una serie de tratados, comentarios y glosas sobre cómputo. Schuba (1992, 133-134); Ambrosetti (2008, 380). DVL (cons. 03/03/2021); Heidelberg (cons. 03/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); Mirabile (cons. 03/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021); Ptolemaeus (cons. 03/03/2021). 134. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1392 Ms. compuesto, 5 U.C. 192 Excepto la U.C. 4, que es de pergamino. 193 El resto de U.C. presentan una datación que abarca de los ss. XI-XII hasta el XV. 194 La U.C. 1 tiene origen italiano; la U.C. 3, francés y la U.C. 4, alemán. 120 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Pal.lat.1356 http://www.geschichtsquellen.de/hs/40993 https://handschriftencensus.de/21354 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1356 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9977#9_58 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=204353 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90323325,T https://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/106197 http://musmed.eu/source/14864 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.1356 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/9977 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Pal.lat.1376 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1376?ui_lang=ger http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9984#62_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90323983,T https://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/17056 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.1376 https://ptolemaeus.badw.de/ms/719 https://computus.lat/ms/6 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Pal.lat.1377 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1377 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9985#15_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90324087,T https://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/117749 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.1377 https://ptolemaeus.badw.de/ms/826 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Pal.lat.1383 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1383 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9988#1_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90324488,T http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/136696 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.1383 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/9988 La tradición manuscrita I (papel) + II + 178 + II (papel) ff., pergamino, 228 × 168 mm, s. XV (U.C. 3)195, origen: Alemania (U.C. 3)196. U.C. 3 (ff. 37-99), Algor.: ff. 62r-72r. La U.C. 3 se compone de obras de cómputo, astronomía (en ocasiones con tablas) y medicina principalmente, algunas de ellas escritas en alemán. El resto de U.C. sigue la temática astronómica-astrológica. Schuba (1992, 154-158). DVL (cons. 03/03/2021); Handschriftencensus (cons. 03/03/2021); Heidelberg (cons. 03/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); Mirabile (cons. 03/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 135. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1400 Va4 II + 54 + I ff., pergamino, 162 × 123 mm, s. XIII2/2, origen: Francia. Algor.: ff. 1r-9r (con glosas); Spher.: ff. 9v-24v; Compot.: ff. 25v-50r. El manuscrito se compone de las obras de Sacrobosco seguidas por un opúsculo sobre el cuadrante. Schuba (1992, 170-1); Hadravová y Hadrava (2019, 28). DVL (cons. 03/03/2021); Heidelberg (cons. 03/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); Mirabile (cons. 03/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 136. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1408 54 ff., pergamino, 237 × 183 mm, s. XIV, origen: Alemania. Spher.: ff. 21r-28v; Compot.: ff. 35r-49r. El manuscrito contiene, además de estas dos obras, tratados sobre el cuadrante y uno sobre el astrolabio. Stornajolo (1921, 312-3); Schuba (1992, 185-6). DVL (cons. 14/04/2021); Heidelberg (cons. 14/04/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 14/04/2021); OVL (cons. 14/04/2021); Ptolemaeus (cons. 14/04/2021). 137. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1414 Va2 II (papel) + 225 + II (papel) ff., pergamino, 201 × 130 mm, s. XIII (datado: año 1266), origen: Francia, ¿París? Algor.: ff. 29vb-34vb. Además del Algor., contiene obras astronómicas, donde se incluyen tablas y opúsculos sobre instrumentos de medida (astrolabio, cuadrante). Inventarium manuscriptorum (1678, 500-1); Thorndike (1957b, 71-2); Thorndike (1958, 39- 44); Schuba (1992, 195-200); Panti (2001, 216); F.S. Pedersen (2002, 178-9); Lohr y Nothaft (2019, 40-1). DVL (cons. 03/03/2021); Fama (cons. 03/03/2021); Heidelberg (cons. 03/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); Mirabile (cons. 03/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021) Ptolemaeus (cons. 03/03/2021). 138. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1420 Ms. compuesto, 2 U.C. 195 Tanto las U.C. 1, 3 y 5, presentan la misma datación en el s. XV, mientras que U.C. 2 se fecha en torno al año 1300 y la U.C. 4, en el s. XVI. 196 Como ocurría con la datación, las U.C. 1 y 5 comparten lugar de copia con U.C. 3; la U.C. 2, por el contrario, tiene su origen en Francia y U.C. 4, en el sudoeste alemán. 121 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Pal.lat.1392 https://handschriftencensus.de/21349 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1392 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90324757,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/170182 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.1392 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Pal.lat.1400 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1400?ui_lang=ger http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90324952,T https://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/11783 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.1400 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Urb.lat.1408 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1408 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10340#3_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90325097,T https://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/116387 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.1408 https://ptolemaeus.badw.de/ms/545 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Pal.lat.1414 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/65509 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1414 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90325219,T http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/20567 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.1414 https://ptolemaeus.badw.de/ms/239 LA OBRA DE SACROBOSCO I (papel) + 89 + I (papel) ff., pergamino, 250 × 188 mm, s. XIV (U.C. 2)197, origen: Italia y Colonia (U.C. 2)198. U.C. 2 (ff. 37-89), Algor.: ff. 37r-40v. La U.C. 2 se compone de obras de temática variada: astronómicas, de aritmética, geometría, música, sobre la perspectiva y finalmente, unas tablas estelares. Los contenidos de la U.C. 1 son astronómicos. Inventarium manuscriptorum (1678, 502-3); Schuba (1992, 208-10). Heidelberg (cons. 03/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021); Ptolemaeus (cons. 03/03/2021). 139. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1437 Ms. compuesto, 2 U.C. V + 114 + VI ff., papel, 202 × 143 mm, s. XIV (U.C. 2)199, origen: Hungría (U.C. 2)200. U.C. 2 (ff. 13-69), Algor.: ff. 41r-47r. La U.C. 2, más allá del Algor., presenta obras sobre el cómputo mayoritariamente, si bien también tiene una obra sobre el calendario y dos sobre astrología. La U.C. 1 sigue esta estela temática y añade tablas. Schuba (1992, 226-9); Nothaft (2014, 391). Heidelberg (cons. 03/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021). 140. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1439 I + 350 + I ff., papel, 208 × 154 mm, s. XV (datado: años 1487, 1493), origen: Cracovia, Leipzig y Heidelberg (copista: Johannes Virdung de Hassfurt)201. Spher.: ff. 72v-102v. Obras en latín y en alemán de cómputo y calendario, astronomía y astrología (incluyendo instrumentos de medida) y unas pocas nociones médicas. Schuba (1992, 236-44). DVL (cons. 03/03/2021); Heidelberg (cons. 03/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); Mirabile (cons. 03/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021); Ptolemaeus (cons. 03/03/2021). 141. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1451 Ms. compuesto, 4 U.C. II + 197 + I ff., papel, 218 × 162 mm, s. XIV (U.C. 1) y XV (U.C. 2)202, origen: Baviera (U.C. 1-2)203. U.C. 1 (ff. 1-23), Compot.: ff. 1r-12v (acéfalo)204; U.C. 2 (ff. 24-98), Algor.: ff. 88r-98v. 197 La U.C. 1, sin embargo, data de finales del s. XIII. 198 Mientras que la U.C. 2 fue copiada parcialmente en Italia (ff. 37-52) y parcialmente en Colonia (ff. 53-89), la U.C. 1 fue compuesta íntegramente en Italia. 199 La U.C. 1, en cambio, data del s. XV. 200 El lugar de copia de la U.C. 1 es el sur de Alemania. 201 Los diferentes lugares de copia se explican por la propia del copista, quien usaba este libro como libro de notas personal. Así las cosas, algunas partes del manuscrito podemos adscribirlas a su período de estudiante en las Universidad de Cracovia y otras a sus estancias en las universidades de Leipzig y Heidelberg. 202 La U.C. 3 data del s. XVI, mientras que la U.C. 4 se copió en el s. XV. 203 El lugar de origen es idéntico para las U.C. 1-2; no así para las U.C. 3-4, procedentes de Heidelberg. 204 Falta algo menos de la primera mitad del tratado. Inc.: Sequitur de ciclo solari, qui est quasi istorum effectus (Lohr, 2020, cap. 11, l. 1/2). 122 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1420 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90325383,T https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.1420 https://ptolemaeus.badw.de/ms/363 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1437 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90325541,T https://digi.vatlib.it/view/MSS_Pal.lat.1439 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1439 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90325695,T http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/41812 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.1439 http://ptolemaeus.badw.de/ms/935 La tradición manuscrita En la U.C. 1 aparecen obras de cómputo y calendario y unas tablas astronómicas. En las U.C. 2-4 el contenido es astronómico, astrológico y médico especialmente, obras que en ocasiones están escritas en alemán. Schuba (1992, 271-6). DVL (cons. 03/03/2021); Heidelberg (cons. 03/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2021); Mirabile (cons. 03/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 142. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1452 II + 285 + II ff., papel, 208 × 136 mm, s. XV, origen: Baviera. Algor.: ff. 60r-87r (con el comentario de Christianus Pragensis). Manuscrito con un contenido astronómico abundante, donde no faltan tablas y tratados de instrumentos de medida; además presenta tratados sobre álgebra, geometría, mántica e incluso un alfabeto hebreo. Algunas obras están escritas en alemán. Schuba (1992, 276-82). Handschriftencensus (cons. 14/03/2021); Heidelberg (cons. 14/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 143. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Reg. Lat. 150 Ms. compuesto, 3 U.C. I + 170 ff., pergamino, 186 × 135 mm, s. XIII (U.C. 3)205, origen: desconocido (prov.: biblioteca petaviana206). Algor.: ff. 164r-168v (mútilo)207. La U.C. 3 contiene, además del Carmen del algorismo, una obra sobre etimologías. El resto de U.C. contiene homilías, sermones y diversos escritos eclesiásticos. Wilmart (1937, 359-65). DVL (cons. 04/05/2022). 144. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Reg. Lat. 1267 Ms. compuesto, 4 U.C. IV + 150 + IV ff., pergamino, 260 × 185 mm, s. XIV (U.C. 1)208, origen: desconocido (prov.: colección privada de Cristina de Suecia). U.C. 1 (ff. 1-135), Algor.: ff. 89r-92v; Spher.: ff. 93r-101r. La U.C. 1 presenta tratados de aritmética y astronomía. Las U.C. 2-3 versan sobre cálculo, cómputo y matemática y la U.C. 4 transmite la Satisfactio de Draconcio. Smith y Magrini (2001, 492-3). DVL (cons. 14/03/2021); Fama (cons. 14/03/2021); Mirabile (cons. 14/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 145. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Urb. Lat. 507 I + 213 + II ff., pergamino, 270 × 194 mm, s. XIVex., origen: desconocido (prov.: biblioteca personal de Federico da Montefeltro). Algor.: ff. 145r-154r; Spher.: ff. 154r-170r; Compot.: 171r-199v. 205 Las U.C. 1-2 datan del s. XII. 206 I.e., la biblioteca personal de Alexandre Petau. 207 El tratado aparece como comentario al margen del Carmen de algorismo, copiado por una mano distinta al texto principal, pero contemporánea a juzgar por la paleografía. Por el posterior recorte de los folios, ha perdido la primera línea de la obra y algunas líneas del interior. Puesto que sigue el orden del Carmen, el capítulo de la progresión se ha traspuesto al final. 208 Mientras que la U.C. 1 fue escrita en el s. XIV, el resto de U.C. son mucho anteriores, con una datación que abarca de los ss. IX-X de la U.C. 3 y el s. X de la U.C. 4 hasta el s. XI de la U.C. 2. 123 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Pal.lat.1451 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1451 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90326137,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/116282 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.1451 https://handschriftencensus.de/21350 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/bav_pal_lat_1452 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Pal.lat.1452 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10320#202254 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Reg.lat.150 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Reg.lat.1267 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/37259 http://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/16862 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Reg.lat.1267 LA OBRA DE SACROBOSCO El manuscrito comienza con los Elementa de Euclides, continúa con Sacrobosco y finaliza con una obra de cómputo y calendario seguida de un opúsculo sobre cosmografía. Cahn y Marrow (1978, 228); Ambrosetti (2008, 379). DVL (cons. 14/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 14/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 146. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Urb. Lat. 1399 50 ff., pergamino, 242 × 177 mm, s. XIV, origen: desconocido (prov.: biblioteca personal de Federico da Montefeltro). Algor.: ff. 46r-47v (incompleto)209. Obras de astronomía (incluidos opúsculos sobre instrumentos de medida), de matemática, dibujos de las constelaciones y tablas. Ambrosetti (2008, 379). DVL (cons. 14/03/2021); Mirabile (cons. 14/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 147. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Urb. Lat. 1428 Va1 II + 188 ff., pergamino, 198 × 135 mm, s. XIII (ca. 1270), origen: Francia210. Algor.: ff. 1r-16v; Compot.: ff. 18r-64v; Spher.: ff. 65r-92v. El códice consta de obras astronómicas, tablas, tratados sobre instrumentos de medida (cuadrante, astrolabio) y sobre cómputo y calendario. Strornajolo (1921, 323-6); Freeman (2005, 48, 56 n. 16); Ambrosetti (2008, 379). DVL (cons. 14/03/2021); Fama (cons. 14/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 14/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 148. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 1108 164 ff., papel, 208 × 147 mm, s. XIV-XV, origen: desconocido211. Algor.: ff. 119v-125v. El manuscrito presenta sentencias, obras filosóficas y teológicas y tratados científicos como este de Sacrobosco, uno sobre la proporción y otro sobre el movimiento. CVL (1931, vol. 2, 719-25); Hamesse (1996, 469); Ambrosetti (2008, 379). DVL (cons. 14/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 14/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021); Ptolemaeus (cons. 14/03/2021). 149. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 1706 187 ff., pergamino, 183 ×122 mm, s. XV, origen: desconocido. Spher.: ff. 171r-182v. El manuscrito contiene este tratado de Sacrobosco y el Orator y De oratore de Cicerón. CVL (1912, vol. 3, 197-8). DVL (cons. 14/03/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 14/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 209 Faltan los cuatro últimos capítulos: sobre la división, la progresión y las raíces cuadradas y cubícas. Quizá fueran escritas en los últimos folios, en los que parecen entreverse restos de escritura, pero que no es posible leer debido al deterioro del códice. 210 Según Freeman (2005, 48), el iluminador es el mismo que realizó las miniaturas del ms. New York, Public Library, Manuscripts and Archives Division, 69 (n.º 459). Nosotros creemos que podría haber sido un iluminador quizá de la misma escuela o tendencia, pero la mano parece distinta. 211 Presenta los escudos de armas del papa Pío VI y el cardenal Saverio Zelada, por lo que su proveniencia debería adscribirse probablemente al propio Vaticano. 124 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Urb.lat.507 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10335#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/136958 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Urb.lat.507 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Urb.lat.1399 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/117751 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Urb.lat.1399 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Urb.lat.1428 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/37260 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10341#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/20568 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Urb.lat.1428 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.1108 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10018#11_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/7375 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.1108 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10018 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.1706 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28568 http://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/86202 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.1706 La tradición manuscrita 150. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3099 VII + 80 + 1 ff, papel, 289 × 220 mm, s. XV (datado: año 1472), origen: Ferrara. Quadr.: ff. 25ra-28va. Obras sobre instrumentos astronómicos: astrolabio esférico, almanaque, cuadrante; al final hay unas tablas astronómicas. Thorndike (1956, 393); Thorndike y Kibre (1963, 1003); Glorieux (1971, 236); O. Pedersen (1985, 185); Knorr (1997b, 215); Pellegrin et al. (2010, vol. 3.2, 83-4). DVL (cons. 14/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 14/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021); Peraldus (cons. 14/03/2021); Ptolemaeus (cons. 14/03/2021). 151. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3113 I + II (perg.) + 129 + IV ff., papel, 191 × 132 mm, s. XIV, origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-10r; Compot.: ff. 82v-102r; Algor.: ff. 103v-110v. Obras astronómicas (incluida la Theorica planetarum), tablas y un poema sobre los meses. Inv. Ross. (s.d., vol. 4, 279); Manfredi (1994, 391-2); Ambrosetti (2008, 379). DVL (cons. 14/03/2021); Jordanus (cons. 12/04/2021); Mirabile (cons. 14/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021); Ptolemaeus (cons. 14/03/2021). 152. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3114 Va8 I (papel) + 101 + I + I (papel) ff., pergamino, 220 × 150 mm, s. XIII-XIV, origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-28r; Algor.: ff. 28r-33r; Compot.: ff. 33v-54r. Obras de astronomía, instrumentos de medida (astrolabio, cuadrante), tablas, cómputo y calendario y una obra sobre el exorcismo. Inv. Ross. (s.d., vol. 4, 279-80); Daly (1964, 5); O. Pedersen (1976, 20, 30); Ambrosetti (2008, 379). DVL (cons. 14/03/2021); Jordanus (cons. 12/04/2021); Mirabile (cons. 14/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021). 153. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3127 Va3 I + 93 + I ff., papel, 210 × 142 mm, s. XIII212, origen: ¿Francia? Algor.: ff. 77r-82v. El manuscrito transmite obras sobre instrumentos de medida astronómicos (cuadrante, astrolabio, cilindro y reloj astronómico, algunas en francés) y otros tratados relacionados con la astronomía y astrología. Inv. Ross. (s.d., vol. 4, 284-5); Ambrosetti (2008, 379). DVL (cons. 14/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 14/03/2021); OVL (cons. 14/03/2021); Ptolemaeus (cons. 14/03/2021). 154. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3133 I (papel) + 62 + I (papel) ff., pergamino, 272 × 187 mm, s. XIV, origen: desconocido. Spher.: ff. 37r-54r. Obras de astronomía y el cómputo de Alexandre de Villadei. 212 En la entrada de la OVL (cons. 14/03/2021), se datan en el s. XIII únicamente las obras contenidas entre los ff. 77-85, que contienen el Algor. de Sacrobosco y la obra homónima de Johannes de Lineriis. El resto de obras, se datan en el s. XIV. No hemos encontrado noticia, sin embargo, de que estemos ante un manuscrito compuesto, a pesar de que es lo que parece sugerir la diferente datación de estos tratados frente a los otros. 125 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.3099 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10120#4_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/14395 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.3099 http://www.peraldus.ch/getrefs.php?current_ms_id=vatic-02-1395 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10120 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.3113 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10134#1_57 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/13260 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.3113 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10134 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.3114 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10135#8_57 https://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/136689 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.3114 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.3127 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10148#15_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/136691 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.3127 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10148 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.3127 LA OBRA DE SACROBOSCO Inv. Ross. (s.d., vol. 4, 286-7); Parroni (1981, 541-60). DVL (cons. 15/03/2021); Jordanus (cons. 12/04/2021); OVL (cons. 15/03/2021); Ptolemaeus (cons. 15/03/2021). 155. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3379 II + 118 + I ff., papel, 282 × 216 mm, s. XV2/2, origen: Italia (copista: Lorenzo Bonincontri). Spher.: ff. 5r-30v (con comentarios). Obras de astronomía y astrología. Inv. Ross. (s.d., vol. 4, 343); Kristeller (1967, vol. 2, 319). DVL (cons. 15/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 15/03/2021); OVL (cons. 15/03/2021); Ptolemaeus (cons. 15/03/2021). 156. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3683 36 ff., papel, 210 × 140 mm, s. XV, origen: Italia. Spher.: ff. 2r-18r. El manuscrito contiene la Spher., la Historia de excidio Troiae de Dares frigio y parte de la traducción latina de las Vidas paralelas de Plutarco. Kristeller (1967, vol. 2, 322); Pellegrin et al. (2010, vol. 3.2, 318). DVL (cons. 15/03/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 15/03/2021); OVL (cons. 15/03/2021). 157. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3902 I + 55 + II ff., papel, 300 × 220 mm, s. XVI, origen: Roma. Algor.: ff. 9r-25r. Además del Algor., el manuscrito contiene otras obras de aritmética y operaciones matemáticas. Inv. Ross. (s.d., vol. 4, 542); Ambrosetti (2008, 380). DVL (cons. 15/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 15/03/2021); OVL (cons. 15/03/2021); Ptolemaeus (cons. 15/03/2021). 158. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4082 I + 346 ff., papel, 295 × 215 mm, s. XVin., origen: Padua. Spher.: ff. 67ra-82va. Obras de astronomía (incluidos comentarios a la Spher. y a la Theorica planetarum), astrología, filosofía natural y física, medicina y óptica. Inv. Ross. (s.d., vol. 5, 100-1); Thorndike (1956, 397-401); Beaujouan (1991, V, 528); Juste (2007, 377-8). DVL (cons. 15/03/2021); OVL (cons. 15/03/2021); MedCat (cons. 15/03/2021); Mirabile (cons. 15/03/2021); Ptolemaeus (cons. 15/03/2021). 159. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4084 I + 78 + I ff., pergamino, 220 × 210 mm, s. XIV-XV, origen: ¿Francia? Spher.: ff. 18v-22v. Obras de astrología y astronomía con diversas tablas; algunos de los tratados son excerpta o comentarios. Inv. Ross. (s.d., vol. 5, 101-2); Thorndike (1929, 58, n. 20); Juste (2007, 378-83). DVL (cons. 16/03/2021); Jordanus (cons. 12/04/2021); Mirabile (cons. 16/03/2021); OVL (cons. 16/03/2021); Ptolemaeus (cons. 16/03/2021). 126 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.3133 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10154#2_57 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.3133 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10154 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.3379 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10160#2_57 http://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/119900 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.3379 http://ptolemaeus.badw.de/ms/374 http://www.mirabileweb.it/title/historia-de-excidio-troiae-title/32415 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.3683 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28569 http://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/117924 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.3683 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.3902 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10172#4_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/136694 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.3902 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10172 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.4082 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.4082 https://medcat.sciencia.cat/ca/medcat?ms=1988 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/114679 https://ptolemaeus.badw.de/ms/596 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.4084 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10179#3_57 http://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%EF%BF%BD-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana-vat-lat-4084-i-ii/116280 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.4084 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10179 La tradición manuscrita 160. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4087 III + 113 + II ff., papel, 308 × 213 mm, s. XIV-XVin. (datado: años 1320, 1340, 1359, 1420), origen: norte de Italia ¿Parma? Spher.: ff. 1r-7v; Algor.: ff. 8r-11v. Obras de astrología y astronomía principalmente, entre las que se cuentan la Theorica planetarum, opúsculos sobre instrumentos de medida (almanaque, astrolabio) y las tablas alfonsinas; también se encuentran algunas de álgebra con tablas (incluido el Carmen de algorismo) y los estudios sobre estrellas, hierbas y piedras de Hermes Trimegistos. Inv. Ross. (s.d., vol. 5, 105-6); F.S. Pedersen (2002, 182); Juste (2007, 383); Ambrosetti (2008, 379); Blume, Haffner y Metzger (2016, 221-5). DVL (cons. 16/03/2021); Jordanus (cons. 12/04/2021); Mirabile (cons. 16/03/2021); OVL (cons. 16/03/2021); Peraldus (cons. 16/03/2021); Ptolemaeus (cons. 16/03/2021). 161. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4385 Va9 146 ff., pergamino, 170 × 120 mm, s. XIII, origen: desconocido. Algor.: ff. 125r-130r. El manuscrito contiene sermones y tratados de matemática (incluido el Carmen de algorismo) y astronomía (incluido un opúsculo sobre el astrolabio). Inv. Ross. (s.d., vol. 5, 231-2); Ambrosetti (2008, 379). DVL (cons. 15/02/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 15/02/2021); OVL (cons. 15/02/2021); Ptolemaeus (cons. 15/02/2021). 162. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 5335 Va10 59 ff., pergamino, 185 × 120 mm, s. XIII-XIV (datado: año 1273), origen: desconocido. Algor.: ff. 1v-9r; Spher.: ff. 9v-26v; Quadr.: ff. 27v-31v; Compot.: ff. 37r-55v. Además de las obras de Sacrobosco, el manuscrito contiene unas tablas, otros dos tratados sobre astrología y predicciones y uno sobre aritmética atribuido a Campano de Novara. Inv. Ross. (s.d., vol. 6, 117-8); Ambrosetti (2008, 378). DVL (cons. 15/02/2021); Jordanus (cons. 12/04/2021); Mirabile (cons. 15/02/2021); OVL (cons. 15/02/2021); Ptolemaeus (cons. 15/02/2021). 163. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 5714 Ms. compuesto, 5 U.C. 117 ff., pergamino, 323 × 225 mm, s. XIII1/2, origen: norte de Italia. U.C. 1 (ff. 1-12), Spher.: ff. 9va-12rb. Obras de astronomía y astrología, incluidas tablas astronómicas. Inv. Ross. (s.d., vol. 6, 212). DVL (cons. 15/02/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 15/02/2021); OVL (cons. 15/02/2021); Ptolemaeus (cons. 15/02/2021). 164. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 6431 362 pp., papel, in folio, s. XVI, origen: desconocido. Algor.: pp. 141-151. Principalmente obras morales y doctrinales religiosas y litúrgicas. Inv. Ross. (s.d., vol. 7, 414-1); Kristeller (1967, vol. 2, 381); Ambrosetti (2008, 380). Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 15/02/2021). 127 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.4087 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10182#1_57 https://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/114680 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.4087 http://www.peraldus.ch/getrefs.php?current_ms_id=vatic-02-1565 https://ptolemaeus.badw.de/ms/599 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.4385 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10190#1_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/136690 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.4385 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10190 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.5335 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10229#1_57 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/122916 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.5335 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10229 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.5714 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10237#2_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/116385 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.5714 http://ptolemaeus.badw.de/ms/294 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10246#1_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/citt%C3%A0-del-vaticano-biblioteca-apostolica-vaticana--manuscript/136695 LA OBRA DE SACROBOSCO 165. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 7183 263 ff., papel, in octavo, fecha desconocida213, origen: desconocido. Algor.: ff. 251r-259r. Tratados de ciencias naturales: geografía, astronomía, astrología, etc. Inv. Ross. (s.d., vol. 9, 118-9). Jordanus (cons. 08/12/2021). 166. Colmar, Bibliothèque municipale, 22 (25) 191 ff., pergamino, 160 × 116 mm, s. XIV (datado: año 1339), origen: desconocido (prov.: convento de Antonino de Issenheim). Algor.: ff. 47r-51v. El manuscrito contiene obras sobre el cómputo, astronomía, calendario y otras religiosas de enfoque didáctico-moral, incluidos sermones, oraciones y tratados sobre virtudes. Ingold (1898, vol. 2, 122); Samaran y Marichal (1965, vol. 5, 570); Kristeller (1967, vol. 3, 208); Ambrosetti (2008, 355). BVMM (cons. 19/03/2021); CCFR (cons. 19/03/2021); Medium (cons. 19/03/2021); Mirabile (cons. 19/03/2021). 167. Colmar, Bibliothèque municipale, 365 (414) Co 62 ff., pergamino, 160 × 110 mm, s. XIII, origen: desconocido (prov.: S. Grégoire, Münster). Algor.: ff. 1r-8v; Spher.: ff. 13r-25r; Compot.: ff. 26r-50r. Obras de astronomía y cómputo con tablas. Camès (1988, 11-26); CGM (1969, vol. 56, 140). Biblissima (cons. 19/03/2021); BVMM (cons. 19/03/2021); CCFR (cons. 19/03/2021); Initiale (cons. 19/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Medium (cons. 19/03/2021); Mirabile (cons. 19/03/2021). 168. Colmar, Bibliothèque municipale, 404 (56) 161 ff., papel, 215 × 145 mm, s. XV (datado: año 1422), origen: desconocido (prov.: San Léger, Murbach). Algor.: ff. 73v-89r (con comentario). El manuscrito contiene una obra sobre el alma humana, otra sobre la memoria, los Disticha Catonis, tratados de astronomía y cómputo con algunas tablas, de álgebra, una epístola y una traducción de Petrarca. Ingold (1897, vol. 1, 212); Samaran y Marichal (1965, vol. 5, 644); CGM (1969, vol. 56, 152-3); Kristeller (1967, vol. 3, 209-10); Jeudy y Riou (1989, 472); Ambrosetti (2008, 355). CCFR (cons. 19/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 19/03/2021). 169. Cuijk, Kruisherenklooster Sint Agatha, C 14 181 ff., papel y pergamino, ca. 210 × 144 mm, s. XV (datado: años 1420-1446), origen: Alemania. Algor.: ff. 44r-53v. Obras de cómputo especialmente, aunque también las hay de algebra y aritmética y un tratado de música. 213 En Inv. Ross. (s.d., vol. 9, 118-9) se dice: diversis temporibus et diversa manu, sin especificar entre qué fechas se datan sus obras ni cuándo cambia la mano. Podría ser incluso un códice compuesto a partir de esta descripción. 128 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10257#1_58 https://bvmm.irht.cnrs.fr/consult/consult.php?reproductionId=26803 https://ccfr.bnf.fr/portailccfr/ark:/06871/004D52010132 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=35261 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/colmar-biblioth%C3%A8que-municipale-22-(25)-manuscript/136795 https://data.biblissima.fr/w/Item:Q204482 https://bvmm.irht.cnrs.fr/resultRecherche/resultRecherche.php?COMPOSITION_ID=16365 https://ccfr.bnf.fr/portailccfr/ark:/06871/004D52013239 http://initiale.irht.cnrs.fr/codex/11884 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3912#1_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=46735 https://www.mirabileweb.it/manuscript/colmar-biblioth%C3%A8que-municipale-365-(414)-manuscript/136796 https://ccfr.bnf.fr/portailccfr/ark:/06871/004D52013478 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3919#10_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/colmar-biblioth%C3%A8que-municipale-404-(56)-manuscript/136797 La tradición manuscrita Kristeller (1989, vol. 4, 339); Gumbert-Hepp (1987, 194-6); Stahl (1994, 116-8, n.º 47); Ambrosetti (2008, 383). BNM-I (cons. 19/03/2021); Fama (cons. 19/03/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Mirabile (cons. 16/02/2021). 170. Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 815214 Ms. compuesto, 8 U.C. 176 ff., pergamino, 215 × 135-140 mm, s. XII2/2 (U.C. 5)215, origen: Lieja. U.C. 5 (ff. 101-109), Algor.: f. 109r (excerpta)216. El resto de la U.C. 5 contiene obras de cómputo y calendario. Las demás U.C. presentan un contenido muy variado: epístolas, medicina, homilías, didáctica, computística, pronósticos y astrología, filosofía. Haust (1941, 95-153). Biblissima (cons. 12/11/2021); Jonas (cons. 12/11/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/11/2021). 171. Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 1227 121 ff., pergamino, 158 × 110 mm, s. XIV1/3, origen: desconocido (prov.: Lieja). Algor.: ff. 1r-18r; Compot.: ff. 21r-70r; Spher.: ff. 84r-114v. El manuscrito contiene, además de las obras de Sacrobosco, unas tablas y un tratado sobre el astrolabio. Ambrosetti (2008, 361). Jordanus (cons. 14/04/2021); ULB (cons. 10/02/2021). 172. Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 1415217 Ms. compuesto, 2 U.C. I + 46 + I ff., papel, 210 × 145 mm, s. XV4/4 (U.C. 2)218, origen: ¿Colonia? ¿Baja Renania? U.C. 2 (ff. 35-46), Algor.: ff. 36r-46r. La U.C. 2 tan solo contiene este tratado, mientras que la U.C. 1 contiene un tratado sobre el cómputo, tablas astrológicas, un carmen astrológico y un par de obras medicinales. Ambrosetti (2008, 361). Jordanus (cons. 14/04/2021). 173. Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2640 Ms. compuesto, 3 U.C. 214 Además de la bibliografía encontrada en catálogos y bases de datos, quiero agradecer encarecidamente la información proporcionada para este y los siguientes manuscritos de la Universitäts- und Landesbibliothek de Darmstadt a su bibliotecaria, Teresa Schliemann, quien gentilmente puso a mi disposición las anotaciones de la Dra. Ulrike Spyra. 215 Según Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/11/2021) la U.C. 5 fue copiada en Lieja en la segunda mitad del s. XII. Esta información no es muy acertada en el caso de los excerpta del Algor. y el Carmen, pues ambas obras fueron escritas a principios del s. XIII. Quizá podamos explicar esta fecha aludiendo que, tras haberse copiado los textos de la U.C. en el s. XII los excerpta se añadieron en una época posterior. Respecto al resto de U.C., fueron copiadas en un abanico de tiempo que abarca desde el s. XII hasta el s. XV. 216 En este folio aparece una tabla con anotaciones en los márgenes a modo de explicación que responden a extractos del Algor. y el Carmen de algorismo. 217 Hemos podido acceder a la descripción del manuscrito gracias a Susan Kleine, bibliotecaria de la Universitäts- und Landesbibliothek de Darmstadt, a quien agradecemos profundamente su amabilidad. 218 La U.C. 1 se data en el tercer cuarto del s. XV. 129 https://bnm-i.huygens.knaw.nl/tekstdragers/TDRA000000005454 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/37264 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11233#12_58 http://www.mirabileweb.it/search-person/nicolaus-campis-person/1044/12588 https://portail.biblissima.fr/en/ark:/43093/mdatab422dd944acb36ea940cfd2b2f8e1d298119e19c https://jonas.irht.cnrs.fr/manuscrit/74788 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31909681 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1280#1_58 http://tudigit.ulb.tu-darmstadt.de/show/Hs-1227 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1285#5_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31909681 LA OBRA DE SACROBOSCO 252 ff., pergamino, ca. 180 × 120 mm, s. XIII-XIV (datado: año 1308), origen: Lieja (prov.: Saint-Jacques-le-Mineur, Lieja). (U.C. 2, ff. 102-203), Spher.: ff. 156va-168vb219. El manuscrito contiene los Disticha Catonis, églogas, parábolas, fábulas, tratados sobre aritmética (incluido el Carmen de algorismo), cómputo, astronomía y medicina. F. Roth (1889, 261); Zinner (1925, 154); Robles (1965, 17); Hunt (1980, 44-63). Arlima (cons. 30/05/2022); Biblissima (cons. 12/11/2021); Fama (cons. 19/03/2021); Jonas (cons. 12/11/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Medium (cons. 12/11/2021); Mirabile (cons. 19/03/2021). 174. Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2661 D1 Ms. compuesto, 2 U.C. 209 ff., pergamino, 175 × 120 mm, s. XIII (U.C. 2)220, origen: Lieja (prov.: S. Jakobus der Jüngere, Ronnenberg). U.C. 2 (ff. 107r-209v), Algor.: ff. 108r-115v; Spher.: ff. 116r-129v; Compot.: ff. 170r-192r. La U.C. 2 transmite tratados de aritmética, astronomía (incluidos instrumentos astronómicos: cuadrante, astrolabio), cómputo, calendarios, tablas y un tratado de medicina. La U.C. 1, en cambio, contiene tratados de filosofía natural. Zinner (1925, 152-3); Kunitzsch (1966, 134); Axters (1970, 85); Ambrosetti (2008, 361). Fama (cons. 19/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 19/03/2021); ULB (cons. 19/03/2021). 175. Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2769 259 ff., papel, 215 × 140 mm, s. XIVex.-XVin., origen: ¿Lieja? Algor.: ff. 185r-196r (incompleto)221. Obras de diversa índole: astronomía, astrología, filosofía, medicina, cómputo, teología y moralizantes. Robles (1965, 19); Ambrosetti (2008, 361). Jonas (cons. 19/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Medium (cons. 19/03/2021); ULB (cons. 19/03/2021). 176. Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2827 80 ff., pergamino, 217 × 160 mm, s. XIII-XIV222, origen: Francia. Algor.: ff. 1r-10r; Spher.: ff. 10v-26v; Compot.: ff. 27v-54r. Además de las obras de Sacrobosco, el manuscrito contiene versos leoninos, tablas y otra obra astronómica. Zinner (1925, 152-3); Robles (1965, 19); Ambrosetti (2008, 361). Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 19/03/2021). 219 Además de esta obra, F. Roth (1889, 261) cita el Algor. en novena posición dentro del códice. El estudio más reciente de Hunt (1980, 44-63), sin embargo, pone en su lugar el Carmen de algorismo. Siendo este el último estudio del códice, y además exhaustivo, damos mayor credibilidad a su descripción, sin descartar por completo el hecho de que pueda estar el Algor. entre las páginas del códice. 220 La U.C. 1 está datada en el s. XIV. 221 En el margen superior del primer folio del tratado, una mano distinta a la que ha copiado el texto advierte que el tratado está incompleto por faltarle un folio al final: Algorismus in prosa sed deest quasi unum folium et sic non est completus. En efecto, el copista parece haber dejado de copiar hacia el final del f. 196r, con des.: Qui ductus in duplatum deleat totum suprapositum respectu duplati, deinde ductus in se… Dada la anomalía de que el escriba haya dejado de copiar en medio de una frase, quizá podamos postular que su modelo carecía del final del tratado por una caída de folios. 222 En Jordanus (cons. 14/04/2021) se data en el s. XIV. 130 https://arlima.net/no/7273 https://portail.biblissima.fr/fr/ark:/43093/mdata311df0ac661f698c04ec339f261af641b637acfa http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/26593 https://jonas.irht.cnrs.fr/manuscrit/76407 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1295#12_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100060145 https://www.mirabileweb.it/manuscript/darmstadt-universit%C3%A4ts-und-landesbibliothek-(olim--manuscript/136384 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1296#317890 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/67520 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1296#5_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/darmstadt-universit%C3%A4ts-und-landesbibliothek-(olim--manuscript/136541 http://tudigit.ulb.tu-darmstadt.de/show/Hs-2661 http://jonas.irht.cnrs.fr/consulter/manuscrit/detail_manuscrit.php?projet=78666 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1298#4_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100060148 http://tudigit.ulb.tu-darmstadt.de/show/Hs-2769 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1301#2_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/darmstadt-universit%C3%A4ts-und-landesbibliothek-(olim--manuscript/136544 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1301#2_58 La tradición manuscrita 177. Dessau, Stadtbibliothek, Georg. 866 263 ff.223, papel, 200 × 145 mm, s. XV2/2, origen: ¿Leipzig? Algor.: ff. 158r-178v (incompleto, con comentario)224. Tratados de aritmética, calendarios, tablas, un comentario al Algor. y tratados sobre el cómputo. Fliege (1986, 102-5); Ambrosetti (2008, 362). Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 19/03/2021); Ptolemaeus (cons. 19/03/2021). 178. Dresden, Sächsische Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek, Dresd. C 80 Ms. compuesto, 14 U.C. II + 420 + I ff., papel, 310 × 210 mm, s. XV, origen: Alemania. U.C. 1 (ff. 1-10), Algor.: ff. 1v-5v (incompleto, con glosas)225. La U.C. 1, además del Algor., contiene reglas matemáticas. El resto de U.C. presenta una gran cantidad de tratados relativos a la aritmética y la matemática. Schnorr von Carolsfeld (1979, 196-8); Ambrosetti (2008, 362). Manuscripta Mediaevalia (cons. 19/03/2021); SLUB (cons. 19/03/2021); ZVDD (cons. 19/03/2021). 179. Dresden, Sächsische Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek, Dresd. C 99 a 79 ff., papel, 314 × 214 mm, s. XV (datado: año 1489), origen: Erfurt. Spher.: ff. 1r-16v. Además de esta obra, el manuscrito contiene obras de Boecio, John Pecham y la Theorica planetarum. Schnorr von Carolsfeld (1979, 203). Kalliope (cons. 03/03/2022); Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/03/2022). 180. Dresden, Sächsische Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek, Dresd. N 100 306 ff., papel, in quarto, s. XVex., origen: Cracovia (prov.: Universidad de Cracovia). Spher.: ff. 25r-86v (con comentarios). Tratados de astronomía, astrología y geomancia (algunos simples excerpta y comentarios), incluidas tablas y opúsculos sobre instrumentos de medida. Zinner (1962, 24); L. Schmidt (1982, 39-43); Markowski (1990, 289); Láng (2008, 319). Fama (cons. 19/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 19/03/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021); SLUB (cons. 19/03/2021). 181. Dublin, Trinity College Library, D.2.16 Ms. compuesto, 2 U.C. 143 ff., papel, in quarto, s. XV226, origen: norte de Italia (prov.: colección personal del cardenal Domenico Grimani). U.C. 2 (ff. 97-143), Spher.: ff. 97v-107v (con comentarios). 223 De los cuales faltan los 157 primeros. 224 Le falta la parte final del tratado sobre las raíces cuadradas y cúbicas. 225 El tratado empieza directamente con el capítulo sobre la adición, faltando los dos primeros de carácter introductorio. No parece que sea mútilo, puesto que en el recto del folio aparece una tabla y unos versos que no tienen que ver con esta obra. Inc.: Additio est numeri ad numerum vel numerorum ad numeros [sic] aggregatio. 226 La U.C. 1 está datada en 1469, mientras que la U.C. 2 está fechada en 1416 y 1418. 131 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3160#7_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90477204,T https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/3160#21_10 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31604752 http://digital.slub-dresden.de/id284925225 http://www.zvdd.de/dms/load/met/?PPN=urn%3Anbn%3Ade%3Absz%3A14-db-id2849252255 https://kalliope-verbund.info/ead?ead.id=DE-611-HS-3469254 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj40171896 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/34259 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3301#6_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj40180674 http://ptolemaeus.badw.de/ms/27 http://digital.slub-dresden.de/id323548814 LA OBRA DE SACROBOSCO La U.C. 2 contiene, además de la Spher., la Theorica planetarum. La U.C. 1 presenta obras astronómicas. Abbott (1900, 62, n.º 397); Colker (1991, 817-21). Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 19/03/2021); Ptolemaeus (cons. 19/03/2021). 182. Durham, University Library, Cosin V.III.10 Ms. compuesto, 6 U.C. III + 118 + I ff., papel y pergamino227, 195 × 138 mm (U.C. 2)228, s. XV (U.C. 2)229, origen: ¿Inglaterra? ¿Italia? (U.C. 2)230. U.C. 2 (ff. 16-23), Spher.: ff. 16r-20r. La U.C. 2 contiene, además de la Spher., un breve compendio sobre el alma y un texto filosófico. En las demás U.C., aparecen tratados filosóficos, médicos y gramaticales. Catalogi Veteres (1838, 166). Durham (cons. 11/03/2021); HMML (cons. 11/03/2021). 183. Edinburgh, National Library of Scotland, 18.6.2 XIX + 268 + IX ff., papel, 210 × 145 mm, s. XV (datado: años 1472, 1473), origen: Siena. Spher.: ff. 97r-120v. Tratados de medicina, astronomía y astrología. NLS (cons. 11/03/2021). 184. Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 1.2 VII + 108 + III ff., pergamino, 163 × 115 mm, s. XVmed., origen: Inglaterra. Spher.: ff. 60r-87r. Obras de física, aritmética y astronomía. Ker (1977, vol. 2, 545-6); Kristeller (1989, vol. 4, 19). Jordanus (cons. 14/04/2021). 185. Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 2.3 II + 209 + II ff., papel, 120 × 83 mm, s. XIV-XV, origen: Hildesheim, Alemania. Spher.: ff. 1r-18v. El manuscrito contiene la Spher., un comentario a la misma, obras de cómputo y aritmética, un tratado sobre la confección del astrolabio, tablas astronómicas y un texto sobre las sílabas. Ker (1977, vol. 2, 548-51); Nothaft (2014, 381). Jordanus (cons. 14/04/2021). 186. Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 2.98 II + 30 + I ff., papel, 210 × 155 mm, s. XV (datado: año 1468), origen: Italia. Spher.: ff. 1r-14v. El manuscrito contiene tan solo la Spher. seguida del Theorica planetarum. 227 Son pergamino los ff. 1-2 y 57-115 y de papel, las hojas de guarda y los ff. 3-56, donde se incluye la U.C. 2. 228 El resto de U.C. tienen unas medidas distintas. (U.C. 1: aprox. 212 × 145 mm, U.C. 3-4: máx. 210 × 155 mm, U.C. 5: 220 × 140 mm, U.C. 6: aprox. 220 × 165 mm). 229 Las U.C. 1-5 datan del s. XV: de mediados las dos primeras, de finales la tercera y la cuarta y de inicios la quinta. La última U.C., en cambio, fue escrita en el s. XIV-XV. 230 Mientras que en la U.C. 2 surgen dudas sobre la procedencia, parece que el resto de U.C. responden a un origen inglés. 132 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6219#3_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/dublin-trinity-college-397-(d-2-16)-manuscript/135258 http://ptolemaeus.badw.de/ms/620 http://reed.dur.ac.uk/xtf/view?docId=ark/32150_s1t435gd05v.xml https://www.vhmml.org/readingRoom/view/80465 https://manuscripts.nls.uk/repositories/2/resources/15215 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6256#7_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6274#1_58 La tradición manuscrita Ker (1977, vol. 2, 556-7). Jordanus (cons. 14/04/2021). 187. Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 3.4 V + 24 + XXXIII ff., papel y pergamino231, 240 × 160 mm, s. XVmed., origen: Inglaterra. Algor.: ff. 12v-18v. Obras astronómicas, astrológicas (incluidas tablas del zodiaco) y aritméticas (incluido el Carmen de algorismo). Ker (1977, vol. 2, 560-1). Jordanus (cons. 14/04/2021). 188. Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 3.29 I + 22 + I ff., pergamino, 272 × 200 mm, s. XIV (datado: año 1317), origen: Italia. Spher.: ff. 16r-22r. El manuscrito contiene dos obras astronómicas y la Spher. Ker (1977, vol. 2, 570). Jordanus (cons. 14/04/2021); Ptolemaeus (cons. 19/03/2021). 189. Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 5.14 II + 119 + I ff., pergamino, 345 × 240 mm, s. XV-XVI (datado: año 1506), origen: Italia (prov.: Sacro Convento de San Francisco de Asís). Compot.: ff. 1r-6v. El manuscrito contiene, además del Compot., un tratado sobre el astrolabio y la Física de Aristóteles en latín. Ker (1977, vol. 2, 580). Jordanus (cons. 14/04/2021). 190. Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 7.76 36 ff.232, papel, 205 × 158 mm, s. XV (datado: año 1496), origen: Estrasburgo (copista: Johannes de Berck Zabernia)233. Algor.: ff. 1r-35v (con comentario). El Algor. comentado es la única obra del códice. Ker (1977, vol. 2, 580-1). Jordanus (cons. 14/04/2021). 191. Edinburgh, University Library, 128 16 + II ff., pergamino, 210 × 146 mm, s. XIV, origen: Italia. Spher.: ff. 1r-11v. Además de la Spher., contiene un tratado sobre la sustancia. 231 De papel son los ff. 1, 3, 5, 6, 8, 10-12, 16, 17 y 21-24; los folios restantes son de pergamino. 232 Ker (1977, vol. 2, 581) apunta que los folios del manuscrito fueron encuadernados con dos obras impresas a principios del s. XVI, una de ellas en alemán, que se pusieron al principio del libro resultante. 233 En el final del Algor. se mencionan dos nombres propios: Finis algorismi prosayci magistri Ioannis de sacro busco per me Iohannem de berck zabernia 5ta feria ante festum penthekost argentine anno 1496. A magistro Ieorio [sic] tunc temporis rectore. Interpretamos que el copista es Iohannes de Berck Zabernia, quizá un copista venido desde Saverne, una ciudad que no dista mucho del lugar de copia de códice, Estrasburgo. Respecto a Georgius (Ieorio), podría ser el maestro que leyó su comentario al Algor. en un contexto universitario, donde sin duda se movía a juzgar por el calificativo rectore que le acompaña (cfr. infra el apartado de los comentario al Algor., Comentario del maestro Georgio). 133 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6301#1_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6314#15_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6329#4_58 http://ptolemaeus.badw.de/ms/581 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6366#3_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6367#3_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6367#127665 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6367#127665 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6367#127665 LA OBRA DE SACROBOSCO Borland (1916, 203-4). Jordanus (cons. 14/04/2021). 192. Eger, Foëgyházmegyei Könyvtár, U2 VI 1 171 ff., papel, medidas desconocidas, s. XV, origen: desconocido. Algor.: 21r-28r; Spher.: 28r-42v; Compot.: 44v-70v. Tratados aritméticos (incluido el Carmen de algorismo), astronómicos y astrológicos, incluidas tablas y tratados sobre instrumentos de medida (cuadrante, astrolabio, almanaque). Kristeller (1989, vol. 4, 302). Ptolemaeus (cons. 19/03/2021). 193. Eichstätt, Universitätsbibliothek, st 626 Ms. compuesto, 4 U.C. 73 ff., papel, 295 × 210 mm, s. XIV (datado: año 1392) (U.C. 1)234, origen: ¿Erfurt? ¿Ratisbona? U.C. 1 (ff. 1-21), Algor.: ff. 1ra-5va. La U.C. 1 contiene el Algor., el comentario al mismo hecho por Pedro Filomena de Dacia y el Carmen de algorismo. El resto de U.C. presenta obras astronómicas con tablas y tratados sobre cómputo. Hilg y Keller (2004, vol. 3, 313-7); Ambrosetti (2008, 362). Fama (cons. 19/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 19/03/2021). 194. Eichstätt, Universitätsbibliothek, st 735 66 ff., papel, 210 × 155 mm, s. XV (datado: años 1415, 1416), origen: ¿Franconia? Algor.: ff. 9v, 10v-22r. Obras de aritmética (incluido el Carmen de algorismo) y cómputo fundamentalmente. Hilg y Keller (2017, vol. 4, 143-7); Ambrosetti (2008, 362). Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 195. Einsiedeln, Stiftsbibliothek, 29 (878) Ms. compuesto, 6 U.C. I f. + 239 pp.235 + I (papel) f., pergamino, 200 × 158 mm, s. XIV (U.C. 3)236, origen: ¿sur de Alemania? ¿Einsiedeln? U.C. 3 (pp. 103-161), Spher.: pp. 141-151. La U.C. 3 es fundamentalmente de contenido astronómico con tablas; el resto de U.C. son de temática variada: el contenido evangélico de la U.C. 1 contrasta con los anales y la medicia de la U.C. 2, la U.C. 4 solo contiene el De Horologio Karoli Magni, la U.C. 5, tan solo un sermón, y obras de cómputo y teología son las que conforman la U.C. 6 Meier (1899, 20-2); Zinner (1925, 154); Bischoff (1998, 236, n.º 1100). Biblissima (cons. 20/03/2021); BStK (cons. 20/03/2021); e-codices (cons. 20/03/2021); Europeana (cons. 20/03/2021); Swisscovery (cons. 24/05/2021). 234 Las U.C. 2-3 datan del s. XIV y la U.C. 4, por su parte, está fechada en el año 1383. 235 Téngase en cuenta la numeración por cara, no por folio. La irregularidad de que esta numeración finalice en cifra impar en lugar de par se explica por un error de numeración, pues de la p. 158 salta a la p. 160, olvidándose por tanto del 159 y ocasionando la consiguiente anomalía. 236 Las U.C. 1-2 y 4-6 son mucho más recientes: datan del s. IX-X. 134 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6370#1_58 http://ptolemaeus.badw.de/ms/28 http://fama.irht.cnrs.fr/en/manuscrit/37265 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1347#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/eichst%C3%A4tt-universit%C3%A4tsbibliothek-(olim-staatliche--manuscript/112836 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1350#2_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/eichst%C3%A4tt-universit%C3%A4tsbibliothek-(olim-staatliche--manuscript/136555 https://iiif.biblissima.fr/collections/manifest/5c36aaf96d9a9f7494f336c201323ebf08b3fbdc https://glossen.germ-ling.uni-bamberg.de/manuscripts/12161 https://www.ecodices.ch/en/description/sbe/0029/ http://www.europeana.eu/es/item/9200211/en_list_one_sbe_0029 https://swisscovery.slsp.ch/permalink/41SLSP_NETWORK/1ufb5t2/alma991018619696805509 La tradición manuscrita 196. El Escorial, Real Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo, &.IV.19 112 ff., papel, 210 × 150 mm, s. XV, origen: desconocido (prov.: biblioteca personal del Conde-Duque de Olivares). Spher.: ff. 3r-19v. El contenido es exclusivamente astronómico (incluye la Theorica planetarum). Antolín (1911, vol. 2, 402-3). Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021); RBME Cat. (cons. 20/03/2021). 197. El Escorial, Real Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo, O.II.9 114 ff., papel, 302 × 210 mm, s. XV-XVI, origen: España. Spher.: ff. 17r-28v. Tratados de astronomía y meteorología y una traducción al castellano del tratado De institutione musicae de Boecio. Antolín (1913, vol. 3, 208-9). Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021); Philobiblon (cons. 20/03/2021); RBME Cat. (cons. 20/03/2021). 198. El Escorial, Real Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo, O.II.10 Es 226 ff., pergamino, 319 × 206 mm, s. XIIIex.-XIVin., origen: Francia (¿París?) (prov.: colección personal de Johannes de Muris237). Algor.: ff. 19r-26r; Spher.: ff. 26v-39v; Compot.: ff. 40r-63v. Obras de astronomía (incluida la Theorica planetarum) y cómputo fundamentalmente con tablas y opúsculos sobre instrumentos de medida (cuadrante, astrolabio). Antolín (1913, vol. 3, 209-11); Beaujouan (1991, VII, 27-30); F.S. Pedersen (2002, 114); Husson (2016, 46-65). Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021); Peraldus (cons. 20/03/2021); Ptolemaeus (cons. 20/03/2021); RBME Cat. (cons. 20/03/2021). 199. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 2º 263 I + 123 ff., papel, 300 × 195 mm, s. XV (datado: año 1349 y 1374), origen: Aquisgrán (prov.: Collegium Porta Coeli238). Spher.: ff. 93r-97r. Tratados médicos, astronómicos, astrológicos, ciertas obras de Aristóteles con comentarios, filosofía natural y obras de dialéctica. Schum (1887, 170-2). DHB (cons. 20/03/2021); HMML (cons. 20/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 200. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 2º 376 102 ff., pergamino, in folio, s. XIVmed. 239, origen: desconocido. Algor.: ff. 57v-61v240; Spher.: ff. 61v-69r; Compot.: ff. 70r-82v. 237 Este posesor del códice anotó ampliamente el códice a principios del s. XIV, cuya mano se reconoce en las glosas. 238 Puesto que toda la colección amploniana de la biblioteca de la universidad de Erfurt proviene del Collegium Porta Coeli o Collegium Amplonianum, apuntamos aquí esta información para no repetirla en cada manuscrito. 239 Ambrosetti (2008, 364) lo data en el s. XV. 240 En este códice en Algor. se presenta en paralelo al Carmen de algorismo. 135 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12705#1_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/el-escorial-real-biblioteca-de-san-lorenzo-de-el-e-manuscript/219577 https://rbmecat.patrimonionacional.es/bib/1123 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12761#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/el-escorial-real-biblioteca-de-san-lorenzo-de-el-e-manuscript/33580 http://philobiblon.upf.edu/saxon/SaxonServlet?source=BETA/Display/1515MsEd.xml&style=BETA/templates/MsEd.xsl&gobk=http%3A%2F%2Fphilobiblon.upf.edu%2Fxtf%2Fservlet%2Forg.cdlib.xtf.crossQuery.CrossQuery%3Frmode%3Dphilobeta%26everyone%3Dcancionero%20de%20baena%26creator%3D%26title%3D%26incipit%3D%26explicit%3D%26assocname%3D%26daterange%3D%26placeofcomposition%3D%26subject%3D%26text-join%3Dand%26browseout%3Dwork%26sort%3Dmoniker https://rbmecat.patrimonionacional.es/cgi-bin/koha/opac-detail.pl?biblionumber=1101&query_desc=kw%2Cwrdl%3A%20Sacrobosco http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12762#9_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/el-escorial-real-biblioteca-de-san-lorenzo-de-el-e-manuscript/19717 http://www.peraldus.ch/getrefs.php?current_ms_id=escor-01-117 https://ptolemaeus.badw.de/ms/585 https://rbmecat.patrimonionacional.es/bib/1664 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00018127 http://18.235.151.129/detail.php?msid=65913 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32205265,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/141166 LA OBRA DE SACROBOSCO Obras sobre astronomía (incluida la Theorica planetarum), tablas y comentarios. Schum (1887, 261-2); Zinner (1925, 152); Glorieux (1971, 235); Knorr (1997°, 64); Ambrosetti (2008, 364). DHB (cons. 20/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Ptolemaeus (cons. 20/03/2021). 201. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 23 Ms. compuesto, 5 U.C. 126 ff., pergamino, 180-190 × 125-145 mm, s. XIV (U.C. 4)241, origen: desconocido (U.C. 4)242. U.C. 4 (ff. 90-97), Spher.: ff. 90r-97v. En la U.C. 4 se encuentra exclusivamente la Spher. Las otras U.C. siguen una temática científica con tratados sobre geometría, algebra y astronomía. Schum (1887, 304-5). DHB (cons. 20/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021). 202. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 65 153 ff., papel, 214 × 148 mm, s. XV, origen: desconocido. Algor.: 132r-139r. El manuscrito contiene una obra larga (ff. 1-103v) sobre helenismos, el poema satírico Antigameratus, poemas sobre morfología, el Algor., la obra de Séneca sobre las virtudes cardinales, un vocabulario bíblico latín-alemán y varias notas finales. Schum (1887, 337-8); Ambrosetti (2008, 364). DHB (cons. 20/03/2021); Handschriftencensus (cons. 20/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021). 203. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 330 Ms. compuesto, 7 U.C. 127 ff., pergamino, in quarto, s. XIVin. (U.C. 5)243, origen: Italia. U.C. 5 (ff. 58-68), Spher.: 58r-68r. Obras de filosofía, calendario, astronomía y astrología, donde destacan notablemente el alto número de traducciones de científicos árabes que se incluyen. Schum (1887, 564-5). DHB (cons. 20/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 204. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 345 Ms. compuesto, 3 U.C. I + 96 ff., pergamino, in quarto, s. XIV (datado: año 1305), origen: Alemania. U.C. 1 (ff. 1-45), Algor.: ff. 3v-8v. Tratados de matemáticas (incluido el Carmen de algorismo), calendario, cómputo, medicina, geomántica y astrología con numerosas tablas. Schum (1887, 574-8); Ambrosetti (2008, 362). 241 El s. XIV es la fecha de copia de las U.C. 2-4; la U.C. 1, por su parte, data del s. 12-13 y la U.C. 5, del s. XII. 242 Si bien se deconoce el origen de las U.C. 1, 3-5, parece claro que la U.C. 2 se copió en Inglaterra. 243 La U.C. 2, en cambio, data de mediados del s. XIII y las U.C. 3-4, de finales de este mismo siglo. 136 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00024395 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3356#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32213211 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/3356#0_6 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00019226 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3379#11_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32205432,T https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00023926?lang=de https://handschriftencensus.de/16766 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32210725 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32210725 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00024576 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3407#14_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32213425 http://www.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/116323 La tradición manuscrita DHB (cons. 20/03/2021); Handschriftencensus (cons. 20/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021). 205. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 347 I + 81 + I ff., papel, 205 × 145 mm, s. XV (datado: año 1411), origen: desconocido. Algor.: ff. 30r-37r. Obras sobre retórica y gramática, de cómputo, astronomía y ciencias naturales, matemáticas y tablas y ciertos poemas e himnos religiosos y doctrinales. Schum (1887, 579-81); Ambrosetti (2008, 363). DHB (cons. 20/03/2021); HMML (cons. 20/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 206. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 351 E4 II + 183 + I ff., pergamino, 200 × 141 mm, s. XII-XIV244, origen: Inglaterra245. Algor.: ff. 43r-45v. Obras de astronomía (incluida la Theorica planetarum) y astrología con tablas y un opúsculo sobre instrumentos de medida (astrolabio, cuadrante), proverbios sobre disciplina clerical, calendario y aritmética. Schum (1887, 587-90); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 169, 224-5); Beaujouan (1991, V, 528); Ambrosetti (2008, 362). DHB (cons. 20/03/2021); French mss. (cons. 26/05/2021); HMML (cons. 20/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 207. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 355 Ms. compuesto, 6 U.C. 130 ff., pergamino, 185-195 × 140-145 mm, s. XIIIex. (U.C. 3)246, origen: ¿Italia? ¿Francia? (U.C. 2)247. U.C. 3 (ff. 18-37), Spher.: ff. 18r-35r. La U.C. 3 contiene la Spher. y ciertas notas astronómicas. El resto de U.C. contienen igualmente obras astronómicas con tablas e instrumentos de medida y algún tratado de aritmética248. Schum (1887, 594-7); Zinner (1925, 151-3). DHB (cons. 20/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 208. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 357 Ms. compuesto, 7 U.C. 244 En Manuscripta Mediaevalia se explicitan qué folios están copiados en qué fecha en función de la escritura. Según los datos que proporciona, el Algor. se copió a finales del s. XIII. 245 No todas las bases de datos comparten el lugar de copia: frente a la hipótesis inglesa de DHB, en Mirabile nos encontramos con Francia e Inglaterra (quizá en función del siglo en que fueron copiadas cada una de las partes, s. XII y XIV, respectivamente), mientras que en HMML se propone Alemania. 246 El resto de U.C. presentan una datación que oscila entre los ss. XIII-XIV. 247 El origen de las distintas U.C. es diverso: las U.C. 1 y 5 fueron copiadas en Inglaterra, un origen también probable para la U.C. 6; la U.C. 2 proviene de Italia; finalmente, de la U.C. 4 se desconoce el origen. 248 Knorr (1997b, 215) incluye este códice entre aquellos que contienen el Quadr. Sin embargo, tras consultar Manuscripta Mediaevalia se descubre que los ff. 46r-48v del códice no contienen la obra de Sacrobosco, sino una homónima de incipit: Scire debes quod circulus solis duas habet medietates, atribuida a Johannes Campanus. 137 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00024651 https://handschriftencensus.de/20900 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3411#8_59 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32213508 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00024716 http://18.235.151.129/detail.php?msid=66148 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32213536 https://www.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/136561 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00024764 https://leidenuniversitylibrary.github.io/manuscript-stats/details/ms_296.html http://18.235.151.129/detail.php?msid=66216 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32213606 http://www.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/17363 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00021937 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3421#11_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32205771,T http://sip.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/219578 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32213606 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00024764 http://www.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/17363 http://18.235.151.129/detail.php?msid=66216 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32205771,T LA OBRA DE SACROBOSCO 133 ff., papel y pergamino249, 180-200 × 135-150 mm, s. XIII (datado: año 1294) (U.C. 2)250, origen: ¿Italia? ¿Inglaterra? (U.C. 2)251. U.C. 2 (ff. 24-32), Algor.: ff. 30r-32v252. El resto de la U.C. 2 contiene obras de cómputo y astrología. Las otras U.C. presentan contenidos astronómicos (incluido un tratado sobre el cuadrante), astrológicos y de cómputo. Schum (1887, 597-600); Thorndike y Kibre (1963, 301). Jordanus (cons. 31/01/2022); Manuscripta Mediaevalia (cons. 31/01/2022). 209. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 369 II+ 242 + III ff., pergamino, 195 × 145 mm, s. XIVin. (datado: año 1325), origen: Rheine. Algor.: ff. 145r-151r. Obras sobre matemática con tablas, también aparecen tratados astronómicos y astrológicos con numerosas tablas y opúsculos sobre instrumentos de medida (astrolabio, cuadrante, reloj astronómico), calendarios y otras obras de aritmética, incluido el comentario de Pedro Filomena de Dacia al Algor. Schum (1887, 617-21); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 71, 169); Ambrosetti (2008, 363). DHB (cons. 20/03/2021); HMML (cons. 20/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 210. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 375 I + 120 + I ff., papel, 217 × 155 mm, s. XVmed., origen: desconocido. Algor.: ff. 19r-31v (mútilo)253. Obras sobre cómputo y calendario con tablas, un tratado de retórica, unos versos satíricos, reglas sobre agricultura y música, obras de astronomía, preceptos religiosos, poemas sobre semántica, diplomas y un himno a San Marcos. Schum (1887, 627-9); Ambrosetti (2008, 364); Nothaft (2014, 381). DHB (cons. 20/03/2021); Handschriftencensus (cons. 20/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 211. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 381 Ms. compuesto, 9 U.C. I + 104 ff., papel y pergamino254, 165-200 × 115-140 mm, s. XIIIex. (U.C. 4)255, origen: ¿Inglaterra? (U.C. 4)256. U.C. 4 (ff. 58-69), Spher.: ff. 58r-69v. La U.C. 4 contiene la Spher. y un pequeño tratado sobre la composición del cilindro y el reloj astronómico. El resto de U.C. presentan obras astronómicas y astrológicas. Schum (1887, 638-40); Zinner (1925, 153). 249 Es de papel la U.C. 3 (ff. 33-80). 250 Las U.C. abarcan una cronología entre los ss. XIII-XIV. 251 Todos los lugares de copia de las U.C. oscilan entre Italia e Inglaterra. 252 El códice transmite la versión del Algor. con el inc.: Cum hec scientia de numeris que algorismus. En este manuscrito lo titulan Algorismus de integris abreviatus. 253 Falta el último capítulo sobre raíces cuadradas y cúbicas. Des.: Sic ter tria, et sunt novem, summa totius progressionis. 254 De pergamino son los ff. 50-104, donde se incluye la U.C. 4; de papel, los ff. 1-49. 255 La datación del códice oscila desde el s. XII hasta el XIV: la U.C. 1 es del s. XII; las U.C. 2-3, 5-7 y 9, del s. XIV; la U.C., del s. XIII-XIV. 256 Inglaterra es el lugar de origen probable para las U.C. 4, 5 y 9; la U.C. 2 podría ser francesa y para el resto de U.C. no consta un lugar de origen conocido. 138 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/3423 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32205773,T https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00024889 http://18.235.151.129/detail.php?msid=66474 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3435#37_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32213779 https://www.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/231 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00024975 https://handschriftencensus.de/16795 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32213856 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32213856 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/136564 La tradición manuscrita DHB (cons. 20/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021). 212. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 386 II + 172 + I ff., papel, 210 × 145 mm, s. XIV2/2, origen: Alemania. Spher.: ff. 1r-10v. Obras astronómicas, astrológicas, médicas, algebraicas, tablas y opúsculos sobre instrumentos de medida (astrolabio, cuadrante, cilindro, reloj astronómico). Schum (1887, 645-7). DHB (cons. 20/03/2021); HMML (cons. 20/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 213. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 387 101 ff., pergamino, 220 × 143 mm, s. XIV2/2 (datado: año 1365), origen: desconocido. Algor.: ff. 26r-29r. Obras sobre astronomía y astrología con tablas, aritmética, un tratado sobre los acentos y algunos sobre perspectiva y física Schum (1887, 648-9); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 226); Ambrosetti (2008, 363). DHB (cons. 20/03/2021); HMML (cons. 20/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 214. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 8º 80 50 ff., pergamino, in octavo, s. XIV (datado: año 1340), origen: desconocido. Algor.: ff. 7v-13v. Obras sobre aritmética (incluido el Carmen de algorismo) y cómputo con tablas y algunas notas. Schum (1887, 737-8); Ambrosetti (2008, 363). DHB (cons. 20/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021). 215. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 8º 88 Ms. compuesto, 8 U.C. III + 113 + III ff., pergamino, 175-185 × 120 mm, s. XIV (U.C. 2-3)257, origen: desconocido (U.C. 2-3)258. U.C. 2, (ff. 11-14), Algor.: ff. 11r-12v (excerpta)259; U .C. 3, (ff. 15-28), Algor.: ff. 23r-28v. La U.C. 2 está compuesta por los excerpta del Algor., un tratado sobre el cuadrante y tablas astronómicas; la U.C. 3, por el Algor., el Cisioianus (un poema astronómico mnemotécnico) y un tratado sobre el cómputo. El resto de U.C. son de carácter científico, con obras sobre geomancia, cómputo, astronomía (incluida la Theorica planetarum) y calendario principalmente. Schum (1887, 744-7); Ambrosetti (2008, 362). DHB (cons. 20/03/2021); HMML (cons. 20/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 257 Del s. XIV datan las U.C. 1-3 y 7-8; la U.C. 4 fue escrita a medidados del s. XI y las U.C. 5-6, en el s. XIII (esta última está datada en el año 1261). 258 El lugar de copia es incierto para todas las U.C., mas se postula que las U.C. 5 y 7 pudieran haber sido escritas en Inglaterra y la U.C. 6, en Italia. 259 Según el catálogo de Schum (1887, 744-7), estos excerpta comienzan con el incipit habitual del Algor., y parece que acaban con un extracto del capítulo sobre la división. 139 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00022353 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3446#12_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32205797,T https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00025025 http://18.235.151.129/detail.php?msid=66198 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3451#1_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32213958 https://www.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/117059 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00025071 http://18.235.151.129/detail.php?msid=66171 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32213963 http://www.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/123776 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00023812 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32210472 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00023303 http://18.235.151.129/detail.php?msid=66687 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3465#30_59 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32205947,T https://www.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/136556 LA OBRA DE SACROBOSCO 216. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 12º 16 III + 167 + I ff., pergamino, 140 × 105 mm, s. XIIImed. 260, origen: desconocido. Spher.: ff. 16r-35r; Compot.: ff. 36r-69r; Algor.: ff. 71v-73v (mútilo)261. Además de las obras de Sacrobosco, contiene un tratado sobre cómputo, tablas astronómicas y obras de contenido jurídico. Schum (1887, 772-3); Ambrosetti (2008, 363). DHB (cons. 20/03/2021); HMML (cons. 20/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 217. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 12º 17 Ms. compuesto, 5 U.C. 78 ff., papel y pergamino262, 140 × 95-110 mm, s. XIII (U.C. 1)263, origen: desconocido (U.C. 1)264. U.C. 1 (ff. 1-16), Compot.: ff. 1r-16r. La U.C. 1, además del Compot., en el f. 16v contiene un comentario a esta obra y un fragmento del Carmen de algorismo. En las U.C. 2-5, hay tratados sobre quiromancia y geomancia, tratados teológicos y sobre cómputo. Schum (1887, 773-5). DHB (cons. 20/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 218. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 12º 19 E1, E2 Ms. compuesto, ¿4 U.C.?265 II + 156 + II ff., pergamino, 122 × 75-95 mm, s. XIII266, origen: París. Algor.: ff. 90r-99r; Spher.: ff. 131v-147r; Algor.: ff. 148r-155v. Tratados de astronomía y astrología, quiromancia, cómputo, un fragmento sobre las plagas de Egipto y unos versos sobre gramática. Schum (1887, 776-7); Ambrosetti (2008, 362, 364). DHB (cons. 20/03/2021); HMML (cons. 20/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 260 En Jordanus (cons. 14/04/2021) se data en el s. XIV. 261 Falta más de la mitad del tratado, el fragmento tan solo llega al inicio del capítulo sobre la mediación. Des.: Et unicus numerus est necessarius, scilicet numerus mediandus. Si velis igitur… 262 Son de pergamino los ff. 1-70, donde se incluye la U.C. 1, y de papel, los ff. 71-78. 263 Excepto U.C. 1 y U.C. 4, que podría datar igualmente del s. XIII, las U.C. 2-3 fueron copiadas en el s. XIV y U.C. 5, en el año 1401. 264 En realidad, todas las U.C. tienen un lugar de copia no identificado, excepto U.C. 5, cuyo origen es Merano. La U.C. quizá fuera copiada en los Países Bajos. 265 A pesar de que en los catálogos no se especifica la presencia de varias unidades codicológicas, dada la datación dispar de las agrupaciones de folios del interior del códice (s. XIV, XII y XIII, cfr. infra), pensamos que se trata de un manuscrito compuesto. Además, el hecho de que en la última parte del códice (ff. 89-156), aquella datada en el s. XIII, hayamos detectado la presencia de, como mínimo, dos manos distintas, nos hace pensar en que al menos habría que diferenciar cuatro unidades codicológicas: ff. 1-52 (s. XIV), ff. 63-89 (s. XII), ff. 89-147 (¿?) (s. XIII) y ff. 148-156 (s. XIII). Que los ff. 148-156 responden a una misma unidad codicológica es evidente, pero el resto de divisiones hipotetizadas no las hemos podido confirmar por autopsia directa. 266 La datación del códice al completo oscila, como decíamos, entre los ss. XII-XIV, habiendo sido copiados en el s. XII los ff. 63-89, en el s. XIV los ff. 1-52 y a finales del s. XIII, el resto de folios (entre los que se incluyen las obras de Sacrobosco que aquí aparecen). 140 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00023698 http://18.235.151.129/detail.php?msid=66398 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3469#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32210148 https://www.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/136563 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00023580 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3470#1_59 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32205973,T https://www.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/185162 https://dhb.thulb.uni-jena.de/receive/ufb_cbu_00023720 http://18.235.151.129/detail.php?msid=66344 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3472#14_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32210164 http://www.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/136558 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3469#2_58 La tradición manuscrita 219. Erlangen, Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg, 394 142 + I ff., pergamino, 335 × 240 mm, s. XIV, origen: ¿París? Algor.: ff. 122v-127r. Obras doctrinales, algunas oraciones y tratados de retórica y gramática y el Carmen de algorismo. Fischer (1928, vol. 1, 468-70); Ambrosetti (2008, 364). Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 24/03/2021); Mirabile (cons. 24/03/2021). 220. Erlangen, Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg, 436 Er 78 ff., pergamino, 260 × 185 mm, s. XIIIex.-XIVin., origen: desconocido (prov.: S. Maria, Heilsbronn). Algor.: ff. 2vb-5v; Spher.: ff. 5v-7v (mútilo)267. Obras sobre astronomía, aritmética (incluido el Carmen de algorismo) y lógica seguidas de un comentario sobre De consolatione philosophiae de Boecio. Fischer (1928, vol. 1, 526-28); Ambrosetti (2008, 364). Fama (cons. 24/03/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 24/03/2021); Medium (cons. 24/03/2021); Mirabile (cons. 24/03/2021). 221. Erlangen, Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg, 496 Ms. compuesto, 5 U.C. 263 ff., papel, 215 × 157 mm, s. XV (datado: año 1457, U.C. 3)268, origen: desconocido (U.C. 3)269. U.C. 3 (ff. 137-193), Algor.: ff. 170r-191v. La U.C. 3 está consagrada a la astronomía y astrología, donde se incluye una obra de cómputo y tablas. El resto, por su parte, presentan contenidos variados: la U.C. 1 sobre filosofía, U.C. 2 sobre música, U.C. 4 contiene el De consolatione philosophiae de Boecio y U.C. 5, obras de medicina. Fischer (1936, vol. 2, 94-9); Ambrosetti (2008, 364). Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 24/03/2021); Mirabile (cons. 24/03/2021). 222. Erlangen, Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg, 664 156 ff., papel, 220 × 115 mm, s. XV (datado: año 1439), origen: ¿Erfurt? Algor.: ff. 52v-71v (incompleto)270. Obras sobre el cómputo, calendario, aritmética, comentarios a los mismos y tratados doctrinales. Fischer (1936, vol. 2, 404-7); Ambrosetti (2008, 364); Nothaft (2014, 381). Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 24/03/2021); Mirabile (cons. 24/03/2021). 267 Le falta algo menos de la mitad del tratado. Des.: Et arcus qui succed... (Thorndike, 1949a, 100). 268 El resto de U.C. se datan a mediados del s. XV. 269 El lugar de origen de las distintas U.C. es incierto excepto para la U.C. 5, se copió en Erfurt. 270 Falta el último capítulo sobre raíces cuadradas y cúbicas. Ofrece un desinit alternativo respecto a aquellos manuscritos que tan solo transmiten hasta la progresión: Impar medium vult multiplicare locorum. Et sic est finis huius operis. 141 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1362#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj40109982,T https://www.mirabileweb.it/manuscript/erlangen-universit%C3%A4tsbibliothek-erlangen-n%C3%BCrnberg--manuscript/24642 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/37266 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1365#3_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj40109228,T http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=8054 http://www.mirabileweb.it/manuscript/erlangen-universit%C3%A4tsbibliothek-erlangen-n%C3%BCrnberg--manuscript/136565 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1367#3_59 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj40108168,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/erlangen-universit%C3%A4tsbibliothek-erlangen-n%C3%BCrnberg--manuscript/136566 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1371#7_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj40105020,T http://sip.mirabileweb.it/manuscript/erlangen-universit%C3%A4tsbibliothek-erlangen-n%C3%BCrnberg--manuscript/94639 LA OBRA DE SACROBOSCO 223. Firenze, Accademia Toscana di Scienze e Lettere La Colombaria, 109 II (perg.) + 75 + II (perg.) ff., papel, 296 × 220 mm, s. XV, origen: desconocido (prov.: colección privada de Pier Filippo Pandolfini). Spher.: ff. 62r-72v. El manuscrito contiene, además de esta obra, el Commentarius in Ciceronis Somnium Scipionis de Macrobio. Alvisi (1884, 40); Dorini (1915, 310); Spagnesi (1985, 77); Cataldi Palau (1988, 306); De Robertis (1993, 276). Mirabile (cons. 25/03/2021). 224. Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Ashburnham 1025 II + 35 + II ff., pergamino, in quarto, s. XIII, origen: desconocido. Algor.: ff. 1r-5r; Compot.: ff. 5r-15v; Spher.: ff. 18r-24v. Además de estas obras, contiene un tratado sobre el astrolabio y otro sobre el cuadrante. Van Egmond (1976, 475-476, 567, 569, 585). BML Cat. (cons. 03/06/2021). 225. Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Conv. soppr. 393 Ms. compuesto, 3 U.C. III + 119 + III ff., pergamino, 183 × 128 mm, s. XIV, origen: desconocido (prov.: convento de la Santissima Annunziata de Florencia). U.C. 3 (ff. 98-119), Spher.: ff. 98ra-106vb. La U.C. 3 contiene la Spher. y la Theorica planetarum. El resto de U.C. es de carácter religioso, con obras atribuidas a Dionisio Areopagita en la U C. 1 y el Itinerarium mentis in Deum de Bonaventura de Balneoregio en la U.C. 2. Pomaro (1999, 37-40); Crociani, Ciardi y Liscia (1983, 79-80, n.º 43). Mirabile (cons. 25/03/2021). 226. Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Plut. 18, sin. 3 II + 117 ff., pergamino, s. XIV, origen: desconocido (prov.: convento de la Santa Croce de Florencia). Algor.: ff. 1ra-8va; Spher.: ff. 8vb-25rb; Compot.: ff. 25va-50vb. Tratados de astronomía y cómputo, incluidos calendarios, tablas y opúsculos sobre instrumentos de medida (cuadrante, astrolabio). Bandini (1776-7, vol. 4, 131-2). Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 227. Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Plut. 18, sin. 6 96 ff., pergamino, in octavo, s. XIV1/2, origen: desconocido (prov.: convento de la Santa Croce, Florencia). Algor.: ff. 20ra-28v; Compot.: ff. 29ra-59vb. Obras de astronomía y astrología, instrumentos astornómicos (cilindro, reloj astronómico, cuadrante), tablas y calendarios. F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 169, 227-8). Peraldus (cons. 25/03/2021); Ptolemaeus (cons. 25/03/2021). 228. Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Plut. 29.15 Fi1 I + 56 + I ff., pergamino, 226 × 152 mm, s. XIIIex., origen: desconocido. 142 http://www.mirabileweb.it/manuscript/firenze-accademia-toscana-di-scienze-e-lettere-la--manuscript/223024 https://www.bmlonline.it/la-biblioteca/cataloghi/fondo-ashburnham-catalogo/ http://www.mirabileweb.it/manuscript/firenze-biblioteca-medicea-laurenziana-conv-soppr--manuscript/185261 http://ptolemaeus.badw.de/ms/388 http://www.peraldus.ch/getrefs.php?current_ms_id=firen-07-357 https://ptolemaeus.badw.de/ms/389 La tradición manuscrita Algor.: ff. 1r-5v; Compot.: ff. 5v-20r271; Spher.: ff. 21r-30v. El manuscrito contiene, además de estas obras, tratados de astronomía y uno sobre el cuadrante. De Robertis, Di Deo y Marchiaro (2008, 78). Mirabile (cons. 25/03/2021). 229. Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Plut. 30.24 Ms. compuesto, 8 U.C. I + 136 ff., papel y pergamino, 335 × 235 mm, s. XIV (U.C. 8)272, origen: desconocido. U.C. 8 (ff. 130-136), Spher.: ff. 130r-136v. La U.C. 8 solo contiene la Spher. El resto de U.C. presentan contenidos variados: obras morales y religiosas, disciplinares y científicas, de entre las que destacan los tratados de medicina y cómputo. Bandini (1776-7, vol. 3, 81); De Robertis, Di Deo y Marchiaro (2008, 64, n.º 85); Nothaft (2014, 570). BML Cat. (cons. 25/03/2021); Fama (cons. 25/03/2021); IC (cons. 25/03/2021); Medium (cons. 25/03/2021); Mirabile (cons. 25/03/2021). 230. Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Plut. 89 sup. 16 188 ff., pergamino, 323 × 226 mm, s. XV (datado: año 1471), origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-14r. El contenido es predominantemente moral y religioso: entre sus folios se leen epístolas, diálogos, sermones, obras hagiográficas, homilías, etc. Bandini (1776-7, vol. 3, 266-76); Gentile (1997, 254-8). Fama (cons. 25/03/2021); Mirabile (cons. 25/03/2021). 231. Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. soppr. A.8.235 IV + 46 + II ff., pergamino, 175 × 122 mm, s. XV, origen: Florencia. Spher.: 3r-29v. El manuscrito contiene esta obra y la Theorica planetarum. Inventario topografico (s.d., 3v). Mirabile (cons. 25/03/2021). 232. Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. soppr. D.2.234 I + 115 ff., pergamino, 215 × 140 mm, s. XIII-XIV, origen: desconocido (prov.: basílica de Santa Maria Novella de Florencia) Spher.: ff. 1ra-8va; Compot.: ff. 22ra-34va; Algor.: ff. 48va-53va. Además de estas obras, contiene comentarios sobre las mismas, tratados sobre el cómputo y filosóficos. Inventario topografico (s.d., 16r); Pomaro (1980, 380-2). 233. Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. soppr. J.5.7 II + 145 ff., pergamino, 242 × 180 mm, s. XIV-XV, origen: Florencia. Spher.: ff. 101v-108v. Obras astronómicas (con un calendario y un tratado sobre el cuadrante), matemáticas, de retórica y cómputo. 271 Entre Compot. y Spher. se insertan sin solución de continuidad las Tabule Gerlandi como si fueran parte del Compot. 272 Todas las U.C. datan del s. XIV excepto la U.C. 6, que está fechada en el año 1409. 143 https://www.mirabileweb.it/manuscript/firenze-biblioteca-medicea-laurenziana-plut-29-15-manuscript/129002 http://opac.bmlonline.it/Record.htm?record=588112430639 http://fama.irht.cnrs.fr/en/manuscrit/28570 http://www.internetculturale.it/jmms/iccuviewer/iccu.jsp?id=oai%3Ateca.bmlonline.it%3A21%3AXXXX%3APlutei%3AIT%253AFI0100_Plutei_30.24&mode=all&teca=Laurenziana+-+FI http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=39048 http://www.mirabileweb.it/manuscript/firenze-biblioteca-medicea-laurenziana-plut-30-24-manuscript/17370 http://fama.irht.cnrs.fr/en/manuscrit/28571 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/firenze-biblioteca-medicea-laurenziana-plut-89-sup-manuscript/105460 http://www.mirabileweb.it/manuscript/firenze-biblioteca-nazionale-centrale-conv-soppr-a-manuscript/194443 LA OBRA DE SACROBOSCO Inventario topografico (s.d., 33v); Björnbo (1911-1912, 223-4). Jordanus (cons. 15/04/2021). 234. Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, II.III.24 Ms. compuesto, 2 U.C. XIII + 303 ff., pergamino, 330 × 225 mm, s. XIVin., origen: ¿París? (U.C. 2)273. U.C. 2 (ff. 148-303), Algor.: ff. 150ra-153rb; ff. Spher.: 153rb-159va; Compot.: ff. 159vb- 171ra. La U.C. 2 contiene las obras de Sacrobosco y otros tratados sobre astronomía, astrología, cómputo y calendario, donde se inclyen diversas tablas y opúsculos sobre instrumentos de medida (cuadrante, astrolabio). La U.C. 1 está compuesta íntegramente por la Practica geometriae de Fibonacci. IBI (1899, vol. 9, 150-1); Thorndike (1959b, 36-8); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 228; 2002, 117-8); Ambrosetti (2008, 381). Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 25/03/2021); Ptolemaeus (cons. 25/03/2021). 235. Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, II.IV.175 I + 10 ff., pergamino, 292 × 211 mm, s. XVmed., origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-folio desconocido274 El manuscrito contiene la Spher. y la Theorica planetarum. IBI (1900, vol. 10, 145). Manus (cons. 26/03/2021). 236. Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, II.IX.14 273 ff., papel, in octavo, s. XV, origen: desconocido (copista: Cennini). Spher.: ff. 149r-174r. Obras sobre orationes, entre las que destacan varias de Cicerón y de Poggio Bracciolini; cartas y excerpta de distintos autores como Ovidio. IBI (1901, vol. 11, 258). 237. Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Fondo Landau, Finaly 26 Ms. compuesto, 2 U.C. 40 ff., pergamino, 245 × 170 mm, s. XIV, origen: Italia. (U.C. 1, ff. 1-24), Spher.: ff. 11r-24r. La U.C. 1 contiene, además de esta obra, un tratado sobre el cuadrante y unas tablas. La U.C. 2, en cambio, presenta la Compilatio astronomica de Alfragano. Lazzi y Scarlino (1994, 93-5). Jordanus (cons. 15/04/2021). 238. Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Fondo Landau, Finaly 49 30 ff., papel, 205 × 155 mm, s. XIII2/2, origen: Italia septentrional. 273 Juste en Jordanus (cons. 14/04/2021) postula que el origen sea París por las tablas del f. 176r y la latitud dada de 51°. La U.C. 1, en cambio, parece haber sido escrita por una mano italana (F.S. Pedersen, 2002, 117-8). 274 En el catálogo consultado, IBI (1900, vol. 10, 145), se ofrece el incipit de la Spher., mientras que el desinit corresponde a la Theorica planetarum. No tenemos constancia, por tanto, de qué folios ocupa cada una de las obras, pero, a juzgar por la extensión de ambos tratados, la Spher. probablemente ocupará más de la mitad de los 10 folios de los que se compone el manuscrito. 144 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8442#486782 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8474#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/firenze-biblioteca-nazionale-centrale-ii-iii-24-(m-manuscript/39906 http://ptolemaeus.badw.de/ms/455 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=286160 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8495#1_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8474#2_58 La tradición manuscrita Spher.: ff. 1r-7r; Compot.: ff. 15r-28v (acéfalo)275. Además de estas obras, contiene un tratado sobre el cuadrante mútilo y unas tablas. Lazzi y Scarlino (1994, 132-3). Jordanus (cons. 15/04/2021). 239. Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Palat. 639 Fi2 Ms. compuesto, n.º de U.C. desconocido276. 78 ff., pergamino, 243 × 180 mm, s. XIII, origen: desconocido. Algor.: ff. 1r-6r; Spher.: ff. 6r-17v; Compot.: ff. 18r-46r. Además de las obras de Sacrobosco, contiene otros tratados de astronomía, entre ellos una obra sobre el cuadrante, una traducción latina del Phaedo de Platón, obras sobre las partes del cuerpo y aritmética. I Codici Palatini (1890, 205-8); Thorndike y Kibre (1963, 991); Ambrosetti (2008, 381). Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 25/03/2021). 240. Firenze, Biblioteca Riccardiana, Ricc. 327 I (papel) + I + VII (papel) + 43 + I ff., pergamino, 178 × 129 mm, s. XIII4/4, origen: desconocido. Compot.: ff. 1r-16v; Algor.: ff. 17r-22v. Obras de astronomía, incluidas tablas, y una obra de geomancia. Kristeller (1963, vol. 1, 178); Mazzanti y Tanganelli (2019, 35-8). Manus (cons. 25/03/2021). 241. Firenze, Biblioteca Riccardiana, Ricc. 866 70 ff., papel, 296 × 220 mm, s. XIIIex.-XIV, origen: ¿Francia? Spher.: ff. 18r-30r; Algor.: ff. 46v-51v277. Obras de contenido astronómico (incluidos opúsculos sobre instrumentos de medida: astrolabio) y matemático, también se incluye un comentario sobre el Compot. Leonardi (1996, 9-11); Ambrosetti (2008, 382). Jordanus (cons. 15/04/2021). 242. Frankfurt am Main, Universitätsbibliothek, Carm. 19 Fr 23 ff., pergamino, 250 × 180 mm, s. XIIImed., origen: ¿Baviera? Compot.: ff. 7ra-12vb (acéfalo y mútilo)278; Spher.: ff. 13ra-16rb (acéfalo)279; Algor.: ff. 16va-20ra y 21va-vb (mútilo)280. 275 Faltan los primeros capítulos de la obra, en torno a un sexto del total del tratado. Inc.: Sextilem, Septembrem, Octobrem, Novembrem, Decembrem (Lohr, 2020, cap. 5, l. 23/24). 276 A pesar de que en Jordanus (cons. 14/04/2021) se da el número de 11 U.C., podemos afirmar con seguridad de que la información es errónea, al menos, en lo que concierne a los folios que contienen las obras de Sacrobosco. Mientras que Juste en esta entrada cataloga cada una de las obras como una U.C. independiente del resto, en lo que concierne a las obras de Sacrobosco hemos podido comprobar que todas ellas forman parte de una única U.C. copiada por una misma mano. 277 La obra se presenta en paralelo con el Camen de Algorismo. 278 Falta un folio al inicio y en torno a un tercio del final. Inc.: Frigidus et siccus Saturnus, Iupiter estuat (Lohr, 2020, cap. 3, l. 76). Des.: quartam frigidam et humidum esse concesserunt. Sic igitur patet, quod quelibet… (Lohr, 2020, cap. 14, l. 66/67, con variantes). 279 Falta más de la primera mitad del tratado. Inc.: Exemplum huius ponit Ovidius in Fastis sic (Thorndike, 1949a, 97). 280 Esta segunda copia del Algor., además de haber sido escrita por una mano distinta a la anterior, comienza con el inc. alternativo: Cum hec scientia de numeris que algorismus ab inventore. El texto 145 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8496#1_58 http://sip.mirabileweb.it/title/phaedo-title/18093 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8610#1_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/firenze-biblioteca-nazionale-centrale-pal-639-manuscript/136698 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=161056 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8741#5_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8610#1_58 LA OBRA DE SACROBOSCO Estas tres obras ocupan casi toda la extensión del manuscrito. En los primeros folios, no obstante, se encuentra un calendario y en los últimos tres folios, un fragmento de una obra sobre el significado de las palabras, una pequeña obra sobre aritmética y ciertas reglas astronómicas. Powitz y Buck (1974, 431-3); Ambrosetti (2008, 364). HMML (cons. 25/03/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 25/03/2021); Omnia (cons. 25/03/2021). 243. Frankfurt am Main, Universitätsbibliothek, Carm. 20 40 ff., papel, 220 × 145 mm, s. XIV (datado: año 1391), origen: Florencia. Spher.: ff. 5r-13v. Obras astronómicas (incluida la Theorica planetarum) y sobre instrumentos de medida (astrolabio, cuadrante, reloj astronómico). Powitz y Buck (1974, 434-6). HMML (cons. 25/03/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 25/03/2021); Omnia (cons. 25/03/2021). 244. Freiburg, Universitätsbibliothek, 57 146 ff., papel, 210 × 145 mm, s. XV (datado: año 1409), origen: desconocido (copista: Johannes de Laynsteyn)281. Spher.: ff. 1r-9r (acéfalo)282; Algor.: ff. 105r-112r. Obras astronómicas, de cómputo y aritmética principalmente, con tablas y comentarios. Zinner (1962, 28-9); Hagenmaier (1974, 47-51); Ambrosetti (2008, 364); Nothaft (2014, 382). Freiburg (cons. 26/03/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 26/03/2021). 245. Freiburg, Universitätsbibliothek, 628 6 ff., papel, 265 × 195 mm, s. XV, origen: desconocido. Spher.: ff. 1ra-6rb (incompleto)283. La Spher. es la única obra manuscrita de todo el códice, que consta de tres libros impresos encuadernados conjuntamente con este tratado. Hagenmaier (1980, 161). Freiburg (cons. 26/03/2021); HMML (cons. 26/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 26/03/2021). 246. Fritzlar, Dombibliothek, 125,13 2 ff., pergamino, 90 × 60 mm, s. XIII2/2, origen: desconocido. presenta diversas alteraciones respecto al Algor. de Sacrobosco y se interrumpe después de enunciar las reglas de la multiplicación, quizá debido a una caída de folios, aunque no estamos completamente seguros. Su desinit es un ejemplo de aplicación de la última regla de la multiplicación (que no aparece en Algor.) y finaliza así: Emerget quadragenarius, erit ergo summa totius multiplicationis 256 ut primum. 281 No tenemos más información de este escriba más allá de que su nombre aparezca en este manuscrito. 282 El texto comienza hacia la mitad del tercer capítulo, faltando unas tres cuartas partes de la obra. Inc.: Equinoxialium tunc arcus dici adequatur arcui noctis (Thorndike, 1949a, 102, con variantes). 283 Al tratado le falta la última parte del último capítulo, quedando inconclusa la obra. Des.: Cauda draconis nec supposita nadir solis non est necesse... (Thorndike, 1949a, 116). 146 http://18.235.151.129/detail.php?msid=77052 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1485#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90059279,T https://www.omnia.ie/index.php?navigation_function=2&navigation_item=%2F2048603%2Fdata_item_ub_ffm_msma_urn_nbn_de_hebis_30_2_11864&repid=1 http://18.235.151.129/detail.php?msid=76986 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1486#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90059345,T https://www.omnia.ie/index.php?navigation_function=2&navigation_item=%2F2048603%2Fdata_item_ub_ffm_msma_urn_nbn_de_hebis_30_2_11872&repid=1 http://dl.ub.uni-freiburg.de/diglit/hs57 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1500#1_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90067737,T http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90067737,T http://dl.ub.uni-freiburg.de/diglit/hs628 http://18.235.151.129/detail.php?msid=75468 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90074414,T http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1500#224899 La tradición manuscrita Spher.: f. 1r-v (mútilo)284. El manuscrito lo componen dos folios provenientes de algún códice; tan solo se lee un fragmento de la Spher. en ellos. List (1984, 209-10). Manuscripta Mediaevalia (cons. 26/03/2021). 247. Gdańsk, Polska Akademia Nauk Biblioteka, Mar. Q 30 188 ff., papel, 210 × 140 mm, s. XV (datado: año 1422), origen: ¿Alemania? Algor.: ff. 133r-142v. Además de esta obra, el manuscrito contiene una obra de métrica, un tratado sobre la multiplicación, un comentario al Algor. y varios tratados sobre el cómputo. Günther (1921, 533-6); Ambrosetti (2008, 383). Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 16/02/2021); Mirabile (cons. 16/02/2021). 248. Gloucester, Gloucester Cathedral, 28 I + 153 + I ff., pergamino, 172 × 122 mm, s. XVmed., origen: Inglaterra. Spher.: ff. 72r-92r; Algor.: ff. 138v-143v. Obras de filosofía natural, astronomía y aritmética. Ker (1977, vol. 2, 963-4); Ambrosetti (2008, 374). Jordanus (cons. 15/04/2021). 249. Goslar, Stadtarchiv, sin n.º 1 f., papel, 215 × 150 mm, s. XIV, origen: desconocido. Algor.: f. 1r-v (fragmento)285. Se trata de un folio suelto, con daños en la parte superior y el margen externo, con un fragmento del Algor. Ambrosetti (2008, 364). Jordanus (cons. 15/04/2021). 250. Göteborg, Universitetsbiblioteket, Lat. 14286 26 ff., pergamino, 162 × 120 mm, s. XIII-XIV287, origen: desconocido (prov.: Francia). Spher.: ff. 19ra-24vb (mútilo)288. El manuscrito contiene, además de este fragmento de la Spher., el De disciplina scholastica de Boecio. Kleberg (1974, 36-7). 251. Gotha, Forschungs- und Landesbibliothek, Chart. B. 445 Ms. compuesto, 7 U.C. 284 Se conserva tan solo un fragmento de la Spher. muy deteriorado que se corresponde con el final del primer capítulo y principio del segundo. Inc.: mobiliter teneatur (Thorndike, 1949a, 84); des.: Quelibet minutum in 60… (Thorndike, 1949a, 88, con variantes). 285 El texto conservado pertenece al capítulo sobre la multiplicación. Inc.: ex directo figurae multiplicantis scribatur digitus, qui est pars illius numeri compositi, et sinistretur articulus ut prius. Des.: subtrahi ab ultima superioris ordinis, eo quod... 286 Agradecemos a Sarah Höilund, bibliotecaria de la Universitetsbiblioteket de Göteborg, por la información proporcionada sobre este manuscrito. 287 Del s. XIII datan los ff. 1-18 mientras que del s. XIV, los ff. 19-26, donde se incluye la Spher. 288 El texto conservado tan solo llega al inicio del segundo capítulo, faltando más de la mitad de la obra. Des.: Polus vero oppositus dicitur antarticus quasi con… (Thorndike, 1949a, 87). 147 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90075256,T http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11880#1_58 http://manuscripta.pl/loca/gdansk.htm http://sip.mirabileweb.it/manuscript/gdansk-biblioteka-gdanska-polskiej-akademii-nauk-m-manuscript/136770 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6405#3_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1531#1_58 LA OBRA DE SACROBOSCO I + 190 ff., papel, 200 × 145 mm, s. XV (datado: año 1439), origen: Erfurt. U.C. 4 (ff. 127-140), Algor.: ff. 127r-137v. La U.C. 4, además del Algor., cuenta con una parte de su comentario y un fragmento de una misiva expurgatoria. El resto de U.C. contiene tratados de tipología variada: retórica, sobre la complexión física, varias epístolas, problemas de matemáticas, oraciones, una tabla con fiestas religiosas, obras de cómputo y morales. Wunderle (2002, 328-38); Ambrosetti (2008, 364). Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/03/2021); Mirabile (cons. 29/03/2021). 252. Gotha, Forschungs- und Landesbibliothek, Memb. II 60 II + 148 + I ff., pergamino, in folio, s. XV, origen: desconocido. Quadr.: ff. 26r-29v. Además de esta obra, contiene otros tratados sobre el cuadrante, obras astronómicas y astrológicas. Zinner (1962, 30); Knorr (1997b, 215). Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 15/04/2021). 253. Göttingen, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Luneb. 1 282 ff., pergamino, 285 × 210 mm, s. XV-XVI, origen: desconocido (prov.: S. Michael, Lüneburg). Algor.: ff. 192r-200r. Comentarios, himnos, calendarios, libros de historia, música, poemas de Virgilio, una comedia, oraciones y un tratado sobre oratoria. W. Meyer (1893, 491-3); Ambrosetti (2008, 364). Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 29/03/2021). 254. Göttweig, Benediktinerstift, 170 (rot) / 189 (schwarz) Ms. compuesto, 3 U.C. 70 ff., papel, 290 × 115 mm, s. XIV4/4, origen: desconocido. U.C. 1 (ff. 1-10), Algor.: ff. 1r-10v; U.C. 2 (ff. 11-43), Algor.: ff. 11r-12r (excerpta). En la U.C. 1, además de esta obra, parece haber un cómputo. En la U.C. 2, hay un cómputo, una obra de gramática y un calendario. La U.C. restante contiene poemas, algunos en alemán.. Kristeller (1989, vol. 4, 420). DTM (cons. 29/03/2021); Freidank (cons. 29/03/2021); Handschriftencensus (cons. 29/03/2021); HMML (cons. 29/03/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021). 255. Graz, Universitätsbibliothek, 851 (36/7 4º) I + 294 + I ff., papel, 220 × 250 mm, s. XV (datado: años 1417-1424), origen: desconocido (prov.: cartuja de Žiče, Eslovenia). Spher.: ff. 217r-231r. Contiene, principalmente, obras de temática religiosa y moralizante, entre las que destacan tratados sobre la confesión, la penitencia y los pecados, sobre los misterios de la Virgen, sermones, homilías, sobre la misa, sobre distintos santos y sentencias morales. Zinner (1962, 32); Kern (1967, 74-8); Mairold (1979, 87). Graz Cat. (cons. 29/03/2021); Handschriftencensus (cons. 29/03/2021); HMML (cons. 29/03/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021); Mirabile (cons. 29/03/2021). 148 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3510#5_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31627245 http://www.mirabileweb.it/manuscript/gotha-forschungs-und-landesbibliothek-(olim-forsch-manuscript/136571 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3569#2_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/gotha-forschungs-und-landesbibliothek-(olim-forsch-manuscript/116332 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1536#6_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/g%C3%B6ttingen-nieders%C3%A4chsische-staats-und-universit%C3%A4ts-manuscript/11911 http://dtm.bbaw.de/HSA/Goettweig_700341460000.html https://mrfreidank.de/80 https://handschriftencensus.de/3033 http://18.235.151.129/detail.php?msid=3230 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=36881 http://sosa2.uni-graz.at/sosa/katalog/katalogisate/851.html https://handschriftencensus.de/17328 http://18.235.151.129/detail.php?msid=52570 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=5344 https://www.mirabileweb.it/manuscript/graz-universit%C3%A4tsbibliothek-851-(36-7-quarto)-manuscript/155466 La tradición manuscrita 256. Graz, Universitätsbibliothek, 966 (34/43 4º) I + 582 ff., papel, 220 × 150 mm, s. XV1/2, origen: Szczecin (Polonia). Spher.: ff. 399r-420v. Obras de filosofía natural, donde destaca Aristóteles y los comentarios a sus obras; tratados sobre cómputo y astronomía con opúsculos sobre instrumentos de medida (reloj astronómico, reloj de sol) y tablas. Kern (1956, 157-60); Zinner (1962, 32-3); Mairold (1988, 198); Nothaft (2014, 382). Graz Cat. (cons. 29/03/2021); HMML (cons. 29/03/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/03/2021); Mirabile (cons. 29/03/2021). 257. Graz, Universitätsbibliothek, 1000 (34/42 4º) 159 ff., papel, 220 × 150 mm, s. XV (datado: años 1416-1420), origen: desconocido. Algor.: ff. 46r-52r. Obras sobre calendario y cómputo, incluido el poema astronómico Cisioianus, el Algor. y unos excerpta medica en alemán. Kern (1956, 184-5); Mairold (1979, 112-3); Ambrosetti (2008, 351). Graz Cat. (cons. 29/03/2021); Handschriftencensus (cons. 29/03/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/03/2021); Mirabile (cons. 29/03/2021). 258. Groningen, Universiteitsbibliotheek, 104 46 ff., pergamino, 157 × 117 mm, s. XIV, origen: desconocido. Algor.: ff. 1r-6v; Compot.: ff. 7r-26v; Spher.: ff. 26v-36v. El manuscrito contiene las tres obras de Sacrobosco, un calendario y tablas. Brugmans (1898, 41); Zinner (1925, 152-4); Ambrosetti (2008, 383). Jordanus (cons. 15/04/2021). 259. Halle an der Saale, Universitäts- und Landesbibliothek Sachsen-Anhalt, Yc 8° 8 137 ff., pergamino, 190 × 130 mm, s. XIII, origen: España. Spher.: ff. 92r-109r. Obras filosóficas, de cómputo y calendario y astronomía. Kristeller (1967, vol. 3, 405); Schipke y Heydeck (2000, 118, n.º 171). Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/03/2021); Mirabile (cons. 29/03/2021). 260. Hildesheim, Dombibliothek, 743a Ms. compuesto, 3 U.C. 69 ff., papel, 220 × 160 mm, s. XV (U.C. 1)289, origen: desconocido. U.C. 1 (ff. 1-32), Spher.: 1v-32v (con comentario). La U.C. 1 está ocupada íntegramente por la Spher. comentada. Las U.C. 2-3 continúan la temática astronómica-astrológica. Zinner (1962, 35); Giermann, Härtel y Arnold (1993, 75-6). Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/03/2021). 261. Innsbruck, Universitäts- und Landesbibliothek Tirol, 373 Ms. compuesto, 4 U.C. 289 Las U.C. 2-3 datan del s. XIV (la U.C. 2 está fechada en el año 1374). 149 http://sosa2.uni-graz.at/sosa/katalog/katalogisate/966.html http://18.235.151.129/detail.php?msid=53256 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11267#28_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=5770 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90672169,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/graz-universit%C3%A4tsbibliothek-966-(34-43-quarto)-manuscript/186843 http://sosa2.uni-graz.at/sosa/katalog/katalogisate/1000.html https://handschriftencensus.de/17342 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11268#4_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=4687 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90632548,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/graz-universit%C3%A4tsbibliothek-1000-(34-42-quarto)-manuscript/136888 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10857#1_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3651#3_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90740619,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/halle-a-d-saale-universit%C3%A4ts-und-landesbibliothek--manuscript/155731 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1735#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90364078,T LA OBRA DE SACROBOSCO 218 ff., pergamino, 173 × 110 mm, s. XIII (datado: año 1244) (U.C. 2)290, origen: París (U.C. 2)291. U.C. 2 (ff. 51-100), Spher.: ff. 52r-64v; Compot.: ff. 65r-88v. La U.C. 2, además de estas obras, presenta tablas y otros contenidos de cómputo. Las otras U.C. son de contenido variado, con obras religiosas (U.C. 1) y médicas (U.C. 3-4). Zinner (1925, 152-5); Neuhauser y Śubarič (2005, 314-9). HMML (cons. 29/03/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021). 262. Innsbruck, Universitäts- und Landesbibliothek Tirol, 640 348 ff., papel292, 215 × 145 mm, s. XV293, origen: ¿Viena? Spher.: contraportada (fragmento)294. Sermones de Antonio Azaro de Parma. Schneyer (1969, vol. 1, 299); Roland (2007, 279). HMML (cons. 29/03/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021); UIBK (cons. 29/03/2021). 263. Innsbruck, Universitäts- und Landesbibliothek Tirol, 655 Ms. compuesto, 6 U.C. 201 ff., papel y pergamino295, 170 × 130 mm, s. XIII (U.C. 6)296, origen: Tirol. U.C. 6 (ff. 178-201), Algor.: ff. 178r-186v; Spher.: ff. 186v-201r. La U.C. 6 está compuesta exclusivamente por estas obras de Sacrobosco. Las U.C. 1-5 contienen obras religiosas como memoriales, sermones, reglas y decretales; tratados bíblicos y de retórica; una obra de Porfirio y varias de Aristóteles. Kristeller (1967, vol. 3, 20); Neuhauser (2011, 299-318). HMML (cons. 29/03/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021); Mirabile (cons. 29/03/2021). 264. Karlsruhe, Badische Landesbibliothek, Lichtenthal 31 Ms. compuesto, 5 U.C. 238 ff., papel y pergamino297, 195 × 145 mm, s. XIV (datado: año 1351) (U.C. 4)298, origen: Erfurt (U.C. 4)299. U.C. 4 (ff. 194-211), Spher.: ff. 194r-207r. La U.C. 4, además de la Spher., contiene los Quindecim signa de Pseudo-Jerónimo. El resto de U.C. presentan tratados de Aristóteles, Boecio, Porfirio, con abundantes comentarios; obras de botánica, alimento, medicina y otras obras religiosas y moralizantes. 290 U.C. 1, en cambio, data del s. XIV. 291 Las otras U.C. tienen origen en Alemania y Francia. 292 Aunque el folio pegado en la contraportada es de pergamino. 293 El fragmento de la Spher. parece anterior, quizá del s. XIV. 294 El fragmento de la Spher., que pertenece al comienzo del libro segundo de la obra, está escrito en un folio que se ha usado para la contraportada. Siendo a dos columnas, la segunda tan solo se ve parcialmente, así como la parte superior del texto. Inc.: Autem signorum ordinatio et numerus in hiis patent versibus (Thorndike, 1949a, 88). Des.: Inter primo punctum Cancri et circulum articum et reliquo… (Thorndike, 1949a, 93). 295 Son de pergamino los ff. 1-143 y 178-201, donde se incluye la U.C. 6; de papel, en cambio, los ff. 144-177. 296 Las U.C. 1-2 y 4 datan del s. XIV, mientras que las U.C. 3 y 5-6 datan del s. XIII. 297 Son de pergamino los ff. 1-121 y de papel, los ff. 122-237, donde se incluye la U.C. 4. 298 La fecha de escritura no es la misma para todas las U.C.: las U.C. 1-2 datan del s. XIII; la U.C. 3, del s. XV y la U.C. 5, de finales del s. XIV. 299 Tampoco las U.C. coinciden en lugar de copia: U.C. 1-2 fueron copiadas probablemente en París, U.C. 3 quizá en la zona del Rin Superior y U.C. 5, se desconoce. 150 http://18.235.151.129/detail.php?msid=2385 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=7954 http://18.235.151.129/detail.php?msid=2587 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=31331 https://diglib.uibk.ac.at/urn:nbn:at:at-ubi:5-577 http://18.235.151.129/detail.php?msid=2616 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11315#1_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=31344 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/innsbruck-universit%C3%A4ts-und-landesbibliothek-tirol--manuscript/2281 La tradición manuscrita Heinzer y Stamm (1987, 117-21); Bergmann y Stricker (2005, 721, n.º 324); Herweg y Stello (2015, 40, n.º 7). BStK (cons. 29/03/2021); Fama (cons. 29/03/2021); Handschriftencensus (cons. 29/03/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Kallimachos (cons. 29/03/2021); Karlsruhe (cons. 29/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/03/2021); Mirabile (cons. 29/03/2021). 265. Kassel, Landesbibliothek und Murhardsche Bibliothek, Math. fol. 31 344 ff., papel, in folio, s. XV, origen: Alemania. Spher.: ff. 84r-108r. Obras de música, cómputo, aritmética, astronomía y perpectiva. Kristeller (1967, vol. 3, 583). Jordanus (cons. 15/04/2021); Ptolemaeus (cons. 15/04/2021). 266. Klagenfurt, Bischöfliche Bibliothek, XXIX e 1 72 ff., papel, 215 × 140 mm, s. XIV (datado: años 1385-1387), origen: desconocido (copista: Purchardus Gamoret de Sludrina). Algor.: ff. 67r-72v. El manuscrito contiene unas Suppositiones, Confusiones y Consequentiae seguidas de tratados de dialéctica, un texto sobre silogismos y obras morales y doctrinales; tras estos, se sitúa una obra sobre lógica matemática y el Algor. Menhardt (1927, 16-7); Ambrosetti (2008, 351). HMML (cons. 29/03/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 29/03/2021). 267. Klagenfurt, Universitätsbibliothek, Pap.-Hs. 75 I + 303 ff., papel, 210 × 140 mm, s. XV (datado: año 1409), origen: desconocido (prov.: Millstatt am See). Algor.: ff. 272r-283r. Tratados sobre el significado de las palabras, un cómputo y ejercicios espirituales. Menhardt (1927, 127-8); Mairold (1980, 93). HMML (cons. 29/03/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021). 268. Klosterneuburg, Stiftsbibliothek, Codex Claustroneoburgensis 634 Ms. compuesto, 3 U.C. 136 ff., papel y pergamino300, 285-290 × 222 mm, s. XIV, origen: ¿Alemania? U.C. 2 (ff. 114-124), Spher.: ff. 118r-122v (¿incompleto?)301. La U.C. 2 contiene un registro de nombres de plantas, tablas y la Spher. Las otras dos U.C. contienen la Legenda aurea y otras vidas de santos, tratados filosóficos y científicos, entre los cuales se cuentan unas recetas médicas en alemán. Rzihacek-Bedö (1991, 10). HMML (cons. 29/03/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021). 269. København, Det Kongelige Bibliotek, Add. 447 150 ff., pergamino, 260 × 190 mm, s. XIV, origen: desconocido. Compot.: ff. 58r-77r (con glosas); Spher.: ff. 84r-90r. 300 Son de pergamino los ff. 125-136 y de papel los ff. 1-124, donde está incluida la U.C. 2. 301 Tenemos noticia de que falta el final del tratado gracias al registro de Manuscripta (cons. 29/03/2021) («unvollständig»), pero no sabemos cuánto falta ni si se trata de un manuscrito realmente incompleto o mútilo. 151 https://glossen.germ-ling.uni-bamberg.de/manuscripts/12431 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/30707 https://handschriftencensus.de/9472 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1793#17_58 http://kallimachos.de/fachtexte/index.php/Artemisia-Vokabular_-_Cod._Lichtenthal_31 https://digital.blb-karlsruhe.de/urn/urn:nbn:de:bsz:31-35070 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90376079,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/karlsruhe-badische-landesbibliothek-lichtenthal-31-manuscript/175542 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1821#11_58 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/1821#27_10 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11322#387997 http://18.235.151.129/detail.php?msid=13593 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11322#13_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/klagenfurt-archiv-der-di%C3%B6zese-gurk-(bisch%C3%B6fliche-m-manuscript/136889 http://18.235.151.129/detail.php?msid=13480 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=33132 http://18.235.151.129/detail.php?msid=5652 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=829 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=829 LA OBRA DE SACROBOSCO Obras de astronomía y astrología, además de tratados sobre instrumentos de medida (cuadrante, astrolabio) y tablas. Krarup (1935, 117-8); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 229-31); O. Pedersen (1985, 185). Jordanus (cons. 15/04/2021); KB (cons. 10/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021). 270. København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 277 fol. 87 ff.302, pergamino, 309 × 220 mm, s. XIII (ante 1240)303, origen: desconocido. Compot.: ff. 89v-98r (incompleto)304; Spher.: ff. 169r-173v. Obras de astronomía, geometría y aritmética, con varias tablas. Jørgensen (1926, 417-8); O. Pedersen (1985, 183). Jordanus (cons. 15/04/2021); KB (cons. 10/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021). 271. København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 1810 kvart 75 ff., papel y pergamino305, 228 × 149 mm, s. XIV, origen: desconocido (prov.: Dinamarca). Spher.: ff. 9r-23r; Compot.: ff. 24r-47v; Algor.: ff. 48v-56r; Quadr.: ff. 56r-60r. En el manuscrito, originalmente, seguían a las obras de Sacrobosco unas tablas y apuntes astronómicos. En época posterior a su elaboración, se introdujeron los folios de pergamino delante de la Spher. (ff. 1-8) con más tablas, así como los ff. 64-68 de idéntico contenido. Jørgensen (1926, 421-3); O. Pedersen (1985, 185); Knorr (1997b, 215); Ambrosetti (2008, 354). Jordanus (cons. 15/04/2021); KB (cons. 10/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021). 272. København, Det Kongelige Bibliotek, NKS 275ª kvart Ko 85 ff., pergamino, 204 × 144 mm, s. XIIIex., origen: Francia. Algor.: ff. 1r-10v; Spher.: ff. 11r-30v; Compot.: ff. 31r-63v. Obras de astronomía (incluido un tratado sobre el cuadrante) y calendario principalmente con numerosas tablas. Brunn (1890, 96-7); Jørgensen (1926, 419-20); Böcker (1952, 39-40, n.º 47); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 167-8); Ambrosetti (2008, 354). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); KB (cons. 10/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021). 273. København, Det Kongelige Bibliotek, Thott 825 kvart 266 ff., papel, 212 × 143 mm, s. XV (datado: años 1441, 1461, 1463), origen: Alemania. Algor.: ff. 237r-255v. Obras fundamentalmente astronómicas, astrológicas, computísticas, tablas, calendarios y aritmética, además de algunos sermones y pequeños tratados de contenido religioso. Jørgensen (1926, 423-5); Ambrosetti (2008, 354); Nothaft (2014, 381). Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021). 274. Kraków, Biblioteka Jagiellońska, 562 (DD III 66) 111 ff., papel, 290 × 210 mm, s. XIV (datado: año 1387), origen: Praga (copista: Jacob Styer). 302 Nótese, sin embargo, que la numeración empieza en el f. 86. 303 O. Pedersen (1985, 183) data este manuscrito en la década de los años 30 del s. XIII a tenor de dos glosas en f. 91vb: nunc scilicet anno domini MCCXL y en f. 92ra: hodie autem scilicet MCCXL gratie anno. Si así fuera, este podría ser el códice más antiguo conservado que contiene obras de Sacrobosco. 304 Faltan las líneas finales del tratado. Des.: Unde homo magni eui dicitur (Lohr, 2020, cap. 24, l. 41). 305 Son de pergamino los ff. 1-8 y 64-68; de papel, los ff. 9-63 y 69-75, donde se incluyen las obras de Sacrobosco. 152 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10597#7_58 https://soeg.kb.dk/permalink/45KBDK_KGL/1pioq0f/alma99122454480105763 http://www.mirabileweb.it/manuscript/k%C3%B8benhavn-kongelige-bibliotek-addit-447-2%C2%B0-manuscript/20571 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10620#8_58 https://soeg.kb.dk/permalink/45KBDK_KGL/1pioq0f/alma99122876044605763 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/k%C3%B8benhavn-kongelige-bibliotek-gks-277-2%C2%B0-manuscript/38614 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10615#19_58 https://soeg.kb.dk/permalink/45KBDK_KGL/1pioq0f/alma99122748875105763 http://www.mirabileweb.it/manuscript/k%C3%B8benhavn-kongelige-bibliotek-gks-1810-4%C2%B0-manuscript/30748 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/37328 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10626#1_58 https://soeg.kb.dk/permalink/45KBDK_KGL/1pioq0f/alma99122875998505763 http://www.mirabileweb.it/manuscript/k%C3%B8benhavn-kongelige-bibliotek-nks-275-4%C2%B0-manuscript/108743 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10646#31_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/k%C3%B8benhavn-kongelige-bibliotek-thott-825-4%C2%B0-manuscript/136431 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10620#165023 La tradición manuscrita Algor.: ff. 12r-16v; Compot.: ff. 17r-36r. Obras mayoritariamente de cómputo y calendarios. Wisłocki (1877-81, 175); Zinner (1925, 152); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 233-4); Kowalczyk et al. (1984, vol. 3, 390-7); Ambrosetti (2008, 383); Nothhaft (2014, 383). JBC (cons. 16/02/2021); Manuscripta (cons. 16/02/2021); Mirabile (cons. 16/02/2021). 275. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 563 (DD III 49) 374 + III ff., papel, 305 × 205 mm, s. XV (datado: años 1423-1434), origen: Cracovia (copista: Nicholas de Grabostow). Spher.: ff. 185r-237r (con comentario); Compot.: ff. 352r-369v. Obras de astronomía (incluida la Theorica planetarum) y cómputo con numerosas tablas. Wisłocki (1877-81, 175-6); Zinner (1925, 153); Kowalczyk et al. (1984, vol. 3, 397-406); Nothaft (2014, 383); Hadravová y Hadrava (2019, 28). JBC (cons. 16/02/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 16/02/2021); Mirabile (cons. 16/02/2021); Polona (cons. 16/02/2021). 276. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 573 (DD III 37) 233 + II ff., papel, 310 × 220 mm, s. XV (datado: año 1457), origen: Alemania. Spher.: ff. 45r-77r (con glosas). Tratados astronómicos (incluida la Theorica planetarum), astrológicos y fenómenos asociados. También posee algunas notas en alemán. Wisłocki (1877-81, 179-80); Zinner (1925, 155). JBC (cons. 16/02/2021); Manuscripta (cons. 16/02/2021); Polona (cons. 16/02/2021). 277. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 601 (DD IV 5) 217 ff., papel, 330 × 240 mm, s. XV2/2, origen: norte de Italia. Spher.: ff. 10r-16r. Obras de astronomía (incluida la Theorica planetarum), astrología y aritmética, incluidos tratados sobre instrumentos de medida (astrolabio), tablas y comentarios. Wisłocki (1877-81, 189); Rosińska (1984, 553); Kowalczyk et al. (1988, vol. 4, 176-92); Hadravová y Hadrava (2019, 28). JBC (cons. 16/02/2021); Manuscripta (cons. 16/02/2021); Polona (cons. 16/02/2021). 278. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 609 (DD III 33) 278 + III ff., papel, 305 × 220 mm, s. XVmed., origen: desconocido. Spher.: ff. 187v-232r. Además de esta obra, contiene tratados de astronomía (incluida la Theorica planetarum) con tablas. Wisłocki (1877-81, 192-3); Kowalczyk et al. (1988, vol. 4, 241-52); Hadravová y Hadrava (2019, 27-8). JBC (cons. 09/12/2021); Manuscripta (cons. 09/12/2021). 279. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1479 (BB I 26) 278 + VI (perg.) ff., papel, 300 × 210 mm, s. XIV (datado: año 1398)306, origen: Praga. Spher.: ff. Ir-v, VIr-v (fragmentos). El manuscrito se compone íntegramente (a excepción de las hojas de guarda en las que aparecen estos fragmentos de la Spher.) de una Postilla super quattuor evangelistas. 306 Las hojas de guarda en las que aparecen los fragmentos de la Spher., en cambio, datan del s. XIII. 153 https://jbc.bj.uj.edu.pl/dlibra/publication/488692/edition/535779/content http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm http://www.mirabileweb.it/manuscript/krak%C3%B3w-biblioteka-jagiellonska-562-manuscript/136771 https://jbc.bj.uj.edu.pl/dlibra/publication/579416/edition/565531/content http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12086#12_58 http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm http://www.mirabileweb.it/manuscript/krak%C3%B3w-biblioteka-jagiellonska-563-manuscript/186846 https://polona.pl/item/opera-astronomica-i-a-ioannis-de-sacro-bosco-ioannis-de-erfordia-tabulae-variae,ODkwNzI1NjQ https://jbc.bj.uj.edu.pl/dlibra/publication/468327 http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm https://polona.pl/item/opera-astrologica-et-astronomica-i-a-ioannis-de-lineriis-ioannis-de-sacro-bosco,Nzc2NzU2Njk/0/#info:metadata https://jbc.bj.uj.edu.pl/dlibra/publication/476322 http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm https://polona.pl/item/opera-astronomica-astrologica-et-mathematica,Nzg1MDUyNjI/0/#info:metadata https://jbc.bj.uj.edu.pl/dlibra/publication/325561/edition/311350/content http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm LA OBRA DE SACROBOSCO Wisłocki (1877-81, 363); Kozłowska (2012, 234-8). Manuscripta (cons. 16/02/2021); Mirabile (cons. 16/02/2021). 280. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1838 (BB XXIII 15) 204 + II ff., papel, 220 × 180 mm, s. XV (datado: año 1485), origen: desconocido. Algor.: ff. 118r-157v. Además de esta obra, contiene otros tratados sobre astronomía, astrología, cómputo y calendario. Wisłocki (1877-81, 434-5); Ambrosetti (2008, 389). Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 16/02/2021). 281. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1840 (BB XXIII 16) 314 ff., papel, 220 × 155 mm, s. XV-XVI, origen: Polonia. Spher.: ff. 224v-232r. Numerosas obras de aritmética, tratados sobre el calendario y astronomía. Wisłocki (1877-81, 435-6); Zinner (1925, 155); Ambrosetti (2008, 384); Hadravová y Hadrava (2019, 28). Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 16/02/2021); Mirabile (cons. 16/02/2021). 282. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1844 (BB XXIII 20) 299 ff., papel, 210 × 150 mm, s. XV, origen: Polonia. Spher.: ff. 198r-272v. Una obra de perpectiva con comentarios y tratados astronómicos varios, incluida la Theorica planetarum. Wisłocki (1877-81, 437); Zinner (1925, 156); Hadravová y Hadrava (2019, 28). Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 16/02/2021). 283. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1847 (BB XXIV 5) 114 + VIII ff., papel, 205 × 145 mm, s. XIV (datado: años 1397, 1398), origen: Praga (copista: Petrus Pelka). Algor.: ff. 1r-9v; Spher.: ff. 89r-114r. Además de las obras de Sacrobosco, contiene tratados sobre cómputo, unas tablas y un tratado astronómico con comentario. Wisłocki (1877-81, 438-9); Zinner (1925, 154); Nothaft (2014, 383). Manuscripta (cons. 16/02/2021). 284. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1848 (BB XXIV 6) 118 ff., papel, 205 × 150 mm, s. XIV (datado: año 1389), origen: desconocido (prov.: Spiš, región entre Eslovaquia y Polonia). Algor.: ff. 1r-8v. Obras de aritmética y cómputo. Wisłocki (1877-81, 439); Nothaft (2014, 383). Manuscripta (cons. 29/05/2021). 285. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1851 (BB XXIV 9) 95 + VI ff., papel, 210 × 160 mm, s. XV, origen: Polonia. Algor.: ff. 85r-94r. Obras sobre cómputo y calendario. 154 http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm http://www.mirabileweb.it/manuscript/krak%C3%B3w-biblioteka-jagiellonska-1479-manuscript/186791 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11958#4_58 http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11960#10_58 http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm http://sip.mirabileweb.it/manuscript/krak%C3%B3w-biblioteka-jagiellonska-1840-(bb-xxiii-16)-manuscript/136780 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11964#8_58 http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm La tradición manuscrita Wisłocki (1877-81, 440); Ambrosetti (2008, 384). Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 16/02/2021). 286. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1854 (BB XXIV 12) 335 + VI ff., papel, 210 × 145 mm, s. XV, origen: Polonia. Spher.: ff. 1r-62r y 66r-140r (con comentarios). El mansucrito contiene estas dos Spher. y la Theorica planetarum con comentarios. Wisłocki (1877-81, 441); Zinner (1925, 156). Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 16/02/2021). 287. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1860 (BB XXIV 18) 297 + III ff., papel, 215 × 150 mm, s. XV1/2, origen: Polonia (copista: Nicolaus Pykel). Algor.: ff. 13v-38v. Obras de aritmética, cómputo y astronomía. Wisłocki (1877-81, 443-4); Ambrosetti (2008, 384); Nothaft (2014, 384). Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 16/02/2021). 288. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1982 (BB XIV 18) 307 + I ff., papel, 215 × 150 mm, s. XV (datado: año 1424), origen: desconocido. Spher.: ff. 106v-132r. Obras de ciencias naturales: medicina, astronomía, física, filosofía. Wisłocki (1877-81, 482). JBC (cons. 15/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 15/04/2021). 289. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 2703 III + 176 ff. + III ff., papel, 210 × 160 mm, s. XV (datado: años 1492, 1493), origen: Universidad de Cracovia. Spher.: f. 1r-v (mútilo)307. Obras de astronomía, astrología, gramática, filosofía y geografía. Wisłocki (1877-81, 636-7); Rosińska (1984, 556); Markowski (1990, 309). Manuscripta (cons. 16/02/2021); Ptolemaeus (cons. 16/02/2021) 290. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 3360 32 + IV ff., papel, 160 × 100 mm, s. XVI (datado: año 1550), origen: desconocido. Algor.: ff. 1r-31v. Tan solo contiene esta obra. Wisłocki (1877-81, 735). Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 17/02/2021). 291. Kremsmünster, Stiftsbibliothek, 89 Ms. compuesto, 6 U.C. 197 ff., papel, 210-220 × ca. 150 mm, s. XIV-XV, origen: ¿Austria? ¿Viena? ¿Praga? U.C. 5 (ff. 109-134), Algor.: ff. 109r-119r; Spher.: ff. 121r-133v. En la U.C. 5, las obras de Sacrobosco aparecen solas. En las demás U.C. se presenta contenido religioso y, sobre todo, tratados de científicos. Zinner (1925, 154); Kristeller (1967, vol. 3, 23); Fill (2000, 444-52); Ambrosetti (2008, 351); Hadravová y Hadrava (2019, 28). 307 Tal solo se conserva el inicio. 155 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11969#6_58 http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11969#6_58 http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11978#3_58 http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm https://jbc.bj.uj.edu.pl/dlibra/publication/219727 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12021#4_58 http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm http://ptolemaeus.badw.de/ms/766 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12065#1_58 http://manuscripta.pl/loca/krakow_bj.htm LA OBRA DE SACROBOSCO HMML (cons. 29/03/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021). 292. Leiden, Bibliotheek der Rijksuniversiteit, BPL 138 I + 167 ff., papel, 219 × 150 mm, s. XV (datado: año 1437), origen: oeste de Francia. Spher.: f. 1r-v (incompleto)308. El manuscrito contiene los Disticha Catonis, preceptos legales, comentarios a la Ecloga de Teodulo y los Remedia amoris de Ovidio. Lieftinck (1964, 79-80, n.º 183); Deuffic (2009, 294, n.º 90). Leiden Dig. (cons. 10/04/2021); Leiden Univ. (cons. 10/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021); REMACCLA (cons. 10/04/2021). 293. Leiden, Bibliotheek der Rijksuniversiteit, BPL 191 D Ms. compuesto, 6 U.C. 166 ff., pergamino, 170 × 120 mm (U.C. 4)309, s. XIV (U.C. 4)310, origen: desconocido. (U.C. 4, ff. 49-56), Algor.: ff. 49r-50v; Compot.: ff. 51r-56v. La U.C. 4 contiene tan solo estas dos obras. El resto de U.C. presentan obras de diversa índole: aritmética (incluido el Carmen de algorismo), versos de Boecio, himnos, poemas de Ovidio y comentarios, sinónimos y fragmentos varios. Codices manuscripti (1912, 97-8); Ambrosetti (2008, 365). Leiden Dig. (cons. 10/04/2021); Leiden Univ. (cons. 10/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021); REMACCLA (cons. 10/04/2021). 294. Leipzig, Universitätsbibliothek, 1084 253 + X ff., papel, 315 × 225 mm, s. XV, origen: Alemania. Spher.: ff. 197v-202v. Tratados de medicina, filosofía natural y música. Helssig (1905, 205-8). Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 15/04/2021). 295. Leipzig, Universitätsbibliothek, 1462 458 ff., papel, 210 × 150 mm, s. XV (datado: año 1444), origen: desconocido (prov.: Löbau). Algor.: ff. 4r-12v; Spher.: ff. 221r-243r. Obras de cómputo y calendario, aritmética (entre las que se encuentra el Carmen de algorismo) y astronomía. Kristeller (1967, vol. 3, 419-20); Nothaft (2014, 384-5). Jordanus (cons. 15/04/2021); Leipzig (cons. 10/04/2021); Leipzig Dig. (cons. 10/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 10/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021); Jordanus (cons. 10/04/2021). 296. Leipzig, Universitätsbibliothek, 1470 541 ff., papel, 310 × 210 mm, s. XV (datado: año 1486), origen: Alemania. Spher.: ff. 403r-429v; Algor.: ff. 433r-444v (con glosas311). 308 Tan solo se ha copiado un folio que se corresponde con el inicio del tratado. Des.: spera vero lune minima ut patet prout in presenti exemplo figura sequitur (Thorndike, 1949a, 77, con variantes). 309 El resto de U.C. tienen diferentes medidas, que oscilan entre 170-185 × 50-130 mm. 310 Todas las U.C. se datan en el s. XIV a excepción de U.C. 6, compuesta en el s. XIII. 311 Las cuales contienen el comentario de Pedro Filomena de Dacia al Algor. según se deduce por el catálogo de manuscritos del comentario de O. Pedersen (1976, 12). 156 http://18.235.151.129/detail.php?msid=22950 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11360#4_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=8698 http://hdl.handle.net/1887.1/item:1668926 https://catalogue.leidenuniv.nl/permalink/f/1alf3en/UBL_ALMA21222197830002711 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/leiden-bibliotheek-der-universiteit-b-p-l-138-manuscript/104171 https://remaccla.unibg.it/index.php/schede-per-opera/details/3/8d7f33846c508633c1257368002fcda3.html http://hdl.handle.net/1887.1/item:3141134 https://catalogue.leidenuniv.nl/permalink/f/1fpfapn/UBL_ALMA11380870630002711 http://www.mirabileweb.it/manuscript/leiden-bibliotheek-der-universiteit-b-p-l-191-d-manoscript/136578 https://remaccla.unibg.it/index.php/schede-per-opera/details/3/dabe19808fc06114c12573680031da4a.html http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3707#3_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31565888 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3721#3_58 https://katalog.ub.uni-leipzig.de/Record/159-obj31566761 https://digital.ub.uni-leipzig.de/object/viewid/0000022555 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31570688 http://www.mirabileweb.it/manuscript/leipzig-universit%C3%A4tsbibliothek-1462-manuscript/186849 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3721 La tradición manuscrita Obras teológicas de Tomás de Aquino y Boecio, filosofía natural de Aristóteles y varios comentarios, libros de meteorología y astronomía, invectivas, poemas, excerpta, música y aritmética (entre los que se cuenta el Carmen de algorismo). Zinner (1925, 156); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 73, 169); Ambrosetti (2008, 365); Mackert (2010, 21-32). Jordanus (cons. 15/04/2021); Leipzig (cons. 10/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/02/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021). 297. Leipzig, Universitätsbibliothek, 1486 Z I + 71 ff., pergamino, 235 × 140 mm, s. XIII-XIV, origen: desconocido. Compot.: ff. 3r-23v; Spher.: ff. 23v-36r; Algor.: ff. 36r-42v. El manuscrito contiene, además de estas obras de Sacrobosco, el Didascalicon. Zinner (1925, 152-4); Ambrosetti (2008, 365). Jordanus (cons. 15/04/2021); Leipzig (cons. 10/04/2021); Leipzig Dig. (cons. 10/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 10/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021). 298. Leipzig, Universitätsbibliothek, 1487 233 ff., papel y pergamino312, 150 × 210 mm, s. XIV-XV, origen: desconocido. Compot.: ff. 10v-23r; Algor.: ff. 23v-27r. Obras de cómputo y calendario, astronomía y matemática. Zinner (1925, 152); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 235-6); Ambrosetti (2008, 365). Jordanus (cons. 15/04/2021); Leipzig (cons. 10/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 10/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021). 299. Leipzig, Universitätsbibliothek, 1605 Ms. compuesto, 2 U.C. 32 ff., papel, 310 × 210 mm, s. XV (datado: año 1498) (U.C. 2)313, origen: Leipzig. U.C. 2 (ff. 9-32), Compot.: ff. 17r-32v. La U.C. 2 contiene, además de este tratado, otro astronómico con tablas; la U.C. 1 presenta una sola obra sobre el cuadrante. Jordanus (cons. 10/04/2021); Leipzig (cons. 10/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 10/04/2021). 300. Lilienfeld, Stiftsbibliothek, 144 Li 216 ff., pergamino, in folio, s. XIV1/3, origen: Lilienfeld (copista: Frater Christianus). Algor.: ff. 32ra-34va; Spher.: ff. 35ra-39vb; Compot.: ff. 40ra-47va; Quadr.: ff. 48ra-49rb. Además de estas obras, contiene obras relacionadas con el calendario, otro opúsculo sobre el cuadrante, tratados de moralizantes y religioso, incluidas oraciones, y un tratado de botánica. Schimek (1891, 529-31); Zinner (1925, 151-3); Haidinger y Lackner (1977, 55); Knorr (1997b, 215); Ambrosetti (2008, 351). Handschriftencensus (cons. 10/04/2021); HMML (cons. 10/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 10/04/2021); Manuscriptorium (cons. 10/04/2021). 312 Son de pergamino los ff. 1-9 y de papel, los ff. 10-233, donde se incluyen las obras de Sacrobosco. 313 La U.C. 1 está datada en el año 1501. 157 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3725#6_58 https://katalog.ub.uni-leipzig.de/Record/0-1565463455 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31569874 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/leipzig-universit%C3%A4tsbibliothek-1470-manuscript/136582 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3737#2_58 https://katalog.ub.uni-leipzig.de/Record/159-obj31570634 https://digital.ub.uni-leipzig.de/object/viewid/0000012916 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31570634 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/leipzig-universit%C3%A4tsbibliothek-1486-manuscript/136580 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3738#2_58 https://katalog.ub.uni-leipzig.de/Record/0-1564886883 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31570630 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/leipzig-universit%C3%A4tsbibliothek-1487-manuscript/136583 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3746 https://katalog.ub.uni-leipzig.de/Record/0-1447643461 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31569316 https://handschriftencensus.de/26082 http://18.235.151.129/detail.php?msid=4442 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11366#4_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=32353 http://www.manuscriptorium.com/apps/index.php?direct=record&pid=LILIEN-SLA___HS_144______3RTA3FD-en LA OBRA DE SACROBOSCO 301. Lincolnshire, Lincoln Cathedral Chapter Library, 148 (B.1.8) Lc 117 ff., pergamino, 390 × 260 mm, s. XIII, origen: Inglaterra. Algor.: ff. 2r-19r; Spher.: ff. 19r-45v; Compot.: ff. 46r-90v (acéfalo)314; Quadr.: ff. 95v-102v. Además de las obras de Sacrobosco, contiene las Tabule Gerlandi y dos opúsculos más sobre el cuadrante. Woolley (1927, 101-2, n.º 148); R.M. Thomson (1989, 114-5); Ambrosetti (2008, 374). HMML (cons. 10/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021). 302. Lincolnshire, Lincoln Cathedral Chapter Library, 237 (A.7.7) 111 ff., pergamino, 160 × 108 mm, s. XVin., origen: Inglaterra315. Spher.: ff. 88v-folio desconocido316. Obras de astronomía y retórica. Woolley (1927, 170-1, n.º 237). Fama (cons. 15/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Medium (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 15/04/2021). 303. London, British Library, Add. 15107 282 ff., papel y pergamino317, 216 × 154 mm, s. XV (datado: año 1422), origen: Erfurt. Spher.: ff. 10r-33v. Tratados astronómicos (incluida la Theorica planetarum), astrológicos y de calendario y cómputo318, donde se incluyen tablas y algún opúsculo sobre instrumentos de medida (cuadrante). Priebsch (1901, 125, n.º 147); Zinner (1925, 155); Frühmorgen y Ott (1991, 419-20, n.º 11.4.27); Juste (2007, 319-20); Nothaft (2014, 385). BL Arch. (cons. 14/06/2022) ; Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 15/04/2021). 304. London, British Library, Add. 15108 236 ff., papel, ca. 210 × 150 mm, s. XV (datado: años 1426-1430), origen: Erfurt. Algor.: ff. 4r-15v; Spher.: ff. 108r-138v. Obras de aritmética (incluido el Carmen de algorismo), cómputo y astronomía con tablas; también hay tratados filosóficos de contenido teológico. Zinner (1925, 155); Zinner (1962, 40); Ambrosetti (2008, 375); Nothaft (2014, 385). Jordanus (cons. 15/04/2021). 305. London, British Library, Add. 26770 122 ff., pergamino, 235 × 170 mm , s. XIIIex.-XIVin., origen: desconocido. 314 Faltan los dos primeros capítulos de la obra. Inc.: Dierum autem alius naturalis alius artificialis (Lohr, 2020, cap. 3, l. 1). 315 Al final del tratado de la Spher. se da el nombre del copista: Explicit communis tractatus de spera per R. Wryxham. Puesto que no sabemos si el manuscrito fue copiado por varias manos distintas, no podemos aventurar que fuera el mismo escriba para todo el códice. 316 Quizá el tratado llegue hasta el final del manuscrito, pero no poseemos información suficiente para afirmarlo. 317 Son de pergamino los ff. 1-8 y de papel, los ff. 9-282. 318 Este Compotus, atribuido a Sacrobosco en el manuscrito, se trata en realidad de la obra homónima de Villadei. 158 http://18.235.151.129/detail.php?msid=112967 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6415#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/lincoln-cathedral-library-148-(b-1-8)-manuscript/136949 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/31564 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6420#2_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100021155 https://www.mirabileweb.it/manuscript/lincoln-cathedral-library-237-(a-7-7)-manuscript/19577 https://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/dlDisplay.do?vid=IAMS_VU2&search_scope=default_scope&docId=IAMS032-002086800&fn=permalink http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6562#7_57 https://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-add-15107-manuscript/129305 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6563#2_58 La tradición manuscrita Algor.: ff. 1r-3v (acéfalo)319; Spher.: ff. 7r-21r; Compot.: ff. 21v-46r. El manuscrito contiene, además de estas obras, tratados de carácter teológico y doctrinal especialmente. CMB Add. 1854-60 (1875, 282-3). BL Arch. (cons. 15/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 15/04/2021). 306. London, British Library, Add. 27589 Lo5 II (papel) + 105 ff., pergamino, 300 × 200 mm, s. XIII (datado: año 1264), origen: Inglaterra. Spher.: ff. 1ra-12rb; Compot.: ff. 13ra-27vb; Algor.: ff. 28ra-34rb320. Obras astronómicas, de cómputo, el Algor., un tratado de anatomía y un calendario. CMB Add. 1854-60 (1875, 335); Moreton (1992, 162-4); Ambrosetti (2008, 374). BL Arch. (cons. 14/06/2022); Jordanus (cons. 15/04/2021). 307. London, British Library, Add. 30380 142 ff., pergamino, in octavo, s. XIIIex.-XIVin., origen: Colonia (prov.: S. Georg, Colonia). Compot.: ff. 15r-75v; Algor.: ff. 76r-97r; Spher.: ff. 97r-133v. Además de los tratados de Sacrobosco, contiene obras sobre el calendario con tablas, problemas aritméticos y un tratado de astrología con parte en alemán. CMB Add. 1876-81 (1882, 76); Zinner (1925, 152-4; 1962, 40); Freeman (2005, 48, 56 n. 17); Ambrosetti (2008, 375). BL Arch. (cons. 24/03/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 24/03/2021). 308. London, British Library, Add. 31046 30 + XX ff., papel y pergamino321, 144 × 105 mm, s. XV, origen: desconocido. Spher.: ff. 2r-21v (mútilo)322; Algor.: ff. 25r (fragmento)323. El manuscrito contiene, además de esta obra, la Sphera de Grosseteste, una obra de astrología y el Carmen de algorismo. CMB Add. 1876-81 (1882, 153). BL Arch. (cons. 18/05/2022) ; Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 18/05/2022). 309. London, British Library, Arundel 88 133 ff., papel, 342 × 235 mm, s. XV-XVI, origen: Pavía (copista: Johanne Baptista Borrio de Labia). 319 El manuscrito ha perdido varios folios al inicio, de tal forma que se conserva el tratado desde la mitad del capítulo sobre la multiplicación, faltando los capítulos anteriores. Inc.: Et quidquid inde excreverit, negotiandum est ut prius; et sic fiat de omnibus figuris numeri multiplicantis. 320 El Algor. presenta el incipit alternativo: Dicente Boecio in principio arismetice omnia que a primeva rerum. 321 Son de pergamino los ff. 2, 13-14, 24-25 y 30. 322 Falta el final de la obra. Des.: Ita quod sol fuerit motus parte diametraliter tunc terra inter[ponitur] (Thorndike, 1949a, 115, con variantes). El desinit coincide con el final del folio en el que está escrito, pero llama la atención que llgue justo hasta la laguna del ms. London, British Library, Egerton 2622. Además, el recto del folio siguiente se ha dejado en blanco, lo que podría implicar que esta no es una mutilación sino el apógrafo de un manuscrito mutilado, quizá el mismo Egerton 2622. 323 El inicio del Algor. está copiado en los márgenes del primer folio que transmite el Carmen de algorismo. Este folio, sin embargo, está mutilado y la rotura afecta tanto al texto del Carmen como al del Algor., con des.: Figura enim dicitur quantum ad linee protractionis perventi. 159 http://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/dlDisplay.do?docId=IAMS032-002030543&fn=permalink&vid=IAMS_VU2 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6603#2_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-add-26770-manuscript/91314 https://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/display.do?elementId=0&frbg=&frbrVersion=&indx=1&fn=search&tabs=moreTab&gathStatTab=true&dscnt=0&recIds=IAMS032-002030996&scp.scps=scope:(BL)&displayMode=full&mode=Basic&vid=IAMS_VU2&renderMode=poppedOut&ct=display&recIdxs=0&srt=rank&tab=local&doc=IAMS032-002030996&vl(freeText0)=27589&dum=true&dstmp=1653470448595&vid=IAMS_VU2&backFromPreferences=true http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6606#1_57 http://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/dlDisplay.do?docId=IAMS032-002022041&fn=permalink&vid=IAMS_VU2 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28572 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6616#1_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-add-30380-manuscript/136666 https://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/dlDisplay.do?vid=IAMS_VU2&search_scope=default_scope&docId=IAMS032-002022834&fn=permalink http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6617#2_57 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-add-31046-manuscript/136659 LA OBRA DE SACROBOSCO Compot.: ff. 38r-39r (fragmento)324. Obras de astronomía y astrología fundamentalmente, con tablas, preceptos y tratados sobre el cómputo; también se leen algunos fragmentos de medicina y quiromancia. CMB New (1834, vol. 1, 23); Watson (1979, 89, n.º 437); Juste (2007, 323). BL Arch. (cons. 10/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 310. London, British Library, Arundel 268 Ms. compuesto, 3 U.C. 103 ff., papel y pergamino325, 230 × 160 mm (U.C. 1)326, s. XIV (U.C. 1)327, origen: Italia (U.C. 1)328. U.C. 1 (ff. 1-40), Spher.: ff. 1ra-7va. La U.C. 1, además de la Spher., contiene la obra astronómica de Alcabitius y el Centiloquium de Pseudo-Ptolomeo. La temática astronómica continúa en las U.C. 2-3. CMB New (1834, vol. 1, 79-80); Lemay (2000, 384-90). BL Arch. (cons. 10/04/2021); Cert. Signa (cons. 10/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021); Peraldus (cons. 10/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 311. London, British Library, Arundel 332 Lo10 III + III (papel) + 234 + III (papel) ff., pergamino, 190 × 105 mm, s. XIII2/2, origen: norte de Inglaterra (prov.: catedral de Saint Cuthbert de Durham). Compot.: ff. 32ra-52ra; Spher.: ff. 55ra-67va; Algor.: ff. 68ra-73vb (mútilo)329. Tratados astronómicos y otras obras matemáticas y teológicas, de entre las cuales destacan la vida y milagros del obispo altomedieval Cuthbert. Thorndike (1949a, v); Glorieux (1971, 235); Thorndike y Kibre (1963, 301). BL Cat. (cons. 10/04/2021); BL Arch. (cons. 10/04/2021); Computus (cons. 10/04/2021); Durham Priory (cons. 01/02/2022); Europeana (cons. 10/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021). 312. London, British Library, Cotton Cleopatra B.VI Ms. compuesto, 5 U.C. 251 ff., papel, ca. 195 × 140 mm, s. XV (U.C. 5)330, origen: desconocido (U.C. 5)331 (prov.: biblioteca personal de Sir Robert Bruce Cotton). 324 Tan solo se transmite un capítulo y medio de la parte central de la obra, que trata de los movimientos de la luna, lo que responde al parecer a un interés especial del copista en la materia a juzgar por el título: De illuminatione lune quo ad se et quo ad nos et de divisione movimentis lunaris in quatuor species. Authore Johanne de Sacro Bosco in computo suo. Inc.: Cum ex motu lune quemadmodum solis (Lohr, 2020, cap. 13, l. 2). Des.: Imcompletum computet semper omissis minutis est (Lohr, 2020, cap. 14, l. 70). 325 Son de pergamino los ff. 1-74, donde se incluye la U.C. 1, y de papel los ff. 75-103. 326 Las distintas U.C. no comparten medidas: las dimensiones de U.C. 2 son de 220 × 160 mm. y las de la U.C. 3, de 230 × 165 mm. 327 La datación no es la misma para todo el manuscrito; la U.C. 3 data del s. XIII. 328 La U.C. 2 tiene su origen en Francia y U.C. 3 quizá pueda proceder de Sicilia. 329 Este testimonio del Algor. presenta el inc. alternativo: Cum hec scientia de numeris que algorismus ab inventore. Falta el final de la obra; des.: sub numero proposito contenti. Si (ergo velis en reclamo). 330 Mientras que el siglo de composición es idéntico para U.C. 1, 4 y 5, la U.C. 2 data del s. XII-XIII y la U.C. 3, del s. XIII. 331 Para las U.C. 1 y 5 no se conoce el lugar de composición, si bien parece claro que las U.C. 2-4 se copiaron en Inglaterra. 160 http://searcharchives.bl.uk/IAMS_VU2:IAMS040-002039369 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6426#7_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-arundel-88-manuscript/117187 http://ptolemaeus.badw.de/ms/44 http://searcharchives.bl.uk/IAMS_VU2:IAMS041-003310674 http://certissimasigna.sns.it/index.php?id=39&type=manuscript&action=view http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6433#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-arundel-268-manuscript/24342 http://www.peraldus.ch/getrefs.php?current_ms_id=londo-01-802 http://ptolemaeus.badw.de/ms/45 http://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=1682 http://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/dlDisplay.do?vid=IAMS_VU2&docId=IAMS040-002039615&fn=permalink https://computus.lat/ms/416 https://www.durhampriory.ac.uk/mediawiki/London_British_Library_Arundel_MS_332 https://www.europeana.eu/es/item/9200397/BibliographicResource_3000126279431 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6440#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-arundel-332-manuscript/136658 La tradición manuscrita U.C. 5 (ff. 238-251), Algor.: ff. 238r-245r. La U.C. 5 contiene el Algor. y un tratado sobre el ritmo. El resto de U.C. presentan un contenido variado: obras de ciencias naturales, astronomía, composición de poemas y filosófico-morales. Polak (1994, vol. 2, 329). BL Arch. (cons. 10/04/2021); DIMEV (cons. 10/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021); 313. London, British Library, Egerton 841 II + 26 + XXVII ff., papel, 220 × 145 mm, s. XV, origen: desconocido. Algor.: ff. 2r-8r. Además de esta obra, el manuscrito contiene el Algorismus de minutiis y un tratado sobre el cómputo. CMB Add. 1836-40 (1843, 18); Ambrosetti (2008, 375). BL Arch. (cons. 10/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021). 314. London, British Library, Egerton 843 VI (papel) + 48 + III, pergamino, 225 × 145 mm, s. XIII3/4, origen: Inglaterra. Spher.: ff. 1r-14v. Obras de astronomía y astrología con tablas y opúsculos sobre instrumentos de medida (cilindro, cuadrante), además de un tratado sobre vocabulario. CMB Add. 1836-40 (1843, 18); James (1903, vol. 3, 152); Ker (1964, 49). BL Cat. (cons. 10/04/2021); Computus (cons. 10/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021)332; Mirabile (cons. 10/04/2021). 315. London, British Library, Egerton 844333 II (papel) + 84 + II (papel) ff., pergamino, 240 × 150 mm, s. XIVin., origen: Inglaterra. Algor.: ff. 1r-7v; Spher.: ff. 7v-21r; Compot.: ff. 23v-48v. Obras de astronomía, incluida la Theorica planetarum, tablas y tratados sobre instrumentos de medida (cuadrante, astrolabio). CMB Add. 1836-40 (1843, 18); James (1903, vol. 3, 226-7, n.º 1216); Winstanley (1948, 257-8, 279-81); Ambrosetti (2008, 374, 375). BL Cat. (cons. 15/02/2021); Cat. Trin. (cons. 15/02/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 14/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021); Ptolemaeus (cons. 22/03/2021). 316. London, British Library, Egerton 845 Ms. compuesto, 3 U.C. IX + 21 + VIII, papel y pergamino334, 200 × 140 mm (U.C. 1)335, s. XIII-XIV (U.C. 1)336, origen: Inglaterra U.C. 1 (ff. 1-8), Spher.: ff. 1r-8v. 332 En Jordanus (cons. 15/04/2021), el manuscrito aparece con la signatura «Addit. 843», pero por su descripción, ha de tratarse de este. 333 Este manuscrito es un membrum disiectum del antiguo códice Cambridge, Trinity College, O.3.44 (James, 1902, 226-7, n.º 1216). 334 Son de pergamino los ff. 1-8 y 14-21, donde se incluye la U.C. 1, y de papel, las hojas de guarda y los ff. 9-13. 335 La U.C. 2 tiene unas dimensiones de 180 × 130 mm.; las medidas de la U.C. 3 no se especifican. 336 La U.C. 2, en cambio, data del s. XIV y la U.C. 3, del s. XVI. 161 http://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/display.do?tabs=detailsTab&ct=display&fn=search&doc=IAMS040-001103749&indx=1&recIds=IAMS040-001103749&recIdxs=0&elementId=&renderMode=poppedOut&displayMode=full&dscnt=0&frbrVersion=&frbg=&scp.scps=scope%3A(BL)&tab=local&dstmp=1433278265763&srt=rank&gathStatTab=true&mode=Basic&dum=true&vl(freeText0)=cotton%2Bcleopatra%2Bb%2Bvi&vid=IAMS_VU2 https://www.dimev.net/Records.php?MSS=BLCottCleoBVI http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-cotton-cleopatra-b-vi-manuscript/124864 http://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/dlDisplay.do?vid=IAMS_VU2&docId=IAMS032-001983905&fn=permalink http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6714#1_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-egerton-841-manuscript/136664 https://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=9273&CollID=28&NStart=843 https://computus.lat/ms/370 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6715#348120 http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-egerton-843-manuscript/8395 https://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=8944&CollID=28&NStart=844 https://mss-cat.trin.cam.ac.uk/viewpage.php?index=734&history=1&index=734&history=1 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28573 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6059#2_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-egerton-844-manuscript/136665 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/6059 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6715#348120 LA OBRA DE SACROBOSCO En la U.C. 1 está la Spher. y un tratado sobre aritmética. En el resto de U.C. parece haber fragmentos sobre la piedra filosofal. CMB Add. 1836-40 (1843, 19); Ambrosetti (2008, 375). Alchemy (cons. 10/04/2021); BL Cat. (cons. 10/04/2021); BL Arch. (cons. 10/04/2021); DIMEV (cons. 10/04/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021). 317. London, British Library, Egerton 847337 IV (papel) + 159 + IV (papel) ff., pergamino, 212 × 177 mm, s. XV1/2, origen: Inglaterra. Spher.: ff. 63r-74v. Obras de astronomía (incluido un cuadrante y tablas), matemática, geometría, quiromancia y fisionomía. CMB Add. 1836-40 (1843, 19); James (1903, vol. 3, 404); Eagleton (2010, 241-4). BL Cat. (cons. 15/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 15/04/2021). 318. London, British Library, Egerton 2622 III (papel) + 174 + III (papel) ff., pergamino, 175 × 120 mm, s. XV1/4, origen: desconocido (prov.: colección personal de Theodore Rood and Thomas Hunte338). Spher.: ff. 32v-49v (mútilo)339. Obras matemáticas (incluido el Carmen de algorismo), astronómicas (incluido un astrolabio), astrológicas y de cómputo. CMB Add. 1882-87 (1889, 349-50); Kristeller (1989, vol. 4, 145). BL Cat. (cons. 15/04/2021); BL Arch. (cons. 15/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 15/04/2021); Scribes (cons. 15/04/2021). 319. London, British Library, Egerton 3130 217 ff., pergamino, 153 × 103 mm, s. XIII-XIV (datado: año 1340)340, origen: ¿Países Bajos? Algor.: ff. 200r-207r. Contiene, sobre todo, libros de santas y tratados teológicos, la mayoría de ellos en verso. CMB 1931-35 (1967, 319-22); Ambrosetti (2008, 375). BL Arch. (cons. 12/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 15/02/2021). 320. London, British Library, Harley 531 Lo2 Ms. compuesto, 8 U.C. I (papel) + I + 184 ff., pergamino, 215 × 150 mm, s. XIII (datado: año 1272) (U.C. 1)341, origen: Inglaterra. 337 Recoge parte de lo que fue en el pasado el ms. O.8.16 del Trinity College. La parte que resta de este antiguo códice no se ha identificado todavía. 338 Estos son los posesores más antiguos del códice (s. XV), seguidos por una serie de propietarios cuyos nombres aparecen inscritos en el interior del volumen: Johannes Thackaman, Thomas Lowe y Robert Tomsun. 339 El último folio donde está copiada la Spher. está roto en la parte inferior, faltando unas tres cuartas partes. Falta de este tratado el fragmento que va desde in opposita parte diametraliter, tunc terra inter[ponitur] hasta illa apparet in omni terra, sed quando est eclipsis solis (Thorndike, 1949a, 115-6, con variantes); y las últimas líneas: des.: sol debet contingere in plenilunio vel circa plenilunium (Thorndike, 1949a, 117, con variantes). 340 Aunque los folios en los que aparece el Algor. están datados, las demás obras del códices oscilan en su datación entre los ss. XIII-XIV. 341 El resto de U.C. presentan una datación que oscila entre los ss. XIV-XV. 162 https://www.alchemywebsite.com/mss/mss418.htm https://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=9134 http://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/dlDisplay.do?vid=IAMS_VU2&docId=IAMS032-001983909&fn=permalink https://www.dimev.net/Records.php?MSS=BLEge845 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28574 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6717#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-egerton-845-manuscript/136662 http://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=9130&CollID=28&NStart=847 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6718#6_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-egerton-847-manuscript/117178 http://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=9100&CollID=28&NStart=2622 http://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/dlDisplay.do?vid=IAMS_VU2&docId=IAMS032-001983596&fn=permalink http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6725#3_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-egerton-2622-manuscript/10554 https://www.medievalscribes.com/index.php?browse=hands&id=277&navappellation=Unknown&msid=74&nav=off http://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/dlDisplay.do?docId=IAMS032-001985267&fn=permalink&vid=IAMS_VU2 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6729#2_57 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-egerton-3130-manuscript/16301 La tradición manuscrita U.C. 1 (ff. 1-32), Algor.: ff. 1r-4v; Spher.: ff. 4v-12r; Compot.: ff. 12v-25v. La U.C. 1 contiene las obras de Sacrobosco, unas tablas y unos versos sobre el calendario. Las U.C. 2-8 continúan la temática astronómica de la U.C. 1 añadiendo tablas y contenido astrológico. CMB Harleian (1808, vol. 1, 342); Ker (1964, 26-7); Ehrsam (1995, 249-314, n.º 32); R.M. Thomson (2016, 202-3); Hadravová y Hadrava (2019, 28). BL Cat. (cons. 12/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 12/04/2021); Omnia (cons. 12/04/2021). 321. London, British Library, Harley 941 I + 120 ff., papel y pergamino342, 143 × 100 mm, s. XV2/2, origen: Inglaterra. Spher.: ff. 30r-49v. Obras morales y científicas, de entre las cuales se cuentan tratados médicos, astronómicos y astrológicos, sobre retórica y didáctica; también hay algunos versos en latín e inglés. CMB Harleian (1808, vol. 1, 479); Thorndike (1959a, 158-9). BL Cat. (cons. 12/04/2021); DIMEV (cons. 12/04/2021); Europeana (cons. 12/04/2021); Mirabile (cons. 12/04/2021); Omnia (cons. 12/04/2021). 322. London, British Library, Harley 3353 177 + I ff., pergamino, 153 × 110 mm, s. XIV, origen: Inglaterra. Algor.: ff. 76r-86v. Tratados sobre aritmética, ritmo (con tablas), quiromancia, geología, hierbas y el tratado De vetula de Pseudo-Ovidio. CMB Harleian (1808, vol. 3, 18-9); Ambrosetti (2008, 375). Computus (cons. 25/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (25/04/2021). 323. London, British Library, Harley 3647 Lo3 IV + 225 + IV ff., pergamino, 250 × 180 mm, s. XIIIex.-XIVin (post 1293)343., origen: París. Algor.: ff. 17ra-22rb; Spher.: ff. 22rb-33rb; Compot.: ff. 33va-54vb. Obras de astronomía (incluida la Theorica planetarum) y cómputo y calendario, incluidos opúsculos sobre instrumentos de medida (cuadrante, astrolabio). CMB Harleian (1808, vol. 3, 48); Thorndike (1955, 173-4, n.º 50); Thorndike (1956, 391- 404); Thorndike (1959b, 36); Wright (1972, 123-5, 274, 359); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 238-9); Ambrosetti (2008, 374); Hadravová y Hadrava (2019, 28). BL Cat. (cons. 25/04/2021); Europeana (cons. 25/04/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 25/04/2021); Omnia (cons. 25/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 324. London, British Library, Harley 3735 Lo1 III (papel) + 106 + III (papel) ff., pergamino, 240 × 170 mm344, s. XIII (ante 1293)345, origen: Inglaterra. 342 Estos dos materiales se van alternando a lo largo de todo el manuscrito. Son de pergamino los ff. 10- 11, 17-18, 23-24, 28-30, 33, 35, 37-38, 40, 42, 45-51, 60-61, 70-72, 79-80, 87-88, 91, 96-97, 102-104, 111- 112. 343 En Ptolemaeus (cons. 14/06/2022) se precisa que la fecha debería ser posterior al año 1293 a tenor de la anotación del escriba principal en el margen del f. 212v: anno domini 1293 fuit Luna in… 344 Excepto los ff. 3-5, que tienen unas medidas de 305 × 210 mm. 345 Sobre la datación, seguimos la hipótesis que se presenta en BL Cat. (cons. 14/06/2022): «Contains a statement as to the time of the vernal equinox in the year 1293 probably added on a ruled leaf which had 163 http://www.bl.uk/manuscripts/FullDisplay.aspx?ref=Harley_MS_531 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6750#2_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-harley-531-manuscript/219070 https://www.omnia.ie/index.php?navigation_function=2&navigation_item=%2F9200397%2FBibliographicResource_3000126272295&repid=1 http://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=5214&CollID=8&NStart=941 https://www.dimev.net/Records.php?MSS=BLHar941 https://www.europeana.eu/es/item/9200397/BibliographicResource_3000126257563 https://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-harley-941-manuscript/194422 https://www.omnia.ie/index.php?navigation_function=2&navigation_item=%2F9200397%2FBibliographicResource_3000126257563&repid=1 https://computus.lat/ms/423 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6807#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-harley-3353-manuscript/116689 https://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=7381&CollID=8&NStart=3647 https://www.europeana.eu/en/item/9200397/BibliographicResource_3000126272722 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28575 http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-harley-3647-manuscript/136661 https://www.omnia.ie/index.php?navigation_function=2&navigation_item=%2F9200397%2FBibliographicResource_3000126284912&repid=1 http://ptolemaeus.badw.de/ms/59 http://ptolemaeus.badw.de/ms/59 http://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=4376&CollID=8&NStart=3735 LA OBRA DE SACROBOSCO Spher.: ff. 17ra-27rb; Compot.: ff. 27va-50va (incompleto)346; Algor.: ff. 50vb-56va. Obras de astrología, cómputo y calendario y astronomía, incluidas tablas. CMB Harleian (1808, vol. 3, 56); Thornkdike (1959b, 157); Ambrosetti (2008, 375). BL Cat. (cons. 25/04/2021); Compotus (cons. 25/04/2021); Europeana (cons. 25/04/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 25/04/2021); Omnia (cons. 25/04/2021). 325. London, British Library, Harley 3814 A347 Lo9 Ms. compuesto, 3 U.C. VI + 140 + I ff., pergamino, 125-140 × 95 mm, s. XIII2/2 (U.C. 2)348, origen: Francia (U.C. 2)349. U.C. 2 (ff. 11-89), Algor.: ff. 11r-22v; Spher.: ff. 23r-43r; Compot.: ff. 43v-77r. La U.C. 2, además de estas obras, contiene unas tablas y un calendario. El resto de U.C. contienen tratados de cómputo, astronomía y adivinación. CMB Harleian (1808, vol. 3, 83-4, n.º 3814); Hadravová y Hadrava (2019, 28). BL Cat. (cons. 29/11/2021); BL Dig. (cons. 29/11/2021); Computus (cons. 29/11/2021). 326. London, British Library, Harley 3843 III + 129 + I ff., papel, 195 × 140 mm, s. XV (datado: años 1456-1458), origen: Alemania. Algor.: ff. 118r-129v. Obras de cómputo y calendario, tablas astronómicas, la complexión física, unos versos contra las mujeres y un tratado de aritmética. CMB Harleian (1808, vol. 3, 86); Watson (1979, 140, n.º 788); Ambrosetti (2008, 376); Nothaft (2014, 385). Computus (cons. 25/04/2021); Mirabile (cons. 25/04/2021); Omnia (cons. 25/04/2021). 327. London, British Library, Harley 4350 Lo4 Ms. compuesto, 2 U.C. V (papel) + I + 123 + I + IV (papel) ff., pergamino, 185 × 135 mm, s. XIII2/2, origen: ¿Francia? (U.C. 1)350. U.C. 1 (ff. 1-113 y 120-123), Algor.: ff. 15v-25v. La U.C. 1 contiene obras astronómicas. La U.C. 2 únicamente muestra un calendario. CMB Harleian (1808, vol. 3, 137); Thorndike y Kibre (1963, 991); Wright (1972, 358-9); Ambrosetti (2008, 374). BL Cat. (cons. 25/04/2021); Europeana (cons. 25/04/2021); Mirabile (cons. 25/04/2021); Omnia (cons. 25/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021). 328. London, British Library, Royal 12 C XVII Ms. compuesto, 2 U.C. been left unwritten after f. 73: the manuscript therefore probably predates this date». En cambio, CMB Harleian (1808, vol. 3, 56) y Jordanus (cons. 15/04/2021) datan el códice en el s. XIV. 346 El copista se detiene casi al final del tratado, faltando los últimos párrafos. Queda como desinit un texto similar al que transmite Lohr en su edición (2020, cap. 24, l. 30/34), que es el siguiente: Nam si remanserit 1 erit in prima, si 2, in 2ª, et sic deinceps. Si vero nihil, in 15; est enim indictio spatium 15 annorum. 347 Este manuscrito antiguamente estaba ligado conjuntamente con el actual Harley 3814 B. 348 Esta datación es la correspondiente a la U.C. 2, la cual es compartida por U.C. 1, pero U.C. 3 fue escrita en el s. XIV. 349 La U.C. 1 fue escrita probablemente también en francia, mientras que la U.C. 3 es de origen inglés. 350 La U.C. 2 quizá fuera copiada en Inglaterra. 164 http://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=4376&CollID=8&NStart=3735 https://computus.lat/ms/425 https://www.europeana.eu/en/item/9200397/BibliographicResource_3000126272263 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28576 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6819#5_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-harley-3735-manuscript/20570 https://www.omnia.ie/index.php?navigation_function=2&navigation_item=%2F9200397%2FBibliographicResource_3000126271612&repid=1 https://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=4400&CollID=8&NStart=3814 http://www.bl.uk/manuscripts/FullDisplay.aspx?ref=Harley_MS_3814_a https://computus.lat/ms/427 https://computus.lat/ms/429 http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-harley-3843-manuscript/136674 https://www.omnia.ie/index.php?navigation_function=2&navigation_item=%2F9200397%2FBibliographicResource_3000126260193&repid=1 https://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=4559&CollID=8&NStart=4350 https://www.europeana.eu/en/item/9200397/BibliographicResource_3000126271542 http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-harley-4350-manuscript/37029 https://www.omnia.ie/index.php?navigation_function=2&navigation_item=%2F9200397%2FBibliographicResource_3000126271053&repid=1 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6832#2_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6819#5_58 La tradición manuscrita IV (papel) + 218 + IV (papel) ff., pergamino, 240 × 115 mm (U.C. 1)351, s. XIVin., origen: Inglaterra (U.C. 1)352 (prov.: colección privada de John Theyer). U.C. 1 (ff. 1-143), Algor.: ff. 9ra-16vb; Spher.: ff. 17ra-32va; Compot.: ff. 32va-61rb. La U.C. 1 contiene un calendario, tratados astronómicos con tablas y opúsculos sobre instrumentos de medida (cuadrante, tornillo astronómico, cilindro y astrolabio), obras de aritmética y cómputo. La U.C. 2 sigue la estela temática de U.C. 1. Warner y Gilson (1921, 31-2); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 239-40); Ambrosetti (2008, 375). BL Cat. (cons. 25/04/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 25/04/2021); Omnia (cons. 25/04/2021). 329. London, British Library, Royal 12 E XVI 186 ff., pergamino, 171 × 127 mm, s. XV, origen: Inglaterra (prov.: colección privada de John Theyer). Spher.: ff. 23v-42r. Obras de astronomía, astrología y cómputo con múltiples calendarios y tablas. Casley (1734, 209); Warner y Gilson (1921, 55-6). BL Arch. (cons. 15/04/2021); DIMEV (cons. 15/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 15/04/2021). 330. London, British Library, Royal 12 F XIX Ms. compuesto, 2 U.C. 187 ff., pergamino, 305 × 203 mm, s. XV (U.C. 2)353, origen: Inglaterra (prov.: S. Mary and S. John, Reading). U.C. 2 (ff. 175-186), Spher.: ff. 175ra-177vb; Compot.: ff. 177vb-182rb; Algor.: ff. 183rb- 184vb (incompleto)354. La U.C. 2 contiene estas obras de Sacrobosco y las Cautele. La U.C. 1 contiene tratados sobre la predicación, gramática y comentarios a Aristóteles. Casley (1734, 213); Read (2010, 39-40). Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 29/03/2021). 331. London, British Library, Sloane 286 Ms. compuesto, 2 U.C. 24 ff., pergamino, in quarto, s. XIII (U.C. 2)355, origen: ¿Inglaterra? U.C. 2 (ff. 1r-14v), Compot.: ff. 1r-14v. Además de esta obra, el manuscrito contiene un calendario. Ayscough (1782, 402, 406). BL Arch. (cons. 15/04/2021); Jordanus (cons. 09/12/2021). 351 La U.C. 2 tiene las medidas 235 × 175 mm. 352 El lugar de copia de la U.C. 2, en cambio, es París. 353 Paleográficamente, consideramos que la U.C. 2 podría datarse en el s. XV. La U.C. 1, en cambio, fue escrita a principios del s. XIV. 354 El Algor. presenta un incipit muy anómalo: Hec algorismus ars presens etc. Dicente Boetio in principio arismetice sue. Así las cosas, parece que fuera un comentario al Carmen de algorismo, pero en realidad se copia el texto del Algor. hasta el capítulo de la progresión, faltando el de las raíces cuadradas y cúbicas y quedando así incompleto. Des.: Et erit novenarius summa totius progressionis. 355 Al manuscrito original del s. XIV (lo que hoy es la U.C. 1), fueron añadidos en el s. XV 14 folios al inicio. Son estos los folios que conforman la U.C. 2 y que contienen el Compot. 165 https://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=5482&CollID=16&NStart=120317 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28577 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6915#4_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-royal-12-c-xvii-manuscript/136950 https://www.omnia.ie/index.php?navigation_function=2&navigation_item=%2F9200397%2FBibliographicResource_3000126271860&repid=1 http://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/display.do?tabs=detailsTab&ct=display&doc=IAMS040-002106770&displayMode=full&vid=IAMS_VU2&_ga=2.216599190.1205328800.1618414373-1772345581.1604491018 https://www.dimev.net/Records.php?MSS=BLRoy12Exvi http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6922#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-royal-12-e-xvi-manuscript/40011 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6927#5_59 https://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-royal-12-f-xix-manuscript/566 http://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/display.do?tabs=detailsTab&ct=display&fn=search&doc=IAMS040-002112632&indx=1&recIds=IAMS040-002112632&recIdxs=0&elementId=0&renderMode=poppedOut&displayMode=full&frbrVersion=&dscnt=0&frbg=&scp.scps=scope%3A%28BL%29&tab=local&dstmp=1618500529441&srt=rank&mode=Basic&&dum=true&vl(freeText0)=Sloane%20MS%20286&vid=IAMS_VU2 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6959#1_58 LA OBRA DE SACROBOSCO 332. London, British Library, Sloane 513 V (papel) + 201 + VI (papel) ff., pergamino, 165 × 115 mm, s. XV, origen: abadía de Buckfast, Buckfastleigh (copista: Richard Dove). Spher.: ff. 59r-75r. El manuscrito contiene obras científicas (incluidas de quiromancia y alquimia) y de gramática principalmente, algunas escritas en inglés. Bell (1989, 69-87). Alchemy (cons. 21/07/2022); BL Arch. (cons. 26/05/2022); BL Cat. (cons. 26/05/2022); DIMEV (cons. 26/05/2022); Mirabile (cons. 21/07/2022). 333. London, British Library, Sloane 514 Ms. compuesto, 2 U.C. V + 78 + V ff., papel y pergamino356, 170 × 110 mm, s. XIII4/4-XIV1/4 (U.C. 1)357, origen: Inglaterra (U.C. 1)358. (U.C. 1, ff. 2-49); Algor.: ff. 2r-8r; Compot.: ff. 18r-49v (acéfalo)359. Además de estas obras, la U.C. 1 contiene un calendario. La U.C. 2 contiene tablas astronómicas. F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 169); Ambrosetti (2008, 379). BL Cat. (cons. 09/04/2021); Mirabile (cons. 09/04/2021). 334. London, City University, sin n.º Ci 20 ff., pergamino, 180 × 120 mm, s. XIII-XIV, origen: ¿Inglaterra? Algor.: ff. 1r-5r; Compot.: ff. 5v-20r (mútilo)360. Contiene exclusivamente estas dos obras. Hodgson y Bralee (2017, 31). 335. London, Institution of Electrical Engineers, Thomson Collection 2 I + 80 + I ff., 134 × 95 mm, s. XIV, origen: Italia (prov.: casa particular de Urbino). Spher.: ff. 36v-55v. Además de esta, el manuscrito contiene una obra de perspectiva, una epístola, un tratado sobre los pesos y otro de altimetría. Narducci (1892, 216-7, n.º 363 [249]); Ker (1969, vol. 1, 90). Jordanus (cons. 15/04/2021). 336. London, Institution of Electrical Engineers, Thomson Collection 4 En IV + 41 + I ff., pergamino, 212 × 162 mm, s. XIII-XIV, origen: Italia (prov.: convento dominico de Treviso). Algor.: ff. 5r-15v; Spher.: ff. 16r-38v. El manuscrito contiene, además de estas dos obras, unas Quaestiones naturales y unas tablas de medida. Narducci (1892, 193-4, n.º 331 [325]); Ker (1969, vol. 1, 91); Ambrosetti (2008, 376). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 15/04/2021). 356 Es de pergamino la U.C. 1 al completo, mientras que de papel son las hojas de guarda y la U.C. 2. 357 La U.C. 2 data del s. XVI. 358 La U.C. 2 fue escrita en Francia. 359 Parece que se ha caído el primer folio de la obra. Inc.: Computatione est quarta pars horae unius, in lunari vero quinta (Lohr, 2020, cap. 2, l. 16). 360 Falta aproximadamente la segunda mitad del tratado. Des.: Martius a medio ver ducit… (Lohr, 2020, cap. 12, l. 34). 166 https://www.alchemywebsite.com/mss/mss60.htm https://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/dlDisplay.do?vid=IAMS_VU2&search_scope=default_scope&docId=IAMS040-002112862&fn=permalink https://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=797 https://www.dimev.net/Records.php?MSS=BLSl513 http://www.mirabileweb.it/manuscript/London,%20British%20Library,%20Sloan-manuscript/2414 https://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/record.asp?MSID=1020&CollID=9&NStart=514 http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-sloane-514-manuscript/136672 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7105#2_58 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28578 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7107#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-institution-of-electrical-engineers-thomson-manuscript/98932 La tradición manuscrita 337. London, Lambeth Palace Library, 260 Ms. compuesto, 3 U.C. 139 ff., papel, 280 × 210 mm, s. XV, origen: Inglaterra. U.C. 2 (ff. 91-99), Spher.: ff. 91r-99v. La Spher. es el único tratado que contiene la U.C. 2. La U.C. 1 presenta homilías y sermones fundamentalmente con algunas notas en inglés y la U.C. 3, poemas en inglés. Watson (1969, 26-7); Hanna (2008, 131-99); James y Jenkins (2011, 406-9) 338. London, Society of Antiquaries, Burlington House, 306 71 ff., papel y pergamino, in duodecimo, s. XV2/2, origen: Inglaterra. Spher.: ff. 3r-19r. Obras de astronomía, aritmética (incluido el Carmen de algorismo), interpretación de sueños y unas páginas finales con algunos versos. Ker (1969, vol. 1, 310-1). Jordanus (cons. 15/04/2021); SAL (cons. 09/12/2021). 339. London, University College, Lat. 4 262 ff., papel361, 215 × 155 mm, s. XIV-XV, origen: Alemania. Algor.: ff. 216r-218r (incompleto)362. Tratados de dialéctica, lógica, liturgia, astrología, calendarios y unas cuestiones jurídicas. Coveney (1935, 4-6); Ker (1969, vol. 1, 338-9); Ambrosetti (2008, 376). Aim25 (cons. 15/02/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021). 340. London, University College, Lat. 15 33 ff., pergamino, 217 × 165 mm, s. XIVin., origen: Italia. Spher.: ff. 2r-10r; Algor.: ff. 11r-16r. Obras de aritmética, astronomía, geología y piedras preciosas, geometría, astrología, un sermón, una obra religiosa doctrinal y una tabla de los tiempos. El códice es un palimpsesto del cual todavía se aprecia algo de la escritura inferior, datada en el s. XIII. Coveney (1935, 14); Ker (1969, vol. 1, 344-5); Ambrosetti (2008, 376). Aim25 (cons. 15/02/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021). 341. London, Wellcome Historical Medical Library, 505 Ms. compuesto, 6 U.C. 168 ff., papel, 210 × 155 mm, s. XV (datado: año 1487) (U.C. 2)363, origen: Alemania. U.C. 2 (ff. 25-72), Spher.: ff. 25r-34v (acéfalo)364. La U.C. 2 presenta una temática astronómica en sus obras. El resto de U.C. contienen obras astronómicas y médicas. Narducci (1892, 81-3, n.º 130 [368]); Ker (1969, vol. 1, 398); Robinson (2003, 88-9). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021). 361 A excepción de dos bifolios de pergamino insertados entre los ff. 250-253. 362 La obra finaliza con el capítulo de la duplación, por lo que faltan los capítulos sobre multiplicación, división, progresión y raíces cuadradas y cúbicas, es decir, más de la mitad de la obra. Des.: Mediatio duplationis probatio et econverso. 363 Si bien todas las U.C. datan del s. XV, no todas presentan el mismo año de copia. 364 La obra comienza a mitad del primer capítulo, faltando como un quinto del tratado. Inc.: uersus orientem. Et quod citius oriuntur et occidunt quibusdam causa est tumor terre (se corresponde no de manera literal con el pasaje transmitido en Thorndike (1949a, 82). 167 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7154#2_58 https://collections.sal.org.uk/mss.0306 https://aim25.com/cgi-bin/vcdf/detail?coll_id=3414&inst_id=13&nv1=search&nv2=basic http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7252#7_58 https://aim25.com/cgi-bin/vcdf/detail?coll_id=1612&inst_id=13&nv1=search&nv2 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7253#2_58 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28579 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7186#2_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7252#162169 LA OBRA DE SACROBOSCO 342. London, Westminster Abbey, 20 38 ff., papel y pergamino, 175 × 130 mm, s. XIV-XV, origen: ¿Inglaterra? Spher.: ff. 1r-17v. Además de esta, el mansucrito contiene una obra de aritmética, un diagrama astronómico y un tratado de gramática. Robinson y James (1909, 76-7). Jordanus (cons. 15/04/2021). 343. Lübeck, Stadtbibliothek, Philos. 11 295 ff., papel, 220 × 140 mm, s. XV (datado: año 1424), origen: Lübeck (prov.: St.-Aegidien- Kirche, Lübeck). Algor.: ff. 262r-273v. Obras de filosofía, matemática, cómputo, astronomía y astrología. Weber (1934-1936, 861-9); Kristeller (1967, vol. 3, 600); Ambrosetti (2008, 366). Jordanus (cons. 15/04/2021). 344. Lund, University Library, Observatory, Medeltidshandskrift 48 I + 97 + I ff., papel, 210 × 150 mm, s. XV (datado: año 1444), origen: ¿Italia? Spher.: ff. 3v-17r; Compot.: ff. 22r-46v; Algor.: ff. 90r-96v. Tratados astronómicos, donde se incluyen tablas y una obra sobre el cuadrante. Tjäder y Hedlund (1980, 23). Alvin (cons. 29/03/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021). 345. Lüneburg, Ratsbücherei, Miscell. D 2º 13 166 ff., papel, 290 × 220 mm, s. XIV (datado: año 1389), origen: ¿Praga? Algor.: ff. 60r-67r. Tratados sobre física, astronomía, astrología, donde se incluyen tablas y obras sobre la composición de instrumentos astronómicos (astrolabio, cuadrante). Zinner (1962, 43-4); Wierschin (1969, 30-8); Ambrosetti (2008, 366). Jordanus (cons. 15/04/2021). 346. Lüneburg, Ratsbücherei, Miscell. D 4º 46 87 ff., pergamino, 210 × 115 mm, s. XIVin., origen: ¿Lüneburg? (prov.: S. Marien, Lübeck). Spher.: ff. 44r-54r; Algor.: ff. 84ra-87vb. Varios tratados sobre cómputo y pronósticos astrológicos, tratados sobre la Spher. y un tratado sobre la composición del monocordio. Zinner (1962, 43); Wierschin (1969, 76-80); Ambrosetti (2008, 366). Jordanus (cons. 15/04/2021). 347. Luzern, Zentral- und Hochschulbibliothek, P 19 4º Lu 39 ff., pergamino, 225 × 165 mm, s. XIII3/4, origen: desconocido (prov.: S. Urban, Lucerna). Algor.: ff. 1ra-6va; Spher.: ff. 6vb-16vb; Compot.: ff. 17ra-34ra. El manuscrito contiene principalmente las obras de Sacrobosco. Bretscher-Gisiger, Kamber y Mangold (2013, 174-5). Mirabile (cons. 24/05/2021); Swisscovery (cons. 24/05/2021). 348. Lyon, Bibliothèque municipale, 172 (104) III + 121 ff., pergamino, 342 × 262 mm, s. XV1/2, origen: sur de Alemania (prov.: convento de los agustinos, Lyon). 168 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7926#1_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1976#2_58 http://www.alvin-portal.org/alvin/view.jsf?aq=%5B%5B%7B%22A_FQ%22%3A%22Sacrobosco%22%7D%5D%5D&c=3&aqe=%5B%5D&af=%5B%5D&searchType=EXTENDED&query=Sacrobosco&pid=alvin-record%3A13501&dswid=4012#alvin-record%3A13501 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10688#2_57 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1981#6_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1987#7_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/luzern-zentral-und-hochschulbibliothek-p-19-4%C2%B0-manuscript/182406 https://swisscovery.slsp.ch/permalink/41SLSP_NETWORK/1ufb5t2/alma991170351542505501 La tradición manuscrita Spher.: ff. 2r-22v (con comentario)365. Tratados de astronomía, astrología, cómputo y matemáticas, algunas de ellas en alemán. Delandine (1812, 175-6, n.º 104); CGM (1900, vol. 30, 33-4). Biblissima (cons. 15/06/2022); BVMM (cons. 12/11/2021); Initiale (cons. 15/06/2022); Ptolemaeus (cons. 12/11/2021). 349. Macerata, Biblioteca Comunale, 4 121 pp., papel, 150 × 85 mm, s. XVII, origen: ¿Italia? Spher.: pp. 1-86. Además de esta obra, contiene el comentario atribuido a Miguel Escoto sobre ella. IBI (1981, vol. 103, 1). Jordanus (cons. 15/04/2021). 350. Madrid, Biblioteca Nacional de España, 3058 157 ff., papel, 300 × 213 mm, s. XV, origen: desconocido. Spher.: ff. 52r-61v (mútilo)366. Tratados científicos, esencialmente de medicina, aunque también hay obras astronómicas y matemáticas; destacan las traducciones latinas de Aristóteles. Dondaine y Shooner (1973, 271); IGBN (1984, vol. 10, 9). BDH (cons. 24/05/2021); BNE Cat. (cons. 24/05/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 351. Madrid, Biblioteca Nacional de España, 8312 480 ff., papel, 207 × 144 mm, s. XVI (datado: años 1574, 1576), origen: España. Spher.: ff. 243r-247v. Comentarios obras astronómicas, especialmente Aristóteles, y la Spher. Hurtado Torres (1982, 49-58); IGBN (1988, vol. 12, 300). 352. Madrid, Biblioteca Nacional de España, 8883 Ms. compuesto, 2 U.C. 75 ff., pergamino, 230 × 165 mm, s. XIV (U.C. 2)367, origen: desconocido. U.C. 2 (ff. 35-75), Compot.: ff. 53ra-56vb y 59ra-63vb368. La U.C. 2 contiene obras de cómputo, aritmética y astronomía, con tablas y un opúsculo sobre el astrolabio. La U.C. 1 presenta la misma temática, donde se encuentra además una Theorica planetarum acéfala. Cordoliani (1951, 5-35; 1955°, 183-90; 1955b, 455); Walther (1959, 444-5); Thorndike y Kibre (1963, 661); IGBN (1995, vol. 13, 133). BDH (cons. 24/05/2021); BNE Cat. (cons. 24/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021). 353. Madrid, Biblioteca Nacional de España, 8918 E I + 113 ff., pergamino, 220 × 150 mm, s. XIV, origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-9r; Algor.: ff. 9v-14r; Compot.: ff. 14r-27va. 365 Comentario inédito. Inc.: Ex quo in hoc libro determinatur de astronomia. Sciendum est quod assignatur differencia inter astronomiam et astrologiam. 366 Falta la parte final de la obra. Des.: Tamen illa tota est habitabilis et hoc est in superficie equinoctialis quoniam partes... (Thorndike, 1949a, 110, con variantes). 367 La U.C. 1 data del s. XIII. 368 Hacia la mitad del tratado se insertan los ff. 57-58 con parte de otra obra sobre el cómputo. 169 https://portail.biblissima.fr/fr/ark:/43093/mdatadd64ef96abcb0bfdc90dd2df689708ed0bd6997c https://bvmm.irht.cnrs.fr/mirador/index.php?manifest=https://bvmm.irht.cnrs.fr/iiif/12209/manifest http://initiale.irht.cnrs.fr/codex/2271/6750 http://ptolemaeus.badw.de/ms/602 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8795#1_58 http://bdh-rd.bne.es/viewer.vm?id=0000023092&page=1 http://catalogo.bne.es/uhtbin/cgisirsi/x/0/0/57/5/3?searchdata1=5036073%7bCKEY%7d&searchfield1=GENERAL%5eSUBJECT%5eGENERAL%5e%5e&user_id=WEBSERVER http://sip.mirabileweb.it/manuscript/madrid-biblioteca-nacional-de-espa%C3%B1a-ms-3058-manuscript/9666 http://bdh-rd.bne.es/viewer.vm?id=0000042289&page=1 http://catalogo.bne.es/uhtbin/cgisirsi/x/0/0/57/5/3?searchdata1=4860141%7bCKEY%7d&searchfield1=GENERAL%5eSUBJECT%5eGENERAL%5e%5e&user_id=WEBSERVER http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12880#12_58 LA OBRA DE SACROBOSCO Además de las obras de Sacrobosco, el manuscrito contiene otros tratados astronómico- matemáticos: sobre el cuadrante, el calendario, aritmética, astronomía (incluida la Theorica planetarum), filosofía y Tomás de Aquino. Cordoliani (1955, 190-1); Castro (1973, 392-3, n.º 361); IGBN (1995, vol. 13, 142). BDH (cons. 15/04/2021); BNE Cat. (cons. 24/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 21/03/2021). 354. Madrid, Biblioteca Nacional de España, 8919 123 ff., papel, 220 × 140 mm, s. XV, origen: desconocido. Spher.: ff. 75r-123r. El manuscrito, además de esta obra, tan solo contiene una consolatio de Cessoles. Andrés (1979, 629, n.º 96); IGBN (1995, vol. 13, 142). BDH (cons. 24/05/2021); BNE Cat. (cons. 24/05/2021). 355. Madrid, Biblioteca Nacional de España, 9667 Ms. compuesto, manuscrito e impreso. I + 99 + I ff., papel y pergamino, 210 × 140 mm, s. XV, origen: desconocido. Spher.: ff. 38r-50r. Obras de cómputo y calendario además de la Spher. A partir del f. 51, al sector manuscrito se añade un sector impreso con una obra impresa sobre el calendario francés. BDH (cons. 24/05/2021); BNE Cat. (cons. 24/05/2021). 356. Madrid, Biblioteca Nacional de España, 17961 110 ff., pergamino, 150 × 110 mm, s. XIII-XIV, origen: España. Spher.: ff. 43r-54r. Obras de cómputo y calendarios, obras de astronomía y astrología (incluidas varias obras sobre el cuadrante y una sobre el almanaque). Roca (1904, 355-6); Cordoliani (1955°, 198-201); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 242). BDH (cons. 15/04/2021); BNE Cat. (cons. 15/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021). 357. Mainz, Wissenschaftliche Stadtbibliothek, I 471a 264 ff., papel, 205 × 140 mm, s. XV, origen: ¿Basilea? (prov.: Sankt Michaelsberg, Mainz). Compot.: ff. 217r-240r; Spher.: ff. 241r-255v. Tratados sobre jurisprudencia, costumbres, historias moralizantes, didáctico-religiosos (teológicos y relativos a los sacramentos y vicios), sobre la Virgen, pasajes de la vida de Cristo y bíblicos. Las últimas obras, en cambio, son astronómicas y astrológicas. Zinner (1925, 155); Kristeller (1967, vol. 3, 605). HMML (cons. 24/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 24/05/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 358. Mainz, Wissenschaftliche Stadtbibliothek, I 528 Ms. compuesto, 2 U.C. 205 ff., papel, 200 × 140 mm, s. XV (datado: año 1410) (U.C. 1)369, origen: Núremberg (copista: Johannes Lemlein; rubricador: Ulrich Würfel de Núremberg) (U.C. 1)370 (prov.: Sankt Michaelsberg, Mainz). 369 La U.C. 2 (ff. 116-205) está datada en el mismo s. XV, pero no se especifica el año. 370 Probablemente la U.C. 2 también esté compuesta en algún lugar de Alemania. 170 http://bdh-rd.bne.es/viewer.vm?id=0000077592&page=1 http://catalogo.bne.es/uhtbin/cgisirsi/x/0/0/57/5/3?searchdata1=4860144%7bCKEY%7d&searchfield1=GENERAL%5eSUBJECT%5eGENERAL%5e%5e&user_id=WEBSERVER http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12881#2_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/madrid-biblioteca-nacional-de-espa%C3%B1a-ms-8918-manuscript/23169 http://bdh-rd.bne.es/viewer.vm?id=0000077601&page=1 http://catalogo.bne.es/uhtbin/cgisirsi/x/0/0/57/5/3?searchdata1=5168791%7bCKEY%7d&searchfield1=GENERAL%5eSUBJECT%5eGENERAL%5e%5e&user_id=WEBSERVER http://bdh-rd.bne.es/viewer.vm?id=0000023312&page=1 http://catalogo.bne.es/uhtbin/cgisirsi/x/0/0/57/5/3?searchdata1=421246%7bCKEY%7d&searchfield1=GENERAL%5eSUBJECT%5eGENERAL%5e%5e&user_id=WEBSERVER http://bdh-rd.bne.es/viewer.vm?id=0000133836&page=1 http://catalogo.bne.es/uhtbin/cgisirsi/x/0/0/57/5/3?searchdata1=5203827%7bCKEY%7d&searchfield1=GENERAL%5eSUBJECT%5eGENERAL%5e%5e&user_id=WEBSERVER http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12927#15_58 http://18.235.151.129/detail.php?msid=76162 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2018#3_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32140868 http://www.mirabileweb.it/manuscript/mainz-wissenschaftliche-stadtbibliothek-i-471a-manuscript/136595 La tradición manuscrita U.C. 1 (ff. 2-115), Algor.: ff. 25r-34r (incompleto)371; Spher.: ff. 63r-91r. La U.C. 1 contiene tratados de filosofía natural, sobre el metro, aritmética, cómputo, astronomía y dos epístolas. La U.C. 2, en cambio, se ocupa de obras de retórica y gramática. Zinner (1925, 155); Krämer (1989-90, 543); Ambrosetti (2008, 366); Nothaft (2014, 388). HMML (cons. 24/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 24/05/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 359. Mainz, Wissenschaftliche Stadtbibliothek, I 530a Ms. compuesto, 2 U.C. I + 202 ff., papel y pergamino372, 210 × 150 mm, s. XV (datado: años 1460-1461) (U.C. 1)373, origen: Alemania (zona central u occidental) (copista: Johannes Francfordensis) (U.C. 1)374 (prov.: Sankt Michaelsberg, Mainz). U.C. 1 (ff. 1-188), Spher.: ff. 164r-188v. La U.C. 1 contiene tratados de astronomía, astrología (con numerosas tablas), aritmética y medicina. La U.C. 2 presenta el comentario de Roberto Ánglic a la Spher. Zinner (1925, 156); Krämer (1989-90, 543). Manuscripta Mediaevalia (cons. 24/05/2021). 360. Mainz, Wissenschaftliche Stadtbibliothek, I 532 II + 410 + I ff., papel, 194 × 142 mm, s. XV (datado: año 1453), origen: Alemania (prov.: Sankt Michaelsberg, Mainz). Algor.: ff. 68r-80v. Obras de cómputo, aritmética, gramática, canto y sobre cuestiones religiosas y doctrinales. Krämer (1989-90, 543); Ambrosetti (2008, 366). HMML (cons. 24/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/02/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 361. Mainz, Wissenschaftliche Stadtbibliothek, I 535 161 + III ff., papel, 202 × 142 mm, s. XV (datado: años 1406-1407), origen: Alemania (prov.: Sankt Michaelsberg, Mainz). Algor.: ff. 89r-98v; Spher.: ff. 102r-138r Obras sobre cómputo, calendario, aritmética y astronomía. Zinner (1925, 156); Krämer (1989-90, 543); Ambrosetti (2008, 366). HMML (cons. 24/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 24/05/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 362. Mainz, Wissenschaftliche Stadtbibliothek, I 613 II + 167 + I ff., papel, 215 × 142 mm, s. XIV-XV, origen: ¿Praga? (copista: Tilmannus de Colonia) (prov.: Sankt Michaelsberg, Mainz). Compot.: ff. 54r-75r. Obras filosóficas, especialmente sofísticas; también hay tratados de lógica y cuestiones naturales. La segunda mitad del manuscrito contiene obras de cómputo con tablas, medicinales y doctrinales. Krämer (1989-90, 545); Berger (2007, 237-58); Nothaft (2014, 388). 371 Faltan los últimos capítulos sobre las raíces cuadradas y cúbicas. Des.: Si par per medium sibi multiplicate propinquum etc. 372 Son de pergamino los ff. 189-202, y de papel los ff. 1-188, entre los que se encuentra la U.C. 1. 373 La U.C. 3, más antigua, data del s. XIV. 374 U.C. 3 proviene de la región de Goslar. 171 http://18.235.151.129/detail.php?msid=76278 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2004#3_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32141114 https://www.mirabileweb.it/manuscript/mainz-wissenschaftliche-stadtbibliothek-i-528-manuscript/136592 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32142111 http://18.235.151.129/detail.php?msid=76288 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2008#4_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32142187 https://www.mirabileweb.it/manuscript/mainz-wissenschaftliche-stadtbibliothek-i-532-manuscript/136593 http://18.235.151.129/detail.php?msid=76307 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2011#4_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32142248 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/mainz-wissenschaftliche-stadtbibliothek-i-535-manuscript/136594 LA OBRA DE SACROBOSCO HMML (cons. 24/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 24/05/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 363. Mantova, Biblioteca Comunale Teresiana, 125 (A.IV.31) Ms. compuesto, 2 U.C. I + 113 + I ff., papel, 285 × 205 mm, s. XIV4/4 (U.C. 1)375, origen: desconocido (prov.: colección personal de Ambrosio Fiandino, obispo de Mantua). U.C. 1 (ff. 1-94), Algor.: ff. 1ra-5rb; Spher.: ff. 6ra-13ra; Compot.: ff. 54ra-67va. La U.C. 1 contiene tratados científicos de diversa índole: astronomía, matemáticas, un tratado sobre el astrolabio, otro sobre piedras preciosas, el Secretum secretorum, obras sobre cómputo y calendario, filosóficas, un tratado doctrinal sobre la educación de los monjes y astrología. La U.C. 2, en cambio, contiene el Liber sine nomine de Petrarca. Kristeller (1963, vol. 1, 272; 1992, vol. 6, 24); Agrimi (1976, 62-5, n.º 71); IBI (2012, vol. 113, 199-203). Manus (cons. 24/05/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 364. Mantova, Biblioteca Comunale Teresiana, 492 Ms. compuesto, 2 U.C. II + 52 + II ff., pergamino, 192 × 140 mm, s. XIII, origen: desconocido (U.C. 2)376. U.C. 2 (ff. 47-52), Spher.: ff. 47ra-50rb. La U.C. 2 solo contiene la Spher. y un tratado sobre el gerundio, mientras que la U.C. 1 presenta himnos. Schizzerotto (1974, 34); IBI (2012, vol. 113, 251-2). Manus (cons. 24/05/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 365. Maria Saal, Archiv der Dechantei, 15 200 ff., papel, 205 × 150 mm, s. XIV-XV, origen: Alemania. Spher.: ff. 85r-104v. Obras de aritmética, cómputo, astronomía y medicina. Menhardt (1927, 272-3); Zinner (1962, 46-7). 366. Melk, Stiftsbibliothek, 796 (732, N 8) I + 153 ff., pergamino, 210 × 165 mm, s. XIV (datado: años 1308, 1372, 1373), origen: sur de Alemania. Spher.: ff. 36r-41v. Contiene, además de esta obra, una gran variedad de obras de Aristóteles en latín y una obra de Tomás de Aquino; ciertas glosas están en alemán. Zinner (1925, 154-5); Kristeller (1967, vol. 3, 32); Glaßner (2000, 325-7); Cordonier (2010, 705-70); Hadravová y Hadrava (2019, 28). Manuscripta (cons. 29/03/2021). 367. Melk, Stiftsbibliothek, 871 (712) Ms. compuesto, 2 U.C. I + 85 ff., papel, 210 × 140 mm, s. XV (datado: año 1444), origen: S. Peter und S. Paul, Melk. U.C. 2 (ff. 16-85), Compot.: ff. 44r-78v. Contiene, principalmente, obras de astronomía, calendario y cómputo. La U.C. 2 presenta una gran cantidad de tratados sobre el cómputo del tiempo y los fenómenos atmosféricos. 375 La U.C. 2 (ff. 95-111) está datada en el año 1390. 376 La U.C. 1 se compuso en la zona de la Picardía, norte de Francia. 172 http://18.235.151.129/detail.php?msid=76328 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2017#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32143307 http://www.mirabileweb.it/manuscript/mainz-wissenschaftliche-stadtbibliothek-i-613-manuscript/130157 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=240880 http://www.mirabileweb.it/manuscript/mantova-biblioteca-teresiana-(biblioteca-comunale)-manuscript/176770 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=241247 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/mantova-biblioteca-teresiana-(biblioteca-comunale)-manuscript/135391 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=9091 La tradición manuscrita Zinner (1925, 153); Glaßner (2016, 407-11). Handschriftencensus (cons. 29/03/2021); HMML (cons. 24/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 368. Melk, Stiftsbibliothek, 873 (711) Ms. compuesto, 10 U.C. I (perg.) + 340 pp., papel, 203-215 × 145-150 mm, s. XV2/2, origen: Baviera (copista: Conradus de Geisenfeld) (U.C. 5)377. U.C. 5 (pp. 71-130), Algor.: pp. 71-122378. La U.C. 5 tan solo contiene esta obra, pues el resto de páginas están en blanco. El resto de U.C. presentan obras astronómicas, astrológicas, de aritmética, retórica, y ciertas obras de contenido religioso de carácter predominantemente didáctico-moral. Glaßner (2000, 466); Ambrosetti (2008, 351). HMML (cons. 24/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 10/03/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 369. Melk, Stiftsbibliothek, 951 (719) 83 ff., papel, 210 × 145-150 mm, s. XIV-XV, origen: ¿Viena? Algor.: ff. 2ra-12r; Spher.: ff. 34r-48v; Compot.: ff. 49r-76v. Obras de aritmética, cómputo, astronomía, unas tablas y notas sobre vidas de filósofos. Zinner (1925, 152-5); Glaßner (2000, 374-6); Nothaft (2014, 387); Ambrosetti (2008, 351); Hadravová y Hadrava (2019, 28). HMML (cons. 24/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 370. Melk, Stiftsbibliothek, 1221 Ms. compuesto, 4 U.C. II + 282 + I ff., papel, 105 × 80 mm, s. XV, (datado: año 1438), origen: Melk y Viena. U.C. 2 (ff. 97-144), Algor.: ff. 124v-142v. La U.C. 2, además de esta obra, contiene un tratado gramatical. El resto del manuscrito presenta un contenido de carácter didáctico con tratados fundamentalmente gramaticales y lingüísticos. Bursill-Hall (1981, 132, n.º 164.39); Kristeller (1967, vol. 3, 32; 1992, vol. 6, 432); Ambrosetti (2008, 351). Jordanus (cons. 15/04/2021); Manuscripta (cons. 05/03/2021). 371. Merseburg, Archiv des Domkapitels, 106 33 ff., pergamino, 255 × 200 mm, s. XIII (datado: año 1293), origen: desconocido. Spher.: ff. 29v-33r. Además de esta obra, el manuscrito contiene la Summa naturalium de Alberto Magno. Kristeller (1967, vol. 3, 427). Jordanus (cons. 15/04/2021). 377 El resto de U.C. fueron copiadas probablemente en zona centroeuropea, quizá alemana o austríaca. 378 Estas páginas junto con los siguientes 8 ff. son un membrum disiectum que antes formaba parte del actual ms. 967 de la misma biblioteca entre los ff. 69-70 (Glaßner, 2000, 466). No es el único membrum disiectum que se encuentra en este códice compuesto, que parece haber sido formado por varios membra: la hoja de salva antes formaba parte del ms. 615 (359), las U.C. 7-8 antes formaban parte del ms. 929 (908) y la U.C. 9, del ms. 775 (345). 173 https://handschriftencensus.de/25750 http://18.235.151.129/detail.php?msid=2867 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11413#2_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=40591 http://www.mirabileweb.it/manuscript/melk-stiftsbibliothek-871-(712-n-3-1)-manuscript/219792 http://18.235.151.129/detail.php?msid=2859 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11414#3_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=40592 https://www.mirabileweb.it/manuscript/melk-stiftsbibliothek-873-(711)-manuscript/136890 http://18.235.151.129/detail.php?msid=2914 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11416#1_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=9124 http://www.mirabileweb.it/manuscript/melk-stiftsbibliothek-951-(719-d-11-91-93-)-manuscript/136981 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11385#1_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=40894 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3765#2_58 LA OBRA DE SACROBOSCO 372. Messina, Biblioteca Regionale Universitaria, Fondo Vecchio 8 III + 44 + III ff., pergamino, 225 × 155 mm, s. XV (datado: año 1470 y 1487), origen: Venecia (copista: Bartholomeus abbas)379. Spher.: ff. 1r-19v. El manuscrito contiene la Spher., la Vita Gregorii de Pablo Diácono y unos decretos; los folios finales, escritos unos años después, presentan una carta y una receta médica, esta última en italiano. Ussani (1902, 169); Kristeller (1963, vol. 1, 275); Costanza (1970, 19); Milazzo, Palma y Sinagra (2003, 87-8). Fama (cons. 28/05/2021); Manus (cons. 25/05/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 373. Metz, Bibliothèque municipale, 261 177 ff., pergamino, 180 × 135 mm, s. XIVin., origen: desconocido. Spher.: ff. 9r-16v. Contiene unas cuestiones teologales, la Spher., excerpta de Aristóteles, dos tratados de gramática y unos sermones. CGM in-4º (1879, vol. 5, 113-4); Zinner (1925, 154); Glorieux (1971, 235). Biblissima (cons. 24/05/2021); BVMM (cons. 24/05/2021); Initiale (cons. 24/05/2021); Medium (cons. 24/05/2021). 374. Metz, Bibliothèque municipale, 284 VIII + 132 + III ff., papel, 260 × 188 mm, s. XVin., origen: Metz (prov.: S. Étienne, Metz). Algor.: ff. 1r-12v; Spher.: ff. 26r-47r; Compot.: ff. 98v-132v. Además de estas obras, contiene tratados astronómicos (incluida la Theorica planetarum acéfala), meteorológicos y de geometría. CGM in-4º (1879, vol. 5, 121-2); Zinner (1925, 152, 155); Glorieux (1971, 235-6); Ambrosetti (2008, 355). BVMM (cons. 24/05/2021); Initiale (cons. 24/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Medium (cons. 24/05/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 375. Metz, Bibliothèque municipale, 326 I + 160 + I ff., papel, 208 × 165 mm, s. XV, origen: Tréveris (prov.: Saint-Sixte, Rettel). Algor.: ff. 90v-104v. El manuscrito contiene salmos, una obra sobre cómputo, el Algor. y un comentario sobre una égloga. CGM in-4º (1879, vol. 5, 140); Ambrosetti (2008, 355). BVMM (cons. 24/05/2021); CCFR (cons. 24/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 376. Michaelbeuern, Benediktinerstift, Man. cart. 81 230 ff., papel, 213-217 × 147-150 mm, s. XIV-XV, origen: ¿Salsburgo? ¿Baviera? Algor.: ff. 20v-25r. Contiene, además de esta obra, el Carmen de algorismo, unas bulas, un tratado sobre herejes, otros religiosos y obras médicas. Ehlert (2005, 121-43); Polak (2015, vol. 3, 95). Handschriftencensus (cons. 29/03/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021). 379 El manuscrito presenta en el f. 19v la indicación de la fecha y del copista: Bartholomeus abbas S. Gregorii Venetiarum scripsit. 174 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28580 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=209908 http://www.mirabileweb.it/manuscript/messina-biblioteca-regionale-universitaria-fondo-v-manuscript/97426 https://iiif.biblissima.fr/collections/manifest/ec0f0f9e6727a638c483b834843eb6b5b88855bf https://bvmm.irht.cnrs.fr/mirador/index.php?manifest=https://bvmm.irht.cnrs.fr/iiif/22939/manifest http://initiale.irht.cnrs.fr/codex/12614 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=15154 https://bvmm.irht.cnrs.fr/mirador/index.php?manifest=https://bvmm.irht.cnrs.fr/iiif/22947/manifest http://initiale.irht.cnrs.fr/codex/12615 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3980#1_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100030324 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/metz-m%C3%A9diath%C3%A8que-le-pontiffroy-(olim-biblioth%C3%A8que--manuscript/136441 https://bvmm.irht.cnrs.fr/resultRecherche/resultRecherche.php?COMPOSITION_ID=20789 https://ccfr.bnf.fr/portailccfr/ark:/06871/004D05010926 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3983#4_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/metz-m%C3%A9diath%C3%A8que-le-pontiffroy-(olim-biblioth%C3%A8que--manuscript/136442 https://handschriftencensus.de/11023 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=9337 La tradición manuscrita 377. Michelstadt, Kirchenbibliothek, D 692 202 ff., papel, 205 × 140 mm, s. XV (ca. 1452-1469), origen: Viena (copista: Nicolaus Matz). Algor.: ff. 119r-122v y 128r-132v (incompleto)380. Obras doctrinales y sermones religiosos, tratados sobre el cómputo, comentarios a los Disticha Catonis y al Algor. y una obra de medicina. Algunas de las obras están escritas en alemán. Staub y Staub (1999, 48-52); Ambrosetti (2008, 366). Handschriftencensus (24/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 378. Milano, Biblioteca Nazionale Braidense, AD.XII.53 Ms. compuesto, 5 U.C. II + 63 + I ff., pergamino, 225 × 173 mm, s. XIV (U.C. 1381), origen: desconocido (prov.: colegio jesuita de Colonia). U.C. 1 (ff. 1-29), Algor.: ff. 10r-17v. En U.C. 1, obras de astronomía y aritmética, incluida una tabla y una obra sobre el cuadrante. El contenido del resto de U.C. es similar: astronomía, astrología y tablas. Agrimi (1976, 187-9, n.º 231), Arrighi (1982, 285-93); Arrighi (1999, 5-30); Ambrosetti (2008, 382). Jordanus (cons. 16/04/2021). 379. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, A 183 inf. Ms. compuesto, 3 U.C. 122 ff.382, pergamino, 360 × 270 mm, s. XIII2/2-XIV383, origen: Francia septentrional (U.C. 1) e Italia (U.C. 2-3). U.C. 1 (ff. 1-23), Spher.: ff. 1v-7v; U.C. 3 (ff. 115-122), Algor.: ff. 120va-122vb384. La U.C. 1 contiene obras de temática astronómica y astrológica, donde se incluye un tratado sobre el astrolabio; la U.C. 2 sigue la temática de la anterior y la U.C. 3 presenta obras de aritmética. Revelli (1929, 24-5, n.º 11); Thorndike (1947°, 236); Thorndike (1949b, 48-9, n.º 10); Cipriani (1968, 153); Gabriel (1968, 44-6, n.º 33); Ceruti (1973, vol. 1, 97-9); Agrimi (1976, 151-3); Kristeller (1992, vol. 6, 32); Cantele (2007, 317-23); Ambrosetti (2008, 382). Ambrosiana Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 380. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, C 241 inf. III (papel) + 191 + I ff., pergamino, 351 × 262 mm, s. XV (datado: año 1401), origen: París (prov.: San Giorgio Maggiore, Venecia). Algor.: ff. 27ra-30ra; Spher.: ff. 151ra-157ra. 380 El f. 119r empieza el tratado con el incipit habitual: Omnia que a primeva rerum origine processerunt, que llega hasta la mitad del capítulo sobre la multiplicación en el f. 122v, con desinit: prima multiplicantis sit sub penultima multiplicandi, reliquis... Este fragmento del Algor. se inserta en medio del comentario de Henricus Stolberg al Algor. Más adelante, en el f. 128r, empieza, en otro mano, el capítulo final sobre las raíces cuadradas y cúbicas, con incipit.: Sequitur nunc de radicum extractione et primo in numeris quadratis. Este segundo fragmento de la obra está escrito por una mano distinta, probablemente para suplir la parte de la obra que falta en los folios anteriores. 381 Las U.C. 2-3 datan del s. XV, la U.C. 4, del s. XIII y la U.C. 5, del s. XIV-XV. 382 Actualmente, los ff. 80-114 están desaparecidos. 383 Data de los ss. XIII-XIVin. la U.C. 1, mientras que el resto fue escrita en el s. XIV. 384 En esta copia, el Algor. se presenta bajo el título: Incipit summa magistri Algi de algurismo [sic]. 175 https://handschriftencensus.de/7146 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2052#4_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9794#4_58 https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:26424 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28581 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8891#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/milano-biblioteca-ambrosiana-a-183-inf--manuscript/2429 http://ptolemaeus.badw.de/ms/407 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2052#225536 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2052#225536 LA OBRA DE SACROBOSCO Tratados sobre aritmética, astronomía (incluida la Theorica planetarum) y obras sobre la música y su proporcionalidad. Revelli (1929, 34-6, n.º 33); Pellegrin (1958, 10-2); Kristeller (1963, vol. 1, 281); Cipriani (1968, 203); Gabriel (1968, 203); Ceruti (1973, vol. 1, 331-2); Agrimi (1976, 161, n.º 194); Ambrosetti (2008, 382). Ambrosiana Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 381. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, E 12 sup. III + 59 + II ff., papel, 172 × 121 mm, s. XV (datado: año 1476), origen: desconocido (copista: Aurelius Laurentius Albrisius) (prov.: escuela de Jerónimo Calco, Milán). Spher.: ff. 1r-57v. Tan solo contiene la Spher. con unas tablas astronómicas. Revelli (1929, 78, n.º 172); Ceruti (1977, vol. 3, 315-6); Cantele (2007, 327-8). Ambrosiana Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 16/04/2021). 382. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, H 10 sup. IV + 59 + I ff., papel, 180 × 130 mm, s. XV (datado: año 1475), origen: Cremona. Spher.: ff. 1r-57v. Tan solo contiene la Spher. Revelli (1929, 85-6, n.º 204); Ceruti (1977, vol. 3, 590); Cantele (2007, 327-8). Ambrosiana Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 383. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, H 44 inf. Ms. compuesto, 4 U.C. III + 148 ff., pergamino, 310 × 240 mm, s. XIII2/2- XIV1/2, origen: desconocido (prov.: convento de Sant’Agostino de Cremona). U.C. 4 (ff. 117-148), Spher.: ff. 117r-124r. La U.C. 4 contiene la Spher., el Centiloquium de Ptolomeo en su traducción latina, un fragmento de la Theorica planetarum y un breve tratado sobre el círculo. El resto de U.C. presentan otros títulos relacionados con las ciencias naturales, la aritmética y ciertas obras religiosas. Revelli (1929, 65, n.º 116); Kristeller (1963, vol. 1, 292; 1967, vol. 2, 530; 1992, vol. 6, 35); Gabriel (1968, 151-2); Ceruti (1975, vol. 2, 257-9); Agrimi (1976, 176, n.º 215). Ambrosiana Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 384. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, H 75 sup. Mi II + 73 + II ff., pergamino, 260 × 190 mm, s. XIII (datado: año 1284), origen: Francia septentrional. Algor.: ff. 1ra-6ra; Spher.: ff. 6ra-15vb; Compot.: ff. 16ra-34ra. Además de las obras de Sacrobosco, el manuscrito contiene la Theorica planetarum y opúsculos sobre instrumentos de medida (astrolabio, cuadrante, turquet, esfera armilar, reloj astronómico). Revelli (1929, 88, n.º 210); Rivolta (1929, 506, n.º 47); Thorndike y Kibre (1963, 243, 991); Cipriani (1968, 63); Gabriel (1968, 245); Agrimi (1976, 92-4, n.º 114); Ceruti (1977, vol. 3, 631-2); Cantele (2007, 323-6). 176 https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:31962 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28582 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8989#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/milano-biblioteca-ambrosiana-c-241-inf--manuscript/136966 http://sip.mirabileweb.it/search-person/aurelius-laurentius-albrisius-person/1044/21907 http://sip.mirabileweb.it/search-person/geronimo-calco-person/1044/21835 https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:70247 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28583 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9188#1_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/milano-biblioteca-ambrosiana-e-12-sup--manuscript/133377 https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:75178 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28584 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9296#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/milano-biblioteca-ambrosiana-h-10-sup--manuscript/133378 https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:57286 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28585 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9308#6_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/milano-biblioteca-ambrosiana-h-44-inf--manuscript/104391 http://ptolemaeus.badw.de/ms/641 La tradición manuscrita Ambrosiana Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 385. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, I 29 sup. Ms. compuesto, 4 U.C. III + 118 + III ff., pergamino, 220 × 160 mm, s. XV (U.C. 2)385, origen: ¿Roma?386 U.C. 2 (ff. 17-95), Spher.: ff. 34r-56v. Tratados muy variados: en la U.C. 2 se lee la Ilias latina, la Spher., un fragmento del De rerum natura y la Ethica de Aristóteles en latín; en el resto de U.C. hay obras como una vida de Virgilio, sobre el acueducto, filosofía, etc. Revelli (1929, 89, n.º 214); Sabbadini (1903, 306-8); Kristeller (1963, vol. 1, 332-3); Gabriel (1968, 247-8); Ceruti (1977, vol. 3, 677-8). Ambrosiana Cat. (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 386. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, M 23 sup. II + 58 + II ff., pergamino, 220 × 152 mm, s. XV2/2, origen: Italia septentrional. Spher.: ff. 1r-34v. El manuscrito contiene la Spher., la Geographia de Ptolomeo y la Cosmographia del mismo autor en sus versiones latinas. Revelli (1929, 94, n.º 231); Cipriani (1968, 90); Gabriel (1968, 261); Ceruti (1978, vol. 4, 90); Cantele (2007, 329-30). Ambrosiana Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 387. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, M 28 sup. 177 + I ff., pergamino, 220 × 160 mm, s. XIV1/2, origen: Italia. Spher.: ff. 23r-31v; Algor.: ff. 123r-127r. Obras astronómicas y astrológicas (incluida la Theorica planetarum), en ocasiones con tablas; también obras de aritmética (una de ellas en romance italiano), un opúsculo sobre el cuadrante y una compilación de música. Revelli (1929, 95, n.º 232); Thorndike (1949b, 51); Gabriel (1968, 261-3); Agrimi (1976, 104-6, n.º 124); Ceruti (1978, vol. 4, 92-3); Kristeller (1992, vol. 6, 42); Juste (2007, 338- 9); Ambrosetti (2008, 382). Ambrosiana Cat. (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 388. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, M 35 sup. 60 + III ff., papel, 220 × 160 mm, s. XVmed., origen: desconocido (copista: Antonius Barensis). Spher.: ff. 1r-17v. Obras relativas a la esfera, dos opúsculos sobre instrumentos de medida (reloj astronómico y astrolabio) y ciertas notas de gramática. Rivolta (1929, 510, n.º 60); Rivolta (1933, 28-9); Thorndike (1959b, 42-3); Kristeller (1963, vol. 1, 301); Gabriel (1968, 263-4); Agrimi (1976, 106); Ceruti (1978, vol. 4, 96). Ambrosiana Cat. (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 385 Sabbadini (1903, 306) especifica que se han de datar en el s. XV las U.C. 1-2 (ff. 1-95), mientras que los ff. 96-118 fueron escritos en el s. XIII. 386 Los ff. 1-16 (U.C. 1) fueron copiados en Roma, mientras que el resto del manuscrito probablemente se copiara en la misma ciudad, pero no tenemos datos definitivos para afirmarlo. 177 https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:75630 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28586 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9320#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/milano-biblioteca-ambrosiana-h-75-sup--manuscript/133380 http://ptolemaeus.badw.de/ms/637 https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:76089 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9352#4_58 https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:77741 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28587 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9434#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/milano-biblioteca-ambrosiana-m-23-sup--manuscript/133381 https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:77769 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9435#3_58 http://ptolemaeus.badw.de/ms/642 https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:77814 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9437#1_58 LA OBRA DE SACROBOSCO 389. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, N 9 sup. III + 167 + I ff., pergamino, 155 × 125 mm, s. XIV1/4, origen: desconocido (prov.: biblioteca del Capitolo metropolitano de Milán). Algor.: ff. 144r-151v; Spher.: ff. 152r-164v. El manuscrito contiene, además de estas, obras sobre instrumentos de medida (cilindro, cuadrante), notas musicales, animales y filosofía natural. Revelli (1929, 96, n.º 240); Thorndike (1949b, 51); Kristeller (1963, vol. 1, 301); Gabriel (1968, 267-8); Agrimi (1976, 107); Ceruti (1978, vol. 4, 139-10); Ambrosetti (2008, 382). Ambrosiana Cat. (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 16/02/2021). 390. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, N 50 sup. I + 29 ff., pergamino, 220 × 170 mm, s. XIII-XIV (datado entre los años 1276-1310), origen: desconocido (prov.: antigua biblioteca dominicana de Milán). Compot.: ff. 1r-12r; Spher.: ff. 23r-29v. Además de las dos obras de Sacrobosco, el manuscrito contiene un calendario de santos, tablas de números, una obra astronómica y una oración. Revelli (1929, 97, n.º 243); Gabriel (1968, 271); Agrimi (1976, 109, n.º 128); Ceruti (1978, vol. 4, 154); Gallo (2019, 219). Ambrosiana Cat. (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 391. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, T 47 sup. II + 89 + I, pergamino, 220 × 150 mm, s. XV2/2 (datado: año 1462), origen: Italia (prov.: biblioteca petaviana). Spher.: ff. 3r-24v. Además de la Spher., contiene la Astronomia de Higino y un centiloquium hermético. Revelli (1929, 154, n.º 415); Gabriel (1968, 367); Agrimi (1976, 136); Ceruti (1979, vol. 5, 162-3); Kristeller (1992, vol. 6, 48). Ambrosiana Cat. (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 392. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, T 69 sup. I + 79 + III ff., papel, 220 × 160 mm, s. XV (datado entre los años 1451-1475), origen: desconocido (prov.: convento de San Domenico de Cremona). Spher.: ff. 1r-24v; Compot.: ff. 29r-65v. Obras de astronomía donde se incluyen tablas, de cómputo y calendario y varias oraciones dedicadas sobre todo a la Virgen. Revelli (1929, 154-5, n.º 416); Gabriel (1968, 367-8); Agrimi (1976, 137, n.º 164); Ceruti (1979, vol. 5, 172-3). Ambrosiana Cat. (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 393. Minneapolis, University of Minnesota, 10 32 ff., papel, 150 × 100 mm, s. XV (datado: año 1450), origen: Inglaterra. Spher.: ff. 1r-31v. Además de esta obra, contiene unos proverbios y el Carmen de algorismo. Faye y Bond (1962, 299, n.º 9). Jordanus (cons. 13/04/2022); UMN Cat. (cons. 03/06/2021). 178 https://ambrosiana.comperio.it/opac/search/?id-auth%5bvalue%5d=50049&id-auth%5bdisplayed%5d=Biblioteca%20del%20Capitolo%20metropolitano%20%3CMilano%3E&id-auth%5btype%5d=name&sort=datedesc https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:78403 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9449#11_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/milano-biblioteca-ambrosiana-n-9-sup--manuscript/6889 https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:78567 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9458#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/milano-biblioteca-ambrosiana-n-50-sup--manuscript/233699 https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:98475 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9725#1_58 https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:98685 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/9727#1_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/81#1_10 https://primo.lib.umn.edu/permalink/f/3d3ffn/UMN_ALMA21444819680001701 La tradición manuscrita 394. Montpellier, Bibliothèque Interuniversitaire, Section de Médecine, H 323 Mo I + 296 + I ff., pergamino, 242 × 185 mm, s. XIIIex.-XIVin., origen: desconocido (prov.: biblioteca personal de Jean Bouhier en Dijon). Algor.: ff. 16r-24v; Spher.: ff. 24v-42r; Compot.: ff. 42v-73r. Obras de astronomía (incluida la Theorica planetarum), cómputo y aritmética, a menudo con comentarios, y varias tablas. CGM in-4º (1849, vol. 1, 417-8); F.S. Pedersen (2002, 133-4); Ambrosetti (2008, 355). Bibale (cons. 25/05/2021); Biblissima (cons. 25/05/2021); BVMM (cons. 25/05/2021); Calames (cons. 25/05/2021); Initiale (cons. 25/05/2021); Jonas (cons. 25/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Medium (cons. 25/05/2021); Mirabile (cons. 25/05/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 395. Moskvá, Rossijskaia Gosudarstvennaia Biblioteka, fony 218, 523 34 ff., papel y pergamino387, 220 × 150 mm, s. XVI (datado: año 1564), origen: Italia, ¿Roma? Spher.: ff. 14v-27r. Una obra sobre el uso del meteoroscopio, la Spher. y un tratado sobre la Tierra. Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/05/2021). 396. München, Bayerische Staatsbibliothek, Cgm 739 Ms. compuesto, 2 U.C. 167 ff., papel, 212 × 157 mm, s. XVmed. (U.C. 1)388, origen: Baviera (U.C. 1)389 (prov.: S. Quirin, Tegernsee). U.C. 1 (ff. 5-62, 103-118 y 122-133), Algor.: ff. 31r-42r. La U.C. 1 contiene obras sobre calendario, aritmética, cómputo y cierto contenido moral y religioso con epístolas. La U.C. 2 sigue esta temática con obras astrológicas y astronómicas. Schneider (1984, 203-9); Ambrosetti (2008, 368); Juste (2011, 187). Handschriftencensus (cons. 25/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 25/05/2021); Mirabile (cons. 25/05/2021). 397. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 353 Mu4 120 ff., pergamino, 265 × 205 mm, s. XIII, origen: Francia. Algor.: ff. 5ra-8rb; Compot.: ff. 8rb-20ra; Spher.: ff. 27ra-33rb390. Obras de aritmética, astronomía con tablas y un opúsculo sobre el cuadrante, geología y alquimia. CCLB (1892, vol. 1.1, 93); O. Pedersen (1985, 185); Henrad (2000, 58); Thorndike y Kibre (1963, 243). Manuscripta Mediaevalia (cons. 25/05/2021). 398. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 657 193 ff., papel, in octavo, s. XV (datado: año 1458), origen: desconocido (prov.: colección personal de Hartmann Schedel, Núremberg). 387 De papel son tan solo los ff. 1-3. 388 La U.C. 2 está datada en el año 1504. 389 La U.C. 2 fue copiada en la abadía de S. Quirin, Tegernsee. 390 Además de estas obras, en los catálogos se menciona el Quadr. de Sacrobosco a continuación de la Spher.; sin embargo, hemos podido comprobar que tras este tratado se escriben dos obras concernientes a este instrumento de medida (la primera de ellas mútila), pero ninguna coincide con el trabajo homónimo de Sacrobosco. 179 https://bibale.irht.cnrs.fr/10318 https://portail.biblissima.fr/ark:/43093/mdatacc85c79e729e1012a1ef6bfe82edc829979b5274 https://bvmm.irht.cnrs.fr/consult/consult.php?REPRODUCTION_ID=8091 http://www.calames.abes.fr/pub/#details?id=D01041606 http://initiale.irht.cnrs.fr/codex/8992 https://jonas.irht.cnrs.fr/manuscrit/36344 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4001#6_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100011416 http://www.mirabileweb.it/manuscript/montpellier-biblioth%C3%A8que-interuniversitaire-sectio-manuscript/136794 http://ptolemaeus.badw.de/ms/465 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31301318 https://handschriftencensus.de/6335 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2112#12_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90144298,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-cgm-739-manuscript/129543 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90747029,T http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2236#336774 LA OBRA DE SACROBOSCO Spher.: ff. 54r-80v. Florilegios de poetas, Euclides, una obra de perspectiva y una de quiromancia. CCLB (1892, vol. 1.1, 170). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 16/04/2021). 399. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 3216 Ms. compuesto, 2 U.C. 178 ff., pergamino, 190 × 135 mm, XIV (U.C. 2)391, origen: Alemania (prov.: monasterio de Asbach, Rotthalmünster). U.C. 2 (ff. 17-178), Algor.: ff. 133r-139r; Spher.: ff. 139v-147v. La U.C. 2 contiene un tratado sobre geomancia seguido de las obras de Sacrobosco y unas consideraciones astrológicas. La U.C. 1, en cambio, contiene disertaciones sobre el libre albedrío. CCLB (1894, vol. 1.2, 82); Zinner (1962, 48-9); Klemm (1980, 124-5); Henrad (2000, 85, tab. 269); Ambrosetti (2008, 367); Juste (2011, 96-7). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 25/05/2021); Mirabile (cons. 25/05/2021). 400. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 3843 Mu5 62 ff., pergamino, 190 × 135 mm, s. XIII4/4-XIVin., origen: ¿Francia? (prov.: catedral de Mariä Heimsuchung, Augsburgo). Algor.: ff. 53r-62r. Contiene una breve obra sobre fisionomía, florilegios de Séneca y el Algor. CCLB (1894, vol. 1.2, 144); Ambrosetti (2008, 367). Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 25/05/2021); MDZ (cons. 25/05/2021); Mirabile (cons. 25/05/2021). 401. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 4382 205 ff., papel, 214 × 184 mm, s. XIV-XV, origen: desconocido392 (prov.: S. Ulrich und S. Afra, Augsburgo). Spher.: ff. 1r-20r; Algor.: ff. 88r-92v. El manuscrito contiene la Spher., un comentario a la misma, aritmética, astronomía, calendario, cómputo y diversos tratados relativos a las partes de la retórica. CCLB (1876, vol. 2.2, 77); CCLB (1894, vol. 1.2, 183-4); Zinner (1925, 155); Dondaine y Shooner (1973, 360); Ambrosetti (2008, 367); Juste (2011, 101). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 12/02/2021). 402. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 4774 I + 285 + I ff., papel, in quarto, s. XV (datado: año 1492), origen: Alemania. Algor.: 218r-243v (con comentario). Temática variada con predominancia teológica. CCLB I.2 (1894, 241, n.º 1364). Jordanus (cons. 16/04/2021). 391 La U.C. 1 data del s. XII. 392 Excepto para los ff. 169-178, cuyo origen es germámico. 180 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2236#2_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-657-manuscript/117180 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28588 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2258#3_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90746987,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-3216-manuscript/136598 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2264#4_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31729740 https://mdz-nbn-resolving.de/view:bsb00106127 http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-3843-manuscript/136599 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2274#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/münchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-4382-manoscript/22527 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2287#2_58 La tradición manuscrita 403. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 5538 I + 76 ff., pergamino, 200-210 × 145 mm, s. XIV393, origen: ¿Constanza? Spher.: ff. 1v-13v; Algor.: ff. 14r-20v; Compot.: ff. 20v-42r. El códice contiene las obras de Sacrobosco, dos tratados sobre el cuadrante, tablas y otras obras astronómicas y de cómputo. En el f. 67 se incluye un documento germánico en alemán. CCLB (1873, vol. 1.3, 21); Zinner (1962, 49); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 247-8); Henrad (2000, 164-5, n.º 239); Ambrosetti (2008, 367). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 28/05/2021); Ptolemaeus (cons. 12/02/2021). 404. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 5640 164 ff., papel, 285 × 200 mm, s. XIV, origen: Alemania Spher.: ff. 133r-149r394. Obras filosóficas, calendarios y mapas, tratados astronómicos y de cómputo con tablas. CCLB (1873, vol. 1.3, 33); Thorndike y Kibre (1963, 524); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 248- 9); Juste (2011, 108). Handschriftencensus (cons. 16/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 16/04/2021). 405. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 5963 I + 278 + I ff., papel, 225 × 145 mm, s. XIV-XV, origen: Praga. Compot.: ff. 15r-47r; Algor.: ff. 147r-165r (incompleto)395. Sobre todo, obras de cómputo, algunas con comentarios; también contiene otros tratados de aritmética y retórica. CCLB (1873, vol. 1.3, 60); Zinner (1925, 152); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 250); Nothaft (2014, 386). Jordanus (cons. 16/04/2021); MDZ (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 28/05/2021); Ptolemaeus (cons. 12/02/2021). 406. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 5964 300 ff., papel, in quarto, s. XV, origen: desconocido (prov.: S. Sebastian, Ebersberg). Algor.: ff. 74r-85v. El manuscrito contiene calendarios, tratados de medicina, cómputo, gramática, retórica y astrología. CCLB (1873, vol. 1.3, 222); Ambrosetti (2008, 369); Juste (2011, 109-10). Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 12/02/2021). 407. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 6748 120 ff., papel, 210 × 150 mm, s. XV (datado: año 1423), origen: Frisinga. Spher.: ff. 103v-117v. 393 F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 247) data el manuscrito en función de las manos: una primera mano sería de finales del s. XIII y la segunda, del s. XIV1/2. 394 En CCLB (1873, vol. 1.3, 33), a continuación del título de sphaera materiali se apunta sapientia est multorum et mirabilium scientia, probablemente para indicar el incipit de la obra. Si así fuera, no estaría aquí contenida dicha obra de Sacrobosco, pues este fragmento, que pertenece a la traducción latina de la Metafísica de Aristóteles, nunca se cita en la Spher. 395 Falta parte del último capítulo sobre las raíces cuadradas y cúbicas. Des.: Et ergo cumque alio numero precedente resultet ultimus limes et penultimus. 181 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28589 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2298#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90747198,T https://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-5538-manuscript/136600 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/2298#0_6 https://handschriftencensus.de/18754 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2301#8_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-5640-manuscript/121193 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2304#3_58 https://mdz-nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:12-bsb00119130-8 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-5963-manuscript/186851 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/2304#0_1 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2305#226171 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90442855,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/münchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-5964-manoscript/128879 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2304#158010 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2304#158010 LA OBRA DE SACROBOSCO Obras astronómicas y astrológicas con un opúsculo sobre el astrolabio. CCLB (1873, vol. 1.3, 123); Zinner (1925, 155); Juste (2011, 111). Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 28/05/2021); MDZ (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 28/05/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 408. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 7038 282 ff., papel, in folio, s. XV (datado: año 1417), origen: Alemania. Compot.: ff. 196r-208r. Obras teológicas, algunas astronómicas, de cómputo y calendario y ciertos tratados de medicina. Algunas de estas obras están en alemán. CCLB (1873, vol. 1.3, 140); Zinner (1925, 153); Juste (2011, 112). Handschriftencensus (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 409. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 7088 43 ff., papel, in quarto, s. XV, origen: Alemania. Algor.: ff. 30r-42v (incompleto)396. Obras de aritmética, una de ellas en alemán, un tratado sobre la prevención de la peste y unas figuras retóricas. CCLB (1873, vol. 1.3, 145). Jordanus (cons. 16/04/2021); MDZ (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 28/05/2021). 410. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 7614 97 ff., papel, in folio, s. XV (datado: año 1421), origen: Alemania. Algor.: ff. 10r-25r; Compot.: ff. 53r-82v. Contiene un calendario, obras de cómputo, tablas relacionadas con la astronomía y dos epístolas, una en alemán. CCLB (1873, vol. 1.3, 178-9); Zinner (1925, 153); Ambrosetti (2008, 369). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 28/05/2021); Ptolemaeus (cons. 12/02/2021). 411. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 7650 132 + II ff., papel, 220 × 145 mm, s. XIV-XV, origen: Alemania. Algor.: ff. 9r-19r; Spher.: ff. 39r-58v. Obras de astronomía, aritmética, cómputo y calendario, una obra de medicina y el De disciplina scholarium de Boecio. CCLB (1873, vol. 1.3, 182); Zinner (1925, 154); Ambrosetti (2008, 367); Juste (2011, 113- 4); Nothaft (2014, 386). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 12/02/2021). 412. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 7784 Ms. compuesto, 7 U.C. 104 + IV ff., pergamino, 183 × 125 mm, s. XIII2/2-XIV, origen: desconocido (U.C. 6)397 (prov.: S. Maria, Markt Indersdorf). 396 Faltan los últimos capítulos sobre raíces cuadradas y cúbicas. Des.: Multiplicetur ternarius per se ipsum. Sic 3 tria erunt 9 summa tocius progressionis. 397 No se conoce con certeza la procedencia de ninguna U.C. excepto la U.C. 2, cuyo lugar de origen es Italia septentrional. 182 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2318#8_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31771333 https://mdz-nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:12-bsb00086351-1 http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-6748-manuscript/180382 http://ptolemaeus.badw.de/ms/83 https://handschriftencensus.de/22525 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2319#3_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2320#5_58 https://mdz-nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:12-bsb00115012-5 https://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-7088-manuscript/136627 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2321#11_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-7614-manuscript/136622 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/2321#0_6 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28590 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2322#3_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/münchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-7650-manoscript/136605 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2320#158030 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2320#158030 La tradición manuscrita U.C. 6 (ff. 96-100), Algor.: ff. 96r-100v (acéfalo)398. La U.C. 6 contiene únicamente esta obra; el resto de U.C. contiene tratados de diversa índole: geología, lógica, matemática (entre los que se incluye el Carmen de algorismo), poemas, himnos, etc. CCLB (1873, vol. 1.3, 198, n.º 1588). Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 16/04/2021). 413. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 9667 237 pp., pergamino, in octavo, s. XIV, origen: desconocido (prov.: abadía de Sankt Peter und Sankt Paul en Oberalteich, Bogen). Spher.: pp. 218-235. Además de esta obra, contiene unos excerpta de Gregorio, Agustín y Boecio, sermones, pronósticos, calendarios y obras astronómicas. CCLB (1874, vol. 2.1, 114-5); Zinner (1962, 50); Juste (2011, 122). Mirabile (cons. 29/05/2021). 414. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 10273 Mu1 167 ff.399, pergamino, 160 × 100 mm, s. XIII3/4-XIV, origen: París (prov.: biblioteca palatina de Mannheim). Algor.: ff. 6r-28v; Spher.: ff. 28v-68r; Compot.: ff. 78r-146r (con comentario). Obras de aritmética, astronomía y cómputo con calendarios, comentarios y tablas; también contiene el Cisoianus y un pequeño tratado sobre adivinación. CCLB (1874, vol. 2.1, 135-6); Zinner (1962, 50); Remak-Honnef y Hauke (1991, 148-50); Ambrosetti (2008, 369). Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 28/05/2021); Ptolemaeus (cons. 12/02/2021). 415. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 10544 373 + IX ff., papel, 217 × 142 mm, s. XVmed., origen: Italia septentrional (prov.: biblioteca palatina de Mannheim). Spher.: ff. 264r-286v. Obras de gramática, lógica, retórica, aritmética, geometría y astronomía. CCLB (1874, vol. 2.1, 146, n.º 1180). Jordanus (cons. 16/04/2021); Lullus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 16/04/2021). 416. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 11067400 208 ff., papel, in folio, s. XV (datado: años 1445-1448), origen: Alemania (copista: Theodericus Ruffi) (prov.: catedral de San Esteban de Passau). Algor.: ff. 135v-142r. El manuscrito contiene el comentario de Pedro Filomena al Algor., obras de astronomía, medicina, astrología, calendario y aritmética. 398 El texto comienza a mitad del capítulo sobre la adición, faltando gran parte del inicio. Inc.: si sit figura sequens. Si autem ponatur in loco vacuo si autem contingat quod figura sequens. 399 Numerados 6-173 (lo que permite inferir que quizá el manuscrito original tendría 173 folios y se han perdido los cinco primeros). 400 Al parecer, una copia fotográfica de este manuscrito se encuentra en København, Det Kongelige Bibliotek, con la signatura Add. 1217 kvart, tal como se especifica en KB (cons. 10/04/2021). 183 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2328#4_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31796637 http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-7784-manuscript/94756 http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-9667-manuscript/130715 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2367#1_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90357863,T https://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-10273-manuscript/136614 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/2367#0_6 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2372#9_58 https://lullus.ub.uni-freiburg.de/?doc_id=10085 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31728613 http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%EF%BF%BDnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-10544/108625 http://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/2398#386431 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2328#226221 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2328#226221 https://soeg.kb.dk/permalink/45KBDK_KGL/1pioq0f/alma99122504614705763 LA OBRA DE SACROBOSCO CCLB (1876, vol. 2.2, 6-7, n.º 70); Curtze (1897, VI-IX); Glorieux (1971, 236); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 72-3, 169); Ambrosetti (2008, 368); Juste (2011, 128-30). KB (cons. 10/04/2021); Fama y Fama (cons. 28/05/2021); Handschriftencensus (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Medium (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 28/05/2021). 417. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 12257 184 ff., papel, in folio, s. XV (datado: año 1447), origen: Rottenbuch (prov.: S. Maria, Rottenbuch). Spher.: ff. 84r-105v. Además de esta obra, el códice contiene el Tractatus de iuribus regni et imperii de Lupoldus III de Bebenburg, unas glosas sobre un poema de la virgen y obras de Aristóteles en latín. CCLB (1876, vol. 2.2, 61-2, n.º 596); Zinner (1962, 47). Fama (cons. 29/05/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 418. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 12553 142 ff., papel, in quarto, s. XV, origen: desconocido (prov.: S. Pankratius, Raitenhaslach). Spher.: ff. 76r-116v; Algor.: ff. 117r-119v. El manuscrito contiene un poema, estas obras de Sacrobosco y sermones. CCLB (1876, vol. 2.2, 77, n.º 725); Zinner (1962, 47); Ambrosetti (2008, 369). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 28/05/2021). 419. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 13182 144 ff., papel, 305 × 217 mm, s. XV, origen: desconocido (prov.: Ratsbibliothek de Ratisbona). Algor.: ff. 94r-101v. Libros de filosofía natural (incluido Aristóteles), religiosos (incluido Tomás de Aquino), el Somnium Scipionis y un tratado de gramática. CCLB (1876, vol. 2.2, 106, n.º 938); Dietrich (1992, 41); Dietrich y Mondin (2004, 421); Ambrosetti (2008, 369). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 12/02/2021). 420. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14529 II + 437 ff., papel, 215 × 155-160 mm, s. XV (datado: años 1465-1466), origen: Leipzig (prov.: monasterio S. Emmeram de Ratisbona). Algor.: ff. 221r-231v. Obras escolares principalmente: cómo componer poesía, fábulas, obras moralizantes, parábolas, himnos, filosofía, cómputo, aritmética, flores, retórica. CCLB (1876, vol. 2.2, 188); Ambrosetti (2008, 369); Helmer (2015, 478-89). Fama (cons. 29/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/05/2021); Medium (cons. 29/05/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 421. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14622 Ms. compuesto, 3 U.C. 184 https://soeg.kb.dk/permalink/45KBDK_KGL/1pioq0f/alma99122504614705763 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/65464 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/34287 https://handschriftencensus.de/25134 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2398#19_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100007778 http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-11067-manuscript/135916 https://www.mirabileweb.it/search-place/germania-bayern-rottenbuch-st-maria-monastero-crsa-place/1044/6926 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/29159 https://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-12257-manuscript/103267 https://www.mirabileweb.it/search-place/germania-bayern-raitenhaslach-st-pankratius-abbazi-place/1044/6968 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28591 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2418#2_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-12553-manuscript/136615 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2434#3_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/münchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-13182-manoscript/136616 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/68338 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2453#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31780340 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100059503 https://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-14529-manuscript/136617 La tradición manuscrita 177 + III ff., papel, 195-210 × 130-145 mm, s. XV (datado: años 1434 y 1435, U.C. 1 y 3 respectivamente)401, origen: Ratisbona (U.C. 1-2)402 (prov.: monasterio S. Emmeram de Ratisbona). U.C. 1 (ff. 1-125), Algor.: ff. 28v-43v (incompleto403, con comentario); Spher.: ff. 77r-109v; U.C. 3 (ff. 167-180), Algor.: ff. 167r-177v (incompleto404, con comentario). Obras sobre cómputo, aritmética, astronomía y calendario, además de un tratado de remedios contra la peste. CCLB (1876, vol. 2.2, 204); Ambrosetti (2008, 369); Juste (2011, 136-7). Fama (cons. 28/05/2021); Handschriftencensus (cons. 29/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/05/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 422. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14684 101 ff., pergamino, 200-205 × 140-145 mm, s. XIV (datado: año 1356), origen: Alemania (prov.: monasterio S. Emmeram de Ratisbona). Algor.: ff. 1r-7r; Spher.: ff. 9r-21r. Obras de aritmética (incluidas las Cautele), medida del tiempo y astronomía (incluida la Theorica planetarum), especialmente traducciones latinas de autores árabes. Curtze (1897, V); CCLB (1876, vol. 2.2, 217); Zinner (1925, 154); Beaujouan (1991, XI, 117); Hernad (2000, 140, n.º 201); Bergmann y Stricker (2005, 1361); Ambrosetti (2008, 367); Juste (2011, 137-8). BStK (cons. 29/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Handschriftencensus (cons. 29/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/05/2021); MDZ (cons. 29/05/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021); MMMO (cons. 29/05/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 423. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14706 81 ff., papel y pergamino405, in quarto, s. XIV (datado: años 1377, 1378, 1380), origen: Alemania (copista: Henricus de Salbinger) (prov.: monasterio S. Emmeram de Ratisbona). Algor.: 62va-66ra (incompleto)406. Obras médicas, sobre los sacramentos y otras cuestiones religiosas, calendario y tratados de astronomía, astrología, cómputo y aritmética. CCLB (1876, vol. 2.2, 220-1); Ambrosetti (2008, 367); Juste (2011, 138). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 424. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14770 Mu6 139 ff., pergamino, in octavo, s. XIII, origen: desconocido (prov.: monasterio S. Emmeram de Ratisbona). 401 La U.C. 2 está datada entre los años 1441-1446. 402 La U.C. 3 es de origen incierto. 403 Se copia hasta el capítulo de la progresión incluido, des.: et resultabunt novem summa totius progressionis. Sic est finis. 404 De nuevo, la copia tan solo comprende hasta el capítulo de la progresión; des.: quinarius per se ipsum et erunt 25 summa totius progressio. Et sic est finis progressionis dicitur ulterius. 405 De pergamino tan solo son los ff. 78-81. 406 Faltan los últimos capítulos sobre las raíces cuadradas y cúbicas. Des.: sicut ter tria et erit novenarius summa tocius progressionis. In paribus numerus pars minor multiplicat se et sic est finis tocius pro [sic]. 185 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28592 https://handschriftencensus.de/24042 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2463#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31784545 http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-14622-manuscript/136619 https://glossen.germ-ling.uni-bamberg.de/manuscripts/12900 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28593 https://handschriftencensus.de/3411 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2466#1_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90745329,T https://www.digitale-sammlungen.de/en/view/bsb00086348?page=,1 https://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-14684-manuscript/17054 http://www.musmed.eu/source/12289 http://ptolemaeus.badw.de/ms/85 http://www.mirabileweb.it/search-person/henricus-de-salbinger-person/1044/20418 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2469#13_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-14706-manuscript/136597 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2469#158240 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2469#158240 LA OBRA DE SACROBOSCO Algor.: ff. 59r-68v (mútilo)407; Spher.: ff. 69r-92v; Compot.: ff. 94r-137r. Obras de astronomía y astrología con tablas, tratados matemáticos y de cómputo. CCLB (1876, vol. 2.2, 231); Zinner (1925, 152). Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/05/2021); MDZ (cons. 08/09/2021); Ptolemaeus (cons. 12/02/2021). 425. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 16129 148 ff., pergamino, in folio, s. XIV1/4, origen: ¿Passau? (prov.: S. Nikola, Passau). Spher.: ff. 2r-17v. El manuscrito, además de la Spher., contiene una obra de Alberto Magno sobre meteorología y geología. CCLB (1878, vol. 2.3, 54); Zinner (1962, 47); Henrad (2000, 98, n.º 154). Galeno (cons. 29/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/05/2021). 426. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 17703 Mu2 98 ff., pergamino, 160 × 135 mm, s. XIIIex., origen: Praga (prov.: S. Lambert, Seeon). Algor.: ff. 1v-10v; Spher.: ff. 10v-27v; Compot: ff. 40r-83v. Obras astronómicas y astrológicas con tablas e intrumentos de medida, de cómputo, calendario y álgebra; algunas de ellas están escritas en alemán. CCLB (1878, vol. 2.3, 117); Zinner (1925, 153); Klemm (1998, 128-9, n.º 110); Ambrosetti (2008, 366); Juste (2011, 143-4). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/05/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 427. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 18780 249 + II ff., papel, in quarto, s. XV (datado: años 1474 y 1483), origen: Alemania (prov.: S. Quirin, Tegernsee). Algor.: ff. 227r-237v. El manuscrito contiene dos comedias de Terencio, un tratado sobre poesía, Séneca, una obra sobre el movimiento y el Algor. CCLB (1878, vol. 2.3, 209); Ambrosetti (2008, 368). Fama (cons. 29/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Medium (cons. 29/05/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021); REMACCLA (cons. 29/05/2021). 428. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 18800 159 ff., papel, 210 × 145 mm, s. XIV-XV (datado: años 1404 y 1382)408, origen: Ratisbona. Spher.: ff. 99r-118r. Obras de física, filosofía natural, un comentario a la Spher., una obra de medida, otra de geometría, aritmética, música y retórica. CCLB (1878, vol. 2.3, 211); Zinner (1962, 47, 50); C. Meyer (2013, 1-45). Jordanus (cons. 16/04/2021). 407 Esta obra se presenta como comentario al Carmen de algorismo, alternándose el texto del Algor. con versos del Carmen. Ha caído entre estos folios un bifolio que en origen habría estado entre los actuales ff. 66-7 y 67-8. Esta mutilación afecta al texto del Carmen así como al del Algor., faltándole a este último el capítulo final sobre las raíces cuadradas y cúbicas. Des.: et erit IX summa totius progressionis dicta ergo progressio etc. 408 Se datan en el año 1404 los ff. 1-98 y en el año 1382, los ff. 99-118. 186 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2476#6_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90745423,T https://mdz-nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:12-bsb00109328-1 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/2476#0_6 https://www.galenolatino.com/manoscritti.php?id=518&k=m_m_1 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2488#2_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90745661,T http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28594 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2494#1_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90696404,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-17703-manuscript/122918 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28743 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2508#3_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=16737 https://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-18780-manuscript/136609 https://remaccla.unibg.it/index.php/schede-per-biblioteca/details/3/e2eb240f7a3c2fbbc1256f8f003a82a5.html http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2515#6_58 La tradición manuscrita 429. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 19608 285 ff., papel, in quarto, s. XV (datado: años 1408 y 1468), origen: Alemania. Algor.: ff. 58r-67v. Obras variadas, fundamentalmente teológicas y religiosas o relativas a la Iglesia y la liturgia; también tratados de aritmética, novelas, médicas, églogas, diálogos, epístolas, retórica, etc. CCLB (1878, vol. 2.3, 258-9); Ambrosetti (2008, 368). Fama (cons. 29/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/05/2021); MDZ (cons. 29/05/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 430. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 19695 213 ff., papel, in quarto, s. XV, origen: desconocido. Spher.: 176r-193v (mútilo)409. Obras de filosofía, didáctico-morales, astronomía y perspectiva. CCLB (1878, vol. 2.3, 270); Zinner (1962, 47). Handschriftencensus (cons. 16/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Repertorium (cons. 16/04/2021). 431. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 19867 351 ff., papel y pergamino, in octavo, s. XIV-XV, origen: desconocido (prov.: S. Quirin, Tegernsee). Algor.: ff. 375r-386v. Tratados de gramática y diversas nociones acerca de la oratoria, incluidas epístolas de Cicerón. CCLB (1878, vol. 2.3, 280); Ambrosetti (2008, 368); Polak (2015, vol. 3, 491). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 12/02/2021). 432. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 19869 360 ff., papel y pergamino410, in octavo, s. XIV-XV, origen: desconocido (prov.: S. Quirin, Tegernsee). Algor.: ff. 181r-194v. Obras de retórica, gramática, un tratado sobre el alma y un comentario sobre Aristóteles. CCLB (1878, vol. 2.3, 280-1); Ambrosetti (2008, 368). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 12/02/2021). 433. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 21107 95 ff., papel, in quarto, s. XV, origen: Alemania (prov.: S. Peter und S. Paul, Thierhaupten). Algor.: ff. 80r-87r. Contiene una Ars moriendi, Ars computistica, aritmética, presagios y unas secuencias en alemán. CCLB (1878, vol. 2.3, 296-7); Ambrosetti (2008, 369). Handschriftencensus (cons. 29/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 434. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 24514 235 ff., papel, 200 × 145 mm, s. XIV (datado: años 1375-1386), origen: Alemania. 409 Falta un folio al final. Des.: si fuerit proprie infra metas scilicet declinatas eclipsi in plenissimo (Thorndike, 1949a, 115, con variantes). 410 De pergamino son únicamente los ff. 69-78, siendo el resto de papel. 187 http://fama.irht.cnrs.fr/en/manuscrit/30585 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2536#4_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj50012704 https://daten.digitale-sammlungen.de/0010/bsb00102998/images/index.html?fip=193.174.98.30&id=00102998&seite=1 http://www.mirabileweb.it/manuscript/M%C3%BCnchen,%20Bayerische%20Staatsbibl-manuscript/111002 https://handschriftencensus.de/23761 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2551#3_58 https://repertorium.sprachen.hu-berlin.de/repertorium/browse/witness/12774?_bc=S1.6651.12765.12774 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2564#8_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-19867-manuscript/136607 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2566#2_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-19869-manuscript/136608 https://handschriftencensus.de/18499 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2573#6_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-21107-manuscript/136620 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2551#158343 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2551#158343 LA OBRA DE SACROBOSCO Compot.: ff. 169r-189r411. Tratados de ciencias naturales y otros de temática variada: métricos, astronómicos con tablas, oratoria, cómputo, filosofía y medicina. Algunas partes están en alemán. CCLB (1881, vol. 2.4, 127); Zinner (1925, 152); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 252-3); Juste (2011, 159-60). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 435. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 24809 170 ff., papel, in quarto, s. XV, origen: Alemania. Spher.: ff. 108r-125v. Sermones en latín y alemán, tratados de astronomía y astrología con tablas y opúsculos sobre instrumentos de medida (horario, cilindro), aritmética y música. CCLB (1881, vol. 2.4, 144). Biblissima (cons. 16/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/05/2021); MDZ (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 16/04/2021); MMMO (cons. 16/04/2021). 436. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 25007 48 ff., papel, in quarto, s. XV-XVI, origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-48v (con comentario). Únicamente presenta la Spher. con un comentario a la misma. CCLB (1881, vol. 2.4, 156); Zinner (1925, 156). Jordanus (cons. 16/04/2021). 437. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 26812 363 ff., papel, in quarto, s. XV, datado (años 1443, 1453), origen: Alemania (prov.: S. Blasien, Ratisbona). Spher.: ff. 293r-307v. El manuscrito contiene un calendario, indulgencias eclesiásticas, epístolas y sermones, cuestiones teológicas, la Spher. y su comentario y una obra sobre las virtudes. CCLB (1881, vol. 2.4, 215-6); Zinner (1962, 48); Juste (2011, 171-2). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 438. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 27444 Ms. compuesto, 5 U.C. 120 ff., papel, 210 × 155 mm, s. XVI (datado: año 1533, U.C. 2412), origen: desconocido. U.C. 2 (ff. 13-48); Algor.: ff. 28r-37v. La U.C. 2 contiene obras sobre el cómputo, aritmética, argumentos sofistas, sobre la elegía y un poema a la Virgen. El resto de U.C. son tienen un contenido variado, predominantemente doctrinal y religioso. Hauke (1975, 239-43); Kristeller (1992, vol. 6, 529); Ambrosetti (2008, 371). Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/05/2021); Mirabile (cons. 12/02/2021). 439. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 28217 Mu3 Ms. compuesto, 2 U.C. 411 Al no ofrecerse el incipit de la obra en CCLB (1881, vol. 2.4, 127), podría no ser el Compot. de Sacrobosco. 412 La U.C. 1 está datada en 1518, la U.C. 3 es del último cuarto del s. XV, la U.C. 4 data de 1510 y la U.C. 5, de principios del s. XIV. 188 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2598#10_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-24514-manuscript/186853 https://iiif.biblissima.fr/collections/manifest/f547290a515b378c569518729947262da3c679bf http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2599#11_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj50007360 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj50007360 https://daten.digitale-sammlungen.de/~db/0001/bsb00011605/images/ http://sip.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-24809-manuscript/149742 http://www.musmed.eu/source/12377 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2620#1_58 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28595 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2664#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-26812-manuscript/31356 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90156814,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-27444-manoscript/136633 La tradición manuscrita 76 ff., pergamino, 265 × 180 mm, s. XIII-XIV413, origen: Norte de Francia, ¿París?414 U.C. 2 (ff. 61-76); Algor.: ff. 66va-69vb; Spher.: ff. 70ra-76va. La U.C. 2 contiene, además de estas, una obra meteorológica. La U.C. 1, en cambio, presenta una obra de Aristóteles en su traducción latina sobre meteorología. Hauke (1986, 180-2). Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/03/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 440. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 28275 58 ff., papel, 210 × 145 mm, s. XIV, origen: Núremberg. Algor.: 42ra-46vb (mútilo)415. Obras de astronomía, calendario, cómputo y aritmética especialmente, si bien en algunos folios se leen sermones y noticias eclesiásticas y ciertas obra de retórica y gramática. Glauche (1984, 43-8). Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/05/2021). 441. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 29760 Ms. compuesto, 3 U.C.416 4 ff., pergamino, 135 × 95 mm (U.C. 1)417, s. XIV (U.C. 1)418, origen: desconocido. (U.C. 1, ff. 1-2), Algor.: ff. 1r-2v (mútilo)419. El manuscrito se compone de una tira de pergamino donde aparecen números y letras griegas, seguida de un bifolio con un comentario sobre un texto de aritmética y en último lugar estos dos folios del Algor. Ambrosetti (2008, 367); Ikas y Hauke (2013, 122). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 16/04/2021). 442. München, Universitätsbibliothek, 4º 649 Ms. compuesto, 2 U.C. 278 ff., papel, 210 × 155 mm, s. XV (datado: años 1472, 1478), origen: desconocido. U.C. 1 (ff. 1-118), Algor.: ff. 109r-118v; U.C. 2 (ff. 119-278), Spher.: ff. 228ra-235rb, 248r- 259v y 260r-272r (con comentarios). La U.C. 1 está compuesta por un libro filosófico y el Algor.; la U.C. 2, en cambio, versa sobre el universo y su naturaleza, astronomía y astrología y la condición humana (donde hay varias obras de Tomás de Aquino y Boecio). Kornrumpf y Völker (1968, 169-70); Reuter (2000, 175-80); Ambrosetti (2997, 371); W. Müller (2011, 76). Fama (cons. 28/05/2021); Handschriftencensus (cons. 29/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/05/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 413 En Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/03/2021) viene datado alrededor del año 1300. 414 En Mirabile (cons. 29/05/2021) se sugiere Italia como posible lugar de copia. 415 Falta el final de la obra. Des.: Deleat totum suprap respectu ositum [sic] triplatum divide dictus in... 416 Las U.C. fueron separadas y vueltas a encuadernar con un orden distinto al primero. Lo que ahora es la U.C. 1 se encuentra al final del manuscrito mientras que la U.C. 3 se encuentra al inicio. Esto explica que, aunque la U.C. 1 se encuentre físicamente al final del libro, siga manteniendo su numeración original. 417 Los folios que contienen la U.C. 2 miden 205 × 155 mm, mientras que los de la U.C. 3 miden ca. 195 × 65 mm. 418 La U.C. 2 data del ss. XIII y la que U.C. 3, del s. XII. 419 El códice contiene tan solo el fragmento de la obra que abarca desde la mitad del capítulo de la multiplicación hasta el mitad de la progresión. Inc.: Valet 100 et quilibet denarius valet mille; des.: Progressionis due dantur regule. Quando enim... 189 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31702650 http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-28217-manuscript/165807 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90160624,T http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2683#3_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-29760-3-manuscript/181754 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28596 https://handschriftencensus.de/6454 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2713#6_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90168065,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-universit%C3%A4tsbibliothek-4%C2%B0-649-manuscript/136634 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31702650 http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-28217-manuscript/165807 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2683#226861 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2683#158436 LA OBRA DE SACROBOSCO 443. Napoli, Biblioteca Nazionale Vittorio Emanuele III, VIII.C.46 101 + III ff., pergamino, 245 × 170 mm, s. XIV (datado: año 1364), origen: Parma (prov.: biblioteca farnesiana). Algor.: 7v-10v; Spher.: 10v-17v; Compot.: 17v-31v. Además de estas obras, contiene un calendario, tablas, un cómputo, opúsculos sobre instrumentos de medida (cuadrante, astrolabio), la Theorica planetarum y dos tratados de geometría. Fossier (1982, 364-5). Manus (cons. 24/03/2021). 444. Napoli, Biblioteca Nazionale Vittorio Emanuele III, VIII.G.86420 I + 220 + I ff., papel, in folio, s. XV (datado: año 1481), origen: desconocido. Spher.: ff. 26r-36r; Algor.: ff. 153r-158v. Tratados de astronomía, astrología, aritmética y cómputo. Cenci (1971, 861-2). Mirabile (cons. 26/03/2021). 445. New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 335 II + 40 + IV ff., pergamino, 232 × 159 mm, s. XV1/2, origen: Italia. Spher.: ff. 1r-11v. Tratados de astronomía y astrología con unas tablas al final. Cahn y Marrow (1978, 228-9); Shailor (1984, 159-61). Beinecke Cat. (cons. 12/05/2021); Dig. Yale (cons. 12/05/2021); Digital Scriptorium (cons. 15/12/2021); Orbis (cons. 25/05/2021). 446. New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 399 Ms. compuesto, manuscrito e impreso. II + 18 ff.421, papel, 299 × 206 mm, s. XVI (datado: año 1514), origen: Lovaina. Spher.: ff. 1r-15r (con el comentario de Pedro Ciruelo422). La sección manuscrita, además de la Spher., contiene un comentario a la misma y otro a la Theorica planetarum. Shailor (1984, 276-7). Beinecke Cat. (cons. 25/05/2021); Digital Scriptorium (cons. 15/12/2021); Orbis (cons. 25/05/2021). 447. New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 556 Y1 I + 77 + I ff., pergamino, 225 × 160 mm, s. XIII (datado: año 1281), origen: ¿Francia? Algor.: ff. 1r-6r; Spher.: ff. 8r-17v; Compot.: ff. 21v-41v. Además de las obras de Sacrobosco, contiene otros tratados de astronomía, incluyendo la Theorica planetarum y un opúsculo sobre el cuadrante. 420 Queremos agradecer a Annalinda Monopoli y Lucia Marinelli, bibliotecarias de la Biblioteca Nazionale di Napoli, quienes amablemente nos enviaron imágenes del manuscrito para su descripción y estudio. 421 El manuscrito está encuadernado con dos ediciones impresas: la primera, de finales del s. XV; la segunda, de principios del XVI. Ninguna de ellas está incluida incluidas en este cómputo de páginas. Su temática continúa la del manuscrito, esto es, presentan obras de astronomía. 422 El comentario presenta el siguiente título: Johannis de Sacro Busto. Spere mundi opusculum una cum additionibus peroportune intercertis ac aliquali textu expositione Petri Ciruelli Darocensis, felici sidere inchoat Prohemium Autoris. 190 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=181899 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/napoli-biblioteca-nazionale-vittorio-emanuele-iii--manuscript/116354 https://pre1600ms.beinecke.library.yale.edu/docs/pre1600.ms335.htm https://collections.library.yale.edu/catalog/10803566 http://digital-scriptorium.org/xtf3/search?rmode=digscript;smode=advanced;field1=text;term1=Sacro%20Bosco;join1=token;operator1=and;field2=text;join2=token;operator2=and;field3=text;join3=token;datetype=range;docsPerPage=1;startDoc=2;fullview=yes http://digital-scriptorium.org/xtf3/search?rmode=digscript;smode=advanced;field1=text;term1=Sacro%20Bosco;join1=token;operator1=and;field2=text;join2=token;operator2=and;field3=text;join3=token;datetype=range;docsPerPage=1;startDoc=2;fullview=yes https://orbis.library.yale.edu/vwebv/holdingsInfo?searchId=3043&recCount=50&recPointer=5&bibId=9786586 https://pre1600ms.beinecke.library.yale.edu/docs/pre1600.ms399.htm http://digital-scriptorium.org/xtf3/search?rmode=digscript;smode=advanced;field1=text;term1=Sacro%20Bosco;join1=token;operator1=and;field2=text;join2=token;operator2=and;field3=text;join3=token;datetype=range;docsPerPage=1;startDoc=4;fullview=yes https://orbis.library.yale.edu/vwebv/holdingsInfo?searchId=3079&recCount=50&recPointer=7&bibId=9777352 La tradición manuscrita Thorndike (1949a, 73-4); Thorndike y Kibre (1963, 243); Kebabian (1971, xv, 1); López- Maroto Quiñones (2021, 109-22). Beinecke Cat. (cons. 25/05/2021); Digital Scriptorium (cons. 15/12/2021); Findit (cons. 25/05/2021); Orbis (cons. 25/05/2021). 448. New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 797 I + 34 + I ff., papel, 205 × 125 mm, s. XV2/2, origen: noreste de Italia. Spher.: ff. 1r-34r. Tan solo contiene esta obra. Beinecke Cat. (cons. 25/05/2021); Dig. Yale (cons. 25/05/2021); Digital Scriptorium (cons. 15/12/2021); Orbis (cons. 25/05/2021). 449. New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 977 II + 8 + I ff., pergamino, 250 × 176 mm, s. XV2/2, origen: ¿Italia? Algor.: ff. 1r-8r. Contiene exclusivamente el Algor. Beinecke Cat. (cons. 25/05/2021); Dig. Yale (cons. 25/05/2021); Digital Scriptorium (cons. 15/12/2021); Orbis (cons. 25/05/2021). 450. New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 1024 Ms. compuesto, 5 U.C. 85 ff., papel y pergamino423, 225 × 150 mm, s. XV (U.C. 1)424, origen: Alemania (U.C. 1)425. U.C. 1 (ff. 1-15), Algor.: ff. 3v-10v. La U.C. 1 contiene un tratado sobre cómputo judaico, el Algor. y su traducción al alemán. El resto de U.C. mantienen la temática científica con obras médicas, de cómputo, astronómicas, astrológicas, moralizantes y algunos poemas y fábulas. Las U.C. 1-3 tienen tratados o anotaciones en alemán. Beinecke Cat. (cons. 25/05/2021); Dig. Yale (cons. 25/05/2021); Digital Scriptorium (cons. 15/12/2021); Orbis (cons. 25/05/2021). 451. New Haven, Yale University, Medical Historical Library, 11 Vault Y2 176 ff., pergamino, 260 × 160 mm, s. XIII-XIV (ca. 1291-1330), origen: ¿sur de Alemania? (prov.: convento dominico de Viena). Algor.: ff. 70va-74rb; Spher.: ff. 74rb-81vb; Compot.: ff. 82vb-98ra; Quadr.: ff. 98ra-100vb. Varias obras de Aristóteles en su traducción latina; tratados de astronomía (incluida la Theorica planetarum), algunos con tablas, de cómputo, aritmética y opúsculos sobre la composición del cuadrante. De Ricci y Wilson (1937, vol. 2, 2298-9, n.º 11); Knorr (1997b, 215). Findit (cons. 25/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta (cons. 25/05/2021); Orbis (cons. 25/05/2021). 452. New Haven, Yale University, Medical Historical Library, 22 Vault 38 ff., pergamino, 210 × 150 mm, s. XV (datado: año 1467), origen: Padua (copista: Jacobus de Milisapris). Spher.: ff. 1r-22r. 423 De pergamino son los ff. 72-85; de papel, los ff. 1-71, donde se incluye U.C. 1. 424 Las U.C. 2-4 datan del s. XIV y la U.C. 5, del s. XIII. 425 La U.C. 1 comparte lugar de copia con U.C. 2-3; en cambio, U.C. 4-5 tienen su origen en Francia. 191 https://pre1600ms.beinecke.library.yale.edu/docs/pre1600.ms556.htm http://digital-scriptorium.org/xtf3/search?rmode=digscript;smode=advanced;field1=text;term1=Sacro%20Bosco;join1=token;operator1=and;field2=text;join2=token;operator2=and;field3=text;join3=token;datetype=range;docsPerPage=1;startDoc=5;fullview=yes https://findit.library.yale.edu/catalog/digcoll:3586939 https://orbis.library.yale.edu/vwebv/holdingsInfo?bibId=9604208 https://pre1600ms.beinecke.library.yale.edu/docs/MS797.pdf?_ga=2.106209546.826719447.1621934419-1868325838.1620811230 https://collections.library.yale.edu/catalog/10952178 http://digital-scriptorium.org/xtf3/search?rmode=digscript;smode=advanced;field1=text;term1=Sacro%20Bosco;join1=token;operator1=and;field2=text;join2=token;operator2=and;field3=text;join3=token;datetype=range;docsPerPage=1;startDoc=7;fullview=yes http://digital-scriptorium.org/xtf3/search?rmode=digscript;smode=advanced;field1=text;term1=Sacro%20Bosco;join1=token;operator1=and;field2=text;join2=token;operator2=and;field3=text;join3=token;datetype=range;docsPerPage=1;startDoc=7;fullview=yes https://orbis.library.yale.edu/vwebv/holdingsInfo?searchId=3043&recCount=50&recPointer=4&bibId=9869279 https://pre1600ms.beinecke.library.yale.edu/docs/pre1600.ms977.htm?_ga=2.152267312.826719447.1621934419-1868325838.1620811230 https://collections.library.yale.edu/catalog/10517522 http://digital-scriptorium.org/xtf3/search?rmode=digscript;smode=advanced;field1=text;term1=Sacro%20Bosco;join1=token;operator1=and;field2=text;join2=token;operator2=and;field3=text;join3=token;datetype=range;docsPerPage=1;startDoc=8;fullview=yes http://digital-scriptorium.org/xtf3/search?rmode=digscript;smode=advanced;field1=text;term1=Sacro%20Bosco;join1=token;operator1=and;field2=text;join2=token;operator2=and;field3=text;join3=token;datetype=range;docsPerPage=1;startDoc=8;fullview=yes https://orbis.library.yale.edu/vwebv/holdingsInfo?searchId=3043&recCount=50&recPointer=3&bibId=9892221 https://pre1600ms.beinecke.library.yale.edu/docs/ms1024.pdf?_ga=2.51612064.826719447.1621934419-1868325838.1620811230 https://collections.library.yale.edu/catalog/2011764 http://digital-scriptorium.org/xtf3/search?rmode=digscript;smode=advanced;field1=text;term1=Sacro%20Bosco;join1=token;operator1=and;field2=text;join2=token;operator2=and;field3=text;join3=token;datetype=range;docsPerPage=1;startDoc=1;fullview=yes http://digital-scriptorium.org/xtf3/search?rmode=digscript;smode=advanced;field1=text;term1=Sacro%20Bosco;join1=token;operator1=and;field2=text;join2=token;operator2=and;field3=text;join3=token;datetype=range;docsPerPage=1;startDoc=1;fullview=yes https://orbis.library.yale.edu/vwebv/holdingsInfo?searchId=3079&recCount=50&recPointer=10&bibId=9893300 https://findit.library.yale.edu/catalog/digcoll:4897626 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/85#6_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=31487 https://orbis.library.yale.edu/vwebv/holdingsInfo?searchId=3043&recCount=50&recPointer=1&bibId=4470180 LA OBRA DE SACROBOSCO El manuscrito contiene la Spher. y la Theorica planetarum. Faye y Bond (1962, 57, n.º 22). Findit (cons. 25/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Orbis (cons. 25/05/2021). 453. New York, Columbia University, The Library of George A. Plimpton, 182 1 f., pergamino, 230 × 130 mm, s. XIVin., origen: desconocido. Spher.: f. 1r-v (fragmento)426. El folio tan solo presenta este fragmento, que contiene glosas marginales. De Ricci y Wilson (1937, vol. 2, 1786); Ives (1942, 42). Jordanus (cons. 16/04/2021). 454. New York, Columbia University, The Library of George A. Plimpton, 183 35 ff., pergamino, 280 × 200 mm, s. XVmed., origen: desconocido (prov.: colección personal de Leo S. Olschki). Spher.: ff. 1r-35r. Tan solo contiene esta obra. D.E. Smith (1908, 453-4); De Ricci y Wilson (1937, vol. 2, 1786, n.º 183); Ives (1942, 42); Thorndike (1949a, v); Glorieux (1971, 235). Digital Scriptorium (cons. 15/12/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 455. New York, Columbia University, The Library of George A. Plimpton, 184 24 ff., papel, 200 × 140 mm, s. XVmed., origen: Alemania. Algor.: ff. 1r-10v. Obras gramaticales exclusivamente. D.E. Smith (1908, 450-1); De Ricci y Wilson (1937, vol. 2, 1786); Ives (1942, 42). Jordanus (cons. 16/04/2021). 456. New York, Columbia University, The Library of George A. Plimpton, 185 10 ff.427, papel, 200 × 140 mm, s. XV, origen: ¿norte de Francia? Algor.: ff. 3r-10v (acéfalo)428. Tan solo contiene este fragmento. De Ricci y Wilson (1937, vol. 2, 1786); Ives (1942, 42). Jordanus (cons. 16/04/2021). 457. New York, Columbia University, Rare Book and Manuscript Library, 14429 271 ff., papel, 217 × 153 mm, s. XV (datado: año 1476), origen: Basilea. Spher.: ff. 4r-29r; Algor.: ff. 211r-222r. Obras de astronomía (incluida la Theorica planetarum) con tablas, aritmética, cómputo, un tratado de música y otro de medicina. Narducci (1892, 202-4, n.º 348 [329]); De Ricci y Wilson (1937, vol. 2, 1260-1, n.º 14). Digital Scriptorium (cons. 29/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 426 El frag. se corresponde con parte del capítulo segundo de la obra. Inc.: De sex circulis maioribus (Thorndike, 1949a, 92). 427 De los que faltan los dos primeros con el comienzo del Algor. 428 El texto comienza unas líneas antes del capítulo sobre la adición, por lo que falta la introducción y el capítulo sobre la numeración. Inc.: figuram loco millenarii poniam competenter potest poni quidam punctus ad denotandum. 429 También se cita con la signatura «X.510.H.74 (319232)». 192 https://findit.library.yale.edu/catalog/digcoll:4900346 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/95#1_58 https://orbis.library.yale.edu/vwebv/holdingsInfo?searchId=3043&recCount=50&recPointer=0&bibId=4684904 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/145#1_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/146#335799 http://digital-scriptorium.org/xtf3/search?rmode=digscript;smode=advanced;field1=text;term1=Sacro%20Bosco;join1=token;operator1=and;field2=text;join2=token;operator2=and;field3=text;join3=token;datetype=range;docsPerPage=1;startDoc=9;fullview=yes http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/146#1_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/147#1_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/148#1_58 http://ds.lib.berkeley.edu/X510.H74_20 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/105#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/new-york-columbia-university-rare-book-and-manuscr-manuscript/2516 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/145#222224 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/148#222226 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/148#222226 La tradición manuscrita 458. New York, Cornell University (Ithaca), Misc. Bd. 146 28 ff., papel, 220 × 150 mm, s. XV (datado: ca. 1438), origen: Alemania. Algor.: ff. 1r-28v. El Algor. ocupa todo el manuscrito. De Ricci y Wilson (1937, vol. 2, 1237, n.º B.52). Cornell (cons. 29/05/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021). 459. New York, Public Library, Manuscripts and Archives Division, 69 N 141 + I ff., pergamino, 168 × 126 mm, s. XIIImed. (ante 1262), origen: París430 (prov.: colección personal de los editores Ellis y Scrutton). Compot.: ff. 14r-69v; Quadr.: ff. 70r-79v; Spher.: ff. 80r-113r; Algor.: ff. 115r-132v. Contiene un calendario al inicio, las obras de Sacrobosco y las Cautele algorismi. De Ricci y Wilson (1937, vol. 2, 1326, n.º 69); Thorndike (1949a, 68-9); Thorndike y Kibre (1963, 1003); Glorieux (1971, 235-6); O. Pedersen (1985, 185); Knorr (1997b, 215); Freeman (2005, 331-3). Digital Scriptorium (cons. 29/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 460. Nürnberg, Stadtbibliothek, Cent. V, 94 IV + 113 ff., pergamino, 215 × 180 mm, s. XIV1/2, origen: Italia (prov.: colección personal de Bernhard Walther). Algor.: ff. 1r-6r; Spher.: ff. 6v-15r; Compot.: ff. 15v-28r. Además de las obras de Sacrobosco, el ms. contiene obras de astronomía y cómputo, además de unas tablas. Zinner (1925, 152-4); Neske (1997, 115-7); Ambrosetti (2008, 371). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 29/05/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 461. Nürnberg, Stadtbibliothek, Cent. VII, 53 II + 167 ff., papel, 145 × 100 mm, s. XV, origen: Alemania. Algor.: ff. 142r-149r (incompleto)431. El manuscrito contiene los Disticha Catonis y tratados de gramática. Neske (1997, 185-7). Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 22/03/2021). 462. Oxford, Bodleian Library, Add. A 2 I + 56 ff., papel, 184 × 127 mm, s. XV, origen: norte de Italia. Spher.: ff. 1r-56v. Al parecer, la Spher. es la única obra del códice. Summary Cat. (1905, vol. 5, 502). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021). 463. Oxford, Bodleian Library, Add. C 93 6 ff., pergamino, 283 × 235 mm, s. XIVmed., origen: Inglaterra. Algor.: ff. 1v-5v (con glosas). 430 En Jordanus (cons. 16/04/2021) se postula un posible origen inglés. 431 El tratado tan solo llega hasta el inicio del capítulo sobre la sustracción. Faltan unas tres cuartas partes del tratado. Des.: Ponatur figura novenarii… 193 https://newcatalog.library.cornell.edu/catalog/3816453 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/79#1_58 http://ds.lib.berkeley.edu/NYPLMA069_41 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28597 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/229#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/new-york-new-york-public-library-manuscripts-and-a-manuscript/169037 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28598 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2774#1_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90606758,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/n%C3%BCrnberg-stadtbibliothek-cent-v-94-manuscript/136636 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2792#8_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90607772,T https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_39 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/229#1_58 LA OBRA DE SACROBOSCO Además del Algor. glosado, se incluyen un par de fragmentos que se corresponden con una obra sobre el cuadrante y el Carmen de algorismo. Summary Cat. (1905, vol. 5, 769-70); Ambrosetti (2008, 377). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 464. Oxford, Bodleian Library, Ashmole 342 Ox1 Ms. compuesto, 6 U.C. 153 ff., pergamino432, in quarto, s. XIIIex. (U.C. 6)433, origen: ¿Francia?434 (prov.: abadía de Bermondsey, Londres). U.C. 6 (ff. 138-153), Algor.: ff. 143r-147v. La U.C. 6 contiene tratados de cómputo y calendario, aritmética (incluido el Carmen de algorismo), astronomía, astrología y tablas, algunos de ellos en francés. Las U.C. 1-5 presentan una temática similar: astornomía y astrología, a menudo con tablas, tratados sobre el calendario y medicina; a menudo combinan el latín con el francés y/o el inglés. Quarto Cat. (1845, vol. 10, 239-45); Summary Cat. (1937, vol. 2.2, 1117, 1125, 1151). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 465. Oxford, Bodleian Library, Ashmole 360 Ms. compuesto, 8 U.C. 161 ff., papel y pergamino435, in quarto, s. XIVin. (U.C. 1), s. XIII (U.C. 7)436, origen: desconocido (U.C. 7)437. U.C. 1 (ff. 3-14d), Algor.: ff. 11r-14v (incompleto)438; U.C. 7 (ff. 138-150), Spher.: ff. 141r- 144v. La U.C. 1 contiene obras de aritmética, incluido el Carmen de algorismo. La U.C. 7 contiene, además de la Spher., una obra de cómputo y extractos teológicos. En el resto del códice abundan los tratados científicos (astronomía, aritmética, medicina, etc.). Algunas obras están compuestas en inglés y en francés. Quarto Cat. (1845, vol. 10, 271-6); Summary Cat. (1937, vol. 2.2, 1116-21); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 255-7); Ambrosetti (2008, 377). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); DIMEV (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021); Ptolemaeus (cons. 11/04/2021). 466. Oxford, Bodleian Library, Ashmole 361 Ms. compuesto, 2 U.C. II + 160 + II ff., pergamino, in quarto, s. XIVmed. (U.C. 2)439, origen: desconocido. 432 Excepto los ff. 130-137, que se corresponden con parte de la U.C. 5, que son de papel. 433 La U.C. 6 es la sección del manuscrito más antigua: las U.C. 1-2 se datan en el s. XIV y las U.C. 3- 5 fueron compuestas en el s. XV. 434 Estipulamos que es probable que el lugar de copia de este manuscrito sea Francia o sus alrededores puesto que algunas de las obras que contiene están escritas en francés. 435 Son de pergamino las U.C. 1, parte de la U.C. 3, y las U.C. 6-8. 436 Las U.C. 3 y 8 se escribieron en el s. XIV y el resto, en el s. XV. 437 Se sabe, en cambio, que las U.C. 2, 4 y 5 son de origen inglés. 438 El Algor. se presenta con el incipit alternativo Dicente Boetio in principio arsmetrice sue y finaliza en la progresión, faltando los capítulos de las raices cuadradas y cúbicas: des.: est summa tocius progressionis. Por otro lafo, en el explicit queda patente que se ha escrito como comentario al Carmen de algorismo, tratado que lo antecede: Expliciunt notule Algorismi cum textu precedente. 439 La U.C. 1, que realmente la componen las dos hojas del guarda del inicio con notas médicas y astronómicas, data del s. XV. 194 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_159 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7309#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-add-c-93-(s-c-30254)-manuscript/136952 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_325 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7267#38_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-ashmole-342-(s-c-6688-91-7-manuscript/2710 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_333 https://www.dimev.net/Records.php?MSS=BodAsh360VII http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7271#31_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-ashmole-360-(s-c-6641-6710-manuscript/12520 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/7271 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7271#162217 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7271#162217 La tradición manuscrita U.C. 2 (ff. 1-160), Algor.: ff. 119r-124v. La U.C. 2 contiene obras de astronomía y astrología, tablas, tratados sobre el cómputo, y aritmética (incluido el Carmen de algorismo); la U.C. 1 presenta notas médicas y obras astronómicas (incluida la Theorica planetarum). Quarto Cat. (1845, vol. 10, 276-80); Ambrosetti (2008, 377). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 467. Oxford, Bodleian Library, Ashmole 399 Ms. compuesto, 2 U.C. V (papel) + 71 + II + V (papel) ff., pergamino, 270 × 195 mm, s. XIIIex. (U.C. 1)440, origen: Inglaterra. U.C. 1 (ff. 1-32 y 35-71), Algor.: ff. 64r-66v441. Tratados científicos: sobre medicina (fisionomía, ginecología, órganos sexuales, el coito, anatomía, el estómago, la orina, el pulso y varias recetas), quiromancia, calendario y aritmética. Quarto Cat. (1845, vol. 10, 313-7); Summary Cat. (1937, vol. 2.2, 1118, 1125, 1143); Pächt y Alexander (1973, vol. 3, 472, n.º 442); Watson (1984, 6, n.º 35); Ambrosetti (2008, 376). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 468. Oxford, Bodleian Library, Ashmole 1285 Ms. compuesto, 14 U.C. I + 379 + I ff., pergamino, 180 × 155 mm, s. XIIex.-XIIIin. (U.C. 5-6)442, origen: Inglaterra (prov.: S. Mary Overey, Southwark). U.C. 5 (ff. 90-106), Spher.: ff. 101r-106v; U.C. 6 (ff. 107-117), Compot.: ff. 107r-116v. La U.C. 5 comprende tratados de aritmética y cómputo; la U.C. 6, en cambio, presenta el Compot. y una obra sobre el metro yámbico. El resto del códice contiene obras de carácter variado: filosofía, teología, medicina, pronósticos, doctrinales, decretos, epístolas, sermones, homilías, etc. Quarto Cat. (1845, vol. 10, 1044-50); Summary Cat. (1937, vol. 2.2, 1143, 1154); Moreton (1992, 167-70). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); DIAMM (cons. 11/04/2021); Galeno (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021); MLGB3 (cons. 11/04/2021). 469. Oxford, Bodleian Library, Ashmole 1522 203 ff., pergamino, in folio, s. XIVin., origen: Inglaterra (prov.: S. Mery the Virgin, Merton). Algor.: ff. 17ra-24vb; Spher.: ff. 25ra-40rb; Compot.: ff. 43ra-70ra. 440 Para la U.C. 1, Watson (1984, n.º 35) ofrece una datación de 1292 a juzgar por las tablas lunares y solares de ese año; aunque presenta añadidos del s. XIV. En lo que respecta a la U.C. 1, además, en el f. 13r aparece el siguiente colofón: Explicit phisonomia anno Iesu Xpi milesimo centesimo L.ii.; sin embargo, ya se advierte en Quarto Cat. (1845, vol. 10, 313) que «this colophon signifies that the book was composed in the year 1152, not that this MS. was then written», un apunte que demuestra con otros testigos de la misma obra que presentan un colofón idéntico. La U.C. 2, que tan solo comprende los ff. 33-34 con imágenes médicas, se data en el tercer cuarto del s. XIII. 441 El Algor. está íntegramente escrito en los márgenes de los folios como comentario al Carmen de algorismo. La mano del escriba es diferente y, según la paleografía, habría que datarla, al menos, en la segunda mitad del s. XIV. 442 Todas las U.C. se compusieron alrededor de estos siglos, excepto la U.C. 7, compuesta a principios del s. XIII y la U.C. 9, escrita en la segunda mitad del s. XII. 195 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_334 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7272#25_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-ashmole-361-manuscript/116356 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_343 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7276#7_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7284#338777 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_225 https://www.diamm.ac.uk/sources/3882/#/ http://www.galenolatino.com/index.php?id=12&L=&uid=138 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7284#12_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-ashmole-1285-(s-c-8221)-manuscript/10076 http://mlgb3.bodleian.ox.ac.uk/mlgb/book/5256/ LA OBRA DE SACROBOSCO Además de estas el manuscrito contiene, obras de aritmética (entre las que se cuenta el Carmen de algorismo), calendario, opúsculos sobre instrumentos de medida (cuadrante, astrolabio, cilindro astronómico, turquet), astronomía (incluida la Theorica planetarum), tablas y cómputo. Quarto Cat. (1845, vol. 10, 1425-30); Summary Cat. (1937, vol. 2.2, 1119, 1125); Glorieux (1971, 235-6); Pächt y Alexander (1973, vol. 3, 55, n.º 596); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 257); Ambrosetti (2008, 377). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021); MLGB3 (cons. 11/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 470. Oxford, Bodleian Library, Auct. F.5.23 Ms. compuesto, 8 U.C. VII + 219 ff., pergamino, 225 × 165 mm, s. XIII (U.C. 8)443, origen: Inglaterra (prov.: S. Mary, Coventry). U.C. 8 (ff. 207-216), Spher.: ff. 207r-212r; Algor.: ff. 212v-214v444. La U.C. 8 contiene la Spher. y una obra de aritmética. El resto del códice contiene tratados doctrinales, filosóficos, de agricultura, arquitectura, lógica, gramática y ciencias naturales. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 485-7); Ambrosetti (2008, 377). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Fama (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Medium (cons. 11/04/2021); Ptolemaeus (cons. 11/04/2021). 471. Oxford, Bodleian Library, Auct. F.5.25 Ms. compuesto, 8 U.C. III + 245 ff., pergamino, 190 × 120 mm, s. XIIIex. (U.C. 2)445, origen: ¿Inglaterra? (U.C. 2)446. U.C. 2 (ff. 37-45), Spher.: ff. 37r-45v. La U.C. 2 está enteramente compuesta por la Spher. El resto de U.C. presentan una temática muy variada: epístolas, fábulas, obras didáctico-morales, etc. Summary Cat. (1937, vol. 2.2, 816-7). Biblissima (cons. 11/04/2021); Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Bodleian Dig. (cons. 11/04/2021); Fama (cons. 11/04/2021); Medium (cons. 11/04/2021). 472. Oxford, Bodleian Library, Auct. F.5.29 Ms. compuesto, 3 U.C. VIII + 190 ff., pergamino, 215 × 155 mm, s. XIV1/2 (U.C. 1)447, origen: Inglaterra (prov.: colegio de S. Mary Winton, Oxford). U.C. 1 (ff. 1-131), Spher.: ff. 44v-51v; Compot.: ff. 111v-129v. La U.C. 1 contiene, además de estas, otras obras astronómicas, astrológicas, de cómputo y de aritmética. La U.C. 2 presenta extractos y comentarios a Euclides y la U.C. 3, la Ethica Nicomachea de Aristóteles en latín. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 462-4); R.M. Thomson (2011, vol. 1, 36-8, n.º 8). 443 Todas las U.C. compartes datación excepto U.C. 1 y 3, que fueron compuestas a inicios del s. XIV. 444 El Algor. presenta el inc. alternativo: Cum hec scientia de numeris que algorismus. 445 Las distintas partes del manuscrito difieren considerablemente en su datación. La más antigua, es la U.C. 4, compuesta en el s. XI; las U.C. 3 y 7 se escribieron en el s. XII; las U.C. 1 y 6, a principios del s. XIII; la U.C. 5, a finales del mismo s.; la U.C. 8, finalmente, data de inicios del s. XIV. 446 Mientras que la U.C. 8 tiene origen en Inglaterra y la U.C. 5 fue escrita específicamente en Gales, del resto de U.C. no se conoce un lugar de origen cierto: todas ellas podrían estar escritas en Inglaterra, pero no se puede afirmar con rotundidad. 447 Las U.C. 2-3 se escribieron a finales del s. XIII. 196 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_297 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28599 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7299#4_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-ashmole-1522-(s-c-6750-702-manuscript/136683 http://mlgb3.bodleian.ox.ac.uk/mlgb/book/3971/ http://ptolemaeus.badw.de/ms/554 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7327#338791 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_694 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28600 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7327#7_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/ark:/63955/md81wd378m4b https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/7327 https://iiif.biblissima.fr/collections/manifest/3f911c742025a43c47b8fb41380f397740e730b1?tify=%7b%22panX%22:0.456,%22panY%22:0.73,%22view%22:%22scan%22,%22zoom%22:0.602%7d https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_696 https://digital.bodleian.ox.ac.uk/objects/8f25310f-a87f-4412-9d66-bc5de27f549b/ http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28601 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100040383 La tradición manuscrita Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Fama (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); MLGB3 (cons. 11/04/2021). 473. Oxford, Bodleian Library, Bodley 26 Ox2 Ms. compuesto, 10 U.C. II + 209 ff., pergamino, 171 × 120 mm, s. XIII-XIV (U.C. 10)448, origen: Inglaterra (prov.: colección personal de Thomas Twyne). U.C. 10 (ff. 203-209), Algor.: ff. 203r-206v. La U.C. 10 contiene tratados de astrología y aritmética. En el resto de U.C., abundan los sermones y los tratados teológicos. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 91-2); Ambrosetti (2008, 377). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 474. Oxford, Bodleian Library, Bodley 177 Ms. compuesto, 4 U.C. V + 73 ff., pergamino, 276 × 206 mm, s. XIV4/4 (U.C. 3), origen: Inglaterra. U.C. 3 (ff. 33-52), Algor.: 45r-46v (incompleto)449. La U.C. 3 contiene un tratado sobre la orina, otro de quiromancia y astrología y estas obras de aritmética. El resto del códice sigue la temática científica con obras sobre astronomía, alquimia, filosofía, interpretación de sueños, aritmética, etc. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 195-6); Pächt y Alexander (1973, vol. 3, 98, n.º 1143); Watson (1984, 13, n.º 70); Ambrosetti (2008, 377). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Bodleian Dig. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021); MWM (cons. 11/04/2021). 475. Oxford, Bodleian Library, Bodley 472 XXVII + 224 ff., papel, 279 × 216 mm, s. XV (datado: año 1437), origen: Lovaina (prov.: colección personal de William Camden). Spher.: ff. 49ra-55rb. Obras de astronomía y astrología, incluyendo la Theorica planetarum, obras sobre instrumento de medida (cuadrante, astrolabio) y una tabla. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 394-6); Watson (1984, 17, n.º 94). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 476. Oxford, Bodleian Library, Bodley 491 V + 170 ff., pergamino, 235 × 178 mm, s. XIVex., origen: Inglaterra. Algor.: ff. 1r-8r; Spher.: ff. 8v-22r. Tratados de aritmética (incluido el comentario al Algor. de Pedro Filomena), astronomía (incluida la Theorica planetarum) y astrología con tablas. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 202-3); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 71, 168; 2002, 140); Ambrosetti (2008, 377). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 448 La U.C. 10 es la única escrita en el tránsito entre dos siglos: el resto de U.C. o bien fueron escritas en el s. XIII (1, 4, 7) o bien en el s. XIV (2, 3, 5, 6, 8, 9). 449 El Algor. empieza con su incipit habitual, pero, según Madan y Craster (1922, 195-6), tras el capítulo sobre la mediatio, sigue con el pasaje correspondiente al Carmen de algorismo. 197 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_700 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28602 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7329#7_58 http://mlgb3.bodleian.ox.ac.uk/mlgb/book/4385/ https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_1313 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7352#3_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-bodl-26-(s-c-1871)-manuscript/10083 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_1234 https://digital.bodleian.ox.ac.uk/objects/0c567080-ccd6-4d02-8755-0f15efd03f57/ http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7357#12_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-bodl-177-(s-c-2072)-manoscript/132298 https://www.dhi.ac.uk/mwm/browse?type=ms&id=100 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_1505 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7366#6_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-bodl-472-(s-c-2492)-manuscript/41820 http://ptolemaeus.badw.de/ms/556 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_1525 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28603 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7367#1_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-bodl-491-(s-c-2083)-manuscript/116357 http://ptolemaeus.badw.de/ms/653 LA OBRA DE SACROBOSCO 477. Oxford, Bodleian Library, Bodley 607 VI + 101 ff., pergamino, 152 × 111 mm, s. XVin., origen: Inglaterra. Spher.: ff. 45r-62v Tratados de astronomía, aritmética (incluido el Carmen de algorismo) y calendario, además de quiromancia, fisionomía, cómputo y un opúsculo sobre la navícula. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 187-8). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 478. Oxford, Bodleian Library, Bodley 679 II + 141 ff., pergamino, 127 × 86 mm, s. XIIIex., origen: Inglaterra (prov.: S. Augustine, Canterbury). Algor.: ff. 51v-56v450; Spher.: ff. 56v-64v. Obras de filosofía, alquimia, aritmética, astronomía y cómputo. Summary Cat. II/i (1922, 443-4); Thorndike y Kibre (1963, 301); Moreton (1992, 174-7). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Bodleian Dig. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021); MLGB3 (cons. 11/04/2021). 479. Oxford, Bodleian Library, Canon. Ital. 157 Ms. compuesto, 7 U.C. II + 81 ff., pergamino, 206 × 155 mm, s. XIV, origen: Italia. U.C. 3 (ff. 22-35), Spher.: ff. 22r-35v. La Spher. ocupa toda la U.C. 3. El resto de U.C. presenta obras de geometría, cómputo aritmética, retórica y filosofía (incluidos libros de Aristóteles y Séneca). Summary Cat. (1897, vol. 4, 415). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 480. Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 71 74 ff., pergamino, in quarto, s. XIII-XIV, origen: sur de Europa, ¿Francia? ¿Italia? (prov.: colección personal de Matteo Luigi Canonici). Compot.: ff. 31va-40v. Tratados de aritmética (incluidos dos con título de algorismo y el Carmen de algorismo), gramática, astronomía y astrología, física, cómputo, un calendario y un comentario a los evangelios; algunas obras tienen partes en francés y hay excerpta en italiano. Quarto Cat. (1854, vol. 3, 477-9). Bodleian Cat. (cons. 28/01/2022); Ptolemaeus (cons. 28/01/2022). 481. Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 105 Ms. compuesto, 2 U.C. 77 ff., pergamino, in quarto, s. XIII (U.C. 1) y XV (U.C. 2), origen: ¿Italia? U.C. 1 (ff. 1-63), Spher.: ff. 2r-11r; U.C. 2 (ff. 64-77), Algor.: ff. 70r-77v (mútilo)451. La U.C. 1 contiene comentarios a la Spher.452 y la U.C. 2, además del Algor., contiene un tratado sobre la luna. 450 En este manuscrito, el Algor. presenta el siguiente incipit: Cum hec scientia que algorismus vocatur. 451 Falta desde mitad del capítulo de la multiplicación en adelante. Des.: Ita quod digitus in digitum. 452 En los ff. 14r-37v, comentario con inc.: Aliquando modus sicut spera speram appetitus appetit, ita scribit philosophus tertio de anima Boetius; en los ff. 38r-63v, comentario con inc.: Seneca dicit in quadam epistola ad Lucillum, proiice [sic] omnia. 198 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_1619 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7376#6_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-bodl-607-(s-c-2058)-manuscript/172795 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_1670 https://digital.bodleian.ox.ac.uk/objects/220d2c8b-eb07-4a1b-84d2-9828f3ac7d5b/ http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7387#3_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-bodl-679-(s-c-2596)-manuscript/346 http://mlgb3.bodleian.ox.ac.uk/mlgb/book/1586/ https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_2590 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7445#7_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-canon-ital-157-(s-c-20209)-manuscript/20400 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_3637 https://ptolemaeus.badw.de/ms/652 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7457#233368 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7457#233368 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7457#233369 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7457#233369 La tradición manuscrita Quarto Cat. (1854, vol. 3, 499-500); Summary Cat. (1897, vol. 4, 401); Thorndike (1949°, 57-8); Glorieux (1971, 235-6); Ambrosetti (2008, 376). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 482. Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 156 309 ff., papel, in quarto, s. XV-XVI (datado: años 1500 y 1545), origen: desconocido. Algor.: ff. 292r-309v. Varios tratados de medicina (sobre enfermedades oculares, estomacales, recetas, experimentos, etc.), una epístola y el Algor. Quarto Cat. (1854, vol. 3, 530-2); Glorieux (1971, 235). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 483. Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 161 Ox3 44 ff., pergamino, 185 × 130 mm, s. XIII453, origen: desconocido (prov.: colección personal de Matteo Luigi Canonici). Algor.: ff. 1r-6r; Spher.: ff. 9r-20v; Compot.: ff. 21r-38r. Además de las obras de Sacrobosco, contiene las cautele y un calendario. Quarto Cat. (1854, vol. 3, 533-4); Summary Cat. (1897, vol. 4, 402); Thorndike (1949°, 58- 9); Glorieux (1971, 235-6); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 168, 259-60); Ambrosetti (2008, 376). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Bodleian Dig. (cons. 11/04/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 484. Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 393 107 ff., papel, 290 × 225 mm, s. XV (datado: año 1402), origen: Padua (copista: Johannutius de Albeto454). Algor.: ff. 92v-95v. Obras de filosofía, sobre las latitudes, sobre las proporciones, el Algor. y un libro sobre las obligaciones. Quarto Cat. (1854, vol. 3, 729-30); Summary Cat. (1897, vol. 4, 406); R.M. Thomson (2011, vol. 1, 95-6). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 485. Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 436 57 ff., papel, in folio, s. XV (datado: año 1468), origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-7v. Obras sobre astronomía y un opúsculo acerca del astrolabio. Quarto Cat. (1854, vol. 3, 764-5); Summary Cat. (1897, vol. 4, 408). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 486. Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 561 106 ff., pergamino, in quarto, s. XV, origen: norte de Italia. Spher.: ff. 54-61v; Algor.: ff. 75r-81v. 453 F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 259) data el códice en el s. XIV. 454 De este copista no sabemos más que su nombre en este manuscrito, de quien además se dice artium studens. 199 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_3122 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7457#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-canon-misc-105-(s-c-19581)-manuscript/136677 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_3173 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7460#2_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-canon-misc-156-(s-c-19632)-manuscript/129398 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/person_2384880 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_3178 https://digital.bodleian.ox.ac.uk/objects/d7ca590b-865d-46a9-9652-ce74801a5601/ http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28604 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7461#1_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-canon-misc-161-(s-c-19637)-manuscript/136678 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_3422 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7482#4_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-canon-misc-393-(s-c-19869)-manuscript/169821 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_3470 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-canon-misc-436-(s-c-19912)-manuscript/22749 LA OBRA DE SACROBOSCO Además de estas, el manuscrito contiene únicamente obras sobre el cómputo. Quarto Cat. (1854, vol. 3, 862-3); Summary Cat. (1897, vol. 4, 405); Pächt y Alexander (1970, vol. 2, 805). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 487. Oxford, Bodleian Library, Digby 15 135 ff., pergamino, in octavo, s. XVmed., origen: ¿Inglaterra? Spher.: ff. 19v-58r. Obras de aritmética y matemática (incluido el Carmen de algorismo y la Theorica planetarum), cómputo y calendario, astronomía y física. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 70); Quarto Cat. (1999, vol. 9, 11); Hunt y Watson (1999, 12). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 488. Oxford, Bodleian Library, Digby 81 Ms. compuesto, 6 U.C. 140 ff., papel y pergamino, in quarto, s. XV (U.C. 1)455, origen: Inglaterra (U.C. 1)456. U.C. 1 (ff. 1-65), Spher.: ff. 1r-6v. La U.C. 1 contiene obras de astronomía, cómputo y aritmética, además del comentario de Novo Mercatu al Carmen de algorismo. El resto de U.C. siguen la misma temática e incluyen tablas y calendarios. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 72); Quarto Cat. (1999, vol. 9, 86-8); Hunt y Watson (1999, 43-4); Pächt y Alexander (1966, vol. 1, 770). Biblissima (cons. 05/04/2021); Bodleian Cat. (cons. 05/04/2021); Bodleian Dig. (cons. 05/04/2021); DigiPal (cons. 11/04/2021); Durham Priory (cons. 05/04/2021); Jonas (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); MLGB3 y MLGB3 (cons. 11/04/2021). 489. Oxford, Bodleian Library, Digby 93 Ms. compuesto, 2 U.C. I + I (papel) + 191 + I (papel) ff., papel y pergamino457, in quarto, s. XIV (U.C. 2)458, origen: Inglaterra. U.C. 2 (ff. 9-191), Spher.: ff. 11r-27r. La U.C. 2 contiene obras exclusivamente astronómicas, al igual que la U.C. 1. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 73); Quarto Cat. (1999, vol. 9, 102-3); Hunt y Watson (1999, 51). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Bodleian Dig. (cons. 11/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021); MLGB3 (cons. 11/04/2021). 490. Oxford, Bodleian Library, Digby 97 291 ff., pergamino, in quarto, s. XV (datado: año 1432), origen: Inglaterra 455 Las U.C. 1-5 se datan en el s. XV, mientras que la U.C. 6 se escribió en el s. X-XI. 456 Las demás U.C. presentan un origen desconocido, excepto la U.C. 5, escrita en el norte de Francia. 457 No se especifican qué folios son de papel y cuáles de pergamino; en Macray (1999, 102) se lee: Chartaceus, foliis membranaceis hic illic interjectis. 458 La U.C. 1 data del s. XIII. 200 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_3607 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7493#2_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-canon-misc-561-(s-c-20037)-manuscript/191798 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_4266 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7511#3_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-digby-15-(s-c-1616)-manuscript/149969 https://iiif.biblissima.fr/collections/manifest/32a8c1e78f2a3871ff9dbc44953b9333392c3fcd https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_4421 https://digital.bodleian.ox.ac.uk/objects/b17e93d3-aa72-415c-a07c-2e3d3f2b4b0f/ http://digipal.cch.kcl.ac.uk/digipal/manuscripts/1265/?result_type=manuscripts&terms=+&basic_search_type=hands&page=141 https://www.durhampriory.ac.uk/mediawiki/Oxford_Bodleian_Digby_MS_81 http://jonas.irht.cnrs.fr/manuscrit/40203 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7532#2_58 http://mlgb3.bodleian.ox.ac.uk/mlgb/book/5451/ http://mlgb3.bodleian.ox.ac.uk/mlgb/book/2430/ https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_4433 https://digital.bodleian.ox.ac.uk/objects/a569ab1e-abf7-4909-b961-29648c3e9675/ http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-digby-93-(s-c-1694)-manuscript/116358 http://mlgb3.bodleian.ox.ac.uk/mlgb/book/6638/ La tradición manuscrita Algor.: ff. 156v-164r459. Obras astrológicas, astronómicas (incluida la Theorica planetarum) y matemáticas (incluido un comentario al Algor.) con numerosas tablas, además de un par de textos de teológico- morales. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 73); Quarto Cat. (1999, vol. 9, 105-8); Hunt y Watson (1999, 52-3). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 491. Oxford, Bodleian Library, Digby 98 Ms. compuesto, 8 U.C. II + 264 ff., papel y pergamino460, 220 × 150 mm, s. XIII2/2 (U.C. 5)461, origen: ¿Lincoln? U.C. 5 (ff. 162-176), Spher.: ff. 171r-176v. La U.C. 5 contiene dos obras sobre instrumentos de medida (cuadrante y cilindro astronómico) y dos sobre la esfera. El resto de U.C. también presentan contenidos científicos: astronomía (incluida la Theorica planetarum) y astrología, geología, gramática, medicina, aritmética, etc. en ocasiones escritos en inglés o francés. Quarto Cat. (1999, vol. 9, 108-13); Hunt y Watson (1999, 53-5); R.M. Thomson (2013, vol. 2, 131-6, n.º 96). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jonas (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 492. Oxford, Bodleian Library, Digby 166 Ms. compuesto, 8 U.C. 110 ff., pergamino, in folio, s. XIIIex., origen: Inglaterra (prov.: biblioteca personal de Thomas Allen). U.C. 3 (ff. 21-35), Spher.: ff. 21r-26v. La U.C. 3, además de la Spher., contiene obras concernientes a la guerra de Troya, incluida la Historia de excidio Troiae de Dares Frigio. El resto del códice presenta contenidos variados: comentarios a las obras de Sacrobosco (incluido el de Pedro de Dacia sobre el Algor.), obras de geometría, maravillas del mundo, epístolas, poemas y sentencias. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 74); Thorndike (1949a, 59); Glorieux (1971, 235-6); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 71-2); Quarto Cat. (1999, vol. 9, 166-8); Hunt y Watson (1999, 74-5); Ambrosetti (2008, 376). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Fama (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 493. Oxford, Bodleian Library, Digby 190 Ms. compuesto, 9 U.C. III + 210 ff., pergamino, 285 × 215 mm, s. XIV (U.C. 9)462, origen: Inglaterra (prov.: biblioteca personal de Thomas Allen). U.C. 9 (ff. 128-209), Algor.: ff. 169v-175r. 459 El incipit de la obra no responde al habitual, sino que comienza de la siguiente manera: Dicente Boicio in principio arismatice omnia que sunt a primeva rerum origine processerunt. 460 De papel son las U.C. 1 y 3, mientras que de pergamino son las U.C. 2 y 4-8. 461 La datación de las U.C. es variable: la U.C. 2 data de mediados del s. XII, mientras que las U.C. 1, 3-4 y 6-8 fueron compuestas en el s. XV. 462 Todas las U.C. fueron escritas en el s. XIV excepto la U.C. 2, que data del s. XIII. 201 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_4437 https://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-digby-97-(s-c-1698)-manuscript/116275 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_4438 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28605 http://jonas.irht.cnrs.fr/manuscrit/73647 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7536#24_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-digby-98-(s-c-1699)-manuscript/41170 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_4284 http://fama.irht.cnrs.fr/en/manuscrit/28606 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7543#2_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-digby-166-(s-c-1767)-manuscript/9140 LA OBRA DE SACROBOSCO La U.C. 9 contiene obras de aritmética (incluido el Carmen de algorismo), sobre el color y una parte del Ptolomeo latino. El resto del códice presenta libros de filosofía natural, astronomía, cómputo y aritmética. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 75); Quarto Cat. (1999, vol. 9, 201-4); Hunt y Watson (1999, 86-8); Ambrosetti (2008, 377); R.M. Thomson (2011, vol. 1, 148-9). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); MLGB3 y MLGB3 (cons. 11/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 494. Oxford, Bodleian Library, Digby 193 36 ff., pergamino, in folio, s. XIV, origen: desconocido (prov.: biblioteca personal de Thomas Allen). Spher.: ff. 17r-22v; Algor.: ff. 32r-34v (acéfalo)463. Obras de astronomía, aritmética, incluido un comentario sobre el Algor., las Cautele algorismi y tratados de piedras y gemas. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 75); Quarto Cat. (1999, vol. 9, 207-9); Hunt y Watson (1999, 89); Glorieux (1971, 235); Ambrosetti (2008, 377). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Computus (cons. 11/04/2021); Fama (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 11/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 495. Oxford, Bodleian Library, Digby 215 98 ff., papel, in folio, s. XVmed., origen: norte de Italia. Spher.: ff. 1r-5v. Obras de astronomía y cómputo. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 75); Quarto Cat. (1999, vol. 9, 228-9); Hunt y Watson (1999, 89); Pächt y Alexander (1970, vol. 2, 808). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021). 496. Oxford, Bodleian Library, Digby 228 79 ff., pergamino, in folio, s. XIV, origen: Inglaterra. Spher.: ff. 61va-65vb. Obras de astronomía y astrología, a veces con tablas, obras sobre el cómputo, el pseudo- aristotélico Secretum secretorum y un tratado sobre la velocidad. Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 76); Thorndike (1949a, 59-60); Glorieux (1971, 235); Quarto Cat. (1999, vol. 9, 239-42); Hunt y Watson (1999, 98); Paravicini Bagliani (2001, 36-7); Juste (2007, 348-50); Lohr y Nothaft (2019, 35). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Fama (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Medium (cons. 11/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 497. Oxford, Bodleian Library, Douce 87 Ms. compuesto, 4 U.C. I + 43 ff., pergamino, 213 × 159 mm, s. XVin. (U.C. 2)464, origen: desconocido. Spher.: ff. 9r-24v (mútilo)465. La U.C. 2 contiene únicamente la Spher., mientras que la U.C. 1 versa sobre medicina, U.C. 3 contiene parte de un calendario y U.C. 4 contiene recetas médicas en inglés. 463 Faltan tres folios al inicio; el tratado comienza con el capítulo de la sustracción. 464 Todas las U.C. datan del s. XV excepto la primera, escrita en el s. XIII. 465 Al tratado le faltan las últimas líneas del tercer capítulo y el cuarto completo. Des.: ex termino 6 climatis. 202 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_4310 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7549#10_58 http://mlgb3.bodleian.ox.ac.uk/mlgb/book/4373/ http://mlgb3.bodleian.ox.ac.uk/mlgb/book/4400/ http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-digby-190-(s-c-1791)-manuscript/136679 http://ptolemaeus.badw.de/ms/199 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_4313 https://computus.lat/ms/253 http://fama.irht.cnrs.fr/en/manuscrit/28607 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7551 https://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-digby-193-(s-c-1794)-manuscript/136680 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_4337 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_4350 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/27932 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7556#13_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=17961 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-digby-228-(s-c-1829)/37583 http://ptolemaeus.badw.de/ms/654 La tradición manuscrita Summary Cat. (1897, vol. 4, 516). Bodleian Cat. (cons. 06/04/2021); Bodleian Arch. (cons. 06/04/2021); MedCat (cons. 11/04/2021). 498. Oxford, Bodleian Library, Douce 129 Ms. compuesto, 2 U.C. IV + 39 ff., pergamino, 240 × 180 mm, s. XIVex., origen: Inglaterra. U.C. 1 (ff. 1-28), Compot.: ff. 2r-28v. La U.C. 1 tan solo contiene el Compot.; la U.C. 2 únicamente presenta una crónica inglesa (escrita en latín). Summary Cat. (1897, vol. 4, 530-2); Pächt y Alexander (1973, vol. 3, 707); Ambrosetti (2008, 377). Biblissima (cons. 11/04/2021); Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Bodleian Dig. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); MLGB3 (cons. 11/04/2021). 499. Oxford, Bodleian Library, Douce 257 II + 103 ff., pergamino, 190 × 146 mm, s. XIV (datado: año 1381)466, origen: Inglaterra. Algor.: 1r-17r467. El códice, además del Algor. y el Carmen de algorismo, contiene otros dos tratados científicos: uno sobre cómputo y el otro sobre varias ciencias (gramática, lógica…). Summary Cat. (1897, vol. 4, 569-70); Pächt y Alexander (1973, vol. 3, 1146); Ambrosetti (2008, 377). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 500. Oxford, Bodleian Library, Fairfax 27 Ms. compuesto, 3 U.C. II + 95 ff., pergamino, 180 × 132 mm, s. XIVin. (U.C. 3)468, origen: Inglaterra. U.C. 3 (ff. 26-95), Spher.: ff. 59r-66v. La U.C. 3 contiene tratados sobre aritmética (incluido el Carmen de algorismo y la Theorica planetarum), cómputo y calendario, medicina, astrología y astronomía. Las otras dos U.C. contienen normas sobre cómo escribir cartas, un tratado sobre acentuación de palabras y una epístola. Summary Cat. (1937, vol. 2.2, 785-6, n.º 3907). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); DIAMM (cons. 11/04/2021); Fama (cons. 11/04/2021); Jonas (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021); MLGB3 (cons. 11/04/2021). 501. Oxford, Bodleian Library, Laud. Misc. 644 Ox4 227 ff., pergamino, in folio, s. XIII3/4, origen: Bayeux, Francia. Algor.: ff. 127v-131r469. Obras de astronomía (incluida la Theorica planetarum) y astrología con tablas, además de tratados aritméticos, un cómputo y una obra de geometría. 466 Aunque la decoración se añadió un siglo después. 467 Los capítulos del Algor. se van alternando con los capítulos correspondientes del Carmen de algorismo. 468 La U.C. 1 data del s. XIII y la U.C. 2, del s. XII. 469 El incipit de la obra no es el acostumbrado, pues comienza así: Quoniam dicitur a boecio in principio arismetice omnia quecumque a primeva rerum origine constituta sunt. 203 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_4745 https://archives.bodleian.ox.ac.uk/repositories/2/archival_objects/171547 https://medcat.sciencia.cat/ca/medcat?ms=2153 https://iiif.biblissima.fr/collections/manifest/2406f7fc53e49665feac9d6415e6cf2139ec7dbc https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_4505 https://digital.bodleian.ox.ac.uk/objects/709c1f40-27ea-47df-8ff3-5ed378d2daad/ http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7562#3_58 http://mlgb3.bodleian.ox.ac.uk/mlgb/book/2431/ https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_4606 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7563#1_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-douce-257-(s-c-21831)-manuscript/136681 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_4862 https://www.diamm.ac.uk/sources/516/#/ http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28608 http://jonas.irht.cnrs.fr/manuscrit/76189 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7573#6_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-fairfax-27-(s-c-3907)-manuscript/137346 http://mlgb3.bodleian.ox.ac.uk/mlgb/book/455/ LA OBRA DE SACROBOSCO Summary Cat. (1922, vol. 2.1, 63); Quarto Cat. (1858-85, vol. 2, 465-6); Pächt y Alexander (1966, vol. 1, 41, n.º 529); Watson (1984, 102, n.º 622); F.S. Pedersen (2002, 147-8); Lohr y Nothaft (2019, 35-6). Biblissima (cons. 11/04/2021); Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Bodleian Dig. (cons. 11/04/2021); Ptolemaeus (cons. 11/04/2021). 502. Oxford, Bodleian Library, Lyell 36 187 ff., papel y pergamino, ca. 200 × 135 mm, s. XV2/2, origen: Inglaterra. Spher.: ff. 2r-10v (acéfalo y mútilo)470. Obras de astronomía y astrología, tablas, tratados de geometría, aritmética, ciencias naturales, pronósticos y ginecología. Mare (1971, 92-101). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021). 503. Oxford, Bodleian Library, Lyell 52 I + 76 ff., pergamino, 230-233 × 160-165 mm, s. XIV, origen: Italia. Algor.: ff. 35r-48v471. Además de esta obra, el manuscrito contiene tratados matemáticos y astronómicos, incluidas tablas solares y de movimientos planetarios. Mare (1971, 143-6). Bodleian Cat. (cons. 28/01/2022); Bodleian Dig. (cons. 28/01/2022). 504. Oxford, Bodleian Library, Rawlinson C 677 II + 184 ff., pergamino, 285 ×.200 mm, s. XIV-XVin., origen: Inglaterra. Spher.: ff. 104r-109v. Obras científicas: sobre astronomía, astrología, medicina, retórica, lógica y filosofía, además de varios comentarios sobre estas. Summary Cat. (1895, vol. 3, 218); Quarto Cat. (1893, vol. 5.3, 345-7); R.M. Thomson (2011, 179-80, n.º 141). Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021); MLGB3 (cons. 11/04/2021). 505. Oxford, Bodleian Library, Savile 17 III + 201 ff., pergamino, 239 × 163 mm, s. XIV2/4, origen: Inglaterra472. Algor.: ff. 94v-116r (con comentario); Spher.: ff. 122r-140v; Compot.: ff. 141r-174r; Algor.: ff. 192r-201v. Además de estas, contiene obras de cómputo y calendario, aritmética (incluido un comentario sobre el Algor., el Carmen de algorismo y las Cautele algorismi), astronomía (incluida la Theorica planetarum) y astrología y una obra sobre el astrolabio. Summary Cat. (1937, vol. 2.2, 1104-5); Pächt y Alexander (1973, vol. 3, 56, n.º 614); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 261-2); Ambrosetti (2008, 377). 470 El fragmento empieza en del primer capítulo (inc.: mundus esset alterius forme, Thorndike, 1949a, 80) y finaliza en la mitad del cuarto y ultimo capítulo (des.: Ex hiis itaque duobus motibus…, Thorndike, 1949a, 114). 471 Nótese que el inc. de este testimonio no es el usual, sino: Cum hec scientia de numeris que algorismus ab inventore ut ab algo quod est inductio. 472 Summary Cat. (1937, vol. 2.2, 1104-5), F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 261) y Ambrosetti (2008, 377), además de Jordanus (cons. 16/04/2021), datan el manuscrito en el s. XV sin ofrecer una explicación para esta fecha. A juzgar por la paleografía, una datación del s. XIV parece ser la más acertada. 204 https://iiif.biblissima.fr/collections/manifest/7a809cb5350166105ae5c664a07f9f994f0b6999 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_7430 https://digital.bodleian.ox.ac.uk/objects/e9e7f60a-80ed-4cb4-bbdf-875c1af9e77c/surfaces/33a05c85-e655-42df-944e-ea470bc5db04/ https://ptolemaeus.badw.de/ms/191 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_7767 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7583#3_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-lyell-36-manuscript/2715 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_7785 https://digital.bodleian.ox.ac.uk/objects/9f5382c3-9376-4943-9868-221db0e72953/surfaces/ad22374e-cd30-4ba8-ba4e-8b1413464b18/ https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_8317 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28609 https://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-rawlinson-c-677-(s-c-12521-manuscript/111818 http://mlgb3.bodleian.ox.ac.uk/mlgb/book/189/ http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7756#7_58 La tradición manuscrita Biblissima (cons. 11/04/2021); Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Bodleian Dig. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 506. Oxford, Bodleian Library, Tanner 192 124 ff., pergamino, in folio, s. XIV2/2, origen: Francia473. Algor.: ff. 24ra-30rb; Spher.: ff. 30va-43ra; Compot.: ff. 43ra-67ra. Obras de astronomía y astrología, cómputo y calendario y aritmética; también tiene opúsculos sobre instrumentos de medida (astrolabio, cuadrante, esfera armilar). Quarto Cat. (1860, vol. 4, 630-2); Summary Cat. (1895, vol. 3, 87); Pächt y Alexander (1966, vol. 1, 49); King (2001, 129-30); Ambrosetti (2008, 378). Biblissima (cons. 11/04/2021); Bodleian Cat. (cons. 11/04/2021); Bodleian Dig. (cons. 11/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 11/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 507. Oxford, Corpus Christi College, 41 Ox6 Ms. compuesto, 2 U.C. IV + 189 + IV ff., pergamino, ca. 170-180 × 135-140 mm, s. XIIIex.-XIVin., origen: Inglaterra. U.C. 1 (ff. 3-156), Algor.: ff. 78r-83v; U.C. 2 (ff. 157-185), Spher.: ff. 162v-172v. Obras astronómicas (incluida la Theorica planetarum), astrológicas, de instrumentos de medida (cuadrante) y filosóficas, incluidas sentencias. Coxe (1852, vol. 2, Corp. 14-5); Römer (1972, 291); Roberts y Watson (1990, 113); Ambrosetti (2008, 378); R.M. Thomson (2011, 21-2). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 508. Oxford, Corpus Christi College, 144 Ms. compuesto, 4 U.C. 126 ff., pergamino, 255 × 180 mm, s. XIV (U.C. 4)474, origen: desconocido. U.C. 4 (ff. 44-124), Algor.: ff. 123r-124v (incompleto)475. La U.C. 4 contiene obras sobre instrumentos astronómicos (albión, una especie de equatorium y uno al que llaman rectángulo) y sobre astronomía (incluido un fragmento de la Theorica planetarum). El resto de U.C. continúan la temática científica con tablas astronómicas y tratados de ciencias naturales. Coxe (1852, vol. 2, Corp. 56-7); Alexander y Temple (1985, 37, n.º 366); R.M. Thomson (2011, 72-3). Jordanus (cons. 16/04/2021). 509. Oxford, Corpus Christi College, 293B Ox5 Ms. compuesto, 11 U.C.476 473 King (2001, 129-130) sitúa el origen del códice al sur de la Península Ibérica. 474 No todas las U.C. presentan la misma fecha de composición: los ff. 1-16 de la U.C. 1 recogen un palimpsesto del s. XII, sobre el que se escribe otra obra en el s. XIV (fecha de composición del resto de la U.C. 1); la U.C. 2 fue escrita a inicios del s. XV y U.C. 3-4, en el s. XIV. 475 Tan solo contiene el capítulo de la resta. Inc.: Subtractio cum propositis duobus. Des.: subtractio additionis probatio et e converso. 476 Siguiendo el catálogo de R.M. Thomson (2011, 149-152), numeraremos las U.C. del ms. 293B con los números 7-17, respetando las 6 U.C. anteriores que forman parte del ms. 293A. Estos dos miembros fueron un solo manuscrito de 357 ff. hasta 1910, cuando se separó en dos códices distintos. 205 https://iiif.biblissima.fr/collections/manifest/8b0834d5ede7157ac283a5266279bfeffaec5f18 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_8814 https://digital.bodleian.ox.ac.uk/objects/05a42501-02a6-46f1-82f5-4f33413850f2/ http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7756#7_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-savile-17-(s-c-6563)-manuscript/116359 http://ptolemaeus.badw.de/ms/400 https://iiif.biblissima.fr/collections/manifest/d59ccdf457db2e6b873f4b75707a9ce4b45904a9 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_8985 https://digital.bodleian.ox.ac.uk/objects/9c3d36d0-6b4d-4d5e-9705-60d0fc24c267/ http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7783#7_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-tanner-192-(s-c-10018)-manuscript/136685 http://ptolemaeus.badw.de/ms/656 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28610 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7814#2_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7821#4_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7821#234082 LA OBRA DE SACROBOSCO 227 ff., pergamino, 185 × 130 mm (U.C. 14) y 190 × 135 mm (U.C. 15)477, s. XIIIex. (U.C. 14) y s. XIII (U.C. 15)478, origen: desconocido. U.C. 14 (ff. 138-191), Spher.: ff. 180r-191v; U.C. 15 (ff. 192-206), Algor.: ff. 192r-195v479; Compot.: ff. 196r-204r (mútilo). Tanto la U.C. 14 además de la Spher., contiene un tratado teológico; la U.C. 15, además de las obras de Sacrobosco, contiene un calendario y tablas. En el resto de U.C. no faltan las obras astronómicas y astrológicas, de medicina, filosofía y religiosas. Coxe (1852, vol. 2, Corp. 128-9); Römer (1972, 291); Roberts y Watson (1990, 122-4); Moreton (1992, 164-7); R.M. Thomson (2011, 149-52; 2011, vol. 1, 274, n.º 247). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 16/04/2021). 510. Oxford, Merton College, 16 Ms. compuesto, 2 U.C. IV + 283 ff., pergamino, 355 × 255 mm, s. XIVex. (U.C. 1)480, origen: Inglaterra. U.C. 1 (ff. 1-266), Compot.: ff. 221r-230v. Además de esta obra, la U.C. 1 contiene obras de carácter teológico y religioso (salmos, homilías, sermones, dogmas, etc.). La U.C. 2 contiene un salmo. Coxe (1952, vol. 2, 12-4); R.M. Thomson (2009, 25-6). Bodleian Cat. (cons. 29/05/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 511. Oxford, Merton College, 35 Ms. compuesto, 2 U.C. II + 247 ff., pergamino, 320 × 210 mm, s. XIVin., ¿sur de Francia? ¿Italia? (U.C. 2)481. U.C. 2 (ff. 235-247), Algor.: ff. 235r-235v (acéfalo)482, Spher.: ff. 240v-246. La U.C. 2 contiene, además de estas obras, tres tratados sobre el cuadrante y uno sobre el astrolabio. La U.C. 1., en cambio, presenta obras variadas (contra los herejes, filosofía, sermones, meditaciones, etc.). R.M. Thomson (2009, 41-2). Bodleian Cat. (cons. 29/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 512. Oxford, Merton College, 261 Ox7 Ms. compuesto, 4 U.C. IV + 114 ff., pergamino, 220 × 160 mm, s. XIIIex., origen: ¿Oxford?483 U.C. 1 (ff. 1-12), Algor.: ff. 1r-4v; Spher.: ff. 4v-11r. 477 Los folios del manuscrito presentan dimensiones distintas en virtud de la U.C. en que se encuentren. Las medidas generales oscilan entre 137-190 × 115-135 mm. 478 La datación del manuscrito abarca desde finales del s. XII (U.C. 13) hasta inicios del s. XIV (U.C. 16), siendo la mayoría de distintas décadas del s. XIII. 479 El Algor. presenta el incipit alternativo Dicente Boecio in principio arismetrice sue omnia que a primeva. 480 La U.C. 2 fue compuesta a inicios del s. XV. 481 La U.C. 1 probablemente tenga su origen en Oxford. 482 Tan solo contiene parte del capítulo final sobre raíces cuadradas y cúbicas. Inc.: et spissitudinem. Ita numerus. 483 Sobre este origen, en Bodleian Cat. (cons. 10/09/2021), se dice que «on f. 112v are notes of s. xiv on studies and lectures at Oxford (...). It is remarkable that none of the persons named can be securely identified. “Bokenham” was perhaps the theologian Thomas Buckingham, fellow of Merton in 1324, until 1340. In that case, “Westcot” cannot have been John Westcote, fellow of New College in 1380, d. by June 1418». 206 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7837#8_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-corpus-christi-college-293-b-manuscript/8758 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_10115 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-merton-college-16-manuscript/91476 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_10133 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28611 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-merton-college-35-manuscript/143788 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_10359 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/person_59886870 La tradición manuscrita La U.C. 1 tan solo contiene las obras de Sacrobosco. El resto de U.C. contienen obras de ciencia, filosofía y lógica. Coxe (1852, vol. 1, Merton. 103); R.M. Thomson (2009, 201-2). Bodleian Cat. (cons. 10/09/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 513. Oxford, New College, 285 Ms. compuesto, 5 U.C. II + 253 ff., pergamino, 250 × 185 mm, s. XIIIex.-XIVin., origen: Oxford. U.C. 2 (ff. 13-55), Spher.: ff. 33r-35v (mútilo)484. Además de esta obra, la U.C. 2 presenta libros de física y de filosofía natural. El resto de U.C. contienen tratados de carácter científico, especialmente sobre física. Coxe (1852, vol. 1, Novi 99-100); R.M. Thomson (2011, 365-8). Mirabile (cons. 29/05/2021). 514. Oxford, Saint John’s College, 178 Ms. compuesto, 6 U.C. III + 415 + V ff., pergamino, 190 × 140 mm, s. XIIIin., origen: Inglaterra (prov.: S. Peter, Westminster). U.C. 2 (ff. 9-144), Algor.: ff. 43v-53v; Spher.: ff. 53v-71r; Compot.: ff. 72r-103r. La U.C. 2 contiene, además de estas, obras sobre filosofía natural, un opúsculo sobre el cilindro astronómico y un comentario sobre aritmética. El resto del manuscrito contiene un bestiario, un calendario, obras filosóficas, médicas y matemáticas. Coxe (1852, vol. 2, Johan. 58-60); Hanna (2002, 249-54). Bestiary (cons. 29/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 16/04/2021). 515. Oxford, Saint John’s College, 188 Ms. compuesto, 10 U.C. III + 114 + I ff., pergamino, 175 × 135 mm, s. XIII2/2 (U.C. 1 y 3)485, origen: Inglaterra. U.C. 1 (ff. 1-16), Algor.: ff. 1ra-5ra; Spher.: ff. 5rb-13rb; U.C. 3 (ff. 24-40), Compot.: ff. 24ra-38vb. Las U.C. 1 y 3 prácticamente contienen tan solo las obras de Sacrobosco; el resto de U.C. recoge obras de aritmética (entre las que se cuenta el Carmen de algorismo), cómputo y astronomía, así como tratados de música y canto, física, etc. Coxe (1852, vol. 2, Johan. 63-4); Hanna (2002, 264-70). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 516. Oxford, Saint John’s College, 205 II + 124 + II ff., pergamino, 150 × 98 mm, s. XV, origen: Inglaterra (prov.: colección personal de William Lépau, arzobispo de Canterbury). Algor.: ff. 1r-23r; Spher.: ff. 23r-62r; Compot.: ff. 62v-123r. Tan solo contiene las obras de Sacrobosco. Coxe (1852, vol. 2, Johan. 72); Hanna (2002, 287-90). Bodleian Cat. (cons. 29/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 484 Tan solo se conserva el primer libro y parte del segundo (Coxe, 1852, vol. 1, Novi, 100). 485 El resto de U.C. se datan en diversos espacios temporales del s. XIII excepto U.C. 7, que fue compuesta a inicios del s. XIV y U.C. 10, escrita a medidados del s. XV. 207 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_10359 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28612 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7873#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-merton-college-261-manuscript/3090 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-new-college-285-manuscript/7224 http://bestiary.ca/manuscripts/manu1190.htm http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7902#7_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-saint-john-s-college-178-manuscript/14050 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7903#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-saint-john-s-college-188-manuscript/38399 https://medieval.bodleian.ox.ac.uk/catalog/manuscript_12205 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7905#1_58 LA OBRA DE SACROBOSCO 517. Oxford, University College, 26 150 ff., pergamino, in quarto, s. XV, origen: Inglaterra. Algor.: ff. 21r-26r; Spher.: ff. 92r-121v486. Obras de astronomía, cómputo y calendario y sobre la proporción. Coxe (1852, vol. 1, Univ. 7-8); Moreton (1992, 170-2); Ambrosetti (2008, 378). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 518. Oxford, University College, 41 77 ff., pergamino, in quarto, s. XIV, origen: Inglaterra (prov.: abadía de Shrewsbury). Algor.: ff. 16r-19v; Spher.: ff. 19v-25v. Obras de astronomía, astrología y cómputo, incluidos varios tratados de instrumentos de medida (cilindro astronómico, cuadrante, almanaque) y unas tablas. Coxe (1852, vol. 1, Univ. 12); F.S. Pedersen (1984, vol. 2, 736); Ambrosetti (2008, 378); Lohr y Nothaft (2019, 36-7). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 519. Padova, Biblioteca Civica, C.M. 215 Ms. compuesto, n.º de U.C. desconocido487. 57 ff., pergamino, medidas desconocidas, s. XV488, origen: desconocido (prov.: colección personal de Leonardo Loredan). Spher.: ff. 54v-57v. Tratados teológicos de carácter doctrinal y científicos: sobre animales, astronomía y botánica. Fama (cons. 28/05/2021); Medium (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 520. Padova, Pontificia Biblioteca Antoniana, 25 Ms. compuesto, 5 U.C. IV + 92 + II ff., papel, in quarto, s. XV, origen: desconocido (prov.: S. Antonio, Padua). U.C. 2 (ff. 34-51), Spher.: ff. 34r-50v. La U.C. 2 tan solo contiene la Spher. El resto del códice contiene obras de gramática, Salustio, Horacio y un tratado sobre prosodia. Minciotti (1842, 13-4); Abate y Luisetto (1975, vol. 1, 26-7); Cassandro et al. (2000, 62, n.º 44). Mirabile (cons. 30/05/2021); NBM (cons. 29/05/2021). 521. Padova, Pontificia Biblioteca Antoniana, 539 Ms. compuesto, 2 U.C. 70 ff., pergamino, 215 × 138 mm, s. XIV (U.C. 1)489, origen: desconocido (U.C.1)490. U.C. 1 (ff. 1-50), Spher.: ff. 1r-12r. 486 En algunos catálogos se atibuye a Sacrobosco el que en realidad es el anónimo Computus ecclesiasticus editado por Moreton (1992, 170). 487 No sabemos con certeza el número de U.C. que contiene el manuscrito. Agradecemos, sin embargo, a Vincenza Donvito, bibliotecaria de las Biblioteche Civiche, que nos ha proporcionado este dato. 488 Son del s. XV, al menos, los folios que contienen la Spher. El resto del manuscrito data de los ss. XIII-XIV. 489 La U.C. 2 es un palimpsesto cuya escritura inferior data del s. IX3/4, mientras que la superior data de los ss. XII-XIII. 490 La escritura inferior de la U.C. 2 probablemente fuera copiada en Francia. 208 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28613 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7912#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-university-college-(mss-in-deposito-presso--manuscript/10079 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28614 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7913#5_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-university-college-(mss-in-deposito-presso--manuscript/136687 http://ptolemaeus.badw.de/ms/560 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28616 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100034310 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/padova-biblioteca-civica-c-m-215-manuscript/84010 http://www.mirabileweb.it/manuscript/padova-biblioteca-antoniana-manoscritti-25-manuscript/215552 https://nbm.regione.veneto.it/Generale/ricerca/AnteprimaManoscritto.html?codiceMan=22677&tipoRicerca=S&urlSearch=area1%3DSacrobosco&codice=&codiceDigital La tradición manuscrita La U.C. 1 contiene, además de esta obra, un tratado sobre el cómputo y otro de astronomía. La U.C. 2 es un palimpsesto cuya escritura superior presenta una obra de filosofía. Minciotti (1842, 135); Abate y Luisetto (1975, vol. 2, 554-5). Fama (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 30/05/2021); NBM (cons. 29/05/2021). 522. Paris, Bibliothèque Interuniversitaire de la Sorbonne, 192 292 ff., papel, 298 × 205 mm, s. XV, origen: París (copista: Johannes Picot) (prov.: Collège de maître Gervais). Algor.: ff. 288r-292r. Obras sobre la vida de Cristo y los evangelios y el Algor. Chatelain (1888, 12); Boudet (2007, 36, n.º 65); Ambrosetti (2008, 355). Biblissima (cons. 30/05/2021); BVMM (cons. 30/05/2021); Calames (cons. 30/05/2021); Initiale (cons. 30/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Medium (cons. 30/05/2021). 523. Paris, Bibliothèque Interuniversitaire de la Sorbonne, 595 117 ff., pergamino, 282 × 200 mm, s. XIVin., origen: ¿París? (prov.: Collège de Louis-le- Grand). Algor.: ff. 9ra-16ra; Spher.: ff. 16rb-28va; Compot.: ff. 30va-55ra. Obras de astronomía (incluida la Theorica planetarum) y astrología, aritmética y calendario; se incluyen numerosos opúsculos sobre instrumentos de medida (cuadrante, esfera armilar, cilindro astronómico, astrolabio). Catalogue général (1918, 147-8); Zepeda (2018, 71-2). Biblissima (cons. 30/05/2021); BVMM (cons. 30/05/2021); Calames (cons. 30/05/2021); Initiale (cons. 30/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Medium (cons. 30/05/2021); Nubis (cons. 30/05/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 524. Paris, Bibliothèque Mazarine, 332 (1138) Ms. compuesto, 4 U.C. 143 ff., pergamino, 223 × 158 mm, s. XIV (U.C. 3)491, origen: ¿París? Spher.: ff. 121r-135v (mútilo)492. En la U.C. 3, la Spher. aparece con numerosas tablas al inicio. Las U.C. 1-2 contienen obras sobre la Biblia y la U.C. 4, un libro sobre el zodiaco. Molinier (1885, vol. 1, 120); Samaran y Marichal (1959, vol. 1, 440). Biblissima (cons. 30/05/2021); BVMM (cons. 30/05/2021); Calames (cons. 30/05/2021); Initiale (cons. 30/05/2021). 525. Paris, Bibliothèque Mazarine, 3516 (494) 156 ff., pergamino, 328 × 220 mm, s. XIV (datado: año 1392), origen: desconocido (prov.: Collège de Navarre, Francia). Algor.: ff. 79rb-83rb. El manuscrito contiene, además de esta, obras filosóficas. Molinier (1890, vol. 3, 117-8); Samaran y Marichal (1959, vol. 1, 311); Seńko (1982, 166- 9); Ambrosetti (2008, 356). Biblissima (cons. 30/05/2021); BVMM (cons. 30/05/2021); Calames (cons. 30/05/2021); Initiale (cons. 30/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 30/05/2021). 491 El resto de U.C. datan del s. XIII. 492 Falta el final de la obra. Des.: Ultra autem hoc septimum clima (Thorndike, 1949a, 112, con variantes). 209 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28615 http://www.mirabileweb.it/manuscript/padova-biblioteca-antoniana-manoscritti-539-manuscript/160136 https://nbm.regione.veneto.it/Generale/ricerca/AnteprimaManoscritto.html?codiceMan=24580&tipoRicerca=S&urlSearch=area1%3DSacrobosco&codice=&codiceDigital https://portail.biblissima.fr/fr/ark:/43093/mdata8e351930ec3f02fc920db0b443a4e88c2aab5886 https://bvmm.irht.cnrs.fr/consult/consult.php?REPRODUCTION_ID=13031 http://www.calames.abes.fr/pub/#details?id=UNIA10426 http://initiale.irht.cnrs.fr/codex/10716 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5611#2_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/ark:/63955/md82k643dg6b https://data.biblissima.fr/entity/Q216536 https://bvmm.irht.cnrs.fr/consult/consult.php?REPRODUCTION_ID=13074 http://www.calames.abes.fr/pub/#details?id=UNIA11400 http://initiale.irht.cnrs.fr/codex/10759 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5613#2_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/ark:/63955/md99n2970f6k https://nubis.univ-paris1.fr/ark:/15733/1556 http://ptolemaeus.badw.de/ms/568 https://portail.biblissima.fr/ark:/43093/ifdata41382c6186893458d8016d896eb62977bd3ab995 https://bvmm.irht.cnrs.fr/consult/consult.php?VUE_ID=1370905 http://www.calames.abes.fr/pub/#details?id=MAZA10611 http://initiale.irht.cnrs.fr/decor/73860 https://portail.biblissima.fr/fr/ark:/43093/ifdatab3bb937a9eaee6a250578fe556bc57271b9659ff https://bvmm.irht.cnrs.fr/consult/consult.php?reproductionId=14775 http://www.calames.abes.fr/pub/ms/MAZC11026 http://initiale.irht.cnrs.fr/decor/88214 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4130#2_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-mazarine-3516-manuscript/122290 LA OBRA DE SACROBOSCO 526. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Bibliothèque de l’Arsenal, 1127 84 ff., pergamino, 160 × 115 mm, s. XIV, origen: desconocido (prov.: colección personal del Marqués de Paulmy). Algor.: ff. 1r-15v; Compot.: ff. 16r-53r; Spher.: ff. 53v-74v. Además de las obras de Sacrobosco, contiene pronósticos y adivinaciones. Martin (1886, 294-5); Ambrosetti (2008, 355). Biblissima (cons. 30/05/2021); BNF Cat. (cons. 30/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 527. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Ital. 949 258 ff., papel, 204 × 143 mm, s. XIV-XV (datado: años 1398 y 1450), origen: Italia. Algor.: ff. 6r-16r. Excepto esta obra, el resto de tratados, que versan sobre aritmética y geometría, están escritos en italiano. Marsand (1838, 28-9); Ambrosetti (2008, 357). BNF Cat. (cons. 30/05/2021); Gallica (cons. 30/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 30/05/2021). 528. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 1093 84 ff., pergamino, 215 × 155 mm, s. XIII-XIV, origen: norte de Francia. Algor.: ff. 51r-54v (excerpta)493. El manuscrito contiene libros de himnos, obras sobre cómputo, astrología y calendario, el Carmen de algorismo y una obra sobre retórica. CGM (1939, vol. 1, 397-8). BNF Cat. (cons. 20/04/2022); Gallica (cons. 20/04/2022). 529. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 4038B 248 ff., papel y pergamino, medidas desconocidas, s. XIV-XV, origen: desconocido (prov.: colección personal del cardenal Guidi di Bagno). Spher.: ff. desconocidos (mútilo)494. El manuscrito contiene, a excepción de la Spher., textos documentales eclesiásticos: bulas papales, juicios, registros, etc. Lesage (1997, 108-13). BNF Cat. (cons. 30/05/2021); Juridica (cons. 20/04/2022). 530. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7194 162 ff., pergamino, 272 × 195 mm, s. XIV, origen: desconocido (prov.: biblioteca personal de Jacques-Auguste de Thou). Algor.: ff. 5r-10r; Spher.: ff. 10r-20r; Compot.: ff. 20r-38v. Además de las obras de Sacrobosco, contiene un tratado sobre el cuadrante, otro sobre el astrolabio, tablas astronómicas y la Theorica planetarum. Knorr (1997°, 39-44); Ambrosetti (2008, 357). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 30/05/2021). 493 En los márgenes de los folios donde está copiado el Carmen de algorismo, se encuentran algunos extractos del Algor. Aparece la introducción del tratado, prácticamente completo el capítulo de las raíces cuadradas y cúbicas, las reglas de la multiplicación y el capítulo sobre la progresión. 494 Sabemos que la obra ocupa el duodécimo lugar en el códice. Falta el final del tratado. 210 https://data.biblissima.fr/entity/Q113928 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc79147s http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28634 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4038#1_58 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc100480 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10035379c.r=italien%20949?rk=21459;2 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4199#3_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-it-949-manuscript/136451 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc590142 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9067726s/ https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc62779v http://manuscripts.rg.mpg.de/manuscript/6598/ https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc66375r http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28617 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10035380r http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4393#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7194-manuscript/136453 La tradición manuscrita 531. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7195 Pa4 146 ff., pergamino, 292 × 205 mm, s. XIIIex.-XIVin., origen: norte de Francia, ¿París? Algor.: ff. 1ra-6vb; Spher.: ff. 6vb-17va; Compot.: ff. 17vb-36ra. Contiene, además de estas, obras de astronomía, incluido un tratado sobre el cuadrante y la la Theorica planetarum. Glorieux (1971, 321); Knorr (1997°, 36-41); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 169); Panti (2001, 237); Ambrosetti (2008, 357); Lohr y Nothaft (2019, 37). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 30/05/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 532. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7196 35 ff., pergamino, 270 × 230 mm, s. XIV, origen: desconocido. Algor.: ff. 1ra-5ra; Compot.: ff. 5ra-5vb y 8ra-18rb; Spher.: ff. 18rb-25ra; Quadr.: ff. 25rb- 27va. Además de estas, el manuscrito contiene otra obra sobre el cuadrante, tablas y un tratado sobre geometría. Quentin-Bauchart (1891, 150); Glorieux (1971, 119, 236); Beaujouan (1991, XI, 116, 120, 121); Thorndike y Kibre (1963, 1003); O. Pedersen (1985, 185); Knorr (1997a, 61); Ambrosetti (2008, 357); Hadravová y Hadrava (2019, 28). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 29/03/2021); Jordanus (cons. 30/05/2021); Mirabile (cons. 30/05/2021). 533. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7197 I + 129 ff., papel, 285 × 257 mm, s. XV (datado: año 1446), origen: París. Algor.: ff. 3r-8r; Spher.: ff. 39r-50r. Obras de astronomía y astrología (incluidos tratados sobre objetos de medida, como el turquet, la Theorica planetarum y tablas), aritmética, cómputo y gramática. Samaran y Marichal (1981, vol. 4, 27); Ambrosetti (2008, 358); Juste (2015, 74-5). BNF Cat. (cons. 16/04/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 16/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 30/05/2021). 534. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7215 Pa1 I + 181 ff., pergamino, medidas desconocidas, s. XIII2/2 495, origen: desconocido (prov.: biblioteca personal de Jean-Baptiste Colbert). Algor.: ff. 116r-119v; Spher.: ff. 134ra-145va. Obras de matemática, astronomía (incluida la Theorica planetarum), aritmética y física. Busard y Folkerts (1992, 34-6). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 30/05/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 535. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7267 58 ff., pergamino, medidas desconocidas, s. XIIIex.-XIVin., origen: Italia. Spher.: ff. 1ra-4ra; Compot.: ff. 17rb-23vb. 495 Juste, en Ptolemaeus (cons. 26/03/2021), especifica, acerca del códice y su datación: «Made of several parts of the second half of the 13th century, each copied by a single neat hand. F. 1r-3v, 123r-124v, 132v-133v and 168r-170r were added by a single hand of the 14th c». 211 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc663760 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28618 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10025367r http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4394#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7195-manuscript/136454 http://ptolemaeus.badw.de/ms/99 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc663777 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28619 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b525088110 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4395#0_6 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7196-manuscript/122805 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc66378g http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28620 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b52514099s/f2.item.r=Lat http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4396#3_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7197-manuscript/136456 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc663994 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28621 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9066183f http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4414#10_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7215-manuscript/14949 http://ptolemaeus.badw.de/ms/102 http://ptolemaeus.badw.de/ms/102 LA OBRA DE SACROBOSCO Obras de astronomía y astrología (incluido un tratado sobre el cuadrante), tablas, cómputo, aritmética y geología. Delisle (1868b, 127, 130); Pellegrin (1955, 136-7); Thorndike (1957°, 112-72); Albertini (1991, 62); Knorr (1997°, 23-67); F.S. Pedersen (2002, 155-6); Juste (2015, 76). BNF Cat. (cons. 30/05/2021); Gallica (cons. 30/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 536. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7292 I + 357 ff., papel, 298 × 200 mm, s. XVmed., origen: sur de Francia. Spher.: ff. 281ra-287vb. Obras de astronomía, incluida una obra sobre el astrolabio y tablas, física, astrología y pronósticos y supersticiones. Thorndike (1957a, 121-5); Samaran y Marichal (1962, vol. 2, 514); Busard y Folkerts (1992, 71-2); Panti (2001, 222); Juste (2015, 83-4). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 30/05/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 537. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7294 56 ff., papel, 271 × 204 mm, s. XV (datado: año 1433), origen: Francia. Spher.: ff. 15v-20v (mútilo)496. Obras de astronomía (incluida la Theorica planetarum), varios opúsculos sobre instrumentos de medida (astrolabio, cilindro astronómico, cuadrante, reloj armilar), geometría y aritmética. Britt (1972, 310). Jordanus (cons. 16/04/2021). 538. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7298 Pa5 I + 176 ff., pergamino, 375 × 250 mm, s. XIIIex.-XIVin., origen: norte de Francia497. Algor.: ff. 15va-20rb; Spher.: ff. 20rb-29rb; Compot.: ff. 36va-54va. Obras de calendario y cómputo, astronomía y astrología (incluida la Theorica planetarum), tablas y aritmética. F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 264; 2002, 157-8); Knorr (1997°, 23-67); Panti (2001, 233-4); Ambrosetti (2008, 357); Lohr y Nothaft (2019, 38). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 30/05/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 539. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7363 45 ff., pergamino, medidas desconocidas, s. XIV, origen: desconocido. Algor.: 1r-7r; Spher.: 7v-19v; Compot.: 20r-39v. El manuscrito contiene las obras de Sacrobosco y otro tratado de astronomía. Albertini (1991, 64); Dal Masso y Toniato (2006, 355); Ambrosetti (2008, 357). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021). 496 Falta la mayor parte del capítulo 3 y el 4 entero. 497 La fecha de composición ha de ser posterior al año 1295, pues este se menciona en las tablas solares de los ff. 60-61. 212 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc664570 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b100352845 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4450#1_58 http://ptolemaeus.badw.de/ms/117 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc664893 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28622 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b525141760 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4475#14_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7292-manuscript/11343 http://ptolemaeus.badw.de/ms/121 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4477#3_58 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc66497t http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28623 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10721165n http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4481#4_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7298-manuscript/20572 http://ptolemaeus.badw.de/ms/175 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc66573m http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28624 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b100344728 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4545#1_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7363-manuscript/118116 La tradición manuscrita 540. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7366 103 ff., pergamino, medidas desconocidas, s. XIV, origen: desconocido (prov.: biblioteca personal de Jean-Baptiste Colbert). Algor.: ff. 13r-16r; Compot.: ff. 16r-26v; Spher.: ff. 26v-32v. Además de las obras de Sacrobosco, contiene otros tratados astronómicos (incluida la Theorica planetarum) y unas explicaciones alegóricas. F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 287); Beaujouan (1991, X, 169); Ambrosetti (2008, 356). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021). 541. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7392 I + 81 ff., pergamino, medidas desconocidas, s. XIV, origen: desconocido (prov.: biblioteca personal de Jean-Baptiste Colbert). Spher.: 2ra-43rb (con el comentario de Roberto Ánglico). Obras de astronomía y matemática. Thorndike (1949a, 72-3); Glorieux (1971, 235); Hadravová y Hadrava (2019, 28). BNF Cat. (cons. 03/06/2021); Gallica (cons. 03/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 542. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7393 II + 77 ff., pergamino, 190 × 150 mm, s. XV (datado: año 1468), origen: Italia (prov.: biblioteca personal del cardenal Mazarino). Spher.: ff. 1r-49v. El manuscrito contiene la Spher. y la Theorica planetarum. Bloch (1964, 157). BNF Cat. (cons. 03/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 543. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7400 I (papel) + 18 + II ff., pergamino, medidas desconocidas, s. XIV, origen: desconocido. Spher.: 18ra-18vb (mútilo)498. El manuscrito contiene este fragmento y el libro de astronomía de Alfragano. Albertini (1991, 63). BNF Cat. (cons. 03/06/2021); Gallica (cons. 03/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 544. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7416B II + 126 ff., pergamino, medidas desconocidas, s. XIII-XIVin., origen: desconocido (prov.: biblioteca personal de Jean-Baptiste Colbert). Spher.: ff. 19ra-26rb; Algor.: ff. 27ra-31va y 59va-61vb499; Compot.: ff. 31va-49vb. Tratados de astronomía (incluida la Theorica planetarum), astrología, tablas, cómputo y calendario, matemáticas (incluido un tratado sobre el algorismo muy similar al de Sacrobosco en los ff. 59va-61vb donde se parafrasean constantemente pasajes) y quiromancia; hay varias obras sobre instrumentos de medida astronómica (cuadrante, astrolabio, cilindro astronómico). 498 Falta desde la mitad del capítulo primero. Des.: Existens in medio celi maior debet videtur quam [evidentis] existens… (Thorndike, 1949a, 81). 499 En este segundo testimonio del Algor. hay partes que se parafrasean o que distan un poco más del texto reconstruido del tratado. Su incipit dice así: Cum hec scientia de numeris que argorismus [sic] dicitur ab inventore vel ab algo quod est inductio et rismus quod est numerus; mientras que el explicit: qui modus operandi equippollet [sic] ei qui docet incipere sub loco millenarii. Explicit algorismus. 213 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc66576b http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28625 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9067095m http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4548#3_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7366-manuscript/136447 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc666079 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b90678976/f1.item http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4574#1_58 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc66608j http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4575#1_58 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc666151 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9066474h http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4582#2_58 LA OBRA DE SACROBOSCO F.S. Pedersen (1984, vol. 2, 577; 2002, 160-1); Knorr (1997°, 23-67); Juste (2007, 358-9); Ambrosetti (2008, 356); Juste (2015, 146-7). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 545. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7420A 156 ff., pergamino, 245 × 175 mm, s. XIV (datado: años 1331, 1333), origen: Francia meridional. Algor.: ff. 54r-57r; Compot.: ff. 72r-78r; Spher.: ff. 87r-98rb (con el comentario de Roberto Ánglico). Obras de cómputo, aritmética (incluido el Carmen de algorismo con comentario500), astronomía y astrología, calendario, quiromancia y una obra de geometría. Samaran y Marichal (1962, vol. 2, 516); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 169, 267-8); Beaujouan (1991, XI, 107, 110-4, 121); Ambrosetti (2008, 357); Juste (2015, 150-1). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021). 546. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7420B II (papel) + 141 + I (papel) ff., pergamino, 233 × 170 mm, s. XIV (datado: año 1352), origen: desconocido (prov.: catedral de Toul, Francia). Algor.: ff. 43ra-50r501 y 52ra-56va; Compot.: ff. 78ra-86vb; Spher.: ff. 87r-120r. Además de estas, contiene obras sobre cómputo, dictámenes y sentencias. Beaujouan (1991, XI, 107, 114). BNF Cat. (cons. 03/06/2021); Gallica (cons. 03/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021). 547. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7421 Pa6 I + 224 + I ff., pergamino, s. XIIIex.-XIVin., origen: ¿París? (prov.: colección personal de Charles-Maurice Le Tellier). Algor.: ff. 11r-18r; Spher.: ff. 19r-32v; Compot.: ff. 33r-56r. Obras de cómputo, aritmética, astronomía (incluida la Theorica planetarum), tratados sobre el astrolabio y tablas. Ambrosetti (2008, 357); Juste (2015, 151). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021). 548. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7437 188 ff., pergamino, medidas desconocidas, s. XIV1/4, origen: sur de Francia. Algor.: ff. 125r-133r. 500 El comentario presenta el siguiente inc.: Incipit lectura algorismi metrica. Vera creatrix unitas rerum sub unitate multitudinis condidit universa. 501 El Algor., que además presenta su incipit alternativo: Circa hanc scientiam que algorismus appellatur in primo videndum est quid sit algorismus, aparece como comentario al Carmen de algorismo. El Carmen, en letra notablemente mayor, está escrito en el centro del manuscrito y en sus márgenes deliberadamente amplios, el Algor. Conviene resaltar que el Algor. no es un añadido posterior, sino que ambos tratados fueron copiados a la vez, lo que se evidencia por los espacios dejados ad hoc entre algunos versos del Carmen para que quepa el Algor. 214 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc66636p http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28626 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b90767705 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5419#3_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7416-b-manuscript/38632 http://ptolemaeus.badw.de/ms/564 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc66642x http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28627 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b100369521 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5421#8_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7420-a-manuscript/99820 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc666435 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10034473q http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5422#5_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7420-b-manuscript/150219 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc66644d http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28628 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9067047j http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4603#2_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7421-manuscript/136455 La tradición manuscrita Obras astronómicas, astrológicas, tablas, varias obras sobre el cuadrante, de aritmética y de óptica. Britt (1972, 301, 314); Ambrosetti (2008, 358); Juste (2015, 157). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 549. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7445 94 ff., pergamino, in folio, s. XIV-XV, origen: Inglaterra. Spher.: ff. 80r-88v. Tratados de meteorología, pronósticos, astronomía y astrología. Juste (2015, 169-70). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021). 550. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7475 Pa2 320 ff., pergamino, 140 × 90 mm, s. XIIIex.-XIV1/2, origen: desconocido (prov.: convento de Troyes, Aube)502. Compot.: ff. 10r-55r; Algor.: ff. 80r-93r; Spher.: ff. 93v-117v. El códice contiene un calendario, las obras de Sacrobosco, un tratado sobre el cuadrante, algunas Cautele, el Carmen de algorismo, el Cisioianus, otro tratado sobre el algorismo, y dos tratados sobre piedras y minerales. Thorndike y Kibre (1963, 243); Beaujouan (1991, XI, 108, 115-21); Knorr (1997a, 58); Ambrosetti (2008, 358); Nebbiai (2010, 143). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Computus (cons. 04/06/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 29/03/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021). 551. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7477 80 ff., pergamino, 155 × 100 mm, s. XIII1/2 (ante 1255)503, origen: Pau (Francia). Algor.: ff. 24r-35v (excerpta)504; Spher.: ff. 56r-64v. Obras de cómputo, algoritmo (incluido el Carmen de algorismo), geometría y astronomía. Beaujouan (1991, XI, 93-124); Juste (2015, 177). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 03/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021). 502 En la bibliografía consultada, este códice aparece datado en el s. XIII (Mirabile y BNF Cat., cons. 28/05/2021, este segundo concreta que fue compuesto a finales de este siglo), s. XIV (Jordanus y Fama, cons. 11/06/2022) y s. XV (Ambrosetti, 2008, 358). Puesto que internamente aparece la nota de donación del manuscrito del rey Carlos V, la segunda mitad del s. XIV resulta el terminus ante quem para su datación. Atendiendo a este dato y teniendo en cuenta que la paleografía, no creemos posible que pueda retrotraese su composición hasta el s. XIII, por lo que proponemos una datación de la primera mitad del s. XIV. 503 Aunque en Jordanus (cons. 16/04/2021) se data en el s. XIV, el manuscrito se hubo de componer antes del año 1255 a juzgar por la adición en f. 76v. En este folio, después de una tabla, hay un párrafo en castellano antiguo (que habla de una «orden de los predicadores») escrito por una mano distinta a la del resto del manuscrito donde se da la fecha de VIII kalendas iunii anno domini M CC LV. Entendiendo que este fragmento se escribió probablemente después del texto principal, este año supondría el terminus ante quem para datar este códice unitario. 504 En los márgenes del Carmen de algorismo, al inicio de cada specie, se incluye un pequeño párrafo con fragmentos extraídos del Algor. a modo de explicación. 215 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4617#6_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7437-manuscript/116241 http://ptolemaeus.badw.de/ms/565 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc666719 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28629 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10032357m http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4625#7_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7445-manuscript/41826 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc94612b https://computus.lat/ms/482 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28630 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84900936/f3.item http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4651#1_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7475-manuscript/6236 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc66707g http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28631 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b100344745 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4653#6_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7477-manuscript/136459 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-7475-manuscript/6236 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc94612b http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4651#1_58 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28630 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4653#6_58 LA OBRA DE SACROBOSCO 552. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 8429B 10 + I ff., papel, medidas desconocidas, s. XV, origen: desconocido. Algor.: ff. 1r-10v505 (mútilo)506. Tan solo contiene este tratado, cuyos capítulos se van alternando con los del Carmen de algorismo. Beaujouan (1991, XI, 115); Ambrosetti (2008, 357). BNF Cat. (cons. 03/06/2021); Gallica (cons. 03/06/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021). 553. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 8445 I + 38 + I ff., papel, medidas desconocidas, s. XV, origen: desconocido. Algor.: ff. 7r-14v. Obras de aritmética (incluido el Carmen de algorismo), trigonometría y un tratado sobre los planetas. Beaujouan (1991, XI, 115). BNF Cat. (cons. 03/06/2021); Gallica (cons. 03/06/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021). 554. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 10252 175 ff., papel, 285 × 205 mm, s. XV (datado: año 1476), origen: Nápoles. Algor.: ff. 12r-22r. Tratados de aritmética y física. Samaran y Marichal (1974, vol. 3, 157); Kristeller (1967, vol. 3, 244; 1992, vol. 6, 479); Beaujouan (1991, XI, 111); Juste (2007, 361); Ambrosetti (2008, 358); Juste (2015, 188-9). BNF Cat. (cons. 03/06/2021); BNM-I (cons. 19/03/2021); Gallica (cons. 03/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021). 555. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 10268 VI + 141 + XII ff.507, papel, 295 × 210 mm, s. XV (datado: años 1470 y 1478), origen: Nápoles. Spher.: ff. IIr (prólogo)508 y 1r-21v. Obras de astronomía y astrología, incluido el comentario de Roberto Ánglico. Delisle (1863b, 67); Poulle (1963, 75-8); Samaran y Marichal (1974, vol. 3, 163); Juste (2015, 191). BNF Cat. (cons. 03/06/2021); BNM-I (cons. 19/03/2021); Gallica (cons. 03/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 505 El texto del Algor. se va alternando con el del Carmen de algorismo, de forma que primero se copia el capítulo introductorio del Algor., luego el mismo del Carmen, seguido del capítulo sobre la suma del Algor. con el consiguiente capítulo de la suma del Carmen, etc. 506 La obra acaba con el final del capítulo sobre la división, faltan quellos de la progresión numérica y la raíz cuadrada. Des.: Ex multiplicatione exhibunt figure figure [sic] numerus denotante quotiens numeri multiplicandi (con variantes). Naturalmente, también queda incompleto el Carmen de algorismo, para el que no se llega a copiar el capítulo sobre la división que seguiría al correspondiente de Sacrobosco, ni los que siguen, es decir, el capítulo de las raíces cuadradas y quizá el de la progresión. 507 La numeración de los ff. es de la siguiente manera: I-VI, 133-144, 1-129; por lo que, aunque la Spher. comience en f. 1r, no es la primera obra del manuscrito. 508 El manuscrito transmite en f. IIr el prólogo donde se dice de qué se va a hablar en la Spher.: inc.: Tractatus magistri Johannis de Sacro Boscho super spera materiali. De quibus in hoc libro tractatus sit primo distinguit dicens se totum opus belle distinguere in quatuor capitula. A continuación, los ff. IIv-VIv están en blanco. 216 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc67706c https://gallica.bnf.fr/view3if/ga/ark:/12148/btv1b100352756 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-8429-b-manuscript/136445 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc677232 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10035276n https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-8445-manuscript/136460 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc719884 https://bnm-i.huygens.knaw.nl/tekstdragers/TDRA000000014257 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9066954g http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4744#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-10252-manuscript/18264 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc72003v https://bnm-i.huygens.knaw.nl/tekstdragers/TDRA000000014263 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9067799p http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4759#1_58 http://ptolemaeus.badw.de/ms/514 La tradición manuscrita 556. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 11267 Pa3 I + 8 ff., pergamino, 150 × 105 mm, s. XIII, origen: desconocido (prov.: S. Denis, Reims). Algor.: f. 8v (mútilo)509. El manuscrito contiene un tratado sobre la música con notación musical510. Leitmeir (2005, 71-6). BNF Cat. (cons. 22/03/2021); Gallica (cons. 22/03/2021). 557. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14068 200 ff., papel, 210 × 140 mm, s. XV (datado: año 1464), origen: Murat. Spher.: ff. 59r-79r. Obras de astronomía (incluida la Theorica planetarum), cómputo, astrología y adivinación, incluyendo calendarios, tablas y un opúsculo sobre el turquet. Delisle (1868a, 126); Thorndike (1957a, 146-7); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 269-70); Samaran y Marichal (1974, vol. 3, 355); Juste (2015, 207-8). BNF Cat. (cons. 03/06/2021); Gallica (cons. 03/06/2021); Mirabile (cons. 03/06/20219); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 558. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14070 Ms. compuesto, 7 U. C. I + 196 + I ff., pergamino y papel511, 178 × 124 mm, s. XIII (post 1224) (U.C. 3)512, origen: Francia513 (copista: Gulielmus Piccavensis) (U.C. 3)514 (prov.: S. Germain-des-Prés, París). Spher.: ff. 104ra-110rb. Obras de cómputo, astronomía (incluido un tratado sobre el cuadrante, tablas y calendarios), aritmética (incluido el Carmen de algorismo, su comentario y las Cautele en verso) y astrología. Delisle (1868a, 242); Thorndike (1954, 229-30); Kristeller (1967, vol. 3, 257); Beaujouan (1991, XI, 110, 112-6, 121-3); Knorr (1997a, 23-67); Juste (2015, 208-11). Bibale (cons. 16/04/2021); BNF Cat. (cons. 16/04/2021); Gallica (cons. 16/04/2021); Jonas (cons. 16/04/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Medium (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 16/04/2021). 559. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14877 Ms. compuesto, 11 U.C. 509 Tan solo se conserva la primera cara del tratado, que llega hasta la mitad del segundo capítulo introductorio de la obra sobre la numeración. Des.: Cum igitur per has figuras adiunctas chifris vel chifre (con variantes). 510 En origen, según apunta la nota del folio de guarda, el manuscrito debió de contener el Algor. completo y un Compot., que podría haber sido el de Sacrobosco. 511 Son de papel los folios que conforman la U.C. 7 (ff. 189-96). 512 El manuscrito es una suerte de códice compuesto cuyas U.C. se escribieron en diferentes momentos en un arco temporal que abarca los s. XIII-XIV. La U.C. 3 (igual que las dos anteriores) fue escrita en el s. XIII a juzgar por el análisis paleográfico. Además, la U.C. 3 fue escrita post 1224 a juzgar por la nota de 97ra, donde aparece un comentario a unos versos de computística que dicen así: Anno ab incarnatione Domini MCCXXIIII invente fuerunt supradicte distinctiones qui incipiunt a circio. 513 A juzgar por las grafías presentes en la U.C. 3 y por las miniaturas, como la inicial miniada de 28r, consideramos que su lugar de copia fue Francia. 514 En el f. 69rb, al final de la Massa compoti, el copista anota su nombre: glose huius libri composite fuerunt a Guillelmo Piccavensi. 217 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc72882n https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9066111z https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc74912n https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10035278j http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-14068-manuscript/197998 http://ptolemaeus.badw.de/ms/567 https://bibale.irht.cnrs.fr/13500 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc749144 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b100352790 http://jonas.irht.cnrs.fr/consulter/manuscrit/detail_manuscrit.php?projet=75807 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4995#7_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100062189 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-14070-manuscript/217168 LA OBRA DE SACROBOSCO 289 ff., pergamino, 200 × 130 mm, s. XIIIex. (U.C. 3)515, origen: desconocido (prov.: S. Victor, París). U.C. 3 (ff. 93-121), Compot.: ff. 93r-121v (mútilo)516. El Compot. aparece solo en la U.C. El resto del códice contiene obras varias sobre decretos, física, dieta, poemas religiosos, homilías y otras cuestiones cristianas. Glorieux (1971, 235); Ouy (1999, 293-4). BNF Cat. (cons. 03/06/2021); Europeana (cons. 03/06/2021); Gallica (cons. 03/06/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021); Omnia (cons. 03/06/2021). 560. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14926 Pa7 Ms. compuesto, 2 U.C. 71 ff., pergamino, 200 × 160 mm, s. XIII-XIV, origen: desconocido (prov.: S. Victor, París). U.C. 2 (ff. 65-71), Algor.: ff. 69v-71v (incompleto)517. La U.C. 2 contiene tablas de cómputo y un calendario. La U.C. 1, en cambio, presenta obras sobre la predicación y bíblicas. Delisle (1869, 59); Ouy (1999, 356-7). BNF Cat. (cons. 03/06/2021); Gallica (cons. 03/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 561. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15118 Ms. compuesto, 4 U.C. 99 ff., pergamino (U.C. 1-3) y papel (U.C. 4), 227 × 145 mm, s. XIV518, origen: Halberstadt (Alemania). U.C. 3 (ff. 60-65 y 83-106), Algor.: ff. 60r-65v; Compot.: ff. 83r-97v. La U.C. 3 contiene solo estas obras de Sacrobosco. El resto de U.C. presenta tratados de astronomía, calendario, cómputo y artimética. Samaran y Marichal (1974, vol. 3, 679); Ouy (1999, 497-8); Ambrosetti (2008, 357); Juste (2015, 218-9). BNF Cat. (cons. 03/06/2021); Computus (cons. 03/06/2021); Gallica (cons. 03/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021). 562. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15121 Pa8 Ms. compuesto, 5 U.C. 187 ff.519, pergamino, 181 × 125 mm, s. XIII (U.C. 1)520, origen: Alemania (U.C. 1)521 (prov.: S. Victor, París). U. C . 1 (ff. 1-64), Algor.: ff. 1r-7v. La U.C. 1 contiene obras de astronomía (incluido un cuadrante y la Theorica planetarum), astrología, cómputo y calendario522. La U.C. 2 contiene obras de gramática y comentarios. 515 Las U.C. 1 y 4 datan del s. XII; las U.C. 3, 6-7, 9-11, del s. XIII; las U.C. 2 y 8, del s. XIV; la U.C. 5, del s. XV. 516 Falta el final de la obra. Des.: hic sunt 19 dictiones servientes 19 annis cicli decem... (Lohr, 2020, cap. 23, l. 187). 517 Falta el último capítulo sobre la extracción de raíces cúbicas. Des.: redibunt eedem figure que prius fuerunt. 518 Excepto la U.C. 2, que data del s. XII. 519 De los cuales faltan los ff. 65-69, 80-89 y 186-187. 520 La U.C. 2 falta y las U.C. 3-5 datan del s. XII. 521 El resto de U.C. presentan un origen incierto. 522 Entre estas, hay un Compotus manualis, un Tractatus sphaerae y un Tractatus quadrantis cuyo autor e incipit no se especifican, por lo que podrían ser de Sacrobosco. 218 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc756111 https://www.europeana.eu/en/item/9200519/ark__12148_btv1b10037184g https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10037184g http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-14877-manuscript/14247 https://www.omnia.ie/index.php?navigation_function=2&navigation_item=%2F9200519%2Fark__12148_btv1b10037184g&repid=1 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc75655t https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10035265s http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5072#7_58 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc75829h https://computus.lat/ms/485 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b90768211 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5088#4_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-15118-manuscript/119489 La tradición manuscrita Delisle (1869, 74); Pellegrin (1942, 75-6, 97); Kristeller (1967, vol. 3, 236); Knorr (1997a, 64); Ouy (1999, 569); Ambrosetti (2008, 356). BNF Cat. (cons. 08/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 16/04/2021). 563. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15122 Ms. compuesto, 10 U.C. 318 ff.523 papel, 215 × 150 mm, s. XVin. (U.C. 3)524, origen: desconocido (prov.: S. Victor, París). U.C. 3 (ff. 22-31, 33 y 35), Algor.: ff. 24r-31v525. Obras de cómputo, tablas, gramática, una epístola, un tratado sobre la invocación de demonios y otras consideraciones religiosas. Delisle (1869, 74); Kristeller (1967, vol. 3, 236); Beaujouan (1991, XI, 123); Ouy (1999, 496-7); Ambrosetti (2008, 357). BNF Cat. (cons. 03/06/2021); Gallica (cons. 03/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 03/06/2021). 564. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15124 Ms. compuesto, 4 U.C. II (papel) + 242 ff., pergamino, 116 × 80 mm, s. XIII-XIV, origen: desconocido (prov.: S. Victor, París). U.C. 1 (ff. 1-24), Compot.: ff. 1r-24v (mútilo)526. La Compot. es la única obra de la U.C. 1. El resto de U.C. continene tratados sobre nombres y sobre el alfabeto griego, obras sobre salmos y el Timeo de Platón en latín. Ouy (1999, 537-8). BNF Cat. (cons. 07/12/2021). 565. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 16709 Ms. compuesto, 10 U.C. III (papel) + 145 + II (perg.), papel y pergamino, 255 × 175 mm, s. XV (U.C. 10)527, origen: desconocido (prov.: Universidad de la Sorbona). U.C. 10 (122-143), Spher.: ff. 122r-128r; Algor.: ff. 130r-132v; Compot.: ff. 132v-143r. En la U.C. 10, estas obras van acompañadas de otro Compotus anónimo528. El resto del códice presenta contenido variado: la U.C. 1 versa sobre poesía, la U.C. 2 es una obra de Boecio, la U.C. 5 parece un comentario a Aristóteles, las U.C. 8-9, sobre astronomía y aritmética y, el resto, presenta contenidos religiosos y teológicos (sermones, epístolas, etc.). Delisle (1870, 160); Lacombe (1939, vol. 1, 581); Kristeller (1967, vol. 3, 239). BNF Cat. (cons. 04/06/2021); Computus (cons. 04/06/2021); Gallica (cons. 04/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 566. Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 561 105 ff., pergamino, medidas deconocidas, s. XIV, origen: desconocido. 523 Sin embargo, de esos 318, faltan los ff. 1-21, 889-151, 172-173 y 176-227. 524 Son del s. XV todas las U.C., excepto la U.C. 10, que data de finales del s. XIV. 525 Nótese que el códice comienza en el f. 22, por lo que Algor. es la primera obra que encontramos en él. 526 Falta el final del tratado, quizá unos dos folios. Des.: Aprilis terna G monstrat et ultima claves (Lohr, 2020,cap. 23, l. 145). 527 Las U.C. del manuscrito abarcan una cronología desde el s. XIII hasta el XV. 528 Inc.: Sciendum quod annus secundum ecclesiam continet 365 dies. 219 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc758321 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5091#2_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-15121-manuscript/8052 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc758338 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9076721p http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5092#1_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-15122-manuscript/136452 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc75835r https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc77130m https://computus.lat/ms/488 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9067670v http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5271#13_58 LA OBRA DE SACROBOSCO Spher.: ff. 1r-17v. Obras de sinónimos, los Monita ad Astralabium filium de Pedro Abelardo y un tratado de filosofía natural y teología. Omont (1894, 68). Jordanus (cons. 16/04/2021). 567. Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 566 77 ff., papel, medidas deconocidas, s. XV, origen: Italia. Spher.: ff. 1r-25r. El manuscrito contiene la Spher., el comentario de Roberto Ánglico y un comentario sobre Aristóteles. Hankins (1997, 150). Biblissima (cons. 04/06/2021); BNF Cat. (cons. 04/06/2021); Gallica (cons. 04/06/2021); Mandragore (cons. 04/06/2021). 568. Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 620 32 ff., papel, medidas deconocidas, s. XV (datado: año 1464), origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-32v. Solo contiene este tratado. Omont (1898, 88). Jordanus (cons. 16/04/2021). 569. Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 625 181 ff., pergamino, medidas deconocidas, s. XIVmed. (datado: años 1348, 1350), origen: París y Erfurt529 (prov.: biblioteca personal de Sir Thomas Philipps). Algor.: ff. 51vb-53rb. Obras de cómputo, aritmética, astrología y astronomía (incluida la Theorica planetarum). Omont (1898, 89-90); Samaran y Marichal (1981, vol. 4, 107); Beaujouan (1991, X, 169); Ambrosetti (2008, 356); Juste (2015, 258-9). BNF Cat. (cons. 04/06/2021); Biblissima (cons. 04/06/2021); Gallica (cons. 04/06/2021); Mandragore (cons. 04/06/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 570. Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 657 Pa9 86 ff., pergamino, 128 × 96 mm, s. XIII2/2, origen: desconocido. Algor.: ff. 53r-60r530; Spher.: ff. 73r-84v. Obras de aritmética (incluido el Carmen de algorismo), cómputo y calendario, astronomía y tablas. Narducci (1892, 271-3, n.º 457); Omont (1900, 9); Beaujouan (1991, XI, 121); Ambrosetti (2008, 356). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021). 529 Al menos para los ff. 10-71, los cuales fueron escritos por el mismo copista que empezó su trabajo de copia en París, pero en un momento dado se fue a Erfurt. Esto lo sabemos por referencias internas en el manuscrito: en el f. 13va se lee Explicit theorica planetarum, scripta Parisius anno domini 1348 in vigilia Agnetis virginis, mientras que en el f. 34r, Explicit liber Alkapicii [sic] inchoatus Parisius sed completus Erfordie, anno domini 1349 in crastino nativitatis virginis gloriose. 530 En este códice el Algor. comienza con el inc. alternativo: Cum hec scientia de numeris que algorismus ab inventore vel algos. 220 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5526#1_58 https://portail.biblissima.fr/fr/ark:/43093/mdataa1e57c9a289762439cf2d855c9ee87ee943ae853 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc71277g https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10037277s http://mandragore.bnf.fr/jsp/afficherNoticeMan.jsp?numero=1&id=2199&idPere=10 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5533#1_58 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc713343 https://portail.biblissima.fr/en/ark:/43093/mdataf03143195a910530e80eaa6939f09d2493c6b684 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10033543h http://mandragore.bnf.fr/jsp/afficherNoticeMan.jsp?numero=2&id=2208&idPere=10 http://ptolemaeus.badw.de/ms/569 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc713666 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28632 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10035270z http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5540#9_58 La tradición manuscrita 571. Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 1893 II (papel) + 139 ff., pergamino, 300 × 212 mm, s. XIV (ca. 1323), origen: Francia531. Algor.: ff. 9ra-13va; Spher.: ff. 13vb-22vb; Compot.: ff. 24va-41rb. Contiene, además de los tratados de Sacrobosco, otras obras astronómicas y astrológicas. Omont (1907, 26); Britt (1972, 309, 314); Samaran y Marichal (1981, vol. 4, 349); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 274-5); Knorr (1997a, 63); Juste (2015, 269). BNF Cat. (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Gallica (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 572. Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 3144 I + 89 ff., pergamino, 275 × 186 mm, s. XIV, origen: Francia. Spher.: ff. 17r-21v. Además de la Spher., el manuscrito contiene una consolatio, obras doctrinales, sobre medicina, botánica y una crónica. BNF Cat. (cons. 04/06/2021). 573. Paris, Bibliothèque Sainte-Geneviève, 1043 S 177 ff., pergamino, 280 × 203 mm, s. XIIIex., origen: desconocido (prov.: colección personal de Petrus Liber, canónigo de Dijon532). Algor.: ff. 1ra-4vb; Spher.: ff. 4vb-12rb; Compot.: ff. 12va-28va. Tratados de aritmética y astronomía (incluida la Theorica planetarum), el Astrolabium de Pseudo-Messehallah, calendarios y tablas. Kohler (1893, vol. 1, 481-4); Thorndike y Kibre (1963, 243); Britt (1972, 307, 314); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 169); Ambrosetti (2008, 358); K. Müller (2008, 208-10, 237- 43). BVMM (cons. 28/05/2021); Calames (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Initiale (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Medium (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 05/06/2021). 574. Paris, Bibliothèque Sainte-Geneviève, 3141 Ms. compuesto, 3 U.C. 99 ff., pergamino, 170 × 115-120 mm, s. XIII (U.C. 1 y 3), s. XIV (U.C. 2), origen: desconocido (prov.: biblioteca de los padres carmelitas de Divion). U.C. 2 (ff. 7-12), Algor.: ff. 7ra-12va; U.C. 3 (ff. 13-99), Spher.: ff. 20r-41v; Compot.: ff. 70ra-96vb. La U.C. 2 tan solo contiene el Algor. La U.C. 3 se abre con el Carmen de algorismo y en ella, además de las obras de Sacrobosco, se leen el Computus de Villa Dei y un comenario al Compot. La U.C. 2 contiene un calendario. Kohler (1896, vol. 2, 610-1); Ambrosetti (2008, 359). BVMM (cons. 28/05/2021); Calames (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Initiale (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Medium (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 05/06/2021). 531 Sobre la datación y el origen del manuscrito, cfr. la información dada en Ptolemaeus (cons. 11/06/2022): «c. 1323, cf. notes added in the margin of the calendar by an early owner, probably Roberto de’ Bardi: Hic incepi cursum meum in theologia et fuit dies Lune 1323o incompleto (f. 6r, at 24 October) and Hic complevi lecturam meam et fuit dies Martis 1323o incompleto (f. 7r, at 13 December); further notes, partly in French, added on f. 139v, concern events dated 1327 and 1329». 532 En f. 1r: Lefevre, ex dono domini Petri Libri, canonici Divionensis, 1527. 221 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc701953 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28633 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10033705h http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5586#4_58 http://ptolemaeus.badw.de/ms/570 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc71028b https://bvmm.irht.cnrs.fr/consult/consult.php?REPRODUCTION_ID=13328 http://www.calames.abes.fr/pub/#details?id=BSGA12968 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28635 http://initiale.irht.cnrs.fr/codex/3267 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4076#1_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=42850 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-sainte-genevi%C3%A8ve-1043-manuscript/136463 https://bvmm.irht.cnrs.fr/consult/consult.php?REPRODUCTION_ID=13507 http://www.calames.abes.fr/pub/#details?id=BSGC11265 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28636 http://initiale.irht.cnrs.fr/codex/3446 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4113#2_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=43100 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-sainte-genevi%C3%A8ve-3141-manuscript/136465 http://ptolemaeus.badw.de/ms/570 LA OBRA DE SACROBOSCO 575. Paris, Institut de recherche et d’histoire des textes, Collections privées, CP 430 Ms. compuesto, 2 U.C. 133 ff., pergamino, 180 × 117 mm, s. XIV2/4 (U.C. 1)533, origen: norte de Francia. U.C. 1 (ff. 1-57), Algor.: ff. 20v-28r; Spher.: ff. 28v-40v. La U.C. 1 contiene estas obras, calendarios, tablas, otros tratados de astronomía (incluido uno sobre el astrolabio) y alquimia. La U.C. 2 contiene unas flores retóricas. Euw y Plotzek (1982, 170-5)534. Fama (cons. 28/05/2021); Medium (cons. 28/05/2021) 576. Paris, Institut de recherche et d’histoire des textes, Collections privées, CP 431 185 ff., pergamino, 205 × 150 mm, s. XIV (datado: año 1325), origen: Inglaterra. Spher.: 169v-179r. Obras historiográficas sobre Inglaterra, obras de astronomía, aritmética y calendario. Griffiths (1995, 36-42). Fama (cons. 28/05/2021); Medium (cons. 28/05/2021). 577. Paris, Institut de recherche et d’histoire des textes, Collections privées, CP 475 II + 45 ff., pergamino, 246 × 178 mm, s. XIV1/4, origen: Austria o sudeste de Alemania. Algor.: 1r-5v; Spher.: 5v-15r; Compot.: 15r-32v. Obras de Sacrobosco y un tratado sobre el cuadrante anónimo seguido de unas tablas de calendario. De Ricci y Wilson (1937, vol. 2, 1996, n.º 6)535. Jordanus (cons. 14/04/2021); Medium (cons. 18/02/2021). 578. Parma, Biblioteca Palatina, 309 VI + 184 ff., pergamino, 223 × 159 mm, s. XV, origen: desconocido. Algor.: ff. 41r-50r; Spher.: ff. 112r-129r. Obras de astrología, astronomía (incluidas tablas y opúsculos sobre instrumentos de medida, como el albión, astrolabio y cuadrante) y un tratado sobre el alfabeto. Frioli et al. (1981, 153-5). 579. Pennsylvania, University Library, Kislak Center for Special Collections, Rare Books and Manuscripts, LJS 26 P1 30 ff., pergamino, 182 × 128-130 mm, s. XIIImed., origen: Italia. Algor.: ff. 1r-9v; Spher.: ff. 9v-29r. Contiene tan solo estas dos obras. Black (2006, 57-8). Aylin (cons. 05/06/2021); Penn (cons. 05/06/2021). 533 La U.C. 2 data del s. XIII. 534 Además de esta descripción, hemos seguido la detalladísima noticia inédita del manuscrito escrita por Jean-Patrice Boudet y Charles Vulliez. Aprovechamos para agradecer a Francesco Siri, miembro del Institut de Recherche et d’Histoire des Textes, por ofrecernos una escrupulosa bibliografía sobre los manuscritos del IRHT. 535 Además, la venta de este manuscrito el 13 de julio de 2016 en Londres se puede consultar en Christie’s, subasta n.º 13730, donde aparecen detalles codicológicos que hemos empleado en la descripción: https://www.christies.com/lotfinder/lot_details/?intobjectid=6011089&from=sale summary&sid=6af544c2-9eaa-4dbc-8adb-f40726245b6f&lid=4&sc_lang=zh-cn (cons. 18/02/2021). 222 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/37280 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100050062 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/37327 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100050067 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/76#2_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/ark:/63955/md53jw82bg2k http://aylinmalcolm.com/astro/items/show/9 http://dla.library.upenn.edu/dla/medren/pageturn.html?q=SACRO%20bosco&id=MEDREN_9946463483503681& https://www.christies.com/lotfinder/lot_details/?intobjectid=6011089&from=salesummary&sid=6af544c2-9eaa-4dbc-8adb-f40726245b6f&lid=4&sc_lang=zh-cn https://www.christies.com/lotfinder/lot_details/?intobjectid=6011089&from=salesummary&sid=6af544c2-9eaa-4dbc-8adb-f40726245b6f&lid=4&sc_lang=zh-cn La tradición manuscrita 580. Pennsylvania, University Library, Kislak Center for Special Collections, Rare Books and Manuscripts, LJS 216 P2 I + 58 + I ff., pergamino, 165 × 110 mm, s. XIII3/4, origen: ¿París? Spher.: ff. 1r-19v; Algor.: ff. 20r-28v (acéfalo)536; Compot.: ff. 29r-57r. Contiene exclusivamente las obras de Sacrobosco. Faye y Bond (1962, 22, n.º 22)537. Aylin (cons. 05/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Penn (cons. 05/06/2021). 581. Pennsylvania, University Library, Kislak Center for Special Collections, Rare Books and Manuscripts, 1881 96 ff., papel, 310 × 210 mm, s. XV (datado: año 1481), origen: Alemania. Spher.: ff. 15r-36v (con comentario). Obras de astronomía con numerosas tablas y un alfabeto hebreo. De Ricci y Wilson (1937, vol. 2, 1144, n.º 6)538; Malcolm (2020, 181-202). Aylin (cons. 05/06/2021); Penn (cons. 05/06/2021). 582. Perugia, Biblioteca Comunale Augusta, H 76 Ms. compuesto, n.º de U.C. desconocido539. II + 164 + I ff., papel, 213 × 145 mm, s. XV540, origen: desconocido. Spher.: ff. 92r-126r. Obras astronómicas, de retórica, oraciones, tratados doctrinales, sonatas para guitarra española, etc. Mazzatinti (1895, 160-1); Bistoni (1994, 53)541. 583. Piazza Armerina, Biblioteca Comunale Alceste e Remigio Roccella, Za.V.12 N.º de folios, material y medidas desconocidos, s. XV (datado: año 1490), origen: desconocido. Spher.: ff. desconocidos542. Fama (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 06/06/2021). 584. Piazza Armerina, Biblioteca Comunale Alceste e Remigio Roccella, Za.VI.59 N.º de folios, material y medidas desconocidos, s. XV (datado: año 1499), origen: desconocido. Spher.: ff. desconocidos543. Fama (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 06/06/2021). 536 Falta un cuaternión al inicio. 537 Estos autores citan al manuscrito como «Astron. 11» y lo sitúan en la «Library of Robert B. Honeyman Jr., Rancho los Cerritos, San Juan Capistrano, California». 538 Nótese que estos autores sitúan el manuscrito en la biblioteca del Dr. Charles D. Humberd, Missouri. 539 Es incierto el número de unidades codicológicas que componen el manuscrito. 540 La Spher. está escrita por una mano del s. XV, así como los ff. 129r-136v (datados en 1479); no poseemos información de cuándo fueron escritas el resto de obras del manuscrito. 541 Además de estas referencias bibliográficas, queremos agradecer la información que nos ha proporcionado Francesca Grauso, bibliotecaria de la Biblioteca Comunale Augusta. 542 De la presencia de la Spher. en este manuscrito tan solo tenemos la noticia que nos ofrecen las bases de datos consultadas. Tampoco tenemos constancia de la mayoría de detalles del códice ni de su contenido. 543 De nuevo, tan solo sabemos que la Spher. debe de aparecer en este manuscrito siguiendo las bases de datos consultadas. Tampoco tenemos constancia de la mayoría de detalles del códice ni de su contenido. 223 http://aylinmalcolm.com/astro/items/show/10 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/65#1_58 http://dla.library.upenn.edu/dla/medren/pageturn.html?q=sacro%20bosco&id=MEDREN_9948124823503681& http://aylinmalcolm.com/astro/items/show/12 http://dla.library.upenn.edu/dla/medren/record.html?q=sacro%20bosco&id=MEDREN_9977175852003681& http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28637 http://www.mirabileweb.it/manuscript/piazza-armerina-(enna)-biblioteca-comunale-alceste-manuscript/155575 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28638 http://www.mirabileweb.it/manuscript/piazza-armerina-(enna)-biblioteca-comunale-alceste-manuscript/155576 LA OBRA DE SACROBOSCO 585. Praha, Archiv Hradu, Knihovna Metropolitní Kapituly, M.CIII 243 ff., papel, 217 × 150 mm, s. XV (datado: años 1427, 1430), origen: Bohemia. Quadr.: ff. 58v-66v; Algor.: ff. 210r-241r (con comentario). Obras de astronomía, cómputo y aritmética, además de tablas, donde se incluyen numerosos comentarios, entre ellos algunos a las obras de Sacrobosco. Podlaha (1922, 329-31, n.º 1463); Knorr (1997b, 215); Nothaft (2014, 389). 586. Praha, Archiv Hradu, Knihovna Metropolitní Kapituly, M.CIV 37 ff., papel, 223 × 149 mm, s. XIV2/2, origen: desconocido. Algor.: ff. 3r-6v. Obras de matemática y cómputo. Podlaha (1922, 331-332, n.º 1464). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 16/04/2021). 587. Praha, Archiv Hradu, Knihovna Metropolitní Kapituly, O.LV 114 ff., papel, 213 × 140 mm, s. XIV, origen: desconocido. Algor.: ff. 25r-30r. Tratados escolares de matemáticas, dialéctica y doctrinales, también de contenido religioso y teológico, con autores como Tomás de Aquino. Podlaha (1922, 530-1, n.º 1639). Mirabile (cons. 07/06/2021). 588. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, I.G.6 308 ff., papel, 230 × 150 mm, s. XV, origen: Třeboň. Compot.: ff. 3r-23v. Obras de cómputo, astronómicas, tablas, calendarios y medicina; también se incluyen pequeñas obras de contenido religioso, como reglas y anotaciones sobre episodios bíblicos. Truhlár̆ (1905, vol. 1, 117-9, n.º 280); Zinner (1925, 153). Manuscriptorium (cons. 03/06/2021). 589. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, I.G.24 108 ff., papel, 220 × 160 mm, s. XV (datado: año 1447), origen: desconocido. Spher.: ff. 54v-105v (con comentario). Obras sobre cómputo y astronomía con comentarios. Truhlár̆ (1905, vol. 1, 132, n.º 300); Hadravová y Hadrava (2019, 26). Mirabile (cons. 07/06/2021). 590. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, I.G.40 I + 156 ff., papel, 210 × 140 mm, s. XIV (datado: año 1383), origen: ¿Třeboň? Algor.: ff. 150v-155r. El manuscrito contiene la Consolatio philosophiae de Boecio, una obra sobre la disciplina de los escolares atribuida al mismo autor y el Algor. Truhlár̆ (1905, vol. 1, 138, n.º 316); Ambrosetti (2008, 384). Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscriptorium (cons. 07/06/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 224 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/806#1_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/praha-archiv-prazsk%C3%A9ho-hradu-knihovna-metropolitn%C3%AD-manuscript/995 http://www.mirabileweb.it/manuscript/praha-archiv-prazsk%C3%A9ho-hradu-knihovna-metropolitn%C3%AD-manuscript/181227 http://www.manuscriptorium.com/apps/index.php?direct=record&pid=AIPDIG-NKCR__I_G_6_______0AAH99C-cs https://www.mirabileweb.it/manuscript/praha-n%C3%A1rodn%C3%AD-knihovna-cesk%C3%A9-republiky-(olim-n%C3%A1rod-manuscript/128894 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/899#1_58 http://www.manuscriptorium.com/apps/index.php?direct=record&pid=AIPDIG-NKCR__I_G_40______19Y0SQ1-cs#search http://www.mirabileweb.it/manuscript/praha-n%C3%A1rodn%C3%AD-knihovna-cesk%C3%A9-republiky-(olim-n%C3%A1rod-manuscript/136782 La tradición manuscrita 591. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, IV.D.6 III + 221 + I ff.544, pergamino, 280 × 200 mm, s. XIVin., origen: desconocido (prov.: colegio de S. Clemente, Praga). Spher.: ff. 163r-165(bis)ra. Numerosas obras de Aristóteles en su versión latina, además de una epístola, problemas y anotaciones sobre su vida, y esta obra de Sacrobosco al final. Truhlár̆ (1905, vol. 1, 264-5, n.º 660); Zinner (1925, 154); Hadravová y Hadrava (2019, 23). Mirabile (cons. 07/06/2021). 592. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, IV.G.2 213 ff., papel, 215× 160 mm, s. XV, origen: desconocido. Algor.: ff. 34r-72r (con comentario); Spher.: ff. 73r-107v (mútilo, con comentario)545; Compot.: ff. 146r-213v. Tratados de cómputo, aritmética y astronomía con tablas y calendarios; se pueden apreciar igualmente numerosos comentarios. Truhlár̆ (1905, vol. 1, 291-2, n.º 734); Zinner (1925, 153, 155); Hadravová y Hadrava (2019, 27). Jordanus (cons. 16/04/2021). 593. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, IV.G.8 67 ff., papel, 215 × 150 mm, s. XIV4/4, origen: desconocido. Algor.: ff. 48v-55v. Obras de aritmética, cómputo, tablas y calendarios astronómicos. Truhlár̆ (1905, vol. 1, 294, n.º 740); Ambrosetti (2008, 384); Nothaft (2014, 388). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 594. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, V.G.14 I + 305546 + I ff., papel, 215 × 150 mm, s. XV (datado: años 1428, 1429 y 1453), origen: desconocido. Compot.: ff. 283r-305v (incompleto)547. Obras de astronomía y cómputo. Truhlár̆ (1905, vol. 1, 400-1, n.º 966); Zinner (1925, 153). Manuscriptorium (cons. 07/06/2021). 595. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, VI.F.7 175 ff., papel, 210 × 150 mm, s. XV (datado: años 1425, 1446, 1448), origen: Cracovia. Spher.: ff. 1r-52r (con comentario). Obras de astronomía, fenómenos atmosféricos, anatomía (Galeno), Mirabilia mundi y un tratado sobre métrica. Truhlár̆ (1905, vol. 1, 461-2, n.º 1144); Zinner (1925, 156); Hadravová y Hadrava (2019, 23). 544 A pesar de que el códice contiene 221 ff., la numeración llega hasta 211, puesto que se numeran doblemente los ff. 64-73. 545 Falta el final de la obra. Des.: Ex hiis pater quod semper esse eclipsis (Thorndike, 1949a, 116, con variantes). 546 En realidad el códice cuenta con 310 folios, pues hay tres páginas en blanco tras el folio numerado 53, otro tras el 128 y el se numeran dos folios consecutivas con el número 249. 547 El escriba no copia el capítulo de la obra. Des.: Non enim veritati viciniores potuerunt assignari dictiones (Lohr, 2020, cap. 23, l. 191/192). 225 http://www.mirabileweb.it/manuscript/praha-n%C3%A1rodn%C3%AD-knihovna-cesk%C3%A9-republiky-(olim-n%C3%A1rod-manuscript/142645 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/920#5_59 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/921#3_59 http://www.mirabileweb.it/manuscript/praha-n%C3%A1rodn%C3%AD-knihovna-cesk%C3%A9-republiky-(olim-n%C3%A1rod-manuscript/136784 http://www.manuscriptorium.com/apps/index.php?direct=record&pid=AIPDIG-NKCR__V_G_14______3CHUOB3-cs LA OBRA DE SACROBOSCO Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta (cons. 07/06/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 596. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, VII.E.9 320 + I ff.548, papel, 210 × 150 mm, s. XV, origen: desconocido. Compot.: ff. 3r-82 (con comentario); Spher.: ff. 177r-201v; Algor.: ff. 257r-275r (mútilo, con comentario)549. Obras de cómputo, calendario, astronomía (incluida la Theorica planetarum), metereología y aritmética con numerosos comentarios; se incluyen tablas. Truhlár̆ (1905, vol. 1, 499-500, n.º 1298); Zinner (1925, 153, 156); Hadravová y Hadrava (2019, 25-6). Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscriptorium (cons. 07/06/2021); Mirabile (cons. 30/06/2022). 597. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, VIII.E.27 71 ff., papel, 290 × 210 mm, s. XIV, origen: ¿Erfurt? Spher.: ff. 52v-64v; Algor.: ff. 65r-71v (con comentario). Obras de física, astronomía y aritmética. Truhlár̆ (1905, vol. 1, 573, n.º 1552); Zinner (1925, 154); Hadravová y Hadrava (2019, 24- 5). Jordanus (cons. 16/04/2021). 598. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, VIII.G.24 125 ff., papel, 215 × 160 mm, s. XV, origen: desconocido. Compot.: ff. 92r-123r. Tablas astronómicas con sus explicaciones correspondientes, obras de aritmética y de cómputo. Truhlár̆ (1905, vol. 1, 595-6, n.º 1606); Zinner (1925, 153). 599. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, X.E.19 181 ff, papel, 215 × 155 mm, s. XV (datado: años 1428, 1432), origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-73v (con comentario); Compot.: ff. 75r-132v. El manuscrito contiene estas obras de Sacrobosco y otras de astronomía y cómputo con sendos comentarios. Truhlár̆ (1906, vol. 2, 79, n.º 1920); Zinner (1925, 153, 156); Hadravová y Hadrava (2019, 23-4). 600. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, X.G.12 151 ff., papel, 215 × 160 mm, s. XV, origen: desconocido. Spher.: ff. 2r-32r. Obras de astronomía y un tratado sobre el cómputo. Truhlár̆ (1906, vol. 2, 100, n.º 1966); Zinner (1925, 156); Hadravová y Hadrava (2019, 26). 601. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, XI.D.7 133 ff., papel, 220 × 150 mm, s. XV, origen: desconocido. 548 En realidad el manuscrito cuenta con 354 folios, pues se encuentran a menudo folios en blanco sin numerar que se añaden entre una obra y otra. 549 Parece que falta el último capítulo sobre raíces cuadradas y cúbicas. Des.: Et erunt novem similia (= et sunt novem, summa totius progressionis?) 226 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28639 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/925#1_59 http://manuscripta.pl/polonica/civitates/czechia.htm http://www.mirabileweb.it/manuscript/praha-n%C3%A1rodn%C3%AD-knihovna-cesk%C3%A9-republiky-(olim-n%C3%A1rod-manuscript/135901 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/939#3_58 http://www.manuscriptorium.com/apps/index.php?direct=record&pid=AIPDIG-NKCR__VII_E_9_____1OHACMC-cs https://www.mirabileweb.it/manuscript/praha-n%C3%A1rodn%C3%AD-knihovna-cesk%C3%A9-republiky-(olim-n%C3%A1rod-manuscript/166439 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/961#2_58 La tradición manuscrita Algor.: ff. 88r-93v. Tratados moralizantes y de contenido teológico, sobre el canto, matemáticos, las virtudes de Séneca, cómputo, calendario, ciertas obras religiosas y una carta papal. Truhlár̆ (1906, vol. 2, 145-6, n.º 2041). Jordanus (cons. 16/04/2021). 602. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, XIII.F.17 I + 182 + I ff., papel, 215 × 160 mm, s. XV (datado: año 1438), origen: desconocido. Compot.: ff. 53r-88v; Spher.: ff. 135r-170v. Obras de cómputo, aritmética y astronomía. Truhlár̆ (1906, vol. 2, 250-1, n.º 2355); Zinner (1925, 153, 155); Hadravová y Hadrava (2019, 25). Manuscriptorium (cons. 07/06/2021). 603. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, XIV.E.32 105 ff., papel, 225 × 160 mm, s. XIV (datado: año 1396), origen: desconocido (copista: Petrus de Planass550). Compot.: ff. 1r-26v; Algor.: ff. 34r-44v. Obras de cómputo con comentarios y de astronomía. Truhlár̆ (1906, vol. 2, 319, n.º 2566); Zinner (1925, 152); Ambrosetti (2008, 384). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 604. Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, XIV.F.1 109 ff, papel, 220 × 150 mm, s. XIV (datado: años 1379 y 1396), origen: Universidad de Praga (copista: Johannis de Smola551). Compot.: ff. 1v-31r (con comentario); Algor.: ff. 52v-57v (con comentario); Spher.: ff. 73r- 91v. El manuscrito contiene, además de las obras de Sacrobosco, tratados sobre el cómputo y comentarios sobre ellos. Truhlár̆ (1906, vol. 2, 322, n.º 2572); Zinner (1925, 154); Ambrosetti (2008, 384); Nothaft (2014, 389); Hadravová y Hadrava (2019, 22). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 605. Princeton, University Library, Robert Garrett Collection, 99 G II + 236 + II ff., pergamino, 280 × 190 mm, s. XIII4/4-XIV1/4, origen: Francia, ¿París? Algor.: ff. 117ra-124ra; Spher.: ff. 124rb-136vb; Compot.: ff. 139ra-162rb. Obras de astronomía (incluida la Theorica planetarum), varias tablas y opúsculos sobre instrumentos de medida (astrolabio, cuadrante). De Ricci y Wilson (1935, vol. 1, 884, n.º 99); Thorndike (1949a, 70-1); Thorndike y Kibre (1963, 991); Glorieux (1971, 235); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 169; 1984, vol. 2, 576; 2002, 172); Skemer (2013, 218-23). Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 550 De este copista no sabemos más que su nombre aparece al final de la Spher. en el s. 44v: Explicit algorismus per manus Petri de Planass finitus a. d. 1396 post Galli III fer. (Mirabile, cons. 11/06/2022). 551 Del copista tan solo sabemos su nombre por el explicit del Compot.: Explicit compotus phylosophycus Johannis de Smola finitus ab a. 1396 in scola ante Letam curiam et auditus in universitate Pragensi (Mirabile, cons. 11/06/2022). 227 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/928#3_58 http://www.manuscriptorium.com/apps/index.php?direct=record&pid=AIPDIG-NKCR__XIII_F_17___2LQEROF-cs http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/955#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/praha-n%C3%A1rodn%C3%AD-knihovna-cesk%C3%A9-republiky-(olim-n%C3%A1rod-manuscript/136785 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/956#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/praha-n%C3%A1rodn%C3%AD-knihovna-cesk%C3%A9-republiky-(olim-n%C3%A1rod-manuscript/136783 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/234#4_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/princeton-nj-princeton-university-library-robert-g-manuscript/39913 http://ptolemaeus.badw.de/ms/572 http://www.mirabileweb.it/manuscript/praha-n%C3%A1rodn%C3%AD-knihovna-cesk%C3%A9-republiky-(olim-n%C3%A1rod-manuscript/136785 http://www.mirabileweb.it/manuscript/praha-n%C3%A1rodn%C3%AD-knihovna-cesk%C3%A9-republiky-(olim-n%C3%A1rod-manuscript/136783 LA OBRA DE SACROBOSCO 606. Providence, Brown University Library, Latin 16 22 ff.552, pergamino, 370 × 280 mm, s. XV, origen: Italia. Spher.: ff. 1r-14r. El manuscrito contiene la Spher. y la Theorica planetarum. De Ricci y Wilson (1937, vol. 2, 2153, n.º 1)553. 607. Ravenna, Biblioteca Classense, 133 N.º de ff. desconocido554, pergamino, 193 × 144 mm, s. XIV, origen: desconocido. Algor.: ff. desconocidos555. Obras teológicas sobre la fe, una legenda sobre Santa Clara, tratados sobre números y una expositio sobre la regla de San Francisco. IBI (1894, vol. 4, 179-80). 608. Ravenna, Biblioteca Classense, 356 Ms. compuesto, 2 U.C. 35 ff., papel (U.C. 1) y pergamino (U.C. 2), 272 × 196 mm (U.C. 1) y 268 × 200 mm (U.C. 2), s. XV (U.C. 1), s. XIV (U.C. 2), origen: desconocido. U.C. 1 (ff. 1-29), Spher.: ff. 1r-17r556; U.C. 2 (ff. 30-35) Spher.: ff. 30r-35v. La U.C. 1 contiene la Spher., una obra sobre fenómenos atmosféricos y la Theorica planetarum. La U.C. 2 está compuesta exclusivamente por la Spher. y una tabla en el último verso. IBI (1894, vol. 4, 223). 609. Roma, Biblioteca Angelica, 104 (A.8.16) I + 263 ff., papel, 275 × 105 mm, s. XVin., origen: desconocido (copista: Raynaldus de Messana). Spher.: ff. 33r-37v. Obras teológicas y filosóficas fundamentalmente. Narducci (1893, 34-6); Glorieux (1971, 235); Di Cesare (1982, 26-7). Fama (cons. 28/05/2021); Manus (cons. 28/05/2021); Medium (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 610. Roma, Biblioteca Casanatense, 1473 II (papel) + 142 + II (papel) ff., pergamino, 178 × 128 mm, s. XIV, origen: desconocido (prov.: colección personal del cardenal Girolamo Casanate). Spher.: ff. 51rb-59vb. 552 Folios caídos de un manuscrito más largo, tal como nos ha informado William S. Monroe, bibliotecario de la Brown University Library: «It was obviously extracted from a larger manuscript, as is apparent from traces of an earlier foliation that is barely visible on some of the leaves». 553 Estos autores sitúan el manuscrito en la biblioteca de Library of Albert E. Lownes (16 Barberry Hill, Providence). Gracias a la información proporcionada de William S. Monroe, bibliotecario de la Brown University Library y a quien agradecemos su disponibilidad, hemos sabido su ubicación y signatura actuales. 554 En IBI (1894, vol. 4, 179-80) tan solo se informa de que los folios no presentan numeración alguna. 555 En IBI (1894, vol. 4, 179-80) se dice que la obra ocupa el quinto lugar de las siete que contiene el manuscrito en total. 556 Este primer testimonio de la Spher., según IBI (1894, vol. 4, 223), finaliza con el des.: invenitur sensibilitas, que no se corresponde con el final usual del tratado. Podría ser un comentario sobre la obra de Sacrobosco o bien un error de catalogación, siendo este el final de otro tratado inmediatamente posterior a la Spher. 228 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28640 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=42628 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100047646 http://www.mirabileweb.it/manuscript/roma-biblioteca-angelica-104-(a-8-16)-manuscript/26237 La tradición manuscrita Obras teológicas y religiosas, la Spher. y una obra de aritmética. Manus (cons. 07/06/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 611. Rovigo, Biblioteca dell’Academia dei Concordi, 13 (6, 4, 6) 81 ff., pergamino, 160 × 100 mm, s. XV, origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-18r. Obras de astronomía y una obra sobre el astrolabio. Mazzatinti (1893, 5). 612. Salamanca, Biblioteca General Histórica de la Universidad, 2078 Ms. compuesto, 3 U.C. I (papel) + 175 + I (papel) ff., pergamino, 284 × 182-190 mm (U.C. 3)557, s. XIV-XV, origen: Inglaterra (U.C. 3)558. U.C. 3 (ff. 86-175), Algor.: ff. 165ra-169rb559. En la U.C. 3 se encuentran sentencias y exempla morales, comentarios a obras científicas matemáticas, tratados morales, sobre la vida de los monjes y calendarios. En las U.C. 1-2 el contenido es fundamentalmente moralizante. Kristeller (1989, vol. 4, 605); Lilao y Castrillo (2002, 437-40). Mirabile (cons. 07/06/2021). 613. Salamanca, Biblioteca General Histórica de la Universidad, 2662 Ms. compuesto, 2 U.C. I (papel) + 236 + I (papel) ff., pergamino, 300-305 × 215 mm, s. XIVex., origen: desconocido (prov.: Colegio de San Bartolomé, Salamanca). U.C. 1 (ff. 3-188), Algor.: ff. 3ra-8ra; Spher.: ff. 8ra-19rb; Compot.: ff. 19va-41rb. En la U.C. 1 se incluyen tratados astronómicos (incluida la Theorica planetarum), obras de cómputo, opúsculos sobre instrumentos de medida y numerosas tablas. En la otra U.C., hay tratados y fragmentos de la obra de Roger Bacon. Cordoliani (1954, 134-9, n.º 529); Beaujouan (1962, 174-8); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 288-9); Lilao y Castrillo (2002, 1055-9); Zepeda (2018, 73). Jordanus (cons. 16/04/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 614. Salzburg, Benediktiner-Erzabtei Sankt Peter, Stiftsbibliothek, b.III.32 303 ff., papel, 216 × 140 mm, s. XV1/2, origen: Salzburgo. Algor.: ff. 249v-254v. Obras sobre el calendario y la medida del tiempo, a veces acompañadas de tablas; tratados matemáticos y diálogos ascéticos; los últimos folios contienen notas sobre medicina en alemán. Hayer (1982, 209); Ambrosetti (2008, 351). Handschriftencensus (cons. 07/06/2021); HMML (cons. 07/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 615. Salzburg, Benediktiner-Erzabtei Sankt Peter, Stiftsbibliothek, b.IV.16 180 ff., papel, 220 × 150 mm, s. XV, origen: Salzburgo. Spher.: ff. 57r-74v; Algor.: ff. 170r-178r. Obras de geometría, meteorología, astronomía, calendario y aritmética. 557 U. C 1 presenta unas medidas de 285 × 205 mm. y U.C. 2, 267 × 185 mm. 558 El lugar de origen es idéntico para U.C. 2; en cambio, la U.C. 1 parece haber sido copiada en Italia. 559 El Algor. aparece en este manuscrito como glosa al Carmen de algorismo. 229 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=201103 https://www.mirabileweb.it/manuscript/roma-biblioteca-casanatense-ms-1473-manuscript/17444 http://www.mirabileweb.it/manuscript/salamanca-universidad-de-salamanca-biblioteca-gene-manuscript/7297 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/13121#2_58 http://ptolemaeus.badw.de/ms/518 https://handschriftencensus.de/12412 http://18.235.151.129/detail.php?msid=10675 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11435#7_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=8821 http://www.mirabileweb.it/manuscript/salzburg-benediktiner-erzabtei-sankt-peter-stiftsb-manuscript/136894 LA OBRA DE SACROBOSCO Zinner (1925, 155); Ambrosetti (2008, 351). Fama (cons. 28/05/2021); HMML (cons. 07/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta (cons. 07/06/2021); Medium (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 616. Salzburg, Benediktiner-Erzabtei Sankt Peter, Stiftsbibliothek, b.VI.35 211 ff., papel, 202 × 143 mm, s. XV (año 1408 y 1465), origen: ¿Dresde? (copista: Oswaldus de Salzburg). Spher.: ff. 23v-56v; Algor.: ff. 69v-79r. Obras de cómputo y calendario, astronomía (a veces con tablas), aritmética (entre las que se encuentra el Carmen de algorismo), recetas medicinales, el De secretis mulierum de Alberto Magno y remedios sobre enfermedades oculares, este último en alemán. Zinner (1925, 156); Hayer (1982, 310-2); Nothhaft (2014, 389-90). Handschriftencensus (cons. 07/06/2021); HMML (cons. 07/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 617. Salzburg, Benediktiner-Erzabtei Sankt Peter, Stiftsbibliothek, b.IX.14 242 ff., papel, 292 × 210 mm, s. XV (datado: años 1429-1444), origen: Salsburgo. Compot.: ff. 22r-34v; Algor.: ff. 78r-82v (con glosas). El manuscrito contiene, sobre todo, obras de cómputo y calendario, aunque también se leen tratados de astronomía, tablas, aritmética y el comentario de Pedro Filomena al Algor. Zinner (1925, 153); Hayer (1982, 355-359); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 73, 169); Ambrosetti (2008, 351); Nothhaft (2014, 390). Handschriftencensus (cons. 07/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021); Ptolemaeus (cons. 07/06/2021). 618. Salzburg, Studienbibliothek, M I 19 (V 1 H 149) 109 ff., papel, 210 × 151 mm, s. XV, origen: ¿Baviera? ¿Austria? Algor.: ff. 70r-78v; Spher.: ff. 83r-105v. El manuscrito contiene un glosario latino-alemán, obras sobre cómputo, astrología, zodiaco, una serie de tratados en alemán y obras de astronomía y aritmética. Zinner (1925, 155); Jungreithmayr (1988, 3-5). Handschriftencensus (cons. 29/03/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021). 619. San Marino (California), The Huntington Library, Art Museum, and Botanical Gardens, HM 39465 III (papel) + I + 64 + III (papel) ff., pergamino, 157 × 117 mm, s. XVmed., origen: Inglaterra. Spher.: ff. 1r-18v (excerpta). Obras de astronomía (incluido un tratado sobre el astrolabio) y astrología, cómputo, el Carmen de algorismo y meteorología. Preston (1977, 8); Dutschke, Rouse, Hodson et al. (1989, 716-7). Digital Scriptorium (cons. 15/12/2021); Huntington (cons. 15/12/2021). 620. Sankt Florian, Stiftsbibliothek, XI 619 240 ff., papel, 300 × 210 mm, s. XV (datado: año 1447), origen: ¿Ratisbona? (prov.: monasterio de S. Florian, Austria). Spher.: ff. 34r-60r. 230 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28641 http://18.235.151.129/detail.php?msid=10807 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11436#4_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=38530 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=25286 http://www.mirabileweb.it/manuscript/salzburg-benediktiner-erzabtei-sankt-peter-stiftsb-manuscript/136896 https://handschriftencensus.de/12443 http://18.235.151.129/detail.php?msid=11058 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11438#3_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=8866 https://www.mirabileweb.it/manuscript/salzburg-benediktiner-erzabtei-sankt-peter-stiftsb-manuscript/8651 https://handschriftencensus.de/12460 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11443#26_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=8884 http://www.mirabileweb.it/manuscript/salzburg-benediktiner-erzabtei-sankt-peter-stiftsb-manuscript/136895 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/11443 https://handschriftencensus.de/12526 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=8133 http://digital-scriptorium.org/xtf3/search?rmode=digscript;smode=advanced;field1=text;term1=Sacrobosco;join1=token;operator1=and;field2=text;join2=token;operator2=and;field3=text;join3=token;datetype=range;docsPerPage=1;startDoc=14;fullview=yes https://catalog.huntington.org/record=b1862205 La tradición manuscrita Tratados astronómicos, astrológicos y aritméticos, incluidas obras sobre instrumentos de medida (reloj astronómico); también se leen títulos sobre medicina y de música. Algunas de las obras están escritas en alemán. Czerny (1871, 211-2); Zinner (1925, 155). Handschriftencensus (cons. 07/06/2021); HMML (cons. 07/06/2021); Manuscripta (cons. 07/06/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 621. Sankt Gallen, Kantonsbibliothek Vadiana, Vad. Slg. 412 147 ff., papel, in quarto, s. XV3/4, origen: Alemania. Spher.: ff. 13r-29r. Obras de astronomía en latín y alemán y un tratado latino sobre las piedras magnéticas. Scherrer (1864, 118, n.º 412); Zinner (1925, 155). Jordanus (cons. 17/04/2021); SGBN (cons. 07/06/2021). 622. Sankt Gallen, Stiftsbibliothek, 827 342 pp., papel, 295 × 210 mm, s. XV (datado: años 1425, 1428), origen: alrededores del lago de Constanza (Alemania, Suiza, Austria). Algor.: pp. 21-29; Compot.: pp. 149-193; Spher.: pp. 273-305. El códice contiene calendarios, obras sobre cómputo, aritmética, astronomía y astrología. Scherrer (1875, 279-80); Zinner (1925, 155); Scarpatetti (1991, 69, n.º 190); Giese (2003, 195-234); Nothaft (2014, 390). e-codices (cons. 24/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Handschriftencensus (cons. 07/06/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Medium (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021); Swisscovery (cons. 24/05/2021). 623. Schlägl, Prämonstratenser-Stiftsbibliothek, Codex Plagensis 144 (824. 235) 116 ff., papel, 224 × 160 mm, s. XV (datado: años 1465, 1466), origen: ¿Austria? ¿Alemania? Spher.: ff. 2r-19v. Obras astronómicas y astrológicas y tratados científicos de temática variada: dos sobre la proporción, quiromancia, la cuadratura del círculo, la luz y anatomía. Vielhaber e Indra (1918, 251-2); Zinner (1925, 155). HMML (cons. 07/06/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 624. Sevilla, Biblioteca Capitular y Colombina, 5-4-48 80 ff., papel, 300 × 220 mm, s. XV, origen: desconocido. Algor.: ff. 27r-43r y 55r-64v560. Además del Algor., obras de ciencias naturales (física, astronomía y seres vivos). Compagno y Roth (2011, 239-41). Lullus (cons. 07/06/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 625. Siena, Biblioteca Comunale degli Intronati, G.IX.40 Ms. compuesto, 5 U.C. III + 391 + I ff., papel, 215 × 146 mm, s. XVmed. (U.C. 2)561, origen: desconocido. U.C. 2 (ff. 48-141), Algor.: ff. 59r-66v. 560 El Algor. queda dividido por la Spher. de Grosseteste (ff. 43r-55r), que se ha encuadernado en mitad de la obra. 561 A excepción de las U.C. 1-2, el resto data del s. XVI. 231 https://handschriftencensus.de/12515 http://18.235.151.129/detail.php?msid=24850 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=28305 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/sankt-florian-bibliothek-des-augustiner-chorherren-manuscript/116373 http://ptolemaeus.badw.de/ms/150 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8065#2_58 https://sgbn-primo.hosted.exlibrisgroup.com/permalink/f/10gkoqb/41STGKBG_HAN9972421896105504 https://www.e-codices.ch/en/list/one/csg/0827 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28642 https://handschriftencensus.de/17019 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8051#3_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=24939 http://www.mirabileweb.it/manuscript/sankt-gallen-stiftsbibliothek-827-manuscript/41727 https://swisscovery.slsp.ch/permalink/41SLSP_NETWORK/1ufb5t2/alma991018619622505509 http://18.235.151.129/detail.php?msid=25046 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11451#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/schl%C3%A4gl-pr%C3%A4monstratenser-stiftsbibliothek-144-(824-manuscript/16574 https://lullus.ub.uni-freiburg.de/?doc_id=11031 http://www.mirabileweb.it/manuscript/sevilla-biblioteca-capitular-y-colombina-5-4-48-manuscript/12417 LA OBRA DE SACROBOSCO La U.C. 2 contiene obras de gramática, aritmética y retórica. El resto de U.C. presenta un contenido misceláneo. Codex (cons. 09/06/2021). 626. Siena, Biblioteca Comunale degli Intronati, L.IX.22 I + 48 + I ff., pergamino, 157 × 106 mm, s. XIV, origen: Italia. Spher.: ff. 1r-15r (con lagunas); Compot.: ff. 16r-40r; Algor.: ff. 40r-48r. Tan solo contiene estas obras de Sacrobosco. Ilari (1845, 113). Codex (cons. 09/06/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 627. Solothurn, Zentralbibliothek, S I 167 I + 161 ff., papel, 275 × 210 mm, s. XIV (datado: años 1388, 1390, 1304), origen: Rottweil. Algor.: ff. 33r-44v; Compot.: ff. 62r-92r; Spher.: ff. 156v-161v. Además de las obras de Sacrobosco, contiene obras sobre cómputo. Schönherr (1964, 265); Scarpatetti (1991, 137-8, n.º 382); Nothaft (2014, 390). e-codices (cons. 24/05/2021); Europeana (cons. 07/06/2021); Handschriftencensus (cons. 24/05/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Kalliope (cons. 03/03/2022); Mirabile (cons. 07/06/2021); Swisscovery (cons. 24/05/2021). 628. Stams, Stiftsbibliothek, 13 150 ff., pergamino, 285 × 195 mm, s. XIV, origen: ¿Francia? Algor.: ff. 1ra-8v; Spher.: ff. 25r-38r; Compot.: ff. 50r-76r. Obras de aritmética, astronomía y matemáticas con tablas. Zinner (1925, 152, 155); Grebec (1966, 13a-c). Manuscripta (cons. 07/06/2021). 629. Stams, Stiftsbibliothek, 24 132 ff., papel, in quarto, s. XV, origen germánico. Spher.: ff. 1r-63r. Tratados astronómicos y astrológicos con tablas, algunos en lengua alemana; también presenta obras médicas y de quiromancia. Hofinger (1891, 490); Zinner (1925, 155). 630. Stockholm, Kungliga Biblioteket, X 767 99 ff., pergamino, medidas desconocidas, s. XIIIex.-XIVin., origen: Dinamarca. Algor.: ff. 15r-23v; Spher.: ff. 24r-40v; Compot.: ff. 41r-66v. Contiene, además de las obras de Sacrobosco, unas tablas, un calendario, un tratado sobre el cuadrante y otro sobre el astrolabio. Stephens (1847, 32-4); F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 169). Jordanus (cons. 17/04/2021). 631. Toledo, Biblioteca Capitular, 47-15 106 + II ff., pergamino, 575 × 410 mm, s. XIIIex., origen: ¿Viterbo? Compot.: ff. 147r-157rb. Además de esta obra, el códice transmite un tratado con el título Algorismus (cfr. Anexo) al que le sigue el Carmen de algorismo; también contiene obras de filosofía natural, obras de Aristóteles en latín, de Agustín y Ps.-Agustín, de Boecio, varias de Cicerón, de Avicena. 232 http://www406.regione.toscana.it/bancadati/codex/ http://www406.regione.toscana.it/bancadati/codex/ http://www.mirabileweb.it/manuscript/siena-biblioteca-comunale-degli-intronati-l-ix-22-manuscript/218074 https://www.e-codices.ch/en/list/one/zbs/SI-0167 http://www.europeana.eu/es/item/9200211/en_list_one_zbs_SI_0167 https://handschriftencensus.de/22496 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/8036#5_58 http://kalliope-verbund.info/CH-001880-7-000197180 http://www.mirabileweb.it/manuscript/solothurn-zentralbibliothek-(olim-kantonsbibliothe-manuscript/186856 https://swisscovery.slsp.ch/permalink/41SLSP_NETWORK/1ufb5t2/alma991018619523905509 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=31248 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10692#1_58 La tradición manuscrita Lacombe (1955, vol. 2, 853-5). HMML (cons. 14/01/2022); Mirabile (cons. 14/01/2022). 632. Toledo, Biblioteca Capitular, 98-28 IV + 241 + IV ff., pergamino, 157 × 121 mm, s. XIII-XIV, origen: Francia (prov.: biblioteca personal de Diego y Vasco Ramirez de Guzman). Algor.: ff. 6r-12v; Compot.: ff. 22v-45v; Spher.: ff. 53r-67v (acéfalo)562. Contiene el Carmen de algorismo, obras de aritmética, cómputo, astronomía y astrología (con tablas, calendario y un par de cuadrantes) y filosofía. Cordoliani (1952, 346-52); Glorieux (1971, 235); Galán Gómez (2015, 71-7). Jordanus (cons. 17/04/2021). 633. Torino, Biblioteca Nazionale Universitaria, H.III.3 (olim H.III.2)563 80 ff., papel, 235 × 145 mm, s. XVI, origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-11v; Algor.: ff. 44r-52v. Obras de astronomía y astrología. IBI (1922, vol. 28, 125, n.º 1222); Giaccaria (2007, 448)564. Fama (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 634. Toulouse, Bibliothèque d’Étude et du Patrimoine, 872 (III, 140) Ms. compuesto, n.º de U.C. desconocido565. 328 ff., papel y pergamino, 205 × 145 mm, s. XIV566, origen: desconocido. Spher.: ff. 222ra-224va; Algor.: ff. 224va-226ra; Compot.: ff. 227ra-231vb. Excepto las obras de Sacrobosco y el Carmen de algorismo, el resto del códice contiene cuestiones teológicas, especialmente transmite sermones. CGM in-4º (1885, vol. 7, 507-11); Schaller y Vogel (2002, 348, n.º 209); Glorieux (1971, 235-6); Ambrosetti (2008, 359). BVMM (cons. 28/05/2021); CCFR (cons. 28/05/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Medium (cons. 28/05/2021). 635. Trier, Stadtbibliothek, 816/1345 Ms. compuesto, 3 U.C. I + 155 ff., papel, 215 × 150 mm, s. XV, origen: ¿Alemania? (prov.: S. Eucharius und Matthias, Trier). U.C. 3 (ff. 144-155), Algor.: ff. 144r-152r. La U.C. 3 está conformada por el Algor. y una obra sobre cómputo. Las U.C. 1-2 contienen obras en inglés y alemán sobre medicina, las costumbres de los prelados y la sabiduría eterna. Becker (1911, 13-4); Bushey (1996, 81-85). 562 Falta un folio al inicio. Inc.: Corrumpuntur et regenerantur. Sunt autem elementa. (Thorndike, 1949a, 78). 563 Según Giaccaria (2007, 448), el manuscrito se conserva con grandes daños producidos por un incendio en el año 1904. Este incendio fue el responsable del cambio de signaturas en numerosos ejemplares de la Biblioteca Nazionale Universitaria de Torino. 564 Queremos agradecer la información que nos ha proporcionado Fabio Uliana, coordinador de los fondos antiguos de la Biblioteca Nazionale Universitaria di Torino. 565 Dadas las diversas dataciones que se han establecido para distintas parte del códice, entendemos que se trata de un códice compuesto. 566 Son de este siglo los artículos 21-26, los cuales presumiblemente podrían constituir una U.C. El resto del manuscrito presenta una datación oscilante entre los ss. XIII-XV (CGM in-4º, 1885, vol. 7, 511). 233 http://18.235.151.129/detail.php?msid=60420 http://www.mirabileweb.it/manuscript/toledo-archivo-y-biblioteca-capitulares-(olim-biblioteca-del-cabildo)-47-15-(37-1-23-1)/33608 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/13344#4_58 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28643 http://www.mirabileweb.it/manuscript/torino-biblioteca-nazionale-universitaria-h-iii-3--manuscript/126902 https://bvmm.irht.cnrs.fr/consult/consult.php?REPRODUCTION_ID=3189 https://ccfr.bnf.fr/portailccfr/jsp/index_view_direct_anonymous.jsp?record=eadcgm:EADC:D07A13456 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28645 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5678#12_58 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=36250 LA OBRA DE SACROBOSCO DTM (cons. 07/06/2021); Handschriftencensus (cons. 07/06/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 07/06/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 636. Trier, Stadtbibliothek, 1074/1271 98 ff., papel, 199 × 142 mm, s. XV, origen: desconocido. Algor.: ff. 21r-30r; Spher.: ff. 30r-48r. Contiene, ademas de estas, obras sobre la utilidad del cuadrante, el astrolabio, y la Theorica planetarum. Becker (1911, 141); Ambrosetti (2008, 371). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 637. Trier, Stadtbibliothek, 1077/1263 60 ff., pergamino, 161 × 115 mm, s. XIV, origen: ¿Trier? (prov.: S. Matthias, Trier). Algor.: ff. 14r-18r. Obras de cómputo, aritmética (incluido el Carmen de algorismo) y tablas. Becker (1911, 142); Ambrosetti (2008, 371). DTM (cons. 07/06/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021). 638. Trier, Stadtbibliothek, 1925/1482 I + 448 ff., papel567, 208 × 146 mm, s. XV, origen: Alemania. Algor.: ff. 197-217. Contiene una gran cantidad de obras de diversa índole, con tratados de carácter doctrinal y religioso, sermones, cómputos, crónicas y obras sobre números. Kentenich (1910, 146-8); Ambrosetti (2008, 371); Nothaft (2014, 390-1). Handschriftencensus (cons. 07/06/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 639. Uppsala, Universitetsbibliotek, C 231 181 ff., pergamino, 150 × 110 mm, s. XIII (ca. 1300), origen: París. Compot.: ff. 3r-4r (mútilo)568. Además de este fragmento, contiene obras teológicas y moralizantes. Andersson-Schmitt, Hallberg y Hedlund (1988, vol. 3, 119-21). Fama (cons. 13/11/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021). 640. Uppsala, Universitetsbibliotek, C 602 I + 246 ff., papel, 285 × 215 mm, s. XV, origen: ¿Upsala? Spher.: 220v-227v y 238v-245v569 (mútilo)570. El manuscrito contiene la Spher. y comentarios a diversas obras de Aristóteles. Andersson-Schmitt, Hallberg y Hedlund (1993, vol. 6, 94-6). Alvin (cons. 29/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 07/06/2021). 567 Excepto los ff. 16a y 16b, que son de pergamino. 568 Falta más de las dos terceras partes de la obra al final. Des.: Tunc enim reges romani procedere solebant… (Lohr, 2020, cap. 5, l. 15/16). 569 Entre los ff. 227r-236v se inserta un comentario a esta obra. 570 Probablemente falta un folio al final. Des.: propter velocitatem eius motus in epyiciclo (Thorndike, 1949a, 115). 234 http://dtm.bbaw.de/HSA/Trier_700439340000.html https://handschriftencensus.de/8684 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90612289,T http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90612289,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/trier-stadtbibliothek-hs-816-1345-8%C2%B0-manuscript/197055 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28647 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2919#3_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/trier-stadtbibliothek-hs-1074-1271-8%C2%B0-manuscript/136643 http://dtm.bbaw.de/HSA/Trier_700439700000.html http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2921#3_58 https://handschriftencensus.de/24023 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2930#5_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/trier-stadtbibliothek-hs-1925-1482-8%C2%B0-manuscript/136642 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/67866 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10704#1_58 http://www.alvin-portal.org/alvin/view.jsf?aq=%5B%5B%7B%22A_FQ%22%3A%22Sacrobosco%22%7D%5D%5D&c=2&aqe=%5B%5D&af=%5B%5D&searchType=EXTENDED&query=Sacrobosco&pid=alvin-record%3A200870&dswid=1890#alvin-record%3A200870 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90595256,T La tradición manuscrita 641. Uppsala, Universitetsbibliotek, C 629 329 ff., papel, 200 × 150 mm, s. XV (datado: años 1482, 1483), origen: abadía de Vastena (copista: Olavus Johannis Guto). Spher.: ff. 188r-241v (con comentario571). Tratados de filosofía natural, gramática, astronomía, astrología, retórica y unas tablas de cómputo. Andersson-Schmitt, Hallberg y Hedlund (1993, vol. 6, 159-62). Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 07/06/2021). 642. Uppsala, Universitetsbibliotek, C 653 Ms. compuesto, 2 U.C. 241 ff., pergamino, 205 × 150 mm (U.C. 1), 160 × 115 mm (U.C. 2), s. XIV2/2 (U.C. 1 datada: año 1388), origen: Francia (U.C. 1) y Alemania (U.C. 2). U.C. 1 (ff. 1-227), Spher.: ff. 2r-14v (con comentario572); U.C. 2 (ff. 228-235), Algor.: ff. 228r-233r; Spher.: ff. 233r-235v (mútilo)573. La U.C. 1 contiene tratados de astronomía y astrología (incluida la Theorica planetarum, tablas, calendarios y obras sobre instrumentos de medida: cuadrante, reloj astronómico, turquet, astrolabio), geometría, aritmética; la U.C. 2 presenta, en cambio, las obras de Sacrobosco y un tratado astronómico en alemán. Hedlund (1977, 16); Andersson-Schmitt, Hallberg y Hedlund (1993, vol. 6, 214-20). Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 07/06/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 643. Uppsala, Universitetsbibliotek, C 655 222 ff., papel, 205 × 150 mm, s. XV (datado: años 1445, 1447), origen: Braniewo (Polonia). Algor.: ff. 2r-12r; Spher.: ff. 126r-143r. Obras de matemáticas, muchos tratados sobre cómputo, tablas astronómicas, astronomía, gramática y retórica. Zinner (1962, 57); Andersson-Schmitt, Hallberg y Hedlund (1993, vol. 6, 223-7); Nothhaft (2014, 391). Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 07/06/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 644. Uppsala, Universitetsbibliotek, C 923 I + 152 ff., papel, 205 × 145 mm, s. XV (datado: año 1474), origen: Suecia. Algor.: ff. 38r-47v. Contiene flores gramaticales, el Algor., un Aesopus moralizatus, filosofía y un glosario sueco-latín. Kristeller (1990, vol. 5, 33); Andersson-Schmitt, Hallberg y Hedlund (1993, vol. 6, 363-5); Quak (2006, 25-40). Fama (cons. 07/06/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 07/06/2021). 571 Inc.: Hic nota quedam brevia super speram. Subiectum tractatus spere est totum vniuersum. 572 Comentario anónimo editado en Thorndike (1949a, 412-44). Inc.: Tractatum spere etc. Quia hic tractatus de spera astronomie subicitur. 573 Falta la mayoría del capítulo segundo y los dos últimos capítulos completos. Des.: iterum in orientem… (Thorndike, 1949a, 86). 235 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10731#6_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90596882,T http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10736#1_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90598511,T https://www.mirabileweb.it/manuscript/uppsala-universitetsbibliotek-(carolina)-c-653-manuscript/116377 http://ptolemaeus.badw.de/ms/574 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10738#1_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90598709,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/uppsala-universitetsbibliotek-(carolina)-c-655-manuscript/185015 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/27116 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10752#4_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90604153,T LA OBRA DE SACROBOSCO 645. Uppsala, Universitetsbibliotek, Waller 74 16 ff., pergamino, 175 × 115 mm, s. XIII2/2, origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-16v. Tan solo contiene esta obra. Alvin (cons. 29/03/2021). 646. Utrecht, Bibliotheek der Rijksuniversiteit, 292 (1.M.2) 163 ff., papel, 210 × 145 mm, s. XV, origen: desconocido (prov.: S. Salvator, Utrecht). Algor.: ff. 122r-129r. Contiene una égloga sobre la verdad y la falsedad, un tratado de derecho canónico, el Algor. y un cómputo. Tiele (1887, 94-5); Cordoliani (1961, 76-8); Ambrosetti (2008, 383). Jordanus (cons. 17/04/2021); Mirabile (cons. 19/03/2021); UU Cat. (cons. 19/03/2021). 647. Utrecht, Bibliotheek der Rijksuniversiteit, 722 (4.G.18) 144 ff., pergamino, 195 × 145 mm, s. XIV, origen: desconocido. Algor.: ff. 50ra-55ra; Spher.: ff. 55ra-66ra. Obras sobre cómputo, aritmética (incluido el Carmen de algorismo), calendario y astronomía. Tiele (1887, 187-9); Zinner (1925, 154); Cordoliani (1961, 78-84); Ambrosetti (2008, 383). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Mirabile (cons. 19/03/2021); UU Cat. (cons. 19/03/2021). 648. Utrecht, Bibliotheek der Rijksuniversiteit, 723 (1.M.1) Ms. compuesto, 4 U.C. 156 ff., pergamino, 190 × 130 mm, s. XV (U.C. 1)574, origen: desconocido (prov.: S. Salvator, Utrecht). U.C. 1 (ff. 1-42), Spher.: ff. 1r-19r. La U.C. 1 contiene la Spher., otros tratados de astronomía y extractos de las Etymologiae de Isidoro de Sevilla. El resto de U.C. continúan la temática científica con obras astrológicas, excerpta de Aristóteles y libros de medicina. Tiele (1887, 189); Zinner (1925, 155); Lieftinck (1964, 122, n.º 283). BNM-I (cons. 19/03/2021); Mirabile (cons. 19/03/2021); UU Cat. (cons. 19/03/2021). 649. Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. VIII.1 (3044) Ma 123 ff., pergamino, 135 × 90 mm, s. XIII, origen: desconocido. Algor.: ff. 1r-13r; Spher.: ff. 14r-37r; Compot.: ff. 38r-76r. Además de las obras de Sacrobosco, el códice contiene un calendario, una obra doctrinal, cuestiones sobre Dios, ciertas nociones artiméticas, música y definiciones de Isidoro de Sevilla. Valentinelli (1871, 259-61); Ambrosetti (2008, 382). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 650. Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. VIII.33 (2499) 145 ff., papel, 346 × 240 mm, s. XV, origen: Venecia. Spher.: ff. 61r-68r; Algor.: ff. 73r-76r; Compot.: ff. 80r-92r. 574 Las U.C. 2-4 datan del s. XIV. 236 http://www.alvin-portal.org/alvin/view.jsf?aq=%5B%5B%7B%22A_FQ%22%3A%22Sacrobosco%22%7D%5D%5D&c=1&aqe=%5B%5D&af=%5B%5D&searchType=EXTENDED&query=Sacrobosco&pid=alvin-record%3A41323&dswid=3965#alvin-record%3A41323 http://sip.mirabileweb.it/search-place/paesi-bassi-utrecht-utrecht-st-salvator-(nieuwlich-place/1044/22564 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11237#1_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/utrecht-bibliotheek-der-rijksuniversiteit-292-(1-m-manuscript/1082 http://objects.library.uu.nl/reader/index.php?obj=1874-324740&lan=en#page//72/16/92/72169290232043600568295561096828574826.jpg/mode/1up http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28648 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11241#2_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/utrecht-bibliotheek-der-rijksuniversiteit-722-(4-g-manuscript/119291 http://objects.library.uu.nl/reader/index.php?obj=1874-334454&lan=en#page//28/14/40/28144088642979500505556317950527709147.jpg/mode/1up http://sip.mirabileweb.it/search-place/paesi-bassi-utrecht-utrecht-st-salvator-(nieuwlich-place/1044/22564 https://bnm-i.huygens.knaw.nl/tekstdragers/TDRA000000001103 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/utrecht-bibliotheek-der-rijksuniversiteit-723-(1-m-manuscript/170171 http://objects.library.uu.nl/reader/index.php?obj=1874-324739&lan=en%20-%20page//86/16/83/86168399731715148049214878728583990789.jpg/mode/1up&_ga=2.200177320.705282274.1600171166-1402435142.1600171166#page//86/16/83/86168399731715148049214878728583990789.jpg/mode/1up http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28649 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10484#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/venezia-biblioteca-nazionale-marciana-lat-viii-1-(-manuscript/136969 La tradición manuscrita Obras astronómicas y astrológicas, donde se incluyen opúsculos sobre el astrolabio y el cuadrante. Valentinelli (1871, 281-4); Kristeller (1967, vol. 2, 228); Ambrosetti (2008, 382). Mirabile (cons. 07/06/2021). 651. Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. VIII.68 (3416) 57 ff., pergamino, 230 × 170 mm, s. XIV, origen: Bratislava. Algor.: ff. 1r-8r. El Algor. viene acompañado por dos tratados sobre el cuadrante. Valentinelli (1871, 268). 652. Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. VIII.74 (3577) 129 ff., papel, 218 × 147 mm, s. XV, origen: desconocido. Algor.: ff. 122r-129r. Numerosas obras relacionadas con la astronomía y la astrología, física, filosofía y fenómenos atmosféricos. Valentinelli (1871, 284-6). Geschichtsquellen (cons. 07/06/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 653. Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. XIV.190 (4490) 42 ff., papel, 202 × 142 mm, s. XIV, origen: desconocido. Algor.: ff. 1r-8r. Además de esta obra, contiene una obra sobre cómputo y otra sobre martirios. Valentinelli (1871, 270-1). Jordanus (cons. 17/04/2021). 654. Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. Z.338 (1876) 8 ff., pergamino, 242 × 174 mm, s. XIV, origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-8v (mútilo). Únicamente contiene la Spher. Valentinelli (1871, 266). 655. Venezia, Museo Civico Correr, Cicogna 3747 (2712) 172 ff., papel, medidas desconocidsa, s. XVmed., origen: ¿norte de Italia? (prov.: biblioteca personal de Emmanuele Cicogna). Spher.: ff. 135ra-145va. Obras de astronomía (incluidos opúsculos sobre instrumentos de medida: cilindro astronómico, cuadrante, turquet y la Theorica planetarum), astrología, tablas y matemáticas. Caracciolo (2008, 240-3). Mirabile (cons. 07/06/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 656. Verdun, Bibliothèque municipale, 25 (Belles-lettres 2) Ve Ms. compuesto, 2 U.C.575 N.º de folios desconocido, pergamino, in quarto, s. XIII-XIV, origen: desconocido (prov.: Saint-Vanne, Verdun). Algor.: 1r-folio desconocido576. 575 No estamos seguros de qué folios comprende cada U.C. 576 Sabemos que es la primera obra de las 8 que contiene la U.C. 1. 237 http://www.mirabileweb.it/manuscript/venezia-biblioteca-nazionale-marciana-lat-viii-33--manuscript/105915 https://www.geschichtsquellen.de/hs/78548 https://www.mirabileweb.it/manuscript/venezia-biblioteca-nazionale-marciana-lat-viii-74--manuscript/136971 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/10563#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/venezia-museo-civico-correr-cicogna-3747-(2712)-manuscript/136703 http://ptolemaeus.badw.de/ms/433 LA OBRA DE SACROBOSCO Obras de aritmética, cómputo, astronomía, tablas, y opúsculos sobre el cuadrante. CGM in-4º (1879, vol. 5, 441-2); Glorieux (1971, 236); Beaujouan (1991, XI, 116); Ambrosetti (2008, 359). CCFR (cons. 07/06/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Mirabile (cons. 15/12/2021). 657. Verona, Biblioteca Capitolare, CCLXI (233) I + 129 ff., papel, medidas desconocidas, s. XV577, origen: Verona (copista: Jacobus Comes Iuliarius). Spher.: ff. 3r-30r. Obras de astronomía y astrología. McGurk (1966, 86-7); Viré (1981, 175). Cert. Signa (cons. 07/06/2021); Fama (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021); SAXL (cons. 07/06/2021). 658. Washington D.C., Library of Congress, Rare Books Division, 94 57 ff., papel, 220 × 150 mm, s. XV, origen: Italia. Spher.: ff. 2r-18v. Obras de astronomía (incluida la Theorica planetarum), un tratado sobre las provincias de Italia y obras referidas a Alejandro Magno. De Ricci y Wilson (1935, vol. 1, 235, n.º 122). Jordanus (cons. 17/04/2021). 659. Washington D.C., Library of Congress, Rare Books Division, 95 148 ff., papel, 220 × 140 mm, s. XV (datado: año 1456), origen: Italia. Algor.: ff. 1r-8r; Spher.: ff. 8v-21v. Obras de astronomía y astrología (incluida la Theorica planetarum), un opúsculo sobre el astrolabio y excerpta de la Historia naturalis Plinio. De Ricci y Wilson (1935, vol. 1, 235-6, n.º 123). Jordanus y Jordanus (cons. 17/04/2021). 660. Washington D.C., Library of Congress, Rare Books Division, 96 40 ff., pergamino, 170 × 110 mm, s. XV, origen: norte de Italia, ¿Venecia? Spher.: ff. 1r-40r. Tan solo contiene esta obra. De Ricci y Wilson (1935, vol. 1, 236, n.º 124). 661. Washington D.C., National Library of Medicine, 522 8 ff., pergamino, 170 × 120 mm, s. XIV, origen: desconocido. Compot.: ff. 1r-8r (acéfalo)578. El manuscrito presenta el Compot. mútilo y parte del Anticlaudianus de Alano de Insulis. Schullian y Sommer (1950, 255-6); Faye y Bond (1962, 135, n.º 37); Tunis (1989, 6). 662. Weimar, Herzogin Anna Amalia Bibliothek, 4º 36 Ms. compuesto, 4 U.C. 577 Según la filigrana veronesa, el papel es del año ca. 1475. 578 Falta casi la primera mitad del tratado. Inc.: Iunius estum (Lohr, 2020, cap. 12, l. 34). 238 https://ccfr.bnf.fr/portailccfr/jsp/index_view_direct_anonymous.jsp?record=eadcgm:EADC:D05020111 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/5716#2_58 https://www.mirabileweb.it/manuscript/verdun-biblioth%C3%A8que-municipale-25-(belles-lettres--manuscript/136790 http://certissimasigna.sns.it/index.php?id=130&type=manuscript&action=view http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28650 http://www.mirabileweb.it/manuscript/verona-biblioteca-capitolare-cclxi-(233)-manuscript/107895 https://www.thesaxlproject.com/assets/Uploads/MSS-DESCRIPTIONS-Hyginus-Verona-CCLXI-2-April-2012.pdf http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/243#1_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/244#1_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/246#1_58 La tradición manuscrita 208 ff., papel, 220 × 145-155 mm, s. XV (datado: año 1428) (U.C. 3)579, origen: ¿región Rin- Meno? (U.C. 3)580. U.C. 3 (ff. 116-196), Algor.: ff. 185r-196v. La U.C. 3 contiene obras de cómputo, quiromancia y tablas. El resto de U.C. siguen parcialmente la temática computística, aunque dirigida especialmente a los tiempos litúrgicos; también se cuentan varias obras teológicas y religiosas. Ambrosetti (2008, 372); Eifler (2012, 97-111). Handschriftencensus (cons. 07/06/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 07/06/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021). 663. Wien, Bibliotheca Theresiana (Theresianum), 4º Cod. 20 242 ff., papel, in quarto, s. XV, origen: Inglaterra. Algor.: ff. 227r-242r. El manuscrito contiene una larga obra sobre el Ars epistolandi y una serie de tratados sobre el cómputo. Kristeller (1967, vol. 3, 55). HMML (cons. 11/03/2021); Manuscripta (cons. 11/03/2021). 664. Wien, Dominikanerkloster, 138 (108) 220 ff., papel, 290 × 222 mm, s. XV, origen: desconocido. Compot.: ff. 193r-208v. Tratados científicos: sobre la inteligencia, fenómenos celestes, astronomía, teología, filosofía. También hay unas sentencias y los Synonima Tullii Ciceronis. HMML (cons. 11/03/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021). 665. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 588 W2 II + 39 ff., pergamino, 205 × 140 mm, s. XIII3/4, origen: Francia. Algor.: ff. 1ra-4vb; Compot.: ff. 5ra-21vb; Spher.: ff. 21vb-31va. Únicamente contiene las obras de Sacrobosco, el cuadrante atribuido a Campano de Novara y unas tablas matemáticas. Tab. BPV (1864, vol. 1, 102); Zinner (1925, 151-3); Knorr (1997b, 215). HMML (cons. 29/03/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 666. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 1688 116 ff., pergamino, 214 × 155 mm, s. XIV1/2, origen: ¿Estiria? Spher.: ff. 9r-12v. Obras teológicas entre las que se inserta la Spher. Dichas obras son de carácter filosófico, exegético, doctrinal y hagiográfico. Tab. BPV (1864, vol. 1, 274-5); Zinner (1925, 154). HMML (cons. 11/03/2021); Manuscripta (cons. 11/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 667. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 2367 257 ff., pergamino, 283 × 192 mm, s. XIV1/2, origen: Italia. Algor.: ff. 13r-75r. 579 El resto de U.C., si bien no coinciden en el año, todas datan de los años 20 del s. XV. 580 Las U.C. 1-2 tienen su origen en Mainz y la U.C. 4, en algún punto de Alemania. 239 https://handschriftencensus.de/24617 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3800#18_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31567356 http://www.mirabileweb.it/manuscript/weimar-herzogin-anna-amalia-bibliothek-(olim-zentr-manuscript/136940 http://18.235.151.129/detail.php?msid=115255 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=35316 http://18.235.151.129/detail.php?msid=9477 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=31403 http://18.235.151.129/detail.php?msid=14023 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=9945 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90858257,T http://data.onb.ac.at/rec/AC13951926 http://18.235.151.129/detail.php?msid=15121 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=10940 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90827116,T http://data.onb.ac.at/rec/AC13958654 LA OBRA DE SACROBOSCO Tablas astronómicas, un calendario, el Algor., un tratado sobre el astrolabio y los Elementa de Euclides. Tab. BPV (1868, vol. 2, 63); Ambrosetti (2008, 352). Manuscripta (cons. 03/11/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); Mirabile (cons. 03/11/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 668. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 2389 71 ff., pergamino, 270 × 165-170 mm, s. XIII-XIV, origen: ¿Austria? Compot., Spher.: ff. 61r-70v581. El manuscrito contiene una Summa, fragmentos de comentarios a Aristóteles y estas obras de Sacrobosco. Tab. BPV (1868, vol. 2, 66-7). Fama (cons. 28/05/2021); Manuscripta (cons. 11/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 669. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 2445 W1 I + 31 + I ff., pergamino, 224 × 163 mm, s. XIII, origen: ¿Francia? Algor.: ff. 1r-6v; Spher.: ff. 6v-16r; Compot.: ff. 16r-31r. Sólo contiene las obras de Sacrobosco. Tab. BPV (1868, vol. 2, 76); Zinner (1925, 152-4); Ambrosetti (2008, 352). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta (cons. 11/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 670. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 2461 I + 208 + I ff., pergamino, 212 × 150 mm, s. XIII-XIV, origen: Europa central. Spher.: ff. 201r-208v. Obras fundamentalmente médicas y de hierbas medicinales, una homilía y la Spher. Tab. BPV (1868, vol. 2, 78); Zinner (1925, 154). Manuscripta (cons. 11/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 671. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 2520 IV + 87 ff., pergamino, 155 × 110 mm, s. XIV1/4, origen: ¿sur de Alemania? ¿Austria? Compot.: ff. 1r-23v; Spher.: ff. 24r-36v. Además de estas obras, contiene pronósticos y consideraciones astrológicas. Tab. BPV (1868, vol. 2, 78); Zinner (1925, 152-4). HMML (cons. 11/03/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 672. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 3502 III + 278 + III ff., papel, 220 × 155 mm, s. XV (datado: años 1474, 1499), origen: Inglaterra. Algor.: ff. 148r-167v. Obras sobre gramática y lengua latina; epístolas de amor e invectiva; retórica y sentencias; tratados matemáticos; filosofía y calendario. 581 En Tab. BPV (1868, vol. 2, 66-7) se dice: 61ª-70b. Fridericus Aroldishusanus, Opus computi et opus spherae. Incip.: Computus est scientia... Expl.: pro numero stabili habeatur. Sequuntur notitiae minores meteorologicae. No se explicita, por tanto, en qué páginas está cada obra, si bien parece claro que, al menos, el Compot. está incluido puesto que coincide el incipit. 240 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=11523 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90830237,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/wien-österreichische-nationalbibliothek-2367-manoscript/18186 http://data.onb.ac.at/rec/AC13959043 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28651 http://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=11544 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90830372,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/wien-%C3%B6sterreichische-nationalbibliothek-2389-manuscript/113063 http://data.onb.ac.at/rec/AC13957518 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28652 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11720#2_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=11592 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90830656,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/wien-%C3%B6sterreichische-nationalbibliothek-2445-manuscript/136416%2022/10/2019 http://data.onb.ac.at/rec/AC13959339 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=11607 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90830734,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/wien-%C3%B6sterreichische-nationalbibliothek-2461-manuscript/179202 http://data.onb.ac.at/rec/AC13957707 http://18.235.151.129/detail.php?msid=16536 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=11657 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90831068,T http://data.onb.ac.at/rec/AC13957919 La tradición manuscrita Tab. BPV (1869, vol. 3, 1-2); Menhardt (1961, 913-5); Ambrosetti (2008, 352). Handschriftencensus (cons. 11/03/2021); HMML (cons. 11/03/2021); Manuscripta (cons. 11/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 673. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 4217 304 ff., papel y pergamino, 300 × 220 mm, s. XV (datado: año 1407), origen: Austria. Compot.: ff. 131r-150v. Tratados variados, donde se abordan temas de ciencias naturales, teología, física, astronomía, ritmo, obras jurídicas, de cómputo, proporción, filosofía, cartas, un sermón y doctrinales. Tab. BPV (1869, vol. 3, 205-6); Zinner (1925, 153). HMML (cons. 11/03/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta (cons. 11/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 674. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 4767 22 ff., papel, in quarto, s. XVmed., origen: Austria. Algor.: ff. 1r-15v (mútilo)582. Florilegio retórico, una fórmula medicinal y el Cisioianus. Tab. BPV (1869, vol. 3, 381); Ambrosetti (2008, 352). HMML (cons. 11/03/2021); Manuscripta (cons. 11/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 675. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 4778 331 ff., papel, 148 × 110 mm, s. XV (datado: año 1440), origen: Austria. Algor., Compot.: ff. 212r-283r583; Spher.: ff. 284r-330r. El manuscrito presenta estas obras de Sacrobosco y tres comentarios de Aristóteles latino. Tab. BPV (1869, vol. 3, 385); Zinner (1925, 156). Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 676. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5003 I + 216 ff., papel, 216 × 148 mm, s. XIV-XV, origen: Austria. Algor.: ff. 70r-72v. Obras de astronomía, medicina, calendario, matemática, geometría y retórica. Tab. BPV (1870, vol. 4, 2), Menhardt (1961, 1088-9); Ambrosetti (2008, 352). Handschriftencensus (cons. 11/03/2021); HMML (cons. 11/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 677. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5153 218 ff., papel, 220 × 150 mm, s. XIV-XV, origen: ¿Baviera? ¿Austria? Algor.: ff. 73r-80r. 582 Falta un folio al final del tratado. Des.: respectu triplatorum. 583 En Tab. BPV (1869, vol. 3, 385) se dice: 212ª-283ª. Tractatus mathematicus de algorismo, computo, etc. praesertim ex tractatu Johannis de Sacrobosco depromptus. 283b vacat. Entendemos, por tanto, que estas obras están incluidas en el códice, si bien no somos capaces de dar los folios exactos para cada una de ellas. 241 https://handschriftencensus.de/11585 http://18.235.151.129/detail.php?msid=16536 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=11657 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90839047,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/wien-%C3%B6sterreichische-nationalbibliothek-3502-manuscript/136419 http://data.onb.ac.at/rec/AC13959920 http://18.235.151.129/detail.php?msid=14641 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11757#1_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=4828 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90845114,T http://data.onb.ac.at/rec/AC13957361 hmmlhttp://18.235.151.129/detail.php?msid=18120 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=13125 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90850011,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/wien-österreichische-nationalbibliothek-4767-manoscript/136422 http://data.onb.ac.at/rec/AC13958102 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11769#1_59 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90850108,T http://data.onb.ac.at/rec/AC13957837 http://data.onb.ac.at/rec/AC13957837 https://handschriftencensus.de/11715 http://18.235.151.129/detail.php?msid=18333 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90852434,T http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90852434,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/wien-%C3%B6sterreichische-nationalbibliothek-5003-manuscript/40140 http://data.onb.ac.at/rec/AC13958426 LA OBRA DE SACROBOSCO Tratados sobre medida de tiempo, aritmética, retórica y composición en latín y ciertas obras teológicas: sermones, doctrinales, sobre los sacramentos, etc. Tab. BPV (1870, vol. 4, 42), Menhardt (1961, 1098-100); Ambrosetti (2008, 352). Handschriftencensus (cons. 11/03/2021); Manuscripta (cons. 11/03/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 678. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5166 154 ff., papel, in quarto, s. XV, origen: Suabia. Algor.: ff. 12r-22r; Spher.: ff. 37r-61v. Obras astronómicas, astrológicas, de cómputo y álgebra. Tab. BPV (1870, vol. 4, 46-7); Zinner (1925, 155); Menhardt (1961, 1100-1); Ambrosetti (2008, 352). Handschriftencensus (cons. 01/02/2022); HMML (cons. 01/02/2022); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 679. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5170 W4 Compuesto, códice y fragmentos de pergamino. 337 pp., papel y pergamino584, in octavo585, s. XIIImed. y XV586, origen: desconocido (prov.: monasterio de Mondsee). Algor.: refuerzo de las tapas y de las costuras (fragmento)587. El códice donde aparecen estos refuerzos con fragmentos del Algor. contiene obras escolásticas de gramática. Menhardt (1961, 1101). Fragmentarium (cons. 19/03/2021); Handschriftencensus (cons. 19/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 19/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 19/03/2021). 680. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5210 Ms. compuesto, 3 U.C. 140 ff., papel, 210 × 148-150 mm, s. XV (datado: año 1482, U.C. 1) (datado: años 1480, 1486, U.C. 3)588, origen: ¿Viena? (U.C. 1), desconocido (U.C. 3)589. U.C. 1 (ff. 1-49), Spher.: ff. 2r-29v; U.C. 3 (ff. 96-143), Algor.: ff. 133r-140v. La U.C. 1 contiene obras astronómicas; la U.C. 2, obras de perspectiva, meteorología y óptica; la U.C. 3, tratados sobre la medida del tiempo, incluidos instrumentos de medida (astrolabio) y aritmética. Tab. BPV IV (1870, 60); Zinner (1925, 155); Ambrosetti (2008, 352). Fama (cons. 28/05/2021); HMML (cons. 29/03/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 584 Aunque el manuscrito es de papel, los fragmentos de folio donde se encuentra el Algor., es decir, el refuerzo de las tapas y de las costuras, son de pergamino. 585 Esta medida se corresponde con los folios del manuscrito. Los fragmentos de pergamino donde se hallan los restos del Algor. miden ca. 60 × 45 mm y 200 × 19 mm. 586 Aunque el manuscrito fue escrito a mediados del s. XV, los fragmentos del Algor. datan del s. XIIImed.. 587 Se trata de fragmentos de distintas partes del tratado, apenas inteligibles, pegados a la parte interior de las cubiertas y en forma de tiras entre los folios para fortalecer la encuadernación. 588 La U.C. 2 está datada en el año 1367. 589 Es probable que la U.C. 2 fuera escrita en Múnich. 242 https://handschriftencensus.de/11727 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=13380 http://www.mirabileweb.it/manuscript/wien-%C3%B6sterreichische-nationalbibliothek-5153-manuscript/136417 http://data.onb.ac.at/rec/AC13958235 https://handschriftencensus.de/11729 http://18.235.151.129/detail.php?msid=18455 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90853645,T http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90853645,T http://data.onb.ac.at/rec/AC13956531 https://fragmentarium.ms/overview/F-judz https://handschriftencensus.de/11730 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90853691,T http://data.onb.ac.at/rec/AC13958787 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28653 http://18.235.151.129/detail.php?msid=18440 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11794#1_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=5997 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90854064,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/wien-%C3%B6sterreichische-nationalbibliothek-5210-manuscript/136420 http://data.onb.ac.at/rec/baa13834772 La tradición manuscrita 681. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5228 VIII + 193 ff., papel, 212 × 155 mm, s. XV-XVI (datado: años 1499, 1502), origen: Erfurt. Quadr.: ff. 86v-90r. Tratados de instrumentos de medida astronómicos (astrolabio, turquet, reloj solar, cuadrante, esfera armilar). Tab. BPV (1870, vol. 4, 65-6); Knorr (1997b, 215). HMML (cons. 17/11/2021); Manuscripta (cons. 17/11/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 17/11/2021); Mirabile (cons. 17/11/2021); ÖNB Cat. (cons. 17/11/2021); ÖNB Dig. (cons. 17/11/2021). 682. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5232-5233 Ms. compuesto, 2 U.C. 33 ff., papel, 206 × 147 mm, s. XV, origen: Austria. U.C. 2 (ff. 13-33), Spher.: ff. 13r-33r. Mientra que la Spher. ocupa toda la U.C. 2, la U.C. 1 contiene una obra sobre cómputo. Tab. BPV (1870, vol. 4, 68); Zinner (1925, 155). HMML (cons. 11/03/2021); Manuscripta y Manuscripta (cons. 29/03/2021); Manuscripta Maediaevalia y Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. y ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021)590. 683. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5239*-5239 Ms. compuesto, 2 U.C.591 23* + 150 ff., papel, 214 × 146 mm, s. XIV* y XV, origen: Austria. Spher.: ff. 54v-63v592; Algor.: ff. 89r-95r (con comentario)593. Obras astronómicas, astrológicas y médicas especialmente. Entre ellas, hay varios cómputos, tratados sobre la esfera, opúsculos de instrumentos astronómicos (cilindro y reloj astronómico, cuadrante) y tablas. Tab. BPV (1870, vol. 4, 70); Zinner (1925, 155); Unterkircher (1957, 104); Maruska (1993, 423); Ambrosetti (2008, 351); Maruska (2008, 100). Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021); Ptolemaeus (cons. 26/03/2021). 684. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5275 254 ff., papel, 310 × 210 mm, s. XV (datado: año 1481), origen: Sureste de Alemania. Spher.: ff. 43v-58v. Obras de astronomía, astrología y tablas. 590 Además de los datos ofrecidos por los catálogos y las bases de datos, queremos agradecer la información proporcionada por la bibliotecaria de la Österreichische Nationalbibliothek, Katharina Kaska. 591 El códice, nombrado con esta signatura por la totalidad de la bibliografía consultada, se trata de un manuscrito compuesto, siendo la primera parte aquella numerada con asteristo y la segunda, la numerada sin el mismo. Ptolemaeus (cons. 13/06/2022): «MS made of two parts under the distinct shelfmarks 5239* and 5239 respectively». 592 Siguiendo a Tab. BPV (1870, vol. 4, 70), en este mismo manuscrito se encuentra un tratado sobre el cómputo atribuido a Johannes de Sacrobosco bajo el título Tractatus de computo noviter correctus, cuyo incipit reza: Cum sit intentio emendare falsitatem. No se trata, sin embargo, de la obra compuesta por Sacrobosco, sino de un Computus philosophicus compuesto por un tal frater Johannes de S. (cfr. Moreton, 1992, 352-3). 593 Nótese que este tratado viene con el título Algorithmus explicatus, por lo que muy probablemente transmita la obra de Sacrobosco comentada, razón que quizá explicaría el inisual desinit transmitido por Tab. BPV (1870, vol. 4, 70): nota principium de hoc mundo radicali. 243 http://18.235.151.129/detail.php?msid=18417 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=4538 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90854202,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/wien-%C3%B6sterreichische-nationalbibliothek-5228-manuscript/168236 https://search.onb.ac.at/primo-explore/fulldisplay?docid=ONB_alma21303513270003338&context=L&adaptor=Local%20Search%20Engine&vid=ONB&lang=de_DE&search_scope=ONB_gesamtbestand&tab=default_tab&query=addsrcrid,exact,AC13958652 http://data.onb.ac.at/dtl/8765216 http://18.235.151.129/detail.php?msid=18759 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=4874 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=13438 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90854313,T http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90854316,T http://data.onb.ac.at/rec/AC13957516 http://data.onb.ac.at/rec/AC13957516 http://data.onb.ac.at/rec/AC13993349 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90854353,T http://data.onb.ac.at/rec/AC13961733 http://ptolemaeus.badw.de/ms/592 http://ptolemaeus.badw.de/ms/592 LA OBRA DE SACROBOSCO Tab. BPV (1870, vol. 4, 82); Zinner (1925, 156). HMML (cons. 11/03/2021); Manuscripta (cons. 29/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 685. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5309 271 ff., papel, in folio, s. XV (datado: año 1437); origen: Padua. Spher.: ff. 177r-184v. Tratados astronómicos fundamentalmente y otras obras científicas, como un tratado de medicina y otro de perspectiva. Tab. BPV (1870, vol. 4, 97-8); Zinner (1925, 156). HMML (cons. 11/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 686. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5337 193 ff., papel, in quarto, s. XIV (datado: año 1395), origen: desconocido. Spher.: ff. 131v-133v (mútilo)594. Obras de medicina y astronomía con diversas tablas y opúsculos sobre instrumentos de medida (reloj astronómico, astrolabio, cuadrante). Tab. BPV (1870, vol. 4, 104-5); Zinner (1925, 155). HMML (cons. 11/03/2021); Manuscripta (cons. 11/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 687. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5371* 86 ff., papel, 278 × 208 mm, s. XIV4/4, origen: desconocido. Algor.: ff. 56v-60r; Spher.: ff. 66r-84v (con comentario). Tratados de astronomía, calendario y medida del tiempo, meteorología y medicina. Tab. BPV (1870, vol. 4, 111-2); Zinner (1925, 155). HMML (cons. 29/03/2021); Manuscripta (cons. 11/03/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 688. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, Series Nova 2632 I + 262 ff., papel, 198 × 160 mm, s. XVIex., origen: Innsbruck. Spher.: ff. 18r-40r. Obras de aritmética, astronomía, geografía, geometría, calendario y astrología. Mazal y Unterkircher (1963, 298-9). Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta (cons. 17/04/2021); ÖNB Cat. (cons. 17/04/2021). 689. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, Series Nova 20268 103 ff., pergamino, 180 × 135 mm, s. XIII5/5, origen: ¿Bohemia? Algor.: ff. 3r-13r; Spher.: ff. 13v-35r. Obras de aritmética, astronomía, varias obras sobre el cómputo y fragmentos del Secretum secretorum. Narducci (1892, 252-3, n.º 414); Truhlář (1901, 365-70); Klemm (1998, 129). Fama (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021); ÖNB Cat. (cons. 11/03/2021). 594 En las referencias consultadas se dice que la obra está mútila, pero no poseemos la información de cuánto ni qué partes faltan del tratado. 244 http://18.235.151.129/detail.php?msid=18802 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=7286 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90854661,T http://data.onb.ac.at/rec/AC13958334 http://18.235.151.129/detail.php?msid=18567 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90855096,T http://data.onb.ac.at/rec/AC13956911 http://18.235.151.129/detail.php?msid=18645 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=1482 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90855347,T http://data.onb.ac.at/rec/AC13956771 http://18.235.151.129/detail.php?msid=18669 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=24878%20 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90855558,T http://data.onb.ac.at/rec/AC13956967 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11728#3_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=45047 https://search.onb.ac.at/primo-explore/fulldisplay?docid=ONB_alma21311203540003338&context=L&vid=ONB&lang=de_DE http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28654 http://www.mirabileweb.it/manuscript/wien-%C3%B6sterreichische-nationalbibliothek-ser-nova-2-manuscript/113037 http://data.onb.ac.at/rec/AC13951926 La tradición manuscrita 690. Wien, Schottenkloster, 166 286 ff., papel, in folio, s. XV, origen: Viena. Quadr.: ff. 262r-265r; Algor.: ff. 265v-268v. Además de un largo escrito doctrinal dedicado a religiosos, obras de medicina, cuadrante, cómputo y el De secretis mulierum. Hübl (1899, 144-6, n.º 138); Knorr (1997b, 215); Ambrosetti (2008, 353). HMML (cons. 11/03/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta (cons. 11/03/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021). 691. Wien, Schottenkloster, 305 I + 143, papel, 220 × 148 mm, s. XV-XVI (datado: años 1419, 1523), origen: Esztergom (Hungría). Algor.: ff. 7v-11v; Spher.: ff. 50v-64v. Obras de cómputo, aritmética, penitencia, retórica y sinónimos. Hübl (1899, 246-8, n.º 225); Zinner (1925, 155); Unterkircher, Horninger y Lackner (1981, 143-4, n.º 286); Ambrosetti (2008, 353). HMML (cons. 11/03/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta (cons. 11/03/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021). 692. Wilhering, Zisterzienserstift, IX 69 328 ff., papel, in quarto, s. XV, origen: Alemania. Algor.: ff. 282v-304v. Contiene una obra sobre cómo celebrar la misa y otras obras teológicas fundamentalmente: sobre los sacramentos, los pecados, sermones, dogmas, etc. La segunda parte versa, en cambio, sobre el calendario, cómputo, astronomía y astrología. Hay obras escritas en alemán. Grillnberger (1891, 32-3); Ambrosetti (2008, 353). Handschriftencensus (cons. 11/03/2021); HMML (cons. 11/03/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta (cons. 11/03/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021). 693. Windsheim, Stadtbibliothek, 105 I + 173 ff., papel, 205 × 150 mm, s. XV (datado: año 1424), origen: Alemania. Spher.: ff. 37r-67r; Algor.: ff. 151r-159v. Además de estas obras, el manuscrito contiene tratados de Aristóteles, ciencias naturales, tablas, obras de astronomía, retórica y tratados con cierto carácter moral. En algunas obras hay partes escritas en alemán. Stahleder (1963, 189-91); Ambrosetti (2008, 372). Jordanus (cons. 17/04/2021); Ptolemaeus (cons. 11/03/2021). 694. Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Astronom. 4º 16.1 91 ff., papel, 215 × 155 mm, s. XV (datado: año 1486), origen: Halberstadt (Alemania). Algor.: ff. 71r-90v. Obras sobre fenómenos atmosféricos, cómputo, una tabla astrológica y tratados de aritmética, entre los que consta el Carmen de algorismo. Heinemann (1903, vol. 5, 240-1, n.º 4012); Ambrosetti (2008, 372). Jordanus (cons. 17/04/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021). 695. Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Aug. 2º 78.3 76 ff., papel, 300 × 210 mm, s. XV, origen: desconocido (prov.: colección personal de Conrad Spangenberg). 245 http://18.235.151.129/detail.php?msid=3884 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11837#3_58 http://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=28678 http://www.mirabileweb.it/manuscript/wien-schottenkloster-166-(h%C3%BCbl-138)-manuscript/136979 http://18.235.151.129/detail.php?msid=25261 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11839#2_58 https://manuscripta.at/_scripts/php/msDescription2.php?ms_code=AT8900-305 http://www.mirabileweb.it/manuscript/wien-schottenkloster-305-(h%C3%BCbl-225)-manuscript/136980 https://handschriftencensus.de/3784 http://18.235.151.129/detail.php?msid=24879 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11848#2_58 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=32606 http://www.mirabileweb.it/manuscript/wilhering-zisterzienserstift-ix-69-manuscript/136424 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2959#5_58 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/2959 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3001#9_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/wolfenb%C3%BCttel-herzog-august-bibliothek-astronom-16--manuscript/136939 LA OBRA DE SACROBOSCO Algor.: ff. 54r-63v y 64v-67r. Tratados de medicina y recetas médicas sobre todo, pero también presenta ciertas obras de aritmética. Heinemann (1900, vol. 4, 5-6, n.º 2770); Ambrosetti (2008, 373). Jordanus (cons. 17/04/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021). 696. Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Aug. 4º 54.8 46 ff., pergamino, 185 × 140 mm, s. XIV, origen: desconocido. Algor., Compot., Spher.: ff. 1r-36r595. Además de las obras de Sacrobosco, el códice ofrece dos tratados más sobre el cómputo, el ultimo mútilo. Heinemann (1903, vol. 5, 68, n.º 3573). Jordanus (cons. 17/04/2021); Wolfenbüttel Cat. (cons. 11/03/2021). 697. Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Aug. 8° 68.13 169 ff., papel, 147 × 110 mm, s. XV (datado: años 1454 y 1468), origen: Alemania. Compot.: ff. 64v-65r (excerpta). Contiene tablas astronómicas, notas astrológicas, tratados sobre la medida del tiempo, instrumentos de medida (reloj astronómico y cuadrante), matemáticas y astronomía. Además, contiene unos pocos versos y un apunte en alemán. Heinemann (1903, vol. 5, 138-40, n.º 3749); Zinner (1925, 153). Handschriftencensus (cons. 11/03/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Wolfenbüttel Cat. (cons. 11/03/2021). 698. Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Helmst. 696 166 ff., papel, 210 × 145 mm, s. XV, origen: desconocido. Algor.: ff. 50v-62v. Obras de astronomía, cómputo, aritmética, medicina, música. Heinemann (1886, vol. 2, 149-50, n.º 760); Ambrosetti (2008, 372). Handschriftencensus (cons. 11/03/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021). 699. Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Helmst. 874 148 ff., papel, 210 × 145 mm, s. XV, origen: desconocido. Algor.: ff. 135r-148v (incompleto, con glosas)596. Obras sobre cómputo, sermones, himnos y aritmética. Heinemann (1886, vol. 2, 272-3, n.º 976); Ambrosetti (2008, 373). Jordanus (cons. 17/04/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021). 700. Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Helmst. 930 90 ff., papel y pergamino597, 210 × 150 mm, s. XV, origen: desconocido. Spher.: ff. 48r-61v. 595 En el catálogo de Heinemann (1903, vol. 5, 68) no se explicitan los folios en los que estas obras están contenidas, si bien ofrece el explicit del conjunto, al parecer en 36r: Explicit compotus, spera et algorismus. Teniendo en cuenta que el explicit coincide con el Compot. y que el título es el de la Spher., probablemente las obras se encuentren en este orden: Spher., Algor., Compot. 596 Faltan los últimos capítulos sobre las raíces cuadradas y cúbicas. Des.: et sunt novem summa tocius progressionis. Et sic est finis. 597 Son de pergamino los ff. 73-82. 246 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3050#4_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/wolfenb%C3%BCttel-herzog-august-bibliothek-aug-2%C2%B0-78-3--manuscript/136900 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3033#1_58 http://diglib.hab.de/?db=mss&list=ms&id=54-8-aug-4f&hi=sacrobosco https://handschriftencensus.de/21438 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3041#12_58 http://diglib.hab.de/?db=mss&list=ms&id=68-13-aug-8f&catalog=Heinemann&hi=Johannes%20de%20Deo https://handschriftencensus.de/17136 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2983#9_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/wolfenb%C3%BCttel-herzog-august-bibliothek-helmst-696-(-manuscript/136902 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2988#4_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/wolfenb%C3%BCttel-herzog-august-bibliothek-helmst-874-(-manuscript/136645 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2988#158674 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2988#158674 La tradición manuscrita Contiene la Consolatio philosophiae de Boecio, la Spher. y un comentario a la misma, un tratado sobre la disciplina de los escolares y apuntes sobre astronomía, lógica y gramática. Heinemann (1886, vol. 2, 309, n.º 1032); Zinner (1925, 155). 701. Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Helmst. 965 249 ff., papel, 200 × 150 mm, s. XV1/2, origen: ¿Alemania septentrional? Spher.: ff. 69r-78r. Obras de carácter variado, aunque el enfoque teológico es constante: versos doctrinales de carácter religioso, sentencias, una obra sobre el oficio sacerdotal, otra sobre las lamentaciones de Jeremías, varios cómputos, la Spher., sobre el exorcismo, responsorios, recetas médicas, un sermón de San Agustín, el Marienklage en alemán («lamentación de María») y varios excerpta de Aristóteles con comentario. Heinemann (1886, vol. 2, 325-7, n.º 1067); Nothaft (2014, 392). Fama (cons. 28/05/2021); Handschriftencensus (cons. 11/03/2021); Medium (cons. 28/05/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021); Wolfenbüttel Cat. (cons. 11/03/2021). 702. Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Helmst. 1198 181 ff., papel, 150 × 105 mm, s. XV (datado: años 1466, 1452 y 1468), origen: Alemania. Algor.: ff. 68r (fragmento), 68v-77r (¿incompleto?)598. Contiene versos latinos y alemanes (y latinos con su traducción al alemán) y tratados escolares sobre lengua, gramática y aritmética. Heinemann (1888, vol. 3, 106-7, n.º 1306); Ambrosetti (2008, 372). Handschriftencensus (cons. 11/03/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021). 703. Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Novi 793 146 ff., papel, 210 × 145 mm, s. XV (datado: año 1455), origen: norte de Alemania. Algor.: ff. 54r-65v (incompleto)599. Obras fundamentalmente doctrinales y propedéuticas, entre las que se cuentan tratados de gramática, aritmética, memoria, glosarios y vocabularios, himnos y secuencias. Butzmann (1972, 385-7); Ambrosetti (2008, 372). Handschriftencensus (cons. 11/03/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021). 704. Worcester, Cathedral and Chapter Library, Q 53 Wo IV + 215 ff., pergamino, 280 × 180 mm, s. XIIIex., origen: Inglaterra ¿Oxford? Algor.: ff. 206r-209r. Además de esta obra, el manuscrito contiene exclusivamente sermones. R.M. Thomson (2001, 152-3); Ambrosetti (2008, 378). Mirabile (cons. 11/03/2021); MLGB3 (cons. 11/03/2021). 598 En f. 68r se transmite tan solo un fragmento del inicio de la obra, desde el comienzo hasta In numerum interpretatur. Cum igitur hec sciencia de qua hic intendius…, donde se interrumpe abruptamente. En los ff. 68v-77r vuelve a copiarse la obra desde el principio, aunque el desinit, multiplica numerum locorum et ita de aliis, no se corresponde con el propio del Algor. Quizá se trate de una variante del final del capítulo sobre la progresión, lo que indicaría que esta obra está incompleta faltando el último capítulo sobre las raíces cuadradas y cúbicas. 599 Faltan los últimos capítulos sobre raíces cuadradas y cúbicas. Des.: et eunt summa totius progressionis ut ter tria et erunt summa tocius progressionis. etc. Et sic est finis. 247 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/37329 https://handschriftencensus.de/17154 http://medium-avance.irht.cnrs.fr/Manuscrits/Voir?idFicheManuscrit=100053267 http://www.mirabileweb.it/manuscript/wolfenb%C3%BCttel-herzog-august-bibliothek-helmst-965-(-manuscript/176594 http://diglib.hab.de/mss/965-helmst/start.htm?image=00001 https://handschriftencensus.de/6721 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2995#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/wolfenb%C3%BCttel-herzog-august-bibliothek-helmst-1198--manuscript/136644 https://handschriftencensus.de/13356 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3052#2_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/wolfenb%C3%BCttel-herzog-august-bibliothek-novi-793-manuscript/136901 http://www.mirabileweb.it/manuscript/worcester-cathedral-and-chapter-library-q-53-manuscript/136688 http://mlgb3.bodleian.ox.ac.uk/mlgb/book/6237/?search_term=Worcester&field_to_search=location&page_size=500 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2995#158707 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2995#158707 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2995#158708 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2995#158708 LA OBRA DE SACROBOSCO 705. Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.34 123 ff., papel, 210 × 145 mm, s. XV (datado: 1428), origen: desconocido. Algor.: ff. 1r-14r (incompleto)600. Obras de astronomía, cómputo, matemática con numerosas tablas y gráficos y una obra que lleva por título Liber analeticorum. Goeber y Klapper (ca. 1920-44, 129-30). Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta (cons. 17/04/2021); Wroclaw (cons. 17/04/2021). 706. Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.34 a 10 ff., papel, 210 × 140 mm, s. XV (datado: año 1425), origen: desconocido. Algor.: ff. 1r-10v. El Algor. es la única obra que contiene el manuscrito. Goeber y Klapper (ca. 1920-44, 131). Manuscripta (cons. 14/06/2022). 707. Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.36 237 ff., papel, 210 × 145 mm, s. XV (datado: años 1414, 1417, 1423), origen: Cracovia (copista: Jodocus Bertold de Ziegenhals601). Algor.: ff. 25v-36v (con comentario); Spher.: ff. 101r-127v. Tratados sobre cómputo, astronomía, aritmética y tablas. Goeber y Klapper (ca. 1920-44, 137-42); Zinner (1962, 18); Ambrosetti (2008, 384); Nothhaft (2014, 392). Handschriftencensus (cons. 11/03/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Manuscripta (cons. 29/05/2021); Mirabile (cons. 11/03/2021); Wroclaw (cons. 29/05/2021). 708. Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.37 Ms. compuesto, n.º de U.C. desconocido602. 324 + I ff., papel, 200 × 150 mm, s. XIV-XV (datado: años 1394, 1425, 1433, 1437, 1475), origen: Polonia y Austria. Algor: ff. 120r-128v (incompleto, con comentario)603; Compot.: ff. 132r-168v (con comentario); Spher.: ff. 225-239v; Algor.: ff. 281r-287r. Contiene tablas, tratados de cómputo y astronomía y comentarios, entre ellos cuatro al Algor. Goeber y Klapper (ca. 1920-44, 143-9); Zinner (1962, 18-9); Nothaft (2014, 392). Handschriftencensus (cons. 14/06/2022) ; Manuscripta (cons. 29/05/2021); Mirabile (cons. 29/05/2021). 709. Würzburg, Universitätsbibliothek, M. ch. q. 386 210 ff., papel, 218 × 162 mm, s. XV (datado: años 1464, 1480), origen: Erfurt. 600 Tan solo se transmite el texto de los últimos capítulos que versan sobre las raíces cuadradas y cúbicas. Inc.: sequitur de radicum extractione et primo in numeris quadratis. 601 Poco se sabe de este copista además de que su nombre aparece en varios explicit en este manuscrito. 602 Llegamos a la conclusión de que es un códice compuesto a tenor de las múltiples fechas incluso de distinto siglo que se ofrecen en los explicit de las obras. También son varios los copistas que se identifican a lo largo del manuscrito. 603 Tan solo se transmite el capítulo de las raíces cuadradas y cúbicas como si fuera un tratado aparte con un comentario. 248 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12474#1_58 http://manuscripta.pl/loca/wroclaw_bu.htm https://www.bibliotekacyfrowa.pl/dlibra/publication/102793/edition/107083/content http://manuscripta.pl/loca/wroclaw_bu.htm https://handschriftencensus.de/23994 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/12476#16_58 http://manuscripta.pl/loca/wroclaw_bu.htm http://www.mirabileweb.it/manuscript/wroclaw-biblioteka-uniwersytecka-iv-q-36-manuscript/107692 https://www.bibliotekacyfrowa.pl/dlibra/publication/39481/edition/42382/content https://handschriftencensus.de/19304 http://manuscripta.pl/loca/wroclaw_bu.htm http://sip.mirabileweb.it/manuscript/wroclaw-biblioteka-uniwersytecka-iv-q-37-manuscript/33564 La tradición manuscrita Algor.: ff. 55r-61r (incompleto)604. Tratados de gramática y retórica especialmente y algunas obras de astrología y medicina. Bibliothek Dr. J. Häberlin (1937, 11, n.º 40); Thurn (1990, 282-5). Handschriftencensus (cons. 22/03/2021). 710. Zwettl, Stiftsbibliothek, 139 141 ff., pergamino, in duodecimo, s. XIV, origen: Austria. Algor.: ff. 1r-6v. Además de esta obra, el manuscrito contiene sermones. Rössler (1891, 349); Schneyer (1969, vol. 4, 650); Ziegler y Rössl (1985, 105-7); Ambrosetti (2008, 353). HMML (cons. 11/03/2021). 604 El texto finaliza con el capítulo sobre la progresión, faltando los últimos capítulos sobre las raíces cuadradas y cúbicas. Des.: summa totius progressionis. 249 https://handschriftencensus.de/25690 http://18.235.151.129/detail.php?msid=7153 LA OBRA DE SACROBOSCO 3. Tradición perdida 3.1. Manuscritos en paradero desconocido 1. Hamburg, Staats-und Universitätsbibliothek, philol. 127605 N.º de folios y material desconocidos, in quarto, s. XVI, origen: desconocido. Spher.: ff. 21r-folio desconocido. Al parecer, según Villa (1994, 119), el manuscrito estaba ligado a un incunable de Valla irrecuperable. Zinner (1925, 156); Kristeller (1967, vol. 3, 555); Villa (1994, 119). 2. Kaliningrad (Königsberg), Former Staats- und Universitätsbibliothek, 163606 N.º de folios, material y medidas desconocidos, s. XIV-XV, origen: desconocido. Algor.: ff. 1r-folio desconocido. Obras de aritmética, calendario y cómputo. Zinner (1962, 37); Nothaft (2014, 384). 3. Kremsmünster, Stiftsbibliothek, 405607 57 ff., pergamino, in quarto, s. XV, origen: desconocido. Spher.: ff. 1r-19v; Compot.: ff. 29r-57r. El manuscrito contenía, además de estos tratados, un Tractatus de figuris y un Tractatus de extractione radicum in numeris quadratis, que podría ser quizá el último capítulo del Algor. Zinner (1925, 155). 4. Lübeck, Stadtbibliothek, Math. 2608 103 ff., papel, 200 × 150 mm, s. XVI (datado: años 1501, 1502, 1504), origen: Magdeburgo. Spher.: ff. 1r-67v. Obras de astronomía, astrología y cómputo. Zinner (1925, 156); Hagen y Sack (1932, 6-7). Jordanus (cons. 15/04/2021). 5. Paris, Bibliothèque Interuniversitaire de la Sorbonne, B.b.609 N.º de folios, material, medidas, datación y origen desconocidos (prov.: biblioteca de la Sorbona). Spher.: folios desconocidos; Algor.: folios desconocidos610. 605 Villa (1994, 119) sitúa este manuscrito entre los «destruidos o perdidos tras la Revolución francesa». 606 El manuscrito se encuentra actualmente desaparecido, no sabiendo si quiera si fue destruido o no durante la Segunda Guerra Mundial (Nothaft, 2014, 384, n. 25). 607 Este códice se perdió en la Segunda Guerra Mundial y no se sabe siquiera si fue destruido o si se encuentra todavía en algún fondo. Queremos agradecer encarecidamente al bibliotecario de la Stiftsbibliothek de Kremsmünster, Petrus Schuster, esta información tan valiosa que nos ha proporcionado, así como el detalle de la descripción del manuscrito. 608 En Jordanus (cons. 15/04/2021) se sugiere que el manuscrito podría haber sido destruido durante la guerra, aunque el dato no es seguro. 609 El dato de que el manuscrito está desaparecido lo encontramos en Savoye (2017, 197): «Le volume coté B.b. de l’établissement parisien reste introuvable». 610 El Algor. presentaba el incipit alternativo: Cum hec scientia que algorismus vocatur. 250 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1955#2_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1955#2_58 La tradición manuscrita Además de estas, el manuscrito contenía obras de astronomía, geometría, música, una obra sobre el algorismo a la que llama Ars numerandi, y otra de idéntica temática, pero escrita en francés. Thorndike y Kibre (1963, 301); Glorieux (1966, 249); Savoye (2017, 197). 6. Pisa, Biblioteca Cathariniana, 63611 78 ff., pergamino, 241 × 71 mm, s. XIV, origen: desconocido. Algor.: ff. 1r-8r; Spher.: ff. 9r-22r; Compot.: ff. 39r-67v. Además de las obras de Sacrobosco y comentarios sobre ellas (entre ellos el de Roberto Ánglico), el manuscrito contenía otro tratado sobre el cómputo y uno más sobre planetas. Vitelli (1900, 363-5); IBI XXIV (1916, 77, n.º 60); Mancini (1936, 1-12). Codex (cons. 09/06/2021); Mirabile (cons. 06/06/2021). 7. Trier, Stadtbibliothek, 1072/78612 N.º de folios desconocido, pergamino, in quarto, s. XV, origen: desconocido. Spher.: folios desconocidos. Al parecer, el manuscrito contenía tratados astronómicos con tablas y dibujos. No descartamos que pudiera haber otros tratados de Sacrobosco613. Becker (1911, 141); Zinner (1925, 155). 8. Washington D.C., Library of Otto H. F. Vollbehr, Hay-Adams House614, 1057615. 12 ff., papel, 220 × 150 mm, s. XV, origen: Italia. Spher.: 1r-12v (mútilo)616. Tan solo contiene esta obra. De Ricci y Wilson (1935, vol. 1, 500, n.º 1057). 611 El manuscrito está desaparecido, al menos, desde 1936, cuando Mancini (1936, 1-12) afirma que no es capaz de encontrarlo. 612 El códice ya aparece como desaparecido en Becker (1911, 141). 613 Becker (1911, 141): continens tractatus astronomicos cum tabulis et picturis argumento congruis. Autor est Johannes de sacro. Buscho. 614 De esta misma biblioteca con el n.º 1055 y especificando que «in a cat.» tiene el número 2235, De Ricci y Wilson (1935, vol. 1, 500, n.º 1055) censan otro códice que contiene una sola obra cuya autoría atribuyen a Sacrobosco. El título de la obra, Computus lunaris, en principio podría apuntar a una falsa atribución (dato que no se puede descubrir por el incipit, pues no se ofrece en el catálogo), si bien el Compot. de Sacrobosco recibe este mismo título en el ms. n.º 580 de nuestro listado. Puesto que no sabemos el paradero actual de dicho códice, el cual fue vendido tras la muerte de Vollbehr (1946), no podemos clarificar este dato. 615 Este manuscrito lo describen en su censo De Ricci y Wilson (1935, vol. 1, 500, n.º 1057) como perteneciente a la colección privada de Otto H. F. Vollbehr. Mientras que su colección de incunables fue a pasar a la Library of Congress de Washington D.C., sus manuscritos fueron vendidos en su mayor parte a particulares. Así las cosas, desconocemos el paradero actual de este códice, puesto que no hemos sido capaces de encontrar su estela después de la muerte de Vollbehr en 1946. 616 De Ricci y Wilson (1935, vol. 1, 500, n.º 1057), en su descripción, dicen «imperfect», por lo que se deduce que se trata de un códice mútilo. 251 http://www406.regione.toscana.it/bancadati/codex/ http://www.mirabileweb.it/manuscript/pisa-biblioteca-cathariniana-63-manuscript/213754 LA OBRA DE SACROBOSCO 3.2. Manuscritos destruidos 1. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 23617 399 ff., papel, 160-180 × 100-120 mm, s. XIV-XV, origen: Ruppin. Algor.: ff. 233r-241r. Obras de artimética, cómputo y astronomía, con instrumentos de medida y tablas; también se encontraban tratados musicales y sobre el monocordo, además de cierto contenido moralizante. Rose (1903-5, 1187-92, n.º 959); Folkerts (1981, 68, n.º 24); Ambrosetti (2008, 360). Jordanus (cons. 13/04/2021). 2. London, British Library, Arundel 343618 Ms. compuesto, 4 U.C. 81 ff., pergamino, in quarto, s. XIV (U.C. 3)619, origen: desconocido (prov.: S. Michelsberg, Mainz). U.C. 3 (ff. 48-74), Algor.: ff. 48r-50v; Spher.: ff. 68r-74v. La U.C. 3, además de estas, contenía un Compotus y un tratado astronómico. El resto de U.C., presentaban un contenido variado donde predominaban los tratados de matemática y aritmética y los de retórica. CMB New (1834, vol. 1, 103-4); Priebsch (1901, 59); Thorndike (1949a, v); Polak (1994, vol. 2, 318); Ambrosetti (2008, 374). BL Arch. (cons. 10/04/2021); Handschriftencensus (cons. 10/04/2021); Jordanus (cons. 15/04/2021); Mirabile (cons. 10/04/2021); Peraldus (cons. 10/04/2021). 3. Metz, Bibliothèque municipale, 1217620 84 ff., pergamino, 250 × 170 mm, s. XIII, origen: desconocido (prov.: colección personal del Baron de Salis). Algor.: ff. 1r-9v; Spher.: ff. 10r-25v; Compot.: ff. 26r-55r. Tratados de aritmética, astronomía, cómputo, dos opúsculos sobre instrumentos de medida (cuadrante y astrolabio) y unas tablas solares. CGM (1933, vol. 48, 411-2); Ambrosetti (2008, 355). CCFR (cons. 24/05/2021); Jordanus (cons. 16/04/2021); Mirabile (cons. 24/05/2021). 4. Tournai, Bibliothèque de la Ville, 87621 128 ff., pergamino, 178 × 100 mm, s. XIII (datado: año 1268), origen: Francia622. Algor.: ff. 1r-16v; Spher.: ff. 17r-46r; Compot.: ff. 47v-96r; Quadr.: ff. 112ra-116rb. Además de las obras de Sacrobosco, el códice contenía tablas, calendarios, una obra sobre el cuadrante y las Cautele algorismi. 617 Según Folkerts (1981, 68, n. 24), el códice fue destruido por causas bélicas, sin que tengamos noticia de en qué guerra se perdió. 618 Este códice se destruyó quemado mientras estaba siendo encuadernado en el año 1865, según se dice en Priebsch (1901, 59) y Polak (1994, vol. 2, 318). 619 Las U.C. 3-4 datan del s. XIV, la U.C. 2 data del s. XIII y la U.C. 1, del s. XII. 620 Este códice fue destruido en un incendio durante la Segunda Guerra Mundial, según indica R.B. Thomson (2012, 66); en Mirabile (cons. 07/09/2023), además, se da la fecha del 31 de agosto de 1944. 621 Este códice fue destruido por los bombardeos a la biblioteca durante la Segunda Guerra Mundial en el año 1940 (Faider y Sin Jant, 1950, 86-90; Freeman, 2005, 48). 622 Por las descripciones de sus ilustraciones, Freeman (2005, 48) sugiere la posibilidad de que estuviera relacionado artísticamente con los manuscritos n.º 147 y n.º 459. 252 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1178#13_58 http://searcharchives.bl.uk/IAMS_VU2:IAMS040-002039626 https://handschriftencensus.de/14180 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6444#6_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-arundel-343-()-manuscript/136657 http://www.peraldus.ch/getrefs.php?current_ms_id=londo-01-862 https://ccfr.bnf.fr/portailccfr/ark:/06871/004D48050801 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3991#1_58 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/metz-m%C3%A9diath%C3%A8que-le-pontiffroy-(olim-biblioth%C3%A8que--manuscript/136440 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/metz-m%C3%A9diath%C3%A8que-le-pontiffroy-(olim-biblioth%C3%A8que--manuscript/136440 La tradición manuscrita Faider y Sin Jant (1950, 86-90); Thorndike y Kibre (1963, 1003); Glorieux (1971, 235-6); Knorr (1997b, 215); Freeman (2005, 48, 56-7 n. 18); Ambrosetti (2008, 354). Fama (cons. 28/05/2021); Jordanus (cons. 17/04/2021); Mirabile (cons. 07/06/2021); Ptolemaeus (cons. 07/06/2021). 253 http://fama.irht.cnrs.fr/manuscrit/28646 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/784#1_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/tournai-biblioth%C3%A8que-de-la-ville-87-()-manuscript/136430 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/784 LA OBRA DE SACROBOSCO 4. Testimonios descartados 1. Bamberg, Staatsbibliothek, Astr. 4 (HJ.V.8) En Manuscripta Mediaevalia (cons. 03/11/2021) se cita la Spher. como uno de los tratados que contiene el códice, mientras que lo que se encuentra es un comentario a la Spher. en los ff. 81r-98v, información ya dicha por Leitschuh y Fisher (1895-1906, 487-90) y confirmada en Jordanus (cons. 03/11/2021). 2. Basel, Universitätsbibliothek, B.III.18 En Manuscripta Mediaevalia (cons. 11/11/2021) se cita el Compot. como uno de los tratados que contiene el códice. En el catálogo de Meyer y Burckhardt (1960, vol. 1, 255- 257) se explicita, en cambio, que en una parte del códice que denominan varia praecepta medica se han copiado cuatro versos (Tres lucis primas, noctis tres sanguinis imas, / vis Cholerae medias lucis sex vendicat horas, / datque Melan primis noctis, tres lucis et imas, / centrales ponas sex noctis phlegmatis horas) que aparecen en esta obra de Sacrobosco. 3. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 2° 307 En Mirabile (cons. 11/11/2021) se censa el Compot. entre los ff. 8v-11r de este manuscrito. En Rose (1903-5, 1177-1185) se explica que en realidad entre estos folios hay un Liber lune, pero, en la parte superior de f. 8v, una mano posterior ha añadido: Compotus Iohannis de sacrobosco qui etiam tractatum de spera et librum de theorica planetarum composuisse dicitur. 4. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 33 Knorr (1997b, 215) introduce este códice en el listado de testimonios del Quadr. (ff. 42v- 44v). Sin embargo, en Rose (1903-5, 1185-6) aporta el incipit de la obra que se encuentra entre estos folios, quedando patente así que no se trata en este caso del Quadr. de Sacrobosco (inc.: Omnis scientia per instrumentum operativa), sino de uno contemporáneo (inc.: Scire debes quod circulus solis habet). 5. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 560 Ambrosetti (2008, 359) censaba este manuscrito entre aquellos que contienen el Algor., pero, tras consultar con la biblioteca responsable623, podemos descartar este códice como testimonio. Es probable que esto se deba a un error, quizá producido por la confusión con Lat. 4º 530, como se sugiere en Jordanus (cons. 13/04/2021). 6. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 579 Ambrosetti (2008, 360) censaba este manuscrito dentro de aquellos que contienen el Algor. Sin embargo, tras consultar directamente con la biblioteca responsable, se ha corroborado lo que se decía en Jordanus (cons. 13/04/2021), esto es, que el códice no contiene tratados de matemáticas y debe de tratarse, a todas luces, de un error. 623 Agradecemos la atención del Dr. Eef Overgaauw, quien amablemente ha respondido a todas nuestras preguntas sobre los códices estudiados (incluidos los descartados) de la Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz. 254 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj40117703,T http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1071#6_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90522981,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/berlin-staatsbibliothek-zu-berlin-preu%C3%9Fischer-kult-manuscript/13636 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1221#1_58 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1227#2_58 La tradición manuscrita 7. Brugge, Openbare Bibliotheek, 122 Glorieux (1971, 235) incluye este manuscrito entre aquellos que transmiten la Spher. (concretamente entre los ff. 17r-22v). Sin embargo, tras examinar el códice en una reproducción, no consta la obra (al parecer, entre los ff. 1r-331r el códice contiene el Milleloquium veritatis Augustini). 8. Cambridge, Trinity College, O.3.44 Las obras de Sacrobosco que contenía este manuscrito ahora forman parte del ms. London, British Library, Egerton 844 (n.º 315 de nuestro censo). 9. Cambridge, Trinity College, R.2.86 En los catálogos de James (1901, vol. 2, 43-4, n.º 567) y Ambrosetti (2008, 374) y en las bases de datos de Cat. Trin. (cons. 12/03/2021) y Mirabile (cons. 12/03/2021) de dice que en los primeros folios del manuscrito aparece el Algor. de Sacrobosco. Sin embargo, lo que encontramos es un tratado sobre el algorismo de integris et minutis atribuido a él pero que no se corresponde con su obra624. 10. Catania, Biblioteca regionale universitaria, C.015 Según Manus (cons. 11/11/2021) el manuscrito contiene la Spher. en los ff. 167r-228r. Tras pedir reproducciones del códice a la biblioteca, advertimos que no se trata de la obra de Sacrobosco sino un comentario inédito a la misma625. 11. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3110 En OVL (cons. 12/11/2021) se dice que en el f. 102v (último folio del manuscrito) hay un excerptum de la Spher. Lo que encontramos en su consulta en DVL (cons. 12/11/2021) son, además del final de los libros transmitidos de Martianus Capella, dos versos: Pauperis ascendit oratio libera sursum / divitis e contra redit ad possessa deorsum. Si bien podrían haber sido una de las múltiples citas de Sacrobosco en la Spher. o en el Compot., no es así. 12. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3112 En OVL (cons. 12/11/2021) se dice que entre los ff. 1r-28r del manuscrito aparece el Compot. de Sacrobosco, al que llama Compotus philosophicus novus. Tras colacionar el códice virtualmente en DVL (cons. 12/11/2021) se comprueba que en efecto esta obra se trata de un Compotus, mas no el de Sacrobosco, sino el llamado Compotus novus de autoría anónima. 13. Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 751 En Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/11/2021) se menciona a Sacrobosco en la entrada del manuscrito porque en la hoja de guarda están copiados los siguientes versos populares: Que tenet undenas Aprilis luna Calendas, / Epactae numerum monstrat per quemlibet annum, los cuales se citan en el Compot. 14. Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2450 Zinner (1925, 157) listaba este manuscrito entre aquellos que contienen la Spher. de Sacrobosco. No obstante, tras estudiar el códice a través de una videollamada con la 624 Inc.: Propter multiplicis laboris aleviatione; des.: a se elicere haec pro nunc dicta sufficiant. 625 Inc.: Optimo iure ars hanc mihi protulisse. 255 https://mss-cat.trin.cam.ac.uk/Manuscript/R.2.86 http://sip.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-trinity-college-ms-r-2-86-(567)-manuscript/136943 https://manus.iccu.sbn.it/opac_SchedaScheda.php?ID=50563 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.3110 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.3110 https://opac.vatlib.it/mss/detail/Vat.lat.3112 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.3112 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj31909666 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/6016#231495 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/6016#161446 LA OBRA DE SACROBOSCO biblioteca responsable, hemos constatado que el códice presenta una versión española de la Spher., quizá inédita626. 15. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 2° 178 Thorndike ya advertía que los ff. 121ra-127vb de este manuscrito habían sido catalogadas por Schum como la Spher. de Sacrobosco, pero que el incipit y el desinit demuestran que en realidad es el comentario de Roberto Ánglico. Las bases de datos consultadas siguen la identificación errónea de la obra de Schum (1887, 236-8): Jordanus (cons. 14/04/2021); Manuscripta Mediaevalia (cons. 20/03/2021); Mirabile (cons. 20/03/2021). 16. Erfurt, Universitätsbibliothek Erfurt, Ampl. 2º 394 En Manuscripta Mediaevalia (cons. 12/11/2021), aunque se dice que en los ff. 148rb- 154vb hay un Commentarius in Algorismus de integris, ofrece el incipit: Omnia quae a primaeva rerum origine processerunt, el habitual del Algor. Esto provoca confusión acerca de si aparece el Algor. con comentarios marginales o bien si se trata íntegramente del comentario sin contener la obra principal. Se confirma que el códice contiene tan solo el comentario de Pedro Filomena de Dacia al Algor. en Schum (1887, 278) (aunque aquí tan solo se dice optimum commentum, sin autoría) y en Ptolemaeus (cons. 12/11/2021). 17. Firenze, Biblioteca Marucelliana, B.V.17 Busani y Raschellà (2001, 252) listan este códice dentro de aquellos que contienen la Spher. y/o el Compot. No obstante, tras consultar directamente a la biblioteca responsible, podemos afirmar que el códice. contiene una versión de la Spher. en romance italiano, ff. 1r-31v (acéfalo y mútilo)627. 18. Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Palat. 641 Busani y Raschellà (2001, 251) listan este códice dentro de aquellos que contienen la Spher. y/o el Compot. Sin embargo, contiene una versión de la Spher. en romance italiano, ff. 235r- 260r, tal como se apunta en I Codici Palatini (1890, 209-11). 19. Firenze, Biblioteca Riccardiana, Ricc. 2425 En Inventario e stima (1810, 50) se dice que el manuscrito contiene el Trattato di Sfera. Siendo la obra en italiano y no especificando que se trata de una traducción de la misma, lleva a confusión. El códice lo que contiene es la Spher. en volgare, información que se puede cotejar en el inventario de Galluzzi (2008, 205). 20. Freiburg, Universitätsbibliothek, 168 En Hagenmaier (1974, 153-5) y en Manuscripta Mediaevalia se dice que en los ff. 215r- 225v hay unos notabilia de la Spher. de Sacrobosco, apuntando que al final de estos se acaba con el desinit del autor. Con esta descripción, se puede entender que quizá el códice presenta una suerte de excerpta de la Spher. Sin embargo, contiene algunas anotaciones, esquemas y dibujos, que parecen hechas por un estudiante, que parten de las enseñanzas de la Spher. Esto se puede cotejar en la digitalización del códice disponible en Freiburg (cons. 12/11/2021). 626 Agradecemos encarecidamente a Teresa Schliemann y a la Universitäts- und Landesbibliothek por su amabilidad y su buena disposición para realizar tal encuentro virtual, motivado por la imposibilidad de visitar la biblioteca en persona a causa de la pandemia de la Covid-19. 627 Agradecemos a Sara Jacobsen, responsable de la Sala Consultazione Manoscritti e Rari de la Biblioteca Marucelliana, la información proporcionada acerca de este manuscrito. 256 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3340#14_58 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj32205344,T http://www.mirabileweb.it/manuscript/erfurt-wissenschaftliche-allgemeinbibliothek-(in-d-manuscript/18893 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/?xdbdtdn!%22obj%2032213206%22&dmode=doc#|12 http://ptolemaeus.badw.de/ms/387 http://www.manuscripta-mediaevalia.de/dokumente/html/obj90066756,T http://dl.ub.uni-freiburg.de/diglit/hs168/0435 La tradición manuscrita 21. Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1982 Wisłocki (1877-1881, 482), en su descripción del manuscrito, dice que contiene la Spher. En la reproducción del códice en JBC se puede comprobar que no es el tratado en sí, sino un comentario al mismo que abarca los ff. 107r-132r628, que va precedido por las primeras líneas del tratado en el f. 106v. 22. London, British Library, Harley 1 Aunque en Mirabile (cons. 12/11/2021) se censan las obras de Sacrobosco como parte del códice, en realidad contiene el comentario de Pedro Filomena al Algor., el comentario de Roberto Ánglico a la Spher. y dos sobre el Compot., uno de ellos escrito por Johannes de Puchro Rivo, como se dice en Ptolemaeus (cons. 12/11/2021). 23. London, British Library, Harley 1350 En Ambrosetti (2008, 374) se cita este manuscrito entre aquellos que contienen el Algor. Sin embargo, tras consultar CMB Harleian (1808, vol. 3, 12), hemos comprobado que este códice tan solo contiene listados de nombres de personas. 24. London, British Library, Sloane 3281 Ambrosetti (2008, 375) incluye este manuscrito en aquellos que transmiten el Algor., pero tan solo transmite las Cautele algorismi en los ff. 49r-55v, tal como hemos comprobado al colacionar el códice sobre una reproducción. La confusión se ha originado porque el incipit de la obra coincide con el del Algor. (Omnia que a primeva) pero que, tras este, aparecen varios problemas matemáticos y de hecho su explicit reza: Explicit cauteli [sic] algorismi (Lamassé, 2019, 14, n.º 46). 25. Melk, Stiftsbibliothek, 967 (550) La confusión procede del hecho de que los folios que contenían antes el Algor. ahora forman parte del ms. 873 de la misma biblioteca. 26. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, S 100 sup. En la página web de la biblioteca, Ambrosiana Cat. (cons. 12/11/2021) se dice que el mansucrito contiene la Spher. Sin embargo, tal como pudimos comprobar in situ en la Biblioteca Ambrosiana, lo que presenta en los ff. 213r-159v es un comentario a la misma. 27. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 7089 En Mirabile (cons. 03/11/2021) se incluye este manuscrito en la lista de aquellos que contienen el Algor. Sin embargo, no existe un manuscrito con esta signatura en la Bayerische Staatsbibliothek629; la nota quizá se deba a un error tipográfico y quiera referirse al ms. Clm 7088 de esta misma biblioteca. 28. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14401 El manuscrito no contiene el Algor., tal como censaba Ambrosetti (2008, 367), sino el comentario de Pedro de Dacia al Algor. en los ff. 169-182, tal como se puede ver en su digitalizacion en MDZ (cons. 12/11/2021). 628 Comentario que parece inédito, con inc.: Scribitur primo de anima quod omnis scientia. 629 Información proporcionada por Juliane Trade, bibliotecaria de la Bayerische Staatsbibliothek: «following Halm shelfmark Clm 7089 does not exist». 257 https://jbc.bj.uj.edu.pl/dlibra/publication/219727/edition/208286/content http://www.mirabileweb.it/manuscript/london-british-library-harley-1-manuscript/19617 https://ptolemaeus.badw.de/ms/51 https://ambrosiana.comperio.it/opac/detail/view/ambro:catalog:96808 http://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-7089-manuscript/136621 http://daten.digitale-sammlungen.de/bsb00046504/image_366 LA OBRA DE SACROBOSCO 29. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 16544 En Zinner (1962, 48) se decía que en el ms. Clm 16544 había una copia de la Spher. Sin embargo, tras consultar con la biblioteca responsable, podemos confirmar que no existe un códice con tal signatura630. 30. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 29790/11 En Mirabile (cons. 20/05/2022) se cita el Compot. dentro de este manuscrito. Sin embargo Ikas y Hauke (2013, 134) citan este fragmento (el manuscrito tan solo consta de un folio) como Compotus ecclesiasticus (metricus) cum glossis. Al tratarse de una obra en verso no es posible que esté haciendo referencia al Compot. de Sacrobosco, a pesar de que a él se le atribuya en el manuscrito. Probablemente lo que realmente se encuentre en el folio sea un fragmento de la Massa computi de Alexandre de Villadei, en verso, o quizá al Computus metricus del maestro Aniano u otro Compotus metricus atribuido a Gerlando. 31. Nelahozeves, Roudnice Lobkowicz Library, VI.F.e.62 En la descripción de Mirabile (cons. 12/05/2021) se dice que el Compot. de Sacrobosco es una de las obras de las que se compone el códice. Sin embargo, tras consultarlo con la biblioteca responsable631, podemos afirmar que tan solo contiene el Compotus Iudaicus. 32. New York, Columbia University, Rare Book and Manuscript Library, 36632 Siguiendo a Ricci y Wilson (1937, vol. 2, 1847, n.º 10), Knorr (1997b, 215) y la descripción encontrada en Jordanus (cons. 16/04/2021), considerábamos este manuscrito entre los que transmiten el Quadr. Tras estudiar este supuesto testimonio en reproducción, podemos constatar que en los ff. 18r-39v, en los que se decía que aparecía esta obra, hay un tratado sobre el cuadrante que parece inspirado parcialmente en Sacrobosco633. 33. Oxford, Bodleian Library, Ashmole 341 En Mirabile (cons. 12/11/2021) y en Ambrosetti (2008, 376) se dice que el manuscrito contiene el Algor. Sin embargo, en su interior encontramos el Carmen de algorismo, que puede ser el motivo del error, o quizá por unos apuntes sobre cómputo en los cuales se introduce la siguiente frase: additione numeri in numerum. 34. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 3899 Según Mirabile (cons. 12/11/2021), el manuscrito contiene el Compot. de Sacrobosco, pero en realidad presenta una declaratio del mismo en los ff. 71rb-72ra (lo que parece un comentario), tal como se describe BNF Cat. y se puede consultar en Gallica (cons. 12/11/2021). 630 Agradecemos a Juliane Trade, bibliotecaria de la Bayerische Staatsbibliothek, la información proporcionada al respecto. 631 Agradecemos a Soňa Černocká, bibliotecaria de la colección Lobkowicz, la información proporcionada al respecto. 632 También se cita con la signatura «Smith Western Add. ms. 1». 633 De hecho, el incipit es casi igual: Omnis ars per instrumentum operativa sui instrumenti notitiam (vs. Omnis scientia per instrumentum operativa instrumenti sui notitiam). Las primeras líneas van paralelas a Sacrobosco, pero pronto se aleja y hay pasajes enteros que parece que toma de otra/s fuente/s. 258 https://www.mirabileweb.it/manuscript/m%C3%BCnchen-bayerische-staatsbibliothek-clm-29790-11-(-manuscript/181788 http://www.mirabileweb.it/manuscript/nelahozeves-nelahozeves-z%C3%A1mek-roudnick%C3%A1-lobkowiczk-manuscript/186854 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/218#3_58 http://www.mirabileweb.it/manuscript/oxford-bodleian-library-ashmole-341-(s-c-6687)-manuscript/114671 http://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-3899-manuscript/185165 https://archivesetmanuscrits.bnf.fr/ark:/12148/cc626186 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10073306p/ La tradición manuscrita 35. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 16089 En Mirabile (cons. 12/11/2021) se cita en el interior del códice el Compot., cuando contiene en realidad un comentario al mismo en los ff. 262-269v, tal como se puede comprobar en su digitalización on-line Gallica (cons. 12/11/2021). 36. Praha, Archiv Hradu, Knihovna Metropolitní Kapituly, L.LII Podlaha (1922, 230-1) dice que el códice contiene el Compendium algorismi cum commentario (ff. 17r-34v) de Sacrobosco y de este mismo autor el Computus ecclesiasticus cum commentario (ff. 77r-116v). Sin embargo, Nothaft (2014, 389) apunta que el manuscrito tan solo contiene los comentarios a estas obras sin transmitir la original. 37. Princeton, University Library, Medieval and Renaissance Manuscripts, 168 En Mirabile (cons. 13/11/2021), en la entrada correspondiente a este códice, se cita el Compot. y luego se anota Armis gunfe cum commentario. En realidad, tan solo contiene en el f. 24r el poema popular Armis gunfe (citado en el Compot.) con un comentario, tal como dice Skemer (2013, 436-8). 38. Torino, Biblioteca Nazionale Universitaria, K2.IV.7 (G.V.40) En Mirabile (cons. 03/11/2021) se incluye este manuscrito en la lista de aquellos que contienen la Spher., mas en realidad en su interior solo se encuentran obras teológicas y epístolas, tal como se censa en IBI (1922, vol. 28, 150, n.º 1489). 39. Uppsala, Universitetsbibliotek, C 19 En Mirabile (cons. 13/11/2021), en la entrada correspondiente a este códice, se cita el Compot. y luego se anota Armis gunfe cum commentario. En realidad, tan solo contiene en los ff. 8v y 312r el poema popular Armis gunfe (citado en el Compot.) con un comentario. Esto se puede comprobar con el cotejo del códice en su digitalización on-line https://www.manuscripta.se/ms/100408 (cons. 13/11/2021). 40. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5177 En Manuscripta (cons. 13/11/2021) se censan dos Tractatus de sphaera cum commentario en el manuscrito, pero tan solo aparecen los dos comentarios a la Spher. (sin la copia del tratado) en los ff. 1r-31r y 32-68, tal como se dice en HMML (cons. 13/11/2021). 41. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, Series Nova 4265 Al sector manuscrito de este compuesto se añadió un sector impreso que contiene la Spher. con notas y ocupa los ff. 118r-191v, tal como se describe en Jordanus (cons. 13/11/2021). 259 https://www.mirabileweb.it/manuscript/paris-biblioth%C3%A8que-nationale-de-france-lat-16089-manuscript/19 https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9065948f http://www.mirabileweb.it/manuscript/princeton-nj-princeton-university-library-princeto-manuscript/156814 http://www.mirabileweb.it/manuscript/torino-biblioteca-nazionale-universitaria-k-2-iv-7-manuscript/126877 http://www.mirabileweb.it/manuscript/uppsala-universitetsbibliotek-(carolina)-c-19-manuscript/7859 https://www.manuscripta.se/ms/100408 https://manuscripta.at/hs_detail.php?ID=13397 http://18.235.151.129/detail.php?msid=18506 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11579#16_58 LA OBRA DE SACROBOSCO 5. Conclusiones del censo de manuscritos Concluimos este listado de manuscritos con el resultado de 710 códices que contienen una o más obras de Sacrobosco en su interior. Además de estos, hemos censado otros 8 manuscritos en paradero desconocido y 4 códices hoy destruidos. Estamos, por tanto, ante una tradición muy abundante que nos sugiere la existencia de muchos más testimonios que circularían en estos siglos y que hoy no se han conservado. Tras analizar los datos recopilados en el censo, hemos obtenido los siguientes resultados en cuanto al número de testimonios que transmiten cada una de las cuatro obras atribuidas a Sacrobosco. En aquellos casos en los que la datación del códice oscilaba entre dos siglos, hemos tenido en consideración el más antiguo: Como se puede observar, la obra que cuenta con más testimonios localizados (entre conservados y perdidos) es la Spher. Dicho tratado cuenta con una tradición abundante ya en el s. XIII, cuando se escribió, y su tendencia es ascendente conforme avanzan los años. En el s. XV su fama es tal, que el número de códices roza las dos centenas. Idéntica tendencia encontramos en el Algor., que sigue de cerca los datos de la Spher.: su fama es reciente y se prolonga en el tiempo, alcanzando su pico máximo en el s. XV con 161 manuscritos. Vemos, sin embargo, una diferencia notable en el número de copias de uno y otro entre los siglos XIV y XV: mientras que de la Spher. se copian en el s. XV 56 manuscritos más que en el s. XIV, el Algor. tan solo aumenta en 8 el número de códices compuestos en el s. XIV. A partir de entonces, hemos de contar con la tradición impresa de cada uno de los tratados, que sustituyen casi por completo la tradición manuscrita de estas dos obras. Cuando esto ocurre, de manera paralela a lo que ocurría con el número de copias de ambos tratados en el s. XV, la Spher. continúa teniendo un éxito evidente: contamos con más de 200 ediciones de dicha obra entre los ss. XVI-XVII (cfr. supra en las ediciones de la Spher.); mientras tanto, el Algor. va perdiendo interés y su transmisión decrece, conservándose tan solo unas 20 ediciones del s. XVI (cfr. infra en la primera tradición impresa de la obra). En cuanto al Compot., destaca su tradición inversa: mientras que en el s. XIII los testimonios conservados se acercan al centenar, la fama de esta obra decrece por la existencia de manuales posteriores más completos y modernos, contándose tan solo 34 códices que lo contienen en el s. XV. Su tendencia descendente es coherente con su salto a la imprenta, donde tan solo salieron 35 ediciones entre los siglos XVI-XVII, siendo la mayoría de ellas libros que contenían en conjunto la Spher. y el Compot. por iniciativa de Philip Melanchthon (cfr. supra en las ediciones del Compot.). Esta falta de interés, probablemente debida al rápido avance de esta ciencia plasmado en manuales posteriores, contrasta fuertemente con la importancia que se le otorgó a la obra en el s. XIII, cuando probablemente se consideraba la obra culmen de Sacrobosco a juzgar Algorismus 427 mss. Sphera 467 mss. Compotus 194 mss. Quadrans 15 mss. s. XIII 113 mss. 116 mss. 86 mss. 7 mss. s. XIV 148 mss. 142 mss. 74 mss. 3 mss. s. XV 160 mss. 198 mss. 34 mss. 5 mss. s. XVI 6 mss. 2 mss. - - s. XVII - 2 mss. - - Tabla 1: Manuscritos de cada una de las obras divididos por siglo 260 La tradición manuscrita por el colofón que se le añadió y los versos de la tumba del autor que hacían referencia directa a su obra como computista (cfr. supra en la vida de Sacrobosco). Respecto al Quadr., como ya advertíamos supra en la síntesis de su tradición manuscrita, son muy pocos los ejemplares conservados. De ellos, se advierte el interés relativo que suscitó en el s. XIII y el redescubrimiento de la obra en el s. XV, época en la que lo vemos acompañando tratados relativos a la navegación. Esta tradición textual tan limitada es indicador de la rápida evolución tecnológica de la época en esta materia que enseguida desbancaba los instrumentos antiguos para construir otros más modernos que cubrieran las necesidades de la época. Por otro lado, el elevado número de copias del Compot. y del Quadr. al inicio de su transmisión depende directamente de su tradición ligada al resto de obras de Sacrobosco, el Algor. y la Spher., conformando así un corpus de obras transmitidas en conjunto. Dicha transmisión grupal es muy evidente en el s. XIII e incluso a principios del XIV; a partir de ese momento, cada una de las obras que articulan dicho corpus se va desgajando del resto para transmitirse en solitario. En los siguientes gráficos mostramos la transmisión conjunta o separada de las obras en función del siglo634: Gráfico 1: Transmisión de las obras en el s. XIII Gráfico 2: Transmisión de las obras en el s. XIV 634 La leyenda hace referencia a la transmisión conjunta o en solitario de cada una de las obras. ACQS hace referencia a aquellos códices que transmiten las cuatro obras juntas (Algor., Compot., Quadr., Spher.); ACS, aquellos que transmiten las tres obras principales (Algor., Compot., Spher.); AS, aquellos que transmiten el Algor. y la Spher. juntos, etc. Optamos por citarlas con este orden de iniciales por cuestiones alfabéticas, pero su ordenación dentro de los códices es variable. Cuando las obras van dentro de los manuscritos, bien en misceláneas, bien códices en cuyo interior tan solo hay dicha obra, se indica con la inicial de la obra: A; S; C; Q. 261 LA OBRA DE SACROBOSCO Gráfico 3: Transmisión de las obras en el s. XV En estos gráficos se aprecia cómo la transmisión conjunta de las obras (azul claro y naranja) se va reduciendo a medida que pasan los años para dar paso a la copia individual de cada uno de los tratados. Especialmente lo vemos en el caso del Algor. y la Spher. (azul oscuro y marrón en los gráficos respectivamente). Este hecho podría deberse a una motivación inicial de mantener las obras de Sacrobosco unidas como materiales complementarios entre sí, un interés que se va perdiendo para dar paso a la consideración particular de cada tratado. Por tanto, si en un primer momento el Compot. se percibió como esencial en el corpus de Sacrobosco, no fue así con su transmisión en solitario, puesto que ya existían en la época otros manuales sobre computística más completos. En cambio, el Algor. y la Spher. se consideraron relevantes por los contenidos que transmitían, otorgándoseles un valor per se que iba más allá del hecho de que hubieran sido escritos por el magister Sacrobosco. En cuanto a la transmisión individual de las obras, especialmente del Algor. y la Spher., podemos aislar algunos puntos donde su transmisión masiva en el s. XV pudo corresponder a un programa educativo universitario del que estas obras formaban parte. Un ejemplo de ello es Cracovia, lugar de copia de un gran número de códices del Algor. y la Spher. del s. XV. Parece que fue esta una ciudad cuya universidad tenía un gran interés en seguir los postulados de estos tratados de Sacrobosco, razón por la cual se conservan tantos códices allí copiados, con una tradición textual que continuaría en el s. XVI a través de las impresiones (cfr. infra en la primera tradición impresa del Algor., donde se advierte que el número de ediciones cracovianas supera el total de ediciones impresas en el resto de ciudades). También son reseñables los muchos códices copiados en Alemania en el s. XV, lo que tendrá su paralelo esta vez en el alto número de comentarios del Algor. de maestros alemanes compuestos en esta misma época (cfr. infra, en el apartado sobre la posteridad del Algor.), lo que sin duda apunta al uso escolar de esta obra en esta fecha y región. Contrariamente a esta tendencia, contamos con un gran número de manuscritos copiados en París en el s. XIII, lo que no extraña por ser este el lugar de origen de los tratados. Especialmente se conserva una gran cantidad de códices parisinos de este siglo que contienen el corpus de Sacrobosco en su conjunto. Con el pasar de los años, sin embargo, parece que fue decreciendo el interés sobre estas obras en la capital francesa, que, aunque no dejaron de copiarse y, después, imprimirse, cuentan con más tradición en otras regiones, como las ya mencionadas. Este interés escolar no solo marca aquellos lugares donde las obras se copian con más frecuencia, sino el propio contenido de los manuscritos. La gran mayoría de códices que hemos localizado con las obras de Sacrobosco en su interior son misceláneas de temáticas variadas. Muchos de ellos transmiten tratados, opúsculos y materiales que coinciden con los conocimientos que se adquirían en el Quadrivium medieval, donde la astronomía y la matemática (aritmética) se estudiaban junto con la música y la geometría. Por ello, en muchas ocasiones obras como la Theorica planetarium (cfr. supra en la síntesis de la transmisión manuscrita de la Spher.) o el 262 La tradición manuscrita Carmen de algorismo (cfr. infra, Apéndice II) acompañan a la Spher. y el Algor. respectivamente, por ser tratados afines que completaban la información de las obras de Sacrobosco. Encontramos en múltiples ocasiones traducciones de Aristóteles, Boecio, Marciano Capela y Euclides, así como tratados sobre física, geografía, cómputo y cálculo; también obras sobre instrumentos de medida, como el astrolabio. Asimismo, resultan interesantes aquellas misceláneas que exceden las enseñanzas del Quadrivium e insertan otras obras de carácter escolar, a veces enseñanzas del trivium, como la retórica; a veces simplemente obras didácticas que debían de tener interés en la educación de la época a tenor del gran número de testimonios con los que nos hemos encontrado, como las historias sobre la caída de Troya. 263 La obra de Sacrobosco: consideraciones finales En este primer bloque del presente trabajo, hemos abordado los testimonios con los que contamos para reconstruir la vida de Sacrobosco, hemos hecho un recorrido por las obras que se le atribuyen y, por último, hemos elaborado un censo con los manuscritos que contienen sus tratados. Los datos de la vida de Sacrobosco que han llegado hasta nosotros son una miríada de pequeñas informaciones que se han de analizar para buscar el grado de veracidad de cada una de ellas. Dichas informaciones nos han llegado especialmente en estudios realizados en los ss. XVI- XVIII, lo que supone un problema en sí mismo, pues son más de tres siglos de historia los que separan la época del magister y las vidas sobre él escritas, cuyas fuentes nos son desconocidas. Pese a ello, hemos podido extraer algunos datos sobre su existencia que son, al menos, verosímiles. Así pues, Johannes de Sacrobosco hubo de nacer hacia finales del s. XII en algún punto de las Islas Británicas, quizá Irlanda. Aunque no sabemos dónde estudió, es probable que fuera Oxford la universidad que le enseñara los preceptos del Quadrivium; desde allí migró a París, donde fue maestro hasta que murió. En dicha ciudad escribió cuatro obras: Spher., Algor., Compot. y Quadr.; de ellas sabemos con seguridad que en 1232/5 estaba escribiendo el Compot. Tras su muerte, su vinculación con la universidad parisina y la fama que alcanzó se tradujeron en el deseo de sus sucesores de honrar su memoria con la construcción de un túmulo funerario; en él, un astrolabio acompañaba cuatro versos inscritos, que quedarían como prueba perenne de la existencia de este hombre ilustre. Como decíamos, Sacrobosco escribió cuatro obras, a pesar de que su celebridad a menudo se tradujera en la atribución espuria de muchas otras (como algunos comentarios a Aristóteles, las Cautele algorismi o la Theorica planetarum, entre otras). La que más fama ha tenido hasta la fecha es el Tractatus de sphera, un manual básico de astronomía cuya fuente principal sería Ptolomeo a través de Alfragano. De este tratado se conservan centenares de copias manuscritas y ediciones impresas, a las que hay que sumar numerosos comentarios, traducciones y tradición en obras contemporáneas y posteriores. Sigue a la Spher. en éxito el Tractatus de algorismo o Algorismus, un breve libro que, apoyándose en el Carmen de algorismo y en la tradición del De numero Indorum, enseña a operar con los recién llegados guarismos indoarábigos. En tercer lugar, en su tratado sobre el cómputo, Compotus, explica los tiempos del año, marcados por el sol y la luna, y muestra cómo calcular fechas concretas, con una aplicación pensada especialmente para las festividades religiosas. Parece que en esta ocasión el autor se fijó en una obra que ya tenía cierto recorrido en las instituciones educativas de la época: el Compotus ecclesiasticus. Finalmente, conservamos una última obra de Sacrobosco sobre el cuadrante, Quadrans, donde recorre todo el proceso de construcción de este instrumento astronómico, incluido su funcionamiento. Con una tradición textual muy limitada, como decíamos supra, cuenta con un breve repunte en el s. XV gracias al interés renovado por la navegación en esta época. De todas estas obras hemos localizado 710 manuscritos que conservan al menos una de las obras del autor, a los que se suman otros 12 códices perdidos. Dentro de este maremágnum codicológico, contamos con 467 testimonios de la Spher., siendo, como decíamos, la obra con mayor difusión textual; 427 del Algor., 194 del Compot. y tan solo 15 del Quadr. En cuanto a la relación de las obras entre sí, hemos podido ver que en el s. XIII la tendencia es copiarlas todas en conjunto, formando así un corpus de obras de Sacrobosco que viajarían de manera conjunta en los manuscritos. En los siglos posteriores, las obras se van segregando de este corpus para copiarse por separado. En este proceso, mientras que el Algor. y la Spher. continúan su tradición textual con un recorrido ascendente en cuanto al número de copias hasta llegar a la imprenta con 264 Consideraciones finales: primera parte numerosas ediciones, el Compot. y el Quadr. empiezan a considerarse obsoletas y se dejan de copiar. Concluimos este apartado con la idea de que Sacrobosco fue una persona sin duda ilustre en su época. Tanto, que su solo nombre fue motivo suficiente como para que sus obras permanecieran unidas en su tradición durante su primer siglo de vida. Con el andar de los años y tras superarse sus enseñanzas, tan solo las obras verdaderamente útiles para sus lectores perpetuaron en el tiempo: el Algor. y la Spher. Ambos fueron tratados muy vinculados a la universidad y a la docencia, lo que les otorga una tradición amplia, sí, pero a la vez compleja, llena de contaminación y contacto entre ejemplares. Dicha transmisión constituye en sí misma el reflejo del uso real de tales manuales y la clave de su éxito, que residía más en la claridad de exposición de los conocimientos explicados que en los propios postulados, sin duda mucho más desarrollados y completos en otros tratados que, sin embargo, fueron desechados por largos y obscuros. En suma, el triunfo de Sacrobosco se debió casi con toda probabilidad a la sencillez de su exposición, una virtud a menudo desdeñada y sin embargo clave en la educación que consiste en, como dicen algunos comentarios, facile facere quod est difficile ex se. 265 SEGUNDA PARTE: EL ALGORISMUS Los tratados sobre el algorismo en latín El Algorismus es una obra que se enmarca en el conjunto de tratados matemáticos del siglo XIII, si bien su estudio debe abordarse desde la perspectiva de la propia evolución de esta ciencia en la Edad Media. La tradición de los estudios matemáticos medievales debe relacionarse con la forma de aprender, enseñar e incluso hacer ciencia en Europa hasta el Renacimiento. Autores como Boecio, Casiodoro e Isidoro de Sevilla en una primera etapa, seguidos por Beda y Alcuino de York, fueron los principales referentes en el ámbito de las matemáticas escritas en latín, y, de hecho, su influencia en los tratados artiméticos de los siglos de la baja Edad Media no es menor que la que ejercían en los precedentes. En el s. X, con estos autores a la cabeza de las disciplinas científicas y todavía en una época en la que los centros monásticos son la piedra angular de la enseñanza, compone su obra Gerberto de Aurillac, posteriormente conocido como papa Silvestre II. Siguiendo a Boecio, escribe varias obras de aritmética y geometría, cuya finalidad era sobre todo la de educar a una sociedad en crecimiento. Este autor cobra una importancia capital en la materia que tratamos porque fue el primero que introdujo en Europa los numerales indoarábigos sin que se sepa con certeza dónde los aprendió, quizá en España o Italia, que fueron su alma mater en cuestiones educativas. Lamentablemente, no hay pruebas de que esta introducción tuviera continuidad en Europa hasta los siglos posteriores, momento en el que se comienzan a traducir al latín tratados científicos escritos en árabe. Será entonces cuando los estudiosos vuelven a Gerberto para estudiar su obra con un interés renovado, como Rodolfo de Laón (cfr. infra). Este hecho hace muy improbable que los textos de Gerberto inspiraran a Sacrobosco para componer su manual y, de hecho, no se encuentran paralelismos ni correspondencias entre una obra y otra, por lo que se descarta su uso como fuente635. Junto con el nacimiento de las universidades y la secularización de la enseñanza, a partir del siglo XII en adelante, en Europa se desarrolla una disciplina novedosa y revolucionaria que cambiará para siempre la forma entender la matemática y la aritmética. Si hasta entonces el ábaco y los numerales heredados de los romanos eran los protagonistas absolutos del arte del cálculo, desde este momento en adelante los guarismos indoarábigos y las tablas de arena empiezan a cobrar una relevancia paulatina hasta hacer desaparecer los métodos arcaicos. Este nuevo «arte», como muchos lo llamarán, tiene su origen en los scriptoria hispanos, donde un plantel de eruditos se dedicaría a traducir al latín la ciencia en lengua extranjera para hacerla así accesible a un público más amplio636. Fue aquí donde se tradujo la obra de al-Khwarizmi, un matemático que operó en la Casa de la Sabiduría de Bagdad en el s. VIII. Dicha traducción estableció un punto de partida desde el cual se empezarían a componer tratados sobre este nuevo sistema, que adquirió el nombre popular de algorismo. Tal voz que tiene su origen en el propio al-Khwarizmi, aunque 635 De esta época es también un manuscrito conocido como Codex Aemilianensis conservado en la Real Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo del Escorial, con signatura D.I.1, en el que ya advertían Smith y Karpinski (1911, 137-8) que se presentaban en un breve párrafo los numerales indoarábigos en el f. 9v: Scire debemus in Indos subtilissimum ingenium habere. Et ceteras gentes eis in arithmetica et geometrica. Et ceteris liberalibus disciplinis concedere. Et hoc manifestum est in nobem [sic] figuris quibus designant unumquemque gradum. Cuiuslibet gradus quarum hec sunt forma: 987654321. Compuesto por los monjes del Monasterio de San Martín de Albelda a finales del s. X, esta sería la segunda mención de este sistema de numeración en Europa cuya vinculación con la obra de Gerberto no está explorada. La bibliografía sobre este manuscrito es muy abundante, siendo su descripción de referencia la realizada por Antolín (1910, vol. 1, 320-68. 636 Sobre la historia de la matemática en la Europa medieval, cfr. Merzebach y Boyer (2011, 223-34). 269 EL ALGORISMUS no es extraño encontrar autores que han olvidado el origen de esta palabra y quieren buscar su etimología en hipótesis erróneas637. Es este el momento en el que Sacrobosco se da a conocer: heredero de los grandes padres cristianos de la matemática, entra en contacto con los tratados del algorismo a principios del s. XIII, cuando se empezaban a expandir por Europa. En tales circunstancias, compone un tratado cuya finalidad principal será explicar de una forma inteligible el nuevo sistema, el que adereza y acompaña con conocimientos extraídos de los antiguos «padres de la matemática», especialemente Boecio e Isidoro de Sevilla. Un manual cuya naturaleza propedéutica se inserta bien en un contexto social en el que la universidad está creciendo y tiene la necesidad de nuevas herramientas para su expansión que, a su vez, precisan de manuales que las exploren y expliquen. Un libro, además, que traspasa las fronteras temporales y espaciales para ser leído por todo el territorio europeo hasta bien entrado el s. XVI. 1. Siglo XII: ante Sacrobosco En este capítulo, procederemos a enumerar y analizar los tratados sobre el algorismo del s. XII, los predecesores en la materia de Sacrobosco638. Conviene apuntar que en este trabajo no hemos tenido en cuenta las obras sobre el ábaco que, aunque a veces influyen en los algorismos por ser la manera de calcular en Europa hasta la época, no emplean la numeración indoarábiga y la nueva forma de operar con ella. Además, al estudiar este tipo de tratados, hemos podido constatar la poca atención académica que ha recibido la matemática bajomedieval hasta la fecha. Esto supone que hay una alta probabilidad de que nuestro elenco de obras esté incompleto, por no haber podido localizar en los estudios que versan sobre este tema otros algorismos existentes en los siglos estudiados. Esperamos que en el futuro continúen las investigaciones sobre estos manuales aritméticos y nuestro trabajo pueda ser ampliado o, al menos, completado en cuanto a conocimientos de las obras y las relaciones entre ellas639. 1.1. El legado de al-Khwarizmi El primer foco de difusión de la matemática indoarábiga en Europa hemos de situarlo en la Escuela de Traductores de Toledo con la traducción de un tratado escrito por el autor árabe al- 637 La hipótesis elaborada por primera vez por Reinaud (1849, 303-4) y seguida por Bortolotti (1913, 97-8 y, sobre todo, 1914, 33-8) actualmente está consolidada y así es transmitida por grandes estudiosos como Merzbach y Boyer (2011, 205-7). No obstante, todavía en la actualidad hay quienes quieren explicar el origen del término de formas alternativas, como Marciszewski (1981, 14), quien ni siquiera cita sus fuentes: «The word algorithm (Latin algorithmus) has been derived as a combination of the word algorism, which in the middle ages denoted the art of computing using Arabic numerals, and the Greek word arithmós (number)». 638 En este punto hablaremos únicamente de los tratados sobre el algorismo escritos antes del Algor. de Sacrobosco, pero sin hacer mención directa de sus fuentes, para las que dedicaremos un apartado específico más adelante. 639 Aunque las investigaciones, como decíamos, son escasas, sí contamos con algunos elencos de obras sobre el algorismo. La primera vez que se intentaron recopilar estos libros bajo un mismo estudio fue en el trabajo de Benedict (1916), que es un listado somero de algorismos árabes, griegos y latinos sin solución de continuidad y con una descripción de estos a menudo inexacta. Actualmente, hemos de agradecer el trabajo de Ambrosetti (2008), más completo y coherente. Sin embargo, son tantas las obras que todavía no cuentan con una edición o estudios fiables que los estudios realizados hasta la fecha son sin duda incompletos, incluido el nuestro. 270 Los tratados sobre el algorismo en latín Khwarizmi. Antes de estudiar cuál fue su difusión y qué tratados parten de él, veremos quién fue este estudioso. Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (desde ahora, al-Khwarizmi) (ca. 780-850) fue un erudito de la llamada «Casa de la Sabiduría» que se había fundado en Bagdad en el s. VIII-IX bajo el califato de al-Maʾmūn y que duraría hasta la invasión mongola del s. XIII. Pensado como un centro de estudio, traducción y producción científica, a este emplazamiento acudía gente de Siria, Irán y Mesopotamia para compartir su conocimiento. En este contexto, al-Khwarizmi fue para la «Casa de la Sabiduría» lo que Gerardo de Cremona para la Escuela de Traductores: un traductor y productor de material indispensable para la transmisión en árabe de conocimientos hasta entonces poco profundizados o encerrados en obras escritas en otras lenguas. Uno de los tratados que escribió fue el llamado Kitāb al-ḥisāb al-Hindī, «libro del cálculo indio», basado en el sistema de cálculo posicional que se había originado en la India en las primeras centurias de nuestra era640. Este tratado, del que lamentablemente no se conserva siquiera una copia en su lengua original, viajó hasta la Escuela de Traductores de Toledo en una fecha que debemos establecer anterior o contemporánea al s. XII. Allí, se tradujo en latín, donde le dieron el nombre De numero Indorum. Sin embargo, de nuevo, de esta primera versión que, siguiendo a Allard (1992, I-LXV), ya estaba influida por la aritmética boeciana, no se conserva ningún testimonio. Continuando con el trabajo de Allard (1992), se pueden establecer cuatro obras que parten de esta primera con sus respectivas influencias externas. Para una mejor comprensión, adjuntamos el esquema de relaciones propuesto por este autor. Ilustración 1: Esquema de los descendientes del De numero Indorum y sus relaciones (Allard, 1992, XXVII). La primera de las obras conservadas descendiente del De numero Indorum es la que Allard llama Dixit Algorizmi (DA), que partiría directamente de la primera traducción latina perdida con 640 Sobre al-Khwarizmi y su obra, cfr., entre otros, Rashed (1984, 17-29); Oaks (2014, 451-9) y Merzbach y Boyer (2011, 200-30). 271 EL ALGORISMUS adiciones de los números enteros. La segunda es el Liber ysagogarum (LY), del que Allard (1992, VIII-IX) reconoce hasta cuatro versiones distintas y que comprende en su interior un complejo sistema de interferencias y fuentes secundarias, tal como se aprecia en el esquema. Liber Alchorismi (LA) es el tercero y Liber pulveris (LP) el cuarto. Estos dos últimos son tan similares entre sí que Allard propone para ellos una fuente común, hoy perdida; en su edición, además, este autor los presenta en paralelo. De cada una de ellas, aportamos la signatura de los manuscritos recogidos tanto por Allard como por otros autores, así como las ediciones anteriores que se han ocupado de cada una de ellas. 1.1.1. Dixit Algorizmi Inc.: Dixit Algorizmi: laudes deo rectori nostro atque defensori dicamus dignas. Des.: Exivit ergo radix duorum per hoc opus unus gradus et XIIII minuta et L secunda ac XXIIII tercia. Finit liber cum dei adiutorio et eius laude641. Manuscritos: Cambridge, University Library, Ii.6.5, ff. 104r-111v New York, Hispanic Society of America, HC 397/726, ff. 17r-24v Ediciones: Boncompagni (1857°, 1-23); Vogel (1963, 1-51); Youschkevitch (1964, 21-63); Allard (1992, 1-22); Folkerts (1997, 28-106). Bibliografía: Benedict (1916, 4-5). 1.1.2. Liber ysagogarum Inc.: Quoniam de quarta introducendis matheseos nos fari disciplinarum presens tempus ammonuit. Des. a (LY I y LY II): Quia ista inter se illa producunt que radices ad sua integra reducantur ut possunt. Hec actenus de radicibus. Des. b (LY III): Exivit radix duorum unus et XIIII minuta et L secunda et XXIIII tertia642. Manuscritos: Admont, Stiftsbibliothek, Fragm. 4643 (LY I) Genova, Biblioteca Universitaria, E.III.28, ff. 231r-232v (LY I) Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, A 3 sup., ff. 1r-20r (LY II) München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 13021, ff. 27r-31v (LY I) München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 18927, ff. 31r-33r (LY III) Oxford, Bodleian Library, Lyell 52, ff. 21r-34v (LY II) Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 16208, ff. 67r-71r (LY II)644 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 275, f. 27r (LY I) Ediciones: Nagl (1889, 129-146 y 161-170)645; Curtze (1898, 17-27)646; Allard (1992, 23-61). Bibliografía: Benedict (1916, 9-10). 641 Allard (1992, 22), al desconocer el manuscrito de New York, aporta el desinit del manuscrito de Cambridge, al que le falta el final de la obra: Post hec scribes in alia parte VIII, et sub eis tres, et sub tribus XI, sicque constitues VIII <…>. 642 Desinit del manuscrito de München, Lat. 18927, que transmite una versión de mayor extension que el resto de códices (LY III, cfr. supra el esquema de Allard). 643 El fragmento de Admont consta de un único folio que contiene en su totalidad un fragmento del LY I. 644 Eneström (1904, 312) dice haber identificado, a partir de la edición de Curtze (1989, 17-27), otro manuscrito que contiene esta obra: el manuscrito 980 de los fondos de la Sorbona. A juzgar por el fondo de proveniencia del manuscrito parisino Lat. 16208 y sobre todo por la antigua signatura «Sorb. 980» en el primer folio, podemos afirmar que es este el códice al que se refería Eneström. 645 No transmite el texto como tal, sino que cita ciertos pasajes y explica el contenido de la obra. 646 Esta obra ya fue editada por Curtze (1898, 1-27) a partir de los manuscritos de München, Clm 13021 y Clm 18927. Lo llamó Algorismo de Sigsboto. 272 Los tratados sobre el algorismo en latín De esta obra, tal como se aprecia en el stemma de Allard (1992) (cfr. supra), hay tres versiones diferentes en función de las interpolaciones de una u otra fuente. Hemos indicado, al lado de cada manuscrito que contiene la obra, qué versión es según Allard (1992, XXXVI-VIII): LY I, LY II o LY III. 1.1.3. Liber Alchorismi Inc.: Quisquis in quatuor matheseos disciplinis efficacius vult proficere numerorum rationes primum studeat apprehendere. Des.: Dicatur medietas unius, vel una tercia in quintamdecimam, dicatur tercia pars de 15, que est 5, et similiter et de aliis. Manuscritos: Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1393, ff. 1r-51r647 Dresden, Sächsische Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek, Dresd. C 80, ff. 129r-134v Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 355, ff. 85r-115r Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. soppr. J.5.18, ff. 53v-65v Oxford, Bodleian Library, Selden sup. 26, ff. 17r-22v, 106r-121v Paris, Bibliothèque Mazarine, 3642 (1258), ff. 105v-113v Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7359, ff. 85r-101v Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15461, ff. 1r-9v Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 16202, ff. 50r-73v Salamanca, Biblioteca General Histórica de la Universidad, 2338, ff. 2r-30r Ediciones: Boncompagni (1857b, 25-93); Allard (1992, 62-224). Bibliografía: Benedict (1916, 8-9). Se trata de una obra escrita alrededor del año 1143 en Toledo que conjuga elementos de lo que debió de ser la obra de al-Khwarizmi y el Helcep Sarracenium (cfr. infra). Su autoría ha sido muy discutida: se atribuye a un Magister Iohannes, que a menudo se ha identificado con Johannes Hispalensis. Sin embargo, según Allard (1996, 207) es más probable pensar que fue obra de un traductor adscrito a la catedral de Toledo, quizá incluso del filósofo judío Abraham ibn Daūd. Este Liber Alchorismi definido por Allard (1992) suele ir acompañado en los manuscritos por un segundo opúsculo que ha pasado a conocerse como la «segunda parte del Liber Alchorismi» (cfr. Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 141-231). A continuación, aportamos incipit, desinit, manuscritos y bibliografía de esta segunda parte de la obra. Inc.: Hic incipiunt regule et primum de aggregatione. Omnis numerus naturali dispositione circum se positorum. Des.: Quicquid exierit de divisionibus erunt denominata a fractionibus maioribus. Manuscritos: Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1393, ff. 51r-60v Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 355, ff. 105r-115r Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. soppr. J.5.18, ff. 65v-70r Oxford, Bodleian Library, Selden sup. 26, ff. 96r-100r Paris, Bibliothèque Mazarine, 3642 (1258), ff. 113v-117v Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7359, ff. 101v-111r Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15461, ff. 9v-14v Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 16202, ff. 73v-81v Salamanca, Biblioteca General Histórica de la Universidad, 2338, ff. 30v-49v Ediciones: Boncompagni (1857b, 93-126); Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 141-231). 647 Este códice, tal como dice Allard (1992, XL), transmite en realidad «une version hybride de LP (pp. 62-63,II,10) et de la première partie de LA (pp. 63,II,10…)», ambas bajo el título Incipit algorismus. 273 EL ALGORISMUS Esta «segunda parte» del Liber Alchorismi es una suerte de profundización en algunas operaciones matemáticas, como las multiplicaciones y las raíces. Incluye además nociones sobre la progresión, un capítulo importante en tanto en cuanto Sacrobosco sí lo incluye en su obra. También aporta varios problemas matemáticos, relacionados con toda probabilidad con las Cautele (cfr. supra en las obras espurias de Sacrobosco), que sirven como ejercicios para practicar la teoría del Liber Alchorismi. 1.1.4. Liber pulveris Inc.: Si quis in quatuor matheseos disciplinis exercitandus expeditius ad earum inquisitionis documenta volet accedere. Des.: Et sic de ceteris, multiplicabis illud in 2520. In isto enim continentur omnes partes que sunt ab uno in decem. Manuscritos: Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Reg. Lat. 1285, ff. 14r-20v Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, M 28 sup., ff. 98v-104r Oxford, Bodleian Library, Lyell 52, ff. 1r-18v Ediciones: Allard (1992, 62-222). Como decíamos, el Liber pulveris es una obra muy similar al Liber Alchorismi: presenta los mismos contenidos en el mismo orden. La diferencia fundamental reside en que esta obra frente a la anterior es más sintética, siendo su contenido una suerte de resumen del Liber Alchorismi. 1.2. Helcep Sarracenium Prol.: Prologus H. Ocreati in Helceph ad Aelardum Batensem magistrum suum. Virtus amicitie inter eos qui eius habitu inficiuntur hanc legem constituit, ut alterutro precipiente, alter parere non pigritetur. Inc.: Ordines igitur numerorum sive limites a primis numeris, qui digiti vocantur et sunt novem. Des.: Verbi gratia: si queratur quot sint trigies quinquies xxx v respondeatur trigies triginta et quinquies v et quinquies triginta bis vel trigies quinque bis. Manuscritos: Limerick, University of Limerick, Bolton Library, Medieval 1, pp. 111-117 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 6626, ff. 84r-87v Ediciones: Henry (1880, 129-39); Burnett (1996a, 262-97 = 2010, III, 262-97). Bibliografía: Benedict (1916, 14-5); Burnett (1996a, 221-331 = 2010, III, 221-331). La obra titulada Helcep Sarracenium es un texto de mediados del s. XII que describe una serie de procesos aritméticos bajo el nombre de helcep (palabra que signifa «cálculo» en árabe). En el estudio de Burnett (1996a, 221-331), el más completo hasta la fecha, se postula que el texto fue escrito en la esfera de influencia de Adelardo de Bath por un tal H. Ocreatus. Este nombre, según Burnett (1996a, 254), lejos de referirse a una persona, parece que es el nombre ficticio que adquirieron ciertos estudiantes que trabajaron en la esfera de Adelardo de Bath, quizá sus propios discípulos. Este tratado, a pesar de presentar procedimientos matemáticos similares donde el entendimiento del sistema posicional es clave, no se incluye dentro de la tradición del De numero Indorum. Contrariamente a esto, se trataría de una obra cuya creación no depende del libro de al- Khwarizmi, sino de una serie de conocimientos extraídos de Euclides, Boecio, Adelardo de Bath y probablemente otras obras ignotas hasta la fecha. Sin embargo, sí podemos encontrar paralelismos entre este tratado y los anteriores estudiados. En primer lugar, no pasan desapercibidas para Burnett (1996a, 242) las similitudes y correspondencias verbales entre esta obra y las versiones del Liber ysagogarum, lo que explica por haber sido compuestas en un mismo 274 Los tratados sobre el algorismo en latín ámbito. En segundo lugar, más relevante es la relación entre el Helcep y el Liber Alchorismi. Para estas dos obras, Burnett (1996a, 243-4) sí defiende una relación directa, siendo probablemente la obra fuente el Helcep y la derivada el Liber Alchorismi. El argumento más fuerte que aduce para relacionar ambas obras es la apertura idéntica en los dos tratados, no compartida por el resto de descendientes del De numero Indorum, ni siquiera por su gemelo Liber pulveris. En cuanto a la direccionalidad de la influencia, Burnett concluye que el uso del adverbio igitur648 en ciertas posiciones es una característica que se encuentra en la prosa de Adelardo de Bath, de quien lo habrían tomado los compositores del Helcep y desde este tratado habría viajado al Liber Alchorismi, siendo improbables otras opciones. Siguiendo esta hipótesis, Allard (1996) sitúa la obra en la siguiente posición respecto al resto de tratados derivados de al-Khwarizmi: Ilustración 2: Esquema de los descendientes del De numero Indorum y su relación con el Helcep Sarracenium (Allard, 1996, 206). 1.3. El algorismo de Coventry Inc.: Incipiunt anxiomata artis arismetice. Omnis numerus aut par aut impar, ut viii et iiii. Omnis etiam numerus aut simplex vel compositus, ut iii et xi xii, aut mixtus vel compositus. Des.: Ut si vi est ultimus par, divide vii et eius quamlibet alteram per alteram partem multiplica, et fiunt xii ii iiii vi649. Manuscrito: 648 Especialmente se refiere al igitur del inicio del texto del Helcep, tras el prólogo (Burnett, 1996a, 262): Ordines igitur numerorum sive limites a primis numeris, qui digiti vocantur et sunt novem, per decuplos in infinitum procedunt. 649 Estas son las últimas líneas conservadas de la obra, pero, según Burnett (2010, 309, n. 61), parece que al final del texto se puede ver una marca de llamada que haría referencia a una continuación de la obra en alguna otra parte del manuscrito; no obstante, esta posible continuación no se ha encontrado. 275 EL ALGORISMUS Cambridge, Trinity College, R.15.16, ff. 1v-3r (mútilo). Edición: Burnett (1996a, 300-9 = 2010, III, 300-9). Esta breve obra, conservada únicamente en el manuscrito citado, es conocida como Anxiomata artis arismetice. De acuerdo con la datación propuesta para el códice650, es decir, mediados del s. XII, hemos de suponer que fue compuesta, como máximo, en esta época. Además, se establece su lugar de composición en Inglaterra, tomando su nombre «manuscrito de Coventry» de la proveniencia del mismo: la abadía de Coventry, hacia el centro de la isla. El tratado, aun inconcluso, presenta una serie de cálculos matemáticos muy similares a aquellos que contenía el Helcep, si bien han sido escritos en un formato tal que cabría postular que se trata de unos apuntes de algún estudiante. Tal como concluye Burnett (1996a, 252-3), ambos compositores hubieron de usar las mismas fuentes y persiguen un mismo interés. Esto se evidencia en el uso de un vocabulario común. Además, Burnett (1996a, 252) apunta que ambas obras están relacionadas, aportando como prueba fehaciente el hecho de que en Coventry se mencione el término helcep, única vez que encontramos esta voz más allá de la obra que lo lleva por nombre. Puesto que el manuscrito de Coventry probablemente sea posterior al Helcep porque ya emplea el término algorismi y utiliza los numerales indoarábigos con facilidad, tan solo existen dos posibilidades: que Coventry sea descendiente de Helcep o que ambos dependan de una fuente común. Si fuera la primera opción, estaríamos ante una transmisión muy temprana de un texto compuesto apenas unas décadas o incluso unos años antes. Si se piensa, en cambio, en una fuente común, deberíamos suponer que existió una obra antes del siglo XII que no conservamos o que, quizá, todavía no hemos encontrado. En cualquier caso la discusión sigue abierta, a la espera de futuros estudios que puedan arrojar luz al tema. 1.4. El algorismo de Egerton Inc.: Intendit algorismus in hoc opere primum docere procedere, addere, duplicare, mediare, multiplicare, dividere per IX figuras yndorum651. Des.: Mediationem duplicacio et e converso. Divisio multiplicationem et e converso652. Manuscritos: London, British Museum, Royal 15 B IX, f. 77v London, British Museum, Egerton 2261, ff. 225v-227v Paris, Bibliothèque National de France, Lat. 10252, ff. 68r-70v Edición: Karpinski (1921, 396-413)653. Presentamos esta obra bajo el nombre de «algorismo de Egerton» porque así es como se refiere a ella Burnett (1996a). Con una fecha de composición incierta, según Burnett (1996a, 253) estaríamos ante una obra que conocía o que de alguna forma puede ponerse en relación con el binomio Helcep-Coventry por sus contenidos. De entre ellas, el hecho de que se emplee ut si precediendo los ejemplos es para Burnett una prueba de se encuentra más cercana al Helcep, 650 Cfr. Mirabile (cons. 07/09/2023), que a su vez se apoya en James (1901, vol. 2, 354-5) 651 El incipit de Royal 15, B IX discrepa ligeramente del Egerton 2261 (Karpinski, 1921, 403): Intencio algarismi est in hoc opere doctrinam prestare procedendi, addendi, minuendi, duplandi, et mediandi, multiplicandi, et dividendi per X karacteres Indorum. 652 De nuevo diverge el ms. Royal; expl.: Si plura spacia vacua fuerint et ita procede usque quod numerum superiorem non possis dividere. Explicit. Tampoco termina el ms. Egerton 2261 con el desinit indicado, sino que, tras estas nociones matemáticas, sigue con las reglas de la multiplicación y otras indicaciones sobre las differentie y los limites numerorum. 653 Este autor edita en paralelo los tratados de los manuscritos Egerton 2261 y Royal 15 B IX. Por otro lado, establece que el manuscrito de Paris es una copia directa de Egerton 2261. 276 http://www.mirabileweb.it/manuscript/cambridge-trinity-college-ms-r-15-16-(940)-manuscript/12908 Los tratados sobre el algorismo en latín puesto que el tratado de Coventry sustituye esta construcción por verbi gratia. Podríamos estar, por tanto, ante un descendiente del Helcep o, de nuevo, ante un gemelo de este. 1.5. Liber mahameleth Inc.: Omnia que sunt, alia sunt ex artificio hominis, alia non. Des.: Cetera huius considera secundum hoc. Manuscritos: Padova, Biblioteca Capitolare, D.42, ff. 1r-86v Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7377A, ff. 99r-203r Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15120, ff. 57v-66v Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15461, ff. 26ra-50rb Ediciones: Vlasschaert (2010); Sesiano (2014). El Liber mahameleth es un tratado donde, igual que ocurría con la primera y segunda parte del Liber Alchorismi, los postulados teóricos, enunciados en primer lugar, vienen acompañados por una batería de problemas matemáticos que muestran su utilidad y los ponen en práctica. A diferencia de aquellos, en cambio, todos los ejercicios aquí propuestos son relativos al comercio y al cambio de moneda, lo que parece apuntar que su uso estaba bien dirigido a los comerciantes. Parece que fue compuesto en área hispánica a mediados del s. XII y, aunque Sesiano (2014) no acierta a dar una autoría, Vlasschaert (2010) lo atribuye a Domingo Gundisalvo (ca. 1115 – post 1190), traductor en la Escuela de Traductores de Toledo. La influencia árabe es muy evidente en su contenido, hasta tal punto que Sesiano (2014, XVIII-XIX) concluye que las principales fuentes del libro debieron ser árabes. En cuanto a su contenido, presenta bastantes similitudes consistentes con el Liber Alchorismi que, aunque Sesiano no acierta a dar una relación concreta, consideramos que bien podría ser su fuente teniendo en consideración que, además de dichos paralelismos, encontramos una referencia a una arithmetica Alcorizmi, que podría ser dicho Liber654. 1.6. De abaco, Rodolfo de Laón Inc.: Incipit liber Radulfi Laudunsis de abaco. Des.: Que magis proximat octave decime maius semitonium minus. Manuscrito: Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15120, ff. 1r-37v Ediciones: Nagl (1890, 85-133)655. Bibliografía: Benedict (1916, 10). Esta obra fue compuesta por Rodolfo de Laón, hermano del teólogo Anselmo de Laón y profesor de París en la primera mitad del s. XII. El tratado lleva por título De abaco, pero su contenido explora los numerales indoarábigos y cómo multiplicar y dividir con ellos, con una clara influencia de la obra de Gerberto de Aurillac. Lamentablemente, no disponemos de estudios modernos sobre la obra, de manera que su relación con los tratados que derivan del De numero Indorum no está explorada, así como no exite aún un estudio minucioso del propio texto. 654 Cfr. l. 19 de la edición de Sesiano (2014, 1): quod docetur in arithmetica Alcorizmi. 655 La edición se limita a transcribir el único códice que se conoce hasta la fecha de este tratado. 277 EL ALGORISMUS 1.7. Los algorismos de Cashel El manuscrito Limerick, University of Limerick, Bolton Library, Medieval 1, que ya hemos mencionado por ser uno de los testigos del Helcep Sarracenium (cfr. supra), es un códice facticio cuyas unidades codicológicas que nos interesan fueron compuestas en el s. XII656. La U.C. 1 (pp. 1-104), donde aparecen los tratados que trataremos a continuación, es lo que Burnett (2013, 142- 58) llama el «libro del director de la liturgia», puesto que contiene obras litúrgicas sobre música, calendario, cómputo y aritmética, todo lo que un buen precentor debía conocer657. En cuanto a las obras de aritmética, son varias las que nos interesan. En primer lugar, en las pp. 14-5 hay un juego numérico, parecido a aquellos que aparecen en las Cautele. Seguidamente, el manuscrito contiene un algorismo simple en las pp. 16-7 donde se explican brevemente las operaciones de la suma, resta, multiplicación, división y cómo extraer los mínimos y máximos divisores comunes. Más adelante, en la p. 20 aparece una tabla de las potencias de diez y en la p. 21 las reglas de la multiplicación y operaciones con progresiones numéricas. Después, en las pp. 41-53, se encuentra un algorismo más detallado, donde se incluyen las mismas operaciones de antes, pero por extenso. Los incipit de cada una de estas obras (si es que se pueden considerar como trabajos independientes en lugar de bloques de un mismo conjunto) son los siguientes: p. 14: Unum trium vocetur binarius alius ternarius quarter quaternarius. p. 16: Cum numero numerum addere volueris, prescribas, addendum autem ei supponas. p. 21: Si vis ducere digitum in se, scribe eius decuplum et aufer eum a suo decuplo. p. 41: Numerorum diverse sunt differentie. In prima differentia continentur omnis numeri. De todas ellas, tan solo contamos con la edición de las que aparecen en las pp. 16-7 y 20-1 en Burnett (2002, 15-26). Es una porción interesante del manuscrito porque aparecen las reglas de la multiplicación y las progresiones. Estas, como hemos visto, tan solo estaban descritas en el Helcep y los algorismos de Coventry y Egerton (cfr. supra), pero no en los descendientes directos del De numero Indorum. El hecho de que Sacrobosco sí las incluya en su tratado hace que los algorismos que las contienen sean posibles candidatos a ser fuente del autor, como veremos en el apartado correspondiente de fuentes infra. Respecto a qué relación podrían tener estos algorismos editados por Burnett (2002) y los ya mencionados, no podemos decir mucho. El autor se limita a expresar el paralelismo con el Helcep, pero no acierta a establecer relaciones de ningún tipo. Lamentablemente, no tenemos más información que la que aquí presentamos sobre el algorismo de las pp. 41-53. Esto responde, en primer lugar, a que nadie lo ha estudiado ni editado, por lo que no cuenta con un análisis adecuado. En segundo lugar, no hemos podido tener acceso al códice por el momento, lo que ha impedido que podamos tratar de suplir la carencia advertida de la falta de edición. 656 Tanto para las páginas donde aparecía el Helcep, correspondiente a la U.C. 2, como para la U.C. 1, que comprende los tratados de los que aquí hablamos. 657 La descripción detallada del manuscrito se puede leer en este mismo trabajo de Burnett (2013). 278 Los tratados sobre el algorismo en latín 2. Siglo XIII: la época de Sacrobosco El s. XIII recoge el conocimiento generado en el s. XII y lo pone en circulación a través de tratados más sintéticos y con un carácter marcademente propedéutico. Son, por lo general, manuales cortos, que nacen del estudio, la comprensión y la posterior reelaboración de las obras del s. XII (a excepción del Liber abaci, como veremos). Naturalmente, este hecho viene motivado por el auge de las universidades y la vida ciudadana, cuyos centros urbanos van creciendo y necesitan de nuevos materiales para cubrir nuevas necesidades. En este contexto se componen obras de tradición tan masiva como el Carmen de algorismo y en propio Algor., en los que se aprecia con facilidad su carácter escolar. Son obras, además, que muchas veces vendrán acompañadas por ejercicios matemáticos que permiten poner en práctica los postulados teóricos y mostrar la utilidad real del algorismo, con ejercicios de cambios de moneda, precios y cantidades empleados en el comercio y en la vida cotidiana. 2.1. Liber abaci, Leonardo de Pisa alias Fibonacci Inc.: Incipit liber abaci compositus a Leonardo filio Bonacii Pisano in anno m.cc.ii. Des.: Divide ergo 30 per 870, veniet 1/29 dragme pro quantitate rei. Manuscritos658: Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 2º 418, ff. 1r-805v Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1343, ff. 1r-174v (incompl.) Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Urb. Lat. 291, ff. 1r-33v, 121r-132v (incompl.) Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4606, ff. 52r-71v y 77r-107v (incompl.) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Gadd. 36, ff. 1r-168v (incompleto) Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. soppr. C.1.2616, ff. 1-214 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, II.III.25, ff. 1-175 (incompl.) Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Magl. XI. 21, ff. 1r-285v Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Magl. XI. 38, ff. 120r-231v (incompl.) Firenze, Biblioteca Riccardiana, Ricc. 252, ff. 72r-142r (incompl.) Firenze, Biblioteca Riccardiana, Ricc. 783, ff. 1r-346v Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, I 72 sup., ff. 1r-124v Napoli, Biblioteca Nazionale Vittorio Emanuele III, VIII.C.18, ff. 1r-285v Paris, Bibliothèque Mazarine, 3637 (1256), ff. 33r-85v (incompl.) Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7225A, ff. 81r-220r (incompl.) Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7367, ff. 1r-168v (incompl.) Siena, Biblioteca Comunale degli Intronati, L.IV.20, ff. 1r-224v (incompl.) Ediciones: Boncompagni (1857c); Germano y Rozza (2019); Carotenuto (2014)659. 658 Presentamos los manuscritos citados en Germano (2013, 158-61). Aquellos que señalamos como incompletos (incompl.) son los testimonios que no transmiten la obra en su totalidad, siendo la falta de distinta dimensión en cada caso; pero no sabemos si esto responde a cuestiones de mutilación material o no. Además, a los manuscrito citados menciona otro más que estaba en la biblioteca de Robert B. Honeyman en San Juan de Capistrano, pero su ubicación actual es desconocida. 659 El libro editado por Germano y Rozza tan solo contiene la edición de los primeros cuatro capítulos de la obra, mientras que la tesis de Carotenuto (2014, dirigida por Germano), la de los capítulos 5-8. Conviene anotar que desde hace unos en la Università Federico II de Nápoles, el Prof. Giuseppe Germano tiene un proyecto cuyo objetivo es realizar la edición crítica del Liber abaci de Leonardo de Pisa, tal como se explica en el artículo de Germano (2013, 157-73) y en otras publicaciones que siguen esta línea. Este objetivo parece que se irá completando paulatinamente gracias a las monografías y las tesis de doctorado dirigidas por Germano. 279 EL ALGORISMUS Bibliografía: Benedict (1916, 11-2); Ambrosetti (2008, 215-32); Drozdyuk y Drozdyuk (2010); Germano (2013, 157-73); Rozza (2016). El Liber abaci fue escrito en el año 1202 por Leonardo de Pisa alias Fibonacci y posteriormente revisado y distribuido en esta nueva versión en el año 1228. Como decíamos, es una anomalía respecto a los otros tratados sobre el algorismo del s. XIII en tanto en cuanto es una obra larga y con conceptos matemáticos más complicados. Su extensión, de hecho, podría ser la responsable de que la obra no fuera tan copiada y conocida como otros algorismos, a pesar de que, en sus contenidos, es la más completa. Aun así, contamos con una traducción del s. XVI en toscano (en el ms. Siena, Biblioteca Comunale degli Intronati, L.IV.21, ff. 1r-208v), que demuestra que su presencia, especialmente en Italia, fue consistente660. En cuanto a las fuentes de Leonardo de Pisa para componer su obra, conviene decir que son muchas y muy variadas. Tradicionalmente se dice que Leonardo conoció los números «de los indios» cuando era un niño, etapa de su vida en la que solía acompañar a su padre en sus viajes, puesto que era comerciante. Sin embargo, su Liber es mucho más que el resultado de un conocimiento casi anecdótico y demuestra una formación profunda en la ciencia antigua y medieval661. Respecto a los autores latinos, en su obra cita a Gerberto de Aurillac y se podrían intuir conocimientos derivados de la Practica Geometrie de Hugo de San Víctor. También se encuentran reminiscencias de Euclides, Arquímedes, Ptolomeo (al que cita) e incluso de varios autores árabes. En cuanto a su relación con los algorismos precedentes, se discute si Fibonacci pudo tener acceso al original árabe de al-Khwarizmi, a la traducción latina De numero Indorum, a alguno de sus derivados o quizá a varios tratados de los anteriores. Aun así, notaba en su prólogo que encontraba el algorismo, así como los arcos de Pitágoras, de argumento débil e incluso erróneos comparados con el cálculo a la manera de los indios: Sed hoc totum etiam et Algorismum atque arcus Pictagore quasi errorem computavi respectu modi Indorum (Germano, 2013, 171). Esta será, de hecho, su motivación principal para componer su Liber abaci. 2.2. Carmen de algorismo662 Inc.: Hec algorismus ars presens dicitur, in qua talibus Indorum fruimur bis quinque figuris. Des.: Si tres sive due series sint, pone sub yma a dextris digitum servando prius documentum. Ediciones: Halliwell (1839, 73-83); Steele (1922, 72-80). Bibliografía: Benedict (1916, 12); Ambrosetti (2008, 234 y 2015). El Carmen de algorismo es un poema matemático atribuido a Alexandre de Villadei, también llamado de Villedieu († ca. 1240), un monje franciscano ligado a la Universidad de París (Ambrosetti, 2008, 234). Se calcula que fue escrito entre los años 1200 y 1203. En cuanto a su composición, se trata de un poema constituido por unos 300 hexámetros leoninos, cuya característica principal es la rima interna entre la última palabra antes de la cesura 660 Lo que no sorprende, teniendo en cuenta las relaciones de Leonardo con la aristocracia de la época, como el propio Federico II. Es más, no en vano dedica su Liber abaci a Miguel Escoto, perteneciente al círculo del mismo monarca (cfr. Drozdyuk y Drozdyuk, 2010, 1-36). Esto pudo influir en la tradición de su obra en la medida en la que tenía un gran valor para las personas que lo conocieron y que sabían de su fama como matemático excepcional, pero quizá no tanto en cuanto a su proyección en el extranjero, donde ya se tenían obras que suplían el conocimiento del algorismo de forma más sintética. 661 Seguimos el estudio sobre las fuentes de Leonardo de Pisa escrito por Rozza (2016, 1-18). 662 Para los manuscritos y la edición de la obra, cfr. Apéndice II: Carmen de algorismo, edición y traducción. 280 Los tratados sobre el algorismo en latín pentemímera y la última palabra del verso (Norberg, 1958, 64-6)663. En el Carmen, sin embargo, podemos apreciar que algunos versos no presentan rima interna y es altamente notable la variación de sílabas entre unos versos y otros, características que se explican por la datación tardía de la obra en la llamada baja Edad Media. Respecto a sus fuentes, es muy probable que siguiera el Liber Alchorismi y/o el Liber pulveris, tanto por su correspondencia en contenido como por la estructura que presenta. Su vinculación con el Algor. es evidente y su uso como fuente por parte de Sacrobosco es innegable, puesto que cita expresamente algunos versos (cfr. infra, fuentes). Su parecido es tal, que en los manuscritos es frecuente encontrarlos juntos, incluso intercalados, y diferenciarlos con el sobrenombre metricus o prosaicus. Comienza el poema con una breve introducción donde se presentan las figure Indorum y su uso, seguida por septem species: la suma, la resta, la duplación, la mediación, la multiplicación, la división y la extracción de raíces. A esta estructura que podemos llamar general por ser común en todos los testimonios estudiados, se añaden otros bloques de versos sobre la progresión, las reglas de la multiplicación o problemas matemáticos versificados (sobre esta cuestión, cfr. infra Apéndice II). Cuenta con varios comentarios, siendo el primero de ellos anterior a 1255, fecha límite de composición del manuscrito parisino que lo contiene: Inc.: Hec algorismus et cetera. In huius libri tractatum iiiior sunt inquirenda scilicet materia, intentio, utilitas, titulus. Des.: Item inter xx et xxx sic [sic] alii ix numeri compositi et sic deinceps inter alios simplices. Manuscrito: Paris, Bibliothéque National de France, Lat. 7477, ff. 36vb-37va Muy similar a este es el comentario que encontramos en Paris, Bibliothéque National de France, Lat. 14070, ff. 81r-96v (inc.: Inter IIIIor mathematicas disciplinas, quod sunt arismetica, geometria, musica, astronomia). Es probable que este otro comentario, cuyo único testimonio data de finales del s. XIII o principios del s. XIV, esté relacionado con el Lat. 7477 por la cantidad de paralelismos encontrados entre ellos. De ambos ofrecemos la edición infra en Apéndice III. Otro es el Commentum in carmen de Thomas de Novo Mercato (o Thomas of Newmarket, s. XIVex.-XVin.): Inc.: Cum omnium artium inventores necnon earum inquisitores. Expl.: Explicit commentum super tractatu Algorismi secundum M. Thomam de Novo Markato [sic] bonum et utile quod Johannes de Marisco. Manuscrito: Oxford, Bodleian Library, Digby 81, ff. 11r-34v También el comentario de John Norfolk, In artem progressionis summula (s. XIVex.-XVin.): Tit.: In artem progressionis continue et discontinue secundum magistrum Johannes Norefolk incipit summula. Inc.: Non invenientes sed doctrinam tradita inde numerorum progressione ab Algore rege quondam Castellie. Expl.: Explicit tabula exemplarium summule super progressione continua et discontinua secundum Norefolk. Manuscrito: London, British Library, Harley 3742, ff. 238v-241r (autógrafo) Edición: Halliwell (1836, 94-106). 663 Aunque conserva la cantidad habitual de sílabas del hexámetro clásico que oscila entre 12 y 17 sílabas, ha perdido ya definitivamente la noción de cantidad silábica para su conteo. 281 EL ALGORISMUS O el comentario de Saxton664: Inc.: Hec presens ars dicitur algorismus ab Algore rege. Des.: Per 2 et habebis 22 que est summa predicte progressionis. Manuscritos665: London, British Library, Add. 17716, ff. 123v-140r London, British Library, Egerton 851, ff. 1r-19v London, British Library, Royal 12 E I, ff. 1r-22v London, British Library, Royal 12 F XIX, f. 183r London, British Library, Sloane 513, ff. 26r-43r Oxford, Bodleian Library, Digby 97, ff. 54r-63v También contamos con la obra titulada The Craft of Nombrynge (no confundir con The Art of Nombrynge, traducción del Algor.), que es una suerte de comentario en inglés del s. XV que nace de la ampliación de las glosas que acompañan a la obra: Inc.: This boke is called þe boke of algorym, or Augrym after lewder vse. And þis boke tretys þe Craft of Nombryng. Des.: set 40 next aftur towarde þe lyft side, And set aftur a hundryth as here an Ensampulle, 143. Manuscritos: Cambridge, Univeristy Library, Li.4.14, ff. 121r-140r London, British Library, Egerton 2622, ff. 136r-165r New York, Columbia University, The Library of George A. Plimpton 259, ff. 55r-77r Edición: D.E. Smith (1908, 301-9; incompleta)666; Steele (1922, 3-32)667. Bibliografía: Calle Martín y Miranda García (2005, 27-44); Ambrosetti (2008, 274); Ambrosetti (2015, 84). Además de estos, como ya advertía Ambrosetti (2015), contamos con varios manuscritos que presentan multitud de glosas de autoría anónima, las cuales podrían haberse recogido a su vez en otros comentarios exentos. Ejemplo de ello son los manuscritos Cambridge, University Library, Ii.I.13, ff. 8r-12r o Praha, Státní a univerzitní Knihovna, XIII.H.3.h.(2041), ff. 75r-79r. También se conservan traducciones de la obra, otro reflejo más de la gran influencia que tuvo. Tenemos noticia de, al menos, dos traducciones diferentes en francés. La primera de ellas data del s. XIII y presenta influencias del Algor.: Inc.: Li dui clerc qui ont translaté compot en roumans sunt hastés de plusors que a cheu s’ametent que en roumans argorisme metent. Des.: De la quadracion ajouste o tel nonbre; par itel jouste verras le nonbre, si te haite se a droit ta raïz as traite. Manuscrito: London, British Library, Selden supra 26, ff. 13r-16v 664 Sobre este autor, Ambrosetti (2015) lanza la idea de que quizá podría tratarse de Roger Saxton, obispo de Aberford (Leeds), quien es mencionado en el testamento del obispo de Durham, Richard Kellaw, en el año 1360. 665 De los manuscritos citados, tan solo hemos podido comprobar por autopsia directa el testimonio Royal 12 E 1. A los códices citados por Ambrosetti hemos añadido el ms. de Oxford, Digby 97, por presentar un incipit (Liber iste vocatur Algorismus et dicitur Algorismus ab Algore rege eius inventore) y explicit (Et resultabis 22 pro summa petita. Et explicit) prácticamente idénticos al del resto de códices. Además de estos, Ambrosetti (2015) incluía entre los testimonios del comentario de Saxton el manuscrito Royal 8 C IV de la misma biblioteca, pero hemos podido comprobar que en los folios mencionados, esto es, 36v-38r, tan solo se encuentra una copia del Carmen de algorismo que no presenta comentario. 666 Smith da noticia de esta obra y transcribe la mitad del primer capítulo del tratado a partir del ms. Egerton 2622. 667 Transcripción de la copia del ms. Egerton 2622. 282 https://www.gutenberg.org/files/25664/25664-h/25664-h.htm#terms_algorisme https://www.gutenberg.org/files/25664/25664-h/25664-h.htm#gloss_lewder https://www.gutenberg.org/files/25664/25664-h/25664-h.htm#gloss_craft Los tratados sobre el algorismo en latín Edición: Karpinski y Waters (1928, 54-80)668. Bibliografía: Mortet (1908, 55-64); Benedict (1916 16); Sarton (1931, 619-20). Karpinski y Waters (1928) añaden que esta versión incluye algunas reglas de la multiplicación que, según ellos, no están ni en uno ni en otro tratados sobre el algorismo, sino que lo habría cogido del Liber ysagogarum669 o quizá del algorismo del ms. Egerton 2261 (cfr. supra). No es de extrañar que estos autores elaboraran tal hipótesis, pues en su época la única edición del Carmen era la de Halliwell (1839, 73-83). Sin embargo, como hemos demostrado en el Apéndice II, en la tradición del Carmen a menudo se encuentran bloques textuales sobre las reglas de multiplicar. Por ello, es probable que quien compuso esta traducción francesa tuviera una versión latina con tales reglas. La segunda traducción francesa del Carmen fue compuesta ante 1277 (fecha de copia del único manuscrito que la conserva) y parece una traducción más literal: Inc.: Ceste signifiance est appellée algorisme de la quelle nous usons de teles figures 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. Des.: Le nombre deseure en tant com il puet et ciss digis ert li rachine de cel nombre. Manuscrito: Paris, Bibliothèque Sainte-Geneviève, 2200, ff. 150r-151r Edición: Henry (1882, 53-5). También existe una traducción del Carmen en islandés, que se calcula que data de finales del s. XIII o quizá de principios del s. XIV: Inc.: Liſt þeſſi heitir algoriſmus. hana funðo fyſt índuerſkir menn með. Des.: þeirri figuru er her er ſiðar gor oc kollud er cubus. Manuscritos: København, Universitet, Institut for Nordiske Studier og Sprogvidenskab, Arnamagnæanske Samling, AM 544 4º, ff. 90r-93r København, Universitet, Institut for Nordiske Studier og Sprogvidenskab, Arnamagnæanske Samling, AM 685 d 4º, ff. 24v-29r København, Universitet, Institut for Nordiske Studier og Sprogvidenskab, Arnamagnæanske Samling, AM 736 III 4º, ff. 4r-v Reykjavík, Stofnun Árna Magnússonar í íslenskum fræðum, GKS 1812 kvart, ff. 13v-16v Ediciones: Munch (1848, 353-75); Jónsson y Jónsson (1892-6, 417-24); Sloughter (2021, 81-8). Bibliografía: Benedict (1916, 17-8); Bekken y Christoffersen (1985); Bekken, Nielsen y Thorvaldsen (2010). 2.3. Algorismo de Salem Inc.: Omnis sapientia sive scientia a domino deo, sicut scriptum est: hoc quod continet omnia scientiam habet. Des.: Qui nos extrahere et abstrahere dignetur ab hoc saeculo nequam et perducere in vitam aeternam, qui vivit et regnat. Manuscrito: Heidelberg, Universitätsbibliothek, Cod. Sal. IX 23, ff. 163v-166v670 668 Quienes transcriben el ms. Selden supra 26. 669 Al que estos autores llaman «Algorism by Frater Sigsboto» (Karpinski y Waters, 1928, 46) por su adscripción a este escriba (cfr. Curtze, 1898, 27). 670 Digitalizado en: https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/salIX23/0334/thumbs (cons. 13/01/2023). 283 https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/salIX23/0334/thumbs EL ALGORISMUS Bibliografía: Cantor (1865, 1-10)671; Benedict (1916, 13-4); Sarton (1931, 619); Menninger (1958, vol. 2, 226); Werner (2000, 202-5). Llamado popularmente «el códice de Salem» por su proveniencia (monasterio de Salem), este manuscrito contiene una obra de aritmética muy similar a las escritas por Sacrobosco y Villadei. Aunque sus primeros estudiosos lo datan en el siglo XII (así Cantor, 1865, 1 y Menninger, 1958, vol. 2, 226; este último postulando incluso la fecha de composición de 1143 por razones que no explica), el catálogo más reciente de la biblioteca, realizado por Werner (2000), lo data entre los siglos XIII-XIV (Werner, 2000, 202). Esta es la fecha que consideramos correcta puesto que en la última página del manuscrito se lee, en cursiva: scriptus anno mccc. Sobre los contenidos de esta obra, Sarton (1931, 619) ya decía que el autor de este tratado debía de conocer la obra de Sacrobosco o el Carmen de algorismo. En efecto, el tratado comienza con una introducción a la numeración posicional y los numerales indoarábigos y presenta las species que irá desgranando: additio, subtractio, duplatio, dimidiatio, multiplicatio, divisio y radicum extractio. Una vez acaba el tratado, le sigue una explicación alegórica a las operaciones matemáticas (Incipit explanatio super algorizmum), donde se comparan los números y los cálculos con entidades bíblicas, esto es, se van asociando las realidades matemáticas con conceptos cristianos casi a la manera de las exégesis de la Biblia. 2.4. Jordano Nemorario Jordano Nemorario o Jordano de Nemore es el nombre de un autor bastante desconocido hasta la fecha. Se le atribuyen en total 12 obras, cuyos manuscritos antiquiores datan del s. XIII. De entre ellas destaca el Algorismus demonstratus o la Demostratio Iordani de algorismo. Como es habitual en el estilo del autor, el tratado está plagado de definiciones y proposiciones cuya circulación fue abundante en la baja Edad Media. Inc.: Figure numerorum sunt novem 1.2.3.4.5.6.7.8.9., et est prima unitatis, secunda binarii et sic deinceps. Des.: Propositi numeri radicem extrahere. Manuscritos: Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 510, ff. 72v-77r Dresden, Sächsische Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek, Dresd. Db 86 Edición: Eneström (1906-7, 24-37). Bibliografía: Benedict (1916, 11); Ambrosetti (2008, 236-42). También son reseñables en materia matemática los diez libros de la Arithmetica, cuya fuente principal es Euclides y no Boecio, como suele ser habitual en la época. Se le atribuye asimismo una Demonstratio de minutiis, que versa sobre las fracciones. Esta obra parece que sigue a menudo al Algorismus demonstratus y son una serie de proposiciones teóricas sobre las fracciones. Eneström presenta dos textos sobre fracciones atribuidos a Jordano a partir de dos manuscritos en su trabajo de 1913-4672: Inc.: Minutiarum tractatum inchoantes dicimus nichil aliud esse minutias quam partes. Des.: in hunc modum consequens est exequi quod proposuimus. Manuscritos: Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 309, ff. 117r-119v 671 Cantor (1865, 1-10), además de una breve introducción, transcribe el códice, haciendo de esta la única edición de la obra. 672 Enestrom (1913-4, 41-54) copia del texto del ms. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 309, ff. 117r-119v (s. XIV). 284 Los tratados sobre el algorismo en latín Dresden, Sächsische Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek, Dresd. C 80, ff. 162r-185v Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Convent. soppr. J. V. 18, ff. 39r-42v673 Edición: Eneström (1913-4, 42-5)674. Bibliografía: Busard (1998, 74-91). Inc.: Quidlibet intellectum respectu partis aut partium nuncupatur totum. Des.: Radicem assignatarum partium extrahere. Manuscritos: Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 510, ff. 77r-81v Dresden, Sächsische Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek, Dresd. Db 86, ff. 159v-165r Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. soppr. J.1.32, ff. 118v-124v675 Napoli, Biblioteca Nazionale Vittorio Emanuele III, VIII.C.22 (folios desconocidos) Oxford, Bodleian Library, Savile 21, ff. 146r-150r Edición: Eneström (1913-4, 45-54)676. Bibliografía: Busard (1998, 74-91). También escribió un Liber phylotegni de triangulis, sobre trigonometría; la Demonstratio de plana sphera, sobre la proyección de los sólidos; el De elementis arismetice artis, sobre la numeración; y De numeris datis, compuesto por cuatro libros de álgebra. De todas las mencionadas, solo las dos últimas cuentan con edición crítica: De elementis arismetice artis por Busard (1991) y De numeris datis por Hughes (1981)677. 673 Citado por Eneström (1913-4, 41) con su antigua signatura «Cod. S. Marco Florent. 216». 674 A partir del manuscrito vaticano (s. XIV). 675 Citado por Eneström (1913-4, 42) con su antigua signatura «Cod. S. Marco Florent. 206». 676 A partir del manuscrito de Berlín (s. XIV). 677 Inc.: Si numerus datus in duo dividatur quorum differentia data. 285 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/8420#120102 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/8420#283698 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/8420#396794 Estructura, contenidos y fuentes del Algorismus 1. Estructura y contenidos El Algor., al igual que las otras obras de Sacrobosco, tiene una estructura clara y ordenada. Sus capítulos, cuyos contenidos desarrollaremos a continuación, se ordenan siguiendo la estructura que ya empleara el Carmen de algorismo, tomada a su vez del Liber Alchorismi y/o Liber pulveris: Liber Alchorismi/pulveris Carmen de algorismo Algorismus Introducción Introducción Introducción Numeración Suma Suma Suma Resta Resta Resta Duplicación Duplicación Mediación Mediación Mediación Duplicación Multiplicación Multiplicación Multiplicación División División División Progresión Raíces cuadradas Raíces cuadradas Raíces cuadradas cúbicas cúbicas Tabla 2: Comparativa de contenidos entre el Liber Alchorismi, Carmen de algorismo y Algorismus Mientras que las diferencias internas de los capítulos en cuanto a contenidos, desarrollo de estos y ordenación del material varía notablemente entre las obras (especialmente entre el Liber Alchorismi/pulveris frente al Carmen de algorismo y al propio Algor.), la estructura general es prácticamente idéntica. A un capítulo introductorio le siguen las species o partes del arte en cuestión: la suma, la resta, la duplicación, mediación, multiplicación, división y extracción de raíces. En este último capítulo, mientras que el Carmen y el Algor. incluyen tanto las raíces cuadradas como cúbicas, en el Liber Alchorismi/pulveris tan solo se explican los postulados concernientes a las raíces cuadradas. Según Ambrosetti (2015, 81), esto podría deberse a la pérdida de la parte final del tratado, que quizá sí contendría este elemento que falta. Por lo demás, el Liber Alchorismi/pulveris es idéntico en ordenación al Carmen, pues ambos comparten características comunes frente al Algor. La primera diferencia que se percibe es que Sacrobosco, en lugar de mantener los preceptos concernientes al sistema de numeración posicional dentro de la introducción, como sus predecesores, lo desgaja y hace de ello un capítulo aparte. El segundo rasgo discordante es la inversión del orden de la duplicación y la mediación. Esto responde, siguiendo a Beaujouan (1991, XI, 108), a una división interna de la obra que se estructura en función de cómo se inicia cada una de las operaciones. De esta forma, primero se explican los procedimientos matemáticos que empiezan a operarse desde la derecha (suma, resta, mediación) y, en segundo lugar, aquellos que comienzan desde la izquierda (duplicación, multiplicación, división y extracción de raíces). De hecho, es evidente que el autor tenía en mente esta particularidad, ya que él mismo cita en las l. 188/189 los siguientes versos del Carmen de 286 Estructura, contenidos y fuentes algorismo (l. 32/34): subtrahis aut addis a dextris vel mediabis / a leva dupla, divide, multiplica, / extrahe radicem semper sub parte sinistra678. Por último, es notable la adición de Sacrobosco de una species más, la progresión. Es este un capítulo en el que se opera con progresiones numéricas con un intervalo de +1 o +2, cuyo proceso matemático consiste en calcular la suma de todos los miembros de la progresión a partir del último miembro de esta. Estos saberes se encuentran en la segunda parte del Liber Alchorismi (Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 149-52, caps. 3-7), en el manuscrito de Coventry (Burnett, 1996a, 308-9 = 2010, III, 308-9) y en los algorismos de los códices Egerton (Karpinski, 1921, 396-413) y Cashel (Burnett, 2002, 15-26); todos ellos comentados supra en los tratados sobre el algorismo del s. XII. Además, encontramos hasta tres versificaciones diferentes con el mismo contenido en las adiciones al Carmen de algorismo, una suerte de añadidos al Carmen que suelen aparecer hacia el final de la obra y cuya procedencia no es clara (cfr. Apéndice II). Así pues, Sacrobosco pudo haber tenido acceso a cualquiera de estos textos o a varios de ellos y por este motivo haber incluido esta species nueva (cfr. infra, fuentes). 1.1. Contenidos textuales A continuación expondremos de manera esquemática los contenidos que se suceden en cada uno de los capítulos expuestos que conforman el Algor.: 1. Introducción 1.1. Origen del algorismo 1.2. Qué es el número 1.2.1. Número material 1.2.2. Número formal 1.2.3. La unidad 1.2.4. División de los números a. Dígito b. Artículo c. Número compuesto o mixto 1.3. Partes del algorismo 2. Numeración 2.1. Qué es la numeración 2.2. Definiciones 2.2.1. Figura 2.2.2. Diferencia 2.2.3. Locus 2.2.4. Límite 2.3. Descripción de las figuras 2.4. Qué es el cero 2.4.1. Definición 2.4.2. Uso en las decenas 2.4.3. Funcionamiento de las diferencias (sistema posicional) 678 «Sustraes, añades o medias desde la derecha, desde la izquierda duplica, divide, multiplica, la raíz extráela siempre bajo la parte izquierda». 287 EL ALGORISMUS 3. Suma 3.1. Qué es la suma 3.2. Componentes y su ordenación 3.3. Proceso matemático 3.3.1. Suma de la primera figura a. Resultado: dígito b. Resultado: artículo *Cómo operar cuando hay un 0 en el sumando superior *Cómo operar cuando hay un 9 en el sumando superior c. Resultado: número compuesto 3.3.2. Suma de la segunda figura 4. Resta 4.1. Qué es la resta 4.2. Componentes y su ordenación 4.3. Proceso matemático 4.3.1. Resta de la primera figura a. Minuendo = sustraendo b. minuendo < sustraendo c. minuendo > sustraendo *Cómo operar cuando hay un 0 en el minuendo 4.3.2. Resta de la segunda figura 4.4. Posibilidad de empezar desde la izquiera en suma y resta 4.5. Prueba de la resta y la suma 5. Mediación 5.1. Qué es la mediación 5.2. Componente y ordenación 5.3. Proceso matemático 5.3.1. Mediación de la primera figura a. Figura = 0 b. Figura significativa *Figura = 1 *Figura par *Figura impar 5.3.2. Mediación de la segunda figura a. Figura = 0 b. Figura significativa *Figura par *Figura = 1 *Figura impar 6. Duplicación 6.1. Qué es la duplicación 6.2. Componente y ordenación 6.3. Inciso: especies que empiezan a operar desde la izquierda 6.4. Proceso matemático 6.4.1. Duplicación de la primera figura a. Resultado: dígito b. Resultado: artículo 288 Estructura, contenidos y fuentes c. Resultado: número compuesto 6.4.2. Duplicación de la segunda figura 6.4.3. Cómo operar con ceros 6.5. Prueba de la duplicación y la mediación 7. Multiplicación 7.1. Qué es la multiplicación 7.2. Componentes 7.2.1. Posibilidad de intercambiar los componentes 7.3. Reglas de la multiplicación 7.3.1. Dígito × dígito 7.3.2. Dígito × artículo 7.3.3. Dígito × número compuesto 7.3.4. Artículo × artículo 7.3.5. Artículo × número compuesto 7.3.6. Número compuesto × número compuesto 7.4. Ordenación de los componentes 7.5. Proceso matemático 7.5.1. Multiplicación: última figura del multiplicador × última del multiplicando a. Resultado: dígito b. Resultado: artículo c. Resultado: número compuesto 7.5.2. Multiplicación: siguientes figuras del multiplicador × última del multiplicando 7.5.3. Multiplicación: primera figura del multiplicador × última del multiplicando a. Resultado: dígito b. Resultado: artículo c. Resultado: número compuesto 7.5.4. Multiplicación: última figura del multiplicador × penúltima del multiplicando a. Resultado: dígito b. Resultado: artículo c. Resultado: número compuesto 7.5.5. Multiplicación de las siguientes figuras 7.5.6. Cómo operar con ceros a. en la primera figura del multiplicador b. en las figuras intermedias del multiplicador c. en las figuras intermedias del multiplicante 7.7. Posibilidad de dejar espacios vacíos para anotar procedimientos 8. División 8.1. Qué es la división 8.2. Componentes y ordenación 8.2.1. Qué hacer cuando la primera figura del dividendo es menor que el divisor 8.3. Proceso matemático 8.3.1. División de la primera figura 8.3.2. División del resto a. Qué hacer cuando el dividendo es menor que el divisor 8.3.4. División de la última figura a. Resto b. Sin resto 8.4. Prueba de la división 8.4.1. Sin resto 289 EL ALGORISMUS 8.4.2. Con resto 8.5. Prueba de la multiplicación 9. Progresión 9.1. Qué es la progresión 9.2. Tipos de progresión 9.2.1. Progresión natural 9.2.2. Progresión truncada 9.3. Reglas de la progresión 9.3.1. Progresión natural a. Acabada en par b. Acabada en impar 9.3.2. Progresión truncada a. Acabada en par b. Acabada en impar 10. Extracción de raíces 10.1. Introducción 10.1.1 Contenidos del capítulo 10.1.2. División del número a. Número lineal *Definición *Etimología b. Número superficial *Definición *Etimología *Números cuadrados • Etimología • Cuadrado ≠ superficial • Qué es la raíz c. Número sólido *Definición *Etimología *Números cúbicos • Etimología • Cúbico ≠ sólido • Qué es la raíz 10.1.3. Relación entre raíces a. La unidad b. Medio proporcional de los cuadrados c. Medio menor y mayor de los cubos 10.1.4. Límites de los números 10.2. Extracción de raíces cuadradas 10.2.1. Qué es extraer la raíz cuadrada 10.2.2. Ordenación del número: dónde empezar a operar 10.2.3. Proceso matemático a. Hallar el cuadrado de la primera figura b. Hallar el cuadrado de la segunda figura y siguientes *Cómo operar si hay un cero c. Hallar el cuadrado de la última figura 290 Estructura, contenidos y fuentes *Sin resto *Con resto 10.2.4. Prueba de las raíces cuadradas 10.3. Extracción de raíces cúbicas 10.3.1. Qué es un número cúbico 10.3.2. Qué es la raíz de un número cúbico 10.3.3. Qué es extraer la raíz cúbica 10.3.4. Ordenación del número: dónde empezar a operar 10.3.5. Proceso matemático a. Hallar el cubo de la primera figura b. Hallar el cubo de la segunda figura y siguientes c. Hallar el cuadrado de la última figura *Sin resto *Con resto 10.3.6. Prueba de las raíces cúbicas 10.3.7. Qué hacer si no se puede hallar la raíz en algún punto 10.3.8. Cómo empezar a operar si no hay millares 10.4. Fórmula de cierre Como se puede observar, la estructura es bastante clara. El autor va desgranando los procesos matemáticos ordenadamente, con una prosa técnica y volcada en la utilidad de sus explicaciones más que en digresiones y elementos estilísticos. A continuación detallaremos los procedimientos que sigue el autor y explicaremos las distintas operaciones a la manera de Sacrobosco, muchas de las cuales ya fueron definidas someramente desde el punto de vista matemático en el trabajo de Ambrosetti (2015, 71-86)679. 1.1.1. Introducción En esta primera parte, a modo de proemio, Sacrobosco abre la obra con la máxima omnia que a primeva origine processerunt ratione numerorum formata sunt, una frase que, como veremos, es una reescritura de Boecio y que constituye el incipit del tratado. A continuación, el autor expone, por orden, el origen del «nuevo arte del algorismo», una introducción general al concepto número y las partes en las que se dividirá el tratado. En el origen del arte, el autor, en primer lugar, ofrece la etimología del término algorismus. Tal como se puede apreciar en la Spher. y el Compot., la búsqueda constante del origen de las palabras es una característica definitoria de la prosa del autor, quien a menudo juega con diversas propuestas de etimología, que a menudo se revelan en la actualidad como escasamente fundadas; por ello, la inclusión en este punto de los posibles orígenes de la voz algorismus es una marca identitaria de su compositor y no sorprende en absoluto (cfr. infra en el estudio estemático, familia δ). A continuación, se define la disciplina como «el arte de numerar». Puesto que el objetivo del tratado es la numeración, es coherente que primero se explique qué es un número, entendido como conjunto de unidades o como unidades tomadas como conjunto. Este número, dependiendo de los elementos que lo conformen, será un dígito, es decir, una cifra ubicada en la casilla de las unidades; un artículo, o sea, una decena pura; o un número compuesto o mixto, que es aquel conformado por, al menos, una decena y una unidad diferente de cero. 679 Esta autora examina las operaciones matemáticas que se describen en el Carmen de algorismo, incluidas las concernientes a la progresión y a la primera regla de la multiplicación, por aparecer estas últimas en algunos manuscritos como adiciones a este poema (cfr. infra nuestro estudio del texto en Apéndice II). Puesto que los procesos descritos son prácticamente idénticos en el Algor. de Sacrobosco, el estudio de Ambrosetti se puede aplicar también a esta obra. 291 EL ALGORISMUS Seguidamente, se citan las partes constituyentes de tratado, que serán nueve en total: numeración, suma, resta, mediación, duplicación, multiplicación, división, progresión y extracción de raíces, esta última dividida a su vez en raíces cuadradas y raíces cúbicas. La estructura de esta introducción es clara y paralela al resto de obras de Sacrobosco. Así, en la Spher. comienza diciendo las partes de la obra en un proemio (Tractatum de sphaera quatuor capitulis distinguimus dicentes primo, etc.), al que sigue el primer capítulo donde lo primero que hace es ofrecer distintas definiciones clásicas de qué una esfera (Sphaera igitur ab Euclide sic describitur... Sphaera vero a Theodosio sic describitur...) y las divisiones de la esfera (Secundum accidens quidem dividitur in sphaeram rectam et obliquam) (Thorndike, 1949a, 76-7). En el Compot. empieza comentando qué es la computística (Computus est scientia considerans tempora ex solis et lunae motibus et eorum adinvicem coaequatione distincta), después qué estudia (de motibus astrorum omnium universaliter exsequitur) y cómo va a organizar los contenidos, en este caso, en movimientos mayores y menores de los astros (nunc maiora nunc minora, ut in omnibus sufficiat, comprehenditur) (Lohr, 2020, 3, cap. 1). Por último, también se observa el mismo procedimiento en el Quadr., donde comienza apuntando la necesidad de estudio de los intrumentos de las distintas ciencias (Omnis scientia per instrumentum operativa instrumenti sui notitiam de necessitate preexigit) para luego decir qué es un cuadrante y para qué sirve, en cuya enumeración se esconde la estructura que seguirá el tratado: primero se explica cómo se hace, luego su uso para la medición de la elevación de las estrellas, etc. (Est igitur quadrans spere plane quadralineis et gradibus geometrice insignita ad stellarum elevationem, climatum distinctionem, horarum certitudinem, rerum altitudinem distantiarumque mensurantionem discernendum) (cfr. infra en Apéndice II nuestra edición del Quadr., l. 1/7). 1.1.2. Numeración La numeración es la primera species de este arte. Como decíamos, esta consideración difiere de sus predecesores, que incluían estas nociones en la introducción general o proemio. En ella, siguiendo la ordenación de ideas típica de Sacrobosco, se comienza definiendo la numeratio y los elementos imprescindibles en esta nueva forma de numerar: la figura, es decir, cada una de las cifras; la diferencia, el espacio relativo de una cifra respecto a otra u otras que en el sistema posicional compromete su valor; el locus, el lugar físico en el que se escribe una cifra, y el límite, que es cada uno de los órdenes en el sistema decimal. Estas definciones, como ya decía Sacrobosco, son diferentes partes de una misma realidad: Figura vero, differentia, locus et limes idem supponunt, sed a diversis rationibus imponuntur680 (l. 25/27). Esto ocasiona dificultades en su uso y confusiones ya en la propia obra de Sacrobosco, especialmente en lo que respecta a la distinción entre differentia y limes, puesto que la diferencia es la posición relativa de una cifra respecto a otra dentro de los órdenes establecidos y los límites son cada uno de los órdenes (unidades, decenas, centenas, etc.). Es más, cuando más adelante menciona la distancia que hay entre dos cifras iguales colocadas en órdenes consecutivos, emplea locus y differentia para señalar la posición de una cifra en un determinado órden, es decir, límite: omnis vero articulus per cyfram et digitum681 (l. 41/42); omnis vero numerus (...) habet poni in prima differentia682 (l. 45/46). En el transcurso de las operaciones veremos que el autor es más proclive a utilizar differentia para marcar la posición de las cifras en cada caso en lugar de mencionar el orden, limes, que ocuparía: scribe numerum cui debet fieri additio, in superiori 680 «Figura, diferencia, posición y límite refieren lo mismo, pero difieren por sus diversas razones». 681 «Todo artículo, en cambio, se ha de representar con un cero y un dígito». 682 «Por lo tanto, todo número (...) se pone en la primera diferencia». 292 Estructura, contenidos y fuentes ordine per suas differentias, numerum vero addendum in inferiori per suas differentias, ita quod prima inferioris ordinis sit sub prima superioris, secunda sub secunda, et ita de aliis683 (l. 80/84). La descripción de las figuras es la plasmación gráfica de cada uno de los símbolos empleados para indicar cada uno de los números, es decir, los guarismos. Vemos que estas figuras difieren ligeramente de los numerales a los que hoy estamos acostumbrados, especialmente la forma del 4, el 5 y el 7. Además, encontramos de manera recurrente en los manuales sobre el algorismo de esta época la ordenación de los numerales de mayor a menor, variando la posición del cero que a veces va al inicio y a veces al final: Lámina 1: Guarismos en el ms. New York, Public Library, Manuscripts and Archives Division, 69, f. 116r (N)684 Como es lógico, se dedican unas líneas para explicar el cero, qué representa y cómo se usa, una novedad en la Europa del momento que estaba acostumbrada a operar con el sistema romano. Por último, se desarrolla cómo funciona el sistema de numeración decimal posicional, resumido en la siguiente máxima: quelibet figura sequenti loco posita decies tantum significat, quantum in precedenti685 (l. 61/62). Dos breves apuntes cierran este apartado: el empleo del punto para marcar los millares y la escritura de derecha a izquierda de los números, herencia de los árabes. 1.1.3. Suma En este apartado y en todos los siguientes, lo primero que se hace es definir cada una de las operaciones y de cuántas series de números consta. A continuación, se describe el procedimiento matemático. Se comienza la suma proponiendo dos números y poniendo uno sobre otro, de forma que el mayor esté preferiblemente encima y ordenándolos de forma que la prima [figura] inferioris ordinis esté bajo la prima superioris, entendiéndose como prima la primera contando por la derecha, como en el siguiente ejemplo: 5 6 2 4 7 Hecho esto, se procede a sumar las figuras de las prime differentie, es decir, las dos de la columna de la derecha. De esta suma saldrá un dígito (en el ejemplo de arriba sería 9), un artículo, que solo puede ser 10, o un número compuesto, que debería ser un número comprendido entre 11 y 18. Dentro de estas posibilidades, el autor se detiene a explicar las distintas complicaciones que podrían acaecer tras sumar las dos primeras figuras y que esto dé como resultado una decena. Cuando esto ocurre, habría que sumar la unidad de las decenas a la figura de la derecha o, en caso que no hubiera cifra o esta fuera un cero, colocarla en el lugar vacío o en lugar del cero: 683 «Escribe el número al que debe hacerse la adición en el orden superior ordenado según sus diferencias; el número que ha de añadirse, en cambio, en el orden inferior según sus diferencias, de tal forma que la primera del orden inferior esté bajo la primera del superior, la segunda bajo la segunda, y así las demás». 684 La digitalización del códice se puede consultar en NYPL (cons. 09/05/2023). 685 «Cualquier figura que se ponga en la posición siguiente significa diez veces su valor con respecto al precedente». 293 https://digitalcollections.nypl.org/items/152af850-f054-0138-8739-0242ac110003#/?uuid=156b3b40-f054-0138-1468-0242ac110003 EL ALGORISMUS Si, en cambio, al sumar dos números que den como resultado la decena hubiera que sumar ese uno a un nueve, en ese lugar se pondría un cero y el uno se sumaría o se pondría en el lugar vacío de la izquierda: En esta y en las siguientes operaciones, hay que tener en cuenta que en la época se operaba con tablillas de arena, de forma que se escribían los números en el polvo y se iban borrando para escribir otros en su lugar. El resultado de las siguientes operaciones, por tanto, se va escribiendo sobre los números que conformaban la fila superior, por lo que hay que tomar de manera literal cuando Sacrobosco dice que se borre (deleat) un número y se escriba o ponga (scribatur, ponatur) otro encima. En los márgenes de los manuscritos que contienen el Algor. (así como en muchos otros códices con contenido didáctico ligado a la matemática), por su parte, a veces nos encontramos con operaciones resueltas que sirven de apoyo visual y práctico a los procedimientos matemáticos teóricos que se explican en el texto. Puesto que es imposible plasmar en papel la realidad de una tablilla de arena, los escribas se sirven de tablas similares a las que aquí empleamos: Lámina 2: Restas resueltas en los márgenes del ms. London, Institution of Electrical Engineers, Thomson Collection 4, f. 7r (En) 1.1.4. Resta En la definición de la resta se precisa que tan sólo se puede restar un número a su igual o a otro número mayor, pero nunca puede ocurrir que a un número propuesto se le reste una cantidad mayor. En el Algor., así como tampoco ocurría en el Carmen de algorismo, no se tienen en cuenta los números negativos ni las fracciones686. De nuevo, hay que ordenar las figuras como en la suma, de tal forma que el último número del minuendo esté sobre el último del sustraendo (cfr. 686 Sí encontramos fracciones, en cambio, en la totalidad de descendientes del De numero Indorum, en la obra de Fibonacci y en todos los tratados compuestos bajo el nombre Algorismus de minutiis. En cuanto a los números negativos, aunque sí aparecen en la obra del indio Brahmagupta (s. VII), que quizá fuera una de las fuentes empleadas por al-Khwarizmi, no estaban incluidos en su obra. Habría que esperar hasta Simón de Brujas (1548-1620), considerado como «padre de los números negativos», para su introducción en Europa (cfr. Merzbach y Boyer, 2011). 2 5 → 2+1 5 → 3 0 → 4 0 1 5 1 5 1 1 5 → 1 5 → 1 0 → 4 0 5 5 1 9 5 → 9+1 5 → 1 0 0 5 5 294 Estructura, contenidos y fuentes los ejemplos proporcionados infra). Hecho esto, se empieza a operar. Si ambas primeras figuras fueran iguales, se pone un cero; si la del minuendo fuera mayor que la del sustraendo, se quitan tantas unidades del minuendo cuantas hay en el sustraendo; pero, si la superior fuera menor que la inferior, hay que quitarle una decena a la figura de la izquierda para poder operar con ella: Si en este proceso de quitarle la decena a la figura siguiente la izquierda hubiera un uno, habría que poner un cero para que el hueco de las decenas se mantenga. Si hubiera, en cambio, un cero, habría que ir una casilla más allá para quitar una centena y poner un nueve donde antes había un cero: Advierte Sacrobosco que también se podría comenzar a operar desde la izquierda, igual que en la suma. No obstante, no se detiene a explicar cómo y tan solo apunta que es más fácil de la manera que él comenta. Finalmente, enseña cómo probar si la resta se ha hecho bien, que consiste simplemente en sumar las figuras del resto a las del sustraendo; si se quiere probar la suma, habría que hacer al contrario: restar a las figuras del resto cualquiera de los dos sumandos, obteniendo así el que falta. 1.1.5. Mediación La mediación consiste en dividir entre dos un número cualquiera, o encontrar su mitad. Para ello, se empieza desde el último número hacia la derecha y se busca su mitad. Si es un cero se deja tal cual; si es una unidad, la operación se complica, puesto que, como hemos dicho, Sacrobosco no opera con fracciones y, por tanto, tampoco con decimales. Así pues, el autor propone que se ponga un cero en esa casilla y que fuera de la tabla que se está usando para operar se anote esa unidad o 30 minutos, entendiendo la unidad como una entidad compuesta por 60 minutos: Si la primera figura que hay que mediar es un número par, es sencillo: se busca su mitad. Si fuera impar, habría que quitarle una unidad a tal impar, encontrar la mitad del par generado y anotar fuera de la tabla, como antes, la mitad de la unidad que sobra: Hecho esto, se pasa a la segunda figura (si la hubiera). En esta ocasión, el procedimiento matemático no es el mismo que para la primera figura, lo que sí ocurría en la suma y en la resta, por lo que Sacrobosco considera conveniente explicarlo. Si la segunda cifra es un cero, se deja intacto; si es par, se escribe su mitad; si es impar, será un uno u otro número impar. Si fuera un uno, se escribe un cero en su lugar y se añaden cinco unidades a la figura de la derecha, puesto que tal uno en realidad es una decena, cuya mitad es cinco. Si fuera un número impar, se escribe la mitad del número par que quede al restarle uno al anterior y de nuevo se suman cinco a la figura de la derecha: 9 4 → 9-1 4 → 8 14 → 8 9 5 5 5 5 2-1 0+9 4 → 1 9 14 → 1 9 14 → 1 9 9 5 5 5 5 1 → 1 → 0 30’ 7 → 7-1 → 6%2 30’ → 3 30’ 3 0 → 3-1 0 → 2%2 0+5 → 1 5 295 EL ALGORISMUS 1.1.6. Duplicación La duplicación consiste en doblar un número o multiplicarlo por dos. Esta será la primera de las species que se empieza desde la izquierda; a partir de ella, todas las demás se operarán comenzando desde aquí. La razón de que se empiece a duplicar por la izquierda es que, según Sacrobosco, podría ocurrir que al mover los números duplicaras algo dos veces. No es imposible comenzar desde la derecha, pero, dice el autor, es más difícil. Este razonamiento tiene sentido al pensar que, cuando de una operación sale un articulus o mixtus del que hay que mover una parte a la izquierda, ese número automáticamente se suma al que había en esa casilla. Por lo tanto, si la duplicación empezase desde las unidades, la decena resultante se añadiría al número que todavía no se ha duplicado, generando así un resultado incorrecto al multiplicarlo por dos: En cambio, empezando por la izquierda, no se vuelven a duplicar las decenas que se extraen de lo que se opera, puesto que, al desplazarse una casilla hacia la derecha, quedan atrás inamovibles: Se describe por tanto el proceso de la duplicación, comentando qué sucede en cada caso cuando el resultado de duplicar un número es un dígito, un artículo o un compuesto. Como decíamos supra, si saliera alguna de estas dos últimas opciones la dificultad es tan solo la de sumar un uno al número de la izquierda. Cuando hay que duplicar un cero, se mantiene, puesto que cero multiplicado por cualquier cifra da cero. Finalmente, se advierte que la comprobación de la duplicación es la mediación y viceversa: la prueba de la mediación es la duplicación. 1.1.7. Multiplicación Tras definir la multiplicación, llama la atención que Sacrobosco describa el multiplicante como aquel número que se designa «adverbialmente», mientras que el multiplicador se describe «nominalmente». Esto responde al hecho de que en latín existan los adverbios numerales que permiten indicar cuántas veces o con cuánta frecuencia se repite algo; en ese caso, un número, como ter, quinquies, undecies, etc. A continuación, se precisa que el multiplicante puede usarse como multiplicador y viceversa, pues, omnis numerus convertitur in se multiplicando, que sería lo mismo que nuestra expresión «el orden de los factores no altera el producto». Explicados estos conceptos generales, se enuncian las reglas de la multiplicación. La primera de ellas es cómo multiplicar un dígito por otro dígito, que será la base para todas las demás reglas, razón por la cual Sacrobosco se explaya un poco más y pone incluso un ejemplo de operación, el único que ofrece en todo el tratado junto con los que encontramos en las progresiones. Para ello, habría que seguir el siguiente proceso matemático, teniendo en cuenta que y es la cifra mayor: x · y = (x · 10) - [(10 - y) · x]. Desde nuestra mirada, puede parecer un sistema complejo en el que hay que hacer demasiadas operaciones para llegar a un resultado que en nuestras escuelas se aprende de memoria. En realidad, este método permitiría que los estudiantes solo tengan que aprenderse de memoria las tablas de multiplicar del 1 al 5 con límite en 5, es decir: 1 × 1 1 × 2 2 × 2 1 × 3 2 × 3 3 × 3 1 × 4 2 × 4 3 × 4 4 × 4 1 × 5 2 × 5 3 × 5 4 × 5 5 × 5 2 5×2 → 2+1 0 → 3×2 0 → *6 0 2×2 5 → 4 5×2 → 4+1 0 → 5 0 296 Estructura, contenidos y fuentes Cuando hubiera que multiplicar alguna de estas cantidades, los estudiantes se sabrían de memoria la solución. En cambio, cuando hubiera que multiplicar, por ejemplo, 4 × 8 (cogiendo la operación que indica Sacrobosco), el procedimiento sería el siguiente: (4 · 10) – [(10 – 8) · 4] = 40 – (2 · 4) = 32 De esta forma, se desglosa la operación de tal modo que la única multiplicación cuyo resultado habría que saber de memoria es 2 × 4 (además de las potencias de 10, que se soluciona de manera intuitiva moviendo una casilla la figura correspondiente). Esto facilitaría en gran medida el cálculo mental, tal como argumenta Ambrosetti (2015, 88) en relación con algunos addenda al Carmen de algorismo. La segunda regla de la multiplicación es la que explica la multiplicación de un dígito por un artículo. El procedimiento es exactamente el mismo que en la primera regla, con la salvedad de que hay que tomar la decena correspondiente como si fuera una unidad y, al final, añadirle un cero. Por ejemplo, si se quiere multiplicar 30 × 2, se multiplicaría 3 × 2 (= 6) y se añadiría un cero a su resultado (= 60) o, en palabras de Sacrobosco, consideraríamos la unidad resultante como si fuera una decena y, si hubiera una decena, como si fuera una centena. La tercera regla consiste en saber multiplicar un dígito por un número compuesto. En este caso, lo primero que habría que hacer es descomponer el número compuesto en artículo y dígito. Después, se multiplica el dígito por el dígito del compuesto (que se ha explicado en la primera regla); luego el dígito por el artículo del compuesto (que se ha explicado en la segunda regla) y finalmente se suman ambos resultados. Por ejemplo, teniendo 32 × 2, primero descomponemos el compuesto en 30 y 2; después multiplicamos 2 × 2 (= 4) y 2 × 30 (= (2 × 3)10 = 60) y sumamos los resultados (4 + 60 = 64). La cuarta regla consiste en multiplicar un artículo por otro, para lo que se sigue un procedimiento idéntico al que desglosábamos en la segunda regla con la particularidad de que aquí se añaden dos ceros. De nuevo, en palabras de Sacrobosco, diríamos que cada unidad vale cien y cada decena, mil; por ejemplo: 30 × 20 = (3 × 2)100 = 600. En la quinta regla se multiplica un artículo por un compuesto, para lo que habría que multiplicar como en la tercera regla y añadir un cero al final: 32 × 20 = [(2 × 2) + (2 × 3)10]10 = 640. La sexta y última regla enseña a multiplicar dos compuestos. Para ello, habría que ir descomponiendo cada compuesto en su unidad y decena e ir multiplicando la unidad y decena de uno por la unidad y decena del otro; al final, sumando los resultados, se obtendría el resultado. Por ejemplo, 32 × 14 = (2 × 4) + (2 × 1)10 + (3 × 4)10 + (3 × 1)100 = 448 Una vez enunciadas las reglas de la multiplicación, se explica cómo operar un número por otro, donde entendemos que dichos números al menos contarían con centenas (de lo contrario, servirían las reglas citadas). Para ello, es preciso colocar el multiplicando sobre el multiplicador de forma que el último número de izquierda del multiplicando esté sobre la última figura de la derecha del multiplicador. Hecho esto, hay que comenzar desde la izquierda y multiplicar la última figura de la izquierda del multiplicando por la última del multiplicador. De esta operación, se obtiene un dígito, un artículo o un compuesto, resultado que hay que escribir sobre las figuras del multiplicador. En este caso, no es preciso borrarlas porque después hay que volver a operar con ellas. Tras esto, habría que hacer lo mismo con la última figura del multiplicando por la penúltima del multiplicador; y así hasta llegar a la última del multiplicando por la última del multiplicador. Habiendo operado todas las figuras del multiplicando por la última del multiplicador, hay que atrasar una casilla las figuras del multiplicador hacia la derecha. Hecho esto, se pasa a la penúltima del multiplicador, que se multiplica primero por la última del 297 EL ALGORISMUS multiplicando, luego por la penúltima, etc. Lógicamente, conforme se va avanzando en la operación es preciso ir sumando los números que van resultando de cada multiplicación a los que previamente se habían obtenido de las operaciones anteriores. A continuación presentamos un ejemplo de cómo operar siguiendo las indicaciones de Sacrobosco: Productus +3 → 3 +8 → 3 8 +4 → Multiplicandus 3 8 4 3 8 4 3 8 4 Multiplicans 1 2 1 1 2 1 1 2 1 3 8+6 4 → 4 4+1 4+6 → 4 6 0 +8 → 3 8 4 3 8 4 3 8 4 → 1 2 1 1 2 1 1 2 1 4 6 0+3 8 → 4 6 3 8+8 → 4 6 4 6 +4 3 8 4 3 8 4 3 8 4 → 1 2 1 1 2 1 1 2 1 O lo que es lo mismo, 384 × 121 = [(1100 × 3100) + (1100 × 810) + (1100 × 4)] + [(210 × 3100) + (210 × 810) + (210 × 4)] + [(1 × 3100) + (1 × 810) + (1 × 4)] = 46464 Por último, el autor explica qué hacer con los ceros. Si hubiera un cero en la primera figura del multiplicador, al multiplicarlo por una cifra cualquiera, el resultado será siempre cero. En cambio, si hubiera un cero en la parte central del multiplicador, simplemente se saltaría al siguiente número del multiplicador, dejando la casilla intacta. Sin embargo, si hubiera ceros en la parte intermedia del multiplicando, habría que mover dos casillas a la derecha las figuras del multiplicador por cada cero del multiplicando. Cierra esta species advirtiendo que conviene dejar una fila libre entre el multiplicando y el multiplicador para ir anotando el resultado y evitar así que la memoria nos falle al tratar de recordar las cifras de las que se parte (en nuestro ejemplo hemos dejado los espacios a tal fin sobre el multiplicando para evitar confusiones). Tal como advertíamos supra, en esta operación no conviene borrar los números que se dan al principio porque se utilizan más de una vez a lo largo del proceso. Esto ocurrirá también, según dice Sacrobosco, en la división y la extracción de raíces. 1.1.8. División Tras definir la división, Sacrobosco advierte, igual que hacía en la resta, que tan solo podemos dividir un número entre uno igual o uno menor, pero nunca entre uno mayor. Al menos, dice, si se quiere divisio fieri per integra, es decir, empleando los números enteros. Con esto, aunque de forma velada, el autor sugiere que se podría hacer la división de otra manera, es decir, teniendo en cuenta las fracciones, per fractiones. Aunque, como hemos dicho, Sacrobosco no maneja las fracciones en ninguna parte de este ni de sus otros tratados, es un concepto que conocería gracias los tratados que existían al respecto en su época, como el mismo Liber Alchorismi. Este pequeño apunte, por tanto, nos permite afirmar que Sacrobosco sabía que se podía hacer la división yendo más allá de los números enteros, con un dividendo que fuera mayor que el divisor, pero que, por razones quizá prácticas ligadas a la longitud de su obra, no lo incluyó en su tratado. En esta ocasión, la disposición de los órdenes superior e inferior conformantes de la operación han de situarse de forma tal que la última figura del dividendo esté sobre la última del divisor, excepto si ocurre alguno de los siguientes dos escenarios: que la última figura del dividendo sea menor que la última del divisor, o bien que, aunque la última del dividendo sea igual que la del divisor, las siguientes sean menores. Si esto pasara, habría que colocar la última del divisor bajo la penúltima del dividendo: 298 Estructura, contenidos y fuentes 3 2 8 pero 3 2 8 o bien 3 2 8 1 7 4 7 3 3 328 ÷ 17 328 ÷ 47 328 ÷ 33 Tras ordenar las filas, hay que ver cuántas veces se puede quitar la última figura del divisor a la/s que tiene encima, de manera que siempre resulte un número entre el 1 y el 9. Extraído el número, se ha de escribir encima de la figura del divisor y, a la/s figura/s de dividendo que haya sobre el divisor se resta el número que se ha hallado antes. Posteriormente, se atrasan una casilla hacia la derecha las figuras del divisor y se procede como antes. Si después de atrasar el divisor no se puede operar porque el número del dividendo es menor que el del divisor, se escribe un cero en el cociente (numerus denotans quotiens), se vuelve a atrasar, y se sigue con la operación. A continuación mostramos un ejemplo de división según las enseñanzas de Sacrobosco (2488 ÷ 12): Denotans quotiens +2 → 2 +0 → Dividendus 2-2 4-4 8 8 0 0 8 8 Divisor 1 2 → 1 2 2 0 +7 → 2 0 7 0 0 8-8 8-4 0 0 0 4 → 1 2 1 2 Una vez acabada la división, puede quedar resto (como en el ejemplo de supra, cuyo resto es 4). Si así fuera, habría que reservarlo fuera en una tabla, sabiendo que el número resultante siempre será menor que el divisor. Tal cantidad es necesaria para la prueba de la división, consistente en multiplicar el divisor por el dividendo y al resultado sumarle el resto si lo hubiera. La prueba de la multiplicación, por tanto, queda aquí patente: se divide el multiplicando entre el producto y debería salir como resultado el multiplicador. 1.1.9. Progresión En este capítulo se definen las progresiones aritméticas continuas y finitas de intervalo +1 y +2. Son estas sucesiones de números que siempre empiezan por el 1 o por el 2 y cuyo interés matemático reside en saber cuánto suman todos los integrantes de dicha progresión. Para ello, Sacrobosco divide en dos las progresiones: naturalis, cuando el intervalo es +1, e intercisa, cuando el intervalo es +2. Además, una y otra progresión pueden acabar en número par o en número impar, una información que resulta de vital importancia en lo tocante a las operaciones mencionadas. El proceso matemático que se sigue fue ya planteado por Ambrosetti (2015, 88), quien comenta la adición al Carmen de algorismo que nosotros hemos calificado como primer bloque sobre la progresión (cfr. Apéndice II, en el estudio de la tradición del Carmen de algorismo): 299 EL ALGORISMUS Ilustración 3: Procesos matemáticos descritos en las progresiones aritméticas (Ambrosetti, 2015, 88) Para explicar el proceso a seguir, Sacrobosco enuncia dos reglas por progresión, aportando en cada una de ellas ejemplos. La primera de ellas es cuando la progresión continua acaba en número par, en cuyo caso habría que multiplicar la mitad del último número de la progresión por el número que siga a este último. Siendo y el último número de la progresión, la operación sería la siguiente: x = y/2 × (y + 1). El ejemplo que ilustra esta explicación es, dada la progresión 1, 2, 3, 4, la suma de los integrantes será 4/2 × (4 + 1) = 10. La segunda regla de la progresión natural muestra cómo proceder cuando esta acaba en impar. En este caso habría que multiplicar el último número por la mitad del siguiente número par, o sea: x = y × [(y + 1) ÷ 2]. Cogiendo el ejemplo de Sacrobosco, teniendo la progresión 1, 2, 3, 4, 5, hay que multiplicar el 5 por su «mitad mayor»: 5 × [(5 + 1) ÷ 2] = 15. La primera regla de la progresión truncada (intercisa) se aplica cuando esta acaba en par, en cuyo caso hay que multiplicar la mitad de dicho número por su mitad más uno: x = y/2 × (y/2 + 1). De nuevo tomamos el ejemplo del texto: en la progresión 2, 4, 6, debemos multiplicar la mitad de 6 por el número que sigue a dicha mitad, o sea, 6/2 × (6/2 + 1) = 12. La última regla se aplica a las progresiones truncadas impares. La operación en este caso es muy sencilla, pues tan solo habría que multiplicar el «medio mayor» (es decir, la mitad del número final más uno) por sí mismo: x = [(y + 1) ÷ 2]2. Como ejemplo contamos con la siguiente progresión: 1, 3, 5, donde la «mitad mayor» de 5 es 3: [(5 + 1) ÷ 2]2 = 9. 1.1.10. Extracción de raíces El capítulo de las raíces cuadradas y cúbicas es el más complejo de todo el tratado. Tiene su propia articulación interna, donde una breve introducción precede a las operaciones de la extracción de raíces cuadradas y de raíces cúbicas respectivamente. a) Introducción a los números cuadrados y cúbicos Comienza la introducción definiendo los números lineares, superficiales y solidi. Se llama número lineal a cualquier número primo, es decir, aquel que tan solo se puede dividir por él mismo y por el uno. Los números superficiales serían todos los compuestos: aquellos que pueden dividirse por sí mismo, por uno y al menos por otro número más. Los números sólidos, por su parte, son aquellos que, habiendo sido divididos por un número que no sea ni él mismo ni la unidad, el cociente es a su vez un número compuesto. Sacrobosco lo compara con la geometría, puesto que un número primo puede interpretarse como un objeto de una dimensión, un compuesto como uno de dos dimensiones y el sólido, uno tridimensional. 300 Estructura, contenidos y fuentes Sabiendo esto, un número compuesto puede ser a su vez un número cuadrado si posee una raíz, es decir, si existe un número que, multiplicado por sí mismo, dé como resultado tal cantidad; el ejemplo que ofrece es el 4, primer número cuadrado. El autor advierte que, por tanto, todo número cuadrado es «superficial» pero no a la inversa: no todos los compuestos son cuadrados. Igualmente, los números «sólidos» pueden ser cúbicos si existe un número que multiplicado por sí mismo dos veces dé como resultado tal cantidad: la misma máxima que antes se puede aplicar también en este caso, es decir, «sólido» ≠ cúbico, pero todo cúbico es «sólido». En todo este preámbulo Sacrobosco excluye la unidad, que sería de facto el primer número cuadrado y también cúbico. El autor es consciente de esta omisión y argumenta que, siguiendo los preceptos de Boecio, la unidad es potencialmente cualquier número, pero no en acto, de lo que se deduce que no la considera válida para este tipo de nociones. A continuación, se expone el concepto de medium proportionale, donde se explora la relación matemática entre dos números cuadrados y cúbicos consecutivos. Para hallar el unicum medium proportionale de dos números cuadrados consecutivos, x2 y (x+1)2, hay que buscar el resultado de multiplicar las raíces de dichos cuadrados: x · (x+1). De esta manera, teniendo 4, cuadrado de 2, y 9, cuadrado de 3, el medium proportionale es el resultado de multiplicar la raíz de uno y de otro, es decir, 2 × 3 = 6. La distancia entre un cuadradado, su medio proporcional y el siguiente cuadrado sería la fracción resultante de la raíz del primero entre la raíz del segundo: x/x+1, es decir, la distancia entre 4 (22), 6 (2 × 3) y 9 (32) es de 2/3. O lo que es lo mismo: 2/3 = 4/6 = 6/9. La razón de dicha secuencia, por tanto, sería de 2/3. La progresión continuaría con los siguientes cuadrados y su medio proporcional, es decir, 9 (32), 12 (3 × 4) y 16 (42); la razón de las relaciones entre ellos sería la fracción de las raíces de las que se parte, o sea, 3 (√9) y 4 (√16): ¾ = 9/12 = 12/16: =2/3 =2/3 =3/4 =3/4 = =2/3 =2/3 =3/4 =3/4 4/6 ↷ 6/9 ↷ 9/12 ↷ 12/16 22/2×3 ↷ 2×3/32 ↷ 32/3×4 ↷ 3×4/42 Poniendo en sucesión los números resultantes, tendríamos la siguiente secuencia geométrica: 4, 6, 9, 12, 16, etc. Así, la distancia entre un cuadrado y su medio proporcional es la raíz del cuadrado; entre dicho medio y el siguiente cuadrado, será la raíz del segundo cuadrado. Con estos cálculos podríamos saber fácilmente el cuadrado del siguiente número natural de una raíz: +2 +3 +3 +4 = +2 +3 +3 +4 4 ↷ 6 ↷ 9 ↷ 12 ↷ 16 22 ↷ 2×3 ↷ 32 ↷ 3×4 ↷ 42 Entre dos números cúbicos consecutivos, x3 y (x+1)3, en lugar de un único medium, hay dos: el minus medium y el maius medium. Para hallar el minus medium habría que multiplicar la raíz del primero elevada al cuadrado por la raíz del segundo: x2 · (x+1); para el maius medium habría que multiplicar la raíz del primero por la raíz del segundo elevada al cuadrado: x · (x+1)2. De esta forma, si tenemos 23 = 8 y 33 = 27, el minus medium sería 22 · 3 = 12 y el maius medium 2 · 32 = 18. Igual que antes, la distancia entre un cubo y su medio menor es la misma que la del medio menor respecto al mayor y la misma que la del mayor respecto al siguiente cubo. Dicha distancia, es decir, la razón de la secuencia resultante vuelve a ser la raíz del primero entre la raíz del segundo: x/x+1: =2/3 =2/3 =2/3 = =2/3 =2/3 =2/3 8/12 ↷ 12/18 ↷ 18/27 23/22×3 ↷ 22×3/2×32 ↷ 2×32/33 =3/4 =3/4 =3/4 = =3/4 =3/4 =3/4 27/36 ↷ 36/48 ↷ 48/64 33/32×4 ↷ 32×4/3×42 ↷ 3×42/43 Poniendo los resultados obtenidos en orden, tendríamos una serie numérica, progresión o secuencia geométrica: 8, 12, 18, 27. Como se puede observar, la distancia entre un cubo y su 301 EL ALGORISMUS medio menor es la raíz de dicho cubo elevada al cuadrado; la distancia entre el medio mayor y el cubo siguiente es la raíz de este segundo cubo elevada al cuadrado y la distancia entre el medio menor y el mayor es el medio proporcional entre ambos cuadrados: +4 +6 +9 = +22 +2×3 +32 8 ↷ 12 ↷ 18 ↷ 27 23 ↷ 22×3 ↷ 2×32 ↷ 27 Con ello, podríamos llegar a saber el cubo del siguiente número natural siguiendo la secuencia establecida, sin necesidad de multiplicar un número tres veces. La utilidad de dicha secuencia es evidente cuando se trata de elevar al cubo números muy elevados. La relación entre los cuadrados, cubos y sus medios a veces viene acompañada por un gráfico que facilita su intelección (cfr. infra en el apartado de Paratextos dentro de Estudio estemático). A continuación, Sacrobosco explica los límites de los números. Son los límites los distintos órdenes del sistema decimal, como se decía supra en el proemio. Tales órdenes son infinitos, pero Sacrobosco los acota desde la unidades hasta las centenas de millón, que serían el último límite. Cada uno de estos límites cuenta con nueve representaciones, una por cada figura que encabeza el número resultante: el primer límite, por ejemplo, es el de las unidades y lo conforman los nueve numerales (excluido el cero); el segundo, es el de las decenas, y lo conforman las nueve decenas puras, etc. En algunos manuscritos, esta explicación viene acompañada con una tabla que facilita su entendimiento (cfr. infra en el apartado de Paratextos). Además, el autor es consciente de que estos nueve límites se organizan en tres grupos de tres, a los que no nombra pero que nosotros identificamos con las unidades, decenas, centenas y, a partir de estas, unidades, decenas y centenas de millar y unidades, decenas, centenas de millón. Sobre por qué Sacrobosco tan solo considera nueve límites, es decir, hasta las centenas de millón se resuelve al inicio y al final del párrafo. Comienza este apartado con la afirmación ultra summam numerorum solidorum in arte presenti non fiat processus687. Con ello expone que el arte del algorismo tan solo opera hasta los sólidos, o sea, con aquellos números cuyo divisor (o divisores) sea a su vez un número compuesto. Sin embargo, esta explicación tan solo tiene sentido si se considerara que la cantidad máxima que conviene elevar al cubo es la mayor de las centenas, 999. Esto podría responder a que el algorismo está pensado para ser un arte útil para profesiones como la mercantil, de manera que operar con números superiores, al tener una utilidad real limitada, no se enseñe por considerarse superfluo. Aun así, Sacrobosco sabe que que el noveno límite se quedaría corto si elevara el millar al cubo, para lo que necesitaría un décimo límite, lo que apunta al final del párrafo: Sed per finalis termini rationem ex millenarii receptione supra se (...) bis per modum solidorum resultat penultimus et limes ultimus688. b) Extracción de raíces cuadradas Explicados los conceptos necesarios para entender qué es un número cuadrado, cúbico y las demás definiciones pertinentes para el tema que aborda, comienza el texto que desarrolla la extracción de las raíces cuadradas. Para ello, ofrece una definición de esta operación, que consiste en extraer la raíz de un cuadrado puro o bien encontrar la raíz del primer cuadrado que haya bajo el número propuesto (por ejemplo, si tuviéramos el número 58, encontraríamos la raíz cuadrada de 49 −7−, que es cuadrado más cercano a 58 por debajo de este). Para empezar a operar, conviene escribir el número y contar si los guarismos que lo conforman son pares o impares en número. Si son pares, se empieza por la penúltima figura de la izquierda; 687 «En este arte presente no se realizan prodecimientos más allá de los números sólidos». 688 «Pero según la razón del término final, desde la repetición de los millares (...) dos veces a la manera de los sólidos, resulta también penúltimo el último límite». 302 Estructura, contenidos y fuentes si son impares, por la última. Es decir, teniendo los números 1.389 y 21.389 de los cuales querríamos extraer la raíz cuadrada, habría que empezar por la cifra que señalamos: 1 3 8 9 pero 2 1 3 8 9 ↑ ↑ Hecho esto, se ha de hallar un número que, elevado al cuadrado, elimine todo lo posible el número desde el que se empieza. Se resta tal cantidad y se duplica la raíz encontrada. Después, se mueve la raíz una figura hacia la derecha y el doble de dicha raíz sobre ella misma, moviéndola también una figura a la derecha (en el ejemplo hallamos la raíz de 1389). 1 3-9 8 9 → 4 8 9 → 4 8 9 Duplatum 3×2 → 6 Subduplum 3 3 → 3 Ahora hay que buscar un número que, colocándose en una casilla a la derecha del duplatum (es decir, que sea de un orden de una decena menor), se multiplique por dicho duplatum, de manera que la cantidad resultante sea idéntica o lo más cercana posible a la que está sobre el duplatum. Al hacer esto, conviene tener en cuenta que, después, ese último número que se ha averiguado, hay que elevarlo al cuadrado y su resultado no puede sobrepasar aquella cantidad que quede sobre él: 4-4 8-2 9 → 0 6-4 9-9 → 2 0 Duplatum 6×7 6 6 Subduplum 3 3 7×7 3 7 O bien se puede hacer directamente de la siguiente manera: que se encuentre un número x que se multiplique primero por el duplatum, luego por sí mismo, se suman ambos resultados y todo ello se resta a la cantidad que queda encima: 4 8 9 → 60x + x2 ≤ 489 x = 7 (60 · 7) + 72 = 469 → 4-4 8-6 9-9 → 2 0 Duplatum 6 6 6 Subduplum 3 3 7 3 7 Si no se pudiera encontrar un número tal porque superase la cantidad de arriba, se pondría un cero y se moverían las figuras a la derecha si hubiera más cifras con las que seguir operando. Así se llega a encontrar la raíz cuadrada. Si no quedara resto, el número que se había propuesto era un cuadrado puro; si no, el número encontrado (37 en nuestro caso) es la raíz del primer número cuadrado que encontramos por debajo del propuesto (1369 en el ejemplo propuesto). El resto, en este caso, sería el 20 que queda en las casillas donde originariamente estaba la raíz. La prueba de la raíz es la siguiente: hay que multiplicar el número encontrado (o sea, la raíz) por sí misma, o lo que es lo mismo, elevarla al cuadrado, y al resultado añadirle el resto si lo hubiera (372 + 20 = 1389). c) Extracción de raíces cúbicas La operación para encontrar la raíz cúbica es similar al de la raíz cuadrada, tal como veremos. Antes de describir el proceso matemático, se define qué es hallar la raíz cúbica: como antes, puede ocurrir que el producto sea la raíz del número propuesto si este es un cubo perfecto o bien la raíz del primer número cúbico por debajo de este. Primero, como siempre, es necesario poner las figuras en sus casillas correspondientes. En este caso, no se comenzará por el último guarismo que ocupe un lugar impar sino por la unidad de millar, de millón o de millar de millón, o lo que es lo mismo, por la cuarta, séptima o décima 303 EL ALGORISMUS figura empezando a contar desde la derecha. Tras localizar tal figura, ha de encontrarse un número que, elevado al cubo, se aproxime lo más posible a la cifra del radicando que estamos considerando en este momento, es decir, la que queda inmediatamente sobre el número hallado. Después, se mueve dicho número dos diferencias o posiciones hacia la derecha y se escribe su triple sobre él (aquí hallamos la raíz de 24.089): 2 4-8 0 8 9 → 1 6 0 8 9 → 1 6 0 8 9 Triplatum ↑ 2×3 → → 6 Subtriplum 2 2 → → 2 A continuación, se ha de encontrar un número que, primero, se sume al subtriplum; lo que resulte de tal suma se multiplica por el triplatum, el producto se multiplica por dicho número y la cantidad resultante se suma finalmente a ese mismo número elevado al cubo. El resultado de estas operaciones debería acercarse o ser igual que el número que tiene encima: 1 6 0 8 9 → [(x+20) · 60 · x] + x3 ≤ 16089 x = 8 [(8+20) · 60 · 8] + 83 = 13952 → Triplatum → → 6 Subtriplum → → 2 1-1 6-3 0-9 8-5 9-2 → 0 2 1 3 7 Triplatum 6 6 Subtriplum 2 8 2 8 Si hubiera más figuras con las que operar, habría que volver a mover dos casillas el triplatum y el subtriplum y volver a buscar una cifra tal que permita aproximarse o igualar la cantidad dada a través de las operaciones descritas. Si no hubiera residuo, el número propuesto sería un cubo perfecto; de lo contrario, se habría hallado la raíz del cúbico perfecto inmediatamente inferior al número propuesto (en nuestro caso, habríamos hallado la raíz del cubo perfecto 21.952, que es 28). Dicho residuo habría que reservarlo en una tabla aparte. La raíz encontrada, elevándola al cubo y sumando el resto reservado, si lo hubiere, daría como resultado el número propuesto (283 + 2.137 = 24.089). Tras definir la prueba de la raíz cúbica, se dan dos apuntes más en relación con esta operación. Primero, se dice qué pasaría si cualquier número propuesto nos diera un resultado superior al aquel que está por encima: en ese caso, habría que poner un cero y mover dos casillas a la derecha el triplatum y el subtriplum y seguir operando. En segundo lugar, se precisa que, si el número cuya raíz cúbica se desea buscar es inferior al millar, entonces hay que empezar por la primera figura. Llama la atención que estos dos caveat se den en este punto, al final de la operación y cuando ya se ha enunciado la regla que permite comprobar si se ha operado bien (cfr. supra en las raíces cuadradas, donde se dice qué hacer cuando no se encuentra un número adecuado, siempre antes de la prueba de la operación). Esta particularidad podría responder a una adición al texto, quizá de la mano del propio autor: Sacrobosco, tras poner en circulación su texto, se habría dado cuenta de que no había explicado con detalle estos puntos y añade al final, a modo de apostilla, estos conocimientos que faltaban. En todos los manuscritos estudiados hemos encontrado esta estructura, por lo que si en efecto se tratara, como parece, de una adición, esta se habría insertado tras una primera redacción del texto, antes de su primera difusión o en una fase muy incipiente de esta. Por último, el autor comenta que, algunos, prefieren empezar la operación dividiendo el número en grupos de tres y comenzando desde la primera figura del último grupo de tres que haya, ya esté completo o no ese tercero. Es decir, si tuviéramos el número 19.256.667, los grupos de tres vendrían separados por los puntos, de manera que habría que empezar a operar desde el 9, 304 Estructura, contenidos y fuentes primera figura del último grupo potencialmente de tres (019 millones). Es evidente que esto es lo mismo que decir que hay que empezar a operar desde la cuarta, séptima o décima figura. Citando a Sacrobosco, damos aquí por finalizada la explicación de la extracción de raíces y, con ella, de los contenidos del tratado: Et hec de radicum extractione dicta sufficiant tam in numeris quadratis quam in cubicis689. 689 «Que baste lo dicho sobre la extracción de raíces, tanto en los números cuadrados como en los cúbicos». 305 EL ALGORISMUS 2. Fuentes En este apartado analizaremos las fuentes que Sacrobosco pudo haber empleado para componer su Algor. Para ello, comenzaremos por aquellas obras cuyo influjo en el Algor. es mayor dejando para el final las que parecen haber influido en menor medida. Dado que la información de la que partimos es escasa por carecer de estudios al respecto, presentaremos también aquellos casos en los que las similitudes con ciertas obras son reseñables, pero no suficientes como para postular una relación de dependencia entre ellas. 2.1. Los descendientes del De numero Indorum El primer bloque de obras que estudiamos es el de los descendientes del De numero Indorum. De estos tratados, concretamente del Liber Alchorismi y del Liber pulveris, autores como Allard (1992) ya advertían su cercanía con la obra de Sacrobosco desde su estructura hasta sus contenidos. En cuanto a la estructura, como decíamos supra en los contenidos del Algor., en el tratado de Sacrobosco la introducción viene seguida de un total de nueve capítulos, a saber: la numeración, la suma, la resta, la mediación, la duplicación, la división, la multiplicación, la progresión y las raíces cuadradas y cúbicas. La obra más similar en cuanto a su orden es el Dixit Alchorizmi, a pesar de que no contiene el capítulo sobre la progresión, como tampoco lo contiene el resto de descendientes del De numero Indorum. Difiere asimismo de Sacrobosco en que la información que este divide entre la introducción y el capítulo sobre la numeración, el Dixit Alchorizmi la incluía en un largo proemio inicial. El Liber Alchorismi y Liber pulveris, a diferencia del Dixit Alchorizmi, invierten el orden de la mediación y duplicación, con una ordenación idéntica a la que aparece en el Carmen de algorismo, del que hablaremos después. Sin embargo, comparten con el Algor. un detalle que consideramos clave: la definición de cada una de las operaciones al inicio de cada species, lo que adoptará Sacrobosco con palabras y/o formulaciones similares a las de sus fuentes, como mostramos en los ejemplos de la siguiente tabla690: Liber Alchorismi Liber pulveris Algorismus p. 74, 24; p. 75, 1/2 Agregare est quoslibet duos numeros vel plures in unum colligere. p. 74, 23; p. 75, 1/2 Agregare est quoslibet duos numeros vel plures in unum colligere. 70/71 Additio est numeri vel numerorum ad numerum aggregatio, ut videatur summa excrescens. p. 95, 3/21 Aliquem numerum multiplicare est ipsum secundum unitates sui ipsius vel alterius numerare (...). Tunc ergo numerus in se vel in alium multiplicatur, cum quociens ipse vel alius in se unitates habuerit, tociens in se vel in alium ipse numeratur. p. 95, 2/5 Multiplicare est aliquem numerum in alium eum secundum unitates illius numerare. 208/210 Multiplicatio numeri per se vel per alium est propositis duobus numeris tertii inventio, qui totiens continet alterum illorum quot sunt unitates in reliquo. p. 103, 24/27; p. 104, 1/2 Numerum per numerum dividere est maiorem secundum quantitatem minoris partiri, videlicet minorem de maiore p. 103, 13/17 Dividere est numerum per alium, maiorem secundum quantitatem minoris, partiri, vel maioris divisione ad 302/303 Divisio numeri per numerum est propositis duobus numeris maioris in tot partes distributio quot sunt unitates in minori. 690 Seguimos la edición de Allard (1992) para las citas del Liber Alchorismi y Liber pulveris. 306 Estructura, contenidos y fuentes tociens subtrahi quociens in eo poterit inveniri. minorem denominationem facere. Tabla 3: Pasajes paralelos en Liber Alchorismi, Liber pulveris y Algorismus También el desarrollo de las propias operaciones es mucho más conciso en los Liber Alchorismi y Liber pulveris que en el Dixit Alchorizmi, una característica que encaja bien con la prosa sacrobosquiana, lo que hace que sean muchas las veces que encontramos en Sacrobosco fragmentos que parecen tomados casi de forma literal de cualquiera de estas dos obras. Por otro lado, la terminología empleada en el Liber Alchorismi y Liber pulveris tiene una correspondencia con la de la obra de Sacrobosco (y también con los del Carmen de algorismo) no encontrada en los otros tratados derivados de al-Khwarizmi. Siguiendo a Allard (1992, XXX), fueron estos dos libros los que más contribuyeron a la difusión de un vocabulario técnico que precisamente se vehicularía a través de las obras que los tomaron como modelo, es decir, el Carmen y el Algor. Así las cosas, introdujeron en la matemática bajomedieval términos como aggregatio (‘suma’), circulus (‘cero’), demere (‘sustraer’), ducere in (‘multiplicar’), exire (‘resultar’ de una operación), iungere (‘juntar’ con el sentido de ‘sumar’), differentia (‘posición’), ordo (‘orden’) o retrahere (‘atrasar’ una cifra); todos ellos empleados por Sacrobosco y, tras él, por una larga sucesión de científicos hasta llegar al Humanismo. Frente a esto, otros términos empleados en el Dixit Alchorismi y Liber ysagogarum, como augmentio (suma), dispertio (resta), erigere (posponer un número) y mansio o statio (posición), no tuvieron la misma suerte. No encontrados en el Carmen de algorismo ni en el Algor., parece que su circulación se estancó junto con la transmisión de estas obras y su uso se acabó perdiendo. Por último, de los descendientes del De numero Indorum contamos con el Liber ysagogarum. Ni por su estructura ni por su vocabulario, como hemos dicho, se acerca lo suficiente al Algor. como para considerarlo una fuente directa de él. Solo llama la atención la siguiente correspondencia textual de esta obra (Allard, 1992, p. 25, l. 18): unitas est qua dicitur omnis res una, respecto a la del Algor. (l. 11): unitas vero est qua unaqueque res una dicitur. Sin embargo, la coincidencia en esta cita euclidiana (cfr. infra) es fruto de que tanto Sacrobosco como el Liber ysagogarum remontan independientemente al mismo pasaje de Euclides. Sacrobosco difícilmente pudo haber tomado el grueso de su obra del Liber ysagogarum a tenor de la escasa atención que este último presta a las operaciones descritas, mucho más desarrolladas en los otros tratados que hemos visto y, dentro de ellas, en el Algor. Por lo tanto, analizados los cuatro descendientes del De numero Indorum, concluimos que las obras que más se asemejan por su contenido y vocabulario al Algor. son el Liber Alchorismi y el Liber pulveris, dos tratados muy parecidos, como decíamos supra a propósito de los algorismos del s. XII. La mayor diferencia entre ellos radica en que el Liber pulveris es más breve y conciso que el Liber Alchorismi. Puesto que hemos encontrado pasajes sacrobosquianos que encuentran su paralelo en aquellas partes del Liber Alchorismi que omite el Liber pulveris, podemos afirmar que Sacrobosco sin duda utilizó esta primera obra para componer su Algor. Si conocía también el Liber pulveris, si empleó una de las versiones que Allard denomina «mixtas» de las dos obras691, o si leyó el Dixit Alchorizmi y/o el Liber ysagogarum, no podemos saberlo ni, por tanto, descartarlo. Esta hipótesis de situar el Liber Alchorismi como fuente principal de Sacrobosco de entre los descendientes del De numero Indorum es coherente con la existencia de la tradición de esta obra. Atendiendo a los testimonios destrictos por Allard (1992, XXXVIII-XL) hay constancia de, al menos, un manuscrito en la Francia presacrobosquiana: el códice Oxford, Bodleian Library, 691 Versiones como la que se encuentra en el ms. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1393 (descripción en Allard, 1992, XL). 307 EL ALGORISMUS Selden sup. 26, escrito en esta región a finales del s. XII y principios del s. XIII. Aparte de este, Allard describe otros códices copiados en distintas zonas de la Europa de la época, como el ms. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15461, copiado en Italia a principios del s. XIII desde un modelo toledano. La existencia de esta tradición hace posible que la obra fuera conocida en varios puntos de Europa (entre ellos, París), tal vez ligada a centros universitarios. 2.2. Progresiones y reglas de multiplicar Atendiendo a los contenidos del Liber Alchorismi y enfrentándolos con los del Algor., se puede constatar una doble realidad. Por una parte, la supresión total de las fracciones en la obra de Sacrobosco, presentes en el original de al-Khwarizmi y su primera traducción (De numero Indorum) tal como se deduce a través de su presencia en todas y cada una de las obras derivadas (cfr. supra, los diagramas de Allard, 1992 y 1996). Esto podría atender a una simplificación de la obra quizá necesaria para su aplicación en el aula, tal como entendemos que sería el interés de Sacrobosco. Por otra parte, en el Algor. se introduce un capítulo entero no existente en ninguna de las obras derivadas de al-Khwarizmi: la progresión. Igualmente, faltan en estas obras las reglas de la multiplicación presentes al inicio del capítulo que versa sobre esta operación matemática. Comenzando por el capítulo sobre las fracciones, mientras que para la definición del concepto de fracción no hemos encontrado precedentes, son cuatro las posibles fuentes que Sacrobosco pudo manejar para el desarrollo de las regule: la conocida como segunda parte del Liber Alchorismi (o Liber Alchorismi II), el pequeño tratado incluido en el manuscrito de Coventry, el del manuscrito de Egerton y las adiciones al Carmen de algorismo692. Dado que las adiciones al Carmen podrían haber estado inspiradas en el Algor., en la siguiente tabla tan solo incluiremos las tres primeras obras mencionadas: Liber Alchorismi II Coventry Egerton Algorismus 3.1 Si vis scire ex aggregatione numerorum ab uno naturaliter se sequentium quanta summa reddatur. ipsum in quo desieris, si par fuerit, multiplica per medietatem sui et adde ipsam medietatem et hec erit summa que ex ipsis efficitur. 3.3 Vel sequentem imparem per medietatem eiusdem paris multiplica et habebis summam. p. 308, 23/28 De pari. Numero naturali usque ad quemlibet parem coacervato, per medietatem ultimi sequentem non positum imparem multiplicabis, vel per sui minorem medietatem eundem imparem et erit simma omnium. p. 411 Si vero par, duc medium eiusdem in imparem qui proximo sequitur ultimum parem et erit summa tocius. l. 369/371 Quando enim progressio naturalis terminatur in numerum parem, per medietatem ipsius multiplica numerum proximum totali superiorem. 3.2 Verbi gratia. dispone in ordinem i. ii, iii, iv, 5, 6. 7. 8. Multiplica ipsum in quem desiisti. scilicet octo, per medietatem sui, scilicet per 4, et efficies 32 et adde insuper 4 et hec erit summa que ex aggregatione illorum efficiebatur. scilicet 36. p. 308, 28 Ut i.ii.iii.iiii. dic bis v., fiunt x. l. 371/373 Verbi gratia: l, 2, 3, 4; multiplica quinarium per binarium, sic bis quinque, et exibunt 10, summa totius progressionis 3.5 Vel per medietatem sequentis paris eundem imparem multiplica. p. 308, 18/22 De impari. p. 411 Si quorumlibet numerorum l. 374/376 Quando autem progressio naturalis terminatur 692 Sobre las tres primeras obras, cfr. supra en los algorismos del s. XII. Para las adiciones al Carmen, cfr. Apéndice II. 308 Estructura, contenidos y fuentes Ad inveniendam summam cuiuslibet numeri. Numero naturali usque ad quemlibet imparem aggregato, ultimum ordinem per sui maiorem medietatem multiplica et invenies summam. hocmodo aggregatorum id est ab unitate presedendo usque ad quemvis numerum summam scire volueris. Vide si impar fuerit extremis numerus, quod si fuerit duc medium in eundem et erit summa tocius. in numerum imparem, per maiorem portionem ipsius multiplica numerum totalem. 3.4 Si vero in impari desieris, verbi gratia 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ipsum, scilicet septem, multiplica per maiorem partem sui, scilicet 4, 7 enim constant ex tribus et 4, et quater septem efficiunt 28 et hec est summa predictorum. p. 308, 22/23 Verbi gratia: i.ii.iii.iiii.v. dic ter quinque et fiet summa, scilicet xv. l. 376/378 Verbi gratia: 1, 2, 3, 4, 5; multiplicetur quinarius per ternarium, sic ter quinque, et resultabit quindenarius, summa totius progressionis. 4.1 Si ex solis paribus a binario se per ordinem naturaliter sequentibus aggregatis scire volueris quanta summa reddatur, ipsum in quem desiisti vide quotus est a primo pari et per ipsum a quo denominatur multiplica sequentem se et efficies summam. 4.3 Vel medietatem paris numeri in quo desinis per medietatem proximi sequentis paris multiplica et habebis summam p. 309, 4/10 De paribus. A binario omnibus paribus congregatis, per medietatem ultimi maiorem medietatem sequentis non positi imparis multiplica, et habebis summam. Vel apercius: a binario omnibus imparibus in unum ductis, sequentis imparis medietatem per eius alteram partem multiplica. p. 411 Si tamen per partes sibi continuos fuat processus, ultimum divide. Cuius medietatem multiplica per numerum proximo sequentem eandem medietatem unitate addita. l. 380/382 Quando enim progressio intercisa terminatur in numerum parem, per medietatem illius multiplica numerum proximum medietati superiorem. 4.2 Verbi gratia, 2 , 4, 6, 8, 10. Ultimus est 10 et est quintus a primo pari, id est binario. V sequitur senarius. Per 5 ergo a quo denominatur 10 multiplicetur senarius et quinquies sex vel econverso fient 30 et hec erit summa predictorum. p. 309, 10/11 Ut si vi. est ultimus par, divide vii. et eius quamlibet alteram per alteram partem multiplica, et fiunt xii.ii.iiii.vi. + [sic] l. 382/384 Ut 2, 4, 6; multiplicetur quaternarius per ternarium, sic ter quatuor, et resultabit duodenarius, summa totius progressionis. 5.1 Si autem ex aggregatis imparibus ab uno naturaliter se sequentibus scire volueris quanta summa reddatur, ipsum a quo denominatur ultimus in quem desinis, multiplica in se ipsum et efficies summam. 5.3 Vel a proximo pari qui est post imparem in quo desinis, medietatem subtrahe, ablatam per se multiplica et habebis summam. p. 309, 1/3 De imparibus. Numeris ab unitate omnibus aggregatis, maiorem medietatem ultimi per seipsum more tetragoni multiplicabis. p. 411 Si impares tamen maiorem medietatem ultimi in se duces. l. 385/386 Quando progressio intercisa terminatur in numerum imparem, multiplica maiorem portionem per se ipsam. 309 EL ALGORISMUS 5.2 Verbi gratia, 1, 3, 5, 7, 9. Ultimus est novem et est quintus in ordine. 5 vero a quo denominatur multiplicetur in se et efficies 25. Quinquies enim quinque 25 fiunt et hec erit summa predictorum. p. 309 ¾ Ut i.iii.v. dic ter tria; ix. habes. l. 386/388 Verbi gratia: 1, 3, 5; multiplicetur ternarius per se, sic ter tria, et erit novenarius, summa totius progressionis. Tabla 4: Pasajes paralelos en Liber Alchorismi II, Coventry, Egerton y Algorismus Dados estos testimonios, a los que se suman las adiciones al Carmen de algorismo (cuya edición adjuntamos en Apéndice II), el Comentario II al Carmen que analizaremos infra (y cuya edición se encuentra en Apéndice III) y el algorismo de Cashel, aunque únicamente para las progresiones truncadas impares (cfr. cap. 2.4, en Burnett, 2002, 19), es evidente que a finales del s. XII y principios del s. XIII se creó toda una tradición para el cálculo de estas secuencias numéricas. Tal información resultó de interés a Sacrobosco hasta tal punto que decidió incluirla en su obra. Sobre cuál pudo ser su fuente, tal como se ve en la tabla, parece que, por un lado, tomó la estructura de la segunda parte del Liber Alchorismi (progresiones naturales pares, naturales impares, truncadas pares y truncadas impares). Es muy probable, de hecho, que el autor conociera este opúsculo por seguir al Liber Alchorismi en casi todos los testimonios de la obra, de suerte que, si tenía a su alcance (tal como parece) un ejemplar del Liber, no es de extrañar que junto a él apareciera esta sección práctica o «segunda parte» que lo complementa. Por otro lado, las similitudes entre las progresiones del códice de Coventry y el Algor. son insoslayables: no solo coinciden en el léxico, sino que los ejemplos que aportan son los mismos e idénticos incluso en su planteamiento, como en el siguiente pasaje, donde Coventry (p. 308, 22/23) transmite: Verbi gratia i.ii.iii.iiii.v. dic ter quinque et fiet summa, scilicet xv; y el Algor. (l. 376/378): Verbi gratia: 1, 2, 3, 4, 5; multiplicetur quinarius per ternarium, sic ter quinque, et resultabit quindenarius, summa totius progressionis. Parece, por lo tanto, que Sacrobosco habría tenido acceso a estas dos obras: por un lado, a la segunda parte del Liber Alchorismi y, por otro, al tratado del ms. de Coventry. En segundo lugar, procederemos a analizar las posibles fuentes de las reglas de la multiplicación. Estas son los seis preceptos matemáticos que enseñan a operar con dígitos, artículos y compuestos en todas las combinaciones posibles con el objetivo de facilitar su cálculo en operaciones más complicadas. La primera regla, que enseña a multiplicar dígitos, la encontramos en múltiples tratados anteriores por considerarse esencial para saber multiplicar en este nuevo arte: Liber Alchorismi II, Liber ysagogarum, Carmen de algorismo, sus Addenda IV y V y el Comentario II al Carmen, Helcep Sarracenium, Convetry, Cashel, Egerton y en el Liber mahameleth693. Otros autores, como Fibonacci, prefieren insertar tablas de multiplicación que se aprenderían de memoria en las escuelas, como en la actualidad, sin necesidad de llevar a cabo el procedimiento matemático descrito por Sacrobosco. Tampoco son novedosas las informaciones concernientes a la multiplicación de decenas y centenas, que, como veremos infra, remontan a Gerberto de Aurillac y en su tradición cuentan con testimonios como el de Rodolfo de Laón. Así las cosas, esta sección del Algor. no es tan novedosa por su contenido como por el hecho de calificar estas operaciones como «reglas de multiplicar» y ponerlas en orden para ser aprendidas antes que el procedimiento general de la multiplicación, con vistas a facilitar su intelección. Más relevancia tienen las reglas ausentes del Liber Alchorismi y del Carmen, que revelan el acceso de Sacrobosco a otras fuentes para desarrollar estos contenidos. Sobre este asunto, Burnett 693 En el aparato de fuentes y loci paralleli de la edición del Algor. se pueden consultar las referencias exactas. 310 Estructura, contenidos y fuentes (2010, 240) sugería que Sacrobosco quizá pudo suplir dichas reglas a través del códice de Egerton y, sobre todo, con el manuscrito de Coventry, con una tradición ligada al Helcep Sarracenium, obra de que incluso, dice Burnett, pudo haber adoptado el término cyfra para referirse al cero, aunque nosotros creemos más plausible que Sacrobosco tomara este vocablo del Carmen de algorismo, fuente directa para esta obra. Otro opúsculo que también transmite dichas reglas es el algorismo que puede leerse en las pp. 16-7 del manuscrito de Cashel; aunque Burnett (2002, 24) descarta una relación directa en la medida en la que él piensa que estas similitudes se ciñen a un mismo ámbito de composición de ambas: «Nevertheless, the phraseology is sufficiently different between the Cashel and Sacrobosco text to suggest that the one is not dependent on the other. Rather, they both represent a common English tradition of the twelfth and early thirteenth century, whose richness and diversity has only recently begun to be appreciated». A nuestro juicio, aunque coincidimos con Burnett en considerar que el manuscrito de Cashel probablemente no fue la fuente directa de Sacrobosco, no estamos seguros de que las similitudes entre ambos se deban exclusivamente a una tradición inglesa común. Si bien podríamos considerar que Sacrobosco tenía ya un bagaje de conocimientos matemáticos extraídos de tratados de origen inglés (como el del manuscrito de Coventry), es probable que el autor entrara en contacto con el arte del algorismo cuando ya estaba en París, dada la tradición del Liber Alchorismi en esta zona que, como mostrábamos supra, es fuente directa de Sacrobosco. Tales reglas las volvemos a encontrar con un paralelismo sustancial con el Algor. en el manuscrito de Coventry, en la segunda parte del Liber Alchorismi y en los Addenda al Carmen de algorismo, aunque cabe la posibilidad de que estos últimos pudieran ser, en realidad, adiciones tomadas a partir del Algor. y no a la inversa. También aparecen en el manuscrito de Egerton, en el Helcep y en el ms. de Cashel, pero con formulaciones que se alejan considerablemente del Algor. En la siguiente tabla mostramos algunos fragmentos de este capítulo del Algor. en comparación con los correspondientes la segunda parte del Liber Alchorismi y el manuscrito de Coventry: Liber Alchorismi II Coventry Algorismus 9.1 Omnis numerus infra denarium multiplicatus in se ipsum reddit summam sue denominationis decuplate, subtracta inde multiplicatione differentie ipsius ad denarium facta in se ipsum. 9.3 Si autem maiorem per minorem vel econverso multiplicare volueris, differentiam maioris ad denarium multiplica in minorem et ipsam multiplicationem subtrahe a denominatione facta a minore et quod remanserit est summa que provenit ex multiplicatione diversorum numerorum. p. 302, 20/22 Si vis multiplicare aliquem numerum infra x. in se, subtrahe differentiam quam habet ad x. et quod remanet duc in x. et differentiam in se. p. 305, 11/13 Si digitus digitum multiplicat, aufer a multiplicato differentiam multiplicantis tocies quoto loco multiplicans distat a denario, et duc in ipsum. p. 306, 6/8 si digitus multiplicet digitum, ducatur differentia multiplicati in multiplicantem, et productus auferatur ab articulo denominato a multiplicante; residuum est summa l. 222/224 Quando enim digitus multiplicat digitum, subtrahendus est minor digitus ab articulo sue denominationis per differentiam maioris digiti ad denarium, denario simul computato. 9.2 Verbi gratia, sexies sex dicantur fieri 60, que est denominatio a sex decuplata. Differentia autem senarii ad denarium est quaternarius, qui p. 302, 22/24 ut octies viii. ablata differentia ad x. – scilicet duo – et ductis l. 224/228 Verbi gratia, si velis scire quot sunt quater octo, vide quot sunt unitates inter octo et decem, denario simul 311 EL ALGORISMUS multiplicatus in sex facit 24. His ergo 24 de sexaginta subtractis remanent 36 quam summam reddunt sexies sex. Et in omnibus sic ab uno usque ad decem. 9.4 Verbi gratia, cum multiplicaveris quinquies 7, dic fieri quinquaginta, que est denominatio a quinque qui erat ibi minor numerus (...). 9.6 Verbi gratia, quinquies 7 dicatur fieri 70 qui denominatur a 7 et est maior in illa multiplicatione (...). extremis in alterutrum, sunt sexies .x. et bis duo. computato; et patet quod due. Subtrahatur igitur quaternarius bis a 40 et remanent 32, summa totius multiplicationis. 26.2 Si vero digitus et articulus, digitus in differentia denominata a numero remanenti, articulum vero ponatur in differentia sequenti. Et quod ibi significaverit est summa que ex ductu unius articuli in alium provenit. 27.2 Cum multiplicaveris digitum aliquem in aliquem articulorum qui sunt usque ad centum, multiplica figuram in figuram et quot unitates fuerint in digito qui provenerit, tot denarii erunt. Quot autem denarii fuerint in articulo qui provenerit, tot centenarii erunt. p. 305, 13/16 Si quilibet digitus mUltiplicat quemlibet articulum, [adde] multiplica digitum articuli et multiplicantem digitum, et fit tota denominatio quotus est ordo articuli. p. 306, 8/13 Si digitus multiplicet articulum secundi limitis, ducatur multiplicans in digitum a quo multiplicatus denominatur, ut supra; quot unitates, tot denarii l. 229/231 Quando digitus multiplicat articulum, ducendus est digitus in digitum, a quo denominatur ille articulus, et quelibet unitas valebit 10, quilibet denarius 100. p. 304, 26/29 De mixto et simplici. Si mixtus sit multiplicandus per simplicem, multiplica mixti utramque partem per simplicem, ut ter duodecim sunt ter .x. et ter duo – id est .xxxvi. – et ter .xxv. sunt ter .xx. et ter .v. – id est .lxxv. l. 232/235 Quando digitus multiplicat numerum compositum, ducendus est digitus in utramque partem numeri compositi, ita quod digitus in digitum per primam regulam, in articulum per secundam, postea producta iungantur, et erit summa totius. 26.2 Cum autem articulum in articulum multiplicare volueris, figuram per figuram multiplica. Deinde quarum differentiarum sint ipsi articuli considera et numeros a quibus denominantur eorum differentie aggrega. 28.1 Cum multiplicaveris unum articulorum in alium de his qui sunt usque ad centum, multiplica figuram in figuram et quot unitates fuerint in digito qui provenerit, tot erunt centenarii. Quot autem denarii in articulo, tot erunt millenarii. p. 304, 21/25 Item de articulis. Omnis articulus tantum efficit in se quantum eius simplex in se et in principem ultimum. p. 305, 16/17, p. 306, 1/5 Si articulus primi ordinis multiplicet articulum quemcunque, multiplica digitos ut supra, et erit denominatio que excedit numerum ordinis multiplicati articuli unitate, et nota si excreverit digitus ex utroque, faciendum est idem. l. 236/238 Quando articulus multiplicat articulum, ducendus est digitus, a quo denominatur unus illorum, in digitum, a quo denominatur reliquus; et quelibet unitas valebit 100, quilibet denarius 1.000. p. 306, 15/16 Si quis articulus ducatur in numerum compositum, ducetur articulus in articulum, deinceps in digitum, ut supra. l. 239/241 Quando articulus multiplicat numerum compositum, ducendus est digitus articuli in utramque partem numeri compositi, et coniungantur producta, et patebit summa. 312 Estructura, contenidos y fuentes 26.4 Cum autem compositum in compositum multiplicare volueris, predictam regulam observabis, hoc adiecto, ut unusquisque superiorum multiplicetur in unumquemque inferiorum, videlicet digitus in digitum et articulus et articulum in digitum et articulum, quotquot fuerint, singuli superiorum in omnes inferiores. p. 306, 16/18 Si compositus in compositum utrumque multiplicantium ducatur in utrumque multiplicandorum et patet summa l. 242/246 Quando numerus compositus multiplicat numerum compositum, ducenda est utraque pars numeri multiplicantis in utramque partem numeri multiplicandi. Et sic ducetur digitus bis, quia semel in digitum et semel in articulum; articulus similiter bis, semel enim in digitum et iterum in articulum. Tabla 5: Pasajes paralelos en Liber Alchorismi II, Coventry y Algorismus En esta ocasión, a diferencia de lo que ocurría con la progresión, tanto el Liber Alchorismi II como el ms. de Coventry presentan la información desorganizada para los estándares sacrobosquianos. No encontramos, por tanto, una estructura clara que el autor pudiera tomar de cualquiera de estos dos opúsculos, así como tampoco encontramos el ejemplo exacto del que se sirve Sacrobosco para ilustrar la primera regla. No obstante, sí hemos hallado paralelismos, por un lado, con la segunda parte del Liber Alchorismi (cfr. l. 237/238: et quelibet unitas valebit 100, quilibet denarius 1.000 y el correspondiente del Liber Alchor. II, 28.1: et quot unitates fuerint in digito qui provenerit, tot erunt centenarii. Quot autem denarii in articulo, tot erunt millenarii), y, por otro lado, con el manuscrito de Coventry (cfr. l. 242/243: ducenda est utraque pars numeri multiplicantis in utramque partem numeri multiplicandi y el ms. de Coventry, p. 306: utrumque multiplicantium ducatur in utrumque multiplicandorum et patet summa). A pesar de las diferencias entre estas obras y el Algor., consideramos que, probada la dependencia respecto a ellas en el capítulo de la progresión, es probable que también recurriera a ellas para las reglas de la multiplicación. En esta ocasión, habría tenido que llevar a cabo una labor de reorganización del material mucho más profunda que en la progresión, lo que probablemente implicara una mayor reelaboración del texto y un alejamiento de sus modelos. Por último, señalamos la probable influencia del Liber Alchorismi II en las l. 439/447 del Algor., donde describe los límites en la introducción a las raíces cuadradas y cúbicas. En efecto, los capítulos 35-38 y 41-43 de la segunda parte del Liber Alchorismi son, de las obras estudiadas, el texto que más desarrolla este apartado teórico, que nuestro autor podría haber tomado y abreviado para incluirlo en este punto. También de aquí pudieron haber tomado la tabla de los límites los manuscritos que la incluyen694. 2.3. El Carmen de algorismo de Alexandre de Villadei y el Comentario II La única obra que Sacrobosco cita verbatim en su Algor. y que, por tanto, podemos considerar una fuente segura para este tratado es el Carmen de algorismo del religioso, poeta y gramático galo Alexandre de Villadei (ca. 1170-1240) (cfr. p. 280-3). Dicha cita son los tres versos que menciona en las l. 187/188, correspondientes a Carm. 32/34, en los que se explica dónde empezar a operar en las distintas operaciones: desde la derecha en la suma, resta y mediación; desde la izquierda en la duplicación, multiplicación y extracción de raíces. Más allá de esta única cita, la influencia de la obra de Villadei es evidente en el Algor. Tanto en su estructura, ya comentada, como en su contenido e incluso en el léxico empleado, Sacrobosco va siguiendo el desarrollo del Carmen, aumentando aquellas partes que considera necesarias y 694 Burnett, Zhao y Lampe (2007, 180); sobre esta tabla, cfr. infra el apartado sobre los paratextos. 313 EL ALGORISMUS eliminando algunas nociones que quizá resultaban superfluas, como la explicación sobre cómo saber si un número es par o impar (v. 25/27). En este punto es preciso reevaluar la hipótesis ya comentada de Beaujouan (1991, XI, 106- 15), quien postulaba que el Algor. nació como un comentario al Carmen de algorimo, por el descubrimiento, por nuestra parte, de un nuevo texto que cambia el panorama conocido: el que hemos llamado Comentario II al Carmen, cuya primera edición incluimos en el Apéndice III. Contenido en el ms. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14070, esta exégesis nunca antes estudiada presenta una serie de paralelismos con el Algor. insoslayables, fruto de una relación que estudiaremos en estas páginas. Especialmente reseñable en este sentido es el capítulo de las raíces cúbicas. Es esta una operación que no encontramos en ninguno de los tratados descritos anteriormente y más concretamente en el Liber Alchorismi, que finaliza, como el resto, en las raíces cuadradas. Siendo esta obra fuente también del Carmen de algorismo (por las mismas razones que aducíamos para considerarla fuente del Algor.), no es posible saber, al menos por ahora, de qué fuente tomó Villadei las raíces cúbicas, si es que no fue una idea original del autor. En cualquier caso, más adelante, tanto Sacrobosco como el Comentario II, siguiendo de cerca el Carmen, incluyeron esta última operación con la misma estructura y vocabulario. Ofrecemos una idea más clara de los paralelos entre el Carmen de algorismo, el Comentario II y el Algor. en el capítulo de las raíces cúbicas con la siguiente tabla: Carmen de algorismo Comentario II Algorismus v. 210/212 Per numerum recte si nosti multiplicare / eius quadratum, numerus qui provenit inde / dicetur cubicus; primus radix erit eius. l. 735/739 Cubicus, ut patet ex predictis, est qui est ductus semel in suum quadratum vel qui est ductus bis in se ipsum, quod idem est. Radix numeri cubici est ille numerus qui est ductus ita bis in se vel in suum quadratus semel, unde patet quod numerus cubicus et numerus quadratus habent eandem radicem. l. 500/505 Est igitur numerus cubicus, sicut patet ex predictis, qui provenit ex ductu alicuius numeri bis in se vel semel in suum quadratum. Radix numeri cubici est ille numerus qui ita bis ducitur in se vel semel etc. Unde patet quod numerus cubicus et quadratus eandem habent radicem, sicut superius dictum est. v. 215/222 inscriptum numerum distinguere per loca debes / que tibi mille notant. A mille notante sub prima / iunctum summes operandi parte sinistra. / Illic subscribes digitum qui, multiplicatus / in semet cubice, suprapositum sibi perdat / et si quid fuerit adiunctum parte sinistra, / si non, omnino quantum poterit minuendo. l. 744/748 Proposito ergo et descripto quid sit radicem cubicam extrahere, primo computande sunt figure per quartas sive per loca millenarii. Sub ultimo ergo loco millenarii inveniendus est quidam digitus qui in se ductus cubice deleat totum numerum suprapositum respectu sui vel quanto vicinus potest l. 510/514 Proposito igitur aliquo numero cuius radicem cubicam velis extrahere, primo computande sunt figure per quartas, sive per loca millenariorum, et sub loco ultimi millenarii inveniendus est quidam digitus, qui ductus in se cubice deleat totum suprapositum respectu sui, vel in quantum vicinius potest. v. 223/232 Hinc triplans retrahe saltum faciendo sub illa / que manet a digito deleto terna, figuram / illi propones que subtriplo societur; / ut cum subtriplo per eam tripla multiplicetur / hinc per eam solam productum multiplicabis, / postea totalem numerum qui provenit inde / a suprapositis respectu tolle triplate. / Addita sub primo cubice tunc l. 755/763 Hoc facto, triplandus est digitus inventus et ponendus est triplatum sub proxima tertia figura versus dextram, et ponendus est subtriplum sub triplato. Postea, inveniendus est digitus sub proxima figura ante illam sub qua triplatum est positum qui digitus subtriplo ductus in triplatum et postea sub triplo ductus in productum deleat totum suprapositum numerum l. 514/521 Quo facto triplandus est ille digitus, et triplatum ponendum est sub proxima figura tertia versus dextram et subtriplum sub triplo. Deinde inveniendus est quidam digitus sub proxima figura ante triplatum, qui cum subtriplo ductus in triplatum, postea sine subtriplo ductus in productum, deleat totum suprapositum respectu triplati, deinde ductus in 314 Estructura, contenidos y fuentes multiplicetur / respectu cuius numerus qui progredietur / ex cubico ductu suprapositis adimetur. vel quanto melius potest respectu triplati, et postea ductus in se cubice deleat totum suprapositum numerum vel quanto melius potest respectu sui se cubice deleat totum suprapositum respectu sui, vel in quantum vicinus potest. v. 233/238 Tunc ipsam delens, triples saltum faciendo / semper sub ternas, retrahens alias triplicatas. / Ex hinc triplatis aliam propone figuram / que per triplatas ducatur more priori, / primo subtriplis sibi iunctis, postea per se, / in numerum ducta productum de triplicatis. l. 763/769 Hoc facto, triplandus est digitus ille et ponendus sub triplam sub proxima tertia figura versus dextram et ante ponendus sub triplum subtriplato. Similiter anteriorandum aliud triplatum sub suo triplo, deinde inveniendus est digitus sub proxima figura anteriorati que cum triplis ductus in triplata (...). l. 521/527 Hoc facto triplandus est ille digitus iterum, et triplatum ponendum est sub proxima figura tertia ut prius, et eius subtriplum sub eo. Postea anteriorandum est primum triplatum cum suo subtriplo per duas differentias. Deinde inveniendus est quidam digitus sub proxima figura ante triplata, qui cum subtriplis ductus in triplata etc. v. 243/244 Et sic procedas retrahendo, triplando figuram / et proponendo novam donec totum peragatur. l. 769/773 Nec enim cessandum est a tali digiti inventi triplatione, nec a triplati anterioratione per tercias figuras, nec a triplici subpositione donec perventum sit ad primam figuram et sub ipsa etiam inveniendus est digitus qui cum subtriplis etc. sicut prius. l. 527/532 Nec cessandum est a tali digiti inventione, nec a digiti inventi triplatione, nec a triplati anterioratione per duas differentias, nec a subtripli sub triplo positione, nec a tali multiplicatione, nec a tali subtractione, donec perventum sit ad primam figuram, sub qua inveniendus est quidam digitus, qui cum subtriplis etc., deinde ductus in se cubice etc. Tabla 6: Pasajes paralelos en Carmen de algorismo, Comentario II y Algorismus Vemos aquí que las tres obras van describiendo de manera totalmente pareja la operación en su transcurso. Al hacerlo, tanto el vocabulario que emplea Sacrobosco como el del Comentario II es idéntico al del Carmen de algorismo (como en el resto de operaciones), con términos como loca, suprapositum, subtriplus y triplatus o el empleo del verbo ducere como sinónimo de multiplicare. Mucho más tangible es la relación entre el Comentario II y el Algor., donde el texto es prácticamente idéntico. Aquí es relevante señalar que, si bien encontrábamos loci paralleli entre ambas obras en otras operaciones e incluso en la introducción, no será hasta las raíces cúbicas donde se produzca este fenómeno de correspondencia directa. Ello es lógico, puesto que o bien el Comentario II o bien el Algor. contaban con el Liber Alchorismi para completar el resto de las operaciones, pero no para las raíces cúbicas: en este punto, uno depende del otro. Para desgranar la direccionalidad de la influencia, contamos con varios elementos que es conveniente examinar. Volviendo a la hipótesis de Beaujouan, dada la propia naturaleza del Algor., es probable que naciera como un comentario al Carmen o bien que se inspirara en una exégesis a esta obra, que bien podría ser el Comentario II. En este contexto, el Comentario II podría ser una fuente fundamental para el Algor., lo que no es en absoluto descartable, puesto que contamos con el precedente del Compot., una obra elaborada sobre la base de un tratado escolar que ya circulaba en la época, el Compotus ecclesiasticus (cfr. supra en las fuentes del Compot.). Esto demuestra que el autor no sólo conocía, como es lógico, las obras universitarias que circularían en su entorno, sino que no dudaba en usarlas para conformar las suyas propias. Si esto fuera cierto, la fecha de composición del Comentario II debería ser anterior al Algor., lo que lamentablemente no es posible probar. Como ya hemos indicado supra, la fecha de composición del Algor. es un misterio, aunque podría ser posterior al Compot. (1232/5) y sin duda anterior a la década de 1260. En cuanto al Comentario II, contamos con la datación post 1224 del 315 EL ALGORISMUS códice en el que está contenido, el Lat. 14070. Si bien no tenemos la data exacta, no creemos que esta se alejara mucho del terminus post quem indicado, puesto que fecha en 1224 unas distinctiones empleadas para ciertos cálculos computísticos. Además, de entre las obras que contiene el manuscrito se halla la Spher., que probablemente sea la primera obra de Sacrobosco, sin que haya rastro del Compot. ni del Algor. Por otro lado, el Comentario II que allí aparece es una copia ya deturpada. Esto es evidente por los errores que en él encontramos (cfr. infra su edición en el Apéndice III), aunque no pasa desapercibido que se trata de una copia cuidada y revisada. Ello implica que la composición del comentario es anterior a la escritura de esta copia parisina. El segundo argumento que esgrimimos es que en dicho comentario no se menciona ni una sola vez a Sacrobosco, mientras que sí cita a otros científicos como Euclides, Boecio, Avicena, Gordiano e, incluso, a «Algorismo». Y, si bien es cierto que Sacrobosco tampoco menciona en ninguna parte que esté siguiendo un comentario, no es extraño en la prosa del autor que omita sus fuentes, como podemos ver, de nuevo, en el Compot., donde en ningún momento menciona el Compotus ecclesiasticus. El paralelo con el procedimiento de composición del Compot., la posibilidad de que el Comentario II se compusiera antes que el Algor. y la cuestión de las fuentes parecen indicar que el Comentario II es previo al Algor. y no al revés. En este sentido, barajamos dos posibilidades. La primera de ellas es que el Comentario II, compuesto por un autor anónimo, sea fuente del Algor. Esto traería consigo ciertas consecuencias. La primera de ellas y más evidente es que el Addendum I y el Addendum IV al Carmen de algorismo son anteriores y no posteriores al Algor., puesto que aparecen en la copia del Carmen que el Comentario II comenta e, incluso, son objeto de dicha exégesis. La segunda consecuencia, muy relacionada con la primera, afecta a lo dicho en el punto anterior sobre las partes de la progresión y las reglas de la multiplicación. Puesto que el Comentario II sí transmite estas operaciones o conocimientos matemáticos, habría que añadir, a la tabla antes comentada, esta obra como probable fuente. Especialmente en la definición de la progresión vemos un influjo muy claro, pero este se disipa a lo largo de las regule de la progresión y de la multiplicación, por lo que, de ser esta fuente del Algor., Sacrobosco igualmente habría recurrido a otras (sc. las que hemos mencionado supra) para completar estos capítulos. La tercera consecuencia es que quizá Sacrobosco tomara de dicho comentario algunos de los contenidos comunes al Comentario II, el Algor. y el Liber Alchorismi, puesto que son varias las ocasiones en las que encontramos frases muy similares en las tres obras. Si así fuera, aunque Sacrobosco hubiera tomado partes del Comentario II, de nuevo, también habría tenido a su disposición el Liber Alchorismi, porque hay pasajes del Liber Alchorismi que encontramos en el Algor., pero no en el Comentario II. La segunda posibilidad es que el Comentario II sea una redacción inicial del Algor. escrita por el propio Sacrobosco, que más adelante habría modificado hasta llegar al Algor. tal y como lo conocemos hoy. A favor de esta hipótesis contamos con que el texto del Comentario II concuerda en gran medida con el usus scribendi de Sacrobosco tanto en vocabulario como en formulación. De hecho, como decíamos, son muchos los pasajes prácticamente idénticos entre ambas obras. En contra de ella, en cambio, señalamos las citas a autores que no aparecen en el Algor. ni en ninguna de las otras obras de Sacrobosco, como Avicena o san Agustín. Si fuera esta una primera redacción del Algor., sería difícil explicar la supresión de estas menciones en la versión definitiva de la obra. Finalizamos este apartado recordando que no es posible establecer una direccionalidad segura entre ambas obras, puesto que todas las hipótesis barajadas no cuentan con pruebas que las confirmen categóricamente. Es decir, que en principio nada impide que debamos entender la influencia a la inversa: que sea el Comentario II el que descienda del Algor. Además, cabe la posibilidad de que estemos ante un panorama más complejo que cualquiera de los descritos. Dado que se trata de obras muy cercanas en el tiempo y en el espacio, es posible que hayan existido 316 Estructura, contenidos y fuentes múltiples puntos de contacto entre ellas, es decir, que una redacción primigenia del Comentario II influyera para la composición del Algor. y que más adelante dicho el Algor. influyera para ampliar el Comentario II en la forma en que se nos ha transmitido por el códice parisino. Por ello, dado que las posibilidades de influencia son múltiples y no hay evidencia segura al respecto, en el estudio estemático tan solo hemos tenido en consideración las fuentes seguras del Algor., como el Carmen de algorismo y el Liber alchorismi. 2.4. Boecio, De institutione arithmeticae En la obra de Sacrobosco, Boecio es una constante. Aunque sólo lo encontramos citado expresamente en el final del Comput. (Unde Boethius: O, qui perpetua, etc.; Lohr, 2020, 89, cap. 24, l. 42/46) y en Algor. 430/431 (dicit Boetius in Arismetica quod unitas potentialiter est, etc.)695, su influencia es evidente en la totalidad de sus tratados. No en vano, la apertura del Algor., omnia que a primeva rerum origine processerunt ratione numerorum formata sunt (l. 1/2), se corresponde con la frase boeciana omnia quaecunque a primaeva rerum natura constructa sunt, numerorum videntur ratione formata (Instit., 1.2). Este hecho no pasó desapercibido por algunos de los copistas y lectores de la obra, como los de los códices Lo5 Ox4 Ox5 (cfr. infra, subfamilia ν) y Ox6 en el margen, quienes comienzan el tratado haciendo mención a ello: l. 1 omnia] dicente boecio in principio arismetice praem. Lo5 Ox5, quoniam dicitur a boecio in principio arismetice praem. Ox4, boetii in sua arismetica add. Ox6m Esto mismo lo encontramos en la l. 11, donde se recoge la sentencia: unitas vero est qua unaqueque res una dicitur (veremos infra que es una cita de Euclides), que en los códices Ox4 Ox5 viene precedida por el siguiente apunte: de unitate vero dicit Boetius unitas potentialiter est omnis numerus. Es esta una referencia a las l. 430/431, ya señaladas supra, donde se menciona a Boecio (Instit. 1.20). En relación con esta cita se encuentran las líneas del Algor. inmediatamente anteriores (l. 429/430): Cum igitur ex ductu unitatis in se semel vel bis nichil proveniat nisi unitas, que preceden a la máxima boeciana y para las cuales encontramos su paralelo de nuevo en un pasaje posterior de Boecio: Ita etiam unitas in se ipsa multiplicata nihil procreat. Semel enim unum nihil aliud ex se gignit, quam ipsa est (Instit. 2.4). El último pasaje del Algor. que remonta a Boecio (además de las l. 8/10, que veremos infra en el apartado de Euclides) es la larga explicación de los números lineales, superficiales y sólidos (l. 393/401). A pesar de que el contenido es muy similar, la reformulación sacrobosquiana es profunda, y en ella Sacrobosco introduce incluso algunas definiciones tomadas de Euclides. Así las cosas, podemos decir que Sacrobosco a veces toma citas casi literales de Boecio y, otras veces, bebe de sus conocimientos que reformula y hace accesibles a los eruditos de su época. La influencia de Boecio en este sentido es doble: una, directa a través de los escritos boecianos manejados directamente por Sacrobosco; otra, mediada, a través de las nociones boecianas presentes en los descendientes del De numero Indorum, donde se combinaban con los saberes de al-Khwarizmi. 695 Pasaje que se corresponde con Boecio, Instit. 1.20: Semel enim I solam efficit unitatem, quae partibus suis aequalis est potentia solum, ceteris etiam actu atque opere perfectis. Citamos la obra a través de la edición de Friedlein (1867). 317 EL ALGORISMUS 2.5. Euclides, Liber elementorum El Liber elementorum de Euclides constituye uno de los muchos ejemplos de obras de grandes autores griegos que fueron desconocidas en la Europa altomedieval por carecer de traducción latina, pero que, en cambio, sí circularon por el mundo bizantino y árabe. En este sentido, no sería hasta el s. XII cuando se volcó al latín por los traductores Gerardo de Cremona y de Adelardo de Bath (este segundo con una mayor difusión), ambas hechas desde versiones de la obra en árabe, vertidas, a su vez, del texto griego696. El conocimiento sacrobosquiano de dicha obra es evidente en tanto en cuanto lo cita en la Spher. y, de hecho, es con este autor con quien empieza su tratado: Sphera igitur ab Euclide sic describitur: spera est transitus circumferentie dimidii circuli quotiens fixa diametro quousque ad locum suum redeat circumducitur (Thorndike, 1949a, 76). En el Algor. su presencia no es tanta ni tan evidente, pero sí encontramos algunas definiciones de Euclides que Sacrobosco toma prácticamente de manera literal, como en Algor. 11 Unitas vero est qua unaqueque res una dicitur, que se corresponde con Liber elementorum 7.1: Unitas est qua dicitur omnis res una; o también en Algor. 396/397: linea tantum unicam habet dimensionem, scilicet longitudinem sive latitudinem, tomado de Euclides 1.2: linea est longitudo sine latitudine, donde quizá Sacrobosco habría tomado una versión de la obra con la corrupción de sive por sine697. A pesar de que en la gran mayoría de citas euclidianas se corresponden con las definiciones del Liber elementorum y no con sus demostraciones geométricas, en una ocasión parece que Sacrobosco opta por esta sección más práctica para explicar el concepto de medios proporcionales de los números cuadrados y cúbicos (Algor. 432/438). En estas líneas, mientras que Sacrobosco explica la proporcionalidad entre dos números cuadrados o cúbicos consecutivos a través de la multiplicación de sus raíces, Euclides hace lo propio en 8.8.13 y 8.8.19 con segmentos, tal como es habitual en el resto de su obra, enfocada más hacia la geometría y no la aritmética. El uso de Euclides permite ofrecer un ejemplo paradigmático sobre cómo Sacrobosco emplea y reelabora sus fuentes. En Algor. 8/10 se define el número material y formalmente: Numerus quidem dupliciter notificatur, materialiter et formaliter. Materialiter enim ut numerus est unitates collecte, formaliter ut numerus est multitudo ex unitatibus profusa. Mientras que identificamos la definición de la parte material con el pasaje de Boecio, Instit. 1.3: Numerus est unitatum collectio, vel quantitatis acervus ex unitatibus profusus, la parte formal la toma de Euclides, Element. 7.2: Numerus est multitudo ex unitatibus composita. Así pues, es evidente que el autor tiene a su alcance varias obras de referencia que va combinando para dar forma a cada uno de sus tratados cuyo éxito, como decíamos supra en el análisis de la obra del autor, radica más en la ordenación lógica y en la estructuración de ese material existente que en la originalidad de los contenidos. 2.6. Otros paralelos Además de los autores y obras ya citados, encontramos en Sacrobosco ciertas definiciones y nociones que encuentran su paralelo en tratados anteriores a él. A continuación veremos las posibles relaciones de Sacrobosco con Isidoro de Sevilla, Gerberto de Aurillac y Rodolfo de Laón. 696 Cfr. Busard (1983, 2-15), donde también se encuentra la edición que empleamos en el aparato de fuentes y a través de la que citamos los pasajes correspondientes. 697 Otros pasajes euclidianos en el Algor. los encontramos en Algor. 209/211, con paralelo en Euclides, Element. 7.12; Algor. 397/398 y Element. 1.15; Algor. 400/401 y Element. 1.5; Algor. 412/414 y Element. 7.16; Algor. 414/415 y Element. 11.1. 318 Estructura, contenidos y fuentes El primero de ellos, por orden cronológico, es Isidoro de Sevilla, con su obra Etymologiarum libri sive Originum libri XX698. Igual que Sacrobosco, Isidoro de Sevilla es un autor que gusta de buscar las etimologías, el origen de las palabras y la relación del léxico con la realidad que designa, lo que hace que sea un buen candidato para hacer las veces de fuente en las obras del autor parisino. En el caso del Algor., son escasas las ocasiones en las que podemos apreciar paralelismos con el libro tercero de sus Etymologiarum libri, dedicado a la matemática. Además, cuando vislumbramos ecos de Isidoro en pasajes de Sacrobosco, estos son retrotraíbles a la obra de Boecio. Un ejemplo de ello es el principio del Algor., omnia que a primeva rerum origine processerunt ratione numerorum formata sunt (l. 1/2), que ya veíamos supra por corresponderse con Boecio, Instit., 1.2: omnia quaecunque a primaeva rerum natura constructa sunt, numerorum videntur ratione formata. Isidoro, en Etym. 3.4.1, recoge la idea de este último, que también aparece en otra de sus fuentes, Casiodoro, y la amplía citando la Biblia (Sap. 11.21): Ratio numerorum contemnenda non est. In multis enim sanctarum scripturarum locis quantum mysterium habent elucet. Non enim frustra in laudibus Dei dictum est: «Omnia in mensura et numero et pondere fecisti». Dado este ejemplo paradigmático, podemos decir que, en conjunto, la comparación de las obras permite establecer que los loci paralleli entre el Algor. e Isidoro no delatan una dependencia directa, sino que probablemente estemos ante al empleo independiente de una fuente común: Boecio. El segundo autor que analizaremos es Gerberto de Aurillac, conocido posteriormente como papa Silvestre II. De él ya decíamos en la introducción a los tratados sobre el algorismo que fue el primer europeo en describir los numerales venidos de la India y su funcionamiento, lo que ocurre especialmente en su Liber abaci (Abac.). Como es lógico, esto encuentra su correspondiente en el Algor., aunque no podemos saber si Sacrobosco conocía directamente la obra de Gerberto o si la coincidencia de los contenidos se debe a desarrollos independientes. Sin embargo, no sólo encontramos paralelismos entre el Liber abaci de Gerberto y el Algor., sino que son varias las obras de Gerberto que podemos relacionar, al menos en algún punto, con el tratado de Sacrobosco, a saber: Regula de abaco computi (Regula abac.), Libellus de numerorum divisione (Numer.), Liber abaci (Abac.) y Geometria (Geometr.). En la siguiente tabla citamos las similitudes de contenido encontradas entre ambos autores699: Gerberto de Aurillac Sacrobosco, Algorismus Regula abac. (p. 324) l. 16 Digitus – articulo Abac. 1 (p. 361) l. 32/33 inveniuntur – 1 Abac. 1 (p. 360-1) l. 56/60 Notandum – 1000 Abac. 2 (p. 364) l. 60/62 Que – precedenti Regula abac. (p. 311) Numer. 1 (p. 349) Abac. 1 (p. 362) l. 229/231 Quando – 100 Regula abac. (p. 313) Numer. 2 (p. 350) l. 238 Quando – 1000 Regula abac. (p. 324) l. 307/309 Numerus – divisori Abac. 1 (p. 368) l. 348/352 Cum – figure Geometr. 1 (p. 404) l. 396/397 linea – latitudinem Geometr. 1 (p. 404) l. 400/401 superficies – latitudinem Geometr. 1 (p. 403) l. 414/415 solidum1 – spissitudinem Geometr. 1 (p. 404) l. 429/431 Cum – actu Tabla 7: Similitudes de contenido en la obra de Gerberto de Aurillac y el Algorismus 698 Cuyos pasajes hemos consultado en la edición de Gasparotto y Guillaumin (2009). 699 Todas ellas las citamos siguiendo la edición de Olleris (1867). 319 EL ALGORISMUS De estas obras, vemos que la Regula de abaco computi y el Liber abaci son las que más similitud parecen tener con el Algor., lo que no sorprende por ser las obras que definen en mayor medida el uso del sistema posicional y los guarismos correspondientes. En ellas advertimos que, aparte de los pasajes paralelos localizados, podría subyacer en el Algor. una mayor influencia estructural de esta obra u otras derivadas de ella, puesto que en ellas se describen la multiplicación y la división700 de manera extensa (incluso se incluyen números fraccionarios), pero siempre a través de ejemplos, nunca del estilo teórico empleado por Sacrobosco. Por otro lado, llama la atención también la correspondencia entre las obras de Gerberto y Algor. 229/231 y 238. Son estos los apartados correspondientes a las reglas de la multiplicación que conciernen a los artículos, es decir, a multiplicar con decenas y centenas. Gerberto es el primer autor que hemos encontrado que enseña a operar de esta manera, del que quizá no beba Sacrobosco para su obra, pero que sin duda tendría influencia en otros tratados matemáticos posteriores. Por último, por lo que respecta a la Geometria tan solo podría haberse servido para ciertas definiciones, con un uso similiar al que encontrábamos de Euclides. De cualquier forma, el hecho de que ya en Gerberto se empleen términos utilizados por Sacrobosco es indicador de que dichos conceptos ya se manejaban en una época muy anterior al s. XII, fecha de copia de los primeros tratados sobre la numeración indoarábiga. Finalmente, Rodolfo de Laón, tal como decíamos supra al analizar los algorismos del s. XII, fue un autor de este mismo siglo que compuso un tratado llamado De abaco701. Contrariamente a lo que se podría pensar por su nombre, esta obra recoge una introducción a los numerales indoarábigos, mostrando cómo funciona el sistema posicional y describiendo las operaciones de la multiplicación y división donde incluye preceptos sobre los números menores a la unidad. Se trata de una obra de una complejidad considerable y donde Gerberto es sin duda una de sus fuentes, pues lo cita a lo largo del tratado. Dado que su objetivo es similar al de Sacrobosco, encontramos múltiples paralelismos entre las obras de ambos. No obstante, el vocabulario es tan distinto y las explicaciones de las operaciones presentan una formulación tan diferente, que consideramos que, si Rodolfo de Laón era conocido por Sacrobosco, aunque podría haber tomado algunas ideas para su Algor., no encontramos trazas de ello en su obra. Además, tal como ocurría con Isidoro de Sevilla, en varias ocasiones dichas similitudes podrían deberse a un uso similar de obras anteriores. 2.7. Síntesis de las fuentes Tras analizar las fuentes de Sacrobosco y, más arriba, sus precedentes en cuanto al arte del algorismo, es posible situar a este autor en un momento concreto en la historia de la matemática. La traducción latina de la obra de al-Khwarizmi en el s. XII dio a conocer a los eruditos europeos un nuevo sistema matemático que permitía realizar operaciones complicadas de una manera más efectiva. Conscientes de ello, fueron varios los autores que quisieron expandir este conocimiento a través de varios tratados sobre la materia, comenzando por el De numero Indorum y siguiendo con todos sus descendientes. Más adelante, estas obras llegarían al ámbito universitario, donde Villadei escribió en los primeros años del s. XIII un poema que sintetizaba estos saberes con fines propedéuticos: el Carmen de algorismo. Fue entonces cuando Sacrobosco escribió su Algor. dentro del mismo marco educativo probablemente como comentario del Carmen, para que sirviera 700 Sobre la que tiene, además, un libro aparte: Libellus de numerorum divisione (Olleris, 1867, 349- 56). 701 Para estudiar este texto hemos empleado la edición de Nagl (1890, 85-133). 320 Estructura, contenidos y fuentes de complemento a sus contenidos y ofreciera algunos nuevos desarrollos. Su obra, aun sin profundizar en cuestiones más avanzadas como las fracciones, explicaba detenidamente los numerales y las operaciones básicas realizadas a partir del nuevo sistema. Su claridad y concisión fue sin duda esencial para que el Algor. se convirtiera en el algorismo más leído y copiado de todos los realizados hasta la fecha, siendo la base que la Europa bajomedieval escogería para aprender esta nueva ciencia. Para la elaboración de este manual matemático, Sacrobosco contó con algunas de las obras que lo precedieron. Al igual que en sus otros tratados, Spher. y Compot., incluyó los conocimientos heredados de los clásicos Euclides y Boecio de dos maneras: tanto con citas literales como con reescrituras de sus máximas. Con este proceder a menudo encontramos pasajes mixtos donde la presencia de estos autores se entremezcla para crear un resultado lo más completo posible. De sus precedentes inmediatos, su obra refleja un conocimiento profundo del Liber Alchorismi, de donde adopta gran parte de su terminología y la estructura general de la obra. De forma más explícita encontramos la presencia literal de la obra de la que Sacrobosco parte para su composición: el Carmen de algorismo de Villadei, cuyos versos cita. Con esta obra, además, comparte la omisión total de la explicación de las fracciones y la inclusión de las raíces cúbicas, unas características que sin duda Sacrobosco adoptó y adaptó del Carmen. Finalmente, encontramos la presencia de otros tratados y opúsculos, como la segunda parte del Liber Alchorismi (Alchor. II) y el algorismo del manuscrito de Coventry, aunque su influencia en el Algor. es considerablemente menor que la del Liber Alchorismi y el Carmen de algorismo. Además de estos tratados, merece una mención especial el Comentario II al Carmen de algorismo. Es este un comentario que hasta la fecha no había sido estudiado y cuyo contenido es muy similar al del Algor., de manera que bien podría ser un estadio incipiente de la redacción del Algor. o constituir una fuente clave para su composición. En este sentido, considerando que ya el Compot. nació como una reelaboración de una obra escolar previa, no nos extrañaría su uso como fuente. Más dudas nos plantea la posibilidad de que fuera una redacción previa del Algor., sobre todo porque el Comentario II menciona a autores que no se incluyen en el Algor., una elisión que resultaría anómala dada la tendencia de Sacrobosco a la cita, a menudo literal, de sus predecesores más ilustres. Dentro de esta línea, no es descartable que la realidad que se esconde tras la composición del Algor. y el Comentario II sea más compleja, de suerte que el Comentario II podría haber recibido el influjo del Algor. en algún punto de su transmisión en mayor o menor medida, al menos en la forma en la que nos ha llegado en el codex unicus que lo conserva. Así las cosas, aunque a nuestro parecer es muy probable que el Comentario II sea una fuente de gran valor para el Algor., el hecho de no contar aún con datos suficientes que así lo confirmen hace que debamos ser precavidos con esta hipótesis. Con todo este material a su disposición, Sacrobosco escribió el Algor. Al hacerlo, su mayor contribución no sería la originalidad de contenidos, sino más bien la selección, combinación y ordenación de estos. Con ello consiguió hacer accesible la matemática del algorismo a través de un tratado bien estructurado, dotado de unos contenidos seleccionados con acierto, expuestos mediante una prosa clara y acompañados de ejemplos. El éxito rotundo que obtuvo es patente cuando se cuentan los cientos de ejemplares que todavía hoy conservamos de esta obra. Por último, queremos resaltar la importancia de este análisis de las fuentes del Algor. para su estudio estemático, que desarrollaremos más adelante. En una obra como el Algor., donde las variantes textuales se cuentan por cientos y a menudo no es fácil detectar los errores, el uso de las fuentes como elemento de discernimiento es esencial. Así, gracias a este análisis hemos podido aislar aquellas obras que con seguridad sirvieron de inspiración para Sacrobosco y, con ello, contar con una herramienta fiable para detectar los errores. 321 Posteridad del Algorismus 1. Comentarios La atención que recibió el Algor. en ámbito escolar, igual que ocurrió con el Carmen de algorismo, dio lugar a numerosos comentarios. La mayoría de ellos no han sido estudiados hasta la fecha y las relaciones que pudieran existir entre unos y otros está aún por determinar. En el presente capítulo ofrecemos el primer elenco de comentarios del Algor. que hemos localizado hasta el momento, acompañado de una descripción somera de cada uno de ellos. En el proceso de localización y descripción de estas exégesis hemos detectado algunas dificultades intrínsecas al estudio de este tipo de textos. En primer lugar, su identificación en los catálogos es complicada. Tal como hemos podido ver en los testimonios descartados dentro de la tradición manuscrita, son muchos los comentarios que en los catálogos aparecen bajo el nombre de la obra que comentan. Esta confusión es lógica, pues a menudo comienzan citando el incipit de su objeto de estudio, siendo así idéntico el inicio de la exégesis y de la obra comentada. Otras veces, cuando se explicita que se trata de un comentario, no se da más información que esta, de manera que es imposible clasificarlo dentro del maremágnum de testimonios de este tipo. El segundo gran problema con el que nos hemos encontrado es su gran parecido. Es lógico pensar que dos autores distintos puedan escribir comentarios únicos pero a la vez similares de una misma obra, máxime cuando la educación recibida ha sido la misma y quizá también su contexto. En este sentido, solemos encontrar cuatro claves en torno a las que se comentan los clásicos en la escolástica medieval: la materia, intentio, utilitas y titulus de la obra702. Esta misma estructura se reutiliza para analizar los tratados medievales. Esto conlleva que, muchas veces, encontremos comentarios prácticamente idénticos al principio, donde empiezan analizando cada una de estas cuatro características, pero con un desarrollo posterior distinto. Así las cosas, no es fácil saber si dos obras están emparentadas en cuanto a su tradición, o si son comentarios totalmente ajenos el uno del otro pero con formulaciones y estructuras similares. Hasta tal punto ocurre este escenario, que lo mejor sería analizar cada uno de los testimonios como un unicum, pues incluso aquellas obras que encontramos muy parecidas en su inicio y que podrían responder a un antepasado común difieren en el desarrollo posterior (cfr., por ejemplo, los comentarios al Carmen de los manuscritos parisinos Lat. 14070 y Lat. 7477 y el Comentario A, cuyas ediciones incluimos en el Apéndice III). Ante este panorama, resulta imposible establecer categorías u ordenar de forma coherente los comentarios de los que hemos tenido noticia, más aún cuando no hemos podido examinarlos individualmente. Siendo conscientes de estas limitaciones, hemos creado grupos de comentarios que podrían estar emparentados por presentar el mismo incipit. De esta forma, no ha de tomarse cada subapartado como un solo comentario con distintos testimonios, sino como varios códices que contienen comentarios que empiezan de la misma forma. Estos grupos de comentarios los hemos dividido a su vez en dos categorías diferenciadas: por un lado, enumeramos los comentarios con autoría reconocida o atribuida y, por otro, aquellos cuya autoría es anónima. En los comentarios de autoría anónima, hemos otorgado a cada grupo 702 Cfr. Przychocki (1911, 108-11) sobre este aspecto en las glosas y comentarios al Ars amatoria de Ovidio. 322 Posteridad del Algorismus de comentarios que comparte incipit una letra alfabética para poder hacer referencia a ellos. En cualquiera de los casos, empleamos una ordenación cronológica. 1.1. Comentarios con autoría reconocida En los comentarios con autoría reconocida, es más probable que los testimonios que recogemos remitan de facto a la misma obra. Sin embargo, como decíamos supra, podría ocurrir que algún testimonio solo comparta el incipit del comentario, pero no el resto, como se advertirá en el Comentario de Cristiano de Praga y otras exégesis vinculadas. Esperamos que en futuros estudios pueda solventarse esta cuestión y ofrecer respuestas más concretas. 1.1.1. Comentario de Pedro Filomena de Dacia Inc.: Omnia, que a primeva etc. In hoc tractatu determinatur de arte numerandi sive de numero practico, in quo auctor sic procedit. Des.: Erat igitur numerus extractus, cuius radicem invenisti, maximus cubicus in toto numero proposito. Manuscritos: Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 1430, ff. 31ra-36rb Eichstätt, Universitätsbibliothek, st 626, ff. 6r-19r703 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 2º 394, ff. 148rb-154vb Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 234, ff. 123ra-137ra Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 369, ff. 152ra-163ra Leipzig, Universitätsbibliothek, 1470, ff. 433r-444v London, British Library, Harley 1, ff. 47ra-55vb München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 11067, ff. 142va-159ra München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14401, ff. 169ra-179vb München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14476, ff. 15va-16vb Oxford, Bodleian Library, Bodley 491, ff. 116v-142r Oxford, Bodleian Library, Digby 166, ff. 13r-20v Salzburg, Benediktiner-Erzabtei Sankt Peter, Stiftsbibliothek, b.IX.14, ff. 93r-115r Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 3816, ff. 109vb-127vb Ediciones: Curtze (1897, 20-92); F.S. Pedersen (1983-4, vol. 1, 81-163). Bibliografía: Benedict (1916, 16-7); O. Pedersen (1976, 1-54); F.S. Pedersen (1983-4). Este comentario del Algor. es el más conocido de todos. Es también el más reciente comentario fechado, pues data de 1292, concretamente del 31 de julio. Además, según el colofón de la obra, fue escrito en París. En cuanto al autor, Peter Nightingale, más conocido como Pedro Filomena de Dacia (Petrus Philomena de Dacia), es el único matemático y astrónomo conocido en toda la Edad Media proveniente de Dinamarca (F.S. Pedersen, 1983-4, vol. 1, 26-31). Respecto a su texto, además de emplear a Sacrobosco como autoridad, cita a Aristóteles, Boecio y Avicena (O. Pedersen, 1976, 13-4). 1.1.2. Comentario de Juan de Garlandia Inc.: Omnia que a primeva... Iste liber qui titulatur algorismus auctore Johanne de Sacro Busco. Manuscrito: Basel, Universitätsbibliothek, F.VIII.16, ff. 14r-28v 703 Este códice no lo contempla F.S. Pedersen (1983, vol. 1) para su edición. Hemos sabido de su existencia al realizar nuestro censo. 323 EL ALGORISMUS La autoría atribuida a este comentario se debe a la propuesta realizada por Bodemann y Dabrowski (2000, 22): Commentarius super Algorismus, Johannis de Garlandia. Si así fuera, el comentario habría de datarse a finales del s. XIII o principios del s. XIV, época en la que vivió este autor. En cualquier caso, puesto que la autoría de Juan de Garlandia no ha sido confirmado y dado que el manuscrito de Basilea, datado en el año 1442, parece ser el único testimonio de esta exégesis, establecemos este año como terminus ante quem seguro para su composición (cfr. supra su descripción en el censo, n.º 28). 1.1.3. Comentario de Cristiano de Praga y otras exégesis vinculadas Inc.: Omnia que a primeva. Iste liber cuius subiectum est numerus. Manuscritos: Augsburg, Universitätsbibliothek, III.1.4º 1, ff. 186va-195vb Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 46, ff. 141r-173v Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 898, f. 4v (frag.) Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1452, ff. 60r-85v Dessau, Stadtbibliothek, Georg. 866, ff. 158r-178v y 179ra-205v704 Freiburg, Universitätsbibliothek, 57, ff. 114v-120v Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.37, ff. 83r-93v La única noticia de la posible autoría de un comentario con tal incipit la encontramos en el colofón del testimonio de Friburgo, en el f. 120v, donde se atribuye la obra a Cristiano de Praga y se dice que fue compuesto en el año 1409: Expliciunt notabilia super algorismo communi in integris, reportata et collecta originaliter Prage a magistro reverendo Cristando de Prachaticz, astronomo famoso cum enigmatibus quorum quedam ab eo sunt data alia vero aliunde collecta. Anno Christi 1409705. Es este un caso en el que estamos seguros de que los códices citados no transmiten un único comentario, sino varios probablemente relacionados entre sí, puesto que los textos que transmiten estos manuscritos no coinciden en su totalidad, sino que, aun teniendo el mismo incipit, su desarrollo posterior es diferente. Por esta razón, es altamente inverosímil que todos ellos fueran escritos por el mismo autor. Se trata, por tanto, de varias formas textuales que exigirían un estudio independiente. Buena muestra de ello es que cada uno de los comentarios presenta un desinit distinto al resto706; o la adición de un prólogo en todos los manuscritos menos el Lat. 4º 898 de Berlín y el códice vaticano Pal. Lat. 1452707. 704 Parece que este manuscrito transmite dos veces el mismo comentario, la primera de ellas en los márgenes del Algor. en los ff. 158r-178v y la segunda en texto en los ff. 179ra-205v. 705 «Aquí acaban las cosas reseñables sobre el algorismo común de los números enteros, recogida y transmitida originalmente en Praga por el maestro reverendo Cristiano de Praga, astrónomo famoso, con las incertezas de quién ha proporcionado los otros datos o qué otra fuente los ha reportado. En el año de Cristo de 1409». 706 Los desinit son los siguientes. En el manuscrito de Augsburgo: media pars maior multiplicat. Et sic est finis huius operis per manus Co. Geyl.; en el de Berlín, Lat. 4º 46: Et tantum de ista progressione et de ista tota materia pro cuius complecione deus; en el vaticano: Qui numerus est eius quartus etc. [sic]; en Dessau, f. 178v: Ter tria et sunt novem summa tocius processionis. Et sic est finis y en Dessau, f. 205v: Superfluitates ad vicia inclinantes quibus in nobis mortificatis poterimus esse eterne lucis quod nobis concedat omnipotens deus qui sine fine vivit et regnat. Amen; en el de Friburgo: Et nisi centenarii sunt considerandi et alii numeri non (que coincide con el final de uno de los varios problemas matemáticos que se insertan en este comentario, cfr. supra lo dicho sobre las Cautele); en el de Breslavia: Et consimiliter agendum de aliis exemplis. Et est finis huius algorismi. 707 Los incipit de estos prólogos son los siguientes. Códice de Augsburgo: Non est omnino mortuus. Ista propositio scribit Ptholomeus in qua proposicione tanguntur duo, primum est quod sciencia vivificat. 324 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3160#179376 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3160#179376 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3160#158884 Posteridad del Algorismus En cuanto a la parte común, todos los testimonios presentan, al menos, un párrafo introductorio prácticamente idéntico y, a pesar de que cada uno transmite un texto distinto, esta parte invariable es probable que denote algún tipo de relación entre estas exégesis, quizá partiendo de un comentario compuesto por Cristiano de Praga. Lo único que podemos afirmar es que la fecha del manuscrito de Friburgo, 1409, es el terminus ante quem que manejamos para datar la composición de, al menos, la parte invariable de todos los comentarios708. 1.1.4. Comentario del maestro Brucardo Inc.: Circa accessum ad noticiam algorismi autor compilacionis huius tractatuli. Des.: Primo inveniendus et postea penultimus et sic consequenter. Manuscrito: Basel, Universitätsbibliothek, O.IV.37, ff. 1ra-58rb En el colofón de este manuscrito, el único conocido que transmite este comentario, se atribuye la autoría a un tal magister Bruckardus, del que se afirma que habría sido rector de la escuela de Constanza, siendo esta la única noticia que, de momento, hemos podido encontrar sobre este personaje: Et sic finitur exposicio et declaratio algorismi de integris cum exemplorum annotacione pro utiliori dictorum declaracione. Anno domini millesimo quadringentesimo vigesimo quinto die Iovis, que fuit nona mensis Marcii, Indictione tercia. Per Magistrum Bruckardum qui tunc temporis fuit Rector scolarum Constanciensium709. Puesto que el manuscrito está datado en el año 1425, establecemos esta fecha como terminus ante quem para la datación de este opúsculo, al carecer de otros datos que aporten mayor precisión710. 1.1.5. Comentario de Nicolás Matz Inc.: Circa inicium algorismi. Ad dei gloriam et beate virginis ac sancte Katherine tociusque curie celestis laudem pauca pro meorum scholarium et mei informacione collecturus super textum algorismi de integris priusquam ad textum accessum capiam. Des.: Hec de radicum extractione et per consequens de Algorismo de integris dicta sufficiant. Manuscrito: Michelstadt, Kirchenbibliothek, D 692, ff. 135r-165r (autógrafo) Edición: Hellmann (2006). Este comentario remonta a una conferencia sobre el algorismo pronunciada por el maestro Nicolás Matz de Michelstadt, que es el mismo copista del códice (cfr. supra, censo de manuscritos, n.º 377). Dicha ponencia tuvo lugar alrededor del año 1465 en Friburgo (Bertalot, Códice de Berlín, Lat. 4º 46: Si quis sciencias mathematicas pretermiserit. Códice de Dessau (f. 158r): Sed causa efficiens secundaria fuit johannes de sacrobusco qui hanc scientiam in brevem ac utilem compilavit ac composuit. Códice de Friburgo: Scribitur in De pomo et morte: Ve anime peccatrici que non licet posse. Códice de Breslavia: Circa inicium algorismi. Primordialiter divinum presidium circa presens opusculum est improrandum. 708 En efecto, el resto de manuscritos que hemos citado supra, datan del s. XV, por lo que la noticia de Friburgo es la información más antigua con la que contamos al respecto. 709 «Y así termina la exposición y explicación del algorismo de los números enteros con anotación de los ejemplos para una explicación más útil de lo dicho. En el año del Señor milésimo cuadracentésimo vigésimo quinto, día jueves, que fueron las nonas del mes de marzo, indicción tercera. Por el maestro Bruckardo, que por aquellos tiempos fue rector de las escuelas de Costanza». 710 Se puede consultar información sobre el códice, incluida una bibliografía básica, en la base de datos Ptolemaeus (cons. 18/05/2023). 325 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7985#119695 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7985#283291 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7985#396252 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3160#133063 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3160#133063 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3160#133063 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1500#360964 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/7985#3_66 EL ALGORISMUS 1915, 1), por lo que la fecha de composición de este comentario deberíamos situarla en torno a ese año. 1.1.6. Comentario de Enrique Stolberg y otro opúsculo asociado Inc.: Circa inicium algorismi. Ex quo presens, ex quo sciencia est mathematicalis. Des.: Ipsius media loca si non ipse locorum. Et sic est finis huius algorismi. Lectum in Amberga per magistrum Henricum Stolberg anno 1452. Manuscrito: Michelstadt, Kirchenbibliothek, D 692, ff. 114r-118v y 123r-127v El mismo Nicolás Matz que escribió y puso por escrito su comentario del Algor. transmite este otro comentario leído en Amberes de un colega suyo, Enrique Stolberg. Igual que hiciera el mismo Matz, Stolberg empleó su comentario del Algor. como material para una ponencia o clase magistral en Amberes en el año 1452711. Además de este testimonio del comentario, contamos con la obra que aparece en el códice Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.36, ff. 25v-36v, que pensamos que podría ser una exégesis asociada por el parecido de su comienzo. El incipit del comentario del manuscrito de Breslavia reza así: Circa inicium huius libri primo sciendum quod mathematica. En su desinit, de nuevo similar, se añade la apostilla del desconocimiento del autor de la obra: sic est finis illius algorismi. Explicit algorismi nescio cuius etc. 1.1.7 Comentario del maestro Georgio Prolog.: Circa initium algorismi queritur qualis sit sciencia presentis libelli. Inc.: Hic magister vult quod hec sciencia. Des.: Finis algorismi prosayci magistri Ioannis de sacro busco per me Iohannem de berck zabernia 5ta feria ante festum penthekost argentine anno 1496. A magistro Ieorio [sic] tunc temporis rectore. Manuscrito: Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 7.76, ff. 1r-35v Este manuscrito de Edimburgo es la única copia que hemos encontrado del comentario que atribuimos al maestro Georgio a juzgar por su desinit. En él, como decíamos en el censo de manuscritos (n.º 190), se explicita el nombre del copista, Juan de Berck de Saverne, y el de un magister Georgius, que fue rector universitario. Puesto que se especifica el nombre del copista y se añade este dato que sin duda indica una atribución, consideramos que a magistro Ieorio [sic] tunc temporis rectore es una indicación de quién compuso este comentario con un fin probablemente didáctico, tal como hemos visto en exégesis anteriores. Muy especialmente, podemos relacionar esta manera de expresar la autoría con el colofón del comentario del maestro Brucardo: Per Magistrum Bruckardum qui tunc temporis fuit Rector scolarum Constanciensium. Así las cosas, Juan de Berck, quizá alumno del propio Georgio, habría recogido la lección del maestro en la que se servía del Algor. añadiéndole sus notas. El códice que transmite el comentario, además, es particular en la tradición del Algor. puesto que es el único cuyo contenido es exclusivamente el Algor. con su exégesis. Por lo tanto, su objeto de composición fue únicamente la transmisión de esta obra. Copiado en Estrasburgo, el manuscrito está datado en el año 1496, fecha en la que quizá el maestro Georgio lo leyó ante sus estudiantes. 711 Por motivos de coherencia textual, hemos invertido el orden cronológico de este comentario y el anterior. 326 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2052#225532 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6367#361357 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6367#231940 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6367#127665 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6367#127665 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6367#127665 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6367#188917 Posteridad del Algorismus 1.1.8. Comentario impreso de Juan Widmann Inc.: Quoniam omnia quecumque a primeva rerum natura constructa sunt numerorum videntur ratione formata. Des.: Omnia me operationi subiecta probare potes exempla. Ediciones: Leipzig, Martin Landsberg, ca. 1490-1495: Algorismus integrorum cum probis annexis, Johannes Widmann, 12 ff.712 Antwerpen, Govert Bac, ca. 1500 = Deventer, De Borne, 1514: Algorithmus integrorum cum probis annexis, 8 ff.713 Este comentario fue escrito por el matemático alemán del s. XV Juan Widmann y dio lugar a tres ediciones impresas, de las que dos son idénticas entre sí. No consta ningún manuscrito que contenga el comentario, por lo que las ediciones son la única tradición que se conserva. 1.1.9. Comentario de Jacobo Whytlaw Tit.: Explicatio quorundam terminorum Mathematicorum conducens ad intelligendum textum Joannis a Sacrobosco: et obiter compendium Arithmetica quantum postulati praesens institutum. Inc.: Declaratum est in logica et insinuatum alibi que quidem quadruplices essent discipline in genere. Des.: Querere quando ne quidcyphram in quotiens notato714. Manuscrito: London, British Library, Sloane 1221, ff. 1r-9r (autógrafo) Todo el manuscrito es una exposición de Jacobo Whytlaw, escrita manu sua, sobre el Algor. y la Spher. Whytlaw empezó a escribir este libro autógrafo en Decembris 10. Anno Dom.: 1662 y lo acabaría un año después, como él mismo indica715. 1.2. Comentarios anónimos A continuación listamos los comentarios cuya autoría es completamente desconocida. Puesto que los títulos suelen parecidos o idénticos (Commentum super algorismum, Commentum algorismi, etc.) y sus incipit también, hemos otorgado una letra a cada uno de ellos para poder referenciarlos. Para la gran mayoría de ellos tan solo hemos encontrado un testimonio, aunque en ocasiones haremos referencia a otras exégesis u obras asociadas localizadas en otros códices que podrían ser, potencialmente, otras copias del mismo comentario o, al menos, opúsculos asociados. 1.2.1. Comentario A Inc.: In hoc libro qui dicitur algorismus 4 inquiruntur scilicet materia, intentio, utilitas et tytulus. Des.: Et in anterioratione articulo numeri compositi, ut patet hic 8.9.0.6.7.2.4.9.1. etc. Manuscrito: Lilienfeld, Stiftsbibliothek, 144, ff. 34va-vb Bajo el nombre de Comentario A hemos recogido este breve comentario de Lilienfeld copiado inmediatamente a continuación del Algor. (cfr. censo de manuscritos, n.º 300). En él, tal como se puede consultar en la edición que se recoge en el Apéndice III, se comienza explicando el título 712 GW 01272 y GW 01273; ISTC ia00461500; USTC 739546. 713 GW 0127310N; USTC 420792. 714 Al desinit, que es el final de la cita de unos versos, le siguen numerosas operaciones matemáticas. 715 Esta información la hemos extraído de la web de la British Library: BL Arch. (cons. 18/05/2023) y, sobre todo, de la autopsia directa del manuscrito. 327 https://www.gesamtkatalogderwiegendrucke.de/docs/GW01272.htm https://www.gesamtkatalogderwiegendrucke.de/docs/GW01273.htm https://data.cerl.org/istc/ia00461500 https://www.ustc.ac.uk/editions/739546 https://www.gesamtkatalogderwiegendrucke.de/docs/GW0127310N.htm https://www.ustc.ac.uk/editions/420792 https://searcharchives.bl.uk/primo_library/libweb/action/display.do?tabs=detailsTab&ct=display&fn=search&doc=IAMS040-002113571&indx=1&recIds=IAMS040-002113571&recIdxs=0&elementId=0&renderMode=poppedOut&displayMode=full&frbrVersion=&dscnt=0&frbg=&scp.scps=scope%3A%28BL%29&tab=local&dstmp=1618500355940&srt=rank&mode=Basic&&dum=true&vl(freeText0)=Sloane%20MS%201221&vid=IAMS_VU2 EL ALGORISMUS de la obra, aportando diversas teorías sobre el origen de algorismus, para después comentar algunos aspectos sobre la definición de número. A esto sigue un párrafo con ciertas cuestiones que atañen a las fracciones y las razones de un número respecto al que le sigue en la secuencia numérica. Sin embargo, parece que el hilo de la explicación se interrumpe abruptamente para mencionar ciertas nociones acerca de la división. Este cambio brusco de dirección no pasa desapercibido al copista, quien lo señala con un pequeño espacio en blanco, lo que nos lleva a pensar en un modelo corrupto. Con esto se invalida la idea de que el hermano Cristiano, el copista del códice, sea el creador de este comentario, que queda como anónimo y cuya composición habría que retrotraer antes de la tercera década del s. XIV, fecha de copia del testimonio. Por otro lado, conviene señalar que hemos encontrado numerosos paralelismos entre el Comentario A y los comentarios al Carmen de algorismo del s. XIII transmitidos en los códices Paris, Bibliothéque National de France, Lat. 7477, ff. 36vb-37va y, de la misma biblioteca, Lat. 14070, ff. 81r-96v (cfr. infra en Apéndice III). Por último, queremos dar noticia de otros dos comentarios que podemos relacionar con el testimonio de Lilienfeld. El primero de ellos es el del ms. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15120, ff. 68r-74v, que podemos fechar en el mismo s. XIII. Su incipit parece apuntar a que en efecto se trata de una exégesis relacionada: Circa hunc librum quatuor sunt inquirenda, scilicet libri materia, auctoris, intentio, operis utilitas, titulus. El segundo comentario que podría estar relacionado con el Comentario A es el que se encuentra en el ms. Arras, Bibliothèque municipale, Médiathèque 821 (512), f. 89r, un testimonio del s. XIV. Sabemos de su existencia exclusivamente por la nota de Sesiano (2000, 75, n. 4), quien dice que aquí se transmite un texto prácticamente idéntico al de Lat. 15120, ff. 68r-74v. No hemos podido comprobar que esta información sea veraz. 1.2.2. Comentario B Inc.: Eiusdem Commentarius in Algorismum de integris. Des.: Vel operatum etc. Ryntfles [sic]. Manuscrito: Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, VIII.E.27, ff. 65r-71v Un único manuscrito es testimonio de este Comentario B, que viene acompañando al Algor., copiado tras la Spher. (cfr. censo de manuscritos, n.º 597). Siendo este el único testimonio que hemos encontrado, cuya datación es del s. XIV, el terminus ante quem de composición del comentario sería este mismo siglo. 1.2.3. Comentario C Inc.: Omnia que a primeva. Dubitatur circa incium istius libelli. Des.: De toto modo practicandi. Manuscrito: Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, XIV.F.1, ff. 52v-57v Más escueta todavía es la información que tenemos del Comentario C. De nuevo se transmite en un códice del s. XIV que contiene todas las obras de Sacrobosco; de dos de ellas, Algor. y Compot., se incluye, además, un comentario (cfr. supra, censo de manuscritos, n.º 604). Es este un códice cuya copia fue generada en la misma universidad de Praga, lo que nos indica que su composición responde a un contexto universitario con una finalidad presumiblemente didáctica. 1.2.4. Comentario D Inc.: Rerum generat cognitionem que quidem cognicio est certissima. 328 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/961#402127 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/956#223576 https://jordanus.badw.de/jordanus/ms/956#156267 Posteridad del Algorismus Des.: Alia omnia satis sunt plana. Manuscritos: Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 530, ff. 65r-79r Este comentario lo encontramos exclusivamente en un códice berlinés del s. XIV-XV. La exégesis precede a una copia mútila del Algor., con la que se cierra dicho manuscrito (cfr. supra, censo de manuscritos, n.º 44). 1.2.5. Comentario E Inc.: Commentator super secundum metaphisice scribit hanc propositionem mathematice sciencie. Des.: Et erunt novem similia. Manuscritos: Gdańsk, Polska Akademia Nauk Biblioteka, Mar. Q 30, ff. 147-158 Praha, Archiv Hradu, Knihovna Metropolitní Kapituly, M.CIII, ff. 210r-241r Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, VII.E.9, ff. 257r-275r Estos tres manuscritos presentan tres comentarios prácticamente idénticos, con ligerísimas variaciones en el incipit: en el códice de Gdańsk leemos matematice en lugar de metaphisice, probablemente por un error de lectura; y el códice de Praga M.CIII transmite circa en lugar de super. Por otro lado, mientras que los manuscritos de Praga coinciden en el desinit, el testimonio de Gdańsk transmite lo siguiente: Similiter est faciendum in allis exemplis. Et sic est finis, laudetur deus in ymis. Finitus anno domini 1422 in die Phillipi et Jacobi hora quasi quinta. Los tres manuscritos son misceláneas, pero, mientras que los mss. Mar. Q 30 y M.CIII tan solo contienen el Algor., el ms. VII.E.9 contiene los tres tratados principales de Sacrobosco, de los cuales al Compot. le acompaña uno de los cuatro comentarios que hemos identificado (cfr. supra, obras de Sacrobosco, Compotus). El siglo en el que se copiaron los manuscritos es el s. XV, siendo el más antiguo el de Gdańsk (1422), seguido por el ms. M.CIII, datado en los años 1427/1430 con lugar de copia en Bohemia; del ms. VII.E.9 carecemos de datos de fecha y lugar de copia (cfr. censo, n.º 247, n.º 585 y n.º 596 respectivamente). 1.2.6. Comentario F Inc.: Macrobius scribit in libro suo ciceronis hominis. Des.: Et hoc de progressione etc. de quo deus gloriosus sit benedictus in seculorum secula Amen. Manuscritos: Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 587, ff. 123r-159v El manuscrito testigo del Comentario F, que acompaña a una copia incompleta del Algor., está datado en 1446 y su lugar de origen es Erfurt. De este, sabemos incluso la identidad del copista, Nikolaus Currificis de Freiberg, aunque no sabemos si el comentario fue compuesto por él mismo o si lo copió de un ejemplar anterior. En cualquier caso la fecha de 1446 supone el terminus ante quem para su datación (cfr. censo, n.º 49). 1.2.7. Comentario G Inc.: Quisquis namque scientias mathematicas praetermiserit. Des.: Radix maximi cubici subnotatur proposito716. 716 Mientras que el incipit del comentario es idéntido en ambos manuscritos, no ocurre lo mismo con el desinit. Transmitimos aquí el desinit del manuscrito de Praga, puesto que el códice berlinés se detiene en el capítulo de la resta (des.: Est enim subtractio addicionis probacio et econtra. etc.). Consideramos que esto se debe a que el comentario del manuscrito de Berlín está incompleto, aunque cabe la posibilidad de que el copista del códice de Praga hubiera ampliado la exégesis, en origen más breve. 329 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11880#240042 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11880#240042 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/939#170385 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11880#165959 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11880#165959 EL ALGORISMUS Manuscritos: Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 787, ff. 97r-106r Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, IV.G.2, ff. 34r-72r Ambos manuscritos datan del s. XV, por lo que establecemos este siglo como terminus ante quem para la datación del Comentario G. El manuscrito de Berlín, el único del que tenemos lugar de origen localizado, fue copiado por los monjes cartujos de Buxheim (cfr. censo, n.º 50 y n.º 592, respectivamente). En ambos manuscritos, el comentario acompaña al texto del Algor., con la diferencia de que el códice de Praga incluye, además del Algor., el resto de obras de Sacrobosco, de las cuales la Spher. también cuenta con su propia exégesis. 1.2.8. Comentario H Inc.: Iste est liber de arte numerandi arismetice sciencie subordinatus. Manuscrito: Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 8º 267, ff. 63v-66r (mútilo). De nuevo, un único manuscrito del s. XV nos reporta este comentario de autoría anónima. Se trata de una exégesis que acompaña el texto mútilo del Algor., que ni siquiera llega al capítulo de la suma. Aunque sabemos el desinit de tal obra, no contamos con la información relativa del desinit del comentario que la acompaña (cfr. censo, n.º 54). 1.2.9. Comentario I Prol.: Circa presentem librum est sciendum quod subiectum huius libri algorismi est numerus mathematicus practice consideratus. Inc.: Et scientia presentis libri comprehenditur sub arismetica, scilicet textus omnino que a primeva. Omnia que. Iste liber qui algorismus dicitur in quo. Des.: si facta multiplicatione dividatur productum per multiplicantem numerum, exibunt in numero denotante quociens figure numeri multiplicandi. Manuscrito: Colmar, Bibliothèque municipale, 404 (56), ff. 73v-89r El manuscrito de Colmar, único testimonio del Comentario I que aparece junto a una copia del Algor., es una miscelánea del s. XV que proviene de la Abadía de San Léger de Murbach (cfr. censo, n.º 168). El comentario del Algor. que en él se incluye podría estar de alguna forma relacionado con el comentario de Pedro Filomena, pues, tal como se dice en Jordanus (cons. 18/05/2023), el comentario de Colmar finaliza con una demostración matemática que también encontramos en la exégesis de Pedro Filomena. 1.2.11. Otras exégesis Finalmente, gracias a lo catálogos y bases de datos consultados, hemos tenido noticia de otros manuscritos que contienen comentarios del Algor. de los que apenas es posible ofrecer hoy una breve caracterización. El primero de ellos es un códice del s. XIV con origen en Erfurt o Muhlhausen: el manuscrito Mühlhausen, Stadtarchiv, 60/2, ff. 30ra-43vb. En Ptolemaeus (cons. 17/05/2023) se cita un comentario del Algor. y uno de la Spher. en los contenidos del manuscrito, sin ofrecer más datos. 330 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3919#215470 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3919#215470 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3919#160427 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3919#160427 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3919#182465 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/3919#10_58 http://ptolemaeus.badw.de/ms/737 Posteridad del Algorismus El segundo de ellos es el ms. Praha, Archiv Hradu, Knihovna Metropolitní Kapituly, L.LII, ff. 17r-34v, compuesto en la primera mitad del s. XV. De nuevo, que en su interior hay un comentario del Algor. es la única información que poseemos gracias a Nothaft (2014, 389)717. El tercero es el manuscrito de principios del s. XV Oxford, Bodleian Library, Savile 17. Además de contener este códice el Algor. en los ff. 94v-116r con un comentario que lo acompaña, en los ff. 192r-201v se inserta un comentario con el siguiente incipit: In principio videndum est quid est algorismus718. Según la información que encontramos en Jordanus (cons. 17/05/2023), en el texto estarían incluidas las Cautele (cfr. supra en las obras atribuidas a Sacrobosco). Además de estos, conviene detenerse en dos códices que contienen varias exégesis del Algor.: el ms. Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.37 (con cuatro comentarios) y el ms. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14622 (con dos comentarios). a) Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.37 Este manuscrito compuesto es una miscelánea de contenido científico ligado al Quadrivium (cfr. censo, n.º 708). Su particularidad reside en ser una suerte de compendio de comentarios: en él, además de uno de los cuatro comentarios que hemos localizado del Compot., se hallan hasta cuatro comentarios distintos del Algor. Uno de ellos lo enlazábamos con las exégesis relacionadas con el citado comentario de Cristiano de Praga; los otros tres serán descritos a continuación. Adelantamos que la fecha de copia de cada una de las partes del manuscritos es incierta, oscilando entre finales del s. XIV y finales del s. XV. i. Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.37, f. 36r Prol.: Omnia que a primeva rerum etc. Quoniam completam cuiuslibet rei scientiam. Inc.: In principio autem huius scientie numerandi. Des.: Id est per partes integrales. Además de este manuscrito, hemos encontrado el ms. Oxford, Bodleian Library, Digby 193, f. 26r-v que transmite un breve comentario con idéntica apertura e incipit. El desinit, en cambio, varía, siendo el del ms. de Oxford: Quia imparis scientia et divisibilis quia par. Además, en este códice se anota en el margen el título de la exégesis: Exposicio numerorum. Mientras que el manuscrito breslavo fue copiado en una fecha incierta entre los ss. XIVex.-XVex., el códice oxoniense fue copiado en el s. XIV, por lo que podemos establecer que este último constituye la copia más antigua de esta exégesis719. Probablemente este sea el comentario más breve de todos los que hemos encontrado sobre el Algor. Ocupa una sola página y su contenido únicamente trata de la definición de la ciencia, los números y la etimología de algorismus, es decir, de la parte introductoria de la obra (l. 1/17). ii. Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.37, ff. 73r-82v Tit.: Assit principio sancta Maria meo. Circa inicium algorismi. Mathematice demonstraciones. Inc.: Sed tytulus: Incipit Algorismus prosaicus de integris magistri Johannis de Sacrabusco. Omnia que a primeva. Des.: Resolvi in 60 minuta. 717 Cfr. en manuscritos descartados del censo la información relativa a este códice, en cuyo listado ocupa el n.º 36. 718 Recogemos la bibliografía pertinente a este códice en el censo de manuscritos, n.º 505. 719 La información relativa al ms. Digby 193 se puede consultar en el censo de manuscritos, n.º 494. 331 https://jordanus.badw.de/jordanus/ms/7756%237_58 EL ALGORISMUS Aunque no hemos podido examinar el texto completo de este comentario, su desinit sugiere que no se ocupa de toda la obra, sino de una parte: puesto que en el Algor. que un número se resuelva en 60 minutos se plantea exclusivamente en el capítulo de la mediación, pordría ocurrir que esta exégesis contemplara desde el inicio del tratado hasta esta parte. iii. Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.37, ff. 120r-128v Inc.: Hic est nova species huius artis. Des.: In quadrato numero. Et sic est finis, de cuius scientia sit deus gloriosus in secula seculorum. Al igual que el comentario que encontrábamos en el f. 36r, esta exégesis tan solo se ocupa de una parte del Algor., a pesar de que su extensión es considerable. Así pues, el comentario que encontramos en los ff. 120r-128v únicamente glosa el capítulo de las raíces cuadradas y cúbicas que, no en vano, es el más difícil desde el punto de vista matemático de toda la obra. b) München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14622 Este códice es, al igual que el anterior, un manuscrito compuesto por 3 U.C., datadas todas ellas en el s. XV (cfr. censo, n.º 421). Tanto la primera de ellas como la última contienen una copia del Algor. acompañada por un comentario que se presenta en los márgenes del tratado, que quedan totalmente ocupados por sendas exégesis. i. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14622, ff. 28v-38v Inc.: Sequens presens liber est arismetricalis. Videndum est primo circa inicium presentis libri quid sit arismetrica et unde dicatur. Des.: et sic per 9 multiplicatos sic 891. Como decíamos, el comentario se presenta mayoritariamente en los márgenes del Algor., aunque su redacción ha de ser posterior a la copia de esta obra y no contemporánea. Esto se aprecia por la inclusión de dos folios de un tamaño mucho menor que los que conforman el conjunto del manuscrito, añadidos entre los ff. 29 y 30 y los ff. 32 y 33 para continuar la exégesis en aquellos puntos donde los márgenes no han sido suficiente. Mientras que esta copia del Algor. tan solo comprende hasta el capítulo de la progresión inclusive, el comentario se detiene mucho antes. Finaliza de manera abrupta en el capítulo de la multiplicación, tras definir la tercera regla de esta operación, lo que nos sugiere que la exégesis quedó interrumpida. Esto podría deberse a que tenía delante un modelo mútilo o incompleto, o quizá a que el escriba tuvo que detener la copia o la escritura del comentario en este punto por causas desconocidas. ii. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14622, 167r-176v Inc.: Notandum ex quo presens libellus est mathematicalis. Des.: in excessu numerorum provam id quod dicetur in regulis infra. En este caso, el texto y el comentario o bien se copiaron de forma contemporánea, o se calculó dejar el espacio correspondiente para la exégesis cuando se escribió el texto. Así, encontramos el comentario se va intercalando con el Algor. en los folios que ocupan ambos. Igual que en la copia anterior, el texto del Algor. tan solo llega al capítulo de la progresión. Sin embargo, a diferencia de aquel, el escriba sí continúa la exégesis hasta este capítulo. 332 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2463#176558 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2463#226495 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2463#226495 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2463#158216 Posteridad del Algorismus 2. Traducciones Igual que ocurría con los comentarios, no contamos con estudios de las traducciones del Algor. en lenguas romances, como sí tenemos, en cambio, de la Spher. (cfr. pp. 67-8). En nuestro trabajo hemos encontrado dos traducciones del Algor.: una en inglés, transmitida al menos por un códice, y otra en alemán, que cuenta con dos testimonios. 2.1. The Art of Nombrynge Prol.: Boys seying in the begynnyng of his Arsemetrike. Inc.: Therfore sithen the science of the whiche at this tyme we intendene to write of standithe alle and about nombre. Des.: And this at this tyme suffisethe in extraccioun of nombres quadrat or cubikes etc. Manuscrito: Oxford, Bodleian Library, Ashmole 396, ff. 48r-56r Edición: Steele (1922, 33-51). Bibliografía: Steele (1922, vi); Sleight (1942, 112-6); Ambrosetti (2008, 274). La noticia de la existencia de una traducción al inglés del Algor. la encontramos por primera vez en Steele (1922, vi). Este autor menciona un tratado llamado The Art of Nombryng720 compuesto en el s. XV, que es una traducción del Algor. con ciertas ampliaciones de su contenido, especialmente la adición de operaciones matemáticas que ejemplifican la teoría expuesta, que quizá estarían ya en su modelo latino. Steele apunta, además, que la copia del Algor. a partir de la que se hizo la traducción debía de ser de poca calidad, a juzgar por el resultado obtenido. En este sentido, dado que al inicio del tratado presenta distintas etimologías para la palabra algorismus, el manuscrito latino escogido descendería de la subfamilia δ. 2.2. La traducción alemana del Algorismus Inc.: Allew dinkck die von ersten wegunstnuzz der ding sind wekomen721. Des.: so heb an an der ersten figur zu wurchen etc. Hie hat der dawezscht Algarismus ein end got uns sein genad send etc. Amen722. Manuscritos: Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Germ. 2º 1278, ff. 1r-8r Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 577, ff. 2r-9r Estos dos códices transmiten una traducción al alemán del Algor. El ms. Germ. 2º 1278 data de los siglos XIV-XV, terminus ante quem para datar dicha traducción, y fue copiado en Austria. Por su parte, el ms. Lat. 4º 577 fue copiado en el s. XV y su origen se sitúa en Paderborn723. 720 El título de la obra aparece en un pequeño prólogo al inicio del tratado: Boys seying in the begynnyng of his Arsemetrik Alle thynges that bene fro [sic] the first begynnyng of thynges have proceded and come forthe and by resone of nombre ben formed and in wise as they bene so owethe they to be knowene wherfor in universalle knowlechyng of thynges the Art of nombrynge is best and most operatyf (Quarto Cat, 1845, vol. 10, 311). 721 El incipit del testigo Lat. 4º 577 difiere gráficamente de este: Alle dink de von den ersten beghintnisse der dinge sint gekomen. 722 De nuevo, Lat. 4º 577 transmite un desinit ligeramente distinto: So heve an der lesten figuren an to hevende. Explicit algorismus. 723 Folkerts (1981, 61, n.º 4 y 75, n.º 44). 333 EL ALGORISMUS La existencia de esta traducción del Algor. es muy interesante en tanto en cuanto se corresponde con una amplia difusión del Algor. en área germánica durante el s. XV. Así las cosas, hemos visto que son numerosos los comentarios del Algor. que constan en manuscritos de origen alemán; algunos de ellos, incluso, sabemos con certeza que fueron lecciones de profesores universitarios en escuelas centroeuropeas (como las de Enrique Stolberg en Amberes y Nicolás Matz en Michelstadt). A este panorama se debe sumar también esta traducción que cuenta, al menos, con dos testimonios conocidos. Todo este interés en el Algor. no hace sino traslucir un ambiente cultural en el que este opúsculo de Sacrobosco estaba muy presente. 334 Posteridad del Algorismus 3. Otros algorismos y obras asociadas 3.1. Otras reelaboraciones escolares A lo largo de nuestra investigación, no son pocos los tratados con los que nos hemos encontrado que versan sobre el algorismo y cuyo contenido es muy similar al que vemos en la obra de Sacrobosco. Puesto que esta obra tuvo una tradición masiva, no es de extrañar que, ya desde el s. XIII, sirviera de inspiración para otros opúsculos que, lejos de ser comentarios del Algor. de Sacrobosco (pues no citan ni hacen referencia explícita a obra alguna), tienen como objetivo el análisis del algorismo como arte o ciencia, desgranando cada uno de sus elementos y poniéndolos de relieve. Muchos de ellos comienzan con la misma estructura que identificábamos en los comentarios, propia de la escolástica medieval: primero se preguntan por el título, la intencionalidad, el autor y la utilidad. Igual que ocurría con aquellos, tras analizar estos puntos, cada texto avanza en sus contenidos de manera única respecto al resto. Esto supone que cada obrilla que sigue estos parámetros es un unicum a efectos de la crítica textual que debería estudiarse en solitario. A nuestro juicio, la relación entre estos algorismos y los comentarios no es casual. De hecho, creemos que podríamos estar ante otro tipo de ejercicio escolar llevado a cabo por estudiantes del Quadrivium. Siguiendo esta hipótesis, cabe pensar que los alumnos pudieran haber sido interpelados a interpretar los tratados teóricos que estudiaban en una suerte de elaboraciones escritas. Unos conocimientos que, además, habrían obtenido presumiblemente a través de las lecturas del Carmen de algorismo y el Algor., dada la estrecha relación que encontramos en contenido y formulación entre estas obras y los opúsculos a los que aquí nos referimos. A excepción del algorismo de Hannover y del Ars algorismi, ninguno de ellos cuenta con una edición. Tampoco se han estudiado en conjunto ni se les ha prestado prácticamente atención. Seguidamente, ofrecemos una muestra de aquellos tratados que hemos encontrado con las características descritas. 3.1.1. Algorismo de Hannover Inc.: Quis titulus huius artis? Quid in ea docetur? Qualiter ad quid videndum? Titulus talis: Incipit algorismus. Des.: Perfectum dices sic tamen ut minor auferri non possit a maiore secundum artem minor cyfram proponens et negocium. Manuscrito: Hannover, Gottfried Wilhelm Leibniz – Niedersächsischen Landesbibliothek, IV 373, ff. 1r- 2r Ediciones: s.a. (1850, 433-5); Gerhardt (1853, 27-35). Bibliografía: Eneström (1908-9, 152); Benedict (1916, 16); Sarton (1931, 619); Härtel y Ekowski (1982, 130). El manuscrito de Hannover es un pequeño códice de 10 folios copiado en la segunda mitad del s. XIII, en cuyo interior se encuentra esta breve obra de aritmética. En ella, tras una introducción a esta ciencia y a los números, se enseña a sumar, restar, multiplicar, dividir y extraer raíces. Su estructura y contenidos son muy similares al Algor., hasta tal punto que algunos pasajes son prácticamente copias de sus correspondientes en la obra de Sacrobosco, de la que muy probablemente deriva. La mayor diferencia entre ambas obras, además de la supresión de la mediación y duplicación, es que el algorismo de Hannover abunda en ejemplos para explicar la teoría similares a los ejercicios de las Cautele. 335 EL ALGORISMUS 3.1.2 Ars algorismi Tit.: Ars algorismi Inc.: Aggredientibus artem algorismi primo videndum est quid sit algorismus et unde dicetur. Des.: Hec de algorismo compendiose per modulo numero explicata sufficiant. Manuscrito: Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 288, ff. 301rb-302rb Edición: Allard (1978, 128-40). El único manuscrito que transmite este tratado es el códice vaticano que citamos, un manuscrito del s. XIII y proveniencia alemana, aunque su origen es incierto. El opúsculo se abre de nuevo con la división clásica de las partes que va a comentar: qué es el algorismo, de dónde viene su nombre, quiénes son sus inventores y qué enseña. A continuación, ofrece definiciones sobre los números y el sistema posicional para adentrarse en la descripción de las operaciones básicas que encontramos en el Algor.: suma, resta, duplicación, mediación, multiplicación, división y extracción de raíces (no contiene el capítulo de la progresión). El vocabulario empleado y el estilo recuerdan mucho a la obra de Sacrobosco, aunque su ordenación responde más bien a la del Carmen de algorismo. Podríamos estar, por tanto, ante una explicación prosaica y escolar del Carmen para la que se ha empleado parcialmente el Algor. 3.1.3. Compendiolus algorismi Tit.: Incipit compendiolus algorissmi [sic] qui spectat ad mercatorem et breviter extractus de rationibus algorismi Inc.: Ars coagulangi sive numeri aggreganti que ab inventore algorismus dicitur. Des.: Et hanc post habere et a querere ex frequentiti usu. Manuscrito: Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 6297, ff. 148v-151v El único manuscrito que contiene este tratado data del s. XIV y es de origen desconocido724. Concretamente, fue compuesto post 1319, fecha que aparece en el f. 140 del códice. Tras analizar el texto, es posible que su lugar de copia sea la península Ibérica, pues en el tratado sobre el algorismo menciona dos gentilicios peninsulares: Iannenses, jienenses, y Placentinos, placentinos. Por otro lado, es probable que incluso la mano que copió la obra tuviera orígenes de Europa occidental, puesto que son abuntantes las geminaciones de las silbantes y las laterales, rasgos típicos del latín medieval de la península y quizá parte de Francia. En cuanto al contenido, parece claro por el título que se trata de un breve compendio sobre el algorismo cuya finalidad es que sea útil para los mercaderes o comerciantes. No sorprende este público, puesto que muchos de los problemas de las Cautele y de la segunda parte del Liber Alchorismi son precisamente de cambio de monedas y transacciones económicas con una doble finalidad: enseñar a los alumnos de aritmética la utilidad de las enseñanzas teóricas y la ejercitación práctica de problemas potencialmente reales. Las definiciones y descripciones que ofrece son en parte similares a las que encontramos en el Algor., pero se añaden otros conceptos que Sacrobosco no maneja, como las fracciones. Por esta razón, aunque el Algor. podría haber sido en parte fuente de este pequeño tratado, su compositor necesariamente habría tenido acceso a otros descendientes del De numero Indorum o quizá a la obra de Fibonacci, muy vinculada también con el mundo mercantil. 3.1.4. Algorismus numeri Inc.: Algorismus dicitur ab algore primo eius inventore in quo sic agendum est. 724 Cfr. Jordanus (cons. 07/09/2023). 336 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10245 Posteridad del Algorismus Des.: Similiter de omnibus aliis numeris compositis semper prepone debet digitus et postea cifre et in ultimo loco articulus. Expl.: Explicit algorismus de numeratione. Manuscritos: Città del Vaticano, Biblioteca Apostólica Vatica, Ottob. Lat. 2165, ff. desconocidos725 Dublin, Trinity College Library, 667, ff. 57ra-va Se trata de una pequeña obra de menos de un folio de extensión donde se introduce el sistema de numeración indoarábigo. Tanto por el vocabulario que se emplea como por algunas explicaciones, podemos decir que es un derivado del prólogo y primer capítulo del Algor. Desconocemos la autoría y fecha de composición, aunque podemos establecer el terminus ante quem en el s. XIV, siglo de copia del manuscrito vaticano. 3.1.5. Alius numerus algorismi Inc.: Quia de numeris facta est inventio ab alconri [sic] incipiamus. Des.: Si est una declinatio duo milia duum milium duobus milibus etc. Expl.: Explicit numerus algorismi Manuscrito: Dublin, Trinity College Library, 667, ff. 57va-vb Muy parecida al opúsculo anterior y copiada inmediatamente a continuación en el mismo manuscrito de Dublín, esta pequeña obra enseña el sistema de numeración posicional. Por el vocabulario empleado, podemos decir que probablemente se inspira en el capítulo primero del Algor. sobre la numeratio. De autoría desconocida, el terminus ante quem de su composición lo marca la fecha de copia del manuscrito, esta es, la segunda mitad del s. XV. 3.1.6. Un Algorismus en un manuscrito del s. XV Inc.: Circa artem algoris. Notandum quod tota ars numerandi novem speciebus perficitur. Des.: Et hec dicta de octo speciebus algorismi sufficiant. Manuscritos: Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 46, ff. 90r-97r Hemos encontrado una única copia de este tratado sobre el algorismo en este manuscrito de Berlín, ya mencionado entre los testimonios vinculados con la exégesis de Cristiano de Praga. Según Folkerts (1981, 68, n.º 26) fue copiado entre los años 1449-55 en Osnabrück. 3.1.7. El Algorismus alemán Inc.: Allgorismus is een aerst in den welken sun ghenificeert ix figuren. Des.: Is die wortel van numerus cubiti. Manuscritos: Basel, Universitätsbibliothek, F.VII.12, ff. 169r-177r Ediciones: Unger (1888, 125-45). Probablemente deba datarse en el s. XV esta obra sobre el algorismo escrita en alemán, a juzgar por el único manuscrito que la contiene. Este tratado todavía no ha recibido la suficiente atención, por lo que no estamos seguros de las influencias que pueda tener. Quizá sea simplemente una reescritura del Algor., probablemente con influjo del Carmen y otros algorismos posteriores. 725 Hemos sabido de la existencia de esta copia gracias al catálogo digital Dublin, pero no hemos podido comprobar que se trate de dicha obra. 337 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1185#156677 https://manuscripts.catalogue.tcd.ie/CalmView/ EL ALGORISMUS 3.2. Sacrobosco en otros autores Además de las copias manuscritas y ediciones impresas, los comentarios, las reescrituras y las traducciones que se elaboraron de las obras de Sacrobosco, contamos una tradición del Algor. en otros autores que deja traslucir, una vez más, su éxito rotundo. En este sentido, es destacable que encontremos influencias de esta obra e incluso citas literales en autores contemporáneos a Sacrobosco. A continuación presentaremos el influjo del Algor. en obras tan conocidas como el Speculum doctrinale de Vicente de Beauvais, la Historia naturalis de Juan Gil de Zamora y el Speculum musicae de Jacobo de Lieja. 3.2.1. Vicente de Beauvais, Speculum doctrinale Vicente de Beauvais (ca. 1190-1264) fue un prolífico autor cuya obra se caracteriza por ser considerada un opus universale de corte enciclopédico que comprende el Speculum maius y el Speculum doctrinale, además de una serie de libros menores. El Speculum doctrinale es una suerte de síntesis de los conocimientos científicos necesarios para luchar contra el pecado, cuyos últimos libros (14-18) tratan de las ciencias teóricas: medicina, física, matemática, metafísica y teología726. Será en la parte dedicada a la matemática donde veamos la influencia de Sacrobosco. En el libro 16, tras incluir una serie de nociones acerca de la filosofía del número en los capítulos 6-8, el capítulo 9, titulado De compoto et algorismo, lo dedica íntegramente a la definición de este nuevo arte de calcular727. Ya Draelants (2005, 141-2) advertía que el pasaje podría haber sido tomado del Algor., del Carmen de algorismo o quizá de alguna de las otras versiones latinas derivadas del De numero Indorum, aunque no se encuentran correspondencias textuales con ninguna de estas últimas. El capítulo comienza por la definición de cómputo y la necesidad de utilizar el algorismo para los cálculos necesarios (Morelli, 1999-2000, p. 215, l. 1/15). A continuación, clasifica los números en dígitos, artículo y compuestos y los define (l. 16/19), cuya representación conviene realizarla a través de las figuras correspondientes que se escriben hacia la izquierda (l. 20/21) y que tienen un valor u otro dependiendo de la diferencia en la que se encuentren (l. 21/27). Sabiendo esto, se puede escribir cualquier número, como se ejemplifica (l. 27/35), para lo que es conveniente entender el funcionamiento del cero (l. 35/41). Tanto en su estructura como en sus contenidos, encontramos múltiples correspondencias textuales con el Carmen de algorismo y con el Algor., que ilustramos en la siguiente tabla: Carmen de algorismo Algorismus Speculum doctrinale 16.9 - - l. 1/15 Compotus – sunt l. 14/19 Post predicta scias breviter quod tres numerorum / distincte species sunt, nam quidam digiti sunt,/ articuli quidam, quidam quoque compositi sunt. / Sunt digiti numeri qui citra denarium sunt, / articuli decupli digitorum, compositi sunt / illi qui constant ex articulis digitisque. l. 11/16 Numerorum alius digitus, alius articulus, alius numerus compositus. Digitus est quidem est omnis numerus minor denario; articulus est omnis numerus divisibilis in 10 partes equales, ita quod nichil sit residuum; compositus sive mixtus est qui constat ex digito et articulo. l. 16/19 Numerorum igitur alius digitus, alius articulus, alius numerus compositus. Digitus est quilibet numerus qui potest representari per unicam figura. Articulus est numerus decuplus ad aliquem. Compositus numerus est ex digito et articulo. l. 1/3 Hec Algorismus ars presens dicitur, in qua / talibus Indorum fruimur bis quinque figuris: / 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. l. 31/33 Sciendum igitur quod iuxta novem limites inveniuntur novem figure significative novem digitos representantes, que tales sunt: 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. l. 19/20 Ad numeros istos representandos invente sunt IX figure tales: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. 726 Para una introducción al autor y su obra, cfr. Villarroel Fernández (2020, 1-15). 727 Para un análisis riguroso sobre los contenidos del libro 16 del Speculum doctrinale y para consultar su edición crítica, de la que tomamos los pasajes citados infra, cfr. Morelli (1999-2000, 169-235). 338 Posteridad del Algorismus - l. 67 Sinistrorsum autem scribimus in hac arte more arabum l. 20/21 que ad differentiam latinarium scribende sunt a dextra in sinistram. l. 7/12 Quamlibet illarum si primo limite ponas / simpliciter se significat, si vero secundo, / se decies; sursum procedas multiplicando; / namque figura sequens quevis signat decies plus 10 / ipsa locata loco quam significet preeunti, / quam precedentes plus ultima significabit. l. 56/62 Notandum etiam quod quelibet figura primo loco posita significat suum digitum, secundo decies suum digitum, tertio centies, quarto millesies, quinto decies millesies, sexto centies millesies, septimo millesies millesies, et sic in infinitum multiplicando per hec tria: 10, 100, 1.000. Que tamen omnes in hac comprehenduntur maxima: quelibet figura sequenti loco posita decies tantum significat, quantum in precedenti. l. 21/27 Harum talis est lex: quelibet in primo loco posita significat unitatem, vel unitates: in secundo denario, vel denarios. In tertio centenarium, vel centenarios. In quarto millenarium, vel millenarios. Et ut breviter loquar, quelibet figura posita in secundo loco significat decies magis quam si esset in primo, et decies magis in tertio quam in secundo, et sic in infinitum. - l. 37/40 Cum igitur per has novem figuras significativas, adiunctas quandoque cyfre quandoque cyfris, contingat quemlibet numerum representare, non fuit necesse plures figuras inveniri significativas. l. 27/28 Sed nondum istis figuris representari potest quilibet numerus, quin maior excrescat, l. 20/ 24 Ergo proposito numero tibi scribere, primo / respicias quis sit numerus, quia si digitus sit /primo scribe loco sic, sed si compositus sit, / primo scribe loco digitum post articulum sic, / articulus si sit, cifram post articulus sic. l. 40/52 Notandum igitur quod quilibet digitus una sola figura sibi appropriata habet scribi, omnis vero articulus per cyfram et digitum, a quo denominatur ille articulus, habet representari, quoniam quilibet articulus ab aliquo digito denominatur, ut denarius ab unitate, vigenarius a binario, et ita de aliis. Omnis vero numerus in eo quod digitus habet poni in prima differentia, omnis articulus in secunda. Omnis quidem numerus a decem usque ad centum, ut centenarius excludatur, duabus figuris habet scribi: si sit articulus, per cyfram primo positam et figuram scriptam versus sinistram, que significat digitum a quo denominatur ille articulus; si sit numerus compositus, prescribatur digitus, qui est pars illius compositi, et sinistretur articulus ut prius. l. 28/35 verbi gratia non possumus hiis figuris representare X: si enim scriberemus figuram unitatis in primo loco, et eandem in secundo fierent XI secundum legem predictam. Idem: si scriberemus figuram unitatis in primo loco et figuram novenarii in secundo, fierent XCI, secundum eandem legem. Idem: si e contra figuram novenarii in primo loco, e figuram unitatis in secundo fierent XIX, secundum eandem regulam. l. 13 Nichil cyfra significat, sed dat significare sequenti. l. 33/36 Decima dicitur theta, vel circulus, vel cyfra, vel figura nichili, quoniam nichil significat; ipsa tamen locum tenens dat aliis significare, nam sine cyfra vel cyfris purus non potest scribi articulus. l. 35/41 Inventa est igitur decima figura talis, scilicet o que cifra appellatur. Nichilque representat, sed posita in primo loco facit aliam figuram esse in secundo loco, respectu sui, ac per hoc decuplum significare, quam si esset in primo, iuxta prefatam rationem. Cum hac ergo figura possumus representare X. Ipsa enim in primo loco posita facit figuram unitatis esse in secundo si subscribatur, que ibi significat X, ut predictum est. l. 28/31 Septem sunt partes non plures istius artis: / addere, subtrahere, duplare et dimidiare, / sexta est dividere, sed quinta est multiplicare, / radicem extrahere pars septima dicitur esse. l. 18/22 Huius autem artis 9 sunt species scilicet numeratio, additio, subtractio, mediatio, duplatio, multiplicatio, divisio, progressio et radicum extractio (...). Inter quas primo de numeratione et consequenter de aliis per ordinem dicetur. l. 41/45 Artis huius species sunt VI, scilicet additio, subtractio, duplatio, dimidiatio, multiplicatio, divisio, de quibus de singulis proprie regule date sunt in algorismo, sed eas ad presens brevitatis causa pretermitto. Tabla 8: Pasajes paralelos en el Carmen de algorismo, el Algorismus y el Speculum doctrinale 339 EL ALGORISMUS En esta tabla, como decíamos, podemos ver los paralelismos textuales entre el Speculum doctrinale y el Carmen de algorismo y Algor. respectivamente. En cuanto a la relación de aquella obra con estas dos, podemos apreciar paralelismos con una u otra dependiendo del pasaje. Así, por una parte, encontramos fuertes similitudes con el Algor., como en las l. 16/19, tomadas casi verbatim de la obra de Sacrobosco. También corrobora esta dependencia el hecho de que Vicente de Beauvais apunte en las l. 20/21 la dirección de la escritura, que no encontramos en el Carmen, pero sí en el Algor.; o el comentario de las l. 27/28, donde se explicita que con estas figuras representari potest quilibet numerus, un paralelo idéntico al contingat quemlibet numerum representare sacrobosquiano. Por otra parte, encontramos determinadas construcciones que tan solo pudo tomar del Carmen, como la división en species de las l. 41/45, donde elenca desde la additio hasta la divisio en el mismo orden que Villadei, en la que destacamos que la mediación sigue a la duplicación y no al revés y que omite la progressio, que sí encontramos en Sacrobosco. Otra evidencia la encontramos en las l. 16/17 que, si bien decíamos que su contenido es muy similar al del Algor., para la descripción de los artículos emplea el término decuplus (ad aliquem), donde el Carmen transmite decupli (digitorum) y se aleja del divisibilis in 10 partes equales de Sacrobosco. Tras analizar el texto, concluimos que el autor hubo de consultar tanto el Carmen de algorismo como el Algor. para la elaboración de este capítulo, obras que quizá se incluían en un mismo manuscrito. Puesto que estas dos obras son suficientes para entender el origen de las explicaciones de Vicente de Beauvais en este capítulo, consideramos improbable que se sirviera de otros derivados del De numero Indorum para componer el pasaje, aunque no podemos excluir que conociera su existencia. 3.2.2. Juan Gil de Zamora, Historia naturalis Juan Gil de Zamora (ca. 1240-1320) fue un autor franciscano que escribió numerosos trabajos como el tratado médico Contra venena y el proyecto de una enciclopedia científica, la Historia naturalis, que quedó inacabada: tan solo llegaron a publicarse los temas correspondientes a la letra A, sin que haya llegado hasta nosotros ningún otro material de entradas posteriores de dicha enciclopedia728. Conviene señalar que, de entre los centros y ciudades en los que vivió, se encuentra su etapa parisina entre los años 1276-7, donde obtuvo el magisterio en Teología. Fue aquí donde probablemente comenzara a recopilar material para su gran obra (cfr. Domínguez García y García Ballester, 1994, 42-6) y, por tanto, quizá fuera en esta misma universidad donde entrara en contacto con la obra de Sacrobosco, antaño célebre profesor de tal institución. En lo respecta a una posible influencia sacrobosquiana en su obra, hemos de acudir a la entrada Algorismus de su enciclopedia (Domínguez García y García Ballester, 1994, 306-11), donde encontramos algunos pasajes paralelos con el Algor. La obra abre con un listado de posibles etimologías del término algorismus, que probablemente responda a una recolección de material desde la variante correspondiente de la subfamilia δ del Algor. y desde otras fuentes, como probablemente comentarios a esta obra y al Carmen que giran sobre el mismo tema, especialmente el Comentario II (cfr. infra, Apéndice III). Variante del Algor., subfamilia δ (l. 4/7, app.) Historia naturalis, 15 Cum igitur hec scientia de qua ad presens intendimus circa numerum consistat primo p. 306, l. 14/28 Algorismus secundum quosdam scribitur per R, videlicet argorismus. Secundum alios per L, videlicet, algorismus. 728 Sobre la vida y obra de este autor, así como la edición crítica de lo conservado de la Historia naturalis, cfr. Domínguez García y García Ballester (1994). Para un estado de la cuestión de las ediciones de la obra de Juan Gil, cfr. Ferrero Hernández (2010, 19-33). 340 Posteridad del Algorismus videndum est quid sit proprium nomen ipsius et unde dicatur deinde quid sit numerus et quot numeri species est ergo nomen eius algorismus et dicitur ab algos quod est ars et ricmus quod est numerus unde algorismus quasi ars numerandi vel dicitur ab en quod est in et gogos ductio et ricmus numerus quasi introductio in numerum tercio modo dicitur ab algo inventore et richmus numerus Co G Lo5 Lu Mu6 Ox2 Ox4 Ox5 Ox7 Pa4 Pa7 R1 Va2 Va3 Va6, add. Bu Cim E2 Nm Va9, cum igitur haec scientia de qua ad presens intendimus operatam consistat primo videndum est quis sit actor scientie quod proprium nomen scientie et unde dicatur deinde de quo sit numerus et qui numeri species ante hanc praem. P1 Secundum alios per U, hoc est, augorismus. Secundum illos qui scribunt per R, argorismus componitur ab argos, quod est civitas, et rismus, quod est numerus. Est enim Argos civitas in Grecia, in qua natus fuit inventor huius artis. Secundum illos qui scribunt algorismus, componitur ab algos, quod est induccio, et rismus, quod est numerus, quasi duccio in numerum. Secundum illos qui scribunt augorismus, componitur ab augeo -ges et rismus, quod est numerus, quasi numerus augens. Augetur enim in secundo loco, in decuplo, plus quam fuit in precedenti. Unde dicitur articulus decupla digiti, quasi tenens digitum decies. Vel potuit algorismus esse proprium nomen auctoris. Vel componitur a quodam Greco cuius equipollens sonatur apud nos alba arena, quia in arena solebat antiquitus numerus representari. Vel componitur algorismus ab alge, quod est alienum, et gores, quod est consideracio, quasi aliena consideracio. Aliena enim dicitur, quia tracta est de arismetica. p. 308, l. 3/5 Cum igitur sciencia de numeris que algorismus dicitur, ab inventore vel ab algo, quod est induccio, et rismus quod est numerus, quasi induccio in numeros, apelletur Tabla 9: Paralelismo entre una variante del Algorismus y la Historia naturalis de Juan Gil de Zamora Dentro de esta variante, se incluye la misma hipótesis que se encerraba en la adición de los manuscritos Ox4 Ox5 a este crisol de etomologías: secundum quosdam vocatur argorismus a quodam graeco quod est alba harena quia hec ars solet doceri in alba arena alio modo dicitur algo. ab algis id est a grecis quia greci primo talem invenerunt. Quizá esto indique que tomó algún testimonio de la subfamilia ν, descendiente de δ, para componer su obra. Además de este paralelismo, dentro de esta entrada encontramos otras muchas correspondencias textuales. En la siguiente tabla indicamos algunos ejemplos de ello: Algorismus Historia naturalis, 15 l. 18/22 Huius autem artis 9 sunt species scilicet numeratio, additio, subtractio, mediatio, duplatio, multiplicatio, divisio, progressio et radicum extractio; et hec dupliciter, quoniam in numeris quadratis et cubicis. Inter quas primo de numeratione et consequenter de aliis per ordinem dicetur. p. 308, l. 3/11 novem secundum quosdam habet particulas, scilicet, numeracionem, id est, cuiuslibet numeri per figuras competentes representacionem, addicionem, substraccionem, mediacionem, duplicacionem, multiplicacionem, divisionem, progressionem et radicis extraccionem. Et hoc dupliciter, scilicet, in numeris quadratis et in numeris cubicis. Primo de numeracione et postea de reliquis in tractatu de arismetica disseremus. l. 11/16 Numerorum alius digitus, alius articulus, alius numerus compositus. Digitus est quidem est omnis numerus minor denario; articulus est omnis numerus divisibilis in 10 partes equales, ita quod nichil sit residuum; compositus sive mixtus est qui constat ex digito et articulo. p. 308, l. 12/18 Notandum vero quod numerorum alius digitus, alius articulus, alius numerus compositus. Digitus est omnis numerus minor, id est, qui citra denarium est. Articulus est omnis numerus qui potest dividi per decem equalia, ita quod nichil sit residuum, ut decem, viginti et consimilia. Vel articulus est decuplus digitorum. Digitus enim decies complicatus fit articulus. Compositus sive mixtus est qui constat ex digito et articulo. Et generaliter omnis numerus, qui est inter duos articulos proximos, est numerus compositus. l. 45/46 Omnis vero numerus in eo quod digitus habet poni in prima differentia. l. 25/31 Figura vero differentia, locus et limes idem supponunt, sed a diversis rationibus imponuntur. Figura enim dicitur quantum ad linee protractionem; differentia quantum per illam ostenditur, qualiter figura sequens differt a precedente; locus dicitur ratione spatii in quo scribitur; limes vero quia est via ordinata ad cuiuslibet numeri representationem. p. 308, l. 18/23 Omnis numerus in eo quod digitus est habet poni in prima differencia vel loco vel limite. Differenciam enim, locum et limitem idem dico. Dicitur autem locus in quo figura scribitur; differencia, quia per illam obstenditur qualiter numerus sequens differat a precedente; dicitur enim limes, quia est via ordinata ad cuiuslibet numeri representacionem. l. 31/36 Sciendum igitur quod iuxta novem limites inveniuntur novem figure significative novem digitos representantes, que tales sunt: 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Decima dicitur theta, vel circulus, vel cyfra, vel figura nichili, quoniam nichil significat; ipsa tamen locum p. 308, l. 24/28 Sunt igitur novem figure significative, quondam digitos representantes, qui tales sunt: 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Decima autem figura inventa est, que nichil significat. Unde dicitur figura nichili vel 0 vel techa vel circulus, ut hoc O. Ipsa locum tenens nichil 341 EL ALGORISMUS tenens dat aliis significare, nam sine cyfra vel cyfris purus non potest scribi articulus. significat, sed dat aliis significare. Sine cifra enim, vel sine cifris, non potest scribi purus articulus. l. 37/55 Cum igitur per has novem figuras significativas, adiunctas quandoque cyfre quandoque cyfris, contingat quemlibet numerum representare, non fuit necesse plures figuras inveniri significativas. Notandum igitur quod quilibet digitus una sola figura sibi appropriata habet scribi, omnis vero articulus per cyfram et digitum, a quo denominatur ille articulus, habet representari, quoniam quilibet articulus ab aliquo digito sinistretur articulus ut prius. Omnis numerus qui est a centum usque ad mille, ut millenarius excludatur, per tres figuras habet scribi; omnis numerus a mille usque ad decem milia per quatuor, et ita deinceps. p. 308, l. 29/36, p. 310, l. 1/5 Cum igitur per has novem figuras, simpliciter et coniunctim scriptas, adiunctis eciam quandoque cifra vel cifris, contingat quemlibet numerum representari, plures figuras non fuit neccessarium invenire. Quilibet ergo digitus una sola figura sibi appropriata habet representari. Omnis autem numerus qui est a decem, hoc modo 10, usque ad centum, hoc modo 100, excluso tamen centenario, duobus figuris potest scribi. Si sit articulus, potest scribi per 0 prepositam et figuram scriptam versus sinistram partem, que significat digitum, a quo denominatur ille articulus ab eo decem, hoc modo 10, decuplatus. Si sit numerus compositus, prescribitur digitus, qui est pars illius compositi, et articulus versus sinistram partem, sicut prius. Omnis eciam numerus, qui est a centum usque ad mille, ita ut millenarius excludatur, per tres figuras scribitur. Omnis eciam numerus, qui est a mille usque ad decem millia, per quatuor figuras scribitur. l. 62/66 Et sciendum quod supra quamlibet figuram loco millenarii positam competenter potest poni quidam punctus ad denotandum quod tot millenarios debet ultima figura representare quot sunt puncta pertransita. p. 310, l. 19/21 Item nota, quod sub quolibet millenario competenter subscribi potest quidam punctus, ut denotetur quod tot mille debet ultima figura replicare et resumere quot puncta pertransita fuerint. l. 67/69 Sinistrorsum autem scribimus in hac arte more arabum, huius scientie inventorum, vel hac ratione: ut in legendo, consuetum ordinem servantes, maiorem numerum preponamus. p. 310, l. 22/24 Item, sinistrorsum scribimus more arabum, qui forte hanc scienciam invenerunt, vel hac racione, ut in legendo consuetum servares ordinem, maiorem minori numero preponamus. l. 71/72 Additio est numeri vel numerorum ad numerum aggregatio, ut videatur summa excrescens p. 310, l. 25 Addicio est numeri ad numerum agregacio, ut videatur summa excrescens. l. 103/105 Subtractio est, propositis duobus numeris, maioris ad minorem excessus inventio, vel subtractio est numeri a numero ablatio, ut videatur summa relicta. p. 310, l. 26 Substraccio est numeri a numero ablacio, ut videatur summa relicta. l. 151/152 Mediatio est numeri propositi medietatis inventio, ut videatur que et quanta sit illa medietas. p. 310, l. 26/28 Mediacio est medietatis alicuius numeri substraccio ut videatur que et quanta sit reliqua medietas. l. 181/182 Duplatio est numeri propositi ad se ipsum aggregatio ut videatur summa excrescens p. 310, l. 28/29 Duplicacio est numeri addicio ad se ipsum, ut videatur summa excrescens. l. 209/211 Multiplicatio numeri per se vel per alium est propositis duobus numeris tertii inventio, qui totiens continet alterum illorum quot sunt unitates in reliquo. p. 310, l. 29/32 Multiplicare numerum per se vel per alium numerum est, duobus numeris propositis, multiplicantem et multiplicandum mutantes in reliquo, idest, in multiplicato, ex illis tercium producere, qui tociens contineat alterum illorum quot unitates sunt in reliquo. l. 303/304 Divisio numeri per numerum est propositis duobus numeris maioris in tot partes distributio quot sunt unitates in minori. p. 310, l. 32/34 Dividere numerum per se vel per alium est, propositis duobus numeris, maiorem in tot partes equales distribuere quot unitates sunt in minori. l. 357/359 Progressio est numerorum secundum equales excessus ab unitate vel binario sumptorum aggregatio, ut universorum summa compendiose habeatur p. 310, l. 34/35 Progressio numerorum est equalis excessus ab unitate vel a binario supradictorum agregacio. Tabla 10: Correspondencias textuales en el Algorismus y la Historia naturalis de Juan Gil de Zamora Destacamos la primera correspondencia señalada, la de la p. 308, l. 3/11, por ser idéntica al pasaje correspondiente sacrobosquiano. Mientras que en la obra de Vicente de Beauvais veíamos que se empleaba el Carmen de algorismo para enumerar las species del arte, en esta ocasión es evidente que se toma el Algor., pues no hemos encontrado ninguna obra contemporánea ni anterior que enumere las partes del algorismo en este orden e incluyendo la progresión. Este elemento en solitario ya demostraría la dependencia de Juan Gil de Zamora de Sacrobosco, 342 Posteridad del Algorismus aunque, como hemos visto, son muchos otros los pasajes que hubo de tomar de este autor copiando partes de su obra verbatim729. En conclusión, es evidente que Juan Gil de Zamora conoció la obra de Sacrobosco. El encuentro con este tratado pudo haber ocurrido en París, cuna del Algor., o en cualquier otra parte de la geografía europea, a tenor de la gran difusión que tuvo la obra en todo el mapa, como hemos visto supra. Sin embargo, parece que Juan Gil no se contentó con plasmar únicamente los contenidos de Sacrobosco, sino que es probable que indagara en comentarios y otros materiales complementarios para completar la información, como hemos visto con las múltiples etimologías que ofrece para el término de este arte. También podemos verlo, por ejemplo, en el empleo del término decuplus para definir el articulus (p. 308, l. 15), un vocablo que pudo haber tomado del Carmen de algorismo, muy conocido en la época, o del propio Vicente de Beauvais, que, como veíamos supra, también escogía esta palabra. 3.2.3. Jacobo de Lieja, Speculum musicae Jacobo de Lieja (1260-1330) fue un teórico de la música cuya obra cumbre es el Speculum musicae, compuesto a principios del s. XIV. Distribuida en siete libros, es este tratado la obra medieval más larga sobre música que ha llegado a nuestros días730. En su Speculum musicae, capítulo 34 (Bragard, 1955, 100), encontramos una referencia directa al Algor., concretamente a sus primeras líneas: quia omnia quae a prima rerum origine processerunt ratione numerorum formata sunt. A pesar de que Jacobo de Lieja no menciona a Sacrobosco, la correspondencia textual es obvia: el autor toma palabra por palabra el inicio del Algor., una obra que pudo haber conocido durante su época de estudiante en París731. Dicho incipit no pasaría desapercibido para los lectores eruditos del Speculum musicae, que probablemente reconocería al instante la fuente. En el resto del Speculum musicae no encontramos citas de la obra, tan solo ligeros paralelismos que podríamos retrotraer al empleo que tanto Sacrobosco como Jacobo de Lieja hacen de Boecio, fuente común a ambos. Algunos de estos pasajes paralelos que parten de Boecio son los siguientes: Algorismus Speculum musicae, 1 l. 11 Unitas vero est qua unaqueque res una dicitur cap. 30 (p. 90) Unitatem Boethius, in tractatu De Unitate et Uno, describit dupliciter (...). Unitas est qua unaquaeque res dicitur una sive sit simplex, sive composita, sive corporalis, sive spiritualis. Secunda descriptio talis est: Unitas est qua unaquaeque res est id quod est. Dicitur igitur, quoad primam descriptionem, quod unitas est qua unaquaeque res dicitur una. l. 9/10 Materialiter enim ut numerus est unitates collecte, formaliter ut numerus est multitudo ex unitatibus profusa. cap. 32 (p. 95) Boethius autem, primo Arithmeticae, dicit quod numerus est unitatum collectio cap. 34 (p. 99) Numerus, cum sit unitatum collectio, distingui potest secundum unitatis distinctionem. Tabla 11: Pasajes paralelos en el Algorismus y el Speculum musicae de Jacobo de Lieja 729 Lo que no sorprende, pues, tal como dicen Domínguez García y García Ballester (1994, 44): «el autor (en nuestro caso, Juan Gil) no tenía inconveniente alguno en organizar un capítulo de su enciclopedia (de hecho, un auténtico tratado) recurriendo al llamado método de “las tijeras y goma de pegar”». 730 Para un estudio completo del autor y la obra, cfr. Desmond (2009). En cuanto al texto, tomamos la edición de Bragard (1955) (se puede consultar una versión electrónica desarrollada en 1993 por John Gray, Oliver B. Ellsworth, Bradley Jon Tucker y Thomas J. Mathiesen para el proyecto Thesaurus Musicarum Latinarum en https://chmtl.indiana.edu/tml/14th/JACSP1A, cons. 18/07/2023). 731 Donde quizá fue también profesor. Sobre la etapa parisina del autor y otros datos de interés, cfr. Desmond (2000, 19-40). 343 https://chmtl.indiana.edu/tml/14th/JACSP1A EL ALGORISMUS Es llamativo el hecho de que Jacobo de Lieja cite literalmente el incipit del Algor., pero que no veamos a Sacrobosco en ninguna otra parte del Speculum musicae, sobre todo cuando en esta obra se emplean tantos términos y nociones que se explican también de manera concisa en el Algor. Tal anomalía podría deberse a que en esta época, principios del s. XIV, el inicio del Algor., que es a su vez una reescritura de una cita boeciana, quizá circulaba como máxima matemática en ámbitos universitarios. Si así fuera, no sería anómalo encontrarlo en obras como el Speculum musicae, que habría tomado dicha máxima ya del todo aislada de su contexto sacrobosquiano. 344 Estudio estemático 1. Introducción Dedicamos este apartado al estudio de la tradición textual del Algor. con el objetivo de establecer un stemma codicum a partir del cual reconstruir el texto de la obra. Para ello hemos seguido la teoría estemática presentada por Maas (1927, 41960) y revisada por Pasquali (1952)732. Tras la búsqueda de testimonios, cuyo resultado hemos plasmado en el censo de manuscritos (cfr. supra), hemos procedido a la colación de 79 testimonios seleccionados. El hecho de que no hayamos consultado la totalidad de manuscritos existentes responde a la amplia difusión de la obra, que cuenta con 427 códices, al menos localizados hasta ahora: la colación de un número tal de testimonios no sólo alargaría en el tiempo un trabajo ya de por sí laborioso, sino que dificultaría el establecimiento de un stemma dadas las dificultades de la tradición del texto, que mencionaremos a continuación, y ni siquiera redundaría necesariamente en un texto mejor. En dicha selección de códices hemos privilegiado aquellos testimonios antiquiores, copiados en el s. XIII o a principios del s. XIV, cuya selección obedece fundamentalmente a criterio de proximidad cronológica. Además, los lugares de copia de estos 79 testimonios son variados, de suerte que la coincidencia de lecturas entre aquellos códices escritos en distintos países o regiones favorece su consideración como más antiguas o cercanas al original o arquetipo733. Después de la collatio, hemos examinado los errores significativos de los 79 manuscritos para reconstruir las relaciones genealógicas que pudieran existir entre ellos. Para la detección de tales errores hemos recurrido al usus scribendi del autor, quien tiende a repetir las mismas estructuras no solo a lo largo del Algor., sino también en sus otros tratados, como la Spher. y, sobre todo, el Compot. Asimismo, ha sido fundamental la localización de las fuentes de las que se sirve Sacrobosco para componer esta obra, especialmente el Liber Alchorismi y el Carmen de algorismo, cuya estructura y vocabulario tiende a copiar con fidelidad. Con esta base, en el estudio de la tradición textual describimos cada una de las familias que hemos podido aislar, que ascienden a cinco. En esta descripción, primero, tras la enunciación de los códices que pertenecen a ella, señalamos y argumentamos los errores guía que nos han permitido establecer cada una de las familias; después, vamos desarrollando cada una de las subfamilias que las integran, yendo desde las ramas más altas hacia las más bajas. En esta labor, hemos encontrado una contaminación masiva entre testimonios, un hecho común y lógico en obras que, como el Algor., circulaban mayoritariamente en ámbitos universitarios y eruditos (lo mismo veremos en el Carmen de algorismo, cfr. infra, Apéndice II). Esta realidad redunda en un stemma codicum con múltiples relaciones horizontales, a menudo de difícil solución. Tanto es así, que en el estudio de la tradición hemos incluido un subapartado de códices ultracontaminados y/o inclasificables para todos aquellos códices que presentan relaciones estemáticas anómalas por su múltiple adscripción a las familias y/o subfamilias descritas (generalmente hemos incluido aquí los códices que contaminan con tres o más testimonios). Estos testimonios no los incluimos en los stemmata, pues su aparición dificultaría 732 Y seguida por muchos otros, a quienes seguimos y citamos en las Conclusioni generali, como Reeve, Orlandi, Chiesa, Trovato, Guglielmetti, Delmulle, etc. 733 La cuestión de la selección de códices la comentamos ampliamente en las Conclusioni generali de la tesis, cfr. infra. 345 EL ALGORISMUS la intelección del esquema por relacionarse, como decíamos, con varias familias y/o subfamilias a la vez. Como resultado del este estudio, hemos elaborado un stemma codicum con cinco ramas, que seguiremos para la constitutio textus (cfr. infra, criterios de la presente edición). Al final de este apartado, además de los esquemas que permiten apreciar la genealogía de los códices estudiados, incluimos un listado de siglas por orden alfabético y sus principales relaciones genealógicas a efectos de facilitar su consulta al lector, así como un anexo relativo a los paratextos que acompañan a la obra. Por último, conviene destacar el hecho de que en el s. XIII, como decíamos en las conclusiones del censo de manuscritos, el Algor. solía venir acompañado con el resto de obras de Sacrobosco. Esto quiere decir que es probable que puedan establecerse relaciones entre el stemma del Algor. que aquí proponemos y los stemmata del resto de obras del autor. Probamos tal relación con el ejemplo concreto de los códices Va10 y su descriptus Y2, una dependencia que es idéntica a la que encontramos en el Quadr. (cfr. infra, Apéndice I). Por ello, en una fase futura convendría una revisión de la Spher. y el Compot. de Sacrobosco y la elaboración de ediciones críticas que, primero, permitan reconstruir textos fidedignos y, segundo, puedan compararse con el stemma del Algor., mostrando así la historia textual del corpus de Sacrobosco en sus primeros años de circulación. 346 Estudio estemático 2. Estudio de la tradición textual 2.1. Familias y subfamilias Las familias que articulan toda la tradición estudiada del Algor. son cinco: κ, ζ, α1, α2 y α3. En este apartado analizaremos cada una de ellas estudiando los errores conjuntivos que permiten constituirlas y las subdivisiones de cada una de ellas, con el objetivo de determinar cuáles son los codices optimi para el establecimiento de un texto crítico. I. FAMILIA κ H Ko Lc Lo4 Mi R2 Va1 W1 La familia κ es, a priori, complicada por las múltiples contaminaciones de sus componentes. Entre ellos consta la subfamilia ε al completo (H Lo4 R2 Va1) cuyo hiparquetipo, como veremos, es descendiente a la vez de κ y de α2. En primer lugar, señalaremos los errores conjuntivos que constituyen esta familia: l. 98 negotiandum est ut prius] per easdem regulas add. H Lc Lo4 Mi R2 W1 Negotiandum est ut prius es una frase que se repite hasta cinco veces en el Algor., tras la cual no se hacen precisiones de esta índole. A esto se suma que per easdem regulas no es una estructura que emplee Sacrobosco en ninguna otra parte del tratado. Parece más bien una precisión incluida por un copista docto con fines glosadores, para desarrollar o explicar ut prius. l. 162 scribatur exterius] in tabula add. Fr Ko Lc Mi Va1 W1 W2 En sus restantes usos, exterius efectivamente se refiere a una tabla (es decir, una cuadrícula con los límites marcados). Aquí, sin embargo, el sentido es muy distinto, puesto que no se indica que se escriba el número en una tabla externa, sino que se haga una marca fuera del área de la operación. Llama la atención la aparición anómala de Fr y W2, que quizá hayan añadido in tabula de manera espontánea. l. 169 hoc quidem facto] quo quidem facto Ko Mi R2 W1, hoc facto H Lc, hec quidem facto Va9 La estructura quo quidem no aparece ninguna vez a lo largo de la obra, como sí hace hoc quidem. l. 272 per unum locum] per unicam differentiam H Lc Lo4 Mi Ox2 R2 W1 Per unicam differentiam es un sintagma que aparece unas líneas más arriba (l. 270) dentro de la misma explicación. Ante la variatio que supone per unum locum, cuyo sentido podría no quedar claro, en el antígrafo común, per unicam differentiam, quizá explicación marginal o interlineal, sustituyó al texto primigenio. l. 554 in hac autem radice extrahenda solent quidam solent] solebant Fi1 H Ko Lc Lo4 Mi Pa6 R2 Va1 W1 En este párrafo el autor indica otra forma de comenzar la operación, distinta a la que él explica. Cuando en otros pasajes se hacen apreciaciones de este tipo, siempre se emplea el presente, como en l. 217/218: de multiplicante potest fieri numerus multiplicandus manente semper eadem summa. Por otra parte, en el Compot. encontramos a menudo la forma verbal solebant refiriéndose a una costumbre que realizaban los antiguos, como el pueblo romano, para indicar que ya no ocurre así. Difícilmente podríamos aplicar esto a un procedimiento matemático que todavía se puede seguir haciendo de la manera alternativa. 347 EL ALGORISMUS De los testimonios que forman esta familia, advertimos que muchos de ellos están contaminados. Esto explica, por ejemplo, que Fi1 Ko no compartan todos los errores (Ko lo analizamos infra, mientras que Fi1 lo incluimos en el apartado de los testimonios hipercontaminados). También que en ocasiones encontremos errores que no comparte la subfamilia ε, probablemente por haberlos corregido con su otro modelo (α2), como los siguientes: l. 256 figure multiplicantis] figure numeri multiplicantis Ko Lc Mi W1 l. 257 figure multiplicantis] figure numeri multiplicantis Ko Lc Mi W1 l. 259 figure multiplicantis] figure numeri multiplicantis Ko Lc Mi Ox6 Pa7 Va2 W1 En estas tres ocasiones encontramos exactamente la misma adición. Numeri parece un apunte aclaratorio que se ha incluido en el texto. l. 421 corpus] quoddam corpus H, corpus quoddam E1 Fi1 Ko Lc Mi W1 La palabra corpus aparece dos veces a lo largo de la obra, una vez aquí y otra en la l. 421, esta vez sin que ningún códice añade quoddam. En esta posición estemática, por tanto, quoddam se demuestra como una adición docta que se integra en el texto en una posición que sería anómala según el usus del autor, pues las dos únicas veces que en el Compot. aparece este indefinido (cap. 12, l. 12, p. 41 y l. 120, p. 47) va siempre ante el nombre al que acompaña. Como se detalla a continuación, la familia κ se subdivide en cuatro ramas: las subfamilias κ1 y ε (esta última contaminada con α2) y los códices Ko (ambos contaminados) y W1. El caso de Fi1, como adelantábamos, es muy complejo dadas sus múltiples relaciones, por lo que, aunque parece tener una relación clara con esta familia, es inclasificable dentro de ella por las múltiples opciones que plantea. Lo mismo ocurre con E1, como veremos infra. 1. Subfamilia κ1 Establecemos la subfamilia κ1 a partir de los siguientes errores conjuntivos: l. 140 et negotiandum est ut prius] et ita agendum est de omnibus aliis add. Lc Mi Esta adición supone una reiteración de lo que se acaba de decir. A esto se añade que el término agendum no aparece en ningún tratado de Sacrobosco, quien prefiere otros verbos como operandum. l. 151 numeri propositi] propositi numeri Lc Mi Este cambio de términos viola el usus scribendi del autor. l. 160 scribatur] circumscribatur Lc Mi Un verbo que nunca emplea el autor en este tratado. En la Spher. sí encontramos este término para definir movimientos astrales que se desarrollan dentro de determinados círculos planetarios, pero en el Algor. carece de sentido. l. 273 sub qua est] sub qua stat Lc Mi Stat no aparece en ninguno de los tratados de Sacrobosco. El autor prefiere sum o compuestos como constat. l. 320 si ultima sit par figure sibi supraposite, penultima vero sive antepenultima maior antepenultima] potest esse add. Lc Mi 348 Estudio estemático En este punto se está explicando qué ocurre si, al hacer una raíz cúbica, el número superior parece más pequeño que el inferior. En ese caso, hay que mover los números hasta la penúltima o la anterior a esta de manera que sea mayor. Con el potest esse que transmiten Lc Mi queda la posibilidad de que no sea mayor, en cuyo caso es imposible hacer la raíz. l. 322/323 videndum est quotiens possit subtrahi a figura sibi supraposita] et ultima si sub ultima collocari non possit propter impedimenta supradicta add. Lc Mi Se trata de una adición docta en la que recuerdan una información que se ha dicho antes. Advertimos que se trata de un añadido por la propia naturaleza de la glosa y por el término impedimenta, que no tiene paralelos en el resto de la obra de Sacrobosco. l. 527/530 Nec cessandum est a talis digiti inventione, nec a digiti inventi triplatione, nec a triplati anterioratione per duas differentias, nec a subtripli sub triplo positione, nec a tali multiplicatione, nec a tali subtractione nec a triplati anterioratione per duas differentias] post positione transp. Lc Mi La transposición se explica por un salto de igual a igual que luego se ha intentado corregir. La ordenación del texto reconstruido sigue los pasos de la extracción de raíces cúbicas por orden, mientras que la versión de Lc Mi no respeta este orden. l. 547 sub numero proposito contentus] sub proposito numero contentus Lc Mi En todo el tratado, cuando aparece una preposición (sub, in) seguida del sintagma numero proposito (lo que ocurre hasta en cinco ocasiones: l. 455, l. 508, l. 545, l. 547, l. 553) siempre se respeta el orden sustantivo + adjetivo. En cuanto a la relación entre sus descendientes, podemos afirmar que ni Lc depende de Mi ni Mi de Lc gracias a los múltiples errores individuales de cada uno de los testimonios: l. 123 a1] om. Lc l. 138 vel2] om. Lc l. 157 figura] om. Lc l. 224 digiti] om. Lc l. 227 summa] om. Lc l. 237/238 denominatur reliquus om. Lc l. 247 ad] om. Lc l. 263/264 que ducenda est in ultimam multiplicandi] om. Lc l. 308 dividendus] om. Lc l. 328 denotans] om. Lc l. 373 progressionis] om. Lc l. 49/50 que significat digitum a quo denominatur ille articulus] om. Mi l. 195/196 aut numerus compositus] aut numerus 9 compositus Mi l. 335 a figura sibi supraposita, supra figuram, sub qua est prima] om. Mi l. 340 figure] per unicam differentiam add. Mi l. 513/514 deleat totum suprapositum] deleat add. Mi 349 EL ALGORISMUS Por último, cabe destacar que la subfamilia κ1 tiene errores comunes, por una parte, con Er y, por otra, con R1. Veremos infra que ambos son códices ultracontaminados, de manera que presentan múltiples relaciones estemáticas con distintos códices y/o familias (cfr. infra, códices ultracontaminados y/o inclasificables). 1.1. Conclusiones: κ1 Del hiparquetipo κ1, tal como demuestra el análisis precedente, dependerían los testimonios Lc y Mi, que son gemelos: κ1 Lc Mi El hiparquetipo κ1 hubo de ser copiado ante 1284 (fecha de copia de Mi). En su interior contendría las tres obras principales de Sacrobosco con una disposición interna ASC, donde el Algor. probablemente sería la primera obra del códice, a juzgar por su posición tanto en Lc como en Mi. Es posible que contuviera además el Quadr., que en Lc sigue al Compot. El origen de dicho hiparquetipo podría ser el norte de Francia, lugar de composición de las obras y de la copia de Mi. Desde allí, el mismo códice o un apógrafo podría haber viajado a Inglaterra, donde Lc lo transcribió. 2. Subfamilia ε Advertimos la existencia de la familia H Lo4 R2 Va1 por los siguientes errores conjuntivos. l. 249/250 Si velis igitur aliquem numerum in superiori ordine per se vel per alium multiplicare per se vel per alium] per numerum H Lo4 R2 Va1 Supone esta variante una lectio facilior de la frase original, cuya estructura se repite al inicio de la multiplicación al definir la operación (l. 209): multiplicatio numeri per se vel per alium est propositis duobus numeris tertii inventio. l. 334/335 subtrahi ultima divisoris a figura sibi supraposita] subtrahi ultima divisoris a toto (om. Va1) supraposito H Lo4 R2 Va1 Sacrobosco nunca emplea totus ni la estructura subtrahi a supraposito, que resultaría anómalo en su forma de escribir: siempre que emplea supraposito, el participio se acompaña con un sustantivo. Antes de describir las subfamilias y descendientes de ε, anotamos que este hiparquetipo es el resultado de la contaminación con α2. Así pues, forma parte tanto de la familia κ como de la subfamilia α2 (cfr. infra). 2.1. Subfamilia ε1 Los testimonios H Lo4 R2 presentan una batería de errores comunes, como los que describimos a continuación: l. 63/64 Et sciendum quod supra quamlibet figuram loco millenarii positam competenter potest poni quidam punctus quamlibet figuram] figuram H Lo4 R2 350 Estudio estemático Aquí el autor explica el uso de puntos para marcar los millares, de forma que las cantidades grandes sean fáciles de entender. En esta explicación, quamlibet figuram da un sentido más claro de que el autor se refiere a cualquier número que esté en esa posición, perdiendo ese ligero matiz al omitir el término. l. 85/88 Ex tali igitur additione aut excrescet digitus, aut articulus, aut numerus compositus. Si digitus, loco superioris delete scribatur digitus excrescens; si articulus, loco superioris delete scribatur cyfra si digitus] si excrescat digitus H Lo4 R2 La frase está describiendo un proceso en el que podría salir un digitus, articulus o numerus compositus, la cual cuenta con seis paralelos a lo largo de la obra. En todos ellos, nunca reitera la palabra excedet o excrescet. l. 90 si sit figura sequens] si sequens fuerit aliqua figura H Lo4 R2 El giro que presentan H Lo4 R2 resultaría anómalo en el usus del autor, mientras que a lo largo del tratado encontramos en varias ocasiones el binomio figura sequens. l. 162 vel scribatur exterius figura dimidii scribatur] om. H Lo4 R2 El verbo es esencial para entender la frase. l. 236 Quando articulus multiplicat articulum multiplicat] om. H Lo4 R2 Sacrobosco enuncia las seis reglas de la multiplicación de forma muy regular: quando x multiplicat y, etc. Por lo tanto, esta omisión la consideramos un error. l. 249 in superiori ordine] in ordine superiori H Lo4 R2 Sacrobosco siempre usa la colocación superiori ordine y no al revés (siempre que superiori sirva de adjetivo a ordine y no esté sustantivado). l. 516 et subtriplum] suum add. H Lo4 Ox4 R2 Nunca usa suum seguido de subduplum o subtriplum; en los casos en los que se expresa una posesión tras este sustantivo, el autor emplea eius. 2.1.1. Subfamilia ε2 Dentro de la subfamilia ε1, advertimos la existencia de la subfamilia ε2 compuesta por los testimonios H R2. Su constitución se demuestra gracias a los siguientes errores conjuntivos: l. 122 valet 10] 10 valet H R2 En el Algor., siempre que se da un valor, se emplea valet seguido del número, nunca a la inversa. l. 205/206 et si recte mediaveris dupla] et econverso H R2 Et si recte mediaveris dupla supone el término a partir del cual se reduce a et econverso. La dirección opuesta de la variante es difícilmente asumible. l. 263 perveniatur] ventum fuerit H R2 Ventum fuerit es una construcción que no utiliza Sacrobosco en ninguno de sus tratados. 351 EL ALGORISMUS l. 290/291 scribenda est] superscribenda est H R2 Aunque el verbo suprascribere o superscribere es usado por Sacrobosco, aquí la cifra, o sea, el cero, no debe «escribirse sobre» ni «escribirse además», sino simplemente «escribirse en». l. 309 Numerus autem dividendus semper debet esse maior vel saltem par numero divisori] ita dico add. H R2 Aunque dico es un verbo que usa Sacrobosco en sus otros tratados, parece que aquí la escritura es más impersonal y nunca lo emplea a lo largo del Algor., así como tampoco usa ningún otro verbo en primera persona del singular. l. 350 quas prius habuisti] que prius erant H R2 En otras partes pone o bien quas prius habuisti (l. 146, l. 206/207, l. 350, l. 494), o bien que prius fuerunt (l. 496) o simplemente que prius (l. 543, l. 549); pero siempre que aparece un verbo, este se encuentra en pretérito perfecto. l. 421/422 12 latera] 12 vero latera H R2 No tiene sentido un vero en esta frase, puesto que no indica ninguna contraposición enfática respecto a lo anterior. Dentro de la subfamilia ε2, el hecho de que tanto H como R2 fueran copiados en la segunda mitad del s. XIII hace que sea posible que cualquiera de ellos pueda ser descriptus del otro. Sin embargo, consideramos que tanto H como R2 descienden independientemente del hiparquetipo por sus errores propios. En primer lugar, contamos con las innovaciones doctas de H. Parece que el copista de este testimonio podría haber tenido acceso otros tratados de aritmética, como el propio Liber Alchorismi, a juzgar por las adiciones eruditas que inserta en algunos puntos del tratado. Un ejemplo de ello es el siguiente añadido, que comentaremos de nuevo en la subfamilia ν (cfr. infra): l. 169/173 Hoc quidem facto medianda est secunda. Si sit cyfra, pretermittatur intacta; si sit significativa, aut par aut impar erit. Si par, loco eius delete scribatur medietas illius; si impar, sume proximum parem sub illo contentum significativa] aut representabit unitatem aut alium digitum si unitatem loco eius delete scribatur chifra ne figure sequentes minus significent et illa unitas respectu precedentis figure valet 10 addatur ergo unus quinarius figure precedenti et reliquo abiciatur si autem chifra fuerit cui debet addi quinarius deleatur et loco eius scribatur quinarius si vero ipsa significet alium digitum ab unitate tunc add. H, aut erit unitas aut alius digitus numerus imparem representans si unitas loco eius delete scribatur cyfra illa autem unitas cum valet 10 respectu precedentis de illis decem sumatur medietas scilicet quinarius et addatur figure precedenti si vero fuerit alius digitus numerum imparem representans add. Ox4, aut erit unitas aut alius digitus si unitas ipsa deleta scribatur loco eius circulus et illa unitas valet 10 respectu precedentis figure dividatur ergo ille denarius in duas partes scilicet in duos quinarios et una abiciatur et reliqua addatur figure precedentis si cifra fuerit cui debet addi deleatur et loco illius scribatur quinarius si vero illa et figura cui debet addi faciant articulum deleatur et loco illius scribatur cifra et addatur digitus a quo denominatur articulus ille figure precedenti si faciant numerum compositum scribatur loco illius precedentis digitus qui est pars illius numeri compositi et digitus a quo denominatur articulus ille addatur figure precedenti si sit alius digitus add. Ox5 352 Estudio estemático Es esta una innovación curiosa, puesto que H Ox4 y Ox5 han tenido acceso al texto empleado como fuente para componer el Algor. y lo han empleado para completar esta misma obra734. El pasaje del Liber Alchorismi que han cogido el texto para esta adición es el siguiente (Allard, 1992, 91, 15/24; 92, 1/18): Deinde, si in secunda differentia fuerit numerus, partire eum sicut prius fecisti, eius scilicet medietate, si par fuerit, posita in eodem loco. Si vero impar, minor eius pars, scilicet par, in eadem differentia ponatur, sed quia unitas in secundo loco 10 significat, pro eius medietate representanda quinarii figura translata ad primam differentiam unitatum ei numero, qui ibi fuerit, agregetur, et pro utroque una figura ibidem scribatur. Si vero non fuerit numerus sed circulus, loco circuli ponatur. Aut si non fuerit in eadem differentia nisi unitas tantum, loco eius delete in eadem differentia circulum scribe, et pro eius medietate precedentis differentie numerum quinarium adiunge, et pro utroque agregato unam figuram scribe. Llama la atención, además, que tanto H como el grupo Ox4 Ox5 parecen haber acudido a la fuente de manera espontánea e individual. Es decir, no contamos con ningún otro error común a estos manuscritos para postular una relación entre ellos, más allá del hecho de haber recurrido al Liber Alchorismi para completar este pasaje, que quizá no quedaba todo lo claro que habrían querido estos copistas sin duda doctos. Otra adición de H es la siguiente: l. 464/467 Tali autem digito invento et a superiori subtracto, duplandus est ille digitus, et duplatum ponendum est sub proxima figura anteriori versus dextram et eius subduplum sub illo. Quo facto inveniendus est quidam digitus sub proxima figura ante duplatum et – illo] ex hac igitur duplatione aut excrescat digitus aut articulus aut numerus compositus si digitus ponendus est sub proxima figura versus dextram si articulus ponatur cyfra sub proxima figura versus dextram et ponatur articulus in loco in quo fuit figura duplanda si autem numerus compositus ponatur digitus qui est pars illius digitus compositi sub proxima figura versus dextram et articulus ut prius et ordinetur sub duplum sub cyfra vel sub digito numeri duplati H, ex tali duplatione excrecet digitus aut articulus aut numerus compositus si digitus ponendus est sub proxima figura anteriori versus dextram et eius subduplum sub eo si articulus ponenda est ciphra sub proxima figura et articulus ponatur in loco unde duplatus recessit si numerus compositus ponatur digitus sub proxima figura et articulus sit in loco unde duplatum recessit et eius subduplum sub eo Mu2, ex tali duplatione excrescit digitus aut articulus aut compositus si digitus ponendus est sub proxima figura anteriori versus dextram et eius subduplum sub eo si articulus ponenda est ciphra sub proxima figura et articulus ponatur in loco unde duplatus recessit, si numerus compositus ponatur digitus sub proxima figura Fi2 De nuevo, parece que H coincide con la adición de Fi2 Mu2 al incluir este párrafo. Tal como ocurría en H, la falta de paralelismo entre ambas adiciones y la falta de errores comunes entre H Fi2 Mu2 hacen pensar que no se trata de una contaminación entre ejemplares, sino más bien de adiciones espontáneas de ambos grupos por separado. Este párrafo que añaden no es otra cosa que lo que ya se decía en el mismo capítulo sobre la duplicación unas líneas más arriba y que estos testimonios repiten aquí a efectos de una mejor intelección del pasaje. Además de estos, también hemos localizado otros errores de H, como por ejemplo: l. 13 minor denario] id est infra decem add. H l. 155/156 scribatur ille numerus] scribe numerum H 734 Es lo que Delmulle (2018, 1-43) llama contaminatio ex fontibus, un tipo muy concreto de contaminación que hemos mencionado supra en el apartado de metodología dentro de la introducción al trabajo. 353 EL ALGORISMUS l. 184/185 hoc est, secundum figuram maiorem numerum representantem] om. H l. 245 quia semel in digitum et semel in articulum; articulus] om. H L. 285 figura] in add. H l. 391/392 quid sit numerus quadratus et que sit radix numeri quadrati] om. H l. 472/473 ita quod prima figura ultimi producti addatur] om. H l. 492 subduplis] id est ducatur radix in se semel add. H R2, por su parte, presenta errores propios como los siguientes: l. 4 operativa] est add. R2 l. 350 quas] que H R2, ibi add. R2 l. 387 multiplicetur ternarius per se] om. R2 l. 510 numero] om. R2 2.1.2. Independencia de Lo4 y ausencia de descripti Se demuestra la independencia del testimonio Lo4 respecto al resto de testimonios de la subfamilia por la ausencia de errores comunes con ellos. Por otro lado, descartamos que Lo4 sea el modelo de cualquiera de los demás miembros de la subfamilia por los siguientes errores propios como los que presentamos a continuación (muchos de ellos saltos de même au même): l. 46 omnis] om. Lo4 l. 103 duobus] om. Lo4 l. 132 intenditur] om. Lo4 l. 147 figuras] om. Lo4 l. 520 respectu triplati, deinde ductus in se cubice deleat totum] om. Lo4 l. 536 inventi] om. Lo4 2.1.3. Anomalías Dados los errores conjuntivos H R2, a su vez separativos de Lo4, nos encontramos con ciertas anomalías. Estas son dos errores aparentemente conjuntivos entre H Lo4 y uno entre Lo4 R2, que podrían remontar a errores del hiparquetipo ε1 corregibles. Por un lado, los errores comunes a H Lo4 son los siguientes: l. 86/87 Si digitus, loco superioris delete scribatur digitus excrescens] ex illa additione add. H Lo4 Puesto que este apunte, que estaría en el hiparquetipo, es reiterativo en relación con lo que ya se ha explicado dos líneas más arriba (ex hac igitur additione), podría ser que R2 lo haya suprimido. l. 521/522 Hoc facto triplandus est ille digitus iterum iterum] om. Ca Co Lo5 Lu Mu3 Ox5 Ox6 Pa1 R2, numeri H Lo4 Numeri no tiene sentido aquí. Es muy probable que sea una mala lectura de iterum desde su hiparquetipo. Al ver que numeri no tenía sentido, es probable que R2 optara por eliminar el término. Otra opción para esta y la anterior posible omisión de R2 podría ser que ε1 escribiera inter lineas o in margine tanto ex illa additione como numeri, y que H y Lo4 interpolaran dichas lecciones mientras que R2 las habría ignorado. 354 Estudio estemático Por otro lado, Lo4 R2 contienen el siguiente error común: l. 87 si articulus] si vero articulus Lo4 R2 En este caso, entendemos que H simplemente omite el vero. 2.2. Va1, un testimonio contaminado Aunque parece evidente que H Lo4 R2 forman una subfamilia independiente respecto de Va1 dentro de ε, no es posible afirmarlo con rotundidad porque Va1 es un testimonio contaminado. Como veremos infra, además de pertenecer a esta subfamilia ε que presenta contaminación per se con la subfamilia α2, Va1 contiene algunos de los errores de β, descendiente de α2. Parece que, además, muchas de las lecturas distintas que encontraba en sus modelos las puso supra lineam o in margine, como sugieren las numerosas restituciones supra lineam de omisiones que podemos remontar a ε. Algunas de ellas son las siguientes: l. 116 primam inferioris ordinis ordinis] om. H Lo4 Mu3 R2 Va1a, add. Va1s Sacrobosco emplea inferioris únicamente cuando se refiere al ordo de las figuras. Así las cosas, siempre que lo usa va seguido de ordinis, por lo que aquí la omisión constituye un error. Dicho error, que podría ser imperceptible para el lector, es enmendado por Va1 supra lineam a partir de su otro modelo. l. 130 et in redeundo loco cuiuslibet cyfre loco] om. Es H Lo4 Mu5 R2 Va1a, add. Va1s Al igual que ocurría en el error anterior, Va1 copia supra lineam una información necesaria para entender el texto probablemente a partir de otro modelo. Por esta razón, cabría la posibilidad de que Va1 no solo restituyera supra lineam aquello que ε había omitido, sino que incluso hubiera corregido en el texto los errores que hemos detectado en H Lo4 R2. Esto implicaría que dichos errores remontasen al hiparquetipo ε. Aun así, como no tenemos evidencias claras que nos lleven a pensar que Va1 haya corregido todos los errores comunes a H Lo4 R2, creemos que es más probable que estos constituyan una subfamilia de facto. Otra posibilidad más que podríamos barajar es que Va1 fuera el modelo del resto de la familia. Sin embargo, hay dos puntos que impiden esto. El primero de ellos es la datación de Va1 y R2: Va1 se data a finales del s. XIII, en torno al año 1270, mientras que R2 fue compuesto antes de 1262. Este primer dato imposibilita que R2 descienda de Va1. En segundo lugar, Va1 contiene faltas individuales como las siguientes: l. 40 quilibet] igitur add. Va1 l. 84/85 prima inferioris ordinis] prima inferioris figura ordinis Va1 l. 133 denario] om. Va1 l. 171 loco eius delete scribatur] loco delete scribatur eius Va1 2.3. Conclusiones: ε A partir de los datos extraídos, establecemos el siguiente stemma: 355 EL ALGORISMUS α2 κ β ε Va1 ε1 ε2 Lo4 H R2 El terminus ante quem de composición de ε lo marca la fecha de composición de R2 ante 1262. No podemos reconstruir el lugar de copia ni tampoco la disposición del corpus de Sacrobosco, si es que transmitía más de una obra. A este respecto, el hecho de que H y Lo4 tan solo contengan el Algor., no permite saber con certeza si así ocurría en ε, en cuyo caso R2 (ACSQ) y Va1 (ACS) habrían tomado el resto de obras de otro testimonio (lo que podría ser la clave para entender las colaciones detectadas en Va1). Sin embargo, contamos con un argumento a favor para esta hipótesis: puesto que tanto κ1 como W1 contienen las tres obras de Sacrobosco al inicio del manuscrito y con una ordenación idéntica ASC, si ε hubiera copiado las tres obras de su modelo κ presumiblemente las habría copiado en el mismo orden. Ahora bien, si en su lugar tomó tan solo la primera de ellas, el Algor., no es descartable que algunos de sus descendientes hubieran querido completar el corpus con aquellas que faltaban e incluyéndolas en un orden no coincidente con el de κ. 3. Independencia de W1 A diferencia del resto de integrantes de κ, W1 no comparte errores comunes con otro/s códice/s de esta subfamilia. Este hecho, sumado con los numerosos errores individuales que transmite, obliga a que W1 dependa directamente de κ: l. 158 alium] om. W1 l. 166/167 Si par, loco eius scribatur medietas illius paris; si impar] om. W1 l. 225 quot sunt] om. W1 l. 318 non possunt] om. W1 l. 349 quotiens] et add. W1 Como adelantábamos en las conclusiones de ε, la disposición interna de las obras de Sacrobosco (ASC) nos permite postular que probablemente κ también contuviera el corpus con esta ordenación. El Algor., además, sería la primera obra del manuscrito. W1 también contribuye a pensar que κ habría sido copiado en Francia, al igual que Mi, origen primero de las obras de Sacrobosco. 4. Ko, testimonio contaminado En los errores conjuntivos de κ veíamos que no todos eran compartidos por Ko. Esto responde a que Ko es un códice contaminado que pudo corregir las faltas de κ con su otro modelo. Veremos infra que comparte una de las faltas de δ, descendiente de α1, y una de las de ν1, que desciende a su vez de δ. Al ser tan solo dos errores los que comparte con esta rama de la tradición, no podemos trazar relaciones seguras entre Ko y δ, pero sí parece cierta la contaminación de este ejemplar porque no transmite todos los errores de κ. Aun así, puesto que su texto se asemeja mayoritariamente a esta familia, concluimos que κ sería el modelo principal de Ko, cuyo texto habría corregido, quizá, con algún descendiente de δ. 356 Estudio estemático Ko presenta algunos errores propios como los siguientes, lo que impide que tenga descripti puros entre la tradición colacionada: l. 26 rationibus] om. Ko l. 402/403 aut enim semel aut bis. Si igitur numerus bis] in se vel in alium add. Ko si igitur] sciendum quod si ducatur Ko l. 501 alicuius numeri] om. Ko l. 516/517 tertia versus dextram et subtriplum sub triplo. Deinde inveniendus est quidam digitus sub proxima figura] om. Ko Ko es un testimonio que, al igual que W1 y ε, fue copiado en Francia en el s. XIII. Transmite también el corpus de Sacrobosco al completo con la disposición ASC, donde el Algor. es la primera obra del códice. 5. Stemma de la familia κ α2 κ α1 β ε κ1 δ Va1 ε1 Ko ε2 Lc Mi W1 Lo4 H R2 La familia κ, como adelantábamos al inicio, estaría formada por cuatro ramas dependientes de este subarquetipo. A partir de los datos extraídos de tres de ellas (κ1, W1 y Ko) podemos saber algunos datos de κ. En primer lugar, su lugar de copia fue con toda probabilidad Francia, desde donde nace toda la tradición de la obra. En segundo lugar, es muy probable que contuviera, junto con el Algor., las otras dos obras mayores de Sacrobosco. Estas presentarían la ordenación ASC en su interior. En tercer lugar y esta vez gracias a R2, la fecha de copia de κ habría que retrotraerla ante 1262. II. FAMILIA ζ En Fi2 Li Ma Mo Mu2 Ox3 T La familia ζ, formada por estos ocho testimonios enunciados, de los cuales veremos que Li está contaminado, se constituye a partir de los siguientes errores conjuntivos: l. 67 in hac arte more Arabum more Arabum] more arabico En Fi2 Ma Mo Mu2 T, sive iudaico add. Fi2 Ma Mo Mu2 T Ox3, sive iudeorum add. En Entendemos arabico como error porque la forma de escribir a la que se refiere, es decir, de derecha a izquierda, es una costumbre «de los árabes», pero no «arábiga». Por otra parte, sive iudaico parece una glosa que se ha incluido en el texto. Ox3 es un testimonios con numerosas glosas marginales, que podría haber tomado de comentarios o incluso podrían ser apuntes propios. En este sentido, no sería extraño que hubiera tenido acceso a otro texto con el que corregir arabico. l. 61 maxima] vel aliter add. Fi2 Ma Mu2 357 EL ALGORISMUS l. 162 vel] aliter add. En Fi22 Li Ma Mo Mu2 Ox3 Estos dos errores que consisten en añadir aliter o vel aliter se descruben como tales porque el autor no emplea aliter en ninguna otra parte del tratado. Sí encontramos el término dos veces en el Compot. (Lohr, 2020, p. 57, cap. 14, l. 125 y p. 85, cap. 23, l. 153), pero en ninguno de estos casos va precedido de vel. En el segundo error, como vemos, vuelve a aparecer Li, un testimonio cuya relación con esta subfamilia analizaremos infra en el apartado de testimonios hipercontaminados. l. 178 scribatur 5] ponatur quinarius En Fi22 Ma Mu2 Ox3 Va2, ponatur 5 Mo W2 Sacrobosco emplea scribatur y ponatur prácticamente como si fueran sinónimos. Nos lleva a pensar que en el original debió poner scribatur por las fuentes, pues en ambas aparece este verbo: en el Carmen de algorismo (v. 89/91), illa deleta scribatur cifra, priori tradendo quinque pro denario mediato, nec cifra scribatur nisi dicta figura sequatur; y en el Liber Alchorismi (Allard, 1992, 91, l. 12/18), loco eius delete in eadem differentia circulum scribe, et pro eius medietate precedentis differentie numerum quinarium adiunge, et pro utroque agregato unam figuram scribe. l. 253 ultima superioris] multiplicandi add. En Fi2 Ma Mo Mu2 Mu4 Ox3 En ninguna otra parte del tratado se emplea esta construcción: el autor utiliza superioris/inferioris o multiplicanti/multiplicandi, pero nunca ambos a la vez. El hecho de que en estos testimonios aparezca multiplicandi siguiendo a superioris probablemente responda a una glosa explicativa que se introduce en el texto. Sobre los testimonios que la transmiten, llama la atención Mu4, que no pertenece a ninguno de los dos grupos de testimonios estudiados; al ser un único error el que comparte, podría ser que hubiera introducido esta palabra de manera espontánea o que hubiese insertado el término por contaminación puntual. l. 280 operandum est] est operandum En Fi2 Ma Mu2 Ox3 Est operandum no aparece ninguna vez a lo largo del tratado: cuando Sacrobosco emplea esta estructura de perifrástica pasiva siempre mantiene el orden de gerundivo + est. l. 299 ut ibi] ubi En Fi2 Ma Mo Mu2 Ox3 Se trata a todas luces de una mala lectura de ut ibi. La familia ζ se escinde en dos ramas, las subfamilias η y π. A continuación analizaremos cada una de ellas. 1. Subfamilia η En Li Ma Mo Ox3 La familia η, compuesta por los testimonios En Ma Mo Ox3 (a los que se suma Li, contaminado), presenta el siguiente error conjuntivo: l. 21/22 primo de numeratione et postea de aliis per ordines dicetur numeratione] dicendum est add. En Ma Mo Ox3 dicetur] exequimus En, exequetur Ma, exequemus Mo, exequitur Ox3 Detectamos la variante como error por el paralelismo entre esta frase y el siguiente pasaje del Compot. (Lohr, 2020 4, cap. 2, l. 7/8): de quorum singulis per ordinem in consequentibus dicetur. 358 Estudio estemático Además de este, podríamos añadir otro error más que esta vez consta también en Li, igual que ocurría con uno de los errores de ζ, lo que sugiere la pertenencia parcial de Li a esta subfamilia: I. 68 duo ordines figurarum et duo numeri] duo numeri figurarum et duo ordines En Li Ma Mo Ox3 Que ordines figurarum es la lectura correcta lo demuestra su repetición en otra parte del tratado (l. 299), mientras que numeri figurarum no se emplea en ningún lugar. 1.1. Subfamilia η1 Postulamos la existencia de la subfamilia η1, compuesta por los testimonios Mo Ox3, a partir de los siguientes errores conjuntivos. l. 324 a residuo] a residuis Mo Ox3 Sacrobosco siempre emplea el término residuum en singular. l. 345/346 quot unitates de numero dividendo conveniant de numero] in numero Mo Ox3 En esta frase consideramos que la preposición de aporta un significado que difícilmente podría ser sustituido por in: «cuántas unidades provienen desde el número dividendo». l. 405/406 quatuor latera equalia] latera equalia quatuor Mo Ox3 En todos los tratados de Sacrobosco, cuando hay un adjetivo numeral siempre antecede al nombre. Dados los siguientes errores separativos de cada uno de los testimonios que conforman la subfamilia, eliminamos la posibilidad de que uno de ellos sea descriptus del otro: l. 50 articulus] et hoc tali modo 10 sit et 20 add. Ox3 l. 52 prius] et hoc tali modo 11 sit et 12 add. Ox3 l. 54 per quatuor] om. Ox3 l. 64 competenter] om. Ox3 l. 108 tot] om. Ox3 l. 118 eius] deleta add. Ox3 l. 230 unitas] om. Ox3 l. 253/254 Quo facto ducenda est ultima multiplicantis in ultimam multiplicandi] om. Ox3 l. 529 nec a subtripli sub triplo positione] nec a tali anterioratione add. Ox3 l. 111 numerus] numerus ille Mo l. 136 centum] 100 id est centum Mo l. 199 qui est pars illius compositi] om. Mo l. 271 multiplicandi] donec perveniatur ad primam add. Mo l. 394 alius superficialis, alius solidus. Linearis est] om. Mo l. 470 ita] sic Mo 359 EL ALGORISMUS 1.2. Independencia de En y Ma Se demuestra la independencia de En respecto a Ma y de Ma respecto a En, así como excluimos la posibilidad de que cualquiera de ellos pudiera estar a la cabeza de la familia, por los siguientes errores independientes. l. 33 representantes] om. En l. 53 figuras] alias add. En l. 219 dicitur] om. En l. 458/459 sub penultima, si impar, ab ultima; et ut breviter dicatur, semper] om. En l. 472/473 figura ultimi producti addatur] om. En l. 548 residuum] om. En l. 69 servantes] om. Ma l. 91 figura] om. Ma l. 126 est unitas] om. Ma l. 126 ea deleta] om. Ma l. 273 prima] om. Ma l. 275/277 si articulus, transferatur versus sinistram; si numerus compositus, addatur figure supraposite digitus] om. Ma 1.3. Conclusiones: η El stemma de la familia η quedaría de la siguiente manera: α2 α1 ζ η En Ma η1 Li Mo Ox3 En cuanto al hiparquetipo η, puesto que el lugar de copia de casi todos los testimonios es incierto, también lo es el del subarquetipo de la familia. Sin embargo, puesto que todos presentan las obras de Sacrobosco en una posición ASC, quizá esta fuera la ordenación que debemos reconstruir para η (única excepción para En, quien solo transmite AS, que quizá se deba a no haber copiado deliberadamente el Compot. que sí tenía su modelo). 2. Subfamilia π Fi2 Mu2 T La familia π, formada únicamente por estos tres testimonios, se constituye a partir de los siguientes errores conjuntivos: l. 13/15 omnis numerus divisibilis in 10 partes aequales, ita quod nichil sit residuum] vel articulus est decuplus vel centuplus vel millecuplus vel decies millecuplus et caetera sui digiti a quo denominatur add. Mu2 T, vel articulus est decuplus vel centecupulus vel millecuplus et caetera sui digiti a quo denominatur add. Fi2 360 Estudio estemático Se trata de una explicación accesoria a la definición de articulus. El hecho de que emplee los términos decuplus, centuplus, millecuplus es muy sospechoso, puesto que Sacrobosco no los utiliza en ninguna otra parte de la obra. l. 40/62 Notandum igitur quod quilibet digitus una sola figura sibi appropriata habet scribi, omnis vero articulus per cyfram et digitum, a quo denominatur ille articulus, habet representari, quoniam quilibet articulus ab aliquo digito denominatur, ut denarius ab unitate, vigenarius a binario, et ita de aliis. Omnis vero numerus in eo quod digitus habet poni in prima differentia, omnis articulus in secunda. Omnis quidem numerus a decem usque ad centum, ut centenarius excludatur, duabus figuris habet scribi: si sit articulus, per cyfram primo positam et figuram scriptam versus sinistram, que significat digitum a quo denominatur ille articulus; si sit numerus compositus, prescribatur digitus, qui est pars illius compositi, et sinistretur articulus ut prius. Omnis numerus qui est a centum usque ad mille, ut millenarius excludatur, per tres figuras habet scribi; omnis numerus a mille usque ad decem milia per quatuor, et ita deinceps. Notandum etiam quod quelibet figura primo loco posita significat suum digitum, secundo decies suum digitum, tertio centies, quarto millesies, quinto decies millesies, sexto centies millesies, septimo millesies millesies, et sic in infinitum multiplicando per hec tria: 10, 100, 1.000. Que tamen omnes in hac comprehenduntur maxima: quelibet figura sequenti loco posita decies tantum significat, quantum in precedenti. l. 40/52 Notandum – prius] post 62 precedenti transp. Fi2 Mu2 l. 60/61 Que tamen in hac comprehenduntur maxima] om. Fi2 Mu2 T Es esta una transposición de un fragmento muy grande del texto. En la versión original, Sacrobosco sigue por orden los postulados de su fuente, aquí el Liber Alchorismi. Fi2 Mu2 T, en cambio, reorganizan el material para una mejor intelección (una tendencia clara en esta familia, como se verá en los siguientes errores). l. 46/50 Omnis quidem numerus a decem usque ad centum, ut centenarius excludatur, duabus figuris habet scribi: si sit articulus, per cyfram primo loco positam et figuram scriptam versus sinistram, que significat digitum a quo denominatur ille articulus] omnis ergo articuli principales ponuntur per unam cyfram centenarius per duas et digitum a quo denominatur millenarii per 3 decem milia per 4 et ita de aliis Fi2, omnis ergo articuli principales ponuntur per unam cyfram centenarii per duas millenarii per 3 10 milia per 4 et ita de aliis Mu2, omnis ergo articuli principales ponuntur per unam cyfram centenarii per duas et digitum a quo denominatur millenarii per 3 decem milia per 4 et ita de aliis T Dentro de la transposición anterior, los testimonios de esta familia parece que han querido explicar de una manera alternativa lo que contenía el original, pero el resultado es una explicación confusa y que se aleja de la claridad del usus sacrobosquiano. l. 61/62 quelibet figura sequenti loco posita decies tantum significat, quantum in precedenti] om. Fi2, sciendum quod figura ultima plus signat omnes precedentes add. Fi2, et sciendum quod ultima figura plus significat quam omnes praecedentes add. Mu2 T Los tres testimonios transmiten, en primer lugar, una frase similar que condensa la teoría de la matemática posicional: «la última figura [i.e., la que está más a la izquierda] significa más que todas las precedentes». Se trata de una adición erudita cuya naturaleza espuria se demuestra por el uso del adverbio plus, no empleado en ninguna otra parte del tratado. No obstante, los testimonios no coinciden en el lugar en el que sitúan la adición: Fi2 pone la frase en lugar de quelibet – precedenti; inmediatamente a continuación, se introduce el gran párrafo que se transponía. En Mu2 T, en cambio, han añadido esta frase después de la transposición, manteniendo, antes de la misma, la frase de quelibet – precedenti. Quizá esta posición antes/después del fragmento que se transpone responda a un arquetipo con esta glosa al margen como explicación a quaelibet – precedenti: Fi2 habría sustituido la frase original por su explicación, mientras que Mu2 T habrían preferido insertar la glosa más abajo en el texto. En 361 EL ALGORISMUS cualquier caso, puesto que no es probable que Mu2 T pudiera reconstruir la frase quaelibet – precedenti que remonta a original (excluyendo a priori una contaminación), no podemos agrupar estos testimonios en una subfamilia entendiendo que el error sería más bien el de Fi2, quien suprime esta frase. 2.1. Anomalías En estos testimonios encontramos un error común a Fi2 T y varias innovaciones comunes a Fi2 Mu2. Unos y otros, en cambio, no permiten establecer subfamilias por los motivos expuestos a continuación: l. 1/5 Omnia que a primeva rerum origine processerunt ratione numerorum formata sunt, et quemadmodum sunt, sic cognosci habent. Unde in universa rerum cognitione ars numerandi est operativa. Hanc igitur scientiam numerandi compendiosam philosophus edidit nomine Algus Hanc igitur scientiam numerandi compendiosam] hanc igitur scientiam numerandi operativam aut compendiosam Fi2, hanc igitur scientiam numerandi operativa ac compendiosam T Fi2 T reiteran aquí el adjetivo usado en l. 3/4: unde in universa rerum cognitione ars numerandi est operativa. Puesto que anteriormente ya hemos advertido que es probable que estemos ante un arquetipo glosado, de nuevo este error podría explicarse a través de él. Podría tratarse por tanto una glosa (que Mu2 no copia) que explicaría o ampliaría el significado de compendiosam a través del adjetivo operativa(m); a partir de ello, Fi2 T incluyen el término en el texto y cada uno de ellos emplea un nexo diferente para integrarlo: aut/ac. Respecto a los errores comunes a Fi2 Mu2, no podemos tomarlos en consideración para establecer una subfamilia puesto que todos ellos han sido localizados en aquella parte que el testimonio T no transmite por estar incompleto. l. 88/90 et transferatur digitus, a quo denominatur ille articulus, versus sinistram et addatur proxime figure sequenti, si sit figura sequens] et articulus portetur ad inferiorem figuram si sit et cum ea simul addatur Fi2 Mu2 Este error supone, en primer lugar, un error de intelección del contenido: si se mueve un número hacia la izquierda (versus sinistram), no se está moviendo «hacia la figura de menor valor» (ad inferiorem figuram), sino todo lo contrario. Por otro lado, portetur es un término que Sacrobosco no emplea en ninguna de sus obras (prefiere otros como transferatur, scribatur, addatur, ponitur…), por lo que aquí viola el usus scribendi. l. 123/124 ab illo igitur denario et a figura a qua debuit fieri subtractio simul iunctis subtrahatur figura inferior et residuum ponatur loco figure delete et a figura a qua debuit fieri subtractio simul iunctis] om. Fi2 Mu2 ponatur loco figure delete] figure a qua debuit fieri subtractio addatur Fi2 Mu2 Omiten una aclaración muy necesaria para entender el proceso matemático que se está explicando, quizá debido a un salto de línea. Al no comprender el contenido, parece que se ha intentado reconstruir la información con un resultado que no tiene sentido. l. 274 digitus] di. Fi2 sic, d. Mu2 sic l. 562 triplata2] tri. Fi2 Mu2 Estos son los únicos testimonios que abrevian así estas palabras. Ninguno más lo hace y es son bastante anómalos los compendios empleados. Aunque se entienden por el contexto, no puede ser casualidad que ambos lo abrevien de esta forma. 362 Estudio estemático l. 466/469 Quo facto inveniendus est quidam digitus sub proxima figura ante duplatum qui ductus in duplatum deleat totum suprapositum respectu duplati, deinde ductus in se deleat totum suprapositum respectu sui deleat totum] numerum add. Fi2 Mu2 Sacrobosco no pondría aquí nunca el término numerum, pues para él esto no es un «número», sino una cantidad. 2.2. Errores separativos Aunque no podemos formar subfamilias dentro de este grupo trimembre, sí podemos afirmar que ningún testimonio integrante es descriptus de otro. Esto se demuestra a través de los siguientes errores separativos de cada uno de ellos: l. 20 et hec dupliciter, quoniam] om. Mu2 l. 72 summa excrescens] summa excedens vel excrescens add. Mu2 l. 88 delete] om. Mu2 l. 127 cyfra] eam dicta add. Mu2 l. 184 hoc est] om. Mu2 l. 388 progressionis] per medietatem progressionum multiplica ab extremis coniunctum add. Mu2 l. 35 significat] om. T l. 94/95 et sinistretur articulus ut prius] et sinistretur articulus per digitum a quo denominatur ad locum in quo habet repraesentari add. T l. 60 10, 100, 1.000] vel aliter add. T A los errores de T se añade la gran omisión que abarca desde el capítulo sobre la suma, hasta el final del tratado. l. 62/66 Et sciendum quod supra quamlibet figuram loco millenarii positam competenter potest poni quidam punctus ad denotandum quod tot millenarios debet ultima figura representare quot sunt puncta pertransita] om. Fi2 l. 133 cuiuslibet] om. Fi2 l. 148 si recte feceris] om. Fi2 l. 365/366 et sic semper numerus sequens superat precedentem in duabus unitatibus] om. Fi2 l. 392 et quid sit radicem] om. Fi2 l. 404 se] om. Fi2 l. 459 si impar, ab ultima] om. Fi2 l. 464/465 et duplatum] om. Fi2 En el caso de Fi2 se podría añadir la gran omisión de los capítulos sobre la mediación y la duplicación: l. 150/207 Sequitur – converso] om. Fi2, suppl. Fi22 adiunctis foliis Esta falta debió de ser percibida quizá por el revisor del códice, puesto que a posteriori se añadieron dos folios de tamaño considerablemente inferior al resto del códice con los capítulos en cuestión escritos por una mano distinta, pero de la misma época, a juzgar por su estudio paleográfico. Consideramos que quizá fuera un revisor contemporáneo, que tal vez recuperó el 363 EL ALGORISMUS modelo de Fi2 o un códice emparentado, pues los errores transmitidos siguen coincidiendo con Mu2 y es patente su adscripción a las subfamilias π y ζ gracias a innovaciones como las siguientes: l. 151 medietatis] eius add. Fi22 Mu2 l. 157 figura] operari add. Fi22 Mu2 l. 160 illa unitas] om. Fi22 Mu2 l. 173 illo] eo Fi22 Mu2 l. 161 reliqua] medietas add. Ma Fi22 Mu2 l. 179 medietur] bene a sinistra incipere tendendo versus dextram sed ut docebatur fiet commodius add. Fi22 Mu2 2.3. Conclusiones: π π Fi2 Mu2 T Reconstruimos una subfamilia π trimembre, donde cada una de las ramas la conforma un solo testimonio conservado. A partir de los datos extraídos es probable que π fuera un códice con numerosas glosas introducidas por un lector erudito o por el propio copista, quien tendría un claro conocimiento de la materia a juzgar por la reordenación del material y las aclaraciones localizadas. Es probable que este hiparquetipo presentara las tres obras principales del corpus de Sacrobosco con un orden interno ASC, pues en esa misma posición se transmiten en Fi2 Mu2. Debió de componerse a mediados del s. XIII en un lugar incierto, puesto que de Fi2 no se sabe su origen, Mu2 se copió en Praga y T, en Inglaterra. Tal difusión geográfica apunta a la existencia de intermediarios perdidos. Por su parte, los testimonios de la familia presentan una tendencia clara a la supresión de información accesoria. Así, Fi2 suprime los capítulos sobre la duplicación y mediación, los que a efectos matemáticos no son necesarios (suplidos luego por Fi22). T, por su parte, es el que presenta una menor cantidad de texto, transmitiéndose tan solo la introducción y el capítulo inicial sobre la numeración. 3. Stemma de la subfamilia ζ Expuestas las relaciones codicológicas de la familia ζ, establecemos el siguiente stemma: α1 α2 ζ η π En Ma η1 Fi2 Mu2 T Li Mo Ox3 La familia ζ está compuesta por las subfamilias η y π. Del hiparquetipo ζ, a pesar de que no podemos reconstruir su lugar de origen, sí podemos hipotetizar que en su interior contenía el corpus de Sacrobosco al completo con una ordenación interna ASC, puesto que así lo transmiten sus descendientes. El hecho de que ninguno de los manuscritos de esta familia esté datado, impide que podamos señalar un terminus ante quem para la composición de ζ, cuya fecha de copia se situaría en algún momento del s. XIII. 364 Estudio estemático III. FAMILIA α1 Ba Be Ci D1 E2 Es Fz G I Lo3 Lo5 Lu Mu1 Mu3 Mu4 Mu6 N Ox2 Ox4 Ox5 Ox7 Pa4 Pa6 Pa7 R1 Va2 Va3 Va4 Va6 Va9 Wo La familia α1 es, con diferencia, la que más manuscritos engloba. Por el alto número de códices que de ella descienden es comprensible que sea también la familia que más sufre la contaminación, haciendo que muchas de las relaciones estemáticas que en ella se encuentran sean múltiples y, en ocasiones, dudosas. La primera evidencia textual que nos permite establecer una subfamilia α1 son los siguientes dos errores conectados entre sí: l. 74/77 Numerus cui debet fieri additio est numerus qui recipit additionem alterius et debet supra scribi; numerus vero addendus est qui debet addi ad alium et debet subscribi numerus – scribi] post 77 subscribi transp. Ba Be Ci D1 E2 Es Fz G I Lo3 Lo5 Lu Mu3 Mu4 Mu6 N Ox2 Ox4 Ox5 Ox7 Pa4 Pa6 Pa7 R1 Va2 Va3 Va4 Va6 Va9 l. 112/114 Numerus a quo debet fieri subtractio scribendus est in superiori ordine per suas differentias; numerus subtrahendus in inferiori per suas numerus – differentias] post 114 suas transp. Ba Be Ci D1 Es Fz G I Lo3 Lo5 Lu Mu1 Mu3 Mu4 Mu6 N Ox2 Ox4 Ox5 Ox7 Pa4 Pa6 Pa7 R1 Va2 Va3 Va6 Va9 Wo A lo largo del tratado, Sacrobosco empieza siempre desde el número que está en el orden superior, tanto en sus definiciones como al inicio de las operaciones. Es por ello por lo que consideramos estas transposiciones un error, puesto que en ambas este grupo de manuscritos describe primero las figuras del orden inferior y después las del superior. Ambos errores son probablemente omisiones iniciales por salto de igual a igual que se suplieron in margine en un ancestro y que ya α1 interpoló en el lugar equivocado. Dentro de estos errores hay ciertas anomalías. La primera de ellas es que Co no presente ninguna de las corruptelas aquí señaladas, mientras que sí contiene los errores de la subfamilia δ; esta situación podría responder a que se trata de un manuscrito contaminado. E2 contiene el primer error, pero no el segundo, lo que de nuevo adelanta que es un manuscrito contaminado (desciende a la vez del hiparquetipo contaminado *τ, descendiente de δ, y de χ, descendiente de α2). Por último, el hecho de que Mu1 Wo transmitan el segundo error pero no el primero, podría deberse a un salto de igual a igual (numerus... numerus) que al intentar subsanarse ha invertido el orden de las frases, o bien a que ha habido algún proceso de contaminación, que es la opción por la que nos decantamos al reconstruir *τ. Algo parecido ocurre con Va4, que transmite el primer error, pero no los errores que comentaremos a continuación; es este un ejemplar que incluimos en la subfamilia γ, descendiente de α2 (cfr. infra) y que, por lo demás, no muestra síntomas de contaminación. Por esta razón, creemos que esta falta podría deberse a un salto de igual a igual restituido posteriormente en un lugar equivocado. De la misma subfamilia que Va4 es Mu4, cuya presencia parece ser intermitente en los errores de α1; en este caso sí contamos con otros factores que prueban la contaminación de Mu4 (quien pertenece, como decíamos, a la subfamilia γ y a la vez podría depender de la rama de P2 dentro de la subfamilia o, descendiente de μ y este a su vez de δ). Otro error compartido por los miembros de la subfamilia α1 es el siguiente: l. 92/95 Si autem contingat quod figura sequens cui debet fieri additio articuli sit cyfra, ea deleta, loco eius scribatur digitus articuli. Si sit figura novenarii et ei debet addi unitas, loco illius novenarii scribatur cyfra et sinistretur articulus ut prius Si sit] si autem contingat quod sit Ba Be I Lo3 Lu Ox2 Ox4 Ox7 Pa6 R1 Va2 Va3 Va9, si vero contingat quod sit Ci D1 Es Fz G Li Lo5 Mo Mu3 Mu6 N Ox3 Ox5 Pa4 Pa7 Va6 Va10 Y2 365 EL ALGORISMUS El razonamiento del autor en este pasaje es claro. Está hablando de qué ocurre si en una adición se obtiene un artículo como resultado, en cuyo caso hay que retrasar el número que tiene valor una casilla hacia atrás. Si hubiera en su lugar un cero, se escribe directamente el número del artículo; pero si es un nueve y hay que añadirle uno, entonces se pone un cero y se atrasa el uno. Puesto que aquí examina dos posibilidades dentro de una misma operación, es común que Sacrobosco comience la primera de ellas con una estructura que marque la diferencia respecto a lo anterior, es decir, si autem contingat quod, pero no así para la segunda, cuya aparición es anómala y reiterativa. Este último error no lo transmite E2, que sí compartía uno de los dos anteriores y que ya habíamos advertido que se trata de un ejemplar contaminado. Se suma la presencia anómala de Li, quien, como veremos, además de formar parte de la familia β2 dentro de β, a su vez descendiente de α2, presenta otras muchas relaciones estemáticas haciendo de él un testimonio hipercontaminado que analizamos infra en el apartado destinado a estos ejemplares. También sorprende la presencia de Mo Ox3, que no transmitían los errores anteriores pero sí este. Dichos códices forman parte de la subfamilia η, descendiente de ζ, pero consideramos que el hecho de que transmitan este único error de α1 no es suficiente para probar la existencia de otros modelos para η o, más bien, η1. Finalmente, de nuevo Va10 (descendiente de α2) podría haber cometido el mismo error y transmitírselo a su descriptus, Y2. Localizamos una cuarta innovación en el siguiente pasaje: l. 161 in 60 minuta et medietas illorum] sexaginta add. Lc Lo3 Mu1 Mu5 Ox4 P2, 60 add. Ba Be Ci D1 Er Es Fi1 Fz G I Lo1 Lo5 Lu Mu6 Ox2 Ox5 Ox7 Pa4 Pa5 Pa6 Pa7 R1 Va6 Va9 Wo El hecho de que algunos ejemplares como Mu3 Va2 Va3 no lo transmitan podría deberse simplemente a una omisión, presumiblemente desde el numeral, quizá por no comprenderlo bien. Por otro lado, no es extraña la presencia de algunos testimonios que no pertenecen en principio a esta subfamilia, como Er, puesto que se trata de un manuscrito contaminado. Tampoco es anómalo que N no transmita tal adición por la misma razón, como veremos infra. Por último, una omisión parece remontar también al hiparquetipo α1: l. 176 unus illorum abiciatur, reliquus addatur illorum] om. Ba Be Ci Co D1 Es Fi1 Fz G I Lo1 Lo3 Lo5 Lu Mu1c Mu4 Mu6 N Ox2 Ox4 Ox5 Ox7 P2 Pa4 Pa5 Pa6 Pa7 R1 Va2 Va6 Va9 Wo Son varias las ocasiones en las que Sacrobosco emplea la estructura illorum... reliquus. La que aquí estudiamos, de la l. 176, tiene su paralelo en l. 237, donde de nuevo se organiza la información con unus illorum... reliquus. A estas se suman las construcciones de las l. 160/162: resolvatur in 60 minuta et medietas illorum abiciatur, reliqua reservetur y l. 210/211: qui totiens continet alterum illorum quot sunt unitates in reliquo. Puesto que en todas ellas el autor remarca la existencia de varios sujetos con illorum, entendemos que se trata de una construcción habitual en el usus de Sacrobosco donde la omisión de illorum constituiría a todas luces un error. En estos dos últimos errores destacamos la presencia de Fi1, quien no transmitía las otras corruptelas. Este testimonio lo analizamos infra en el apartado de códices hipercontaminados. También llama la atención la ausencia de Mu3 y de Va3, que probablemente sea, aun contaminado, su descendiente. Esto podría indicarnos la existencia de un hiparquetipo que aglutinaría las subfamilias δ y ρ frente a Mu3, gemelo de tal hipotético arquetipo. No obstante, al ser una omisión tan pequeña con una difícil restitución, pero no imposible, consideramos más prudente y más económico desechar esta idea a favor de una concepción tripartita de la descendencia de α1. 366 Estudio estemático Del hiparquetipo α1, por tanto, dependen las subfamilias δ y ρ y el manuscrito Mu3 de forma independiente. Comenzaremos describiendo este último para presentar, a continuación, las dos grandes subfamilias en las que se divide α1. 1. Independencia de Mu3 Puesto que Mu3 comparte los errores citados de α1 y no comparte innovaciones conjuntivas con ninguna subfamilia y/o manuscrito dependiente de este hiparquetipo, postulamos que este testimonio depende directamente de α1. Sabemos que no está a la cabeza de la familia por los errores propios que contiene, como los siguientes: l. 2 sic] ita Mu3 l. 35 tenens] retinens Mu3 l. 43 ab aliquo digito] digiti ab aliquo Mu3 l. 62 precedenti] prima Mu3 l. 87 digitus2] om. Mu3 l. 117 supraposite] aut impar add. Mu3 l. 131 illam figuram] figuram illam Mu3 l. 160/161 vel resolvatur] vel numerus resolvatur Mu3 l. 216 ex ductione] ex ducendo Mu3 l. 448 quocumque] om. Mu3 Como veremos infra, Mu3 está relacionado con Va3, descendiente de μ. Puesto que es inverosímil pensar que Mu3 corrigiera todos los errores de δ y de μ a partir de Va3, pensamos que más bien Va3 descendió de Mu3. Mu3 es, por tanto, un descendiente aislado de subfamilia α1, independiente de las dos subfamilias que remontan también a este mismo hiparquetipo. Mu3 es un códice que fue probablemente copiado en París y que contiene en su interior el Algor. y la Spher. de Sacrobosco en este orden: AS. Su fecha de copia, como veremos infra al analizar la relación entre Va3 y Mu3 ronda el año 1300. 2. Subfamilia δ Bu Ci Co E2 G Lo5 Lu Mu6 N Ox2 Ox4 Ox5 Ox7 P2 Pa4 Pa7 R1 Va2 Va3 Va6 Va9 Va92 Wo La subfamilia δ se define principalmente por los siguientes errores: l. 11/12 Numerorum alius digitus, alius articulus, alius numerus compositus] sive mixtus add. Bu Com G Ko Lo4 Lo5 Lu Mu6 N Ox5 Ox7 Pa4 Pa7 R1 Va2 Va3 Va6 Va10 Wo Y2, scilicet mixtus add. E Esta adición es a todas luces una glosa erudita añadida por el hiparquetipo δ. Se descubre que no estuvo en el original por las fuentes del pasaje: Liber Alchorismi (Allard, 1992, 66, 1/3): Horum autem numerorum alios vocaverunt digitos, alios articulos, alios compositos; y el Carmen de algorismo (v. 14/16): Post predicta scias breviter quod tres numerorum distincte species sunt, nam quidam digiti sunt, articuli quidam, quidam quoque compositi sunt. Además, es parte del usus scribendi del autor citar primero las denominaciones comunes de los conceptos que va a explicar y luego, en el desarrollo, aportar las alternativas. En efecto, unas líneas más abajo (l. 15): compositus sive mixtus est qui constat, etc. Lo mismo ocurre en otras muchas partes del tratado. 367 EL ALGORISMUS El hecho de que Ox2 Ox4 no transmitan este error, pero sí los siguientes, podría responder a que eliminaron esta aclaración (de ellos, Ox4 podría haber corregido el error con otro modelo, puesto que es probable que esté contaminado). Por otro lado, Ko Lo4 se suman a este error, lo que quizá se trate de una cuestión de poligénesis o bien de microcontaminaciones; al igual que Va10 y su descriptus Y2. l. 14 divisibilis] qui potest dividi Bu D1 Fz G Lo5 Mu4 Mu6 N Ox2 Ox4 Ox5 Ox7 Pa4 Va2 Va3 Wo, qui dividi potest Lu R1 Va6 Divisibilis es una lectio difficilior respecto a qui potest dividi. Parece que este segundo sintagma glosa divisibilis, una simplificación aclaratoria que tan solo se explica en esta dirección, pero no en la contraria (a no ser mediante la contaminación). Es anómalo que D1 Fz presenten el error, puesto que no comparten las otras corruptelas de δ y forman parte de la subfamilia θ, descendiente de ρ (gemelo de δ). Podríamos estar aquí ante una variante que viajaría en los márgenes de algunos testimonios de la familia α1, llegando así a ρ y de este, a θ. Si así fuera, deberíamos pensar que ya α1 contenía tal aclaración en sus márgenes o inter lineas. Por otro lado, es anómalo que Pa7 no transmita esta variante, puesto que sí comparte los otros errores de la subfamilia δ: podríamos estar ante un manuscrito contaminado o que espontáneamente habría eliminado esta innovación. Bu sí es, en cambio, un ejemplar a todas luces contaminado, puesto que no transmite los errores conjuntivos de α1 pero sí los de δ. Detectadas estas corruptelas, advertimos que la mayoría de los testimonios que las transmiten coinciden con aquellos que comparten la siguiente variante: l. 4/7 Hanc igitur scientiam numerandi compendiosam philosophus edidit nomine Algus, unde et algorismus nuncupatur, vel ars numerandi, vel ars introductoria in numerum interpretatur Hanc – interpretatur] Cum igitur hec scientia de qua ad presens intendimus circa numerum consistat primo videndum est quid sit proprium nomen ipsius et unde dicatur deinde quid sit numerus et quot numeri species est ergo nomen eius algorismus et dicitur ab algos quod est ars et ricmus quod est numerus unde algorismus quasi ars numerandi vel dicitur ab en quod est in et gogos ductio et ricmus numerus quasi introductio in numerum tercio modo dicitur ab algo inventore et richmus numerus Co G Lo5 Lu Mu6 Ox2 Ox4 Ox5 Ox7 Pa4 Pa7 R1 Va2 Va3 Va6, add. Bu Cim E2 Nm Va9, cum igitur haec scientia de qua ad presens intendimus operatam consistat primo videndum est quis sit actor scientie quod proprium nomen scientie et unde dicatur deinde de quo sit numerus et qui numeri species ante hanc praem. P1 Esta variante podría tratarse de un error, puesto que aporta una información que encontramos en todos los comentarios al Carmen de algorismo y al propio Algor. y que en esta ocasión serviría para completar el pasaje. Su carácter comentarístico es evidente, pues comienza enumerando las partes de las que se va a tratar, y consideramos probable que un lector que conociera tales comentarios incluyera esta información y suprimiera las líneas anteriores. Sin embargo, no podemos estar seguros de que se trate de un error entendido como tal por los siguientes argumentos. En primer lugar, la posibilidad de que Sacrobosco compusiera el Algor. a partir de un comentario al Carmen de algorismo (quizá escrito por él mismo, quizá compuesto por otra persona, quizá incluso una derivación de sus lecciones en la universidad) hace que no sea extraño encontrar un lenguaje comentarístico en su manual. Es más, en el capítulo de las raíces cuadradas se enuncian las partes del pasaje de manera idéntica a las de esta variante (l. 390/392): Sequitur de radicum extractione et primo in numeris quadratis, unde videndum est quid sit numerus quadratus et que sit radix numeri quadrati, et quid sit radicem extrahere. También vemos esto en sus otros tratados, como en la Spher. (Thorndike, 1949a, 76): Tractatum de spera quatuor capitulis distinguimus dicentes primo quid sit spera, quid eius centrum, quid axis spere, quid sit polus mundi, quot sint spere, et que sit forma mundi. 368 Estudio estemático En segundo lugar, el hecho de que se den varias opciones para la etimología de una palabra también es propio del usus del autor. Contamos con numerosos ejemplos de esto, de los que aquí presentamos dos: en Spher. (Thorndike, 1949a, 87): Et dicitur circulus iste zodiacus a zoe, quod est vita, quoniam secundum motum planetarum sub illo est omnis vita in rebus inferioribus. Vel dicitur a zodias, quod est animal, quia, cum dividatur in 12 partes equales (...). También así en el Compotus (Lohr, 2020, 11, cap. 3, l. 115/118): Dicitur autem dies a ‘dyan’, quod est ‘clarum’, vel a ‘dya’, quod est ‘duo’, quoniam dies naturalis dividitur in diem artificialem et noctem. Vel dicitur dies a diis. Planetae enim dicebantur dii, a quibus dies denominantur. Si en efecto aceptáramos la hipótesis (expuesta en pp. 313-7) de que la génesis del Algor. está vinculada o directamente bebe de un comentario previo al Carmen de algorismo, es lógico pensar que esta adición extraída de un comentario tendría las mismas estructuras que sus otras obras. Otra opción sería pensar que esta variante estaría incluida en una segunda versión del Algor. escrita por el propio autor, lo que es plausible teniendo en cuenta que en su labor como profesor estaría repitiendo año tras año los mismos contenidos que quizá quisiera variar o modificar735. A nuestro juicio, la prueba que hace evidente que esta variante es una adición (del autor o no) sobre el original es la coincidencia de los testimonios que la transmiten con los errores anteriores. Ante esta situación, es difícil imaginar que el grupo de manuscritos que transmite esta variante la haga remontar al texto original, pues son todos miembros de la subfamilia δ, descendiente a su vez de α1. Por lo tanto, estemáticamente, parece que la única solución es asumir que esta lectura es una innovación que, además, genera una variante textual extremadamente «contaminable». Con esto queremos decir que un copista que tuviera en sus manos un ejemplar pero que conociera otro con esta lectura en su interior es probable que quisiera incluirla por varios motivos. Primero, por su posición: se trata de una variante al inicio del texto, y por tanto su parte más reconocible, lo que cualquier lector se encontraría en primer lugar. Además, el hecho de que aporte una información extra es una motivación adicional para que un estudiante quisiera completar sus «apuntes». Como hemos dicho, estas consideraciones aparecen en los comentarios al Carmen de algorismo y quizá era un tema que se debatía en las aulas universitarias, esto es, la búsqueda de la etimología de la palabra algorismus, lo que no hace más que potenciar la utilidad de que se añadiera el párrafo. La prueba fehaciente de que la naturaleza de la innovación propicia su contaminación la encontramos en el grupo de manuscritos que transmiten ambas lecturas, situando la adición a veces antes del texto original, a veces después o incluso en el margen, como es el caso de Bu Cim E2 Nm P1 Va9. Entendida esta variante como innovación (quizá de autor), es preciso decir que, de nuevo, suponemos que P2 debió de transmitirla, aunque no se conserve esta parte de su texto, a juzgar por su relación con los códices de la subfamilia ο. Por otro lado, no la transmite Wo, quien sí comparte, en cambio, todos los otros errores de δ. Una vez definidos los errores de δ, describiremos sus descendientes. El hiparquetipo δ se subdivide a su vez en las subfamilias μ, *τ (contaminada) y en los códices Bu y Ox2, que dependen directamente de δ; aunque Bu es un ejemplar contaminado. Asimismo hemos incluido Ko como descendiente parcial de δ, del que ya hemos hablado en la familia κ, aunque su modelo principal parece ser κ; y finalmente *Co, un códice con una contaminación evidente cuyo/s modelo/s alternativo/s no hemos podido identificar. 735 Sobre esta cuestión discutimos en el aparato metodológico de la introducción, citando el estudio de Reeve (2017, 163-82). Si esto fuera así, Sacrobosco habría cogido un manuscrito distinto del original para su consulta incluyendo en él esta innovación. Los descendientes de tal códice tendrían, por tanto, los errores del manuscrito en circulación que tomó el autor y, además, la innovación, que se incluiría en ese punto concreto de la tradición textual y viajaría como una adición más de cualquier copista. 369 EL ALGORISMUS 2.1. Subfamilia μ Ba Ci G Lo5 Lu Mu6 Ox4 Ox5 Ox7 P2 Pa4 Pa7 R1 Va2 Va3 Va6 Va9 El primer error que hemos localizado para establecer una relación entre los miembros de subfamilia μ es el siguiente: l. 9/10 Materialiter enim ut numerus est unitates collecte, formaliter ut numerus est multitudo ex unitatibus profusa unitates collecte, formaliter ut numerus est multitudo] unitates collecte formaliter ut numerus est unitatum collectio vel numerus est Ba G Lo5 Lu Mu6 Ox5 Ox7 Pa4 Pa7 R1 Va2 Va3 Va9, unitas collective ut numerus formaliter est unitatum collectio Ox4, unitates collecte est ut numerorum unitatum collectio vel numerus est multitudo Va6, vel numerus est unitatum collectio post profusa add. Ci Se trata de una adición erudita a partir de Boecio (Instit. 1.3, p. 13, 10/12)736, que es fuente de este pasaje: Numerus est unitatum collectio vel quantitatis acervus ex unitatibus profusus. Al hacerlo, se pierde la oposición materialiter est… formaliter est… pero no solo eso, sino que ofrece una versión más completa de la frase que sería impensable que se corrigiera para devolverla al sincretismo original. El segundo error común a los miembros de esta subfamilia es el siguiente: l. 433/434 unicum medium proportionale, quod provenit ex ductu radicis unius quadrati in radicem alterius unicum – alterius] om. Va92 provenit] sic patet G Lo5 Lu N Ox4 Ox5 Ox7 P2 Pa7, patet sic Va5, sic potest Pa4, sic Va6 ex ductu] ducatur G Lo5 Lu N Ox4 Ox5 Ox7 P2 Pa4 Pa7 Va5 Va6 alterius] quadrati et proveniet idem medium proportionaliter add. G, quadrati et proveniet illud medium proportionale add. Pa4, et provenit (proveniet Lo5 N Ox4 Ox5 Pa7, proveniat Va5) illud (istud Lu Va5) medium (proportionale Lo5, item add. Lu, etiam add. Ox7) add. Lo5 Lu N Ox4 Ox5 Ox7 P2 Pa7 Va5, et provenit illud medium cuius medii quadratus erit equaliter numero superficiali productu ex duobus quadratus inter quos est medium add. Va6, illorum autem tantum numerorum talis erit proportio quod semper maior continebit totum minorem et eius totam partem que sunt radices unitates in minori in qua autem unitatibus unus alium excedit per radicem poteris videre et per additionem probare quia per additionem minoris radicis ad suum quadratum resultabis numerus medius et per additionem maioris radicis ad numerum medium resultabit extremus add. Er Detectamos como error sic patet ducatur en lugar de provenit ex ductione por la fuente del pasaje, la segunda parte del Liber Alchorismi. Aquí, como vemos, se emplea el verbo provenio y hasta dos veces la estructura ex seguida de ablativo (ex multiplicatione, ex ductu): Omnium ergo trium numerorum eiusdem proportionis, si multiplicaveris primum in tertium, tantum provenerit 48 ex multiplicatione eorum quantum ex ductu solius medii in se (Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 153, cap. 10.1). Respecto a los manuscritos que transmiten tal innovación, conviene anotar que Va92 omite un párrafo que incluiría tal frase, por lo que no sabemos si su modelo la contenía o no. Lo mismo ocurre con R1, testimonio que no incluye el capítulo de las raíces. Además, no sorprende que no la contengan Ba Ci, que sí conservaban la anterior, por ser testimonios contaminados, así como Mu6. En cuanto al hecho de que Va2 Va3 no compartan la corruptela, parece indicar que son ejemplares contaminados. Por último, más llamativo es el caso de Va5, quien comparte el último 736 Citamos Boecio a partir de la edición de Friedlein (1867). 370 Estudio estemático error pero no transmitía los anteriores ni las innovaciones de α1 ni de su apógrafo δ. Veremos que Va5 parece estar relacionado con γ, descendiente de α2, aunque los errores que comparte con esta subfamilia son escasos y no permite establecer su completa integración en ella; también está emparentado con Va2, códice hipercontaminado. En estas circunstancias, suponemos que Va5 es un testimonio contaminado que tuvo como modelo el hiparquetipo μ o quizá de alguno de sus descendientes, aunque la única prueba que tenemos de esto es el último error aquí presentado y, quizá, las correcciones de los errores de su/s otro/s modelo/s. De μ dependen los hiparquetipos μ1, μ2, el códice Va3 y, quizá, Va5, un testimonio particular a efectos de sus relaciones estemáticas, tal como hemos comentado. A continuación analizamos estas ramas y sus descendientes. 2.1.1. Subfamilia μ1 Er Ci Lo5 Lu Mu6 Ox4 Ox5 Ox7 P2 Pa7 R1 Va9 Definimos esta subfamilia μ1 a partir de los siguientes errores conjuntivos: l. 222/228 Quando enim digitus multiplicat digitum, subtrahendus est minor digitus ab articulo sue denominationis per differentiam maioris digiti ad denarium, denario simul computato. Verbi gratia, si velis scire quot sunt quater octo, vide, quot sunt unitates inter octo et decem, denario simul computato; et patet quod due. Subtrahatur igitur quaternarius bis a 40 et remanent 32, summa totius multiplicationis. l. 222/224 subtrahendus – denarium] considerandum est quot sunt unitates inter digitum multiplicandum et denarium Lu Ox7 Pa7 R1, consideretur quot sunt unitates inter digitum multiplicandum et denarium Lo5 Ox4 Ox5, considerandum quot sint unitates inter maiorem digitum et denarium Mu6 P2 Va9, subtrahatur minor digitus ad articulo sue denominationis totiens que unitates sunt inter maiorem digitum et denarium Mu4 computato] vel sic quando digitus multiplicat digitum consideretur quot unitates sint inter maiorem digitum et denarium denario simul computato et totiens subtrahatur minor digitus a suo articulo qui denominatur ab illo add. Er, et totiens subtrahatur minor digitus multiplicans scilicet minor digitus ab articulo sue denominationis add. Lo5, et totiens subtrahatur minor digitus multiplicans ab articulo sue denominationis add. Lu, et totiens subtrahatur minor digitus ab articulo sue denominationis add. Mu6 P2 Va9, et totiens subtrahatur numerus digitus ab articulo sue denominationis add. Ox4, et totiens subtrahatur digitus multiplicans ab articulo sue denominationis add. Ox5, et totiens subtrahatur minor digitus multiplicans ab articulo sue denominationis add. Ox7, et totiens subtrahatur digitus ab articulo sue denominationis et patet quod due subtrahatus igitur quaternarius totiens digitus multiplicans ab articulo sue denominationis add. Pa7, et patet – denominationis del. Pa7, et totiens subtrahatur numerus multiplicatis quot sunt unitates sub articulo suae denominationis add. R1 Esta variante responde a la dificultad de entender el proceso por el cual se multiplica. Sacrobosco explica que se ha de restar a la cifra de menor cantidad elevada a la décima potencia el dígito que se extrae de multiplicar esta cifra menor por la diferencia de la mayor hasta el diez. O sea, considerando x el número de menor valor, x · y = x10 – [x · (10 – y)]. El hiparquetipo μ1 explica el proceso siguiendo el hilo del ejemplo, lo que hace que simplifique la primera frase y añada tras esta la continuación de la operación. Elaboran así una lectio facilior para facilitar la comprensión de este proceso, que ya en el Carmen de algorismo, la fuente, no era fácil de entender 371 EL ALGORISMUS (v. 99/102): In digitum cures digitum si ducere, maior per quantum distat a denis respice, debes namque suo decuplo totiens delere minorem sicque tibi numerus veniens exinde patebit737. Mu4 transmite una suerte de versión mixta fruto de la contaminación: dentro de la subfamilia μ1 podemos emparentarlo con P2 Va9 en la subfamilia ο, pero también, como veremos, podemos calificarlo como miembro de la subfamilia γ, descendiente de α2. Lo mismo ocurre con Er, quien trae las dos versiones en texto. Otro error parece remontar a esta subfamilia: l. 246/248 Hic tamen ubique articulus non nisi ad principales extendatur] om. Lo5 Mu6 Ox2 Ox5 Ox7 P2a Pa4 Pa7 R1 Va6, add. P2m Es esta la continuación de la explicación precedente cuya omisión parece ilógica a efectos de una mejor intelección del texto. No obstante, llama la atención la ausencia de Lu y Ox4 en esta sucesión de códices, lo que quizá nos sugiera que lo restituyeron por transmisión horizontal. Igualmente, la presencia de Va6 constituye una prueba de su contaminación múltiple, que analizaremos infra. Tampoco en Va9, aquí ausente, podemos reconstruir una tradición vertical. Además de estas, las siguientes innovaciones permiten atisbar una relación entre esta subfamilia μ1 y la familia λ (cfr. infra): l. 374/376 Quando autem progressio naturalis terminatur in numerum imparem, per maiorem portionem ipsius multiplica numerum totalem per – totalem] sume maiorem portionem illius imparis et per illum multiplica numerum totalem Ci Lo5 Lu Mu6 Ox4 Ox5 Ox7 Pa7 Va92, sume maiorem partem illius imparis et per illam multiplica numerum totalem Be Fi1 I Lo1 Lo3 Pa5, sume maiorem portionem illius numeri imparis magis accedentem ad medietatem et per ipsum multiplica totalem numerum Er La segunda parte del Liber Alchorismi (Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 149-50, cap. 3.4-3.5), fuente de este pasaje, confirma el texto reconstruido como el original: Si vero in impari desieris, verbi gratia 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ipsum, scilicet 15 septem, multiplica per maiorem partem sui. Comparte esta estructura en la que no aparece sume en el texto del manuscrito de Coventry (Burnett, 1996a, 308 = 2010, III, 308, l. 20/22): Numero naturali usque ad quemlibet imparem aggregato, ultimum ordinem per sui maiorem medietatem multiplica et invenies summam. Estos manuscritos, por tanto, ofrecen una versión facilior donde la explicación presenta un desarrollo mayor que aquella original a efectos de una mayor claridad. Lo mismo ocurre unas líneas más abajo donde se sigue con las progresiones: l. 385/386 Quando progressio intercisa terminatur in numerum imparem, multiplica maiorem portionem per se ipsam multiplica – ipsam] sume maiorem portionem totalis numeri et ipsam multiplica per se Lo5 Lu Mu6 Ox4 Ox5 Ox7 Pa7 Va92, sume maiorem portionem totius numeri et ipsam multiplica per se Be Lo1 Lo3 Pa5, sume maiorem portionem illius numeri et ipsam multiplica per se Ci, sume maiorem partem ipsius numeri et per ipsam multiplica per se I, sume portionem maiorem totalis numeris magis accedentem ad medietatem et multiplica eum per semet ipsum Er De nuevo, la fuente nos confirma la lectura original: a proximo pari qui est post imparem in quo desinis, medietatem subtrahe, ablatam per se multiplica et habebis summam (Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 150, cap. 5.3). También en el manuscrito Coventry (Burnett, 1996a, 309, 2/3 = 737 «Si quieres multiplicar un dígito por otro dígito, mira cuánto dista el mayor hasta diez, puesto que debes restar tantas veces el menor a su propio décuplo, y así te resultará el número que se extrae de ahí». 372 Estudio estemático 2010, III, 309, l. 2/3): Numeris ab unitate omnibus aggregatis, maiorem medietatem ultimi per se ipsum more tetragoni multiplicabis. Como decíamos, estos errores son compartidos por los integrantes de la familia λ, que parece presentar contaminación en su mismo hiparquetipo. Por otro lado, no nos extraña que los códices Ci Er compartan estas variantes, pues son manuscritos contaminados que, como veremos, se relacionan con alguna de las subfamilias que definimos infra. Fi1 y R1 aparecen de manera intermitente en los errores de μ1, lo que sugiere una contaminación que se confirma por su pertenencia o similitudes con varias familias a la vez (Fi1 es descendiente de la subfamilia β1, a su vez descendiente de α2. R1 forma parte de la subfamilia ξ, parece depender a su vez de Fi1 y además podemos situarlo como integrante de κ. Ambos los estudiaremos en el apartado de códices hipercontaminados). También conviene señalar la situación de P2: en primer lugar, como decíamos, al tratarse de un manuscrito acéfalo, no hemos podido atestiguar en él la presencia de todos los errores de sus hiparquetipos; sin embargo, el hecho de que no transmita este último error de μ1 y que en la anterior omisión haya sido capaz de restituir el texto in margine nos lleva a pensar que se trata de un ejemplar contaminado. De esta subfamilia dependen los hiparquetipos ν, ξ y o, que describiremos a continuación. a) Subfamilia ν Advertimos la existencia de la subfamilia ν compuesta por los códices Er Ox4 Lo5 Ox5 a partir de dos errores conjuntivos que detallaremos a continuación: l. 142/143 sed ut docebatur fiet commodius fiet] hoc modo add. Er Lo5 Ox4 Ox5 La fórmula hoc modo no es empleada por Sacrobosco ni en otras partes del Algor. ni en el resto de tratados a él atribuidos, razón por la cual descartamos su originalidad. l. 305 in divisione tres numeri sunt necessarii in divisione] facienda add. Er Lo5 Ox4 Ox5 No encontramos en Algor. ni en ninguna de las obras atribuidas al autor una construcción equivalente a esta, es decir, de gerundivo. El autor emplea en numerosas ocasiones formas participiales de futuro, pero siempre en posición adjetival (numerus dividendus, numerus subtrahendus) o formando parte de una perífrasis pasiva (faciendum est, scribendus est, ponendus est). Además, la adición de facienda es glosadora: indica que son necesarios tres números en el proceso de la división, no en su resultado. Dentro de la subfamilia ν integrada por los códices Er Lo5 Ox4 Ox5, se presenta el problema de la contaminación del testimonio Er. Como veremos infra, este códice comparte errores conjuntivos con la subfamilia γ, descendiente de α2, lo que es, a priori, imposible en una reconstrucción vertical del stemma. Hipotetizamos, pues, que en este la tradición ha de entenderse como horizontal, haciendo partícipe al testimonio Er de dos familias a la vez. Como consecuencia de este hecho, el siguiente error de Lo5 Ox4 Ox5, es susceptible de haber sido corregido por parte de Er gracias a su otro modelo: l. 298/299 competenter potest relinqui spatium vacuum inter duos ordines figurarum spatium vacuum] spatium medium Lo5 Ox4 Ox5 Se refiere aquí Sacrobosco a dejar libre un espacio entre los ordines de las figure mientras se está operando para poner fácilmente los resultados que se vayan obteniendo de la operación en ellos. En este empleo, el autor prefiere el adjetivo vacuus para designar un locus que no está 373 EL ALGORISMUS ocupado (todavía) por un número. Un pararelo de este uso lo encontramos en l. 289/290: si vero spatium ei suprapositum sit vacuum. Esta misma acepción aparece en Compot. (Lohr, 2020, 57, cap. 14, l. 129/131): Et si aliquid deletur, in loco proximo scribitur, si vero nihil, unus punctus vacuus relinquatur y en Spher. (Thorndike, 1949a, 80-1): sequeretur quod locus aliquis esset vacuus et corpus sine loco. Por otro lado, medium se emplea exclusivamente para designar las cantidades que se extraen al calcular la diferencia entre dos números cúbicos consecutivos (cfr. l. 433 medium proportionale; l. 435/436 duplex medium proportionale, scilicet minus medium et maius. Minus medium provenit, etc.). De igual manera, en el resto de tratados a él atribuidos se emplea el término medium para designar realidades que se encuentran en la mitad o que están en medio de una sucesión, pero nunca para aludir a un espacio vacío intermedio entre dos entidades o conceptos. Además de este error transmitido por Lo5 Ox4 Ox5, existen varios errores propios de Er que impiden que este haya sido modelo de cualquiera de sus otros parientes de la familia. Algunos de ellos son los siguientes: l. 9 collecte] om. Er l. 388 progressionis] de progressione notant quosdam regulas generales per medietatem progressionum multiplica ab extremis coniunctum positiones appellantur figure numeri proposit quarum numero computato medium illius numeri est considerandum et idem medium est sumendum per quod mediam summa proveniens ex aggregatione ultimarum figurarum seu positionum est ipsa summa multiplica add. Er l. 560 cubicis] ratio unam regulam tribus progressionum generibus continet in omni progressione sive continua sive intercisa vel interpolata dummodo quantumlibet summe distant equalia sint intervalla numero numerum ter certificato per medietatem illius numeri ex prima multiplicabis extrema summa compacta et ita totius progressionis summa equalibus ex causa patefiat istud in difficiliori vero liquido constet in faciliori harum summarum equaliter progredientium unus est numerus cuius medietas quaternarius per quam multiplicatus numerus ex prima et ultima summa compositum faciunt qui est numerus ex omnibus summis accumulatus si vero impar fuerit summarium numerus nihil obest verbi gratia harum summarum numerus est septenarius cuius quidem medietas est quidam ternarius et senis per harum medietatem multiplicatus 2 vicesanarius [sic] qui est ex prima et ultima summa compositus faciunt Ↄ1 [sic]738 etenim ter et 6 faciunt 74 semis vero 26 sunt 13 et acumulati predicto numero faciunt 91 add. Er i. Subfamilia ν1 Los códices Lo5 Ox5 parecen remontar a un mismo hiparquetipo a partir de varios errores comunes a ambos: l. 39 fuit necesse] fuit necessarium Lo5 Ox5 Supone esta una variante errónea que se adivina por el usus scribendi del autor: en la Spher. aparece en dos ocasiones la construcción verbo sum + necesse; mientras que ni en esta obra ni en el resto de ellas que se atribuyen a Sacrobosco vemos la construcción verbo sum + necessarium. l. 42 cyfram] circulum Lo5 Ox5 Este error se explica a partir de un conocimiento matemático amplio del copista que lo generó. En efecto, el cero es una realidad novedosa para los estudiantes del siglo XIII; un numeral transmitido por los diferentes tratados sobre el algorismo en los ss. XII-XIII que ha recibido 738 En esta adición encontramos numerosos espacios en blanco en los lugares donde deberían aparecer números. Pensamos que estos símbolos que nos encontramos aquí son el resultado de intentar plasmar los numerales que corresponderían en este punto y que quizá contenía su antígrafo o ni siquiera. 374 Estudio estemático nombres diversos según uno u otro autor. En el caso de Sacrobosco, en cambio, a pesar de que él mismo reconoce en l. 33/34 que decima [sc. figura] dicitur theta, vel circulus, vel cyfra, vel figura nichili, él siempre va a emplear cyfra en Algor. para referirse al cero y circulus (tanto en Algor. como también en Compot. y Spher.) para las entidades o realidades circulares. l. 95/97 Si excrescat numerus compositus, loco superioris delete scribatur digitus, qui est pars illius compositi, et sinistretur articulus ut prius. loco superioris deletae] loco superiori deleta Lo5 Ox5 Sacrobosco aquí se está refiriendo a qué ocurre si, al sumar dos números, resulta un compositus, esto es, un número compuesto por, al menos, decenas y unidades. En ese caso, debería eliminarse el número que se ha sumado para poner, en su lugar (loco superioris delete), las unidades correspondientes del resultado (digitus) y, a la izquierda, las decenas (articulus). Para que la frase tenga sentido, es conveniente que tanto superioris como delete se mantengan en genitivo, puesto que se necesita el hueco (locus) de la figura que se borra tras ser sumada (superioris delete). Si, en cambio, pusiéramos un ablativo concertando con loco, se sobrentendería que se elimina el propio espacio en el que ha de escribirse el número, pero no es posible eliminar un locus, o sea, un espacio en blanco. l. 175/176 dividatur ergo ille denarius in duos quinarios in duos quinarios] in duas partes Lo5, in duas partes scilicet in duos quinarius Ox5 La lectura correcta in duos quinarios se demuestra por la repetición de este mismo número en la l. 178, ahí en forma de guarismo. Aparentemente, el antígrafo de Lo5 Ox5 transmitiría en este punto la lectura de Lo5, in duas partes. La adición scilicet in duos quinarios podría haber estado en los márgenes de dicho antígrafo o en un antecesor de Ox5 e integrada en el texto por motivos de coherencia. l. 222/224 Quando enim digitus multiplicat digitum, subtrahendus est minor digitus ab articulo sue denominationis per differentiam maioris digiti ad denarium, denario simul computato. multiplicat] multiplicet Lo5 Ox5 Es este el inicio de una de las reglas de la multiplicación transmitidas por Sacrobosco que presentan una estructura absolutamente idéntica entre ellas con el mismo inicio: Quando x multiplicat y, etc. En todas ellas se emplea el verbo en indicativo. Este hecho, además, es acorde al usus scribendi del autor, que prefiere usar el indicativo después de quando al enunciar un paso dentro de un proceso matemático, el cual ocurre siempre que se cumplan las condiciones estipuladas. Tanto Lo5 como Ox5 presentan errores propios, por lo que se descarta la presencia de un descriptus. Algunos errores de Lo5 son los siguientes: l. 2 et quemadmodum sunt, sic cognosci habent] om. Lo5 l. 27/28 Figura enim dicitur quantum ad linee protractionem] om. Lo5 Pa3 l. 47 ut centenarius] om. Lo5 l. 194 Ex] om. Lo5 l. 204 aliis] figuris add. Lo5 Ox5, por su parte, presenta errores como los siguientes: l. 11 una dicitur] item add. Ox5 l. 29 ratione spatii] om. Ox5 375 EL ALGORISMUS l.34/35 dicitur theta, vel circulus, vel cyfra, vel figura nichili, quoniam nichil significat] dicitur figura nihili vel tetha vel circulus vel cifra nihil significat Ox5 l. 231 valebit] om. Ox5 Respecto a Ox5, encontramos la siguiente anomalía. Se trata de una omisión compartida por los testimonios Ox5 y Er. l. 33 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1] om. Ox5, om. Er spatio relicto Ox5 omite la sucesión numérica que presenta las figure de los números; otra mano, a todas luces posterior, la suple en el margen. Er omite la sucesión, pero deja un espacio en blanco para tal efecto; pareciera que el copista espera que un futuro rubricador completara el espacio, pero encontramos la presencia del mismo en las iniciales en rojo, así como los calderones y otros elementos decorativos. Podríamos estar aquí ante una laguna que podría remontar al hiparquetipo ν. El resto de códices, estos son, Lo5 Ox4, podrían haber corregido la serie sin mucha dificultad. Por último, anotamos que ν1 comparte errores, por un lado, con Ci; por otro, con Va6. Son ambos testimonios hipercontaminados que estudiaremos infra en el apartado destinado a tal fin. ii. Ox4, ¿descendiente de Ox5? El último testimonio que conforma la subfamilia ν es el manuscrito Ox4. Este ejemplar, al contener errores propios, no podemos situarlo a la cabeza de la subfamilia: l. 1/3 Omnia que a primeva rerum origine processerunt ratione numerorum formata sunt et, quemadmodum sunt, sic cognosci habent] omnia quecumque a primeva rerum origine constituta sunt ratione numerorum videntur esse formata et sicut sunt sic cognosci habent Ox4 l. 20/22 et hec dupliciter, quoniam in numeris quadratis et cubicis. Inter quas primo de numeratione et consequenter de aliis per ordinem dicetur] om. Ox4 l. 25/31 Figura – representationem] om. Ox4 De manera anómala, encontramos dos errores transmitidos por Ox4 Ox5: l. 9/10 Materialiter enim ut numerus est unitates collecte, formaliter ut numerus est multitudo ex unitatibus profusa] de unitate vero dicit Boetius unitas potentialiter est omnis numerus add. Ox4 Ox5 Se trata de una cita de Boecio que se sitúa inmediatamente a continuación de otra cita del mismo autor. La adición de Ox4 Ox5, además, está incluida más adelante en Algor., en el capítulo sobre las raíces cuadradas y cúbicas (l. 430/431: Dicit Boetius in Arismetica quod unitas potentialiter est omnis numerus). Su carácter innovador lo revelan dos evidencias: el hecho de que no sea costumbre del autor citar dos veces el mismo pasaje dentro de una obra, así como la escasa correspondencia de la cita de Ox4 Ox5 con el contenido de este capítulo. La segunda falta aparece en una de las innovaciones del hiparquetipo δ, concretamente la que discute las etimologías de la palabra algorismus: l. 4/7 Hanc igitur scientiam numerandi compendiosam philosophus edidit nomine Algus, unde et algorismus nuncupatur, vel ars numerandi, vel ars introductoria in numerum interpretatur Hanc – interpretatur] Cum igitur hec scientia de qua ad presens intendimus circa numerum consistat, primo videndum est quid sit proprium nomen ipsius et unde dicatur deinde quid sit numerus et quot numeri species est ergo nomen eius algorismus et dicitur ab algos quod est ars et ricmus quod est numerus unde algorismus quasi ars numerandi vel dicitur ab en quod est in et gogos ductio et ricmus numerus quasi introductio in numerum tercio modo dicitur ab algo inventore et richmus numerus Co G Lo5 Lu Mu6 Ox2 Ox4 Ox5 Ox7 Pa4 Pa7 R1 Va2 Va3 Va6, add. Bu Cim E2 Nm Va9, secundum quosdam vocatur argorismus a quodam graeco qui est albaarena quia hec ars solet doceri in tali arena alio modo dicitur ab algis quia greci primo talem artem invenerunt add. Ox4, secundum quosdam 376 Estudio estemático vocatur argorismus a quodam graeco quod est alba harena quia hec ars solet doceri in alba arena alio modo dicitur algo. ab algis id est a grecis quia greci primo talem invenerunt add. Ox5 Son estos los únicos manuscritos en incorporar estas hipótesis en relación con la etimología de algorismus. Tal información podría haber sido extraída de comentarios al Algor. o podría haber sido algún tipo de teoría oral o discusión abierta dentro del ambiente estudiantil en el que se movía. Según nuestro stemma, Lo5 debería haber corregido esta adición que remontaría al hiparquetipo. Al tratarse de un copista erudito, quizá este podría haber considerado esta hipótesis un tanto fantasiosa hasta tal punto que la suprimió. Otra opción es que la presentara el hiparquetipo ν o ν1 en el margen, de forma que Lo5 no la copiara en el cuerpo del texto (ni en margen), mientras que Ox4 Ox5 sí lo hicieran. Lo mismo podríamos pensar de la siguiente adición de Ox4 Ox5, ya comentada en los errores separativos de H (cfr. supra, subfamilia ε2, descendiente de κ): l. 169/173 Hoc quidem facto medianda est secunda. Si sit cyfra, pretermittatur intacta; si sit significativa, aut par aut impar erit. Si par, loco eius delete scribatur medietas illius; si impar, sume proximum parem sub illo contentum significativa] aut representabit unitatem aut alium digitum si unitatem loco eius delete scribatur chifra ne figure sequentes minus significent et illa unitas respectu precedentis figure valet 10 addatur ergo unus quinarius figure precedenti et reliquo abiciatur si autem chifra fuerit cui debet addi quinarius deleatur et loco eius scribatur quinarius si vero ipsa significet alium digitum ab unitate tunc add. H, aut erit unitas aut alius digitus numerus imparem representans si unitas loco eius delete scribatur cyfra illa autem unitas cum valet 10 respectu precedentis de illis decem sumatur medietas scilicet quinarius et addatur figure precedenti si vero fuerit alius digitus numerum imparem representans add. Ox4, aut erit unitas aut alius digitus. si unitas ipsa deleta scribatur loco eius circulus et illa unitas valet 10 respectu precedentis figure. dividatur ergo ille denarius in duas partes scilicet in duos quinarios et una abiciatur et reliqua addatur figure precedentis si cifra fuerit cui debet addi deleatur et loco illius scribatur quinarius si vero illa et figura cui debet addi faciant articulum deleatur et loco illius scribatur cifra et addatur digitus a quo denominatur articulus ille figure precedenti. si faciant numerum compositum scribatur loco illius precedentis digitus qui est pars illius numeri compositi et digitus a quo denominatur articulus ille addatur figure precedenti. si sit alius digitus add. Ox5 Las adiciones encajan bien con interpolaciones eruditas de un copista docto que conociera el Liber Alchorismi y quisiera completar el texto de Sacrobosco, como también debería haber hecho H, testimonio que, por lo demás, no tiene nada que ver con estos códices. Mientras que Ox5 copia casi verbatim el extracto del Liber Alchorismi (cfr. supra en los errores separativos de H, donde citamos el texto), Ox4 resume el contenido en su texto. Aún así, las similitudes entre ambas adiciones impiden pensar en innovaciones espontáneas de uno y otro escriba. Por lo tanto, aunque podríamos considerar que de nuevo se trata de una adición in margine incorporada en el texto por estos dos manuscritos, la probabilidad de esta opción disminuye drásticamente ante la aparición no de uno, sino de tres errores compartidos por Ox4 Ox5 de compleja interpretación. Ante esto, conviene recordar que Ox4 no transmitía uno de los errores que reconstruíamos en δ ni otro de los de la subfamilia μ1. Todas estas anomalías nos llevan a pensar que Ox4 es un manuscrito contaminado. Podríamos estar, por tanto, ante un descendiente de la rama de Ox5 que podría haber corregido los errores de este último tanto propios como los compartidos con Lo5 a través de su/s otro/s modelo/s. No obstante, esta idea queda puesta en duda ante la cantidad de errores de ν1 que debería haber corregido Ox4, lo que quizá nos indique que su modelo principal no fue Ox5, sino otro testimonio no localizado. La última posibilidad que cabría ante estos problemas es que Lo5 estuviera contaminado. No contamos con ninguna evidencia que así lo sugiera, pero no nos sorprendería dado el alto grado de tradición horizontal con el que trabajamos. 377 EL ALGORISMUS iii. Conclusiones: ν A partir de los datos extraídos, proponemos el siguiente esquema: α2 α1 δ γ μ γ1 μ1 γ2 ν ν1 Er Ox5 Lo5 *Ox4 Resulta interesante la anómala disposición del conjunto de obras de Sacrobosco en los códices que contienen estos testimonios, así como la nula coincidencia entre ellos a este respecto (Er: ASmút.; Lo5: SCA; Ox4: A; Ox5: ACmút.). Esta razón imposibilita hipotetizar acerca de cuál podría haber sido la disposición del conjunto de obras en la base de la familia, cuyo único texto común es, de hecho, el Algor., algo curioso en esta fase temprana de la tradición. Por otra parte, el divergente lugar de copia de los códices tampoco permite establecer un origen seguro para esta subfamilia. En cuanto a la fecha de composición de ν1 y, por tanto, de ν, el término ante quem lo establece Lo5, copiado en 1264. b) Subfamilia ξ La relación entre los códices de la subfamilia ξ es una cuestión difícil de analizar. Por una parte, parece claro el bloque Lu Ox7 Pa7, una suerte de núcleo que, a veces, comparte errores ora con R1, ora con Va2, siendo ambos dos códices con múltiples contaminaciones (cfr. infra el apartado destinado a ellos). Por un lado, los errores comunes a Lu Ox7 Pa7 R1 son los siguientes: l. 44 ut denarius ab unitate, vigenarius a binario] trigenarius a ternario add. Lu Ox7 R1, triginta a ternario add. Pa7 En este pasaje, Sacrobosco explica cómo desde las unidades se pueden hacer decenas y cómo estas últimas reciben el nombre desde su unidad correspondiente. El autor se detiene en vigenarius, pero este grupo de códices continúa con los números de la treintena. Se trata de una adición de corte erudito, probablemente una glosa que se introdujo en el texto. l. 77/78 ut minor numerus subscribatur et maiori addatur minor] maior R1 et maiori addatur] et minor maiori addatur Lu Ox7 Pa7 R1 En esta frase, minor es sujeto de ambos verbos. La adición de este segundo minor es reiterativa y de nuevo podría explicarse como glosa explicativa. R1, además, confunde el primer minor por maior (quizá por error polar, quizá por la similitud entre sus grafías), de suerte que no se percibe la reiteración, pero queda sin sentido la primera parte de la frase. Además de estos errores, encontramos uno más que no aparece en Pa7, pero sí en Lu Ox7 R1: 378 Estudio estemático l. 209 multiplicatio numeri per se vel per alium est] multiplicare numerum per se vel per alium est Lu Ox7 R1 Cada una de las species empiezan con el sustantivo de la operación que indican: (l. 71) additio est numeri..., (l. 151) mediatio est numeri..., (l. 181) duplatio est..., etc. Por esta razón, consideramos que la aparición de infinitivo aquí es un error, cuyo origen podría ser el infinitivo que transmite la fuente, el Liber Alchorismi: Aliquem numerum multiplicare... (Allard, 1992, 95, l. 3). Por otro lado, los errores que Lu Ox7 Pa7 comparten conjuntamente con Va2 son los siguientes: l. 245 quia semel in digitum et semel in articulum] quia semel in articulum et semel in digitum Lu Ox7 Pa7 Va2 Sacrobosco siempre empieza desde la entidad más pequeña hacia la más grande y, por lo tanto, encontramos continuamente en el tratado que comienza con los digiti y luego pasa a los articuli. Además del usus del autor, la fuente, en este caso la segunda parte del Liber Alchorismi, nos confirma que aquí se deberían citar primero los dígitos y después los artículos: videlicet digitus in digitum et articulus et articulum in digitum et articulum (Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 170, cap. 26.4). l. 59 et sic in infinitum sic] ita Er Lu Ox7 Pa7 Va2 En este caso, los ejemplares implicados han cambiado el adverbio sic por su sinónimo ita sin aparente variación de significado. Sin embargo, encontramos una vez más en el Compot. la misma construcción de adverbio + in infinitum donde se emplea el sic: et habebis aetatem eius in anno tertio eodem die, et sic in infinitum (Lohr, 2020, 68, cap. 16, l. 29/30). Ante esta situación, caben dos hipótesis. La primera de ellas es que el hiparquetipo común a Lu Ox7 Pa7 haya contaminado con R1 y Va2 creando así un texto mixto. La segunda es que los códices Lu Ox7 Pa7 desciendan de un mismo hiparquetipo, mientras que los testimonios R1 y Va2 hayan contaminado con este o con alguno de sus descendientes. Sorprende que no coincidan en ninguna variante de las anteriores mencionadas los manuscritos R1 Va2, que sería esperable en un caso como este, a no ser el siguiente error: l. 288 directe] ex directo Fi1 Lu Mu6 Ox7 R1 Va2 Va10 Y2 Puesto que Sacrobosco utiliza a menudo directe en su tratado y nunca ex directo, concluimos en que ex directo es un error. El error es controvertido porque en él confluyen varios ejemplares ajenos a esta subfamilia, lo que quizá esté indicando que no se trata de una falta monogenética. Sin embargo, el hecho de que lo transmitan Lu Ox7 R1 Va2 podría indicarnos que estos dos testimonios son de facto ejemplares contaminados descendientes, además, de la subfamilia ξ1 y no de ξ. Advertimos que, aunque incluimos Va2 y R1 en el stemma de la subfamilia ξ, lo suprimiremos de los stemmata de las ramas superiores para una mayor claridad. i. Subfamilia ξ1 Dentro del grupo constante Lu Ox7 Pa7, podemos agrupar bajo un mismo hiparquetipo los códices Lu Ox7 por sus múltiples errores conjuntivos: l. 144 utrum bene feceris] utrum recte operatus fueris Lu Ox7 l. 348/349 utrum bene feceris] utrum operatus sis bene Lu Ox7 379 EL ALGORISMUS Operatus sis/fueris es una construcción que Sacrobosco no usa en ninguno de sus tratados. Por otro lado, utrum bene feceris lo repite hasta tres veces dentro del Algor. (l. 144, l. 348/349, l. 491). l. 176 addatur figure precedenti] in dextra parte add. Lu Ox7 A lo largo del tratado, siempre que Sacrobosco da indicaciones sobre la dirección, emplea la estructura a dextris o versus dextram, sin explicitar nunca parte. Además, en este caso el autor nunca puntualizaría que la adición debe hacerse en la parte diestra, pues ya se ha enseñado a sumar y en ningún otro lugar hemos visto que haya remarcado esto. l. 183/184 et inchoandum est a sinistra sive a figura maiori] quod idem est add. Lu Ox7 Es esta una adición que no ha lugar tras la conjunción explicativa scilicet. l. 205/206 si recte duplaveris, media, et si recte mediaveris, dupla duplaveris] numerum add. Lu Ox7 Se trata de una especie de máxima general que no necesita complemento directo. l. 364 etc.] et sic numerus sequens superat numerum precedentem duabus unitatibus add. Ox7, ut numerus sequens superet numerum precedentem semper in duabus unitatibus add. Lu De nuevo se añade esta glosa de carácter erudito y amplificador. Estipulada tal relación, habría que descartar, a priori, la presencia de un descriptus dentro de este grupo por los errores separativos de cada uno de los testimonios. Algunos de los errores separativos de Lu son los siguientes: l. 2 sunt2] om. Lu l. 11 res] om. Lu l. 16 numerus] om. Lu l. 128 sit cyfra] om. Lu l. 221 regule] om. Lu l. 322 et] om. Lu l. 364] om. Lu Por otro lado, Ox7 presenta también numerosas faltas propias: l. 54 omnis numerus] om. Ox7 l. 204 de omnibus aliis] om. Ox7 l. 275 si articulus] loco superioris delete scribatur 0 in add. Ox7 l. 287 cyfra1] et ei subponatur add. Ox7 l. 303 duobus numeris] maiori et minori add. Ox7 l. 372 bis] om. Ox7 l. 452 proposito] om. Ox7 l. 535 proveniens] om. Ox7 Sin embargo, no podemos descartar con total seguridad que Lu dependa de Ox7, pues, como comentábamos en los errores de μ1, cabe la posibilidad de que Lu esté contaminado. 380 Estudio estemático ii. Relación con Mu6 Va92 Además de los códices analizados supra, parece que podemos considerar descendientes de esta subfamilia los códices Mu6 Va92. Ambos son ejemplares contaminados: uno y otro presentan solo de forma intermitente los errores de μ y además Mu6, como veremos, es descendiente de o. Estos códices transmiten algunos errores que reconstruimos como pertenecientes al hiparquetipo ξ, lo que indicaría su relación con él: l. 314/315 sub ultima collocari non potest] collocari non potest sub ultima Mu6 Va2, collocari non poterit sub ultima Lu, non potest collocari sub ultima Ox7 Pa7 l. 329 figuram] formam Lu Mu6 Ox7 Pa7 Va2 Va92 l. 361/362 1, 2, 3, 4, 5, 6] 4 3 2 1 Li Pa7, 5 4 3 2 1 Ox7 Va92 l. 365 2, 4, 6, 8] om. Va92, 8 6 4 2 Li Lu Ox7, 6 4 2 Pa7 Pa8 l. 382 Ut] verbi gratia Er Lu Mu6 Ox7 Pa7 Va92 De ellos, parece que Mu6 podría haber tomado sus lecturas de la familia ξ1, tal como sugiere el hecho de que todas las veces que en el tratado aparece la palabra cyfra o su plural cyfre, Lu Mu6 Ox7 transmiten el guarismo 0. Dentro de esta subfamilia, quizá podamos postular que Mu6 sea descendiente de Lu, habida cuenta de la siguiente omisión: l. 377 sic ter quinque] om. Lu Mu6 Va2 El hecho de que Va2 también la comparta, quizá nos lleve a la misma conclusión: su dependencia de Lu. No obstante, no podemos estar seguros de ello ni de lo anterior por la posible contaminación de Lu que podría estar ocultando una relación inversa. Otro argumento a favor de que Mu6 descienda de Lu es el siguiente error, que entendemos que Ox7 habría corregido: l. 71 aggregatio] congregatio Lo2a Lu Mu6 Pa7 R1 Va92, por su parte, es una porción de texto aparentemente omitida por Va9 con una extensión de dos folios y suplida por otra mano que parece ser de la misma época a juzgar por la evidencia paleográfica: l. 322/524 videndum – suo sub-] om. Va9, suppl. Va92 Al contrario que ocurría con Fi2 y Fi22, Va92 toma su texto de un ejemplar distinto de Va9, haciendo que en esta porción del texto el códice pertenezca a una subfamilia distinta. Esto impide que se trate de dos copistas que trabajaran a la vez sobre un mismo modelo de manera alterna. En el caso de Va92 parece ser un descendiente de ξ1, tal como sugiere el siguiente error: l. 349 feceris] operatus sis Lu Ox7 Va92 iii. Conclusiones: ξ A partir de los datos analizados, el esquema que proponemos es el siguiente: o ξ ξ1 Pa7 Lu Ox7 *Va92 Mu6 Va2 R1 381 EL ALGORISMUS A pesar de la alta contaminación de los códices estudiados, parece que podemos aislar, dentro de ξ, la subfamilia ξ1. Conformada por los códices Lu y Ox7, la ordenación interna de las obras de Sacrobosco en ξ1 podría haber sido ASC, aunque Ox7 no transmite el Compot., quedando AS. En cuanto a Pa7, tan solo transmite el Algor. e incompleto, faltándole el último capítulo sobre raíces cuadradas y cúbicas. Así pues, ξ pudo contener el Algor. en solitario, o bien Algor. y Spher., o las tres obras con un orden interno ASC, que solo habrían llegado completas a Lu. c) Subfamilia ο De nuevo la subfamilia ο genera problemas respecto a la relación de los códices que en ella aparecen, especialmente en lo que respecta a Mu4. Es este un testimonio que con seguridad está contaminado, puesto que comparte errores con esta subfamilia, con γ e incluso con θ (cfr. infra). Además, veremos que hay ciertas anomalías respecto a P2 Va9. Aun así, los errores que comparten tales códices y que nos permiten conformar una subfamilia a partir de ellos son los siguientes: l. 117 aut erit par] aut erit equalis Mu4 P2 Va9 A lo largo del tratado se repite cuatro veces la palabra par para referirse a un número que es igual a otro. Equalis, en cambio, se emplea para denotar otras realidades iguales o equivalentes, como los lados de un cuadrado, pero nunca para los números. l. 177 debet addi] addi debet Mu4 Ox1 P2 Va9 Son muchas las veces que Sacrobosco utiliza el verbo debeo con construcciones de infinitivo (l. 65, l. 74, l. 75, l. 76, l. 77, l. 81, l. 92, l. 93, l. 111, l. 112, l. 177, l. 195/296, l. 308); en todas ellas, el infinitivo sigue a debet. A estos errores se suman varias omisiones y una pequeña alteración de palabras que, por su número, podemos considerar como errores conjuntivos que permiten relacionar estos testimonios: l. 126 loco eius] om. Mu4 P2 l. 127 deinde] om. Mu4 P2 Va9 L. 146 in] om. Mu4 P2 l. 157 Si illa] Si figura autem Mu4 P2 Llama la atención en estas omisiones que Mu4 vaya siempre junto a P2, lo que podría indicarnos que Mu4 depende de P2, que sería uno de sus modelos. Si no fuera así, deberíamos suponer quizá la contaminación de Va9, puesto que no es lógico pensar que en todas estas omisiones las haya restituido el copista ope ingenii. El hecho de que haya en P2 errores propios, ausentes en Mu4, concuerda con que Mu4 sea un manuscrito contaminado. En casos como los siguientes, entendemos que Mu4 habría corregido tales faltas con su/s otro/s modelo/s: l. 244 utramque] om. P2 l. 259 illius numeri] om. P2 l. 316/317 potest subtrahi ab ultima] om. P2 i. Errores comunes a P2 Va9 P2 Va9 transmiten dos errores comunes, que veremos a continuación. Puesto que Mu4 es un manuscrito contaminado, tales errores podrían remontar al hiparquetipo o y haber sido corregidos por este testimonio a través de su/s otro/s modelo/s. 382 Estudio estemático l. 307 numerus exiens] exiens numerus P2 Va9 Numerus exiens parece un binomio fosilizado en esta posición y no en la contraria. Además, el uso del participio seguido de numerus es habitual en estas acepciones matemáticas, como numerus addendus, numerus denotans quotiens, numerus dividendus, numerus dividens, etc. Como vemos, siempre se pone el adjetivo tras el sustantivo y nunca a la inversa. Una pequeña omisión se suma a esta corruptela: l. 252 sit] om. P2 Va9 De este binomio ya veíamos que P2 cuenta con errores propios que no hacen posible que Va9 descienda de él. Puesto que la fecha de los códices no impide pensar que P2 pueda ser descriptus de Va9, a continuación presentamos algunos errores de este que demuestran la inexistencia de tal relación: 1. 26 linee] om. Va9 l. 65 millenarios] om. Va9 l. 533 inventi] om. Va9 W2 l. 536 addi] om. Va9 ii. Relación con Mu6 Encontramos un error que podría indicarnos una relación entre esta subfamilia y Mu6, del que ya hablábamos supra y que está contaminado. El error que nos lleva a pensar esto es el siguiente: l. 280 quemadmodum docebatur de prima docebatur] determinabatur Mu6 P2, determinatum est Va9 El verbo determino no aparece ninguna otra vez a lo largo del Algor., muy al contrario que doceo. En el Compot. sí encontramos tres veces este verbo, pero ninguna de ellas en forma pasiva, por lo que consideramos que el uso de esta voz constituye un error conjuntivo. Junto con esta, los testimonios Mu6 Va9 presentan la siguiente corruptela, que podría indicar una dependencia de Mu6 respecto a Va9 (a pesar del paralelismo en el error anterior con P2): l. 194 igitur] autem Mu6 Va9 iii. Conclusiones: o El stemma que genera el análisis de la subfamilia ο es el siguiente: α2 α1 δ μ γ μ1 o ξ P2 Va9 Mu4 Mu6 Como decíamos, la subfamilia o es controvertida porque no podemos establecer descendencias seguras de testimonios contaminados. Respecto a P2 Va9, parece que sí se adivina una relación segura como gemelos de un hiparquetipo o. Su origen incierto y el hecho de que Va9 contenga tan solo el Algor. mientras que P2 transmite las tres obras de Sacrobosco con el orden SAC, hace que no sea posible reconstuir los contenidos del hiparquetipo. 383 EL ALGORISMUS d) Conclusiones: μ1 El stemma que proponemos de la subfamilia μ1 es el siguiente: α2 α1 δ μ γ μ1 ν ξ o γ1 γ2 ν1 ξ1 Pa7 P2 Va9 Er Ox5 Lo5 Lu Ox7 Mu4 *Va92 *Ox4 Mu6 La reconstrucción de algunas características del hiparquetipo μ1 como el lugar de composición o las obras de Sacrobosco que contendría es imposible de determinar. Como hemos visto en las subfamilias que lo conforman, ν, ξ y o, apenas sabemos nada de estos códices cuya existencia reconstruimos aquí de manera artificial, puesto que las informaciones que encontramos en sus descendientes no son concluyentes a estos efectos. Por lo tanto, de μ1 tan solo podemos decir que se compuso ante 1264, fecha de copia del manuscrito Lo5. 2.1.2. Subfamilia μ2 G Pa4 La subfamilia conformada por los testimonios G Pa4 presenta los siguientes errores conjuntivos: l. 191/192 possemus operari incipiendo a dextris, difficilior tamen erit doctrina et operatio incipiendo a dextris] om. G Mu5 Pa4 et] vel G Pa4 El sentido de la frase es claro: se puede hacer de otra forma, pero «la explicación y la operación» serán más difíciles. Por lo tanto, la oración precisa un et y no un vel, que podría deberse a una mala lectura de et unido a una falta de comprensión del texto con la omisión de incipere a dextris. l. 218/219 Et hoc est quod communiter dicitur communiter dicitur] convenientur G Pa4 Communiter es un adverbio que también se emplea en el Compot., mientras que el verbo convenio nunca lo emplea Sacrobosco con la acepción de «estar de acuerdo». l. 268/269 scribatur digitus illius compositi, et sinistretur articulus ut prius illius compositi, et sinistretur articulus] et sinistretur articulus illius numeri compositi G Pa4 La transposición hace que el texto quede sin sentido, pues no se tiene que «mover a la izquierda el artículo de aquel compuesto», sino que, tras escribir el «dígito, que es parte de aquel compuesto», después «se mueva a la izquierda el artículo». 384 Estudio estemático l. 320 maior] in tali casu locanda est ultima dividendi add. G, et tunc ultima inferioris scilicet divisoris scribenda est sub penultima et alie consequenter add. Pa1, in tali casu locanda est ultima divisoris sub penultima dividendi add. Pa4 Es esta una adición erudita muy adecuada para este pasaje: después de decir cuándo no se puede dividir un número por otro, te dice qué hacer: se mueve el divisor hacia la penúltima en lugar de la última del dividendo y así se puede operar. En la fuente, el Carmen de algorismo, también aparece (l. 136/139): Sed si non possis a prima demere primam, procedas et eam numero suppone sequenti hanc uno retrahendo gradu comites retrahantur et, quoties poteris, ab eadem deme priorem. No obstante, hay dos términos que nos impiden pensar que esta sea una lectura original: casu y locanda. Ninguno de los dos aparece a lo largo de todo el tratado, ni los emplea tampoco en la Spher. ni en el Compot. Además, es improbable que ante una frase que tiene sentido el resto de la familia y de toda la tradición manuscrita haya optado por suprimirla. l. 489 numerus propositus non fuit quadratus, sed digitus etc.] om. G Pa4 Consideramos que esta información es esencial para entender correctamente el texto. El error es fácilmente explicable por un salto de igual a igual: -us… -us. a) Independencia de los testimonios Las fechas de composición entre ambos testimonios rondan las últimas décadas del s. XIII, por lo que podría depender indistintamente uno del otro. Descartamos que Pa4 dependa de G por los errores propios de este último, como los que presentamos a continuación: l. 27 quantum] om. G l. 95 Si] enim add. G l. 121 si minor] si numero minor G l. 125 figure delete] om. G l. 127 sequentes] om. G l. 354 dividatur productum per mutiplicantem] om. G l. 507 si vero non sit cubicus] sin autem G Por otro lado, descartamos que Pa4 sea el modelo de G por sus múltiples errores separativos, como por ejemplo los siguientes: l. 22 dicetur] om. Pa4 l. 251/252 per suas] om. Pa4 l. 318 summa] multiplicationis add. Pa4 l. 254 aut] om. Pa4 l. 261 multiplicantis in ultimam] om. Pa4 l. 422 latera] sicut patet in taxillo add. Pa4 l. 428 38 non] quia add. Pa4 b) Vinculación con Mu5 Al examinar las variantes de esta subfamilia, hemos detectado errores comunes con Mu5: l. 416 producentes se] se producentes G Mu5 Pa4 l. 503 ducitur in se] in se ducitur G Mu5 Pa4 385 EL ALGORISMUS l. 535 subtriplis in productum] subtriplis ductus in productum G Lu Mu5 Pa4 Las dos primeras innovaciones atentan contra el usus del autor, quien siempre emplea tales estructuras en el orden que aceptamos, mientras que en la tercera se ha incluido el término ductus que parece una glosa clarificadora. Mu5 es un testimonio que, como veremos, depende directamente de la rama α2 de la familia α. Es destacable que Mu5 no presente signos de contaminación: no comparte errores con diferentes familias ni carece de errores conjuntivos de las subfamilias a las que pertenece. El hecho de que no contenga ninguna corruptela de μ, ni de su modelo δ, ni de α1 impide pensar que Mu5 haya contaminado con μ2. Es más probable, por tanto, que μ2 tomara Mu5 (o algún manuscrito de su rama) como modelo secundario para su texto. c) Antepasado de λ Encontramos ciertos errores comunes a las subfamilias λ y μ2 que son los siguientes: l. 33 Decima] figura add. Ba Be G I Lo1 Lo3 Pa5 Pa6 Entendemos figura como una glosa aclaratoria. Ya en la fuente, en el Carmen de algorismo, se sobreentendía este término (v. 6): Donec ad extremam venias, que cifra vocatur. l. 142 tendendo versus dexteram versus] usque ad Ba Be G I Lo1 Lo3 Pa4 Pa5 Pa6, ad Co Lu, usque ad dextram vel versus Mu6 En esta parte, Sacrobosco dice que en la suma y en la resta se puede también empezar desde la izquierda hacia la derecha. Por lo tanto, la noción que quiere transmitir es que el movimiento va en una dirección, no que la derecha es el término final al que se ha de llegar, como sugiere el la construcción usque ad. Por otra parte, toda vez que indica la dirección de un proceso matemático emplea versus dextram/sinistram, nunca usque ad. Este último lo emplea tan solo en el tratado para hablar de los limites, que van desde un número x hasta otro concreto que marca, tal como indica el término, el límite del que no se puede pasar. Llamamos la atención aquí a Mu6, un testimonio que ya decíamos que presentaba contaminación. Siendo este el único error que comparte con λ y/o con μ2, no es posible determinar en qué grado se relaciona con estas subfamilias. l. 545/546 que radix si ducatur] que radix cum subtriplo vel subtriplis si ducatur primo Be G I Lo1 Lo3 Pa4 Pa5 De nuevo nos encontramos con una glosa erudita que se ha insertado en el texto. Como veremos infra en los testimonios hipercontaminados, λ también comparte errores con Fi1 R1. En ninguno de esos errores aparecen G Pa4. Tampoco encontramos innovaciones coincidentes entre ρ, modelo de λ, y μ2. Por ello, consideramos que λ tomó las lecturas mencionadas supra de la rama μ2, quizá de la rama de G. Esto coincide con el hecho de que G (no así Pa4) transmita los paratextos comunes con algunos mientros de la subfamilia λ (Es I Lo3 Pa5 y parcialmente en Ba; cfr. supra en el apartado de paratextos dentro del epígrafes sobre los contenidos de la obra). d) Conclusiones: μ2 A la luz de los resultados obtenidos del análisis de la subfamilia μ2, proponemos el siguiente esquema: 386 Estudio estemático α2 α1 δ ρ Mu5 μ μ2 G Pa4 λ Puesto que tanto G como Pa4 fueron copiados en Francia, quizá París, lo más probable es que el hiparquetipo μ2 también tuviera allí su origen. La fecha de composición ha de ser necesariamente antes de finales del s. XIII. Los dos testimonios presentan la ordenación ASC de las obras de Sacrobosco, por lo que el hiparquetipo también contendría tales obras en este orden. 2.1.3. Va3 y su relación con Mu3 Como decíamos supra en relación con los errores de μ, es probable que Va3 sea un testimonio contaminado. Por esta razón, no podemos estar seguros de que no dependa de alguna de las ramas inferiores de μ y que haya corregido con su otro modelo, Mu3, las corruptelas que localizábamos en ellas. En cualquier caso, podemos decir que Va3 no está a la cabeza de la subfamilia por sus errores propios, como los siguientes: l. 109 vel] si ultime sunt pares add. Va3 l. 421 autem] om. Va3 l. 423 bis2] quam add. Va3 l. 467 proxima] om. Va3 l. 480 anterioratione] om. Va3 l. 502 numeri] om. Va3 l. 537 inventi] om. Va3 a) Relación con Mu3 Mu3 es un testimonio que no contiene ninguno de los errores de μ, pero, en cambio, podemos decir que está emparentado con Va3. Las innovaciones que muestran esta relación son las siguientes: l. 133 ratio] causa Mu3 Va3 Sacrobosco siempre emplea ratio como elemento que explica un fenómeno, mientras que causa es el elemento originario de tal fenómeno. La diferencia de significado es sutil, pero contundente, tanto en el Algor. como en el Compot. En este contexto, es evidente que se refiere a la explicación de un fenómeno, la que desarrolla más adelante (l. 133/134): Ratio autem quare loco cuiuslibet cyfre pertransite relinquitur figura novenarii, hec est, etc. l. 144/145 figuras, quas prius subtraxisti, adde superioribus superioribus] superius Mu3 Va3 En este contexto, se refiere a que se añadan las figuras de la diferencia a las que están justo por encima de ellas, o sea, las del sustraendo, que aparecen con superioribus en dativo. En el Liber Alchorismi se emplea la misma estructura con el verbo adde más complemento directo más 387 EL ALGORISMUS indirecto: Adde numerum inferiorem residuo numero (Allard, 1992, 87, 16/17). Por todo ello, superius es un error, probablemente originado a partir de la abreviatura de superioribus. l. 413/414 numerum solidum] solidum Mu3 Va3 El autor diferencia bien cuando se refiere a un numerus solidus, es decir, un número que nace de la multiplicación de tres números, frente a un solidum, o sea, un cuerpo con tres dimensiones. Por lo tanto, no podemos elidir numerus en este contexto, puesto que es una construcción que precisa de esa noción concreta. l. 546 emerget] emergit Mu3 Va3 La frase completa muestra que está empleando estructuras condicionales seguidas de futuro: si ducatur in se et postea in productum, emerget ille cubicus maximus (...), et si illi cubico addatur residuum reservatum in tabulis, erunt eaedem figurae. Además de estas corruptelas, Mu3 Va3 introducen algunas precisiones de carácter erudito como las siguientes: l. 400 mensurantes ipsum] mensurantes se ipsum Mu3 Va3 l. 417 sed numerus] iste add. Mu3 Va3 l. 430 nisi unitas] sicut add. Mu3 Va3 Ante todas estas faltas, la relación entre Mu3 Va3 es evidente. No obstante, el hecho de que Mu3 no comparta los errores de μ, podría significar que estamos ante una conflatio textual de dos modelos, Mu3 y μ, o bien que Va3 deriva de uno de ellos pero que presenta una contaminación tan fuerte con el otro que no es posible identificar su fuente primaria. Si esto fuera así, Va3 habría corregido todos los errores de Mu3, como los siguientes, con su otro modelo: l. 2 sic] ita Mu3 l. 35 tenens] retinens Mu3 l. 43 ab aliquo digito] digiti ab aliquo Mu3 l. 63 sciendum] autem add. Mu3 l. 63 loco millenarii positam] millenarii positam loco Mu3 l. 117 supraposite] aut impar add. Mu3 l. 130 cyfre pertransite] pertransite cyfre Mu3 l. 131 illam figuram] figuram illam Mu3 l. 191 modo] om. Mu3 l. 216 ex ductione] ex ducendo Mu3 l. 347 numerus quotiens] om. Mu3 l. 448 quocumque] om. Mu3 El hecho de que Mu3 se compusiera alrededor del año 1300 y que Va3 fuera escrito en torno al tercer cuatro del s. XIII complica la situación. Esto podría deberse a que Va3 es en realidad descendiente de un modelo de Mu3 o bien que haya que plantear una dependencia inversa: que Mu3 descienda de Va3. Para ello, Mu3 debería haber corregido todos los errores de δ y de μ con otro/s modelo/s. La tercera opción es que ambos desciendan de un hiparquetipo común y que a su vez cada uno de ellos haya contaminado de forma independiente con otros modelos. Así las cosas y aun sin poder extraer conclusiones seguras, la opción más probable que barajamos es la descendencia de Va3 de un ancestro de Mu3: 388 Estudio estemático α1 δ μ Mu3 Va3 2.1.4. Stemma de la subfamilia μ El stemma resultante del análisis de los códices que conforman la subfamilia μ es el siguiente: α2 α1 γ δ Mu5 μ Mu3 μ2 Va3 Va5 μ1 G Pa4 ν ξ o Er Pa7 ν1 ξ1 P2 Lo5 Ox7 Mu4 Va9 ρ Ox5 Lu *Va92 *Ox4 Mu6 λ Como ya advertíamos en la subfamilia μ1, reconstuir datos de un cierto grado de fiabilidad para el hiparquetipo μ es complejo dado que sus descendientes no aportan datos contundentes para decantarnos por un origen, contenido y fecha definidos. En vista de estas circunstancias, la única luz que podemos arrojar al respecto la aporta la subfamilia μ2, escrita en París con una ordenación interna ASC que podría ser la misma (o no) que transmitiera μ. Del resto de descendientes, Va3 tan solo contiene el Algor., aunque esto podría ser fruto de su contaminación con un modelo de Mu3, puesto que también este contiene el Algor. en solitario; lo mismo ocurre con Va5, aunque en esta ocasión γ probablemente contuviera las tres obras con un orden ASC; finalmente, de μ1 no contamos con informaciones seguras. 2.2. El testimonio Bu Es complicado situar a Bu dentro del stemma de δ puesto que carece de la mayor parte del tratado por pérdida material de folios, conservándose solo las primeras líneas. Parece que no está a la cabeza de ninguna subfamilia por los errores propios que transmite: l. 16 sciendum est] est autem sciendum Bu l. 26 sed] et Bu Además, podría tratarse de un ejemplar, al menos, colacionado, si no contaminado, a tenor del siguiente doblete que transmite en texto, donde aggregata parece una glosa marginal que se ha incorporado al pasaje: 389 EL ALGORISMUS l. 10 profusa] aggregata G Lu Pa4 Va2 Va7, aggregata vel profusa Bu Pa1, profusa sive aggregata Va5, vel aggregata add. Va8m En cuanto a su posible relación con otros códices, como decíamos, es tan poca la porción de texto que transmite que no podemos saber con seguridad si pertenecería a alguna subfamilia descrita. Sí parece que estaba de alguna manera emparentado con Va7, un códice contaminado y emparentado con λ (descendiente de ρ). Es probable, entonces, que efectivamente Bu hubiera contaminado, pues no es plausible pensar que lo estuviera Va7 y que hubiera corregido todos los errores advertidos en Bu que lo relacionan con las subfamilias descritas. l. 26 idem] per eodem Bu Va7 La construcción per eodem no aparece ni una vez ni en Algor. ni en Compot., por lo que entendemos que es ajena al usus scribendi del autor. l. 2 sic] per numerum add. Bu Co Va7 Esta es una adición aclaratoria que se inserta en el texto. Sabiendo que Bu es un códice con alta probabilidad de contaminación, no sorprende que Va7 contenga errores propios. Algunos de las numerosas innovaciones que contiene son las siguientes: l. 11 Unitas vero est qua unaqueque res una dicitur] om. Va7 l. 13 omnis] om. Va7 l. 16 articulo] ut 13 14 etc. add. Va7 l. 49 et figuram scriptam] om. Va7 l. 106 maior] numerus add. Va7 l. 112 scribendus est] ponendus est Va7 l. 117 figure sibi supraposite] om. Va7 l. 118 cyfra] unitas Va7 l. 391 videndum] notandum Va7 Como conclusión, parece que Bu es descendiente de δ, pero que contaminó con otro códice. A tenor de las relaciones encontradas con Va7, es probable que Bu tomara lecturas de su rama, aunque no podemos estar seguros, especialmente por la poca porción de texto que este manuscrito conserva: α1 ρ δ λ *Va7 Bu 2.3. Independencia de Ox2 Ox2 no comparte errores con ningún otro códice ni grupo de códices que podamos adscribir a alguna subfamilia de δ. Esto hace que lo situemos dependiendo directamente de ese hiparquetipo. Sabemos que no está a la cabeza de la tradición por las numerosísimas faltas que transmite, especialmente omisiones, como las siguientes: l. 121 quia maior de minori subtrahi non potest] om. Ox2 l. 125/128 Si – prius] om. Ox2 390 Estudio estemático l. 141 tam] similiter Ox2 l. 142/149 possumus – converso] om. Ox2 l. 187 unde versus] ut patet per versus predictum Ox2 Ox2 es, tal como apuntábamos en su breve descripción (cfr. supra, censo), un códice compuesto formado por 10 U.C. La última de ellas es la que contiene el Algor. junto con otras obras de astrología y aritmética, de entre las que no se encuentran otros tratados de Sacrobosco. Fue copiado en Inglaterra en una fecha incierta entre los siglos XIII-XIV. 2.4. Subfamilia *τ E2 Mu1 Wo En los errores de δ ya advertíamos que los manuscritos E2 Mu1 y Wo eran ejemplares contaminados. En el caso de E2, tan solo encontrábamos su correspondencia con aquellos manuscritos que transmitían la última innovación concerniente a las etimologías de algorismus, mientras que en Mu1 y Wo aparecen todos los errores de δ excepto el de las etimologías y contienen de manera intermitente los errores de α1. Mientras que Mu1 y Wo suelen aparecen juntos en aquellos errores que transmiten, no ocurre lo mismo con E2. Aunque en apariencia, por tanto, E2 y Mu1 Wo no parecerían códices emparentados, hemos encontrado una batería de errores conjuntivos que nos sugieren lo contrario: l. 148 et redibunt eedem figure si recte feceris] et si recte feceris redibunt eedem figure E2 Mu1 Wo Al final de cada una de las operaciones, Sacrobosco explica sus correspondientes pruebas para saber si se ha operado bien o no. En ellas, siempre sigue la misma estructura: «y vuelven las mismas figuras si lo has hecho bien», nunca a la inversa, tal como transmiten E2 Mu1 Wo l. 226 et patet quod] et constat quod Mu1 Wo, constant E2 Sacrobosco tan solo emplea la estructura constat quod en un punto muy concreto: en el capítulo de la extracción de raíces, para decir que un número es o no cuadrado/cúbico (l. 485/486): constat quod numerus propositus fuit quadratus, (l. 488/489): constat quod numerus propositus non fuit quadratus, (l. 540) constat quod numerus propositus fuit cubicus, (l. 543/544) constat quod numerus ille non fuit cubicus. Por lo tanto, la aparición de constat en este punto probablemente responda a la inserción en el texto de una glosa para explicar el sentido de patet. l. 282 Nec] et non E2 Mu1 Wo Et non es, a nuestro juicio, una lectio facilior del nec. Además, se sitúa en una frase con varios elementos, todos ellos introducidos por nec, una estructura que se repite en más partes de la obra. A estos errores se suma el siguiente, compartido tan solo por E2 Wo, pero que quizá Mu1 pudo corregir: l. 187 a sinistra] a sinistris E2 Wo En varias partes encontramos a sinistra/dextra o a sinistra/dextra parte, pero nunca el sintagma a sinistris/dextris, lo que constituye una innovación. Esta es la única que E2 Wo comparten en solitario. Además de estos, encontramos errores que tan solo comparten Mu1 y Wo. Esto podría deberse a que E2 los corrigió a través de su otro modelo (χ, descendiente de α3) o a que Mu1 Wo dependen de un modelo común e independiente a E2. Hay tres innovaciones comunes a Mu1 Wo: 391 EL ALGORISMUS l. 91/92 figura sequens cui debet fieri additio articuli sit cyfra] figura sequens sit cyfra cui debet fieri additio articuli Mu1 Wo La subordinada cui debet fieri additio articuli se refiere a la figura sequens. Dado que no es corriente que el autor separe los adjetivos de los sustantivos, esta transposición, quizá originada por una glosa al margen supliendo un salto de igual a igual, es anómala. l. 128 Si autem figura a qua mutanda est unitas figura] illa add. Mu1a Wo Son varias las ocasiones en las que aparece la construcción figura a qua... para explicar algo relativo a una figura concreta. En ninguno de estos casos aparece illa. l. 409 numerus quadratus est superficialis] numerus quadratus superficialis est Mu1 Wo Puesto que Sacrobosco siempre emplea la misma estructura de sujeto + verbo sum + adjetivo (cuando este es el atributo), esta transposición conculca el usus de Sacrobosco. Advertidas tales corruptelas comunes, conviene anotar que tanto Mu1 como Wo presentan errores propios, lo que impediría, a priori, que uno sea descriptus del otro: l. 143 commodius] tendendo versus sinistram add. Mu1 l. 163 ordinis] figurarum add. Mu1 l. 520 ductus] om. Mu1 l. 39 figuras] om. Wo l. 71 Additio] vero add. Wo l. 124 fieri] om. Wo l. 303 propositis duobus numeris] om. Wo Por su parte, además de los erroresque E2 comparte con χ, descendiente de la familia α3, que son separativos per se, E2 contiene numerosos errores propios, como los que presentamos a continuación: l. 83/84 secunda sub secunda, et ita de aliis] om. E2 l. 162 exterius] eundem E2 l. 237/240 a1 – digitus] om. E2 l. 304 unitates] om. E2 l. 308 saltem] om. E2 l. 446 appositionem] om. E2 l. 402/403 enim – aut] om. E2 2.4.1. Conclusiones: *τ La relación entre estos tres códices es bastante compleja. Para empezar, no es posible establecer filiaciones seguras dado el alto grado de contaminación. Sí parece que no contamos con ningún descriptus y que, al menos, Mu1 Wo deben de compartir modelo, que aquí designamos como hiparquetipo *τ, con el que E2 tendría alguna relación. Puesto que se trata de un códice contaminado, la opción menos perniciosa es considerarlo un gemelo de Wo Mu1 que habría corregido algunos errores de *τ con otro modelo. Dicho hiparquetipo sabemos que debió de estar 392 Estudio estemático contaminado puesto que no transmite todos los errores de sus antecesores, pero no es posible establecer relaciones con otras familias que sirvan para probar la rama de su otro modelo. α3 α1 δ χ *τ E2 Wo Mu1 De nuevo, la cantidad de contaminación existente nos impide ofrecer una descripción de *τ fiable. Mientras que Mu1 contiene las tres obras de Sacrobosco en ordenación ASC, tanto E2 como Wo transmiten el Algor. en solitario. Su procedencia podría ser parisina, a juzgar por el lugar de copia de E2 y Mu1, frente al origen anglosajón de Wo. 2.5. Stemma de la subfamilia δ El stemma que proponemos para ilustrar las relaciones de la subfamilia δ es el siguiente: α2 α3 κ α1 χ Ko δ *τ *Co E2 γ Wo Mu1 Ox2 Mu5 μ Mu3 μ2 Va5 μ1 Va3 G Pa4 ν ξ o Er Pa7 ν1 ξ1 P2 Lo5 Ox7 Mu4 Va9 ρ Ox5 Lu *Ox4 *Va92 Mu6 λ *Va7 Bu 3. Subfamilia ρ Ba Be D1 Es Fz I Lo1 Lo3 Mu4 N Pa5 Pa6 La subfamilia ρ está conformada a su vez por las subfamilias θ y λ, que presentan los siguientes errores conjuntivos: l. 12/14 Digitus quidem est omnis numerus minor denario; articulus est omnis numerus divisibilis in 10 partes equales 393 EL ALGORISMUS articulus] quidem add. Ba Be D1 Es Fr Fz I Lo1 Lo3 Pa5 Pa6 En este pasaje se explica la diferencia entre dígito, artículo y número compuesto. Se empieza con los dígitos, que va encabezado por ese quidem para indicar su relación con la enunciación de conceptos anterior. Sin embargo, cuando contrapone el articulus con él, si hubiera un adverbio, este sería de oposición, no teniendo sentido un quidem en este punto. El hecho de que Fr contenga este error pero no los siguientes, nos hace pensar que quizá de forma poligenética insertó él también un quidem por influjo del quidem precedente. l. 399/400 unde dicitur superficialis, quoniam duos habet numeros denotantes sive mensurantes ipsum denotantes sive mensurantes] producentes Ba D1 Es Fz Va6, mensurantes Co Er Lo1 Pa5 W2 En este pasaje, se explica por qué se llaman numeri superficiales, donde el término hace referencia a la posibilidad de ser mesurado, como si fuera una superficie, con dos números. Por esta razón, consideramos más acorde con el contexto y a la vez la lectio difficilior el binomio denotantes sive mensurantes. Por su parte, Lo1 Pa5, que como veremos forman una subfamilia, parece que han contaminado con otro ejemplar para tomar este mensurantes, parte del original, o quizá podrían haber elidido denotantes sive por entenderlo como el resultado de una interpolación de una glosa739. l. 422/423 fit numerus solidus et non cubicus et non cubicus] om. Ba Be D1 Es Fz I Lo1 Lo3 Pa5 Esta estructura se repite supra en relación con los números cuadrados (l. 407): fit numerus superficialis et non quadratus. El paralelismo es tal, que la omisión citada solo puede ser un error. l. 491 utrum bene feceris] si bene feceris Ba Be D1 Es Fz I Lo1 Lo3 Pa5 R2 En las interrogativas indirectas, Sacrobosco emplea a menudo la partícula clásica utrum para introducir la misma estructura que aquí encontramos (l. 144, l. 348, l. 458). Si, por su parte, es un vulgarismo y una lectio facilior probablemente integrada aquí con fines aclaratorios. De nuevo un códice aparece aquí sin que transmita los otros errores, en este caso R2, cuya presencia es anómala. l. 524 anteriorandum est primum triplatum primum] om. Ba Be D1 Es Fz I Lo3a Mu5 Na, add. Lo3m Nm En esta parte de la explicación, la matización de primum es necesaria para entender el sentido del texto. De hecho, vemos como Lo3 N corrigen y lo añaden en el margen. En el interior de la subfamilia ρ encontramos dos subfamilias, θ y λ. Dentro de ellas, encontramos un testimonio, Ba, que presenta características de las dos, fruto de la contaminación. 3.1. Subfamilia θ Ba D1 Es Fz Los errores que podemos adscribir al hiparquetipo θ son los siguientes: l. 390 extractione] tam in numeris quadratis quam cubicis add. Ba D1 Es Fz 739 Sobre este fenómeno en el que los copistas eliminan parte de un binomio por considerarla espuria, cfr. el capítulo de Reeve «Misunderstanding marginalia» (2011, 135-44). 394 Estudio estemático En este punto, los testimonios Ba D1 Es Fz repiten la frase del explicit del tratado para indicar que en este capítulo se hablará de la extracción de raíces cuadradas y cúbicas. Es un apunte erudito que tiende a completar la información. l. 399 duos habet numeros] duos numeros habet Ba D1 Es Fz Siempre que Sacrobosco quiere expresar que una entidad tiene x cantidad de algo, se emplea la estructura de numeral + habet + sustantivo (cfr. l. 396/397: unicam habet dimensionem, l. 400/401: duas habet dimensiones, l. 414/415: tres habet dimensiones, l. 416: tres habet numeros). l. 537 supraposito] supradicto Ba D1 Es Fza El texto se refiere al número que está puesto encima, no al que se ha mencionado antes. De hecho, Fz copia lo que transmite el modelo, pero luego lo corrige. Además de estos, podríamos incluir la siguiente transposición como innovación del hiparquetipo θ, que habría sido corregida por Ba a través de su fuente alternativa: l. 202 aliquis numerus] numerus aliquis D1 Es Fz Por otra parte, los siguientes errores que aparecen en Ba D1 Es (N) aparecen en una porción de texto que no transmite Fz por faltarle los folios correspondientes. No constituyen, por tanto, una subfamilia dentro de θ, sino que remontan al hiparquetipo: l. 322 possit subtrahi] subtrahi possit Ba D1 Es N l. 323 possit subtrahi] subtrahi possit Ba D1 Es Possit subtrahi es una construcción que aparece hasta en cuatro ocasiones en el tratado siempre en el mismo orden (cfr., además de estas, l. 334 y l. 339). En este caso, son dos transposiciones prácticamente seguidas y sólo en la primera de ellas N coincide con el error de Ba D1 Es (veremos a continuación la relación de N con esta subfamilia). l. 376 multiplicetur quinarius] multiplicetur numerus quinarius Ba D1 Es Sacrobosco nunca emplea numerus delante de un numeral. 3.1.1. Relación con N Dos errores relacionan la subfamilia θ al completo y el manuscrito N, además de la transposición ya mencionada. Es este un manuscrito cuya contaminación ya sospechábamos en α1 y confirmábamos en δ. Por esta razón, de nuevo, el hecho de que no transmita los otros errores de θ podrían deberse al uso del otro modelo: l. 142/143 sed ut docebatur fiet commodius commodius] competentius est commodius D1 Fz, competentius fiet et commodius Es, competentius et comodius N Probablemente el desdoblamiento de commodius en commodius et competentius sea la integración de una glosa al margen en el hiparquetipo, un apunte que se habría incluido a partir del competentius que aparece en el capítulo sobre la suma (l. 77/78): Et competentius est ut minor numerus subscribatur et maiori addatur. l. 533 ex ductu digiti inventi] ex digiti inventi ductu Ba D1 Es Fz N La construcción ex ductu, muy empleada por Sacrobosco a lo largo del tratado, siempre va seguida del genitivo correspondiente, sin que se sitúe este en ningún caso entre la preposición y el ablativo (cfr. l. 535/536, l. 398, l. 429, l. 433, l. 436, l. 501). 395 EL ALGORISMUS La siguiente omisión también parece remontar al hiparquetipo, de la que de nuevo N es partícipe: l. 530 tali] om. Ba D1 Es Fz N a) D1 N Mu4 Dentro de la relación de la subfamilia θ con N, conviene destacar la inclusión de los siguientes versos por parte de los códices D1 N Mu4. Todos ellos aparecen en el capítulo sobre la progresión y son versificaciones que coinciden con las adiciones al Carmen hechas, quizá, sobre la base del Algor. (cfr. infra, Apéndice II): l. 373 progressionis] unde versus parte paris media maiorem multiplicabis add. D1 Mu4 N l. 377 progressionis] unde versus impar parte sui maiori multiplicetur add. D1 Mu4 N l. 383 progressionis] unde versus si par per medium sibi multiplicato sequentem add. D1 Mu4, unde versus sume pares et pars multiplicet una sequentem add. N l. 387 progressionis] unde versus imparibus media pars maior multiplicat se add. D1 N Llama la atención no sólo que D1 N las transmitan, sino que a este binomio se haya sumado Mu4, un códice que, por lo demás, no parece tener relación con la subfamilia θ. Encontramos explicación a este fenómeno al considerar que tales adiciones son altamente «contaminables». En primer lugar, es lógica la relación entre Carmen de algorismo y Algor.: como se demuestra en el Apéndice II, estas obras tienen una tradición muy ligada entre sí. Tanto es así que encontramos no pocos manuscritos del s. XIII que las transmiten en conjunto: a veces se copian en sucesión, a veces una sirve de comentario marginal a la otra, a veces se van intercalando porciones de texto de ambas. Por ello, la asociación no extraña y no es anómalo que estos versos, quizá en principio glosas marginales, se hayan insertado en el texto. En segundo lugar, la importación de versos desde el Carmen de algorismo es natural incluso en aquellos códices que no transmiten ambas obras, puesto que era una obra de sobra conocida en este período con una temática idéntica a la del Algor. Tales innovaciones nos llevan a la conclusión de que quizá N esté tomando estas y otras lecturas de θ de la rama de D1. Respecto a Mu4, como no hemos encontrado más errores que nos guíen para examinar su relación con D1 y/o con N, no sabemos si contaminó con alguno de estos códices, con los dos, o con otro u otros. Además, puesto que estas adiciones podrían haber viajado en los márgenes de los manuscritos, es posible que su aparición en Mu4 no tenga que ver con la tradición de D1 N, sino con una paralela. 3.1.2. Relación entre Ba D1 Dentro de θ, los códices Ba D1 transmiten el siguiente error común: l. 287/289 Si autem occurrat cyfra inter primam et ultimam inferioris ordinis et directe supraponatur figura significativa, relinquenda est intacta relinquenda est intacta] loco illius superioris delete scribenda est cifra Ba D1 Ba D1 transmiten justo lo opuesto a lo que se explica en el texto. En lugar de «si hay un cero abajo y justo arriba una figura significativa, se deja intacta», dicen que «borrando la figura superior, se pone un cero». Ante tal innovación, conviene analizar la relación entre ambos códices. Por un lado, Ba cuenta con errores individuales suficientes, como la selección que presentamos a continuación: l. 26/27 sed a diversis rationibus imponuntur] om. Ba 396 Estudio estemático l. 28 quantum] om. Ba l. 79 sive sic] om. Ba l. 103 numeris] om. Ba l. 158/159 loco eius delete] om. Ba l. 243/244 multiplicantis in utramque partem] om. Ba l. 300 aut subtrahendum] om. Ba l. 363/364 quando uniformiter obmittitur aliquis numerus] om. Ba l. 408 senarium] om. Ba l. 419 quod idem valet] om. Ba l. 446 predictorum] om. Ba D1, en cambio, cuenta con tres únicas innovaciones individuales: l. 211 multiplicatione] autem add. D1 l. 426 cubicus] numerus cubicus D1 l. 558 cum predicto] om. D1 Ante esto, parece que D1 podría haber sido el modelo de Ba, quien habría corregido estos tres errores con otro modelo, aunque no es descartable que ambos fueran gemelos. Puesto que Ba es un manuscrito contaminado, no es posible extraer conclusiones definitivas. 3.1.3. Independencia de Es Fz Tanto Es como Fz presentan numerosos errores propios, por lo que descartamos que estén a la cabeza de la subfamilia θ. Algunas de las corruptelas de Es son: l. 53 usque] om. Es l. 201 vero] tibi add. Es l. 249 numerum] om. Es l. 318 superiori relique] superiori aliud semel alie Es l. 330 omnes] ille add. Es l. 395 processum] linearem add. Es l. 479 est] a tali anterioratione nec add. Es l. 518 subtriplo] vel subtriplis add. Es l. 534/535 postea sine subtriplo vel subtriplis] om. Es Por su parte, Fz transmite innovaciones propias, como por ejemplo las siguientes: l. 68/69 consuetum ordinem servantes] om. Fz l. 400 ipsum] om. Fz l. 557 completi] sint add. Fz l. 485 Quo] autem add. Fz l. 485 residuum] om. Fz 397 EL ALGORISMUS 3.1.4. Conclusiones: θ El stemma que se deriva de los errores conjuntivos y separativos localizados en la familia θ es el siguiente: ρ λ θ D1 Ba Fz Es *N Respecto al origen de θ, a tenor de los datos de sus descendientes, podemos situarlo en algún punto de Francia o Alemania. La fecha de composición necesariamente tuvo que ser anterior al año 1262 (datación de N). Además, la ordenación interna de las obras de Sacrobosco en casi todos ellos es ASC, por lo que es probable que transmitieran el corpus al completo con esta estructura. N difiere y transmite las obras en la anómala posición CQSA, siendo el único manuscrito en toda la transmisión con esta ordenación. 3.2. Subfamilia λ Ba Be I Lo1 Lo3 Pa5 Pa6 Postulamos una subfamilia λ a partir de los siguientes errores: l. 14/15 ita quod nihil sit residuum] ita quod residuum sit nihil Ba Be Es I Lo1 Lo3 Pa5 Pa6 Puesto que Sacrobosco siempre prefiere poner el verbo sum antes de residuum cuando aparecen construcciones similares, el orden de estos códices se identifica como una transposición. l. 22 consequenter de aliis per ordinem dicetur dicetur] videamus Ba Be I Lo1 Lo3 Pa5 Pa6 La variante de este grupo de manuscritos se revela como error por no aparecer esta forma verbal a lo largo de todo el tratado. l. 128/131 Si autem figura a qua mutuanda est unitas sit cyfra, reicietur ulterius ad figuram significativam et ibi mutuare unitatem, et in redeundo loco cuiuslibet cyfre pertransite ponatur figura novenarii transeatur ulterius] accede ultra Ba Be I Lo1 Lo3 Pa5 Pa6 Este accede en imperativo es anómalo en una frase donde reicietur va coordinado con ponatur, otro verbo en tercera persona pasiva y en modo subjuntivo. l. 145/146 occurrent eedem figure, quas prius habuisti eedem] om. Ba Be I Lo1 Lo3 Pa5 Pa6 El término eedem aparece siempre en esta construcción, que se repite a lo largo del tratado en las pruebas de las operaciones (cfr. l. 148, l. 205/206, l. 350/352, l. 493/496, l. 542/543, l. 548/549). l. 163 figura dimidii] cum titella add. Ba Be Lo1 Lo3 Pa5 Pa6a 398 Estudio estemático Nótese que en esta sucesión de códices falta I para completar la subfamilia λ. Esto podría responder a la elisión de cum titella por parte de I en un modelo que sí lo transmitía, como hace de forma similar Pa6, quien lo borra tras incluirlo en el texto. l. 228 multiplicationis] similiter agendum est si digitus multiplicat se ipsum add. Ba I Pa6, similiter intelligendum est et si digitus multiplicat se ipsum add. Be Lo1 Lo3 Pa5, similiter fac si digitus multiplicat semet ipsum add. Er Por último, señalamos esta adición de nuevo como una interpolación aclaratoria. 3.2.1. Independencia de Pa6 El testimonio Pa6 es un testimonio contaminado. Comparte errores tanto con esta subfamilia, λ, como con χ. Además de por las corruptelas compartidas con χ, sabemos que no se corresponde con el hiparquetipo de la familia por sus errores individuales: l. 305 necessarii] om. Pa6 l. 396 in numerum] ut 5 sive 7 et huius consimiles add. Pa6 l. 513 in se] om. Pa6 l. 536 cubice] om. Pa6 El hecho de que Pa6 esté contaminado, hace posible que haya corregido el siguiente error común que emparentaría a Ba Be I Lo1 Lo3 Pa5, puesto que podría haberlo corregido a través de su otro modelo, Y1 (cfr. infra): l. 218/219 Et hoc est quod communiter dicitur communiter] semper Ba Be I Lo1 Lo3 Pa5 Semper es, frente a communiter, una lectio facilior; a esto se suma el hecho de que communiter es un término plenamente sacrobosquiano, tal como se demuestra en el Compot. (Lohr, 2020, 87, cap. 23, l. 119/120): Ad habendum autem quinque festa mobilia communiter inventi sunt quidam numeri, qui claves dicuntur. 3.2.2. Subfamilia λ1 Como hemos visto supra en la subfamilia θ, Ba es un testimonio contaminado. Parece, además, que la contaminación es tal, que no podemos saber cuál fue el modelo principal de este testimonio, puesto que comparte las suficientes innovaciones con una y otra familia que es imposible de determinar. Por esta razón, los siguientes errores que transmiten Be I Lo1 Lo3 Pa5 independientemente de Ba podrían ser fruto de un mismo hiparquetipo común a tales códices, unos errores que Ba habría corregido a partir de su otro modelo: l. 275/276 si articulus, transferatur versus sinistram articulus] e directo figure supposite add. Be I Lo1 Lo3 Pa5 Copian la misma estructura que aparecía inmediatamente antes (l. 274/275): Si digitus, ex directo figure sibi supraposite addatur. No tiene sentido que aparezca de nuevo aquí puesto que el articulus ha de moverse hacia la izquierda, sin que quede nada e directo figure supposite (supposite que probablemente remita, dado el sentido del texto, a un supraposite donde no se ha entendido la abreviatura). l. 322 quotiens possit] quotiens illa potest Be I Lo1 Lo3 Pa5 Siempre que se emplea quotiens (cuando no forma parte del término numerus denotans quotiens) rige presente de subjuntivo. 399 EL ALGORISMUS l. 353 et e contrario] videlicet divisio probat multiplicationem add. Be I Lo1 Lo3 Pa5 Se trata de una adición erudita con finalidad aclaratoria en un contexto que no lo necesita. l. 436 Minus medium provenit ex ductu radicis provenit] fit Be I Lo1 Lo3 Pa5 Tanto en este como en los otros tratados de Sacrobosco, nunca encontramos la construcción fit + ex, mientras que hay múltiples paralelos para provenio + ex (cfr. l. 216, l. 398, l. 433, l. 501, l. 533, l. 535). Es difícil imaginar que Ba suprimiera la primera y tercera corruptelas mencionadas, puesto que suponen un aumento de la información del tratado. Por esta razón, es coherente postular la existencia de una subfamilia λ1 que emparentaría los códices Be I Lo1 Lo3 Lo5 y que sería descendiente de λ de manera indepentiente respecto a Ba y Pa6. a) Subfamilia λ2 Los manuscritos Lo1 Lo3 Pa5 comparten varios errores, por lo que es probable que conformen una subfamilia λ2 dentro de λ1. El primero de ellos y más evidente es el resumen de las reglas de la progresión, que, como vemos, es una tendencia que no solo siguen Lo1 Lo3 Pa5, sino que otros grupos de manuscritos, como Lc Mi y Mu2 Va92 también perpetúan aún con otras formulaciones: l. 388 progressionis] item per unicam regulam poterit sciri omnis progressio continua et intercisa sive terminetur in numero pari vel impari que talis est per medietatem progressionum multiplica numerum ab extremis coniunctis add. Lo1 Lo3 Pa5, item per unicam regulam potest scribi (fieri Lc) omnis progressio continua et intercisa sicut patet diligenter consideranti que quidem regula talis est per medietatem positionem multiplica numerum ab extremis coniunctum add. Lc Mi, per medietatem progressionum (positionis Va92) multiplica ab extremis coniunctum add. Mu2 Va92 Los otros errores que encontramos, que en realidad es uno repetido, son compartidos también con el manuscrito Va7: l. 52 centum] inclusive add. Lo1 Lo3c Pa5 Va7 l. 54 mille] inclusive add. Lo1 Lo3 Pa5 Va7 Veremos más sobre la relación de Va7 y λ infra. Dentro de esta subfamilia, Lo3 es independiente respecto a Lo1 Pa5, quienes veremos que conforman la subfamilia λ3. Lo3 tienen algunos errores individuales, como los siguientes: l. 9 enim] autem Lo3 l. 414 solidum2] om. Be I Lo1 Pa5 Va6, quadratum Lo3 l. 480 a1] om. Lo3 l. 461 proxima figura] figura proxima Lo2 Lo3 Los errores son tan mínimos que podría ocurrir que Lo1 Pa5 los hubieran corregido, máxime cuando son susceptibles de derivar de un hiparquetipo contaminado (cfr. infra), lo que situaría a Lo3 a la cabeza de esta subfamilia. Sin embargo, el segundo error citado, el de la l. 414, invita a pensar que Lo3 sería más bien un gemelo del hiparquetipo λ3, descrito a continuación. En efecto, este error hace pensar en una omisión existente en el hiparquetipo de la subfamilia λ1 que fue enmendado por Lo5 con el correcto solidum y que Lo3 intentó solventar con quadratum. Si Lo3 hubiera estado a la cabeza, Lo1 Pa5 probablemente transmitirían quadratum. 400 Estudio estemático Dentro de la subfamilia λ2, los manuscritos Lo1 Pa5 contienen un alto número de errores comunes, que se demuestran como tales por el usus scribendi del autor en la mayoría de casos. Esto nos lleva a reconstruir un hiparquetipo λ3 del que dependerían ambos códices: l. 42 ille articulus] articulus ille Lo1 Pa5 l. 68/69 consuetum ordinem] consuetam ordinationem Lo1 Pa5 l. 74 debet] habet Lo1 Pa5 I. 75 si igitur velis] si vero velis Lo1 Pa5 l. 108 autem] enim Lo1 Pa5 Además de estos, vemos que también comparten algunos errores con Va7: l. 47 decem] inclusive add. Lo1 Pa5 Va7 l. 48 si sit articulus] si autem articulus sit Lo1 Pa5 Va7 Podríamos suponer que Va7 es un manuscrito contaminado que depende de esta subfamilia λ3. Sin embargo, la siguiente corruptela dificulta la intelección de las relaciones entre esta familia y el códice Va7: l. 76 subscribi] scribi inferius Ba Be G I Lo3 Mu6 Pa4 Pa6 Va7 Mientras que Sacrobosco tiende a emplear subscribi y suprascribi, no encontramos este desglose de scribi inferius o scribi superius. Como podemos ver, se trata de un error común en el que también está presente, además de Va7, la subfamilia μ2 (ya comentábamos supra la relación existente entre λ y μ2). Por eso, no es de extrañar que ambas familias lo transmitan, pero sí que en este grupo de manuscritos aparezca Va7 y que no estén Lo1 Pa5. Mientras que estos últimos podrían quizá haber restituido el término original, Va7 debería haber tomado el error desde la subfamilia λ (pues no tiene ninguna relación con μ2 ni con Mu6, el otro códice que aparece en este grupo). Dentro de esta subfamilia, si, tal como parece, es descendiente de λ3, la única opción viable es pensar que este hiparquetipo contenía tal error (como todos los descendientes de λ) y que fueron Lo1 Pa5 quienes, quizá por contaminación, quizá independientemente (menos probable) corrigieron hacia el correcto subscribi. A esta anomalía de Lo1 Pa5 se suma la siguiente: l. 44 ut denarius ab unitate, vigenarius a binario binario] dualitate Be I Lo3 Pa6 En esta ocasión, Be I Lo3 Pa6 transmiten el término dualitate en lugar de binario. Si bien a veces Sacrobosco se refiere al uno como a la unidad, nunca denomina el dos como «dualidad». Dado el stemma propuesto, es inexplicable que Lo1 Pa5 hayan corregido dualitate por conjetura. Ante esto, cobra fuerza la idea de que el hiparquetipo λ3 contaminó con algún códice no perteneciente a esta subfamilia, al menos en la parte inicial del tratado, que es donde hemos encontrado estos errores anómalos. b) Be y su descendiente I Los testimonios Be I comparten los siguientes errores conjuntivos: l. 171 delete scribatur] scribatur delete Be I l. 188 sive] cum Be I l. 308 autem] enim Be I 401 EL ALGORISMUS l. 389 De radicum extractione] de radicum extractione 9 specie et primo de numero relato ad geometricas figuras Be I Sobre este último error, llama la atención que se haya añadido una rúbrica al capítulo sobre raíces cuadradas y cúbicas en la que hace referencia a las figuras geométricas, un concepto que, más allá de hablar de cuadrados y cubos, no se menciona en ninguna parte del tratado. También comparten tres omisiones: l. 279/281 ubi – multiplicantis] om. Be I l. 297 divisione] om. Be I l. 313 sub penultima] om. Be I En cuanto a cómo se relacionan ambos testimonios, conviene señalar que Be no tiene errores propios, mientras I, sí: l. 306 numerus dividendus] om. I l. 318 non] om. I l. 463 Tali autem] tali igitur autem I El hecho de que Be no presente errores propios, nos sugiere que I sea su descriptus. Esta información se confirma gracias a lo que ya adelantaba Juste en Ptolemaeus (cons. 07/04/2023): aunque I presenta en el f. 140vb el siguiente explicit al final de los Canones eclipsium solis et lune: Explicit 1276º 8ª die Decembris scilicet Martis ante ortum Solis hora Saturni sub horoscopo 12 gradus Scorpii cum laude Dei amen, tal fecha no puede ser aquella en la que se escribió el códice por dos motivos. El primero, por una segunda datación en el f. 57va, donde nos señala el año 1299: Tabula ad sciendum in quo loco sit Sol in iniciis mensium accepta ab almanac anni 1299. El segundo es que la primera obra que encontramos en I es el Kalendarium de Pedro Filomena de Dacia (ff. 4r-10r), compuesto en alrededor del año 1293. Por tanto, el primer explicit que mencionaba el año 1276 en I (f. 140vb) en realidad lo debió de copiar de su modelo al pie de la letra. Efectivamente, encontramos en Be en el f. 158va y cerrando los Canones eclipsium solis et lune un explicit idéntico al que transmite I: Explicit 1276º 8ª die Decembris, etc. Además, tenemos la certeza de que este manuscrito sí hubo de copiarse entre este año y el siguiente porque encontramos el año 1277 escrito en los f. 14ra y 250vb, datación que coincide con este dato. Ambos testimonios contienen exactamente las mismas obras en su interior, a excepción de la primera: mientras que Be transmite un Kalendarium de Roberto Grosseteste, I copia en su lugar la obra homónima de Pedro Filomena, probablemente por ser una versión más reciente. También es idéntica su mise en page y sus decoraciones: el texto aparece seguido en una única columna con iniciales miniadas en rojo y azul y rúbricas en los títulos de las obras y capítulos. Llaman la atención, no obstante, los paratextos que encontramos en I (ya comentados en el apartado correspondiente dentro del epígrafe de contenidos del Algor.). El Algor., tal como decíamos supra, a veces viene acompañado de tablas y gráficos que ayudan a entender mejor sus contenidos. Encontramos estos diseños en algunos de los descendientes de λ, como Ba (aunque omite la tabla) Lo3 y Pa5. Sin embargo, en Be no aparecen. No nos sorprendería este hecho (Lo1 y Pa5 también los omiten, por ejemplo) si no fuera porque sí los encontramos en I. Puesto que se ha demostrado que I es un descendiente de Be, tan solo queda pensar que el copista de I vio estos paratextos en otro manuscrito y los incorporó a su copia (dado que la mano ejecutora del texto y de los paratextos es la misma, no pudo ser un lector posterior quien añadiera los diseños). No solo vemos esto en el Algor., sino que en la Spher. y en el Compot. ocurre lo mismo. De hecho, mientras que en otros manuscritos con dibujos se suelen dejar espacios en el campo del texto para la realización de estos, en I todos los diseños se realizan en el margen, puesto que su 402 https://ptolemaeus.badw.de/ms/178 Estudio estemático modelo (Be) no contemplaba dichas figuras y, por tanto, no contaba con los espacios pensados a tal fin. Así pues, queda este caso como ejemplo significativo de paratextos que viajan de forma paralela al texto, con una tradición textual que, si bien muchas veces coincide, no siempre es así. 3.2.3. Conclusiones: λ La familia λ se organiza conforme al siguiente stemma: α3 α1 δ μ ρ μ2 χ λ θ Pa6 λ1 Ba λ2 Be *λ3 Lo3 I Lo1 Pa5 *Va7 A partir de los datos extraídos de los descendientes de λ, este hiparquetipo se escribió probablemente en París hacia mediados del s. XIII. Muy probablemente transmitía las tres obras cumbre de Sacrobosco con una ordenación interna ASC (el único manuscrito discrepante es Lo1, copiado en Inglaterra y con una ordenación SCA). Dicho hiparquetipo, además, estaba rubricado. Sus descendientes conservan la división en capítulos de la obra, considerando el preámbulo sobre la numeratio la prima species y siguiendo ordenadenadamente hasta la nona species, sobre la extracción de raíces (a la vez subdividida en dos). Por otro lado, como decíamos a tenor de la relación entre Be y su descendiente I, es posible que λ acompañara su texto con gráficos y tablas, aunque no podemos estar seguros porque, mientras en λ1 sí podemos reconstruir la presencia de paratextos, Pa6 no los transmite. 3.3. Conclusiones de la subfamilia ρ A partir de los datos analizados, el siguiente stemma ilustra las relaciones entre los descendientes de ρ: α3 α1 δ μ ρ μ2 χ θ λ D1 Pa6 λ1 Ba Fz Es Be λ2 *N I Lo3 *λ3 Lo1 Pa5 *Va7 La cabeza de esta subfamilia formada por 13 manuscritos la podemos situar probablemente en los alrededores de París, si no en la misma ciudad, lugar de composición de la obra. En su interior 403 EL ALGORISMUS al Algor. le seguirían la Spher. y el Compot., transmitiéndose el corpus de Sacrobosco en su conjunto con la ordenación interna ASC. 4. Stemma de la familia α1 α2 κ α1 α3 δ Ko *Co *τ Ox2 γ Wo Mu1 E2 Mu5 μ μ2 Mu3 Va5 μ1 Va3 G Pa4 ν ξ o Er Pa7 ν1 ξ1 P2 Lo5 Ox7 Mu4 Va9 Ox5 Lu ρ *Va92 *Ox4 Mu6 θ λ D1 Fz Es λ1 Ba *N Be λ2 χ I Lo3 *λ3 *Va7 Bu Lo1 Pa5 Pa6 Como decíamos al inicio de la descripción de α1, es esta la familia de la que descienden la mayor parte de los testimonios estudiados, abarcando 37 códices en su interior. Es una familia tripartita, de cuyo hiparquetipo penden las subfamilias δ, Mu3 y ρ, y muy compleja por el alto grado de contaminación que en ella encontramos. Los datos que podemos extraer de α1 son escasos, puesto que no es posible conocer detalles de δ y, además, Mu3 y ρ son muy distintos. Mientras que Mu3 es un testimonio bastante tardío de origen anglosajón en cuyo interior el Algor. no comparte espacio con el resto de obras de Sacrobosco, de ρ hemos podido establecer un origen francés y un contenido que comprendería las tres obras de Sacrobosco con la ordenación ASC. Por ello, decantarnos por una u otra opción para describir α1 sería poco realista a tenor de los datos que tenemos. Tan solo podemos decir de este 404 Estudio estemático hiparquetipo que se compuso con seguridad ante 1262, que es la datación de los testimonios de la obra más antiguos con los que contamos. IV. FAMILIA α2 B E Er Fi1 H Li Lo2 Lo4 Mu5 Pa2 R2 Va1 Va4 Va8 Va10 W2 Y2 Z La familia α2 se configura a partir de varios errores conjuntivos. Solo uno de ellos es compartido por la subfamilia ε, descendiente de κ (H Lo4 R2 Va1, cfr. supra), que es la siguiente transposición: l. 285/291 Si autem contingat quod prima figura numeri multiplicantis sit cyfra et ei supraponatur figura significativa, loco illius superioris delete scribenda est cyfra. Si autem occurrat cyfra inter primam et ultimam inferioris ordinis et directe supraponatur figura significativa, relinquenda est intacta; si vero spatium ei suprapositum sit vacuum, in eodem spatio scribenda est cyfra l. 285/287 Si – cyfra] post 291 cyfra1 transp. B E Er H Li Lo2 Lo4 Mu5 Pa2 R2 Va1 Va4 Va8 Va10 W2 Y2 Z, om. Fi1, post 289 intacta transp. Lc Mi P1 En este pasaje se explica cómo operar en la multiplicación cuando hay ceros bien en multiplicante, bien en el multiplicador. El orden que se sigue en la explicación es el siguiente: primero, cómo resolver cuando la primera figura del orden inferior es un cero y, segundo, qué ocurre si el cero está en el orden inferior pero no en primer lugar, sino en medio. Reconstruimos esta como la ordenación correcta por el usus del autor, quien explica los procedimientos matemáticos correspondientes desde el inicio de la operación. Podemos encontrar un paralelo en el capítulo de la multiplicación (l. 285/296), donde se dice qué hacer cuando la primera cifra del orden inferior es un cero, luego lo propio cuando el cero está en una posición intermedia en el orden inferior y finalmente qué ocurre cuando hay ceros en el orden superior. Esta transposición, por tanto, que puede entenderse como un salto que se restituye en un lugar erróneo, genera un error irreconocible a ojos del lector, de forma que desde un texto con esta estructura: 1. si autem contingat quod prima figura numeri multiplicantis... 2. si autem occurrat cyfra inter primam et ultimam inferioris ordinis... Quedaría un texto con la siguiente: 2. si autem occurrat cyfra inter primam et ultimam inferioris ordinis... 1. si autem contingat quod prima figura numeri multiplicantis... El siguiente error que describiremos está causado por esta misma transposición, que, al producirse, genera una serie de errores en cascada. Mientras que ε se limita a transponer el párrafo sin más efectos (lo que probablemente se deba al influjo de su modelo principal, κ), el resto de integrantes de α2 reaccionan ante tal innovación: l. 285/291 Si autem contingat quod prima figura numeri multiplicantis sit cyfra et ei supraponatur figura significativa, loco illius superioris delete scribenda est cyfra. Si autem occurrat cyfra inter primam et ultimam inferioris ordinis et directe supraponatur figura significativa, relinquenda est intacta; si vero spatium ei suprapositum sit vacuum, in eodem spatio scribenda est cyfra. Si autem contingat quod cyfra sit inter primam et ultimam numeri multiplicandi l. 287/288 Si – ordinis] si autem contingat quod cyfra sit inter primam et ultimam numeri multiplicantis B E E2 Er Lo2 Mu5 P1 Pa2 Va1 Va4 Va8 Va10 W2 Y2 Z, si autem occurrat cyfra inter primam et ultimam figuram numeri multiplicantis Li El texto quedaría entonces de la siguiente manera: 2. si autem contingat quod cyfra sit inter primam et ultimam numeri multiplicantis... 1. si autem contingat quod prima figura numeri multiplicantis... 405 EL ALGORISMUS Detectamos esta variante como error por varios motivos. El primero de ellos es la aparición de numeri multiplicantis en lugar de inferioris ordinis. En la ordenación original del parágrafo, primero se explica qué ocurre cuando la primera figura del numerus multiplicans es un cero, luego qué pasa cuando hay un cero en la parte central del número que está en el inferior ordo y por último si hay un cero en la parte central del numerus multiplicandus. Tras cambiar el orden, la frase que hace referencia al inferior ordo quedaría la primera. En estas circunstancias, no es extraño que un copista, quizá en el margen, haya querido poner una nota al inferior ordo para señalar que es lo mismo que decir numerus multiplicans, tal como ocurre en la otra frase. El hecho de que la lectura inferior ordo motive la introducción de esta variante, pero que no ocurra así con numerus multiplicans, es una prueba de que estamos ante un error. Además, todos estos testimonios cambian occurrat por contingat quod. Este error, que comparten todos los manuscritos que agrupamos en la subfamilia α2, excepto Li (y ε), de nuevo se habría generado por el paralelismo con la frase precedente que estos manuscritos transponían: si autem contingat quod prima figura numeri multiplicantis sit cyfra. Mientras que la frase original (que contenía occurrat – inferioris ordinis) sí daba lugar a su corrección para asemejarla al resto de frases al hilo de la explicación, una vez modificada, el sentido es claro y no motivaría otros cambios. Como decíamos, dentro del grupo de manuscritos que transmiten el error, Li es un caso particular. Este testimonio transmite numeri multiplicantis en lugar de inferioris ordinis, razón por la que lo consideramos integrante de la subfamilia α2, pero al principio recurre a la fórmula si occurrat cyfra en lugar de si contingat quod. Esto podría responder a que se trata de un manuscrito contaminado, lo que parece confirmarse puesto que no transmite el segundo error que mencionaremos a continuación. Destaca también E2, que no transmitía el primer error (sc. la transposición) de la subfamilia α2 y que no contiene la siguiente innovación que presentamos. Este testimonio E2 ya lo mencionamos en δ, puesto que transmite parcialmente sus variantes, siendo así sin duda un manuscrito contaminado. Desde la última innovación presentada, algunos manuscritos vuelven a modificar el texto, que consideran reiterativo el segundo si autem contingat quod y lo suprimen. Cambia también el numeri multiplicantis por inferioris ordinis, quizá a partir de una glosa aclaratoria: l. 285 si autem contingat quod prima figura numeri multiplicantis contingat quod] om. B E Er Mu5 P1 Pa2 Va1 Va4 Va8 Va10 W2 Y2 Z numeri multiplicantis] inferioris ordinis B E P1 Pa2 Va1 Va8 W2 Z, inferioris numeri Va10 Y2 Puesto que estas últimas modificaciones podrían surgir de manera poligénetica, no las tendremos en cuenta para nuestro stemma. Sin embargo, hemos querido plasmar aquí la realidad de una variante que a su vez genera una serie de innovaciones en cadena y que va alterando el texto para darle sentido. El segundo error de la subfamilia α2 es el siguiente: l. 294 ex predictis] ex hiis B E Er Fi1 Lc Lo2 Mu5 Mi P1 Pa2 Va1 Va4 Va8 Va10 W2 Y2 Z Ex predictis se repite hasta tres veces a lo largo del tratado para referirse a los postulados anteriores, mientras que ex hiis no es una expresión sacrobosquiana. A esto se une el hecho de que predictis es lectio difficilior frente a hiis. Es llamativa la presencia de Lc Mi, que conforman, como hemos visto, la subfamilia κ1, descendiente de κ. Como se aprecia en la primera innovación descrita de α2, estos testimonios junto con P1 transponen el mismo párrafo que α2, pero lo restituyen en un punto distinto. El hecho de que lo inserten en un punto distinto, hace difícil pensar que ambas transposiciones tengan 406 Estudio estemático relación, máxime cuando el párrafo traspuesto puede pasarse por alto fácilmente como un salto de igual a igual. Sin embargo, vemos que Lc Mi, además, contienen esta última innovación de ex hiis por ex predictis, quizá de manera poligenética. Por ello, aunque consideramos improbable que pueda establecerse una relación segura entre α2 y κ1 a partir de estos errores, no podemos descartar por completo que pudiera haberla. Por otro lado, conviene analizar la relación con P1, dado que κ1 y P1 contienen la misma transposición. A este respecto, tan solo hemos encontrado un error común a Lc Mi P1, que es la siguiente adición erudita potencialmente poligenética: l. 49 figuram] signitificativam add. Lc Mi P1 Por todo ello, consideramos que la coincidencia de variantes entre α2 y κ1 por un lado, y entre κ1 y P1 por otro no lleva a relaciones estemáticas seguras. P1, en cambio, sí consideramos que formaría parte de la familia α2, puesto que transmite todos sus errores (a excepción de la transposición en un lugar distinto, que podría deberse a un nuevo salto de même au même mal restituido). Puesto que P1 también comparte errores con δ (cfr. supra), se demuestra que es un ejemplar contaminado. La familia α2 se subdivide en seis ramas, además de ser la fuente de la contaminación de otra rama, concretamente ε. Los hiparquetipos que a continuación describiremos son, por un lado, γ y β y, por otro, los códices Va10 (y su descriptus Y2), B, Mu5 y Va8. 1. Subamilia γ Er Lo2 Mu4 Va4 Z Aislamos la subfamilia γ a partir de los errores conjuntivos siguientes: l. 11/12 Numerorum alius digitus, alius articulus, alius numerus compositus alius numerus] alius numerus ex hiis Er Va4, alius ex hiis Lo2 Mu4 Z La puntualización ex hiis es una adición que se descubre como error por el usus scribendi de Sacrobosco, quien emplea exclusivamente ex hiis y ex hoc a inicio de frase. Por otro lado, rompe la estructura trimembre: numerorum autem alius digitus, alius articulus, alius numerus compositus. l. 399 dicitur superficialis] superficialis dicitur Er Lo2 Mu4 Va4 Z Cuando aparece esta estructura, Sacrobosco prefiere poner el predicativo después de dicitur, no antes. Podemos añadir a estos un tercer error compartido por todos los miembros de la familia a excepción de Er. La ausencia de esta variante en este testimonio, el cual sabemos contaminado (cfr. supra ν, descendiente de μ1 dentro de la familia α1), podría responder a una corrección a partir de su otro modelo: l. 128/131 Si autem figura a qua mutuanda est unitas sit cyfra, reicietur ulterius ad figuram significativam et ibi mutuare unitatem, et in redeundo loco cuiuslibet cyfre pertransite ponatur figura novenarii mutuetur unitas] unitas sumatur Lo2 Va4 Z, sumatur unitas Mu4 En este pasaje se habla de la resta. Cuando en el minuendo aparece un cero siendo el sustraendo correspondiente un uno, Sacrobosco dice que se «tome prestada», mutuare, una unidad de las 407 EL ALGORISMUS decenas siguientes, de tal forma que en la diferencia quede un nueve. El verbo sumatur no tiene sentido en esta frase. 1.1. Subfamilia γ1 La subfamilia γ presenta la dificultad de que al menos dos de sus componentes sufren contaminación: Er, que, como hemos visto, forma parte también de ν y Mu4, que compartía errores con o y las adiciones de D1 N. La alta cantidad de errores comunes Lo2 Va4 Z, que a veces también transmite Er, nos permite postular la existencia de una subfamilia γ1. Aunque no podemos estar seguros de esta relación, porque podría haber ocurrido que los errores remonten a γ y que Mu4 los haya corregido con su otro modelo, son tantas las corruptelas que Mu4 habría tenido que corregir, que nos parece más probable la existencia de un hiparquetipo γ1. Los errores conjuntivos que comparten los miembros de esta subfamilia son los siguientes: l. 260 sinistretur articulus] articulus sinistretur Er Lo2 Va4 Z l. 267 sinistretur articulus] articulus sinistretur Lo2 Va4 Z, articulus transferatur Er Siempre que Sacrobosco usa sinistretur lleva el sujeto detrás, no delante. Sintácticamente la frase funciona, siendo así un error incorregible. La lectura de Er, por otro lado, impide saber hacia dónde ha de moverse el articulus, una información que consideramos no accesoria. l. 227/228 Subtrahatur igitur quaternarius bis a 40 et remanent 32, summa totius multiplicationis. 40] quadragenario Er Lo2 Va4 Z En el usus del autor percibimos una cierta fluctuación en el uso de los sustantivos y los adjetivos distributivos para los numerales: encontramos sex y senarius, novem y novenarius, decem y denarius, etc. aparentemente sin distinción de significado. Sin embargo, para las decenas por encima de diez parece preferir el término sustantivo o bien el numeral: así encontramos triginta o 30, y no tricenarius, sexaginta o 60 y no sexagenarius, nonaginta o 90 y no nonagenarius. Lo mismo ocurre en Compot., donde emplea quadraginta y no quadragenarius, viginti y no vicenarius, quinquaginta y no quingenarius, etc. l. 277/279 Similiter quelibet figura numeri multiplicantis ducenda est in penultimam multiplicandi similiter] similiter modo Lo2 Va4, simili modo Er Z En ninguna de sus obras Sacrobosco emplea la fórmula simili modo o similiter modo. Similiter, en cambio, está atestiguado en gran cantidad de pasajes de cualquiera de los tres tratados. l. 322/324 et videndum est quotiens possit subtrahi a figura sibi supraposita, ita quod totiens possint subtrahi relique a sibi suprapositis et a residuo, si aliquid fuerit residuum suprapositis] superioribus Er Lo2 Va4 Z Siempre que se utiliza la estructura a sibi (cuatro veces en total: l. 116/117, l. 322/323, l. 323/324, l. 335) va seguida de supraposito/-a/-is, nunca de superioribus. Aunque el sentido de la frase apenas varía con uno u otro término, el usus del autor determina que superioribus es un error. l. 382 multiplicetur quaternarius per ternarium] per ternarium multiplicetur quaternatius Lo2 Va4 Z Sacrobosco siempre emplea la fórmula multiplicetur seguido de la cantidad del multiplicando por el multiplicante. l. 360/363 Naturalis est quando incipitur ab unitate et non obmittitur aliquis numerus, ut 1, 2, 3, 4, 5, 6; et sic semper numerus sequens superat precedentem unitate tantum 408 Estudio estemático sic] om. Lu N, sicut Fi2, ita Er Lo2 Va4 Z, si Mu4 Ox7, quod add. Er Ox4 Inmediatamente después, el autor describe la progressio intercisa con una estructura idéntica donde emplea sic (l. 364/366): Similiter a binario potest incipere, ut 2, 4, 6, 8; et sic semper numerus sequens superat precedentem in duabus unitatibus. 1.1.1. Anomalías En la subfamilia γ1 hemos advertido la particularidad de que cada testimonio comparte errores con cada uno de sus dos gemelos de manera independiente. Este hecho hace que sea difícil establecer relaciones entre ellos y sugiere contaminación en algún punto que no es posible determinar. Otra posibilidad que barajamos es que el hiparquetipo γ1 contuviera numerosas variantes y que sus descendientes las hubieran incluido en el texto de forma independiente entre ellos. En primer lugar, los errores compartidos por (Er) Lo2 Va4 son los siguientes: l. 121/125 Si minor, quia maior de minori subtrahi non potest, mutuetur unitas a figura proxima sequenti, que valet 10 respectu figure praecedentis; ab illo igitur denario et a figura a qua debuit fieri subtractio simul iunctis subtrahatur figura inferior et residuum ponatur loco figure delete figure – subtractio] figure a qua debuit fieri subtractio ab isto ergo denario et a figura iam dicta Lo2 Va4, figure precedentis a qua debuit fieri subtractio ab isto ergo denario et a figura a qua debuit fieri subtractio iam dicta Er Parece que el error ha sido originado por salto de igual a igual del que posteriormente se ha tenido conciencia y se ha intentado corregir. Así, del primer figure el hiparquetipo saltó a figura, añade el a qua – subtractio y sigue donde lo había dejado en el primer figure. Cuando sigue copiando, al darse cuenta de que «repite» el a qua – subtractio, lo elide y añade un iam dicta. Sin embargo, en el original, aunque la figure praecedentis y la figura a qua debuit fieri subtractio es técnicamente la misma, en el hilo de la explicación se entiende mejor en el texto constituido: primero se ha referencia a la posición de la figura para que se entienda qué valor tiene la unidad al moverse «una casilla» respecto a la cifra «precedente», y después se explica que se ha de restar al minuendo (la unidad que ahora son decenas al moverse una casilla y la cantidad que había en esa casilla de las decenas antes de añadir la unidad) el sustraendo. l. 276 versus sinistram] ad sinistram Er Lo2 Va4 Sacrobosco siempre usa versus cuando va seguido de la dirección dextram/sinistram (cfr. l. 49, l. 89, l. 142, l. 157, l. 198, l. 258, l. 332, l. 465/466, l. 516, l. 551/552). En segundo lugar, presentamos las faltas comunes a (Er) Va4 Z. La primera de ellas es doble: l. 321/322 His itaque ordinatis incipiendum est operari ab ultima figura numeri divisoris operari] opus Er Va4 Z l. 552/554 si in numero proposito non sit aliquis locus millenarii, incipiendum est operari sub prima figura operari] opus Er Va4 Z Sacrobosco repite la estructura condición + incipiendum est operari + figura. En la tercera, que está en l. 458, Va4 y Z omiten el término operari, mientras que Er lo transmite correctamente. Consideramos más probable que operari fuera el término original por el uso de este verbo en numerosas partes de esta obra y la nula presencia de opus en ella. Dos son las veces que se emplea esta palabra en Compot., donde recibe la acepción de «empresa» en una de ellas y, en la otra, se 409 EL ALGORISMUS refiere al embolismo lunar. Con ello demostramos que tal variante es un error, quizá motivado por una mala lectura de operari en su versión abreviada, que difiere muy poco de opus. l. 491/492 multiplica digitum ultimo inventum cum subduplo vel subduplis inventum] radicem inventam Va4 Z Inventus es un adjetivo que Sacrobosco utiliza exclusivamente cuando se refiere a digitus; esto es, solo cuando quiere decir el «número hallado» en una operación. Por otro lado, para que fuera admisible la variante que proponen Va4 Z, los términos deberían aparecer en genitivo: «el número de la raíz hallada» o se debería haber suprimido digitum: tal como lo proponen estos testimonios, la frase queda sin sentido. En tercer y último lugar, los errores comunes a (Er) Lo2 Z son los que siguen: l. 13/15 articulus est omnis numerus divisibilis in 10 partes aequales, ita quod nichil sit residuum sit residuum] remaneat Lo2 Z Ambos verbos son usados por Sacrobosco, pero aquí se refiere claramente a que haya un resto en la división. Para este término el autor siempre usa la palabra específica, es decir, residuum. l. 28/29 differentia quantum per illam ostenditur, qualiter figura sequens differt a precedente figura sequens differt a precedente] una differat ab alia Lo2 Z Aquí el autor está explicando qué es la differentia en el sistema posicional, esto es, el distinto valor que recibe una misma cifra en función del lugar donde se coloque. En este contexto, la frase queda más completa señalando la posición de las figure con los adjetivos sequens y precedente. l. 334 exterius in tabula] exterius in spatio vel in tabula Er, exterius in spatio Lo2 Z In tabula se repite en otros pasajes para designar precisamente aquellas entidades menores que la unidad que, sin embargo, deben tenerse en consideración para futuras comprobaciones, como la mitad de uno cuando se divide entre dos o, aquí, el resto de una raíz cuadrada o cúbica. En ningún momento se emplea el término spatio para ello (de hecho este sustantivo aparece en pocas ocasiones en el tratado como sinónimo de locus, cfr. l. 290, l. 298). Esto podría responder a un hiparquetipo glosado a partir del cual Er haya tomado los dos términos, Lo2 y Z hayan preferido el término spatio mientras que Mu4 Va4 se han quedado con tabula, que además ya había aparecido unos folios antes en el tratado. l. 354 productum] productus Er Lo2 Z, numerus add. Er Er Lo2 Z emplean como masculino una palabra neutra en el resto del tratado (continuamente aparece productum, producta). 1.1.2. Errores separativos de Lo2 Va4 Z Cada uno de los testimonios de γ1 presenta errores propios que impiden la existencia de descripti. Los errores separativos de Lo2 son, entre otros, los siguientes: l. 47 centenarius] simul add. Lo2 l. 205/206 et si recte mediaveris dupla] om. Lo2 l. 256/258 si – sinistram] om. Lo2 l. 262 fiat] om. Lo2 l. 308 debet esse] deesse Lo2 l. 363 Intercisa – unitatibus] om. Lo2 410 Estudio estemático Errores separativos de Va4: l. 33 representantes] significantes vel representantes Va4 l. 34 vel circulus] om. Va4 l. 159 ponatur] om. Va4 l. 168 medietatem] om. Va4 l. 224/226 Verbi – computato] om. Va4 l. 227 bis a] om. Va4 l. 442 contentorum] om. Va4 l. 529/530 nec1 – subtractione] om. Va4 Errores separativos de Z: l. 26 supponunt] in substantia add. Z l. 328 numerus] om. Z l.253 superioris] multiplicandi sive superioris Z l. 406 equalia] om. Z l. 529 nec a subtripli sub triplo positione] om. Z l. 423/424 12 Unde patet quod] om. Z 1.1.3. Relación con *Fr El testimonio Fr es, en principio, un códice difícil de clasificar. Se trata de un manuscrito aparentemente muy revisado y con numerosas correcciones (cfr. infra las restituciones de las omisiones de Lo2). No hemos encontrado relación entre este ejemplar y cualquiera de las ramas altas del stemma, o lo que es lo mismo, está ausente de los errores encontrados en todas las familias y subfamilias descritas. Tan solo hemos percibido su relación con la subfamilia γ, con la que comparte algunas innovaciones. Su presencia en este punto de la tradición, indica que estamos ante un ejemplar que hizo desaparecer errores de las ramas altas a través de la contaminación: l. 143 fiet commodius] commodius fiet E2 Fr Lo2 Va4 Z l. 536 addi et simul] et simul addi Co Fr Lo2 Estas dos innovaciones son transposiciones que violan el usus del autor. l. 184 maiori] maiore Er Fr Lo2 Va2 Va10 Y2 l. 186 minori] minore Fr Lo2 Mu4 Ox4 En este caso, se trata de dos ablativos en -i de la tercera declinación corregidos hacia un final en -e quizá por cuestiones clarificadoras. l. 205/206 et si recte mediaveris, dupla] om. Fra Lo2, add. Frs l. 363/366 Intercisa – unitatibus] om. Fra Lo2, add. Frm Aquí encontramos dos omisiones presentes en Lo2 y en Fr solo antes de su corrección. Son elisiones de frases enteras o párrafos de una entidad considerable, especialmente la segunda, en las que es poco probable que se equivocaran de manera independiente Fr y Lo2. Este hecho, junto con la coincidencia de Fr y Lo2 en la segunda transposición muestra una relación entre ambos códices bastante evidente, así como parece seguro que Fr tuvo acceso a otro manuscrito para, entre otras cosas, integrar las lagunas de Lo2. 411 EL ALGORISMUS En cuanto a qué relación tendrían ambos códices, consideramos más probable que Fr dependiera de Lo2, puesto que a veces comparte errores singulares de Lo2 y a veces errores de Lo2 comunes con el resto de integrantes de su subfamilia. El hecho de que Lo2 contenga errores singulares, como hemos visto, no impide tal interpretación por tratarse Fr de un códice contaminado. Por su parte, Fr tiene numerosos errores separativos, como los siguientes: l. 74 debet fieri] fieri debet Fr l. 156 et] sed Fr l. 190 incipias duplare] duplare incipias Fr l. 338 contingit in numero dividendo] in numero dividendo contingit Fr l. 439 numerorum] cubicorum Fr 1.1.4. El testimonio Er Er es un testimonio que comparte errores monogenéticos e incorregibles con las subfamilias ν (cfr. supra) y γ, lo que demuestra que se trata de un testimonio contaminado. Por esta razón, su ausencia en algunas de las corruptelas de γ y/o γ1 no es significativa a efectos estemáticos. Dentro de esta subfamilia, encontramos errores comunes con Er Va4, lo que supone una relación más estrecha con este ejemplar que con el resto de γ1. Si Er es descendiente de Va4 o, en cambio su gemelo, no es dirimible. l. 39 representare] representari Co Li Mo Mu4 Pa1 Va9, presentare Fr Lo4, significare Ba Be I Lo1 Lo3 Pa5 Pa6, significare sive (vel Er) representare Er Va4 Si bien esta es una variante controvertida, pues ambas posibilidades son ofrecidas por los códices estudiados, son estos los únicos testimonios que transmiten ambos términos. Dado que no son típicos del autor los dobletes de este estilo y teniendo en cuenta la naturaleza del error, podría ser que el origen de este fuera un hiparquetipo con glosas en el margen o inter lineas. l. 309 si debeat fieri divisio per integra] si fieri debeat divisio per integra Er Va4 La construcción debere + fieri es habitual en este tratado de Sacrobosco, apareciendo un total de 13 veces (no así en sus otras obras, donde no aparece ni una vez). En todas ellas, el autor prefiere la estructura que sugerimos en el texto reconstruido, esto es, el verbo en forma personal seguido del infinitivo. l. 315/317 aut quia ultima inferioris non potest subtrahi ab ultima superioris, eo quod est minor inferiori minor inferiori] maior superiori sive minor inferiori Er Va4 Aquí el autor está dando pautas sobre cómo dividir, concretamente sobre qué hacer cuando el dividendo aparentemente es menor que el divisor. En esta frase, quod est hace referencia al último elemento del que habla, o sea, la [figura] ultima superioris [ordinis], por lo que naturalmente la variante maior superiori no es compatible con la lógica del discurso. Nótese que este error y el primero comentado, el de significare sive representare, son innovaciones que hacen pensar en un origen común, es decir, en un hiparquetipo común glosado. l. 493/494 et redibunt eedem figure quas prius habuisti, si nichil fuerit residuum quas prius habuisti] prime Er Va4 412 Estudio estemático Esta es una frase habitual del autor que emplea para finalizar su explicación tras las «pruebas» de las diferentes operaciones (cfr. l. 146, l. 206/207, l. 350). En este caso, para comprobar si se ha hecho bien la raíz cuadrada, se multiplicará el resultado por sí mismo y, si salen las «figuras que tenías al principio» (a no ser que haya un resto), se hizo correctamente. Puesto que nunca emplea prime en este contexto, lo entendemos como error. Como decíamos supra, no es posible establecer la relación entre estos testimonios, aunque lo más probable es que Er sea un gemelo de Va4, para quienes habría que suponer un hiparquetipo común. Esta hipótesis se sustenta por los muchos errores individuales de Va4 que debería haber corregido si fuera descriptus de Er. La segunda opción posible es que Er dependiera directamente de Va4, cuyos errores individuales que hemos localizado podría haberlos subsanado a partir de su otro modelo, pero, como hemos dicho, nos parece improbable. Por lo tanto, proponemos aquí una subfamilia γ2 dentro de la subfamilia γ1 cuyos testimonios serían Er Va4, cuyo hiparquetipo es prácticamente imposible de reconstruir por la contaminación de Er. 1.2. Errores separativos de Mu4 Mu4, aun siendo un manuscrito contaminado, parece depender independientemente de γ porque son muchos los errores de (Er) Lo2 Va4 Z que debería haber corregido si estuvieran en el hiparquetipo común. Excluimos que pueda ser el modelo del subarquetipo común a Lo2 Va4 Z por los siguientes errores propios, casi todos ellos elisiones que afectan al significado del texto: l. 26 locus] om. Mu4 l. 123 a figura] configura Mu4 l. 134 loco] om. Mu4 l. 177/178 loco eius] om. Mu4 l. 253 superioris] om. Mu4 l. 317 licet] om. Mu4 l. 401 et latitudinem] om. Mu4 1.3. Relación entre γ y Va5 Por último, hemos hallado cuatro errores que relacionan γ con el manuscrito Va5. De este códice destacábamos supra que comparte errores con μ (descendiente de δ de la familia α1). Su aparición en este punto del stemma relacionado con la subfamilia γ confirma que es un ejemplar contaminado. Los errores que comparte son los siguientes: l. 232/233 ducendus est digitus] ducendus est ille digitus Er Va4 Va5 Z l. 329 numeri] om. Lo2 Mu3 Va4 Va5 Z l. 277 sinistretur articulus] articulus sinistretur Er Lo2 Va4 Va5 Z l. 492/493 per eundem digitum] per se ipsam Va4 Va5 Z La relación de Va5 con esta subfamilia no está clara, puesto que el ejemplar está contaminado. Descartamos que sea descendiente de uno de sus integrantes porque carece de errores comunes con ninguno de ellos de manera particular. En este sentido, podría descender tanto de γ como de γ1, siendo más probable esta segunda opción por no coincidir con Mu4 en ningún error y, aunque podría haber corregido la totalidad de los errores de γ de los que Mu4 participa, la posibilidad de que esto haya ocurrido con todos ellos es baja. Sí cuenta, en cambio, con numerosos errores propios: 413 EL ALGORISMUS l. 78 subscribatur et maiori addatur] maiori addatur et subscribatur Va5 l. 107 quidem] quoque Va5 l. 127 figure] om. Va5 l. 135 relinquitur] relinquetur Va5 l. 152/153 unus ordo figurarum et unicus numerus] unicus ordo numerorum Va5 l. 163] retinet Va5 l. 476 contingat] ita sit Va5 1.4. Conclusiones: γ A partir de los datos extraídos, proponemos el siguiente esquema: α2 α1 γ δ γ1 μ Va5 μ1 Lo2 o *Fr Z Mu4 ν γ2 Va4 Er Pocos son los datos ciertos que se reconstruyen del hiparquetipo de la familia. En primer lugar, respecto al lugar de copia, el hiparquetipo γ podría haber sido copiado en Francia, como Mu4 y Va4. Aun así, no lo podemos afirmar con seguridad, pues es incierto dónde fueron copiados Er Z, y Lo2 tiene origen inglés. En cuanto a la conformación interna de las obras que contenía, es probable que transmitiera el conjunto de obras de Sacrobosco al completo: todos sus descendientes presentan las principales obras de este autor copiadas seguidamente. No podemos, en cambio, aventurar el orden de las mismas: mientras que Mu4 presenta una ordenación ACS, Lo2 Va4 transmiten ASC (y probablemente también Er) y Z copió CSA, una ordenación muy poco habitual. Con estos datos nos aventuramos a postular que probablemente γ tuviera una estructura del tipo ASC. En lo que concierne al texto particular del Algor. que debió de transmitir, como hemos dicho arriba, es muy probable que se tratara de un manuscrito con numerosas glosas marginales. Puesto que es muy habitual que el Algor. aparezca glosado abundantemente, no es de extrañar que así fuera, lo que permitiría explicar las anomalías localizadas que hemos analizado supra. 2. Subfamilia β Fi1 Pa2 Va1 W2 Varios errores nos llevan a relacionar estos testimonios: l. 40 Notandum igitur quod quilibet digitus] quilibet igitur digitus Fi1 Pa2 Va1 W2 En el resto del tratado, toda vez que aparece quilibet viene seguido inmediatamente del sustantivo al que acompaña (cfr. l. 43, l. 231, l. 238), por lo que intercalar igitur entre medias 414 Estudio estemático supone una anomalía. Además, encontramos varios paralelos a lo largo de la obra donde igitur se intercala entre notandum/videndum y quod, siendo esta una estructura muy empleada por el autor. Lo mismo ocurre en el Compot. Del mismo tipo es la siguiente innovación, aquí compartida por Ox5: l. 31 Sciendum igitur quod iuxta novem] iuxta igitur novem Fi1 Ox5 Pa2 Va1 W2 l. 186 in hac autem specie] sed in hac Fi1 Pa2 Va1 W2 Esta corruptela la identificamos como tal porque Sacrobosco siempre usa hac como determinante de un sustantivo, no como pronombre. Además de estos, el siguiente error también parece poder retrotraerse al hiparquetipo β, esta vez junto con el testimonio E: l. 187 inchoamus] incipiemus E Fi1 Pa2 Va1, incipiamus W2 Que aquí aparezca el testimonio E es interesante, puesto que podría indicarnos su inserción dentro de esta subfamilia. E es un testimonio que compartía todos los errores de α2 pero que, al compartir tan solo esta innovación de β, es muy probable que esté contaminado. En cuanto a su relación con β, podría ser que estuviera mayormente emparentado con Pa2, pues comparten la siguiente falta: l. 252/253 prima inferioris ordinis sit sub ultima superioris sit sub ultima] sub ultima sit E Pa2 Siempre que Sacrobosco emplea la estructura sujeto + sit + sub sigue este orden. La opción de E Pa2 es anómala tanto por esto como por el hecho de que pongan el sit entre ultima y superioris. Si así fuera, contamos con varios errores separativos de E como para no considerarlo modelo de Pa2, como por ejemplo los siguientes: l. 372 sic] om. E Li l. 394 alius superficialis] om. E l. 430 in arismetica ] om. E l. 510 cubicam] om. E 2.1. ¿Subfamilias e hiparquetipos? Al estudiar las posibles subfamilias existentes dentro de β, nos encontramos con la siguiente situación: l. 14 divisibilis in] divisibilis per Li Pa2 W2 l. 14 partes equales] equales partes Fi1 Pa2 l. 137/138 si a quarto loco vel quinto vel ] om. Fi1 Va1 l. 186 in hac autem specie] sed in hac specie Fi1 Pa2 W2 l. 304 in tot partes] inter tot partes Co Fi1 W2 l. 367 naturali] igitur add. P1 Va1 W2 l. 502 in suum quadratum] etc. Fi1 Va1 Estos errores muestran relaciones anómalas e incoherentes desde el punto de vista estemático, donde prácticamente cada uno de los manuscritos de la subfamilia parece compartir errores con 415 EL ALGORISMUS otro de manera individual: Pa2 W2, Fi1 Pa2, Fi1 Va1, Fi1 W2, Va1 W2. Este panorama sugiere la presencia de contaminación en estos ejemplares, la que a menudo se confirma: Fi1 compartía algunos errores con α1 y lo veremos en los manuscritos hipercontaminados y Va1 forma parte de la subfamilia ε. El único manuscrito que no presenta evidencias de contaminación es Pa2 y quizá W2. Puesto que todos los códices presentan errores propios, en principio deberíamos suponer la ausencia de descripti en esta subfamilia, aunque el hecho de que haya contaminación dificulta su aplicación. A continuación exponemos una muestra de los errores individuales de cada uno de los testimonios excepto de Va1, ya estudiados en ε. De Fi1 llaman la atención las múltiples pequeñas omisiones que encontramos en su texto, como las siguientes, claro indicador de que no es el modelo del resto de códices: l. 3 unde] om. Fi1 l. 60 que] om. Fi1 l. 133 quare] om. Fi1 l. 323/324 ita quod totiens possint subtrahi relique a sibi suprapositis et] om. Fi1 l. 502 in se] om. Fi1 Errores separativos de Pa2 l. 127 operare] om. Pa2 l. 167 si impar] si est impar Pa2 l. 266 scribatur digitus] scribatur Pa2 l. 271 multiplicandi] et add. Pa2 Una muestra de los errores que hemos localizado en W2 es la conformada por las siguientes omisiones: l. 142 redeundo versus dextram] om. W2 l. 145/146 quas prius subtraxisti adde superioribus et occurrent eedem figure] om. W2 l. 396 habet] om. W2 l. 412 et binarius est eius radix] om. W2 2.2. Conclusiones: β La subfamilia β, como hemos visto, está conformada por los códices Fi1 Pa2 Va1 W2, al que se suma E como posible descendiente de la rama de Pa2. Dada la imposibilidad de trazar un stemma al uso para esta subfamilia, lo más económico y verosímil es hacer depender cada uno de los testimonios de un mismo modelo: α2 κ β ε Fi1 W2 Pa2 *E Va1 El terminus ante quem para datar el hiparquetipo β es finales del s. XIII, concretamente antes de la década de los 70, siendo esta la fecha de composición de Va1. Respecto a su lugar de 416 Estudio estemático composición, podría ser Francia, igual que Va1 W2 (de los otros dos testimonios se desconoce este particular). Además, es muy probable que contuviera las tres obras de Sacrobosco con el orden ACS (como Fi1 Va1 W2). Dentro de dichas obras, encontramos que tanto Fi1 como Pa2 (este último con la anómala disposición CAS, insertándose entre el Compot. y el Algor. un tratado sobre el cuadrante y el Carmen de algorismo) transmiten tras el Compot. las Tabule Gerlandi. En el caso de Fi1, además, dichas Tabule se encuentran como parte del Compot. 3. Va10 y su descendiente Y2 Los siguientes errores comunes a Va10 Y2 demuestran la relación existente entre estos manuscritos: l. 129 figuram significativam] significativam figuram Va10 Y2 En la obra, siempre que aparece este binomio, mantiene la estructura figuram significativam. l. 344 reservetur exterius in tabula] reservetur et scribatur exterius in tabula Va10 Y2 Cuando el autor quiere indicar que una cantidad ha de escribirse fuera del campo de la operación, utiliza indistintamente scribatur exterius (cfr. l. 160, l. 162) o reservetur exterius (cfr. l. 162, l. 344). El hecho de que aquí aparece un doblete constituye una interpolación en el texto de un apunte, probablemente marginal, donde se indica esta dualidad. l. 352 additione illius residui] additione numeri vel illius residui Va10 Y2 En la prueba de la multiplicación a partir de la división, al final, si hay un resto, hay que añadirlo al total. Aquí Va10 Y2 incorporan numeri a modo de apunte que no aparece en otras estructuras similares. l. 365 sic semper] semper sic Va10 Y2 La estructura es idéntica a la que aparece unas líneas antes (l. 362): et sic semper numerus sequens superat, etc., lo que confirma que la variante de Va10 Y2 es una transposición. Otro de los elementos que muestra una estrecha relación entre Va10 e Y2 son los paratextos que estudiaremos infra en Paratextos. Como podíamos ver, ambos manuscritos incluyen en el margen el esquema clásico y otro adicional con notas que son únicas en estos testimonios. 3.1. Y2, descriptus de Va10 Una vez establecidos los errores conjuntivos a estos códices, analizaremos su relación. En primer lugar, el hecho de que la fecha de composición de Y2 (ca. 1291-1330) sea posterior a la de Va10 (1273-4), hace imposible que Va10 descienda de Y2. Por lo tanto, la única posibilidad de descendencia es la contraria, es decir, que Y2 sea un codex descriptus de Va10, como, en efecto demostraremos a continuación. Que Y2 desciende de Va10 se prueba, en primer lugar, por la ausencia de errores conjuntivos de este último. Además, en varias ocasiones Y2 incluye en texto aquello que Va10 transmitía supra lineam o in margine: l. 59 millesies] octavo decies millesies millesies nono centies millesies millesies add. Va10m Y2 l. 231 denarius Va10s Y2a, articulus Va10 Y2c l. 426 est] om. Va10a, add. Va10s 417 EL ALGORISMUS En segundo lugar, una evidencia física demuestra la dependencia de Y2 respecto a Va10. Para ello, hemos de asumir que Y2 no solo copió el Algor. (y el Quadr., como demostramos infra en Apéndice I, en el estudio estemático del Quadr.) de Va10, sino que de él tomó todo el corpus de Sacrobosco. Concretamente, en el explicit de la Spher., Va10 finaliza la obra con estas palabras (f. 25r): explicit nova compilatio sphere magistri Iohannis de Sacrobosco scripta anno domini M CC LXXIIII. Son varias las obras que Va10 finaliza apuntando la fecha de copia, que oscila entre los años 1273 y 1274. El testimonio Y2, en cambio, al final de la Spher. (f. 82vb) presenta una rasura que borra las últimas tres líneas del tratado. En ellas, podemos adivinar al principio las palabras nova sphere compilatio... y hacia el final una fecha que comienza con M CC (cfr. Lámina 3). Por lo tanto, a pesar de que no se lee con claridad el texto sub rasura de Y2, contamos con elementos suficientes para pensar que Y2 copió sin darse cuenta el explicit de Va10, pero, tras su revisión, decidió borrar el explicit al completo. Lámina 3: Explicit de la Sphera sub rasura en el f. 82vb de Y2 Demostrada tal dependencia, remitimos al estudio estemático del Quadr. en el Apéndice I para más información acerca de cómo se comporta Y2 (allí llamado Y) frente a su modelo Va10 (allí Va). 4. Independencia de B Mu5 Va8 Una vez establecidas las subfamilias de α2, quedan tres testimonios descendientes de este hiparquetipo que no comparten errores comunes con ningún otro miembro de esta: B Mu5 y Va8. Además, el hecho de que presenten errores individuales, hacen que no sea posible instalarlos a la cabeza de α2. Por esta razón, hacemos depender cada uno de ellos de forma individual de este hiparquetipo. A continuación presentamos los errores individuales de B, Mu5 y Va8: 4.1. Errores separativos de B B cuenta con errores propios, como los siguientes: l. 225 velis] igitur add. B l. 275 addatur] excretionem add. B l. 282 anterioratione] nec a tali multiplicatione add. B l. 364/365 1, 3, 5, 7 etc. Similiter a binario potest incipere] om. B l. 429 in se semel] in semel B l. 441 distinguuntur] om. B 418 Estudio estemático l. 553 aliquis] om. B 4.2. Errores separativos de Mu5 Mu5 presenta múltiples innovaciones que pueden interpretarse como aclaraciones o adiciones con el objetivo de completar la información. Por su propia naturaleza, son añadidos cuya eliminación es difícilmente explicable, puesto que ayudan a entender mejor el texto: l. 69 consuetum ordinem servantes] consuetum morem et ordinem servantes Mu5 l. 205 si recte duplaveris] si recte per documenta duplaveris supra dicta Mu5 l. 217 in alterum] notandum quod quicumque cyfra vel cyfre ponuntur in numero multiplicante preponatur numero multiplicando et multiplicetur postea per figuram vel figuras significativas add. Mu5 l. 259 scribatur digitus] scribatur compositi illius digitus Mu5 l. 462 ductus in se] semel add. Mu5 Recordamos además que este testimonio estaba vinculado con la subfamilia μ2, pudiendo ser Mu5 uno de los ancestros de este hiparquetipo contaminado. 4.3. Errores separativos de Va8 Va8, igual que ocurría con Mu5, presenta numerosas adiciones explicativas, como las siguientes: l. 44/45 et ita de aliis] numeris add. Va8 l. 109/110 iudicandum est per ultimas vel per penultimas] ultimaque eorum maiorem multitudinem representet vel per penultimas et sic deinceps ille numerus maior est cui ultima figura magis significat Va8 l. 129 ulterius] quousque proveniatur add. Va8 l. 186 a dextra] figura add. Va8 También encontramos algunos saltos de igual a igual u omisiones, como las siguientes: l. 39/40 figuras invenire significativas] om. Va8 l. 427/428 radix quadrati et cubici sed non omnis] om. Va8 l. 506/507 si numerus propositus sit cubicus] om. Va8 5. Stemma de la familia α2 El stemma que ilustra las relaciones de los descendientes de α2 es el siguiente: 419 EL ALGORISMUS α1 α2 κ δ μ γ γ1 Va10 Va8 μ1 Va5 B Mu5 ε o Y2 γ2 Lo2 Z Mu4 β ν *Fr Fi1 Pa2 W2 Er Va4 *E Va1 Mientras que en otras familias, como α1, la contaminación y la pluralidad de descendientes la encontrábamos en las ramas más bien bajas del stemma, en α2 el panorama es muy distinto. En esta ocasión son siete las ramas en las que se divide este hiparquetipo, lo que sugiere una tradición más bien horizontal o quizá la desaparición de muchos de los modelos intermedios. Tal número de descendientes impide en gran medida aportar datos seguros sobre α2. Este sería un códice compuesto antes de la década de 1270, con un origen incierto (quizá podamos aventurar Francia, pero es arriesgado) y con disposición interna de las obras de Sacrobosco, si es que contenía varias, dudosa. En relación a esto último, todos los descendientes menos Mu5 transmiten las tres obras principales del autor, a las que Va10, seguido por su descriptus Y2, suma el Quadr. Sin embargo, no coinciden en su disposición: γ probablemente transmitiera el corpus con un orden ASC, que coincide parcialmente con Va10, ASCQ; β y B presentan una ordenación ACS y Va8, SAC. V. FAMILIA α3 Ca E2 Pa6 Pa8 S Y1 Establecemos la familia α3 a partir de sus errores conjuntivos: l. 251/252 multiplicantem in inferiori per suas] om. E2 Lo3a Va4 Ox7a, multiplicantem per suas in inferiori Fi1 Pa6 Pa8 S Y1, multiplicantem per suas differentias in inferiori Ca A lo largo del tratado se repite cuatro veces la estructura in inferiori (ordine) per suas (differentias), siendo invariable el orden inferiori + suas (cfr. l. 82, l. 113/114, l. 251/252, l. 312). De esta forma se revela como transposición la variante de Ca Fi1 Pa6 Pa8 S Y1 l. 293/294 ex ductione alicuius figure in cyfram nichil resultat figure] numeri Ca E2 Pa6 Pa8 S Y1 Siempre que Sacrobosco contrapone la cyfra, es decir, el cero, con un guarismo con significado numérico, es decir, diferente de cero, emplea la contraposición cyfra – figura (significativa). Esto lo encontramos en numerosos pasajes: per has novem figuras significativas, adiunctas quandoque cyfre quandoque cyfris (l. 37/38); si sit articulus, per cyfram primo positam et figuram scriptam (l. 48/49); loco eius scribatur cyfra propter figuras sequentes (l. 118/119); etc. No encontramos ningún caso en el que emplee numerus como sinónimo de guarismo distinto de cero, por lo que la opción de Ca E2 Pa6 Pa8 S Y1 demuestra ser un error. A estas dos faltas, podríamos agregar la siguiente: l. 216 proveniens ex ductione ductu] productione E2 Pa8 S Y1 420 Estudio estemático Se refiere aquí al acto de multiplicar, ductione, que se repite a lo largo del tratado. El error parece haberse generado a partir del proveniens anterior, cuyo preverbio habría pasado al sustantivo. Al tratarse de un error fácilmente identificable, podríamos asumir que Ca y Pa6 (quizá a partir de sus otros modelos) corrigieron este error que estaba en cambio en el hiparquetipo α3. Analizados los errores que conforman esta familia formada por seis testimonios, a continuación describiremos las dos subfamilias en las que se divide α3, esto es, χ e ι. 1. Subfamilia χ La subfamilia χ, compuesta por los testimonios E2 Pa6 S e Y1, contiene los siguientes errores: l. 442/444 unde primus limes est 9 digitorum continua progressio; secundus vero 9 articulorum secundus] limes add. S Y1, limes est add. E2 Pa6 Se trata de una adición aclaratoria que reitera el limes que ya se había mencionado en el primer elemento de la sucesión. l. 505 Radicem autem cubicam cubicam] cubici E2 Pa6 S, om. Y1 Entre las líneas 500/510 se repite hasta cuatro veces la juntura radicem cubicam, mientras que en ninguna ocasión encontramos la variante radicem cubici. De hecho, toda vez que encontramos radicem seguida de un genitivo, este siempre es numeri seguido de su adjetivo, como el l. 452: radicem numeri quadrati, o en l. 456: radicem alicuius numeri quadrati. A este error podemos sumar la innovación que hemos mencionado supra que comparte con el códice E2: l. 118/119 scribatur cyfra propter figuras sequentes ne minus significent] ponatur cyfra ne figuras sequentes minus significent E2 H R2 S, ponatur cyfra ne sequentes minus significent Y1 De esta subfamilia, al menos dos de sus miembros están contaminados (cfr. supra): E2 (descendiente de *τ, subfamilia del hiparquetipo δ de la familia α1) y Pa6 (descendiente de λ, también subfamilia de α1). Por esta razón, no podemos saber si el siguiente error compartido por E2 S Y1 es una corrección de Pa6 a partir de su otro modelo o no: l. 161 medietas illorum illorum] om. S Y1, illa E2 Al omitir illorum, la frase queda sin sentido, pues medietas queda suelto sin saber a qué hace referencia. Esto provoca que E2 añada un illa probablemente por conjetura para solventar el problema, lo que demostraría que E2 no contaminó, sino que conjeturó; esto supondría que fue, en todo caso, un antepasado de E2 el que habría contaminado. Esto mismo podría haber motivado a Pa6 a buscar la solución en su otro modelo. Por ello, es probable que este error remonte al hiparquetipo χ. Por la misma razón, no podemos saber si los siguiente errores de Pa6 S Y1 remontan al hiparquetipo χ, los que E2 habría corregido quizá con su otro modelo, o bien si sugieren la presencia de una subfamilia: l. 326/327 figure inferioris ordinis] figure ordinis inferioris Pa6 S Y1 Sacrobosco siempre emplea la estructura inferioris/superioris ordinis sin invertir este orden (cfr. l. 83, l. 84/85, l. 116, l. 139, l. 252, etc.). 421 EL ALGORISMUS l. 350 et redibunt eedem figure quas prius habuisti et] sic add. Pa6 S Y1 La frase et redibunt/occurrent eedem figure se emplea varias veces a lo largo del tratado tras las pruebas de las operaciones que explica (l. 145/146, l. 205/206, l. 350, l. 493/494). En dicha estructura nunca añade sic antes del verbo. l. 403/404 Si igitur numerus semel ducatur in numerum, hoc erit aut in se ipsum aut in alium. Si in se, fit numerus quadratus se] semel add. Co Pa6 S Y1 Se repite aquí el semel que se había mencionado antes con fines aclaratorios. Lo entendemos por tanto como una adición. De nuevo la contaminación de E2 Pa6 hace posible que estos códices hayan corregido los siguientes errores comunes a S Y1, testimonios en principio no contaminados: l. 37 has] om. S Y1a l. 112 scribendus est] debet scribi S Y1 l. 164 suum locum recipiatur] suum recipiatur locum S Y1 l. 223 digitus] om. S Y1 l. 429 in se semel vel bis] semel vel bis in se S Y1 Estas innovaciones se revelan innovaciones por el usus del autor, sobre todo por las transposiciones, o por la dificultad que generan en el texto las pequeñas omisiones. A juzgar por la relación entre Pa6 Y1 que describiremos a continuación, es probable que Pa6 sí corrigiera tales errores a partir de su otro modelo. En cuanto a E2, son tantos los errores que debería haber corregido comunes a S Pa6 Y1 o solamente S Y1, que consideramos que lo más probable es que E2 sea un descendiente independiente de χ frente a la subfamilia χ1 formada por S Pa6 Y1. 1.1. Subfamilia χ1 Postulamos, por tanto, la existencia de una subfamilia χ1. Dentro de ella, los testimonios Pa6 Y1 comparten numerosos errores comunes, como los siguientes: l. 253 ducenda est] ducetur Pa6 Y1 l. 312 divisoris] om. Pa6 Y1 l. 313 dividendi] om. Pa6 Y1 l. 333 autem] aliquotiens add. Pa6 Y1 l. 346 dividendo] dividente Pa6 Y1 l. 377 summa] numerus Pa6 Y1 l. 434/435 quoslibet proximos] om. Pa6 Y1 l. 439 numerorum solidorum] solidorum sive numerorum Pa6 Y1, numerorum Lo1 Lo3 Pa5 l. 463 autem] om. Pa6 Y1 l. 465 sub proxima figura] sub prima proxima figura Y1, sub prima figura proxima Pa6, sub prima figura Ox6, sub figura Va3 l. 533 ductu] productu Pa6 Y1 l. 542 in se] om. Pa6 Y1 422 Estudio estemático l. 556 ultimi] om. Pa6 Y1 La mayoría de los errores son pequeñas omisiones, a menudo necesarias para entender el sentido del texto. Otras veces los errores parecen producto de una mala lectura, como ductu > productu o el cambio deliberado de un término por otro similar o equivalente: dividendo > dividente (donde dividente no es un término sacrobosquiano), ducenda est > ducetur o summa > numerus. El hecho de que Y1 no contenga los errores de λ (la otra subfamilia a la que pertenece Pa6), hace que la relación sea o bien de descendientes de un mismo hiparquetipo, o que Pa6 sea descriptus (en parte) de Y1. Sin embargo, contamos con la siguiente omisión de Y1 que impide esta segunda opción: l. 505/509 Radicem – invenire] om. Y1 Dentro de esta frase que elide Y1 se encuentra el error que ya comentábamos supra (IV. 109): radicem autem cubicam, donde E2 Pa6 S compartían la falta cubicam > cubici (segundo error de la subfamilia χ, cfr. supra). Esto hace que Pa6 descienda quizá de la rama de Y1, pero en ningún caso del propio Y1. En cuanto a la relación entre S Y1, podemos decir que ninguno es descendiente directo del otro a juzgar por los errores propios que contienen. Serán, por lo tanto, gemelos de χ1: l. 67 huius] om. S l. 201 negotiandum est] om. S l. 341 nec a numeri denotantis quotiens positione] om. S l. 358 ut universorum] om. S l. 448/449 quocumque alio precedente] om. S l. 159 figuras] om. Y1 l. 163 ordinis] om. Y1 l. 196 delete] om. Y1 l. 207 mediatio] om. Y1 l. 256 figure] si ergo add. Y1 l. 514 vicinus] primus add. Y1 l. 549 figure] om. Y1 l. 552/554 Notandum – figura] om. Y1 Por último, conviene resaltar una serie de errores comunes entre S y el testimonio Ox1, un códice hipercontaminado que estudiaremos infra en el apartado correspondiente: l. 135 unitas] om. Ox1 S l. 183/184 sive a figura maiori] om. Ox1 S l. 206 quas prius habuisti] quas habuisti Ox1 S l. 449 modum quadratorum] quadratorum Ox1 S l. 528 anterioratione per duas differentias] per duas differentias anterioratione Ox1 S 423 EL ALGORISMUS La mayor parte de ellas son pequeñas omisiones que podrían ser poligenéticas. No obstante, el número de veces que Ox1 S omiten la misma palabra o sintagma es tal, que no puede ser fruto de la casualidad. Por esta razón, consideramos que Ox1 S están de alguna forma emparentados. Puesto que Ox1 no transmite otros errores que S comparte con E2, Pa6 y/o Y1, lo más probable es que S haya contaminado con Ox1 y no a la inversa. Esto supone que S podría haber corregido los errores que hemos localizado en Pa6 Y1 con su otro modelo, pero de nuevo son muchos como para que esta opción sea probable. 1.2. Independencia de E2 Como hemos dicho supra, son numerosos los errores de χ1 que E2 debería haber corregido si hubieran estado en χ. Por eso, consideramos que E2 desciende de χ de manera independiente. Sabemos que no está a la cabeza de la subfamilia por sus errores individuales: l. 73 ad] om. E2 l. 74 debet] om. E2 l. 83/95 secunda – superioris] om. E2 l. 100 una] om. E2 l. 306 dividendus] sive divisionis add. E2 l. 464 est] om. E2 l. 546 in se] om. E2 A estos sumamos dos errores que comparten E2 Y1, que, a priori, serían una anomalía ante el stemma propuesto. Se trata de dos omisiones que consideramos o bien poligenéticas, o bien fruto de correcciones de χ in margine o supra lineam que S Pa6 integraron (como resultado de sus respectivas contaminaciones con Ox1 y λ), mientras que E2 Y1 las pasaron por alto: l. 277 digitus] om. E2 Y1 l. 447 termini] om. E2 Y1 1.3. Conclusiones: χ α1 α3 δ χ *τ ρ E2 χ1 Ox1 λ Pa6 Y1 S A juzgar por la información extraída de los descencientes de χ, este hiparquetipo debió componerse antes de finales del s. XIII, probablemente en París o alrededores. A excepción de E2, todos los descendientes contienen las tres obras de Sacrobosco en orden ASC. Los manuscritos que las contienen son todos misceláneas matemáticas y astronómicas donde la Theorica planetarum es una constante. Podríamos pensar, por tanto, que χ también era una suerte de miscelánea de esta temática y que también contendría la Theorica. 424 Estudio estemático 2. Subfamilia ι Ca Pa8 Dentro de α3, aislamos la subfamilia ι formada por los códices Ca Pa8 a partir de los siguientes errores conjuntivos: l. 124 simul iunctis subtrahatur] simul iunctis trahatur Ca Pa8 El contexto claramente precisa de subtrahatur. l. 149 redibunt eedem figurae] eedem figurae redibunt Ca Pa8 Redibunt eedem figure, como ya hemos señalado en errores anteriores, se repite con frecuencia a lo largo del tratado, siempre con esta disposición. l. 206 et occurrent eedem figure occurrent] occurrant Ca Pa8 Después de las pruebas de las operaciones siempre se utiliza un verbo en futuro; aquí el subjuntivo no tiene sentido. l. 275/276 si articulus, transferatur versus sinistram transferatur] digitus add. Ca Pa8 No ha lugar presentar digitus aquí. l. 295/296 sub ea non debet fieri anterioratio non debet] debet minime Ca Pa8 Minime es una negación fuerte que no es necesaria en este punto. El término presenta un paralelo en la Spher., pero con la acepción de «muy pequeño, minúsculo», no como negación. Dentro de este subgrupo, descartamos que un ejemplar sea descriptus del otro por sus errores individuales, como los que aquí presentamos: l. ½ ratione numerorum] om. Ca l. 177 Si – deleatur] om. Ca l. 186/187 in1 – inchoamus] om. Ca l. 423 constituunt 12] om. Ca l. 501/502 bis – numeri] om. Ca l. 508 est maximi cubici] om. Ca l. 536/537 se – numero] om. Ca l. 24 cuiuslibet] om. Pa8 l. 30 ordinata] om. Pa8 I. 35 adiunctas] om. Pa8 l. 144 feceris] om. Pa8 l. 182 tantum] om. Pa8 l. 428/429 sed non omnis quadratus vel cubicus] om. Pa8 l. 557 operandi] om. Pa8 425 EL ALGORISMUS Por último, destacamos algunas faltas que comparte Ca con Va6 (testimonio hipercontaminado que estudiaremos infra), que se adivinan como tales por el usus scribendi del autor: l. 348 facta fuerit] fuerit facta Ca Va6 l. 385 Quando] si Ca Va6 l. 491 necne] vel non Ca Va3 Va6 l. 544 fuit] om. Ca Va6 Puesto que Va6 no comparte ninguno de los múltiples errores de Ca Pa8, lo más probable es que Ca haya tomado lecturas de Va6; aunque su modelo principal parece que sería ι. Esta podría ser la clave para entender la corrección de Ca del siguiente error, comentado supra en la subfamilia α3: l. 216 proveniens ex ductione ductione] productione E2 Pa8 S Y1 2.1. Conclusiones: ι ι Va6 Pa8 Ca La subfamilia ι está formada únicamente por los códices Pa8 y Ca. El hecho de que este segundo presente contaminación con Va6 dificulta la reconstrucción del hiparquetipo, del que apenas sabemos nada. Su fecha de copia hubo de ser ante finales del s. XIII, quedando incierto su origen (de los dos códices solo tenemos el dato de que Pa8 se esribió en Alemania). En su interior es posible que contuviera más obras de Sacrobosco además del Algor., como Ca, que también transmite la Spher., aunque no lo podemos saber con seguridad: Pa8 (y también Va6) tan solo transmiten el Algor. Cuando esto ocurre, es imposible determinar si ι contenía el corpus de Sacrobosco al completo y sus descendientes solo cogieron parte, o si directamente transmitía el Algor. en solitario. 3. Stemma de la familia α3 α1 α3 δ χ *τ Va6 ρ E2 ι χ1 Ox1 Pa8 Ca λ Pa6 Y1 S La familia α3 genera un stemma a dos ramas: χ e ι. Quizá compuesto en la región francesa, α3 se habría escrito en algún punto del s. XIII. En su interior es probable que contuviera el corpus de Sacrobosco con la estructura ASC: así ocurre en χ y los datos de ι no impiden que así sea, es más, el hecho de que Ca transmita AS podría indicarnos un antepasado con las tres obras de las que cayó en algún momento el Compot. Además de estas obras, es muy probable que α3 transmitiera la Theorica planetarum, como ocurría presumiblemente en χ y, de la subfamilia ι, al menos en Pa8. 426 Estudio estemático 2.2. Las ramas altas de la tradición A lo largo del estudio de la tradición, hemos visto que la contaminación es una constante en la historia textual del Algor. Si bien podemos identificarla con mayor facilidad en las ramas bajas del stemma, las ramas superiores también presentan signos de tradición horizontal, lo que es coherente con la presencia de manuscritos antiguos, datados en el tercer cuarto del s. XIII, y ya profundamente contaminados. Tal grado de incoherencias estemáticas conduce a stemmata donde abundan los hiparquetipos con numerosas ramas derivadas de ellos y con descendientes afectados por constantes tradiciones verticales, hasta el punto de oscurecer buena parte de las relaciones genealógicas. Hasta ahora hemos estudiado los descendientes del Algor. agrupados en cinco ramas distintas: κ, ζ, α1, α2 y α3. En este apartado, daremos cuenta de un error conjuntivo que comparten las familias α1, α2, α3 y la subfamilia η. Dicha falta podría ser suficiente para agrupar estas cuatro ramas y hacerlas depender de un único hiparquetipo, α; sin embargo, veremos que esta opción entraña no pocos problemas. 2.2.1. ¿Familia α? El error que comparten casi todos los integrantes de las familias α1, α2, α3 y η es el siguiente: l. 21/22 Inter quas primo de numeratione et consequenter de aliis per ordinem dicetur Inter – dicetur] om. Lo2 Ox4 Z consequenter] postea Bu Ci Co D1 E E1 E2 En Er Fi1 Fr Fz G H Li Lo4 Lo5 Lu Ma Mo Mu3 Mu4 Mu5 N Ox1 Ox2 Ox3 Ox5 Ox6 Ox7 P1 Pa1 Pa2 Pa3 Pa4 Pa7 Pa8 S Va2 Va3 Va4 Va5 Va6 Va8 W2 Y1, postmodum R1, postera Ca, ita Va7 La prueba que nos permite reconocer consequenter como la lectura correcta, además de por ser una lectio difficilior, es el paralelismo existente entre esta frase y dos del Compot.: (Lohr, 2020, 4, cap. 2, l. 5/8) Partes 5 temporis die maiores sunt septimana, mensis, annus, lustrum, indictio, saeculum et aevum. De quorum singulis in subsequentibus per ordinem exsequetur y, sobre todo, (Lohr, 2020, 77, cap. 23, l. 1/2) Festa autem mobilia cum ex lunationis discretione habeantur, ordinis ratione consequenter de eis est pertractandum. Como decíamos, esta innovación podría sugerir la existencia de un nuevo hiparquetipo gemelo de κ y ζ que agruparía las familias α1, α2, α3 y η, que pasarían a ser descendientes de α. No obstante, el hecho que nos hace dudar de este hipótesis es, en primer lugar, que se trata de una única falta común. Como hemos visto en el resto de familias, ninguna de ellas se constituye con tan solo una innovación, puesto que la obra es de una longitud suficiente como para que su copia genere, por lo general, múltiples faltas. En segundo lugar, es sospechosa la propia naturaleza del error. Probablemente, postea sea un apunte marginal o entre líneas de un lector hábil podría haber introducido junto a consequenter para completar o aclarar que el significado de consequenter no es aquí de ilación lógica, sino temporal, en oposición a primo. A partir de esa posición, la variante pudo introducirse en el texto o viajar en los márgenes. Esta segunda alternativa habría generado una serie de códices que tendrían a su disposición ambas opciones y, una vez introducida una de ellas en el texto y descartada la otra, sería imposible saber que su modelo contuvo ambas. Por ello, la variante resulta resbaladiza en este aspecto y no permite conclusiones definitivas en cuanto a su transmisión. En tercer lugar, contamos con algunos testimonios que en principio descienden de cualquiera de las cuatro familias implicadas y que, en cambio, no transmiten el error. Esto podemos verlo bien en los descendientes de α2, donde B Lo2 R2 Va1 Va10 Y2 Z no comparten la innovación. Podemos explicar fácilmente el caso de B Lo2 Z: B es un manuscrito acéfalo que no conserva la 427 https://es.wiktionary.org/wiki/%CE%B1 https://es.wiktionary.org/wiki/%CE%B1 EL ALGORISMUS parte del texto; Lo2 Z, por su parte, omiten la frase quizá por un salto de igual a igual. Más complicado es el caso de R2 Va1 Va10 Y2. Va10, modelo de Y2, parece descender de un hiparquetipo glosado cuyas glosas quizá sean fruto del cotejo de otro ejemplar, lo que daría como resultado la contaminación de Va10; aunque no es posible demostrar esta hipótesis. Siguiendo con las anomalías estemáticas, el caso de ε es modelo paradigmático de la problemática presente. Este hiparquetipo contaminado es descendiente a la vez de κ y α2. Dado que de sus descendientes tanto Lo4 como H transmiten postea, siguiendo la jerarquía estemática marcada, es más probable que ε transmitiera postea y no consequenter. Sin embargo, nos encontramos con que tanto Va1 (contaminado a su vez, descendiente de β y ε) como R2 presentan el correcto consequenter. En esta subfamilia tan solo Va1 tiene visos de ser un ejemplar contaminado, cuyo otro modelo localizado es β, descendiente de α2 y transmisor de la variante postea. Ante estas incoherencias, habríamos de suponer que, o bien Va1 y R2 contaminaron independientemente con un códice derivado de κ y ζ, o bien, lo que sería una explicación más económica, que en ε concurrían ambas variantes (lo que es factible, pues, como hemos dicho, contiene lecturas tanto de κ como de α2). Lo mismo ocurre con algunos de los descendientes de α1: ninguno de los siguientes descendientes, Es I Lo3 Mu6 Pa6 Va9, transmite postea. Es I Lo3 Pa6 son descendientes de λ, que, aunque es un hiparquetipo contaminado, su otro modelo es de la rama de μ2, descendiente de α1 y, en principio, transmisor de postea. Lo mismo podemos decir de Mu6, cuyos modelos, en principio, también formarían parte de α1. Ante esta situación, o bien todos estos códices han sufrido contaminación con alguna rama de κ y/o ζ, o bien la doble lección ya constaba en algunos antepasados. Por otra parte, teniendo en consideración este error, η, descendiente de ζ, sería necesariamente un hiparquetipo contaminado. Por todo ello, pese a que el error coaparece en cuatro ramas, la agrupación de estas genera problemas múltiples e insoslayables. Por esa razón, nos decantamos por un stemma con seis ramas, siendo esta la opción más segura a efectos estemáticos a falta de evidencias más firmes. 2.3. ¿Una tradición con arquetipo? Tan solo unas pocas anomalías podrían llegar a sugerir la presencia de un arquetipo a la cabeza de toda la tradición estudiada, aunque adelantamos que no las consideramos suficientes como para plantear su reconstrucción. La primera de ellas es el final del capítulo sobre las raíces, ya comentado en el apartado de los contenidos de la obra. La estructura completa del capítulo que planteábamos era la siguiente: 9. Extracción de raíces 9.1. Introducción 9.2. Extracción de raíces cuadradas 9.2.1. Qué es extraer la raíz cuadrada 9.2.2. Ordenación del número: dónde empezar a operar 9.2.3. Proceso matemático 9.2.4. Prueba de las raíces cuadradas 9.3. Extracción de raíces cúbicas 9.3.1. Qué es un número cúbico 9.3.2. Qué es la raíz de un número cúbico 9.3.3. Qué es extraer la raíz cúbica 9.3.4. Ordenación del número: dónde empezar a operar 9.3.5. Proceso matemático 9.3.6. Prueba de las raíces cúbicas 428 Estudio estemático 9.3.7. Qué hacer si no se puede hallar la raíz en algún punto 9.3.8. Cómo empezar a operar si no hay millares 9.4. Fórmula de cierre Llama la atención que, antes de la fórmula de cierre (9.4) y después de exponer la prueba de las raíces cúbicas (9.3.6), se hayan insertado dos comentarios adicionales: cómo proceder si no se puede hallar la raíz (9.3.7, l. 550/552) y cómo empezar si el número dado no tiene unidades de millar (9.3.8, l. 552/554). A lo largo del tratado, esta serie de precauciones se advierten antes de la prueba de la operación, nunca después. La anomalía podría responder a una transposición de estas líneas (l. 550/554), que quizá debieran ir antes de la prueba en el original, o a una adición de contenido a una obra ya acabada. Si fuera esta segunda opción, el estilo del texto, el sincretismo de la explicación y el vocabulario empleado llevan a la misma mano de Sacrobosco. Por lo tanto, podríamos estar ante una innovación del propio autor que intervino tras poner un texto en circulación en el que, quizá, faltaba la explicación de estas particularidades. Detectada la carencia (quizá mientras explicaba los contenidos a sus alumnos), la suplió en una etapa muy temprana de circulación del texto. Es posible que él mismo no advirtiera que estas líneas se incluían en un punto un tanto anómalo del texto, puesto que, tras haber conebido la obra como un conjunto cerrado, añadió una información que no estaba pensada para formar parte de la estructura inicial al final, sin querer causar perjuicios en ese bloque primigenio. Además de esta anomalía, hemos detectado dos particularidades. La primera de ellas es la siguiente: l. 4/5 ars numerandi est operativa H G Bu Pa7 Ox7 Be Lo3 Es Va10 Lo2 Ca, est ars numerandi operativa W1 Lc Lo4 Ko Ma En Fi2 Mu2 Ox2 Lo5 Wo D1 Pa2 Mu5 Va8 Y1 Pa8, ars numerandi operativa est Mo Mu3 S Aunque aceptamos la primera opción, ars numerandi est operativa por el usus scribendi del autor, la discrepancia de los testimonios en la posición de est nos lleva a pensar que quizá un antepasado de la tradición conservada contenía est en el margen. Esto explicaría la multiplicidad de opciones con las que nos encontramos, que no tendrían sentido si hubiera estado incluido en el texto en cualquiera de las posiciones que transmiten los códices. Sin embargo, la alteración en la posición de la forma verbal est no es infrecuente en la tradición estudiada y de hecho hemos visto otros casos en los que ocurre. Otra sucesión de variantes que podría plantear la existencia de un arquetipo es la siguiente difracción, síntoma de un texto donde el verbo no era plenamente legible: l. 128 reicietur W1 Lo4 H Ox2 Lo5 Wo Y1 Pa8 Ca, transeatur Lc Mo En Fi2 Mu2 Pa7 D1 Es Va10, reiciatur Kor Mu3, transeat Ma, retrotraendum est G, procede Ox7 Mu5, recurretur P2, accede Be Lo3, recurratur Pa2 Lo2, precedatur Va8, procedendum est S Admitimos la lectura reicietur como la correcta, por una parte, por contar con una mayor representación en las ramas estudiadas (además de ser transmitida por los testimonios señalados, podría ser el origen de retrotraendum est, recurretur o recurratur por una mala lectura del original). Por otra parte, mientras que no encontramos la forma transeatur en parte alguna de este ni de los otros tratados de Sacrobosco, sí contamos con el uso de reiciantur en el Compot. (Lohr, 2021, 84, cap. 23, l. 131). Dicha difracción podría estar ocasionada por un verbo ilegible en un eventual arquetipo o bien por una omisión en el mismo, que fue rellenada de varias formas para salvar el sentido. Ante estas anomalías, por tanto, podríamos considerar que un arquetipo estuviera a la cabeza de la tradición estudiada. No obstante, en una tipología de tradición como esta, en la que el propio 429 EL ALGORISMUS autor del texto lo empleó presumiblemente en sus clases durante años, el solo planteamiento de la posible existencia de un arquetipo es complejo. Por otro lado, los errores citados no son concluyentes: la pospoción primera que mencionábamos en el capítulo de las raíces podría remontar a la propia redacción de la obra, aunque conculque su tendencia habitual; la alteración del orden de est, como decíamos, es frecuente y la difracción última es posible que sea el resultado de contaminación y glosas aclaratoria que sustituyeran lecciones antiguas. Por todo ello, a falta de un error seguro que obligue la reconstrucción de un arquetipo, postulamos una tradición sin él. 2.4. Códices ultracontaminados y/o inclasificables En este apartado incluimos los códices que presentan múltiples contaminaciones y/o imposibles de situar en el stemma establecido por sus particularidades textuales. A efectos de la constitución del texto, estos testimonios se demuestran como inútiles, puesto que sus muchas adscripciones a distintas familias a menudo se traducen en versiones plagadas de errores de diverso origen pero que, a la vez, hacen invisibles las faltas de sus modelos por haberlas corregido con otros; a lo que se suma el hecho de que, para representar las variadas familias de las que derivan estos manuscritos, contamos con ejemplares no contaminados o bien contaminados en grado mucho menor. 2.4.1. Ci Ci es un testimonio contaminado que presenta relaciones con ν1 y con los códices Va2 y Va6, todos ellos descendientes (al menos parcialmente) de α1, cuyos errores transmitía Ci por completo. En cuanto a las subfamilias derivadas de α1, Ci compartía de forma intermitente innovaciones de μ1, μ, y δ. Dentro de la subfamilia μ1, presenta relaciones significativas con ν1, descendiente de ν, con faltas comunes que le asemejan más a Lo5 (que podría ser uno de sus modelos aunque presente los errores propios que citábamos supra) que a Ox5: l. 390 in] de Ci Lo5 Va9a l. 396 in numerum] in se vel in alium Lo5, in se vel in alium numerum Ci Va9a l. 505 superius] ante Ci Lo5 Ox5 l. 514 totum] totum numerum Ci Lo5 Ox5 l. 515 triplatum ponendum est] ponendum est triplatum Ci Lo5 Ox5 l. 516 dextram] respectu illius loci in quo digitus debeat inveniri add. Ci, illius loci in quo est digitus qui deberet inveniri add. P1, respectu illius loco in quo deberet digitus inveniri add. Ox5 Respecto a Va2 (manuscrito, a su vez, con múltiples relaciones que estudiaremos infra), su vinculación es evidente en tanto en cuanto presentan los siguientes errores conjuntivos: l. 100 alii directe] directe alii Ci Va2 l. 432 notandum etiam quod] notandum ergo quod Ci Va2 Puesto que no tenemos errores comunes de Ci con ninguno de los otros testimonios que se asemejan a Va2 (cfr. infra), es probable que Ci haya contaminado desde esta rama. Sin embargo, al ser un manuscrito contaminado, contamos con errores propios de Va2, como los siguientes, que impiden establecer una relación de dependencia directa: l. 257 multiplicantis] om. Va2 l. 343 subtracta] om. Va2 430 Estudio estemático l. 543 que prius] si nihil fuerit residuum add. Va2 El último códice con el que Ci parece estar relacionado es con Va6, de nuevo un testimonio con muchas relaciones estemáticas (cfr. infra): l. 235 iungantur] iungatur Ci Va6 l. 370 medietatem] numeri add. Ci Va6 l. 468/469 qui ductus in duplatum] qui ductus est in duplatum Ci Va6 l. 480 duplatorum] duplorum Ci Va6 La relación entre Ci Va6 es compleja. Como veremos infra, Va6 también comparte errores con la subfamilia ν1 y, a juzgar por la calidad de los errores que transmite, Va6 podría ser incluso uno de los modelos de ν1. No tenemos, sin embargo, innovaciones comunes a ν1, Ci y Va6, a lo que se suman estos errores comunes a Ci Va6. Si, como veremos infra, este manuscrito fuera modelo de ν1, a tenor de los errores compartidos por Ci Va6, deberíamos suponer que Ci es una conflatio textual de ν1 y Va6. Aunque esta relación no es demostrable, es posible que esto ocurriera si fueran códices copiados en un mismo contexto. Por último, Ci cuenta, a su vez, con errores propios, lo que nos indica que, en principio, no parece estar a la cabeza de ninguna subfamilia: l. 255 ex directo] om. Ci l. 325 sustrahere] om. Ci l. 326 figure] om. Ci l. 365 sequens] om. Ci l. 378 progressionis] om. Ci A juzgar por las relaciones estudiadas, las relaciones de Ci podrían traducirse en el siguiente stemma: α1 x? ν1 Va6 Va2 Lo5 Ci 2.4.2. E1 A lo largo de todo el estudio de la tradición del Algor., E1 tan solo compartía una transposición de κ, quizá poligenética, y la variante postea (l. 22) compartida las familias α1, α2, α3 y η (cfr. supra, las ramas altas del stemma). Esto apunta a que se trata de un ejemplar profundamente contaminado, con errores que comparte con Lo2, Y1 y la subfamilia λ. En primer lugar, encontramos errores comunes con Lo2, como los siguientes: l. 1/2 ratione numerorum formata sunt, et quemadmodum sunt quemadmodum] formata add. Ca E1 Lo2 Va4 l. 43 quoniam] om. E1 Lo2 W2 Z l. 106 par] om. E1 Lo2 431 EL ALGORISMUS l. 427 numerus] om. E1 Lo2 P2 l. 459 semper ab impari ultima] ab impari ultima semper E1 Lo2 l. 473 primam primi] primam E1 Lo2 En su mayoría son pequeñas omisiones eventualmente poligenéticas. No obstante, el hecho de que omitan en varias ocasiones los mismos términos, hace más improbable que sea fruto de la casualidad. En la primera de las innovaciones (en ese caso una adición), comparte el error con Va4, otro miembro de la subfamilia γ a la que pertenece Lo2. Este hecho indica que E1 es pariente de Lo2. Dos son los errores que comparte con Y1, de entre los que destacamos remanet: l. 79 proveniet] eveniet E1 Y1 l. 227 remanent 32] remanet E1 Y1, 32 om. E1 Y1 Y1 es el único testimonio aparentemente no contaminado de la subfamilia χ, descendiente de α3. Con los datos con los que contamos, no es posible establecer una dirección en la relación de estos dos códices, cuya opción más conservadora nos llevaría a hacerlos depender de un modelo común. Aun así, no es descartable que fuera Y1 quien tomara lecturas de E1. Finalmente, encontramos varios errores comunes con λ: l. 94 illius] om. Ba Be E1 G I Lo3 Pa4 Pa5 Pa6 l. 101 figura] om. Ba Be E1 G Lo3 Pa4 Pa6 Pa8 l. 318 superiori] superioris Ca Fi1 Ox4 Pa8 R1 Va8, superiore Be E1 Lo1 Lo2 Lo3 Pa5 l. 323 sibi] om. Be E1 Er Fi1 I Lo1 Lo3 Na Pa5 Y1 De entre sus testimonios, podría guardar una relación mayor con Be, como quizá sugiera el siguiente error: l. 318 totiens] om. Be Caa E1 I Ox2 Ox4 En cuanto a errores individuales, E1 presenta, entre otros, los siguientes: l. 15 constat] consistit E1 l. 16 articulos] sibi add. E1 l. 31 representationem] limes quia super unionem possunt ire ad infinitos add. E1 l. 81 ordine] om. E1 l. 101 poneretur] quia non dicitur ad triginta sed suo ad tri viginti versus bis locus ex binis teneat esse quartus per numerus reliquus sit et semper siccine [sic] parte duplabis triples aliam numerata quam iunges semper in triplum in duplum coincidet impar cum veter numerus ternarii divide partem unam diversam rursus ternare studebis cumque novenarius scribeat tibi collige binos quinque ix iiiior est numerus tibi perfectus unum add. E1 l. 141 Sciendum] unde praem. E1 l. 237 unus] numerus E1 Como hemos visto, las relaciones estemáticas de E1 son complejas y de difícil solución. El stemma que podríamos proponer al respecto es el siguiente: 432 Estudio estemático α1 α2 α3 λ γ χ Be Lo2 Y1 E1 2.4.3. Fi1 Fi1 lo hemos visto de manera recurrente a lo largo del estudio textual: comparte errores de κ1 (dentro de la familia κ) y es integrante de la subfamilia β, descendiente de α2 (donde veíamos sus errores separativos). También es recurrente en otros errores conjuntivos de distintas familias, lo que hace de este un ejemplar hipercontaminado. En este apartado veremos su relación con el manuscrito R1 y con el hiparquetipo λ. Fi1 y R1 son manuscritos contaminados. R1 pertenecía a la subfamilia ξ y veremos que Fi1 desciende de β1. Encontramos dos errores comunes a Fi1 R1 λ y otro que comparten Fi1 y λ: l. 375 per maiorem portionem illius] sume maiorem partem Be Fi1 I Lo1 Lo3 Pa5 R1, sume maiorem portionem Ci Lo5 Lu Mu6 Ox4 Ox5 Ox7 Pa7 Va92 l. 376/377 1, 2, 3, 4, 5; multiplicetur quinarius per ternarium 5.] sume maiorem portionem scilicet ternarium et add. Be Fi1 I Lo1 Lo3 Pa5 R1 per] ipsum add. Be Fi1 I Lo1 Lo3 Pa5 l. 424 numerus cubicus] cubicus Be Fi1 I Lo1 Lo3 Pa5 Tanto los errores mencionados como las innovaciones que presentamos a continuación (un apunte erudito y una transposición), permiten relacionar los testimonios Fi1 R1: l. 309 per integra] id est per integras add. Fi1 R1 l. 345 eveniant cuilibet] eveniant figure vel homini [sic] vel alicui cuilibet unitate rei R1, eveniant cuilibet unitate figure vel omni [sic] vel alteri cuiuslibet Fi1 l. 372/373 summa totius progressionis] totius progressionis summa Fi1 R1 Ante este panorama, lo más probable es que λ haya tomado algunas lecturas de la rama de Fi1 R1 o que ambos desciendan de un mismo hiparquetipo. Descartamos que hayan sido Fi1 R1 quienes hayan contaminado a partir de λ porque, en ese caso, transmitirían otras lecturas de ρ y las innovaciones comunes a μ2. Ambos podrían ser, por tanto, descendientes de un modelo común o depender uno de otro. Si fuera esta última opción, puesto que se estima que la fecha de composición de R1 fue a principios del s. XIV frente a Fi1, probablemente copiado a finales del s. XIII, la única opción es que R1 sea descendiente de Fi1 y no a la inversa. Es stemma que tendríamos tras el análisis de esta información es el siguiente: κ α2 x κ1 β λ Fi1 R1 433 EL ALGORISMUS 2.4.4. Li El testimonio Li es un ejemplar contaminado (lo es también en la tradición del Quadr., cfr. infra, Apéndice I). En el estudio de la tradición, Li compartía uno de los errores de α1 y uno de la familia α2. Sobre su relación con la familia α1, podría haber tomado el error común de Mu6, otro ejemplar contaminado perteneciente a esta familia (fruto de la contaminación de las ramas de Lu y Va9) con el que comparte dos errores: l. 361 aliquis numerus] aliquam unitatem Li Mu6 l. 372 binarium] et dices add. Li Mu6 Quizá podamos añadir a estos algunos errores compartidos con Mu4, de los que especialmente los dos primeros son claramente conjuntivos: l. 9 unitates collecte] unitatum collectio Li Mu4, unitas collective Ox4, unitates Er l. 40 igitur] autem Li Mu4 l. 346 eveniant] perveniant Li Mu4 Pa6, perveniat Y1, proveniunt S l. 469/470 in quantum] quanto Fi1 Li Lo2 Mu4 Y1 Cuando ocurre esta situación, es decir, que podemos establecer una relación entre dos testimonios, pero no con el resto de la familia o subfamilia, la relación es incierta. Especialmente ocurre cuando ambos están contaminados, como es el caso de Mu4 y también el de Mu6. Así las cosas, la relación de Li con ellos es indeterminada (marcaremos esto en el stemma con una raya segmentada horizontal). Sí podemos asegurar que Li no tomó de Mu4 el error que Li comparte con α2, pues Mu4 no lo transmite; si Li fuera descriptus y no modelo o gemelo en esta relación con Mu4, no lo sería de Mu4, sino de un antecesor. También hemos encontrado corruptelas comunes con la familia ζ, donde presenta una mayor vinculación con la subfamilia η (como ya advertimos supra en el estudio de esta familia): l. 72/73 duo ordines figurarum et duo numeri] duo numeri figurarum et duo ordines En Li Ma Mo Ox3 l. 110 in subtractione duo numeri] figurarum add. Fi2 Li Ma Mo Ox3 l. 162 vel] aliter add. En Fi22 Li Ma Mo Mu2 Ox3 Por su parte, Li contiene errores propios, como los siguientes: l. 14 10] om. Li l. 38 quandoque2] om. Li l. 90 sequens] cui debet fieri additio add. Li l. 153 figurarum] est necessarius add. Li l. 507/508 numeri – est] om. Li l. 559 de radicum extractione] om. Li La conclusión que podemos obtener de estos datos es muy insegura: α1 ζ α2 η Mu6 Li Mu4 434 Estudio estemático 2.4.5. Ox1 Este testimonio lo hemos visto en la subfamilia χ, donde concluíamos que probablemente sea uno de los modelos de S. También comparte una transposición con la subfamilia ο, pero esta falta es probablemente poligenética. Además, comparte con Va7 dos grandes lagunas que es improbable que se produzcan de manera espontánea: l. 58/59 quinto – millesies3] om. Ox1 Va7 l. 127/128 et deinde operare ut prius] om. Ox1 Va7 También encontramos algunos errores compartidos con Lo2 que sugieren que desciende de su rama, puesto que en algunos vemos que transmite las corruptelas de γ: l. 40 sola] om. E2 Lo2 Ox1 l. 196 scribatur digitus] scribatur digitus numerus Ox1, scribatur numerus Lo2 l. 323 figura sibi supraposita] sua superiori Lo2 Ox1 Va4 Z, sua superiori figura S l. 329 prima figura] prima Lo2 Ox1 P2 Va1 Va4 Z Presenta errores comunes con R1, de los que a veces participa S. Si en efecto S desciende de la rama de Ox1, la única posibilidad es que este ya contuviera las innovaciones de R1, de cuya rama descendería: l. 63 sciendum] est add. Ox1 R1 Va3 l. 64 competenter potest poni] potest poni competenter Ox1 R1 l. 129 reicietur] procedendum est Ox1 R1 S l. 382 multiplicetur] multiplica Ox1 R1 S Por último, Ox1 cuenta con bastantes errores separativos, que quizá S habría corregido con su otro modelo: l. 4 operativa] om. Ox1 l. 11 res una dicitur] una res dicitur Ox1 l. 16 articulos] positus id est add. Ox1 l. 35 nihil] per se add. Ox1 l. 68 consuetum] debitum Ox1 l. 156/157 a prima figura versus dextram] a dextram Ox1 l. 186/187 in omnibus sequentibus] in aliis remanentibus Ox1 l. 192 difficilior tamen erit doctrina et] difficilior doctrina est Ox1 l. 338 ubicumque] om. Ox1 l. 393/394 linearis alius superficialis] numeralis alius linearis Ox1 El stemma de las relaciones de Ox1 es el siguiente: α1 κ α2 R1 Lo2 Ox1 Va7 S 435 EL ALGORISMUS 2.4.6. Ox6 Ox6 es un códice que apenas hemos visto en errores comunes de las familias estudiadas: en el estudio estemático coincide con algunos manuscritos y/o subfamilias en leves omisiones o transposiciones potencialmente poligenéticas. Se trata a todas luces de un códice cuyas relaciones estemáticas sean lineales, a juzgar por los errores comunes con las siguientes subfamilias y manuscritos. En primer lugar, podemos vincularlo con la subfamilia ν a juzgar por los siguientes errores. El primero de ellos ya nos sugiere que el ejemplar estaría, como mínimo, colacionado, puesto que incluye in margine la variante de esta subfamilia frente a un posible modelo que no la contendría: l. 1 Omnia] dicente boecio in principio arismetice praem. Lo5 Ox5, quoniam dicitur a boecio in principio arismetice praem. Ox4, boetii in sua arismetica add. Ox6m l. 523 eo] triplo Lo5 Ox4 Ox5 Ox6 l. 475 inventi] om. Lo5 Ox4 Ox5 Ox6 l. 158 digitum] numerum Ox4 Ox6 Va5 De entre ellos, quizá el siguiente error (muy anómalo, por cierto, a tenor de los manuscritos que lo traen) nos indique que su relación con Ox4 (testimonio, a su vez, contaminado) es más estrecha que con el resto de códice de la subfamilia ν: l. 71/72 Additio est numeri vel numerorum ad numerum aggregatio, ut videatur summa excrescens] vel (sic add. Ox4) additio est duobus numeris (transp. post propositis Ox4) propositis tercium (tercii Ox4) invenire (inventio Ox4) qui precise continetur (contineat Ox4) utrumque add. N Ox4, unde addere numerum numero nichil aliud est quantum propositis (-us Ca) duobus numeris tertium (tertium om. Pa8) invenire qui precise contineat illos duos add. Pa8 Ca, vel additio est duobus numeris (sup. l.) propositis tertium invenire qui contineat in se illos duos numeros precise. si vis addere incipe a dextris eundo usque sinistram ut si ponas tales figuras 456 debes incepere a senario numero eundo versus quaternarium. notandum tamen quod duo debunt esse numeri inde in additione duo ordines figurarum (qui contineat – figurarum in marg.) add. Ox6 No obstante, los siguientes errores compartidos con la subfamilia ι podría apuntar a que fue de ahí de donde cogió tal innovación (o viceversa, que ι tomó de Ox6 la adición mencionada): l. 4 compendiosam] om. Ca Ox6 l. 308 par] om. Ca Ox6 Pa8 l. 318 ut] aut Ca Ox6 P2 Pa8 l. 344 erit] est Ca Lo2 Mu5 Ox6 l. 516 proxima] prima Ox6 Pa8 El hecho de que comparta ora errores con Ca, ora errores con Pa8 podría indicar que Ox6 es el gemelo de ambos. Asimismo, encontramos errores comunes a Ox6 y Va3 (códice contaminado): l. 83 prima2] figura add. Ox6 Va3, figura add. Pa1a l. 178 operandum est] est operandum Ox6 Va3 l. 184 maiori hoc est] maiori et hoc est Ox6 Va3 l. 559 extractione] subtractione Fr Ox6 Va3 Y quizá con Pa1: l. 447 et si alter alteri preponatur] om. Ox6 Pa1 436 Estudio estemático l. 486 et] quod add. Co Ox6 Pa1 l. 341/342 ductu numeri quotiens] numeri ductu quotiens Ox6 Pa1 l. 556 ternarios] ternarium Ox6 Pa1 Por su parte, transmite, entre otros, los siguientes errores separativos: l. 15 residuum] superfluum Ox6 l. 32 digitos] tales add. Ox6 l. 73 figurarum] figuraliter Ox6 l. 74 numerus addendus] numerus qui addendus est Ox6 l. 211 illorum] propositorum add. Ox6 l. 94/96 et – pars] om. Ox6 l. 344 exterius] ulterius Ox6 Como hemos podido observar, son múltiples las posibilidades que ofrece Ox6 en su relación con otros códices que, en ocasiones, están a su vez contaminados. Puesto que carecemos de datos que permitan arrojar luz a este respecto, más allá de postular que parece descender de ι, no es posible establecer otras relaciones estemáticas de cierta seguridad (lo mismo, como veremos, ocurrirá con Pa1). 2.4.7. P1 Como adelantábamos supra, P1 es un códice contaminado y parece tomar lecturas de δ y de α2. Contiene a su vez errores propios, como los siguientes: l. 6 vel ars2] pars id est P1 l. 7 interpretatur] interpretata P1 l. 22 aliis] singulariter add. P1 l. 69 numerum] numerorum P1 Además, parece que este testimonio podría tener relación con la subfamilia χ. Es difícil determinar con qué ejemplar o ejemplares concretos estaría relacionado, pues comparte errores prácticamente con todos sus integrantes de manera individual (E2, Pa6 e Y1; incluso una vez con S Y1): l. 162 exterius in tabula] in tabula exterius E2 P1 Va7 l. 171 si] sit add. E2 P1 l. 291 numeri P1s Pa6s, om. P1a Pa6a l. 500 igitur] om. Ci Lo5 Mu4 Ox4 Ox5 Va4 Y1 Z, enim P1 Pa6, autem W2 l. 550 aliquis] om. P1 Pa6 Y1 l. 214 appellationem] nominationem P1 Y1 l. 42 ille articulus] ille P1 Y1 I. 92 ut] sicut P1 S Y1 L. 472 simul addantur] addantur simul Li P1 Y1 El resultado sería el siguiente: 437 EL ALGORISMUS α1 α2 α3 δ P1 χ 2.4.8. Pa1 Pa1 es un códice que apenas comparte errores con las principales familias, aunque aparece esporádicamente en innovaciones puntuales de ciertas subfamilias. Sí lo hemos visto supra en Ox6, con quien comparte algunas innovaciones. En cuanto a la calidad de su texto, el siguiente error demuestra que se trata de un códice contaminado, pues transmite las lecturas de dos grupos de manusritos: l. 10 profusa] aggregata G Lu Pa4 Va2 Va7, profusa sive aggregata Va5, aggregata vel profusa Bu Pa1, vel aggregata add. Va8m De entre ellos, mientras que con Bu no tiene nada en común, podría estar relacionado con Va5: l. 322 numeri] om. Pa1 Va5 l. 513 cubice] om. Pa1 Va5 Cuenta con pequeñas faltas comunes a varios testimonios, siendo difícil desgranar con cuáles está emparentado y de qué tipo es esa relación. Los más importantes son los errores compartidos con μ2: l. 116 figura] prima G Pa1 Pa4 l. 218 est] om. G Pa1 Pa4 Va6 l. 454 si vero] numerus add. G Pa1 Pa4 Va92 Comparte errores también con ι y, dentro de la subfamilia, con Pa8; de esta relación sí podemos concluir que Va5 es descendiente de la rama de este último: l. 18 9 sunt species] species sunt novem Pa1 Pa8 l. 21 primo] om. Pa1 Pa8 l. 129 ulterius] om. Ca E1 Pa1 Pa8 l. 317 licet ultima inferioris aliquotiens] ultima aliquotiens licet Pa1, ultima inferioris aliquotiens licet Pa8 l. 553 in] om. Fi1 Mu2a Pa1 Pa8 W2 Con Ox7: l. 95 si excresat numerus compositus] si numerus compositus excrescat Ox7 Pa1 l. 97 sequentibus] subsequentibus Ox7 Pa1 l. 526 subtriplis] subtriplicis Ox7 Pa1 l. 532 subtriplis] subtriplicis Ox7 Pa1 Y con Lo2, de cuya rama parece descender: l. 128 Si autem figura a qua mutanda est unitas sit cyfra est] sit Lo2 Ox7 Pa1 sit] est Lo2 Pa1 l. 131 igitur] autem Ci Er Lo2 Pa1 Z 438 Estudio estemático l. 188 aut addis a dextris] a dextris aut addis Lo2 Pa1 l. 306 dividens sive divisor] divisor Li Lo2 Pa1 Z, dividens Va2 Va9 l. 327 suis] om. Lo2 Pa1 Z l. 352 residui] om. Er Fi2 Lo2 Pa1 Va4 Z l. 440 9] om. Lo2 Pa1 Por su parte, cuenta con numerosos errores propios, de los que aquí damos una muestra: l. 14 10 partes] partes decem Pa1 l. 15/16 compositus sive mixtus est qui constat ex digito et articulo] compositus est qui constat ex digito et articulo qui etiam mixtus appellatur Pa1 l. 42 denominatur] habet denominari sive denominatur Pa1 l. 149 additionis probatio] probatio additionis Pa1 l. 215 designatur] tenetur Pa1 l. 234/235 in articulum per secundam] om. Pa1 l. 279 donec perveniatur ad primam multiplicantis] om. Pa1 l. 318/320 ut – maior] om. Pa1 En este caso, como hemos visto, son múltiples las relaciones que presenta Pa1, como lo son las posibilidades que esto entraña. Por esta razón, más allá de concluir que probablemente descienda de las ramas de Pa8 y Lo2, su contaminación es tan profunda que no permite una representación estemática segura. 2.4.9. Pa3 Del manuscrito Pa3 no hemos encontrado errores comunes significativos con otro manuscrito o familia puesto que tan solo transmite las líneas iniciales del Algor. En ellas sí hemos encontrado algunos errores separativos, que confirman que Pa3 no está a la cabeza de ninguna familia: l. 15 constat] efficitur Pa3 l. 25/26 differentia, locus et limes] limes, differentia et locus Pa3 l. 30 via] om. Pa3 l. 35 significat] per se add. Pa3 l. 36/560 cyfris – cubicis] deest Pa3 deperditis foliis 2.4.10. R1 R1 lo hemos visto en el estudio estemático como descendiente de la subfamilia ξ. Dentro de los testimonios hipercontaminados, los hemos analizado supra junto con Fi1, con quien parece tener una estrecha relación, y con Ox1. Por otro lado, son varios los errores comunes a Lc Mi R1: l. 121 de minori] numero add. Lc Mi R1 l. 177 debet] debeat Lc Mi R1 Va1 l. 254 in ultimam] numeri add. Lc Mi R1 l. 325 quod non contingit] aliquam figuram add. Lc Mi R1 Además de estos, dos errores lo relacionan de manera más estrecha con Mi: 439 EL ALGORISMUS l. 135 debuit] debet Mi R1 l. 343 a prima] numeri add. Mi R1 Al compartir R1 errores comunes tanto con Lc Mi como con Mi en solitario, podríamos estar ante un descendiente de este último. El hecho de que Mi presente algunos errores propios no es incompatible con esto, puesto que R1está contaminado. También son varias las innovaciones comunes a R1 y Va6 (otro testimonio hipercontaminado, cfr. infra): l. 53 per tres figuras] tribus figuris R1 Va6 l. 214 nominalem] nominaliter R1 Va6 l. 301 intercidatur] intendatur R1 Va6 Los errores compartidos por R1 Va6 son de una consistencia tal que podemos postular algún tipo de parentesco entre estos dos testimonios. En este sentido, hemos encontrado errores comunes a R1, Va6 y ξ: l. 123 debuit] debet Co E2 Lc Lu Mi Ox2 Ox7 Pa7 R1 Va6 l. 134 est] quoniam add. Li Lu Mo Ox3 Ox7 R1 Va6 l. 170 intacta] om. Ci Lo5 Ox2 Pa7 R1 Va6 l. 358 aggregatio] congregatio Lo5 Ox4 Ox5 Pa7 Ox7 R1 Va6 Dadas las circunstancias, podríamos estar ante dos descendientes de ξ que a su vez se relacionaron entre sí, que sería plausible si se hubieran movido por los mismos círculos. Otra opción sería pensar que la subfamilia ξ habría contaminado con uno de ellos que a su vez habría influido de alguna manera el otro, como el esquema que presentamos a continuación (que también funcionaría si en el lugar de R1 pusiéramos Va6 y viceversa): α1 R1 ξ Va6 Las relaciones de R1, por tanto, serían las siguientes: α1 κ ξ κ1 Mi Va6 R1 Fi1 Ox1 2.4.11. Va2 Como veíamos supra en la subfamilia ξ, Va2 es un testimonio contaminado que tiene rasgos procedentes de varias subfamilias a la vez. Allí veíamos que quizá fuera un descendiente de ξ o de alguna de sus ramas, como ξ1 o el códice Lu. Además, hemos comentado ya su relación con Ci, otro códice hipercontaminado. Aquí analizaremos su relación con E2 y Va5. 440 Estudio estemático En el estudio de la tradición veíamos que Va5 es una conflatio de γ y μ, por lo que de nuevo estamos ante un ejemplar contaminado. Los errores comunes detectados entre Va2 y Va5 son los siguientes: l. 470 vel in quantum vicinus potest] vel in quantum vicinus poterit Va2 Va5 l. 527 etc.] postea sine subtriplis ductus in productum deleat totum suprapositum respectu triplatorum deinde ductus in se cubice deleat totum suprapositum (om. Va2) respectu sui vel in quandum vicinus poterit Va2 Va5 l. 187 inchoamus] om. Va2 Va5 Tanto Va2 (cfr. supra en Ci) como Va5 cuentan con errores propios (cfr. supra, subfamilia γ). En principio, una situación tal nos impediría pensar en descripti, pero cuando la contaminación está presente, este mecanismo no se puede aplicar de forma automática. Puesto que Va5 no transmite ninguno de los errores comunes a ξ y Va2, podríamos postular que Va5 fue modelo de Va2. No obstante, el hecho de que Va2 cuente con poquísimos errores individuales hace posible que sea modelo de Va5, aunque en este caso deberíamos suponer que Va5 habría corregido todos los errores comunes a ξ. También es posible que exista un modelo común a Va2 Va5 que aunaría todas las innovaciones comunes a tales testimonios. Posteriormente, cada uno de ellos individualmente habría contaminado con otros modelos y habría añadido sus propios errores. Tal como hemos expuesto, Ci podría ser un descendiente de la rama de Va2. Por su parte, Va2 y Va5 son dos manuscritos relacionados, que podrían compartir algún antecesor, pero también podría ser uno el descriptus del otro. ξ Va2 Va5 Ci 2.4.12. Va6 Va6 lo veíamos en la subfamilia ι, donde llegábamos a la conclusión de que debía ser modelo de Ca. También lo mencionamos en la subfamilia ν1, con la que comparte algunos errores, como los siguientes: l. 328 totum] numerus add. Lo5 Ox5 Va6 l. 391 numerus] om. Lo5 Ox5 Va6 l. 479 digiti1] om. Lo5 Ox5 Va6 l. 514 respectu sui] om. Lo5 Ox5 Va6 Puesto que no hemos encontrado errores de suficiente calidad que nos permitan emparentar Va6 con Lo5 o con Ox5 de manera individual, podríamos estar ante una relación generada directamente con el hiparquetipo ν1. Además, como no encontramos ningún error que compartan la subfamilia ν al completo y Va6, podría ser que el copista de ν1 cotejara este manuscrito para escribir su texto o bien que ambos desciendan de un mismo modelo. Por otro lado, ya hemos advertido en Ci que quizá Va6 sea su modelo, aunque tiene muchos errores propios que Ci debería haber corregido con otro/s códice/s: l. 20/21 et1 – numeratione] om. va6 l. 39 fuit] om. Va6 441 EL ALGORISMUS l. 41 sibi appropriata] om. Va6 l. 67 scribimus] scribi debet Va6 l. 69 numerum] numerum nominando Va6 l. 139 subtrahe] subtrahes Va6 l. 187 sequentibus] om. Va6 l. 251 differentias] figuras Va6 Por último, en R1 (cfr. supra) ya hemos examinado su vinculación con ξ. El resultado sería el siguiente: α1 x? ξ ν1 Va6 R1 Lo5 Ca Ci 2.5. Paratextos Mientras que en la Spher. y el Compot. son abundantes los gráficos e ilustraciones que acompañan a menudo el texto, en el Algor. tan solo encontramos un esquema y una tabla cuya aparición es recurrente en los manuscritos. Su presencia, como veremos, a veces es muestra de relaciones entre manuscritos en tanto en cuanto los transmiten códices que se demuestran emparentados en función de los errores conjuntivos de su texto. En otras ocasiones, en cambio, la aparición de tales figuras son fruto de una tradición paralela y distinta respecto al texto. Ambos paratextos los encontramos en la introducción del capítulo sobre las raíces cuadradas y cúbicas, lo que es lógico siendo este el capítulo más complejo a nivel matemático (cfr. supra en Contenidos). El primero de estos paratextos es un esquema que refleja el unicum medium proportionale que se sitúa entre dos números cuadrados consecutivos y, por otro lado, el minus medium y el maius medium que se sitúan entre dos números cúbicos consecutivos. Se corresponde con es siguiente pasaje de la obra (l. 432/438) (la explicación de este concepto se puede consultar supra en el apartado de contenidos, capítulo de las raíces): Notandum etiam quod inter quoslibet duos quadratos proximos est unicum medium proportionale, quod provenit ex ductu radicis unius quadrati in radicem alterius. Inter duos cubicos quoslibet proximos est duplex medium proportionale, scilicet minus medium et maius. Minus medium provenit ex ductu radicis maioris cubici in quadratum minoris; maius si ducatur radix minoris cubici in quadratum maioris740. 740 «Cabe notar que entre dos cuadrados cualesquiera consecutivos hay un único medio proporcional, que proviene de la acción de multiplicar la raíz de uno de los cuadrados por la raíz del otro. Entre dos cubos cualesquiera consecutivos el medio proporcional es doble, es decir, el medio menor y el mayor. El medio menor proviene de la acción de multiplicar la raíz del cúbico mayor por el cuadrado del menor; el mayor, si se multiplica la raíz del menor cúbico por el cuadrado del mayor». 442 Estudio estemático Lámina 4: Esquema de los múltiplos y raíces en el ms. London, British Library, Harley 3647, f. 20v (Lo3) El segundo paratexto es una tabla que explica los limites del sistema posicional. Se corresponde con el pasaje de las l. 56/60: Notandum etiam quod quelibet figura primo loco posita significat suum digitum, secundo decies suum digitum, tertio centies, quarto millesies, quinto decies millesies, sexto centies millesies, septimo millesies millesies, et sic in infinitum multiplicando per hec tria: decem, centum et mille741. Dicho pasaje se repite y amplía en el capítulo sobre las raíces, que es donde se ha incluido esta tabla a modo de complemento gráfico (l. 439/445): Cum igitur ultra summam numerorum solidorum in arte praesenti non fiat processus, tantum 9 proprie numerorum limites distinguuntur. Est enim limes numerorum eiusdem nature extremis contentorum terminis continua ordinatio, unde primus limes est 9 digitorum continua progressio; secundus vero 9 articulorum principalium; tertius centenariorum; quartus millenariorum. Tres etiam resultant in compositis per digitorum appositionem super quemcumque articulorum predictorum trium, et si alter alteri preponatur. Sed per finalis termini rationem ex millenarii receptione supra se quocumque alio precedente, semel per modum quadratorum aut bis per modum solidorum resultat penultimus et limes ultimus742. 741 «También es reseñable que cualquier figura puesta en la primera posición significa su propio dígito; en la segunda, diez veces su dígito; en la tercera, cien; en la cuarta, mil; en la quinta, diez mil; en la sexta, cien mil; en la séptima, mil veces mil, y así hasta el infinito multiplicando por estos tres: 10, 100, 1.000». 742 «Además, como en este arte presente no se realizan procedimientos más allá de la cantidad de los números sólidos, se distinguen en total 9 límites para cada uno de números por separado. En efecto, el límite es la ordenación continua de los números contenidos en márgenes acotados de una misma naturaleza, de donde el primer límite es la continua progresión de los 9 dígitos; el segundo, en cambio, de los nueve artículos principales; el tercero de las centenas; el cuarto de los millares. Son tres los límites que resultan de acuerdo con la aposición de dígitos en los compuestos sobre cualquiera de los tres artículos antedichos, también si algún otro a otro se antepusiera. Pero según la razón del término final, desde la repetición de los millares sobre sí mismos, precediéndoles cualquier otro número, bien una sola vez a la manera de los cuadrados, bien dos veces a la manera de los sólidos, resulta también penúltimo el último límite». 443 EL ALGORISMUS Lámina 5: Tabla de los limites en el ms. London, British Library, Harley 3647, f. 21r (Lo3)743 2.5.1. Relaciones entre los códices con paratextos Como decíamos, no todos los manuscritos que hemos empleado para realizar el estudio de la tradición del Algor. (cfr. infra) transmiten los paratextos citados. Algunos, además, tan solo transmiten uno de los dos paratextos, e incluso encontramos ejemplares en los que tales figuras han sido añadidas después que el texto principal. En la siguiente tabla incluimos los códices que contienen paratextos indicando en cada caso si transmiten ambos paratextos, solo uno y si son de una mano posterior (x2): Ba Es Fz G I Lc Li Lo3 Mo Mu1 Mu2 Mu4 N Ox3 Pa2 Pa5 S Va2 Va4 Va10 Y2 Esquema x x x2 x x x x x x x2 x x x x x x x x x x Tabla x x x x x x x x x x x2 Tabla 12: Manuscritos con paratextos Como se puede observar, tan solo 21 manuscritos de los 80 estudiados transmiten paratextos, siendo una minoría en la tradición de la obra. De estos, 10 contienen tanto el esquema como la tabla; otros 10 tan solo contienen el esquema, de los cuales al menos dos son adiciones de una mano posterior, y, por último Va4 es el único que transmite solo la tabla, que es además un añadido de la misma mano que introduce algunas de las glosas que contiene. De este último, vemos que incluso dicha tabla está inconclusa y que ni siquiera parece haberse entendido bien el procedimiento que se sigue, puesto que bajo el 1.000 incluye el 11 y después el 101. Podría deberse a que el glosador de este ejemplar intentara plasmar en una tabla los conocimientos explicados arriba de forma independiente al resto de la tradición de tal paratexto sin mucho éxito: 743 Ambas imágenes del ms. Harley 3647 están extraídas del visualizador de manuscritos on-line de libre acceso de la British Library BL Dig. (cons. 05/05/2023). 444 https://www.bl.uk/manuscripts/Viewer.aspx?ref=harley_ms_3647_f002v Estudio estemático Lámina 6: Tabla en el ms. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1400, f. 7v (Va4) Esto nos sugiere la posibilidad de que algunas de estas tablas y/o esquemas se realizaran de manera espontánea; en cuyo caso, dado este surgimiento poligenético, no tienen valor conjuntivo. Este podría ser el caso de Lc, un manuscrito inglés que presenta un gráfico muy similar a aquellos que hemos encontrado en otros ejemplares, pero una tabla completamente distinta a la habitual, que podría ser una reelaboración de aquella o un apoyo gráfico espontáneo que el copista quiso incluir como material complementario de estudio: Lámina 7: Tabla en el ms. Lincolnshire, Lincoln Cathedral Chapter Library, 148 (B.1.8), f. 15r (Lc) Lo mismo ocurre con el elaboradísimo esquema del manuscrito Mu2, copiado en Praga. Aquí parece evidente que tal figura es una reelaboración del esquema habitual, que además aumenta de tamaño y lo incluye en el texto: 445 EL ALGORISMUS Lámina 8: Esquema en el ms. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 17703, f. 8v (Mu2) En ocasiones, estos paratextos confirman relaciones estemáticas. Es el caso de Va10 e Y2, donde el segundo es descriptus del primero (cfr. infra en el estudio estemático del Algor. y en Apéndice I, estudio del Quadr.). Estos manuscritos tan solo transmiten el esquema, pero cuentan con la particularidad de haber insertado un segundo esquema que presenta las mismas relaciones numéricas partiendo, en lugar del 2 y del 3, del 3 y del 4. Además, transmiten la misma explicación en glosa de tales esquemas, lo que hemos encontrado exclusivamente en estos códices744: Lámina 9: Esquema en el ms. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 5335, f. 7r (Va10) Lámina 10: Esquema en el ms. New Haven, Yale University, Medical Historical Library, 11 Vault, f. 73r (Y2) 744 Disponibles en sus resproducciones on-line en DVL (cons. 05/05/2023) y Findit (cons. 05/05/2023) respectivamente. 446 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Vat.lat.5335 https://findit.library.yale.edu/bookreader/BookReaderDemo/index.html?oid=16960291#page/149/mode/1up Estudio estemático Otro ejemplo es la la subfamilia ρ. En ella, conformada a su vez por las subfamilias θ y λ (códices Ba Es D1 Fz N y Ba Be I Lo1 Lo3 Pa5 Pa6 respectivamente, donde Ba está contaminado), coincide parcialmente la transmisión de paratextos y texto de la obra. En la subfamilia θ, los códices Ba Es Fz N contienen paratextos: Ba Fz N solo el esquema, de los cuales en Fz parece ser una adición posterior, y en Es el esquema y la tabla. En la subfamilia λ, encontramos tanto el esquema como la tabla en los testimonios I Lo3 Pa5 y tan solo el esquema en Ba. La inclusión de los paratextos en estos testimonios y, especialmente, el gran parecido que encontramos en su diseño, son una prueba más del parentesco existente entre estos códices y permite suponer su descendencia desde un modelo ya ilustrado. Un ejemplo de dicho parecido lo podemos ver comparando las Láminas 3 y 4 extraídas del ms. Lo3 (cfr. supra) y las que aquí presentamos el ms. Pa5: Lámina 11: Esquema en el ms. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7298, f. 19r (Pa5) Lámina 12: Tabla en el ms. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7298, f. 19r (Pa5) Es más, en el estudio de la tradición (cfr. infra) se evidenciará la relación entre la subfamilia λ y la subfamilia μ2 (compuesta por los mss. G y Pa4), donde llegaremos a la conclusión de que λ recibió la influencia de μ2 y concretamente de la rama de G. Al examinar los paratextos de G, vemos que efectivamente coinciden con los que encontrábamos en algunos miembros de la subfamilia λ, lo que es un indicador más de esta contaminación: 447 EL ALGORISMUS Lámina 13: Esquema en el ms. Princeton, University Library, Robert Garret Collection, 99, f. 122r (G) Lámina 14: Tabla en el ms. Princeton, University Library, Robert Garret Collection, 99, f. 123r (G) El caso de los descendientes de ρ es un ejemplo de cómo los paratextos se transmiten en los manuscritos de una misma familia. Tras analizar los testimonios citados, podemos llegar a la conclusión de que ρ contuviera, probablemente, tales paratextos, que habría transmitido a su vez, como mínimo, a su descendiente θ. El hiparquetipo λ, por su parte, podría haber heredado los paratextos de ρ, como su gemelo, o de su otro modelo, G, un manuscrito que sin duda se movía en el mismo ambiente que ρ (tanto a este hiparquetipo como a sus descendientes y a G se les puede atribuir como lugar de copia la ciudad de París, donde se compuso la obra). Sin embargo, como hemos visto, no todos los descendientes de θ ni de λ contienen tales figuras. Concluimos, por lo tanto, que, mientras que la presencia de los paratextos podría tener cierto valor conjuntivo en la medida en la que algunas veces viajan de forma conjunta con la tradición del texto, no podemos saber nada de los códices que no presentan tales figuras. En este sentido, un copista pudo tener delante un manuscrito con estos diseños en los márgenes y decidir no copiarlos. Por esta razón, la ausencia de paratextos no es una prueba de parentesco ni de ausencia de este y, aunque su presencia sí podría serlo, encontramos casos como el que presentaremos a continuación que impiden aplicar este mecanismo de manera sistemática, haciendo que no podamos considerar 448 Estudio estemático los paratextos como una herramienta fiable de filiación para establecer relaciones estemáticas seguras. Exponemos, pues, ahora el caso al que hemos aludido en el que la presencia de paratextos en un ejemplar es fruto de una tradición paralela e independiente respecto al texto transmitido. Dentro de la subfamilia λ, los códices Be e I están estrechamente relacionados entre sí. Tanto es así que infra (cfr. el desarrollo de la subfamilia λ en el estudio de la tradición del Algor.) demostraremos que I es un codex descriptus respecto a Be. En esta ocasión, I contiene tanto la tabla como el esquema, mientras que en su apógrafo, Be, ni se han incluido estas figuras ni se ha dejado un espacio destinado a ellas. No sólo va a ocurrir en el Algor., sino que en la Spher. y el Compot. se da el mismo escenario: I se integra dentro de la tradición pictórica de estas obras a partir de un modelo que no pudo ser Be, que sí es su apógrafo en lo tocante a los textos. Por escenarios como este, tomar los paratextos como prueba de relación entre manuscritos es resbaladizo en tanto en cuanto tenemos pruebas, como esta, de que a veces tales figuras no viajan junto al texto, sino con una tradición propia y paralela respecto a este. 2.5.2. Otros paratextos Finalmente, nos gustaría mencionar brevemente la existencia de otros paratextos que nos encontramos en las obras de Sacrobosco con una intencionalidad puramente ornamental. No referimos a las iniciales miniadas, los motivos vegetales que a menudo acompañan a las rúbricas que introducen los capítulos u otras figuras artísticas cuya única finalidad es embellecer el códice como objeto físico y aumentar su valor. En cuanto a las iniciales, nos encontramos con múltiples formas decorativas. Desde los manuscritos de menor valor con una simple O (inicial que abre el tratado) en rojo o azul, hasta las iniciales ricamente diseñadas con miniaturas que incluyen dorados y una gran profusión de color. De este último tipo son las que nos encontramos en los códices Ba Lo3 Lo4 N P2 R2, todas ellas representaciones de Sacrobosco745. En ellas, el autor aparece como docente con sus alumnos (Ba Lo3 R2 P2), escribiendo guarismos indoarábigos (Lo4) o sedente en una posición explicativa (N)746: Lámina 15: Inicial miniada en el ms. London, British Library, Harley 3647, f. 17r (Lo3) Lámina 16: Inicial miniada en el ms. London, British Library, Harley 4350, f. 15r (Lo4) Lámina 17: Inicial miniada en el ms. New York, Public Library, Manuscripts and Archives Division, 69, f. 115r (N) 745 Muy elaborada es también la enorme inicial de Mu2 (f. 1v), pero difiere respecto al respo puesto que no aparece en su interior Sacrobosco, sino personajes famosos de la Praga de la época. Estos son, tal como se dice en la rúbrica que acompaña la imagen en forma de cartela sostenida por un ángel (f. 1v): presul Adalbertus, dux Wencezlaus, abbas Procopius. 746 Las miniaturas pueden consultarse en BL Cat. (cons. 08/05/2023), BL Cat. (cons. 08/05/2023) y NYPL (cons. 08/05/2023). 449 https://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2494#215334 https://jordanus.badw.de/jordanus/ms/2494#215334 https://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/ILLUMIN.ASP?Size=mid&IllID=21702 https://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/ILLUMIN.ASP?Size=mid&IllID=32846 https://digitalcollections.nypl.org/items/152af850-f054-0138-8739-0242ac110003#/?uuid=188b5520-f054-0138-80ee-0242ac110003 EL ALGORISMUS Su aparición en los manuscritos, aunque en algún caso podría deberse a una relación entre los códices que las contienen, más bien nos sugieren motivos que los iluminadores de los talleres librarios incluían en determinados libros, probablemente previo encargo, para aumentar su valor. Por lo tanto, aunque a menudo pueden orientarnos respecto a dónde se realizó la miniatura por el estilo del dibujo, difícilmente podríamos elaborar hipótesis estemáticas a partir de ellos. Es más, en lo concerniente a su lugar de copia, excepto R2 que se compuso en los Países Bajos (y cuyo dibujo se aprecia que es ligeramente distinto a los otros códices), el resto de manuscritos son parisinos o, al menos, franceses. Los diseños que encontramos en dichas miniaturas coinciden en la mayoría de los casos con el estilo del París del s. XIII descrito por Branner (1977). Ligados con este estilo pictórico parisino nos encontramos con el curioso caso de los códices Ko y Ba. Ba ya lo hemos mencionado antes como uno de los códices que presentaban la miniatura de Sacrobosco en la inicial (además de contener el esquema de los paratextos comentados supra), mientras que Ko decora la O que abre el tratado con una suerte de figuras geométricas y zoomorfas. La particularidad que los une es el diseño inferior de la primera página del tratado, que muestra un perro corriendo tras una liebre (en Ko tan solo se intuye este segundo animal, cuyo dibujo fue recortado en una fecha incierta): Lámina 18: F. 1r del ms. København, Royal Library, NKS 275 (Ko) Lámina 19: F. 1r del ms. Basel, Universitäts- bibliothek, O II 7 (Ba) Más allá de estas decoraciones, conviene analizar la relación textual entre Ba y Ko. Sorprende que, al menos en el Algor., estos dos códices no parecen compartir ningún antecesor común ni elementos que permitan emparentarlos de alguna manera. Así las cosas, a pesar de tal dibujo, el texto que presentan es totalmente distinto entre sí. Sin embargo, los dibujos difícilmente podrían ser producto de la casualidad, mucho menos cuando nada tienen que ver con el contenido del tratado que decoran. Dicho esto, la posibilidad que se nos abre es doble: o bien un ejemplar ha tomado del otro este motivo pictórico, pero no su texto, o bien ambos se decoraron tras la copia de su texto por el mismo taller, aunque desde luego no por la misma mano, pues las diferencias son muy evidentes. 450 Estudio estemático La idea de que esto pertenece al estilo de una determinada escuela o tendencia pictórica concuerda con los dibujos similares encontrados en otros manuscritos, como los de N. También se aprecian grandes parecidos en otros códices que nada tienen que ver con las obras de Sacrobosco, como en Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 3947 o, de la misma biblioteca, los manuscritos Lat. 3951 y Lat. 3950A; incluso el mismo motivo del galgo persiguiendo la liebre está en München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 28160, f. 2r, cuya mano es muy parecida (si no la misma) que la que encontramos en Ba: Lámina 20: Diseño en el margen inferior del ms. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 28160, f. 2r747 Todos estos manuscritos citados datan de la segunda mitad del s. XIII o principios del XIV y su lugar de copia se sitúa en Francia o en zonas cercanas a Pirineos. Podemos constatar, por tanto, la presencia de una tendencia pictórica con elementos comunes en la Francia de entre finales del s. XIII y principios del s. XIV. No obstante, volviendo a Ba y Ko, aunque sería posible que ambos hubieran sido decorados en el mismo círculo de manera independiente a su texto, hay elementos que nos hacen pensar en una contaminación. Ko, por una parte, es uniforme en cuanto a su decoración y sus elementos pictóricos: de la inicial iluminada con motivos vegetales y animales sale esa línea descendente enmarcando el texto en su lado izquierdo que acaba en la rama donde aparecen el galgo y la liebre. Este mismo motivo lo encontramos en los diseños que acompañan el inicio de la Spher. (11r) y el Compot. (31r), donde se repite este modelo con otros animales en su parte inferior. Por otra parte, Ba tan solo presenta la miniatura en la inicial del Algor. con mucho dorado en su interior, en un estilo que en nada se parece a Ko. Ajena a esta inicial se integra el motivo de la rama descendente con figuras animales y vegetales, de una mano muy similar al ms. de Múnich citado supra (Clm 28160) que data del s. XIV. Esto nos hace pensar que esta decoración de Ba se realizó después de que se hubiera hecho la miniatura de la inicial, una suerte de añadido que sumaría valor al códice. Así las cosas, encontramos de nuevo aquí un paratexto que viaja de forma independiente al texto, quizá incluido a partir del manuscrito Ko por una mano posterior748. Además de estos elementos más llamativos, las filigranas y las decoraciones en azul y rojo de determinadas letras y títulos son recurrentes en los manuscritos estudiados. A menudo, su estudio detallado pueden situar el códice en una u otra zona geográfica, siendo de gran ayuda para su ubicación y datación. Estudios de este estilo pueden leerse en Scott-Fleming (1989), quien trata este tipo de filigranas en códices ingleses principalmente, y en Stirnemann (1990, 58-73), que hace lo propio con las filigranas del de París. 747 Se puede consultar la digitalización del manuscrito en https://www.bavarikon.de/object/bav:SBN-HSS-00000BSB00105795?cq=&p=7&lang=en (cons. 08/05/2023). 748 Un ejemplo de paratextos que se han incluido en un códice a partir de un modelo distinto del que se ha tomado el texto lo encontramos en el trabajo de Guglielmetti (2016, 341-68), quien ofrece una muestra de este tipo de contaminación «pictórica» en la Navigatio Sancti Brendani. 451 https://www.bavarikon.de/object/bav:SBN-HSS-00000BSB00105795?cq=&p=7&lang=en 3. Conclusión y stemmata codicum Como conclusión de la tradición estudiada presentamos una tradición de cuya cúspide descienden cinco ramas: κ, ζ, α1, α2, α3. El stemma codicum general y los stemmata individuales de cada una de las familias son los siguientes: 3.1. Stemma codicum general: familias y primeras ramas O κ ζ α1 α2 α3 η π χ ι κ1 W1 Mu3 δ ρ γ Va10 β Mu5 Va8 Ko ε 3.2. Stemmata de las familias κ y ζ O κ ζ α3 η π Ma κ1 η1 Fi2 Mu2 T W1 En α1 Lc Mi Mo Ox3 α2 δ Ko β ε ε1 Va1 Lo4 ε2 H R2 452 Estudio estemático 3.3. Stemma de la familia α1 O κ ζ α2 α1 α3 δ Ko *Co *τ Ox2 γ Wo Mu1 E2 Mu5 μ μ2 Mu3 Va5 μ1 Va3 G Pa4 ν ξ o Er Pa7 ν1 ξ1 P2 Lo5 Ox7 Mu4 Va9 Ox5 Lu ρ *Va92 *Ox4 Mu6 θ λ D1 Fz Es λ1 Ba *N Be λ2 χ I Lo3 *λ3 *Va7 Bu Lo1 Pa5 Pa6 453 EL ALGORISMUS 3.4. Stemmata de la familias α2 y α3 O κ ζ α2 α3 ε B ι Va8 α1 Mu5 Va10 Pa8 Ca β Va1 Pa2 W2 Y2 ρ *E δ χ Ox1 λ *τ χ1 S μ E2 Pa6 μ1 γ o ν γ1 Y1 Mu4 Va5 γ2 Lo2 Z Er Va4 *Fr 454 Estudio estemático 3.5. Sinopsis: siglas y principales relaciones codicológicas En la siguiente tabla presentamos una sinopsis de todos los códices que hemos manejado en el estudio de la tradición textual por orden alfabético y las familias (y subfamilias) a las que pertenecen o con las que se relacionan. Con ello queremos exponer de forma gráfica las conclusiones estemáticas alcanzadas tras el análisis de la tradición. SIGLA CÓDICE SUBFAMILIA(S) FAMILIA(S) B Bamberg, Staatsbibliothek Bamberg, Astr. 1 (HJ.V.1) - α2 Ba Basel, Universitätsbibliothek, O.II.7 θ < ρ λ < ρ α1 Be Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 2º 610 λ < ρ α1 Bu Budapest, Országos Széchényi Könyvtár, Lat. 39 δ α1 Ca Cambrai, Médiathèque municipale, 931 (830) ι α3 Ci London, City University, s.n. (hipercontaminado) α1 Co Colmar, Bibliothèque municipale, 365 (414) δ α1 D1 Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2661 θ < ρ α1 E Madrid, Biblioteca Nacional de España, 8918 β α2 E1 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 12º 19 (ff. 90r- 99r) (hipercontaminado) α1, α2, α3 E2 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 12º 19 (ff. 148r- 155v) *τ < δ χ α1 α3 En London, Institution of Electrical Engineers, Thomson Collection 4 η ζ Er Erlangen, Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg, 436 (Irm. 378) ν < μ1 < μ < δ γ α1 α2 Es El Escorial, Real Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial, O.II.10 θ < ρ α1 Fi1 Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Plut. 29.15 (hipercontaminado) α1, α2, κ Fi2 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Palat. 639 π ζ Fr Frankfurt am Main, Universitätsbibliothek, Carm. 19 γ α2 Fz Cambridge, Fitzwilliam Museum, McClean 166 θ < ρ α1 G Princeton, University Library, Robert Garret Collection, 99 μ2 < μ < δ α1 H Brugge, Openbare Bibliotheek, 523 ε κ I Cambridge, University Library, Ii.3.3 (Be) < λ < ρ α1 Ko København, Det Kongelige Bibliotek, NKS 275ª kvart - κ Lc Lincolnshire, Lincoln Cathedral Chapter Library, 148 (B.1.8) κ1 κ Li Lilienfeld, Stiftsbibliothek, 144 (hipercontaminado) α1, α2, ζ Lo1 London, British Library, Harley 3735 λ < ρ α1 455 EL ALGORISMUS Lo2 London, British Library, Harley 531 γ α2 Lo3 London, British Library, Harley 3647 λ < ρ α1 Lo4 London, British Library, Harley 4350 ε κ Lo5 London, British Library, Add. 27589 ν < μ1 < μ < δ α1 Lu Luzern, Zentral- und Hochschulbibliothek, P 19 4º ξ < μ1 < μ < δ α1 Ma Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. VIII.1 (3044) η ζ Mi Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, H 75 sup. κ1 κ Mo Montpellier, Bibliothèque Interuniversitaire, Section de Médecine H 323 η ζ Mu1 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 10273 *τ < δ α1 Mu2 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 17703 π ζ Mu3 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 28217 Mu4 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 353 o < μ1 < μ < δ γ α1 α2 Mu5 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 3843 - α2 Mu6 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14770 ξ < μ1 < μ < δ o < μ1 < μ < δ α1 N New York, Public Library, Manuscripts and Archives Division, 69 θ < ρ α1 Ox1 Oxford, Bodleian Library, Ashmole 342 (hipercontaminado) α1, α2, κ Ox2 Oxford, Bodleian Library, Bodley 26 δ α1 Ox3 Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 161 η ζ Ox4 Oxford, Bodleian Library, Laud. Misc. 644 ν < μ1 < μ < δ α1 Ox5 Oxford, Corpus Christi College, 293B ν < μ1 < μ < δ α1 Ox6 Oxford, Corpus Christi College, 41 (hipercontaminado) - Ox7 Oxford, Merton College, 261 ξ < μ1 < μ < δ α1 P1 Pennsylvania, University Library, Rare Books and Manuscripts, LJS 26 (hipercontaminado) α1, α2, α3 P2 Pennsylvania, University Library, Rare Books and Manuscripts, LJS 216 o < μ1 < μ < δ α1 Pa1 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7215 (hipercontaminado) - Pa2 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7475 β α2 Pa3 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 11267 (inclasificable) - Pa4 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7195 μ2 < μ < δ α1 Pa5 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7298 λ < ρ α1 Pa6 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7421 λ < ρ χ α1 α3 Pa7 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14926 ξ < μ1 < μ < δ α1 456 Estudio estemático Pa8 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15121 ι α3 R1 Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 2910- 2920 (ff. 2ra-17va) (hipercontaminado) α1, κ R2 Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 2910- 2920 (ff. 18r-27v) ε κ S Paris, Bibliothèque Sainte-Geneviève, 1043 χ α3 T Cambridge, Trinity College, O.2.45 π ζ Va1 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Urb. Lat. 1428 β ε α2 κ Va2 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1414 (hipercontaminado) α1 Va3 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3127 μ < δ - α1 Va4 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1400 γ α2 Va5 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 309 μ < δ γ α1 α2 Va6 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 300 (hipercontaminado) α1 Va7 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1356 λ < ρ α1 Va8 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3114 - α2 Va9 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4385 o < μ1 < μ < δ α1 Va92 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4385 (altera manu) ξ < μ1 < μ < δ α1 Va10 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 5335 - α2 W1 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 2445 - κ W2 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 588 β α2 Wo Worcester, Cathedral and Chapter Library, Q 53 *τ < δ α1 Y1 New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 556 χ α3 Y2 New Haven, Yale University, Medical Historical Library, Manuscript 11 Vault (Va10) α2 Z Leipzig, Universitätsbibliothek, 1486 γ α2 457 Ediciones anteriores 1. La primera tradición impresa (siglos XV-XVI) La masiva tradición textual del Algor. no solo la encontramos en los manuscritos. Muy al contrario, el nacimiento de la imprenta trajo consigo la posibilidad de estampar múltiples copias de la obra en menos tiempo. Así las cosas, la transmisión del Algor. desde finales del s. XV en adelante será doble: por un lado, lo encontramos en los manuscritos que se siguen copiando, aunque cada vez en un número menor; por otro lado, son 21 las ediciones impresas que hemos localizado con este tratado en su interior. Aunque contamos con obras como las de D.E. Smith (1908), Riccardi (1894), Curtze (1897) y Benedict (1916) que citan algunas ediciones del Algor., hasta la fecha no hay estudios completos que listen todas las ediciones existentes ni mucho menos que analicen su texto. Por esta razón, hemos considerado oportuno suplir esta carencia con un elenco de ediciones de la obra al que seguirá un breve estudio sobre las relaciones existentes entre algunas de ellas. 1.1. Descripción de las ediciones A continuación, mostramos un listado de las primeras ediciones impresas de la obra y una breve descripción de cada una de ellas. En ella incluimos el título que consta en la edición (respetando sus usos en las mayúsculas), número de folios y medidas, en qué páginas o folios se encuentra el Algor., otras obras que conforman la edición en caso de que las hubiera y la bibliografía con la referencia de las bases de datos GW, ISTC y USTC. 1. Firenze, Francesco Bonaccorsi, ca. 1486-90 De arte numerandi liber incipit feliciter. 8 ff., in quarto749. Algor.: ff. 1r-8v. GW M14567 (cons. 07/09/2023); ISTC ij00399580 (cons. 07/09/2023); USTC 993989 (cons. 07/09/2023). 2. Strassbourg, Johann Prüss, 14 de noviembre de 1488. Compotus manualis magistri Aniani metricus cum commento et algorismus. 53 + II ff., in quarto (195 × 139 mm)750. Algor.: ff. 45r-53r. Antes del Algor. la edición transmite el Computus del maestro Aniano con su comentario. En las últimas páginas de la edición, aunque no viene explicitado en el título, se incluye una perutilis ac subtilis algorismi practica, que es un resumen de los preceptos explicados en el 749 Solo se conoce actualmente un ejemplar: London, British Library, IA.27647 (reproducción online consultable en http://access.bl.uk/item/viewer/ark:/81055/vdc_1001 08174104.0x000001, cons.: 28/07/2023). 750 Esta edición cuenta con 52 ejemplares conservados que se citan en GW 01951. Mencionamos aquí el ejemplar Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, 171.7 Quod. (5) por tener una reproducción que se puede consultar online en Wolfenbüttel Cat. (cons. 07/09/2023). 458 https://www.gesamtkatalogderwiegendrucke.de/docs/M14567.htm https://data.cerl.org/istc/ij00399580 https://www.ustc.ac.uk/editions/993989 https://www.gesamtkatalogderwiegendrucke.de/docs/M14567.htm https://data.cerl.org/istc/ij00399580 https://www.ustc.ac.uk/editions/993989 http://access.bl.uk/item/viewer/ark:/81055/vdc_100108174104.0x000001 http://access.bl.uk/item/viewer/ark:/81055/vdc_100108174104.0x000001 http://diglib.hab.de/inkunabeln/171-7-quod-5/start.htm Ediciones anteriores Algor., aunque no explica ni la suma, ni la resta, ni la mediación ni la extracción de raíces. Tras ello se incluye una tabla de contenidos. D.E. Smith (1908, 31); Curtze (1897, v). GW 01951 (cons. 07/09/2023); ISTC ia00732000 (cons. 07/09/2023). 3. Leipzig, Conrad Kachelofen, ca. 1500 = Cracow, Johannes Haller, ca. 1502 Algorithmus. In quarto751. Algor.: ff. desconocidos752. Además de esta obra, la edición contendría las obras de Juan de Damasco, Galeno, Hipócrates y Avenzohar. GW M1456310 (cons. 07/09/2023); ISTC ij00399590 (cons. 07/09/2023); USTC 746343 (cons. 07/09/2023). 4. Venezia, Bernardinus Venetus de Vitalibus, 1501 Algorismus domini Ioannis de Sacro Busco noviter impressus. 8 ff., in quarto (168 × 105 mm)753. Algor.: ff. 1r-8v754. Riccardi (1894, 76-7); D.E. Smith (1908, 32, 35). USTC 854124 (cons. 07/09/2023). 5. Paris, Clichtoveus, 1503 = Paris, Clichtoveus, 1510 (reimpresión)755 In hoc libro contenta: Epitome compendiosaque introductio in libros Arithmeticos divi Severini Boethii: adiecto familiari commentario dilucidata. Praxis numerandi certis quibusdam regulis constricta. Introductio in Geometriam breviusculis annotationibus explanata, sex libris distincta. Primus de magnitudinibus et earum circcumstantiis. Secundus de consequentibus, contiguis et continuis. Tertius de punctis. Quartus de lineis. Quintus de superficiebus. Sextus de corporibus. Liber de quadratura circuli. Liber de cubicatione sphere. Perspectiva introductio. Insuper Astronomicon. I + 112 ff., in folio (290 mm)756. Algor.: ff. 14v-48r. Además del Algor., tal como transmite el título, la edición contiene el Epitome y la introducción a la Arithmetica de Boecio, una obra sobre geometría dividida en seis libros, un 751 Desconocemos el número de folios o páginas de la edición. Cuenta tan solo con un ejemplar: Wien, Universitätsbibliothek, Ink I 261.168. 752 Puesto que la edición, siguiendo los datos de USTC 746343, se titula Algorithmus y tiene como autor principal a Sacrobosco, suponemos que el Algor. sería la primera obra del libro. 753 Cuenta con cuatro ejemplares conservados: Glasgow, University Library, Hunterian R.6.16; New York, Columbia University, Butler Library, Plimpton 511 1501 Sa14; Salamanca, Biblioteca General Histórica de la Universidad, BG/I. 66(1) y München, Bayerische Staatsbibliothek, 4 Math.p. 320 h (este último se puede consultar online en MDZ, cons. 07/09/2023). 754 El último folio del tratado contiene el esquema y el desglose de la tabla que aparecen en algunos manuscritos como paratextos (cfr. el apartado de Paratextos). 755 D.E. Smith (1908, 32) menciona una edición parisina editada por el mismo Clichtoveus en el año 1498. Puesto que sobre esta edición no hemos encontrado más información que la que este autor cita, sospechamos que se trata de un error de Smith, quien probablemente se refería a alguna de estas ediciones parisinas. 756 Hemos encontrado un único ejemplar de esta edición en València, Universitat de València, Biblioteca Histórica, Inc. 112(1). Se pueden consultar sus datos en: https://trobes.uv.es/permalink/34CVA_UV/um6gse/alma991007169229706258 (cons. 07/09/2023). 459 https://www.gesamtkatalogderwiegendrucke.de/docs/GW01951.htm https://data.cerl.org/istc/ia00732000 https://www.gesamtkatalogderwiegendrucke.de/docs/M1456310.htm https://data.cerl.org/istc/ij00399590 https://www.ustc.ac.uk/editions/746343 https://www.ustc.ac.uk/editions/854124 https://www.ustc.ac.uk/editions/746343 https://www.digitale-sammlungen.de/en/view/bsb10164585?page=1 https://trobes.uv.es/permalink/34CVA_UV/um6gse/alma991007169229706258 EL ALGORISMUS tratado sobre la cuadratura del círculo y el cubo de la esfera, una introducción a la perspectiva y un opúsculo sobre astronomía. D.E. Smith (1908, 32); Riccardi (1894, 73-5); Curtze (1897, v); Benedict (1916, 13). 6. Cracow, Kasper Hochfeder, 1504 Algorismus Johannis de sacro Busto. 14 ff., in quarto757. Algor.: ff. desconocidos758. D.E. Smith (1908, 32). USTC 240427 (cons. 07/09/2023). 7. Cracow, Kasper Hochfeder, ante 1 de septiembre de 1505759 Algorithmus Joannis de Sacro Busto. 9 ff., in quarto760. Algor.: ff. 3r-8v. Al Algor. sigue, como ocurría en la edición n.º 2, la Perutilis ac subtilis Algorithmi practica linealis, que ocupa el f. 9r-v. USTC 241176 (cons. 07/09/2023). 8. Cracow, s.n., 1505761 Algorithmus. 14 ff., in quarto. Algor.: ff. desconocidos. USTC 241177 (cons. 07/09/2023). 9. Cracow, Jan Haller, 1509 Algoritmus Johannis de Sacro Busto. 12 ff., in quarto762. Algor.: ff. desconocidos. D.E. Smith (1908, 32). USTC 240473 (cons. 07/09/2023). 757 No hemos encontrado ningún ejemplar conservado de esta edición. 758 A pesar de que no contamos con una descripción completa de la edición ni hemos podido consultar ningún ejemplar, dados los datos encontrados en USTC 240427, es probable que el Algor. sea la única obra del libro. 759 La edición no cuenta con una datación ni con el nombre del impresor. Ambos datos los extraemos de la descripción de Polona (cons. 29/07/2023). 760 Hemos localizado un solo ejemplar de esta edición: Warszawa, Biblioteka Narodowa, XVI Qu. 310, consultable en Polona (cons. 29/07/2023). 761 Incluimos esta edición siguiendo la descripción presentada en USTC 241177 y porque concuerda con la frecuente periodicidad de impresión de las múltiples ediciones cracovianas que describimos. No obstante, puesto que apenas tenemos datos sobre ella y al no haber encontrado ningún ejemplar que coincida en año y números de folios, dudamos de su existencia. Podría ser esta una confusión por la edición n.º 7, que tampoco contaba con el nombre del editor en la portada ni en el colofón o bien con la n.º 6, puesto que coincide en número de folios y el error afectaría tan solo al año de impresión, que varía de uno. 762 Igual que ocurría en la anterior, no hemos encontrado ejemplares conservados de la edición. 460 https://www.ustc.ac.uk/editions/240427 https://www.ustc.ac.uk/editions/241176 https://www.ustc.ac.uk/editions/241177 https://www.ustc.ac.uk/editions/240473 https://www.ustc.ac.uk/editions/240427 https://polona.pl/preview/6aa5f3b6-bd0d-4b9c-ae10-f48615aad386 https://fbc.pionier.net.pl/search#q=dc_source%3A(%22Biblioteka%20Narodowa%22) https://polona.pl/preview/6aa5f3b6-bd0d-4b9c-ae10-f48615aad386 https://www.ustc.ac.uk/editions/241177 Ediciones anteriores 10. Cracow, Florian Ungler, 1511763 Algorismus Magistri Joannis De sacro busto ex vetustissimis exemplaribus collectus et castigatus. 10 ff., In quarto764. Algor.: ff. 1v-9r. El Algor. viene acompañado por la Perutilis ac subtilis algorismi practica linealis que encontrábamos en las ediciones n.º 2 y 7. USTC 240495 (cons. 07/09/2023). 11. Cracow, Florian Ungler, sumpt. Jan Haller, 1513 Algorithmus Johannis de Sacro Busto. 14 ff., in quarto765. Algor.: ff. 3r-13r. En el f. 2r-v hay una suerte de proemio con el título Laudaciuncula Arithmetice y al final del libro, en los ff. 13r-14r de nuevo aparece la Perutilis ac subtilis Algorismi practica linealis que encontrábamos en las ediciones n.º 2, 7 y 10. A partir de esta, veremos que son varias las ediciones de Ungler y Haller que incluyen estos dos paratextos junto al Algor., lo que parece indicar que, en último término, derivan de este impreso de 1513. USTC 240524 (cons. 07/09/2023). 12. Cracow, Jan Haller, 1515 Algorismus magistri Joannis de sacre busto ex vetustissimis computantium exemplaribus collectus et castigatus adiuncta quoque est opusculi calce perutilis ingeniosa ac summe necessaria linealis seu proiectilium practica. 12 ff., in quarto766. Algor.: ff. desconocidos. A juzgar por el título y siguiendo los datos de la edición siguiente n.º 13, que posee un título idéntico, al Algor. probablemente le sigue la Algorismi practica linealis. USTC 240570 (cons. 07/09/2023). 13. Wien, Hieronymus Vietor, agosto de 1517767 Algorismus magistri Joannis de sacro busto ex vetustissimis computantium exemplaribus collectus et castigatus adiuncta quoque est opusculi calce perutilis ingeniosa ac summe necessaria linealis seu proiectilium practica. 763 En Estreicher (1882, 8), se mencionan cinco ediciones del Algor. de Ungler: 1513, 1517, 1521, 1533 y 1537. Quizás sean estas otras reimpresiones de la misma edición que esta de 1511, pero no tenemos datos como para saberlo. 764 Se conserva un ejemplar en Wrocław, Zakład Narodowy im. Ossolińskich, XVI Qu. 2935; consultable online en DBC (cons. 28/07/2023), y, según el registro de USTC 240495, habría otro en la Biblioteka Papieskiego Wydzialu Teologicznego cuya signatura no se indica. 765 Hemos encontrado tres ejemplares de esta edición: Wrocław, Zakład Narodowy im. Ossolińskich, XVI Qu. 3241, cuya versión electrónica se puede consultar en DBC (cons. 29/07/2023); Kórnik, Biblioteka Kórnicka, Cim. Qu. 2106, consultable en WBC (cons. 29/07/2023) y Warszawa, Biblioteka Narodowa, XVI Qu. 182, consultable en Polona (cons. 29/07/2023). 766 No se conocen ejemplares conservados de esta edición. 767 Además del impresor, se explicitan los nombres de los promotores de la edición, los hermanos Leonhard y Lukas Alantsee. 461 https://www.ustc.ac.uk/editions/240495 https://www.ustc.ac.uk/editions/240524 https://www.ustc.ac.uk/editions/240570 https://ucomplutense-my.sharepoint.com/personal/salope07_ucm_es/Documents/Tesis/Tesis/XVI 2935 https://www.dbc.wroc.pl/dlibra/publication/3586/edition/3482/content https://www.ustc.ac.uk/editions/240495 https://ucomplutense-my.sharepoint.com/personal/salope07_ucm_es/Documents/Tesis/Tesis/XVI 2935 https://www.dbc.wroc.pl/dlibra/publication/157825/edition/119689/content?ref=aHR0cHM6Ly93d3cuZGJjLndyb2MucGwvZGxpYnJhL3Jlc3VsdHM_cT1BbGdvcml0aG11cyZhY3Rpb249U2ltcGxlU2VhcmNoQWN0aW9uJnR5cGU9LTYmcD0w https://www.wbc.poznan.pl/dlibra/show-content/publication/edition/258312?id=258312 https://fbc.pionier.net.pl/search#q=dc_source%3A(%22Biblioteka%20Narodowa%22) https://polona.pl/preview/8cbf55df-8dec-4844-a9e4-221ea1f24ea6 EL ALGORISMUS 10 ff., in quarto768. Algor.: ff. 1v-9v. En los ff. 9v-10r, tal como adelanta el título, se inserta la Perutilis ac subtilis Algorismi practica Linealis. D.E. Smith (1908, 32); Curtze (1897, v); Daly (1975, 60). USTC 610733 (cons. 07/09/2023). 14. Cracow, Jan Haller, 1521 Algorithmus Joannis de sacro Busto. 16 ff., in quarto769. Algor.: ff. 2r-14v. En el f. 1v, igual que en la edición n.º 11, encontramos la Laudaciuncula Arithmetice y al final del libro, en los ff. 14v-16r de nuevo aparece la Algorismi practica linealis que encontrábamos en las ediciones n.º 2, 7, 10 y 11. Curtze (1897, v); Daly (1975, 60). USTC 240666 (cons. 07/09/2023). 15. Cracow, Florian Ungler, 1522 Algorithmus Ioannis de sacro Bosco. 16 ff., in quarto770. Algor.: 2r-14v. Igual que en la edición n.º 10 y en la n.º 14, en el f. 1v aparece la Laudaciuncula Arithmetice y al final del libro, en los ff. 14v-16r encontramos de nuevo la Algorismi practica linealis. La ubicación de las obras y su ordenación interna es idéntica a la de Haller de 1521, con la diferencia de que en esta las iniciales, los tipos y la portada son de una factura superior. D.E. Smith (1908, 32); Daly (1965, 60). USTC 240688 (cons. 07/09/2023). 16. Cracow, Florian Ungler, ca. 1522771 Algorithmus Ioannis de Sacro Busto. 14 ff., in quarto772. 768 Hemos encontrado dos ejemplares de esta edición: Kraków, Emeryk Hutten-Czapski Museum, MNK VIII-XVI.835, consultable en http://fbc.pionier.net.pl/view/nnwzl8R (cons. 29/07/2023) y Warszawa, Biblioteka Publiczna m. st. Warszawy - Biblioteka Główna Województwa Mazowieckiego, XVI Qu. 122, consultable en http://mbc.cyfrowemazowsze.pl/dlibra/doccontent?id=7341 (cons. 29/07/2023). 769 Hemos encontrado dos ejemplares conservados: Warszawa, Biblioteka Narodowa, A8, B-C4; consultable online en Polona (cons. 29/07/2023), y Wrocław, Zakład Narodowy im. Ossolińskich, XVI Qu. 1895, consultable en DBC (cons. 29/07/2023). 770 Hemos encontrado un único ejemplar de esta edición: Wrocław, Zakład Narodowy im. Ossolińskich, XVI Qu. 2883, consultable en DBC (cons. 29/07/2023). 771 En la edición no aparece ni fecha ni impresor. El dato del impresor lo extraemos de la infromación proporcionada en WBC (cons. 29/07/2023). Por otro lado, es posible que la entrada de USTC 243390 haga referencia a esta misma edición, a juzgar por el impresor y el año, aunque aquí se menciona el trabajo de un traductor, Nicolas Le Febvre, cuya aparición no resulta clara. Finalmente, Curtze (1897, v) cita una edición parisina de 1522: si existió una edición publicada este año en la capital francesa, no tenemos más dato que este; otra opción es que Curtze se confundiera con esta edición de Cracovia o bien que hubiera datado mal la edición parisina a la que se refería (quizá la que aquí incluimos en el n.º 5). 772 Son cuatro los ejemplares que hemos encontrado de esta edición: Wrocław, Zakład Narodowy im. Ossolińskich, XVI Qu. 2708, consultable online en DBC (cons. 29/07/2023); Poznań, Biblioteka Poznańskiego Towarzystwa Przyjaciół Nauk, 16959.I, consultable en WBC (cons. 29/07/2023); Kórnik, 462 https://www.ustc.ac.uk/editions/610733 https://www.ustc.ac.uk/editions/240666 https://www.ustc.ac.uk/editions/240688 javascript:submit34_1() javascript:submit34_1() http://fbc.pionier.net.pl/view/nnwzl8R http://mbc.cyfrowemazowsze.pl/dlibra/doccontent?id=7341 http://polona.pl/preview/51b52660-c046-4a5f-8a90-7a63ce2b930e https://www.dbc.wroc.pl/dlibra/publication/4141/edition/3980/content?ref=aHR0cHM6Ly93d3cuZGJjLndyb2MucGwvZGxpYnJhL3Jlc3VsdHM_cT1BbGdvcml0aG11cyZhY3Rpb249U2ltcGxlU2VhcmNoQWN0aW9uJnR5cGU9LTYmcD0w https://www.dbc.wroc.pl/dlibra/publication/16344/edition/14417/content?ref=aHR0cHM6Ly93d3cuZGJjLndyb2MucGwvZGxpYnJhL3Jlc3VsdHM_cT1BbGdvcml0aG11cyZhY3Rpb249U2ltcGxlU2VhcmNoQWN0aW9uJnR5cGU9LTYmcD0w https://www.wbc.poznan.pl/dlibra/show-content/publication/edition/489506?id=489506 https://www.ustc.ac.uk/editions/243390 https://www.dbc.wroc.pl/dlibra/publication/4088/edition/3933/content?ref=aHR0cHM6Ly93d3cuZGJjLndyb2MucGwvZGxpYnJhL3Jlc3VsdHM_cT1BbGdvcml0aG11cyZhY3Rpb249U2ltcGxlU2VhcmNoQWN0aW9uJnR5cGU9LTYmcD0w https://www.wbc.poznan.pl/dlibra/metadatasearch?action=AdvancedSearchAction&type=-3&val1=Rights:%22Biblioteka+Pozna%C5%84skiego+Towarzystwa+Przyjaci%C3%B3%C5%82+Nauk%22 https://www.wbc.poznan.pl/dlibra/metadatasearch?action=AdvancedSearchAction&type=-3&val1=Rights:%22Biblioteka+Pozna%C5%84skiego+Towarzystwa+Przyjaci%C3%B3%C5%82+Nauk%22 https://www.wbc.poznan.pl/dlibra/show-content/publication/edition/489506?id=489506 Ediciones anteriores Algor.: ff. 1v-13r. Sigue al Algor. la Algorismi practica linealis en los ff. 13r-14r. 17. Cracow, Florian Ungler, 1523 Algorithmus Joannis de sacro Busto. 14 ff., in quarto773. Algor.: ff. desconocidos. USTC 240728 (cons. 07/09/2023). 18. Venezia, Melchiorre Sessa y Pietro Ravani, 1523774 Algorismus domini Ioannis de Sacro Busco noviter impressum 8 ff., in quarto (186 × 158 mm)775. Algor.: ff. 1r-8v. D.E. Smith (1908, 32, 35); Riccardi (1894, 77); Curtze (1897, v); Daly (1975, 60). USTC 854130 (cons. 07/09/2023). 19. Cracow, Maciej Szarfenberg, 1537 Algoritmus Ioannis de Sacro Busto. 24 ff., in octavo776. Algor.: ff. 1v-24r. USTC 241054 (cons. 07/09/2023). 20. Antwerp, Jean Bellère, 1573 Sphaera Ioannis de Sacro Bosco, emendata. In eandem Francisci Iunctini Florentini, et Eliae Vineti Santonis Scholia. Caetera pagina sequens indicabit. 16 + 292 + 4 pp., in octavo777. Algor.: pp. 241-256778. La edición se abre con una dedicatoria, una praefatio de Elias Vinet a la Spher. y una vita de Sacrobosco del mismo autor (cfr. supra, Testimonia n.º 9), todas ellas sin numerar, seguidas por la propia Spher. con escolios que se intercalan con el texto del tratado (pp. 1-88); al final Biblioteka Kórnicka, Cim. Qu. 3103, consultable en WBC (cons. 29/07/2023); de la misma biblioteca de Kórnik, Cim. Qu. 2120, consultable en WBC (cons. 29/07/2023). 773 No hemos encontrado ningún ejemplar de esta edición. 774 A juzgar por el título y el escaso número de folios, quizá estemos ante una reimpresión o al menos ante una edición derivada de la veneciana de 1501 (n.º 4). 775 De esta edición USTC 854130 cuenta 9 ejemplares conservados. Da signatura de todos ellos excepto de los cuatro que se encuentran en bibliotecas italianas: Lovaina, Katholieke Universiteit, Bibliotheek Faculteit der Godgeleerheid, ALMA_DS 71168424540001471; Paris, Bibliothèque Mazarine, Inc 802 A- 1; Paris, Bibliothèque nationale de France, Tolbiac - Rez-de-jardin RES- V- 885; London, British Library, 1570/662; New York, Columbia University, Butler Library, Plimpton 511 1523 Sa14. 776 De esta edición hemos encontrado tres ejemplares conservados: Wrocław, Zakład Narodowy im. Ossolińskich, XVI O. 444, consultable en DBC (cons. 29/07/2023) (quizá sea este el ejemplar al que se hace referencia en USTC 241054); Poznań, Biblioteka Poznańskiego Towarzystwa Przyjaciół Nauk, 4094.I, consultable en WBC (cons. 29/07/2023); y Warszawa, Biblioteka Narodowa, XVI O. 12, consultable en Polona (cons. 29/07/2023). 777 La edición cuenta con 15 ejemplares conservados listados en USTC 403193 a los que podemos añadir München, Bayerische Staatsbibliothek, Astr.u.172, localizado por nosotros y disponible online en MDZ (cons. 07/09/2023). 778 Al final de la obra se aprecia la tabla desglosada y el gráfico que a veces acompañan a la introducción al capítulo sobre las raíces cuadradas y cúbicas en los manuscritos (cfr. el apartado de Paratextos), de manera idéntica a la edición veneciana (n.º 4). 463 https://www.ustc.ac.uk/editions/240728 https://www.ustc.ac.uk/editions/854130 https://www.ustc.ac.uk/editions/241054 https://www.wbc.poznan.pl/dlibra/show-content/publication/edition/314803?id=314803 https://www.wbc.poznan.pl/dlibra/show-content/publication/edition/258383?id=258383 https://www.ustc.ac.uk/editions/854130 https://www.dbc.wroc.pl/dlibra/publication/2842/edition/2819/content?ref=aHR0cHM6Ly93d3cuZGJjLndyb2MucGwvZGxpYnJhL3Jlc3VsdHM_cT1BbGdvcml0aG11cyZhY3Rpb249U2ltcGxlU2VhcmNoQWN0aW9uJnR5cGU9LTYmcD0w https://www.ustc.ac.uk/editions/241054 https://www.wbc.poznan.pl/dlibra/metadatasearch?action=AdvancedSearchAction&type=-3&val1=Rights:%22Biblioteka+Pozna%C5%84skiego+Towarzystwa+Przyjaci%C3%B3%C5%82+Nauk%22 https://www.wbc.poznan.pl/dlibra/show-content/publication/edition/484786?id=484786 https://fbc.pionier.net.pl/search#q=dc_source%3A(%22Biblioteka%20Narodowa%22) https://polona.pl/preview/22827b30-cef5-456d-83ae-823192b9bae8 https://www.ustc.ac.uk/editions/403193 https://www.digitale-sammlungen.de/en/view/bsb10173692?page=1 EL ALGORISMUS de este, el propio Vinet incluye más escolios relativos a la obra (pp. 89-109). Seguidamente, se recogen tablas, nociones sobre medidas astronómicas y comentarios a ciertos capítulos de la Spher. (pp. 110-148). A continuación, se incluye el capítulo de la obra de Alfragano sobre el nacimiento y ocaso de los astros (pp. 149-151), seguido de otras obras sobre este tema (pp. 152-180). Después, la edición contiene el Compot. (pp. 180-218) con el Cisioianus al final (pp. 239-240) que anteceden al Algor. Finalmente, cierra la edición un Compendium in spheram (pp. 257-292). Sphaera 1730 (cons. 07/09/2023); USTC 403193 (cons. 07/09/2023). 21. Antwerp, Pierre Bellère I., 1582 Sphaera Ioannis de Sacro Bosco, emendata. In eandem Francisci Iunctini Florentini, Eliae Vineti Santonis, & Alberti Heronis Scholia. Caetera pagina sequens indicabit. 16 + 327 pp., in octavo779. Algor.: pp. 264-287780. Los contenidos de la edición son idénticos a la anterior de 1573 (n.º 20), pero al emplear otros tipos y un formato ligeramente distinto, cambian los números de página. D.E. Smith (1908, 32); Curtze (1897, v). Sphaera 1958 (cons. 07/09/2023); USTC 406611 (cons. 07/09/2023). Estas 21 ediciones impresas, que ascienden a 23 con las reimpresiones de dos de ellas (cfr. n.º 3 y 5), son prueba del interés que seguía generando el Algor. en el s. XVI. Vemos que en casi la totalidad de la tradición impresa el Algor. se presenta aislado del resto de obras de Sacrobosco (a excepción de las ediciones de Amberes, n.º 20 y 21, que integran varias obras en su interior, incluidos la Spher. y el Compot.). Este hecho es muy coherente con las conclusiones al censo de códices que presentábamos supra, donde se puede ver cómo la tradición de un corpus unitario sacrobosquiano pervive durante el s. XIII y parte del XIV, pero se va desgajando ya en el s. XIV, de forma que en el s. XV cada obra se copia por separado. Así las cosas, la tradición impresa del Algor. continúa la tendencia de la transmisión manuscrita del s. XV en cuanto a su independencia respecto al corpus de Sacrobosco. En las ediciones, en ocasiones el Algor. aparece acompañado de otras obras de carácter científico. Así, encontramos que al Algor. le acompaña el Compotus de Aniano en la edición n.º 2, obras de carácter médico en la n.º 3 y tratados relacionados con el Quadrivium en la n.º 4, incluidas dos obras de Boecio. La inclusión de este tipo de contenidos en las ediciones permite adivinar el tipo de público al que irían dirigidas, que sería mayormente erudito y vinculado con la universidad. Otras veces, el Algor. aparece en solitario (n.º 1, y de la n.º 6 a la 19, ambas incluidas). Cuando esto ocurre, en la mayoría de los casos esta obra sacrobosquiana recibe uno o dos paratextos: la Perutilis ac subtilis algorismi practica, que sigue al Algor. y que encontramos por primera vez en la edición n.º 2, y los Laudaciuncula Arithmetice, una suerte de proemio que aparece por vez primera en la edición n.º 11. Consideramos ambos opúsculos como paratextos del Algor. puesto que parece que su función es complementar esta obra en las ediciones que los llevan. Estos complementos no los habíamos encontrado hasta ahora junto con el Algor. en los manuscritos del s. XIII, pero es probable que su tradición remonte a una tradición manuscrita posterior desde la que pasara a la imprenta, si bien no podemos descartar su creación ex novo ya en los talleres de los impresores. Llama la atención, sin embargo, que el Algor. aparezca en las 779 La edición cuenta con 11 ejemplares conservados listados en USTC 406611 al que podemos añadir uno más localizado por nosotros: Berlin, Max-Planck-Institut für Wissenschaftsgeschichte, Rara J655spi, consultable online en https://echo.mpiwg- berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/library/SU9XKVTU/index.meta (cons. 07/09/2023). 780 También en esta edición se incluye el gráfico mencionado en la anterior. 464 http://sphaera.mpiwg-berlin.mpg.de/id/item/0fd18ec6-f67b-4f77-9366-f616808d5945 https://www.ustc.ac.uk/editions/403193 http://sphaera.mpiwg-berlin.mpg.de/id/item/1cc43766-934e-40d2-b2a5-9788b0073831 https://www.ustc.ac.uk/editions/406611 https://www.ustc.ac.uk/editions/406611 https://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/library/SU9XKVTU/index.meta https://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/library/SU9XKVTU/index.meta Ediciones anteriores ediciones sin alguno de los muchos comentarios que se generaron desde el s. XIII (cfr. infra, en la posteridad del Algor.). Es más, solo una de estas exégesis llegaría a la imprenta, aunque sin contener junto a ella el texto del Algor.: el comentario de Juan Widmann de título Algorismus integrorum cum probis annexis781. Desentona especialmente esta carencia frente a los muchos comentarios que suelen acompañar a la Spher. en sus muchas ediciones; una muestra de ello se puede apreciar en las ediciones de Amberes (n.º 20 y 21), donde la Spher. se presenta con escolios en el propio texto, los comentarios de Vinet al final y otras exégesis puntuales a ciertos capítulos siguiendo a dichos comentarios. Gracias a este catálogo es posible extraer algunas conclusiones sobre dónde y cuándo se leyó mayoritariamente el Algor. en su versión impresa. En la siguiente tabla indicamos el lugar de publicación, el número de edición correspondiente de nuestro listado y el número de ejemplares encontrados de cada una de ellas, a fin de obtener una panorámica visual de la situación: Ciudad N.º de nuestro listado N.º de ejemplares conservados Florencia 1 1 Estrasburgo 2 52 Leipzig 3 1 Venecia 4 4 18 9 París 5 1 Cracovia 6 desconocido 7 1 8 desconocido 9 desconocido 10 1 11 3 12 desconocido 14 2 15 1 16 4 17 desconocido 19 3 Viena 13 2 Amberes 20 16 21 12 Tabla 13: Ediciones del Algorismus con lugar de impresión y n.º de ejemplares conservados Como se puede observar, 12 de las 21 ediciones localizadas fueron impresas en Cracovia. Exceptuando las dos primeras impresas por Kasper Hochfeder, la tercera, para la que no contamos con el nombre del impresor, y la última, elaborada por Maciej Szarfenberg, el resto de ediciones corrió a cargo de los impresores Jan Haller y Florian Ungler. La influencia de Haller en Cracovia en el ámbito de las ediciones impresas fue abrumadora, hasta tal punto que Ungler, su competencia, tuvo que asociarse con él durante algunos años a la espera de solucionar sus propios problemas financieros, lo que daría como resultado ediciones conjuntas como la n.º 11782. El interés de la ciudad de Cracovia por el Algor. en el s. XVI parece ser una extensión de los muchos manuscritos copiados en esta zona durante el s. XV, lo que bien podría responder a la necesidad 781 Con las ediciones Leipzig, Martin Landsberg, ca. 1490-1495 y Antwerpen, Govert Bac, ca. 1500 = Deventer, De Borne, 1514, cfr. supra en los comentarios al Algor. 782 Sobre los impresores polacos de los ss. XV-XVI cfr. Bieńkowska y Maruszak (2005, 87-99; de Haller y Ungler trata en las pp. 88-9). 465 EL ALGORISMUS de la universidad de Cracovia por contar con manuales matemáticos, a tenor de la gran importancia que esta disciplina llegó a tener en dicha institución en los ss. XV y XVI783. 1.2. Relaciones textuales Para aproximarnos a la genealogía de estas ediciones, hemos consultado y colacionado la editio princeps de Florencia (n.º 1) y, por calas, la de Estrasburgo (n.º 2), la de Venecia (n.º 4), la de Cracovia de 1505 (n.º 7), la de Viena (n.º 13) y la de Amberes (n.º 20)784. En este proceso, hemos tomado algunos de los puntos críticos clave que hemos utilizado en el stemma con una doble finalidad: primero, establecer las relaciones que mantienen las distintas ediciones entre sí; segundo, vincular, cuando ha sido posible, el texto transmitido por cada una de ellas con las familias de manuscritos definidas en el stemma. No pasamos por alto, sin embargo, que distan dos o tres siglos de tradición entre los códices estudiados para el stemma y estas ediciones, por lo que es muy probable que los manuscritos que emplearan los impresores para establecer su texto fueran posteriores a los que hemos estudiado. Esto se confirma por las múltiples innovaciones que aparecen en los ejemplares analizados que no cuentan con paralelos en los testimonios empleados para el estudio estemático. Comenzando por la primera edición de nuestro listado impresa en Florencia antes de 1490 (Firenz.) (n.º 1), hemos podido observar que su texto es bastante singular. La razón de esto es doble: por una parte, no encontramos un texto similar en ninguna de las ediciones posteriores y, por otra parte, aunque carece de los errores que habíamos aislado para las familias principales de nuestro stemma, comparte corruptelas puntuales con ciertos códices o familias: l. 105 relicta] derelicta Ko Ma Mo En Fi2 Mu2 D1 Es Firenz. l. 129/130 mutuare unitatem] mutuetur unitas Ox7 Pa2 Va10 Firenz. l. 184/185 hoc – representantem] om. H Firenz. l. 207 mediatio duplationis] duplatio mediationis G Pa7 Be Lo3 Firenz. l. 289 inter primam et ultimam inferioris ordinis] in inferiore ordine inter primam et ultimam G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es Firenz. l. 414 solidum1] numerus solidus (sive cubicus add. Lo5 Ox7) est qui provenit ex duplici ductu numeri in numerum add. H Ko Lo5 Ox7 P2 Mu3 Va10 Mu5 Y1 S Firenz. Por su parte, el texto de esta edición cuenta con algunos errores muy sustanciosos, que podría haber heredado del manuscrito o manuscritos que tomara como guía o bien haber sido cometidos por el impresor al establecer el texto de la edición. Destacan la elisión del párrafo sobre los límites 783 En efecto, la Universidad de Cracovia, fundada en 1364, vivió durante el s. XV y hasta mediados del s. XVI una época de esplendor. Especialmente famosa por la enseñanza de derecho, matemática y astronomía, el centro atraía a estudiantes de toda Europa, albergando a pupilos tan destacados como Nicolás Copérnico (cfr. la historia de la universidad escrita por Krzysztof Stopka en la misma página web de la institución: https://www.uj.edu.pl/uniwersytet-z-collegium-medicum/historia, cons. 07/09/2023). 784 Hemos seleccionado las ediciones en función de su lugar de impresión y su disponibilidad. Es decir, hemos optado por colacionar un ejemplar de cada una de las ciudades que cuentan con tradición impresa, priorizando siempre los más antiguos (por ejemplo, para estudiar la tradición impresa de Amberes hemos recurrido un ejemplar de la edición de 1573 en lugar de uno de la de 1582). No obstante, puesto que no hemos logrado acceder a todos los ejemplares que habríamos deseado, no nos ha sido posible estudiar los impresos de París ni de Leipzig y, en el caso de las ediciones cracovianas, el ejemplar más antiguo que hemos podido conseguir es el de la edición de 1505. Esperamos poder ampliar y precisar los datos que aquí expondremos en trabajos futuros. Advertimos que en este proceso siempre hemos consultado versiones digitales y no físicas. 466 https://www.uj.edu.pl/uniwersytet-z-collegium-medicum/historia Ediciones anteriores en la introducción a las raíces cuadradas y cúbicas, la omisión de la cita al Carmen de algorismo y las variantes textuales que señalamos a continuación, todas ellas con la particularidad de no contar con paralelos en la tradición manuscrita estudiada (aunque, de nuevo, es posible que remitan a errores del manuscrito modelo que podrían ser, incluso, corruptelas muy recurrentes en la tradición de la obra post s. XIII): l. 439/450 Cum – ultimus] om. Firenz. l. 187/189 unde – sinistra] om. Lo5 Firenz. l. ½ ratione numerorum] in ratione et numero Firenz. l. 16 Et sciendum] ex quo sequitur Firenz. l. 21/22 Inter – aliis] de quibus singulis speciebus Firenz. l. 32/33 figure significative novem digitos representantes] figure significative ac novem digitorum representative Firenz. l. 46 secunda] et reliquis sequentibus add. Firenz. l. 68 consuetum] vulgo add. Firenz. l. 97 secunda secunde] tertia tertie add. Firenz. l. 173/174 loco – medietas] medietatem eius pone loco illius imparis delete Firenz. El texto de la edición de Florencia, que a veces dista mucho del que hemos constituido en nuestra edición del Algor., se presenta como el resultado de múltiples contaminaciones. Vistos los errores que compartía supra con algunos códices y/o determinadas familias, el texto podría descender de la familia α1 y quizá también de ζ. El hecho de que comparta otros errores con miembros de otras familias y subfamilias sugiere su contacto en algún punto de la tradición. Además, su propia naturaleza hipercontaminada habría hecho invisibles los principales errores de cada una de las familias a las que podría pertenecer, pues es probable que estos se hubieran ido corrigiendo con otro/s modelo/s. Finalmente, conviene resaltar el hecho de que esta edición parece que fue ignorada por toda la tradición impresa siguiente, quizá por quedar aislada y sin una gran transmisión, quizá por considerarse su texto poco válido. Muy distinto es el caso de la edición de Estrasburgo impresa en 1488 (Strassb., n.º 2), de la que descienden dos si no tres ediciones posteriores. En efecto, encontramos que el texto de la edición de Cracovia de 1505 (Cracow, n.º 7) es idéntico al de la estrasburguesa, hasta tal punto que coinciden en la puntuación y en las abreviaturas. Esta relación era esperable en tanto en cuanto veíamos en sus descripciones que tras el Algor. aparecía el texto llamado Algorismi practica linealis, al igual que el resto de ediciones impresas en Cracovia (cfr. ediciones n.º 2, 7, 10-12, 14- 16, a las que quizá se pueda añadir la n.º 17). Aunque no hemos podido estudiar cada una de las ediciones cracovianas individualmente, la presencia de esta obra recurrente tras el Algor. es una muestra de la relación existente entre ellas. En ocasiones tal relación se puede confirmar, como es el caso de las n.º 10, n.º 14 y n.º 15, que comparten, además de la practica linealis, un pequeño proemio llamado Laudaciuncula Arithmetice antes del Algor., cuya presencia no puede ser casual. No obstante, en esta relación de dependencia desde la edición de Estrasburgo hacia la de Cracovia de 1505 quizá haya un eslabón intermedio: la edición de Leipzig de ca. 1500 (n.º 3), la cual lamentablemente no hemos podido consultar. Lanzamos esta hipótesis porque, como decíamos, las ediciones cracovianas parecen ser idénticas las unas de las otras. De ellas, la primera es la de Haller de ca. 1502, que incluíamos en el n.º 3 por ser una reimpresión de la edición de Leipzig de ca. 1500. Así las cosas, si el primer texto de Haller fue el modelo para el resto de ediciones cracovianas, incluida aquella de 1505 (Cracow, n.º 7) y dicho texto es una reimpresión de la edición Leipzig, habríamos de suponer que, primero, el impresor de Leipzig tomó el texto de la edición de Estrasburgo y, desde aquí, pasó a Cracovia. Sin embargo, como hemos indicado, 467 EL ALGORISMUS al no haber podido comprobar por autopsia directa o por consulta digital los textos de estas ediciones, no podemos probarlo. Sobre el texto que transmiten, al menos, las ediciones de Estrasburgo y la de Cracovia de 1505, apuntamos a una conflatio descendiente de la rama de α1 y quizá concretamente de la de δ. Esto se demuestra por las siguientes innovaciones, donde la primera es uno de los errores que aislaba α1 y el segundo se corresponde con δ (aunque estas ediciones la transmiten como adición, no como alternativa al texto de las l. 4/7, como sí hacían los manuscritos no contaminados de δ): l. 112/113 Numerus – differentias] post 114 suas transp. Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es Strassb.785 l. 6 numerum] cum igitur hec scientia de qua ad presens intendimus circa numerum existat primo videndum est quid sit eius proprium nomen et unde dicatur deinde quid sit numerus et quot sint species numeri est enim nomen ipsius algorismus et dicitur ab algos id est ars et rismus quod est numerus quasi ars numerandi add. Strassb. Cracow Además, llama la atención que transmitan dos versos tomados probablemente de las adiciones al Carmen de algorismo (cfr. Apéndice II), como hacían también los códices D1 y N que descienden de la subfamilia θ, que es a su vez descendiente de ρ y esta de α1, pero no de δ: l. 383 progressionis] unde versus si par per medium sibi multiplicato sequentem add. D1 Mu4 N Strassb. Cracow, unde versus sume pares et pars multiplicet una sequentem add. N l. 387 progressionis] unde versus imparibus media pars maior multiplica se add. D1 N Strassb. Cracow Por lo tanto, parece que el texto de la edición de Estrasburgo, que más adelante la edición de Cracovia de 1505 tomó como modelo, sería un descendiente de la familia α1. Las escasas innovaciones de la edición de Cracovia respecto a la de Estrasburgo las mencionaremos infra para determinar el modelo de la siguiente edición que comentaremos, la de Viena. La edición de Viena de 1517 (n.º 13) es una conflatio de la edición de Estrasburgo y de un manuscrito que veremos que probablemente descendía también de α1, dentro de la cual lo situaríamos, al menos parcialmente, como descendiente de la subfamilia δ. El texto de esta edición, además de ser una conflatio muy contaminada, parece haber sido objeto de cierta reelaboración, quizá heredada ya del modelo: l. 2 formata sunt] sunt adimenta Strassb. Cracow, formata sunt ad inventa Wien l. 2 quemadmodum] res add. Strassb. Cracow, sicut res add. Wien l. 14 residuum] nec diminutum add. Strassb. Cracow, nec nichil diminutum add. Wien l. 22 consequenter de aliis per ordinem dicetur] pertractandum deinde de aliis consequenter pertractemus Strassb. Cracow, consequenter de aliis pertractemus Wien l. 41 scribi] ut 1 2 3 4 add. Strassb. Cracow, ut 1 2 3 4 5 add. Wien l. 43 representari] ut 10 20 30 add. Strassb. Cracow, ut 10 20 30 40 add. Wien l. 54 scribi] ut 100 200 300 400 500 600 700 800 900 add. Strassb. Cracow, ut 100 200 300 add. Wien l. 54 milia] figuras habet scribi add. Va8, figuras habet scribi 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000, add. Strassb. Cracow, figuras habet scribi ut 1000 2000 3000 add. Wien 785 El ejemplar consultado de Cracovia carece del folio en el que se incluye este pasaje, pero suponemos que el texto de la edición seguiría al de Estrasburgo (lo que podría deberse a un problema en la reproducción digital o a que el ejemplar está mutilado). 468 Ediciones anteriores l. 247 ubique articulus non nisi] articulus non nisi vel solummodo Strassb. Cracow, ubicumque articulus non nisi solummodo Wien l. 349 necne] an non Strassb. Cracow Wien l. 391 quadratis] secundo in numeris cubicis add. Strassb. Cracow Wien l. 398 unde] inde Strassb. Cracow Wien Sospechamos que desciende de la edición de Estrasburgo y no de la de Cracovia de 1505 por las siguientes correspondencias textuales, que coinciden en Strassb. y Wien en las escasas ocasiones en las que Cracow se aleja levemente de su modelo: l. 33 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1] 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Strassb. Wien, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Cracow l. 47 a decem Strassb. Wien, ad decem Cracow l. 55 et ita deinceps] et sic de aliis Strassb., et ceteriis Cracow, et sic de singulis Wien l. 278 est Strassb. Wien, om. Cracow Respecto al segundo modelo del texto de la edición de Viena, como decíamos, parece que formaría parte de la descendencia de δ por la siguiente innovación, que es idéntica a la que transmite el ms. Lu: l. 7 interpretatur] cum igitur hec scientia de qua ad presens intendimus circa numerum consistit primo videndum est quid sit proprium nomen eius et unde dicatur deinde quid sit numerus et quot sunt species numeri est enim nomen ipsius algorismus et dicitur ab algos grece quod est ars latine et rismus numerus inde algorismus quasi ars numerandi secundo dicitur ab al quod est in et gogos ductio et rismus numerus quasi ars introductoria numeri in numerum inde algorismus tertio dicitur ab algo inventore et rismus quasi inventor numeri vel numerorum add. Lu Wien Además, comparte el siguiente error que recontruíamos como significativo para conformar la subfamilia μ1: l. 222/224 subtrahendus – computato] subtrahendus est minor digitus ab articulo sue denominationis qui articulus est infra centum per differentiam seu distantiam maioris digiti et denarii denario simul computato Strassb. Cracow, diligenter considerandum est quod sunt unitates inter digitum maiore et denarium denario simul computato et totiens subtrahendus est minor digitus ab articulo sue denominationis per differentis maioris digiti a denario simul computato Wien, considerandum est quot sint unitates inter maiorem digitum et denarium et totiens subtrahatur minor digitus multiplicans scilicet minor digitus ab articulo sue denominationi μ1 Y también uno de los errores compartido por Ox7 y Lu de la subfamilia ξ1: l. 176 precedenti] in dextra parte add. Lu Ox7 Wien No obstante, dado que no es elevado el número de errores que Wien comparte con las subfamilias mencionadas y que serían demasiadas las innovaciones que debería haber corregido con la edición de Estrasburgo, es muy porbable que, o bien tenía en su poder un manuscrito contaminado, o bien recurrió a más de un códice para constituir el texto. Cualquiera de estas dos opciones sería plausible para explicar errores como este, coincidente con la familia ζ: l. 67 arabum] arabico sive iudaico Ma Mo En Fi2 Mu2, arabum et iudaicum Wien Como errores propios no encontrados en otras ediciones ni manuscritos, Wien transmite una omisión y una adición de longitud notable. Como señalábamos supra en las innovaciones de la edición florentina, tales errores podrían haber estado ya en el manuscrito o los manuscritos consultados, o quizá se deban al impresor de esta edición, aunque consideramos más improbable esta segunda opción: 469 EL ALGORISMUS l. 269/272 Hoc – anterioratis] om. Wien l. 388 progressionis] nota quod ille due regule aliquando patiuntur instantias scilicet quando progressio non incipitur ab unitate vel a binario ut sic 3 4 5 vel 4 5 6 7 ut patet hoc practicanti et ergo dantur due regule generales que valent pro tota arte quarum prima si ex aggregatione primi numeri cum ultimo representabit numerus par tunc per eius medietatem multiplicet ut hic 1 2 3 4 5 6 7 quam ibi ex unitate que est prima et septenario que est ultima resultat numerus par scilicet octonarius summe ergo medietatem ipsius octonarii scilicet 4 per 7 que sunt figure sive loca figurarum multiplica sic dicendo 4 septem sunt 28 que est summa tocius secunda regula ex primo numero et ultimo resultat numerus impar tunc per illum multiplica medietatem numeri positionum sive locorum et exibit summa in qualibet progressione tan naturali quam intercisa verbi gratia in progressione naturali sit hoc exemplum 1 2 3 4 5 6 7 8 hic sunt 8 loca positionum et numerus aggregatus ex primo et ultimo est 9 duc ergo 9 in medietatem octonarii scilicet in 4 et eveniunt 36 summa totius progressionis vel sic 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 hic sunt decem loca positionum et aggregatum ex primo et ultimo est 27 duc ergo 27 in medietatem locorum scilicet in 5 et eveniunt 135 que est summa tocius progressionis add. Wien Finalizamos con el análisis de esta edición vienesa con el siguiente caveat. A pesar de que consideramos más probable que la edición de Viena sea descendiente parcial de la de Estrasburgo por la mayor difusión que podían alcanzar las impresiones respecto a los códices, nada impide que el texto de la edición vienesa haya tenido, en su lugar, un modelo manuscrito. Dicho manuscrito podría haberse generado a partir de la edición de Estrasburgo y quizá otro/s códice/s, pero también cabe la posibilidad de que se empleara un códice directamente emparentado con el manuscrito empleado como modelo en la edición de Estrasburgo. Por último, examinaremos las ediciones de Venecia de 1501 (n.º 4) y Amberes de 1573 (n.º 20), cuya relación es evidente en tanto en cuanto el texto de Amberes sigue fielmente al de Venecia, a excepción de un par de errores evidentes que el impresor de Amberes corrige: l. 45 articulus] circulus Venez., corr. Antwerp l. 357 numerorum] minor Venez., corr. Antwerp Un elemento más que permite relacionar ambas ediciones son los siguientes paratextos al final del Algor., que, como decíamos en la descripción, se corresponden con los que transmiten algunos testimonios de los estudiados (cfr. supra el apartado de Paratextos). 470 Ediciones anteriores Lámina 21: paratextos en el f. 8v de la edición de Venezia, Bernardinus Venetus de Vitalibus, 1501 (n.º 4) Lámina 22: paratextos en las p. 255 y 256 de la edición de Antwerp, Jean Bellère, 1573 (n.º 20) Respecto al texto del Algor. que transmiten, probablemente esté vinculado, como las ediciones anteriores, con la familia α1, lo que no nos sorprende porque ya en el s. XIII la mayoría de testimonios del Algor. formaban parte de ella, lo que podría haber generado un número exponencial de copias en los siglos siguientes. Esta relación se aprecia en los errores que comparten las ediciones de Venecia y Amberes con los descendientes de esta familia, aunque advertimos que no los transmite todos, por lo que de nuevo estaríamos ante una tradición contaminada: l. 12 compositus] sive mixtus add. Lo4 Ko G Bu Lo5 Pa7 Ox7 Wo Mu3 Va10 Venez. Antwerp l. 14 divisibilis] qui potest dividi Ox2 G Bu Lo5 Ox7 Wo D1 Venez. Antwerp l. 111 numerus1 – subtrahendus] numerus subtrahendus et numerus a quo debet fieri subtractio Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es Venez. Antwerp l. 361 obmittitur] in ascensu add. Ox2 Venez. Antwerp l. 365 incipere] incipi G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es Venez. Antwerp l. 369 Quando] quarum prima talis est praem. Pa7 Ox7 Be Lo3 Va10 Ca Venez. Antwerp Otros errores que no hemos encontrado en α1, pero que sí comparten ambas ediciones son, por ejemplo, los siguientes. De nuevo, podrían ser innovaciones ya presentes en el modelo de Venecia o quizá incluidas por el impresor y transmitidas a la edición de Amberes: l. 26 rationibus] eius nomina add. Venez. Antwerp l. 29 figura sequens differt a precedente] figura precedens differt a subsequenti Venez. Antwerp Por último, señalamos que, como decíamos en nota (cfr. supra, edición n.º 18), es probable que las dos ediciones venecianas (n.º 4 y n.º 18) estén emparentadas a juzgar por el título idéntico entre ellas y por compartir el mismo número de folios, 8. Sin embargo, al no haber podido 471 EL ALGORISMUS consultar ambas para su colación, no podemos afirmarlo con rotundidad. De su descendiente, la edición de Amberes de 1573 (n.º 20), sí podemos argumentar que es el modelo de la segunda edición impresa en esta misma ciudad, la de 1581 (n.º 21), puesto que los contenidos de ambas ediciones son idénticos con la misma ordenación y fueron impresos por dos miembros de la familia de impresores Bèllere. Descritas tales relaciones, el esquema de las relaciones de las primeras ediciones impresas del Algor. quedaría de la siguiente manera: ζ ? α1 (...) (...) (...) (...) δ Firenz. Venez. Strassb. (...) ¿Leipzig? Wien Antwerp Cracow Finalmente, además de estas, Bortolotti (1914, 33-4) advertía otras relaciones notables entre ediciones. Concretamente, señala que la edición parisina de 1503 reimpresa en 1510 (n.º 5) contiene un texto muy similar, aunque con algunas variantes, de la veneciana de 1501 (n.º 4). Si así fuera, al no haber podido cotejar la edición de París no es posible establecer si se situaría en una rama independiente respecto a la edición de Amberes o habría que situarla en un eslabón intermedio. Bortolotti, además, encuentra un gran parecido entre estas ediciones y el texto de Halliwell (1839) (cfr. infra). Sobre este dato, como veremos, sabemos que Halliwell constituye su texto del Algor. a partir de un manscrito de su propiedad del s. XV, puesto que él mismo así lo confiesa. Así las cosas, si Bortolotti está en lo cierto y, por un lado, el texto de Halliwell y, por otro, el de las ediciones de Venecia y de París poseen un texto similar, quizá estemos ante tres testimonios emparentados entre sí: o bien por descendencia directa, es decir, que el manuscrito empleado por Halliwell fuera en última instancia el modelo de los otros dos textos; o bien por descender tanto el manuscrito de Halliwell como las ediciones de un códice o subfamilia común. 472 Ediciones anteriores 2. James Orchard Halliwell (1839) Halliwell, James Orchard. 1839. Rara Mathematica; or, a Collection of Treatises on the Mathematics and Subjects Connected with them. London: John William Parker, West Strand. En el volumen 24 del Dictionary of National Biography (1885-1900, 115-120), Sidney Lee describía a James Orchard Halliwell (1820-1889) como un anticuario y coleccionista de literatura antigua, especialmente inglesa. Gracias a su investigación en grandes centros bibliotecarios como la British Library, publicó una gran cantidad de material concerniente a su objeto de estudio, uno de los cuales sería la obra Rara Mathematica. En ella, transcribe testimonios antiguos manuscritos de tratados matemáticos, siendo el primero de ellos el Tractatus de arte numerandi, o lo que es lo mismo, el Algor. de Sacrobosco (Halliwell, 1839, 1-26). Sobre la transmisión de esta obra, Halliwell insiste en el prefacio (1839, v) que a menudo aparece en los manuscritos sin precisar el nombre del autor, «Johannes de Sacro-Bosco». Aun así, localiza algunos códices sitos en tierra anglosajona: «MSS. Harl. 3647. [n.º 323 de nuestro catálogo] 3843. [n.º 326] 4350. [n.º 327]; Bib. Reg. 12 C. xvii. [n.º 328] Arund. 343. [manuscritos destruidos, n.º 2] Cott. Cleop. B. vi. f. 234. [n.º 312] Publ. Cantab. li. I. 15. (1692) [n.º 110]. An English translation — Ashm. 396786», aunque el ejemplar que del que se serviría para transcribir el texto sería un manuscrito de su biblioteca personal, comprado en la venta de la biblioteca del Abbate Canonici de Venecia. En efecto, en el catálogo correspondiente de Matteo Luigi Canonici (1836, 14) con el n.º 200 encontramos un códice que bien podría ser el que compró Halliwell: Sacro Bosco (De) Algorismus. Saec. XV, 4to. The author was an Englishman, named Holywood, and flourished early in the 13th century: he was an eminent mathematician and astronomer. The above treatise was never published, but is mentioned by Leland (Comment. de Scriptoribus Britannis) as being known to exist in MS. Tras publicar esta obra, parece que Halliwell no vio la necesidad de mantener el códice, a juzgar por la entrada n.º 128 del catálogo de la venta de Leigh Sotheby del año 1840 de ciertos manuscritos que poseía el anticuario (Sotheby, 1840, 10): Johannis de Sacro-Bosco Tractatus de Algorismo - Algorismus de Minutiis - Computus Astronomicus - Versus of the XV Century. 4to. From the Library of the Abbate Canonici, of Venice. The second tract, which has never been published, contains some very interesting and ingenious methods of working fractions. Con estas descripciones, de los códices que hemos incluido en nuestro censo, el único que coincide plenamente es el n.º 313: London, British Library, Egerton 841. Además de que sus contenidos son idénticos a los descritos en Sotheby (1840: al Algor. sigue un Algorismus de minutiis y un tratado sobre el cómputo), también concuerdan las fechas, puesto que este códice se incluye en el catálogo List of Additions to the Manuscripts in the British Museum in the years 1836-1840 y concretamente en el año 1840, cuando fue vendido por Halliwell a través de Sotheby y comprado por el British Museum con los fondos donados por Egerton (CMB Add. 1836-40, 1843, 18). En cuanto al texto que transmite la edición de Halliwell, transcrito probablemente a partir del ms. Egerton 841, podemos decir que no pertenece plenamente a ninguna de las familias descritas 786 El códices Ashmolean 396 es el único testimonio de The Art of Nombrynge, traducción inglesa del Algor. (cfr. infra en el apartado de traducciones dentro de la posteridad del Algor.). 473 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/6714#348118 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/6714#348118 EL ALGORISMUS en el estudio estemático787. Contrariamente a ello, es un texto que parece fruto de la contaminación de varios ejemplares, donde encontramos una mayor presencia de la familia α1. Sí hemos encontrado similitudes con la edición de Venecia (y, por tanto, también la de Amberes), confirmando así, al menos parcialmente lo que decía Bortolotti (1914, 33-4). Algunos de los errores que comparten son los siguientes: l. 8 notificatur] formaliter scilicet et materialiter add. Venez. Antwerp, formaliter et materialiter add. Halliw. l. 12 compositus] sive mixtus add. Lo4 Ko G Bu Lo5 Pa7 Ox7 Wo Mu3 Va10 Venez. Antwerp Halliw. l. 14 divisibilis] qui potest dividi Ox2 G Bu Lo5 Ox7 Wo D1 Venez. Antwerp Halliw. l. 29 figura sequens differt a precedente] figura precedens differt a subsequenti Venez. Antwerp Halliw. Sin embargo, tanto la edición de Venecia como la de Halliwell tienen sus errores propios. Algunos de los de Halliwell son los siguientes: l. 6 ars introductoria] introductorio Halliw. l. 41 digitum] figuram digiti Halliw. l. 558/559 tam – cubicis] om. Halliw. Ante esta situación, parece seguro que los textos de ambas ediciones están relacionados. Descartando que una pueda derivar de la otra, el modelo de la de Venecia podría estar emparentado o contaminado con el ms. Egerton 841 o con un códice afín a él. 787 Aunque no hemos tenido acceso al códice, la colación de la edición de Halliwell permite deducir los rasgos de su modelo. 474 Ediciones anteriores 3. Maximilian Curtze (1897) Curtze, Ernst Ludwig Wilhelm Maximilian. 1897. Petri Philomeni de Dacia in Algorismum Vulgarem Johannis de Sacrobosco Commentarius: una cum Algormismo ipso edidit. København: A.F. Host. Ernst Ludwig Wilhelm Maximilian Curtze (1837-1903), tal como lo describe su colega Siegmund Günther (1903, 65-81), fue un matemático alemán entusiasta de la historia de la ciencia. A lo largo de su carrera como profesor e investigador en la escuela de Toruń, son muchos los tratados matemáticos medievales que tradujo a su lengua materna. Entre ellos se cuenta el comentario de Pedro de Dacia al Algor., que editó y tradujo junto con el propio Algor. (Curtze, 1897, 1-19). Como indica el propio Curtze, en su edición utilizó principalmente el manuscrito n.º 415 de nuestro censo (München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 11067), un códice del s. XV, tanto para el texto del Algor. como para el comentario de Pedro Filomena de Dacia. También se apoyó en el ms. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14684 (n.º 422), este datado en el s. XIV. En cuanto al texto que presenta, de nuevo es imposible adscribirlo plenamente a cualquiera de las familias descritas. No obstante, hemos encontrado ciertas similitudes con la edición de Estrasburgo (y, por tanto, también con la de Cracovia de 1505). Destacan, por ejemplo, las adiciones de versos en el capítulo de la progresión: l. 383 progressionis] unde versus si par per medium sibi multiplicato sequentem add. D1 Mu4 N Strassb. Cracow Curtze, unde versus sume pares et pars multiplicet una sequentem add. N l. 387 progressionis] unde versus imparibus media pars maior multiplica se add. D1 N Strassb. Cracow Curtze Aunque en el texto de Curtze encontramos las otras dos adiciones compartidas con D1, Mu4 y N, lo que no ocurría en la edición de Estrasburgo: l. 373 progressionis] unde versus parte paris media maiorem multiplicabis add. D1 Mu4 N Curtze l. 377 progressionis] unde versus impar parte sui maiori multiplicetur add. D1 Mu4 N Curtze También coinciden en otros errores, como los siguientes: l. 4 operativa] cooperativa Strassb. Cracow Wien Curtze l. 69 preponamus] minori add. Strassb. Wien Curtze Por otra parte, destaca la siguiente corruptela compartida con la edición de Viena, que no cuenta con un paralelo en las ediciones de Estrasburgo y Cracovia: l. 67 arabum] arabico sive iudaico Ma Mo En Fi2 Mu2 Curtze, arabum et iudaicum Wien No obstante, el texto de Curtze no transmite otros muchos errores de las ediciones de Estrasburgo ni de Viena, como la variante sobre las etimologías, totalmente ausente de su edición. Finalmente, encontramos incluso la siguiente innovación coincidente con la edición de Florencia: l. 33 Decima] vero hec 0 add. Firenz., vero 0 add. Curtze Ante este panorama, como decíamos, la edición de Curtze es una suerte de versión mixta fruto de la contaminación masiva de la obra perpetuada a lo largo de los siglos. Además, si bien es la primera edición moderna que no emplea un único ejemplar para constituir su texto, no señala en 475 EL ALGORISMUS qué momentos sigue a cada uno de los dos testimonios que usa, por lo que, sin colacionarlos, no podemos saber a partir de su edición qué texto se corresponde con qué manuscrito. Sí podemos presuponer, en cambio, que aquellas innovaciones coincidentes entre Curtze y las ediciones impresas probablemente sean corruptelas incluidas en el texto en una fecha posterior al s. XIII. 476 Ediciones anteriores 4. Fritz Saaby Pedersen (1983) Pedersen, Fritz Saaby. 1983-4. Petri Philomenae de Dacia et Petri de S. Audomaro opera quadrivialia. 2 vols. København: Hauniae. Fritz Saaby Pedersen (1945-2016) fue un filólogo clásico profesor de la Universidad de Odense, denominada actualmente Universidad de Dinamarca del Sur (University of Southern Denmark), que dedicó su carrera al estudio de la historia de la matemática, astronomía y filosofía (Ebbesen y Nothaft, 2016, 1-10). Uno de los autores a los que más tiempo y páginas dedicó fue Pedro de Dacia, en consonancia con la particular entrega de este erudito por autores y textos que, como él mismo, poseían origenes daneses. Así las cosas, igual que ocurría en la edición de Curtze, Pedersen edita el Algor. únicamente por su interés intrínseco ligado al comentario de Pedro de Dacia. Solo tras el estudio, edición y traducción de este comentario, el autor danés decide incluir el texto del Algor. (1983, vol. 1, 174- 201). Dicho texto, sin embargo, tal como él confiesa, no aspira a ser una edición crítica del texto: The number of extant manuscripts has hitherto prevented critical editing of the text, nor has this been attempted for the present purpose. The text follows ms. K [København, Det Kongelige Bibliotek, NKS 275ª kvart, el n.º 272 en el censo y códice Ko de nuestra edición], aided by mss. BOX [Oxford, Bodleian Library, Bodley 491, n.º 476; Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 161, n.º 483 y Ox3 en nuestro estudio estemático, y Stockholm, Kungliga Biblioteket, X 767, n.º 630]. A estos añade las lecturas de Curtze (1897), edición que es consciente que se ha realizado a partir de los códices Clm 11067 y Clm 14684, e incluye bajo el texto del Algor. las glosas encontradas en su códice X que completa con algunas lecturas de su ms. O y el ms. Princeton, University Library, Robert Garrett Collection, 99 (n.º 605), que tanto él como nosotros citamos con la sigla G en nuestras respectivas ediciones. Además, dice haber visto otros muchos códices: Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7195 (n.º 531); Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 351 (n.º 206); Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Plut. 18, sin. 6 (n.º 227); Leipzig, Universitätsbibliothek, 1470 (n.º 296); Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7420A (n.º 545); Salzburg, Benediktiner-Erzabtei Sankt Peter, Stiftsbibliothek, b.IX.14 (n.º 617); Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 369 (n.º 208); Paris, Bibliothèque Sainte-Geneviève, 1043 (n.º 573); München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 11067 (n.º 415) y London, British Library, Sloane 514 (n.º 331) (todos ellos de los ss. XIII-XV). El resultado será una suerte de texto mixto que sigue principalmente a su manuscrito K (Ko para nosotros), pero que incluye lecturas de los otros testimonios. Especialmente notable es la inclusión de algunas adiciones de su manuscrito X entre corchetes angulares en el propio texto, un códice que, a juzgar por los errores que contiene según la edición de Pedersen, estaría contaminado, habiendo notado errores comunes con nuestra subfamilia δ (< α1) y λ (< ρ < α1). Por lo tanto, esta edición es meritoriamente la primera en la que el autor se sirve de varios testimonios y que cuenta con aparatos. Sin embargo, se observan varias limitaciones en ellas. La primera de ellas es la ausencia de clasificación de la tradición manuscrita o, al menos de los códices estudiados. En su lugar, Pedersen emplea en la constitución de su texto un testimonio considerado optimus, K, recurriendo puntualmente a otros cuando las lecturas de K parecían deteriores. La segunda limitación es precisamente la elección de variantes: tanto las que integra en el texto a partir de K como las que incluye a partir de los otros manuscritos. Esta selectio responde únicamente al criterio personal de Pedersen, pues no analiza el usus scribendi de Sacrobosco ni sus fuentes que, como hemos visto en el estudio estemático, son dirimentes. En 477 EL ALGORISMUS tercer lugar la adición de glosas de X, cuya inclusión responde más bien, creemos, a su comparación con el comentario con el texto de Pedro de Dacia, desvirtúa un tanto el texto crítico del Algor. Por todo ello, aunque la edición de Pedersen mejora sin duda el panorama existente hasta la fecha, la necesidad de elaborar un estudio completo del texto del Algor. seguía siendo imperante. 478 Criterios de la presente edición Para la constitución del texto del Algor. hemos seguido el stemma trazado previamente, que consta de cinco ramas. Para ello, hemos seleccionado un número de códices (32) que permitiera una representación de las principales ramas de la tradición manuscrita primitiva y de los primeros desarrollos de su historia textual, puesto que el número de testimonios analizados en el estudio estemático (79) es demasiado elevado para emplearlos en la edición y representarlos en el aparato. Esta selección de códices, representada en el texto y en el aparato, tiene un triple objetivo. Primero, reconstruir el texto del arquetipo que está a la cabeza de la tradición estudiada. Segundo, representar las principales familias y subfamilias de la tradición. Tercero, ofrecer un aparato crítico amplio, pero manejable para el lector. Para que todo ello fuera posible, ha sido necesario establecer una estrategia a seguir para seleccionar unos manuscritos y descartar otros. En primer lugar, hemos descartado todos los descripti y los testimonios inclasificables o hipercontaminados. Una vez hecho esto, hemos seleccionado los manuscritos menos contaminados de cada una de las subfamilias del stemma, con la condición de que no hubiera ninguna subfamilia que quedara sin representación. Esto ha supuesto que el número de testimonios seleccionados para cada una de las familias fuera desigual, como desigual es el número de descendientes de cada una de ellas. Por ello, hemos escogido cinco manuscritos para cada una de las familias κ, ζ y α2, cuatro para α3 y trece para α1; datos que son coherentes con los testimonios totales que pertenecen a cada una de dichas familias, siendo α1 la que sin duda cuenta con un mayor número total de descendientes. Una vez escogidos los códices representantes de cada una de las familias, hemos procedido a la selectio. En este proceso, cuando cuatro de las cinco ramas han coincidido en una lectura, la hemos tomado como la correcta. Sin embargo, puesto que la tradición de esta obra, como hemos ido viendo en su estudio estemático, se caracteriza principalmente por su contaminación masiva, no son pocas las ocasiones en las que nos hemos tenido que enfrentar con distribuciones irregulares de variantes. Con esto queremos decir que, en ocasiones, algunos miembros de una familia transmitían la misma lectura que otros códices pertenecientes a otra familia completamente distinta. Por esta razón, cuando esto ha ocurrido, nos hemos servido del usus scribendi del autor, de las lecturas paralelas en otras partes de esta y de sus otras obras (Spher. y, sobre todo, Compot.) y del texto transmitido por las fuentes del Algor. para escoger una u otra variante. Este mismo proceso de selectio lo hemos llevado a cabo cuando nos hemos encontrado con variantes equipolentes: hemos priorizado las lecturas más afines a la/s fuente/s del pasaje, cruciales ya en el estudio estemático, las lectiones difficiliores frente a las faciliores y las variantes que por vocabulario o por su estructura sintáctica se asemejan más a lo que podemos llamar el «estilo de Sacrobosco», frecuentemente invocado en el estudio de la tradición. Hemos reconstruido el título Incipit algorismus para la obra. Esto responde a que contamos con testimonios de todas las familias que lo transmiten verbatim (W1 Lo4 Ma Mu2 G Be Lo3 Pa2 S) o con palabras similares (Incipit algorismus de Sacrobosco Mo, Incipit tractatus algorismi En, Algorismus Lo5 D1). Frente a estos testimonios, encontramos otros muchos que omiten el título (tit. om. Lc H Ko Fi2 Ox2 Bu Pa7 Ox7 Wo Mu3 Va10 Mu5 Va8 Pa8 Ca Y1). Sin embargo, la presencia del título y su distribución en todas las familias sí parece indicar que constaba en el modelo último de toda la tradición. Respecto al problema de las grafías, somos conscientes de que estamos lejos de poder saber qué forma emplearía Sacrobosco para su obra, empezando por el hecho de que no tenemos evidencias para reconstruir una hipotética forma gráfica original y que el propio Sacrobosco 479 EL ALGORISMUS podría ser asistemático en su ortografía788. Los manuscritos, por su parte, difieren entre sí al escribir ciertas palabras (como cyfra, cifra, ciphra, por ejemplo), y muchos son internamente incoherentes, escribiendo los mismos términos con grafías distintas en varios pasajes. Ante esto, tomando en consideración que el Algor. hubo de componerse hacia la mitad del s. XIII, creemos que la reconstrucción de un texto con grafías puramente clásicas es, si bien una regularización cómoda, anacrónica en su conjunto. En su lugar, hemos aceptado las formas comunes del latín bajomedieval, masivas en la tradición manuscrita colacionada, concretamente por lo que se refiere a las monoptongaciones, como ae > e, y los alógrafos reforzados, como nihil > nichil, según la costumbre escolar de la época789. Esta decisión, además estar motivada por una cuestión de coherencia entre el contexto de composición de la obra y el texto resultante, pone de manifiesto algunos equívocos textuales que podrían causarse a partir de las monoptongaciones. Otras variantes gráficas, en cambio, como la usual alternancia de los grupos ti-/ci- seguidos de vocal (spacio en lugar de spatio, por ejemplo), difieren constantemente en los testimonios y, ante la imposibilidad de reconstruir una forma, hemos dado preferencia a la grafía clásica. Por otro lado, la división en párrafos y la puntuación es nuestra. En este punto hemos optado por puntuar de acuerdo con los contenidos expresados en cada parte a efectos de establecer un texto comprensible, de acuerdo con la puntuación actual. El texto latino viene acompañado por dos aparatos: uno de fuentes y loci paralleli y otro de variantes. Sobre el primer aparato, en aquellos puntos donde hayamos podido detectarla/s, hemos anotado la/s fuente/s que podría haber utilizado Sacrobosco en el pasaje señalado en cada caso, siendo todas las obras incluidas anteriores o contemporáneas al autor. En algunos casos, sabemos que su uso como fuente es seguro: así la Insitutio arithmetica de Boecio (BOETH., Instit.)790, la primera y segunda parte del Liber Alchorismi791 (Alchor. I y Alchor. II), el Carmen de algorismo de Villadei y quizá los Addenda in Carmina y el Comentario II al Carmen (Carm., Add. in Carm. I, II, III, etc. y Coment. II respectivamente)792 y probablemente el algorismo del manuscrito de Coventry (Coventr.)793. En otros pasajes es posible advertir la similitud con textos anteriores y contemporáneos, sin que se pueda confirmar su uso directo como fuente ocasiones: los Elementa de Euclides en su versión latina (EUCLID., Element.)794, las obras de Gerberto de Aurillac: Regula de abaco computi (GERBERT., Regula abac.), Libellus de numerorum divisione (GERBERT., Numer.), Liber abaci (GERBERT., Abac.) y Geometria (GERBERT., Geometr.)795, los Etymologiarum libri de Isidoro de Sevilla (ISID., Etym.)796, el Liber ysagogarum (Ysagog.)797, el Dixit Algorizmi798 (Dixit Algor.), el Liber pulveris (Pulver.)799, el Helcep Sarracenium (OCREAT., 788 Sobre estas dificultades, cfr. Velázquez Soriano (2022). 789 Sobre la cuestión de la reconstrucción gráfica en la edición de textos latinos medievales, cfr. Chiesa (2016, 181-95). 790 Que citamos a partir de la edición de Friedlein (1867). 791 Editados por Allard (1992, 62-224) el primero y por Burnett, Zhao y Lampe (2007, 141-231) el segundo. 792 Los citamos a partir de nuestras ediciones: para el Carmen de algorismo y los Addenda in Carmen de algorismo, cfr. infra, Apéndice II, y para el Comentario II al Carmen cfr. infra, Apéndice IV. 793 Burnett (1996a, 300-9 = 2010, III, 300-9). 794 Busard (1983). 795 Todas ellas editadas por Olleris (1867, 311-48; 349-56; 357-400; 401-70 respectivamente). 796 Para el que seguimos la edición de Gasparotto y Guillaumin (2009). 797 Editado por Allard (1992, 23-61). 798 Folkerts (1997, 28-106). Hemos cogido el texto del manuscrito que el editor denomina N por ser el que conserva el texto completo de la obra, al estar mútilo el otro ejemplar que hasta la fecha se conoce, el que Folkerts llama códice C. 799 Allard (1992, 62-222). 480 Criterios de la presente edición Helcep)800, De abaco de Rodolfo de Laón (RADULPH., Abac.)801, el tratado sobre el algorismo del manuscrito Egerton (Egert.)802 y los dos textos editados del manuscrito de Cashel que se encuentras en las pp. 16-7 y 20-1 (Cashel)803, el Liber abaci de Leopoldo Pisano alias Fibonacci (FIBON., Abac.)804 y el Liber mahameleth (Maham.)805. En este aparato diferenciamos las fuentes directas de aquellas que no lo son a través de la ausencia o presencia de cfr. respectivamente. En cuanto al aparato crítico, hemos incluido las variantes de los 32 testimonios previamente seleccionados siempre que estos no compartan la lectura aceptada en el texto. Tipológicamente es, por tanto, un aparato negativo, aunque excepcionalmente adopta forma positiva cuando su número era menor que aquellos que diferían de esta. Cuando más de un testimonio transmite una misma variante, hemos agrupado los códices por familias con una separación marcada entre ellas, ordenando en su interior los códices de acuerdo con el orden del stemma. Esta decisión se ha tomado en aras de una mejor comprensión de las familias creadas, puesto que un orden alfabético o de otro tipo rompería las relaciones establecidas entre testimonios. Además, tratándose de una tradición manuscrita prácticamente contemporánea, tampoco sería posible una ordenación cronológica. En el caso de los manuscritos mútilos o incompletos, que son Bu (des. l. 27), P2 (inc. l. 109), Ox2 (des. l. 392) y Pa7 (des. l. 495), hemos señalado en el margen cuándo empieza su texto con inc. (en el caso de P2) o cuándo se interrumpe con des. (Bu, Ox2 y Pa7). En el aparato crítico no hemos incluido variantes gráficas, pues no son de mucha entidad y, además, como decíamos supra, no tenemos evidencias sobre la ortografía original de Sacrobosco. Sí hemos anotado, en cambio, las variantes que conciernen a la escritura de los números, es decir, cada una de las veces en la que discrepan los testimonios entre sí al escribir un número, bien con el guarismo correspondiente (romano o indoarábigo), bien con la/s palabra/s oportuna/s. Esto responde a que, en varias ocasiones, podemos detectar si una variante que concierne a un número ha ocurrido cuando este estaba en su forma verbal o en la no verbal. Además, se pueden crear ciertas confusiones entre numerales y palabras que no ocurrirían en su forma extendida (y viceversa) (como la confusión recurrente entre duas y suas, cfr. l. 80, l. 193, l. 310, l. 456, l. 524, l. 527). Por último, interesa especialmente saber en qué contextos Sacrobosco decide emplear los numerales indoarábigos y en cuáles prefiere expresar los números en su forma verbal, teniendo en cuenta la finalidad de este tratado. También hemos incluido excepcionalmente variantes gráficas cuando estas han afectado a nombres propios o preverbios. El texto crítico viene acompañado de una traducción enfrentada en castellano, la primera que se realiza del Algor. en esta lengua. Hemos intentado mantener la literalidad en la medida en la que las reglas del castellano y de la inteligibilidad del texto nos lo han permitido, a fin de trasladar la pragmaticidad del texto de Sacrobosco, de naturaleza científica, a su versión española. En ella, además, hemos incluido notas aclaratorias siempre que lo hemos considerado necesario. Finalmente, remitimos a la p. 12 para las abreviaturas, siglas y términos empleados en los aparatos. 800 Burnett (1996a, 262-97 = 2010, III, 262-97). 801 Nagl (1890, 85-133). 802 Karpinski (1921, 396-413). 803 Burnett (2002, 15-26). 804 Boncompagni (1857c). 805 Sesiano (2014). 481 Conspectus siglorum 1. Siglas por orden alfabético Be Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 2º 610 Bu Budapest, Országos Széchényi Könyvtár, Lat. 39 Ca Cambrai, Médiathèque municipale, 931 (830) D1 Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2661 En London, Institution of Electrical Engineers, Thomson Collection 4 Es El Escorial, Real Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial, O.II.10 Fi2 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Palat. 639 G Princeton, University Library, Robert Garret Collection, 99 H Brugge, Openbare Bibliotheek, 523 Ko København, Det Kongelige Bibliotek, NKS 275ª kvart Lc Lincolnshire, Lincoln Cathedral Chapter Library, 148 (B.1.8) Lo2 London, British Library, Harley 531 Lo3 London, British Library, Harley 3647 Lo4 London, British Library, Harley 4350 Lo5 London, British Library, Add. 27589 Ma Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. VIII.1 (3044) Mo Montpellier, Bibliothèque Interuniversitaire, Section de Médecine H 323 Mu2 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 17703 Mu3 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 28217 Mu5 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 3843 Ox2 Oxford, Bodleian Library, Bodley 26 Ox7 Oxford, Merton College, 261 P2 Pennsylvania, University Library, Rare Books and Manuscripts, LJS 216 Pa2 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7475 Pa7 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14926 Pa8 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15121 S Paris, Bibliothèque Sainte-Geneviève, 1043 Va8 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3114 Va10 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 5335 W1 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 2445 Wo Worcester, Cathedral and Chapter Library, Q 53 Y1 New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 556 482 Conspectus siglorum 2. Siglas por familias y orden de cita κ W1 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 2445 Lc Lincolnshire, Lincoln Cathedral Chapter Library, 148 (B.1.8) Lo4 London, British Library, Harley 4350 H Brugge, Openbare Bibliotheek, 523 Ko København, Det Kongelige Bibliotek, NKS 275ª kvart ζ Ma Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. VIII.1 (3044) Mo Montpellier, Bibliothèque Interuniversitaire, Section de Médecine H 323 En London, Institution of Electrical Engineers, Thomson Collection 4 Fi2 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Palat. 639 Mu2 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 17703 α1 Ox2 Oxford, Bodleian Library, Bodley 26 G Princeton, University Library, Robert Garret Collection, 99 Bu Budapest, Országos Széchényi Könyvtár, Lat. 39 Lo5 London, British Library, Add. 27589 Pa7 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14926 Ox7 Oxford, Merton College, 261 P2 Pennsylvania, University Library, Rare Books and Manuscripts, LJS 216 Wo Worcester, Cathedral and Chapter Library, Q 53 Mu3 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 28217 Be Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 2º 610 Lo3 London, British Library, Harley 3647 D1 Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2661 Es El Escorial, Real Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial, O.II.10 α2 Pa2 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7475 Va10 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 5335 Lo2 London, British Library, Harley 531 Mu5 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 3843 Va8 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3114 α3 Y1 New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 556 S Paris, Bibliothèque Sainte-Geneviève, 1043 Pa8 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15121 Ca Cambrai, Médiathèque municipale, 931 (830) 483 EL ALGORISMUS 3. Stemma de los códices utilizados en la edición O κ α 2 α 3 ζ α 1 β W 1 κ 1 V a1 0 γ V a8 ε η π δ M u3 P a2 ι Lc F i2 M u2 *τ γ 1 M u5 ε 1 M a η 1 E n μ W o χ P a8 C a O x2 Lo 2 Lo 4 ε 2 M o μ 2 ρ χ 1 S μ 1 λ H G o λ 1 θ Y1 ν ξ B e K o ν 1 P 2 λ 2 D 1 E s P a7 ξ 1 Lo 3 Lo 5 O x7 *λ 3 B u 484 Algorismus: edición crítica y traducción 485 INCIPIT ALGORISMUS Omnia que a primeva rerum origine processerunt ratione numerorum formata sunt et, quemadmodum sunt, sic cognosci habent. Unde in universa rerum cognitione ars numerandi est Tex., 1/2 Omnia – sunt1] cfr. BOETH., Instit. 1.2 (p. 12, 14/15), cfr. ISID., Etym. 3.4 (s.p., 23/27) Tit., 1 Incipit algorismus W1 Lo4 Ma Mu2 G Be Lo3 Pa2 S, Incipit algorismus de Sacrobosco Mo, Incipit tractatus algorismi En, Algorismus Lo5 D1, Prohemium in algorismum comunem sine quo nemo sapiens Es, Algorismus in prosa Lo2m, tit. om. Lc H Ko Fi2 Ox2 Bu Pa7 Ox7 Wo Mu3 Va10 Mu5 Va8 Pa8 Ca Y1, deest P2 Tex., 1/109 Omnia – subtractione] deest P2 deperdito quaternione 1 Omnia] dicente Boecio in principio arismetice praem. Lo5 1/2 ratione numerorum] om. Ca 2 numerorum] numeri Lo4 sunt1] unde dicit Augustinus add. Pa8 2/3 quemadmodum – habent] om. Lo5 2 quemadmodum] aliquid add. W1, formata add. Lo2 Ca sunt2] om. Y1a, add. Y1m sic] om. W1, ita Mu3, et add. D1, per numerum add. Bu, omnia add. Ca 2/3 cognosci habent] habent cognosci Fi2 Ox2 Pa8 Ca 3/4 Unde – operativa] om. Maa, add. Mam 3 Unde] et add. Mo D1, etiam add. En in] om. W1 En Bu Va8a, add. Va8m rerum] sunt add. Lo2 3/4 ars – operativa H G Bu Pa7 Ox7 Be Lo3 Es Va10 Lo2 Ca, est ars numerandi operativa W1 Lc Lo4 Ko Ma En Fi2 Mu2 Ox2 Lo5 Wo D1 Pa2 Mu5 Va8 Y1 Pa8, ars numerandi operativa est Mo Mu3 S 3 numerandi] numerorum Ox2 486 ALGORISMO Todo lo ocurrido desde el primitivo origen de las cosas se ha generado por razón1 de los números y, tal como es, así se ha de conocer. Por consiguiente, el arte de numerar es operativa en el completo2 conocimiento 1 Traducimos literalmente el término latino ratio, rationis por ‘razón’. Entiéndase tanto aquí como en las siguientes ocasiones en la que lo empleamos la polisemia intrínseca que guarda en latín esta voz, relacionada con la razón, el cálculo, el conteo, el método o disciplina, doctrina, registro y la relación matemática entre otros. La cantidad de matices que recoge es tal, que resulta imposible una traducción castellana que los abarque todos. 2 El autor emplea la construcción universa cognitione, donde, además del concepto de totalidad o completitud, que es el que plasmamos en la traducción, también parece referirse al conocimiento universal, casi cósmico, donde se trasciende el plano material de las cosas mundanas y llama a la comprehensión de las esferas celestes supraterrenales. 487 2 operativa. Hanc igitur scientiam numerandi compendiosam philosophus edidit nomine Algus, unde et algorismus 5 nuncupatur, vel ars numerandi, vel ars introductoria in numerum interpretatur. 5/6 unde – nuncupatur] cfr. VILLAD., Carm. 1 4 operativa] oportuna G Be Lo3 Va8, optima Es, necessaria S, necessaria vel operativa Pa8, cum igitur hec scientia de qua ad presens intendimus circa numerum consistat primo videndum est quid sit nomen proprium ipsius et unde dicatur deinde quid sit numerus et quod numeri sint species est autem nomen ipsius algorismus et dicitur ab algos quod est ars et rismos quod est numerus inde algorismus quasi ars numerandi vel dicitur ab en quod est in et gogos quod est ductio et rismus id est numerus inde algorismus quasi inventor numerorum vel aliter potest dici add. Bu 4/7 Hanc – interpretatur] cum igitur hec scientia de qua ad presens intendimus circa numerum consistat primo videndum quid sit proprium nomen ipsius et unde dicatur deinde quid sit (sit om. Lo5) numerus (deinde - numerus om. Ox7) et quot sint (sint om. Lo5) numeri species (species numeri G Lo5) est autem nomen eius (ipsius G Ox7, huius Lo5) algorismus et dicitur (algorismus add. G Lo5) ab algos quod est ars et ritmus numerus inde algorismus (inde algorismus om. Ox7) quasi ars numerandi vel dicitur ab en quod est in et gogos ductio et ritmus numerus quasi introductio (inductio Lo5 Ox7) in numerum tertio (modo add. Lo5 Ox7) dicitur ab algo inventore (suo add. G) et ritmus (numerus inde algorismus quasi numerus ab algo inventus add. Ox7) G Lo5 Pa7 Ox7, cum igitur hec scientia de qua ad presens intendimus circa numerum consistat primo dicendum quod potest nomen proprium eius et unde dicatur deinde quid sit numerus et (unde add. Ox2a) quot sint species numeri est igitur nomen eius algorismus et dicitur ab algos quod est ars et ritmus numerus quasi introductio in numerum 3º dicitur ab algo inventore et ritmus numerus Ox2 4 igitur] autem Lo2, ergo S scientiam numerandi] numerandi scientiam Mo S scientiam] artem H numerandi] om. Bu Ca compendiosam] om. Ca, operativam aut compendiosam Fi2, post philosophus transp. Bu 5 philosophus edidit] edidit quidam philosophus (arabus add. Lcs) Lc Ko, edidit philosophus Ma Wo Lo2 Ca, philosophus quidam edidit Va8 nomine Algus] algus nomine Ma, ante edidit praem. Lo2 Y1 unde] om. Lo2 et] om. Ko Mu5 6 nuncupatur] dicitur Lo4, non cupatur H sic 6/ 7 vel1 – interpretatur] om. Bu Ca 6 vel1 – numerandi] om. Mu3 vel1] et Lo2 ars1] om. Y1a, add. Y1m numerandi] om. Lo2 ars2] om. Lo2 in] om. Mu5, autem H, initio Y1 numerum] om. Mu5 Y1a, add. Y1m, numerorum W1 7 interpretatur] om. Va8 488 2 de las cosas. Así pues, esta provechosa3 ciencia de numerar la compuso un filósofo de nombre Algus4, de ahí que también se la llame «algorismus», interpretada como el arte de numerar o el arte de introducción a los números. 3 Nótese que traducimos como «provechosa» el adjetivo latinomedieval compendiosus, -a, -um, que, además de señalar la utilidad o provecho de un saber, adopta matices de concisión y brevedad en exposiciones que abarcan realidades complejas. 4 Además de esta interpretación etimológica del término, en la época de Sacrobosco se manejaban otras muchas explicaciones, donde la recurrencia al término griego rithmós es frecuente. Sobre esto, cfr. el aparato crítico de variantes donde presentamos otra de las versiones encontradas en los códices y la parte del estudio estemático donde desarrollamos dicha innovación como posible inserción manu auctoris. 489 3 Numerus quidem dupliciter notificatur. Materialiter enim ut numerus est unitates collecte, formaliter ut numerus est multitudo ex unitatibus profusa. Unitas vero est qua unaqueque 10 res una dicitur. Numerorum alius digitus, alius articulus, alius numerus compositus. Digitus quidem est omnis numerus minor denario; articulus est omnis numerus divisibilis in 10 partes 8/10 Numerus – profusa] cfr. BOETH., Instit. 1.3 (p. 13, 10/12), cfr. Alchor. I (p. 64, 3/8), cfr. Pulver. (p. 63, 12/15), cfr. Dixit Algor. 1.3 (p. 30, 59/69), cfr. Ysagog. (p. 26, 3), cfr. FIBON., Abac. 1 (p. 2), Coment. II, 40/43 9/ 10 formaliter – profusa] EUCLID., Element. 7.2 (p. 196, 4), cfr. ISID., Etym. 3.3 (s.p., 1/2), Coment. II, 39/40 10/11 Unitas – dicitur] EUCLID., Element. 7.1 (p. 196, 3), cfr. Alchor. I (p. 63, 12/19), cfr. Pulver. (p. 63, 11/12), Ysagog. (p. 25, 18) 11/16 Numerorum – compositus] cfr. Alchor. I (p. 66, 1/21), cfr. Pulver. (p. 64, 24/30, p. 65, 1/4), cfr. VILLAD., Carm. 14/19, cfr. Coment. II, 156/168, cfr. Egert. (p. 411) 12/15 Digitus –  articulo] cfr. GERBERT., Regula abac. (p. 324) 8 quidem] autem G, vero Lo5 Pa7 Ox7, enim Va8 dupliciter] post notificatur transp. Ca notificatur] consideratur Lo5, materialiter et formaliter add. Lo4 Pa7 Ox7 Lo3m, scilicet materialiter et formaliter add. Bu Mu3 Va8 8/10 Materialiter – profusa] ut numerus ex unitatibus multitudo pertransita Lo4 8 enim] om. W1 Lc Ma Lo5 Pa7 Ox7 Mu3 Mu5 Y1 Ca, autem Lo3, sic Lo2, scilicet Pa8 ut] om. Ko Ox7 Lo2 Y1 9 ut] om. Ox7 Y1, sic Lo2 Ca, autem S est2] ut add. Mu5 10 multitudo – profusa] unitatum collectio vel numerus est multitudo ex unitatibus profusa G, unitatum collectio G Lo5 Pa7 Ox7 multitudo] est add. Pa2a profusa] aggregata G, aggregata vel profusa Bu, collecte vel profusa Mu5, vel aggregata add. Va8m vero] om. En Ox2 G Mu3 Lo2 Y1 Ca, quidem Bu Pa7 Ox7 Wo Va10, autem Pa2 11 una dicitur] om. Lca, add. Lcm una] om. Pa8, esse add. Fi2 dicitur] ante unaqueque praem. Lo5, ante una praem. Be Lo3 Es Lo2 Numerorum] vero add. Bu Pa7 Ox7 Wo, autem add. W1 Lc Ko H Mo En Mu3 D1 Pa2 Va10 Y1 S Pa8 Ca alius1] est add. Mo Fi2 11/12 alius2 – compositus] alius compositus alius articulus Ox2 11 alius2] est add. Fi2 12 numerus1] om. Ox2 G Lo5 Lo2 Mu5 Pa8, ex hiis add. Lo2 compositus] sive mixtus add. Lo4 Ko G Bu Lo5 Pa7 Ox7 Wo Mu3 Va10 quidem] om. G Bu Lo5 Pa7 Ox7 Wo Lo2 Ca, autem Va8 est] om. Mu5 Y1, dicitur Wo numerus2] om. Lca, add. Lcs 13 denario] dineario Pa8a sic, id est decem add. Lc, id est infra decem add. H articulus] vero add. Lc Mu3 Pa8, quidem add. Be Lo3 D1 Es, autem add. Pa8 Ca est] om. H Lo2 omnis] om. Bu divisibilis] qui potest dividi Ox2 G Bu Lo5 Ox7 Wo D1, divisus Pa2a sic, post equales transp. Pa2 in] per Pa2 10 Ma Mu2 Lo5 Mu3 Be Lo3 Es Mu5, decem W1 Lc H Ko Mo En Fi2 G Pa7 Va10 Va8 Pa8, X Lo4 En Ox2 Bu Ox7 Wo D1 Pa2 Lo2 Y1 S Ca 490 3 El número se da a conocer, de hecho, de dos maneras: materialmente, en efecto, porque el número son unidades amontonadas; formalmente, porque es una multitud de unidades en su extensión. Por su parte, la unidad es cada una de las cosas que se hace llamar una. De los números unos son dígitos, otros artículos, otros números compuestos5. Primero, el dígito todo número menor que la decena; el artículo es todo número divisible en 10 partes 5 Mantenemos los términos directamente tomados del latín, donde dígito es cualquier cifra de las unidades, artículo cualquier decena pura y número compuesto aquel formado por decenas y cifras diferentes de cero en las unidades. 491 4 equales, ita quod nichil sit residuum; compositus sive mixtus est qui constat ex digito et articulo. Et sciendum quod omnis 15 numerus inter duos articulos proximos est compositus. Huius autem artis 9 sunt species scilicet numeratio, additio, subtractio, mediatio, duplatio, multiplicatio, divisio, progressio et radicum extractio; et hec dupliciter, quoniam in numeris quadratis et cubicis. Inter quas primo de numeratione et 20 consequenter de aliis per ordinem dicetur. 15/16 Et – compositus] cfr. Maham. 141/143 (p. 5) 17/21 Huius – dicetur] cfr. Alchor. I (p. 62, 22/26, p. 63, 1/9), cfr. Pulver. (p. 62, 22/26, p. 63, 1/10) 17/20 Huius – cubicis] cfr. Ysagog. (p. 26, 1/3), cfr. VILLAD., Carm. 28/31, cfr. Coment. II, 86/90, cfr. Egert. (p. 403, 7/10) 14 equales] scilicet add. Pa2 ita – residuum] om. G Va8 ita] in Wo sit residuum] residuum sit Be Lo3 Es, remaneat Lo2 residuum] vel articulus est decuplus vel centecuplus [sic] vel millecuplus et cetera sui digiti a quo denominatur add. Fi2, vel articulus est decuplus vel centuplus vel millecuplus vel decies millecuplus et cetera sui digiti a quo denominatur add. Mu2 compositus] numerus compositus Va8, quidem add. W1, vero add. Fi2 Wo Va10 Y1 sive mixtus] om. Mu3 Va8 est] om. Mu5 Y1, ille numerus add. Lcs, omnis numerus add. Ox2, ille add. Mu3 15 digito – articulo] articulo et digito H Bu Va8 Et] om. Bu, unde Va8 sciendum] est sciendum W1, sciendum est Ko Lo3 Va10, est autem sciendum Bu omnis] deest Fi2 mutilo folio 16 inter] om. Va10a, add. Va10s, intra Lo5, infra Ox7 duos articulos] articulos duos Va10 duos] 2 Lo3 est] om. H, numerus add. Mo Ox2 G Bu Lo5 Pa7 Ox7 Wo D1 Lo2 Y1, est numerus iter. Y1 17 Huius] huiusce Ox7 autem] om. Ox7 Wo Lo2 artis] om. Ox2 9 Ma Fi2 Mu2 Bu Lo5 Pa7 Mu3 Lo3 Es Mu5 Va8, om. Ox2, novem W1 Lc H Ko Mo En G Be D1 Pa2 Va10 Y1 Pa8, IX Lo4 Ox7 Wo Lo2 S, I9 Ca sic sunt species] species sunt Ox2 Pa8, ante 9 praem. Pa8 sunt] deest Fi2 mutilo folio scilicet] om. Lo4 Lo5 Pa7 D1 Lo2 numeratio] om. Ox2 18 mediatio] om. Ma, meditatio Lca duplatio] om. Mu2a, add. Mu2m, duplicatio W1 En Y1 multiplicatio] om. W1 Ox2 19 et1] om. Lo4 Ma Bu Pa7 Ox7 Be Lo3 Va10 Pa8 Ca radicum] radic En sic et2 – quoniam] om. Mu2 hec] hoc Lc Pa7 Mu3 Lo3 dupliciter] dicit Ox7 quoniam] om. Lo4 Bu, quia Lc Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 Wo D1, scilicet En in] om. Ox7 20 quadratis] om. Mu5 et1] in numeris add. Lc, in add. Pa8 Ca 20/21 Inter – dicetur] om. Lo2 20 Inter] in H quas] species add. Lcs primo] om. Pa8, post numeratione transp. Ox7 numeratione] dicendum est add. Ma En, dicendum add. Mo 20/21 et2 – ordinem] om. Fi2 Mu2 20 et2] om. Lo4 G Wo Mu3 Pa8 21 consequenter Lc Ko Wo Be Lo3 Es Va10, consequentis H, postea W1 Lo4 Ma Mo En Ox2 G Bu Lo5 Pa7 Ox7 Wo Mu3 D1 Pa2 Mu5 Va8 Y1 S Pa8, postera Ca sic per ordinem] om. Ma Mo Bu Be Lo3 Es, ante de aliis praem. G dicetur] dicemus Lo4 H, exequetur Ma, exequemus Mo, exequimus En, dicendum est Fi2 Mu2 Mu5, videamus Be Lo3 Es, procedetur Pa8 492 4 iguales, de tal forma que no haya resto alguno; el compuesto o mixto es el que consta de un dígito y un artículo. Y es necesario saber que todo número entre dos artículos consecutivos es un compuesto. Asimismo son 9 las especies de este arte, es decir, la numeración, la suma, la resta, la mediación, la duplicación, la multiplicación, la división, la progresión y la extracción de raíces; y esta última es doble, puesto que se trata en los números cuadrados y los cúbicos. De entre estas, primero se expondrá la numeración y sucesivamente las demás por orden. 493 5 SEQUITUR DE NUMERATIONE Est autem numeratio cuiuslibet numeri per figuras competentes artificialis representatio. Figura vero differentia, locus et limes idem supponunt, sed a diversis rationibus 25 imponuntur. Figura enim dicitur quantum ad linee protractionem; differentia quantum per illam ostenditur, qualiter figura sequens differt a precedente; locus dicitur ratione spatii in des. Bu quo scribitur; limes vero quia est via ordinata ad cuiuslibet 23/24 Est – representatio] Coment. II, 93/94 24/30 Figura –  representationem] cfr. Coventr. (p. 302, 3/5), cfr. Coment. II, 175/183 22 Sequitur – numeratione W1 Ko Mu2 Ox7 S, tit. om. Lc H En Ox2 Mu3 Lo2 Mu5 Pa8, spatium tituli vacuum reliquerunt Fi2 Bu Pa7 Wo Pa2 Va8 Ca, capitulum 2 de numeratione Ma, sequitur de 9 speciebus huius artis et primo de numeratione Be, de numeratione prima species Lo3, de speciebus huius artis 9 et primo de numeratione prima specie eius Es, de numeratione add. Va8m 23 cuiuslibet] om. Pa8 figuras] om. Ga, add. Gs 24 competentes] componentes Ma sic, differentias add. G artificialis] om. Lo3a, add. Lo3s vero] autem Mo Y1 S, quidem Lo2, et add. Mo G Ox7 Mu3 S differentia] digitus Va8, post locus transp. Wo, et add. Ox2 Be Lo3 Y1 25 locus – limes] limes et locus D1 Es et] om. Bu Wo Pa2 Mu5 S limes] in hac arte add. Lo2 idem] per eodem Bu supponunt] sunt Lo2, significant Ca sed] et Bu a] om. Mu5 Pa8 rationibus] om. Ko, nominibus Ca 26/27 Figura – protractionem] om. Lo5 26 enim] om. Ox2, vero Mu3 Be Lo3 Mu5, autem Es Ca dicitur] om. Ca, in add. Ox2 quantum] om. G, iter. W1 26/27 linee protractionem] protractionem linee Ox2 27 protractionem] protractionis Ox7, protaxionem Ca sic differentia] vero add. Lo4 Ko Ma Ox2 Bu Pa7 Ox7 Be D1 Es Va10, enim dicitur add. Lo5 quantum] quia W1 Lc H Ko Be Lo3, quanto Bu per illam] om. Mu5 illam] ipsam Pa8, figuram add. Ox2 ostenditur] ad ostensionem Mu5 28 figura] om. Ca, una Lo2 sequens] om. Lo2 28/559 differt – cubicis] deest Bu deperditis foliis 28 differt] differat Lo4 H Ko Ma En Fi2 Mu2 Ox2 G Be D1 Es Mu5 Y1 a precedente] ab alia Lo2 precedente] precedenti En Pa7 Ox7, priori Wo, figura add. Ox2 locus] enim add. W1 Lo4, vero add. Lc H Lo5 Ox7, autem add. D1 Es Pa7 Va8 dicitur] om. Ma Mu5 ratione] virtute Ca 29/30 limes – representationem] om. Ma 29 limes] lineis W1 Pa8a sic, vero] om. H Ox2 Lo5 Pa7 Y1 S Ca, autem Lc Ox7, dicitur add. Lc Ko Ox7 Lo2 Ca, est add. Va8 quia est] est quoniam Lo4 est] om. Ox2, post via transp. Pa8, post numeri transp. Lc via] una W1 Mu3 ordinata] om. Pa8, est add. Lo4 494 5 SIGUE LA NUMERACIÓN La numeración es la representación artificial de cualquier número a través de las figuras adecuadas. Figura, diferencia, posición y límite refieren lo mismo, pero difieren por diversas razones6. En primer lugar, se dice figura a cuanto ocupa la prolongación de la línea; diferencia cuanto se muestra a través de aquella, de qué manera la figura siguiente difiere de la precedente; se dice posición respecto a la razón del espacio en el que se escribe; límite, en último lugar, porque es una vía ordenada para representar cualquier 6 Sobre el uso del término razón en nuestra traducción, cfr. supra, nota 1. 495 6 numeri representationem. Sciendum igitur quod iuxta novem 30 limites inveniuntur novem figure significative novem digitos representantes, que tales sunt: 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Decima dicitur theta, vel circulus, vel cyfra, vel figura nichili, quoniam nichil significat; ipsa tamen locum tenens dat aliis significare, nam sine cyfra vel cyfris purus non potest scribi articulus.35 30/32 Sciendum – 1] cfr. Alchor. I (p. 68, 25/30, p. 69, 1/7), cfr. Pulver. (p. 68, 1/5, p. 69, 1/4) 31/32 inveniuntur – 1] cfr. GERBERT., Abac. 1 (p. 361), cfr. Dixit Algor. 1.3 (p. 28, 33/34), cfr. Ysagog. (p. 25, 13/14), 39/41 (p. 28-9), cfr. VILLAD., Carm. 2/3, cfr. FIBON., Abac. 1 (p. 2), cfr. RADULPH., Abac. (p. 97), cfr. Egert. (p. 403, 11/14, p. 411) 32/ 35 Decima – articulus] cfr. Dixit Algor. 1.5 (p. 32-4, 116/124), cfr. VILLAD., Carm. 13, cfr. RADULPH., Abac. (p. 97), cfr. Egert. (p. 411) 30 representationem] presentationem Lo5 Ox7, comprehensionem Pa8, et add. Ox7 Sciendum] om. Pa2, est add. Wo igitur] om. Ox2 Pa7 Ox7 Wo Mu3 Mu5, etiam Lc G Lo5, ergo Lo4 Mo, autem D1 Es Y1, enim Va8, post iuxta transp. Pa2 quod] om. Pa2 novem W1 Lc Ko Ma Mo En G Ox7 Va10 Va8 Pa8, 9 H Fi2 Mu2 Ox2 Lo5 Pa7 Mu3 Be Lo3 D1 Es Pa2 Mu5 Y1 S Ca, IX Lo4 Wo Lo2 S 31 inveniuntur] om. Lo5, inter Lo2, post novem transp. D1 Es novem1 W1 Lc Lo4 Ko En Ox2 G Va10 Va8 Y1 Pa8, 9 H Mo Fi2 Mu2 Pa7 Mu3 Be Lo3 D1 Es Pa2 Mu5 S Ca, IX Ma Ox7 Wo Lo2, om. Lo5 figure] 9 add. Y1 significative] om. Va8, significantes En novem2 W1 Lc Lo4 Ko En Ox2 G Lo5 Va10 Va8 Pa8, 9 H Ma Mo Fi2 Mu2 Pa7 Mu3 Be Lo3 D1 Es Pa2 Mu5 Y1 S Ca, IX Ox7 Wo Lo2, vel add. Y1 digitos] iter. Koa 32 representantes] om. En que] qui Pa2 tales sunt] sunt tales En G Va10 0 – 1] 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 Ko Lo2 0] om. G Va8 S Ca Decima] decimam Lca, de cifra Ox2 sic, 10ª Pa2, potius add. Mo, figura add. G Be Lo3 33 dicitur] om. Mu5 theta] cleta H sic vel1] om. Fi2 Pa2 Lo2a, add. Lo2s vel cyfra] om. Pa8, vel cyfra nichili post figura nichili transp. Va8 vel2] om. Pa2 figura] om. G nichili] 0 add. G, om. Ca 33/34 quoniam – significat] ante decima praem. W1 33 quoniam] quia Lo5 Pa7 Ox7 Wo Be Lo3 D1 Es Lo2 Mu5 34 significat] appellatur add. Mu5 ipsa] ipsam Fi2a, nam Ca, id est praem. W1, post tamen transp. D1 Es tamen] om. Mu5 locum] om. Maa, add. Mam, lucum Mu5, post tenens transp. Mu5 Y1 S tenens] om. Ma, tenet Ox7, retinens Mu3, et add. Ox7 significare] significationem Mu5, figure add. Ko 35 nam] quoniam Ca non – scribi] scribi non potest Wo Be Lo3 Ca, ante purus praem. D1 Pa2 S, post articulus transp. Ma Mo En Fi2 Mu2 Be Lo3 Es Ca articulus] sit add. Ca 496 6 número7. Luego hay que saber que, juntamente con los nueve límites se encuentran nueve figuras significativas que representan nueve dígitos, que son estas: 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. La décima se llama theta8, círculo, cero9 o figura de la nada, puesto que nada significa, aunque esta misma, cuando tiene una posición concreta, aporta significado a las demás, pues sin uno o varios ceros no se puede escribir un artículo puro. 7 El autor describe cuatro de los elementos clave para entender esta nueva forma de numerar que implica el sistema posicional: la figura, es decir, cada una de las cifras; la diferencia, el espacio relativo de una cifra respecto a otra(s) que, en este sistema, compromete su valor (por ejemplo, el guarismo 1 colocado en la primera «diferencia», la de las unidades, indica que su valor es de uno, mientras que colocado en la segunda «diferencia», la de las decenas, su valor es diez); el locus, que hemos llamado «posición», que es el lugar físico en el que se escribe una cifra, y los límites, cada uno de los órdenes en el sistema decimal (cfr. el capítulo de la numeración en el epígrafe de los contenidos del Algor.). 8 Hace referencia a la letra griega θ, que por su forma se asimila al cero. 9 Traducimos el préstamo árabe cyfra por cero. Aunque en la actualidad la palabra «cifra» se emplea para designar un número dígito, en los tratados medievales latinos se emplea comúnmente para referirse al cero (cfr. también, por ejemplo, el Carmen de algorismo). 497 7 Cum igitur per has novem figuras significativas, adiunctas quandoque cyfre quandoque cyfris, contingat quemlibet numerum representare, non fuit necesse plures figuras inveniri significativas. Notandum igitur quod quilibet digitus una sola figura sibi appropriata habet scribi, omnis vero articulus per 40 cyfram et digitum, a quo denominatur ille articulus, habet representari, quoniam quilibet articulus ab aliquo digito 36/39 Cum – significativas] cfr. Alchor. I (p. 68, 25/30, p. 69, 1/2), cfr. Pulver. (p. 74, 11/15), cfr. Dixit Algor. 1.1 (p. 28, 10/18) 39/ 54 Notandum – deinceps] cfr. Alchor. I (p. 68, 4/24, p. 69, 15/21, p. 70, 1/15, p. 72, 15/24, p. 73, 1/4), cfr. Pulver. (p. 64, 27/30, p. 65, 1/4, p. 66, 1/4, p. 67, 1/17, p. 69, 5/11, p. 70, 1/8), cfr. Coment. II, 169/173, cfr. RADULPH., Abac. (p. 98), cfr. Maham. 786/798 (p. 33-4) 39/ 49 Notandum – articulus] cfr. Dixit Algor. 1.5 (p. 32-4, 105/135) 39/ 45 Notandum – secunda] cfr. VILLAD., Carm. 20/24, cfr. Egert. (p. 403, 17/34, p. 404, 1/7) 36 Cum] 9 Ca sic has novem] novem has W1 has] om. Y1a S, add. Y1m novem W1 En G Lo5 Mu3 Va10 Va8 Pa8, 9 Lc H Ko Ma Mo Fi2 Mu2 Ox2 Pa7 Ox7 Be Lo3 D1 Es Pa2 Mu5 S Ca, IX Lo4 Wo Lo2 Y1, om. Mu3, post figuras transp. H significativas] om. Lo2 Ca, post adiunctas transp. Va8 adiunctas] coniunctas Lo5, adiuncta Lo2 S, et Pa8 37 quandoque cyfre] om. H Pa8, iter. Ox2 quandoque1] om. Fi2a, add. Fi2m cyfre] cyfra W1 Lo4 G Lo2 Y1 S Ca, cifris Mo quandoque2] vel G Ca cyfris] ciphre Mo contingat] contingit H Ox2 Pa7, contingant Pa8 quemlibet] quem licet W1 sic 38 numerum] om. Ox2 representare] presentare Lo4, representari Mo, significare Be Lo3, ideo add. Lc Mo fuit] sunt Va8 necesse] necessarium Lo5 38/39 figuras – significativas] om. Va8 38 figuras] om. Wo inveniri] invenire H Mo G Pa7 Ox7 Wo Va10 Y1 S Ca, esse Mu5, ante figuras praem. Va10 Lo2 Pa8 Ca, post significativas transp. Lcs Ma Mo Mu5 39 significativas] om. Ma Lo5 39/51 Notandum – prius] post 62 precedenti transp. Fi2 Mu2 39 Notandum – quilibet] quilibet igitur Pa2 Notandum] ex hiis patet Fi2, ex hoc patet Mu2 igitur] om. Fi2 Mu2 Lo5 Y1 S Pa8 Ca, etiam Lo4 G Mu3 D1 Es, ergo Ko, itaque Lo2 digitus] numerus add. Pa8 una sola] om. Lo2 40 appropriata] apposita Bea, primo loco add. Fi2 Mu2 habet scribi] scribi habet Mu5 vero] om. Fi2 Mu2 Lo5, autem Ko Ca, circulus add. Lo5a 41 cyfram] circulum Lo5, vel cyfras add. Fi2 Mu2 Va10, primo positam add. Ko Wo Lo3s Ca et] per add. Lo5 Va10 Pa8 denominatur] demantur Mu5, articulus add. Va10a 41/43 ille – denominatur] om. Fi2 Ox2 41 ille articulus] om. Mu2 ille] iste S, digitus add. Woa 41/42 habet representari] habet scribi Lo4 Mu3 Y1 S, ante per cyfram praem. H 42 quoniam] quia Lo5, om. Lo2 quilibet] enim add. Lo2 ab aliquo] articulo add. Ga digito] digiti Mu3, ante ab aliquo praem. Mu3, post denominatur transp. G 498 7 Y así, como se alcanza a representar cualquier número con estas nueve figuras significativas a las que a veces se asocia un cero, a veces varios, no fue necesario que se encontraran más figuras significativas. Luego hay que saber que cualquier dígito ha de escribirse con una sola figura apropiada para este; todo artículo, en cambio, se ha de representar con un cero y un dígito, al que se le denomina artículo, puesto que a cualquier artículo se le 499 8 denominatur, ut denarius ab unitate, vigenarius a binario, et ita de aliis. Omnis vero numerus in eo quod digitus habet poni in prima differentia, omnis articulus in secunda. Omnis quidem 45 numerus a decem usque ad centum, ut centenarius excludatur, duabus figuris habet scribi: si sit articulus, per cyfram primo positam et figuram scriptam versus sinistram, que significat digitum a quo denominatur ille articulus; si sit numerus compositus, prescribatur digitus, qui est pars illius compositi, et 50 44/54 Omnis – deinceps] cfr. Alchor. I (p. 64, 16/30, p. 65, 1/28), cfr. Pulver. (p. 63, 20/24, p. 64, 1/24) 44/45 Omnis – secunda] cfr. VILLAD., Carm. 7/9 45/54 Omnis – deinceps] cfr. FIBON., Abac. 1 (p. 3) 49/51 si –  prius] cfr. Dixit Algor. 1.5 (p. 36, 169/172) 43 denominatur] nominatur Lo2, habet denominari Pa8 unitate] et add. G vigenarius] iugenarius Fi2c sic, et ingenarius Y1 sic, viginti Ca a] ab Pa8 binario] dualitate Be Lo3, 2 Y1, 2te S, triginta a ternario add. Pa7, trigenarius a ternario add. Ox7 ita] sic H G S, deinceps et add. Va8 44 aliis] numeris add. Va8 44/45 Omnis – secunda] om. Fi2 Mu2 Va10 44/45 Omnis – differentia] om. Va8 44 vero] om. H Ox2 Y1a, add. Y1m, enim Lc Be Lo3, quidem vero G, etiam Pa2 numerus] digitus Ga quod] est add. Ma habet poni] post in prima transp. Ca habet] incipiendo a parte dextra add. Y1m poni] scribi Lo2 45 prima] propria Lc, proxima Mu5 differentia] om. Bea Lo3a, add. Bes Lo3s omnis –  secunda] om. Lca, add. Lcm omnis] om. Lo4, vero add. En Lo2 S, autem add. G articulus] principalis add. Lcs secunda] 2 S, differentia add. Lcs 45/49 Omnis – articulus] omnis ergo articuli principales ponuntur per unam cyfram centenarius per duas et digitum a quo denominatur millenarii per 3 decem milia per 4 et ita de aliis Fi2, omnis ergo articuli principales ponuntur per unam cyfram centenarii per duas millenarii per 3 10 milia per 4 et ita de aliis Mu2 45 quidem] om. Ca, vero Lo4, autem Lo5, enim Be Lo3 46 numerus] qui est add. W1 Lc Lo4 H Ko Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es a] de Lo4, ad Va8 decem] 10 Lc Lo4 H Be Lo3 Es Pa2 Mu5 Y1 S, X Ox7 Wo Lo2 Ca usque] om. D1 ad] om. W1 centum] 100 H Be Lo3 Pa2 S Ca, C Ox7 Wo Lo2, centenarium Lo5 ut centenarius] om. Maa Lo5, add. Mam centenarius] simul add. Lo2 excludatur] exclaudatur Ox7a 47 duabus figuris] post scribi transp. Lo2 Y1 duabus] 2 D1, 2bus Y1 figuris] sibi competentibus add. Va10 scribi] et ita add. H Mo Lo2 cyfram] 0 Ox7 primo] loco add. W1 Lcs Lo4 48 et] per add. Lo2 figuram] significativam add. Lc versus sinistram] a sinistris Lo2 sinistram] partem add. Va10 49 ille] om. H Ko G Pa7 Be Lo3 D1 Es Pa2 Mu5 Y1 S articulus] om. Y1 49/51 si – articulus] om. Ma 49 si] vero add. Be Lo3 sit] om. Y1 50 compositus] et positus W1, om. Lca, add. Lcs prescribatur] vel scribatur Lo5, primo scribatur Be Va10, scribitur Lo2 qui] que Lo5 pars] in W1 illius] om. S, ipsius Lo5, numeri add. W1 Lc G Wo Be Lo3 Va10 Va8 S 500 8 denomina según algún dígito, como la decena por una unidad, la veintena por un dos, y así para los demás. Por lo tanto, todo número que contenga un dígito se pone en la primera diferencia; todo artículo, en la segunda. En efecto, todo número desde el diez hasta el cien, excluyendo la centena, se ha de escribir con dos figuras: si fuera un artículo, con un cero puesto en la primera posición10 y una figura11 escrita hacia la izquierda, la que da significado al dígito gracias al cual dicho artículo recibe su nombre; si fuera un número compuesto, se escribirá delante el dígito, que es parte de dicho 10 Es decir, la primera posición empezando a contar desde la derecha hacia la izquierda, donde estaría la casilla de las unidades. 11 El autor siempre diferencia cyfra y figura, donde esta segunda es empleada siempre para designar guarismos diferentes de cero. 501 9 sinistretur articulus ut prius. Omnis numerus qui est a centum usque ad mille, ut millenarius excludatur, per tres figuras habet scribi; omnis numerus a mille usque ad decem milia per quatuor, et ita deinceps. Notandum etiam quod quelibet figura primo loco posita 55 significat suum digitum, secundo decies suum digitum, tertio 51/54 Omnis – deinceps] cfr. FIBON., Abac. 1 (p. 4-5) 55/61 Notandum –  precedenti] cfr. FIBON., Abac. 1 (p. 2-4) 55/59 Notandum – 1000] cfr. GERBERT., Abac. 1 (p. 360-1), 2 (p. 364), cfr. Dixit Algor. 1.4 (p. 30-2, 70/90), cfr. Coment. II, 184/187 55/58 Notandum – millesies3] cfr. Alchor. I (p. 70, 16/26, p. 71, 1/7), cfr. Pulver. (p. 70, 8/19, p. 73, 10/14), cfr. Dixit Algor. 1.5 (p. 34-6, 135/169), cfr. Ysagog. (p. 25, 15/17), cfr. Add. in Carm. VII, 1/3, cfr. Egert. (p. 411), cfr. Maham. 144/157 (p. 5-6) 51 ut prius] om. Mu3 Va8 prius] omnis numerus qui est a decem usque ad centum ut centenarius excludatur per duas figuras habet scribi add. Pa7 51/54 Omnis – deinceps] om. Fi2 Mu2 51/52 Omnis – figuras] om. Pa7a, add. Pa7m 51 Omnis] enim add. W1 Lc Lo4 H Be Wo Lo3, autem add. Ko Ox7 numerus] om. Pa7 qui est] om. Pa7 Lo2 est] om. Mu5 51/52 centum – mille] deest Wo mutilo folio 51 centum] 100 H Be Lo3 S Ca, centenario G, C Ox7, inclusive add. Lo3s 52 mille] 1000 H Lo3 S, millenarium G, M Pa7 Y1 ut] et Mo excludatur] celudatur W1 sic tres] 3 Lc H Ma Pa7 Ox7 Be Lo3 Es Mu5 Y1, 3es S 52/53 figuras –  scribi] deest Wo mutilo folio 52 figuras] cyfras vel figuras Ma En Wo, alias add. En, et ita add. Ma 52/53 habet scribi] om. Pa7, ante per tres praem. G Lo5 Mu3 53/54 omnis – deinceps] om. Be Lo3a, add. Lo3m 53 omnis numerus] om. Ox7 omnis] item praem. Ma Wo, autem add. Lo4 H G Es, quidem add. Va10 numerus] om. W1 Lo4 H Ma Mo Ox2 G Pa7 D1 Pa2 Mu5, qui est add. Pa8, id est qui est add. Lcs, a decem add. Lo2a mille] 1000 H S, M Y1, inclusive add. Lo3 usque] om. Es ad] om. Lo5 decem milia] 10000 S decem] 10 H Ma Mu3 Lo3 Ca, X Lo4 Wo D1 Es Y1 quatuor] 4 Lc H Ko Ma Mo Ox2 Ox7 Mu3 D1 Es Pa2 Mu5 Y1, 4or Lu3 S, IIIIor Va8, IIII Wo Ca, figuras add. Y1, figuras habet scribi add. Va8 54 ita] sic Lc H Pa8, et sic add. Ca 55 Notandum] est add. Va8 Pa8 Ca etiam] om. Lc Ma Mo G D1 Es, igitur W1 Fi2 Mu2 primo loco] loco primo Mu5 loco] om. G 56 significat] tantum add. Be Lo3 Lo2 suum digitum1] illam ipsam Wo secundo] loco add. Lcs Ko G Lo5 Wo Mu3 D1 Es Va8 Pa8 Ca, loco posita add. Ox7 decies] 10 H suum digitum2] om. W1 Pa8 tertio] 3º Lo3 Pa2 S, loco add. Ox7 Pa8, loco significat add. Lcs 502 9 compuesto, y se pondrá a la izquierda el artículo como antes. Todo número que vaya del cien al mil, excluyendo el millar, se ha de escribir con tres figuras; todo número del mil al diez mil con cuatro, y así sucesivamente. También es reseñable que cualquier figura puesta en la primera posición significa su propio dígito; en la segunda, diez veces su dígito; en la tercera, 503 10 centies, quarto millesies, quinto decies millesies, sexto centies millesies, septimo millesies millesies, et sic in infinitum multiplicando per hec tria: 10, 100, 1.000. Que tamen omnes in hac comprehenduntur maxima: quelibet figura sequenti loco 60 posita decies tantum significat, quantum in precedenti. Et sciendum quod supra quamlibet figuram loco millenarii positam 58/61 et – precedenti] cfr. VILLAD., Carm. 9/12 59/61 Que – precedenti] cfr. GERBERT., Abac. 2 (p. 364), cfr. Dixit Algor. 1.5 (p. 32, 105/109) 61/ 65 Et – pertransita] Coment. II, 189/192, cfr. Egert. (p. 412) 57 centies1] 100 H, suum digitum add. Lcs H G Be Lo3 Es Va10 quarto] 4º Mo Mu2 Lo3 Pa2 Va8 S, IIIIto D1 Ca, loco add. Pa8, loco significat add. Lcs, decies add. Pa7a millesies1] milies W1 Pa2, 1000 H, suum digitum add. Lcs G Be Lo3 quinto – millesies2] om. Mu5 quinto] 5º Mo Ox2 Lo3 Pa2 Va8 S, 5 Mu2, Vto Wo Es, loco significat add. Lcs decies] 10 H, X Y1 millesies2] mille Wo, millies Pa2, suum digitum add. Lcs G Be Lo3 57/58 sexto – millesies3] om. H Pa7 Be Lo3 Y1 S 57 sexto] 6º Pa2 Va8, 6 Mu2, VIto Wo Es, loco significat add. Lcs 58 millesies1] mille Wo, millies Pa2, suum digitum add. Lcs G septimo millesies] om. Va8 septimo] 7º Ox2 Pa2, 7 Mu2, VII Es, VIImo Wo, loco significat add. Lcs millesies2] mille Ox7 millesies3] millo W1 sic, mille Ko Maa Mo En Fi2 Mu2 G Wo Va8 Pa8 Ca, quantum omnes add. W1, suum digitum add. Lcs, vicibus suum digitum add. G, octavo decies millesies (mille Ox7) millesies nono centies millesies (mille Ox7) millesies add. Ox7 Va10m 58/59 et – 1000] om. Mu5a, add. Mu5m 58 et] om. G sic] ita Pa7 Ox7, usque add. H Pa8 in infinitum] deinceps Fi2 Mu2 infinitum] et sic add. En 59 multiplicando] differentias add. Lc per] et Pa8 hec tria] om. Fi2 Mu2 hec] ista Lo5 tria] 3 Ko Y1, 3ª Lo3 S, scilicet H Y1 Ca 10] decies Lc Ma Mu5, decem Lo4 G Pa7 Ox7 Wo Y1 Pa8 Ca, X Ox2 Lo2 Va8 100] centies Lc, centum Lo4 Ko G Pa7 Ox7 Wo Mu5 Y1 Pa8 Ca, C Ma Ox2 Va10 Lo2 Va8, et add. W1 Lc H G Pa7 Es Va10 Mu5 1000] millesies Lc Mu5, mille W1 Lo4 Ko En Fi2 Mu2 G Pa7 Ox7 Wo Lo2 Y1 Pa8 Ca, M Ma Ox2 Va10 Va8 59/60 Que – maxima] om. G Lo5 Pa7 Ox7, vel aliter Fi2 Mu2, et istud in una maxima comprehenduntur Lo2 59 Que] quod H tamen] cum H Mu3, om. En omnes] om. Y1, omnia Ox2 Y1, regule Lc 59/60 in hac] om. W1 Ca, post comprehenduntur transp. Lo4 H Va8 S 60 hac] om. Lo2, una Pa8 comprehenduntur] continentur Va10, post maxima transp. Va10c maxima] vel aliter add. Ma, que talis est add. Pa8 Ca 60/61 quelibet – precedenti] om. Lo5 Pa7 Ox7, sciendum quod ultima figura plus signat quam omnes precedentes Fi2 Mu2 60 quelibet] post figura transp. Va8 figura] in add. H Ox2 Wo Lo2 Mu5 Y1 S sequenti] secundo Ko 61 decies] 10es Es, Xes Y1 precedenti] prima Mu3 61/65 Et – pertransita] om. Fi2 61 Et] om. Ma Lo5 Mu3 Lo2 62 sciendum] secundum W1, notandum H Lo5 Y1 S, quidem add. Lo5, autem add. Mu3 quamlibet] om. Lo4 H loco] post positam transp. Mu3 millenarii] 1000 Mu3 positam] om. Lo5 504 0 cien; en la cuarta, mil; en la quinta, diez mil; en la sexta, cien mil; en la séptima, mil veces mil, y así hasta el infinito multiplicando por estos tres: 10, 100, 1.000. Aunque todo esto está comprendido en la siguiente máxima: cualquier figura que se ponga en la posición siguiente12 significa diez veces su valor con respecto a la precedente. Y hay que saber que sobre cualquier 12 O sea, una casilla hacia la izquierda. 505 11 competenter potest poni quidam punctus ad denotandum quod tot millenarios debet ultima figura representare quot sunt puncta pertransita.65 Sinistrorsum autem scribimus in hac arte more Arabum, huius scientie inventorum, vel hac ratione: ut in legendo, consuetum ordinem servantes, maiorem numerum preponamus. 66 Sinistrorsum – arte] cfr. Egert. (p. 404, 8/13) 63 potest] post poni transp. Mu5 quidam] om. Lo2 Va8 punctus] perventus W1 sic ad denotandum] ut denotetur Lo5 64 millenarios] 1000 Mu3 figura] om. Be representare] presentare W1, significare Wo sunt Lc Lo4 H Ma En Mu2 Ox2 G Pa7 Mu3 Va10 Lo2 Mu5 Va8 Y1, fuerunt W1 Lo5 Wo Es S Pa8 Ca, fuerint Ko Mo Pa7 Ox7 Be Lo3 D1 Pa2 66 autem] om. Lo5 Wo Be Lo3, aut H, post scribimus transp. Lca scribimus] post arabum transp. H, scribitur Ma Mu5 hac arte] arte hac Mu5 arte] parte Fi2a Mu3 Arabum] arabico Ma Mo En Fi2 Mu2, sive iudaico add. Ma Mo Fi2 Mu2, sive iudeorum add. En, et add. Mas 67 huius] om. S, istius Pa7 Ox7, post scientie transp. Ca scientie] artis Va8 hac] hoc Mu5 ratione] que melior est add. Lcs, et meliori add. Be Lo3 in] om. D1 Mu5 68 ordinem] morem et ordinem Mu5, penitus add. Be Lo3 servantes] om. Ma, conservantes Be Lo3, observantes Mu5, nos add. Lcs numerum] minori add. Lo3s Ox7 preponamus] preponas Ma, preponentes simus G, preponimus Mu3, notandum quod ipse dicit indorum quia in india componabatur hec ars in qua erat aliquid ita locupletatus quod finem bonorum restituit ad instantiam cuius quidam dictus occupatus est studio add. Ox2 506 1 figura puesta en la posición del millar puede ponerse acertadamente un punto para señalar que la última figura debe representar tantos miles cuantos puntos hay en su recorrido. Además, en este arte escribimos hacia la izquierda según la costumbre de los árabes, inventores de esta ciencia, o por esta razón: para que al leer, sirviéndonos del orden habitual, antepongamos el número mayor. 507 12 SEQUITUR DE ADDITIONE Additio est numeri vel numerorum ad numerum aggregatio, 70 ut videatur summa excrescens. In additione duo ordines figurarum et duo numeri ad minus sunt necessarii scilicet numerus cui debet fieri additio et numerus addendus. Numerus cui debet fieri additio est numerus qui recipit additionem alterius 70/71 Additio – excrescens] cfr. Alchor. I (p. 74, 24, p. 75, 1/2), cfr. Pulver. (p. 74, 23, p. 75, 1/2), Coment. II, 254/255 69 Sequitur – additione W1 Ox7 Mu3 Pa2, tit. om. Lc H Lo2 Mu5 Y1 Pa8, spatium tituli vacuum reliquerunt Fi2 Ox2 Pa7 Wo Va8 Ca, de additione Lo4 Ko Mu2 G Lo5 D1 Va10, capitulum de additione Ma, sequitur item de additione secunda specie huius artis Mo, prima species de additione En, de additione secunda specie huius artis numerandi etc. Be, de additione secunda species Lo3, de secunda specie huius artis scilicet additione Es, sequitur de additione 2ª specie huius artis S, de additione add. Va8m 70 Additio] vero add. Wo est] post numerorum transp. Ma numeri] ad numerum add. Va10a vel numerorum] om. Ox2 Mu3 Pa7 ad numerum] om. Be Lo3a Y1, add. Lo3s numerum] vel numeros add. Lo5 aggregatio] congregatio Pa7 Lo2a, add. Lo2m 71 videatur] videtur Mu5, post excrescens transp. Pa8 summa] om. Pa2a, add. Pa2s, numerus Pa7 excrescens] excedens W1 Ma G Y1, excedens vel excrescens Mu2, unde addere numerum numero nichil aliud est quantum propositis (-us Ca) duobus numeris tertium (tertium om. Pa8) invenire qui precise contineat illos duos add. Pa8 Ca additione] autem add. W1, vero add. H Pa8 71/72 duo – numeri] duo numeri et duo ordines figurarum Fi2 Mu2 Mu3, duo numeri figurarum et duo ordines Ma Mo En 71/72 duo – figurarum] om. Lo2, post ad minus sunt transp. Lo4 71 duo] om. H, 2 D1 Es, due Pa8, sunt add. Ox2 Be Lo3 ordines] codines H sic 72 figurarum] om. Pa7 et – numeri] om. G Ox7 et] om. Lo4 Mu3, vel Mu2a Es, id est Pa8 duo] 2º Ox2, 2 D1 Es Y1 ad minus] om. H Ox7 Lo2 Pa8 Ca, post sunt transp. Lo4, post necesarii transp. G sunt necessarii] ante figurarum praem. Mu5, ante et duo praem. Es Va8 sunt] om. Ox2 Be Lo3 scilicet] si Lo2 73 numerus1 – addendus] numerus addendus et numerus cui debet fieri additio Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 Mu3 Be Lo3 D1 Es Va8 cui] deest Fi2 mutilo folio addendus] om. Fi2a, add. Fi2m, addenda Mu5 73/76 Numerus – subscribi] et debet supra scribi numerus cui debet alius addi et debet subscribi Va8 73/75 Numerus – scribi] post 77 subscribi transp. Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 Mu3 Be Lo3 D1 Es 73 Numerus] enim add. Ma, vero add. Ox2 G Pa7 Ox7 Mu3 D1 Es 74 debet fieri] fit Lo5 additio] om. Fi2a, add. Fi2m 74/75 est –  debet1] om. G 74 est] et Ko, ille add. W1 Lc Lo4 H Ko Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es numerus] om. H Ox7 Mu3 Be Lo3 D1 Es Pa2 recipit] debet recipere Ox2 Pa8, additionem] post alterius transp. Ca, numeri add. Fi2 alterius] om. Lo4 G D1 Es Lo2, super se add. D1 Es 508 2 SIGUE LA SUMA La suma es la agregación de un número o números a otro número, de forma que se vea la cantidad resultante. En la suma son necesarios, al menos, dos órdenes de figuras y dos números13, es decir, el número al que debe hacerse la suma y el número que hay que añadir14. El número al que debe hacerse la suma es el número que recibe la adición del otro y debe escribirse 13 Con esto quiere decir que, en la suma, hace falta que haya al menos dos números, cada uno de ellos compuesto por x figuras, y colocados en dos series, de forma que cada una de las figuras que conforman cada número se sitúe en su casilla correspondiente de unidades, decenas, centenas, etc. Veremos a continuación que dichas series se ponen en vertical una sobre otra haciendo coincidir sus casillas. 14 Nótese que en castellano no solemos hacer tal distinción, sino que denominamos «sumando» a cualquiera de los números implicados en la suma cuya cuya cantidad ha de ser añadida al otro o a los otros sumandos. 509 13 et debet supra scribi; numerus vero addendus est qui debet addi 75 ad alium et debet subscribi. Et competentius est ut minor numerus subscribatur et maiori addatur quam e contrario; sed sive sic sive sic fiat, semper idem proveniet. Si velis igitur numerum numero addere, scribe numerum cui debet fieri additio in superiori ordine per suas differentias, 80 numerum vero addendum in inferiori per suas differentias, ita quod prima inferioris ordinis sit sub prima superioris, secunda 79/97 Si – prius] cfr. Cashel 3.1 (p. 20), cfr. Egert. (p. 412) 79/92 Si –  articuli] cfr. Ysagog. (p. 32, 20, p. 33, 1/3) 79/84 Si – superioris] cfr. FIBON., Abac. 3 (p. 18) 79/83 Si – aliis] cfr. Alchor. I (p. 75, 2/13), cfr. Pulver. (p. 75, 2/13), cfr. Dixit Algor. 2.1 (p. 44, 325/337), cfr. VILLAD., Carm. 35/38, cfr. Coment. II, 256/259, cfr. Egert. (p. 404, 16/23) 75 et – scribi] alter vero supra scribi (subscribi Lca) post subscribi transp. Lc debet1 – scribi] superscribi W1 Lo4 H Ko Fi2 Ox2 Mu3 Lo2 Mu5 Y1, scribi supra Mo Be Lo3 Ca, scribendus est superius G, si add. Maa 75/76 numerus – subscribi] et iste debet scribi reliquus vero supra scribi Lo2 75 vero] om. W1 Lo4 Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es Y1 est] ille numerus add. W1 Lc Y1, ille add. H G Lo5 Pa7 Ox7 Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es 76 ad alium] alii S alium] alterum Ko Va10, numerus add. Lcs Y1 et] om. Va8 subscribi] om. Fi2 spatio relicto, scribi inferius G Be Lo3 Et] om. G Be Lo3 competentius] competenti Va8, tamen add. G est] tamen add. Be Lo3 76/77 minor numerus] numerus minor Mo 77 numerus] om. G et] minor add. Pa7 Ox7 maiori] maior D1 e contrario] econverso W1 Lc H Fi2 Mu3 Ca 77/ 78 sed – fiat] tamen si fiet econtrario Lo2 77 sed] et Be Lo3, fuit add. H 78 sive2 – fiat] om. Lca, fiat sive sic Lcs sive2] non add. G Y1 Pa8 sic2] om. G Pa8 fiat] om. Ox2 G, post sed sive sic transp. Pa7 Ox7 Y1 S Pa8 Ca, faciat D1, fiet Va8 semper] om. Lo5 Lo2, post idem transp. En proveniet] provenieret H, provenit Ma Mo En Fi2 Mu2 Pa7 Ox7 D1 Es, eveniet Y1 79 velis igitur] velis ergo Ko Pa7, igitur velis Mo En Fi2 Mu2 Pa8, ergo velis Ma Va10 Lo2, igitur vis Ox2, ergo vis Va8, velis Mu3 numerum1] aliquem numerum Fi2 Wo, post numero transp. H G Pa2 numero] post addere transp. Mu5 80 fieri] addi Ha in superiori] inferriori Ox7 sic suas] duas Pa8, post differentias transp. Ma Ox2 81 numerum – differentias] om. Ko Lo5 Va10a, add. Va10m vero] om. Mu2a Pa7 Ox7, add. Mu2s, ita Mu5a addendum] addere dum Lo2 in inferiori] om. Mu5 in] om. Ox2 Ca inferiori] ordine add. G Pa7 Ox7 Lo2, parte add. Ox2 differentias] om. W1 Lc H Mo En Fi2a Wo Mu3 D1 Es Pa2 Va8 Y1 S, add. Fi2m ita] om. Lo2 82 ordinis] om. G Va8, prime superioris add. H sit] om. Wo Lo2 Ca, iter. Pa7 superioris] ordinis add. W1 En Ox2 G Pa7 Ox7 Va10 Y1 S Pa8 Ca 510 3 arriba; en cambio, el número que ha de añadirse es el que debe ser añadido al otro y debe subscribirse. Y es más conveniente que el número menor se escriba debajo y se añada al mayor que al contrario, pero ya se haga así o asá, siempre sale lo mismo. Por tanto, si quieres añadir un número a otro número, escribe el número al que debe hacerse la adición en el orden superior ordenado según sus diferencias; el número que ha de añadirse, en cambio, en el orden inferior según sus diferencias, de tal forma que la primera del orden inferior esté bajo la primera del superior, la segunda bajo la segunda, y así las demás. Hecho 511 14 sub secunda, et ita de aliis. Hoc facto, addatur prima inferioris ordinis prime figure superioris. Ex tali igitur additione aut excrescet digitus, aut articulus, aut numerus compositus. Si 85 digitus, loco superioris delete scribatur digitus excrescens; si articulus, loco superioris delete scribatur cyfra et transferatur digitus, a quo denominatur ille articulus, versus sinistram et 83/97 Hoc – prius] cfr. Dixit Algor. 2.1 (p. 44-6, 338/363) 83/96 Hoc –  prius] cfr. Alchor. I (p. 75, 13/26, p. 76, 1/25, p. 77, 1/22), cfr. Pulver. (p. 75, 14/26, p. 76, 1/24), cfr. VILLAD., Carm. 39/48 83/90 Hoc – vacuo] Coment. II, 261/266, cfr. Egert. (p. 404, 30/34, p. 405, 1/13) 83 ita] sic Ox2 G Mu3 Be Lo3 Pa8 de aliis] deinceps W1 Be Lo3 Lo2 aliis] et incipe operari a prima figura in additione subtractione et mediatione (in aliis autem speciebus a sinistra add. Fi2) unde versus subtrahis aut addis a dextris vel mediabis a leva dupla divide multiplica extrahe radicem duplam sub parte sinistra add. Fi2 Mu2 Hoc facto] om. Fi2 Lo5 Hoc] quo W1 Lc Lo4 H Wo, autem add. Pa8 Ca addatur] additur Fi2, addenda est Be Lo3, igitur add. Fi2 Lo5 prima] figura add. W1 Lc Fi2 G Va10 Pa8 Ca 84 ordinis] om. W1 Mu3 Mu5, sit add. Pa8 prime] om. Lca, om. Lcc, sub prima Pa8, ad primam Va8, post figure transp. D1 Es figure] om. Lc Lo4 H Ko En Ox2 Lo2 Va8 Y1 superioris] ordinis add. Mo Pa7 Ox7 Mu3 D1 Es Va10 Va8 Ex] et Ma tali] hac Ox2 igitur] ergo Ko Va10 Lo2 Va8, autem Ox7 aut] om. Lo2 Mu5, vel D1 85 excrescet] excresset Lo4 sic, excrescit G Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es Pa8 Ca, crescat Va8, numerus add. Ox2 aut1] om. Ox2, vel Va8 numerus] om. Ox2 Si] excrescat add. Lo4 H 86 loco –  excrescens] ex directo sibi supraposite figure ponatur (supraposite add. Fi2a, del. Fi2c, ut loco superioris delete scribatur add. Fi2m) Fi2 Mu2 superioris] prioris W1, figure prioris Va8, figure add. Lc H, figura add. Va8 scribatur] scribitur Lo2 86/87 digitus2 – scribatur] om. Va8 86 digitus2] om. Mu3, numerus Pa8 excrescens] exquidens Lo2 sic, ex illa additione add. Lo4 H 86/87 si – scribatur] om. Mu5 86 si] vero add. Lo4 87 articulus] ex directo (supraposite add. Fi2m) add. Fi2 Mu2, superioris delete add. Mu3a, del. Mu3c loco – delete] vel loco superioris delete Fi2a, vel loco superioris delete scribatur Lcm loco superioris] su. loco H sic, supraposite Mu2 superioris] et add. Lc delete] om. Mu2, de. H sic scribatur] ponatur Fi2 Mu2 cyfra] 0 Ox7 et] vel Lo2 87/88 transferatur – sinistram] sinistretur articulus sive digitus a quo denominatur ille articulus Va8 87 transferatur] transferat W1 H En G Mu3 Y1, portetur Fi2 Mu2, post articulus transp. Fi2 Mu2 88 digitus –  articulus] articulus Ma En Fi2 Mu2 Lo5 Mu3, articulus a quo denominatur ille digitus S digitus] articulus Pa8a, del. Pa8c a –  articulus] post sinistram transp. W1 H G Y1 denominatur] denotatur Lo5, denominamus Mu5 ille articulus] articulus ille Mo Mu3 versus sinistram] om. Pa8 Ca, ad inferiorem figuram Fi2 Mu2, partem add. Lo4 88/89 et – sequens] om. Fi2 Mu2 88 et] om. D1, vel Ma En Lo3a 512 4 esto, que se sume la primera del orden inferior a la primera figura del superior. Y así, de tal suma saldrá un dígito, un artículo o un número compuesto. Si un dígito, en la posición de la superior, tras eliminarla15, se escribe el dígito que resulta; si un artículo, en la posición de la superior eliminada se escribe un cero y se transfiere el dígito, gracias al cual dicho artículo recibe su nombre, hacia la izquierda y se añade a la próxima figura 15 Respecto a las figuras eliminadas, nótese que Sacrobosco va operando de tal forma que el resultado se escribe en el orden superior, donde antes se encontraba el sumando mayor. Así pues, durante la operación directamente se van borrando las cifras de este sumando y se van sustiuyendo por el resultado de sumar a estas las figuras del sumando menor. Este procedimiento es plenamente comprensible si tenemos en cuenta que en la época se empleaban tablillas de arena para tal fin, de forma que es más fácil borrar en la arena el número del sumando y en su lugar poner el resultado, sin necesidad de tachar o raspar una hoja papirácea o de pergamino. 513 15 addatur proxime figure sequenti, si sit figura sequens; sin autem ponatur in loco vacuo. Si autem contingat quod figura sequens 90 cui debet fieri additio articuli sit cyfra, ea deleta, loco eius scribatur digitus articuli. Si sit figura novenarii et ei debet addi unitas, loco illius novenarii scribatur cyfra et sinistretur articulus ut prius. Si excrescat numerus compositus, loco superioris delete scribatur digitus, qui est pars illius compositi, et 95 90/94 Si – prius] Coment. II, 269/274 90/92 Si – articuli] cfr. Alchor. I (p. 79, 27/28, p. 80, 1/6), cfr. Pulver. (p. 79, 12/13) 94/96 Si – prius] Coment. II, 266/269 89 proxime] prime vel proxime W1, prime Lc, om. Lo2 figure] figures Ma sic si – sequens] si sequens fuerit aliqua figura Lo4 H sequens] significatam add. Mu3 sin autem] si autem W1 Lo4, si vero non Ma, si non Mo En Mu2 D1 Es Pa2, si non sit Fi2, si nulla Be Lo3, scilicet si non sit Y1 autem] quicquid addendus est cifre loco delete scribatur add. Mu2a, del. Mu2c 90 ponatur] scribatur Lo2, post vacuo transp. Ox7 in] om. Lo5 Wo Pa8 Ca vacuo] a parte sinistra add. Fi2 90/94 Si – prius] om. Fi2 Mu2 90 autem] vero Lc, enim En contingat] om. Lo3a, add. Lo3m figura] om. Ma sequens] om. Lo2 Va8 Y1 91 cui – articuli] post cyfra transp. Wo fieri additio] om. Lo2 fieri] om. Y1a, add. Y1m articuli] om. Lo4 Ko Mo D1 Es Y1, articulus Lo2, si add. Mu3 91/92 sit – articuli] om. Va8 91 cyfra] 0 Ox7 deleta] et add. Ma loco eius] om. En Pa7 Mu3 92 scribatur] ponatur Mo, ponatur vel scribatur Ox7, articulus add. Lo2a, del. Lo2c digitus articuli] articulus G Lo5 Be Lo3 Va10 digitus] illius add. Lo4 articuli] om. Lca, add. Lcs, illius add. Lo2 Si] sed praem. Ma En Fi2 Mu2, vero add. Lc Lo4 Va8, autem add. Ko Lo2 Pa8, si vero contingat quod Mo Lo5 Mu3 D1 Es Va10, si autem contingat quod Ox7 Be Lo3 sit] om. Pa8, post novenarii transp. G, natura add. Maa, del. Mac figura] post novenarii transp. Pa7 novenarii] 9rii Es, 9 add. Ens 92/93 et – novenarii] om. Ko Pa8 Ca 92 et] om. Va8 ei] om. En, cui Va8, post debet transp. Lo5 debet] debeat Lc 93 unitas] articulus deleatur Va8 loco] locoque Va8, locus Y1 illius] om. G Be Lo3, unius W1 novenarii] eius Va8, 9rum Y1 scribatur] post cyfra transp. En cyfra] 0 Ox7, scribatur add. Maa, del. Mac sinistretur] sinistratur Ma, post articulus transp. Lo2 93/94 articulus – prius] om. Lca, add. Lcs 94 ut prius] om. Pa8 Ca ut] et Mu5a, sicut Y1 94/96 Si – prius] om. Ena, add. Enm 94 Si excrescat] si autem contingat quod ex additione alicuius figure inferioris ordinis ad aliquam figuram superioris ordinis resultet Va8 Si] sed praem. Mu3, enim add. G, vero add. Be Lo3 Lo2, autem add. D1 Es Pa8 excrescat] om. G Be Lo3 Lo2, excrescit Ca, post compositus transp. Ox7 compositus] om. Y1, add. Y1m, ex directo add. Fi2 Mu2 94/95 loco – delete] superioris Fi2 Mu2, superiori deleta loco eius Lo5 95 scribatur] ponatur Fi2 Mu2 digitus] om. Lo2 pars] om. Mu5 illius] numeri W1 Lc Lo5 D1 Va10 Y1, illius numeri Lo3 S compositi] numeri add. Be 514 5 siguiente si la hubiera; si no, se pone en la posición vacía. Si ocurriera que la figura siguiente a la que ha de hacerse la suma del artículo es un cero, tras eliminarlo, se escribe en su posición el dígito del artículo. Si hubiera la figura del nueve y a esta se le debiera añadir una unidad, en la posición de aquel nueve se escribe un cero y se mueve el artículo hacia la izquierda como antes. Si saliera un número compuesto, en la posición de la superior, tras eliminarla, se escribe el dígito que es parte de ese compuesto y se mueve 515 16 sinistretur articulus ut prius. Hoc facto addatur secunda secunde sibi supraposite, et negotiandum est ut prius. Notandum etiam quod in additione et in omnibus sequentibus speciebus, quando una alii directe supraponitur, utendum est qualibet figura ac si per se poneretur.100 96/97 Hoc – prius] cfr. VILLAD., Carm. 49, Coment. II, 279/280 96 articulus] post prius transp. Mu5 ut] sicut Lo5 Pa7 Mu3 Y1 S prius] et addatur proxime figure sequenti si sit figura sequens sin autem ponatur loco vacuo Ox7 96/97 Hoc – prius] om. Va8 96 Hoc] quo Ma En Fi2 Mu2 Wo Pa2 Mu5, autem add. W1 Lc Mo facto] dato Fi2, facta Ma addatur – secunde] secunde addatur secunda Ko addatur] addenda est Be Lo3, post secunda transp. Lo4 H Mu3, post secunde transp. W1 Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 Wo D1 Es Y1 S, post supraposite transp. Pa8 Ca secunda] iter. Mu3, figura inferioris ordinis add. Lc, inferioris ordinis add. Lo2, inferioris add. Mu5 secunde] 2e S, figure add. Lc 97 sibi – prius] om. W1 Lo4 H sibi supraposite] om. Ko Mo Wo Be Lo3a D1 Es, add. Lo3m, supraponatur Mu3, superioris Lo2 Mu5, per easdem regulas add. Ko Mo Wo Lo3m D1 Es et – prius] om. Ko et – est] om. G Lo5 Ox7 Mu3 Y1a S, add. Y1m et] quicquid excreverit add. Mo Wo Lo3m D1 Es negotiandum est] operandum est Ox7, negotiandum Es Mu5, negotiandum Pa2, fiat Va10, operare Lo2, per omnia add. Be Lo3 ut prius] om. W1 Lo4 H ut] sicut Y1 S prius] per easdem regulas add. W1 Lc Lo4 H, et sic de ceteris figuris add. Lo2, si autem evenit (evenerit Pa8) cyfra ab inferiori (ab inferiori] in tertio Pa8) ordine ex additione eius cum superiori nichil excrescit unde superior non debet mutari si vero evenit (evenerit Pa8) cyfra in superiori dele (delete Pa8) illam et loco illius (eius Pa8) scribe inferiorem figuram add. Pa8 Ca 98 etiam] om. H Ox7, autem Pa7 Va10 Lo2, tum Y1, tamen S quod] tam add. Ox7 et] om. Lo5, quam Ox7 omnibus] aliis add. W1 Ca sequentibus] subsequentibus Ox7, post speciebus transp. W1 Lc Ma Pa7 Ox7 Pa2 Mu5 Ca 99 una] uni Mu5, figura add. W1 Lc Ox2 G Wo alii] alteri Wo Be Lo3 directe] ante una praem. Lo5, post supraponitur transp. Pa8 Ca supraponitur] supraponatur H En Fi2 Ox2 G Y1 Ca, suppo En sic, subponitur Pa7 Ox7 Va8 Pa8 est] om. Pa2 S 100 figura] om. G Be Lo3 Pa8 ac] om. W1, hac Lo2 per – poneretur] esset per se posita Mu5 poneretur] ponerentur Bea 516 6 el artículo hacia la izquierda como antes. Hecho esto, se suma la segunda a la segunda que se sitúa sobre esta y se ha de trabajar como antes. Además, es reseñable que en la adición y en todas las siguientes especies, cuando una figura se pone directamente sobre otra, cada figura ha de usarse como si se pusiera por sí misma16. 16 Entendemos este apunte como un caveat para las siguientes operaciones donde se advierte que, cuando en cualquier operación nos tengamos que llevar algún número hacia las figuras de la derecha o de la izquierda, tal figura ha de añadirse o restarse al resto, según convenga, manteniendo siempre su posición relativa. Es decir, si la suma de dos unidades el resultado es tal que nos tenemos que llevar un uno hacia la izquierda, ese uno, que se pone sobre la cifra siguiente, valdrá diez por situarse en la casilla de las decenas. 517 17 SEQUITUR DE SUBTRACTIONE Subtractio est, propositis duobus numeris, maioris ad minorem excessus inventio, vel subtractio est numeri a numero ablatio, ut videatur summa relicta. Minor autem de maiori vel par de pari subtrahi potest, maior vero de minori nequaquam. 105 Ille quidem numerus maior est qui plures habet figuras, dummodo ultima sit significativa. Si autem tot sunt in uno quot in reliquo, iudicandum est per ultimas vel per penultimas et sic 102/104 Subtractio – relicta] cfr. Alchor. I (p. 81, 15/17), cfr. Pulver. (p. 81, 2/4), Coment. II, 300 104/105 Minor – nequaquam] Coment. II, 300/302, cfr. Egert. (p. 412) 101 Sequitur – subtractione W1 Ko Ma Mu2 Pa2 S, tit. om. Lc H Ox7 Mu5 Y1 Pa8, spatium tituli vacuum reliquerunt Ox2 Pa7 Wo Va8 Ca, sequitur se substractione 3ª specie huius artis Mo, secunda species scilicet de substractione En, de substractione tertia specie huius artis Be, de substractione 3ª specie Lo3, de 3ª specie huius artis scilicet substractione Es, de substractione Lo2m Va8m 102 est] om. Mu3 propositis] suppositis Lo2, post numeris transp. Ca duobus] om. Lo4, 2 Be Lo3 Y1, post numeris transp. Lo2 102/103 ad minorem] adinvicem D1 103 excessus – vel] deest Wo mutilo folio excessus] om. Ox2, accessus Fi2 vel] sic add. Lc est] om. Lo4 Ox7 Mu5 numeri] inveniri Lo2, ad numerum add. Lo3a, del. Lo3c 104 ablatio – relicta] deest Wo mutilo folio relicta] derelicta Ko Ma Mo En Fi2 Mu2 D1 Es, delicta Lo4, reflecta H Minor] maior Ox7 autem] om. Mu5, vero Fi2, numerus add. Lc G maiori] minori Mu5a 104/105 vel – pari] deest Wo mutilo folio 105 par – pari] parte parti W1 sic par] om. Lo2 vero] om. Y1, autem Ox2 G Mu3 Be Lo3 S nequaquam] non D1, et directe per add. Ox2 106 quidem] om. Lo4 Ox2, autem Lc Lo5 Ca, vero Va8 maior est] maior et W1, est maior Lo4 H Lo2, maior dicitur Wo, dicitur maior et est Be Lo3 habet] post figuras transp. W1 107 dummodo] dum W1, dum cum Pa8, cum autem Ca autem] vero Lo5 sunt] fiunt H, sint Lc Ko Ma En Mu2 Pa7 Mu3 Va8 S Pa8, figure add. Lc Be Lo3 in] om. Ox7 uno] ordine add. Lc quot] sicut W1, sunt add. Ko G Pa7 Ox7 Wo D1 Es, sit add. Ox2 108 reliquo] alio Mu3 Lo2, tunc add. D1 Es iudicandum est] videndum est Ox2 Y1, iudicandum Pa2 ultimas] figuras add. Mu5, ultraque eorum maiorem multitudinem representet add. Va8 vel – penultimas] om. Lo4 Maa Va8 Ca, add. Mam vel] sive Va10, et Pa8 per2] om. W1 En Ox2 G Lo5 Mu3 Pa2 108/109 et –  deinceps] om. G Be Lo3 Va8 108 et W1 Mo Pa7 Ox7 Wo Mu3 D1 Es Va10 Lo2 S Pa8 Ca, vel Lc Lo4 H Ko Ma En Fi2 Mu2 Ox2 Lo5 Pa2 Mu5 Y1 fortasse recte, sic add. Wo Mu3 Va10 Lo2 Y1 S Pa8 Ca, ita add. Mo Pa7 Ox7 D1 Es, figuras add. Ox2 518 7 SIGUE LA RESTA La resta es, propuestos dos números, hallar la diferencia del mayor al menor, o bien la resta es la acción de quitar un número a otro número, de tal manera que se muestre la cantidad restante. Se puede sustraer un número menor a uno mayor o un igual a su igual, pero de ninguna forma un número mayor a uno menor17. Aquel número que tenga más figuras es el mayor, con tal que la última sea significativa. Sin embargo, si hay las mismas figuras en uno como en el otro, se juzgará según las últimas o las penúltimas o las 17 Con esta afirmación (y con otras que veremos infra), es evidente que dentro de los objetivos de Sacrobosco no entra el estudio de las fracciones o los números menores a la unidad, los decimales. 519 18 deinceps. In subtractione duo numeri sunt necessarii scilicet inc. P2 numerus a quo debet fieri subtractio et numerus subtrahendus. 110 Numerus a quo debet fieri subtractio scribendus est in superiori ordine per suas differentias; numerus subtrahendus in inferiori per suas, ita quod sit prima sub prima, secunda sub secunda, et ita de aliis. 111/116 Numerus – supraposita] cfr. FIBON., Abac. 4 (p. 22) 111/ 114 Numerus – aliis] cfr. Alchor. I (p. 81, 17/22, p. 82, 1/4), cfr. Pulver. (p. 81, 4/10, p. 82, 1), cfr. VILLAD., Carm. 50/53, cfr. Egert. (p. 405, 15/20, p. 412) 109 deinceps] inceps Lo5 sic, ille numerus maior est cui ultima figura magis significat add. Va8 subtractione] autem add. W1 Lc Lo4 H Va8 duo] (facienda add. Lc) duo ordines figurarum et praem. W1 Lc Lo4 H Ox7 Va10 numeri] om. Lo5, figurarum add. Ma Mo Fi2, significativi add. Mo Mu2 sunt] ante duo praem. Ox2, ante numeri praem. D1 Pa8 Ca, et duo ordines figurarum add. Ko necessarii] significativi add. Ma 110 numerus1 – subtrahendus] numerus subtrahendus et numerus a quo debet fieri subtractio Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es numerus1] om. Ox2, ille add. Mo numerus2] om. Ox2 111/112 Numerus – differentias] post 114 suas transp. Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es 111 Numerus] nunc W1, autem add. W1 Be Lo3 Va10a, del. Va10c, vero add. P2 Mu3 Es debet fieri] est Ca scribendus est] om. Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es, scribendus Lo2, debet scribi Y1 S, subtrahendus est Pa8 111/112 in – ordine] inferiori P2, in inferiori Mu3 111 in] a Ox7 112 ordine] om. Ox2 Lo5 Wo Be Lo3 D1 Es per – differentias] om. Ox2 G Lo5 P2 Be Lo3 D1 Es suas] post differentias transp. Ma differentias] om. Wo Mu3 112/113 numerus –  suas] om. Lca Pa8, add. Lcs 112 numerus – inferiori] numerus subtrahendus scribendus est in inferiori (superiori Mu3) ordine Ox2 Lo5 Mu3 Wo D1, numerus (vero add. Be Lo3) subtrahendus in inferiori ordine scribendus est G Pa7 Ox7 Be Lo3, numerus subtrahendus in inferiori ordine est scribendus (subtrahendus P2a) P2, numerus subtrahendus scribatur in inferiori ordine Es numerus] vero add. W1 Lc H Lo2 Va8, autem add. Ox2 in inferiori] post per suas transp. Mu2 inferiori] ordine add. Va8 113 suas] differentias add. Ma Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es Va8 Y1 Ca, numerus a quo debet fieri subtractio in superiori add. Va8a, del. Va8c quod] post sit transp. W1, figura inferioris ordinis add. Lc sit] om. Lo4 H Ox2 P2 Mu3 Be Lo3 Pa2 Va10 Mu5 Va8 Ca sub1] om. Lo2 prima2] superioris add. Lc, et add. D1 Es, sit add. Va8 secunda1 – secunda2] om. Ca 114 ita] sic Lo4 H Ox2 G P2 Mu3 D1 Es Va10 Va8 Y1 Pa8 Ca de aliis] deinceps Ox7 Be Lo3 Pa2 Lo2 520 8 siguientes18. En la resta son necesarios dos números significativos, estos son, el número al que debe hacerse la sustracción19 y el número sustraendo. El número al que debe hacerse la sustracción ha de escribirse en el orden superior ordenado según sus diferencias; el número sustraendo en el inferior según las suyas, de tal manera que la primera esté bajo la primera, la segunda bajo la segunda, y así las demás. 18 Es decir, si los dos números implicados en la resta tienen el mismo número de figuras, para encontrar el mayor habrá que fijarse en la cifra que conforma la última posición de cada uno de ellos (sc. la cifra que se encuentre más hacia la izquierda) para encontrar al mayor. Si esta cifra fuera coincidente, entonces habría que fijarse en la siguiente la derecha, o sea, la penúltima; y así sucesivamente. 19 Sc. el minuendo. 521 19 Subtrahe igitur primam inferioris ordinis a figura sibi 115 supraposita, et illa aut erit par figure sibi supraposite, aut maior, aut minor. Si par, ea deleta, loco eius scribatur cyfra propter figuras sequentes ne minus significent. Si maior, deleantur ab ea tot unitates quot continet inferior figura et residuum loco eius ponatur. Si minor, quia maior de minori subtrahi non potest, 120 115/132 Subtrahe – etc] cfr. Dixit Algor. 2.2 (p. 46, 364/388), cfr. Egert. (p. 405, 20/34, p. 406, 1/4, p. 412) 115/124 Subtrahe – delete] cfr. Ysagog. (p. 33, 5/9), cfr. Cashel 3.2 (p. 21) 115/120 Subtrahe – ponatur] cfr. Alchor. I (p. 82, 4/9), cfr. Pulver. (p. 82, 1/6), cfr. VILLAD., Carm. 54/55 117/118 Si – significent] cfr. Pulver. (p. 87, 5/6, p. 88, 1/5) 120/130 Si –  novenarii] cfr. VILLAD., Carm. 56/62 120/124 Si – delete] cfr. Alchor. I (p. 82, 9/30), cfr. Pulver. (p. 82, 6/26), cfr. Coment. II, 311/315 115 igitur] om. Y1, ergo Lc Es Pa2 primam] post inferioris transp. Mu5, figuram add. W1 Lc Be Lo3 Lo2 inferioris] superioris Ca ordinis] om. Lo4 H Mu3 a] sua superiori add. Ox2 figura] prima G sibi] om. Pa8a, add. Pa8s, directe Ox2 116 supraposita] subposita Pa8, supposita Ca, et illa superior add. Lo3a, del. Lo3c et] om. Pa7 Ox7 Lo3 Mu5 Va8 illa] ita Ca, scilicet supraposita W1, post aut transp. Pa7 Ox7 Lo3 Mu5, superior add. Be, ergo add. Va8, inferior figura add. Mam aut1] autem Mu2, ergo add. Ox7 Lo3 erit] dicitur Wo, est Mu5 par] equalis P2 figure] om. Ox2 G Lo5 P2 Mu3 Be Lo3 D1 Es Lo2 Mu5 S sibi] om. Pa8, illi Ox2, sue S supraposite] subposita Mu5, supposite Ca, aut impar add. Mu3 aut maior] om. Ox2a, add. Ox2s 116/117 maior –  minor] minor aut maior Va8a, maior et minor in ras. Va8c 117 Si] et praem. Va3 ea – eius] loco eius Be Lo3, loco eius deleta H, loco eius delete Ox2, loco superioris delete G, ea deleta Lo2 ea] om. H Ox2, illa Ox7 loco eius] post cyfra transp. En P2 Mu5 scribatur] iter. Ca cyfra] 0 Ox7 117/118 propter – significent] om. Lo5 P2 117/118 propter – ne] ne figure sequentes unius H, ne figure sequentes Pa7, ne figuras sequentes Ox7 Wo, 118 Si] superior sit add. Va8 maior] est supraposita add. G, erit supraposita add. Be Lo3, sit figura supraposita add. Pa8 Ca deleantur] demantur G, deleatur D1 Lo2 ea] eo Pa2, illa Ca 119 tot] omnes Mu5 unitates] unitas Lo2 quot] quos Mu5 continet] om. Fi2a, add. Fi2m, post figura et transp. H, in se add. G inferior] post figura transp. Lo4 H G Pa2 Va8 Pa8 residuum] in add. Ox7 eius] om. Pa7 120 ponatur] scribatur Lo4 H Ko Lo5 Be Lo3 Lo2 minor] numero minor G, sit minor Va8 quia – potest] om. Ox2 maior] numerus add. Y1 de minori] a minori Lo5 Mu5, ante maior praem. Mu5, post subtrahi non potest transp. Lo5, numero add. Lc subtrahi] post non potest transp. Lo5 522 9 Así pues, sustrae la primera del orden inferior a la figura que está sobre esta, que será igual a la figura que está encima, o mayor, o menor. Si es igual, tras haberla borrado, se pone un cero en su posición para que las figuras siguientes no signifiquen menos. Si es mayor, se quitan de ella tantas unidades cuantas contiene la figura inferior y se pone el resto en su posición. Si es menor, puesto que no se puede sustraer un número mayor a uno menor, 523 20 mutuetur unitas a figura proxima sequenti, que valet 10 respectu figure precedentis; ab illo igitur denario et a figura a qua debuit fieri subtractio simul iunctis subtrahatur figura inferior et residuum ponatur loco figure delete. Si vero figura a qua mutuanda est unitas sit unitas, ea deleta, loco eius scribatur 125 cyfra, ne figure sequentes minus significent, et deinde operare ut prius. Si autem figura a qua mutuanda est unitas sit cyfra, 127/137 Si – unitas] cfr. Alchor. I (p. 85, 10/19) 127/130 Si – novenarii] cfr. Coment. II, 318/323 121 mutuetur] ergo add. Be Lo3 unitas] una unitas G, post sequente transp. Mu3 a – sequenti] a prima figura vel a proxima sequenti Fi2 a] in Pa8 proxima] om. Be Lo3, ante figura praem. Lc Lo4 H Va10, post sequenti transp. Mu5 sequenti] om. Lo5, sequente W1 Lc Lo4 H Ko Ma Ox2 G Lo5 P2 Wo Va10 Lo2 Y1 Ca valet 10] 10 valet H, post precedentis transp. Va10 10 H Ko Fi2 Mu2 Mu3 Be Lo3 Pa2 Mu5 S, decem W1 Lc Lo4 Ma Mo G Lo5 Pa7 Wo D1 Es Va10 Pa8 Ca, X En Ox2 Ox7 Es Lo2 Va8 Y1 Ca, om. P2 121/122 respectu –  precedentis] in precedentibus Ma 121 respectu] om. Va8a, in ras. Va8c, proxime add. Fi2 122 figure] om. G Lo5 P2 Wo Mu3 Be Lo3 Va10 Ca, post precedentis transp. W1 Ko Va8 Y1 precedentis] a qua debuit fieri subtractio Lo2 ab] ad Pa8 igitur] ergo Lo5 Lo2 Va8 122/123 et –  iunctis] om. Fi2 Mu2 122 a figura] configura Mu4 a1] om. Pa7 P2 Va10 122/123 a2 – subtractio] iam dicta Lo2 122 a qua] om. Va8a, in ras. Va8c a2] om. Lc debuit] om. Va8, debet Lc Ox2 Pa7 Ox7, post fieri transp. Es 123 fieri] om. Wo, post subtractio transp. Mu4 iunctis] incertis et H, coniunctis Be Lo3, inventis Lo2 subtrahatur] trahatur Pa8 Ca figura] om. Va10, post inferior transp. Mo Y1 124 ponatur] addatur Fi2 Mu2, post loco transp. G, post delete transp. Lo2 Y1 loco] om. Fi2 Mu2, iter. G, in loco Be Lo3 Va10 figure delete] om. G, eius Va8 delete] a qua debuit fieri subtractio Fi2 Mu2 124/127 Si – prius] om. Ox2 124 Si vero] si Lo5, sed si Mu3, si autem Be Lo3 qua] debuit fieri subtractio add. Ma 125 mutuanda est] mutuenda est H Pa7 Ox7 Ca, est mutuenda Lo5, post unitas transp. Lo5, mutuanda sit Lo2 est unitas] om. Ma unitas1] om. Wo sit unitas] om. Ca sit] est Pa2 Lo2 ea deleta] om. Ma loco eius] om. G P2 scribatur] ponatur Ma Mo En Fi2 Mu2, prescribatur Y1 126 cyfra] 0 Ox7, eam dicta add. Mu2 ne –  significent] om. Mu2, causa dicta Fi2 ne – sequentes] propter figuras sequentes ne Lo2 sequentes] om. G et] om. Lo5 Be Lo3 Y1 S Pa8 deinde] om. P2, inde Lo2 operare] om. Pa2, operari Ma 127 autem] vero W1 Lc Ko D1 Es Va8 figura] illa add. Wo, significativa add. Pa8 a] om. Pa8 mutuanda est] mutuenda est Lo5 Pa7 Ca, mutuenda sit Ox7, mutuanda sit Lo2, est P2 sit] om. Mu3, est Lo2, supra add. Fi2a, del. Fi2c cyfra] 0 Ox7 524 0 se toma prestada una unidad de la próxima figura siguiente, que vale 10 con respecto a la figura precedente; y así, a esta decena junto con la figura de la que debía hacerse la sustracción se sustrae la figura inferior y se pone el resto en la posición de la figura eliminada. En consecuencia, si la figura cuya unidad ha de tomarse prestada es un uno, tras eliminarlo, se escribe un cero en su posición para que no signifiquen menos las figuras siguientes y, después, operar como antes; en cambio, si la figura cuya unidad ha de 525 21 reicietur ulterius ad figuram significativam et ibi mutuare unitatem, et in redeundo loco cuiuslibet cyfre pertransite ponatur figura novenarii. Cum igitur perventum fuerit ad illam 130 figuram de qua intenditur remanet tantum denarius; ab illo igitur denario, etc. Ratio autem quare loco cuiuslibet cyfre pertransite relinquitur figura novenarii, hec est, si a tertio loco mutuetur unitas, illa respectu figure a qua debuit fieri subtractio valuit 128 reicietur W1 Lo4 H Ox2 Lo5 Wo Y1 Pa8 Ca, transeatur Lc Mo En Fi2 Mu2 Pa7 D1 Es Va10, reiciatur Kor Mu3, transeat Ma, retrotraendum est G, procede Ox7 Mu5, recurretur P2, accede Be Lo3, recurratur Pa2 Lo2, precedatur Va8, procedendum est S ulterius] om. Pa8 Ca, ultimam G, ultra Be Lo3, quousque proveniatur add. Va8 figuram] post significativam transp. Va10 significativam] om. Ma Lo2, significatam Mu3, proximam add. Lc et] om. H mutuare] mutua Lo4 H Be Lo3 Mu5, mutuandum G, mutuetur Ox7 Pa2 Va10, sumatur Lo2, post unitas transp. Lo2, mutuanda est Va8, mutare Ca 129 unitatem] unitas Ox7 Pa2 Va10 Lo2 Va8 et] deinde Lo2 loco] om. Lo4 H Es Mu5, post pertransite transp. Mu3 cuiuslibet] om. Ox7, illius Ox2 cyfre] 0 Ox7, figure W1 Y1 Ca pertransite] om. Fi2a, add. Fi2m, pertransire H Y1, loco add. Es 130 ponatur] relinquitur Lo4 H, relinquatur Pa7 Ox7, ponenda est Va8, scribatur Y1 S, post novenarii transp. Y figura novenarii] novenarius D1 Es, 9 S novenarii] 9rii Ox7, 9 Y1 igitur] ergo Va10 Va8, autem Lo2 fuerit] est En, sit Pa7a illam] om. Lo2 Va8, istam Ox2, post figuram transp. Mu3 131 figuram] om. W1 Lo4 H Ko Pa2 de – intenditur] intentam Va8 intenditur] om. Lo4, intendimus Ox7 remanet] remanebit G Lo2, remanens Y1, in add. Mu2a, del. Mu2c illo] ipso Ox2 igitur] om. Ca, autem En, ergo Lo5 Wo Be Lo3 Es Lo2 Va8 Pa8 S 132 denario] et a figura a qua debuit fieri subtractio simul iunctis add. Lc, et figura a qua add. Ko, deleantur tot unitates quot continens inferior figura et residuum loco eius ponatur add. G etc] om. Lc G Y1, ut superius add. Lo2 Ratio] causa Mu3 autem] om. Lo5 Ox7 quare] qua H, ante add. Maa, del. Mac loco] om. Mo Lo5 Mu5 Va8 Ca, de add. Va8 cuiuslibet] om. Fi2, unius Pa7 cyfre pertransite] cyfra pertransita Va8 cyfre] 0 Ox7, figure Es Ca, ante cuiuslibet praem. Ca pertransite] pertransire H 133 relinquitur] relinquatur W1 Lc Ko Mu3 Be Es Va10, ponatur Ma Mo En Fi2 Mu2 Pa7 figura novenarii] novenarius W1 Lc Lo4 Ko Lo2, 9us H Pa2 novenarii] 9 Mu2, 9rii Ox7 Y1 hec] ista Ox2, hoc Ca, post est transp. Ox2 Va10 est] quoniam add. Mo Ox7, quia add. H Ko Fi2 Lo5 Pa7 Lo3 Wo D1 Es Va8 si] om. Pa8, autem add. Wo a] om. W1 Lc H Ox2 Lo5 Wo Mu5 tertio] 3º Ko Mo Ox2 Lo3 Pa2 S, 3 Mu2, suo Fi2a, add. Fi2m mutuetur] mutetur vel mutuetur Fi2a, numeretur Mu5 134 unitas] om. Maa S, add. Mam, post illa transp. Fi2 Mu2 En, hoc est add. Pa7a, del. Pa7c illa] unitas add. Ma Lo5 valuit] valet Lc Lo2 Va8 526 1 tomarse prestada es un cero, se salta más allá hacia una figura significativa y de ahí se toma prestada la unidad, y en la posición original del cero que aparecía antes se pone la figura del nueve. Luego, cuando se haya llegado a esa figura desde la que se partía, quedará la decena; y así, a esta decena, etc. La razón por la cual en la posición de cualquier cero que aparezca queda la figura del nueve es la siguiente: porque, si se toma prestada una unidad de la tercera posición, esta respecto a la figura a la que debía hacerse la 527 22 centum, sed loco cyfre pertransite relinquitur novenarius, qui 135 valet 90, unde remanet tantum denarius; et eadem erit ratio si a quarto loco vel quinto vel deinceps mutuetur unitas. Hoc autem facto, subtrahe secundam inferioris ordinis a sua superiori et negotiandum est ut prius. 137/139 Hoc – prius] cfr. VILLAD., Carm. 63, cfr. Egert. (p. 406, 4/5) 135 centum] 100 id est centum Mo, 100 En Mu2 Mu3 Be Lo3 Pa2 S, C Ox7 Wo Lo2 Y1 sed loco] si loco Mo G, loco autem Lo5, sed si loco Ox7, cuiuslibet figure seu add. H cyfre] om. Va8a, in ras. Va8c, 0 Ox7, figure Lo3 Y1 S pertransite] om. En P2 relinquitur] relinquendus est Lc Lo5, relinquatur Mo Mu5 Pa8, ponatur Lo2 novenarius] 90 Mo, 9 Mu2 Ox7 Be Lo3 Wo Pa2 Y1 S, 9rius Mu3, figura novenarii Lo2 Va8 135/136 qui – 90] om. Lo5 135 qui] que Ox7 Be Lo3 Va8 136 valet] valuit Ko Ox7 90] nonaginta Mo Y1 S Pa8, 99 Lo2 unde] et Lo5, tunc Ox7, post tantum transp. Ox2 denarius] novenarius Ko et] om. Lo5 erit] om. Ox2, est Be Lo3 Va10 Mu5, post ratio transp. Lc Ko a] om. Pa2 Va8, autem Ox7 137 quarto] 4 Mu2, 4º Ox2 Lo3 S, IIIIº Ca loco] om. Mo Fi2 Mu2 G Mu3 Be Lo2 Mu5, scilicet loco Lo3s vel quinto] om. Lo4 H vel1] om. Pa2, a add. Ma Mo En Mu2 G Ox7 Pa2 Lo2 Mu5 Y1 Ca quinto] 5 Mu2, 5º Ox2 Lo3 Pa2 S, Vº Ca, loco add. Fi2 Mu2 G Lo2 Mu5 vel deinceps] om. Fi2 Va10 Lo2, post. unitas transp. Pa8 vel2 W1 Lo4 H Ma Mo En Mu2 Mu3 Pa2, om. Lc, et Ko P2 Pa2 Mu5 Ca, et sic Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 Wo Be Lo3 D1 Es Pa8, sic Va8, et ita Y1 S deinceps] deinde Ca mutuetur unitas] om. Va8 unitas] ita respectu figure a qua debuit fieri subtractio add. Ca Hoc] autem add. W1 Lo4 Ma Mo En Fi2 Mu2 autem] om. H Ko Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es Lo2 Y1, post facto transp. Mu3 138 subtrahe] subtrahatur Lc ordinis] om. W1 Fi2 Ox7a a – superiori] om. Fi2 Ox7a Mu5, add. Ox7s sua] om. Va8, secunda Lc Lo4 Mo G Pa7 Ox7 P2 Mu3 Va10 Y1, suo Ko Ma Ox2 Wo Be Lo3 Lo2 Ca superiori] superioris Lc Mo Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 Pa2 Va8 Y1, supraposita Lo5 S, superiore D1 Es, ordinis add. Mo 139 negotiandum est] negotiandum Lo5, negotiandus Pa2, operare Lo2 prius] et ita agendum est de omnibus aliis add. Lc 528 2 sustracción valía cien, pero en la posición del cero que aparecía antes se deja un nueve, que vale 90, de donde queda tal decena; y la razón será la misma si de la cuarta posición, en la quinta o en la siguientes se tomara prestada una unidad. Hecho esto, sustrae la segunda del orden inferior a su superior y que se trabaje como antes. 529 23 Sciendum etiam quod tam in additione quam in subtractione 140 possumus bene a sinistra incipere tendendo versus dextram, sed ut docebatur fiet commodius. Si autem probare velis utrum bene feceris necne, figuras, quas prius subtraxisti, adde superioribus, et occurrent eedem figure, quas prius habuisti, si recte feceris. Similiter in additione, 145 cum omnes figuras addideris, subtrahe easdem quas prius 140/142 Sciendum – commodius] cfr. Alchor. I (p. 87, 10/14), cfr. Dixit Algor. 2.2 (p. 46-8, 388/392), cfr. Coment. II, 286/289 143/145 Si –  feceris] cfr. Alchor. I (p. 87, 15/20, p. 88, 1), cfr. Pulver. (p. 87, 1/4) 145/ 147 Similiter – feceris] cfr. Alchor. I (p. 81, 1/4) 140/142 Sciendum – commodius] om. Mu2, post 148 e converso transp. Fi2 140 Sciendum] est add. W1 Lc G Be Lo3 etiam] om. H Fi2 Lo3 D1 Y1, tamen Ko Pa2 Va8, autem Lo2 S Pa8 Ca, est add. Ma Ox2 tam] om. Fi2 Mu5, similiter est Ox2 additione – subtractione] subtractione - additione Y1 quam in] om. Fi2 in2] om. Mo Pa7 Mu3 Va8 subtractione] abstractione Lo2 sic 141/148 possumus – converso] om. Ox2 141 possumus] possis P2, post bene transp. Fi2 Lo2 Pa8 Ca bene] om. Pa7 Ox7 Mu5 a – incipere] a sinistra parte incipere H Ox7 Mu3 Va8, incipere a sinistra parte Lc, incipere operari a sinistra P2, a sinistra operari G Wo Pa8 Ca, a sinistris operari Be Lo3, a sinistra parte operari Va10, operari incipiendo a sinistris Lo2 a sinistra] om. Fi2 tendendo] tradendo W1, redeundo H G Lo3 Y1, et redeundo Be Lo2, post dextram transp. S versus] usque ad G Be Lo3 dextram] sinistram Wo 141/142 sed – commodius] om. Wo 141 sed] tamen add. Wo 142 ut] om. Lo2 docebatur] om. Lo2, dicebatur Lo4 Ko Ga, doceatur D1 Va8, docuimus Va10, docetur Y1 S, tamen add. Va8 fiet commodius] competentius fiet commodius D1, competentius fiet et commodius Es fiet] fiat Lo2 Mu5 Y1, erit Va10, post commodius transp. Lo2 commodius] et melius W1, ut predictum est add. Fi2 Pa7 Be Lo3, sicut dictum est add. Lo2 143 probare] post velis transp. Y1 velis] volueris H Lo3 Va10 Lo2 Mu5 utrum] om. H, verum D1 bene – necne] ante probare praem. H bene] recte Ox7 feceris] om. Pa8, operatus fueris Ox7, fueris operatus Va10c necne] om. Va8 Y1, vel non Pa8 Ca, et add. Mu5, sume add. Y1 144 quas] iter. Mu3 prius] pimus G, post subtraxisti transp. D1, primo add. Es subtraxisti] subtractisti Pa8 sic, habuisti et add. Y1 adde] addas Es, a Lo2, suis add. Lc superioribus] superibus Lca, superius Mu3, superiori Pa8 et] sic add. W1 occurrent] redibunt Ma Mo En Fi2 Mu2 D1 Es, occurrunt Be Lo3 eedem] iter. Maa, om. Be Lo3 145 quas – habuisti] post feceris transp. Es habuisti] habueris En recte] bene W1 H Mo En Y1 145/148 Similiter –  converso] om. Mu5 145 Similiter] etiam add. Pa7, et add. Ox7 in additione] post addideris transp. W1 Lo4 H in] om. P2 146 cum] quando G Lo5 Ox7 P2 Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es Va10 Pa8, quoniam Pa7 figuras] om. Lo4, quas add. Pa7 easdem] om. Ko Lo5 Lo3, figuras add. Ko Lo5 prius] om. Lca, add. Lcs 530 3 También hay que saber que, tanto en la suma como en la resta, podemos empezar de manera correcta por la izquierda yendo hacia la derecha, pero resulta más cómodo como se ha enseñado. Por último, si quisieras probar si lo has hecho bien o no, esas figuras que antes has sustraído súmalas a las superiores y, si lo has hecho bien, aparecerán las mismas figuras que antes tenías. De igual forma en la suma: cuando hayas sumado todas las figuras, resta esas que antes sumaste y, si lo 531 24 addidisti, et redibunt eedem figure si recte feceris. Est enim subtractio additionis probatio et e converso. SEQUITUR DE MEDIATIONE Mediatio est numeri propositi medietatis inventio, ut videatur 150 que et quanta sit illa medietas. In mediatione tantum unus ordo figurarum et unicus numerus est necessarius, scilicet numerus mediandus. Si velis igitur aliquem numerum mediare, scribatur ille numerus per suas differentias, et incipe a dextris, scilicet a 155 147/148 Est – converso] cfr. Ysagog. (p. 33, 10/11), cfr. Egert. (p. 409, 31/33) 150/151 Mediatio – medietas] cfr. Alchor. I (p. 90, 12/14), cfr. Pulver. (p. 90, 2/4), Coment. II, 373/374 154/178 Si – medietur] cfr. Coment. II, 374/392, cfr. Egert. (p. 406, 19/30, p. 407, 1/14) 154/177 Si –  5] cfr. Ysagog. (p. 33, 13/18) 154/168 Si – prius] cfr. Alchor. I (p. 89, 14/19, p. 90, 1/15), cfr. Pulver. (p. 90, 4/10), cfr. Dixit Algor. 3 (p. 50, 455/463), cfr. VILLAD., Carm. 76/84 147 addidisti] addidisti vel habuisti Lo4, habuisti vel addidisti En, habuisti P2a et] om. Ca redibunt] occurrent Lo5 Mu3, post eedem figure transp. Pa8 Ca figure] om. En, que prius add. Lc, quas prius habuisti add. G Mu3 Wo Lo2 si – feceris] om. Fi2, ante redibunt praem. Wo enim] autem Lo4 H S 148 subtractio additionis] additio subtractionis Wo additionis] om. Fi2 probatio – converso] om. Caa, add. Cam converso] additio subtractionis probatio add. Lo2 149/206 Sequitur – converso] om. Fi2, suppl. Fi22 adiunctis foliis 149 Sequitur – mediatione W1 Ko Ma Ox7 Mu3 Pa2 S, spatium tituli vacuum reliquerunt Lc Fi22 Ox2 Pa7 Va8, om. H Wo Mu5 Y1 Pa8 Ca, de mediatione Lo4 Mo Mu2 G Lo5 P2 Va10 Lo2, tertia species scilicet de mediatione En, de mediatione quarta specie huius artis numerandi Be, sequitur de mediatione quarta specie huius artis Lo3, de mediatione add. Va8m 150 Mediatio] meditatio Va8a est] om. Ox7, alicuius add. Lcs Mo Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es numeri] post propositi transp. Lc propositi] om. Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 medietatis] mediatis Lca, eius add. Fi22 Mu2 inventio] subtractio Lo5, inventio vel subtractio Va10 151 sit] est Be Lo3 illa] om. Mu5, alia Ox2, eius En Fi22, ista Pa8 Ca vel reliqua add. Va10 mediatione] meditatione Va8, tamen add. Lc Pa7 Ox7 Mu5, tamen est add. En, est add. Ox2, tamen add. G tantum] om. Mo Pa7 Es, post unus transp. Mu5 Ca unus] unicus Mu3 Y1 152 figurarum] om. Ma Y1 et – numerus1] om. Be Lo3, post necessarius transp. Mo Wo Pa8 Ca unicus] om. G, unus Ma Pa7 Ox7 Mu5 S necessarius] om. Ox2 152/153 scilicet – mediandus] om. Lo5 152 numerus2] om. Mo Ox2 154 velis] om. Lo2, post igitur transp. Ma Mo En Fi22 Mu2 Lo5, tu algorista add. Lcs igitur] om. Ca, ergo Lo2 aliquem] post numerum transp. Lo2 Mu5 154/155 scribatur – numerus] scribe numerum H, scribe ipsem numerum Lo5 154 ille] iste Y1, post numerus transp. Y1 155 a1 – scilicet] om. Lo2 scilicet] sive Ma En Fi22 Mu2, id est Ox7 532 4 has hecho bien, aparecerán las mismas figuras. La resta, por lo tanto, es la prueba de la suma y al revés20. SIGUE LA MEDIACIÓN La mediación es hallar la mitad de un número propuesto, de tal manera que se vea cuál y cuánta es esta mitad21. En la mediación tan solo es necesario un orden de figuras y un número, este es, el número que ha de mediarse. Por tanto, si quieres mediar algún número, se escribe aquel número en orden según sus diferencias y empieza por la derecha, es decir, por la 20 Veremos que Sacrobosco describe las pruebas de las operaciones únicamente cuando se ha explicado el procedimiento que ha de seguirse para su entendimiento. Es decir, puesto que no ha podido explicar la prueba de la suma con la resta sin antes haber desarrollado cómo restar, incluye su prueba en este punto. Lo mismo ocurrirá con la mediación y duplicación: solo cuando ha explicado la duplicación enuncia, junto con la de esta, la prueba de la mediación; y también con la multiplicación y división, describiendo ambas pruebas al final de esta última. 21 Se llama mediación a la división de un número entre dos. 533 25 prima figura versus dextram. Si illa fuerit significativa aut igitur representabit unitatem aut alium digitum. Si unitatem, loco eius delete ponatur cyfra propter figuras sequentes ne minus significent, et scribatur illa unitas exterius in tabula; vel resolvatur in 60 minuta et medietas illorum abiciatur, reliqua 160 reservetur exterius in tabula, scilicet 30; vel scribatur exterius figura dimidii, sic dum que nullum locum ordinis obtinet, aliquid tamen significat: quod medietas duplata in suum locum 156 figura] om. Lc, operari add. Fi22 Mu2 versus dextram] om. H Fi22 Mu2 dextram] sinistram D1 Es Y1, tendendo ad sinistram partem add. Ox7 Si] igitur add. W1 Mo En Fi22 Mu2 S, autem add. Ox7 illa] figura P2, autem add. P2, figura add. Y1 fuerit] sit Ox2 Lo5, est Mu3, figura add. Ma Mo significativa] om. Y1, significativam ante corr. Fi22, aut non add. G aut] ut H igitur] om. W1 H En Ox7 Va10 Y1 S, ergo D1 Es 157 representabit] om. Lo2, representat Ma G Be Lo3, significabit S aut] vel Mu3 alium] om. W1, post digitum transp. Be Lo3 Lo2, numerum add. Pa8 unitatem2] unitas Ox2 eius] illius Ko Pa7 Ox7 Lo2 Y1 S 158 delete] om. Lo5, de 1 lit. ante corr. Fi22 sic ponatur] scribatur W1 En Ox2 Ox7 Lo2 Va8 S cyfra] 0 Ox7 propter] om. H Y1 S figuras] om. Y1 sequentes] om. Ox2, post ne transp. Y1 158/159 ne – significent] om. Lo5 158 ne] ante figuras praem. H S 159 et] ut Ma, vel En scribatur] circumscribatur Lc illa unitas] om. Fi22 Mu2, ille numerus Ox2 exterius] interius Pa8 tabula] spatio Lo2 159/161 vel – tabula] om. En Mu5 159 vel] om. P2, ut H, et Lo5, numerus add. Mu3 160 resolvatur] illa unitas add. Lc, unitas illa add. Be Lo3 in] om. Lo2 minuta] cum quodlibet integrum possit dividit in 60 minuta add. Lo5 et] una add. Lc illorum] om. Y1 S, post abiciatur transp. Lc, eorum 60 minutorum D1 Es, 60 add. Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 Wo Be Lo3, 60 minutorum add. Va10 abiciatur] habiciatur Fi22 sic, vero add. Lc H Ko, medietas add. Ma Fi22 Mu2, et add. Ox2 161 reservetur] om. Ox7a, add. Ox7m exterius1 – 30] om. Lo2 exterius1] om. H Y1 S, ulterius W1 scilicet 30] om. En 30] minuta add. Lcs Fi22 Va10 vel] aliter add. Ma Mo En Fi22 Mu2 scribatur] om. Lo4 H exterius2] om. En Lo5 Be Lo3 Lo2 Va8 Y1 S, ante scribatur transp. Lo5, post figura transp. Pa7, post dimidii transp. Ox7, in tabula add. W1 Lc Ko 162 figura] loco Ox2 dimidii] dimidia Mu3, cum titella add. Be Lo3 sic] om. Lo4 D1 Es, sit H, scilicet add. Lo4 H Pa7 D1 Es G Ca, igitur add. Y1 dum] om. G Y1, cum sua titella add. G Ox7 D1 Es, cum titella add. En, scilicet cum sua titella add. Pa7, sciendum tamen add. Be, sciendum add. Lo3 que] quod Be Lo3, post nullum transp. Ma ordinis] om. Y1, post obtinet transp. Ox2 obtinet] obtinens Lo4 Y1, optineat Ko, continet Pa8 Ca, post locum transp. Lo4, sibi add. Wo D1 163 aliquid] om. Ox7, ad Pa8 tamen] cum Y1 significat] signat Fi22, significet Mu2 Wo 163/164 quod – duplatione] om. Lo5 163 quod medietas] illa etiam W1 Lo4 H, illa enim Lc quod] que Ma En Mu2 Pa7 Wo Be D1, quia Es Lo2 medietas] mediatas Mu3 duplata] om. G, duplicata W1 En, est add. Mu3a, del. Mu3c suum] post locum transp. W1 Lc Lo4 H Be Lo3 Lo2 locum] post recipiatur transp. Y1 S 534 5 primera figura hacia la derecha. Si esta fuera significativa22, representará una unidad u otro dígito. Si fuera una unidad, en la posición de esta tras borrarla, se pone un cero para que las figuras siguientes no signifiquen menos y se escribe dicha unidad en una tabla externa; o bien se resuelve en 60 minutos, se descarta su mitad y el resto, o sea, 30, se reserva en una tabla externa; o bien se escribe fuera la figura de la mitad, de tal modo que no se le otorgue ninguna posición del orden, aunque posee algún significado: porque en la 22 O lo que es lo mismo: si la figura de las unidades fuera distinta a cero. 535 26 recipiatur in duplatione. Si prima figura significet alium digitum ab unitate, ille aut erit par aut impar. Si par, loco eius scribatur 165 medietas illius paris; si impar, sume proximum parem sub illo contentum et pone medietatem eius loco illius imparis; de unitate autem que remanet medianda, fac ut prius. Hoc quidem facto medianda est secunda. Si sit cyfra, pretermittatur intacta; si 168/177 Hoc – 5] cfr. Alchor. I (p. 91, 15/24, p. 92, 1/18), cfr. Pulver. (p. 91, 11/24), cfr. Dixit Algor. 3 (p. 50-2, 463/476), cfr. VILLAD., Carm. 85/91 164 recipiatur] recipietur Fi22 Mu2 Be Lo3, recipitur Lo2 duplatione] duplicatione W1 En, scilicet add. H Si] autem add. W1 Ko Va10 Lo2 Va8 Pa8 Ca, vero add. Lc Ma Mo En Fi22 Mu2 164/165 significet –  unitate] sit quantum unitas Lo2 164 significet] significat W1, post unitate transp. Pa8 Ca alium] post digitum transp. Y1 165 ab unitate] om. Mu5, et add. W1 ille] om. Lo2, illa H, autem add. Lc Mu2 Mu5, numerus add. G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es, ergo add. Lo2, igitur add. Y1 aut1] om. Lc H Mu2 Pa2 erit] om. W1, est Mu5, post impar transp. Lo4 H Ma Mo En Mu2 Mu3 Mu5 aut2] vel Ca impar] erit add. Va8 165/166 Si – impar] om. W1 165 Si] sed Mu5 par2] ea deleta add. Lo2 eius] illius Lo5 Va10 Lo2, delete add. Lc Mu3 scribatur] scribitur Mu2, ponatur Y1 166 illius] eius Lc H, ante medietas praem. Lc H Pa2, numeri add. Ma D1 paris] om. Lc Lo4 H Pa2, partis Ox7 si] vero add. Ox7, est add. Pa2 166/167 sume – contentum] accipiatur proximus par - contentus Lo2 166 proximum] numerum add. G Ox7 Va10 parem] om. Lo4 Mu5 illo] illa Ko, ipso Fi22 Lo5 167 contentum] contento Ca pone – eius] post deleti transp. G pone medietatem] ponatur medietas Pa2 Lo2 pone] post eius transp. Ma Mo En Fi22 Mu2 Pa2 Y1 S Pa8 Ca medietatem] post eius transp. Lc, paris sub eo contenti add. G eius loco] om. Be eius] om. Lo5 P2, illius Pa7 Wo Lo3 Pa2 Lo2 Mu5, paris add. Pa7 Lo2 Mu5, in add. Ox7 illius] om. Pa7 Pa2 Va10 Lo2 Y1 S, ipsius Ox7, eius Pa8, illius deleti add. Lo3s imparis] paris Mo Lo3a Ca, inferius Mu5, deleti add. Ko Ox2 Wo Lo3 Es Mu5 Pa8 Ca, deleti et add. Pa2, delete et add. Lo2 168 unitate] om. Maa, in ras. Mac autem] om. Lo4 Fi22 Mu2 Pa2 Lo2, eius Ha, vero Ma que remanet] om. Lca, add. Lcs remanet] remenet Mu2 sic medianda] om. Y1, mediando Ox7, post unitate transp. Pa2 prius] et add. Lo4 Hoc] quo W1 Lc H Ko quidem] om. Lc H G Lo5 P2 Wo Be Lo3 Va10 Lo2, autem Mu3 Pa2 Ca, post facto transp. Va8, quidam Pa8 169 medianda] post est transp. Lo2 secunda] reliqua scilicet secunda Va10, que add. Lo2 Va8 Si] autem add. Be Lo3 sit] fuerit Lo2 cyfra] Ox7 pretermittatur] premittatur Lca, permittatur Lcc, pretermittenda est P2, relinquatur Lo2 Pa8, premittatur Mu5 intacta] om. Ox2 Lo5 Pa7, sed add. H si] autem add. Ma En Fi22 Mu2 Be Lo3 536 6 duplicación, esta mitad, tras ser duplicada, vuelve a su posición23. Si la primera figura significara otro dígito distinto a la unidad, aquel será par o impar. Si par, en su lugar se escribe la mitad de aquel par; si impar, toma el primer par por debajo de este y pon su mitad en la posición de aquel impar; después, de la unidad que queda para mediar, haz como antes. Hecho esto, ha de mediarse la segunda. Si fuera un cero, se deja pasar intacto; si fuera 23 Aquí se expone un problema que sobreviene por no operar con decimales o fracciones: cómo proceder cuando hay que dividir entre dos (o mediar) una unidad. Sacrobosco propone escribir un cero en su posición y externamente, es decir, fuera del campo matemático, señalar esa unidad que no se ha podido dividir entre dos, bien anotando un uno, bien 30 minutos, bien una marca que denote tal mitad. En lo que respecta a los 30 minutos, conviene precisar que en este punto el autor se apoya en las medidas astronómicas, para las que se emplean los grados. Al dividirse un grado en 60 minutos, es natural que lo mismo pueda hacerse con la unidad, de tal manera que su mitad serían 30 minutos, un número perfectamente par que no presenta dificultades en su mediación. Hacia el final, cuando trae a colación la necesidad de preservar esa unidad para que posteriormente sea duplicada, se refiere a la prueba de la operación, descrita al final del capítulo sobre la duplicación. 537 27 sit significativa, aut par aut impar erit. Si par, loco eius delete 170 scribatur medietas illius; si impar, sume proximum parem sub illo contentum et loco illius imparis deleti ponatur eius medietas; unitas autem que remanet medianda respectu precedentis valet 10: dividatur ergo ille denarius in duos quinarios et unus illorum abiciatur, reliquus addatur figure 175 170 sit] om. Lo4, fuerit Ca, figura add. Lc Lo5 Pa7 Ox7 sic add. Mu3, post significativa transp. Lo2 significativa] significativam ante corr. Fi22, signatam Mu3, aut representabit unitatem aut alium digitum si unitatem loco eius delete scribatur chifra ne figure sequentes minus significent et illa unitas respectu precedentis valet 10 addatur ergo unus quinarius figure precedenti et reliquo abiciatur si aute chifra fuerit cui debet addi quinarius deleatur et loco eius scribatur quinarius si vero ipsa significet alium digitum ab unitate tunc add. H erit] om. Lo4 Ko, est G, ante par praem. Lc H Ma Ox2 G Ox7 Be Lo3 Va10 Lo2 Y1 eius] illius Ko Ma Mo Fi22 Mu2 Lo5 Pa7 P2 D1 Va10 Lo2 Mu5 Ca, imparis add. Ox2 delete] om. Lo5a Lo2, add. Lo5m, deleti W1 Ko Ma Pa2, de. H sic, deleta Ox2, post scribatur transp. Be 171 scribatur] ponatur Mu3 Y1 S, eius add. Lo5s, unitas add. P2a, del. P2c illius] om. G Lo5, unitas autem que add. Ox7, paris add. W1 Lo2 Va8 Y1 si] sive D1 171/172 sume – contentum] accipiatur proximus par - contentus Lo2 171 proximum] om. Mu5, numerum add. G Va10, eius add. W1 172 illo] eo Fi22 Mu2, illa Lo2, impari add. Lo5 contentum] contemptum Pa8 sic loco – deleti] post medietas transp. Lo4 Lo2 illius] om. Lo2, eiusdem Ox2, eius Wo, post imparis transp. P2 imparis] om. Mu5 deleti] delete Fi22 Be Lo3 Va10 Lo2 Mu5 S 172/173 ponatur –  medietas] pone medietatem eius Lo4 172 ponatur] scribatur Wo Pa2 Lo2 Pa8 Ca eius] om. Ox2, paris Lo5, illius paris Lo2, post medietas transp. Lo5 Lo2 Y1 173 medietas] unitas autem que remanet medianda respectu precedentis valet 10 dividatur ergo ille denarius et eadem est ratio si a quarto vel a quinto loco et deinceps mutuetur unitas hoc autem facto subtrahe secundam inferioris ordinis et negotiandum est ut prius sciendum est quod tam in additione quam in subtractione possumus a sinistra incipere tendendo versus dextram ut docebatur fiet commodius add. Mu5 unitas] de unitate H autem] om. Lo4 Y1 S, vero Pa8 medianda] est medianda Ox2, medienda Pa7 sic, illa add. W1 Lo4 173/177 respectu –  5] fac ut prius H 173 respectu] figure add. W1 Lo4 Ko Ox7 174 precedentis] figure add. Lo5 valet] videlicet Ox2 sic 10] X En Ox7 Es Lo2 Va8, decem W1 Lo4 Mo G Lo5 Pa7 D1 Va10 Pa8 ergo] om. Ko, igitur Mu2 Pa7 Ox7 P2 Wo Va10 ille] om. Y1 S, iste P2, post denarius transp. D1 Es Pa2 denarius] om. Ca 174/175 duos quinarios] duas partes Lo5, 2 quinarios Ox7 Lo3 Es, 25rios Y1 sic, 2os quinarios S 175 et] om. Ox2 Pa7 unus] una Lo5 illorum] om. Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es abiciatur] habiciatur Fi22 sic, et add. Ox2 Pa7 Ox7 Wo Be Lo3 D1 Es reliquus] reliqua Lo5, vero add. Lo4 Ox2 Lo2 figure] proxime add. P2a, del. P2c, post precedenti transp. Y1 S 538 7 significativa, será par o impar. Si par, en su posición, tras borrarlo, se escribe su mitad; si impar, toma el primer par por debajo de este y en la posición de este impar, tras borrarlo, se escribe su mitad; la unidad que queda para mediar vale 10 respecto a la precedente, luego se divide aquella decena en dos cincos, uno de ellos se descarta y el otro se añade a la figura 539 28 precedenti. Si autem cyfra fuerit cui debet addi, deleatur et loco eius scribatur 5. Et sic operandum est donec totalis numerus medietur. SEQUITUR DE DUPLATIONE Duplatio est numeri propositi ad se ipsum aggregatio ut 180 videatur summa excrescens. In duplatione tantum unus ordo figurarum est necessarius; et inchoandum est a sinistra sive a 177/178 Et – medietur] cfr. Alchor. I (p. 92, 19/20), cfr. Pulver. (p. 91, 24, p. 92, 1/2), cfr. Dixit Algor. 3 (p. 52, 476/477), cfr. VILLAD., Carm. 92/93 180/181 Duplatio – excrescens] cfr. Alchor. I (p. 88, 13/15), cfr. Pulver. (p. 88, 7/9), cfr. Coment. II, 338/340 181/184 In – representantem] Coment. II, 340/343 176 precedenti] in dextra parte add. Ox7 Si – deleatur] om. Ca autem] om. Lo5 Va8, enim Y1 cyfra] 0 Ox7, post fuerit transp. Fi22 Mu2 Ox2 G fuerit] sit Fi22 Mu2 Ox2 G Lo2 debet] debebat W1, debeat Lc, post addi transp. P2 addi] fieri additio Be Lo3 Mu3 Lo2 Va8, quinarii add. Lo2 deleatur] ipsa add. Lc 177 eius] illius G scribatur] ponatur Ma Mo En Fi22 Mu2, scribantur Es, ille add. Lo2 5] om. P2, quinarius Lc Ko Ma En Fi22 Mu2 Ox2 G Va10 Lo2 sic] hoc modo Lo5 est] om. Fi22 Mu3 totalis] talis Ox7 Ca 178 medietur] om. Lca, in ras. Lcc, sciendum quod in additione subtractione et mediatione possumus bene a sinistra incipere tendendo versus dextram sed ut docebatur fiet commodius add. Fi22 Mu2, qui scriptus fuerit add. Va10 179 Sequitur –  duplatione Ko Ma Mu2 Ox7 Mu3 Pa2 Lo2 S, sequitur de duplicatione W1, tit. om. Lc H Fi22 Ox2 Pa7 Mu5 Y1 Pa8, spatium tituli vacuum reliquerunt Wo Va8 Ca, de duplatione Lo4 G Lo5 P2 D1 Va10, quarta species scilicet de duplatione En, de duplatione 5ª specie (huius artis add. Mo, huius add. Be) Mo Be Lo3, de 5ª specie huius artis scilicet duplatione Es, de duplatione add. Lo2m Va8m 180 Duplatio] duplicatio W1 est] om. Moa, add. Mos propositi] om. Ox7 ad] in P2 se ipsum] unicem Y1 sic se] semet Pa8 aggregatio] congregatio Pa7, assignatio Mu5 180/181 ut – excrescens] om. Pa2a, add. Pa2m 180 ut] iter. Ko 181 duplatione] duplicatione W1, autem add. Lc Ko Pa8, vero add. Be tantum] om. Pa8, post unus transp. En unus ordo] unus ordo et unus numerus W1, unus ordo et unicum numerus Lc Lo2, unus numerus Mu3, unicus numerus Pa2, unus numerus sive ordo Mu5 182 est1] ante unus ordo praem. Ox2 Be Lo3 Y1 necessarius] scilicet numerus duplandus add. Lo2 inchoandum est] inchoandum etiam est H, inchoandum Mo, inchoandus est Be Lo3 Mu5, recipiendum est Lo2, est inchoandum Y1 sinistra] sinistretur G, parte add. Ko Ox7 S 182/183 sive – maiori] om. S 182/ 183 sive – figura] om. Ox2 182 sive] scilicet Fi22 Y1, om. Mu2 540 8 precedente24. Si fuero un cero al que debiera sumársele, se borra y en su lugar se escribe el 5. Y así hay que operar hasta que se medie la el número en su totalidad. SIGUE LA DUPLICACIÓN La duplicación es la agregación de un número propuesto a sí mismo, de tal forma que se vea la cantidad resultante25. En la duplicación tan solo es necesario un orden de figuras y ha de empezarse desde la parte izquierda o 24 Puesto que la unidad en la segunda diferencia ya no significa uno sino diez, número perfectamente divisible entre dos, no presenta la misma problemática que antes. 25 O lo que es lo mismo: duplicar un número es multiplicarlo por dos o doblarlo. 541 29 figura maiori, hoc est, secundum figuram maiorem numerum representantem. In tribus vero speciebus precedentibus inchoamus a dextra et a figura minori, in hac autem specie et in 185 omnibus sequentibus inchoamus a sinistra, unde versus: subtrahis aut addis a dextris vel mediabis, a leva dupla, divide, 187/188 subtrahis – sinistra] VILLAD., Carm. 32/34 183 figura] post maiori transp. Ko Ox7 maiori] maiore Va10c Lo2, minore Va10a, quod idem est add. Ox7 183/184 hoc – representantem] om. H 183 hoc est] om. Mu2, id est Lo5 183/185 secundum – et1] om. Fi22 183/184 secundum – representantem] a figura maiore - representante En, ab ultima figura Mu2 Lo2 S, figura maiore - representante D1 Y1 183 secundum] per Es figuram] om. Lo5, post maiorem transp. Ox7 maiorem] minorem Maa 184 representantem] presentantem P2 184/185 In – minori] sciendum est quod cum in ista specie quam in aliis precedentibus possumus bene a sinistra incipere versus etc. Ma, in tribus igitur precedentibus inchoamus a dextra et minori figura Mam 184 tribus] 3bus Y1 vero] om. Lo5 P2 Wo Va10, siquidem G, autem Ox2 Mu3 Va8 speciebus] om. Mo En Mu2 Ox2 Lo5 Pa7 P2 Wo Mu3 Va10 Lo2 Va8 Y1 S, post precedentibus transp. Ox7 Be Lo3 D1 Es Pa2 Mu5 185 inchoamus] inchoavimus Lc En Mu2 Be Lo3 D1 Es Lo2 Va8, inchoandum est Pa7 Ox7, inchoabamus Mu3, inchoandus Y1, post minori transp. Ca a1 – minori] a figura minori et a dextra G dextra] dextris En D1 Es Lo2, maiori add. Mu5, figura add. Va8 et1] om. Ox2, est H a2 – minori] a minori figura Ko, ab ultima figura Fi22, prima figura Mu2 a2] om. Mo En Mu2 Ox2 Mu3 Pa2 Mu5 Va8 Pa8 Ca figura] om. Va8 minori] om. Mu5, minore Lo2, id (hoc Mu2) est minorem numerum representantem add. Lcs Mu2, et add. Ox2 185/188 in1 – sinistra] om. H 185/186 in1 – inchoamus] om. Ca 185 in1 – autem] sed in hac Pa2 autem] om. Fi22 Ox2, vero Ko S, quidem Ma Mo Mu2 Mu3 Va8 Y1 Pa8, siquidem Mu5 specie] om. Pa2 in2] om. P2 Wo 186 omnibus] aliis Va10 sequentibus] sequentibus speciebus W1 Lo4, speciebus subsequentibus Pa7 inchoamus – sinistra] om. Fi22 inchoamus] inchoabimus W1 Lc Mo Ox2 Lo5 Pa7 Wo Lo2 Va8, inchoandum G Ox7, incipiemus Pa2, inchoandus Y1, post sinistra transp. S sinistra] sinistris Wo, et a figura maiori (minori W1) add. W1 Lc Lo4 Mu5, vel in figura maiori add. Lo3s 186/188 unde – sinistra] om. Lo5 186 unde versus] iuxta illud documentum Fi22, et patet per versus predictum Ox2 unde] om. Pa8 187/188 subtrahis – sinistra] om. Ox2, a leva dupla etc. Fi22 187 aut addis] post dextris transp. Lo2 aut] cum Bea a1] aut Ma Pa7, ad Mu2 vel] om. G, tu Ma, aut Lo4 Lo5 Mu3 Be Y1 mediabis] dimidiabis G dupla] iter. Mu5 divide] deinde En 542 9 desde la figura mayor, esto es, de acuerdo con la figura que representa un número mayor. En las tres especies anteriores empezamos desde la derecha y desde la figura menor, pero en esta especie y en todas las siguientes empezamos desde la izquierda, de ahí los versos: sustraes, añades o medias desde la derecha, desde la izquierda duplica, divide, multiplica, la raíz doble 543 30 multiplica, extrahe radicem duplam sub parte sinistra. Quoniam si a prima figura incipias duplare, continget quandoque idem bis duplari, et licet aliquo modo possemus operari incipiendo a 190 dextris, difficilior tamen erit doctrina et operatio. Si velis igitur aliquem numerum duplare, scribatur primo ille numerus per suas differentias, et dupletur ultima. Ex illa igitur duplatione aut excrescet digitus, aut articulus, aut numerus 188/191 Quoniam – operatio] cfr. Coment. II, 357/359 192/200 Si –  prius] cfr. Egert. (p. 406, 7/17) 192/197 Si – sinistram] cfr. Ysagog. (p. 33, 20/22) 192/193 Si – ultima] cfr. Alchor. I (p. 88, 15/19), cfr. Pulver. (p. 88, 9/13), cfr. Dixit Algor. 3 (p. 477/479), cfr. VILLAD., Carm. 64/66 193/199 Ex – articulus] cfr. Alchor. I (p. 88, 19/25, p. 89, 1/8), cfr. Pulver. (p. 88, 14/20, p. 89, 1/4), cfr. VILLAD., Carm. 67/74, Coment. II, 343/350 188 multiplica] multiplicaque Lo5 Y1, multiplicata Va8a extrahe] subtrahe Mu5 duplam] numeri G, semper P2 D1, palam Va8 sub –  sinistra] subtrahe sinistram Ma sub] de Lo4, a Wo Mu5 Quoniam] ratio est ista praem. Ox2, quid Ox2, quia Lo5, quod Es 189 a – figura] a parte dextra Ca, post incipias transp. Ox2 a] om. Ox7a, add. Ox7s figura] om. Lo5 Mu3, post incipias transp. Lc incipias] inciperes Lc Lo4 Fi22, incipies H D1 Es, incipis Ko Va10, inceperis En, inciperemus Ox2 duplare] duplicare Y1 continget] contingeret Lc Fi22 Ox2 Pa7, contingit Ko Ma Lo5 Mu3 Be Lo3 Es Pa2 Va10 Lo2 Mu5 Y1 S Ca, continet G, post quandoque transp. D1 quandoque] idem Ox2 Mu3 Lo2, alium Es, post bis transp. Ko idem] eundem numerum Lc, post bis transp. Pa2 Mu5 S bis] post duplari transp. Ox2 190 duplari] duplare Fi22 G Ox7 Wo Mu3 Es Pa2 Mu5 Va8, duplicari Lo5, duplaris Lo2, duplicare Y1 et] om. Ox2 Ox7 aliquo] alio Lo4 H, a quo Lca modo] om. Mu3, post possemus transp. D1 possemus] continget P2 operari] post dextris transp. Y1 190/191 incipiendo – dextris] om. Ga Mu5, add. Gm 190 incipiendo] incipientes Es 191 tamen] om. Lo4 erit] esset H En Fi22 Mu2 Be Lo3 Lo2 Ca doctrina – operatio] operatio et doctrina Lc H et] vel G, sive Mu3 operatio] in operando add. Fi22 192 velis] post igitur transp. Ma Mo En Fi22 Mu2 Lo5 P2 Lo2 igitur] om. Pa2 Mu5, ergo Lo5 Lo2 Y1 duplare] duplicare Lo5, ante aliquem praem. Ox7 192/193 scribatur – numerus] scribe - illum numerum Lo5 192 primo] om. H G Lo5 Pa7 Ox7 Mu3 Be Lo3 Lo2 Y1 S, post numerus transp. Lo4 ille] post numerus transp. W1 Lo4 Ma Mo En Fi22 Mu2 Mu3 Pa2 Va10 Mu5 Va8 Ca 193 suas] om. Y1, duas Lo5 et] ut Maa, postea add. Va10 dupletur] duplicetur Ma, illa add. Ox2 ultima] figura add. Lcs, per hoc adverbium bis add. Fi22 Ex] om. Lo5, et Ma illa] tali W1 Lo4 H P2 Wo Y1 S igitur] om. Ko Pa7 P2 Be Lo3 D1, ergo Lo5 Es 194 aut excrescet] accrescit Ox2 excrescet] excrescit En Mu2 Be Lo3 D1 Es Y1, exquidet Lo2 digitus] cletus H sic aut2] om. Ox2 numerus] om. Mu2a Ox2, add. Mu2s 544 0 extráela bajo la parte izquierda26. Porque si empezaras a duplicar desde la primera figura, ocurre que a veces se duplica dos veces lo mismo; y aunque de alguna forma sí es posible que podamos operar empezando desde la derecha, la doctrina y la operación será más difícil27. Por lo tanto, si quieres duplicar algún número, primero se escribe ese número por orden según sus diferencias y se duplica la última. De esa duplicación sale un dígito, un artículo o un número compuesto. Si un dígito, 26 Nótese que esta es la única vez en todo el tratado que Sacrobosco cita literalmente unos versos, aquí extraídos del Carmen de algorismo (v. 32/34), lo que sirve para probar su uso como fuente en la obra. 27 En efecto, si se emplea el mismo procedimiento que el señalado para la duplicación pero empezando desde la derecha, se daría un resultado cuyas decenas hubiera que sumarlas a las figuras correspondientes hacia la izquierda y estas resultarían doblemente duplicadas en el resultado final. Aun así, Sacrobosco es consciente de que hay una forma de hacerlo, aunque quizá no tan intuitiva para su público. 545 31 compositus. Si digitus, loco prioris delete scribatur digitus 195 excrescens; si articulus, loco prioris delete scribatur cyfra et transferatur articulus versus sinistram; si numerus compositus, loco prioris delete scribatur digitus, qui est pars illius compositi, et sinistretur articulus. Hoc facto, duplanda est penultima, et quidquid excreverit, negotiandum est ut prius. Si vero occurrat 200 cyfra, relinquenda est intacta; sed si aliquis numerus cyfre 199/200 Hoc – prius] cfr. VILLAD., Carm. 75 195 digitus1] cletus H sic prioris] superioris Lo4 Fi22 Ox7 Mu5 Y1 S, illius Ox2 G Lo5 Pa7 Mu3 Be Lo3 Va8 Ca delete] om. Y1, deleti Ox2 Lo5 digitus2] om. Ox2, numerus Lo2 Va8, qui est pars illius compositi et sinistretur articulus add. Ox7 196 loco] figure Ma Mo En Fi22 Mu2 prioris delete] iter. Ena prioris] superioris Lo4 Mu3 Va8 Y1 S Ca, illius Ox2 Lo5 Pa7 Mu3 Be Lo3 D1, eius G Es, ipsius Ox7 delete] om. Lo5 cyfra] 0 Ox7 197 transferatur – sinistram] sinistretur articulus W1 Lc Lo4 H Ko Fi22 Mu2 transferatur] interferatur Y1 si] vero add. Be Lo3 numerus] om. Ko Mo Ox2 Be Lo3 198 prioris] superioris Lo4 Mu3 Y1 S, illius Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 Be Lo3 D1, eius Es delete] om. Ma Mu2 Ox2 Lo5 Pa7 Be Lo3 D1 Es Pa2 Mu5 Va8 Pa8 scribatur] pars add. Lo2 digitus] ciclus H sic, cyfra Mu5 qui –  compositi] om. Mo est] et Mu5 pars illius] om. H illius] numeris illius W1, illius numeri Lo5 Lo3 Va10 Lo2, illius numeris Lc G P2 Be Mu5 Y1 199 articulus] ille add. Lc, ut prius add. Lo2 Mu5 199/200 Hoc – prius] om. Lo2 199 Hoc] autem add. W1 Lc Lo4 H Ko Pa8 duplanda] duplicanda W1 est] om. En 200 quidquid] quicquam Ma excreverit] creverit Lo4 sic, ex tali autem duplatione aut excrescet digitus aut articulus aut numerus compositus si digitus loco illius deleti scribatur digitus excrescens si articulus aut numerus compositus add. Lo5, inde add. Va10 negotiandum est] om. S, negotiandum Pa2, operandum est Lo5 vero] om. Lo2, tibi add. Es occurrat] om. Ena, add. Ens, occurrit Lc Be Lo3, occurrerit Mu3, occurrerat Y1, post cyfra transp. Lc P2 Mu5 201 cyfra] 0 Ox7 relinquenda est] relinquitur Lo4 H sed si] si vero G sed] om. Lo5 aliquis – cyfre] cyfre aliquid G aliquis] quis Mu5, post numerus transp. D1 Es cyfre] 0 Ox7, cyfra Ca, ante numerus praem. Mu5, post addi transp. Ko En Fi22 Mu3 D1 Es Lo2 546 1 se escribe el dígito que se ha generado en el lugar del anterior tras borrarlo; si un artículo, se escribe un cero en el lugar del anterior tras borrarlo y el artículo se atrasa hacia la izquierda; si un número compuesto, se escribe el dígito que es parte de aquel compuesto y se mueve hacia la izquierda el artículo. Hecho esto, hay que duplicar la penúltima y, salga lo que salga, que se trabaje como antes. Por su parte, si apareciera un cero, se le dejaría intacto; pero si a algún número debiera añadírsele un cero, se escribe el 547 32 debeat addi, loco illius delete scribatur numerus addendus. Eodem modo operandum est de omnibus aliis. Probatio huius talis est: si recte duplaveris, media, et si recte mediaveris, dupla, et occurrent eedem figure, quas prius 205 habuisti. Est enim mediatio duplationis probatio et e converso. 203 Eodem – aliis] cfr. Alchor. I (p. 89, 8/10), cfr. Pulver. (p. 89, 4/6) 204/ 206 Probatio – habuisti] cfr. Alchor. I (p. 90, 1/4, p. 94, 4/6) 204/206 et –  habuisti] cfr. Pulver. (p. 92, 2/7) 206 Est – converso] Coment. II, 392/393, cfr. Egert. (p. 409, 33, p. 410, 1) 202 illius] eius H Fi22 D1 Es Va10 Pa8, cifre add. Lcs Mu2 delete] deleti Wo scribatur] ponatur Fi22 Mu3, scribendus est Lo5 numerus] om. D1 Es addendus] om. Lo4 H D1 Es, duplandus Ox7, et add. Lo5 Pa7 Ox7 203 Eodem] eo P2 modo] etiam praem. W1 Pa2 Va8, vero praem. Mo, autem praem. Ko Wo, etiam add. Lo2 Mu5 operandum est] negotiandum est W1 Be Lo3 de – aliis] om. Ox7 de] in G Ca omnibus] post aliis transp. H aliis] figuris add. Lo5, modis add. Caa, del. Cac, donec totalis numerus medietur add. Ox7, donec totalis numerus dupletur add. D1 Es 204 Probatio] autem add. Ko Fi22 Ox2 G Pa7 Ox7 P2 Wo D1 Es Va10 Va8 Pa8 huius] om. Lo5 Ox7, huiusmodo D1 talis] post est transp. Y1 recte1] directe Y1, per documenta add. Mu5 duplaveris] duplicaveris Ma, numerum add. Ox7, supra dicta add. Mu5 204/205 et – dupla] om. Lo2, et econverso H 204 et] om. Wo recte2] om. En Va10, post mediaveris transp. Lc 205 dupla] om. Va8, enim add. Pa8 Ca et] om. W1 Lo4 Va8 occurrent] redibunt Ma Mo En Fi22 Mu2 D1 Es, occurrant Pa8 Ca, tibi add. Mo prius] om. S 206 mediatio duplationis] duplatio mediationis G Pa7 Be Lo3, duplationis mediatio Va8, post probatio transp. Va8 mediatio] om. Y1 duplationis] post probatio transp. Y1 probatio – converso] om. Caa, add. Cam et – converso] om. Lo5 P2, et mediationis duplatio Va8, scilicet mediationis duplatio add. En 548 2 número que ha de añadirse en la posición de aquel tras borrarlo. Del mismo modo hay que operar todo lo demás. Su prueba es la siguiente: si hubieras duplicado bien, haz la mediación, y si hubieras hecho bien la mediación, duplica, y te saldrán las mismas figuras que tenías antes. En efecto, la prueba de la mediación es la duplicación y al revés. 549 33 SEQUITUR DE MULTIPLICATIONE Multiplicatio numeri per se vel per alium est propositis duobus numeris tertii inventio, qui totiens continet alterum illorum quot sunt unitates in reliquo. In multiplicatione duo 210 numeri principaliter sunt necessarii, scilicet numerus multiplicandus et numerus multiplicans. Numerus multiplicandus nominalem recipit appellationem, numerus vero multiplicans adverbialiter designatur. Potest etiam tertius 208/217 Multiplicatio – summa] cfr. Coventr. (p. 301, 17/21) 208/ 210 Multiplicatio – reliquo] cfr. EUCLID., Element. 7.12 (p. 196, 23/24), cfr. Alchor. I (p. 95, 3/21), cfr. Pulver. (p. 95, 2/5), Coment. II, 428/429 212/214 Numerus – designatur] cfr. RADULPH., Abac. (p. 102) 207 Sequitur – multiplicatione Ko Ma Mu2 Ox7 Mu3 Pa2 Va10 S, de multiplicatione W1 Lo4 G Lo5 D1, tit. om. Lc H Ox2 Pa7 Lo2 Mu5 Va8 Y1 Pa8 Ca, spatium tituli vacuum reliquerunt En Fi2 P2 Wo, de multiplicatione 6ª species (om. Mo) Mo Lo3, de multiplicatione 6ª specie huius artis numerandi Be, de 6ª specie huius artis scilicet multiplicatione Es 208 Multiplicatio – alium] multiplicare numerum Ox7 per se] ante numeri praem. Lo2 vel] iter. Lo5 per2] om. Mu5 est] om. Lo5, ante numeri praem. Lo4 Ko Ma En Ox2 G Mu3 Va8 Va10a Y1 Pa8 Ca propositis] compositis Fi2a 209 duobus] 2 Lo3 D1 Y1 numeris] scilicet add. Va8 continet] contineat Be Lo3 Va8 210 illorum] om. Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Pa8, eorum Mo, istorum Va10a, del. Va10c unitates] ante sunt praem. Y1, post reliquo transp. Pa7, unitatem numeri Va10a, unitatem Va10c In] om. W1 Y1 multiplicatione] duplatione Pa8, vero add. Lc Pa8, autem add. D1 duo] 2 Mo Lo3 Es Y1 211 principaliter] om. En Lo5 Be Lo3 D1 Es Pa8, ante duo transp. W1 Lc Lo4 H Ko Wo Pa2 Mu5 Va8 Ca, post necessarii transp. Lo5 Y1 S necessarii] om. Wo, et duo ordines add. Va8 scilicet numerus] om. Ox2 211/212 numerus – multiplicans] numerus multiplicans et numerus multiplicandus W1 Lc Lo4 H G Lo5c Pa7 Ox7 Be Lo3 D1 Es Lo2 Va8 Pa8, numerus multiplicans et multiplicandus Ox2 P2, numerus duplicans et numerus duplicandus Lo5a 212/213 Numerus – appellationem] post numerus - designatur transp. H Ma Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Be Lo3 D1 Es 212/213 Numerus multiplicandus] om. H 212 Numerus] om. Ox2, et praem. Lo2, vero add. Be Lo3 213 multiplicandus] ad add. Esa, om. Esc recipit appellationem] om. P2 recipit] habet Pa7 appellationem] denominationem Be Lo3 Pa2, nominationem Y1 numerus] om. Ox2 vero] om. W1 Lo4 Ko Ox2 G Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es Pa2 Mu5 Va8 Y1 214 designatur] denominatur S etiam] et add. Lo4 tertius] 3us H Ox2 Lo3 D1, post numerus transp. Pa8 550 3 SIGUE LA MULTIPLICACIÓN La multiplicación de un número por sí mismo o por otro es, habiéndose propuesto dos números, hallar un tercero que contenga de uno de ellos tantas veces cuantas unidades hay en el restante. En la multiplicación son necesarios principalmente dos números, es decir, el número multiplicando y el número multiplicante28. El número multiplicando recibe un apelativo nominal, mientras que al número multiplicante se le designa adverbialmente29. Se puede señalar también un tercer número, que se llama 28 Mientras que el castellano mantiene el término «multiplicando» para designar este miembro de la multiplicación, para el multiplicador se emplea en latín la voz multiplicans, que hemos traducido literalmente con «multiplicante». 29 El hecho de que Sacrobosco entienda el multiplicando como aquel que se denomina nominalmente y el multiplicador como aquel que se corresponde con un adverbio responde a a la formulación matemática latina de la multiplicación, donde siempre aparece un numeral cardinal y un adverbio numeral. Este último indica cuántas veces o con cuánta frecuencia se repite algo; en ese caso, un número. Un ejemplo de esta formulación la veremos infra en las reglas de la multiplicación, donde aparece quater octo para indicar «cuatro veces ocho», donde quater es el multiplicans expresado con un adverbio numeral y octo el numeral cardinal. 551 34 numerus assignari, qui productus dicitur, proveniens ex ductione 215 unius in alterum. Notandum etiam quod de multiplicante potest fieri multiplicandus manente semper eadem summa. Et hoc est quod communiter dicitur: omnis numerus in se convertitur multiplicando. Sunt autem sex regule multiplicationis.220 220 Sunt – multiplicationis] cfr. Add. in Carm. VI, 34 215 numerus] om. Lca P2 Va10, add. Lcs assignari] designari Ko, vel inveniri add. Va10, scilicet numerus add. Lo2 qui] et add. Ox2 dicitur] sive add. Mu5 proveniens] om. Pa8 Ca ductione] inductione Ko, ductu Lc Be Lo3 Es, ducendo Mu3, productione Y1 Pa8 S 216 unius] numeri Lcs in] ad Fi2 Ca alterum] alium Lo5 Pa7 D1 Es, notandum quod quicumque cyfra vel cyfre ponuntur in numero multiplicante preponatur numero multiplicando et multiplicetur postea per figuram vel figuras significativas add. Mu5 etiam] om. Mu3 Mu5 Ca, igitur Ox7 de] ex Pa8 Ca, numero add. Lcs multiplicante] multiplicatione Mu2a D1 217 multiplicandus] numerus add. Lcs En Pa7 Mu3 Mu5, numerus multiplicandus ante potest praem. Ma, et econverso add. Lc Ko G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 Va10 Lo2 Pa8 Ca semper] om. Wo Mu3, super Mu5, post eadem transp. Mo, post summa transp. P2 est] om. G 218 quod] quia En communiter dicitur] convenientur G communiter] semper Be Lo3 dicitur] om. En omnis numerus] om. Ox2 in se] post convertitur transp. Va8 220 autem] vero D1 Es sex] 6 Lo4 Ko Mu2 Pa7 Ox7 Mu3 Be Lo3 Mu5 Va8 S Pa8, VI P2 Wo, ante sunt praem. D1 Es, post multiplicationis transp. Ox7 multiplicationis] om. Ox2, ante regule praem. Mo Mu3 552 4 producto, que proviene de la acción de multiplicar30 el uno por el otro. Hay que notar también que el número multiplicante puede hacerse número multiplicando quedando siempre la misma cantidad. Y esto es lo comúnmente se dice: todo número se transforma al multiplicar31. Seis son las reglas de la multiplicación. 30 Traducimos con «acción de multiplicar» el término latino ductione. En todo este capítulo, Sacrobosco utiliza de forma sinonímica los verbos multiplicare y ducere y los sustantivos derivados de ellos: multiplicatio y ductio. Puesto que no contamos con un sinónimo total de «multiplicar» en castellano que nos permita plasmar este juego de palabras latino en nuestra traducción, emplearemos tal verbo cada vez que aparezca multiplicare o ducere con este significado; lo mismo ocurrirá con ductio, que siempre traduciremos por «multiplicación» o, como aquí, «acción de multiplicar». 31 Parece esta una expresión popular equivalente a nuestra máxima matemática de «el orden de los factores no altera el producto». 553 35 Quando enim digitus multiplicat digitum, subtrahendus est minor digitus ab articulo sue denominationis per differentiam maioris digiti ad denarium, denario simul computato. Verbi gratia, si velis scire quot sunt quater octo, vide quot sunt unitates inter octo et decem, denario simul computato; et patet quod due. 225 221/223 Quando – computato] cfr. Alchor. II, 9.1 (p. 152), 9.3 (p. 152), cfr. Ysagog. (p. 37, 1/5), cfr. OCREAT., Helcep 16-17 (p. 266), cfr. VILLAD., Carm. 99/102, cfr. Add. in Carm. IV, 1/3, cfr. Add. in Carm. V, 1/4, cfr. Coment. II, 437/441, 221/227, cfr. Coventr. (p. 302, 20/31, p. 303, 1/2, p. 305, 11/13, p. 306, 6/8), cfr. Cashel 2.1-2.2 (p. 18), cfr. Egert. (p. 410, 11/13), cfr. Maham. 767/769 (p. 33) 223/227 Verbi – multiplicationis] cfr. Alchor. II, 9.2 (p. 152), 9.4-9.6 (p. 152-153), cfr. OCREAT., Helcep 19-21 (p. 266) 221 Quando] prima est praem. G, quarum prima talis est praem. Be Lo3 Lo2 Pa8 Ca, prima est talis praem. D1 Es, prima regula est si vel praem. Va10, prima est Lcs, 1ª rª add. Mam Enm, prima regula add. D1m Esm, sequitur de regulis add. Lo2m, si Lo5, quoniam P2 Lo2 enim] om. Ox2 Mu3 Be Lo3 D1 Es Va10 Lo2 Pa8 Ca multiplicat] multiplicet Lo5 221/223 subtrahendus – denarium] considerandum est quot sint unitates inter maiorem digitum et denarium P2, consideretur quot unitates sint inter digitum multiplicandus et denarium Lo5, considerandum est quot unitates sunt inter digitum multiplicandum et denarium Pa7 Ox7 221 subtrahendus est] subtrahatur Be Lo3, subtrahendus Es 222 digitus] om. Y1 S, ciclus H sic ab – denominationis] a suo denominationis articulo Pa8 Ca 222/223 per – digiti] per tot unitates per quot maior distat H 222 differentiam] differentias Lo4, distantiam Lo2 223 digiti] om. Lc ad denarium] a denario H Lo2, a denarium Maa, del. Mac, de add. Ox2 computato] et totiens subtrahatur digitus multiplicans scilicet minor digitus ab articulo sue denominationis add. Lo5, et totiens subtrahatur digitus multiplicans ab articulo sue denominationis add. Ox7, et patet quod due subtrahatus igitur quaternarius totiens digitus multiplicans ab articulo sue denominationis add. Pa7a, del. Pa7c 224 velis] vis Be Lo3 Va8 Y1 quot sunt1] om. W1 sunt1] om. Fi2a Y1, add. Fi2m, sint H Ma Lo5 D1 Pa2 Va10 Lo2 Mu5 S Pa8 octo] 8 Ko Ox2 P2 Mu3 Be Lo3 Mu5 S vide] inde Y1 224/225 quot2 – decem] quot unitatibus distet octonarius a denario Lo2 224 sunt2] om. Fi2a, add. Fi2m, sint H Ma Lo5 P2 Mu3 D1 Es Pa2 Va10 Pa8, post unitates transp. H Fi2 Y1 225 octo] 8 Ko Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 P2 Mu3 Be Lo3 D1 Es Pa2 Va8 Y1 S Pa8 Ca decem] 10 Ko Ox2 Lo5 Pa7 P2 Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es Pa2 Y1 S Pa8 Ca, X Ox7 Va8, in add. Ma denario – computato] om. H simul] om. Pa7 patet] constat Wo quod] sunt add. P2 Lo3 Es due] duo Be Y1, 2 Es, duabus Lo2 554 5 Cuando un dígito multiplica un dígito, hay que restar al artículo denominado por el dígito menor este mismo por la diferencia del dígito mayor hasta la decena, decena incluida32. Por ejemplo, si quieres saber cuántos son cuatro veces ocho, fíjate en cuántas unidades hay entre ocho y diez, contando también el diez, y así queda patente que son dos. Que se 32 El procedimiento matemático sería el siguiente: x · y = 10x - [x · (10 - y)]. 555 36 Subtrahatur igitur quaternarius bis a 40 et remanent 32, summa totius multiplicationis. Quando digitus multiplicat articulum, ducendus est digitus in digitum, a quo denominatur ille articulus, et quelibet unitas valebit 10, quilibet denarius 100.230 228/230 Quando – 100] cfr. GERBERT., Regula abac. (p. 311), cfr. GERBERT., Numer. 1 (p. 349), cfr. GERBERT., Abac. 1 (p. 362), cfr. Alchor. II, 26.2 (p. 169), 27.2 (p. 170-171), cfr. Add. in Carm. IV, 11/14, cfr. Add. in Carm. V, 9/10, cfr. Add. in Carm. VI, 6/11, cfr. Coment. II, 858/861, cfr. Coventr. (p. 305, 13/16, p. 306, 8/13), cfr. RADULPH., Abac. (p. 102), cfr. Maham. 1093/1096 (p. 45), 1175/1177 (p. 47) 226 igitur] om. D1, ergo Lc En Ox2 Lo5 P2 Pa7 Wo Be Lo3 Es Lo2 Y1 quaternarius] quater vel quaternarius Fi2, 4 Va10 S Y1, ab articulo sue denominationis add. Lo5 bis] om. P2 Lo2, post 40 transp. Ox2 Pa7 Ox7 Be Lo3 D1 Es Pa2, scilicet add. Lo5 a 40] ab articulo sue denominationis scilicet 40 (quadraginta Va10, quadragenario Lo2) D1 Es Va10 Lo2 40] quadraginta G Mu3 Mu5 et – summa] om. Y1 et] om. Pa8 Ca remanent] remanentur W1 G, remanebunt Lo4 H Ma Mo En Fi2 Mu2 Ox7 Va10 Lo2 Mu5, remanet D1 Y1, relinquatur Pa2, relinquentur Va8 32] om. Y1, triginta et duo Lo4, 30 P2, scilicet add. H Mu3, quod est add. Lo5, et add. Ma, et patebit add. Mu2 Lo2 summa] om. Lc, sumpto Ox2 sic 227 totius] totalis W1, alicuius Ox2, post multiplicationis transp. Pa8 multiplicationis] multitudinis Ox2, similiter intelligendum est et si digitus multiplicat se ipsum add. Be Lo3 228/230 Quando – 100] post 232 totius transp. Mu5 228 Quando] secunda regula talis est praem. Be Lo3, secunda talis est praem. Pa8 Ca, 2ª rª add. Mam Enm, 2ª regula add. D1m, 2ª add. Esm, vero add. Lc Lo5, autem add. Ko Va10 multiplicat] om. Y1, digitum add. Maa, del. Mac articulum] om. Mu5 ducendus] duplandus Ox2 228/229 digitus2 – digitum] om. Wo 228 digitus2] ciclus H sic, ille digitus G, multiplicans Lo2 229 denominatur] om. Y1, multiplicatur P2a ille] post articulus transp. Wo articulus] per primam regulam add. Be Lo3 et] om. Be Lo3 230 valebit] valet Lo4 H Ma Mo En Fi2 Mu2 Mu3 Be Lo3 Mu5, delevit Ox7a, centum add. P2a, del. P2c 10] X En Ox7 Lo2 Ca, decem Fi2, et add. H G Pa7 Mu3 Be Lo3 Y1 Pa8 Ca, etiam add. Lo4 denarius] articulus vel denarius W1, articulus Lo4 Ox2 Lo5 Pa7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es Va10 S, valet add. Lo4 H Be Lo3, valebit add. Pa8 Ca 100] centum En Fi2 Mu2, C Ox7 Va10 Lo2 Va8 556 6 reste, por tanto, dos veces cuatro a 40 y quedan 32, la cantidad de toda la multiplicación33. Cuando un dígito multiplica un artículo, hay que multiplicar el dígito por el dígito gracias al cual dicho artículo recibe su nombre, y cualquier unidad valdrá 10, cualquier denario, 100. 33 Siguiendo el ejemplo sacrobosquiano, el desarrollo de la operación quedaría de la siguiente manera: (4 · 10) – [(10 – 8) · 4] = 40 – (2 · 4) = 32. 557 37 Quando digitus multiplicat numerum compositum, ducendus est digitus in utramque partem numeri compositi, ita quod digitus in digitum per primam regulam, in articulum per secundam, postea producta iungantur, et erit summa totius. Quando articulus multiplicat articulum, ducendus est digitus, 235 a quo denominatur unus illorum, in digitum, a quo denominatur reliquus; et quelibet unitas valebit 100, quilibet denarius 1.000. 231/234 Quando – totius] cfr. Add. in Carm. IV, 21/24, cfr. Add. in Carm. V, 11/13, cfr. Add. in Carm. VI, 12/18, cfr. Coment. II, 867/875, cfr. Coventr. (p. 304, 26/29) 235/237 Quando – 1000] cfr. GERBERT., Regula abac. (p. 313), cfr. GERBERT., Numer. 2 (p. 350), cfr. Alchor. II, 26.2 (p. 169), 28.1 (p. 171), cfr. Add. in Carm. IV, 6/10, cfr. Add. in Carm. V, 5/8, cfr. Add. in Carm. VI, 1/5, cfr. Coment. II, 848/851, cfr. Coventr. (p. 304, 21/25, p. 305, 16/17, p. 306, 1/5), cfr. RADULPH., Abac. (p. 103), cfr. Cashel 2.5-2.6 (p. 19-20), cfr. Maham. 1124/1127 (p. 46), 1181/1182 (p. 47) 231 Quando] tertia regula talis est praem. Be Lo3 Pa8 Ca, 3ª rª add. Mam Enm, 3ª regula add. D1m, 2ª add. Esm, autem add. Lo5 Ko digitus] ciclus H sic numerum] om. Ox2, digitum Pa8a compositum] om. Lca, add. Lcs 232 digitus] om. Ox2 Pa7 P2 Wo Y1 S, clius H sic numeri] om. Ox2 Lo2, post compositi transp. Lo4 Lo5 ita quod] et Lo5 233 digitus] clius H sic, ducendus est add. Lo5 regulam] et add. Mo Y1, articulus add. Ox2, et deinde add. G, digitus add. Va8 articulum] articulo Ox7 234 secundam] 2am S, regulam add. Ox2 Be Lo3 Y1 S, et add. H Lo5 Ox7 Va8 Pa8 Ca postea] om. Lo5 Va8 producta] post iungantur transp. Ko Pa2 Va10 Lo2 Va8 S iungantur] ducantur Ha, coniungantur Ko G Lo5 Be Lo3 D1 Es Pa2 Va10 Lo2 Mu5 Va8 Y1 Pa8 Ca, producta add. Mu5 erit] patebit W1 H Ko Lo2, habebitur Es, est Mu5 summa] om. Ca totius] om. H Lo2, multiplicationis add. Mam Ox2 Va10 235 Quando] quarta talis est regula praem. Be Lo3, quarta regula talis est praem. Pa8 Ca, 4ª rª add. Mam Enm, 4ª regula add. D1m, 4ª add. Esm, vero add. G multiplicat] om. Lo4 H, post articulum transp. Pa7 Ox7 articulum] digitum P2a ducendus] post digitur transp. P2 est] om. Lo4 digitus] cletus H sic, articulus Lo5a 236 unus] om. Va10a, add. Va10s in] om. Mu5 digitum] cli. H sic, illum Va8 236/237 denominatur reliquus] om. Lc 237 reliquus] alter illorum Mu3, alter eorum Es, alius Lo2, reliquum Mu5, per primam regulam add. Be Lo3 valebit] valet Lo4 Ma Mo En Fi2 Mu2 Mu3 Be Lo3 Mu5 Ca 100] centum W1 Lc Lo4 Ma En Fi2 G, C Ox7 Lo2 Va8, 1000 Mu5, et add. Lo4 G Pa7 Ox7 Be Lo3 Y1 quilibet] quelibet Ma, vero add. H denarius] articulus Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 Wo Mu3 Be Lo3 Va10a, valet add. Be Lo3, valebit add. Va10 Y1 1000] mille W1 Lc Lo4 Ko Ma Mo En Fi2 Mu2 G Ox7 Wo Lo2 Ca 558 7 Cuando un dígito multiplica un número compuesto, hay que multiplicar el dígito por una y otra parte del número compuesto, así que el dígito por el dígito por la primera regla, por el artículo por la segunda, después se juntan los productos y será la cantidad de todo. Cuando un artículo multiplica un artículo, hay que multiplicar el dígito gracias al cual uno de ellos recibe su nombre, por el dígito gracias al cual el otro recibe su nombre; y cualquier unidad valdrá 100, cualquier decena, 1.000. 559 38 Quando articulus multiplicat numerum compositum, ducendus est digitus articuli in utramque partem numeri compositi, et coniungantur producta, et patebit summa.240 Quando numerus compositus multiplicat numerum compositum, ducenda est utraque pars numeri multiplicantis in utramque partem numeri multiplicandi. Et sic ducetur digitus bis, quia semel in digitum et semel in articulum; articulus similiter bis, semel enim in digitum et iterum in articulum. Hic 245 238/240 Quando – summa] cfr. Add. in Carm. IV, 25/29, cfr. Add. in Carm. V, 14/16, cfr. Add. in Carm. VI, 19/26, cfr. Coment. II, 876/880, cfr. Coventr. (p. 306, 15/16) 241/245 Quando – articulum] cfr. Alchor. II, 23.4-23.5 (p. 168-169), 26.4 (p. 170), cfr. Add. in Carm. IV, 15/20, cfr. Add. in Carm. V, 17/22, cfr. Add. in Carm. VI, 27/33, cfr. Coment. II, 881/890, cfr. Coventr. (p. 304, 30/34, p. 305, 1/9, p. 306, 16/18) 238 Quando] quinta (Vta Ca) regula talis est praem. Be Lo3 Pa8 Ca, 5ª rª add. Mam Enm, 5ª regula add. D1m, 5ª add. Esm, vero add. Va10 multiplicat] post compositum transp. W1 compositum] om. Lo4a, add. Lo4s 239 digitus articuli] articulus P2 digitus] clitus H sic articuli] om. Va10 utramque] quelibet G, unamquamque Be Lo3 numeri] om. Ox2 Lo2 240 compositi] om. En et1] om. Mo coniungantur producta] totali numero preponatur cifra sive quelibet unitas valebit X quod idem est Lo2 coniungantur] iungantur Lo4 H Ko En Ox2 G Pa7 Ox7 Wo Mu3 Be Lo3 Va8 Y1 patebit summa] summa erit totius multiplicationis Ox2 summa] totius add. Ox7 241 Quando – compositus] si Maa, quando - compositus add. Mam Quando] sexta (VIta Ca) regula talis est praem. Be Lo3 Pa8 Ca, 6ª rª add. Mam Enm, 6ª regula add. D1m, 6ª add. Esm, autem add. Ko numerum] om. Va8 242 ducenda – numeri] deest Wo mutilo folio ducenda] duplanda Ox2 est] om. Mu5, iter. Ko numeri] om. Lo4 G Lo2 Y1 multiplicantis] multiplicitatis Bea 243 utramque] om. P2 partem] om. Lo5 S numeri multiplicandi] deest Wo mutilo folio numeri] om. Mu3 Lo2 multiplicandi] et producta coniungantur et patebit summa totius add. Be Lo3 Es, et patebit summa add. Lo2 243/ 245 Et – articulum] om. Lo2 243 sic] post ducetur transp. Lo4 ducetur] ducitur Fi2 Mu3, post digitus transp. Ko digitus] om. G, clius H sic, numerus Ma Mu5 244 quia – articulum] om. H quia] quoniam Lo5 in1 – articulum] in articulum - in digitum Pa7 Ox7 et – articulum] om. Y1 et] om. Mu5 semel2] iterum W1 Lc Lo4 Wo D1 244/245 articulus –  articulum] om. Ena G Be Lo3 D1 Mu5 Y1, add. Enm 244 articulus] om. Va8 245 bis] om. H, quia add. P2 Va8, quoniam add. Ox7 semel] bis Mu3 enim] om. W1 Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 Mu3 Es Va8 Pa8 digitum] cli. H sic iterum] om. Ena, add. Enm, semel Pa7 P2 Mu3 Es Va8 Pa8 Ca 245/247 Hic – articulos] om. Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2a, add. P2m 245 Hic] non Mu3, in istis Lo2 560 8 Cuando un artículo multiplica un número compuesto, hay que multiplicar el dígito del artículo por ambas partes del número compuesto, y se unen los productos, y quedará patente la cantidad. Cuando un número compuesto multiplica otro número compuesto, hay que multiplicar cada una de las partes de un número multiplicante por cada una de las partes del número multiplicando. Y de esta forma se multiplica dos veces el dígito, porque una vez por el dígito y una vez por el artículo; el artículo igual, dos veces, pues una vez por el dígito y de nuevo por el 561 39 tamen ubique articulus non nisi ad principales extendatur articulos. Si velis igitur aliquem numerum in superiori ordine per se vel per alium multiplicare, scribe numerum multiplicandum per suas differentias, numerum vero multiplicantem in inferiori per 250 suas, ita tamen quod prima inferioris ordinis sit sub ultima superioris. Quo facto ducenda est ultima multiplicantis in 248/279 Si – prima] cfr. Ysagog. (p. 27, 18/23, p. 28, 3/20) 248/264 Si –  etc] cfr. Egert. (p. 407, 18/34, p. 408, 1/11) 248/253 Si – multiplicandi] cfr. Alchor. I (p. 95, 23/27, p. 96, 1/10), cfr. Pulver. (p. 95, 12/26), cfr. FIBON., Abac. 2 (p. 7) 248/252 Si – superioris] cfr. Dixit Algor. 4.1 (p. 52, 488/504), cfr. OCREAT., Helcep 55 (p. 274), cfr. VILLAD., Carm. 94/98, cfr. Coment. II, 443/445, cfr. Cashel 3.3 (p. 21) 252/259 Quo – prius] cfr. OCREAT., Helcep 62-65 (p. 276), cfr. Coment. II, 447/451 252/253 Quo –  multiplicandi] cfr. Dixit Algor. 4.2 (p. 54, 520/524) 246 tamen] autem Lo2 ubique] om. Ko Be Lo3 Pa2 Lo2, ubi Fi2, post articulus transp. Lc Ca, post non transp. Pa8 ad] om. Lc extendatur] extenditur Lc D1 Es Mu5 Va8, ascendatur Lo2, post articulos transp. Lc Lo2 Pa8 Ca 247 articulos] om. Lo3 248 Si] principium operationis add. Mam, operatio add. D1m velis] vis Ox2 igitur] om. Ma Mo En Mu2 P2 Mu5, ergo Pa7, ante velis praem. Pa8 Ca aliquem numerum] om. Pa8, post alium transp. Va8 aliquem] om. Fi2, post numerum transp. Lo5 Pa7 Wo Mu3 D1 Pa2 S, duplare vel triplare vel quotienslibet add. Fi2 numerum] om. Es, vel add. Ox2 Mu3 Y1 in – ordine] post differentias transp. Va8 Y1 S Pa8 Ca superiori] post ordine transp. Lo4 H 248/249 per – alium] per numerum Lo4 H 249 multiplicare] multiplicatione Pa2 scribe] primo add. Va10 250 differentias] et add. G, IIII Mu3 sic 250/251 numerum – suas] om. Ox7a Lo3a, add. Ox7m Lo3m 250 numerum – inferiori] numerum in inferiori autem multiplicantem D1 Es numerum] om. D1 Es vero] om. G Wo Va10 in inferiori] post differentias transp. Y1 S Pa8 Ca inferiori] ordine add. H Mu2 Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Mu3 Lo3 Lo2 251 suas] differentias add. Ma Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 P2 Be Va10 Lo2 Va8 Pa8 Ca tamen] om. Lc Ox7 Mu3 prima] figura prima Ma, prima figura Mo En Fi2 Mu2 ordinis] om. G P2 Lo2 Y1, figura add. Ko sit] om. P2, post ultima transp. Pa2 252 superioris] multiplicandi add. Ma Mo En Fi2 Mu2, ordinis add. Ox2 Pa7 Ox7 Va10 Va8 Quo] hoc Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es ducenda est] ducenda Fi2 Be, duplanda est Ox2, ducetur Y1, figura numeri add. Lc, numeri add. Be Lo3 multiplicantis] inferioris ordinis Va8 562 9 artículo. Aunque aquí el artículo no se extienda indistintamente a no ser a los principales artículos34. Por tanto, si quieres multiplicar algún número en el orden superior por sí mismo o por otro, escribe el número multiplicando por orden según sus diferencias y el número multiplicante en el inferior según las suyas, de manera que la primera del orden inferior esté bajo la última del superior. Hecho esto, hay que multiplicar la última del multiplicante por la última del 34 Con esta aclaración entendemos que se quiere precisar que no ha de interpretarse que en el resultado final cualquier unidad vale diez y cualquier decena cien, etc., sino que esto tan solo sirve para cuando se multiplica por el artículo. Es decir, no es correcto elevar a diez el resultado de la multiplicación de los dos dígitos. 563 40 ultimam multiplicandi. Ex illo igitur ductu aut excrescet digitus, aut articulus, aut numerus compositus. Si digitus, ex directo supraposito figure multiplicantis scribatur digitus excrescens; si 255 articulus, ex directo figure multiplicantis scribatur cyfra et transferatur articulus versus sinistram; si numerus compositus, ex directo figure multiplicantis scribatur digitus illius numeri compositi, et sinistretur articulus ut prius. Hoc facto ducenda est penultima multiplicantis in ultimam multiplicandi, et quidquid 260 excreverit, negotiandum est ut prius. Et sic fiat de omnibus 253/261 Ex – prius] cfr. Alchor. I (p. 96, 10/27, p. 97, 1/8), cfr. Pulver. (p. 95, 26, p. 96, 1/17) 253/259 Ex – prius] cfr. VILLAD., Carm. 110/117 253/254 Ex – compositus] cfr. Alchor. II, 27.1 (p. 170), cfr. Maham. 700/702 (p. 30) 259/261 Hoc – prius] cfr. Dixit Algor. 4.2 (p. 54, 524/530), cfr. Coment. II, 451/452 261/268 Et – prius] cfr. Alchor. I (p. 97, 9/24), cfr. Pulver. (p. 96, 18/27, p. 97, 1/4) 253 ultimam] numeri add. Lc multiplicandi] multitudini H sic, superioris Va8 illo] om. Ox7 igitur] autem Lo5, ergo Lo2 excrescet] excrescit Lo4 Ma Fi2 Ox2 G Ox7 P2 Mu3 Be D1 Es Lo2 Va8 Pa8 Ca digitus] clius H sic 254 numerus] om. Ox2 Si] scilicet Y1 digitus] clius H sic ex directo] ex directe Ko, e directo Mo Pa5 Be Lo3 Es, directe Lo2 255 supraposito] supraposite Mo Fi2 Mu2 Ox7 Be Lo3 D1 Es Va10 Pa8 Ca, supposito Ma, supra caput Lo2 figure] om. Es, numeri add. W1 Lc Ko, si ergo add. Y1, prime add. Pa8 Ca 255/256 digitus – scribatur] om. Lo4 P2a Mu5, add. P2m 255 digitus] cultus H sic, ille add. Fi2 255/ 257 si – sinistram] om. Lo2 255 si] 2us modus add. Mam 256 ex directo] ex directe Ko, e directo Mo Be Lo3 Es, supraposito add. Lc, suprapositione add. H Ko, supra caput add. Pa8 Ca figure] om. Mu3 Y1, numeri add. W1 Lc Ko, si ergo add. Y1 cyfra] 0 Mo Ox7 257 transferatur] post articulus transp. Mo articulus] ad proximam figuram add. Fi2 si] vero add. Mu5, 3us modus add. Mam numerus] om. Ox2 compositus] om. Mu5, iter. Ox2 258 ex directo] ex supraposito Lo4 H, ex directe supraposito Ko, e directo Mo Be Lo3, directe Lo2, supra caput add. Lo2 Pa8 Ca figure] om. Lo2, numeri add. W1 Lc Ko Pa7 multiplicantis] multiplicans Y1 258/259 digitus – compositi] compositi illius digitus Mu5 258 digitus] clitus H sic, qui est pars add. Ox2 Lo2 Y1 S Pa8 Ca illius numeri] om. P2 illius] om. Lc Be 258/259 numeri compositi] articuli Mu3 258 numeri] om. Lo4 H G Wo Pa2 Lo2 Va8 Y1 S, post compositi transp. Ca 259 sinistretur] post articulus transp. Lo2 ut prius] om. Lo2 Hoc] quo Fi2 Mu2, autem add. W1 Lc Ko Mo Lo2 Pa2 Va8 ducenda est] multiplicanda est En, duplanda est Ox2, ducenda Lo2 Y1 260 penultima] om. Lo2, prima Mu3, ultima Ca ultimam] numeri add. Lc 261 excreverit] excrescerit D1, inde praem. Pa7, inde add. Va10 est] om. S sic] post fiat transp. Ko Wo fiat] om. Lo2, faciendum est Ko Wo, fit Fi2, fac Be Lo3 261/262 de –  multiplicantis] om. Wo Y1 261 omnibus] figuris add. Lc G Lo2 Pa8 Ca, aliis add. Ma Mo En Fi2 Mu2 Be Lo3 D1 Es 564 0 multiplicando. De la acción de multiplicar resulta un dígito, un artículo o un número compuesto. Si es un dígito, se escribe el dígito resultante directamente sobre el lugar de la figura del multiplicante; si es un artículo, se escribe el cero directamente sobre la figura del multiplicante y se transfiere el artículo hacia la izquierda; si es un número compuesto, se escribe el dígito de ese número compuesto directamente sobre la figura del multiplicante y se mueve a la izquierda el artículo como antes. Hecho esto, hay que multiplicar la penúltima del multiplicante por la última del multiplicando, y salga lo que salga, hay que trabajar como antes. Y que así se haga con todas las del 565 41 numeri multiplicantis, donec perveniatur ad primam, que ducenda est in ultimam multiplicandi. Et ex illo ductu aut excrescet digitus, etc. Si digitus, loco superioris delete scribatur digitus excrescens; si articulus, loco superioris delete scribatur 265 cyfra, et sinistretur articulus; si numerus compositus, loco superioris delete scribatur digitus illius compositi, et sinistretur articulus ut prius. Hoc autem facto anteriorande sunt figure numeri multiplicantis per unicam differentiam, ita scilicet quod 268/273 Hoc – etc] cfr. Dixit Algor. 4.2 (p. 54, 530/545), cfr. VILLAD., Carm. 107/109, cfr. Coment. II, 452/458 268/271 Hoc – anterioratis] cfr. Alchor. I (p. 97, 24/29, p. 98, 1/5), cfr. Pulver. (p. 97, 4/13) 262 numeri multiplicantis] om. Lo5 P2 Be Lo3 S numeri] om. Pa8 Ca, numeris Lo4 Ko Ma En Fi2 Mu2 Pa7 Ox7 D1 Va8 multiplicantis] multiplicantibus Ma perveniatur] veniatur Lo4 Ma Mo En Mu2 P2 Pa2 Lo2 Va8 Pa8 Ca, ventum fuerit H, veniamus Fi2, veniat Mu5, post primam transp. Be Lo3 primam] numeri multiplicandi add. Lc, multiplicanti add. Ko Lo5 P2 Wo Be Lo3 D1 Es Va10 Y1 S, figuram multiplicanti add. Fi2 P2, figuram add. Va8 262/263 que –  multiplicandi] om. Lc 263 ducenda est] dicenda est Fi2a, est ducenda Fi2c, duplanda est Ox2, ducenda Pa8 Et] om. Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Lo3 Va10 Y1 Pa8 Ca illo] isto H Ox2, igitur add. Ox2 Ox7 Pa7 Wo Be Lo3 Pa8 Ca, et add. G, autem add. Lo5 ductu] om. Mu5, digito Lo2 264 excrescet] excrescit Lc H Fi2 Ox2 G Mu3 Be Lo3 D1 Es Lo2 Pa8 Ca digitus1] om. Es, clius H sic etc] aut articulus etc. W1, aut articulus aut numerus compositus Lc Lo5 Be Lo3 Pa8 Ca, aut etc. Ko G Pa7 Ox7, aur. aut aut numerus compositus Fi2 sic, aut ar. aut numerus compositus Mu2, aut articulus aut compositus Ox2 264/266 Si –  articulus] om. Mu3 264 loco – delete] ex directo supra caput figure multiplicantis Ox7 scribatur] chifra et sinistretur articulus add. Sa, del. Sc 265 digitus] om. Pa2, numerus Lo2 loco – delete] ex directo etc. Ox7 superioris] figure Ox2 265/267 scribatur – delete] om. Lo3a, add. Lo3m 266/267 cyfra – scribatur] om. P2a Va8, add. P2m 266 cyfra] 0 Ox7, clius [sic] illius compositi H sinistretur articulus] transferatur articulus versus sinistram Ma Mo En Fi2 Mu2 articulus] om. Mu5, ante sinistretur praem. Lo2, ut prius add. Lo5 266/268 si – articulus] om. H Mu5 266 numerus] om. Ox2 266/267 loco – delete] etc. Ox7 267 superioris] figure Ox2 digitus] qui est pars add. Lo4 Lo3s Lo2 Va8 Pa8 Ca, pars add. Y1 illius compositi] om. P2, post articulus transp. G illius] om. Lca Pa8 Ca, add. Lcs, numeri add. W1 Lc G Lo5 Pa7 Ox7 Be Lo3 Va10 Pa8 Ca 267/268 et – prius] om. Be Lo3 267 sinistretur] similiter G 268 ut prius] om. Lc G Lo5, et (vel Lo3) in figura sequenti scribatur articulus add. Be Lo3 autem] om. Ma Ox2 Wo Be Lo3 Y1 S Pa8 269 numeri] om. Es unicam] unam Lo5 P2 Be Lo3 ita] om. G Pa2 scilicet] om. Pa8 Ca 566 1 número multiplicante hasta que se llegue a la primera, que hay que multiplciarla por la última del multiplicando. Y de esta acción de multiplicar sale un dígito, etc. Si es un dígito, se escribe el dígito resultante en la posición de la figura superior tras borrarla; si un artículo, se escribe un cero en la posición de la figura superior tras borrarla y se mueve hacia la izquierda el artículo; si es un número compuesto, se escribe el dígito de dicho compuesto en la posición de la figura superior tras borrarla y que se mueve a la izquierda el artículo como antes. Una vez hecho esto, hay que atrasar las figuras del número multiplicante una sola diferencia, de tal forma 567 42 prima multiplicantis sit sub penultima multiplicandi, reliquis 270 similiter per unum locum anterioratis. Quo facto ducenda est ultima multiplicantis in illam multiplicandi, sub qua est prima multiplicantis, et ex illo ductu aut excrescet digitus, etc. Si digitus, ex directo figure sibi supraposite addatur; si articulus, transferatur versus sinistram; si numerus compositus, addatur 275 271/283 Quo – multiplicandi] cfr. Alchor. I (p. 98, 14/25), cfr. Pulver. (p. 97, 22/29, p. 98, 1/4) 270 prima] om. G, post multiplicantis transp. Lc, numeri add. Lc, figura numeri add. Ma sit] prima add. Ha, del. Hc penultima] ultima Fi2a Pa7a Va8a, post multiplicandi transp. Lo2, numeri add. Lc multiplicandi] donec perveniatur ad primam add. Mo, ponatur add. Be Lo3, et add. Pa2 271 similiter] om. H Lo5 Be Lo3, aliter Ox2 per –  locum] om. G, per unicam differentiam W1 Lc Lo4 H Ox2 unum] om. Y1 spatio relicto, unicum Pa7 Ox7 locum] om. Pa8, multiplicatis add. P2a, del. P2c Quo facto] figuris itaque anterioratis Lo5 Quo] hoc Ox2 G Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es Y1 S ducenda] duplanda Ox2 272 ultima] numeri add. Lc, figura add. D1 272/273 in – multiplicantis] om. Be Va8 272 illam] ultimam Ma, illa Y1, figuram numeri add. Pa8 Ca multiplicandi] om. Lo2 est] stat Lc, prestat Ma prima] om. Ma, figura numeri add. Lc 273 et] om. Lc Ko En Lo5 Pa7 Ox7 Be Lo3 Va10 Y1 Pa8 Ca illo] ipso Ox2, hoc G, igitur add. Lc En G Ox7 Pa8 Ca, autem add. Va10 aut] om. Lo5, ut Lo2 excrescet] excrescit Ox2 P2 Be Lo3 Es Pa8 Ca digitus] di. Fi2 sic, d. Mu2 sic etc] aut articulus etc. W1, aut etc. Ko G Pa7 Ox7, aut ar. aut numerus compositus Fi2 Mu2, articulus aut compositus Ox2, aut articulus aut numerus compositus Lc Lo5 Be Lo3 Pa8 Ca 274 ex directo] om. Lo2, e directo Mo Be Lo3 Es figure – addatur] addatur illi figure que est supra caput multiplicantis Lo2 figure – supraposite] supraposite sibi figure Lo4 figure] om. H En Fi2 P2 sibi] om. G Be Lo3 Pa2 Y1 Pa8 Ca, post supraposite transp. Ko supraposite] supraposito H, figure add. H addatur] scribatur Ma, ille add. Lc, digitus add. Ma Mo, digitus excrescens add. Ox7 274/276 si –  digitus] om. Ma 274 articulus] e directo figure supraposite add. Be Lo3, loco superioris delete scribatur 0 in add. Ox7 275 transferatur] articulus add. Ox7, digitus add. Pa8 Ca versus] ad Lo2 sinistram] et figura sibi directe supraposita relinquatur intacta sive (cum Be) sit significativa sive non add. Be Lo3 D1 Es numerus] om. Ox2, digitus Lo2a, add. Lo2m compositus] numerus add. Va8 275/276 addatur – digitus] addatur digitus qui est pars illius compositi sibi supraposite figure Ox2, digitus qui est pars illius compositi addatur supra caput multiplicantis Lo2 275/276 addatur figure] iter. P2a 568 2 que la primera del multiplicante esté bajo la penúltima del multiplicando, y el resto de igual manera atrasándolo de una posición. Hecho esto, hay que multiplicar la última del multiplicante por aquella del multiplicando, bajo la que está la primera del multiplicante, y de esta acción resulta un dígito, etc. Si un dígito, se añade directamente a su figura superior; si un artículo, se transfiere a la izquierda; si un número compuesto, se añade el dígito a la 569 43 figure supraposite digitus, et sinistretur articulus. Similiter quelibet figura numeri multiplicantis ducenda est in penultimam multiplicandi, donec perveniatur ad primam multiplicantis, ubi operandum est quemadmodum docebatur de prima. Deinde ut prius anteriorande sunt figure multiplicantis per unicam 280 differentiam. Nec cessandum est a tali anterioratione, nec a tali ductu, quousque quelibet figura numeri multiplicantis ducatur in quamlibet multiplicandi. 279/283 Deinde – multiplicandi] cfr. Dixit Algor. 4.2 (p. 54-6, 546/553) 276 figure] sibi add. W1 Lc Lo4 H Ko Mo Fi2 Wo Va8 S supraposite] om. Mu3 digitus] om. Y1, ante addatur praem. Mo, post addatur transp. En Fi2 Mu2 Va8, illius numeri compositi add. W1 Lc Ko, illius compositi add. Lo4 H et] in Ox7 sinistretur] sinistratur Lc, post articulus transp. Lo2 articulus] ut prius add. Lo2 Similiter] modo add. Lo2 277 numeri] om. Ox2 Lo3 P2 Be Lo3 Mu5, post multiplicantis transp. D1 Es ducenda est] om. Y1, producenda est H penultimam] ultimam Mu5, numeri add. Lc, figuram add. Ox2 278 perveniatur] veniatur Lo4 H multiplicantis] om. Lo2, multiplicandi Ox2 278/280 ubi – multiplicantis] om. Be 278 ubi] et tunc Ox7 279 operandum est] est operandum Ma En Fi2 Mu2, operandum Pa2 quemadmodum] ut H, sicut Lo5 Lo3 Lo2, prius add. Lo5 docebatur] om. Pa8, dicebatur Lo4 H Ko Ox7 Wo Pa2 Va10 Mu5 Y1, dictum est Lo5, determinabatur P2, post prima transp. P2 de prima] prius H Lo4, ante docebatur praem. H, prima Ma, in prima Mo Pa8 Ca 279/280 ut prius] om. Ox2 Lo3 Mu5, post sunt transp. Lc Mu3 279 ut] sicut Lo2 280 figure] numeri add. W1 Lc Lo4 H Ko Ma Fi2 P2 Wo Mu3 Va10 multiplicantis] om. Lo5 unicam] unam Mo Lo5 Be Lo3 S, unam add. P2 281 Nec] et non Wo est] om. Lo2 Mu5 a1 – nec] om. P2 Va8 282 ductu] anterioratione Maa, ductione Ox7, numeri in numerum add. W1 quousque] donec Lo5 Lo2 figura] om. Lc numeri multiplicantis] iter. Mu5 numeri] om. Ox2 G Ox7 S, post multiplicantis transp. Mu5 Ca ducatur] ducantur Lo3a 283 quamlibet] quilibet numeri W1 Lc Lo4 Ca, numerum add. H Pa7, numeri Mu5, figuram numeri add. Ko Ox7 Es, figuram add. D1 Y1, numeri add. Va10 Va8 Pa8 570 3 figura superior y se mueve a la izquierda el artículo. De igual forma, cualquier figura del número multiplicante hay que multiplicarla por la penúltima del multiplicando hasta que se llegue a la primera del multiplicante, donde hay que operar como se enseñaba arriba. Después, como antes, hay que atrasar las figuras del multiplicante una única posición. Y no hay que dejar de hacer tal movimiento hacia atrás, ni tal acción de multiplicar, hasta que toda figura del número multiplicante se haya multiplicado por cada una de las figuras del multiplicando. 571 44 Si autem contingat quod prima figura numeri multiplicantis sit cyfra et ei supraponatur figura significativa, loco illius 285 superioris delete scribenda est cyfra. Si autem occurrat cyfra inter primam et ultimam inferioris ordinis et directe supraponatur figura significativa, relinquenda est intacta; si vero spatium ei suprapositum sit vacuum, in eodem spatio scribenda 284/295 Si – anterioratio] cfr. VILLAD., Carm. 118/120, cfr. Coment. II, 459/474, cfr. RADULPH., Abac. (p. 107) 286/290 Si – cyfra1] cfr. Alchor. I (p. 100, 4/10), cfr. Pulver. (p. 100, 2/9) 284/286 Si – cyfra1] post 289 intacta transp. Lc, post 291 cyfra1 transp. Lo4 H Pa2 Va10 Lo2 Mu5 Va8 284 autem] vero Lo5 contingat quod] om. Pa2 Va10 Mu5 Va8 prima – numeri] deest Wo mutilo folio figura] om. G Va8, in add. H numeri multiplicantis] inferioris ordinis Pa2 Va8, inferioris numeri Va10, post cyfra transp. Y1 numeri] om. Ox2 Lo5 Lo2 285/286 cyfra – cyfra2] om. H 285 cyfra] 0 Ox7 et – figura] deest Wo mutilo folio ei] om. D1 Es, eidem Va10, post supraponatur transp. Lc, iam add. Pa7 supraponatur] supponatur Ko Ox7 Es, subponatur Maa Pa8 figura] om. Ox2, cifra D1 illius] om. G Va10, eius Lo4 286 superioris delete] deest Wo mutilo folio superioris] om. Lo5 Be Lo3, post delete transp. Ox7 scribenda est] scribenda Lca, scribanda est Ma sic, scribatur G Be Lo3 Lo2 Y1 cyfra1] 0 Ox7, et ei subponatur add. Ox7 Si – cyfra2] si autem contingat quod cyfra sit Va10 Mu5 Va8, si autem contingat quod sit cyfra Lo2 occurrat] occurratur Ma, post cyfra transp. Lc cyfra2] 0 Mo Ox7 S, circulus Lo5 287 primam] figuram add. Lcs Va10 ultimam] figuram add. Lcs inferioris ordinis] in inferiori ordine Ko, in inferiori ordine ante inter praem. G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es, numeri multiplicantis Pa2 Va10 Mu5 Va8, multiplicandi Lo2 et2] ei add. Pa7 Va10 Lo2 Mu5 directe] ex directo Ox7 Va10, post supraponatur transp. Fi2 288 supraponatur] subponatur Pa8, supponatur Ca, ei add. Va8 figura] cifra D1 significativa] significatam Mu3 relinquenda – intacta] loco illius delete scilicet superioris scribenda est cifra D1 est] sunt Maa si vero] si Be, si autem Lo2, sed si vero Va10, sed si Va8 Pa8 Ca 289 ei] om. W1 Lc Ma En Fi2 Mu2 Mu3 S, et D1, post sit transp. Pa8 Ca suprapositum sit] suprapositum P2, supraponatur D1 sit] ante spatium praem. Ma Mo En Lo5 Ox7 Wo Es Va8 Y1 spatio] om. Va8, loco Lo4 Mu5 Caa, spatio sive loco H, vacuo add. Lo4 H 289/290 scribenda est] superscribenda est H, scribendus est Lo5, scribatur Pa7 Ox7 Lo2 572 4 Por su parte, si ocurriera que la primera figura del número multiplicante fuera un cero y sobre este hubiera una figura significativa, en la posición de la superior, tras borrarla, hay que escribir un cero. Si, en cambio, apareciera un cero entre la primera y la última del orden inferior y sobre este hubiera una figura significativa, que se deje intacto, pero si en la posición superior hubiera un espacio vacío, en este mismo espacio hay que escribir un cero. Si, 573 45 est cyfra. Si autem cyfra sit inter primam et ultimam numeri 290 multiplicandi, anteriorandus est ordo figurarum numeri multiplicantis per duas differentias, quoniam ex ductione alicuius figure in cyfram nichil resultat. Ex predictis patet quod, si prima figura numeri multiplicandi sit cyfra, sub ea non debet fieri anterioratio.295 Sciendum etiam quod in multiplicatione, divisione et radicum extractione competenter potest relinqui spatium vacuum inter duos ordines figurarum, ut ibi ponatur quod 290/293 Si – resultat] cfr. Alchor. I (p. 98, 5/14), cfr. Pulver. (p. 97, 13/22) 296/300 Sciendum – intercidatur] cfr. Pulver. (p. 95, 5/9), cfr. Maham. 704/706 (p. 30) 290 cyfra1] om. Lo2, circulus Lo5, 0 Ox7 S, sed add. Mo Fi2 Mu2 Si –  sit] om. Maa, sed si ciphra occurrat Mam, sed si sit siphra En, si autem (vero Ox2) contingat quod cyfra (0 Ox7) sit Ko Ox2 Lo5 Ox7 Be Lo3 D1, si contingat quod cyfra sit G Pa7 P2 Wo Es autem] om. W1 Lo4 H Fi2 Mu2 Mu3 Mu5 Y1 S cyfra2] vel cifre add. Lc sit] sint Lc, occurrat Mo Fi2 Mu2 Pa2 Va10 Lo2 Mu5 Va8, ante cyfra praem Pa2 Lo2 Pa8 Ca. primam] figuram add. Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Va10, figuram multiplicandi add. Lo5 et] secundam add. Ma ultimam] figuram add. G numeri] om. Ma Mo En Fi2 Mu2 Ox2 G Lo5 P2, post multiplicandi transp. S Pa8 Ca 291 multiplicandi] om. Lo5, multiplicatio G ordo] om. Ma figurarum] om. Lo5 Y1 S, figuraliter Mu5 291/292 numeri multiplicantis] om. Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Mu3 Be Lo3 D1 Es 292 multiplicantis] usque ad proximam significativam numeri multiplicandi versus dextram add. Lc duas] 2 Ox7 Es ductione] ductu Lo4 Fi2 Mu2 Ox7 Wo Y1 S, adductione Ko 293 alicuius] alterius Mu3 figure] numeri Y1 S Pa8 Ca cyfram] 0 Ox7 Y1 S nichil] talis Pa8, post resultat transp. Lo4 predictis] hiis Lc Pa2 Va10 Lo2 Mu5 Va8, autem add. Be Lo3 Pa8 Ca 294 si] om. Mu3, post multiplicandi transp. Ma En, ex add. En, sub add. Mu5 prima] om. Pa8 Ca figura] om. Fi2 Mu5 multiplicandi] om. Ox2 Mu5 Pa8 Ca sit] om. Ma cyfra] 0 Ox7 S, et add. Mu3 ea] eadem Ko non debet] debet minime Pa8 Ca 296 Sciendum] est add. Be etiam] om. Ox2 Ox7 Mu5 Va8, autem D1 Es Pa8 Ca quod] om. Y1, tam add. Fi2a, del. Fi2c in] om. Lo2 multiplicatione] et add. Ox2 Pa7 Ox7 Y1 divisione] om. Be Lo3a, add. Lo3s 296/297 et radicum] radicumque Va8, et iudicum Ox7 sic 296 et] om. Lo4 Wo Lo2 Mu5 Pa8, in add. Be 297 potest] post relinqui transp. Va8 relinqui] requiri Ma, poni Pa7 298 vacuum] om. Ko Va10 Va8, medium Lo5 inter] in Y1 duos] 2 Lo3 Es Y1 ordines] ordine Mu3 ut ibi] ubi Ma Mo En Fi2 Mu2 ponatur] ponitur Fi2, scribatur Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es 298/299 quod provenit] om. Ox2 574 5 en cambio, hubiera un cero entre la primera y la última del número multiplicando, hay que atrasar el orden de las figuras del número multiplicante dos diferencias, puesto que de la acción de multiplicar una figura cualquiera por cero, nada resulta. De lo dicho antes queda patente que, si la primera figura del número multiplicando es un cero, bajo esta no se debe realizar la acción de atrasar35. También ha de saberse que en la multiplicación, división y extracción de raíces se puede dejar de manera adecuada un espacio vacío entre dos órdenes 35 Remitimos al apartado de la multiplicación dentro del estudio de los contenidos de la obra para la explicación del procedimiento matemático con ejemplos ilustrativos. 575 46 provenit addendum aut subtrahendum, ne aliquid memorie intercidatur.300 SEQUITUR DE DIVISIONE Divisio numeri per numerum est propositis duobus numeris maioris in tot partes distributio quot sunt unitates in minori. Notandum igitur quod in divisione tres numeri sunt necessarii, scilicet numerus dividendus et numerus dividens sive divisor, et 305 302/306 Divisio – exiens] cfr. Coventr. (p. 301, 22, p. 302, 1/3) 302/ 303 Divisio – minori] cfr. Alchor. I (p. 103, 24/27, p. 104, 1/2), cfr. Pulver. (p. 103, 13/17), cfr. Coment. II, 507/508 299 provenit] ad add. Lo4 Pa7 S addendum] aliquid add. W1, ne add. Ox7a, del. Ox7c aut] et Ox2 Mu3, vel Lo5 Pa7 Ox7 Es Va10 ne] om. Bea, in ras. Bec aliquid] aliud Ma Mo Fi2 Mu2 Pa7 P2 Mu3 Pa2 Va10 Mu5, illud Be memorie] oblivioni Lo2 300 intercidatur] interescatur Fi2 sic, intercidat W1 G P2 Mu3 Be Lo3 D1 Es Pa2 Va10c Lo2, si vis scire scire quot denarios socius tuus habeat in bursa sua ita dic ei quod triplica postea dictas triplicatas in duabus proporcionibus a relicti alia proportio tripletur postea queratur quot novenarii possit ab ipso ultimo triplicatio reliri et si quid fuerit residuum non computetur cum non contetur quantum sit per quolibet enim novenario suum binarium et primo residuo unitati et habebitur summa totius add. Ox2 301 Sequitur –  divisione Ko Ma Mu2 Pa2 S, de divisione W1 Lo4 Mo Fi2 Lo5 D1 Va10, spatium tituli vacuum reliquerunt Lc Fi2 Pa7 P2 Va8, tit. om. H Ox2 Ox7 Wo Lo2 Mu5 Y1 Pa8 Ca, sexta species de divisione En, quid sit divisio Mu3, de divisione septima specie huius artis numerandi Be, de divisione 7ª specie huius artis Lo3, de 7ª specie huius artis scilicet de divisione que multum valet Es, sequitur de divisione add. Ox7m 302 Divisio numeri] dividere numeri Ox2 G P2, dividere numerum Lo5 Pa7 Ox7 per numerum] per se vel per alium Lo5 est] ante numeri praem. Lo4 En propositis – numeris] om. Wo propositis] om. Lo2 duobus] 2 Es Y1 Pa8, post numeris transp. Lc Ca numeris] maiori et minori add. Ox7 303 maioris] maiorem G Lo5 Ox7 P2 Wo Be D1 Es, maiores Mu5a in1] inter Lo5a distributio] om. Ox7, divisione vel distributio G, distribuere Lo5 Pa7 P2 Wo D1 Es, post minori transp. Ox2, vel maiorem in tot partes distribuere add. Va10 minori] reliquo Mu3 304 Notandum – quod] om. Be Lo3 Lo2 Notandum] est add. Mu5 igitur] om. Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 Y1 Ca, ergo Ko Mo, vero Fi2 Mu2, etiam Lo4 Pa8 divisione] facienda add. Lo5 tres numeri] post sunt transp. Lo2 tres] 3 Ko Mu2 Ox2 Pa7 Mu3 Be Lo3 D1 Es Pa2 Y1 Pa8, duo En, sunt add. Lc numeri] post sunt transp. Ma Lo5 P2 Pa8 Ca sunt necessarii] om. Y1 sunt] om. Be 305 et1 – dividens] om. Ox2 numerus2] om. Ko dividens – divisor] divisor sive dividens Mu5 dividens sive] om. Lo2 dividens] cui debet scilicet dividendus Mu3 divisor] supple minorem poteris substrahere a maiore add. Mu5m 576 6 de figuras para poner ahí lo que sale para sumar o restar, no sea que la memoria se deje algo36. SIGUE LA DIVISIÓN La división de un número por otro número es, propuestos dos números, la distribución del número mayor en tantas partes cuantas unidades hay en el menor. Y hay notar que en la división tres números son necesarios, estos son, el número dividendo, el número que divide o divisor y el número que 36 Puesto que el autor considera estas operaciones más complicadas que las anteriores descritas, aconseja ir anotando los números que van saliendo para evitar despistes y olvidos. Para ello, sería conveniente dejar un espacio vacío entre los órdenes de figuras con los que se opera para apuntar ahí lo que sea necesario. 577 47 numerus denotans quotiens sive numerus exiens. Numerus autem dividendus semper debet esse maior vel saltem par numero divisori, si debeat fieri divisio per integra. Si velis igitur aliquem numerum per alium dividere, scribe numerum dividendum in superiori ordine per suas differentias, 310 divisorem vero in inferiori per suas, ita quod ultima divisoris sit sub ultima dividendi, penultima sub penultima, et ita de aliis, si 306/308 Numerus – integra] cfr. Alchor. II, 15.1-15.3 (p. 158) 306/ 308 Numerus – divisori] cfr. GERBERT., Regula abac. (p. 324) 309/ 346 Si – ostendit] cfr. FIBON., Abac. 5 (p. 27) 309/319 Si – maior] cfr. Alchor. I (p. 104, 2/23), cfr. Pulver. (p. 104, 1/19), cfr. Dixit Algor. 6 (p. 60, 631/648), cfr. Ysagog. (p. 34, 6/19) 309/313 Si – possit] cfr. OCREAT., Helcep 99 (p. 288), cfr. VILLAD., Carm. 124/129, cfr. Coment. II, 509/513, cfr. Cashel 3.4 (p. 22), cfr. Egert. (p. 409, 2/6) 306 denotans] post quotiens transp. Wo quotiens] id est denominario add. Va10m sive – exiens] om. Mo Be Lo3 numerus2] om. Lc, post exiens transp. P2 exiens] quotiens Maa, exigens Lo2 sic 306/307 Numerus autem] numerus Ma Fi2 Mu3, numerus vero Mo En Mu2 Lo3 Va10, sed numerus autem Ox2, numerus enim Be 307 dividendus] om. Lc semper] om. Es Lo2 debet esse] deesse Lo2 sic vel – par] aut par post divisori transp. Va8 saltem] saltim Ma Lo5 par] om. Pa8 Ca 308 numero] om. Fi2a Lo2, add. Fi2m, iter. Ena, minor Pa8 divisori] divisorem Va8, ita dico add. H si] sibi Maa debeat] debet Lo5 Mu3 Mu5 divisio] ante fieri praem. W1 Lc Mo En Fi2 Mu2 Pa7 P2 Mu3 D1 Es Lo2, ante debeat praem. H, post integra transp. G 309 velis] post igitur transp. H Ma Mo En Fi2 Mu2 Lo5 igitur] ergo Lo5 aliquem] post numerum transp. Y1 per alium] om. Ma Be Lo3, per numerum H, per alterum Ko, per se vel per alium Ox7, numerum add. Lcs, post dividere transp. Lo4 Lo2 scribe] aliquem add. Ma 310 superiori] inferiori Ox7 Bea suas] duas H 311 divisorem – suas] om. Ox7a Lo3 Va8, add. Ox7m vero] om. Mo Fi2 G Lo5 Ox7 Mu3, enim Lo2, ita Y1 in] om. Ox7 inferiori] superiori P2a, post suas transp. S, ordine add. W1 Lo4 Lcs Pa7 Ox7 P2 Be Y1 suas] differentias add. Lo4 Lcs Ma Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 P2 Be Lo3 Va10 Mu5 Va8 Pa8, in inferiori add. Y1 divisoris] om. Y1, inferioris Mo, divisoris sive inferioris add. G P2, inferioris sive divisoris Pa7 Ox7 sit] post dividendi transp. Lo5 312 dividendi] om. Y1, superioris Mo, et add. Lo5 312/313 penultima1 –  possit] si penultima competenter possit fieri sub penultima et sic de aliis Pa8, si penultima competenter fieri possit sub penultima et sic de aliis Ca 312 sub penultima] om. Lca Be, figura sub penultima Lcs ita] sic Lo4 Ko Mu5 aliis] figuris add. Lcs 578 7 denota cuántas veces o el número que sale37. Además, el número dividendo siempre debe ser mayor o por lo menos igual al número divisor, si es que debe hacerse la división con números enteros38. Por tanto, si quieres dividir algún número por otro, escribe el número dividendo en el orden superior según sus diferencias y el divisor, en cambio, en el inferior según las suyas, de tal forma que la última del divisor esté bajo la última del dividendo, la penúltima bajo la penúltima y así las demás, si 37 En esta ocasión los términos con los que se refiere Sacrobosco a las partes de la división tienen su paralelo directo en castellano: dividendo y divisor. Difiere en el numerus denotans quotiens sive numerus exiens, lo que entendemos hoy como cociente de la división. 38 Entendemos per integra como una referencia a los número enteros, cuyo contrario sería per fractiones. Con esta frase Sacrobosco da a entender que conoce otro tipo de división en la que sí tienen cabida los números no enteros, aunque no los manejará para su explicación ni en este ni en otros puntos de su obra. 579 48 competenter fieri possit. Sunt enim due cause quare ultima sub ultima collocari non potest, scilicet aut quia ultima inferioris non potest subtrahi ab ultima superioris, eo quod est minor 315 inferiori, aut quia licet ultima possit aliquotiens subtrahi a sua superiori, relique non possunt totiens a suis suprapositis, ut si 313/319 Sunt – maior] cfr. Coment. II, 513/517 313 fieri] post possit transp. Ma Mo Fi2 Mu2 Be Lo3 possit] potest Ma En Mu2 Be Lo3, posset Lo5 enim] autem Lc Ox2 G Y1 Pa8 Ca due] duo Fi2, 2 Ox2 Lo3 Es Pa2a, add. Pa2s quare] quod W1 Lc Ko Ma Mo En Mu2 Va8, quando Lo5 Pa7 Wo Pa2 313/314 sub – scilicet] non potest collocari sub ultima Pa7 Ox7 313/314 sub ultima] om. Lo4 Fi2 314 ultima1] penultima P2 Ca collocari] locari En Lo2, poni Pa8 Cac, fieri Caa potest] poterit Lo4 Fi2 G Y1, possit Es scilicet] om. W1 Lc Va10 Y1 S aut] post quia transp. Ko quia] om. Lo5 ultima2] om. Ox7, aut quia ultima add. Ox2 inferioris] iter. Va10a, ordinis add. W1 Lc H Va10 Va8 315/316 potest – ultima] om. P2 315 potest] possit Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 Wo Be Lo3 D1 Es subtrahi] post superioris transp. Ko G Ca Va8 Y1 superioris] inferioris Ox7, ordinis add. D1 Va10 eo] om. Ox7 est] om. Lc Ma Fi2 315/316 minor inferiori] maior superiore Lo2 316 inferiori] inferioris Pa7 licet] om. W1a, add. W1s, hec Lo5, post ultima transp. Lo4 Pa8 ultima] inferioris add. W1 H G Pa2 Va10 Lo2 Mu5 Va8 Pa8 Ca, inferioris ordinis add. Lc Lo4 possit] om. G Pa8, posset Ma En Mu2 Ox7 Wo Be Lo3, licet Ca, post subtrahi transp. Y1 aliquotiens] om. Es Va8 Pa8 Ca, alium H, ante possit praem. Ma Mo En Fi2 Mu2 Pa2 Va10 Mu5 Y1, post subtrahi transp. Ox2 G Lo5 Pa7 P2 Be Lo3 S, post superiori transp. D1 a sua] ab ultima Va8, iter. Ca sua] om. Fi2 Lo5 Be Lo3, suo Lo4 Pa7 Ox7 Wo D1 Es 317 superiori] superiore Be Lo3 Lo2, superioris Va8 Pa8 Ca, aliud semel add. Es relique] alique Lo5, alie Es, vero add. G Ox7, tamen add. Es Lo2 non possunt] om. W1 possunt] possent Lo4 G Be Lo3, possint P2 S, subtrahi add. Lo3 Ca totiens] om. Ox2 Be Caa, add. Cas, post suprapositis transp. Ko, subtrahi add. En Ox7 Be Lo2 Pa8 suis] sibi Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo D1 Es suprapositis] superioribus Lo2, ante a suis praem. Mu5, et a residuo si aliquid fuerit residuum add. Mo D1 Es ut] aut P2 Pa8 Ca, et Mu5 580 8 pudiera hacerse de forma adecuada. Hay en efecto dos causas por las que no se puede colocar la última bajo la última, que son: o porque la última del inferior no pueda ser sustraerse de la última del superior por esto: que sea menor que la inferior; o porque, aunque la última puediera sustraerse determinadas veces de su superior, las restantes no lo pueden hacen otras tantas veces respecto a las que están por encima de ellas, de forma que si la 581 49 ultima inferioris sit par figure sibi supraposite, penultima vero sive antepenultima maior. His itaque ordinatis incipiendum est operari ab ultima figura 320 numeri divisoris, et videndum est quotiens possit subtrahi a figura sibi supraposita, ita quod totiens possint subtrahi relique a sibi suprapositis et a residuo, si aliquid fuerit residuum. Et notandum quod non contingit pluries subtrahere quam novies, 320/332 His – prius] cfr. Cashel 3.4 (p. 22), cfr. Egert. (p. 409, 8/22) 320/ 330 His – superioribus] cfr. OCREAT., Helcep 100-101 (p. 288) 320/ 325 His – semel] cfr. VILLAD., Carm. 130/141, cfr. Coment. II, 517/521 320/323 His – residuum] cfr. Alchor. I (p. 104, 23/26, p. 105, 1/15), cfr. Pulver. (p. 104, 19/26, p. 105, 1/8), cfr. Dixit Algor. 6 (p. 60, 648/656) 320/323 His – suprapositis] cfr. Ysagog. (p. 35, 6/12) 318 inferioris] add. Mas, om. Mo, figura Ma En Fi2 Mu2 D1 Es, superioris Be Lo3, ordinis add. Lc Va10 par] per Fi2a, add. Fi2m figure] om. Ox2 Lo5 Es Lo2 sibi] om. Lo4 Ma Wo S Pa8, post supraposite transp. Fi2 vero] om. Lc Ga Y1, add. Gs, inferior add. Pa8 Ca 319 sive] vel Lo2 Mu5 antepenultima] ultima Mu3, ante penultimam Pa8, potest esse add. Lc, est add. H, sit add. Ox2 Lo5 P2 Mu3 D1 Va10 Lo2 Y1 Pa8 Ca maior] ante sive praem. G, est add. Mo, in tali casu locanda est ultima add. G, superiori et sic de reliquis tunc dicunt anteriorari figure una differentia antequam aliqua ita quod ultima inferior sit penultima superiore et tunc debet subtrahi inferior a duabus superioribus add. Pa8, superiori et sic de reliquis tunc debent anteriorari figure una differentia antequam aliqua ita quod ultima inferiori sit sub penultima superiore et tunc debet subtrahi inferiori a duabus superioribus add. Ca 320 itaque] vero Ox2, ita Pa7 Lo2, sic add. Mo operari] ordinari Ena ab] sub Pa8 Ca, iter. Ox2 figura] om. Lc 321 numeri] post divisoris transp. Ox2 Pa8 Ca videndum] videndus D1 est] om. Ox2 Be Lo3 Pa2 quotiens] iter. Lo3 possit subtrahi] post figura transp. Pa8 possit] potest Be Lo3, post subtrahi transp. D1 Es, illa praem. Lc Lo4 H Ox2 Lo5 Pa7 Ox7 Be Lo3 Va10 Lo2 Mu5, illa add. W1 Pa2, ultima add. Va8 subtrahi] ultima divisoris add. Fi2 321/322 a –  supraposita] a sua superiori Lo2, a sua superiori figura S 321/322 a figura] ab ultima figura numeri dividendi Lc 322 sibi] om. Be Lo3 Y1 supraposita] sive a penultima sibi supraposita et ultima si sub ultima collocari non possit propter impedimenta supradicta add. Lc possint] possent Lo5, possunt Ox7, possit Pa8, post subtrahi transp. D1 Es relique] om. Pa7, ante possint praem. Lo2, figure add. Lc a] et Pa8 Ca, figuris add. H Ma Va8 323 sibi] suis sibi Mo, suis En Fi2 Mu2 Mu3 Be Lo3 Lo2, cui Ox7 suprapositis] superioribus Lo2 a] om. Be Lo3 Y1 residuo] residuis Mo aliquid] ibi post fuerit praem. Lo2 Et] om. Ox2 Lo5 Lo2 324 notandum] sciendum Lo2, etiam add. Ox2, autem add. Lo2 contingit] convenit Wo, aliquam figuram add. Lc pluries] iter. P2a, post subtrahere transp. P2c 582 9 última del inferior es igual a la figura que está encima de esta, la penúltima o la antepenúltima sea mayor. Una vez ordenadas de esta manera hay que empezar a operar desde la última figura del número divisor, y hay que ver cuántas veces aquella puede ser sustraída de la figura que sobre ella, de forma que las que quedan puedan ser sustraídas esas mismas veces de las que están sobre ellas y del resto, si hubiera resto alguno. Y hay que notar que no ocurre que se sustraigan más 583 50 nec minus quam semel. Viso igitur quotiens figure inferioris 325 ordinis possint subtrahi a suis superioribus, scribendus est numerus denotans quotiens ex directo supraposito illius figure, sub qua est prima figura numeri divisoris, et per illam figuram subtrahende sunt omnes figure inferioris ordinis a suis superioribus. Hoc autem facto anteriorande sunt figure numeri 330 divisoris per unicam differentiam versus dextram, et negotiandum est ut prius. Si autem contingat post anteriorationem quod non aliquotiens possit subtrahi ultima 325/332 Viso – prius] cfr. VILLAD., Carm. 142/146, cfr. Coment. II, 521/526 325/330 Viso – superioribus] cfr. Alchor. I (p. 105, 19/25, p. 106, 1), cfr. Pulver. (p. 105, 8/23), cfr. Dixit Algor. 6 (p. 60, 656/660) 330/ 332 Hoc – prius] cfr. Alchor. I (p. 107, 1/5), cfr. Pulver. (p. 106, 12/15), cfr. Dixit Algor. 6 (p. 62, 670/683), cfr. OCREAT., Helcep 102 (p. 288) 332/ 339 Si – figure] cfr. VILLAD., Carm. 147/150, cfr. Coment. II, 526/531 332/336 Si – prius] cfr. Alchor. I (p. 108, 5/14), cfr. Pulver. (p. 107, 14/23), cfr. OCREAT., Helcep 110 (p. 292), cfr. Egert. (p. 409, 23/27) 325 igitur] ergo Ko En Y1 Pa8 Ca, quid sit add. Mu3a, del. Mu3c inferioris] inferiores En, post ordinis transp. Y1 S 326 ordinis] om. En Ox2 Lo2 Mu5 possint subtrahi] om. P2 possint] possunt Lc Mu2 Ox7 Ca, possit Pa8, post subtrahi transp. Es suis] om. Lo2 superioribus] suprapositis Lc Mo P2 327 denotans] om. Lc, post quotiens transp. En Lo2 quotiens] om. Maa P2, add. Mam, numerus add. Lo5 ex directo] ex directe Ko, e directo Mo Be Lo3 D1 Es supraposito] supraposite Mo En Fi2 Mu2 Be Lo3 D1 Es Va8, suprapositus Ox7, supra caput Lo2, supposito Ca, post illius transp. En 327/329 illius – inferioris] om. Fi2a, add. Fi2m 327 illius] illi Lc, ille Ox7, post figure transp. Fi2 Mu2 328 qua] om. Ox2 Mu5 est] stat Lc En, post prima transp. Lo2 prima] om. Mu5 figura] om. P2 Lo2, inferioris sive add. P2 numeri] om. Lo2 328/331 et – divisoris] om. Ena, add. Enm 328 figuram] formam Pa7 Ox7, denotantes quotiens add. Va10m 329 subtrahende] post superioribus transp. Va8 omnes] om. Lc figure] om. Lo4 Va8 suis] om. Be Lo3 Y1 330 superioribus] suprapositis Ox2 Lo5 Pa7 P2 Wo Be Lo3 autem] om. H Ox2 G Pa7 D1 Es Lo2 S Y1 330/331 numeri divisoris] om. Lo5 330 numeri] om. G Pa7 P2 Be Lo3 331 unicam] unam Ox2 Lo5 Be Lo3 differentiam] tantum add. Lo5 versus dextram] ante per unicam praem. Lo5 dextram] sinistram Mo Pa8a, ut prius add. Ena, del. Enc 332 negotiandum est] negotiandum Va8 autem] om. Y1, ita add. W1 Ko Ma Ox7 Mu3 Mu5 S, aliquotiens add. Y1 contingat] om. Lo4a, add. Lo4m, ita add. Mo G P2 333 quod] om. G Lo2, ante post praem. Lc Lo4 Ma Mo En Fi2 Mu2 Va8 aliquotiens] post possit transp. Lc, alius Be possit] posset Be Lo3 333/334 ultima divisoris] om. Mu5, ultima figura numeri divisoris Lc, ultima inferioris Y1 S 584 0 de nueve veces ni menos de una vez. Visto, por tanto, cuántas veces las figuras de orden inferior pueden ser sustraídas de sus superiores, hay que escribir el número que denota cuántas en el lugar directamente superior de aquella figura bajo la que está la primera figura del número divisor, y, a partir de aquella figura hay que sustraer todas las figuras de orden inferior de las que están encima. Una vez hecho esto, hay que atrasar las figuras del número divisor una única posición hacia la derecha y hay que trabajar como antes. Si pasara que, tras la acción de atrasarlas, la última del divisor no 585 51 divisoris a figura sibi supraposita, supra figuram, sub qua est prima divisoris, directe scribenda est cyfra in ordine numeri 335 denotanti quotiens, et anteriorande sunt figure ut prius. Similiter faciendum est ubicumque contingit in numero dividendo quod divisor non possit subtrahi: ponenda est cyfra etc., et anteriorande sunt figure. Nec cessandum est a tali anterioratione, nec a numeri denotantis quotiens positione, nec a ductu numeri 340 quotiens in divisorem, nec a divisoris subtractione, donec prima divisoris sit subtracta a prima dividendi. Quo facto aut aliquid erit residuum aut nichil. Si aliquid, reservetur exterius in tabula, 339/342 Nec – dividendi] cfr. Alchor. I (p. 107, 6/15), cfr. Pulver. (p. 106, 15/23) 342/344 Quo – divisore] cfr. Alchor. I (p. 109, 8/13), cfr. Pulver. (p. 109, 1/12), cfr. Dixit Algor. 6 (p. 62, 700/705) 334 a – est] om. Mu5 figura] toto Lo4 H, sua Lo2 Caa, add. Cas sibi] om. Lo2 Va8 Y1 supraposita] supraposito Lo4 H, superiori Lo2, tunc add. Lc Lo2 supra figuram] sive figura Mu3 supra] sub Ko figuram] etiam add. Ena, del. Enc est] stat En 335 prima] ultima Mu5, numeri add. Lc Ox2 Lo5 Y1, figura numeri add. Be Lo3 directe] om. En Lo2, recte Ox2 Wo, ante sub praem. Lo5, tunc add. Ko cyfra] om. Va8, 0 Ox7, ante scribenda praem. Ko 336 figure] per unicam differentiam add. Va10 ut prius] om. Lo5 Y1, per unam differentiam tantum add. Lo5 336/339 Similiter – figure] om. Y1 337 faciendum est] om. Pa2 Va8 S Pa8, est Ma, sciendum est Ox2, faciendum Ca ubicumque contingit] post dividendo transp. Ox2 ubicumque] ubique Mu3 contingit] contingat G Pa7 quod] quando add. Be Lo3, numerus add. Va8 338 divisor] ultima divisoris Lc possit] posset Be Lo3 subtrahi] a numero dividendo add. W1 Lc Lo4 H cyfra] 0 Ox7 etc] om. Ox2 G Lo5 Pa7 Be S, in ordine numeri denotantis quotiens Lo2 338/339 et – figure] om. Lo2 339 figure] ut prius add. Ox2 Ox7, ut add. Ca Nec] om. Ca est] om. Ko P2 340 nec1 – positione] om. S nec1 – denotantis] iter. P2 nec1] om. En, et H a1] om. En, tali add. Ko Lo2 S numeri1] numero Ox2 denotantis] om. Ox2 Va10 Va8 Pa8, denotans Ox7, denotatione Mu5a positione] posito Ox2 a ductu] post denotantis transp. Lo2 a2] om. Ca, tali add. Ko ductu] ducti Ox7, post numeri transp. Ko, post quotiens transp. G S numeri2] numerus G 341 quotiens] denotantis quotiens Ko G Lo2 S a] om. Y1 Ca prima] figura numeri add. Lc 342 sit] sub Pa7a P2a, post subtracta transp. Pa2 Mu5 subtracta] post dividendi transp. P2 a –  dividendi] om. Ca a] om. P2a, add. P2s dividendi] numeri Lc, dividenda Lo4 Quo] hoc D1 Es Va10, autem add. Va10 aut] om. Ma aliquid] post erit transp. G Lo5, post residuum transp. Y1 343 erit] est Lo2 Mu5 Ca residuum] residui Es nichil] non En aliquid] residuum fuerit add. W1, sit residuum add. Lo5, fuerit add. Y1 reservetur] om. W1 Y1, illud add. Lc, illud praem. Lo5, et scribatur add. Va10 tabula] spatio Lo2, secundum antiquos add. Be Lo3 586 1 puede ser sustraída ni una sola vez de la figura que está encima de esta, entonces hay que escribir un cero directamente sobre la figura bajo la que está la primera del divisor en el orden del número que indica cuántas, y hay que atrasar las figuras como antes. Lo mismo hay que hacer siempre que suceda que el divisor no pueda ser sustraído del número dividendo: hay que poner un cero, etc. y hay que atrasar las figuras como antes. Y no hay que cesar en tal acción de atrasar, ni en tal colocación del número que denota cuántas, ni de multiplicar el número que denota cuántas por el divisor, ni en la sustracción del divisor, hasta que la primera del divisor sea sustraída de la primera del dividendo. Hecho esto, habrá o no un resto. Si lo hubiera, se 587 52 et erit semper minus divisore. Si igitur scire velis quot unitates de numero dividendo eveniant cuilibet numeri divisoris, 345 numerus quotiens illud ostendit. Cum itaque facta fuerit talis divisio et probare velis utrum bene feceris necne, multiplica numerum denotantem quotiens per divisorem, et redibunt eedem figure quas prius habuisti si nichil fuerit residuum; sed si aliquid fuerit residuum, tunc cum 350 additione illius residui redibunt eedem figure. Et ita 344/346 Si – ostendit] cfr. Alchor. I (p. 109, 18/22) 347/351 Cum –  figure] cfr. GERBERT., Abac. 1 (p. 368), cfr. Alchor. I (p. 122, 9/14), cfr. Ysagog. (p. 36, 18/21), cfr. OCREAT., Helcep 105 (p. 290), cfr. VILLAD., Carm. 152/157, Coment. II, 545/549 351/354 Et – multiplicandi] cfr. Alchor. I (p. 103, 11/18), cfr. VILLAD., Carm. 121/123, cfr. Maham. 1643/1644 (p. 66) 351/352 Et – contrario] cfr. Egert. (p. 410, 1/2) 344 erit] est Mu5 Y1, post semper transp. Pa2 Lo2 Mu5 semper] om. Mu3, summa Ox7 minus] pars Mu3 igitur] ergo Lc H Ko Lo5, post scire velis transp. Pa7 Ox7 Be Lo3 Va10 scire velis] velis scire W1 Ox2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es Va10 Va8 Pa8, scire volueris Mu3 Mu5 scire] om. Lc unitates] om. Y1 345 de] om. Lo4, in Mo dividendo] dividente Y1 eveniant] conveniant H, eveniunt G D1, proveniunt S, ante de praem. G S, perveniat ante unitates praem. Y1 cuilibet] unitati add. Ma Mo En Fi2 Mu2 G Ox7 Ca numeri divisoris] om. Maa, add. Mam numeri] om. Mo En Fi2 Mu2 G Lo2, numero Ox2 Be Lo3 Es Va10 Va8 Y1 divisoris] de divisore Lo2 346 numerus quotiens] om. Mu3, numerus denotans quotiens post ostendit transp. Lc numerus] denotans add. Va10 illud] istud H, hoc Ko Y1 S, illic Ox7a, illuc Ox7c ostendit] ostendet W1 Lc Lo4 H Ko Ox2 Mu3 Pa2 Pa8 Ca 347 itaque] igitur Mo En G Lo5 P2 Wo D1 Es Va10, ita add. Ko facta fuerit] fuerit facta Ca, post divisio transp. Y1 talis] post divisio transp. Mu5 divisio] om. P2 et] si Ox7 velis] volueris Lo4 G Be Lo3 Va10 Mu5 utrum] an Lo2 348 bene feceris] operatus sis bene Ox7 necne] om. Va8, aut non Ca multiplica] multiplicata Moa, multiplicato Y1 denotantem] denotandum Lo2 quotiens] et add. W1 349 per divisorem] om. Va8 divisorem] divisio Maa, numerum divisorem Lo4 Es Pa2 Mu5 Pa8 et] om. Fi2 Be, sic add. Y1 S 349/351 quas – figure] om. Be Lo3 Mu5 349 quas – habuisti] om. Ca, que prius erant H, quas habuisti prius Ox2 habuisti] habuistis Lc, si recte feceris et add. Lo2 350 fuerit1] fuit Mo, sit Lo2 sed – residuum2] om. Fi2a, add. Fi2m sed si] si Ma Lo5 P2 Mu3 Va8 Ca, et si Ko, vel si En, si vero D1 Es Va10 fuerit2] sit D1 Es, iter. Pa7 tunc] om. Pa2 Pa8 351 additione] aiunctione Pa8, numeri vel add. Va10 illius] om. Ox2 Pa7 Ox7 residui] om. Fi2 Lo2 redibunt] post figure transp. Ox2 figure] ut prius fuerunt add. W1, que prius fuerunt add. Lc Lo4 Ko Wo, quas prius habuisti add. H Mo, que prius add. Ca ita] om. Lc 588 2 reserva en una tabla exterior, y este será siempre menor que el divisor. Por lo tanto, si quieres saber cuántas unidades del número dividendo se extraen de cualquiera de las del número divisor, el número que denota cuántas lo muestra39. Y así, cuando se hubiera hecho tal división y quisieras probar si lo has hecho bien o no, multiplica el número que denota cuántas veces40 por el divisor y volverán las mismas figuras que tenías antes si no hubiera resto alguno; pero si hubiera resto, entonces con la suma de aquel resto volverán las mismas figuras. Y así, la multiplicación prueba la división y al contrario, 39 Igual que hacíamos en el capítulo de la multiplicación, remitimos al estudio de los contenidos de la obra para la explicación de este procedimiento matemático. 40 Sc. el cociente. 589 53 multiplicatio probat divisionem et e contrario, ut si facta multiplicatione dividatur productum per multiplicantem exibunt in numero denotante quotiens figure numeri multiplicandi. SEQUITUR DE PROGRESSIONE355 Progressio est numerorum secundum equales excessus ab unitate vel binario sumptorum aggregatio, ut universorum summa compendiose habeatur. Progressionum alia naturalis sive continua, alia intercisa sive discontinua. Naturalis est quando incipitur ab unitate et non obmittitur aliquis numerus, ut 1, 2, 3, 360 356/363 Progressio – etc] Coment. II, 807/813 358/363 Progressionum –  etc] cfr. Add. in Carm. II, 1/5 352 multiplicatio] multiplicando Lo2 e contrario] econverso Lc Fi2 Mu2, videlicet divisio probat multiplicationem add. Be Lo3 ut] om. Fi2, et Lo3 Va8c si] sic Ko 353 dividatur – multiplicantem] om. G productum] productus Lo2 multiplicantem] numerum multiplicantem Lc Ko Va8, multiplicationem Ma Mu3 Pa2, et add. Lo5 exibunt] redibunt vel exibunt Ca 354 in] om. G, de Lo2 Ca numero] numerum Ox2, numeratio G denotante] denotantem Ox2, post quotiens transp. Va8, tibi add. Be Lo3 figure] eedem figure Va8, ante in numero praem. Mu3 numeri] om. Wo multiplicandi] multiplicantis S 355/387 Sequitur – progressionis] om. Ox2 355 Sequitur – progressione Ma Pa2 S, de progressione W1 Lo4 Mo Mu2 G Lo5 Ox7 D1 Va10 Ca, tit. om. Lc H Pa7 Lo2 Mu5 Y1 Pa8, spatium tituli vacuum reliquerunt Fi2 P2 Wo Va8, VIIª species de progressione En, quid sit progressio Mu3, sequitur de progressione que est octava species huius artis numerandi Be, de progressione 8ª specie Lo3, de 8ª specie huius artis scilicet progressione Es, de progressione add. Lo2m Va8m 356 est numerorum] iter. Ma secundum – excessus] post sumptorum transp. Ca excessus] processus P2a 357 vel] sub D1, a add. Lo4 Mo En Fi2 Mu2 G Be Lo3 S binario] vel a ternario vel a quolibet alio numero add. Fi2 aggregatio] congregatio Lo5 Pa7 Ox7 357/358 ut – habeatur] om. G Lo5 Pa7 Ox7 Be Lo3 357 ut universorum] om. S universorum] numerorum Ma Mu3, seu diversorum numerorum add. P2 358 compendiose] breviter et compendiose P2, post habeatur transp. Lo4 H Mo P2 Progressionum] progressio Be, igitur add. Ma Mo En Fi2 Mu2, autem add. W1 Lc Lo4 H Ko P2 Mu3 Pa2 Mu5 Va8 Pa8 Ca, vero add. Lo5 alia] om. Lo5, est add. Fi2 Be Lo3 sive] alia Lo5 S 359 alia – discontinua] om. Lo4 alia] est add. Fi2 Naturalis] enim add. Ma est] illa add. Y1 quando] que Be, qui Lo3 360 incipitur] incipit Mo En G Be Lo3, incipis Mu3 obmittitur] amittitur Ox7, dimittitur Lo2 Va8 Pa8, in ascensu add. Ox2 ut] om. Pa7 Mu3 Y1, unus add. W1 360/361 1 – 6] 4 3 2 1 Pa7, 5 4 3 2 1 Ox7, 3 1 1 Mu3 sic 360 1] unum Lc Lo4 Es Ca 2] duo Lc Es Ca 3] tria Lc Es Ca 590 3 de forma que, si, hecha la multiplicación, se dividiera el producto entre el multiplicante, se mostrarán en el número resultante las mismas figuras del número multiplicando. SIGUE LA PROGRESIÓN La progresión es la agregación de números escogidos según distancias iguales por una unidad o por dos, de forma que se obtenga fácilmente la cantidad de todos ellos41. De las progresiones una es natural o continua, la otra, truncada o discontinua. La natural es cuando se empieza por la unidad y no se omite número alguno, como 1, 2, 3, 4, 5, 6, y así siempre el número 41 En este capítulo el autor define las progresiones aritméticas que siempre han de ser continuas y finitas de intervalo +1 o +2. Son estas sucesiones de números que siempre empiezan por el 1 o por el 2 y cuyo interés matemático reside en saber cuánto suman todos los números que conforman dicha progresión con operaciones que simplifiquen el hecho de ir sumando cada uno de los integrantes por separado. 591 54 4, 5, 6; et sic semper numerus sequens superat precedentem unitate tantum. Intercisa est quando uniformiter obmittitur aliquis numerus, ut 1, 3, 5, 7, etc. Similiter a binario potest incipere, ut 2, 4, 6, 8; et sic semper numerus sequens superat precedentem in duabus unitatibus.365 362/365 Intercisa – unitatibus] cfr. Coment. II, 822/825 361 4] quatuor Lc Es, IIII Ca 5 6] om. Lo5 Pa7 P2 Wo Ca 5] quinque Lc Es 6] om. Lo4 G Ox7 D1 Es, sex Lc, 7 add. Ko, etc. add. Fi2 Mu2 G Lo5 Pa7 P2 Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es, et deinceps add. W1 Ko Mo En Pa2 Mu5 Pa8, et ita deinceps add. Lc, et sic deinceps add. Lo4 H Ma Va10 Lo2 Va8 S Ca et sic] sicque Mo et] om. Lo4 H Ox7 Mu5a, add. Mu5s sic] sicut Fi2, si Ox7, ita Lo2 semper] om. Ma Mo Fi2 G Ox7 Be Lo3, post sequens transp. Lc H Lo5 Pa7 Va10 numerus sequens] sequens numerus ante semper praem. Lo4 numerus] om. Fi2a, add. Fi2m sequens] consequens Mu5 superat] numerat Lo5, separat Pa8, numerum add. Lc G Lo5 Pa7 Ox7 Be Lo3 D1 precedentem] una add. Lc, in add. Ko P2 Wo 362 unitate] unitatem W1 Ca 362/365 Intercisa – unitatibus] om. Lo2 362 est] om. Mo Lo5 P2 Y1 quando] quantum P2, non add. Mu2a, del. Mu2c uniformiter] om. Lo5 Pa7 Ox7 P2 Mu3 D1 Es Pa2a Pa8, add. Pa2s, post obmittitur transp. Lc, post numerus transp. G Be Lo3 Mu5 S obmittitur] mutatur Ox7, post numerus transp. Va10 363 numerus] vel duo vel tres add. Fi2 ut] om. Pa7 Mu3 1 – 7] 7 5 3 1 Pa7 Mu3 Pa8, 9 7 5 3 1 Ox7 1] unum Lc Lo4 Es Ca 3] tria Lc Es Ca 5] quinque Lc Es, Vque Ca sic 7] om. P2 Wo Mu5 Y1, septem Lc Es, VIItem Ca sic, 9 add. Ox2 Lo2 etc] om. Ox7 Mu3 Y1, et sic deinceps Lc, et sic de aliis Ca, et add. Lo4 Mo P2 Wo, et sic numerus sequens superat numerum precedentem duabus unitatibus add. Ox7 a binario] post incipere transp. Lo5 Pa7 Ox7 Be Lo3 S, vel a ternario vel a quo alio numero add. Fi2 potest] possunt W1 P2 Y1, potes Ma, post incipit transp. Fi2 364 incipere] incipi G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es, uniformiter duos vel 3 vel quoslibet numeros omittendo add. Fi2 ut] om. P2 Mu3, verbi gratia Fi2 2 – 8] 3 7 11 14 Fi2 sic, 6 4 2 Pa7 Pa8, 8 6 4 2 Ox7, v g 2 Mu3 sic 2] duo Lc Ca 4] quatuor Lc, IIII Ca 6] sex Lc Ca 8] om. W1 Lc Lo4 Ko Ma Lo5 P2 Wo D1 Es Pa2 Va10 Mu5 Y1 Ca, etc. add. Lo4 H Fi2 364/ 365 et – unitatibus] om. Fi2 Ox7 364 et] om. Lo4 sic] post semper transp. Va10, in progressione intercisa add. P2 semper] om. Lo4 G Pa7 Be, per D1, post precedentem transp. Lo3 numerus] om. Lo4 superat] separat Pa8, numerum add. Ma G Pa7 Wo Lo3 D1 Es 365 in] om. Lo4 Mo En Mu2 G Lo5 Pa7 Wo Es Va8 Y1 S Ca duabus] 2us Lo3, 2 Y1 unitatibus] tantum add. Lc Mu2, precedendo vel ascendendo add. P2 592 4 siguiente supera al precedente en una unidad. La truncada es cuando se omite uniformemente algún número, como 1, 3, 5, 7, etc. De igual forma se puede empezar desde el dos, como 2, 4, 6, 8, y así siempre el número siguiente supera al precedente en dos unidades. 593 55 Notandum igitur quod de progressione naturali due dantur regule. Quando enim progressio naturalis terminatur in numerum parem, per medietatem ipsius multiplica numerum proximum totali superiorem. Verbi gratia: l, 2, 3, 4; multiplica quinarium 370 per binarium, sic bis quinque, et exibunt 10, summa totius progressionis. 366/372 Notandum – progressionis] Coment. II, 814/818 368/ 370 Quando – superiorem] cfr. Alchor. II, 3.1 (p. 149), 3.3 (p. 149), cfr. Add. in Carm. I, 3, cfr. Add. in Carm. II, 6/9, cfr. Add. in Carm. III, 1, cfr. Coventr. (p. 308, 24/28), cfr. Egert. (p. 411) 370/372 Verbi –  progressionis] cfr. Alchor. II, 3.2 (p. 149), cfr. Coventr. (p. 308, 28) 366/387 Notandum – progressionis] de quibus omnibus talis datur regula per medietatem progressionum multiplica ab extremis coniunctum verbi gratia 1 2 3 4 et erunt 5 et multiplica per binarium et patebit summa si vero progressiones numerorum fuerint impares verbi gratia 4 7 10 13 16 iunge extrema scilicet 2 et 16 et erunt 20 et multiplica per medietatem progressionum id est per duo et dimidium sic bis 20 et dimidium de 20 hoc est 10 et erunt 50 summa totius progressionum et sic de omnibus aliis Fi2 366 Notandum – quod] om. Lo2 Va8 Pa8 igitur] om. Mu2 G Pa7 P2 Be Lo3 D1 Es Y1, autem W1 Y1, ergo Mo En, etiam Lo5 Ox7 quod] progressio naturalis semper incipit ab unitate progressio autem (om. Lo5) intercisa quandoque ab unitate quandoque a binario add. Ko Lo5 de – naturali] naturalis igitur progressionis Va8 Pa8, progressionis naturalis Pa7 de progressione] in progressione H, progressionis Be Lo3 due] 2 Be D1 Es Pa8, post dantur transp. Va10 Lo2 Va8 368 Quando] qua re prima talis est praem. G, quarum prima talis est (om. Lo5) praem. Lo5 Pa7 Ox7 Be Lo3 Va10 Ca, quarum prima est praem. P2 D1 Es, 1ª rª add. Enm enim] om. Lc En G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Be Lo3 D1 Es Va10 Lo2 Pa8 Ca, est add. Pa8 progressio] post naturalis transp. P2 369 parem] imparem Moa medietatem] medietatum Lo2 ipsius] eius G Mu5, totalis Lo5, illius Wo, paris add. Ma, numeri add. Lo5 Ox7 multiplica] multiplicabis Mo numerum] om. Ox7 Be Lo3, post proximum transp. H Va8 370 totali] om. Ma, a totali Mu5, totalem Pa8 superiorem] superiori Mo, illi add. Ma, ut add. Va8, ante proximum praem. Ca l – 4] 4 3 2 1 Ox7 Mu3 Pa8 l] unum Lc, unus P2 Ca 2] om. Lc, duo P2 Ca 3] tria Lc Ca 4] quatuor Lc, IIII Ca 370/371 quinarium – binarium] quinarium Mo Mu5, binarium per quinarium En D1, per binarium 5 Es, 2 S 370 quinarium] 5 G Pa7 Ox7 Wo Va10 Y1 371 binarium] 2 G Wo Va10 Y1 sic – quinque] om. Be Lo3 Lo2 bis] om. Ox7 quinque] 5 Ko Mo Mu2 Lo5 Pa7 Ox7 Wo Mu3 D1 Y1 S Pa8 Ca et] om. En Mu5 Y1 exibunt] exibuite H sic, exibit Be Lo3 10] decem Mo P2 Lo2, X En Ox7, post progressionis transp. Ca, scilicet add. H summa] in summa Va10 Ca 372 progressionis] om. Lc, unde versus parte paris media maiorem multiplicabis add. D1 594 5 Hay dos reglas para la progresión natural. Así, cuando una progresión natural termina en número par, multiplica por la mitad de este el número inmediatamente superior al último42. Por ejemplo, en 1, 2, 3, 4, multiplica cinco por dos, es decir, dos veces cinco, y saldrán 10, la cantidad de toda la progresión43. 42 Traducimos como «último» lo que en latín aparece como totali, puesto que en la lengua de partida se entiende que es el número que cierra la entera progresión y, en este sentido, adquiere ese matiz de totalidad o integridad. 43 Para explicar el proceso a seguir, Sacrobosco enuncia dos reglas por progresión, aportando para cada una de ellas ejemplos. La primera es cuando la progresión continua acaba en número par. Siendo y el último número de la progresión y x el número total que se quiere hallar, la operación sería la siguiente: x = y/2 · (y + 1). La operación que ilustra el ejemplo aportado por Sacrobosco dada la progresión 1, 2, 3, 4 es el siguiente: 4/2 · (4 + 1) = 10. 595 56 Quando autem progressio naturalis terminatur in numerum imparem, per maiorem portionem ipsius multiplica numerum totalem. Verbi gratia: 1, 2, 3, 4, 5; multiplicetur quinarius per 375 ternarium, sic ter quinque, et resultabit quindenarius, summa totius progressionis. De progressione intercisa similiter due dantur regule. 373/375 Quando – totalem] cfr. Alchor. II, 3.5 (p. 150), cfr. Add. in Carm. I, 1/2, cfr. Add. in Carm. II, 9/11, cfr. Add. in Carm. III, 2, cfr. Coment. II, 818/821, cfr. Coventr. (p. 308, 19/22), cfr. Egert. (p. 411) 375/377 Verbi –  progressionis] cfr. Alchor. II, 3.4 (p. 149-150), cfr. Coventr. (p. 308, 22/23) 373 Quando] secunda talis est (om. Lo5) praem. G Lo5 P2 Wo Va10 Ca, secunda regula talis est (om. D1) praem. Pa7 Ox7 Be Lo3 D1 Es, 2ª rª add. Enm autem] om. G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es Va10 Lo2 Ca progressio] post naturalis transp. Y1 S naturalis] om. Ca numerum] om. Pa7 374 imparem] parem Pa7 per] sume Lo5 Pa7 Ox7 Be Lo3 maiorem] imparem Ha portionem] parem Be Lo3 ipsius] om. Lo2 Pa8, illius imparis Lo5 Pa7 Ox7 Be Lo3, eius Mu5, et per eam add. Lo5, et per illam add. Pa7 Ox7, et per illum add. Be Lo3 numerum] post totalem transp. Pa7 Ox7 Be Lo3 375 1 – 5] 5 4 3 2 1 Ox7 Pa8, 3 2 1 que Mu3 sic 1] unum Lc Ca 2] duo Lc Ca 3] tria Lc Ca 4] om. Va8a, add. Va8s, quatuor Lc, IIII Ca 5] quinque Lc, Vque Ca sic, sume maiorem portionem scilicet ternarium et add. Be Lo3 multiplicetur] multiplicet Lo2, multiplica Y1, numerus add. D1 Es 375/376 quinarius – ternarium] ternarius per quinarium Mo, ternarius quinarium Lo2, 3 per 5 Y1, ternarius per quinarium vel quinarius per ternarium Ca 375 quinarius] 5 Pa7 Wo Va10 S, quaternarius Mu5 per] ipsum add. Be Lo3 376 ternarium] 3 Wo Va10 quinque] 5 Ko Mo Mu2 Lo5 Pa7 Wo Mu3 Be Lo3 Pa2 Y1 S Pa8, Vque Ca et] om. Lo2 resultabit] resultabunt H Be Lo3 S, resultant Ma, exibunt Pa7, resultat Va10 Y1, sunt Lo2 quindenarius] om. Y1 Pa8, quindecenarius Lo4 sic, 15 H Ma Pa7 Be Lo3 S, 15us Va10, 50 Lo2, scilicet add. H, qui est add. Mo En Mu2 summa] summo W1 sic, numerus Y1 377 progressionis] multiplicationis Pa7, impar parte sui maiori multiplicetur add. D1 378 intercisa] post similiter transp. Mu5 similiter] om. P2 Mu3 Ca due] 2 Es, post dantur transp. Va10 Y1 S, post regule transp. Lo2 596 6 Cuando en cambio una progresión natural termina en número impar, por la porción mayor de aquel multiplica el último número44. Por ejemplo, en 1, 2, 3, 4, 5, se multiplica cinco por tres, es decir, tres veces cinco, y resultará quince la cantidad de toda la progresión45. De igual forma se dan dos reglas para la progresión truncada. 44 Puesto que el autor tan solo trabaja con número enteros, cuando tiene que dividir un impar (x) entre dos, diferencia entre la «mitad mayor» (x+1 · 2) y la «mitad menor» (x-1 · 2). A esto mismo hace referencia cuando dice maiorem portionem, es decir, la mitad del número par inmediatamente superior al impar mencionado. 45 En el caso de las progresiones naturales acabadas en impar, habría que multiplicar el último número por la mitad del siguiente número par, o sea: x = y · [(y + 1) ÷ 2]. Cogiendo el ejemplo de Sacrobosco, teniendo la progresión 1, 2, 3, 4, 5, la operación sería la siguiente: 5 · [(5 + 1) ÷ 2] = 15. 597 57 Quando enim progressio intercisa terminatur in numerum parem, per medietatem illius multiplica numerum proximum 380 medietati superiorem. Ut 2, 4, 6; multiplicetur quaternarius per ternarium, sic ter quatuor, et resultabit duodenarius, summa totius progressionis. 379/381 Quando – superiorem] cfr. Alchor. II, 4.1 (p. 150), 4.3 (p. 150), cfr. Add. in Carm. I, 6, cfr. Add. in Carm. II, 14/16, 19/26, cfr. Add. in Carm. III, 3, cfr. Coment. II, 825/828, cfr. Coventr. (p. 309, 5/10), cfr. Egert. (p. 411) 381/383 Ut – progressionis] cfr. Alchor. II, 4.2 (p. 150), cfr. Coventr. (p. 309, 10/11) 379 Quando] quarum prima talis est praem. Ko G Pa7 Ox7 Be Lo3 D1 Es, quarum prima talis praem. Lo5 P2 Wo, prima talis est praem. Ca, 1ª rª add. Enm enim] om. Lc Ko Mo En Mu2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Be Lo3 D1 Es Va10 Lo2 Pa8 Ca, est add. Pa8 progressio intercisa] post parem transp. Y1 progressio] om. Lc 380 per – multiplica] multiplica medietatem totalis numeri per Lo5 per] que Ox7 illius] iter. Lo4, ipsius Mu2 Wo Be Lo3 Pa8 Ca, eius G Lo2 Y1 multiplica] om. Lc numerum] om. Ma, post proximum transp. Lo3 380/381 proximum –  superiorem] superiorem illi medietati proximum Ko 380 proximum] illi add. Lc Ox7 381 medietati] medietatem Lca, medietate Lo3a, totali Lo2 superiorem] superiore Ox7, ante proximum praem. Y1 Ca Ut] verbi gratia Pa7 Ox7 2 – 6] 6 4 2 Mu3 Pa8 2] duo Lc Ca, 3 add. Va8a, del. Va8c 4] quatuor Lc, IIII Ca 6] sex Lc Ca 381/382 multiplicetur –  ternarium] per ternarium multiplicetur quaternarius Lo2 381 multiplicetur] multiplicatur Ma P2, multiplica S, illius add. Mu5a, del. Mu5c quaternarius] 4 Wo Y1, 4us Va10, quaternarium S per] et Pa8 382 ternarium] quaternarium Lca, 3m Va10, 3 Y1 sic] om. Mo quatuor] quaternor H sic, 4 Ko Mo En Mu2 Lo5 Ox7 P2 Wo Mu3 Be D1 Y1 Pa8, 4or Lo3 S, IIIIor Lo2 resultabit] resultabunt H Be Lo3, resultant Ma, resultat Va10 Y1, erunt Lo2 duodenarius] 12 H Ma Pa7 Be Lo3 Lo2, 12rius Mu2, duodena Ox7, 2 denarios D1, 12us Va10 382/383 summa –  progressionis] om. H Lo5 382 summa] scilicet add. Ox7 383 totius] totiens Lo3 progressionis] processionis Lc sic, si par per medium sibi multiplicato sequentem add. D1 598 7 Así, cuando la progresión truncada termina en un número par, multiplica por su mitad el número inmediatamente superior en cuanto a su mitad. Como en 2, 4, 6, se multiplica cuatro por tres, es decir, tres veces cuatro, y resultará doce la cantidad de toda la progresión46. 46 La primera regla de la progresión truncada se aplica cuando esta acaba en par, en cuyo caso hay que multiplicar la mitad de dicho número por su mitad más uno: x = y/2 · (y/2 + 1). Tomando el ejemplo del texto, en la progresión 2, 4, 6, deberíamos operar de la siguiente forma: 6/2 · (6/2 + 1) = 12. 599 58 Quando progressio intercisa terminatur in numerum imparem, multiplica maiorem portionem per se ipsam. Verbi 385 gratia: 1, 3, 5; multiplicetur ternarius per se, sic ter tria, et erit novenarius, summa totius progressionis. 384/387 Quando – progressionis] cfr. Cashel 2.4 (p. 19) 384/ 385 Quando – ipsam] cfr. Alchor. II, 5.1 (p. 150), 5.3 (p. 150), cfr. Add. in Carm. I, 4/5, cfr. Add. in Carm. II, 17/18, cfr. Add. in Carm. III, 4, cfr. Coment. II, 828/831, cfr. Coventr. (p. 309, 1/3), cfr. Egert. (p. 411) 385/ 387 Verbi – progressionis] cfr. Alchor. II, 5.2 (p. 150), cfr. Coventr. (p. 309, 3/4) 384 Quando] secunda talis est praem. P2 Wo Va10, secunda est talis praem. D1, 2ª rª add. Enm, si Ca, autem add. Ma Mo En Mu2 Mu5, vero add. Lo3 progressio – terminatur] terminatur intercisa progressio Y1 in numerum] iter. Va10a numerum] post imparem transp. D1 Es Mu5 Y1 385 multiplica – ipsam] sume maiorem portionem totalis numeri et ipsam multiplica per se Lo5 Pa7 Ox7, sume maiorem postionem (partem Be) totius numeri et ipsam multiplica per se Be Lo3 portionem] medietatem Mo, ipsius add. W1, eius add. Lo2 385/386 Verbi gratia] ut H P2 386 1 – 5] 5 3 1 Ox7 Mu3 Pa8 1] unum Ca 3] tria Ca 5] quinque Lc, Vque Ca, 7 add. Lo2 multiplicetur] multiplicatur Ma, multiplica Mo ternarius] 3m Mo, 3us Mu2 Va10, 3 Wo Y1, quaternarius Lo2, 3a S, sic add. Ma se] ipsum add. Ko G Lo5 Pa7 Wo Mu3 Pa2 Lo2 Ca, ipsam add. Ox7, ipsa add. S sic] om. Ma Lo5 Lo2 ter tria] quater quatuor Lo2 tria] 3a Mu2 Y1 S, 3 Lo5 Pa7 Wo Be Pa8 et] om. Mu2 Ox7 erit] om. Ox7, resultabit Lc, sunt Pa7, erunt Be Lo2 387 novenarius] 9 Mu2 Pa7 Ox7 Wo Mu3 Y1, novem Lo5 Be, 9us Va10, 60 Lo2, qui est add. H totius] om. Pa7, totalis Lo5 D1 progressionis] om. H, item per unicam regulam potest fieri omnis progressio continua et intercisa sicut patet diligenter consideranti que quidem regula talis est per medietatem positionem multiplica numerum ab extremis coniunctum add. Lc, per medietatem progressionum multiplica ab extremis coniunctum add. Mu2, item per unicam regulam poterit sciri omnis progressio continua et intercisa sive terminetur in numero pari vel impari que talis est per medietatem progressionum multiplica numerum ab extremis coniunctis add. Lo3, imparibus media pars maior multiplica se add. D1 600 8 Cuando la progresión truncada termina en un número impar, multiplica su mitad mayor por sí misma. Por ejemplo, en 1, 3, 5, se multiplica tres por sí mismo, es decir, tres veces tres, y será nueve la cantidad de toda la progresión47. 47 La última regla se aplica a las progresiones truncadas impares. En esta operación habría que multiplicar el «medio mayor» por sí mismo: x = [(y + 1) ÷ 2]2. Como ejemplo contamos con la siguiente progresión: 1, 3, 5, cuya operación sería la siguiente: [(5 + 1) ÷ 2]2 = 9. 601 59 DE RADICUM EXTRACTIONE Sequitur de radicum extractione et primo in numeris quadratis, unde videndum est quid sit numerus quadratus et que 390 sit radix numeri quadrati, et quid sit radicem extrahere. 389/423 Sequitur – convertitur] Coment. II, 597/625 388 De – extractione W1 Lo4 Ko Ma Mo Lo5 Mu3 D1, spatium tituli vacuum reliquerunt Lc Fi2 P2 Wo Va8, tit. om. H Ox2 Pa7 Lo2 Mu5 Y1 Pa8 Ca, VIIIª species de radicum extractione in omnibus numeris En, sequitur de radicum extractione Mu2, capitulum preambulum ad radicum extractione communi G, sequitur de radicum extractione in quadratis Ox7, de radicum extractione 9 specie et primo de numero relato ad geometricas figuras Be, capitulum preambulum ad radicum extractionem Lo3 Es, de extractione radici in numeris quadratis Pa2, de radicum extractionibus Va10, capitulum de radicum extractione S, de radicum extractione in numeris quadratis add. Va8m 389 Sequitur – extractione] radicum extractio Ca radicum] indicum Fi2 sic extractione] tam in numeris quadratis quam cubicis add. D1 Es 389/390 et – quadratis] om. Mo 389 et] om. Lo2, in add. Ox2 primo] om. Lo2, videndum est add. Lo5 in] de Lo5 390 unde – quadratus] om. Ma unde] primo ut add. G, primo add. Be Lo3 videndum est] videndum Mu3 Ca, videndus est D1, dicendum est Va8 sit] om. Mu5 390/391 numerus – sit2] om. H 390 numerus] om. Lo5, post quadratus transp. Ox2 390/391 et – quadrati] iter. Es 390 que] quid W1 Lo4 Ox2 G Lo5 Ox7 Be Lo3 Mu5 Y1 Ca 391 sit1] om. Lo5 Lo2 S radix – quadrati] om. Mu3 numeri quadrati] eius Pa7 Lo2, ipsius Va10, ante radix praem. Pa7 Lo2 quadrati] et cubici add. Fi2 et – radicem] om. Fi2 sit2] om. Lo4 Mo G, numeri add. Lo5 Pa7, quadrati add. P2, numeri quadrati add. Va10 radicem] numeri quadrati add. Lc Mo En Ox7, numeri quadrati et cubici add. Mu2, numeri add. Be Lo3 602 9 EXTRACCIÓN DE RAÍCES Sigue la extracción de raíces y primero en los números cuadrados, donde hay que ver qué es un número cuadrado, qué es la raíz de un número cuadrado y qué es extraer una raíz. 603 60 Prenotanda tamen est hec divisio: numerorum alius linearis, des. Ox2 alius superficialis, alius solidus. Linearis est qui consideratur tantum penes processum, non habito respectu ad ductionem numeri in numerum, sicut linea tantum unicam habet 395 dimensionem, scilicet longitudinem sive latitudinem. Numerus superficialis est qui provenit ex ductu numeri in numerum, unde 392/423 Prenotanda – convertitur] cfr. Coventr. (p. 301, 7/16), cfr. ISID., Etym. 3.7 (s.p., 13/25, 1/14) 392/415 Prenotanda – se] cfr. BOETH., Instit. 2.4 (p. 88, 6/30, p. 89, 1/25) 392/400 Prenotanda – latitudinem] cfr. Coventr. (p. 302, 10/16) 395/396 linea – latitudinem] cfr. EUCLID., Element. 1.2 (p. 31, 4), cfr. GERBERT., Geometr. 1 (p. 404) 396/ 397 Numerus – numerum] cfr. EUCLID., Element. 1.15 (p. 196, 29) 392 tamen] om. P2, post est transp. Lc Fi2 Mu2 G Pa7 Ox7 Mu3 est] post hec transp. Mu5 hec divisio] divisio ista Ox2 392/559 des –  cubicis] om. Ox2 392 numerorum] autem add. Lc alius] est add. Mo Va10 Mu5 393 alius1 – est] om. Mo alius1 – solidus] alius superficialis W1 Lc H Ko En Fi2 Mu2 Wo Lo2 Y1 S Pa8. alius superficialis alius quadratus alius cubicus sive solidus Ma P2 Pa2 Ca, alius superficialis alius quadratus alius cubicus alius solidus G Mu5, alius superficialis alius quadratus alius solidus sive cubicus Lo5 Pa7 Ox7, alius superficialis alius cubicus sive solidus alius quadratus Mu3, alius superficialis sive (alius add. Lo3) quadratus alius cubicus sive solidus Be Lo3 superficialis] om. Va10a, add. Va10m solidus] om. Lo4 Linearis] numerus linearis Mo Pa7 Ox7, quidem add. Va8 Pa8 est] om. Fi2 consideratur] considerat Lo4 Be Lo3, post tantum transp. Va10 394 tantum] om. P2 D1 Es Y1 S penes] om. W1 Be Lo3, partes add. Ca processum] progressum G, linearem add. Es habito] habendo G Ca respectu] processu Fi2a, respectum G 395 in numerum] om. Va8a, add. Va8m, in se vel il alium Lo5, et dicitur linearis quia unicum tantum habet numerum add. Va10 linea] om. Lo4 395/396 tantum – dimensionem] habet tantum dimensionem unam Pa7, habet tantum dimensionem unam Ox7 395 tantum] om. G Va10 S, post unicam transp. En Fi2 Y1, post habet transp. Ox7 unicam] unam Lo5 Pa7 Ox7 Be Lo3 Ca, post habet transp. H Ko Ma Lo5 D1 Es Lo2 Mu5 Va8 Pa8 habet] ante tantum praem. Be Lo3 396 dimensionem] denominationem Pa8 sive latitudinem] om. Ma G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Mu3 Lo2 Y1 S latitudinem] latitudine Lc Ko Ma Es Pa2 Numerus] vero add. Pa8 397 est] om. D1, ille numerus add. Lcs qui] quia Be provenit] om. Ca ductu] ductione Ma numerum] sicul linea unicam tantum habet dimensionem scilicet longitudinem sive latitudinem add. Ena, del. Enc unde] et G Va10 Y1, et add. Lo2 604 0 Hay que anotar antes esta división: de los números uno es lineal, otro superficial y otro, sólido. El lineal es el que se define en cuanto a su subordinación al proceso48, sin que contenga la multiplicación de un número por otro número, como la línea, que tan solo tiene una dimensión, es decir, longitud o amplitud. El número superficial es el que proviene de la multiplicación de un número por otro número, de ahí que se llame 48 Con esto se quiere decir que el número lineal se caracteriza por su esencia como número que forma parte de un sistema en el que puede ser multiplicado, pero que no es el resultado de multiplicación alguna. Es lo que llamamos número primo, divisible tan solo por sí mismo y por la unidad. 605 61 dicitur superficialis, quoniam duos habet numeros denotantes sive mensurantes ipsum, sicut superficies duas habet dimensiones, scilicet longitudinem et latitudinem. Sed quoniam 400 dupliciter potest numerus duci in numerum aut enim semel aut bis. Si igitur numerus semel ducatur in numerum, hoc erit aut in 399/400 superficies – latitudinem] cfr. EUCLID., Element. 1.5 (p. 31, 8/9), cfr. GERBERT., Geometr. 1 (p. 404) 402/410 Si – 4] cfr. VILLAD., Carm. 158/161 398 dicitur] post superficialis transp. Lo2 superficialis] a superficie add. Va10a, del. Va10c quoniam] quia Lo4 H Ma G Lo5 Pa7 Ox7 Wo D1 Es Lo2 duos] duas Ma, 2 Be Lo3 D1 Y1, post habet transp. Ko Ma G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Pa2 Va10 Lo2 Mu5 S Ca, post numeros transp. Y1 habet] post numeros transp. D1 Es numeros] superficies scilicet (del.) dimensiones Ma 398/399 denotantes – mensurantes] producentes D1 Es 398 denotantes] denominantes Ma, denotantes add. P2 399 sive] et G Lo2, vel Lo5 Pa7 Ox7 P2 Mu3 ipsum] se Lo5 D1 Es, se ipsum Mu3 superficies] superficialis Ox7 duas] 2 Be Lo3 D1 Es Y1 Pa8, post habet transp. Es Va10 Lo2 habet] om. Mu5, post dimensiones transp. Ma Pa2 400 dimensiones] dispositiones Lo5, divisiones Ox7 Sed] om. G Be Lo3 quoniam] om. Lo5 Es S, sciendum quod W1 Lc Lo4 H G Wo Mu3 Pa2 Lo2 Va8 Pa8 Ca, notandum quod Ko, sciendum quoniam Fi2 P2 Va10, quia Pa7 Ox7, sciendum autem quod Be Lo3, omnes add. P2 401 dupliciter potest numerus duci W1 Be Lo3 Pa2 Va10 Lo2 Pa8 Ca, dupliciter potest duci numerus Lc Lo4 H Ko Ma Mo En Fi2 Mu2 Va8, numerus dupliciter potest duci G Wo Y1 S, numerus potest duci (dici Lo5a) dupliciter Lo5 Ca, dupliciter potest duci Pa7 Mu3, numerus potest dupliciter duci Ox7 D1 Es Mu5, numerus potest duci P2 numerus] om. Pa7 Mu3 in numerum] om. Lo5, quia add. Ma G Pa7 Ox7 P2 Wo Mu3 Mu5, unde dicitur superficialis quia add. Ca 401/402 aut1 – erit] om. Lo5 Pa7 Ox7 Pa2a, add. Pa2m 401/402 aut1 – bis] aut bis aut semel Wo 401 enim] om. Ma P2 D1 Es Va10 Lo2 Mu5 Y1 S Pa8 Ca 402 bis] in se vel in alium add. Ko Si] sciendum quod si ducatur Ko igitur] om. Ma P2 Wo Va10 Lo2 Mu5 Y1 S, autem Mu3, ergo Es numerus] om. Lo4 Ma P2 Wo Mu3 Va10 Lo2 Mu5 Y1 S, post semel transp. Es semel] post ducatur transp. H ducatur – numerum] om. P2 Wo Va10 Lo2 Y1 S ducatur] om. Ko hoc erit] om. P2 Va10 Lo2 Y1 S, post aut transp. Lo4 Ma Pa8 hoc] om. Pa8, post aut transp. Lo4 erit] om. Wo, est Fi2 Lo5 Pa7 Ox7 D1 Es, dupliciter add. D1 Es, dupliciter quia add. Wo Ca aut] om. Mu5 Ca 606 1 superficial, puesto que tiene dos números que lo delimitan o miden, como las superficies, que tienen dos dimensiones, es decir, la longitud y la amplitud49. Pero, puesto que un número se puede multiplicar por cualquier número doblemente, esta será o una vez, o dos. Por tanto, si un número se multiplica 49 Sacrobosco denomina superficiales a todos los números compuestos, es decir, a los que no son primos, que se pueden dividir, además de por sí mismos y por la unidad por otro/s número/s. 607 62 se ipsum aut in alium. Si in se, fit numerus quadratus, et dicitur quadratus quia divisim scriptus per unitates habebit quatuor latera equalia ad modum quadranguli. Si ducatur in alium, fit 405 numerus superficialis et non quadratus, ut binarius ductus in ternarium constituet senarium, numerum superficialem et non quadratum. Unde patet quod omnis numerus quadratus est superficialis et non convertitur. Radix numeri quadrati est ille 409/411 Radix – radix] cfr. Alchor. I (p. 175, 21, p. 176, 1/8), cfr. Pulver. (p. 175, 14/17, p. 176, 1/2) 409/410 Radix – 4] cfr. Ysagog. (p. 51, 6/11), cfr. Dixit Algor. 13.1 (p. 92, 1260/1262), cfr. FIBON., Abac. 14 (p. 353), cfr. Maham. 4941/4944 (p. 194) 403 ipsum] om. G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Mu3 Be Lo3 Va10 Mu5 Y1 S Pa8 aut] vel Ca in1] om. Va8 Si] sciendum quod si ducatur Ma Lo5 Pa7 Pa2a Mu5 Y1 S, sciendum autem quod si ducatur G P2, et sciendum quod si ducatur Ox7 Va10, si ducatur D1 Es Pa2c se2] om. Fi2, ipsum add. Lo4 Ma Fi2 Pa7 Ox7 P2 D1 Es Pa2 Mu5 Y1 S Ca, sic add. Mo En Fi2 Mu2, semel add. Y1 S fit] fiat Mu2, dicitur Ca numerus] post quadratus transp. Be Lo3 403/405 et – quadranguli] post 412 radix transp. W1 Lc Lo4 H Ko Ma Wo Be Lo3 Pa2 Va10 Mu5 Y1 S, post 412 radix iter. G Mu3 403/404 et – quadratus] om. Fi2 G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Va8 403 et] om. Mu3 dicitur] numerus add. Pa8 404 quia] quasi Mo, sit add. Ox7 divisim] divisum W1 H Mu5 Y1 scriptus] descriptus Be Lo3, post unitates transp. Ox7 Lo2 unitates] unitate Lo4 habebit] habet Ma Pa7 Ox7 Lo2 S Ca, post quatuor transp. Ma quatuor] 4 Lc Mo Fi2 Mu2 Lo5 Ox7 P2 Wo Mu3 D1, 4or En S, IIIIor Va8, IIII Ca, post equalia transp. Mo 405 ad modum] quemadmodum Pa8 quadranguli] quadrati G Va10 Mu5, ut ter tria faciunt add. Pa8 Si] numerus add. G Lo5 Pa7 Ox7 P2 ducatur] om. H Wo Be Lo3 alium] sic add. Mo En Fi2 Mu2 fit] om. Lo4 406 numerus] om. Lo4 Lo5 Be Lo3 et] om. Lo2 Va8 Pa8 non] autem add. Va8 binarius] 2 Y1 ductus] om. Be Lo3 407 ternarium] 3 Y1 constituet] constituit W1 Lo4 H Ko Mo G Lo5 Pa7 Ox7 Be Lo3 D1 Es Pa2 Va10 Y1 S Ca, continet Fi2a Mu5, in add. Be, ternarium add. Lo2a, del. Lo2c senarium] scilicet primum add. Ko Lo5 Pa7 Ox7 P2 D1 Es, primum add. G numerum] om. En Mu5 407/408 et – quadratum] om. Lo5 Pa7 Ox7 P2 Mu3 407 et] sed G 408 quadratum] numerum add. H, quod patet sic dicendo bis tria add. Pa8 Unde – quod] om. H quod] om. Lo4 omnis] om. P2 numerus] om. G Mu3 Be Lo3, post quadratus transp. D1 Es, superficialis et add. Pa7a, del. Pa7c quadratus] om. Lc est] post superficialis transp. Wo 409 et] sed En Ox7 Lo2 convertitur] econverso H Va10 Ca Radix] autem add. W1 Lc Lo4 H Ko G Lo5 Mu3 Be Lo3 Va10 Y1 S Ca est] iter. Fi2a ille] iste Ma 608 2 una vez por cualquier número, será por sí mismo o por otro. Si es por sí mismo, genera un número cuadrado, y se dice cuadrado porque, escritas sus unidades por separado, tendrá cuatro lados iguales a la manera de un cuadrángulo50. Si es multiplicado por otro, genera un número superficial y no cuadrado, como el dos multiplicado por tres constituye el seis, un número superficial y no cuadrado. De ahí es evidente que todo número cuadrado es superficial y no al revés. La raíz de un número cuadrado es aquel número 50 Se definen de esta forma los números cuadrados como el resultado de multiplicar cualquier número (lineal o superficial) por sí mismo, lo que genera un número superficial y, además, cuadrado. La explicación sobre el origen del nombre apunta hacia la geometría, donde relaciona la representación gráfica de las unidades de un número cuadrado con una figura cuadrangular. 609 63 numerus qui ita ducitur in se, ut bis duo sunt 4. Quaternarius 410 igitur est primus numerus quadratus et binarius est eius radix. Si autem numerus bis ducatur in numerum, constituet numerum solidum, et dicitur solidus quia sicut solidum corpus tres habet dimensiones, scilicet longitudinem, latitudinem et spissitudinem, ita numerus iste tres habet numeros producentes se. Sed 415 411/413 Si – solidum1] cfr. EUCLID., Element. 7.16 (p. 197, 30), cfr. Ysagog. (p. 55, 8/9) 413/414 solidum2 – spissitudinem] cfr. EUCLID., Element. 11.1 (p. 299, 3/4), cfr. GERBERT., Geometr. 1 (p. 403) 410 numerus] om. P2 D1 Es ita] om. G Lo5 Mu5 Y1, sic Lo2, semel add. Lo2 in se] om. Be Lo2 ut] om. Mu3 bis] 2 Ko Mu3 Y1, 2º S, et add. Ko 4] quatuor W1 Lc Lo4 H G Lo5 Wo Va10 Lo2 Pa8, 4or En S, IIIIor Va8 411 igitur] om. Ma Lo5 Ox7, quidem P2, ergo Be Lo3, post est transp. H est1] post numerus transp. Mu5, post quadratus transp. Be primus] post numerus transp. Ma Pa2 numerus] om. Wo Lo3 Pa2a Va8, in ras. Pa2c, post quadratus transp. H et] om. Ma binarius –  radix] binarius eius radix Lo4 Ko, binarius est radix Ma, eius radix est binarius Mo En Fi2 Mu2 Lo2 Va8 Pa8, binarius est radix eius G Be Lo3 Y1 S 411/413 Si – solidum1] om. Lo5 Pa7 Ox7 P2 Va10 Mu5 S 412 numerus] post ducatur transp. Y1 ducatur] ducitur Lo2 in numerum] om. Ca constituet] constituit W1 Lo4 Ko G Be Lo3 Pa2, faciet H Y1, continet Fi2a numerum2] om. Mu3, post solidum transp. Lo4 413 solidum1] numerus solidus (sive cubicus add. Lo5 Ox7) est qui provenit ex duplici ductu numeri in numerum add. H Ko Lo5 Ox7 P2 Mu3 Va10 Mu5 Y1 S, numerus solidus sive cubicus est qui provenit ex duplici ductu add. Pa7, numerus autem solidus est ille numerus qui provenit ex plurali ductu numeri in numerum add. Ca et – solidus] om. Be Lo3 quia] quoniam W1 Ma Mo En Fi2 Mu2 G Mu3 Be Lo3 Lo2 Mu5 Y1 S Ca sicut] om. Lo3, quemadmodum Be Pa2s solidum2] om. Be, quadratum Lo3, solidus Va10, post corpus transp. Ko Mo S, et add. Lo4 Lo5 Pa2 Mu5 Pa8 S, ut add. G, id est add. Va10 corpus] om. P2 tres] 3 Lc Ko Mu2 Pa7 Be Lo3 Y1 S Ca, post habet transp. G habet] habent Lo5 Pa8, post dimensiones transp. Mu5 414 dimensiones] divisiones Ox7 longitudinem] longitudine Ox7, et add. Pa7 Ox7 Wo Mu5 Ca latitudinem] la. Fi2 sic et] om. Lo2 Y1 spissitudinem] profunditatem Ma Fi2 415 ita] sic Be Lo3 numerus] post iste transp. Lo4 Ma Ox7 Lo2 Mu5 Y1 S Ca iste] ille Ma tres] 3 Ko Ma Fi2 Mu2 Pa7 Be Lo3 Es Pa2 Y1 S, post habet transp. Be Lo3 Es numeros] om. Lo4, dimensiones sive praem. Ox7 producentes] post se transp. G Mu5, in add. Wo 415/416 se – bis] deest Wo mutilo folio 415 Sed] et sciendum quod H 610 3 que se multiplica por sí mismo, como dos veces dos son 4. El cuatro, por consiguiente, es el primer número cuadrado y su raíz es el dos. Si un número es multiplicado dos veces por un número constituirá un número sólido, y se dice sólido porque, como un cuerpo sólido, tiene tres dimensiones, es decir, longitud, amplitud y grosor; así, este número tiene tres números que lo producen51. Pero un número se puede multiplicar dos veces por otro número 51 Los números que Sacrobosco designa como sólidos son aquellos que cuentan con un divisor (distinto del mismo número y, lógicamente, de uno) que es a su vez un número compuesto. Compara geométricamente este tipo de números con cuerpos tridimensionales. 611 64 numerus potest dupliciter bis duci in numerum, quia aut in se ipsum aut in alium. Si igitur numerus bis ducatur in se ipsum vel semel in suum quadratum, quod idem valet, fit numerus cubicus; et dicitur cubicus ab hoc nomine cubus, cubi, quod est solidum. Est autem cubus corpus sex habens superficies, 8 angulos et 12 420 latera. Si vero aliquis numerus bis ducatur in alium, fit numerus 417/423 Si – convertitur] cfr. RADULPH., Abac. (p. 96-7) 417/418 Si –  cubicus] cfr. Ysagog. (p. 55, 8/9), cfr. VILLAD., Carm. 210/212 420/ 421 Est – latera] cfr. ISID., Etym. 3.12 (s.p., 25, s.p., 1) 416 numerus – dupliciter] numerus potest dupliciter Fi2 Mu2 D1 Lo2 Pa8, dupliciter potest numerus D1 Es numerus] iste add. Mu3 potest –  numerum] dupliciter potest numerus bis duci in numerum Mo, potest duci dupliciter in numerum bis Y1, potest duci in numerum dupliciter S potest] post bis transp. Pa2 dupliciter] om. Mu3 Pa2a Ca, add. Pa2s, post bis transp. Ma, post duci transp. Ox7 bis duci] ducibus Lc sic bis] om. Lo4 Lo5 Ox7 Be Lo3, post duci transp. En Fi2 Mu2 Lo2, post numerus transp. Mu5 quia] om. Lo5 Va10 Y1 S 416/417 aut – alium] deest Wo mutilo folio 417 ipsum1] om. Mo En Fi2 Mu2 G Ox7 Mu3 D1 Es Lo2 Mu5 Y1 S Si] sciendum quod si Ma Mu5 igitur] om. Ma G Lo5 Pa7 Ox7 P2 D1 Es, ergo Lo3 numerus] post ipsum transp. Ma Mu5 bis] post ducatur transp. Lo4 Ma Lo5 P2 ducatur] producatur En in2 – vel] deest Wo mutilo folio ipsum2] om. W1 Lo4 H Fi2 P2 Mu3 D1 Es Va10 Y1 S, bis numerus add. Pa2a, del. Pa2c vel] aut Mo En Fi2 Mu2 Va8 Pa8 418 suum] om. Mo valet] est Koa Ma G Ox7 P2 Pa2 Lo2 Mu5 Y1 S Pa8 Ca, ante idem praem. S fit] om. Lo2, fiet Ox7 cubicus] ut bis duo bis constituis 8 add. H 419 et – cubicus] om. Mo Lo2 Mu5 Va8 Ca et] om. Lo5 dicitur] autem add. Lo5 cubicus] om. Lc Pa8 cubi] cubitus Lca, -bi H Ma Ox7 D1 Es S Ca quod est] quod idem est quod Ma Lo5 Pa7 Ox7 Pa2, quod est idem quod Mu5 solidum] solidus Ma En Lo5 Pa7 Ox7 P2 Mu3 D1 Pa2 Va10 S Ca 420/421 Est – latera] om. Lo5 Pa7 Ox7 420 Est – cubus] om. Lo2, solidum vero P2, cubus autem est Wo autem] enim Lo4 cubus] om. Lc, cubicus Mu3 Pa8, quoddam add. H, quod add. Ca corpus – superficies] sex habet corpora et sex dimensiones id est superficies Ca corpus] ante cubus praem. Lo4, quoddam add. W1 Lc, quoddam solidus add. Ko, est add. P2 sex] 6 Lc H Ko Mu2 Mu3 Be Lo3 D1 Es Pa2 Y1 S Pa8, VI Lo4 Ma Wo Va8, sed Lo2, post habens transp. En P2 Wo D1 Es Lo2 Mu5 Va8 S, equales add. Fi2m superficies] dimensiones sive superficies Mu3, sicut patet in taxillo add. G, ut taxillus add. Es, et add. Wo D1 Es 8] VIII Lo4 Ma Wo, octo Wo Va10 Lo2 angulos] ungulas Mu5a et] om. H Va8 Pa8, 2 add. Fi2 12] duodecim Lo4 Va10 Ca, IE Mu2a, XII Wo, vero add. H 421 latera] dictum a greco cubon quod est solidus add. Lo2 421/422 Si – 12] om. Lo2 421 vero] om. Lo5, autem Ca aliquis] om. Y1 Ca numerus1] post ducatur transp. Ca bis] post ducatur transp. Ko G D1 Es alium] numerum add. Lo4 Ko 612 4 doblemente, porque será por sí mismo o por otro. Por tanto, si un número es multiplicado dos veces por sí mismo o una vez por su cuadrado, que vale lo mismo, genera un número cúbico, y se dice cúbico por este nombre, «cubo», que es sólido52. El cubo es un cuerpo que tiene seis superficies, 8 vértices y 12 aristas53. Pero si un número cualquiera es multiplicado dos veces por otro, 52 Se define el número cúbico como aquel que se genera multiplicando el mismo número (que puede ser, de nuevo, lineal o superficial) por sí mismo dos veces, siendo así un número superficial y cúbico. En esta ocasión, trae a colación la imagen del poliedro regular por excelencia, el cubo. 53 Nótese que en latín se emplea el sustantivo plural latera para referirse a las aristas, mientras que define las caras del dado como superficies. También destaca el uso del término angulos para referirse a los vértices. 613 65 solidus et non cubicus, ut bis tria bis constituunt 12. Unde patet quod omnis numerus cubicus est solidus, et non convertitur. Ex predictis etiam patet quod idem numerus est radix numeri quadrati et cubici, non tamen illius radicis est idem quadratus et 425 cubicus. Patet etiam quod omnis numerus potest esse radix quadrati et cubici, sed non omnis numerus quadratus vel 426/428 Patet – cubicus] cfr. VILLAD., Carm. 160/161, 213/214 422 et – cubicus] om. Be Lo3 D1 Es ut – 12] om. Va8 ut] om. Pa8, vel hoc Mu3, unde S bis1] 2 Ca tria] 3 Ko Mu2 Be Lo3 Y1 Ca, 3ª S bis2] 2 Ca constituunt 12] om. Ca constituunt] constituis H, constituit Mo 12] duodenarius W1, duodecim Lo5 Unde] et ita Va8 patet] om. Mu5 423 numerus] om. W1 P2 Va8 et] sed H Va10 Lo2 S convertitur] convertetur Lc sic, econverso H Ox7 Va8, (unde add. WI Lo4 P2, et add. Be Lo3) omnis etiam (om. Mu3, enim Ma Lo2) solidus est (om. W1 Lo4 Wo Mu3 Lo2) superficialis et (sed H Mu3 Va10) non convertitur (econverso Ma Mu3 Mu5) add. W1 Lo4 H Ko Ma P2 Wo Mu3 Be Lo3 Pa2m Va10 Lo2 Mu5, iam patet quod omnis numerus solidus est superficialis et non convertitur add. Lc, e contrario add. G, unde omnis etiam solidus superficialis est add. P2 424 predictis] hiis Lo5 Be Lo3 etiam] om. Lc Ko Ma Lo5 Be Lo3 D1 Es Va10 Mu5, post patet transp. Y1 S, autem Ca idem] post numerus transp. Mu5 numerus] om. Ma Lo2 est] post radix transp. Va8 radix] om. Ko Ca, post quadrati transp. Pa2 Mu5 425 quadrati – cubici] cubici et quadrati Lo4 cubici] sed non omnis numerus add. W1a, del. W1c 425/426 non – cubicus] iter. Va10a 425 illius radicis] om. Lo5 Pa7 Ox7 P2 Mu3 Pa2, radicis illius Ma Fi2 Mu2 G Mu3 Be Lo3 Y1, unius radicis S, post idem transp. En Fi2 Mu2, post quadratus transp. Mo Wo Va10 Lo2 S est] om. W1 Lo4 H Lo5 Pa7 Ox7 P2 Wo Mu3 Be Lo3 Pa2 Lo2 S Pa8 Ca, non Mu3, id est Y1 Mu5, post idem transp. Ko Ma Mo D1 Es Va10s Mu5 Va8 Y1 idem] numerus add. Lo2 D1 Es 425/426 quadratus – cubicus] cubicus et quadratus Lo4 425 et2] est H, numerus add. D1 426/428 Patet –  cubicus] om. Pa2a Mu5, add. Pa2m 426 numerus] om. P2 Lo2 426/ 427 radix – omnis] om. Va8 426 radix] ante potest praem. Ko, numeri add. Lc Mo Fi2 Lo5 Pa7 Ox7 Wo Mu3 D1 Es 427 quadrati – cubici] cubici et quadrati Lo4 cubici] non tamen radicis add. Maa, del. Mac 427/428 sed – cubicus] om. Pa8 427 sed – numerus] omnis numerus non est Lo4 numerus] om. Mo Fi2 Mu2 Ox7 P2 Va8, est add. H G D1 Es Y1 S Ca, potest esse add. En vel] est Ox7, et Mu3 Lo2 614 5 genera un número sólido y no cúbico, como dos veces tres dos veces constituyen 12. De ahí se deduce que todo número cúbico es sólido y no al revés. De lo dicho antes, por un lado, es evidente que un mismo número es raíz de un número cuadrado y cúbico, aunque no es lo mismo el cuadrado y el cubo de esa raíz. Es evidente, además, que todo número puede ser raíz de cuadrado y de cubo, pero no todo puede ser cuadrado o cúbico. Por otro 615 66 cubicus. Cum igitur ex ductu unitatis in se semel vel bis nichil proveniat nisi unitas, dicit Boetius in Arismetica quod unitas potentialiter est omnis numerus, nullus tamen actu.430 Notandum etiam quod inter quoslibet quadratos proximos est unicum medium proportionale, quod provenit ex ductu radicis 428/437 Cum – maioris] Coment. II, 626/638 428/430 Cum – actu] , cfr. GERBERT., Geometr. 1 (p. 404), cfr. Alchor. I (p. 63, 12/19, p. 177, 21/28, p. 178, 1/2), cfr. Alchor. II, 39.1-39.4, 40.8 (p. 178), cfr. Pulver. (p. 63, 11/24, p. 64, 1/5, p. 177, 8/11), cfr. Dixit Algor. 1.3 (p. 30, 46/59) 428/ 429 Cum – unitas1] cfr. BOETH., Instit. 2.4 (p. 88, 2/6), cfr. Maham. 708/712 (p. 30) 429/430 unitas2 – actu] cfr. BOETH., Instit. 1.20 (p. 44, 16/17) 431/433 Notandum – alterius] cfr. EUCLID., Element. 8.8.13 (p. 237-8, 308/329), cfr. FIBON., Abac. 14 (p. 356), cfr. Maham. 5066/5080 (p. 198) 428 cubicus] notandum etiam quod quilibet quadratus ductus in quemlibet quadratum constituit quadratum et similiter quilibet cubus ductus in quodlibet cubum producit cubum add. Fi2, notandum etiam quod quilibet quadratus ductus in quemlibet quadratum constituit quadratum et similiter cubicus ductis in cubum constituit cubum add. Mu2 igitur] om. Lc ductu] ductione Ox7 in se] post semel transp. Ca, post bis transp. Y1 S semel – bis] om. Lo2 429 proveniat] provenit Pa7 P2 Mu3, resultat Ox7, proveniet Lo2 nisi unitas] om. Va10 unitas1] sicut add. Mu3, nullius numeri radix potest esse unitas et isto add. En dicit] enim add. Lo4, ut praem. Mu5 Arismetica] sua add. G Es Pa8 430 potentialiter] post est transp. Lo5 P2 Mu3, post numerus transp. H est] om. Ma omnis] om. Moa, add. Mom, alius D1 numerus] quia cubicus quadratus etc. add. Lo5, et add. Mu3 nullus – actu] actu vero nullus Be Lo3 nullus] numerus Pa7, non Mu3 Y1 S, post tamen transp. Fi2 tamen] om. Mu3 actu] in actu Mu5 431 etiam] om. Pa7 Ca, vero Lo3 quoslibet] om. Pa7 Ox7, post quadratos transp. Pa8 Ca, numeros add. Maa, del. Mac, duos add. Lc Ko Mu2 G Lo5 Pa7 Ox7 D1 Mu5 Va8 Ca, 2 add. Es Pa8, numeros add. P2 quadratos] post proximos transp. Y1, duos add. Ma, et duos cubicos add. Pa2a, del. Pa2c est] reperire add. Ma Mo En Fi2 P2 D1 Es Va10, recipere medium add. Lo2 432 unicum] om. P2, unum Ma Pa7 Ox7 Mu3 Be Lo3 Es Mu5, numerum D1 Lo2 432/434 quod – proportionale] om. Moa, add. Mom 432 provenit – radicis] sic patet ducatur radix (radicis Pa7) G Lo5 Pa7 Ox7 P2, sic patet si ducatur Ox7 ex ductu] ex ductione Ma Wo Lo3 Pa2 Mu5 Va8 Pa8 radicis] om. Lca Fi2 Lo3, add. Lcs, post unius transp. Lo4 H D1 ES Va10 Lo2 Y1 616 6 lado, como de la acción de multiplicar la unidad por sí misma una o dos veces no proviene otra cosa que la unidad, dice Boecio en la Aritmética que la unidad es cualquier número en potencia, aunque ninguno en acto. Cabe notar que entre dos cuadrados cualesquiera consecutivos hay un único medio proporcional, que proviene de la acción de multiplicar la raíz de 617 67 unius quadrati in radicem alterius. Inter duos cubicos quoslibet proximos est duplex medium proportionale, scilicet minus medium et maius. Minus medium provenit ex ductu radicis 435 maioris cubici in quadratum minoris; maius si ducatur radix minoris cubici in quadratum maioris. 433/437 Inter – maioris] cfr. EUCLID., Element. 8.8.19 (p. 243-4, 452/487) 433 quadrati] om. D1 Es alterius] item praem. Lc, quadrati et proveniet idem medium proportionaliter add. G, et proveniet (provenit Pa7 P2) illud medium (proportionale add. Lo5, etiam add. Pa7) add. Lo5 Pa7 Ox7 P2, quadrati add. Va10 Lo2 Inter – quoslibet] inter quoslibet duos cubicos Lc, inter quoslibet numeros cubicos Lo4, inter quoslibet cubicos duos H, inter vero quoslibet cubicos Lo5, inter quoslibet duos cubicos Pa7, inter duos vero quoslibet cubicos D1 Es Inter] autem add. Mom duos –  quoslibet] duos] om. Ko P2, 2 Es Y1 Pa8, autem add. G cubicos] cubos Pa8, post quoslibet transp. Ca, proximos add. Va10a, del. Va10c 433/434 quoslibet proximos] om. Y1 433 quoslibet] om. Mo Ox7 Be Lo3 S, post proximos transp. Ma G Pa2 Mu5 434 proximos] om. Lo4 H, vel non proximos add. Fi2 est] om. Mu3, post duplex transp. Lo4, reperire add. Ma G Lo5 Pa7 P2 Wo D1 Es Mu5, unum reperire add. Ox7 duplex] post proportionale transp. Lo2 Mu5 proportionale] om. Lo4 H Ma G Lo5 Pa7 Ox7 P2 Mu5 scilicet] et Ma, sed Lo2 434/ 435 minus – maius] maius et minus Ma G Mu5, maius medium et minus (medium add. Ox7) Lo5 Pa7 Ox7 P2 Be Lo3 D1 Es, minus et maius Mu3 434 minus] numerus Ca 435 maius] medium add. Mo Wo Lo2 435/ 436 Minus – minoris] post 430/431 maius - maioris transp. G Lo5 Ox7 P2 D1 Es 435 Minus] maius Pa7, enim add. Be Lo3, vero add. D1 Es medium2] om. Lo5 P2 Be Lo3 D1 Es Ca provenit] om. Lo5 Pa7 Ox7 P2 D1 Es, proveniat En, est G, fit Be Lo3 ex – radicis] si ducatur radix (radicis Pa7) G Lo5 Pa7 Ox7 P2 D1 Es radicis] post maioris transp. Pa8 436 maioris] minoris Pa7, numeri add. Mu3 cubici] om. G P2 D1 Es minoris] maioris Lc Gc Pa8, minorem Pa8, cubici add. Ox7 maius] minus Ox7a, iter. Pa7, medium add. Lcs Lo5 Mu5, vero add. En Y1, medium est add. G, medium provenit add. P2 D1 Es Sc, est add. Lo2, provenit medium add. Sa si – radix] ex ductu radicis D1 Es S si ducatur] iter. Mu5 radix] post minoris transp. Fi2 437 minoris] maioris Ma Gc Pa7 Lo2 cubici] om. Lo4 H maioris] minoris Mo Gc Pa7 Lo2, cubici add. Ox7 618 7 uno de los cuadrados por la raíz del otro54. Entre dos cubos cualesquiera consecutivos el medio proporcional es doble, es decir, el medio menor y el mayor. El medio menor proviene de la acción de multiplicar la raíz del cúbico mayor por el cuadrado del menor; el mayor, si se multiplica la raíz del menor cúbico por el cuadrado del mayor55. 54 En este párrafo se explica el concepto de medium proportionale, donde se explora la relación matemática entre dos números cuadrados y cúbicos consecutivos, con la finalidad de facilitar el hallazgo del número cuadrado o cúbico siguiente a uno cualquiera que se proponga de una manera más sencilla. Así las cosas, para hallar el unicum medium proportionale de dos cuadrados consecutivos, x2 y (x + 1)2, hay que multiplicar las raíces de dichos cuadrados: x · (x + 1). 55 Entre dos números cúbicos consecutivos, x3 y (x + 1)3, hay dos media proportionalia. Para hallar el minus medium se multiplica la raíz del primero elevada al cuadrado por la raíz del segundo: x2 · (x + 1); para el maius medium se multiplica la raíz del primero por la raíz del segundo elevada al cuadrado: x · (x + 1)2. Nótese que este párrafo sobre media proportionalia viene acompañado en algunos manuscritos por un gráfico que interrelaciona ambos conceptos (cfr. el apartado sobre paratextos). 619 68 Cum igitur ultra summam numerorum solidorum in arte presenti non fiat processus, tantum 9 proprie numerorum limites distinguuntur. Est enim limes numerorum eiusdem nature 440 extremis contentorum terminis continua ordinatio, unde primus limes est 9 digitorum continua progressio; secundus vero 9 articulorum principalium; tertius centenariorum; quartus millenariorum. Tres etiam resultant in compositis per digitorum appositionem super quemcumque articulorum predictorum 445 438/446 Cum – preponatur] cfr. RADULPH., Abac. (p. 97) 438/444 Cum –  millenariorum] cfr. Alchor. I (p. 64, 16/30, p. 65, 1/28), cfr. Alchor. II, 41.6-43.6 (p. 179-181), cfr. Pulver. (p. 63, 20/24, p. 64, 1/24), cfr. Dixit Algor. 1.4-1.5 (p. 30-2, 70/105), cfr. OCREAT., Helcep, 5-14 (p. 262, 264), cfr. Coventr. (p. 301, 1/6), cfr. FIBON., Abac. 1 (p. 2), cfr. Egert. (p. 411), cfr. Maham. 69/112 (p. 3-4) 441/444 unde – millenariorum] cfr. Add. in Carm. VII, 1/2 444/449 Tres – ultimus] cfr. Alchor. II, 35.1-38.3 (p. 175- 177), cfr. Maham. 113/140 (p. 4-5) 438/449 Cum – ultimus] om. Lo5 Pa7 Ox7 438 igitur] om. Mo, itaque En Fi2 Mu2 G Wo Be Lo3 Va8 Pa8, ita Mu3, ergo Es, enim Va10 ultra] ultima Ma Ca summam numerorum] sumant scilicet numerum H summam] om. Fi2 Pa2a, add. Pa2m, summa Ca numerorum solidorum] solidorum sive numerorum Y1 numerorum] om. S solidorum] om. Lo3, post presenti transp. Lc 438/439 in – presenti] om. P2 439 presenti] presente Be Lo3 fiat] sit Fi2 Mu5 tantum] termini Pa8 9] novem W1 Lo4 Mo En G Va10 S Ca, om. Lo2, cum Y1 proprie – limites] proportionem numerorum limites Y1, numerum proprie limites Ca proprie] om. Lo4 H Mo En Fi2 Mu2 G, propria Lo2, ante processus praem. Mu3, ante tantum praem. Pa2 Lo2 numerorum] om. G Be Lo3, post limites transp. Mo En Fi2 Mu2 G P2 Be Lo3 Va10 Lo2 440 Est] et Y1 enim] om. Pa8, autem D1 Es nature] mature Pa8, extremis add. Mu3a, del. Mu3c 441 extremis] ex extremis G, post contentorum transp. Be Lo3 contentorum] contemptorum Pa8, post terminis transp. Lo2 terminis] om. S ordinatio] vel progressio add. Va10a, del. Va10c 441/ 442 unde – progressio] om. Ma 441 unde] om. Mu3 primus] proximus Mu3 442 limes] tantum add. P2 91] novem W1 En G Va10, IX Lo4 continua] om. W1, continuatio Lo2 secundus] limes add. Y1 S vero] om. Lc Lo4 Mu3 Y1 S Ca 92] novem Lo4 En G Va10 Ca, post articulorum transp. Lo4 G 443 articulorum] post principalium transp. En tertius centenariorum] tercentariorum Ca sic tertius] 3us Lo3, 9 add. Va10, est add. S centenariorum] centenorum Fi2 quartus] 4us Lo3 D1 Pa2 Y1 S, 9 add. Va10 444 millenariorum] 1000orum Pa2 Tres] 3 Lo3 etiam] autem Ko, quod G resultant] resultatus Ca compositis] numeris compositis Lc Ko, apositis Mu3 sic 445 appositionem] appositiones Lo2 quemcumque] quelibet Lo4 articulorum] om. Wo, post predictorum transp. G P2 Va10, post trium transp. Lc Mu3 Be Lo3 D1 Es predictorum] supradictorum H 620 8 Además, como en este arte presente no se realizan procedimientos más allá de la cantidad de los números sólidos56, se distinguen en total 9 límites para cada uno de los números por separado57. En efecto, el límite es la ordenación continua de los números contenidos en márgenes acotados de una misma naturaleza, de donde el primer límite es la continua progresión de los 9 dígitos; el segundo, en cambio, de los nueve artículos principales; el tercero de las centenas; el cuarto de los millares. Son tres los límites que resultan de acuerdo con la aposición de dígitos en los compuestos sobre cualquiera de los tres artículos antedichos, también si algún otro a otro se 56 Es decir, aquellos números compuestos (por oposición a los primos) que tienen divisores que a su vez son compuestos. 57 En este párrafo Sacrobosco explica los límites de los números, es decir, los distintos órdenes del sistema decimal. Tales órdenes son infinitos, pero Sacrobosco los acota y describe nueve, esto es, desde la unidades hasta las centenas de millón, que serían el último límite; aunque veremos que él mismo sabe que podría haber un décimo límite y quizá más. 621 69 trium, et si alter alteri preponatur. Sed per finalis termini rationem ex millenarii receptione supra se quocumque alio precedente, semel per modum quadratorum aut bis per modum solidorum resultat penultimus et limes ultimus. DE RADICUM EXTRACTIONE IN NUMERIS QUADRATIS450 Radicem numeri quadrati extrahere est proposito aliquo numero radicem eius quadratam invenire si numerus propositus fuerit quadratus, si vero non sit quadratus, radicem maximi 451/465 Radicem – illo] Coment. II, 641/654 446 et] ut Mo En Fi2 Mu2 D1 Va8, etiam Mu3 preponatur] totus tamen numerus erit in illo limite add. H, sed pars add. Mu3a, del. Mu3c Sed] post replicationem transp. Fi2 Mu2 per finalis] perficialis Ma sic finalis] finalem Ko Pa8 Ca 446/447 termini rationem] terminationem Mu3 Lo2 446 termini] om. Y1, rationi add. P2 447 rationem] respicionem Lo3r ex – receptione] respectu ex millenarii receptionem G, ex millenarii Lo2 Y1, ante receptione praem. Y1 millenarii] millenarum W1 H receptione] repetitione S, post se transp. Lo2 se] om. Ma 447/ 448 quocumque – precedente] om. S, post semel transp. G Va10, post solidorum transp. Lc Ko Ma Mo En Fi2 Mu2 Wo Be Lo3 Pa2 Mu5 Va8 Pa8 447 quocumque] om. Mu3 448 precedente] etc. add. Ma, numero add. Mo semel] om. D1 S, simul Lo2 modum1] om. S aut] vel Ko, iter. Mu5 449 resultat] resultant Lo4 Ma Es Pa8 penultimus] primus Ca et limes] om. Maa, add. Mam et] om. P2 Ca limes] ante et praem. Lo4 H Mo En Fi2 Mu2 Be Lo2 Va8 S, post ultimus transp. D1 Es ultimus] ultimes Lc 450 De radicum extractione in numeris quadratis Lo4 Mu2 G Lo3, de numeris quadratis W1 Va10, tit. om. Lc H En Mu3 Lo5 Pa7 Ox7 Pa2 Lo2 Mu5 Y1 Pa8, quid sit radicem quadrati extrahere Ko, sequitur de radicum extractione in numeris (om. Mo) quadratis Ma Mo, spatium tituli vacuum reliquerunt Fi2 Wo Va8 Ca, de extractione radicum in numeris quadratis P2, de radicum extractione et primo in numeris quadratis Be, de extractione numeri quadrati D1, de radicum extractione in quadratis Es S 451 Radicem] radix Ca numeri quadrati] quadrati numeri H Y1, post extrahere transp. Lo5 numeri] post extrahere transp. Sa quadrati] om. Pa8 extrahere] om. Maa, add. Mas, post est transp. Mo Ca proposito] om. Ox7 452 quadratam] om. Lo5, quadratum Mo numerus] om. Lo5 452/453 propositus – quadratus1] quadratus fuerit propositus Ca 452 propositus] om. G Lo5 Pa7 Ox7 Mu3 453 fuerit] fuit Lc, sit G Lo5 Pa7 Ox7 Wo Mu3 D1 Es, est Lo3, concise add. Mu5a, precise add. Mu5c vero] numerus add. G sit] fuerit Ma Va10 Lo2 Va8 Pa8 quadratus2] tunc add. Fi2 Mu2 maximi] proximi Mo En Mu2 G 622 9 antepusiera58. Pero según la razón del término final, desde la repetición de los millares sobre sí mismos, precediéndoles cualquier otro número, bien una sola vez a la manera de los cuadrados, bien dos veces a la manera de los sólidos, resulta también penúltimo el último límite59. EXTRACCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS Extraer la raíz de un número cuadrado es, propuesto un número cualquiera, encontrar su raíz cuadrada si el número propuesto fuera cuadrado; mas si no es cuadrado, encontrar la raíz del cuadrado máximo 58 Es decir, estos límites se agrupan en conjuntos de tres: unidades, decenas y centenas, que pueden ser de millar, de millón, etc. Al poner un dígito en la casilla anterior de cualquiera de las decenas, se genera la centena y así se cierra el grupo de tres. 59 Con esta última frase Sacrobosco reconoce que pueden sumarse límites a los nueve descritos si consideráramos los millares como cantidades que se pueden multiplicar entre sí. Si así ocurriera, elevando el millar al cubo obtendríamos 1.000.000.000, lo que haría que el límite último fuera el décimo haciendo del noveno el penúltimo. 623 70 quadrati sub numero proposito contenti invenire. Si velis igitur radicem alicuius numeri quadrati extrahere, scribe numerum 455 illum per suas differentias et computa numerum figurarum, utrum sit par vel impar. Si par, incipiendum est operari sub penultima, si impar, ab ultima; et ut breviter dicatur, semper ab impari ultima incipiendum est. Sub ultima igitur figura in impari loco posita inveniendus est 460 quidam digitus, qui ductus in se deleat totum suprapositum 454/459 Si – est] cfr. Alchor. I (p. 182, 4/12), cfr. Pulver. (p. 182, 3/8), cfr. Dixit Algor. 14 (p. 96, 1325/1334) 457/458 Si – penultima] cfr. VILLAD., Carm. 200/203 460/469 Sub – potest1] cfr. Ysagog. (p. 52, 16/24), cfr. FIBON., Abac. 14 (p. 353-354) 460/465 Sub – illo] cfr. Alchor. I (p. 182, 12/29, p. 183, 1), cfr. Pulver. (p. 182, 8/25), cfr. Dixit Algor. 14 (p. 96, 1334/1339), cfr. VILLAD., Carm. 162/168 454 sub – contenti] deest Wo mutilo folio sub] om. Pa2a, add. Pa2s numero] uno Pa8 proposito] proximo Mu3 contenti] om. Y1 S, contento Mu3, contingere Lo2, radicem add. Ox7 invenire] reperire Va10, recipere Lo2 454/455 Si – alicuius] deest Wo mutilo folio 454 velis] post igitur transp. H Mo En Fi2 Mu2 Lo5 Ca, post quadrati transp. Be Lo3 igitur] vero Lo2, ergo S 455 radicem – quadrati] quadratam radicem alicuius numeri Pa7 Ox7, radicem quadratam alicuius numeri G Lo5 Mu3, alicuius numeri radicem quadratam Mu5, radicem alicuius numeri quadrati Y1, alicuius quadrati numeri radicem S numeri] om. Be Lo3, post quadrati transp. Es Lo2 S quadrati] quadratam Mu2 Pa2 Va8 Pa8, numeri add. H extrahere scribe] deest Wo mutilo folio extrahere] invenire Be Lo3 Pa8, extrahatur Mu3a 455/456 numerum illum] illum numerum Lo5 Ca, numerum Mu3 456 suas] duas H Ga Mu5, s. Ma sic differentias] d. Ma sic et computa] deest Wo mutilo folio 457 sit] fuerit Be Lo3 impar] impar Mu2a Lo5 operari] post penultima transp. G Mu3 Ca 457/458 sub – semper] om. En 457 sub] om. Y1a, add. Y1s 458 penultima] ultima figura Lo5, om. Ox7 spatio relicto si – ultima] om. Fi2 impar] par Lo5 Esa ab1] sub Lc Ko Ma G Y1, a Lo5 ultima] penultima Lo5 dicatur] dicam Ox7 semper] post ultima transp. Lo2 459 impari] post ultima transp. Lc Lo4 H Ko G Mu3 Be Lo3 D1 Es Ca ultima] om. Lo5, figura add. Pa7 Ox7 incipiendum est] om. En, post semper transp. Mo Fi2 Mu2, incipiendum est operari Fi2 Ox7 Be Lo3, est incipiendum Va10 S, incipiendum Va8 Y1 Ca 460 ultima igitur] om. Be igitur] post figura transp. Lo3 figura] om. Lo5, post impari transp. Ca in] om. Fi2 Lo5 Pa7 P2 Lo3a Va8 S Pa8 Ca, add. Lo3s, illo add. Lo2 impari] pari Lo4 loco posita] om. Ca inveniendus est] debet inveniri Lo5 461 ductus] digitus Ma Y1 se] semel add. Mu5 totum] om. Es suprapositum] sibi add. G Pa7 Va10 Lo2 Y1 Ca 624 0 inmediatamente inferior al número propuesto. Por tanto, si quieres extraer la raíz de algún número cuadrado, escribe aquel número en orden según sus diferencias y computa el número de figuras si es par o impar. Si par, hay que empezar a operar bajo la penúltima; si impar, desde la última y, para decirlo brevemente, siempre hay que empezar desde la última impar60. Bajo la última figura puesta en lugar impar hay, pues, que encontrar cierto dígito que multiplicado por sí mismo quite todo lo que está por encima 60 Es decir, deberíamos empezar por las unidades de millón, si las hubiera, si no por las decenas de millar, o por las centenas. Es decir, el mayor orden del sistema posicional que, contando órdenes desde las unidades, se encuentre en tercer, quinto, séptimo, etc. lugar. 625 71 respectu sui, vel in quantum vicinius potest. Tali autem digito invento et a superiori subtracto, duplandus est ille digitus et duplatum ponendum est sub proxima figura anteriori versus dextram et eius subduplum sub illo. Quo facto inveniendus est 465 quidam digitus sub proxima figura ante duplatum qui ductus in duplatum deleat totum suprapositum respectu duplati, deinde 465/474 Quo – inventi] cfr. Alchor. I (p. 183, 1/12), cfr. Pulver. (p. 182, 25/29, p. 183, 1/9) 465/469 Quo – potest1] cfr. Dixit Algor. 14 (p. 96, 1339/1342), cfr. VILLAD., Carm. 168/172 462 respectu sui] sibi W1 Ko Lo5 Ox7 Mu3, ante suprapositum praem. W1 Lo5 Mu3 sui] om. Esa, add. Ess, ipsius add. Lc vel] tamen Y1 in] om. Ko Mu5 Y1 Pa8 quantum] quanto Ko Be Lo3 potest] est Ca, ut prius add. Ca 462/469 Tali – potest1] om. Lca, add. Lcm 462 autem] om. Y1, igitur Ko G Pa7 Ca, ergo Lo5, tamen Mu3 digito] post invento transp. Lo2 463 subtracto] protracto Lo5, extracto Ox7 ille] om. Mu3 463/465 et2 – subduplum] ex hac igitur duplatione aut excrescat digitus aut articulus aut numerus compositus si digitus ponendus est sub proxima figura versus dextram si articulus ponatur cyfra sub proxima figura versus dextram et ponatur articulus in loco in quo fuit figura duplanda su autem numerus compositus ponatur digitus qui est pars illius digitus compositi sub proxima figura versus dextram et articulus ut prius et ordinetur sub duplum sub cyfra vel sub digito numeru duplati H, ex tali duplatione excrecet (excrescit Fi2) digitus aut articulus aut numerus (om. Fi2) compositus si digitus ponendus est sub proxima figura anteriori versus dextram et eius subduplum sub eo si articulus ponenda est ciphra sub proxima figura et articulus ponatur in loco unde duplatus recessit si numerus compositus ponatur digitus sub proxima figura et articulus sit in loco unde duplatum recessit et eius subduplum sub eo Fi2 Mu2, et articulus sit in loco unde duplatum recessit et eius subduplum sub eo add. Mu2 463/464 et duplatum] om. Fi2 464 duplatum] duplatus Mo Mu3 ponendum est] ponendum Lc En, ponendus est Mo D1, ponendus Mu3, est ponendum Mu5 ponendum] , post sub proxima] iter. W1 sub] prima add. Y1 proxima] prima Mu3 figura] post anteriori transp. Lc anteriori] anterioris Mu3 464/465 versus dextram] om. Lo5 465 dextram] om. Mu3 et] om. Mu5 eius] om. Lo5, iter. Wo subduplum] om. Mu3, iter. Pa2a illo] ipso Lo4, eo Mo En G Pa7 Ox7 P2 Pa2 Lo2 Mu5, duplo Lo5 465/466 Quo – figura] om. Fi2a, add. Fi2m 465 Quo] hoc G Lo5 Pa7 Ox7 Wo Be D1 Es inveniendus] iter. W1 est] om. Wo Lo2 466 quidam] om. Mu5 digitus] om. Pa7 Mu3, clius H sic sub] prima add. Y1 duplatum] duplatam En Fi2 Mu3 466/467 qui –  duplatum] om. Mo Be 466 ductus in] iter. Lc 467 duplatum] duplatam En Fi2 Mu2 deleat] debeat Y1, sibi add. D1 Esa suprapositum] est add. Ca, vel in quantum vicinus potest tum add. Lo5 respectu] om. Mo duplati] vel in quantum vicinus potest add. En Fi2 Mu2 P2 Va10a Mu5 467/469 deinde – potest1] om. En 467/468 deinde – sui] om. Ma 626 1 respecto a él, o todo lo cerca que sea posible. Una vez encontrado tal dígito y restado al superior, hay que duplicar aquel dígito y poner este doble bajo la siguiente figura anterior hacia la derecha y su mitad, bajo este. Hecho esto, hay que encontrar un cierto dígito bajo la siguiente figura anterior a lo duplicado que, multiplicada por este doble, quite todo lo que está por encima 627 72 ductus in se deleat totum suprapositum respectu sui, vel in quantum vicinius potest. Vel potest ita subtrahi digitus inventus ut ducatur in duplatum vel duplata et postea in se, deinde illa 470 duo producta simul addantur, ita quod prima figura ultimi producti addatur ante primam primi producti, secunda prime et ita deinceps, et simul subtrahatur a totali numero respectu digiti inventi. 469/487 Vel – preponatur] Coment. II, 654/665 468 totum] numerum add. Fi2 Mu2 suprapositum] om. Mu2 sui] ipsius add. Lc 468/469 vel – potest1] om. Lo5 Be Lo3 468 vel] om. Fi2a Wo, add. Fi2s 468/469 in quantum] quanto Lo2 Y1 468 in2] om. G 469 vicinius] om. Ox7a, add. Ox7s potest1] et iterum duplandus est ille digitus et duplatum ponendum est sub proxima figura et eius subduplum sub eo add. Fi2 469/474 Vel – inventi] om. Fi2 Mu2 469 potest2] om. Mu3, post ita transp. Va10 ita] sic Mo digitus] clius H sic, ultimo add. Lo4 Ox7 Mu3 Ca inventus] om. Mo 470 vel] in add. Lo4 H Ko Ox7 Va8 duplata] su plura sunt add. G et] om. H Ma En P2 Be Lo3 Es Pa2 Mu5 Pa8 se] semet ipsam Be Lo3 deinde] tamen add. S illa] om. Mu3 471 duo] om. Ox7 Be Lo3 Mu5, 2 Y1 producta] iungantur add. Ca simul] iter. Maa, post addantur transp. Y1, foris add. Lo2 addantur] iungantur G Pa7 Ox7 Wo Va10c Mu5, coniungantur D1 Es 471/472 ita –  addatur] om. H 471 ita] tamen add. En 471/472 figura – addatur] om. En 471 figura] om. Mo 472 producti1] om. Lo2 addatur – producti2] om. G addatur] om. Va10, ponatur Lc H, addatur vel ponatur Mu5 ante] in Lo2 primam] iter. Maa primi] om. Lo2 producti2] et add. G P2 Be Lo3 prime] om. P2a, add. P2m, secunde G Ox7 Mu3, primi Mu5 473 ita] om. H, sic Lo4 Ko simul] om. Lo5, similiter Es, semel Va8 subtrahatur] subtrahantur Lc Mo En Es totali] tali Mu3, toto Y1 numero] primi add. Mu3 respectu] om. Mu3 Lo2, ipsius add. Lo5, illius add. Lo2 digiti] om. Lo4, ultimo add. G 474 inventi] om. Lo5, quo subtractio duplandus est digitus nec ultimo inventus et duplatum ponendus est sub proxima figura versus dextram ut dictum est et suum subduplum sub ipso et anterioretur primum duplatum cum subduplo suo si locus proximus versus dextram sit vacuus si autem articulo duplati ibi fuerit tunc addatur prima figura primi duplati articulo autem duplati et anterioretur articulus primi duplati si fuerit ei articulus add. H 628 2 respecto a lo duplicado, y, después, multiplicado por sí mismo, quite todo lo que está por encima respecto a este, o todo lo cerca que sea posible. O bien puede restarse así el dígito hallado: se multiplica por lo duplicado o los duplicados y después por sí mismo, luego se suman conjuntamente ambos productos, de forma que la primera figura del último producto se sume a la que está antes de la primera del primer producto, la segunda a la primera y así el resto, y que juntas se resten del número total que está sobre el dígito hallado. 629 73 Si autem contingat quod non possit aliquis digitus inveniri, 475 tunc ponenda est cyfra sub cyfra sub tertia figura anteriori et anteriorandum est primum duplatum cum suo subduplo. Nec cessandum est a tali digiti inventione, nec a digiti inventi duplatione, nec a duplatorum anterioratione, nec etiam a subdupli sub duplo positione, donec sub prima figura inventus 480 fuerit quidam digitus, qui ductus in omnes duplatos deleat totum 475/477 Si – subduplo] cfr. Alchor. I (p. 190, 2/10), cfr. VILLAD., Carm. 184/187 477/483 Nec – potest] cfr. VILLAD., Carm. 176/177 475 autem] ita add. Lc quod] post anteriorationem praem. H, post anteriorationem add. Fi2 aliquis digitus] digitus aliquis En, ante non praem. Wo Va10 Lo2, post inveniri transp. D1 Es digitus] om. Mu3, post inveniri transp. Mu5 inveniri] post anteriorationem add. W1 Lc Lo4 H Va8m Pa8 Ca 476 tunc] om. Mo En Fi2 Mu2 D1 Es, non Ca ponenda est] ponenda esset Mu3, ponenda Lo2 cyfra1] 0 H Ox7 sub cyfra] om. H En Ox7 Wo Mu5 S cyfra2] 0 H 476/477 sub2 –  subduplo] om. Lo5 Pa7 476 sub2 – figura] om. Fi2a, add. Fi2m tertia] proxima Ox7, 3 H, 3ª Lo3 S, post figura transp. Lc anteriori] om. H Mo En Fi2 Y1, anteriorati Lo4, anterioris Mu3, versus dextram add. Lc H 476/477 et – subduplo] om. Ox7 477 anteriorandum – subduplo] anterioranda sunt duplanda cum suis subduplis H est] om. Ko Pa8 duplatum] duplatam Ca, ante primum transp. Mu5 cum] om. Mu3 suo] om. Mo En D1 Es subduplo] duplo Ma, et si iterum contingat quod ex duplatione digiti sit articulus vel numerus ponatur cifra vel digitus sub proxima figura et dupla ponatur cum articulo unde recessit add. Fi2, et si iterum contingat quod ex duplatione digiti sit articulus vel numerus compositus ponatur 0 vel digitus sub proxima figura et duplata ponatur cum articulo unde recessit add. Mu2 478 est] a tali anterioratione nec a add. Es tali] talis Lc Ma Mo Wo Es Ca digiti1] om. Lo5, digitus Lo2 478/479 nec – duplatione] om. Ma 478 nec] et Lo2 a2] om. Mu5, tali add. G Lo5 Ca inventi] om. Lo5, inventione Caa 479 duplatione] nec a duplatione add. P2 a1] om. Lo3 duplatorum] duplationis Ko anterioratione] anteriorande Mu2a etiam] om. Ma Mo En Fi2 Mu2 Mu3 Be Lo3 D1 Es Va8 S Pa8 Ca a2] om. Mu5 480 subdupli] dupli En, subduplatorum G Lo5 Pa7, duplatorum Ox7, duplatarum Mu3, vel subduplorum add. Va10 sub duplo] om. W1 G Lo5 Pa7 Ox7 positione] om. G Lo5 sub2] om. Lo5a, add. Lo5m prima] proxima Va8 figura] om. Mu2 Lo2 480/481 inventus fuerit] fuerit inventus Lc, inventus fuit Ox7, inventus sit Mu3 Be Lo3 481 quidam] om. Ko, ante fuerit praem. Lo2 omnes duplatos] omnia duplata Lc, omnes duplatas Mo En Mu2 Pa7 Ox7 S deleat] debeat Ca totum] om. Fi2a Pa2a, add. Fi2m, add. Pa2s, numerum add. Lo5 630 3 Si en cambio ocurriera que no se pueda encontrar dígito alguno, entonces hay que poner un cero bajo el cero bajo la tercera figura del anterior y hay que atrasar el primer doble con su correspondiente mitad. Y no hay que cesar de hallar tal dígito, ni de duplicar el dígito encontrado, ni de atrasar los dobles, ni tampoco de poner bajo el doble su mitad, hasta que bajo la primera figura haya sido hallado un dígito tal que, multiplicado por todos los 631 74 suprapositum respectu duplatorum, deinde ductus in se deleat totum respectu sui, vel in quantum vicinius potest. Quo facto aut aliquid erit residuum aut nichil. Si nichil, constat quod numerus propositus fuit quadratus, et eius radix est 485 digitus ultimo inventus cum subduplo vel subduplis, ita quod preponatur. Si vero aliquid fuerit residuum, constat quod numerus propositus non fuit quadratus, sed digitus etc. est radix maximi quadrati sub numero proposito contenti. 484/489 Quo – contenti] cfr. Alchor. I (p. 184, 12/25), cfr. Pulver. (p. 184, 1/13), cfr. Dixit Algor. 14 (p. 96, 1349/1353) 484/487 Si – preponatur] cfr. Pulver. (p. 184, 10/13), cfr. VILLAD., Carm. 188/191 487/489 Si –  contenti] cfr. VILLAD., Carm. 194/195, Coment. II, 667/670 482 suprapositum] suppositum S duplatorum] duplatarum En Mu3, duplati Pa2 deinde] postea Lo5 ductus] post se transp. Mu5 deleat] debeat Ca 483 totum] suprapositum add. Lc Lo4 H Ko G Pa7 Ox7 Wo D1 Es Va10 Y1 sui] ipsius add. Lc vel – potest] ante deinde praem. Lo5 in quantum] quanto Lo2 S, iter. Mu2a potest] om. Mu3, si vero digitus non poterit inveniri sub prima figura tunc ponenda est cifra sub prima add. Lc 484 Quo] hoc Lo5 Pa7 Ox7 D1 Es aliquid] post erit transp. Mo G S erit] est Mu5 Y1 485 propositus – quadratus] quadratus fuerit (numerus add. Lo2) propositus Lo2 Y1 propositus] non add. Esa, del. Esc fuit] fuerit W1 Lo4 H P2 D1 Va8, sit G, est Pa2 eius] post radix transp. Pa7 Ox7 radix] om. Fi2 Mu3 est] fuit Be Lo3 486 digitus] ante radix praem. Y1 inventus] vel add. Fi2 cum] tum Y1 vel] cum add. Mo Va10 Y1s subduplis] duplis Y1 487 preponatur] om. Ca Si vero] om. Ca vero] om. Lo5 Pa7 Ox7 Mu3, autem G D1 Es aliquid] om. W1 Lo4 Ma Pa2 Y1, post fuerit transp. Mo Fi2 Mu2 P2 Va8 Ca 488 propositus] om. Lc fuit] fuerit W1 Lo4 H G P2 D1 Y1 quadratus] sed superficialis add. Va10a, del. Va10c sed] et Mo 488/489 digitus – contenti] etc. Fi2, om. Mu2 488 digitus] vero add. Ca etc] om. Lo2 Y1, et tamen Pa8, ultimo inventus vel cifra cum subduplo vel subduplis add. Lc, ultimo scilicet inventus add. Ko, cum subduplo vel subduplis add. G, et add. Mu3, sed add. Mu5, ulrimo inventus cum subduplo vel subduplis tunc add. Va10, tunc add. Y1 radix] post maximi transp. Ca, post quadrati transp. Be Lo3 489 maximi] maxi Pa7 numero proposito] posito numero Pa8, quadrati add. Pa8a, del. Pa8c proposito] proximo D1 632 4 dobles elimine todo lo que está por encima respecto a dichos dobles, luego multiplicado por sí mismo elimine todo lo que está encima respecto a él, o todo lo cerca que sea posible. Hecho esto, habrá o no un resto. Si no lo hay, queda constancia de que el número propuesto era cuadrado, y su raíz es el dígito encontrado al final con su mitad o mitades, de tal forma que se antepongan. Pero si hubiera resto, queda constancia de que el número propuesto no era cuadrado, sino que el dígito etc. es la raíz del cuadrado máximo inmediatamente inferior al número propuesto. 633 75 Si velis igitur probare utrum bene feceris necne, multiplica 490 digitum ultimo inventum cum subduplo vel subduplis per eundem digitum cum subduplo vel subduplis, et redibunt eedem figure quas prius habuisti, si nichil fuerit residuum; sed si aliquid fuerit residuum, tunc cum additione illius residui redibunt eedem figure que prius fuerunt.495 des. Pa7 DE RADICUM EXTRACTIONE IN NUMERIS CUBICIS Sequitur de radicum extractione in numeris cubicis, unde videndum est quid sit numerus cubicus, et que sit eius radix, et 490/495 Si – fuerunt] cfr. Alchor. I (p. 194, 16/20), cfr. Dixit Algor. 14 (p. 96-8, 1353/1360) 490/493 Si – residuum] cfr. VILLAD., Carm. 192/193, Coment. II, 665/667 493/495 sed – fuerunt] cfr. VILLAD., Carm. 196/199, Coment. II, 670/674 497/513 Sequitur – potest] Coment. II, 732/748 490 velis] post igitur transp. H Mo En Fi2 Mu2 Lo5 Pa7 Be Lo3, post probare transp. Va10 Lo2 igitur] om. Ox7 Y1 S Pa8, ergo Lc utrum] si Be Lo3 D1 Es, quod Va8 necne] om. Va8, vel non Ca 491 ultimo] om. Pa2a, add. Pa2s subduplis] id est ducatur radix in se semel add. H, et redibunt heedem [sic] figure add. Mu3a, del. Mu3c 491/493 per –  habuisti] add. P2r 491/492 per – subduplis] om. Mo En Mu2 Wo Be Lo3 Va10 Y1 S Ca 492 cum – subduplis] om. G Ox7 cum] om. Lc et] om. Fi2 eedem] om. G, post figure transp. En 493 habuisti] habuistis Lc 493/494 sed – residuum] om. Mo En Lo2 493 sed si] si vero G, si Lo5 D1 Es Ca 494 fuerit residuum] om. Mu3 residui] om. G, reservati exterius in tabula add. Lo5 495 que – fuerunt] om. Lo5, quas prius habuisti Lo4 H Ko D1 Es Va10 Lo2 Y1 S Pa8 prius] post fuerunt transp. En fuerunt] fuerant Ca 496 De radicum extractione in numeris cubicis Lo4 Ko En Fi2 G Lo3, de numeris cubicis W1 Va10, spatium tituli vacuum reliquerunt Lc Wo Va8, tit. om. H Ma Lo5 Pa2 Mu5 Y1 Pa8 Ca, de radicum extractione in cubicis Mo Es, sequitur de radicum extractione in numeris cubicis Mu2 Ox7, deest. Pa7, de radicum extractione numerus cubicis P2, de extractione radicum Mu3, de radicum extractione in numeris cubicis et primo quid Be, de extractione numeri cubici D1, sequitur de cubicis Lo2, de radicum extractione in cubicis numeris S 497/559 Sequitur – cubicis] om. Pa7 497/504 Sequitur –  est1] om. Fi2 Mu2 497 Sequitur – extractione] radicum extractio Ca radicum] radicis Mu5 cubicis] sicut patet ex predictis add. Lo4a, del. Lo4c 498 quid] quis Pa8 et1] om. Lo5 que sit] deest Wo mutilo folio que] quid Ma Be Lo3 Mu5, etiam add. Lo5 sit2] om. Lo4 Va10 Lo2 eius] om. Lc Be Lo3, post radix transp. H Ko G Mu5 Y1 Ca radix] numeri cubici add. Lc Be Lo3 634 5 Si quieres probar si lo has hecho bien o no, multiplica el último dígito encontrado con su mitad o mitades por el mismo dígito con su mitad o mitades, y volverán las mismas figuras que antes tenías si no hubiera resto; si lo hubiera, en cambio, entonces con la suma de este resto volverán las mismas figuras que antes había61. EXTRACCIÓN DE RAÍCES CÚBICAS Sigue la extracción de raíces en números cúbicos, donde hay que ver qué es un número cúbico, qué es su raíz y qué es extraer la raíz cúbica. Un 61 Para una explicación desarrollada del procedimiento empleado para extraer raíces cuadradas, remitimos al apartado correspondiente del estudio dentro del capítulo sobre los contenidos de la obra. 635 76 quid sit radicem cubicam extrahere. Est igitur numerus cubicus, sicut patet ex predictis, qui provenit ex ductu alicuius numeri bis 500 in se vel semel in suum quadratum. Radix numeri cubici est ille numerus qui ita bis ducitur in se vel semel etc. Unde patet quod numerus cubicus et quadratus eandem habent radicem, sicut superius dictum est. Radicem autem cubicam extrahere est numeri propositi radicem cubicam invenire si numerus 505 propositus sit cubicus; si vero non sit cubicus, tunc radicem 499/504 Est – est1] cfr. VILLAD., Carm. 210/212 499/501 Est –  quadratum] cfr. FIBON., Abac. 14 (p. 378) 499 sit] om. H Mu5 radicem] om. Mu3, radicis Mo, radici Ca cubicam] om. Lo5 Lo2, cubica Mu3, numeri cubici Y1, cubici S Est] post cubicus transp. Lo5 igitur] om. Lo5 Y1 numerus] post cubicus transp. H Ko D1 Es 500 sicut] ut Y1 alicuius numeri] om. Ko alicuius] om. Ma Mo En Va8 Pa8 500/501 bis – numeri] om. Ca 501 vel] et Mu3 quadratum] quod idem est add. Lc 501/502 Radix – etc] om. Ox7 Lo2, etc. Pa8 501 Radix] autem add. G cubici] om. Mo, et add. Ca ille] om. Va10 502 ita] om. G, vel Mu3, post bis transp. S bis] post ducitr transp. Lc H D1 Es Va10 ducitur – semel] semel in se ducitur Mu3, vel praem. Mu3s ducitur] ductus Ma Mu3, post se transp. G Mu5 etc W1 Enm Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es Pa2 Va8 Y1 S Ca, in suum Lc, in suum quadratum Lo4 H Ko G Lo5 P2 Va10 Mu5, in suum quadratum praem. Ma Es, in praem. Mo quod] omnis add. En Be Lo3 503 numerus] om. Be Lo3 cubicus – quadratus] quadratus et cubicus Lc Lo5 P2 Be Lo3 et] est Ko Lo2 eandem] post habent transp. Lo4 H Be Lo3 503/504 sicut – est1] ut supradictum est Lo2 504 superius] supra Ma, ante Lo5, prius Wo Pa8 dictum] om. Mu3 est1] om. D1 504/508 Radicem – invenire] om. Y1 504 autem] om. G Pa8 cubicam] om. Lo5, cubitum Ox7, cubitorum Lo2, cubici S, post extrahere transp. Mu3 Mu5 est2] om. Ox7 505 numeri] suam Ma sic, post propositi transp. Mu5 propositi] proponi Ox7 cubicam] om. Be Lo3, post invenire transp. S invenire] extrahere Pa8a 505/506 si – cubicus1] om. H 505 numerus] cubicus add. Caa, del. Cac 506 propositus] om. Mu3, post cubicus transp. Lo2 sit1] om. Lo2, fuerit Lc Ko Ma Fi2 Mu2 G Be Lo3 cubicus1] om. H Mu3, in ras. Esc si – cubicus2] om. Lo3a, add. Lo3s, sin autem G, nam si numerus propositus sit cubicus Va8 vero] om. Ox7 sit2] fuerit Ko Be Lo3 tunc] om. Va8 radicem] numeri cubici add. Lc, cubici add. Ko Ma Mo Fi2 Mu2 Lo5 Wo Be Lo3 Pa2 Va10 Pa8, cubicam add. En G P2 D1 Es Mu5 S Ca 636 6 número cúbico es, como es evidente por lo dicho antes, el que proviene de la acción de multiplicar un número cualquiera por sí mismo dos veces o una vez por su cuadrado. La raíz de un número cúbico es aquel número que se multiplica de esta forma dos veces por sí mismo etc. De donde queda patente que un número cúbico y uno cuadrado tienen la misma raíz, como se ha dicho más arriba. Extraer la raíz cúbica, por tanto, es encontrar la raíz cúbica de un número propuesto si el número propuesto es cúbico, pero si no fuera 637 77 extrahere est maximi cubici sub numero proposito contenti radicem invenire. Proposito igitur aliquo numero cuius radicem cubicam velis extrahere, primo computande sunt figure per quartas, sive per 510 loca millenariorum, et sub loco ultimi millenarii inveniendus est quidam digitus, qui ductus in se cubice deleat totum suprapositum respectu sui, vel in quantum vicinius potest. Quo facto triplandus est ille digitus, et triplatum ponendum est sub proxima figura tertia versus dextram et subtriplum sub triplo. 515 Deinde inveniendus est quidam digitus sub proxima figura ante 509/513 Proposito – potest] cfr. VILLAD., Carm. 215/222 513/548 Quo –  prius] Coment. II, 755/785 513/520 Quo – potest] cfr. VILLAD., Carm. 223/232 507 extrahere est] est extrahere Fi2, extrahere P2, post cubici transp. Ox7 est – cubici] om. Ca maximi] numeri add. H cubici] ante extrahere praem. W1 numero] post proposito transp. Pa8 contenti] contempti H 508 radicem] om. Fi2 Mu2 Be Lo3a, add. Lo3s, cubicis add. Mo, cubicam add. Ox7 Wo D1 Es, cubicam praem. Mu5 invenire] cubicam add. G, ante contenti praem. Mu3 509 aliquo] post numero transp. Mu5 Pa8 cuius] cui Fi2 cubicam] post extrahere transp. Mu3 510 figure] om. Pa8, ante sunt praem. Wo quartas] quas Mu3, quadratas Ca per2] om. Mu3 511 loca] numerorum add. Mu5 millenariorum] 1000rius H, vel per ternarios add. Fi2 Mu2 et] om. Lo5 Ox7 Va10 Lo2 Mu5 sub] figura qua est add. Lo2 loco] post millenarii transp. Ox7 Va10 ultimi] om. Pa8, ultima G, ultimo Lc Ox7 Va10 Y1, ante loco praem. Lc Y1, post millenarii transp. Va8, et loca add. Lo5, igitur add. Ox7 millenarii] om. Lo4, 1000rii H, millenario Ox7, vel sub prima figura ultimi ternarii quod idem est (valet Fi2) add. Fi2 Mu2 est] om. Ca 512 totum] numerum add. Lo5 513 suprapositum] om. Mu3 respectu sui] om. Lo5 in quantum] quantum En G Lo5 Pa2 Mu5, in quanto Lo2, quanto Y1 vicinius] om. H, primus add. Y1 potest] est Lc, sit Y1 Quo] hoc Lo5 Ox7 514 triplandus] iter. W1 ille] om. H, post digitus transp. Lc Wo Y1 digitus] et ex tali triplicatione aut erit di. aut ar. aut numerus compositus add. Fi2, et ex tali triplatione etc. add. Mu2 triplatum] triplandus Mu3, platum Pa8a, post ponendum est transp. Lo5 ponendum est] ponendus D1, ponendum Pa8 514/515 sub proxima] om. W1 515 proxima – tertia] tertia proxima figura Lo4, proxima figura H, figura proxima tertia En, proxima tertia figura G y1, tertia figura proxima Lo3 Lo2 S, tertia figura proximi Mu3 proxima] prima Pa8, post dextram transp. G 515/516 tertia – figura] om. Ko 515 tertia] om. P2, 3ª Lo3 S, respectu illius figure sub qua erat digitus add. Ca et] eius add. Lc Ox7 Be Lo3, suum add. Lo4 H subtriplum] eius add. P2 Lo2, ponendum est add. G sub] iter. Pa2a triplo] eo G Ox7 P2 Be Lo3, ipso Mu3, eo triplo Mu5, ductus in triplatum add. Maa, del. Mac 516 Deinde] postea Lo5 est] om. Wo figura] om. D1 638 7 cúbico, entonces extraer la raíz cúbica es encontrar la raíz del cubo máximo inmediatamente inferior al número propuesto. Por tanto, propuesto un cierto número cuya raíz cúbica quieres extraer, primero hay que contar las figuras de cuatro en cuatro, o según las posiciones de los millares, y, bajo la última posición de los millares hay que encontrar cierto dígito que, multiplicado por sí mismo cúbicamente quite todo los que está por encima respecto a él, o todo lo cerca que sea posible62. Hecho tal, hay que triplicar aquel dígito y hay que poner lo triplicado bajo la próxima figura tercera hacia la derecha y su tercera parte bajo el triple. Después, hay que encontrar cierto dígito bajo la próxima figura ante el triple 62 Para empezar a operar, como siempre, es necesario poner las figuras en sus casillas correspondientes. En este caso, se comenzará por la unidad de millar, de millón o de millar de millón; o lo que es lo mismo, por la cuarta, séptima o décima figura empezando a contar desde la derecha. 639 78 triplatum, qui cum subtriplo ductus in triplatum, postea sine subtriplo ductus in productum, deleat totum suprapositum respectu triplati, deinde ductus in se cubice deleat totum suprapositum respectu sui, vel in quantum vicinus potest. Hoc 520 facto triplandus est ille digitus iterum, et triplatum ponendum est sub proxima figura tertia ut prius, et eius subtriplum sub eo. Postea anteriorandum est primum triplatum cum suo subtriplo per duas differentias. Deinde inveniendus est quidam digitus sub proxima figura ante triplata, qui cum subtriplis ductus in triplata 525 520/526 Hoc – etc] cfr. VILLAD., Carm. 233/238 517 triplatum1] triplata En qui – triplatum2] om. Lc P2 qui] est add. Mu3 cum] om. Mo Mu3, tamen Pa8 subtriplo] subduplo Pa8, vel subtriplis add. Es 517/518 in – ductus] om. Lo5 Ca 517 triplatum2] productu Mu5a, triplata Mu5c, postea sine subtriplo ductus in triplatum add. Bea, del. Bec 517/518 postea – productum] om. Ma 517 postea] deinde Lo4 H Ko D1 Es sine] om. Mo 518 productum] productus Mu3 suprapositum] om. Lo2 Va8 519 respectu – totum] om. Lo4 triplati] triplatorum Ma Lo2, duplati Pa2 520 vel – potest] om. Lo5 vel] om. Pa8 in quantum] quanto Y1 vicinus potest] etc. Mu3 vicinus] vicini Va10c Hoc] quo Fi2, autem add. W1 Lc Lo4 H Ko Mo En Mu2 Be Pa2 Va8 Pa8 Ca 521 est] numerus add. Maa, del. Mac ille] om. Lo2, iste Es, post digitus transp. Mu5 Y1 iterum] om. Lo5 Mu3 Ca, numeri H Lo4 et] om. Mu5, tunc Ca, si ex triplatione digiti excrescit digitus aut numerus compositus add. Fi2, iterum add. Be Lo3 triplatum] post ponendum est transp. Fi2 Lo5 D1 Es 521/522 ponendum est] ponendum Lo4 En, ponendus est Ma Lo3, ponendus Mu3 522 proxima – tertia] tertia figura proxima En G, tertia figura Mu3 Mu5 tertia] 3 H, 3ª Be Lo3, tertia anteriori add. Lc, versus dextram add. Wo Lo2 ut prius] om. Lo4 H Lo5 Lo2 et – eo] om. Ca eius] om. Lo5 subtriplum] triplatum H, subtripla Lo2 eo] triplo Lo5, ea Lo2, et add. Fi2 Mu3 523 Postea] om. Fi2, et Wo, vero add. Pa8 primum] om. Be D1 Es Lo3a Mu5, add. Lo3m, post triplatum transp. Lo5 triplatum] triplum Lo2 suo] om. Fi2 Lo5 D1 Es Lo2, post subtriplo transp. G subtriplo] articulo Fi2 524 duas] suas Lo4 Ko Ox7 Be Lo3 Va8 Y1, 2 H Es differentias] et subtriplum ponatur sub eo add. Fi2 est] om. Wo digitus] om. Lc 525 proxima] prima post figura transp. Mu3 triplata1] triplatam H En Lo5, triplatum Ma Fi2 G Lo2 Mu5 Va8 Y1 Ca, tri. Mu2 sic 525/526 qui – etc] om. Lo2 525 qui] om. Mu3 cum] est Pa8 subtriplis] om. Lc, subtri. Fi2 sic, subtriplo Mu2, subtriplicis Ox7, subduplus Y1, triplis Ca ductus – triplata2] om. Va10 triplata2] tri. Fi2 Mu2, triplato Y1 640 8 que, multiplicado con su tercera parte por el triple y luego sin el tercio por el producto, quite todo lo que está por encima respecto al triple; luego, multiplicado por sí mismo cúbicamente, quite todo lo que está por encima respecto a este, o todo lo cerca que sea posible. Hecho esto, hay que triplicar aquel dígito de nuevo, y hay que poner este triple bajo la siguiente figura tercera como antes, y su tercio bajo este. Después, hay que atrasar el primer triple con su tercio dos diferencias. Luego, hay que encontrar cierto dígito bajo la siguiente figura delante los triples, que, multiplicado junto con los 641 79 etc. Nec cessandum est a tali digiti inventione, nec a digiti inventi triplatione, nec a triplati anterioratione per duas differentias, nec a subtripli sub triplo positione, nec a tali multiplicatione, nec a tali subtractione, donec perventum sit ad primam figuram, sub qua inveniendus est quidam digitus, qui 530 cum subtriplis etc., deinde ductus in se cubice etc. Notandum etiam quod productum proveniens ex ductu digiti inventi cum 526/531 Nec – etc2] cfr. VILLAD., Carm. 243/244 526 etc] om. Y1, et (om. G Lo5 Ox7 Mu5) postea sine subtriplis ductus in productum (producta G) deleat totum suprapositum respectu triplatorum deinde ductus in se cubice deleat totum suprapositum (om. Lo5 D1 Es Mu5) respectu sui vel in quantum (quanto D1) vicinus potest G Lo5 Ox7 D1 Es Mu5, si autem aliquis digitus post anteriorationem inveniri non possit ponenda est ciphra sub ciphra sub quarta figura (versus dextram add. Mu2) et anteriorande sunt figure ut prius add. Fi2 Mu2 est] om. Lc Ca tali Ox7 S, talis W1 Lc Lo4 H Ko Ma Mo En Fi2 Mu2 G Lo5 P2 Wo Mu3 Be Lo3 D1 Es Pa2 Va10 Lo2 Mu5 Va8 Y1 Pa8 Ca 526/527 nec – triplatione] om. Lo4 Ox7 526 a2] tali add. Ca 527 triplatione] 3ne H 527/528 nec – differentias] post positione transp. Lc 527 nec] vel Lo3 triplati] triplatione vel triplatorum Fi2, 3ti H, triplici Mu5 S 527/528 anterioratione – subtripli] om. Pa2a, add. Pa2m 527 anterioratione] post differentias transp. S 527/528 per – differentias] om. Mo 527 duas] suas Lo4 Ko Ox7 Y1 Ca, 2 H Ma Lo3 Pa2 528 subtripli] subtriplici Wo, post triplo transp. Lo5, etiam add. Es sub] om. Ox7 Lo2 triplo] om. Ox7 529 nec – subtractione] om. Lo4 Mo En Fi2 Mu2 tali] om. D1 Es perventum sit] perveniatur W1 Lc Lo4 H Ko, perventum fuerit G Be Lo3 Y1, fuerit Mu3 ad] sub Mo 530 primam] 1 H, talem Y1a, primam post figuram transp. Y1c figuram] om. Lo2 qua] om. Mu3, et ei add. Lo2 inveniendus est] est inveniendus Ko 531 cum] om. Mo, est Pa8 subtriplis] subtriplicis Ox7, subtriplo Lo2 etc1] om. Pa8, ductus in omnia triplata praem. Lc, ductus in triplata (et add. Ox7) deinde (postea Lo5 Ox7 Mu5) sine subtriplis (subtriplicis Ox7) ductus in productum (producta Ox7a) deleat totum suprapositum respectu triplatorum G Lo5 Ox7 Wo D1 Es Mu5, et est add. Pa8 deinde – etc2] om. Wo cubice] om. Ma Mu3 Pa2, ante deinde praem. Lo2 etc2] om. En, deleat totum suprapositum G Lo5 Ox7 D1 Es, deleat totum Mu5, et vero si digitus non poterit inveniri sub prima tunc ponenda est cifra sicut dictum est in quadratis add. Lc, si vero nullus digitus inveniri potest sub prima figura ponatur cyfra ne ulterius procedat operatio add. Lo5, et add. Ox7 Notandum] est add. Mo Wo Va8 532 etiam] om. Ox7 productum] productus Mu3, dicitur add. Ox7 proveniens] veniens D1, eveniens Y1 ductu] om. Va8, ductione Ma, productu Y1, post inventi transp. D1 Es 642 9 tercios por los triples, etc. Y no hay que dejar de hallar tal dígito, ni de triplicar el dígito encontrado, ni de atrasar los triples dos diferencias, ni de poner el tercio bajo el triple, ni de hacer tal multiplicación, ni de hacer tal resta, hasta que se haya llegado a la primera figura bajo la que hay que encontrar cierto dígito, que con sus tercios, etc., luego multiplicado por sí cúbicamente, etc. Y hay que notar que el producto que proviene de la acción 643 80 subtriplo vel subtriplis in triplata et postea sine subtriplo vel subtriplis in productum, et iterum productum proveniens ex ductu digiti inventi in se cubice, possunt addi et simul subtrahi a 535 totali numero supraposito respectu digiti inventi, et idem est ac si fiat divisim. Hoc facto aut aliquid erit residuum, aut nichil. Si nichil, constat quod numerus propositus fuit cubicus, et eius radix est digitus ultimo inventus prepositus subtriplo vel subtriplis. Que 540 radix si ducatur in se et postea in productum, erunt eedem figure 538/542 Hoc – prius] cfr. VILLAD., Carm. 246/249 533 subtriplo1 – subtriplis] subtriplis vel subtriplo Lo4 subtriplo1] triplo sub Lc in triplata] om. Ena Es, add. Ens in] et D1 triplata] om. Fi2, productum Mu2a D1 Lo2, triplatum vel triplata Lo5, etc. add. G 533/ 534 et – productum1] om. Fi2 Mu2 Lo2, etc. Be Lo3 D1 533 et] om. Mo 533/534 postea – subtriplis] etc. post productum transp. Es 533 postea] illud productum proveniens ex ductu digiti inventi add. P2 533/534 subtriplo2 – subtriplis] subtriplis vel subtriplo Mu5 533 subtriplo2] triplo Va8 534 subtriplis] ductus add. G Mu5 productum1] producta Ma et iterum] om. Fi2a, add. Fi2m et] om. Mu5 iterum] om. Es, numerum idem G, numeri Lo2, illud add. Lo5 Ox7 P2 D1 Es Mu5 Va8 proveniens] om. Ox7, quod provenit G Lo5 Wo D1 Es Mu5, veniens S, quod proveniet Va8 535 inventi] om. Lo4 in – cubice] om. Mo in] inter D1 535/536 se – numero] om. Ca 535 possunt] potest Mu3 addi] post simul transp. Lo2 et] vel Ko simul] om. P2a Be Lo3, add. P2m, insimul Lc 536 totali] quolibet Ma, tali Mu3 numero] in add. Mu3 supraposito] om. Lo4 H Ko Fi2 Mu2, proposito Lc G, supradicto Ena D1 Es, subposito Lo2 digiti] post inventi transp. Mu3 et] iterum add. Lc, etiam add. G ac] om. Lo5 D1 Es 537 divisim] divisio W1 Y1, divisum H, ut iam patefactum est add. Ko G Lo5 Ox7 P2 Wo D1 Es Va8, ut iam patet vide est add. Mu5 538 Hoc] autem add. Lc Ma Mo En Mu2 Pa2 Va10 Mu5 Va8 Pa8 Ca facto] autem add. Ox7 aliquid] om. W1 G, post erit transp. S erit] est Mu5 nichil1] non Ca 539 constat quod] tunc Mo numerus] ille add. Y1 Pa8 propositus] om. Pa8 fuit] fuerit H Ma G D1 Es Pa2 Y1, erat Be Lo3, sive Mu5, post cubicus transp. Pa8 cubicus] om. Lc eius – est] est radix eius Ma est] om. Mu5 540 ultimo] post inventus transp. Ca prepositus] preposito Lc, proponendus Mu3, fuit cubicus add. Ca, cum add. Lo4 H Ox7 Mu5 S subtriplo –  subtriplis] subtriplis G Lo5 Ox7 Mu3 D1 Es, subtriplo Mu5 540/544 Que – contenti] iter. Lc 540 Que] qui Lo2 541 si] maximi add. Maa, del. Mac ducatur] om. Lo2, primo add. Be Lo3 in se] om. Y1, ante si ducatur praem. Mu5 productum] et add. Mu3 erunt] om. Ca, redibunt Lc, emergent Lo2 eedem] om. Mu3 644 0 de multiplicar el dígito hallado con su tercio o sus tercios y después sin el tercio o tercios por el producto, y de nuevo el producto que sale de la multiplicación del dígito encontrado por sí mismo cúbicamente, pueden sumarse y luego restarse todo junto al número total puesto por encima respecto al dígito hallado; es lo mismo que si se hiciera una división. Hecho esto, habrá o no un resto. Si no lo hay, queda constancia de que el número propuesto era cúbico y su raíz es el último dígito hallado antepuesto con su tercio o sus tercios. Dicha raíz, si se multiplicara por sí misma y 645 81 que prius. Si vero aliquid fuerit residuum constat quod numerus ille non fuit cubicus, sed digitus ultimo inventus cum subtriplis est radix maximi cubici sub numero proposito contenti. Que radix si ducatur in se et postea in productum, emerget ille 545 maximus cubicus sub numero proposito contentus, et si illi cubico addatur residuum reservatum in tabula, erunt eedem figure que prius. Si autem aliquis digitus post anteriorationem inveniri non possit, ponenda est cyfra sub cyfra sub quarta figura versus 550 542/548 Si – prius] cfr. VILLAD., Carm. 250/258 549/551 Si – figure] cfr. VILLAD., Carm. 259/266 542 Si vero] si autem Ma Mo En Fi2 Mu2 P2 Pa2 Va8 S Pa8 Ca, sed si Be Lo3, si Va8 aliquid fuerit] affuerit Lo4 sic, fuerit aliquid Mu5 fuerit] sit Y1 residuum] reservetur illud exterius in tabula et add. Lo5 Wo D1 Es Va8, reservetur exterius in tabula et add. Ox7 constat] om. Ko spatio relicto numerus] propositus add. Ko S, post ille transp. G Lo5 Ox7 Wo Be Lo3 D1 Es Mu5 543 ille] om. Ko S non] om. Ca fuit] om. Ca, fuerit G D1 Mu5 Y1, erat Lo5 sed] si Mu5 ultimo inventus] ultimus Mu3, inventus est ultimo Mu5 subtriplis] subtriplo vel subtriplis W1 Lc Lo4 H Ko Va10, post contenti transp. Lc 544 est] ex G, erit Va8, post radix transp. Lo5 maximi] omnis Mu3, mixtum D1, numeri add. Mu5 sub] uno add. Lc proposito] propositi Mo 545 radix] cum subtriplo vel subtriplis add. G Be Lo3 ducatur] dicatur Ox7, primo add. G Be Lo3 et] om. Be Lo3 emerget] emergit Mu3, emergent Y1 ille] om. W1 Lo4 H Lo5 Ox7 Mu3 D1 Es Va10 Y1, numerus add. Be 546 maximus] maximis Y1, post cubicus transp. Ma Mo G P2 Be Lo3 Pa2 Mu5 Va8 Pa8 Ca cubicus] cubus Es numero] post proposito transp. Lc proposito] om. Wo et] sed S si] om. Lo4 Ma Mu3 Pa8 illi] ille Lc 547 cubico] cubo Lc, cubice Y1 addatur] aliud add. Ca residuum] om. En, exterius add. Lc reservatum] observatum Mu5 tabula] tabulis W1 Fi2, et add. Ox7 Mu3 erunt] iter. Ma 548 figure] om. Y1 que prius] que prius fueriunt Lc Lo5 Ox7 Wo Mu3 D1 Es Va10 Lo2, quam prius Mu3, quas prius habuisti Lo2, et add. Lo5 549/557 Si –  predicto] om. Fi2 Mu2 549 autem] om. Lo5 aliquis] om. Y1, post digitus transp. En post anteriorationem] post possit transp. S post] potest D1 inveniri] post possit transp. G Lo5 Be Lo3 550 possit] poterit Ox7, potest Mu3 Va8, tunc add. W1 Lc Lo4 H Ko Lo5 Ox7 Wo D1 Es Va10 ponenda – cyfra1] ponenda cyfra est Lo2 ponenda est] est Mu3, ponenda Va8 cyfra1] 0 H Ox7 S cyfra2] 0 H Ox7 S 550/551 sub2 – dextram] om. Ox7 550 quarta] 4ª H Be Lo3, tertia Lo5 D1 figura] om. D1 Es, respectu illius figure sub qua erat triplatum add. Ca 550/551 versus dextram] om. Lo5 Mu3 646 1 después por el producto, resultarán las mismas figuras que antes. Si hubiera, sin embargo, un resto, hay constancia de que aquel número no era cúbico, sino que el último dígito hallado con sus tercios es la raíz del cubo máximo inmediatamente inferior al número propuesto. Dicha raíz, si se multiplicara por sí misma y después por el producto, resultará aquel cubo máximo inferior al número propuesto, y si a este cubo se le añadiera el resto reservado en la tabla, resultarán las mismas figuras que antes63. Si, por el contrario, no pudieras encontrar dígito alguno tras la acción de atrasar, hay que poner un cero bajo otro cero bajo la cuarta figura hacia la 63 Remitimos al apartado correspondiente a las raíces cúbicas en el capítulo sobre los contenidos de la obra para una explicación extensa del procedimiento descrito por Sacrobosco. 647 82 dextram, et anteriorande sunt figure. Notandum etiam quod, si in numero proposito non sit aliquis locus millenarii, incipiendum est operari sub prima figura. In hac autem radice extrahenda solent quidam distinguere numerum propositum per ternarios, et semper incipere operari sub prima figura ultimi 555 ternarii sive completi sive incompleti. Qui modus operandi idem est cum predicto. Et hec de radicum extractione sufficiant tam in numeris quadratis quam cubicis. 551/557 Notandum – predicto] Coment. II, 786/791 551 et] om. Mo sunt] om. Lo2 figure] om. Es, ut prius add. Lc Mo En Ox7 Va10 Lo2 S, per duas differentias add. Lo3m 551/553 Notandum –  figura] om. Y1 551 Notandum] sit add. G, est add. Lo2 Va8 Ca etiam] om. H Lo3 Va10 Va8 Ca, autem Mu3 552 in] om. Mu2a Pa8, add. Mu2s proposito] predicto Ox7 sit] est G aliquis] alicuius Lo2, post locus transp. Ca, post millenarii transp. Lo2 millenarii] millenarius Ox7, tunc add. Ox7 553 operari] om. Lo5 Lo3 Lo2 sub] a Mu5 prima] 1 H autem] om. Lo5 D1 Es, et in Mu3 554 extrahenda] extrahende Pa8 solent] solebant W1 Lc Lo4 H Ko, solet Be, post quidam transp. Mu5 distinguere] extinguere Mu5, post ternarios transp. D1 Es propositum] om. Ma Lo5 Ox7 Mu3 555 ternarios] 3os H, millenarios Mo semper] om. En, sic Lo2, solent add. En incipere] incipiendum est Ma Ox7, incipe D1 operari] om. G Be Lo3 Lo2 sub] a Mu5 S ultimi] om. Y1, illa Va8 556 ternarii] 3rii H, millenarii Mo, sive ternarii add. Mos completi – incompleti] completi Ox7, cumplecti sive incomplecti Ca sic operandi] om. Pa8 idem] post est transp. Lo2 Mu5 557 est] om. H cum predicto] om. D1 cum] om. Lo5, modo add. Lc predicto] supradicto Lc, prius Ca 558/559 Et – cubicis] om. Y1 558 hec] hoc S radicum] radicis Mu5 extractione] dicta add. Mo Ens Mu3 Va10 sufficiant] om. Lo2, ante de radicum praem. Lo5 Ox7 558/559 tam –  cubicis] om. Mu3 558 tam] om. Fi2a, add. Fi2m 559 quadratis –  cubicis] cubicis quam quadratis Fi2 Va10 quadratis] om. Ca quam] in add. Lc Mo G Lo5 Mu3 Va10 Mu5 Va8 Pa8, in numeris add. Lo4 cubicis] explicit algorismus add. H D1 Pa2 Lo2 Mu5 Y1 Pa8 Ca, etc. explicit algorismus add. Ma, explicit practica aritmetice add. Fi2, hic liber est scriptus qui scripsit sit benedictus add. P2, explicit algorismus et cetera amen add. Mu3, finit algorismus add. Es, explicit add. Lo5, amen add. Be 648 2 derecha y hay que atrasar las figuras. Y hay que notar que, si no hubiera posición de millares en el número propuesto, hay que empezar a operar bajo la primera figura64. Por otra parte, en esta raíz que hay que extraer, algunos suelen dividir el número propuesto por grupos de tres, y siempre se empieza a operar bajo la primera figura del último terceto, ya esté completo o incompleto. Aquí la forma de operar es igual que la antedicha65. Y que esto baste para la extracción de raíces tanto en los números cuadrados como en los cúbicos. 64 Tras la explicación de la extracción de raíces cúbicas y su prueba, el autor incluye aquí de manera anómala estas dos advertencias al respecto de la extracción de las raíces cúbicas: qué ocurre si tras atrasar las figuras no es posible hallar un número que elevado al cuadrado sea igual o inferior al que tiene por encima y qué hacer si, al empezar a operar, el número propuesto no cuenta con posición de millar. Esta anomalía estructural podría responder a una inserción posterior de estas consideraciones a una obra ya acabada, una adición que podría responder al propio Sacrobosco. 65 En lugar de pensar en contar la cuarta figura desde el principio, Sacrobosco menciona que, algunos, prefieren separar el número en grupos de tres y comenzar la operación por el primer número del último terceto, es decir, por las unidades de millón, si hubiera millones, por las unidades de millar o por las unidades. En realidad es una forma de referirse a lo mismo, pues el inicio de la operación siempre se daría en el mismo lugar. 649 EL ALGORISMUS Algorismus: consideraciones finales En esta segunda parte de la presente tesis hemos analizado el Algor. de Sacrobosco desde distintos puntos de vista. Para ello, primero hemos hecho un recorrido sobre los tratados que estudian el algorismo en lengua latina; después hemos estudiado la estructura, contenidos y fuentes del Algor.; a continuación la posteridad de la obra; su tradición manuscrita con la consiguiente elaboración de un stemma codicum y las ediciones anteriores. A ello sigue nuestra edición del Algor. con su traducción castellana, que consideramos la parte nuclear de este bloque. Desde que en el s. XII se tradujera la obra de al-Khwarizmi, el interés por el sistema de numeración indoarábigo desencadenó la creación de una serie de tratados que versaban sobre el algorismo, siendo el primer eslabón el De numero Indorum, actualmente perdido. De esta obra descenderán tratados como el Liber Alchorismi, que a su vez sirvió de inspiración para el Carmen de algorismo escrito por Villadei (ca. 1200). Tanto el Liber Alchorismi como el Carmen de algorismo se revelan como fuentes fundamentales para la composición del Algor., una obra cuya principal innovación será la ordenación de los materiales que ya tenía a su disposición. En este proceso, es probable que Sacrobosco buscara inspiración en las exégesis existentes del Carmen, como el Comentario II (cfr. su edición en el Apéndice III), puesto que uno de sus principales objetivos al escribir el Algor. fue probablemente el de ofrecer un apoyo teórico a dicho Carmen matemático que ya estaba en circulación. Además de estos trabajos sobre el algorismo, en el Algor. encontramos la presencia de otras auctoritates, como Euclides y Boecio, a los que Sacrobosco cita en unas ocasiones verbatim y en otras reelabora sus postulados para adaptarlos al contenido de la obra. Su éxito, ya comentado en la primera parte de la tesis, fue rotundo. Ello se aprecia tanto en la influencia e interés del Algor. en las centurias que siguen como en el número de copias manuscritas, de lo que hablaremos a continuación. La fama del Algor. hizo que fuera un manual susceptible de ser comentado y glosado, como demuestran las más de veinte exégesis localizadas compuestas desde el s. XIII, pero con especial protagonismo en el s. XV. En ellas a menudo vemos comentarios de profesores universitarios sobre el Algor., cuyo uso está específicamente destinado a la docencia. En este ámbito, igual que en las traducciones, hemos detectado una producción destacable en la zona de habla germana, donde es probable que se empleara esta obra como manual básico para la enseñanza de la matemática. En este apartado también incluimos algunas obras que parecen íntimamente relacionadas con el Algor. pero que no pueden calificarse como comentarios por carecer de citas y menciones explícitas, si bien su dependencia parece segura. Además, contamos con influencia sacrobosquiana en otros autores, concretamente en Vicente de Beauvais, Juan Gil de Zamora y Jacobo de Lieja; conviene advertir que todos ellos son autores del mismo s. XIII o principios del s. XIV, lo que de nuevo demuestra una rápida expansión de la obra sacrobosquiana con ecos muy tempranos, si no contemporáneos. En cuanto al número de copias manuscritas conservadas, como ya decíamos en la primera parte de la tesis, se cuenta por cientos. De entre ellas, conservamos en la actualidad 113 códices copiados en el s. XIII. Por ello, en el estudio de su tradición hemos hecho una selección de códices para su análisis, tomando en consideración los manuscritos antiquiores y, por tanto, que con menor probabilidad han sufrido la corrupción que presenta la tradición posterior en una transmisión masiva e hipercontaminada. Esta opción nos ha permitido reducir el número de testimonios para colacionar a 79 códices. Tras su colación y cotejo, conforme con la metodología estemática, hemos puesto de relieve las relaciones genealógicas existentes entre ellos y hemos elaborado un stemma codicum que permite apreciar de forma esquemática su genealogía. Dicho 650 Consideraciones finales: segunda parte stemma se divide en cinco ramas, siendo con mucho la más prolífica la familia α1. En este proceso, hemos advertido que la principal característica que rige la tradición textual del Algor. es la fluidez de su texto, con abundantes relaciones horizontales, interpolaciones y códices cuya adscripción plena a una sola familia es imposible por contener un texto del todo heterogéneo. Esta contaminación, que permea la totalidad de la tradición textual estudiada, parece que sigue su curso en el s. XV hasta llegar a las ediciones impresas. En efecto, desde finales del s. XV la tradición manuscrita del Algor. es prácticamente sustituida por la tradición impresa. Contamos con 21 ediciones impresas que hemos listado y descrito, y cuyos textos presentan síntomas indudables de esa tradición horizontal comentada. Al colacionar los textos de algunas de estas ediciones, hemos podido señalar ciertas relaciones entre ellas, donde destaca la aparente nula descendencia de la edición de Florencia (1486-90) frente al éxito del texto de la edición de Estrasburgo (1488) e incluso, aunque en menor medida, de la de Venecia (1501). Además, a tenor de las ediciones elaboradas en Cracovia, se aprecia un gran interés por el Algor. en esta ciudad, lo que concuerda con el hecho de que su universidad fuera famosa precisamente por el estudio de la matemática, una disciplina para la que el Algor. constituye un manual básico y accesible. Desde estas ediciones impresas hay un gran salto de tres siglos hasta las primeras ediciones que podríamos considerar modernas. La primera de ellas es la compuesta por Halliwell (1839) a partir de un solo testimonio del s. XV, seguida por la de Curtze (1897), quien empleaba dos ejemplares alemanes de los siglos XIV y XV. La primera y última edición con aparatos con la que contamos es la de F.S. Pedersen (1983), que no estudia la transmisión del Algor. ni las posibles relaciones estemáticas entre códices, y emplea cuatro ejemplares principales para establecer su texto, utilizando como manuscrito base el que en nuestra edición porta la sigla Ko. Como descendiente natural de la tradición manuscrita e impresa del Algor., en el presente trabajo incluimos nuestra edición de este texto, que constituye la parte nuclear de esta segunda parte de la tesis. Para la elaboración de dicha edición, tras colacionar los 79 códices copiados en el s. XIII antedichos y establecer con ellos un stemma codicum, hemos seleccionado 32 testimonios en representación de las principales familias y subfamilias. Con ellos hemos constituido el texto del Algor. que viene acompañado de un aparato de fuentes y loci paralleli, un aparato de variantes y su traducción enfrentada en castellano con notas. 651 CONCLUSIONI GENERALI Prima parte: l’opera di Sacrobosco Ciò che oggi rimane di Johannes de Sacrobosco è un pugno di testimonianze di dubbia veridicità e quattro trattati scientifici di immensa tradizione. Indubbiamente famoso ai suoi tempi, Sacrobosco è considerato, al giorno d’oggi, il nome plausibile di un professore universitario la cui contribuzione alla scienza ha rappresentato una vera e propria rivoluzione scientifica. Della sua vita si sa ben poco con certezza, seppur è possibile dedurre alcuni dati a partire da riferimenti interni dei suoi trattati. Dal Compot. deduciamo che nel 1232 o 1235 il documento era in piena fase di stesura e fu terminato solo alcuni anni dopo: nel 1234 (la data più plausibile), o nel 1244 oppure nel 1256. Dal testo stesso del Quadr. sappiamo che fu composto a Parigi, probabilmente come la Spher., se diamo credito alla testimonianza di Bartolomeo da Parma (cfr. pp. 35-60). Il resto delle ipotesi intorno alla figura di questo misterioso autore non sono dimostrabili, sebbene alcune di esse siano più probabili di altre. Secondo le testimonianze dei secoli XVI-XVIII, nel convento dei monaci maturini di Parigi era stato eretto un tumulo funerario in onore alla memoria di Sacrobosco, dove potevano leggersi alcuni versi che elogiavano il suo lavoro come computista (cfr. pp. 51-4). Questo dato è rilevante in quanto il Compot. non è stato, a tutti gli effetti, l’opera sacroboschiana dalla tradizione più ampia né quella che ha avuto più risonanza nelle scuole europee, almeno non in confronto all’Algor. e alla Spher. Si conservano, infatti, solo 34 manoscritti copiati nel XV secolo e contenenti il Compot., una tradizione che saltò poi alla stampa, dove furono prodotte 35 edizioni tra gli anni 1531 e 1673. È inoltre importante sottolineare che nella maggior parte di queste edizioni il Compot. è praticamente un complemento alla Spher. e che la sua stampa fu dovuta all’impegno di Philip Melanchthon per riformare l’università del XVI secolo con queste opere come libri di testo, piuttosto che a un interesse reale del publico del tempo per questo trattato. Ciò significa che, se la descrizione di un epitaffio di Sacrobosco nel convento dei monaci maturini di Parigi fosse stata un’invenzione rinascimentale, non avrebbero lodato Sacrobosco come un grande computista, ma piuttosto come un noto astronomo o matematico. Pertanto, sebbene l’esistenza di questa tomba sia impossibile da dimostrare materialmente al giorno d’oggi (per la perdita dell’edificio che l’accoglieva), è comunque molto probabile che fosse reale e che presentasse questo epitaffio, a testimonianza del fatto che Sacrobosco venne riconosciuto, in un primo momento, come un grande computista. Sull’origine Anglicus di Sacrobosco, il primo dato che abbiamo è proprio questo aggettivo, che accompagna il nome dell’autore nel Commentum in spheram di Robertus Anglicus (1271). Successivamente, forse a partire da questa o da altre fonti a noi sconosciute, l’informazione viene riproposta nei cenni biografici che chiudono l’edizione della Spher. del 1545, Parigi. Da allora, si è generato un numero infinito di ipotesi riguardo al luogo che diede i natali all’autore, alcune completamente da scartare, come una millantata nascita a Halifax (Leland, ante 1548), e altre che sembrano più corrette, come le possibili origini irlandesi (cfr. la prima testimonianza che lo collega con questa regione: Richard Stanyhurst, 1577, e, soprattutto, il recente studio di Butler, 2014-5, 77-86). A questi dati si sommano altre informazioni raccolte dalle testimonianze veteres e che potrebbero essere plausibili anche se, ancora una volta, non disponiamo né di documenti che le confermino o smentiscano, e né si può fare affidamento, per giudicare la loro veridicità, sulle fonti, sconosciute, che hanno utilizzato. Tra queste, sottolineiamo la possibilità che Sacrobosco 652 Conclusioni generali abbia studiato a Oxford, che fosse chierico o membro della Chiesa e che sia giunto in giovane età a Parigi, città dove rimase fino alla morte e dove fu professore presso l’università. Quanto alla sua opera, come già detto, è costituita da quattro trattati tecnici: Algor., Spher., Compot. e Quadr. Tutti essi sono strettamente legati all’insegnamento del Quadrivium, trattando, rispettivamente, contenuti matematici, astronomici e computistici, ed essendo l’ultimo una sorta di materializzazione di tutti i precedenti: il quadrante, infatti, è uno strumento astronomico utile al calcolo computistico, per il quale è necessario ricorrere all’algorismo (il sistema di calcolo posizionale indoarabico, oggetto dell’omonimo trattato). A eccezione del Compot., scritto nel decennio del 1230, non conosciamo le date di composizione del resto dei trattati né l’ordine della loro pubblicazione. Ciò nonostante, si propone che la Spher. sia stata la prima opera dell’autore, seguita dal Compot. e successivamente dall’Algor., per concludere con il Quadr., probabilmente l’ultimo dei suoi trattati. Questa distribuzione cronologica è fondamentata da diverse ragioni: in primo luogo, nel codice più antico che contiene le prime due opere, la Spher. e il Compot., redattato prima del 1240 (ms. København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 277 fol., n. 270), l’assenza dell’Algor. potrebbe non essere casuale; inoltre, lo stile dell’Algor., è molto più vicino al Compot., la seconda delle opere, che alla Spher., un dato che potrebbe indicare che la sua redazione sia stata immediatamente successiva; e, infine, la data di composizione del Quadr. è sicuramente posteriore al 1239 e la sua comparsa nei codici non anteriore al 1262 (mss. Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 2910-2920, n. 81, e New York, Public Library, Manuscripts and Archives Division, 69, n. 459), per cui la redazione dell’Algor. potrebbe situarsi tra quella del Compot. (ca. 1234) e quella del Quadr. (post 1239). Tutte le opere condividono uno stile chiaro e conciso, consono al loro utilizzo come manuali scolastici e didattici. Inoltre, sebbene del Quadr. non siano ancora elaborati studi esaustivi sulle fonti, consideriamo che segue la tendenza del resto delle opere, nelle quali Sacrobosco accoglie una o più opere di riferimento e le riscrive per riorganizzare i contenuti e creare così libri ben strutturati al fine di facilitare la loro comprensione e lo studio806. La tradizione (s)vincolata dell’opera di Sacrobosco Nonostante Sacrobosco sia un autore noto a coloro che si dedicano alla storia della scienza e/o alla filologia medievale, fino ad oggi avevamo solo studi parziali sulla sua opera. Non esisteva, di fatti, un censimento che raccogliesse le testimonianze esistenti di ciascuna delle sue opere, motivo per cui ci siamo proposti di colmare questa lacuna. Dopo un lungo processo di ricerca di codici negli studi già esistenti sull’autore e sulla sua opera, nei cataloghi delle biblioteche e nelle basi di dati di tutto il mondo, abbiamo raccolto un totale di 710 manoscritti conservati che contengono una o più opere di Sacrobosco. Di ognuno di questi codici forniamo una serie di dati come la descrizione fisica e di contenuto, i fogli o le pagine in cui appare l’opera o le opere di Sacrobosco e una selezione bibliografica. A questo totale si aggiungono altri otto manoscritti di cui si sono perse le tracce e quattro codici oggi distrutti, oltre a una quarantina di testimonianze scartate, ovvero quelle che in alcune occasioni sono state catalogate come copie di una delle quattro opere studiate, ma la cui informazione abbiamo potuto dimostrare essere errata (nella maggior parte dei casi per contenere, invece dell’opera in questione, un commento alla stessa). 806 Per questo motivo, in questa ricerca abbiamo ritenuto opportuno realizzare uno studio specifico di quest’opera per poter offrirne un’edizione critica e la prima traduzione (allo spagnolo) esistente, che presentiamo nell’Appendice I. 653 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Oltre all’interesse che possono suscitare i dati numerici, è rilevante l’analisi della tradizione che ciascuna delle opere presenta nei secoli, poiché ci permette di stabilire tendenze e offre una dimostrazione dell’attenzione che il pubblico di ogni epoca ha prestato ai trattati sacroboschiani. In primo luogo, va notato che il Quadr. ha avuto una tradizione molto minore rispetto al resto delle opere, frutto del rapido avanzamento della tecnologia rispetto alla scienza teorica: in totale sono quindici i codici localizzati che, come vedremo di seguito, nella maggior parte sono legati alla trasmissione congiunta delle opere nel primo secolo di diffusione. Analogamente accade con il Compot., seppur la sua tradizione sia molto maggiore rispetto al Quadr. Quest’opera conta un totale di 86 copie realizzate nel XIII secolo, che si riduce a 74 nel XIV secolo, fino a soli 34 manoscritti nel XV secolo (ossia, il numero di copie diminuisce del 14% e del 54% rispettivamente). Di nuovo, anticipiamo che il numero abbondante di copie del primo secolo è molto legato alla trasmissione congiunta del corpus. Abbiamo poi le tradizioni dell’Algor. e della Spher., che sono praticamente identiche nei secoli XIII e XIV (113 copie dell’Algor. del XIII secolo di contro alle 116 della Spher., e 148 copie dell’Algor. nel XIV secolo di contro alle 142 della Spher.). Questa tendenza cambierà nel XV secolo, dove il numero di copie manoscritte dell’Algor. aumenta dell’8% (160 copie) mentre quelle della Spher. vanno incontro a un incremento di quasi il 40% (198 copie). Questa tendenza nella tradizione manoscritta fa da preludio a ciò che accadrà con le edizioni a stampa: si contano 21 edizioni dell’Algor. tra la fine del XV secolo e la fine del XVI secolo, mentre le edizioni della Spher. salgono a più di 200 tra la fine del XV secolo e il XVII secolo. Con questi dati alla mano, è evidente che la Spher. è stata l’opera di Sacrobosco che è riuscita a perseverare in popolarità più a lungo, anche se il suo interesse nel XIII e XIV secolo era pari a quello dell’Algor. Non a caso, quasi tutte le testimonianze rinascimentali precedentemente menzionate, che rendono conto della vita e dell’opera di Sacrobosco, evidenziano il trattato sulla sfera sopra qualsiasi altra sua produzione. La tradizione manoscritta delle opere di Sacrobosco ha avuto una trasmissione congiunta nel primo e persino nel secondo secolo dalla sua pubblicazione. Come mostriamo nelle conclusioni del censimento dei manoscritti (cfr. specialmente i Grafici 1, 2 e 3), quasi la metà delle testimonianze raccolte nel nostro censimento datate nel XIII secolo si compone dei manoscritti che contengono le tre opere principali di Sacrobosco, alcune addirittura includendo il Quadr. Nel XIV secolo, questa percentuale scende a un quinto e nel XV secolo è quasi irrilevante il numero di codici che contengono le tre opere principali in modo congiunto. Visto in altro modo, nel caso della trasmissione dell’Algor. e della Spher. nel XIII secolo, il numero di testimonianze copiate insieme alle altre opere è pari al doppio del numero di ciascuna di esse copiate singolarmente; nel caso del Compot., i manoscritti copiati insieme al resto delle opere è sei volte maggiore rispetto a quelli dove il Compot. appare da solo. Queste informazioni permettono di collegare direttamente la tradizione delle opere di Sacrobosco nel primo secolo di diffusione con l’idea che si trattasse di un corpus unitario. Nel XIII secolo, pertanto, non aveva tanta rilevanza ciascuno dei trattati separatamente quanto piuttosto il corpus sacroboschiano nel suo insieme, dato che il legame tra questi testi, che motivava la loro trasmissione congiunta, era proprio il loro autore. A questo si aggiunge la concezione olistica delle opere come un vademecum tecnico di discipline affini (sc. quelle costituenti il Quadrivium), che si allontanano l’una dall’altra man mano che avanza la specializzazione di ciascuna di queste aree nelle università. Questi danni permetto ipotizzare un futuro studio complessivo del suddetto corpus. Come è frequente nell’analisi di opere che godono di tradizione congiunta (in forma di corpus) e di tradizione anche individuale, sarebbe interessante elaborare un’analisi completa, almeno, delle tre opere principali di Sacrobosco separatamente per poter confrontare le tre tradizioni e arrivare a conclusioni affidabili al riguardo. Potrebbe risultare particolarmente rilevante la possibilità di integrare in un unico schema le relazioni codicologiche di ciascuna delle opere separatamente, in modo da poter apprezzare quei punti dove la tradizione è completamente unitaria, rispetto a quelli 654 Conclusioni generali dove (con ogni probabilità) può essersi data contaminazione tra esemplari o tra alcune o tutte le opere integrate. Nei secoli successivi il panorama cambia radicalmente. Già nel XIV secolo, il numero di codici nei quali la Spher. o l’Algor. si presentano individualmente è considerevolmente maggiore rispetto a quello dei testi che trasmettono il corpus sacroboschiano nel suo insieme. Questa trasmissione individuale continua a crescere nel XV secolo fino a quadruplicarsi nel caso dell’Algor. e quintuplicarsi nel caso della Spher. il numero di testimonianze dove l’opera appare da sola, rispetto a quelli che contengono le tre opere principali. Si allontana radicalmente da questa tendenza il Compot., che rimane molto legato al corpus e difficilmente viene copiato da solo: nel XIV secolo si contano 43 testimonianze con il corpus di Sacrobosco, di contro alle sole 10 copie del Compot. realizzate separatamente, numeri simili a quelli del XV secolo, con 30 testimonianze del corpus e 12 del Compot. Questi numeri evidenziano la perdita d’interesse nel mantenere unito il corpus sacroboschiano, forse a causa dell’allontanamento sia nel tempo che nello spazio dell’autore e della sua opera. A ciò si aggiunge il fatto che, con l’avanzare dei secoli, le discipline trattate da Sacrobosco hanno guadagnato sempre più una identità propria, generando più trattati individuali e diventando, quindi, più autonome, privilegiando la raccolta nei codici di più opere attorno a un tema. Per tanto, invece del corpus completo, acquistano importanza le opere che de facto continuavano ad essere utili nella loro contemporaneità come materiale propedeutico: l’Algor. e, soprattutto, la Spher., come dimostrano, per esempio, i molti commenti che continuavano a essere prodotti individualmente su ciascuna di esse. In questi casi, ci sarebbe da aspettarsi che i testi di entrambe le opere si separino sempre più dalle forme testuali che apparivano nei manoscritti con il corpus completo, generandosi nuovi errori, come quelli che trasmetteranno le edizioni del XVI secolo che abbiamo studiato nella seconda parte della tesi. D’altra parte, il Compot., pur persistendo nella considerazioni di essere un’opera importante in quanto scritta dall’allora celebre Sacrobosco, è stato relegato nella trasmissione a causa del limitato interesse che suscitava di per sé, dato che i suoi contenuti erano stati da tempo superati. Seconda parte: l’Algorismus Dall’epoca in cui, nel XII secolo, fu tradotto il Kitāb al-ḥisāb al-Hindī (‘Libro del calcolo indiano’), scritto dall’erudito della Casa della Sapienza al-Khwarizmi, l’interesse per il sistema di numerazione indoarabico, e la sua conseguente applicazione matematica, crebbe esponenzialmente fino ai giorni nostri. La prima opera latina discendente da questo manuale di cui siamo a conoscenza, sebbene oggi sia perduta, fu De numero Indorum, un testo dove gli insegnamenti di al-Khwarizmi si erano già fusi in maniera indissolubile con la tradizione scientifica europea, nella quale predominava Boezio. Questa fu la pietra angolare da cui ebbero origine molti trattati sull’algorismo, nome dato a questa nuova arte, con tradizioni che spesso si intrecciano e si influenzano a vicenda. Uno di questi discendenti fu il Liber Alchorismi, un trattato che spiegava in modo conciso e ordinato il sistema di numerazione e le operazioni di base realizzabili attraverso di esso. Quando i sistemi educativi compresero l’utilità di questo sistema, che avrebbe causato una vera e propria rivoluzione scientifica, prese subito piede la necessità di elaborare manuali adeguati allo studio degli alunni. Nacque quindi il Carmen de algorismo composto da Alexandre de Villadei (ca. 1200), che, discendente dal Liber Alchorismi, presentava i suoi insegnamenti in comodi versi leonini per facilitarne la memorizzazione. In questo processo vennero eliminate alcune sezioni, probabilmente perché considerate più difficili per questo primo approccio ai 655 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO numeri «degli indiani», come le frazioni o i numeri inferiori allo zero. Il successo di questo trattato è evidente (cfr. Appendice II): nella sua ampia tradizione non mancano codici glossati, commenti e persino traduzioni in lingue distanti come l’antico islandese807. Qualche anno dopo, forse vedendo la necessità di elaborare un trattato che spiegasse in modo prosaico e al tempo stesso complementasse il Carmen de algorismo, Johannes de Sacrobosco scrisse l’opera intitolata Algorismus. In essa, l’influenza del Carmen de algorismo è evidente: non solo segue la stessa struttura e vocabolario, ma ne cita direttamente anche i versi. È probabile che Sacrobosco si sia ispirato a uno dei commenti già fatti al Carmen de algorismo; in modo specifico, in questa tesi abbiamo identificato quello che abbiamo chiamato Commento II (cfr. infra, Appendice III), un’esegesi fino ad ora sconosciuta e trasmessa in un codice unico parigino la cui connessione con l’Algor. è evidente, al punto che potrebbe essere stata la fonte principale nella sua composizione, rappresentare una fase iniziale nella redazione dello stesso o costituire un antico commento al Carmen in cui sono stati interpolati passaggi dell’Algor. Tuttavia, l’autore non solo si avvalse della poesia di Villadei e, forse, del Commento II per scrivere il suo Algor., ma volse lo sguardo direttamente anche all’opera che era stata fonte del Carmen, il Liber Alchorismi. Da quest’opera, la cui circolazione nella città di Parigi, dove probabilmente fu composto l’Algor., è provata, Sacrobosco estrasse alcune sezioni quasi verbatim, come le definizioni delle operazioni, e altre le rielaborò per renderle ancora più accessibili al pubblico a cui erano destinate: i suoi alunni. In questo processo di copia e rielaborazione di passaggi dal Carmen de algorismo e dal Liber Alchorismi, dovette necessariamente consultare altre opere, come l’algorismo che appare nel codice di Coventry o, almeno, un opuscolo imparentato con esso. Ebbe in mente, inoltre, l’opera di Boezio: sebbene il sapere di questo scienziato tardoantico fosse già integrato nel Liber Alchorismi, Sacrobosco mostra predilezione per il riferimento alla fonte originale, citata in modo diretto. D’altro canto, grazie al lavoro della Scuola dei Traduttori di Toledo del XII secolo, gli scrittori del XIII secolo ebbero modo di accedere a molte traduzioni in latino di autori mai prima volti in questa lingua, come Euclide, di cui Sacrobosco si avvalse per completare la sua opera. Con questo bagaglio e questi precedenti, nell’Algor. è inclusa un’introduzione che precede le nove species essenziali che ogni allievo del Quadrivium doveva conoscere: la numeratio, l’additio, la substractio, la mediatio, la duplatio, la multiplicatio, la divisio, la progressio e l’extractio radicum (in numeris quadratis et cubicis). Con questa struttura, che divide le operazioni secondo la direzionalità del procedimento matematico (sc. da sinistra a destra o da destra a sinistra), sviluppa i contenuti in uno stile semplice e ordinato, accessibile agli interessati del suo tempo. La scelta di questi ingredienti, la loro disposizione didattica e la chiarezza nella presentazione furono essenziali e la chiave del suo successo: l’Algor. fu un’opera ampiamente letta dal momento in cui fu composta nel XIII secolo fino al XVI secolo. La sua tradizione testuale conta 427 testimonianze, superando il centinaio già nel XIII secolo. Gli ultimi testimoni identificati risalgono al XVI secolo, quando furono copiati solo sei codici. Ciò si deve al fatto che dagli ultimi anni del XV secolo la tradizione manoscritta di quest’opera fu quasi completamente sostituita da quella a stampa, per la quale abbiamo localizzato 21 edizioni, le cui relazioni sono studiate per la prima volta in questo lavoro. Come sottolineato, l’uso dell’Algor. si estese soprattutto in ambienti universitari. Buona prova di ciò sono i molti codici che contengono annotazioni e glosse inter lineas, in margine e persino 807 Poiché il Carmen de algorismo si dimostra indispensabile nel processo di elaborazione dell’Algor. e dato che non disponeva di un’edizione soddisfacente fino ad oggi che rendesse conto della realtà del testo poliedrico e mutevole, in Appendice II includiamo uno studio dei contenuti, della tradizione e la prima edizione critica dell’opera. 656 Conclusioni generali intercalate con il testo stesso, ma non solo. L’uso di questo manuale in contesti educativi generò abbondanti commenti, molti dei quali con la nota espressa che indica che fu usato da un maestro universitario in questa situazione, come i commenti del maestro Brucardo, di Nicola Matz, di Enrico Stolberg e del maestro Georgio, ad esempio, tutti del XV secolo (cfr. pp. 325-6). Inoltre, questa abbondante produzione di lectiones indica quali centri o regioni si interessarono ai postulati sacroboschiani in un determinato periodo: in questo caso, possiamo dire con sicurezza che alcuni centri formativi in Germania del XV secolo impiegarono l’Algor. come fonte obbligatoria di studio, dato confermato dalle due traduzioni del XV secolo dal latino al tedesco. È anche possibile tracciare l’importanza dell’opera nel tempo e nello spazio con la tradizione stampata del XVI secolo, dove troviamo una abbondante produzione di edizioni nella città di Cracovia. La tradizione sovrabbondante e contaminata dell’Algorismus Nonostante il successo riscosso dall’Algor. sin dal momento della sua composizione, fino ad ora non ne esisteva un’edizione critica, seppur si contavano, oltre alle edizioni a stampa, i lavori elaborati da J.O. Halliwell (1839), M. Curtze (1897) e F.S. Pedersen (1983). Tuttavia, nessuno di essi si è occupato dello studio della trasmissione del testo, quindi le loro edizioni non possono essere qualificate propriamente come critiche. Halliwell (1839) si limitò a trascrivere il testo trasmesso da un codice del XV secolo di sua proprietà, che probabilmente corrisponde all’attuale London, British Library, Egerton 841 (n. 313 nel nostro censimento). Curtze (1897) e Pedersen (1983), dal canto loro, erano più interessati a studiare il commento di Pietro Filomena di Dacia che il testo commentato, l’Algor. Per questa ragione, sebbene includano nelle loro opere quest’ultimo, si tratta di un elemento secondario rispetto ai loro obiettivi, per cui non prestano la eccessiva attenzione al testo. Curtze (1897) lo costituisce a partire dal manoscritto München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 11067 e, sebbene sottolinea che in alcuni passaggi ha estratto letture da un altro codice della stessa biblioteca, il ms. Clm 14684, non fornisce un apparato critico che mostri quando segue l’uno e quando l’altro. Pedersen (1983), invece, si basa sul codice del XIII secolo København, Det Kongelige Bibliotek, NKS 275ª kvart (n. 272 nel censimento e Ko nella nostra edizione) con alcune letture derivate da Stockholm, Kungliga Biblioteket, X 767 (n. 630), Oxford, Bodleian Library, Bodley 491 (n. 476) e, dalla stessa biblioteca, Canon. Misc. 161 (n. 483). Senza dubbio quello di Pedersen è il lavoro più completo realizzato fino a oggi, soprattutto perché include un apparato, ma il fatto che inserisca nel testo alcune varianti tra parentesi quadre e che aggiunga glosse all’edizione fa sì che il risultato sia una sorta di ibrido dove gli errori si mescolano con le lectiones corrette. Inoltre, in assenza di uno studio della tradizione testuale, Pedersen si affida unicamente al suo giudizio per qualificare ciascuna delle varianti come originale o come innovazione e, di fatto, la sua selezione di codici, così limitata, può a malapena rappresentare gli sviluppi più importanti della tradizione manoscritta. La ragione per cui non è stato svolto prima un lavoro di questo tipo la anticipa F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 147): «The number of extant manuscripts has hitherto prevented critical editing of the text, nor has this been attempted for the present purpose». Infatti, il primo grande problema che abbiamo affrontato per elaborare lo studio stemmatico del testo è che si tratta di un’opera la cui fama ha portato a una tradizione enorme. Alla luce di queste circostanze, con oltre 400 codici conservati e come è obbligatorio in testi la cui tradizione manoscritta supera le varie centinaia di copie, il lavoro di confronto dettagliato di tutti testimoni esistenti dell’opera, come si raccomanda per uno studio di critica testuale in termini ideali, è impraticabile. Come in tipologie testuali simili, la scelta dei codici per la loro collazione è obbligatoria. Il problema metodologico intrinseco è la definizione dei criteri che giustifichino tale scelta, ma il procedimento analitico seguito e l’ampio 657 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO numero di copie esaminate hanno permesso di ottenere risultati che crediamo validi e che cercheremo di esporre in quanto segue. In primo luogo, è stato necessario stabilire una strategia d’azione al fine di scegliere un numero sufficiente di testimonianze per studiare la tradizione dell’opera con criteri coerenti. Per questa ragione, abbiamo fatto affidamento in primis a varie fonti bibliografiche. In primo luogo, abbiamo considerato gli argomenti forniti da Chiesa (2019, 201-21) per analizzare le tradizioni sovrabbondanti. Eliminando fin dall’inizio la possibilità di realizzare un’edizione partecipata perché questo è un lavoro di tesi di dottorato individuale, abbiamo valutato le possibilità elencate dall’autore per effettuare la selezione dei codici, nessuna delle quali, anticipiamo, è perfetta né definitiva: l’approccio cronologico, l’approccio geografico, l’approccio codicologico e i loci selecti. In questo processo, abbiamo optato per selezionare per la collazione i codici antiquiores, cioè quelli scritti nel XIII secolo, assieme ad alcuni dei copiati all’inizio del XIV secolo. La decisione è stata motivata, in prima istanza, da una questione di probabilità. Il fatto che questi testimoni fossero stati copiati prima che la tradizione dell’Algor. compisse il suo primo centenario di trasmissione si traduce in una minore probabilità di passaggi intermedi tra l’originale e la copia. In secondo luogo, perché alcuni di questi codici potrebbero essere stati copiati mentre l’autore era ancora in vita, il che avrebbe privilegiato le loro letture per la possibilità, seppur remota, che potessero essere state corrette dallo stesso. Per ultimo, il fatto di selezionare i codici più antichi dell’Algor. permetterà in futuro di metterli a confronto con la prima tradizione delle altre due grandi opere di Sacrobosco, la Spher. e il Compot., in un momento in cui, come abbiamo visto nelle conclusioni della prima parte, queste opere hanno una tradizione che si presenta principalmente come un blocco unico all’interno dei manoscritti808. Tuttavia, selezionare una serie di codici copiati nel XIII secolo per il loro studio ha comportato alcuni problemi intrinseci. Il primo e più rappresentativo è che le datazioni dei manoscritti non sono di solito precise. A eccezione di alcuni che sono datati dallo stesso scriba o che sono permettono una datazione attraverso dei riferimenti interni delle proprie opere, la maggior parte dei manoscritti che abbiamo collazionato sono stati datati secondo criteri paleografici, il che implica che non abbiamo una data esatta di copia, ma un arco temporale che spesso copre un arco temporale di mezzo secolo o di un secolo intero. Questo ha fatto sì che in numerose circostanze non abbiamo potuto usare la data di copia di un manoscritto come elemento valido per considerare la sua relazione con un altro che trasmette varianti simili. In altre parole, quando abbiamo avuto due testimonianze manifestamente imparentate tra loro, abbiamo dovuto valutare la loro possibile dipendenza attraverso evidenze testuali e, soprattutto, sulla base di errori separativi individuali. Per la selezione dei codici antiquiores, inoltre, abbiamo seguito un criterio geografico aggiuntivo, prestando attenzione ai luoghi di copia e assicurandoci che nella nostra scelta ci fossero esemplari copiati a Parigi o in Francia, sì, ma anche in Inghilterra, Italia, Germania e Paesi Bassi, trattandosi delle regioni che presentano tradizione dell’Algor. nel XIII secolo. Con questo procedimento, ci siamo assicurati di esaminare anche i manoscritti composti in aree più marginali, le cui letture potrebbero essere state più conservative, anche se la realtà della tradizione di quest’opera ha dimostrato il contrario. Poiché l’Algor. ha goduto di una vasta tradizione manoscritta sin dal momento stesso della sua pubblicazione, è possibile identificare errori comuni in esemplari di aree geografiche diverse e lontane tra loro, il che rivela una trasmissione molto rapida e molto estesa nel XIII secolo, e una rielaborazione in centri più lontani, dove la forma 808 Una selezione come quella descritta e attuata nel nostro caso è stata impiegata per l’elaborazione di molte altre opere che, altrimenti, non avrebbero potuto essere pubblicate. A titolo di esempio citiamo gli studi di opere celebri come la Legenda aurea di Jacopo da Varazze (ed. Maggioni, 1998) o i Synonyma di Isidoro di Siviglia (ed. Elfassi, 2009). 658 Conclusioni generali primitiva del testo aveva un assestamento meno stabile. In questo senso, abbiamo osservato che i manoscritti parigini o francesi erano spesso quelli il cui testo era migliore ai fini della critica testuale, il che può forse rivelare un’influenza dell’auctoritas del maestro e dei contenuti delle sue lezioni in questa ubicazione, al fine di controllare o, almeno, coagulare il testo che circolava. Il secondo problema con cui ci siamo confrontati nel corso di questo lavoro è strettamente legato al fatto che si tratta di un’opera la cui tradizione è sovrabbondante, ipercontaminata e conservata in uno stato fluido e mutevole. Infatti, seguendo Chiesa (2019, 204), più abbondante è la tradizione di un’opera, meno probabile è che la sua trasmissione sia stata lineare. Questo risponde a due motivi ovvi. Il primo è che la grande diffusione dell’opera si traduce in un uso massiccio da parte del pubblico e in un consumo accelerato, con una maggiore e più rapida creazione di copie, con la conseguente mutazione del testo: a maggior numero di copie, un maggior numero di errori potenziali. Il secondo motivo è che il fatto che ci fossero molti manoscritti disponibili e accessibili a tutti, fattore che rendeva possibile per una singola persona accedere a più esemplari dell’opera, che potrebbero essere stati confrontati tra loro per la creazione di una singola copia, generando copie collazionate o apertamente contaminate. A ciò si aggiunge che la natura stessa e la finalità dell’opera favoriscono la contaminazione e la rielaborazione. Si tratta infatti di un’opera universitaria, il che implica che diverse persone in un solo luogo e in un solo momento avrebbero avuto in mano lo stesso trattato, facilitando la collazione di molteplici testimonianze e la generazione di copie «miste»: contiamo, ad esempio, con numerose copie parigine del XIII secolo che senza dubbio coesistevano809. La consultazione di più esemplari potrebbe rispondere al desiderio dello scriba (o del cliente) di avere un testo il più completo e affidabile possibile per lo studio dei suoi postulati. Inoltre, poiché veniva utilizzato nell’insegnamento, non sono da scartare le correzioni ope ingenii a partire da ciò che lo scriba ricordava delle sue letture a riguardo. Questi meccanismo sono alimentati, d’altro canto, dalla brevità stessa dell’opera: poiché l’Algor. occupa un numero ridotto di pagine, è facilmente trasportabile, una facilità di maneggio che può contribuire a disporre di più copie contemporaneamente810. Questo carattere legato all’insegnamento è condiviso da altre opere dell’epoca, dove si osservano problematiche, sebbene non identiche, almeno simili. Si verifica, per esempio, in alcuni dei discendenti del De numero Indorum. Tra questi, particolarmente complessa è la tradizione del Liber ysagogarum (Allard, 1992, XLV-LII), la cui difficoltà critica principale risiede nella mancanza di evidenze che permettano di stabilire descripti (cfr. infra al riguardo) e di errori comuni che consentano di raggruppare in famiglie i codici, probabilmente a causa della correzione di questi a partire da altri modelli, ossia per la contaminazione della tradizione testuale. Data l’impossibilità di stabilire uno stemma prototipico a causa di una contaminazione che influenzerebbe già i rami alti della tradizione, Allard opta per la descrizione di cinque famiglie distinte le cui diramazioni superiori rimangono indeterminate. Presentano relazioni complicate anche il Liber Alchorismi e il Liber pulveris (Allard, 1992, LII-LXV). Nel caso di questi testi, si sottolinea il fatto che sembrano discendere in modo indipendente da un iparchetipo comune per poi, successivamente, incontrarsi di nuovo nel corso della loro trasmissione creando così versioni miste, cioè conflationes di entrambe le opere. Un altro trattato con una tradizione molto complessa è il Kalendarium attribuito a Pietro Filomena da Dacia (F.S. Pedersen, 1983, vol. 1, 203-360). Sebbene di natura molto diversa dalle opere precedenti, trattandosi di un calendario, ci sono punti 809 Su questo particolare, si veda Reynolds (1968, 355-72), che dimostra un caso di contaminazione dei Dialogi di Seneca a partire dalla coincidenza di due esemplari a Montecassino nello stesso periodo. 810 Rifiutiamo tra questi elementi che avrebbero facilitato la contaminazione dell’opera il fatto che possa essere stata trasmessa in peciae: nessuna delle testimonianze studiate presenta segni di ciò, probabilmente perché la scarsa lunghezza dell’opera non richiedeva tale sistema. 659 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO della sua trasmissione che sono simili all’Algor.: è un’opera che spesso si muove in miscellanee scientifiche, con una diffusione molto ampia (il numero di codici che raccoglie Pedersen si avvicina al centinaio) e il cui uso sarebbe stato molto abituale e persino quotidiano all’epoca. All’interno di questa enorme tradizione con relazioni difficili da discernere, Pedersen descrive, inoltre, diverse versioni dei canoni che accompagnano il Kalendarium e generano a loro volta testi misti, per contatto tra loro. Questi ingredienti fanno sì che F.S. Pedersen (1983, vol. 1, 302) ricostruisca tre famiglie, la seconda e la terza delle quali nascono direttamente contaminate. La prima di esse, la più numerosa in termini di numero di copie che ha generato, si divide a sua volta in sette sottofamiglie, tutte contaminate in qualche punto. Nel contesto di questa tradizione dove la contaminazione è molto presente, non solo abbiamo rilevato l’usuale impiego di più di un antigrafo per comporre un testo misto con i conseguenti problemi di elaborazione dello stemma che ciò comporta811, ma siamo stati in grado di apprezzare vari aspetti riguardanti le tradizioni contaminate, per cui la tradizione dell’Algor. potrebbe rappresentare un esempio paradigmatico di studio. Una conclusione che si è dedotta dall’analisi di tutto il testo è che nella maggior parte dei casi in cui abbiamo constatato contaminazione deve essersi dato un primo stadio di elaborazione in cui il copista rilevava l’esistenza di una versione alternativa del testo o di un’informazione assente dal suo esemplare che desiderava correggere e, da lì, ricorresse a un altro modello o congeturasse ope ingenii. Di nuovo, questo meccanismo è potenziato dal grande numero di testimonianze esistenti, che in alcuni casi avrebbero dato la priorità alla consultazione di un altro manoscritto rispetto ai tentativi ope ingenii, anche se l’opera non ne è esente. Tali contaminazioni appaiono specialmente nell’introduzione e nelle operazioni più semplici e scompaiono quasi completamente nel capitolo sull’estrazione delle radici quadrate e cubiche, la cui comprensione è oggettivamente più complessa e meno accessibile, e dove il rilevamento di anomalie come stimolo della contaminazione è quindi meno probabile. Ciò invita a un minor numero di interventi sia congetturali che contaminatori. Dinanzi a questo panorama di possibilità, spesso ci siamo trovati di fronte al fatto che il testo più completo e allo stesso tempo comprensibile è in realtà la versione ritoccata di un altro più semplice e, forse, meno brillante stilisticamente ma possibilmente originale. Un caso speciale in cui i copisti hanno fatto ricorso a un altro testo per migliorare il presente è quello della contaminatio ex fontibus. Come sviluppa Delmulle (2018, 1-43) nel suo lavoro relativo ai florilegi, questa è una contaminazione tipicamente medievale, sebbene non frequente, che deriva direttamente dalla fonte, come indica il suo nome, per completare il testo. Nel caso delle antologie e dei florilegi è particolarmente evidente perché si sa, in linea di massima, a quale autore appartiene un determinato estratto. Lo stesso accade quando Sacrobosco cita direttamente altri autori, come Boezio (l. 430), dove i copisti a volte sono spinti a inserire modifiche a partire dal modello letterario. È possibile osservare questo processo anche in quelle occasioni in cui, seppur senza citarlo, la presenza dell’auctoritas è trasparente nel testo di Sacrobosco, come ad esempio nelle prime linee dell’Algor., dove a qualche copista non sfugge che, di nuovo, sta facendo ricorso a parole boeziane (l. 1/2). Più singolari sono quelle occasioni in cui i copisti sembrano aver fatto ricorso spontaneamente alla fonte utilizzata da Sacrobosco. Qui spiccano le aggiunte del manoscritto H e di Ox4 e Ox5 nelle ll. 169/173 dal Liber Alchorismi (cfr. pp. 352-3), dove si assume il passaggio dalla fonte in modo quasi letterale, con l’evidente intenzione di completare l’Algor. In modo simile, nelle ll. 373, l. 377, l. 383 e l. 387 i manoscritti D1, N e Mu4 includono alcuni versi estratti dagli Addenda in Carmen de algorismo (cfr. p. 396). Infine, è importante sottolineare che queste contaminationes ex fontibus nell’Algor. sono un esempio, al tempo stesso, della circolazione di tali fonti nel XIII secolo e a Parigi, luogo di copia dei manoscritti che contengono tali aggiunte (tranne H, con luogo 811 Un esempio di tali problematiche spiegato in dettaglio si può leggere in Chiesa (2016, 55-63). 660 Conclusioni generali di composizione sconosciuto). Di fronte a questi dati, è possibile concludere che Sacrobosco abbia utilizzato sia il Liber Alchorismi sia il Carmen de algorismo per comporre la sua opera a Parigi; una volta pubblicata l’opera, questi trattati avrebbero continuato a circolare in questa regione almeno fino alla fine del XIII secolo, permettendo così ad alcuni copisti dell’Algor. di accedervi per completare il trattato sacroboschiano. Oltre alla contaminazione dalle fonti, l’Algor. è esempio di quella che Guglielmetti (2014, 171-2) definisce «contaminazione iconografica». In questa tipologia, lo scriba copia il testo da un modello che non ha apparato grafico (illustrazioni, tabelle, schemi, ecc.) e prende le illustrazioni da un altro modello che le trasmette. Quando ciò accade, il modello da cui provengono le immagini potrebbe essere utilizzato anche per correggere il testo già trascritto dal primo antigrafo. Nel nostro testo, abbiamo l’esempio di Be e del suo discendente I, senza dubbio un descriptus del precedente (cfr. pp. 401-3). Be è una testimonianza senza apparato grafico, mentre altri manoscritti della stessa sottofamiglia e che presumibilmente sarebbero stati composti nel suo stesso ambiente sì che lo presentavano. I, che aveva avuto accesso secondario almeno a un codice di queste caratteristiche (sc. con i paratesti che mancavano a Be), ha rimediato a questa mancanza includendo nei margini i disegni della sua stessa mano. In questo caso, tale inclusione non ha affatto influenzato il testo contenuto. D’altra parte, potremmo trovare in quest’opera una «contaminazione mnemonica», nuovamente descritta da Guglielmetti (2014, 176-8). Anche se la consideriamo molto più importante nella tradizione del Carmen de algorismo, l’Algor. rimane un testo fatto da e per l’università, dove le lezioni venivano lette, ascoltate e memorizzate. In questo senso, è normale che i copisti fossero gli stessi studenti o membri del sistema educativo dell’epoca: così come avrebbero potuto manipolare un testo sulla somma mal spiegato, allo stesso modo avrebbero potuto intervenire su un passaggio che ricordavano in modo diverso. Questo tipo di contaminazione è difficile da rilevare all’interno dell’Algor., ma potremmo rintracciarsi nella citazione del Carmen de algorismo che troviamo in questo trattato (l. 188/189). In questi tre versi si notano piccoli errori commessi da alcuni copisti che potrebbero essere dovuti al ricordo che gli stessi avevano di quella parte del Carmen. Inoltre, dato che il Carmen è una fonte sicura dell’Algor., se un copista si fosse rivolto a quest’opera, anche solo a memoria, per completare l’Algor., potremmo nuovamente qualificarlo come una sottoclasse di contaminatio ex fontibus, il che è ancor più probabile dato che entrambe le opere condividono, in alcuni codici, la trasmissione. Un altro aspetto rilevante nella tradizione di quest’opera e di altre opere simili è la possibilità che l’autore intervenisse nel proprio testo e che la tradizione, sistematicamente o sporadicamente, conservasse tracce di tali modifiche. Questa opzione si accentua quando l’autore utilizza il suo testo quotidianamente e direttamente, con uno scopo. Qui ci riferiamo all’uso ricorrente che Sacrobosco avrebbe fatto dell’Algor. (e della Spher. e del Compot.) come manuale scolastico da cui insegnare matematica (e astronomia e computistica). In quest’uso costante e quotidiano, potrebbe essersi dato il caso che l’autore perdesse la sua copia personale, forse autografa, o semplicemente che, in un determinato momento, interessato a introdurre alcune modifiche, ne avesse bisogno e non l’avesse a portata di mano, dovendo quindi ricorrere a un esemplare altrui. Al far ciò, e tenendo in considerazione la grande quantità di copie circolanti della sua opera, avrebbe potuto entrare in contatto e assumere qualsiasi testimonianza appartenente ad una delle forme testuali contemporanee. Questa circostanza è frequente nelle rielaborazioni medievali, il che spiega perché i testimoni di redazioni successive di un autore a volte appartengono a rami già deturpati dello stemma della prima redazione (cfr. Reeve, 2017). Se Sacrobosco, inoltre, avesse incluso un’aggiunta manu sua in tale esemplare, avrebbe inserito un’innovazione dell’autore stesso in un manoscritto che, appartenendo a una famiglia determinata, conterrebbe gli errori propri di quella famiglia. Se così fosse, tale esemplare porterebbe, insieme a una massa di 661 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO innovazioni estranee all’autore, un pezzo originale, sebbene appartenente a una fase compositiva successiva812. Questo è ciò che potrebbe essere accaduto con la variante delle etimologie che spesso citiamo all’interno della sottofamiglia δ, discendente da α1 (cfr. pp. 368-9). Qui abbiamo, da un lato, una parte del testo che ricostruiamo come originale grazie allo stemma tracciato (è comune a quattro delle cinque famiglie isolate e a due rami della quinta) e, dall’altro, un testo alternativo e considerevolmente più lungo che troviamo in una sottofamiglia con numerosi codici dipendenti da essa. In questo testo alternativo si leggono diverse ipotesi sull’etimologia della parola algorismus e ciò che lo rende un caso speciale è che sia il vocabolario, lo stile e la sintassi che il contenuto etimologico stesso sono perfettamente compatibili con un’autoria sacroboschiana (abbiamo, infatti, abbondanti ipotesi etimologiche anche negli altri trattati dell’autore, citati a pp. 368-9). Pertanto, non sarebbe improbabile considerare questo passaggio come un esempio dell’intervento dell’autore nell’opera già in corso. Tutti i fenomeni descritti finora, e che abbiamo rilevato nella tradizione dell’Algor., sono prove feacenti della sua trasmissione contaminata. Tale contaminazione implica che è difficile tracciare relazioni stemmatiche, come già illustrato parzialmente da Reynolds (1986, 366-8) nel suo capitolo sui Dialogi di Seneca il Giovane. In queste tradizioni è spesso impossibile determinare la lezione corretta se non disponiamo di altri errori o di fonti che permettano di confermare il carattere autentico o interpolato di un passaggio. L’Algor. offre un esempio paradigmatico delle molteplici opzioni che si considerano quando si studia una tradizione con contaminazione massiva, il che si traduce in una somma di variabili che devono essere prese nel loro insieme per stabilire una direzionalità rispetto alle altre molte possibilità, che saranno scartate perché meno probabili. Così, nelle parole di Guglielmetti (2007, 121), il risultato è «un’ars combinatoria nella quale le variabili hanno dovuto sostenersi e confermarsi l’un l’altra, senza poter ruotare attorno a molte costanti». L’influsso della contaminazione nella tradizione dell’Algor. è tale che non solo la distribuzione dei rami più bassi dello stemma, ma anche delle famiglie e dei subarquetipi principali sono costantemente in discussione. A questo punto, seguiamo da vicino il lavoro di Guglielmetti (2007, 107-27) sulla tradizione del Policraticus, un’opera che condivide nella sua tradizione diversi punti comparabili con l’Algor. di Sacrobosco. Tra questi, spicca il fatto che si tratta in entrambi i casi di una tradizione molto contaminata, dove ciascuna delle famiglie principali presenta sintomi di contaminazione profonda a partire da una data molto recente. Questo è ciò che Martinelli Tempesta (2014, 137-8) chiama «contaminazione ippocratica», dato che, come accade con i commenti al testo ippocratico, la contaminazione si verifica in tutti i livelli dello stemma e si conclude, quindi, che si tratta di una tradizione con una forte «tendenza a contaminare». Si tratta, quindi, di una tradizione attiva dove la contaminazione non è il frutto dell’accumulazione successiva di copie, ma nasce, con ogni probabilità, nell’atto stesso di copia di ogni testimonianza e con la sua circolazione in ambienti contaminatori (com’è da considerarsi l’ambiente scolastico stesso, che abbiamo già commentato). In questo tipo di tradizioni è normale che non si possa arrivare a stabilire uno stemma o che, in questo processo, a causa delle sue difficoltà intrinseche (sc. la trasmissione sovrabbondante e contaminata), non sia possibile ottenere conclusioni sicure o definitive. Tuttavia, nel nostro lavoro abbiamo proceduto allo studio esaustivo della tradizione manoscritta, verificando e confermando in prima istanza la propria contaminazione del testo che caratterizza ineludibilmente la trasmissione dell’opera. Sulla base di questo studio, abbiamo stabilito uno stemma codicum che risulta complesso, non verticale, ma che permette di valutare le interrelazioni esistenti tra i 812 Esempi di possibili interpolazioni da parte dell’autore dell’opera in punti specifici della sua tradizione li troviamo in Reeve (2017, 163-82), come quello analizzato in profondità sulla Historia rerum in partibus transmarinis gestarum di Guglielmo di Tiro. 662 Conclusioni generali numerosi manoscritti attraverso le famiglie che abbiamo potuto identificare e gerarchizzare per stabilire sottofamiglie o, almeno, costellazioni di codici che ci hanno permesso di offrire un testo fondato su criteri critici e che consideriamo ragionevolmente vicino all’originale. Di conseguenza, per lo studio di questo testo è stato imprescindibile sviluppare una serie di meccanismi di selezione che permettono di scoprire quali errori potrebbero essere congiuntivi e contribuire alla formazione di sottogruppi rispetto a quelli non significativi. In questo senso, sono stati chiave sia lo studio delle fonti dell’opera che l’analisi del lessico e della sintassi utilizzati dall’autore, che abbiamo chiamato denominato nell’insieme «stile sacroboschiano». Per quanto riguarda le fonti, la loro identificazione preliminare ha permesso di confermare numerose lezioni che a priori sarebbero indifferenti, come per esempio la lettura provenit ex ductione (cfr., nello studio stemmatico, p. 370), confermata dalla seconda parte del Liber Alchorismi, rispetto alla lezione concorrente indifferente sic patet ducatur; o ponatur (p. 358), che si conferma dal passaggio corrispondente al Carmen de algorismo e anche al Liber Alchorismi, rispetto a scribatur. Quanto all’usus scribendi di Sacrobosco, in questo lavoro siamo riusciti a dimostrare che l’autore aveva una coscienza stilistica e uno stile riconoscibile, basato sulla ripetizione stereotipata di certe strutture, la scelta di alcuni termini a scapito di altri e nell’ordine delle parole, che tende ad essere molto regolare non solo nell’Algor., ma in tutta la sua opera (dove abbiamo potuto apprezzare, inoltre, che l’Algor. è più vicino al Compot. in termini di lingua e stile rispetto alla Spher., forse per una maggiore vicinanza in termini di data di composizione). Il fatto di essere riusciti a identificare tratti definitivi dello stile dell’autore ha permesso che, di fronte a una tradizione ipercontaminata in cui i tentativi di elaborare uno stemma potevano risultare infruttuosi, abbiamo potuto fornire argomenti validi nella scelta delle varianti e nella costituzione del testo attraverso l’usus scribendi dell’autore, che si aggiunge all’uso delle fonti già menzionato. Un esempio di ciò è l’uso della struttura sum + necesse nella Spher., che conferma questa lettura nell’Algor. rispetto allo spurio fuit necessarium (p. 374); l’uso del possessivo eius dopo il sostantivo corrispondente, invece di suum (p. 351); l’assenza del termine totus nell’intera opera (p. 350); o la regolarità della struttura gerundio + est, che permette di rilevare come errore ogni volta che si inverte l’ordine del binomio (come est operandum a p. 358 e p. 436, o est autem sciendum a p. 389). Questo studio è confluito in uno stemma con cinque rami, ovvero, con una suddivisione multipartita813. Seguendo Chiesa (2020, 27-37), non sorprende il trovarsi dinanzi a uno stemma di queste caratteristiche, trattandosi di un’opera bassomedievale, poiché sono molte le tradizioni testuali di trattati medievali che contano con stemmata non bifidi; stemmata multipartiti che si rivelano maggiori in numero rispetto a quelli dei testi classici latini. In particolare, sottoposta ai criteri delineati da Vàrvaro (1970, 73-117), la tradizione dell’Algor. è più simile alle tradizioni delle opere scritte in lingua volgare che a quelle classiche, con la grande differenza che nel nostro caso le varianti grafiche si sono rivelate di scarso interesse. Nella nostra tradizione, come nelle lingue volgari, le prime copie presentano una distanza cronologica rispetto all’autore minima, e inoltre risultano essere massive in numero fin dal primo momento. D’altro canto, mentre per i testi classici lo scriba presenta un’attitudine, in genere, di maggiore rispetto all’originale, tanto che nel processo di copia cede alla congettura solo per poter avvicinarsi ad esso, in una tradizione come l’Algor. —e come le lingue volgari—, attive e mutevoli, lo scriba spesso percepisce una maggior libertà di ricreare il testo invece di copiarlo, considerandolo attuale e aperto, soggetto a cambiamenti che prevalgono sul rispetto alla forma testuale dell’autore. In questo tipo di tradizioni ci sono molte difficoltà nell’instaurare le ramificazioni alte dello stemma, tanto che a 813 Un’altra tradizione testuale il cui stemma si è rivelato avere cinque rami è, oltre al già menzionato Liber ysagogarum (Allard, 1992, XLV-LII), quella dell’Abbreviatio in gestis et miraculis sactorum di Jean de Mailly (a cura di Maggioni, 2013). 663 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO volte è possibile ricostruire solo un numero indeterminato di famiglie isolate di codici che dipendono in modo indipendente da un archetipo o originale. In questo panorama, purtroppo, non disponiamo né dell’originale sacrobosquiano né di un ipotetico archetipo, già corrotto, di tutta la tradizione. Invece, è possibile identificare cinque famiglie, κ, ζ, α1, α2, α3, attraverso le quali abbiamo costituito il testo della nostra edizione. Per questo, abbiamo fatto una selezione tra i codici collazionati, al fine di poter realizzare un’edizione maneggevole. In tal modo, dei 79 codici collazionati ne abbiamo selezionato 32 per l’edizione. In questa seconda selezione di manoscritti per costituire il testo, com’è norma, innanzitutto abbiamo identificato ed eliminato i codices descripti. Tale identificazione è riuscita solo in due occasioni: nel caso di Y2 (discendente da Va10) e di I (discendente da Be) (cfr. pp. 401-2 e 417- 8, rispettivamente). Tuttavia, coincidendo con quanto affermato da Timpanaro (1985, 164-92), di fronte a una tradizione ampiamente contaminata e, quindi, non ricostruibile in modo lineare, la rilevazione di codices descripti mediante l’evidenza latente maasiana (ovvero, codici che copiano tutti gli errori dei loro corrispondenti modelli e aggiungono i propri e nei quali, inoltre, contiamo con una prova fisica che ci confermi tale dipendenza) è molto limitata. Ancor di più quando, come indicato precedentemente in relazione alla selezione di codici per la loro collazione, nella nostra tradizione, nella maggior parte dei casi, non possiamo parlare di date esatte per sapere se una testimonianza è anteriore a un’altra. In questo senso, è stato necessario affrontare la possibile esistenza di codici che discendono da altri e che non possiamo dimostrare né mediante l’evidenza latente (data la contaminazione esistente) né mediante la prova diretta (data la brevità del testo). In questo aspetto, per quanto riguarda le relazioni di dipendenza «fuori dalla norma» tra codici, a volte ci siamo trovati di fronte allo scenario descritto da Danovi (2022, 341-70): nonostante in alcuni manoscritti trovassimo un’evidenza latente della loro derivazione da altri codici o iparchetipi, tale dipendenza non risultava conclusiva. Il panorama che si è presentato è stato sempre simile: codici che contenevano alcuni degli errori di un iparchetipo o codice esistente, ma non tutti e, inoltre, che potevano conservare difetti trovati in altri codici e/o iparchetipi. Come si può facilmente dedurre, si tratta nuovamente di un problema derivato dalla contaminazione della tradizione testuale, che rende molte volte indimostrabile tracciare relazioni sicure tra testimonianze. Quando ciò accade, dopo aver verificato che il codice che abbiamo supposto apocrifo non contiene nessuna lettura sostanziosa ai fini della stemmatica, lo abbiamo considerato inutile per la costituzione del testo; non può essere qualificato strettamente come codex descriptus in termini stemmatici, ma piuttosto come codex inutilis a fini editoriali, seguendo una proposta metodologica di Timpanaro (1985), estremamente rilevante in questa tradizione. Nonostante il carattere ipercontaminato, lo stemma si rivela utile, nella misura in cui, per l’edizione, ci ha permesso di scartare i codici quando la loro (sub)ramificazione ha rappresentanti meno contaminati, meno interpolati e più fedeli per la ricostruzione dei loro antenati. Inoltre, nel caso specifico della tradizione dell’Algor., spesso è risultato più interessante localizzare quei testimoni manifestamente deteriores, che non contengono lezioni rilevanti dal punto di vista stemmatico. Così, abbiamo scartato i testimoni che avevano gemelli stemmatici testualmente superiori; in tali casi, per la rappresentazione di quel ramo della tradizione, abbiamo optato per i codici meno affetti dalla contaminazione o dall’interpolazione. Abbiamo anche scartato tutti quei codici che si sono rivelati ipercontaminati e/o non classificabili, dove abbiamo incluso sia quelli che sono il risultato di conflationes che risalgono a più di tre modelli con relazioni stemmatiche molto complicate e spesso impossibili da risolvere, sia quelli che contengono una porzione di testo così piccola che non è possibile localizzare errori significativi sufficienti per collocarli nello stemma. Nessuno di questi è stato incluso negli stemmata finali, dato che la loro presenza negli schemi avrebbe portato più confusione che chiarezza. 664 Conclusioni generali Dopo la giustificazione del processo di elaborazione, presentiamo la prima edizione critica dell’Algor. di Sacrobosco. È accompagnata da un apparato di fonti e loci paralleli, un apparato di varianti e la sua traduzione in spagnolo con note esplicative, che servono a chiarire alcuni aspetti specifici del testo e della traduzione. La traduzione è anche la prima di quest’opera in spagnolo. Per concludere, una volta descritti tutti i problemi sorti nello studio della tradizione testuale dell’Algor., è necessario ricordare che questi non sono altro che un campione dell’uso reale di questo manuale. Come abbiamo detto, si tratta di un’opera di successo, con una fama che ha oltrepassato frontiere geografiche e con molteplici copie utilizzate da studenti di tutta Europa. Questi ingredienti fanno sì che la contaminazione sia un elemento insito nella ricostruzione dello stemma, in modo talmente tanto profondo che uno schema semplice non è in grado di riflettere una realtà che si rivela molto complicata. Per questo motivo, e specialmente nei testi medievali, spesso è necessaria una riflessione che vada oltre i rigidi limiti teorici della disciplina per non dimenticare l’obiettivo ultimo del filologo: comprendere la trasmissione di un’opera in tutta la sua complessità e dimensione storica. 665 BIBLIOGRAFÍA Editiones Add. in Carm. Alchor. I Alchor. II BERENG., Quadr. vetust. 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Anteriorare: ‘atrasar’ las cifras; es un concepto que se emplea en la explicación de las raíces cuadradas y cúbicas para indicar que hay que mover las cifras que conforman el resultado de la operación una casilla hacia la derecha, de manera que su valor disminuye en diez. Anterioratio: acción y efecto de atrasar las cifras (vid. anteriorare). Arcus graduum quarte firmamenti partis: en el cuadrante, el ‘arco de grados de la cuarta parte del firmamento’ es la línea curva paralela al limbus (vid. limbus) que se divide en 90º y sirve para medir la gradación de cualquier cosa respecto a otra. Arcus horarum: los ‘arcos de las horas’ del cuadrante son seis arcos que parten desde la intersección de las líneas marginales (vid. linee marginales) y se proyectan hasta el limbus (vid. limbus) que sirven para medir latitudes empleando la sombra del sol y las ‘tablas solares’ (vid. tabule solis). Articulus: en los algorismos, se llama ‘artículo’ a cada una de las decenas puras. Cenit: punto del cielo que queda sobre la vertical del observador; referido al sol, es su situación en el punto más alto de su elevación sobre el horizonte. Centenarius: la ‘centena’, cien. Cifra: vid. cyfra. Circinus: compás, instrumento de dibujo formado por dos brazos unidos y articulados en su extremo que se emplea para trazar arcos de circunferencia y tomar distancias entre dos puntos. Circunferentia: referido al trazado de un compás, es el arco o circunferencia trazada con la punta del brazo exterior, o bien la apertura con la que se traza un arco o circunferencia, es decir, el ángulo que forman sus brazos. Compositus: referido a un número, el ‘compuesto’ (o ‘mixto’) en los algorismos es aquel que se conforma, como mínimo, por una decena y una unidad diferente de cero. Computare: ‘computar’, contar, tener en consideración una cantidad. Computatio: acción y efecto de computar, el ‘cómputo’. 697 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Coniungere: unir dos o más cantidades, es decir, sumarlas entre sí para extraer el valor de su conjunto; también se emplea sin el preverbio: inungere (vid. iungere). Cono quadrantis: parte del cuadrante (vid. quadrans) más estrecha, la que se emplea para apuntar los objetos o entidades que se deseen medir. Cubicus: dicho de un número, que es ‘cúbico’, es decir, que es el resultado de multiplicar dos el mismo número por sí mismo. Curriculus: marcador de la plomada (cfr. perpendiculum). Cursor: pieza del ‘cuadrante compuesto’ (vid. quadrans compositus) móvil con forma de trapecio que discurre por una ranura y contiene los nombres de los meses y los signos zodiacales cuya utilidad es calcular las horas. Cyfra: cero. Declinatio solis: la ‘declinación solar’ es el ángulo que forma la línea trazada entre el sol y la tierra y el plano del ecuador celeste. Decuplare: ‘decuplar’, multiplicar por diez o elevar a la decena una cantidad. Delere: ‘borrar’, en el Algor. se emplea para indicar que se borre lo que hay en una casilla de la tabla (vid. tabula) para, generalmente, poner otra cifra en su lugar. Esto afecta generalmente al orden superior (vid. superior ordo) en aquellas operaciones que precisan de dos filas de números como mínimo. Demere: sustraer, quitar; empleado en los algorismos como sinónimo de ‘sustraer’ (vid. subtrahere). Denarius: diez, la decena. Differentia: espacio relativo de una cifra respecto a otra u otras que en el sistema posicional compromete su valor. Digitus: en los algorismos, se llama ‘dígito’ a cualquier cifra ubicada en la casilla de las unidades, donde su valor será siempre inferior a la decena. Dividere: ‘dividir’. Divisio: ‘división’, acción de dividir; séptima ‘especie’ (vid. species) del Algor. Divisor: vid. numerus dividens. Ducere: en matemática, sinónimo de ‘multiplicar’ (vid. multiplicare). Duplare: ‘duplicar’, multiplicar por dos o doblar una cantidad. Duplatio: ‘duplicación’, acción de duplicar; cuarta especie (vid. species) del Algor. Duplatum: en la extracción de las raíces cuadradas, se refiere al doble de subduplum (vid. subduplum) que sirve para continuar con el procedimiento matemático de la extracción de raíces. Duplicare: vid. duplare. Elevatio: literalmente, ‘elevación’; referida a las estrellas o a cualquier otro objeto que se levanta sobre el plano del horizonte se llama elevación a la altura que alcanzan sobre dicho plano. 698 Bibliografía Equinoctialis: ‘referido al equinoccio’, en astronomía designa las líneas de equinoccios, que es la intersección entre el ecuador y la eclíptica. Excessus: diferencia numérica entre dos cantidades. Excrescere: resultar de una operación, lo que se extrae de operar. Exire: extraerse de una operación, resultar. Figura: guarismo, cada una de las cifras. Foramina: en el cuadrante, se refiere a las dos mirillas que se colocan en una de las ‘líneas marginales’ (vid. linee marginales) a través de las cuales se visualiza la cumbre de aquello que se desee medir. Inchoare: ‘comenzar’, en el Algor. se emplea exclusivamente para designar el comienzo de un procedimiento matemático u operación. Inferior ordo: ‘orden inferior’ por oposición al ‘orden superior’ (vid. superior ordo), empleado en los algorismos para designar, en una operación donde estén implicados, como mínimo, dos números, la fila que se encuentra físicamente en la parte inferior de la tabla (vid. tabula). Normalmente es el número que no sufre modificaciones en el proceso de la operación. Invenire: hallar, encontrar una cantidad buscada a través de un procedimiento matemático. Inventus: se dice del número o cantidad hallada tras un procedimiento matemático. Iungere: ‘unir’ dos cantidades para extraer su suma; se emplea como sinónimo de coniungere (vid. coniungere). Latitudo: ‘latitud’, referido a la latitud terrestre o a la anchura, una de las tres dimensiones de las que consta un ‘sólido’ (vid. solidus). Limbus: en el trazado del cuadrante se emplea para designar la línea curva que une las ‘líneas marginales’ (vid. linee marginales) y que, junto con ellas, delimita el área del cuadrante, de manera que el límite del instrumento no sea su borde físico. Limes: en el sistema posicional, cada uno de los órdenes (unidades, decenas, centenas, etc.). Linea dyametralis: vid. linea equinoctialis. Linea equinoctialis: línea recta que cruza el cuadrante (vid. quadrans) desde la intersección de las dos líneas marginales (vid. linee marginales) hasta el medio del arco del limbus (vid. limbus), dividiendo el instrumento en dos mitades iguales. Linearis: referido a un número, que es primo, es decir, que tan solo se puede dividir con resto cero por sí mismo y por el uno. Linee facilis computationis: en el cuadrante, las ‘líneas de fácil cómputo’ son dos líneas perpendiculares entre sí y cada una de ellas, a su vez, perpendiculares respecto a las ‘líneas marginales’ (vid. linee marginales) que están graduadas y se utilizan para calcular los grados existentes entre un objeto determinado y la línea del horizonte con la ayuda de la plomada (vid. perpendiculum). Linee marginales: las ‘líneas marginales’ son dos líneas rectas perpendiculares cuyos extremos une el arco del limbus (vid. limbus) que delimitan el área del cuadrante, de manera que el límite del instrumento no sea su borde físico. Locus: ‘lugar’ físico en el que se escribe una cifra. 699 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Longitudo: ‘longitud’; una de las tres dimensiones de las que consta un ‘sólido’ (vid. solidus). Maior medium: Literalmente, el ‘medio mayor’; se refiere a la mitad de un número impar redondeado a la cifra mayor, o bien a la mitad del número siguiente a cualquier impar. Sc. el medio mayor de 5 es 3. Mediare: ‘mediar’, dividir en dos un número o hallar su mitad; cuarta ‘especie’ (vid. species) del Algor. Mediatio: ‘mediación’, acción de mediar. Medietas: ‘mitad’, generalmente se refiere a la mitad aritmética de un número. Medium proportionale: número que se encuentra entre dos números cuadrados consecutivos y cuya diferencia entre el cuadrado menor y este es igual a la de este y el mayor; o bien son dos números entre dos números cúbicos que mantienen la misma proporción entre sí mismos, entre el menor y el primer cubo y entre el mayor y el segundo cubo. Millenarius: ‘millar’, mil. Minor medium: Literalmente, el ‘medio meno’; se refiere a la mitad de un número impar redondeado a la cifra inferior, o bien a la mitad del número inmediaramente anterior a cualquier impar. Sc. el medio menor de 5 es 2. Minutum: ‘minuto’; referido a la astronomía son las 60 partes en la que se divide cada grado; en matemática, Sacrobosco lo emplea para designar números más pequeños que la unidad. Mixtus: vid. compositus: Multiplicare: ‘multiplicar’. Multiplicatio: ‘multiplicación’, acción de multiplicar un número por otro; sexta ‘especie’ (vid. species) del Algor. Multiplicandus: ‘multiplicando’, número que en la multiplicación debe ser sumado tantas veces como indica el multiplicador (vid. multiplicans) para obtener el producto. Multiplicans: ‘multiplicador’, número que en la multiplicación indica cuántas veces ha de sumarse el multiplicando (vid. multiplicandus) para obtener el producto. Mutuare: este verbo se emplea exclusivamente en el Algor. en el capítulo de la resta e indica la sustracción de una unidad a las decenas cuando el número que aparece en las unidades del minuendo es menor que el del sustraendo. Negotiare: empleado en el Algor. como sinónimo de ‘operar’ (vid. operare). Numeratio: ‘numeración’, primera ‘especie’ (vid. species) del Algor. que define los elementos considerados imprescindibles para entender el nuevo sistema matemático que explica. Numerus: ‘número’, expresión de una cantidad con relación a su unidad; Sacrobosco lo define como el conjunto de unidades o como unidades tomadas en conjunto. Numerus a quo debet fieri subtractio: ‘minuendo’, número al que en resta se le quita el sustraendo (vid. subtrahendum): ‘sustraendo’ para obtener el resultado o diferencia. Numerus cui debet fieri additio: referido a un número, sumando al que se le añade otro u otros números (vid. addendus) para obtener el resultado. Numerus denotans quotiens: cociente de una división. 700 Bibliografía Numerus dividendus: dividendo de una división. Numerus dividens: divisor de una división. Numerus exiens: vid. numerus denotans quotiens. Numerus numerantis: en los comentarios a los algorismos se entiende como ‘número que numera’ aquel que se puede emplear en las operaciones matemáticas simples. De él se ocupan los algorismos. Numerus numeratus: en los comentarios a los algorismos llaman ‘número numerado’ al concepto intangible de número como parte constituyente del universo, a partir del cual toda la creación opera. De él se ocupan los tratados sobre el cómputo. Operare: ‘operar’ matemáticamente. Operatio: ‘operación’, acción de operar matemáticamente. Ordo: ‘orden’, en los algorismos se refiere a cada una de las líneas numéricas implicadas en una operación; cuando son dos, se organizan en ‘superior’ e ‘inferior’ (vid. superioris ordo e inferioris ordo). Ortogonalis: recto; se refiere especialmente al trazado de líneas. Perpendiculum: pequeña pesa pendiente de un hilo que se coloca en la intersección de las ‘líneas marginales’ (vid. linee marginales) del cuadrante y que, gracias al efecto de la gravedad, cae verticalmente al elevar el instrumento apuntando hacia cualquier objeto de forma que se señala un punto determinado en las ‘líneas de fácil cómputo’ (vid. linee facilis computationis), señalando así un número de grados determinado que se fija con un marcador (cfr. curriculus). Pertransitus: en el Algor., se refiere a aquello que se sitúa entre medias de un número que cuenta con más de una cifra; concretamente, a los ceros cuando no ocupan el lugar de las unidades, sino que quedan en el medio de un número, y a los puntos que separan los millares, millones, etc. en los números largos. Pes: referido al compás, ‘pie’, eje sobre el que se apoya uno de los brazos y que marca el centro del arco o circunferencia trazada con la punta del otro brazo. Ponere: ‘poner’ un número, empleado por Sacrobosco como sinónimo de ‘escribir’ (vid. scribere). Positio: ‘posición’, lugar concreto en el que se sitúa una cifra en un momento determinado de una operación. En este sentido, su uso es similar al de ‘lugar’ (vid. locus). Probatio: ‘prueba’ de cualquier operación, que consiste en realizar otro procedimiento matemático para comprobar que el resultado obtenido es correcto. Productum: ‘producto’, resultado de una multiplicación. Progressio: en el Algor., secuencia aritmética continua y finita de intervalo +1 o +2 (vid. progressio naturalis y progressio continua) que comienza siempre en la unidad o en el dos. La operación relacionada con la progresión consiste en hallar la mitad de la suma de todos sus miembros y se explica en la octava ‘especie’ (vid. species) del Algor. Progressio continua: vid. progressio naturalis. Progressio discontinua: vid. progressio intercissa. 701 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Progressio intercisa: ‘progresión truncada’, secuencia aritmética continua y finita de intervalo +2 que puede comenzar en la unidad, que se llamará progressio intercissa impar, o en el dos, que se llamará progressio intercissa par. Progressio naturalis: ‘progresión natural’, secuencia aritmética continua y finita de intervalo +1 que siempre comienza en la unidad. Prosolide angularis: en el Quadr., encontramos este término para indicar el punto en el que intersectan dos líneas perpendiculares trazadas en las ‘tablas solares’ (vid. tabule solis), es decir, el punto exacto en el que coincide el nombre del mes y el número de día buscados. Proponere: en el Algor. se emplea exclusivamente ‘proponer’ para indicar el número o números que se han de operar (sc. los sumandos que se han de sumar, el minuendo y el sustraendo cuya diferencia se quiera extraer, el multiplicando y multiplicador, etc.). Propositus: número o números ‘propuestos’ para su operación. Provenire: ‘provenir’, extraerse o resultar de una operación. Punctus: ‘punto’; en el cuadrante indica un lugar específico que sirve de referencia; en el Algor. se utiliza para designar el signo de puntuación con la función de separar los millares, millones, etc. en números largos. Quadrangulus: ‘cuadrángulo’, cuadrilátero; en el Algor. se emplea para designar un cuerpo de dos dimensiones. Quadrans: instrumento de medida astronómica consistente en una plancha graduada del tamaño de un cuarto de círculo. Quadrans compositus: cuadrante (vid. quadrans) que posee cursor (vid. cursor). Quadrans simplex: cuadrante (vid. quadrans) que no posee cursor (vid. cursor), de manera que no permite calcular las horas en base a la posición de las estrellas. Quadratus: dicho de un número, que es ‘cuadrado’, es decir, que es el resultado de multiplicar un número por sí mismo. Radicum extractione: ‘extracción de raíces’, tanto cuadradas como cúbicas; novena especie (vid. species) del Algor. Radix: cantidad que se ha de multiplicar por sí misma una (si es cuadrada) o varias veces (dos, por ejemplo, si es cúbica), para obtener un número determinado. Ratio: ‘razón’ en sentido amplio, tanto con la acepción de ‘motivo’, como ‘cálculo’, ‘cuenta’, ‘cómputo’, ‘relación’. Redere: ‘volver’, concretamente se refiere a la cantidad que ‘vuelve’ tras realizar la prueba de una operación hecha previamente (vid. probatio). Regula: ‘regla’, empleada en el Algor. para enunciar las seis reglas de la multiplicación (regule multiplicationis), donde se enseña a operar los dígitos (vid. digitus), artículos (vid. articulus) y compuestos (vid. compositus) entre sí en todas las combinaciones posibles, y las cuatro reglas de la progresión: progresión natural par, impar, truncada par e impar (vid. progressio, progressio naturalis y progressio intercisa). Residuum: ‘resto’ de una división o de una raíz cuadrada o cúbica. Resolvere: ‘resolver’, concretamente se emplea en la división de una entidad en todas las partes que la conforman para poder operar con piezas más pequeñas; concretamente en 702 Bibliografía el Algor. se usa para disgregar la unidad en 60 minutos (vid. minutum) y poder así dividirla en dos. Resultare: ‘resultar’ de una operación. Scribere: ‘escribir’ un número, empleado por Sacrobosco como sinónimo de ‘poner’ (vid. ponere). Significare: ‘significar’; referido a las cifras, la cantidad que cada una de ellas representa. Significativa: dicho de una ‘figura’ (vid. figura), una cifra distinta de cero. Simplex: por oposición a compositus, aquel número que tan solo cuenta con unidades y, por tanto, se representa con un guarismo. Sinistrere: ‘mover hacia la izquierda’ un número o una fila de números en las operaciones. Solidus: ‘sólido’, cuerpo que posee tres dimensiones. Referido a un número, se le llama ‘sólido’ cuando pueden ser divididos por otro número que no sea él mismo ni el uno con resto cero y, a su vez, el cociente de esa división no es un número primo. Spatium: ‘espacio’ físico en la cuadrícula o tabla (vid. tabula) en el que se podría situar un número pero que en ese momento está vacío (vacuum); designa el ‘lugar’ (vid. locus) o ‘posición’ (vid. positio) cuando está vacío. Species: cada uno de los capítulos en los que se divide el Algor. y otras obras sobre el algorismo, de forma que en cada uno de ellos se explica una operación (suma, resta, duplicación, etc.). Spissitudo: ‘espesor’, profundidad; una de las tres dimensiones de las que consta un ‘sólido’ (vid. solidus). Subduplum: en la extracción de las raíces cuadradas, se refiere al número que se ha de hallar de manera que, elevado al cuadrado, se aproxime o iguale la cantidad que se maneja. Tras hallar dicho número, conviene multiplicarlo por dos (o doblarlo; vid. duplatum) y mover una casilla hacia la derecha el resultado (vid. anteriorare y anterioratio) para seguir con la operación. El resultado de la raíz cúbica será el conjunto de subdupla que se obtenga al final del proceso. Subscribere: ‘escribir debajo’, se refiere al lugar donde se debe escribir un ‘orden’ de figuras (vid. ordo), en este caso en el lugar de abajo, conformando el ‘orden inferior’ (vid. inferior ordo). Subtractio: ‘sustracción’, resta, acción de restar; tercera especie (vid. species) del Algor. Subtrahendum: ‘sustraendo’, número que en la resta se ha de quitar al minuendo (vid. numerus a quo debet fieri subtractio) para obtener el resultado o diferencia. Subtrahere: ‘sustraer’, restar. Subtriplum: en la extracción de las raíces cúbicas, se refiere al número que se ha de hallar de manera que, elevado al cubo, se aproxime o iguale la cantidad que se maneja. Tras hallar dicho número, conviene multiplicarlo por tres (o triplicarlo doblarlo; vid. triplatum) y mover dos casillas hacia la derecha el resultado (vid. anteriorare y anterioratio) para seguir con la operación. El resultado de la raíz cúbica será el conjunto de subtripla que se obtenga al final del proceso. Summa: cantidad. 703 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Superficialis: referido a un número, que es compuesto, es decir, que se puede dividir por otro número distinto de sí mismo y de uno con resto cero. Superior ordo: ‘orden superior’ por oposición al ‘orden inferior’ (vid. inferior ordo), empleado en los algorismos para designar, en una operación donde estén implicados, como mínimo, dos números, la fila que se encuentra físicamente en la parte superior de la tabla (vid. tabula). Normalmente es el número que va a recibir modificaciones en el proceso de la operación, puesto que sus cifras se van borrando para escribir sobre ellas el resultado de dicha operación. Supraponere: ‘poner por encima de’; se refiere normalmente al ‘orden superior’ (vid. superior ordo) respecto al ‘inferior’ (vid. inferior ordo). Suprascribere: ‘escribir arriba’, se refiere al lugar donde se debe escribir un ‘orden’ de figuras (vid. ordo), en este caso en el lugar de arriba, conformando el ‘orden superior’ (vid. superior ordo). Tabula: ‘tabla’; en los algorismos se emplea a menudo para designar las casillas dibujadas sobre las tablillas de arena divididas en órdenes matemáticos (unidades, decenas, centenas, etc.) que contienen los guarismos necesarios para realizar una operación. Tabule solis: las ‘tablas solares’ son cinco tablas astronómicas de utilidad práctica para el uso de instrumentos astronómicos y cálculos de astronomía. Las cuatro primeras recogen el listado de longitudes solares de cada día del año a lo largo de cuatro años consecutivos y la quinta, la inclinación solar para cada grado de la eclíptica. Transferre: ‘trasladar’ una cifra de una posición; en el Algor. siempre se emplea para designar el movimiento de una casilla hacia la izquierda (versus sinistram), es decir, como sinónimo de sinistrare (vid. sinistrare). Triplatio: acción y resultado de triplicar un número. Triplatum: en la extracción de las raíces cúbicas, se refiere al triple del subtriplum (vid. subtriplum) que sirve para continuar con el procedimiento matemático de la extracción de raíces. Umbra extensa: en astronomía, sombra proyectada de un objeto que está en línea perpendicular respecto al horizonte. Umbra eversa: en astronomía, longitud de la sombra que proyecta un objeto que se alza en el plano del horizonte. Umbra recta: vid. umbra extensa. Umbra versa: vid. umbra eversa. Unitas: unidad, el uno. 704 Índices Index codicum Aberystwyth, National Library of Wales, Peniarth 359B 92, 802 Admont, Stiftsbibliothek, 442 92 Admont, Stiftsbibliothek, Fragm. 4 272 Aix-en-Provence, Bibliothèque Méjanes, 152 (766-R.651) 92 Alençon, Bibliothèque municipale, 25 92 Arras, Bibliothèque municipale, Médiathèque 821 (512) 92, 328, 802 Assisi, Biblioteca del Sacro Convento di San Francesco, Com. 174 36, 93 Assisi, Biblioteca del Sacro Convento di San Francesco, Com. 407 93 Assisi, Biblioteca del Sacro Convento di San Francesco, Com. 551 93 Assisi, Biblioteca del Sacro Convento di San Francesco, Fondo Moderno, 81 93 Aubervilliers, Institut de recherche et d’histoire des textes, Fragm. 13 93 Augsburg, Universitätsbibliothek, II.1.2° 110 94 Augsburg, Universitätsbibliothek, III.1.4º 1 94, 324 Bad Berleburg, Fürstlich Sayn-Wittgensteinsche Bibliothek, N 1 (887) 94 Baltimore, MD., Walters Art Gallery, 377 94 Bamberg, Staatsbibliothek, Astr. 1 (HJ.V.1) 35, 94, 455 Bamberg, Staatsbibliothek, Astr. 2 (HJ.V.2) 95 Bamberg, Staatsbibliothek, Astr. 4 (HJ.V.8) 254 Bamberg, Staatsbibliothek, Class. 84 (M.II.7) 95 Barcelona, Archivo de la Corona de Aragón, Ripoll 197 95 Barcelona, Biblioteca de Catalunya, 39 95, 802 Barcelona, Biblioteca de Catalunya, 634 96 Basel, Universitätsbibliothek, A.X.73 96 Basel, Universitätsbibliothek, B.III.18 254 Basel, Universitätsbibliothek, B.X.35 96 Basel, Universitätsbibliothek, F.II.8 96 Basel, Universitätsbibliothek, F.IV.18 37 Basel, Universitätsbibliothek, F.IV.25 96 Basel, Universitätsbibliothek, F.IV.50 97 Basel, Universitätsbibliothek, F.VI.77 97 705 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Basel, Universitätsbibliothek, F.VII.12 97, 337 Basel, Universitätsbibliothek, F.VIII.16 97, 323 Basel, Universitätsbibliothek, Inc. 657 98 Basel, Universitätsbibliothek, O.II.7 97, 455 Basel, Universitätsbibliothek, O.IV.37 325, 802 Bergamo, Biblioteca Civica Angelo Mai, 266 98 Bergamo, Biblioteca Civica Angelo Mai, 279 98 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Germ. 2º 642 802 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Germ. 2º 1278 73, 333 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Hamilton 213 98 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 2º 192 99 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 2° 307 254 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 2º 418 279 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 2º 438 99 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 2º 610 99, 455, 482, 483 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 23 (†) 57, 252 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 33 254 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 46 99, 324, 325, 337 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 97 100 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 179 100 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 181 100 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 183 100 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 382 100 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 485 802 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 510 284, 285 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 517 101 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 526 802 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 530 101, 254, 329 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 560 254 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 561 101, 802 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 576 101 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 577 73, 101, 333 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 579 254 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 583 102 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 587 102, 329 706 Índices Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 787 102, 330 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 898 81, 102, 324, 760 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 926 103 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 8º 157 103 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 8º 267 103, 330 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 8º 416 103 Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, theol. Lat. 8º 111 103 Bern, Burgerbibliothek, 454 104 Bern, Burgerbibliothek, 483 104 Bernkastel-Kues, Bibliothek des S. Nikolaus-Hospitals (Cusanusstiftsbibliothek), 212 104 Beromünster, Stiftsbibliothek, C 40 104 Bologna, Biblioteca dell’Archiginnasio, Coll. A.51 104 Bologna, Biblioteca Universitaria, 154 (132) 105 Bologna, Biblioteca Universitaria, 164 (153) 105 Bologna, Biblioteca Universitaria, 495 (869) 105 Bologna, Biblioteca Universitaria, 1444 (2739) 105 Boston, Medical Library, 20 105, 802 Boston, Medical Library, 29 105 Braunschweig, Stadtbibliothek, 181 802 Brescia, Biblioteca Civica Queriniana, A.IV.11 106 Brescia, Biblioteca Civica Queriniana, D.VI.16 106 Brescia, Biblioteca Civica Queriniana, D.VII.9 106 Bressanone, Seminario Maggiore, E.15 106 Bressanone, Seminario Maggiore, S.1 106 Brno, Moravská Zemská Knihovna, Mk 66 (II. 63) 107 Brugge, Openbare Bibliotheek, 96 820 Brugge, Openbare Bibliotheek, 122 255 Brugge, Openbare Bibliotheek, 521 107 Brugge, Openbare Bibliotheek, 522 107 Brugge, Openbare Bibliotheek, 523 107, 455, 482, 483 Brugge, Openbare Bibliotheek, 524 108, 802 Brugge, Openbare Bibliotheek, 528 802 Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 905-918 108, 802 Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 961-971 108 707 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 1022-1047 108 Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 2910-2920 50, 69, 79, 81, 108, 457, 653, 760, 769, 802 Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 3672-3690 802 Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 10117-10126 109 Budapest, Országos Széchényi Könyvtár, Lat. 29 109 Budapest, Országos Széchényi Könyvtár, Lat. 39 109, 455, 482, 483 Budapest, Országos Széchényi Könyvtár, Lat. 275 110 Caen, Bibliothèque municipale, 14 802, 833 Cambrai, Médiathèque municipale, 931 (830) 110, 455, 482, 483 Cambridge, Corpus Christi College, Parker Library, 37 802 Cambridge, Corpus Christi College, Parker Library, 66a 110 Cambridge, Corpus Christi College, Parker Library, 456 110, 802 Cambridge, Emmanuel College, 36 110 Cambridge, Fitzwilliam Museum, McClean 166 111, 455 Cambridge, Gonville and Caius College Library, 76 (136) 802, 833 Cambridge, Gonville and Caius College Library, 77 (137) 806 Cambridge, Gonville and Caius College Library, 95 (174) 111 Cambridge, Gonville and Caius College Library, 191 (141) 111, 802 Cambridge, Gonville and Caius College Library, 271 (504) 111, 802 Cambridge, Gonville and Caius College Library, 384 (506) 802 Cambridge, Gonville and Caius College Library, 411 (402) 112 Cambridge, Gonville and Caius College Library, 537 (341) 802, 833 Cambridge, Gonville and Caius College Library, 605 (385) 802, 833 Cambridge, Gonville and Caius College Library, 645 (668*) 802 Cambridge, Library of Peterhouse, 184 112, 803 Cambridge, Library of Peterhouse, 277 112 Cambridge, Magdalene College, Pepys 2329 112 Cambridge, Pembroke College, 278 112 Cambridge, Saint John’s College, 155 803 Cambridge, Saint John’s College, F. 18 113 Cambridge, Trinity College, B.1.37 113 Cambridge, Trinity College, O.1.31 803 Cambridge, Trinity College, O.2.5 113 Cambridge, Trinity College, O.2.45 113, 457, 803, 833 708 Índices Cambridge, Trinity College, O.3.13 114 Cambridge, Trinity College, O.3.44 161, 255 Cambridge, Trinity College, O.5.4 114, 803 Cambridge, Trinity College, O.8.16 162 Cambridge, Trinity College, R.2.86 57, 255 Cambridge, Trinity College, R.15.18 114 Cambridge, University Library, Add. 3168 803, 833 Cambridge, University Library, Add. 6860 114 Cambridge, University Library, Ff.6.13 115 Cambridge, University Library, Gg.4.29 115 Cambridge, University Library, Ii.1.13 115, 803 Cambridge, University Library, Ii.1.15 115, 803 Cambridge, University Library, Ii.1.17 115 Cambridge, University Library, Ii.3.3 116, 455 Cambridge, University Library, Ii.6.5 272 Cambridge, University Library, Mm.3.11 116, 803 Cashel, University of Limerick, Bolton Library, Medieval 1 274, 278 Catania, Biblioteca regionale universitaria, Biblioteca Ventimiliana, Vent. 41 116 Catania, Biblioteca regionale universitaria, C.015 255 Catania, Biblioteche Riunite «Civica» e «A. Ursino Recupero», Fondo Ursino Recupero, D 39 803 Chantilly, Musée Condé, 322 (641) 116 Charleville-Mézières, Bibliothèque municipale Médiathèque Voyelles, 62 116 Chicago, University Library, 3 37 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Chigi E.IV.130 116 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 309 117, 284, 457 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 1430 117, 323 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 1489 117, 803 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 1507 117 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 1552 118 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 1675 118 709 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 1809 118 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 300 118, 457 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 884 119 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1047 119 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1053 119 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1343 279 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1353 119 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1356 35, 119, 457 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1376 120 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1377 120 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1383 120 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1392 120 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1393 273, 307 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1400 35, 121, 445, 457 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1408 121 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1414 121, 457 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1420 121 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1437 122 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1439 122 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1451 122 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1452 123, 324 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Reg. Lat. 150 123, 803, 833 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Reg. Lat. 1267 123 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Reg. Lat. 1285 274 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Urb. Lat. 291 279 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Urb. Lat. 507 123 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Urb. Lat. 1399 124 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Urb. Lat. 1428 35, 124, 457, 794 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 1108 124 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 1706 124 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3099 81, 125 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3110 255 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3112 255 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3113 125 710 Índices Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3114 125, 457, 482, 483 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3124 803 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3127 125, 457 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3133 125 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3379 126 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3683 126 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3902 126 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4082 126 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4084 126 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4087 127, 803 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4385 127, 457, 803, 833 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4606 279 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 5335 81, 127, 446, 457, 482, 483, 760 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 5714 127 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 6431 127 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 7183 128 Colmar, Bibliothèque municipale, 22 (25) 128 Colmar, Bibliothèque municipale, 365 (414) 128, 455 Colmar, Bibliothèque municipale, 404 (56) 128, 330 Cuijk, Kruisherenklooster Sint Agatha, C 14 128 Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 751 255 Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 815 129, 803 Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 1227 129 Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 1415 129 Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2450 255 Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2640 129, 803 Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2661 35, 130, 455, 482, 483 Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2769 130 Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2827 130 Dessau, Stadtbibliothek, Georg. 866 131, 324 Dresden, Sächsische Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek, Dresd. C 80 131, 273, 285 Dresden, Sächsische Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek, Dresd. C 99 a 131 Dresden, Sächsische Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek, Dresd. Db 86 284, 285 711 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Dresden, Sächsische Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek, Dresd. N 100 131 Dublin, Trinity College Library, 441 803 Dublin, Trinity College Library, 667 337 Dublin, Trinity College Library, D.2.16 131 Durham, University Library, Cosin V.III.10 132 Edinburgh, National Library of Scotland, 18.6.2 132 Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 1.2 132 Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 2.3 132 Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 2.98 132 Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 3.4 133, 803 Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 3.29 133 Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 5.14 133 Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 7.76 133, 326 Edinburgh, University Library, 128 133 Eger, Föegyházmegyei Könyvtár, U2 VI 1 134, 803 Eichstätt, Universitätsbibliothek, st 626 134, 323, 803 Eichstätt, Universitätsbibliothek, st 735 134, 803 Einsiedeln, Stiftsbibliothek, 29 (878) 134 El Escorial, Real Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo, &.IV.19 135 El Escorial, Real Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo, D.I.1 269 El Escorial, Real Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo, O.II.9 135 El Escorial, Real Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo, O.II.10 135, 455, 482, 483 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 2º 178 37 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 2º 263 135 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 2º 376 135, 803 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 2º 394 256, 323 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 23 136 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 65 136 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 234 323 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 330 136 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 345 136, 803 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 346 803 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 347 137 712 Índices Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 351 137, 477 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 355 137, 273 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 357 137 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 369 138, 323, 477 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 375 138 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 381 138 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 386 139 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 387 139 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 8º 80 139, 803 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 8º 88 139 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 12º 16 140 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 12º 17 140, 803 Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 12º 19 140, 455 Erlangen, Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg, 394 141, 803 Erlangen, Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg, 436 141, 455, 803, 833 Erlangen, Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg, 496 141 Erlangen, Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg, 664 141 Firenze, Accademia Toscana di Scienze e Lettere La Colombaria, 109 142 Firenze, Biblioteca Marucelliana, B.V.17 256 Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Ashburnham 1025 142 Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Conv. soppr. 393 142 Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Gadd. 36 279 Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Plut. 18, sin. 3 142 Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Plut. 18, sin. 6 142, 477 Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Plut. 29.15 77, 142, 455 Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Plut. 30.24 143 Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Plut. 89 sup. 16 143 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. soppr. A.8.235 143 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. soppr. C.1.2616 279 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. soppr. D.2.234 143 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. soppr. J.1.32 285 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. soppr. J.5.7 143 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. soppr. J.5.18 273 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, II.III.24 144 713 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, II.III.25 279 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, II.IV.175 144 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, II.IX.14 144 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Fondo Landau, Finaly 26 144 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Fondo Landau, Finaly 49 144 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Magl. XI. 21 279 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Magl. XI. 38 279 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Palat. 639 145, 455, 482, 483 Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Palat. 641 256 Firenze, Biblioteca Riccardiana, Ricc. 252 279 Firenze, Biblioteca Riccardiana, Ricc. 327 145 Firenze, Biblioteca Riccardiana, Ricc. 783 279 Firenze, Biblioteca Riccardiana, Ricc. 866 145, 803 Firenze, Biblioteca Riccardiana, Ricc. 2425 256 Frankfurt am Main, Universitätsbibliothek, Carm. 19 145, 455 Frankfurt am Main, Universitätsbibliothek, Carm. 20 146 Freiburg, Universitätsbibliothek, 57 146, 324 Freiburg, Universitätsbibliothek, 168 256 Freiburg, Universitätsbibliothek, 628 146 Fritzlar, Dombibliothek, 125,13 146 Gdańsk, Polska Akademia Nauk Biblioteka, Mar. Q 30 147, 329 Genova, Biblioteca Universitaria, E.III.28 272 Gloucester, Gloucester Cathedral, 28 147 Goslar, Stadtarchiv, sin n.º 147 Göteborg, Universitetsbiblioteket, Lat. 14 147 Gotha, Forschungs- und Landesbibliothek, Chart. B. 445 147 Gotha, Forschungs- und Landesbibliothek, Memb. II 60 81, 148 Göttingen, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Luneb. 1 148 Göttingen, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Luneb. 68 803 Göttweig, Benediktinerstift, 170 (rot) / 189 (schwarz) 148 Graz, Universitätsbibliothek, 851 (36/7 4º) 148 Graz, Universitätsbibliothek, 966 (34/43 4º) 149 Graz, Universitätsbibliothek, 1000 (34/42 4º) 149 Groningen, Universiteitsbibliotheek, 104 149 714 Índices Halle an der Saale, Universitäts- und Landesbibliothek Sachsen- Anhalt, Yc 8° 8 149 Hamburg, Staats-und Universitätsbibliothek, philol. 127 250 Hannover, Gottfried Wilhelm Leibniz – Niedersächsischen Landesbibliothek, IV 373 335 Heidelberg, Universitätsbibliothek, Cod. Sal. IX 23 283 Hildesheim, Dombibliothek, 743a 149 Innsbruck, Universitäts- und Landesbibliothek Tirol, 373 50, 69, 149 Innsbruck, Universitäts- und Landesbibliothek Tirol, 640 150 Innsbruck, Universitäts- und Landesbibliothek Tirol, 655 150 Kaliningrad (Königsberg), Former Staats- und Universitätsbibliothek, 163 250 Karlsruhe, Badische Landesbibliothek, Lichtenthal 31 150 Kassel, Landesbibliothek und Murhardsche Bibliothek, Math. fol. 31 151 Klagenfurt, Bischöfliche Bibliothek, XXIX e 1 151 Klagenfurt, Universitätsbibliothek, Pap.-Hs. 75 151 Klosterneuburg, Stiftsbibliothek, Codex Claustroneoburgensis 634 151 København, Det Kongelige Bibliotek, Add. 447 151 København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 277 fol. 48, 50, 51, 62, 69, 152, 653 København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 1348 kvart 803 København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 1810 kvart 81, 152 København, Det Kongelige Bibliotek, NKS 275ª kvart 152, 455, 477, 482, 483, 657 København, Det Kongelige Bibliotek, Thott 825 kvart 152 København, Universitet, Institut for Nordiske Studier og Sprogvidenskab, Arnamagnæanske Samling, AM 544 4º 283 København, Universitet, Institut for Nordiske Studier og Sprogvidenskab, Arnamagnæanske Samling, AM 685 d 4º 283 København, Universitet, Institut for Nordiske Studier og Sprogvidenskab, Arnamagnæanske Samling, AM 736 III 4º 283 Kraków, Biblioteka Jagiellońska, 562 (DD III 66) 152 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 563 (DD III 49) 153 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 573 (DD III 37) 153 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 601 (DD IV 5) 153 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 609 (DD III 33) 153 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1479 (BB I 26) 153 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1838 (BB XXIII 15) 154 715 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1840 (BB XXIII 16) 154 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1844 (BB XXIII 20) 154 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1847 (BB XXIV 5) 154 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1848 (BB XXIV 6) 154 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1851 (BB XXIV 9) 154 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1854 (BB XXIV 12) 155 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1860 (BB XXIV 18) 155 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 1982 (BB XIV 18) 155 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 2703 155 Kraków, Biblioteka Jagiellonska, 3360 155 Kremsmünster, Stiftsbibliothek, 81 804 Kremsmünster, Stiftsbibliothek, 89 155 Kremsmünster, Stiftsbibliothek, 405 250 Leiden, Bibliotheek der Rijksuniversiteit, BPL 138 156 Leiden, Bibliotheek der Rijksuniversiteit, BPL 191 D 156, 804 Leipzig, Universitätsbibliothek, 1084 156 Leipzig, Universitätsbibliothek, 1462 156, 804 Leipzig, Universitätsbibliothek, 1470 156, 323, 477, 804 Leipzig, Universitätsbibliothek, 1486 35, 157, 457 Leipzig, Universitätsbibliothek, 1487 157 Leipzig, Universitätsbibliothek, 1605 157 Lilienfeld, Stiftsbibliothek, 144 81, 157, 327, 455, 760, 921 Lincolnshire, Lincoln Cathedral Chapter Library, 148 (B.1.8) 77, 81, 158, 445, 482, 483, 760 Lincolnshire, Lincoln Cathedral Chapter Library, 226 (B.6.4) 804 Lincolnshire, Lincoln Cathedral Chapter Library, 237 (A.7.7) 158 London, British Library, Add. 10336 804 London, British Library, Add. 15107 158 London, British Library, Add. 15108 158, 804 London, British Library, Add. 17716 282, 804 London, British Library, Add. 26770 35, 158 London, British Library, Add. 27589 159, 456, 482, 483 London, British Library, Add. 30380 159 London, British Library, Add. 31046 159, 804 London, British Library, Arundel 88 159 716 Índices London, British Library, Arundel 268 160 London, British Library, Arundel 332 160 London, British Library, Arundel 343 (†) 252 London, British Library, Cotton Cleopatra B.VI 160 London, British Library, Cotton Vitellius A.I 804 London, British Library, Egerton 841 161, 473, 474, 657 London, British Library, Egerton 843 161 London, British Library, Egerton 844 161, 255 London, British Library, Egerton 845 161 London, British Library, Egerton 847 162 London, British Library, Egerton 851 282, 804 London, British Library, Egerton 2622 159, 162, 282, 673, 804 London, British Library, Egerton 3130 162 London, British Library, Harley 1 257, 323 London, British Library, Harley 531 35, 162, 456, 482, 483 London, British Library, Harley 941 163 London, British Library, Harley 1350 257 London, British Library, Harley 3353 163 London, British Library, Harley 3647 163, 443, 444, 449, 456, 482, 483 London, British Library, Harley 3735 163, 455 London, British Library, Harley 3742 281 London, British Library, Harley 3814 A 164 London, British Library, Harley 3814 B 164 London, British Library, Harley 3843 164 London, British Library, Harley 4350 164, 449, 456, 482, 483 London, British Library, Royal 8 C IV 282, 804, 833 London, British Library, Royal 12 C XVII 164 London, British Library, Royal 12 E I 282, 804 London, British Library, Royal 12 E XVI 165 London, British Library, Royal 12 F XIX 165, 282, 804 London, British Library, Selden supra 26 282, 283 London, British Library, Sloane 286 165 London, British Library, Sloane 513 166, 282, 671, 804 London, British Library, Sloane 514 166, 477 717 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO London, British Library, Sloane 3281 257 London, British Museum, Egerton 2261 276, 283 London, British Museum, Royal 15 B IX 276 London, City University, sin n.º 166 London, Institution of Electrical Engineers, Thomson Collection 2 166 London, Institution of Electrical Engineers, Thomson Collection 4 166, 294, 455, 482, 483 London, Lambeth Palace Library, 260 167 London, Society of Antiquaries of London, Burlington House, 306 167, 804 London, University College, Lat. 4 167 London, University College, Lat. 15 167 London, Wellcome Historical Medical Library, 505 167 London, Westminster Abbey, 20 168 Lübeck, Stadtbibliothek, Math. 2 250 Lübeck, Stadtbibliothek, Philos. 11 168 Lund, University Library, Observatory, Medeltidshandskrift 48 168 Lüneburg, Ratsbücherei, Miscell. D 2º 13 168 Lüneburg, Ratsbücherei, Miscell. D 4º 46 168 Luzern, Zentral- und Hochschulbibliothek, P 19 4º 168, 456 Lyon, Bibliothèque du Palais des Arts, 45 804 Lyon, Bibliothèque municipale, 172 (104) 168 Macerata, Biblioteca Comunale, 4 169 Madrid, Biblioteca Nacional de España, 3058 169 Madrid, Biblioteca Nacional de España, 8312 169 Madrid, Biblioteca Nacional de España, 8883 36, 169 Madrid, Biblioteca Nacional de España, 8918 35, 169, 455 Madrid, Biblioteca Nacional de España, 8919 170 Madrid, Biblioteca Nacional de España, 9667 170 Madrid, Biblioteca Nacional de España, 17961 170 Mainz, Wissenschaftliche Stadtbibliothek, I 471a 170 Mainz, Wissenschaftliche Stadtbibliothek, I 528 170 Mainz, Wissenschaftliche Stadtbibliothek, I 530a 171 Mainz, Wissenschaftliche Stadtbibliothek, I 532 171 Mainz, Wissenschaftliche Stadtbibliothek, I 535 171 Mainz, Wissenschaftliche Stadtbibliothek, I 613 171 Mantova, Biblioteca Comunale Teresiana, 125 (A.IV.31) 172 718 Índices Mantova, Biblioteca Comunale Teresiana, 492 172 Maria Saal, Archiv der Dechantei, 15 172 Melk, Benediktinerstift, Cod. s.n. 11 (864, P 58) 105 Melk, Stiftsbibliothek, 796 (732, N 8) 172 Melk, Stiftsbibliothek, 871 (712) 172 Melk, Stiftsbibliothek, 873 (711) 173 Melk, Stiftsbibliothek, 951 (719) 173 Melk, Stiftsbibliothek, 967 (550) 257 Melk, Stiftsbibliothek, 1221 173 Merseburg, Archiv des Domkapitels, 106 173 Messina, Biblioteca Regionale Universitaria, Fondo Vecchio 8 174 Metz, Bibliothèque municipale, 258 804 Metz, Bibliothèque municipale, 261 174 Metz, Bibliothèque municipale, 284 174 Metz, Bibliothèque municipale, 326 174 Metz, Bibliothèque municipale, 1217 (†) 252 Michaelbeuern, Benediktinerstift, Man. cart. 81 174, 804 Michelstadt, Kirchenbibliothek, D 692 175, 325, 326 Milano, Biblioteca Nazionale Braidense, AD.XII.53 175 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, A 3 sup. 272 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, A 183 inf. 175 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, B 163 sup. 804 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, C 241 inf. 175 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, E 12 sup. 176 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, H 10 sup. 176 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, H 44 inf. 176 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, H 75 sup. 176, 456 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, I 29 sup. 177 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, I 72 sup. 279 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, M 23 sup. 177 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, M 28 sup. 177, 274 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, M 35 sup. 177 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, N 9 sup. 178 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, N 50 sup. 178 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, S 100 sup. 257 719 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, T 47 sup. 178 Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, T 69 sup. 178 Minneapolis, University of Minnesota, 10 178, 804 Montpellier, Bibliothèque Interuniversitaire, Section de Médecine, H 323 35, 179, 456, 482, 483 Moskvá, Rossijskaia Gosudarstvennaia Biblioteka, fony 218, 523 179 München, Bayerische Staatsbibliothek, Cgm 739 179 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 353 179, 456 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 657 179 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 3216 180 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 3523 804, 833 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 3843 180, 456, 482, 483 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 4382 180 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 4774 180 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 5538 181 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 5640 181 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 5963 181 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 5964 181 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 6748 181 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 7038 182 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 7088 182, 257 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 7089 257 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 7614 182 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 7650 182 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 7784 182, 804 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 9667 183 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 10273 78, 183, 456 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 10544 183 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 11067 72, 183, 323, 475, 477, 657 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 12257 184 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 12553 184 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 13021 272 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 13182 184 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14401 257, 323 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14476 323 720 Índices München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14529 184 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14622 184, 331, 332 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14684 72, 84, 185, 475, 477, 657 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14706 185 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14770 185, 456, 804, 833 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 16129 186 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 16544 258 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 17703 186, 446, 456, 482, 483 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 18780 186 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 18800 186 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 18927 272 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 19608 187 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 19695 187 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 19867 187 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 19869 187 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 21107 187 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 24514 187 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 24809 188 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 25007 188 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 26812 188 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 27444 188 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 28160 451 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 28217 188, 456, 482, 483 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 28275 189 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 29760 189 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 29790/11 258 München, Universitätsbibliothek, 4º 649 189 Nantes, Bibliothèque municipale, 456 804 Napoli, Biblioteca Nazionale Vittorio Emanuele III, VIII.C.18 279 Napoli, Biblioteca Nazionale Vittorio Emanuele III, VIII.C.22 285 Napoli, Biblioteca Nazionale Vittorio Emanuele III, VIII.C.46 190 Napoli, Biblioteca Nazionale Vittorio Emanuele III, VIII.G.86 190 Nelahozeves, Roudnice Lobkowicz Library, VI.F.e.62 258 New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 335 190 721 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 399 190 New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 556 77, 190, 457, 482, 483 New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 797 191 New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 977 191 New Haven, Yale University, Beinecke Rare Book and Manuscript Library, 1024 191 New Haven, Yale University, Medical Historical Library, 11 Vault 81, 191, 446, 457 New Haven, Yale University, Medical Historical Library, 22 Vault 191 New York, Columbia University, The Library of George A. Plimpton, 182 192 New York, Columbia University, The Library of George A. Plimpton, 183 192 New York, Columbia University, The Library of George A. Plimpton, 184 192 New York, Columbia University, The Library of George A. Plimpton, 185 192 New York, Columbia University, Rare Book and Manuscript Library, 14 192 New York, Columbia University, Rare Book and Manuscript Library, 36 258 New York, Cornell University (Ithaca), Misc. Bd. 146 193 New York, Hispanic Society of America, HC 397/726 272 New York, Public Library, Manuscripts and Archives Division, 69 50, 52, 69, 79, 81, 84, 124, 193, 293, 449, 456, 653, 668, 760 Nürnberg, Stadtbibliothek, Cent. V, 94 193 Nürnberg, Stadtbibliothek, Cent. VII, 53 193 Oxford, Bodleian Library, 4º D. 21 Jur. 804 Oxford, Bodleian Library, Add. A 2 193 Oxford, Bodleian Library, Add. C 93 193, 804 Oxford, Bodleian Library, Ashmole 341 258, 804, 833 Oxford, Bodleian Library, Ashmole 342 194, 456, 805, 833 Oxford, Bodleian Library, Ashmole 360 194, 805 Oxford, Bodleian Library, Ashmole 361 194, 805 Oxford, Bodleian Library, Ashmole 396 333 Oxford, Bodleian Library, Ashmole 399 195, 805, 833 722 Índices Oxford, Bodleian Library, Ashmole 1285 195 Oxford, Bodleian Library, Ashmole 1522 195, 805 Oxford, Bodleian Library, Auct. F.5.23 196 Oxford, Bodleian Library, Auct. F.5.25 196 Oxford, Bodleian Library, Auct. F.5.29 196, 805 Oxford, Bodleian Library, Bodley 26 197, 456, 482, 483 Oxford, Bodleian Library, Bodley 57 805 Oxford, Bodleian Library, Bodley 177 197, 805 Oxford, Bodleian Library, Bodley 472 197 Oxford, Bodleian Library, Bodley 491 197, 323, 477, 657 Oxford, Bodleian Library, Bodley 507 805 Oxford, Bodleian Library, Bodley 607 198, 805 Oxford, Bodleian Library, Bodley 679 198 Oxford, Bodleian Library, Canon. Ital. 157 198 Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 71 198, 805 Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 105 198 Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 156 199 Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 161 84, 199, 456, 477, 657 Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 393 199 Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 436 199 Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 561 199 Oxford, Bodleian Library, Digby 15 200, 805 Oxford, Bodleian Library, Digby 22 805 Oxford, Bodleian Library, Digby 48 37, 805 Oxford, Bodleian Library, Digby 81 200, 281 Oxford, Bodleian Library, Digby 93 200 Oxford, Bodleian Library, Digby 97 200, 282 Oxford, Bodleian Library, Digby 98 201, 805 Oxford, Bodleian Library, Digby 104 805 Oxford, Bodleian Library, Digby 166 201, 323 Oxford, Bodleian Library, Digby 190 201, 805 Oxford, Bodleian Library, Digby 193 202, 331 Oxford, Bodleian Library, Digby 215 202 Oxford, Bodleian Library, Digby 228 37, 202 Oxford, Bodleian Library, Douce 87 202 723 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Oxford, Bodleian Library, Douce 129 203 Oxford, Bodleian Library, Douce 257 203 Oxford, Bodleian Library, Fairfax 27 203, 805 Oxford, Bodleian Library, Laud. Misc. 527 805 Oxford, Bodleian Library, Laud. Misc. 644 203, 456 Oxford, Bodleian Library, Lawn medieval 22 805 Oxford, Bodleian Library, Lyell 36 204 Oxford, Bodleian Library, Lyell 52 204, 272, 274 Oxford, Bodleian Library, Rawlinson A 384 805 Oxford, Bodleian Library, Rawlinson C 677 204 Oxford, Bodleian Library, Savile 17 204, 331, 805 Oxford, Bodleian Library, Savile 21 285 Oxford, Bodleian Library, Selden sup. 26 273, 308 Oxford, Bodleian Library, Tanner 192 205 Oxford, Corpus Christi College, 41 205, 456 Oxford, Corpus Christi College, 144 205 Oxford, Corpus Christi College, 293B 205, 456 Oxford, Merton College, 16 206 Oxford, Merton College, 35 206 Oxford, Merton College, 261 206, 456, 482, 483 Oxford, New College, 285 207 Oxford, Saint John’s College, 178 207 Oxford, Saint John’s College, 188 207, 805 Oxford, Saint John’s College, 205 207 Oxford, University College, 26 208 Oxford, University College, 41 208 Padova, Biblioteca Civica, C.M. 215 208 Padova, Pontificia Biblioteca Antoniana, 25 208 Padova, Pontificia Biblioteca Antoniana, 539 208 Paris, Bibliothèque Interuniversitaire de la Sorbonne, B.b. 250 Paris, Bibliothèque Interuniversitaire de la Sorbonne, 192 209 Paris, Bibliothèque Interuniversitaire de la Sorbonne, 595 209 Paris, Bibliothèque Mazarine, 332 (1138) 209 Paris, Bibliothèque Mazarine, 3516 (494) 209 Paris, Bibliothèque Mazarine, 3637 (1256) 279 724 Índices Paris, Bibliothèque Mazarine, 3642 (1258) 273 Paris, Bibliothèque Mazarine, 3492 (1069) 805 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Bibliothèque de l’Arsenal, 1127 210 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Ital. 949 210 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 1093 210, 805, 833 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 3899 258 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 3947 451 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 3950A 451 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 3951 451 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 4038B 210 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 6626 274 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7194 210 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7195 211, 456, 477 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7196 81, 211, 760 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7197 211 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7215 211, 456 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7225A 279 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7267 211 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7280 37 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7292 212 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7294 212 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7298 212, 447, 456 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7359 273 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7363 212 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7366 213 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7367 279 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7392 37, 213 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7393 213 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7400 213 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7416B 213 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7420A 37, 214, 477, 797, 805 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7420B 214, 805 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7421 35, 214, 456 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7437 214 725 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7445 215 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7475 215, 456, 482, 483, 805, 833 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7477 215, 281, 322, 328, 805, 833, 921, 923 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 8247 805 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 8429B 216, 805 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 8445 216, 805 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 10252 216, 276 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 10268 37, 216 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 11267 217, 456 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14068 217 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14070 217, 281, 314, 316, 322, 328, 805, 821, 822, 832, 833, 921, 933 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14809 805, 833 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14877 217 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14926 218, 456, 482, 483 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15118 218 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15121 218, 457, 482, 483 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15122 219 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15124 219 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 15461 273, 277, 308 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 16089 259 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 16202 273 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 16208 272 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 16709 219 Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 561 219 Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 566 37, 220 Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 620 220 Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 625 220 Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 657 220, 806, 833 Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 1893 221 Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 3144 221 Paris, Bibliothèque Sainte-Geneviève, 1043 221, 457, 477, 482, 483 Paris, Bibliothèque Sainte-Geneviève, 2200 283 726 Índices Paris, Bibliothèque Sainte-Geneviève, 3141 221, 806, 833 Paris, Institut de recherche et d’histoire des textes, Collections privées, CP 430 222 Paris, Institut de recherche et d’histoire des textes, Collections privées, CP 431 222 Paris, Institut de recherche et d’histoire des textes, Collections privées, CP 475 222 Parma, Biblioteca Palatina, 309 222 Pennsylvania, University Library, Kislak Center for Special Collections, Rare Books and Manuscripts, LJS 26 222, 456 Pennsylvania, University Library, Kislak Center for Special Collections, Rare Books and Manuscripts, LJS 216 223, 456, 482, 483 Pennsylvania, University Library, Kislak Center for Special Collections, Rare Books and Manuscripts, 1881 223 Perugia, Biblioteca Comunale Augusta, H 76 223 Piazza Armerina, Biblioteca Comunale Alceste e Remigio Roccella, Za.V.12 223 Piazza Armerina, Biblioteca Comunale Alceste e Remigio Roccella, Za.VI.59 223 Pisa, Biblioteca Cathariniana, 63 49, 251 Praha, Archiv Hradu, Knihovna Metropolitní Kapituly, L.LII 259, 331 Praha, Archiv Hradu, Knihovna Metropolitní Kapituly, M.CIII 81, 224, 329 Praha, Archiv Hradu, Knihovna Metropolitní Kapituly, M.CIV 224 Praha, Archiv Hradu, Knihovna Metropolitní Kapituly, O.LV 224 Praha, Archiv Hradu, Knihovna Metropolitní Kapituly, O.LXI 806 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, I.G.6 224 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, I.G.24 224 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, I.G.40 224 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, IV.D.6 225 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, IV.G.2 225, 330 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, IV.G.8 225 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, V.G.14 225 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, VI.F.7 225 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, VII.E.9 78, 226, 329 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, VIII.E.27 226, 328 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, VIII.G.24 226 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, X.E.19 226 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, X.G.12 226 727 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, XI.D.7 226 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, XIII.F.17 227 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, XIV.E.32 227 Praha, Národní Knihovna Ceské Republiky, XIV.F.1 78, 227, 328 Praha, Státní a Univerzitní Knihovna, XIII.H.3.h.(2041) 282, 806 Princeton, University Library, Medieval and Renaissance Manuscripts, 168 259 Princeton, University Library, Robert Garrett Collection, 99 227, 448, 455, 477, 482, 483 Providence, Brown University Library, Latin 16 228 Ravenna, Biblioteca Classense, 133 228 Ravenna, Biblioteca Classense, 356 228 Reykjavík, Stofnun Árna Magnússonar í íslenskum fræðum, GKS 1812 kvart 283 Roma, Biblioteca Angelica, 104 (A.8.16) 228 Roma, Biblioteca Casanatense, 1473 228 Rovigo, Biblioteca dell’Academia dei Concordi, 13 (6, 4, 6) 229 Saint-Omer, Bibliothèque de l’Agglomération du Pays, 620 806 Salamanca, Biblioteca General Histórica de la Universidad, 2078 229 Salamanca, Biblioteca General Histórica de la Universidad, 2338 273 Salamanca, Biblioteca General Histórica de la Universidad, 2662 229 Salzburg, Benediktiner-Erzabtei Sankt Peter, Stiftsbibliothek, a.V.7 37 Salzburg, Benediktiner-Erzabtei Sankt Peter, Stiftsbibliothek, b.III.32 229 Salzburg, Benediktiner-Erzabtei Sankt Peter, Stiftsbibliothek, b.IV.16 229 Salzburg, Benediktiner-Erzabtei Sankt Peter, Stiftsbibliothek, b.VI.35 230, 806 Salzburg, Benediktiner-Erzabtei Sankt Peter, Stiftsbibliothek, b.IX.14 230, 323, 477 Salzburg, Studienbibliothek, M I 19 (V 1 H 149) 230 San Marino (California), The Huntington Library, Art Museum, and Botanical Gardens, HM 39465 230, 806 Sankt Florian, Stiftsbibliothek, XI 619 230 Sankt Gallen, Kantonsbibliothek Vadiana, Vad. Slg. 412 231 Sankt Gallen, Stiftsbibliothek, 827 231 Schlägl, Prämonstratenser-Stiftsbibliothek, Codex Plagensis 144 (824. 235) 231 728 Índices Sevilla, Biblioteca Capitular y Colombina, 5-4-48 231 Siena, Biblioteca Comunale degli Intronati, G.IX.40 231 Siena, Biblioteca Comunale degli Intronati, L.IV.20 279 Siena, Biblioteca Comunale degli Intronati, L.IV.21 280 Siena, Biblioteca Comunale degli Intronati, L.IX.22 232 Solothurn, Zentralbibliothek, S I 167 232 St. Florian, Stiftsbibliothek, 65 668, 823, 832 Stams, Stiftsbibliothek, 13 232 Stams, Stiftsbibliothek, 24 232 Stockholm, Kungliga Biblioteket, X 767 232, 477, 657 Toledo, Biblioteca Capitular, 47-15 232, 806 Toledo, Biblioteca Capitular, 98-28 233, 806 Torino, Biblioteca Nazionale Universitaria, H.III.3 (olim H.III.2) 233 Torino, Biblioteca Nazionale Universitaria, K2.IV.7 (G.V.40) 259 Toulouse, Bibliothèque d’Etude et du Patrimoine, 872 (III, 140) 233, 806 Tournai, Bibliothèque de la Ville, 87 (†) 77, 81, 252, 740 Trier, Seminarbibliothek, 118 806 Trier, Stadtbibliothek, 816/1345 233 Trier, Stadtbibliothek, 1072/78 251 Trier, Stadtbibliothek, 1074/1271 234 Trier, Stadtbibliothek, 1077/1263 234, 806 Trier, Stadtbibliothek, 1925/1482 234 Uppsala, Universitetsbibliotek, C 19 259 Uppsala, Universitetsbibliotek, C 231 234 Uppsala, Universitetsbibliotek, C 602 234 Uppsala, Universitetsbibliotek, C 629 235 Uppsala, Universitetsbibliotek, C 653 235 Uppsala, Universitetsbibliotek, C 655 235 Uppsala, Universitetsbibliotek, C 923 235 Uppsala, Universitetsbibliotek, Waller 74 236 Utrecht, Bibliotheek der Rijksuniversiteit, 292 (1.M.2) 236 Utrecht, Bibliotheek der Rijksuniversiteit, 722 (4.G.18) 236, 806 Utrecht, Bibliotheek der Rijksuniversiteit, 723 (1.M.1) 236 Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. VIII.1 (3044) 236, 456, 482, 483 Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. VIII.33 (2499) 236 729 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. VIII.68 (3416) 237 Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. VIII.74 (3577) 237 Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. XIII.35 (4589) 806 Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. XIV.190 (4490) 237 Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. Z.338 (1876) 237 Venezia, Museo Civico Correr, Cicogna 3747 (2712) 237 Verdun, Bibliothèque municipale, 25 (Belles-lettres 2) 237 Verona, Biblioteca Capitolare, CCLXI (233) 238 Washington D.C., Library of Congress, Rare Books Division, 94 238 Washington D.C., Library of Congress, Rare Books Division, 95 238 Washington D.C., Library of Congress, Rare Books Division, 96 238 Washington D.C., National Library of Medicine, 522 238 Washington D.C., Library of Otto H. F. Vollbehr, Hay-Adams House 1055 251 Washington D.C., Library of Otto H. F. Vollbehr, Hay-Adams House 1057 251 Weimar, Herzogin Anna Amalia Bibliothek, 4º 36 238 Wien, Bibliotheca Theresiana (Theresianum), 4º Cod. 20 239 Wien, Dominikanerkloster, 138 (108) 239 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 275 272 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 588 239, 457 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 1688 239 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 2367 239 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 2389 240 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 2445 35, 240, 457, 482, 483 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 2461 240 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 2520 240 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 3502 240 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 3816 323 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 4217 241 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 4767 241 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 4778 241 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5003 241 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5153 241 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5166 242 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5170 242 730 Índices Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5177 259 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5210 242 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5228 81, 243 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5232-5233 243 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5239*-5239 243 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5275 243 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5309 244 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5337 244 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 5371* 244 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, Series Nova 2632 244 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, Series Nova 4265 259 Wien, Österreichische Nationalbibliothek, Series Nova 20268 244 Wien, Schottenkloster, 166 81, 245 Wien, Schottenkloster, 305 245 Wilhering, Zisterzienserstift, IX 69 245 Windsheim, Stadtbibliothek, 105 245 Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Astronom. 4º 16.1 245, 806 Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Aug. 2º 78.3 245 Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Aug. 4º 51.9 806 Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Aug. 4º 54.8 246 Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Aug. 8º 68.13 246 Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Helmst. 696 246 Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Helmst. 874 246 Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Helmst. 930 246 Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Helmst. 965 247 Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Helmst. 1198 247 Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Novi 793 247 Worcester, Cathedral and Chapter Library, F 123 806 Worcester, Cathedral and Chapter Library, Q 53 247, 457, 482, 483 Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.34 248 Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.34 a 248 Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.36 248, 326 Wrocław, Biblioteka Uniwersytecka, IV.Q.37 78, 248, 324, 331, 332 Würzburg, Universitätsbibliothek, M. ch. q. 386 248 Zwettl, Stiftsbibliothek, 139 249 731 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Index initiorum Aggredientibus artem algorismi primo videndum est quid sit algorismus et unde dicetur 336 Algorismus dicitur ab algore primo eius inventore in quo sic agendum est 336 Aliquando modus sicut spera speram appetitus appetit, ita scribit philosophus tertio de anima Boetius 198 Allew dinkck die von ersten wegunstnuzz der ding sind wekomen 73, 333 Allgorismus is een aerst in den welken sun ghenificeert ix figuren 337 Ars coagulangi sive numeri aggreganti que ab inventore algorismus dicitur 336 Ceste signifiance est appellée algorisme de la quelle nous usons de teles figures 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 283 Circa algorismum primo docendum procedere, secundo addere, tertio subtrahere 114 Circa artem algoris. Notandum quod tota ars numerandi novem speciebus perficitur 337 Circa hanc scientiam que algorismus appellatur in primo videndum est quid sit algorismus 214 Circa inicium tractatus spere materialis quia est de astronomia 99 Circulus excentricus vel egresse cuspidis vel egredientis centri dicitur 83 Commentator super secundum metaphisice scribit hanc propositionem mathematice sciencie 329 Compotus est sciencia considerans tempora distincta secundum motus solis et lune 75 Computus est scientia considerans tempora ex solis et lunae motibus 74, 75, 292, 240 Cum hec scientia de numeris que algorismus 105, 117, 138, 145, 160, 196, 198, 204, 213, 220, 250 Cum multos de numeris tractatus vidisses nec in illo 85 Cum numero numerum addere volueris, prescribas, addendum autem ei supponas 278 Cum omnium artium inventores necnon earum inquisitores 281 Cum sit intentio emendare falsitatem 243 Declaratum est in logica et insinuatum alibi que quidem quadruplices essent discipline in genere 327 732 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11880#240042 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/11880#240042 Índices Dicente Boecio in principio arismetice omnia que a primeva rerum 159, 165, 194, 201, 206, 317, 436 Dixit Algorizmi: laudes deo rectori nostro atque defensori dicamus dignas 272 Eiusdem Commentarius in Algorismum de integris 328 Ergodiocti suo dulcissimo W, in se licet non humanissimo, B, ille suus individuus, quicquid in Christo jocundius 652 Et scientia presentis libri comprehenditur sub arismetica, scilicet textus omnino que a primeva. Omnia que. Iste liber qui algorismus dicitur in quo 330 Ex quo in hoc libro determinatur de astronomia. Sciendum est quod assignatur differencia inter astronomiam et astrologiam 169 Figure numerorum sunt novem 1.2.3.4.5.6.7.8.9., et est prima unitatis, secunda binarii et sic deinceps 284 Geometricales tractanti diversitates premonstrandum est 80 Geometrie due sunt partes 81 Hec Algorismus ars presens dicitur, in qua talibus Indorum fruimur bis quinque figuris 280, 338, 811, 836 Hec algorismus et cetera. In huius libri tractatum iiiior sunt inquirenda scilicet materia, intentio, utilitas, titulus 281, 921, 924 Hec presens ars dicitur algorismus ab Algore rege 282 Hic est nova species huius artis 332 Hic incipiunt regule et primum de aggregatione. Omnis numerus naturali dispositione circum se positorum 273 Hic nota quedam brevia super speram. Subiectum tractatus spere est totum vniuersum 235 In hoc libro qui dicitur algorismus 4 inquiruntur scilicet materia, intentio, utilitas et tytulus 327, 921, 994 In principio autem huius scientie numerandi 331 Incipit explanatio super algorizmum 284 Incipit lectura algorismi metrica. Vera creatrix unitas rerum sub unitate multitudinis condidit universa 214 Incipit liber abaci compositus a Leonardo filio Bonacii Pisano in anno m.cc.ii. 279 Incipit liber Radulfi laudunsis de abaco 277 Incipiunt anxiomata artis arismetice. Omnis numerus aut par aut impar, ut viii et iiii. Omnis etiam numerus aut simplex vel compositus, ut iii et xi xii, aut mixtus vel compositus 275 733 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/961#402127 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Intendit algorismus in hoc opere primum docere procedere, addere, duplicare, mediare, multiplicare, dividere per IX figuras yndorum 276 Inter IIIIor mathematicas disciplinas, quod sunt arismetica, geometria, musica, astronomia 281, 921, 934 Iste est liber de arte numerandi arismetice sciencie subordinatus 330 Li dui clerc qui ont translaté compot en roumans sunt hastés de plusors que a cheu s’ametent que en roumans argorisme metent 282 Liſt þeſſi heitir algoriſmus. hana funðo fyſt índuerſkir menn með 283 Macrobius scribit in libro suo ciceronis hominis 329 Minutiarum tractatum inchoantes dicimus nichil aliud esse minutias quam partes 284 Minutiarum vulgarium scribes superius numeratorem et inferius denominatorem 85 Non invenientes sed doctrinam tradita inde numerorum progressione ab Algore rege quondam Castellie 281 Notandum ex quo presens libellus est mathematicalis 332 Notandum quod sunt vii celi scilicet aereum, ethereum, igneum, sidereum, aquereum [sic] sive cristalinum et epireum 98 Numerorum diverse sunt differentie. In prima differentia continentur omnis numeri 278 Omnia que a primeva. Dubitatur circa incium istius libelli 328 Omnia, que a primeva etc. In hoc tractatu determinatur de arte numerandi sive de numero practico, in quo auctor sic procedit 323 Omnia que a primeva... Iste liber qui titulatur algorismus auctore Johanne de Sacro Busco 323 Omnia que a primeva rerum origine processerunt ratione numerorum formata sunt 69, 118, 175, 291, 317, 319, 362, 376, 486, 807 Omnia que sunt, alia sunt ex artificio hominis, alia non 277 Omnis sapientia sive scientia a domino deo, sicut scriptum est: hoc quod continet omnia scientiam habet 283 Omnis scientia per instrumentum operativa 79, 254, 258, 292, 762 Optimo iure ars hanc mihi protulisse 255 Ordines igitur numerorum sive limites a primis numeris, qui digiti vocantur et sunt novem 274 Per istas quatuor tabulas 80 Primum horum armilla per quam suspenditur astrolabium 80 734 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/956#223576 Índices Propter multiplicis laboris aleviatione 255 Quia de numeris facta est inventio ab alconri [sic] incipiamus 337 Quidlibet intellectum respectu partis aut partium nuncupatur totum 285 Quis titulus huius artis? Quid in ea docetur? Qualiter ad quid videndum? Titulus talis: Incipit algorismus 335 Quisquis in quatuor matheseos disciplinis efficacius vult proficere numerorum rationes primum studeat apprehendere 273 Quisquis namque scientias mathematicas praetermiserit 329 Quoniam de quarta introducendis matheseos nos fari disciplinarum presens tempus ammonuit 272 Quoniam dicitur a boecio in principio arismetice omnia quecumque a primeva rerum origine constituta sunt 203 Rerum generat cognitionem que quidem cognicio est certissima 328 Sciendum quod annus secundum ecclesiam continet 365 dies 219 Sciendum quod Humenix philosophus summus Egyptiorum 51 Scire debes quod circulus solis habet 81, 137, 254 Scito quod astrolabium est nomen grecum 80 Scribitur primo de anima quod omnis scientia 257 Sed tytulus: Incipit Algorismus prosaicus de integris magistri Johannis de Sacrabusco. Omnia que a primeva 331 Seneca dicit in quadam epistola ad Lucillum, proiice [sic] omnia 198 Sequens presens liber est arismetricalis. Videndum est primo circa inicium presentis libri quid sit arismetrica et unde dicatur 332 Si fuerit altitudo in equalitate 80 Si numerus datus in duo dividatur quorum differentia data 285 Si quis in quatuor matheseos disciplinis exercitandus expeditius ad earum inquisitionis documenta volet accedere 274 Si vis componere quadram prius habeas tabulam rectissime quadratam 652 Si vis ducere digitum in se, scribe eius decuplum et aufer eum a suo decuplo 278 Sicut dicit philosophus in principio libri de anima 67 Sint hic milites, pedites et puellae 84 Spere tractatus in hoc nostro opere triplex est 48 Therfore sithen the science of the whiche at this tyme we intendene to write of standithe alle and about nombre 333 735 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/6016#231495 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO This boke is called þe boke of algorym, or Augrym after lewder vse. And þis boke tretys þe Craft of Nombryng 282 Tractatum istum in quo docebimus omnium vere mensuras cognoscere 744 Tractatum spere etc. Quia hic tractatus de spera astronomie subicitur 235 Tractatus de sphera quattuor capitulis distinguimus 61 Una scientia est nobilior 49 Unum trium vocetur binarius alius ternarius quarter quaternarius 278 736 https://www.gutenberg.org/files/25664/25664-h/25664-h.htm#terms_algorisme https://www.gutenberg.org/files/25664/25664-h/25664-h.htm#gloss_lewder https://www.gutenberg.org/files/25664/25664-h/25664-h.htm#gloss_craft Índices Index scribarum Antonius Barensis 177 Aurelius Laurentius Albrisius 176 Bartholomeus abbas S. Gregorii Venetiarum 174 Cennini 144 Conradus de Geisenfeld 173 Frater Christianus 157 Gulielmus Piccavensis 217 Henricus de Salbinger 185 Jacob Styer 152 Jacobus Comes Iuliarius 238 Jacobus de Milisapris 191 Jodocus Bertold de Ziegenhals 248 Johanne Baptista Borrio de Labia 159 Johannes de Berck Zabernia 133, 326 Johannes de Laynsteyn 146 Johannis de Smola 78, 227 Johannes Francfordensis 171 Johannes Lemlein 170 Johannes Picot 209 Johannes Sellator 99 Johannes Virdung de Hassfurt 122 Johannes Wissbier von Gmünd 94 Johannis de Bacis 103 Johannutius de Albeto 199 Lorenzo Bonincontri 126 Nicholas de Grabostow 153 Nicolaus Ellenbog 94 Nicolaus Matz 72, 175, 325, 326, 334, 656 737 LA TRANSMISIÓN TEXTUAL DEL CORPUS DE SACROBOSCO Nicolaus Pykel 155 Nikolaus Currificis de Freiberg 102, 329 Olavus Johannis Guto 235 Oswaldus de Salzburg 230 Petrus de Planass 227 Petrus Pelka 154 Purchardus Gamoret de Sludrina 151 R. Wryxham 158 Raynaldus de Messana 228 Richard Dove 166 Theodericus Ruffi 183 Tilmannus de Colonia 171 Ulrich Würfel de Núremberg (rubricador) 170 738 APÉNDICES Edición del Quadrans Ante la ausencia absoluta de ediciones tanto modernas como antiguas del Quadr., aportamos aquí la primera edición crítica de esta obra y su primera traducción al castellano. Para ello, hemos seleccionado todos los testimonios de la obra que hemos podido localizar datados entre mediados del s. XIII, fecha de composición de la obra, y mediados del s. XIV, abarcando así la primera centuria de transmisión del tratado. Esta selección de códices para elaborar la presente edición que privilegia los más antiguos responde a una cuestión de uniformidad y coherencia con el resto de nuestro trabajo, en el que intentamos reconstruir la primera tradición del Algor. de Sacrobosco y las obras ligadas a él dentro de este período trecentesco. Con esta decisión, podemos poner en relación la tradición de las obras estudiadas en el mismo arco temporal, lo que permite observar cómo interaccionan entre ellas y las influencias recíprocas que reciben estas obras contemporáneas entre sí. Para el presente estudio, por tanto, contamos con un total de 8 testimonios que contienen el Quadr.814. De todos estos, no hay ninguno que no venga acompañado en el códice por las otras tres obras atribuidas a Sacrobosco, es decir, Algor., Compot. y Spher. Como decíamos supra en la introducción a la obra, esto se debe a que la tradición textual de este opúsculo de los siglos XIII y XIV está intrínsecamente ligada con el resto de obras del autor, siendo así que su relevancia en este primer período se debe probablemente al prestigio del propio Sacrobosco. Más adelante, en el s. XV, se percibe una independización del Quadr. respecto a Algor., Compot. y Spher., copiándose exclusivamente en misceláneas de tratados sobre instrumentos astronómicos en una época en la que el auge de la navegación precisaba de tales compendios (cfr. supra, en síntesis de la tradición manuscrita del Quadr.). La brevedad del Quadr., que apenas comprende unas 2300 palabras, hace que no sean excesivos los errores significativos que encontramos en ella. Para establecer una relación entre los testimonios que permita reconstruir un stemma fidedigno, hemos examinado cada una de las variantes que han quedado patentes tras la colación de los ejemplares y las hemos relacionado entre sí a la luz de dos elementos: la coherencia del texto y la fuente. El primer aspecto es resbaladizo en tanto en cuanto un copista que supiera de la materia podría hacer correcciones y conjeturas si intuyera un pasaje que un pasaje estaba corrupto o que se alejaba de lo que el texto debería decir. Por esta razón, hemos tenido en cuenta tan solo aquellos errores que, o bien un copista docto no los habría percibido como tales por constituir un texto correcto, o bien que de ninguna manera podrían ser enmendables. Respecto a las fuentes, uno de los mayores problemas a los que nos enfrentamos es la falta de bibliografía al respecto: todavía hay mucho material inédito en el gran campo de los tratados astronómicos, entre los que se incluyen las obras sobre el cuadrante. Esto hace que sean muchos los opúsculos de este género todavía inéditos y, por tanto, desconocidos, lo que hace imposible que podamos elaborar un estudio de fuentes para el Quadr. a fondo. Es esta la razón que explica que, hasta la fecha, tan solo contemos con el estudio de Knorr (1997b, 187-222) para saber qué obras pudo emplear Sacrobosco para escribir el Quadr. Así las cosas, concordando con los 814 Cuya descripción se puede consultar supra, en el censo de manuscritos. De los testimonios del Quadr. anteriores al s. XIV tan solo no hemos podido colacionar, lógicamente, † Tournai, Bibliothèque de la Ville, 87, ff. 112ra-116rb, por tratarse de un manuscrito destruido. 739 APÉNDICES resultados provisionales de este estudioso, hemos podido comprobar los paralelismos señalados por Knorr entre la obra de Sacrobosco y sus fuentes: ora las Tabule solis, ora Pseudo-Messehallah (cfr. supra). No obstante, el contenido del Quadr. excede las informaciones que se encuentran en una y otra obra, de tal suerte que podemos encontrar en ellas el punto de referencia solo para un tercio del opúsculo de Sacrobosco. Quedan, por lo tanto, otros dos tercios del Quadr. que, o bien compuso Sacrobosco sin una fuente de referencia, o bien se compusieron bajo la guía de unos modelos todavía desconocidos. Apoya la primera hipótesis el hecho de que este sea, si no el primero, sí al menos uno de los tratados pioneros sobre el quadrans vetus. Sin embargo, también contamos con argumentos que defienden la segunda hipótesis, esto es, que existen fuentes sobre las que se apoya Sacrobosco para componer el Quadr. pero que todavía no han sido identificadas. Puesto que todas las otras obras del autor cuentan con varias fuentes conocidas, textos que, además, se suelen tomar con una literalidad patente, sería lógico pensar que lo mismo ocurre en el Quadr. A todo esto se suma el hecho de que las Tabule solis no cuentan con una edición crítica actual, por lo que Knorr (1997b) escoge principalemente para su estudio las lecturas de nuestro N815. Ante la ausencia de edición de las Tabule, nosotros también tomaremos este mismo manuscrito para ofrecer las correspondencias entre esta fuente y el Quadr., puesto que es el testimonio fechado de las Tabule más antiguo que tenemos (ante 1262). Para los pasajes paralelos con la segunda parte del Astrolabium de Pseudo-Messehallah citaremos según la edición de Gunther (1929). En este sentido, hay dos tratados anteriores al Quadr. que describen instrumentos similares y cuyas correspondencias textuales son claras. A pesar de no haber llevado a cabo un estudio exhaustivo de estos tratados en relación con la obra de Sacrobosco, pensamos que bien podrían ser fuentes del Quadr., debido a dichas correspondencias. Estos son los tratados sobre el quadrans vetustior (Jacquemard, Desbordes y Hairie, 2007, 79-124)816 y el Quadrans vetustissimus (Nothaft, 2019, 517-34), que lleva por título De compositione quadrae, id est quarta parte astrolabii817. Estos manuales, compuestos entre los ss. XI-XII, describen, como decíamos, la realización y el uso de estas tipologías de cuadrantes usados en Europa en esta época. A la espera de discernir en trabajos futuros si dichas fueron usadas (o no) por Sacrobosco para componer su obra, en la presente edición indicaremos en el aparato de fuentes los pasajes paralelos que encontramos en estos tratados respecto al Quadr. Por las razones dadas, ofrecemos esta primera edición crítica como un acercamiento crítico provisional, que pretende ofrecer un primer estudio y un texto de trabajo. Dejamos para futuras investigaciones un estudio en profundidad de las fuentes de esta obra, que podría aportar otros datos para la reconstrucción del texto. 815 Aunque es cierto que en ocasiones ofrece las lecturas de otros testimonios, pero sin ofrecer un estudio de la transmisión del texto, puesto que no es este su objetivo. 816 Inc.: Ergodiocti suo dulcissimo W, in se licet non humanissimo, B, ille suus individuus, quicquid in Christo jocundius. Se trata de un pequeño opúsculo escrito en forma epistolar por un tal Berengario y dedicada a un cierto Werinherus, ambos dos del círculo o incluso familiares de Hermann de Reichenau o Hermann el Cojo († 1054), a quien se atribuyó su autoría en el pasado. 817 Inc.: Si vis componere quadram prius habeas tabulam rectissime quadratam. De autoría anónima, este tratado que lleva por nombre De compositione quadre, id est quarta parte astrolabii, describe este instrumento astronómico que sería una versión del cuadrante posterior al vetustior y anterior al vetus. 740 Edición del Quadrans 1. Estudio de la tradición textual 1.1. El hiparquetipo Va y su descendiente Y 1.1.1. Errores conjuntivos de Va Y Son varios los errores conjuntivos que permiten postular una relación entre los testimonios Va Y. En este sentido, contamos con las siguientes innovaciones: (1) l. 37/47 Hiis habitis ponatur quadrans super asserem planum et cum regula protrahatur linea longa extra quadrantem in directo linee marginalis a parte dextra, in qua centra arcuum horarum invenientur. Posito igitur pede circini in linea illa longa, extendatur periferia donec tangat centrum quadrantis et extremitatem linee longe prime ex parte sinistra et circumducatur periferia a puncto ad punctum ut fiat arcus prime hore. Vel sic ponatur pes circini in puncto centri quadrantis et extendatur periferia quousque tangat extremitatem linee longe a dextris et ibidem quiescente, periferia ducatur pes circini ad lineam longam extra quadrantem818 periferia] ita quod pes fiat periferia et pes stet in fine linee marginalis add. Vaa Ya, del. Vac Yc En este punto, los testimonios Va Y han añadido una glosa en el texto que responde a una aclaración de unas líneas más arriba. Se está explicando cómo hacer los arcos de las horas a través de una serie de líneas y arcos cuyo primer paso es hacer una línea larga en la línea marginal derecha y poner allí el pie del compás para trazar un arco. Es a esto a lo que se refiere el apunte de Va Y, quienes precisan que el compás hace la circunferencia con el pie mantenido al final de la línea marginal. Esta adición, que en su origen haría referencia al primero de los tres periferia (extendatur periferia) y que probablemente iría en el margen en algún hiparquetipo, en ambos testimonios se ha introducido en el último periferia (periferia ducatur), donde ya no tiene sentido. Los copistas, lejos de pasar por alto esta falta, eliminan la frase con la palabra vacat cuyas sílabas sitúan en correspondencia con su inicio y su final. La inserción de la glosa en el lugar equivocado no puede ser casual, igual que, a nuestro juicio, tampoco lo es la opción de emplear vacat para eliminarla. (2) l. 81/82 Sumatur igitur nomen mensis in quo estis in margine superiori et dies mensis presens in sinistra linea819 estis] summus Va Y El empleo de summus por parte de Va Y en lugar de estis es un error que podría pasar fácilmente desapercibido, puesto que el texto conserva su significado y, de hecho, es coherente con el verbo de unas líneas más arriba: Capiatur igitur tabula serviens anno in quo summus (l. 76/77). Se adivina como innovación gracias a la fuente, las Tabule solis, donde se emplea estis: Sumatur igitur mensis in quo estis (N, f. 12v, 8). El hecho de que el texto tenga sentido pleno con la innovación y concuerde con el usus del autor, quien a lo largo del tratado tiende a emplear la segunda persona del singular (tanto en verbos como en deícticos del tipo tibi), hace que esta falta 818 «Hecho esto, se pone el cuadrante sobre una plancha plana y con una regla se traza una línea larga más allá del cuadrante, en dirección recta hacia la línea marginal de la parte derecha en la que se encuentran los centros de los arcos de las horas. Luego, puesto el pie del compás en aquella línea larga, se extiende la circunferencia hasta que toque el centro del cuadrante y el extremo de la línea larga primera de la parte izquierda y se traza una circunferencia desde un punto hasta el otro punto para que se forme el arco de la primera hora. O bien de esta otra manera: se pone el pie del compás en el punto del centro del cuadrante y se extiende la circunferencia hasta que toque la extremidad de la línea larga de la derecha y así mismo, manteniéndolo quieto, se lleva el pie del compás hacia la línea larga de más allá del cuadrante». 819 «Se toma el nombre del mes en el que estás en el margen superior y el día actual del mes en la línea izquierda». 741 APÉNDICES sea incorregible a ojos del lector, incluso si este fuera erudito. Queda esta, por tanto, como una innovación erudita por parte de Va Y, quienes modifican el estis por summus a efectos de una mayor coherencia textual. (3) l. 234/235 Si vero ceciderit supra umbre everse820 umbre everse] umbre verse Va Y (4) l. 239 si vero supra eversam eversam] versam Va Y El término de umbra eversa se emplea tanto en la Spher. como en el Quadr. en contraposición con umbra extensa. La primera es la sombra proyectada de un objeto que está en línea perpendicular respecto al horizonte, mientras que la segunda es la longitud de la sombra que proyecta un objeto que se alza en el plano del horizonte. De manera práctica, en el cuadrante (y también en el astrolabio) se inscribe un cuadrado dividido en dos partes, uno para la umbra extensa y otro para la umbra versa: al apuntar con el instrumento ya sea en alguna dirección, ya sea hacia algún objeto, la sombra que se produce (o la plomada, si la estamos usando para medir) se proyecta en una parte o en la otra. Dicho esto, en la terminología de la época es habitual que la umbra extensa se llame también umbra recta y la umbra eversa, umbra versa. El hecho de que hayamos percibido el error en los dos pasajes arriba señalados, aunque el término sea correctísimo, responde al uso particular de Sacrobosco, quien emplea siempre, tanto en la Spher. como en el Quadr., umbra extensa y eversa, y nunca recta y versa. (5) l. 237/239 Unde sciendum quod si fuerit perpendiculum supra dyametrum quadrantis, erit altitudo rei equalis longitudini adiecta sibi statura821 statura] mensoris add. Va Y En esta ocasión, Va Y añaden una precisión oportuna a la frase, puesto que se refiere, en efecto, a la estatura del mensurador. Son dos las causas que nos permiten considerar esta lección como error. La primera de ellas, es la fuente, donde se omite el término mensoris, que ya se da por supuesto porque se ha nombrado unas líneas antes (igual que en el Quadr.). Así, en Pseudo- Messehallah: Unde notandum quod si fuerit regula super dyametrum quadrantis, est rei altitudo equalis longitudini, sibi addita statura (Gunther, 1929, 231, cap. 2.45, 15/18). La segunda razón es el hecho de que se trate de una adición de carácter glosador: la supuesta omisión de mensoris es inverosímil, porque el texto resulta aún más claro; por el contrario, su interpolación sí se justifica como un glosa destinada a clarificar el sentido. (6) l. 238/239 et si fuerit supra umbram extensam, erit altitudo minor longitudine, si vero supra eversam, erit altitudo maior longitudine822 supra umbram extensam] supra extensam Va Y En esta frase, que sigue al error anterior (5), Va Y omiten umbram del sintagma supra umbram extensam. Demuestra que esto es un error de la fuente, las Tabule solis, que contienen en este pasaje umbram: Et si fuerit super umbram extensam, est altitudo maior longitudine, si vero est super versam, minor longitudine. Por otro lado, quizá podamos explicar el error de Va Y con la segunda parte de la frase, donde se omite deliberadamente umbram en supra eversam porque ya no crea confusión. 820 «Si cayera en cambio sobre los puntos de la sombra invertida». 821 «De ahí se conoce que, si la plomada estuviera sobre el diámetro del cuadrante, la altitud de la longitud de lo que quieras medir será igual a la longitud sumada a su estatura». 822 «Si estuviera sobre la sombra extendida, será la altitud menor que la longitud; si, en cambio, sobre la invertida, la altura será mayor que la longitud». 742 Edición del Quadrans 1.1.2. Dependencia de Y respecto a Va Como decíamos supra en el estudio estemático del Algor., la fecha composición de los códices impide que Va descienda de Y. Esto lo confirman los numerosos errores separativos presentes en Y: l. 19/20 arcus graduum quarte firmamenti partis] arcus quarte parte firmamenti Y l. 27 in tres partes] equales add. Y l. 31 in tres equaliter per circinum] in tres partes per circinum equaliter Y l. 36 graduum in 5 dividatur] graduum dividatur in quinque partes equales Y l. 37/119 hiis – habebitur] post 174 cuiuslibet signi transp. Y l. 79 sub quibus gradus et minuta] habentur add. Y l. 120 formari habet] formatur Y l. 120/138 in – formati] om. Y l. 164 arcu] linea Y l. 169 et sic deinceps] taurus gemini add. Y l. 171 et deinceps] scorpius sagittarius add. Y Va, por el contrario, no presenta errores propios. Esta particularidad apuntaría a que Va fue el modelo directo de Y. Apoyan este hecho las numerosas ocasiones en las que Y incluye en texto las correcciones que Va transmitía supra lineam o in margine, igual que ocurría en el Algor., pero con mayor número de evidencias: l. 14 removeatur] quare sic fiat fiat circulus in plana tabula cuius quarta adequantur quadranti et illius circuli rectissime accipiatur quarta pars cum circino et secundum illius quantitatem fiat quadrans vel sic fit rectus angulus geometrice industria protrahatur linea recta deinde circino fixo in una extremitate et alio eius pede ultra eiusdem linee medietatem extenso ex utraque eius parte fiat linearis protractio postea fixo circino in alia eius extremitate linee consimiles describantur que intersecabunt priores ex utroque latere linee prime deinde a punctis intersectionum ducatur linea secans ex transverso lineam predictam et constituentur quatuor anguli recti supra quorum quemlibet poterit quadrans constitui in hunc modum add. Vam Y823 l. 23 extremitates] deinde constringat circinus ut fiat arcus interior relinquendo spacium septem linearum ad opus cursoris add. Vam Y l. 30 intersecans] et spatium cursoris usque ad arcum interiorem ad quarum extremitates terminantur arcus horarum add. Vam Y l. 193 si autem] sol add. Vas Y Todo ello sugiere la depencia de Y respecto a Va, lo que se demuestra por evidencia directa, tal como hemos descrito supra en el estudio estemático del Algor. 823 Hemos encontrado paralelos entre esta adición y el texto de otro tratado sobre el cuadrante inédito, con inc.: Tractatum istum in quo docebimus omnium vere mensuras cognoscere (ms. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1381, ff. 165r-169v). La relación entre ambos todavía está pendiente de estudio, donde se debería abordar si es este un tratado anterior al Quadr. de donde han cogido extractos para completar la obra de Sacrobosco, o si por el contrario se trata de un opúsculo que nace de los comentarios marginales al Quadr. Si fuera la primera opción, convendría entonces analizar hasta qué punto esta obra influye en el Quadr., o incluso si podría ser una de sus fuentes. 743 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/9987#200165 APÉNDICES 1.1.3. Y, copista innovador Detectada tal relación, a continuación procederemos a comentar el comportamiento de Y respecto a su modelo, Va. Primero, podemos afirmar que se trata de un copista que respeta por lo general la apariencia de Va: conserva tanto el texto principal como las glosas y los paratextos (esquemas y dibujos) de su modelo. En el Quadr. hemos detectado tan solo dos casos donde Y no copia la glosa marginal de Va. En el primero de ellos, parece que resume el comentario824 y en el segundo directamente lo elimina: l. 76 deinde] prima quidem tabula servat anno bissextili secunda primo anno post bissextum tertia secundo quarta tertio de quinta autem dicetur postea vide in quoto anno sis et tabulam suam queras qua inventa in margine superiori invenies 12 menses cum signis eorumdem et in latere sinistro marginali omnes dies mensium 12 ponitur in prima linea totius tabule descendendo et in quanto die mensis fueris tabulam ingredes usque ad numerum angularem linee mensis et linee dierum et quantum numerum ibi reperis in toto gradu signi sub quo continetur numerus ille dic esse solem et circa medium mensis sol intrat novum signum habito gradu signi in quo est sol eas ad tabulam quinta que dicitur tabula declinationis solis sive contratabula in cuius margine superiori scribuntur 12 signa per tres quadruplicitates et qualibet 4 signa sequitur declinatio solis ab equinoctiali in tribus lineis in quarum prima hora per quot gradus sol declinat ab equinoctiali circulo in secunda per quot minuta ultra gradus in tertia per quot secunda ultra minuta et gradum signi in quo est sol quantum invenisti in priori tabula quare in gradibus illius signi versus dextram in linea declinationis solis videas per quot gradus declinat sol ab equinoctiali et in linea minutorum et si invenias plus quam 30 vel 30 primo gradu sumas et illum addas gradibus si vero minus quam 30 per nullo sed horam astronomicam inventam itaque solis declinatione necesse est etiam scire elevationem poli in regione in qua fueris qua invenias polo per spatium per ambo foramina pinnarum deinde accipe numerum graduum per quantum elevatio polus et residuum quod remanet a 90 et numerus stabilis quia quantam distantiam es in regione illa non oportet te illum mutare numerum stabilem adde declinationi solis si signum in quo es est septentrionale si vero fuerit australe substrahe numerum declinationis solis deinde facta additione vel substractione super ultimum gradum ponatur perpendiculare quo stante finitur ponatur circulus super lineam sive arcum meridiem et erit quadrans spatius add. Vam, in quinta tabula in cuius margine superiori scribuntur XII signa per tres quadruplicitates [triplicitates Ya] et quelibet 4 signa sequitur de climatio solis ab equinoctiali in tribus lineis in quarum prima habetur per quot gradus sol declinat ab equinoctiali circulo in secunda per quot minuta ultra gradus in tertia per quot secunda ultra minuta add. Ym l. 173 signi] menses in cursore sic disponitur ianuarius incipiat a 18 gradu capricorni et in 19 minuto februarius in 19 gradu aquarii et 43 minuto martius in 17 gradu piscium et 58 minuto aprilis in 18 gradu arietis et in 54 minuto maius in 17 gradu tauri et in 51 minuto iunius in 17 gradu geminorum et 10 minuto iulius in 15 gradu cancri et 38 minuto augustus in 15 gradu leonis et 14 minuto septembris 15 gradu virginis et 38 minuto octobre 15 gradu libre et 5 minuto novembre 18 gradu scorpionis et 10 minuto decembre 18 gradu sagitarii et 43 minuto quare patet in hac tabula menses signa gradus minuta ianuarius capricornius 18 19 februarius aquarius 19 43 martius pisces 17 58 aprilis aries 18 54 maius taurus 17 51 iunius gemini 17 10 iulius cancer 15 34 augustus leo 15 14 septembre virgo 15 34 octobre libra 15 5 novembre scorpius 16 10 decembre sagittarius 16 41 et nota quod longitudo huius tabule debet esse a tropico hiemali ad tropicum estivale videlicet 47 graduum ad minus et potest relinqui spatium in extremitatibus cursoris add. Vam Ambas glosas son comentarios que Va hace sobre el pasaje relacionado con las Tabule solis (l. 72/104), donde Y presenta una larga adición. Tal añadido, que exponemos a continuación, podría responder al hecho de que Y no copie de su modelo las Tabule solis que siguen al Quadr. Así las cosas, el copista pudo verse impulsado a completar información sobre las tablas en el 824 Además, en este punto, como veremos, Y incluía en texto una larga adición sobre las tabule (cfr. infra). 744 Edición del Quadrans propio texto del Quadr. Al modificar el texto principal, es plausible que el copista ya no considerara necesario copiar las glosas que comentaban el texto de Va. l. 76 deinceps] in quarta tercio post bissextum, in quinta autem tabula que est declinationis solis ab equatore accipitur numerus gradium in lineis numerorum ad hic tamen modo ut in lineis declinationis possit haberi vera declinatio solis que habita possumus habere solis altitudine in qualibet regione in meridie per additionem vel subtractionem declinationis ad elevationem id est ad altitudinem capitis arietis supra orizontem sicut dicit canon notandum quod cum est annus tercius post bissextus secundum ecclesiam tunc est annus bissextilis secundum astronomos quamvis eodem tempore apud ambos contingat bissextus et hoc est quia astronomi incipiunt annum a martio et eodem anno in februario contingit bissextus similiter cum secundum ecclesiam est annus bissextilis tunc secundum astronomos est primus a bissexto et sic deinceps computabitur. astronomi enim semper anticipatur annum unum unde cum est annus bissextilis secundum ecclesiam tunc deservit illi anno tabula quadrantis post bissextum et cum est primus annus a bissexto secundum ecclesiam illi anno deservit secunda tabula post tabula bissextilem et sic de aliis sexta tabula dicitur tabula umbre nam ipsa docet metiri altitudinem cuiuslibet rei per suam umbram continet autem hoc tabula in latitudinem sua novem lineas quarum prima et quarta et septima continent omnes gradus quadrantis designantes gradus altitudinis solis et incipiens numerus ab unitate progresitur naturaliter usque ad 90 secunda vero linea et tercia et quinta et sexta et octava et nona continent portiones in quas distinguenda est umbra rei si velis ergo scire altitudinem alicuius rei vide primo per quandrantem quod gradibus sol elevetur et numerum graduum illorum quare in lineis rubeis designatibus gradus altitudinis solis et numerus proximus positus in eadem linea versus dexteram cum suis minutis ostendit per quot portiones debet umbra rei dividi et si numerus portionum est maior quam xii reiciatur quicqui est super xii umbra divisa in tot portiones quot numerus monstrat. deleantur ab umbra portionem que sunt supra xii si vero non sint xii portiones addantur portiones equales donec duodecim compleantur et semper altudo [sic] rei equipollet talibus xii postionibus sive numero portionum addatur aliquo sive ab eo aliqui subtrahatur ad habendum igitur solis altitudinem add. Y Siguiendo con lo anterior, hemos detectado que Y conserva incluso los calderones y las iniciales rubricadas en los mismos lugares que Va. Estéticamente, sin embargo, Y prefiere emplear dos columnas donde en Va tan solo hay una, de manera que cada página de Va se corresponde con una columna de Y. Este mecanismo es fácilmente explicable al observar la gran cantidad de obras que contiene el códice Y: es muy probable que el copista quisiera ahorrar espacio para copiar el mayor número de tratados posibles con el menor gasto de material, lo que además haría que el códice fuera más fácil de manejar por su volumen. En cuanto a las innovaciones de Y, además de la omisión de las dos glosas señaladas y la larga adición en Quadr., que a su vez responde a la omisión de las Tabule solis, observamos un cambio en el orden de las obras. Mientras que Va mantiene la ordenación anómala ASQC, Y cambia las dos últimas obras: ASCQ. Parece este un cambio lógico puesto que en los manuscritos del s. XIII, como hemos visto, encontramos con frecuencia las tras obras mayores de Sacrobosco juntas sin el Quadr., que quedaría como una suerte de apéndice respecto a los tres tratados anteriores en aquellos manuscritos que sí lo transmiten. Otro cambio que introduce Y es la eliminación de los breves comentarios (de apenas un folio) tras las obras y la supresión, como decíamos, de las Tabule solis. También observamos una transposición notable en el Quadr.: l. 37/119 hiis – habebitur] post 174 cuiuslibet signi transp. Y Explicamos esta anomalía con el propio título que le había dado Y al Quadr. (en el margen): Quadrans cum cursore. En nuestro texto reconstruido del Quadr., Sacrobosco explica primero el cuadrante sin cursor, luego su funcionamiento y a continuación el cuadrante con el cursor. Como Y tan solo tiene interés por el cuadrante con cursor, invierte el orden y pasa la explicación del cuadrante con cursor antes de su funcionamiento. 745 APÉNDICES Otras innovaciones menores son la introducción de nuevas glosas y modificaciones en las rúbricas. En cuando a la primera, hemos podido notar que Y añade algunas glosas a aquellas que copia de Va, aunque estas son menores respecto a aquellas: l. 242 exit] si perpendiculum cadat supra puncta umbre recte sive extense ubi primum pinnule semper altitudo rei totiens et iterum spatium quod est a loco ubi stas et pedem rei quota est linea dicta a linea perpendiculari ut si perpendiculare cadat supra secundam lineam inclusive intellige tunc spatium est secunda pars scilicet medietas altitudinis si vero cadit super tertiam lineam spetium est tertia pars altitudinis si supra quartam quarta pars et sic deinceps totum autem econverso est si perpendiculare cadat supra sinistrum locus quadrantis nam quota est linea supra quam eadem perpendiculare a linea equinoctiale tota pars est altitudo spatii sepe dicti et si perpendiculare cadit supra secundam lineam inclusive a linea perpendiculari altitudo est medietas spatii si autem cadat supra tertiam altitudo est tertia pars si supra quarta et sic deinceps add. Ym Por último, Y modifica ligeramente las rúbricas de los capítulos que transmite Va: en ocasiones, como en la Spher., abrevia tales títulos, otras veces los suprime y deja el espacio en blanco y otras, como ocurre en el Quadr., mantiene los espacios en blanco de Va y añade otras subdivisiones que quedan también en blanco. Finalmente, apuntamos que el estudio estemático del Algor. confirma esta relación (cfr. supra, allí con las siglas Va10 Y2). En aquella ocasión, ambos testimonios transmitían también un texto muy similar del Algor., aunque no encontramos allí las grandes adiciones en texto de Y que sí están presentes en el Quadr. Va (Va10) presenta ligerísimas innovaciones respecto a Y (Y2) que entendemos como correcciones de Y (Y2) gracias a las conclusiones extraídas en este estudio. 1.2. El hiparquetipo α 1.2.1. Constitución de la familia Son varias las innovaciones que permiten relacionar los testimonios Lc Pa N R Li: (7) l. 191 Cum autem regionis cuiuscumque latitudinem invenire volueris, accipies solis altitudinem in meridie prout verius et certius poteris (...) et, si fuerit in principio arietis et libre, altitudinem quam accepisti de 90 minue, et quod remanserit erit latitudo regionis825 arietis et libre] arietis aut libre Lc Pa N R Li, arietis vel libre Br Aquí se está hablando de cómo calcular la latitud de una región en base a los grados que alcanza el sol al mediodía. Al medir esto, hay que mirar si está al principio de Aries y Libra, signos cuya gradación comienza en la misma línea meridional del cuadrante, es decir, en la línea central que divide en dos el espacio. Por lo tanto, siempre que un grado coincida con el inicio de Aries, hará lo propio con el inicio de Libra. Atendiendo al sentido del texto, ambas lecciones son posibles: «si pasa por el inicio de Aries y Libra» viene a decir lo mismo que «si pasa por el inicio de Aries o Libra», puesto que, independientemente del inicio que se adopte, siempre se estaría en el mismo grado. Una vez más, es la fuente quien nos revela la lectura correcta, en este caso el Astrolabium de Pseudo-Messehallah: Cum ergo latitudinem cuiusque regionis scire volueris, altitudinem solis in media die considera, quam minues de 90, si fuerit sol in initio Arietis et Libre, et quod est residuum erit latitudo regionis (Gunther, 1929, 215, cap. 1.21, 4/8). 825 «Por su parte, cuando quieres saber cualquier latitud de una región, coges la altitud del sol al mediodía todo lo ajustada y acertadamente posible, y, (...) si estuviera en el principio de aries y libra, la altitud que tomaste réstala a 90, y lo que quede será la latitud de la región, esta es, la inclinación del cenit hasta el equinoccial». 746 https://es.wiktionary.org/wiki/%CE%B1 https://es.wiktionary.org/wiki/%CE%B1 Edición del Quadrans (8) l. 230/233 Tunc si ceciderit perpendiculum supra puncta umbre extense, considera in qua proportione se habeant 12 ad puncta illa et, in eadem proportione, se habebit altitudo rei ad distantiam inter te et ipsam addita longitudine stature tue826 stature tue] stature Lc Pa N R Li Aquí se estudia cómo medir la altura de algo situado en el plano sin que el mensurador se mueva, para lo que habría que calcular la distancia desde «ti mismo» hasta lo que quieras medir, más «tu propia estatura» en una proporción de doce respecto a la línea que traza la sombra en el cuadrante. El tue, por tanto, hace referencia a la estatura del que mide y supone aquí una información relevante en la medida en la que se está hablando de dos alturas: la que tiene lo que se quiere medir y la del propio mensurador. Además, la omisión de tue es fácilmente explicable por un salto de igual a igual: acabando stature casi en la misma sucesión de letras que tue, podría haberse pasado por alto esta segunda y corta palabra. Finalmente, que la omisión de tue es un error lo prueba el Astrolabium de Pseudo-Messehallah, fuente de este pasaje: Tunc si regula ceciderit super puncta umbre extense, considera quanta proportione se habeant 12 ad ista puncta, et tanta proportione se habebit altitudo rei ad longitudinem inter te et ipsam, cum statura tua addita longitudini (Gunther, 1929, 230-1, cap. 2.45, 1/15). Por último, presentamos un error compartido únicamente por Pa N R Li. Esto no quiere decir que estos testimonios formen una familia independiente de Lc, porque dicha variante aparece en un largo pasaje que no transmite Lc debido a la caída de un folio. Así las cosas, creemos muy probable que Lc contuviera el mismo error compartido por Pa N R Li, quizá incluso la misma opción que transmite Pa, por ser ambos descendientes de un mismo hiparquetipo, como veremos infra. (9) l. 90/91 Et notandum quod in tabula presenti quotienscumque plus quam 30 occurrunt in minutis pro gradu uno sumantur827 occurrunt] occurrit Pa, occurrat N R, om. Li, occurrant Br sumantur] sumatur Pa N R, accipiatur Li, accipiantur Br Es esta una innovación que probablemente remonte a una mala lectura de los verbos occurrunt y sumantur, o quizá por el propio sentido de la frase: puesto que el sujeto de la frase es una entidad intangible que podemos interpretar como «una cantidad», se podría pensar en una concordancia en singular. Aunque la frase funciona en singular y el sentido del texto no se ve perjudicado, la evidencia segura de que Pa N R Li han innovado respecto a Va la obtenemos gracias a la fuente, esta es, las Tabule solis, que presenta esta frase prácticamente verbatim: et notandum quod quotienscumque plus quam 30 occurrunt in minutis pro gradu uno sumantur (N, f. 12v, 21/33). Dentro de este error, encontramos diferentes reacciones de los testimonios en su paso al singular: N R habrían optado por el subjuntivo occurrat, mientras que Pa transmite occurrit, quizá por una mala lectura o una corrección desde occurrat. Li, en cambio, omite tal vez por error o tal vez por conjetura el primer verbo y escribe para el segundo el sinónimo accipiatur, que también encontramos en Br (sobre la relación entre estos dos testimonios, cfr. infra). 826 «Entonces, si cayera la plomada sobre los puntos de la sombra extendida, considera su proporción si la dividieras en 12 partes en relación con esos puntos y, en la misma proporción, se tendrá la altitud de lo que quieras medir sumando la distancia entre tú mismo y esto y la longitud de tu estatura». 827 «Y hay que notar que en la presente tabla siempre que hubiera en los minutos más de 30º, se toman como si fuera un grado». 747 APÉNDICES a) Subfamilias e hiparquetipos Demostrada la existencia de la familia α a través de los errores conjuntivos analizados, procederemos a desarrollar las relaciones internas entre sus componentes. i) Subfamilia α1 Son muchos los errores que remiten a un subarquetipo α1 del que descienden los testimonios Lc Pa. De todos ellos podemos establecer su relación gracias a aquellas innovaciones monogenéticas y con baja probabilidad de ser corregidas: (11) l. 57 puncto ibi posito] puncto ibi signato Lc Pa Es esta una innovación altamente imperceptible a los ojos del lector, puesto que la estructura y el sentido de la frase es aparentemente correcto con signato. Además de su aislamiento estemático, el usus del autor confirma que signato es una innovación; a lo largo de la obra de Sacrobosco, en los ablativos absolutos donde aparece el sustantivo puncto siempre se utiliza posito, mientras signatus, -a, -um se emplea fuera de esta estructura sintáctica. (12) l. 225/226 donec per utriusque pinne foramen rei cacumen videas828 rei cacumen] cacumen rei Pa cacumen] om. Lca, add. Lcm Se trata este de un error que parece responder a un hiparquetipo con cacumen copiado en el margen. A partir de aquí, Lc lo reproduce en el margen (como su modelo), mientras que Pa lo inserta en el texto, pero, al hacerlo, invierte el orden del sintagma. Concordando con la otra ocasión en la que Sacrobosco menciona esta «cima de lo que se quiere medir», el ordo verborum correcto debería ser el que propone el resto de testimonios, este es, rei cacumen. A estos, se suma otra serie de errores. A continuación ofrecemos algunos de ellos: l. 19 stringatur] constringatur Lc Pa l. 24 regula ponatur] regula posita Lc Pa l. 59 sic et ex alio latere] sic ex alio latere Lc Pa l. 74 que sunt quinque] numero add. Lc Pa l. 201 substrahendo ut dictum est regionis latitudinem] ut dictum est substrahendo in regionis latitudine Lc Pa l. 206 elongatio] elevatio Lc Pa l. 274 ad presens] om. Lc Pa Aunque varias de estas faltas podrían ser poligenéticas, el número de errores es lo suficientemente amplio como para que resulte poco verosímil que sean producto del azar conjuntamente. Puesto que Lc fue copiado en el s. XIII y Pa en el s. XIV, si uno dependiera de otro tan solo sería posible la dirección Lc > Pa. Esta imposibilidad de dependencia de Pa > Lc la corroboran los errores individuales difícilmente corregibles de Pa, como por ejemplo los siguientes: l. 47 punctus contactus] pectus contactus Pa l. 59 sic et] sic Pa 828 «Hasta que veas por los dos agujeros de las mirillas la cima de lo que quieras medir». 748 Edición del Quadrans l. 67 pinnarum] primarum Pa l. 79 minuta] numeri Pa l. 103 si] vero add. Pa l. 194 loca] om. Pa l. 197 eius] om. Pa Por otro lado, se demuestra la independencia de Pa frente a Lc con los muchos errores de Lc. Ejemplo de ello son los que siguen: l. 29 fiat] inflat Lc l. 34 intersecans] intrinsecans Lc l. 186 duos arcus fuerit] om. Lca, duos fuerit arcus add. Lcm l. 224 supra 45] supra 5 Lc l. 258/259 prodierit versa vice super excrescente catheto numerus qui infra] om. Lc Con esta serie de errores concluimos que ambos testimonios dependen del subarquetipo α1 de forma independiente, siendo gemelos entre sí: α1 Lc Pa Establecida esta relación, podemos intentar describir α1. Físicamente, es posible que el hiparquetipo α1 contara con correcciones al margen o en el interlineado, donde suplía algunas palabras pasadas por alto. Esto podría ser la causa de las numerosas alteraciones del orden de palabras que encontramos en Lc Pa: l. 129 cursoris scilicet] scilicet cursoris Lc Pa l. 142 duas lineas] lineas duas Lc Pa l. 196 septentrionalis erit] septentrionalis Lc, erit septentrionalis Pa l. 210 unum scias] scias unum Lc Pa l. 234 stature tue] tue stature Lc Pa Sobre su fecha de composición, el terminus ante quem, fijado en el s. XIII por Lc, demuestra que α1 era un códice transcrito ya en esta centuria. El origen o incierto o variado de sus descendientes no permite ubicar α1 en una localización concreta. Tanto Lc como Pa contienen, como todos los testimonios de nuestro estudio, las cuatro obras de Sacrobosco, pero no coinciden en orden: mientras que Lc tiene una disposición interna ASCQ, Pa intercambia las posiciones de la Spher. y el Compot. Quizá podríamos decir entonces que γ contenía el corpus de Sacrobosco al completo en el que el Algor. abría el conjunto y el Quadr. lo cerraba. ii) Independencia del resto de integrantes de α La falta de otros errores conjuntivos no permite establecer otras subfamilias derivadas de α. Puesto que N R Li no cuentan con faltas comunes y sí contienen, en cambio, numerosas corruptelas individuales de cada uno de ellos, tan solo podemos establecer una dependencia individual de cada uno de ellos respecto a α. Aun siendo conscientes de la indesmostrabilidad de tal descendencia de múltiples ramas, queda esta como la única relación codicológica que podemos reconstruir. Los errores separativos de N son los siguientes: 749 APÉNDICES l. 13 optatam] optative N l. 57 dictum pedem] pedem decimum N l. 49 illius] om. N l. 56 limbi] om. N l. 92 nihilo] habeatur add. N l. 165 tot incisiones] incisiones tot N l. 222 capitis arietis] cenit capitis N l. 233 distantiam] instantiam N Errores separativos de R: l. 153 exteriores] interiores R l. 168 caput arietis] arietis caput R l. 185/187 quelibet igitur hora diem si autem inter duos arcus fuerit arcus sequentis hora punctus est media vel tertia pars deinceps] etc. R l. 245 oculum] circulum R l. 247 alius] om. R l. 265/266 perpendiculo super lineam equinoctialem iacente] om. R l. 268 summitatem] si perpendiculo ceciderit supra lineam equinoctialem quadrantis add. R l. 272 punctorum] om. R Errores separativos de Li: l. 20 arcus interiores] arcus interius Li l. 72 sursum et deorsum] situm et deorsum Li l. 91 sumantur] sumatur Lc Pa N R, accipiatur Li l. 92 addatur] in signis adde declinationem solis in signis superioribus subtrahas declinationem solis verbi gratia si in et in tabula ostendas quod gradus sol transivit de signo et in quo gradu illius signi sic 6 per numero quare in eodem signo in tabula declinationis solis etiam 6 et si quis numerus respondet ubi superscribitur declinatio solis illum numerum, subtrahe in signis a numero stabili qui est parisius 42 sic computando versus dextram si sunt 9 in declinatione solis qui subtrahi debet add. Li l. 95 supra] contra Li l. 144 remanente] permanente Li l. 175 discernendas] discernentes Li l. 212 quantum enim cenit distat ab equinoctiali in] om. Li l. 225 ante vel retro] ante et retro Li l. 226 usque] ut Li l. 236 inter] super Li l. 240-1 si vero supra eversam erit altitudo maior longitudine] om. Li l. 248 cathetus] cathenis Li l. 272 comparatio] computatio Li l. 265 perpendiculo] cadenti add. Li 750 Edición del Quadrans iii) Reconstrucción de α Reconstruimos el stemma de los descendientes de α de la siguiente manera: α α1 N R Li Lc Pa Establecido el stemma anterior, podemos intentar reconstruir el hiparquetipo α. En primer lugar, en cuanto a su texto, es conveniente examinar la posibilidad de que α estuviera dividido en capítulos con títulos rubricados. Para ello, contamos con algunos testimonios rubricados y otros que transmiten tan solo los espacios para estas: l. 73 Hiis] capitulum de V tabulis quadrantis tit. praem. Pa, spatium tituli vacuum reliquerunt Va Lc l. 120 Cursor] de factura cursoris tit. praem. Pa, spatium tituli vacuum reliquit Lc, de cursore in quadrante tit. praem. N l. 135 Omnibus] de essentiali longitudine quadrantis et eius distinctione tit. praem. Pa l. 174 Ad] de horis diei artificialis inveniendis tit. praem. Pa, spatium tituli vacuum reliquit Lc l. 187 Cum] de latitudine regionis invenienda tit. praem. Pa, spatium tituli vacuum reliquit Lc l. 214 Cum] de solis altitudine tit. praem. Pa l. 222 Cum] de mensuratione cuiuslibet rei in plano constitute tit. praem. Pa, spatium tituli vacuum reliquit Lc, de altitudinis mensuratione tit. praem. N l. 268 Si] de plana superficie mensuranda praem. tit. Lc Pa Como se puede observar, Lc Pa N presentan títulos rubricados, aunque en la mayoría de los casos Lc tan solo trae el espacio en blanco. Frente a ellos, R Li no tienen división en capítulos ni rúbricas, aunque Li minia con azul y rojo la inicial de cursor (l. 120), donde Pa N transmiten un título. Nuestra conclusión es que el hiparquetipo α presentaba una división en capítulos, quizá coincidente con N, pero que tan solo transmitía los espacios en blanco, no las rúbricas. Esto concuerda con que α1 tampoco las tuviera y responde a qué han hecho Li N: ambos son códices muy cuidados, con una factura limpia, con diagramas y rúbricas en su interior. Ante un modelo con espacios en blanco, N pudo haber inventado los títulos que irían allí, mientras que Li pudo simplemente destacar la mayúscula que le interesaba y no dejar unos espacios quizá poco favorecedores. R, por su parte, presenta diagramas y miniaturas en los tratados anteriores; pero al llegar al Quadr., quizá por falta de espacio, disminuye los márgenes y el interlineado y copia el texto muy apretado, por lo que pudo haber obviado fácilmente esos espacios en blanco. En cuanto al contenido de α, todos sus componentes contienen las cuatro obras de Sacrobosco. Sin embargo, tampoco en esta ocasión tenemos unanimidad respecto a la disposición interna de estas. Coinciden Lc Pa R Li en situar el Algor. en primer lugar y el Quadr. en último, quedando en tercer y cuarto lugar el Compot. o la Spher. A este respecto, no podemos llegar a ninguna conclusión, puesto que coinciden dos a dos en el orden: Pa R (ACSQ) y Lc Li (ASCQ). N es del todo anómalo en la ordenación, pues copia las obras en el siguiente orden: CQSA. Por todo ello, es muy probable que α contuviera todas las obras de Sacrobosco, al igual que estos testimonios, pero no podemos llegar a saber en qué orden. Sobre sus circunstancias de composición, tenemos el dato de copia de N R ante 1262, lo que implica que α se copiara en un arco temporal que abarca desde 1239 (fecha post quem del Quadr.) 751 APÉNDICES hasta 1262. En cuanto a su ubicación, de N sabemos que se copió en París, R en los Países Bajos, Lc en Inglaterra, Li en Lilienfeld y de Pa no tenemos el dato. Con este crisol de lugares de origen de cada uno de los testimonios, lo que podemos constatar con certeza es que el Quadr., dentro del corpus de Sacrobosco, viajó rápidamente pocos años después de su composición por Europa centro-occidental, vinculado a un interés evidente en las disciplinas científicas del Quadrivium. Lo más fácil sería pensar que α se copió en París, lugar seguro de composición del Quadr.; allí mismo lo copió N y el resto de testimonios tuvo acceso a α, o a copias suyas hoy no conservadas desde las que tomaron el texto. Sin embargo, otras localizaciones no serían inverosímiles. 3. El códice Br Br es un testimonio que ni comparte los errores de Va ni los de α, pero a su vez presenta errores propios. Por esta razón, consideramos que se trata de un ejemplar que depende directamente del arquetipo de forma independiente respecto a las otras dos ramas reconstruidas. Algunos de los errores de Br que demuestran que no se encuentra a la cabeza de la tradición estudiada son los siguientes: l. 64 perforate] om. Br l. 75 in anno bissextili] bissextilibus Br l. 86 idem numerus] numerus idem Br l. 91 occurrunt] occurrant Br l. 232 ad distantiam] om. Br l. 246 post tergum] om. Br Contaminación de Li Contamos con dos evidencias textuales que nos permiten establecer una relación entre Li y Br. El hecho de que Li presente todos los errores separativos de α (cfr. supra) y a la vez cuente con algunas lecturas comunes con Br, hace de este manuscrito un ejemplar contaminado. Parece, por tanto, que ante un texto base de tipo α, Li (o algún antecesor suyo) introdujo ciertas innovaciones de la rama de Br. Las corruptelas con las siguientes: l. 91 pro gradu uno sumantur, quotiens minus pro nichilo sumantur] sumatur Pa N R, accipiatur Li, accipiantur Br quotiens] vero add. Li Br En esta ocasión, tal como habíamos comentado en el error § 9 de la familia α, las Tabule solis son esclarecedoras: et notandum quod quotienscumque plus quam 30 occurrunt in minutis pro gradu uno sumantur (N, f. 12v, 21/33). l. 111 cono quadrantis versus eam versus eam] super eam vel versus eam Li Br Hasta en cuatro ocasiones Sacrobosco menciona el cono quadrantis en la obra y en todas ellas emplea la construcción cono quadrantis versus seguido a acusativo. Super eam parece ser una glosa explicativa que quizá viajaría en el margen o entre líneas y que Li Br han incorporado en el texto. Estos errores sugieren que Li es un testimonio contaminado, esto es, que su factura responde al manejo de dos o más modelos. Aunque parece que, como decíamos, Li desciende en primer lugar de α y que sobre su texto se introdujeron variantes de Br, no podemos estar totalmente seguros a este respecto. Este hecho tiene unas implicaciones intrínsecas respecto a Li: en primer lugar, no 752 https://es.wiktionary.org/wiki/%CE%B1 Edición del Quadrans podemos saber si Li depende directamente del hiparquetipo α, tal como señalábamos, o si desciende de alguno de los integrantes de esta subfamilia, dada la posibilidad de que corrigiera sus errores con su otro modelo. 4. Una tradición con arquetipo Un solo error nos sugiere la presencia de un arquetipo a la cabeza de toda la tradición estudiada. (15) l. 20/24 Fiat iterum et arcus interior per circini constrictionem, quorum exterior recipit arcuum horarum terminationem, media vero linearum longarum facilis computationis extremitates829 Fiat iterum et arcus interior scripsi, fiant iterum duo arcus interiores Va Y R Br, fiant iterum duo interiores arcus Lc, fiant etiam duo arcus interiores Pa N, fiant iterum duo arcus interius Li En esta parte del texto, Sacrobosco está describiendo los tres principales arcos concéntricos del cuadrante cuyo centro común es el propio vértice que forma el ángulo recto del cuadrante. En los manuscritos, una vez hecho el arco que señala el borde del cuadrante y el arco que marca los grados celestiales, se dice que se hagan dos arcos interiores respecto a aquellos. Nosotros proponemos, en cambio, que en este pasaje tan solo se debería escribir un arco por los siguientes motivos. En primer lugar, contamos con una evidencia textual en el propio Quadr., en las l. 121/135. En este pasaje el autor repite los primeros pasos de construcción del cuadrante para explicar cómo se insertaría el cursor si se deseara un cuadrante compuesto. Aquí comienza describiendo el borde inferior, sigue con el arco de los grados de la cuarta parte del firmamento, continúa con la explicación de cómo hacer la línea diametral, e inmediatamente después dice: deinde constringatur circinus ut fiat arcus interior, relinquendo (sc. entre este arco y el de los grados) spatium 7 linearum ad opus cursoris. Ningún otro arco se menciona en este pasaje. Además queda patente el paralelismo entre constringatur circinus ut fiat arcus interior y fiat iterum et arcus interior per circini constrictionem: se refieren al mismo arco. En segundo lugar, es preciso revisar el sentido del texto. Si se asumiera que hay dos arcos, faltaría la descripción del «segundo arco» que se menciona. Podría responder esto a una laguna, quizá tras constrictionem, quizá tras extremitates, en la que se habría descrito hipotéticamente este «segundo arco perdido». Si así fuera, tan solo cabría la posibilidad de que la laguna estuviera tras constrictionem, pues Sacrobosco podría haber descrito aquí el arco inferior que acompaña al arco graduado. Esta opción es muy poco probable, puesto que a continuación el autor describe cómo realizar los grados en el arco graduado y toma ambas líneas como un unicum (para una mejor comprensión de a qué nos referimos, cfr. infra Lámina 23 y Lámina 24). Esta cuestión de lógica respecto a la «falta» de un arco es percibida por la familia α y los testimonios Va Lc Br y reaccionan para volver a dotar de lógica al texto: (16) l. 20/24 Fiat iterum et arcus interior per circini constrictionem, quorum exterior recipit arcuum horarum terminationem, media vero linearum longarum facilis computationis extremitates media] interior Vaa, medius Lc VacBr Va Lc y Br razonan de la siguiente manera: puesto que tiene que haber dos arcos (duo arcus), una vez localizado el exterior, en el lugar de media (que en origen designa la parte medial del arco) escribe interior, con lo que se resuelve el hecho de que no haya un segundo arco. En realidad, se trata de una conjetura en cierta medida docta, puesto que es cierto que en esta época 829 «Se hace también de nuevo un arco interior estrechando el compás, en cuyo exterior recibe el final de los arcos de las horas y en la parte del medio, en cambio, los extremos de las líneas largas de fácil cómputo». 753 APÉNDICES encontramos dibujos de cuadrantes cuyas líneas de fácil cómputo no van a confluir en el arco que recibe los extremos de las horas, sino que se trazan más cerca del vértice (cfr. infra Lámina 24). Aunque en su funcionamiento no cambia nada, este pequeño detalle podría haber ocasionado confusiones en el texto por tener delante un dibujo o incluso un cuadrante con una u otra disposición de los arcos. No obstante, cuando más adelante Sacrobosco explica dónde colocar las líneas de fácil cómputo (l. 54/64), es evidente que el autor está pensando en un cuadrante como el que se muestra en la Lámina 23 (cfr. infra). Más aún, Va, tras corregir interior por medius, añade una explicación sobre el arco «perdido»: deinde constringat circinus ut fiat arcus interior relinquendo spatium septem linearum ad opus cursoris, que no es más que la repetición de las l. 128/131, donde se reproduce verbatim dicha adición. Por estos motivos, sostenemos que en este punto el arquetipo está deturpado, lo que habría conducido a los intentos de enmienda ya descritos. Sobre cómo podría haberse originado la variante, en nuestra opinión podría restituirse un et allí donde los manuscritos transmiten un duo o, incluso, el numeral 2. Atendiendo a esto, es muy fácil confundir un et abreviado a través del signo tironiano 7 con el numeral 2, especialmente cuando este apareciera escrito a la manera medieval, es decir, dos líneas rectas perpendiculares que forman un ángulo recto: Fiat iterum 7 arcus interior > *Fiat iterum 2 arcus interior830. Siendo el sustantivo arcus declinado por la cuarta declinación, no habría ningún problema en entenderlo como nominativo plural en lugar del correcto nominativo singular. A partir de aquí, los copistas habrían variado el número de los verbos y el adjetivo interior > interiores para hacerlos coincidir con la pluralidad que indican los dos arcos. Este arquetipo reconstruido probablemente recogería las cuatro obras de Sacrobosco en su interior, en un orden que no podemos saber. Tampoco conocemos su lugar de copia, aunque es tentador proponer París, puesto que es el lugar de composición del original (y de Br). Sí podemos establecer un año ante quem hubo de copiarse: 1262, terminus ante quem de N R. De cómo sería su texto, poco podemos saber, aunque es muy probable que estuviera dividido en capítulos, pero no rubricado, razón que podría explicar por qué no conservamos el título de la obra. 5. ¿Stemma bífido o tripartito? Durante la examinatio de las variantes de la tradición manuscrita estudiada, contamos con una falta que nos permite trazar dos stemmata diferentes en las ramas altas de la tradición. Tal error es el siguiente: (14) l. 136/142 Concavetur locus cursoris et cursor formatus de materia competenti imponatur cuius longitudo essentialis sit 48 graduum limbi quadrantis. Ponatur enim regula super centrum quadrantis et finem 24 gradus a dextris fiat linea intersecans cursorem. Similiter in sinistra posita regula supra centrum quadrantis et finem 24 gradus in limbo fiat linea intersecans cursorem831 24 gradus Va R, 18 gradus Li N Br, octavus decimi gradus Lc, octavi decimi gradus Pa En esta ocasión, Sacrobosco está explicando dónde colocar el cursor, el cual tiene una longitud esencial de 48 grados respecto al limbo del cuadrante. Así, para centrarlo, habría que hacer dos 830 En la edición tenemos el mismo caso en la l. 152: duos] 2 Li Brc, et Bra, lo que demuestra que es un error que se comete de facto. 831 «Con todo esto formado, que es lo mismo que se ha dicho del cuadrante simple, se ahueca el lugar del cursor y se pone el cursor, formado de un material adecuado, de forma que su longitud esencial sea de 48 grados del borde del cuadrante. Se pone una regla sobre el centro del cuadrante y al final de los 24 grados a la derecha y se hace una línea que corte el cursor. De igual forma, a la izquierda: puesta una regla sobre el centro del cuadrante y al final de los 24 grados en el borde, se hace una línea que corte el cursor». 754 Edición del Quadrans líneas secantes que estén a uno y otro lado del centro del cuadrante a 24 grados cada una. Sin embargo, en la segunda mención a estos 24 grados, cinco testimonios transmiten la cifra 18. Este error hubo de generarse desde los numerales, ya sean romanos o indoarábigos, pues podríamos explicar el error a partir de ambos. Si la cifra estaba escrita con numerales romanos, es probable que desde un XXIIII se confundiera la segunda X con una V; si estaba con guarismos indoarábigos, en cambio, el uno podría ser interpretado como un dos y un cuatro con un ocho. Posteriormente, desde los numerales, Lc Pa van un paso más allá y escriben la cifra por extenso (variante que remitiría a α1). Ante este dato, se abren dos hipótesis ante nosotros: o bien se trata de una variante presente en el arquetipo de toda la tradición estudiada, en cuyo caso el stemma quedaría de tres ramas, o bien es este un error suficiente y conjuntivo para α y Br, siendo así que estaríamos ante un stemma bífido. Que este es un error corregible es un hecho claro. Cualquier copista docto podría darse cuenta de que poniendo 18 en lugar de 24 las cuentas no salen. Es más, contamos con la prueba de que se puede enmendar tal falta en el manuscrito R, quien transmite 24 mientras que su modelo debía de traer con toda probabilidad 18, pues así lo hace el resto de integrantes de α. Dada la naturaleza no incorregible de la variante, parece que lo más prudente sería no tenerla en consideración para trazar el stemma. No obstante, como bien plantea Chiesa (2020, 1-42) en su trabajo, un stemma tripartito conlleva reconstruir una relación codicológica indemostrable. Dado que solo el error es conjuntivo, la inexistencia de errores comunes entre dos ramas cualesquiera de las tres propuestas tan solo nos sugiere la falta de parentesco entre ellas, pero podría haber ocurrido que un hipotético hiparquetipo hubiera existido de facto, pero que no contuviera errores tales como para «dejar rastro» en sus descendientes. Por lo tanto, ante la falta de prueba empírica que nos permita afirmar que la tradición de esta obra parte de tres ramas descendientes del arquetipo, se abre la posibilidad de que dos de ellas estén emparentadas. A este respecto, podría considerarse que la variante mencionada supra es suficiente como para establecer una relación entre la familia α y el testimonio Br. Expuestas ambas opciones, nosotros concluimos que es menos arriesgado plantear un stemma tripartito puesto que, como se ha dicho, la variante es corregible, lo que implica a efectos de la crítica textual que no se debe tener en cuenta para la construcción del stemma. Además, atendiendo a la economía textual, esta opción permite «ahorrar» un códice que en el otro caso deberíamos considerar perdido, sc. el hiparquetipo común a α Br. Aun así, como veremos infra en los criterios de edición, para evitar posibles errores en este punto, hemos tenido especial cuidado en la reconstrucción del texto toda vez que Va difería de α Br, atendiendo a que este segundo grupo podría estar dando la lectura de un posible hiparquetipo común que se enfrentaría directamente a Va. 6. Conclusiones del estudio estemático La tradición más antigua del Quadr. (s. XIII-XIVin.) cuenta en nuestro estudio con 8 testimonios localizados, aunque no descartamos que en el futuro se descubran más. A través del método estemáticos, hemos podido trazar un stemma con tres ramas: dos de ellas con dos códices conservados a la cabeza, Va y Br, y una tercera formada por una familia cuyo hiparquetipo no conservamos: familia α. No obstante, teniendo en cuenta la variante analizada supra, cabría la posibilidad de que α y Br compartieran un hiparquetipo común, que de nuevo hoy no conservamos. La primera de estas tres ramas está formada por el códice Va y su descendiente Y. Analizados sus errores conjuntivos, somos capaces de establecer una descendencia segura gracias a la 755 https://es.wiktionary.org/wiki/%CE%B1 APÉNDICES evidencia física de Y en el explicit de la Spher. Como descriptus, Y es un testimonio con innovaciones eruditas en tanto en cuanto responden en su mayoría a una reorganización del material que tiene a su disposición. La segunda rama la conforma la familia α. Con varios errores conjuntivos seguros que permiten agrupar los manuscritos integrantes, este hiparquetipo se subdivide a su vez en cuatro ramas: la subfamilia α1, N R Li. El hecho de que no hayamos encontrado errores conjuntivos entre dos o tres ramas de estas cuatro sumado con los múltiples errores individuales de cada testimonio, hace que los descientes de α sean múltiples con las dificultades que ello conlleva, entre las que destaca la imposibilidad de demostración de esta descendencia. Dentro de ellos, sí hemos podido reconstruir el hiparquetipo α1, del que descienten Lc Pa a juzgar por los muchos errores conjuntivos que comparten, los que catalogamos como gemelos entre sí por sus numerosos errores individuales. Un caso especial es el códice Li, cuyo texto principal parece que está tomado de α, al que añade lecturas de la rama de Br. Br conforma la tercera rama del stemma. La ausencia de errores conjuntivos con Va por una parte y con α por otra hacen que no sea posible hacerlo gemelo de ninguno de ellos (a no ser que se tenga en cuenta la variante de 24>18 comentada supra). Como decíamos, más allá de la influencia de esta rama sobre Li, no contamos con otros ejemplares relacionados con Br. 2. Stemma del Quadrans Ω Va α Br Y α1 N R Li Lc Pa 756 Edición del Quadrans 3. Criterios de la presente edición Para la constitución del texto del Quadr., hemos seguido el stemma trazado previamente. Puesto que se trata de un stemma con tres ramas, en teoría la constitutio debería ser sencilla: siempre que dos ramas coincidan en una lectura equipolente y una diverja, habría que reconstruir la primera. Así lo hemos hecho cuando han coincidido Va α respecto a Br y Va Br respecto a α. En cambio, cuando la lectura de α Br no ha coincido con la de Va hemos sido más cautelosos y no hemos aplicado automáticamente la lógica estemática. Esto responde a que cabría la posibilidad remota de que α y Br estuvieran emparentados (cfr. supra), en cuyo caso su lectura tendría un 50% de posibilidades de remitir al original y habría que confrontarla con Va para realizar una selectio no automática. En la mayoría de casos en los que α Br han divergido de Va, hemos llegado a la conclusión de que la primera de ellas tenía más visos de ser la original. Cuando hemos detectado variantes equipolentes (por ejemplo, para la reconstrucción de α1), la selectio ha dependido de múltiples factores: hemos priorizado las lecturas más cercanas a la fuente a aquellas más lejanas, las lectiones difficiliores a las faciliores y las variantes que por vocabulario o por su estructura sintáctica se asemejan más a lo que podemos llamar el «estilo de Sacrobosco». Este último punto, sin embargo, es controvertido en ausencia de una edición definitiva para la Spher. y el Compot., por lo que es posible que los paralelismos trazados entre estas obras y el Quadr. merezcan quizá futuras revisiones. El hecho de que nuestro texto aparezca sin título, refleja el estado en el que se ha transmitido: tan solo la familia α1 aporta un título al tratado, este es, Tractatus magistri Iohanne de Sacro Bosco super compositione quadrantis simplicis et compositi ex utilitatibus utriusque. El resto de testimonios comienzan la obra sin una rúbrica previa, lo que nos revela que el arquetipo posiblemente no llevara título (cfr. supra). Posteriormente, el tratado habría pasado a llamarse Quadrans o Tractatus quadrantis quizá simplemente por su contenido, o quizá porque tal era el título presente en la forma textual más difundida posteriormente. Respecto al problema de las grafías, igual que ocurría en el Algor. (cfr. supra, criterios de edición del Algor.), es imposible saber qué forma o formas escogió Sacrobosco para su obra. Igual que en quella, los manuscritos difieren al escribir ciertas palabras (longa, lunga; tertia, tercia; cenit, zenit, zenith; entre otros). Por ello, puesto que el el Quadr. se escribió hacia mediados del s. XIII, hemos aceptado las formas comunes del latín bajomedieval, concretamente por lo que se refiere a las monoptongaciones ae > e y oe > o y los alógrafos reforzados mihi > michi, nihil > nichil, según la costumbre escolástica de la época832. En otro orden de cosas, hemos procedido a dividir el texto en párrafos, de acuerdo con nuestro propio criterio, a fin de mostrarlo de forma más comprensible y ajustado a sus contenidos. Otro tanto cabe decir de la puntuación, que hemos establecido según nuestra propia intelección del texto. El texto latino viene acompañado por dos aparatos: uno de fuentes y otro de variantes. Sobre el aparato de fuentes, en aquellos puntos donde hayamos podido detectarla/s, hemos anotado la/s fuente/s que utiliza Sacrobosco en el pasaje señalado en cada caso. En él, hemos recogido los pasajes paralelos en las fuentes localizadas por Knorr (1997b, 187-222): las Tabule solis (Tabul.) y el Astrolabium de Pseudo-Messehallah (PS.-MESSEH., Astr.). También hemos incluido, como se adelantaba supra, los dos tratados sobre el cuadrante que preceden al de Sacrobosco: el que 832 Sobre la reconstrucción gráfica en la edición de textos latinos medievales, cfr. Chiesa (2016, 181- 95). 757 APÉNDICES concierne al quadrans vetustior (BERENG., Quadr. vetust.) y el que describe el quadrans vetustissimus, con título De compositione quadrae, id est quarta parte astrolabii (De compos.). En cuanto al aparato crítico, hemos anotado las variantes de todos los testimonios colacionados relevantes, puesto que el número de ellos no compromete la inteligibilidad del aparato. Hemos obviado las lecturas de Y por tratarse de un codex descriptus. Tipológicamente se trata de un aparato negativo, por lo que solo hemos anotado las lecturas que difieren del texto reconstruido, aunque hemos hecho alguna excepción cuando la lectura reconstruida la transmitía un solo testimonio. Cuando más de un testimonio transmite una misma variante, hemos anotado las distintas siglas en el orden en que estas aparecen en nuestro stemma, leyéndolo de izquierda a derecha. Esta decisión se ha tomado en aras de una mejor comprensión de las familias creadas, puesto que un orden alfabético o de otro tipo rompería las relaciones establecidas entre testimonios. En el aparato crítico no hemos incluido variantes gráficas, puesto que no pensamos que, en nuestro caso, tengan importancia textual. Sí hemos anotado, en cambio, al igual que en el Algor., las variantes que conciernen a la escritura de los números: si emplea guarismos (romanos o indoarábigos) o numerales escritos en cada caso. Encontramos esta decisión útil en tanto en cuanto, a veces, podemos detectar si una variante que concierne a un número ha ocurrido cuando este estaba en su forma verbal o en la no verbal. Además, en algunas ocasiones se crean ciertas confusiones entre numerales y palabras que no ocurrirían en su forma extendida (y viceversa) (cfr. supra, la confusión entre 2 y et). Por último, interesa especialmente saber en qué contextos Sacrobosco decide emplear los numerales indoarábigos y en cuáles prefiere expresar los números en su forma verbal, teniendo en cuenta que fue él precisamente uno de los primeros autores en escribir un tratado sobre la forma de emplear este tipo de guarismos: el Algor. Que Sacrobosco decida emplear en su tratado una elevada tasa de numerales indoarábigos frente a números en forma verbal o romana quizá responda a un deseo de reforzar el conocimiento de estos guarismos en su época, o quizá sea porque asume que un lector del Quadr. conocería necesariamente este sistema de numeración posicional. El texto crítico viene acompañado de una traducción enfrentada en castellano, la primera que se realiza del Quadr. en cualquier lengua moderna. Con ella, queremos hacer accesible el texto latino a cualquier persona no necesariamente conocedora de esta lengua y, además, intentamos aportar claridad en la medida de lo posible a un texto en ocasiones complicado de entender para quienes no estudiamos la astronomía profesionalmente. Hemos intentado mantener la literalidad en la medida en la que las reglas del castellano y de la inteligibilidad del texto nos lo han permitido, a fin de trasladar la pragmaticidad del texto de Sacrobosco, de naturaleza científica, a su versión española. Las notas complementarias sirven para comentar términos astronómicos poco usuales y explicar pasajes que quizá no queden demasiado claros para un lector contemporáneo de la obra, puesto que no son pocas las veces en las que Sacrobosco da por sentado unos ciertos conocimientos previos de la materia y del instrumento, saberes de los que hoy no (todos) disponemos. Finalmente, remitimos a la p. 12 para las abreviaturas, siglas y términos empleados en los aparatos. 758 Edición del Quadrans 4. Conspectus siglorum Br Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 898 Lc Lincolnshire, Lincoln Cathedral Chapter Library, 148 (B.1.8) Li Lilienfeld, Stiftsbibliothek, 144 N New York, Public Library, Manuscripts and Archives Division, 69 Pa Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7196 R Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 2910-2920 Va Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 5335 759 Quadrans: edición crítica y traducción 761 Omnis scientia per instrumentum operativa instrumenti sui notitiam de necessitate preexigit. Presentis itaque operationis per quadrantem, cognitionem quadrantis consistentia naturaliter precedit. Est igitur quadrans spere plane quadralineis et gradibus geometrice insignita ad stellarum elevationem, climatum5 distinctionem, horarum certitudinem, rerum altitudinem distantiarumque mensurantionem discernendum. Ad cuius compositionem lamina metallina vel asser de ligno pro voluntate artificis ad hoc ydoneo preexigitur. In quo, sectoris auxilio vel geometrie industria, angulus rectus eficiatur;10 a quo lineis ortogonaliter utrimque deductis et pede circini in angulo concursus linearum fixo, periferia ad quantitatem lateris optatam extensa circumducatur. Deinde superfluum a lineis undique exclusum quadrante remanente removeatur. In quadrantis igitur formati lateribus, punctis duobus15 alterutrim equaliter insignitis, linee marginales regulariter deducantur et pede circini in angulo linearum marginalium concursus posito, limbus inferius periferia assignetur. Deinde 8/13 Ad – circumducatur] cfr. BERENG., Quadr. vetust. 2 (p. 116, 1/6) Tractatus magistri Iohanne de Sacro Bosco super compositione quadrantis simplicis et compositi ex utilitatibus utriusque (et cetera add. Lc) tit. praem. Lc Pa, quadrans praem. Lim 1 Omnis] cum Li 3 consistentia] consistentum Li naturaliter] naturali Br 4 gradibus] quadribus Pa 5 insignita] distincta Li 6 rerum altitudinem] rerumque altitudines Va fortasse recte altitudinem] planetarum denominatione add. Li 7 distantiarumque] distantiarum Br discernendum] discernens Li 9 In quo] de Br 10 geometrie] geometrice Vaa Li, geometria Br 11 utrimque] utrumque Lc, utriusque Br 13 optatam] optative N 14 undique] undeque Br removeatur] quare sic fiat fiat circulus in plana tabula cuius quarta adequantur quadranti et illius circuli rectissime accipiatur quarta pars cum circino et vel illius quantitatem fiat quadrans vel sic fit rectus angulus geometrice industria protrahatur linea recta deinde circino fixo in una extremitate et alio eius pede ultra eiusdem linee medietatem extenso ex utraque eius parte fiat linearis protractio postea fixo circino in alia eius extremitate linee consimiles describantur que intersecabunt priores ex utroque latere linee prime. deinde a punctis intersectionum ducatur linea secans ex transverso lineam predictam et constituentur quatuor anguli recti supra quorum quemlibet poterit quadrans constitui in hunc modum add. Vam 15 lateribus] latibus Br 16 alterutrim] alterutrum N R Li Br, post equaliter transp. Br 18 posito] om. Li limbus] limbis Lca 762 Toda ciencia que opera a través de un instrumento requiere por necesidad un conocimiento previo de dicho instrumento. Así pues, dado que en la actualidad se realizan operaciones con el cuadrante, su definición precede naturalmente a su comprensión. Este es, en efecto, el cuadrante1 de una esfera plana marcada geométricamente con líneas rectas y grados, que se usa para discernir la elevación de las estrellas, la distinción de los climas, la exactitud de las horas, la altitud de las cosas y la medida de las distancias. Para su construcción, previamente se precisa de una lámina de metal o una plancha de madera, según lo que la voluntad del artífice considere más idóneo para ello. Sobre esta, con la ayuda de un cúter o algún instrumento de geometría, se traza un ángulo recto. En este, desde ambas dos líneas ortogonales trazadas y con el pie del compás fijo en el ángulo donde confluyen las líneas, se traza una circunferencia de uno a otro lado, tan extensa como se quiera. Después, se retira todo lo que ha quedado más allá de lo delimitado por las líneas, quedando así el cuadrante. Entonces, en los lados del cuadrante formado, tras marcar dos puntos que estén a equidistantes el uno del otro, se trazan las líneas marginales regulares y con el pie del compás puesto en ángulo donde confluyen las líneas marginales, se asigna un borde inferior con una circunferencia2. Después se 1 La cuarta parte de algo; en este caso, de un círculo. 2 Una vez que se tiene la forma del cuadrante (o sea, un cuarto de círculo) se hacen unas líneas y un arco paralelos a los bordes para delimitar el interior, de manera que el límite del cuadrante no sea el borde físico del instrumento. 763 2 stringatur circinus et fiat arcus graduum quarte firmamenti partis scilicet 90. Fiat iterum et arcus interior per circini 20 constrictionem, quorum exterior recipit arcuum horarum terminationem, medius vero linearum longarum facilis computationis extremitates. Limbo autem per circinum in duo equaliter partito, regula ponatur super centrum quadrantis et punctum illud equalitatis linea equinoctialis assignetur, hoc est, 25 linea dividens dyametraliter quadrantem per medium, ex cuius utraque parte arcus limbi in tres partes per circinum dividatur et regula posita super centrum quadrantis et unumquemque illorum punctorum fiat linea longa tres arcus in margine limbi complete intersecans. Et rursus unaqueque illarum portionum in tres 30 equaliter per circinum dividatur et, regula posita super unumquemque illorum punctorum et centrum quadrantis, protrahatur linea longa duos scilicet arcus marginales intersecans tantum que dicuntur linee facilis computationis. Ulterius etiam unaqueque illarum trium portionum solummodo 35 23/37 Limbo – dicuntur] cfr. BERENG., Quadr. vetust. 3 (p. 117, 9/12) 19 stringatur] constringatur Lc Pa 20 90] nonaginta Va Fiat – interior scripsi, fiant iterum duo arcus interiores Va Br, fiant etiam iterum duo interiores arcus Lc, fiant etiam duo arcus interiores Pa N, fiant etiam iterum duo arcus interiores R, fiant iterum duo arcus interius Li circini] in ras. Lcc 21 exterior] interior R arcuum] om. Br 22 medius] interior Vaa, media Pa N R Li vero] post linearum transp. Br 23 extremitates] om. Lca, add. Lcs,.deinde constringat circinus ut fiat arcus interior relinquendo spatium septem linearum ad opus cursoris add. Vam circinum] circuitum Lc 23/24 in duo equaliter] equaliter in duo Li 23 duo] 2 Lc Pa 24 regula] respectu Br sic ponatur] posita Lc Pa, posito Br 25 punctum] punctis Br illud] illum R, illius Br equalitatis] ut add. R equinoctialis assignetur] assignetur equinoctialis Br hoc] hec Va N 26 linea – medium] linea dyametraliter per medium dividens quadrantem Ra, linea dyametraliter quadrantem per medium dividens Rc linea] illa add. Br 27 tres] 3 Lc Pa Li 28 et] per add. Br unumquemque] unumquidque Li 29 fiat] inflat Lc 29/30 fiat –  intersecans] fiant linee longe – intersecantes Vac 29 tres] 3 Lc Pa Li limbi] sibi Li complete] complecte Pa 30 intersecans] et spatium cursoris usque ad arcum interiorem ad quarum extremitates terminantur arcus horarum add. Vam illarum] trium add. Va tres] 3 Lc Pa Li 31 et] in Li posita] semper add. Pa N super] in ras. Lcc 32 illorum] om. N Li Br 33 linea longa] longa linea Br duos] 2 Lc Pa Li 34 intersecans] intrinsecans Lc tantum] om. Br que] qui Br dicuntur] dicunt Li linee] line Na, linee Nm 35 trium] om. Br portionum] scilicet add. Va 35/36 solummodo arcus graduum] om. R 764 2 estrecha el compás y se hace un arco que contenga en grados la cuarta parte de los que tiene el firmamento, es decir, 90. Se hace también de nuevo un arco interior estrechando el compás, en cuyo exterior recibe el final de los arcos de las horas y su parte del medio, en cambio, los extremos de las líneas largas de fácil cómputo. Estando el borde dividido en dos partes iguales por el compás, se pone una regla sobre el centro del cuadrante y se alinea este punto con la misma línea del equinoccio, es decir, una línea que divide diametralmente el cuadrante por el medio. Desde cada una de estas dos partes, se divide el arco del borde en tres partes con el compás y, con la regla puesta sobre el centro del cuadrante3 y sobre cada uno de estos puntos, se traza una línea larga que corte completamente los tres arcos interiores paralelos al borde4. Y de nuevo cada una de estas porciones se divide en tres partes iguales con el compás y, con la regla puesta sobre cada uno de estos puntos y el centro del cuadrante, se traza una línea más larga que corte los dos, es decir, tan solo los arcos marginales5, para hacer las líneas que se dice que son para un fácil cómputo. Finalmente, cada una de esas tres porciones 3 Siempre que Sacrobosco menciona el centro del cuadrante (centrum quadrantis) no se refiere al punto central del cuadrante, sino al vértice que forma su ángulo recto. 4 Se refiere a los dos arcos gemelos que marcan los grados de la cuarta parte del firmamento y el que recibe el final de los arcos de las horas y las líneas de fácil cómputo. 5 Esto es, que no se prolonguen las líneas hasta el vértice cortando el arco adonde llegan los arcos de las horas, sino que, poniendo la regla desde el vértice hasta cada uno de los puntos, que se tracen las marcas tan solo en los dos arcos más cercanos al borde, que son aquellos que indican los grados. 765 3 arcus graduum in 5 dividatur ut sic habeas 90 incisiones que firmamenti quarte partis gradus dicuntur. Hiis habitis ponatur quadrans super asserem planum et cum regula protrahatur linea longa extra quadrantem in directo linee marginalis a parte dextra, in qua centrum arcuum horarum 40 invenietur. Posito igitur pede circini in linea illa, extendatur periferia donec tangat centrum quadrantis et extremitatem linee longe prime ex parte sinistra et circumducatur periferia a puncto ad punctum ut fiat arcus prime hore. Vel sic ponatur pes circini in puncto centri quadrantis et extendatur periferia quousque 45 tangat extremitatem linee longe a dextris et ibidem, quiescente periferia, ducatur pes circini ad lineam longam extra quadrantem, et punctus contactus erit centrum arcus prime et pede ibidem stante ducatur periferia ab extremitate illius linee 36 5] quinque Va incisiones] visiones Br 37 quarte] 4e Br 38 asserem] assem R, assere Br planum] om. Br 39 extra] om. Vaa, add. Vas Lcr linee] om. Br 40 centrum] centra Vac Lcc R arcuum horarum] horarum arcuum Vaa 41 invenietur] invenientur Vac Lc R, invenitur Br illa] longa add. Va, et add. N 42 et] ex Pa Br 43 prime] hore add. Va 43/44 a puncto ad punctum] in ras. Lcc 44 fiat arcus] arcus fiat Br, post prime hore transp. Br hore] om. Li N R, notandum quod nullius arcus hore centrum querendum est centrum quadrantem nisi centrum arcus hore prime add. Vam, ad 15 gradus una hora ponitur add. Vam Vel] ut Na 46 longe] secunde add. R 47 periferia] om. N R Li, ita quod pes fiat periferia et pes stet in fine linee marginalis add. Vaa, del. Vac ducatur] dicatur Lca longam] om. Br 48 punctus] pectus Pa prime] hore add. Va 49 ibidem] ibi Lc Pa illius] iter. Lca, om. N 766 3 se divide también en cinco, pero solo sobre el arco de los grados, para que así tengas 90 incisiones que se dice que son los grados de la cuarta parte del firmamento. Hecho esto, se pone el cuadrante sobre una plancha plana y con una regla se traza una línea larga más allá del cuadrante, en dirección recta hacia la línea marginal de la parte derecha en la que se encuentra el centro de los arcos de las horas. Luego, puesto el pie del compás en aquella línea larga, se extiende la circunferencia hasta que toque el centro del cuadrante y el extremo de la línea larga primera de la parte izquierda y se traza una circunferencia desde un punto hasta el otro punto para que se forme el arco de la primera hora. O bien de esta otra manera: se pone el pie del compás en el punto del centro del cuadrante y se extiende la circunferencia hasta que toque la extremidad de la línea larga de la derecha y así mismo, manteniendo la apertura6, se lleva el pie del compás hacia la línea larga de más allá del cuadrante. El punto de contacto será el centro del arco de la primera: manteniendo ahí mismo el pie, se lleva la circunferencia desde la extremidad de aquella línea larga hasta el centro del cuadrante y se hace el arco de la 6 Es decir, manteniendo esta apertura conseguida, se mueve el compás hasta la línea señalada. 767 4 longe in centrum quadrantis et fiat arcus prime. Deinde 50 constringatur circinus ut inveniatur centrum arcus secunde intra quadrantem et sic deinceps. Hoc quidem facto, ponatur pes circini in linea marginali ex una parte et extendatur periferia, ita quod tangat centrum quadrantis et pedem linee dyametralis, ubi tangit arcum 55 interiorem limbi in quo arcus horarum terminantur, et puncto ibi posito protrahatur linea recta a puncto illo usque in pedem dictum diametri. Fiat etiam alia interius eque distans illi, deinde et tertia, sic et ex alio latere quadrantis; postea dividatur spatium inter duas primas lineas in 12 utrobique. Et semper secunda 60 50 arcus] hore add. Va prime] om. Lc Pa N R Li, ponatur pes circini in puncto centri quadrantis et extendatur periferia quousque tangat extremitatem linee longe a dextris et ibidem quiescente periferia ducatur pes circini a centro quadrantis usque ad punctum linee longe secunde et fiat arcus hore item dividatur per circinum linea marginalis a parte dextra per medium et punctum medius est centrum arcus sexte item medietas ab eodem puncto usque ad finem linee longe predicte dividatur equaliter per circinum in sex partes quarum partium tres et dimidia a parte finis hore [hore del. Va] longe linee punto assignentur qui punctus est centrum hore tertie item linea marginalis predicta a centro quadrantis et centro arcus tertie dividatur per circinum in duo et medietas a centro tertie in tres dividatur quarum una trium partium a centro tertie et XII pars tertie unius punto assignentur qui punctus est centrum quarte [tertie Vaa] deinde linea marginalis eadem inter centrum quarte et centrum sexte in 4 partes dividatur et tres partes illarum a centro quarte puncto assignentur qui punctus est autem centrum quarte add. Vam 51 centrum] om. Va Li, post secunde hore transp. Lc Pa secunde] hore add. Lc Pa intra] infra Va Lc Pa 52 deinceps] notandum quod spatium proximum post lineam vel arcum hore que est versus dextram cuiuslibet arcus est hora et arcus est finis hore notandum quod ecclesia sed vulgus agens finem cuiuslibet hore appellatur horam unde non iudicabis aliquam horam esse nisi curriculus tangat arcum ecclesia etiam non celebrat nisi primam horam et tertiam et sextam et nonam vesperas sive decimam horam et completorium sive XII horam et matutinas sive XVIII horam que contingit in media nocte hoc autem totum intellegendum est de horis diei naturalis hec sunt ter septem domino nos psallimus [sic] horas prima secat loris addicat tertia morti sexta tegit solide sed nona videt morientem verpera deposcit tradit completa sepulchrus vinum nox media devicta morte revelat add. Vam 53 quidem] om. R ex] in Vac N 54 centrum] infra add. Lca, del. Lcc 55 quadrantis] quadrantem Lca tangit] tangat Lc Pa Lia Br 56 limbi] om. N terminantur] triminantur Lca sic, terminatur Br 57 posito] signato Lc Pa recta] om. Br 57/58 pedem dictum] dictum pedem Lc Pa, pedem decimum N 58 dictum] dicti add. Br 59 et1] om. Lc Pa tertia] in ras. Lcc et2] om. Pa ex] in Br 60 duas] 2 Lc Pa Li primas lineas] lineas primas N Li 12] duodecim Va, partes add. Lc Pa semper] post secunda linea transp. Br 768 4 primera hora. Después, se estrecha el compás de forma que se encuentre el centro del arco de la segunda por dentro del cuadrante y así las demás. Hecho esto, se pone el pie del compás en la línea marginal desde una de las partes y se extiende la circunferencia hasta que toque el centro del cuadrante y el pie de la línea diametral allí donde corta el arco interior del borde en el que terminan los arcos de las horas. Puesto en ese punto, se traza una línea recta desde dicho punto hasta dicho pie del diámetro7. Se hace también otra línea interior equidistante a aquella, luego de nuevo una tercera, y así también desde el otro lado del cuadrante; después se divide el espacio entre las dos líneas primeras en 12 partes a uno y otro lado. Siempre hay que 7 Aquí está señalando cómo deben hacerse las líneas de fácil cómputo, para lo que hay que hacer un triángulo rectángulo isósceles. Uno de los catetos será parte de la línea recta que forma el cuadrante, el otro será la línea de fácil cómputo y la hipotenusa, esa línea diametral que divide el cuadrante en dos. 769 5 linea sit longa dividens utrumque spatium illarum trium linearum gracia facilis computationis, et sic fiat scala altimetra. Quadrante itaque formato, infigantur due pinne perforate de cornu, vel ebore, vel metallo. Quocumque in latere quadrantis ex parte linee in qua assignatur centrum arcuum horarum per 65 duos digitos vel tres ab utroque capite, ita quod foramina pinnarum equaliter distent a linea marginali. Deinde fiat perpendiculum, scilicet filum, dependens a clavo fixo in angulo concursus linearum marginalium in cono quadrantis, habens plumbum in extremitate et curriculum in medio, scilicet 70 nodulum mobilem sursum et deorsum pro voluntate artificis. Hiis itaque constructis ad tabulas transeamus quadrantis, que sunt 5, in quarum prima habetur in quo gradu cuiuslibet signi sit sol singulis diebus in anno bissextili. In secunda quidem in 63/71 Quadrante – artificis] cfr. BERENG., Quadr. vetust. 5 (p. 118, 1/7), cfr. De compos. (p. 533-4, 67/77) 72/75 Hiis – deinceps] cfr. Tabul. (f. 12v, 1/7) 61 illarum] illorum Vaa 61/62 trium linearum] om. Lca, add. Lcm 62 altimetra] om. Lc spatio relicto, add. Lc2, scala altimetra dividitur in 12 partes equales secundum divisionem umbrarum ut per ipsam in hora qualibet habeatur proportio quarumlibet altitudinum ad umbras suas secundum 12 horas diei artificialis add. Vam 63 itaque] igitur Va Pa, om. Br due] 2 Li 64 vel1] de add. Br metallo] pinne debent perforari in duobus locis sibi invicem directe oppositis vel saltem in uno loco ut per minora foramina utriusque dentuli possint admitti radii solis per maiora radii oculorum ad notandas stellas et altitudines add. Vam 65 assignatur] assignantur Vac Lc Pa N R Li centrum] centrum Vac Lc Pa N R Li arcuum horarum] horarum arcuum Br 66 duos] 2 Li 65/66 per – tres] post ab utroque capite transp. Va 66 tres] 3 Li, partes Br 67 pinnarum] primarum Pa 67/68 fiat perpendiculum] perpendiculum fiat Lc 68 filum] fileni Br sic 71 nodulum] nodum Vac sursum] situm Li 72 Hiis] spatium tituli vacuum reliquerunt Va Lc, capitulum de V tabulis quadrantis tit. praem. Pa transeamus] post quadrantis transp. Br 73 sunt 5] 5 sunt R 5] quinque Va, numero add. Lc Pa cuiuslibet] cuiusque Lc Pa Nc R Li, cuiuscumque Na 74 sol] in add. Br in1 – bissextili] bissextilibus Br bissextili] notandum quod quidam in quadrantis scientia utuntur tamen duabus tabulis quidam vero 4 et earum contratabula sed tamen 2 quam 5 sufficiunt et eadem doctrina est in duabus quam est in 5 hoc excepto quod in 5 distinguntur utrum sit annus bissextilis vel quotus sit a bissexto quod non sit in duabus plenior quidem veritas est in 5 viso de 5 patebit de duabus add. Vam secunda] 2ª Pa 770 5 dividir la segunda línea para que sea larga, y cada una de estas líneas en tres espacios para un cómputo fácil, y así se hace la escala altímetra. Formado así el cuadrante, se colocan dos mirillas perforadas de cuerno, de madera o de metal. Ambas dos se colocan en cualquiera que sea el lado del cuadrante en la parte de la línea en la que se ha asignado el centro de los arcos de las horas, con una distancia de una a otra cabeza de dos o tres números, de forma que los agujeros de las mirillas sean equidistantes respecto a la línea marginal. Después se hace una plomada, es decir, un hilo que penda de un clavo que se fija en el vértice donde concurren líneas marginales en el cono del cuadrante, y que tenga un plomo en la punta y un marcador que corra entre los extremos, o sea, un nódulo que se mueva arriba y abajo a voluntad del artífice. Tras construir esto, pasemos a las tablas del cuadrante8, que son 5. De ellas, en las primera se expresa en qué grado de cualquiera de los signos se encuentra el sol en cada uno de los días del año bisiesto. En la segunda, en 8 Se refiere a las tablas del sol, un complemento imprescindible para poder calcular fácilmente latitudes, elevaciones y horas con el cuadrante. 771 6 primo anno post bissextum et sic deinceps. Capiatur igitur 75 tabula serviens anno in quo summus, in cuius margine superiori ponantur nomina mensium, deinde nomina signorum sub quibus gradus et minuta per duas lineas descendentes. In sinistra quidem parte in linea exteriori, ponitur numerus dierum mensium. Sumatur igitur nomen mensis in quo estis in margine 80 superiori et dies mensis presens in sinistra linea. Deinde binis altrinsecis lineis ingredere usque ad prosolidem angularem et 80/88 Sumatur – declinatio] cfr. Tabul. (f. 12v, 8/21) 75 sic] om. N Li deinceps] prima quidem tabula servat anno bissextili secunda primo anno post bissextum tertia secundo quarta tertio de quinta autem dicetur postea vide in quoto anno sis et tabulam suam queras qua inventa in margine superiori invenies 12 menses cum signis eorumdem et in latere sinistro marginali omnes dies mensium 12 ponitur in prima linea totius tabule descendendo et in quanto die mensis fueris tabulam ingredes usque ad numerum angularem linee mensis et linee dierum et quantum numerum ibi reperis in toto gradu signi sub quo continetur numerus ille dic esse solem et circa medium mensis sol intrat novum signum habito gradu signi in quo est sol eas ad tabulam quinta que dicitur tabula declinationis solis sive contratabula in cuius margine superiori scribuntur 12 signa per tres quadruplicitates et qualibet 4 signa sequitur declinatio solis ab equinoctiali in tribus lineis in quarum prima hora per quot gradus sol declinat ab equinoctiali circulo in secunda per quot minuta ultra gradus in tertia per quot secunda ultra minuta et gradum signi in quo est sol quantum invenisti in priori tabula quare in gradibus illius signi versus dextram in linea declinationis solis videas per quot gradus declinat sol ab equinoctiali et in linea minutorum et si invenias plus quam 30 vel 30 primo gradu sumas et illum addas gradibus si vero minus quam 30 per nullo sed horam astronomicam inventam itaque solis declinatione necesse est etiam scire elevationem poli in regione in qua fueris qua invenias polo per spatium per ambo foramina pinnarum deinde accipe numerum graduum per quantum elevatio polus et residuum quod remanet a 90 et numerus stabilis quia quantam distantiam es in regione illa non oportet te illum mutare numerum stabilem adde declinationi solis si signum in quo es est septentrionale si vero fuerit australe substrahe numerum declinationis solis deinde facta additione vel substractione super ultimum gradum ponatur perpendiculare quo stante finitur ponatur circulus super lineam sive arcum meridiem et erit quadrans spatius add. Vam igitur] om. Y, ergo Li 76 serviens] post anno transp. Br anno] in quo serviens anno add. Lca, del. Lcc, in quo anno add. Li 77 ponantur] ponuntur Lc Pa sub] in ras. Nc 78 minuta] numeri Pa duas] 2 Pa Li 79 parte] designantur add. Br ponitur numerus] ponuntur numeri Li Br 80 mensium] mensis Lc Pa N R estis] sumus Va 81 presens] presentis Va N 82 altrinsecis lineis] lineis altrinsecis Br altrinsecis] altrncecis Lca sic, altrinsecus Na 82/118 ad – habebitur] deest Lc deperdito folio 82 prosolidem] prosolidam N Li Br 772 6 cambio, lo mismo pero en el primer año después del bisiesto y así las siguientes9. Se coge entonces la tabla sirviéndose del año en el que estamos, en cuyo margen superior se ponen los nombres de los meses, luego los nombres de los signos bajo los grados correspondientes y los minutos en dos líneas descendentes. En la parte izquierda, en la línea exterior, se pone el número de días de los meses. Se toma el nombre del mes en el que estás en el margen superior y el día actual del mes en la línea izquierda. Luego se procede con dos líneas perpendiculares hasta que se dé con el punto en el 9 Excepto la última que, como veremos, indica la inclinación que presenta el sol en cada uno de los grados de la eclíptica. 773 7 quotus ibi reperiatur numerus tot gradus pertransivit sol ab initio signi illius sub quo continetur dies mensis. Postea vero capiatur idem numerus eiusdem signi in linea numeri tabule opposite, 85 que declinationis solis tabula nuncupatur et est quinta in ordine tabularum. Deinde versus dextram in lineis declinationis solis habetur solis declinatio. Et notandum quod in tabula presenti quotienscumque plus quam 30 occurrunt in minutis pro gradu uno sumantur, quotiens 90 minus pro nichilo. Numerus igitur solis declinationis addatur ad numerum stabilem, scilicet 42 Parisius, et habebitur ascensus solis in meridie presentis diei. Sed alibi in quacumque regione inveniatur numerus stabilis, sic consideretur elevatio poli supra orizontem et per quot gradus elevatur: tot subtractis a 90 95 residuum erit numerus stabilis. Postea ponatur perpendiculum super finem gradus elevationis solis in meridie et, in puncto ubi perpendiculum tangit arcum meridiei, ordinetur curriculus. 89/93 Et – diei] cfr. Tabul. (f. 12v, 21/33) 83 reperiatur numerus] numerus reperiatur Br sol] om. R 84 capiatur] om. Va Na R Li, add. Nm 85 idem numerus] numerus idem Br 86 solis] om. Na, add. Nm tabula] om. Li quinta] 5 R Li 87 tabularum] tabulari Br 89 notandum] videndum Br quotienscumque] hoc add. Lia, del. Lic 90 occurrunt] occurrit Pa, ocurrat N R, om. Li, occurrant Br sumantur] sumatur Pa N R, accipiatur Li, accipiantur Br quotiens] vero add. Li Br 91 nichilo] habeatur add. N igitur] ille add. Pa R Li Br, ergo Li addatur] in signis adde declinationem solis in signis superioribus subtrahas declinationem solis verbi gratia si in et in tabula ostendas quod gradus sol transivit de signo et in quo gradu illius signi sic 6 per numero quare in eodem signo in tabula declinationis solis etiam 6 et si quis numerus respondet ubi superscribitur declinatio solis illum numerum subtrahe in signis a numero stabili qui est parisius 42 sic computando versus dextram si sunt 9 in declinatione solis qui subtrahi debet add. Li 92 scilicet 42] 42 scilicet Br 42] 41 Pa Parisius] si declinatio fuerit septentrionalis si vero fuerit meridionalis subtrahatur a numero stabili add. R habebitur] habetur Pa Br, parisius add. Li 93 presentis diei] presenti die N Sed] si N R, vel si Br regione] fueris add. Va, sit aliquis add. Br 94 sic] del. Nc supra] contra Li 95 elevatur] et add. Pa subtractis] subtrahantur Br 90] nonaginta Va 96 erit numerus stabilis] numerus stabilis erit Pa N stabilis] post additionem graduum ad numerum stabilem add. Vam, per numerum stabilem scitur in quo climate sis scita elevatione poli in puncto medio et fine climatis quod patet in 3 [4 Vaa] capitulo spere add. Vam ponatur perpendiculum] perpendiculum ponatur Br 98 perpendiculum] super finem gradus add. Paa, del. Pac meridiei] meridie Li 774 7 que intersectan10 y el número que allí se encuentra: tantos son los grados que recorre el sol desde el inicio del signo aquel bajo el que está puesto el día del mes. Después, se coge ese mismo número del mismo signo en la línea del número de la tabla opuesta, que se llama tabla de la inclinación del sol y que es la quinta en el orden de las tablas. Luego, hacia la derecha, se obtiene la inclinación del sol en las líneas de la inclinación del sol. Y hay que notar que en la presente tabla siempre que hubiera en los minutos más de 30º, se toman como si fuera un grado: todo lo que sea inferior a esto, no se tiene en consideración. Al número estable se le añade el número de la inclinación del sol, es decir, en París, 42º, y se tendrá la ascensión del sol en el mediodía del día actual. Pero si se está en otra parte, que se averigüe el número estable de esa región cualquiera, y de esta manera se calcule la elevación del polo sobre el horizonte y cuántos grados se eleva: el número que salga se resta a 90 y lo que reste será el número estable. Después, se pone la plomada sobre el final del grado de la elevación del sol al mediodía y, en el punto donde la plomada corta el arco del mediodía, ahí 10 En latín el término técnico empleado es prosolidem angularem, cuyo significado es bastante oscuro. Nosotros lo interpretamos como el punto angular en el que confluyen las líneas perpendiculares trazadas sobre la tabla, habiendo localizado primero el nombre del mes, que estaría en la parte superior, y el número del día, que se sitúa en la parte izquierda. Se llega así al punto de contacto entre ambas líneas, que quedaría en la casilla correspondiente indicando los grados y los minutos de la elevación del sol en ese momento del año. 775 8 Deinde ad habendum horam quamcumque, vertatur conus quadrantis versus solem et supra cuiuscumque hore arcum 100 curriculus ceciderit: finis hore illius est que vulgariter hora dicitur. Si ceciderit inter duos arcus horarum tunc hora presens est arcus sequentis, scilicet prima pars eius, vel media, et deinceps. Hoc habito, habetur quis planetarum regnaverit in hora 105 presenti, scilicet benivolus, vel malivolus, vel indiferens, scita motus planetarum ordinatione per horas. Si autem certitudinem horarum noctis investigare volueris, considera quecumque stellarum notabilis oriatur primo post occasum solis supra orizontem et versus cono quadrantis versus eam, ita quod 110 videatur per foramen utriusque pinne et curriculus ostendet presentem horam noctis. Inventurus horam cum quadrante qui est cum cursore. Equinoctialem cursoris lineam que martium et septembrem per medium intersecat supra elevationem capitis arietis et libre in 115 regione illa dispone. Deinde curriculus ubi arcum meridiei perpendiculum intersecat ordinetur, et sic verso cono quadrantis versus solem ut prius hora presens habebitur. Cursor autem in quadrante sic formari habet. In quadrantis formati puncto centrali, posito pede circini, extendatur periferia 120 99/104 Deinde – deinceps] cfr. BERENG., Quadr. vetust. 5 (p. 118, 7/13) 113/118 Inventurus – habebitur] cfr. De compos. (p. 534, 78/92) 99 habendum] habendam Li Br quamcumque] quacumcumque Pa sic 100 versus] contra Va et] iter. Pa cuiuscumque] quamcumque Br hore arcum] arcum hore Br 100/101 arcum curriculus ceciderit] arcum ceciderit curriculus Pa, curriculus arcum ceciderit Li 101 hore illius] illius hore Li que] qui R 102 Si] vero add. Pa duos] 2 Li 103 et] vel Pa N R Li, sic add. Va Lc 106 scilicet] aut add. Pa vel1] aut Pa 108 quecumque] quacumque Li Br 109 occasum solis] solis occasum Pa 110 versus eam] super eam vel versus eam Li Br 111 per] om. Na, add. Nm et] om. Pa 112 presentem horam] horam presentem Pa N R noctis] iam presentis add. Li 113 Inventurus] spatium tituli vacuum reliquit Va 114 lineam] om. Br que] qui Br 114/115 per medium] om. Br 115 intersecat] intersecant Na 116 dispone] disposita Br, deinde perpendiculum ordinetur supra presente in diem mensis et dirigatur curriculus super arcum meridiei add. Br 117 perpendiculum intersecat] intersecat perpendiculum Br 118 ut prius] om. Br habebitur] habetur Br 119 Cursor] spatium tituli vacuum reliquit Lc, de factura cursoris tit. praem. Pa, de cursore in quadrante tit. praem. N 120 puncto] om. Br extendatur periferia] extendatur periferia Lc 776 8 se coloca el marcador. Luego, para tener una hora cualquiera, se gira el cono del cuadrante hacia el sol, con lo que caerá el marcador en el arco de una hora cualquiera: el final de esta hora es lo que vulgarmente se llama «hora». Si cae entre dos arcos de horas, entonces la hora actual es la del arco siguiente, o sea, la primera parte de esa hora, o la mitad, y así el resto. Teniendo esto, se mira cuál de los planetas reina en la hora presente, o sea, benigno, maligno o indiferente11, una vez sabido el movimiento de los planetas por la ordenación de las horas. Si en cambio quisieras indagar las horas de la noche con certeza, considera cualquiera de las estrellas notables que nazca nada más ponerse el sol sobre el horizonte y, girado el cono del cuadrante hacia ella de forma que se vea a través del agujero de una y otra mirilla, el marcador señalará en ese momento la hora actual de la noche. Ahora examinarás la hora con el cuadrante que tiene cursor12. Dispón la línea equinoccial del cursor, la que corta por la mitad marzo y septiembre, sobre la elevación de la cabeza de aries y libra en esa región. Después, se coloca el marcador en el lugar donde la plomada corta el arco del mediodía y así, al girar el cono del cuadrante hacia el sol como antes, se obtiene la hora presente. El cursor en el cuadrante se forma de la siguiente manera13. Dispuesto el pie del compás en el punto central del cuadrante formado, se extiende la 11 Según la astronomía medieval, dependiendo la situación de los planetas en cada una de las horas, su influencia sobre las personas será buena, mala o indiferente. Estos cálculos se empleaban a menudo para someterse a cuestiones médicas, de negocios, amorosas... en definitiva, para tomar decisiones en cualquier ámbito. 12 El cursor es una pieza del cuadrante compuesto que contiene los nombres de los meses y los signos zodiacales, tal como se explicará infra. Se trata de un trapecio circular cuya característica principal es la posibilidad de moverse a lo largo de una abertura que se ejecuta entre el arco graduado y el arco que recibe las horas. 13 A continuación explica cómo comenzar a trazar las líneas del cuadrante desde el principio. 777 9 et fiat arcus limbi inferius. Deinde constringatur circinus parum ut fiat arcus graduum quarte partis firmamenti. Quo facto fiat linea equinoctialis sive dyametralis. Dividatur enim cum circino limbus quadrantis per duo equalia et super punctum in medio signatum et super punctum centri quadrantis posita regula 125 protrahatur linea dividens quadrantem per medium. Deinde constringatur circinus ut fiat arcus interior, relinquendo spatium 7 linearum ad opus cursoris, scilicet et dividatur utraque pars limbi ab equinoctiali per circinum in tres portiones equales et, posita regula super quemlibet illorum punctorum et centrum 130 quadrantis, fiat linea longa intersecans spatium cursoris usque ad arcum interiorem ad extremitates quarum terminantur arcus horarum sicut predictum est. Omnibus itaque formatis prout dictum est de simplici quadrante, concavetur locus cursoris et cursor formatus de 135 materia competenti imponatur cuius longitudo essentialis sit 48 graduum limbi quadrantis. Ponatur enim regula super centrum quadrantis et finem 24 gradus a dextris fiat linea intersecans cursorem. Similiter in sinistra posita regula supra centrum quadrantis et finem 24 gradus in limbo fiat linea intersecans 140 cursorem. Inter istas igitur duas lineas extremas remanebit longitudo cursoris essentialis, scilicet 48 graduum. Deinde cursore in concavitate stabili remanente dividatur eius latitudo 134/142 Omnibus – graduum] cfr. De compos. (p. 532, 10/18) 121 limbi] sibi Li inferius] exterius Paa, interius Li, inferior Br circinus] om. Br parum] primi Pa 122 quarte – firmamenti] firmamenti 4e partis Br 123 linea] om. Br circino] circulo Br 124 duo] 2 Li et –  punctum] om. Br 126 protrahatur] substrahantur Br 127 spatium] om. Lca, add. Lcm 128 7] septem Va cursoris scilicet] scilicet cursoris Lc Pa scilicet] om. Br 129 limbi] sibi Li circinum] circulum Br tres] 3 Lc Pa N Li portiones] partitiones Li 131 quadrantis] et add. Na, del. Nc intersecans] intersecantes Vac 132 extremitates] portionum add. Vaa, del. Vac quarum] vel ad quas add. Vaa, del. Vac arcus] sicut add. Lia, del. Lic 133 sicut] ut Pa predictum] supra dictum Pa Li 134 Omnibus] de essentiali longitudine quadrantis et eius distinctione tit. praem. Pa dictum] predictum Va 135/136 de materia] dem Br sic 136 imponatur] interponatur Br 48] 44 Lia 137 limbi] sibi Li centrum] id est conum add. Vas 138 quadrantis] om. Br 24] vicesimi quarti Lc, 28 Bra gradus] graduum Vaa dextris] et add. Lc Pa R 139 sinistra] parte add. Lc Pa posita] ponatur Br centrum] et add. Na, del. Nc 140 24] 18 N Li Br, octavus decimi Lc, octavi decimi Pa gradus] graduum Va limbo] et add. R 141 duas lineas] lineas duas Lc Pa extremas] om. Lca, add. Lcm 142 cursoris essentialis] essentialis cursoris Bra 143 cursore] cursorem Lia Br remanente] permanente Li Br 778 9 circunferencia y se hace un arco por debajo del borde. Luego se estrecha el compás un poco para hacer un arco que tenga tantos grados como la cuarta parte del firmamento. Hecho esto, se hace una línea equinoccial o diametral. Se divide, por tanto, el borde del cuadrante con el compás en dos partes iguales y sobre el punto señalado en el medio y sobre el punto del centro del cuadrante, puesta una regla, se traza una línea que divide el cuadrante por la mitad. Luego se estrecha el compás para hacer un arco interior, dejando un espacio de 7 líneas para poner el cursor, es decir, que se divide también una y otra parte del borde en 3 porciones iguales desde el equinoccial con el compás y, con una regla puesta sobre cada uno de estos puntos y el centro del cuadrante, se hace una línea larga que corte el espacio del cursor hasta el arco interior en cuyos extremos terminan los arcos de las horas, tal como se ha dicho. Con todo esto formado, que es lo mismo que se ha dicho del cuadrante simple, se ahueca el lugar del cursor y se pone el cursor, formado de un material adecuado, de forma que su longitud esencial sea de 48 grados del borde del cuadrante. Se pone una regla sobre el centro del cuadrante y, al final de los 24 grados a la derecha, se hace una línea que corte el cursor. De igual forma, a la izquierda: puesta una regla sobre el centro del cuadrante y al final de los 24 grados en el borde, se hace una línea que corte el cursor. Así pues, entre estas dos líneas del extremo quedará la longitud del cursor esencial, o sea, 48 grados. Luego, del cursor, que queda en la concavidad de 779 10 cum circino in 7 arcus, ita quod primus sit latus in quo possint littere scribi, secundus sit gracilis, tertius latus, quartus gracilis, 145 quintus latus, sextus gracilis, septimus iterum latus. Postea arcus primus in 6 portiones dividatur cum circino et accipiatur medietas unius et signetur in principio illius arcus cum puncto. Similiter in fine eiusdem alia medietas et residuum inter hec duo extrema dividatur in 5 portiones equales et regula posita super 150 centrum quadrantis et unumquemque illorum punctorum protrahatur linea intersecans duos arcus exteriores utrobique. Tres autem interiores dividantur equaliter in 6 portiones. Scribantur igitur nomina mensium in duobus arcubus exterioribus ita quod medietas decembris scribatur in fine arcus 155 exterioris in quo contingit solsticium hyemale et alia medietas in fine interioris ascendendo. Deinde 5 menses ascensus solis, scilicet ianuarius, februarius, per medium autem martii transeat linea equinoctialis cursoris quadrantis; deinde aprilis, maius, medietas autem iunii scribatur in fine arcus interioris 160 ascendendo; reliqua quidem medietas in principio arcus exterioris descendendo, in cuius medio contingit solsticium estivale et ita per ordinem 5 menses descensus solis. In arcu vero gracili sub quolibet mense fiant tot incisiones quot dies quilibet mensis continet. Nomina postea signorum in tertia linea, 165 ita quod 6 signa in quibus ascendit sol in superiori arcu, scilicet 154/165 Scribantur – continet] cfr. De compos. (p. 533, 40/59) 144 circino] circulo Br 7] septem Va possint] possunt Lc Pa 145 sit] om. Lc Pa N R tertius] sit ter sit Br sic quartus] 4 N R, sit add. Br 146 quintus] 5 N R sextus] 6 N R septimus] 7 N R Postea] longitudo add. R 147 primus] om. R 6] sex Va 148 signetur] significetur Br illius arcus] arcus illius Va 149 eiusdem] eius Li duo] 2 Lc Li 150 5] quinque Va 151 et] ad Br illorum punctorum] punctorum illorum Br punctorum] pectorum Lca 152 duos] 2 Li Brc, et Bra exteriores] interiores R utrobique] supra et infra add. Vas 153 Tres] 3 Li interiores] inferiores Br 6] sex Lc Va 154 igitur] ergo Br duobus] 2 Pa 156 contingit] contingat Lc et] om. N medietas] om. Br 157 interioris] exterioris Br 5] quinque Va, 2 Lic solis] hec pars dicitur ascendentes add. Vam 158 ianuarius] ianuarium Va Lc Pa Li februarius] februarium Va Lc Pa Li autem] tamen Va 159 aprilis] deinde add. Br 160 autem] vero Lc Pa N R interioris] interiores Lca 161 quidem] vero Pa 162 descendendo] ascendendo Na, des- Nm 163 5] quinque Va, et Lc menses] mensium Br solis] hec pars dicitur descendentes add. Vam, martii add. Br 164 sub – mense] om. Br tot incisiones] incisiones tot N 165 postea signorum] signorum postea Va signorum] om. Br 166 6] sex Va sol] ponatur add. R 780 0 manera estable, se divide su anchura con el compás en 7 arcos, de forma que el primero sea de una anchura tal que en él se pueda escribir ampliamente, el segundo que sea fino, el tercero ancho, el cuarto fino, el quinto ancho, el sexto fino, el séptimo de nuevo ancho. Después, el primer arco se divide con el compás en 6 porciones, se coge la mitad de una y se marca con un punto al principio de su arco. Se hace igual al final de su otra mitad y lo que queda entre estos dos extremos se divide en 5 porciones iguales y, con una regla puesta en el centro del cuadrante y en cada uno de estos puntos, se traza una línea que corte los dos arcos exteriores a la vez. Los tres interiores, en cambio, se dividen en 6 porciones iguales. Se escriben entonces los nombres de los meses en los dos arcos exteriores, de forma que la mitad de diciembre se escriba al final del arco exterior en el que sucede el solsticio invernal y la otra mitad, al final del arco interior que asciende. Luego, los 5 meses de ascenso del sol, o sea, enero, febrero, por la mitad de marzo pasa la línea equinoccial del cursor del cuadrante, luego abril, mayo, y de junio una mitad se escribe al final del arco interior que asciende y la otra mitad en el principio del arco exterior que desciende, en cuyo medio sucede el solsticio estival, y así están en orden los 5 meses del descenso del sol. En el arco fino, en cambio, bajo cada uno de los meses se hacen tantas incisiones cuantos días contiene cada mes. Después los nombres de los signos en la tercera línea, de forma que los 6 signos en los que asciende el sol estén en el arco 781 11 primo capricornus, aquarius, pisces, caput arietis incipiat a linea equinoctiali cursoris et deinceps. Alia 6 signa in quibus descendit sol in alio arcu descendendo, cancer primo, leo, virgo, caput autem libre incipiat ab equinoctiali cursoris et deinceps. In 170 linea vero gracili media inter signa duo fiant 30 incisiones pro gradibus cuiuslibet signi. Ad horas igitur discernendas ordinatio cursoris in quadrante exigit ut linea equinoctialis, id est linea dividens cursorem, per medium ordinetur super finem gradus altitudinis capitis arietis 175 in illa regione quod sic fieri potes. Computentur tot gradus a linea in qua centra horarum inveniuntur quot gradibus distat cenit capitis regionis illius ab equinoctiali. Quo facto si horam diei presentis quamcumque habere volueris perpendiculum in quo curriculus continetur supra diem presentis mensis pone et 180 dirigatur curriculus supra arcum meridiei. Deinde elevetur conus 167 capricornus] capricorni Li aquarius] aquario Li caput arietis] arietis caput R 167/170 arietis – caput] iter. Lca 167 incipiat] incipit Br 168 et] sic add. Li deinceps] deinde N, tauri et gemini add. Br 169 descendendo] scilicet add. R cancer] in add. Lc, concri Pa sic, scilicet add. Pa Br, cancro Li cancer primo] primo cancer N R 170 autem] om. R incipiat] incipiet Li 171 signa duo] duo signa Lc Pa R duo] 2 Li 172 signi] menses in cursore sic disponitur ianuarius incipiat a 18 gradu capricorni et in 19 minuto februarius in 19 gradu aquarii et 43 minuto martius in 17 gradu piscium et 58 minuto aprilis in 18 gradu arietis et in 54 minuto maius in 17 gradu tauri et in 51 minuto iunius in 17 gradu geminorum et 10 minuto iulius in 15 gradu cancri et 38 minuto augustus in 15 gradu leonis et 14 minuto septembris 15 gradu virginis et 38 minuto octobre 15 gradu libre et 5 minuto novembre 18 gradu scorpionis et 10 minuto decembre 18 gradu sagitarii et 43 minuto quare patet in hac tabula menses signa gradus minuta ianuarius capricornius 18 19 februarius aquarius 19 43 martius pisces 17 58 aprilis aries 18 54 maius taurus 17 51 iunius gemini 17 10 iulius cancer 15 34 augustus leo 15 14 septembre virgo 15 34 octobre libra 15 5 novembre scorpius 16 10 decembre sagittarius 16 41 et nota quod longitudo huius tabule debet esse a tropico hiemali ad tropicum estivale videlicet 47 graduum ad minus et potest relinqui spatium in extremitatibus cursoris add. Vam 173 Ad] spatium tituli vacuum reliquit Lc, de horis diei artificialis inveniendis tit. praem. Pa igitur] om. Br discernendas] discernentes Li 174 id est] scilicet Br 175 gradus] graduum N 176 potes] altitudo capitis arietis et numerus stabilis idem sunt latitudo regionis sive altitudo et declinatio cenith ab equinoctiali sive elevatio poli supra orizontem hec omnia eadem sunt add. Vam tot] om. Br 177 centra] arcuum add. Nm, centrum Br horarum] orarum Lc inveniuntur] invenitur Br quot – distat] om. Br 178 Quo] quoto Lca 179 habere] invenire Br in] om. Li 180 curriculus] supra arcum add. Paa, del. Pac supra diem presentis mensis pone] supra mensis presentis pone diem N, supra presentem pone diem Lc Pa, supra diem mensis presentis pones in quo es Br 181 curriculus] om. Br 782 1 superior, es decir, primero capricornio, acuario, piscis, la cabeza de aries que empieza en la línea equinoccial del cursor, y así el resto. Los otros 6 signos en los que desciende el sol, en el otro arco que desciende: primero cancer, leo, virgo, la cabeza de libra que empieza en el equinoccial del cursor, y así el resto. Por otro lado, que se hagan 30 incisiones en la línea fina del medio entre los dos signos, una por cada grado de cada signo. Para discernir las horas, la colocación del cursor en el cuadrante exige que, para que se pueda utilizar, la línea equinoccial, es decir, la línea que divide el cursor, se coloque en el medio sobre el final del grado de la altitud de la cabeza de aries en esa región. Desde la línea en la que se encuentran los centros de las horas se cuentan tantos grados cuantos dista el cenit14 de la cabeza de aquella región hasta el equinoccial. Hecho esto, si quieres obtener cualquier hora del día actual, pon la plomada que contiene el marcador sobre el día del mes actual y dirige el marcador sobre el arco del mediodía. Luego, 14 Este es un término astronómico para designar el punto más alto que alcanza un astro en su ascensión por el firmamento. 783 12 quadrantis quousque radius solis transeat per foramen utriusque pinne et cuiuscumque hore arcum curriculus tetigerit; finis hore illius est que vulgariter hora dicitur. Si autem inter duos arcus fuerit arcus sequentis hora presens est media, tertia vel deinceps.185 Cum autem latitudinem regionis cuiuscumque invenire volueris, accipies solis altitudinem in meridie prout verius et certius poteris, et scias in quo gradu cuiuscumque signi sit sol in die illa et, si fuerit in principio arietis et libre, altitudinem quam accepisti de 90 minue, et quod remanserit erit latitudo regionis, 190 hoc est, declinatio cenit ab equinoctiali. Si autem fuerit extra hec duo loca intra cum signo et gradu in tabula declinationis solis et si fuerit sol in signis septentrionalibus, declinatio septentrionalis erit eam, igitur de altitudine quam accepisti minue. Et si in australibus, australis erit eius declinatio sive 195 meridiana. Eam igitur altitudini quam accepisti adde et quod post augmentum vel diminutionem provenerit, scias esse 186/191 Cum – equinoctiali] cfr. PS.-MESSEH., Astr. 1.21 (p. 216, 4/8) 191/201 Si – est] cfr. PS.-MESSEH., Astr. 1.21 (p. 215, 8/14) 182 radius – transeat] radii solis transeant Br 183 pinne] prime Pa finis] iter. Br 184/185 que – deinceps] etc. R 184 duos] 2 Li 184/185 duos arcus fuerit] om. Lca, duos fuerit arcus Lcm 185 fuerit arcus] om. Li hora] hore Va est] hora add. Va media] vel add. Pa media tertia vel deinceps] media vel tertia pars vel deinceps Lc Pac, media vel tertia pars deinceps vel Paa deinceps] si vis scire in quo gradu altitudinis sit sol in hora aliqua recipe radios solis per utraque foramina pinnarum equaliter et vide in quoto gradu limbi cadat perpendiculum et in toto gradu altitudinis est sol in hora illa add. Vam 186 Cum] de latitudine regionis invenienda tit. praem. Pa, spatium tituli vacuum reliquit Lc autem] a add. Br latitudinem – cuiuscumque] regionis cuiuscumque latitudinem Va, latitudinem ragionis cuiuslibet Li 187 accipies] accipias Va 188 poteris] quod potes scire per tabulas add. Vam scias] scies Br cuiuscumque] cuiusque Lc Pa N 189 die illa] illa die Pa et2] aut Lc Pa N R Li, vel Br 190 90] nonaginta Br latitudo] vel altitudo add. Va, altitudo Br regionis] illius add. Lc Pa 191 hoc] hic Br declinatio] solis add. Pa cenit] capitis add. Va autem] sol add. Vas, om. Br 192 hec] hoc Pa N R Li Br, id est add. Pa duo] 2 Lc Li loca] om. Pa, scilicet principium arietis vel libre add. Vam tabula] tabulam Lc Pa N R Li 193 fuerit sol] sol fuerit N septentrionalibus] et add. N Li 194 septentrionalis erit] erit septentrionalis Pa erit] om. Lc de] om. Li Br 195 australibus] austrionalibus Br sic eius] om. Pa Br 195/196 sive meridiana] om. R 196 igitur] itaque Pa N R altitudini] altitudinem Li Br quod] quot Vac 197 provenerit] provenerint Va, provenit Li Br 784 2 se eleva el cono del cuadrante hasta que el rayo del sol pase por el agujero de ambas mirillas y, sea cual sea el arco de la hora que el marcador toque, el final de esa hora es lo que vulgarmente se conoce como «hora». Pero si entre los dos arcos estuviera el arco de la siguiente, la hora actual está en la mitad, en su tercera parte, etc. Por su parte, cuando quieras hallar la latitud de cualquier región, coges la altitud del sol al mediodía todo lo ajustada y acertadamente posible, y sabes entonces en qué grado de qué signo está el sol en ese día15. Si estuviera en el principio de aries y libra, la altitud que tomaste réstala de 90, y lo que quede será la latitud de la región, esto es, la inclinación del cenit desde el equinoccial16. Si en cambio estuviera más allá de estos dos lugares, ve con el signo y el grado en la tabla de la inclinación del sol y, si el sol estuviera en los signos septentrionales, será esa la inclinación septentrional: entonces disminúyela de la altitud que cogiste. Y si está en los australes, la inclinación será austral o meridiana: añádela por tanto a la altitud que cogiste y lo que provenga de ese aumento o disminución, que sepas que esa es la altitud de 15 Siempre con la ayuda de las tablas del sol que ha descrito antes. 16 Se refiere a la línea equinoccial, es decir, el ecuador terrestre. 785 13 altitudinem arietis et libre in eadem regione, quam a 90 substrahendo, ut dictum est, regionis latitudinem invenisti, que est elongatio cenit ab equinoctiali, vel altitudo axis supra 200 orizontem, quod idem est. Si autem istud idem per stellas fixas investigare volueris, quamcumque ex stellis fixis in eadem regione non occidentem considera nam in illa regione non occidentes sunt, quarum elongatio a polo est minor elevatione poli supra orizontem: occidentes vero sunt quarum longitudo 205 maior est. Cuius vis igitur non occidentis altitudinem altiorem et inferiorem invenias, eisque insimul iunctis in duo partire, quorum unum scias esse elevationem poli ab orizonte regionis et eiusdem regionis latitudinem, id est, declinationem cenit ab equinoctiali. In quantum enim cenit distat ab equinoctiali, in 210 tantum polus septentrionalis elevatur in illa regione ab orizonte et meridionalis deprimitur. Cum autem altitudinem solis in quacumque regione invenire volueris, declinationem gradus in quo sol fuerit eadem die considera, quoniam si fuerit septentrionalis de latitudine 215 regionis subtrahe. Si vero meridionalis eam latitudini adiunge et, quod collectum fuerit, de 90 minue et quod remanserit post diminutionem erit altitudo solis eiusdem diei medie. Scias etiam 201/210 Si – equinoctiali1] cfr. PS.-MESSEH., Astr. 1.22 (p. 215-6) 198 a] 7 Lca 90] nonaginta Br 199 substrahendo] post ut dictum est transp. Lc Pa regionis latitudinem] in regionis latitudine Lc Pa latitudinem] om. Br 201 est] om. R istud] illud Va 202 fixis] om. Br 203 occidentem] occidente Br 204 elongatio] elevatio Lc Pa Br elongatio – minor] om. Lca, add. Lcm est] om. Bra, add. Brs 205 longitudo] elongatio Va Li 206 est] om. Lca, add. Lcm, elevatione poli supra orizontem add. Vam igitur] ergo Li, om. Br et] vel Br 207 insimul] simul Pa N duo] 2 Li 208 unum scias] scias unum Lc Pa orizonte] illius add. Lc Pa regionis] regionum Br et] om. Lc Pa 209 eiusdem regionis] regionis eiusdem Br latitudinem] altitudinem Li id est] et Li 210 quantum – in] om. Li cenit distat] distat cenit Va 211 tantum] quantum Lca, add. Lcm, latum Lic elevatur] elevavit Lc 212 deprimitur] et hoc vocant numerus stabilis add. Vaa, del. Vac 213 Cum] de solis altitudine tit. praem. Pa in] meridie add. Vaa, del. Vac 213/214 invenire volueris] volueris invenire Br 214 quo] qua Br fuerit] in add. Va Bra 215 considera] in tabulas add. Vas quoniam] quam Lc Pa, om. Br 215/216 de latitudine regionis subtrahe] adde ad numerum stabilem add. Va 216 subtrahe] scilicet latitudinem regionis add. Vaa, del. Vac, qui est parisius 42 add. Vas, adde quia inventio altitudinis solis opposito modo se habet ad latitudinem regionis add. Vam latitudini] latitudinem Pa latitudini adiunge] a numero stabili subtrahe Va 217 fuerit] fuit Br quod2] quantum Br 218 medie] in meridie Br 786 3 aries y libra en esa misma región; esta altitud se sustrae a 90, como se ha dicho, y has encontrado la latitud de la región, que es la elongación17 del cenit desde el equinoccio o la altitud del eje sobre el horizonte, que es lo mismo. Si esto mismo quisieras investigar para las estrellas fijas, toma cualquiera de las estrellas fijas que no se esté ocultando en la misma región –pues en esa región no se están ocultando– cuya elongación desde el polo sea menor que la elevación del polo sobre el horizonte: se ocultan aquellas cuya longitud es mayor. De las que no se están ocultando, encuentras de la que quieras la altitud más alta y la inferior, y la cantidad que sumen ambas se parte en dos; una de estas partes has de saber que es la elevación del polo desde el horizonte de la región y la latitud de la misma región, o sea, la inclinación del cenit desde el equinoccial. Cuanto diste el cenit desde el equinoccial, tanto se eleva el polo septentrional en aquella región desde el horizonte y tanto cae el meridional. Cuando quieras adivinar la altitud del sol en cualquier región, toma la inclinación del grado en el que el sol estuviera en ese día, porque, si fuera septentrional, lo sustraerás de la latitud de la región. Si es meridional, se añade a esta latitud y, lo que saliera, se disminuye en 90 puntos. Lo que quede después de la disminución será la altitud del sol en el medio de ese 17 En astronomía, la elongación se emplea fundamentalmente para medir el ángulo entre un astro y otro vistos ambos desde la tierra (sobre todo entre un astro y el sol). Aquí, en cambio, Sacrobosco utiliza el término para referirse a una distancia angular cualquiera, en este caso el ángulo formado entre el cenit solar y el ecuador. 787 14 quod si minueris latitudinem regionis solum de 90, remanebit tibi altitudo capitis arietis et libre in eadem regione die media.220 Cum autem cuiuslibet rei in plano constitute altitudinem scire volueris, perpendiculo supra 45 graduum posito tam diu ante vel retro te move, donec per utriusque pinne foramen rei cacumen videas, et tunc, quanta distantia erit a pede tuo usque ad radicem rei cum adiectione stature tue, tanta erit altitudo rei 225 procul dubio. Si autem altitudinem eius ut non movearis scire volueris, tunc conum quadrantis versus rei cacumen elevato quousque videas altitudinem eius per foramen utriusque pinne. Tunc si ceciderit perpendiculum supra puncta umbre extense, considera in qua proportione se habeant 12 ad puncta illa et, in 230 eadem proportione, se habebit altitudo rei ad distantiam inter te et ipsam addita longitudine stature tue. Si vero ceciderit supra umbre everse puncta in qua proportione erunt puncta illa ad 12, tota pars erit altitudo longitudinis inter te et radicem eius coniuncta longitudine stature tue. Unde sciendum quod si fuerit 235 perpendiculum supra dyametrum quadrantis, erit altitudo rei 221/235 Cum – tue] cfr. PS.-MESSEH., Astr. 2.45 (p. 230-1, 1/15) 226/ 235 Si – tue] cfr. BERENG., Quadr. vetust. 6 (p. 119, 5/12) 235/ 239 Unde – longitudine] cfr. PS.-MESSEH., Astr. 2.45 (p. 231, 15/18) 219 minueris] numerus Pa solum] om. Br 220 tibi] om. Lca, add. Lcm capitis arietis] cenit capitis N et] etiam Br die media] media die Br 221 Cum] de altitudinis mensuratione tit. praem. N, de mensuratione cuiuslibet rei in plano constitute tit. praem. Pa, spatium tituli vacuum reliqui Lc altitudinem] post cum autem transp. N 222 scire –  perpendiculo] iter. Lca 45] 5 Lc, quadragesimum quintum Lc2 posito] lineam equinoctialem add. Vas 223 vel] et Li te move] move te Va te] om. Br pinne] pime Pa sic 223/224 rei cacumen] cacumen rei Pa 224 cacumen] om. Lca, add. Lcm videas] si nimis prope sis retrocede si minus longe distes accede propius add. Vam, notandum quod debes computare a linea equinoctiali usque ubi perpendiculum ceciderit et non debes incipere computare a linea marginali add. Vam usque] ut Li 225 rei1] illius add. Vaa, del. Vac adiectione] additione Br 227 conum] cono Vaa Lc Pa N R Li 228 foramen] post utriusque pinne transp. Br 229 Tunc si] et si tunc Br ceciderit perpendiculum] perpendiculum ceciderit Br puncta] om. Vaa, add. Vas 230 12] XII Va et] om. R 231 habebit] habet Br ad distantiam] om. Br distantiam] instantiam N te] se Li 232 ipsam] radicem rei add. Vas stature] statue R stature tue] tue stature Lc Pa tue] om. N R Li 233 umbre – puncta1] puncta libre verse Br sic umbre] umbra Lc umbre everse] umbre verse Va puncta1] tunc add. R 12] XII Va 234 tota] tata Li sic, tanta Br inter] super Li 235 tue] om. Lc Pa N R Li 236 altitudo rei] rei altitudo Lc Pa N R 788 4 día. Sin embargo, sabe que, si disminuyeras la latitud de la región tan solo de 90 puntos, te quedará la altitud de la cabeza de aries y de libra en la misma región en la mitad del día. Por otro lado, cuando quieras saber la altitud de algo situado en un plano, muévete más cerca o más lejos una vez dispuesta la plomada sobre los 45 grados, hasta que veas por los dos agujeros de las mirillas la cima de lo que quieras medir. Entonces, cuanta distancia haya desde tu pie hasta la raíz de lo que quieras medir con la adición de tu estatura, tanta sin duda su altitud. Si quieres saber su altitud sin moverte, entonces mantén elevado el cono del cuadrante hasta la cima de lo que quieras medir, hasta que veas su altitud por el agujero de las dos mirillas. Entonces, si cayera la plomada sobre los puntos de la sombra extendida, considera su proporción si la dividieras en 12 partes en relación con esos puntos y, en la misma proporción, se tendrá la altitud de lo que quieras medir sumando la distancia entre tú mismo y dicha altitud, añadida a ella la longitud de tu estatura. Si cayera en cambio sobre los puntos de la sombra invertida, en qué proporción hasta 12 estarían esos puntos; todo ello sumado a la longitud de tu estatura será la altitud de la longitud entre tú mismo y su raíz18. De ahí se conoce que, si la plomada estuviera sobre el diámetro del cuadrante, la altitud de la longitud de lo que 18 Para medir la distancia entre el mensurador y aquello cuya altura se quiere saber, Sacrobosco aquí plantea realizar simplemente una medición estimada proporcional a los puntos de la escala altímetra. Sabiendo que un grado de la escala sería aproximadamente tanto, se puede establecer la distancia entre un punto y otro dependiendo de cuántos grados tape la sombra en una u otra dirección. 789 15 equalis longitudini adiecta sibi statura; et si fuerit supra extensam, erit altitudo minor longitudine, si vero supra eversam, erit altitudo maior longitudine: staturam mensoris appello longitudinem stature eius a terra usque ad oculum, unde radius 240 visionis exit. Tantum enim spatium retrorsum ad basim maioris trigoni semper addiciendum est, quantum ypotenusa que a summitate altitudinis ad oculum tenditur mensoris, si post tergum in ulteriora proiceretur infra comprehendit. Tunc siquidem post 245 tergum mensoris rursus triangulus alius formaretur, cathetus esset statura mensoris basis vero adiectio. Unde versus: Linea protracta basis est porrecta cathetus: tenditur ad metas ypothenusa duas. Quamcumque autem proportionem cathetus interior, basis et ypothenuse comprehenderit, si ortogonaliter 250 erigatur, eamdem cathetus maior ad suam basim et ypothenusam habebit proportionem. Cum igitur perpendiculum supra dyametrum ceciderit, altitudo cum basi sua equalis erit. Sed numerus graduum, qui supra perpendiculum est in umbra extensa, cum toto ipso latere quadrati comparatur, quod vicem 255 249/253 Quamcumque – erit] cfr. BERENG., Quadr. vetust. 6 (p. 119, 18/21) 237 sibi statura] statura sibi N sibi] semper Br statura] mensoris add. Va supra] umbram add. Lc Pa N R Li 238 extensam] extensa Li 238/ 239 si – longitudine] om. Li 238 eversam] versam Va 240 stature eius] eius stature Li 241 exit] erit Pa 242 spatium] est add. Lc Pa N basim] basem Br 243 est] om. Lc Pa 244 oculum] circulum R oculum tenditur] mensoris tenditur R mensoris] mensis Lca, add. Lcm si] vero add. Pa tergum] trigonum Br 245 ulteriora] posteriora vel ulteriora Va, posteriora Li Br proiceretur] proicietur Br infra] trigonum add. Br Tunc] etiam Li 245/246 post tergum] om. Br 246 triangulus] post mensoris praem. Bra, ante mensoris praem. Brc alius] om. R cathetus] cathenis Li, cuius add. Br 247 Unde] urim Pa sic 248 protracta] prostrata vel protracta Va, prostrata Lc R fortasse recte, prostracta Pa Li porrecta] proiecta Br tenditur] venditur Lca, centrum Pa 249 Quamcumque] quemcumque Pa autem] om. Lc Pa proportionem] portionem Lc 250 interior] inferior Li ypothenuse] ypothemis vel Lca comprehenderit] comprehendunt Vaa, comprehenditur Vac, comprehendit Br ortogonaliter] ortogomenaliter Br sic 251 erigatur] erigat N eamdem] eadem Br 252 proportionem] portionem Lc Pa 253 erit] ipsi add. Br 254 graduum] punctorum add. Vas, graduum quos perpendiculum abscidit add. Vam est] sunt Lc Pa N R Li 255 toto ipso] tota ipsa Br latere] basi Li quadrati] id est cum XII que sunt latus quadrati add. Vas, quadranti Lc Pa, quadrantis Br quod] latus quadrati add. Vas 790 5 quieras medir será igual a la longitud sumada a su estatura; y si estuviera sobre la sombra extendida, será la altitud menor que la longitud; si, en cambio, sobre la invertida, la altura será mayor que la longitud –llamo estatura del mensurador a la longitud de su estatura desde la tierra hasta el ojo, de donde sale el rayo de la visión–. En efecto, siempre hay que añadir tanto espacio de más hacia atrás de la base del triángulo como a la hipotenusa, que se extiende desde la cima de la altitud hasta el ojo del mensurador19, si dicha base se proyectara más allá tras su espalda de forma que se sumara al lado inferior. Si entonces se formase de nuevo otro triángulo a la espalda del mensurador, el cateto sería la estatura del mensurador y la base, en cambio, lo añadido20. De ahí el verso: la línea trazada de la base es igual que la extensión del cateto: / la hipotenusa se extiende entre los extremos de ambas. Pero cualquier proporción que mantienen el cateto interior respecto a la base y la hipotenusa, si se construye ortogonalmente, esta misma proporción tendrá el cateto mayor respecto a su base e hipotenusa21. Por tanto, cuando la plomada caiga sobre el diámetro, la altitud será igual que su base. Pero el número de grados que queda sobre la plomada en la sombra extendida se equipara con todo el mismo lado del cuadrado, de forma que la base representa tan solo una parte 19 En este punto, Sacrobosco opera con el cuadrante para medir altitudes a través de la trigonometría. Para ello tiene en cuenta la distancia entre el ojo del mensurador y la base de lo que se quiere medir, la altura de lo que se mide, la distancia entre su cima y el ojo del que mide y, por último, la altura del mensurador hasta el ojo. Con estas medidas se formaría un cuadrilátero, pero, como interesa que se forme un triángulo con el que operar, se soluciona añadiendo la altura del mensurador a la base y aumentando en proporción la hipotenusa (proceso que explica inmediatamente a continuación). 20 Aquí se explica qué ocurre con la medida del mensurador y cómo añadir la parte proporcional a la hipotenusa. Para ello, lo más fácil es hacer otro triángulo: si se aumenta la base lo que mida la persona, esta forma un ángulo recto con la persona estando de pie, de tal forma que, teniendo dos catetos cuya medida se conoce y es idéntica, es fácil calcular la hipotenusa. 21 Es decir, si este pequeño triángulo, que sirve para solucionar lo de la altura del mensurador, se ha construido bien, las proporciones se han de mantener respecto al triángulo mayor del que partimos para medir la altura de cualquier cosa. 791 16 basis gerit et cum infra prodierit, versa vice super excrescente catheto, numerus qui infra est cum toto latere quadrati confertur eamdem basis cum catheto proportionem habere dinoscitur. Cum autem planities inter te et rem metiendam sit inequalis, denotetur punctus notabilis in latere rei metiende per foramen 260 utriusque pinne, perpendiculo iacente supra lineam marginalem quadrantis. Et postea eleva quadrantem ut videatur rei altitudo per foramen utriusque pinne perpendiculo supra lineam equinoctialem iacente. Quanta igitur erit linea ducta ab oculo mensoris ad punctum signatum in latere rei metiende, tanta 265 procul dubio est altitudo rei a puncto illo usque ad summitatem. Si quam autem vis metiri planitiem per utriusque pinne foramen limitem eius ex adverso considera. Postea puncta umbre super que ceciderit perpendiculum ad 12 compara et, qualis fuerit comparatio punctorum ad 12, talis erit comparatio 270 stature tue ad totam rei planitiem. Et hec michi dicta de simplici et composito quadrante ad presens sufficiant. 267/271 Si – planitiem] cfr. PS.-MESSEH., Astr. 2.47 (p. 231) 256 cum] tum Li infra] intra Lc Pa N R, intrat Li 256/257 prodierit –  infra] om. Lca, add. Lcm 256 super excrescente] ex super crescente Nc 257 est] que perpendiculum abscindit add. Vas cum] in Br quadrati] quadranti Lc Pa 258 eamdem] eadem Br cum] om. Br proportionem] portionem Lc Pa dinoscitur] dinoscit N 259 autem] igitur Br metiendam] mentiendam Lc sic, iter. Lca 260 metiende] mentiende Lc sic 261 pinne] quadrantis add. Lc Pa iacente – marginalem] deest Lc folio mutilo 262 Et] om. Pa postea] post Lc Pa Li eleva] helena Lca quadrantem] om. Br 263 perpendiculo] cadenti add. Li, cadente add. Br 263/264 perpendiculo – iacente] om. R 264 iacente] iacentis Lc, post utriusque pinne perpendiculo transp. Lc Pa, om. Li Br igitur erit] erit igitur Pa erit] est Li 265 signatum] iter. N metiende] mentiende Lc sic 266 procul dubio] post est transp. Br altitudo rei] rei altitudo Li ad] in Va Lc N Li summitatem] si perpendiculo ceciderit supra lineam equinoctialem quadrantis add. R 267 Si] de plana superficie mensuranda tit. praem. Lc Pa vis metiri] metiri vis Li vis] velis Br planitiem] post si quam autem praem. Br pinne] pime Pa sic 268 Postea] post Li 269 umbre] imbre Pa, om. Br 12] XII Va compara] comparata Lca et] 0 add. Lca, del. Lcc 270 punctorum] om. R 12] XII Va erit] om. Lc Pa comparatio2] computatio Li 271 tue] rei Br rei] om. Lc Pa N R Li planitiem] explicit notandum quod in umbra extensa crescit distantia et diminuitur altitudo in umbra autem versa econverso est add. Br 272 hec] om. Ra, add. Rm 272/273 ad presens] om. Lc Pa Br 273 sufficiant] sufficiunt Lc, explicit add. Lc Pa, explicit quadrans add. N, explicit quadrans magistro jo. de sacro bosco add. Br 792 6 y, cuando avanza más abajo, a su vez el cateto crece hacia arriba en dirección opuesta: el número que está abajo se ajusta con todo el lado del cuadrado y se concluye que la base y el cateto tienen la misma proporción22. Cuando la extensión entre tú mismo y lo que hay que medir sea desigual, se denota un punto notable al lado de lo que haya que medir a través del hueco de ambas mirillas, cayendo la plomada sobre la línea marginal del cuadrante. Después, eleva el cuadrante de forma que se vea la altitud del punto por el hueco de ambas mirillas, cayendo la plomada sobre la línea equinoccial. Así pues, la línea trazada desde el ojo del mensurador hasta el punto señalado en el lado de lo que haya que medir será sin duda tanto como la altitud de la cosa desde aquel punto hasta la cima. Si quieres medir alguna extensión, busca su límite en relación inversa a través del hueco de ambas mirillas. Después, divide en 12 los puntos de la sombra sobre los que cae la plomada y, cual fuera la relación de puntos hasta el 12, tal será la relación de tu estatura respecto a toda la extensión de la superficie. Que baste todo esto dicho hasta ahora sobre el cuadrante simple y compuesto23. 22 Con esto quiere decirse que, para evitar triángulos rectángulos escalenos, se intente siempre equiparar ambos catetos para facilitar el cálculo. 23 Con el cuadrante simple se refiere a aquel que no lleva cursor, mientras que el cuadrante compuesto es aquel que sí lo lleva. 793 APÉNDICES 5. Anexo: láminas relativas al cuadrante Lámina 23: Dibujo de un quadrans vetus en el ms. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Urb. Lat. 1428 (n.º 147), f. 95v (DVL, cons. 07/09/2023). 794 https://digi.vatlib.it/view/MSS_Urb.lat.1428/0196 Edición del Quadrans Lámina 24: Dibujo de cuadrante en el ms. Madrid, Biblioteca Histórica de la Universidad Complutense Marqués de Valdecilla, 156, f. 174v (http://alfama.sim.ucm.es/dioscorides/consulta_libro.asp?ref= B18550071&idioma=1, cons. 07/09/2023) 795 http://alfama.sim.ucm.es/dioscorides/consulta_libro.asp?ref=B18550071&idioma=1 http://alfama.sim.ucm.es/dioscorides/consulta_libro.asp?ref=B18550071&idioma=1 APÉNDICES Lámina 25: Primera tabla de las Tabule solis, f. 10r del ms. N 796 Carmen de algorismo, edición y traducción El Carmen de algorismo es un poema matemático escrito a principios del s. XIII cuya vinculación con el Algor. no solo reside en ser su fuente, sino que, como veremos, ambas obras se influyen mutuamente a lo largo de su transmisión. Halliwell (1939, vi) fue el primero que atribuyó esta obra a Alexandre de Villadei, quien la habría escrito en torno al año 1202833. No es de extrañar esta relación atendiendo a otras obras del autor, como la Massa computi (ediciones de Steele, 1926, 268-89 y Wijk, 1936, 52-64), un tratado en verso leonino sobre el cómputo eclesiástico. Esta materia, como ya hemos visto en las obras de Sacrobosco, se encuentra a menudo en códices misceláneos junto con obras astronómicas y matemáticas, todas ellas disciplinas del Quadrivium. La importancia del Carmen de algorismo en la historia de la transmisión del Algor. es capital por varios motivos. El primero de ellos, tal como apuntaba Beaujouan (1991, XI, 106-15), es la posibilidad real de que el Algor. naciera como comentario en prosa al Carmen. En efecto, siendo el Carmen una obra de estudio universitario, es muy probable que los alumnos echaran de menos un manual en prosa que profundizara en los conocimientos que el poema transmite, cuya forma versificada, a veces, dificulta la comprensión de los postulados matemáticos. Además, que el Carmen es fuente del Algor. es indiscutible en tanto en cuanto Sacrobosco cita directamente unos versos extraídos de aquel. Por otro lado, como veremos, en una fase en la que el Algor. ya había sido compuesto, la influencia que otrora había sido desde el Carmen hacia el Algor. se da la vuelta y es el Algor. quien comienza a influir en el Carmen. Este hecho se traduce en la inclusión de formas textuales nuevas al final del Carmen que se añaden al texto con el objetivo de completarlo. Estamos, por tanto, ante dos obras cuya transmisión y composición se entremezclan, de suerte que no podemos entender el Algor. sin el Carmen y viceversa. A diferencia del Quadr. y coincidiendo con el Algor., el Carmen de algorismo sí cuenta con dos ediciones precedentes que, aunque no pueden considerarse críticas, al menos los autores han tenido en cuenta varios manuscritos para la reconstrucción del texto. Estos son los trabajos de Halliwell (1839, 73-83) y Steele (1922, 72-80), que han resultado fundamentales en los últimos años para el estudio del Carmen de algorismo, pues se han tomado como base para analizar este algoritmo en verso desde diferentes perspectivas. En primer lugar, la edición de Halliwell (1839, vi) presenta en su prólogo los manuscritos que ha tenido a su disposición para reconstruir el texto, aunque, según anuncia, no son los únicos de los que ha tenido noticia, cuyo número sería muy superior. Los manuscritos que lista son los correspondientes a los números 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 88, 97, 102, 103, 105, 106, 107 y 108 del listado de códices que desglosamos infra con los testimonios del Carmen de algorismo. Se advierte rápidamente que todos ellos se conservan en bibliotecas inglesas, lo que es lógico atendiendo a que el editor probablemente cotejó tan solo aquellos ejemplares que tenía a su disposición. Parece que este fue el único criterio para su elección, pues tanto la procedencia de los ejemplares como su fecha de composición son muy variadas. No sabemos cuál de todos estos testimonios tomó como base, o si fue anotando las variantes de todos 833 Halliwell (1939, vi) apunta que este dato puede corroborarse atendiendo a la introducción a este autor encontrada en el manuscrito London, British Library, Harley 3902, donde se menciona a Villadei como autor de las obras Doctrinale y Algorismum metricum (sc. el Carmen de algorismo), que van seguidas. Además de este, otro dato relevante al respecto para Halliwell es el testimonio de M. Charles, un nombre del que no tenemos muchos más datos, pero quien informó a este editor que un manuscrito en la «French King’s Library (7420. A.)» (el actual Lat. 7420A, nuestro n.º 545 del listado general, n.º 116. del censo del Carmen, f. 52vb) tenía como colofón: Explicit Algorismus editus a Magistro Alexandro de Villa Dei. 797 APÉNDICES y fue seleccionando cada una de ellas, pues ni el autor lo dice, ni hay aparato crítico que arroje un poco de luz sobre este asunto. En las pocas notas que lleva la edición, Halliwell se limita a incluir algunos pasajes paralelos extraídos de comentarios al Carmen u obras afines. Steele (1922, 72), por su parte, dice claramente que sigue el manuscrito n.º 72 del listado específico del Carmen, al que ha añadido algunas lecturas de los números 70 y 73. Mientras que el manuscrito n.º 72 se corresponde con nuestro L, un testimonio del s. XIII-XIV, los correspondientes a los números 70 y 73 son dos códices del s. XV, con sendos comentarios. A diferencia de la edición de Halliwell, Steele sí aporta en nota los versos que extrae de uno u otro testimonio cuando son distintos de los transmitidos por L. Sin embargo, una y otra edición son trabajos incompletos que no prestan atención a la historia de la transmisión del poema, pues su objetivo principal es presentar un texto a partir de ciertos manuscritos escogidos sin criterio aparente. Sin embargo, la tradición textual del Carmen presenta una transmisión fluida, mucho más compleja y cambiante de la que se ha dado a conocer hasta el presente. En este sentido, encontramos que todos los códices estudiados comparten una porción de texto inicial cuyo contenido, aun con variantes textuales, es el mismo. A dicho texto se suma uno o más bloques textuales que se añaden a esa estructura común y que son variables en contenido y ordenación en cada uno de los manuscritos. La porción de texto general que se repite en todos los códices consta, a su vez, de dos partes: un primer gran bloque donde se introduce la materia y luego, por orden, se explican las operaciones de la suma, la resta, la duplicación, la mediación, la multiplicación y la división; y un segundo bloque que se ocupa de las raíces cuadradas y cúbicas. La división en dos del texto general responde a que la explicación de las raíces, a veces, no aparece inmediatamente a continuación del texto que acaba con la división, sino que en algunos manuscritos, como veremos, entre la división y las raíces se insertan otros apartados, como el de la progresión. Esta porción de texto general más las raíces cuadradas y cúbicas es lo que nos encontramos en la edición de Halliwell (1939), siendo lo que comúnmente se ha estudiado como Carmen de algorismo. No obstante, en casi todos los ejemplares consultados, el Carmen no termina ahí, sino que al texto propuesto por Halliwell se añaden los bloques textuales que ya mencionábamos, los que varían en contenido y orden hasta tal punto que podríamos estudiar cada testimonio como un unicum. A continuación, en la siguiente tabla exponemos qué bloques contiene cada uno de los testimonios estudiados, para ofrecer al lector un panorama visual de la situación834: 834 Dentro de los testimonios, hemos señalado aquellos mútilos por deturpación material (mut.) y los incompletos, aquellos en los que no se ha copiado la totalidad del texto (incompl.). De entre ellos, Pr4 es un códice acéfalo, por lo que la falta de versos al principio no impide ver la estructura del Carmen, es decir, qué bloques de versos lo constituyen. Bo2 Ca Cm G2, en cambio, carecen de texto al final, por lo que es imposible saber si contenían otros bloques de versos tras la parte común del texto. 798 Edición del Carmen de algorismo SIGLA BLOQUES DE VERSOS QUE CONFORMAN EL TEXTO Bo1 Tex. Rad. Progr. 1 Mult. 3 Bo2 Tex.mut. Bo3 Tex. Rad. Progr. 1 Sabbat. Ca Tex.incompl. Cm Tex. Rad.mut. Er Tex. Progr. 1 Mult. 2 Rad. Si quant. G1 Tex. Rad. Progr. 1 G2 Tex. Rad. Mult. 3mut. G3 Tex. Rad. Progr. 1 I Tex. Rad. Progr. 1 Mult. 1 Dupl. Unum L Tex. Rad. Progr. 1 M1 Tex. Rad. Progr. 1 M2 Tex. Progr. 1 Rad. Pr1 Tex. Rad. Mult. 1 Unum Pr2 Tex. Rad. Progr. 1 Mult. 2 Unum Pr3 Tex. Rad. Progr. 2 Mult. 1 Pr4 Tex.mut. Rad. Progr. 1 Pr5 Tex. Rad. Progr. 1 Mult. 2 Pr6 Tex. Rad. Progr. 1 Mult. 1 Pr7 Tex. Rad. Progr. 1 Progr. 3 Si quant. (v. 4/5) Unum Mult. 1 Progr. 2 Tr Tex. Progr. 1 Rad. Mult. 3 V1 Tex. Rad. Progr. 3 Sabbat. V2 Tex. Rad. Ignot. Progr. 1 + Progr. 3 (v. 2) Mult. 1 Tabla 14: Bloques de versos que conforman cada uno de los testimonios analizados del Carmen de algorismo Tex. = Texto común hasta los versos sobre la división incluidos Rad. = Versos sobre la extracción de raíces Progr. 1 = Primer bloque sobre la progresión Progr. 2 = Segundo bloque sobre la progresión Progr. 3 = Tercer bloque sobre la progresión Mult. 1 = Primer bloque sobre las reglas de la multiplicación Mult. 2 = Segundo bloque sobre las reglas de la multiplicación Mult. 3 = Tercer bloque sobre las reglas de la multiplicación Sabbat. = Bloque que comienza con Quadrantes sabbato Unum = Bloque que comienza con Unum prima Si quant. = Bloque que comienza con Si quantum vixit Ignot. = Bloque que comienza con Ignotum numerum Dupl. = Bloque que comienza con Si numerus duples835 Por todo lo que hemos comentado, consideramos importante el aporte de una nueva edición que establezca un texto conforme a criterios crítico-textuales válidos y ofrezca un acercamiento a la historia de su tradición. Esto permitirá conocer más a fondo cómo se copió el Carmen en sus primeros años de transmisión y qué elementos hay que tener en cuenta para su estudio. Además, proponemos un nuevo texto que reconstruimos sobre la base de los manuscritos colacionados; a ello hemos añadido nuestra propia traducción castellana, lo que permitirá el acercamiento al poema por parte de personas no necesariamente instruidas en latín. 835 La explicación del contenido de cada uno de estos bloques la ofrecemos infra. 799 APÉNDICES Para llevar a cabo este estudio, en un primer apartado recogemos el censo de la tradición manuscrita del Carmen de algorismo. En él, damos cuenta de todos los testimonios de la obra de los que hemos tenido noticia, al que se suma un único testimonio descartado, como veremos después. Posteriormente, hemos elaborado un estudio de la transmisión manuscrita del Carmen de algorismo, tras colacionar 23 manuscritos fechados en el s. XIII. Estos representan más de la mitad de los testimonios encontrados copiados en este siglo (que suman un total de 41) y consideramos que pueden ser una muestra suficiente para comprender cómo se transmitía y leía esta obra en su época. Al tratarse de una obra con un número de copias que dificulta el análisis de todas y cada una de ellas, hemos considerado que escoger los testimonios más cercanos a su fecha de composición constituye la decisión más coherente respecto a la criba que hicimos supra para el Algor.: al trabajar sobre ejemplares de ambas obras datados en el mismo siglo, esperamos llegar a una mejor comprensión de su transmisión que, si bien no siempre es conjunta, en cualquier caso ha de tomarse como paralela y complementaria. Incluso, un estudio de estas características es imprescindible para entender cómo se introdujo la matemática indoarábiga en Europa, pues, siendo estos los «algorismos» con más éxito, fueron ellos los que propagaron esta nueva forma de entender los números y las operaciones en pleno trecento. Este análisis de la tradición manuscrita a la luz de los códices seleccionados ha resultado ser una tarea compleja y que no nos ha llevado a una solución única. Como veremos infra, no es posible establecer un stemma seguro del Carmen de algorismo. Esto responde a la contaminación masiva a la que está expuesta la obra, lo que genera múltiples relaciones horizontales imposibles de desenmarañar. No solo hablamos aquí de una contaminación «tradicional», es decir, de un texto que se ha compuesto mirando a la vez dos modelos: por supuesto, consideramos que hay una alta probabilidad de que esto ocurra en esta tradición, máxime en ámbito universitario, en el que sin duda se movía este tratado. Dentro de este contexto, encontramos múltiples ejemplares plagados de notas en el margen y entre líneas, lo que favorece la contaminación y nos sugiere la presencia de testimonios colacionados. Por otro lado, no descartamos contaminaciones que pudieran derivar, por ejemplo, de la propia memoria del copista. Siendo esta una obra pensada para que se aprendiera mnemónicamente, es probable que un estudiante aprendiera los versos en su juventud y que, más tarde, al reproducir la obra con un modelo delante, restituyera las lecturas que él recordara como ciertas por su propio bagaje educativo. Tampoco descartamos que quizá un alumno tuviera en sus manos en ejemplar del Carmen y que, teniendo el profesor el mismo tratado pero con otras variantes, dicho alumno se viera en la necesidad de corregir sobre su propio texto algunas lecturas que consideró fallidas tras la lección de su maestro; o incluso que completara sus «apuntes» con los de otro estudiante. Siguiendo con lo anterior, mención aparte merece la interacción del Algor. y el Carmen. Como demuestran los manuscritos que van intercalando ambas obras o que transmiten una en los márgenes de la otra, estos dos tratados sobre el algorismo viajan muchas veces juntos, siendo una suerte de tándem complementario. Así las cosas, no es extraño que algunas palabras del Algor. se introduzcan en el Carmen y viceversa, habida cuenta, además, de que la terminología es muy parecida entre las obras. Pero, más allá de los términos, más interesantes pueden resultar las adiciones al Carmen. Como se puede ver infra, ninguno de los testimonios colacionados transmite el texto del Carmen que reconstruía tradicionalmente Halliwell. Todos los testimonios acompañan esta «estructura básica» con versos sobre la progresión, las reglas de las multiplicaciones, la explicación de las potencias de diez y/o problemas matemáticos. Tales adiciones, como veremos infra, no son originales. Sin embargo, mientras que algunas de ellas no pudieron ser escritas por el propio Villadei por el vocabulario y/o el estilo empleados, en otras podríamos sospechar que fue el propio autor quien las introdujo estando ya la obra en circulación. De dichas adiciones, mientras que los versos sobre problemas matemáticos (a menudo breves porciones de texto 800 Edición del Carmen de algorismo confusas que muestran planteamientos matemáticos sin acabar o tan solo las soluciones a problemas medievales) parecen ser versificaciones tomadas de las Cautele (cfr. supra en otras obras atribuidas a Sacrobosco), el resto de adiciones son enseñanzas que encontramos en el Algor. y que faltan en el «bloque común». Aunque es evidente la relación entre estas versificaciones y el Algor., no podemos estar seguros en ningún caso de que realmente fuera el Algor. el que influyera en la composición de estos versos y no al revés: que tales adiciones remonten a una tradición más antigua que el Algor. y que fuera Sacrobosco quien se inspirara en ellas. Es más, el mismo Sacrobosco pudo haber tenido en sus manos un ejemplar del Carmen de algorismo que contuviera ya algunas de estas adiciones. Si, por el contrario, fue el Algor. el que inspiró tales adiciones y si consideráramos que al menos algunas de ellas las pudo escribir Villadei, deberíamos datar el Algor. ante 1240, fecha aproximada de la muerte de este autor. En definitiva, puesto que son evidentes estas interferencias entre el Carmen y el Algor., hemos considerado útil añadir un aparato de notas en el que indicamos los paralelismos entre ambas. Qué fuentes empleó Villadei es un asunto todavía sin resolver. Ambrosetti (2015) analiza este problema y relaciona el Carmen con las diferentes obras que descienden del De numero Indorum (no conservado) de al-Khwarizmi836. Con ello, llega a la conclusión de que, aunque tiene múltiples paralelismos con el Liber Alchorismi y el Liber pulveris (sobre estas obras, cfr. supra en el apartado sobre los tratados sobre el algorismo en latín), emplea una terminología heredada del cálculo con ábaco que no pudo extraer de ellas (como los términos digitus, articulus o compositus). Por ello, esta autora defiende que Villadei hubo de emplear más fuentes, hoy no localizadas o no bien estudiadas, para componer su obra. Nosotros no estamos tan seguros de esta afirmación, puesto que los términos empleados en el Carmen se fueron transmitiendo en la producción científica durante tantos siglos (como en los tratados sobre cómputo y astronomía), que fácilmente Villadei pudo recurrir a ellos para que resultaran más familiares a sus lectores y, por qué no, a él mismo, quien ya había compuesto un tratado sobre computística unos años antes. Por esta razón, aunque no podemos afirmar con rotundidad que el Carmen derive del Liber Alchorismi y el Liber pulveris, son tales las similitudes que consideramos necesario incluirlos en el aparato de fuentes, para lo que emplearemos la edición de Allard (1992) y la de Burnett, Zhao y Lampe (2007, 149-82) para la «segunda parte» del Liber Alchorismi. Con este panorama descrito, consideramos útil realizar un nuevo estudio del Carmen de algorismo en aras de mejorar las ediciones existentes y ofrecer un texto fundado sobre un examen más amplio de la tradición. Esto nos permitirá conocer mejor una fuente clave del Algor. y elaborar una edición del Carmen más completa que las anteriores con el objetivo de emplearla como herramienta en el estudio del Algor., pudiendo de esta manera reconstruir un texto más seguro. Aun así, somos conscientes de que en futuros trabajos convendría revisar toda la tradición conservada de la obra, así como realizar un estudio de fuentes exhaustivo, para completar el análisis que aquí se ofrece. 1. La tradición manuscrita A continuación, presentamos un elenco de los testimonios encontrados del Carmen de algorismo, que datan desde el siglo XIII hasta el XVI837. Para este censo, ofrecemos la signatura completa de 836 Todas ellas estudiadas en Allard (1992). 837 Esta recopilación se ha realizado a partir de los testimonios recogidos por Ambrosetti (2008, 353- 91), las bases de datos Mirabile, desarrollada por Sismel, Jordanus y Ptolemaeus desarrolladas por Menso Folkerts, In principio de Brepols y mi propia investigación para realizar el censo de códices que contienen las obras de Sacrobosco (cfr. supra). 801 http://www.mirabileweb.it/title/algorismus-title/13324 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/start https://ptolemaeus.badw.de/start http://www.brepols.net/Pages/BrowseBySeries.aspx?TreeSeries=INPR-O APÉNDICES los ejemplares con los folios donde viene escrito el Carmen y el siglo en el que se copió. También anotamos algunos detalles mínimos entre paréntesis que hemos considerado necesarios, como, por ejemplo, si se trata de un códice mútilo, si el Carmen aparece como glosa a otra obra, si acompaña al Algor. o si el texto viene complementado con comentarios. 1. Aberystwyth, National Library of Wales, Peniarth 359B, ff. 1r-11r, s. XV-XVI 2. Aubervilliers, Institut de recherche et d’histoire des textes, Frag. 13, ff. 1rb-4va, s. XIIIex.. 3. Arras, Bibliothèque municipale, Médiathèque 821 (512), ff. 89r-93v, s. XIV 4. Barcelona, Biblioteca de Catalunya, 39, ff. 48r-54r, s. XV 5. Basel, Universitätsbibliothek, O.IV.37, ff. 81r-84v, s. XV 6. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Germ. 2º 642, ff. 98v-100v, s. XV 7. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 485, ff. 1r-8r, s. XIV 8. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 526, ff. 47r-50v, s. XIV 9. Berlin, Staatsbibliothek – Preußischer Kulturbesitz, Lat. 4º 561, ff. 2r-12v, s. XIV 10. Boston, Medical Library, 20, ff. 4r-8r, s. XIV 11. Braunschweig, Stadtbibliothek, 181, ff. 10v-11v, s. XIV 12. Brugge, Openbare Bibliotheek, 524, ff. 42va, 45rb-46vb, s. XIV 13. Brugge, Openbare Bibliotheek, 528, ff. 35r-40v, ss. XIII-XIV 14. Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 905-918, ff. 229v-236v, s. XIV 15. Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 2910-2920, ff. 27v-33v, s. XIV1/3 16. Bruxelles, Bibliothèque Royale de Belgique, 3672-3690, ff. 153v-155r, s. XVI3/3 17. Caen, Bibliothèque municipale, 14, ff. 58v-61r, s. XIII (incompleto)838 18. Cambridge, Corpus Christi College, Parker Library, 37, ff. 48ra-49va, s. XIV1/4 19. Cambridge, Corpus Christi College, Parker Library, 456, pp. 46-76, s. XIV 20. Cambridge, Gonville and Caius College Library, 76 (136), ff. 87r-93v, s. XIIIex. 21. Cambridge, Gonville and Caius College Library, 77, (137), ff. 81r-89v, ss. XIII-XIV (con comentario) 22. Cambridge, Gonville and Caius College Library, 191 (141), ff. 1r-28r, s. XIVin. 23. Cambridge, Gonville and Caius College Library, 271 (504), ff. 1r-3v, s. XIIImed. (fragmento) 24. Cambridge, Gonville and Caius College Library, 384 (506), ff. 262v-265r, s. XIII (en glosa)839 25. Cambridge, Gonville and Caius College Library, 537 (341), ff. 210v-212r, s. XIII 26. Cambridge, Gonville and Caius College Library, 605 (385), ff. 152r-157v, s. XIII 27. Cambridge, Gonville and Caius College Library, 645 (668*), ff. 133v-135r, s. XIVin. 838 El copista se detiene al final del capítulo de la división. Des.: sit tibi quadratus, ductus radix erit eius. 839 El Carmen aparece como grandes glosas al margen de Aristóteles en latín. Puesto que la mano de estas anotaciones es posterior a la del texto principal, de acuerdo con la evidencia paleográfica, quizá haya que datar este testimonio en el s. XIV o XV. 802 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1252#112963 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1252#276559 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1252#389500 Edición del Carmen de algorismo 28. Cambridge, Library of Peterhouse, 184, ff. 189v-195v, ss. XIV-XV 29. Cambridge, Trinity College, O.1.31, ff. 1r-18v, s. XV 30. Cambridge, Trinity College, O.2.45, pp. 23-31, s. XIII 31. Cambridge, Trinity College, O.5.4, ff. 275v-180v, s. XIIIex. 32. Cambridge, University Library, Add. 3168, ff. 6vb-8vb, s. XIIIin. (mútilo)840 33. Cambridge, University Library, Ii.1.13, ff. 10ra-12rv, s. XIVin. 34. Cambridge, University Library, Ii.1.15, ff. 47r-51r, s. XIV 35. Cambridge, University Library, Mm.3.11, ff. 11r-25r, s. XV 36. Cambridge, Saint John’s College, 155, ff. 28r-29v, s. XV 37. Catania, Biblioteche Riunite «Civica» e «A. Ursino Recupero», Fondo Ursino Recupero, D 39, ff. 35r-37v, s. XV 38. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Ottob. Lat. 1489, ff. 118r-121r, s. XV 39. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Reg. Lat. 150, ff. 164r-168v, s. XIII (con Algor. in marg.) 40. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 3124, ff. 61r-66r, s. XIV 41. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4087, ff. 12ra-13rb, s. XIV-XVin. 42. Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4385, ff. 130va-133ra, s. XIII 43. Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 815, ff. 109r-110r, s. XIV (excerpta) 44. Darmstadt, Universitäts- und Landesbibliothek, 2640, ff. 204r-209r, ss. XIII-XIV 45. Dublin, Trinity College Library, 441, ff. 99v-104r, s. XIVin. 46. Edinburgh, Royal Observatory, Crawford Collection, Cr. 3.4, ff. 19r-23v, s. XVmed. 47. Eger, Föegyházmegyei Könyvtár, U2 VI 1, ff. 16v-20v, s. XV 48. Eichstätt, Universitätsbibliothek, st 626, ff. 20r-21v, s. XIV 49. Eichstätt, Universitätsbibliothek, st 735, ff. 1r-9r, s. XV 50. Erlangen, Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg, 394, ff. 127r-129v, s. XIV 51. Erlangen, Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg, 436, ff. 1ra-2vb, ss. XIIIex.-XIVin. 52. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 2º 376, ff. 57v-61v, s. XIVmed. 53. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 345, ff. 1r-3v, s. XIV 54. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 4º 346, ff. 18r-25v, s. XIII2/2 55. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 8º 80, ff. 1r-3r, s. XIV 56. Erfurt, Universitätsbibliothek, Ampl. 12º 17, f. 16v, s. XIII (fragmento) 57. Firenze, Biblioteca Riccardiana, Ricc. 866, ff. 46v-51v, s. XIIIex. 58. Göttingen, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Luneb. 68, ff. 25r-29r, s. XIV 59. København, Det Kongelige Bibliotek, GKS 1348 kvart, ff. 33r-35r, s. XIII 840 El texto finaliza abruptamente hacia el principio de los versos sobre las raíces cúbicas. Des.: Et si quid fuerit adiunctum parte sinistra. 803 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/6159#188503 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10320#202254 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1538#113249 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1538#276845 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/1538#389785 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10613#122319 APÉNDICES 60. Kremsmünster, Stiftsbibliothek, 81, ff. 4vb-5va, ss. XIII-XV 61. Leiden, Bibliotheek der Rijksuniversiteit, BPL 191 D, ff. 58v-64r, s. XIV 62. Leipzig, Universitätsbibliothek, 1462, ff. 12v-15r, s. XV 63. Leipzig, Universitätsbibliothek, 1470, ff. 537v-540v, s. XV 64. Lincolnshire, Lincoln Cathedral Chapter Library, 226 (B.6.4), ff. 59v-76v, s. XIVex. 65. London, British Library, Add. 10336, ff. 74r-81v, s. XVIin. 66. London, British Library, Add. 15108, ff. 70r-88v, s. XV 67. London, British Library, Add. 17716, ff. 123v, s. XV (fragmento) 68. London, British Library, Add. 31046, ff. 25r-30v, s. XV 69. London, British Library, Egerton 851, ff. 1r-19v, s. XV 70. London, British Library, Egerton 2622, ff. 14r-32v, s. XV1/4 71. London, British Library, Cotton Vitellius A.I, ff. 25v-26v, ss. XII-XIII (incompleto)841 72. London, British Library, Royal 8 C IV, ff. 36v-38ra, ss. XIII-XIV 73. London, British Library, Royal 12 E I, ff. 1r-22v, s. XV (con comentario) 74. London, British Library, Royal 12 F XIX, ff. 183r-184v, s. XIVin. 75. London, British Library, Sloane 513, ff. 26r-43r (con el comentario de Saxton) 76. London, British Library, Sloane 1620, ff. 57r-61r, s. XVI (acéfalo)842 77. London, British Library, Sloane 2397, ff. desconocidos, s. XIII (fragmento) 78. London, Society of Antiquaries of London, Burlington House, 306, ff. 31r-53r, s. XV2/2 (con comentario) 79. Lyon, Bibliothèque du Palais des Arts, 45, ff. 108ra-117vb, s. XIII-XIV (con comentario) 80. † Metz, Bibliothèque municipale, 258843, s. XIII 81. Michaelbeuern, Benediktinerstift, Man. cart. 81, ff. 16r-20r, ss. XIV-XV 82. Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, B 163 sup., ff. 143r-145v, s, XIV 83. Minneapolis, University of Minnesota, 10, ff. 31v-32v, s. XV 84. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 3523, ff. 154ra-155vb, s. XII-XIII 85. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 7784, ff. 101v-104v, ss. XIII2/2-XIV 86. München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14770, ff. 59r-68v, s. XIII (intercalado con Algor.) 87. Nantes, Bibliothèque municipale, 456, ff. 2r-v, s. XV (excerpta) 88. Oxford, Bodleian Library, 4º D. 21 Jur., ff. 3r-8r, s. XVIin. 89. Oxford, Bodleian Library, Add. C 93, f. 1v (frag.), s. XIVmed. 90. Oxford, Bodleian Library, Ashmole 341, ff. 171r-175v, s. XIII 841 Tan solo contiene el primer capítulo (Halliwell, 1839, vi). 842 El Carmen empieza con el verso: Septem sunt partes non plures istius artis, por lo que faltan tan solo unos pocos versos del principio. 843 Folios desconocidos e incognoscibles por no disponer ya del manuscrito, hoy destruido. 804 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/7154#118865 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/7154#282461 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/7154#395422 Edición del Carmen de algorismo 91. Oxford, Bodleian Library, Ashmole 342, ff. 147vb-148v, s. XIII 92. Oxford, Bodleian Library, Ashmole 360, ff. 5r-10v, s. XIVin. 93. Oxford, Bodleian Library, Ashmole 361, ff. 112v-117r, s. XIVmed. 94. Oxford, Bodleian Library, Ashmole 399, ff. 64r-71r, s. XIIIex. (con Algor. in marg.) 95. Oxford, Bodleian Library, Ashmole 1522, ff. 3r-7v, s. XIVin. 96. Oxford, Bodleian Library, Auct. F.5.29, ff. 23r-28v, s. XIVin. 97. Oxford, Bodleian Library, Bodley 57, ff. 174v-176v, s. XIVin. 98. Oxford, Bodleian Library, Bodley 177, ff. 45r-46v, s. XIV4/4 (frag.) 99. Oxford, Bodleian Library, Bodley 507, ff. 1r-11v, s. XV 100. Oxford, Bodleian Library, Bodley 607, ff. 24r-44v, s. XVin. (con comentario) 101. Oxford, Bodleian Library, Canon. Misc. 71, ff. 55r-58v, ss. XIII-XIV 102. Oxford, Bodleian Library, Digby 15, ff. 11v-18v, s. XVmed. 103. Oxford, Bodleian Library, Digby 22, ff. 1r-7r, s. XIVin. 104. Oxford, Bodleian Library, Digby 48, ff. 31r-48v, s. XV (con comentario) 105. Oxford, Bodleian Library, Digby 98, ff. 21v-29v, s. XVin. (con comentario) 106. Oxford, Bodleian Library, Digby 104, ff. 68r-73r, s. XIV 107. Oxford, Bodleian Library, Digby 190, ff. 175r-181v, s. XIV 108. Oxford, Bodleian Library, Fairfax 27, ff. 27r-26v, s. XIV1/2 109. Oxford, Bodleian Library, Laud. Misc. 527, ff. 96r-99r, s. XII-XIV 110. Oxford, Bodleian Library, Lawn medieval 22, ff. 1r-10r, s. XIV 111. Oxford, Bodleian Library, Rawlinson A 384, ff. 1r-3v, s. XIII 112. Oxford, Bodleian Library, Savile 17, ff. 104r-108v, s. XV1/2 113. Oxford, Saint John’s College, 188, ff. 17ra-19va, s. XIII2/2 114. Paris, Bibliothèque Mazarine, 3492 (1069), ff. 313r-321r, ss. XIII-XIVin. (con comentario) 115. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 1093, ff. 51r-54v, s. XIII 116. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7420A, ff. 48ra-58va, s. XIV 117. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7420B, ff. 43ra-51v, s. XIV 118. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7475, ff. 72r-78v, s. XIIIex. 119. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7477, ff. 24r-35v, s. XIII1/2 120. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 8247, ff. 76r-84v, s. XV 121. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 8429B, ff. 1r-10r, s. XV 122. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 8445, ff. 1r-6v, s. XV 123. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14070, ff. 81r-96v, s. XIII-XIVin. (con comentario) 124. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14809, ff. 155r-159v, s. XIII (acéfalo)844 844 El manuscrito, tal como atestigua en el f. 167r, fue escrito por el copista Radulphus Brito († 1320/1). 805 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4129#115840 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4129#279436 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4129#392392 http://jordanus.badw.de/jordanus/ms/4129#183375 APÉNDICES 125. Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 657, ff. 1r-8r, s. XIII2/2 126. Paris, Bibliothèque Sainte-Geneviève, 3141, ff. 13r-19v, s. XIII 127. Praha, Archiv Hradu, Knihovna Metropolitní Kapituly, O.LXI, ff. 165r-167r, s. XIV 128. Praha, Státní a univerzitní Knihovna, XIII.H.3.h.(2041), ff. 75r-79r, ss. XIII-XIV 129. Saint-Omer, Bibliothèque de l’Agglomération du Pays, 620, f. 128va-vb, s. XIIIex.-XIVin. 130. Salzburg, Benediktiner-Erzabtei Sankt Peter, Stiftsbibliothek, b.VI.35, ff. 69v-79r, s. XV 131. San Marino (California), The Huntington Library, Art Museum, and Botanical Gardens, HM 39465, ff. 37v-44v, s. XVmed. 132. Toledo, Biblioteca Capitular, 47-15, ff. 159vc-160va, s. XIIIex. 133. Toledo, Biblioteca Capitular, 98-28, ff. 12v-17r, ss. XIII-XIV 134. Toulouse, Bibliothèque d’Étude et du Patrimoine, 872 (III, 140), ff. 226ra-226vc, s. XIV 135. Trier, Seminarbibliothek, 118, ff. 56r-61v, ss. XIII-XIV 136. Trier, Stadtbibliothek, 1077/1263, ff. 19r-26r, s. XIV 137. Utrecht, Bibliotheek der Rijksuniversiteit, 722 (4.G.18), ff. 21r-25r, s. XIV 138. Venezia, Biblioteca Nazionale Marciana, Lat. XIII.35 (4589), ff. 73r-79r, s. XIV 139. Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Astronom. 4º 16.1, ff. 91r-v, s. XV (fragmento) 140. Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Aug. 4º 51.9, ff. 109r-113v, s. XIV 141. Worcester, Cathedral and Chapter Library, F 123, f. 71r-v, s. XV 1.1. Testimonios descartados 1. Cambridge, Gonville and Caius College Library, 77 (137) A pesar de que en In principio se cita este manuscrito entre aquellos que transmiten el Carmen, tras la autopsia directa del códice hemos comprobado que se trata de un comentario. La confusión es lógica, puesto que el incipit del comentario coincide con el del Carmen. 2. Estudio de la tradición del Carmen de algorismo Para el estudio de la tradición del Carmen de algorismo, dividiremos la información en dos grandes bloques: uno primero que analice las variantes en el texto que comparten todos los testimonios y el segundo dedicado a los bloques de versos que se añaden a esa porción común. Como adelantábamos supra, una de las primeras cosas que quedan patentes tras la colación de los códices estudiados es que el número de versos totales que conforman el Carmen de algorismo es irregular. Con esto queremos decir que, dependiendo del testimonio, el Carmen presenta más o menos versos y más o menos apartados, además de numerosas variantes textuales. Además, el Carmen presenta una estructura distinta en prácticamente la totalidad de ejemplares estudiados, siendo así que no coincide casi ningún testimonio con otro, bien en la ordenación del material, bien en los contenidos, bien en ambas cosas, tal como ilustrábamos supra en la Tabla 14. Esto demuestra que estamos ante una tradición extremadamente fluida, donde la constitución de un texto estándar es imposible en tanto en cuanto cada manuscrito presenta su versión única respecto a los otros. Además, estos bloques de versos son sumamente «contaminables», es decir, que 806 http://www.brepols.net/Pages/BrowseBySeries.aspx?TreeSeries=INPR-O Edición del Carmen de algorismo podrían fácilmente transmitirse de forma horizontal, con el fin de ampliar una copia más breve y obtener versiones más amplias y completas. Ante este hecho, que impide reconstruir un texto único que refleje cómo se leía el Carmen en el s. XIII, hemos identificado la parte común a todos los testimonios. Hemos aislado así una estructura «básica» compartida por la totalidad de manuscritos estudiados a la que se adjuntan otros bloques de versos cambiantes en cuanto a ubicación y contenido. Esto nos ha permitido comparar la porción de texto común a todos los ejemplares con el fin de intentar establecer relaciones entre ellos. Como ya se ha dicho, dada la contaminación masiva a la que está expuesto el texto, es imposible establecer familias y trazar un stemma estricto siguiendo los errores comunes. Por esta razón, primero analizaremos el texto común y, después, cada uno de los bloques de textos adjuntos. De esta forma, podremos entender la tradición textual del «núcleo» del Carmen de algorismo más allá de ulteriores formas textuales no coincidentes en los manuscritos. 2.1. El texto común Llamamos «texto común» a la forma textual que comparten todos los testimonios colacionados (a excepción de aquellos mutilados). Comprende desde la introducción general al «arte del algorismo» hasta el pasaje que explica las raíces cuadradas y cúbicas. En el medio, se suceden las explicaciones sobre la suma, la resta, la duplicación, la división entre dos o mediación, la multiplicación y la división. 2.1.1. Una tradición con arquetipo Consideramos que podría haber un arquetipo a la cabeza de la tradición manuscrita estudiada por dos razones. La primera de ellas es el hecho de que encontremos en todos los códices estudiados un bloque o más de versos que se añaden a la estructura que consideramos primigenia, es decir, a ese «texto común» al que nos referíamos. Podemos demostrar que esta porción de texto es la original por los versos 28/31, transmitidos por la totalidad de ejemplares estudiados: Septem sunt partes non plures istius artis: addere, subtrahere, duplare et dimidiare, sexta est dividere, sed quinta est multiplicare, radicem extrahere pars septima dicitur esse845. El hecho de que toda la tradición comparta estos versos que, además, tienen sus paralelos tanto en el Liber Alchorismi como en el Liber pulveris y que tendrán su influencia en el Algor., nos sugieren que son originales. Villadei expresa con gran claridad que las partes septem sunt, non plures846. Esto implica que todo lo que exceda este número no es original, como ocurre con las versificaciones sobre la progresión, que en Sacrobosco es directamente una species más del algorismo. En cuanto al resto de adiciones, la posición en la que aparecen en el texto indica que no son originales: esperaríamos encontrar las reglas de la multiplicación tras el capítulo 845 «Las partes de este arte son siete, no más: sumar, restar, duplicar y mediar, la sexta es dividir, pero la quinta es multiplicar; extraer la raíz se dice que es la séptima parte». 846 Es posible que el autor enfatice que son precisamente siete las partes del algorismo por ser este un número sagrado para los cristianos, vinculado a la perfección de Dios. Quizá podamos relacionarlo incluso con el incio del Algor., en el que se recuerda que todas las cosas, desde el principio, se constituyen en función de los números (omnia que a primeva rerum origine processerunt ratione numerorum formata sunt, Algor. l. 1/2): si toda la creación tiene relación con los números y Dios es el sumo creador, es lógico que ordenara la ciencia que estudia potencialmente toda la creación en siete partes. 807 APÉNDICES correspondiente, lo que no ocurre en ninguno de los ejemplares; y los versos sobre los límites al inicio del tratado en la introducción al arte, no al final. Respecto a los problemas matemáticos, verremos infra que no constituyen porciones de texto coherentes, sino que son más bien un patchwork de fragmentos de problemas que se han volcado en verso y se han ido uniendo sin solución de continuidad y, en la mayoría de las veces, sin ningún sentido. La segunda razón que justifica la presencia de un arquetipo y que, además, está vinculada con la primera, es el final anómalo que presenta el bloque común. En estos capítulos, contamos con ciertas estructuras de apertura y de cierre que se van repitiendo: Suma v. 35/36 Addere si numerum numero vis, ordine tali / incipe v. 49 Postea procedas reliquas addendo figuras. Resta v. 50 A numero numerum si sit tibi demere cura, / scribe figurarum series ut in additione v. 63 Postea procedas reliquas demendo figuras. Duplicación v. 64/65 Si vis duplare numerum sic incipe: solam / scribe figurarum seriem quamcumque voles v. 75 Et sic de reliquis facies si sint ibi plures Mediación v. 76/77 Incipe sic si vis aliquem numerum mediare: / scribe figurarum seriem solam, velut ante v. 92/93 Postea procedas reliquas mediando figuras / ut supra docui si sint ibi mille figure Multiplicación v. 94/95 Si tu per numerum numerum vis multiplicare, / scribes duas quascumque velis series numerorum v. 121/123 Si dubitas an sit bene multiplicatio facta / (...) et reddet numerus emergens inde priorem. División v. 124/125 Si vis dividere numerum sic incipe primo: / scribe duas, quascumque velis, series numerorum v. 152/157 Hinc multiplicando probabis / si bene fuisti (...) / vel si nichil remanet, hunc multiplicatio reddet Raíces cuadradas v. 158/163 Cum ducis per se numerum qui provenit inde / sit tibi quadratus ductus radix erit eius. / (...) Quando voles numeri radicem querere scribi / debet, deinde notes si sit locus ultimus impar v. 209 Tali quesita radix patet arte reperta Raíces cúbicas v. 210/217 Per numerum recte si nosti multiplicare / eius quadratum, numerus qui provenit inde / dicetur cubicus; primus radix erit eius. / (...) Si cures cubici radicem querere, primo / inscriptum numerum distinguere per loca debes / que tibi mille notant v. 277/278 Si tres sive due series sint, pone sub yma / a dextris digitum servando prius documentum Tabla 15: principio y final de cada uno de los capítulos del Carmen de algorismo En esta tabla podemos ver que en el comienzo de los primeros capítulos se hace referencia al número de series numéricas que se necesitan para tales operaciones, mientras que en las raíces cuadradas y cúbicas primero se introduce qué son y después comienza directamente diciendo en qué parte del número se debería empezar a operar. Por otro lado, respecto a los finales, desde la suma hasta la mediatio se acaba con la apostilla de postea procedas reliquas operando847 figuras, «así seguirás operando con el resto de figuras». Los capítulos de la multiplicación y la división cierran con las pruebas de sendas operaciones. Las raíces cuadradas y cúbicas de nuevo difieren respecto a los anteriores, pero, mientras que para las raíces cuadradas encontramos una fórmula de cierre: tali quesita radix patet arte reperta, «con tal arte se encuentra la raíz buscada», el capítulo sobre las raíces cúbicas queda inconcluso, interrumpiéndose el texto de una manera abrupta. Esta anomalía podría indicar la pérdida del final de este capítulo. Al haber conluido que el núcleo textual que comparten todos los testimonios es de facto la forma primigenia del Carmen de algorismo, no es de extrañar que los copistas siguientes, queriendo añadir más versos, hubieran 847 En realidad en cada capítulo se emplea el verbo que corresponde: addendo, mediando, etc. 808 Edición del Carmen de algorismo suprimido el desinit original para continuar el poema después de este capítulo. Una vez omitido el final, otros copistas podrían haber variado las adiciones, pero ninguno habría podido reconstruir los versos que rematan el capítulo de las raíces cúbicas por haberse perdido ya. Otra opción que barajamos es que el texto fuera puesto en circulación antes de concluirse. En un ámbito universitario, donde el interés y la utilidad de este tratado era patente, es posible que el autor se viera en la necesidad de lanzar un texto inacabado. Si así fuera, el texto que hemos estudiado en los ejemplares empleados respondería a un borrador que podría confundirse con un arquetipo por su forma anómala, pero que quizá sea tan solo un estadio inicial del poema en su composición. 2.1.2. Estudio del texto: la imposibilidad de hacer un stemma a) Grupos de testimonios con errores comunes En este apartado, estudiaremos los errores significativos presentes en el texto y los testimonios que los transmiten. Para ello, señalaremos los códices relacionados entre sí ofreciendo a continuación el/los error/es que demuestra/n esta relación. El hecho de que muchos de los manuscritos estudiados compartan errores significativos con varios grupos de códices diferentes entre sí indica una contaminación segura de los ejemplares. La influencia de la contaminación ya en la primera tradición manuscrita es de tal magnitud que no es posible establecer un stemma satisfactorio para esta obra. Bo3 Er Pr2 v. 21 Respicias quis sit numerus, quia si digitus sit quia] qui Bo3 Er Pr2 Este error compartido por Bo3 Er Pr2 nace de una mala lectura de quia, término difficilior en esta frase. El hecho de que qui aporte sentido completo a la frase, impide que el error sea detectable y, por lo tanto, corregido. Bo2 Er M1 Pr6 v. 64 postea procedas reliquas demendo figuras] ut supra docui sic sint mille figure add. Bo2, ut supra docui si sit mille figure add. Er M1s, ut supra docui si sint ibi mille figure add. Pr6 Estos testimonios duplican aquí el v. 93, al final del capítulo sobre la mediatio. La frase tiene pleno sentido en este lugar, pero no creemos que pueda ser original porque pedería el paralelismo con el final de la additio (l. 49): postea procedas reliquas addendo figuras. Bo2 Bo3 I v. 177 proponendo novam donec totum peragatur novam] novem Bo2 Bo3 I, nonam Tr V1 V2 El texto dice claramente que hay que ir «proponiendo una nueva figura» hasta que se termine de operar. Bo2 Bo3 I confunden la a>e y escriben novem, que no tiene sentido. Mientras que la variante de Tr V1 V2 la consideramos poligenética por la facilidad con la que se confunden u>n en la escritura gótica, nos parece improbable que estos Bo2 Bo3 I hayan coincido por azar en la mala lectura de la a. 809 APÉNDICES Bo3 V2 v. 21/24 quia si digitus sit / primo scribe loco sic, sed si compositus sit, / primo scribe loco digitum post articulum sic, / articulus si sit, cifram post articulum sic848] articulum vero tu in limite pone sequenti add. Bo3 V2 Bo3 V2 añaden este verso que aclara el contenido del verso 24. Se detecta como un error por comparación con las líneas anteriores, en las que se explica cómo colocar los números de manera sintética, sin necesidad de más aclaración. En este contexto, la adición de un apunte extra acerca de estos procedimientos es explicable, mientras que su supresión en la tradición restante sería anómala. G2 V2 v. 64/65 Si vis duplare numerum sic incipe: solam / scribe figurarum seriem solam] primo G2 V2a En estos versos, se hace referencia a que, para empezar a duplicar un número, ha de escribirse tan solo «una única serie de figuras». En la opción de G2 V2a, en lugar de solam transmiten primo, que haría referencia más bien al primer paso de la operación: escribir la serie de números. Puesto que desde la adición hasta la división se hace referencia constante a cuántas series de números hay que escribir, consideramos solam la opción original. El error podría estar motivado por el primo del inicio de la adición (v. 35/36): Addere si numerum numero vis, ordine tali / incipe: scribe duas primo series numerorum. M2 Pr5 Pr7 V2 v. 113 preposita cifra summam transferre memento] sed debet poni cifra supra multiplicantem add. M2 Pr5 Pr7 V2 M2 Pr5 Pr7 V2 añaden este verso que equivalen al preposita cifra. No es necesario para entender el texto, por lo que lo consideramos una adición, sobre todo teniendo en cuenta que el estilo del Carmen es más bien sintético y no se extiende en explicaciones innecesarias. Dentro de este grupo de manuscritos, quizá podamos establecer una relación entre Pr5 V2 a juzgar por el siguiente error, que lo consideramos tal porque encontramos de nuevo la construcción sub parte en la v. 34, mientras que de parte no cuenta con paralelos: v. 130 sub parte sinistra] de parte sinistra Pr5 V2 M2 Pr1 Pr4 V1 v. 219/222 Illic subscribes digitum qui, multiplicatus / in semet cubice, suprapositum sibi perdat / et si quid fuerit adiunctum parte sinistra, / si non, omnino quantum poterit minuendo849 minuendo] inveniendo M2 Pr1 Pr4 V1 848 «Porque si es un dígito / tienes que escribirlo así en el primer lugar, pero si es un compuesto, / primero escribes así el artículo en el lugar tras el dígito; / si es un artículo, que tras el cero esté el artículo así». Recuérdese que Sacrobosco llama dígitos a las unidades, artículos a las decenas y compuestos a los números que constan de un dígito y un artículo. 849 «Allí escribes abajo un dígito que, multiplicado / por sí mismo cúbicamente, quite lo que está sobre sí / y lo que estuviera junto a ello en la parte izquierda (si lo hubiera); / si no, disminuyéndolo todo cuanto pueda». 810 Edición del Carmen de algorismo El sentido de la frase es más preciso con minuendo como verbo, que además supone una lectio difficilior respecto al inveniendo transmitido por M2 Pr1 Pr4 V1 Bo3 Cm I M1 Pr1 v. 35/36 Addere si numerum numero vis, ordine tali / incipe: scribe duas primo series numerorum primo] om. Pr7, quas vis Bo3 I Pr1, quascumque velis Cma, primo add. Cms, quascumque velis add. M1s Bo3 Cm I M1 Pr1 transmiten quas/quascumque vis/velis en lugar de primo. La frase tiene sentido con ambas opciones, pero consideramos primo la lección correcta por la líneas siguientes (v. 130): Postea de prima primam sub parte sinistra / subtrahe si possis. Dada la correlación de primo, postea para indicar los pasos a seguir en la operación, la opción de Bo3 Cm I M1 Pr1 la podemos interpretar como error. Bo1 Bo2 Bo3 Cm G1 G2 Pr3 V1 v. 103 Postea procedas postremam multiplicando postremam] extremam Bo1 Bo2 Cma G1 G2 Pr3 V1, postremam add. Cms, sive extremam add. Bo3m El sentido del texto impide pensar que extremam sea la lección correcta, puesto que en esta ocasión se está hablando de multiplicar la figura siguiente, significado que aporta postremam. En dos testimonios aparecen variae lectiones: Bo3 y Cm. No es la única vez que estos manuscritos transmiten in margine o supra lineam lecturas alternativas, lo que nos lleva a pensar que fueron varios los ejemplares a los que recurrieron los copistas de estos códices para completar su texto. Tr V1 v. 1/2 Hec Algorismus ars presens dicitur, in qua / talibus Indorum fruimur bis quinque figuris850 in qua] esse Tr V1 La variante esse de Tr V1 impide comprender la subordinada siguiente. Puesto que no es posible restituir in qua a partir de esse (a no ser por contaminación), lo consideramos un error significativo. Además, dicitur esse es final de verso hasta tres veces en el Carmen (v. 31, v. 264 y v. 269), por lo que podría ser que el copista sustituyera in qua por esse porque recordaba este final para algún verso del Carmen o, en cualquier caso, por influencia de estos finales. Más aún, si el modelo hubiera omitido in qua, es muy probable que un copista advirtiera la falta de sílabas y quisiera solventarlo con una solución óptima a su juicio con el esse, dado que esse sigue a dicitur en otras ocasiones. b) Ausencia aparente de codices descripti Por otro lado, apuntamos que todos los testimonios estudiados presentan, al menos, un error separativo (a menudo saltos de línea, error muy común en las obras en verso). Esto supone que no podemos establecer una relación directa de descendencia de un manuscrito respecto a otro en una transmisión vertical, aunque algún caso puede haber sido oscurecido como consecuencia de la contaminación masiva: 850 «Este arte presente se llama algorismo, en el que / nos servimos de tales figuras de los indios, que son dos veces cinco». 811 APÉNDICES v. 102 sicque – patebit] om. Bo1 v. 75 Et – plures] om. Bo2 v. 87/89 inscribens – priori] om. Bo2 v. 116c sed – ipsam] post 117 adiunges - earum iter. Bo3 v. 33 multiplica] more latino add. Ca v. 86 hinc] om. Ca v. 167 sub illa] om. Cm, eam sub ipsa figura add. Cms v. 189 duplicasti] quadratus fuerat radicum cuius habebis subdupla si digito iungas sub fine reperto add. Cm v. 75b quod – dimidiabis] om. G1 v. 229/231 a – progredietur] om. G2 v. 91 nisi dicta] ubi de hinc G3 v. 32 a] om. I v. 230 tunc] om. I v. 98 a – multiplicantis] om. L v. 168/169 Propones – primo] om. L v. 160 nec numeros omnes] non omnes numeros M1 v. 187 figuras] tum tantum preponetur duplicato et cum subduplo cifram servare memento add. M2 v. 94 Si – multiplicare] om. Pr1 v. 161 est – alicuius] om. Pr2 v. 229 tolle] pone Pr2 v. 22/23 primo – sic] om. Pr3 v. 193 probasti] sub dupla si digito iungas sub fine reperto radicem per se si multiplices habeasque quadratus fuerat radicem cum habebis add. Pr3 v. 34 extrahe – sinistra] om. Pr4 v. 146/147 et – locetur] om. Pr4 v. 23 sic] om. Pr5 v. 245 sub] om. Pr5 v. 189 fuerit] radicem cuius habebis sub dupla si digito iungas sub fine reperto quadratus fuerat add. Pr6 v. 140 ut – remanenti] om. Pr7 v. 180 articulusque – recessit] om. Tr v. 183 si – sequente] om. V1 v. 236 aliam – triplatas] om. V1 v. 99 digitum2] om. V2 v. 215 cures] om. V2 2.2. Otras formas textuales: adiciones al Carmen de algorismo Como decíamos supra, esta porción común y quizá nuclear del Carmen nunca se presenta en solitario en los códices. En todos los testimonios estudiados, mayoritariamente ubicados después del texto común, aparecen bloques de versos que continúan la temática del Carmen y añaden informaciones que muchas veces podemos relacionar con pasajes del Algor. (cfr. Tabla 14). 812 Edición del Carmen de algorismo Tal como se puede ver supra en la Tabla 14, tan solo cinco códices de los 23 estudiados comparten estructura: G1 G3 L M1 Pr4. Todos ellos transmiten la parte común del texto seguida del primer bloque de versos sobre la progresión. El resto de manuscritos difieren unos de otros en cuanto a bloques de versos que contienen y/o disposición de estos. Además, se van combinando los bloques de versos entre sí, lo que ha de responder necesariamente a una contaminación entre ejemplares. Sus copistas tenían, por tanto, acceso a varios testimonios de los que fueron cogiendo los versos que quizá más se adecuaban a sus necesidades o que consideraron más apropiados. A continuación, analizaremos cada uno de los bloques de versos y los manuscritos que los transmiten. Intentaremos reconstruir el texto más primitivo en cada caso y, si es posible, trazaremos las correspondencias entre testimonios. 2.2.1. Bloques sobre progresiones aritméticas En primer lugar, analizaremos los tres bloques sobre progresiones aritméticas, en las que se plantea cómo calcular la suma total de miembros de una progresión planteada, cuya características son que ha de ser finita y con un intervalo de +1 o +2 (igual que en el Algor., cfr. supra). Son todas ellas explicaciones con su paralelo en el pasaje sobre la progresión en Algor. 356/388. También se explican estas cuestiones en la segunda parte del Liber Alchorismi (Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 149-52, caps. 3-7) y en el manuscrito de Coventry (Burnett, 1996a, 308-9 = 2010, III, 308-9). En cada uno de ellos estudiaremos si pueden o no ser fuentes del Algor. o viceversa y si podrían haber sido escritos por Villadei en relación con el vocabulario que emplean y su estilo. Respecto a la estructura de este pasaje en el Algor. y estas tres versificaciones, tal como podemos ver en la siguiente tabla, encontramos que es coincidente con el bloque de Progr. 2, aunque a este se añaden unas explicaciones poco coherentes, como veremos infra, sobre progresiones truncadas pares. El bloque de Progr. 3 también comparte estructura, aunque es extremadamente conciso y carece de introducción: ALGORISMUS PROGR. 1 PROGR. 2 PROGR. 3 Introducción Introducción Nat. par. Nat. impar Nat. par Nat. par. Nat. impar Nat. par Nat. impar Nat. impar Trunc. par Trunc. impar Trunc. par Trunc. par Trunc. impar Trunc. par Trunc. impar Trunc. impar + truncadas pares Tabla 16: Estructura de la progresión del Algor. y los bloques del Carmen de algorismo Nat. par = progresión natural que acaba en número par Nat. impar = progresión natural que acaba en número impar Trunc. par = progresión truncada que acaba en número par Trunc. impar = progresión truncada que acaba en número impar a) Primer bloque sobre la progresión Bo1 Bo3 Er G1 G3 I L M1 M2 Pr2 Pr4 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V2 Sin duda, este es el bloque que más testimonios transmiten: 16 manuscritos de los 23 estudiados. Son un total de seis versos que se añaden antes o después del texto común sobre la 813 APÉNDICES extracción de raíces cuadradas y cúbicas851. En él, se explica brevemente cómo calcular la suma de todos los miembros de una progresión. El fragmento es tan pequeño, que no tenemos suficientes indicios para determinar con claridad si la adición pudo ser compuesta por el propio Villadei o no, aunque no descartamos esta opción. Aunque es evidente el paralelismo entre este pasaje y el del Algor., no tenemos pruebas que nos iluminen sobre si Sacrobosco tomó de aquí la inspiración para componer su progresión o si fue a la inversa. A este respecto, encontramos mucho más probable que la fuente de los versos sea el tratado aritmético del manuscrito de Coventry (Burnett, 1996a, 308-9 = 2010, III, 308-9), en el que se sucede la misma idéntica estructura y cuyo vocabulario es muy parecido: Add. in Carm. I: Si sit continua progressio terminus impar / per maium medium totalem multiplicato; / si par, per medium tunc multiplicato sequentem. / Sed si continua non sit progressio finis, / impar tunc maius medium se multiplicabit; / si par, per medium sibi multiplicato sequentem. Coventr.: De impari (...). Ultimum ordinem per sui maiorem medietatem multiplica et invenies summam(...). De pari (...). Per medietatem ultimi sequentem non positum imparem multiplicabis (...). De imparibus (...). Maiorem medietatem ultimi per se ipsum more tetragoni multiplicabis (...). De paribus (...). Per medietatem ultimi maiorem medietatem sequentis non positi imparis multiplica, et habebis summam852. Al ser un fragmento tan breve, es difícil conocer las relaciones entre los testimonios que lo transmiten. Las únicas innovaciones que encontramos son todas de carácter poligenético, por lo que no tienen ningún valor conjuntivo, como el te en lugar de se compartido por Bo3 M1 Pr2 (v. 5) o sequentem en lugar de propinquum de I Pr3 (v. 6), un error fácilmente provocado por el sequentem del v. 3. Sí podemos mencionar algunos errores separativos que impiden localizar descripti entre los códices colacionados: v. 2 multiplicato] multiplicabis Pr4 v. 2/3 totalem – medium] om. M1 v. 3 tunc] tu Pr6 v. 3 sequentem] impar plus medium totum potius se prope duc par impar parte sui maiori multiplicetur par te sequens media si par in fine tenetur sese quadrificans pars maior in impare ducat quod sequitur medium multiplica parium add. V2 v. 5 tunc maius medium se] per maius medium tunc Er v. 6 propinquum] sequentem Bo3 I De todas estas innovaciones, suscita especial interés la adición de cuatro versos de V2 en el v. 3. Se incluyen en este punto cinco versos, cada uno de ellos explica cómo calcular el total de una progresión que acaba en número impar: 851 M2 Tr transmiten los versos de la progresión antes del texto sobre las raíces cúbicas, igual que Er, aunque este testimonio, además, inserta entre el bloque de la progresión y el de las raíces los versos que se corresponden con el bloque Mult. 2. Los tesitmonios Bo1 Bo2 G1 G3 I L M1 Pr2 Pr4 Pr5 Pr6 Pr7 transmiten los versos sobre la progresión inmediatamente después del texto común al completo, con la explicación de las raíces incluida. V2, por su parte, introduce estos versos tras el bloque que comienza por Ignotum numerum, que a su vez siguen al texto sobre las raíces; además, añade, como veremos, cinco versos más a esta forma textual. 852 «Sobre la impar: multiplica el último por la mitad del inmediatamente mayor y encontrarás la cantidad. Sobre la par: por su mitad multiplicarás el impar siguiente al último que no se ha puesto. Sobre los impares: multiplicarás la mitad mayor del último por sí mismo, como los tetrágonos. Sobre los pares: por la mitad mayor del último multiplica la mitad del impar siguiente que no se ha puesto». 814 Edición del Carmen de algorismo Impar plus medium totum potius se prope duc par. Impar parte sui maiori multiplicetur. Par te sequens media, si par in fine tenetur. Sese †quadrificans† pars maior in impare ducat. Quod sequitur medium multiplica parium853. Podría tratarse de un ejercicio escolar o quizá de un copista colacionador que ha cogido versificaciones de otros ejemplares para añadirlas aquí. En cualquiera de las opciones anteriores, consideramos probable que estas versificaciones estuvieran escritas en el modelo de V2, quizá en margen, y que el copista de V2 no entendió bien el texto, a juzgar por los varios problemas de significado encontrados: par] par V2 En este verso, entendemos que originalmente aparecería parium a efectos de concordancia textual. par] par V2 Aquí restituimos impar por el significado del texto, puesto que con par la explicación carece de sentido. Además, la hipotética caída de im- es fácilmente explicable si consideramos que es habitual que se confunda impar con in par, siendo idéntica la abreviatura para la im-/in- y diferenciándose tan solo por un espacio más o menos amplio entre letras. Si a esto añadimos que impar sigue a si, no sería extraño lo siguiente: si ī par > si par. †quadrificans† V2 En esta ocasión, hemos recurrido a las cruces desperationis para marcar este pasaje corrupto. Quadrificans es un verbo insólito que tan solo hemos encontrado aquí y que entendemos que podría significar «hacer de un número su cuadrado». Este error, que aquí lo consideramos como tal porque no tiene sentido en el texto en el que se encuentra, podría responder a un intento de versificación del capítulo 7.1 de la segunda parte del Liber Alchorismi (Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 151) o una confusión a partir de él. En él se explica cómo saber, teniendo una progresión numérica, cuánto sería la suma de los cuadrados de los números que conforman dicha progresión. Además, uno de estos versos coincide con el tercer bloque sobre la progresión que transmiten V1 Pr7: impar parte sui maiori multiplicetur (v. 2). Puesto que estos testimonios, como veremos infra, aportan un sentido completo en su versión de las reglas de la progresión, lo más lógico es pensar que V2 ha tomado un verso de este bloque para incluirlo en su versificaciones de progresiones impares. b) Segundo bloque sobre la progresión Pr3 Pr7 Dos manuscritos transmiten este bloque sobre la progresión, Pr3 y Pr7854. En esta ocasión, son muchos más los versos que lo conforman, siendo un total de 28. El estilo es muy similar al del texto común, tanto, que es difícil establecer si podría remontar o no a Villadei. No obstante, contamos con algunos términos que aparecen en este bloque pero no en la parte común, como 853 «El impar se multiplica por la mitad total de los pares que más se acerquen. El impar se multiplica por su parte mayor. El par que te sigue divídelo en dos, si hay un impar al final. A este † su parte mayor se multiplica en el impar. Multiplica el medio que sigue de los pares». 854 Respecto a la ubicación de estos versos, mientras que Pr3 los incluye tras el texto común, Pr7 los introduce como forma textual última tras los muchos bloques que conforman su texto (cfr. supra, Tabla 1). 815 APÉNDICES nominat (v. 2) o el vocabulario empleado en el v. 13: ob formas totidem positas sibi normas, donde tanto ob como totidem y normas no se emplean en ninguna parte del texto común. A esto se suma la incoherencia de significado que encontramos desde el v. 11 en adelante. Se empieza diciendo que la progresión truncada tiene cuatro formas (que no indica), y por eso hay cuatro normas distintas (v. 11/13). Después, explica cómo obtener la suma de los integrantes de una progresión truncada cuando esta acaba en un número par (v. 14/16) y cuando termina en impar (v. 17/18). Le sigue cómo obtener esta cantidad cuando una progresión truncada salta los números impares (como en 2, 4, 6, etc.) y acaba en par (v. 19/23), y qué ocurre cuando, saltándose los impares, la progresión acaba en impar (v. 24/28) (!). Aplicando la lógica, es fácil llegar a la conclusión de que este texto carece de sentido: si en las progresiones numéricas saltamos un número cada vez, tan solo tenemos dos escenarios posibles y no cuatro: que una progresión que salta los pares acabe en impar, y que una progresión que salta los impares acabe en par. De nuevo, podría estar ante una mala interpretación de las explicaciones sobre progresiones de la segunda parte del Liber Alchorismi (Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 149-52, caps. 3-7). Tanto por la cuestión del vocabulario como por la incoherencia del texto mismo, consideramos que es más probable que se trate de una adición. Por otro lado, la similitud con los contenidos y las explicaciones de Sacrobosco es muy evidente. En primer lugar, sigue el orden que establece Sacrobosco no solo en las explicaciones de las naturales y las truncadas, sino que incluye además una suerte de introducción general sobre los tipos de progresiones. En segundo lugar, encontramos similitudes textuales claras: Add in Carm. II, 2/5: ut si sic dicas: unum, duo, terna, / naturalis hec est; intercisa vocatur / altera, que numeros saliens intercipit, ut si / sic numeres: unus, tres, quinque, septemque novem855. Algor. 360/364: Naturalis est quando incipitur ab unitate et non obmittitur aliquis numerus, ut 1, 2, 3, 4, 5, 6; et sic semper numerus sequens superat precedentem unitate tantum. Intercisa est quando uniformiter obmittitur aliquis numerus, ut 1, 3, 5, 7, etc. El problema de si Sacrobosco es fuente de este pasaje o viceversa es complejo. Pr3, nuestro n.º 551 del listado general, es el testimonio más antiguo que conservamos del Algor., con una fecha de composición ante 1255. No obstante, no transmite la obra por extenso, sino que lo que nos encontramos son glosas en los márgenes del Carmen, sobre todo al principio de cada operación, que coinciden con el texto del Algor. Así, tan solo aparecen copiados algunos excerpta que funcionan como explicaciones o aclaraciones. Ahora bien, cabría la posibilidad de que Pr3 esté transmitiendo una fase previa a la composición del Algor., es decir, un estadio de la obra en el que todavía no está compuesta, sino que tan solo son comentarios al Carmen que más tarde se unirán para conformar lo que sería el Algor. Esta es una hipótesis trazada por Beaujouan (1991, XI, 106-15), quien postulaba que el Algor. nació como un comentario al Carmen de algorimo. Esta conclusión, sin embargo, la extrajo Beaujouan por el sentido del texto y tras ver algunos manuscritos que transmitían ambas obras intercaladas, pero no sabía de la existencia de este códice, que podría aportar más argumentos a favor de su teoría. Ante este panorama, puesto que Pr3 tiene la particularidad de transmitir esta forma textual antiquísima, cercana ya al Algor., es difícil decir si el segundo bloque sobre la progresión pudo ser fuente del Algor. o si, por el contrario, el Algor. ya estaba compuesto cuando un copista decidió versificar el capítulo de la progresión para completar el Carmen de algorismo. Si fuera la primera opción, Sacrobosco necesariamente se habría dado cuenta del contenido ilógico y lo habría corregido en un texto correcto desde el punto de vista matemático. 855 «De manera que si dijeras: uno, dos, tres, esta es natural; la otra se llama truncada, la que en su avance se salta números, como si numeraras así: uno, tres, cinco, siete y nueve». 816 Edición del Carmen de algorismo En cuanto a la calidad del texto de este bloque, hemos detectado dos adiciones de Pr7 que son a todas luces errores: v. 2 terna] quatuor ecce decem signasti multiplicando add. Pr7 v. 5 novem] viginti quinque numerasti multiplicando add. Pr7 En estos versos, todavía se está explicando qué son las progresiones naturales y qué las truncadas. Por esta razón, incluir en este punto lo que sugiere Pr7, es decir, la suma de los integrantes de las series, no parece tener sentido. Las adiciones probablemente responden a un ejercicio matemático de Pr7 (o su modelo), quien aprovecha los ejemplos de la introducción para poner en práctica las operaciones que luego se explican. Por otra parte, Pr3 también tiene errores propios, como: v. 23 quem parem primo] primo medio Pr3 Así pues, creemos que Pr3 Pr7, aunque remonten a un modelo común que transmitiera estos versos, ninguno de ellos es descriptus del otro. c) Tercer bloque sobre la progresión Pr7 V1 Vv. 2 Pr7 V1 transmiten cuatro versos sobre la progresión en distintas ubicaciones856. Estos sintetizan aún más el primer bloque que ya hemos visto. No obstante, cambian el orden de las progresiones explicadas, coincidiendo esta con la estructura del Algor. El grado máximo de sincretismo que aquí encontramos no parece ser compatible con el estilo del Carmen, que tiende a explicar los procedimientos matemáticos de forma concisa, pero clara y suficiente. Estos versos podrían ser, por tanto, o bien un resumen del Algor., o una reducción al mínimo de los otros bloques sobre la progresión, o quizá ambas. En cuanto al texto transmitido por Pr7 V1, todos los errores localizados parecen ser de V1, transmitiendo Pr7 una versión correcta textualmente y con significado pleno. Esto hace que V1 pueda ser descendiente de Pr7, pero no a la inversa. Sin embargo, siendo tan solo cuatro los versos transmitidos, no podemos afirmar tal relación. 2.2.2. Bloques sobre las reglas de la multiplicación A continuación estudiaremos los bloques concernientes a las reglas de la multiplicación. La explicación que transmiten, que es idéntica entre sí a pesar de emplear términos y formulaciones distintas, se corresponde con el pasaje del Algor. 221/248. Unas reglas muy similares las encontramos en el manuscrito de Coventry (Burnett, 1996a, 303-6 = 2010, III, 303-6), aunque el uso de términos como simplex en lugar de digitus hace difícil, a nuestro juicio, que sea la fuente de estos bloques. Más compleja es la explicación de la segunda parte del Liber Alchorismi (Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 152-3, cap. 9). Respecto a las posibles relaciones contenutísticas entre cada uno de los bloques y el Algor., así como a las posibles fuentes de los bloques, se discutirá infra en cada caso. La estructura de estos bloques, por su parte, difieren de la del Algor. En este sentido, los tres bloques sobre la multiplicación son más parecidos estructuralmente entre sí que al Algor., tal 856 Mientras que V1 introduce estos versos inmediatamente después del texto común, Pr7 los sitúa tras el bloque Progr. 1, que sigue a su vez al texto común, y antes del resto de bloques que conforman su texto (cfr. supra, Tabla 1). 817 APÉNDICES como se aprecia en la tabla. En todos ellos, primero, se enseña a multiplicar un dígito por otro (no así en Mult. 3, lo que creemos que responde a que en realidad esto supondría una reiteración de la explicación de Carm. 99/102), después un artículo por otro y a continuación un dígito por un artículo857. Esta sucesión es lógica, puesto que la multiplicación de un artículo por otro sigue la teoría de la anterior regla y tan solo hay que añadir ceros al resultado. Esta similitud entre los tres bloques podría ser casual, pero consideramos que es improbable que lo sea. De lo contrario, estaríamos ante tres bloques que podrían descender de una misma fuente o que podrían ser descendientes entre sí. A este respecto, no hemos encontrado elementos suficientes para establecer una posible relación entre ellos. ALGOR. MULT. 1 MULT. 2 MULT. 3 Dígito × dígito Dígito × dígito Dígito × dígito Dígito × artículo Artículo × artículo Artículo × artículo Artículo × artículo Dígito × mixto Dígito × artículo Dígito × artículo Dígito × artículo Artículo × artículo Mixto × mixto Dígito × mixto Dígito × mixto Artículo × mixto Dígito × mixto Artículo × mixto Artículo × mixto Mixto × mixto Artículo × mixto Mixto × mixto Mixto × mixto Tabla 17: Estructura de las reglas de la multiplicación del Algor. y los bloques del Carmen de algorismo Dígito × dígito = regla que explica cómo multiplicar un dígito por otro Dígito × artículo = regla que explica cómo multiplicar un dígito por un artículo Dígito × mixto = regla que explica cómo multiplicar un dígito por un número mixto Artículo × artículo = regla que explica cómo multiplicar un artículo por otro Artículo × mixto = regla que explica cómo multiplicar un artículo por un número mixto Mixto × mixto = regla que explica cómo multiplicar un número mixto o compuesto por otro a) Primer bloque sobre las reglas de la multiplicación I Pr1 Pr3 Pr6 Pr7 V2 Se trata de 29 versos que describen las reglas de la multiplicación transmitidos por un total de seis testimonios: I Pr1 Pr3 Pr6 Pr7 V2858. A pesar de que el contenido es similar a lo que aparece en Algor. 221/248), no sigue ni el vocabulario de Sacrobosco (utiliza monades en lugar de unus, por ejemplo) ni el mismo orden de las regule (cfr. supra Tabla 17). Sí se acerca bastante a los términos y el estilo empleados en el Carmen, lo que hace que pudiera Villadei su autor, o un copista que conocierta bien su usus scribendi: Add. in Carm. IV, 1/3: Si digitus digitum multiplicet, aspice per quot / a denis monades discedat maior et inde / eius ab articulo totiens evelle minorem. Carm. 99/102: In digitum cures digitum si ducere, maior / per quantum distat a denis respice, debes / namque suo decuplo totiens delere minorem / sicque tibi numerus veniens exinde patebit. 857 Recordamos que, tal como se enseña tanto en el Carmen de algorismo (l. 28/31) como en el Algor. (l. 11/17), el dígito se corresponde con un número cualquiera situado en las unidades, el artículo con una decena pura y el número compuesto o mixto es aquel que se compone de, al menos, decenas y unidades. 858 La ubicación de este bloque es distinta en cada uno de los testimonios que lo transmiten: Pr1 lo sitúa tras el texto común; I Pr6 lo incluyen tras Progr. 1; Pr3 tras Progr. 2; Pr7 entre el bloque que comienza por Unum mille y Progr. 2; V2, en cambio, al final de todas las formas textuales que conforman su versión del Carmen (texto común + Ignot. + Progr. 1). 818 Edición del Carmen de algorismo Respecto a si podría ser o no la fuente de Sacrobosco para el pasaje donde se examinan las reglas de la multiplicación en Algor., cfr. supra respecto al testimonio Pr3: no podemos estar seguros de la direccionalidad de la influencia, aunque sí parece cierta su existencia. No hemos encontrado en este bloque errores conjuntivos que vinculen determinados testimonios que lo transmiten. Sí podemos estar seguros de que ningún códice es descendiente directo de otro a juzgar por los errores separativos transmitidos en cada uno de ellos. b) Segundo bloque sobre las reglas de la multiplicación Er Pr2 Pr5 Er Pr2 Pr5 transmiten estos 22 versos paralelos a las reglas de multiplicación desarrolladas por Sacrobosco en su Algor. Consideramos que se trata a todas luces de la adición de un copista y no del autor por el empleo de la palabra mixtus, muy inusual en el Carmen que prefiere siempre compositus para expresar este concepto. Tampoco constan en el Carmen los verbos speculo ni cupio (para este segundo siempre se prefiere volo), ni los sustantivos dogma o lex (para los que se prefiere norma o regula). Puesto que mixtus sí es un término que encontramos a menudo en el Algor., podríamos estar ante una versificación derivada de los v. 221/248 de esta obra. Este bloque, transmitido por Pr2 Pr5 al final de la obra y tras los versos del primer bloque sobre la progresión, está en cambio copiado en Er después del capítulo de la división y antes de las raíces cúbicas. Mientras que las versificaciones acerca de la progresión se hallan a veces antes del capítulo sobre las raíces (tal como aparece, por cierto, en el Algor.), es muy anómalo encontrar aquí los versos sobre las reglas de la multiplicación. Sería más explicable que aparecieran inmediatamente antes o después del capítulo sobre la multiplicación, pero esto no ocurre en ninguno de los ejemplares colacionados. En cualquier caso, consideramos que la variación en el orden de este bloque de Er respecto a Pr2 Pr5 es una innovación del primero, un testimonio que, además, podemos afirmar que está contaminado tanto en su versión del Carmen como en el Algor. (cfr. supra). Sobre la relación entre los códices, aunque en dos ocasiones encontramos errores coincidentes en Er Pr2, no creemos que sean de calidad suficiente como para establecer una familia que los englobe. Sí podemos afirmar que no es posible que alguno de los tres testigos sea descendiente directo de otro por las faltas individuales de cada uno de ellos. c) Tercer bloque sobre las reglas de la multiplicación Bo1 G2 Tr Bo1 G2 Tr añaden 34 versos sobre las reglas de la multiplicación, siendo el bloque más largo de los tres estudiados859. El texto no tiene visos de haber sido escrito por Villadei por el empleo de términos que no aparecen en el texto común Carmen, tales como mixtus en lugar de compositus y verbos como resolvere. A pesar de que no hemos encontrado errores comunes entre dos códices de forma que permitan establecer una subfamilia, sí podemos decir que los tres dependen de un arquetipo común. Su existencia se demuestra por el incomprensible v. 11: 859 Los tres testimonios incluyen esta forma textual al final del Carmen: Bo1 tras los versos de la Progr. 1, G2 inmediatamente después del texto común y Tr tras la explicación de las raíces que en este caso sigue al bloque Progr. 1. 819 APÉNDICES v. 8/11 Quod multiplicatur ab istis, / si facit articulum vel plus, supponere semper / debemus centum pro quolibet articulorum / pro reliquo, decuplum sic summa †latere equabit†860 †latere equabit†] latere nequibit Bo1, nequibit G2, latina equabit Tr En este pasaje se explica cómo multiplicar un dígito por un artículo. Para ello, tras multiplicar la decena como si fuera una unidad, habrá que añadirle un cero, de forma que si salieran decenas, tendríamos centenas. En el espacio inter cruces, por tanto, debería rematarse la explicación, que queda insatisfecha con las lecturas de los testimonios, puesto que ninguna de ellas aporta un sentido pleno. Como en los anteriores bloques, podemos decir además que ninguno de los testimonios depende directamente de otro de los estudiados. Esto se demuestra por la existencia de errores individuales en cada uno de ellos. 2.2.3. Bloque que comienza con Unum prima I Pr1 Pr2 Pr7 Se trata de una versificación de seis versos sobre los limites del sistema posicional: si una figura la colocamos en primera posición, son unidades; si la atrasamos una posición hacia la izquierda, decenas; en el tercer lugar, centenas, etc. A este respecto, es interesante el hecho de que hayamos encontrado tanto en el Carmen (por ejemplo en el testimonio Pr1), como en el Algor. y en comentarios u obras asociadas, unas tablas que representan gráficamente este fenómeno (cfr. Lámina 5)861. Tiene su correspondencia, además, con el siguiente pasaje del Algor. (relacionado, a su vez, con Algor. 439/445): Algor. 56/60: Notandum etiam quod quelibet figura primo loco posita significat suum digitum, secundo decies suum digitum, tertio centies, quarto millesies, quinto decies millesies, sexto centies millesies, septimo millesies millesies, et sic in infinitum multiplicando per hec tria: 10, 100, 1.000862. Su estilo nos lleva a pensar que se trata de la adición de un copista, probablemente de una versificación inspirada en esta parte del Algor. En cuanto al texto, destacamos las distintas formas de escribir los números de cada uno de los testimonios, donde confluyen la opción verbal y las dos con numerales, ya romanos, ya indoarábigos: v. 1 decem Pr1, 10 Pr2, X I Prácticamente todas las variantes que encontramos son de esta índole. A partir de los numerales se producen ciertas confusiones, como quizá sea el caso de la siguiente, donde se confunden centum y mille: v. 5 centies nona dat millesies quoque mille] millesies nona dat millesies quoque mille I, millesies nona dat millesies quoque centum Pr1 El fragmento es de una brevedad tal, que no permite adivinar relaciones entre los testimonios: hay muy pocos errores y todos ellos corregibles. En las variantes anteriores, por ejemplo, la de I 860 «Lo que multiplicaras de ellos, si sale un artículo o más, siempre debemos suponer cien para cualquiera de los artículos en lugar de lo otro, y así la cantidad †igualarᆠal décuplo». 861 Encontramos un ejemplo de la correlación entre dichas tablas y estos versos en el ms. Brugge, Openbare Bibliotheek, 96, f. 66v, donde tras una tabla de este estilo se ofrece una pequeña explicación paralela a la del Algor. y a continuación este bloque introducido con la fórmula unde versus. 862 «También es reseñable que cualquier figura puesta en la primera posición significa su propio dígito; en la segunda, diez veces su dígito; en la tercera, cien; en la cuarta, mil; en la quinta, diez mil; en la sexta, cien mil; en la séptima, mil veces mil, y así hasta el infinito multiplicando por estos tres: 10, 100, 1.000». 820 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/253#111964 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/253#388501 Edición del Carmen de algorismo es necesariamente errónea, pero sería muy fácil retornar a la forma original a través del sentido del texto. Pr7, por su parte, añade dos versos al final de este bloque: v. 6 mille] sit plenum [sic] centenarium denariumque / extremum super multiplicata numerumque add. Pr7 Estos dos versos que Pr7 añade a este bloque los encontramos también en una obra sobre aritmética escrita por Jehan Adam en 1475. En este tratado, conservado en el manuscrito Paris, Bibliothèque Sainte-Geneviève, Français 3143, concretamente en el f. 8v, se citan «unos versos del Carmen de algorismo» para explicar los límites que se corresponden con este bloque que aquí estudiamos. Al final de la cita, de manera idéntica a Pr7, añade: Sic per millarium centenum denariumque (cfr. Thorndike, 1926, 24-8). De esta forma, podemos resolver el anómalo plenum de Pr7 como un error de lectura desde un modelo que probablemente transmitiera per M. Gracias a esto, podemos darle un significado a la adición de Pr7, que hace referencia a que cada límite es diez veces la cantidad que aparece en el anterior: «así por mil, cien y diez se multiplica el último número»; algo que ya advertía Sacrobosco en el pasaje correspondiente del Algor. 2.2.4. Bloques de problemas matemáticos Seguidamente, analizaremos los bloques que hemos identificado como versificaciones de problemas matemáticos. Estos ejercicios han sido citados supra bajo el nombre de Cautele en el apartado correspondiente a las obras espurias de Sacrobosco. Se trata de un conjunto de problemas matemáticos que se suceden y que, en su transmisión extremadamente fluida, varían en número, disposición e incluso formulación. Es lógico que este material de carácter marcademente didáctico siga a los tratados más teóricos como un complemento práctico y una herramienta de enseñanza. Es más, aunque en la edición de Curtze (1895, 77-85) las Cautele se presentan como problemas en prosa, algunos manuscritos las transmiten en verso: por ejemplo, hemos localizado algunos de estos problemas en verso en el ms. Paris, Bibliothèque nationale de France, Lat. 14070 (n.º 558 de nuestro listado completo), ff. 92va-93va, aunque es probable que no sea el único testimonio. a) Bloque que comienza con Quadrantes sabbato Bo3 V1 i. El problema del quadrantes sabbato Bo3 V1 transmiten dos versos que constituyen un breve problema matemático relacionado con las monedas y sus valores. Su conocimiento en la época debía ser amplio, pues hemos encontrado estos versos en otros dos códices: los mss. London, Wellcome Historical Medical Library, 41, f. 2ra863 y Cambridge, St. Catharine’s College, Mark G V 69, f. 77r864. 863 Los versos, escritos en prosa y con algunas variante respecto a los aquí reconstuidos (quadrantes sabbato quotquot expendimus anno tot crescunt solidi cum tot minnuis [sic] numerati etc.), encabezan lo que parecen unas listas con números que podrían ser listas de precios o el registro de alguna venta. En la parte superior del folio, se pueden ver dos dibujos de personas cambiando dinero. (Se puede consultar el facsímil en https://wellcomecollection.org/works/mjtug4z3/items?canvas=15, cons. 07/09/2023). 864 En esta ocasión, según el catálogo de James (1925, 23), estas dos líneas se presentan al final de unas cuentas de propiedad de tierras junto con otros versos que parecen una suerte de máximas. James reconstruye así los versos: Quadrante[s] satis... quotquot exspendimus anno tot crescunt solidi, cum tot nummis numerati. 821 https://wellcomecollection.org/works/mjtug4z3/items?canvas=15 APÉNDICES Una ayuda para entender a qué se refiere la encontramos en el manuscrito Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14070, del que ya dijimos que contenía problemas en verso. En el f. 93r, bajo la rúbrica de expensis famulo datis in sabbato, «sobre la cantidad dada al niño el sábado», transmite los dos primeros versos de este bloque con algunas variantes que anotamos en la edición. En el f. 93v de este mismo códice, tras citar nuevamente los dos versos, se aumenta la información con una explicación en prosa, que transcribimos a continuación y que coincide con el problema 21 de las Cautele editadas por Curtze (1895, 81): Si quis dicat filio suo dabo tibi 10 vel 19 vel 30 denarios vel libras vel solidos, vel secundum libitum suum in qualibet edopmada [sic] studendo Parisius vel alibi, et vis scire quantum dabit per annum totam summam, denariorum unius septimane multiplica per 4, et quot erunt picte [sic] tot erunt solidi, et quot erunt solidi, tot denarii de quibus postea fac solidos et patebit865. Gracias a esta explicación, podemos entender mejor el significado de los dos primeros versos de este bloque, que juega con los distintos valores de las monedas. El problema requiere saber cuánto dinero total hemos gastado si cada sábado del año damos x cantidad a alguien. Lo primero que se hace es multiplicar por cuatro la cantidad gastada un sábado, resultado así el dinero gastado en el mes, y después se pasa a la unidad de moneda menor. Esto solo funciona si tenemos en cuenta que la libra debería ser equivalente a 12 sólidos, y cada sólido 12 denarios. Al multiplicar la cantidad del mes por doce, podemos saber cuánto se gasta al año. ii. Las adiciones de V1 A estos dos versos V1 añade cuatro más: Annus bisextilis erit semper per quatuor equa / annos partiri cum poteris domini. / Si de proposito quintum tollatur a cerno, / propositum numerum remanentis tertia mostrat866. Los dos primeros parece que se relacionan con el problema anterior porque trata de las partes en las que se divide el año. En este caso no proceden de las Cautele, sino que los hemos encontrado en el Compot.: Tunc bisextus erit: partes per quattuor aequas / annos partiri, cum poteris, Domini (Lohr, 2020, 35, cap. 10, l. 39/40). Sacrobosco los toma del Compotus ecclesiasticus (Moreton, 1992, 220) y este a su vez de la Massa compoti de Villadei (Steele, 1926, 279, l. 252/253), aunque con algunas variantes: Annos cum Domini poteris per quatuor equas / partes partiri bissextus adesse probatur. Dicho esto, parece que V1 o su modelo incluyeron aquí estos versos computísticos desde el Compot., pues es más probable que conociera esta obra más que el Compotus ecclesiasticus, dada la amplia difusión del primero. En cuanto a los otros dos versos que añade V1, podemos adivinar que se trata del final de un problema matemático en el que se dice que el quinto que sale de una división es la tercera parte del total que se quiere adivinar. No obstante, no hemos podido localizar ningún problema de las Cautele que se asemeje o que de alguna forma se solucione de esta manera. 865 «Si alguien dijera a su hijo: te daré 10, o 19, o 30 denarios o libras o sólidos, o lo que quiera, en cualquier semana para que estudie en París o en otro lugar, y quieres saber qué cantidad le dará a lo largo de todo el año, multiplica los denarios de una semana por cuatro, y cuantos salgan escritos, tantos serán sólidos, y cuantos sólidos salgan, tantos denarios. A estos conviértelos luego en sólidos y te saldrá». 866 «El año bisiesto será siempre por cuatro iguales, de forma que podrías partir los años del Señor. Si de lo propuesto se le quitara un quinto de lo dividido, el número propuesto de lo que queda muestra un tercio». 822 Edición del Carmen de algorismo b) Bloque que comienza con Si quantum vixit Er Pr7 v. 5/4 Er transmite diecinueve versos al final del Carmen que hemos podido identificar como versificaciones de problemas matemáticos. En total, hemos podido aislar cinco problemas que se suceden sin solución de continuidad. i. Versos 1/3, primer problema matemático Para los primeros tres versos, hemos encontrado un texto muy similar en el manuscrito del s. XIV St. Florian, Stiftsbibliothek, 65, f. 143v (cfr. Czerny, 1874, 202). En él, llevan el título de Epitaphium Augustini super sepulchrum Adeodati. Las diferencias son sutiles: Add. in Carm. VIII, 1/3: Si quantum vixit tantum vixisset itemque, / dimidium, quos dimidii, centenus obisset: / quantum vixisset dicito qui legis hec. St. Flor.: Si quantum vixit tantum vixisset, itemque / tantum, tantique dimidium super hoc, / dimidium quoque dimidii, centenis hic esset867. Parecen ser versificaciones populares de un ejercicio de matemáticas, muy similar al que se encuentra en las Cautele editadas por Curtze (1895, 80), concretamente en la número catorce: XIV. O fili, si tantum vixisses, quantum vixisti, et iterum tantum, et dimidium tanti, et dimidium dimidii, centum annos complevisses. Responditur. Unde versus: Hic puer etate quantus fuit, arte probate. / Quinta recidatur, remanentis tertia pars est868. Y también en la segunda parte del Liber Alchorismi: Si vis scire quantum vixerit qui vivens tantum quantum vixit et iterum tantum et dimidium tanti et dimidium dimidii c annos complet, aggrega que proponuntur et per aggregatum divide summam que completur et quod exierit hoc est quod vixit869 (Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 169, cap. 25.1). Atendiendo a su significado, se plantea la siguiente situación: si una persona vive lo mismo que ha vivido más dos veces más la cantidad, la mitad de esta y la mitad de la mitad, serían 100 años. La pregunta obvia sería: ¿cuántos años tiene? Matemáticamente, estaríamos ante una sencilla ecuación de primer grado: 100 = 2x + x/2 + (x/2 ÷ 2) Despejando la x, la solución son 26 años y dos tercios, tal como se resuelve en la segunda parte del Liber Alchorismi870: Verbi gratia, cum proponitur tantum quantum vixit et iterum tantum et dimi tanti et dimi dimidii, simul aggregata quattuor minus quarta fiunt, que sunt 15 quarte. Per quas 15 867 «Si alguien viviera tanto cuanto vivió, y la misma cantidad, y de esto su mitad, y de nuevo la mitad de la mitad, llegaría a la centena». 868 «Oh, hijo, si tanto vivieras como has vivido, y de nuevo tal cantidad, y su mitad, y la mitad de la mitad, cumplirías cien años. Responde. De ahí los versos: ¿Cuántos años tenía este niño? Calculadlo: que se quite un quinto, de lo que queda es la tercera parte». 869 «Si quieres saber cuánto viviría quien, viviendo hasta tal edad, que viva cuanto vivió y de nuevo esta cantidad, y la mitad de esta y la mitad de la mitad, cumpliría 100 años. Agrega lo que se ha quitado y divide la cantidad completa tras la agregación, y lo que salga, esto es lo que ha vivido». 870 No pasa desaparcebido el hecho de que en la versificación del problema cabrían otras interpretaciones en función de a qué cantidad afecta dimidium en cada caso. 823 APÉNDICES quartas si dividis centum conversum prius in quartas, exeunt 26 et due tertie. Que quater simul accepta, centum complent et hoc est quod vixit871 (Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 169, cap. 25.2). ii. Versos 4/9, segundo problema matemático Los versos 4/9 encierran otro problema matemático. En esta ocasión, además, contamos con la lectura de otro testimonio, Pr7, que transmite los v. 4/5 de esta forma textual entre el bloque tercero de la progresión y el bloque de Unum mille. En Pr7, encontramos un error respecto a Er: v. 4 quantum Er, quintum Pr7 También se detecta un comienzo alternativo para el v. 5, cuyo significado queda invariable, aunque parece que la variante de Er es una letio difficilior respecto a la de Pr7: v. 5 que querens dubitat Er, proposui numerum Pr7 Estos versos se corresponden con el tercer problema de las Cautele editado por Curtze (1895, 77): III. Si vis scire, quot denarios aliquis habeat in bursa sua, dic ei, quod triplet pretium totum, quod habet. Deinde dividat triplatum in duas portiones. Item tripletur altera portio illius dividi. Deinde quere, quot novenarii proveniunt ex tota summa, videlicet ex illo ultimo triplato, et pro quolibet novenario accipe 2, et si aliquid fuerit residuum, pro illo capias unum. Unde versus: Conceptum tripla, triplatum divide summam. / Reliquo triplato, quotiens novem summe, inde, / dic totiens binos. Quidquid superest notat unum872. El paralelismo aquí se muestra evidente con la cita directa de los versos que nos conciernen, concretamente de los v. 6/8. Además, podemos apreciar que Er y Pr7 tiene variantes muy lejanas entre sí en estos versos, lo que podría responder a una transmisión fundamentalmente oral de este tipo de poesía mnemotécnica que se transforma a medida que se difunde. Parece que el mismo problema se plantea también en la segunda parte del Liber Alchorismi, cuya explicación es mucho más transparente: Numerum quem quis occultatum in corde suo tenet ipso non significante sic invenies. Primum precipe ut ipsum numerum triplicet. Deinde triplicationis summa in duo dividat. Postea an pares sint partes interroga. Si autem impares fuerint, unum retine et ut maiorem partem triplicet iterum precipe et summam in duo dividat. Que si interrogatus responderit esse imparia, tu duo retine. Que cum priore uno aggrega tria fiunt. Deinde ut de ipsa parte maiore novem reiciat precipe et alios iterum novem et sic donec non remaneat unde novem reiciat. De unoquoque autem novem tu quattuor accipe. Qui aggregati cum primis sunt numerus quem occultavit. Aut si de parte maiore 871 «Por ejemplo, cuando se propone que tanto cuanto haya vivido y de nuevo esta cantidad, su mitad, y la mitad de la mitad, todo esto junto hacen cuatro menos un cuarto, que son 15 cuartos. Si divides 100 entre estos 15 cuartos, tras pasarlo [sc. estos 100] a cuartos, salen 26 y dos tercios. Que, cogiéndolos cuatro veces, completan los cien y esto es lo que ha vivido». 872 «Si quieres saber cuántos denarios tiene alguien en su bolsa, dile que triplique el valor total de lo que tenga. Después que divida lo triplicado en dos porciones. De nuevo que triplique una y otra porción de lo dividido. Después pregúntale cuántas veces nueve salen de la suma de ambos, es decir, de lo último que se ha triplicado, y por cada vez que sean nueve toma 2, y si algo restara, en su lugar coges uno. De ahí los versos: De lo concebido, el triple; divide la cantidad triplicada. Lo que queda, tras triplicarlo, coge tantas veces nueve, de ahí, di que son tantas veces dos. De lo que quede anota uno más». 824 Edición del Carmen de algorismo novem eicere non potuerit, primi tres erunt numerus occultus873 (Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 174, cap. 34.1). Se trata de un problema o más bien una especie de acertijo en el que «se adivina» el número que oculta el cuestionado. Para ello, aunque en los versos que transmite Er no queda claro, en la segunda parte del Liber Alchorismi se explica que es necesario saber en algún punto si el número es par o impar preguntándole directamente al interpelado. Si el número fuera par, habría que hacer lo siguiente según los versos de Er y la versión de las Cautele (difiere ligeramente la operación en el Liber Alchorismi): x = [(3x/2 · 3) ÷ 9] · 2 Si fuera impar, hay dos puntos que se deben tener en cuenta: el primero es que, cuando se divide entre dos, no hay que tener en cuenta los decimales. El segundo es que, al final de todo, como la división entre nueve no va a dar un número exacto, se obvia el resto pero se le suma una unidad extra al final para compensar: x = [(3x – 1) ÷ 2 · 3 ÷ 9 · 2] + 1 iii. Versos 10/13, tercer ¿y cuarto? problema matemático El verso 13 se refiere a un problema matemático que hemos encontrado con frecuencia ligado a varios tratados aritméticos de la época. Se trata del problema n.º 11 de las Cautele editadas por Curtze (1895, 79): XI. Sint hic milites, pedites et puelle, et sint in universo 12, et habeant 12 panes, partiendos, et quilibet miles accipiat duos, quilibet pedes quartam partem panis, quilibet puella medietatem panis: queritur, quot erunt milites, pedites et puelle. Responditur: Sola puella manet, peditum sex, quinque quirites. Simile est de 20 avibus pro 20 denariis, quot erunt de melioribus, quot de vilioribus, quot de mediocribus aliis legibus retentis. Scitur per hunc versum: In medio tetras, extremis octo locentur874. En el v. 13 cita prácticamente verbatim lo que sigue a responditur en la edición de Curtze, excepción hecha por una en lugar de sola. A pesar de que en Er tan solo se nos ofrece la solución, el problema plantea una situación en la que se reparten tantos panes (o porciones) a cada soldado, civil o muchacha. Sabiendo cuánto recibe cada uno, se ha de calcular cuántas personas de cada tipo hay: 12 = 2x + y/4 + z/2 873 «El número que alguien tiene oculto en su mente, así lo descubrirás sin que te lo enseñe. Primero, le ordenas que triplique ese número. Luego, que divida en dos la cantidad que ha triplicado. Después, pregúntale si son pares o impares. Si fueran impares, retén uno, y le ordenas que de nuevo triplique la parte mayor y que divida la cantidad entre dos. Si el interrogado respondiera que es impar, retén dos. Esto, tras agregarle la cantidad anterior, hacen tres. Después que de esa parte mayor le ordenas que quite nueve, y de nuevo otros nueve, y así hasta que no quede de dónde quitar nueve. De cada uno de esos nueve [que ha quitado], coges cuatro. Estos, unidos a los primeros, son el número que oculataba. O si de la parte mayor no pudiera quitar nueve, los primeros tres serán el número oculto». 874 «Aquí hay soldados, civiles y muchachas, y en total son 12, y tienen 12 panes para repartir, de forma que cada soldado coge dos, cada civil una cuarta parte de un pan, cada muchacha medio pan: se pregunta cuántos soldados, civiles y muchachas había. Respuesta: queda una sola muchacha, seis civiles, cinco quirites. Es parecido de las 20 aves por 20 denarios, cuántos había de los mejores, cuántos de los peores, cuántos mediocres retenidas por otras leyes. Se sabe por este verso: en el medio cuatro, en los extremos se sitúan ocho». 825 APÉNDICES Más dudas nos generan las líneas 10/12, cuyo texto no hemos podido resolver satisfactoriamente. Sí parece que podemos relacionar el v. 12 con el final del pasaje antes mencionado en las Cautele, con la diferencia de que Er transmite binos en lugar de tetras. Es interesante que en la edición de Curtze este verso se cite en relación con un planteamiento matemático que continúa el problema de los milites, pedites et puelle por algún tipo de vinculación con él. Este vínculo lo mantiene a su vez Er, citando el verso sin ofrecer contexto alguno antes de dicho problema. Es más, quizá tenga relación con las líneas 10/12, que creemos que podrían ser una corrupción del problema matemático «de las gallinas» que aparece en la segunda parte del Liber Alchorismi: Item 1l3c53 4cc5ltlnt3 [sic]875 quot solidos habeant, dic ut de tuis tot singulos vel tot binos vel ternos et huiusmodi quot volueris accipiat. Et de omnibus tuis nummis unum aliquid ut pote gallinam unam vel aliquid huius modi emat. Deinde de omnibus suis solidis secundum idem pretium quot potuerit gallinas emat. Tu ergo tunc divide solidum in numerum quem sibi dedisti, videlicet in unum vel duo vel tres. Et exeunti de divisione numero adde unum et quod exit addito uno est numerus eorum que emuntur876 (Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 175, cap. 34.3). La mención de las gallinas (aun con la palabra totanas en lugar del genérico gallinas) y la posibilidad de que la l. 11 pueda leerse como una, due, terne emunt et quatuor †are†, nos hacen pensar en esta relación. Sin embargo, no hemos conseguido proponer una lectura satisfactoria para las l. 10/11, por lo que este posible paralelo no pueda ser confirmado. iv. Versos 14/19, quinto problema matemático Estos versos se corresponden con la cautela n.º 10 de la edición de Curtze (1895, 79): X. Si velis scire in quota feria osculatus est aliquis amicam suam, dic ei, quod duplet feriam addiciendo 1. Quod totum multiplicet per 5, post hoc productum per 10, et de tota summa reiciat 50. Post hoc quere hanc certitudinem, quotiens possint 100 subtrahi de tota summa. Si semel sit, est dies domenica; si bis, secunda feria; si ter, tertia feria, et sic deinceps877. Tanto en la explicación de las Cautele como en las l. 14/19 de este bloque, se plantea una especie de acertijo donde se adivina en qué día de la semana alguien besó a su amada. Teniendo en cuenta que a los días se les llama ferie y que empieza a contar desde el domingo, este día será la «primera feria», el lunes la «segunda feria», etc. Por lo tanto, hay que calcular, cogiendo el número del día de «feria», así: x = [[(2x + 1) · 5]10 – 50] ÷ 100 En su planteamiento, un solo error de copia hemos encontrado: quis en lugar del correcto quinque en la l. 16. Además, hemos detectado un fallo en el planteamiento: hay que sumar una unidad tras duplicar el día de la semana, no antes, pues si no el resultado varía. 875 En la edición de Curtze aparece tal cual este galimatías que se resuelve sabiendo que cada número se corresponde con una vocal, por lo que aquí habría que leer alicui occultanti. Se crea así un juego alfanumérico donde la palabra «ocultar» se oculta con un código numérico. 876 «De nuevo, [para saber] cuántos solidos tiene alguien ocultos, dile que coja tantas monedas, mitades, tercios y así como quiera. Y con todas tus monedas que compre algo, como una gallina o algo así. Después, con todos tus solidos, que compre tantas gallinas por el mismo precio que antes. Entonces luego divide cada solidum por el número de lo que le dieras, como entre uno, dos o tres. Y a lo que salga de la división del número se le añade uno y es el número de lo que fuera que comprara». 877 «Si quieres saber en qué día de la semana ha besado alguien a su amada, dile que duplique el día añadiendo 1. Todo eso que lo multiplique por 5, después el producto por 10, y a toda esta cantidad que le quite 50. Después, pregúntale que te confirme cuántas veces puede sustraer 100 de toda esa cantidad. Si es uno, el día es el domingo; si es dos, el lunes; si es tres, el martes, y así el resto». 826 Edición del Carmen de algorismo c) Bloque que comienza con Ignotum numerum V2 V2 es el único testimonio para el bloque de Ignotum numerum. De nuevo, nos encontramos con versificaciones de problemas matemáticos. Hemos podido localizar en esta ocasión tres problemas similares entre sí, en los que se opera con una cantidad que se desconoce de partida. i. Versos 1/10, primer problema matemático Los v. 1/10 de este bloque transmiten el mismo problema matemático que Er en el bloque Si quantum vixit (Add. in Carm. VIII), v. 4/9. Como decíamos, se corresponde con el problema tercero de las Cautele editadas por Curtze (1895, 77) y con uno de los acertijos de la segunda parte del Liber Alchorismi, concretamente con el capítulo 34.1 editado pro Burnett, Zhao y Lampe (2007, 174). Parece que en esta ocasión, la versificación es más cercana a la versión de la segunda parte del Liber Alchorismi. El paralelismo lo encontramos en detalles como el hecho de preguntar al encuestado si el número es par o impar, lo que no se precisaba en los versos de Er. Además, la operación matemática es la misma que aquí y ligeramente diferente de que la proponía Er: en lugar de tener en consideración la «mitad menor» cuando se divide entre dos lo que se triplica [(3x – 1) ÷ 2], se considera «la mayor», y después se calcula en consecuencia: x = [[(3x + 1) ÷ 2 · 3] + 3] ÷ 9 Hemos detectado en el texto dos errores que probablemente se deban a una mala comprensión de los números que cita: en los v. 9/10, recontruimos tres y unum en lugar de trecento y decem, puesto que con estos últimos, que son los que transmite V2, no llegamos matemáticamente al primer número propuesto. Es posible que en el modelo de V2 estuvieran escritos los números con guarismos indoarábigos y que el copista no haya sabido interpretarlos correctamente. ii. Versos 11/14, segundo problema matemático En los v. 11/14 parece que se plantea el mismo problema que encontramos en la segunda parte del Liber Alchorismi, capítulo 34.5: Si aliqua duo equalia occultantur et de uno eorum duo accepta alteri addantur et de augmentato equale residua addatur, necessario quattuor remanebunt, aut si tres necessario sex et ita semper remanet duplum eius quad primo accipitur878 (Burnett, Zhao y Lampe, 2007, 175). En esta ocasión, hay dos cantidades que se desconocen. Se quita de una cierta cantidad y se le añade a la otra cantidad; luego lo que queda de la primera se le resta a la que ha recibido parte de ella y sale siempre el doble de la cantidad que se sustrajo al principio: x = y 2n = (y + n) – (x – n) iii. Versos 15/18, tercer problema matemático Para el problema que se plantea en los v. 15/18, no hemos encontrado ni en las Cautele ni en la segunda parte del Liber Alchorismi un problema similar. Sin embargo, comparte con los 878 «Si se ocultan dos cantidades iguales y de una de ellas se quitan dos y se añaden a la otra y, a lo que se ha aumentado se le resta lo que queda en la otra, quedarán necesariamente cuatro, o, si [se quitas] tres, necesariamente seis, y así quedará siempre el doble de aquello que primero se ha quitado». 827 APÉNDICES anteriores el hecho de que se opere con una cantidad ignota. Desde esta cantidad (x), al duplicarla, añadirle una segunda cantidad (y), dividir el resultado entre dos y restar la mitad de la segunda cantidad propuesta, se llega a la primera. En planteamiento que aquí se desarrolla es el siguiente: x = [(2x + y) ÷ 2] – y/2 d) Bloque que comienza con Si numerus duples I El testimonio I transmite cuatro versos hacia al final del tratado, antes del bloque Unum mille con el que cierra la obra y tras el primer bloque sobre las reglas de la multiplicación. En ellos, se explica algún procedimiento matemático que implica la duplicación y la división entre dos, sin que seamos capaces de saber a qué hace referencia concretamente. Quizá se trate de una parte de algún problema matemático, como ocurría en algunos de los versos transmitidos por Er en el bloque que comienza por Si quantum vixit. Respecto al texto, no estamos seguros de la lectura investis documento en el v. 1, puesto que el folio está dañado y compromete la inteligibilidad algunas palabras. 828 Edición del Carmen de algorismo 3. Conclusiones del estudio de la tradición del Carmen de algorismo El Carmen de algorismo es una obra que recibió mucha atención en sus primeros siglos de vida. Tanto es así, que actualmente contamos con más de 140 testimonios conservados, aunque calculamos que el número de manuscritos todavía no encontrados, además de los perdidos, podría aumentar considerablemente esta cifra. Esta gran difusión responde a su uso como material escolar y universitario. Su carácter propedéutico conlleva una serie de particularidades en su transmisión, como lo son la existencia de numerosos manuscritos comentados y anotados por manos eruditas y la amplia contaminación o tradición horizontal que encontramos en ella. Tras estudiar más de una veintena de códices que contienen el Carmen de algorismo, podemos aportar ciertas conclusiones respecto a su tradición que deberían ser revisadas y aumentadas en futuros estudios. La primera de ella es la existencia de un primer bloque de texto común en todos los códices analizados al que siguen, como continuaciones, un conjunto de bloques que presentan gran variación textual. Tales formas adjuntas no son iguales en número ni en disposición en todos los manuscritos, haciendo que cada ejemplar sea único. Ante este hecho, dada la poca utilidad práctica de ofrecer cada texto como un unicum y merecedor de una edición per se, nuestro trabajo aquí ha consistido en realizar un estudio provisional en el que hemos intentado plasmar la realidad de la transmisión de esta obra. Así pues, en nuestra edición, como veremos infra, ofrecemos primero el texto común seguido a continuación de todas las formas textuales encontradas en uno o más manuscritos, para dar fe de la complejidad de este poema matemático. En la porción de texto común se introduce la materia y se enseña a sumar, restar, duplicar, mediar, multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas y cúbicas. Es la parte más larga del poema en cualquiera de los manuscritos y siempre aparece al principio, a excepción del capítulo sobre las raíces, que a veces se intercala con otros pasajes textuales. En esta sección, que hemos estudiado de forma independiente por ser la única transmitida por todos los códices y, a nuestro juicio, la forma original, hemos hallado tal grado de contaminación que no es posible elaborar un stemma que permita jerarquizar la tradición. Por lo tanto, hemos estudiado cada ejemplar de forma individual y examinado sus variantes una por una para reconstruir conforme a criterios internos (lengua, estilo, contenido, etc.), un texto crítico de la pieza. En cualquier caso, disponer de un texto crítico de este bloque era necesario para el estudio del Algor. en la medida en que esta sección fue fuente directa para la composición de la obra de Sacrobosco. Las porciones de texto que se añaden a esta parte común, como hemos dicho, a veces las transmite un único manuscrito; otras veces, varios. Su temática es diversa, aunque podríamos dividirlas en cuatro categorías: las operaciones relacionadas con las progresiones matemáticas, las reglas de la multiplicación, la versificación de los límites y los bloques con uno o varios problemas matemáticos en su interior. Contamos con tres bloques distintos para las progresiones, otros tres para las reglas de la multiplicación, uno solo para los límites y cuatro con problemas matemáticos. En ninguna de las categorías mencionadas existen evidencias para establecer una relación entre bloques, es decir, no sabemos si uno de los bloques fue el primero a partir del cual se generó el resto, o si responden a redacciones individuales entre sí. La brevedad del texto, la contaminación y la escasez de innovaciones seguras tampoco permiten presentar relaciones entre los códices que transmiten el mismo bloque. Tales bloques, que en nuestra edición incluimos al final en el orden en el que los hemos estudiado supra, tienen una estrecha relación con el Algor. Parece que la mayoría de ellos (a excepción de los que contienen problemas matemáticos) introducen en el Carmen postulados teóricos que encontramos en el Algor. Este hecho puede tener un doble origen: o bien desde el Algor. se versificaron aquellas partes que faltaban en el Carmen y se incluyeron al final de este, 829 APÉNDICES o bien Sacrobosco tuvo a su disposición un ejemplar del Carmen con tales bloques y los reordenó y prosificó para su tratado. La brevedad del texto y la similitud de contenidos no permiten, por el momento, decantarse por una u otra postura con seguridad. Por último, los bloques en los que se suceden problemas matemáticos o fragmentos de ellos probablemente respondan a una suerte de versificación de las Cautele. Esta obra de tradición fluida a menudo acompaña en los manuscritos al Carmen de algorismo y/o al Algor. como ejercitación práctica de la teoría que estas obras enseñan. No es de extrañar, por tanto, que en algún momento se pusieran en verso y se incluyeran al final del Carmen como complemento al mismo. Concluimos, por tanto, con la constatación de que el Carmen de algorismo es una obra con una tradición cuya historia es complicada, cambiante y con múltiples contactos entre sí. Por esta razón, no es posible estudiarla como un tratado con una transmisión lineal, sino como un texto libre que va recibiendo un trato distinto en cada una de sus copias. La riqueza de variantes y formas textuales que nos presenta queda como una buena muestra de las necesidades sociales que estaba destinado a cubrir, esto es, la enseñanza de la nueva ciencia del algorismo mediante una versificación que permitiese un aprendizaje mnemotécnico879. En este contexto universitario, poseer una versión de la obra lo más completa posible podía tener un efecto directo sobre la calidad de la educación recibida, lo que movería a los alumnos a reescribir, añadir, cambiar y solapar informaciones sobre el sobre el contenido de estudio, cuya novedad y desarrollo en este mismo período favorecían las reelaboraciones. Por todo esto, hemos creído necesario dedicar un espacio de nuestra tesis a este poema que todavía hoy nos plantea desafios a través de su texto. 879 Contamos, por ejemplo, con las obras en verso de Antonio de Nebrija. Este autor, a pesar de sus críticas a Alexandre de Villadei (rechaza explícitamente su obra Doctrinale), tomó de él la idea de plasmar en verso contenidos que hasta la fecha habían tenido una transmisión exclusivamente prosaica. Esto podemos verlo en obras suyas como las Introductiones Latinae, obra sobre gramática escrita en hexámetros, o los Vafre dicta philosophorum, versificaciones de dichos de filósofos griegos (a este respecto cfr. Martín Baños, 2022 y Jiménez Calvente, 2014, 405-504; agradecemos encarecidamente a la Dra. Jiménez Calvente por los apuntes didácticos y bibliográficos que nos ha aportado en relación con la obra de Nebrija). 830 Edición del Carmen de algorismo 4. Criterios de la presente edición Para la edición crítica del Carmen, puesto que no es posible reconstruir un stemma a causa de las múltiples contaminaciones que ha sufrido el texto, hemos analizado cada una de las variantes separadamente. La selectio ha respondido, en primer lugar, al sentido del texto y sus contenidos matemáticos. Para aquellas lecturas que pudieran ser adiáforas, hemos escogido las más semejantes por vocabulario o estilo al resto de la obra; también hemos priorizado las lectiones difficiliores frente a las faciliores. Cuando no ha sido posible determinar a través de estos mecanismos cuál es la variante que debía ser seleccionada, hemos escogido aquella transmitida por los testimonios optimi, es decir, aquellos que, en otros pasajes, están libres con mayor frecuencia de faltas, innovaciones e intervenciones. Tal como hemos ido desgranando supra, el hecho de que los manuscritos transmitan una parte de texto común y una cantidad variable de bloques textuales que siguen al primero impide establecer un único texto para el Carmen de algorismo. Si así lo hiciéramos, no estaríamos dando una idea de cómo se leía el poema en el s. XIII y de cuán fluida es su tradición textual. Por esta razón, hemos considerado como la solución más adecuada reconstruir primero el texto que todos los testimonios transmiten, es decir, desde la introducción hasta las raíces incluidas, y seguidamente los otros bloques textuales que varían en la tradición manuscrita. Estos últimos los hemos situado al final del texto común, en el orden en el que los hemos ido analizando supra en el estudio de la tradición del Carmen y con una numeración de línea individual para cada uno de ellos. Los títulos que hemos dado a cada uno de los bloques son artificiales y responden únicamente a que puedan citarse de forma coherente. En cuanto a las grafías, hemos seguido lo que hemos hecho en las ediciones del Algor. y del Quadr. Ante las múltiples formas transmitidas en los manuscritos, hemos aceptado aquellas comunes en el latín bajomedieval. En los aparatos también hemos regularizado la forma escrita, excepto cuando era pertinente a efectos de la transmisión del texto. El texto latino viene acompañado por tres aparatos: el primero de ellos es el aparato de fuentes y pasajes paralelos, el segundo muestra los pasajes paralelos del Algor. y el último es el aparato crítico de variantes. En el primero de ellos, anotamos las fuentes identificadas que han servido para componer el Carmen siempre que ha sido posible detectarlas. Hemos incluido sobre todo pasajes de la primera y segunda parte del Liber Alchorismi880 (Alchor. I y Alchor. II) en tanto en cuanto parece que podría ser la fuente principal de la obra. Dadas las similitudes entre el Liber Alchorismi y el Liber pulveris (Pulver.), hemos añadido igualmente los pasajes paralelos de esta última en aras de ofrecer un aparato de loci paralelli lo más completo posible. También presentamos los pasajes paralelos con otras obras que, aunque podrían no ser fuente directa del Carmen, al menos sí parecen estar relacionadas por la correspondencia de contenido entre ambas. En este sentido, hemos incluido algunas citas al Liber ysagogarum881 (Ysagog.), el Helcep Sarracenium882 (OCREAT., Helcep), el tratado sobre el algorismo del manuscrito de Coventry883 (Coventr.) y las Cautele884 (Cautel.). Puntualmente hacemos referencia a los manuscritos London, Wellcome Historical Medical Library, 41 (Wellcom.), Cambridge, St. Catharine’s College, Mark G V 69 (St. 880 Editados por Allard (1992, 62-224) el primero y por Burnett, Zhao y Lampe (2007, 141-231) el segundo. 881 Editado por Allard (1992, 23-61). 882 Burnett (1996a, 262-97 = 2010, III, 262-97). 883 Burnett (1996a, 300-9 = 2010, III, 300-9). 884 Curtze (1895, 77-85). 831 APÉNDICES Cath.), Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14070 (Franc.) y St. Florian, Stiftsbibliothek, 65 (St. Flor.) por contener pasajes similares a los que se transmiten en las formas textuales variables en la tradición. También incluimos referencias concretas de la Massa compoti de Villadei885 (VILLAD., Massa comp.), al Compotus ecclesiasticus886 (Comp. Eccles.) y al Compot. de Sacrobosco887 (SACROB., Compot.). En el aparato de pasajes paralelos con el Algor., citamos en cada caso qué líneas del Algor. pueden ponerse en relación con los puntos señalados en el Carmen de algorismo. Hemos considerado oportuno añadir este segundo aparato por la relación evidente entre ambas obras y, sobre todo, para poner en relación las formas textuales que hemos incluido al final con las partes correspondientes del Algor. En este sentido, es oportuno recordar que no estamos seguros de la direccionalidad de la influencia dada la cercanía temporal de las obras. Esto supone que dichas formas textuales podrían haber sido fuente del Algor. o al revés, que el tratado de Sacrobosco inspirara algunas de las versificaciones que aquí incluimos con el objetivo de completar el Carmen de algorismo. En el aparato crítico, hemos anotado las variantes de todos los testimonios colacionados puesto que, al no haber podido trazar jerarquías entre ellos, todos mantienen la misma importancia en la transmisión del texto. Tipológicamente se trata de un aparato negativo. Cuando más de un ejemplar transmite una misma variante, hemos anotado las siglas en orden estrictamente alfabético. Frente al texto crítico hemos añadido una traducción castellana de la obra, la primera que se realiza en esta lengua, a fin de acercar el texto a aquellas personas no familiarizadas con la lengua latina. Añadimos a la traducción una serie de notas para clarificar aquellos puntos que pudieran ser más difíciles de entender, así como para indicar qué interpretación hemos dado en cada caso a los pasajes traducidos. Finalmente, remitimos a la p. 12 para las abreviaturas, siglas y términos empleados en los aparatos. 885 Steele (1926, 268-89). 886 Moreton (1992, 188-276). 887 Lohr (2020, sin publicar). 832 Edición del Carmen de algorismo 5. Conspectus siglorum Bo1 Oxford, Bodleian Library, Ashmole 399, ff. 64r-71r Bo2 Oxford, Bodleian Library, Ashmole 342, ff. 147vb-148v Bo3 Oxford, Bodleian Library, Ashmole 341, ff. 171r-175v Ca Caen, Bibliothèque municipale, 14, ff. 58v-61r Cm Cambridge, University Library, Add. 3168, ff. 6vb-8vb Er Erlangen, Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg, 436, ff. 1ra-2vb G1 Cambridge, Gonville and Caius College Library, 537 (341), ff. 210v-212r G2 Cambridge, Gonville and Caius College Library, 605 (385), ff. 152r-157v G3 Cambridge, Gonville and Caius College Library, 76 (136), ff. 87r-93v I Aubervilliers, Institut de recherche et d’histoire des textes, Frag. 13, ff. 1rb-4va L London, British Library, Royal 8 C IV, ff. 36va-38ra M1 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 3523, ff. 154ra-155vb M2 München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14770, ff. 59r-68v Pr1 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 1093, ff. 51r-54v Pr2 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7475, ff. 72r-78v Pr3 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7477, ff. 24r-35v Pr4 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14809, ff. 155r-159v Pr5 Paris, Bibliothèque Nationale de France, NAL 657, ff. 1r-8r Pr6 Paris, Bibliothèque Sainte-Geneviève, 3141, ff. 13r-19v Pr7 Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14070, ff. 82r-96v Tr Cambridge, Trinity College, O.2.45, pp. 23-31 V1 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Reg. Lat. 150, ff. 164r-168v V2 Città del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Vat. Lat. 4385, ff. 130va-133ra Hall. Halliwell, James Orchard. 1839. Rara Mathematica; or, a Collection of Treatises on the Mathematics and Subjects Connected with them. London: John William Parker, West Strand. Ste. Steele, Robert R. 1922. The Earliest Arithmetics in English. London: Oxford University Press. 833 https://ptolemaeus.badw.de/jordanus/ms/10320#202254 Carmen de algorismo: edición crítica y traducción 835 Hec Algorismus ars presens dicitur, in qua talibus Indorum fruimur bis quinque figuris: 0. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. Prima significat unum, duo vero secunda, tertia significat tria, sic procede sinistre5 donec ad extremam venias, que cifra vocatur. Quamlibet illarum si primo limite ponas simpliciter se significat, si vero secundo, se decies; sursum procedas multiplicando; 1/3 Hec – 1] cfr. Alchor. I (p. 68, 25/30, p. 69, 1/4), cfr. Puluer. (p. 68, 1/5, p. 69, 1/4), cfr. Ysagog. (p. 25, 13/14) 4/6 Prima – vocatur] cfr. Ysagog. (p. 25, 16/17) 7/12 Quamlibet – significabit] cfr. Alchor. I (p. 64, 16/30, p. 65, 1/28), cfr. Puluer. (p. 63, 20/24, p. 64, 1-24) 1 Hec – dicitur] cfr. SACROB., Algor. 6/7 2/3 talibus – 1] cfr. SACROB., Algor. 32/33 7/9 Quamlibet – decies] cfr. SACROB., Algor. 45/46 9/ 12 sursum – significabit] cfr. SACROB., Algor. 59/62 1 Hec] hic incipit algorismus tit. praem. Cm, incipit algorismus tit. praem. M2 Pr5, incipit prologus tit. praem. Pr2, incipit liber algorismis tit. praem. Pr3, hic incipit indorum ars numerorum tit. praem. Tr, spatium tituli vacuum reliquit V2, eec L sic 1/30 Hec – multiplicare] deest Pr4 deperdito folio 1 Algorismus] allorismus Pr2 sic | ars presens] presens ars Pr1 Pr6 Pr7 | in qua] esse Tr V1 3 0 – 1] om. Bo1 Bo3 Er Tra, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trm, hic ostendit signos figurarum add. Pr2m 4 Prima] sequitur de significatione figurarum per se sumptarum tit. praem. G1, de significatione figurarum tit. praem. Pr3, de significatione figurarum per se significantium tit. praem. Tr, spatium tituli vacuum reliquit V2, primaque Bo1 Bo2 Bo3 Ca Cm G1 G2 I M1 M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V1 V2 Hall. | significat] significet Bo2, signat Bo3 Cm Er G2 L M1 | vero] quinque Bo2 5 significat] signat Bo1 Bo3 Er G2 M1 Pr5, significet Bo2, significans V1 | tria] et add. G3 | sinistre] id est ad sinistram add. Pr3s, sinistra Hall. 6 venias] venies Bo1 Bo3 L | que] quaque Bo2, qua Steel. 7 Quamlibet] sequitur de significatione illarum tit. praem. Cm, sequitur de significatione in serie positarum tit. praem. G1, spatium tituli vacuum reliquerunt L V2, significatione figurarum et diferentie eorum tit. praem. M1m, sequitur de significatione quomodo signat in ordinis tit. praem. M2m, item de signo figurarum tit. praem. Pr2m, sequitur quomodo figure significent in ordine tit. praem. Pr3, de significatione figurarum in serie positum tit. praem. Tr, hic ostendit de significatione earum tit. praem. V1m, quelibet Bo1 Bo2 Ca Cm Er G3 L M1 M2 Pr1 Pr2 Pr4 Hall. Steel., airelibet G2 sic, qualibet Bo3, eelibet V2 sic | illarum] istarum Cm Er I Bo2 | si] hoc Pr3 8 se] sese Bo2, om. Pr3 | se significat] signat se Bo2 | significat] signat Bo2 Bo3 Cm Er G2 L M1 M2 Pr5 Pr7 | si] hoc Pr3 9 se – multiplicando] om. V1 | procedas] procedunt Bo3, procedes G1, procedens Pr6 836 Este arte presente se llama algorismo, en el que nos servimos de tales figuras de los indios1, que son dos veces cinco: 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. La primera significa uno; la segunda, en cambio, dos; la tercera significa tres, y así ve avanzando hacia la izquierda 5 hasta que llegues a la última, que se llama cero2. Cualquiera de ellas, si la pusieras en el primer límite3, simplemente significa ella misma, pero si en el segundo, diez veces ella, de forma que así procedas multiplicando hacia arriba. 1 Es notable que en el Carmen se tenga conciencia de que estas nuevas figuras tienen su origen en la India, puesto que en otros tratados, como el propio Algor., se dice expresamente que es «la ciencia de los árabes». La confusión es lógica, puesto que se introdujo en Europa gracias a las traducciones de diversos tratados escritos en árabe. 2 Nótese que en esta época al cero se le suele llamar cyfra, entre otros nombres (circulus, theta, etc.). Este término se encuentra también en el Algor. 3 Llama «límites» a las «casillas» de las unidades, decenas, centenas, etc. en las que se escriben los números. El primer «límite» es el espacio donde se sitúan las unidades, el segundo las decenas, y así sucesivamente. 837 2 namque figura sequens quevis signat decies plus10 ipsa locata loco quam significet preeunti, quam precedentes plus ultima significabit. Nichil cifra significat, sed dat significare sequenti. Post predicta scias breviter quod tres numerorum distincte species sunt, nam quidam digiti sunt,15 articuli quidam, quidam quoque compositi sunt. Sunt digiti numeri qui citra denarium sunt, articuli decupli digitorum, compositi sunt 13/19 Nichil – digitisque] cfr. Alchor. I (p. 66, 1/21) 14/16 Post – sunt] cfr. Coventr. (p. 300, 1/3) 13 Nichil – sequenti] cfr. SACROB., Algor. 33/36 14/19 Post – digitisque] cfr. SACROB., Algor. 11/17 10 namque] nam Bo1 Bo3 Pr1 Pr7 10/12 namque – significabit] om. Hall. 10 quevis signat] quis signet Er, signat quevis V2 11 ipsa] scilicet figura add. Pr3s | locata] locato Pr1 | quam] qua M1 Pr6 Pr7, que Pr1 significet] signat Cm, signet G2 Pr5, significat Tr | preeunti] preeunte Bo2 M2 Pr5 Pr7, pereunte Hall. Steel. 12 quam] nam L Hall. Steel. quam – significabit] post 9 multiplicando praem. Cm | precedentes] precedente Pr3 | ultima] om. Bo3 spatio relicto 13 Nichil cifra] que nil Hall. Steel. | Nichil – sequenti] post 11 preeunti praem. Ca G2 G3a Pr5a, post 6 vocatur praem. Hall. Steel. | significat] signat Bo2 Bo3 Ca Cm G1 G2 G3 L M1 M2 Pr5 Pr7 V1 | sed] om. Bo1 Bo2 Bo3 Ca G1 G2 G3 L M1 M2 Pr5 Pr6 Tr V1 V2 Hall. Steel. 14 Post] sequitur de speciebus ipsius algorismi tit. praem. Cm, sequitur de divisione numerorum tit. praem. G1, spatium tituli vacuum reliquerunt G2 L V2, dividit eas tit. praem. M1m, hic facit trimembrem divisionem numerorum tit. praem. M2s, hic facit actor trimembrem divisionem tit. praem. Pr1, hic facit auctor breviter divisionem numerorum tit. praem. Pr3, de divisione numerorum tit. praem. Tr, hic ostendit quot sunt species numerorum tit. praem. V1m predicta] predictam G1 M1 | scias] scies Bo1 Bo2 Bo3 G1 I Pr5, sias L sic, ultima add. La | breviter – tres] quod tres breviter Bo3 G2 L V1 Steel. 15 species sunt] sunt species L | sunt1] om. Bo3 | nam quidam] quidam nam Pr3 | quidam] nunc add. Bo1 16 quidam2] qui Bo3 | quoque] vero Bo1 G1, sed quidam Ca, sed I, quod Pr3 17 Sunt] sequitur que est composita et que non tit. praem. Cmm, sequitur de descriptione cuiuslibet membri tit. praem. G1, spatium tituli vacuum reliquerunt G2 V2, hic assignat unumquodque divisionis membrum tit. praem. M2s, hic assignat actor unumquemque membrum divisionis tit. praem. Pr1, hic assignat unumquodque divisionis membrum tit. praem. Pr3, de cuiuslibet membri descriptorum tit. praem. Tr, dicit que species numerorum sunt composita et que non tit. praem. V1m 17/19 Sunt – digitisque] om. L 17 citra denarium] semper infra decem Er Hall., id est decies habentes plus est istorum add. Pr3s | denarium] id est X add. Pr3s 838 2 Así, puesto que cualquier figura4 que le siga indica diez veces más 10 que lo que significaría esa misma colocada en el lugar de la anterior, la última significará más que las precedentes. El cero no significada nada, pero da significado a la siguiente. Tras lo dicho, has de saber brevemente que hay tres clases distintas de números, pues hay unos que son dígitos, 15 otros artículos, y también los hay que son compuestos. Son dígitos los números que hay antes de la decena, los artículos son diez veces los dígitos, los compuestos son 4 Empleamos «figura», mismo término que se usa en el texto latino, para referirnos a un guarismo cualquiera. 839 3 illi qui constant ex articulis digitisque. Ergo proposito numero tibi scribere, primo20 respicias quis sit numerus, quia si digitus sit primo scribe loco sic, sed si compositus sit, primo scribe loco digitum post articulum sic, articulus si sit, cifram post articulus sic. Quolibet in numero, si par sit prima figura,25 par erit totum quicquid sibi continuetur; 20/24 Ergo – sic] cfr. Alchor. I (p. 69, 15/21, p. 70, 1/19), cfr. Puluer. (p. 69, 5/10, p. 70, 1/8) 25/27 Quolibet – impar2] cfr. Ysagog. (p. 26, 4/23), cfr. Coventr. (p. 300, 1) 20/24 Ergo – sic] cfr. SACROB., Algor. 40/46 20 Ergo] sequitur de modo scribendi tit. praem. Cm, sequitur qualiter quilibet numerus est scribendus tit. praem. G1, spatium tituli vacuum reliquerunt G2 L V2, hic sequitur quomodo debent scribir predicti numeri tit. praem. M2s, sequitur quo modo debent scribi numeri predicti tit. praem. Pr1, sequitur quo modo debent scribi predicti numeri tit. praem. Pr3, qualiter quilibet numerus scribendus est tit. praem. Tr, hic ostendit modus scribendi tit. praem. V1m | tibi] om. L | scribere] id est ad scribendus add. Pr3s | primo] si vis I 21 respicias] inspicias Pr3 | quis sit] si quis Pr1 | sit1] om. L | quia] qui Bo3 Er Pr2, nam Pr1 22 primo] illo G2 | primo – sic] una figura satis sibi Hall. fortasse recte | primo –  sit] om. Bo3 Ca Er G3 I M1 Pr1 V1 22/23 primo – sic] om. Pr3 22 sic] digitum Bo1 Bo2 Cms G1 G2 L Pr6, 2 add. V2 | sed] om. Bo1 G1 G2 L Pr6 23 primo – sic] iter. Bo3 | post – sic] quinque sit ille V1 | sic] sit G2 L Pr1, om. Pr5, 43 46 add. Pr6, 12 add. V2, atque Hall., fac Steel. 24 articulus1 – sit] si sit articulus Ca Hall. | articulus1 – sic] om. Bo3a Ca I M1a, add. M1s, add. Bo3m | cifram] cifra G2 V1 | cifram – sic] cifram prius articulus post Bo1 G1, in primo limite cifram Hall. | sic] sit G2 Pr1 Pr2 Steel., 40 50 add. Pr6, 10 add. V2, articulum vero reliquis scribe figuris vel per sebe [sic] si nulla figura sequatur add. Bo3, et si compositus in limite scribe sequenti primo scribe loco digitum post articulus sit add. V1, articulum vero tu in limite pone sequenti add. V2, articulum vero tu in limite scribe sequenti add. Hall., articulum vero relinquenti inscribe figure Steel. 25 Quolibet] sequitur quis numerus sit par vel impar tit. praem. Cm Pr1 Pr3, sequitur de paritate et imparitate numerorum tit. praem. G1, spatium tituli vacuum reliquerunt G2 L V2, hic quis numerorum tit. praem. M1m, hic ostendet generalem regulam numerorum quis numerus sit par vel impar tit. praem. M2s, hic dicit quis numerus sit par et quis impar tit. praem. Pr2m, regula generalis numerorum tit. praem. Tr, hic ostendit quis numerus sit par et quis impar tit. praem. V1m, quelibet Bo3, quodlibet L si par] par si I | prima] ergo add. Pr1 26 erit] et add. Hall. continuetur] continuatur Bo1 Ca Cm Er G1 G3 I M1 Pr1 Pr5 Pr6 Pr7c V2 Hall., continetur G2 L Steel., sic add. Pr5s, contineatur Pr7a 840 3 aquellos que constan de artículos y dígitos. Por lo tanto, cuando propongas un número para escribirlo, primero 20 hace falta que mires qué es este número, porque si es un dígito tienes que escribirlo así en el primer lugar, pero si es un compuesto, primero escribes el dígito así en su lugar, luego el artículo; si es un artículo, que tras el cero esté el artículo así5. En cualquier número, si la primera figura es par, 25 todo él será par independientemente de cómo continúe; 5 Todos estos «así» son la traducción de los sic del texto latino. Es probable que hagan referencia a números reales que acompañaran el texto a modo de ejemplo, como lo son las adiciones de Pr6. 841 4 impar si fuerit totum sibi fiet et impar. Septem sunt partes non plures istius artis: addere, subtrahere, duplare et dimidiare, sexta est dividere, sed quinta est multiplicare,30 radicem extrahere pars septima dicitur esse. Subtrahis aut addis a dextris vel mediabis, a leva dupla, divide, multiplica, extrahe radicem semper sub parte sinistra. 28/31 Septem – esse] cfr. Alchor. I (p. 62, 22/26, p. 63, 1/5), cfr. Puluer. (p. 62, 22/26, p. 63, 1/6) 28/31 Septem – esse] cfr. SACROB., Algor. 18/21 32/34 Subtrahis –  sinistra] SACROB., Algor. 188/189 27 totum – fiet] post impar transp. Pr7 | sibi] tibi I, ubi Pr5 | fiet] fiat Bo3 Tr | et] om. Bo3 Pr7 28 Septem] sequitur quot sunt species algorismi tit. praem. Cm, sequitur de speciebus istius artis tit. praem. G1, spatium tituli vacuum reliquerunt G2 L, quot sunt species tit. praem. M1m, consequenter dividit algorismi in VII partes tit. praem. M2s, hic dividit agorismus in septem species tit. praem. Pr1m, dicit quot sunt figuras huius artis tit. praem. Pr2m, consequenter dividit auctor algorismus in vii species tit. praem. Pr3, quot sunt species huius artis tit. praem. Tr, hic ostendit quot species sunt algorismi tit. praem. V1m, VIItem I | partes] species Bo1 Bo2 Bo3a Ca Er M1 Pr1 Pr7 | non] nec G3 Pr3 | istius] illius G2 29 addere] ardem G2 | duplare] duplure G1 sic, duplicare Pr1 Pr2 | et] om. Bo1 Bo2 Bo3 Ca G1 G2 L M1a Pr1 V1, -que Pr2 Pr6 Pr7 Hall. dimidiare] dimiare V2a sic 30 sexta] sextaque Bo3 Ca Er G1 G2 Pr1 Pr7 V1 Hall., sex L | est1] om. Bo3 Ca G1 G2 Pr1 Pr5 Pr7, post dividere transp. Hall | sed] sic M1 | est2] om. Bo3 I Pr1 Pr7, del. G1 31 septima] ultima Cm Pr1 Pr4 Pr6, VII G2 I 32 Subtrahis] sequitur quo incipies operari in qualibet specie tit. praem. Cm, sequitur qualiter operandum sit in qualibet specie tit. praem. G1, sequitur ubi debet sumi initium operandi in qualibet specie tit. praem. M2s, ecce initium operandi de qualibet specie tit. praem. Pr1, dicit in qua parte incipiendus est in qualibet specie tit. praem. Pr2m, sequitur ubi dicit sumii inicium operandi in quibus specie tit. praem. Pr3, qualiter operandum est in qualibet specie tit. praem. Tr, hic ostendit in qua parte incipiendum sit in qualibet specie tit. praem. V1m, spatium tituli vacuum reliquit V2 | a] om. I | vel] aut Pr1 | mediabis] dimidiabis I 33 multiplica] more latino add. Ca, multiplicaque vel multiplica G2, multiplicat Pr1, multiplicaque Hall. 34 extrahe] sustrahe Bo1 Bo2 Pr1 | extrahe – sinistra] om. Pr4, add. Pr42 | radicem] iter. Pr3 | semper] duplam Bo2 Cm Er I M1c M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr42 Pr5c Pr6 Pr7, dupla Ca, + primo + semper add. Cms sic, mediam Pr5a, et semper add. Pr6m | sub] de Er M1 V2 842 4 si fuera impar, todo él será también impar. Las partes de este arte son siete, no más: sumar, restar, duplicar y mediar, la sexta es dividir, pero la quinta es multiplicar; 30 extraer la raíz se dice que es la séptima parte. Sustraes, añades o medias desde la derecha, desde la izquierda duplica, divide, multiplica, la raíz extráela siempre bajo la parte izquierda6. 6 Estos versos, que también aparecen en el Algor., se refieren a dónde hay que empezar a calcular. Es decir, teniendo un número cualquiera, si hay que empezar a operar con las unidades (como en la suma), que para ellos sería «desde la derecha», o si por el contrario conviene comenzar por el «límite» de mayor valor (como en la división), que sería «por la izquierda». 843 5 Addere si numerum numero vis, ordine tali35 incipe: scribe duas primo series numerorum primam sub prima iuste ponendo figuram et sic de reliquis facies si sint ibi plures. Inde duas adde primas hac conditione: si digitus crescat ex additione priorum,40 primo scribe loco digitum quicumque sit ille; et si compositus, in limite scribe sequenti articulum primo digitum quia sic iubet ordo; articulus si sit, in primo limite cifram articulum vero reliquis inscribe figuris45 vel per se scribas si nulla figura sequatur; 35/38 Addere – plures] cfr. Alchor. I (p. 75, 2/13), cfr. Puluer. (p. 75, 2/12) 39/46 Inde – sequatur] cfr. Alchor. I (p. 75, 13/26, p. 76, 1/25, p. 77, 1), cfr. Puluer. (p. 75, 13/26, p. 76, 1/24) 35/38 Addere – plures] cfr. SACROB., Algor. 80/84 39/48 Inde – figuram] cfr. SACROB., Algor. 84/97 35 Addere] spatium tituli vacuum reliquerunt Bo1 G2 L V2, sequitur de additione tit. praem. Cmm G1 M2m Pr3 Pr5m, additione tit. praem. M1m, sequitur de prima specie scilicet de additione tit. praem. Pr1, hic agit de additione tit. praem. Pr2m, incipit primum capitulum de additione a dextra tit. praem. Pr7, additio est aggreatio duorum numerorum ut habeatur eorum summa tit. praem. Tr, hic dicit autor de additione tit. praem. V1m numerum numero] numero numerum Ca Cm G1c I L M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr7 V2 Hall. 36 primo] quas vis Bo3 I Pr1, quascumque velis Cm, + primo add. Cms sic, quascumque velis add. M1s, om. Pr7 | series] serres I sic numerorum] om. Bo3a, add. Bo3m 37 primam] prima I, post sub prima transp. Pr1 Pr7 | prima] figura add. Pr3s | iuste] recte Bo1 Bo3 G1 L M1 Pr1 V1 Hall. Steel., recte add. Pr3s, id est recte add. Pr6s | ponendo] scribendo M1 | figuram] figura Pr6 38 et] que Pr3 | reliquis] figuris add. Pr3s | facies] facias Ca Cm Er G1 G2 G3 Pr1 Pr2 Pr5 Pr6 Pr7 V1 V2 | ibi] tibi Bo2 G3 Steel., om. Er | plures] plurus Bo2a sic, figuras add. Pr3s 39 adde] addas Er, addes Pr3 | primas] figuras add. Pr3s, sub add. Pr4 40 crescat] crescit Pr6, constat V1a | priorum] numerorum add. Pr3s, primorum Hall. 41 primo] primum M1 | loco digitum] locum digito Er | quicumque] om. Caa, cuique Cam, defecit add. Ca 42 et] vel Ca, om. Er Pr3 Steel., sed I L Pr1 Pr2 Pr5 Pr7 Hall. | si] sic add. Er, sit Steel. | scribe] pone Bo2 Cm Pr5 Pr7 | sequenti] sequente Bo3a 43 primo digitum] digitum primo Pr1 | sic] sit Pr3a 44 sit] sic Er cifram] scribe add. Cas 46 vel] et L V2 Hall. | scribas] scribe Ca Er G2 G3 I Pr2 Pr3 Pr4 Pr5 Tr 844 5 Si quieres añadir un número a otro número, con tal orden 35 empieza: escribe primero dos series de números poniendo justamente la primera figura bajo la primera y así harás con las siguientes si allí hubiera más. De ahí suma las dos primeras con esta condición: si sale un dígito de la adición de las anteriores, 40 escribe en el primer lugar el dígito, sea cual sea; y si un compuesto, escribe en el límite siguiente el artículo; en el primero, el dígito, pues así requiere el orden. Si es un artículo, dentro del primer límite escribe el cero, y el artículo, en cambio, con las otras figuras, 45 o bien lo escribes por sí mismo si no le sigue otra figura; 845 6 si tibi cifra superveniens occurrerit, illam dele prepositam post illic scribe figuram. Postea procedas reliquas addendo figuras. A numero numerum si sit tibi demere cura,50 scribe figurarum series ut in additione: maiori numero numerum suppone minorem, sive pari numero supponatur numerum par. Postea si possis a prima subtrahe primam scribens quod remanet, cifram si nil remanebit.55 Sed si non possis a prima demere primam, procedens unum de limite deme sequenti quod demptum pro denario reputabis ab illo 47/48 si – figuram] cfr. Alchor. I (p. 79, 26/27, p. 80, 1/6) 50/53 A – par] cfr. Alchor. I (p. 81, 17/22, p. 82, 1/4), cfr. Puluer. (p. 81, 3/10, p. 82, 1) 54/63 Postea – figuras] cfr. Alchor. I (p. 82, 4/30, p. 83, 1/4), cfr. Puluer. (p. 82, 1/26) 49 Postea – figuras] cfr. SACROB., Algor. 97/98 50/53 A – par] cfr. SACROB., Algor. 112/115 54/55 Postea – remanebit] cfr. SACROB., Algor. 116/121 56/62 Sed – unum] cfr. SACROB., Algor. 121/131 47 si] sit Pr1 V1 | occurrerit] occurret Bo1, occurreret G1a 48 prepositam] suprapositam Bo1 Bo2 Pr6 Tr V2, propositam Pr4, suppositam Hall. | post] primo Ca | illic] illuc G1 G3c Pr3, illa G3a, illam M1 Tr | scribe] pone Ca 49 reliquas] reliquis I | addendo] addando V1 | figuras] ut supra docui si sint ibi mille figure add. Tr 50 A] spatium tituli vacuum reliquerunt Bo1 Bo2 G2 L V2, sequitur de subtractione tit. praem. Cm G1 M2m Pr3 Pr5m, de subtractione numeri tit. praem. M1m, sequitur de secunda specie de sustratione tit. praem. Pr1, hic agit de subtractione tit. praem. Pr2, sequitur de subtractione a dextra tit. praem. Pr7, hic ostendit de subtractione tit. praem. V1m, subtractio est alicuius numeri ab alium deletio ut habeatur summa residui tit. praem. Tr, om. Bo1 spatio relicto, et Er, om. I | si] sit Bo1a Bo2 | sit] si Bo2, sic Er 51 in] om. Bo3a Pr1, add. Bo3s 52 maiori] maiorem Er 53 supponatur] supponetur Tr, supponatus Hall. 54 si possis] post a prima transp. Bo2 G3 M2 Tr Pr7 | a] de Bo2 G3 I Pr1 M2 Tr Pr7 | subtrahe] demere Hall. primam] om. Caa, add. Cas 55 scribens] scribas Hall. | quod] quid Bo3 remanet] remaneat Er | cifram] cifra Pr1 | si] sed V1 | si – remanebit] simul retinebit G2a | remanebit] removebit G3 56 Sed] et Bo2 | si non] non si Pr3 | a] de Bo2 G3 I Tr | demere] subtrahe G2, deme V1 57 procedens] et add. Bo1 G1 | deme] dele G1, sume I | sequenti] sequente Bo2 58 quod] et Bo1 Bo2 Ca Er G1 G3 I L M1 M2 Pr1 Pr2 Pr5 Pr6 Tr V2 Steel. | demptum] temptum Er | denario] id est pro X add. Pr3s | reputabis] reputabit Ca | illo] isto G2 846 6 si ocurriera que es un cero el que te sale, borra7 aquella de delante y después allí mismo escribe la figura. Luego tienes que proceder añadiendo las demás figuras. Si deseas quitar un número a otro número, 50 escribe las series de figuras como en la adición: pon el número menor bajo el número mayor, o pon un número par bajo su número par. Después, si puedes, sustrae a la primera lo de la primera escribiendo lo que quede: un cero si no quedara nada. 55 Pero si no puedes quitarle a la primera lo de la primera, yendo al límite siguiente, quítale uno, a partir de ello calcularás lo sustraído de la decena: 7 En todas las operaciones veremos que es recurrente el concepto de «borrar una figura». Dado que este tipo de operaciones se realizaban en tablillas de arena, hemos de tomar el borrado como una acción literal: al sumar una cantidad con otra, se elimina lo que estuviera escrito en la casilla correspondiente y en su lugar se pone el resultado para no crear confusiones al tener varios números en la misma casilla. 847 7 subtrahe totalem numerum quem proposuisti; quo facto, scribe supra quicquid remanebit60 facque novenarios de cifris cum remeabis occurrant si forte cifre dum dempseris unum. Postea procedas reliquas demendo figuras. Si vis duplare numerum sic incipe: solam scribe figurarum seriem quamcumque voles et65 postea procedas primam duplando figuram. Inde quod excrescet scribas ubi iusserit ordo, iuxta precepta que dantur in additione. Nam si digitus in primo limite scribe; 64/66 Si – figuram] cfr. Alchor. I (p. 88, 15/19), cfr. Puluer. (p. 88, 9/13) 67/75 Inde – plures] cfr. Alchor. I (p. 88, 19/25, p. 89, 1/10), cfr. Puluer. (p. 88, 14/20, p. 89, 1/6) 63 Postea – figuras] cfr. SACROB., Algor. 63 64/66 Si – figuram] cfr. SACROB., Algor. 193/194 67/74 Inde – ordo] cfr. SACROB., Algor. 194/200 59 totalem] totale Ca, totaliter L Steel. 60 quo] hoc Pr5, sic V2 | quo –  remanebit] post 61 facque - remeabis transp. V2a | facto] facito Pr5 scribe] scribas Pr7 | supra quicquid] quicquid supra Pr1 61 novenarios] movenario Er sic, nonarios V2 | cum] dum Bo2 Er M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr5 Pr6 Pr7 V2, non Cm, cum add. Cms | remeabis] remanebis Bo2 Bo3 L Steel., remanendis Cma, remanabis Era, remeabit G2, remanebit Pr2 V1 62 occurrant] occurrent Bo1 Cm Er I M2 Pr4, occurrunt Ca, occurrerunt Pr1 | occurrant – unum] om. Bo3 | si] om. M1a, add. M1s | dum] cum Bo1 G1 G2 Pr4 Tr V1 | dempseris] sumpseris Pr2, demeris Hall. 63 demendo] addendo Cma, add. Cms | figuras] ut supra docui sic sint mille figure add. Bo2, ut supra docui si sit mille figure add. Er M1s, ut supra docui si sint ibi mille figure add. Pr6, an (si Steel.) subtractio sit bene facta probare valebis quas subtraxisti primas addendo figuras nam subtractio si bene sit primas retinebis et subtractio facta tibi probat additionem add. Hall. Steel. 64 Si] spatium tituli vacuum reliquerunt Bo2 G2 L V2, sequitur de tercia scilicet de duplatione tit. praem. Pr1, sequitur de duplatione tit. praem. Cm G1 Pr2 Pr3 Pr5m, de duplatione tit. praem. M1m M2m V1m, sequitur de duplatione a leva tit. praem. Pr7, duplatio est alicuius numeri respectu sui ipsius geminatio tit. praem. Tr | solam] primo G2 V2a, scribe Pr7 65 scribe] iter. Bo2a, scri I sic, solam Pr7 voles] volens Bo1 Er G1 V1, velis Cm V2 | et] tu Bo2 M2 Pr1 Hall., que G1 L Pr4 Steel. 66 duplando] duplicando Cm I 67 Inde] unde V1 excrescet] excrescit Bo1 Bo2 Ca Er G1 M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr5 Pr6 Pr7 Tr, excrescat G2 M1 V1, existit Hall. | scribas] scribes Ca G2 I Pr3 Pr4 Pr6 V1 V2, scribens G3 L M1 M2 Tr Steel. | ubi] vis Bo3, quod Cma, add. Cms, ut Er G3 69 in] om. Bo2, tu G2, hunc Pr7 | scribe] pone Pr5 V2, ponas Pr7 848 7 sustráelo al número total que propusiste. Hecho esto, escribe arriba lo que quede, 60 pero si cuando vuelves da la casualidad de que hay ceros, entonces le quitas uno y haces de los ceros, nueves8. Después procedes restando las demás figuras. Si quieres duplicar un número, empieza así: escribe una sola serie de figuras, la que quieras, y 65 después procedes duplicando la primera figura. Lo que se extraiga de ahí lo escribes como manda el orden, con los mismos preceptos que se emplean en la adición. Pues si sale un dígito, escríbelo en el primer límite; 8 Se refiere, naturalmente, a tomar ese cero como parte de una decena, en cuyo caso, al quitarle una unidad, quedan nueve en el minuendo de forma que se reste lo que haya en el sustraendo cómodamente. 849 8 articulus si sit, in primo limite cifram70 articulum vero reliquis inscribe figuris vel per se scribas si nulla figura sequatur; compositus si sit, in limite scribe sequenti articulum primo digitum, quia sic iubet ordo. Et sic de reliquis facies si sint ibi plures.75 Incipe sic si vis aliquem numerum mediare: scribe figurarum seriem solam, velut ante. 76/80 Incipe – remanebit] cfr. Alchor. I (p. 90, 14/19, p. 91, 1/3), cfr. Puluer. (p. 90, 4/10, p. 91, 1) 75 Et – plures] cfr. SACROB., Algor. 200/201 76/84 Incipe – supra] cfr. SACROB., Algor. 76/84 70 articulus] articulum Pr4 71 vero] non Bo2, om. Pr7a, add. Pr7s 72 se] om. Er | scribas] scribe G1 I Pr3 V2, ponas Pr1 73 scribe] pone Pr4 Pr5 74 primo digitum] digitum primo Pr1 | quia] que Tr 75 Et] que Ca Et – plures] om. Bo2 | sic] sit La | facies] facias Er M1 M2 Pr1 Pr3 Pr4 Pr5 V1 V2 Hall. Steel. | sint] sunt M1 | ibi] tibi Er I L M1 Steel. plures] Bo2 Bo3m Ca Cm Er G1 G2 I L M1 M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr4 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V1 V2 Steel. hos versos addiderunt (75 a-c): si super extremam nota sit monadem dat eidem quod tibi contingit si primo dimidiabis atque figura prior impar fuerit mediando ————————————— 75a si - 75c mediando] post 83 unum transp. Cm, post 93 figure transp. G1 L | si] si super extre. quidam dicunt quod isti versus non sunt de textu praem. Pr6m, isti tres versus debent legi post illum versum impar si fuerit unum demas mediare praem. Pr7 | sit] sic Cm 75b quod - dimidiabis] om. G1 | quod] quid Pr3, que V1 | tibi] om. L | contingit] continget Bo2 Ca Cm I M1 M2 Pr2 Pr4 Pr5 V1 V2, contingat Pr1, continguet Pr3 sic | si] cum L | dimidiabis] dimidiaris Pr4 75c atque - mediando] om. Steel. | atque] namque M2 Pr3, nam Pr7 | figura] figuram V2 | prior] sequens M1a | impar] si Bo3, nuper Er | fuerit] fuerat Bo3 Ca Pr7 | mediando] mediata Er 76 Incipe] spatium tituli vacuum reliquerunt Bo1 Bo2 G2 L V2, sequitur de mediatione tit. praem. Cm G1 Pr2 Pr5m, sequitur de dimidiatione tit. praem. M2m Pr3, de mediatione tit. praem. M1m V1m, sequitur de quarta specie scilicet de dimidiatione tit. praem. Pr1, mediatio est alicuius numeri divisio ut habeat summa medietatis tit. praem. Tr | sic] om. G2 V2, sicut Pr1 | si] om. Pr1 | vis] velis G3 | aliquem] aliem Pr2 | numerum] post incipe sic praem. Pr5 77 seriem] seriam Bo2, om. Er, id est ordinem add. Pr2s | seriem solam] solam seriem Bo3 G2 Pr5 850 8 si es un artículo, en el primer límite escribe un cero 70 y el artículo en cambio escríbelo allí con el resto de figuras, o escríbelo por sí mismo si no le sigue ninguna figura9. Si es compuesto, escribe en el límite siguiente el artículo, en el primero, el dígito, porque así lo exige el orden. Y así harás con el resto si hubiera allí más. 75 Empieza así si quieres mediar10 un número: escribe una sola serie de figuras como antes. 9 Con esto quiere decir que, tal como se había hecho en la suma, si de la duplicación de un número sale alguna cantidad que se deba poner en la casilla de las decenas, tal cantidad hay que añadirla a lo que hubiera previamente en esa casilla. En el caso de que tal casilla estuviera vacía porque no haya más cantidades que duplicar, entonces se escribe la decena en el espacio en blanco. 10 Hemos empleado en término «mediar» como sinónimo de dividir entre dos o «partir por la mitad» un número. 851 9 Postea procedas, medians et prima figura si par aut impar videas, quia si fuerit par, dimidiabis eam scribens quicquid remanebit;80 impar si fuerit, unum demas mediare quod non presumas, sed quod superest mediabis, inde super tractum fac demptum qui notet unum; si monos, dele, sit ibi cifra, post nota supra. Postea procedas hac conditione secunda:85 impar si fuerit, hinc unum deme priori inscribens quinque, nam denos significabat monos predictam; si vero secunda dat unum, 81/84 impar – supra] cfr. Alchor. I (p. 91, 3/15), cfr. Puluer. (p. 91, 2/15) 85/93 Postea – figure] cfr. Alchor. I (p. 91, 15/24, p. 92, 1/20), cfr. Puluer. (p. 91, 16/24, p. 92, 1/7) 85/91 Postea – sequatur] cfr. SACROB., Algor. 169/178 78 procedas] procedes Ca, procedens L Steel. | medians] medias Steel. medians – figura] primam mediando figuram Bo1, mediando primam figuram G2 | et] a Bo2, in Bo3 79 si1] tibi add. G2, fuerit add. Pr3s, sit Pr4 | aut] vel Bo1 G1, om. G2, quod Pr1 | quia] om. G1a, add. G1m fuerit] fuit Bo3 Pr1 80 scribens] inscribens Bo3, scribas V1 81/ 85 impar – secunda] post 93 figure transp. Ca 81 fuerit] prima figura add. Pr3s 82 quod non] quando Ca, nonne L Steel. | quod1 – presumas] quot se sumas Bo2 | quod2] per Pr1 83 inde] que add. Bo1 G1a | super tractum] subtractum Bo1 Bo2 Ca, supertactum Hall. | super – demptum] super demptum tractum fac I, super demptum fac tractum Pr4 | demptum] temptum Er | qui] quod Bo1 Bo3 G2 M2 Pr3 Pr4 Tr Hall. Steel. | notet] notat Bo1 Bo2 Bo3 G1 G2 L M1 Pr1 Pr2 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V1 V2 Hall. Steel., denotat Ca, nocet G3 M2 Pr3 Pr4, monet I, unde add. I | unum] om. Bo3a, add. Bo3m 84 si] set Ca sic | monos] monas Bo1 Bo3 Er G1 G3 Pr2 Pr3 Pr4 Pr6 Tr V1 V2, e add. Er, est add. M2 Pr3, prima figura est unitas add. Pr3s | sit ibi] ibi sic Bo3, cui G2, tibi si Pr1 | ibi] tibi G3 | cifra] 0 V1 | post] primo G3 85 Postea] post Pr6a | Postea –  secunda] post 86 priori transp. M1a | procedas] provideas V1 | secunda] figura add. Pr3s 86 impar] insuper Bo3, secunda add. Pr3s | hinc] huic Bo1 Pr2, om. Ca, hic Steel. | deme] dele Bo1 G1 87 inscribens] inscribas Cm, tradendo M2, prior V1a 87/89 inscribens – priori] om. Bo2 87 quinque] vere Pr4a, add. Pr4s | denos] decicis Bo3 sic, denas G1 Pr4 V2 | significabat] significabit Ca Cma Er I M2 Pr1 Pr4 Pr7 Tr V1 Hall. Steel., signabit Ca L, signabat M1 Pr5 V2 88 monos] monas Bo1 Er G1 G3 Pr2 Pr3 Pr4 Pr6 V1, unitas subtractio add. Pr3s | predictam] predicamus Cm, predicta G1 G3 I | dat] idem add. Bo1 | dat unum] det unum Cm M2 Pr2 Pr3 Pr5 Pr7, unum dat I, sit una Hall., dan unam Steel. 852 9 Después procedes y, la primera figura que media miras si es par o impar, porque si fuera par, la partirás por la mitad escribiendo lo que quede. 80 Si fuera impar, le quitas uno para mediarlo, pero no lo elimines: lo que queda, lo mediarás, y ahí arriba haz un trazo que note que se ha quitado uno11; si es un uno, quítalo: allí habrá un cero; después, haz la nota encima. Después procedes con la segunda bajo esta condición: 85 si fuera impar, aquí cógele uno al anterior escribiendo un cinco, pues significaba diez dicho uno12; si en cambio la segunda da un uno, 11 Puesto que ni en el Carmen de algorismo ni en el Algor. se opera con fracciones o con decimales, la única forma que tienen para indicar que en ese lugar queda la mitad de uno es poner una marca sobre la casilla de las unidades. Tal como se comenta en el Algor., ese trazo es importante para probar que se ha realizado bien la operación. 12 Aquí se explica qué ocurre cuando, al dividir un número entre dos, aparece un impar en una casilla diferente a la de las unidades. Como es lógico, en este caso tan solo habría que dividir entre dos el número impar y esa unidad que sobra descomponerla en dos cincos. Puesto que aquí nos encontraríamos en las decenas, centenas o en cualquier «límite» superior, ese cinco ya no resulta un problema como en las unidades: tan solo habría que moverlo una casilla hacia la derecha y sumarlo a lo que allí hubiera. 853 10 illa deleta scribatur cifra, priori tradendo quinque pro denario mediato,90 nec cifra scribatur nisi dicta figura sequatur. Postea procedas reliquas mediando figuras ut supra docui si sint ibi mille figure. Si tu per numerum numerum vis multiplicare, scribes duas quascumque velis series numerorum,95 ordo tum servetur ut ultima multiplicandi ponatur super anteriorem multiplicantis; a leva relique sint scripte multiplicantis. 94/98 Si – multiplicantis] cfr. Alchor. I (p. 95, 23/27, p. 96, 1/10), cfr. Puluer. (p. 95, 12/22) 92/93 Postea – figure] cfr. SACROB., Algor. 178/179 94/98 Si –  multiplicantis] cfr. SACROB., Algor. 249/253 89 deleta] delecta Pr1 Pr4 | scribatur] scribantur Er | priori] addendo quin add. Bo3a sic, figure add. Is Pr3s 90 tradendo] addendo Bo3, iter. L, tradenda Pr2, trandendo Pr3 sic | quinque] quique Bo3, Ve Pr4 91 nisi] ubi G3 | dicta] deinde Bo1 Bo2 Bo3 Cm Er G1 G2 I M1 M2 Pr1 Pr2 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V1 V2 Hall., demum Ca, de hinc G3, inde L Steel., divide Pr3a, versus add. Pr3s | dicta figura] deinde cifra I fortasse recte | figura] sinistra add. Pr3s | sequatur] scribatur Ia 92 Postea – figuras] post 93 figura transp. Ca | mediando] addendo Cma Er L, add. Cms | figuras] et numero numerum si sic tibi demere cura add. Era 93 ut] quinque L, quin Steel. | ut – figure] om. Er Pr2 | ibi] tibi Bo2 G1 L Hall. Steel. | ibi mille] mille ibi Pr5a | figure] si mediatio sit bene facta probare valebis duplando numerum quem primo dimidiasti add. Pr1 Hall. Steel., post hec dupletur mediatum nam perhibetur sic per duplatum bene si fuerit mediatum add. V2 94 Si] spatium tituli vacuum reliquerunt Bo2 G2 L V2, sequitur de multiplicatione tit. praem. Cm G1 M2m Pr1 Pr3 Pr5m, de multiplicatione tit. praem. M1m, hic agit de multiplicatione tit. praem. Pr2, sequitur de multiplicatione a leva tit. praem. Pr7, multiplicatio est propositis duobus numeris invenire tertium numerum qui totiens continet alterum respectum in se ipso secundum unitates multiplicantis tit. praem. Tr | Si – multiplicare] om. Pr1 | tu – vis] vis per numerum numerum tu Pr5 95 quascumque] quasque Ca | velis] voles Er I, volis L Steel. series] senes V1 96 tum] tamen Bo1 Ca Er I M2 Pr2 Pr4 Pr6 Tr Steel., om. Pr5 | servetur] servatur Cm, servet G2 | multiplicandi] multiplicando Bo2, multiplicabis Pr2a 97 ponatur] ponantur Caa, scribatur Pr1 | ponatur – multiplicantis] post 98 anteriorem multiplicantis transp. Pr2a 98 a leva] ad levam Er, a leve V2 | a – multiplicantis] om. L, post 99 maior transp. Pr1 | relique] relinqua Bo2 Pr1, reliqua I Pr2 sint] sunt Bo3 Ca Cm M2 Pr3 V1 Hall., post scripte transp. G2, si ter Pr5 | multiplicantis] multiplicantes Bo3 Ca Cm G1 G2 G3 I M1 M2 Pr2 Pr3 Pr4 Pr5 Pr7 Tr Steel. 854 0 tras borrarlo se escribe un cero, trayendo un cinco por la decena mediada del anterior, 90 y que no se escriba un cero a no ser que le siga dicha figura. Después procedes mediando el resto de figuras como he enseñado arriba, si hubiera allí figuras para los millares. Si tú quieres multiplicar un número por otro número, escribe dos series de números, las que quieras, 95 y entonces que se respete un orden tal que la última del multiplicando se ponga sobre la anterior del multiplicador; las demás del multiplicante que se escriban hacia la izquierda. 855 11 In digitum cures digitum si ducere, maior per quantum distat a denis respice, debes100 namque suo decuplo totiens delere minorem sicque tibi numerus veniens exinde patebit. Postea procedas postremam multiplicando iuste multiplicans per cunctas inferiores conditione tamen tali: quod multiplicantis105 scribas in capite quicquid processerit inde. Sed postquam fuerit hec multiplicata, figure anteriorentur seriei multiplicantis et sic multiplica velut istam multiplicasti. Qui sequitur numerum scriptum quiscumque figuris110 99/102 In – patebit] cfr. Alchor. II, 9.3 (p. 152, 20/23), cfr. OCREAT., Helcep 17 (p. 266, 3/7), cfr. Coventr. (p. 302, 20/22) 110/117 Qui –  earum] cfr. Alchor. I (p. 96, 10/27, p. 97, 1/8), cfr. Puluer. (p. 96, 5/27, p. 97, 1/4) 99/102 In – patebit] cfr. SACROB., Algor. 222/224 107/109 Sed –  multiplicasti] cfr. SACROB., Algor. 269/274 110/117 Qui – earum] cfr. SACROB., Algor. 110/117 99 cures – si] digitum si circa Bo2, cures si digitum Ca, digitum si cures Pr4 | digitum2] om. V2 | ducere] dicere G2 100 per] in Bo3 G2 Pr4 Tr V1 | per quantum] post denis transp. Er | quantum] quantes L Steel. distat] distet Ca G1 G2 Pr2 Pr5 Pr6 V2 | respice] tenere Bo2 101 decuplo] articulo add. Cms Pr3s, post totiens transp. Pr6 | totiens] debes Pr2 | delere] removem Er, debere I | minorem] si stant equales fac ut prius inde videndo a denis quantum disiungit unde eorum add. I 102 sicque] sit que Pr1 Pr2 | sicque – patebit] om. Bo1 | exinde] quod deinde G3, multiplicatione add. Pr3s | patebit] ex tali multiplicatione add. Cms, notabit G2 103 procedas] procedans Bo2, procedens G3, procedat Pr3 | postremam] extremam Bo1 Bo2 Cma G1 G2 Pr3 V1, sive extremam add. Bo3m, postrema Pr1 104 iuste] recte Hall. | multiplicans] multiplices L, multiplicantis Pr1a | cunctas] cunctos Pr5 105 tamen] om. Caa G2, add. Cas, iter. G1a | multiplicantis] multiplicantem Hall. 106 scribas] scribitur Bo3, scribes G2 | scribas – inde] | processerit] provenerit M2 Pr6 107 Sed] si Bo3 107/108 Sed – multiplicantis] om. Cma, add. Cmm 107 figure] figura Ca M2 108 anteriorentur] anteriorantur Pr4 | seriei] quoque Bo3 | multiplicantis] multiplicabis Bo3a, procedas reliquas sic multiplicando figuras add. Er 109 et] que Bo2 Ca, at G1, ac G2 | multiplica] multiplicata Er | istam] istum Bo2 Bo3 Ca Cm Er G3 M1 M2 Pr3 Pr4 Pr6 Tr V1, illum Pr1, antea Pr5 multiplicasti] multiplicantis Bo1 110 Qui] que Bo2 Ca I Pr3 Hall. quiscumque] quicumque L Pr3 V2 Steel., quibuscumque Pr1, post figuris transp. Pr3, per quinque Pr4, quibusque Hall. | figuris] figuras Pr4 856 1 Si quieres multiplicar un dígito por otro dígito, mira cuánto dista el mayor hasta diez, puesto que 100 debes restar tantas veces el menor a su propio décuplo, y así te resultará el número que se extrae de ahí13. Después procedes multiplicando la siguiente, que justamente se multiplica por todas las de abajo pero con tal condición: que escribas 105 al principio del multiplicador lo que de ahí resulte, pero, después de que estas hayan sido multiplicadas, que se atrasen las figuras de la serie del multiplicador y así multiplícalas igual que multiplicaste esta14. Pero cuando multiplicas el número escrito que sigue 110 13 La forma de multiplicar (ducere en latín) puede parecer un tanto anómala, ya que se resuelve una multiplicación a través de dos restas y otra multiplicación: x10 - [(10 - y) · x]. Puesto que en todos los tratados sobre el algorismo que hemos estudiado de esta época el mecanismo es siempre el mismo, entendemos que así se enseñaba en las escuelas. Esto nos sugiere que muy probablemente los alumnos se estudiaran de memoria las tablas de multiplicar hasta el cinco, de manera que les resultara más fácil realizar la operación descrita sin tener que memorizar las tablas hasta el nueve (que es el método que se sigue mayoritamente en la actualidad, al menos en Occidente). 14 El procedimiento de la multiplicación es inverso al que realizamos actualmente: se empieza por la izquierda y se van moviendo los números hacia la derecha. Así, a medida que se va multiplicando lo que consta en el multiplicador, este se va moviendo en su totalidad una casilla hacia la derecha para que el resultado se vaya quedando en la posición adecuada respecto a las casillas de unidades, decenas, centenas, etc. 857 12 sed cum multiplicas primo sic est operandum: si dabit articulum tibi multiplicatio solum preposita cifra summam transferre memento; sin autem digitus excreverit articulusque articulus supraposito digito salit ultra;115 si digitus tantum pones illum super ipsam adiunges numerum quem probet ductus earum. 111 multiplicas] multiplicans I, multiplices Pr5 | primo – est] est primo sic Cm | est] et La, add. Ls 112 si] tibi add. Pr2a | dabit] debet Pr2 113 preposita] postposita G2a, prepositi Er, proposita Hall. | cifra] cura Ca, 0 M2 | summam] summa Er Pr3 | transferre] trancire Bo2 sic memento] sed debet poni cifra supra multiplicantem add. M2 Pr5 Pr7 V2 114 sin autem] si autem Bo2 Pr7, si vero M2 | excreverit] excrescit Bo1, excrescerat G1 L, excreveverat Pr3 sic, excrescerit Steel. | articulusque] articulusve Bo2a Hall., 1 add. V1, id est compositus numerus add. Pr3s 115 supraposito] supraposita Bo1, sic proposito Er, post digito transp. Pr5 Pr7 | digito] digno Pr3 116 tantum] tamen Bo2 M1 Pr1 Pr2 Pr3 Steel., numerum Er, excreverit add. Pr3s, autem Hall. | pones] ponas Hall. Steel. | illum] ipsum G1 G2 Pr4 Pr5 Hall., digitum add. Pr3s | ipsam] illam Bo1 Bo2 Cm M1 M2 Pr2 Pr3 Pr6 Pr7 V2, multiplicantem add. Pr3s, Bo1 Bo2 Bo3 Ca Cm Er G1 G2 I L M1 M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V1 V2 Steel. Hall. hos versos addiderunt (116 a-c): subdita multiplicans hanc que super insidet illi delet eam penitus scribens quod provenit inde sed si multiplices aliam pones super ipsam ————————————— 116a subdita - 116c ipsam] post 117 earum transp. G2 | subdita - 116b inde] post 117 earum transp. G1a | subdita - illi] om. Er | hanc] figuram add. Pr3s | insidet] incidet Bo1 Bo2 Bo3 Pr1, id est quod sedet super ipsam add. Pr3s, incidit Hall. | illi] ipsi Bo2 Bo3 Ca Cm G2 G3 Pr1 Pr2 Pr2 Pr6 Tr V2, ipso I 116b delet eam - ipsam] post 117 earum transp. Bo3 | delet eam] delet Bo1, debet eam Pr2, delebit Hall. | penitus] parisius I, et add. Hall. | provenit] proveni I, venit Hall. | inde] ex multiplicatione add. Pr3s 116c sed - ipsam] post 117 adiunges - earum iter. Bo3 | si] cum Hall. | multiplices] multiplicet Bo2, multiplicas G2 I Pr5, multiplicat Hall. | aliam] illam Steel. | pones] ponas G2, pone Pr3, pones Tr, positam Hall. | ipsam] illam Bo1 Bo2 M1 Pr7 V2 117 adiunges] adduces Ca, adiungens G1 Pr2 Pr7 Tr Steel. | adiunges –  earum] iter. Bo3 | quem probet] probet que Cm | probet] prebet Tr Steel. | probet ductus] dat productus Er | earum] eorum La, multiplicatio add. Pr3s 858 2 por cualesquiera figuras, así hay que operar en primer lugar: si la multiplicación te diera solo un artículo, habiendo puesto el cero antes, recuerda trasladar la cantidad; pero si en cambio saliera un dígito y un artículo, el artículo salta más allá del dígito que está por encima; 115 si tan solo un dígito, pondrás este sobre la misma: añades el número que muestre su multiplicación. 859 13 Si supra impositam cifra debet multiplicare, prorsum eam delet: scribi quod loco cifra debet; si fuerit supra cifra, semper pretereunda est.120 Si dubitas an sit bene multiplicatio facta, divide totalem numerum per multiplicantem et reddet numerus emergens inde priorem. Si vis dividere numerum sic incipe primo: scribe duas, quascumque velis, series numerorum.125 118/120 Si – est] cfr. Alchor. I (p. 98, 5/14) 121/123 Si – priorem] cfr. Alchor. I (p. 103, 11/18) 124/129 Si – locabis] cfr. Alchor. I (p. 104, 2/14), cfr. Puluer. (p. 104, 1/11) 118/120 Si – est] cfr. SACROB., Algor. 285/296 121/123 Si – priorem] cfr. SACROB., Algor. 352/355 124/129 Si – locabis] cfr. SACROB., Algor. 310/314 118 supra impositam] suprapositam Bo1 Pr1 Pr7, supraposita M2 Hall., supra se positam add. Pr3s | cifra] cifram Ia 119 prorsum] porosus Bo1 delet] debet G2a | delet scribi] describi Pr1 | quod] que Ca Cm Er G1 G2 G3 I M1 M2 Pr1 Pr3 Pr6 Tr V1 V2, usque Pr4 | cifra] 0 M2 | debet] sed cifra multiplicans aliam posita super ipsam sitque locus supra vacuis super hanc cifra fiet add. Hall., sed cifra multiplicat aliam positam super ipsam sitque locus supra vacuus super han cifra fiet Steel., cifra sub intrabit spatium si primo vacabit add. Pr7 120 fuerit – cifra] fuerit cifra Bo3, fuerit cifra cifra I sic, fuerit cifra supra V2, supra fuerit cifra G1 L M1 Hall. | cifra] om. Bo1 Bo2 M2 Pr1 Pr3a Pr6 V1, add. Pr3s, post semper transp. G2 | semper] tibi add. Bo3 Pr6 | pretereunda est] est pretereunda Bo1 Ca Pr3 V1, sit pretereunda Bo2 M2 Pr1 | est] om. Er G2 G3 Pr2 Pr4 Pr6 Tr, per digitum forsan digitum si multiplicabis que fuerit summa tali ratione probabis a principio decuplo totiens removeto minorem distans a decade quantum maior numerus sit add. Er 121 dubitas] dubites Bo1 Bo3 Er L Pr1 V1 V2 Hall. Steel. | bene] bona Pr2, post multiplicatio transp. Pr7 | multiplicatio] multiplicando L, duplicatio Pr2, post facta transp. Tr 122 divide] deinde Bo3, dando G2 | totalem] totaliter G3 123 et] vel Pr4 | reddet] reddit Pr2 | numerus] numerum Bo2 Bo3 G1 L Pr1 Pr3 Pr7 Tr V1 V2 Hall. | emergens] exiens add. Pr3s | priorem] sive pari numero supponatur numerus par add. G2, si digitum digitum sic utes dividere maior per quantum distat a denis respicere debes namque suo decuplo totiens delere minorem add. Pr4 124 Si] spatium tituli vacuum reliquerunt Bo1 L V2, sequitur de divisione tit. praem. Cm G1 M2s Pr1 Pr2 Pr3 Pr5m, sequitur de divisione a leva tit. praem. Pr7, divisio est propositis duobus numeris invenire tertium quo nobis representet numeri demptum a maiore minorem numeri quotiens tit. praem. Tr, docet modus operandi tit. praem. V1m 125 scribe duas] scribas tu Pr1 | duas] om. Pr4 | velis] voles I L Pr5 Steel., post series transp. Bo3a | series] post duas praem. M2, seres Pr3 860 3 Si un cero debiera multiplicar a la cantidad que está por encima, ignórala por completo: en ese lugar debe escribirse un cero; si hubiera un cero arriba, siempre se ha de saltar yendo una más allá. 120 Si dudas si la multiplicación se ha hecho bien, divide el número total por el multiplicador y el número que sale te devuelve el que había ahí antes. Si quieres dividir un número, empieza así primero: escribe dos series de números, las que quieras. 125 Pon el número menor bajo el número mayor, 861 14 Maiori numero numerum suppone minorem, nam decet ut maior teneat bis terve minorem, et sub supprima supprimam pone figuram, sub reliquis reliquas a dextra parte locabis. Postea de prima primam sub parte sinistra130 subtrahe si possis, quotiens potes, adminus illud, scribens quod remanet sed tali conditione: ut totiens demas demendas a remanenti que serie recta ponuntur in inferiori unica si tantum sit ibi decet hac operari.135 Sed si non possis a prima demere primam, procedas et eam numero suppone sequenti hanc uno retrahendo gradu, comites retrahantur 130/135 Postea – operari] cfr. Alchor. I (p. 104, 23/26, p. 105, 1/15), cfr. Puluer. (p. 104, 19/26, p. 105, 1/8) 136/140 Sed – remanenti] cfr. Alchor. I (p. 108, 5/14) 130/141 Postea – debes] cfr. SACROB., Algor. 321/324 126 Maiori – minorem] post 127 terve minorem transp. G2 | minorem] priorem Caa, sive pari numero supponatur numerus par add. Er 127 nam] nec Pr2 | nam – minorem] om. Bo2 I L | decet] docet V2 Hall., id est decens est add. Pr3s | ut maior] maior ut Pr5a | maior] numerus add. Pr3s | terve] terne Tr | minorem] numeri dividendi add. Pr3s 128 et] sed Bo1 | supprima] supprema G2 G3 Tr, suprema Pr6 | supprimam] suppremam Ca G3 Tr, supremam Pr6, quantum ad scriptum add. Pr3s 129 sub] figuris figuras add. Pr3s, sic Steel. Hall. 130 primam] prima I, quantum ad operationem add. Pr3s | sub] de Pr5 V2 131 possis] possit G3 | potes] poteris Bo2 Pr3a, id est quantum potes add. Pr3s | illud] istud Bo1 L Steel. 132 scribens] scribas Pr6 | sed] sub Bo1 Bo2 Ca Er G2 M1 Pr5 Pr7 V1 V2 Hall. Steel., si Pr4 133 demas] demes Cma demendas] demandis Pr1, demandas V1 | remanenti] remanente Bo2 Bo3a G2 G3 M1 134 que] quod Tr | recta] recte Bo3 I M1 Pr1 Pr3 Pr7 Tr V2 Hall. Steel., demeant figure naturalis add. Pr3s | ponuntur] ponantur Er, ponentur I Steel. | in] om. Bo3 Ca Cma Tr, add. Cms inferiori] inferiore Bo3a, anteriori L Steel. 135 unica] figura add. Pr3s si] sit Pr6a | tantum] tamen Er Pr1, tum Hall. | sit] sic Bo1 Er, post ibi transp. Bo2 G2 | ibi] tibi Bo1 Bo2 G2 L, om. Pr1 | decet] debet G1, docet G2 I | hac] hanc Er Pr5 Pr6 Pr7 V2, om. L Steel., sola figura add. Pr3s | operari] quotiens add. Trm 136 possis] posses V1 | a] de Ca primam] quantum ad operationem add. Pr3m 137 procedas] procedens Bo1 | eam] eas G2 | numero] figure add. Pr3s | suppone] suppono G2 138 retrahendo] tradendo L, retrahe Pr7 | gradu] quo add. L Steel. comites] totiens Er, comite I | retrahantur] retrahentur Bo1 Pr1 Tr, retrahatur Bo2 Er I, retrahendo Pr3 862 4 pues conviene que el mayor tenga dos o tres más que el menor15, y pon la primera figura bajo la primera: bajo el resto colocarás las que queden hacia la parte derecha. Después, si puedes, sustrae todas las veces que puedas la primera 130 de la primera bajo la parte izquierda, o al menos su propia cantidad, escribiendo lo que quede pero con tal condición: que tantas veces quites al remanente lo que hay que quitar, que es lo está bien dispuesto en la serie inferior; una sola vez si es que tanto es lo que conviene que se opere aquí. 135 Pero si de la primera no puedes quitar la primera, sigue más allá y ponla bajo el siguiente número retrayéndola en un grado, se desplazan también las que la acompañan; 15 Sc. figuras, guarismos. 863 15 et, quotiens poteris, ab eadem deme priorem ut totiens demas demendas a remanenti.140 Nec plus quam novies aliquem tibi demere debes. Nascitur hinc numerus quotiens supraque sequentem hunc primo scribas retrahens exinde figuras dum fuerit maior supra situs inferiori et rursus fiat divisio more priori145 et numerum quotiens supra scribas preeunti. Si fiat saltus, retrahendo cifra locetur ut pereat numero quotiens proponis eidem 141/146 Nec – preeunti] cfr. Alchor. I (p. 105, 16/25, p. 106, 1/12), cfr. Puluer. (p. 105, 8/25, p. 106, 1/5) 147/150 Si – ultra] cfr. Alchor. I (p. 109, 1/7) 142/146 Nascitur – preeunti] cfr. SACROB., Algor. 326/333 147/150 Si –  ultra] cfr. SACROB., Algor. 333/340 139 poteris] possis I | eadem] eisdem Ca I Pr1 Pr2 Pr3 Pr5 Pr6 Pr7 priorem] quantum ad operationem add. Pr3s 140 ut] et Bo3 M1 | ut –  remanenti] om. Pr7 | totiens] quotiens Bo3 | demendas] demandas Pr1 remanenti] remanente Bo2 G2 M1 V1 Hall., removenti V2, que serie recte ponuntur in inferiori add. Bo2, que serie resta ponuntur in inferiori add. M2 141 aliquem] aliquam Bo1 Cm Pr3 Pr4 Pr5, aliqua Ca G2 Pr6 V2, quicquam G3 Steel., quecumque L | demere debes] cures demere Pr3, demere cures Pr7 V1, quantum ad operationem add. Pr3s | debes] quotiens add. Trm 142 hinc] huic Bo3 Er Pr1 Pr3 Pr7 V1 Hall., ex divisione add. Pr3s | supraque] se supra Bo3 | sequentem] sequentis Ca M2 Pr5 V2, sequenti Cm G2 Pr4 V1, sequentes Er 143 hunc] hanc G2 primo] primum Cm Pr2 Pr7, primam Pr1 Pr3 Pr6, prime Tr, numerus quotiens super add. Pr3s, primam quantum ad scriptum inferiori ordine add. Pr3m | scribas] scribe G1, om. Pr4 | retrahens] retrahas Bo2 I M1 V2 Steel. 144 fuerit] fuit L | supra situs] supra scitus Bo3, supra positus G1 G3 Pr1 Steel., numerus add. Pr3s, suppositus Hall. | inferiori] inferiore G1 Pr7, inferioris I 145 et – priori] iter. Bo3 | rursus] rursum Steel. | fiat] fiet Bo2 Ca I | priori] priorum Bo3 I M2 Pr1 Pr7 146 et] tu Bo2 146/147 et – locetur] om. Pr4 146 supra scribas] scribes supra Bo1 Pr3, scribas supra G1 G2 | scribas] scribes Bo3 G3 M2 Pr5 Pr6, scribere Pr1, scribens V1 | preeunti] preeunte Bo2, preeuntem G2 M1, preeuntis Pr6, quotiens add. Trm 147 saltus] saliens Steel. | cifra] 0 I | locetur] ne pereat numerus et sic ars annichiletur add. Er 148 ut] ne I, et Bo2 Er L Hall. Steel. | pereat] prebeas Pr1, preheat Pr7 sic, preeat Tr, anticedat add. Pr3s | numero] numerus Pr6 | proponis] propositus Er, preponis M2, proponit Pr4, proponas L Hall. Steel. | eidem] eisdem Pr2, numero quotiens add. Pr3s 864 5 y quita de la primera lo anterior cuantas veces puedas, de forma que otras tantas veces quites del remanente16 el resto. 140 Y no debes quitarle a uno más de nueve veces el otro. Nace de aquí el número que indica cuántas veces17 y, primero, escríbelo sobre el siguiente, retrasando después las figuras para que entonces sea mayor el situado encima que el inferior. De nuevo haz la división como antes 145 y el número que indica cuántas veces escríbelo sobre el que va antes. Si se hiciera un salto, yendo hacia atrás que se ponga un cero, para que el número que denota cuántas quede vacío; le pones al ese 16 Sc. al dividendo, al que hay que quitarle cuantas veces se pueda el divisor. 17 Literalmente tomado del latín, el numerus quotiens o «número que indica cuántas veces» es lo que llamamos cociente de la división. 865 16 cifram ne numerum pereat bis, dum locus illic restat, et expletis divisio non valet ultra.150 Dum fuerit numerus minor inferiore seorsum illum servabis. Hinc multiplicando probabis si bene fuisti: divisor multiplicetur per numerum quotiens, cum multiplicaveris adde totali summe quod servatum fuit ante155 reddeturque tibi numerus quem proposuisti, vel si nichil remanet, hunc multiplicatio reddet. 151/152 Dum – servabis] cfr. Alchor. I (p. 109, 8/13), cfr. Puluer. (109, 1/8) 152/157 Hinc – reddet] cfr. Alchor. I (p. 122, 9/16), cfr. Ysagog. (p. 36, 18/21) 152/157 Hinc – reddet] cfr. SACROB., Algor. 348/352 149 cifram] 0 I | ne] in G3 Hall. Steel., nec Pr4 | numerum] numeri Bo1 Bo2 Bo3 Cm Er G1 G2 G3 I M1 Pr2 Pr3 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V2, verum Ca, post pereat transp. Pr5, quotiens add. Pr3s | pereat] periat Bo3, pareat Pr1 | bis scripsi, vis codd. | illic] illuc Bo1 Bo3 G3 Tr, illi G2 Pr2 Pr6, illis Pr4, ille Pr7 150 restat] vacuum scilicet add. Pr3s | et] om. Bo1 expletis] his factis I, expleta Pr3, exemplis Pr7a, add. Pr7s, expletus Hall. | ultra] vacant ablato si de quotiens que notatur unum tollatur divisor restituatur si monos addatur divisor tunc adimatur add. Pr7 151 Dum] cum Bo1 G3 I M1 Pr5 Pr7, si Bo2 | fuerit] servit Ca numerus] supra Pr6, maior V1 | minor] numerorum L Steel., numero dividente scilicet add. Pr3s | seorsum] deorsum G1 V1 152 Hinc] post I, postea add. Pr3s, hunc Bo1 Bo2 Cm Er L M1 Tr Hall. | probabis] vadebis I sic, propabis Pr4 sic, et penitus legem teneas operando priorem add. Bo2 153 fuisti] fecisti Bo1 Bo3 Ca Cm Er G1 G2 G3 I L M1 Pr2 Pr3 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V1 V2 Steel. | divisor] divisorum Bo3, divisio G2, numerus dividens add. Pr3s 154 per] quod praem. Pr3 155 summe] numero Pr7 quod] quando Pr4 | servatum] servatur Pr4 | ante] inde M2 156 reddeturque] reddetur quam Bo1, redditurque Hall. | reddeturque –  proposuisti] om. Pr7a, add. Pr7s | tibi numerus] numerus tibi Pr4 proposuisti] primo scripsisti add. Pr3s, preposuisti Pr5 157 vel] et Hall. Steel. | nichil] om. Pr1, ex divisione add. Pr3s | hunc] tibi Bo2, hinc Pr4 V2, hoc V1 | multiplicatio] multiplicando L | reddet] reddit Pr4 866 6 un cero para que el número no quede vacío dos veces, dado que allí queda un lugar, y para que la división, con todo completo, no vaya a más. 150 Mientras que haya un número menor que el inferior18, lo conservarás aparte. Aquí multiplicando probarás si lo hiciste bien: el divisor se multiplica por el número que denota cuántas veces; cuando hayas multiplicado, añade a la cantidad total lo que se reservó antes 155 y vuelve a ti el número que propusiste; o bien si no queda nada, la multiplicación sola te lo devuelve. 18 Es decir, el resto, que conviene conservarlo para probar que se ha hecho bien la división. 867 17 Cum ducis per se numerum qui provenit inde sit tibi quadratus ductus radix erit eius. Nec numeros omnes quadratos dicere debes,160 est autem numerus omnis radix alicuius. Quando voles numeri radicem querere scribi debet, deinde notes si sit locus ultimus impar, estque figura loco talis scribenda sub illo que per se ducta numerum tibi destruat illum165 158/161 Cum – alicuius] cfr. Alchor. I (p. 176, 8/14), cfr. Puluer. (p. 176, 2/15) 162/172 Quando – duplicatum] cfr. Alchor. I (p. 182, 4/29, p. 183, 1), cfr. Puluer. (p. 182, 3/25) 158/161 Cum – alicuius] cfr. SACROB., Algor. 403/411 160/161 Nec –  alicuius] cfr. SACROB., Algor. 427/429 162/168 Quando – sequitur] cfr. SACROB., Algor. 461/466 158 Cum] sequitur de radicum extractione in quadratis tit. praem. Cm, sequitur de radicum extractione et primo in numeris quadratis tit. praem. G1, spatium tituli vacuum reliquerunt G2 L V2, de radicum extractione in numerum quadratum tit. praem. M1m, sequitur de ultima specie scilicet de radicis extractione tit. praem. Pr1, sequitur de radicum extractione in numeris quadratis tit. praem. Pr2, sequitur de quadratis tit. praem. Pr3, sequitur de radicum extractione in quadratis tit. praem. Pr5m, sequitur de quadratis a parte sinistra tit. praem. Pr7, de radicum extractione tit. praem. Tr, dum G I Pr1, ccom Pr5 sic 158/162 Cum – scribi] deest M2 mutilo folio 158 ducis] duces G2 G3, multiplices add. Cms Pr3s | per se] post numerum transp. G1 G2 M1 Pr4 Pr4 Pr5 Pr6 Tr | qui] numerus add. Pr3s | provenit] pervenit Hall. | inde] ex tali multiplicatione add. Cm 159 sit] qui provenit La, sint V1, si V2 | quadratus] multiplicatus numerus add. Cms | ductus radix] radix ductus I | radix] index Bo2 159/ 278 radix – documentum] deest Ca 159 eius] quadrati add. Cms, huius L Steel. 160 Nec] non M1 | numeros omnes] omnes numeros M1 quadratos] esse add. Pr3s | dicere] discere Bo1 Pr4 161 est – alicuius] om. Pr2 | numerus omnis] omnis numerus G1 L Hall. Steel. | alicuius] alicucus Bo1 sic, numeri quadrati add. Pr3s, alienus Pr5 162 Quando] cum Hall. | voles] volet Cm, lector add. Cms, volens L, velis V2 | scribi] scire add. Cms 162/163 scribi debet] debet scribi G1, debes scribe G2 163 debet] debes Pr1 | deinde] divide Bo1, et inde Bo2, postea add. Cms, inde L Steel. | notes] videas add. Cms, noces Pr4 | si] qui Bo1 | si sit] iter. Bo3 | sit] om. Pr5a Pr7, add. Pr5s | locus] om. G2 | ultimus] figurarum add. Pr3s, ulterius Steel. 164 estque] est V1 | loco] om. Bo3 illo] ipso Pr4 165 que] figura add. Pr3s | per] de Er | ducta] dicta L Steel., multiplicata add. Pr3s | tibi] sic Bo2, sibi Pr5 | destruat] destruit Bo1 Bo3 G3 I Pr1 Pr2 Pr4, predictum add. Cm, distrahat Er, destruet M1, suprapositum add. Pr3s 868 7 Cuando multiplicas un número por sí mismo, lo que te sale de ahí es el cuadrado: lo que multiplicas, será su raíz. Y no debes decir que todos los números son cuadrados, 160 pero todo número es la raíz de algún otro. Cuando quieres buscar la raíz de un número, se tiene que escribir, luego anotarás si su última casilla es impar y, si lo es, hay que escribir bajo ese lugar una figura tal que multiplicada por sí misma te elimine ese número 165 869 18 vel quantum poterit, ex hinc delebis eandem et retrahendo duples, retrahes duplando sub illa que primo sequitur. Propones deinde figuram illi que primo ducatur per duplicatam, post per se, minuens proposite quod est minuendum170 hinc illam deles duplans sub ea saliendo que sequitur retrahens quicquid fuerit duplicatum. 168/172 Propones – duplicatum] cfr. SACROB., Algor. 466/470 166 vel] in Pr5 | quantum] quotiens Bo2 | poterit] poteris Bo3a Er G2 I Pr1 Pr2 Pr6 Tr V2 Hall. Steel. | hinc] huic Bo1 Er Pr1 Pr2 Pr3 Hall., in L, inde Steel. | delebis] delebit Bo2 G1 Pr2, debebis Pr4 | eandem] quando comparatus fueris ita figurarum add. Pr3s, eadem Hall. 167 et] ut Bo1 Cm Er G1 G2 G3 I M1 M2 Pr3 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V2, vel Bo2 L Pr1 Pr2 Steel., V Bo3 | retrahendo] tradendo L Pr7, retrahens Pr3 | duples] dupplex Pr3a sic, eam tu et add. Pr3s | retrahes] retrahens Bo1 Cm Er G1 G2 G3 I L M2 Pr1 Pr2 Pr5 Pr6 Pr7 V1 V2 Hall. Steel., retrahunt Bo2, om. Pr4 | duplando] duplicando Cm, duplanda Tr | sub illa] om. Cm, eam sub ipsa figura add. Cms, ipsa Bo3 | illa] ista L Steel., figura add. Pr3s 168 que] quas Bo2 Pr1 Pr5 V2 Hall., que dum V1, figura add. Pr3s primo sequitur] sequitur primo I | sequitur] sequit Pr2 | Propones] appones Pr2, propone Pr5 168/169 Propones – primo] om. L Hall. Steel. 168 deinde] inde Cm 169 que] qui V1 | primo] prima M2 | ducatur] duplicatur Pr1 Hall. Steel. | duplicatam] duplicatum Er M1 Tr V1 V2, duplicantem I, duplacationem L Steel., duplacatam G1 Pr1 Hall. sic, duplare figure figura de novo invenienti add. Pr3s 170 minuens] minues Er G1 V2, numeres I, minuant Pr1 | proposite scripsi, proposse codd. Steel., posse Bo2 170/171 proposite – duplans] om. Hall. 170 est] in add. Er Pr1 | minuendum] minuendo Bo1 Pr1, minuendus Bo2 G2 M2 Pr2, numerandum I, inveniendum Pr4 171 hinc] hic Bo2, huic Er 171/ 172 hinc – duplicatum] om. Steel. 171 deles] delens Bo1 Bo2 Bo3 Cm G2a L M2 Pr2 Pr3 Pr4 Pr5 Pr6 Pr7 V1 V2, dele G1 G2P L, deleas I duplans] dupla Bo2 Bo3a Er I M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr6 V1 V2, duplica Cm Pr5 | ea] illa Bo1, eam Pr5 | saliendo] psalliendo L sic 172 que] quod Bo3 | que – duplicatum] om. Pr1 Hall. | sequitur] sequit Pr2 retrahens] trahans G2 | quicquid] quique Cm, id que V1 | fuerit] fuerat Bo2, fuit G2, servatur Pr2 V1 | duplicatum] figura add. Pr3s 870 8 o todo cuanto pueda19. De ese, quitarás dicha figura y, atrasándola, la duplicas y atrasarás lo que hay que duplicar bajo la que sigue al primero20. Después propones una figura allí que primero se multiplique por lo duplicado, después por sí misma, disminuyendo a la superior lo que hay que 170 disminuir21; aquí la borras, duplicando a la que se coloca bajo ella, atrasando la que le sigue sea cual sea el duplicado22. 19 El procedimiento que hay que seguir para encontrar la raíz cuadrada de algún número no es tan intuitivo como los anteriores, por lo que explicaremos paso a paso lo que quiere decir el texto. Lo primero es buscar en el número propuesto o radicando la cifra que se encuentre lo más a la izquierda posible, y contar los guarismos desde la derecha para saber si está en posición impar. Es decir, si ocupa el lugar de las centenas (en tercera posición desde las unidades), el de las decenas de millar (quinta posición), el de los millones (séptima), etc. Si es así, se puede comenzar a operar bajo ella; si no, bajo la que está inmediatamente a su derecha. Una vez hecho esto, se encuentra la raíz del número que está por encima: un guarismo si estaba en una posición impar, dos guarismos (sc. este mismo y el de su izquierda) si estaba en par. 20 Encontrado el primer número que multiplicado por sí mismo elimine la mayor parte de lo que tenía encima, o sea, el radicando, se atrasa hasta que esté en la parte inferior de la casilla siguiente hacia la derecha del guarismo con el que hemos empezado. Esto se hace para que al final el número que se ha extraído de la operación quede en la posición correcta con respecto a sus unidades, decenas, centenas, etc. Sobre ese número, al que aquí se le llama duplandus y en el Algor. subduplum, hay que escribir su doble, cuyas unidades quedan de la misma manera hacia la derecha del primer guarismo con que empezábamos y sus decenas, si las hubiere, una posición hacia la izquierda. 21 A continuación, hay que buscar una cifra que se multiplique primero con el doble del duplandus o subduplum. Luego se multiplica la cifra por sí misma. Los resultados de ambas operaciones se unen y su resultado debería ser lo suficientemente ajustado como para borrar todo lo que queda del número superior, o sea, el radicando (el número del cual queríamos al principio extraer la raíz cuadrada). Siendo el duplandus o subduplum la incógnita x y la cifra que hay que hallar la y, la operación sería la siguiente: y · 2x + y2. Según podemos ver en este y otros tratados, en este punto habría que ir probando diferentes cifras hasta que se encuentre una lo suficientemente cercana o igual al radicando. 22 De nuevo, la cantidad hallada de la operación descrita antes se resta a la parte correspondiente del radicando y la cifra hallada se mueve hacia la derecha y se pone al lado derecho del anterior duplandus o subduplum. Si hubiera más números hacia la derecha en el radicando, habría que seguir operando como antes: se escribe el duplandus, se multiplica por dos, luego se busca la cifra que multiplicada por ese duplandus duplicado y por sí misma se acerque a la cantidad del radicando, etc. Al final, la raíz será el conjunto de duplandus al que se haya llegado. 871 19 Post hiis propones digitum qui, more priori, per precedentes post per se multiplicatus destruat in quantum poterit numerum remanentem.175 Et sic procedas retrahendo duplando figuram proponendo novam donec totum peragatur. Si det compositum numerum duplatio, debet inscribi digitus a dextra parte propinqua articulusque loco unde duplicata recessit;180 si dabit articulum, sit cifra loco preeunte 173/177 Post – peragatur] cfr. Alchor. I (p. 183, 1/14), cfr. Puluer. (p. 182, 25/29, p. 183, 1/9) 176/177 Et – peragatur] cfr. SACROB., Algor. 478/484 173 Post – priori] post 174 multiplicatus transp. G1a | hiis] tu add. Pr3s propones] prepones Bo2, proponens Cm M1a Pr5 V2 | priori] priorum I M1 174 per1] et I, in add. V1s | multiplicatus] multiplicentur Pr4, multiplicandus Tr, multiplicando V1 175 destruat] destruit Bo1 Hall., restat Pr4 | poterit] poteris Bo3, post numerum transp. Pr5 | numerum] unum Pr2 176 procedas] procedens Steel. | retrahendo] retrahens Bo1 Bo2c Bo3 Er G1 G2 G3 I L M2 Pr1 Pr4 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V2 Hall. Steel., retrahas M1 | duplando] duplicando I Pr1 Pr6 V1 | figuram] figuras M1 177 proponendo] componendo Er, postponendo G2 I, reponendo Hall. novam] novem Bo2 Bo3 I, nonam Tr V1 V2, figure duplate add. Pr3s peragatur] peragratur V2 sic, subdupla sub propriis servare decet duplicatis (-us M1) add. Bo1 Cm G3m M1 V1, ante 177 proponendo - peragatur praem. Cm, subdupla propriis servare docetque duplatis add. Hall. Steel. 178 det] debet Bo1, dat Cm V2, des I | numerum] digiti M1, numeri Pr3, figure add. Pr3s | duplatio] duplicatio Cm Pr6 179 a] ad Pr2, parte add. L Steel. | dextra] dextris Bo2 Bo3 Er I M1 M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr6 Pr7 V1 V2 | parte] pare Bo2 | propinqua] sinistra Cma 180 articulusque] articulumque G3, articulos que Pr2 | articulusque – recessit] om. Tr loco] locum Bo3 Pr4, tenet add. Bo3 | unde Bo3, non Bo1 Bo2 Cm Er G1 G2 G3 I L M1 M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr4 Pr5 Pr6 Pr7 V1 V2 Hall. Steel. duplicata] duplanda Bo3, duplicando G2 Hall., post recessit (cedit, constat, sedit, cedebat, sedes, sedet) transp. Bo1 Bo2 Cm Er I G2 G3 M1 M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr5 Pr6 Pr7 V1 V2 Hall. | recessit Bo3 G1 L Pr4 Steel., cedit Bo1 Er Pr1, constat Bo2, sedit Cm G3 M1 M2 Pr2 Pr3 Pr5 Pr6 Pr7 V1, cedebat G2 Hall., sedes I, sedet V2 181/182 si – recessit] om. M2 Pr4 181/278 si – documentum] deest Bo2 deperditis foliis 181 dabit] das I articulum] duplatio add. Pr3s | sit] sic Er, si I Pr1 V1a | sit – preeunte] cifram suppone sequenti Pr5 | preeunte] preeunti Er Bo3a Pr7 872 9 Después de estos propones un dígito que, como antes, multiplicado por los anteriores y luego por sí mismo, elimine en la medida que sea posible el número que queda. 175 Y así procedes atrasando la figura, duplicándola, proponiendo una nueva, hasta que todo se haya solucionado. Si la duplicación da un número compuesto, se debe escribir el dígito en la parte derecha y el artículo23 en el lugar desde donde se desplazó el duplicando; 180 si diera un artículo, la cifra está en el lugar que va antes 23 O sea, las decenas (cfr. supra, versos 14/19). 873 20 articulusque locum tenet unde duplanda recessit; si donet digitus, sub prima pone sequente. Si supraposita fuerit duplicata figura maior, proponi debet tantum modo cifra,185 has retrahens solito propones more figuram usque sub extremas ita fac retrahendo figuras. Si totum deles numerum quem proposuisti quadratus fuerit de duplo quod duplicasti sicque tibi radix illius certa patebit,190 186/187 has – figuras] cfr. Alchor. I (p. 184, 8/12), cfr. Puluer. (p. 183, 24/28) 188/191 Si – figura] cfr. Alchor. I (p. 184, 20/25), cfr. Puluer. (p. 184, 10/13) 184/187 Si – figuras] cfr. SACROB., Algor. 476/478 188/191 Si – figura] cfr. SACROB., Algor. 485/488 182 locum] locus I, post tenet transp. V1 | tenet] om. Bo3 Cm | unde] unum G1 G2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr5 Pr7 V1 V2 Hall. Steel., a quo loco figura add. Pr3s | duplanda] duplata Bo1 Cm Er Pr6 V2, duplando G2 Pr2, dupla I V1, duplicanda L, duplatata Pr5 sic | recessit] recedit Tr 183 si –  sequente] om. V1 | donet] donat Bo1 Tr, iter. G3, duplatio figure add. Pr3s | prima] figura digitum add. Pr3s | sequente] sequenti Er Pr6 Pr7, sequentem G2 I M2 Pr2 Pr3 V2, subdupla sub propriis servare decet duplicatis add. Pr4 184 fuerit] fiat Cma Er Pr2 Pr5 Pr6 V1 V2 duplicata] duplata Bo1 Bo3 Er G1 G2 I M1 Pr1 Pr2 Pr5 Tr V1 V2 185 proponi] propositam Pr1, propositi V1a | debet] post tantum modo transp. Pr7 | tantum – cifra] huic cifra sequatur Er | cifra] 0 I 186 has] hanc Bo1 Bo3 I Pr7, ac G1 L, et G2, at Tr | retrahens] retrahas Er propones] propone Bo1, proponens G2, proponas Pr2 Pr7, proponeres Pr4, ante solito praem. Pr4 | more] minore V2a | figuram] figurarum G1 G2 M1 Pr2 Pr7 V2 Hall., figura Pr3, noviter inventa has cifram et figuram duplatio add. Pr3s 187 usque] ut que G2, ut I | sub] ad Bo1 | extremas] extremam Bo1, extrema G2 Hall. Steel. | fac] fiat Er, fiet Pr4 | figuras] tum tantum preponetur duplicato et cum subduplo cifram servare memento add. M2 188 deles] debes Bo1a Pr4 Hall., delet Er I | quem] quam Pr3 189 fuerit] fuerat Bo1 Bo3 Cm G1 G3 I L M1 M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V2, modo parisius add. Pr3s, radicem cuius habebis sub dupla si digito iungas sub fine reperto quadratus fuerat add. Pr6 | duplo] dupla Bo1 Bo3 Cm G1 G2 G3 I L M1 M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr6 Pr7 Tr V1 V2 quod] quem Bo1 Pr1 Pr5 V1 V2 Hall., quam Bo3, quot G2, quando Pr4 duplicasti] multiplicasti Pr2, quadratus fuerat radicum cuius habebis subdupla si digito iungas sub fine reperto add. Cm, subdupla si digito iungas sub fine reperto add. Pr7 190 sicque] sitque Pr2 Pr4 V2 | tibi] om. V1 | radix] radit Pr5 | certa] recta Pr4, recte Pr5 874 0 y el artículo tiene su lugar donde se retrasó el duplicando; si da un dígito, ponlo bajo la primera siguiente. Si la figura puesta encima fuera mayor que la duplicada, se debe proponer tan solo un cero; 185 retrayéndolas conforme a lo habitual, propones una figura según la costumbre: haz así, atrasando figuras hasta que estés bajo las últimas. Si borras todo, el número que propusiste es el cuadrado del doble que duplicaste y así te saldrá la correcta raíz de él 190 875 21 si de duplatis sit iuncta sub prima figura. Si radicem per se multiplices habeasque primo propositum, bene te fecisse probasti. Non est quadratus si quid restat, sed habetur radix quadrati qui stat maior sub eodem195 et quicquid remanet tabula servare memento: hoc casu, radix per se quoque multiplicetur et sic quadratus sub primo maior habetur, huic addas remanens et primus debet haberi. Si locus extremus fuerit par, scribe figuram200 192/199 Si – haberi] cfr. Alchor. I (p. 194, 16/20, p. 195, 1) 200/203 Si –  priorem] cfr. Alchor. I (p. 182, 19/26), cfr. Puluer. (p. 182, 14/21) 192/193 Si – probasti] cfr. SACROB., Algor. 491/494 194/195 Non –  eodem] cfr. SACROB., Algor. 488/490 196/199 et – haberi] cfr. SACROB., Algor. 494/496 200/203 Si – priorem] cfr. SACROB., Algor. 458/459 191 si – figura] om. G3a, add. G3m | de – sit] de duplasti sit I, duplastis si Pr3 | sit] figuris add. Pr3s, fit Steel. | sub prima] post figura transp. Cm G2 Pr2 Pr4 Pr5, supra G3a, suprema G3c Tr | figura] subdupla si digito iungas sub fine reperto add. M2 192 Si] om. Bo1 Cm Er I L Pr1 Tr Steel., post per se transp. Bo3 G1 G2 G3 M1 M2 Pr2 Pr4 Pr5 Pr6 Pr7 V1 V2 se] si I 193 primo] numerum I, post propositum transp. I Hall. | fecisse] fecisti G2, fuisse Hall. | probasti] probabis Pr4 V1, sub dupla si digito iungas sub fine reperto radicem per se si multiplices habeasque quadratus fuerat radicem cum habebis add. Pr3 194 si] sit Tr | quid] quis Bo1 I L Pr1 V2 Hall. Steel. | restat] remanet G1 | sed] vel Pr1, idem Pr4 habetur] habentur Bo1 G1 M1 M2 Pr4 V1 Steel., habet Pr2, habebis Pr5a, habuentur Hall. 195 radix quadrati] quadrati radix Bo1 Bo3 | quadrati] maioris add. Pr3s | qui] que M1 | sub eodem] scribendo V2 | eodem] eadem L Steel., contenti sub primo scripto numero prius scripto add. Pr3s 196 et] vel Hall. Steel. | quicquid] si quid Bo1 | tabula] tabulam Er 197 hoc] hec Tr | casu] in tali casu add. Pr3s | radix – quoque] radix quoque per se Pr3 Pr7, per se quoque radix V2 | per – quoque] quo per se quo per se I sic | quoque] quo Bo1, qui G2, quid Pr4 | multiplicetur] multiplicatur Pr3 198 et] vel L Steel. | sic] si Pr2 Pr7 | quadratus] contentus add. Pr3s | sub] om. Pr2a, add. Pr2m | primo] numero add. Cms Pr3s, prima G1 L Pr4 | habetur] habentur Bo1 Pr4 V1 199 huic] hinc Bo1 Bo3 Cm I L Tr Pr7 V2 Steel. | addas] adde G1 M1 Tr V1, post remanens transp. I, addes Pr1, addens Pr2 Pr7 | remanens] numerum remanentem add. Pr3s, quod remanet Pr7 | primus] post debet transp. Er, prius L Hall. Steel., numerus add. Pr3s | debet] debes L Pr1 V1 Hall. Steel. | haberi] habere Hall. 200/252 Si – remansit] deest M2 deperdito bifolio 200 extremus] extremis L | fuerit] fuerat G1, fuit I | par] prius G1, pre Tr V2 876 1 si la figura de los duplicados está entera bajo la primera. Si multiplicaras la raíz por sí misma y tuvieras el que propuiste antes, has probado que lo hiciste bien. No es cuadrado si algo resta, sino que se obtiene la raíz del cuadrado mayor que hay bajo este mismo 195 y el remanente, recuerda conservarlo en una tabla24: en este caso, se multiplica también la raíz por sí misma y así se obtiene el cuadrado mayor bajo el del principio, a esto le añades el remanente y el primo debe ser hallado. Si el lugar del extremo fuera par, escribe una figura 200 24 Es decir, si hay resto, es evidente que no se ha hallado la raíz exacta del número propuesto, sino la que más se aproxima. El resto se reserva para la prueba de la operación que se explica a continuación. 877 22 sub preeunte loco per quam debes operari que quantum poterit sub primas destruat ambas et penitus legem teneas operando priorem. Si suprapositum digitus sub fine repertus omnino delet, illic scribi cifra debet205 a leva si qua sit ei sociata figura. Si cifre remanent in fine pares, decet harum radicis numero mediam proponere partem. Tali quesita radix patet arte reperta. Per numerum recte si nosti multiplicare210 eius quadratum, numerus qui provenit inde dicetur cubicus; primus radix erit eius. Nec numeros omnes cubicatos dicere debes, 210/212 Per – eius] cfr. SACROB., Algor. 500/505 213/214 Nec – alicuius] cfr. SACROB., Algor. 427/429 201 loco] quantum ad operationem add. Pr3s | per quam] quiqua V1 sic quam] quem Bo3 Pr7, figuram add. Pr3s | debes] debet G3 Pr7 202 que] et I, figura add. Pr3s 202/205 que – debet] iter. Bo3 202 poterit] poteris G2, potuit Tr | sub primas] supremas G3 Pr6 Tr | destruat] destruit Bo1 Bo3 G2 M1 Pr1 Pr2 Pr4 V1, destruet Cm, destrua I | ambas] figuras supra se positas add. Pr3s 203 et] vel L Pr4 V2 Hall. Steel. | legem teneas] teneas legem I | teneas] serves Bo1 Bo3, tenet Tr | operando] figuram add. Pr1, om. Tr, illa figura add. Tr 204 suprapositum] suprapositam G2 G3 Pr1 Pr2 Pr4, suppositum I Hall. Steel. | digitus] digitum G3 | sub] in Hall., suo Steel. 205 delet] debet Er G3 Pr1 | illic] illuc Bo3, om. G1a, add. G1m, illi Pr6 | scribi cifra] cifra scribi Er | cifra] 0 I | debet] delet G2 206 qua] id est si aliqua add. Pr3s | sit ei] ei sit Pr2 | ei] ibi G1, eius Pr3 | sociata] socata G2 sic | figura] numero ei toto deleto add. Pr3s 207 remanent] remanentur Pr3 Pr4 | pares] per has Er, partes I | decet] docet G3 | harum] amarum Bo1 sic, cifrarum add. Pr3s 208 radicis] radices Pr6a Hall. Steel., radicem Pr5 | numero] numerum Pr2 | proponere] propone Bo1 Er G1 G2 G3 I M1 Pr1 Pr2 Pr3 Pr7 V1 V2 Hall. | partem] parem Bo3 209 patet] placet G3a, patebit L M1 M2 Hall. 210 Per] spatium tituli vacuum reliquerunt Bo1 Pr1 V2, sequitur de radicum extractione in cubicis tit. praem. Cm, sequitur de radicum extractione in numeris cubicis tit. praem. G1 Pr2, sequitur de cubicis tit. praem. Pr3 Pr5m, sequitur de cubicis a parte sinistra tit. praem. Pr7 | recte] recti Pr1 | nosti] nostis Bo3 G3 M1 Tr, noscis V1 multiplicare] cubicus a cubicato quod est solidum add. Pr3s 211 quadratum] quadratus Pr5 | inde] ex multiplicatione quadrati add. Pr3s 212 primus] ductus Pr3 | radix erit] erit radix Bo1 L Hall. 213 dicere] discere Bo3 878 2 bajo el lugar anterior al que debes operar que, bajo las primeras, anule ambas cuanto sea posible, y dispondrás completamente de la regla anterior para operar. Si el dígito encontrado al final borra por completo al superior, allí se debe escribir un cero 205 hacia la izquierda, si junto a esta hubiera una figura unida. Si quedan al final ceros pares, conviene atrasar el número de la raíz hacia la parte media de estos25. Con tal arte se encuentra la raíz buscada. Si aprendieras a multiplicar correctamente un número por 210 su cuadrado, el número que proviene de ahí se llama cubo; el primero será la raíz de este. Y no debes llamar a todos los números cúbicos, 25 Si el radicando acaba en dos ceros, hay que añadir un cero a la derecha del número de la raíz; si hay cuatro, dos, y así sucesivamente, siempre contando de dos en dos. 879 23 est autem numerus omnis radix alicuius. Si cures cubici radicem querere, primo215 inscriptum numerum distinguere per loca debes que tibi mille notant. A mille notante sub prima iunctum summes operandi parte sinistra. Illic subscribes digitum qui, multiplicatus in semet cubice, suprapositum sibi perdat220 et si quid fuerit adiunctum parte sinistra, si non, omnino quantum poterit minuendo. Hinc triplans retrahe saltum faciendo sub illa que manet a digito deleto terna, figuram 215/222 Si – minuendo] cfr. SACROB., Algor. 510/514 223/232 Hinc –  adimetur] cfr. SACROB., Algor. 514/521 214 numerus – radix] numerus radix omnis Pr5 Tr V1, omnis numerus radix G2 Pr7 Hall. | alicuius] cubicati Bo3 Cm G1 G2 I Pr2 Pr3 Pr4 Pr6 Pr7 Tr V1 V2, cubicari Pr1, cubicatus Pr5, alicuius numeri cubicati add. Pr3s 215 Si] sic Cm, lector add. Pr3s | cures] queras I, curas G3 L Pr3 Pr6 Pr7 V1 Steel., cura I, post cubici transp. Pr1 Pr3, om. V2 | cubici] cubite Tr, numeri add. Pr3s 216 inscriptum] primo praem. G2a numerum] numeri I 217 que] qui G3 I, loca add. Pr3s | tibi] loca Cma, add. Cms | notant] notat Tr | A] et Pr5 | notante] notate Bo3 Pr3, notanda Er, post sub prima transp. I, notare Pr5 | sub prima] suprema G3 L Pr6 Tr Steel., figura add. Pr3s, supprima Hall. 218 iunctum] principium Bo1, initium Bo3 Cm Er G1 G3 L Pr1 Pr2 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V1 V2, om. G2 I spatio relicto, inceptum add. Pr3s, initiam Steel. | summes] sumas Bo1 Bo3 G3 L M1 Pr2, sumetis G2, summeres Pr4, summa Steel. operandi] sub add. Pr7 219 Illic] illuc Bo1 Bo3 G1 M1 Pr6 Tr subscribes] subscribas Bo1 Bo3 Cm G2 G3 I L M1 Pr3 Pr4 Steel., inscribas Er Pr1, inscribes Pr2, sub ultimo millenario figura add. Pr3s, subscribens Pr5, et scribas Hall. | multiplicatus] multiplicabis Bo1a, multiplicetur Cm, multiplicatus Pr3a, multiplicans Pr3c 220 cubice] cubicem Bo3 | suprapositum] numerum add. Pr3s, suprapositam Tr, supraposita Tr | sibi] si Cm, tibi G2 M1 Pr2 Pr6 | perdat] perdet M1, deleat add. Pr3s 221 si quid] quicquid Bo1 Er G1 | quid] quis G2 fuerit] servatur Er | adiunctum] eidem iunctum Bo1 222/278 si –  documentum] deest Cm deperditis foliis 222 poterit] poteris Bo3 Er G2 G3 L Pr1 Tr V2 Steel. Hall., potuit G2 Pr4, fuerit I | minuendo] inveniendo Pr1 Pr4 V1 Hall., post omnino praem. Bo1a 223 Hinc] huic Er V1, hin G2 sic, hanc I Pr6, postea add. Pr3s, hunc Hall. | triplans] duplicans Er, triplicans Pr1 Pr2 Pr7c V2, figuram novam add. Pr3s, triplicatam Pr7a, triplam Tr | retrahe] retrahens Bo3, linquas I sic, retrahes Pr6 | saltum] saltem Hall. | illa] ipsa M1 Pr4 Tr V2, figura add. Pr3s, illo Hall. 224 que] quod Hall. | deleto] post terna transp. Bo1 Bo3, deleta Bo3, delete I, de loco G2, delecto V2 | terna] trina G1a | figuram] figura I Pr2 Hall. 880 3 pero todo número es la raíz de algún otro. Si te propones buscar la raíz de un cubo, primero 215 debes localizar en los lugares del número escrito los que te anotan los millares. Desde el que nota los millares sumarás todo junto bajo la primera para operarlo desde la parte izquierda. Allí escribes debajo un dígito que, multiplicado por sí mismo cúbicamente, pierda lo que está sobre sí 220 y, si lo hubiera, lo que estuviese junto a ella en la parte izquierda; si no, disminuyéndolo todo cuanto pueda26. Aquí, triplicándolo, retráelo dando un salto bajo aquella que queda en tercer lugar desde el dígito borrado, 26 Igual que ocurría con las raíces cuadradas, primero se encuentra un número que, elevado al cubo, se acerque lo máximo posible al radicando. Esta vez, sin embargo, hay que empezar desde los millares (o los millones, los millares de millón, etc.). 881 24 illi propones que subtriplo societur;225 ut cum subtriplo per eam tripla multiplicetur hinc per eam solam productum multiplicabis, postea totalem numerum qui provenit inde a suprapositis respectu tolle triplate. Addita sub primo cubice tunc multiplicetur230 respectu cuius numerus qui progredietur ex cubico ductu suprapositis adimetur. Tunc ipsam delens, triples saltum faciendo semper sub ternas, retrahens alias triplicatas. Ex hinc triplatis aliam propone figuram235 que per triplatas ducatur more priori, primo subtriplis sibi iunctis, postea per se, in numerum ducta productum de triplicatis. 233/238 Tunc – triplicatis] cfr. SACROB., Algor. 521/527 225 illi] illic I, triplate add. Pr3s, illuc V1, sibi Hall. | propones] proponas G2 Pr4, supponens Pr6, impones V2 | societur] soscietur Bo3 sic, asocietur G1 L Hall. Steel., figura nova add. Pr3s 226 ut] et Er M1 Hall., ad hoc scilicet add. Pr3s | ut – multiplicetur] om. Bo3 | cum] tum Er G2 Pr4 | eam] figuram novam add. Pr3s | tripla] figura triplata add. Pr3s multiplicetur] multiplicatur Hall. 227 hinc] hunc Pr6 227/230 hinc –  multiplicetur] om. Ia, add. Im 227 solam] solum Er, postea sine subtriplis novam add. Pr3s | productum] productam Pr1 228 postea] post Pr1, post hac Pr5 | provenit] pervenit Hall. 229 a] om. I, et V1a, add. V1s 229/231 a – progredietur] om. G2 229 suprapositis] figuris add. Pr3s tolle] tale Bo3, pone Pr2 | triplate] triplati Er 230 sub primo] supremo G3 Pr6, suprema Tr | cubice] cubito Er | tunc] om. I 231 cuius] eius I, ante respectu praem. I | numerus] figure ultimo inveniente add. Pr3s progredietur] provenit inde Pr4 V1 232 cubico] ex multiplicatione si add. Pr3s, cubicis Pr5a, cubici Pr5c, post ductu transp. Pr5, cubito Hall. ductu] dictu G2, ducto Pr4, ductus V1 | suprapositis] suprapositus Er, supra omnes L Steel. | adimetur] id est deleatur add. Pr3s, adimatur Pr5 233 ipsam] illam Bo1 I, figuram add. Pr3s | delens] demes Bo1 Bo3 I, deles G3, dele Hall. | triples] triplans Bo1 Bo3 Er, triplices V1a, tripli V1c | saltum] om. Bo3, post faciendo transp. M1a 234 semper] post sub terna transp. Bo1 | ternas] terna Bo1 Hall., ternis G1 Pr6 | retrahens] retrahas Pr2, retrahes Tr | alias triplicatas] alios triplicatos Bo3, figuras add. Pr3s 235 hinc] postea figuris add. Pr3s 235/236 aliam – triplatas] om. V1 236 que] figura de novo inventa add. Pr3s | que per] per quas Pr4 | priori] priorum Pr7 237 primo] cum add. Bo1 | subtriplis] sub triplicis Pr2 | sibi] om. Er, sub Pr2, post iunctis transp. Pr7 | iunctis] et add. Er, cunctis I, et hoc dico figure iuncte add. Pr3s 238 numerum ducta] numero producto I | productum] proponet V2 | de triplicatis] triplicetis I, multiplicabit Pr7 882 4 y allí propones una figura que se añada al tercio 225 de manera que el triple se multiplique por ella con el tercio, aquí multiplicarás el producto solo por ella misma, después el número total que de ahí proviene réstalo de lo que está por encima del triple27. Entonces la que se ha añadido bajo el primero se multiplica al cubo, 230 el número que sale de la elevación al cubo, este se resta a lo que está encima respecto a él. Entonces quitando esta, haciendo un salto de tres casillas siempre bajo los triples, se atrasan los otros triplicados28. De estos triples, propón otra figura 235 que se multiplique por los triples como antes: primero por los tercios todos juntos, después por sí misma, por último multiplicada por el producto de los triplicados. 27 La forma de operar es similar a aquella de las raíces cuadradas, solo que haciendo tres lo que allí era dos. Por lo tanto, una vez que se ha hallado el primer número de la raíz (que aquí se llama subtriplum), se atrasa tres posiciones dicho número hacia la derecha. Luego, se multiplica por tres, y el resultado de esa multiplicación se pone en algún lugar entre la raíz y el radicando. A continuación, hay que buscar un número tal que se añada a la derecha del subtriplum. Una vez añadido, se multiplica el resultado por el triple del primer subtriplum hallado; luego este resultado se multiplica por tres y lo que dé debería aproximarse lo máximo posible al radicando que queda por encima. 28 Y de nuevo lo mismo: se atrasa tres casillas, se triplica la raíz, se busca un número para multiplicarlo por el triple y por sí mismo, se resta lo que salga al radicando y así hasta que se llegue al final. 883 25 Utque prius dixi, numerus qui provenit inde a suprapositis has respiciendo trahatur,240 hinc cubice iunctum sub primo multiplicabis respectuque sui removebis de remanenti. Et sic procedas retrahendo, triplando figuram et proponendo novam donec totum peragatur. Subtripla sub propriis servare decet triplicatis.245 Si nichil in fine remanet, numerus datus ante est cubicus, cubicam radicem subtripla probent cum digito iuncto quem sub primo posuisti: hec cubice ducta numerum reddent tibi primum. Si quid erit remanens, non est cubicus, sed habetur250 243/244 Et – peragatur] cfr. SACROB., Algor. 527/532 246/249 Si –  primum] cfr. SACROB., Algor. 539/543 250/258 Si – habetur] cfr. SACROB., Algor. 543/549 239 Utque] ut Er, usque I | prius] primo Er | dixi] om. G3 | provenit] pervenit Hall. | provenit inde] progredietur Pr4 240 a] et V1a, add. V1s respiciendo] recipiendo Pr6 | trahatur] docetur Bo3a, respectu triplatarum deleatur add. Pr3s 241 hinc] hunc L, huic Bo3 M1 Pr1 Pr3 Pr5 Hall. Steel. | cubice] cubito Er, post iunctum transp. Er Pr5, cubitem Tr sic iunctum] iuncta Bo1, ductum G2 L Steel., iunctam Pr2 Pr5, iunctum digitum inventum supprimo add. Pr3m | sub primo] supprima Pr5, suprimum Pr6 | multiplicabis] multiplicato Pr2, cubice scilicet add. Pr3s, multiplicatus V1 242 respectuque] respectumque L, aspectuque Pr5 respectuque – remanenti] om. Bo3 | removebis] movebis Pr4 | de] om. G3a, add. G3s | remanenti] remanente Bo3 V2 Hall., remante G1, numero add. Pr3s 243 procedas] procedes Tr | triplando] duplando Er Pr7a, triplendo Pr1, triplicando Tra, tibi V2 | figuram] figuras Pr5 Pr7 Hall. 244 et] om. Er G1 G2 I M1 Pr1 Pr2 Pr3 Pr4 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V1 V2 proponendo] addiciendo Er I Pr2 Pr7 Tr V2, preponendo G2 Pr1 Pr3, figuris triplatis add. Pr3s, addendoque Pr6, addendo V1 | novam] novem Bo3 Er, nonam L M1 Pr1 Pr2 V1 V2 Hall. Steel. | peragatur] percagatum Bo1 sic, peragetur Bo3, totus numerus deletur add. Pr3s 245 Subtripla] subtriplis Pr5a | sub] om. Pr5 | servare decet] debes servare I Pr1 decet] docet G3 | triplicatis] triplatis I, triplabis Pr1 246 datus] propositus Pr5a, scriptus add. Pr3s | ante] inde Er 247 est] et Pr2 est – probent] est cubicus numerus radicem subtriplicando vel sic radicem cubicam subtripla patebit Er | cubicus] numerus Er, cubicum I, cubici M1, cum iam Pr4 | probent] prebent G3 Tr Steel. 248 iuncto] iuncta Bo1 Bo3 Er G2 I Pr1 Pr2 Pr3 Pr6 Pr7 Tr V1 V2, iunctum Pr5 | quem] quem G2, que I Pr1 Pr6 | sub primo] suppremo G3 | posuisti] invenisti add. Pr3s 249 hec] hoc Bo3, huic Er Pr2 V1 Hall. | cubice] subtripla vel radix Pr3, iuncta Pr4 | ducta] ducte Pr5 | reddent] reddunt Bo1 M1, reddit Bo3, reddet Er G2 Pr1 Pr2 Pr5 Tr, reddes V2, reddant I L Hall. Steel. 250 erit] erat Pr2 | habetur] habentur Bo1 V1 884 5 Para que, como antes he dicho, el número que de ahí proviene se sustraiga de las que quedan arriba, teniendo en cuenta que 240 en este punto multiplicarás cúbicamente lo que está bajo la primera y todo junto lo quitarás a lo que queda por encima de sí. Y así procedes retrayendo, triplicando las figuras y proponiendo una nueva hasta que todo se haya resuelto. Conviene reservar los tercios bajo los propios triplicados. 245 Si no queda nada al final, el número que antes se ha dado es cúbico; la raíz cúbica la probarán los tercios junto con el dígito que pusiste bajo el primero: estos, elevados al cubo, te devolverán tu primer número. Si quedase algún resto, no es cúbico, sino que se tiene 250 885 26 maior sub primo qui stat radix cubicati. Servarique decet quicquid radice remansit: extracto numero decet hoc addi cubicato, quo facto, numerus debet reddi tibi primus; nam debes per se radicem multiplicare255 ex hinc in numerum duces quod pervenit inde sub primo cubicus maior sic invenietur, illi iungatur remanens et primus habetur. Si per triplatum numerum nequeas operari, cifram propones, nichil vero per hanc operare,260 sed retrahens illam cum saltu deinde triplatam propones illi digitum sub lege priori. Cumque cifram retrahes saliendo non triplicabis namque nichil cifre triplatio dicitur esse. 259/266 Si – memento] cfr. SACROB., Algor. 550/552 251 primo] numero add. G3 Pr3s | qui] que Pr1 | stat] post radix cubicati transp. V2 | stat radix] radix est Pr5 | cubicati] cubicanti L, cubicam Steel. 252 Servarique] servareque Bo3, servari Er M1 V2 Hall. Steel., servare L | decet] debet Bo1 Er L M1 Pr2 Pr4 Tr V2 Hall. Steel. quicquid] et hoc dico add. Pr3s 253 extracto] extracta Bo1 Bo3 G1 M2 Pr2 Pr3 Pr4 Pr6 V2, extimo Er | decet] debet Bo3 | hoc] numero Bo1a, hec G2 L M2 Pr5 Tr Steel. | cubicato] concubicato Pr7, hec servata in tabula add. Pr3m 254 debet reddi] reddi debet Bo3 G2 L M1 Pr4 Pr6 Pr7 Tr V1 V2 Hall. Steel., addi debet G1, reddi delet G3 255 per se] om. Pr4 multiplicare] cubice scilicet add. Pr3s 256 duces] ducis M1 | quod] qui Bo3 Er G1 G3 I Pr1 Pr2 Pr3 Pr5 Pr6 Tr V1 V2 Steel. | pervenit] provenit Er I Pr2 Pr3 V1 Steel. | inde] vide Er, due coniuget insimul add. Pr3s 257 sub] et Pr5 | primo] numero add. Pr3s | cubicus] post maior transp. Er, numerus M2a, add. M2s | maior] post sic transp. Bo3, contentus add. Pr3s | invenietur] invenientur Bo3a, multiplicatur Er 258 illi] illic I, cubicato add. Pr3s 259 nequeas] nequias Bo3 sic 260 propones] proponas Bo1, propone V1 | vero] nec G1 | hanc] hac Bo1 Bo3, hunc V1 | operare] operari Bo1 Bo3 Hall. 261 sed] si Bo3 Pr4 | retrahens] retrahas Er Pr5, cifram add. Pr3s | illam] om. Bo3 | triplatam] triplatum Bo3 Er, triplatas G1a Pr3 Pr5 Pr6, triplata G1c L Steel., triplicatam V1a 262 propones] preponens Bo3, preponas G2, prepones Pr1 Pr3 Tr, proponens V1 | sub] cum V2 263 Cumque] tunc Bo3a, tum Bo3c, cum Er G2 G3 Pr5 Pr6 Pr7 V2 | retrahes] retrahens Bo3 G1 Pr4 Tr, retrahas Er L Steel. | saliendo] psalliendo L sic | triplicabis] multiplicabis Bo3a, duplicabis I Pr5a, cifram add. Pr3s 264 namque] nam Bo3 | nichil] nunc Pr2 | triplatio] triplicatio M2 Pr6, triplicando Pr1, triplando Pr4 264/ 265 triplatio – cifram] om. Bo3 264 esse] iungitur articulus cum triplata pereunte 0 add. V2 886 6 la raíz mayor que hay bajo el primero que se ha elevado al cubo. Y conviene que se conserve lo que quede de raíz: extraído el número, hay que añadirlo al elevado al cubo; hecho esto, te debe salir el número primero ; Pues debes multiplicar la raíz por sí misma, 255 a partir de esto, multiplicas el número por lo que sale de ahí y así se encuentra el cúbico mayor bajo el primero, y sumando este al remanente se obtiene el primero. Si al ser operado un número por el triple no se puede seguir, propones un cero, pero nada se opera con él, 260 sino que se retrae aquel triple con un salto y luego propones allí un dígito según la norma anterior29. Y cuando retraes el cero con el salto, no lo triplicarás, puesto que se dice que nada sale de la triplicación del cero. 29 Esto ocurre cuando el radicando es más pequeño que el resultado que daría la operación antes descrita si se añadiera un uno a la raíz. En ese caso, habría que poner un cero y atrasar de nuevo tres posiciones hacia la derecha la raíz con sus triples o triplicados. 887 27 At tu cum cifram protraxeris ante triplatam265 hanc cum subtriplo semper servare memento: si det compositum, digiti triplatio debet illius inscribi digitus saliendo sub illa, deleto digito, que tertia dicitur esse iungitur articulus cum triplata preeunte270 sed facit hunc: scribi per se triplatio prima, que si det digitum per se scribi facit illum. Consumpto numero, si sole fuit tibi cifre triplate, propone cifram saltum faciendo cumque cifra retrahe triplatam saliendo figuram275 265 At] aut Bo1 Er I Pr4 V1 Hall., et M1, ac Pr3 | At tu] om. Pr5a, add. Pr5m | At – cum] cumque tum I | tu cum] cum tu Pr2 Tr | cifram] que add. Bo1, tantum add. Pr5a | protraxeris] protexeris G3, pertranseris Pr7, pertraxeris Hall. | ante] aut Pr1 Pr2 Steel., autem Er V1 Hall. triplatam] triplicatam Bo1 M1 Pr2 Pr3 Hall., triplati Bo3, triplatum Er, triplicata L Steel., triplata M2, triplate Pr1 266 hanc] delet G1a, cifram add. Pr3s, huic Hall. | cum] eum Steel. | subtriplo] triplo V1a, sub- add. V1s 267 det] dat V2 | compositum] componi Tr | triplatio] triplicatio Pr7 | debet] debe M2 268 illius] istius Bo1 | inscribi] scribi Bo1 Bo3 G3 L M2 Pr5 Pr6 Tr V1 Steel., post digitus transp. Pr6 | saliendo] psallendo L sic | sub illa] sub ipsa Bo1 Bo3 G3 L Tr V1, sub illam Er I, figura add. Pr3s, sub ipsam Pr4 Steel., super ipsam Hall. 269 deleto] delecto Pr1 Pr2 Pr4 V1a V2, post digito transp. L V1 Steel. | deleto –  esse] que manet a digito deleto terna figura Hall. | digito] iter. Pr5 tertia] terna L V1 Steel. | dicitur] debet Pr1 270 iungitur articulus] articulus iungitur Hall. | triplata] triplato Er Pr4, figura add. Pr3s, triplicata V1a | preeunte] pereunti Bo3c G2 I Pr2 Pr6 V1, preeuntis Bo3a, preheunte Pr7 sic 271 sed] hoc Pr4 | facit hunc] hunc facit Pr5a | hunc] articulum add. Pr3s | per se] iter. I, parte Pr4, digiti Pr5 | triplatio] triplicatio Pr7 | prima] primo Pr5 272 que] ipsa triplatio add. Pr3s | si] nisi Pr4 | det] dat Tr V2 | scribi facit] scribi decet I M1, facit scribi Hall. | illum] digitum add. Pr3s 273 Consumpto] assupto Bo3a sic, conssupto Bo3c sic, coniuncto Pr4 | si] om. Pr4 | fuit] sint Bo1 G1 G2 I M2 Pr2 Pr3 Pr4 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V1 V2, si Pr1 | tibi] ibi I Pr1 Pr3 Pr4 Pr5 Pr6 Pr7 Tr | cifre] cifra V2 274 triplate] triplato G1 L Steel. propone] pone V2 | cifram saltum] saltum cifram V2a 275 cumque] cum Pr7 | cifra] cifram Bo1 Er G3 I L Pr2 Pr3 Pr4 Tr V1 V2 Hall. Steel., cifre Pr5 | retrahe] retrahes Bo1 Er M2 Pr4 V1, retrahens Bo3, retrahas Pr6 triplatam] triplam Bo1 Bo3 G1 G2 G3 M1 M2 Pr1 Pr2 V1 V2 Steel., triplum Er Pr3 Pr5 Pr6 Pr7 Tr, tripla I | triplatam – figuram] saliendo ciframque triplatam Pr4 | saliendo] faciendo Er, scribendo Hall., -que add. V1 | figuram] ciframque Bo1 Bo3 Er G1 G2 G3 I M1 M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr5 Pr6c Tr V2, cifram Lc Pr7 V1, om. Pr6a 888 7 Ahora bien, cuando tú sitúes un cero ante el triple, 265 recuerda siempre conservarlo con el tercio: si diera un compuesto, se debe escribir el triple de ese dígito moviéndolo bajo dicho triple; borrado el dígito, el artículo se une con el tercio precedente que se dice que es la tercera parte, 270 pero se hace así: se escribe el primer triple por sí mismo, el cual, si da un dígito, hace que aquel se deba escribir por sí mismo. Calculado el número, si solo te quedan ceros triples, pon en su lugar un cero haciendo un salto y con el cero retráelo saltando la figura triplicada, 275 889 28 propones cifre, sic procedens operare. Si tres sive due series sint, pone sub yma a dextris digitum servando prius documentum. 276 propones] preponas Bo1 G1 G2 G3 Er L Pr3 Tr V1 Steel., proponens M1, propone M2 Pr5, post cifre transp. M2 Pr5, prepones Pr1 | sic procedens] procedens sic Bo1 Bo3 | procedens] procedas G3 Pr5, iter. Pr6a | operare] operando G3 Pr5 277 sive] cifre Bo3a, add. Bo3s, vel L V1 Hall. Steel. | due] duo G3 Pr3 Hall. Steel. | series] cerie Bo3 sic, serie G1 G3 L Steel., in add. G3a L Steel., sive Pr4 | sint] om. Pr7 | pone] propone Bo3, prima Pr3 | yma] una Bo1 Bo3 Er G1 G2 G3 I L M2 Pr1 Pr2 Pr3 Pr4 Pr5 Tr V1 V2 Hall., illa Pr7 890 8 poniéndola delante del cero: se opera procediendo así30. Si fueran dos o tres series, pon un dígito a la derecha bajo la inferior conservando el procedimiento anterior31. 30 Si hay ceros al final del radicando, se cuentan de tres en tres: cada tres ceros finales, se añade uno a la derecha de la raíz. 31 No estamos seguros de qué se quiere decir en estos dos últimos versos del texto común. Quizá se refiera a que conviene ir anotando las cifras de la raíz si el radicando estuviera compuesto de «dos o tres series» de millares. 891 I. Versus progressionis 1 Si sit continua progressio terminus impar, per maium medium totalem multiplicato; si par, per medium tunc multiplicato sequentem. Sed si continua non sit progressio finis, impar tunc maius medium se multiplicabit;5 si par, per medium sibi multiplicato propinquum. 1/2 Si – multiplicato] cfr. Alchor. II, 3.3 (p. 149, 22/23), cfr. Coventr. (p. 308, 19/23) 3 si – sequentem] cfr. Alchor. II, 3.1 (p. 149, 16/18), cfr. Coventr. (p. 308, 24/28) 4/5 Sed – multiplicabit] cfr. Alchor. II, 5.1 (p. 310, 18/20), cfr. Coventr. (p. 309, 1/4) 6 si – propinquum] cfr. Alchor. II, 4.1 (p. 310, 7/10), cfr. Coventr. (p. 309, 5/11) 1/2 Si – multiplicato] cfr. SACROB., Algor. 374/376 3 si – sequentem] cfr. SACROB., Algor. 369/371 4/5 Sed – multiplicabit] cfr. SACROB., Algor. 385/386 6 si – propinquum] cfr. SACROB., Algor. 380/382 1/6 transmisserunt Bo1 Bo3 Er G1 G3 I L M1 M2 Pr2 Pr4 Pr5 Pr6 Pr7 Tr V2 Steel. 1 Si] spatium tituli vacuum reliquit Bo1, sequitur de progressione tit. praem. M2 Pr2 Pr7, de progressione tit. praem. Pr5m, progressio numerorum secundum equales excessus ab unitate vel binario sumptorum aggregatio tit. praem. Tr | impar] nuper Steel. 2 maium] maius Pr7 medium] numerum Pr2 2/3 totalem – medium] om. M1 2 multiplicato] multiplicata I, multiplicabis Pr4 3 si – per] in ras. Tr | per] om. Pr4 tunc] sunt Pr4, tu Pr6 | sequentem] sequentur Bo3a, impar plus medium totum prius se prope duc per impar parte sui maiori multiplicetur parte sequens media si par in fine tenetur sese quadrificans pars maior in ipse ducatur que sequitur medium multiplica parium add. V2 5 tunc] per Er se] te Bo3 M1 Pr2, tunc Er, in se G3a, si Pr4 Steel. | multiplicabit] multiplicabis Er Steel., multiplicati Pr2 6 si par] sed si Bo3 | si –  propinquum] deest M1 deperdito folio | per] om. G3a, add. G3s medium] numerum G1 | sibi] tunc Pr7 | multiplicato] multiplicate Pr2 propinquum] sequentem I Pr3 892 9 I. Versos de la progresión 1 Si la progresión32 es continua33 acabada en impar, multiplica el total por su mitad mayor34; si es par, entonces multiplica el siguiente por su mitad35. Pero si la progresión no es continua36 y acaba en impar, entonces la mitad mayor se multiplicará por sí mismo37; 5 si es par, multiplica el siguiente por la mitad de este38. 32 Se llama «progresión» (progressio) a una sucesión numérica no infinita. En este bloque textual, así como en el pasaje correspondiente del Algor., las operaciones con las progresiones consisten en hallar la cantidad total que suman todos los componentes de dicha sucesión. 33 La «progresión continua» es aquella sucesión de números cuyo intervalo es siempre +1 comenzando por la misma unidad (es decir, 1 2 3 4 5, etc.). 34 Es decir, hay que multiplicar el número final de tal progresión por lo que aquí llama la «mitad mayor». Con esto quiere decir que, puesto que no se está operando con fracciones y/o decimales, un número impar tendrá siempre una mitad aproximada. Si se trata de la mitad del número siguiente, es la «mitad mayor» (sc. de 7, 4); si es en cambio la mitad del número anterior, es la «mitad menor» (sc. de 7, 3). 35 Si la progresión continua acaba en par, se multiplica la mitad de ese par por el número siguiente de la progresión (que será necesariamente impar). 36 La «progresión no continua» es aquella cuyo intervalo es siempre +2. Se puede comenzar por el uno, en cuyo caso es impar (como en 1 3 5 7, etc.), o por el dos (2 4 6, etc.), en cuyo caso es par. 37 O sea, la «mitad mayor» de ese último número de la progresión se multiplicará por sí mismo, o lo que es lo mismo, se elevará al cuadrado. 38 En este caso, quiere decir que hay que multiplicar la mitad del último número de la serie por el número siguiente a dicha mitad (sc. en una progresión del tipo 2 4 6, la mitad de 6, que es 3, se multiplica por el número siguiente de esta mitad, o sea, el 4. 3· 4 = 12, que es la suma de todos los miembros de la progresión). 893 II. Versus progressionis 2 Significare iubet numerum progressio quantum nominat, ut si sic dicas: unum, duo, terna, naturalis hec est; intercisa vocatur altera, que numeros saliens intercipit, ut si sic numeres: unus, tres, quinque, septemque novem.5 Si naturalis numero pare desinit, illum divide per medium, media pars una per illum ducatur numerum sequitur qui proximus illam totalem summam. Si clauditur impare, rursum divide, sed maius medium sibi summe per illum10 multiplicetur. Numerum progressio desinit in quem quatuor intercissa modis variatur, hecque quatuor ob formas totidem positas sibi normas. Si pare finitur numero, medium tibi sume illius numeri par in quo desinit et duc15 illud per numerum sequitur qui proximus illud. Si fuerit numerus impar que desinit, eius est maius medium per semet multiplicandus. Si saltum paribus facit imparibusque relictis inque parem finit, numerum quo desinit ipsum20 divide per medium, mediumque suum mediato, 6/9 Si – summam] cfr. Alchor. II, 3.1 (p. 149, 16/18), cfr. Coventr. (p. 308, 24/28) 9/11 Si – multiplicetur] cfr. Alchor. II, 3.3 (p. 149, 22/23), cfr. Coventr. (p. 308, 19/23) 14/16 Si – illud2] cfr. Alchor. II, 4.1 (p. 310, 7/10), cfr. Coventr. (p. 309, 5/11) 17/18 Si – multiplicandus] cfr. Alchor. II, 5.1 (p. 310, 18/20), cfr. Coventr. (p. 309, 1/4) 1/5 Significare – novem] cfr. SACROB., Algor. 359/364 6/9 Si – summam] cfr. SACROB., Algor. 369/371 9/11 Si – multiplicetur] cfr. SACROB., Algor. 374/376 14/16 Si – illud2] cfr. SACROB., Algor. 380/382 17/18 Si –  multiplicandus] cfr. SACROB., Algor. 385/386 1/28 transmisserunt Pr3 Pr7 1 quantum] quintum Pr7a 2 terna] quatuor ecce decem signasti multiplicando add. Pr7 3 naturalis – est] hec naturalis ast Pr7 sic 5 septemque] VIItemque Pr7 sic | novem] viginti quinque numerasti multiplicando add. Pr7 7 media] medii Pr7 8 proximus] maximus Pr3 10 sed] si Pr3 | sibi] tibi Pr7 11 multiplicetur] multiplica Pr7 12 hecque] habetque Pr7 15 par – quo] quod pare Pr7 16 illud1] illum Pr7 | illud2] illum Pr7 17 impar] par Pr7a, sup- add. Pr7s 20 finit] sunt Pr3 | numerum] numerus Pr7 894 II. Versos de la progresión 2 La progresión ordena el valor del número en función de cómo se llame, de manera que si dijeras: uno, dos, tres, esta es natural; la otra se llama truncada39, la que en su avance se salta números, como si numeraras así: uno, tres, cinco, siete y nueve. 5 Si la natural acaba en número par, divídelo en dos partes: una de las mitades se multiplica por el número siguiente que sigue a aquella cantidad total. Si acaba en impar, de nuevo divídelo, pero multiplica la mitad mayor de la cantidad 10 por aquel40. Dependiendo del número en el que la progresión truncada acabe, presenta cuatro variaciones, y a partir de estas cuatro formas, tantas normas se plantean. Si acaba en número par, cógete la mitad de ese número par en el que acaba y multiplícalo 15 por el próximo número que le siga a dicha mitad. Si fuera un número impar en el que acaba, hay que multiplicar su mitad mayor por sí mismo41. Si se hace el salto de par a par y se saltan los impares y se acaba en par, divide ese número en el que 20 acaba por la mitad, y encontrada la mitad, 39 «Truncada», intercissa en latín, se refiere a la progresión que no es continua. 40 La forma de hallar el valor total de cada una de las progresiones naturales es idéntico al que desarrollábamos en la forma textual anterior (Versus progressionis 1). También lo es en el Algor. 41 De nuevo, las operaciones para la progresión truncada son idénticas a las del anterior bloque. 895 31 ast illud medium postremum multiplicato per numerum quem parem primo qui proximus extat. Si paribus, sicut prius, imparibusque relictis, desinit impariter, maius medium videatur25 imparis illius in quem finit mediumque illius medii maius tunc multiplicetur a maiore minus et summa videbitur eius. 23 quem – primo] primo medio Pr3 25 impariter] imque pare Pr7 sic 26 in – finit] in quo sunt Pr3 896 1 después esa mitad se multiplica por el siguiente número par que esté más próximo a este42. Si de par a par, como antes, y, saltando los impares, acaba en impar, se hallará la mitad mayor 25 de ese impar en el que acaba y entonces la mitad de la mitad mayor de este se multiplica por el menor del mayor y se verá su cantidad43. 42 En este párrafo se reitera lo que se ha dicho antes en los versos 14/16, o sea, cómo operar en una progresión truncada acabada en par. 43 Este último párrafo, en cambio, carece de sentido lógico, pues plantea la hipótesis de una progresión truncada que salte los impares y que a su vez acabe en impar. La operación es distinta a las anteriores: en este caso se dice que se multiplique la mitad de la mitad del último número de la progresión por la mitad menor de este. Puesto que el planteamiento es errático desde el principio, no se llega a ninguna conclusión lógica a través de estos cálculos. 897 III. Versus progressionis 3 Qui sequitur numerum medio pare multiplicetur, impar parte sui maiori multiplicetur. Qui sequitur numerum medio pare multiplicetur, impare pars maior per se sic summa tenetur. 1 Qui – multiplicetur] cfr. Alchor. II, 3.1 (p. 149, 16/18), cfr. Coventr. (p. 308, 24/28) 2 impar – multiplicetur] cfr. Alchor. II, 3.3 (p. 149, 22/23), cfr. Coventr. (p. 308, 19/23) 3 Qui – multiplicetur] cfr. Alchor. II, 4.1 (p. 310, 7/10), cfr. Coventr. (p. 309, 5/11) 4 impare – tenetur] cfr. Alchor. II, 5.1 (p. 310, 18/20), cfr. Coventr. (p. 309, 1/4) 1 Qui – multiplicetur] cfr. SACROB., Algor. 369/371 2 impar –  multiplicetur] cfr. SACROB., Algor. 374/376 3 Qui – multiplicetur] cfr. SACROB., Algor. 380/382 4 impare – tenetur] cfr. SACROB., Algor. 385/386 1/4 transmisserunt Pr7 V1 2 transmissit V2 3 numerum] medium V1 4 pars] par Pr7 | sic] sit V1 898 III. Versos de la progresión 3 Con la mitad del par se multiplica el que sigue al número44, el impar se multiplica por su parte mayor45. La mitad se multiplica en el par por el que sigue al número46, en el impar, la parte mayor por sí misma: así se obtiene la cantidad47. 44 Este primer verso resume la operación para la progresión continua acabada en par. El planteamiento es el mismo que en los bloques anteriores. 45 Aquí se indica cómo operar en la progresión continua acabada en impar. De nuevo el cálculo es el mismo, con la salvedad de que en lugar de decir maius medius, la «mitad mayor» se indica como parte maiori, «su parte mayor». 46 Se refiere a la operación de la progresión truncada (intercissa) par. 47 Finalmente, se opera con la progresión truncada (intercissa) impar. 899 IV. Versus multiplicationis 1 Si digitus digitum multiplicet, aspice per quot a denis monades discedat maior et inde eius ab articulo totiens evelle minorem. Si sint equales, fac ut prius ante videndo a denis quantum disiungitur unus eorum.5 Articulus quando multiplicat articulum tunc in digitum retrahes utrumque suum, digitusque multiplicet digitum: quotiens hinc evenitur unum, ex alia parte totiens intellige centum atque quot hic dena tot ibi millena resultant.10 Si iubet articulum digitus fore multiplicatum, articulo sic prius in digitum resoluto a quo descendit, quot ab hoc monades tot ab illo dena trahunt ortum; quot dena, tot accipe centum. Compositus si compositum patiatur uterque15 articulo digitoque suo resolutus in ipsos multiplicet digitos mox regula prima, secunda 1/3 Si – minorem] cfr. Alchor. II, 9.3 (p. 152, 20/23), cfr. Coventr. (p. 305, 11/13) 6/10 Articulus – resultant] cfr. Coventr. (p. 305, 17/18, p. 306, 1/5) 11/14 Si – centum] cfr. Coventr. (p. 305, 11/16) 15/20 Compositus –  terna] cfr. Coventr. (p. 306, 16/18) 1/3 Si – minorem] cfr. SACROB., Algor. 222/224 6/10 Articulus –  resultant] cfr. SACROB., Algor. 236/238 11/14 Si – centum] cfr. SACROB., Algor. 229/231 15/20 Compositus – terna] cfr. SACROB., Algor. 242/246 1/29 transmisserunt Pr1 Pr3 Pr6 Pr7 V2 1 Si] sequitur de multiplicatione digitorum tit. praem. Pr7 | multiplicet] multiplicat Pr1 2 discedat] descindat I, discessit Pr7, descendet V1 3 eius] cuius Pr1 Pr3 4 sint] fuit Pr1 | equales] equalis Pr1 Pr3 V2 videndo] videto I Pr7 5 a denis] adde Pr7 | eorum] et totiens decuplo proprio reliquum removebis add. Pr6 6 multiplicat articulum] articulum multiplicat Pr7 7 retrahes] retrahens I | digitusque] digitumque I 8 multiplicet] multiplices Pr1 | hinc] hin I sic, hic Pr1 | evenitur] evenit Pr7 | unum] unde I Pr6 10 quot hic] om. V2 | hic] hinc I Pr6 Pr7 resultant] restant I 11 multiplicatum] multiplicandus Pr6 12 sic] sicut I digitum] digito I Pr7 | resoluto] reducto Pr1 13 ab hoc] ad hoc I, ibi Pr1 14 trahunt] tribuat Pr1 | accipe] aspice I | centum] C I 16 articulo] articulus Pr1 | digitoque suo] que suo digito I | ipsos] ipso V2 17 multiplicet] multiplicat I Pr1 Pr7 V2 | digitos] digitum Pr7 | mox] mos Pr1, ut add. Pr3 900 IV. Versos de la multiplicación 1 Si un dígito multiplica otro dígito, mira cuántas unidades dista el mayor hasta diez y de ahí resta tantas veces del artículo el número menor48. Si son iguales, haz como antes, mirando primero cuánta es la diferencia hasta diez de uno de ellos. 5 Cuando un artículo multiplica otro artículo, entonces detraes uno y otro a su dígito, y el dígito multiplica al dígito: siempre que aquí salga uno, de la otra parte entiende que son tantas veces cien y lo que aquí resultan decenas, allí tantos millares49. 10 Si ocurre que un dígito fuera multiplicado por un artículo, tras resolver el artículo de la misma manera que antes en el dígito del que desciende, cuantas unidades aquí se originan, allí tantas decenas; cuantas decenas, tantas centenas recibes. Si sucede que es un compuesto por un compuesto, resuelto 15 cada uno de ellos en su artículo y dígito, se multiplican directamente estos dígitos con la primera regla, los artículos 48 Cfr. lo que decíamos supra (nota 13) sobre el proceso llevado a cabo para multiplicar dígitos (explicado en los versos 94/102). 49 Cuando operan con «artículos», es decir, con decenas, el procedimiento es simple: se multiplican como si fueran dígitos y, después, se les añaden los ceros correspondientes o, más bien, se les atrasa tantas casillas hacia la izquierda como sea necesario. 901 34 articulos, post unius articulum digitumque alterius terna, post articulum reliqui sed et digitum relinqui rursus quoque regula terna.20 Compositum digitus si multiplicet, digitus stet, alter in articulum digitumque cadat, digitumque multiplicet digitus ut tradit regula prima, post digitus ducatur in articulum duce terna. Compositum quando iungit sibi multiplicandus25 articulus, sua vult in componentia solvi compositus: digitus qui provenit ex resoluto, multiplicetur in articulum terna duce norma. Post duc articulos in se ducente secunda. 25/29 Compositum – secunda] cfr. Coventr. (p. 305, 15/16) 21/24 Compositum – terna] cfr. SACROB., Algor. 232/235 25/ 29 Compositum – secunda] cfr. SACROB., Algor. 239/241 18 articulos] articulus Pr1 V2 | post unius] postremus Pr3 19 reliqui] reliquis Pr6 V2 20 et] e Pr1 | digitum] digiti V2, post reliqui transp. V2 | relinqui] reliqui I Pr6 V2 21 digitus1] digitis Pr1, digitum V2 22 cadat] cadit I Pr7 | digitumque2] digitusque V2 23 tradit] tendit Pr3 23/24 prima – duce] om. Pr1 24 post – terna] primus in articulum digitus ducatur duce terna I | duce] due Pr3 25 iungit sibi] sibi iungit Pr1 multiplicandus] multiplicandum Ic Pr1 Pr3 Pr7 26 vult] volt I | in] VI I 28 terna – norma] norma duce terna Pr1 | norma] maior Pr3, compositus digitus qui provenit ex resoluto add. Pr7 29 articulos] articulum Pr1 ducente] ducenda Pr3, ducere V2 902 4 con la segunda, el artículo de uno y el dígito del otro con la regla tercera, después el artículo y el dígito que faltan también con la regla tercera otra vez50. 20 Si se multiplica un dígito por un compuesto, el dígito se mantiene, el otro se descompone en artículo y dígito, y al dígito lo multiplica el dígito, como transmite la primera regla, después el dígito se multiplica por el artículo con la guía de la tercera. Cuando se quiere unir a un compuesto un artículo 25 que se ha de multiplicar, hay que disolver el compuesto en sus componentes: el dígito que proviene de lo resuelto se multiplica por el artículo con la guía de la tercena norma, después multiplica los artículos entre sí guiándote con la segunda. 50 Al multiplicar dos números compuestos o «mixtos», es decir, aquellos que constan de unidades y decenas, se resuelven en estas unidades y decenas. Después, se multiplican las unidades de uno por las del otro, las decenas de uno por las del otro, las unidades de uno por las decenas del otro y las unidades del otro por las decenas del uno. Finalmente, se suman todos los resultados. 903 V. Versus multiplicationis 2 Multiplicans digitum digito maior speculari quanto stet denis, aliumque suo decuplare fert totiens crescensque sciens se multiplicare, nam precedenti restans debes reputare. Si cupis articulum pare multiplicare, notabis5 illorum digitos quos per se multiplicabis, hinc quod erunt monades, tot centenos numerabis articulum digito te multiplicante notato. Articuli digitum reliquo quem multiplicato per quamvis monade crescente decem reputato.10 In mixtum digitum si quando ducere queris, illum disolvens, digitorum dogma sequeris; articuli digitique sequi post iussa iuberis. Articulum ducens in mixtum sic operetur mixtum se cernens iam dicta lege fruetur,15 que sit in articulis hinc norme iussa sequatur. 1/4 Multiplicans – reputare] cfr. Alchor. II, 9.3 (p. 152, 20/23), cfr. Coventr. (p. 305, 11/13) 5/8 Si – notato] cfr. Coventr. (p. 305, 17/18, p. 306, 1/5) 9/10 Articuli – reputato] cfr. Coventr. (p. 305, 11/16) 14/16 Articulum –  sequatur] cfr. Coventr. (p. 305, 15/16) 1/4 Multiplicans – reputare] cfr. SACROB., Algor. 222/224 5/8 Si – notato] cfr. SACROB., Algor. 236/238 9/10 Articuli – reputato] cfr. SACROB., Algor. 229/231 11/13 In – iuberis] cfr. SACROB., Algor. 232/235 14/ 16 Articulum – sequatur] cfr. SACROB., Algor. 239/241 1/22 transmisserunt Er Pr2 Pr5 1 speculari] speculare Pr5 2 denis] deinde Er | decuplare] duplicare Er Pr2, fer totiens add. Er 3 fert] fer Er Pr2 | sciens] serens Pr2 | se] de Er Pr2 4 precedenti] procrescenti Er | restans] testes Er 5 pare] per se add. Pr5a, del. Pr5c | notabis] memento Pr2 6 multiplicabis] multiplicasti Pr2 7 tot centenos] totiens centum Pr5 | numerabis] numerato Pr2 8 multiplicante] multiplicare Er 9 reliquo] reliquum Pr5a | multiplicato] multiplicasti Pr2 10 per quamvis] pro quo vis Er decem] quod Pr2 | reputato] reputari Pr2 11 In] om. Pr5 spatio relicto In mixtum] invenies Er | ducere] ducem Er 12 illum] illud Er disolvens] solvendo Er | dogma] dogmam Er | sequeris] sequaris Er 13 sequi] sequens Pr5 14 Articulum] spatium tituli vacuum reliquit Pr5 ducens] duces Pr2 | operetur] operatur Er 15 fruetur] fruatur Er Pr2 16 hinc] huic Er | norme] ratione Pr5 | sequatur] sequeris Pr2 904 V. Versos de la multiplicación 2 Al multiplicar un dígito por otro, que se observe cuánto dista el mayor de la decena, y el otro decuplarlo y hacer que aumente tantas veces sabiéndolo multiplicar, pues debes calcular restándolo al precedente. Si deseas multiplicar un artículo a su igual, anotarás 5 los dígitos de aquellos por los que vas a multiplicar, y de estos los que son unidades, tantas centenas contarás del dígito anotado que al artículo multiplica. Al restante artículo multiplica el dígito, el que hay que considerar aumentar diez por cada unidad. 10 Cuando buscas multiplicar un dígito por un mixto, disolviéndolo, sigue el dogma de los dígitos, te dispondrás a seguir después las directrices del artículo y el dígito. Para multiplicar un artículo por un mixto, que se opere así: partiendo el mixto hay que servirse de la ley ya dicha, 15 de ahí que se sigan las directrices de la norma sobre los artículos. 905 36 Inter se mixti tum multiplicantur: eorum ducantur digiti sicut norma iubet digitorum; articuli post hec velut edocet articulorum; post et in articulum reliqui quivis digitorum.20 Hec simul adde, sciens productum compositorum, et notandum pulverea sic ductio fit numerorum. 17/22 Inter – numerorum] cfr. Coventr. (p. 306, 16/18) 17/22 Inter – numerorum] cfr. SACROB., Algor. 242/246 17 Inter] sicut Er | tum] sum Pr5 | multiplicantur] multiplicetur Pr2 18 sicut scripsi, seu Er Pr2, ceu Pr5 sic 20 reliqui] reliquis Pr5a 21 simul] semel Er | sciens] scies Er Pr2 | productum] productorum Pr5a 22 notandum] sic Er | sic – fit] fit ductio sic Pr5 906 6 Los mixtos se multiplican entre sí así: se multiplican sus dígitos como ordena la norma de los dígitos; después de esta los artículos, tal como se enseña de los artículos; luego también los restantes: cada uno de los dígitos por el artículo. 20 Añade sus cantidades sabiendo el producto de los compuestos, y anotando así en el polvo51 cuál es la multiplicación de los números. 51 Encontramos aquí una referencia explícita a la realidad material de la época que ya comentábamos antes: el hecho de que estas operaciones se realizaban en tablillas de arena sobre las que iban escribiendo y borrando conforme avanzaban en el procedimiento. 907 VI. Versus multiplicationis 3 Articulum si per reliquum vis multiplicare, in proprium digitum debetur uterque resolvi articulus, digitos post per se multiplices et ex digitis quotiens tenet unum multiplicatum, articuli faciunt tot centum multiplicati.5 Articulum digito si multiplicemus, oportet articuli digitum sumi; quo multiplicare debemus reliquum. Quod multiplicatur ab istis, si facit articulum vel plus, supponere semper debemus centum pro quolibet articulorum10 pro reliquo, decuplum sic summa †latere equabit†. In numerum mixtum digitum si ducere cures, articulus mixti sumatur deinde resolvas in digitum, post hec fac regula de digitis ut articulusque docet excrescens inde tenendo.15 In digitum mixti post ducito multiplicando de digitis ut norma docet dehinc sit duo iuncta multiplicata simul et postea summa patebit. Ductus in articulum numerus si compositus sit, 1/5 Articulum – multiplicati] cfr. Coventr. (p. 305, 17/18, p. 306, 1/5) 6/ 11 Articulum – equabit] cfr. Coventr. (p. 305, 11/16) 19/26 Ductus –  petita] cfr. Coventr. (p. 305, 15/16). 1/5 Articulum – multiplicati] cfr. SACROB., Algor. 236/238 6/ 11 Articulum – equabit] cfr. SACROB., Algor. 229/231 12/18 In – patebit] cfr. SACROB., Algor. 232/235 19/26 Ductus – petita] cfr. SACROB., Algor. 239/241 1/34 transmisserunt Bo1 G2 Tr 1 multiplicare] articulum digitum summi quo multiplicare add. Tr 2 debetur] debebit Tr 3 et] om. Tr 5 faciunt] faciant Tr | multiplicati] multiplicasti Bo1 6 multiplicemus] multiplicamus Tr 7 articuli] articulum Bo1 | digitum sumi] sumi digitum Bo1 | quo] quod Tr multiplicare] multiplicate Bo1 8 multiplicatur] multiplicatus Tr | istis] illis Tr 11 latere Bo1, om. G2 spatio relicto, latina Tr | latere equabit] locus corruptus | equabit Tr, nequibit Bo1 G2 12 In] et Tr 14 in] et Tr hec] hoc Tr 16 In] et Tr | ducito] digito Tr | multiplicando] multiplicantes Bo1 G2 17 dehinc] deinde G2, de hiis Tr | sit] sint G2, om. Tr | duo] 2º G2 18 multiplicata] multiplica G2 19 Ductus] iunctus G2 908 VI. Versos de la multiplicación 3 Si quieres multiplicar un artículo por otro, uno y otro artículo se deben resolver en su propio dígito, después los dígitos se multiplican entre sí y, de estos dígitos, cuantas veces se obtiene uno multiplicado, los artículos multiplicados hacen de ellos tantas veces cien. 5 Si multiplicáramos un artículo por un dígito, conviene que se coja el dígito del artículo; a este debemos multiplicarle el otro dígito. Lo que multiplicaras de ellos, si sale un artículo o más, siempre debemos suponer cien para cualquiera de los artículos 10 en lugar de lo otro, y así la cantidad total †igualarᆠal décuplo52. Si consideras multiplicar un dígito por un número mixto, se coge el artículo del mixto y después lo resuelves en su dígito, después de esto haz la regla de los dígitos, de forma que se muestre también el artículo que de ahí sale conservándolo. 15 Después se realizará la multiplicación del dígito por el dígito del mixto como la norma de los dígitos enseña; de ahí que se junten los dos tras multiplicarlos y resultará luego la cantidad total53. Si un número compuesto se multiplicara por un artículo, 52 Es este un pasaje corrupto cuyo significado no se comprende. El procedimiento de la operación ha quedado claro antes y esta parece ser una apostilla indicando que efectivamente hay que contar cada dígito como diez, cada decena como centena para que el resultado sea conforme a la multiplicación de los artículos. 53 Resulta curioso que repita aquí la norma de multiplicar un dígito por una decena, que ya había explicado en los versos 6/11. 909 38 articulum purum commutes articulumque20 mixti pro digitis, post fiat et articulis ut norma iubet, retinendo quod egreditur ab illis. Articuli digitum post tu in mixti digitum duc regula de digitis ut percipit articulisque. Ex quibus excrescens, summe, coniunge priori25 sic manifesta cito fiet tibi summa petita. Compositum numerum mixto sic multiplicabis undecies tredecim sicut est ex hiis operandum in reliquum primum denum duc, post in eundem unum; post denum duc in tria, deinde per unum30 multiplices tria. Dehinc hec omnia multiplicata, in summam ponas queque, sic tibi dicit hic ut sit mixtis in cunctis est operandum. Multiplicandorum de normis sufficiant hec. 27/33 Compositum – operandum] cfr. Coventr. (p. 306, 16/18) 27/33 Compositum – operandum] cfr. SACROB., Algor. 242/246 34 Multiplicandorum – hec] cfr. SACROB., Algor. 221 20 purum] primum Tr | commutes] commutens Bo1, comites Tr articulumque] articulum si G2 21 et] in G2 Tr | articulis] articulus G2 22 egreditur] egrediatur G2 23 in mixti] inmixi G2 | digitum2] digitis Bo1 | duc] om. Bo1, dic G2 24 percipit] precipit Tr | articulisque] articulusque G2 25 Ex] a Tr 26 manifesta] manifesto Bo1 27 sic] si Bo1 G2 28 tredecim] tredecem Bo1 | sicut] sic Tr 29 in1] et Tr 30 unum1] unde Tr | denum] demum Bo1a | tria] Bo1 G2 31 multiplices – multiplicata] om. Bo1 31/34 multiplices – hec] deest G2 deperdito folio 32 summam] summa Tr | queque – dicit] quam quesitum tibi dicat Bo1 33 sit] hic Bo1 | mixtis] mixtus G2 Tr 34 sufficiant] sufficient Tr 910 8 se cambian el artículo puro y el artículo 20 del mixto por sus dígitos, después que se haga en los artículos como ordena la norma, conservando lo que sale de ellos. Después multiplica tú el dígito del artículo por el dígito del mixto, como se aprende en la regla de los dígitos, y por los artículos. Lo que resulta de estos, tómalo, júntalo a lo anterior, 25 y así te aparecerá rápidamente la cantidad buscada. Un número compuesto lo multiplicarás así por un mixto, igual que hay que multiplicar once veces trece. De estos, la primera decena multiplícala por la otra, luego por el uno de este; después la decena multiplícala por el tres, luego por el uno 30 multiplicarás tres. De todo lo que se ha multiplicado, lo pones en una sola cantidad, y así te dice lo que sea que se extrae de la operación de los mixtos en su conjunto. Que con esto basten las normas de lo que hay que multiplicar. 911 VII. Versus incipientes ab unum prima Unum prima, secunda decem, dat tertia centum, quarta dabit mille, milia quinta decem. Centum milia sexta dat, eptam milia mille, mille dat octava millesies decies, centesies nona dat millesies quoque mille,5 millesies decima dat millesies quoque mille. 1/2 Unum – decem] cfr. Puluer. (p. 70, 8/13) 1/3 Unum – dat] cfr. Alchor. I (p. 70, 19/25) 1/6 Unum – mille] cfr. OCREAT., Helcep 8-12 (p. 264, 1/14) 1/2 Unum – decem] cfr. SACROB., Algor. 442/445 1/3 Unum – mille] cfr. SACROB., Algor. 56/59 1/6 transmisserunt I Pr1 Pr2 Pr7 1 Unum] unde Pr2 | decem] X I, 10 Pr2 | centum] 100 Pr2 2 mille] 1000 Pr2 | quinta] quintum Pr7 | decem] 10 Pr2 3 Centum – mille] om. Pr7 | sexta] 6ta Pr2 | dat] dabit Ia | eptam] eptaque I | mille] 1000 Pr2 4 mille] 1000 Pr2 | decies] deciesque Pr7 5 centesies] millesies I Pr1 mille] centum Pr1, 1000 Pr2 6 decima] decies I | decima – mille] 1000 millesies decima Pr2, mille millesies decima monstrat Pr7 | millesies2] milicies I | mille] sit plenum centenarium denariumque extremum super multiplicata numerumque add. Pr7 912 VII. Versos que empiezan por «uno la primera» Uno la primera, la segunda diez, da cien la tercera, la cuarta dará mil, diez mil la quinta. Cien mil da la sexta, la séptima mil veces mil, la octava da diez mil veces mil, la novena da cien mil veces y de nuevo mil, 5 la décima da mil veces mil veces y de nuevo mil54. 54 En estos versos se explica cuánto vale el número uno de los diferentes límites empezando por la casilla de las unidades y yendo hacia la izquierda. Así pues, un uno en las unidades significa uno, en las decenas significará diez, en las centenas, cien, etc. 913 40 VIII. Versus incipientes ab quadrantes sabbato Quadrantes sabbato quot nos expendimus anno, tot crescunt solidi cum tot nummis numerati. Annus bisextilis erit semper per quatuor equa annos partiri cum poteris domini. Si de proposito quintum tollatur a cerno,5 propositum numerum remanentis tertia mostrat. 1/2 Quadrantes – numerati] cfr. Cautel. 21 (p. 81, 24/29), cfr. Wellcom. (f. 2ra), cfr. St. Cath. (f. 77r), cfr. Franc. (f. 93v) 3/4 Annus – domini] cfr. VILLAD., Massa comp. (p. 279, 252/3), cfr. Comp. Eccles. (p. 220, 12/14), cfr. SACROB., Compot. 10 (p. 35, 39/40) 1/6 transmissit V1 1/2 transmissit Bo3 1 sabbato] sabba Bo3 | expendimus] dispendimus V1 2 nummis] numeris V1 | numerati] numerantis Bo3 914 VIII. Versos que empiezan por «cuántos cuartos los sábados» Cuántos cuartos nos gastamos cada sábado a lo largo de un año, tantos sólidos salen con tantas monedas contadas55. El año bisiesto será siempre por cuatro iguales, de forma que podrías partir los años del Señor56. Si de lo propuesto se le quitara un quinto de lo desestimado, 5 el número propuesto de lo que queda muestra un tercio57. 55 El problema que aquí se plantea es el siguiente: si cada sábado del año nos gastamos la misma cantidad x, cuánto nos habremos gastado a lo largo de todo el año. 56 Estos dos versos, tomados de la Massa computi de Villadieu o del Compot. de Sacrobosco, se refieren a la división de los años desde un año bisiesto a otro. Entendemos que, aunque la formulación carece de sentido pleno, es a esto a lo que se refiere cuando dice que se pueden partir en cuatro partes: un ciclo de bisiesto a bisiesto comprende cuatro años enteros. 57 Parece que estos últimos versos forman parte de algún procedimiento o problema matemático del que no tenemos suficiente información para resolver. 915 IX. Versus incipientes ab si quantum vixit Si quantum vixit tantum vixisset itemque, dimidium, quos dimidii, centenus obisset: quantum vixisset dicito qui legis hec. Si de proposito quantum tollatur a terno, que querens dubitat remanentis tertia monstrat.5 Contentum tripla, triplatum divide, rursum triplato reliquum quotiens trahis vide novenos, dic totiens binos: si quid super est notat unum. Duplato numero, totali tollitur unus. †Dimidias quartas totanas huic geminabis:10 una, due, terne emunt et quatuor are†. In medio binos, extremus octo locentur. Una puella manet, peditum sex, quinque querites Si reperire cupis quo sit quid tempore factum, huic unum iunges duplabis postea totum;15 hic quinque duces duplatum, postea denis hoc totum duces. Post L remotis, quam queris feriam centena tibi manifestat; si super aliquid centenis, non variabis. 1/3 Si – hec] cfr. Alchor. II, 25.1 (p. 169, 13/16), cfr. Cautel. 14 (p. 80, 3/7), cfr. St. Flor. (f. 143v) 4/9 Si – unus] cfr. Alchor. II, 34.1 (p. 174-5, 24/35), cfr. Cautel. 3 (p. 77, 19/28) 10/11 Dimidias – are] cfr. Alchor. II, 34.3 (p. 175, 6/12) 12/13 In – querites] cfr. Cautel. 11 (p. 79, 16/25) 14/ 19 Si – variabis] cfr. Cautel. 10 (p. 79, 10/15) 1/19 transmissit Er 3/4 transmissit Pr7 4 quantum] quintus Pr7 5 que – dubitat] proposui numerum Pr7 10/ 11 Dimidias – are] locus corruptus 11 due scripsi, die Er | emunt scripsi, demunt Er | are Er, asse conieci 16 quinque scripsi, quis Er 916 1 IX. Versos que empiezan por «si alguien viviera» Si alguien viviera tanto cuanto vivió y lo mismo, su mitad, y de esto la mitad, moriría a los cien: quien lea esto dirá cuánto hubiera vivido58. Si el valor total se aumenta tres veces, el tercio de lo que queda muestra la incógnita que se busca. 5 De lo que contiene, el triple; divide el triple de nuevo, triplicando cada una de las mitades, mira cuántas veces sacas nueve: dirás que tantas veces son dos; si algo queda, se anota uno más. Tras duplicar el número, al total se le añade uno59. †Divides las cuatro gallinas, esto lo doblarás: 10 compran una, dos, tres y cuatro60†. En el medio dos, en los extremos se colocan ocho61. Queda una muchacha, seis civiles, cinco quirites62. Si quieres saber cuánto es el tiempo pasado63, a este le añades uno, duplicarás luego todo; 15 esto lo multiplicas por cinco, luego por diez multiplicas todo. Después quitándole 50, la centena te muestra el día de la semana que buscas; si algo estuviera sobre la centena, no lo variarás. 58 El procedimiento matemático que indica el poema es el siguiente: 100 = 2x + x/2 + (x/2 ÷ 2), cuyo resultado es de 26 años y dos tercios (26,66). 59 Los versos 4/9 contienen un acertijo en el que se adivina un número cualquiera que una persona quiera esconder. A través de una serie de operaciones matemáticas se llega a conocer tal cantidad, haciendo una especie de truco de magia ante un espectador. 60 Quizá are, como hemos puesto en el aparato, deba leerse como asse, haciendo referencia a los ases, una medida monetaria. Si así fuera, estaría hablando del dinero invertido en cada gallina. 61 No sabemos si este verso tiene que ver con el problema anterior o si es parte de otro procedimiento matemático. 62 Este verso es la solución a un famoso problema matemático de la época que consiste en adivinar cuántas personas de cada categoría hay partiendo de una repartición de pan en la que cada grupo obtiene una cantidad determinada. 63 Los versos 14/19 plantean el problema de cómo calcular el día de la semana en el que ha ocurrido un acontecimiento que aquí no se explicita. En las Cautele se dice expresamente que se quiere calcular en qué día alguien besó a su amada (amicam suam). Hay que tener en cuenta para este problema que los días de la semana reciben el nombre de prima feria, secunda, tertia, etc. empezando por el domingo. 917 X. Versus incipientes ab ignotum numerum Ignotum numerum si sit cognoscere gratum, primo triplari facias numerum dubitatum, inde tibi si par aut impar dicere debet, imparitas unum paritas nullum tibi prebet. Postea triplatum numerum fac dimidiari,5 et maius medium facias de more triplari. Si par triplatum fuerit, tibi nulla notabit; impar si fuerit, tamen duo significabit. Postea dimidio, medio maiore tres, quantum novem tibi dat, tot unum esse memento.10 Quando pares numeri duo sunt, alter minuatur et reliquo numero qui dempseris addiciatur; hinc quantum remanet; hinc addas quod minuisti, et tibi dat reliquus bis quantum prima tulisti. Propositus numerus quisquis sit primo dupletur,15 hinc sibi per numerus quicumque placet societur. Eius dimidio demas que primo tulisti sed medium remanet eius que conversasti. 1/10 Ignotum – memento] cfr. Alchor. II, 34.1 (p. 174-5, 24/35, p. 207, 1/8), cfr. Cautel. 3 (p. 77, 19/28) 11/14 Quando – tulisti] cfr. Alchor. II, 34.5 (p. 175, 18/20) 1/18 transmissit V2 9 tres scripsi, trecento V2 10 unum scripsi, decem V2 918 X. Versos que empiezan por «si un número ignoto» Si un número ignoto se desea conocer, primero haces que se triplique el número desconocido, y de ahí debe decir si es par o impar: te aporta uno el impar, el par, ninguno64. Luego haz que se divida en dos el número triplicado, 5 y la mitad mayor haces que se triplique como antes. Si fuera par el resultado, no te apuntarás nada; si fuera impar, en cambio significará dos. Después, la mitad mayor, aumentada la mitad en tres, cuantas veces te da nueve recuerda que son tantas veces uno65. 10 Cuando hay dos números iguales, que se dismuya uno y al número restante que se le sume lo que quitaste; de aquí a cuanto queda, añádele lo que restaste, y lo que te sale es dos veces lo que primero detrajiste66. Propuesto el número, el que sea, primero que se duplique, 15 de ahí que se le añada cualquier número, el que se quiera. A la mitad de esto, se le quita lo que antes añadiste, pero solo su mitad, y queda aquel del que hablaste67. 64 Es decir, si es impar hay que sumar uno a la cantidad. Veremos que más adelante, de nuevo, si el número es impar hay que añadir dos. 65 En los versos 1/10 de este bloque se plantea, aunque con otras palabras, el mismo acertijo que comentábamos en los versos 4/9 de los versos que comienzan con Si quantum vixit. Parece que aquí están más claros los pasos a seguir. 66 El problema de los versos 11/14 sigue con la temática de los acertijos que adivinan cantidades propuestas por una tercera persona. 67 De nuevo, los últimos versos están dedicados a obtener una cantidad desconocida. 919 XI. Versus incipientes ab si numerum duples Si numerus duples hoc investis documento uno subtracto summam generare memento. Si sit par numerus numerorum dimidietur, impar si fuerit per maius multiplicetur. 1/4 transmissit I 1 investis documento lectio dubia 920 XI. Versos que empiezan por «si un número lo duplicas» Si un número lo duplicas, a este resultado de la incógnita recuerda extraer la cantidad restando uno. Si es par el número de los números que se divida entre dos, si fuera impar, que se multiplique por el mayor68. 68 Parece que estos versos recogen otro problema matemático que trata de resolver una incógnita. Sin embargo, en esta ocasión no contamos con suficientes datos como para descifrar qué procedimiento entraña. 921 Comentarios inéditos sobre el Carmen de algorismo y el Algorismus A continuación, presentamos tres comentarios del s. XIII que parecen estar relacionados entre sí. Los dos primeros son exégesis al Carmen de algorismo, mientras que el último comenta el Algor. Como decíamos supra respecto a los comentarios del Algor., estas composiciones a menudo coinciden en el inicio, pero a medida que avanzan con el desarrollo su contenido varía. Por esta razón, aunque a veces podamos ver paralelismos entre ellas, convendría estudiarlas independientemente. Por esta razón, editamos cada uno de estos comentarios como un unicum, siguiendo el testimonio que lo transmite en cada caso. Hemos adaptado las grafías de los textos a efectos de uniformar su escritura en todos ellos y hemos añadido los signos de puntuación que hemos considerado apropiados para la correcta intelección de los pasajes. También es nuestra la división en párrafos. Al texto reconstruido hemos añadido dos aparatos. El primero de ellos muestra los pasajes paralelos encontrados en el texto con el Carmen de algorismo (VILLAD., Carm.), con las adiciones al Carmen (Add. in Carm.), con el Algor. (SACROB., Algor.) y con otros autores cuando se citan expresamente (como Boecio o Euclides). El segundo de ellos es un aparato de variantes que indica las lecturas originales del manuscrito toda vez que las hayamos modificado por considerarlas un error. El primero de los comentarios editados es el que aparece en el manuscrito Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7477, ff. 36vb-37va, con inc.: Hec algorismus et cetera. In huius libri tractatum iiiior sunt inquirenda scilicet materia, intentio, utilitas, titulus. El segundo comentario al Carmen de algorismo es de del manuscrito Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14070, ff. 81r-96v, con inc.: Inter IIIIor mathematicas disciplinas, quod sunt arismetica, geometria, musica, astronomia. El tercer comentario que presentamos es el que hemos llamado Comentario A dentro de las exégesis al Algor. (cfr. supra, pp. 456-7). El único testimonio que hemos encontrado es Lilienfeld, Stiftsbibliothek, 144, ff. 34va-vb y su incipit es el siguiente: In hoc libro qui dicitur algorismus 4 inquiruntur scilicet materia, intentio, utilitas et tytulus. Remitimos a la p. 12 para las abreviaturas, siglas y términos empleados en los aparatos. 922 Comentario al Carmen de algorismo del ms. Paris, BNF, Lat. 7477: edición crítica y traducción 923 ec algorismus, et cetera. In huius libri tractatum IIIIor sunt inquirenda scilicet materia, intentio, utilitas, titulus. Materia huius libri est numerus, unde notandum quod duplex est numerus scilicet numerus numerantis et numerus numeratus. Per hoc enim dista liber iste a compoto, quia in compoto traditur 5 doctrina de numero numerato; in hoc vero libro, de numero numerante. Auctoris intentio est ostendere artem numeri numerantis, qua mediante sciamus artificiose connumerare. Utilitas potest esse in auctoris intentione, quia lectio hoc libro utilitatis est unde sciamus, per X figuras que continentur in hoc 10 libro, quemlibet numerum presentare et artificiose connumerare. Titulus talis est: Incipit liber algorismi. Algorismus sic describi: algorismus est numeralis ratio computationis, id est, ratio numeri considera secundum computationem. Vel ita algorismus est scientia computandi sic dicta Algorio, ab 15 inventore suo. Vel dicitur ab algos, quod est inductio, et rismus, quod est numerus; inde algorismus quod inductio numerorum, id est, ductio ad numeros, quioniam subiectum istius artis est numerus. Numerus autem est collectio unitatum. Item videndum est 20 qui sit unitas et quid numerus. Unitas autem sic describitur in VIIº Euclides: unitas est que dicitur omnis res una. Numerus ibidem sic describitur: numerus est multitudo ex unitatibus composita. A Boecio autem describitur numerus sic: numerus ex unitatibus acervus profusus.25 Numerorum autem alius simplex, alius compositus. Numerus simplex est qui per unam figuram solam significanciam potest 1 Hec algorismus] VILLAD., Carm. 1 10/11 per – connumerare] cfr. SACROB., Algor. 37/40 14/19 Vel – numerus] cfr. SACROB., Algor. 4/7 20 Numerus – unitatum] cfr. SACROB., Algor. 9 22 unitas – una] EUCLID., Element. 7.1 (p. 196, 3), Algor. 11 23/24 numerus – composita] EUCLID., Element. 7.2 (p. 196, 4), SACROB., Algor. 10 24/25 numerus2 – profusus] cfr. BOETH., Instit. 1.3 (p. 13, 10/12), cfr. SACROB., Algor. 9/10 26 Numerorum – compositus] cfr. VILLAD., Carm. 14/19, cfr. SACROB., Algor. 11/12 Trad. text.: A = Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7477, ff. 36vb-37va 1 Hec scripsi, ec A sic 14 considerata scripsi, considera A 22 una scripsi, vita A 26 alius1 scripsi, alicuius A 924 «Este algorismo», etcétera. En el tratado de este libro cuatro cosas son las que hay que examinar, es decir, la materia, la intención, la utilidad y el título. La materia de este libro es el número, de ahí que sea necesario notar que el número es doble, o sea, el número que numera y el número numerado. En esto se distingue este libro del cómputo, porque en el cómputo se transmite la doctrina del número numerado y, en cambio, en este libro, del número que numera. La intención del autor es mostrar el arte del número que numera, para que a través de ella podamos saber enumerar de acuerdo con estas normas. La utilidad puede estar en la misma intención del autor, porque la enseñanza útil de este libro es que, a través de las diez figuras que este libro contiene, sepamos representar cualquier número y enumerar de acuerdo con las normas. El título es este: El libro del algorismo1. El algorismo se describe así: el algorismo es la razón del cómputo numeral, esto es, la razón2 del número considerada según la acción de computar. O de esta manera: el algorismo es la ciencia de computar así llamada por Algorio, su inventor. O se dice por «algos», que es la acción de llevar, y «rithmós», que es número, de ahí «algorismo» por la acción de llevar hacia los números, esto es, el recorrido hacia los números, porque lo que subyace en este arte es el número. El número es, en efecto, el conjunto de unidades. De igual manera hay que ver qué es la unidad y qué el número. La unidad, por su parte, se describe de esta manera en el séptimo de Euclides: «la unidad es cada una de las cosas que se dice una». El número allí mismo se describe así: «el número es la multitud compuesta a partir de unidades». Por Boecio, en cambio, el número se describe así: «el número es el acervo en su extensión de unidades». De los números, en cambio, unos son simples, otros compuestos. El número simple es el que se puede escribir con una sola figura 1 No traducimos la voz latina incipit por ser la apertura habitual de los títulos de las obras latinas. 2 Advertimos que siempre que en latín aparece el término ratio lo traducimos como «razón», entendiendo esta palabra con todos los matices de significado que contiene en lengua latina y que son intraducibles en castellano. 925 2 scribi. Numerus vero compositus est qui per plures figuras significativas de necessitate scribitur. Ex hoc patet quod simplex et compositus dicuntur hic quoad numerum sermonis, et non 30 quoad numerantia rei. Numerorum simplicium alius digitus, alius articulus, alius centene denominationis, alius mille denominationis, et sic fiat divisio. Numerorum simplicium, alius prime differentie, alius secunde, et sic deinceps. Et nota quod differentia per uno sumitur et idem est quod locus sive limes. 35 Numerus qui est prime differentie est digitus, et omnis numerus minor denario est digitus, et extendatur numerus ut unitas dicatur numerus. Sunt autem IX digiti: unus, binarius, et sic deinceps usque ad novenarium. Articulus secunde differentie vel secundi loci est multiplex numerus, et est talis numerus omnis 40 minor centenario, ut denarius, vigenarius, et sic deinceps usque ad nonagenarium. Unde notandum quod maior numerus dicitur esse multiplex minoris quando potest sufficienter dividi per minorem ita quod nichil sit residuum ex ipso numero divisoris ultra dividenciam. Numerorum non multiplicium, alius ad suum 45 digitum, alius decies continens ipsum. Unde notandum quod quilibet articulus hoc denominatione a suo digito, preterquam primus a primo. Secundum dicitur a secundo, viginti enim dicuntur, quasi bis ginti, a bis et gintos quod est decem. Similiter XXX quasi ter ginta, id est, ter decem, et sic de aliis. Item 50 numerum tertie differentie est centenarius et omnis eius multiplex est minor millenario, unde centum, ducentum, trecentum et sic usque ad millenarium. Et sic possunt numeri 34/35 Et – limes] cfr. SACROB., Algor. 25/31 36/38 Numerus – numerus] cfr. VILLAD., Carm. 7/9, cfr. SACROB., Algor. 45/46 36/37 Numerus –  digitus] cfr. VILLAD., Carm. 20/22, cfr. SACROB., Algor. 40/41 39/ 42 Articulus – nonagenarium] cfr. SACROB., Algor. 46/50 46/50 Unde –  aliis] cfr. SACROB., Algor. 43/45 30 quoad scripsi, quod ad A 35 sumitur] sumatur temptavi idem est Ac, et de terti Aa 926 2 significante. En cambio, el número compuesto es el que por necesidad se escribe a través de varias figuras significativas. Y por eso queda claro que aquí se llaman simple y compuesto con respecto al número del discurso y no con respecto a lo que se puede numerar de algo3. De los números simples, unos son dígitos, otros artículos, otros centenas por su denominación, otros mil por su denominación, y así se establece su división. De los números simples, unos de primera diferencia, otros de la segunda y así el resto. Y nota que la diferencia se mueve de una en una y es lo mismo que la posición o el límite4. El número que está en la primera diferencia es el dígito, también todo número menor que la decena es un dígito, y el número se extiende de manera que dicho número se llama unidad5. Por su parte los dígitos son 9: el uno, el dos, y así los siguientes hasta el nueve. El artículo de la segunda diferencia o de la segunda posición es el número múltiple, y tal número es todo aquel menor que el cien, como el diez, el veinte, y así el resto hasta el noventa. De ahí hay que saber que un número mayor se dice que es múltiplo de otro menor cuando se puede dividir suficientemente entre el menor de forma que no queda nada de resto de este mismo número del divisor tras dividirse6. De los números no múltiplos, unos por su número7, otros que contienen diez veces él mismo. Por eso, hay que notar que cualquier artículo obtiene esta denominación por su dígito, excepto el primero del primero. El segundo se llama así por el segundo, de forma que se dice «veinte» como si «bis ginta», de «bis» y de «ginta», que es diez. Así también el 30, como «tres veces ginta», esto es, tres veces diez, y así el resto. Asimismo, el número de la tercera diferencia es el de las centenas y todo múltiplo de este que sea menor que el millar, como cien, doscientos, trescientos, y así hasta el millar. Y así se pueden multiplicar los números simples hasta el infinito a 3 El significado de esta frase es difícil de discernir partiendo de su propia estructura latina, en la que quizá subyazca algún error de copia no visible. Según la entendemos, el autor aquí querría decir que la distinción entre simple y compuesto no afecta a su uso para enumerar entidades, sino que es una simple categorización teórica y discursiva. 4 En el texto latino no queda claro qué entiende el autor por per uno sumitur. Sin embargo, dado el contexto, haría referencia a que la differentia, que es la casilla que ocupa una cifra dentro del sistema posicional, se determina en función de si un guarismo se encuentra en dicha casilla, o «si se mueve una» hacia la derecha o la izquierda. 5 Con esta enrevesada formulación el autor querría decir, a nuestro juicio, que todo lo que llama digitus, o lo que es lo mismo, toda figura que esté en la primera diferencia, recibe el nombre de «unidad». Sería lo mismo que hoy: llamamos unidades a los guarismos que ocupan la primera casilla de la derecha. 6 Entendemos dividenciam como divisionem. 7 Sc. pueden dividirse únicamente. O lo que es lo mismo, son primos. 927 3 simplices usque in infinitum duci per dupplicationem. Item per consequens, primum articulum inter quoslibet duos numeros 55 simplices sunt IX compositi numeri ex IX digitis, et alienos alio numero, ut inter X et XX sunt undecim, XIIcim et sic deinceps usque XIX. Item inter XX et XXX sic alii IX numeri compositi, et sic deinceps inter alios simplices. De progressione primo dicendum est istud simpliciter potest 60 sciri. Est autem progressio aggregatio numerorum continue sumptorum ab unitate secundum equales excessus. Talium progressionum quidam naturalis, quidam intercissa. Progressio naturalis est in qua sequens numerus superat precedentem numerum tantum, ut I, II, III, IIII, V, et sic 65 deinceps addendo semper unitatem. De progressione naturali due dantur regule, quarum prima hec est: si progressio naturalis desinat in parem numerum, sumatur medietas illius numeri, in quem desinit progressio, unde ducatur in primo proximum numerum, per consequens illum in quem desinit progressio, et 70 productum erit summa totius progressionis. Ducere numerum in numerum est ponere unum numerum in adverbialem terminationem vel denominationem; reliquum in nominalem, ut ducere ternarium in quaternarium est dicere ter quatuor vel quater tria. Verbi gratia, si velis dicere quot sint in hac 75 progressione: I, II, III, III, V, VI, sume medietatem senarii, scilicet ternarium, et duc in VIIrium, et resultabit summa totius scilicet XXI. Alia regula est de hac progressione, una desinente in imparem numerum, sumatur equalis maior portio et ducatur in illum numerum in quem desinit progressio et patebit summa 80 totius. Ut desinit in VIIrium, sumatur †per ternarius et ducatur in XIIrium† et dicitur quater septem et erunt XXti VIIIº, quod est summa totius. 54/56 Item – numeri] cfr. VILLAD., Carm. 18/19, cfr. SACROB., Algor. 16/17 61/62 Est – excessus] SACROB., Algor. 357/358 62/63 Talium –  intercissa] SACROB., Algor. 359/360 64/66 Progressio – unitatem] cfr. SACROB., Algor. 360/363 66/71 De – progressionis] cfr. SACROB., Algor. 367/371 71/75 Ducere – tria] cfr. SACROB., Algor. 213/215 75/ 78 Verbi – XXI] cfr. SACROB., Algor. 371/373 78/83 Alia – totius] cfr. SACROB., Algor. 374/378 54 dupplicationem] decuplationem temptavi 56 et Ac, et inter Aa 62 sumptorum scripsi, sumpiriorum A sic unitate scripsi, unite A 79 portio scripsi, positio A 81/82 per – XIIrium] locus corruptus 928 3 través de su duplicación. Igualmente, por consiguiente, el primer artículo que está entre dos números simples cualesquiera son los 9 números compuestos de los 9 dígitos, y los otros de otro número, como entre 10 y 20 están el once, el 12, y así el resto hasta 19. Igualmente entre el 20 y el 30 así los otros 9 números compuestos, y así los demás entre los otros simples. Sobre la progresión primero hay que decir lo siguiente, que se puede entender de manera sencilla: la progresión es la agregación de números escogidos de forma continua con la misma distancia entre ellos desde la unidad. De tales progresiones, algunas son naturales, algunas truncadas. La progresión natural es en la que el número siguiente supera al anterior en un sólo número, como 1, 2, 3, 4, 5, y así el resto añadiendo siempre una unidad. De la progresión natural se dan dos reglas, cuya primera es esta: si la progresión natural finaliza en número par, se coge la mitad de ese número en el que finaliza la progresión, y de ahí se multiplica por el número siguiente a ese primero, que por consiguiente es aquel en el que termina la progresión, y el producto será la cantidad de toda la progresión. Multiplicar un número por otro número es poner un número con una terminación o denominación adverbial, el restante con una nominal, de manera que multiplicar tres por cuatro es decir tres veces cuatro o cuatro veces tres8. Por ejemplo, si quieres decir qué cantidad hay en esta progresión: 1, 2, 3, 4, 5, 6, coge la mitad del seis, es decir, tres, y multiplícala por 7, y resultará la cantidad de toda ella, o sea, 21. La otra regla de esta progresión, una que acabe en número impar, es que se coja la mayor porción de este mismo y se multiplique por aquel número en el que acaba la progresión y saldrá la cantidad de toda ella. De manera que, acabando en 7, se coge †desde el tres y se multiplica por 12†9 y se dice cuatro veces siete y serán 28, que es la suma de toda ella. 8 Puesto que en latín existen los numerales adverbiales (como ter, quater, quinquies, etc.), para sus hablantes sería más natural pensar en las multiplicaciones, al menos aquellas con números bajos, como una cuestión lingüística más que matemática, puesto que estarían habituados a su uso. 9 Puesto que el resultado de la suma de los integrantes de una progresión aritmética con intervalo +1 que acaba en 7 es, en efecto, 28, la parte donde se indica que se multiplique 3 por 12 está, sin duda, corrupta. Probablemente haya que reconstruir la frase con algo parecido como: «se coge la mitad mayor de 7, es decir, 4, y se multiplica por aquel». 929 4 Alia progressio est scilicet intercissa quando sequens numerus superat precedentem binario tantum et sit quandoque 85 per numeros dimissus in paribus, sumpto initio a binario, ut IIº, IIIIor, VI. Et quandoque sit per impares, sumpto initio ab unitate, relictis paribus, ut I, tria, V et simillia. Si pares numeros sit talis, servatur medietas numeri finientis progressionem et ducatur alia medietas in proximum numerum, per consequens, 90 ut si desinat in octonarium, ducatur quaternarius in quinarium et dicatur quater quinque, tunc patebit summa illius progressionis, scilicet XXti. Alia regula: si fiat progressio intercissa per impares numeros, sumatur maior portio finientis progressionem et ducatur in se ipsam et dicatur quinquies V et sic productum 95 patebit, scilicet XXV. De naturali: qui sequitur numerum medio pare multiplicetur. Impar parte sui maiori multiplicetur. De intercissa: quot sequitur medium medio pare multiplicetur. Impare pars maior per se sic summa tenetur.100 De multitudine cuiusdam et in compositos numeros studiose a legenti hiis computandi. 84/88 Alia – simillia] cfr. SACROB., Algor. 363/366 88/93 Si – XXti] cfr. SACROB., Algor. 380/384 93/96 Alia – XXV] cfr. SACROB., Algor. 385/388 97/98 qui – multiplicetur] Add. in Carm. III, 1/2 98/100 quot –  tenetur] Add. in Carm. III, 3/4 88 per] supplevi 89 sit scripsi, sed A 97 numerum scripsi iuxta Add. in Carm. III, 1, numerus A 98 Impar parte scripsi iuxta Add. in Carm. III, 2, in par pare A 99 Impare pars scripsi collato Add. in Carm. III 4, in pare par A 101 in compositos numeros scripsi, in compositi numeri A 930 4 Hay otra progreción, es decir, la truncada, cuando el número siguiente supera al anterior en dos unidades, y a veces es saltándose los números de par en par, tomando el inicio desde el dos, como 2, 4, 6. Y a veces es de impar en impar, tomando el inicio desde la unidad, dejando los pares, como 1, tres, 5 y así el resto. Si esta es a través de los pares, se conserva la mitad del número que termina la progresión y se multiplica la otra mitad por el número sucesivo, por consiguiente, si de esta forma termina en ocho, se multiplica cuatro por cinco y se dice cuatro veces cinco, entonces saldrá la cantidad de toda la progresión, es decir, 20. La otra regla: si se hace una progresión truncada a partir de números impares, se coge la mayor porción del que termina la progresión y se multiplica por sí misma, y se dice cinco veces 5 y así saldrá el producto, es decir, 2510. Sobre la natural: con la mitad del par se multiplica el que sigue al número, el impar se multiplica por su parte mayor. Sobre la truncada: la mitad se multiplica en el par por cuanto sigue al medio, en el impar, la parte mayor por sí misma: así se obtiene la cantidad. Sobre la cantidad de cualquier cosa el lector habrá de calcularla con esmero también en los números compuestos. 10 Entendemos que el ejemplo para las progresiones truncadas impares parte de una secuencia 1, 3, 5. 931 Comentario al Carmen de algorismo del ms. Paris, BNF, Lat. 14070: edición crítica y traducción 933 Sit michi solamen divinus spiritus amen INCIPIT ALGORISMUS Inter IIIIor mathematicas disciplinas, quod sunt arismetica, geometria, musica, astronomia, arismetica prior et dignior reputatur, quoniam sine speculatione huius nec recte sapiendum 5 nec etiam philosophandum. Ut dicit Boetius, verba platonica recolligens, ipsa etiam ad ceteras optinet principium, hec enim prior est, et hec certa constituit quacumque ratione fabricante per numerus; assignati ordinis concordiam contingit invenire. Que enim natura priora sunt, hiis sublatis, simul posteriora 10 tolluntur, quamvis posteriora pereant, nihil dum statu priori sublate permutatur. In omnis igitur mathematicis disciplinis fungitur vice sua, per eam enim equalitates et inequalitates, quadratum et quadrangulum, et denominationes certe fiunt. Per hanc enim 15 dyaconitas armonie coniungimus portiones, ortus quoque et occasus, tarditates et velocitates, motus siderum, de facies lune multiplices et temporibus vicissitudines custodimus, quare prior ceteris essencialiter iudicatur. Ad cuius planam cognitionem restat divisiones, diffinitiones 20 numeri assignari, sed quia duplex est numerus, ideo distinguendum est ne per equivoca procedamus. Est enim numerus creatus et increatus. Increatus est in quo omnes numerorum infinitas finitatur et ubi multitudo recipit finitatem. Est enim sicut scribitur in secunda propositione causa prima 25 super omne verba quod nominatur et ille non distinguitur cum sit terminus relucencium numerorum. Creatus est triplex: est enim numerans, ut intellectus vel alia de quo Pitagoras ait; alia est numerus per se movens, et est numerus numeratus, ut sunt res et 4 elementa et planeta et multitudo stellarum sub uno orbe 30 que omnia providens conditor sub certo posuit ordine numerorum de quo principalis est intentio huius artis. De hac apud grecos primo tractavit Pitagoras et postea Nichomachus, sed Apuleius apud latinos, et secundum Boetius et postea Algorismus ipsum sequens et Gordianus et Euclides. 35 Trad. text.: P = Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 14070, ff. 81r-96v 3 quod P sic, que temptavi 21 sed suppl. Ps, om. Pa 34 Apuleius scripsi, Epuleius P 934 Que mi consuelo sea el espíritu divino. Amén. ALGORISMO Entre las cuatro disciplinas matemáticas, que soun la aritmética, la geometría, la música y la astronomía, la aritmética es considerada la principal y la más digna, porque sin la observación de sus postulados no se puede conocer correctamente ni tampoco filosofar. Como dice Boecio, recogiendo las palabras de Platón, también esta sostiene el fundamento de las restantes, y por tanto es la principal. Esta ordena con precisión a partir de los números cualquier cosa con razón de ser construida, lleva a encontrar la concordia del orden que se le ha asignado. En efecto, lo que es superior por naturaleza, elevándose a sí mismo, a su vez anula a lo que es inferior, de forma que siempre que lo que es inferior muere, nada cambia en el estado de lo superior en su elevación. Así, todas las disciplinas a su vez se concentran en las matemáticas: en efecto gracias a ella con certeza tienen lugar las igualdades y las desigualdades, el cuadrado y el cuadrángulo, también sus denominaciones. Gracias a ellla, en efecto, reunimos las porciones de la armonía diaconal, observamos el nacimiento y también el ocaso, las lentitudes y las velocidades, el movimiento de las estrellas, sobre las caras múltiples de la luna y las vicisitudes de los tiempos; por eso se considera en esencia la principal respecto a las demás. Para cuyo pleno conocimiento queda que se asignen las divisiones y definiciones del número, pero, como el número es doble, hay que distinguirlo para que no procedamos a través de equívocos. Y así está el número creado y el no creado. El no creado es en el que toda la infinidad de números finaliza y donde la multitud recibe su fin. Es tal como se escribe en la segunda proposición en la causa primera sobre toda palabra que se nombra, y aquel no distingue cuál es el término de los relucientes números. El creado es triple: es el que numera, como el intelecto o las otras cosas de las que Pitágoras habla; el otro es el número que por sí mismo se mueve; y está el número numerado, que son las cosas y los cuatro elementos, el planeta y la multitud de estrellas bajo el orbe único que el fundador que todo lo provee puso bajo el certero orden de los números, que es el objetivo principal de este arte. Sobre ella trató en primer lugar entre los griegos Pitágoras y después Nicómaco, pero Apuleyo entre los latinos; en segundo lugar, Boecio y después Algorismo siguiendo a este, y Gordiano, y Euclides. De ahí que 935 2 Unde 3 arismeticas invenimus, scilicet arismeticam Gordiani, et Euclideis, et Boetii, quem Algorismus consequitur, qui inter omnis maxime de hoc numeratio tractavit. Euclides in quinto sue arismetice numerum sic diffinitur: numerus est multitudo ex unitatibus aggregata. Boecius sic: numerus est acervus ex 40 unitatibus profusus. Sic diffinitiones sunt date formaliter. Materialiter autem describitur sic: numerus est unitates collecte, vel sic: numerus est multitudo ex unitatibus aggregata. Magistraliter autem describitur: numerus est quantitas distincta a proportione ubicumque et potentia additiva multiplicans 45 infinite. Dividitur autem numerus secundum eius scientiam in theoricam et practicam, sicut et omnes alie scientie. Theorica est rerum perfectarum notitia, solo intellectu capiendarum, subiecta memorie rerum sensu operandarum. Secundum Avicenam vero 50 theorica est perfecta cognitio rerum per sua principia. Et dicitur in 3 arismeticas predictas, scilicet Gordiani, et Euclides, et Boetii, quem actorem iste sequimur. Et eius arismetica dividitur in prohemium et tractatum. Et assignatur triplex prohemium et propter rem, ad rem, de re. Et duo libri in quorum primo tractat 55 de numero absoluto; in secundo, de numero figurato. Et dividitur iste liber in partes multiplices et diversa capitula secundum proprietates numeris inherentes. Dividitur autem numerum prima sui divisione per par et impar, tamquam per suam propriam passionem. Et par numerus 60 dividitur per 4 differentias: pariter par, pariter impar, impariter par y impariter impar. Impar etiam dividitur quia alii simplices, alii compositi, alii mediocres, et iterum mediocres dividuntur in partes cuius divisionem ommittimus quo ad presens. Sed imparium numerorum alia est divisio, quoniam alii sunt 65 superflui, alii diminuti, alii perfecti. Item omnis numerus consideratur secundum se aut ad aliquid. Si ad aliquid sic dividitur, quia alii sunt equales, alii inequales, alii maiores, alii minores, alii multiplices, alii submultiplices, alii particulares, alii superprocientes [superprocientes], alii discreti. Et iterum 70 discretorum: alii continentes, alii lineares, alii superficiales, alii 39/40 numerus – aggregata] EUCLID., Element. 7.2 (p. 196, 4) 40/ 41 numerus – profusus] BOETH., Instit. 1.3 (p. 13, 10/12) 41/43 Sic –  aggregata] SACROB., Algor. 8/10 36 Gordiani Pc, Geor. Pa 52 arismeticas Pc, math Pa 70 superprocientes2] delevi 936 2 encontremos 3 aritméticas, o sea, la aritmética de Gordiano, la de Euclides y la de Boecio, al que sigue de cerca Algorismo, quien entre todos ellos fue el que trató en mayor medida esta numeración. Euclides en el quinto de su Aritmética define así el número: «el número es la multitud reunida de unidades». Boecio así: «el número es el cúmulo extendido de unidades». Así se dan estas definiciones formalmente. Materialmente, en cambio, se describe así: el número son unidades conjuntas, o así: el número es la multitud reunida de unidades. Magistralmente, sin embargo, se describe: el número es la cantidad variada de una proporción en cualquier lugar y que se multiplica potencialmente hasta el infinito con la adición. El número, en cambio, se divide según su ciencia en teórica y práctica, como también las otras ciencias. La teórica es noción de las cosas llevadas a su término, comprendidas por el solo intelecto, sujeta a la memoria por el sentido de las cosas que se operan. Según Avicena, no obstante, la teórica es el completo conocimiento de las cosas a través de sus principios. Y se dice en las tres aritméticas citadas, o sea, la de Gordiano, la de Euclides y la de Boecio, a cuyo autor de esta seguimos. Y su aritmética se divide en proemio y tratado. El proemio se distribuye en tres partes: acerca del asunto, hacia el asunto y desde el asunto. Y dos libros, de los que en el primero trata del número absoluto, en el segundo del número figurado. Este a su vez se divide en múltiples partes y diversos capítulos según las propiedades inherentes de los números. El número se divide en su primera diferenciación en par e impar, uno y otro según su propio accidente. Y el número par se divide a su vez en cuatro partes diferentes: parmente par, parmente impar, imparmente par e imparmente impar. También el impar se divide, porque unos son simples, otros son compuestos, otros intermedios; y de nuevo los intermedios se dividen en partes cuya división omitimos por ahora. Pero hay otra división de los números impares, porque unos son superfluos, otros disminuidos, otros completos. Igualmente, todo número se organiza según sí mismo o en relación con algo más. Si en relación con algo más, así se dividen, porque unos son iguales, otros desiguales, unos mayores, otros menores, unos múltiples, otros submúltiples, otros particulares, otros súperdemandantes, otros discretos. Y de nuevo de los discretos: unos continentes, otros lineales, otros superficiales, otros sólidos, otros circulares, otros espesos, otros 937 3 solidi, alii circulares, alii spissi, alii trigoni, alii quadrati, alii quadranguli, alii piramidi, alii cubici. Hec sunt principales divisiones et denominationes numerorum, et subdivisiones adhuc possunt fieri, que in arimestica Boetii continentur.75 Practica est aperta demonstratio in propaculo sensuum et operatione manuum secundum procunctis theorice intellectum, vel secundum Avicenam sic: practica est cognitio qualitatis operandi secundum enim illam proprie. Arismetica practica potest dici qua qualitatem considerat operandi et sic Algorismi: 80 scientia est practica numerorum cum hac sola omnium numerorum considerat qualitatem. Hic autem dicitur per decem partes quoniam hiis versibus continentur: Est algorismus numerandi practica cuius sunt partes dene species dicimus esse.85 Scribere dat prima, monstrat numerare secunda, additio terna fertur, subtractio quarta, quinta duplabis, sed sexta dimidiabis, septima multiplicat, post hac divisio constat, radices nona trahit, est progressio dena.90 Has novem nominat in prosa haberi, determinans de descriptione que est prima species. Descriptio est cuiuslibet numeri per figuras competentes representatio. Hec enim species generalis est ad omnes, que docet quamlibet numerum per figuras representare, sicut in 95 quolibet opere. Ita hic scilicet 4 inquiruntur, scilicet que materia, que intentio, que utilitas, quis modo agendi, quis titulus, que omnia ad causas 4 reducuntur. Causa materialis sive materia est numerus generaliter et specialiter, prout est protractum et habet 7 partes que hic traduntur. Causa suscepti operis sive efficiens 100 est duplex principiata. Quidam rerum avarissimus nomine, qui diffidens de proprio ingenio Algorismi ad inceptorum huius scientie vicitavit. Propinqua autem fuit clarissimus doctor nomine Algorismus, professione philosophus grecus, exiens natione, circa numerorum officium ita notus quod protrahebat 105 imperatoribus arabibus in arismetice facultate. Intentio sua fuit nos per 10 et 7 species sive 10 in omnibus magnis computationibus et varietate instruere numerorum. Modo agendi est duplex: forma tractatus que apparebit in libri divisione et 86/90 Scribere – dena] cfr. VILLAD., Carm. 28/31, cfr. SACROB., Algor. 17/20 93/94 Descriptio – representatio] SACROB., Algor. 23/24 105 protrahebat scripsi, protamebat Pa sic 938 3 trígonos, otros cuadrados, otros cuadrángulos, otros pirámides, otros cúbicos. Estas son las principales divisiones y denominaciones de los números, y todavía pueden hacerse subdivisiones, las que aparecen en la Aritmética de Boecio. La práctica es la demonstración abierta en la extensión de los sentidos y en la operación de las manos acorde con la intelección del conjunto teórico, o según Avicena así: «la práctica es el conocimiento de la cualidad de operar precisamente según esta misma». Se puede decir que la aritmética práctica es la que examina la cualidad de operar, y así Algorismo: la ciencia es la práctica de los números cuando esta examina tan solo la cualidad. Sin embargo, aquí se dice que se distribuye en diez partes, como se expresa en estos versos: «Es el algorismo la práctica de numerar, cuyas partes decimos que son estas diez especies. La primera ofrece el escribirlos, enseña a enumerar la segunda, la tercera cuenta la adición, la cuarta, la sustracción; duplicarás en la quinta, pero mediarás en la sexta, la séptima multiplica, tras esta consta la división, la novena transmite las raíces, es la progresión la décima». Se dice que en la prosa hay nueve partes, determinando que la primera especie es la de la descripción. La descripción es la representación de cualquier número a través de las figuras competentes. En efecto esta especie es general para todas, la que enseña a representar cualquier número a través de las figuras, como en cualquier parte de la obra. Así aquí se preguntan cuatro cosas, a saber: cuál es la materia, cuál la intención, cuál la utilidad, cuál la forma de actuar, cuál el título; todas ellas se reducen en 4 causas. La causa material o la materia es el número en general y en particular, como consecuencia es una entidad amplia y tiene siete partes que se transmiten aquí. La causa del origen de la obra o la causa de su concepción responde a una motivación doble. Hubo un individuo de nombre avarísimo con todo, que, desconfiando del propio ingenio de Algorismo como iniciador de esta ciencia, lo vilipendió. Sin embargo, hubo cerca de aquí un doctor famosísimo de nombre Algorismo, filósofo griego de profesión que, saliendo de su nación, era tan conocido por el oficio de los números que entrenaba a los emperadores árabes en la facultad de la aritmética. Su intención fue instruirnos en todos los grandes cómputos y en la variedad de los números a través de diez y siete especies o diez1. El modo de actuar es doble: la forma de lo tratado que aparecerá en la 1 Entendemos que en este punto, donde el texto latino no es del todo comprensible, se indica que el tal Algorismo quiso enseñar esta ciencia a través de las diez figuras de los números, o sea, los guarismos, y su exposición en siete capítulos. 939 4 forma tractandi que est metrica et plana. Utilitas est proxima ad 110 diversas species arismetice cognoscendas et in astronomia et in compoto: per hanc enim scientiam computando per divisionem maxime declarantur. Titulus talis est: Incipit capitulum vel practica artis algorismi. Sed nota quod diversi mode sit intitulatio et nota quod quidam dicunt algorismi, quidam vero 115 argorismum, primo dicitur ab algos, quod est inductio, et rithmos, quod est numerus, quasi inductio in numerum; vel algorismus quasi algorii mos; vel dicitur ab alge, quod est arena, vel ab alleos, quod est alienum, et gores, consideratio, quasi consideratio aliena, quia Arabum et Indie, vel nominatur a 120 quidam nomine qui equipollet nomini greco, quod idem est quod alba arena et gogos, inductio, quia in illa fuit inventus, que est in litore cuiusdam fluvii Arabie. Quo ad illos autem qui dicunt agorismus dicitur de ago, -gis, et rithmos, quo ad illos dicentes argorismum dicitur ab Ares, quod est ubicumque, et 125 rithmos, numerum, quia ubicumque numeralis; vel ab argis, id est, grecis, et mos, quasi grecorum mos. Hiis visis ad formam tractatus redendum est, qua consistit in divisione. Unde iste liber principaliter dividitur in 2 partes per modum doctrine, scilicet in prohemium et tractatum. Prima pars 130 incipit hec algorismus, secunda ibi: addere. Prima in 2: in prohemium separatur et coniunctum; secunda: septem sunt partes. Coniunctum est in quo tanguntur ea quod postea sunt dicenda. Prima in 2: in prima ponit nominationem sue artis, in secunda distingit numerum; secunda: post predicta scias. Prima 135 pars de presenti lectione et ibi in 2, in prima ponit nominationem sue artis et figuras quibus mediantibus operantur; in secunda ostendit significationes figurarum; secunda: prima que significat. Et hac in 2, in quarum prima ponit significationes earum et hoc tam absolute quam comparate, in secunda ponit 140 notabilia; secunda: quam precedentes. Prima in 2, in quarum prima ostendit quid significant figure absolute, in secunda quid comparate; secunda ibi: quamlibet illarum. Pars in qua ponit 114/127 Sed – mos2] cfr. SACROB., Algor. 4/7, cfr. quoque app. 131 hec algorismus] VILLAD., Carm. 1 addere] VILLAD., Carm. 35 132/ 133 septem – partes] VILLAD., Carm. 28 135 post – scias] VILLAD., Carm. 14 138/139 prima – significat] VILLAD., Carm. 4 141 quam precedentes] VILLAD., Carm. 12 143 quamlibet illarum] VILLAD., Carm. 7 940 4 división del libro y la forma de tratarlo que es métrica y plana. La utilidad de conocer las diversas especies de la aritmética es cercana también a la astronomía y al cómputo: a través de esta ciencia, en efecto, se revelan las máximas para la división en la manera de computar. El título es el siguiente: Aquí empieza el capítulo o la práctica del arte del algorismo. Pero nota que se ha titulado de diversas formas y nota que algunos dicen del algorismo, otros en cambio argorismo. El primero se dice por «algós», que es la acción de conducir, y «rithmós», que es número, como si fuera la acción de conducir hacia el número; o algorismus, como la costumbre del algorio. O se llama así por «alge», que es arena, o por «alleos», que es el otro, y «gores», consideración, como si fuera la consideración ajena, porque es de los árabes y de la India. O se llama así por algún nombre que suena igual que el nombre griego, que es lo mismo que la arena blanca y «gogos», la acción de conducir, porque en ella fue inventado, que está en la costa de un tal río de Arabia. En cuanto a aquellos que dicen en cambio «agorismo», se llama así por «ago, agis» y «rithmós»; también los hay que dicen argorismo y dicen así por Ares, que está en todas partes, y «rithmós», número, porque por todas partes se numera. O de «argis», esto es, los griegos, y «mos», como si fuera la costumbre de los griegos. Visto esto, hay que volver a la forma del tratado, que consiste en su división. Por lo que este libro se divide principalmente en dos partes en cuanto a su doctrina, es decir, en proemio y tratado. La primera parte empieza así: «este algorismo»; la segunda aquí: «si quieres añadir». La primera de ellas a su vez se separa en dos: en el proemio y en el conjunto; la segunda en «siete son las partes». El conjunto es donde se toca aquello que luego se dice. La primera parte de este se divide en dos: en la primera pone la denominación de su arte, en la segunda distingue el número; la segunda en «tras lo dicho has de saber». La primera parte de la presente lección también se divide en dos: en la primera pone la denominación de su arte y las figuras a través de las que se operan, en la segunda muestra los significados de las figuras; la segunda en: «la primera que significa». Y esta en dos, de las que en la primera pone los significados de estas tanto de manera absoluta como relativa, en la segunda pone las cosas notables; la segunda en «que las precedentes». La primera de estas a su vez en dos, entre las que en la primera muestra qué significan las figuras absolutas, en la segunda qué las relativas; la segunda aquí: «cualquiera de ellas». La parte en la que pone las cosas 941 5 notabilia habet 2, secundum 2 notabilia; secunda ibi: nichil cifra.145 In hac parte quod dicitur algorismus primo videndum est quid sit algorismus et que sit utilitas. Unde dicatur iam dictum est in precedentibus: algorismus est ratio numerandi, facile faciens quod est difficile ex se. Ex hoc enim propenditur eius utilitas: sunt enim quidam numeri qui secundum suam naturam 150 de facili non possunt cognosci vel numerari, qui per hanc artem de facili numerantur. Sed quoniam ista scientia circa numerum versatur, licet superius diffinita fuerit modis prohemis. Unitas enim comprehenditur quod esset sub aliqua istarum diffinitionum. Unde sic numerus diffinit secundum quod est 155 sublatum istius artis. Numerus est collectio unitatum vel ipsa unitas, et dicitur sic: numerorum alius est digitus, alius compositus, alius articulus. Digitus est numerus contentus citra 10, et ita sunt novem digiti qui representant per istas 9 figuras: 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Et 160 ecce chifra, quod non est significativa, sed locum quidam optinet et dat significare sequenti. Et notandum quod omnis figura primo loco posita significat se solam, secundo loco se decies, tertio loco se centesies, quarto loco se millesies, quinto se decies millesies et sic semper ascendendo per decuplatorum 165 proximi. Articulus est denarius et omnis numerus constans ex denariis, bigenarius, trigenarius, et sic de aliis. Compositus numerus est ex digito et articulo, ut duo denarius, similiter bigenarius et unitas. Sufficientia harum speciarum sic patet. Omnis numerus aut scribitur una sola figura et sic est digitus; 170 aut pluribus, et hoc dupliciter: aut ex significantis et sic est compositus, aut ex significantis partim et partim non, et hoc dupliciter: aut significativa proponitur et sic articulus, aut postponitur sive interponitur et sic est compositus. Item quidam 144/145 nichil cifra] VILLAD., Carm. 13 157 Numerus – unitas] cfr. SACROB., Algor. 8/11 158 numerorum – articulus] SACROB., Algor. 11/12 159 Digitus – 10] cfr. VILLAD., Carm. 17, cfr. SACROB., Algor. 12/13 159/ 160 ita – 1] cfr. VILLAD., Carm. 2/3, cfr. SACROB., Algor. 30/32 160/ 162 Et – sequenti] cfr. VILLAD., Carm. 13, cfr. SACROB., Algor. 32/35 162/166 Et – proximi] cfr. VILLAD., Carm. 4/6 166/167 Articulus – aliis] cfr. VILLAD., Carm. 18, cfr. SACROB., Algor. 13/14 167/169 Compositus –  unitas] cfr. VILLAD., Carm. 18/19, cfr. SACROB., Algor. 14/16 170/ 174 Omnis – compositus] cfr. VILLAD., Carm. 20/24, cfr. SACROB., Algor. 39/44 155 numerus Pc, numerus si Pa 942 5 notables tiene dos organizadas según dos puntos notables; la segunda aquí: «el cero nada»2. En esa parte que se llama algorismo primero hay que ver qué es el algorismo y cuál su utilidad. Que se diga entonces lo que ya se dijo en las líneas precedentes: el algorismo es la razón de numerar, haciendo fácil lo que es difícil por sí mismo. A partir de esto se deduce su utilidad: hay en efecto algunos números que según su naturaleza no se pueden comprender o numerar fácilmente, esos a través de este arte se numeran con facilidad. Pero puesto que esta ciencia versa sobre los números, conviene que arriba se definieran a modo de proemio. Por tanto la unidad se entiende qué es por alguna de estas definiciones. De ahí que así el número se defina según lo que subyace a este arte. El número es la colección de unidades o la misma unidad, y se dice así: de los números unos son dígitos, otros compuestos, otros artículos. El dígito es el número que se incluye entre aquellos que van hasta diez, y de esta manera hay nueve dígitos que se representan con estas nueve figuras: 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. También está el cero, que no tiene significado, pero recibe un lugar cualquiera y otorga un significado a la siguiente. Hay que notar que toda figura puesta en el primer lugar significa tan solo ella misma; en el segundo lugar, diez veces ella misma; en el tercer lugar, cien veces ella; en el cuarto lugar, mil veces ella; en el quinto, diez veces mil, y así siempre se asciende decuplando el anterior. El artículo es la decena y todo el número que consta de decenas: veinte, treinta, y así el resto. El compuesto es un número a partir de un dígito y un artículo, como el doce, o también el veintiuno. Queda así expuesto lo suficiente respecto a estas especies. Todo número se escribe o con una figura, como en el caso del dígito, o con varias. Si es así, hay dos tipos: o con aquellas con significado, y entonces es compuesto, o con algunas que tienen significado y otras que no. Si este es el caso, hay de dos tipos: o la figura que tiene significado se pone delante y entonces es un artículo, o se pone detrás o en el medio y entonces 2 Todo este párrafo hace referencia a la estructura que sigue el Carmen de algorismo y va citando el inicio de los versos donde empieza cada parte descrita. 943 6 numeri anthonomice dicuntur centenarius, et sic semper 175 ascendendo per multiplicationem vel per decuplationem. Item differentia dicitur dupliciter in hac arte: uno modo secundum quod aliquis numerus differat ab alio, verbi gratia: novenarius differt a denario, articulo secundum formam unum; unitas illa dicitur esse differentia novenarii ad denarium, et ita de aliis. 180 Item dicitur locus in quo scribitur aliqua series numerorum. Et notandum quod differentia hoc modo sumpta et locus, et limes, et sedes per eodem accipiuntur per omnes species, sed differunt ratione tot nominibus appellantur. Item notandum quod 0 posita in primo loco et binarius vel 185 aliquis numerus in secundo, tantum significat illa figura posita in secundo quantum si 0 esset significativa. Millenaria scilicet super figuram positam quarto loco. Notandum quod convenienter ponitur punctus in figura millenaria, scilicet super figuram in quarto loco positam. Item notandum quod 190 sinistrorsum scribimus in hac arte, more arabum, huius scientie inventorum, vel quia consueto more legentibus maior numerus proponitur. Item notandum quod sinistrorsum scribimus et dextrorsum est legendum. Post predicta. Actor posuit superius denominationem sue 195 artis et significationem figurarum absolute et comparate. In hac parte dividit numerum et explanat membra dicens. In secunda docet scribere ea; secunda ibi: ergo proposito numero. Prima in 2. In prima distingit triplicem speciem numeri, in secunda manifestat illas species; secunda: sunt digiti. Prima in 2. In 200 prima ponit numerum, in secunda species; secunda: nam quidam. Hoc in 3, secunda 3 species; secunda: articuli, tertia: quidam quoque. Sequitur illa pars in qua explanat et habet 3 secundum 3ª membra explanat; secunda: articuli, tertia: compositi. Sequitur illa pars in qua docet illas species scribere 205 176/184 Item – appellantur] cfr. SACROB., Algor. 24/30 185/188 Item –  loco] cfr. SACROB., Algor. 55/57 188/190 Notandum – positam] SACROB., Algor. 61/65 190/193 Item – proponitur] SACROB., Algor. 66/68 195 Post predicta] VILLAD., Carm. 14 198 ergo – numero] VILLAD., Carm. 20 200 sunt digiti] VILLAD., Carm. 17 201/202 nam quidam] VILLAD., Carm. 10 202 articuli] VILLAD., Carm. 16 203 quidam quoque] VILLAD., Carm. 16 204 articuli] VILLAD., Carm. 18 205 compositi] VILLAD., Carm. 18 180 novenarii scripsi, denarii P 188 super suppl. Ps, om. Pa 944 6 es un compuesto. También hay números que se llaman por antonomasia centenarios, y así siempre van ascendiendo a través de la multiplicación o de la decuplación. También se dice que la diferencia es doble en este arte. Una opción es que sea el intervalo por el que un número dista de otro, por ejemplo: lo que el nueve dista de la decena, que es un artículo por la forma, esta unidad es la que se llama la diferencia del nueve al diez, y así el resto. También se le llama al lugar en el que se escribe cualquier serie de números. Y hay que notar que la diferencia tomada de esta forma, así como el lugar, el límite y la sede se entienden como la misma cosa en todas las especies, pero se distinguen en cuanto a la razón que es tanta como nombres en los que se llama. También hay que notar que el cero puesto en el primer lugar y el binario o cualquier número en el segundo, tanto significará aquella figura puesta en el segundo como si el cero fuera una figura con significado. Y hay que notar que es conveniente que se ponga un punto en la figura de los millares, o sea, sobre la figura puesta en el cuarto lugar. Es decir, en el millar, sobre la figura puesta en el cuarto lugar. También hay que notar que en este arte escribimos hacia la izquierda según la costumbre de los árabes, los inventores de esta ciencia, o porque según la costumbre establecida se pone antes el número mayor ante el lector. También hay que notar que escribimos hacia la izquierda, y hacia la derecha hay que leer. «Tras lo dicho». El artífice puso más arriba la denominación de su arte y el significado de las figuras de manera absoluta y comparada. En esta parte se divide el número y se explica diciendo sus miembros. En la segunda, se enseña a escribirlos; la segunda aquí: «por lo tanto, propuesto un número». La primera de ellas en dos: en la primera se distingue la triple especie del número, en la segunda se manifiestan estas especies; la segunda: «son dígitos». La primera a su vez en dos: en la primera pone el número, en la segunda las especies; la segunda: «pues unos». Esta a su vez en tres, la segunda en tres especies. La segunda: «artículos», la tercera: «y también los hay que». Sigue esa parte en la que explica y tiene tres, según los tres miembros que explica: la segunda: «artículos», la tercera: «compuestos». Sigue esa parte en la que explica a escribir esas especies o los miembros 945 7 vel membra illa, et habet 2. In prima docet scribere ea, in secunda ponit notabilie; secunda: quolibet in numero. Prima in 3. In prima docet scribere primam speciem, in secunda secundam, in tertia tertiam; secunda: sed si compositum, tertia: articulus.210 Sequitur illa pars in qua ponit prohemium iunctum et habet 2. In prima enumerat partes vel capitula sui libri vel sue artis, in secunda docet in qua parte vel in qua specie debeamus incipere operari: a dextra scilicet vel a sinistra; prima septem sunt, secunda subtrahis aut ad. Deinde supra est qui numeri sunt 215 digiti, qui articuli, qui compositi. Tunc restat qualiter debent scribi et dicit actor quod primo considerandum est quis sit numerus qui debet scribi, quia si fuerit digitus, simpliciter debet scribi per suam figuram. Si vero articulus ut 20, scribatur 0 in primo loco, secundo scilicet 2. Si compositus, ut 58, primo 220 octonariam, postea articulum scilicet quinarium, qui valet in secundo loco quinquaginta, et sic de aliis. Si autem vis scribere denarium, primo scribe 0, postea in secundo loco articulum, scilicet unitatem. Si vis scribere 20, primo scribe 0, postea in secundo loco binarium. Si centum, primo scribe 00, postea 225 unitatem, sic: 100, et sic de singulis potes facere in infinitum. Et notandum quod VII sunt species huius artis. Quia iam expeditum est de descriptione et de numeratione, que in prosaico species reputantur, in presenti arte metrico, has ambas tanquam prohemium reputatus. Et nota quod numeratio 230 cuiuslibet numeri per figuras representari certa pronunciatio, et quo ad hoc incipit a sinistris et opponit scriptorem que a dextris inchoat. Nomina vero speciarum et a qua parte sit unaqueque inchoanda, est in litteram manifestum. Sufficientia quidam speciarum sic patet.235 Omnis numerus operando augetur vel diminuitur, et hoc dupliciter: aut subaliter, et sic additio et subtractio, aut accidentaliter, et sic dupliciter, aut in se, et sic radicum extractio, aut in alium, et hoc dupliciter: aut uniformiter, et sic duplatio et 207 quolibet – numero] VILLAD., Carm. 25 209 sed – compositum] VILLAD., Carm. 22 210 articulus] VILLAD., Carm. 24 214 septem sunt] VILLAD., Carm. 28 215 subtrahis – ad] VILLAD., Carm. 32 216/ 226 Tunc – infinitum] cfr. VILLAD., Carm. 20/24 227/230 Et – reputatus] cfr. VILLAD., Carm. 28/31 233/234 Nomina – manifestum] cfr. VILLAD., Carm. 32/34 206 docet Pc, poni Pa 219 20 scripsi, 02 Pa, 10 in marg. Pc 946 7 aquellos, y tiene dos partes: en la primera enseña a escribirlos, en la segunda pone las cosas reseñables; la segunda: «en cualquier número». La primera en tres partes: en la primera enseña a escribir la primera especie, en la segunda la segunda, en la tercera la tercera; la segunda: «pero si un compuesto», la tercera: «un artículo». Sigue aquella parte en la que pone el proemio en su conjunto, y tiene dos partes. En la primera enumera las partes o los capítulos de su libro o de su arte, en la segunda enseña en qué parte o en qué especie deberíamos empezar a operar, o sea, desde la derecha o desde la izquierda; la primera: «las partes de este arte», la segunda: «sustraes, añades». Luego arriba está qué numeros son dígitos, cuáles artículos, cuáles compuestos. Resta por tanto de qué manera se deben escribir, y dice el artífice que primero hay que considerar qué es el número que debe escribirse, porque si fuera un dígito, se debe escribir de manera simple con su figura. Si en cambio un artículo, como 20, se escribe el cero en el primer lugar, después en el segundo lugar el artículo, o sea, el dos. Si compuesto, como 58, primero la del ocho, después el artículo, o sea, el cinco, que en el segundo lugar vale cincuenta, y así el resto. Si en cambio quieres escribir una decena, primero escribe cero, después en el segundo lugar el artículo, o sea la unidad. Si quieres escribir 20, primero escribe 0, después en el segundo lugar el dos. Si cien, primero escribe 00, después la unidad, así: 100, y así puedes hacerlos uno a uno hasta el infinito. Y hay que notar que siete son las especies de este arte. Puesto que ya se han desarrollado los apartados sobre la descripción y la numeración, que en la prosa se cuentan como especies, en el presente arte métrico ambas dos se consideran como proemio. Y nota que la numeración de cualquier número se declara en función de su representación certera a través de las figuras, y que para ello se empieza desde la derecha y se opone al escritor, que desde la derecha comienza. Los nombres de las especies y desde qué parte se empieza en cada una de ellas, se manifiesta en las letras. Queda así patente lo suficiente en relación a las especies. Todo número aumenta o disminuye a través de la operación, y esto a su vez es doble: o por causa ajena, como la adición y la sustracción, o por causa propia. Esta a su vez es doble: o por sí misma, como en la extracción de raíces, o por otros; y esta es doble: o de manera uniforme, como la 947 8 mediatio, aut multipliciter, el sic multiplicatio et divisio. Et ita 240 sunt 7 species etc. Addere si numero. Determinato prohemio, actor agreditur ad tractatum et dicitur totus ille tractatus in operationem arenalem et realem; secunda ibi: si sit continua. Et dicitur pars prima in 7 pars, secunda 7 species huius artis; secunda: a numero 245 numerum, tertia: si bis duplare, 4ª: incipe sic, 5ª: si tu per numerum, 6ª: si vis dividere, 7ª: dum ducis per se. Harum prima est de lectione presenti, que in 2 dividitur. In prima docet scribere, in secunda operari; secunda: inde duas. Hoc in 2, in prima docet operationem liberam, in secunda impeditam sive 250 cum chifris; secunda: si tibi chifra. Prima in 3 secundum 3 species numeri: in prima docet operari secundum quod unus numerus digitus excrescet, in secunda secundum quod numerus compositus, in tertia secundum quod numerus articulus; secunda: si compositus, tertia: articulus. Hec est divisio 255 lectionis. Additio est numerorum aggregatio ut videatur suma excrescens, unde addere nihil aliud est quam duobus numerus propositis tertium invenire qui precise illos duos contineat. In additione facienda ponendi sunt duo ordines figurarum, ita quod 260 prima inferioris sit sub prima superioris, et secunda sub secunda, et sic de aliis. Si plures fuerunt, debes te transferre ad primam inferioris ordinis versus dextram et eam debes addere sue supraposite, et ex illa additione vel excrescit digitus, vel articulus, vel numerus compositus. Si digitus, delenda est 265 superior figura et loco eius ponendus est digitus ille. Si articulus, in primo loco ponenda est chifra et trasferendum est articulus, scilicet unitas pro X in sequentem figuram versus sinistram vel in locum vacuum si sit vacuus. Si numerus compositus, dividendus est in articulum et digitum, et loco superioris figure 270 ponendus est digitus illius numeri compositi et articulus trasferendus est sicut prius. Si vero in traslatione articuli in 242 Addere – numero] VILLAD., Carm. 35 244 si – continua] Add. in Carm. I, 1 245/246 a – numerum] VILLAD., Carm. 50 246 si1 – duplare] VILLAD., Carm. 64 incipe sic] VILLAD., Carm. 76 246/247 si2 –  numerum] VILLAD., Carm. 94 247 si – dividere] VILLAD., Carm. 124 dum – se] VILLAD., Carm. 158 249 inde duas] VILLAD., Carm. 39 251 si – chifra] VILLAD., Carm. 47 255 si compositus] VILLAD., Carm. 42 articulus] VILLAD., Carm. 44 257/258 Additio – excrescens] SACROB., Algor. 70 259/262 In – aliis] cfr. VILLAD., Carm. 35/38, cfr. SACROB., Algor. 79/83 264/274 et – trasferebatur] cfr. VILLAD., Carm. 39/48 264/269 et – vacuus] SACROB., Algor. 84/90 269/272 Si – prius] SACROB., Algor. 94/96 272/277 Si – locum] SACROB., Algor. 90/94 948 8 duplicación y la división en dos, o múltiple, como la multiplicación y la división. Y así son siete especies, etc. «Si añadir a un número». Determinado el proemio, el artífice se adentra en el tratado y se dice que todo este tratado es sobre la operación en la arena y la real; la segunda aquí: «si es continua». Y se dice que la primera parte en siete partes, la segunda las siete especies de este arte; la segunda: «a un número otro número», la tercera: «si dos veces3 duplicar», la cuarta: «empieza así», la quinta: «si tú por un número», la sexta: «si quieres dividir», la séptima: «entonces multiplicas por sí mismo». De todas estas, la primera es la que trata de la presente lección, que se divide en dos. En la primera se enseña a escribir, en la segunda a operar; la segunda: «de ahí las dos». Esta en dos: en la primera se enseña la operación libre, en la segunda la impedida o con ceros; la segunda: «si a ti un cero». La primera en tres según las tres especies de número: en la primera se enseña a operar según si sale un número dígito, en la segunda según si un número compuesto, en la tercera según si un número artículo; la segunda: «si un compuesto», la tercera: «un artículo». Esta es la división de la lección. La adición es la agregación de números de forma que se vea la suma que sale, de ahí que sumar no es otra cosa que, propuestos dos números, encontrar un tercero que contenga precisamente esos dos. Para hacer la suma, hay que poner dos órdenes de figuras, de forma que la primera inferior esté bajo la primera superior, y la segunda bajo la segunda, y así el resto. Si fueran más, debes moverte a la primera del orden de abajo hacia la derecha y a ella debes añadirle su superior, y de esa adición o sale un dígito, o un artículo, o un número compuesto. Si un dígito, hay que borrar la figura superior y en su lugar hay que poner ese dígito. Si un artículo, en el primer lugar hay que poner un cero y hay que mover el artículo, o sea, la unidad por la decena, hacia la siguiente figura de la izquierda o en el lugar vacío si estuviera vacío. Si un número compuesto, hay que dividirlo en artículo y dígito, y en el lugar de la figura superior hay que poner el dígito de ese número compuesto y el artículo hay que moverlo como antes. Pero si al mover el artículo hacia el segundo lugar te encuentras con un cero, se borra 3 Traducimos ‘dos veces’ porque en el texto latino encontramos bis, sin embargo, es muy probable que sea una grafía errónea de vis atendiento al verso concreto que se cita del Carmen, donde aparece este verbo. 949 9 secundo loco inveniatur 0, delenda est penitus et loco eius scribatur qui trasferebatur. Si vero in secundo loco inveniatur figura novenarii et addendi sit ei unitas, et delenda est penitus et 275 debet scribi ibi 0, et unitas trasferenda ulterius est in tertium locum. Et sic operandum est donec inveniatur figura minor novenarius vel spacium vacuum vel 0, et ibi ponenda est unitas que trasferatur. Item si primo loco superioris ordinis inveniatur 0 et inferior figura sit significativa, delenda est 0 et loco eius 280 ponenda est illa figura inferior. Si vero in inferiori loco sit 0, nihil est ibi conmutandum. Hoc facto, in primis figuris eodem modo operandum est in aliis. Materia impedimenta additionis sunt hee linee figurarum: 2960423 / 9763982. Et nota quod utilitas huius specie est quod 285 si habes numerum in archa et addis aliqua summa, scies quod faciet totum. Vel si habes redditus in diversis locis, scies quot facient iuncti simul. Nota quod quanvis additio et subtractio posseat incipere operationes a sinistra, rationabilius sequntur artis autoritatem a 290 dextra et etiam ne errore decepti addere modo digitum ad articulum si inciperemus a sinistris operari. A numero numerum etc. Determinavit actor scilicet de additione, hic agit de subtractione. Patet actor sicut habitus ante privationem, sic pars ante partem. Hec autem in 2 habet partes, 295 in prima docet scribere lineas, in secunda operari; secunda: postea si possis. Hoc in 2, in prima docet operari secundum operationem liberam, in secunda secundum operationem impeditam; secunda: sed si non possis. Et hoc in 2: in prima ponit operationem illam impeditam, in segunda ponit doctrinam 300 que nascitur ex illa operatione impedita; secunda: facque novenarias. Hec enim divisio lectionis. Subtractio est numeri a numero ablatio, et nota quod minor de maiori et par de pari subtrahi potest, maior de minori numquam. Unde subtrahere nihil aliud est que duobus propositis 305 282/283 Hoc – aliis] cfr. VILLAD., Carm. 49, cfr. SACROB., Algor. 96/97 289/292 Nota – operari] cfr. SACROB., Algor. 140/142 293 A – etc] VILLAD., Carm. 50 297 postea – possis] VILLAD., Carm. 54 299 sed –  possis] VILLAD., Carm. 56 301/302 facque novenarias] VILLAD., Carm. 61 303 Subtractio – ablatio] SACROB., Algor. 103/104 303/305 et –  numquam] SACROB., Algor. 104/105 305/307 Unde – extrahere] cfr. SACROB., Algor. 102/103 950 9 enseguida y en su lugar se escribe lo que había que mover. Si en cambio en el segundo lugar te encuentras con la figura del nueve y lo que hay que añadir fuera una unidad, también hay que borrarlo enseguida y allí se debe escribir un cero, y la unidad hay que moverla más allá hacia el tercer lugar. Y así hay que operar hasta que se encuentre una figura menos que el nueve o un espacio vacío o un cero, y allí se pone la unidad que se mueve. También, si en el primer lugar del orden superior te encuentras con un cero y la figura inferior tuviera significado, hay que borrar el cero y en su lugar hay que poner aquella figura inferior. Si en cambio hubiera un cero en el lugar inferior, ahí no hay que cambiar nada. Hecho esto, hay que operar en el resto de figuras igual que se ha hecho en las primeras. El contenido y las excepciones de la adición están en estas líneas de figuras: 2960423 + 97639824. Nota que la utilidad de esta especie es que si tiene un número en tu arca y añades cualquier cantidad, sabrás cuánto es el total. O si tienes un rédito en diferentes lugares, sabrás cuánto son todos juntos5. Nota que aunque en las operaciones de la adición y la sustracción se pueda empezar desde la izquierda, es más razonable seguir la autoridad del arte desde la derecha y también no sea que por error haya un fallo al añadir un dígito a un artículo si empezáramos a operar desde la izquierda. «Un número a otro número», etc. Ya determinó el artífice sobre la adición, aquí trata de la sustracción. Muestra de esta manera el artífice, igual que lo que se tiene antes de la privación, una parte antes de la parte6. Esta en cambio tiene dos partes, en la prima enseña a escribir las líneas, en la segunda a operarlas; la segunda: «después, si puedes». Esta en dos: en la primera enseña a operar según la operación libre, en la segunda según la operación impedida; la segunda: «pero si no puedes». Y esta en dos: en la primera pone esa operación impedida, en la segunda pone la doctrina que nace de esa operación impedida; segunda: «y haz que sean nueves». He aquí la división de la lección. La sustracción es quitar un número a otro número, y nota que se puede sustraer un número menor a otro mayor o un igual a su igual, nunca un número mayor a otro menor. De ahí que sustraer no sea otra cosa que, 4 En este comentario, tras las explicaciones oportunas, encontramos estos ejemplos sin duda destinados a poner en práctica lo aprendido en la teoría. A estos se añaden otras operaciones sin resolver en los márgenes con finalidades claramente propedéuticas, que no incluimos en nuestra edición. 5 Además de las operaciones numéricas, se exponen situaciones donde se podría emplear la operación descrita en contextos cotidianos. 6 Entendemos que aquí se quiere decir que, igual que se describe primero una realidad y luego sus excepciones, en este capítulo el autor primero explica lo necesario para hacer la operación y luego la operación en sí. 951 10 numeris quorum superior sit maior et inferior minor, vel ambo sint equales, unum ab alio extrahere. Unde dicit actor quod numerus superior debet esse maior, minor autem inferior, vel equales, et tunc nil remanebit. Verbi gratia sit superior prima figura 6 et inferior erit 3, unde potest subtrahi 3 de 6 et 310 remanebunt 3, que debent scribi loco de 6. Si vero inferior sit 5 et superior similiter, subtrahe 5 a 5 et nichil penitus remanebit, et tunc 0 debet scribi loco superioris figure et sic de aliis omnibus. Si superior figura sit minor inferiori, tamen non possit subtrahi inferior a superiori: mutuanda est unitas a sequenti 315 figura a sinistra partis. Si vero in sequenti limite sit unitas, sola accipe ipsam et loco eius pone 0; si sint alique figure sequentes a sinistra et illa unitas abstracta de figura sequenti. Ut 20 respectu prime, ab illo subtrahe totali numero quem scilicet inferiorem figuram que debet subtrahi a superiori que minor erit. 320 Quo facto scilicet subtracta inferiore figura ab illa 1 que valet X, scribe supra 1 inferiorem quicquid remanebit. Facque novenarias. Si contingat quod figura a qua debet unum mutuari sit 0, procede ad sequentem et iterum mutua, et in redeundo fac de qualibet 0 figura novenaria et postea subtrahe ab illo sua 325 inferiorem. Et nota quod impedimenta subtractionis sunt iste linee figurarum: 20346/12543. Utilitas subtractionis est quod si aliquis habet denarios congregatos et scit quot et accipiat inde partem aliquam, per hanc speciem sciet quid remanebit etc.330 Si vis duplare etc. Determinavit actor scilicet de duabus speciebus, in hac parte de tercia. Et dividitur hec pars in 2: in prima docet scribere in hac specie, in secunda operari; secunda: postea procedas. Et hec in 2, in prima docet operari in tribus speciebus numeri, in secunda ponit quedam casum vel quandam 335 doctrinam habentem ortum ex illa specie et sequenti; secunda: si super extremam. Prima in 3: in prima docet operari in numero digito, in secunda in articulo, in tertia in composito; secunda: articulus si sit, tertia: si compositus sit. Ut hec est divisio huius partis.340 308/309 numerus – equales] cfr. VILLAD., Carm. 52/53 314/318 Si –  sequenti] cfr. VILLAD., Carm. 56/60, cfr. SACROB., Algor. 120/124 321/ 326 Quo – inferiorem] cfr. VILLAD., Carm. 60/62, cfr. SACROB., Algor. 127/130 331 Si – duplare] VILLAD., Carm. 64 334 postea procedas] VILLAD., Carm. 66 336/337 si – extremam] VILLAD., Carm. 75a, app. 339 articulus – sit1] VILLAD., Carm. 70 si2 – sit2] VILLAD., Carm. 73 309 superior suppl. Ps, om. Pa 952 0 propuestos dos números de los cuales el superior es el mayor y el inferior el menor, o siendo los dos iguales, extraer uno del otro. De ahí dice el autor que el número superior debe ser mayor, menor en cambio el inferior, o iguales, y si así nada quedará. Por ejemplo, que sea el superior la figura 6 y será el inferior el 3, de ahí puedes sustraer 3 de 6 y quedarán 3, que deben escribirse en el lugar del 6. Si en cambio el inferior es 5 y el superior el mismo, quítale 5 a 5 y, por consiguiente, no quedará nada, y entonces debe escribirse un cero en el lugar de la figura superior y así con todas las demás. Si la figura superior fuera menor a la inferior, en cambio, no podría sustraerse la inferior de la superior: hay que cambiar una unidad a la siguiente figura a la izquierda. Si en el siguiente límite hubiera una unidad, cógela a ella sola y en su lugar por un 0; si hubiera más figuras que le sigan hacia la izquierda, entonces esa unidad se le quita a la figura siguiente. Como 20 respecto a la primera, resta de ello el número total, es decir, la figura inferior que debe sustraerse de la superior, que será menor. Hecho esto, es decir, sustraída la figura inferior de aquel 1 que vale diez7, escribe encima del 1 la inferior, quede lo que quede. «Y haz que sean nueves». Si ocurre que la figura a la que se debe cambiar el uno es un cero, ve hacia la siguiente y de nuevo cámbiala, y al volver haz de cualquier cero la figura del nueve, y después sustrae de aquello la suya inferior. Y nota que las excepciones de la sustracción están en estas líneas de figuras: 20346 – 12543. La utilidad de la sustracción es que si alguien tiene unos cuantos denarios y sabe cuántos son y coge de ahí una parte cualquiera, a través de esta especie sabrá qué quedará, etc. «Si quieres duplicar», etc. Tras determinar el autor sobre las dos primeras especies, en esta parte trata sobre la tercera. Y esta parte se divide en dos: en la primera se enseña a escribir en esta especie, en la segunda a operar; la segunda: «después procedes». Y esta en dos: en la primera se enseña a operar en las tres especies de números, en la segunda pone un cierto caso o una cierta doctrina que tiene origen en esta especie y en la siguiente; la segunda: «si sobre la extrema». La primera en tres: en la primera se enseña a operar en el número dígito, en la segunda en el artículo, en la tercera en el compuesto; la segunda: «si es un artículo», la tercera: «si es compuesto». De forma que esta es la división de esta parte. 7 Observamos aquí en el texto latino el uso de los dos sistemas de numeración, el romano y el recién incorporado indoarábigo, muestra de su convivencia en la matemática de la época. 953 11 Duplatio autem est alicuius numeri respectu sui geminatio ut videatur summa excrescens. Unde duplare nichil alius est quam aliquo numero proposito invenire alium qui illum contineat. In duplatione ponendus est unus ordo figurarum et incipiendum est operari sub ultima versus sinistram, que maiorem numerum 345 representat. Dupletur igitur illa et ex illa duplatione vel excrescet digitus, vel articulus, vel numerus compositus. Si digitus, ponendus est in loco duplati. Si articulus, ponenda est 0 loco duplati digiti et trasferenda est unitas versus sinistram. Si numerus compositus, dividendus est et loco duplati ponendus 350 est digitus illius numeri compositi et trasferenda est unitas sicut prius. Hoc facto in ultima figura eodem modo operandum est sicut in aliis. Notandum quod hi non superflue posuit modus scribendi in speciebus numerorum, hoc ideo quia hic est alius modus operandi quam in additione.355 Materia impedimenta duplationis sunt ille figure que sequntur: 456454. Utilitas huius speciei est ut si vis duplare aliquem numerum ut XV et XV et sic de aliis, scies quantum faciet tot, scilicet XXX. Item dextrorsum operamus in hac specie et hoc ideo ne 360 articulus excrescens additus figure duplande iterum dupletur cum illa et fiat numerus maior quam debeat. Incipe sic si vis. Determinavit actor scilicet de tribus speciebus, hic agit actor de 4ª. Et hec pars habet 2, in prima docet scribere, in secunda operari; secunda postea procedas. Et 365 hoc in 2: in prima docet scribere in figuris significatis, in secunda in non significatis; secunda ibi: nec chifra. Prima in 2: in prima docet operari in prima figura, in secunda in aliis; secunda: postea procedas. Prima in 2, in prima docet operari in significativa signante parem numerum, in secunda in signante 370 imparem; secunda: impar si fuerit. Pars ita qua docet operari in secundo loco habet 2: in prima docet in impari significanti plura, 341/343 Duplatio – contineat] cfr. SACROB., Algor. 180/181 343/346 In –  representat] SACROB., Algor. 181/183 346/353 Dupletur – aliis] cfr. VILLAD., Carm. 67/74, SACROB., Algor. 193/199 360/362 Item – debeat] cfr. SACROB., Algor. 188/191 363 Incipe – vis] VILLAD., Carm. 75 365 postea procedas] VILLAD., Carm. 78 367 nec chifra] VILLAD., Carm. 91 369 postea procedas] VILLAD., Carm. 85 371 impar – fuerit] VILLAD., Carm. 81 369 operari Pc, scribere Pa 954 1 La duplicación, por su parte, es la geminación de un número respecto a sí mismo, de forma que se vea la cantidad resultante. De ahí que duplicar no es otra cosa que encontrar, desde un cierto número propuesto, otro que lo contenga. En la duplicación hay que poner un orden de figuras y hay que empezar a operar bajo la última hacia la izquierda, la que representa el número mayor. Se duplica entonces esa y de la duplicación sale un dígito, un artículo o un número compuesto. Si un dígito, hay que ponerlo en el lugar del duplicado. Si un artículo, hay que poner un cero en el lugar del dígito duplicado y hay que mover la unidad hacia la izquierda. Si un número compuesto, hay que dividirlo y en el lugar del duplicado hay que poner el dígito de ese número compuesto y hay que mover la unidad como antes. Hecho esto, hay que seguir operando de la misma manera que las otras hasta la última figura. Hay que notar que este no puso de forma superflua el modo de escribir en las especies de los números, sino porque aquí el modo de operar es distinto al de la adición. El contenido y las dificultades de la duplación están en estas figuras que siguen: 456454. La utilidad de esta especie es que si quieres duplicar algún número, como quince y quince y así el resto, sabrás cuánto son tantos, es decir, treinta. También operamos hacia la derecha en esta especie de forma que el artículo que sale no se añada a la figura que se duplica y se duplique de nuevo con aquella y salga así un número mayor del que debe. «Empieza así si quieres». Tras determinar el artífice sobre estas tres especies, aquí el autor se ocupa de la cuarta. Y esta parte tiene a su vez dos: en la primera enseña a escribir, en la segunda a operar, la segunda: «después procedes». Y esta en dos: en la primera se enseña a escribir en las figuras que significan, en la segunda en las que no significan; la segunda aquí: «y el cero no». La primera en dos: en la primera se enseña a operar en la primera figura, en la segunda en las otras; la segunda: «después procedes». La primera en dos: en la primera se enseña a operar en la que aporta significado que muestra un número par, en la segunda en la que aporta significado que muestra un impar; la segunda: «si fuera impar». Esta parte en la que se enseña a operar en el segundo lugar tiene dos: en la primera se enseña en las 955 12 in secunda unum; secunda: si vero secunda det unum. Hec est divisio lectionis. Dimidiatio est alicuius numeri medietatis remotio, unde 375 dimidiare nichil alius est quam proposito aliquo numero invenire alium qui medietatem illius contineat precise. In mediatione autem facienda, ponendus est unus ordo figurarum et incipiendum est operari a prima versus dextram. Et debet considerari utrum figura sit par vel impar. Si par, dimidietur et 380 loco eius ponatur sua medietas, et abiciatur altera pars. Si sit impar, cum numerus impar mediari non possit, dimidietur numerus par proximus contentus sub ipso, et loco primi digiti ponatur medietas illius numeri paris et supra ponatur signum que nota dimidii que talis est: 1, representans mediatio indivise 385 unitatis. Si vero in primo loco sit unitas, loco eius ponatur 0 et supra 0 ponenda est figura dimidii sicut prius. Si autem in primo loco vel in alio inveniatur 0, nichil est mutantum, sed trasfert se ad secundam figuram et videat utrum sit par vel impar. Si par, dimidietur et loco ponatur sua medietas et trasferatur quinarius 390 in precedente figuram versus dextram. Et sic ibi 0 loco eius ponatur quinarius. Item si in secundo loco inveniatur unitas, loco eius ponatur 0 per unitatem tantum indivisa, referendus est quinarius in precedentem locum versus dextram, et sic operandum est usque ad ultima. Et nota quod dimidiatio probat 395 duplationem et econverso. Materia impedimenta sunt iste linee que sequitur, unde ista figura que sequitur est extremam quando prima figura est par: 8 6 4. Ista linea que sequitur est extremam quando prima figura est impar: 5 1 9. Ita sequens linea est extremam quando prima 400 figura non significat nisi unum: 9 7 1. Et quando secunda est impar: 2 3 1. Et nota quod utilitas mediationis est si vis ab aliquo numero sumere medietatem, scies per dimidiationem quantum accepisti et quantum remanebit. Item sinistrorsum operamus hic ne mediatio contingat addi 405 mediate et iterum reducitur cum eodem, ut erit numerus qui non deberet etc. Si tu per numerum. Determinavit actor scilicet de 4 speciebus hac doctrine, in hac parte determinat de 5ª scilicet de multiplicatione. Et hec species dividitur in 2 partes: in prima 410 373 si – unum2] VILLAD., Carm. 88 376/377 dimidiare – precise] SACROB., Algor. 150/151 377/388 In – mutantum] cfr. VILLAD., Carm. 76/84, cfr. SACROB., Algor. 154/168 388/395 sed – ultima] cfr. VILLAD., Carm. 85/93, cfr. SACROB., Algor. 168/178 395/396 Et – econverso] SACROB., Algor. 206 408 Si – numerum] VILLAD., Carm. 94 956 2 varias figuras que indican un impar, en la segunda en el uno; la segunda: «si en cambio la segunda diera un uno». Esta es la división de la lección. La mediación es quitar la mitad a algún número, de ahí que mediar no es otra cosa que, propuesto algún número, se encuentre otro que contenga precisamente su mitad. Para hacer la mediación, hay que poner un único orden de figuras y hay que empezar a operar en la primera desde la derecha. Y se debe considerar si la figura es par o impar. Si es par, se parte por la mitad y en su lugar se pone su mitad, y se descarta la otra parte. Si es impar, como un número impar no se puede partir por la mitad, se media el siguiente número par que esté por debajo de este, y se pone la mitad de ese número par en el lugar del primer dígito y, encima, se pone un signo que note que es la mitad, que es este: 1, representando la mitad de la unidad indivisible. Si en cambio en ese lugar hubiera una unidad, en su lugar se pone un cero y sobre el cero hay que poner la figura de la mitad como antes. Si por contra en el primer lugar o en cualquier otro se encuentra un cero, nada hay que cambiar, sino que debe moverse hacia la segunda figura y ver si es par o impar. Si es par, se parte por la mitad y en su lugar se pone su mitad y se coloca un cinco en la siguiente figura hacia la derecha, y así se pone cinco en el lugar del cero. También, si en el segundo lugar se encuentra una unidad, en su lugar se pone un cero por la unidad indivisible, se restituye un cinco en el siguiente lugar hacia la derecha, y así hay que operar hasta la última. Y nota que la mediación prueba la duplicación y al contrario. El contenido y las dificultades están en las líneas siguientes, de las que esta figura que sigue es cuando la primera figura del extremo es par: 864; esta línea que sigue es cuando la figura del extremo es impar: 519; esta línea siguiente es cuando la primera figura del extremo no significa más que uno: 971; y para cuando la segunda es impar: 231. Y nota que la utilidad de la mediación es que si quieres de algún número coger su mitad, sabrás a través de la mediación cuánto cogiste y cuándo quedará. También operamos hacia la izquierda aquí para que no pase que en la mediación se añada la mitad y que de nuevo se vuelva a coger con la misma cantidad, de forma que sea un número que no debería, etc. «Si tú por un número». Tras determinar el artífice de las cuatro especies con esta doctrina, en esta parte determina sobre la quinta, es decir, la multiplicación. Y esta especie se divide en dos partes: en la primera enseña a 957 13 docet scribere, in secunda operari, secunda: postea procedas. Prima in 2: in prima docet scribere in hac specie, in secunda ponit quadam regulam que valet ad certificationem totius istius speciei; secunda: in digitum cures. Sequitur pars in qua docet operari, et habet 2: in prima docet operari, in secunda docet 415 cognoscere si sit bene operatum in hac specie; secunda: si dubites. Prima in 2: in prima docet scribere, in secunda docet quasdam doctrinas; secunda ibi: subdita multiplicans. Prima in 2: in prima docet operari in generali, in secunda in speciali; secunda: sed cum multiplices. Prima in 2: in prima docet operari 420 in postremus figuris a leva, in secunda in aliis, sive docet inferiorem seriem iterum scribere vel anteriorare; secunda ibi: sed postquam. Sequitur pars in qua docet operari in speciali, et habet 3. In primo docet operari quando articulus excrescit, in secunda quando numerus compositus, in tertia quando digitus; 425 secunda: si autem digitus; tertia: si digitus tantum. Sequitur pars in qua dat doctrina et habet 2: in prima ponit in figuris significantis, in secunda in non significantis; secunda: si supra positam. Prima in 2, in prima ponit unam doctrinam, in secunda aliam; secunda: sed si multiplices. Et hec est divisio lectionis.430 Multiplicatio est propositis duobus numeris tertii inventio qui tociens contineat utrumque quot sunt unitates in reliquo. Unde multiplicare est duobus numeris tertium numerum per illos invenire qui tociens numerum multiplicandum contineat quot sunt unitates in numero multiplicante.435 Notandum est igitur quam multiplex est multiplicatio, quandoque enim digitus digitum multiplicat, quandoque articulum, quandoque compositum, quandoque articulus articulum, quandoque numerus compositus articulum. Regula quare scimus multiplicare digitum per digitum hec est: si digitus 440 digitum multiplicet, per doctrinam a denarium subtrahe 411 postea procedas] VILLAD., Carm. 103 414 in1 – cures] VILLAD., Carm. 99 416/417 si dubites] VILLAD., Carm. 121 418 subdita multiplicans] VILLAD., Carm. 116a, app. 420 sed – multiplices] VILLAD., Carm. 111 423 sed postquam] VILLAD., Carm. 107 426 si1 – digitus1] VILLAD., Carm. 114 si2 – tantum] VILLAD., Carm. 116. 428/429 si –  positam] VILLAD., Carm. 118 430 sed – multiplices] VILLAD., Carm. 116c, app. 431/432 Multiplicatio – reliquo] SACROB., Algor. 208/210 440/444 si – digitorum] cfr. VILLAD., Carm. 99/102, cfr. SACROB., Algor. 221/223 425 digitus Pc, arti- Pa 433 multiplicare Pc, multiplicatio Pa 958 3 escribir, en la segunda a operar; la segunda: «después procedes». La primera en dos: en la primera enseña a escribir en esta especie, en la segunda pone una cierta regla que vale para certificar toda esta especie; la segunda: «si quieres por un dígito». Sigue la parte en la que enseña a operar, y tiene dos: en la primera enseña a operar, en la segunda enseña a conocer si se ha operado bien en esta especie; la segunda: «si dudas». La primera en dos: en la primera se enseña a escribir, en la segunda enseña ciertas doctrinas; la segunda aquí: «multiplicando la que está abajo». La primera en dos: en la primera se enseña a operar en general, en la segunda en particular; la segunda: «pero cuando multiplicas». La primera en dos: en la primera se enseña a operar en las últimas figuras de la izquierda, en la segunda en las otras, o enseña a escribir de nuevo la serie inferior o a atrasarla; la segunda aquí: «pero después de esto». Sigue la parte en la que enseña a operar en particular, y tiene tres: en la primera enseña a operar cuando sale un artículo; en la segunda, cuando un número compuesto; en la tercera, cuando un dígito; la segunda: «si en cambio un dígito», la tercera: «si tan solo un dígito». Sigue la parte en la que da la doctrina y tiene dos: en la primera pone en las figuras que significan, en la segunda en las que no significan; la segunda: «si sobre la que se ha puesto». La primera en dos: en la primera pone una doctrina, en la segunda otra; la segunda: «pero si multiplicaras». Y esta es la división de la lección. La multiplicación es, propuestos dos números, encontrar un tercero que contenga cuantas unidades hay de uno de ellos en el otro. De ahí que multiplicar es, con dos números, encontrar un tercero que tantas veces el número multiplicando contenga cuantas unidades haya en el número multiplicante. Hay que notar que la multiplicación es múltiple: cuando un dígito multiplica un dígito, cuando este un artículo, cuando este un compuesto; cuando un artículo otro artículo y cuando un número compuesto un artículo. La regla con la que sabemos multiplicar un dígito por un dígito es esta: si un dígito multiplica un dígito, siguiendo la doctrina sustrae a la decena del 959 14 minorem a suo decuplo, id est, ab illo quotiens continet illum et quantum postea remanebit tantum debet excrescere ex multiplicatione illorum digitorum. In omni alia multiplicatione, docet uti arte hac.445 Ponenda sunt enim duo ordines figurarum ita quod prima inferioris ordinis sit sub ultima superioris alie, ordinetur versus sinistram. Debes igitur te trasferre ad figuram utilimam inferioris ordinis, et postea debes multiplicare ultimam superioris ordinis. Ex illa enim multiplicatione aut crescit 450 digitus, aut articulus, aut compositus numerus. Si digitus, ponendus est recte supra multiplicationem suarum, ponenda est 0 supram multiplicantem, et articulus est trasferendus ut prius <* * *>. Eodem modo, multiplicanda est superior per omnes inferiores. Cum vero perventum fuerit ad 455 primam inferioris ordinis, ut per eam debet multiplicari sua supraposita et delenda est superior figura, et loco eius ponenda est figura excedens superioris per omnes inferiores. Anteriorandum est per dictam differentiam et postea debet multiplicare figuram superioris seriei prime inferiori 460 suprapositam per omnes inferiores. Item si 0 media sit inter inferiores, quando per illam 0 debemus multiplicare aliqua supraposita, si sit 0 illam figuram nihil est ibi mutandum. Sed si ibi sit spatium vacuum, supra illam ponenda est alia 0. Item si in primo loco inferioris ordinis 465 sit 0, quando multiplicata fuerit illa figura illi 0 supraposita per omnes inferiores, et cum perventum fuerit ad illam 0 debet deleri figura ei supraposita et loco sui 0 ponatur. Item in anterioratione, si 0 inveniatur in superiori ordine debet super anterioratio per duas differentias et fieri superius secundum 470 artem predictam. Item si ex multiplicatione maximi digiti ad maximum digitum excrescat tantum numerus quod de facili non possit addi figuris suprapositis, debet scribi ille numerus excrescens in spacio vacuo reliquo inter utrumque ordinem ita quod prima figura sive sit 0 sive digitus ponatur supra 475 multiplicantem et articulus trasferatur versus sinistram, et debet 446/448 Ponenda – sinistram] cfr. VILLAD., Carm. 94/98, cfr. SACROB., Algor. 248/252 450/454 Ex – *3] cfr. VILLAD., Carm. 110/117, cfr. SACROB., Algor. 252/259 454/455 Eodem – inferiores] cfr. SACROB., Algor. 259/262 455/461 Cum – inferiores] cfr. SACROB., Algor. 262/283 462/477 Item – additionis] cfr. VILLAD., Carm. 118/120, cfr. SACROB., Algor. 284/295 452/453 si articulus] supplevi 454 * * *] lacunam statui 960 4 menor lo que va de este hasta diez, esto es, de aquel, cuantas veces contenga al otro y cuanto después quede, tanto debe salir de la multiplicación de aquellos dígitos. En cualquier otra multiplicación, se enseña sirviéndose de este arte. En efecto, hay que poner dos órdenes de figuras de forma que la primera del orden inferior esté bajo la última del otro superior, y se ordena hacia la izquierda. Debes por tanto moverte hasta la figura última del orden inferior y después debes multiplicarla por la última del orden superior. De esta multiplicación sale un dígito o un artículo o un número compuesto. Si un dígito, hay que ponerlo correctamente sobre la multiplicación de las suyas; si un artículo, hay que poner un cero sobre el multiplicante y el artículo hay que moverlo como antes <* * *>8. Del mismo modo, hay que multiplicar la superior por todas las inferiores. Cuando en cambio se llegue a la primera del orden inferior, entonces por ella se debe multiplicar la que está por encima y hay que borrar la figura superior, y en su lugar hay que poner la figura que sale del superior por todas las inferiores. Hay que atrasar según la diferencia oportuna y después se debe multiplicar la figura que está por encima de la serie superior de la primera inferior por todas las inferiores. Igualmente, si hay un cero en el medio entre los inferiores, cuando por ese cero debemos multiplicar alguna superior, si está el cero, nada hay que cambiar ahí en esa figura. Pero si hay un espacio vacío en ese lugar, sobre aquel hay que poner otro cero. Igualmente si en el primer lugar del orden inferior hay un cero, cuando hubiera que multiplicar la figura superior a ese cero por todas las inferiores, cuando se llegue al cero, se debe borrar la figura que está por encima y en su lugar poner un cero. Y lo mismo al atrasarlas: si te encuentras con un cero en el orden superior, debe atrasarse lo de arriba dos diferencias y hacer según lo dicho arriba según este arte. Igual si de la multiplicación del dígito mayor por otro dígito mayor sale una cantidad tal que no se pueda añadir fácilmente a las figuras superiores: se debe escribir ese número que ha salido en el espacio vacío restante entre los dos órdenes de forma que la primera figura, ya sea un cero, ya un dígito, se ponga sobre el multiplicante y se mueva el artículo hacia la izquierda, y se 8 Es probable que en el texto latino el copista se haya saltado la opción de cuando el resultado es un número compuesto por un salto de igual a igual. 961 15 addi ille numerus suprapositis secundum artem additionis. Hoc facto, totalis numerus totiens multiplicandum continere debet quot sunt unitates in numero multiplicante. Materia impedimenta ab illo versu: sed cum multiplices, 480 usque ad illum: si dubites. Ille sunt linee que sequntur <* * *>. Utilitas huius speciei est quod si habes 50 operarios et cuilibet vis dare 12 denarii starium scies per istam speciem quot nummis indiges. Vel si debes alicui conventui monachorum providere et debes cuilibet 4 vel 5 ova vel tantum denarium vel 2 vel 3, per 485 hanc speciem scies quot ovis, quot denarius indiges in toto anno. Item sinistrorsum operamus hic ne multiplicantem addita multiplicato contingat iterum multiplicari et fiat maior numerus quam debet esse. Si vis dividere etc. Determinavit actor de istis 5 speciebus 490 huius doctrine, hic agit de 6ª. Huius vero pars in 2 partes dividitur: in prima docet scribere, in secunda operari, secunda ibi: postea de prima. Prima in 2: in prima docet scribere, in secunda ordinare figuras; secunda ibi: et sub supprima. Prima in 2: in prima docet scribere, in secunda ordinare series 495 numerorum; secunda: maiori numero. Reliqua pars in qua docet operari et habet 2: in prima docet operari, in secunda cognoscere si sit operatio bene facta; secunda: hinc multiplicando. Prima in 2: in prima docet operari, in secunda scribere numerum quotiens; secunda: nascitur hinc numerus. Prima in 2: in prima 500 docet operari, in secunda impedimenta; secunda ibi: sed si non possis. Prima in 2: in prima docet operari in pluribus, in secunda in unitate; secunda: unica si tantum. Sequitur pars in qua ponit impedimenta, et habet 2: in prima ponit illam operationem impeditam, in secunda ponit terminum ultra quem 505 non debet dividere, sed subtrahere; secunda: nec plus quam novies. Sequitur pars in qua docet scribere numerum quotiens et 480 sed – multiplices] VILLAD., Carm. 111 481 si dubites] VILLAD., Carm. 121 490 Si – dividere] VILLAD., Carm. 124 493 postea – prima1] VILLAD., Carm. 130 494 et – supprima] VILLAD., Carm. 128 496 maiori numero] VILLAD., Carm. 126 498 hinc multiplicando] VILLAD., Carm. 152 500 nascitur – numerus] VILLAD., Carm. 142 501/502 sed – possis] VILLAD., Carm. 136 503 unica – tantum] VILLAD., Carm. 135 506/ 507 nec – novies] VILLAD., Carm. 141 481 * * *] lacunam statui 503 unica Pc, unitas Pa 962 5 debe añadir ese número al que está arriba según el arte de la suma. Hecho esto, el número total debe contener tantas veces el multiplicando cuantas unidades haya en el número multiplicante. Para el contenido y las dificultades, desde el verso este: «pero cuando multiplicas» hasta este otro: «si dudas». Estas son las líneas que siguen <* * *>9. La utilidad de esta especie es que si tuvieras 50 operarios y a cada uno le quieres dar 12 sestercios de denario, sabrás a través de esta especie cuántas monedas necesitas. O si debes proveer a algún convento de monjes y debes a cada uno cuatro o cinco huevos, o tantos denarios como dos o tres, a través de esta especie sabrás cuántos huevos, cuántos denarios necesitarás en todo el año. También operamos a la izquierda aquí para no se añada lo del multiplicante a lo multiplicado y pase que se multiplique esto de nuevo y salga un número mayor que el que debería ser. «Si quieres dividir», etc. Tras determinar el artífice sobre estas cinco especies de su doctrina, aquí se ocupa de la sexta. Esta parte, en cambio, se divide en dos partes: en la primera enseña a escribir, en la segunda, a operar; la segunda aquí: «después de la primera». La primera en dos: en la primera enseña a escribir, en la segunda a ordenar las figuras; la segunda aquí: «y bajo la que está abajo de la primera». La primera en dos: en la primera enseña a escribir, en la segunda a ordenar las series de números; la segunda: «al número mayor». La otra parte en la que enseña a operar tiene también dos: en la primera enseña a operar, en la segunda a conocer si la operación está bien hecha; la segunda: «aquí multiplicando». La primera en dos: en la primera enseña a operar, en la segunda a escribir el número que muestra cuántas veces; la segunda: «nace de aquí el número». La primera en 2: en la primera se enseña a operar, en la segunda las dificultades; la segunda aquí: «pero si no puedes». La primera en 2: en la primera enseña a operar con cantidades plurales, en la secunda, con la unidad; la segunda: «si tan solo una única». Sigue la parte en la que expone las dificultades, y tiene 2: en la primera pone esa operación impedida, en la segunda pone el término más allá del cual no se debe dividir, sino sustraer; la segunda: «y no más que nueve». Sigue la parte en la que enseña a escribir el número que muestra 9 El texto latino carece de esas líneas que deberían seguir, que probablemente fuera un ejemplo de multiplicación que permitiera ver todas las excepciones y complicaciones que pueden surgir en la operación. 963 16 habet 2: in prima docet scribere, in secunda ponit impedimenta; secunda ibi: si fiat saltus. Et hec est divisio lectionis. Dividere est propositis duobus numeris invenire tertium qui 510 tot unitates contineat quotiens divisor contineatur in dividendo. In divisione autem facienda ponendi sunt duo ordines figurarum, scilicet dividendus superius et divisor inferius et si ultimam superioris ordinis sit minor quam ultimam inferioris, debet poni sub penultima superioris et penultima sub antepenultima et sic 515 de aliis. Si autem ultima superioris sit equalis ultime inferioris, debes considerare utrum totiens possis subtrahere quamlibet numerum sequentem a sua supraposita quociens subtrahis ultimam a sua supraposita. Sed si non possis, pone ultimam sub penultimam et sic de aliis. Postea subtrahe ultimam inferioris a 520 suis suprapositis in quantum possis et quotiens subtrahas, nota supra primam figuram inferioris ordinis. Si subtrahis semel, pone unitatem; si bis, binarium, et sic deinceps, ita tamquam subtrahas pluries quam novies. Postea subtrahe quamlibet sequentem a sua supraposita vel a suis suprapositis tociens 525 quociens ultimam subtraxisti. Hoc facto, debes anteriorare inferiores figuras per unam differentiam et considera si possis subtrahere ultimam aliquo respectu, et totiens subtrahas sequentes a residuo. Si autem non possis, iterum debes anteriorare per unam differentiam et pone 0 in numerum 530 quociens et subtrahe secundum artem predictam. Et non debes cessare a tali subtractione et a tali anterioratione et a numeri descriptione donec prima inferioris sit sub prima superioris et tunc erit completum. Item si quis numerus debet subtrahi alicuius inferior, huius supponis. Si vis illum breviter subtrahere 535 pone illud spacium vacuum inter utrumque, ita quod prima figura numeri subtrahendi sit directe supra supprimam respectu cuius sit subtractio et ita sit versus sinistram et tunc debet subtrahi interlinearis a suius suprapositis secundum artem subtractionis, et hoc facto totus est completus.540 Nota quod quandoque minus ponitur per nomen ut minus iuste, quandoque pro aliter, ut si quo minus dixissem etc.; 509 si – saltus] VILLAD., Carm. 147 510/511 Dividere – dividendo] cfr. SACROB., Algor. 302/303 512/516 In – aliis] cfr. VILLAD., Carm. 124/129, cfr. SACROB., Algor. 309/313 516/520 Si – aliis] cfr. SACROB., Algor. 313/319 520/524 Postea – novies] cfr. VILLAD., Carm. 130/141, cfr. SACROB., Algor. 320/325 524/529 Postea – residuo] cfr. VILLAD., Carm. 142/146, cfr. SACROB., Algor. 325/332 529/534 Si – completum] cfr. VILLAD., Carm. 147/150, cfr. SACROB., Algor. 332/342 542 si – dixissem] Ioh. 14.4 964 6 cuántas veces y tiene dos: en la primera enseña a escribir, en la segunda expone los problemas; la segunda aquí: «si se hiciera un salto». Y esta es la división de la lección. Dividir es, propuestos dos números, encontrar un tercero que contenga tantas unidades cuantas tiene el divisor respecto al dividendo. Sin embargo, para hacer la división, hay que poner dos órdenes de figuras, es decir, el dividendo en la parte superior y el divisor en la inferior y, si la última del orden superior es menor que la última del inferior, hay que ponerla bajo la penúltima de la superior, y la penúltima bajo la antepenúltima, y así el resto. Si en cambio la última del superior es igual a la última de la inferior, hay que considerar si tantas veces puedes sustraer cualquier número siguiente a su superior cuantas veces sustraes la última a la que tiene encima. Pero si no puedes, pon la última bajo la penúltima y así el resto. Después resta la última del inferior a la que tiene encima todo cuanto puedas y, cuantas veces lo quites, anótalo sobre la primera figura del orden inferior. Si lo sustraes tan solo una vez, pon una unidad; si dos, un dos, y así el resto, y así sustraes tantas hasta nueve veces. Después resta cualquiera que esté la siguiente a la superior o a las superiores tantas veces cuantas sustrajiste a la última. Hecho esto, se deben atrasar las figuras inferiores una diferencia y ver si puedes sustraer la última respecto a lo otro, y tantas veces lo sustraes a la siguiente que quedan. Si no puedes, debes retrasar otra vez una diferencia y poner un cero en el número que muestra cuántas y sustraer según dicho arte. Y no debes parar de sustraer de tal forma, y retrasarlo así, y de describir un número hasta que la primera de abajo está bajo la primera de arriba, y entonces estará completa. También, si algún número inferior debe restarse a otro, lo pones bajo este. Para abreviar: si quieres sustraerlo, ponlo en el espacio vacío entre ambos, de forma que la primera figura del número que hay que sustraer esté directamente sobre la que está por debajo de sus superiores según el arte de la resta. Hecho esto, estará todo completo. Nota que a veces se pone el menor a través de un nombre, como si el menor fuera justo, a veces de otra forma, como «si no, os lo habría dicho», 965 17 quandoque pro citra Ovidius: luce minus decima, Sallustius, etc. Quandoque est nomen Homerus, sed Venere minus, hi septem mille ducenta, quandoque excludit minorem ponens summam ut 545 quotiens potes adminus illud non aliter citra nomen minus est notat extra. Si autem vis probare utrum bene feceris, multiplica numerum quociens per numerum divisorem et numero producto ex tali multiplicatione; id quod remansit si aliquid remansit adde, et 550 tunc debent redire priores figure si bene fecisti. Et sciendum quod divisio probat multiplicationem et econverso. Materia impedimenta divisionem usque ad illum versum: sed si non possis. Sunt iste linee figurarum ecce exemplum illius versus: sed si non possis <* * *>; exemplum illius versus: si fiat 555 saltus <* * *>, etc. Et nota quod utilitas divisionis est quod si haberes aliqua summa pecunie, per istam speciem poteris scire de C secundum quantum poteris dare unicuique 20 hominus et de consimilibus. Cum ducis etc. Determinavit actor de 6 speciebus sui operis 560 modo agreditur septimam et ultimam huius tractatus scilicet de radicis extractione. Hic autem pars habet 2 partes, in primo agit de quadratis, in secunda de cubicis; secunda: per numerum recte. Prima habet 2: in prima diffinit hanc speciem, in secunda docet scribere et operari, secunda ibi: quando voles. Prima in 2: 565 in prima ponit quandam diffinitionem, in secunda remanet dubium; secunda: nec numeros. Sequitur pars in qua docet scribere, et habet 2: in prima facit hoc, in secunda docet operari; secunda: deinde notes. Et hoc in 2: in prima docet operari, in secunda epilogat ut ibi: tali quesita. Prima in 2: in prima docet 570 operari, in secunda cognoscere utrum sit bene operatus vel non; secunda: de dupla. Prima in 2: in prima docet expedite operari, in secunda impedite; secunda ibi: si supraposita, et ibi terminabit lectio. Prima in 2: in prima docet invenire digitum, in 543 luce – decima] OV., Pont., 4.5.7 548/552 Si – econverso] cfr. VILLAD., Carm. 121/123, SACROB., Algor. 347/352 560 Cum ducis] VILLAD., Carm. 158 563/564 per – recte] VILLAD., Carm. 210 565 quando voles] VILLAD., Carm. 162 567 nec numeros] VILLAD., Carm. 160 569 deinde notes] VILLAD., Carm. 163 570 tali quesita] VILLAD., Carm. 209 572 de dupla] VILLAD., Carm. 189 573 si supraposita] VILLAD., Carm. 184 544 Venere] Vergilius temptavi 555 * * *] lacunam statui 556 * * *] lacunam statui 966 7 etc.; por otro lado, a veces, a través de Ovidio: «en la luz décima o antes», o Salustio, etc. A veces es el nombre Homero, pero menor que Venus: «este llevando a siete mil»; a veces se excluye al menor poniendo la cantidad y cuantas veces puedas, al menos esta cantidad y no otra que vaya hasta el nombre, es menor, y se anota fuera10. En cambio, si quieres probar si lo hiciste bien, multiplica el número que indica cuántas veces por el número divisor y, al número que se ha producido de tal multiplicación, añádele lo que queda si es que queda algo, y entonces deben volver las figuras anteriores si lo hiciste bien. Y hay que saber que la división prueba la multiplicación y al revés. El contenido y las dificultades de la división, hasta este verso: «pero si no puedes». Son estas líneas de figuras ejemplo de este verso: «pero si no puedes» <* * *>; ejemplo de este verso: «si se hiciera un salto» <* * *>11. Y nota que la utilidad de la división es que si tuvieras alguna cantidad de dinero, a través de esta especie podrías saber de cien, según cuánto podrías dar a cada uno de los 20 hombres y así cosas similares. «Cuando multiplicas», etc. Tras determinar el artífice sobre las seis especies, ahora se adentra en la séptima y última de este tratado, o sea, sobre la extracción de raíces. Esta parte tiene, en cambio, dos partes: en la primera trata de los cuadrados, en la segunda de los cúbicos; la segunda: «correctamente por un número». La primera tiene dos: en la primera define esta especie, en la segunda enseña a escribir y operar; la segunda aquí: «cuando quieres». La primera en dos: en la primera se pone alguna definición, en la segunda queda en duda; la segunda: «y no los números». Sigue la parte en la que enseña a escribir, y tiene dos: en la primera hace esto, en la segunda enseña a operar; la segunda: «luego anotarás». Y esta en dos: en la primera enseña a operar, en la segunda lo resume, como aquí: «con esta tal requerida». La primera en dos: en la primera enseña a operar, en la segunda a conocer si se ha operado bien o no; la segunda: «del doble». La primera en dos: en la primera enseña a operar lo fácil, en la segunda lo difícil; la segunda aquí: «si la que está puesta encima», y ahí terminaría la lección. La primera en dos: en la primera enseña a encontrar el dígito, en la 10 No estamos muy seguros del significado de este párrafo. Parece querer relacionar el autor ciertos números con ciertos autores clásicos (Ovidio, Salustio, Homero), de quienes aporta alguna cita, probablemente por algún contenido de corte matemático encontrado en sus obras. 11 Tras esta referencia y la anterior faltan las filas de números que, al dividirlas, ilustrarían tales dificultades. 967 18 secunda multiplicare et anteriorare et duplatum scribere; 575 secunda: si det compositus. Prima in 3: in prima docet invenire digitum, in secunda secundum, in tertia tertium; secunda ibi: propones, tertia ibi: post hiis propones. Prima in 2: in prima docet invenire digitum et cum aliis multiplicare, in secunda docet retrahere sive anteriorare et duplare; secunda ibi: huic 580 illam. Sequitur pars in qua docet de tertio digito et habet 2: in prima docet invenire et multiplicare, in secunda duplare et anteriorare; secunda ibi: et sic procedas. Sequitur pars in qua docet scribere et habet 3: in prima docet digitum quando excrescit numerus compositus, in secunda quando articulus, in 585 tertia quando digitus excrescit. Secunda ibi: si dabit, tertia: si donet. Hec est divisio lectionis. Si supraposita. Determinavit actor superius in hac specie operari expedite, in hac parte docet operari cum impedimento, et dicitur in 2: in prima docet operari, in secunda docet cognoscere 590 utrum numerus sit quadratus; secunda ibi: tantum delet. Sequitur pars in qua docet invenire redicem, in secunda docet invenire quando numerus est quadratus, secunda ibi: non est quadratus. Sequitur pars in qua docet operari in paribus figuris in comparatione secundum unius ad alterum, et habet 2. In prima 595 docet operari, in secunda ponit quosdam versus; secunda: si suprapositus. Hec in 2: in prima ponit unam doctrinam, in secunda aliam; secunda ibi: si chifre etc. Sequitur pars in qua epilogat que remanet indivisa, et sic patet divisio lectionis. Ex quo exequitur de radicis extractione et primo in numeris 600 quadratis videndum est quid sit numerus quadratus et quid radicem numeri quadrati extrahere. Ponenda est tantum una differentia ista sive divisio numerorum alius est linearis, alius superficialis vel quadratus, alius solidus, alius cubicus. Linearis est ille qui consideratur tantum secundum unum processum non 605 habito respectu ad ductionem alius numerus in se vel in alium, 576 si – compositus] VILLAD., Carm. 178 578 propones1] VILLAD., Carm. 168 post – propones2] VILLAD., Carm. 173 580/581 huic illam] VILLAD., Carm. 171 583 et – procedas] VILLAD., Carm. 176 586 si dabit] VILLAD., Carm. 181 586/587 si donet] VILLAD., Carm. 183 588 Si supraposita] VILLAD., Carm. 184 591 tantum delet] VILLAD., Carm. 188 593 non – quadratus2] VILLAD., Carm. 194 596/597 si suprapositus] VILLAD., Carm. 204 598 si chifre] VILLAD., Carm. 207 600/628 Ex –  convertitur] SACROB., Algor. 389/423 576 det scripsi iuxta Carm. 178, debet P 3 scripsi, 2 P 602 una Pa, del. Pc 603 linearis suppl. Ps, in marius Pa 968 8 segunda a multiplicar, retrasar y escribir lo duplicado; la segunda: «si da un compuesto». La primera en tres: en la primera enseña a encontrar el dígito, en la segunda el segundo, en la tercera el tercero; la segunda aquí: «después de estas cosas propones», la tercera aquí: «después aquí propones». La primera en dos: en la primera se enseña a encontrar un dígito y a multiplicar con otros, en la segunda enseña a atrasar o retrasar y duplicar; la segunda aquí: «aquí aquella». Sigue la parte en la que enseña sobre el tercer dígito y tiene dos: en la primera enseña a encontrar y multiplicar, en la segunda a duplicar y retrasar; la segunda aquí: «y así procedes». Sigue la parte en la que enseña a escribir y tiene tres: en la primera enseña el dígito cuando sale un número compuesto, en la segunda cuando un artículo, en la tercera cuando sale un dígito; la segunda aquí: «si diera», la tercera: «si da». Esta es la división de la lección. «Si la que está puesta encima». Tras determinar el autor arriba cómo operar en esta especie de forma fácil, en esta parte enseña a operar con dificultades, y lo dice en dos partes: en la primera enseña a operar, en la segunda enseña a conocer si el número es cuadrado; la segunda aquí: «tan solo se elimina». Sigue la parte en la que enseña a encontrar raíz, en la segunda enseña a encontrar cuando un número es cuadrado, la segunda aquí: «no es cuadrado». Sigue la parte en la que enseña a operar en las figuras pares en comparación según sea el uno respecto al otro, y tiene dos. En la primera enseña a operar, en la segunda pone algunos versos; segunda: «el que está puesto encima». Esta en dos: en la primera expone una doctrina, en la segunda otra; la segunda aquí: «si ceros», etc. Sigue la parte en la que resume que queda indivisa, y así queda claro la división de la lección. De lo que se expone de la extracción de raíces y en primer lugar en los números cuadrados, hay que ver qué es un número cuadrado, y qué es extraer la raíz de un número cuadrado. Hay que poner tan solo una diferencia, que es la siguiente, o una división: alguno de los números es lineal, otro superficial o cuadrado, otro sólido, otro cúbico. Lineal es aquel que recibe su consideración tan solo según un proceso, sin tener al respecto la multiplicación de otro número ya sea por sí mismo o por otro; como una 969 19 sicut linea habet tantum unam dimensionem, scilicet latitudinem. Numerus superficialis est ille qui venit de ductu numeri in numerum et dicitur superficialis a superficie, quia habet tantum duas dimensiones, scilicet longitudinem et 610 latitudinem. Sed numerus potest dici dupliciter, quia in se vel in alium. Si ducatur in se ipsum, sit numerus quadratus quia divisim scriptus per unitates habet 4 latera equalia extrinseca ad modum figure quadrate. Si vero numerus ducatur in alium sit superficialis et non quadratus, ut binarius ductus in ternarium 615 facit 6, qui est numerus superficialis. Unde patet quod omnis numerus quadratus est superficialis et non econverso. Radix autem numeri quadrati est ille numerus qui ductus est in se ut bis duo sunt 4, quaternarius ergo est numerus quadratus et binarius est radix eius. Numerus solidus vel cubicus est ille qui 620 provenit ex duplici ductu numeri in numerum et dicitur solidus quia sicut solidus, id est, corpus, habet ternam dimensionem, ita ille numerus habet 3 numerus producentes ipsum. Sed numerus bis ductus potest esse dupliciter: in se ipsum, videlicet vel in alium. Si autem numerus ducatur bis in se ipsum vel semel in 625 suum quadratum, quod idem valet, fit cubicus, ut bis 4 sunt 8, et bis et bis ; ex hoc patet quod omnis cubicus est solidus et non convertitur. Cubicus est qui provenit etc. Cum enim ex ductu unitatis semel in se ipsum vel bis proveniat nisi unitas, dicit enim 630 Boetius in Arismetica quod unitas potentialiter est omnis numerus et non nullus in actu. Item nota quod inter quodlibet quadratos proximos est unum medium proportionale, quod sic patet: ducatur radix unius quadrati in radicem alterius quadrati et provenit illud proportionale. Item inter quoslibet cubicos 635 proximos sunt duo media proportionalia, scilicet maius medium et minus medium. Maius medium sic patet: ducatur radix minoris cubici in quadratum maioris cubici et habet maius medium. Item ducatur radix maioris cubici in quadratum minoris cubici et sic habet minus medium. Item radices ducte in 640 medium quadratorum generant duo cubicorum media. Et nota quod proportio consideratur per mariorem radicem et excessus per quamlibet numerum subscriptum. 629 Cubicus – provenit] VILLAD., Carm. 211/212 629/641 Cum – media] SACROB., Algor. 428/437 616 6 scripsi, 5 P 627 et bis2] supplevi 970 9 línea, que tiene tan solo una dimensión, es decir, la latitud. El número superficial es aquel que proviene de la multiplicación de un número por otro número, y se llama superficial por la superficie, porque tiene dos dimensiones, es decir, la longitud y la latitud. Pero este número se puede decir que es doble, porque puede multiplicarse por sí mismo o por otro. Si se multiplica por sí mismo es un número cuadrado porque escrito separadamente por sus unidades tiene cuatro lados iguales extrínsecos a la manera de la figura del cuadrado. Si en cambio un número se multiplica por otro es superficial pero no cuadrado, como el dos multiplicado por el tres hace seis, que es un número superficial. De ahí queda claro que todo número cuadrado es superficial pero al revés no. En cambio, la raíz de un número cuadrado es aquel número multiplicado por sí mismo, como dos veces dos son cuatro: cuatro es, por tanto, un número cuadrado y el dos es su raíz. Un número sólido o cúbico es aquel que proviene de la doble multiplicación de un número por un número y se llama sólido porque como un sólido, es decir, un cuerpo, tiene una triple dimensión: así este número tiene tres números que lo producen. Pero un número dos veces multiplicado puede ser doble: por sí mismo o por otro. Si un número se multiplicara dos veces por sí mismo o una vez por su cuadrado, lo que vale lo mismo, se forma un cúbico, como dos veces cuatro son ocho, también dos veces dos veces dos; de ahí queda claro que todo cúbico es sólido, pero no al revés. «Cúbico es el que proviene», etc. Cuando en efecto de la multiplicación de una unidad por sí misma o dos veces por su cuadrado no proviene sino la misma unidad, dice Boecio en su Aritmética que la unidad es potencialmente cualquier número, pero ninguno en acto. También nota que entre cualesquiera dos cuadrados seguidos hay un medio proporcional, que consta así: se multiplica la raíz de un cuadrado por la raíz de otro cuadrado y de ahí proviene el proporcional. Igualmente entre cualesquiera cúbicos seguidos hay dos medios proporcionales, es decir, un medio mayor y un medio menor. El medio mayor así consta: se multiplica la raíz del cúbico menor por el cuadrado del cúbico mayor y se obtiene el medio mayor. De igual forma se multiplica la raíz del cúbico mayor por el cuadrado del cúbico menor y se obtiene el medio menor. Igualmente las raíces multiplicadas por el medio de los cuadrados generan dos medios de los cuadrados. Y nota que la proporción se considera por la raíz mayor y tiene su límite en cualquier número suscrito. 971 20 Radicem numeri quadrati extrahere est aliquo numero proposito radicem eius invenire si sit quadratus. Si non sit 645 quadratus, radicem maximi quadrati invenire sub numero proposito contenti. Si vero velis radicem alicuius numeri extrahere scribe illum numerum per suas differentias et computa numerum figurarum utrum sit par vel impar secundum locum. Si vero fuerit impar, incipiendum est ab ultima figura et, ut breviter 650 dicatur, semper est ab ultimo loco impari inchoandum. Sub ultima igitur posita loco impari inveniendus est quidam digitum qui ductus in se totum suprapositum deleat vel quantum vicinus potest. Tali ergo digito a superiori subtracto, duplandus est ille digitus, et duplatum ponendus sub proxima anteriora sive 655 anteduplatam, quod idem est, qui ductus in duplatum deleat totum suprapositum respectu sui vel quantum vicinus potest. Vel potest ita subtrahi digitus inventus, ut ducatur in duplatas vel in duplata et postea in se et illa duo producta simul addantur et subtrahantur a totali superioris respectu digiti imparius. Si autem 660 ita sit quod non possit aliquis digitus inveniri, ponenda est 0. Nec cessandum est a tali digiti inventione, nec a tali digiti duplatione, nec a tali digitorum in anterioratione, nec etiam subduplorum, donec sub prima sit digitus quidam inventus qui ductus in duplatas deleat totum suprapositum. Hoc autem facto, 665 vel erit aliquid residuum vel nichil. Si nichil, constat quod numerus positus fuerit quadratus et eius radix est digitus ultimo inventus cum subduplis. Si vero velis probare utrum bene feceris vel non, multiplica radicem per se ipsam et contingent eedem figure quas primo habuisti. Si vero aliquid fuerit 670 residuum, ille numerus non fuit quadratus, sed digitus ultimo inventus est subduplis fuit radix maximi quadrati sub numero proposito contenti. Si autem vis probare utrum bene feceris aut non, reservetur residuum exterius in tabula et digitus ultimo inventus cum subduplis multiplicetur per se, et numero crescenti 675 644/657 Radicem – potest] SACROB., Algor. 451/465 649/650 Si – figura] cfr. VILLAD., Carm. 200/203 654/657 Tali – potest] cfr. VILLAD., Carm. 162/168 657/668 Vel – subduplis] SACROB., Algor. 469/487 660/ 661 Si – 0] cfr. VILLAD., Carm. 184/187 662/665 Nec – suprapositum] cfr. VILLAD., Carm. 176/177 666/668 Si – subduplis] cfr. VILLAD., Carm. 188/191 668/670 Si – habuisti] cfr. VILLAD., Carm. 192/193, SACROB., Algor. 490/493 670/673 Si – contenti] cfr. VILLAD., Carm. 194/195, SACROB., Algor. 487/489 673/677 Si – habuisti] SACROB., Algor. 493/495 671 non suppl. Ps, om. Pa 675 subduplis scripsi, duplis P 972 0 Extraer la raíz de un número cuadrado es, propuesto un número cualquiera, encontrar su raíz si es cuadrado. Si no es cuadrado, encontrar la raíz del máximo cuadrado contenido bajo el número propuesto. Si en cambio quieres extraer la raíz de un número cualquiera, escribe ese número por sus diferencias y cuenta el número de figuras si es par o impar según su lugar. Si fuera impar, hay que empezar por la última figura y, para decirlo brevemente, siempre hay que empezar por el último lugar impar. Luego, bajo la última que esté puesta en un lugar impar hay que encontrar un dígito tal que, multiplicado por sí mismo, elimine todo lo que está por encima de él o todo cuanto pueda. Tal dígito que se ha encontrado, tras restarlo al superior, hay que duplicar ese número y la duplicación ponerla bajo la siguiente anterior o la que está antes del duplicado, lo que es lo mismo. Esta, multiplicada por el duplicado, tiene que eliminar todo lo que está por encima de sí misma o todo lo cerca cuanto se pueda. O bien puedes sustraer así el dígito encontrado, de forma que multiplicado por los que se ha duplicado o el que se ha duplicado y después por sí mismo, con estos dos productos sumados juntos, se sustraen a todo lo que tengan por arriba respecto al dígito impar. Si en cambio fuera tal que no se puede encontrar ningún número, hay que poner un cero. Y no hay que parar de encontrar tal dígito, ni de duplicar tal dígito, ni de atrasar el resultado de los dígitos, ni tampoco de los que están bajo los duplicados, hasta que bajo la primera esté un dígito tal que encontremos y que, multiplicado por los duplicados, borre todo lo que está por encima. Hecho esto, o quedará algún residuo o nada. Si nada, consta que el número puesto era cuadrato, y su raíz es el dígito que se ha encontrado en último lugar con los que estaban bajo los duplicados. Si en cambio quieres probar si lo has hecho bien o no, multiplica la raíz por sí misma y salen las figuras que tuviste al principio. Si en cambio hubiera algún resto, ese número no era cuadrado, sino que el último dígito encontrado bajo los duplicados era la raíz del cuadrado máximo contenido bajo el número propuesto. Si quieres probar si lo hiciste bien o no, se reserva el residuo fuera en una tabla y el dígito encontrado en último lugar con los que estaban 973 21 inde addatur residuum et emergent eedem figure quas prius habuisti. Et nota quod si contingerit quod digitus non possit inveniri aptus ad destruendum superiores figuras, et in fine operationis adhuc remaneat figure superiores una vel plures a parte dextra, 680 quod tunc est proponenda 0: radici una vel plures sicut acciderit hic. Iste linee que sequitur sunt exempla usque ad illum versum si de propositis <* * *>. Iste linee que sequitur sunt exemplum ab illo versu si de propositis <* * *>, iste linee que sequitur sunt exemplum istius versus si supraposita usque ad istum: non est 685 quadratus <* * *>. Iste linee que sequitur sunt exemplum ab illo versi non est quadratus usque ad cubicos <* * *>. Et notandum quod utilitas huiuis speciei est ut si de aliqua summa pecunie velis dare quibusdam viris cuilibet sigillatim C denarii vel C solidos, scies per istam speciem quot danriis vel 690 etiam solidis indigebis. Per numerum recte. Determinavit actor de quadratis, hic agit de cubicis, et hec pars habet 2: in prima ponit notificationem cubici, in secunda docet operari; secunda: si curas cubici. Prima in 2: in prima ponit certificationem et secunda removet dubium; 695 secunda ibi: nec numeros omnes. Sequitur pars in qua docet operari, et habet 2: in prima docet operari in figuris signantibus mille vel pluribus a tribus, in secunda docet operari in tribus vel paucoribus; secunda: si tres sive due. Prima in 2: in prima docet operari expedite, in secunda impedite; secunda ibi: si per 700 triplatum. Prima pars competentibus est de presenti lectione, et dividitur in 2: in prima docet operari, in secunda operationem probare; secunda: nam debet per se. Prima in 2: in prima docet invenire partes et loca et figuras, sive docet operari, in secunda docet cognoscere quis numerus sit cubicus et quis non; secunda: 705 si nichil in fine. Prima in 2: in prima docet eligere figuras in quibus debet operari, in secunda docet invenire digitum; secunda ibi: illi subscribes. Et hec in 2: in prima docet invenire 692 Per – recte] VILLAD., Carm. 210 694 si – cubici2] VILLAD., Carm. 215 696 nec – omnes] VILLAD., Carm. 213 699 si – due] VILLAD., Carm. 277 700/701 si – triplatum] VILLAD., Carm. 259 703 nam – se] VILLAD., Carm. 255 706 si – fine] VILLAD., Carm. 246 708 illi subscribes] VILLAD., Carm. 219 683 * * *] lacunam statui 684 * * *] lacunam statui 686 * * *] lacunam statui 687 * * *] lacunam statui 974 1 abajo de los duplicados se multiplica por sí mismo y el número que sale de ahí se añade al residuo, y salen las mismas figuras que antes tenías. Y nota que si ocurriera que no se puede encontrar un dígito que sea apto para borrar las figuras superiores, y en el final de la operación todavía queda una o más figuras superiores en la parte derecha, entonces hay que poner delante de la raíz un cero o más según se necesitara aquí. Estas líneas que siguen son ejemplos hasta este verso: «si de los propuestos» <* * *>; estas líneas que siguen son un ejemplo de aquel verso: «si de los propuestos» <* * *>; estas líneas que siguen son un ejemplo de este verso: «si la que está por encima» hasta este otro: «no es cuadrado» <* * *>; estas líneas que siguen son un ejemplo del verso aquel: «no es cuadrado» hasta «hasta los cúbicos» <* * *>12. Y hay que notar que la utilidad de esta especie es que si de alguna cantidad de dinero quieres dar a unos cuantos hombres, a cada uno de ellos, uno por uno, cien denarios o cien sólidos, sabrás por esta especia cuántos denarios o incluso sólidos necesitarás. «Correctamente por un número». Tras determinar el autor sobre los cuadrados, aquí se ocupa de los cúbicos, y esta parte tiene dos: en la prima expone la noticia del cúbico, en la segunda enseña a operar; la segunda: «si quieres del cúbico». La primera en dos: en la primera expone la noticia y en la segunda despeja lo dudoso; la segunda aquí: «y no todos los números». Sigue la parte en la que enseña a operar, y tiene dos: en la primera enseña a operar en las figuras con significado que sean miles o más de tres, en la segunda enseña a operar con tres o con menos; la segunda: «si tres o dos». La primera en dos: en la primera enseña a operar lo que es fácil, en la segunda lo complicado; la segunda aquí: «si por un triplicado». La primera parte es la más interesante de la presente lección, y se divide en dos: en la primera enseña a operar, en la segunda a probar la operación; la segunda: «pero debes por sí mismo». La primera en dos: en la primera enseña a encontrar las partes, los lugares y las figuras, o enseña a operar, en la segunda enseña a conocer qué número es cúbico y cuál no; la segunda: «si al final nada». La primera en dos: en la primera enseña a elegir las figuras en las que se debe operar, en la segunda enseña a encontrar el dígito; la segunda aquí: «allí escribes debajo». Y esta en dos: en la primera enseña a encontrar 12 De nuevo faltan todos los números que servirían como ejemplo y ejercitación para practicar las raíces cuadradas. 975 22 digitum, in secunda triplare et retrahere; secunda ibi: hinc triplicans. Et hec in 2: in prima facit hoc, in secunda docet ipsas 710 delere superiores per productam triplatarum; secunda: postea totalem. Hec in 2: in prima facit hoc, in secunda docet ipsas delere per productum numeri digiti ducti per se cubice; secunda: addita summa. Sequitur pars in qua docet invenire secundum digitum et habet 2: in prima docet ipsum invenire recapitulanda 715 supradictam, in secunda docet reservare subtriplum numerum; secunda: subtripla sunt propriis. Sequitur pars in qua docet utrumque propositus sit cubicus, et habet 2: in prima docet hoc, in secunda quando non; secunda ibi: si quid erit. Prima in 2: in prima docet cognoscere numerum cubicus, in secunda radicem 720 cubici; secunda: cubici radicem. Hec in 2: in prima docet cognoscere radicem, in secunda docet eam multiplicare ut habeatur numerus figurarum sive ordo per predictos numeros; secunda ibi: hec cubice ducta. Hec est divisio lectionis. Sequitur pars in qua docet operationem impeditam in figuris 725 significativis, in secunda non significantis sive in chifra; secunda: consumpto numero. Prima in 2: in prima docet operationem impeditam, in secunda docet scribere numerum digitum inventum sub ordine figurarum; secunda: si dat compositum. Prima in 2: in prima docet operationem impeditam, 730 in secunda respectu dubium; secunda: tamen que chifram. Sequitur pars in qua docet operationem in tribus figuris sive duabus et remanet invidisa et terminatur ibi: si digitus, ubi lectio terminatur et ita species et per consequens totus liber. Ex quo sequitur actor de radicum extractione in numeris 735 cubicis videndum est quid sit numerus cubicus et quid sit radicem numeri cubici extrahere et ad quid sit utilis hec species. Cubicus, ut patet ex predictis, est qui est ductus semel in suum quadratum vel qui est ductus bis in se ipsum, quod idem est. Radix numeri cubici est ille numerus qui est ductus ita bis in se 740 vel in suum quadratus semel, unde patet quod numerus cubicus 709/710 hinc triplicans] VILLAD., Carm. 223 711/712 postea totalem] VILLAD., Carm. 228 714 addita summa] VILLAD., Carm. 230 717 subtripla – propriis] VILLAD., Carm. 245 719 si – erit] VILLAD., Carm. 250 721 cubici radicem] VILLAD., Carm. 247 724 hec – ducta] VILLAD., Carm. 249 735/751 Ex – potest] cfr. VILLAD., Carm. 210/222, SACROB., Algor. 497/513 732 operationem Pc, operationem impeditam Pa 735 extractione scripsi, abstractione P 976 2 el dígito, en la segunda a triplicarlo y atrasarlo; la segunda aquí: «allí triplicando». Y esta en dos: en la primera hace eso, en la segunda enseña a eliminar aquellas superiores a través del producto de los triplicados; la segunda: «después el total». Esta en dos: en la primera se hace eso, en la segunda se enseña a borrar estas por el producto del número del dígito multiplicado por sí cúbicamente; la segunda: «añadida la cantidad». Sigue la parte en la que enseña a encontrar el segundo dígito y tiene dos: en la primera enseña a encontrarlo recapitulando sobre lo dicho, en la segunda enseña a reservar el número bajo su triple; la segunda: «los tercios son para estos mismos». Sigue la parte en la que enseña si el propuesto era cúbico, y tiene dos: en la primera enseña esto, en la segunda cuando no; la segunda aquí: «si algo quedara». La primera en dos: en la primera enseña a conocer el número cúbico, en la segunda la raíz del cubo; la segunda: «la raíz de un cubo». Esta en dos: en la primera enseña a conocer la raíz, en la segunda enseña a multiplicarla para que se tenga el número de figuras o el orden a través de dichos números; la segunda aquí: «estos, elevados al cubo». Y esta es la división de la lección. Sigue la parte en la que enseña la operación con dificultades en las figuras que tienen significado; en la segunda, las que no tienen significado o en el cero; la segunda: «consumido el número». La primera en dos: en la primera enseña la operación con dificultades, en la segunda enseña a escribir el número dígito encontrado bajo el orden de figuras; la segunda: «si da un compuesto». La primera en dos: en la primera enseña la operación con dificultades, en la regunda respecto a las dudas; la segunda: «y sin embargo el cero». Sigue la parte en la que enseña la operación en las tres figuras o en dos y queda indivisible y se termina aquí: «si un dígito», donde termina la lección y así las especies y por consiguiente todo el libro. De aquí el autor sigue con la extracción de raíces en los números cúbicos; hay que ver qué es un número cúbico y qué es extraer la raíz de un número cúbico y para qué es útil esta especie. Un cúbico, como queda claro por lo dicho, es el que ha sido multiplicado una vez por su cuadrado o el que se ha multiplicado dos veces por sí mismo, que es lo mismo. La raíz de un número cúbico es aquel número que es multiplicado así dos veces por sí mismo o una por su cuadrado, de donde queda claro que el número cúbico y el 977 23 et numerus quadratus habent eandem radicem. Radicem numeri cubici extrahere est cubicam radicem numeri propositi invenire si numerus propositus sit cubicus. Si vero non sit cubicus, tunc radicem extrahere est invenire cubicam radicem maximi cubici 745 sub numero proposito contenti. Proposito ergo et descripto quid sit radicem cubicam extrahere, primo computande sunt figure per quartas sive per loca millenarii. Sub ultimo ergo loco millenarii inveniendus est quidam digitus qui in se ductus cubice deleat totum numerum 750 suprapositum respectu sui vel quanto vicinus potest. Quis autem numerus digitus in primo operationis loco possit inveniri docetur in istis versibus: Dat limes primus velut alter quinque dat ymus pro ternis, terna pro septem, summe quaterna755 pro binis, ternis tetras, senis simul octo. Cum sociis quinque summatur in ordine docto. Hoc facto, triplandus est digitus inventus et ponendus est triplatum sub proxima tertia figura versus dextram, et ponendus est subtriplum sub triplato. Postea, inveniendus est digitus sub 760 proxima figura ante illam sub qua triplatum est positum qui digitus subtriplo ductus in triplatum et postea sub triplo ductus in productum deleat totum suprapositum numerum vel quanto melius potest respectu triplati, et postea ductus in se cubice deleat totum suprapositum numerum vel quanto melius potest 765 respectu sui. Hoc facto, triplandus est digitus ille et ponendus sub triplam sub proxima tertia figura versus dextram et ante ponendus sub triplum subtriplato. Similiter anteriorandum aliud triplatum sub suo triplo, deinde inveniendus est digitus sub proxima figura anteriorati que cum triplis ductus in triplata et 770 postea sine subtriplis in productum deleat totum suprapositum vel quantum vicinus potest respectu sui. Nec enim cessandum est a tali digiti inventi triplatione, nec a triplati anterioratione per tercias figuras, nec a triplici subpositione donec perventum sit ad primam figuram et sub ipsa etiam inveniendus est digitus qui 775 cum subtriplis etc. sicut prius. Notandum est etiam productum, quod provenit ex ductu digiti ultimo inventi in se cubice, potest addi et semel subtrahi a totali numero supraposito respectu digiti 758/788 Hoc – prius] cfr. VILLAD., Carm. 223/258, SACROB., Algor. 513/548 744 propositus scripsi, compositus P 745 radicem2 scripsi, radicam P 770 anteriorati scripsi, anteriorari P 774 triplici Pc, subtriplici Pa 978 3 número cuadrado tienen la misma raíz. Extraer la raíz de un número cúbico es encontrar la raíz cúbica del número propuesto, si el número propuesto fuera cúbico; si en cambio no es cúbico, entonces extraer la raíz es encontrar la raíz cúbica del máximo cúbico contenido bajo el número propuesto. Propuesto13 por tanto y tras describir qué es extraer la raíz cúbica, primero hay que contar las figuras a partir del lugar de los cuartos o de los millares. Bajo el último lugar de los millares hay que encontrar un dígito tal que multiplicado por sí mismo cúbicamente elimine todo el número que está puesto por encima de él o todo lo que se pueda. Qué número dígito se puede encontrar en el primer lugar de la operación se enseña en estos versos: «Da el límite primero igual que otro, el quinto da el más profundo en lugar de tres; tres en lugar de siete, coge cuatro en lugar de dos, tres para cuatro, e igual seis para ocho. Con los compañeros el cinco se coge en el orden enseñado». Hecho esto, hay que triplicar el dígito que se ha encontrado y hay que poner el triple bajo la siguiente figura tercera hacia la derecha, y hay que poner el tercio bajo su triple. Después hay que encontrar un dígito bajo la siguiente figura ante aquella bajo la cual se pone el triple un dígito tal que, sumado al que está bajo el tercio se multiplique por el triple y después el producto se multiplique por el que está bajo el triple elimine todo el número que está por encima o cuanto mejor se pueda respecto a este. Hecho esto, hay que triplicar este dígito y ponerlo bajo el triple bajo la siguiente tercera figura hacia la derecha y poner antes el tercio bajo el triple. De igual forma hay que retrasar el otro tercio bajo su triple, luego encontrar un dígito bajo la siguiente figura al que se ha retrasado que, sumado a los triplicados, multiplicado por los triples y después sin los triples por el producto, borre todo lo superior o cuanto más cerca esté de ello. Y no hay que parar de encontrar tal dígito, ni de retrasar el triple hasta tres figuras, ni de ponerlo bajo el triple, hasta que se llegue a la primera figura y bajo ella también hay que encontrar un dígito que, sumado a los triples, etc. como antes. Y hay que notar también que el producto, que proviene de la multiplicación del último dígito encontrado cúbicamente por sí mismo, se puede añadir e igualmente sustraer del número total puesto por encima del dígito último encontrado y 13 Sc. un número. 979 24 ultimo inventi et idem est si fiat divisim ut iam docui. Hoc facto, vel aliquid erit residuum vel nichil. Si nichil, constat quod 780 numerus propositus fuit cubicus: eius radix est numerus digitus ultimo inventus cum subtriplis, que radix si ducatur in se et postea in productum erunt eedem figure que prius. Si autem aliquid fuerit residuum, reservetur id exterius in tabula et constat quod numerus illo non fuit cubicus, sed digitus ultimo inventus 785 cum subtriplis est radix maximi cubici sub numero proposito contenti, qui si ducatur in se et postea in productum erunt eedem figure que prius. Notandum est quod si in numero proposito non sit aliquis locus millenarii, vertatur operatio sub prima figura. Item, in hac 790 radice extrahenda, solent quidam distinguere numerum propositum per ternarios et sic incipere sub prima ultimi ternarii, qui modus operandi ei qui docet incipere sub loco millenarii illa eadem debet esse principium subsequentis comparando, unde docet computari unde si fuerint ibi solum 7.795 Scias ibi esse duo millenaria, eo quod quarta bis computatur millenaria cubicorum sunt ille linee que sequitur exemplum illius versus: si quid erit, usque ad versum si per triplatum. Sunt iste linee figurarum: 9236 exemplum illius versus si per triplatum, usque ad illum: si debet compositum. Usque ad istam: 800 consumpto numero, sunt iste linee que sequitur: 8635088 / 8442. Exemplum illius: consumpto numero, usque ad illum: si tres sive due, sunt iste figure: 9261900000 / 2100. Exemplum illorum versuum: si tres sunt usque ad finem libri sunt iste linee: 987 / 9; 98 / 4; ita que prime linee sunt exemplum de tribus figuris, 805 reliqua de duabus. Et notandum quod utilitas numerorum cubicorum est ut si teneas 20 homines duobus diebus vel XXti, et des cuilibet 20 denarii qualibet die scies per cubicos quot denariis indigebis. Si sit continua etc. Progressio est numerorum secundum 810 equales excessus ab unitate vel a binario inceptorum aggregatio. Progressio numeri alia naturalis, alia intercisa. Naturalis sive continua est quando sequens superat precedentem sola unitate, 789/794 Notandum – comparando] SACROB., Algor. 551/557 810 Si –  continua] Add. in Carm. I, 1 810/816 Progressio – infinitum] SACROB., Algor. 356/363 786 est scripsi, cum P 787 contenti Pc, inventi Pa 980 4 es igual que si haces una división como ya enseñé. Hecho esto, o hay un resto o no lo hay. Si no lo hay, consta que el número propuesto era cúbico: su raíz es el número dígito encontrado en último lugar con los otros que están bajo los triples. Esta raíz, si se multiplicara por sí misma y después por su producto quedarán las mismas figuras que antes. Si en cambio hubiera algún resto, hay que reservarlo fuera en una tabla y consta que ese número no era cúbico, sino que el dígito que se ha encontrado en último lugar con los que estaban bajo los triples es la raíz del cúbico máximo contenido bajo el número propuesto, que si se multiplica por sí y después por el producto quedarán las mismas figuras que al principio. Hay que notar que si en el número propuesto no hay lugar de los millares, hay que girar la operación bajo la primera figura. Igualmente, en la extracción de raíces, algunos suelen distinguir el número propuesto a partir de los terceros y así empezar bajo la primera figura del último grupo de tres, un modo de operar que enseña a empezar bajo el lugar de los millares, y que debe regirse por este principio siguiente a través de la comparación, de ahí que enseña a computar como si allí hubiera solo 7. Has de saber que si allí hubiera dos millares, de forma que la cuarta se contara dos veces, estas líneas que siguen son un ejemplo de los cúbicos de este verso: «si algo quedara», hasta este verso: «si por el triplicado». Son estas las líneas de figuras 9236 el ejemplo de este verso: «si por el triplicado» hasta este: «si debe un compuesto». Hasta esta: «consumido el número», son estas líneas que siguen: 8635088 / 8442. El ejemplo de este: «consumido el número» hasta «si tres o dos», son estas figuras: 9261900000 / 2100. El ejemplo de estos versos: «si son tres» hasta el final del libro son estas líneas: 987 / 9; 98 / 414; de forma que las primeras líneas son ejemplos de tres figuras, la otra de dos. Y hay que notar que la utilidad de los números cúbicos es que si tienes a 20 hombres durante dos días o veinte y le das a cada uno de ellos 20 denarios cada día, sabrás a través de los cúbicos cuántos denarios necesitarás. «Si es continua», etc. La progresión es la agregación de números según un intervalo igual empezando por uno o por dos. La progresión de números una es natural, la otra truncada. La natural o continua es cuando el siguiente supera al anterior por una sola unidad, como 1, 2, 3, 4, 5, y así hasta el 14 De forma excepcional y quizá debido a su complejidad, en estas operaciones sí se indica el resultado de la raíz cúbica, que es el segundo número que se indica tras la barra. No coincide en cambio la raíz cúbica de 8.635.088, que no es 8.442 sino 205 con un resto de 19.963. 981 25 ut 1 2 3 4 5 et ita usque in infinitum. Intercisa sive discontinua est quando sequens numerus superat precedentem unitatibus 815 duabus, ut 1 3 5 7, et ita in infinitum. De progressione naturali due dantur regule, prima talis est: si progressio naturalis in parem numerum terminetur, per eius medietatem multiplica numerum proximo superiorem, ut 1 2 3 4, sume medietatem quaternarii, scilicet binarium, et multiplica 820 in quinarium. Alia ergo de progressione naturali desinente in impare numerum dividatur in 2 proportiones, et sumatur maior portio et ducatur in ipsam progressionem in quam desinit et patebit suma. Alia progressio est intercisa quando sequens numerus 825 superat precedentem binario tantum, et fit quandoque per pares numeros sumpto inicio a binario ut 6 4 2; quandoque fit per impares sumpto inicio ab unitate, ut 5 3 1. Si per pares numeros, datur regula talis: sumatur medietas facientis progressionem et ducatur numerum propinquiorem ipsi medietati et patebit 830 summa tocius. Alia regula: si fiat progressio ita terminata per impares numeros, sumatur maior portio numeri facientis progressionem et ducatur in se ipsam et patebit summa tocius progressionis. Item potest haberi sed diffusius per hos versus: figure iubet.835 Si digitus etc. Quando digitus multiplicat digitum, videndum est in quot unitatibus maior digitus a denario differat et tociens maior digitus subtrahendus est a proprio articulo, et residuum illius numeri erit productus ex tali multiplicatione. Verbi gratia: si queratur novies octo quot sunt, videndum est in quot 840 unitatibus differat novenarius maior a denario et quia differt in unitate sola, subtrahendus est semel digitus minor illorum, scilicet octonarius a proprio articulo, qui est 80, et sic cum 8 trahantur ab 80 remanebunt 72. Si autem quis digitus se ipsum multiplicet, videndum est in quot unitatibus ille digitus a denario 845 817/821 De – quinarium] cfr. Add. in Carm. I, 3, SACROB., Algor. 366/372 821/824 Alia – suma] cfr. Add. in Carm. I, 1/2, cfr. SACROB., Algor. 373/377 825/828 Alia – 1] cfr. SACROB., Algor. 362/365 828/831 Si –  tocius] cfr. Add. in Carm. I, 6, cfr. SACROB., Algor. 379/381 831/ 834 Alia – progressionis] cfr. Add. in Carm. I, 4/5, cfr. SACROB., Algor. 384/385 836 Si digitus] Add. in Carm. IV, 1 836/850 Quando – 81] cfr. Add. in Carm. IV, 1/3, cfr. SACROB., Algor. 221/227 822 maior suppl. Ps, om. Pa 823 in2 – desinit suppl. Ps, om. Pa 832 portio scripsi, proportio P 982 5 infinito. La truncada o discontinua es cuando el número siguiente supera al anterior en dos unidades, como 1, 3, 5, 7, y así hasta el infinito. De la progresión natural se dan dos reglas; la primera es la siguiente: si la progresión natural termina en número par, por su mitad multiplica el número superior del siguiente, como 1, 2, 3, 4: coge la mitad de cuatro, es decir, dos, y multiplícalo por cinco. Sobre la otra progresión natural que acaba en impar, se divide el número en dos proporcionalmente y se coge la porción mayor, y se multiplica por el que termina dicha progresión y sale la cantidad. La otra progresión es truncada, cuando el número siguiente supera al anterior en dos, y se hace a veces con los pares, tomando el dos en el inicio, como 6, 4, 2; a veces se hace con los impares, tomando la unidad en el inicio, como 5, 3, 1. Si en números pares, se da esta regla: se coge la mitad del que hace la progresión y se multiplica por el número siguiente de esa mitad y se saca la cantidad de todo. La otra regla: si se hace la progresión con números impares de forma que así acaba, se coge la mayor porción del número que hace la progresión y se multiplica por sí mismo y saldrá la cantidad de toda la progresión. Lo mismo puedes tener pero de manera más amplia a través de estos versos: «la progresión ordena». «Si un dígito», etc. Cuando un dígito multiplica otro dígito, hay que ver en cuántas unidades el dígito mayor dista del denario y tantas veces hay que sustraer el dígito mayor al artículo de ese, y lo que quede de ese número será el resultado de tal multiplicación. Por ejemplo: si se preguntara cuánto son nueve veces ocho, hay que ver en cuántas unidades dista el nueve, el mayor, a la decena y, puesto que dista en una única unidad, hay que restar una vez el dígito menor de estos, es decir, el ocho, a su propio artículo, que es 80, y de esta forma, quitándole 8 a 80 quedan 72. Si en cambio algún dígito se multiplicara por sí mismo, hay que ver en cuántas unidades ese dígito dista 983 26 differat et tociens idem subtrahendus est a proprio articulo et residuum erit numerus productus ex illa multiplicatione. Verbi gratia, si queratur 9 9 quot sunt, novenarius differt per unitatem solam a denario, sic subtrahendus est huius a suo articulo semel et sic 9 9 sunt 81.850 Secunda regula talis est: si articulus articulum multiplicet, sumendi sunt digiti articulorum et multiplicandi inter se et quot erunt unitates ex tali multiplicatione tot erunt centenarii in numero producto ex illis duobus articulus. Verbi gratia decies viginti quot sunt, hic articulus multiplicat articulum, sumendi 855 sunt digiti articulorum et multiplicandi inter se. Si digitus denarii est unitas, digitus vigenarii est binarius, multiplicetur ergo unitas per binarium et sic habebis duas unitates, et sic duos centenarios. Secundum iam dictam regulam patet ergo quod denarium ad vigenarium duo centenarii provenient.860 Tertia regula talis est: si digitus articulum multiplicet, sumendus est digitus articuli et multiplicandus in alium digitum et quot unitates resultabunt ex tali multiplicatione tot erunt denarii in numero producto ex digito et articulo. Verbi gratia quater viginti quot sunt: summendus est modo digitus vigenarii, 865 scilicet binarius, et multiplicandus est in digitum alium, scilicet in quaternarium, et habebis 8 unitates, et sic 8 denarios, et sic patet quod ex multiplicatione quaternarii digiti et vigenarii articuli proveniunt 80. Quarta regula est: si digitus multiplicet numerum 870 compositum, numerus compositus in digitum et articulum dissolvatur et tunc digitus qui est pars illius compositi per alium digitum multiplicetur secundum quod prima regula docuit. Licet articulus erat pars compositi resolvatur in suum digitum. Postea digitus articuli multiplicetur per digitum qui multiplicat 875 compositum secundum quod tertia regula docuit et tunc summa proveniens ex tali multiplicatione addita cum precedenti dabit propositum etc. Quinta regula talis est: si articulus numerus compositum multiplicet, dissolvendus est numerus compositus in digitum et 880 851/854 Secunda – articulus] cfr. Add. in Carm. IV, 6/10, cfr. SACROB., Algor. 235/237 861/864 Tertia – articulo] cfr. Add. in Carm. IV, 11/14, cfr. SACROB., Algor. 228/230 870/878 Quarta – etc] cfr. Add. in Carm. IV, 21/24, cfr. SACROB., Algor. 231/234 879/883 Quinta – compositum] cfr. Add. in Carm. IV, 25/29, cfr. SACROB., Algor. 238/240 984 6 de la decena y tantas veces hay que quitarlo al propio artículo, y el resto será el número producto de tal multiplicación. Por ejemplo, si se preguntara cuántos son nueve veces nueve, el nueve dista de la decena en una sola unidad, y así hay que quitar una sola vez de este a su propio artículo, y así nueve veces nueve son 81. La segunda regla es tal: si un artículo multiplica un artículo, hay que coger los dígitos de los artículos y multiplicarlos entre sí y cuantas unidades salgan de tal multiplicación serán tantas centenas en el número producto de esos dos artículos. Por ejemplo cuánto es diez veces veinte: aquí el artículo se multiplica por un artículo. Hay que coger los dígitos de los artículos y multiplicarlos entre sí. Si el dígito del diez es la unidad y el dígito del veinte es dos, se multiplica la unidad por dos y así tendrás dos unidades, y así dos centenas. Según la regla ya dicha, queda por tanto claro que la decena por la veintena salen dos centenas. La tercera regla es tal: si un dígito multiplica un artículo, hay que coger el dígito del artículo y multiplicarlo por el otro dígito, y cuantas unidades resulten de tal multiplicación, tantas decenas serán en el número producto del dígito y el artículo. Por ejemplo cuánto es cuatro veces veinte: hay que coger por tanto el dígito de la veintena, es decir, dos, y hay que multiplicarlo por el otro dígito, es decir, por el cuatro, y tendrás ocho unidades, y así ocho decenas, y así queda claro que de la multiplicación del dígito cuatro y el artículo veinte provienen 80. La cuarta regla es tal: si un dígito multiplicara un número compuesto, que se disuelva el número compuesto en dígito y artículo, y entonces el dígito que es parte de ese compuesto se multiplica por el otro dígito según lo que enseña la primera regla. Luego el artículo que era parte del compuesto se resuelve en su dígito. Después el dígito del artículo se multiplica por el dígito que multiplica el compuesto según enseña la tercera regla y entonces la cantidad que provenga de tal multiplicación se suma a lo que daba el que se había propuesto antes, etc. La quinta regla es tal: si un artículo multiplica un número compuesto hay que desglosar el número compuesto en dígito y artículo, <* * *> y hay que 985 27 articulum, <* * *> et multiplicandus est ille digitus per alium articulum secundum quod secunda regula docuit. Et tunc due summe simul addite dabunt tibi numerum compositum. Sexta regula talis est: si numerus compositus multiplicet numerum compositum, dissolvendi sunt digiti in digitos et 885 articuli in articulos. Quo facto, multiplicandi sunt digiti inter se secundum primam regulam, et articuli inter se secundum secundam. Postea servatis illis duabus summis, ducantur digiti compositi in articulos ita quod alter digitus in alterius articulum ducatur et econverso. Et cum ille due summe secundum terciam 890 regulam collecte, primis duabus addite, dant propositum numerum provenientem ex multiplicatione compositi ad unum compositum. Verbi gratia, si queratur duodecies viginti tria quot sunt, primo dissolvantur isti numeri compositi in digitos et articulos tali modo: duodenarius in X et binarium; vigenarius 895 ternarius in XX et tres. Postea 2 3 multiplicent inter se secundum prima regula, ex qua multiplicatione proveniet senarius. Postea multiplicent articuli secundum secundam regulam, ex qua multiplicatione duo centenarii provenientes addi debent predicto senario, et sic erunt ducenti et sex. Postea, 900 multiplicandi sunt digiti in articulos angulariter. Sic primo binarius in vigenarium secundum terciam regulam ex qua multiplicatione proveniunt 40; postea multiplicetur ternarius in denarium similiter secundum terciam regulam, ex qua multiplicatione triginta provenientia addendi sunt cum predictis 905 40 et erunt 70. Postea hec 70 addantur supradictis ducentis et VI et sic patet quod ex multiplicatione numeri compositi, scilicet duodenarius ad numerum compositum, scilicet vigenarium , proveniunt solum ducenta et septuaginta et VI. Materia et impedimenta additionis sunt iste linee figurarum 910 que secuntur: 6573 / 9995 / 345238. Et notandum quod utilitas huius speciei est quod si habes aliquem numerum in archa et scis quot, et aliquam aliam summam addis, scies quantum faciet totum. Vel si habes reditus in diversis locis, poteris scire quantum faciet coniunctum.915 Materia et impedimenta subtractionis sunt iste linee figurarum: 780379 / 345674. Utilitas subtractionis est quod si 884/893 Sexta – compositum] cfr. Add. in Carm. IV, 15/20, cfr. SACROB., Algor. 241/245 881 * * *] lacunam statui 889 compositi scripsi, articuli P 896 2 3 scripsi, XX P 909 tercium] supplevi 986 7 multiplicar ese dígito por el otro artículo según lo que enseña la segunda regla15. Y entonces se cogen las dos cantidades y, tras sumarlas, te dará el número compuesto. La sexta regla es tal: si se multiplicara un número compuesto por un número compuesto, hay que desglosar los dígitos en dígitos y los artículos en artículos. Hecho esto, hay que multiplicar los dígitos entre sí según la primera regla, los artículos entre sí según la segunda. Después, tras conservar estas dos cantidades, se multiplican los dígitos del compuesto por los artículos, de forma que el dígito de uno y el artículo del otro se multipliquen y al revés. Y cuando se obtengan esas dos cantidades según la tercera regla, se suman a las primeras dos, y dan el número proveniente propuesto de la multiplicación de un compuesto a otro compuesto. Por ejemplo, si se preguntara cuánto es doce veces veintitrés, primero que se disuelvan estos números compuestos en dígitos y artículos de este modo: el doce en diez y dos, el veintitrés en veinte y tres. Después el dos y el tres se multiplican entre sí según la primera regla, de cuya multiplicación proviene un seis. Después se multiplican los artículos según la segunda regla, de cuya multiplicación provienen doscientos, que, tras añadirlos al seis de antes, serán entonces doscientos seis. Luego, hay que multiplicar los dígitos por los artículos angularmente. Así, primero, el dos por el veinte según la tercera regla de cuya multiplicación salen 40; luego se multiplica el tres por el diez, igual, por la tercera regla, de cuya multiplicación los treinta que provienen hay que añadirlos a los 40 de antes y así serán 70. Luego, estos 70 se añaden a los anteriores doscientos seis, y así queda claro que de la multiplicación del número compuesto, es decir, de doce, por otro número compuesto, es decir, veintitrés, provienen doscientos setenta y seis. El contenido y las dificultades de la suma están en estas líneas que siguen: 6573 + 9995 + 345238. Y hay que notar que la utilidad de esta especie es que si tienes algún número en el arca y sabes cuánto es y añades cualquier otra cantidad, sabrás cuánto hace todo. O si tienes un rédito en diferentes lugares, podrás saber cuánto es el conjunto16. El contenido y las dificultades de la sustracción quedan claras en estas líneas de figuras: 780379 – 345674. La ultilidad de la sustracción es que si 15 En este punto está claro que el copista ha saltado una línea del texto que estaba copiando, donde se diría que, primero, hay que multiplicar entre sí los artículos para, después, multiplicar el artículo por el dígito y sumar los resultados. 16 En estos párrafos que siguen se vuelven a poner ejemplos prácticos y a explicar la utilidad de todas las operaciones ya descritas. 987 28 habes denarios congregatos et scis quot, et accipias inde partem aliquam, scies quantum remanebit per hoc. Materia et impedimenta duplationis sunt iste figure: 2556742 920 / 2556742. Utilitas est quod si vis duplare [utilitas est quod si vis duplare] aliquem numerum ut XV et XV, et sic de aliis, scies quantum faciet totum, hoc est, quis numerus inde exibit. Materia et impedimenta dimidiationis sunt figure que sequitur. Est exemplum quando prima figura est par: 46. Ista 925 linea que sequitur est exemplum quando prima figura est impar: 65. Ista linea que sequitur est exemplum quando prima figura non signat nisi unum et quando prima figura est impar: 61. Ista linea que sequitur est exemplum quando secunda figura non signat nisi unum: 15. Et notandum quod utilitas est quidam 930 quod, si vis ab aliquo numero sumere medietatem, scies per mediationem quantum accipies et quantum remanebit. Materia et impedimenta multiplicationis usque ad illum versum: sed cum multiplicet etc. sunt iste figure que sequitur: 564 / 32312. Materia et impedimenta ab illo versu: sed cum 935 multiplicet, usque ad illum versum: si dubites an sit, sunt iste figure que sequitur: 3203 / 230. Utilitas est quod si habes 50 operarios et cuilibet vis dare 5 denarios scies per istam speciem quot nummis indigebis vel si debes providere alicui conventui et debes dare cuilibet 4 vel 5 ova, vel 1 vel 2 vel 3 scies per istam 940 speciem quot ovis vel denarii indigebis. Materia et impedimenta usque ad illum versum: sed si non possis etc., tunc omnis sunt hoc que ponuntur exemplum <* * *>. Illius versus: sed si non possis, usque ad illum versum: si fiat saltus: 26540 / 3456. Post hoc in istis 945 figuris sequentibus exemplum illius versus: si fiat saltus, est in figuris illis que sequitur 90009 <* * *>. Et notandum quod utilitas divisionis est quod si habes aliqua summa numerorum per speciem istam scire poteris de centum solidis quantum potes dare unicuique XXti hominum vel de consimilibus.950 934 sed – multiplicet] VILLAD., Carm. 111 935/936 sed – multiplicet] VILLAD., Carm. 111 936 si – sit] VILLAD., Carm. 121 943 sed – possis] VILLAD., Carm. 136 944 sed – possis] VILLAD., Carm. 136 945 si –  saltus] VILLAD., Carm. 147 946 si – saltus] VILLAD., Carm. 147 921/922 utilitas – duplare] delevi 942 divisionis] supplevi usque –  versum traieci, post 940 possis P 944 * * *] lacunam statui 947 * * *] lacunam statui 988 8 tienes unos denarios reunidos y sabes cuántos son, y coges de ahí una cierta parte, sabrás cuánto queda gracias a esto. El contenido y las dificultades de la duplicación están en estas figuras: 2556742 + 2556742. La utilidad es que si quieres duplicar un número, como 15 y 15 y así el resto, sabrás cuánto hace todo, esto es, qué número se extrae de ahí. El contenido y las dificultades de la mediación están en las figuras que siguen. Este es el ejemplo cuando la primera figura es par: 46. Esta línea que sigue es el ejemplo cuando la primera figura es impar: 65. Esta línea que sigue es el ejemplo cuando la primera figura no significa más que uno y cuando la primera figura es impar: 61. Esta línea que sigue es el ejemplo cuando la segunda figura no significa más que uno: 15. Y hay que notar que la utilidad es tal que, si quieres de cualquier número coger su mitad, sabrás por la mediación cuánto cogerás y cuánto quedará. El contenido y las dificultades de la multiplicación hasta el verso: «pero cuando multiplicas», etc. están en las figuras que siguen: 564 × 32312. El contenido y las dificultades de este verso: «pero cuando multiplicas» hasta este otro verso: «si dudas si es» están en estas figuras que siguen: 3203 × 230. La utilidad es que si tienes 50 operarios y a cada uno quieres darle 5 denarios, sabrás a través de esta especie cuántas monedas necesitarás, o si deber proveer a algún convento y debes dar a cada uno cuatro o cinco huevos, o uno, o dos, o tres, sabrás a través de esta especie cuántos huevos o denarios necesitarás. El contenido y las dificultades de la división hasta este verso: «pero si no puedes», etc. son todas estas que se ponen en el ejemplo <* * *>17. De este verso «pero si no puedes» hasta este otro verso: «si se hiciera un salto»: 26540 ÷ 3456. Después de esto, en estas figuras siguientes está el ejemplo de este verso: «si se hiciera un salto» en las figuras que siguen: 90009 <* * *>18. Y hay que notar que la utilidad de la división es que si tienes alguna cantidad de números, a través de esta especie podrás saber de cien sólidos cuántos puedes dar a cada uno de los 20 hombres o cosas similares a esta. 17 De nuevo faltaría aquí la operación correspondiente. 18 Falta el divisor de la operación. 989 29 Iste linee que sequntur sunt exemplum usque ad illum versum: si det compositum: 745081. Iste linee que sequntur ab illo versi: si det compositum, usque ad illum: si suprapositum etc.: 425108652. Iste linee que sequntur sunt exemplum illius versus: si suprapositum, usque ad illum: non est quadratus: 955 652864808. Iste linee que sequntur sunt exemplum istius versus: non est quadratus, usque ad illum: cubicis etc.: 2623005110. Et nota quod utilitas huius speciei est si de aliqua summa pecunie velis dare quibus viris tantum quot sunt illi, ut C viris cuilibet sigillatum, C denarii vel C solidi, vel XXti viris XXti de 960 omnibus sigillatim hoc scies per hanc speciem. Materie cubicorum sunt iste linee figurarum que sequntur ab illo versu: per numerum recte, usque ad illum: si quid residuum etc.: 98675175 / 091962. Si vis scire aliquem numerum quadratum, multiplica semel figuras ternarias vel binarias per 965 alias tres vel per alias duas et illo numerus qui proveniet inde erit quadratus. Si vis scribere aliquem numerum cubicum multiplica 3 figuras vel duas per alias duas ad voluntatem tuam quascumque velis, et postea illud quod inde proveniet iterum multiplica per alias tres vel duas quascumque sint ille, et ille 970 numerus erit cubicus. Si vis scire de aliquo numero impedito per quot unitates poteris dare aliquibus hominibus in partes equales, ita quod tot sint [sint] homines quot unitates quilibet habeat, scribe primo illum numerum et postea de ultima figura a parte sinistra subtrahe aliquem digitum in se ductus, et postea 975 anteriorando dupla sub proxima figura subsequente et propone illi digitum qui ductus per illam destruat quantum poterit, postea per se. Exemplum ut de 121 dabis 11 hominibus cuilibet 11. 952 si – compositum] VILLAD., Carm. 178 953 si1 – compositum] VILLAD., Carm. 178 si suprapositum] VILLAD., Carm. 184 955 si suprapositum] VILLAD., Carm. 184 non – quadratus] VILLAD., Carm. 194 957 non – quadratus] VILLAD., Carm. 194 cubicis] VILLAD., Carm. 208 963 per – recte] VILLAD., Carm. 210 si – residuum] VILLAD., Carm. 250 973 sint2] delevi 990 9 Estas líneas que siguen son ejemplo hasta este verso: «si da un compuesto»: 745081. Estas líneas que siguen de este verso: «si da un compuesto», hasta este otro: «si lo puesta encima», etc.: 425108652. Estas líneas que siguen son ejemplo de este verso: «si lo puesta encima», hasta este otro: «no es cuadrado»: 652864808. Estas líneas que siguen son ejemplo de este verso: «no es cuadrado», hasta este: «cúbicos», etc.: 2623005110. Y nota que la utilidad de esta especie es que si de alguna suma de dinero quieres dar a cada uno de los hombres que están allí, como cien hombres a cada uno de ellos cien denarios o cien sólidos, o veinte a veinte hombres, para todos y cada uno de ellos, sabrás esto a través de esta especie. Los contenidos de los cúbicos están en estas líneas de figuras, los que siguen a este verso: «correctamente por un número», haste este otro: «si algún resto», etc.: 98675175 y 091962. Si quieres saber algún número cuadrado, multiplica una vez las figuras del tres o del dos por otro tres o por otro dos, y ese número que proviene de ahí será cuadrado. Si quieres escribir algún número cúbico multiplica tres figuras o dos por otras dos, a voluntad tuya, las que quieras, y después lo que de ahí proviene de nuevo multiplícalo por otro tres o por otro dos, las que sean, y ese número será cúbico. Si quieres saber de algún número cualquiera cuántas unidades podrías dar a algunos hombres en partes iguales, de manera que sean tantos hombres cuantas unidades hubiera para cada uno, escribe primero ese número y después de la última figura de la parte izquierda sustrae un dígito que, multiplicado por sí mismo, y luego atrasado su doble bajo la siguiente figura a continuación, y propón allí un dígito que multiplicado por eso elimine cuanto se pueda, luego por sí mismo. Ejemplo: que de 121 darás 11 a cada uno de los 11 hombres. 991 Comentario al Algorismus del ms. Lilienfeld, SB, 144: edición crítica y traducción 993 In hoc libro qui dicitur Algorismus 4 inquiruntur scilicet materia, intentio, utilitas et tytulus. Materia est numerus numerans. Intentio auctoris est ostendere artem numeri numerantis. Utilitas est in auctoris ratione quia ut per lectio hoc libro sciamus quemlibet numerum representare per 10 figuras 5 que continentur in hac arte. Tytulus est Incipit liber algorismi. Algus auctor. Algorismus sic describitur: algorismus est ars vel ratio computandi faciens facile quod est ex se difficile. Numerus est collectio unitatum vel ipsa unitas, quia ut dicit Boetius, unitas est omnis numerus potentialiter, nullus tamen actu. Et 10 notandum quod quidam dicit algorismus et componitur ab algos, quod est inductio, et [et] ricmos, numerus, quasi inductio in numeros. Alii autem dicunt argorismus et componitur ab arge, quod est grecum, et mos, moris, quasi mos grecorum. Alii vero dicunt agorismus et componitur ab ago, agis, et ricmus, 15 numerus, quasi agens de numeris. Et potest etiam esse proprium nomen auctoris et componitur a quodam nomine greco cuius equipollens sonat aput nos alba arena, hee enim figure multitotiens solent scribi in alba arena. Omnia que a primeva. Hic liber divitur in duas partes: in 20 prohemium et executio, 2ª ibi: est autem numeratio. Prima in 4: in prima ponit finalitatem sui scribi tantum, in 2ª efficientem, ibi: hanc igitur scientiam; in 3ª materialem, ibi: numerus autem alius; in 4ª formalem, ibi: huius autem partis. Ratione numerorum formata sunt, id est, ratione numeri 25 habent in sui formationem, unde dicit Boetius: in omni eo quod est enim reperire hoc et hoc, id est, materiam et formam, et sic dualitatem et rationem numeri. Item Augustinus, in sigulis eorum quod sunt tria reperiuntur scilicet essentia, forma et finis; essentia que sunt, forma que differunt, finis quo perficiunt, et sic 30 vestigium trinitatis et ratio numeri in unaqueque re reperitur. 7 Algus auctor] cfr. SACROB., Algor. 4/6 7/8 algorismus – computandi] cfr. SACROB., Algor. 6/7 8/9 Numerus – unitatum] cfr. SACROB., Algor. 9/10 9/10 ut – actu] SACROB., Algor. 429/430 10 unitas – actu] cfr. BOETH. Instit. 1.20 (p. 44, 16/17) 20 Omnia – primeva] SACROB., Algor. 1 21 est – numeratio] SACROB., Algor. 23 23 hanc – scientiam] SACROB., Algor. 4 23/24 numerus – alius] SACROB., Algor. 11 24 huius – partis] SACROB., Algor. 17 25 Ratione – sunt] SACROB., Algor. 1/2 Trad. text.: L = Lilienfeld, Stiftsbibliothek, 144, ff. 34va-vb 12 et2] delevi 994 En este libro que se llama Algorismo se estudian cuatro cosas, es decir, la materia, la intención, la utilidad y el título. La materia es el número que numera. La intención del autor es mostrar el arte del número que numera. La utilidad va en la misma línea que la razón del autor, porque a través de la lectura con este libro sepamos representar cualquier número con las 10 figuras que contiene este arte. El título es el Libro del algorismo1. El autor es Algus. El algorismo se describe así: el algorismo es el arte o la razón de computar, haciendo fácil lo que en sí mismo es difícil. El número es la colección de unidades o la unidad misma, pues, como dice Boecio, la unidad es cualquier número en potencia, aunque ninguno en acto. Y hay que notar que algunos dicen «algorismo», y que se compone de «algos», que es inducción, y «rithmós», número, como si fuera la inducción hacía los números. Otros en cambio dicen «argorismo» y lo componen de «arge», que significa «griego», y «mos, moris», como si fuera la costumbre de los griegos. Otros por el contrario dicen «agorismo» y lo componen de «ago, agis» y «rithmós», número, como si fuera lo que trata de los números. Y también puede ser el nombre propio del autor y estar compuesto de algún nombre griego que nos suena igual que «alba arena», pues en efecto en la arena blanca se suelen escribir figuras de toda clase. «Todo lo ocurrido desde el primitivo»2. Este libro se divide en dos partes: en proemio y ejecución, esta segunda aquí: «la numeración es». La primera, a su vez, en cuatro: en la primera se expone la finalidad de que se ponga por escrito; en la segunda, la causa eficiente aquí: «así pues, esta provechosa ciencia»; en la tercera, la causa material aquí: «de los números unos son»; en la cuarta, la causa formal aquí: «asimismo son 9 las especies». «Se ha generado por razón de los números», esto es, en la razón de los números tienen el objeto de su formación, y de ahí dice Boecio que en todo aquello en lo que esto y lo otro se busca, esto es, la materia y la forma, así también la dualidad y la razón del número. Igualmente Agustín: en cada uno de los que son conjuntos de tres se encuentran la esencia, la forma y el fin; la esencia es lo que son, la forma es en lo que difieren, el fin es lo que se obtiene con ello, y así los vestigios de la trinidad y la razón del número se 1 No traducimos la voz latina incipit por ser la apertura habitual de los títulos de estas obras latinas. 2 En todas las ocasiones en las que se cita el Carmen de algorismo hemos optado por poner nuestra traducción de los pasajes citados, que son en su mayoría inicios de los versos del Carmen. Por esta razón, en ocasiones no coinciden las palabras latinas citadas con la traducción hecha. 995 2 Item auctor sex principiorum sic dicit: creator creaturarum numero stabilivit omnia, id est numerositate speciarum, et sic triplici testimonio patet veritas prime propositionis scilicet omnia etc.35 Notandum quod ternarius continet in se binarium et sexquialteram eius porcionem, 4us continet in se 3m et sexquitertia eius portionem. 5us continet 4m et sexquiquartam eius portionem. 6us continet 5m et sexquiquinta eius portionem, et sic de aliis. Et dicitur a sexqui, quod est totum, et quinta, 40 quasi continens totum et quintam partem totius. <* * *> est octavus limes et nonus resultant si aliquis numerus qui contineat millenarium proponatur, quocumque numero precedente multiplicando, ducatur semel in se ipsum per modum quadratorum fit octavus limes. Deinde multiplicando 45 secundario, ductus in idem productum per modum solidorum, efficiet nonum limitem; ratione prime ductionis in se ipsum fit octavus limes; ratione secundarie ductionis numeri multiplicantis in productum fit nonus limes. Notandum si in numeris quadratis in duplatione digiti 50 quandoque excrescit numerus compositus, quod proximum duplatum addendum est in anterioratione articulo numeri compositi, ut patet hic 8.9.0.6.7.2.4.9.1. etc. 35 omnia] SACROB., Algor. 1 42/49 est – limes] cfr. SACROB., Algor. 438/449 50/53 Notandum – compositi] cfr. SACROB., Algor. 197/199 42 * * *] lacunam statui, spatium vacuum iam reliquit L 996 2 encuentra en cada una de las cosas. El mismo autor de los seis principios dice así: el creador estableció el número de todas las criaturas, esto es, en la abundancia de especies, y así con el triple testimonio queda patente la verdad de la primera proposición, o sea, «todo», etc. Hay que notar que el número tres contiene en sí mismo el dos y un sesquiáltero3 de su porción4, el cuatro contiene en sí mismo el tres y los sesquitercios de su porción, el cinco contiene el cuatro y una sesquicuarta de cada porción, el seis contiene el cinco y una sesquiquinta de cada porción, y así el resto. Y se llama «sesqui-», que es el todo, y «quinta», como si contuviera el todo y una quinta parte del todo5. <* * *> es el límite octavo y resultan nueve si algún número estuviera aquí antepuesto al mil, y al mismo número multiplicando el anterior, se multiplica una vez por sí mismo a la manera de los cuadrados y se hace así el límite octavo. Después, multiplicando el secundario, se multiplica por el mismo producto a la manera de los sólidos y se hace el límite noveno. Por el cálculo de la primera multiplicación por sí mismo se hace el límite octavo; y por el cálculo de la segunda multiplicación del número multiplicante por el producto se hace el límite noveno6. Hay que notar que si en los números cuadrados en la duplicación del dígito a veces sale un número compuesto, el que está próximo al que se ha duplicado hay que añadirlo al anterior artículo del número compuesto, como se muestra aquí: 8, 9, 0, 6, 7, 2, 4, 9, 1, etc.7 3 Sc. unidad y media de algo, en este caso, del dos. 4 Aunque en el texto latino dice claramente que contiene «un dos y un sesquiáltero», quizá se trate de una mala interpretación de un original en el que pondría «dos sesquiálteros», puesto que dos porciones y media de la unidad son tres. Lo mismo parece ocurrir en las siguientes: habría que entender que el cuatro contiene tres unidades con sus sesquitercios, el cinco cuatro porciones con sus sesquicuartos, etc. 5 Tras este párrafo de origen desconocido sobre la composición de los números a partir de fracciones, el escriba deja deliberadamente un espacio en blanco, consciente de que falta parte del texto. La siguiente frase, en efecto, comienza de forma abrupta. La parte del modelo que probablemente haya decaído o que haya quedado sin copiar debía de ser amplia, pues falta el comentario a todas las operaciones del tratado y pasa directamente a los límites, que se encuentra en el capítulo de las raíces del Algor. 6 Parece que tras este párrafo también faltaría una porción de texto a juzgar por la falta de coherencia de contenido, o quizá se ha incluido en este punto un párrafo que no se corresponde con este comentario. 7 Desconocemos si en estos números se esconde un ejemplo práctico de cómo operar el proceso que se describe. 997 3 Liber iste est beate Marie virginis in Campo Lyliorum. 998 3 Este libro es de la abadía de la beata María virgen en Campo de Lilas8. 8 Es decir, Lilienfeld. 999 Novenarius Octonarius Septenarius Senarius Quinarius Quaternarius Ternarius Binarius Unitas 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Centies mille milia Decies mille milia Mille milia Centum milia Decem milia Mille Centum Decem Unum 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Bis centies mille milia Vigesies mille milia Bis mille milia Ducenta milia Viginta milia Duo milia Ducenta Viginti Duo 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ter centies mille milia Ter decies mille milia Ter mille milia Trecenta milia Triginta milia Tria milia Trecenta Triginta Tria 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Quater centies mille milia Quadragies mille milia Quater mille milia Quater centum milia Quadraginta milia Quatuor milia Quater centum Quadraginta Quatuor 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Quinquies centies mille milia Quingesies mille milia Quinquies mille milia Quinquies centum milia Quinquaginta milia Quinque milia Quingenta Quanquaginta Quinque 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Sexties centies mille milia Sexagies mille milia Sexties mille milia Sexties centum milia Sexaginta milia Sex milia Sexcenta Sexaginta Sex 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Septies centies mille milia Septuagies mille milia Septies mille milia Septies centum milia Septuaginta milia Septem milia Septigenta Septuaginta Septem 7 7 7 7 7 7 7 7 7 Octies centies mille milia Octogesies mille milia Octies mille milia Octies centum milia Octoginta milia Octo milia Octingenta Octoginta Octo 8 8 8 8 8 8 8 8 8 Novies centies mille milia Nonagies mille milia Novies mille milia Novies centum milia Nonaginta milia Novem milia Nonagenta Nonaginta Novem 9 9 9 9 9 9 9 9 9 1000 Novenario Octonario Septenario Senario Quinario Cuaternario Ternario Binario Unidad 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Cien mil veces mil [cien millones] Diez mil veces mil [diez millones] Mil veces mil [un millón] Cien mil Diez mil Mil Cien Diez Uno 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Doscientos mil veces mil [doscientos millones] Veinte mil veces mil [veinte millones] Dos mil veces mil [dos millones] Doscientos mil Veinte mil Dos mil Doscientos Veinte Dos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Trescientos mil veces mil [trescientos millones] Treinta mil veces mil [treinta millones] Tres mil veces mil [tres millones] Trescientos mil Treinta mil Tres mil Trescientos Treinta Tres 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Cuatrocientos mil veces mil [cuatrocientos millones] Cuarenta mil veces mil [cuarenta millones] Cuatro mil veces mil [cuatro millones] Cuatrocientos mil Cuarenta mil Cuatro mil Cuatrocientos Cuarenta Cuatro 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Quinientos mil veces mil [quinientos millones] Cincuenta mil veces mil [cincuenta millones] Cinco mil veces mil [cinco millones] Quinientos mil Cincuenta mil Cinco mil Quinientos Cincuenta Cinco 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Seiscientos mil veces mil [seiscientos millones] Sesenta mil veces mil [sesenta millones] Seis mil veces mil [seis millones] Seiscientos mil Sesenta mil Seis mil Seiscientos Sesenta Seis 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Setecientos mil veces mil [setecientos millones] Setenta mil veces mil [setenta millones] Siete mil veces mil [siete millones] Setecientos mil Setenta mil Siete mil Setecientos Setenta Siete 7 7 7 7 7 7 7 7 7 Ochocientos mil veces mil [ochocientos millones] Ochenta mil veces mil [ochenta millones] Ocho mil veces mil [ocho millones] Ochocientos mil Ochenta mil Ocho mil Ochocientos Ochenta Ocho 8 8 8 8 8 8 8 8 8 Novecientos mil veces mil [novecientos millones] Noventa mil veces mil [noventa millones] Nueve mil veces mil [nueve millones] Novecientos mil Noventa mil Nueve mil Novecientos Noventa Nueve 9 9 9 9 9 9 9 9 9 1001 Sara vocatur quae scripsit benedicatur et detur pro pena scriptori plena lagena. Istud opus perfectum est in anno domini 2023. 1002 PORTADA ÍNDICE RESUMEN ABSTRACT RIASSUNTO ABREVIATURAS INTRODUCCIÓN PRIMERA PARTE: LA OBRA DE SACROBOSCO SEGUNDA PARTE: EL ALGORISMUS CONCLUSIONI GENERALI BIBLIOGRAFÍA ÍNDICES APÉNDICES