UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Departamento de Física Teórica I TESIS DOCTORAL Nudos electromagnéticos TESIS DOCTORAL MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR José Luis Trueba Santander Director: Antonio Fernández-Rañada Madrid, 2003 ISBN: 978-84-669-1594-6 © José Luis Trueba Santander, 1997 L _ 531427809s ¡ NUDOS ELECTROMAGNETICOS Memoriade TesisDoctoral presentadapor JoséLuis Trueba Santander Dirigida por Antonio Fernández-RañadaMenéndezde Luarca Mayo de 1997 U~tV~RíD1O COMPW ~ENSEDE MADRID kcmuA¡) L~ CI N :~A? F!SI2AS ~ L)5 LIGROS ~ 1 SLlOg5%~j ~4YREGISTRO o73Y4i A la memoria de mi padre y de mis tías Dolores y Asunción u u u u u u u u u u Presentación Una de las decisionesmásdifíciles de las quehan de tomarsea la hora de escribiruna memoriade Tesis Doctorales cómoestructuraría.Al final he decidido hacerlo tal como a mí me gusta que estéedificado cualquier texto o libro científico que debaleer, estoes, construyendo los resultados,más que citándolos paraluego demostrarlos. No sé si una memoriade Tesis Doctoralha de tenervalorespedagógicos,pero sí que hadeser lo másclaraposible. Estahasido mi intenciónen todo el procesode escritura. Con esteobjetivo, que esperohaberrozadoal menos,la disposiciónde los contenidosescomo sigue. El primer capítuloesuna breveintroducciónhistórica, centradaso- bre todoen los inicios dela utilizacióndemétodostopológicosen física. Algunos de los problemasque se plantearon,hacemás de un siglo, científicosde la talla de Kelvin, Maxwell, Faradayo Tait aún siguen abiertos,y el presentetrabajode investigaciónpuedeencuadrarseen estecontexto. En el segundocapítulosepresentaunacantidadfísica,definidapara todo campo vectorial solenoidal, y llamadahelicidad,que da cuenta de la topologíade las líneasde fuerzade tal campo. Se repasarásu significadoy susaplicaciones,dadoque seráutilizada en el restode la memoria. El capítulotercerodesarrollala investigaciónrespectoa la helicidad en el contextode la teoríade Maxwell en el vacío. El resultadofunda- mentalde estecapítuloesuna relaciónentrelos aspectostopológico y c¿rpuscularde la teoria. En el cuarto capítulo, como eje central de la memoria, se intro- ducenlos nudoselectromagnéticosy el modelo topológico del electro- magnetismobasadoen ellos. La ventajafundamentalde estemodelo u u u u sobrela teoríade Maxwell estándares la apariciónde reglasde cuan- utizacióntopológicaparala helicidady la carga.El capítuloquinto estádedicadoa la obtencióny estudiode algunos nudoselectromagnéticosexplícitos. Este trabajo exige trabajarcon utécnicasde teoría de gruposy fibracionesno triviales, que serán,por tanto, introducidasaquí. En el capítuloseisseaplicanlas ideasde los capítulosanteriorespara u proponerun modelo teórico que explicael fenómenonaturalconocido como rayo bola. Esta aplicaciónse presentacomo un ejemplo de la posible utilización de los nudoselectromagnéticosen problemasde la u física macroscópica. En el último capítulo, el séptimo, se resumenlas conclusionesde la memoria,y tambiénse haceun listadode algunosde los problemas u abiertos,a los que esperopoder dedicartiempo a partir de ahora. u Madrid, 9 de Mayo de 1997. u u u u u u u u u u Agradecimientos Es muy grandeel número de personasque participan, de un modo u otro, en los aspectospersonal,formativo y meramentecientífico de cualquierestudiantede Doctorado,y sobretodo durantelos mesesde escriturade una TesisDoctoral. Sin duda, estoha sido asíen mi caso. Es de justicia,por tanto,queexpongapúblicamentemi agradecimiento, al menoshastadondeme permitala memoria. En primer lugar quiero citar a mi Director de Tesis, el profesor Antonio Fernández-Rallada.A lo largo de todosestosmeses,él ha sido el eje central demi formacióncomo investigador,a la que ha dedicado su enseñanzay su ejemplo, con especialcuidadoen la correcciónde los típicos defectosde muchos principiantes,como son la prisa y el descuido.Graciasa súsconsejos,ha resultadomuchomásfácil escribir estaspáginas,en las que, siguiéndolos,he tratadode “hacer las cosas bien,aunquecuestemuchomásque hacerlascasibien”. Agradezcotambiéna los profesoresAlberto Ibort y AntonioDobado susvaliososcomentariosrespectoa algunascuestionesque aparecenen estaspáginas. En estecontexto, me he beneficiadode las conversa- cionesdeotros excelentescientíficoscon mi Directorde Tesis,entrelos que quierocitar a Mario Soler, Michael Berry, JoséMaría Montesinos EloísaLópez,Alfredo Tiemblo, JoséLuis Vicent y Claudio Aroca. Muchaspersonasintegrantesdel Departamentode FísicaTeórica1 de la UniversidadComplutensetambiénpusieronsu “granito dearena”, por su disposicióny su apoyo. Especialmente,no puedo olvidar la ayuda,siempreque la he necesitado,de compañeroscomo Domingo Sánchez,Antonio Lópezy JoséRamónPeláez. Algunosamigosfueradel ambientede la Universidadme hanhecho críticasy comentariosmuy certerossobrealgunascuestiones,o mehan iii lv ayudadocon la edición o las gráficas. Me gustaríadestacara Marisa Ventas,JuanIgnacio Trueba,EnriqueNelí y Javier Valín. Peroningún trabajo científico, o de cualquier tipo, tendríasentido sin la existenciade mi familia y mis amigos. A ellos les deboel apoyo incondicional,la comprensióny el cariñonecesariosparapoderterminar la redacciónde estaspáginas. J Muchísimasgraciasa todos. Madrid, 9 de Mayo de 1997 J J j Indice 1 Introducción 1.1 Sobrelos orígenesde la interrelaciónentre topología y física 1 1.2 La topologíadel electromagnetismo:líneasde campo . . 3 1.3 Modelos topológicos 5 2 La helicidad de un campovectorial 7 2.1 Introducción. Objetivosdel capítulo 7 2.2 Definición de la helicidad 8 2.2.1 Definicion 8 2.2.2 La helicidadmagnética:condicionesde invárian- cia temporal 11 2.2.3 La helicidadmagnética:condicionesde invarían- cia “gauge” 16 2.3 Helicidad y topologíade las líneasde campo 21 2.3.1 Curvasespacialescerradas 21 2.3.2 La helicidad de dostubos filamentalesenlazados y la fórmula de Gauss 25 2.3.3 La helicidadde un tubo filamentalautoenlazado y el teoremade Calugareanu 30 2.3.4 Distribucionescontinuasde líneascerradas. . . . 36 2.3.5 La helicidaddedoslíneasmagnéticasno cerradas y el númerode enlaceasintótico 37 2.4 Algunasaplicacionesde la helicidada problemasfísicos 40 2.4.1 Dinámicade fluidos 41 2.4.2 Magnetohidrodinámica 44 2.4.3 Teoría de la dinamo 50 y J vi 3 La helicidad electromagnética 53 3.1 Introducción. Objetivosdel capítulo 53 J 3.2 Lashelicidadesde un campoelectromagnéticoen el vacío 54 3.2.1 La teoríade Maxwell en el vacío. Dualidadelec- tromagnética 54 3.2.2 Helicidadesmagnéticay eléctrica:condicionesde contornode los campos,cuadricorrientese inva- Jriancia temporal 59 3.2.3 La helicidaden física de partículas 62 3.3 La helicidadelectromagnéticay su significado 66 3.3.1 Definición y conservaciónde la helicidad 66 3.3.2 El significadode la helicidad 68 3.3.3 La helicidadde los campossingulares 73 4 Un modelo topológicodel electromagnetismo 75 4.1 Introducción. Objetivosdel capítulo 75 4.2 Los nudoselectromagnéticos 76 4.2.1 Sobrela concepciónde Faradaydel electromag- netismo 76 4.2.2 El invariantede Hopf 79 4.2.3 Definición de nudoelectromagnético 86 4.3 El modelo topológico de los nudos 93 4.3.1 Equivalencialocal de los nudosy los camposes- tándar 94 4.3.2 Formalismolagrangianodel modelo 105 4.3.3 Las condicionesde Cauchy 107 4.3.4 No linealidadescondida 109 4.4 Cuantizacióntopolégica 110 4.4.1 Cuantizacióntopológicade la helicidady norma- lización de los nudos 110 J 4.4.2 El problemade la cargaeléctrica 113 4.4.3 Cargaspuntualesen el modelo de nudos 118 5 Estudiode algunosnudoselectromagnéticosen el vacío123 5.1 Introducción. Objetivos del capítulo 123 5.2 Condicionesde Cauchyde unafamilia de nudosde clase c171 124 J J ~1 vii 5.2.1 Planteamientodel problema 124 5.2.2 El método de teoría de grupos para encontrar aplicacionesS3 —* 126 5.2.3 La fibración de Hopf y sus fibracionesortogonales132 5.2.4 Condicionesde Cauchyde los nudosbasadosen la libración deHopf 139 5.3 Condicionesde Cauchyde unafamilia denudosdeclases 144 5.3.1 Obtenciónde las clasesC~2 144 5.3.2 Obtenciónde las clasesC~2 147 5.3.3 Propiedadesinvariantesde estosnudos 149 5.4 Evolucióntemporalde los nudos 151 5.4.1 El métodode Fourier en electromagnetismo . . . 151 5.4.2 Nudos de clasesC,,2 152 5.4.3 Nudos de clasesC...~2 154 5.4.4 Evolución temporalde los camposbásicos . . . . 156 6 Un modelo de rayo bola basadoen los nudos 163 6.1 Introducción. Objetivosdel capitulo 163 6.2 Fenomenologíade los rayosbola 164 6.3 Un modeloparalos rayosbola 165 6.3.1 Formacióndel rayo bola 165 6.3.2 El nudomagnéticode la fibración deSeifert . . . 167 6.3.3 Estabilidaddel rayo bola 168 7 Conclusionesy vías de ampliación 173 7.1 Conclusiones 173 7.2 Vías de ampliación . 175 vin Capítulo 1 Introducción 1.1 Sobre los orígenes de la interrelación entre topología y física La conexiónprofundaque existeentregeometríay física estábien es- tablecidadesdelas teoríasdel campoelectromagnéticode JamesClerk Maxwell, en 1873,y del campogravitatoriodeAlbert Einstein,en 1916. El pasosiguienteesuna conexiónentretopología y física, algo que no deberesultarexcesivamentesorprendentepues,en palabrasde Michael Atiyah, “tanto la topologíacomo la física cuánticavan desdelo con- tinuo hacialo discreto” [11.Realmente,la ideade aplicar los métodos topológicosen física estanvieja como la propia topología [2, 33. Ya en 1833, en una nota breve, Karl Friedrich Gauss,ademásde lamentarla falta deprogresosen la “geometríade la posición” (estoes, la geometriasitus,como entonceserallamadala topología),propusoun ejemplode la relaciónentretopología y cantidadesfísicas observables, en estecasolascorrienteseléctricas[~1~En suejemplo,Gaussconsidera doscircuitosdecorrienteinseparablementeenlazados,cadauno deellos formado por un alambrede cobrecon los extremosunidos, y relaciona la acciónmagnéticainducida por las corrientescon un númeroentero que dependesólamentedel tipo de enlace. Este númeroenteroes el invariantetopológicoque hoy conocemoscomo numerode enlace. La fórmula de Gauss,asícomolos primerosestudiosen topología,realiza- dos por JohannBenedict Listing en 1847, motivaron a científicos tan 1 2 importantescomo Lord Kelvin (por aquelentonces,aún conocidopor su verdaderonombre,William Thomson),JamesClerk Maxwell y Pe- ter GuthrieTait. Además,el trabajode HermannHelmholtz,en 1858, sobreel movimiento de las líneas de vorticidad, hizo posible aplicar jlas nuevasideas topológicasa la mecánicade fluidos. Helmholtz es- tablecióque, en un fluido ideal (sin viscosidad),dos anillos cerradosde vorticidadque esténenlazadosseguiránsiempreenlazados. Lord Kelvin como muchosotros, estababuscandouna teoría de la materiaelemental.La traducciónde Tait del trabajode Helmholtzso- bre la vorticidad le supusouna poderosainspiración. En 1868; propuso un modelo [5]en el cuallos átomoserannudoso enlacesde las líneasde vorticidaddel “éter”, un medio fluido idealelásticoen el cualsesuponía que estaba“sumergido” el Universo, a los que aplicó los teoremasde Helmholtz. Kelvin comprendió,en una combinaciónconsiderablede perspicaciamatemáticae intuición física, quetalesnudosy enlacesde- Jbían ser extremadamenteestables,como lo es la materia. Por otro lado,las múltiplesformasen quelas curvassepuedenenlazarunascon otras, o bien autoenlazarse(anudarse),ofrecíanuna explicaciónpara Jla gran variedadde elementosquímicos. Incluso el éter, que rodeaba a estaslíneasde vorticidad, podría teneruna topologíacompleja,con agujerosvacíosy canalescerradosinaccesibles.Kelvin escribíasobre estocon un entusiasmoincreíble,describiendoen gran detalle las im- plicacionesfísicasque tendríaun étertopolégicamentecomplejo [6, 7]. Desdenuestraactualperspectiva,podemosañadira la estabilidady la variedadotras dos importantescualidadesde la materia,no conocidas en el tiempo de Kelvin. Una es la transmutabilidad,la habilidad de los átomosparaformar otros de tipo diferentepor efectode reacciones J nucleares,que podría relacionarsecon la ruptura y reconexiónde las líneasde vorticidad. La segundaesel espectrodiscretode la energía atómica,quees unacaracterísticade lasconfiguracionesno triviales de los camposyectoriales. La idearevolucionariade Kelvin, es decir, la descripciónde la física fundamentala través de propiedadestopológicas,no sólo motivé los primerosestudiossobrela existenciay estabilidadde los enlacesde las líneasde vorticidad, sino estimuléel interésde muchosde sus distin- J guidos colegasy amigos. Aunque Tait no tuvo éxito en la búsqueda experimentalde anillos de vorticidad enlazados,el modelo de Kelvin J J j 3 le impulsó a escribirla primera tabla de nudosy enlaces,similar a la modernatabla periódicade los elementos.Su clasificación,repletade bellezae intuición, es una de las piedrasangularesdel nacimientode la topologíamoderna[8]. Incluso, influido porel interésde Maxwell en los trabajosde Gaussy Listing;Tait traté, en 1876, de medir por medios electromagnéticosalgunaspropiedadestopolégicas,comoel númerode enlace.Algunasde lasconjeturasdeTait respectoa laspropiedadesde los nudosy los enlacesfueron, muchotiempo después,rigurosamente refrendadas.Sin embargo,a pesarde su interéscientífico, el estudiode los nudosy los enlacescayóen el olvido pormuchotiempo. Ha-sido,de nuevo,suinterrelaciéncon la físicalo queharelanzadoestaramade las matemáticas.Entre estasnuevasaplicacionesde la topología, por su importanciaha de destacarsela construcciónde lo que se conocecomo teoríascuánticasde campostopológicas[9]-[15],como,entreotros, ha propuestoEdwardWitten, que puedeabrir el camino a unacompren- sión másprofundade la físicacuántica. Aunqueel sueñode Kelvin no tuvo continuidad, seguramenteen gran partedebidoa la falta dedesarrollotanto de la topologíacomode la fenomenologíaatómica(noobstante,existenimportantesanalogías con la modernateoríadecuerdas),sutrabajo fue básicoen el desarrollo de los métodostopológicosen mecánicade fluidos [16]. En 1969, un artículode HenryKeith Moffatt [17]estableciónuevasconexionesentre fluidos idealesy topología,basándoseen la interpretación,en función de nudosy enlacesde las lineasde vorticidad del fluido, de un nuevo invariante del movimiento del fluido ideal, conocido como helicidad, y que se define como la integral del productoescalarde la velocidad y la vorticidad. De esteinvariante,y especialmentede sus aspectos electromagnéticos,sehablaráen los capítulos2 y 3 de estamemoria. 1.2 La topología del electromagnetismo: líneas de campo Las líneasde fuerza,tantoeléctricascomomagnéticas,eranmuy reales paraMichael Faraday,el científico que propusopor primeravez la idea decampo.Desdesu puntodevista, forjadoen muchashorasde trabajo J 4 en el laboratorio,estaslíneasteníanqueser tangiblesy concretas,pues los experimentosindicabanclaramenteque algomuy especialocurríaa lo largo de ellas,un tipo de perturbacióndel espaciodeuna naturaleza que aún habíade ser comprendida[18]. El punto de vista de Fara- day se mantuvoduranteuna buenapartedel Siglo XIX, como puede conuiprobarsepor los muchosintentos de explicar las líneasde fuerza en términos de las líneasde velocidady de vorticidad del éter. Du- ranteun largo tiempo, los fenómenoselectromagnéticossesupusieron manifestacionesdel movimientodel éter,que podríasereventualmente comprendidograciasa los avancesen mecánicade fluidos que hemos J comentadoen la secciónanterior. De acuerdocon esta opinión, las líneas de fuerzaestabanasociadasa partículasdel éter, y tenían,por tanto, la realidadde la sustanciamaterial,aunqueéstaeradeunaclase muy especial. El propio JamesClerk Maxwell estuvode acuerdocon estainter- pretaciónde las lineas eléctricasy magnéticas[19, 20, 213 (y, como ya se ha comentado,con el modelodel átomo de Kelvin), pero luego cambió de opinión, al escribir su monumentalTreatise on Electricity aud Magnetism[223,tras el cual, debidoal desarrollodel álgebray la geometríadiferencial, las líneasde fuerzafueron relegadasa segundo plano, siemprepor detrásde los conceptosde tensorelectromagnético y cuadripotencialvector. Sin embargo,más que ningún otro, Maxwell percibió las implicacionesfísicasde la topología. El mismo prólogo de su Tratadoestáempapadode ideastopológicas,y de reconocimientoal trabajo de Faraday: Faradayvisualizabalíneasde fuerzaque atravesabantodo el es- pacio dondelos matemáticossólo veíancentrosde fuerzaque actuaban J a distancia; Faraday veía un medio dondeellos sólamenteveían dis- tancia; Faradaybuscóla fuentede los fenómenosa partir de acciones realesque sellevabana caboen el medio, mientrasaquéllosquedaron satisfechoscon haberlaencontradoen el poder de acción a distancia presenteen los fluidos eléctricos.” JMaxwell desarrollélas ideasoriginalesde Listing respectoa las re- gionesmúltiplementeconexas,paraestudiarla relaciónde la electrici- dady el magnetismocon las fuerzasy los potenciales.Se dió cuentade J que, si expresabauna fuerzalocalmenteconservativacomo el gradiente de una función potencial, entoncesesa función estaríabien definida J J j 5 (seríaunivaluada)sólamentedentrodeunaregiónsimplementeconexa. Además,por otro lado, ofreció un excelenteejemplosobreun casopar- ticular de la fórmuladeenlacede Gaussparatubosmágnéticosenlaza- dos, en el capítulodedicadoal magnetismo. Actualmente,esunaopinión generalizadaqueel estudiodel campo electromagnéticorequiere consideracionestopológicas,espacialmente paraesclarecerciertaspropiedadesqueseobservanenlos experimentos. Algunos ejemplosde estehechoson el efecto Aharonov-Bohm[23, 24] y el efectoHall cuántico[25,26]. Aún así, la riquezade la topologíade las líneasde campo,en función de susposiblesnudosy enlaces,está, en granparte,por explorar. 1.3 Modelos topológicos Tambiénesconsiderablela crecienteapariciónde modeloscon leyesde conservaciónde origen topológico. El motivo que subyaceen muchos de estastentativasmanerasde estudiode los camposfísicos estáen la posibleeliminación de algunosde los problemasexistentesen la física cuánticaa travésde la no linealidad de las ecuacionesclásicas,nece- sariapara tenercargastopológicas. El más simple de estosmodelos es la ecuaciónseno-Gordon,en donde la ley de conservacióntopoló- gicasebasaen el grado de una aplicaciónde la circunferenciaS’ en sí misma, que essiempreun númeroentero.La extensióndel mecanismo de obtenciónde cargastopológicasde la ecuaciónseno-Gordona tres dimensionespermitió la construccióndel llamado modelo de Skyrme [27,28, 29, 30], en el cual existensolitonestopológicosy corrientecon- servada,cuyacargatoma valoresenterosigualesal gradode unaapli- caciónentreesferastridimensionales.Como el propio Skyrme explica (31], tenía tres motivospara proponertal modelo: unificación renor- malización,y lo que llama “problemade los fermiones”. Su skyrmion, es decir, el solitén básico del modelo, seríaun bosónfundamentala partir del cual seformaríantodaslas partículas,y, ya que todateoría topológicaha de serno lineal, existiría la posibilidad de eliminar los infinitos de la teoríacuántica. En estecontextose enmarcala aparición,en 1989, de un modelo topológico para el electromagnetismo,debido a Antonio Fernández- 6 Rañada,basadoen la dinámicade las líneasde campo eléctricasy magnéticas,y cuyascantidadesbásicassondoscamposescalarescom- plejos, a los que se les suministracontenidotopológico a travésde las compactificacionesde sus espaciosde partiday de llegada,y también Jde las ecuacionesno linealesque obedecen.El estudiodel electromag- netismoa travésdeestemodeloponedemanifiestociertaspropiedades topológicasde las ecuacionesde Maxwell en el vacio,que puedenresul- tar interesantespara la mayorcomprensiónde algunosaspectosde la cuantizacióndel campoelectromagnético. J J J J Capítulo 2 La helicidad de un campo vectorial 2.1 Introducción. Objetivos del capítulo En estecapítulo quiero recopilarlos resultadossobrela helicidad que luegosenecesitarána lo largode estamemoria. Respondeestoa que, tanto en el modelo topológico que se presentaen los capítulos4 y 5, como en sus aplicacionesa la física macroscópica,que veremosen el capitulo 6, aparecela helicidad como protagonistainesperada,en el primer casocomo cargatopológicamenteconservadadel modelo y en el segundocomoresponsablede la efectividadde la botellamagnética que mantieneel plasmaconfinado. Perola helicidadde un campovectorialsolenoidalno es, ni mucho menos,una cantidadnuevaen física. Fue usadapor primera vez por Woltjer, en 1958 [321,en relacióncon plasmasastrofísicos.Moreau[33] (ver también [34]) probé la conservaciónde estacantidadparaciertos flujos en dinámicade fluidos, y percibió, en unanotaa pie de página, su significadotopológico, pero fue Moffatt [17]quien acuñóel término helicidad y reconoció por primera vez este significado. Desdeaquel momento,la helicidadhaestadopresenteen todotipo decontribuciones sobre plasmas,dinámicade fluidos y electromagnetismo,ademásde artículosmás matemáticosreferidosa su significadotopolégico. Estacantidadde información,encontextosamenudotandiferentes, 7 8 hacenecesariauna unificación de las notacionesy los resultados,de maneraque seclarifiquenparasu usoposterior. Esteesel objetivo de las secciones2.2, 2.3 y 2.4 de estecapítulo. En la sección2.2 presento la helicidadde un campovectorialsin divergenciay estudio,demanera especial,la inváriancia “gauge” y temporalde la helicidadmagnética. J Los resultadossobrelas condicionesde invariancia “gauge” motivan la sección2.3, dedicadaa la relaciónentrehelicidady topología,el aspecto Jque máspretendoresaltaren la parterecopilatoriadel capítulo (y que menosclarome pareceen muchasde las referencias,debidosin dudaa queautoresdiferentesusandiferentesnombrespffra el mismoconcepto, y a vecesel mismonombresignificacosasdistintasparacadacual). La sección2.4, sobrelas aplicacionesfísicas de la helicidad, respondeal doble objetivo de dar un breve vistazo a aspectosque no volveré a tocary de establecercierto nexo con el capítulo6. 2.2 Definición de la helicidad En estasecciónse introduce la helicidad en el sentidogeneral,para Jtodo campovectorialsin divergencia.Los ejemplosfísicos másusuales son el campo de vorticidadde un fluido y el campomagnéticoen la teoría de Maxwell. El primero nos da una visión intuitiva del con- tenido dinámicode la helicidad a travésdel teoremade Chasles,pero nuestrointerésestáenel segundo.Tras introducir las unidadesy nota- cionesque usaremosparael campoelectromagnético,noscentraremos J en doscuestiones:la invarianciatemporaly la invariancia“gauge” de la helicidadmagnética. El problemade las transformaciones“gauge” Jen dominios múltiplementeconexos, que serábrevementevisitado a través de un ejemplo, nos indicará la necesidadde estudiarcon más profundidad la topologíade las líneasde campoy su relación con la J helicidad,motivandolo que serála sección2.3. 2.2.1 Definición J SeaX(r), r c D, un campo vectorial real, definido en una variedad tridimensionalD, es decir,X es unaaplicación (2.1) J j 9 Decimos que X es un camposolenoidalo sin divergenciacuandose cumpleque 7 . X = 0. En tal caso existe,al menoslocalmente,otro campovectorial en D, llamado potencialvector Y(r), de tal manera que X = 7 >< Y. Paraver si el potencialvectorestádefinidoglobalmenteen D, hemos devisitar la cohomologia real de las variedadesen las queestádefinidoel campovectorialsolenoidal[35,36, 37]. Los resultadossobrelos grupos de cohomologíaseránutilizadosa lo largo de todala memoria,así que esconvenienteresumirlosaquí. Asociamos a X una 2-forma diferencial real X, definida en D. En este contexto,X es solenoidal cuando la derivada exterior de X es cero, dX = 0, o lo que es igual, X es una forma cerrada. La igualdadX = 7 >< Y es equivalentea que X sea una forma exacta X = dY, dondeY esuna 1-forma en D. Sea Zr(D) el espaciode las y-formas cerradasen D, y Br(D) el espaciode las y-formas exactas. Claramente,todas las formas exactassoncerradas(dd = 0), así que nr(D) c Zr(D), pero el recíprocono escierto en general. El espacio cocienteHr(D) = Zr(D)/Br(D) se llama r-grupo de cohomologíade la variedadD. Por tanto, para que toda y-forma cerradaseaexacta se ha de cumplir que Hr(D) = 0. Esto es cierto cuandose cumplen las condicionesestablecidaspor el lema de Poincaré basadoen el más general teoremade De Rham. Aunqueno entremosen ello, podemos cIar el resultadoparalas formasque nos interesan.Es el siguiente. i) Si r = 1 y D es una variedad simplementeconexa, entonces H1(D) = 0. Una buenaregla, aunquesólo intuitiva, para calcular el primer grupo de cohomologíade una variedad D es pensaren la dimensiónde 111(D) como el númerode “agujeros” dela variedad,pero hay queclarificar lo que seentiendeaquípor “agujero”. Por ejemplo, si D = — {0}, es decir, D es el plano real al que le quitamosel origen, ocurre que H1(R2 —. {0}) = R, que tiene dimensión 1. Sin embargo,H’(R3 — {0}) 0. En el primer caso,al quitar el origendel plano R2, todacurvacerradaque rodeeal origen no sepuedecontraer de maneracontinua a un sólo punto, porquehay un agujero. En el segundocaso,dado que estamosen R3, podemos“saltar” el origen al contraerla curvacerrada,asíque un sólo punto no es un agujeropara en estecontexto,sino que serequiere, al menos,eliminar todauna línea cerradaparatenerun agujerode R3. 10 u) Si r = 2 y todasuperficieesféricainterior a D sepuedecontraer de maneracontinua a un punto, entoncesH2(D) = 0. Para y > 1 es muy útil la fórmula de recurrenciaHr(Sn) = Hr—l(Rn — {o}) = Hr—l(sn—í). Por ejemplo, H2(S2) — H’(S’) = R. iii) En los casosde uso más corriente en los que D es o tenemosque Hr(Rn) = O paray ~ 0, y Hr(Sn) = 0 para1 < r < u. Sedefine la helicidaddel camposin divergenciaX(r) en D como la integral h(X,D)=JX.Y d3y .- (2.2) En lo quesigue,a menudoescribiremosh(X), o simplementeJi, siempre que no existaposibilidadde confusión. Tal como está, la definición (2.2) de la helicidad de X depende explícitamentede la eleccióndel potencialY. Si Y es un potencial vector del camposin divergenciaX, entoncesel potencialY + Vf es también posible, dado que 7 x Vf = 0. Las condicionesbajo las cualesla helicidad esinvariante “gauge”, esdecir, no cambiafrentea estasposibilidadesde eleccióndel potencialvector, seráninvestigadas al final de estaseccion. Otra cuestióna señalares la posibilidad de que el campo vectorial real X dependadel tiempo. En estecaso la aplicación(2.1) sepuedetomar como X:DxR—+R3 (2.3) y, en general,la helicidad (2.2) dependerádel tiempo. Evidentemente, en los casosmás útiles las ecuacionesde movimiento de X implican, como veremos,que no se dé estadependenciade la helicidad con el tiempo. Existendoscontextosfísicos, a menudorelacionadosentresí, en los cualesla helicidad (2.2) haresultadoespecialmenteútil: i) En mecánicade fluidos, si identificamosY con la velocidaddel fluido v(r, t), y X con la vorticidadw = 7 x y, tenemos h(wD)=Jv.w d3r , (2.4) llamadahelicidad de vórtices. J 4 11 u) En física del plasmay, en general,enelectromagnetismo,esmuy comúnla helicidad magnética h(B,D) = JA B d3r (2.5) Si bien es necesarioespecificarque el significado de la helicidad (2.2) estáíntimamenteligado a la topologíade las lineasde campode X, cuestiónque trataremosen la sección2.3 de estecapítulo, no es menos cierto que ya podemosestableceralgunaspistas que motiven su posterior estudio. Por ejemplo, es conocidoque el rotacional de un vector mide su rotación alrededorde cadapunto, de modo que la cantidadX . Y esunamedidade la rotacióndeY alrededorde sí mismo y, por tanto, la helicidaddeX dacuentadel trenzamientoo rizamiento relativode las líneasde campode X y de Y [38]. Paraexplicaresto mejor, es útil mirar desdeel punto de vista de la helicidad de vórtices (2.4). El movimiento de algún elementode volumen dV de un fluido es una superposiciónde una deformación pura, una traslaciónuniforme de velocidady y una rotaciónde tipo sólido rígido cuyavelocidadangularestárelacionadacon la vorticidad, puesesw/2 [39]. En el movimiento tipo sólido rígido podemosaplicar el teoremade Chasles[40, 41, 42]. Estenos dice que estemovimiento sepuedever como una traslaciónseguidade una rotación, de manera que el eje de rotación seaparalelo a la traslación. Como resultado, el movimiento es de tipo helicoidal o de tornillo. La cantidady . w es constanteen los puntos del elementode volumen dv, y mide este atornillamientodel movimiento. En consecuencia,la cantidad(2.4) es la sumadel atornillamientode todos los elementosde volumen del fluido. 2.2.2 La helicidad magnética: condiciones de in- variancia temporal La teoría de Maxwell del electromagnetismose define en un espacio cuadridimensionalde tipo minkowskiano D x R, donde D será una variedadtridimensional,que tomaremoscomo o algúnsubconjunto de R3. Antes deentraren cuestionessobrela helicidad, repasemoslas unidadesy notacionesque seutilizarán. 12 J Emplearemoslas convenciones[43] = (y0, y) = g[Wvv , v~ = (u0, —y) = , (2.6) para todo cuadrivectorv~ en el espaciode Minkowski, dondeel ten- sor métrico g,,._ — gf”> es la matriz diagonalcon elementosno nulos (1, —1, —1, —1). Para las derivadascon respectoal cuadrivectorde posiciónt = (ct, r), usaremosla notación Of - (2.7) Aquí, c es la velocidadde la luz, de maneraque todaslas ¿yTM tienendi- mensionesde longitud. Generalmente,seusaránletrasgriegasparalos J índicesespaciotemporales(0,1,2,3),y letraslátinasparalos índicespu- ramenteespaciales(1,2,3). Además,exceptodondeseespecifiqueex- plícitamentelo contrario,se emplearála convencióndesumade indices repetidos. Como unidad de acción, tomaremosla constantede Planck normalizadah, tan buenacomo cualquierotra parauna teoría clásica decampos.Con estasespecificaciones,podemosya definir las unidades naturales, que se emplearánen esta memoria, como aquellasen las cualesJi = c go = eo = 1, donde Po y Co son, respectivamente,la permeabilidadmagnéticay la constantedieléctricadel vacío. En términos del cuadripotencialvector ATM = (A0, A), la acciónde Maxwell-Lorentzparala electrodinámicaenpresenciade un cuadrivec- tor corrienteeléctricajP(x) se escribe Aeim J (jFpv(x)FPV(x) + A~}~)JP(~)) d4x , (2.8) dondeel tensorantisimétricode intensidaddel campoelectromagnético J~ estádefinido a partir del cuadripotencialATM como = O~A~ — O~A~ , (2.9) (la convenciónde signosno esuniversal).Lasecuacionesdemovimiento de Lagrangeparala acción(2.8) son (2.10) 13 y además,sesatisfaceidénticamentela igualdad ¿PURCa F~~0 , (2.11) sin másque introducir ATM. La cantidad~ es el tensor totalmente antisimétrico,que definimos a partir de la condición~ol2s = 1, y cuyos indicessubeno bajancon la métricadel espaciode Minkowski g~”’, así que, por ejemplo, ~Ú123 = 1. Las ecuacionesanteriorestienen una contrapartidaen funcióndecantidadestridimensionales,4uedenotare- mos con letras en negrita. Así, se definenlos camposvectorialestridi- mensionaleseléctrico, E~ = FIO, y magnético,B, = tEijkFJk, donde 6ijk = 6ijk esel tensorcompletamenteantisimétricoen la variedades- pacial tridimensionalD, con métricaeuclídea(nótesela diferenciacon ¿pupa). En función de A” = (A 0, A), tenemos DA E=- -VA0 B = VxA, (2.12) de forma que las ecuaciones(2.10) quedan VE=j0, (2.13) DE Ot y las identidades(2.11) son VB =0, (2.14) OB VxE+—=0. Ot Los camposelectromagnéticosdefinidoscon estanormalizaciónse dice que estánmedidosen las unidadesde Heaviside-Lorentz~ Las ex- presionesde los camposeléctrico y magnético(2.12) son invariantes frentea las transformaciones“gauge” A~(r, t) —. A~(r, t) + O~A(r, t) , (2.15) paracualquierfunción A definidaen D >< R. 14 Dado que B = V x A, sedefine la helicidadmagnéticacomo hmJA.B d3r . (2.16) Si usamoslas derivadastemporalesde los camposA y B que,a partir de (2.12) y (2.14) son DA — -E—VA0 Dt OB — —V x E, (2.17) encontramosla evolución temporal de la helicidad magnética(2.16), Jdadapor la expresión OID d3r=~2JE.Bd3r~j(A0B+EXA).ndS, (2.18) donden esun vectorunitarionormalexteriora la superficieOD frontera de D, y dS es el elementode áreade esa superficie. Analicemoslas condicionesde invariancia temporal de la helicidad. En primer lugar, que la integral superficialdel lado derechode (2.18) seanuledepende de las condicionesde contornode los campos. Por un lado, es norma comúntomar B n = O en OD, lo que indica que el campomagnético no escapadel dominio en queestamoscalculandosu helicidad. Estoes lógico, ya que,como severá,la helicidadtiene quever con la topología de las líneasmagnéticas,así que no queremosque se “escapen” de la zonade cálculo. Por otro lado, sepide queel sistemaseacerrado(esto es, E = O en OD, ninguna acción atraviesala frontera de D) corno ocurre,por ejemplo, cuandoOD esun conductorperfectoen equilibrio con la radiación, o cuandoD es todo el espacioreal tridimensional, cuyafronterasetoma idealmentecomo algunasuperficiebidimensional en el infinito (por ejemplo, un cubo de lado infinito, una esferade radio infinito, o un cilindro de altura y radio infinitos), y exigimosa los camposquela energíatotal seafinita, esdecir, seescogencampostales que se anulanen OD. Esto significa que D es un dominio compacto, puestodoslos puntosdel infinito deD, dominio de definicióndel campo magnético,se aplicanen un sólo valor de B, quees el cero. Cuandose ~1 15 necesite,sehablarámásdeesteaspecto.En estascondiciones,el único requerimientoparala conservaciónde la helicidadmagnéticaes ¡ E~B d3y=0 ~ O~m— 0~ (2.19) JD Di La condiciónE . B = O es una ecuacióninvarianteLorentz, esdecir,el valor de la cantidadE . B, en un campoelectromagnético,no cambia frenteal conjunto detransformacionesqueconstituyenel llamadogrupo propio de Lorentz. Los camposelectromagnéticosque la cumplen se llaman campossingulares,puesen ellos la matriz ~ essingular, en el sentidoque Det(F~V) = 0 (2.20) En muchasreferenciasmatemáticas,estos camposse conocencomo degenerados(estosedebeal teoremade Darboux,del que hablaremos en el capítulo 4), y en física es muy comúnel nombrede camposde radiaciónparaellos. A lo largo de estamemoria,me referiré a campos singularescomoaquellosque cumplen (2.20). La condición (2.19) es másdébil que E . B = 0. De hecho,existe un ejemplomuy importantedeconservaciónde la helicidaden campos no necesariamentesingulares,que es el caso de las superficiesmagne’ti- cas [45, 46, 47]. Las lineasde campomagnéticasse definencomo las trayectoriasx~ = r~(i-) del sistemadinámico drQr) = B(r(r), t) , (2.21) dr para cadainstante t. Respectoal sistemadinámico (2.21), cabendos posibilidades:que no tenganingunacantidadconservada,en cuyo caso esno integrable,o bien que tengadoscantidadesconservadas,en cuyo casoesintegrable.Se puededemostrarque, si tiene unacantidadcon- servada,entoncestiene unasegunda.Supongamosqueel sistema(2.21) es integrable,asíque tienedoscantidadesconservadas,a(r,t) y y las líneasmagnéticasson las interseccionesde las familias de super- ficies a(r, t) = constante,/3(r, it) = constante,queestascantidadesde- finen. Estassuperficiessellamansuperficiesmagnéticasdel campoB, y, comoseha dicho, sepuedendefinir siempreque el sistemadinámico J J 16 (2.21) seaintegrable. Por ser a una constantede movimiento, setiene da Oa di2que (2.22) y análogamentepara fi. De0” di- Jaquí se sigue que B es ortogonala los gradientesde las cantidadesa y fi, así que sepuedeescribir B = F(r,t) V/3 $< Va . (2.23) Aplicandola condición solenoidalde B, seobtieneentonces B=F(a,fi)V/JxVa . (2.24) El campo magnéticodefine las componentesFu del tensor Fa,,. La covarianciade estetensorobliga al campoeléctrico a tenerla forma (Da 0/3 \ o E=F(a, fi) y-g--VÑ—ftVa) VA , (2.25) para algunafunciónA0 de las coordenadasdel espacioque no depende del tiempo. La integral de E . B resulta,entonces, ID d3r=~JV(AÚB) d3r=~j A0Bn dS=0 . (2.26) J Nóteseque A0(r) ha de ser una función univaluadaparaque se pueda aplicar el teoremade Stokesen el último pasode (2.26). Además,es necesariala condiciónB n = 0 en OD, lo cual indica que la superficie OD es, dehecho,unasuperficiemagnética.En el capítulo4, sehablará J mássobrelas superficiesmagnéticas. 2.2.3 La helicidad magnética: condiciones de in- J variancia “gauge” El significadode las transformaciones“gauge” en la helicidad ha sido estudiadorecientementepor Marsh [48, 49, 50, 51], demostrandola importanciade las consideracionestopológicasal tratar con campos vectoriales. En esteapartadoseresumenlas característicasbásicasde esteestudioa travésde un ejemplo. J J ~1 -J 17 La helicidadmagnéticaintroducidapor unatransformaciónde tipo 6A(r, it) = —VA(r, it) es drID JDk> d3r . (2.27) Supongamosprimero que D es un dominio simplementeconexo. En estecaso,recordandolo que hemosvisto sobreel lema de Poincaréal principio de estasección,el grupo de cohomologíaH’(D) estrivial y, consecuentemente,dadoque V x VA = 0, ocurre que A estádefinida effD de formaglobal (esuna funciónunivaluada).Por tanto,sepuede aplicarel teoremade Stokesa la última integral de (2.27), y resulta &hrn~jf ABn dS =0, (2.28) Es decir, la helicidadmagnéticaes un invariante“gauge”, con lascondi- cionesdecontornousuales,B n = GenOD, paradominiossimplemente conexos. Pero,¿y si el dominio espacialD no es simplementeconexo? Las consecuenciasde estehechopuedenextraersea partir de un ejemplo. SeaD el espaciointerior deun toro, de tal maneraqueOD, la superficie del toro, esunasuperficiemagnética.Comoexistenlíneascerradasque recorrenel interior de un toro talesque no se puedencontraera un punto (todasaquellasparalelasal eje del toro, por ejemplo), D no es un dominio simplementeconexoenestecaso,y estosereflejaenque, al aplicara (2.27)el teoremade Stokes,hemosde contar con un término de “corrección”. Así, (2.28) cambiaa 3hrnr~j ABn dS —j[A]B.n ciS, (2.29) donde S~ es la superficiede cortedel toro que se necesitaparaque f seaunivaluada(figura 2.1), y [A] esel “salto” de A en S~, esdecir, si el valor de A en cadacarade la superficiede corte Si esA(+) y entonces[A] = A(±)— A(—). Si eliminamosla superficieSi, entonces nuestrovolumenestopológicamenteequivalenteal volumen interior de un cilindro. En estecilindro, la integral de VA a lo largo de cualquier curva cerradaes cero, de maneraque A es univaluadaen el cilindro. De estamanera,todas las “patologías” introducidaspor la condición j J 18 J J 5, J Figura 2.1: El volumen del toro D, con la secciónde corte necesaria paraque A seaunivaluada,y unatrayectoriacualquieraparael cálculo de [A]. multivaluadade A quedanatrapadasen la superficieSi y el valor de [A]. Dadoque OD es una superficiemagnética,la primeraintegral del lado derechode (2.29) esnula, o sea que nosqueda 6hm~j[A]B.n dS . (2.30) Veamoscómo calcularestaintegral [52].Paracalcular[A], necesitamos una trayectoriade integraciónque recorrael toro, tal como 0 en la figura 2.1, y que cortea S~. En general,paradospuntosPi y P2 en la diferenciaen el valor de la función A es fP2 A(p2) — A(pí) =jVA . dr . (2.31) Si la trayectoriade integraciónes cerraday no cortaa la superficieSi, J (2.31) escero,con Pi = P2, como hemosexplicadoalgomásarriba,pero si la trayectoriacortaa S~, como es nuestrocaso,tenemos [A] = ¡VA. dr = A(+) — A(—) # O . (2.32) Demostremosahoraque[A] esconstanteen S~, esdecir, que podemos J tomar cualquier trayectoriaO y sacar[A] fuerade la integral (2.30) J J J 19 Figura 2.2: El circuito usadoparademostrarque EA] esconstanteen la superficiedecorteSí. Paraello, tomemosdos curvasCi, 02 que recorranel interior del toro una vez, cortandola superficieS~, y dos arcosque conectenestasdos curvaspor encimay por debajode Sí, a unadistanciainfinitesimal de estasuperficie(figura 2.2). Vamosa integrarVA a lo largo de la trayec- toria cerradaresultante.Las contribucionesde las conexionesen cada carade $ secancelan,de forma que, por el teoremade Stokes(apli- cablefuera de Sí)~ podemosreemplazarla integralen estatrayectoria por la integralde V z (VA) sobrela superficieencerradapor Ci — 02, que es nula. De aquí, la integral de VA en 01 esigual a la de 02, y por tanto [A] esconstanteen S~, estoes, A(+) — A(—) no dependedel punto enque secalcula. Así, (2.30)nos queda c5hrn = —[A] jn n dS = —[A]4T , (2.33) donde ~y es el flujo magnéticoa través del interior del toro, que es independientede la secciónS~ usadapara calcularlo porque OD, la superficiedel toro, es una superficiemagnética(B n = O en ¿3D). Dado que podemosescogercualquier trayectoriade integraciónpara calcular [A], tomemosparaO la frontera de S2, que es el agujerodel 20 donut”. El resultadoes tl2rn~WbTf VAdr . (2.34) J El resultado(2.34) indica que la no trivialidad del dominio espacial Jde definición del campomagnéticocausano trivialidad en la helicidad introducidapor una transformación“gauge”. Paracomprenderel sig- nificado físico de esteresultadohay que teneren cuentalo que ocurre J fueradel toro. Supongamosque existeun campomagnéticqBext que es no nulo sólamentefuera del toro D, es decir, en — D (un estudio de las condicionesbajo las cualesestaelecciónesposiblesedaen [53]). Dentro del toro D ocurre que~ = 0, de modo que podemosescribirB~, = —V >< VA, en D. El flujo magnéticodel campo~ a travésdel agujero del donut es ~2«fBext.n dS (2.35) que no es nulo porque,de hecho,existeel campo~ fuera del toro Pero,segúnél teoremade Stokes el flujo (2.35) esigual a la circulación jdel potencialvectora lo largo dela curvacerradaque acotaS2, esdecir, ‘I’2 = VAdr . (2.36) Dado que el flujo ‘I’2 no es cero, la únicasalidaesque A no seauna función univaluadaen D. La ecuación(2.36) define una función A a partir del flujo ÉL2. Consideremosahoraque existetambiénun campointerior a D, que llamaremosB, tal que se anulafuera de D, y sea ¿3D una superficie magnética.En todo el espacioR 3, existeun campoB~ 0, = Bext + B, donde B6~~ se anulaen D, y B se anula fuera de D. La helicidad magnéticadel campo~ calculadasólo dentro del toro, es igual a Jla helicidaddel campointerior E masun término que,desdeel punto de vista del interior del toro, se debea una transformación“gauge” de función A multivaluada,definida por la condición (2.36). Según nuestroestudiode estetérmino “gauge”, la helicidad introducidapor la transformación“gauge” era (2.34), que, usandola expresión(2.36) se puedeescribir como c5hm = ‘bT(B) ÉL2(B~~~) = ÉLT(Bt0t) ÉL2(Bt0,) . (2.37) J 21 El equívocoestá,entonces,en la suposiciónde que el campomagnético exterioraD no influye en la helicidaddentrodel toro, y es precisamente la ecuación(2.37) la que nos abrelos ojos: la helicidadpuedeser, en estesentido,no “localizable”. Por tanto, paraobtenerel resultadoco- rrecto sin considerarel comportamientoen la frontera,debemostener en cuentael campoexterioral toro. Si así lo hacemos,el dominio deja de ser múltiplementeconexo, aunqueestemoscalculandosólo la con- tribución del interior del toro (es decir, hacemosla integral en la región interior). La noción de “enlace de flujos” queasí aparecela volvere- mos a ver en la secciónsiguiente,al estudiarla topologíaasociadaa la helicidad. 2.3 Helicidad y topología de las líneas de campo El objetivo de estasecciónes demostrarque la helicidad de un campo solenoidalestádirectamenterelacionadacon la topologíade las líneas de campo, de tal formaquesólo unatopologíano trivial deestaslíneas en funcióndel conceptode enlace,puedeprovocarunahelicidadno nula. En primerlugar consideraréel casode configuracionesdecamposenci- lías, comosonlos llamadostubosfilamentalescerrados.Parasuestudio es indispensableun conocimientoa nivel básicode la topologíade las curvasespacialesen R3, esdecir,de teoríade nudos,y en especialdel invariantetopológicode enlace. Despuésde introducir brevementees- tos temas,separaréel estudiode lasconfiguracionesde campoen varios casos,relacionándoloscon diferentesmanerasde escribir el invariante de enlace. 2.3.1 Curvas espacialescerradas Un nudo orientadoen es unacurva diferenciablecerrada,que no se intersecaa sí misma y queadmite,en cadapunto, un vector tangente no nulo [54], cuyosentidonos da la orientacióndel nudo. Tales curvas se puedenexpresara travésdeecuacionesparamétricasr = r(t), ito _ J j 22 =t1, de dondela longitud 1 del nudo es ¡t1 dr Por denotaréla normaeuclídeaen R 3, ¡X¡¡ = X . X. Definimos el parámetronatural s como aquelen el cual el vector tangentetiene módulounidad, es decir, satisfacela siguienteecuacióndiferencial, que J lo defineen función decualquierotro parámetrot, ds (2.39) J dt Seadadoel nudoen funciondel parámetronatural,r = r(s), O < s < 1 alEn cadapunto de la curvase puedeelegir un triedro ortonormal [55], formadopor el vectortangentet = dr/ds (que tiene módulo 1), el vec- tor normalprincipal n, definido comoel vectoraceleraciónnormalizado J (que es ortogonalal vector tangentesi el parámetrode la curvaes el natural), y el vectorbinormal b = t x n. Estostresvectoressatisfacen allas ecuacionesde Frenet, dt dn db —=—ct—rh, —=--rn, (Z40) dScn~ ch ds J dondec(s) y ~-(s) son, respectivamente,la curvatura y la torsión de la curva. Especialcuidadoseha de tenercon los puntos de inflexión (aquellosque tienen curvaturanula), ya que, si c(so) = O, puedenno estardefinidaslas cantidadesw(so),n(so),b(.so). Una cadena(orientada)en es un conjunto de dos o más nudos J sin puntos en común, esto es, tales que su interseccióndos a dos es nula, pero que puedenestarenlazados. En teoría denudos[56, 57, 583, serepresentanlas curvasespaciales J mediantediagramasplanos,queson proyeccionesen el planodel papel. Es claro que un nudo o una cadenatienen infinitos diagramasplanos posibles,dependiendode la direcciónde proyección. En general,enun diagramaplano,existiráncrucesdecurvas,quesellamanvértices.Para diferenciarel segmentoque pasapor encimadel que pasapor debajo alen un vérticede un diagramaplanose usala típica técnicade “cortar” el de debajo. al -j 23 Figura 2.3: Reglade signos en los puntos de crucede los diagramas planosde los nudosy cadenas. Las orientacionesde lascurvasen los diagramasplanosvienendadas por flechas. De la mismamanera,cadavértice p en el diagramatiene una orientacióndeterminadapor un signo a(p) que se calculacon la reglade la manoderecha(figura 2.3). Dadoun diagramaplano, sedefinesu numerode cruce VV como la sumade las orientacionesdesus vértices, VV = Z< B(r’)) ~ LS-’ d 3r . (2.46) Consideremosahorala especialsituación en la cual B es ceroexcepto en dos tubos filamentalescentradosen deslíneasmagnéticascerradas orientadasno autoenlazadasC y C’, que sí puedenestar enlazadas entre sí (figura 2.7). Las seccionesde los tubos filamentalestienden a cero, pero tienen intensidadesno nulas 3~, 549, respectivamente. Además, debemossuponerque, dentro de cada tubo filamental, las líneasmagnéticassoncurvasque secierrandespuésde dar una vuelta al tubo y corren paralelasa O y O’, respectivamente.En este.caso, paracadauno de los camposmagnéticosde (2.46) setiene8(r) d3r = (8 n dS)dr = d4 dr, de forma que la helicidad resulta(recordando que podemostenerlas dos situacionesr e O, r’ C O’ o bien r C O’, r’ E O, lo cual generaun factor 2) hm = 2½349(t / 0/~,(dr x dr’) Ir ‘¡¡3) (2.47) donde la integralentreparéntesisen (2.47) seconocecomo integral de Gauss. m a a 28 a a cf a O a Figura 2.7: Tubos filamentalesorientados,enlazadosperosin autoen- laces,que no presentancontribucióninterna a la helicidad. Se puedever que la integral (2.47) coincide con la definición de a númerode enlace (2.42), y espor tanto un entero[54, 35]. Paraello, consideremosla superficiecerradaorientadaen R6 dadapor a O x 0’ : (s, s’) v—+ (r(s), r’(s’)) . (2.48) Sea ahorala aplicación a f:CxC’ —~ 52 r(s) — r’(s’) (s, .s’) —. f(s, s’) = Ir(s) — r’(s’)j¡ (2.49) a que no se anulaporqueO y 0’ no tienen puntos comunes. Entonces, a el grado de f, que es igual al númerode enlaceL(0, 0’) por la cons- trucción (2.49), y que sedefine como el númerode imágenesinversas de cadapunto de la variedadimagen (en estecaso,S2) esun número a. enterodadopor la integralde Gauss. En consecuencia,la helicidad de dos tubosfilamentaleses,segúnla ecuación(2.47), Am = 2L(C, 0’) ú$ÉL 6ÉL’ . (2.50) En estecálculoesimprescindibleque cadatubofilamentaltengahelici- a dadnulapor sí mismo,y estoestáaseguradosiempreque, como hemos a a a 29 Figura 2.8: Dos tubos magnéticosenlazados,cadauno de los cuales fabricadocon tubos filamentalesno enlazados. dicho, las lineasmagnéticasen cada tubo no esténenlazadas.En el caso de tenervarios tubosfilamentalescerrados,la helicidad total será hmZZL(Ct,C3ÉLi3$j , (2.51) Jj-i L(C~, C~) es aquíel númerode enlacede los filamentosC~, Q. El resultado(2.50) se puedeampliar a tubos magnéticosde sec- ción finita con la condición de que, en cadauno de ellos, las líneas magnéticasno esténenlazadas,y que los mismostubos no esténau- toenlazados(ver la figura 2.8). Podemosconsiderarentoncesque cada tubomagnéticoestáformadoporun grannúmerode tubosfilamentales de seccióninfinitesimal. Así, cadapar de tubos filamentales(uno de cadatubo magnético)contribuyea la helicidad total en una cantidad dadapor (2.50), y al sumarsobretodos los paresresulta = 2L(C1,C2)4’1ÉL2 , (2.52) donde ~i, ÉL2 son, respectivamente,las intensidadestotalesde los dos tubos magnéticos,y L(C1, 02) es el númerode enlacede dos tubos flíamentalesrepresentantesde cadatubo magnético. al al al 30 al al al al al Figura 2.9: Un tubo filamental cuyo eje esel nudo trébol. J 2.3.3 La helicidad de un tubo filamental autoen- allazado y el teorema de Calugareanu La relaciónentreel invariantede enlacey la helicidad en un tubo fila- al mentalautoenlazadoha sido estudiadapor Mofl’att y Ricca [61,62, 63, 64], y Bergery Field [65],usandoparael tubo filamentalun modelo de cinta, J Buscamosuna expresiónpara la helicidad en un tubo filamental T construidoalrededorde una línea magnéticaO cerrada. Si el tubo Tec~§;:xi~ei?~:o2úces(ver la figura 2.9), entoncessu eje o presenta altorsión no nula, y tampocopodemosevitar tener en cuenta el torcimiento de las líneas magnéticasdentro del tubo. alDescomponemosel campomagnéticoen sus contribucionesparalela Ba y perpendicularBb a O en cadapunto, B = Ba + Bb. Cuandola secciónde T tiende a cero (de aquíla importanciade considerartubos alfilamentales)podemosadoptarun sistemade coordenadascilíndrico (p,8, z) cuyo eje z coincida con el nudo 0 en cadapunto, y suponer que los campossonde la forma al Ba = = Bo(p) 8 . (2.53) al Evidentemente,V Ba = V . = O, así que podemosintroducir al al al -4 U- 31 potencialesvectoresseparados,Ba = V x Aa, Bb = V x Ab, que escogemosen el “gauge” de Coulomb,V . Aa = V . Ab = 0. Las líneas magnéticasdeBb soncírculosno enlazados,asíque, pornuestroestudio previo (apartado2.3.2) ITAb B~ d3r = O , (2.54) y la helicidadtotal en el tubofilamentales = JAa Ba d3r +2IAa Bb d3y . - (2.55) Veamosprimero la contribuciónaxial ha (la primeraintegral del lado derechode (2.55),que sólo dependedel campoaxial). Formalmentees igual al casode dos tubos filamentalesenlazados,que ya hemosvisto, peroconun sólo tubo. Teniendoestoencuenta,obtenemosla expresión limite ha = ____ £ £ (dr x dr’). (r — ¡9) — (3ÉL)2VV , (2.56) 4w Pc iTc Ir — r’113 es decir, la contribución axial a la helicidad es igual al cuadradode la intensidaddel tubo filamentalporel limite de la integral de Gauss cuandolas dos curvastiendena uúa, limite que denotamospor 1V. Consideremosahorala otracontribuciónde (2.55), que es hb = 2IAa B~ d3y = 21A 0(p)BO(p)d 3y ‘ (2.57) pues,de las ecuaciones(2.53), Aa = Ao(p) O, donde íd—y- (pAo) = B~(p) . (2.58) Estudiandoel cambioen hb bajo un desplazamientovirtual 6T(s) del tubo filamental como consecuenciade variacionestc(s), 5r(s) en la curvaturay torsión de 0 [66], se puededemostrarque (el cálculo es largo, y no consideronecesarioreproducirloaquí,peroestáhechocon todo detalleen [62]) (2.59)= (&fl2 (1 + Yo) al al al 32 J dondeY es la torsión total de 0, normalizadaa 2w, y definida por T=¿ fr(s) ch, (2.60) y To es el númerode vueltasquecualquierlínea magnéticaquerecorra al la superficie del tubo T realiza alrededordel eje 0. Este número se conocecon el nombrede numero de tuerca intrínsecodel tubo T (he J traducidopor “tuerca” la palabrainglesa “twist”). En conclusión, la helicidad del tubo magnéticoes la sumade las contribuciones(2.56) y al(2.59), estoes, hm(6ÉL)2(VV+T+To) . (2.61) Para conocerla interpretacióndel resultado (2.61) hemosde ir a las J matemáticas,aconocerel teoremade Calugareanu[67, 68, 69, 70, 71]. SeaO unacurva diferenciablecerradaen R3, queno se intersecaa al sí misma, y supongamosque no tiene puntos de inflexión (puntos de curvaturanula). SeaN un vector unitario normal a 0, expresableen función de los vectoresnormal n y binormal b de la curva 0 (2.40) al como N=ncosa+bsina . (2.62) Definimoslos puntosde unacurva 0 1v paralelaaO como rp~ = r + eN, al donde r da los puntos de 0 y O < e « 1. Así, podemostomar O y 0N como los lados de una cinta cerradamuy estrecha. El teorema alde Calugareanu(o teoremade White, en muchostextos) dice que el númerode enlacede las curvasO y Cp¡ se puedeescribir como suma de tres términos no invariantes topológicos, pero con un significado geométricoclaro, L(C.CN) = VV(O) ±1(0) ±‘To(C,N) , (2.63) donde: ali) VV(O) es el numerode cruce espacial,en generalun número•real, definido por la forma límite de la integral de Gauss VV(O) = b 1010 (dr x dr’). (r — r’) al Ir — r’II~ (2.64) al al al -J 33 El integrandode (2.64) no diverge, debidoaqueel límite r—r hm r—~r’ Ir — r’II (2.65) estábien definido. Las caracteristicasprincipalesde la integral (2.64) son: dependesólo de la geometríade la curvaO; es invarianteconforme (bajo movimientosrígidos o dilatacionesdel espacioque contienea la cinta), pero su signo cambiabajo reflexión; si se pasadesdeun cruce por debajo a un cruce por arriba en algún diagramaplano de O su valor cambia en +2. Fuller [70] demostróqueVV(O) se puedeescribir como el promediodel númerodecruceW(O) “plano”, dadopor (2.41), sobretodoslos posiblesdiagramasplanosde O, VV = . (2.66) Es sencillo verificar, desdeestaexpresión,que, si O es unacurva con- tenidaen un plano, exceptopor pequeñossaltosen suscruces,entonces VV = VV, calculandoVV en el plano de la curva, pero es importanteno- tar queéstaes unasituaciónmuy especial,no generalizable. u) IT(O) es la torsión total de la curva, Y(O) = -i—f r(s)ds . . (2.67) De estafórmula, es claro que la torsión total no es un númeroentero. iii) To(O,N) esel númerode tuercaintrínsecoo número (entero)de rotacionesque sufreel vector N en unavuelta a O 1 r dct 7b(O,N) = y— f-1--ds . (2.68) Remarquemosahorados cuestiones.Primero, el único númeroen- tero de estostresesel númerode tuercaintrínseco,y ningunode elloses un invariantetopológico, sólo lo es su suma,quetambiénes un ‘entero (el número de enlace). Por tanto, los valoresde estascontribuciones se intercambianduranteunadeformacióncontinuade la cinta, de tal maneraquesu sumaseaconstante.Tanto el númerode cruceespacial comola torsióntotal varíande forma continuabajo deformacionescon- tinuas de la cinta generadapor O y 0N, siemprequeno pasemospor al al al al unaconfiguración “degenerada”en el sentidode la existenciaenella de un punto de inflexión, quehemosdefinido al comienzode estasección al como aquelquetiene curvaturanula. Si pasamospor unaconfiguración degenerada,el entero‘Fo salta en ±1,pero también lo haceel entero alVV + IT en rl, manteniéndoseL constante.Estecomportamientoestá asociadoal Movimiento 1 de Reidemeister[62], tal como apareceen la figura 2.5. Segundo,el teoremade Calugareanutiene sentidosiempre al quela anchurade la cinta, quehemosllamadoe, seamuy cercanaacero pero constante,de manerase pueda tomar el límite a una sola curva O con un vector normal N definido en ella (nófeseque, de hecho, el al númerode enlaceno dependede e). Por tanto, no intentemosaplicar estasexpresionesa otrasconfiguracionesmásgenerales. La sumaIT + % se conocecomé tuerca total, denotadapor Tw, y J tiene la siguienterepresentaciónintegral, Twy-f(Nxt).dN , (2.69) al dondepodemosver explícitamentecómo dependede la elecciónde N [72]. La tuerca total tiene las siguientespropiedades:es unafunción al continuade O; es invarianteconforme, pero su signo cambiabajo re- alflexión; es aditivo, es decir, Tw(A + E) = Tw(A) +Tw(B), dondet4y E son dos trozoscontiguosde la cinta A + E. Graciasal teoremadeCalugareanu,se llegaaquela helicidad mag- alnética en un tubo filamental T, cuyo eje es unacurva cerradaO con autoenlaces,viene dadapor hm = (5}¿y) = hm LT(¿y) (2.77) T El siguientepasoes generalizar (2.77) para el caso de dos trayecto- al rias. Sean¿y~, ~ E D los puntosinicialesde dos líneasde campo¿y~(t~), al al si y 39 con i = 1, 2. Introduzcamos,por el métododel párrafoanterior, arcos á(¿y~(T),¿y~) paracerrarlos segmentosde trayectoria¿y~(t), O =it~ =T~. Si LT1T2(¿y1,¿y2) es el número de enlacede las curvas cerradasresul- tantes,sedefineel númerode enlaceasintóticode las líneasmagnéticas x1(t1) y ¿y2(t2) como A(¿y1, ¿y2) = hm LT1T2(¿yi,¿y2 ) T1,T2—oc T1§Z’2 ‘ (2.78) dondeseasumequelos parámetrosT~ varíande maneraquelas curvas cerradasno seintersecan. Paraacercarnosa la expresiónde la helicidad, introducimosen L una expresiónanálogaa la integral de Gauss,es decir, definimosotro númerodeenlaceasintóticode las trayectorias¿yijti) y ¿y2(t2),dadopor 1 rTi 1T2 ¿y1(t1) — >~‘(¿y~, ¿ya) = T,,T2—*oo4wT 21’2 Jo dt1 J~ dt2(vixv2). II¿y~ (it1) — ¿y~(½)I~ (2.79) dondev~ son lasvelocidadesde las trayectoriasx~(t~), esdecir,los cam- pos magnéticosque las definen. Arnold demuestraque, en el límite T1, ~‘2 —~ ~, la diferenciaA — A’ escero,y queel númerodeenlaceasin- tótico es independientedel sistemadearcosá utilizadosparadefinirlo. Ahora, se define el valor medio del número de enlaceasintótico como la integral de (2.79) a todos los puntos ¿y e D. Para ello, se haceuso del teorema ergódico de Birkhoff [74], que permite daruna medidade integraciónapropiada,y demostrarqueel resultado parael valor medio de (2.79)es(introduciendoya notaciónvectorial,y cambiandola velocidadpor el campomagnético) A ‘ ¡g~ 1112 r1 — r2 (2.80) 4w JD .JD (B(ri) B(r2)) lírí — r211 3 dondeg es la medidaergódica.La integral (2.80) es la expresiónpara la helicidadmagnéticaque vimos en (2.46). Por tanto, el resultadoes que la helicidad magnéticaes igual al valor medio del ñumerode enlace asintótico de un par de lineasmagnéticas.Si las lineasestancerradas, el númerodeenlaceasintóticocoincidecon el númerodeenlaceclásico, de maneraque el resultado(2.80) esgeneral. Otra cuestióna resaltar esque no aparecenflujos en la helicidaddeun par de líneasmagnéticas al al 40 ej (2.79). Estoocurreporquelas unidadesde flujo magnéticoya estánin- altroducidasen laslíneasmagnéticascuandoigualamoscampomagnético y velocidadde las trayectorias. La conclusióndetodo lo estudiadoenestasecciónesquela helicidad alde un campovectorialsolenoidales unamedidadel enlacede las líneas del campo. Incluso si estaslíneasno son líneascerradas,tiene sentido la nociónde enlace,puesse puededefinir un valor medio del número al de enlaceasintótico, que coincide con la helicidad. Por tanto, en el estudiotopológico de cualquiercampovectorialcon divergencianula, la helicidadde estecamposeráuna cantidaddistinguida. ej 2.4 Algunas aplicaciones de la helicidad ej a problemas físicos Despuésdehaberescritosobrealgunasde las principalescaracterísticas dinámicasy topológicasde la helicidad,en estasecciónquierocomentar albrevementelas aplicacionesquehan provocadoel interésde los físicos por su estudio. Tras lo visto en las seccionesanteriores,parececlaro que,al utilizar la helicidad en estasaplicaciones,seestáintroduciendo alla informacióntopológicade los camposvectorialesqueestánpresentes en cadauno de estosproblemasfísicos. En primer lugar, la helicidad es una cantidadimportantepara el al análisis de ciertosaspectostopológicosde los camposelectromagnéti- cosen el vacío. Quizá seaésteel contexto en que másha tardadoen aparecerestacantidad,y de todos modos a él estándedicadoslos si -ej guientestres capítulosdeestamemoria. Dejaré,pues,las aplicaciones a estecampoparaentonces. El conceptode helicidad de un campo vectorial solenoidal, y sus ej porel momentomáscrucialesaplicaciones,nacieronenotrasáreasde la física, como sonla mecánicade fluidos, la físicadel plasmay la llamada alteoría de la dinamo magnética. El objetivo de estasecciónesdar un brevevistazoa estosresultadosa la luz de nuestroactualconocimiento del contenidodinámico y topológico de estacantidad. Por otro lado, ej requeriremos,cuandose llegue el capítulo 6, cierta familiaridad con conceptosbásicosde algunade estasdisciplinas,como la aproximación al al al 41 magnetohidrodinámicaen plasmas. Es ésteun buen momento para introducirlos. 2.4.1 Dinámica de fluidos Comohemosapuntadoen el apartado2.2.1, en dinámicade fluidos ha recibido muchaatenciónla helicidadde vórtices,quedenotaremospor hv1v.w d3y , (2.81) dondev(r,t) es el campo de velocidaddel fluido, w = V x y es la vorticidad, y D es un volumen de fluido que se muevecon el flujo, y que supondremoscompactoy simplementeconexo. Por lo comentado en la sección2.3, ya sabemosque la helicidad de vórtices (2.81) se interpretatopológicamenteen función del conceptode enlacede las líneasde vorticidad del flujo. Ahora, en primer lugar veamoscómo se conservaen el tiempoparaciertasclasesde fluidos. La primerareferenciasobreestacuestiónes deMoffatt [17], en 1969. El consideróun flujo ideal, sin efectosviscosos,y tal que la presión p(r, it) es funciónúnicamentede la densidadp(r, it), estoes,p = p(p), el procesotermodinámicoes isotérmico.En estascondiciones,la ecuación de movimiento del flujo es el siguientecaso particular de la llamada ecuaciónde Navier-Stokes, =11=—V(h-f-U) , (2.82) dt dondeU esun potencialparalas fuerzasexteriorespor unidadde masa del fluido (por tanto, las supondremosfuerzasconservativas),h esla integral Ji = f dp/p, y se define la derivadaconvectivao derivadade Stokesde una cantidadque dependesólo de la posicióny el tiempo, a partir de la reglade la cadena,como d ¿3 oit Además,tenemosla ecuacióndecontinuidadparala densidadde masa del fluido, ecuaciónquesepuedeescribir como dp — + PV. y = O dt (2.84) ej 42 A partir de la definición de la vorticidadcomo el rotacionalde la ve- locidad,y usandorelacionesbásicasdel cálculovectorial, tenemosque la ecuación(2.82) implica ¿3w —=(w.V)v—(v.V)w—(V.v)w . (2.85)at Si despejamosahorala divergenciade la velocidaden la ecuaciónde ej continuidad(284), se llega a la importanteecuación d(W)(W) (2.86) al Consideremosuna línea de flujo, esto es, una línea de partículasdel ej fluido quesemueveconél, y seabr un elementode longitud de esalínea Si y es la velocidaddel fluido en un extremodel elementode longitud, la alvelocidadenel otroextremoseráv+(brV)v, demaneraqued(br)/dt = (br . V)v, quees la misma razón de cambio que la presentadapor el vectorw/p en (2.86). Portanto, sesigueque,si estosdosvectoresestán ejinicialmenteen la mismadirección, entoncesseguiránsiempreparalelos y sus módulosmantendránla misma proporción. En otraspalabras,si dospartículasde fluido estanmuy cercaentresí y pertenecenala misma al línea delcampow/p en algúninstante,entoncessiemprepertenecerána la mismalíneade campo,y el valor de la cantidadw/p seráproporcional a la distanciaentrepartículas.La conclusiónesquelas líneasdel campo al w/p semuevencon laspartículasde fluido queestánen ella y sonlíneas materiales,lo que se conocecomo queestán “congeladas”en el fluido. El caso particular de un fluido incompresiblees especialmenteclaro ej un fluido incompresiblecumple que dp/dt = O (por tanto, V y = O también,por la ecuaciónde continuidad),de modo que las líneas de alvorticidadsonlíneasmateriales,sutopologíay susenlacessemantienen constantespor esto,y asíha de serla helicidaddevórtices,quesabemos que da cuentade estosenlaces. De aquíla importanciade la helicidad ejen la clasificación topológicade flujos [75,76, 77, 78]. De (2.82) y (2.86) se obtieneque ____ al (2.87) ej al al si 43 dondey2 — y . y. Ahora es fácil probarque dh~ ____ dit JDdtkP) pdr = — IOD(2) dS =0, (2.88) con la necesariacondiciónw n = O en la superficieconvectiva¿3D. La invarianciade la helicidad de vórticescon el tiempo, paraeste tipo de flujos, también se puedeestablecerdesdeun punto de vista cercanoal usual en teoría clásica de campos,usandoel teoremade Noether y técnicas de teoría de grupos [79, 80, 81, 82]. Es éste un ejemplo del crecienteacercamientode las herramientastípicas de la teoríade camposa la dinámicade fluidos. En el contextode la dinámicade fluidos, la helicidad así como la energía,seconservasólo paraflujos idealesy, en general,no se conserva en presenciade efectosviscosos.Este comportamientode la helicidad estáasociadoa la rupturay reconexiónde las líneasde vorticidad es decir, al cambiode su topología [83]. Pero,mientrasque la viscosidad conlíevasiempreunadisipaciónde la energía,puedeserresponsablede la produccióno la destrucciónde helicidad. Un ejemplovisual prototipo es la interacciónde dos anillos de vorticidad (pensemosen anillos de humo de un cigarrillo), en el cual la evoluciónde la helicidad total con el tiempo es un indicador de la interacciónviscosay de los efectosde ruptura y reconexiónde las lineas devorticidad. Otro problemaen que la helicidad tiene algo que decir es el de los fenómenosturbulentosen fluidos [84] que,como es conocido, traen consigouna cascadade energía,quepasadesdelas escalasgrandesa las escalaspequeñas(hastallegar alas moléculasdel fluido), dondepor escalaentendemosaquíel ordendemagnitudde lasdistanciassobrelas cualesla velocidadvaríaapreciablementecon respectoa la velocidad media. ¿Qué influencia tiene una helicidad media no nula en estos fenómenosde cascada?Si los afecta, hemosde comprenderpor qué, pero si no los afecta, tambiénhemos de sabercómo se comportael fluido pararespetarun invariantedel casono viscoso(la energía)pero ignorar otro (la helicidad). En el casode los fluidos incompresiblessin viscosidad,el concepto de helicidad de vórticesse ha generalizadoa variedadesde dimensión ej ej al 44 al mayor que tres. Se ha demostradoque existe al menosunahelicidad generalizadasi la variedadesde dimensiónimpar, como veremosahora ej mismo, y hay un número infinito de invariantesintegralesde tipo he- licidad si la variedades de dimensiónpar. Tomandoel rotacionalen ejambosladosde (2.82), Olver [85] demostróqueestaecuacióntieneuna estructurahamiltoniana(ver, por ejemplo,el clásicode Arnold [86]), y que las degeneracionesdel operadorhamiltoniano conducena la con- ejservaciónde la helicidad. Esteresultadofue generalizadopor Serre[87] a espaciosR~, y más tarde por Khesin y Chekanov [88] a variedades arbitrariasde dimensiónimpar. En esteúltimo éaso,el invariantees al INI VA (dv)tm, (2.89) donde AL es unavariedadde dimensiónn = 2m + 1, la velocidaddel fluido viene escritaen función de la 1-forma y, y dv es la vorticidad. Para m = 1 se recuperala helicidad de vórtices. ej 2.4.2 Magnetohidrodinámica ej En meteorologíay física del plasma,un problemateórico básico es el de un fluido conductorenpresenciade un campomagnético.Evidente- ejmente,se inducencamposeléctricosy flujos decorriente. Lascorrientes modifican el campo magnéticoy a la inversa, resultandouna interac- compleja de los fenómenosmagnéticosy de dinámicade fluidos. ej Como veremosahora,el conceptodehelicidadtiene unainterpretación muy interesanteen el casode la aproximaciónmagnetohidrodinámica, que es la aproximaciónde conductividadinfinita del fluido, y que se ej usaenespecialenplasmasastrofísicosy físicasolar (como ejemplosdel uso de la magnetohidrodinámicaen estoscontextos,ver las referencias [893-[102] ) . ej Es convenienterepasarbrevemente,en primer lugar, cómo se llegaa estasecuaciones[103]. Supondremosqueel fluido esun mediomagnéti- ejcamentehomogéneo,isótropo y lineal, de maneraquela permeabilidad magnéticag es constante.Además,si elperiododevariacióndel campo magnético, dado por la inversa de la frecuenciade Larmor eB/rn~ ejdondee y m~ son respectivamentela cargay la masadel electrón, es muchomayorqueel tiempolibre mediode los electronesdeconducción. ej al ej si 45 podemosdespreciarde las ecuacionesde Maxwell la derivadatempo- ral del campo eléctrico, y suponerque la conductividaddel fluido a esconstante.Esteesel caso ideal de un plasma,un gas de partículas con bajadensidad.Las ecuacionesde Maxwell seescribenentoncesen función del campomagnéticosolenoidalB, j= VXB=ug(E+vxB) , (2.90) OB ——V~E . (2.91) oit Si despejamosel campoeléctricode la primeradeestasecuacionesy lo sustituimosen la segunda,se llega a OB 1 —=V >< (y x B)+—AB . (2.92) Oit att Porotro lado,hayquetenerencuentael movimientodel fluido. Además de la ecuacióndecontiñuidad(2.84),ésteestádadopor la ecuaciónde Navier-Stokes(2.82) en las condicionesconocidasde fluido sin viscosi- dad y tal que la presiónes función únicamentede la densidad(ver el apartadoanterior), pero hemosde añadir ahorael efecto del campo magnético.Resultaentonces fdv — —V(h±U) + — (2.93) dit p dondef = (V x B) x B esla fuerzamagnética. En la aproximación magnetohidrodínamzcase toma la conductivi- dad del fluido como infinita, esdecir, se suponeque el plasmaes un conductorperfecto. Así mismo, por la ecuación(2.90) esto ha de ser complementadopor la condiciónsobreel campoeléctrico E=Bxv (2.94) que lo elimina asíde las ecuacionesde la magnetohidrodinámicaideal. En resumen,estasecuacionesson = vxB—VA0, ¿3t ej al ej 46 al OB = Vx(vxB), (2.95) ej 222 = —(v.V)v—V(h+U)+¾VXB)XB DL, P ej Op = pVv—vVp Oit La ecuacióndevariacióntemporaldel campoeléctricosepuedeescribir ej también,con ayudade la ecuaciónde continuidad,como d(B)(BV) (2.96) Estaecuaciónesformalmenteigual a la halladaen (2.86) parala vorti- al cidaddel fluido, demodoque la discusiónquese hizo entoncesparalas lineasdevorticidadesigualmenteválidaparalas líneasmagnéticasen al estecaso. Como consecuencia,las líneas magnéticas(o, mejor dicho, las líneasdel campo B/p) están “congeladas”en el fluido, y son, de hecho,líneasde partículasmateriales.Parece,por tanto, natural,que ej la helicidadmagnéticaseconserveen el tiempo parala magnetohidro- dinámicaideal, ya que tiene que ver con la topologíade las lineasde partículasmateriales. Teniendoen cuentalas variacionestemporales ej de A y B dadasen (2.95),seobtiene dh~ — (Ao~Av~Bn~h7n(t) . (2.110) En el limite de pay pequeño,el coeficientea esexpresablea travésde la siguienteexpresión,que lo relaciona,de estemodo, con la integral del espectrode la helicidad, h(w) . (2.111) En estascondiciones,la ecuación(2.108) tiene solucióndel tipo campo sin fuerzaV x B = ~\B si se cumpleque IaAI > l/t¿ay. Paraterminar,digamosque, en el otro límite, cuandoAlay tiende a infinito, la teoría del campo medio tiene muchasdificultades, aún no resueltas.Este límite esmuy importanteen contextosastrofísicos, dondeesusualsuponerque, tanto a como¡3, estándados,en orden de magnitud,por las escalasde velocidady de longitud de la turbulencia (yo, lo), y son independientesdel valor de hay, a = kv0 /3 = k’v010 . (2.112) El crecimientomáximodel campomagnéticomedioocurreenunaescala de longitud de orden/3/a, pero, si la estimación(2.112) es correcta, entoncesla inestabilidaddel campomedioprogresarácon mayoreficacia en la escalal~ de la propia turbulencia,lo cual entraen contradicción con la filosofíade la teoríadel campomedio, que separalas escalasde las cantidadesmediasde las de las cantidadesde fluctuación. 52 al al ej ej al al al al al al al ej si Capítulo 3 La helicidad electromagnética 3.1 Introducción. Objetivos del capítulo En el capituloanteriorsehanresumidolos principalesresultadossobre la helicidad,especialmentesu contenidotopológico,en función del con- ceptode enlacede las lineasde campo,y sehan mencionadoalgunos de los contextosen los cualesestacantidadtiene importantesaplica- ciones. En particular,sehaanalizadola helicidadmagnética,que esla helicidadnaturalque apareceen la teoríaclásicade Maxwell. Además comosemencionóen la sección2.4, la helicidadestambiénimportante cuandonos restringimosa los camposelectromagnéticosen el vacío, aunquesu estudioen estecontextoseamuy reciente.En estecaso,las ecuacionesde Maxwell son especialmentesimétricas,y esto se refleja en algunaspropiedadesespecialesde la helicidad. El objetivo de este capitulo es el estudiode estaspropiedades.Lo que sigueestábasado en nuestrasaportacionesa estetema. En la sección3.2 severáque,debidoa la dualidadde las ecuaciones de Maxwell en el vacío, podemosdefinir una helicidad eléctrica, que complementaa la helicidad magnéticay tiene sus mismaspropieda- des. La sección3.3 estádedicadaa la helicidadelectromagnética,que se define como la sumade las helicidadesmagnéticay eléctricade un campodeMaxwell enel vacío. Veremosqueestacantidadtieneun con- 53 al ej ej 54 al tenidomicroscópicomuy importante,que complementaa su contenido topológico. De hecho,sedemostraráque la helicidadelectromagnética esla cantidadclásicaformalmenteequivalenteal operadorcuánticode helicidad, definido como el operadorque, al actuar sobreun estado ejfotónico, cuentael númerode fotones con polarizacióndextrógiray lo restadel númerode fotonescon polarizaciónlevógira. al 3.2 Las helicidades de un campo electro- magnético en el vacío ej La teoríade Maxwell en el vacio esmuy especialporquepresentauna al simetría llamada dualidad, que se puederesumir diciendo que toda solución (E, B) de susecuacionesdefineotrasolución,dadapor el par (—BE). Esto indica que los camposE y B juegan un papelsimilar al en la teoría,y podemosdefinirlos a travésde doscuadripotencialessi- multáneamente,que han de cumplir las ecuacionesde dualidad. En relación con esto, es positivo recordarque son los camposeléctrico y ej magnético,y no los potenciales,los observablesde la teoría clásica, debido a que los últimos estándefinidos exceptouna transformación “gauge”. En particular,existeunahelicidadeléctricaanálogaa la heli- 1 cidadmagnéticaqueya hemosestudiadoy que, comoveremos,satisface las mismaspropiedades.Porotra parte,como un primer acercamiento ejal resultadocentral de este capítulo,que se veráen la siguientesec- ción, nos preguntaremosen qué condicioneslas helicidadeseléctrica y/o magnéticason igualesa la proyeccióndel momentoangulartotal alen la direccióndel movimiento del campo. Los contenidosde estasecciónestánbasadosprincipalmenteen los trabajos[38, 147]. . ej 3.2.1 La teoría de Maxwell en el vacío. Dualidad alelectromagnética En un espaciovacío, donde no hay cargasni corrienteseléctricas, es aldecir JP(¿y) = 0, las ecuacionesde Maxwell para los camposeléctrico y magnético,medidosen unidadesde Heaviside-L¿rentznaturales,se al al ej J 55 reducena OB VxE+—=0VB =0, DL (3.1) DE VE=0, VxB—-—=0, (3.2) oit dondeE y B sepuedenescribiren funciónde un cuadripotencialvector AM — (A%A) como DA E— —VA0,B=VxA. - (3.3) DL Es sencillo verificar que, dadaslas definiciones(3.3), las dosprimeras ecuacionesde Maxwell (3.1) son simplementeidentidades. En efecto, sustituyendo(3.3) en (3.1) obtenemos VB = V.(VxA)=0 (3.4) OB DA O VxE+— = —Vx—+VX(VA%+-—VxA=0 Oit bit oit de maneraque sólo hay dosecuacionesdinámicas,que son (3.2). Esto seve mejoren el lenguajede las formasdiferencialesen nuestroespacio de Minkowski. El potencialvectorsepuedeescribircomo una 1-forma A = AM da? , (3.5) y el tensorelectromagnéticoFa,. = OMAV — OAM, que se corresponde con las definiciones (3.3) a través de las identidadesE~ — FZO, B~ = —1/2 5ijk Fj”, sepuededar como la llamada2-forma de Faraday, 1 2 MVLa derivadaexteriorde la formapotencialesla formade Faraday,comovemos, 1dA=O~A~da?AdaY= —F d¿yPAd¿yVF . . (3.7) 2 MV Ahora, y dadala propiedadd2 — O de la derivadaexterior dF=d2A=0 ~M~«kP OVFa0 = O (3.8) ej ej al 56 ej de la cual se obtienen (3.1). Por tanto, estasecuacionesson identi- dadesgeométricas(o cinemáticas)y no tienencontenidodinámico. La ej ecuación (3.8) se conoce,en términos geométricos,como identidad de Bianchi [37]. ejLa dinámicadel campoelectromagnéticoen el vacío vienedadapor las ecuacionesde Euler-Lagrangequesurgenal minimizar la acción de Maxwell-Lorentz, al .4eim — ~ d4¿y ,- (3.9) dondela integral se efectúaen el espaciode Minkowski, y son al DMF = O , (3.10) ej lo que es análogoa las ecuacion& (3.2) si utilizamos vectorestridi- mensionales.Es muy interesantedar la expresión(3.10) en función de ejformas diferenciales,siguiendolos pasosde la ecuación(3.8). Paraello es necesariointroducir el operadorde dualidad o estrella de Hodge *. Dada unavariedaddiferenciableNf de dimensiónu, existeun iso- ejmorfismoentreel espaciode y-formasen Al, llamado Q’jM), y el es- paciode (m — r)-formas ~ Si la variedadAl estáprovista de unamétrica9gv, el isomorfismonaturalentreestosdos espaciosviene ej dadopor la aplicación * : Qr(M) —* Qrn~r(M) (3.11) ej cuya acciónsobreunabasede Qr(M) es *(d¿y”’A.. .Ad¿yMr) = ~gI M1..M~/±I..VdA Ad% , (3.12) ej (m-y)! dondeg = Det (gMV). Por ejemplo,parala r-forma ej 1 LV = ~ Wg 1...g, da?’ A A d¿yMr (3.13) ej tenemosquesu forma dual es _ r!(m y)! WMigr 8M1MrVr+1Vm d¿y~~1 A A d¿yV~ . (3.14) ej ej ej -J 57 Si particularizamosparael espaciode Minkowski, tenemosqueg = —1 y que m = 4. Si, además,estamosinteresadosen la forma de Faraday, entoncesr = 2. Así, la ecuación (3.14) define la dual de la forma de Faraday,que llamaremosforma de Maxwell, como 1 O = *F = ~ F”” da? A dA , (3.15) dondesehabíaescogidoel tensorde cuartoordencompletamenteanti- simétrico~ demaneraque~O123= 1. En funcióndelascomponentes de la forma de Maxwell 1 O = *F = .G 0dxOAd¿y¡ 3 , (3.16) 2 la ecuación(3.15)seescribe 1 0a3 = 6pva/3F”” (3.17) Con estasexpresiones,ya estamospreparadosparaver inmediatamente que las ecuacionesdinámicas(3.10) sepuedenescribiren función de la forma de Maxwell como dO = O , (3.18) y que el lagrangianode Maxwell-Lorentz del campoelectromagnético en el vacio es,simplemente, —l (3.19) 2 En resumen,el electromagnetismoen el vacíoestádefinido por una 2- formacerradaF enel espaciode Minkowski, llamadaformadeFaraday (que, dadoque el segundogrupode cohomologiaestrivial, estambién exacta)sujetaa la ecuacióndinámicad*F = 0. Podemosdar la vueltaa estainterpretaciónutilizandola nociónde dualidad de las ecuacionesde campo [1481.Esta propiedadsurgede maneranaturalen las ecuacionesde Maxwell en el vacío al notar que éstasson invariantesbajoel cambiodel pardecampos(E, B) por elpar (—B, E). Tan sencillo nacimientoescondeuna crecienteimportancia de la nociónde dualidad,tanto en teoríade camposclá~ica y cuántica ej ej 58 ej (como ejemplos,ver [149,150, 151, 152, 153]) comoen teoríadecuerdas ej [154]. Volviendo al electromagnetismo,consideremosel comentariotras (3.19). La ecuacióndinámicad*F = O implica que *F es una 2-forma ejcerrada.Portanto, comohemoscomentadoantes,esexacta,y sepuede escribir *F = dO, donde O esuna 1-formapotencialen el espaciode Minkowski. De estamanera,la ecuacióndinámica d*F = O pasaa ej serd20 = 0, que es una identidad de Bianchi. Paraver mejor cómo funcionala dualidad, tengamosen cuentaque la dual de la forma de Maxwell O = *F es (3.20) Por tanto, el lagrangiano(3.19) sepuedeescribir tambiéncomo ej = + (*C)AG=ÁA*C ‘ (3.21) y las ecuacionesde Euler-Lagrangeque surgenal minimizar la acción son d*G=O !=~dF=O . (3.22) ej En resumen,en la manera“dual” de ver lascosas,la ecuacióndinámica d*F = O pasaa ser una identidadde Bianchi, y la identidaddF = O alpasaa serunaecuacióndinamica. En el vacíono hay nadaquedistinga ambasformulaciones,como ya apuntóStratton [1553. Desdeel puntode vistade la formadualO, existeglobalmenteuna al 1-formapotencialO tal que O = dO o, escritoen componentes, 0/1V = O/~CV — OVCp . (3.23) 1 La ecuaciónO = *F obliga a expresarlos camposE y B a travésde las ecuacionesB, — 00i E = —1/2 5ijk Qjk Por tanto, tenemosdefinidas las componentesdel cuadripotencialde StrattonO” — (00, C) como ej 22+VOo (~94~ B = DÉ ‘ k’-’.-u ej E = VxC. (3.25) La identidaddO = 0, escritaen función de E y B da lugar ahoraa las ej ecuaciones(3.2), y la ecuaciónde movimientod*G = O da lugar a las ecuaciones(3.1). 59 La consecuenciade todo esto es que, en el vacío, coexistendos manerasdedescribirel campoelectromagnético,en función de la forma de Faradayy en función de la forma de Maxwell, o bien en función de AM y de O”, respectivamente.Usandoambasrepresentaciones,las ecuacionesde Maxwell sólo son identidadesde Bianchi y, por tanto, no poseendinámica.Toda la informaciónsobreestaúltima seinscribeen la ecuaciónde dualidadO = *F que,escritaen función depotenciales, vienedadapor lasexpresionesvectoriales De VxA — —+V00 , - (3.26) oit DA VxC — —VA0. (3.27) En relacióna estoconvienedestacarqueexistenciertasconfiguraciones no triviales de dipolos eléctricosparalas cualesla descripciónen tér- minos del potencialO” esmásadecuadaque la del potencialA” [156]. Tambiénes importantenotar que las ecuaciones(3.26) y (3.27) son invariantes“gauge”. Paraverlo, consideremosuna transformación AM b—* A~±D~A, s-.+ C,,+04’ . (3.28) Porejemplo,parala ecuación(3.26) tenemosque Vx(A-VA) = VSA, 1(CVF)±V(Co4h = ~E~+VCo, (3.29) DÉ \Ot) Oit y lo mismopara (3.27). 3.2.2 Helicidades magnética y eléctrica: condi- ciones d~ contorno de los campos, cuadr¡- corrientes e invariancia temporal Como se acabade ver, los camposeléctrico y magnéticoson duales y tienen las mismaspropiedadesen la teoríade Maxwell en el vacio. Dadoel camposolenoidalB, sedefine la helicidadmagnéticacomo = IRÁ’ A . B ¿y (3.30) ej al 60 donde B = V x A. Se ha visto en el capítuloanteriorque la helicidad magnéticaesproporcionalal númerode enlacede las líneasmagnéticas. ej De maneraanáloga,en el vacío, dado el campo solenoidal E, se puededefinir una helicidad eléctricaa travésde al heI CE d3r , (3.31) doñdeE = V x C. Por analogíacon el caso magnético,la helicidad ej eléctricaes proporcionalal númerode enlacede las líneaseléctricas. Antes de seguir es convenienteespecificar las condicionesde con- torno de los campos,que tomaremosde maneraque las helicidades (y la energía)seancantidadesfinitas. El dominio de definición de los campos,queaparececomo dominio de integración,serátodo el espacio ejreal tridimensional,y su fronterasetomarácomo una superficieen el infinito, en donde seanulanlos campos. Por tanto, y en la notación usadaen el capituloanterior,el dominio D esR3 compactificado,que, además,essimplementeconexo. Porinspecciónde lasecuaciones(3.30) y (3.31), la condiciónde que las helicidadesseanfinitas se traduceen quelos camposmagnéticoy eléctricodecrezcanmásdeprisaquey2 en ej la superficiey —* oc. Esto implica quelos potencialesAM y O” hande decrecermásrápidoque r1 cuandoy —* oc. Asumiremosestascondi- 1 cionesen el restode la memoria,que ademáspermitenque la energía del camposeafinita. De aquíseobtieneun primerresultado: lashelicidadesmagnéticay ejeléctricadeun campode Maxwell en el vacío, dadaspor las ecuaciones (3.30) y (3.31),soninvariantesbajolas transformaciones“gauge” dadas por (3.28). Recordandoel estudioque, a esterespecto,se hizo en el ejcapítulo anterior paradominios simplementeconexos,tenemosque la helicidadeléctrica introducidapor la transformaciónes Shc=—JFE.ndS , (3.32) ej donde5 es la superficieesféricade radio infinito y n essuvector normal unitario exterior. Ahora, dado que C va más rápido que r1 en 8, resulta que F se anulaen esa superficie, es decir, 1’ E va más rápido que y”’2 en 5, lo cual aseguraque la integral de superficie (3.32) es ej cero, haciendoque la helicidad eléctrica sea invariante “gauge”. Por supuesto,el casode la helicidadmagnéticaes completamenteanálogo. al al -4 61 La cuestiónde la invarianciatemporalde las helicidadeseléctrica y magnéticase puedeestudiar,bien derivandocon respectoal tiempo las integrales(3.30) y (3.31)directamentey aplicandolas ecuacionesde Maxwell, bien construyendouna cuadricorrientede helicidad al modo del teoremade Noether. Este último es el método preferido por los físicos en teoríasde campo,debido a la cuestiónde la covariancia, y es el que aquí usaré. Básicamente,dadauna cuadricorrienteJM(¿y) = (j0(r, t),j(r, it)) quecumpleO~j”(x) = e(~),podemosintegraren el es- paciotridimensionalde posicionesR3 (cadavezque se pasadel espacio de Minkowski al espacioeuclídeo“de posiciones”seestáescogiendoun sistemade referenciade Lorentz), obteniendo Oit») d3y =I~3~ d3r —ji.ndS’ . (3.33) Escogiendolas condicionesde contornoadecuadas,la última inteáral de (3.33) es cero en la superficiedel infinito 5, de maneraque es una cargaconservadasi e = O. En el casode las helicidades,Rallada introdujo en [38]una cuadricorrientede helicidadmagnética, = A VG V~ (3.34) donde QMV son las componentesde la forma de Maxwell. Basándose en (3.34),se puededar unacuadricorrientedehelicidadeléctrica,como hicieron Afanasievy Stepanovskyen [157], fl~’ = CVF . (3.35) La derivadade ambascorrientes,usandolas ecuacionesde Maxwell, nosproporcionasu ley de movimiento, —1 — —F G”M=-2EB 2 ~V 1 — —GMVF”” = 2E U . (3.36) 2 Es necesariodestacarque la cantidadFMVGPV dada en (3.36) es ya covariante,dandoasí sentidorelativistaa estasleyesde conservacion. Por otro lado, la parteespacialde ambascorrienteses 7t=A0B+EXA, fleO0EBXC (3.37) ej al ej 62 cantidadesque, con las condicionesde contornoque hemoselegido, tienen integral ceroen la superficiedel infinito 5. Como consecuencia de estoy de las escuaciones(3.36) llegamosa quelas helicidadesmag- nética (3.30) y eléctrica(3.31) de un campode Maxwéll en el vacío son invariantesbajo evolución temporal paracampossingularesE . B = O y, en general,si la integralen el espaciode E . B se anula. Por último, en este apartadovoy a escribir otra particularidadde las helicidades,quese puedeinterpretarcomo un primer indicio de la relaciónentreellas. Dadoel significadode la helicidad en función de la topologíade las líneasdecampo tenemos signo(h~) = signoJB . (V >< U) cOy signo(h~) = signo E . (V x E) d3y . (3.38) Estoimplica la siguientepropiedad: seaun campoelectromagnéticoen ejel vacíotal que E.U =f(r) , (3.39) donde f no dependedel tiempo; entonceslas helicidadesmagnética ej y eléctrica tienen el mismo signo. Para verlo, derivamos(3.39) con respectoal tiempo y usamosecuacionesde Maxwell, obteniendo al B.(VxU)=E.(VxE) . (3.40) Ahora integramosen el espacioR3 y aplicamos(3.38), con lo cual ej signo(he)= signo(h~) . (3.41) Esto no implica que Ji 6 = h~, pero si que la orientación relativa del enlacede las líneaseléctricasestádadopor el de las lineasmagnéticas y viceversa,paracampossingulares,en particular. A pesarde su sen- cillez, fue esteresultadoel quenos indicó el camino parael estudiode los campossingularesqueveremosen la sección3.3 de estecapitulo. 1 3.2.3 La helicidad en física de partículas En principio podríaparecerdescabelladorelacionarlasheliqidadesmag- néticay eléctricade un campoen el vacío con la helicidad que seusa al ej -J 63 en física de partículas. En el primer caso, la palabra “helicidad” fue introducidapor Moffatt, en 1969, paradefinir la integral del producto de la velocidadde un fluido por su rotacional,la vorticidad; en el se- gundocaso, tenemosque la helicidad de un fotón, en electrodinámica cuántica,es igual a la proyección del espíndel fotón en la dirección de su momentolineal. Por tanto, pretenderrelacionarambasparece más una cuestiónde casualidadsintácticaque de intuición física. La realidades que no esasí, por sorprendenteque parezca,y lo veremos en la siguientesecciónde estecapítulo. En el casodeun campoelectromagnéticoclásico,como encualquier teoríaclásicade campos,seusala invarianciade la acción bajo ciertas transformacionesde las coordenadasy/o de los campospara, según el teoremade Noether,especificarcantidadesconservadas[158]. Por ejemplo,la invarianciade la acción(3.9)bajo traslacionesconducea la conservacióndel tensorde energía-momentodel campo OPTMV —O , (3.42) dondeescogemos(sumandoun término sin contribución) paraTMV el tensorsimétrico TTMV = g 0~FPaFPV+ { gMVFgjF~ 0 (3.43) La ley de conservación(3.42) nos lleva, por lo que hemoscomentado en el apartadoanterior, a la invarianciatemporaldel cuadrivectorde momentolineal del campo 0oPM = O p” = 1 TPO d3r . (3.44) Demaneraanáloga,la invarianciade la acciónbajotransformacionesde Lorentz es la causade la conservacióndel tensor de momentoangular del campoelectromagnético, O,kIaPV — O , (3.45) donde Al apv — ¿yPTÚV — x”T0~’ (3.46) ej ej 64 1 La cargadeNoetherasociadaa (3.45) es ~0 — O , JMV = IR~ Nf0”” d3r . (3.47) Como consecuenciade (3.44), la energíap0 y el momentolineal p del campoelectromagnéticosepuedentomar como las integralesen el es- pacio euclídeoR3 de sus respectivasdensidades, = pO d~r = IR? (E2 + B2) ~y , = IR~IR~ donde P0 es la densidadde energíay P es conocido como vector de ej Poynting, que esuna densidadde flujo de energía,como es fácil ver a partir de la ley de conservación(3.42), O(E2+B2)V(EU) . (3.50) al Respectoal momentoangular. se defineel trivector J~ = 1/2 6ok jak ej con flk dado por (3.47) y se le asociacon el trivector de momento angular total del campo,que resulta al ~= r xP d3r . (3.51) Con estasdefiniciones,y dadoslos comentariossobrela helicidaddel ej fotón que he hechomás arriba, pareceríanaturaldefinir la “helicidad tipo física de partículas” h’ del campoelectromagnéticocomo al h’=Jn , (3.52) donde3 estádadopor (3.51) y n es el vector unitario definidopor ej n = p/p . (3.53) Dado que p no dependedel tiempo por ser una cargade Noether, el ej vectorn esconstante.La helicidad Ji’, trasoperaren (3.52), sepuede escribircomo ¿y. (3.54) ejej ej 1 -3 65 Como una primeraaproximacióna la interpretaciónde las helicidades nos preguntamoscuándola cantidad(3.54) se puedeidentificar con las helicidadesmagnéticay eléctrica. La respuestaestádadapor la siguientepropiedad[147,2]: a) Si los camposeléctricoy magnéticosatisfacen U = k(—iJ . n)E , (3.55) dondek esun númeroreal y ¿7 esel operadorde momentoangularen la representaciónvectorialdel álgebrade Lorentz, entoncesh~ = ¡ch’. b) Análogamente,si E = k’(—iJ . n)B , (3.56) entoncesh~ = k’Ji’. Demostremosla propiedad(a). El operador¿7 actúasobre una componentedel campoeléctricocomo sigue, Jk(EI) —i Ckrnn x~ O,, E1 — ¿Hm E~ , (3.57) por lo que setiene (—iJ.n)E=((r xn).V)E+nxE . (3.58) Supongamosahora que se cumple la ecuación (3.55). Entonces,el campomagnéticosatisface,según(3.58), U = k[((rxn).V)E+nxE] = kV>< [(E.n)r—(E.r)n] , (3.59) de maneraque sepuedeescoger A = k [(E .n)r — (E .r)n] . (3.60) Si ahorasecalculala helicidadmagnéticacon el potencialvectordado por (3.60), la conclusiónes Ji,,, = JA.Bd3y — k » [(E .n)(B .r) — (U .n)(E .r)] dAr — ¡ch’ (3.61) al al al 66 La propiedad(b) se demuestrade un modo completamenteanálogo alAún así,estono nosaclaralarelaciónquetienenlas helicidadeseléctrica y magnéticacon la helicidad de los fotones del campo. La respuesta generala estoestáen la siguienteseccion. ej 3.3 La helicidad electromagnética y su al significado La helicidadelectromagnética,definidacomola sumade las helicidades magnéticay eléctricade un campode Maxwell enel vacío,es constante en la dinámicadel campo. Se demuestraque estahelicidad es la can- altidad clásicaquese correspondecon el operadorcuánticode helicidad, es decir, el operadorNR — NL, dondeNR es el númerode fotonescon polarizacióndextrógira y NL es el númerode fotonescon polarizáción levógira. Estaigualdadse puedeentendercomo unarelaciónentrelos aspectosde onda y partícula de la helicidad, debidoa que la sumade }:eztrades magnéticay eléctricatiene quever con el enlacede las ej campo (capítulo anterior), de maneraque es una cantidad referida a la topología de estaslineas, y la cantidad NR — NL es el límite clásicodel operadorcuánticoquerestalos fotonesdextrógirosy levógiros. Por último, se haráunaparticularizacióndel conceptode helicidad aplicado alos campossingulares,es decir, aquelloscamposelectromag -ej néticosquesatisfacenE•U = 0. En estecaso,las helicidadesmagnética y eléctricason iguales. 1 Los contenidosde estaseccióncorrespondenaresultadosincluidos en nuestrostrabajos[159, 160, 161, 147, 162]. 3.3.1 Definición y conservación de la helicidad al Sea FMV un campode Maxwell en el vacío. Definimos el cuadrivector 1 densidadde helicidad electromagnética,fl~, como la sumade los can- tidadescuadrivectoresde densidadde helicidadeléctricay magnética, dadosen el apartado3.2.2 por las ecuaciones(3.34) y (3.35),esdecir, al — FTM”OV — G””AV , (3.62) ej si 67 donde Fa,. = D~A~ — O~A~ es el tensorde componentesde la formade Faraday,y 0M~ = O~O~ — O~O~es el tensordecomponentesde la forma de Maxwell O = *F. Por su construcción,y teniendoen cuentalas leyesde conservación desuscomponenteseléctricay magnética(3.36), la densidadde helici- dad electromagnéticaesuna corrienteconservadade lasecuacionesde Maxwell en el vacio = O . (3.63) D~ aquíobtenemosquela cantidad h£flO d3r =» (A.U+C.E) d3r , (3.64) esuna constantedel movimiento, Oh —=0. (3.65) DÉ Estaconstantedel movimientosellamahelicidad electromagnética.Por el estudiorealizadoen la secciónanterior,resultaque la helicidadelec- tromagnéticaesinvariante“gauge’ ademásde ser invariantetemporal. A partir de estemomento,mereferiré a (3.64) comohelicidad a secas, y a (3.62) comocuadridensidaddehelicidad,dejandolos adjetivospara los casosmagnéticoy eléctrico. El carácterconstantede la helicidadhasido estudiadotambiénpor Andersony Arthurs [163, 164, 165], Afanasievy Stepanovsky[157]y Evans [166]. Los dos primerosgruposhan relacionadoestapropiedad con otros invariantesdel campoelectromagnético[167,168, 169, 170], llamados invariantesde Lipkin, mientrasque el tercero investiga las consecuenciasde la helicidad en la construcciónde una nuevateoría “gauge” no abeliana,con grupo 50(3), parala electrodinámicacuán- tica [171, 172, 173, 174]. Es interesanteescribir claramentela ley de conservaciónque hemos encontrado,que es O —(A.U-i-C.E)=—V.(A0fl+00E—AXE+CXU) . (3.66) oit Podemosinterpretar,pues,la cantidadRl’3 como una densidadde heli- cidad, y W comouna densidadde flujo de helicidad,análogamentea lo que ocurrecon la densidaddeenergíay el vectorde Poynting(3.50). al ej al 68 3.3.2 El significado de la helicidad Dadoquela helicidades invariante“gauge”, parainformarnossobresu significado podemosusarun “gauge’ determinado.El más apropiado es el “gauge” deCoulomb. En él, comosededucefácilmentede lo visto al en el apartado3.2.1, los camposA y C satisfacenlas ecuacionesde Maxwell, OC al V~A = oX 1 VC = 0, VxC= . (3.67) Ot Deestasecuacionesresultaque, tantoA como C, satisfacenla ecuación ej de d’Alembert. ParaA, estaecuaciónse escribe V2A — 02A (3.68) cuyassolucionessepuedenescribiren formadetransformadasdeFourier tridimensionales[175,176], del tipo A(r,t.) = (2)3/2 ~¡~ (a(k)eÍk’X + á(k)etk’X) , (3.69) donde¡cg = (w,k) es un cuadrivectornulo (kMk~ = 2— = 0) y el productoescalardecuadrivectoresen el espaciode Minkowski es ¡c ¿y = al = wt — k r. El factor 1/ 2w es unanormalizaciónquepermite que la medidade integraciónseainvarianteLorentz. En (3.69),y en el restode estamemoria,parael complejoconjugadode una cantidadz utilizo la notación2, básicamenteparaqueno existaconfusióncon otras al operaciones,como “pull-backs” o estrellasde Hodge,que aparecerán alcon muchaasiduidad. La condición solenoidaldel potencialvectorA cuandoestamosen el “gauge” de Coulombsetraduceen el caráctertransversaldel vector alcomplejoa(k), es decir k.a(k) = 0. Por tanto,paracadavalor del vec- tor k sepuedeescogerun triedro ortonormal,formadopor los vectores realesk/w, e 1(k) y e2(k), y representarel campo a como a(k) = a1(k)ej(k) + a2(k)e2(k) , (3.70) al al -3 69 donde k k k eixea=—, —Xeje2, —xe2=—e1. (3.71) LV LV LV Por conveniencia,se completala definición del triedro ortonormal con las elecciones ei(—k) = —ei(k) = e2(k) . . (3.72) De estamanera,el campoA sehaescrito comosuperposicióndeondas planas.Paranuestrospropósitos,sin embargo,convienerepresentarlos potencialesen función deondascon polarizacióncircular, a la manera quese haceen electrodinámicacuántica[177, 43], asíquedefinimos las componentesdextrógira (R) y levógira (L), es decir, con polarizacióna derechasy a izquierdas,segúnlas relaciones ei(k) + ie2(k) _ ei(k) — ie2(k ) eR(k) = y— ,eL(k) aR(k) = ai(k) — ia2(k) ai(k) + ia2(k) (3),aL(k)= Con estasdefiniciones,se tiene k.en=keL=0 , eR’eR=eLeL=O eR e~, = 1 , eR >< eR = ej, >< Cj~ = O , (3.74) k. k •k —xeJr<=—zeR , —xef,=~ef, , eRxeL=—z— LV LV LV y, además,paralos vectoresde argumentoopuesto, eR(—k) = —eL(k) et(—k) = —ep(k) . (3.75) En consecuencia,el potencialvector A, en el “gauge” de Coulomb,se escribecomo unasuperposiciónde ondascon polarizacióncircular. Si parasimplificar las fórmulas,omitimosel argumentok en las cantidades e(k) y a(k), se concluyeque A(r, it) = (2w) 3!2 1 <~— ((eRaR+ eLaL)e + (eLáR+ eRaL)e ) (3.76) al al 70 ej Las componentesde Fourier a,~ y a~, son, en la expresión(3.76), fun- al cionesdel vectork. Cuandose hacela segundacuantizacióndel campo electromagnético,aR(k) se interpretacomo un operadorquedestruye un estadofotónico de energíaw, momentolineal k y espín k/LV, mien- ‘ 1 t tras que la función dR pasaa serel operadora~ quecrea tal estado. Análogamente,aL(k) destruye un estado fotónico de energíaLV, mo- tmentok y espín —k/LV, y Qn,, lo crea [177]. Podemosjugar el mismo juego con el potencialvector C. En tal caso, se llega a representarC en la forma (3.76), pero con otras fun- ej ciones CR y cj, sustituyendoa ~ y aL. Ahora hay que cumplir las relaciones(3.67). Al imponerlas,aparecenlas igualdades —k (eRaR+ eLaL) = e~c~+ eLcL , al LV k e~a~+ ~ = — x (eRcR+ eLcL) , (3.77) LV teniendoen cuentalas relaciones(3.74) paralos rotacionales,que se al reducena las identificacionessiguientes cR(k) = iaR(k) cL(k) = —iaL(k) , (3.78) al con lo queel potencialvector C resultadadopor C(r, it) = j’ c1~C QeRaR— eLaL)e — (eLñR — eRaL)e ) (2w)3!2 (3.79) al La helicidad se puedeescribir, en el “gauge” de Coulomb, usandolas ecuacionesde Maxwell (3.67), como ej h=£ (A.~-C.%~) d3r. (3.80) 1 Si se introducenlas expresiones(3.76) y (3.79) en la ecuación(3.80), teniendo en cuentala conocida fórmula de la función delta de Dirac tridimensional I ikr _ &~3~(k) (3.81) R3 (2w)3 e — , ej al -4 71 se obtienela expresión Ji = 2 (&n(k)aR(k) — áL(k)aL(k)) d5¡c (3.82) Estoes lo quequeríamos.En electrodinámicacuántica,la partederecha dela ecuación(3.82) seinterpreta,trascuantizar,comoel dobledelope- rador “helicidad”, es decir, el operadorquerestael númerode fotones con polarización (o helicidad) a derechasdel número de fotones con polarizacióna izquierdas.Escribiendoéstoscon la notacióntípica NR = Iau(k)aR(k) d3¡c NL = aL(k)aL(k) d3¡c , (3.83) la ecuación(3.82) seescribe Ji = 2(NR — NL) . (3.84) Por tanto, excepto un factor 2, la helicidad que hemos estadoestu- diando, y no la cantidad h’ del apartado 8.2.8, es el límite clásico de la diferenciade fotonespolarizadosa derechasy a izquierdas[159, 160, 161, 147, 1621. Es decir, la expresiónclásicah/2 corresponde,al hacer la segundacuantizacióndel campoelectromagnético,con el operador cuántico de helicidad, que suma las proyeccionesdel espín de cada partícula en la dirección de propagación. Nóteseque, si hubiéramos usadounidades“físicas’ (estoes, con Ji # 1 y c ~ 1), la ecuación(3.84) seescribiría Ji = 2flc (NR — NL) . (3.85) Realmente,eneste sentidoMoffatt estuvoinspiradoal bautizar con la palabrahelicidad la integral de un campovectorial por su rotacional. Pero la ecuación(3.84) tiene máslecturas,en particular la relación entrelos aspectostopológicoy corpusculardel campoelectromagnético en el vacio. En su parte izquierda, la helicidad de la duda: la suma de las helicidadeseléctricay magnética,quecarácterizala topologíade las líneasde campo,en función de sus enlaces. En la partederecha, el límite clásico de la helicidad de los fotones. Por tanto, si tenemos un campoelectromagnéticocon unaconfiguracióntrivial de sus lineas ej ej al 72 al de fuerza (es decir, sin enlaces),entoncessabremosque la expresión al clásica para el númerode fotones dextrógiroses igual que la de los levógiros,pero si observamoslíneasenlazadasestosdos númerosserán diferentes. Tenemosaquí la dualidad onda-partículade la helicidad 1 [147]. Hay que decir que el resultado (3.84) ha sido obtenido tam- bién, con posterioridad,por Afanásievy Stepanovsky[157], aunqúede maneraindependiente. ¿Quéhay de las otras componentesde la cuadridensidadde he- S licidad? En el “gauge” de Coulomb, éstas forman el vector Rl = -‘-A x E + O x U, pero en general la integral espacial de este vec -ej tor no es una expresióninvariante “gauge”, de maneraque no se le puedetratar como observable.Aún así,quizáseaútil dar suexpresión alpara la condición de Coulomb. De maneracompletamenteanálogaal casode la helicidad escalar,la cantidadtrivectorial h, correspondiente a la integral espacialde las componentesni de la cuadridensidadde al helicidad, queen el “gauge” de Coulomb se puedeescribir h=j7’i d3r =£(AX + Cx 19) , (3.86) al satisface,usandolas representaciones(3.76) y (3.79) para los poten- alciales A y O, respectivamente, h =1 EL (áR(k)aÑ(k) — áL(k)aL(k)) d3k , (3.87) ej es decir, h es igual a 2 vecesel espíntotal del campo, h=2s. (3.88) al Esteresultadocomplementala interpretaciónde la helicidad y motiva al su estudio, más si tenemosen cuentaque, según acabamosde ver, la helicidad escalary el espín del campo forman unacuadricorriente conservada.La densidadde helicidad y la densidadde espín estánen alla mismarelaciónque la densidadde energíay el vector de Poynting, con una particularidad: la ley de conservaciónque se ha encontrado no nos dice nada sobrela invariancia temporal del espín, y además ésteno es claramenteinvariante“gauge”. Estopuedesugerirquequizá falten componentesa la corrienteconservada,puedeser que éstasea al 4 73 partede un tensoranálogoal tensorde energía-momento.Todasestas cuestiones,así como su relacióncon la dualidadelectromagnética,no tienenrespuestapor ahora. 3.3.3 La helicidad de los campos singulares En el capítuloanterior se handefinido los campossingularescomoaque- líos que cumplen E . U = 0. Consideremosahorael caso de campos singularesenel vacíoquesatisfacenlas condicionesdecontorno quese hanespecificadoen el apartado3.2.2, que se puedenresumir diciendo que la helicidad es unacantidadfinita. En estecaso, las componentes deFourieraR y aL handesermenossingularesqueLV~’2 cuandoLV —> O y han de decrecermás rápido queLV2 cuandoLV —* oc. Este compor- tamiento nos va a permitir probar demaneramuy simple la siguiente propiedad[162]: Las helicidades eléctrica y magnética de un campo singular en el vacio son iguales. Para la demostración,usamoslas representacionesde A y O del apartadoanterior. Con ellases fácil obtenerla siguienteexpresiónpara la diferenciaentrelas helicidadesmagnéticay eléctrica, = Id~¡c [(aL(k)aL(—k) — aR(k)aR(—k)) e...iwr + cc] , (3.89) dondecc significaque hay queañadirel complejoconjugadoy r = 2it. Hagamosla integral en los ángulos de las coordenadasesféricas del espaciodevectoresk. El resultadolo llamamosF(LV), esdecir, tomemos F(LV) = LV2IdQ [aL(k)aL(—k) — aR(k)aR(—k)] , (3.90) siendo£2 el ángulosólido,y F(w) = F(—LV). La diferenciade helicidades se escribeahora — he = ¡ dw [F(LV)e”’iwr + F(~LV)etWT] . (3.91) Por el comportamientocomentadode ap y ar~, y mirando la definición (3.90), seve que F(w) es unafunción de cuadradointegrable,y que (3.92) ej al ~‘1~ al es la transformadade Fourier de F(LV). Por otro lado, alpor el apartado3.2.2 que d £3E U d 3 , (3.93) —(hm— h~) = dÉ de maneraque,como estamosen la suposiciónde camposingular, E B = O y h~—h~esunaconstantede movimiento. Por tanto, la ecuación 1 (3.92) implica quela partereal de fQr) no dependede ‘i-. Si recordamos S ahoraquees unafunción de cuadradointegrable,resultaquesólo puede sercero. En consecuencia,h~ — he = o paracampossingularesen el al vacio. La conclusión(3.84) para campossingulareses al 11, = 2hm = 2h 6 = 2(NR NL) , (3.94) que seráimportantea partir del siguientecapítulo. Por otro lado, el ej resultadode ¿steapartadoes curioso: la condiciónde camposingular obliga a las líneasde fuerzaa comportarsede tal modo que las helici- aldadesmagnéticay eléctricasoniguales,estoes, los enlacesde las líneas magnéticasdaninformaciónsobrelos de las eléctricasy viceversa.Esto es másacusadosi recordamosque la condición E . U = O es invari.ante al Lorentz. al al al al al ej al -3 Capítulo 4 Un modelo topológico del electromagnetismo 4.1 Introducción. Objetivos del capítulo En el presentecapítulo de estamemoriase van a indicar algunasde las principalescaracterísticasde un modeloparael electromagnetismo clásicocon contenidotopolégicoexplícito, que ha sido concebidoy de- sarrolladopor Rañadadesde1989, y en el cual he colaboradodesde 1994 [178, 179, 180, 181, 2,159,160,161,1621. Este modelo es lo- calmenteequivalentea la teoría estándarde Maxwell para el vacío, pero tiene la ventajade poseercargastopolégicas,estoes, cantidades conservadascon significado topolégico. En particular, las helicidades eléctricay magnética,de las cualesse ha habladomucho hastaahora, son igualesentre si, y, exceptouna constante,son númerosenteros, cuyo significadoes el de invariantesde Hopf de las funcionescomple- jas de las coordenadasa partir de las cualesse obtienenlos campos. Además, el modelo admite cargaseléctricasy magnéticaspuntuales, cuyo valor estátambiéncuantizadopor motivostopolégicos.En con- secuencia,estemodeloposeeventajasrespectoa la teoríaestándarque podríanser útiles para entendermejor el procesode cuantizacióndel electromagnetismo. En la sección4.2, sepresentanlos “ladrillos” del modelo, llamados nudoselectromagnéticos,y seintroducesusignificadotopológico. En la 75 J J J 76 J sección4.3 sedemuestraquelos nudosgeneranlocalmentetodala teoría de Maxwell para el vacío. La sección4.4 estádedicadaa establecer J cómo es el electromagnetismoen presenciade cargaspuntualespara estemodelo;en estecaso,las cantidadestopológicamentecuantizadas 2 seránlos valoresdeesascargaspuntuales. 4.2 Los nudos electromagnéticos J Vamosa introducir los protagonistasdel modelotopológicodel electro- magnetismoque sepresentaen estamemoria,llamadosnudoselectro- magnéticos. Estos sonsolucionesde las ecuacionesde Maxwell en el vacíoque tienenla propiedadde cuantizacióntopológicade las helici- 2 dadesmagnéticay eléctrica,esdecir, el valor deestascantidades,rela- cionadocon el númerode enlacede las líneasmagnéticasy de las eléc- tricas, esproporcionala un númeroenterocon significado topológico, J llamado invariantede Hopf de las aplicacionesa partir de las cualesse construyenlos nudoselectromagnéticos. 2 La construcciónde estos nudos tiene mucho que ver con la idea de línea de campo, más que con la de cuadripotencial,llevándonos de vuelta a la filosofía de Faradayrespectoal electromagnetismo.La noción de invariante de Hopf de las aplicacionesentre esferas,y su aplicacióna la construcciónde los nudos, introducenla cuantización topológica, y la clasificación en clasesde homotopía,de los campos 2 electromagnéticos.Los contenidosde estasecciónestánbasadosprin- cipalmenteen los trabajos[2, 159, 162]. 2 4.2.1 Sobre la concepción de Faraday del electro- magnetismo J Comoherecordadoen el primercapítulodeestamemoria,las líneasde fuerzaeléctricasy magnéticaseranmuy realesparaFaraday,debidoa 2queél las asociabacon líneasmaterialesformadaspor laspartículasdel éter, de la mismamaneraque las líneasmagnéticaspuedenasociarse a líneasde partículasde un fluido en la aproximaciónmagnetohidro- 2 dinámica(ver los apartados2.4.1 y 2.4.2 del segundocapítulo). Esta idea fue relegadaa un segundoplano a partir de la publicaciónde la 2 2 2 -3 77 teoría de Maxwell parael electromagnetismo,basadaen la noción de campo. Desdeentonces,los conceptosbásicosson el tensorelectro- magnéticoF~” y el cuadripotencialvector ATM, y las lineasde fuerza (o líneasde campo) son elementossecundarios,que siemprepueden obtenersede E”” como líneasintegralesde los camposvectorialesE y B. Pero,comoseva a ver inmediatamente,ambosmétodosde estudio sonequivalentesparala teoríaclásica. Merecela penarecordarcómo se obtienen las líneasde campo. Un sistemadinámico constade un espacioD y una aplicación uni- paramétrica 9r~ del espacioD en sí mismo. Si secumplen las condi- ciones: (i) g 0x= z, (u) g~1g’2~ — gr2grlx — gfl+r2x, entoncesg’ define un semiflujo en D. Si, además,la inversag%r estádefinida unívoca- menteparatodo z E D, entonces 9r define un flujo, en el cual tanto el pasadocomo el futuro del sistema(con respectoal parámetro~-) estándeterminadospor el estadoactual. Sea4’~ un flujo en D, y sea D una variedaddiferenciabletridimensionalsimplementeconexa. La velocidadde faseen el punto x c D sedefinecomo d v(x) — di- gV . (4.1) Nóteseque esto implica que ~(~ro~) = d gV . (4.2) dr r=lb Ahora, tengamosencuentael siguienteteorema: todocampovectorial sobreuna variedadcompactaesel campode velocidadesde fasede un grupo uniparamétricode difeomorfismos. Con esteresultado,y dado que,en nuestrocaso, D esR 3 compactificado,por tenerun sólo punto del infinito, dondese anulan los campos,obtenemosquetodo campo magnéticoB (r, t) satisface B(g’r,t) = gTr , (4.3) paracadainstantet. La ecuación(4.3) sepudeescribir en la forma que ya vimos en el segundocapítulo, E (rQr),t,) = dr(r ) dr (4.4) 2 J 78 que da las líneasde fuerzadel campoE en cadainstantet. 2Peroesclaroqueel procedimientopuedeinvertirse,segúnel teorema que se ha mencionado: dadaslas líneasmagnéticasen cadainstante, el campo vectorial queda definido por ellas. Este punto de vista está 2cercade la ideade Faraday.Vamos a profundizarun poco en él. Como se dijo en el apartado2.2.2, si el sistemadinámico (4.4) es integrable, entoncestienedoscantidadesconservadas,~1(r, t) y &(r, t), y las líneas 2 magnéticassonlas interseccionesde las familias de superficies~ = ¼ y & = k2, donde k1 y k2 son constantes.De maneraalternativa, y completamenteequivalente,podemossuponerquelas líneasmagnéticas 2 son las curvasde nivel de unafunción compleja~(r, t) = ~i + i~2, que asumiremossuave. En estecaso,el campomagnéticoquedadefinido, a partir de la ecuación(4.4) como J B(r, t) = f(r, t) 7~ x 7~ , (4.5) donde f es una función de las coordenadas.Pero,dado que E es un 2 camposolenoidal, la condición 7 E = O implica que f dependede (r, t) sólamentea travésde ~ y ~ (o, alternativamente,de ~i y &)~ es 2 decir,seráde la forma B(r,t) = f(~b,~) V~ , (4.6) j lo cual tambiénsepuedeescribir 1 1 = EiJk (4.7) sin másque tomarparaFI,,, el valor 2 FJk = —f(~,~) (ag Ok~ — D5~ a1~) . (4.8) Dado que estamosen el espaciode Minkowski, y queremosformar un J tensor,hemosde completarla expresión(4.8) de la siguientemanera: lo que define el campo eléctrico como - ¡ - ~at ) 2 2 ej ‘79 En consecuencia,de la identificaciónde las líneasmagnéticascon las curvasde nivel deunafuncióncompleja~‘(r,t) sehaobtenidoun campo electromagnéticocuya2-formade Faradayviene dadapor (4.11) Evidentemente,a la forma (4.11) se le debeimponer la ecuaciónde movimiento d*F = O (estamosen el casode la teoríade Maxwell en el vacio). Por otro lado, esclaropor las expresiones(4.6) y (4.10) quela soluciónde estasecuacionesseráun campode tipo singular, ~sdecir, E 8 = O. Quedatambiénla cuestiónde las condicionesde contorno, de la cualya sepuedeadelantaralgo. Si queremosquelos camposeléctricoy magnéticoseanulenenel límite r —~ :~- unacondiciónsuficienteesque el valor de ~ en ese límite seaun único valor, estoes,que no dependa de la dirección. Esto implica que la parte espacialdel dominio de definiciónde ~ puedetomarsecomo S3, la superficiede la esferade tres dimensiones,tras identificar, por proyecciónestereográfica,R3 U {~} con 9 (veremoscómo se hace esto en el siguienteapartado). De la misma manera,asumimosqueel espacioimagende la aplicación~ esel plano complejo compactificadoC u {oo}, quese puedeidentificar con 9. La conclusiónes que~ es unaaplicación 9 x R —~9. (4.12) En resumen,dada una aplicación ~‘ del tipo (4.12), la suposiciónde quesuscurvasde nivel (tras hacerlas dos proyeccionesestereográficas correspondientes)son líneasde fuerzade algúncampomagnéticocon- ducea la obtenciónde un campoelectromagnéticoen el vacío, de tipo singular,cuyaforma deFaradayestádadapor (4.11), si se cumplenlas ecuacionesde Maxwell, d*F = O. 4.2.2 El invariante de Hopf Paraavanzaren esteestudionecesitamospistassobrela forma de la función f(& ~). Es el momentode presentara otro “protagonista”: el invariantede Hopf [182]. Con estainformación podremosresolverla ecuaciónde movimiento, lo quese haráen el apartadosiguiente. 2 2 2 80 2 2 2 2 2 Figura4.1: Esquemade la proyecciónestereográficadel planocomplejo. 2 Existen casi tantasmanerasde introducir el invariante de Hopf 2 [183,184, 36, 2, 50] como aplicacionesen dondeseha usado[185, 186, 187, 188, 189, 190], ademásde la que se presentaen estamemoria. 2Porconveniencia,escogeréhablarprimerode la aplicaciónde Hopf, in- cluyendolas transformacionesde las proyeccionesestereográficasquese han mencionadoen el apartadoanterior,y despuésse definiráel inva- 2riante de Hopf de estaaplicación, lo cualnosofreceuna buenaimagen geométrica. Queremoshablarde una aplicaciónentre9 y ~2• La variedad~2 22sedefine como el conjunto de puntos (nnn2,ns)de R3 talesque ~h+ = 1. Muchasvecesesmáscómodousarcoordenadascomplejas, lo que sepuedehacerdebidoa que ~2 esla compactificacióndel plano 2complejo, ~2 — c u {oo}. La transformaciónde unascoordenadas a otras sellama proyección estereográfica. Con referenciaa la figura 4.1, consideremosR3 y un sistemade ejescuyo origen es el centrode 2 una esfera de radio unidad. Las coordenadasde un punto p E sobreel segmentodeterminadopor dospuntos pi y P2 vienendadas 2por la ecuaciónp = (1 — ~\)p~+ Ap 2, donde A es el parámetroreal de evolución del segmento. SeanPi = (0,0,1) el Polo Norte de ~2, y P2 = (Rex Im x~ 0) el punto que determinaun número complejo 2x = Rex + i Jmx que nos darála coordenadacomplejaasociadaa un punto de la esfera.Sip = (n1,n2,ua) esun punto de ~2, tenemosque 2 2 2 -J 81 viene dadopor ní=ARex, n2=AImy, n3= 1—A. (4.13) La condición~?+ n~+ n~ = 1 defineA como A = 2/(l + Xx), de forma que la proyecciónestereográficadesdeel Polo Norte resulta 2Rex 2Jmx — 1 (4.14) ~x±l ,122 xx±íi Ñx+l o bien la transformacióninversa, ni±in2 (4.15) es decir, cadapunto de la esfera ~2 se puedecaracterizarpor tres númerosreales(nl, ~2, n3), con ~?+ n~ + n~ = 1, o bien por el número complejoit relacionadocon los anteriorespor la ecuación(4.15). La esfera~3 sepuededar por las coordenadasreales(ni, it2, it3, 214) en R 4 talesque u? + ~ + i4 + ~,j= 1, o bien, tomandolos números complejos=1= it~ + un 2 y 22 = 213 + ~n4, = {(z’, z0 E C 2 /2~=~±22=2= l} . (4.16) La aplicación de Hopf sedefinecomo 11 ~3 , , (=1=2) h-.~ H(=í,2 2)= (4.17) 22 donde,de (4.14),con x = 211=2,seobtiene 721 + 1222 = 2=122 , ii.3 = 2~z~ — 22=2, (4.18) Así, tenemosque la aplicaciónde Hopf es = (2Re(z122), 21m(zi22) , 2~z~ — 22=2) e ~2 (4.19) Sea=0= e’~ un númerocomplejo de módulo unidad,con O =~ =2w. De (4.19)esclaro que H(zo=í,=oz2)= 11(21,22) (4.20) 2 2 82 Por tanto, H’(a) = ~1 para todo punto a E ~2 es decir, la imagen inversade todo punto de 9 por la aplicación de Hopf es una curva 2 cerradaen 9. Dadosdospuntos a, b E ~2, las curvascerradasen 53 dadaspor FL’(a) y fl—1(b) son disjuntassi a ~ b, y estánenlazadas. 2Por ejemplo, si a = (1,0,0) y b = (—1,0,0),usando(4.19) obtenemos las relaciones :12 = 1/2 para a, y :122 = —1/2 para b, satisfechas respectivamentepor las doscurvascerradassiguientesde ~3, 2 = =~= 7 , 4 = =2= . (4.21) 2 Paravisualizarel enlaceesde muchaayudala proyecciónestereográfica — E3 u {oc}. El procedimientoescompletamenteanálogoal caso de St con puntosde E4 estavez. TomemosPi = (0,0,0,1) como el Polo Norte, y seap2 = (x, y, z, 0) el punto quenosda la coordenadaen u {c~o}. Si p = (u 1, 212,213,214) pertenecea ~3, ha de cumplirseque 2 2 2 = con lo seobtiene J ~i + u2 + 21~ + u~ 1, que 2x 2y 2= r 2—1 = ~ , 212= r2+1 , 213 r2 ~ 214= r2+1 (4.22) 2 o bien la transformacijn inversa, 212 (423) 2 1= , y= , 1 — 214 1 — 214 1 — 214 esdecir, un punto de S3 sepuededar por las cuatro coordenadasreales 2 2 2 2 2(nl, 212,213,214),tales que 211 + 212 + 213 + 214 = 1 (o las dos coordenadas complejasz~, con zí2í+=222= 1), o bienportresnúmerosreales(x, y,:) 2que pertenecená E3 U {oo}, dadospor la ecuación(4.23). Para las curvas de ~3 dadaspor (4.21), las expresiones(4.23) nos dan las siguientescurvas en E3, J cosC smC Eh(a) : x = z = v’2—sinC ~‘ x/~—sinC ______ ______ 2 fl~’(b) : = —: = cosC —sin4 v’§±sinC ‘ = v’~+sinc (4.24) Estascurvas[191],pintadasen función del parámetroC~ sondoselipses 2 disjuntasy con númerode enlaceL (H’(a), H1(b)) = 1, como vemos 2 2 2 83 Figura 4.2: El índice de Hopf de la aplicaciónde Hopf, visto como númerodeenlace. en la figura 4.2. Estenúmerodé enlaceno dependedel par de puntos particular(a, b) quehemosusadoparacalcularlo, pues,si nosmovemos de maneracontinuaa otro par (a’, b’), las imágenesinversasiW no puedenatarseni desatarse(si lo hicieran, existiríaun punto, comúna ambas,con dos imágenesdiferentes). Por tanto, el invariantede Hopf de la aplicación de Hopf U : —~ ~2, definido como el númerode enlacede cualesquierados imágenesinversas,vale 1. La aplicaciónde Hopf se puedeconsiderarcomo la proyeccióndel fibrado de Hopf, es decir, del espaciofibrado localmentetrivial cuyo espaciototal ~3 tiene como basea y como fibra a 5’ [183,184]. En el siguientecapítulode estamemoriaseretomarála discusiónsobrela aplicaciónde Hopf. Entréotras cosas,se indicaráuna técnicaparala obtenciónde todaslas fibras deestaaplicación,y tambiénde algunas aplicaciones“hermanas” de ella. Ahora, tras estaintroducción,que se esperasea iluminadora, ya se puedegeneralizarla definición del invariante. Sea una aplicaciónsuave f : —> 3” con u > 2. Si a y 6 son dos puntos disjuntos de 3”, entoncesf’(a) y f~1(b) son dos (u — 1)-subvariedadesdisjuntasen 32n1, de modo análogoal caso de la aplicaciónde Hopf. Se defineel invariante de Hopf como el número deenlaceL (f’(a), f’(b)) de esasdossubvariedades.Es, por tanto, 2 2 2 84 2 un númeroentero,y no dependede la elecciónde los puntos a, b c 5’’, como seacabade ver parael casode la aplicaciónde Hopf. Por tanto, 2 la definición del invariantede Hopf como númerode enlacees H(f) = L (r’(a), f~’(b)) Va # b e 5” . (4.25) 2 Además,si la aplicaciónf evolucionade maneracontinuacon respecto a cierto parámetrotemporal t, entoncesel invariante de Hopf no de- 2pendede t (es decir, semantieneconstante),debidoa la misma razón por la que no dependíadel par de puntosusadoparacalcularlo [2], es decir,existiríaal menosun instantecrítico to en él cualhabríaintersec- 2 cionesentrelas distintas(u — 1)-subvariedadesdefinidascomo imágenes inversasde puntos de 5”. Portanto, es un invariantetopológico, y el conjunto de aplicacionesf : 52n—í —÷ 3” puedeclasificarseen clases 2 de homotopia,caracterizadaspor un entero, que es el invariantede Hopf. Vamosa escribirotras dosdefinicionesde este invariante,todas equivalentes. 2 Si usamosconceptosbásicosde topologíaalgebraica,podemosdar una definición más formal [192]. Veámoslo brevemente.En el espa- _ 2cio R~ sedefine un r-símplice estándarcomo Gr = {cjr’ ..., x’), r O, 3~ u? < 1}. Ahora, un r-símplice singular en una variedad u- dimensionalM es una aplicaciónsuave8r : ~r ~ M (estossímplices 2se llamansingularesporque,en general,no daránuna triangulaciónde luí). Si {Sr,i} esel conjunto der-símplicesde lUí, sedefineunar-cadena enM comounasumaformalde r-símplicescon coeficientesenteros.Un 2 r-ciclo es una y-cadenasin frontera, y un r-ciclo fundamentales uno tal que no es múltiplo de ningún otro. Sean a, b e 5” dos puntos contenidosen n-símplicesdiferentes 2 (figura 4.3). Si 0,, es la u-cadenade 52n.d acotadapor la (u — 1)- cadenaf’(a), entoncesf(C,,) es un u-ciclo en 5”. Si designamospor 5 al u-ciclo fundamentalde5”, entonces1(0,,) = H(f)S, dondeH(f) 2 es el invariantede Hopf, que nos dice el número algebraicode veces que 1(0,,) cubreal punto ir Paraentendermejor estadefiniciónesútil 2colocarseen el casou = 2. Seauna aplicación1 : 53 ~ 52~ Si a C entoncesf1(a) es una curvacerradaen 53~ Consideremosla superfi- cie bidimensional02 en S3 acotadapor la curva f’(a). Es claro que 2f (O~) esun númeroenterode veces y cubrea un punto b # ci e esenúmeroenterode veces,quees el invariantede Hopf 11(1). 2 2 2 -3 85 s 2w) Figura 4.3: La aplicación f entreesferas,y una visión algebraicadel invariantede Hopf. Podemosdar unaterceradefiniciónequivalente,queserámuy usada en el futuro. Tomemoslas imágenesinversasdedospuntosa, b de 5”. Como éstasson (u — 1)-variedadescerradasdisjuntas,el número de enlacede ambas(el invariantede Hopf) es igual al númerode veces que una de ellas, por ejemplo f$b), cortaa una u-variedad3a cuya frontera es f’(a), y estenúmeroes igual al grado de la aplicaciónf restringidaa 5a, puescadapuntode5” tieneH(f) imágenesinversasen esavariedadS~. (estoes,básicamente,la definicióndelpárrafoanterior). El grado de tal aplicaciónesigual a la integralsobreS~ de la forma de volumen de 5”. Esto permitió a Whitehead[193,194] demostrarque el invariantede Hopf sepuedeexpresarcomo una integralde volumen. Seau una u-forma en 3” tal que Ja = 1 , (4.26) esto es, a es una forma de volumen. Consideremosel “pull-back” de f : 52nr1 .. S~, denotadopor fl, que es la aplicación inducida de maneranaturalquetraeu-formasen 5” a u-formasen 52n1, La forma escerrada, d(f*a) = 1*(d) = O , (4.27) puesda = O ya queno hay(u+1)-formasenS’¾Porotro lado, el grupo de cohomologíaH”(52”’), con u > 2 es trivial, comovimos al inicio 2 2 2 86 2 del apartado2.2.1, de maneraque f*cr estambiénexacta:existeuna 2(u — 1)-forma en 52n1, quedenotaremospor w, tal que,globalmente, dw = fa . (4.28) 2 El invariantede Hopf seescribeen estostérminos como la integral en la variedadde partidade la (2u — 1)-forma w A dw, estoes, 2 H(f)=J wAdw. - (4.29) 2 A partir de estaexpresión,se puededemostrardirectamente[184] que: i) H(f) esindependientede w. u) Si u es impar, entoncesH(f) = 0. iii) H(f) es invariantehomotópicoparau = 2rn. Porlo tanto,el conjuntodetodaslas aplicacionessuaves1 : 54m—1 _ 2 52m, con iii. > 1, puedeclasificarseen clasesde homotopía,cadauna de ellas identificadapor un enterollamado invariantede Hopf. 2 4.2.3 Definición de nudo electromagnético La definición deWhiteheaddel invariantede Hopf (4.29) nos va aper- 2 mitir resolverla ecuaciónd*F = O paracamposelectromagnéticoscuya forma de Faradayestá dadapor una ecuacióntipo (4.11). Sea~(r,t) 2una función compleja de las coordenadasdel espaciode Minkowski. Dadaslas condicionesde contornoque sehan escogido,estoes, que ~ seaconstanteen la superficie de fronterar —~ oc y que el espaciode 2llegadasealacompactificacióndel planocomplejo,sepuedetomaresta funcióncomo una aplicaciónsuave S 3~*S2 , (4.30) 2 paracadainstanteIt 2Consideremosla 2-formade volumende ~2, que,enlascoordenadas (ni, 122,123) de iO, talesqueu? + ~ + ~ = 1, sepuedeescribir [184] = 1 án 1A~i2 (4.31) 2 4ir nj 2 4 -3 87 También podemosidentificar todo punto de ~2 por medio de una co- ordenadacomplejax~ relacionadacon los u~ a travésde las ecuaciones (4.14) y (4.15) de la proyecciónestereográfica.En funciónde estaco- ordenadacompleja,la forma (4.31) es 1 dxAdi a = 2wi (1 + ÑX)2 (4.32) Consideremosahorael “pull-back” de la 2-formade volumen de ~2 por la-aplicación~í(r), que esla siguiente2-formadefinida en la variedad 53 — u {oc}, 1 #t(r) A d~t(r ) = 2iri (1 + ~t(r)&(r))2 (4.33) En la ecuacii5n(4.33)he mantenidola notación~t(r) paradiferenciarla del casode la ecuación(4.32). En estaúltima expresión,x es la co- ordenadacomplejaque recorrelos puntosde ~2, pero, en (4.33), ~ es una función complejade las coordenadasrealesxi, de maneraque la derivadaexterior de~ es = 5~=btdr3 , (4.34) esdecir, la forma (4.33)sepuedeescribir como 1 5k~t Oykt Ok’kt = - dr3 A dzk . (4.35) Segúnsehadicho enel apartadoanterior,(4.35) es una2-formacerrada en ~3, lo cual sepuedeverificar directamentederivandola expresión anterior, o notandoque dd4a = ~ da = O. Adamásesexacta,por las propiedadesde la cohomologíade ~3, de maneraqueexisteuna1-forma w(~t) = w~ dx’ (4.36) tal que ~a = dw(&), y con la propiedaddeque el invariantede Hopf de la aplicación~ : — 9 seescribecomo la integral = W(4$t) A ~a (4.37) 2 2 2 88 2 Parareconocermejor y sacarpartido de estos hechoses conveniente cambiarla notacióny hacerlamásfamiliar. Con esteobjetivo, escribi- 2 mos la forma (4.35) como P¿cr= ‘jk , (4.38) 2 donde el tensorantisimétricofjk es 2 fjk = 1 &J~L &k~bt — OiIU 5k~É 2wi (1 + ~tk)2 - (4.39) 2 Pero todo tensorantisimétricofJk en el espaciotridimensionalsepuede escribir como un vector de tres componentes,cadauna de las cuales 2 dadapor la expresión b~(r) = —1 5~ fik (4.40) y la afirmacióndeque«u esunaformacerradacorrespondea decirque el vector b essolenoidal,7 . b = 0. Análogamente,que «a = dwQk) 2 significa que b = 7 x a, donde a es un vector, relacionadocon la 1-forma w a travésde = a~ dx’ . (4.41) 2 Es claro que el vector b es siempretangentea las curvas de nivel de 2la aplicación ~, que son sus líneas de campo. El campo vectorial b seconocecon el nombrede vector de Whiteheadde ~. En función de estosvectores,el invariantede Hopfde la aplicación~ resulta,a partir 2 de la fórmula (4.37), = ¡ a b d3r (4.42) 2 que esla expresiónde la helicidaddel campovectorialsolenoidalb que 2 tanto se haestudiadohastaahoraen estamemoria. Recordemosqueel índicedeHopfesun invariantehomotópico.Esto quiere decir que, si ~ evolucionade manerasuavecon el parámetro 2temporal1, entoncesH(~ 1) no dependede esteparámetro. Evidente- mente,estonospermitegeneralizarel estudiorealizadohastaahoraal 2 2 2 -3 89 espaciode Minkowski. Paraello, tomamosel “pull-back” de la forma de volumende 52 por la aplicacióna todo tiempo t E R que sepuedeescribir como = 1 d~Ad~ ST (1 + ~&2 (4.44) es decir, * ___ a~ a~ — a~ 5U~ dxTM 1K dx’> . (4.45) = 4ri La forma (4.45) se puede identificar con la forma de Faradayde un campoelectromagnéticosinmásqueadaptarlademaneraquetengalas dimensionesadecuadas.Dadoqueestamostrabajandoen unidadesde Heaviside-Lorentz,y suponiendoque~ esunacantidadadimensional,se requieremultiplicar la forma (4.45) por unaconstantecon dimensiones de la raíz-cuadradade acción por velocidad. Como ya se dijo en el segundocapítulo, la unidad de acciónseráTi, y la unidadde velocidad seráe. En conclusión,definimos una formade Maxwell como 1 ~ dxTMAd U 2 ~> x , (4.46) dondea esun múltiplo real de la cantidadTic, y sehaescogidoel signo menos,que no varíael valor del invariantede Hopf, por conveniencia. Si ahoratomamosunidadesnaturales,Ti = e = 1, entoncesa es un númeroreal positivo. El tensorFr’> es,simplemente, —ji a~a~4 — a~5,4 = 2iri (1 + ~)2 (4.47) Siguiendolos pasosque se han dado para el caso tridimensional, la forma F escerraday exacta,de maneraque existeuna 1-formapoten- cial A = A~dx~ tal queF = dA. La helicidadmagnéticadeestecampo electromagnéticoes,por la ecuación(4.42) y el estudioque la precedió, hmzZJA.B d3r =aH(& (4.48) 2 2 2 90 2 es decir, es proporcionalal invariantede Hopf de la aplicacióna partir 2 de la cual ha sido construidoel campo,y este invariantede Hopf es un númeroenteroy es un invariantetopológico. Esto quieredecir que el conjunto de camposelectromagnéticoscuya forma de Maxwell se 2 puedeescribir como (4.46) seclasificanen clasesde homotopía,cada clasecaracterizadapor un númeroentero,que esel invariantede Hopf de la aplicacióna partir de la cual se construyeel campo,y que se 2 relacionacon la helicidadmagnéticapor la expresiónhm = aH(~). Volvamosal apartado4.2.1, pararecapitular.Habíamosencontrado que la identificaciónde las líneasmagnéticascomo curvasde nivel de 2 unafunción compleja~(r, t) conducíaauna2-formade Faradayde tipo E = f(~, q5) dq5 A d~. Ahora, acabamosde ver que, si escogemospara 2la función f la expresión f(~ 65P88”0 = 2ri (1 + 66)2 (4.52) 2 2 -3 91 De nuevo, la forma de Maxwell dadapor (4.52) es cerrada(el argu- mento de siemprede conmutatividadde las operacionesde derivada exterior y “pull-back”) y exacta(por la cohomología),asíque sepuede escribirO = dO, dondeO = C~, dx~ esla 1-formaque correspondeal cuadripotencialde Stratton,del que sehabló en el capítulo anterior. Como consecuencia,la helicidadeléctrica he=J CE d3r = aH(O) (4.53) estátopológicamentecuantizadapor el invariantede Hopf de la apli- cación O. Recordemosque el potencialde Stratton se escogetal que E=VxC. Ahora, para que las formas (4.46) y (4.52) den un campoelectro- magnétiéo,seha de cumplir la ecuaciónde dualidadO = *F, esdecir, 6u = —*(«u) . (4.54) Paraver mejor el contenidode la ecuaciónde dualidad(4.54),es con- venienteexpresarel campoen función de los vectorestridimensiona- les B y E. A partir de la forma F = ~ji~*a, el campo magnético = — 1/26ijk pik y el campoeléctricoE~ = Fo~ son ji 2iri (1 + ~)2 V~ x ~ E = ji v~— 9~=W). (4.55) Análogamente,a partir de la forma O = ji~*a, el campoeléctrico = —1/2 Eijk QJk y el campomagnéticoB,, = OjO son E = VOxVG, 2iri (1 + 00)2 _______ (aó 504 (4.56) 2iri(1+96)2 st nl La ecuaciónde dualidad(4.54) indicasimplementeque el campomag- nético dadopor (4.55) es igual queel dadopor (4.56),y lo mismopara 2 2 2 92 2 el campoeléctrico, esto es, la ecuación (4.54) se expresacomo las dos 2ecuacionesvectorialessiguientes ______ = (1±00)2 (~7o—~vÓ) 2 (1±60)2 x 70 = (1 +~)2 v~— (4.57) 2 Estassonlas ecuaciones(no lineales)que debencumplir lasaplicaciones ~ y O paraquelas2-formasquedefinenseanuncampoelectromagnético 2 en el vacío. En la secciónsiguienteveremoscómoresolverestasecua- ciones, lo cual es mucho más sencillo que resolver las ecuacionesde Maxwell. 2 A partir de las expresiones(4.55) o (4.56), se ve fácilmente que E . B = 0, es decir, los camposque hemosdefinido son campossin- 2gulares.Parasacarpartidode estacircunstanciaconvienevolver a las condicionesde contornode los camposeléctrico y magnético. Como serecordará,en el capítuloanteriorseexigió que los camposeléctrico 2y magnéticodecrecieranmás rápido que r2 en la superficie de fron- tera r —* oc. Además,en la sección4.2.1 hemosescogidoaplicaciones ~ y 0 tales que son constantesen esa frontera, es decir, sus respec- 2 tivos limites en el infinito no dependende la dirección. Si tenemosen cuentalas expresiones(4.55) y (4.56), resultaque las dos condiciones son unay la mismaparaestoscampos,es decir, si tanto ~ como O son 2 dos aplicacionessuaves,constantesen la superficie r —* oc, entonces los camposmagnéticoy eléctrico decrecenmásrápidoque r2 en esa superficie. En estascircunstancias,podemosaplicar el resultadode la 2 sección3.3.3 respectoa las helicidadesde los campossingulares,esto es, la helicidadmagnéticay la helicidadeléctricade un camposingular 2en el vacíoson iguales.Por tanto, se ha obtenidoun resultadosobreel invariantede Hopf de dosaplicaciones~‘, O : 53 —. 52, a saber,si éstas estánrelacionadasmediantela ecuaciónde dualidad0*a = 2entoncespertenecenala mismaclasede homotopía(tienenel mismoin- variantede Hopf), con las condicionesde contornoespecificadas.Este resultadose refleja, al mismo tiempo, en la igualdad del númerode 2 enlacede las líneasmagnéticasy eléctricasde los camposobtenidosa partir de lasecuaciones(4.55) y (4.56), lo cual indica queestoscampos 2 2 -3 93 estánclasificadosen clasesde homotopía,caracterizadaspor el valor común de las helicidadésmagnéticay eléctrica. Todasestascustiones estánresumidasen la siguientedefinición deun nudo electromagnético. Definición de nudo electromagnético. Dadasdosfuncionescom- plejas 4>(r, t) y 0(r, t), definimos un campoelectromagnéticoa través de las expresionesF = —jira y O = jiO*a. Este camposatis- face las ecuacionesde Maxwell si se cumple la ecuaciónde dualidad O = *F. Requiriendoque 4> y 0 se puedanconsiderarcomo aplica- ciones~3 >< R —~ ~2, los camposasí definidos tienentopológii~amente cuantizadoslos valoresde la helicidadmagnéticay de la helicidadeléc- trica, a través de los invariantesde Hopf de las aplicaciones4> y 0, respectivamente.Soncampossingulares,en el sentidoque E . B = 0, y por tanto las helicidadesmagnéticay eléctricacoinciden,exigiendoque 4> y 0 secomportenadecuadamenteenel infinito. Las líneasmagnéticas son las curvasde nivel de 4>, y las eléctricasson las curvasde nivel de O, de maneraque, recordandolo que se ha visto sobreel significado topológico de la helicidad, en el capitulo 2 de estamemoria, y sobre el invariantede Hopf, en el apartadoanterior, sellega a la conclusión de que cadaparejade líneasmagnéticasestáenlazada,con un número de enlaceigual al invariantede Hopf de 4>, y que cadaparejade líneas eléctricasestáenlazada,con un númerode enlaceigual al invariante de Hopf de 0, que es el mismo que el de 4>. Este númerode enlace es invariante topológico, así que no dependedel par de lineas usado para calcularlo. Además, los camposelectromagnéticosasí definidos sepuedenclasificaren clasesde homotopia,caracterizadaspor el valor común de las helicidadesmagnéticay eléctrica, y se conocencon el nombrede nndoseleetromaguéticos. 4.3 El modelo topológico de los nudos Los nudoselectromagnéticos,que se han introducidoen la secciónan- terior, son solucionesmuy curiosasde las ecuacionesde Maxwell para el vacíodebido a queel númerode enlacede las líneasde campoeléc- trico esigual al magnético,y estenúmeroviene dadopor el invariante de Hopf de ciertasaplicacionesusadaspara construir los nudos. Es- 2 2 2 94 2 pecialmenteinteresanteesque elconjuntode todos los nudoselectro- 2 magnéticosse puedeclasificar en clases de homotopía,cadauna de ellas etiquetadapor el valor común de las helicidades. En el capí- tulo siguienteestudiaremosalgunosnudosexplícitos,y suspropiedades 2 dinámicas,y enel capítulo6 veremosunaaplicaciónde la ideade nudo electromagnéticoa la física macroscópica.Perolos nudosno sólo son interesantespor eso,sino que puedenusarseparaconstruir localmente 2 todos los camposde Maxwell en el vacío, obteniéndoseasí un modelo parael electromagnetismoclásico. Estees el contenidodeestasección. Veremosque todo campoestándar(por estándarse quieredecir toda 2 solución de la teoríade Maxwell) es localmenteequivalentea la suma de un par de nudos. Luego estableceremosel formalismolagrangiano 2del modelode nudos,demostrandoque da las ecuacionescorrectas,y tambiénsehablarásobrelos gradosde libertaddel modeloy sobrela no linealidadde las ecuacionesdinámicasque satisfacenlos camposbási- 2cos,que son las dosaplicacionescomplejascon las cualesseconstruye el nudo. Las solucionesde estasecuacionesson mucho más directas que las de las ecuacionesde Maxwell, debido a que estándadassimple- 2 menteporunacondicióndeortogonalidadde las condicionesdeCauchy de los camposbásicos.Aunque,en todaestamemoria,setrabajasiem- pre a nivel clásico,en estasecciónseintroducentambiénlas llamadas 2 variablesde Clebschy su significado. Estasvariablessoncoordenadas canónicasde los campos,y podríanserútiles parauna eventualcuan- tizacióncanónicadel modelo. Los contenidosde estasecciónsebasan 2 principalmenteen los trabajos[2, 162]. 2 4.3.1 Equivalencia local de los nudos y los campos estándar 2 En principio, estáclaro que no todaslas solucionesde las ecuaciones de Maxwell en el vacío son nudoselectromagnéticos.Para empezar, 2 estosúltimos son, por definición, campossingulares,en el sentidoque E~ = 0. Además,no todoslos campossingularessepuedenobtenera partir dedosaplicaciones4> yO, encuyo casoseríannudos. Sin eníbargo. 2 sepuededemostrarqueel conjunto de los nudoselectromagnéticos,con un valor dadode la constantea , generalocalmentetodaslas soluciones 2 2 2 -3 95 estándarde las ecuacionesde Maxwell. Paraver esto,la estrategiaque seseguiráes la siguiente: primero, s~ demuestraque toda soluciónde las ecuacionesde Maxwell en el vacío es localmenteigual a la suma de dos campossingulares;segundo,se ve que cadacampo singular es localmenteigual a un nudo electromagnético.De estamanera,el conjuntode los nudoselectromagnéticosgeneraun modelo topológico del electromagnetismoclásicoen el vacío. Haremosusodel teoremade Darboux[195,196, 197, 198]. Sea F unak-formadefinidaen unavariedaddiferenciablede dimensiónm. Se defineel rango deF comoel númeromínimo y de 1-formaslin&almente independientestalesqueF sepuedeescribircomo productosexteriores de ellas. Evidentementek < r _ m. Pongámonosen el caso k = 2, esdecir, seaF una 2-formaantisimétricasobreun espaciovectorialM de dimensiónm. El teoremade Darbouxaseguraque F puedetener rango m sólo si m es par; si m = 2u ~‘ E tiene rango2u, entoncesse puedeescribir, en una baseconvenientede M, donde 1 es la matriz unidad u x u. Por tanto, si F es una forma simpléctica(estoes, cerraday de rango2u) sobreuna variedadsuave luí, entonces,paratodopuntox0 C M existeun sistemadecoordenadas localesen torno a xo en el cual los ~ sonconstantes.CuandoM tiene dimensiónfinita, el teoremade Darbouxnosdice que, localmente,en cadapunto existencoordenadas(0,... ,x”,y1, . . . ,y,,) talesque 71 = E dy, Att? . (4.59) i=1 Las coordenadas(0,.. . , u?,y1, ... , y,,) quedanla representación(4.59) parala forma E sellamancoordenadascauonzcas,y estándefinidasex- ceptociertas transformacionesque dejaninvariantela forma (4.59) y que sellamantransformacionescanónicas[41, 199]. ¿Qué significa el teoremade Darbouxpara el electromagnetismo en el vacío? Está claro que la forma de Faradaytiene rango 4 (se necesitanal menoscuatro1-formasparadeterminaríaen el espaciode Minkowski), siempreque el campoelectromagnéticoseano singular, y 2 2 2 96 2 es cerradapor la identidadde Bianchi, de maneraquees una 2-forma 2simplécticay se puedeaplicár el teoremade Darboux,para asegurarque, localmente,la forma de Faradayse puedeescribircomo F=dq’Adpi+dq2Adp 2 , (4.60) 2 dondelas funcionesde las coordenadasdelespaciode Minkowski q~(r, it), pj(r, it) son las coordenadascanónicasde la teoría de Maxwell, y se 2 denominanvariables de Clebsch [200, 187]. Las variablesde Clebsch sonbuenascoordenadasdel campoelectromagnético,y sepuedenusar 2parael formalismohamiltonianode la teoría[201],inclusogeneralizarlas a teoríasde Yang-Mills o al campogravitatorio [202]. Una buenaimagenfísicade la representación(4.60) es la quesigue. 2 Sea un campoelectromagnéticoen el vacío dado por los camposE y B. Su forma de Faradayseescribe F=E~dtAdx+E11dtA’dy+E~dtAd=— 2 —B~dxAdy+B~dxAdz—BxdyAdz . (4.61) 1 A travésde una transformaciónde Lorentz pura [175],con parámetro de velocidadV dado,en unidadesnaturales,por y E.B 4.62 2 1+1~2 E 2+.82’ nossituamosen un sistemade referenciaen el cual los camposeléctrico 2 y magnéticosonparalelosen algúnpunto determinadoP. Ahora, por una rotaciónespacial,podemostomarsu direccióncomún paralelaal 2eje =, esdecir, en el nuevosistemade referencia, E=F~,B=B~, (4.63) 2 (no he cambiadola notación paraindicar él cambio en el sistemade referenciapor no emborronarmucho las fórmulas;esperoque,de todas maneras,el contextoexplique lo que sequieredecir). La conclusiónes 2 que,en el punto P, la formade Faradayseescribe E = 1t A d(=E)+ dy A d(xB) , (4.64) J que es del tipo (4.60). 2 2 2 -3 97 En el vacío, le forma de Maxwell G = *F juegaun papelsimilar. Por tanto, todo campoelectromagnéticoen el vacío se puededar en función de doscuartetosdevariablesde Clebsch F = dq’ A dpi + dq2 A dp 2 G=dv’Adu1+dv 2Adn 2 , (4.65) sujetasa la condición de dualidad G = *F, estoes, cadauno de los cuartetos(q’, qtpí, P2) y (y’, v 2,nn212) son un conjunto completode coordenadascanónicas.Ya tenemosla notación quevamosa necesitar. En lasexpresiones(4.65)esclaro que,cadaparejadq A dp es un campo de tipo singular,esdecir E . B = 0. De hecho,paraun camposingular setiene que FAF=GAG=O, (4.66) estoes,tantola formadeFaradaycomola de Maxwell sondegeneradas. Ocurre entoncesque son de rango 2, por lo cual se puedendar local- mentecomoproductoexterior dedos 1-formas. Consecuentemente,un campo singular tiene dos variables de Clebsch,p(r,t) y q(r,t), y se escribensusformascomo FS = dq A dp = dv A du , (4.67) dondeu(r, it) y v(r, t) son otra parejade variables de Clebsch,rela- cionadascon laprimerapor la dualidad. Se concluyeque todasolución estándarde la teoríade Maxwell en el vacíoes localmenteequivalente a la sumade dos campossingulares,que a su vez se dan en función de dos variablesde Clebscha partir de (4.67), peroestadescomposi- ción no seráúnica,en general.El superíndices en (4.67) indicacampo singular. Volviendo a la interpretaciónde líneasde fuerzadel apartado4.2.1, hayque decirque, si el campoessingular,la notación (4.67) indica que esintegrable,en el sentidoquelas líneasmagnéticassonlas trayectorias del sistemadinámicointegrableque tiene a p y q como dos integrales primeras. El campomagnéticoes,entonces,tangentea las superficies magnéticasdefinidaspor las ecuacionesp = constante,q = constante, y las lineasmagnéticasson las interseccionesde estassuperficies,que 2 2 98 2 folian el espacioR3. Si las funcionesp(r, it) y q(r, it) son univaluadas, 2 entonceslas líneasmagnéticasno estánenlazadas[187]. Veamosesto Estamossuponiendoque la forma de Faradayde un camposingular (4.67) estádefinida globalmenteen el espaciode Minkowski. De esta 2manera,y dado que el segundo grupo de cohomología de R4 estrivial, se tiene F = dA, dondeA esuna 1-forma definida globalmente. Con- sideremosque las dos 1-formas de (4.67) están definidas globalmente 2 en i?~, ademásde estarlo su composición dq A dp. Entonces, por la cohomología,resulta que p y q son funcionesunivaluadas, y podemos escogerpara la forma A una del tipo 2 A=Aqdp—(l—A)pdq , O~’ZA<1 , (4.68) dondeA esunaconstante,puesdA = dq A dp = F. Pero,con estevalor 2 de A, la helicidadmagnéticaes cero,porque AAF=AqdpAdqAdp—(1—A)pdqAdqAdp0 , (4.69) 2 de maneraque resultaque, si p(r, it) y q(r, it) son funcionesunivalua- das,entonceslas lineasmagnéticasdel campoB = Vp x Vq no están 2enlazadas.Supongamosahoraque una de las dos 1-formasde (4.67), por ejemplo dq, divergeen todos los puntos de algunacurva cerrada 1 de R3. Entonces,su dominio espacialde definición es — {1}, que 2 eshomeomórficoa x R2. Estavariedadno essimplementeconexa, de maneraque su primer grupode cohomologíano estrivial, así que q ya no estádefinida globalmente(no seráunivaluada). En estascondi- 2 ciones,la 1-formapotencialno se puedeescribircomo (4.68), puesha de estardefinidaen todo R3. La generalizaciónde la expresión(4.68) para el caso en que dq divergeen unacurvacerrada,pero no dp,es 2 A = —pdq ±dx, (4.70) ya que el otro término de (4.68) es muy patológicopor serq una fun -2 ción multivaluada. En la expresión(4.70), el término dx se añade para corregir la posible indefinición de pdq, de maneraque tampoco 2estarádefinido globalmente(si lo estuviera,sólo seríaunatransforma- ción “gauge” en R3, que no influye en la helicidad),perola composición (4.70) sí estábien definida. La helicidadmagnéticaes 2 hm = J ~>¿. (Vp < Vq) 4< . (4.71) 2 2 2 -J 99 Si todoslos factoresde la ecuación(4.71) estuvierandefinidosen todos los puntosde R3, entoncessepodría aplicarel teoremade Stokesa la integral (4.71) y la helicidadmagnéticase anularía. En consecuencia para tenerenlacesen las líneas magnéticas,una condición necesaria (aunqueno suficiente) es que las variablesde Clebsch,p y q, no sean funcionesunivaluadasen R3. Estoscomentariostambiénnos previenen de escogerun potencialvector “sencillo” como el de la forma (4.68). Evidentemente,lo mismo se puededecir de las líneaseléctricasy las funcionesu y y. En el casogeneral(no singular),la forma de Faraday esde rango4, y no seráde la forma (4.67). La consecuenciaesque el campoya no esintegrable,y puedesercaótico, como seestudiaen los trabajos[45, 46]. Ahora se tiene que demostrarque todo campoelectromagnético singulareslocalmenteequivalentea un nudo. Másconcretamente,seva a probarla siguienteproposición. Todo camposingular qite sea.soluczou de las ecuacionesde Maxwell en el vacío, con forma de Faraday FS, regular en un dominioacotado del espacioden, coincidelocalmentecon un nudo electromagnéticoen torno a cada puntoP E D en el siguiente sentido: existe un nudo, conforma de Faraday F”, tal que F5 = F” en torno a P, excepto quizás en un conjunto de medida cero. Lo mismo ocurre con la forma de Maxwell. Estosignificaquela diferenciaentreel conjuntodecampossingularesy el conjunto de nudosno es local, sino global. En otras palabras,nudosy campossingularesson localmente iguales. Una pruebaesla siguiente. Sea la forma de Faradayde un campo singular dadapor (4.67). Podemostomar p(r, t) y q(r, it) como cantidadesadimensionales,en cuyo caso apareceráuna constantecon dimensionesde raíz cuadrada de acción pot velocidad. Redefiniendop y q, tomamosestaconstante como ji, para acercarnosa la notación de los nudos (en unidades naturales,en las que ji es un númeroreal, sencillamentedividimos algunade las variablesde Clebschpor estenúmero),estoes, FS=jidqAdp . (4.72) Ahora,hacemosla transformacióncanónica 6=—arctan . (4.73) 100 Estáclaroque 77 y 3 sontan buenasvariablescanónicascomo p y q. En función de ellas F~=jid3Ad77 . (4.74) Por otro lado, un nudoelectromagnéticodefinido a partir del escalar 2 4> = R e( 2~7tY> , (4.75) tiene por forma de FaradayF” = ~ji4>*j la expresión = ~d~Ad( 1 1~ 2) (4.76) 2 Estosignifica que FS seráun nudosi existenfuncionesregularesR(r, it) y ‘y(r,it) talesque 1 77= 3= ‘y. (4.77) La segundaecuaciónde (4.77) no tiene problemas,puestanto 6 como 2‘y han sido definidascomo funciones tipo fase, en (4.73) y (4.75). El estudiode la otra condiciónsepuededividir en doscasos,segúnseaij 2acotadao no. i) Primero,es claro que 77 es una función positiva por definición (4.73). Si ~ < 1 en todos los puntos,la soluciónpara la función R es 2trivial, y el camposingulardadopor F 3 es un nudo electromagnético Lo mismo sepuededecir si i.j esuna función acotada.Paraverlo, sea ~ =K, donde K es un número real positivo. Tomemos un número _ 2 enteroN tal que A? < N, y hagamosla transformacióncanónica 6’=N3 . (4.78) 2 Cambiandoahoralas variablescon primaspor las que no las llevan en las ecuaciones(4.77)obtenemosunasoluciónparalas funcionesR y ‘y, 2 dadapor N En conclusión,si 77 es l+R2 , N3= ‘y. (4.79) 2 unafunción acotada,entoncesel camposingular esun nudo. u) Seaahorael casoen el cual 77 no estáacotadaen el dominio D 2 (pero F~% son funcionescontinuas,y la ecuación(4.74) es aún válida) 2 2 2 -3 101 Sea~Del conjunto tridimensionalen el que 77 diverge,que ha de serun conjuntode medidacero paraque sepuedadefinir un campoelectro- magnético.En general,D — 2 constade un númerou de componentes abiertasconexas. Llamemos c D, a los u subconjuntosabiertos en los que ~ estáacotada.En cadauno de ellos, se puedendefinir las variablesR y ‘y por el método dado en (i). Se sigue entoncesque el camposingulares igual a un nudo en cadaD$ Ahora, el volumende D — UD7 sepuedehacertan pequeñocomo se deseeporqueel conjunto depuntosen los que 77 divergetiene medidacero. Por tanto, el campo singularFS sepuedeobtenerpegandolos correspondientesnudoselec- tromagnéticosF7, cadauno definido en su regiónD, exceptoparaun conjunto, tan pequeñocomoserequiera,que contienea E. Nóteseque no hay ningún problemasi algunode los D1 no es simplementeconexo. Lo mismosepuedehacercon la forma de Maxwell C 3, 4ue coincidirá con su correspondienteforma *F” exceptoquizáen otro conjunto de medidacero E’. Esto significaque todo camposingularcoincidelocal- mentecon un nudo electromagnético,exceptoquizásobreun conjunto de medidanula. En otras palabras,los campossingularesse pueden obtenerpegandonudos,generadospor funcionescomplejas4>~ y OJ, cada uno definidoen un dominio diferente,exceptoa lo sumo en el conjunto de medidacero E U E’. Esto finaliza la demostracion. Paraacabaresteapartado,convienedar algunosejemplosdel fun. 1 cionamientode la equivalencialocal que se acabade demostrar.Dare- mos tres: el campode Coulomb,la ondaplanay la ondaestacionaria. Seanlas funcionescomplejas 4>(r, it) = R ~ 21ri~ 0(r),) = Se2ffZ~~ . (4.80) Si definimos lasvariablesq y y según 1 1 ~= 1±82 ‘ (4.81) entoncesel campoelectromagnéticodado por F = ~ji4>*a, O = ji0a seescribe F = jidqAdp, O = jidvAdu, (4.82) 102 donde (q,p) es un conjunto de variablesde Clebsch,y (u, y) es otro conjunto, relacionadoconel primeroa travésde la ecuacióndedualidad G = *F, que se puedeexpresarcomo ¡bu 13 = jiS7pxVq=j! st E = jiVnxVv= ~?Vq) (4.83) Las variables (gp) y (u, y) son adimensionales.Además, por cons- trucción, q y u son funcionesfase, y O =p y < 1 Veamosahoralos Ejemplo 1. El campode Coulombprovocadopor una cargapun- tual de valor Q, situadaenel origen,es,medidoen unidadesnaturales de Heaviside-Lorentz, (4.84) A partir de las ecuaciones(4.83) obtenemosque estecamposepuede dar por las variablesde Clebsch ___ ___ (r2+t2)2¡rN, 2 p = q= lo~~—) Si-ji r3t y = cos2(4) Qa 21 = 2wji’ (4.85) Qr __ 13=0. 4irr3 ejemplos. donder 0 es algunalongitud, y a y /3 son los ángulospolar y azimutal, definidospor a = arctan(Y-) /3 = arctan( Las funcionescomplejasvienendadaspor (iQ 4> = —exp ¡ 4ji O = tan (1) (y 2 + it2)2 r3t exp 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (4.86) 2 íog(~) ) 2 2 (4.87) 2 2 2 -3 103 Comovemos,ambosescalaressonregularesexceptoen los puntosy =0 y y = oc. Parecesorprendenteque el modelo nos de una solución como (4.87) para un campo de Coulomb,cuandose suponeque nos restringíamosa camposen el vacio. Volveremos a esta importante cuestiónen la siguientesección. Ejemplo 2. Una onda planaque se propagaa lo largo del eje x tiene por camposeléctricoy magnético E = Eosin[wo(x -.-t)] & 13 = Eo sin [wo(x — t)] ~ . - (4.88) Las variablesde Clebsch,en estecaso,sepuedendar como 1 2Eoy p=—(1—cosl¿wo(x—t)]) , q= 2 1 2E0z = (1 — cos[wo(x — t)]) , 21= jiwc (4.89) y las funcionescomplejasson 1 + cos [wo(x — it)] (.4rEoy’\ 4> = sin [wo(x — it)] exp Q jiwo ) 1 + cos [wo(x — it)] (4irEozN sin [wo(x — it)] exp jiw0 ) (4.90) A partir de estasexpresioneses fácil ver que ni 4> ni O representan aplicacionessuaves —* paracadainstanteit, debidoa queno están bien definidasen el infinito. Sin embargo,hay aplicacionessuavesque coincidencon ellas en todo dominio acotado,y que sí estándefinidas en el infinito. El hechode no poder expresarlas ondasplanascomo nudosglobalesno ha de ser muy preocupante,ya queuna ondaplana extendidaa todo el espacioR 3 no es una soluciónfísica, puesrequiere una energíainfinita. Ejemplo 3. Una ondaestacionaria,que expresaun modo en una cavidadcúbica,seescribea travésdel potencial A0 =0, A 1 = A01 cos(kix) sin (k2g) sin (k3=)cos (wt) A2 = A02 sin (kix) cos(k2y) sin (k3z) cos (wt) , (4.91) A3 = A03 sin (kix) sin (k2y) cos(k3z) cos (wt) 2 2 104 2 dondek~ + k~ + /1= 2. Los escalaresquedanestecampo se pueden 2tomar como ‘P 2iriq 1—y 2z’riu ____ e , 0= e , (4.92) 2p y siendolas variablesde Clebsch 1 2—(1±sin (kix) sin (k2y) sin (ka:) cos(wt))= 2 = ~ log sin (k~x1)I) , . (4.93) 2= —(1 + cos (k1x) cos (k2y) cos (ka:) sin (wt)) , 1 2~ (2(IQ y 0 no estan bien definidas en los planos k1x = n1w, k2y = u2ir, k3z = u3ir, dondelos n~ son númerosenteros, 2puesp y it divergenallí. Pero existen escalares4>n1~~2n3 y Oflin2n3~ bien definidos y suavesen los dominios finitos n1ir < k1x < (ni + 1)ir, u2w < k2y < (u2 + l)w, u3r < kv < (ita + 1»r, quegeneranlos campos en cadauno de ellos. Sin embargo,éstosno puedenser construidosa partir de aplicacionessuaves 9 en todo el espacio.Como se dijo másarriba, los camposse puedenobtenerpegandonudos definidosen 2 dominios acotados. Desdeun punto de vista local, estaondaelectro- magnéticacoincide con un nudo en torno acadapunto (exceptoen un conjuntode medidanula), pero no hay un nudo que coincidacon ella en todo R 3. Convienehacer un último comentariosobre la equivalencialocal de los nudos y los camposestándar. En la demostraciónhecha no 2 se ha dicho nada sobre un valor predeterminadode la constantea. De hecho, para cada valor real positivo de a existe un conjunto de 2nudoselectromagnéticos,y cada uno de estosconjuntosgeneratodas las solucionesestándarlocalmente. Esto quiere decir que, en lo que sigue, se tomará a como unaconstantedel modelo de los nudos. Esta 2constantees la misma en todoslos nudos. Su valor quedaráfijado por requerimientosfísicos en la sección4.4 de estecapítulo. 2 2 2 105 4.3.2 Formalismo lagrangiano del modelo Según lo que se acabade ver, pareceposible estudiarel electromag- netismoen el vacíoa travésde un modelo topológicoen funciónde dos funcionescomplejas4> y O de lascoordenadasdel espaciode Minkowski. Paraformalizarestemodelo, usamosla integralde acción +J(FA*FGA*G) , (4.94) dado que es igual a la acciónusual de Maxwell-Lorentz. En (4.94), la forma F vienedadaenfunciónde4> y de ~, y la forma0, en funcióndeO y O. Evidentemente,seha de cumplir la ecuacióndeduálidadO = lo que imponemosa través del método variacionalde Lagrange. En consecuencia,el lagrangianodel modelose toma C—~%! (F 1~v(4>, ~)F TM~(4>, ~)— Q’>(O, 4) GPV(O,4)) 1 ¡ — 1 It” ¡00)~-. CjwaI3 (4.95) 2 2 donde )y’> es un tensorantisimétricocuyascomponentesson las seis constantesque juegan el papelde multiplicadoresde Lagrange. Las ecuacionesde movimiento de los camposbásicos4>, 4>, 0 y 4 son las ecuacionesde Euler-Lagrange _ op 4>)) (4.96) y análogasparalos otros tres campos.Dadoque E sólo dependede 4> y susderivadasa travésde ~ las ecuaciones(4.96)sepuedenescribir como OC OF 0>3 ( OC OF00 ) (4.97) OF00 54> ~ kOFOO a( 0~~4>) Derivandofuncionalmentela expresión(4.95) seobtiene OC —1 _____ — — (FO>3 + ~a0¡¡v ¾‘>) (4.98) OF 00 4 2 2 1106 Por otro lado, el tensor Fr,,, en función de 4> y 4>, era 2 ji O~4>&4>—O~4>Ov4 > = 2ri (1 + 4>4>)2 (4.99) de maneraque las derivadasque necesitamosson OF00 _ —2~ 2— — ~A’nn\ 04> 1+4>4> F00 , ~4.1UU) OFoi,~ — ji O(O~4>) 2iri(1-d-4>4>) 2 kO>3Y>3OY) Introduciendolas expresiones(4.98) y (4.100) en la ecuación(4.97) se llega a las ecuacionesdemovimiento ____ ______ — 2 O0(~ ji — OoFO>3 (4.101) 2 227i (1±4>4>)2 El lado izquierdo de la ecuación (4.101), que es el que dependede los multiplicadoresde Lagrange,resultanulo si se opera teniendoen cuentaque F 00 y Aa’> sonantisimétricos,ya que la cantidadque no es directamenteceroen la expresiónque los multiplica essim4tricaen a 2 y /5. En consecuencia,las ecuacionesde movimientopara4> son 1 O~4> o~r~>3 — O. (4.102) (l±~4>)2 Haciendolo mismoparalas otrastres variables,se llega a 2 O0F~>3O04> =0 , O0F~>3504>=0 O>3Co>3O~00 , O>3Ga>3OaO=O , (4.103) 2 que, junto a la ecuaciónde dualidad& = tE, da las ecuacionesde Maxwell correctas J 00F0>3 ~o , ~ = 0 . (4.104) 2 2 2 -3 107 De hecho,ya sabíamosque estasecuacionessecumplían,debido a las identidadesde Bianchi sobrelas formasde Maxwell y de Faraday. En estesentido,(4.104) no nosdicen nadanuevo. Incluso, si sustituimos los valoresde FO>3 y ~a>3 en función de 4> y O, en (4.104), y utilizamos la dualidad, las ecuaciones(4.104) son identidades.Como consecuen- cia, el lagrangiano(4.95) no tienemásecuacionesde movimiento para los nudos electromagnéticosque las identidadesque se deducendi- rectamentepor la construcciónde estosnudos. Peroes más impor- tante habercomprobadoque la ligadurano afectaa las ecuacionesde movimiento. Así, se mantieneen la evolución dinámicadel sistema, estoes, si imponemosque & = *F en el instanteinicial, entoncesesta condiciónsemantieneautomáticamenteen el movimiento. Por tanto, en el modelo topológico del electromagnetismoclásico basadoen las funcionescomplejas4> y O, la meraexistenciade estasfuncionesy la condicióndedualidaden el instanteinicial conducenautomáticamente a satisfacerlas ecuacionesde Maxwell. Además, como se dijo en el apartadoanterior,todasoluciónestándardeestasecuacionessepuede construir localmentea través de los nudos. Por tanto, es posible el modelo topológico basadoen estasdos funcionescomplejas,pero aún seha de estudiarla existenciade soluciones. 4.3.3 Las condiciones de Cauchy Paraconocersi existennudoselectromagnéticossehan de caracterizar las condicionesde Cauchy. Estasson las cuatrofuncionescomplejas 4>o(r) = 4>(r,t)¡~ú , 4>~(r) — O4>(r,t ) st t=o OO(r,t ) Oú(r) = O(r,it)¡~...o , Oi}r) — ~ , (4.105) es decir, las condicionesde Cauchyson ocho funciones reales. Estas funcionesestánsujetasa la condiciónde dualidaden el instanteit = 0, como hemos visto en el apartadoanterior. En la notación (4.105), la condición de dualidad se escribeen función de las siguientesseis 2 108 ecuacionesen las condicionesde Cauchyy sus derivadasespaciales: 1 (l+Oo0oft (ói. VOo —0~v40) (1 + ~%4>o)2V~0X V4>0 = (1 + 4>o4>o)2 (si. V4>o — 4>í v5o) (4.106) (190)2V9oxV0o 1 La respuestaa la preguntade la existenciade solucionesapareceya como positiva, pues tenemosseis ecuacionesparaocho incógnitas,las condicionesde Cauchy(4.105).Podemosutilizarlasecuaciones(4.106) paraeliminar incógnitas,en particular 4>í y 0~. Paraello, notamosque si los camposeléctricoy magnéticoson ortogonales,asíque las funciones 4>o y 0o satisfacenla condición 2 (VSo x V4>o) . (vó~ x Veo) = O , (4.107) quees unaecuaciónreal en derivadasparcialespara las dos funciones 2 complejas4>o y 00, y tieneinfinitas soluciones.Cadaunadeellas da una pareja(4>o(r), 0o(r)). Entonces,lasecuaciones(4.106) fijan las funciones 2 4>i y 01. A partir de la condición de ortogonalidad(4.107) se obtiene que existen dos funcionescomplejasde las coordenadas,f(r) y tales que V0 0 x VGo = f(r) V4>o — 1(r) V4>o 2V4>0 x V4>0 = 4(r) V00 — g(r) VOú , (4.108) así que, insertando(4.108) en (4.106),se obtienen J f(r)= ¿54>) 2 2 = _______ 2 g(r) . (4.109) 2 Consecuentemente,las condicionesde Cauchyson las dos funciones complejas4>o(r), Oo(r), sujetasa las condicionesdiferenciablesde or- togonalidad(4.107). Las solucionesexisten,y seránnudoselectromag- néticos. 2 2 -J 109 4.3.4 No linealidad escondida El modelo de los nudoselectromagnéticosquese ha conÉtruidopuede parecerlineal aprimeravista, porquelos camposE y 13 obedecenecua- cioneslineales,que sonlas ecuacionesde Maxwell en el vacío. Sin em- bargo,no puedeserrealmentelineal puesexistenconstantestopológicas del movimiento,es decir, los nudoselectromagnéticoscumplen hm=he=au , (4.110) de maneraque, si el campo (E, 13) es un nudo electromagnéticoy, por tanto, es solución del modelo,entoncesel campo (AE, AB) es otro nudo,en general,sólo si A es un númeroentero. En estecaso,si (E, 13) estabaconstruidoa partir de las funciones 4> = R exp(2wiq) y 0 = 5 exp(2irin), entoncesel nudo (mE, mB) estáconstruido a partir de 4>&~) — R exp(2irimq) y 0(m) = 5 exp(2irimu). Así, si (E,B) era un nudo con helicidad Ti,,, = he = au, entoncesel nudo (mE,mB) tiene Ti,,, =h = a nm2. Cuando A no es un entero, entonces,en el caso general,(AE, AB) no es un nudo desdeel punto de vistaglobal, pero lo es desdeun punto devista local. La diferenciaestáen la maneraen la quelos camposse comportanen el infinito. En estoscomentariosse ha especificadoque, si (E, 13) es un nudo, entonces(AE, AB) es también un nudo si A es un númeroentero, y no lo es,globalmente,si A no es un entero,en general. La precisión “en general” es importanteporque, si el campo (E, B) esun nudo,perosus aplicacionesbasenuncatoman los valoresceroni infinito, entoncespertenecea la clasede homotopía de helicidad nula, y, en estecaso, todos los múltiplos (AE,AB), con A real, son nudoscon helicidadnula. Esto sepuedeconsiderarcomo un residuode linealidad. Las mismasconsideracionesse puedenhacer respectoa la sumade dos nudos: en general,no seráun nudo global. Todo esto es consecuenciade las ecuacionesno lineales quesiguen las funcionesbásicas4> y 01 El modelo de los nudostiene unapeculiar formadeno linealidad,que puededenominarseno linealidad escondida [2]. Lo queocurre es que el conjunto de los nudos electromagnéticos forma un subconjuntono lineal del espaciolineal de solucionesde las ecuacionesde Maxwell, pero puedeconsiderarsecomo subconjuntoli- neal desdeun punto de vista local. Sin embargo,el sacrificio de la 2 2 110 2 linealidad se ve recompensadopor la incorporaciónde reglas de cuan- tización topológica,quevan a serdesarrolladasen la siguienteseccion 4.4 Cuantización topológica Estasecciónestádedicadaala explicaciónde las reglasdecuantización 2 topológicaque aparecenen el modelo de los nudoselectromagnéticos. Comoyase hacomentadoen las seccionesanteriores,estemodelotiene por camposbásicosdos camposescalarescomplejos,definidosen el es- pacio de Minkowski cuyaparteespacialestácompactificaday, además, se consideraqueel espaciode llegadaes el plano complejo compacti- ficado, esto es, 4> , O : 53 >< R —~ 52~ Estos camposdan lugar local- 2 mentea la teoría de Maxwell en el vacío, con tal quesus condiciones de Cauchy 4>(r, 0) y O(r, O) satisfaganunarelación de ortogonalidad. Al ser 53 unavariedadno trivial (senecesitandos cartascoordenadas 2 para definirla), nos encontramoscon queaparecencargastopológicas, que son cantidadesintegralesconstantesdel movimiento, y cuyo valor estádiscretizadopor motivos topológicos. Las cargastopológicasdel 2 electromagnéticostienen un significado físico espe- cialmenteclaro, quevamosa tratar en estasección,basándonosen los trabajos[2, 159, 161, 162]. 2 En primer lugar, los nudos definidos espacialmenteen 53 tienen cuantizadoel valor de las helicidades.Se relacionaráestacuestiónconel 2estudiodela helicidadelectromagnéticadel capítulo3, y seobtendráun valor fijo parala constantea delmodelo. Porotro lado,seestudiaránlos camposdeCoulombdel modelo,queno sontodoslos permitidospor la 2 teoríade Maxwell, sino quesólo pertenecenal modelo aquelloscampos de Coulombacopladosa cargaseléctricasy magnéticaspuntualescuyo valor es un múltiplo enterode unacargafundamental. 2 4.4.1 Cuantización topológica de la helicidad y 2normalización de los nudos En el apartado4.2.3 de estecapítulo, al definir los nudos electromag néticos,se encontróque las helicidadesmagnéticay eléctrica estaban 2 dadaspor los invariantesde Hopf de las dos aplicacionesa partir cíe 2 2 -3 111 las cualesse construíanlos camposmagnéticoy eléctrico, esto es, en un principio parecíanexistir dos cargastopológicas. Sin embargo, la condición de ortogonalidadde los camposbásicosobligaba a igualar el valor de ambascargas. Como consecuencia,sólo hay un invariante de helicidad en el modelo de nudos, y sólo hay una cargatopológica. Estaes una buenanoticia, como se verá. Consideremosla helicidad electromagnética,definida como la suma de las helicidadesmagnética y eléctrica. Para un nudo electromagnético,definido a partir de los escalares(4>, 0), se tiene hmaH(4>) , h6=aH(0) H(4>) = H(O) = u , (4.111) de modo que la helicidadelectromagnéticadel nudo es hhm+he2an , (4.112) quees la cargatopológicanatural asociadaal nudo. Por otro lado en la sección3.3.2 del capitulo 3, vimos que la helicidadde todo campo electromagnéticoen el vacíosatisface Ti = 2lic (NR — Nt) , (4.113) (en esteapartadousamosunidadesfísicas,por claridad) donde NR = Jd~k aRaR , N~ = Jd~k dtan , (4.114) siendoa~(k), aL(k) transformadasde Fourier del potencial vector A, es decir, son camposclásicoscuyosanálogoscuánticosse interpretan, en electrodinámicacuántica,como operadoresdeaniquilación parafo- tones con polarización dextrógira (helicidad +1) y levógira (helicidad —1), respectivamente,de modo que, en la teoría cuántica, NR y N~ se interpretancomo los operadoresnúmero de fotones dextrógiros y levógiros. Dado que la ecuación(4.112) es válida para todo nudo, y la ecuación(4.113) es válida para todo campoelectromagnéticoen el vacío, igualándolasse obtienela siguienterelación Ti = 2am = 2Tic (NR — NL) (4.115) 2 J 112 2 válidaparatodo nudoelectromagnético.En conclusión, los nudoselec- tromagnéticostienencuantizadatopológicamenteel valor de la canti -2 dadclásica NR—NL= (~;) u, (4.116) 2 y puedenclasificarseen clasesde homotopía,etiquetadaspor el valor de esacantidad. Ahora bien, se ha comentadoen la secciónanterior queel conjuntode nudos con un valor determinadode la constantede 2 acciónpor velocidada generalocalmentetoda la teoría de Maxwell en el vacío,estoes,paracadavalor de a tenemoslocalmentetodala teoría 2 Con estoen cuenta,lo mássimple y mejor que se puedehaceres tomar a = Tic , (4.117) puesentoncesse tiene la muy interesanterelación 2 NR—NL=u , (4.118) 2 es decir, la cantidadclasíca NR — NL estatopologzcamentecnantí=ada por el valor comúndel invariante de Hopf de los campos escalares bási- cos. Esto es expresablediciendoque, si a = Tic (o a = 1 en unidades 2 naturales),los nudoselectromagnéticosson los camposclásicoscon la normalizacióncorrectaparaserel límite clásicode la teoríacuántica,en 2la queel espectrodel operadorNR — NL esel conjunto de los números enteros.Por estarazón,a partir de estemomentosetomaráa = Tic. En relaciónconla normalizaciónde los nudos quese haestablecido, 2 es convenientedecirque,si multiplicamoslas fasesde los camposbásicos 4> y O por un enteroj, los camposB y E resultan multiplicados por j, y la energíay la helicidad resultanmultiplicadaspor j2. De este 2 modo, se puedendefinir nudos con cantidadesdinámicas tan grandes como se desee,incluso con el pequeñovalor de a quese haencontrado, que juega el papel de unidad de helicidad. También es conveniente 2 comentarque, en ningún momento, se pretendehablar de nociones como “fotonesclásicos”,sino sólo queexisteunacorrespondenciaformal uentrelas cantidadclásicaNR— NL y el operadorcuánticodehelicidadSegún vimos en la sección4.3, los nudos son campos singulares (E .13 = 0), y cadacamposingular el localmenteequivalenteaun nudo. 2Por otro lado, el teoremade Darbouxasegurabaque todo campoelec- tromagnéticose puedeescribir localmentecomo suma de dos campos u 2 2 -3 113 singulares. Consecuentemente,todo campo no singular es localmente igual a la suma de dos nudos. Consideremosun campo no singular formado por la sumade los nudos (4>í, Vi.) y (4>2,02), es decir E=E1+E2, B=B1+B2, ED =Ei..B2+E2131#0, (4.119) que se puededenominar nudo compuesto,pues cadapareja (Ea, Ha), con a = 1,2, es un nudo. La helicidad de este nudo compuesto, suponiendoque los invariantes de Hopf involucradosson H(4>1) = H(0i) = ~í y H(4>2) = H(02) = u2,estal que 1/NR—NL =121+ u2 + KS JR~ (Ai. ~2 + C1~ E2) d 3r , (4.120) pueslas ecuacionesde Maxwell implican que IR~ (A 2.B1+C2.Ei) d~r=J (A1.B2+C1.E2) d 3r . (4.121) Por tanto, en los nudos compuestos,localmenteequivalentesa todo campoelectromagnéticoen el vacío, la cantidadclásicaNR — NL ya no será,en general,un númeroentero. Apareceun “término de inter- ferencia”, cuyo significadotopológico (tal vez relacionadocon posibles enlacesdelas líneasdeunnudocon otro,tal vezcon la direcci6nrelativa dedichaslineas) no hasido encontradopor ahora. La ecuación(4.120) paraun nudo compuestohaceaúnmásvalioso el resultado(4.118),pues pareceindicar que los nudossimples,convenientementenormalizados, que generanla teoría de Maxwell en el vacíopor sí mismos (a través de sumasde dos de ellos, en general),son los únicos quedanun valor enteroa la cantidadclásicaNR — NL. 4.4.2 El problema de la carga eléctrica Uno de los problemasfísicos básicosaúnsin resolver es el de la dis- cretizaciónde los valoresposiblesde unacargaeléctrica. Experimen- talmentese observaque los valoresde todaslas cargaseléctricasais- ladasque aparecenen la Naturalezason múltiplos enterosde un valor fundamental,quees el de la cargadel electrón, Q e =126 , e= 4ircx~=O.3O28” (4.122) 2 2 114 2 dondeel valor de e en (4.122) estámedido en unidadesnaturales[203], 2y c~ representala intensidadde la interaccióneléctricaentredoscargas devalor e. Existenmuchasposiblesexplicacionesteóricasde estehecho pero aún no hay una que satisfagaa todoel mundo. 2Unaposibleexplicación,en el contextode la teoría“gauge” U(1) del electromagnetismo,estáen usaruna representaciónunitariadel grupo “gauge” en la cual los parámetrosde las transformacionesesténdis- 2 cretizados[197],pero no estámuy claroel porquéde estaligadura. Por otro lado, la posibilidadde formular las ecuacionesde Maxwell sobre cualquiervariedadcuadridimensionalcon métricade tipo lorentziano 2 (a través de las formas de Faradayy de Maxwell) ha permitido al- gunosmodelosen los que serespondela cuestión“¿qué es la carga?” con la frase “carga es topología” [204]. En esta idea se basanalgunas 2 explicacionessobrela posibilidad de variedadesen las que hay “carga sin carga”, es decir, el valor del flujo del campoeléctrico a travésde ciertas superficiescerradases no nulo aunqueno existencargaseléctri- cas,pero el espacioes topológicamenteno trivial [205, 206]. Aunque algunos de estos métodosde comprensióndel problema de la carga 2parezcanextraños, sin duda ilustran unaopinión queestállegando a ser cada vez más convincente: en física teórica debehaber algo más quesólo ecuacionesdiferencialeslocales. Además,existenmuchoscan- 2didatosa “teorías de todo” (modelosmatemáticosque unifican todas las interaccionesfundamentalesy todos los posibles tipos de materia de la Naturaleza)quetienen su propio mecanismode cuantizaciónde 2 la carga. Peroquizá la máselegantede todaslas explicacionesal problemade la cuantizaciónde la cargaes la introduccióndel monopolomagnético, esdecir, cargasmagnéticaspuntuales,queideó Dirac en 1931,y queha sido tratadaen sus aspectosfísicos y matemáticosen infinidad de oca- siones [207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214]. Un aspectoimportante 2 de las teorías “gauge” no abelianases que poseensolucionescon las propiedadesde monopolosmagnéticos[215,216], llamadosmonopolos 2de ‘t Hooft-Polyakov. En estecontexto,seconjeturaquelos monopolos asociadosconla ruptura espontáneadesimetríadeunateoría “gauge” de gran unificación deberíansersuperpesados(del ordende 1016 GeV). 2 y talesobjetospodríanhaberescapadoa la detección.La búsquedaex- perimental de monopolosmagnéticosha sido infructuosahastaahora 2 2 2 4 115 (una única señalpositiva fue encontradapor Cabreraen 1984 [217], pero aún no sehapodido repetir). En esteapartadoconsideroconve- niente recordarbrevementealgunode los aspectosrelacionadoscon el monopolode Dirac. Recordemosquela teoríaclásicade Maxwell en el vacioesinvariante bajouna simetríallamadadualidad,quecorrespondeal intercambiode las formas de Faradayy Maxwell F h—* O , & H-* —F , (4.123) dondeO = *F. Cuandoexisten cargasy corrienteseléctricas,esta simetríase rompe,porquelas ecuacionesson (4.124)O QIJIJ o , O~F~”> donde la cuadricorrientej~>(r, it) para una cargaeléctricapuntual de valor Q~ en la posiciónxg se define como = Qe J dx~ 3~4~(x — xo) , (4.125) y la integralen (4.125)se realizaa ló largo de la líneade universode la partículapuntual. Si se quieremantenerla simetríade dualidaden las ecuaciones(4.124), habríaque introducir cuadricorrientesmagnéticas j~,, dadaspor = QmJdx~5<4>(x — xo) , (4.126) y ecuacionesde Maxwell modificadas — , O,IF”’> — , (4.127) y la operaciónde transformaciónde dualidaden el casode existencia de cargassería De estemodo, la simetríadela dualidaden la teoríaclásicade Maxwell con partículascargadasintroducemonopolosmagnéticos.También se 2 2 116 2 ha de decir que la máxima simetría en las ecuaciones(4.127) se en- contraríasi los valores mínimosde las cargaseléctricasy magnéticas fueran iguales. A nivel clásico,por tanto,los rnonopolosmagnéticosestanal mismo nivel quelascargaseléctricas,y esextrañoquelos primerosno sehayan detectadoen el laboratorio. Dirac demostróque, a nivel cuántico, la existenciade monopolosconduciríaa la condición 2 QQ m = 2wm , (4.129) dondeu es un entero. Estaexpresiónimplica cuantizaciónde la carga 2 eléctrica, problemaresueltosi existe un monopolo en la Naturaleza Además,la condiciónde Dirac traeconsigounaposibleexplicacióndela 2dificultad de la observaciónde monopolos.SupongamosqueQe = mee, donde e es la cargadel electrón, y que Qm = 12m9, donde y es el valor unidad, al que, segúnla condiciónde Dirac asociaremosun 2 2w 9 = . (4.130) e 2 La intensidadde la interacción magnéticaentre un par monopolo- antimonopoloes 2 y _ 7V 1 _ 2 __ (4.131) lo cual quieredecir que es aproximadamente5000 vecesmásdificil se- 2pararun par magnéticoque uno eléctrico. Sin embargo,aúnasí parece complicadoque el hecho de no habersepodido detectarclaramente ningún monopolomagnéticosedebaúnicamentea estaexplicacion. 2Por último, derivemosla condiciónde Dirac. Un monopolosituadoen el origen creaun campomagnéticoquees B = . (4.132) 2 Dado qué, en estecaso, ya no se cumple dF = O en R4, no podemos 2 tomarF = dA (a nivel clásico,estono tienemuchaimportancia,porque lo básico es el campomagnético,y éste es tan buenocomo el campo 2eléctricode Coulomb). Pero,si restringimosnuestrodominioespaciala R4—{0} x R, entoncesdF = O en eseespacio,dondehemoseliminadoel 2 117 punto de divergenciano nula del campomagnéticoparacadainstante (por eso “multiplicamos” el punto por el eje de tiemposreal), es decir, el punto dondeestásituadoel monopolo. Lo que ocurre ahoraes que — {O} >< R no sepuedecontraersuavementea un punto, de manera que no existeglobalmenteuna 1-forma A en esedominio tal que F = dA. Pero R4 — {0} x R es homeomórficoa x 52, así que, por serR2 contraible,necesitaremosdoscartascoordenadasparadefinir el potencialA (correspondientesa 52). El resultadoes -Q ir A 1 = m(cos>~31)da —< R, y entonceslo esen 5, por lo cual todalínea de nivel de 0 que sale de 5 vuelve a entrar. Por otro lado, el campodefinido por O es un campoen el vacío, demaneraque no haycargasy el flujo eléctricoescero. De modo que la analogíagrado-cargasecumpleen el casotrivial. Supongamosahora que O es regularen x R exceptopor una singularidaden un punto del espacio,que llamaremosP, en el cual convergeno divergenlas curvasde nivel de O. Como ya sedijo en el apartadoanterior, el dominio de definición de O es, entonces,home- omórfico a 32 >< R2. Si 5 esuna superficieespacialcerradaque rodea al punto P, el flujo del campoeléctrico definido por *F = ji0*a es Qej*Fji72 , (4.140) donde m es el grado de la aplicacióninducida0 : 5 —~ ~ Como con- secuencia,la cargaeléctricaestácuantizadaen el modelo de nudos, ya que sólo son posiblescamposde Coulomb acopladosa cargaseléc- tricas cuyo valor estádado por (4.140). El modelo poseeuna carga fundamental,de valor qo = ji , (4.141) lo cúal quiere decir que sólo se admitencargasde valor un múltiplo enterode vecesla cargafundamental(4.141). Ahora, hay que recordar que, en el apartado4.4.1,se fijó el valor de la constantea del modelo, de tal maneraquea = Tic, en unidadesfísicas, o a = 1 en unidades naturales. Por tanto, la cargafundamentaldel modelo topológicode los nudoses qo = 1 , (4.142) en unidadesnaturales,y el númerode cargasfundamentalesdentrode cualquiersuperficiecerrada5 esigual al grado de la restricciónde la aplicaciónO a 5. Paraclarificar estospuntos, recordemosel ejemplo 1 del apartado 4.3.1. Allí timos que el campo de Coulomb estabadado por la apli- 2 si 120 2 cación o=tanQ) exp(<) (4.143) 2 donde a y /3 son, respectivamente,los ángulospolar y azimutal. Si 2 = ji, entoncesO estádefinida en 52 x R2, donde~2 es la superficie de la esferax2 + y2 + :2 = 1, y fi2 esel productocartesianodel ejer y el eje it. En estecaso, (4.143) resulta 2 x+~y (4.144) que no es regularen los puntosO ni oc. La irregularidaden el infinito impide que O puedaser tomadacomo una aplicaciónde S3 x fi 2y la irregularidaden el punto O indica que hay una cargaen esepunto. El valor de la cargaesigual al gradode la restricciónde 0 a la superficie r = 1, queesigual a 1 parala aplicación (4.144). 2 Otracuestiónmuy importanteesquelo hechocon O sepuedehacer con 4>. Deestemanera,el modelode los nudosadmitetambiénmonopo- los magnéticoscuyo valor es = nji= m , (4.145) de maneraque la cargaeléctricay el monopolomagnéticofundamen- tales tienen el mismo valor, 1 en unidadesnaturales. El modelo es completamentesimétrico en sus parteseléctricay magnética. Se asumeque,al serésteun modeloclásico, los valoresde las cargas han de ser renormalizados.Teniendoen cuentael valor del monopolo 2 de Dirac, g = 2ir/e, resulta e =Xq 0=X g= Yqo= Y, XY=2ir . (4.146) Y Unaimagendecómo actuaríala renormalizaciónde estosparámetroses 2 la siguiente. Si el vacíoesdieléctricoy paramagnético,las correcciones cuánticasdebidasal mardeparesvirtualesharíadecrecerla cargaeléc- trica, pero incrementaríael valor del monopolo; en otraspalabras,la cargaeléctricaobservadadebesermáspequeñaque la del vacio,pero 2 2 121 con el monopolomagnéticoocurre lo contrario. Sin embargo,estear- gumentoes especulativo,y debeser tomado con cuidado. El modelo de los nudoselectromagnéticosposee,de maneranatural y clásica,un mecanismotopológicoparala cuantizaciónde las cargas,pero, respecto a los valoresde las cargasfundamentalesen el vacío, esnecesariauna mayorbomprensiónde los mecanismosde renormalización,y también, posiblemente,de la simetríade la dualidady su rupturaespontánea. 122 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -3 Capítulo 5 Estudio de algunos nudos electromagnéticos en el vacío 5.1 Introducción. Objetivos del capítulo De maneraindependientede su importanciacomo basedel modelo topológico del electromagnetismoque se ha presentadoen el capítulo anterior, los nudos electromagnéticosson solucionesestándarde la teoríade Maxwell en el vacíocon propiedadestopológicasque los dis-. tingúen del resto. En particular, su helicidad estátopológicamente cuantizada,de maneraque hm = Ti 6 = n a, dondeel númeroentero u tiene el significado de invariantede Hopf de las dos aplicacionesa partir de las quese construyenlos camposmagnéticoy eléctrico,lo que indica que cadapar de líneasmagnéticasestáenlazada,con un número de enlaceigual a u, y cadapar de líneaseléctricasestáenlazada,con el mismo númerode enlaceque las magnéticas.Esto permiteclasificar los nudos en clasesde homotopíaC,,, etiquetadaspor el valor u del númerodeenlace. El objetivodeestecapítuloes la obtencióny estudiodeunafamilia denudosexplícitos,solucionesdelasecuacionesde Maxwell enel vacío, que seránrepresentantesde las clasesde homotopiaC±,,2.Estassolu- cioneshan venido siendocaracterizadasen los trabajos[218, 2, 160, 162]. En la sección5.2 se encuentranlas condicionesde Cauchy de algunosnudosdeclaseC1, basadosen la llamadafibración de Hopf. El 123 2 2 2 124 métodopuedegeneralizarsede maneraquese obtienenlas condiciones deCauchydenudosrepresentantesde lasclasesC±,,2,lo que se haceen 2 la sección5.3. Finalmente,en la sección5.4 seencuentranlos campos paratodo instante,junto con un estudiode suspropiedadesdinámicas 1 y, especialmente,de la evoluciónde los camposescalaresbásicos. 5.2 Condiciones de Cauchy de una fa -2 milia de nudos de clase Cí 2 El problema de la búsquedade nudoselectromagnéticostriviales, es decir, pertenecientesa la clasede homotopíacero, tiene una solución muy sencilla. Sólo hay que encontrardos aplicaciones53 ~2 tales 2 quelos cámposvectorialestangentesen todopuntoa suscurvasde nivel seanortogonalesy quetenganíndice de Hopf cero. La cuestiónsecom- plica cuandose buscannudos representantesde clasesde homotopía 2 no triviales (ocurrelo mismo que en el casode solucionesinstantónde las teoríasde Yang-Mills con númerode instantónno nulo, cuya ob- 2tenciónimplica la utilización de técnicasmatemáticasrefinadas,como cuaternioneso twistors [36, 219]). En el caso de los nudos,hay que trabajarcon aplicaciones53 9 de í~idice de Hopf no nulo, pero de 2éstasno seconocentantascomo de las triviales. Un método elegante deenfrentamientodel problemaesel basadoen teoríade gruposde Lie [220],en nuestrocasoel grupoSU(2). A travésde estemétodoseen- 2 cuentraunafamilia deaplicaciones53 —‘ 52 no triviales, y tambiénuna maneradeobtenerdirectamentesuscurvasde nivel como solucionesde un grupo uniparamétricode difeomorfismosen el grupo SU(2). Nos 2 toparemosasícon la fibración de Hopf, y las condicionesde Cauchyde nudosrepresentantesde la clasede homotopíaC~. 2 5.2.1 Planteamiento del problema En esteapartadose resumeel problemade la búsquedade las condi- cionesde Cauchyde un nudoelectromagnéticode claseC,,. En primer lugar, sea4>o : ~2 unaaplicaciónde índice de Hopf ti. Porproyec- 2ción estereográfica,se puedeconsiderarque 4>o es unaaplicaciónde las coordenadasespaciales(x’ y,:) en el espaciocomplejo compactificado 2 2 2 -3 125 Hechoesto, el campomagnéticoen it = O sedefinecomo B(r,0) = ji(2iri)(1 + ~o4>o)2V4>0 x V4>0 . (5.1) Buscamosahoraotra aplicación0~ : -.~ § tal que la velocidadde sus curvasde nivel seaortogonalen cadapunto a la velocidadde las curvasde nivel de 4>o, estoes, (VSo >< V4>o) (Vt% x VOo) = O , (5.2) con lo cual el campoeléctrico en it = O es VGoÉ(r,0) = (2ri)(1 + GoOo)2 x V00 (5.3) que seráortogonala B(r,0) por (5.2). Paraque estacondiciónde or- togonalidadsemantengaen todoslos instantesposteriores,esnecesario que,ademásde (5.2), secumplaqueel indicede Hopfde 00 seaigualque el de 4>o, puessedemostróenel tercercapítulode estamemoriaquelos campossingularestienenel mismo valor de lashelicidadesmagnéticay eléctrica. Encontradas4>o y Oo con estosrequerimientos,lo siguientees identificar las funcionescomplejasf(r) y g(r) quesatisfacen VOox VG0 = fV&fV4>o V4>0>c V4>0 = ~VO0—g VG0 (5.4) a partir de las cualesdefinimos 4> = ¡ 1+~o4>o~2 k 1±4000) ~ (í±úooo 2 01 = k 1+~o4>o) g . (5.5) Las condicionesde Cauchyde las funciones4>(r, t) y 0(r, it) sonentonces las dadasen la ecuación(4.105),que reproducimos, 4>o(r) = 4>(r, t)¡~....0 4>i(r) — O4>(r, t ) oit 1=0 Oo(r) = O(r,it)¡1~0 0i(r) bO(r, it) (5.6) bit 1=0 2 2 2 126 2 y las condicionesde Cauchyde los camposmagnéticoy eléctricoson 2 B(r,0) = o4>o)2 V4>0 >< V4>0 (Ji. VI) 0 VG~ 2 (22ri)(l + GoOo)2 0 — 1 0) jiE(r,0) (27ri)(1+ OoOo)2 VG0 >< VI)0 (5.7) 2 (2ni)(1 + So4>o) 2 (si. V4>o’ 4>i V~o) . Las ecuaciones(5.7) son,precisamente,lasecuacionesde dualidadO = tE, en it = O, de un nudo electromagnéticodefinido como 2 F= ~ji4>*< 7, & = jiI)*j . (5.8) Dadoque la dualidadsemantieneen el tiempo (lo vimos en el cuarto 2 capítulo), se concluyeque la ecuación (5.7) se mantienedurantela evolución temporal de los camposmagnéticoy eléctrico y, por tanto, 2 éstosdefinenun nudo electromagnéticode claseO,,. 5.2.2 El método de teoría de grupos para encon- trar aplicaciones S 3 —* Un métodoeleganteparaencontraraplicaciones53 -.~ 52 no triviales 2 se basaen la identificaciónde las variedades53 y SU(2). Vamosa desarrollarloaquí, pero antesrecordemosmuy brevementelas nociones 2básicasde teoríade gruposque necesitaremos[37]. Un grupo de Lie Q es una variedad diferenciablecon estructura de grupo, de tal maneraque las operacionesde grupo (producto e 2inversa)sonsuaves.Por susaplicacionesfísicas, un grupo de Lie muy importanteeselgrupolineal complejoGf4n,C), definidocomo elgrupo de las transformacioneslinealesno singularesen el espaciocomplejo de 2 ti dimensionesO”, que se puedenrepresentarpor matricesu >< ti con componentescomplejas. Los subgruposde GL(u O) másimportantes son 2 SL(m,C’) = {g c GL(m,C) / Detg = l} 2 2 -3 127 U(m) = {g e CL(u, C) / gg4 = g~4~9 = l} , (5.9) SU(m) = U(m)flSL(m,C) donde9±esla matriz traspuestaconjugádade g. Los subgrupos(5.9) son, a su vez, gruposde Lie, y representanalgunasde las transforma- ciones más importantesde los sistemasfísicos. El álgebra de Lie CQ del grupode Lie Q es el espaciovectorial tangentea la variedadQ en la identidade C g, esdecir, CQ=T 6Q . (5.10) Porejemplo,paralos gruposde Lie dadosen (5.9), susálgebrasde Lie, denotadascomo el grupopero en letrasminúsculas,son sl(uC) = {V e &L(n,C) / Tr(V) =O} u(m) = {V E &L(u,C) ¡ V+V~ — 0} (511) 821(m) = 21(72) fl sl(u C) siendoTr (y) la operaciónque consisteen tomar la trazade la matriz. Dadoel grupo de Lie Q, su álgebrade Lie estádefinida unívocamente como espaciotangenteen la identidad, pero esto no se cumple a la inversa,puespuedehabervarios gruposcon el mismo álgebrade Lie, queseránlocalmenteisomorfos. Más concretamente,todo álgebrade Lie esel álgebrade Lie de un único grupo de Lie simplementeconexo [221,222]. El restode gruposcon el mismoálgebra,pero que no son simplementeconexos,estáncubiertospor elqueessimplementeconexo (una variedadconexaluí cubre a otra variedad N si existe unaapli- cación f : lUí -~ N tal quela imageninversadeun entornodeun punto p e N es igual a la unión disjunta de entornosabiertosde los punt¿s f’(p) E M). Parapasardel álgebraal gruposeutiliza la funciónExp, que, en nuestrocasoespecialmentesencillo de representacionesmatri- ciales, c¿incidecon la exponencialde la matriz, Exp = exp. SeaCQ el álgebrade Lie de un grupoen representaciónmatricial, y supongamos quetodoelementodel álgebrasepuedeescribircomocombinaciónlineal de unasmatricesT~, esdecir, V=cv’Tj, VV ECQ, (5.12) 2 2 2 128 2 dondelos T1 sonunconjunto de gemeradoresdel álgebray el subíndicey va desde1 hastala dimensióndel álgebra.En estecaso,todo elemento g e 9 del grupo se puedeescribircomo g = exp (a.>Tg) (5.13) 2 Centrémonosen el grupo SU(2) formado por las matricesunitarias 22 x 2 de determinante igual a 1. Aplicando estas restricciones, resulta que todo elementog e 5U(2) esdel tipo 9=(a~ ~), añ+bb=1 , (5.14) 2 es decir, el espacioparamétricode SU(2) tiene dimensión3 (se nece- 2 sitan 2 parámetroscomplejossujetosa una condiciónreal). En (5.14) esfácil ver que SU(2) y 53 son variedadesisomorfas,de maneraque 2 hemosencontradoque SU(2) es el grupo de Lie simplementeconexo correspondienteal álgebrade Lie sn(2) (puessabemosque 53 es sim- plementeconexa).Escogiendoconvenientementela parametrizaciónen 2 la ecuación(5.14),sepuedenexpresartodos los elementosde SU(2) en función de un conjuntéde matricesdadaspor 2 ((—a2 + i a1)/a) sina cosa— i (a3/a) sina= ( cosa + i (aa/a) sin a ((a2 + i a~)/a) sin a (515) siendo a1 tres parámetrosrealescon a?+ a~+ a~ = a 2. Esto equivale a tomar los elementosy como las exponenciales 2 g=expQa1o.~j) ‘ (5.16) dondea 1 son las matricesde Panli, quegeneranel álgebradeLie sn(2), 2 aitj~ ‘) , U2=( “) ‘ ~=(O 2~) (5.17) 2 Segúnla ecuación(5.16), todo elementodel álgebrade Lie, y ~ sn(2) 2sepuededar como V=ia 3cr 1. (5.18) 2 2 -3 129 Por otro lado, es posible escribir las coordenadasde todo punto de la esfera9 en forma de matriz 2 x 2, colocandolas coordenadasreales (ti1,m2,u~) en la forma deuna matriz N definida como N = iu3a1 , (5.19) y la condición u? + ti~ + ~ = 1 es absolutamenteequivalentea la restricción Det N = 1. Comparandolas expresiones(5.18), para los elementosde su(2), y (5.19), paralos elementosde 52, se llega a la conclusión = {V e sn(2) / Det y = 1} , (5.20) estoes, la variedad32 se puedetomarcomo el subgonjuntodel álgebra de Lie su(2) formado por matrices2 x 2 que tienen determinante1. Dado que es isomorfo al grupo SU(2), toda aplicación S 3 ~ es una aplicación entreel grupo SU(2) y el subconjuntode matrices de determinanteunidad del álgebra .su(2). En teoría de grupos de Lie, algunasde las aplicacionesentreun grupo y su álgebraestánbien estudiadas,lo quenospermitirá encontrarejemplosde las aplicaciones quebuscamos. Entre las aplicacionesentre un grupo de Lie y su álgebra,se dis- tingue la llamadaaplicación adjunta. SeaQ un grupo de Lie y sea luí unavariedaddiferenciable.Una acczonde Q sobreM es unaaplicación diferenciablef : Q x luí —. M tal que f(e,p) = p , f(gi, fGn,p)) = f(glg2,p) , (5.21) Vp e M, siendo e la identidaden g, y 91,92 e Q. La representaczon adjnutadel grupo de Lie 9 es una acción de 9 en sí mismo, denotada por ad. Si g E 9, sedefine la representaciónadjuntacomo ad~:9 —~ g —* ad 9(g’) = gg’§ 1 . (5.22) Dado que ad 9(e)= e, se puederestringirla aplicación inducida en el espaciotangente,ad9, : Tg’9 --4 Tadg(g~)Q~ al puntog’ = e, y así se llega a una aplicaciónAd9 : 7%9 —. T69, dadapor Adg = adP~iT~ (5.23) 2 2 2 130 si Peroel espaciovectorial tangenteal grupode Lie en la identidades, 2por definición, al álgebrade Lie, T6Q = C~, demaneraquela ecuación (5.23) es la definición de una aplicación Ad:CQxQ—>CQ , (5.24) 2 que se denomina aplicación adjnmta. En el caso especialen que Q estárepresentadopor matrices,la aplicaciónadjuntatoma la formade 2 transformaciónde semejanza, Ad2(V) =gVg~’ , Vg cg, VV ~Cg . (5.25) 2 Si fijamos y en la expresión(5.25) la aplicaciónadjuntaqueresultaes una‘aplicación entreel grupo de Lie matricial y su álgebra, quees lo 2queandamosbuscando. ApliquemosestoaSU(2). Dadoquesetienequerestringirla imagen de la aplicaciónadjuntaal subeonjuntode sn(2) formadopor matrices 2 dedeterminanteunidad,convieneescogerV como V = ik 7u 1, (5.26) 2 con k? + k~ + k~ = 1, y variar los k~ paraobteneraplicacionesdistintas En consecuencia,se llega a un conjuntode aplicaciones33 — 52 dadas 2por la fórmula nV~ = g(k’a)g’ (5.27) dondey e SU(2) — ~3, y n~ sonlas coordenadasde 52 Las aplicaciones 252 dadaspor (5.27) son, básicamente,del tipode la aplicaciónde Hopfquesevió en el apartado4.2.2. Paracerciorarsede ello, escojamos = k2 = O, k3 = —1. Entonces,tomandoparag la parametrización 2 (5.15), resulta que la ecuación (5.27) aplica las coordenadasde ~3, dadaspor (a1,a2, aa), en las coordenadasde 32 dadaspor (mi., ~2, ti3), 2de la siguientemanera, 2 123 = —1+2 sin a (5.28) a 2 fli.+í722 = 2a2>a1 sina (cosa—iB.=sina) 2 expresionesque son del tipo de la aplicaciónde Hopf (4.18). Es más 2 fácil verlo si se hacenlas proyeccionesestereográficascorrespondientes 2 2 2 -3 131 a 32 — C u {oc} y SU(2) = — R3 U {oc}, respectivamente.Para la primera, escogemosla coordenadacomplejax dadapor (4.15) en el apartado4.2.2, ml + i ~2 (5.29) Entonces,tomandolos 121 como en la ecuación(5.28),seobtieneque la imagendeun punto de ~3 es el númerocomplejo aj+~a 2 (5.30) —ag + ja cota ParaSU(2) = ~3, tomamos las coordenadasrealesde la proyección (4.23) que, respectoa los parámetrosa~, estándadaspor x = a1 tan(a/2) ~ a2 tan(a/2) ag tan(a/2) . (5.31) a a a En las coordenadasreales(x, y,:), la ecuación(5.30) es 2x + i 2y X2+i(2l) , (5.32) que, salvoun signo menosglobal; queno afectaa los camposmagnético y eléctrico que construiremoscon ella, es la aplicaciónde Hopf. La transformación(5.31) equivalea tomarlos elementosde SU(2) como g=exp (i~xiuj) (5.33) siendo a = 2 arctanr. La parámetrizaciónde SU(2) por coordenadas de R 3 dadapor la ecuación(5.33) se conocecomo parametri=aciómde Skyrme. En consecuencia,se ha obtenido que la aplicaciónde Hopf 11 : 33 ~2 sepuedeescribircomo ti’ cr¿ = exp i x’a¿i) (—a 3) exp(¼~ xiui) (5.34) y que una familia de aplicacionesdel tipo de la de Hopf se obtiene cambiandoel factor —a3 en (5.34) por el más general k’a~, donde k~ + k~ + k~ = 1. Estasaplicacionesson no triviales respectoa su 2 2 2 132 si índice de Hopf, como se verá en los siguientesapartados,por lo que podemosplantearnosconstruir con ellas nudos electromagnéticosde 2 clasede homotopíadistinta de cero. Paraello, el siguientepaso será encontrardos aplicacionesdel mismo tipo de homotopíacuyas curvas de nivel tenganvelocidadesque seanortogonales. El método que se 2 acabade presentar,basadoen teoría de grupos, también funcionaen estesentido. 2 5.2.3 La fibración de Hopf y sus fibraciones or- togonales 2 Seauna aplicaciónsuavef : 53 -.+ ~2 Sus curvasde nivel se definen como la imagen inversade un punto p E 32, y son curvascerradasen 2 53 si el punto p es regular. En el caso de la aplicación de Hopf, ya se comentóen el apartado4.2.2 que estascurvasde nivel son curvas 2cerradasenlazadasentresí, y con númerode enlaceigual a 1. Seax(-r) la curva correspondientea un valor p E 32 por la aplicaciónde Hopf es decir, H(u(x,y,:) = 2: + i(r 2 — 1) (5.45) en R3 U {oc}. Efectivamente,resolviendo(5.44) para(xQr), yQ~-), :Qr)) 2 se llega a las ecuacionesparamétricasde la fibración de Hopf, dadas en función de los puntosiniciales (x, y,:) y del parámetroir, quevaría 2 entreO y 2w, queson xi¿r) 2x cos‘i- + 2y sin ir — (r2 — 1) cosi-+ 2:sinr 2ycosr — 2xsinr —(r2--l) cosi-+2:sinr cosi- + (r2 — 1) smi-ET 1 w 315 313 m 420 313 l S BT (A —(r2—1) cosr+2:sinr yQ7-) (r2 + 1) 2:+175 En la figura 5.1 se representandosde las curvasdenivel de la aplicación de Hopf, correspondientesalos puntosiniciales (1,0,0) y (0,0,1). Estas dos curvasde nivel sonel circulo x2+y2 — 1 y el eje :, respectivamente, y estánclaramenteenlazadas.Recuérdeseque, al tenerR3 compactifi- cado aun sólo punto del infinito, el extremosuperiordel eje =coincide con el extremoinferior. Hastaestemomento, las técnicasde teoría de gruposhanresultado muy útiles al problemade las condicionesde Cauchyde nudoselectro- magnéticosno triviales. Concretamei.’ite,nos hanpermitido encontrar algunas aplicacionesS3 —* 52 de índice de Hopf aparentementeno 2 (546) 2 2 2 2 2 2 2 2 -3 (r2+1) 135 Figura 5.1: Las dos fibras de la aplicaciónde Hopf quepasanpor los puntos(1,0,0) y (0,0,1), respectivamente. nulo, entreellas la aplicación de Hopf (que tiene índice de Hopf igual a 1), y también nos han ofrecido un método sencillo para escribir las ecuacionesparamétricasde las curvas de nivel de estasaplicaciones. Sin embargo,la solución del problemade los nudos implica a dos apli- caciones,del mismo índice de Hopf, tales que las velocidadesde sus respectivascurvasde nivel sean ortogonales. Por tanto, nos falta es- tablecerla ortogonalidadde la velocidadde las curvasde nivel en el lenguajede teoría de gruposquese ha introducido, y comprobarque existe al menosun par de aplicaciones,del tipo quese ha encontrado, tal que satisfacenesaortogonalidad. Se verificará que las técnicasin- troducidassiguenfuncionandoen estesentido. Consideremosdos curvasen SU(2), que se cortan en el punto y. Si utilizamos la parametrizaciónde Skyrme de SU(2) (equivalentea la proyecciónestereográficade S3),podemosescribir estasdos curvasen función de las curvasen R3 U {oc}, dadascómo xj(ir 1) y x~(ir2), con la condición 4(0) = x’(0) — x 1, es decir, gí(n) = exp LI xiov) , gi(0) = y , = exp (iL3x~a 1) , 92(0)9,92 (i-2) (5.47) 2 136 dondea6 = 2 arctan(r6), a = 1,2. El productoescalaren SU(2) de los vectorestangentesa las dos curvas(5.47) en el punto de cortey está dadopor 1 (&t~2) (5.48) 9i 92 = — Tr 22con la notaciónnatural ½— d g6Qr6) (5.49)di-a Es directo verificar queel productoescalar (5.48) en SU(2) es propor -j cional al producto escalaren R 3. Para ello, la derivadade gi.(n) en ir 1 = O es, trasoperar, 91 = 2 (—2(9461k) — 2i(z’4&jk)(x~aJ) + i(1 + r2)(~iaj)) (5.50) 2siendo d = di-1 r,=0 J y con unaexpresióncompletamenteanálogapara92. Si se introducen estasexpresionesen el productoescalar(5.48) y seusanlas propiedades 2 de la trazade las matricesde Pauli Tr (a1) = O , Tr (aJak)= 23jk , (5.52) 2 resultaque Tr (4tñ 2) = (1 +r2)2 £iX2tjk (5.53) 2 quees proporcionalal productoescalaren R 3. Por tanto, si se encuen- tran dossubgruposuniparamétricosde difeomorfismosen SU(2) cuyos j vectorestangentesen un punto son ortogonalesen el sentidodel pro- ducto escalar(5.48), entoncesestosvectoresson ortogonalesrespecto al productoescalareuclídeode fi3. Además,si se puedeescribir, como en nuestrocaso, gí(iri.) = gexp(i-i.Ví) g2(ir2) = gexpQr 2v2) , (5.54) 2 2 -3 137 con Va e su(2), entoncesel productoescalarde los vectorestangentes a las curvas (5.54) en el punto de corteg es un productoescalaren el álgebrade Lie, pues Ir (ñtú~)={Tr (vi.~v2). (5.55) Paralas aplicaciones53 —* 32 queestamosestudiando,tenemosque Va = i(k~ag) , (5.56) así que,para tenerdos fibracionescon vectorestangentesort6gonales, se hade imponer,según(5.55) y (5.56) 1 1 0= — k~k Tr (c~u,) = 311k~k2 . (5.57) 2 En consecuencia,el método de búsquedade nudoselectromagnéticos basadoen teoría de grupostambién ofrece unasalidasencillapara el problemade la ortogonalidadde los camposmagnéticoy eléctricoen el instante inicial. Seaunade las aplicaciones33 ~ 82 la aplicación de Hopf, dadapor kf = k.? = O, k~ = 1. Entonces,segúnla condición (5.57), unaaplicacióncon vector tangenteasusfibras ortogonalal vec- tor tangenteal fibradode Hopf estádadapor k~ = O. Por tanto, resulta claro que, a partir del productoescalarquese haencontrado(5.57), el conjuntode las aplicaciones53 52 definidaspor la expresión(5.35), estoes, m 1a 1 = g (— sin (‘y) cos(~)a1 — sin (‘y) sin(~)u2 — cos(y)a~)y’ , (5.58) sepuedenescribirenfunciónde tresaplicacionescon vectorestangentes mutuamenteortogonales,que forman unabasede estasaplicaciones, U,, U2, y U~, dadaspor las elecciones0= —1, k 2 = 1 yk3——1, respectivamente,como ti1aj = sin (‘y) cos(4) fi + sin (‘y) sin (4) [12 + cos(‘y) Ha , (5.59) dondelas variablesangulares‘y y 4 tienenla función de “coordenadas” de las aplicaciones.En la expresión(5.59), 113 es la aplicaciónde Hopf, que se haestadoestudiando, ti~o, = g (—a3)~ (5.60) a a 138 cuyascurvasde nivel en R3 estándadaspor las ecuacionesparamétricas (5.46); H1 es unaaplicacióndadapor nc 1 = g (—ai.) g’ , (5.61) tal que la velocidadde sus curvasde nivel es ortogonal a la de H~; y EJ2 es la última de las aplicacionesbase,con velocidadortogonala las dos anteriores, [‘2 : ti’a,=g(—a2)g ‘ . (5.62) a Las curvasde nivel de H~, de modo absolutamenteanálogoal casode [13, vienendadasen función del subgrupouniparamétrico a g(r) = g exp (—ii-a1) , (5.63) cuyasecuacionesparamétricasen son x(r) 2xcosi-+(r 2—l) smi-ET 1 w 302 464 m 420 464 l S BT (r2 +1) — (r2 —1) cosi-+ 2xsini- 2y cosir + 2: sin ir y(ir) (r2±1)— (r2 — 1) cosr+2xsinir , (5.64) () 2:cosi- — 2ysinr (r2 + 1)— (r2 — 1) cosi-+ 2zsinir Comoes fácil comprobar,estasecuacionesson las mismasque las de la fibración de Hopf 113, dadaspor (5.46) haciendola permutaciónen fi3 (5.65) así queel índice de Hopf de esta aplicación coincide con el índice de Hopf de H~, quees la unidad. Respectoa la terceraaplicación base, 112, dadapor g(r) = y exp (—ii-a 2) , (5.66) sus curvasde nivel, a partir de (5.63), con a2 en lugar de a~, son, en paramétricas, a 2xcosr — 2: sin ir x(i-) (y 2 + 1) — (r2 — 1) cosi- + 2ysini- 2ycosr+(r2—1) smi- . , (5.67) Q,~2 + 1)— (r2 —1) cosi-+ 2ysini- 2: cosr + 2x sin ir = (r2s-1)—(r2—1) cosi-+2ysinr 139 y corresponden,desde[‘3 a la permutación (x, y,:) H-.4 (z,x, y) , (5.68) de nuevocon índice de Hopf igual a 1. En resumen,la técnicatasada en la identificación ~3 = SU(2) nosha proporcionado,no dos, sino tres aplicacionescuyosvectorestangentesa las respectivascurvasde nivel son mutuamenteortogonales.Ahora, hay queconstruir las condiciones de Cauchydelos nudoselectromagnéticosbasadosenestasaplicaciones. 5.2.4 Condiciones de Cauchy de los nudos basa- dos en la fibración de Hopf En los apartadosanteriores,medianteel método basadoen teoría de grupos,se hanencontradotresaplicaciones11m : ~3 ...~ 32 m = 1,2,3, de índicedeHopf igual a 1, talesquesusvectorestangentesson mutua- menteortogonalesen cadapunto. Es convenienteescogerestasaplica- cionesde maneraque seanadimensionales.Para ello, tras tomar tres coordenadasrealespara y una coordenadacompleja para 52 uti- lizando las proyeccionesestereográficasya conocidas,se requiereque las tres coordenadasrealesseanadimensionales.Si se asumeque las coordenadasdelespaciode Minkowski (x, y,:, it), tienendimensionesde longitud (seráncoordenadasfísicas del espacio),definimos las coorde- nadasadimensionales(X, Y,Z,T) (coordenadasmatemáticasde~3 x R) como (X, Y,Z,T) = A (x, y,:, it) , (5.69) y Vr2 = A2(x2 + y2 + :2) = X2 + Y2 + Z2 — R2, siendoA una cons- tante con dimensionesde inversade longitud. Lasimágenesde las tres aplicaciones11m, con estasespecificaciones,son Ha(X, Y,Z) 11 1(X, Y,z) fl2(X, Y,Z) 2(X +iY ) 2Z+i(R 2— 2(Y + iZ ) 2X+4R2— 2(Z ±iX ) 2Y + «R2 — 1) 17 -ji (5.70) 2 2 2 140 2 donde113 es la conocidaaplicaciónde Hopf. Evidentemente,observando (5.70), las tresaplicacionestienenel mismo indice de Hopf, pues 2 H1(X,Y,Z) = fl3(YZ,X) fl2(X, Y, Z) = J13(Z,X, Y) . (5.71) 2 Esto se puedecomprobarexplícitamenteconstruyendolos vectoresde Whiteheadde las aplicaciones11,,,. Como se vió en el apartado4.2.3, 2 estosvectoresson con notaciónbm parala aplicación 11m, los dados por 1 ____________ SJIIt ____ OHm 2 bit ___ b~,,(X,Y, Z) = ST (1 + flmflrnY OX1 bX’~ ‘ (5.72) en dondelas derivadasse hacenrespectoa las coordenadasadimensio- 2 nales X~, quedan lugar, por (5.70) a = 2 (2(—Y±xz),2(X+YZ), í+z2 ~y2Y2) 2 4 ir(l + R2)3 2 (1 +X2 —Y2 — Z2, 2(—Z+XY), 2(Y +XZ) ) (5.73) 4 2= ir(1-~-R2)3 2 (2(z±xY),1+Y2—X2—Z2,2(—X+YZ)) Por las expresiones(5.73), es fácil recuperarel resultadodel apartado anterior respectoa la ortogonalidadde los vectorestangentes(los vec- tores de Whitehead) de las tres aplicaciones.También se verifica que 2 los campos(5.73) tienen divergencianula, Ob?, , (5.74) 2 OX’ así queexistenlos trescamposvectorialesam(X,Y,Z), talesque b~=EikI Oak (5.75) 2 bXk 2 2 2 -3 141 quese puedenescogerdadospor 2 = 7T(1 + R2)2 (—Y,X, 1) 2 a 1 = (1 + .R 2)2 (1, Z, Y) (5.76) 2 a 2 = ir(1 + 1?2)2 (Z, 1, —X) Ahora, para calcular el invariantede Hopf de las aplicaciones 11m, se debenhacerlos productosescalaresam bm (no hay sumaen mi), que danel resultado 8 aí.bí=a 2b2avbs 2(íR2)4 (5.77) dedondelos índicesde Hopf son r 8 H(H 1)=H(112)=H(113)= dXdYdZ =1. (5.78) Pasemostodoestoal lenguajefísico de los nudoselectromagnéticos. Tenemostres posibilidadespara elegir las condicionesde Cauchy 4>o y 00, correspondientesa las tresposiblesparejas (Hm, 11,,) que, clara- mente,danlugar acamposelectromagnéticosgiradosunos de otros. Se tomarán,por motivos históricos(dandopreferenciaa la aplicaciónde Hopf), 11a y H~. En las coordenadas(X, Y,Z), que usaremossiempre por comodidad,éstasson las funcionesadimensionales 2(X + iY) 4>o(r) = 4>(r,t = 0) = 2Z --i(R2 —1) 2(Y + iZ) Oo(r) = 0(r, it = 0) = 2X -~-i(R2 — 1) (5.79) que cumplen las dos condicionesque se especificaronen el apartado 5.2.1,estoes,sus vectorestangentesen cadapuntosonortogonales(ver la ecuación(5.73)), y sus invariantesde Hopf son iguales (ver (5.78)), asíquepertenecenala mismaclasede homotopía.El siguientepasoera encontrarlas funciones4>i(r) y 0i(r), que proporcionanlas derivadas 2 2 2 142 2 temporalesde 4>(r, it) y 0(r, t) en it = 0. A partir de 4>o y Oo, y segúnel métodoexplicadoen el apartado5.2.1,éstasson 2 4>i(r) = O4>(r, it) —2A(R2+ 1 ) bit ~ (2Z+i(R2—l))2 2 0i.(r) = OI)(r, it) 2iA(R2+ 1) (5.80) lo cual las condiciones Cauchy~iíii(R2 — 1))2 2 con camposbásicos4> y 0 son las dadaspor las ecuaciones(5.79) y (5.80). - En consecuenciase hanencontradolas condicionesiniciales de un 2 nudo electromagnéticode claseC~, construidoa partir del par decam- pos básicos(4>, 0). Los camposmagnéticoy eléctricodeeste nudoelec- 2tromagnéticoen it = O son, segúnlas ecuaciones(5.7), los correspon- dientesa los vectoresde Whiteheadb 3 y b1 de (5.73), pero haciendo las derivadascon respectoa las coordenadasfísicas (x, y,:, t), e intro- 2duciendo la constantedimensionala, y un signo menosen el campo magnético.Usandoque O _ O —A , (5.81) 2Ox OX se llega a que la relación entre el vector de Whiteheadbm, que es adimensional,y el campo magnético13, es 2 B = jiA 2bm , (5.82) mientrasque, parael campoeléctricoy su vector de Whitehead, 2 E = VEA2b,, (5.83) Estassencillasreglas nos permitirán pasarde unos a otros sin hacer 2 másoperaciones.En concreto,paranuestronudo electromagnéticode claseCi., con vectoresdeWhiteheadb 3 y bi., se obtienenlos campos 2 B(r0) = 4jiA 2 <1 + R2)3 (2(Y—xz), —2(X±YZ), —i—z22 ±Y2) 2 4jiA2 E(r,O) = r(1 + R2)3 (5.84) 2 (í±X2~Y2~z2, 2(—Z+XY), 2(Y+XZ)) si 2 -3 143 donde,como sevió en el capítulo anterior,a = 1 en unidadesnaturales (o bien, a = Tic en unidadesfísicas),y las coordenadasadimensionales (X, Y,Z) se relacionancon las coordenadasdel espaciode Minkowski (x, y,:) por (5.69). De maneraanáloga,se puedentomar los poten- ciales vectorescorrespondientesa (5.76), con la relaciónentrevectores a adimensionalesy potencialesvectoresA (o C) dadapor A=—jiAarn , C=jiAa,, , (5.85) estoes, 2jiA A(r,it=0) = ir(i + E2)2 (Y, —X,—1) C(r,t0) = 2jiA (5.86)(1, —Z,Y)7t(l + E2)2 y las helicidadesmagnéticay eléctricason hmJA.B d3r =h 6=J CE d 3r =a , (5.87) en perfectoacuerdocon (5.78), ya que el factor extra L3 que aparece en el denominadorse cancelacon el jacobiano de la transformación 9 ~-+ X1. Por tanto, paraestenudo, NR—NL=1 (5.88) Otro aspectointeresantede estenudo electromagnéticoparticular, construidoa partir de la fibración de Hopf (y de todoslos representan- tes que se consideraránen este capítulo), es la existenciadel “tercer campo”,dadopor la aplicaciónquecorrespondea 112, 2(Z + IX) ~o(r) — 2Y + i(R2 — (5.89) Se puede asignar a ~o un campo vectorial S, construido de manera análogaa los camposmagnético(desde4>o) y eléctrico (desdeGo), esto es S(r,it = 0) = x V¿P 0 , (5.90) 2iri(1 + 4’o4oV 2 2 2 144 2 que,con la aplicación (5.89), tienepor resultado 2 S(rO) = 4jiA2 (5.91) w(1-~- R2)3 1+Y2 X2Z2 2~YYZ’~’ 2 (2(z±xY), ——, Estetercer campoda la direcciónde movimiento del nudo electromag- 2nético (5.84). Efectivamente,se relaciona con el vector de Poynting P = E x 13 a travésde 2P(r,0) = V(r,0) S(r,0) , (5.92) dondeV es el módulo comúnde los camposeléctricoy magnéticoen el instanteinicial, V(r, 0) = E(r, O) = B(r, 0) . (5.93) 2 5.3 Condiciones de Cauchy de una fa -2 milia de nudos de clases C±~2 El estudiode la secciónanterior nos ha permitido obtener los datos iniciales de un nudo electromagnéticode claseC~. Estascondiciones de Cauchypuedensergeneralizadasde manerasencillaparaconseguir 2representantesde las clasesde homotopíaC,,2, utilizando algunaspro- piedadessencillasdel invariantede Hopf. También,mediantecambios menores,se consiguenlos valores iniciales de nudos electromagnéticos _ 2 de clases0__2 Algunascantidadesasociadasa los nudos(y, en general, a todoslos camposelectromagnéticos),como la energía,el momentoli- neal y el momentoangular,no dependendel tiempo, así quese pueden 2 estudiarestosinvariantesdinámicosde los representantesparticulares de las distintasclasesde homotopiaquese obtendrán. 2 5.3.1 Obtención de las clasesC,,2 En la sección5.2 ha quedadoclaro queel invariantede Hopf, estoes, 2 el númerode enlacede las imágenesinversasde dos puntos distintos, si si -3 145 de la aplicación de Hopf 2(X + iY) ‘PH = 2Z+i(R 2 —1) (5.94) es igual a 1. Considérese,teniendoestoen cuenta,laaplicación53 dadapor la potenciam-ésimade la aplicación (5.94), es decir, ( 2(X + iY ) (4>nÉ = k 2Z + í(R2 — 1)) (5.95) ¿Cuáles el indice de Hopf de estaaplicación? Seap 6 52, y sea una aplicacióncualquieraf : 5t Se llama fibra a la curva cerradaen ~3 definida por la imageninversa1 ‘(~)~ y se llama mñltiplicidad de la fibra fl’(p) al númerode suscomponentesconexas.Parala aplicación de Hopf (5.94), cadaunade sus fibras tiene multiplicidad 1 (las curvas que las forman se cierran tras dar una sola vuelta), y el número de enlacede dos fibras cualesquieratambiénes 1. De ahí queel invariante de Hopf de la aplicación (5.94) seala unidad. Pero,en el casode la aplicación (5.95), la situaciónes algo distinta. El númerode enlacede las curvascerradasqueforman las fibras de (5.95) es igual que eV de la aplicaciónde Hopf, porqueson las mismascurvas. Sin embargo, la multiplicidad de cadafibra cambiade 1 au (las curvasdan m vueltas). Por tanto, el número de enlace de dos de las fibras de la aplicación (5.95) es u2. El resultadose puedegeneralizara todaaplicaciónsuave f : ~ 32, llegándosea la siguientepropiedaddel invariantede Hopf, H(f”) = n2H(f) . (5.96) Por la proyecciónestereográfica~2 = ~ U {oc}, los puntos de 52 se puedendar por númeroscomplejos.Por ejemplo, la imagende la apli- cación f se puedeescribir f — P 8k , (5.97) donde P y ~ son, respectivamente,el módulo y la fase de f. Esta nofaciónpermite definir fácilmente,desdef, la aplicación — P e~”~ (5.98) 2 si 2 146 2 quedeja invarianteel módulo de f, pero multiplica por el enterou su fase. Nóteseque u ha de ser un númeroenteropara que (5.98) esté 2 bien definida. Por la construcciónde los vectoresde Whitehead(ver los apartados4.2.3 y 5.2.4), es obvio quese cumple 2b(f~”~) = mb(f) a(f~”~) = ma(f) , (5.99) 1 y, por la fórmula integral del mismo Whitehead,obtenemos H(f~”~) = ti2H(f) . - (5.100) 2 Por tanto, las aplicacionesf” y f(”) son homotópicas.Estapropiedad permite obtenerrepresentantesde las clasesde homotopíaC,,~ de los 2 nudos. Por simplicidad, se utilizarán los representantesf(’t, pero el resultadono varía mucho. Generalizamoslas aplicacioneá(5.79), medianteel método (5.98), 2 es decir, definimoslas aplicaciones (n) 4><”~(r,it =0) 4>o (r) _ 2 0~”~(r,t=O) — O(~>(r) , (5.101) que, por la propiedad(5.100), tienenindice de Hopf igual a 722~ Repi- 2tiendo ahorael métodoque se trató en el apartado5.2.4 para el caso ti = 1, se obtienenlos camposmagnéticoy eléctricoen it = 0, que son los mismosque los de u = 1, pero multiplicadospor ti, 2 B~”’~(r,O) = 4uv’aA2 ir(1 + R2)3 2 (2(Y—xz), —2(X-hYZ), —í—z2~>y2+Y2) E~”’~(r,0) = 4njiA2 (5.102) 2 <1 + R2)3 (í~l-v~Y2~Z2, 2(—Z+XY), 2(Y+XZ)) 2 La notacióndel superíndice(ti2) en los camposindica su clasede ho- motopía,pues,evidentemente,las helicidadesmagnéticay eléctricason 2 hm = IR’ A~”’~ .13(”’) d3r = h 6 = C<”’~ E~”’~ d 3r = au2 , (5.103) 2 2 2 -3 147 es decir, el valor de la cargatopológicade estosnudoses NR—NL=m2 , (5.104) obteniéndoseasí representantesde las clasesC,,2. 5.3.2 Obtención de las clases0__2 Para obteneruna aplicación de índice de Hopf negativo, a partir de las aplicacionesque se están usando, lo más sencillo es darsecuenta de que, si se cambiael signo de unade las coordenadasde S3 en la aplicaciónde Hopf, entoncesel índicede Hopf dela aplicaciónresultante es igual a —1. Vamosa comprobaresta afirmación. Por cuestionesde simetría entre las aplicaciones4> y 0, de las cuatro posibilidadesse elegirá cambiar el signo de la última coordenada,que aparececomo parteimaginariadel denominadorde la aplicaciónde Hopf, esto es,se consideranlas aplicaciones4>$7~ :s~ ~ 9, y O%) y ~ en it = O secalculana partir de los valoresiniciales (5.105), con el método del apartado5.2.1, y resultan b4>(>(r, it) __ 2A(R2 + 1 ) = bit ~ (2Z — i(R2 — 1))2 Ok~(r) = b0(r, it) _ —2iA(R2+ 1 ) bit ~ (2X — i(R2 — 1))2 ‘ (5.106) muy parecidasa las del caso Ci., en (5.80). Las condicionesde Cauchy de los camposbásicos4>()(r, it) y 0()(r, it) son, pues,las expresiones 2 148 (5.105) y (5.106). Ahora, los campos magnético y eléctrico, en it = 0, construidoscon estascondiciones,son 13<’~(r, 0) E<’~(r. 0) 4jiA2 ir(1 + R2)3 ( —2(Y + XZ). 2(X 4jiA2 5’r(1 + R2)3 (í+X2~Y2~z2, (5.107) 2(Z+XY), 2(—Y-hXZ)) es decir se verifica la relación B~’~(r, 0) E~’~(r, 0) = 13(i.)( rO), (5.108) respectoa los camposdeclaseCi. de la ecuación(5.84). Es fácil compro- bar en (5.107) queestosdos camposvectorialesson ortogonales,si no estabaclaropor la construcción.Por otro lado,dosposiblespotenciales vectoresparaellos estándadospor it — 0) it — 2jiA ir(1 + R 2)2 (Y, —X,1) 2jiA <1 + R2)2 (—1, —Z, Y) 2 (5.109) de maneraque los productosescalaresnecesariospara helicidadesmagnéticay eléctricason — Sa ir2L3(l + 112)4 el cálculo de las (5.110) de dondese demuestraque bm = h 6 = y la clasede homotopíade estosnudos es —1, pues NR - NL = -l 2 2 2 2 2 si 2 2 2 2 (5.111) 2 (5.112) 2 2 2 2 -3 149 Por tanto, un mínimo cambio en las aplicacionesbásicas4> y 0 nos da condicionesde Cauchy de nudos electromagnéticosde la clasede homotopiaWi.. Ahora, utilizando la misma técnicaque parael caso de lasclasesC,,2, podemosobtenerrepresentantesde las clasesnegativas C,,2. Paraello, considérenselas aplicacionesqueseconstruyenapartir de las básicas(5.105),dejandoel móduloinvariableperomultiplicando la fasepor el númeroentero u, es decir, Los camposmagnéticoy eléctrico construidos, respectivamente,con y 0~~’”> son los mismosque los correspondientesa u = 1, dados en (5.107), peromultiplicadospor el númeroentero72. De estamanera, se obtienen = mB~’>(r,0) E(”2>(r, O) = ni. E«~l>(r,O) , (5.114) que, al calcular sus helicidadesmagnéticay eléctrica, cumplen, por (5.110) y (5.114), hm = h 6 = au 2 , (5.115) y, evidentemente,son de claseC..<,í, con NR—NL = 722 (5.116) Así seobtienenrepresentantesde las clasesC,,~, por inversiónespacial, r ~ —r, de los representantesde las clasesC,,2. 5.3.3 Propiedades invariantes de estosnudos Ademásde las helicidadesmagnéticay eléctrica,los nudoselectromag- néticosposeenalgunaspropiedadesqueno dependendel tiempo, como el resto de las solucionesestándarde las ecuacionesde Maxwell en el vacío. Estasson la energía,el momentolineal y el momento angular total, quese van a estudiarahoraparalos representantesparticulares ‘2 2 2 150 2 que se han obtenido. Nótese, sin embargo,que existe una diferencia 2 fundamentalentrela helicidad y el restode invariantes: la primera no dependede los representantes,porquees unacaracterísticatopológica de toda la clasede homotopía,mientrasque el resto son cantidades 2conservadasasignadasa cadacampo,queno caracterizande ninguna maneraasus compañerosde clasede homotopia. Paralos representantes,obtenidosenel apartado5.3.1,de las clases 2 dehomotopíaC,,~, la energíaes p0(ti2) = ./R~ (<“‘) { B(”2)) d3r = 2m2aA . (5.117) 2 Por otro lado, paracalcularel restode invariantesse necesitael vector 2de Poynting, queresulta, en it = O, 4m2jiA2 (5.118) 2P~”’~(r,O) = w(l ±R2)2S(r,0) dondeS es el campo de la tercerafibración de la claseC~, dadopor la ecuación(5.91). De estemodo, el momentolineal de los representantes 2 de las clasesC,,~ es p(u2) — ¡ p(”’) d3r n2aA ~ , (5119) 2 lo que significa que estosnudos se muevena lo largo del eje y. El momentoangulares 2 3(i) = Jr x p(”’) d3r =u2a.k , (5.120) 2 así queel momentoangularestáen la dirección del movimiento. Pasemosa los representantesde las clasesde homotopíanegativa~ 2~ obtenidosen el apartado5.3.2. Su energíano varia respectoa la de las clasespositivas,estoes, p0(—u2) = p0(n2) = 2m2aA , (5.121) 2 y, parael momentolineal y el momentoangulartotal, se tiene p(—m2) = p(u2) = u2aA ~‘ , 2 .J(—u2) = —J(m2) = 722a 5~ , (5.122) 2 2 2 -3 151 es decir, el momentolineal se mantieneigual, pero el momentoangular cambiade signo. La razónde estoscambiosesmuy clara: los represen- tantesde clasenegativaque estamosestudiandose consiguenpor in- versiónespacialde los representantesdeclasepositiva. Las ecuaciones (5.122) simplementereflejan el comportamientonormal del momento lineal y del momentoangularfrente a unainversión espacial. 5.4 Evolución temporal de los nudos A través del método de Fourier, se puedenhallar las expresionesde los nudos electromagnéticosen todo instante. Esto permite estudiar la evolucióndinámicade los representantesquese hanencontrado,así como visualizar cantidadesque describencómo se mueven,especial- menteel módulo de los camposy su vector de Poynting. El siguiente pasoes,entonces,encontrarla evolucióntemporalde los camposbási- cos 4> y 0. Lo más interesantede estasexpresioneses la verificación de la invariabilidad del númerode enlacede sus curvasde nivel a través del tiempo. De estamanera,aunquelos camposmagnéticoy eléctrico vayanasintóticamenteacero,nuncaseránequivalentesacamposnulos, pues los separade estosúltimos el númerode enlacede sus líneasde fuerza. 5.4.1 El método de Fourier en electromagnetismo Con el fin de concretar la notación, hagamosun breve repasode la técnicade Fourier pararesolverlas ecuacionesde Maxwell en el vacío. Debido a éstas, tañto el campo magnéticocomo el campo eléctrico satisfacenla ecuaciónded’Alembert, = 02 B , (5.123) bit2 y análogamentepara E. Por tanto, se puedeactuarcomo ya se hizo en el apartado3.3.2 paralos potencialesvectores. La conclusiónes que se puedenescribir los camposmagnéticoy eléctrico como integralesde 2 2 2 2152 Fourier, paralas queelegimosla notación 1 IE(r, it) = 1 E(r,it) = (2w)3/2 Jd~k Ri. + iR2( 2 Jdak(R22R1 — iR2 + e 2 eikx + R2 -i iR1 e—ikx)(s.í24) dondek . x = wit — k . r, 2 = k 2, y los vectoresrealesRi.(k) y R 2(k) hande cumplir, paraquese satisfaganlas ecuacionesde Maxwell, las relacionesvectoriales k.Ri.=kR2=Ri.~R2=0, k k — x = R1 , — x R1 = —112 CD CD (5.125) Es unamedidaqueahorra tiempo el uso del campo complejo F(r,t) = 13(r, it) + iE(r, it) (5.126) ya quesu transformadade Fourier es,con (5.124), 1 F(r,it) (2ir)3/2 Jd 3k (Ri. + iR 2) e~kY Lo másimportantede el métodode Fourieresquelos vectoresRi. y 112 se calculan apartir de los camposmagnéticoy eléctricoen el instante inicial, pues 1 R1(k) + iR2(k) = (2<3/2 J d%F(r, 0) eik.r (5.128) Estasseránlas fórmulas quevamosautilizar parahallar los nudoselec- tromagnéticosa todo tiempo, puesya conocemossus valoresiniciales. 5.4.2 Nudos de clasesC,,2 Si se introducenen la expresión(5.128) los camposmagnéticoy eléc- trico, en it = O, correspondientesalos nudosrepresentantesde las clases -.ik.x) 2 2 2 2 2 2 2 (5.127) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -3 153 C,,2, dadosen la ecuación(5.102), se obtiene uji e”>¡~ (ki. k3, wk3 + k2k3, —wk2 — k? — k~) Ri. = \/~A2 w uVa e«”~<~ (wk2 +I4+k~, —wk1 — k1k2, —ki.k3) (5.129) l{2=vwA2 w Estasexpresionesse introducenen las ecuaciones(5.124),y asíse llega a la forma del nudo electromagnéticode claseC,,2 para todo tiempo. RecordandoqueA(x, y,:, it) = (X, Y, Z, T), se obtiene B~” 2~(r,t) = ujiA2 (QH 1 + PH2) ir(A 2 + T2)3 E~”2>(r, it) m~/¿A2 (QH 2—PHi.) ir(A +T 2)3 dondese definenlas cantidadesA, P y Q como R2—T2+1 (5.130) y los vectoresH 1 y H2 son H1 ((Y -f-TLXZ, —X-(Y+T)Z; H2= (1+x 2—(Y±TV-f-Z2 —1— Z2 + X2 + (Y (5.131) 2 2 +TV ) (5.132) 2 ,—Z±X(Y+T), (Y+T)-i-XZ) (5.i33) Es claro, por las exjresionesanteriores,queE B = O (necesariopara sersiempreun nudo electromagnético)y que,además,E2 — B2. Para estudiarcómo evolucionael nudo, un aspectointeresantees mirar a la densidadde energía,que tiene el valor E2+B2 au2A4 (14-X2+(Y+T)2±Z2V P0(r, it) — 2 4ir2 (A2 + T2)3 (5.134) En las figuras 5.2 y 5.3, se observacómo evoluciona la densidadde energíadel nudo C 1 desdevarios puntosdevista, teniendoencuentala P=T(T 2—3A2) , Q=A(A2—3T2) 2 2 2 154 2 2 2 T 2 Figura 5.2: Densidadde energíadel nudo de clase1 frente a Y (el eje 2 de propagación)y T, para X = Z = O. simetríacilíndrica de P0. Puedeversecómo el nudo seextiende,y su 2 densidaddeenergíava acero. Existeun máximodeéstacercanoaY = T, y, paratiemposposteriores,apareceotro máximo (casi ilocalizable) 2 enY=—T. 5.4.3 Nudos de clasesC,,2 J En el casode las clasesde homotopiaC...,,2,con valoresinicialesde los camposdadospor (5.114),se tiene 2 11, = mji e”<’ 22” ~ (ki.ks, —wks+k 2ks,wkk2—kí—k2) 2 = nv”a ew/Á (—wk2 + k~ + 4 wk1 — k1k2, —k1k3‘~ (5.135) V~A2 w y los camposa todó tiempo, introduciendo las expresiones(5.135) e integrando,son 2 = ujiA 2w(A2 + T2)3 (QHi — PH 2) ________ 2it) = mISA 2 (QH. 2 + PH...1) (5.136) ir(A 2 + T2)3 2 2 2 -3 Y 155 rho ita Y ita rho Figura 5.3: Densidadde energíadel nudo de clase1 frente a Y y p = (X2 + z2)’~, paralos instantesT = 0, T = 0.25, T = 0.5 y T = 1. Y Y Y t 156 t es decir, los nudoselectromagnéticosde clasesC-.,,~ tienen parecidas expresionesquelos de clasesC,,2 (5.130),con las mismascantidadesA, P y Q (5.131), pero difieren en los vectoresH...1 y H2, que son, en estecaso, 1’T~XZ X’YT~Z -l-Z2+X2+ (Y+T2 H... 1= km)’ 2 ) (5.137) H...2= (1-~-x 2—(Y±T)2-Z2 z+-X(Y+T), —(Y+T)+XZ) (5.138) es decir,secompruebafácilmenteque sesiguecumpliendo,paraestos representantesparticulares, É B~”2~(r, it) = B~”2~(—r, —it) E~”2~(r,it) = E(”2>(~r, —it) . (5.139) También la densidadde energíade los campos(5.136) estámuy rela- cionadacon la de los campos(5.130),ya que setiene an2A4 (í+X2 + (Y +T)2 +Z2)2 P0(r, it) = 4~2 (A2 + T2)3 , (5.140) que no varía respectoa la expresión(5.134). Por tanto, los diagramas 5.2 y 5.3 son tambiénválidosen estecaso. 5.4.4 Evolución temporal de los campos básicos En el capítulo 4 se apuntóla hipótesisde la posibilidad de estudiar el electromagnetismoclásicoa travésde dos camposcon valoresen la esfera52, llamados4> y O, en lugar de los conocidoscuadripotenciales. Siguiendoestaidea,enestecapítulosehanobtenidosolucionesexplíci- tasde lasecuacionesde Maxwell en el vacíoconstruidasdeestamanera. La estrategiaha sido encontrarprimerolos campos4> y O en it = 0, que satisfacíanlascondicionesnecesariasparaformarnudoselectromagnéti- 2cos; conestoscampos,quesehandenominado4>o y 00, se hanedificado los camposmagnéticoy eléctricoen es instanteinicial, y sehan dejado 2 2 -3 157 evolucionara través del método de Fourier. Evidentemente,la consis- tencia del modelorequiereencontrartambiénlos cámposbásicos4> y O en todos los instantesit. La dificultad deesteúltimo pasoseencuentra en que estoscampossatisfacenecuacionesde movimientono lineales, las ecuacionesde dualidad, ji 2iri(1 + 54>)2 V4> >z V~ ji (04 VG 00 VI)” 2iri(1+GO)2 ~ot bit ) (5.141)VOxVO 2wi(1 + 00)2 2iri(1 + ~4>)2 o con las condicionesde Cauchy 4>(r,it)¡ 10 = 4>o(r) O(r,t)~10 = 0o(r) O4>(r, it ) bit bO(r, it ) 1=0 Sin embargo,a pesarde la aparentecomplicaciónde estasecuaciones los camposbásicostienenuna propiedadmuy importantequepermite resolverlas:suscurvasde nivel evolucionancon el tiempo de tal manera que su númerode enlacepermanececonstante.Estaes una condición de estabilidadque da pistassobrela forma de los camposbásicos. Volvamos a los nudoselectromagnéticosde clasede homotopiaC1 que sehan encontrado.Las condiciones(5.142),en estecaso,las vimos en el apartado5.2.4, 2(X + iY) 4>o 2Z+i(R 2—1) 2(1< + IZ) 00 2X+i(R2—l) —2A(R2 + 1) = (2Z-f-i(R2 — 2iA(R2 + 1) 01= (2X+i(R2—1))2 y los camposa todo tiempo 13 y E son los campos(5.130), u = 1. La soluciónde las ecuaciones(5.141)con camposE escogiendo y IB dados — 4>i.(r) —Oi(r) (5.142) (5.143) a a 158 por (5.130) y condicionesde Cauchy dadaspor (5.143) es (AX-TZ)-t-i(AY+T(A-1)) a 4>(r,it) = (AZ*-TX)±i(A(A—1)—TY) (AY -i-T(A-1))+i(AZ+TX ) 0(r, it) = (AX — TZ) + i(A(A — 1)— TY) (5.144) Una manerasencillade visualizar la evolución temporal de estoses- calareses porla evoluciónde suscurvasde nivel. Es claro, porsupuesto, queel númerode enlacede cualesquieradosfibras de la aplicación 4> ha de ser igual a uno, puesestenúmeroes igual al invariantede Hopf de la aplicación. Veamoscómo se comportandos fibras típicasde 4>(r, it), por ejemplo,las dadaspor los valores 4>-~1(0) y g’(oc), para distintos valoresde T. a La fibra 4>i.(O) correspondea la solucióndel sistema AX—TZ = O, a AY±T(A —1) = O , (5.145) quees la curvade R 3 dadapor las ecuacionesparamétricas,en función de O < ~ =2w, X(~) = Tcos~ Y(o) = Tsin~ , (5.146) cos Z(4) = í+sin~ dondeseverifica fácilmenteque, paraT = 0, la curva (5.146)esel eje 2como se apuntómásarriba. Por su parte, la fibra 4>’(oc) es la solucióndel sistema AZ+TX = o, 2 A(A —1) —TY = O , (5.147) dada,en paramétricas,por las ecuaciones 2 X(~) = (1+Tsin~)cosC Y(() = (1+Tsin~)sin~ , (5.148) 2 Z(~) = —TcosC si 2 si -e 159 que,en T = O, es la circunferenciaX2 + 1<2 — 1 A partir de las expresiones(5.146) y (5.148),es fábil comprobarque ambasfibras evolucionande manerasuavecon respectoal parámetro temporalT. Como consecuenciade la benevolenciade estaevolución dinámica,ademásdel hechode ser el númerode enlaceun invariante topológicode las curvasespacialesen 53,ocurrequeel númerode enlace de las fibras (5.146) y (5.148) no dependede T. Dadoqueestenúmero es igual a 1 para1 = 0, esevidenteentoncesqueesigual a 1 paratodo instante1. Si se quiere, se puedehallar explícitamenteestenúmero de enlacea travésde la integral de Gauss, que vimos en el segundo capítulo,para1 = 1, que esuna elecciónsencilla. El cálculo numérico de estaintegraldobleverifica que el enlacesemantieneen el tiempo. Con respectoa la aplicación0(r, it) de (5.144), tambiénse pueden estudiarsus fibras 01(0) y 01(oc). Para01(0), el sistemaa resolver es AY+T(A-1) = 0, AZ+TX = 0 (5.149) con solución cosC X«) í-í-sin4 Y(~) = Tsin~ , (5.150) = —Tcos~ que,en 1 = 0, esel eje X. Parala fibra 0’(oc), setiene AX—TZ = O, A(A—1)—TY = 0, (5.151) y la soluciónes X(4) = TcosC Y(~) = (l+Tsin~)sinC , (5.152) Z(C) = (1+Tsin~)cos~ 160 es decir, la circunferencia1<2 + ~2 — Ahora, paraobtenerlos escalares sólo hayqueutilizar el mismométodo se hacela transformación 1 en T = 0. correspondientesa los nudosC,,~ queen el instanteinicial, es decir, (5.153) equivalentea dejar igual el módulo de las aplicaciones (5.144), pero multiplicar la fasepor el enterou. Es claro, por la construcción(5.153) que las curvasen R3 quedan las fibras de las aplicaciones4>(”) y son las mismasque las del caso ti = 1, ejemplificadasen las ecuaciones (5.146), (5.148), (5.150) y (5.152), pero la multiplicidad de cada fibra es ti, así queel númerode enlacede dos cualesquierafibras de 4>(”), y el númerodeenlacede doscualesquierafibras de ~(“) esigual a 722~ Pasemosa los nudosde la clase C...i.. Los camposmagnéticoy eléctricoque aparecenen (5.141) son,ahora,los dadosen (5.136), con ñ = 1, y las condicionesde Cauchyde las aplicaciones4> y O las vimos en el apartado5.3.2, 4>o 2(X+iY ) 2Z — i(R2 — 1) 2(Y+iZ) 2X — i(R2 — 1) 2A(R2 + 1) 4>i = (2Z — i(R2 — 1))2 = —2iA(R2+ 1 ) (2X — í(R2 — 1))2 Los camposa todo tiempo resultan (AX +TZ ) (AZ — TX) (AY + T(A (AX + TZ) ±i(AY+T(A — 1) ) —i(A(A — 1) — TY) - 1)) + i(AZ — TX ) — 1) - TY) (5.155) queson muy parecidasa las soluciones(5.144) de claseC~. También, consecuentemente,las fibras sonsimilares,aunquesu númerode enlace es —1, estavez. Paraobtenertodaslas clasesC...,,~, setransformanlos escalares(5.155) segúnel método (5.153), estoes, se deja su módulo invariantey se multiplicasu fasepor el númeroenteroti encontrándose asícurvascuyo númerode enlacees —ti2. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (5.154) 4>(r,t) 0(r it) 2 2 2 2 2 2 2 2 -3 161 En conclusión,sehanobtenidoexplícitamentelos camposbásicos4> y O que dan una familia de nudos electromagnéticosrepresentantesde las clasesde homotopiaC±,,~,y tambiénse han encontradoejemplos prototipo para estudiar la evolución temporal de las fibras de estas aplicaciones.Se hacomprobadoen estosejemplosque dichaevolución temporalessuave,de maneraqueel númerode enlaceesunaconstante del movimiento, tal como sedijo al presentarel modelo de los nudos electromagnéticos. 162 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 j Capítulo 6 Un modelo de rayo bola basado en los nudos 6.1 Introducción. Objetivos del capítulo A lo largodeestememoriasehanestudiado,con tododetalleconocido, las propiedadesde los nudoselectromagnéticos.Estassolucionesde la teoríaclásicade Maxwell se distinguendel restoen queestáncaracte- rizados,desdeel momentode su construcción,por el númerode enlace de sus líneasde campo,estoes,por su helicidad. Por otro lado, como se introdujo al final del segundocapítulo,la helicidad,como indicador del enlacede las líneasde campo,ofreceestabilidada los sistemasde dinámicade fluidos y magnetohidrodinamíca.En este capítulo,y a modo de unificación de esosdos hechos,se verá que la idea de nudo electromagnético,con un valor determinadode helicidad,podríaresul- tar interesanteenproblemasdeconfinamientomagnético,y, paraverlo, se introduciráun modelo tentativoparaexplicar un fenómenonatural: los rayosbola. En lasección6.2 seresumenlas característicasfenomenológicasbasí- cas respectoa los rayosbola. El modelo teórico propuestopara este fenómeno,basadoen los contenidosdel trabajo realizado,y publicado en la referencia[223],sedesarrollaen la sección6.3. En ella, además,se proponeun dispositivoexperimentalparala verificaciónde estemodelo, a partir de otros experimentosrealizados. 163 2 2 2 164 2 6.2 Fenomenología de los rayos bola 2 Los rayosbolasonextrañosy bellosfenómenosnaturales,asociadoscasi. siemprea tormentascon granaparatoeléctrico (como las tormentasde 2verano), especialmenteen zonas montañosas.Normalmente,un rayo bola pareceun globo luminoso. Frecuentemente,son de color rojo, naranja,amarillo o blanco, pero también puedenser verdeso azules 2Se ha observadoa veces que se acercana los cablesde alta tensión, y luego se muevena lo largo de ellos. Su diámetro es, típicamente del orden de 10 centímetros,aunquehan sido vistos algunosde muy 2 pocoscentímetros,y otros de varios metros. Su aparienciaestá en contrastecon los rayos normales de una tormenta, pues, a menudo, se muevenen una trayectoria cercanaa la superficie de la tierra a 2 bajavelocidad (algunosobservadoreshan llegado a decir de los rayos bola que son “majestuosos~~en su movimiento),y puedenpermanecer estáticosmomentáneamente,o cambiarrepentinamentededirecciónen 2 el transcutsodesu movimiento. Contrariamentea lo queocurrecon los rayosnormales,los rayosbola existenduranteun tiempo prolongado. 2que va desdepocossegundoshastainclusominutos. En algunoscasos, su trayectoriaes descendente,pasandoocasionalmentemuy cercadel observador,inclusohan llegado a entrary salir de algunavivienda a 2travésde ventanaso chimeneas.Respectoal final de estefenómeno, a vecesseha notadoque, aunqueintensamentebrillante, el rayo bola no irradia muchocalor, y desaparecerepentinay silenciosamente,pero, 2 otras veces,ocurre una gran explosión, que desplazay daña a seres vivos y objetos. Quizálo máscomplicadode esteproblema,desdeun punto de vista 2 científico, son las grandesvariacionesenestascaracterísticasgenerales Porejemplo, no siempreel rayobolatieneformaesférica,sinoquepuede teneruna forma irregular, o presentarprotuberancias,y puedeemitir 2 chispas. Su contornono siempreestábien definido, puedeestarlosólo vagamente,envueltoen bruma. Algunos observadoreshan escuchado 2un sonido parecidoa una descargaeléctrica, otros lo describensilen- ci.oso. Ocasionalmente,un rayo bola puedecaerdesdeuna nubehasta el suelo como un cuerpomasivo, incluso rebotar en el suelo como si 2fueseelástico. Peropuedeir en la direccióndel viento o en la opuesta (224, 225, 226, 227, 228]. 2 2 2 165 Se han propuestovarios modelosteóricospara explicar los rayos bola, basadosen microondás,combustiónfractal, procesosnucleares, reaccionesquímicas,meteoritosde antimateria,plasmas,...Incluso que sólo son ilusionesópticas,como se discuteen la referencia[226],llegán- dosea la conclusiónde que son reales. Sin embargo,ningunode estos modelosestágeneralmenteaceptado. Otro aspectointeresantees la posible relación de los rayos bola con el problemafundamentaldel confinamientomagnéticode plasmas. La pregunta,en estesentido, seríasi son los rayos bola un fenómeno naturalde confinamiento,cuyo estudiopuedeenseñarnosmuchascosas respectoa esteimportantísimotema. 6.3 Un modelo para los rayos bola La ideade usarlos nudoselectromagnéticosparaexplicarla estabilidad de los rayosbolasurgióen el veranode 1995. Duranteel cursodeverano de la UniversidadComplutense,en El Escorial, dedicadoa problemas fundamentalesde la física cuántica,Michael V. Berry se interesópor el modelo de los nudos,y sugirió que podríanresultarútiles para el problemade los rayosbola [229](uncampomagnético,correspondiente al de la claseCi delcapítuloanterior,en it = 0, ya habíasido introducido en las ecuacionesde la magnetohidrodinámicapor Kamchatnov[230], que concluíaque el plasmaal que estabaacopladoseexpandíaa causa del efectoJoule). Nuestrotrabajo fue comenzadoen el otoño de 1995, y la versióndefinitiva se terminóen Abril de 1996. En estasecciónse muestranlos resultadosde aqueltrabajo [223]. 6.3.1 Formación del rayo bola Supongamosuna tormentacon un fuerte aparatoeléctrico. Un rayo golpeaun punto del espacio,de tal modo que ionizael aire del interior de un pequeñovolumen, y creaun campomagnéticoque se acoplaal plasma.Además,sesuponequela temperaturadel sistemaessuficien- tementealta, del ordende 30.000 1<, al menos. • El sistemaplasma-campomagnético,a estatemperatura,siguelas ecuacionesde la aproximaciónmagnetohidrodinámica,queya vimos en 2 J 166 2 el apartado2.4.2 del segundocapítulo de estamemoria. Suponiendo que el plasmaes incompresible(esto es, su densidadp es constante), 2 estasecuaciones,en funciónde la velocidadde las partículasdel plasma v(r,it) y del campomagnéticoB(r,it), son V~B =0, OB — VX(vxB)+±V2B, bit 0~11 Vv =0, (6.1) 10v — —(vV) y—-- s bit en dondep(r, it) es la presión del plasma,pi esla permeabilidadmag- 2 nética,quesesuponeconstante,y sehaescritoexplícitamentela depen- dencia en la conductividada, aunqueéstase sueleconsiderarinfinita 2 en la aproximaciónmagnetohidrodinámica. Si la temperaturadel sistemaes lo suficientementealta, de manera que la conductividadsepuedetomar como infinita, una solución esta -2 cionaria (que no depeñdedel tiempo) de estasecuacionesviene dada por lascondiciones B p-~-—--=constante. (62) ji 2 2 Estetipo de soluciones,conocidascomo ondasde Alfven, sonmuy im- portantes,entreotrascosasporque,dadoque la densidaddel plasma p es constante,las líneasmagnéticasson lineasde velocidad de las si partículasmateriales,asíque la estabilidadde unasesun reflejo de la de lasotras. La solución(6.2) da todoslas cantidadesde lasecuaciones (6.1) en función de un campomagnéticosolenoidal13. Lo que ocurre 2 esquela soluciónno puedeserrealmenteestacionaria.La temperatura irá disminuyendo,la conductividaddel plasmano podrá serconside- 2 rada infinita, y el sistemase descompondrá.Es necesarioun nuevo elementoparamantenerla estabilidaddel sistemael tiempo suficiente 2para que puedaser consideradoun rayo bola. Este elementeserá el nudo magnético. 2 2 si -3 167 6.3.2 El nudo magnéticode la fibración de Seifert Las ecuaciones(6.2) tienen por solución un campo magnético13(r, it) tal quesatisface Oflo VB=0 , (6.3) bit ademásde la condiciónsobreel campoeléctrico E(r,it) = O . (6.4) Es claro,por las ecuaciones(6.3)y (6.4), quetal campomantienecons- tantela helicidadmagnética, hm = JA. 13 dAr = constante, (6.5) que siempresemantieneconstanteen la aproximaciónmagnetohidro- dinámica,comovimosen el capítulo2 de estamemoria. Comoejemplo del uso de la idea de nudo electromagnéticoen el problemadel rayo bola, se usó una configuracióndeterminada,dadapor la fibración de Seifert, que esel conjunto de las curvasde nivel de la siguienteapli- cación 4> : ~ St tras proyeccionesestereográficasen el espacioreal tridimensionalcompactificadoy en el plano complejo,respectivamente, (2(X + iY))” 4>(X,Y,Z) = (2Z + dR2 — 1)) (4(X2 + Y2)fr (6.6) Nóteseque, para n = 1, serecuperala aplicaciónde Hopf. También aquíse han usadocoordenadasadimensionales(X, Y,Z). Estascoor- denadasse relacionancon las coordenadasfísicas (x, y,:) a travésde la relación L(X,Y,Z) = (x,y,:) , (6.7) donde L es una cantidadcon dimensionesde longitud, que, como se verá,proporcionala talla del sistema.A partir de la aplicación(6.6) se construyeun nudomagnético(dadoque el campoeléctricoesnulo), con el mismométodoque el usadopara construirnudoselectromagnéticos en el vacío (ver el capítuloanterior), es decir, VS 13(r) = 2iri(1 + ~4>)2 V4> x V4> , • (6.8) 2 168 2 siendob unaconstantecon dimensionesde acciónpor velocidad,nece- sanaparaque el campo(6.8) tengadimensionesde campomagnético. Nóteseque al estaren una teoría diferente,esta constanteno tiene nadaque ver con la constantea que se vió en el casode la teoríade 2 Maxwell en el vacío (capítulos4 y 5). Con (6.6), estecamporesulta 13(r) = 41% (6.9) 2irL2(1 + fi2)3 (2(1< — mXZ), —2(X + mYZ), ti(X2 + 1<2 — Z2 — 1)) Para calcular la helicidad del campo (6.9), se necesitaun potencial 2 vectorA(r), que puedeserescogidocomo 21% A(r) = ( + R2)2 (uY, —mX, —1) , (6.10) así quela helicidadmagnéticaes 2hmJ AB d3r =mb (6.11) lo que quiere decir que cadapar de líneasmagnéticas 2 estáenlazada, con un númerode enlaceigual a ti. Es importantetambiénnotar que la helicidadno dependede la talla L del sistema. 2 6.3.3 Estabilidad del rayo bola 2 Los estadosdadospor la ecuación(6.2) no puedenserrealmenteesta- cionarios. Paraver estepunto, lo mejor es calcularla energíaE del 2sistema,que es lá sumade la energíacinéticadel plasmay la energía magnética,estoes, d3r = (u2 11» , (6.12) 2 que,claramente,decreceal incrementarsela longitud L (contrariamente 2a la helicidad magnética,que no dependede L). Estalongitud es el radio cuadráticomedio de la distribución,pues y2 _ fr2(pv2+B2) d3r = L2 . (6.13) 2 f(pv2+B2) d3r 2 2 2 -3 169 Lo que opurre es que estamossuponiendoconductividadinfinita del plasma,lo cual, como se ha comentado,implica temperaturamuy alta. En estascondiciones,el sistemairradia fuertemente;supongamosque lo hacede acuerdocon la ley de Stefan-Boltzmann,queesla razónpor la cualel rayo bolabrilla y tieneeseaspectollameante.Aunqueno hay unaforma definida, sepuedesuponerqueel rayo bola irradia comouna esferade radio L, así que la pérdidade energíapor unidadde tiempo es dE = 42*L2T4 , (6.14) dt dondeo.* esla constantede Stefan,y T esla temperatura.Esto fuerza al rayobolaa perderenergíaaumentandoL, deacuerdocon la ecuación (6.12). Asumiendo,por simplicidad, que la expansiónes adiabáticay que el plasmasecomportacomo un gasmonoatómicoideal, su tempe- raturadebedecrecercomo T 0L2 T = L 2 (6.15) estoes,segúnla potencia1—’y del volumen,con ‘y = 5/3. Introduciendo (6.15) en (6.14), seobtiene dE dit L6 (6.16) con la constante1/ dadapor = 47f2a*T~~g . (6.17) Por otro lado, de (6.12), se tiene dE _ bE dL _ (~2 + 1)b dL dt bL dit L2 dt (6.18) Igualando(6.16) y (6.18),sellegaa la ecuacióndiferendialquesatisface L(it), esto es, dL __________ dit b(n2+1)L4 (6.19) cuyasolución es L(it) = Lo (í+ 1)1/5 (6.20) 2 2 2 170 2 dondeel tiempo característicodel sistemaes ir,, = (ti 2 + 1)i-o = (n2 ±1)bL 0 (6.21) 2 5b’ Consecuentemente,el radiodel rayo bola crece,el campomagnéticova 2 a cero, la temperaturadecrececomo, según(6.20) y (6.15), el plasmase enfría y T(it)=To(1+~) ‘ - (6.22) 2 el brillo se reduce. La estabilidadde la estruc- tura, medida por la lentitud de estaexpansión,se debea la ligadura impuestapor la conservaciónde la helicidad, o, equivalentemente,por J el enlacede las lineasmagnéticas.Intuitivamente,sepuedepensarque, en la expansión,laslíneasdevelocidaddel plasmase “estorban” unas a otras, ya queestánforzadasa mantenerel mismo enlaceque las líneas 2 magnéticas.Esto se confirma por el hechodequeel tiempocaracterís- tico del sistemaes proporcional a u 2 + 1. En otraspalabras,a mayor 2númerode enlace,máslenta es la expansión(ver la figura 6.1). Se ha asumidoque la temperaturainicial es suficientementealta, del orden de 30.000 K, lo que implica conductividadinfinita. Si ci se 2mantuvierainfinita, la expansióncontinuaríapor siempre,segúnlas relaciones(6.20) y (6.22). Pero la conductividaddecrecejunto con la temperatura,dandopasoasí a dos nuevosefectos: (i) unapérdidade 2 energíaadicional por efecto Joule,que acelerael enfriamiento,y (u) pérdidade la conservaciónde la helicidad. Estosefectosdestruyenel rayo bola. 2 Por último, hay que haceralgún comentariosobrela posibilidad de diseñarun experimentopara evaluarel modelo. En principio, esto no parecesencillo por razonesobvias, pero existen dos situacionesex- 2 perimentalesqueparecenrelacionadascon esteproblema: plasmascori geometríatoroidal, por un lado, y el dispositivo construidopor Oht- 2suki y Ofuruton para producir interferenciade microondas[231], por otro. En el primer caso, a vecesse utiliza la idea de helicidad mag- nética. De hecho, se ha estudiadola inyección de helicidad como un 2medio de sostenimientodel plasma,introduciendoen el toro unabola de plasmaqueestáenunaconfiguraciónestablepor tenerunahelicidad 2 2 2 -3 171 L(t>/L<0) 2 1.8 1.4 1.2 o T. [217] E. Cabrera,Phys. Rey. Lett. 48, 1378 (1982) [218] A. F. Rañada,J. Phys. 23 A, L815 (1990). U [2193M. F. Atiyah, Tite Geometry of Yang-Milis Fields (Pisa, LezioneFermiane,1979).E [220]A. Ibort, en varias conversaciones con A. F. Rañada y J. L. Trueba(1996-1997). 3 [221] M. Spivak, A ComprehensiveIntroducition to Differeñtiai Ge- ometry,vol. 1 (Houston,Publishor Perish, 1979). E U E E 2 2 2 190 2 [222]F. XV. XVarner, Fouudaitionsof Differemitiabie Manifolds atid Le 2Gronps (Dallas, Scott-Foresman,1971). [223]A. F. Rañada y J. L. Trueba, Nature 383, 32 (1996). 2 [224]B. Pippard, Nature 298, 702 (1982). [225]5. Singer, The Nature of Bali Lightning (New York, Plenum 2 Press,1971). [226] Ohtsuki (editor), Scienceof Bali iightning (Singapore, 2 Scientific, 1989). [227]P. Hubert, La Recherche211,722 (1989). J [228]5. Singer, Nature 350, 108 (1991) [229]NI. V. Berry, en conversación con A. F. Rañada (17-7-1995). 2 [230]A. M. Kamchatnov,Soy. Phys. JETP 55, 69 (1982). [231] Y. H. Ohtsuki y H. Ofuruton, Nature 350, 139 (1991). 2 [232]C. W. Barnes et al, Phys. Fluids 29, 3415 (1986). • 2 [233]P. 1<. Browning et al, Phys. Rey. Lett. 68, 1718 (1992). [234] R. L. Stenzel,J. M. Urrutia y C. L. Rousculp,Phys. Rey. Leitt. 2 74, 702 (1995). 2 2 2 2 2 -3 AYUDA DE ACROBAT READER SALIR DE LA TESIS NUDOS ELECTROMAGNÉTICOS Presentación Agradecimientos Indice 1 Introducción 1.1 Sobre los orígenes de la interrelación entre topología y física 1.2 La topología del electromagnetismo: líneas de campo 1.3 Modelos topológicos 2 La helicidad de un campo vectorial 2.1 Introducción. Objetivos del capítulo 2.2 Definición de la helicidad 2.3 Helicidad y topología de las líneas de campo 2.4 Algunas aplicaciones de la helicidad a problemas físicos 3 La helicidad electromagnética 3.1 Introducción. Objetivos del capítulo 3.2 Las helicidades de un campo electromagnético en el vacio 3.3 La helicidad electromagnética y su significado 4 Un modelo topológico del electromagnetismo 4.1 Introducción. Objetivos del capítulo 4.2 Los nudos electromagnéticos 4.3 El modelo topológico de los nudos 4.4 Cuantización topolégica 5 Estudio de algunos nudos electromagnéticos en el vacío 5.1 Introducción. Objetivos del capítulo 5.2 Condiciones de Cauchy de una familia de nudos de clase C1 5.3 Condiciones de Cauchy de una familia de nudos de clases C distinto n(2) 5.4 Evolución temporal de los nudos 6 Un modelo de rayo bola basado en los nudos 6.1 Introducción. Objetivos del capítulo 6.2 Fenomenología de los rayos bola 6.3 Un modelo para los rayos bola 7 Conclusiones y vías de ampliación 7.1 Conclusiones 7.2 Vías de ampliación Bibliografía NJKL: KL: