UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Departamento de Física Teórica II (Métodos Matemáticos de la Física) TESIS DOCTORAL Soluciones exactas de las ecuaciones Einstein-Yang- Mills algebraícamente especiales TESIS DOCTORAL MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR José Antonio Ruiz Martín Director: Francisco Javier Chinea Trujillo Madrid, 2002 ISBN: 978-84-669-0463-6 © José Antonio Ruiz Martín, 1992 SOLUCIONES EXACTAS DE LAS ECUACIONES EINSTEIN - YANG-MILLS ALGEBRAICAMENTE ESPECIALES Memoria presentadapor: JoséAntonio Ruiz Martín Director de la Tesis: Prof. FranciscoJavier Chinea‘Trujillo )-¡-ji - ¿=z UNIVERSIDAD COMPLUTENSE 1111111 ~ 5314280876 UniversidadComplutensede Madrid Facultadde Ciencias Departamentode Física Físicas Teórica JI SOLUCIONES EXACTAS DE LAS ECUACIONES EINSTEIN - YANG-MILLS ALGEBRAICAMENTE ESPECIALES Agosto 1992 (3 /;~q Memoria presentadapor: JoséAntonio Ruiz Martín para optar al Título de Doctor en C.C. Físicas.. Director de la Tesis: Prof FranciscoJavier ChineaTrujillo e e e u, u, e e el e, el el e, el th4ti1~&h e, Agracleeirule ntos Esta lesis lía, sido dirigida, por EJ. Chinea, a él quiero agradecer el habermepropuestoel tema de trabajode la misma, queparami ha resultadotan enriquecedor,y e’ habermeguiadocontanta pacienciaen su desarrollo,hasta.llevar a buen fin estetrabajo. Igualmente importanteha sido la existenciade un ambientemo- tivador de trabajo e investigacióndentro del grupo de Relatividaddi- rigido por EJ. (ihinea. Dentrode él he recibidolas siempreinteresantes sugerenciasde LXI. CionzalezRomeroy LeonardoFernandezJambrina en las periódicasreunionesde trabajoque hemosrealizado. Est..a A+ 2B) 139 a Contenido 3 8 CONCLUSIONES 145 e e e Contenido e e e e e u, e- 9< u, e a a U, u, e 4 e Capítulo 1 INTRODUCCION En 1 954 apatecioel aitu ulo de Xang y Milis dondese generalizabael conceptodesimetríagaugelocal al casode un grupointernono abeliano (~l3, Ú2~). Durantelos primerosanosno (lespertó tiesto qí e to0 gatige sem~sini— pie. ~ ¡~r ser (ste el mas smicilio (le tratar, los mavotes esfuerzosse u, concentraronen el caso ~‘U(2), espacioplano (etíclideo o minkowski) y vacío (en ausencia.de corrientes se puede encontraren el artículo i-e iii sta.ntoii proviene (leí hechode que la solución estáconcentradaen unat-egión re las coinp~ tentesdel poterícial Yang—Milis) las ecua- ciones cíe ex-otucíon se conviertenen tas identidadescíe E3ianchi, que se cumplen iclentícanuentepor la piopia definición del campo, si bien 9< u, 9<- e 9 presenta.el serioproblemade nc seraplicableen el casoiniíikowskiano. Otro tipo tico cnt re la solucióíí instantónica.cíe BPST y la solución merón-níeí-ónen espacioeticlideo y generalizala solíícíon de De Alfaro ‘y col. en espacio níinkowski) generalizacióndesarrol- lada posteriormentepor Actor [1fl. o la. construcción(los os espacio-tiempostopológicarnente posiblesclasicamentey no solamentesobreaquellosquese derivancon- tinuamentedel espacio-tiempoplano. Para finalizar, crí el apéndicepresentamosel procesodeta- liado de resolucióncíe unaecuaciónen derivadasparciales<¡ue, como se vera, aparececorno punto clave de la obtención de soluciones,al menosen tres momentosdistintos. En efecto, dichaecuación aparece como la última a resolver para.obtenerel coeficientede la métrica en los casosquenos planteamos.tanto con ¡netrica lorentziana.como eu- clidiana. También es la únicaecuación a resolver para poder poner la métricade forma conformeplanaexplícitamente.Finalmentevuelve a aparecer(en primer lii gassi aterídemosal Or(lCl1 mo u It ima 1 igadtira cli fei’eiícial a resoser para obtener soííí ciones exa.c-ta.s e e e 12 Capítulo 1. INTf?ODUCCION en espaciosplanos. e e a a a a mv 9< -t 9< el e,] e, rs Capítulo 2 CAMPOS YANG-MJLLS. SIMETRIA ESFERICA En la década.j eto 4) ,, + s (En adelante4?> — r4 Paramantenerla simetríadel Lagrangiano es necesariointroducir un campo adicional con unas leyesde transfor- el macion dadaspor ‘W4’ Ap —~ SA~S~1+ S~t’ Es decir, este camponuevo (en adelantenos referiremosa él como po- tencial Yang-MilIs) estavaluadoen el álgebrade Lie del grupo gauge en la. representacionCli (fue este actúa sol>re 4?. Por tanto, la forma de mantenerla símetria es sustituir los termínos cíneinatícosdel la- grangianopor la siguienteregla Q —>Q—A Por analogía,con el electromagnetismoel término cinéticoquese intro- duce parael nuevo campo tienela forma e e el el 15 /r(F>úFPÚ) Donde el campo Yang-MilIs F ~.> es la generalizaciónno abelianadel tensorde Faradayelectromagnético.El término cinemático reciénin- troducido es invarianteLorentz, y para queseainvariantegaugedebe tener unas propiedadescíe transformaciónde la forma : SF~, ~ El campomassencillo c¡ue se pue,> — A~ [A>, A~j En adelantenos referiremosa este campo como “campo Yang-Milis”, distinguiendolodel “potencial Yang-MilIs” previamentedefinido. Una vez que tenemosdefinido el potencial Yang-MilIs y el campo,es trivial comprobarquesecumplenlas identidadesde Bianchi QF03 + D0F3> + D3F~0 = O dondehemosdefinido D~ = O> — [A>, Partiendodel término LagrangianoYang-MilIs definido ante- riormentese puedencalcular las ecuacionesÚ) = 0 e e e 16 Capítulo 2. CiA MPOS Y4NG-MFLLS. SIMETRÍA ESPERICA a Las solucionesautodualesson aquellasquecumplen e Fgw= ±*F<~.quedesarrollandoel dual queda e F>~ =± Se puedeconípíobar fa.ci 1 íiíente que las ecuacionesde evolución se con— 9< vierten en las ien tanto quesu cxlmplimielit() implica el cumplimientode las ecua- cionesdeevolucióny que es de primer ordenen las derivadas.También en espaciominlKowsl4i su interésestá.reforzadopues se demuestraque este tipo de solucionesson nunímosde la energía. En este esquema aperecieronlos monopolos = 0>1V — [A>, l.Tj (2.1) donde Lx representala derivada de Lic respectoal generadorX y W es un campo valuadoen el álgebra de Lic del grupo gauge. Esta e’ a a 9’ 2.1’ Simetríasespacio teinpotaJes en teoriasgauge 19 expresiónes válida parauiía teoría Yang-MilIs dondeel potencialtiene unas determinadasreglas de transformaciónbajo la acción del grupo gauge, en una teoría gaugecoíí otras reglas de trausformacion,como por ejemplo, la Formulación en tétradasde la gravitación, donde las reglascíe t ransformacI¿ 1 paca la tétradason distintas, la condición cíe simetría es diferente.. La. ecuación (2.1) es invariantegauge. con solo inponer clii e el 14’ sea ti ti escalary tengauna ley- de trausforínacióndel siguientetipo: U” = S’ltt’ + X>(O~, la. con xx (0,0,0) (2.6) A, xx (0.0. A~(t, r)) (2.7) = (0. 0, Ar(1, r)) (2.8) xx (—<1 (1, y). —92(1, r), 0) (2.9) = (<2(t.r )su¿O,—p~(1,i’ )senú,—;3cosO) (2.10) (donde y~ es unaconstante)y con la ligadura adicional9í xx 92 = O si ;~ ~ 1. Esta.forma del poteíícialYang-MilIs mantieneaún unalibertad mí. gaugedadapor un subgrupo[‘(1) del grupo gaugeSU(2) original. La accionde estesubgruposobrelas funcionesqueacabamosde definir es: e xx ¡1/ — - e, .4=4-—al‘1 91 xx ;icos(i) + 92s4j) i->2 xx —y,.sen(f)+ p2cos(f) y dondefxxfU.r). e e, e,’ e’ 21. Simetríasespaciotemporalesen teoríasgauge 23 Con un potencialYang-MilIs comoel delas ecuaciones(2.7/10). la forma del campoYang - MilIs es (~ = 1): xx (0. 01rÁ — /lLr) = (0,0, [Y) (2.11) xx (—y~~ A, 92, 924 + A,91,0) (2.12) Fro = H9i, 4’Y2~ 92.r + A~p 1,0) (2.13) xx (¿2.! U< í ~-i~ «22. 0)senO (2.14) Frr<<92r — ti t- i.r — A~92. 0)scnO (2.1-5) xx (00,(i —; ~Y,iO) xx (0.0,I’½) (2.i6) Es fácil (le comprobarqtíe las ca iii. i (lades 1’, r - (1 9i —~ ) - ~%Ñe’ ~7a son invariantesbajo la. actuacion del subgrupO gauge resiclual U (1 A lo largo del trabajo siemprenos hemos restringido a un gauge en el (¡LiC ~ xx Q Y en el que denotamospor tanto 9 xx 9~ - También hemosseleccionadola constantep~ con valor 1 (cii casocon- trario obtenemosun campoYang-MilIs abeliano, y- reobtendríamos los resultadosseesimetría, esf~rica, y’ que por lo tanto se puede encontrarliii gaugeen c’í que se es<-ribe = ¿/2<6 = xx ¿9< xx = ¿tA.t = xx 0 (2.33) a, Tenemos. 1)01 tanto, que sm no se cumplen ninguna, cíe las ecuaciones 9< (2.28). (2.30) y (2.32) (todas ellas relacionesalgebraicasdonde úni- camenteaparecenlas componentesde los ca¡npos gauge).el supuesto generadorde la simetríaadicional debetenerla forma 9< 2< = X<(t. r)&< + .V(t, r)ci. + Xso e’ e 2.1. Simetríasespaciotempoi-a¡esen teoríasgauge ‘3—’ 4—’ Las condicionesfinales de compatibilidad para. un generador(le este tipo serán una de las siguientes: xx 0; &tFo~< = 45,. = 0 (2.34) ‘1. 2<’ = 0; OrEw, xx xx 9 (2.35) iii. A~’ ~ 0: AV ~ 0; (ó,I%~)(O. [Ka, Pr (2.37) Los resultadosson válidos tanto en espaciominkowskiano como eticlidiano, plano o curvo. Si observaniosla. eslructura.cíe condi- cionesquehemosobtenidoobservaremosqueen cada.uno de los pasos, se limita, mediantealguna. condición los c-a.mposYang-NI i lis - <¡ ríe son condición necesaria.parala ex islemícia (le LI ría si muetría aclicional aparte de la puramenteesférica. Por tratarse(le una condición necesariano sirve paraprobar la existenciade un análogo,en el sentidoqueexpuse anteriormente,al teoremade Birkhoff, por tanto adelantamosque, en los proximos párrafos..vamos a mostrar un contraejeniploen espacio enclideo.que,peseaposeersimetríaesférica,no cumpleninguna cíe las condicionesanteriores,y por tanto ríos permite concluir cIne 110 existe un análogoal teoreníade Birklmoff en teoríasYang-Mills en vacio. Si nos restringirnos al casoeuclicleo. y dentro de éste a las solucionesautodualesel análisis anterior se simplifica cíe maneracon- U, a u 28 Capítulo 2. CA AIPOS lA NC-MIL LS. SIAÍETRIA ESP’ERICA siderable. Es eviles. En estecaso: e + ~ xx () (2.38) u.. ¿1V + 04§t xx 0 (2.39) — á,.Xr + =0 (2.40) 9’ 1’ d,X< — 0,.X’ = 0 (2.41) e 0,2<’ + ¿LX’ = 0 (2.42) ,,2~y’t + ¿¿Y = 0 (2.43) 9’. 2 y súíí200,.V+ O>XT xx 0 (2.44) r2seu200 1X<’+ DCX’ = 0 (2.45) e, — ~-0 — ____ = 0 (2.46) .5<-?!? 0 u’ Este resultadoríos permite simplificar (2.36). En efecto,si no secumplenni (2.28), ni (2.30). ni (2.32), entoncesel conjunto(2.38/46) * de ecuacionesse puedeintegrardando la. solución: e, /.- A’ = (ii(~2 y 2) + Y + ¡¿3)0, + (¡¿It + “2k0r + 2L esiomíes como la aiLterior, la. solución ti PO 2- mnstantóncuandoy(z) es el producto )) = 0 (2.49) Es laboriosover qmíe la íri mueracon0 1-instanton. pci-o esto era de esperarpues el ms— tantón de Witteím tiene simetría 30(4) y- por lo tanto, debecumplir al menosuna (2.-SO) erior teii ida a uterioruneríte en general y la segunda.es específicacíe E’ SOil inatríces lierinitícas d¡Lie satisfacen gv U48 xx9 (71’ (718 ¿it AB 0 0 Esteespinor p imecle ser fa cloriza 7/ Itt y con uit ~mnico antoespi nor fi rial ¡neríte teudremos 11ff) y “‘O Esta clasificación lii. po xx O = .5’ — Ip2:3 II = PC ~ o Entoncesla clasificacióncíe Carmeli quedacaracterizadapar- cialmente(uinicamenteen cuantoal número cíe autovaloresse refiere): e e e Capítulo-3. CLASIFICACIONALGEBRAICADF CARMCLI a ilpo l~ P #Oy&”#0112 e tipo 1 1,,, D> —> P ~ O mj (2 = 6112 upe III>, JI 1~ % —~ P ~ 09 (7 = LI = O l¿¡>o tu. lío. I)o.I[Jo,J1,j>-0~ P = O Lo interesantede estaforma de representarla clasificaciónde Carrneli, es quese puedenobteneresosinvariantesgauge.sin necesidad de calcularel espinor ‘5. Paraelío bastaquedefinamosla matriz At=E~+¿Bt=F¿k+j \/ 57éokirnF Mi e’; donde í representalas E = trcLzcr( ‘53) = ti2d02 — m2 sen29dgr52 (3.10) donder y p sonfuncionesde y. Definimos las matricesa 4$ e ~ c~ ’ ‘r 2v = (0.— ______ ,CI)1~ El espinor ‘5 ‘50000 = ‘5miíl 4¡.2~ ~~2)2 — ¿te 2”) sool1 = ~2( (1 ¿2)2 +gr _____________ 2 —2p ygr — ____ ‘-.0 LUí — ,~ ~e — &.oeoí — ‘50111 xx O La trazadeesteespinores ladensidadde acciónmás i vecesladensidad de cargatopologica, queen este Ansatz 1 (1 ;2>2 + 2 ->. .2 —2p (3.11) 38 a a a u. e, e e nl. * mv e’ mí 9’ 3.1. Particularización a ¡a solución de Bartnik-McKinnon 39 La ecuación de a.utovaloresse puede resolver (lan(lo la si- guiente solución- Tiene u u ¿títo\alor doble Am ‘y un autovalor simple Am Am (1 4>.4 Si ji = /3 (3.12) tenemos liii autovalor triple coui ti-es autoespínoresx- por lo tanto se trata del tipo O~ ó 0o cmi la clasificación (le Carmeli (el segundoúnica- mentecuandop = 1 dondese obtiene una. solución gaugepura). Por el contrario, si A ‘y /3 son distintos. entonceslos dos autovaloresson distintos, al autovabr doble le cOriXYSí}oi>derí ~ Lina. conclícion algebraica(ecuación(3.12)> en los caníposy. por tanto. cli fereneial cíe primer orden en las componemítes(leí potemicial Yang-MilIs. En la sí- guiente secciónvereniosqueestos resultadosse ¡)ue. e, Parala parametrízacionde la métricaexpuestaen 13.10)(donde e, i- y p son funciones t 7— F 03 ( 4& —v,~ 0)— r fi xx l,.¿.0)—/~ ~1> ¿ ¿.0)— 7- F~ m O (1 — ~ Las únicas coínponeí ites no miii 1 n d la matriz A definida en (:3.4) son: A= (h’ ¿ _ qxx< ‘ (1 1< ¿4? 7 1’ 2~ ‘,-‘ K ___ +9 La, matriz ‘5 definida. en (3.) es címígonal ‘5nir (12 ~> 2±~2 b2+c2 ) En este pULuto es con\-eniente hacer algunos comentarios. El primero es que ambas matrices (‘5 y ir) son iguales y diagonales. El hecho de ser diagonales es debido a estar restringiendonos a campos con simetría esférica, en general no es así. Por ser diagonales los cálculos de las trazas cine aparecen en la definición de P. (3. y H son triviales, y por e e e 42 C’apí’tím¡o 3. CLASIEI(’ACIONA LCEBRA10.-A DE CARMFLI tanto, la cara(-teriza.ción de la. clasificación cíe C a.rníeli por el número de aimtoxaloresdistintos es f-h ji de calcular. Dichos invariantesgauge son: e P (¿2 + 2(62 + ¿) e, ~ (4 + 2(b2 + cj2 ¡ o + 2(62 + e2» ( [<>2 (¿>2 + <.2)]> e, 3 JI [<>2— (/» + c>)J’3 e, <1 Es trivial de comprobar <¡tic siemprese cumple (33 = 6112. La clasificación de (~~r¡n~li de los campos Yang-MilIs con simetría esférica u’ quedacaracterizadacomo sigue: e,’ tipo 4 ,‘ No es posible (3.13) ti; >o 14. D,, a> = [(/, -)(b> + e>) (3.14) e, li¡)o JI/rl1;” O~< —+ a> = (6> + e>) (315) i¿po J~. II,>. D 0. 11 1~,I1 ¿.Oo—* a> = 2(6> + e>) (3.16) e, En el resto ajo aparecerarícon frecuenciaexpresiones 9<’ como: campo.s algel)raica]nente especiales’ o “campos degenerados algebraicamente” - Cuando usemos dichas expresiones nos estamos re- e, firiendo a aquellos campos Yang-Muís tales que a> es igual que 62 + e> salvo un factor unultiplicativo ¡e xx ó ¡e xx —2. En otras palabras,nos estaremosrefiriendo acamposdel tipo X~ ó ff4, 1 V, O~ (En adelante cuandoaparezcael símbolo X~ nos estaremos refiriendo genericamente a todos los tipos algebraicoscon su.mbíndiceO). Y’ es precisamente ésta u. e, nl 3.2. Particularización a simetríaesférica 43 la ligadura adicional: a> = ¡e(b> + ¿2>, con ¡e = 1 o -‘2 (3.17) (algebraica en los campos y diferencial de primer orden en los poten- cíales) que iruponcí reinos al i itentar resolver las ecuaciones - <¡nc míos íennn— tira resol ter coiii¡> le tamííeí te el sis 1 en a res u Ita u te. ít mí los cap it Li los. .5 y’ 6 no limitaremos el valor .con lo ([nc Cii pUimídiplO. también estaremos obte- niendo algunas soluciones no algebraicamente especiales. Todo lo de- sarrolladohastaahora lo lía sido para umí espaciomiííkowskiano. pero podenios generalizar los resLiltadlos a un espacio eucli(iiaiio modificando la métrica en las componentes de la. tétrada, cíe formíta. <¡Líe sea <¡ab = tfiay(+1, +1. +1. +1). La ecuación (3.17) es una igualdad cnt re expresiones com- plejas, desarrollandoen comííponentessus partes real e imaginaría se obtiene: /< ~‘ = ¡e[F,0. F,.6] 3 (3.18) ~< <>0 / ( p< ¿2r+2í + f,~ ) (3 lO) 2 ~. Es decir. cii espacio plano toda. solución con siníet ría. “ lii peresférica” ( enteudien cío co¡i ío tal SO(4) en el caso euclicii espacio plano. Con ello podremos con> probar si la 1 igaclura. algebraica que i u>¡>0! ieiiios. es lo suficiente fuerte como para s imuplificar las ecuaciones a resolver hasta permitirnos encontrar sus soluciones. En efecto, como veremos a lo largo de este capítulo, algunas laiio. que aparecen en la literatura son algebraicamente especiales y deben de poder ser obtenidas en nuestro es<¡uema.. Ademas algti ¡mas ajo. 9’ Todo ello viene acompa.fla(lo jior la. obtencion cíe una genera- e- lización de las solímcionesva conocidasen términosde unaconstantede integración. Para deteriniííados valores de esta. constante, se encuentran 9’ nuevas sol uciotíes (al menos entre la bibliografía manejada por el autor). Por todo ello cueem>ío.s (¡líe queda j mistificado el Ftr)r = —2A,¿> (4.1) = 2A,.y> (4.2) (¿~í~ — (¿,r).r — ¿A~ + ¿ — — (4.3) 7.2 -‘(¿A, ),, + (¿A,.),.— ¿,A¡ + ~ = 0 (4.4) La ligadura algebraica(ecuación(3.17)) se escribe (donde ¡e xx 1 ó —2) Del sisteríma. de ecuaciones (41-4.6) se pueden integrar 4.1, 4.2 y 4.4 con: 1 A, xx A,. =—i--~ qfl,. =—(---c—26)Y r 7.2 donde c es unaconstantede integración. Las ecuacionesque quedan por resolver son: ¿it — y,,.,. — 21. + = ¿(1 —f>) (4.7)<3 ~-3 ‘1> 2; ,.c,,. 2¿Á<, _ <(—e — 26 ) — 0.,.r + — _____ _________ ¿ (4.8) —¿(e+ 2o)( 1 ~ ) = ¡er>( —¿,@t + ¿,,.c,,.> (4.9) (4.10)2 2 22 2><((e + 2< —(1 — ¿2)2) = k,->(o — o, — ¿¿,. + ;¿,) e a u. Capitulo 1 SOLUCIONESEXACTASEN ESPACIOPLANO En este capítulo solo vamos a interesarnos en lo que nosotros hemos llamado Ansatz de Bai-tnik-MclKinnon.4, = A,. = 0. Las~cua- clones a mesolver sc>¡í: .0 — V.rr = 2 (1 ¿2)> = kr>(~¿ ¿(1 —¿>) (4.11) (412) Es conveniente definir el siguiente cambio de variables: it xx r + t q y = r — t con lo que el sistema (411/12) queda ¿(1 ~> ) — (u + tú> 1 = (mt + o)> (1 — •1 mí (4.13) (4.14) El cociente de estas dos expresiones se puede integrar completamente, distunguienclose semm(t¡(íc) + U(o)) ¡¿= —2 —+¿--- -> [y— mí) + V~)3 (4.15) (4.16) Y aún nos que quedapor mesolver (4.14). Analicemos estos casos por separado 4.1.1 k=1, Tipos algebraicos Iff~, 1V]1, 0p En términos de las funciones U y U (4.14) se escribe: U 0 V,,( u + e)> = cos>(U + U) 48 9’ mí ‘e, e, mí e’ u” u e,- a, e, 9< e, 4.1. EspacioMinkowski 49 Esta ecuacionse resuelvecomupletamenteen el apéndice 1. Presenta basicamente dos tipos (le soluciones. El primero está cla.cdi’) (un1 mar apéndice) o en otras pala.~rasr > 1. eiít<>iices cl c ainpo ¿ no es real - 5 iii embargo, si de1 + de> xx jv t > m-. sí (¡mmc ticume seultitemuicla, y- el campo ; es 1 mm — m’ ¡ El segundo tipo de soluciones es: (7 xx arctg(¡Jmí + ti) + cte1 > 1’ = arel q(Jm’ — ti) — cte1 Entonces el campo Yang-Milis es real ‘y vale: 1— xi; v~ + .~> + (4.17) donde x = itt + ti. e y = 3m’ — mi (3 y mi son constantess<>rber recleHu ienclo el origen cíe tiempos). La solucion (¡líe se conoce,en esteansatz,en la bil)liografica consultada (vease ref. [3j)es la De Alfaro. Fubimti y Furlan Se obtiene cuandola constante3 xx 1. Entonces la función ¿ tiene sentido en todo espacio minkowski. Si ¡3 ~ 1 ‘y real. se obtiene básicamentela misma solución salvo un cambio de escala de las coordenadas empleadas. Sin e, u’ mí 50 (apmtu¡o -1.501.1TCIONESEXA(77145 fiN ESPACIOPÍANO embargo,cuando es imaginaria, la solución tiene sentido tan solo en a, cleterníinaclas reaiones delimitadas por e, reomon interior” , ¡itt + mi—! < 1 y ¡¡iv — mi] < 1d region exterior” [)u + mi] > 1 y ¡3v — mi] > 1. u Fuera de las cuales es imagunaria. u’- 4.1.2 k=-2, Tipos algebraicos1o, 11o,D 0, “fo, IVL, 00 Dividiendo las ecuaciones (4.13) y (4.14) se llega a: u’ 9< ¿ xx [71 -‘ e- 9’ Al integrar estas ex¡)resiones se obtiene la. ligadura (4.16) (donde U,~ = O y 1/’,. xx V). A diferencia de ¡e = 1, ahora no podernos despejar p y u’los cálculos se complican. En cualquiercaso, podemosentrar con los resultados anteriores en (4.14) obteniendo 0’ — 2LTU(u + e)> = (1— (4.18) Calculandola derivadalogarítmicacon respectoa u yQy restando se llega a 5- 1’> 9 (‘(mm + 7’) 1’?,. 2 + l’(u + L’) quese integrancompletamentecon: u’ o o mí u. * e 42. Espacio Fuclideo 51 (7= 1~= 1 mm,> + ~v¿+ ~a 1 — ¡e>U + ¡e3 Entonces,podemosdespejar¿ UV derivandorespectoa mm y clespej ando en = (1(1 ~2>—I se llega a la expresi~nsiguiente: 2V — (mm. + m)Ul(2Ammm + ¡e>> = .i»/í —‘ —2(¡m + <(‘U —2UU q¡te en mt + u = 0. y (lonsec u e mí temí te¡it e (1 xx . Id) se ptíecle cumplir para níngílu 2( =4(/ -‘2 Por tanto, concluimos que ¡io exmsten soluciones (no triviales) Yang- MilIs en espacio plano de tipos algebraicos 2<0 y comí simetría esferíca. 4.2 Espacio Euclideo Algunas de las soluciomíes Yang-MilIs que mas desarrollos Han motivado con posterioridad a su aparición surgieron en el caso euclideo. Eittx-e el- las destacan las soluciones “ instamítónicas” y las soluciones “merónicas” - u’ e, nl 52 Capítulo 4.SOLt~CIONESEXACT4SEN ESPACIOPL4NO Las primeras caracterizadas por ser regulares y tener el campo Yang- u’ MilIs concentra (4.i9) (m>F,,.), =2>1,.;> (4.20) — (;,.).,. + ¿4+ ¿4~ xx ¿(1 — A) (4.21) (¿A,),,+ (; — 0 (4.22) La ligadura algebraicase escribe Fmr( 1-’ ;>) xx /4 A 1;;,. — A,.;;,) (4.23) (rflj> + ((1 — ;>) + + + (4.24)_________ = ¡e((¿ Af;> (it 1½>)) 7— Al igual queen el casominkowski, el sistema r(c — con lo queel sistemafimíai a resolveres o>,. &, ¿(1 >2 ) — rr + y + 7 (4.25)~ 2;,.ó,- + 2;4,, — ; 2(c — 26 ) ¿ (4.26) — 2<)(1 — ;>) xx ¡er>(;,¿, + ;,.~,.) (4.27) — 26)> + (1 — ;>)>) = kr>(6>,. + ~ + ;>j + 2;>~) (4.28) a e e Capítulo 4. SOLUCIONESEXACT-áSEN ESPACIO PLANO Y en el ansatzdeB.M. ¿‘(1 —;> ) (1 — ph> xx kr>(¿ + 1,) (-4.29) e’ e- (4.30) 9<’Ahora las variablesconvenientesson: - =r+it y f=r—zt en las cine el sistemase escribe ;(1 —¿> ) (z + 5)> 1. * (4.31) e, (4.32) e’ El cocientede estasdos expresionesse puedeintegrar completamente. (en estaocasiónsolo existeun caso,pues ¡e xx —2 no es posible) 9<’ k=1—;= sen(Z(z) + VV(S)) (4.33) 9< más la ligadura: ZJ’U4:-¡-s)> =cos>(Z-4-W) (4.34) Estaecuaciónestáresueltaen generalen el apéndice1. Podemosdis- 0 u’ tinguir básicamente -> I’U = orcty(45 — mi) — cte> Que desarrollandola expresión(4.33). nos da ;xx± 1 — (3: + )(t — ti) (4.36) 1 + (4: + mi)2)( 1 + (35 — mi)> l)onde ~ y mi son comístauit es i mm ) quepresentaunasingularidaden 1 = O y r = 1. No se ha encontrado, en la bibliografía consultada,icferenciasa estasolución. 4.3 Casoestático. Fuclideo y Minkowski. En el capitulo 2. vimos como el casoestatico se distingue del resto de simetríasespacio-temporales.En efecto, repasandolas considera- e (4.37) e’ e e e e mí 9’ e’ mí 43. Caso estático. Luclideo y Al inkowski. o’ ciones que hicimos al planteariiosla existenciade simetríasadicionales a la simetría esférica, vimos que si la solución es estática, no debe cumplir ningu¡macondicionalgebraica.sobrelas componentesdel campo Yang-MilIs. En este capítulo, dondeliemos resueltoexplícitamentelas ecuacionesde evolución en un ansatzdeterminadoy con una ligadura de degeneraciónalgebraicaadicional, vamosa ver que tambiénel caso estatico se diferencia = J.p> (4.39)Ss-,. Derivandoen la segundaecuación.y haciendousocíe la primerase llega a que ;> = 1 — er>, entrandocon este resultadoen la segundase llega fácilmente a que e = 0. y por tanto, solo persistela solución trivial xx 1, c~ue cia solucionesgatígepímras. a e e. 58 Capítulo 4. SOLUCIONESEXACT4SEN ESE-MC10 PLANO e, u’ e, e’ e mí e’ a- mí u. e e e,, 9<’ e e, e’ Capítulo 5 SOLUCIONES EXACTAS CON METRICA LORENTZIANA En 1 .988 aparecióu n< (le los resLmlt a(los mas i nf lii y-entesen cima mito a .soluciomíesclasicasse mehere. Se trata del artículo (le Ba.m t umí x \lcNin— [283cii el l)tiemi(-mi fuertes ex-idemícia.sImumneulcas d- la exís— tencía objetivo sera, por tamí o. resolver las (‘(‘lía c ouies pla(la.s I-iímísl.eími — ‘Thuí”— \lil Is. (‘omm smmííel ría esférica- y ligadasalge—e braicamentepor la rela<’iomí (3. 8/19). Con tina miiél rica cl go mí al parameti’ízaida por ds> xx —(6. > r ~dm> + r> ((10> + .56<>> (ide) (51) donde ‘r ‘y p son fmi í cíouíes cíe las coorclenaclas(1. ¡ ) - Las ecuacionesde evolución Yang-MilIs. cm> el caso de camposcon s¡unetrmaesféricay en el gaugeen que¿> = 1) son: (,>,r—~)p 1 ),,. = __ (,>6r—PJ2,), xx ~ (~7) (5.2) (.5:3) (¿r#P; )., (< T~’<}, ). «r+P,.~2 + —r--r42 = 46f±½,4) + (e T—’”¿>1,.),,. ~r-4—~<< 1 + p—r¿( 1 — ¿2 ) (TP¿~,.,4,. xx O 54 (5.5) La ligadura algebraicase escribe — j>) xx k(At¿;r — (56) e; e’ u 62 Capítulo -5. SOLUCIONESEXACTASCON METRICA LORENTZIANA (re~F,.)> — (6(1 <2> — 9’ + Afj) — (;t. + A~;>)) (5-7) mí Finalmente,las ecuacionesde Einsteinen el casoen queel tensor>ener- gía-momentopm-ovienede un campo Yang-MilIs se puedenescribirtm — R~> xx2Ai(FV

“ f4 p>‘ 7~,.p,. + <>T+>P(p 1, n> + nr.í > (59> 7,. + + r,t ¡-‘4’.r~ = .7- u’ 9 9 + AS)) — IYIt + 4»)) (5.10) a- 2 Y — 2 — ~,./>,,. + — —p,. + e>r±>Ñ(p~~ + pl + 9tT~) = (1 — <¾>e> ” -) -1> 9’ + ~~2t+>P(;2 +41)+?j. +41)) (5.11) ‘Para los tensores de Rienxann. el temísor de Ricci r ¡a signatura de métrica hemos adoptado e~ convenio <¡e signos ‘le ~26j. comí (¡$jf = 8wJ\100 9’ 1 1 T — re la. fornía cíe los cani pos) corno it mía condícion añadi c¡ Ume sigue emí este ca u tulo, resolvere- mos dcct ix-a menteese smstenía. y. por tau lo. (>1) tencl memos las solucmon generalEinstein—Yang-MilIs c’cím i si miíet ría esféricay algebraicamentees— pecial 5.2 Simplificación de las ecuacionesYang- Muís y algebraicas En esteapartadovamosa resolverhastadondepodamoslas ecuaciones de evolución Yang-MilIs. haciendouso para ello (512) a (No confundir la función ó con la coordenadaangularde mismonorn- bre). Con lo que las ecUmaciolles(15.2) y (5.3) se resuelventrivialmente con gr >6 tPR,,. + 2ó = —c = constante (5.13) Obsérvese.que se trata ) e — ( c’~’~q,.} ,. + 1~> 9.4 rd’ re ¿ u’ (514) 0’ Ss —26) (515) Quedandola condiciónalgebraica: ¡e(Ss.rC.r Ss.í0,,) xx ¿ ¿ r — 26)(l “~‘ <2> 1 k(Ss~,e2p+2T . ~ + ~—~e4~>> ‘P±2r>> = Y ~;2/i gr> —-----(1 —gr> a a e e e 0’ a mí 9< (516) a- 0’ (5.17) 0’ e ‘0’- u” 3.5‘5.3. Solucionesestáticas Definimos 2< xx (e + 26), 1’ = (1 — s’>). y Z = A’ — ¿1<- 1-1 a- cíendo un poco (le algebra coií las ecímacionesYa.mmg—Ntills y algebraicas se ol>t íenemi las siguieíí tes ex>resiones(ex-ol ución ~- algelra.ica) para la función Z. (ct+/) Z,t ) ., + xx 2e~ (—iZ> + ¡eZ — ¡¿IV) —( ~A-t’~2+ e~<>/> — r JI-> (15.19) 5.3 Solucionesestáticas EstecasoseobtieneSimí muas (pmo uiipoumer que la.s fííumcio¡mes(jile al)a.mecen en el sistema(5.2/II) lío (le¡)eml(lemm acla temporal. De las ecuacionescíe evolución Yang-Nlills se llega a que o bien A,. = 0, o = 0. Analizamospc’r separadoambassitiíacioííes. (i) A,. = O Entoncesel cd> m¡j un t(> (íe ecuacionesYamíg-Nl i lis y (le ligadura algebraicase puedenescribir (<‘~‘‘~<‘~¿ ).,. = ~P(~,2( 1 — ;>) + gr —(1 — ¿>)> + (e+ 26)> > ¡e 1 p—r + 7(1 — ;2)(c + 26>) (520) (.5.18) r— (15.21) e,, e, 66 Capitulo 5. SOLUCIONESEXACT4SCON AlETRICA LORFNTZIANA 2 _______________ 0,.+ 26)> —(1 — ss>)> — + —si (5.22) gr2 Ss <2/3 (c+2¿)(1 — Ss>) — L~ ~1~) (5.23) Tratandoel sistemade ecuaciones(5.22) y (5.23) como ecuacionesal- gebraicas,las ~LIicas solucionesposil)les son: “y A> 0 —+ 6>’~(i — ;>)> xx ¡e>-> 0’ — ú~(c+ 26) xx Ss a O <7)> “y. ¡e < ti —÷nit(i —;¾> = Ss> ¿~(c + 26) xx r ¡eSs,r e,’ Sustituyendoen ambos casosen las ecuacionesde evolución (520) y (5.21) se llega a que no exmsten soluciones distintas de las triviales 0’ (gaugepuros). (u); xx O Si exigimosdegeneraciónalgebraicano existensoluciones.Sin embargo,en este casoel sistema es lo suficientementesencillo como para í>oclerseresolver completamentesin condicionesadicionales. Las a- unicas componemítes) y E;,í, = (0.0. 1 )s <>0. Por tanto reobtenclremoslos resul- e; tados de Reissner-Nordstronicon cargaeléctricaq y cargamagnética 1. mí 1 _ ~ 1 = 9,t 1 -‘ ~ + 1~4.g2 e- 7’? e, a- pl 5.4. Condición de conmpatmbilidad 67 5.4 Condición de compatibilidad Podemosplantearnosla con -‘2Z(I — Y) + kZ(1 —Y))] Z2 (5.24) Repetimoslos pasosanteriores(‘Omm Z,. —7’ —p CI 7 2(1 — 1’) ‘ 4> (5.25) dondehemosdefinido U y LP tal cjLie. ( ‘c/Ó1’ = c7~Z, Nl ls/mil) xx ¿~‘7 Xntes de proseguirpUmedemerecerla penarealizarun pequeño repasovisual de lo quenos dicenestasexpresionesrecíenobtenidas.En efecto,en la primera (le ellas aI)arecela expresión r±Pp, mientrasque st e’ 9’ 68 Capítulo -5. SOLUCIONESEXACT4S(‘QN AlETRICA LORENTZL4NA en la segundatene¡nose 7’”(r. + ‘). Si imponemosla condición de e integrabiliclad entre ambasexpresionespara. la función iji apareceran términos cíe seg¡mímdogrado en las derivadascíe las funciones r y p, y términoscuadráticosen las primerasderivadas,términosqueson exac- tamentecíe la misma forma (incluso en los signos relativos) queaque- mí líos queaparecenen las ecuacionesde Einstein (veaseel sistema(5.8 y 5.11) y por ta¡íto, líal> rem míos comisegucío un a expresíoííc¡ue (mecíiante un álgebraelementalentre las ecuaciones)nos pernímtírasmmplificar el problemainicial. “7’ Por tanto, imponiendo la integrabilidad de 4’, y haciendouso de las ecuaciones(5.2-5.7> se llega a una expresioncompleja, cuyas 9< partesreal e imaginaria se debenanularpor separado.distinguiendose dos casos,o X xx 0 o ¡e = 1 (5.26) 9< ~2 Obsérvesecomola condiciónroblcina planteado,es necesariohacerunas pocas manipulacionesmas. En primer lugar os 1 (>s (‘~ ííípos <-om no sigíie xx c~cós1 m~ 1 xx -‘6~(7> ¡ (5.31) Entoncesel conjuntocompleto (5.32) e’ 70 Capftulo 5. SOLUCIONESEXACTASCONAJETRICA LORENTZIANA Jx[ = 2r(1 -‘ ~.> 6> 2j~~2 + j~’2~) Al xx 2r(1 — Y) 6>Ry~2 + It> >1’? 1~> ecuacmonesYang-MilIs: ———-——61’>= 2V xx 1? j condición algebm-amca: 1 U-> Ij~R,~ + Í,011k = O 1 — Y) = (U?,08,. + Íuív) (5.38) 0’ (5.39) mí “y a- 5.5 Resolución de la ecuaciones e, Despejando¼de la ecuación (5.38), y sustituyendoen (-5.33), (5.34) y (5.39). y combinandoestastres, se llega a: —ji>, IP,. + p,R~ xx O quehaciendouso de la ligadura (5.35) entreR ji, se transformaen: 4P.uP.uxx .1(1 — ¿>1))> o (5.40) (5.41) 1 1 R~ ~0 9< “5 (5.33) (5.34) 9< (5.35) e, (5.36) “y (5.37) e,, e. e. * e “y * ‘0,. 5.5. Resolunónde la ecnacmomies 71 Se puedecomprobar, tras Uin cálculo sencillo pero l)esaflo~ c{ue crí el conjunto de ecuaciones(5.32)-(5.39) hay varias díue so¡m consecuencia del cumpiimríieiito cte las otras- De las eciiaciones (15.3:3), (5.31) y’ (5.39). una de a cos/ xx Q, es dc’ci r .\‘ xx 9- o A m>sa.tz íI ulo) - El sistema.final a resolverse ha re iv ,.2 Sin embargoestesisl ma no es completo estádesacopladadel resto. La primera se puedetransformarfácilmentea la ecuaciónde Liouvil]e, cuya solución generales conocida. Por tanto, la resoluciónde estasdos ecuaciones se puede l9lantear como la búsqecla cíe Lis solucionesde la ecuacion cíe LioUívi líe c¡ ime ciii i>ple¡m (15. [3) Su1 embargo, por sencillez, hemos —, preferido seguirotro proceso.Resolvemosinicialrnentela ecuaciónque se obtienede dividir las dos exl)resionesanteriores —p.( 1 -‘ 62(6) = Cuya solución generales u. ji = /<> (sen (U + Y)) (5.47) dondeU xx U(u) y y = l’(m’). La ecuaciónquequedapor resolveres mí 4(4,,S”,(im. + i’)> = sen>(2t~+ 2V) (5.48) Obsérvesequeesta ecuaciónes la misma c1ue aparecioen capítulo 4. u’ Su solucióngeneralse encrmeí>traen el apéndice1; existenbásicamente cJos soluciones,la primera (generadoradel niultimerón) e. 1 (/ xx ~ + y(agrúotg(3m¡+ mi)) — ‘0, e’ a -5.5. Resoluciónde la ecuacíolme.s 73 1 Y = —¿ + 3(círcotq(.3m’ — mi)) ~ tanto, el coeficiente) Donde e es un aconstantequevale ±1.y queaparecepor la multívaln- ación de la círcotq (cl ¿ida u muí u ¡cotq existen dos posibi liclades paralos valoresdel seno ‘y del ¿‘o.scm o) - La segurmcía solí mció mí es: 1’ xx -‘/J/( [mi = —h~M~ — .3 (1 + ti a = 4i (lomo se puede ver en eí apéndiceeste casotiene dos posibilidades. cuaiido = O se obtiene(7’om(> coelicíeiite de la níetríca: 6>p _ 1 ( (mí + 4)1 — I(t’ -‘ + 4y (u — Esta solución la = la solución c¡ue se.4 obtieneno es real. Luego tan solo toíícíiíos una sulucton admuisible pleta— nienteel problema u i ¿LI es c¡ ¡íe míos ¡) 1a.íítea¡nos cmi [¡Li (5.49) princil)io, ya hemospocli+cJk~ 1+!/>=0 quenos fija la depemi(iencia Lun cional cíe la función 1 en r ‘y y a- 1 = 1(/nQm’ + 1 +x>) -‘6 in(y+ 1 +yfl) = 1W (5.50) u’ Si calculamoseí valor de e>~ a partir de la ligadura (5.46) llegamosa: mí 62]? = (.r + ~/)>(—<(1 — xy) + (1 + xfl(1 + y>) ) 83>1< (c(i -‘ xy) + (1 + 03(1 + y>)) 9’ La última ecímacion a resolveres (5.45). El casomás sencillo — que podemosanalizar es cuando1 —+ constante, existe una solución dadapor mí senl = —KB y para que tenga solución real 3 debe ser imaginaria. Como vimos anteriormenteen el casoen qíme ¡ es constanteno podemosdecir quela ecuación(5.37) sea consecuenciadel resto. Si la desarrollamosen este e’ caso,la ecuaciónquehenioscíe imponer por tanto es: e’ cosí = O Lo quenos fija definitivamente /i = ~ (imaginaria,por tanto). Este — casosereducepor tantoa X —÷0. quevimosanteriormentequeerasin- guIar ennuestrotratamiento,sin embargocomoveremosen el apartado mí u’, u’ /5.5. Resol u (‘jo?) de la ce ilaciones o.6, los resUiltados expuestosamíteriormentecomo caso límite cuando 1 ,‘ constante son válidos ‘y coíncmdencon los que obtendremosal desarrollarci icho casosi ngular co¡vi pletamente. Cuando 1 # constanU la ec (‘onoceinostodaslas ftm u motíes<¡ tie aparecensalx’o la dependenciaexplí- cita de 1 cmi fujíción de 4 es (lecir (15.151) se t ransformna.en una ecímacion cuadráticacii la dcii ~a la l~ 1 comí respectoa 4: 3 = __________ <>1 xx (1 + 1’>) (15.152) .3 —k[ (con 1 = d~ 1). Entrancío en (15.50) d(>ii UI u ¡3 i naginario la pri¡n~ra conclusióncine podemosobservares <¡nc la variable 4 en general no tiene por que ser real. tambien es trivial comprobar íuc HO en todas las regionesdel espaciotiempo la unétrica es real, sino tan solo en dos regiones,cada una de ellas comí ¡mua eleccIOIi (le las constantes dadas por: ea. sí ííu+miJ <1 y Líe —mi <1: entoncese = +1 para que la mnétríca sea a¡)m-oxiina.damentemm- l-cowski lejos del borde. • b. si L’<> + mi[ > 1 y )r mi[ > 1: para (¡ ue se cumli pl a la cou1(1 ciom f) xx —‘5 791? o( u) (1 > i e e- e 76 Capítulo 5. SOLLTCIONESEXACTASCON METRICA LORENTZIANA y ademásc = —1 si imponemosque la métrica sea minkowski e lejos del borde. a Al primer caso lo conoceremoscomo región interioT, «neutras queel segundoserála región exterior. Finalmentela ecuación(5.52)es a- unaecuacion autónomade primer grado. Pu-esentabásicamenteunas solucionesconstantesdadaspor serz(I — 2nw) = t~ —Al)!. Címando mí ¡ ~ constante:analizamoslos casosa. y b. íúor separado. 0’ En el caso a. (Región interior) la variable 4 es imaginaria, (los puntos (mt) (0, —1/ l~!)~ (1/ [3[, 0) y (0, 1/ !‘~[) que marcanlos e, vérticesde la í-egión del espaciotiempo dondetienesentidola solución, adquierenlos valores—hr. 0. ‘y iir en la variable 4 respectivamente)y a- la ecuación autónomase puede.en algunos casosconcretos,integrar explícitamenteen términosde funcionesconocidas. La ecuación are- solveres . 1 = —1 — ase a > O podernosintegrarla completamente dando u’ i+a 2a ir= 2cLrcsen(sn(i4 2 ‘ 1 + a 2 dondesn representaa la función “seno” elíptica de .Jacobi. En el caso borde en que a = 1 laexpresiónes: u” / xx 4a¡’ctag(c’~~~2) — mí .9 Si a > 1, no sabemosintegrarla expresión,aunquesí quepodemosdecir que la solución generalva estarlimitada por las solucionesconstantes mí e’ 0’ e, 5.5. Resolución de Ja ecuaciones 77 de (5.52), c¡ue son 1 = arc.s u( j~) + 2nw (asípor ejemplo, si (.4 xx 2 entonces > 1 > — - 01)serv-esecjmíe en el caso en cjmme (1 > ci) no6 existensolucionescomístamítes. Emí el caso b. (región exterior) no liemos si 0. y la variable4. con resl)ectoa la quederíx-amos, —1v’] es real (las rectas xx gr + 1/ b y 1 xx — ~- — 1/ b + 40k Si a < 1 no existen solucionesrealesde nuestraecuación aUltónorna. Sin embargo. si o > 1 entoncesteneunos dos soluciomíes constantes. entrelas dlue estánlimitadas las soltuciomiesno comistam>tes(que. por los razonamientosexpresadosaí¡toríornwííte.son las quenos interesanen este casogeimeral) A~4í por cjemnpl() .si o xx 2 entoncesse cumplirá,cine >~ > ¡ > - lém¡em>los. pom’ t¿uíto. aseUIiI’a(la la existemm<’ía.3 (le uí¡íestm’o sistema¿ee(imac’iommes. si bíemí. cuí estecaso. mío Lemnossido capacescíe l)onerlascii térmiiin(>s cíe funcionesconocidas. -7’ mí “5 78 Capít¡¡lo 5. SOLIÁCIONESEXACTASCON METRICA LORENTZIANA 5.6 Ansatz de Bartnik-McKinnou “5 Cuandola función X xx 0, estamosen un casosingularenel cual el pro- cesoanterior no es válido. El objetivo de este apartadoes resolvereste caso ¡)Oi separado. aunque fi nalmuente observaremos.<¡ue su solución co- “5 incide cori la quese obteuiclríacomo casolímite del casogeneralcuando 3Cfl( 1) = ±1- La condicion ‘Y = 0. se traduce(deshaciendolos cam- “5 bios cíe notación: A,. = (0,0.0) A0 = (—;O,O); A6 xx (0, —;sinb, —cosO) a- Las componentesdel campoYang-MilIs son: —7’ F6,. = (0,0,0); F10 = (—y’~,0,0); Fn~ = (0, t&,8CflO,O) xx (0.0.(1 — ¿>).senO); F,.0 xx (—ss,.,0,0); ~ xx (0, ‘SsrsÚnO,0) st mí 795.6. Ansa~zde Bartnik-McKinnon El sistema completo ~ — (C T~P;) = e” 1 — Ss>) (5.53) gr P.t = ~‘“~Ss~Ssr (.5.54) gr 9 ‘9 — 2 7,. ~TJ>,. + ~7,. + P.r + - U. 1’ <2 rI~2r(1>u +<, -¡—p2rñ + — ¿ = 0 (15.55) p> 7> — — ~‘tp.<> + It + pf7~.t ) — (6 (7 1 __ 2 (5.56) j’— gr> ~ (1 — 9 ji,. xx ~J~~(&>±>P;>~ + Ss) (5.57) gr Finalmente,la condiciónde degeneraciónalgebraicaes muy sencillade escr i 191 r: (6 2 — 2r’4-2 (5 —Ss>)> = ky,. ¿ ‘>4 --58) gr Distinguimos dos casos (i)Caso estático La condición 1<> A xx 1, este es el caso quese planteanpararesolver tanto H.M [28] como Bizon [29] a] obtenersus soluciones. Es trivial observarque ¡e < O no es posible. En el caso¡e = +1 80 Capítulo 5. SOLUCIONESEXACTASCONMETRICA LORENTZIANA es precisoun análisis un poco máselaborado. La ecuación (5.58) se puedeescribir mr- 6’> st dondee representaunicamente±1. Despejandoesta última expresión en (5.53) se llega a: xx ..1(1 + 66’>Ss) gr Haciendoun poco de algebraentrelas expresionesdel sistemase llega a ji.,. = (1 + <~Ss) 1’ y por tanto r xx —ji (redefiniendola coordenadat).y e>’> = 1 “5 u.- “5 No es posible obtenersolucionesestáticas (y por tanto las solucionesde B. NL. ‘y Bizon) en nuestroesquemna.Peseaello podernos, al menos,caracterízarestetipo de solucionesdentro de la clasificación de Carmeli. En efecto,en el capitulo 3. vimos c¡ue son solo posibleslos tipos D~ y O, y 0o (esteúltimo se correspondea las solucionesgauge puro) paracamposYang-Milis con simetríaesférica,estáticosy en el Ansatzde BM. Puestoquela condiciónalgebraicano sepuedecumplir paralas solucionesestáticas,es evidentequetodasellas debenser tipo (ii)Caso no estático D~. De la compatibilidad de la ecuación (5.58) con el resto se -7’ 9< a e, e’ a- e; “y 81a.6. Ansatz de Bartnik-McKinnon obtienen(procediendode forma análogaal casogeneral) xx 1 qi, xx “0(—f,. — ¡e ji’, 9 ¡e IT -« - i)(m 2 U U, - l)~) (1 1 gr dondeheumíos (lefi ni (1<) ¿í 7’ xx 1’ .s lm ( 4’ ) y ;,~ 6 —p = (1 c-/m (~1>). La co¡ícl i— cion .~ 2 -1- ~ ~ji,tt + jij + PCi) 2 ‘> 1(¡e — 2)—u- (~ Comparandoestaecuacióncon (15.1515-57) se obtiene 1 <¡e 1 1 2 — hp>)(5.6i ) 1);>) — i~¿~+>’>» + ¿ti 62’> — :3 gr 2—4< [ — ¿Y — (¡e — 2)({ + (~ — 1);>) (5.62) (5.63) La compatibilidad = 6 (15.65) (.5.66) i—k(1 ¿§1)> ‘y en consecuenciase ve fácilíueíite <¡míe: (.5.59) (15.60) 2 A’ <1 7’ (15.64) xx —ji,. (5.67) e’ e e 82 Capítulo 5. SOLUCIONESEXACTASCONMETRICALORENTZIANA Es decir, reobtenemosexactamentelos mismos resultadosquese obtu- e’ vieron en el casogeneral. Procediendo(le forma semejantea como se hizo entonces(parametrizandoY — \6~ donde A = ±1), se llega al e- siguienteconjunto cíe ecuaciones mí = 1>’ > 9~.> 21v 2 a- ji’>~ = -‘—‘Ss Ugr 2 e,,- PA) = —Ssvgr - 1 Pat’ xx 4,2(1 — e>’>) —~ 2’> 16 = 1 — = —kc>’>(1 — 0 Esteconjuntode ecuacioneses equivalentea resolverel sistema: 2’> 1 —xx 1 —>ív ~ (5.68) 1 PU’> = ———(1 — (5.69) u’.41.2 1 Pu ji.’> = gr2Ó — e>’>)> (5.70) mí 1 2’> fi,,. It. = —se (1 — Se’9) (5.71) máslas ligadurasp,~ > 0, ji,,. > 0. Lasecuaciones(5.69-70)seresuelven con: u. 1[1 —(¡itt + <¡¡iv — ti)] (57)~ 6 =‘}1’{’6 [1± (‘>3<> + mi)>) [1+ (/3v —mi)>] e, u’,. mí o 835.7. Propiedadesde la solución Finalmentesolo quedapor imponer (5.71) que se resULelve con 3 inla- gínarla y 1 A +1. 6xx +1, ¡¡¡3 = it (5.73) si liu+Ñ[<1vi¡J?--—Á2I< 1’ 1 A 1. < —1, ~ /1=t (5.74) si [,du + miJ > 1 y — mi[ > 1. La ligadura del signo de las derivadas cíe p tan solo nos restr i Lige estesegundocaso. Sol<> será¡>osil91e cuando -~ Úrn o( u) xx —sí-pmo< e)- Comíclí ¡ven<1<). el casosingular c¡ Ule planteamos en la seccióií 5.4 Se ¡>11 o le tratar exa.cta.níemmte comno el casoí uní te 1 1+itt’ 6 xxq,.,. xxÉ/<> = —~ +( 2 (1 — mR) (1 — o>) Que solo tiene sentido (cs real) en las regionesdelimitadaspor a[ < 1. ~¡< 1 (en adelante“región interior”) y 9< 84 Capítulo 5. SOLUCIONESEXACT4SCONMETRICA LORENTZIANA ¡u[ > 1, ¡vj > 1 y .siyno(u) = —signo(v) (en adelante“región exterior”). 9< e; En el origen espacial(¡- = 0) la Lné.tricaes niinkowski. El com— porta.Inieilt(} asimítótico para tie¡u1905muy grandes(tanto en ei pasado comoen el futuro) dentro de la regiónpermitidaes tambiénpiano, con una singularidad (el coeficientede la métricase vuelve infinito) quese contraehacia el origen radial desdeel pasado,a lo largo del cono de luz r = —t + 1, lo toca en t xx —t y se aleja del origen situadaen el cono de luz definido por gr xx — 1, partiendode t = 1. Entre los tiempos = ±1,hemostenido la solución “interior”. Si hacemos xx O y O = <2, y ~a superficie bidimensional quequedala sun’ierjimos en mmii espaciocuclideo de tresdimensiones,la forma de la superficied{Lie queda(ver ploximo capítulo ó [26] paralos detallestécnicos)es exactaiuíentela 2’ — = 0 (5.77) e — = 0 (5.78) y0 ,.2 + %c>’> xx 0 (5.79) a- X<~ r> — Xjc>’>sen>(O) = 0 (5.80) X~> + Xke>ñscu>(O) -0 9.8-!-) 2%’ ‘y X (5.82) — (O) + Nt = 0 (5.83) A> 0cas(O ) =0 (5.84) sen(O) Las ecuaciones(15.80-84)se m’esumelvencon la de¡)endenciaen las coorde- PS nada.sangularesdacIapor: u. = 30(3)+ f>au(O) + f>cos(O)co.s(4)— facos(9)sen(~) V — 90(3) + 1 u.,[—fusenW — f2cos(&]sen(O) A’ 7’ = ---f 1grcos(9)+ f2grseii(O)cos(~)— .f3rsen(O)sen(& e- e, 2%’ e 57. Propiedadesde la solución 87 xx ‘—ymrcos(O)+ g>rsen(0)co.s(Ó)— g3rsen(O)sen(~) Donde j~ y y~ son fLuliciones cíe 1 ‘y it Las ecuacionespor satisfacer quedancomo condicionesdiñíencialessobreestasfunciones: fl,.r + fíe>’> = 0 (5.85) = 0 (15.86) fi-), — (q¿j’)~,. xx 0 (5.87) — (y1>’), = 0 (5.88) (qm-< + =1‘í,~ + fi-ji,. xx 0 (.5.89) quese resuelvencon fr = 1 + (Ru + mi)> + 1 + (dv — mi)>) (5.90) yJ xx k,( 1 + (di, + mi) 2 — 1 + (Bu’ — mi)>) (5.91) En la región interior las ¡e, son realesy en la exterior son imaginarias. Por tanto los generadoresdel gm’upo metriason: A’4. . A’’~. y son los de simetria csfegrica (15.92) Y> — ~¼Pi-sen Ocosc4+ 2k>Gr.su¡Oco.só0,.+ 2km G’cosOcosóúo ~L ten¿65 (5.93) S 6?? 0 — 2t:>I’’m-sum0.suod,— 21>Ñ’¡ ‘<¡mO 6)706 — ( co_O) 6 fl 1) 9¡e F¡’cosOO, 2L$m’o 06 + >k>ÓserOOo (5.95) y dondelas funcionesE ‘y U son: 1 E = —(\ 1 + (Bu + mi)> + ‘~¡I + (dv — mi)>) (15.96) U’ Gxx-’-( 1+ (Ru + mi)>— 1+ (dv mi)>) (5.97) gr e e e 88 Capítulo 5. SOLUCIONESEXACTASCON METRICA LORENTZIANA Si calculamosXjX~” conoceremosel generodel tipo de variedadde las órbitasde los generadores(le simetría. Esta expresiónvale (co~fi = y mi = 0): e e x»‘U’ = Jfl( 1 — u> + 1 — zA)> + sP>] 0’ en la í-egión intermor. y e xi, y>’ = — + u> 1 2 ~t2> e en la región exterior. El símbolo itt representaa las coordenadascarte- sianas. En amboscasos,esasexpresionessonsiempremayoresquecero, por tanto las sUlperficies quese generanpor la actuacióndel grupo de isometríason siempreespaciales. Por tanto, nuestrasolución no es estacionaría. e; u’> e.El álgebraquedefinen estosgeneradorestiene las siguientes reglas(le conrnUmtacuomí [>21, U] = [y4yM] = L~’ = 1x4,xi) = —Ka [XtXfl = [Al4, Xfl = o mí [X’5.=3= JA6, Xfl = o rx3. X’l — i4X1 [>0~,>0>1[Ni. K~] = O [Al6.>0’] = >0> [Al6,>0>] ~y5 \‘-?] — Vi—a--’ r vi tr9~ 1A%A] dondee xx 1 en la región interior, e = 1, en la región exterior. e, xx—X’ = c4A~ e,, mí a- mí e,, u, 8957. Propiedades de la solución Comparandocomí las reglascíeconrnutacioncíe- 50(4) y 50(3. 1 (que se puedenencontrarpor ejemplo en [42]), encontramoscíue el algebra de isometríaes 50(4) en la región interior, y 80(3. 1) en la región exterior. 5.7.3 Tensor de Weyl. Tipo de BeI-Petrov Las componentesdistintas de cero 1 3 («tomO xx Ch 6,1 se»20 xx ——gr>e27’.2’>( 6 27,.,. — 7,. T,.ji7’ r,. p,. +62’> 1 — 1 —— — xx — —) gr<’—(p0 y r o 2 ~2 6 rOrO xx _______ — — ,2 (r 7 ji’>- 62’> 1 1 —~ — — + — — —) + V~~e>’>±2Áp~ gr gr p2 ,.2 6 4Y SEt/id 7,.,.00606 xx — ________ — 72 — r. 7’P.7’ ~,. p,. <)‘> 1 .s6>? 20 2 gr gr ,‘2 ~-2 3 + It + ji7j) + (2, + P,7m) e 90 Capítulo 5. SOLUCIONESEXACT4SCON AIIETRICA LORENTZL4NA Como en nuestrasolución 7- = —ji = 1e2’> (P,rr + gr2 — — + P.u) Ch 0,0 = ~ .56120 — = ~7’Or0 -si 12 ——gr (—p 6 6 ‘7”’ e>’> 1 +—-— —+9,,) >-~- gr> 62’> ,.2 1 — — + Í>tm) (0606 xx — ~ en 20 c— 2’>( ji.r,. + 3 e- 7.2 ~2 Peroesasexpresionesse anulanen virtud de unade las ecuacionesque hanaparecidoen el procesode resolución(la ecuaciónde Lionville). Por e,, tanto, nuestrasolución tiene un tensorde Weyl identicamentenulo, y por tanto, es tipo O en la clasificación cíe Bel-Petrov. Es decir, existe PS unasistemade coordenadascmi que la métricaes conforme plana. “5 5.7.4 Métrica de forma conforme plana explícita- mt mente “5 En las coorclenclas’mz‘y í’ la métrica tiene la forma = ú>’>tl¿td¡’ + (u + í)> df?> e,, cori e>’> 1(1+ 1 + it~i 2 1 9 dondehemosdefinido it = ¡lUí Bu y y = = Bu. las dos regionesdefinidasanteriormente. mí ID istinguirnos e. e e’ e a’ mí u’ e,, e (5.98) e, (5.99) e, 5.7. Propiedadesde Ja solución 91 (i) Regioninterior: Si hacemoscl can>lv O i>/i4 \‘ y xx ta)?Ilq entoncesle métrica [d4drm+ />( + < dO>] (15.100) B>cosim.>4co.s/í>q Estamosbuscandoun cambio) Siendo ¡f?> la métricacorrespondientea una esfera. La ecuaciónque se deberácumplir es por tanto: 4 + ?f 4wíÁa + 1< = 4.senh( ) (15.101) donde4 = 4(a) x y xx q(b)- Quese l)lme(le comí vert r medianteni> cálculo sencillo,en la ecuación + l)>(b> + 1)> Asintóticarnenteestaexpresión degenera.Haciendouso de la funcion generadorade multimeronesllegamosa: /] xx 4c>(i + &abf (1 + c>afl(1 + ¿2/») e, mí e, 92 Capítulo 5. SOLUCIONESEXACT4SCON METRIQ4 LORENTZIANA donde c es una constantereal arbitraria (para que las nuevascoor- e,, denadasa y b sean reales). Este factoí- conforme también degenera asíntóticamente. mí (u) Regiónexterior: mí Ahora: mí = col a u Ii 4 ~ y = c~ataí>.h(y) entoncesle métricaqueda — 4.atj5ct’.sh 2((4+ ~ [d4dq E 2s(~Jl 1>>4s em¿h + senh$4+ ~ df?>] 4coslz>(4+ q)/2) (5.102) Y la ecuación quedeberasatisfacersees exactamentela misma queen el caso interior. Los generadoresde meronesdan: 4(a — ¡II — 1)> que degenera. Sin embargo, haciendouso del generadorde multi- merones e, 4 = 2iarcotq(ca)+ ‘lib y mí y = 2iarcoig( ch) — 4í6 dondec seráimaginaria ‘y = O+nw/4 (secompruebafácilmentequeno se anadenadanuevoponiendovi ~ 0) paraque las nuevascoordenadas a y b seanreales- Entoncesel factor conformees: —(1 + ¿ab) > ckz>b> mí mí e, u e, e, 4%” mt e’ st 5.7. Propiedadesde la solución 93 quees asintóticamente¡ninkowski, con dos singularidadesquese mue- ven a lo largo de los coííos de luz a = O y m5 = 0. Si recordamos,en el exterior solo teníasemit ulo la regiomí si=j¡mo( u ) = — signo(u), queen este casose transformaen .síyno(4)xx —sígno(y), ó signo(a) = —sign.o(b). p~’ tanto estecambioa.clases valido tan solo en la regióndel espacio-tiempot > u (em i te). 5.7.5 Clasificación según el tensor de Ricci Calculamos R1í= e’>( ~ + = ~>‘>( ~T,,. + 1 = 833 = j~ = U 9P 7’.,.7’,r + 7’.,. ji,. — tuL) +gr ¿2t(p + p,,¡~, + p,~ r,) 2r,. fl,.7’,,. + ‘7”.,’/Lr — ~ —7— e (ji,,, + ji,, ji., + ji.t’r.,) —3”> — — + 6 + —e¡.2 7 donde los índices somí <‘mm la tel rada díagoiial trivial. La autovaloreses: (1122 — A)2[( I?o = —SR». El autovalor triple define UIH autoespaciode dimensióntresde la forn>a (.5.103) (5.104) (5.105) (15.106) a- u e. 94 Capítnlo 5. SOLUCIONESEXACT4SCON METRICA LORENTZL4NA e ji4t +(u». ~ ( ~>‘~ + (e>’> — 1)/r >, ,~,>, P,U — ji.t’ “5 quees de génemoespacio.por tanto nuestrasolución perteneceal tipo [(1 1 1) . 1] ci> la. notación(le Segré[243. mí “5 5.7.6 Comportamiento del campo Yang-Milis En el procesoanterior bemnosresueltoel sistemadeecuaciones,peroen ningún momentoí>os hemospreocupadode quelos camposYang-Muís tuvieran sentido. Por ejemplo,en eí casolímite tratadoen lasecciónSt (AnsatzosY — \e’9. pero asuvez Y xx (1 —Ss>)’ con lo quees posiblequeen determinadascircunstanciasno existany reales. Sin embargoesteno es el caso. En la región interior (repasando (5.73)) 2.¿ xxl ¿‘9 pero es sencillo cíe \-er c~Ume cmi la región níterior ¿‘9 < 1, y por lo tanto la expresiónanterior tienesenti —l)+3+ mio) tvk’> c{ue no presentanmng¿muí >roí~ lema.. En general la forma 2(v&i — k3¡>u>)(1 — ~3¾‘>)+ (1 + /iL2uv)) en el interior, y ‘.~ = :fl(u + o)> en el exterior 5.7.7 Clasificación de Yang Como vimos en el capítulo 3.. la clasificaciónde Yangestábasadaen el rangode la matriz w definida en (3.6). Sol9re las solucionesencontradas dicha matriz es diagonal. y por lo tanto su rango es ti-es (salvo en los casostriviales gaugepuros).y estamnoscii el casono degeneradode esta clasificación- a a a 96 Capítulo 5. SOLUCIONESEXACT4SCON METRICA LORENTZL4NA 5.7.8 Cargas eléctrica y magnética a Existe imna generalizacióndel concepto(le cargamagnéticay eléctrica a parael casode un campoYang-MilIs. En simetríaesféricala expresión es serícilíla de calcular(x-ease[34]): e- CargaeléctricaxxQ = limr-< gr>F~~ u- CargamagnéticaxxP = linw.~,<1 9>) mPS Límites c{ue no estánbien definidosen nuestrasolución, pues éstasolo tienesenti + Q2 = r4tax. Parael Ansatz de B.M. los valoresde (1 ;>)> en función cte r para varios instantes mí de tiempo tiene la forma “5 1 0.8 u’,.0.6 0.4 e, 0.2 e,’ e- e. PS 0.2 0.4 0.6 0.8 1 e? 57. Propiedadesde la solución 97 figura 3. en el interior ‘y 2 1.5 1 0.5 figura 4. en la región exterior 5.7.9 Energía de la solución Segúnse puedeencontraren [271. la condición débil de energíase ex- presacomo cjue cualquierobsem’vadormedirá una cantidadpositiva al calcular la componente00 del tensorenergía-momento.Es decir, c~ue para cualquiervector temporal (w<’w~, < O). se cumple 0.5 1 1.5 2 T LL”>W” > O0V u a. e 98 Capítulo 5. SOLUCTONESEXACT4SCON METRICA LORENTZIANA En nuestrocaso el escalar 11 es nulo, por tanto, podemoscalcular la a’ componente¡iv del tensorenergíamomento,sabiendoque R’>’>= T,»>, lo quenos lleva a: u T,~’> w~w” — 1 02 62 2 22 21 — e>’> )( iO~ — mít ) + (1 c>’>)(w + mv .sen>(O) ) + ~p~ 1wU + ~Pvw’> gr u o quees sie:m>prepositiva. co]no secon>prímebacoil solo recordarquep~ > u- O, ji,’> > 0. e>’> > 1 y <¡nc ¡mm”’J < ~mm#(paraqueel vector seatemporal) e, Por otro lado la condiciónfuerte de energíase puedeenunciar (vease[27]) como queel vector w’>T’>’> no es espacial,paratodo vector mí w temporal. En nuestrasolución el género de dicho vector se puede calcularsencillamentedando: mt 1 4 (1 C>’>)>LU’>U’ +‘> —~-(1 — e2’>)>(~ztt 2 + w”2 )+ 7’ e,> (2’> 1 — ¿>‘>)(jiUW’>2 + 2 2—P.t’wt’ )) < ogr gr y por tanto se cumple también la condiciónfuerte de energía a- “5 e,- o. 1%’ e, mí Capítulo 6 SOLUCIONES EXACTAS CON METRICA EUCLIDIANA El procesocíe resolucióndel sistemade ecuacionesEinstein-Yang-MilIs en el casoeuelioes conceptualmentemmiv semejanteal cíue henmos llevado a caboen espaciolorentziano. por tanto, nos remitiremos con cierta frecuenciaa cálculos del cal)ítUilo anterior. Quizás las solucionesc¡ue más fama han adquirido han sido aquellasquesehanpodido interpretarcomo“agujerosgusano” (“worm- hole”). Entendemoscomno una soiucióím cíe esteti;)o aquellatal c{ue la variedad que representala métrica pm-escnta dos regiones asintótica- menteplanas.con imna región que las conecta. Como se describepor ejemploen [36] ó [41] es condiciónnecesariaparala existenciade una solución de esta claseel que el tensoí de Ricci asociadotenga auto- valoresnegativos. Ejemplo de solución de estetipo es el wormhole de Tolman que, aunquese obtuvo originalmenteemi otro esquema(es la versioncUiclidlea del mmniversodominado por radiación (P = ~p) cíe lo1- 99 e e? 2%, 100 Capítulo6. SOLUCIONESEXACTASCON METUICA EUCLIDIANA man). se puedeobtener tan>biénde Liri sistema Einstein - Yang-MilIs pl [38].La métrica tiene simetría 80(4) y es de la forma: e, 2 — R2 R2<’11 + R2(d’-I~2 + sen2 ~PdQ2) e, o mí (con df?2 métrica de la 2-esfera) para unos valores de qi = 9 xx 2 entoncesla n>étricade la superficiebidimensionalquequedaes: = ¡ifi2 + R2dq~2 — 11>—Hg e, Si suponemosqueestasuperficieestá sumerjidaen un espacioeuclideo plano tridimensional dondela coordenadade la nuevadimensión.z, se e. muevesobrela smmperlicie (libUljandlola , entoncespodernosrepresentar la forma de la superficie. qime. de alguna forma. nos indica el caracter u, cíe nuestravariedadoriginal. Em> nm.mestrocasola ecuacióna resolveres: e a- quese resuelvecon mt =iln(R+ R2~R¿) mt,. u- a- PS 131 figura 15. Como se presentaen la figura 15. Para fi grandes,tenemos dos variedadeseuclideasseparadasquese ui>en a traves de un puente cuyo radio mínimo es R~. Nimestroobjetivo original al plantearnosel presentecálculo no era intentar obtenersolucionesde estetipo. en primer lugar debido a que todas las conocidas(por el autor) poseensimetría SO(4), y como vimosen el capitulo3. la condiciónnecesariaparaposeerdichasimetría se desacopiade la condición de degeneraciónalgebraicaen espaciosno planos. Tan solo pretem>díamosaplicar los métodosdesarrolladosen a e? a 102 Capítu/o6. SOLUCIONESEXACTASCON METRICAEUCLIDIANA el capitulo anterior para obtenersolucionesexactasal problemaLiris- a’ tein - Yang-Mills euclidiano. Sin embargo,unavez obtenidaslas solu- cionesque se presentana continuación pudimos comprobar quese trata- e hanefectivamentede “wormholes”, aunqueligeramentedistintosde los que habitualmenteaparecenen la literatura. Como veremos,nuestra solución cumple el criterio de autovaloresdel Ricci negativos(aunque, como dijimos, no se tratadeunacondiciónsuficiente),y en un instante e. de tiempo (t = 0) unesuavementedosvariedadesasintóticamenteeucli- deas. La unión se producea travesde un puentequetiene la particu- mí laridadde queen la parteexterior (paravaloresde la coordendaradial) es exactamenteel de Tolman. pero, sin embargo,la parte interior no e- esta vacía,sino <¡mme dibuja unaesfera. Fuera de 1 = O ambasregiones (exterior e interior) están unidasno suavementea travesde los bordes de un “platillo”. queal cabo (le un tiempo finito desaparece. PS 6.1 Planteamiento del problema Con una métricadigonal parametrizadapor 2%, ~— 2~~> + eú>’>dgr> + gr>(d02 + sen>O#>) (6.1) donde r y ji son funcionesde las coordenadas(1, r). Las ecuacionesde evoluciónYang-MilIs en el casodecamposcon simetríaesféricay en el 0’ gaugeen que 2 = 0. son: ( 02~r—’>ff) = ~2er+’>A1~ 2 (6.2) — e a e, 6.1. Planteamientodel problema 103 (6.3)r—p J4’ >~ = ~ ~A~cp2 ~(er±Py~), (~—r--P, ),~ + er+PVA/ + & r—p~ 42 — ~prV(l J ) ( 6r+P.4) + ( ~T~tkpAr),t + ~T±Py~~~> + —r—p e = o (6.4) (6.5) La ligadura algebraicaes iKr(1 ~2> = k(Aúp4s~ — ArV(P,t) (.,.«rJ2)2 + ~ ( ~2 > >2 — 7, k((jT+ 2r(V~ + A/y)) + (s). + Av)) (6.6) (6.7) Finalmente,las ecuacionesde Einstein con nuestraparametrizaciónse expresan: — ~ ¿2» ~P,r + = >2 o 2 — ~Yjr + Y + TrPr 7, .i) Pi Á1<.Ñ$,r + .4>A,>,)2) 1~ _ (1 — —K( ~~F?,¿ei2t+ + c2r+2»(p>~ + ¡¿ + pj,~) = —Jxi( j42r — (1 <)2e2 » 5’ 5’ + — t(s¿ + A/y2)) 9 T,rr + 2 2r+2p (p 4 + ~A+½+ ~,r/tr P,r + e ,t P,t~~i> = 7, ~J<(E5e 2r — (1 ~~yfl2e2 » 7” o 2r+’p¡2 2’ 2 ~ + A/y> + (y< + A/y2)) (6.8) (6.9) (6.10) (6.11) e 104 Capítulo 6. SOLUCTOtVESEXACTASCON METRICA EUCLIDIANA 6.2 Simplificación de las ecuacionesYang- Milis y condición algebraica La ecuación(6.5> seresuelvecon ter+P (6.12) Con lo que las ecuaciones(6.2) y (6.3) se resuelventrivialmente con 2 r— r ~ ~ + 245 = e = constante (6.13) Esta última ecuación y (6.4) constituyenlas ecuacionesde evolución Yang-Milis a resolver. — (C~’%p,r)r + ¿2~—r—p ~er+D 3 + y cprV(l y 2 ) — (e~~~~=tr),r+ 2(p,=,rer+P 2y ¿~¿erP+ y —245 ) Definimos A’ (e — 245). Y = (1 — j2) y A = B A? — Y. Haciendo un poco de álgebra con las ecuacionesYang- Milis y algebraicasse obtienenlas siguientesexpresiones(evolución y algebraica),paralas funcionesA y B. (ér~4.PA~fl + (C~~T-~PA) = 1~~ 1 Y)2A2) k 4ePre ~A2 +Cr0A2 = (1 — Y\A24 kr2 (6.16) e e w e e (6.14) e (6.15) x+Y, (6.17) 6.3. Condición de compatbilzdad 9 (c’~”Bífl + (E~’~B.r),r = —~—(2L?(1 — Y) + 1B2) 7’ A: 5±!> + —r—p~2 4c~~’ (1 — Y)B2 kv2 195 (6.18) (6.19) Obsérvesequehastaahorala. procesoen la resolucióndel problemaesta siendocompletamenteparalelaa la realizadacii e] casolorentziano. 6.3 Condición de compatibilidad Despejando.4,ter+P en (6.17) y sustítuvendoloen (6.16). y procediendo de forma análogacon >I.~c ‘~“ se llega a (definiendo c~A., — Fcos’1’ y e’A 1 = tr + C’~~Pi = 6T+P 2(1 A + A Y) + 141 — Y’) — A)) iJ~ ,~ — + k(1 — Y) + B)) 1 A1 — —r—P( + —) = y e 2(1 — (YY) + — Y) + 141 — Y) + B)) y nuevamente,exigiendo la. integrabilidad de A se llega (er±Pp) — (8T .9 —(Y + (1 — Y)(—2 + Iv) — §2 + y 2 1 -‘~Qr,~ + ))r 7- k)(l — Y) + 2B(1 — (6.25) restando(6.25) - (6.22) 1 (1 — ~-)(A + B) = O Iv (6.26) que tiene dos soluciones,la primera A + B = 1) ,~ y = O, se trata del Ansatz de B.M. y lo resolveremoscomo un casosingular al final de este capítulo. La segunda,Iv = 1, es una condición sobrelos tipos algebraicos posibles.y sepuedoexpresarcomoque son imposibles(salvo en el Ansatz (le BM.. (le momento) los tipos .Y~ en la clasificación algebraica. En el casogeneralnos quedaunaunicacondición de integra- bilidad dada por (6.27) Comparandolacon el sistemadeecuacionesdeEinstein(6.8-11)sellega fácilmente a a e 0~ 0% (6.23) (6.24) o e e e 6fi—T — (e~r~fi(r + —)).~ = y y e, r Y (6.28) e 6.3. Condición de con>patibilidad 107 2p 1 1 ~}—V + Y2) (6.29) Hasta ahora. el proceso (le resolución ha sido paralelo a aquel que lle- vamos a cabo en espaciolo ret 0 ziano (capítulo 5. ) , pero llegado este 1)1.1 uto es cuandoaparecenaigu i ía.s de 1 a.s diferenciasmás íml)Ort antes. En el caso loi-entzía.íío el paso siguienteconsistió en liaraniet ri za.r las funciones Yang-Nl it lí. A e - de t a.! forma. ([tiC la. ligadura, análogaa (6.29) fuese únicamenteeíit re la (:0111ponentede la métricay unauníca función ( 62R entonces). Por ello liarametrizamoslas funcionesA? e Y en coordenadascircularescomo sí (le unascoordenadascartesianasse tratase. Ahora no podemos usa.r la generalizacióndirecta. pues es- tarjamosperdiendogeneralidad. En efecto. con una parametrizacion (le la forma ~‘ = c 2cosb(1) e = Ú~s n/>( 1) estaríamosrestringien- clonos únicamentea funcionesfa.! queA > Y’. necesitaremospor tanto una parametrízacionmas oeneral. aunquelos cálculos se complicarano ligeramente. Por otra.parte. la forn ja (le la, expresión((3.29) permiteun poco másde j riegoque la anaVga en el caso lorentz ia.no. En efecto.en (5:30), el coeficiente 1 ,v puestoqueP.r debíaser > O. estábamos 01)1 gat=± k(’yB=±vCD o A = q B = Introduciendolas primerasigtíaldadesen las dos ecuacionesYang-Milis seobtienendosecuaciónesen derivadasde las r y p incompatiblessaJvo en solucionestriviales. Procediendo(le forma similar para.el segundo caso se llega a (c — 2c3 = 41 — y2) que es el caso auto(ltlal con (legeliera.cióualgebraica. Por tanto, las ecuaciones(le Einstein se (lesacoplan(leí campo Yang-MilIs. 6.5 Resolución de las ecuaciones. Caso no estático Hacemosun cambiode variable dado por = y + ji y parametrizamoslas funcionesYang-MilIs por (6.30)A? = ~ 1) ó e = +i (e J2 < 1). El sistema completode ecuacionesa resolveres entonces(dondehemosredefinido de forma que la ecuación(6.28) se integrecon r = 1 = —j(e —1) (6.32) 7, —, r = —p (6.33) 2,, 1 1.— b~e2e2R (6.34) = ¡(1—Y) ~ [~t+ ¡2 1 (6.35)4(1+12)2 ] A 2 2R —n 2 1 (6.36) rn2 t _________ 1 ¡‘(1 — Y) L.~ + ‘z( ~1+12< fi,], 7 + R,±J,~= 0 (6.37) e, 1 1 — (1 —1’) fR,ZR.E + IT~ + 12)2] (6.38) —1 (6.39) = 2r 2 —JÁ + 2 _ 1 2p 6R6 J 2 ~— 1 (6.40)(J21) 2r2 DespejandoI,~ en (6.37) y sustituyendolo en (6.35), (6.36), y (6.38). Dividiendo el resultadode (6.3-5) entre(6.36), y haciendouso de (6.34) se llega a 4P,zP,f = — ¿Y (6.41) y el mismo resultadose obtieiie dividiendo (6.36) entre (6.38). Luego del sistemade ecnaciones(6.35), (6.36) y (6.38) solo es necesariauna de ellas (en nuestrocaso hemoselegido(6.3-5)) y (6.41). — Se puede comprobar que las ecuaciones(6.39) y (6.40) son e una identidadsobresolucionesdel resto del sistema,siemprey cuando 1 # constante,en cuyo casoes necesarioimponer (6.40). Por tanto el e, e e 6.5. Resoluciónde las vcuaciones.CÉO rio estático III sistemacompletoa resolveres eqtíivalentea: 4P,z& = — 1) (6.42) 4P,zP.s = -.< i — it (6.43).7. .2p 1 (6.44)= A 2 2R1 — e (1 — Y) L .. ~(—1 + 12)2 ] 1-LI 4 + R41,5=0 (6.46) (6.42) y- (6.43) son formalmentelas mismasecuacionesqueencontramos en el casolorentziano Su solución generalse puedeobtenerpor tanto de la misma forma (vease apéndice 1.) obteniendose(partiendo del generadior (le mutt.imerones” 1 — (¡.3: + K)(3& — (~47) e 2~ = ~zrr=yu=j(l+q 1(1+ (3: + h:h(1 + (/3i — A?)2) Al igual quenos ocurria en el caso lorentziano,la solución anterior ad- rnite unaconstantearbitraria...(K). quese puedeabsorberredefiniendoel origen de la coordenada.“t” (t icrupo elIcli(leo) Al igual queen el caso lorentzi ano ta mbiéí í existe ti íia seguí íd a. soltrc.ioií (a. partir del gene— rador (leí níeron’ ) - La t ra t a.íí íos en a secciórr 6.9 de este capit tilo. Sin mayor coinphcacion se llega. a que (6.46) se resuelveen generalcon 1 = 1(arcsh(d1) — qcu-cshQ3t)) (6.48) Definimos 4 = arcsh(J:) + arctsh(/3?) y w = avcsh(/3z)— arcsh(~3t). Entoncespodemosdistinguir dos casos,si r¡ = +1 entonces1 = 1(w) y- por el contrario si q = —j entonces1 = I(~). Resolveniosla ultíma ecuacion(6.45) (listingliiendo estas(los posibilidades. .112 Capítulo 6. SOLUCIONESEXACTASCON METRICAEUCLIDIANA ¾ Entoncese2~ y (6.45) se escriben: 2R (z+i)2senh2(~/2 ) e .~~4J O entoncese deberáser real. Recordandola parametrizacionem- pleada,paraque los camposA? e Y’ seanreales,entonces(—1 + 12) > 0. Por tanto, la expresiónfinal a resolverserá: 1 —1 1—e —1 + [2 ¡3 K¿ 2 ~ = 1 ~$1 + 12)2 Donde la variable respectoa la quederivo es real. u) q=—1 Entonces(6.45) se escribe: .2R _ (z + 5)2 cosh2(w/2 ) <1’ — tosit2 (w/2) — 1- —1 + J2 tosh2(w/2 ) 3 —Nc2 ~I= tosh2(w/2)J~(—1 + 12V Siguiendoun razonamientosemejantese llega aque fi debeser real, e debeser imaginario x- (—1 + [2) <0. 1- —1 —l + [2 —Re2 1 + [2)2 (6.50) u (6.49) u e, a e, e, 6.5. Resoluciónde las ecuaciones.(aso no estático ¡13 Y donde la variablecon reslftct() a. la quederivo es real. Hemos conseguidofinalmente reducir el prol)lelna a la inte- graciónde tina expresionmas o menoscoml)leja. En lo que siguea con- tinuacion. vamosademostrarla existenciade solucionesde esaecuacion diferencial. y describ i reinos cualitativamentesu comportamiento en el marcode la teoria 1, con lo que la región comprendidaentre las dos primeras soluciones constantesno es accesible. Por otro lado, para que se cumpla que [2 > Q debemos descartarla región comprendida entre la tercera solución consta.ittex- la primera. Sin embargo. podemos asegurar que existen solucionescíe la ecuaciónautónomaplanteada en los siguientes casos: e 1 > a > 0. Existen solucionespara 1 > VI~o2 y para1 < —1. • —1 < o < 0. Exist en ~olucíones para. 1 < y para 1- > 1.Ji —V a mt 0% 114 Capítulo6. SOLUCIONESEXACTASCON METRICAEUCLIDIANA • o > 1. Existen solucionesdnicamentepara1 < —1. — • ~ < —1. Existen solucionesúnicamentepara 1 > 1. e Estassolucionesdivergen rápidamenteen uno de los sentidos,mientras que en ei otro el problemade valores inicialesno admitesolucion uníca. e, En efecto, es sencillo de comprobar que e, = tag’(~) + 1 iag~(~—) — 1 e es solución para.a = 1, y que por lo tanto, el valor inicial 1(0) = —1 ad- mite la solución anterior y también la soluciónconstante1(w) = —1. El u comportamientoen la divergenciase puedeestudiarcualitativamente. Paragrandes1 la ecuaciónatitónomase transformaen e, IJ=±P 1—a u. cuya solución es u 1 — a(w — wo) que presentauna asintotavertical en w0. Obsérveseque la solución explícita anterior presentaelectivamente tina, asintota vertical en w = 4. b. 23 = e,, La ecuacion autónoma(6.52) presentatres solucionescons- tantesdadasíor (recordemosqueahora la constantee es imaginaria) 1=7±1 e, e, 6.6. ¿ Es generalla parametrizaciónempleada1> iii 1 ¡ = 0. Existen solucionescon JI > 1 > —1 ±o2 • a < 0. Existen solucionescon 1 > 1 > Est.a.ssolucionesson itionotonas.presentandodos asíntotashorizontales en la.s dos solucionesconstantes<[Ile marcansus límites. 6.6 ¿ Es general la paranietrización em- pleada ? En el apartado anteí-ior hemos mencionadoque la parametrizacion definida es completamentegeneral. En efecto, henios tenido la pre- caución de admitir que la constante& puedaser tanto real como irna— ginaria. Con ello estamosadmitiendo la posibilida.d generalde que A? puedeseamayor o menor que Y’ (el casoen que .V = Y es equivalente a la condición de autodiia.lida. Y en determinadasregionesde la variedadenclidea,y A’ < Y en el resto. Es decir, aquel cii el que e no es tina constante,pues seria real en algunas zonase ¡magiiíario en el resto. Sin embargo,es fácil de demostrarque se trata. de una situación imposible. 116 Capítulo6. SOLt~CIONES EXACTASCON METRICAEUCLIDIANA Fiemosvisto que el sistemade ecuacionesque debesatisfacer la métricaes: 1 — = (¿P —1) (6.51) 1 = —(1— (6.52) —donde(6.51) es consecuenciade la compatibilidadde la condiciónde in-tegrabilidad (6.27) con las ecuacionesEinstein-Yang-Milis. En nuestro desarrollo obtuvimos (6.52) tras haber impuesto la parametrizacion. pero es sencillo de comprobarquees un resultado independientede la u parametrizacionempleada. u Por tanto la forma de la métrica (6.47) es independientede la parametriza.ciónempleada. El único punto dondeesta métrica es u exactamenteEnclideaes en r = 0. Es decir, que el coeficientede la métricaes siempremayor queuno o menorqueuno (según sea fl imag- emano o real). y por lo tanto. observando(6.29), siempre se cumplirá queA < Y o que A > 1’ y podemosconcluir que la parametrización empleada en el desarrollo es “cuetal. o. u. u 6.7 Ansatz de Bartnik-McKinnon a Al igual que ocurría en el caso lorentziano, el caso en que A? = O es singular, y por tanto no se puede considerar resuelto dentro del procesogeneraldel apartado anterior. En estepunto vamosaresolverlo por separado. ,Adelantandoresultados,veremos, que no se obtienen o e e, 6.7. Ansatzde Bartnik-McKinnon 117 solucionesdistintas de aquellas que obtendríamoscomo casolímite del caso generalcuando1 —* con.slontú. Recordandola definición de X y deshaciendolos cambios dc notación definidos en (6.12). observamos que este Ansatz se correspondecon A1 y A. nulos, obsérvseque F1,. es invanarte gauge bajo la. acción del subgrupot (1) de invarianza gauge residual y que. por tanto. es imposible llegar a esta.condic~íon unícamentepor transforínacioíiesgauge. En estecaso., el potencial Ya.ng-MiUs cii componenteses: A1 = (0.0.0): Ar (0.0,0) A5 = (—;.0.0): A0 = (ti. —ysinO. — cosO) Las componentes(le] campo Yang-MilIs son: Ftr = (0,0,0); F15 = (—e. 0.0): Ffr = (0, —y,1senO , 0) = (0,0, (1 —.p 2)seuO): Frs = (—~sr,0.0); Fr~ = (0, Th rSCflO, 0) E] sistemacompleto de ecuacionesEinstein-Yang- MilIs se es- cribe como: r —( ~ (&~T~Pyr ).~ = T->( 1 ~ (6.53) 9 = I<%~v. (6.54) 9 ‘a’ ~ + ~7.r — 2~~» + P2¿ + P.J,í)rl.. — 7. Nl —--(1 ~2)2 + 2 ~-2 A 5l’<) (6.55) ~ + tP,. £ 2t+2P(p 1< + P 2< + P,ttt) = 7, ~t. 118 Capítulo 6. SOLUCIONESEXACT4SCON METRICA EUCLIDIANA ¿fi 2r-4-2p 9 ~2)2 26 .7,2 1 e.2~ (2P 7, 7, Finalmente,la condiciónde degeneraciónalgebraicaes: 6. 2fi — ~,2)2 = k(p7 + e2T~2~nf) 7, (6.56) (6.57) (6.58) Obsérvesequeahora.es imposil)le Iv < 0. Distinguimosdos casos (i) Coso <-sta) u-o Las ecuacionesson triviales de escribir con solo hacerk = 1 y elinnua.r la (lependeilcia.en /. Miii ningún problemase llega a = (—1 cc”y 1 ) 7, donde e = ±1. Haciendoun poco de álgebraentre las ecuacionesse llega a que 1. = (1 + c¿y’—) 1’ es decir, r~ = Pr Usandoestenuevoresultadoen el sistemaanterior de ecuacionesobtenemosla ligadura parael coeficientede la métrica: ~E4t> + 2c~ — 1 = O mt quesolo sc resuelvecon inetrica. iZuclidea., y campo Yang-Mills gauge puro. (O bser\-esequeen este .\ nsa.tz no existensolucionesautoduales) (ii)Caso ¡20 estútico u mt e’ e o mt 6. 7 Ansatzde Bartnik-McKinnon 1.19 De la compatibilidad (le (6.58) con (6.53) se obtienen (proce- diendo de forma análogaal casogeneral) dos ecuaciones ) 1’’ ) 1 /~ (7 1 = 1 ( 1)(——.’ + ——)) U y donde hemos definido ;~ T 1 e u ( ~I’) y = U cos(ÉI¡). La condicionde integra.b il ida ~ ~d íd nos d + ~~-‘t+ ‘r,vp¿r + —T 1 ~ + Ár±¾( ti + Pí + (tíTÁ) 7- 7, ~ ~ = (2 — Iv)—---[1 + Ai — Iv)] (6.59) r 2 Iv De la compatibilidadde esta.ecuacioncon (6.5.5)-(6.56)se llega a: e2P = 2+ (1 p2)01 + 1) + <2(4 + Iv + n >1 — v2)2 (6.60) Recordandoque el caso Iv = —2 no es posible en este Ansatz, luego Iv = 1, y haciendoun poco de álgebraenhe las ecuacionesse puede llegar a: 2p k(í — ~2)2 (6.61)=1- (6.62) P.r (6.63) Es decir, reobtenemo=exactauíente los uis nos resultadosq iie se ob- tuvieron en general. Procediendo = ~62P(1 — \c~) (6.69) y, Esteconjuntode ecuacionesse puedever quees equivalentea resolver el sistema: 1 a(6.70) r 2 1 = ————(1 — e2>3) (6.71)2 pp~ = —(1 ~e2P)2 (6.72) 1 = ~ 1 — Ác~) (6.73) 1’ Las ecuaciones(6.72-723)sc resuelvencon: 2p 1 1— (.3: + Ñ(Ñ~ — (674i[1 +(3z+ K)2] ~1+ (¡3±— At)2) Finalmentesolo quedapor imponer (6.73) quese resuelvecon ¡3 imag- e, maria y 7 (6.75) e, Existe otra solución con q = —1 y A = —1 pero presenta un mal comportamientoasintótico. Concluimosfinalmentequeel caso “singular” queaparecióen cl procesode resolución de las ecuaciones generalessepuederesolvercompletamente.y queel resultadoobtenido ml e’ 0% 6.8. Propiedadesde la solución 21 coincideexactamentecon aquel que se obtiene (leí casogeneralcuando cuando 1 6.8 Propiedades de la solución La solución obtenidadepen- 1 + 1 (r2 + U2) En 1) = / = constante la métricade la superficiebidiníensionalque queda.es: ml —(1 + 1+r2+12 )> O tetiemos 1 = ±lz¿(r+ ~2 1) e’ e, ml ml e’ u e e’ ml. e ml ml ~1 68. Propiedadesde la solución 123 que es exactamenteigual quela queapareceen el worínholede Toiman. Las superficiesreciéndefinidas aparecenen la siguientefigura figura 6. Concluyendo,partiendodedossuperficiesasintóticainentepla- nas y separadas,al evolucionar t se han ido deformandohastaqueen un t = finito se corta.n si bien de forma no suave. Por fin en 1 = O empalmansuavemente(exactamenteigual que Tolman paray > 1, y medianteunaesferaparar < 1). Estaconexionsuaveentresuperficies solo dura un instante, pues a contínuacionse vuelven a separarten- 1<2. 6.8.1 Grupo de isometría La condición (le isonietría Lyq,~ = O se escribeen componentes: AS +

” 0 (6.80) X’%2.se¿(O) + ~1 17~ 0 (6.81) A,. 17 scn2(O)+ A 0 (6.82) r + = 0 (6.83) a a e 126 Capítulo (3. SOLUCIONESEXACTASCONMETRICA EUCLIDIANA 4 sen2(O) + = 0 (6.84) u’ + II + y cos(O) = (6.8.5) r sen(O) e Las ecuaciones(6.82-86) se resuelven con la dependenciaen las coorde- nadas angularesdadapor (igual queen el casolorentziano): u’ — S’Q(3) + f,seu(O) + f 2eos(O)cos(ó) — facos(9)sen(45) (6.86) 1 A? 0 = SO(S) + ~—fiscn(45)— f2cos(45)3 (6.87) sen(O) = .-../irco.s(O) + 19vsen(9)cos(45) — f 3rsen(9)sen(45) (6.88) u’ A?< = —pircos(O) + q2rsen(9)cos(¿) —garsen(O)sen(45) (6.89) u. Donde 1 .v ~ son funcionesde 1 x- it Las ecuacionesque quedanpor satisfacerquedancomo condicionescli fu-rencialessobreestasfunciones: fl,r” + fe 22 = 0 (6.90) f¿.~r + g~e2~ = 0 (6.91) — (g~r),. = 0 (6.92) e, (f,r)~ + (g,rfl = 0 (6.93) (g¿r)í + q,rp, + .1 ~P.r= 0 (6.94) e, hastaahorael procesoha sido paraleloal seguidoen el casodemétrica lorentziana,sin embargoahora vuelven a aparecerdiferencias, como consecuenciade queahorala constantede integración¡3 puedeserreal e imaginaria. El conjuntoanterior de ecuacionesse resuelveen general u’ con: u = 2(z) + W(é) = —-1$:) + ilV(f) + 2ie u e e ml 68. Propiedadesde la solución 127 dondeces unaconstante,y Z = c+ 1 + (3z)2, It = —c+¿ 1 + (fis)2 y e es unaconstante([ile vale ma.s o menosuno. En el casoen que.3 sea real, entonces e = — 1 . znientras que sí 3 (K5 í ma.gi tana,entonces¿ = Por tanto, los generadores del gril 1)0 cíe isoínetría sojí: 11<5. y .~k” son los de s¿?netrzaúsJevzca Y’ = 2k 1GrsenOco.sé&,+ 2k1 ErsenOcoscó,. + F.sCII 9 2k1 EcosOcoscdo— 2k1 (6.95) (6.96) y 2 — 2Iv 20y,senOsúuob< — 2k2 1”r-scnO.senoó.— 2Iv21’cosO.senó¿)e— 2k2 Ecose 86flO (6.97) X 3 2k 3CycosOd<— 2k.3!’vcosOd,.+ 2ky1senOO6 Si 3 es iníaginaria. Iv, es real: 1 1’ 1 + (t3z)~ + 1 + (3z)2) O = j—(— 1 + (3W + y con ,3 es real y 14 es imaginaría.: 1 y 1~~ + (35)2) (6.99) (6.100) (6.101) (6.102) 1 + (/3:)~ — 1 + (¡3;)2) 1 + (3z)2 — 1+ (fié)2) El álgebraque definen estosgeneradorestiene las siguientes donde (6.98) reglasde conmutación: e e e 128 Capitulo 6. SOLUCIONESEXACTASCON METRICÁA EUCLIDIANA 3(6 [A’4,Xfl [A’4, A’3] — A?’ LKtXM y2 L~5, 3(11 = o = —A?4 [3(5, 3(6j = ~~~\73 j3(4,Xfl = o [Nt 3(~] = 3(4 e e-= ~3(3 [A’”,A”] = = A?4 [V.3(fl y ‘2 [A?6.Xfl=—3(’ =3(5 [A?’,3(2] a. =3(6 u quese corres¡)on Repitiendo los pasosdel capítulo anterior se llega a que el tensorde Weyl es identicamentenulo sobrelas soluciones.Por tanto, pertenecen al tipo O de la clasificación (le Bel-Petrov, y existenunas coordenadas en las que la métricaseráconformeplana. Si usarnosz y f la métrica tiene la. forma VI ú/.s e <171Z(IS + (s+5P <¡92 0 Resolx-einos.3 real e imaginario por separado. • ¡3 = ¡ [3(1,3(5] = e- [3(5.3(3] = [A’6, A’3] = O UY3. A?’] u’ u- gr. e ml 6.8. Propiedadesde la solución 129 e2» 1 1 + :5 1+ 1~’.2 Si hacemosel cambiode variable: = tanh~ entoncesle nietrícaq íeda cosh2((~+ 0/2 ) = [d&k+ cosh2~co.ht~ ><‘n /í~(~ + ~) lco.sh2(~ +0/2) Estamosbuscandoun cambio de variable, tal que la métrica tenga forma conforme1)laria explícitamente 1 hI(dadá. + 2 )2 (dada + dR ) (6.108) mt Que tiendea etíclídeoa.sintóticamente. 0 • .3= 1 0% El procesoes similar u’ j2 0 1 1 l+z2 1+52 ) Hacemos e’ - = tag~ a’ e e ml 6.8. Propiedadesde la solución 1.31 dV senft(~ + ~ + cos2~cos2~ La ecuaciónquese (leberá resolverahoraes ~~t=(«+ ú)2 = 4co52j+ 9 donde~ = a(a) y = ~(4). Definimos = 2urctagA+ —9 y la ecuaciónanterior queda. lAja + ú< = (A + que la. hemosresueltcen el casoanterior ¡JI. 4=. +1> 4= — a) ‘u. — —fi(u + a) con ni, u, y p constantes.Si elegimosp = O, u conformees 1 II = (1 + 4(i —a)(i y ni = 1/2 el factor (6. 114) Y obtenemosun espacioeuclideoasintóticamente. 6.8.3 Acci6n y carga topológica La acción del campo Yang-Milis es $ = ¡ =i~V,. 1F~ tít> d 4 r sen2(~ + ~) 4.sen2(~ + ~)/2) 3923 (6.109) (6.11.0) (6.111) (6.112) (6.113) -tI 132 Capítulo (Y SOLUCIONESEXACTASCON METRLOA EUCLIDIANA que sobresolu(’ionesalgebraicamenteespecialesse puedeescribir como &=f i?~e2P(X2 + Yfld4x q~Jl27f dídy( 1 — e2~) 12+1 [2 — e,. u’ En el casosingular definido por el Ansatz de B.M. -í >. en cuyo caso La. acción ~=J2LTdTdtP—(.se.n2111— cos2’-IJ integrandoen la. variable angula.r i~ s=J 6w2 1< u. —di’ 7’ que diverge. La densidadde cargatopológicaes ([3], [?]): QT = 32w2 ¡ ~.PF2F’ t¿W34y en el Ansa.tz JI’2)’ por tanto, en esassoluciones,el término ~-— en la expresión sieml)re es positiva. pries £2» > 1 cualMIo 3 es imaginaria. Su comportamiento asintóticoes para (~2 + t2) — (con y = Tcos(’II) y 1 = 134 Capítulo (1. SOLUCIONESEXACTASCON METRICA EUCLIDIANA 1*,> (e2’> — 1) —+ cos2(‘P) cuya integral f’1’dtd\I’(e2» 1) diverge por lo que no podemoscon- cluir nadasobreel valor (le la cargatopológica a falta de conocerel comportamientode 1 en est.ecaso. u’ 6.8.4 Carga eléctrica y magnética Si hacemosuso de la definición de cargaseléctricasy magnéticasque aparecenen [3-1] u-, <2 = e P= ,jin 1jl—v 2) en el casoeuclidiano,estascantidadesestán bien ‘a’ 0%definidas (aunquese ha perdido el seííti 1) u’ Sr e, e’ 0% 356.8. Propiedadesde la solución 1 0.8 0.6 0.4 0.2 figura 8. En el casogeneralse cumpleque —P2 + Q2 = 1. 6.8.5 Energía Al igual queocurría en el caso lorent.zía.no 12 JBíJ r = —(e » —1) + P.l. 7. Sin embargo,ahora no podernosasegurara priori el caracterpositivo de dicha expresión. IDe hecho, en función de los valores de / y y, se 1 2 3 4 5 puedeconseguircualquiersigno paracualquiervalor de 3. a gr sí. 136 Capítulo 6. SOLUCIONESEXACTASCON METRICAEUCLIDIANA 6.9 g~p = ~-(1+ cos(’I’)) u, Existe unasegundasolución singular del sistemade ecuaciones6.42 y 6.43, (cuandose haceuso del “generadordel merón” segúnla notación gr. definida en el apéndice)dadapor 1 mg ti,.,. = —(1 +2 y2±12 ) Esta solución no tiene un comportamientoasintóticamenteeuclideo, gr. pero presentaunas cualidadescuriosas. Si definimos coordenadasan- guiarespara 1 y r dadaspor 1 = RcostIf y y = Rsen’Pentonces e, 2» 1= II,.,. = [itt = 41 + cos’4!> ml es decir, los coeficientes Y), por — ello es mas apropíaBB 2b~ E ¡taN &B (a+b) y restandolasse obtieneunaexpresion ‘a 0,44 204 bBs 2b, 5 04 (a + b) bB (a + b) (7.3) e’ 0% 7.1. Ecuación4A «B5(a+ b) 2 — ~cr¡2(9A+ 2B) 141 que, multiplicando por (a + b) y volviendo a derivar respectoaa y b, nos da: 4,4,4 <¿44 _ b,BBB — kBB (74) (u~~) — kB b3B Que se puedenintegrar completamentedando: £14 = I..k 0a2 + kw + 14 1 bE = -~-k,,b 2 + y + Iv; entrandocon estasexpresionesen (7.4) encontramosla ligadura k 1 = —kl y 14 = ¼.Finalmente dichas expresionespuedenser integradas completamente,eiícontrandoseLas siguientessoluciones Cuando Iv,, ~ O r k~ — 2k»k2 # O (los segundostérminos no son un cua.<) 136 +o(arcotg(3b—Ñ:)) Dondea, ¡3 y K son constantesconstruidas a partir de las 14, y 6 y 6 son las constantes que aparecen en la última integración.Entrandoconesta soluciónen la ecuaciónoriginal quedebíamosresolver,encontramosuna ligadura algebraica sobrelas distintas constantesdefinidas. 4(a + h)’ 2oh3~ = (1 + (Ja + K)2)(1 + (fib — K<) .sen2(2a(arcotg(íicí + K) + arcolg(3b — <) + 6 + 6’) (7.5) que tiene una solución trivial (para todo a y b), a = 0. (que nos daría solucionestriviales) . y 4+ 2B)_ 143 o. = ti cuandosigo o(a + ~-~) = —.s.qno(b— 4) y ~1 .1=.)cuandosigno(a + 4) ST .s¿qno(b — El casoque ST r — ti y b = y — it respectivamente. e e e 144 Capítulo 7. APENDICES e a e u ‘u e u’ e a’ 0% SS’ e’ SS ~1 u. SS e’ Capítulo 8 CONCLUSIONES Realicemosun esfueizoJ)Ot mt t z u e mnaí. pocaslineaslos resultados obtenidosen el desarrollo(le esta tesis. De unamanerasencilla estos se podrían resumiren los siguientesputitos: • Se presentauna condición necesariapara que un campo Yang— MilIs con simetría esféricaposea alguna simetría adicional. Se comprueba queexiste unasolución (obtenidapor Witten, si bien no pertenecea.l tipo insta.ntóííico) 276. [53 L.L. Chau, “A frameworl=for generating multí-inonopole soíu- tions”; Lectures in lStb Winter School of Theo. Phys. (1.981) Karpacz, Polan