PEDRO ABELLANAS 

NUMEROS NATURALES 
Operaciones con números naturales 

IPublicodo en cCursillos sobre Didáctica 

Matemática>, Tomo 1) 

IMPRENTA SAMARAN 
MADRID, 1968 



U"pf1!dto Leunl, ll . Sf'p. :?l!l!I • rn1m 

Samar{1n.-Amparo, 103. Tcléí. 2270053.-Madrid 



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NUMEROS NATURALES 
OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES 

Por-

Pf.oi:>o AanuN.As 

l. I NTRODUCC ION 

Finalidad que uos propo11cmos : Estuclinr el m.'1mero naturn.l tanto en 
cuanto se relaciona con su cnseilanza en el primer curso de bachiller.ato. 

Punto ele partida : Admitimos que el muchacho de primer curso de ba­
chillerato conoce bastante sobre el número n:lturnl y sabe operar con él. 

l'osici611 didáctica: Se n<lopt<1 en lo que sigue la posición de ;;¡provechar 
tocios los ccmocim ientos prc\·ios de:i :i lumno y, a partir de ellos, avanzar 
un poco más haci<i una formación un t~mto m{1s precisa de conceptos y rela­
ciones. No se trata, por tan{o, de una exposición científica del concepto 
de número natur:il, pero iampoco de una lección didáctica sobre el mismo. 
Lo que \'amos rt estudiar en estas cuatro lecciones necc.·sitarla de uno a dos 
meses para su exposición a los a lumnos. 

II. OFICIOS DEL NUMERO NATUR.\L 

El n\1mern ntttur;ll tiene dos oficios: unas veces actúa como nUmero 
cardinal y otras como m'1mcro ord ina l. Creemos necesario comenzar el estu. 
dio del nllmero natural en prim('r curso del bachill<'rato analizf!ndo estas 
dos misiont>s del número natural. Pero para e llo se hnce preciso introducir 
unas liger:1s idt>as sobre conjun tos de cosas mat<'rialcs. 

11 l. CONJUNTO DE COSAS M'ATERIALES 

Ejemplos: 

J, Los alumnos de fa clnse forman e l couj111110 de los alflmuos de la 
clase. Cada alumno es un clcmculo del couj1111l o. 



---1-

2. L:::t s mesas de Ja clase forman el co11j1111io de las mesas de la clase. 
Cada mesa es un elemento del conjunto. 

3. Ltis tizas que están sobi:c Ja mesa forman el couj1111to de las tizas 
que. están sobre Za mesa. Cada tiza de la mesa es un elcmcntQ del conjunto. 

4. Juan, Luis y Enriq.ue forman uu coujun/o de 11i1ios. 

5. Un bosque es un conjunto de árboles. Cada árbol es un elemento 
del conjunto. 

6. Un regimiento es un conjunlo de soldados. Cada soldado es un ele­
mento del conjunto. 

7. Los alumnos de esta clase que tienen diez afios de edad es un con­
junto de alumnos. 

8. Las casas de esta calle forman un conjunto. Cncla casa es un elemento 
del conjunto. 

9.. Las casas dC'" esta calle, cuyo número termina en 1, forman un con­
junto. 

10. Los nlumnos de esta c1~1se que se han sabido hoy la lección de gra­
m(1tica, forman un conjunto. 

11. Póngonsc en pie Tos alumnos de esta clase que fiencn diez años. 
Los ti.lumnos de esta das(' que están de pie, forman un conjunto, etc., etc. 

Los conjuntos se pueden definir nombrando o mostrando cada uno de 
sus elementos, o bien domlo una propiedad que sea verificada sólo por los 
elementos del conjunto. En el ejemplo 4 se define un conjun to nombrando 
a c;ida elemento. En el ejemplo 7, dando una propiedad. (A los alumnos habría 
que ponerles suficiente número de ejemplos para que enunciaran el modo 
rle definición de ca<lo uno de ellos). 

Los elemenlos de un conjunfo se dice que pertenecen al conjunto. 

Un. couj1111lo A se dice q11e es parle, o eslá contenido, o es subconjunto, 
de otro r.onjunto e cuando todo clcmculo de .4 pertenece a c. 

El conjunto del ejemplo 7 es parte del conjunto del ejemplo l. El con­
junto del ejemplo 9 es parte del conjunto del ejemplo 8. El conjunto del 
ejemplo 11 es parte del conjunto deJ ejemplo 7. El conjunto del ejemplo 6 
es parte dC'I conjunto del <'jcmplo 6. 

Propiedades de la rel"ción: ser parte. 

1. Todo conjunto es parte de s í mismo. 
2. Si el conjunto A es parte del conjunto B y si B es parle de C, se 

VC"rifica que A es pnrte de C. 

(Ejercitttr ni alumno en csf:is: dos propiedades). 

Dos co11j1111tos son ;g11rr1cs c11n11tlo constm; de los mismos elementos. 

El conjunlo del ejemplo 5 es igual ni conjunto del ejemplo 5. El conjunto 
' .del cjc...-nplo 11 es igual a.1 conjunto del ejemplo 7, efe. 

Si el conjunto A es i::!ual ni conjunlo B se \"erifica que A es parte 
de B y que B es parle de A. Si A es parle de B y B parte de L.\ el conjunto 
A es igu::1l ni B. Por consiguiente : 



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Decir que !I = H cqui-:.'ltle a 1lccir que A es par/e de B y que B es 

por/e de il. 
(i\lúltiplcs ejercicios para que el alumno demuestre la igualdad o desi­

gualdad de dos conjuntos definidos por propiedades distintas). 

Propictlndcs ele la i,t;11aldad de conjuntos. 

1. Todo conjunlo es i:;!ual a sí mismo. 
2. Si A C's igual a B es R igual a A. 
3. Si A es igu:1\ a R y B es igual a C es A igual a C. 

IV. EL NUMERO OARDINAL 

Cu~ndo el número nntur:-il se emplea para contar los elementos de un 
conjunto dcsC'mpcñn f'! oficio de nl1mero cmdinal. 

.'l 11álisis de ln opemción tic contar: Queremos contar el conjunto for­
mado por Jos roe-hes quC' pasan por dcl:rntc de nuestra vcnfana en diez segun­
dos. Pasa un c:ocbc y lcv:mtnmos un dedo de la mrmo: pasa otro coche 
y krn.ntamo.;; olro dC'do, e tc-. .'\1 cabo de dir;i; se~undos tenC'mos fantos dedos 
lern.niados: cunntos coches h:'ln pnsado. El conjunto formado por nuestros 
dC'dos lc\'nnlac\os sir\'C pará contar el m'1mcro de elementos del conjunto 
formado por los coches que han pasado por delante de nuestra ventana en 
diez segundos. Análo~~rnwntc, para contnr el número de naranjas de un 
frutC'ro poc!Cmos proced{'r así: se toma uná naranja y se le\'anta un dedo 
de la m:mo: S<' toma otrn y se le\·antn olro d<'do, etc. El nlnnero de dedos 
levanfaclos ni final sirve p:trn contar las nnr:mjas del frutero. De éstos 
r cualquier otro <'jcmplo se d('(fuce que )::) opC'ración de contar consiste en 
form:'lr pares con clemeníos de dos conjuntos: el conjunto que se quiere 
contar y el conjunto que se toma como patrón pnra contar. En los ejemplos 
:interiores el conjunto patrón C'stfi formado por los dedos de las manos. 
Estos pares se formnn teniendo en cuenta las dos condiciones siguientes: 
a) Cada e\C'mento del conjunto que se dese~ contar figura unn vez, y sólo 
una, en .!os p:-i.res que> se forman. h) En los pares que se lmn formado no 
figura dos nces ninglm elemento dC'I conjunto patrón. 

Pnra contar conjuntos con muchos elementos, se hace necesario disponer 
de un conjunto pntrón con t:mtos elementos como se deseen, de :iqu{ la 
necesid:id y utilidad del conjunio de tos números naturales. Este conjunto 
sin·c para contnr los elementos de cualquier otro conjunto. 

El conjunto d('o los númcr<>s naturales tiene una propiedad importante 
que permite simplificnr la operación de contar. Esta propiedad es ta de ser 
un conjunto cuyos elementos están dados en un cierto orden: 

(1) 1, 2, 3, 4, . ..... , 

esfo permite r<'prcsenfar , cualquier subconjunto formado por todos los nú­
meros naturn.les que preceden a uno de ellos por este número. Asf, el núme­
ro S puede scn·ir para representar al conjunto formado por los números 



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1, 2, 3, 4, 5. Aprovechando es ta representación, puede asignarse a cada 
conjunto de cosas un m'uncro único, que se llama su número c:J,rdinal. 
Para ello se prorccle del siguiente modo: se forma un par con cada elemento 
del conjunto que 5c dcsl'c contar y un número nafural de modo que: 

n) Cada clcmC'nio del conjunto que se va a contar figure una vez en un 
par, y sólo una. 

b) No figura repetido ningún número natural. 
e) Si figura en un par un m'11ncro natural figuran en otros pares todos 

los números natu ra les que Je preceden . El número así obtenido para repre. 
sentar al conjunto de Jos números naturales que figuran en los pnres no 
depende· del criterio seguido en 1:.1 formnción de los pares, siempre que se 
cumplan las condiciones anteriores, y se ll¡1ma mímero cardinal del coujzmlo . 

V. EL NU~IERO ORDINAL 

El conjunto d(' los números naturales está dado en un cierto orden. 
Es[o se expresa diciendo que dicho ca11ju11/o está ordenado. EJ número natu~ 
ra.1 3 se dice que <'~ n1c110r que el ní11n c·ro 5 , o que precede al número 5, 
porque está escrito en In sucesión (1) de los números naturales antes que 
el dnco. Esto SC' expresa esc ribiendo: 3 < 5. 

Por consiguiC'ntc, la ordenación del conjunto de los números naturales 
es consecuencia de poderse escribir estos números en la forma (1). Vamos 
a analizar las propi C'dadcs que se deducen de poderse escribir los números 
nnturales en l:t forma (1), que rec iben e l nombre de 

Propiedades de la ordcnació11 de 111í111erus: 11al.11ralcs 

J.º P;1rn todo númC'rl) n, n precede n es igual a a. 
2.º Si un número precede o es ig ual a otro y al mis mo tiempo le sigue 

o es igual a él, (lmbos m'11ncros son ig uales. 
3.0 Propiedad ·transitiva. Si 5 prC'ccde a 7 y éste precede n 9 se verifica 

que 5 precede a 9. 
4.0 Dados dos nt.'11ncros naturales dist intos uno de e llos precede al otro. 
5." El nt'lmero uno precede :i todos los restantes. 
6.0 D:ido un nt.'tmcrn naturn.,l arbitr:irio existe uno que le sigue inme­

dia tamentt\ esto quie re decir que entre ellos no existe ningún otro número 
nafur:il. 

Como consccuenci:1 de esías propicdmles de la ordenación de los números 
naturales se pueden emp!C'ar eslos números pára ordenar conjuntos. La 
opcr:ición de ordenar un conjtmlo consiste en formar p:ircs entre los elemen­
tos dC'l conjunto y· Jo~ nt'imcrns naturales de modo que se cumpla n las condi­
ciones a), b) y c) ele\ n\1mero IV. 111 n\1mero que forma par con un elemento 
del conjunto se llamn 11ií111ero -0rdi11al tic dicho elemento en el conjunto 
respec to df' J;i ordcn:ic: ión clml.1 . Aquí, :j. difcrcnci:i del caso del nt.'1mero 
cardinal de un conjunlo, es c~cnci:il la forrn n de efectuar los :ipareamientos 
de los e lemcn {os del conjunto con Jos nt.'1mcros na turales. A cada posible 
:ipareamiento le corresponde un:1 ordenación del conjunto y a apareamientos 
distintos , ordenaciones di st inws. Como consecuc>ncia del aparcamiento enlre 



-i-

los elementos del conjunto y los números naturales .ob(~nidos, cumpliéndose 
las condiciones n).t b) y c) del número anterior, se pueden trasladar las 
propiedades 1.0 • 5.0 de la ordenación de los números naturales a cualquier 
otro conju nto finito. Cuando tal se ha hecho, es decir, cuando se han form ado 
los pares entre el conjunto dado y el conjunto de los Oúmeros naturales 
de modo que se cumplan las condiciones a), b) y c), se dice que se lia 
orcfrrwdo el conj1111lo dacio. 

Las propiedades t.0 - 5.0 de los números naturales es preciso que las 
vaya oblcn iendo el alumno guiado por el profesor. Una vez conseguido esto, 
sería conveniente hacerle ver que las mismas propiedades son válidas en 
cualquier conjunto ordenado. P;,'lra ello hay que presentarle varios ejemplos : 

a.) Los a lumnos de fo dase pncstos en filu. 
b) Lls páginas de un libro. 
e) Los nombres de una guía telefónica . 
d) Los días de la sema na. 
e) LOs ac.los realizados por una persona en un día. 
f) Los puntos de una recta . 
g) Los puntos de una circunferencia. 
h) Los pueblos situados sobre una detcnninada carretera. 
Con estos ejemplos y otros se. hará observar que se pueden definir orde­

n:iciones que no cump.len todas las propiedades anteriores. Así sucede en 
los ejemplos f) y g). Conviene acos tumbrarlos ~ distinguir en diversos ejem­
plos si se verifican o no ladas las propiedades de Ja ordenación de números 
nalura les. 

La relación entre los números cardinales y los ordinales \•iene dada por 
la siguiente propiedad, que. conviene que ver ifique el· alumno en algunas· 
experiencias. 

El número cardinal. de un conjunto de cosas es igua l a l número ordina l 
de su úHimo elemento. 

VI. S ISTEMA DE NUMEINCION DECIMAL 

Pa ra representar Jos n{1meros na turales se emplean unos signos, en la 
representación gráfica y unas palabras en la representación oral. Ante la 
imposi bilidad pr.l1ctica de representar cada número por un signo o una 
palabra distinfa, se ha ideado crear un red ucido número de signos y de 
palabras y unas reg las de composición, mediante las cuales, se puede repre­
sentar cualquier número na tu ral, por Jo menos den tro de los límites exigidos 
por las necesidades del hombre. Al conjunto formado por los signos y sus 
reglas de composición, se le llama sistc1Ua de ""mcrnc:i6u g ráfica, y al con~ 
junto formado por las palabras y su regla de composición, .sis1ema de mm1e­
rC1ción oral. 

Los signos empicados en la numeración esc:ita, llamados cifra·s. son 
los s iguientes: 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7' 8, 9, o. 



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Los primeros nümcros naturales son: 

( 1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: 

el número nalural siguiente al represent;tdo por lt;J. cifra 9 se representa 
por 10 ), las siguientes a éste se representan por el par de cifr:1s que se 
obticnC' n al ir sustituyendo Ja cifra O por cada. una de las c ifras (1) en el 
mismo orden que a llí figuran : . 

(2) IO, 11, 12, 13, 14 , 15, 16, 17, 18, 19. 

El número siguiente al 19 se representa por 20 y se rep it e el mismo 
proC'eso anterior y así se sigue has ta obtener el número representado por 99. 
A és te sigue el representado por 100. A és te siguen los números. represen­
tados por las cifras que se obtien en a l sustituir el par de cifras 00 por los 
pares 01 , 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, y a partir <le aquí se sustit uyen 
Jos números obtenidos a par tir de (2). 

Este proceso puede Unr lugar a un análisis de tipo general por parte del 
alumno que puede desarrollarse media nte \•a r ios ejemplos del siguiente tipo : 

a) Escribir el mimero siguiente a l número 378992 
b) 378349 
e) 378399 
d). 378909 
e) 378999 
n 379999 
g) 399999 
li) 999999 

Conviene rea li zar ejercicios a11(1 logos llílciendo escribir el número prece­
dent e a números de las s iguientes form as : 

235742, 235i41, 235740, 235700, 235000, 230000, 200000, 100000. 

Después de ellos con\'endrfa hacerles enunci ar la regla general de far. 
mación gráfica de los números natu rales. 

En la nomencla tura oral se in troducen las siguientes denominaciones: 
los números 10, 100, l<X>O, IOOCX>, . . ·. se denominan diez, cien, mil, diez 
m il, .. . con lo que el número 378992 puede representarse oralmente así: 
{res cien miles, 7 diez m iles, 8 miles , 9 cientos, 9 d ieces {u decenas), dos. 
Esto se abrevia diciendo: trescientos se tenta y ocho mil novecientos noventa 
y dos. 

Ejercicios. Escribir gráficamente los siguientes números : treinta (o tres 
decenas); once decenas ; veinte decenas; dos cientos sesenta y cinco (o, 
equiv;1Jente : dos cientos, seis decenas, cinco); caiorce cientos; treinta y dos 
cientos; cuarenta y ires millares. 

Leer según Ja terminología usual los siguientes números : veinte decenas¡ 
treinta y cuatro cientos ; ciento catorce cientos, etc. 

Al número u11o se le llama unidad simple¡ a l número 10 unid::id de primer 
orden, ol 100 unidad de segundo orden; ... ; ni t seguido de diez ceros: uni. 
dad del décimo orden, etc .. · · ~ 



-9-

Todo número se puede represenJar mcdi*nte un número de unidades de 
diversos órdenes y se puede conseguir que el número de unidades de cada 
uno de los órdenes sea inferior a 10. 

VII. ADICION 

Reunión de co111u11/os : Dndos dos conjuntos A y B se llama reimi6n, 
y se representa por A U B, al conjunto formado por todos los elementos 
que pertenecen a A o a B. 

Esta operación se aclarará mediante Jos correspondientes ejemplos: 
a) El conjunto formado por toda.s las púginas de un libro es reunión 

de.l. conjunto de las 50 primeras y del conjunto de las restantes. 
b) El conjunto formado por todas las pi1ginas de un libro es reunión 

del conjunto de las 50 primeras y del conjunto formado por las siguientes 
a la 20.•. 

e) ¿Es el conjunto de todos los triángulos rcct{mgulos reunión de los 
tri{mgulos rectángulOs con un :'ingulo inferior a 45.0 y de los triángulos 
rcct{1ngulos con un ángulo inferior a 30.0 ? ¿Por qué? 

el) ¿Es el conjunto reunión del conjunto formado por los alumnos de 
esta clase con puntuación superior a 4, con el conjunto de los alumnos con 
puntuación inferior a 6, iguaj al conjunto de alumnos de la clase? ¿Por qué? 
Análognmcnte, i es el conjunto de alumnos de esta cl::1se igual a la reunión 
del conjunto de a lumnos de puntuación inferior a 5, y del conjunto de ~um­
nos de puntuación superior a 5? 

Propiedades de la operación reunión: 

Ejercicios: ¿Es el conjunto del ejercicio a) igual al conjunto reunión 
de la página que sigue a la página 50.ª y del conjunto formado por las 50 
primeras páginas? ' 

¿Es el conjunto reunión del conjunto formado por la reunión del con­
junto de los alumnos de esta clase de calificación inferior a 4, con el con­
junto de los alum nos de calificación comprendida entre 3 y 6, con el conjunto 
formado por los alumnos de calificación superior a 5, igual al conjunto 
reunión del conjunto de los alumnos de calificación inferior a 4, con el 
conjunto formado por la reunión del conjunto de (l\umnos de nota com­
prendida entre 3 y 6, y el conjunto de los alumnos de calificación supe­
rior a 5? 

Mediante ejercicios del tipo anterior se pueden precisar . las siguientes 
propiedades de la operación reunión : 

Propiedad c:omiiutafúm. Si A y B son dos conjuntos: 

AUB=BUA 

Propiedad asocillliva. Si A, B y C son tres conjuntos (A U B) U C = A U 
D U C). 



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Dos conjuntos se llttman di.~j1111 los cuan<lo 110 poseen ningún elemento 
común. 

Adició11 Je 111ímero.s nal11raks. Dacios <los número:; naturales, por ejem­
plo 3 y 5, se <lctcrmina un conjunto A, cuyo número cardinal sea tres y 
o{ro B, cuyo número cardi nal sea 5 disjunto con A. AJ número cardinal 
correspondiente al conjunto A U 8 se le llama s11111u de 3 y 5 y se representa 
por .3 +S. 

!\k<liantc ejemplos L'nm·cnicntcs se c6mprob.ará la uniformidad de esta 
npcraci6n : t'Slo es, que no depende Je h's conjuntos A y B, clegido!i siempre 
que se 1..·umpl:111 las condidonc.s Je l:1 definición anterior. Conviene observar 
el siguirntc cs4ucma <le la definición de udición : 

(3, .51 - -•(A, IJ)--> A U IJ --> 3 + 5 

Las propictlides conmutaiiva y asocintiva de l;;;t reunión Je conjuntos 
dan lugaf, en virtud de la uniformidad, a las siguientes: 

Propiedad co1111rn lo/h·a ele la adición : 3 + 5 = 5 + 3. 
Propiedad a"Soci11li··.:a. ele la adición: (3 + 5) + 1 = 3 + (5 + t). 
En efecto: 5 + 3 es el número cardinal de B U A = A U 13, luego, 

5 + 3 = 3 + 5. A11álogamen1c, si C es un conjunto disjunto con el con­
junto A :.: B y de nümero cardinal uno, se nrifica que C es también dis­
jun1 0 l'Oll By que:\ Cl:i <lisjunto con B u e, Juego 3 + (5 + 1) es e l número 

cardinal de L.\ U ¡n U C) "'-' \ :\ U H) U C que forma el número cardinal 
(3 + 5) + l. 

Co~ Ja definición :interior <le :idición se puede realizar la adición de 
dos nümcros cualesquiera y se puctle hacer que el alumno construya, apo­
y;indose en In dc:finieión, la 1abla de · sumar. Conviene hacerle notar al 
alumno que: s i bien In ddinkic'in anterior permite sumar dos números cua­
lesquiera, el proced1micnto ('~ :argo cuando se trata de dos números algo 
grandes, por lo que con,·icnc busc:ir otro procedimiento más rápido. En el 
caso de sumandos dc una sola \.·ifra bastn disponer Je Ja tabla de sumar. 
Si se trnta de números de vtirias cifras se puede reducir el problema a l caso 
d(' una única cifra . 

En efecto, supong::mos. que se tr:ita de sunrnr el número 734 con e l nú­
mero 97. Sc:1 .i.\ un conjunw· formado por 734 dados y B otro conjunio, 
disjunio con el anterior, formado por 97 <lados. A Ja expresión 734 = (7 e, 
3 d, 4 u) se le puede hacer comprender una descomposición de L·\ en 7 
subconjuntos A' de una cen1c11a calla uno, de 3 subconjuntos A'' de una 
decena y ' <ll! o'tro conjunto A ' '' formad o por 4 dados, de modo que 
A : = 7 :\' U 3 A " U :\ ' " (•n tlontlc un nümcro delante de un conjunto 
si:!{nifirn Ja reuni(,n de tantos ornjuntos d C'I mismo número cardinal que el 
rnnju n1 0 · A·' Y, Ji sjusto entre sí como indica dicho número. Análogame1:tc 
al nt'im. 97 = (9 d, 7 u) se Je puede hacer corresponder la siguiC'nfo des­
composición de B : B = 9 B ' U 13 " C'n donde c:ula I3 cst:'t formado por 10 
dados y B ' ' por 7 dados. Por consig uiente: 

A u .B = (7A' u :JA'· u ,\ '·') u (9B' u u··¡ 
'= 7'A' U"( (·3A'' U A''') U \!113' U 13' ')) 
= 7 A' U ( PA'' U DIJ') U (A''' u B' ')) 



- 11 -

Al conjunto 7 A ' le e ·rrcsponde el número cardinal 7 c. Al conjunto 
3 :\ " U9 B ' le corrcspo .. dc el número cardinal (3 + 9) d y al conjunto 
:\ "' U B " le corresponde el número cardinal (4 + 7) a. Ahora bien, todas 
cs las adiciones que aquí figuran son de sumandos de una sola cifra, que 
figura en la tabla de sumar; luego, conociendo dicha tabla se puede poner: 

i34 + 97 = número cardinal (AU l1) 
= número cardinal {7 A' U [{3 A '' U U U') U {A'' ' U B ' ' )]) 
= (7c, J2d, l lu) = (Se, 3d, Ju)= 831. 

I>c :\qui puede obtener el niño la reg la de sumar que conoce. 
En \·irtu<l de la propiedad asociativa se puede convenir en escribir una 

suma de varios sumando<; s in paréntesis : 
5+~+~=~+~+6=5+3+6 

De la descomposición del conjunto A, cuyo número cardinal es 734 en 
7A ' U 3A "U :\ "'de la definición de adición y del convenio que acnbamos 
de establecer se deduce : 

734 = 700 + 30 + 4 
a una expresión tnl como la anlcrior se le llama descomposición polinómica 
dc:I nlimero 734 . 

. Ejercitar a l alumno en descomposiciones polinómicas. • 
La regla anlerior de adición se puede escribir nhora del siguienle modo: 
734 + 97 = (700 + 30 + 4) + (90 + 7) = 700 + (30 + 90) + (4 + 7) 

= 700 + 120 + 11 = 700 + (100 + 20) + (10 + 1) 
= (700 + ICO) + (20 + JO) + 1 = 800 + 30 + 1 = 831. 

De aquí resulta inmediatamente la disposición práctica de la adición : 

734 
+ 97 

831 

VI 11. SUSTRACCION 

Dcjiuicicfo de s~1st~ticció11 : Escribir 

(1) 
(2) 

3+4=7 
7-4 = 3 

c·s equivalente a escribir: 
o 7-3=4 

En la primera igu:ilda<l (2) al 7 se Je Jlama minuendo, al 4 sustraendo y 
al 3 diferencia. 

El alumno clebed1 l'jcreit:1rse en pasar ele una igualdad del tipo de las 
{1) y (2) a las otras dos. Creemos indispensable no continuar la lección 
hasta que todos Jos alumnos se hayan familiarizado con la equivalencia de 
las relaciones (1) y (2). A continuación se les podrá decir que la operación 
que consiste en hallar la diferencia cuando se conocen el minuendo y el 
sustraendo se J1:1ma rns.'racci6rt. En este momenio se les puede hacer que 
hallen vnrias diferencias y que juslifiquen por qué el número hallado es 
Ja diferencia . Finalmente se les pl1cdc hacer hallar la condición necesaria y 
suficiente p:ira que Ja sustracci.ón sc:l posiblf.". 



-1~-

Una vez que no ofrezc<.\ ninguna dificultad el paso de una a las otras dos 
Je las tres igualdades equivalentes: 
~ a+b=c c-o=b c-b=n 

se podrá intentar que el a.lumno traduzca a palabras la definición de sus.. 
tracción. No interesa que retenga de memoria lª definición oral. 

Como ejercicio se Je puede hacer construir una tabla de tes[ar y hacerle 
notar su diferencia con una wbla de sumar, como consecuencia de la no 
conmulatividad. 

Un trab:'.l:jo útil pue<lc ser el h;iccrlc obtener la regla usuaJ de la sustrac­
ción de números de varias cifras. Esto se conseguirá con \'arios ejemplos 
del siguiente tipo: 

1.0
} Calcular 147-24. Esto se puede escribir en Ja forma siguiente: 

(4) 147 -24 = (le, 4d, 7u) - 2d , 4u) = (e,* d, *u), 
en donde tenemos que averiguar cuántas cenjenas, cuántas decenas Y cu{mias 
unidades debe haber en el último miembro. En virtud de la definición (4:) 
equivale a 

por consiguiente?': 

(le, 4d, 7u) = (2d, 4u) + (* c, * d, *u) 
= (* e, (2 + *) d, (4 + *) u), 

le = .,.. c, 4d = (2 + *)el, ?u = (4 + *) u 

y lá tabla de restar nos proporciona inmedialamentc que *e = 1 e, * d = 
-= 2d, *u = 3 u, luego: 

147 - 24 = (le, 2d, 3u) = 123. 
2.0

) Calculor 147 - 53. 
1417 - 53 = (le, 4d, 7u) - (5d, 3u) = (*e, * d, *u) 

de donde, por la d<'finición de sustracción : 
lle, 4d, 7u) = (5d, 3u) + (* e, * d, * u) = (* e, (5 + º) d, (3 + • ) u). 
Como la sustracción 4 - 5 no puede efectuarse, conviene escribir e! pri­

mer miembro de la sii:?uientc forma : 
(1 c, 4d, 7u) = (14d, 7u), con lo que se reduce el problema al caso 

anterior. 

IX. PROPIED:IDES DE SUMAS Y DIFERENCIAS 

l. (9-5) + 5 = 9 
La igualdad anterior puede comprobarse direciamente efecJu:rndo las 

operaciones del primer miembro. Convendrá repetir esta romprobación en 
varios ejemplos. 

Conviene ahora hacer notar al alumno que puede probarse la igualdad I 
sin necesidad de efoctuar las operaciones, sin mús que recordar la definición 
de sustracción, ya que según é-sta, la igualdad J es equivalente a la 

9-5=9-5 
que es evidente. 

11. (9 + 5) - 5 = 9 

Para establecer f'S ta igua.ldacl se scguirf1 el mismo método que con la 
anterior. 



-13 -

111 . (9+5)-3 = 9 + (5-3) 
En primer lugar se comprobará lc:t igualdad cíectuando las operaciones en 

\'arios ejemplos. A continuación se hará recordar que la igualdad 11 l es 
cquivalcnfc a la igualdad : 

9 + 5 = [9 + (5 - 3)] + 3 =u + [(ü - 3) + 3] = 9 + 5 , 

que es evidente. 

IV. 9-(2 + 3) = (9-2)-3 

Después de comprobarla cm \'nrios ejemplos se hnrá ver que es cqui­
H1lcn1e a la siguiente· 

9 = [(9 - 2) -3] + (2 + 3) = (:! + 3) + [9 - -.!) - 3 = [ ('! + 3) + 
por 111 

+ (9-2)] - 3 = [(9 - 2 ) + (2 + 3)] - 3 = [[(9 - 2) + 2] +3] - 3 = 
= (U + ~) - 3 = 9, 

c.¡uc es evidente. 

v. (9-5) + (7-1) = (9 + 7)-(5 + 1) 

En efecto, por la igualdad l V : 

(9 + 7)-(5+ 1) = [¡9 + 7)-5]-l = [(9 -5) + 7] -
por 111 

-1 = (9-5) + (7-1). 
por 111 

VI. 8-(7-3) = (8 + 3)-7. 

En efecto, por la definición de sustracción, esta igualdad es equivalente a 

8 = [(8 + 3) - 7] + (7 - 3) = [(8 + 3) + 7] - (7 + 3) = 
por V · 

= [8 + (7 + 3)] - (7 + 3) = 8. 

VII. (8-2)-(7-3) = (8 + 3)-(2 + 7). 

En cíccto, en virtud de VI 

(8 - 2) - (7 - 3) = [(8 - 2) + 3] - 7 ~ [(8 + 3) - 2] - 7 = 
por 111 

= (8 + 3) - (2 + 7). 

No intcres:t que el profesor reproduzca las anteriores demostraciones, única­
mente que guíe al nlumno para que éste obtenga dichas demostraciones u 
otras equivalentes. Es necesario que el profesor prepare una colección de 
ejercicios convenicniemcntc sistemntizndos para que <'l n.lumno se familiarice 
con el juego de paréntesis. 



- l~ -

X. ~lULTIPLICAC!ON 

En muchas ocasiones se prrscnt:m sumas con todos sus sumandos igua. 
les. Ejemplos: ¿Cuánto gana un obrero a Ja semana si su jornal es de 
120 ptas? ¿Cufintos kilómefros recorre un tren en 5 horas si cada hora recorre 
70 kilómeLros? ¿Cuánto costarán 5 kilogramos de azl1car s i el precio del 
kilogramo es de 22 peselas?, etc. Una vc·z que el alumno se haya convencido 
de la gran frecuencia con que aparecen sumas con l'odos sus sumandos igua­
les se le puede hacer ver la conveniencia <le emplear una notnción abreviada 
para tales sumas y la utilit..hd de establecer el siguiente convenio: 

(1) 4 + 4 + 4 = 4 X 3 = 12. 

Al número 4 del scgun<lo micmlJro, que es el sumando que se repite en 
la suma se le llama multiplicando, y ni m'1mcro 3 que indica el número de 
veces que el sumando se repite se le llama multiplicador, y a la suma, 12 en 
el ejemp!Cl (1), se le llama producrc •. 

Ejercicios para expresar sumas de sumandos iguales en forma de pro­
ducto y viceversa. Asegurada la comprensión de Ja primera igualdad (1). se 
puede hacer que el alumno exprese en lenguaje ord innrio la definición de 
multiplicación. 

Obsen.•aci611 : Como la adición es siempre posible, también lo es la mul­
tiplicación. 

Propiedades de fra wultiplicaci6n: 

1.0 Propiedades dislributi\'aS: 
a) (5 + 7) X 3 = 5 X 3 ; 3 X 3 
b) 7 X (2 + 3) = (7 X 2) + 7 X 3 

Demostración de n). 

~+~x3=~+~+~+n+~+n=~+s+~+n+1+~= 
= (5 X 3) + (7 X. 3). 

Demostración de b). 

7x(2+3)=7x5=7+7+7+7 + 7 = 17 + 7) ·!· (7 + 7 + 7) 
= (7 X 2) + (7 X 3). 

Co11sccuet1cia de la propiedad di.ilributh•a 

En primer lu,!;!ar se hará construir al a lumno una t:ihb dr Pitágoras. 
Se le hará obtener ~horn. como aplicadóu de la propiedad distributiva, 
Ja regla Je multiplicación de números de varias cifras. que él conoce, me­
diante ejercicios del siguic>ntc tipo: 



- 15 -

2,54 X 32 = (2()() + 50 + 4) X 32 = (2()0 X 32) + (50 X JZ) + (4 X 32) 

= [200 X (30 +2)] + [50 X (30 + 2)) + (4 X (30 + 2)) 
= (200 X 30) + (200 X 2) + (50 X 30) + (50 X 2! + (4 X 30) + (4 X 2) 

= [(~00 X 2) + (50 X 2) +('IX 2)] + [(WOx30) + (GOx30) + ('lx30)] 
4 X 

+ 50 X 2 
+200x 2 
+ 4 X 30 
+50x30 
+200x30= 

(200 X 2) + (50 X 2) + 4 X 2 
+ (200 X 30) + (50 X 30) + 4 X 30 

400 + 100 + 8 
+ 6000 + 1500 + 120 

508 
+ 7620 

8128 
guiente igualdad : 

2.0 Propiedad asociativa : Como el producto de dos m.'1meros es siempre 
otro m.'1mero, se podrá a su \"CZ multiplicar -éste por un tercer número. Para 
expre$nr que el producto (3 x 4 se multiplica por 2, se escribe (3 x 4) X 2. 
Por consig:uientc, se verifica la siguiente ig:ualda<l : 

(2) (3 X 4) X 2 = 12 X 2 

•:\nálognmcntc se podr(1 multiplicnr 3 por e l número 4 x 2 = 8; esto se 
escribe: 

(3) 3 X (4 X 2) = 3 ' 8 

Se compruebn, cfoctuando las operaciones, que los segundos miembros 
de (2) )' (3) son iguales, Juego también lo son los primeros. Pero esfo se 
puede obfcncr directamente, sin nt!ccsidad de efectunr l~s operaciones : 

(4) (3 X 4) X 2 = (3 X 4) + (3 X 4) = 3 X (4 + 4) = 3 X (4 X 2.) 

Ln igut1.Jdad formada por el primero y el último miembro de (4) se conoce 
con el nombre de propiedad asocialh:a de 1a m11lliplicación. En virfud de ella 
i;c cstnblccc e.1. siguiente convenio : 

3 X 4 X 2. = (3 X 4) X 2 = 3 X (4 X 2.), 

con lo quC' queda definido el pro<luc10 de. mt1s de dos factores. 

3.º Propiedad conmutnti\·a 

Sx3=3x5 

Ocmostrnción : 

5 X 3 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) X 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 X 3. 



-16-

Consecuencia : 

Propiedad distributi11<1 respec/-o de la. cliferencia. 

De 8 = (8 - 3) + 3 se deduce 8 x 5 = ((8 - 3) + 3) x 5 = [(8 - 3) x 5) + 
+ (3 x 5), lo que es equi\'alente, por la definición de sustracción, a 

(8 - 3) X 5 = (8 X 5) - (3 X 5) 
Se hace necesario al llegar a este punlo ejercitar a l a.lumno en el manejo 

de todas estas propiedades mediante la correspondiente colección de ejerci-
cios bien graduados. · 

XI. DIVISION EXACTA 

Com·enimos cm que las tres igualdades siguientes son equivalentes: 

(1) 8 = 4 X 2, 8 : 4 = 2, 8 : 2 = 4 

Al número 8, en Ja scgund:l igualdad , se le llama dividendo, al 4 divisor 
r al 2 cocieníe. Como en el cnso do la sustracción es necesario que el alumno 
se adiestre en escribir las tres igu:1lclades (1) cuando se da una de ellas. 
DI." 1.a definición (1) se deduce que s i se verifica la primera igualdad se puede 
decir que 4 y 2 son cli\'isores de S. L.a opernción, que consiste en halbr el 
cocient <' cuando se dan el dividendo y el divisor, se llama dú.•isi6n exacta. 
Conviene ahora hacer notar al alumno que esta operación no es siempre 
posible. 

Lá división exacla permite rl."solver, cuando ello es posible, el siguiente 
problema típico: uDado un conjunto de cosns descomponerlo en reunión de 
un número d:.1do de subconjuntos. disjuntos que tengan todos el mismo número 
de- cosns1i. Este problcmn es eq uivalente n este otro: 11,: Cu:'intns veces se puede 
restnr de un número dado otro número hastn llegar a obtener una diferencia 
nula? Conviene hacer ver al alumno la equi\·alencia de estos dos problemas 
con el de b di\' isión <'Xactn. · 

Com·ienc que el alumno exprese \·erbalmcnte Ja definición de división 
ex.acta. 

PROPIEDADES DE LA DIVISION EXACTA 

Propiccl'1<1 disfrilw.Ji11a: 

n) Respecto de la adición : n e la definición se deduce que: 
(8 : 2) x 2 = 8 y (12 : 2) x 2 = 12, de donde 
(8 : 2) X 2 + (12 : 2) X 2 = 8 + 12, 

y por la propicd~d distributiva de !a multiplicnción : 
(8 : 2 + 12 : 2) X 2 = 8 + 12, 

lo que, en virtud de la definición de di\'isi6n, sig:nificn que: 
(8 + 12) : 2 = 8 : 2 + 12 : 2 



-17-

b) Rcspecio de la sustracción. Restando las igualdades anteriores: 
!2 - 8 = (12 : 2) X 2 - (8 : 2) X 2 = (12 : 2-8 : 2) X 2 

lo que es equivalente a: 
(12-8) :2= 12 : 2-8 :2 

Produclo de dividendCI o di1.1isor por un número: 

De 8 = 4 x 2 se deduce que 8 x 3 = (4 x 2) x 3 = 4 x (2 x 3) = 
= (4 X 3) X 2. 

Después de ¡.'Oncr varios ejercicios an:'1hlgos se conducir{1 nl alumno a que 
formule estas propiedades. 

XII. DIVISION ENTERA 

La división exacta no puede re::tliz.nrse siempre; lo mismo ocurre, por 
tanto, con los problC'mas equivalentes enunciados anteriormente. Ahora bien, 
estos problemns se pueden transformar en otros que tengan solución. Por 
ejemplo, el primc>ro se puede transformar en el siguiente: 1cDado un con­
junto de cosas descomponer.lo en reunión de un número dado de subconjuntos 
que tengan tocios el mismo número de cos<ts y de otro subconjunto». 
Ejcm.plo: 

El conjunto dndo tiene 14 cosas y se quiere descomponer en trcs subconjun­
tos con igl1nl nt'1111Pro de cosas más otro subconjunto. 

Son soluciones posibles lns siguientes : 
14 = o + o + o + 14, 
14 = 1 + 1 + 1 + 11, 
14 = 2 + 2 + 2 + 8, 
14 = 3 + 3 + 3 + s. 
14 = 4 + 4 + 4 + 2. 

Para obiener una solución única basta modificar el enunciado del problema 
del siguiente modo: Descomponer 14 en cuatro sumandos tales que Jos fres 
primeros se:m iguales }' <'1 tercero sea inferior a 3. En estas condiciones la 

t'tni C'a soluci(m es Ja última, que put"de escribirse así: 
14 = 3 X 4 + 2 

A toda descomposición de un nt'1mero en estas condiciones se le llama 
división entera ; al número que se descompone se le llama· dividendo; al 
número de sumandos igualC's, divisor: al sumando que se repite, cociente y 
al sumando inferior al divisor se le- llama resto. 

Coni.o resumen de varios ejercicios se llegará a enunciar la siguiente: 
DEFl:\IICION: Dados dos números, llamndos dividendo y divisor, se 

llama división entern a la opcrnción que consiste en halla r otros dos, llama­
dos cocier.te y re!'do, tales que se cumplan tas dos condiciones siguientes : 

Dh·idendo = di\'isor x cociente + resto, 
resto <divisor. 

On buen ejercicio <;;cr:'1 deducir a partir de esta definición la regla práctiC':i 
de In división entC'rtl de <los nt.'"1meros. 


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