UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID 
 

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS 
 

Departamento de Física de la Tierra, Astronomía y Astrofísica I (Geofísica 
y Meteorología) (Astronomía y Geodesia) 

 

  
TESIS DOCTORAL   

 
Estudio de la intermitencia de la turbulencia en la capa límite 

atmosférica y aplicación a los mercados financieros 
 
 

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR 
 

PRESENTADA POR 

  
 

José María Vindel López 
 
 

Director 
 

Carlos Yagüe Anguís 
 
 

Madrid, 2013 
 
 

 
  © José María Vindel López, 2013 



 

 

 

 

ESTUDIO DE LA INTERMITENCIA 

DE LA TURBULENCIA EN LA CAPA 

LÍMITE ATMOSFÉRICA Y 

APLICACIÓN A LOS MERCADOS 

FINANCIEROS 
 

Tesis Doctoral presentada por: 

Jose María Vindel López 

 

Director: Carlos Yagüe Anguís 

 

Departamento de Física de la Tierra, Astronomía y Astrofísica I 
(Geofísica y Meteorología) 

 
Facultad de Ciencias Físicas 

Universidad Complutense de Madrid 
Diciembre 2012 

 



 



 

 

Agradecimientos 
 

En primer lugar, deseo hacer constar mi enorme gratitud al director de esta tesis, 

Carlos Yagüe Anguís, junto al cual he elaborado buena parte de los artículos 

publicados fruto de este trabajo. Sin él, hubiera sido imposible terminar, y 

seguramente empezar, este proyecto en el que me he embarcado durante años. Sus 

investigaciones, sus sugerencias y constante dedicación lo han hecho posible. 

Agradezco también al Departamento de Física de la Tierra, Astronomía y Astrofísica 

I (Geofísica y Meteorología) de la Universidad Complutense de Madrid haber 

acogido mi tesis y haberme dado todas las facilidades para realizarla. 

 

Asimismo, doy mis más sinceros agradecimientos a los evaluadores anónimos de los 

artículos enviados y publicados en distintas revistas científicas. Aunque sus 

identidades me sean desconocidas por el sistema ciego de revisión, sus comentarios 

me han dado luz y me han ayudado a dar forma al trabajo completo que ahora 

presento para su valoración. Mi reconocimiento también a los proyectos de 

investigación que me han permitido financiar este trabajo: “Mejora de la capacidad 

de observación de la capa límite atmosférica en relación con el transporte de 

componentes atmosféricos de importancia” (Referencia: CGL2006-12474-C03-

03/CLI); “Micrometeorología y Variabilidad Climática” (Referencia: Convocatoria 

GR58/08-A); “Estudio de los procesos fisicos relevantes en la transición de la capa 

límite atmosférica nocturna” (Referencia: CGL2009-12797-C03-03). 

 

Por último, querría dedicar esta tesis a mis padres, que siempre estuvieron a mi lado 

y me dieron el cariño y apoyo necesarios para seguir adelante. Su recuerdo estará 

siempre en mi corazón. Ellos se fueron durante la elaboración de la misma dejando 

un vacío irreparable; entretanto, mi hijo Marcos llegaba, llenando mi vida de alegría, 

con sus juegos y sonrisa. Finalmente, esta tesis no hubiera sido posible sin la 

colaboración de mi mujer, Estrella. Gracias, cariño, por tu compañía y comprensión. 

 



 



 

INDICE 

 

              Página 

 

1. Introducción y objetivos        1 

2. Aspectos fundamentales de la turbulencia     9 

2.1.  Régimen laminar y turbulento      10 

2.2. Características de la turbulencia      10 

 2.3. Cascada de Richardson       11 

 2.4. Escalas de la turbulencia       15 

  2.5. Turbulencia 2D vs. 3D       20 

  2.6 Turbulencia en la CLA       25 

 2.7. Geometría fractal        26 

  2.7.1. Autosemejanza o autosimilitud    26 

  2.7.2. Dimensión fractal y espectro multifractal   30 

3. Intermitencia de la turbulencia       33 

 3.1 Concepto de intermitencia      34 

 3.2 Análisis de la intermitencia      35 

  3.2.1 Funciones de estructura      35 

  3.2.2 Funciones de densidad de probabilidad   42 

  3.2.3 Curtosis        42 

3.3 Modelos de intermitencia       43 

3.3.1 Turbulencia homogénea     45 

 3.3.1.1 Teoría K41 o de Kolmogorov   46 

   3.3.1.2 Teoría K62 o Modelo lognormal   49 

   3.3.1.3 Modelo       

   3.3.1.4 Modelo de She-Lévêque    54 

   3.3.1.5 Modelo p o Modelo binomial   56 

   3.3.1.6 Modelo de difusión     59 

  3.3.2 Turbulencia no homogénea     66 

3.3.2.1 Modelos shell      66 

3.3.2.2 Modelo log-Poisson (con condición ESS)  82 

 



 

4. Estudio de la cascada energética y la intermitencia 

de la turbulencia en la capa límite atmosférica    89 

 4.1. Emplazamiento de la campaña SABLES98    90 

 4.2. Instrumentación        92 

 4.3. Datos empleados        93 

 4.4. Evolución del Número de Reynolds con la escala   95 

 4.5. Tiempo de vida de los remolinos     98 

4.6. Intermitencia de las situaciones estudiadas    100 

  4.6.1. Funciones de estructura     100 

  4.6.2. Funciones de densidad de probabilidad   104 

  4.6.3. Curtosis        108 

4.7 Evolución diaria de la intermitencia (Influencia 

      de la estratificación térmica y el viento sobre la intermitencia)   110 

 4.8. Pendientes espectrales       126 

 4.9. Parámetros de estabilidad      128 

 4.10. Modelos de intermitencia      129 

5. Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros)   137 

 5.1. Turbulencia en los mercados financieros    138 

 5.2. Intermitencia y comportamiento anómalo    139 

5.3. Racionalidad de los datos financieros vs. comportamiento  

en la naturaleza         152 

6. Resumen y Conclusiones        155 

Referencias          167 

Apéndices          179 

 Apéndice I (Distribuciones de Lévy)      180 

 Apéndice II (Método de Blackman & Tukey)    182 

 Apéndice III (Análisis en cascada multiplicativa)    184 

 Apéndice IV (Dimensión fractal en el modelo K62)    187 

 Apéndice V (Ecuación de Navier-Stokes en el espacio de Fourier)  188 

 Apéndice VI (Convergencia estadística)     190 

Apéndice VII (Notación empleada)      195 

Apéndice VIII (Listado de artículos publicados o en revisión)  199 

 



 

1 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Introducción y objetivos 
 



Introducción y objetivos 

2 
 

 

El principal objetivo de esta tesis doctoral es abordar el estudio del fenómeno de la 

intermitencia de la turbulencia dentro de la llamada capa límite planetaria o 

atmosférica (CLA). Esta capa es la región de la troposfera influida directamente por 

la presencia de la superficie terrestre, y que responde a los forzamientos superficiales 

en una escala temporal de una hora o menos (Stull 1988). No se quiere decir que en 

ese tiempo la capa alcance un equilibrio, sino que en ese tiempo comienzan las 

alteraciones en respuesta a esos forzamientos (flujos de calor, fricción, evaporación y 

transpiración, emisión de contaminantes y modificación del flujo inducida por el 

terreno). Se trata, por tanto, de la región donde las interacciones entre atmósfera y 

tierra presentan una mayor intensidad, fundamentalmente en forma de flujos de calor, 

momento y masa. La estructura o régimen de esta capa se caracteriza por la 

existencia o no de mezcla, la cual depende de la estratificación térmica (estabilidad, 

neutralidad o inestabilidad) presente en la CLA y del viento.  

 

Respecto a la primera magnitud, la estratificación térmica, ésta varía de forma 

fundamental a lo largo del día. En efecto, durante el día el calentamiento superficial 

induce situaciones de mayor inestabilidad, en las que los movimientos verticales se 

ven favorecidos; por el contrario, el enfriamiento nocturno genera situaciones más 

estables, que inhiben esos movimientos verticales. Respecto a la segunda magnitud 

que influye de forma fundamental en la estructura de la CLA, el viento, se puede 

definir como un flujo de aire que transporta diversas magnitudes, como humedad, 

calor, momento o contaminantes. Este flujo se puede dividir en tres categorías (Stull 

1988) que pueden existir independientemente unas de las otras o que pueden 

coexistir en la CLA: 

 

a) Viento medio: Es el principal responsable del transporte horizontal. Valores 

comunes de la componente horizontal del viento en la capa límite atmosférica 

(CLA) son: 2-10 m/s; de la componente vertical: mm o cm/s. Hay que tener 

en cuenta que cerca del suelo su valor disminuye por la fricción. 

b) Ondas: Resultan efectivas transportando momento y energía. Existen dos 

tipos fundamentales: 



Introducción y objetivos 

3 
 

 Ondas internas o de gravedad: Se deben a procesos que provocan el 

desplazamiento del aire de su nivel de equilibrio de estratificación 

estable, como pueden ser obstáculos topográficos a superar, eventos 

turbulentos, tormentas, sistemas frontales, circulaciones de brisa 

marina... 

 Inestabilidades de Kelvin-Helmholtz: Producidas por la cizalladura del 

viento medio actuando sobre interfases estables de diferente densidad. 

 

Las ondas pueden, o bien dispersarse, o bien amplificarse y acabar rompiendo 

provocando la tercera categoría del flujo: la turbulencia. 

c) Turbulencia: Es la principal responsable del transporte vertical. Consiste en 

remolinos o vórtices (eddies en inglés) irregulares en movimiento. 

 

Fuera de la CLA, la turbulencia se encuentra en las nubes convectivas o cerca 

de la corriente del chorro, donde se produce fuerte cizalla (turbulencia en aire 

claro). 

 

En la CLA, la turbulencia es producida por: 

 Forzamientos superficiales: como el calentamiento solar sobre el 

suelo que causa térmicas de aire caliente ascendente (esas térmicas 

son los remolinos turbulentos); la fricción sobre el suelo que da lugar 

a cizalladura; los obstáculos a superar por el flujo... 

 Ondas: El mecanismo que genera turbulencia relacionado con las 

ondas es la ruptura de las mismas. 

 Chorros de capa baja o Low-Level Jets (LLJs): Se producen 

habitualmente entre 60 y 300 m sobre el nivel del suelo por diversos 

motivos, como pueden ser la oscilación inercial del viento al caer la 

noche, el enfriamiento superficial sobre pendientes que genera 

corrientes de gravedad, o la baroclinicidad en terreno con pendiente. 

La presencia de estos LLJs suele producir cizalladura, que da lugar a 

la turbulencia. 

 Corrientes de gravedad o flujos catabáticos: En estos casos, 

nuevamente se puede generar cizalladura del viento. 



Introducción y objetivos 

4 
 

 

De acuerdo con la estratificación térmica y el viento, podemos distinguir los 

siguientes regímenes de la CLA: 

 C.L. Convectiva o Mezclada: Es típica de horas diurnas con buen tiempo, con 

o sin viento. Es producida por forzamientos superficiales, la turbulencia es 

continua e intensa, y las distintas magnitudes alcanzan un nivel de equilibrio. 

Es aplicable el análisis de series temporales por métodos convencionales 

(descomposición de Reynolds de las variables en una componente media y 

otra perturbada). 

 C.L. Estable: Típica de noches despejadas con viento débil, aunque también 

se puede producir en horas diurnas por advección de aire cálido sobre 

superficie fría. Se produce un desacoplamiento entre los forzamientos 

superficiales y la parte superior de la capa (z-less turbulence y local scaling), 

y la altura sobre la superficie, asi como los flujos superficiales  no son 

determinantes de la turbulencia en alturas relativamente cercanas a la 

superficie. La turbulencia es discontinua y poco intensa, y las distintas 

magnitudes no alcanzan un nivel de equilibrio (evolucionan continuamente). 

Pueden desarrollarse diversos fenómenos: chorros de capa baja, corrientes de 

gravedad, ondas internas, inestabilidades de Kelvin-Helmholtz. En este caso, 

el análisis por métodos estadísticos convencionales no siempre da buenos 

resultados, siendo mejores otros métodos estadísticos como la Transformada 

Wavelet (Viana 2011). 

 C.L. Neutral o Indiferente: Típica de horas diurnas con viento y nubosidad en 

altura, que inhibe la convección, o de noche con vientos moderados, así como 

en las transiciones vespertinas y matinales de la CLA. 

 

Dado que la CLA es una capa turbulenta, para analizar adecuadamente su estructura 

se requerirá conocer detalladamente la estructura y amplitud de los remolinos 

turbulentos, responsables del transporte vertical del momento lineal. Sin embargo, las 

características de la turbulencia hacen de ella un tema complejo al que la comunidad 

científica ha dedicado enormes esfuerzos a lo largo de los años y al que, 

seguramente, se continuarán dedicando. De hecho, al introducir el tema de la 

turbulencia, la mayoría de manuales de física ya nos advierten que nos encontramos 



Introducción y objetivos 

5 
 

ante el único gran asunto abordado por la física clásica que queda por resolver. Esa 

complejidad procede, entre otras cosas, de la irregularidad o aleatoriedad que afecta a 

las variables cuando se encuentran en un flujo turbulento, y que hace que sea 

necesario posicionarse ante su estudio en términos estadísticos. 

 

Han sido varios los hitos en la historia de la física en el intento por comprender el 

fenómeno de la turbulencia. Habría que destacar en primer lugar la teoría 

desarrollada por Richardson (1922), según la cual la turbulencia consiste en un 

conjunto de vórtices o remolinos generados (inicialmente por la convección térmica  

y la cizalladura del flujo medio, Arya 2001), los cuales desaparecen al ceder su 

energía a remolinos de menor tamaño generados a partir de los primeros, proceso que 

se repite hasta que los remolinos ya tienen un tamaño tan pequeño que desaparecen al 

disiparse su energía por viscosidad en forma de calor (la llamada cascada de 

Richardson). Esta cascada se compone por tanto, de un conjunto de escalas o pasos 

de cascada y, en cada uno de esos pasos, variables como la velocidad se comportan 

como una variable aleatoria. Al considerar el conjunto de pasos, tendremos para esa 

velocidad, un conjunto de variables aleatorias, es decir, la velocidad se comportará 

como un proceso estocástico. 

 

Otra teoría fundamental fue llevada a cabo por Kolmogorov (1941) mediante el 

análisis dimensional. Kolmogorov supuso que (en condiciones de homogeneidad, 

isotropía y localidad), en las escalas pequeñas, pero donde la viscosidad  no es 

importante todavía, la distribución de probabilidad de la velocidad tan sólo dependía 

del valor medio de la tasa de transferencia de energía entre remolinos. Esa 

consideración le llevó a obtener una relación lineal entre las llamadas funciones de 

estructura de un determinado orden de la variable (que representan los momentos de 

ese orden de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria) y el orden 

correspondiente. Esta ley parecía ser capaz de establecer la distribución de 

probabilidad de la velocidad a lo largo de la cascada de Richardson, es decir, parecía 

haberse encontrado un comportamiento universal por parte de los remolinos a lo 

largo de la cascada. Sin embargo, poco más tarde, se observó que la turbulencia no 

siempre se comportaba de esta manera, y al alejamiento del comportamiento de los 

remolinos respecto de la teoría de Kolmogorov se denominó intermitencia. La 

intermitencia vino a ser, pues, un elemento molesto en la explicación de la 



Introducción y objetivos 

6 
 

turbulencia y, este incómodo fenómeno será, precisamente, el objeto de estudio de la 

presente tesis. 

 

Por otro lado, los estudios empíricos sobre turbulencia acostumbran a servirse 

mayoritariamente de datos obtenidos en un laboratorio, donde pueden controlarse 

mejor las condiciones de trabajo y donde no existen tantas dificultades para realizar 

mediciones como las que se presentan en las campañas para tomar medidas en la 

atmósfera. Por ello, resultan menos frecuentes los estudios de turbulencia a partir de 

datos tomados directamente de la atmósfera y, aún menos habitual, el estudio de la 

intermitencia que presenta la turbulencia en la atmósfera. 

 

Todo ello justifica el interés para la realización de esta tesis doctoral. En ella 

pondremos de manifiesto la intermitencia existente en la turbulencia atmosférica y 

cómo es la dependencia de la misma con el tipo de estratificación presente en la 

atmósfera e, incluso, con el viento presente. También aplicaremos a nuestros datos 

atmosféricos algunos de los modelos más significativos en el estudio de la 

intermitencia para ver su grado de bondad. Llegados a este punto, veremos que los 

modelos existentes, desarrollados únicamente para explicar la turbulencia totalmente 

desarrollada, resultan insuficientes en el caso de la turbulencia sin ese desarrollo. 

Este último tipo de turbulencia, en ocasiones presente en la CLA, será analizado con 

bastante detenimiento en el trabajo, ya que lo hemos encontrado prácticamente 

inexistente en la bibliografía. Además, en la parte final de la tesis aplicaremos la 

metodología seguida para el estudio de la intermitencia en la atmósfera al ámbito 

financiero, pues se ha comprobado que el comportamiento de los datos bursátiles 

presenta importantes analogías con el de las velocidades en los fluidos, por lo que 

este tipo de análisis ha experimentado un importante desarrollo en las más 

importantes revistas científicas del ámbito de la física en los últimos años. 

 

Para llevar a cabo todos estos estudios, la tesis se ha estructurado de la siguiente 

manera: un primer bloque se dedica fundamentalmente a explicar la teoría de todo 

aquello que pueda resultar de interés para comprender mejor el tema, aunque también 

se incluyen algunos resultados obtenidos a partir de los datos tratados, y que puedan 

resultar clarificadores. En ese sentido, estudiaremos en primer lugar el fenómeno 

que, en un marco más amplio, es objeto de la tesis: la turbulencia. En el capítulo 



Introducción y objetivos 

7 
 

dedicado a la misma (capítulo 2) se verán algunos de sus aspectos más significativos 

(como la mencionada teoría de Kolmogorov), aunque dedicaremos especial atención 

a la cascada de Richardson, pues ésta va a ser el elemento clave en todas nuestras 

consideraciones posteriores. En efecto, la transición entre distintas escalas, es decir, 

la transición a lo largo del espectro, es, a fin de cuentas, el eje central de esta tesis. 

Sin abandonar el capítulo dedicado a la turbulencia, incluimos un repaso a la 

geometría fractal. Este estudio resulta especialmente pertinente pues, como también 

veremos a lo largo de la tesis, la velocidad a lo largo de la cascada se comportará 

también como un proceso autosemejante, es decir, como un proceso con geometría 

fractal (más concretamente, con geometría multifractal, multifractalidad que se 

corresponderá, precisamente, con el fenómeno de la intermitencia). 

 

Una vez tratados los aspectos generales de la turbulencia, estaremos en condiciones 

de abordar el estudio del concepto de intermitencia de la turbulencia (capítulo 3), 

estudio que se puede plantear desde dos puntos de vista, que por otra parte, resultan 

complementarios: a través de un análisis multifractal o a través del llamado análisis 

en cascada multiplicativa. Llegados a este punto, mostraremos algunos de los 

modelos de intermitencia más significativos, algunos de los cuales, posteriormente, 

serán aplicados a nuestros datos (Vindel et al. 2008b). De especial relevancia resulta 

el estudio realizado para los modelos shell (Vindel & Yagüe 2009) pues ya se 

plantean unas conclusiones que, posteriormente, se verán refrendadas por los 

resultados empíricos obtenidos. 

 

A continuación, en un segundo bloque se aborda el análisis de los datos atmosféricos 

correspondientes a la campaña atmosférica SABLES98, llevada a cabo en el año 

1998 en las instalaciones del Centro  de Investigación para la Baja Atmósfera (CIBA) 

sito en la provincia de Valladolid. En ese estudio se establecen importantes 

conclusiones, tales como la clara dependencia entre el tipo de estratificación 

existente y el grado de intermitencia (Vindel et al. 2008a). También mostraremos la 

existencia de un comportamiento no documentado hasta ahora en la bibliografía 

(Vindel & Yagüe 2011) referente a la posibilidad de que la tasa de energía disipada 

disminuya, en lugar de aumentar, al descender por la cascada, en situaciones de 

fuerte estabilidad de estratificación. En la tesis plantearemos que este 

comportamiento sólo es posible por la ausencia de un total desarrollo de la 



Introducción y objetivos 

8 
 

turbulencia en ese tipo de situaciones, debido a que algunas ondas internas puedan 

quedar atrapadas, generándose “reventones” turbulentos que redistribuyen la energía 

a lo largo de la cascada. 

 

Finalmente, y como hemos mencionado anteriormente, en  un tercer y último bloque 

analizaremos, con la misma metodología aplicada al estudio de los datos 

atmosféricos, algunos de los más importantes mercados financieros mundiales, 

extrayendo analogías entre las turbulencias correspondientes a ambos tipos de datos 

(Vindel & Trincado 2010). En efecto, el flujo de energía a través de la cascada, 

propio de la dinámica de fluidos, se corresponde con un flujo de información en el 

caso de los índices del mercado, y el papel de la velocidad a una cierta escala (que, 

como veremos, será la diferencia entre los valores de esa velocidad entre momentos 

que distan esa escala temporal), puede ser desempeñado por la diferencia entre los 

valores del índice en un par de momentos. De hecho, el comportamiento anómalo 

antes mencionado, correspondiente a situaciones de fuerte estabilidad, y que sólo 

puede ser explicado a través de la ausencia de un total desarrollo de la turbulencia, 

también aparece en aquellos índices financieros con una libertad más restringida 

(Trincado & Vindel 2012a). Este es el caso del DOW JONES, índice construido 

únicamente a partir de los precios de los artículos, sin posibilidad de considerar la 

cantidad existente de los mismos. Pero además, sirviéndonos de la posibilidad de 

interpretar los mercados financieros como una cascada de información entre vórtices 

turbulentos, pondremos de manifiesto la racionalidad que debe estar presente, de 

alguna manera, en los datos financieros. 

 



 

9 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Aspectos fundamentales de la 

turbulencia 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

10 
 

 

2.1. Régimen laminar y turbulento 

 

En el movimiento de los fluidos se distinguen dos tipos de regímenes: laminar y 

turbulento (Tennekes & Lumley 1972). En el primero, el fluido es como si se 

desplazara a través de capas paralelas entre sí que no se mezclan. En el segundo, por 

el contrario, el movimiento del fluido ya no tiene lugar a través de láminas paralelas, 

sino que se produce de forma irregular generándose remolinos o vórtices. El 

parámetro que sirve para clasificar un flujo como de un tipo u otro es el llamado 

Número de Reynolds (Re). Re se trata de un valor adimensional que se define como: 

 

Re=
ul
υ        (2.1) 

 

siendo u la velocidad, l una longitud característica del fenómeno (en la atmósfera se 

corresponde con la altura) y  la viscosidad cinemática. 

 

Re mide, en definitiva, la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas 

que gobiernan el movimiento de los fluidos. 

 

Sirve por tanto para caracterizar el régimen, turbulento o no de un fluido, pues a la 

vista de su definición, cuando las fuerzas viscosas tienen un efecto dominante en la 

pérdida de energía, el número de Reynolds es pequeño y el flujo se encuentra en el 

régimen laminar. Un número de Reynolds alto indicará que las fuerzas viscosas 

influyen poco en la pérdida de energía y, por tanto, que el flujo es turbulento. 

 

2.2. Características de la turbulencia 

 

La irregularidad o aleatoriedad 

Las distintas variables fluidodinámicas (velocidad, temperatura, presión, etc) varían 

en el espacio y en el tiempo de forma aleatoria. El flujo no resulta ni homogéneo ni 

estacionario. De ahí la necesidad de acudir al análisis estadístico para el estudio de la 

turbulencia (Lesieur 1997). 

 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

11 
 

 

Amplio espectro de escalas 

El tamaño de las escalas que caracterizan la turbulencia resulta muy variable, 

extendiéndose desde la llamada escala integral (en la atmósfera del orden de decenas 

o centenares de metros) hasta la escala de Kolmogorov (del orden de mm). 

 

La difusividad o efectividad de mezcla 

Cada eddie transporta momento y energía desde el nivel en que se genera hasta otro 

nivel, donde produce una fluctuación del movimiento turbulento. El remolino 

desaparece entonces absorbido por el aire ambiente. Se trata de un proceso que 

presenta ciertas analogías con el que tiene lugar a nivel molecular y en el que se basa 

la teoría de longitud de mezcla de Prandtl. 

 

La tridimensionalidad 

En experimentos llevados a cabo en laboratorio se pueden conseguir flujos 

estrictamente turbulentos 2D. Sin embargo, en la naturaleza la turbulencia siempre es 

en tres dimensiones y, sobre todo, en las escalas más pequeñas del espectro, que son 

las predominantes en la CLA. Sin embargo, en condiciones de fuerte estabilidad de 

estratificación en la atmósfera, la inhibición del movimiento vertical genera una 

turbulencia muy similar a la 2D.  

 

La disipación 

Como veremos posteriormente, a lo largo de la llamada cascada de Richardson los 

remolinos van perdiendo energía por acción de las tensiones viscosas. Por ello, para 

mantenerse la turbulencia se necesita de un aporte continuo de energía procedente del 

flujo principal. 

 

2.3. Cascada de Richardson 

 

Como ya hemos indicado, la turbulencia se caracteriza por la existencia de un 

conjunto de remolinos de distintos tamaños. En 1922, Richardson supuso que los 

mayores, con un tamaño del orden de la escala característica del flujo principal, 

interaccionan con éste y extraen energía del mismo. Esos remolinos presentan un 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

12 
 

elevado número de Reynolds, por lo que resultan inestables y tienden a fragmentarse 

dando lugar a otros menores a los que transfieren su energía. Sin embargo, en ese 

proceso de generación y disipación, no toda la energía de los remolinos padre se 

transfiere a los hijos, sino que una pequeña parte de energía se disipa en forma de 

calor debido a las tensiones viscosas existentes en el fluido. Los nuevos remolinos 

generados, con un número de Reynolds todavía elevado, también resultan inestables, 

por lo que sufren el proceso anterior dando lugar a la aparición de nuevos remolinos 

a costa de los antiguos, perdiéndose nuevamente energía en el camino debido a la 

viscosidad. El proceso se reitera sucesivamente hasta que los remolinos generados 

presentan un número de Reynolds lo suficientemente bajo como para ya no resultar 

inestables y descomponerse, en consecuencia, en remolinos menores, es decir, hasta 

que el tamaño de los remolinos es tal que pierden toda su energía sólo por el efecto 

de las fuerzas viscosas (Pope 2000). Esos remolinos menores tan sólo se transforman 

en calor por efecto de las fuerzas viscosas. 

 

Cada una de esas transiciones de remolinos mayores a menores, que podemos 

interpretar como cada uno de los pasos a lo largo de una cascada energética, se 

corresponde con una escala (espacial o temporal). La escala espacial se puede reflejar 

a través del tamaño de los remolinos correspondientes a ese paso. Si se supone la 

verificación de la hipótesis de Taylor (1938), se puede obtener una escala temporal 

dividiendo la escala espacial por el flujo medio. 

 

La escala espacial ln correspondiente al paso n de la cascada se puede determinar a 

partir de la escala inicial si se supone la existencia de una estructura fractal (que 

estudiaremos en un capítulo posterior): 

 

 l n=l0 δn   con δn=δ− n
     (2.2)  

 

siendo  el número de remolinos que se generan a partir de un remolino en cada paso 

(un valor habitual para  es 2). 

 

Para cada una de esas escalas, o pasos de la cascada, (Arimitsu & Arimitsu 2005), 

podemos considerar el valor de distintas variables, como son: 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

13 
 

 

 La velocidad de los remolinos (un) 

 El número de Reynolds (Ren) 

 El tiempo necesario para la rotación de los remolinos ( t n
rot

) 

 El tiempo necesario para su disipación ( t n
dis

) 

 Tasa de energía cinética (específica) en ese paso (n) 

 La tasa de disipación de energía en ese paso (n) 

 

- Velocidad a una cierta escala (un): 

 

Se corresponde con la velocidad de rotación de los remolinos de tamaño ln. Esa 

velocidad se entiende como la diferencia de velocidades entre dos puntos 

distanciados esa escala. Es decir: 

 

 ( ) ( )n nu = u x+l u x        (2.3) 

 

Normalmente en las mediciones se dispone de las velocidades no en distintos puntos 

del espacio, sino en distintos momentos en un mismo punto. Por ello, en realidad, el 

valor de la velocidad se acostumbra a calcular por la diferencia de velocidades en el 

tiempo: 

 

 ( ) ( )n nu = u t +t u t        (2.4) 

 

y, suponiendo que se verifica la hipótesis de Taylor, las escalas espacial y temporal 

aparecen relacionadas a través de: 

 

 t n=
l n

U          (2.5) 

siendo U el flujo medio       

 

- El número de Reynolds a una escala (Ren): 

 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

14 
 

 Re n=
unln

υ         (2.6) 

 

Al aumentar el paso de la cascada n, disminuirá su número de Reynolds 

correspondiente, de tal forma que cuando ese valor sea suficientemente pequeño para 

una escala ln, los remolinos resultarán estables y ya no se destruirán generando 

nuevos remolinos.  

 

- Tiempo necesario para la rotación a una escala ( t n
rot

): 

 t n
rot=

l n

un
        (2.7) 

 

Este tiempo se puede interpretar como el tiempo necesario para que el remolino de 

diámetro ln ceda toda su energía cinética a los de diámetro ln+1 que se generan a partir 

de él. Es decir, se corresponde con el tiempo de vida del remolino. 

 

- Tiempo necesario para la disipación a una escala ( t n
dis

): 

 

El tiempo necesario para que la energía de un remolino se disipe en forma de calor 

aumentará con el tamaño del remolino y disminuirá cuanto mayor sea la viscosidad 

del fluido (cuanto mayor sea esa viscosidad, más rápidamente se disipará el 

remolino). Concretamente:  

 

 

2

ndis
n

l
t

υ
         (2.8) 

 

Cuando tn
rot << tn

dis
 los remolinos tienen tiempo de ceder toda su energía a los 

remolinos más pequeños (el efecto disipativo es despreciable). En el caso contrario, 

la energía de los remolinos se disipa antes de que tengan tiempo de ceder su energía a 

los del paso siguiente.  

 

- Tasa de energía transferida a una escala (n): 

 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

15 
 

Corresponde a la energía transferida por los remolinos de una escala a los de la 

siguiente escala por unidad de tiempo y de masa. Ese flujo se puede interpretar como 

la energía producida en la unidad de tiempo a la escala en cuestión: 

   

 
2 3

2 2
n n

n rot
n n

u u

t l
         (2.9) 

 

- Tasa de disipación de energía a una cierta escala (n): 

 

Esa tasa será la energía cinética específica por unidad de tiempo necesario para la 

disipación del remolino: 

 

 
2 2

22
n n

n dis
n n

u u

t l
          (2.10) 

 

La relación entre ambos flujos de energía vendrá dada por: 

 

 
3 1

2 2

 
Re

  
n n n n n

n
n n n

u l u l

u l



  

         (2.11) 

 

Es decir, esa relación es proporcional al número de Reynolds asociado a la escala en 

cuestión. 

 

2.4. Escalas de la turbulencia 

 

Escala integral 

 

Físicamente, la escala integral espacial equivale al tamaño de los remolinos mayores 

que se generan. La velocidad de esos remolinos es del orden del flujo medio. 

 

El periodo integral corresponde al tiempo necesario para que esos remolinos realicen 

una rotación.  

 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

16 
 

En cuanto al número de Reynolds a esa escala: 

 

 

Re 0=
Ul0

υ         (2.12) 

 

donde U es el flujo medio y l0 la escala integral espacial. 

 

A esa escala, el número de Reynolds es >>1, pues esa es la característica del régimen 

turbulento. En consecuencia, y dado que la relación entre las tasas de energía 

transferida y disipada es proporcional al número de Reynolds, la energía transferida 

resulta mucho mayor que la disipada, a la que se puede considerar como 

despreciable. 

 

Matemáticamente, la escala integral temporal, t0, es el periodo máximo de 

correlación de la serie de velocidades turbulentas consigo misma, es decir, el tiempo 

máximo durante el cual a esa serie le afecta lo ocurrido en el pasado. Por tanto: 

 

0 0
( )t = R dt



         (2.13) 

 

donde R ( ) es la función de autocorrelación para un desfase  (para un número de 

lags igual a  ), es decir: 

 

 2

( ) ( )
( )

u t u t
R







     (siendo 2 la varianza)   (2.14) 

 

El cálculo de esa integral en un rango infinito conlleva dificultades, pues tan sólo se 

dispone de un número finito de puntos. Por tanto, según sea el número de lags 

considerado se obtendrán resultados distintos. Por todo ello existen diversos métodos 

para tratar de evaluar la integral anterior, como son (Buratini et al. 2005): 

 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

17 
 

 Sustituir el límite superior de la integral por el primer cruce con cero de la 

función de autocorrelación. Este procedimiento presenta el inconveniente de 

no eliminar el ruido de dicha función. 

 Sustituir ese límite por el tiempo en que la función de autocorrelación 

disminuye a 1/e. Este método presenta el inconveniente adicional de 

subestimar nuestro cálculo. 

 Sustituir la función de autocorrelación por una exponencial obtenida 

realizando un ajuste por mínimos cuadrados. El ajuste se realiza para valores 

de R( ) entre 1/3 y 1, lo que asegura un grado de correlación elevado entre la 

función exponencial ajustada y la de autocorrelación. 

 

Escalas intermedias 

 

Son las escalas que se encuentran por debajo de la integral y donde, todavía, los 

efectos viscosos no son importantes (Ballesteros 2004). 

 

El número de Reynolds a una escala dada se puede expresar en función del número 

de Reynolds a escala integral a través de la siguiente relación (Hinze 1959): 

 

4/3

0
0

Re Re n
n

l
=

l

 
 
 

       (2.15) 

 

Por tanto, el cociente entre la escala considerada y la escala integral marcará el orden 

de la relación entre las tasas de energía producida y disipada a esa escala. 

 

A estas escalas todavía se puede considerar que su cociente con la escala integral está 

próximo a la unidad y, por tanto, el cociente entre energías también estará próximo al 

número de Reynolds a escala integral. Esto implica que la disipación de energía 

todavía se puede seguir considerando como despreciable. Pues bien, se denomina 

rango inercial al intervalo en el que la disipación de energía cinética turbulenta es 

prácticamente nula. Por tanto, las escalas intermedias son las correspondientes a 

dicho rango. 

 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

18 
 

Escala de Kolmogorov 

 

La escala de Kolmogorov, , (Kolmogorov 1941, Bakker 2006, Schmidt et al. 2006, 

Zhu et al. 2006) corresponde al tamaño de los remolinos para los cuales su tiempo de 

vida es igual al tiempo necesario para que su energía se disipe en forma de calor. Es 

decir, a esa escala el flujo de energía producida o transferida a los remolinos se 

iguala al flujo de energía disipada (los vórtices correspondientes se encuentran en 

equilibrio): 

 

4 /3

3/ 40
0 0

0

1 Re 1 Ren

n

l

l

 
     

 

 
      (2.16) 

 

Es decir, cuanto mayor sea el número de Reynolds asociado a la escala integral, 

mayor será la distancia entre la escala integral y la de Kolmogorov. 

 

La expresión para la escala espacial de Kolmogorov resulta: 

 

1/ 43/ 43/ 4 1/ 3 1/ 3 3
0 0 0

0

0
0 0

Ul ε l l υ
η= l = l =

υ υ ε

    
   

     
   (2.17) 

 

Por tanto, para escalas superiores a la de Kolmogorov, la energía inyectada a la 

escala integral se transfiere a lo largo de la cascada sin que se produzcan pérdidas 

apreciables por disipación (la energía se conserva a lo largo de la cascada). Llegados 

a la escala de Kolmogorov, el flujo de energía disipada se iguala al flujo de esa 

energía que se ha ido transmitiendo a lo largo de la cascada. Debido a la 

preponderancia de los efectos disipativos para escalas inferiores a la de Kolmogorov, 

el intervalo que cubre dichas escalas se denomina rango disipativo. 

 

Si el flujo de energía a lo largo de los distintos pasos de la cascada, n , se considera 

independiente del paso (de la escala) en cuestión, es decir, igual a  (para todo n),   

será igual al flujo de energía a través de todo el rango inercial y a la energía disipada 

en la unidad de tiempo en el rango disipativo, es decir, igual a . 

 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

19 
 

De acuerdo con las consideraciones anteriores, en la Fig. 2.1 se muestra de modo 

esquemático, la cascada de Richardson. 

 

 

 

     Inyección 

 de 

   energía () 

 

 

 

 

 

 

 

           

Flujo de 

           

energía  

() 

 

 

     

   Escala de Kolmogorov 

          Rango 

          disipativo 

      Disipación de energía () 

Figura 2.1: Esquema de cascada energética de Richardson con remolinos ocupando un volumen 

similar al ocupado por los del paso anterior 

 

 

 

 

 

 l0 escala integral 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

20 
 

2.5. Turbulencia 2D vs. 3D 

 

En primer lugar, recordemos que el espectro de energía representa la distribución de 

la energía cinética a lo largo del espacio de Fourier, es decir, la distribución de la 

energía para las distintas frecuencias, E() (o los distintos números de onda, E(k)). 

 

Recordando la relación existente entre las variables en el espacio físico (temporal – t 

- o espacial - l) y el de Fourier ( ω=
2π
t  y k=

2π
l ), E() representa la energía de los 

remolinos con un tiempo de giro igual a 
2π
ω , y E(k) la energía de los remolinos de 

tamaño 
2π
k . 

 

Turbulencia 3D (Teoría de Kolmogorov) 
 
Para el caso tridimensional, de acuerdo con la teoría de Kolmogorov (que 

analizaremos en detalle en capítulos posteriores), en condiciones de homogeneidad e 

isotropía, la velocidad para una determinada escala (suficientemente alejada de las 

escalas integral y de Kolmogorov) depende sólo del flujo de energía 3. En el estado 

de fases, esta hipótesis se traduce en que, para un determinado número de onda k, la 

densidad de energía E(k) depende sólo de ese flujo. Es decir, E(k)= f(ε,k) . 

 

Aplicando análisis dimensional: 

 

  
3 2( ) ~ ~

E
E k = EL L T

k


      (2.18) 

 

Recordemos las dimensiones para el flujo de energía: ε ~
E
T

~ L2T− 3
 

 

Dado que k no depende de T, se debe conseguir el T-2 con . En ese sentido, 2/3 tiene 

dimensiones de L4/3T-2, por tanto: 

 
                                                 
3  Habitualmente, el flujo de energía se representa por , pues como hemos indicado, el flujo de 
energía a través del rango inercial coincide con la energía disipada en la unidad de tiempo,, en el 
rango disipativo. 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

21 
 

  
2/3( ) ( )E k h k        (2.19) 

 
Si h(k) tiene como dimensión L5/3, E(k) tendrá las dimensiones adecuadas. 

 

Dado que el número de onda tiene como dimensión L-1, la pendiente del espectro de 

energía resulta ser -5/3: 

 

  
2/3 5/3( )E k k         (2.20) 

 

En ausencia de homogeneidad e isotropía, se puede abordar el análisis de la 

pendiente del espectro de energía siguiendo a Chen & Zhou (2005). En efecto, si en 

la ecuación de Navier-Stokes se representa el término de disipación por la laplaciana 

fraccional en lugar de por la laplaciana estándar, la ecuación presenta el siguiente 

aspecto: 

 

  / 21 1

R e

u
u u p u

t


       




  


    (2.21)  

 
 

Donde   / 2  es la laplaciana fraccional, siendo  un parámetro denominado 

parámetro de estabilidad de Lévy, cuyo valor se encuentra en el intervalo (0,2]. 

 

Aplicando el análisis dimensional a la ecuación anterior, se puede llegar a la 

siguiente expresión para el espectro: 

 

9 2
2/3 3( )E k k




 


        (2.22)  

 

Donde   es la disipación  escalada por el parámetro . 

 

La forma espectral anterior responde a una distribución estadística de Lévy (Lévy 

1925, Cartea & Howison 2002, Vasconcelos 2004). El parámetro  indica lo 

puntiaguda que es la distribución. Conforme aumenta el valor de , la función de 

densidad de probabilidad correspondiente presenta colas menos alargadas. Por 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

22 
 

ejemplo, para  = 2 se obtiene un tipo particular de distribución de Lévy (la 

Gaussiana), y para  = 1 una distribución de Cauchy. Para más información sobre las 

distribuciones de Lévy puede acudirse al Apéndice I. 

 

Por otro lado, también hay que indicar que en turbulencia 3D existe otra constante 

del movimiento, la helicidad (H) (Moffatt 1992), que se define como la proyección 

de la vorticidad sobre la velocidad en cada punto del flujo, es decir:  

 

  3x  H u u d r  
  

      (2.23) 

 

Donde  la variable ω


se denomina vorticidad y se corresponde con el rotacional de la 

velocidad: ω= u
 

. 

 

Turbulencia 2D (Teoría KLB) 
 
La ecuación de Navier-Stokes caracteriza la conservación de la cantidad de 

movimiento en los fluidos: 

21u f
+(u )u = p+υ u +

t ρ ρ


   




  

     (2.24) 

Si se aplica el operador rotacional a todos los términos de esa ecuación, se puede 

obtener la ecuación de la vorticidad (las fuerzas externas, en general, son de carácter 

conservativo y por lo tanto su rotacional es cero): 

 

      2u u
t


     



     
          (2.25) 

 

En esa ecuación, el primer término de la derecha representa el estiramiento de los 

tubos de vorticidad en la dirección de la velocidad (o líneas de vorticidad), y el 

segundo término la disipación de energía por viscosidad. 

  

Los flujos con turbulencia 2D (Wyngaard 2010) se caracterizan porque la 

componente vertical de la velocidad se puede considerar despreciable frente a la 

componente horizontal (el movimiento tiene lugar en el plano x-y). Por tanto, en un 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

23 
 

flujo de este tipo, la vorticidad sólo tendrá una componente, en dirección 

perpendicular a las componentes de la velocidad: 

 

  ( , ,0)     = 0,0,
v u

u u v
x y

  
     

 
     (2.26) 

 

Por tanto, en turbulencia bidimensional, la ecuación vectorial representativa de la 

vorticidad se reduce a una única ecuación escalar: 

 

  
2 2

2 2
u v

t x y x y

      
            

        (2.27) 

 

donde  representa la componente no nula de la vorticidad, es decir: ω=
∂ v
∂ x

−
∂ u
∂ y  

 

Se observa que en esta ecuación ha desaparecido el término representativo del 

estiramiento de los tubos de vorticidad o vórtices. La desaparición de ese término 

hace que, en ausencia de viscosidad, se conserve la vorticidad y, en consecuencia, 

también la enstrofía, que se define como: 

 

  
21

2
Z = ω


        (2.28) 

 

De acuerdo con la teoría KLB (Kraichnan 1967, Leith 1968, Batchelor 1969), en el 

caso bidimensional existen dos cascadas: una de enstrofía en sentido directo (desde la 

escala de inyección de energía hacia las escalas menores, en la que el espectro de 

energía presenta una pendiente de -3) y otra de energía en sentido inverso (desde la 

escala de inyección hacia las escalas mayores, donde el espectro presenta una 

pendiente de –5/3). 

 

 En efecto, suponiendo nuevamente condiciones de homogeneidad e isotropía, la 

conservación de la energía en el caso 2D conlleva la existencia de una cascada de 

energía, con la misma pendiente que en 3D, sólo que en este caso, a diferencia de la 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

24 
 

turbulencia 3D, se produce de las escalas menores a las mayores (lo que da lugar a 

las llamadas estructuras coherentes). 

 
Pero además, la teoría KLB supone, de forma similar a la de Kolmogorov, que la 

energía a una determinada escala k, dentro de un rango de números de onda mayores 

que la escala de inyección y lo suficientemente alejados de la escala de disipación, es 

sólo función del flujo de enstrofía  ( = k2 por análisis dimensional). Con ello, a 

partir de la expresión deducida por Kolmogorov, se obtiene que la pendiente para el 

espectro de energía es de -3: 

 

   2/32 /3 5/3 2 5/3 2 /3 3( )E k k k k k            (2.29) 

Existen distintos procedimientos para la obtención de estos espectros. El método 

utilizado en la tesis ha sido el de Blackman & Tukey (1958), explicado con más 

detalle en el Apéndice II. En la figura 2.2 se muestra el espectro obtenido por 

Nastrom & Gage (1985) de las componentes de la velocidad horizontal (también el 

de la temperatura potencial) en la atmósfera, por encima de la CLA. 

 

Figura 2.2: Espectro de las componentes de la velocidad horizontal y de la temperatura en la 

atmósfera, por encima de la CLA (Wyngaard 2010, pág. 167) 

 

Esta figura resulta ilustrativa de lo que acabamos de explicar. En efecto, por encima 

de la CLA, en las escalas superiores a los centenares de km, el espectro presenta una 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

25 
 

pendiente próxima a -3, que se puede  corresponder con una cascada directa de 

enstrofía (Wyngaard 2010). Sin embargo, en escalas menores se observa una 

pendiente en torno a -5/3, que se puede asociar a una cascada inversa de energía. De 

hecho, según Gage & Nastrom (1986), parece razonable suponer que, a escalas 

pequeñas, las “ondas que rompen” suponen una importante fuente de energía. 

 

Como veremos a lo largo de la tesis, los resultados obtenidos tanto a nivel empírico 

como a partir de los modelos existentes muestran que en la turbulencia bidimensional 

el fenómeno de la intermitencia es prácticamente inexistente, lo que posiblemente se 

deba a la imposibilidad de estiramiento por parte de los vórtices. 

 

Por otro lado, a diferencia de lo que ocurre en 3D, en turbulencia bidimensional la 

helicidad no es una constante del movimiento, ya que la velocidad del viento no 

cambia de dirección con la altura, por lo que la helicidad es cero. 

 

2.6. Turbulencia en la CLA 

 

Contrariamente a lo que ocurre en la alta atmósfera, la CLA es una capa 

esencialmente turbulenta, por lo que para analizar adecuadamente su estructura será 

necesario conocer detalladamente la estructura y amplitud de los remolinos 

turbulentos responsables del transporte vertical del momento lineal. La turbulencia en 

la CLA tiene dos posibles orígenes: térmico y mecánico. La turbulencia de origen 

térmico se genera por el calentamiento superficial debido a la acción solar, lo que 

ocasiona térmicas de aire caliente ascendente. Por su parte, la turbulencia de origen 

mecánico se puede generar por diversos mecanismos: la superación de obstáculos por 

parte del flujo, la ruptura de ondas, o la cizalladura producida por la fricción sobre el 

suelo, por la presencia de LLJs o por flujos catabáticos. Por tanto, el régimen de la 

CLA depende de forma fundamental de las condiciones de estratificación térmica y 

del viento, las cuales a su vez, evolucionan a lo largo del día.  

 

En cuanto a la estratificación térmica, el signo de la diferencia entre la temperatura 

potencial de dos niveles nos indica si existe estabilidad o inestabilidad de 

estratificación (estabilidad en caso de mayor temperatura potencial en el nivel 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

26 
 

superior, e inestabilidad en caso contrario). Por otro lado, es posible relacionar las 

variaciones en la temperatura potencial  y en la temperatura entre dos niveles 

separados una distancia z (Arya 2001): 

 

   = z       (2.30) 

 

De acuerdo con esto, considerando por ejemplo los niveles de 50m y 0.22m (que 

serán los empleados en los cálculos realizados en la tesis con los datos SABLES98), 

la diferencia entre las temperaturas de ambos niveles (T50 – T0.22) que marca el límite 

entre situación estable e inestable será de -0.4878º, valor que se obtiene sustituyendo 

en la expresión (2.30)  por cero y z por (50 – 0.22), y despejando En 

situaciones con fuerte estabilidad de estratificación, en las que las corrientes 

verticales se ven muy inhibidas, la turbulencia se verá limitada, pudiendo no 

desarrollarse totalmente, al contrario de lo que ocurre en situaciones inestables. Por 

tanto, la fuerte estabilidad conllevará un comportamiento similar a la turbulencia 

bidimensional. Por el contrario, en situaciones inestables debemos esperar espectros 

propios de la turbulencia 3D. 

 

2.7. Geometría fractal 

 

El esquema en cascada de Richardson plantea de forma evidente la repetición de 

estructuras similares a distinto tamaño. Para tratar de describir la generación de las 

mismas hay que servirse de la geometría fractal, que resulta más completa que la 

geometría euclidiana. Un fractal se caracteriza por dos aspectos: la autosemejanza o 

autosimilitud y la dimensión fractal. 

 

2.7.1. Autosemejanza o autosimilitud 

 

Una estructura es autosimilar o autosemejante cuando es el resultado de un conjunto 

de copias a menor tamaño de sí misma. Es decir, la autosemejanza indica la 

invariancia con la escala del proceso y, por tanto, los fractales son estructuras que no 

presentan una escala característica (Mandelbrot 1977, Mandelbrot 1982, Lauwerier & 

Kaandorp 1988). 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

27 
 

 

Esa autosimilitud puede ser determinista o tan solo estadística. El primer tipo de 

autosimilitud tan solo se presenta en los fractales más simples (llamados fractales 

lineales), que se pueden generar a partir de los números naturales y la geometría 

euclidiana. Estos fractales son exactamente idénticos a cualquier escala considerada 

(hasta el infinito). Ejemplos de este tipo de fractales son: la curva de Koch, el 

conjunto de Cantor... 

 

La autosimilitud estadística corresponde a los fractales no lineales, que se generan a 

partir de números complejos. Ejemplos de este tipo de autosimilitud lo constituyen el 

conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia (1918)...  

 

Llegados a este punto, resulta necesario introducir el concepto de proceso estocástico 

autosemejante. Un proceso X(t) es autosimilar (Muñoz 2005, Di Matteo 2007) si: 

 

 a      b / ( ) ( )X at bX t      (2.31) 

 

donde b=aH
; H se denomina exponente de autosimilitud o exponente de Hurst 

(Hurst 1951, Cattoni et al. 2004, Di Matteo 2007), y es un valor comprendido entre 0 

y 1 (Mandelbrot 1972). El símbolo  significa igualdad en sentido estricto, si se trata 

de autosemejanza determinista; si la autosemejanza es tan solo estadística, ese 

símbolo indica que ambos miembros de la ecuación tienen la misma distribución de 

probabilidad. El exponente de Hurst caracteriza la autosemejanza de que se trate. 

 

A este respecto, Hurst estableció en 1951 el llamado análisis R/S (análisis de rango 

reescalado). El estadístico R/S es el rango de las sumas parciales de las desviaciones 

de la serie respecto de su media, divididas por la correspondiente desviación 

estándar, es decir: 

 

   
11

1 1

1
/ max min

k k

n nn j j
k nk n

j jn

R S x x x x
S   

 

 
    

 
      (2.32) 

 

Siendo Sn la desviación estándar correspondiente a n observaciones.  



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

28 
 

Pues bien, el estadístico R/Sn presenta una relación de tipo potencial con las 

observaciones n, de tal forma que; 

 

 R/Sn = anH        (2.33) 

 

Tomando logaritmos: 

 

 log (R/Sn)=log (a) + H log(n)      (2.34) 

 

De acuerdo con esa expresión, el exponente de Hurst puede estimarse a través de la 

pendiente de la recta log(R/Sn) vs. log(n). Aplicando una simulación Monte Carlo, 

Hurst observó que cuando los valores de H eran superiores a 0.5, la serie presentaba 

persistencia y que, por el contrario, cuando los valores de H eran inferiores a ese 

umbral, la serie era antipersistente. 

 

Posteriormente se han presentado otros métodos de estimación del exponente de 

Hurst, entre los que podemos destacar el Detrended Fluctuation Analysis (DFA) (Hu 

et al. 2001, Tarquis et al. 2008), el Average Wavelet Coefficient Method (Percival & 

Walden 2000), o el método del exponente de Hurst generalizado (Di Matteo 2007), 

que será el utilizado en esta tesis, y que en breve introduciremos. 

 

Sin embargo, es posible que no exista un proceso de autosemejanza único para todas 

las escalas, en cuyo caso H ya no presenta un valor constante, sino que varía con la 

escala t considerada, es decir, H = H (t). En ese caso, a ese exponente de Hurst local 

también se le denomina exponente de Hölder, h(t) (o, en la nomenclatura de algunos 

autores,  (t)).  

 

El exponente de Hölder es una propiedad local, caracteriza una estructura fractal 

singular, a diferencia del exponente de Hurst, que se trata de una característica 

global, es decir, del conjunto de fractales. Cuando H es constante, se habla de 

monoescalamiento, a diferencia de cuando depende de la escala, en cuyo caso el 

proceso es multiescalar (Tarquis et al. 2006). Este último tipo de procesos ya no se 

pueden, por tanto, caracterizar por un único valor H, por lo que se introduce el 

concepto de exponente de Hurst generalizado, H(p), (Di Matteo 2007) a partir del 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

29 
 

escalamiento de las funciones de estructura de la variable de orden p: Las funciones 

de estructura de orden p de la velocidad, Sp, se definen como: 

 

 
| ( ) ( ) |

( )
( )

p p
n n

p n p

u u x l u x
S l

u x

  
    (2.35) 

 

Es decir, se corresponden con los momentos estadísticos (de orden p) de los valores 

absolutos de la variable y, por tanto, sirven para caracterizar por completo a la 

distribución de probabilidad (la expresión (2.35) aparece ya normalizada). Pero 

además, esas funciones de estructura presentan escalamiento (en el rango inercial), es 

decir, presentan una relación de tipo potencial con la escala, de tal forma que: 

 

 
p

pS t         (2.36) 

 

donde  p representa los exponentes de escala de las funciones de estructura de orden 

p. A su vez, esos exponentes de escala se pueden relacionar con el exponente de 

Hurst generalizado a través de la siguiente expresión (Richards-Pecou 2002): 

 

p = p H(p)        (2.37) 

 

En definitiva, la autosemejanza puede presentar el mismo o distinto comportamiento 

a lo largo de todo el proceso de generación del fractal. En el primer caso tan sólo se 

requerirá un exponente H para caracterizar el comportamiento para todo el conjunto, 

es decir, tan sólo existe una estructura fractal para todo el proceso (monofractalidad). 

En el segundo caso serán necesarios distintos exponentes, cada uno de los cuales 

reflejará las propiedades de la autosemejanza a una escala local, existiendo, por tanto, 

varias estructuras fractales, es decir, multifractalidad, (Grout et al. 1998). Conocidos 

los distintos H(p) (o los distintos h(t)), quedará definida la estructura multifractal. 

 

Los exponentes de Hurst correspondientes a ciertos valores del orden p están 

asociados a determinadas características. Así, por ejemplo, el valor de H(1) describe 

las conductas de escalamiento que presentan los valores absolutos de los incrementos 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

30 
 

de la variable, y se puede asociar a la persistencia o antipersistencia de la serie 

temporal (si H(1) > 0.5 existe persistencia y, en caso contrario, antipersistencia). Por 

su parte, H(2) se puede relacionar con la pendiente del espectro de potencia, b, a 

través de la siguiente relación (Lantsman & Major 2001, Richards-Pecou 2002, Di 

Matteo 2007): 

 
1 2 (2)b H          (2.38) 

 

En efecto, la densidad espectral de la velocidad se puede calcular a partir de la 

transformada de Fourier de la función de autocorrelación, y esa función de 

autocorrelación es proporcional al momento de orden 2 de la distribución de las 

variaciones de velocidad, es decir, a la función de estructura de la velocidad de orden 

2. Por otro lado, las componentes de la transformada de Fourier de una función que 

en el dominio temporal sigue una ley de escala con exponente  h, son proporcionales, 

en el dominio de frecuencias, a f-h-1. Por tanto, la densidad espectral correspondiente 

a una señal que sigue la ley (2.36) deberá seguir una ley potencial con un exponente 

igual a  -2 -1. Es decir, la densidad espectral debe ser proporcional a  f--
2 

-1. 

Teniendo en cuenta (2.37), la pendiente del espectro será la indicada en (2.38). 

 

2.7.2. Dimensión fractal y espectro multifractal 

 

La dimensión fractal describe las características de ocupación del espacio. Existen 

numerosas definiciones de dimensión fractal (Stanley 1987, Barabasi et al. 1991, 

Mandelbrot 1997, GonÇalves & Riedi 1999, Gutiérrez & Rodríguez 2000), lo que 

conlleva distintos métodos para calcular dicha dimensión (aunque todos esos 

métodos, al aplicarse a estructuras autosemejantes, conducen a un mismo resultado). 

 

Una definición habitual es la de dimensión de Hausdorff (1919), a la que se puede 

llegar generalizando el concepto de dimensión de algunas estructuras lineales 

(Talanquer 1996): 

- Para una línea: 
 
Consideremos una recta de longitud L y dividámosla en varias partes de tamaño l 

(supongamos por ejemplo l=L/3, aunque podría ser de otro tamaño) 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

31 
 

     L 
 
    l     l  l 
 
El número de particiones (o copias a menor escala) que hemos generado será 

obviamente: 
L

N
l

  (en nuestro caso N = 3) 

 
- Para un cuadrado: 
 
Consideremos ahora un cuadrado de lado L y dividamos análogamente sus lados en 
varias partes de tamaño l (por ejemplo igual a L/3 como hemos hecho anteriormente). 
 
 
  
                                                                                                     l 
 
                                                                                                      
 
                                             L 
 
 
 
 
 

En este caso, el número de copias de lado l resulta: 

2 2

22
9

3

L L
N

l L
  

 
 
 

  

- Para un cubo: 
 
Si realizamos la misma división para el caso de un cubo de lado L 
 
 
 
 
 
 
 
                                          l 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
                                                                              L 



Aspectos fundamentales de la turbulencia 

32 
 

El número de cubos de tamaño l será: 

3 3

33
27

3

L L
N

l L
  

 
 
 

 

Generalizando, podemos escribir 
D

L
N

l
   
 

 donde D es la dimensión de Hausdorff. 

Es decir, la dimensión es el exponente de una relación de tipo potencial entre la 

medida N y el factor de proporcionalidad en el cambio de escala (L/l). Por tanto: 

 

log

log

N
D

L
l


 
 
 

        (2.39) 

La dimensión fractal y el exponente de Hurst se encuentran relacionados (Schroeder 

1991, Addison 1997) por la siguiente expresión: 

 
D = De +1-H (1)       (2.40) 

 

siendo De la dimensión euclidea. Es decir, un mayor exponente de Hurst (de orden 1) 

conlleva una menor dimensión fractal. Valores mayores de ese exponente 

generalizado implican persistencia en la serie, y valores menores antipersistencia 

(considerando el valor de 0.5 como separador de ambos tipos de comportamiento). 

Cuanto mayor es la persistencia (antipersistencia), menor (mayor) es la variabilidad 

de la serie y, en consecuencia, menor (mayor) es la dimensión fractal. 

 

Por otra parte, para cada estructura fractal, caracterizada por un exponente h como ya 

hemos indicado con anterioridad, se puede calcular su dimensión fractal, D(h) (f() 

en la notación de algunos autores). El conjunto de todas esas dimensiones constituye 

el espectro multifractal o espectro de singularidades (pues cada una se refiere a una 

estructura singular). Obviamente, para el caso monofractal, su espectro se reduce a 

un punto. Como veremos con posterioridad, en el capítulo dedicado a la 

intermitencia, el espectro D(h) se puede calcular a partir de los exponentes de escala 

asociados a las funciones de estructura p a través de la siguiente expresión, 

denominada Transformación de Legendre (Frisch 1995): 

 

   inf  3 ( )p
h

ph D h         (2.41)



 

33 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Intermitencia de la turbulencia4
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                 
4  Los resultados presentados en este capítulo correspondientes al modelo shell han sido 
publicados en el artículo: Vindel JM & Yagüe C (2009) Application of a GOY model to atmospheric 
boundary layer data. Nonlinear Process. Geophys. 16: 599-606. 



Intermitencia de la turbulencia 

34 
 

 

3.1. Concepto de intermitencia 

 

Como ya hemos indicado con anterioridad, los grandes remolinos turbulentos son 

inestables, por lo que desaparecen transfiriendo su energía a los remolinos menores. 

Cuando el número de Reynolds es suficientemente pequeño el movimiento de los 

remolinos se vuelve estable, y la energía se disipa debido a la viscosidad molecular. 

Por tanto, la disipación se produce fundamentalmente al final de la cascada, en el 

rango de disipación. Sin embargo, previamente el flujo energético ha podido 

modificarse. Pues bien, al fenómeno consistente en la variación de ese flujo a lo largo 

del llamado rango inercial se le denomina intermitencia de la turbulencia (Frisch 

1995, Mahjoub 2000, Pope 2000). 

 

En términos más generales, la intermitencia se puede ver como la variabilidad de la 

turbulencia con la escala, es decir, como la existencia de un proceso multiescalar, o 

multifractal, (frente a un proceso uniescalar, o monofractal), aunque su definición 

varía según el método que se utilice para estimarla (Mahrt 1989, Mahrt 1999, Mahrt 

2009). En efecto, como veremos posteriormente, la intermitencia se corresponde, por 

un lado, con la desviación respecto de la forma lineal de la curva p  vs. p, donde p  

son los exponentes de escala de las funciones de estructura de orden p (Batcherlor & 

Towsend 1949, Landau & Lifshitz 1959), introducidos con anterioridad. Pero 

también la intermitencia  puede ser vista como el cambio en la forma de las funciones 

de densidad representativas de los incrementos de velocidad (o de las tasas de 

transferencia energética) al disminuir la escala (Castaing et al. 1990, Biferale 1993, 

Gagne et al. 1994, Sorriso-Valvo et al. 2000, Mordant et al. 2001, Barndorff-Nielsen 

et al. 2004, Li & Meneveau 2005, Li & Meneveau 2006). 

 

Debemos señalar que frente a este concepto de intermitencia, al que se suele 

denominar como intermitencia de escala fina, y que es al que se refiere la tesis, se 

encuentra la llamada intermitencia global (Mahrt 1989), que hace mención a un 

fenómeno distinto: la aparición y desaparición de todo el conjunto de remolinos. 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

35 
 

3.2. Análisis de la intermitencia 

 

La intermitencia de la turbulencia, por tanto, hace referencia a la variación de la 

turbulencia con la escala, o más concretamente, a la variación de la variable 

representativa de la turbulencia (por ejemplo, la velocidad) con la escala. La variable 

turbulenta, que se comporta como una variable aleatoria para cada una de las 

distintas escalas, constituye por tanto un proceso estocástico. La distribución de 

probabilidad de esa variable aleatoria puede venir representada por sus momentos 

estadísticos (funciones de estructura), o por su propia función de densidad de 

probabilidad. En consecuencia, el estudio de la variabilidad de la variable turbulenta 

se reduce a estudiar la variación con la escala de las funciones de estructura 

correspondientes, o de las funciones de densidad. Según utilicemos una u otra forma 

de representación de la variable tendremos distintos métodos de estimación de la 

intermitencia. 

 

3.2.1. Funciones de estructura 

 

La generación en cascada de los remolinos nos sugiere la posibilidad de abordar el 

problema de dos formas: a través de un análisis fractal (en realidad, análisis 

multifractal) o de un análisis en cascada multiplicativa (utilizando el escalamiento 

que presenta el proceso y que, como ya hemos visto, nos conduce a un proceso 

autosimilar, es decir, fractal). En consecuencia, existe una clara correspondencia 

entre ambos tipos de enfoque, por lo que aquí tan sólo nos referiremos al análisis 

multifractal; no obstante, el desarrollo del análisis en cascada multiplicativa se ha 

incluido en el Apéndice III.   

 

- Estudio de la velocidad 

Supongamos una cascada de generación de remolinos más general que la  

considerada en la Fig. 2.1. En ella, los remolinos generados en cada paso (Fig. 3.1) 

no tienen por qué ocupar entre todos ellos un volumen similar al ocupado por los 

remolinos del paso anterior (Frisch 1995): 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

36 
 

 

 

Figura 3.1: Esquema de  cascada energética en la que los remolinos no ocupan un volumen similar al 

ocupado por los del paso anterior (Frisch 1995. pag. 136) 

 

Veamos cual sería la fracción de volumen pn ocupado por los remolinos de un tamaño 

ln, para el caso, por ejemplo, de tres objetos: un punto, una curva y una superficie: 

 

Supongamos un cubo de lado igual a la unidad que contiene estos tres objetos cuyas 

dimensiones son, respectivamente, 0, 1 y 2 (Fig. 3.2): 

 

 

Figura 3.2: Fracción de volumen ocupado por los remolinos para el caso de un punto, una curva y una 

superficie (Frisch 1995, pag. 137) 



Intermitencia de la turbulencia 

37 
 

 

Pues bien, la fracción de volumen buscada para cada caso será la probabilidad de que 

una esfera de radio ln, cuyo centro se encuentra dentro del cubo según una 

distribución aleatoria uniforme, intersecte con el objeto en cuestión. Para el primer 

caso, el del punto, esa probabilidad será la probabilidad de que el centro de la esfera 

se encuentre dentro de una bola de radio ln. Por tanto, 
3

n np l . Para el caso de la 

curva, será la probabilidad de que el centro de la esfera se encuentre dentro de un 

cilindro de radio ln cuyo eje es la curva: 
2

n np l . Finalmente, para el caso de la 

superficie, se tratará de la probabilidad de que el centro de la esfera se encuentre 

dentro de un sandwich de espesor 2ln, es decir, n np l . 

 

De acuerdo con esto, y recordando la dimensión de cada objeto, en todos los casos se 

cumple que 
3 D

n np l   (cuando ln tiende a 0). Más concretamente, de acuerdo con el 

significado de pn: 

 

3

0

D

n
n

l
p =

l


 
 
 

        (3.1) 

 

Teniendo en cuenta esa fracción de volumen, la energía transferida a los remolinos 

de tamaño ln por unidad de masa, En, será: 

 

3

2 2

0

D

n
n n n n

l
E u p u

l


 

   
 

      (3.2) 

 

y, por tanto, por unidad de tiempo: 

 

 

33 3

0

D

n n n
n n

n n

u u l
p =

l l l



 

  
 

      (3.3) 

 

Por otra parte, recordemos que en el rango inercial el flujo de energía anterior resulta 

independiente de la escala, y que era igual a la tasa de disipación , es decir, que   

 



Intermitencia de la turbulencia 

38 
 

 

3
0

0

~n

u
ε

l
          (3.4) 

 

De ahí se deduce que 

 

 
 

0
0

1 3 
3 3n

n

D
l

u u
l

 
 
 
 
 


 

  
 

      (3.5) 

 

Por tanto, el exponente de escala en la ecuación anterior resulta: 

 

 
1 3

  
3 3

D
h =


        (3.6) 

 

En cuanto a la correspondiente función de estructura de orden p: 

 

 

3

0
0

( )
ph+ D

p ζp pn
p n n n

l
S l = u u l

l


 

  
 

    (3.7) 

 

donde 3pζ = ph+ D  es el exponente de escala de la función de estructura de 

orden p. 

 

Consideremos ahora un conjunto de n fractales caracterizados por sus exponentes de 

escala h1, ....hr, ....hn (o por sus dimensiones correspondientes 

D(h1),....D(hr),.......D(hn)). En ese caso, la función de estructura del conjunto será la 

combinación lineal de las funciones de estructura de cada uno de los componentes o 

singularidades, es decir: 

 

1

0 0 0 0

3 3 3| |
.......... .........

ph ph php 1 r r n n
n n n n

1 r np

+ D + D + Du l l l
= μ + + μ + + μ

u l l l

  
     
     
     

 (3.8) 

 

En el rango inercial, cuando ln<< l0, la potencia con el exponente menor será la más 

importante. Por tanto, podemos hacer la siguiente aproximación: 



Intermitencia de la turbulencia 

39 
 

 

| |
ζp p

n nu l     con  min 3p h
(ph+ D(h))      (3.9) 

 

Esta expresión proporciona los exponentes de escala de las funciones de estructura de 

orden p en función de los exponentes de escala h que caracterizan a las distintas 

estructuras fractales existentes en el modelo (y en función también de las 

dimensiones correspondientes a dichas estructuras). Puede observarse que la parte 3-

D(h), es decir, la codimensión fractal, representa la parte que el exponente de escala 

se aleja de la forma lineal (ph) y, en consecuencia se corresponde con la 

intermitencia de la turbulencia. 

 

Veamos gráficamente la expresión (3.9) en la Fig. 3.3: 

 

 

 

Figura 3.3:  Dimensión fractal vs. exponentes de escala (Frisch 1995, pag. 146) 

 

Dado un determinado p, el valor de p será el valor mínimo (para los distintos valores 

de h posibles) de ph+3-D(h). Ese valor mínimo se obtendrá para el valor h que 

maximice D(h)-ph, que a su vez, despejando, será igual a 3-p. 

 

En la gráfica se observa que la máxima distancia entre D(h) y ph se obtiene para un h 

igual a h* para el cual la pendiente de D(h) es igual a p. Es decir, D´(h*(p)) = p 

Por tanto: 

 

 * *( ) 3 ( ( ))p ph p D h p          (3.10) 

 



Intermitencia de la turbulencia 

40 
 

Ahora, si derivamos esa expresión con respecto al orden, tendremos: 

 

 
  *

* * *

( )
( ) (́ ( )) ( )pd dh p

h p p D h p h p
dp dp


   

   (3.11) 

 

Esto demuestra que D(h) y p se encuentran relacionadas por una transformada de 

Legendre, es decir, la derivada de una es la inversa de la derivada de la otra: 

 

  
1

1p '
p

dζdD
D'(h)= = = ζ (p)

dh dp


 

 
 

     (3.12) 

 

Por tanto, invirtiendo la expresión (3.12) se pueden despejar las dimensiones en 

función de los exponentes de escala de orden p y de los exponentes h: 

 

 ( ) inf ( 3 )p
p

D h ph          (3.13) 

 

Gráficamente, podemos verlo en la Fig. 3.4: 

 

 

Figura 3.4: Exponentes de escala vs. orden de las funciones de estructura (Frisch 1995, pag. 146) 

 

Ahora en este caso lo que obtenemos para un determinado exponente h es que la 

pendiente de p para el valor p*(h) que minimiza ph+3-p será el propio h. 

 

- Estudio de la disipación de energía 

En lugar de estudiar la fractalidad para la variable velocidad, podemos hacerlo para 

la variable disipación n: 



Intermitencia de la turbulencia 

41 
 

El exponente de escala (que caracteriza la fractalidad para esa variable) se suele 

representar por  (más concretamente por -1). Es decir, de modo análogo a la 

ecuación (3.5): 

 

 

1 13
0

0
0 0 0

α α

n n
n

l u l
ε ε

l l l

 
   

    
   

(cuando ln tiende a 0)   (3.14) 

 

De acuerdo con la expresión anterior y, análogamente al caso de la función de 

estructura para la velocidad, tendremos para la tasa de disipación de energía que el 

momento de orden q resulta 

 

 
1 33

0

0 0

q q(α )+ F(α)
τq qn

n n

u l
ε l

l l

 
   

    
   

     (3.15) 

 

 con   ( 1) 3 ( )qτ = q F         (3.16) 

 

donde hemos representado la dimensión del fractal por F(), que es una manera 

habitual de hacerlo. 

 

Y, si consideramos una estructura multifractal: 

 

  min ( 1) 3 ( )q q F


           (3.17) 

 

q y F() vuelven a estar relacionadas por una transformación de Legendre. 

 

En lugar de utilizar F() como espectro multifractal (espectro de singularidades) se 

suele emplear f(), que se define como f () = F() - 2, debido a que, dada la 

dificultad para medir la tasa de energía, se utiliza como representativo el espacio 

unidimensional en lugar del espacio tridimensional (por ello se disminuye la 

dimensión en 2). 

 

- Relación entre ambos casos 



Intermitencia de la turbulencia 

42 
 

A partir de las ecuaciones (3.5) y (3.14) se observa que las funciones un y (lnn)
1/3 

presentan las mismas propiedades de escala (es decir, ambas presentan los mismos 

exponentes de escala para las distintas funciones de estructura). Por tanto, una 

singularidad de lnn caracterizada por  se encuentra asociada a una singularidad de 

un caracterizada por h igual a /3. De acuerdo con esto: 

 

 ( ) ( ) ( ) 2D h F f           (3.18) 

 /3p p 3

p
ζ = + τ        (3.19) 

 

3.2.2. Funciones de densidad de probabilidad 

 

Otra posible forma de abordar el estudio de la intermitencia es a través de las 

funciones de densidad de probabilidad. En efecto, la evolución con la escala en la 

forma de esas funciones sirve también para estimar el grado de intermitencia 

existente. En el caso de turbulencia homogénea, cuyas funciones de densidad 

características resultan ser Gaussianas, cuanto más se aleje la función de esa forma 

Gaussiana, mayor será la intermitencia. Esa evolución se puede visualizar fácilmente 

en ocasiones, como veremos en algunas situaciones de estudio, pero para tratar de 

estimarla con más precisión, se puede recurrir a la cuantificación de la forma de la 

función de densidad a través, por ejemplo, de la curtosis. 

 

3.2.3. Curtosis 

 

Otra forma de hacer patente el grado de intermitencia de la turbulencia, en relación 

con el punto anterior, es cuantificar el cambio en la forma que experimentan las 

funciones de densidad. Para ello, se puede utilizar algún parámetro que resulte 

indicativo de la forma que presentan esas funciones, como es el caso de la curtosis. 

La curtosis, F (de flatness), se define como 

 

  
4

2

2

S
F =

S         (3.20) 

 



Intermitencia de la turbulencia 

43 
 

donde S4 y S2 son las funciones de estructura de orden 4 y 2 respectivamente. 

 

F es por tanto un índice indicativo del grado de planitud que tiene la función de 

densidad representativa de la distribución de probabilidad. En ese sentido, cuanto 

mayor sea el cambio que experimenta ese índice a lo largo del rango inercial, mayor 

será el grado de intermitencia. En el caso de turbulencia homogénea,  cuanto más se 

aleje el valor de la curtosis de las funciones de densidad de 3 (valor de la curtosis de 

una Gaussiana), mayor será la intermitencia. Por ello, un índice muy utilizado para 

caracterizar la forma de las funciones de densidad es el log (F/3) (Chevillard et al. 

2005). El número 3 hace referencia al valor que, como decimos, presenta la curtosis 

de la Gaussiana. Cuanto mayor sea ese índice, mayor será el alejamiento de la 

función de densidad respecto de la distribución normal y, en consecuencia, mayor 

será el grado de intermitencia existente (un ejemplo de la evolución de la curtosis con 

la escala puede verse, por ejemplo, en Bottcher et al. 2007). 

 

3.3. Modelos de intermitencia 

 

Cuando se cumple la ley de escala para los órdenes pares y la aproximación de flujo 

incompresible se mantiene para altos números de Reynolds, las curvas p vs. p deben 

ser cóncavas en los órdenes pares. En efecto, de acuerdo con la desigualdad de 

Hölder sobre los momentos de las variables aleatorias (Frisch 1995): 

 

 2 13 1
32 1

2 22 2 22 2 p pp p pp p
n n nu u u


      (3.21) 

 

Si en esa desigualdad tenemos en cuenta la proporcionalidad ya mencionada para las 

funciones de estructura, es decir, 
2

2 2
0

0

p

p p n
l

l
u u

l

 
  

 



, y haciendo que ln tienda a 0, 

obtenemos que 

 

 2 1 33 1 2 3 2 2 2 1 2( ) ( ) ( )p p pp p p p p p           (3.22) 

 



Intermitencia de la turbulencia 

44 
 

siendo p1, p2 y p3 valores enteros positivos que verifican que 1 2 3p p p  . Por tanto 

2p presenta un comportamiento cóncavo con p.  

 

También puede demostrarse que las curvas p vs. p son no decrecientes (Frisch 

1995). 

 

La suposición de flujo incompresible en altos números de Reynolds requiere de un 

régimen de turbulencia totalmente desarrollada, pues esta turbulencia se desarrolla 

sin restricciones impuestas, tales como límites y fuerzas externas. Pues bien, todos 

los modelos de intermitencia se han desarrollado para tratar de representar ese tipo de 

turbulencia. 

 

Por otro lado, llegados a este punto resulta de interés introducir el concepto de  

Extended Self Similarity (ESS), debido a Benzi et al. (1993), que en lugar de 

representar las funciones de estructura (de orden p) frente a la escala, representaron 

esas funciones de estructura frente a la de orden 3. 

 

La función de estructura presenta una relación de tipo potencial frente a la escala 

(dentro del rango inercial) para el caso de turbulencia homogénea, es decir, si la 

distribución de probabilidad de la velocidad resulta independiente de la posición, e 

isótropa (distribución de probabilidad invariante bajo rotaciones). Lo importante de 

la nueva representación (ESS) es que esa relación potencial se observa tanto para la 

turbulencia homogénea como para la no homogénea. 

 

 3
p

pS S     con  
3

p
p





      (3.23) 

 

El nuevo exponente de escala p  se denomina exponente de escala relativo (para 

diferenciarlo del exponente p, que se acostumbra a denominar como exponente 

absoluto). 

 

Aunque existe controversia en la comunidad científica acerca del significado de estos 

exponentes de escala relativos, en principio los mismos también pueden ser 



Intermitencia de la turbulencia 

45 
 

utilizados para estimar la intermitencia (Paret & Tabeling 1998). En efecto, la 

condición ESS tiene la ventaja de proporcionar un escalamiento más preciso que el 

obtenido al considerar exponentes absolutos, sobre todo, como ya hemos dicho, en 

ausencia de homogeneidad, por lo que la utilización de exponentes de escala relativos 

resulta más justificada. Pero por otro lado, la condición ESS representa la variación 

de las funciones de estructura, no directamente con respecto a la escala (como en el 

caso de los exponentes absolutos), sino con respecto a la función de orden 3, por lo 

que su medida de la intermitencia es más discutible. Además, como veremos 

posteriormente, los exponentes relativos resultan más uniformes que los absolutos, 

por lo que cuantitativamente discriminan menos el grado de intermitencia existente, 

Ello hace que los exponentes relativos, en ocasiones, no nos permitan distinguir 

claramente los distintos grados de intermitencia que presentan las situaciones 

representadas. Por todo ello, en este trabajo utilizaremos ambos tipos de exponentes 

con objeto de estimar la intermitencia existente. 

 

A continuación veremos algunos de los modelos de intermitencia más 

frecuentemente utilizados, tanto en turbulencia homogénea como no homogénea. 

 

3.3.1. Turbulencia homogénea 

 

Posteriormente veremos algunos casos particulares del análisis multifractal o en 

cascada multiplicativa que constituyen los modelos fenomenológicos más 

importantes (Frisch 1995, Marsch & Tu 1997, Pagel & Balogh 2001). Sin embargo, 

previamente debemos resaltar la condición que cualquier modelo de turbulencia 

homogénea debe satisfacer (la llamada Ley de los 4/5). Esta ley exacta establece que, 

en condiciones de homogeneidad e isotropía, la función de estructura de orden 3 está 

relacionada en el rango inercial con la tasa de transferencia de energía y la escala 

espacial a través de la siguiente expresión: 

 

 S3=−
4
5
εl         (3.24) 

 

Esta ley implica que el exponente de orden 3, 3, es igual a la unidad. 

 



Intermitencia de la turbulencia 

46 
 

3.3.1.1. Teoría K41 o de Kolmogorov 

 

La teoría de Kolmogorov (1941) (de ahí el nombre K41) se fundamenta en tres 

hipótesis: 

 

1) Hipótesis de isotropía local 

 

El flujo es localmente isotrópico si para números de Reynolds suficientemente altos, 

la turbulencia a escalas pequeñas en relación a la escala integral (ln << l0) no presenta 

ninguna dirección privilegiada. 

 

2) Primera hipótesis de autosimilitud 

 

Verificándose la hipótesis anterior, la primera hipótesis establece que la distribución 

de probabilidad de la velocidad para las escalas pequeñas depende sólo de la 

viscosidad  y de  . 

 

El valor de   hace referencia a la media de la tasa de disipación que, por 

homogeneidad, es igual a la media de las tasa de disipación para las distintas escalas, 

es decir, nε = ε . 

 

De esta hipótesis podemos deducir el valor de la escala (espacial, temporal o de 

velocidad) de Kolmogorov, característica de la región disipativa. 

 

En efecto, considerando el análisis dimensional, la única combinación posible de la 

viscosidad (con dimensiones de L2T-1) con   (con dimensiones de L2T-3) para dar 

lugar a dimensiones de L es la siguiente: 

  

 

1/ 4
3υ

η=
ε

 
  
 

        (3.25) 

 

Análogamente para el tiempo y la velocidad: 



Intermitencia de la turbulencia 

47 
 

 

 

1/ 2

η

υ
τ =

ε

 
  
 

        (3.26) 

  1/ 4

ηu = ε υ         (3.27) 

 

3) Segunda hipótesis de autosimilitud 

 

En las condiciones de la primera hipótesis, la segunda hipótesis establece que la 

distribución de probabilidad de la velocidad depende únicamente de ε  en el rango 

inercial ( << ln << l0). 

 

Los efectos viscosos se hacen más importantes cuanto menor es la escala. Por ello, 

tan sólo las escalas más pequeñas se verán afectadas por los efectos disipativos y, en 

consecuencia, en las escalas pequeñas, pero donde la viscosidad  no es importante, 

la distribución de probabilidad tan sólo dependerá de ε . El rango donde se verifica 

esta hipótesis se considera como el rango inercial. 

 

Consecuencia de estas hipótesis es que el flujo turbulento es autosimilar para las 

escalas pequeñas. En efecto, siguiendo el análisis dimensional, 

 

 
/ 3 /3( ) | |

pp p
p n n nS l u l        (3.28) 

 

Por tanto se trata de un proceso que presenta escalamiento y, en consecuencia, como 

ya hemos demostrado, resulta autosimilar. Se observa que el valor del exponente de 

escala p es igual a p/3. 

 

A partir del análisis multifractal se puede llegar a ese mismo resultado: 

 

La invariancia de escala en sentido estricto conlleva que la fracción de espacio 

ocupado por los remolinos se mantenga constante, es decir, los remolinos en cada 

paso de la cascada cubrirán todo el volumen de perturbación generado inicialmente 



Intermitencia de la turbulencia 

48 
 

(pn = 1). Por tanto, dado que 
3 D

n np l  , bastará con una única estructura fractal cuya 

dimensión fractal D será igual a 3. 

 

Recordando la expresión para el exponente de escala para la velocidad, h, tenemos 

que 

 

 h=
1
3
−

3− D
3

=
1
3        (3.29) 

 

En consecuencia, la velocidad a una cierta escala resulta 

 

 

1/3

0
0

n
n

l
u u

l

 
  

 
       (3.30) 

 

Y dada la relación entre los exponentes de escala para la velocidad y para la tasa de 

energía transferida (h =   será igual a 1. 

 

En cuanto a los exponentes de escala de orden p para las funciones de estructura de la 

velocidad: 

 

 ζ p =ph=p/3         (3.31) 

 

y los exponentes para los momentos de la disipación n: 

 

 τ p /3=ζ p−
p
3

= 0        (3.32) 

 

El espectro multifractal f () se limita a un punto: f (1) = 1. 

 

El alejamiento de p respecto de la forma lineal con p es lo que indica el grado de 

intermitencia existente. En este caso, por tanto, no existe intermitencia. 

 



Intermitencia de la turbulencia 

49 
 

3.3.1.2. Teoría K62 o Modelo log-normal 

 

El modelo anterior no era capaz de reflejar el fenómeno observado de la 

intermitencia, y por ello se idearon nuevos modelos en los que los exponentes p sí 

presentaran una forma no lineal con p. 

 

Así, Kolmogorov (1962) introdujo una hipótesis refinada de semejanza, que 

relaciona la distribución de probabilidad de las velocidades con la distribución de las 

tasas de disipación, para una escala determinada. Según esta hipótesis: 

 

 / 3 /3p p p
n n nu = ε l        (3.33) 

 

Si consideramos una dependencia de tipo potencial por parte de la tasa de energía: 

 

 
/3 /3τp p

n nε l         (3.34) 

 

de donde volvemos a obtener la relación entre exponentes de velocidad y energía: 

 

 / 3p p 3

p
ζ = τ +         (3.35) 

 

En realidad, el modelo K41 es un caso particular de este modelo, en el que se supone 

que la distribución de probabilidad de la tasa de disipación es independiente de la 

escala y, por tanto, 
/3 /3 1

τp p
n nε l = , pues /3 0pτ = . 

 

La deducción de los resultados de este modelo, mostrados a continuación, puede 

encontrarse en el Apéndice IV. Los exponentes de escala para las funciones de 

estructura de la velocidad de orden p, y para las funciones de estructura de la 

disipación de energía de orden q son los siguientes: 

 

 (3 )
3 18p

p p
ζ = p


         (3.36) 



Intermitencia de la turbulencia 

50 
 

 

 (1 )
2q

q
τ = q


        (3.37) 

 

El parametro   (exponente de intermitencia) sirve para identificar el grado de 

intermitencia existente conocidos los exponentes de escala de las funciones de 

estructura (p o q). Por tanto, el exponente de intermitencia se puede calcular a partir 

de las relaciones anteriores: μ=− τ 2= 2− ζ 6 . Cuanto mayor sea , mayor será esa 

intermitencia. De hecho, si  = 0  ζ p =p/3  y q= 0 (el modelo se corresponde con 

la teoría K41, en la que existe ausencia de intermitencia). En las Fig. 3.5 y 3.6 hemos 

representado esos exponentes de escala para distintos valores del parámetro : 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

51 
 

 

Figura 3.5: Exponentes de escala de las funciones de estructura correspondientes a las velocidades vs. 

orden de las funciones de estructura para el modelo log-normal 

 

 

Figura 3.6: Exponentes de escala de las funciones de estructura correspondientes a las tasas de 

disipación de energía vs. orden de las funciones de estructura para el modelo log-normal 

 



Intermitencia de la turbulencia 

52 
 

En cuanto al espectro multifractal correspondiente a este modelo: 

 

 

2

1
2

( ) 1
2

f






   
         (3.38) 

 

su representación gráfica se muestra en la Fig. 3.7. 

 

 

 

Figura 3.7: Espectro multifractal del modelo log-normal 

 

Puede observarse que al aumentar el valor de el espectro se hace más abierto, 

cubriendo por tanto un rango más amplio de fractales; en consecuencia, podemos 

decir que una mayor fractalidad se traduce en una mayor intermitencia.  

 

Este modelo también es conocido por el nombre de modelo log-normal debido a que 

la distribución de probabilidad seguida por la tasa de disipación n sigue una 

distribución de tipo log-normal. 

 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

53 
 

 

3.3.1.3. Modelo 

 

En este modelo (Frisch 1995), la fracción de espacio ocupado por los remolinos de 

tamaño ln, pn, disminuye en un parámetro  (0 <  < 1). Por tanto, recordando el 

valor de la probabilidad pn: 

 

 

3

0

D

n n
n

l
p = β =

l


 
 
 

       (3.39) 

 

Como también se supone que la escala disminuye en un factor constante r: l= rn l0 

Despejando de esa expresión, 

 

  0

ln

ln 

nl

l
n =

r

 
 
          (3.40) 

 

Luego:   

ln 
3

ln 

β
D

r
         (3.41) 

 

El valor de sus exponentes característicos h, p o q son los ya calculados al estudiar 

el análisis multifractal: 

 

1 ln
 1-  

3 ln 
h

r

   
         (3.42) 

 

ln
=    1

3 ln 3p

p p

r

    
        (3.43) 

 

/3

ln
=   1

ln 3p

p

r

   
         (3.44) 

 



Intermitencia de la turbulencia 

54 
 

 

El modelo de Kolmogorov K41 se corresponde con el modelo ,  para  =1 (D =3). 

 

3.3.1.4. Modelo de She-Lévêque 

 

Este modelo (She & Lévêque 1994) supone la existencia de un conjunto de 

estructuras de disipación con intensidades crecientes. En ese sentido, la intensidad de 

una estructura de orden p, a una escala ln dentro del rango inercial, 
( )p
nε , se define de 

la siguiente forma: 

 

 

1

( )

p
np

n p
n








         (3.45) 

 

( )p
nε resulta ser una función monótona creciente de p, es decir, cuanto mayor es p, 

mayor es la intensidad de la estructura singular correspondiente ( mayor es la 

contribución de esa estructura a la disipación, a la escala considerada). 

 

Las intensidades de las estructuras extremas se definen del siguiente modo: 

 

1

(0)

0
lim

p+
n

n pp
n

ε

ε



        (3.46.a) 

1

( ) lim
p+
n

n pp
n

ε

ε
 


        (3.46.b) 

 

Las de orden más bajo 
(0)
nε , resultan iguales a la disipación media: 

(0)
n nε   que se 

considera independiente de la escala ln. Y en cuanto a las de mayor intensidad, sobre 

la base de  que se pueden expresar como una energía cinética dividida por una escala 

temporal, se puede llegar a que:  

 

2
( ) 3
n nl

          (3.47) 

 



Intermitencia de la turbulencia 

55 
 

Por otra parte, según este modelo, las estructuras de orden p+1 surgen de estructuras 

singulares menos intensas (de orden p), y van a parar a las estructuras de orden 

infinito. De acuerdo con esto: 

 

 
(1 )( 1) ( ) ( )p p

n n n


  

  (con 0    1)     (3.48) 

 

A partir de estas consideraciones, y suponiendo también la hipótesis refinada de 

semejanza de Kolmogorov, She & Lévêque (1994) obtuvieron la siguiente expresión 

para los exponentes de escala para las funciones de estructura correspondientes a la 

velocidad y a la tasa de disipación de energía, respectivamente: 

 

32
2 1

9 3

p

p

p
 

       
 

       (3.49) 

 

2 2
2 1

3 3

p

p p
       

   


      (3.50) 

 

Esta estimación para los exponentes se puede expresar de una forma más general, en 

función de unos parámetros  y , que se ajustan a las especificidades de cada flujo. 

Así, los exponentes de escala para la velocidad se pueden expresar como: 

 

 
/31

(1 )
3 1

p

p

p
ζ

 



  

       (3.51) 

 

El valor de esos parámetros establece el valor del exponente de escala y, por tanto, la 

separación respecto de la forma lineal del mismo. Es decir, esos parámetros nos 

marcan el grado de intermitencia existente. En la Fig. 3.8 se muestran los exponentes 

de escala para la velocidad correspondientes a varios pares de valores  y  frente al 

orden p de las funciones de estructura. Haciendo  = 0 obtendríamos el modelo K41. 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

56 
 

 

 
 

Figura 3.8: Exponentes de escala correspondientes a las funciones de estructura de la velocidad vs. 

orden de las funciones de estructura para el modelo She-Lévêque 

 

 

3.3.1.5. Modelo p o Modelo binomial 

  

De acuerdo con este modelo (Meneveau & Sreenivasan 1987), la tasa de 

transferencia de energía en cada paso de la cascada es distinta para cada remolino. Es 

decir, cada remolino se descompone en dos, pero no da la misma energía a cada uno 

de ellos: un remolino recibe una fracción de energía p (y, por tanto, el otro, 1-p). En 

este modelo, la fracción de espacio cubierto por los remolinos no disminuye en los 

distintos pasos. Veamos esto gráficamente en la Fig.3.9:  

 

 

 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

57 
 

 

        0     n=0 

        l0 

 

   0p1    0p2 

          n=1 

   l0/2    l0/2 

  

  0p1p1  0p1p2  0p2p1  0p2p2 

          n=2 

  l0/4  l0/4    l0/4    l0/4 

  

 

               0p1p1p1       0p1p1p2     0p1p2p1     0p1p2p2       0p2p1p1       0p2p1p2        0p2p2p1       0p2p2p2 

   l0/8      l0/8       l0/8       l0/8       l0/8        l0/8        l0/8      l0/8  n=3 

 

 (donde p1=p y p2 =1-p) 

Figura 3.9: Esquema de transferencia energética en el modelo p 

 

El número de remolinos de tamaño ln (correspondientes al paso n) es: Nl=l0 /ln=2n 

 

Habida cuenta de ello y, recordando la ecuación (2.9), la función de estructura de 

orden m resulta: 

 

 
2 2

/3 /3
0

1 1

1
( ) /

n nm
m m m

m n n i i n n
n

S l u u l l l
N

       (3.52) 

 

Por otra parte, la tasa de energía transferida al remolino i-ésimo (1  i  2n) 

correspondiente al paso n y, por tanto, de tamaño ln, será i=0 fi (donde fi es la 

fracción de energía correspondiente al remolino i-ésimo; si esa fracción fuese la 



Intermitencia de la turbulencia 

58 
 

misma para todos los remolinos, tendríamos fi=ln / l0). Las fracciones de energía 

cumplen: 

 

  
2

1

(1 ) 1
n

n

if p p          (3.53) 

 

Por otro lado, utilizando la expansión binomial y las reglas de exponenciación: 

 

 
2

1

(1 )
n

nm m m
if p p           (3.54) 

 

Expresión que se puede poner como: 

 

(1 )
nm mp p    =

2log (1 )

0

m mp p

nl

l

     
 
 

     (3.55) 

 

De acuerdo con lo anterior, veamos ahora el valor de la parte
2

/3 /3

1

n

m m
i nl  de la función 

de estructura: 

 

/ 3 / 3 / 3 / 3
2 2

2 2 2
/3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3

0 0
1 1 1

log (1 ) log (1 )
2

/3 /3
0

10 0

(1 )
n n n

m m m m
n

nm m m m m m m m m
i n i n n

p p p p

m mn n
n

l f l p p l

l l
l

l l

           

      

   
    
   

  



  


  (3.56) 

 

Por tanto, la función de estructura se puede poner como:  

 
/ 3 / 3

2

/ 3 / 3
2

log (1 )
2

/3 /3

1 0 0 0

1 log (1 )

0

( )

m m
n

m m

p p

m m n n n
m n i n

p p

n

l l l
S l l

l l l

l

l

    

    

     
       

     

 
  
 



  (3.57) 



Intermitencia de la turbulencia 

59 
 

 

De donde, los exponentes de escala de las funciones de estructura de la velocidad 

serán: 

/3 /3
21 log ( (1 ) )m m

mζ p p         (3.58) 

 

En este caso, el valor del parámetro p es el que nos indica el grado de intermitencia 

existente. Si hacemos p= 0.5, tendríamos el modelo K41. En ese caso la energía de 

cada remolino se transfiere por igual a los dos remolinos en que se descompone. Con 

p= 1, tendríamos el caso de máxima intermitencia. Un valor típico para p suele ser 

entre 0.7 y 0.8. En la Fig. 3.10 hemos representado los exponentes de escala para 

algunos valores del parámetro p, observándose como al aumentar el valor del 

parámetro desde su valor menor (0.5), el alejamiento respecto de la forma lineal es 

cada vez mayor (es decir, cada vez es mayor la intermitencia). 

 

 

Figura 3.10: Exponentes de escala vs. orden de las funciones de estructura para el modelo p 

 

 

3.3.1.6. Modelo de difusión 

 

Este modelo sostiene que los vórtices turbulentos evolucionan a lo largo del tiempo 

de un estado a otro siguiendo un proceso de Markov, es decir, un proceso sin 



Intermitencia de la turbulencia 

60 
 

memoria. Recordemos, en primer lugar, que un proceso de Markov es un proceso 

estocástico que cumple: 

 

 1 1 1 1 1 1( , / , ;...; , ) ( , / , )n n n n n n n nP u t u t u t P u t u t      (3.59) 

 

Es decir, la probabilidad de que el incremento de velocidad u se encuentre en el 

estado un en el momento tn, habiendo estado en el estado u1 en el momento t1, ......., 

en el estado un-1 en el momento tn-1 es la misma que si sólo se considera el estado un-1 

para el momento tn-1. Por tanto, el sistema no tiene memoria: lo que ocurra para 

escalas más pequeñas sólo depende de la escala actual. 

 
Un proceso de Markov verifica la llamada Ecuación de Chapman-Kolmogorov 

(Risken 1984): 

 

3 3 1 1 3 3 2 2 2 2 1 1 2, , , ,( / ) ( , / , ) ( / ) P u t u t P u t u t P u t u t du    (3.60) 

 
Esa ecuación se puede expresar en forma diferencial por medio de la expansión de 

Kramers-Moyal (formalmente es equivalente a la ecuación maestra) (Risken 1984, 

Marcq & Naert 1998): 

 

 
1

( , )
( 1) ( ( , ) ( , ))

n
n

nn
n

P u t
D u t P u t

t u





 
 

      (3.61) 

 

donde Dn son los coeficientes de Kramers-Moyal, definidos como: 

 

 '

( , )  ( , , ')limn n
t t

D u t M u t t



     (3.62) 

 

Los coeficientes Mn son los correspondientes momentos de orden n, es decir:  

 

 
1 1

( , , ') ( ' ) ( ', '/ , ) '
' !

n
nM u t t u u P u t u t du

t t n
 

     (3.63) 

 



Intermitencia de la turbulencia 

61 
 

Despreciando los coeficientes de orden mayor que 2, obtenemos la Ecuación de 

Fokker-Planck (Risken 1984): 

 

 
2

1 22

( , )
( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))

P u t
D u t P u t D u t P u t

t u u

  
  

  
  (3.64) 

 

En Renner et al. (2001) se muestra que esa ecuación describe correctamente las 

funciones de densidad medidas experimentalmente. 

 

Los términos de la derecha de la ecuación (3.64) se denominan término de transporte 

(D1 es el coeficiente de transporte o coeficiente drift) y término de difusión (siendo 

D2 el coeficiente de difusión). 

 

En cuanto a la determinación de dichos coeficientes, el primer paso consiste en 

calcular los momentos M1 y M2, de acuerdo con la expresión (3.63). Sin embargo, 

dada la dependencia de estos coeficientes con 1/t , siguiendo a Renner et al. (1999) 

haremos el siguiente cambio de variable: ln( / )λ= T t , siendo T la escala integral. Por 

tanto, para cada terna (u, , ´), o lo que es lo mismo, para cada (u, , ), donde 

=´-, tendremos un valor para M1 y M2.  

 

Pues bien, fijados  y , M1 sigue una dependencia aproximadamente lineal 

respecto a las variaciones de velocidad, en tanto que M2 sigue una dependencia, 

también de forma aproximada, cuadrática (Fig. 3.11). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

62 
 

Figura 3.11: M1 y M2 vs. velocidad (normalizada por la varianza), para diferentes valores de 

con=0.165 (Resultados obtenidos con los datos de la campaña SABLES98 correspondientes al 

día 14 de septiembre a las 00:00 GMT) 

 

La Fig. 3.11 se ha obtenido a partir de los datos correspondientes a la campaña 

SABLES98; concretamente, la figura es el resultado de la velocidad del viento 

medido el día 14 de septiembre a las 00:00 GMT en la campaña mencionada. En las 

gráficas hemos añadido los ajustes lineal y cuadrático para mostrar la dependencia de 

la que hablábamos entre los momentos y las variaciones de velocidad (M1, 

dependencia lineal y M2, cuadrática). Hemos restringido la representación al 

intervalo de variaciones de velocidad entre (–2,2), puesto que para valores mayores 

aparece una mayor dispersión. También se aprecia en las gráficas cómo al disminuir 

 aumenta la dispersión. 

 

A continuación, ya se pueden calcular los coeficientes D1 y D2. Sin embargo, este 

cálculo presenta la dificultad de determinar el límite de los momentos M1 y M2 

(Renner et al.  1999). Por ello, es necesario determinar la llamada escala de Markov 

(Ghasemi et al. 2005) (se trata de la escala por encima de la cual, el proceso resulta 

markoviano). Dicha escala, de acuerdo con Lind et al. (2007), se puede estimar 

teniendo en cuenta que para escalas superiores a ella, los valores de M1 y M2 siguen 

de forma aproximada una variación lineal con el tiempo. 

 



Intermitencia de la turbulencia 

63 
 

Por tanto, la forma de determinar D1 y D2 consiste en extrapolar, hasta el corte con el 

origen, los momentos M1 y M2 correspondientes a incrementos temporales mayores a 

la escala de Markov.  

 

En la  Fig. 3.12 hemos representado (a partir de los M1 y M2 obtenidos con 

anterioridad para datos de la campaña SABLES98), para un determinado  (igual a 

0.165) y para distintas velocidades, la forma de determinar la escala de Markov y los 

coeficientes drift (D1) y difusión (D2) y podemos observar que a partir de un 

determinado valor de  , M1 y M2 siguen un comportamiento aproximadamente 

lineal. Ese valor de  se corresponde con la escala de Markov. Según el incremento 

de velocidad considerado, u/T, el valor de la escala de Markov puede diferir (se 

observa que, por ejemplo, para u/T =-1.024, podríamos fijar el inicio del 

comportamiento lineal en una escala más pequeña). Por ello, para considerar un 

único valor para esa escala (para un determinado ), independientemente del 

incremento de velocidad, asignaremos una escala que resulte válida para todos los 

casos (=1). 

 

 

 

 

 

 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

64 
 

 

 

 

 

 

Figura 3.12: Determinación de la escala de Markov y de los coeficientes D1 y D2 para distintas 

velocidades, con fijo igual a 0.165 (Resultados obtenidos a partir de los M1 y M2 calculados con 

datos de la campaña SABLES98 (el día 14 de septiembre a las 00:00 GMT); para todos los casos, y en 

aras de facilitar el cálculo posterior, hemos considerado que la escala de Markov se podía suponer 

igual para todos los casos) 

 

Para otros valores de  la escala de Markov puede variar. Sin embargo, cuando  

disminuye es necesario ir disminuyendo también la escala de Markov. Cuando la 

escala es menor, más rápidamente se pierde la memoria del proceso. 

 



Intermitencia de la turbulencia 

65 
 

Para obtener el límite cuando  tiende a cero de M1 y M2, tan solo habrá que 

extrapolar hasta el corte con el eje de ordenadas la recta de ajuste de los M1 y M2 para 

 superiores a 1. Esos límites son los coeficientes D1 y D2. 

 

La  Fig. 3.13 muestra los valores de D1 y D2 para una escala determinada 

(concretamente, para  en función de los incrementos de velocidad. 

 

 

Figura 3.13:  a) D1 vs. velocidad (normalizada); b) coeficiente D2 vs. velocidad (normalizada); con 

=0.165 (Datos de SABLES correspondientes al día 14 de septiembre a las 00:00 GMT) 

 

Por tanto, los coeficientes drift y difusión responden a la forma: 

 

 1( , ) ( )D u t t u         (3.65.a) 

 
2

2 ( , ) ( ) ( ) ( )D u t t t u t u          (3.65.b) 

 

Introduciendo la función de estructura, Sp(t), en la ecuación de Fokker-Planck, 

tenemos: 

 

 
2

1 22
( ) ( , ) ( , ) ( , )p

pt S t u D u t D u t P u t du
t u u





   
       

   (3.66) 

 



Intermitencia de la turbulencia 

66 
 

Cuando Re   los coeficientes (t) y (t) resultan despreciables (Renner et al. 

2002), por lo que, sustituyendo D1 (u,t) y D2 (u,t) por su expresión en la ecuación 

anterior (Lück 2001): 

 

  ( ) ( 1) ( )p pt S t p p p S t
t

 
    
     (3.67) 

 

Expresando la función de estructura de acuerdo con el exponente de escala podemos 

obtener el valor de dicho exponente (Lück 2001) en función de  y . 

 

  2 ( 3)pζ = p p p           (3.68) 

 

Recordando la expresión que, por ejemplo, proporciona el modelo log-normal para 

los exponentes de escala (ecuación (3.36)), podemos expresar el valor de los 

coeficientes  y  en función del parámetro de intermitencia : 

 

 
18

          (3.69) 

 
1

2
3

           (3.70) 

 

De esta manera, se ha logrado relacionar la intermitencia con los parámetros 

correspondientes al modelo de difusión. De acuerdo con las expresiones (3.69) y 

(3.70), situaciones con ausencia de intermitencia ( =0) resultarán modelizadas por 

los valores  = 0 y  Conforme aumenta la intermitencia (mayores valores de 

),    y   deben ser mayores. 

 

3.3.2. Turbulencia no homogénea 

 

3.3.2.1. Modelos shell 

 

Los modelos shells constan de un conjunto de ecuaciones obtenidas a partir de la 

ecuación de Navier-Stokes en el espacio de Fourier, a cuyo fin, dicho espacio se 



Intermitencia de la turbulencia 

67 
 

considera dividido en un conjunto de shells. En el Apéndice V se muestra la 

obtención de la ecuación de Navier-Stokes en el espacio de Fourier a partir de su 

expresión en el espacio físico. 

 

El modelo shell quizá más importante es el debido a Gledzer-Ohkitani-Yamada 

(GOY), versión reciente del modelo Gledzer (Gledzer 1973), debido a Yamada & 

Ohkitani (1987) y que expresa la ecuación de Navier-Stokes en el espacio de Fourier 

de la siguiente forma (el subíndice n hace referencia al n-ésimo shell): 

 

 
2

1 2 1 1 1 2( )n n n n n n n n n n n n

d
+νk u = i a u u b u u c u u f

dt


     
     
 

   (3.71) 

 

donde  representa la viscosidad cinemática, un la velocidad en el n-ésimo shell (un = 

0 para n kn los correspondientes números de onda (se supone que escalan 

geométricamente, por tanto, n= k0q
n, siendo q la razón de la serie geométrica ), y los 

fn  términos de forzamiento (si el forzamiento se considera, por ejemplo, en el cuarto 

modo, fn=f4,n ).  

 

Y con respecto al resto de coeficientes: 

 

an=a kn=a k0 q
n       (3.72.a) 

 bn=b kn-1=b k0 q
n-1       (3.72.b) 

cn=c kn-2=c k0 q
n-2       (3.72.c) 

 

Por tanto, los seis parámetros que definen este modelo son: k0, q, a, b, c y f. 

 

Como valores habituales para algunos de estos parámetros (Kadanoff et al. 1995), se 

suelen considerar los siguientes: 

 

k0 = 1/16; a = 1; q = 2 ; f = 5(1+i)10-3    (3.73) 

 



Intermitencia de la turbulencia 

68 
 

En caso de no forzamiento y falta de viscosidad, el modelo GOY tiene dos 

invariantes (Ditlevsen & Mogensen 1996, Ditlevsen 2004), E y H, con las siguientes 

expresiones:  

 

21

2 n
n

E = |u |         (3.74) 

y 

  21
( 1)

2
n p

n n
n

H = k |u |  (con log | 1|qp =   ).   (3.75) 

 

El primer invariante corresponde a la energía, siendo necesario para esa invariancia 

que: a+b+c=0; esto hace que b y c se puedan obtener a partir de un único parámetro, 

que denominaremos  de tal forma que: b=-y c =  -1 (tomando a =1) 

 

Respecto al segundo invariante, si < 1, entonces H es definido no positivo y, por el 

contrario, si > 1, H es definido positivo. Cuando H es definido no positivo (<1) y 

p=1, ese invariante se corresponde con la helicidad, y su conservación implica que 

estamos en turbulencia 3D, como ya mencionamos en el apartado 2.5. Por el 

contrario, cuando es positivo (1) y p=2, ese invariante es la enstrofía, y su 

conservación implica que estamos en turbulencia 2D. 

 

Por tanto, si consideramos turbulencia 3D, para el valor indicado de q (2),  deberá 

ser igual a 1/2, y, en consecuencia tendremos: b= -1/2 y c= -1/2. Para el caso de la 

turbulencia 2D, y con el mismo q,   debe ser 5/4. 

 

En términos más generales, cuando a = 1 (para un a genérico ver Constantin et al. 

2007) si  es mayor que 1, la turbulencia es 2D, pues el segundo invariante es  

positivo y por tanto se corresponde con la enstrofía. Por el contrario, si   es menor 

que 1, ese invariante es no positivo, al igual que la helicidad, y por tanto nos 

encontramos en turbulencia 3D (Ditlevsen 1996). Este punto crítico, en el que el flujo 

de energía cambia de signo y el flujo de helicidad diverge puede verse en Giuliani et 

al. (2002).  

 



Intermitencia de la turbulencia 

69 
 

En cuanto a la función de estructura para estos modelos, viene definida por: 

 

( ) | |p
p nS n u        (3.76) 

 

teniéndose que, en el rango inercial: 

 

 ( ) p

p nS n k          (3.77) 

 

Simulaciones numéricas 

A modo ilustrativo, en esta tesis hemos llevado a cabo una implementación numérica 

(Vindel & Yagüe 2009) de estos modelos utilizando una discretización temporal. 

Para ello, siguiendo a Pisarenko et al. (1993) emplearemos un esquema de Adams-

Bashforth de segundo orden para resolver la ecuación: 

 
2

2

2

1 3 1
( ) ( ) ( ) ( )

2 2

n

n

k t
k t

n n n n
n

e
u t t e u t g t g t t

k

 
  




        

 
  (3.78) 

 

donde gn(t) es el lado derecho de la expresión (3.71).  

 

Para resolver esa ecuación, asegurando estabilidad de integración y resultados 

consistentes, se han considerado las siguientes condiciones: 22 shells, una viscosidad, 

 con un valor de 1.8x10-5 m2s-1 (valor característico del aire atmosférico) y un 

número total de pasos de 4x104. 

 

Tomando para los parámetros k0, q, a y f los valores indicados en (3.73), un salto 

temporal, t ,de 10-3 u.t., y haciendo = 1/2, hemos obtenido la  Fig. 3.14, 

representativa de las funciones de estructura (en escala logarítmica) frente al índice 

shell. 

 

 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

70 
 

 

 

Figura 3.14: Funciones de estructura (escala logarítmica) vs. índice del shell 

 

Las pendientes de esas graficas corresponden a los exponentes de escala. En el shell 

número 4, donde se ha introducido el forzamiento, se observa un máximo, y en torno 

al shell número 15 se produce un importante cambio en las pendientes de todas las 

gráficas.  

 

Con anterioridad ya habíamos introducido los llamados exponentes de escala 

relativos, que presentan un mejor cumplimiento de la relación potencial. Por ello, a 

continuación (Fig. 3.15) hemos representado el logaritmo de las funciones de 

estructura frente al logaritmo de la función de estructura de orden 3. Se observa una 

perfecta relación lineal, que indica la existencia de una relación potencial entre las 

funciones de estructura de todos los órdenes y la de orden 3 (ecuación (3.23)). 



Intermitencia de la turbulencia 

71 
 

 

 

Figura 3.15: Funciones de estructura de diferentes órdenes (escala logarítmica vs. función de 

estructura de orden 3 (escala logarítmica)  

 

Dado el excelente cumplimiento de la relación potencial utilizando la condición ESS, 

utilizaremos los exponentes de escala relativos para analizar la intermitencia presente 

en los modelos shells. Para ello, estimaremos la dependencia de esos exponentes 

relativos al modificar el valor de los parámetros característicos, q y , de un modelo 

GOY (Bowman et al. 2006). El resto de parámetros del modelo mantendrán los 

valores ya mencionados. El parámetro  variara entre 0.2 y 1.8, excepto el valor 1, a 

intervalos de 0.05; por su parte, variaremos q entre 1.6 y 2.4 a intervalos de 0.1.  

 

Utilizando en este caso una simulación con un salto temporal de 10-3 y únicamente 11 

shells (ya que hay situaciones en las que, para más shells, las funciones de estructura 

se vuelven nulas, haciendo imposible la estimación de su logaritmo) hemos obtenido 

la Fig. 3.16, donde se representan los exponentes de escala relativos en función del 

parámetro  para diferentes valores del parámetro q.  

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

72 
 

 

 

Figura 3.16: Exponentes de escala relativos vs.    para diferentes valores del parámetro q para: a) 

orden 1, b) orden 2, c) orden 4 y d) orden 5. Una línea continua representa el polinomio de ajuste de 

orden 4 para q = 1.8 (también se muestra el coeficiente de determinación). 

 

En la Fig. 3.16 se observa el gap entre la turbulencia 2D y la 3D, correspondiente, 

precisamente, al valor 1 para . Este punto crítico coincide con el valor para el cual el 

segundo invariante es positivo o no. En la región 3D (<1), los exponentes de escala 

disminuyen, si el orden de las funciones de estructura es menor que 3, o aumentan, si 

ese orden es superior a 3, al aproximarse al área 2D. En el área 3D se puede 

establecer, con un alto coeficiente de correlación, una relación funcional entre los 

exponentes relativos y  . Así, por ejemplo, para q=1.8: 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

73 
 

 

4 3 2
1

4 3 2
2

4 3 2
4

4 3 2
5

0.9586 2.8408 3.2006 1.7048 0.7298

0.56 1.6593 1.8686 0.9935 0.8968

0.623 1.8471 2.0809 1.1054 1.078

1.2776 3.7892 4.2701 2.2684 1.143

    

    

    

    

    

    

     

     

 (3.79) 

 

Sin embargo, en la región 2D (>1) los exponentes presentan un valor bastante 

constante y lineal, independientemente del valor de . Se observa que en ese área el 

valor de los exponentes de escala se corresponde prácticamente con el valor de la 

recta  p  = p / 3, es decir, se trata de una región caracterizada por la previsible 

disminución de la intermitencia (Smith & Yakhot 1993, Paret & Tabeling 1998). 

 

De forma similar a como hemos actuado con anterioridad, es posible fijar el 

parámetro  y observar la variación de los exponentes de escala relativos al variar el 

parámetro q. En la  Fig. 3.17 se muestra este análisis.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

74 
 

 

 

Figura 3.17: Exponentes de escala relativos vs. q  para diferentes valores del parámetro   para: a) 

orden 1, b) orden 2, c) orden 4 y d) orden 5. Una línea continua representa el polinomio de ajuste de 

orden 4 para    = 0.5 (también se muestra el coeficiente de determinación) 

 

Para  < 1 (turbulencia 3D) se puede, al igual que antes, establecer una relación 

funcional entre los exponentes de escala y q. Así, por ejemplo, para  = 0.5: 

 

4 3 2
1

4 3 2
2

4 3 2
4

4 3 2
5

0.0657 0.7293 2.8711 4.8708 3.4109

0.0759 0.7358 2.6367 4.1659 3.1454

0.1136 1.0586 3.6741 5.65 1.9455

0.2487 2.3005 7.9325 12.13 5.3347

q q q q

q q q q

q q q q

q q q q









    

    

     

     

 (3.80) 

 

Para tener una idea del grado de incertidumbre existente en las figuras previas, en la  

Fig. 3.18 hemos representado algunos ejemplos con las barras de errores (con un 

intervalo de confianza del 99%). La Fig. 3.18a muestra que la incertidumbre aumenta 

cuando   disminuye (aproximadamente a partir de 0.8); sin embargo, el parámetro q 

(Fig. 3.18b) no afecta mucho al grado de incertidumbre existente.  

 



Intermitencia de la turbulencia 

75 
 

 

 

Figura 3.18: a) Exponentes de escala relativos vs.   (para diferentes valores de q) con barras de 

errores; b) Exponentes de escala relativos vs. q (para diferentes valores de  ) con barras de errores 

 

En cualquier caso, cuanto más se aleja el orden de 3, mayor es el grado de 

incertidumbre que presentan los exponentes relativos. 



Intermitencia de la turbulencia 

76 
 

 

Con objeto de mostrar la posible aplicación del modelo GOY a datos atmosféricos, 

vamos a representar los exponentes de escala relativos obtenidos a partir de datos 

correspondientes a la campaña SABLES98 (Cuxart et al. 2000), llevada a cabo en la 

provincia de Valladolid en 1998. Con posterioridad indicaremos con detalle cuáles 

han sido los datos de esa campaña empleados para realizar los cálculos que se 

muestran en la tesis. En la Fig. 3.19  aparecen los resultados correspondientes al 

periodo que va desde el día 10 de septiembre de 1998 a las 17:00 GMT, hasta el día 

17 de septiembre a las 23:30 GMT, analizado a intervalos de media hora, lo que 

supone el cálculo para 350 situaciones diferentes. En esas situaciones de estudio se 

presentan condiciones de estabilidad de estratificación muy diferentes, como también 

veremos en el siguiente capítulo, desde una fuerte convección diurna a noches 

fuertemente estables. En la Fig. 3.19, también hemos incluido los valores máximo y 

mínimo de los exponentes de escala relativos para ciertos valores del parámetro q del 

modelo GOY.  Debemos indicar que para hacer más clara la representación, las 

curvas se han modulado utilizando una media móvil de orden 12, es decir, de 6 horas. 

 



Intermitencia de la turbulencia 

77 
 

 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

78 
 

 

Figura 3.19: a) Evolución temporal de los exponentes de escala relativos de orden 1 (eje vertical de la 

izquierda) y de orden 4 (eje vertical de la derecha). Las líneas horizontales representan los valores 

máximos y mínimos de los exponentes de orden 1 (líneas discontinuas) y de orden 4 (líneas continuas) 

para ciertos valores del parámetro q del modelo; b) Igual que a), pero para los órdenes 2 y 5 

 

Recordemos que en la Fig. 3.16 se observa que, por un lado, para órdenes menores 

que 3, las situaciones más cercanas a la turbulencia 2D (turbulencia que resulta 

análoga a la desarrollada en condiciones de fuerte estabilidad) presentan exponentes 

de escala menores que las situaciones más adentradas en el área de la turbulencia 3D 

(turbulencia similar a la correspondiente a situaciones más inestables); y por otro 

lado, se observa que, para órdenes mayores que 3, el comportamiento de los 



Intermitencia de la turbulencia 

79 
 

exponentes de escala es la contraria. Pues bien, la Fig. 3.19 muestra el mismo tipo de 

comportamiento, pues las gráficas de órdenes menores que 3 correspondientes a las 

situaciones más estables presentan valores mínimos, en tanto que las gráficas de 

órdenes mayores que 3 resultan similares pero al revés. De acuerdo con la Fig. 3.19, 

existen ciertas situaciones atmosféricas, concretamente, las de mayor estabilidad de 

estratificación, para las que el modelo no es capaz de reproducir sus correspondientes 

exponentes de escala, pues los exponentes de escala resultan o demasiado altos (en el 

caso de órdenes mayores que 3), o demasiado bajos (en el caso de órdenes inferiores 

a 3). 

 

La Fig. 3.20 es similar a la Fig. 3.19, pero en este caso los valores máximos y 

mínimos de los exponentes de escala relativos se han obtenido para ciertos valores 

del parámetro .  Se observa que cuando  aumenta, el modelo es capaz de reproducir 

el comportamiento de situaciones más estables. Sin embargo, al igual que antes, el 

modelo no puede representar la conducta de las situaciones con mayor estabilidad de 

estratificación.  

 



Intermitencia de la turbulencia 

80 
 

 



Intermitencia de la turbulencia 

81 
 

 

Figura 3.20: a) Evolución temporal de los exponentes de escala relativos de orden 2.  Las líneas 

horizontales representan los valores máximos (líneas continuas) y mínimos (líneas discontinuas) de los 

exponentes de orden 2 para ciertos valores del parámetro   del modelo; b) Igual que a), pero para el 

orden 5. Nota: la línea discontinua negra se solapa con la línea continua roja 

 

Para obtener los valores característicos del modelo (q y ) que proporcionen unos 

exponentes de escala representativos de una determinada situación atmosférica real, 

basta con sustituir el valor de esos exponentes de escala empíricos en las expresiones 

(3.79) y (3.80) o similares (pues esas expresiones se han obtenido para un 

determinado valor de q y de ) y despejar el valor del parámetro correspondiente. 

 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

82 
 

3.3.2.2. Modelo log-Poisson (con condición ESS) 

 

Como hemos indicado en el apartado 3.3.1.4, She & Lévêque (1994) propusieron una 

estructura jerárquica para los momentos de la tasa de disipación de energía local, n 

 

 

1
( ) n

n

n

p
p

p








        (3.81) 

      
 
La anterior jerarquía implica que las funciones de distribución de probabilidad 

correspondientes siguen una ley log-Poisson (Dubrulle 1994, She & Waymire 1995). 

Dubrulle (1994) modificó el modelo de She-Lévêque incluyendo la propiedad ESS. 

Su modelo se basa en las tres siguientes hipótesis: 

 

La primera hipótesis es la similaridad: 

 

/3 /3p p p
n n nu l         (3.82) 

 
 

La segunda es la “simetría escondida”: los momentos de la disipación de energía 

siguen una estructura jerárquica, dada por: 

 

1

( ) ( ) 1

p p
n n

pp p
n n n n

A


  

 
 
  


 

   
 (0 <  < 1)  (3.83)  

 

donde Ap son unas constantes geométricas. 

 

Y, finalmente, la tercera hipótesis indica: 

 

( )
n ln 


 cuando  ln            0     (3.84) 

 



Intermitencia de la turbulencia 

83 
 

donde   es un parámetro que depende de la codimensión (diferencia entre la 

dimensión euclidiana y la dimensión fractal) de la estructura disipativa, y que debe 

ser mayor o igual que 0. 

 

Estas hipótesis implican que las funciones de estructura de la velocidad siguen la 

condición ESS, con un exponente de escala relativo dado por: 

 

 
/31

3 1 3

p

p

p p


 
     

      (3.85) 

 

Por tanto, este modelo presenta dos parámetros característicos:  (que, como hemos 

dicho, depende de la codimensión de la estructura disipativa) y , que debe estar 

contenido en el intervalo (0,1]. Por tanto, haciendo uso de la expresión anterior, es 

posible establecer los exponentes de escala relativos cuando los parámetros 

anteriores se modifican.  

 

En la Fig. 3.21 hemos representado los exponentes de escala relativos en función del 

parámetro  (para diferentes valores del parámetro ). Cuando aumenta, los 

exponentes correspondientes a ordenes menores de 3 también aumentan (el 

comportamiento de los exponentes de escala correspondientes a órdenes mayores de 

3 es la opuesta). Esta conducta coincide con un incremento de la intermitencia de la 

turbulencia, porque una mayor curvatura cóncava en  p  vs. p (es decir, una mayor 

intermitencia) supone que, para órdenes inferiores a 3,  los exponentes de escala 

serán mayores y que, para órdenes superiores a 3, serán menores (recordemos que el 

exponente de escala relativo de orden 3 es lógicamente igual a 1). 

 

 

 

 

 

 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

84 
 

 

Figura 3.21: Evolución de los exponentes de escala relativos con el parámetro   (para diferentes 

valores del parámetro ) en el modelo log-Poisson 

 

Para un cierto orden de la función de estructura y valor del parámetro , el parámetro 

 también presenta una clara relación con el exponente de escala, y por tanto con la 

intermitencia. En este caso, el comportamiento es el contrario al comportamiento de 

: un incremento de  implica una disminución de la intermitencia (como se aprecia 

en la Fig. 3.22). 

 

 

 

 

 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

85 
 

 

 

Figura 3.22: Evolución de los exponentes de escala relativos con el orden p (para un cierto   y para 

diferentes valores del parámetro  ) en el modelo log-Poisson 

 

Finalmente, en la Fig. 3.23 hemos representado la curva p  vs. p para diferentes 

pares de valores , Se observa que cuando  aumenta, el valor de tiene menor 

importancia, y todas las gráficas (correspondientes a los distintos valores de ) se 

aproximan entre sí, acercándose cada vez más hacia la forma lineal que muestra la 

ausencia de intermitencia. La misma consideración puede hacerse respecto a  , pero 

en sentido contrario: conforme disminuye su valor, la situación se hace menos 

intermitente, independientemente del valor de  este último resultado se debe a la 

dependencia, ya mencionada, que tiene  con respecto a la codimensión. En efecto, 



Intermitencia de la turbulencia 

86 
 

el aumento en la dimensión fractal supone una disminución en la codimensión (en ) 

y, por otra parte, dimensión fractal e intermitencia evolucionan en sentidos 

contrarios, es decir, situaciones con una menor dimensión  fractal (con una menor 

ocupación del espacio) se caracterizan por una mayor intermitencia. Por tanto, una 

mayor codimensión (una mayor ) supone un aumento en la intermitencia.  

 

 

 

 

 

 

 



Intermitencia de la turbulencia 

87 
 

 

 

Figura 3.23: Evolución de los exponentes de escala relativos con el orden p; a), b), c) y d): para un 

cierto   y para diferentes valores del parámetro e), f), g) y h): para un cierto  y para diferentes 

valores de   

 

Por tanto, pares de valores  permiten modelizar las diferentes situaciones 

empíricas (como las correspondientes a SABLES98) caracterizadas por las curvas 

p  vs. p. 

 



Intermitencia de la turbulencia 

88 
 

Vistos los modelos anteriores, en la Tabla 3.1 reflejamos, a modo de resumen, los 

exponentes de escala de las funciones de estructura de la velocidad correspondientes 

a algunos de esos modelos. 

 

 

 

  Modelo   Exponente de escala de la función 

    de estructura de la velocidad 

  K41     3p

p
ζ =  

  K62 o log-normal   (3 )
3 18p

p p
ζ = p


  

       
ln

=    1
3 ln 3p

p p

r

    
 

 

  She-Lévêque    
/31

(1 )
3 1

p

p

p
ζ

 



  

  

  p o binomial    
/3 /3

21 log ( (1 ) )m m
mζ p p     

  difusión     2 ( 3)pζ = p p p      

  log-Poisson (con ESS)  
/31

3 1 3

p

p

p p


 
     

 

 

Tabla 3.1: Exponentes de escala de la función de estructura de la velocidad para distintos modelos de 

intermitencia

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

89 
 

 

 

 

 

 

 

 

4. Estudio de la cascada energética y la 

intermitencia de la turbulencia en la capa 

límite atmosférica5

                                                 
5 Parte de los resultados presentados en este capítulo  han sido publicados en los siguientes 
artículos:  
 
 - Vindel JM, Yagüe C & Redondo JM (2008a) Relationship between intermittency and 
stratification, Nuovo Cimento C. Geophysics and Space Physics 31: 669-678. 
 - Vindel JM, Yagüe C & Redondo JM (2008b) Structure function analysis and intermittency 
in the atmospheric boundary layer. Nonlinear Process Geophys 15: 915-929. 
 -Vindel JM & Yagüe C (2011) Intermittency of turbulence in the atmospheric boundary 
layer: scaling exponents and stratification influence. Bound-Layer Meteorol 140: 73-85. 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

90 
 

 
4.1. Emplazamiento de la campaña SABLES98 

 

Los datos atmosféricos que utilizaremos para nuestros cálculos serán los 

proporcionados por la campaña SABLES98 (Stable Atmospheric Boundary Layer 

Experiment in Spain 1998). Un informe detallado sobre esa campaña puede verse en 

Cuxart et al. (2000). 

 

Esta campaña se desarrolló entre los días 10 y 28 de septiembre de 1998 en las 

instalaciones de que dispone el CIBA (Centro de Investigación de la Baja Atmósfera 

cuya titularidad es compartida por la Universidad de Valladolid y la actual Agencia 

Estatal de Meteorología – AEMET-) en las proximidades a Valladolid (coordenadas 

41º 49’ N, 4º 56’ W, 840m snm). 

 

En la Fig. 4.1 puede verse una vista aérea del lugar: 

 

 

 

Figura 4.1. Vista aérea del CIBA desde la torre de 100 m 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

91 
 

 

En la Fig. 4.2 se muestra un croquis del lugar, donde puede apreciarse las distancias 

de los sistemas montañosos al emplazamiento. 

 

 

Figura 4.2: Croquis del emplazamiento de toma de datos en la campaña SABLES98 (Cuxart et al. 

2000). 

 

El emplazamiento del operativo tiene lugar sobre una amplia meseta situada a una 

altitud de 840 m por encima del nivel del mar (Los Torozos) y a unos 50 m por 

encima de una amplia zona llana, como se puede apreciar en las secciones verticales 

del lugar, que se muestran en la figura 4.3. 

 

 

Figura 4.3: Secciones verticales del emplazamiento de toma de datos en la campaña SABLES98 

(Cuxart et al. 2000). 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

92 
 

 

Además, hemos de indicar que el emplazamiento se encuentra rodeado por bastantes 

claros de hierba con una rugosidad superficial de 10-4 m (San José et al. 1985) 

 

4.2. Instrumentación 

 

En la Fig. 4.4 se muestra un esquema con la disposición del instrumental utilizado en 

la campaña: 

Figura 4.4: Esquema de disposición del instrumental para la toma de datos en la campaña SABLES98 

(Cuxart et al. 2000). 

 

Como se aprecia en el esquema se dispone de dos torres, una de 100 m y otra de 10 

m. La primera está equipada con la instrumentación que se indica en la Tabla 4.1 

(Cuxart et al. 2000). 

 

 

 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

93 
 

 

 

Tabla 4.1: Instrumentación de la torre de 100m 

 

4.3. Datos empleados 

 

En primer lugar, debemos decir que han sido numerosos los trabajos desarrollados y 

publicados a partir de los datos obtenidos en esta campaña y otras posteriores en el 

CIBA (Terradellas et al. 2001, Cuxart et al. 2002, Terradellas et al. 2005, Yagüe et 

al. 2006, Conangla et al. 2008, Viana et al. 2009, Viana et al. 2010, Viana et al. 

2012....) 

 

Para el estudio de la intermitencia que hemos realizado en esta Tesis Doctoral, hemos 

empleado los datos de velocidad medidos por el anemómetro sónico a 32 metros,  

correspondientes al periodo que va desde las 17:00 GMT del día 10 de septiembre a 

las 23:30 GMT del día 17 de septiembre, tomados a intervalos de 30 minutos (es 

decir, 350 casos de estudio). Para cada una de esas muestras se han utilizado los 6000 

datos medidos por el anemómetro (20 Hz) en 5 minutos, que resulta un número 

suficiente de datos como para realizar los estudios estadísticos que se pretenden y, 

por otro lado, evitar en la medida de lo posible, la influencia de movimientos a 

mesoescala, pues estamos interesados principalmente en las escalas turbulentas. 

Cuando la estabilidad es muy alta, incluso considerando 5 minutos como ventana de 

promedio, por debajo de esta escala temporal puede haber un solapamiento entre la 

turbulencia y movimientos sub-mesoescalares (Viana 2011). 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

94 
 

El conjunto de todas estas muestras cubre un amplio abanico de situaciones de 

estabilidad de estratificación, que van desde situaciones con fuerte convección 

diurna, a noches con una extrema estabilidad. Además, las condiciones sinópticas 

cambiaron a lo largo del periodo de estudio; del 10 al 14 de septiembre prevalecieron 

condiciones con un fuerte viento y el cielo estuvo nublado, aunque no hubo 

precipitación. Esta situación estaba relacionada con un sistema de baja presión 

localizado en el Atlántico Norte, que produjo vientos del SW. Para el resto del 

periodo de estudio, el anticiclón de las Azores se extendió sobre España, 

prevaleciendo vientos sinópticos ligeros y cielos despejados, lo que favoreció el 

desarrollo de altas estabilidades nocturnas. 

 

Por otro lado, con objeto de estimar el tipo de estratificación existente en la 

atmósfera en cada una de las situaciones de estudio consideradas, también hemos 

empleado datos de temperatura tomados a 50m y a 0.22m, pues la diferencia entre 

esos valores es un buen indicador del tipo de estratificación reinante en la baja 

atmósfera cerca de la superficie. En efecto, como ya hemos explicado en el punto 

2.6, cuanto más positiva sea la diferencia entre esas temperaturas, mayor será el 

grado de estabilidad existente, en tanto que si la diferencia es negativa, nos 

encontramos ante una situación de inestabilidad de estratificación, pues la 

temperatura en las capas bajas resulta mayor que en capas de mayor altura. 

 

En los análisis llevados a cabo en esta tesis hemos trabajado con escalas temporales, 

ya que las espaciales no estaban disponibles. Por ello, cuando ha sido necesaria la 

utilización de la escala espacial, hemos hecho uso de la hipótesis de la turbulencia 

congelada de Taylor (Stull 1988); en ese sentido, para calcular la escala espacial, la 

velocidad media del flujo se ha multiplicado por la correspondiente escala temporal. 

Por tanto, escalas espaciales mayores (menores), se corresponden con escalas 

temporales de mayor (menor) amplitud para una misma velocidad.  

 

El objetivo del estudio realizado en este capítulo es mostrar la evolución a lo largo de 

la cascada de algunas de las variables introducidas en el capítulo 2. Concretamente, 

en los apartados 4.4 y 4.5 analizaremos la evolución del Número de Reynolds y del 

tiempo de vida de los remolinos, en tanto que la evolución de la variable velocidad la 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

95 
 

veremos en el apartado 4.6 dedicado a la estimación de la intermitencia de la 

turbulencia en la CLA. Posteriormente, con objeto de profundizar en las 

características de ese fenómeno, analizaremos la influencia que sobre el mismo 

pueden tener la estratificación térmica y el viento (apartado 4.7). También trataremos 

la geometría fractal presente en la cascada a través del cálculo de los 

correspondientes exponentes de Hurst generalizados (en el propio apartado 4.7 y en 

el 4.8, para mostrar la intermitencia a través de la dimensión fractal, asi como las 

pendientes espectrales asociadas a las distintas situaciones de estudio). Además, 

mostraremos la posibilidad de modelizar las distribuciones de probabilidad 

representativas de la velocidad a lo largo de la cascada mediante distribuciones de 

Lévy (4.9). Finalmente, en el apartado 4.10 aplicaremos algunos de los modelos de 

intermitencia explicados a nuestros datos, con objeto de calcular el (los) parámetro(s) 

de intermitencia correspondiente(s).  

 

4.4. Evolución del Número de Reynolds con la escala 

 
Comenzamos en primer lugar  analizando la evolución del Número de Reynolds a lo 

largo de la cascada y, con ese objeto, hemos representado en la Fig. 4.5 esa evolución 

(en términos de probabilidad) para distintos momentos del periodo de estudio 

(momentos que resultan especialmente significativos en cuanto a la estratificación 

que presentan, por corresponder con situaciones diurnas - inestabilidad - y nocturnas 

- estabilidad). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

96 
 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

97 
 

 

Figura 4.5: Probabilidades de los números de Reynolds de los remolinos correspondientes a varias 

escalas (1, 10 y 30 s/20) 

 

La metodología utilizada para el cálculo de esos valores ha sido la siguiente: como ya 

indicamos en el apartado 2.3, para una cierta escala espacial ln (recordemos que, 

mediante la hipótesis de Taylor, podemos utilizar escalas temporales tn) disponemos 

de una colección de variables aleatorias correspondientes a esa escala o paso de la 

cascada. Entre esas variables se encuentra el número de Reynolds (Ren), que se puede 

calcular a partir de la variable aleatoria velocidad a esa escala (un) mediante la 

expresión (2.6). Por tanto, lo que muestra la Fig. 4.5 son los valores de la variable 

Ren acompañados de sus respectivas probabilidades, es decir, la distribución de 

probabilidad del número de Reynolds a distintas escalas. Los resultados de la Fig. 4.5 

(para comparar mejor el comportamiento de las diferentes escalas, se ha elegido la 

misma anchura de intervalos de clase para todos ellos, aunque esta representación 

puede disminuir la resolución de cada escala en particular) muestran como, cuando 

consideramos escalas menores, los números de Reynolds más probables se hacen 

menores; así que, cuando la escala disminuye, la tasa de disipación de energía 

adquiere mayor importancia frente a la tasa de energía transferida, lo cual esta de 

acuerdo con la teoría de la cascada; por el contrario, para escalas mayores, la 

turbulencia es mayor (números de Reynolds más grandes). Los resultados también 

muestran los diferentes comportamientos del número de Reynolds en base al viento 

reinante en la situación representada. En efecto, la representación correspondiente a 

las escalas de 10 y 30 (s/20) muestra que, en los momentos más ventosos 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

98 
 

representados (como es la noche del día 14 y, en menor medida, la del día 17 de 

septiembre), números de Reynolds altos presentan cierta probabilidad, en tanto que 

para los momentos menos ventosos (como las noches de los días 15 y 16) las 

probabilidades correspondientes a los mayores números de Reynolds se anulan 

totalmente. Esto confirma el resultado esperado de una mayor turbulencia mecánica 

en situaciones más ventosas. 

 

4.5. Tiempo de vida de los remolinos 

 

Analizados los números de Reynolds de diferentes situaciones, a continuación 

pasamos a estudiar los tiempos de vida de los remolinos presentes a lo largo de la 

cascada, para esas mismas situaciones analizadas en el punto anterior. En la  Fig. 4.6 

hemos representado la evolución con la escala (en términos de probabilidad) del 

tiempo de vida de los remolinos (el tiempo necesario para llevar a cabo una rotación). 

La metodología utilizada para el cálculo es similar a la explicada para los números de 

Reynolds. 

 

 

 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

99 
 

 

 

 

Figura 4.6: Probabilidades de los tiempos de vida de los remolinos correspondientes a varias escalas 

(1, 10 y 30 s/20) y diferentes situaciones de estudio 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

100 
 

Los resultados están nuevamente en consonancia con la teoría de la cascada; cuando 

la escala disminuye, los menores tiempos de vida resultan ser más probables (los 

remolinos menores viven menos). 

 

También resulta de interés señalar las diferencias entre las situaciones diurnas y las 

nocturnas; de hecho, en general para una misma escala, durante el dia son más 

probables los tiempos de vida menores que durante la noche; por tanto, en las 

situaciones más inestables, los remolinos se destruyen más rápidamente. 

 

4.6. Intermitencia de las situaciones estudiadas 

 

A continuación analizaremos la evolución de la variable velocidad a lo largo de la 

cascada, es decir, el grado de intermitencia existente. Para ello, se hará uso de los 

métodos ya mencionados en la sección 3.2 para el estudio de este fenómeno en las 

distintas situaciones meteorológicas presentes  a lo largo del periodo de estudio de la 

campaña SABLES98. 

 

4.6.1. Funciones de estructura 

 

Para poder utilizar este método es necesaria la existencia de escalamiento, es decir, la 

existencia de una ley potencial entre las funciones de estructura y la escala. Por ello, 

lo primero será verificar el cumplimiento de dicha ley. En ese sentido, en la  Fig. 4.7a 

y 4.7c se muestra, para algunas situaciones de la Campaña SABLES98, la relación 

lineal existente entre el logaritmo de la escala y el de la función de estructura. Hemos 

representado dos situaciones de estudio muy diferentes: 15 de septiembre a las 01:00 

GMT (noche muy estable), y 15 de septiembre a las 12:30 GMT (convección diurna). 

Se observa claramente que la desviación respecto de la forma lineal se incrementa 

cuando el orden de las funciones de estructura aumenta (para órdenes mayores que 3, 

el ajuste lineal ya no es excesivamente bueno). De hecho, atendiendo al número de 

puntos utilizados para cada situación (recordemos que 6000), para asegurar la 

necesaria convergencia estadística el orden no debería ser superior a 3 (Apéndice VI 

o Vindel et al. 2008b). El orden máximo (pmax) para esa convergencia se puede 

estimar a partir de la siguiente expresión: 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

101 
 

 

 pmax log (nptos) – 1       (4.1) 

 

 

 

 

 Figura 4.7: a) y c) : Funciones de estructura vs. escala; b) y d): funciones de estructura vs. S3. a) y b): 

15 de septiembre a las 01:00 GMT; c) y d): 15 de septiembre a las 12:30 GMT. Se incluye el 

coeficiente de determinación del ajuste lineal 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

102 
 

 

También se muestran las funciones de estructura de los distintos órdenes frente a la 

función de estructura de orden 3 para comprobar el cumplimiento de la condición 

ESS. En todos los casos la bondad del ajuste es elevada, de acuerdo con los 

coeficientes de correlación obtenidos (mayor en la situación más estable, a pesar de 

que la homogeneidad debe ser mayor en la situación más inestable), y aún más en el 

caso de la condición ESS. Ese alto grado de bondad en el ajuste se repite en todas las 

situaciones analizadas (aunque se trate de situaciones no homogéneas, como de 

hecho, son la mayoría). 

 

Una vez verificado que, en efecto, existe el escalamiento, estamos en condiciones de 

determinar los exponentes de escala correspondientes a las funciones de estructura, y 

dado que ese escalamiento se aprecia claramente para todas las situaciones 

(homogéneas y no homogéneas), podremos considerar suficientemente 

representativos para el análisis tanto a los exponentes absolutos como a los relativos 

(aunque estos últimos, aún con mayor motivo) La forma que adopte la curva de esos 

exponentes frente al orden de las funciones de estructura correspondientes servirá 

como estimador del grado de intermitencia existente. En efecto, el mayor grado de 

alejamiento de esa curva con respecto a una forma lineal será indicativo de una 

mayor intermitencia. Los exponentes de escala se han estimado a partir de las 

funciones de estructura, utilizando como rango de escalamiento, para cada caso de 

estudio, todas las escalas disponibles (desde la escala menor, 1 (s/20), hasta la escala 

integral). Si representamos los exponentes de escala, p,  frente al orden de la función 

de estructura, p, obtenemos resultados como los mostrados en la Fig. 4.8 

(correspondientes a las mismas situaciones representadas en la Fig. 4.7). 

 

 

 

 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

103 
 

 

 

Figura 4.8: Exponentes de escala vs. orden de las funciones de estructura para dos situaciones 

meteorológicas (diurna y nocturna), con barras de errores (15 de septiembre de 1998 a las 01:00 GMT 

y a las 12:30 GMT). a) Exponentes de escala absolutos; b) exponentes de escala relativos 

 

La curva correspondiente al 15 de septiembre a las 12:30 GMT presenta la usual 

curvatura cóncava de este tipo de funciones, y que es debida a la intermitencia de la 

turbulencia. Sin embargo, la curva correspondiente a las 01:00 GMT presenta una 

forma convexa (el criterio para definir concavidad o convexidad es el seguido por 

Borwein & Lewis 2000). Esta inusual conducta será tratada con más detalle 

posteriormente. 

 

En las figuras anteriores se observa que las curvas pueden ajustarse con gran 

precisión a funciones cuadráticas. De hecho, en la mayoría de procesos, la relación 

no lineal de p vs. p  puede ser parametrizada como una polinomial, y la forma más 

simple es una aproximación cuadrática (Ganti et al. 2009). Por tanto, como ya 

veremos, es posible utilizar el coeficiente del término cuadrático, , para cuantificar 

el grado de curvatura de las curvas p vs. p  y p  vs. p. (desviación respecto de una 

forma lineal) y, en consecuencia, utilizar esos coeficientes como parámetros 

indicativos del grado de intermitencia que presenta la turbulencia.  

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

104 
 

 

4.6.2. Funciones de densidad de probabilidad 

 

Como ya hemos indicado anteriormente, mediante el análisis visual de la evolución 

con la escala de las funciones de densidad, en ocasiones es posible realizar una 

estimación del grado de intermitencia existente. 

 

Con objeto de visualizar la diferencia entre las funciones de densidad 

correspondientes a situaciones con distinto grado de intermitencia hemos 

representado en la Fig. 4.9 las funciones de densidad de probabilidad (PDFs) 

correspondientes a la escala 1 (la menor escala que podemos representar) construida 

a partir de los incrementos de velocidad horizontal y de los incrementos de velocidad 

vertical (normalizados por la desviación típica), para algunos momentos del periodo 

de estudio. La elección de la menor escala para mostrar estos resultados se 

fundamenta es que es precisamente para las menores escalas donde habitualmente se 

observan más diferencias entre las PDFs. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

105 
 

 

 
 

 

 

Figura 4.9: a), c) y e): PDFs de la velocidad horizontal. b), d) y f): PDFs de la velocidad vertical, para 

una escala de 1 (s/20) en diferentes situaciones de estudio 

 

Se observa que las PDFs correspondientes a las situaciones diurnas presentan colas 

más alargadas (mayor presencia de eventos raros) que las correspondientes a las 

situaciones nocturnas. El hecho de que las funciones de densidad correspondientes a 

situaciones diurnas sean más alargadas, y por tanto más picudas (mayor probabilidad 

para incrementos de velocidad iguales a cero) es indicativo de una mayor persistencia 

(repetición del valor obtenido en un instante al siguiente considerado), en dichas 

situaciones. En ese sentido, es de esperar la obtención de exponentes de Hurst 

mayores en los momentos diurnos, como posteriormente veremos. En principio, a 

partir de la observación únicamente de estas gráficas, no podríamos asegurar que la 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

106 
 

intermitencia diurna sea mayor que la nocturna, pues para ello necesitamos valorar la 

evolución que han experimentado las PDFs al variar la escala. Es decir, no basta con 

tener la PDF correspondiente a una única escala, la cual sí nos indica el grado de 

persistencia, y por tanto la dimensión o codimensión correspondiente, pero no 

contiene la información sobre la evolución que se ha experimentado al variar la 

escala. Por esa razón, en la Fig. 4.10 hemos representado esa evolución para distintas 

situaciones diurnas y nocturnas. 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

107 
 

 

 

 

 

Figura 4.10: PDFs correspondientes a las velocidades horizontales (a), b), c), d), e), f)) y verticales 

(g), h), i), j), k), l)) para diferentes escalas (61, 41, 21, 1) y diferentes situaciones de estudio 

 

En la Fig. 4.10 (en la que hemos representado, al igual que en la Fig. 4.9, no sólo las 

funciones de densidad correspondientes a los incrementos de velocidad horizontal, 

sino también a los incrementos de velocidad vertical) se observa que la variación de 

la función de densidad con la escala es menos marcada en las situaciones nocturnas 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

108 
 

(derecha), en comparación con la que presentan las situaciones diurnas (izquierda) y, 

en consecuencia, las situaciones nocturnas son menos intermitentes, es decir, con 

menor variación en la forma de las funciones de densidad con la escala. De hecho, 

algunas de estas situaciones nocturnas muestran una cierta variación en sentido 

contrario al habitualmente considerado por los distintos modelos de intermitencia, 

cerrándose más la PDF al disminuir la escala (en lugar de aumentar sus colas para 

escalas menores). 

 

4.6.3. Curtosis 

 

En relación con el punto anterior, y como también hemos señalado con anterioridad, 

es posible cuantificar la evolución con la escala de las distintas funciones de densidad 

a través de algún parámetro representativo de la forma de dichas funciones. Ese 

parámetro puede ser la curtosis (ecuación 3.18), y su modificación de acuerdo con la 

escala considerada nos indicará el grado de intermitencia existente. Cuanto mayor 

sea, más picuda será la función de densidad y, en consecuencia, más alargada será la 

cola. 

 

Hemos representado la evolución de la curtosis (más concretamente del log(F/3), en 

la Fig. 4.11) para las situaciones de estudio tratadas en el apartado previo, 

obteniéndose resultados en consonancia con los obtenidos anteriormente. Un valor de 

0 de este parámetro, log(F/3), indicaría que estamos en una Gaussiana. Los 

resultados muestran que se puede apreciar claramente una modificación mucho más 

importante, al acercarnos a las escalas menores, en el caso de las situaciones diurnas 

que en el de las nocturnas; es decir, la variación con la escala de las funciones de 

densidad es mucho más patente en el caso de los momentos diurnos (mayor 

intermitencia). 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

109 
 

 

Figura 4.11 log (F /3) vs. escala para diferentes situaciones de estudio 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

110 
 

 

4.7. Evolución diaria de la intermitencia (Influencia de la estratificación térmica 

y el viento sobre la intermitencia) 

 

En los apartados anteriores hemos analizado el grado de intermitencia 

correspondiente a algunas situaciones de estudio consideradas, y se ha observado una 

posible correspondencia entre la evolución de las horas del día y el grado de 

intermitencia. En este apartado veremos con más detalle esa correspondencia a través 

de la relación entre las horas del día y el valor del coeficiente del término cuadrático 

() de la función de ajuste a la curva p vs. p. En efecto, veremos que el parámetro  

toma valores negativos para las horas diurnas y que su valor aumenta, llegando 

incluso en ocasiones a hacerse   positivo, en horas nocturnas. Esos diferentes 

momentos del día se corresponden con distintas situaciones de estabilidad de 

estratificación.  

 

Como ya hemos indicado, para caracterizar el grado de estabilidad térmica 

correspondiente a cada momento del día hemos utilizado la diferencia de 

temperaturas entre los niveles de 50 y 0.22m (T50-0.22m); un valor positivo de este 

parámetro indica una inversión térmica superficial y cuanto más positivo es este 

parámetro, mayor es la estabilidad. 

 

En la Fig. 4.12 hemos representado los exponentes de escala (p y p )con las barras 

de errores correspondientes para un intervalo de confianza del 99% (para todas las 

situaciones de estudio las barras de errores correspondientes tanto a exponentes 

absolutos como a relativos, son inferiores a una desviación estándar); recordemos 

que para garantizar la convergencia estadística, debido al número de puntos (6000), 

no es conveniente representar exponentes correspondientes a funciones de estructura 

de orden superior a 3.  

 

Asimismo, recordemos que, en caso de turbulencia homogénea (más propia de 

situaciones diurnas) la ley de los 4/5 conlleva que  sea igual a 1. En esos casos, 

desviaciones importantes de los exponentes de escala de los valores lineales (p/3) 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

111 
 

indican un alto grado de intermitencia, es decir, para el caso homogéneo, la ausencia 

de intermitencia se corresponderá con valores de 0.33, 0.66 y 1 para los órdenes 1, 2 

y 3, respectivamente. 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

112 
 

 

 

 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

113 
 

 

 

Figura 4.12: Evolución temporal (del 10 de septiembre de 1998 a las 17:00 GMT al 17 de septiembre 

a las 23:30 GMT) de los exponentes de escala para varios órdenes de las funciones de estructura: a) y 

b) orden 1; c) y d) orden 2; e) orden 3; a), c) y e) exponentes de escala absolutos; b) y d) exponentes 

de escala relativos 

 

Sin embargo, la Fig. 4.12e muestra que la mayor parte de las situaciones presentan un 

exponente de escala de orden 3 distinto de 1, por lo que podemos decir que la 

turbulencia casi nunca resulta homogénea. Por ello, aunque la Fig. 4.12 muestra que 

los valores de los exponentes de escala correspondientes a situaciones nocturnas (más 

estables) son, por lo general, algo menores que los correspondientes a las situaciones 

diurnas, no basta con la observación por separado de cada uno de esos exponentes 

para valorar el grado de intermitencia, sino que para ello es necesario conocer la 

forma que presenta el conjunto de exponentes de escala frente al orden p (lo que 

podemos hacer, como se indica en el apartado 4.6.1, a través del coeficiente del 

término cuádratico  de la curva cuadrática de ajuste). 

 

Pero es posible, como decimos, utilizar el coeficiente del término cuadrático ( ) de 

la función cuadrática de ajuste a la curva p  vs. p, para cuantificar el grado de 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

114 
 

curvatura de esas curvas, y así estimar la desviación que presentan las mismas 

respecto de una forma lineal y, en consecuencia, utilizar esos coeficientes como 

parámetros indicativos del grado de intermitencia que presenta la turbulencia. De 

hecho, todos los modelos de intermitencia de turbulencia expresan la relación entre 

p and p mediante una función cuadrática (recordemos el modelo log-normal, el 

modelo p, el de She-Lèvêque....). En ese sentido, un valor más negativo de  indicará 

una mayor curvatura cóncava (un valor más positivo, una mayor curvatura convexa). 

La curvatura cóncava estará asociada, como ya analizaremos con más detalle, con 

turbulencia totalmente desarrollada (en general, situaciones diurnas convectivas). 

 

Con objeto de evidenciar la relación entre intermitencia y estabilidad, en la propia 

Fig. 4.13 hemos incluido la evolución temporal del parámetro  y T50-0.22 (para 

mostrar con más claridad la correlación existente entre ambas variables hemos 

utilizado medias móviles de 12 puntos – 6 horas). Esta media se justifica porque 

existe una alta intravariabilidad a lo largo del día, especialmente en noches con 

condiciones muy estables (Mahrt 2010), tanto en las condiciones de estratificación 

como en el coeficiente  , lo que hace que si se utilizan los datos individuales no se 

observe con claridad ninguna correlación. Sin embargo, la media móvil elegida 

permite eliminar esa componente irregular de las series y hace más visible la 

influencia de la estratificación a lo largo del ciclo diurno. 

 

En la Fig. 4.13a el coeficiente del término cuadrático se ha estimado a partir de los 

exponentes de escala absolutos, y en la Fig. 4.13b a partir de los relativos. La 

diferencia entre ambas figuras no resulta demasiado significativa, aunque se observa 

un mejor ajuste entre   y la estratificación en el caso de los parámetros obtenidos a 

partir de los exponentes relativos. 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

115 
 

 

 

 

Figura 4.13: Evolución temporal (del 10 de septiembre de 1998 a las 17:00 GMT al 17 de septiembre 

a las 23:30 GMT) de la diferencia de temperaturas entre 50 y 0.22 m y del coeficiente del término 

cuadrático de: a) los exponentes de escala absolutos vs. p; b) los exponentes de escala relativos vs. p 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

116 
 

 

La relación es muy clara: en situaciones diurnas, con fuerte inestabilidad, el valor de 

 es mucho más negativo, en tanto que, en situaciones nocturnas, mucho más 

estables,  se hace más próximo a cero, pudiendo incluso llegar a hacerse positivo, 

como ocurre en algunas noches del segundo periodo (desde la tarde del día 14 en 

adelante), mucho más estables. 

 

Estos resultados  evidencian la relación entre la estratificación y el coeficiente del 

término cuadrático, así como la influencia de la hora del día. Las situaciones diurnas, 

debido al efecto de la radiación solar, presentan valores menores de T50-0.22 (mayor 

grado de inestabilidad) y, de acuerdo con la Fig. 4.13, presentan un valor más 

negativo para el parámetro  (más intermitencia). Por otro lado, las noches 

acostumbran a ser más estables debido a la ausencia de fuerzas convectivas y a la 

presencia de enfriamiento superficial. La figura muestra que, en comparación con los 

valores diurnos,  es mayor (próximo a 0), y que incluso puede llegar a ser positivo 

en situaciones de muy fuerte estabilidad, como es el caso de la noche del 15 de 

septiembre (para más detalles sobre esas noches, ver Yagüe et al. 2006). 

 

También se puede apreciar que, como consecuencia de la situación sinóptica, la 

amplitud de la onda correspondiente a T50-0.22 durante el segundo periodo es mayor 

que durante el primero, lo que también se traduce en una mayor amplitud de la onda 

correspondiente a   durante ese segundo periodo, es decir produce una mayor 

variabilidad de la intermitencia de la turbulencia a lo largo del día. 

 

Con objeto de verificar el resultado anterior aplicando otro criterio, en la Fig. 4.14 

hemos representado la evolución diurna de la curtosis correspondiente a una escala 

de 1 s/20. En efecto, situaciones diurnas (más inestables) presentan curtosis mayores, 

lo que indica que en esas situaciones se produce un mayor alejamiento respecto de la 

Gaussiana y, en consecuencia una mayor intermitencia. Por el contrario, durante la 

noche, especialmente en aquellas con mayores estratificaciones estables, las curtosis 

son menores. Esa relación se muestra utilizando, tanto incrementos de velocidad 

horizontal (Fig. 4.14a), como de velocidad vertical (Fig. 4.14b). 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

117 
 

 

Figura 4.14: Evolución temporal de la curtosis (F/3) correspondiente a una escala de 1 s/20  (en 

escala log). a) de la velocidad horizontal; b) de la velocidad vertical. En ambas graficas se incluye una 

media móvil (líneas rojas) de orden 12 (6 horas) 

 

Llegados a este punto resulta de gran interés analizar con más detalle los resultados 

anteriores correspondientes al parámetro . En efecto, un valor negativo de ese 

parámetro corresponde a una curva p vs. p con forma cóncava. En apartados 

anteriores ya habíamos descrito la necesidad matemática de que dicha curva tuviese 

esa forma, y que una mayor curvatura en ese sentido se correspondía con un mayor 

grado de intermitencia. El significado físico de esa intermitencia hace referencia a un 

aumento en la tasa de energía disipada conforme disminuye la escala. Sin embargo, 

la necesidad de que la forma de la curva sea cóncava está supeditada por una parte a 

la existencia de escalamiento entre las funciones de estructura y la escala y, por otra, 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

118 
 

a la posibilidad de poder considerar el flujo como incompresible en números de 

Reynolds grandes (Frisch 1995), lo que requiere de un régimen de turbulencia 

totalmente desarrollada. En consecuencia, en ausencia de dicho tipo de turbulencia, 

podría existir la posibilidad de una curvatura convexa por parte de la función p vs. p. 

El significado físico de este tipo de curvatura sería, desde nuestro punto de vista, el 

opuesto al del caso cóncavo: ahora la tasa de disipación de energía, en lugar de 

aumentar al disminuir la escala, disminuiría; es decir, se trataría de un 

comportamiento contrario al que habitualmente se asocia al fenómeno de la 

intermitencia. Como decimos, este comportamiento no puede producirse en 

condiciones de turbulencia totalmente desarrollada, y es, efectivamente, en 

condiciones en las que puede existir esa falta de desarrollo, claramente minoritario en 

la atmósfera, cuando se ha detectado la curvatura convexa.  

 

Como puede apreciarse en la Fig. 4.13, los valores de  positivos se producen en 

situaciones de fuerte estabilidad. En ese tipo de situaciones, los movimientos 

verticales se ven inhibidos, restringiendo una dimensión y aproximándose a una 

turbulencia 2D. Además, en esas situaciones, pueden producirse movimientos 

submesoescalares y ondas (Yagüe & Redondo 1995, Viana et al. 2009, Mahrt 2010); 

las ondas de alta frecuencia pueden quedar atrapadas hasta que, en un momento dado, 

rompan dando lugar a “reventones” de turbulencia (Terradellas et al. 2001, Yagüe et 

al. 2006). Esos “reventones” pueden proporcionar una explicación a los valores 

positivos de ; en efecto, como ya hemos comentado, la disipación tiene lugar de 

manera fundamental en las escalas menores, es decir, la tasa de disipación de energía 

aumenta al disminuir la escala (intermitencia habitual). Por tanto, y dado que la 

mayor parte de la energía está contenida en los remolinos mayores (Pope 2000), la 

tasa de disipación aumenta cuando la energía disminuye. Pues bien, los “reventones” 

de turbulencia mencionados pueden suponer una aportación de energía adicional a 

los remolinos de menor tamaño, de tal forma que la energía queda distribuida de 

forma más uniforme a lo largo de todo el rango de escalas; con ello, la variación con 

la escala de la tasa de energía disipada puede ser menor (lo que disminuiría la 

intermitencia) e, incluso, en situaciones extremas, n puede disminuir, en lugar de 

aumentar, cuando la escala disminuye (caso de la forma convexa de p vs. p). En 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

119 
 

definitiva, la esporádica inyección de energía durante el proceso podría estar 

cambiando el sentido de la intermitencia y justificando el cambio de curvatura. 

 

El proceso explicado en el párrafo anterior se puede justificar a través de  la Fig. 

4.15. En ella hemos representado el espectro energético (Blackman & Tukey 1958) 

correspondiente a varias situaciones de especial interés (situaciones con fuerte 

estabilidad -día 15 de septiembre a las 01:00 GMT, a las 20:30 GMT, y  día 16 de 

septiembre a las 20:30 GMT – que presentan una curvatura convexa en p vs. p, así 

como situaciones con la curvatura cóncava habitual – día 15 de septiembre a las 

12:30 GMT, día 16 a las 14:30 GMT y día 17 a las 13:30 GMT).  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

120 
 

 

 

 

 

Figura 4.15: Densidad de la potencia espectral vs. frecuencia, para varios casos de estudio 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

121 
 

Esos espectros nos permiten conocer la distribución de la energía cinética entre los 

remolinos de diferentes tamaños. De acuerdo con esos espectros, se observa que la 

mayor parte de la energía se encuentra contenida en los remolinos mayores; la 

energía disminuye, con una pendiente próxima a -5/3 cuando el tamaño de los 

remolinos disminuye. En las situaciones diurnas la pendiente se conserva, 

aproximadamente, a lo largo de toda la cascada, con un incremento de las 

fluctuaciones al final (lo que demuestra  la importancia de la intermitencia en las 

escalas más pequeñas). En situaciones nocturnas con alto grado de estabilidad 

atmosférica, también se aprecia un incremento de las fluctuaciones en las escalas 

menores (mayor frecuencia), aunque, además, se aprecia una disminución de la 

pendiente a partir de un cierto rango de escalas. El incremento de energía 

correspondiente al cambio en la pendiente puede ser debido a los “reventones” de 

turbulencia que tienen lugar en noches estables. Ese incremento de energía en las 

escalas menores está dando lugar a una uniformización energética a lo largo de la 

cascada, de tal forma que la tasa de energía disipada puede disminuir, en lugar de 

aumentar al disminuir la escala. 

 

También resulta de gran interés estudiar la posible correlación existente entre viento 

e intermitencia (representada por el coeficiente  del término cuadrático) a través de 

la Fig. 4.16, puesto que esa relación también puede contribuir a explicar el resultado 

anterior.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

122 
 

 

 

Figura 4.16: Evolución temporal (del 10 de septiembre de 1998 a las 17:00 GMT al 17 de septiembre 

a las 23:30 GMT) del coeficiente del término cuadrático  (obtenido a partir de los exponentes de 

escala absolutos) y de la velocidad horizontal 

 

En la Fig. 4.16 se pueden distinguir dos periodos en los que el viento muestra un 

comportamiento diferente: en un primer periodo (del 10 de septiembre a la tarde del 

día 14 de septiembre), el viento aumenta durante el día y disminuye por la noche, con 

un valor medio de moderado a alto, en correspondencia con el gradiente de presión 

sinóptico presente esos días (Fig. 4.17).  

 

 

 

 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

123 
 

 

 

Figura 4.17: Mapa sinóptico del día 13 de septiembre a las 00:00 GMT. Fuente: Reanálisis del NCEP 

(http://www.wetterzentrale.de/topkarten) 

 

Durante ese primer periodo, las diferencias entre el viento diurno y el nocturno son 

considerables, y  la relación entre intermitencia y viento es evidente: cuanto mayor es 

el viento, menor es el coeficiente  (mayor es la intermitencia). Con objeto de ver de 

un modo directo la relación entre  y la velocidad del viento, en la Fig. 4.18 se 

muestran, para diferentes intervalos de viento, los valores medios de   y las 

correspondientes dispersiones, evaluadas a partir de las desviaciones estándar (la Fig. 

4.18a corresponde al primer periodo y la 4.18b al segundo). En la correspondiente al 

primer periodo se observa que los valores máximos de , es decir, menores grados de 

intermitencia, se obtienen para velocidades de viento menores de 4 m s-1, en las que 

además aparecen barras de error pequeñas. Sin embargo, en las horas nocturnas del 

segundo periodo, los vientos medios son mucho menores  (debil gradiente de presión 

sinóptico, como se muestra en la Fig. 4.19, que corresponde al día 16 de septiembre a 

las 00:00 GMT), con valores mínimos a lo largo del día y máximos por las noches (lo 

contrario al primer periodo) y con menores diferencias entre día y noche (Fig. 4.16).  

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

124 
 

 

 

Figura 4.18: Parámetro de intermitencia   vs. velocidad del viento a 32 m para a) el primer periodo 

de estudio y b) el segundo periodo. Las barras de error indican la desviación estándar de los resultados 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

125 
 

individuales que contribuyen al valor medio en cada grupo de velocidades del viento. El número de 

muestras en cada grupo de velocidades del viento se da sobre las barras de error 

 

 

 

Figura 4.19: Mapa sinóptico del día 16 de septiembre a las 00:00 GMT. Fuente: Reanálisis del NCEp 

(http://www.wetterzentrale.de/topkarten) 

 

Dos aspectos pudieron contribuir a la presencia de mayores vientos nocturnos 

durante este segundo periodo: por un lado, la presencia de vientos catabáticos, 

asociados al desarrollo de corrientes de chorro a bajo nivel durante parte de las 

noches (Cuxart 2008, Viana et al. 2012), y por otro, la aparición de “reventones” 

nocturnos de turbulencia (Cuxart et al. 2000, Conangla & Cuxart 2006, Conangla et 

al. 2008). Efectivamente, en este periodo, aunque las noches fueron muchos más 

estables que las del primer periodo, la ruptura de ondas internas, habitualmente 

generada en situaciones de muy fuerte estabilidad de estratificación, pudo provocar 

esporádicos reventones de turbulencia (como se muestra en la noche del 14 al 15 de 

septiembre en Terradellas et al. 2001). Esos “reventones”, junto con los mencionados 

vientos catabáticos podrían explicar el viento medio observado durante las noches del 

segundo periodo. 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

126 
 

Además, se observa una relación opuesta, respecto al primer periodo, entre el viento 

y la intermitencia, con valores mayores de  (menor intermitencia) para vientos 

máximos (noches). Esto se puede justificar por la turbulencia esporádica presente en 

la mayor parte de las noches estables del segundo periodo, en las que el viento no se 

relaciona con las condiciones sinópticas, sino con los diferentes procesos a 

mesoescala o, incluso a submesoescala (vientos catabáticos, ondas de gravedad a 

diferentes escalas, LLJs, etc) que afectan a la intermitencia de un modo diferente. 

Para este segundo periodo, la Fig. 4.18b muestra un comportamiento opuesto entre  

y el viento: los valores menores de  (en torno a -0.025) se obtienen para los vientos 

menores, que durante este periodo se presentan durante las horas diurnas. 

 

En resumen, la estratificación térmica (T50-0.22) es el principal factor que afecta a la 

intermitencia (), independientemente de las condiciones sinópticas que afectan al 

régimen de vientos, tanto por el día como por la noche. Sin embargo, durante la 

noche, dependiendo de las condiciones sinópticas, la influencia de la velocidad del 

viento sobre la intermitencia también puede resultar importante. 

 

4.8. Pendientes espectrales 

 

Continuando con el análisis de parámetros que pueden estar relacionados con el 

fenómeno de la intermitencia, en la  Fig. 4.20 hemos representado (suavizando 

nuevamente las series mediante  medias móviles) la evolución temporal de las 

pendientes, en valor absoluto (obtenidas utilizando la expresión (2.38)) de los 

espectros de energía junto, de nuevo, a la evolución temporal de la estratificación (a 

través de T50-0.22).  

 

 

 

 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

127 
 

 

 

 

Figura 4.20: Evolución temporal (del 10 de septiembre de 1998 a las 17:00 GMT al 17 de septiembre 

a las 23:30 GMT) de las pendientes de los espectros de energía y de la diferencia de temperaturas 

entre 50 y 0.22m 

 

Esas pendientes se han obtenido para todo el rango inercial (desde la menor escala 

considerada (1 s/20) hasta la escala integral) correspondiente a cada situación de 

estudio. En ese sentido, el habitual descenso de la pendiente característico de las 

frecuencias más altas (escalas menores) que ya mostrábamos en la Fig. 4.15, reduce 

la pendiente global para ese rango, por lo que en ningún caso se alcanza el valor de -

5/3, característico de escalas intermedias y mayores. De acuerdo con la Fig. 4.20, las 

situaciones más estables presentan pendientes menores (como también se observaba 

en la Fig. 4.15). No se conocen exactamente las causas de ese comportamiento 

(Mahrt 1997), pero es probable que los siguientes efectos contribuyan al mismo: por 

un lado, la interacción de ondas de alta frecuencia con la propia turbulencia, junto 

con los posibles “reventones” de turbulencia causados por esas ondas; por otro lado, 

la falta de resolución a esas frecuencias tan altas hace que se enmascare la verdadera 

turbulencia que tendría lugar.  

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

128 
 

4.9. Parámetros de estabilidad 

 

Finalmente, resulta de gran interés estimar el tipo de distribución de probabilidad que 

puede caracterizar las distintas situaciones turbulentas analizadas. Para ello, en la 

Fig. 4.21 hemos representado la evolución temporal (nuevamente utilizando medias 

móviles) de la estratificación junto al parámetro de estabilidad (parámetro que, 

recordemos, caracterizaba la distribución de Lévy representativa de la situación 

turbulenta). Dicho parámetro se ha estimado a partir de la pendiente del espectro 

correspondiente (ecuación 2.22). En este caso, la representación incluye los 

resultados obtenidos no sólo considerando el rango inercial en su conjunto (hasta la 

escala integral), sino también otros rangos de escala (concretamente 10 s/20 y 30 

s/20). La razón de incluir el estudio de otros rangos se debe, como muestra la figura, 

a la incapacidad mostrada por las distribuciones de Lévy para representar la 

distribución de probabilidad de ninguna situación de estudio si se considera todo el 

rango inercial. En efecto, el parámetro no puede superar el valor 2 (condición 

necesaria para que esas funciones representen, efectivamente, distribuciones de 

probabilidad), pero esa superación se produce en todas las situaciones. Sin embargo, 

cuando se restringe el rango de estudio a escalas menores, cada vez más situaciones 

pueden ser modelizadas por este tipo de distribuciones; es decir, las distribuciones de 

Lévy sólo sirven para representar los rangos escalares menores, en los que tiene 

lugar, de manera fundamental, la intermitencia y que, por tanto, dan lugar a 

distribuciones con colas más alargadas (forma característica de las distribuciones de 

Lévy).  

 

Pero además, la figura muestra la relación existente entre el parámetro de estabilidad 

y el grado de estratificación: situaciones de mayor estabilidad de estratificación 

presentan un parámetro de estabilidad  mayor. Centrándonos en el rango de escala 

menor representado (10 s/20), son precisamente, las situaciones más inestables 

(diurnas) y, por tanto, más intermitentes, las que pueden ser representadas por 

distribuciones de Lévy. Sin embargo, cuando la estabilidad aumenta, ni siquiera la 

reducción del rango de escala permite caracterizar  la situación mediante este tipo de 

distribuciones. 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

129 
 

 

 

Figura 4.21: Evolución temporal (del 10 de septiembre de 1998 a las 17:00 GMT al 17 de septiembre 

a las 23:30 GMT) de los parámetros de estabilidad () correspondientes a las distribuciones de Lévy 

(calculados considerando 3 rangos de escala: 10 s/20, 30 s/20 y la escala integral correspondiente a 

cada caso) y de la diferencia de temperaturas entre 50 y 0.22 m (los valores de  > 2 no tienen sentido 

estadístico) 

 

4.10. Modelos de intermitencia 

 

En el capítulo 4 hemos mencionado numerosos modelos, presentes en la bibliografía, 

que tratan de dar respuesta al fenómeno de la intermitencia presente en la 

turbulencia. En cualquier caso, todos esos modelos se encuentran limitados al caso de 

la turbulencia totalmente desarrollada, por lo que no pueden recoger las situaciones 

reales que aparecen en la atmósfera y, más concretamente, las situaciones de fuerte 

estabilidad en las que la turbulencia puede no haberse desarrollado totalmente. En 

esos casos, el fenómeno de la intermitencia tiene un significado físico contrario al 

que se produce cuando la turbulencia se encuentra completamente desarrollada. Sin 

embargo, como hemos visto, el coeficiente del término cuadrático de una función 

cuadrática de ajuste () puede servir como parámetro de referencia para evaluar el 

grado (y tipo) de intermitencia existente.  No obstante, resulta de interés estimar la 

intermitencia, en aquellos casos para los que sí es posible, es decir, en situaciones de 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

130 
 

inestabilidad o de estabilidad moderada, a partir de los modelos de intermitencia 

clásicos ya mencionados. Para ello, en las expresiones que, para cada modelo, 

proporcionan los exponentes de escala, basta con sustituir dichos exponentes por el 

valor empirico y, a partir de ahi, obtener el valor del parámetro o parámetros 

caracteristico(s) de la intermitencia para ese modelo. A continuación mostramos los 

resultados de la aplicación de algunos de esos modelos a algunas de esas situaciones. 

 

A modo ilustrativo de la estimación de la intermitencia a través de algunos modelos 

(concretamente el K62 y el modelo p), hemos representado los exponentes de escala 

correspondientes a varias situaciones de estudio (situaciones como hemos dicho, 

inestables o con ligera estabilidad; en particular, hemos analizado cuatro momentos 

del día 14 de septiembre: a las 00:00, a las 06:00, 12:00 y 18:00 GMT). Para ello, 

hemos limitado el rango espectral considerado al llamado rango en el sentido de 

Kolmogorov, es decir, el rango para el cual se cumple exactamente que 3 =1 (como 

ya indicamos, esa es una de las condiciones que deben satisfacer los modelos en 

turbulencia homogénea, y esa es, por tanto, la condición que deben cumplir los dos 

modelos indicados). 

 

En primer lugar, comprobamos que en ese rango, efectivamente,  3 =1 (Fig 4.22): 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

131 
 

 

Figura 4.22: Pendientes del ajuste lineal por mínimos cuadrados y coeficientes de determinación entre 

log de la función de estructura de orden 3 y el log de la escala para distintas situaciones de estudio (día 

14 de septiembre a las 00:00 GMT, a las 06:00 GMT, a las 12:00 GMT y a las 18:00 GMT) 

 

Realizada la verificación anterior, en la Fig. 4.23 hemos representado los exponentes 

de escala correspondientes (p vs. p). En dicha figura, a pesar de la falta de 

convergencia estadística para órdenes mayores que 3 (ya indicada, debido al número 

de datos con el que trabajamos), y en aras a una representación visualmente más 

evidente, hemos querido mostrar los exponentes correspondientes hasta el orden 12. 

En realidad, la falta de convergencia estadística para los órdenes altos no supone una 

modificación significativa en los resultados obtenidos al considerar únicamente 

órdenes con un elevado grado de convergencia, pues la forma de la curva marcada 

por los órdenes bajos se mantiene al considerar los altos. De hecho, al realizar un 

análisis del grado de convergencia estadística (Apéndice VI), se observa que ese 

grado disminuye al considerar escalas menores, donde la intermitencia tiene mayor 

importancia, por lo que incluso se podría pensar que la ausencia de convergencia 

podría estar motivada también por la existencia de intermitencia, y no sólo por el 

número de datos. 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

132 
 

 

Figura 4.23: Exponentes de escala (calculados considerando rangos en el sentido de Kolmogorov) vs. 

orden de las funciones de estructura para distintas situaciones de estudio (día 14 de septiembre a las 

00:00 GMT, a las 06:00 GMT, a las 12:00 GMT y a las 18:00 GMT) 

 

A continuación, podemos sustituir los exponentes de escala en las expresiones dadas 

por los distintos modelos, para esos exponentes, y a partir de ahí, obtener el 

parámetro que caracteriza el grado de intermitencia en cada modelo (el parámetro  

en el caso del log-normal, y el parámetro p en el caso del modelo p) (Fig. 4.24). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

133 
 

 

 

 

 

 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

134 
 

 

 

 

Figura 4.24: Exponentes de escala (calculados considerando rangos en el sentido de Kolmogorov para 

los datos considerados, obtenidos por diferentes métodos) vs. orden de las funciones de estructura para 

distintas situaciones de estudio; a) día 14 de septiembre a las 00:00 GMT; b) día 14 a las 06:00 GMT; 

c) día 14 a las 12:00 GMT y d) día 14 a las 18:00 GMT) 

 



Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la 
capa límite atmosférica 

135 
 

En las situaciones mostradas a título de ejemplo, correspondientes a cuatro 

momentos distintos a lo largo del día 14, la evolución diurna de la intermitencia 

queda patente. En efecto, la situación más nocturna (las 00.00 GMT) presenta la 

menor intermitencia (prácticamente inexistente); esa intermitencia se hace mayor 

para situaciones algo más inestables (las 06:00 y las 18:00 GMT), y a las 12:00 

GMT, es decir, en la situación más convectiva, se alcanza la máxima intermitencia. 

 

Los modelos reflejan perfectamente estos grados de intermitencia. Así, el modelo 

log-normal presenta un valor para el coeficiente de intermitencia,  prácticamente 

igual a cero a las 00:00 GMT, es decir, cuando casi no existe intermitencia. El valor 

de  aumenta a las 06:00 y a las 18:00 GMT (0.1668 y 0.1193 respectivamente) que 

coinciden aproximadamente con la salida y puesta del sol respectivamente, y alcanza 

su mayor valor (0.2684) en la situación de mayor intermitencia, es decir, a las 12:00 

GMT. Lo mismo ocurre con el modelo p, cuyos valores para el parámetro p, 

indicativo del grado de intermitencia, son respectivamente 0.556, 0.6934, 0.6566 y 

0.7668, para las 00:00, 06:00, 18:00 y 12:00 GMT (para este modelo, la ausencia de 

intermitencia se corresponde con un valor del parámetro p igual a 0.5, y conforme 

aumenta ese valor, mayor es el grado de intermitencia). 



 

136 
 

 



 

137 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Intermitencia en otros ámbitos 

(mercados financieros)6

                                                 
6  Parte de los resultados presentados en este capítulo ya han sido publicados, o se encuentran 
en revisión, en: 

- Vindel JM & Trincado E (2010) The timing of information transmission in financial 
markets,  Physica A 389:5749-5758 

 
- Trincado E & Vindel JM (2012a)  Not fully developed turbulence in the Dow Jones 

index (Submitted to Brazilian Journal of Physics) 
 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

138 
 

 

5.1. Turbulencia en los mercados financieros 

 

Resulta de interés estudiar si el análisis sobre turbulencia llevado a cabo en la 

atmósfera es extrapolable a otros campos en los que esté presente la variabilidad. Un 

claro ejemplo de ello son los mercados financieros. En efecto, matemáticamente, la 

componente aleatoria de las series económicas refleja claramente lo que se podría 

entender como un comportamiento turbulento. La diferencia entre los valores en dos 

instantes de un cierto índice financiero puede ser interpretado como la variación de 

ese índice a una cierta escala (la escala correspondiente a la separación, en tiempo, 

entre los dos valores); por tanto, esa diferencia de valores hace las veces de la 

velocidad del fluido, a esa escala, en la dinámica de fluidos.  

 

La relación entre física y economía ha experimentado un importante desarrollo en los 

últimos años (Mantegna & Stanley 1996, Mantegna & Stanley 2000, Lofredo 2004), 

existiendo una amplia literatura económica en relación a la cascada turbulenta 

(Ghashghaie et al. 1996, Lux 2001, Nawroth & Peinke 2007). En el dominio 

económico la energía transferida entre remolinos se puede interpretar como la 

información transferida de una situación a la siguiente (el grado de confianza y el 

riesgo tomado por los inversores dependen de la información disponible en cada 

momento), es decir, la información en los mercados financieros puede proceder de 

situaciones anteriores conocidas (energía transferida desde los remolinos turbulentos 

mayores), aunque también puede ser inyectada desde fuera un poco antes. Por tanto, 

una parte de la información se transmite a los valores subsiguientes y así 

sucesivamente, en tanto que el resto de la información se pierde (se disipa), al igual 

que ocurre con la energía. 

 

Al igual que en la cascada de remolinos turbulentos, los mercados financieros 

presentan una escala integral (máximo periodo de tiempo que podría afectar a la 

decisión de los inversores). Esta escala depende de cada mercado y el periodo 

transcurrido desde la escala integral a las escalas menores (escalas en las que la 

información ya no es transmitida, sino disipada) es, análogamente, el rango inercial. 

 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

139 
 

El escalamiento también aparece en los datos económicos (Muller et al. 1990, 

Mantegna & Stanley 1995, Brock 1999, Dacorogna et al. 2001, Gencay et al. 2001, 

Lux 2003, Di Matteo et al. 2005, Di Matteo 2007, Gabaix 2008) y, por tanto, los 

conceptos e ideas expuestas a lo largo de la tesis en relación a la intermitencia de la 

turbulencia se pueden aplicar en el campo económico (Trincado & Vindel 2012b).  

 

Sin embargo, los índices financieros pueden presentar una falta de estacionariedad en 

relación no sólo a la volatilidad de los mercados, sino también en relación a la 

tendencia, ciclos y estacionalidad de los mismos (Matassini 2001). Esta falta de 

estacionariedad supone, ciertamente, una limitación para la analogía expresada entre 

turbulencia y mercados, por lo que los resultados sobre la intermitencia en los 

mercados obtenidos aplicando las metodologías expuestas a lo largo del trabajo, 

deben ser analizados posteriormente para verificar si responden adecuadamente a la 

realidad representada. 

  

5.2. Intermitencia y comportamiento anómalo  

 

Para nuestro estudio hemos utilizado los datos de cierre diarios de varios índices 

bursátiles; concretamente, algunos índices correspondientes a varias economías de la 

eurozona (el FTSE100 británico, el CAC40 francés, el DAX30 alemán y el IBEX35 

español), a Estados Unidos (el NASDAQ y el DOW JONES) y a Japón (el NIKKEI). 

El periodo de estudio elegido va del 1 de enero de 1992 al 31 de agosto de 2009.  

 

En primer lugar, en la Fig. 5.1 hemos representado la evolución temporal de los 

índices utilizados para el estudio. Para reducir la falta de estacionariedad que pueden 

presentar los datos financieros, hemos eliminado la tendencia original de los datasets. 

La figura muestra claramente la presencia de saltos, que representan grandes 

incrementos o decrementos en el valor de los índices; estos saltos se corresponden 

con informaciones explosivas que afectan al índice a corto plazo, y por tanto su 

presencia está asociada a eventos raros y esporádicos. Si esos eventos se volvieran 

habituales, el mercado prevería su aparición, haciéndolos por tanto menos 

explosivos.  De acuerdo con la Fig. 5.1, el NASDAQ presenta menos saltos que el 

resto de índices. Esto parece razonable, pues el NASDAQ sólo incluye empresas de 

alta tecnología en electrónica, informática, telecomunicaciones, etc; por tanto, se 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

140 
 

trata de un índice limitado a un espectro muy estrecho de actividades y, en 

consecuencia, es poco probable que se vea afectado por noticias inesperadas. El pico 

que presenta en torno al año 2000 se debe a la burbuja experimentada ese año por las 

empresas tecnológicas, sobre todo, por las puntocom.  

 

 

 

 

 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

141 
 

 

Figura 5.1: Evolución temporal de los distintos índices 

 

El equivalente de la intermitencia de la turbulencia en economía es la variabilidad de 

la llamada volatilidad de los mercados financieros (Barndorff & Schmiegel 2008). A 

continuación, con objeto de estudiar esa posible variabilidad, en la Fig. 5.2 hemos 

representado, para diferentes incrementos de los índices, I (normalizados por sus 

desviaciones estándar), las PDFs (a escala logarítmica) correspondientes a varias 

escalas pequeñas, entre las que se incluye la más pequeña posible, es decir, un día 

(para hacer más clara la figura, las gráficas correspondientes a las diferentes escalas 

han sido desplazadas a lo largo del eje y). Se observa que cuando la escala 

disminuye, las colas de las PDFs se hacen más largas, es decir, las gráficas se 

vuelven más picudas, lo que se hace sobre todo patente al representar la escala menor 

(1 día).  

 

 

 

 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

142 
 

 

 

 

 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

143 
 

 

Figura 5.2: PDFs correspondientes a los distintos índices para varias escalas 

 

En cualquier caso, la figura no resulta en ningún caso concluyente respecto al distinto 

grado de intermitencia mostrado por los diferentes índices. 

 

Por ello, con objeto de cuantificar de alguna manera la forma de esas PDFs, podemos 

utilizar, como ya se ha explicado en apartados anteriores, la curtosis de las curvas. En 

ese sentido, en la Fig. 5.3 hemos representado F/3, desde la escala 1 hasta la escala 

integral correspondiente a cada índice, siendo F la curtosis. Además, en la figura se 

incluyen los ajustes realizados mediante curvas logarítmicas (que en todos los casos, 

salvo para el DOW JONES, presentan un elevado grado de bondad). 

 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

144 
 

 

Figura 5.3: Evolución de la curtosis con la escala para los diferentes índices 

 

Se observa que el NASDAQ presenta un coeficiente para el término logarítmico de  

-0.9085, mucho mayor que el del resto de índices (situados entre -0.259 y -0.40). Por 

tanto, el NASDAQ es claramente el índice más intermitente, lo que significa que, a 

pequeña escala, la presencia de eventos raros es más probable y por tanto, que la 

variabilidad de la variación en el índice es mayor que en el resto. Este resultado 

también es justificable: las empresas tradicionales que integran los otros índices se 

sirven de un conocimiento más asentado que las dedicadas a la innovación 

tecnológica, que corren más riesgos, y por tanto, la tasa de transmisión de 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

145 
 

información en el corto plazo de las empresas tradicionales será mayor que en el caso 

de las tecnológicas. Además, el NASDAQ está compuesto por pequeñas y medianas 

empresas, más expuestas a los movimientos del mercado, frente a las grandes 

compañías que integran los otros índices. Por ello, la tasa de transmisión de 

información relativa a las grandes empresas será más importante en el corto plazo 

que en el caso de empresas más pequeñas. Por su parte, el DOW JONES es el índice 

que muestra el menor coeficiente para el término logarítmico, aunque como hemos 

indicado, el ajuste no resulta significativo, y por tanto no se puede utilizar para 

darnos una estimación cuantitativa del grado de intermitencia de este índice. En 

cualquier caso, a partir de la gráfica, sí se observa que la curtosis del DOW JONES 

presenta una variación menor cuando las escalas se hacen muy pequeñas. 

 

Por tanto, la metodología anterior no resulta en absoluto concluyente a la hora de 

analizar la intermitencia correspondiente al DOW JONES. Por ello, resulta de interés 

emplear algún otro método que permita arrojar luz sobre el fenómeno de la 

intermitencia, especialmente para este índice. En ese sentido, a continuación 

realizaremos el estudio de intermitencia en base a los exponentes de escala. Para ello, 

en primer lugar, comprobaremos que, efectivamente, se verifica la ley de escala para 

los distintos índices. Con ese objeto, en la Fig. 5.4 hemos representado las funciones 

de estructura frente a la escala, desde la escala menor (1 día) hasta la correspondiente 

escala integral de cada índice. También hemos comprobado la verificación de la 

condición ESS. 

 

R2 = 0,9861

R2 = 0,9884

R2 = 0,9915

R2 = 0,9934
0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

1 10 100 1000

scale

S
p

order 1

order 2

order 3

order 4

CAC 40
a)

R2 = 0,9991

R2 = 0,9997

R2 = 0,9998

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

S3

S
p

order 1

order 2

order 4

CAC 40 b)

 

 

 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

146 
 

R2 = 0,9934

R2 = 0,9973

R2 = 0,999

R2 = 0,9994

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

1 10 100 1000

scale

S
p

order 1

order 2

order 3

order 4

DAX 30 c)

R2 = 0,9967

R2 = 0,9994

R2 = 0,9997

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

S3

S
p

order 1

order 2

order 4

DAX 30 d)

 

R2 = 0,9868

R2 = 0,9894

R2 = 0,9919

R2 = 0,9931

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

1 10 100 1000

scale

S
p

order 1

order 2

order 3

order 4

FTSE 100 e)

R2 = 0,9986

R2 = 0,9996

R2 = 0,9996

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

S3

S
p

order 1

order 2

order 4

FTSE 100 f )

 

R2 = 0,9968

R2 = 0,9977

R2 = 0,9962

R2 = 0,9923

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

1 10 100 1000

scale

S
p

order 1

order 2

order 3

order 4

IBEX 35 g)

R2 = 0,9996

R2 = 0,9997

R2 = 0,9991

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

S3

S
p

order 1

order 2

order 4

IBEX 35 h)

 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

147 
 

R2 = 0,9891

R2 = 0,9933

R2 = 0,9948

R2 = 0,9942
0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

1 10 100 1000

scale

S
p

order 1

order 2

order 3

order 4

NASDAQ 100
i)

R2 = 0,9963

R2 = 0,9993

R2 = 0,9995

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

S3

S
p

order 1

order 2

order 4

NASDAQ 100 j)

 

R2 = 0,9997

R2 = 0,9996

R2 = 0,9992

R2 = 0,9987

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

1 10 100 1000

scale

S
p

order 1

order 2

order 3

order 4

NIKKEI 225
k)

R2 = 0,9991

R2 = 0,9998

R2 = 0,9998

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

S3

S
p

order 1

order 2

order 4

NIKKEI 225 l)

 

R2 = 0,9892

R2 = 0,9855

R2 = 0,9788

R2 = 0,9707

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

1 10 100 1000scale

S
p

order 1
order 2
order 3
order 4

DOW_JONES       m)

R2 = 0,9961

R2 = 0,999

R2 = 0,9992
0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

S3

S
p

order 1
order 2
order 4

DOW_JONES       n)

 

 

Figura 5.4: a), c), e), g), i), k) y m) Funciones de estructura vs. escala para los distintos índices de 

estudio. b) d), f), h), j), l) y n) Funciones de estructura vs. función de estructura de orden 3 para los 

distintos índices de estudio 

 

Para los distintos índices analizados, la relación potencial se cumple con bastante 

precisión. Sólo el escalamiento es ligeramente más débil en el caso del DOW JONES 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

148 
 

para el orden 4. En consecuencia, el grado de correlación existente con una relación 

potencial es suficientemente importante como para asumir el cumplimiento de ese 

escalamiento, y más aún, en el caso de la condición ESS. Una vez comprobado el 

escalamiento en los distintos índices, más evidente en el caso de la condición ESS, es 

posible analizar la intermitencia de la turbulencia utilizando el método de los 

exponentes de escala de las funciones de estructura. Para ello, hemos representado 

los exponentes de escala absolutos frente al orden de las funciones de estructura para 

los distintos índices (Fig. 5.5). 

 

 

 

 

 

 

 

 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

149 
 

 
Figura 5.5: Exponentes de escala absolutos vs. orden de las funciones de estructura para los distintos 

índices de estudio a) DAX 30, FTSE 100, CAC 40 y DOWJONES; b) NASDAQ 100, NIKKEI 225, 

IBEX 35 y DOWJONES (La figura se ha desdoblado en 2 para una mejor visualización, incluyendo, al 

DOWJONES en ambas por su singularidad; se incluye la forma de la curva cuadrática de ajuste) 

 

Todas las curvas anteriores, excepto la correspondiente al DOW JONES, presentan la 

habitual forma cóncava de la turbulencia totalmente desarrollada (en la figura se han 

incluido las curvas cuadráticas de ajuste, en las que se puede observar que los 

coeficientes del término cuadrático son negativos); el DOW JONES presenta una 

curvatura convexa, con un coeficiente cuadrático positivo. Es cierto que, a diferencia 

de la metodología previa, los exponentes de escala no muestran al NASDAQ 

claramente como el índice más intermitente, sino que de acuerdo con este método, 

NASDAQ y DAX30 resultan igual de intermitentes, y no mucho más que algún otro 

como el CAC40. Estas divergencias se deben a la limitación mencionada a la hora de 

aplicar las metodologías de estimación de la intermitencia a los índices financieros en 

base a la cascada turbulenta. Por ello, los resultados, como indicábamos 

anteriormente, siempre deben ser respaldados por la correspondiente interpretación 

física. Dada la limitación expuesta, resulta procedente llevar a cabo un análisis 

complementario sobre intermitencia, sirviéndonos para ello de los exponentes de 

escala relativos. Recordemos que estos exponentes presentan un escalamiento mucho 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

150 
 

más preciso que el de los absolutos (sobre todo en ausencia de homogeneidad), 

aunque el significado de su medida es más discutible, aparte de proporcionar 

resultados más uniformes, lo que hace que en ocasiones resulte menos evidente el 

grado de intermitencia alcanzado. 

 

En la Fig. 5.6 hemos representado los exponentes de escala relativos para los 

distintos índices. En esa figura se observa que todas las curvas prácticamente se 

confunden en una sola (la mencionada uniformización), pero la correspondiente al 

DOW JONES presenta una forma claramente distinta. 

 

 

Figura 5.6: Exponentes de escala relativos vs. orden de las funciones de estructura para los 

distintos índices de estudio 

 

Con la cautela anteriormente expuesta con que se deben tomar estos resultados, 

debido a la posible falta de estacionariedad de las series de datos financieros con las 

que trabajamos, la figura anterior resulta de especial interés, habida cuenta del 

resultado obtenido en el caso de la capa límite atmosférica. En efecto, recordemos 

que en la atmósfera, en situaciones de fuerte estabilidad, obteníamos curvas p vs. p 

de tipo convexo. La explicación que dábamos para ese tipo de curvatura era que, en 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

151 
 

situaciones de fuerte estabilidad, en las que los movimientos verticales se veían 

inhibidos, ondas de alta frecuencia podían quedar atrapadas; la ruptura de esas ondas 

podía dar lugar a la aparición de “reventones” de turbulencia, que dificultarían el 

total desarrollo de la turbulencia, pero que aportarían cantidades adicionales de 

energía en escalas pequeñas, lo que causaría una redistribución de la energía a lo 

largo del rango de escalamiento. Debido a esa redistribución, la tasa de disipación de 

energía podía disminuir al descender por la escala en lugar de incrementarse, como 

ocurre cuando la turbulencia se ha podido desarrollar totalmente. 

 

Análogamente, en los índices financieros la turbulencia puede, o no, desarrollarse 

totalmente. En efecto, todos los índices analizados, con excepción del DOW JONES 

y el NIKKEI, se elaboran utilizando para su ponderación dos parámetros: los precios 

y las cantidades de las correspondientes acciones. En economía, los “reventones” 

informativos, de muy escasa duración, afectan en el corto plazo únicamente a los 

precios, y no a las cantidades, que resultan más estables. Por ello, la tasa de 

transmisión de esa información resulta más significativa en los índices que tan sólo 

se sirven de los precios para su elaboración que en los que se sirven de los precios y 

cantidades. En consecuencia, es posible que la tasa de transmisión a corto plazo 

pueda llegar a superar a la tasa a largo plazo, lo que se traduciría en curvas p vs. p 

convexas (lo que como ya hemos indicado a lo largo de la tesis, no es 

matemáticamente posible, en situaciones de turbulencia totalmente desarrollada). Sin 

embargo, al igual que en el caso de los reventones energéticos que se producen en la 

CLA en situaciones de fuerte estabilidad de estratificación, los reventones 

informativos dificultan el total desarrollo de la intermitencia, posibilitando la 

existencia de tales curvas convexas (como se observa en el caso del DOW JONES). 

 

Hay que destacar que los reventones informativos también afectan al NIKKEI del 

mismo modo que al DOW JONES, pues ambos índices se construyen a partir 

únicamente de los precios. Sin embargo, como ya hemos indicado con anterioridad, 

el tipo de empresas también juega un papel fundamental en la intermitencia. En 

efecto, el NIKKEI, constituido por empresas cuyo sostén principal son las 

tecnológicas, a diferencia de lo que ocurre con las empresas del DOW JONES, ve 

limitado su menor grado de intermitencia por efecto de ese factor, lo que hace que en 

el NIKKEI no se lleguen a observar curvas convexas. 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

152 
 

 

5.3. Racionalidad de los datos financieros vs. comportamiento en la atmósfera  

 

Hemos visto la analogía que se puede establecer a la hora de analizar la intermitencia 

de la turbulencia presente en los mercados financieros y en los datos atmosféricos, y 

cómo los resultados obtenidos en ambos campos pueden ser interpretados de manera 

similar. Pero además, sirviéndonos nuevamente de la interpretación como una 

cascada de remolinos (o de vórtices, en una visión tridimensional) es posible poner 

de manifiesto la racionalidad que debe estar presente, de alguna manera, en los datos 

financieros. En efecto, si cada vórtice representa un individuo, la cascada de vórtices 

representa la transmisión de información de un individuo a otro, y la pérdida de 

información una posible falta de comunicación entre individuos. Un alargamiento de 

los vórtices implicaría que la mente humana se comporta de un modo elástico, 

absorbiendo más y más información (si bien es cierto que esa acumulación de 

información no puede mantenerse eternamente, pues la mente posee una 

“racionalidad limitada”; es decir, llega un momento en que el cerebro se satura). 

Dado que el alargamiento de los vórtices es una característica propia de la 

turbulencia 3D, la conducta turbulenta de los mercados financieros debería 

corresponderse, por tanto, con ese tipo de turbulencia. Con objeto de analizar ese 

grado de correspondencia, vamos a caracterizar el comportamiento de los mercados 

mediante un modelo GOY (Sección 3.3.1.6), pues es un modelo que permite 

visualizar con bastante claridad el grado de tridimensionalidad existente. En ese 

sentido, podemos servirnos de expresiones análogas a las correspondientes a 3.67, en 

las que mostramos la relación entre los exponentes de escala relativos y el parámetro 

 (en este caso, hemos tomado las expresiones correspondientes a q=2). 

 

4 3 2
1

4 3 2
2

0.9586 2.8408 3.2006 1.7048 0.7298

0.56 1.6593 1.8686 0.9935 0.8968

    

    

    

    
  (5.1) 

 

Sustituyendo en 5.1 el valor de los exponentes relativos correspondientes a cada 

situación de estudio, es posible deducir el valor  que caracterizaría a dicha situación. 

De este modo obtenemos la Tabla 5.1. 

 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

153 
 

Orden    DAX       NASDAQ        CAC  FTSE   NIKKEI           IBEX35 DOWJONES 
 
  

   1    0.4258        0.486              0.548 0.542    0.449             0.57     * 
   2    0.2983       0.303              0.335  0.377    0.3112             0.438     * 
 

Tabla 5.1: Valores del parámetro  correspondientes a diferentes índices de mercado (para los 2 

primeros órdenes de las funciones de estructura).* El modelo GOY no puede representar los 

exponentes relativos correspondientes al DOWJONES 

 

Como se puede observar en la tabla, los mayores valores se obtienen para el IBEX35, 

aunque, en cualquier caso, incluso para el orden 1 (para el cual,  alcanza los 

mayores valores)   se encuentra muy lejos del valor crítico que separa la turbulencia 

3D de la 2D (recordemos que ese valor crítico era 1, y <1 implica turbulencia 3D). 

Estos resultados muestran que el alargamiento de los vórtices, fruto de la 

“racionalidad limitada”, es un hecho en los mercados financieros. Sin embargo, 

también observamos que el modelo no es capaz de representar los valores 

correspondientes al DOWJONES; esta limitación ya la mostrábamos al analizar los 

exponentes relativos de las situaciones atmosféricas más estables mediante el modelo 

GOY. En realidad, el hecho de que no podamos modelizar este índice, al no haberse 

desarrollado totalmente la turbulencia, indica que presenta una conducta similar a la 

de las situaciones más estables (en las que se pueden desarrollar los “reventones” de 

turbulencia) y, por tanto, más próxima a la turbulencia 2D. Es decir, en el caso del 

DOWJONES, la racionalidad presente en los otros índices tiene mucho menos peso: 

la tasa de información transmitida a un individuo (vórtice) es menos importante, pues 

sólo se refiere a los precios (no a las cantidades); pero además, a esto hay que sumar 

que en el caso del DOWJONES se trata de información ya conocida (empresas 

asentadas dedicadas a actividades poco innovadoras), a diferencia del NIKKEI, en 

donde la información, aunque sólo referida a precios, hace mención a empresas 

tecnológicas en las que la innovación y, por tanto, el nuevo conocimiento, es mucho 

más importante. 

 

A diferencia de lo que ocurre en los índices financieros (salvo el DOWJONES), en el 

caso de datos atmosféricos la turbulencia presenta un carácter más o menos 

tridimensional dependiendo de las condiciones atmosféricas (no siempre es tan 

claramente tridimensional). Como ejemplo, en la Tabla 5.2 se muestran los valores 

del parámetro   (obtenidos también a partir de las expresiones 5.1) correspondientes 



Intermitencia en otros ámbitos (mercados financieros) 

154 
 

a tres situaciones atmosféricas ocurridas durante la campaña. En situaciones de 

mayor inestabilidad de estratificación (habitualmente diurnas), se observa que el 

valor del parámetro  es mucho menor (y, en consecuencia, el comportamiento 

turbulento es más tridimensional) que en situaciones nocturnas, característicamente 

más estables. 

 

Orden     16_16:00  16_07:00  16_00:30 
 

1    0.453        0.73                    1.3 
 2    0.321       0.557                   1.05 

 

Tabla 5.2: Valores del parámetro  para los 2 primeros órdenes de las funciones de estructura 

correspondientes a tres situaciones atmosféricas diferentes (día 16 de septiembre a las 16:00, 07:00 y a 

las 00:30 GMT) 

 



 

155 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Resumen y conclusiones 



Resumen y conclusiones 

156 
 

 

En términos generales, podemos decir que la intermitencia de la turbulencia es el 

fenómeno consistente en la variabilidad existente a lo largo de la cascada turbulenta. 

Esa variabilidad se puede concretar en el cambio en el comportamiento que 

experimentan algunas variables a lo largo de esa cascada. En ese sentido, la variación 

en la velocidad que presentan los remolinos correspondientes a cada paso de la 

cascada es un excelente indicador de esa intermitencia. Dada la naturaleza de los 

remolinos, el análisis de ese indicador debe ser llevado a cabo desde un punto de 

vista estadístico, es decir, será necesario analizar la evolución en el comportamiento 

de la distribución de probabilidad representativa de la variable velocidad. Dado que 

esa distribución puede venir caracterizada por distintos elementos, existen diversos 

criterios que pueden utilizarse para llevar a cabo el análisis.  

 

Uno de esos elementos son las funciones de densidad. Por tanto, una primera forma 

de estimar la evolución con la escala de las distribuciones de probabilidad sería 

analizando la evolución de esas funciones de densidad. A ese respecto existen 

diversos procedimientos de llevar a cabo ese análisis. El primero, y más evidente, es 

a partir del análisis visual de la forma de las funciones de densidad. En la tesis se ha 

empleado, para algunos casos, este procedimiento, mostrando en ocasiones 

resultados muy claros. 

 

Sin embargo, es posible cuantificar la forma que presentan esas funciones de 

densidad, a través de las llamadas medidas de forma estadísticas. Una de esas 

medidas es la curtosis, que da idea del grado de concentración de los valores de la  

variable en torno a la media, es decir, indica lo puntiaguda que resulta la función de 

densidad y, en consecuencia, la forma de esa función. En realidad, el parámetro de 

medida que se utiliza es una medida comparativa con la curtosis de la distribución 

Gaussiana, cuyo valor es 3. En la tesis también se ha mostrado este procedimiento 

para valorar la evolución de las funciones de densidad con la escala (Vindel et al. 

2008a). 

 

Cuando existe escalamiento, otra alternativa para analizar la intermitencia es a partir 

de los llamados exponentes de escala, p, esto es, los exponentes que presentan las 

escalas en su relación de tipo potencial con las funciones de estructura. Ese 



Resumen y conclusiones 

157 
 

escalamiento está presente en el rango inercial, al menos en situaciones de 

homogeneidad. En este caso, la forma de estimar la intermitencia es a partir de la 

curva p, vs. p. En efecto, el grado de alejamiento de esa curva respecto de la forma 

lineal es una medida del grado de intermitencia. En realidad este procedimiento tiene 

su justificación en el significado de las funciones de estructura, pues representan los 

momentos estadísticos (en valor absoluto), y esos momentos son medidas que 

permiten, al igual, que las funciones de densidad, caracterizar las distribuciones de 

probabilidad. 

 

Cuando además de existir escalamiento, se puede suponer flujo incompresible para 

números de Reynolds grandes, las curvas p vs. p deben ser cóncavas. La 

aproximación de flujo incompresible requiere de un régimen de turbulencia 

totalmente desarrollada. En ese caso, la curva p, vs. p puede ajustarse con bastante 

precisión por una función cuadrática que pasa aproximadamente por el origen y, por 

tanto, el coeficiente del término cuadrático puede emplearse, al menos en primera 

aproximación, como medida del grado de intermitencia existente (cuanto más 

negativo es dicho coeficiente, mayor será la curvatura y, por tanto, la desviación 

respecto de la forma lineal y la intermitencia). A diferencia del análisis visual, o del 

análisis a partir de la evolución con la escala por parte de la curtosis, en los que es 

necesaria la representación (de la función de densidad, o de la curtosis) para cada una 

de las escalas a lo largo de la cascada, en este procedimiento se representa el grado 

de intermitencia con un único valor (el del coeficiente del término cuadrático). En la 

tesis se han mostrado las curvas p, vs. p (Vindel & Yagüe 2011), para varios casos 

de estudio, así como el valor del coeficiente del término cuadrático estimado. 

 

En relación con el procedimiento anterior, también se dispone de la metodología 

basada en la llamada condición Extended Self Similarity (ESS), condición ésta válida 

tanto para turbulencia homogénea como no homogénea. En este caso, la relación 

potencial a la que nos referíamos anteriormente se produce entre las funciones de 

estructura y la función de estructura de orden 3. La condición ESS no representa 

directamente la evolución de las funciones de estructura con la escala, por lo que su 

valoración de la intermitencia es objeto de controversia, aparte de que los exponentes 

de escala obtenidos a partir de esta condición (que para diferenciarlos de los 



Resumen y conclusiones 

158 
 

obtenidos en la relación potencial con la escala – denominados exponentes de escala 

absolutos - se denominan exponentes de escala relativos), resultan más uniformes 

para las distintas situaciones de estudio. Sin embargo, el cumplimiento de la relación 

potencial es más evidente que en el caso de los exponentes absolutos. 

 

Una vez conocidos los métodos para estimar la intermitencia, resulta necesario 

explicar el significado físico de este fenómeno. Cuando no existe intermitencia, la 

tasa de disipación de energía en las distintas escalas se mantiene constante (no existe 

variabilidad); sin embargo, en condiciones de turbulencia totalmente desarrollada, la 

intermitencia conlleva que esa tasa se vuelva variable, de tal forma que la misma 

aumenta al acercarse a las escalas menores, es decir, al acercarse al rango disipativo. 

 

Existen numerosos modelos que tratan de reflejar el grado de intermitencia existente 

en una determinada situación turbulenta (modelo de Kolmogorov, log-normal, de 

She-Lévêque, binomial...), alguno de ellos que se emplea incluso para el caso de la 

turbulencia no homogénea (como el modelo log-Poisson que incluye la propiedad 

ESS); sin embargo, todos esos modelos son válidos, únicamente, para el caso de la 

turbulencia totalmente desarrollada. En la tesis también hemos visto la forma de 

estimar el parámetro o parámetros característicos de un determinado modelo de 

intermitencia (Vindel et al. 2008b), y de ese modo, comparando ese (esos) 

parámetro(s), conocer qué situación analizada presenta un mayor o menor grado de 

intermitencia. En ese sentido, no sólo hemos mostrado la formulación teórica de 

algunos de los modelos más importantes conocidos, sino que también hemos 

desarrollado un criterio para la aplicación del, posiblemente, más importante del 

grupo de los modelos shell, el GOY, haciendo uso, para ello, de los exponentes de 

escala relativos (Vindel & Yagüe 2009). 

 

Sin embargo, como decimos, todos los modelos de intermitencia conocidos quedan 

restringidos a la turbulencia totalmente desarrollada, por lo que su aplicación al 

mundo físico, no reproducido en un laboratorio, no resulta siempre posible, y ello 

limita, de manera fundamental, el análisis de la intermitencia de la turbulencia, 

mediante estos modelos, en la atmósfera. En efecto, en numerosas situaciones 

atmosféricas, asociadas al tipo de estratificación existente, la turbulencia no se 



Resumen y conclusiones 

159 
 

encuentra totalmente desarrollada, por lo que en esas situaciones los resultados 

obtenidos han resultado novedosos. 

 

Para nuestro análisis de la intermitencia de la turbulencia atendiendo a la situación 

atmosférica, hemos utilizado datos de la campaña SABLES98 llevada a cabo en 

septiembre del año 1998 en las instalaciones del CIBA en la provincia de Valladolid.  

 

Se ha realizado un estudio de la intermitencia utilizando los datos de un anemómetro 

sónico situado a 32 m de altura, que nos ha proporcionado los datos de velocidad 

necesarios (20 Hz) para poder estimar la variación de esta variable de acuerdo con la 

escala considerada. Para ese estudio hemos utilizado algunas de las técnicas 

anteriormente mencionadas; por ejemplo, en el análisis visual de las funciones de 

densidad correspondientes a las distintas escalas se observa que, en algunos casos, 

esas funciones se vuelven más picudas (alargan sus colas) a medida que disminuye la 

escala considerada, es decir, a medida que se desciende por la cascada. Estos casos se 

corresponden, en general, con situaciones diurnas. Sin embargo, en situaciones 

nocturnas se observa que la evolución prácticamente no existe o, incluso, en casos 

extremos, las funciones de densidad reducen sus colas, es decir, se vuelven más 

cerradas. La mayor probabilidad observada para incrementos de velocidad iguales a 

cero en el caso de las situaciones diurnas es indicativa de la mayor persistencia que 

se observa en estas situaciones. Esa mayor persistencia se ve ratificada por mayores 

valores del exponente de Hurst correspondiente a los casos diurnos. 

 

Haciendo uso de la evolución de la curtosis los resultados son análogos a los 

anteriores, pues en definitiva y como ya hemos explicado, la curtosis simplemente 

cuantifica la forma de las funciones de densidad. En efecto, en la mayoría de casos la 

curtosis aumenta al disminuir la escala; en otros prácticamente no se observa 

evolución y, en unos pocos casos, la curtosis incluso disminuye su valor para las 

escalas más pequeñas. Llegados a este punto hay que destacar que estos cambios que 

estamos evaluando se hacen más patentes en las escalas menores, es decir, para 

escalas grandes apenas son apreciables, por lo que la intermitencia es un fenómeno 

que tiene lugar fundamentalmente  en las escalas más pequeñas, cerca del rango 

disipativo (Vindel et al. 2008a). 

 



Resumen y conclusiones 

160 
 

Como hemos indicado, la menor persistencia propia de las situaciones nocturnas se 

ha visto ratificada mediante el cálculo del exponente H(1), es decir, de 1. Esa menor 

persistencia se traduce en una menor codimensión, pero ello no determina de manera 

inequívoca el grado de posible disminución en la intermitencia, es decir, el posible 

grado de acercamiento a una forma lineal. Para valorar ese grado de intermitencia es 

necesario conocer la forma de los distintos exponentes de escala en su conjunto. En 

ese sentido, hemos estimado el grado de intermitencia a partir del coeficiente del 

término cuadrático de la función cuadrática de ajuste (parámetro de intermitencia ) 

a la representación de los exponentes de escala (absolutos y relativos) frente al orden 

de las funciones de estructura. Para poderlo utilizar, previamente hemos comprobado 

que en todas las situaciones de estudio se observaba una relación potencial entre las 

funciones de estructura y las escalas, aunque en la mayor parte de esas situaciones la 

turbulencia fuera no homogénea (además de entre esas funciones y la de orden 3). 

Hecha esa comprobación, se observa que, en la mayoría de casos de estudio 

correspondientes a situaciones neutras o con inestabilidad de estratificación, el 

coeficiente  es negativo (tanto más cuanto más cóncava es la curva p, vs. p), en 

otros casos apenas se aprecia curvatura y, en otros pocos (situaciones con fuerte 

estabilidad de estratificación), ese coeficiente es positivo (Vindel & Yagüe 2011). En 

cualquier caso, se observa que los resultados obtenidos utilizando uno u otro tipo de 

exponentes (absolutos o relativos) es muy similar. 

 

Con objeto de tratar de justificar el comportamiento anterior, hemos analizado la 

situación atmosférica de estratificación térmica correspondiente a cada una de los 

casos de estudio, observando una clara correlación entre el tipo de estratificación 

(caracterizado a través de la  diferencia de temperaturas entre los niveles de 50 y 

0.22m.) y el comportamiento mostrado respecto a la intermitencia. Los casos en que 

las funciones de densidad alargan sus colas al disminuir la escala y, por tanto, 

aumentan también sus curtosis en las escalas menores, son los mismos casos en que 

el coeficiente  es negativo; esos casos se corresponden con situaciones de 

inestabilidad atmosférica (tanto más intermitencia se obtiene cuanto mayor es esa 

inestabilidad). Situaciones más neutrales se corresponden con una intermitencia 

prácticamente inexistente y, finalmente, en situaciones de alta estabilidad de 

estratificación correspondientes con fuertes inversiones térmicas superficiales, las 



Resumen y conclusiones 

161 
 

funciones de densidad se cierran para escalas muy pequeñas, y las curvas p, vs. p 

adoptan una forma ligeramente convexa (. Hemos de indicar que la conocida 

evolución a lo largo del día por parte de la estratificación (aumento de la 

inestabilidad durante las horas diurnas y reducción de la misma por la noche) queda 

perfectamente patente en las distintas representaciones llevadas a cabo en el texto 

(Vindel & Yagüe 2011). 

 

Como hemos indicado, si la turbulencia está totalmente desarrollada no es posible la 

curvatura convexa en las curvas p, vs. p. Sin embargo, en situaciones de fuerte 

estabilidad, la posibilidad de que tengan lugar “reventones” de turbulencia como 

consecuencia de la ruptura de ondas atrapadas por la estabilidad, inhibe, 

precisamente, ese desarrollo de la turbulencia. Por ello, el hecho de haber observado 

ese tipo de curvatura en situaciones de fuerte estabilidad queda plenamente 

justificado. Ese tipo de comportamiento, al igual que el mostrado por las funciones 

de densidad, es opuesto al observado en las situaciones de inestabilidad. Desde el 

punto de vista físico, ya hemos mencionado que la intermitencia en turbulencia 

totalmente desarrollada conlleva un aumento de la tasa de disipación de energía en 

las escalas menores; sin embargo, el comportamiento observado en situaciones de 

fuerte estabilidad se debe traducir en una disminución de la tasa de disipación en las 

escalas más pequeñas. 

 

El fenómeno contemplado en situaciones muy estables, disminuyendo la tasa de 

disipación al acercarse al rango disipativo, resulta, a priori, sorprendente. Sin 

embargo, la tesis ofrece una posible explicación (Vindel & Yagüe 2011) a este 

hecho. En efecto, de acuerdo con los espectros energéticos, la mayor parte de la 

energía se encuentra contenida en los remolinos de mayor tamaño, de  forma que, en 

el caso de turbulencia totalmente desarrollada, la tasa de disipación de energía 

aumenta al descender por la cascada. Sin embargo, en situaciones de fuerte 

estabilidad, los movimientos restringidos en una dimensión pueden impedir el 

desarrollo total de la turbulencia, de tal forma que pueden existir movimientos 

submesoescalares y ondas que en ocasiones se solapan con los propios movimientos 

turbulentos; algunas de esas ondas, con alta frecuencia, pueden quedar atrapadas 

hasta que, en un momento dado, rompen dando lugar a “reventones” de turbulencia. 



Resumen y conclusiones 

162 
 

Estos ”reventones” proporcionan una cantidad adicional de energía en escalas 

pequeñas que permiten una mayor uniformidad energética a lo largo de toda la 

cascada; con ello, el aumento por parte de la tasa de energía disipada al disminuir la 

escala puede ser menor e, incluso en situaciones más extremas, dicha tasa puede 

llegar a disminuir (en lugar de aumentar) al descender por la cascada. 

 

La presencia de estos “reventones” de turbulencia puede corresponderse con los 

picos mostrados por los espectros energéticos de las situaciones más estables. En 

efecto, las situaciones inestables presentan espectros con una pendiente más o menos 

constante a lo largo de toda la cascada y próxima a -5/3. Sin embargo, en las 

situaciones de mayor estabilidad se aprecia una disminución de la pendiente a partir 

de un cierto rango de escalas.  

 

Adicionalmente, hemos analizado la relación entre el coeficiente de intermitencia  y 

la velocidad del viento, y hemos observado la existencia, dentro del intervalo de 

tiempo estudiado, de dos periodos en los que la variable viento muestra un 

comportamiento diferente. En el primero de esos periodos, el viento aumenta durante 

el día y disminuye por la noche, con diferencias considerables entre ambos 

momentos; en este periodo el aumento de la intermitencia al aumentar el viento 

resulta evidente. Sin embargo, existe un segundo periodo caracterizado por noches 

con viento moderado y días de viento ligero y, además, con diferencias menores entre 

día y noche. Estas situaciones nocturnas con viento moderado podrían explicarse por 

la presencia de flujos catabáticos (asociados al desarrollo de chorros de nivel bajo, 

LLJs) junto con la presencia de los anteriormente mencionados “reventones” de 

turbulencia. En estas noches, la intermitencia presenta un comportamiento opuesto al 

observado en el otro periodo, observándose una disminución de este fenómeno al 

aumentar la velocidad. Esto se puede justificar para el segundo periodo por la 

turbulencia esporádica presente en la mayoría de noches estables de este periodo, en 

las que el viento no se relaciona con las condiciones sinópticas, sino con los 

diferentes procesos a mesoescala o, incluso a submesoescala (vientos catabáticos, 

ondas de gravedad a diferentes escalas, chorros de capa baja o LLJs, etc.) que afectan 

a la intermitencia de un modo diferente. 

 



Resumen y conclusiones 

163 
 

En el trabajo también se ha analizado la posibilidad de caracterizar las distintas 

situaciones turbulentas estudiadas mediante distribuciones de probabilidad de Lévy 

(caracterizadas mediante el parámetro de estabilidad ). Los resultados obtenidos 

muestran que este tipo de distribuciones sólo sirven para representar los rangos 

escalares menores, en los que se desarrolla, fundamentalmente, el fenómeno de la 

intermitencia, fenómeno que produce las características colas alargadas propias de las 

distribuciones de Lévy. En relación con esta circunstancia, también hemos observado 

que las situaciones más inestables y, por tanto, más intermitentes, son precisamente 

las que pueden ser representadas por este tipo de distribuciones. Sin embargo, cuando 

la estabilidad aumenta, ni siquiera la reducción del rango de escala permite la 

aplicación de las distribuciones de Lévy. 

 

Finalmente, con objeto de analizar el comportamiento de la intermitencia en otros 

ámbitos distintos al atmosférico, hemos dedicado un capítulo al estudio de la 

intermitencia en un dominio sobre el que existe una amplia literatura sobre el 

comportamiento turbulento: el de los mercados financieros, pues las similitudes entre 

ambos campos de estudio son importantes (Vindel & Trincado 2010). Para ello, 

hemos analizado algunos de los índices bursátiles más importantes del mundo 

(NASDAQ100, DOW JONES, IBEX35, CAC40, FTSE100, NIKKEI225 y DAX30), y 

los resultados obtenidos resultan de un enorme interés. Sin olvidar la limitación que 

supone trabajar con series de datos menos estacionarias que las correspondientes a 

las velocidades, lo que hace que estos resultados deben ser considerados con cierta 

cautela, la conducta intermitente de la turbulencia queda de manifiesto en todos los 

índices (analizando las correspondientes curvas p, vs. p). Todas esas curvas, salvo la 

correspondiente a un caso, presentan la curvatura cóncava característica de la 

turbulencia totalmente desarrollada. El índice discordante es el DOW JONES; 

además, esa discordancia se hace incluso más patente al representar las gráficas de 

los exponentes de escala relativos, pues todas ellas prácticamente se confunden en 

una sola, quedando claramente con una forma distinta la correspondiente al DOW 

JONES. La intermitencia de los mercados financieros se ve afectada por el modo de 

construcción del índice, es decir, por el tipo de empresas que lo constituyen y por el 

tipo de ponderación utilizado en la elaboración del mismo. Respecto al tipo de 

empresas, las pequeñas y medianas empresas tecnológicas (como son las que 

constituyen el índice NASDAQ) generan índices más volátiles (más intermitentes) por 



Resumen y conclusiones 

164 
 

su propia naturaleza. En efecto, la información relevante tecnológica, a diferencia del 

conocimiento tradicional y asentado, es más difícil de asimilar en el corto plazo, y 

por tanto, la tasa de transmisión de la información en ese corto plazo es menor que en 

el largo (mayor intermitencia). Y lo mismo se puede argumentar respecto al tamaño 

de las empresas: la información vertida por las empresas grandes y consolidadas se 

asimila en el corto plazo. Respecto al tipo de ponderación utilizado, sirviéndose o 

bien sólo de precios (como el DOW JONES o el NIKKEI), o bien de precios y 

cantidades, el primer sistema reduce la intermitencia respecto al segundo: los 

“reventones” informativos, de muy escasa duración, afectan en el corto plazo 

únicamente a los precios, y no a las cantidades, de tal modo que, en ese corto plazo, 

la tasa de transmisión de esa información es más importante en los índices que sólo 

tienen en cuenta los precios y, por tanto, esos índices resultan menos volátiles. 

Además, esos “reventones”, al igual que ocurre en la atmósfera en situaciones de 

fuerte estabilidad, dificultan el desarrollo de la intermitencia en el sentido habitual, 

haciendo posible situaciones en las que la tasa de disipación de la información 

disminuya al disminuir la escala, mostrando una curva p vs. p convexa (como en el 

caso del DOW JONES). 

 

Para finalizar el capítulo dedicado a la analogía entre los mercados financieros y el 

movimiento turbulento, hemos analizado la posibilidad de que la racionalidad que 

debe existir en los datos financieros se manifieste a través de la interpretación, ya 

mencionada, de los inversores como vórtices turbulentos, entre los que se produce 

una transmisión de conocimiento (cascada de vórtices). La absorción de información 

por parte de los inversores se puede interpretar, en consecuencia, como un 

alargamiento de los vórtices y, dado que ese alargamiento es una característica propia 

de la turbulencia 3D, el mercado financiero debe manifestar ese tipo de turbulencia. 

En ese sentido, con objeto de conocer el grado de tridimensionalidad que presentan 

los mercados, hemos caracterizado su comportamiento mediante un modelo GOY, 

pues como hemos visto, es un modelo que permite situar ese grado de 

tridimensionalidad a partir del valor de un parámetro ( ). Los resultados muestran, 

con bastante claridad, que todos los mercados, salvo el DOWJONES, presentan un 

comportamiento propio de la turbulencia 3D. En realidad, el modelo GOY no es 

capaz de reproducir el caso del DOWJONES, al no haberse desarrollado totalmente la 

turbulencia, pero ello indica que ese índice debe presentar una conducta similar a la 



Resumen y conclusiones 

165 
 

de las situaciones más estables en la atmósfera y, por tanto, más próxima a la de la 

turbulencia 2D. En consecuencia, la racionalidad presente en los otros índices tiene 

mucha menor importancia en el caso del DOWJONES, debido a su peculiar 

ponderación (sólo con precios) y al hecho de trabajar fundamentalmente con 

empresas no dedicadas a la innovación tecnológica. 

 

Sin embargo, en el caso de los datos atmosféricos, la turbulencia presenta un carácter 

más o menos tridimensional dependiendo de las condiciones atmosféricas (no 

siempre es tan claramente tridimensional como ocurre en la mayoría de índices 

financieros). 

 



 

166 
 

 

 

 

 



 

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179 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Apéndices

 



Apéndice I 

180 
 

 

Apéndice I (Distribuciones de Lévy) 

 
Un proceso de Lévy es aquel proceso estocástico en el que las variaciones que 

experimenta la variable en cuestión presentan dos características: constituyen una 

serie estacionaria y son independientes. Las distribuciones de Lévy también se 

denominan de “cola larga”, y en ellas, una gran frecuencia de los eventos va seguida 

por un gradual descenso de esa frecuencia. Estas distribuciones son estables, es decir, 

la suma de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas presenta 

una función de densidad de probabilidad que se puede transformar en la función de 

densidad de dichas variables mediante una transformación lineal. 

 

También se puede decir que X (t) es un proceso estable si presenta la siguiente 

función característica: 

 

| | 1 sgn( ) tan
2( ) , para    1

i t t i z

X t e
   

 
               (Ap.I.1) 

2
| | 1 sgn( ) ln| |

( ) ,        para  1
i t t i z t

X t e
  

 
          

 
Esta función se caracteriza por cuatro parámetros (Levy 2004): 

 

: llamado parámetro de estabilidad; varía entre (0,2]. Mide la frecuencia de las 

grandes dispersiones e indica lo puntiaguada que es la distribución. Si una 

distribución es normal =2, y si =1 es una distribución de Cauchy. 

 

: llamado parámetro de simetría o sesgo de la serie; varía entre [-1,1]. Si =0 la 

serie es simétrica;  < 0 supone asimetría hacia la izquierda, lo que significa que son 

más frecuentes grandes cambios negativos que grandes cambios positivos (o que son 

más frecuentes pequeños cambios positivos que pequeños cambios negativos). 

Análogamente, pero en sentido contrario, para  > 0. 

 

: llamado parámetro de localización; indica el valor promedio de la serie. 

Únicamente se define en las distribuciones normales. 



Apéndice I 

181 
 

 

: llamado parámetro de escala o dispersión; mide el tamaño de los cambios. Se 

encuentra ligado al concepto de volatilidad, y solo se puede calcular en el caso de las 

distribuciones normales. 

 
Los procesos estables presentan, para valores grandes de la variable, la siguiente ley 

de probabilidad: 

 
(1 )

( ) ,    para  >>1f x C x x
       (Ap.I.2) 

 
Es decir, en las distribuciones de los procesos estables se produce un decaimiento de 

las colas. 

 



Apéndice II 

182 
 

 

Apéndice II (Método de Blackman & Tukey) 
 

Este procedimiento utiliza las siguientes expresiones para obtener las estimaciones 

espectrales ˆ
kS : 

 
     





1

1
00

1
)(

2

1^ m

m c
m

cc
m

S 
     (Ap.II.1) 

 

k
m

m

k c
mm

k
c

mm

c
S )1(

1
cos

2 1

1

0
^







 

 


  (Ap.II.2) 
 

  
 c

m
cc

m
S

m

m
m

m )1(
1

)1(
2

1 1

1
0

^

 


    (Ap.II.3) 
 
c  es la autocovarianza para un desfase . 
 
m es el número máximo de desfases o lags que consideramos en la serie. Este 

número no puede ser demasiado elevado puesto que de ser así se correría el riesgo de 

correlacionar las colas de la serie, lo que daría lugar a errores, y tampoco puede ser 

muy bajo, pues de lo contrario podrían no detectarse periodos que presentasen picos 

importantes, es decir, periodos significativos. Un valor adecuado se encuentra entre 

1/3 y 1/5 del número de datos. 

 

La primera expresión corresponde a la estimación para una frecuencia de 0. La 

tercera expresión a la estimación para la frecuencia máxima resoluble, es decir, para 

la frecuencia de Nyquist que se calcula haciendo el cociente:
1

2 t , donde t es el 

periodo transcurrido entre dos valores consecutivos de la serie temporal. La segunda 

expresión se emplea para calcular las estimaciones espectrales correspondientes al 

resto de frecuencias. 

 

Los valores así calculados son sometidos no obstante a un proceso de suavizado por 

el método de Hamming para obtener las estimaciones finales. De acuerdo con este 

método: 

 



Apéndice II 

183 
 

 0 0 1

1ˆ ˆ ˆ( )
2

S S S        (Ap.II.4) 

 

1 1

1ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 )
4k k k kS S S S          (Ap.II.5) 

 

1

1ˆ ˆ ˆ( )
2m m mS S S         (Ap.II.6) 



Apéndice III 

184 
 

 

Apéndice III (Análisis en cascada multiplicativa) 
 

En cada paso de la cascada de Richardson, la disipación (o la velocidad) disminuyen 

en un factor aleatorio. El diámetro de los remolinos se supone que disminuye por un 

factor constante  (que habitualmente se supone igual a ½). Utilizando Frisch (1995): 

1

2

n
n

n 0 0l = l δ = l
 
 
 

       (Ap.III.1) 

 

2...n 1 nε = W W W ε        (Ap.III.2) 

 

Las variables aleatorias qi (o las variables Wi) son independientes y se distribuyen 

idénticamente. Esas variables son las realizaciones de las variables q y W, que deben 

cumplir las siguientes condiciones: 

 

W  0,  1W =  
qW < ,  q > 0   (Ap.III.3) 

 

Los momentos de orden q para la disipación resultan: 

 

log2

0

q

q q n
n

W
l

ε = ε
l


 
 
 

      (Ap.III.4) 

 

Por tanto, de acuerdo con la ecuación (3.15), 2log q
qτ = W  y, en consecuencia: 

 

/3
2log

3
p

p

p
ζ = W        (Ap.III.5) 

 

Llegados a este punto, antes de continuar resulta conveniente referirse al teorema de 

las grandes desviaciones (Frisch 1995): 

 

Sea un conjunto de n realizaciones independientes y efectuadas en las mismas 

condiciones, mi, de una variable m. Esas realizaciones constituyen un conjunto de 



Apéndice III 

185 
 

variables aleatorias independientes con la misma distribución. De acuerdo con la ley 

de los grandes números, cuando n tiende hacia infinito, el estadístico Sn=
1
n
∑
i=1

n

mi  

tiende al valor esperado para la variable m. 

 

Sea la función  ( ; , ) ln  Pr nh n a b a S b    

 

Esta función cumple que ( '; , ) ( ; , ) ( '; , )h n n a b h n a b h n a b   , lo que hace que exista 

el siguiente límite: 

 

( , ) lim sup
n n

h(n;a,b) h(n;a,b)
s a b

n n
       (Ap.III.6) 

 

Pues bien, el teorema de las grandes desviaciones establece que  

 

1

1
Pr

n
ns(x)

i
i=

m x e
n

   
 
       (Ap.III.7) 

 

siendo 
( ) sup ( , )

a x b
s x s a b

 


 la denominada función de Cramer. 

 

Volvamos a la relación que proporciona la disipación en forma de cascada, y 

hagamos W i≡ 2
−mi

. Entonces tendremos: 

 

1 2( ... )2 2nm m m nxnε =
ε

           (Ap.III.8) 

 

y, de acuerdo con la relación en cascada de la escala: 

 

0

x

n nε l

ε l

 
  
 

        (Ap.III.9) 

 



Apéndice III 

186 
 

Dado que la fracción de volumen ocupado por los remolinos de tamaño ln (por el 

teorema de las grandes desviaciones) presenta la siguiente proporcionalidad: 

ns(x)
np e , si operamos, tenemos 

 
( ) / ln 2

0

s x

n
n

l
p

l


 

  
 

       (Ap.III.10) 

 

Pues bien, podemos comprobar que el modelo multifractal se corresponde con un 

modelo en cascada tomando: 

 

x=α− 1         (Ap.III.11) 

 
( )

3 ( )
ln 2

s x
F     

 

En ese caso, tenemos: 

( 1)
( ) 3

ln 2

s
F

 
 

       (Ap.III.12) 

( 1)
( ) 1

ln 2

s
f

 
 

 



Apéndice IV 

187 
 

 

Apéndice IV (Dimensión fractal en el modelo K62) 

 

Siguiendo Frisch (1995), supongamos W=2-m, y que m sigue una distribución 

Gaussiana. Sea m  la media de esa variable y 2 su varianza (una notación habitual 

es 2μ m ). 

 

Dado que 1W = , tendremos que 2 ln22m = σ . Además, al ser m una variable 

normal, ∑
i=1

n

mi  también seguirá una distribución Gaussiana.  

 

Con las anteriores consideraciones, la función de Cramer queda: 

 

 

2

ln 2
2

( )
2

x
s x





  
         (Ap.IV.1) 

 

y, por tanto  

 

2

1
2

( ) 3
2

F






   
         (Ap.IV.2) 

 

 

2

1
2

( ) 1
2

f






   
         (Ap.IV.3) 

 

 

 



Apéndice V 

188 
 

 

Apéndice V (Ecuación de Navier-Stokes en el 

espacio de Fourier) 

 

Recordemos la expresión de la ecuación de Navier-Stokes en el espacio físico: 

 

 
2( , ) 1

( , ) ( , ) ( , )  ( , )
u r t

u r t u r t p r t u r t
t


      



 
      


   (Ap.V.1) 

 

Aplicando a esta ecuación la transformada de Fourier es posible expresarla en el 

espacio de Fourier o espacio de fases (Ditlevsen 2011). Para ello, recordemos 

algunas propiedades de la transformada de Fourier: 

 

Sea TF [ ( , )u r t
 

] = ˆ( , )u k t
 

 la transformada de Fourier de u


, en ese caso: 

 

 ˆ [ ( , )] ( , )TF u r t iku k t 
    

      (Ap.V.2) 

 
2 2 ˆ [ ( , )] ( , )TF u r t k u k t  
   

´      (Ap.V.3) 

 ˆ ( , )i
i

u
TF ik u k t

x

 
  


 

       (Ap.V.4) 

 

Por tanto, de acuerdo con la condición de incompresibilidad, 

ˆ( , ) 0  ( , ) 0u r t ku k t   
   

. Es decir, ˆ( , )u k t
 

 se encuentra en un plano 

perpendicular al vector k


(k1,k2,k3). 

 

Análogamente, ˆ [ ( , )] ( , )TF p r t ik p r t 
  

, aunque en este caso, esa transformada 

representa un vector paralelo a k


. 

 

La transformada de Fourier de 
1

( , ) ( , ) ( , )u r t u r t p r t  
    

  es la proyección sobre un 

plano perpendicular a k


 de la transformada de Fourier de ( , ) ( , )u r t u r t
   

. 



Apéndice V 

189 
 

 

Por otra parte, la componente i-ésima de la proyección de un vector a


(a1,a2,a3) sobre 

el plano perpendicular a k


 se puede expresar como: ( )j ija P k


, donde 

 2
( ) i j

ij ij

k k
P k

k
 


 

 

De acuerdo con lo anterior y, recordando que la transformada de Fourier del producto 

de dos funciones es igual al producto de convolución de las transformadas de Fourier 

de ambas funciones, tendremos que 

 

 
( )

ˆ ˆ  ( , ) ( , )i ji
j j i jp q k

j j

u uu
TF u TF ik u p t u q t d p

x x  

   
    

       
  

  
  (Ap.V.5) 

 

Por tanto la componente i-ésima de 
1

( , ) ( , ) ( , )u r t u r t p r t  
    

  en el espacio de 

Fourier será: ˆ ˆ( ) ( , ) ( , )m ij j mp q k
ik P k u p t u q t d p

   

   

 

 

Introduciendo esa expresión en la ecuación de Navier-Stokes, la componente i-ésima 

de esa ecuación queda: 

 

2 ˆ ˆ ˆ( , ) ( ) ( , ) ( , )i m ij j mp q k
k u k t ik P k u p t u q t d p

t


 

        

    
  (Ap.V.6) 

 



Apéndice VI 

190 
 

 

Apéndice VI (Convergencia estadística) 

 

Para mostrar el grado de convergencia estadística mostrada por las funciones de 

estructura de los sucesivos órdenes, se calculan para la variable en cuestión (en 

nuestro caso, los incrementos de velocidad), el producto de la correspondiente 

probabilidad por la p-ésima potencia de esos incrementos (Schumacher 2001). El 

área bajo la curva obtenida corresponde al momento de orden p y, en consecuencia, 

la convergencia estadística de ese momento mejorará cuando la dispersión de la 

curva disminuya. Como ejemplo, en la Fig. Ap.VI.1, Ap.VI.2 y Ap.VI.3, se muestran 

esas curvas para varios órdenes: 1, 3, 6 y 12, para algunas de las situaciones 

analizadas en el trabajo (concretamente para 6 situaciones: el día 14 de septiembre a 

las 00:00, 06:00, 12:00 y 18:00 GMT, y el día 15 de septiembre a las 00:00 y a las 

06:00 GMT) y para diferentes escalas temporales. 

 

 

 



Apéndice VI 

191 
 

 

 

Figura Ap.VI.1: Producto de la potencia p-ésima (p = 1, 2, 6 y 12) de los incrementos de velocidad 

por su correspondiente probabilidad vs. los incrementos de velocidad para diferentes escalas: a), b), c) 

y d) para el día 14 de septiembre a las 00:00 GMT; e), f), g) y h) para el día 14 de septiembre a las 

06:00 GMT 

 

 

 



Apéndice VI 

192 
 

 

 

 

Figura Ap.VI.2: Producto de la potencia p-ésima (p = 1, 2, 6 y 12) de los incrementos de velocidad 

por su correspondiente probabilidad vs. los incrementos de velocidad para diferentes escalas: a), b), c) 

y d) para el día 14 de septiembre a las 12:00 GMT; e), f), g) y h) para el día 14 de septiembre a las 

18:00 GMT 

 

 

 

 



Apéndice VI 

193 
 

 

 

 

 

 



Apéndice VI 

194 
 

 

Figura Ap.VI.3: Producto de la potencia p-ésima (p = 1, 2, 6 y 12) de los incrementos de velocidad 

por su correspondiente probabilidad vs. los incrementos de velocidad para diferentes escalas: a), b), c) 

y d) para el día 15 de septiembre a las 00:00 GMT; e), f), g) y h) para el día 15 de septiembre a las 

06:00 GMT 

 

 

En las gráficas se observa que al disminuir la escala, y al aumentar el orden p, 

aumenta la falta de convergencia estadística. 

 



Apéndice VII 

195 
 

 

Apéndice VII (Notación empleada) 
 

ln  Escala espacial correspondiente al paso n 

 1) Nº de remolinos generados a partir de un remolino 

2) Parámetro del modelo GOY 

nu   1) Velocidad de los remolinos en el paso n 

  2) Velocidad del n-esimo shell 

Ren  Nº de Reynolds en el paso n 

 Viscosidad cinemática 

rot
nt   Tiempo de vida de los remolinos en el paso n 

U  Flujo medio 

dis
nt   Tiempo de disipación de los remolinos en el paso n 

n  Transferencia de energía (por unidad de masa ) en la unidad 

de tiempo en el paso n 

n  Tasa de disipación de energía (por unidad de masa) en el paso 

n 

nE   Energía (por unidad de masa) de los remolinos en el paso n 

pn  Fracción de volumen ocupado por los remolinos en el paso n 

  Flujo de energía 

R (t)  Función de autocorrelación 

  Escala espacial de Kolmogorov 

) Espectro de energía  

b Pendiente del espectro de potencia 

p  Presión 

  Densidad 

H 1) Helicidad  

 2) Exponente de Hurst  

 3) Segundo invariante en los modelos shell 

ω


  Vorticidad 

Z  Enstrofía 



Apéndice VII 

196 
 

 (k)  Espectro de enstrofía 

  Variación en la temperatura potencial 

z  Distancia entre 2 niveles 

X (t)  Proceso estocastico 

h Exponente de escala para la variable o Exponente de 

Lipschitz-Hölder 

Sp Función de estructura de orden p  

p  Exponente de escala absoluto de la función de estructura de 

orden p para la velocidad  

p  Exponente de escala relativo de la función de estructura de 

orden p para la velocidad 

D(h) Dimensión fractal correspondiente al fractal caracterizado por 

el exponente de escala para la velocidad h 

F() Dimensión fractal correspondiente al fractal caracterizado por 

el exponente de escala para la tasa de disipación de energía 

f () Dimensión fractal correspondiente al fractal caracterizado por 

el exponente de escala  (F() = f () + 2) 

p  Exponente de escala de la función de estructura de orden p 

para la tasa de disipación de energia  

F Curtosis de una distribución de probabilidad 

  1) Parámetro de intermitencia en el modelo log-normal 

  2) Parámetro de localización en las distribuciones estables 

  1) Flujo de enstrofía 

 2) Coeficiente del término cuadrático de la función cuadrática 

de ajuste a la curva p vs. p (empleado como parámetro de 

intermitencia) 

 3) Parámetro de intermitencia en el modelo She-Lévêque 

 4) Parámetro de intermitencia en el modelo 

 5) Parámetro de intermitencia en el modelo log-Poisson 

considerando la propiedad ESS 

 6) Parámetro en el modelo de difusión asociado al coeficiente 

difusión 



Apéndice VII 

197 
 

 7) Parámetro de simetría de las distribuciones estables 

  1) Uno de los parámetros de intermitencia en el modelo She-

Lévêque  

 2) Exponente de escala para la tasa de disipación de energia 

 3) Parámetro de estabilidad en las distribuciones de Lévy 

( )p
n  Intensidad de la estructura jerárquica de orden p en el modelo 

de She-Lévêque y en en log-Poisson  

  1) Parámetro en el modelo de difusión asociado al coeficiente 

drift 

 2) Parámetro de escala en las distribuciones estables 

  Parámetro de intermitencia en el modelo log-Poisson 

considerando la propiedad ESS 

û


 Transformada de Fourier de u


 

kn nº de onda del n-esimo shell 

fn Forzamiento en el n-esimo shell 

q Parámetro del modelo GOY 

E Primer invariante del modelo GOY 

H Segundo invariante del modelo GOY 

P(un, tn) Probabilidad de que la velocidad se encuentre en el estado un 

en el momento tn 

D1 Coeficiente drift en el modelo de difusión 

D2 Coeficiente difusion en el modelo de difusión 

M1 Momento de orden 1 para la velocidad en el modelo de 

difusión 

M2 Momento de orden 2 para la velocidad en el modelo de 

difusión 

 Escala espacial en el modelo de difusión 

50 0.22T   Diferencia de temperatura entre los niveles de 50m y 0.22m 

  Desviación standard de una distribucion de probabilidad 

f (x) Función de densidad de probabilidad  

n  Tasa de disipación de energía adimensional 

x (t)  Función característica de la variable aleatoria x 



Apéndice VII 

198 
 

ˆ
kS  Estimación espectral de orden k por Blackman & Tukey 

c Autocovarianza para un desfase 

s(x) Función de Cramer 

 



Apéndice VIII 

199 
 

 

Apéndice VIII (Listado de artículos 

publicados o en revisión) 
 

Vindel JM, Yagüe C and Redondo JM (2008a) Relationship between intermittency 

and stratification, Nuovo Cimento C. Geophysics and Space Physics 31 669-678 

Vindel JM, Yagüe C and Redondo JM (2008b) Structure function analysis and 

intermittency in the atmospheric boundary layer. Nonlinear Process Geophys 15 

915-929 

Vindel JM and Yagüe C (2009) Application of a GOY model to atmospheric 

boundary layer data. Nonlinear Process Geophys 16 599-606 

Vindel JM and Trincado E (2010) The timing of information transmission in 

financial markets. Physica A 389 5749-5758 

Vindel JM and Yagüe C (2011) Intermittency of turbulence in the atmospheric 

boundary layer: scaling exponents and stratification influence. Boundary-Layer 

Meteorology 140 73-85 

Trincado E and Vindel JM (2012a) Not fully developed turbulence in the Dow Jones 

index (Submitted to Brazilian Journal of Physics)  

Trincado E and Vindel JM (2012b) Turbulence and utilitarianism in the economic 

texts (Submitted to Oeconomia) 

 

 

 

 



DOI 10.1393/ncc/i2008-10327-0

IL NUOVO CIMENTO Vol. 31 C, N. 5-6 Settembre-Dicembre 2008

Relationship between intermittency and stratification

J. M. Vindel(1)(∗), C. Yagüe(2)(∗∗) and J. M. Redondo(3)

(1) Area de Modelización, Agencia Estatal de Meteoroloǵıa (AEMET) - Madrid, Spain
(2) Departamento de Geof́ısica y Meteoroloǵıa, Universidad Complutense de Madrid

Madrid, Spain
(3) Departamento de F́ısica Aplicada, Universidad Politécnica de Calatuña - Barcelona, Spain

(ricevuto il 6 Ottobre 2008; approvato il 10 Dicembre 2008; pubblicato online il 9 Aprile 2009)

Summary. — A formal analogy exists between 2D turbulence and 3D turbulence
with stratification and rotation. Although the effect of the rotation, to the scale typ-
ical of the turbulence, is negligible in the atmosphere, we have found a relationship
between the behavior of the intermittency and that of the atmospheric stratification.
In order to do that, the intermittency has been characterized through the flatness
of the PDFs of velocity increments, for the smallest possible scale, present in our
measurements.

PACS 47.27.-i – Turbulent flows.

1. – Introduction

The deviation that turbulence presents [1, 2] with regard to the theory of Kol-
mogorov [3] is known as intermittency. This intermittency is associated with the presence
of rare events; this is translated in the scale-dependent stretching of the tails presented
by the PDFs of the velocity increments, compared to the Gaussian form and its approach
by stretched exponentials [4-8].

2D turbulence is a special type of turbulence characterized by the conservation of
the vorticity and the absence of intermittency [9, 10]. In conditions of homogeneity and
isotropy, 2D turbulence is explained by the theory of Kraichnan [11, 12] according to
which a direct cascade of enstrophy exists with a slope of −3, and other inverse cascade
of energy, with a slope of −5/3.

An index that allows characterizing the form of the PDFs is log (F/3) [13], where F is
the corresponding flatness. The number 3 alludes to the value of the Gaussian flatness,
so that the larger this index, the bigger the deviation of the PDFs from the Gaussian
distribution is found and, therefore, major will be the grade of existing intermittency (an
example of the evolution of the flatness with the scale can be seen in [14]).

(∗) E-mail: jmvindel@inm.es
(∗∗) E-mail: carlos@fis.ucm.es

c© Società Italiana di Fisica 669



Nonlin. Processes Geophys., 15, 915–929, 2008
www.nonlin-processes-geophys.net/15/915/2008/
© Author(s) 2008. This work is distributed under
the Creative Commons Attribution 3.0 License.

Nonlinear Processes
in Geophysics

Structure function analysis and intermittency in the atmospheric
boundary layer

J. M. Vindel1, C. Yagüe2, and J. M. Redondo3

1Agencia Estatal de Meteorologı́a, Madrid, Spain
2Dept. Geof́ısica y Meteoroloǵıa, Universidad Complutense de Madrid, Spain
3Dept. F́ısica Aplicada, Universidad Politécnica de Catalũna, Barcelona, Spain

Received: 10 April 2008 – Revised: 31 July 2008 – Accepted: 1 October 2008 – Published: 27 November 2008

Abstract. Data from the SABLES98 experimental campaign
(Cuxart et al., 2000) have been used in order to study the
relationship of the probability distribution of velocity incre-
ments (PDFs) to the scale and the degree of stability. This
connection is demonstrated by means of the velocity struc-
ture functions and the PDFs of the velocity increments.

Using the hypothesis of local similarity, so that the third
order structure function scaling exponent is one, the inertial
range in the Kolmogorov sense has been identified for dif-
ferent conditions, obtaining the velocity structure function
scaling exponents for several orders. The degree of intermit-
tency in the energy cascade is measured through these expo-
nents and compared with the forcing intermittency revealed
through the evolution of flatness with scale.

The role of non-homogeneity in the turbulence structure
is further analysed using Extended Self Similarity (ESS). A
criterion to identify the inertial range and to show the scale
independence of the relative exponents is described. Finally,
using least-squares fits, the values of some parameters have
been obtained which are able to characterize intermittency
according to different models.

Correspondence to:J. M. Vindel
(jmvindel@inm.es)

1 Introduction

The single point velocity structure function of orderp, for a
certain temporal scale (τ ), is defined as:

Sp(τ ) =
〈
|u(t + τ) − u(t)|p

〉
(1)

Richardson (1922) assumed the existence of an energy cas-
cade, which was formalized along the so-called inertial range
by Kolmogorov (1941, 1962). The spatial and temporal de-
scriptions of the cascade may be exchanged assuming Tay-
lor’s “frozen eddy” hypothesis (Stull, 1988), but care is
needed in non-homogeneous flows (Mahjoub et al., 1998).
Within the inertial range, for homogeneous and isotropic tur-
bulence in local equilibrium, Kolmogorov (1941) established
the following relation between the spatial structure functions
and length scales (l):

Sp(l) ∼ 〈ε〉p/3 lp/3 (2)

where〈ε〉 is the mean energy dissipation rate assuming that
it does not vary in space or time. This inertial range spreads
out from the integral scale (of the order of the scale which
generates the perturbation) to the Taylor microscale (of the
three standard turbulence length scales, the one for which
viscous dissipation begins to affect the eddies) and contin-
ues further to smaller scales defined by Kolmogorov (the
scale that characterizes the smallest dissipation-scale eddies;
Glickman, 2000).

Whether we consider spatial or time dependence, if the
conditions of existence of an equilibrium inertial range are
satisfied, a potential type relationship is observed between
the structure functions or different order, p, and the scale
(e.g. Anselmet et al., 1984, for shear flows):

Sp(τ ) ∼ τ ζp (3)

Published by Copernicus Publications on behalf of the European Geosciences Union and the American Geophysical Union.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/


Nonlin. Processes Geophys., 16, 599–606, 2009
www.nonlin-processes-geophys.net/16/599/2009/
© Author(s) 2009. This work is distributed under
the Creative Commons Attribution 3.0 License.

Nonlinear Processes
in Geophysics

Application of a GOY model to atmospheric boundary layer data

J. M. Vindel1 and C. Yagüe2

1Área de Modelizacíon, Agencia Estatal de Meteorologı́a (AEMET), Madrid, Spain
2Dept. de Geof́ısica y Meteoroloǵıa, Universidad Complutense de Madrid, Madrid, Spain

Received: 23 April 2009 – Revised: 11 August 2009 – Accepted: 8 September 2009 – Published: 12 October 2009

Abstract. This article analyzes the possibility of applying a
GOY theoretical model to atmospheric boundary layer data.
Bearing this in mind, relative scaling exponents of velocity
structure functions are used to compare the model with the
data under study. In the model, these exponents are set based
on two parameters (q andδ), which are appropriate to define
the model that better features a certain atmospheric state.

From these scaling exponents, the gap between 2-D and
3-D turbulence is observed in the model, depending on the
fact thatδ is higher or lower than unity, respectively.

Atmospheric data corresponding to very different states of
stratification stability have been analyzed. For convective
or near-neutral situations (usually associated to 3-D turbu-
lence), it is possible to find parametersq andδ to define a
model that fits the measured data. More stable situations can
be featured by GOY models with higher values ofδ. How-
ever, it is clear that it is impossible to represent nocturnal
situations of strong stable stratification (with a more similar
behaviour to 2-D) with this type of model.

1 Introduction

The velocity structure function of orderp, Sp, can be defined
(for a temporal scaleτ ) as:

Sp(τ ) =

〈
|u(t + τ) − u(t)|p

〉〈
|u(t)|p

〉 (1)

In the inertial range, there is a power relation between these
structure functions and the scale, that is to say,Sp∝τ−ζp ,
where the coefficientsζp are the so-called absolute scaling
exponents.

According to Kolmogorov theory K41 (Kolmogorov,
1941), in conditions of homogeneity and isotropy, the scal-
ing exponents,ζp, have a linear dependence with regard to
p order (ζp=p/3).

Correspondence to:J. M. Vindel
(jmvindel@inm.es)

In the inertial range there is also a power relationship be-
tween any order structure function (Sp) and order 3 struc-
ture function,S3 (ESS – Extended Self Similarity – method,
Benzi et al., 1993). The exponents of this relationship,ζp,
are called relative exponents, and its connection withζp is:

ζp = ζp/ζ3 (2)

There are several turbulence models (Frisch, 1995) which ex-
press the scaling exponent values according to one or several
parameters. Shell models constitute an especially important
group of models. These models consist of a set of equations
obtained from the Navier-Stokes equations in Fourier space.
For our study, from the many existing shell models, we select
the GOY model, a more recent version of the Gledzer model
(Gledzer, 1973) conceived by Yamada and Ohkitani (1987).
An update information on shell models and in particular on
GOY model can be found in Ditlevsen (2004).

This model uses a set of ordinary differential equations,
each of them representative of a shell in which the Fourier
space is divided, showing the following general form (the
n sub-index refers to the n-th shell):(

d

dt
+νk2

n

)
un=i(anun+1un+2+bnun−1un+1+cnun−1un−2)

∗
+fn (3)

whereν represents kinematic viscosity,un velocity in the n-
th shell (un=0 for n≤0), kn the corresponding wave number
(scale geometrically assumed, that is to say,kn=k0q

n) and
fn, a forcing term (if it is, for example, in the fourth mode,
fn=f δ4,n).

With regard to the other coefficients,

an=a kn=a k0q
n bn=b kn−1=b k0q

n−1 cn=c kn−2=c k0q
n−2 (4)

So, the six parameters that define these models are:k0, q, a,
b, c, andf .

Usual values considered for some of those parameters
(Kadanoff et al., 1995) are the following:

k0=1/16; a=1; q=2; f =5(1+i)10−3 (5)

Published by Copernicus Publications on behalf of the European Geosciences Union and the American Geophysical Union.

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Physica A 389 (2010) 5749–5758

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Physica A

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The timing of information transmission in financial markets
Jose M. Vindel a, Estrella Trincado b,∗

a Facultad de CC. Físicas, Universidad Complutense de Madrid, Spain
b Facultad de CC. Económicas y Empresariales, Universidad Complutense de Madrid, Spain

a r t i c l e i n f o

Article history:
Received 4 May 2010
Received in revised form 6 August 2010
Available online 20 September 2010

Keywords:
Information cascade
Financial markets
Dissipation rate
Transfer rate
Eddies’ size

a b s t r a c t

This article shows turbulent behavior in a series of financial indexes assuming that they
follow a cascade process of the same type as do turbulent fluids. With such a model,
the energy flux between the eddies that emerge in the fluid is analogous to the financial
information flux over the course of time. The results obtained confirm the variability
of variation of the indexes for the considered time scale (the turbulent intermittency
typical for fluids), and they also confirm that when we descend along the cascade, that
is to say, when we consider smaller time intervals, the rate at which the hypothetical
eddies of information dissipate becomes greater than the rate at which the information is
transmitted. This fact can explain the cyclical nature of crises: ultimately, financial events
have a memory of the past. Besides, the NASDAQ singular behavior regarding the number
of jumps, the degree of intermittency of the turbulence and the life time of the hypothetical
eddies has been analysed.

© 2010 Elsevier B.V. All rights reserved.

1. Introduction

In studying fluid dynamics various parameters are used which attempt to reflect the degree of turbulence. Probably the
most well known of these parameters is the Reynolds number (Re) [1], which is defined as:

Re =
ul
υ

. (1)

Here u is the fluid velocity, l is a length typical of the phenomenon (in the atmosphere, for example, it corresponds with
height) and υ is the viscosity of the fluid.

The Reynolds number is a dimensionless constant that measures the relationship between the viscous terms of the
Navier–Stokes equations [2,3] and the inertial or non-linear terms. It is used to characterize the fluid regime; by its definition,
when viscous forces have a dominant effect in the energy loss, the Reynolds number is small and the flow is in a laminar
regime. A large Reynolds number reflects that the viscous forces have a small influence on the energy loss and, so, that the
flow is turbulent.

The turbulent movement of a flow is characterized by the existence of a collection of eddies of different sizes. The biggest
eddies, with a size of the order of the scale typical of the mean flow, interact with the mean flow and draw energy from it.
These eddies have a large Reynolds number, and so they turn out to be unstable and tend to break up giving rise to other
minor eddies to which they transfer energy. However, in this process of birth and death, not all the energy of the generating
eddies is transferred to the offspring eddies, as a small part of the energy dissipates as heat due to the viscous stresses in
the fluid. The new eddies created, with a high Reynolds number, are also unstable, so they too undergo the previous process
giving birth to new eddies at the expense of the old ones, losing once again energy in the process because of viscosity.

∗ Corresponding author.
E-mail address: estrinaz@ccee.ucm.es (E. Trincado).

0378-4371/$ – see front matter© 2010 Elsevier B.V. All rights reserved.
doi:10.1016/j.physa.2010.08.048

http://dx.doi.org/10.1016/j.physa.2010.08.048
http://www.elsevier.com/locate/physa
http://www.elsevier.com/locate/physa
mailto:estrinaz@ccee.ucm.es
http://dx.doi.org/10.1016/j.physa.2010.08.048


Boundary-Layer Meteorol (2011) 140:73–85
DOI 10.1007/s10546-011-9597-1

ARTICLE

Intermittency of Turbulence in the Atmospheric
Boundary Layer: Scaling Exponents and Stratification
Influence

J. M. Vindel · C. Yagüe

Received: 6 December 2009 / Accepted: 1 February 2011 / Published online: 10 March 2011
© Springer Science+Business Media B.V. 2011

Abstract We show the relationship between the intermittency of turbulence and the type of
stratification for different atmospheric situations during the SABLES98 field campaign. With
this objective, we first demonstrate the scaling behaviour of the velocity structure functions
corresponding to these situations; next, we analyze the curvature of the scaling exponents
of the velocity structure functions versus the order of these functions (ζp vs. p), where ζp

are the exponents of the power relation for the velocity structure function with respect to
the scale. It can be proved that this curve must be concave, under the assumption that the
incompressible approximation does not break down at high Reynolds numbers. The physical
significance of this kind of curvature is that the energy dissipation rate increases as the scale
of the turbulent eddies diminishes (intermittency in the usual sense). However, the constraints
imposed by stability, preventing full development of the turbulence, allow the function ζp

versus p to show any type of curvature. In this case, waves of high frequency trapped by the
stability, or bursts of turbulence caused by the breaking up of internal waves, may produce a
redistribution of energy throughout the scaling range. Due to this redistribution, the variation
with the scale of the energy dissipation rate may be smaller (decreasing the intermittency)
and, even in more stable situations, this rate may diminish (instead of increasing) as the scale
diminishes (convex form of the curve ζp vs. p).

Keywords Intermittency of turbulence · Scaling exponents · Stratification

1 Introduction

In the so-called energy cascade (Richardson 1922), the largest eddies in the atmosphere are
due to thermal convection and to the mean shear of the flow (Arya 1999). These eddies

J. M. Vindel (B)
Área de Modelización, Agencia Estatal de Meteorología (AEMET), Madrid, Spain
e-mail: jmvindel@hotmail.com

C. Yagüe
Dpto. Geofísica y Meteorología, Universidad Complutense de Madrid, Madrid, Spain
e-mail: carlos@fis.ucm.es

123


	Portada
	Agradecimientos
	INDICE
	1. Introducción y objetivos
	2. Aspectos fundamentales de la turbulencia
	3. Intermitencia de la turbulencia
	4. Estudio de la cascada energética y la intermitencia de la turbulencia en la capa límite atmosférica
	5. Intermitencia en otros ámbitos(mercados financieros)
	6. Resumen y conclusiones
	Referencias
	Apéndices