UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS TESIS DOCTORAL Análisis de transferencia de calor en un intercambiador geotérmico para aplicaciones energéticas MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR Leticia Bottazzi Director Carlos Armenta Déu Madrid © Leticia Bottazzi, 2021 Universidad Complutense de Madrid Facultad de Ciencias Físicas Tesis Doctoral Análisis de transferencia de calor en un intercambiador geotérmico para aplicaciones energéticas Leticia Bottazzi Director Carlos Armenta Déu 1 AGRADECIMIENTOS Científicamente hablando, quiero agradecer en primer lugar al Profesor Dr. Carlos Armenta Déu, quien ha sido tutor y director de esta tesis, por la confianza que depositó en mí desde el inicio de nuestra relación profesional, por la dedicación, por el respeto a mis sugerencias e ideas, por el rigor científico en la dirección y el apoyo profesional incondicional que me ha mostrado durante el tiempo que ha durado este trabajo. A Guillermo Pinto de la Casa y Ana María Sánchez Palomo del Laboratorio de Ingeniería Geológica del departamento de Geodinámica, por tamizar las muestras y permitirme usar el laboratorio. Quiero agradecer a Daniel, mi esposo, por su infinita paciencia y por su consejo realista y apropiado a lo largo del proyecto. 3 INDICE Páginas Encabezado 1 Declaración de autoría y originalidad de la tesis 2 Agradecimientos 3 Contenido/Indice 4 Resumen 8 Abstract 10 1. ANTECEDENTES Introducción 12 1.1 Energía geotérmica: fuentes y características. 13 1.2 Clasificación del recurso geotérmico. 15 1.2.1 Por su nivel energético: baja y alta entalpía. 1.2.2 Por la característica del yacimiento 1.2.3 Por el mecanismo de transferencia de calor. 1.2.4 Por el perfil geotérmico. 1.2.5 Por el estado de equilibrio del yacimiento. 1.3 Yacimientos 19 1.3.1 Depósito y flujo del pozo. 1.3.2 Modelo del depósito-pozo: Principios básicos. 1.3.3 Flujo solo líquido. 1.4 Aplicaciones. 22 1.4.1 Térmicas. 1.4.2 Termoeléctricas. 1.5 Tipos de sistemas de aprovechamiento del recurso geotérmico. 25 1.5.1 Directos. 1.5.2 Indirectos. Bibliografía 28 2. SISTEMA DE APROVECHAMIENTO GEOTÉRMICO DE BAJA ENTALPÍA 2.1 Introducción. 29 2.2 Configuración. 31 4 2.3 Tipo de sistema. 33 2.4 Sistema híbrido. 35 2.5 Procesos involucrados. 36 Bibliografía 37 3. PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR 3.1 Procesos de transferencia de calor en el lecho geotérmico 38 3.2 Transporte de calor por conducción: ecuaciones características 39 3.3 Intercambio de calor. 43 3.3.1 Tipos de intercambiadores 3.3.2 Ecuaciones características. 3.4 Ganancia de energía: eficiencia. 46 3.5 Intercambio de calor por convección en medios porosos 50 3.5.1 Influencia del tipo de medio. 3.5.2 Ecuación de transporte de energía: ganancia. 3.6 Transporte de calor en medio fluido: transporte de masa. 56 Bibliografía 58 4. DINÁMICA DE FLUIDOS Y RESOLUCIÓN ANALÍTICA DEL MODELO 4.1 Ecuación general del Volumen de Control: aplicación a nuestro sistema. 60 4.2 Conservación de la energía: ecuación de Bernouilli generalizada. 63 4.3 Diseño y dimensionado del sistema hidráulico: elementos y dispositivos. 65 4.4 Flujo en una tubería. 66 4.5 Análisis de transporte de energía: pérdidas. 68 4.6 Análisis hidráulico del medio poroso: transporte de calor y masa. 70 Bibliografía 74 5. TERMOELECTRICIDAD 5.1 Efecto Termoeléctrico: fundamento y características. 76 5.2 Parámetros operacionales: gradiente térmico, temperatura de operación. 79 5.3 Aplicación a nuestro sistema. 80 5.4 Diseño de un sistema de tubos Peltier para conversión termoeléctrica. 83 5.5 Resultados esperados: voltaje, intensidad y potencia eléctrica. 84 Bibliografía 86 6. SISTEMA EXPERIMENTAL: ANÁLISIS ENERGÉTICO 6.1 Estructura y diseño del modelo. 88 6.2 Modo de operación. 91 6.3 Análisis energético del pozo geotérmico. 91 6.4 Análisis energético del fluido caloportador. 95 6.5 Análisis energético del anillo Peltier. 100 6.6 Ensayos. 104 5 6.7 Ensayos complementarios 106 6.7.1 Medición del caudal de la bomba centrífuga. 6.7.2 Análisis granulométrico. 6.7.3 Calibración de sensores. 6.8 Características del medio poroso. 109 6.8.1 Determinación de la densidad aparente de la arena. 6.8.2 Determinación de la porosidad total y de la porosidad eficaz. 6.8.3 Determinación del caudal. 6.8.4 Determinación de la velocidad de Darcy o de infiltración. 6.8.5 Determinación de la velocidad lineal media, intrínseca o intersticial. 6.8.6 Determinación de la conductividad hidráulica. 6.8.7 Determinación de la tortuosidad. 6.9 Caracterización térmica del modelo. 116 6.9.1 Distribución de temperaturas. 6.9.2 Temperatura característica. 6.10 Parámetros térmicos característicos. 123 6.10.1 Cálculo de las pérdidas. 6.10.2 Cálculo del calor específico equivalente. 6.10.3 Coeficiente de conductividad térmica. 6.10.4 Cálculo del coeficiente de difusividad térmica equivalente. 6.11 Balance de energía 137 6.11.1 Análisis termodinámico. Rendimiento. 6.11.2 Coeficiente de operación. Bibliografía 144 7. MODELIZACIÓN y SIMULACIÓN 7.1 Optimización del sistema: simulación teórica. 146 7.2 Optimización del intercambiador. 147 7.3 Modelo de intercambiadores múltiples. 149 7.4 Pérdidas de carga en el modelo de múltiples intercambiadores. 152 7.4.1 Conexión paralelo. 7.4.2 Cálculo de la longitud. 7.4.3 Pérdidas de carga. 7.5 Potencia de la bomba. 155 7.5.1 Conexión serie. 7.6 Modelo de bomba peristáltica. 157 7.6.1 Caudal. 7.6.2 Transferencia de calor al fluido. 7.6.3 Potencia. 7.7 Relación entre temperatura y potencia. 160 7.8 Modelización del intercambiador en el terreno. 161 7.8.1 Prototipo alternativo. 6 7.9 Generación termoeléctrica. 167 7.9.1 Factor de configuración. 7.9.2 Ganancia energética y rendimiento. 7.9.3 Aprovechamiento termoeléctrico. 7.10 Sistema de cogeneración. 177 7.10.2 Análisis del proceso de cogeneración. 7.10.3 Caso práctico. Bibliografía 184 Conclusiones 186 ANEXO Bomba centrífuga características. 189 Cálculo calor específico del modelo. 190 Primer diagrama de Moody. 191 Segundo diagrama de Moody. 192 Valores del coeficiente de pérdidas KL. 193 7 RESUMEN El proyecto desarrollado en esta Tesis Doctoral “Análisis de transferencia de calor en un intercambiador geotérmico para aplicaciones energéticas” se enfoca al aprovechamiento del recurso geotérmico para la generación de energía térmica en aplicaciones de superficie, así como en la conversión termoeléctrica como subproducto de los procesos de conversión energética que tienen lugar en el sistema, dando lugar a un sistema de cogeneración. El sistema utiliza un conjunto de intercambiadores ubicados en el lecho geotérmico para la extracción de energía en dicha zona, y un sistema de intercambio/almacenamiento térmico en superficie para la transferencia de calor para aplicaciones de carácter térmico. El transporte de energía térmica se lleva a cabo por medio de un fluido caloportador que circula en circuito cerrado entre ambos sistemas de intercambio. Asimismo, el sistema integra dos dispositivos termoeléctricos para la generación de energía eléctrica, estando dichos dispositivos ubicados en los conductos ascendente y descendente del circuito hidráulico con objeto de aprovechar el gradiente térmico entre el fluido y el medio que lo rodea en ambas ubicaciones. La aplicación de esta Tesis es en zonas de baja y media entalpía en áreas geotérmicas de alta entalpia. En general, los aprovechamientos geotérmicos, en áreas de alta entalpía, se producen a gran escala, con pozos donde, en la mayoría de los casos, se perforan a profundidades que van de varios centenares a algunos miles de metros. Este proyecto aprovecha la zona de recurso geotérmico de baja o media entalpía, que se presenta en zonas de escasa profundidad, entre 100 y 500 m y que generalmente, no están siendo utilizadas. Estos sistemas se podrían instalar bien como complemento de los pozos perforados, pozos por perforar, o en áreas aledañas al desarrollo, con un esfuerzo, económico y operativo, de perforación e instalación bajo, los cuales pueden ser utilizados por pequeños emprendimientos, aprovechando zonas que no resultan rentables desde el punto de vista económico para los sistemas de gran capacidad. Los sistemas mencionados anteriormente no pretenden, en ningún caso, resolver el problema de generación de energía de gran capacidad, para lo cual ya existen los sistemas geotérmicos convencionales con centrales de generación de potencia mediante turbinas de vapor y generadores eléctricos. El sistema opera con un rendimiento del 31.2% teniendo en cuenta únicamente el aprovechamiento de la energía térmica. Si se utiliza el sistema de cogeneración con aprovechamiento térmico y termoeléctrico de la energía geotérmica el rendimiento se incrementa hasta un 54.8%. El desarrollo del proyecto ha sido realizado mediante un proceso de simulación que utiliza un modelo a escala que busca reflejar lo más fielmente posible las condiciones existentes en un sistema real. Como resultado del desarrollo del proyecto se ha comprobado que la eficiencia en nuestro modelo puede alcanzar valores del 24%, un valor comparable con los encontrados en sistemas de generación en plantas convencionales que utilizan combustibles fósiles como fuente primaria de 8 energía, si bien este valor no se corresponde a condiciones reales dado que se han contabilizado las pérdidas térmicas a través de la superficie. Este valor, por tanto, se puede incrementar hasta un 52% en un prototipo real donde las pérdidas no existen, superando los valores de eficiencia de las centrales convencionales de generación de energía (30-40%). Por otra parte, si se optimiza el diseño del sistema, el COP puede alcanzar un valor de 1.7, lo que indica que desde el punto de vista operacional el sistema es energéticamente rentable; este valor del COP, por otro lado, se puede considerar satisfactorio para un sistema de las características del estudiado, cuyos valores oscilan en el entorno de 1.2 a 1.8 para sistemas de baja capacidad como es el estudiado. El sistema propuesto permite, por medio de un proceso de cogeneración, el suministro de agua caliente sanitaria, calefacción e iluminación a un conjunto de viviendas donde se ha considerado la temperatura ambiente, debido a que en climas fríos la conversión termoeléctrica del diseño es más eficaz. Asimismo, cabe destacar la gran versatilidad del sistema, pudiendo variarse la fracción de energía térmica extraída del lecho geotérmico que se destina a conversión termoeléctrica y, por tanto, a aprovechamiento térmico, sin más que modificar el sistema de anillos Peltier. Por otra parte, este sistema puede ayudar a aliviar la escasez de recursos energéticos, lograr la reducción de las emisiones contaminantes, ahorrar energía y crear un entorno sostenible para la evolución de las viviendas allá donde el recurso geotérmico sea suficiente para abastecer la demanda. Palabras claves: generación térmica y termoeléctrica, energía geotérmica poco profunda, Cogeneración, Conversión termoeléctrica. 9 ABSTRACT The project developed in this Doctoral Thesis ”Análisis de transferencia de calor en un intercambiador geotérmico para aplicaciones energéticas” has been focused on the exploitation of geothermal resource for the thermal energy generation in surface utilities as well as on the thermoelectric generation as secondary process of the energy conversion, resulting in a cogeneration system. The design is based on geothermal heat exchangers and a combined heat exchanger/storage unit at the surface for thermal utilities applications. Thermal energy transportation is made by a heat transfer fluid that circulates in a close loop circuit between geothermal zone and surface. Likewise, the system integrates two thermoelectric devices for electric generation, where the devices are located in the upward and downward duct of the hydraulic circuit to take advantage of the thermal gradient between fluid and surroundings. The Thesis application field is in low and medium enthalpy zones into high enthalpy geothermal areas. In general, geothermal exploits, in high enthalpy areas, occur on a large scale, with wells where, in most cases, they are drilled at depths ranging from several hundred to a few miles of meters. This project takes advantage of the low or medium enthalpy geothermal resource area, which occurs in shallow areas, from 100 to 500 meters, often not used in high enthalpy areas. These systems could be installed as a complement to wells drilled, wells to be drilled, or in areas surrounding the main development. With low economic and operational effort for drilling and installation; this system could be used by small development, taking advantage in areas not profitable, from an economic point of view, for large capacity systems. Systems mentioned before are not intended, in any case, to solve problems to generate big capacity energy, for which there are conventional geothermal systems with power generation plants using steam turbines and electric generators. System operates at a performance of 31.2% taking into account only thermal energy use. If the cogeneration system is used with thermal and thermoelectric use of geothermal energy the yield is increased by up to 54.8%. The development of the project has been based on a simulation process using a scale lab model that looks for reproducing real conditions. As a result of the carried out tests an efficiency of 24% has been found, a value that can be compared to the efficiency in conventional power plants using fossil fuel as primary energy source, although this value does not correspond to real conditions since thermal losses across the surface have been taken into consideration. This value can be increased up to 52% in a real geothermal bed where thermal losses do not exist, improving the efficiency of the conventional power plants (30-40%). On the other hand, if the design is optimized the COP of the system can achieve a value of 1.7, what indicates the system is energetically reliable from the operational point of view. This COP value is within the range of the one for low energy capacity systems that moves between 1.2 and 1.8. 10 The proposed system allows hot water supply as well as heating and lighting to a small housing group, where the ambient temperature has been considered, since the system efficiency increases in cold climates where thermoelectric conversion improves for its design. On the other hand, this system may help to mitigate the energy resource shortage, saving energy and reducing pollutant emissions at the same time, creating a sustainable environment for population development where geothermal resource is high enough to cover energy demand. Keywords: thermal and thermoelectric generation, shallow geothermal energy, cogeneration, thermoelectric conversion. 11 Capítulo 1 Antecedentes Desde tiempos inmemoriales la humanidad ha aprovechado los recursos naturales de los que dispone el planeta con mayor o menor eficiencia; uno de estos recursos es la energía térmica que la Tierra almacena en su interior, en virtud de su estructura geológica, y que se libera al exterior, en ocasiones, en forma de flujo de calor, a este tipo de energía se le conoce con el nombre de energía geotérmica. El calor del manto terrestre se transfiere continuamente hacia la corteza debido a la presencia de un gradiente de temperatura, el conocido gradiente geotérmico. En el campo de la energía geotérmica hay que distinguir entre lo que se conoce como recurso geotérmico y el llamado yacimiento geotérmico, términos que no conviene confundir [1.1]. Se denomina recurso geotérmico a la porción de calor desprendido desde el interior de la Tierra que puede ser aprovechado por el hombre, mientras que yacimiento geotérmico es el espacio de la corteza terrestre en el que se localizan materiales permeables que albergan un recurso geotérmico susceptible de ser aprovechado. De este modo, las condiciones clásicas para la existencia de un yacimiento geotérmico son la presencia de un foco de calor activo, la existencia de un material permeable con su base impermeable, el llamado “almacén geotérmico” por el que circula un fluido, en general agua de origen meteórica en fase líquida o vapor, y una cubierta o sello que impida, o al menos limite, el escape del fluido. La energía geotérmica constituye un recurso energético considerable si se tiene en cuenta que el flujo de calor total a través de la superficie de la Tierra se realiza a un ritmo que duplica el ritmo de consumo total de energía anual de todos sus habitantes, si bien dicho recurso no está uniformemente distribuido en la superficie de la Tierra, concentrándose en las llamadas áreas geotérmicas (fig. 1.1). Introducción [1.1] La fuerza impulsora del flujo de calor hacia la superficie se debe a grandes movimientos de materia, denominadas corrientes de convección, originados como consecuencia de la variación de su densidad con las altas temperaturas. En lugares donde la corteza está adelgazada o fracturada, el magma está más cerca de la superficie de lo que está en otra parte lo que da lugar a que en ocasiones el magma emerge a la superficie, es lo que conocemos como lava. Sin embargo la mayoría de las veces permanece bajo tierra donde, con el tiempo, crea grandes regiones de roca 12 FIGURA 1.1 Regiones geotérmicas en el mundo caliente. El agua de lluvia y la nieve derretida, agua meteórica, pueden filtrarse kilómetros por debajo de la superficie, llenando los poros y las grietas de la roca subterránea caliente; de esta forma, al calentarse el agua filtrada puede alcanzar temperaturas de 260° C o superiores, manteniéndose en estado líquido debido a las enormes presiones a las que está sometida, por encima de los 140 bares. La parte más profunda del sistema, donde el agua caliente satura la roca, es la zona dominada por líquidos, en tanto que a profundidades más superficiales la presión más baja permite que el agua caliente ascendente pueda hervir dando origen a la zona subterránea en la que prevalecen el vapor y el gas, que se denomina zona dominada por el vapor, aunque la mayor parte del vapor se condensa cerca de la superficie, algunas veces llega a la superficie a través de conductos para formar fumarolas (vapores de agua y de gas volcánico). Por otro lado, debajo de la superficie el agua caliente impregnada por vapor sale de la zona dominada por líquidos y llega a la superficie para formar manantiales de aguas termales. Si en lugar de aflorar queda atrapado profundamente debajo de la superficie, forma lo que se conoce como un "reservorio geotérmico" de agua caliente y vapor (fig. 1.2). Un depósito, o reservorio, geotérmico es un área de roca caliente y saturada (permeable) agrietada. El agua y el vapor de estos depósitos sobrecalentados son los recursos geotérmicos que se utilizan para generar electricidad. Así pues, el origen de la energía geotérmica se debe al flujo calorífico que emana de la Tierra y tiene su origen en la gran diferencia de temperatura existente entre el núcleo y la superficie. El flujo de calor es proporcional al gradiente geotérmico, es decir a la velocidad de variación de la temperatura con la profundidad, multiplicado por la conductividad térmica de las rocas. 1.1 Energía geotérmica: fuentes y características El gradiente de temperatura existente entre el manto y la corteza pone en marcha procesos de transporte de calor por conducción y convección del magma fundido que dan lugar a que importantes cantidades de energía calorífica lleguen a acuíferos y rocas próximos a la superficie en determinados puntos de la Tierra [1.2]. Por ende, el gradiente geotérmico expresa el aumento de la temperatura con la profundidad en la corteza terrestre, a profundidades accesibles el gradiente geotérmico medio es aproximadamente de 0.25-0.3°C/km. Por ejemplo, si deseamos aproximar la temperatura por debajo del nivel del suelo, y teniendo en cuenta que en promedio la temperatura media anual del aire exterior es de 15°C, podemos suponer razonablemente que la temperatura será de unos 65°C a 75°C a una profundidad de 2000 m, de 13 FIGURA 1.2 Reservorio Geotérmico 90°C a 105°C a 3000 m y así sucesivamente; sin embargo, hay vastas áreas en las que el gradiente geotérmico está lejos del valor promedio señalado anteriormente. En las zonas en las que la roca profunda ha sufrido un hundimiento la cuenca está llena de sedimentos geológicamente "muy jóvenes" y el gradiente geotérmico puede llegar a valores inferiores a 0.1°C/km. Por otro lado, en algunas "áreas geotérmicas" el gradiente es más de diez veces el valor medio. El flujo calorífico terrestre promedio en los continentes y en los océanos está entre 65 y 101 W/m2 respectivamente [1.3]. Por tanto, se puede afirmar que el gradiente geotérmico no es una magnitud constante sino que varía con los siguientes factores: ● La conductividad térmica de las rocas ● El tipo de reacciones químicas que predominen en la zona, endotérmicas o exotérmicas ● La presencia y concentración de elementos radiactivos, que desprenden calor en su proceso de desintegración ● La proximidad de rocas eruptivas no consolidadas, que aportan calor en forma considerable ● La existencia de aguas termales en la zona considerada ● El alejamiento o proximidad de éstas a los océanos ● La tectónica de la zona, etc. Cuando se miden gradientes de temperatura se observan intervalos en profundidad donde la variación de la temperatura con la profundidad es constante lo que indica que en el flujo geotérmico predomina la conducción, mientras que en las zonas donde la velocidad de transporte de calor viene incrementada por procesos convectivos, por ejemplo presencia de agua, el gradiente de temperatura es bajo. Por el contrario, gradientes de temperatura elevados se producen en estratos sólidos de baja conductividad térmica. Fuente de calor En general la fuente de calor en los sistemas geotermales es una masa de magma a alta temperatura (600-900°C) a profundidades del orden de los 7-15 km. de la superficie terrestre. En estos casos la cámara magmática es la fuente principal de calor del campo geotérmico; otras veces el ascenso de magma se produce en forma rápida y directa, sin formación de cámara o intrusión magmática, originando basaltos, andesitas y rocas afines, con gran dispersión del calor, razón por la que no dan lugar a la formación de sistemas geotérmicos susceptibles de ser utilizados. Reservorio [1.4-1.6] El reservorio geotérmico está formado por roca de alta permeabilidad con un volumen suficiente para contener una cantidad de fluido que asegure su explotación comercial. En algunos casos con permeabilidad secundaria, es decir fracturas en rocas 14 FIGURA 1.3 Modelo de un sistema geotérmico ideal impermeables, la capa rocosa situada encima del reservorio geotérmico posee una baja permeabilidad. En general, esta impermeabilidad es el resultado de la actividad hidrotermal, por la deposición de minerales de la solución, fundamentalmente sílice, o bien los productos de alteración hidrotermal que obturan poros y fracturas (fig. 1.3). 1.2 Clasificación del recurso geotérmico [1.7] 1.2.1 Por su nivel energético: baja y alta entalpía El criterio más común para clasificar los recursos geotérmicos está basado en la entalpía de los fluidos geotérmicos, que actúan como elementos caloportadores desde las rocas calientes profundas hasta la superficie. La entalpía es una función termodinámica que puede considerarse proporcional a la temperatura dentro de unos ciertos límites y se utiliza para expresar el contenido de energía térmica de los fluidos y la disponibilidad de dicha energía en forma de transferencia de calor. Para la clasificación de los tipos de recurso geotérmico en función de su nivel de entalpía, como puede apreciarse en la tabla I, existen diferencias en la clasificación según los autores. 1.2.2 Por la característica del yacimiento ➢ Geotérmico hidrotérmico: existen cinco características que son esenciales para hacer comercialmente viable un recurso geotérmico hidrotérmico, es decir, agua caliente, a saber: ● Una gran fuente de calor ● Un depósito permeable ● Un suministro de agua ● Una capa superpuesta de roca impermeable ● Un mecanismo de recarga fiable Para que un sistema geotérmico de tipo hidrotérmico sea aprovechable deberá caracterizarse por tener una elevada permeabilidad; sin suficiente permeabilidad en la formación, el fluido no será capaz de moverse fácilmente a través de él, es decir, no será capaz de eliminar gran parte de la energía térmica almacenada en la roca. Además, una baja permeabilidad causará un mal flujo del pozo, peor aún, puede impedir cualquier producción del depósito. Sin fluido en el sistema no hay medio de transferencia de calor y la energía térmica de la formación permanecerá en el depósito. A veces se puede remediar una insuficiente permeabilidad mediante medios artificiales tales como 15 Baja entalpía Media entalpía Alta entalpía Tabla I Clasificación de sistemas geotérmicos según su nivel de entalpía (ºC) fractura hidráulica, denominado "hidrofracking", en el que se inyecta líquido de alta presión desde la superficie a través de pozos hasta las fracturas abiertas mediante “craqueo” por tensión. Por otro lado [1.8], sin una gran fuente de calor las temperaturas geo-fluídicas serán relativamente bajas, es decir, la energía térmica del sistema será insuficiente para soportar la explotación, lo que redundará en un escaso aprovechamiento económico. Asimismo, sin una roca impermeable, los geo-fluidos escapan fácilmente a la superficie, aparecen numerosas manifestaciones térmicas y la presión en la formación se disipa rápidamente. Igualmente, sin una recarga fiable y amplia hasta el depósito, el geo-fluido se agotará eventualmente. Una representación altamente esquemática de tal sistema se muestra en la figura 1.4, habiendo sido presentado por primera vez por D.E. White [1.9]. En la figura del modelo, el agua fría de recarga se simula como agua de lluvia (A) que percola a través de fallas y fracturas profundas en la formación donde entra en contacto con rocas calientes. La capa permeable ofrece una trayectoria de menor resistencia (B), y a medida que el líquido se calienta se vuelve menos densa y tiende a elevarse dentro de la formación. Si encuentra una falla importante (C), ascenderá hacia la superficie perdiendo presión a medida que se eleve hasta alcanzar el punto de ebullición (D); allí el vapor emerge como fumarola, fuente termal, un fango o una piscina calentada por vapor (E). La curva de ebullición es el lugar de las temperaturas de saturación que corresponden a la presión hidrostática del fluido local. Los sistemas hidrotermales, en función de las características del fluido producido se dividen en: ● Campos que producen agua caliente: el agua del reservorio tiene una temperatura entre 60-100°C. Pueden encontrarse en áreas de flujo de calor normal o ligeramente superior al normal. Para su explotación comercial la profundidad del reservorio no debe superar los 2000 metros, utilizándose el fluido con fines agrícolas e industriales, así como para calefacción y suministro de agua caliente. Hay campos de este tipo en Argentina, Uruguay, Hungría, Francia, Islandia, Unión Soviética, Italia, y otros países ● Campos que producen vapor húmedo: en estos campos, conocidos como de "líquido- dominante", el reservorio contiene agua a una temperatura mayor de 100°C y una pequeña cantidad de vapor. Durante la extracción se produce una disminución de presión que origina una vaporización parcial del agua, obteniéndose así una mezcla de agua y vapor en la condiciones de saturación, con una baja concentración de gases no condensables. La utilización principal es la 16 FIGURA 1.4 Modelo de un sistema geotérmico hidrotérmico FIGURA 1.5 Esquema ideal HDR generación de energía eléctrica, además de otros posibles usos del agua caliente residual. Como ejemplo pueden citarse los campos de Wairakei (Nueva Zelanda), Cerro Prieto (México), Salton Sea (EE.UU.), Otake (Japón) y Ahuachapán y Berlín (El Salvador) ● Campos que producen vapor sobrecalentado: Estos campos también denominados de "vapor-dominante", producen vapor seco, generalmente sobrecalentado, con una relativamente alta cantidad de gases no condensables como hidrógeno (H2), metano (CH4), sulfuro de hidrógeno (SH2), dióxido de carbono (CO2), nitrógeno (N2), etc. El grado de sobrecalentamiento puede ser de 50°C y se utiliza el vapor para la producción de energía eléctrica. Los campos que producen vapor sobrecalentado son Larderello y Monte Amiata (Italia), Matsukawa (Japón), The Geysers (EE.UU.) y Copahue (Argentina) ➢ Roca Seca Caliente (HDR): La roca seca caliente (HDR) es la fuente más abundante de energía geotérmica disponible para la humanidad. Un vasto almacén de energía térmica está contenido en las rocas de basamento calientes, esencialmente secas e impermeables, que se encuentran en casi todos los espacios bajo la superficie de la tierra; como carecen de fluido en la formación o la permeabilidad es demasiado baja, estos sistemas deben ser "mejorados" mediante ingeniería a través de procesos de fractura hidráulica. Los pozos HDR están precisamente destinados a alcanzar la zona profunda para formar un circuito cerrado por el que circula un fluido determinado (fig. 1.5). ➢ Geo-presión: Son fluidos con presiones mayores que la hidrostática y muy aproximada a la litostática. La presión hidrostática aumenta con la profundidad en proporción aproximada de 0.0968 atm/m, en tanto que la presión litostática varía 0.2333 atm/m. La figura 1.6 muestra una sección transversal simplificada a través de un depósito geo-presionado. Los yacimientos geo-presionados se caracterizan por tres propiedades importantes que los hacen potencialmente atractivos para la explotación geotérmica: ● Muy alta presión ● Alta temperatura ● Presencia de metano disuelto La primera propiedad permite el uso de una turbina hidráulica para extraer la energía mecánica almacenada en forma de alta presión. La segunda permite el uso de un motor térmico de algún tipo para extraer la energía térmica. La última permite la combustión del gas en el sitio para la generación de energía o para la venta para mejorar la economía de un proyecto de desarrollo. 17 FIGURA 1.6 Esquema transversal del yacimiento geo- presionado. ➢ Energía del magma: El siguiente yacimiento geotérmico es el que va directamente a la fuente del calor, a saber, un cuerpo magmático relativamente cercano a la superficie de la Tierra. El método consiste en perforar un pozo en el magma, insertar un tubo de inyección y bombear agua fría por el pozo bajo una gran presión. El líquido frío solidifica el magma fundido en una sustancia vítrea que debería agrietarse bajo el estrés térmico que se le impone; si se puede hacer que el agua retorne a la superficie pasando a través del material vítreo extremadamente caliente y agrietado llegará a la superficie caliente listo para su uso en una planta de potencia que utilice un ciclo de tipo Rankine. ➢ Hidrotermal profunda: Es el último de los yacimientos geotérmicos al que sólo recientemente se ha accedido y comenzado a desarrollar. Los recursos hidrotérmicos profundos son los que se encuentran a profundidades entre 2500 y 4000 m y pueden estar en áreas marcadas por gradientes de temperatura geotérmica normales y, como tales, producir solamente fluidos de temperaturas bajas a moderadas; por ejemplo, en un lugar donde el gradiente es de 30ºC/km, los fluidos encontrados a 4000 m pueden estar a temperaturas entre 120 y 140ºC. Una de las ventajas de la utilización de fluidos geotérmicos es que, a menudo, el fluido de descarga de residuos de una central eléctrica geotérmica se puede utilizar, adicionalmente, para el calentamiento directo de edificios y casas antes de ser reinyectado. 1.2.3 Por el mecanismo de transferencia de calor ➢ Sistemas geotermales convectivos: la convección es el mecanismo más importante de transferencia de calor, debido a la circulación de fluido. Se pueden distinguir: ● Sistemas hidrotermales: generalmente relacionados a intrusiones magmáticas ● Sistemas de circulación: en los que las aguas alcanzan alta temperatura debido a la circulación profunda en áreas con flujo de calor normal o elevado ➢ Sistemas geotermales conductivos: el mecanismo principal de transferencia de calor es la conducción. Pueden ser: ● Acuíferos profundos en lechos sedimentarios, donde si bien existe la transferencia de calor convectivo, éste es despreciable debido a las bajas temperaturas y al pequeño espesor del horizonte permeable ● Roca seca caliente. La formación es impermeable y el agua debe introducirse a través de fracturas producidas artificialmente 1.2.4 Por el perfil geotérmico ➢ Hipertermales: el gradiente de temperatura es superior a 80ºC/km; estas regiones se encuentran generalmente en los límites de las placas tectónicas o volcánicas. Las centrales eléctricas geotérmicas se encuentran cerca de estas áreas ➢ Semi-termales: el gradiente de temperatura se encuentra entre 40 y 80 ºC/km asociadas con anomalías que no están cerca de los límites de placas. Su aprovechamiento es mediante acuíferos naturales o perforando roca seca 18 ➢ Normales: con un gradiente térmico por debajo de 40ºC/km; están asociadas con áreas con un promedio de flujo de calor geotérmico por conducción de 0.06 W/m2 En la práctica, las plantas de energía geotérmica en las regiones hipertermales están asociadas con sistemas hidrotérmicos naturales; en las regiones semi-termales se desarrolla tanto la extracción hidrotermal como de roca caliente en tanto que en las áreas normales existe un gradiente de temperatura demasiado pequeño para el interés comercial, salvo el uso de energía de baja entalpía mediante bombas de calor. 1.2.5 Por el estado de equilibrio del yacimiento: Atendiendo a la circulación del fluido del yacimiento los sistemas se clasifican en: ➢ Sistemas dinámicos: En los sistemas dinámicos el depósito se recarga continuamente por agua que se calienta y luego se descarga desde el depósito, ya sea a la superficie o a las formaciones subterráneas permeables. El calor se transfiere a través del sistema por convección y circulación del fluido. Esta categoría incluye sistemas de alta temperatura (>150°C) y baja temperatura (<150°C) ➢ Sistemas estáticos: También conocidos como estancamientos o sistemas de almacenamiento, sólo hay poca o ninguna recarga en el depósito, y el calor se transfiere sólo por conducción. Esta categoría incluye sistemas de baja temperatura y sistemas geo-presurizados 1.3 Yacimientos [1.9] 1.3.1 Depósito y flujo del pozo El flujo en un pozo geotérmico no puede ser visto aisladamente, debe estar acoplado al flujo del fluido en el depósito. La única excepción a esta regla es cuando el reservorio no ofrece resistencia al flujo del fluido, una imposibilidad física. Aunque no es fácil describir el flujo de un geo-fluido que pasa a través de un pozo más o menos vertical, debido a posibles cambios en el patrón de fase y flujo, se conoce al menos la geometría del conducto. En el reservorio es mucho más difícil, o casi imposible, describir el flujo analíticamente porque la trayectoria del fluido no es conocida; por tanto, el enfoque analítico se basa en el método de "parámetro agrupado" suavizando los detalles y utilizando valores medios de sus propiedades. 1.3.2 Modelo del depósito-pozo: Principios básicos En este enfoque se reemplazan los parámetros problemáticos con cantidades empíricas promedio; esto conduce a ecuaciones de trabajo que producen resultados razonables en comparación con las mediciones de campo. En un sistema como el descrito se puede suponer que la presión del yacimiento es causada por una columna de agua fría distante del pozo, como se muestra en la figura 1.7. La densidad del agua fría excede la del geo-fluido caliente en el sistema depósito-pozo, creando así un sifón natural que hará que el fluido comience a salir del pozo espontáneamente tan pronto como se abre la válvula de cabeza de pozo. Considerando primero sólo el pozo entre los estados 1 y 2, la Primera Ley de la Termodinámica para un sistema abierto en flujo constante puede escribirse como: 19 Q̇−Ẇ=ṁ[ ˙(h2−h1)+ 1 2 ⋅(v2 2 −v1 2 )+g⋅(z2−z1)] (1.1) Donde los términos a la izquierda de la igualdad representan la transferencia de calor y trabajo entre el pozo y sus alrededores, y los términos de la derecha son, por orden, las diferencias de entalpía, energía cinética y energía potencial desde la parte superior del pozo hasta el fondo. Dada la baja conductividad térmica de la roca y el cemento, utilizado para asegurar las cubiertas del pozo, y la rapidez con la que el geo-fluido fluye hacia arriba podemos ignorar el término de flujo de calor en una primera aproximación. Por otro lado, si no hay una bomba en el circuito el término de potencia, flujo de trabajo mecánico, también se puede anular. Asimismo, considerando que trabajamos con un fluido incompresible, y aplicando la ecuación de continuidad, se concluye que el término correspondiente a la diferencia de energía cinética es relativamente pequeña. Así tendremos: h2≃h1−gLw (1.2) donde Lw representa la distancia vertical entre la boca y el fondo del pozo, tal y como aparece en la figura 1.7 Ahora bien, a menos que el pozo sea muy profundo y de baja temperatura, el término gLw será muy pequeño en comparación con la entalpía del fluido y por tanto puede ser ignorado. De esta manera, encontramos que el flujo del pozo puede aproximarse con bastante precisión a un sistema isoentálpico. Si aplicamos la ecuación de momento de la Mecánica de Fluidos al flujo del pozo [1.10, 1.11], se tiene: −dP− dF A −ρ g dz=ρ v d v (1.3) 20 FIGURA 1.7 pozo geotérmico. Donde los términos en el lado izquierdo representan todas las fuerzas, por unidad de área, que actúan sobre un elemento de fluido de longitud dz que pasa por el pozo, y el lado derecho corresponde a la fuerza inercial, también por unidad de área. Las fuerzas que actúan sobre el fluido son, por orden, las fuerzas de presión sobre los extremos de la columna del fluido, las de fricción causadas por el contacto con la envolvente del pozo y la hidrostática debido al peso del fluido por encima del volumen elemental. Observe que todos los términos de fuerza son negativos y se oponen al movimiento del fluido por el pozo, y que consecuentemente la aceleración también será negativa. Dado que es necesario conocer la presión en función de la altura en el pozo, P=P(z), y eventualmente conocer la relación entre el caudal másico, ṁ=ṁ(P2) y la presión de la cabeza del pozo, debemos integrar la ecuación del momento desde el fondo del pozo hasta la cima. Para ello, podemos expresar la fuerza de fricción elemental en términos del factor de fricción, f, o factor de Darcy, como sigue: dF= 1 2 ρ v2 f C⋅dz (1.4) Donde C=2πrh=πDh, siendo rh y Dh, respectivamente, el radio y diámetro hidráulico, que coinciden con el radio y la circunferencia del interior del pozo, si el conducto está completamente lleno. Ahora podemos expresar la diferencia entre la presión del fondo de pozo y la de la cabeza de la siguiente manera: P1−P2=∫ υ 1 υ 2 ρ (z)v (z)dv+ 2 D ∫ z1 z2 f ρ(z) v2 ( z)dz+g∫ z1 z2 ρ (z)dz (1.5) donde el primer término integral corresponde a las fuerzas de presión, el segundo a las viscosas y el tercero a las gravitatorias. La integración formal de los tres términos de la derecha no puede llevarse a cabo a menos que se conozca el factor de fricción, junto a la dependencia de la densidad y la velocidad con la distancia a lo largo del pozo. 1.3.3 Flujo solo líquido Es un caso especial simple que implica la presencia de fluido en estado líquido, únicamente, en el flujo del sistema. En este caso el término de aceleración no existe, y la velocidad, v, y la densidad, ρ, pueden tomarse como constantes. Así, la diferencia de presión a lo largo del pozo viene dada por: P1−P2= 2 f ρ v2 Lw D +g⋅ρ⋅Lw (1.6) Donde el factor de fricción se puede encontrar a partir de la ecuación de Swamee-Jain [1.12] 21 f = 0.25 (log⋅[ ε /D 3.7 + 5.74 R e 0.9 ]) 2 (1.7) Siendo ε la rugosidad absoluta del revestimiento tubular de un pozo perforado (“well casing”) y Re el número de Reynolds, dado por: Re= ρ vD μ = ṁ D μ A = 4 ṁ μ πD (1.8) donde ṁ representa el flujo másico de fluido, μ la viscosidad dinámica del mismo y D el diámetro interno del conducto por el que circula el fluido. 1.4 Aplicaciones La generación de electricidad es la forma más importante de utilización de los recursos geotérmicos a alta temperatura (≥150°C), en tanto que los recursos de temperatura media a baja (<150°C) son adecuados para muchos tipos diferentes de aplicación; esto se observa en el clásico diagrama de Lindal [1.13] (fig. 1.8) o en la figura 1.9 de un modo más general. El diagrama de Lindal muestra los posibles usos de los fluidos geotérmicos a diferentes temperaturas. Hoy en día sigue siendo válido, aunque se debería agregar la generación de energía eléctrica en las plantas de ciclos binarios por encima de 85°C. En el límite más bajo de 20°C, sólo es superado hoy en día y en condiciones muy particulares por el uso de bombas de calor. 22 FIGURA 1.8 Tabla de Lindal FIGURA 1.9 Aplicaciones geotérmicas según la temperatura FIGURA 1.10 Ejemplo de cascada geotérmica (generación de calor y electricidad) El diagrama de Lindal enfatiza dos aspectos importantes de la utilización de los recursos; primero, con el uso combinado es posible mejorar la viabilidad de los proyectos geotérmicos, y segundo la temperatura de los recursos puede limitar los posibles usos. Un ejemplo de uso combinado lo podemos ver en la figura 1.10 [1.14]. Los resultados de la exploración profunda y las características de los líquidos naturales presentes determinan el tipo de planta que se debe elegir (fig. 1.10), bien para la generación eléctrica cuando se producen fluidos de alta entalpía o para la generación de calor con recursos de alta y baja entalpía. Los depósitos geotérmicos son más dinámicos que los depósitos de hidrocarburos, por lo tanto es necesario monitorizar y evaluar continuamente las respuestas de un reservorio específico en todo el programa de exploración y desarrollo para asegurar que el recurso sea lo suficientemente adecuado para la demanda de energía prevista. Un esquema de las tres secciones principales de una operación geotérmica se representa en la figura 1.11, donde se pueden distinguir las siguientes secciones: A. Pozos geotérmicos y equipos de producción de fluidos (extracción y re-inyección) B. Planta geotérmica, donde el fluido es transformado para ser utilizable, bien en forma de agua caliente o vapor C. Red de distribución hacia el usuario final 1.4.1 Térmicas: características, fundamentos básicos [1.15] En las zonas en las que existen aguas termales con baja entalpía, estas se utilizan en balneoterapia, calefacción de viviendas, agricultura, piscicultura y en una amplia variedad de procesos industriales. Las formas de utilización térmicas más conocidas, hoy en día, son el baño, la calefacción urbana y de espacios, las aplicaciones agrícolas, la acuicultura y algunos usos industriales, pero las bombas de calor son las más extendidas. Hay muchos otros tipos de utilización, en una escala mucho más pequeña. 23 FIGURA 1.11 Esquema de la operación geotérmica La calefacción de espacios y urbana ha avanzado mucho en países como Islandia, donde la capacidad total del sistema de calefacción geotérmica en funcionamiento ha aumentado considerablemente. La refrigeración de espacios es otra opción factible, que puede lograrse mediante sistemas de compresión, en los cuales se utiliza energía mecánica para el movimiento del refrigerante responsable de la absorción de energía, enfriamiento, en un ciclo termodinámico, y sistemas de absorción, que emplean no solamente energía mecánica, mucho menor que la de los sistemas de compresión, sino también energía térmica, la cual debe ser proporcionada por una fuente de calor, por ejemplo un sistema geotérmico. Los fluidos geotérmicos proporcionan la energía térmica para conducir estas máquinas, aunque su eficiencia disminuye con temperaturas inferiores a 105°C. El acondicionamiento geotérmico de espacios, calefacción y refrigeración, se ha ampliado considerablemente desde los años ochenta, tras la introducción y el uso generalizado de las bombas de calor. Los sistemas de calefacción geotérmica se pueden dividir en dos grupos principales dependiendo de si el agua geotérmica se utiliza directamente en los sistemas de calefacción doméstica o mediante la transferencia del calor geotérmico al sistema secundario a través de intercambiadores de calor. Este sistema también puede utilizarse para calentar agua. En la agricultura se utilizan fluidos de baja entalpía para establecer y mantener las condiciones óptimas de temperatura para el cultivo de vegetales. Esto se lleva a cabo en campos abiertos mediante la irrigación sub-superficial conjuntamente con un sistema de calefacción del suelo a través de tuberías enterradas, así como también en espacios cubiertos (invernaderos); con ello se logra evitar el deterioro producido por las bajas temperaturas ambientales, extendiéndose los períodos de cultivo y aumentando, por consiguiente, la producción. En una escala menor, las aguas geotérmicas se emplean para calentar ambientes destinados a la cría de animales. También se las utiliza en piscicultura para mantener de una temperatura adecuada para la cría de especies exóticas, mejorar la producción y en algunos casos permite hasta duplicar el ciclo reproductivo. Si bien existen muchos usos industriales potenciales de la energía geotérmica, el número de aplicaciones en todo el mundo es relativamente pequeño. Sin embargo, entre ellos se incluye una amplia gama de usos, incluyendo lixiviación de metales preciosos, deshidratación vegetal, secado de granos y madera, procesamiento de celulosa y papel, procesamiento de tierra de diatomeas, recuperación química y tratamiento de aguas residuales. Las aplicaciones industriales requieren en gran medida el uso de vapor, o agua sobrecalentada, mientras que los usuarios agrícolas pueden usar fluidos geotérmicos de baja temperatura. 24 1.4.2 Termoeléctricas: características, fundamentos básicos Existen centrales geotérmicas de baja potencia, entre 2 y 3.5 MW , de costo relativamente bajo y de rápida instalación que se adaptan particularmente a las fases iniciales de la explotación de un campo geotérmico. El tamaño apropiado de la planta dependerá de la productividad de los pozos y de la potencia total estimada del recurso, si bien es usual la construcción de plantas en módulos de 40-50 MW cuando la producción por pozo es de 4-5 MW. En cuanto a la tecnología utilizada, existen diversos ciclos de generación de energía eléctrica a partir del recurso geotérmico; el ciclo termodinámico se elige dependiendo de las características de los fluidos, pero también de la economía del proyecto. La generación de electricidad tiene lugar, principalmente, en sistemas que utilizan turbinas de vapor convencionales y plantas binarias, dependiendo de las características del recurso geotérmico. Una técnica, todavía muy incipiente, es la generación de energía eléctrica mediante termoelectricidad utilizando el efecto Seebeck por medio del empleo de celdas Peltier, que permite aprovechar la energía calorífica que transporta un fluido geotérmico; en efecto, debido a que los metales que componen una celda Peltier responden de distinta manera a la diferencia de temperatura, si se pone en contacto una de las caras de la celda con el fluido geotérmico, caliente, y se deja la otra en contacto con el medio ambiente, frío, se crea una corriente eléctrica que puede ser aprovechada como fuente de energía auxiliar. Este proceso genera una caída de temperatura en el fluido geotérmico, pero permite a dicho fluido seguir conservando un elevado potencial entálpico que puede ser empleado en una aplicación de carácter térmico, disponiendo ahora de un sistema de cogeneración en el que a partir de una única fuente de energía, la geotérmica, se obtienen dos tipos de energía utilizable, la térmica y la eléctrica. Por otro lado, hay que reseñar que este proceso puede ser eficiente, ya que parte de la pérdida de energía térmica en el fluido se transforma en energía eléctrica. Este proceso será uno de los objetivos de este trabajo estudiando la transferencia de energía “in situ”. 1.5 Tipos de sistemas de aprovechamiento del recurso geotérmico 1.5.1 Directos Los sistemas de aprovechamiento directo son aquellos en los que se obtiene el tipo de energía deseado a partir de la fuente primaria de energía, es decir cuando el aprovechamiento del recurso energético en forma de energía útil se realiza sin necesidad de algún dispositivo que implique un proceso derivado de ciclos termodinámicos. Entre ellos podemos mencionar: ➢ Térmicos. En los sistemas de uso térmico directo se explotan los recursos de baja temperatura localizados en lechos sedimentarios profundos, en los cuales se perfora desde la superficie hasta alcanzar el almacén geotérmico para obtener un flujo constante del fluido geotérmico caliente mediante un proceso llamado sondeo. A través de este sondeo, el fluido es elevado, generalmente por bombeo, hasta la superficie y conducido por un sistema de tuberías a un intercambiador, en el que se obtiene el calor necesario para el uso previsto. 25 La explotación se realiza mediante doblete de sondeos, uno para extraer el fluido geotérmico “sondeo de extracción o explotación” y otro para inyectarlo “sondeo de inyección”, tras ceder el calor, en el mismo yacimiento del que se obtuvo (fig. 1.12). En la figura 1.13 se muestra el uso directo del fluido geotérmico para calentamiento de suelos, en invernaderos, cría de animales y ambientes en general. ➢ Termoeléctricas [1.16]. Como ya se ha mencionado con anterioridad, el uso del efecto Seebeck, mediante el empleo de las llamadas celdas Peltier, da lugar a la generación de corriente eléctrica cuando se crea un gradiente de temperatura entre las caras de la célula (fig. 1.14). El apilamiento termoeléctrico que se presenta en la figura 1.14 es un arreglo de Bi-Te (TEC), basado en módulos de convertidores termoeléctricos, para la conversión del calor geotérmico. Cada módulo TEC (Thermoelectric Energy Conversion) consiste en 127 pares termoeléctricos de tipo p/n. Un módulo TEC comprende contactos de termo-elemento semiconductor tipo p y tipo n, fijados entre dos placas de cerámica, caliente y fría, y conectadas térmicamente en paralelo y eléctricamente en serie. El gradiente de temperatura a través de los contactos induce una tensión debido al efecto Seebeck. Los módulos TEC están separados por intercambiadores de calor de placas de Cu en configuración de contra-flujo. La línea discontinua esboza el segmento del apilamiento para el cual se ha desarrollado el modelo de transferencia de calor. 26 FIGURA 1.12 Esquema simplificado de un sistema de uso directo del calor geotérmico para calefacción FIGURA 1.13 Calentamientos de suelos, ambientes, invernaderos mediante energía geotérmica FIGURA 1.14 Esquema apilamiento termoeléctrico Fuente: C. Suter, Z.R. Jovanovic, A. Steinfeld [1.16] 1.5.2 Indirectos Los sistemas de aprovechamiento indirecto son los que necesitan de procesos termodinámicos intermedios para, a partir de la fuente primaria de energía, obtener el producto final. Entre ellos están: ➢ Térmicos Similar al descrito con anterioridad para sistemas de aprovechamiento directo (fig. 1.13), pero pero con un ciclo termodinámico intermedio (fig. 1.15). Otra de las aplicaciones (fig. 1.16) muestra un sistema de aire acondicionado que opera bajo un ciclo termodinámico por absorción, utilizando el fluido geotérmico como sistema de aporte de energía térmica. ➢ Termoeléctricas Uno de los usos más importantes de los fluidos geotérmicos es la producción de energía eléctrica. La elección del ciclo para la conversión de la energía contenida en el agua y vapor en energía eléctrica depende de sus condiciones físico-químicas, de las características del campo y de la potencia eléctrica generable, descritas básicamente en la sección anterior 27 FIGURA 1.16 Aire acondicionado por absorción FIGURA 1.15 Esquema de bomba de calor con conexión simple al pozo. Fuente: Agence pour les Économies d'Énergie, 1982 BIBLIOGRAFIA [1.1] http://geothermaleducation.org/geo_fmat/geo_excerpt_4_07.pdf. [1.2]Jaime González Velasco. Energías renovables. Reverte, primera edición. Barcelona. 2009. [1.3] Pollack, H. N.; Hurter, S. J.; Johnson, J. R. 1993. Heat flow from the Earth’s interior: Analysis of the global data set. Rev. Geophys., Vol. 31, pp. 267–80. [1.4] Pedro Fernández Díez. Fundamento de la energia geotermica.pdf . Internet. [1.5] Ingrid Stober, Thomas Fritzer, Karsten Obst, Thorsten Agemar, Rüdiger Schulz. Sierra G.Pedro. Energía geotérmica profunda.Instituto Leibniz de Geofísica Aplicada (LIAG), first edition. Alemania. 2017 [1.6] Mary H. Dickson and Mario Fanelli. Geothermal energy: utilization and technology United Nations Educational. John Wiley & Sons, first edition. 1995. [1.7] Malcolm A. Grant Paul F. Bixley. Geothermal reservoir engineering. Second edition-2011. Elsevier. ISBN 978-0-12-383880-3. [1.8] R.Di Pippo. Geothermal power plants. Elsevier, third edition. Massachusetts University. 2012 . [1.9] White, D.E., “Characteristics of Geothermal Resources,” Chap. 4 in Geothermal Energy: Resources, Production, Stimulation, P. Kruger and C. Otte, Eds., Stanford University Press, Stanford, CA, 1973. [1.10] Ryley, D.J., “Analysis of the Flow in the Reservoir-Well System,” Sect. 2.6 in Sourcebook on the Production of Electricity from Geothermal Energy, Kestin, J., Ed. in Chief, R. DiPippo, H.E. Khalifa and D.J. Ryley, Eds.,U.S. Dept. of Energy, Washington, DC, 1980. [1.11] Ryley, D.J., “The Mass Discharge of a Geofluid from a Geothermal Reservoir-Well System with Flashing Flow in the Bore,” Geothermics, V. 9, 1980, pp. 221-235. U.S. [1.12] Ecuacion-de-Swamee-Jain .https://www.scribd.com/doc/119978944/ [1.13] Direct Utilization of Geothermal Energy/2010.www.mdpi.com/journal/energies [1.14] Eleni Patsa, Sadiq J. Zarrouk, and Dirk Van Zyl. The Lindal Diagram for Mining Engineering. GRC Transactions, Vol. 39, 2015. [1.15] Ernst Huenges.Geothermal Energy Systems. Exploration, Development, and Utilization. Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim. 2010. [1.16] C. Suter a, Z.R. Jovanovic a, A. Steinfeld. A 1 kWe thermoelectric stack for geothermal power generation, modeling and geometrical optimization. Elsevier 2012. 28 http://geothermaleducation.org/geo_fmat/geo_excerpt_4_07.pdf Capítulo 2 Sistema de aprovechamiento geotérmico de baja entalpía 2.1 Introducción El recurso geotérmico procedente del subsuelo terrestre puede ser aprovechado para múltiples aplicaciones en función del nivel de entalpía, esto es, de la temperatura a la que corresponda dicho recurso; así pues, podemos hablar de niveles de entalpía bajo, medio y alto en función de la temperatura que se alcance en el lecho geotérmico (ver Tabla 2.1). Es lógico pensar que cuanto mayor sea la temperatura mayor será el nivel de entalpía y, por tanto, mayor la cantidad de energía disponible que se puede extraer del recurso geotérmico. Sin embargo, teniendo en cuenta el perfil vertical de temperaturas nos encontramos que, cerca de la superficie la temperatura es reducida, en tanto que según se aumenta la profundidad dicha temperatura va creciendo a razón de 25-30ºC/km, lo que hace que el valor de la entalpía de la corteza terrestre sea variable con la profundidad [2.1]. De acuerdo con todo lo anterior, una profundidad elevada daría como resultado un alto valor entálpico, pero supone un considerable esfuerzo en la perforación del terreno, tanto en medios como en inversión; por otro lado, la temperatura a ciertas profundidades puede resultar demasiado elevada para el tipo de aplicación, lo que obliga a establecer un rango de profundidades en función del perfil vertical de temperaturas y el tipo de aplicación. Los sistemas de alto nivel de entalpía suelen ir destinados a la generación de energía eléctrica en plantas geotérmicas de gran potencia que utilizan turbinas de vapor o ciclos binarios; por el contrario, los sistemas de baja entalpía están destinados, fundamentalmente, a satisfacer las necesidades de sistemas residenciales, comerciales, sector servicios e industrias cuya demanda de potencia y energía es reducida. 29 Nivel de entalpía Temperatura (ºC) Bajo <90 <125 <100 ≤150 ≤190 Medio 90-150 125-225 100-200 --- --- Alto >150 >225 >200 >150 >190 Fuente [1] [2] [3] [4] [5] Tabla 2.1. Nivel de entalpía según la temperatura del reservorio Las figuras 2.1 y 2.2 muestran, respectivamente, un esquema de los cuatro métodos más habitualmente utilizados en el aprovechamiento de la energía geotérmica para la generación de electricidad de forma masiva mediante turbinas de vapor, y los ciclos termodinámicos asociados a dichos métodos. Nuestro interés se centra en sistemas de baja entalpía que trabajan a temperaturas reducidas, entre 90ºC y 130ºC, lo cual reduce la profundidad del sistema geotérmico y la complejidad del diseño. En general, los aprovechamientos geotérmicos se producen a gran escala, con pozos donde, en la mayoría de los casos, se perforan a profundidades que van de varios centenares a algunos miles de metros. En nuestro caso, la idea es estudiar un sistema que actúe de forma complementaria, es decir, aprovechar la zona de recurso geotérmico de baja o media entalpía, que se presenta en zonas de escasa profundidad, entre 150 y 500 m. Estos sistemas se podrían instalar bien como complemento de los pozos perforados, o por perforar, o en áreas aledañas al desarrollo, con un esfuerzo de perforación e instalación bajo, para utilizarlos en pequeños emprendimientos. Estos sistemas no pretenden, en ningún caso, resolver el problema de generación de energía de gran capacidad, para lo cual ya existen los sistemas geotérmicos convencionales con centrales de generación de potencia mediante turbinas de vapor y generadores eléctricos, sino actuar como fuente de energía para sistemas de media o baja potencia, aprovechando zonas de baja o media entalpía que no resultan rentables desde el punto de vista económico para los sistemas de gran capacidad. La mayor sencillez de diseño, así como la menor complejidad, permiten esperar que la reducción de costes que llevaría aparejado un sistema como el propuesto haga este tipo de sistemas rentables para las aplicaciones de baja o media entalpía. Por otro lado, el uso de un recurso geotérmico de baja entalpía como el propuesto, permitiría el aprovechamiento de muchas zonas actualmente no explotadas y cuyo recurso energético es totalmente viable para aplicaciones como la que se utilizarían con este tipo de sistemas, por ejemplo, dispositivos y equipos eléctricos de baja potencia como motores, compresores, etc. 30 FIGURA 2.1 Sistemas básicos de conversión de energía geotérmica: diseños simplificados de plantas FIGURA2.2 Sistemas básicos de conversión de energía geotérmica: diagramas T-S simplificados de procesos. Entre las ventajas que tiene el aprovechamiento del recurso geotérmico de baja entalpía está el uso de un recurso local en la zona de explotación con la consiguiente reducción de pérdidas energéticas al limitarse la distancia debida al transporte, la independencia de las redes de distribución convencionales, lo que limita la sobrecarga en dichas redes, la posibilidad de establecer sistemas de generación distribuida, con las ventajas que ello conlleva, y la disponibilidad de proporcionar una fuente de energía en aquellas zonas donde no existan redes de distribución. Asimismo, en un sistema de baja entalpía es fácil utilizar sistemas complementarios que permitan generar energía eléctrica además de térmica, lo que lleva a un sistema de cogeneración que resulta siempre de mayor eficiencia que uno simple. 2.2 Configuración Los sistemas de baja entalpía, según hemos mencionado, se corresponden con zonas de reducida profundidad en áreas geotérmicas, en las cuales podemos encontrar distintos tipos de recurso geotérmico, si bien el más habitual es la roca seca caliente (HDR). Por tanto, el sistema de aprovechamiento del calor geotérmico deberá ser, casi obligatoriamente, basado en un método de intercambio calorífico entre el propio lecho (HDR) y un elemento que nos permita obtener, con facilidad, la energía térmica extraída; este sistema, básicamente, consiste en intercambiadores de calor. Puesto que los intercambiadores de calor aprovechan la energía térmica de la zona en la que se encuentran en función de la superficie del mismo, cuanto mayor sea ésta, mayor será la cantidad de energía extraída y, por tanto, aprovechada. Este es el motivo por el que se busca, o bien utilizar intercambiadores de gran tamaño o múltiples intercambiadores de tamaño más reducido. El principal problema que plantea un intercambiador de gran superficie es que, al ser un objeto enterrado a cierta profundidad, requiere de técnicas de excavación, o perforación, que resultan complejas y muy costosas; por ello, la mejor opción es utilizar un sistema de múltiples intercambiadores de pequeño tamaño, cuya superficie total sea equivalente a la de uno más grande. Así pues, con objeto de aprovechar al máximo el recurso geotérmico minimizando el trabajo de perforación, el diseño consistirá en un conjunto de pozos oblicuos de acuerdo con lo que se muestra en las figuras 2.3 y 2.4. 31 FIGURA 2.3 Perforación de pozos horizontales [2.2] FIGURA 2.4 Pozos múltiples [2.3] En el área delimitada para este fin, se perforarán de 6 a 8 pozos oblicuos, conectados a un único pozo vertical (fig. 2.3 y 2.4), los cuales podrán repetirse de acuerdo a las necesidades. Dentro de cada uno de los 6 u 8 pozos se introducirá un intercambiador de calor por donde se hará circular un fluido de trabajo, en este caso agua, al tiempo que se instalará otro intercambiador a nivel superficial con objeto de aprovechar al máximo el nivel entálpìco del fluido caloportador y minimizar la temperatura de retorno, lo que, a su vez favorece el intercambio en la zona del lecho geotérmico incrementando la eficiencia del proceso de transferencia de calor entre lecho y fluido. En esencia, el esquema es simple, se trata de un sistema de doble intercambiador, uno simple en superficie, y otro múltiple en el lecho geotérmico, que aprovechan el recurso geotérmico mediante un doble proceso de transferencia de calor, del lecho a cada uno de los intercambiadores enterrados, y del de superficie al recinto o aplicación a la cual esté destinado la energía térmica extraída. A este proceso hay que añadir el transporte de energía por el fluido caloportador entre el intercambiador múltiple del lecho y el de superficie. Una vista general, en esquema, del sistema propuesto, aparece en la figura 2.5, donde el intercambiador del lecho geotérmico se ha representado como uno solo, por simplicidad. T2< T1 T3 T1>>Th4 Th4 ≈ T3 T1 >Th3 Th3 ≥ T3 T1 ≥Th2 Th2 > T3 T1≈Th1 Th1 >>T3 T1 Th0 FIGURA 2.5 Esquema general de un sistema de aprovechamiento geotérmico de baja entalpía Los símbolos de temperatura que se adjuntan a la figura corresponden a la temperatura de fluido y medio que lo rodea, siendo T1 la temperatura del lecho, T2 la del entorno al que se cede calor, T3 la ambiente, y Thj la del fluido, donde el subíndice j corresponde al nivel de profundidad del terreno. La ventaja de este sistema es que la transferencia de calor en el intercambiador de la zona superficial da lugar a una reducción en la temperatura del fluido, lo que motiva que entre más frío al intercambiador subterráneo incrementando la eficiencia en el intercambio en el lecho geotérmico. Esta configuración, destinada básicamente al aprovechamiento térmico de la energía geotérmica, se puede complementar con un sistema de generación eléctrica mediante termoelectricidad, para lo cual sólo es necesario insertar un dispositivo termoeléctrico en el conducto de ascenso, en el cual, la 32 diferencia de temperatura existente entre el fluido que circula por el interior y el medio rocoso que lo rodea, dan lugar a la generación de electricidad a partir del gradiente de temperatura existente. Esto mismo puede hacerse en el conducto de descenso cuando el fluido retorna hacia el intercambiador geotérmico, ya que en dicha zona el fluido, que se ha enfriado como resultado de la transferencia de calor en el intercambiador de superficie, tiene una temperatura inferior al lecho rocoso que rodea el conducto, pudiendo así generarse energía eléctrica como consecuencia del gradiente de temperatura. A este fin, se colocarán anillos de celdas Peltier en los tubos verticales, un grupo de ellos cuando el fluido de trabajo asciende para llegar a la superficie y otro cuando el fluido de trabajo desciende antes de retornar al intercambiador enterrado. 2.3 Tipo de sistema El aprovechamiento en superficie del calor geotérmico se puede realizar de varias maneras, según sea el tipo de sistema utilizado, directo o indirecto. Un sistema directo transfiere la energía térmica transportada por el fluido caloportador de forma directa al entorno o a la aplicación, sin que medie ningún dispositivo intermedio en el proceso de transferencia; este es el caso de los intercambiadores de calor que se utilizan para calentar un recinto, obtener agua caliente sanitaria (ACS), o almacenar la energía térmica en un acumulador para su uso posterior. En este tipo de sistemas el mecanismo de transferencia de la energía térmica es, fundamentalmente, la conducción, operando a temperatura y presión constante, reguladas por las condiciones termodinámicas del fluido caloportador. Un esquema de este tipo de sistemas lo podemos ver en la figura 2.6 Una alternativa a los sistemas directos son los indirectos, en los cuales la energía del fluido caloportador es transferida a un circuito que, mediante un ciclo termodinámico, es capaz de producir calor o frío. Esta es la base de los sistemas de calentamiento o refrigeración utilizados en los dispositivos de aire acondicionado o calentamiento por bomba de calor, o los sistemas de refrigeración por absorción. Tanto unos como otros requieren una fuente de calor para realizar las transformaciones termodinámicas requeridas; en el sistema de bomba de calor, que trabaja mediante 33 FIGURA 2.6 Esquema general de un sistema de aprovechamiento directo un ciclo de compresión, la fuente de calor se encarga de evaporar un fluido refrigerante que, posteriormente, en otro punto del circuito (condensador) se condensará cediendo calor al recinto para elevar su temperatura, o se utiliza como sumidero del flujo de calor (condensador) que cede al fluido refrigerante, flujo que se ha extraído de un recinto que se está refrigerando mediante un proceso de evaporación. Como se puede apreciar, el modo de operación del ciclo es reversible, operando el intercambiador de calor, bien como fuente, bien como sumidero según se pretenda calentar o refrigerar el recinto. Un esquema del sistema se puede ver en la figura 2.7 (izda). La principal ventaja que tiene estos sistemas es que, aunque su rendimiento termodinámico no sea muy elevado, debido a las pérdidas por transferencia de calor, el llamado Coeficiente de operación (COP), suele estar por encima de la unidad, sin que esto viole ningún principio de la Termodinámica, puesto que el COP sólo tiene en cuenta la energía mecánica y no contabiliza la energía térmica intercambiada con el medio exterior [2.4]. En la práctica, el COP de un sistema de compresión está entre 2.5 y 3 cuando opera en modo calentamiento, y entre 3.5 y 4 cuando lo hace en modo refrigeración, lo que quiere decir que por cada unidad de energía obtenida del fluido caloportador, el sistema genera entre 2.5 y 3 unidades energéticas durante el calentamiento y entre 3.5 y 4 durante el enfriamiento [2.5]. Una situación intermedia se presenta en el caso de utilizar el fluido caloportador como fuente de energía térmica para un circuito de refrigeración por absorción; en dicho sistema (ver figura 2.7, dcha), la energía calorífica procedente del fluido caloportador se emplea en evaporar el soluto de una mezcla, actuando posteriormente dicho soluto como refrigerante en un ciclo termodinámico similar al que opera en el circuito de compresión. El COP de un sistema de absorción es mucho más bajo, entre 0.8 y 1.2, lo que indica que por cada unidad de energía aportada obtenemos, en promedio, una unidad energética para refrigeración; sin embargo, la gran ventaja es que este sistema apenas consume energía eléctrica, en tanto que el sistema de compresión lo hace en cantidad considerable, lo que permite hacerlo funcionar prácticamente con la energía geotérmica como única fuente de energía [2.6]. 34 FIGURA 2.7 Esquema general de un sistema de aprovechamiento indirecto sistema de compresión (izda) y de absorción (dcha) Por último, un sistema de aprovechamiento de la energía geotérmica de baja entalpía sería un convertidor termoeléctrico que utilizara el conocido efecto Seebeck para generar energía eléctrica a partir de una diferencia de temperatura, la que se crea entre el fluido y el lecho de roca circundante tanto en el trayecto de ascenso como en el de descenso (fig. 2.8) [2.7]. 2.4 Sistema híbrido De acuerdo con lo descrito anteriormente, el sistema más adecuado para un mejor aprovechamiento de la energía geotérmica de baja entalpía sería un sistema híbrido de cogeneración formado por un intercambiador múltiple enterrado a una cierta profundidad dentro del lecho geotérmico (fig. 2.9), entre 150 m y 500 m de profundidad, que permita obtener temperaturas entre 90ºC y 120ºC, conectado mediante un circuito hidráulico (fig. 2.10) a un intercambiador de superficie, que será el responsable de aportar energía térmica a cualquiera de los sistemas anteriormente descritos. Este tipo de configuración permitirá multiplicar por seis u ocho la cantidad de energía extraída por cada pozo vertical perforado. Cada uno de los dos conductos, ascendente y descendente, incorporan anillos Peltier formados por celdas curvadas de acuerdo con la geometría del conducto, insertados a intervalos regulares durante una cierta distancia, formando parte de la propia estructura del tubo como elementos del mismo (fig. 2.11). La ubicación de estos anillos Peltier corresponde en superficie y a una profundidad donde el lecho geotérmico que rodea al tubo se encuentra a temperatura superior que el fluido en su viaje de retorno. Al igual que con el sistema de intercambio en el lecho geotérmico, formado por múltiples elementos, el anillo de celdas Peltier se puede configurar en múltiples unidades que se pueden 35 Figura. 2.10 Esquema del sistema de circulación Figura. 2.9 Esquema del intercambiador múltiple en el lecho geotérmico Heat exchanger Anillo Peltier Sistema eléctrico externo FIGURA 2.8 Esquema general de un sistema TEC Figura 2.11 Esquema de la estructura del tubo y anillo Peltier conectar entre sí bien en serie bien en paralelo, con objeto de aumentar el voltaje o la intensidad según se quiera. Este tipo de configuración mejora notablemente la eficiencia del sistema al añadir generación eléctrica a la térmica sin que esta última se vea afectada de gran manera en su rendimiento, de modo que, aplicando una sencilla formulación matemática, tendríamos: o= Q̇s Q̇geo (2.1a) h= Q̇ sẆ  Q̇geo (2.1b) donde ηo es el rendimiento del sistema simple, y ηh el del sistema híbrido que incluye los anillos de celdas Peltier, y donde Q̇ s y Ẇ representan la potencia térmica y eléctrica, respectivamente, aportada por el sistema.. Comparando ambos valores se tiene que: h= Q̇sẆ  Q̇ geo =o Ẇ  Q̇geo (2.1c) que nos muestra una mejora en el rendimiento proporcional a la cantidad de potencia eléctrica generada respecto a la potencia geotérmica extraída. 2.5 Procesos involucrados La generación de potencia eléctrica a partir del recurso geotérmico involucra un conjunto de procesos en los que se verifican transferencias de masa y energía que vienen gobernadas por sus correspondientes ecuaciones generales. Si se pretende caracterizar debidamente el comportamiento del sistema es preciso conocer no sólo los parámetros que gobiernan dichas ecuaciones, sino también los fenómenos físicos que intervienen, fundamentalmente transferencia de calor, dinámica de fluidos y conversión termoeléctrica. Si nos centramos en los procesos de transferencia de calor, de los tres mecanismos fundamentales que engloba dicha transferencia, en nuestro caso están presentes tanto la conducción como la convección, si bien el primero es el más relevante. Por otra parte, hay que tener en cuenta que el transporte de la energía térmica se realiza por medio de un fluido caloportador, que circula por un conducto cerrado, lo cual implica el análisis de los fenómenos asociados a la Dinámica de Fluidos presente en un sistema como éste. Finalmente, si se pretende generar potencia eléctrica mediante conversión termoeléctrica, será imprescindible un detallado estudio de los procesos involucrados, la caracterización de los mismos y el análisis del propio proceso de conversión. En resumen, en un sistema como el descrito, que es el objeto de este trabajo, están presentes diversos fenómenos de conversión de energía, transporte y transferencia de calor y masa, así como fenómenos accesorios, todos los cuales es necesario estudiar si se quiere caracterizar de manera correcta el comportamiento del sistema desde el punto de vista energético. 36 BIBLIOGRAFIA [2.1] R.Di Pippo. Geothermal power plants. Elsevier. ISBN 978-0-08-098206-9. Third edition. Massachusetts University 2012. [2.2] Gráfico de internet, tomado de : https://directionaldrillingkon.blogspot.com/ [ 2.3] Gráfico de internet, tomado de Perforación direccional para pozos de hidrocarburos .Domingo Damián García. Memoria presentada en la Universidad Autónoma Agraria México 2015. [2.4] Linares González Virginia, Innovación y Cualificación,S.L. Replanteo de Instalaciones Solares Térmicas. Energía y agua. IC Editorial. Edición: 1. Málaga España . 2017. [2.5] Ibrahim Dinçer, Mehmet Kanoglu. Refrigeration Systems and Applications. Wiley and Sons, Ltd., Publication. Second Edition. United Kingdom. 2010. [2.6] Rafael Beltrán Pulido.Conversión térmica de energía. Ediciones Uniandes. Colombia. 2008 [2.7] H. Julian Goldsmid. Introduction to Thermoelectricity. Springer Series in Material Science. 37 https://directionaldrillingkon.blogspot.com/ Capítulo 3 Procesos de transferencia de calor 3.1 Procesos de transferencia de calor en el lecho geotérmico El aprovechamiento del recurso energético geotérmico por medio de un sistema que permita la transferencia de energía en forma de calor desde el lecho hasta un fluido caloportador que circula por el interior de un intercambiador, exige el análisis de los fenómenos que tienen lugar en dicho entorno, considerando éste como un medio semi-infinito en el cual se realiza un aporte de energía térmica desde el lecho geotérmico hasta el volumen de control que rodea a nuestro intercambiador (fig. 3.1). Un sólido semi-infinito es un cuerpo idealizado que tiene una sola superficie plana y se extiende hasta el infinito en todas las direcciones. Este sistema se utiliza para indicar que el cambio de temperatura en la parte del cuerpo en la que estamos interesados, se debe a las condiciones térmicas en una sola superficie. La Tierra, por ejemplo, puede considerarse un medio semi-infinito, cuando se desea determinar la variación de temperatura cerca de su superficie. La consideración de medio semi-infinito se basa en el hecho que, aunque el flujo de calor procede de cualquier dirección del espacio que rodea al volumen de control donde se sitúa el intercambiador, éste representa una barrera física para la propagación del flujo que establece la condición de semi- infinitud. Asimismo, en la consideración de medio semi-infinito vamos a suponer que el flujo de calor procedente del lecho geotérmico es isotrópico, lo que implica que el medio sea homogéneo y uniforme. En el análisis de la transferencia de calor supondremos que el volumen de control que rodea a nuestro intercambiador adopta la forma y el tamaño de este último, con dimensiones que exceden en un término diferencial de las del propio intercambiador, de manera que podemos identificar el propio volumen de control con la envolvente del intercambiador asumiendo que VVC=Vint+ΔV con ΔV→0, siendo VVC el volumen de control y Vint el volumen del intercambiador. Análogamente, podemos suponer que SVC=Sint+ΔS con ΔS→0, siendo SVC la superficie del volumen de control y Sint la superficie del intercambiador. Por tanto, la superficie de control corresponderá a la de la cara exterior del intercambiador, en tanto que el volumen de control representa la fracción hueca del 38 Figura 3.1 Esquema de aporte de energía calorífica en lecho semi-infinito lecho geotérmico ocupada por el intercambiador. Estas consideraciones se pueden adoptar desde el punto de vista del análisis matemático de la transferencia de calor entre lecho e intercambiador, si bien en la realidad, existe una ligera desviación debida a los efectos de la capa límite que rodea la pared externa del intercambiador. Por otra parte, en el análisis de transferencia de calor hay que tener en cuenta el transporte de energía calorífica desde la cara externa del intercambiador hasta el fluido caloportador, lo que conlleva el análisis de los fenómenos de conducción a través de la pared del propio intercambiador y, por consiguiente, del factor de transferencia. 3.2 Transporte de calor por conducción: ecuaciones características [3.1-3.2-3.3] Considerando nuestro sistema como un volumen de control (VC) rodeado por el lecho geotérmico que actúa como fuente de energía, podemos analizar el flujo de calor sobre un determinado punto, P, de la superficie que rodea nuestro volumen de control, conocida como Superficie de Control, como un flujo procedente de cualquier punto del espacio que rodea al VC. Sin embargo, con objeto de simplificar la situación, se puede asumir que el flujo de calor procede de las tres direcciones del espacio, considerando que en punto P los flujos de planos paralelos cortan perpendicularmente a los planos coordenados y cruzan el plano a través de P el cual tiene α, β, γ, como cosenos directores a esta normal, de modo que el flujo global de calor viene dado por la expresión: q̇=α q̇x+β q̇ y+γ q̇z (3.1) siendo qx, qy y qz los flujos de calor según las tres direcciones del espacio, asumiendo que dichos flujos son ortogonales y, por tanto, linealmente independientes uno de otro. Si ahora consideramos un sólido con una distribución de temperatura en el tiempo dada por la función: T=f(x,y,z,t), y consideramos que el cuerpo está dividido en secciones cada una de las cuales tiene una superficie característica en la que la temperatura se mantiene constante, superficie isoterma, podemos llevar a cabo el estudio de transferencia de calor suponiendo que dicha transferencia se va a realizar por conducción, al tratarse de un medio sólido. Si, además, suponemos propagación isotrópica del calor, el vector representativo del flujo de calor a través de cualquier punto de la superficie considerada será perpendicular a dicha superficie en el punto y cuyo sentido irá hacia temperaturas decrecientes. Basándonos en estas consideraciones, supongamos las isotermas para la temperatura T y T+δT separadas a una distancia δx. En esta situación, el flujo de calor por unidad de tiempo y área viene definido por: q̇i=−κ ∂ T ∂ i (3.2) 39 Extendiendo esto a cualquier superficie isoterma, y considerando que el flujo de calor atraviesa la superficie de forma perpendicular, podemos poner: q̇n=−κ ∂T ∂ n (3.3) donde κ es la conductividad térmica de la sustancia y ∂T/∂n indica que el flujo es perpendicular a la superficie. La ecuación anterior proporciona el flujo de calor en un punto a través de cualquier superficie, el cual puede ser expresado en función del ángulo con el que el flujo incide sobre dicho punto por medio de la expresión: ∂T ∂n =α ∂T ∂ x +β ∂T ∂ y +γ ∂T ∂ z (3.4) siendo α, β y γ los cosenos directores que definen la incidencia del flujo de calor procedente de cada una de las tres direcciones del espacio sobre la superficie en el punto P, y donde ∂T/∂n indica la dirección del gradiente correspondiente al flujo de calor según la dirección resultante de la combinación de los tres flujos ortogonales, los cuales se pueden definir de la forma: q̇x=−κ ∂T ∂ x (3.5a) q̇ y=−κ ∂T ∂ y (3.5b) q̇z=−κ ∂T ∂ z (3.5c) o bien de forma genérica: q̇=−κ ∇ T (3.6) Si suponemos el caso de un sólido a través del cual el calor está fluyendo sin generación de calor, la temperatura T, en el punto P (x,y,z), será una función continua de x, y, z y t, de modo que se cumple la relación: ρ c ∂T ∂ t +( ∂ q̇x ∂ x + ∂ q̇ y ∂ y + ∂ q̇z ∂ z )=0 (3.7) Dónde ρ es la densidad y c el calor específico a la temperatura T del sólido. Para un sólido homogéneo e isotrópico la conductividad térmica es independiente de la temperatura y la ecuación (3.7) se convierte en: ρ c ∂T ∂ t = −∂ q̇ j ∂ j (3.8) 40 La ecuación (3.8), comúnmente conocida como ecuación de conducción de calor, se convierte en la ecuación de Laplace en el caso de estado estacionario, como el que se está analizando, cuando la temperatura no varía con el tiempo. ∇ 2T= ∂ 2T ∂ x2 + ∂ 2T ∂ y2+ ∂ 2T ∂ z2 =0 (3.9) En el caso que exista convección forzada, utilizando la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de transferencia de calor, hacia o desde un fluido, circulando por un tubo puede ser expresada como: Q̇=h A s ∆T avg=h A s(T s−Tm)avg (3.10) donde Tm es la temperatura del medio, As el área de superficie de la transferencia de calor, ΔTavg la diferencia de temperatura media entre el fluido y la superficie, y donde el valor medio de la diferencia de temperatura viene dado por: ∆T avg= ∆ T i+∆ Te 2 = (T s−T i)+(T s−Te) 2 =T s− T i+T e 2 (3.11) siendo h el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección, Ti y Te las temperaturas a la entrada y salida del fluido, respectivamente, y Ts la temperatura en la superficie. Así pues, el intercambio de energía en forma de calor se puede expresar de la forma: Q̇=h A s ∆ T ln (3.12) Donde ∆ T ln= T i−T e ln ( (T s−Te ) (T s−T i) ) = ∆ T e−∆ T i ln ( ∆T e ∆ T i ) (3.13) siendo ∆Tln la diferencia de temperatura media logarítmica. Observe que ∆Ti=Ts-Ti y ∆Te=Ts-Te son las diferencias de temperatura entre la superficie y el fluido en la entrada y en la salida del tubo, respectivamente. La diferencia media aritmética de temperatura, ∆Tavg, es simplemente el promedio de las diferencias de temperatura entre la superficie y el fluido en la entrada y la salida del tubo. Inherente a esta definición se supone que la temperatura media del fluido varía linealmente a lo largo del tubo, lo cual difícilmente es el caso cuando Ts es constante. En éste caso para T=cte, se debe aplicar la diferencia media logarítmica de temperatura, ΔTln, que se obtiene al seguir el rastro del perfil real de temperaturas del fluido a lo largo del tubo y es una representación exacta de la diferencia de 41 temperatura promedio entre el fluido y la superficie, reflejando el decaimiento exponencial de la diferencia de temperatura. Cuando ∆Te difiere de ∆Ti en no más del 40 por ciento, el error en el uso de la diferencia de temperatura de la media aritmética es menor del 1 por ciento, pero el error se incrementa hasta niveles indeseables cuando ∆Te difiere de ∆Ti en cantidades mayores. Aplicando la ley de Fourier para el transporte de calor a un medio uniforme y homogéneo como el considerado, en el que, además, suponemos que no hay trabajo procedente de procesos de dilatación o contracción debidos a cambios de temperatura, como tampoco la presencia de fuentes de calor otras que la propiamente debida al lecho geotérmico, podemos asumir que el proceso de transferencia de calor es únicamente debido a fenómenos de difusión, por lo que: ∂T ∂ t =α ∇ 2T (3.14) donde T es Temperatura, t es tiempo y α es la difusividad del medio geotérmico. En procesos estacionarios, como el que analizamos, el miembro a la izquierda de la igualdad es idénticamente nulo, por lo que el problema se reduce a la resolución de la ecuación de Laplace para la temperatura; en el caso que haya una evolución del campo de temperaturas y, por tanto, del proceso de transferencia de calor en el tiempo, los problemas son de dos tipos: ➢ Cuerpos que evolucionan hacia un equilibrio térmico (calentamientos o enfriamientos) ➢ Cuerpos que están sometidos a variaciones periódicas de temperatura Dado que nuestro intercambiador es de sección recta circular, consideraremos un tubo de radio interior r1, radio exterior r2, longitud L y conductividad térmica promedio κ. Supondremos que la cara interna y externa de la pared del intercambiador se mantienen a temperatura constante, T1 y T2, respectivamente; asimismo, no hay generación de calor en la pared del intercambiador y la conductividad térmica del material se supone constante. Para una conducción de calor unidimensional a través de la pared del intercambiador, asumimos que la temperatura es función de la distancia desde una de las caras hasta la otra, esto es, T=T(r). A partir de estas consideraciones, podemos aplicar la ley de Fourier para la transferencia de calor a través de la pared como: Q · cd ,w=−κ A dT dr (3.15) o bien, aplicando analogía eléctrica para la conducción térmica: Q · cd ,w= T 1−T2 Rw (3.16) donde el subíndice cd,w indica conducción a través de la pared, y Rw representa la resistencia térmica de la pared, que puede determinarse por medio de la relación: 42 Rw= ln( r2 r1 ) 2πeκ (3.17) siendo r1 y r2 los radios interior y exterior de la pared del intercambiador, y e el espesor. 3.3 Intercambio de calor La transferencia de calor en un intercambiador implica, normalmente, convección en cada fluido y conducción a través de la pared que separa los dos fluidos. En el análisis de los intercambiadores de calor es conveniente trabajar con un coeficiente global de transferencia de calor U o una resistencia térmica R, que explique la contribución de todos estos efectos a la transferencia de calor. La velocidad de transferencia de calor entre los dos fluidos depende de la diferencia de temperatura, que varía a lo largo del intercambiador de calor. Por tanto: 1 U A s = 1 U i A i = 1 U o Ao =R= 1 hi A i +R pared+ 1 ho Ao (3.18) donde Ai=πDiL y Ao=πDoL son las respectivas áreas de la superficie interior y exterior, y los subíndices i y o representan, respectivamente, la cara interior y exterior de la pared del intercambiador que separa los dos fluidos. Cuando el espesor de pared del tubo es pequeño y la conductividad térmica del material del tubo es alta, la relación se puede simplificar de la forma: 1 U ≈ 1 hi + 1 ho (3.19) donde U≈Ui≈Uo. El coeficiente de convección h se calcula mediante la expresión h=kNu/Dh (3.20), siendo Dh el diámetro hidráulico, que coincide con el diámetro geométrico para conductos de sección circular completamente llenos, y cuyo valor viene dado por la expresión Dh=4Ac/p (3.21) para conductos parcialmente llenos, donde Ac es el área de la sección transversal del tubo y p es su perímetro. El número de Nusselt, Nu, viene dado por [3.4]: Nu= ( f 8 )(Re−1000)Pr 1+12.7 ( f 8 ) 0,5 (Pr 2/3 −1) (0,5≤Pr≤2000)(3.103 ΔT=ρ vAΔT (3.23) donde corresponde al calor específico del fluido a la temperatura media, ρ es la densidad del mismo, y A el área del conducto por el que circula. Cuando los cambios de energía cinética y potencial son despreciables, que suele ser el caso, y no hay trabajo exterior, el balance de energía para un sistema de este tipo de flujo estable se reduce a la conocida expresión: Q̇=ṁ∆ h=ṁ c p ∆T (3.24) donde Q̇ es la velocidad de transferencia de calor neto que entra o sale del volumen de control y Δh es la entalpía de proceso [3.5-3.6]. Si no se consideran pérdidas, asumiendo que la pared del intercambiador se mantiene a temperatura constante, se cumple: Q̇=ṁc ccp(Tc , fuera−Tc ,dentro)=ṁh chp(T h ,fuera−T h,dentro) (3.25) que nos indica que el flujo de calor cedido por el fluido caliente es igual al absorbido por el frío, donde el subíndice p corresponde a presión constante y h corresponde al fluido caliente y c al frío. De los dos métodos habitualmente utilizados en el análisis de los intercambiadores de calor, el de diferencia de temperatura media logarítmica, o LMTD, es el más adecuado para determinar el tamaño de un intercambiador de calor cuando se conocen las temperaturas de entrada y salida [3.7]. El método de eficacia NTU, también denominado efectividad de la transferencia de calor, es más adecuado para predecir las temperaturas de salida de las corrientes de fluido caliente y frío en un intercambiador de calor especificado [3.8]. En el LMTD, la velocidad de transferencia de calor se determina a partir de la relación: Q̇=UAs ∆ T ln (3.26) donde As es el área de transferencia de calor y ΔTln es la diferencia de temperatura media logarítmica, que viene dada por: 44 ∆ T ln= ∆ T 1−∆ T 2 ln(∆T 1/∆ T 2) (3.27) Aquí ∆T1 y ∆T2 representan las diferencias de temperatura entre los dos fluidos en los dos extremos, entrada y salida, del intercambiador de calor, respectivamente. Para los intercambiadores de calor de flujo cruzado y multicapa, la diferencia de temperatura media logarítmica está relacionada con el flujo contracorriente ∆Tlm,cf de la forma: ∆ T ln=F ∆T ln ,cf (3.28) Donde F es un factor de corrección que depende de la geometría del intercambiador de calor y de las temperaturas de entrada y salida de los flujos de fluido caliente y frío. 3.3.1 Tipos de intercambiadores Los intercambiadores de calor se fabrican en una gran variedad de tipos, siendo el más simple el intercambiador de calor de doble tubo. En un tipo de flujo paralelo, ambos fluidos calientes y fríos entran en el intercambiador de calor por el mismo extremo y se mueven en la misma dirección, mientras que en un tipo de contra-flujo, los fluidos calientes y fríos entran en el intercambiador de calor por extremos opuestos. En los intercambiadores de calor compactos, los dos fluidos se desplazan perpendiculares entre sí, y tal configuración de flujo se denomina flujo cruzado. Otros tipos comunes de intercambiadores de calor en aplicaciones industriales son intercambiadores de calor de placa y de carcasa y tubo. 45 Figura 3.2 Tipos de intercambiadores La diferencia de la temperatura media logarítmica ∆Tln desarrollada anteriormente está limitada a los intercambiadores de calor de flujo paralelo y de contra-flujo. También se desarrollan relaciones similares para intercambiadores de calor de flujo cruzado y multicapa, pero las expresiones resultantes son demasiado complicadas debido a las complejas condiciones de flujo. En tales casos, es conveniente relacionar la diferencia de temperatura equivalente con la relación de diferencia de temperatura media logarítmica para el caso de contra-flujo dada por la ecuación (3.28). ∆Tln,cf es la diferencia de temperatura media logarítmica para el caso de un intercambiador de calor de contracorriente con las mismas temperaturas de entrada y salida y se determina a partir de la ecuación (3.27) tomando ∆T1=Th,i-Tc,o y ∆T2=Th,o-Tc,i, donde los subíndices i,o corresponden, respectivamente, a la cara interior y exterior, y h corresponde al fluido caliente y c al frío. El factor de corrección para un intercambiador de calor de flujo cruzado y multicapa es siempre menor que la unidad, en tanto que para intercambiadores de calor de contra-flujo, F=1. Por lo tanto, el factor de corrección F para un intercambiador de calor es una medida de la desviación del ∆T lm de los valores correspondientes para el caso de contra-flujo. 3.3.2 Ecuaciones características [3.9] La mayor parte de los procesos se realizan en forma continua, por lo que haremos referencia a la transferencia de calor por unidad de tiempo. La variación de entalpía en el proceso de transferencia de calor desde un fluido caliente a uno frío se puede expresar de la forma: Q̇ p=m · h(Hh ,i−Hh ,o) (3.29) donde H es la entalpía específica a presión constante. Si se trata de un fluido en estado líquido, como es el caso, que experimenta un enfriamiento o calentamiento sin cambio de fase, podemos suponer que el proceso se realiza a presión y volumen constantes, por lo que: Q̇=UA ∆ T (3.30) Donde U representa el coeficiente global de transmisión de calor. La diferencia básica entre las ecuaciones (3.29) y (3.30) está en que, mientras la primera tiene en cuenta únicamente consideraciones de índole termodinámico, la segunda involucra al diseño del intercambiador a través del área del mismo, A, así como la eficiencia del proceso de transferencia por medio del coeficiente U. 3.4 Ganancia de energía: eficiencia El método de la diferencia de la temperatura media logarítmica (LMTD) precisa de múltiples iteraciones para resolver el problema asociado con la transferencia de calor en intercambiadores en 46 muchos de los casos, por lo que, generalmente, se recurre al llamado método de eficacia-NTU, desarrollado por Kays y London en 1955 [3.10]. Este método se basa en un parámetro adimensional denominado eficiencia de transferencia de calor definido como: ε= Q̇ ˙Qmx (3.31) que mide la velocidad relativa de transferencia de calor entre las condiciones operativas reinantes y la situación óptima donde se produce la máxima transferencia. La velocidad operativa de transferencia de calor en un intercambiador de calor puede determinarse a partir de un balance energético en el fluido caliente o frío, y puede expresarse como: Q̇=C c (Tc , o−T c, i)=Ch(T h,i−T h , o) (3.32) donde Cc y Ch representan la capacidad calorífica del fluido frío y caliente, respectivamente. Para determinar la velocidad de transferencia de calor máxima posible en un intercambiador, tomamos como diferencia máxima de temperatura la existente entre la entrada del fluido caliente y la salida del fluido frío, es decir: ∆ T MAX=T h ,i−T c ,o (3.33) Este valor alcanza el máximo cuando: a) El fluido frío se calienta hasta la temperatura de entrada del fluido caliente b) El fluido caliente se enfría hasta la temperatura de entrada del fluido frío Estas dos condiciones no se alcanzan simultáneamente a menos que la capacidad calorífica de los fluidos calientes y fríos sea la misma (Cc=Ch). Cuando Cc≠Ch, el fluido con menor capacidad calorífica experimenta un cambio de temperatura más elevado, lo que motiva que alcance antes la temperatura máxima, momento en el que la transferencia de calor se interrumpe. Por tanto, la máxima tasa de transferencia de calor posible en un intercambiador de calor viene dada por la relación: Q̇mx=Cmin(T h ,i−T c ,i) (3.34) donde Cmin es el más pequeño de Ch y Cc. Aplicación a un pozo geotérmico [3.11-3.13] Se considera un pozo geotérmico vertical que produce agua caliente. Se elige un sistema de coordenadas cilíndricas de acuerdo con la geometría del pozo. El eje Z del sistema de coordenadas se dirige hacia abajo. Se elige una superficie de control cilíndrica coaxialmente con el eje del pozo, a una profundidad arbitraria z. Sus límites superior e inferior son dos planos paralelos y la distancia 47 del uno al otro es dz. El pozo geotérmico se considera como un cilindro de radio interior Rti, radio exterior Re, espesor e y altura z, habiendo situado el origen (z=0) en la superficie. La superficie de control se muestra en la figura 3.1. Para facilitar el análisis, es conveniente dividir el sistema en dos subsistemas, uno de ellos corresponde al fluido circulante en tanto el otro es la roca adyacente alrededor del pozo. La principal característica del fluido que circula es que la transferencia de calor se realiza por convección mientras que en la roca adyacente la conducción, en fase transitoria, es el fenómeno dominante. Dado que las ecuaciones diferenciales que gobiernan los procesos son diferentes para cada uno de los subsistemas, es conveniente tratarlas por separado. La condición de contorno que se impone al sistema es que la temperatura en la superficie límite sea la misma para ambos subsistemas. De acuerdo con lo anterior, podemos escribir la ecuación de equilibrio de la energía interna para el fluido (agua), a medida que circula por el conducto ascendente a través de la tubería de la forma: ṁc dT=2 Rti π U ti(T−T h)dz (3.35) donde ṁ es el caudal másico del fluido, Uti el coeficiente global de transferencia de calor, Th la temperatura en la pared del pozo, y Rti es el radio interno del tubo. Por otro lado, la siguiente ecuación expresa la igualdad de los flujos de calor radiales en la superficie límite entre la terminación del pozo y la roca circundante: 2 Rti π U ti(T−Th)= 2 π κ R f (T h−T e) (3.36) siendo κR la conductividad de la roca, Te la temperatura no perturbada de la roca y f la llamada “función de conducción transitoria de calor”. Este parámetro adimensional depende del tiempo, las propiedades térmicas de la roca y el coeficiente de transferencia de calor global. Los valores de f se obtienen a partir de los parámetros característicos del sistema [3.14] y se encuentran tabulados [3.15]. El coeficiente de transferencia de calor global puede determinarse considerando el flujo de calor en forma radial desde el interior hacia afuera, atravesando los distintos elementos que componen la estructura del sistema, considerando que dichos elementos están conectados en serie de acuerdo con las leyes de analogía eléctrica de la transferencia de calor. El mecanismo de transferencia de calor 48 Figura 3.3 Pozo geotérmico para cada uno de los elementos constitutivos es, sin embargo, diferente, lo que obliga a un tratamiento analítico por separado para cada uno de ellos. En general, en el proceso de transferencia de calor desde el fluido hacia el medio que le rodea se pueden distinguir los siguientes mecanismos: a) Convección forzada en el interior del tubo, cuando el conducto se encuentra parcialmente lleno y coexisten fase líquida y vapor b) Convección natural cuando el tubo se encuentra completamente lleno y el fluido está es fase líquida únicamente c) Conducción a través de la pared del tubo. En este proceso hay que tener en cuenta que el flujo de calor atraviesa tanto el propio tubo como el aislamiento a) En el interior del tubo se crea una capa límite en la zona de contacto con el propio tubo donde se produce un fenómeno de convección forzada, de manera que la transferencia de calor a través de la superficie cilíndrica del grosor de la unidad es: Q̇=2 π R ti hti (T−T ti ) (3.37) siendo hti el coeficiente de convección para el fluido en el interior del tubo, Tti la temperatura de la cara interna del tubo y T la temperatura del fluido en dicha zona. b) Si el anillo se llena con fluido, el calor se transfiere por convección libre. En este caso, la transferencia de calor se obtiene como: Q · =2π Rt 0 ha(T t 0−T t 0 i) (3.38) que depende de la diferencia de temperatura entre la situación inicial, t0i y la final, t0, una vez se ha desarrollado el proceso convectivo, siendo ha el coeficiente de convección natural. c) La transferencia de calor a través de la pared del tubo se propaga por conducción y se expresa mediante la relación: Q · =2 π κa T ti−T t 0 ln ( R t 0 Rti ) (3.39) donde κa es la conductividad térmica del material del tubo, y los subíndices i,o corresponden a la parte interior y exterior del tubo, respectivamente, en tanto que la conducción de calor a través del encamisado se puede calcular de la siguiente manera: Q̇=2 π κs T ci−Tco ln ( Rco R ci ) (3.40) 49 siendo κS la conductividad térmica del encamisado y Rco y Rci los radios exterior e interior del encamisado o aislante del pozo, respectivamente. Finalmente, el calor que se propaga por conducción a través de la lámina de cemento se puede calcular de la siguiente manera: Q · =2 π κ c T c 0−T h ln ( Rh Rc 0 ) (3.41) donde kc es la conductividad térmica de la lámina de cemento, y Rh el radio exterior. Combinando las diferentes ecuaciones, obtenemos: T−T h= Q̇ 2 π R ti ( 1 hti + Rti κa ln ( Rt 0 Rti )+ Rti Rt 0 1 ha + Rti κs ln ( Rc 0 Rci ) + R ti κc ln ( Rh Rc 0 )) (3.42a) Comparando ahora con la siguiente ecuación: Q̇=2 π R ti U ti (T−Th) (3.42b) se puede expresar el coeficiente global de pérdidas a partir de los parámetros característicos del sistema de la forma: 1 U ti = 1 hti + Rti κ a ln( Rt 0 Rti )+ Rti R t 0 1 ha + R ti κ s ln ( Rc0 Rci )+ Rti κ c ln ( Rh Rc 0 ) (3.43) 3.5 Intercambio de calor por convección en medios porosos [3.16-3.17] En un medio poroso el tratamiento del transporte de calor varía en función de las dimensiones del volumen de control considerado. Asumiendo que dicho volumen de control tiene solamente dos superficies a través de las cuales se produce el intercambio, si la distancia entre ambas es pequeña y únicamente se tienen en cuenta uno o dos canales del medio poroso, se puede aplicar directamente la Mecánica de Fluidos convencional, considerando que el transporte de calor se realiza por convección; en cambio, si la distancia es grande, lo que implica la presencia de múltiples canales y cavidades, con una ramificación mucho más compleja, el enfoque convencional no puede ser aplicado [3.18-3.19]. 50 Figura 3.4 Volumen elemental representativo La forma habitual de derivar las leyes que controlan las variables macroscópicas es partir de las ecuaciones estándar que gobiernan el comportamiento del fluido y obtener las ecuaciones macroscópicas haciendo un promedio sobre volúmenes o áreas que contienen muchos poros. El procedimiento consiste en construir un modelo de medio continuo para un medio poroso, basado en el concepto de volumen elemental representativo (r.e.v.) (fig. 3.2), para lo cual se introduce un marco de referencia cartesiano y se consideran los elementos de volumen que son suficientemente grandes en comparación con los volúmenes de poros para obtener promedios de volumen confiables, esto es, los promedios no son sensibles a la elección del elemento de volumen. Seguidamente, se hace una distinción entre una media tomada con respecto a un elemento de volumen Vm del medio, que incorpora material sólido y fluido, y otra con respecto a un elemento de volumen Vf que contiene únicamente fluido. Por ejemplo, si denotamos el promedio de la velocidad del fluido sobre Vm como v=(u,v,w), que corresponde a la velocidad de filtración, velocidad superficial o velocidad de Darcy, y considerando un promedio de la velocidad del fluido sobre un volumen Vf, obtenemos la velocidad media intrínseca V, que está relacionada con v por la relación de Dupuit-Forchheimer, v=φ V (3.44), siendo φ la porosidad [3.20]. Puesto que el medio es considerado continuo, podemos aplicar las leyes de conservación, como por ejemplo la conservación de la masa, lo que nos conduce a la conocida ecuación de continuidad: φ ∂ρ f ∂ t +∇⋅(ρ f v )=0 (3.45) Para un flujo unidireccional en estado estacionario en un medio uniforme aplicaremos la ley de Darcy para encontrar la dependencia entre el caudal y la presión aplicada: u= −K μ ∂P ∂ x (3.46) Aquí ∂P/∂x es el gradiente de presión en la dirección del flujo y μ la viscosidad dinámica del fluido. El coeficiente K es la permeabilidad específica o intrínseca del medio, que es independiente de la naturaleza del fluido aunque depende de la geometría del medio. En el caso de flujo monofásico, como es el nuestro, coincide con la permeabilidad. Para un flujo tridimensional: u= −K μ ∇ P (3.47) donde, ahora, la permeabilidad K es un tensor de segundo orden. Los valores de K para los materiales naturales varían ampliamente, siendo los valores típicos para suelos: grava limpia 10-7- 10-9, arena limpia 10-9-10-12, turba 10-11-10-13, arcilla estratificada 10-13-10 -16, y arcilla no saturada 10-16-10-20, todo ellos expresados en m² [3.20]. 51 En el medio poroso que rodea un pozo geotérmico nos interesa conocer la forma en la que las corrientes de convección transportan energía desde el medio hacia el volumen de control donde se sitúa el intercambiador. Dependiendo del escenario, las corrientes de convección inducidas pueden aumentar o disminuir el flujo de calor en un pozo productor de calor comparándolo con el proceso de transferencia de calor debido a la conducción pura, si bien no es obvio cómo estas corrientes se distribuyen alrededor del pozo. Se considera que las corrientes convectivas causadas por la convección natural se desarrollan debido a las diferencias de temperatura horizontales y verticales en el sistema y por la conducción inicialmente presente, donde se asume que el sistema no tiene flujo neto de agua subterránea que pueda aportar o extraer energía alterando así el transporte de la misma y el balance neto resultante. Si asumimos que en el volumen de control no hay inyección o generación de fluido, sistema de masa constante, sino tan sólo intercambio de energía, lo cual es típico para sistemas de profundidad superficial y media utilizados principalmente para aplicaciones de calefacción y refrigeración, y que no hay flujos cruzados de agua subterránea, que el medio poroso es isotrópico, y despreciando las variaciones iniciales de temperatura, lo que suele ser realista para los intercambiadores de calor poco profundos, podemos aplicar la ley de Darcy para describir el flujo de fluido en el medio poroso saturado, obteniendo la siguiente relación: v= −K μ (∇ P+ρ g k̂) (3.48) donde v es la velocidad del fluido; K la permeabilidad del medio poroso; μ y ρ la viscosidad y densidad del fluido, respectivamente, y P la presión estática a la que está sometido el fluido. La densidad viene dada por la ecuación de estado: =0[1−T−T 0] (3.49) donde el subíndice o indica el estado de referencia y β es el coeficiente de expansión térmica volumétrica. Sin embargo, para dominios realistas de temperatura y presión, las variaciones de densidad con temperatura son las más dominantes [3.21], por lo que es posible despreciar la influencia de la presión. En el caso de haber considerado dicha influencia, ésto afectaría a la convección natural a medida que el agua se vuelve más densa para una presión más elevada. También se muestra claramente que la temperatura da lugar al efecto más significativo sobre las variaciones de densidad en nuestro caso, y que despreciar la dependencia con la presión sólo nos hace sobrestimar ligeramente la fuerza de la convección natural. Como las variaciones de densidad son pequeñas, es posible aplicar la aproximación de Boussinesq [3.22], que indica que las diferencias de densidad en el fluido pueden ser despreciadas a menos que 52 se combinen en términos multiplicados por la aceleración de la gravedad. Por lo tanto, podemos despreciar las diferencias de densidad en la ecuación de conservación de masas y aplicar la ecuación de continuidad para un fluido incompresible ∇ . v=0 ( 3.50) Asumimos, además, la conservación de la energía para ambas fases, sólido y fluido, esto es: (ρ c)m ∂T ∂ t +(ρ c)f v⋅∇ T=∇⋅(κm ∇ T ) (3.51) donde el subíndice f se refiere al fluido y m al medio. El término (ρc)m representa la capacidad calorífica total por unidad de volumen, y κm la conductividad térmica total del fluido y sólido combinados. Estos parámetros corresponden a promedios ponderados de porosidad. Finalmente, T es la temperatura del líquido y del sólido, puesto que se supone que el sistema opera en equilibrio térmico; por tanto, las ecuaciones de conservación de la energía para ambas fases, sólido y líquido, respectivamente se pueden expresar de la siguiente forma: (ρ c)s ∂T ∂ t =∇ (κ s ∇ T ) (3.52a) (ρ c)f ∂T ∂ t +(ρ c)f v⋅∇ T=κ f ∇ 2 T (3.52b) Se supone que la velocidad en el pozo, v, es igual a la velocidad de inyección, la cual depende sólo del radio del pozo y tiene únicamente componente en la dirección vertical. Para estimar el efecto de la conducción sobre la generación de calor, podemos determinar el flujo de calor en el pozo usando la ley de Fourier: ∂Q ∂ t =κm∫∇ T . n̂ dA (3.53) 3.5.1 Influencia del tipo de medio Dado que K depende de la geometría del medio es posible calcularla en términos de los parámetros geométricos; en el caso de lechos de partículas se puede introducir un diámetro medio de partícula o diámetro eficaz, Dp, que permite “homogeneizar” dicho medio. Aplicando la teoría de Carman- Kozeny [3.23] se obtiene: K= D p2 2 180 φ 3 (1−φ )2 (3.54) Dp2= ∫ 0 ∞ Dp 3 h(Dp)d D p ∫ 0 ∞ Dp 2 h(Dp)d D p (3.55) 53 donde h(Dp) representa la función de densidad para la distribución de los diámetros Dp y φ la porosidad. La ecuación de Carman-Kozeny a menudo no es válida en los casos de partículas que se desvían fuertemente de la forma esférica, amplias distribuciones de tamaño de partícula y medios consolidados; sin embargo, se usa ampliamente ya que parece ser la mejor expresión simple disponible. La ecuación de Darcy (3.48) es linealmente dependiente de la velocidad v siempre y cuando la velocidad sea suficientemente pequeña, esto es, el número de Reynolds, Re, aplicado a un poro o al diámetro típico de la partícula sea del orden de la unidad o menor. A medida que v aumenta, se produce una transición desde la situación en la que la resistencia hidrodinámica es lineal a aquella en la que no existe dicha linealidad; esta transición se realiza de manera bastante suave, aumentando el número de Reynolds, desde 1 a 10, si bien esto no significa que el flujo se vuelva turbulento, ya que para tales números de Reynolds el flujo en los poros es todavía laminar. La pérdida de la linealidad se debe, fundamentalmente, a obstáculos sólidos cuyo efecto es comparable con el arrastre superficial debido a la fricción. Pérdidas por fricción en medio poroso Los lechos porosos reales se empaquetan aleatoriamente con partículas de tamaño irregular por lo que la trayectoria de flujo de un fluido a través del lecho comprimido es tortuosa; ésto provoca que las pérdidas por fricción aumenten, lo que reduce la entalpía del fluido a lo largo de su recorrido siendo el principal efecto una pérdida de presión en el fluido. Para calcular la caída de presión, los canales reales se reemplazan por conductos cilíndricos paralelos de sección transversal constante. Asimismo, se supone que las partículas son del mismo tamaño y forma, con esfericidad, ΦS, constante. La caída de presión se produce debido a efectos inerciales y viscosos. Cuando el número de Reynolds es alto prevalecen los efectos inerciales, mientras que los efectos viscosos son importantes a bajo número de Reynolds; por tanto: (∆ P)total=(∆ P)viscoso+(∆ P)inercial (3.56) 54 Tabla 3.1. Esfericidad de partículas Por otro lado, las pérdidas de presión en un medio poroso obedecen a la ley de Ergun [3.24]: ∆ P L ( φ 3 1−φ )( Φs D p ρ f v0 2 )= 150(1−φ)μ f Φs D p v0ρ f +1,75 (3.57) donde L es la distancia recorrida por el fluido en el interior del medio poroso, vo la velocidad del fluido y Φs la esfericidad de la partícula. En función de las pérdidas de carga, se puede definir el factor de fricción para un lecho poroso como: f p= ∆ P L ( φ 3 1−φ )( Φs d p ρ f v0 2 ) (3.58a) o bien: f p= 150(1−φ ) Φ s Re +1.75 (3.58b) Cuando lo que predominan son los efectos viscosos (Re«1), el factor de fricción adopta la expresión f p ≈ 150(1−φ ) Φ s Re (3.58c), que se conoce como Ecuación de Kozeny–Carman; por contra, si lo que priman son los efectos inerciales (Re»1000), f p≃1,75 (3.58d) (ec. de Blake-Plumme). 3.5.2 Ecuación de transporte de energía: ganancia Para establecer el balance de energía en una sección cualquiera del medio poroso, se considerará que el medio es isotrópico, así como que los efectos radiativos, disipación viscosa y trabajo realizado por los cambios de presión son insignificantes. Por otro lado, se supondrá que existe un equilibrio térmico local, de modo que Ts=Tf=T, donde Ts y Tf son las temperaturas de las fases sólida y fluida, respectivamente. Asumiremos, igualmente, que la conducción de calor en las fases sólida y fluida tiene lugar en paralelo de modo que no hay transferencia neta de calor de una fase a la otra. Tomando promedios sobre un volumen elemental de control del medio tenemos, para la fase sólida: (1−φ )(ρ c)s ∂T s ∂ t =(1−φ)∇⋅(k s ∇ T s)+(1−φ)q s g (3.59a) y para la fase fluida: (φ )(ρ cp)f ∂T f ∂ t +(ρ c p)f v⋅∇ T f=(φ )∇⋅(k f ∇ T f )+(φ )q f g (3.59b) donde los subíndices s y f se refieren a las fases sólida y fluida, respectivamente, c es el calor específico del sólido, cP es el calor específico del fluido a presión constante, κ es la conductividad 55 térmica del medio y qg es la generación de calor por unidad de volumen. En la ecuaciones anteriores hemos asumido que la porosidad superficial es igual a la porosidad; esto es aplicable a los términos de conducción, por ejemplo, -ks T∇ s es el flujo de calor conductor a través del sólido, y por lo tanto ∇.(ks Ts)∇ es la tasa neta de conducción de calor en un volumen unitario del sólido. El factor (1–φ) es la fracción de área ocupada por el sólido en relación al área total de la sección transversal del medio. En la ecuación (3.59 b) aparece también un término convectivo a partir de la velocidad de filtración, v· T∇ f, que representa el cambio de temperatura en el volumen elemental debido a la convección del fluido dentro del mismo, por lo que el término (cp)f v· Tf∇ indica la relación del cambio de energía térmica, por unidad de volumen, debido a la convección. Si consideramos que existe equilibrio térmico, Ts=Tf =T, la ecuación (3.59 a) se convierte en: (ρ c )m ∂T ∂ t +(ρ c )f v⋅∇ T=∇⋅(km∇ T )+qm g (3.60) donde la capacidad térmica total por unidad de volumen, la conductividad térmica global y la generación de calor por unidad de volumen del medio, vienen dadas, respectivamente, por las siguientes ecuaciones: cm=1−cc p f (3.61) m=1−s f (3.62) qm g =1−qs g  q f g (3.63) 3.6 Transporte de calor en medio fluido: transporte de masa El proceso de transferencia de energía se puede producir, no solamente por transporte de energía debido a alguno de los mecanismos anteriormente analizados, sino también asociado a un transporte de masa. El término "transporte de masa" se utiliza aquí en un sentido especializado, a saber, el transporte de una sustancia que está implicada como componente (constituyente, especie) en una mezcla fluida. Un ejemplo es el transporte de sal en agua salina. Consideremos un elemento de mezcla fluida de volumen V y masa m, y representemos con el subíndice i el iésimo componente de la mezcla. La masa total es igual a la suma de las masas individuales mi , así m=∑mi . Por lo tanto, la concentración del componente i se define como: C i= mi V (3.64) Consecuentemente, la densidad de la mezcla, ρ, debe ser la suma de todas las concentraciones individuales, esto es: 56 ρ=∑C i (3.65) Si aplicamos el principio de conservación de masas a cada componente de la mezcla se cumple, en ausencia de generación de componentes: ∂ρ ∂ t +∇⋅(ρ i v i)=0 (3.66) Donde vi es la velocidad intrínseca de las partículas del componente i. Sumando para todos los componentes, obtenemos: ∂ρ ∂ t +∇⋅(Σρ i v i)=0 (3.67) O lo que es lo mismo: ∂ρ ∂ t +∇⋅(ρ v )=0 (3.68) siempre que identifiquemos v con la velocidad promedio de la masa: v= 1 ρ∑ ρ i vi (3.69) donde el movimiento de una componente relativa a esta velocidad promedio se denomina difusión. Así pues, la velocidad de difusión del componente i viene dada por: vi – v, de donde el flujo difusivo se puede expresar de la forma: J i=ρ i(vi−v ) (3.70) Por tanto, la ecuación de conservación de la masa queda ahora de la forma: ∂ρ i ∂ t +∇⋅(ρ iV )=−∇ .J i (3.71) Esta ecuación nos permite determinar el transporte de masa en el medio, a partir del cual se puede determinar el transporte de energía asociado a dicho transporte de masa. 57 BIBLIOGRAFIA [3.1] Yunus A. Çengel and Afshin J. Ghajar. Heat and Mass Transfer Fundamentals & Applications. Mc Graw Hill, fifth edition. United States of America.2015. [3.2] Hans Dieter Baehr and Karl Stephan. Springer-Verlag, third edition. Berlin Heidelberg 2011. [3.3] H.S.Carslaw and J.C.Jaeguer. Conduction of Heat in Solids. Clarendon Press, second edition. Oxford. 1959. [3.4] V. Gnielinski. New Equations for Heat and Mass Transfer in Turbulent Pipe and Channel Flow. International Chemical Engineering, 16. (1976). [3.5] Eduardo Cao. 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USA. 2003. 59 Capítulo 4 Dinámica de fluidos y resolución analítica del modelo En este capítulo vamos a estudiar el comportamiento del fluido desde el punto de vista de la Mecánica de Fluidos con objeto de analizar la influencia que dicho comportamiento tiene sobre el balance de energía en la sección del circuito correspondiente al trayecto desde la salida del intercambiador de calor geotérmico hasta la zona donde se ubica el anillo de celdas Peltier. 4.1 Ecuación general del volumen de control: aplicación a nuestro sistema Para analizar el comportamiento del fluido en nuestro modelo debemos relacionar las velocidad de cambio de una propiedad extensiva de nuestro sistema con el cambio de esta propiedad intensiva para nuestro volumen de control, relación dada por el teorema de transporte de Reynolds, el cual nos dice que para un volumen de control fijo arbitrario los cambios habidos en una determinada magnitud a lo largo del tiempo se pueden obtener como suma de los cambios de dicha magnitud, en forma intensiva, en el volumen de control y el flujo asociado a dicha magnitud intensiva a través de la superficie de control que envuelve al volumen de control [4.1-4.2]. Matemáticamente: d dt (B sist)= d dt (∫ VC β ρ dV )+∫ SC β ρ vn dA sal−∫ SC β ρ vn dAent (4.1) donde β= dB dm (4.1a) B y β son la propiedades, extensiva e intensiva, respectivamente, que relacionan las tres integrales, pudiendo B ser cualquier propiedad vectorial o escalar del fluido y dA el diferencial del área de superficie. El miembro de la izquierda de la ecuación 4.1 representa los cambios temporales de la magnitud B, en tanto que el primer término a la derecha de la igualdad representa el cambio en el volumen de control, y los otros dos, los flujos a través de la superficie de control. Para cada elemento dA se tiene una velocidad v que formará un ángulo θ con la dirección normal a dicho elemento. Por tanto, para los términos de flujo se puede escribir: ∫ SC  vn dA sal−∫ SC  vn dAent=∫ SC  ˙dmsal−∫ SC  ˙dment (4.2) donde el flujo másico diferencial a través de la superficie ˙dm=vn dA ha sido aplicado a la fórmula anterior. Si se define n como el vector normal hacia el exterior en cualquier punto de la 60 superficie de control, entonces los términos del flujo se pueden representar por medio de integrales simples que incluyen a v⋅n=vn tanto para flujos salientes positivos como entrantes negativos. Así pues, la variación correspondiente a los términos de flujo se puede expresar de la forma: ∫ SC  v⋅ndA (4.3) Lo que nos permite obtener la forma compacta del teorema del transporte de Reynolds: d dt (B sist)= d dt (∫ VC β ρ dV ) +∫ SC β ρ (v⋅n)dA (4.4) Para resolver la ecuación de la energía, aplicamos el teorema de transporte de Reynolds a la primera ley de la Termodinámica en nuestro volumen de control que rodea la tubería desde la salida del intercambiador hasta donde comienza el anillo de celdas Peltier. Considerando B como la energía E y β como la energía por unidad de masa β=dE/ dm=e se tiene: dQ dt − dW dt = dE dt = d dt ∫ VC e d V ∫ SC ev⋅ndA (4.5) siendo e=einterna+ecinética+epotencial+eotras. En nuestro caso el término eotras es nulo al no haber fuentes de energía distintas a la potencial, cinética o interna, por lo que se puede poner: e=u+ 1 2 v2 +gz (4.6) Un sistema puede incluir numerosas formas de trabajo y podemos expresar la potencia transferida por dichas formas como: Ẇ=Ẇ pẆ psẆ v (4.7) donde Ẇ p corresponde a la potencia transmitida por el trabajo mecánico, como por ejemplo una bomba o una turbina, Ẇ ps es la potencia transmitida por el trabajo realizado por las fuerzas de presión sobre la superficie de control y representa los efectos del flujo y, finalmente, Ẇ v indica la potencia transmitida por el trabajo realizado por las componentes normal y cortante de las fuerzas viscosas sobre la superficie de control. Este último término, por lo general, es muy pequeño en relación con los otros términos en el análisis del volumen de control a menos que se considere una turbo máquina que no estará presente en nuestro sistema. Combinando las ecuaciones 4.5 y 4.7, se obtiene: 61 Q̇−Ẇ ps−Ẇ v= d dt ∫ VC e dV ∫ SC e v⋅n dAẆ p (4.8) Las expresiones correspondientes al trabajo de la bomba y de las fuerzas viscosas se pueden expresar de la forma: Ẇ p=∫ SC pv⋅ndA (4.9) Ẇ v=−∫ SC τ⋅⃗v dA (4.10) donde τ es el vector de esfuerzo sobre el elemento de área dA. Aplicando la ecuación (4.9) a la (4.8): Q̇−Ẇ s−Ẇ v= d dt ∫ VC e dV ∫ SC e p   v⋅ndA (4.11) Combinando las ecuaciones 4.6 y 4.11, y teniendo en cuenta que la entalpía puede expresarse de la forma ĥ=u+(p/γ) (4.12), la forma final de la ecuación de la energía para un volumen de control es: Q̇−Ẇ s−Ẇ v= ∂ ∂ t (∫ VC (u+ 1 2 v2 +g z)ρd ϑ)+∫ SC ( ĥ+ 1 2 v2 +g z )ρ( v⃗⋅⃗n)dA (4.13) donde se ha considerado que el sistema no es homogéneo dentro del volumen de control, dado que puede haber cambios de temperatura que harían que la magnitud u no fuera constante en dicho volumen, razón por la cual se toman derivadas parciales en lugar de totales. Aplicando ahora la expresión anterior a nuestro sistema en estado estacionario, unidimensional, y con una entrada y una salida obtenemos: Q̇−Ẇ s−Ẇ v=−ṁ1(ĥ1+ 1 2 v1 2 +g z1)+ṁ2(ĥ2+ 1 2 v2 2 +g z2) (4.14) Teniendo en cuenta que el flujo másico es constante, podemos reajustar la ecuación anterior de la forma: ĥ1+ 1 2 v1 2 +g z1=(ĥ2+ 1 2 v2 2 +g z2)−q̇+w s+w v (4.15) o bien en términos de altura: p1   u1 g  1 2g v1 2 z1= p2   u2 g  1 2g v2 2 z 2−hqhshv (4.16) 62 donde hq, hs, hv son variaciones de carga debidas a transferencia de calor, a trabajo de partes móviles y a esfuerzos viscosos, respectivamente, γ es el peso específico, p/γ es la carga o altura de presión y el término v2/2g es la carga o altura de velocidad. Por otro lado, si consideramos que el sistema trabaja en el estado estacionario, y que el fluido es incompresible, y asumimos que la energía se conserva, la ecuación 4.5 puede expresarse de la forma: ∑ i (ρ i v i A i)ent=∑ i (ρ i vi Ai)sal (4.17) Esta expresión representa el principio de conservación de la masa o ecuación de continuidad. Por otro lado, dado que nuestro sistema cuenta con una sola entrada y una sola salida, y que se trabaja con un fluido incompresible en el que asumimos densidad constante, se puede poner: v1 A1=v2 A2 (4.18), expresión que representa la conservación del caudal volumétrico del fluido a través de la superficie de control. 4.2 Conservación de la energía: ecuación de Bernoulli generalizada Si consideramos el transporte de fluido entre el intercambiador del lecho geotérmico y la zona donde se sitúa el anillo de celdas Peltier, podemos analizar el balance de energía en dicho trayecto (ver fig. 4.1) para establecer las condiciones del fluido desde un punto de vista energético. Aplicando la ecuación de Bernoulli en su forma básica: P1   v1 2 2g z1= P2   v 2 2 2g z 2 (4.19) donde se observa que los cambios de energía en el fluido se pueden deber a cambios de presión, velocidad o altura. La expresión anterior refleja, simplemente, el principio de conservación de energía mecánica, pero no termodinámica, para lo cual es preciso introducir el término de energía interna, de forma que la ecuación 4.19 se transforma en: P1   v1 2 2g z1u1= P2   v 2 2 2g z 2u2 (4.20) o bien: Em1u1=Em2u2 → ∆Em=∆ u (4.21) 63 FIGURA 4.1. Esquema circuito hidráulico siendo Em la energía mecánica, lo que nos indica que las variaciones de dicha energía modifican la energía interna del sistema, esto es, su temperatura. Por tanto, si queremos que no haya variaciones de temperatura en el fluido, en el trayecto desde el intercambiador geotérmico hasta la zona del anillo de celdas Peltier, es preciso que la energía mecánica se mantenga; ahora bien, dado que en todo recorrido un fluido se ve afectado por las pérdidas mecánicas debidas a la fricción, será necesario compensar dichas pérdidas mediante el aporte de una energía exterior procedente de una bomba. Bajo estas condiciones, la ecuación de conservación de la energía para el fluido vendría representada por la ecuación: P1   v1 2 2g z1u1h p−hL= P2   v2 2 2g z2u2 (4.22a) o bien: −∆Em∆ uh p−hL=0 (4.22b) donde el término hp representa la energía aportada por la bomba y hL las pérdidas mecánicas del sistema. Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, hp=hL+∆Em, de forma que, aplicando la ecuación 4.22b se llega a que ∆u=0, o lo que es lo mismo, no hay pérdida de temperatura debido a la circulación del fluido. En el caso de nuestro modelo trabajaremos con flujo estacionario e incompresible, incorporando una bomba para compensar tanto las variaciones de presión y altura como las pérdidas mecánicas. Como las paredes del conducto son sólidas, por la condición de no deslizamiento, la velocidad en la zona de contacto entre el fluido y el tubo es idénticamente nula, y estaremos, por tanto, fuera de la capa límite; asimismo, el trabajo debido a los esfuerzos viscosos será despreciable frente a otras contribuciones. De este modo, podemos escribir la ecuación general de energía del fluido de la forma: ( p1 γ + 1 2 g v1 2 +z1)=( p2 γ + 1 2 g v2 2 +z2)+ u2−u1−q+ws g (4.23) donde Δu-q=ghL. Como en nuestro sistema la velocidad se puede considerar constante, y el circuito hidráulico solo tiene una entrada y una salida: ( p1 γ + v2 2 g +z1) entrada =( p2 γ + v2 2 g + z2) salida +hbomba−hL (4.24) o bien: ∆ p γ +∆ z+hbomba−hL=0 (4.25) 64 siendo hL la pérdida de carga irreversible por fricción de todos los componentes del sistema de tuberías entre la entrada y salida, sin incluir bombas, las cuales dependen del flujo estudiado, y que viene dada por: hL= epérdida,mec , tubería g = ˙E pérdida,mec , tubería ṁ g (4.26) mientras que la carga útil entregada al fluido por la bomba se expresa de la forma: hbomba= wbomba g = Ẇ bomba ṁ g (4.27) Bajo estas condiciones, el sistema ganará energía cuando se cumpla la condición hp-hL>0, en tanto la perderá cuando hp-hL<0, siendo nulo el balance si, finalmente, hp-hL=0 4.3 Diseño y dimensionado del sistema hidráulico: elementos y dispositivos El diseño del modelo en el laboratorio puede observarse en la figura 4.2 con sus elementos y dispositivos. La tubería de conducción tiene diámetro constante, D=8mm, mientras que la longitud total de la tubería, incluido el intercambiador, es de 5m. Para el diseño del modelo debemos recurrir al análisis dimensional, lo cual implica que se satisfaga el principio de homogeneidad dimensional y aplicarlo a las ecuaciones de control con la finalidad de presentarlas sin dimensiones, identificando grupos adimensionales que se mantengan en el modelo y prototipo, para lo cual se empleará el teorema Π de Buckingham [4.3]. La homogeneidad o semejanza dimensional se basa en tres condiciones, a saber: a) Semejanza geométrica: el modelo debe tener la misma forma que el modelo, pero se lo puede escalar por algún factor de escala constante b) Semejanza cinemática, lo que significa que la velocidad en cualquier punto en el flujo del modelo debe ser proporcional, mediante un factor de escala constante, a la velocidad en el punto 65 FIGURA 4.2 Diseño del sistema hidráulico del modelo correspondiente en el flujo del prototipo c) Semejanza dinámica, que se logra cuando todas las fuerzas en el flujo del modelo se escalan por un factor constante a fuerzas correspondientes en el flujo del prototipo La semejanza geométrica se puede considerar como equivalencia en escala de longitud, la cinemática en escala de tiempo y la dinámica en escala de fuerza. Los puntos fundamentales del análisis dimensional para el proyecto son: • Generar parámetros adimensionales que nos ayuden en el diseño del experimento y en el análisis de los resultados experimentales • Obtener leyes de escalamiento de modo que se pueda predecir el comportamiento del prototipo a partir del comportamiento del modelo Desde un punto de vista mecánico, la relación de semejanza se deberá aplicar para el elemento que aporta energía y potencia al sistema, esto es, la bomba. Aplicando el teorema Π de Buckingham para el análisis dimensional de la potencia de la bomba en el modelo, podemos expresarla como una función que dependa tanto de la propia potencia de la bomba como de las características del fluido, peso específico, caudal y pérdidas de carga, de manera que: f (Ẇ , γ , υ̇ , hL)=0 , a partir de lo cual se obtiene el número adimensional: π 1= Ẇ υ̇ γhL (4.28) que nos permite establecer una relación entre el modelo y el prototipo, de manera que, conocidos el caudal, peso específico del fluido y pérdidas de carga se pueda calcular la potencia de la bomba en el prototipo a partir de la del modelo. Igualmente, si se conoce la potencia de la bomba, es factible determinar las pérdidas de carga en el prototipo a partir de las del modelo, de manera que se pueda establecer un correcto balance de energía en aquél. 4.4 Flujo en una tubería El cálculo del caudal en una tubería completamente llena por la que circula un fluido incompresible, como es nuestro caso, se puede determinar fácilmente, una vez conocidos la velocidad del fluido y el diámetro del conducto, sin más que aplicar la ecuación de continuidad. Sin embargo, el problema surge en la determinación de la velocidad, puesto que el valor que aparece en dicha ecuación corresponde a la función promedio de la distribución de velocidades en el conducto, la cual puede ser muy variable (fig. 4.3). Se define nuestro sistema como un flujo interno donde el conducto cerrado está totalmente lleno y es impulsado principalmente por una bomba. 66 FIGURA 4.3: Perfil de velocidad Asumiendo que la temperatura es constante, el valor promedio de la función velocidad viene dada por la relación: v prom= ∫ 0 R u r 2πrdr  R2 = 2 R2 ∫ 0 R u  r rdr (4.29) donde la función u(r) representa la distribución de velocidad en la sección recta del conducto, siendo R el radio del mismo. Esta expresión nos permitirá determinar el caudal volumétrico y másico, así como otros parámetros dependientes de la velocidad, como el número de Reynolds. Así pues, para cada uno de los caudales tendríamos, respectivamente: υ̇=vprom At=∫ At u (r )dAt (4.30a) ṁ=v prom At=∫ At u r dAt (4.30b) en tanto que para el número de Reynolds: Re= v prom D  = v prom D  (4.31) El número de Reynolds es fundamental en el análisis del balance de energía en un fluido dado que representa la relación entre fuerzas viscosas e inerciales, de manera que el término de energía cinética depende de dicho valor; por otro lado, la expresión del término cinético de energía en un fluido debe ser corregida en función del tipo de régimen bajo el que fluya, laminar o turbulento, lo cual se hace mediante el llamado coeficiente de corrección de energía cinética, α, el cual varía en función del número de Reynolds. De esta forma, se tiene que el término cinético se expresa de la forma:  v2 2g (4.32) donde α =1 para flujo totalmente turbulento y α =2 para totalmente laminar. El valor generalmente aceptado del número de Reynolds crítico, que define la transición entre laminar y turbulento es Recr=2300, si bien no existe un límite perfectamente definido, sino que la transición se produce en torno a dicho valor con un margen no muy bien establecido. La experiencia muestra que es aconsejable tomar como flujo laminar en un conducto cuando Re < 2300, turbulento cuando Re >4 000 y transicional entre estos valores. Esta situación puede influir de manera notable sobre el balance de energía del fluido, dado que la conservación de energía cinética que se asumió anteriormente, como resultado de la aplicación de la 67 ecuación de continuidad para fluidos incompresibles en conductos completamente llenos, pudiera no cumplirse si existe un cambio apreciable en el tipo de régimen bajo el que fluye el fluido. Los cambios de régimen en la circulación del fluido se pueden producir como consecuencia de la aparición de elementos en el circuito, tales como codos, válvulas, entradas y salidas, estrechamientos y ensanchamientos, toberas, etc., todos ellos elementos típicos de un circuito hidráulico. Esta situación se ilustra en la figura 4.4, donde se aprecia que el fluido, después de haber atravesado un obstáculo, recorre una cierta distancia hasta alcanzar un régimen de flujo totalmente desarrollado. La región de transición que se muestra desde la salida del obstáculo, lado izquierdo de la figura, hasta la zona de régimen totalmente desarrollado, marcada por la línea vertical discontinua, implica un cambio en el tensor de esfuerzo, lo cual modifica no solamente la energía cinética del fluido sino también la viscosidad del mismo, lo que, a su vez, influye sobre las pérdidas de carga En general, el valor de la longitud de desarrollo del flujo, Lh se toma como Lh≈ 0,05ReD para régimen laminar y Lh≈10D para régimen turbulento. Para evitar fenómenos transitorios, que puedan alterar el normal balance de energía, la zona de trabajo donde se situará el anillo de celdas Peltier deberá estar lo suficientemente lejos del obstáculo, en nuestro caso la salida del intercambiado geotérmico o el codo de cambio de dirección. En el caso de nuestro modelo, debido al bajo valor de D, Lh es lo suficientemente pequeño para no considerar este tipo de efectos. Sin embargo, en un análisis del circuito completo, sí será necesario tener este efecto en cuenta, especialmente en el paso del fluido por el intercambiador o por la zona del anillo del celdas Peltier. 4.5 Análisis de transporte de energía: pérdidas En el apartado anterior se ha comentado que un cambio en el tipo de régimen influye sobre las pérdidas de carga o de energía del fluido; efectivamente, dado que las pérdidas mecánicas se pueden expresar de la forma: ∆ PL= f L D v2 2 (4.33) donde f es el factor de fricción de Darcy-Weisbach, un cambio en el régimen del fluido modifica el valor de f, de manera que las pérdidas, y con ellas el balance de energía, se modifican. Para el cálculo del factor de Darcy, se utilizan ecuaciones para flujo laminar o turbulento. Esto se debe a que en este estudio se comparan dos tipos de bombas, peristáltica y centrífuga. La primera 68 FIGURA 4.4 Variación del esfuerzo de corte producirá un flujo laminar totalmente desarrollado en una tubería circular recta, con un fluido de trabajo incompresible y para el estado estacionario, por tanto se utilizará la clásica expresión : f= 64 Re (4.34) La segunda bomba, sin embargo, da lugar a un flujo turbulento también totalmente desarrollado, donde el factor de fricción depende del número de Reynolds y la rugosidad relativa ε /D, por lo que se utilizará la fórmula empírica de Haaland [4.4], 1 √ f =−1,8 log( 6,9 Re +( ϵ /D 3,7 )) 1,11 (4.35) donde la rugosidad relativa viene dada por el fabricante del conducto, o bien se determina utilizando el primer diagrama de Moody [4.5]. El primer diagrama de Moody (ver anexo), nos permite obtener de forma gráfica el valor del factor de fricción sin necesidad de recurrir a la resolución analítica de la ecuación de Haaland [4.6], obteniéndose valores muy aproximados con un error máximo estimado del 2%. Uno de los problemas que se presentan a la hora de determinar el coeficiente de fricción mediante el diagrama de Moody o la fórmula de Haaland es que los valores son aproximados; si se quiere una mayor precisión se suele recurrir a la ecuación de Colebrook [4.7] cuyas expresión matemática es: 1 √ f =−2,0 log [ ε /Dh 3,7 +( 2,51 Re √ f ) ] (4.36) Una alternativa, en el caso que la rugosidad relativa no se pueda determinar, es el uso de la fórmula empírica de Blausius [4.8], válida para el rango 3000< Re<100000 f= 0,316 Re 0.25 (4.37) Pérdidas Menores En aquellas zonas del circuito donde se producen efectos transitorios, en los cuales el régimen cambia, o lo hace la velocidad, las pérdidas no pueden ser tratadas de la misma forma, por lo que es preciso introducir un factor de corrección del término cinético distinto al de conductos rectos; este factor tiene en cuenta las características hidrodinámicas del fluido, el cambio de régimen y/o velocidad, y cómo esto afecta a la pérdida de energía o carga. A este factor de corrección se le conoce como coeficiente de pérdida, KL , de manera que: hL=K L v2 2 g (4.38) 69 En consecuencia, la pérdida de carga o energía total vendrá dada por: hL=hL ,mayor+hL ,menor=∑ i f i Li Di v i 2 2 g +∑ j K L , j v j 2 2 g (4.39) El valor del coeficiente KL es característico de cada obstáculo, y su valor se obtiene de forma empírica, tabulándose el resultado. En el anexo podemos ver los valores de los elementos más habitualmente utilizados en circuitos hidráulicos que representan obstáculos en la circulación del fluido. 4.6 Análisis hidráulico del medio poroso: transporte de calor y masa Aún cuando un lecho geotérmico real esté constituido por un medio material sólido como la roca, podemos considerar al sistema como un medio poroso con una cierta porosidad, de manera que puede existir transferencia de calor y masa a través de los conductos que unen los poros de dicho material; esta transferencia de energía, asociada tanto al transporte de calor como de masa es importante en sistemas como el nuestro dado que modifica el planteamiento de un único mecanismo de transferencia de calor en forma de conducción. Las investigaciones de Henry Darcy [4.9, 4.10 ] sobre la hidrología del suministro de agua de Dijon y sus experimentos sobre el flujo unidireccional de estado estable en un medio uniforme revelaron una proporcionalidad entre el caudal y la diferencia de presión aplicada. Si la velocidad con que se infiltra un líquido en el suelo es un vector v de tres componentes (u,v,w), la ley de Darcy en la dirección X, en la notación moderna se expresa por: u= −k μ ∂ P ∂ x (4.40) donde ∂P/∂x es el gradiente de presión en la dirección del flujo (X) y μ la viscosidad dinámica del fluido. El coeficiente k es independiente de la naturaleza del fluido pero depende de la geometría del medio, se denomina permeabilidad específica o permeabilidad intrínseca del medio y tiene dimensiones de L2. En el caso de flujo de una sola fase, se la llama simplemente permeabilidad. En un sistema de tres dimensiones, la ecuación anterior se generaliza de la forma: v=μ−1 [k ]∇ P (4.41) donde ahora la permeabilidad es, en general, un tensor de segundo orden, [k]. Para el caso de un medio isotrópico, la permeabilidad es un escalar y la ecuación (4.41) se puede expresar de la forma: ∇ P= −μ k v (4.42) 70 que nos indica la relación existente entre el gradiente de presión que actúa sobre un fluido y la velocidad que éste adquiere debida a dicho gradiente. Es evidente que, bajo la presencia de un gradiente de presión, un fluido está sometido a la acción de un conjunto de fuerzas que lo hacen desplazarse dentro del medio que ocupa, y que, asociado a dicho movimiento, existe un flujo de energía debido al transporte de masa. En el caso de medios porosos, se puede asumir que el movimiento de un fluido geotérmico en el seno de dicho medio viene regido por su velocidad de desplazamiento, dada por la ecuación (4.41), en la que intervienen, además del gradiente de presión las características del medio representadas por su permeabilidad y viscosidad. En efecto, despreciando los posibles mecanismos de transferencia de calor que puedan existir asociados al movimiento del fluido, el propio movimiento genera un transporte de energía a lo largo del espacio dado que el fluido posee una cierta energía específica que se ha transferido de un lugar a otro; esto es especialmente relevante en el caso de medios porosos, donde, además de los mecanismos de transferencia de calor por conducción a través del medio sólido, se pueden producir otros asociados al desplazamiento de un fluido en el seno del medio que constituye el lecho geotérmico, siempre que éste sea poroso. Desde un punto de vista puramente mecánico, el transporte de masa se puede considerar como un movimiento que se rige por las leyes de la Cinética, teniendo una velocidad que viene dada por la relación (4.41). Por otro lado, sin embargo, el fluido está sometido a las leyes de la Dinámica y, por tanto, son aplicables las relaciones desarrolladas en este capítulo y que han sido utilizadas para analizar el comportamiento del fluido caloportador; esto quiere decir que, en el caso que el lecho geotérmico que constituye nuestra fuente de calor sea un medio poroso, y se encuentre en contacto con un fluido, generalmente agua, con una entalpía similar a la del propio lecho geotérmico, se deberán considerar, no solamente los mecanismos clásicos de transporte de calor por conducción sino los asociados al desplazamiento de la masa de fluido bajo la acción de un gradiente de presión. En caso que ésta fuera la situación presente, la transferencia de energía debida al movimiento del fluido vendría dada por: Φe= e t = em+et l / v (4.43) donde l representa el camino recorrido por el fluido desde su posición inicial hasta la superficie de control del intercambiador geotérmico a través del lecho geotérmico poroso. Teniendo en cuenta las características geométricas del medio, y recurriendo a la ecuación (4.41), la ecuación anterior se puede poner de la forma: Φe= em+e t LΓ k μ ∇ P (4.44) 71 siendo Γ la tortuosidad del medio poroso y L la distancia recta entre la posición inicial del fluido y el punto del intercambiador de calor geotérmico donde se produce el contacto. Por otro lado, es preciso considerar posibles efectos convectivos en el movimiento del fluido geotérmico dentro del medio poroso, lo cual hace que la ecuación (4.44) se transforme en: Φe= em+e t LΓ k μ ∇ P+hΔT (4.45) donde h es el coeficiente de convección y ΔT la diferencia de temperatura entre el fluido geotérmico y el fluido caloportador, asumiendo que este último se encuentra en equilibrio térmico con las paredes del intercambiador geotérmico que lo limita. Si consideramos que el fluido geotérmico llega con velocidad nula a la pared del intercambiador, y que ésta representa el nivel cero de altura, se puede poner: em= PFG γ +L− f FG 2 g LΓ D p ( k μ ) 2 (∇ P)2 (4.46) siendo PFG la presión del fluido geotérmico, fFG el factor de Darcy de dicho fluido y Dp el diámetro hidráulico del conducto poroso. Es de reseñar que el valor de la energía mecánica ha sido normalizado a unidades de longitud. Teniendo en cuenta que el transporte de energía debido al transporte de masa, dentro de un lecho geotérmico hacia un intercambiador situado en una posición determinada, se puede considerar como unidireccional, la ecuación (4.46) se transforma en: em= PFG γ +L− f FG 2 g LΓ D p ( k μ ) 2 ( Δ P L ) 2 (4.47) Análogamente: e t= cFG g ΔT (4.48) siendo cFG el calor específico del fluido geotérmico. Combinando las ecuaciones (4.45) a (4.48) se obtiene: Φe= kΔ P μ L2 Γ [ PFG γ + L− f FG 2 g LΓ D p ( k μ ) 2 ( Δ P Γ ) 2 + cFG g ΔT ]+hΔT (4.49) 72 ecuación que nos permite conocer el flujo de energía procedente del movimiento de un fluido geotérmico en el seno de un medio poroso a partir de sus propiedades y características termodinámicas. Uno de los principales problemas que presenta la ecuación anterior es la determinación de las propiedades del medio, en particular su permeabilidad, la cual, como es conocido, depende de la porosidad del mismo. Para la determinación de la permeabilidad se aplican los principios de Hidráulica a un medio poroso, partiendo de la ecuación de la velocidad del fluido que circula por el medio poroso (ec. 4.41), y determinando su flujo a través de dicho medio. La permeabilidad de un medio poroso, que nos da idea de la facilidad con que el agua fluye a través de materiales permeables, se puede determinar a partir de sus parámetros característicos por medio de la relación: k=K μ ρ g (4.50) donde K es la conductividad hidráulica de dicho medio, la cual se puede determinar a partir de la ecuación (4.41) teniendo en cuenta que: p2−p1=γ (h2−h1) (4.51) siendo p la presión y h la altura hidrostática del fluido en dos puntos 1 y 2, cualesquiera, del recorrido. Combinando las ecuaciones (4.41), (4.50) y (4.51), asumiendo que el gradiente de presión y de altura se producen en una variación de longitud ∆L, y teniendo en cuenta la ecuación de continuidad, se obtiene: K=−υ̇ AT ∆ L ∆ h (4.52) donde υ̇ representa el caudal del fluido en el medio poroso, AT el área de la sección recta del conducto poroso por el que circula el fluido y Δh es la pérdida de presión a través de la muestra. Se ha demostrado que la ecuación de Darcy del movimiento del fluido define con precisión la relación entre la velocidad de descarga y el gradiente hidráulico en todo el suelo saturado de grano fino y grueso, no así para grano muy grueso donde el flujo sea tan rápido que entre en régimen turbulento. 73 BIBLIOGRAFIA [4.1] Yunus Çengel & John Cimbala. Mecánica de fluidos fundamentos y aplicaciones. McGraw-Hill, first edition. 2006. [4.2] Frank White. Mecánica de Fluidos. McGraw-Hill, 5º edición. 2003. [4.3] E. Buckingham, «On Physically Similar Systems: Illustrations of the Use of Dimensional Equations», Phys. Rev., vol. 4, núm. 4, 1914, págs. 345-376. [4.4] S. E. Haaland, «Simple and Explicit Formulas for the Friction Factor in Turbulent Pipe Flow», J. Fluids Eng., marzo 1983, págs. 89-90. [4.5] L. F. Moody, «Friction Factors for Pipe Flow», ASME Trans., vol. 66, págs. 671-684, 1944. [4.6] Eugene F. Adiutori. 2009.Why the Fluid Friction Factor should be Abandoned, and the Moody Chart Transformed. The Open Mechanical Engineering Journal. [4.7] C. F. Colebrook, «Turbulent Flow in Pipes, with Particular Reference to the Transition between the Smooth and Rough Pipe Laws», J. Inst. Civ. Eng. Lond., vol. 11, 1938- 1939, págs. 133-156. [4.8] Roberto Mauri. Transport Phenomena in Multiphase Flow. Springer, first edition. Italy. 2017. Page 141. [4.9] B.B.S. Singhal & R.P. Gupta. Applied Hydrogeology of Fractured Rocks. Springer, second edition. London, New York. 2010. [4.10] D. B. Ingham & I. Pop. Transport Phenomena in Porous Media. Elsevier, first edition. 74 Capítulo 5 Termoelectricidad La energía geotérmica es una de las mayores fuentes de energía renovable según la Evaluación Mundial de la Energía (WEA, 2000). Entre la ingente cantidad de recursos geotérmicos, una gran proporción corresponde a bajas temperaturas (<150ºC). La tecnología de uso frecuente para generar electricidad mediante este tipo de energía geotérmica de baja entalpía u otra energía térmica es el generador de energía binaria de ciclo orgánico de Rankine (ORC). Li [5.1] señaló posibles direcciones para acelerar el crecimiento de la energía geotérmica; una de las soluciones puede ser la utilización a gran escala de la tecnología TEG (Thermo Electric Generation). Desde 1821, muchas investigaciones se han focalizado en la aplicación de materiales termoeléctricos. Thacher [5.2] desarrolló un generador de energía termoeléctrica utilizando el calor del tubo de escape del automóvil, con una potencia máxima de 255 W. Kajikawa y Onishi [5.3] desarrollaron un avanzado sistema de escape de conversión termoeléctrica en una camioneta. Maneewan y Chindarksa [5.4] investigaron las características y el rendimiento de los módulos TEG para la generación de energía a bajas temperaturas; la unidad alcanzó una potencia de salida de 2.4 W con un gradiente de temperatura de aproximadamente 150ºC, siendo la eficiencia de conversión de alrededor del 3,2%. Hsu [5.5] desarrolló un sistema de calor residual a baja temperatura para utilizar también el calor del escape del automóvil; cuando la velocidad de giro del motor alcanzaba 3500 RPM se obtenían 12,4 W de potencia de salida máxima a una diferencia de temperatura promedio de aproximadamente 30°C. También se han desarrollado muchos otros proyectos y modelados numéricos de sistemas TEG. En esta Tesis, como último de los procesos involucrados, se tratará la conversión termoeléctrica como una aplicación a nuestro dispositivo para incrementar la eficiencia del sistema, utilizando el efecto Seebeck por el cual, a partir de la generación de un gradiente de temperatura se puede obtener corriente eléctrica con una cierta diferencia de potencial. Como los efectos termoeléctricos están relacionados, se mencionará el efecto Peltier, inverso al efecto Seebeck, que genera una diferencia de temperatura a partir de la presencia de un gradiente de potencial eléctrico y el efecto Thomson, relacionando ambos. Para ello se utilizará un dispositivo (TEG), conocido como celda Peltier, el cual puede ser aplicado para ambos casos. La figura 5.1 muestra un ejemplo de los dos modos básicos de trabajo. 75 Figura 5.1. Dispositivo termoeléctrico: modo refrigeración y modo generación de potencia. 5.1 Efecto Termoeléctrico: fundamentos y características Se denomina efecto termoeléctrico a la interacción entre un fenómeno eléctrico y otro térmico [5.6]. Probablemente el más conocido sea el efecto Joule, que nos indica que cuando una corriente eléctrica atraviesa un material, este se calienta. Este fenómeno se comprende en términos de la resistencia que ofrece la materia al movimiento electrónico; al moverse los electrones sufren choques con los núcleos del material y ceden parte de su energía cinética que se disipa en forma de calor. La potencia de calor disipado, que de forma general podemos expresar como Q̇= ∂Q ∂ t (5.1), para el caso del efecto Joule viene dada por la siguiente expresión: Q̇=I 2 R (5.2), donde I es la intensidad de la corriente que circula y R es la resistencia eléctrica del conductor. Si se fuerza una corriente a través de un circuito formado por dos conductores, A y B, de distinta naturaleza, sucede que una de sus uniones absorbe calor y la otra lo cede, como consecuencia del trabajo realizado por la corriente a través de la resistencia que supone la unión de los dos conductores, cuyos niveles de Fermi tienen valores diferentes. La potencia calorífica intercambiada en la unión entre A y B, conocido como efecto Peltier, está dada por Q̇=IΠAB (5.3), donde ΠAB es el coeficiente Peltier para la unión de los dos materiales, A y B. Dado que la corriente debe fluir de manera continua por la unión, el flujo de calor asociado producirá una discontinuidad, al ser A y B diferentes, provocando una divergencia distinta de cero en la unión y, por tanto, el calor se acumulará o se emitirá allí, según el signo de la corriente. Es preciso hacer notar que el enfriamiento en la unión se producirá cuando los electrones fluyen de una región de alta densidad a una región de baja densidad, por lo tanto se “expanden” y se enfrían, como un gas ideal, en tanto que el calentamiento corresponde al proceso inverso. En un circuito formado por dos conductores distintos (figura 5,1), y cuyas uniones se encuentran en medios con temperaturas distintas (T y T+∆T), aparece entre ambas una fuerza electromotriz, fem, a veces llamada fuerza termo electromotriz, como en este caso, siendo conocido este efecto como‐ “efecto Seebeck”. En caso de que el circuito se encuentre cerrado, se establece el consecuente flujo de corriente eléctrica. Esta fem es función de la naturaleza de los conductores, reflejada por el coeficiente Seebeck, αAB, y de la diferencia de temperaturas a través de la unión del par metálico: fem=−α AB ∆ T=(α A−α B)∆ T (5.4) donde αA y αB son las potencias termoeléctricas absolutas de los metales A y B, respectivamente, que son características de cada metal. Esta expresión está simplificada dado que en general αAB no es constante sino que depende de la temperatura. De modo más general se define de la forma: α AB= ∂ fem ∂T (5.5) 76 El efecto Seebeck constituye el principio de funcionamiento de los llamados termopares o termocuplas. La explicación microscópica del efecto Seebeck requiere entender el comportamiento de los electrones en metales; en un metal, no todos los electrones se encuentran unidos a un átomo particular, sino que algunos pueden moverse dando origen a la conductividad eléctrica de estos materiales. En general, cada metal presenta una densidad de electrones libres diferente, por lo que cuando se ponen dos metales en contacto los electrones libres de cada uno se difunden dentro del otro metal tendiendo a homogeneizar la densidad electrónica localmente. Debido a la diferencia de densidad electrónica, y a que cada electrón posee una carga eléctrica, los metales en la unión se cargan opuestamente; esta diferencia de carga produce una diferencia de potencial a través de la unión bimetálica. La difusión de electrones de un metal en el otro depende de la temperatura; si se tienen dos uniones bi metálicas a distintas temperaturas como en la figura ‐ 5.1, existirá una diferencia de potencial entre las uniones, y si el circuito se cierra fluirá una corriente. Lo mismo sucede si se usan uniones de semiconductores con distinto grado de dopaje, los cuales poseen distintas densidades de electrones disponibles en la banda de conducción. En muchos materiales el coeficiente Seebeck no es una constante, sino que depende marcadamente de la temperatura. En consecuencia, un gradiente de temperatura resultará en una variación de dicho coeficiente, y el efecto debe tratarse de modo diferencial. Tanto la generación de energía eléctrica como la aparición de un salto térmico en la unión de dos conductores se debe a la existencia de un flujo de electrones, en uno u otro sentido, proceso que se conoce como efecto Thomson [5.7]. Este efecto es una manifestación de la dirección del flujo de los portadores eléctricos con respecto a un gradiente de temperatura dentro de un conductor; éstos absorben energía en forma de calor, que fluye en una dirección opuesta a un gradiente térmico, aumentando su energía potencial, y cuando fluyen en el mismo sentido que el gradiente térmico liberan calor disminuyendo su energía potencial. Este efecto se relaciona con el calentamiento o enfriamiento en un único conductor homogéneo cuando una corriente pasa a lo largo de él en presencia de un gradiente de temperatura. Como se puede apreciar, los efectos Seebeck y Peltier son opuestos, por lo que sus coeficientes están directamente relacionados a través del salto térmico existente de acuerdo con la siguiente relación: ΠAB=ΔT α AB (5.6) El hecho de que los efectos Seebeck y Peltier se produzcan sólo en las uniones entre conductores de diferente naturaleza podría sugerir que son fenómenos interfaciales, pero en realidad dependen de las propiedades generales de los materiales involucrados. En efecto, cuando una corriente pasa de un material a otro, la energía transportada por los electrones altera la estructura de bandas de energía de la unión, y la diferencia aparece como calentamiento o enfriamiento en dicha unión, es decir, como el efecto Peltier. Del mismo modo, cuando la unión se calienta, los electrones pueden 77 pasar del material en el que los electrones tienen la energía mayor a la zona donde la energía sea más baja, dando lugar a una fuerza electromotriz. Thomson mostró que un termopar, unión de dos conductores de diferente naturaleza, es un tipo de motor térmico y que, en principio, podría usarse como un dispositivo para generar electricidad a partir del calor o, alternativamente, como una bomba de calor o un refrigerador. Sin embargo, debido a que los efectos termoeléctricos reversibles están siempre acompañados por los fenómenos irreversibles del calentamiento y la conducción térmica de Joule no son procesos muy eficientes. Más tarde, Altenkirch [5.8, 5.9] demostró que los buenos materiales termoeléctricos deberían poseer valores elevados del coeficiente Seebeck, alta conductividad eléctrica y baja conductividad térmica. Es necesaria una alta conductividad eléctrica para minimizar el calentamiento de Joule, mientras que una baja conductividad térmica ayuda a retener el calor en las uniones y mantener un alto gradiente de temperatura. Estas tres propiedades se incorporaron más tarde en la llamada figura de mérito, Z. Un buen material termoeléctrico es aquel que posee una alta figura de mérito. La figura de mérito da idea de la eficiencia con la que se realiza el proceso de conversión energética, y viene dada por la siguiente expresión: ZT= α2 σT κ = α 2T ρκ (5.7) Donde α es el coeficiente Seebeck (V/K), σ la conductividad eléctrica (Ω-1m-1), ρ la resistividad eléctrica (Ω·m) y κ la conductividad térmica total, suma de las contribuciones electrónica y de la red, medida en W/(mK). El factor de potencia del numerador (α2σT) se optimiza usando semiconductores con un gap pequeño y variando la concentración de portadores por medio del dopaje. Por otro lado, se define la eficiencia de un dispositivo generador termoeléctrico (TEG) como: η= W QH = T H −TC T H [ (1+ZT M ) 1 /2 −1 (1+ZT M ) 1 /2 + (T C /T H ) ] (5.8) Donde TH es la temperatura de la cara caliente, TC la de la cara fría y TM la temperatura media entre ellas. Si nos fijamos, el rendimiento está dado como la cantidad de trabajo que podemos obtener de la celda a partir de un cierto flujo de calor. Este valor es proporcional a (1+ZT M ) 1/2 , luego la eficiencia pasaría a ser la de Carnot si ZT tiende a infinito pues en ese caso la expresión se reduce a: η= lim ZT →∞ { T H −T C T H [ (1+ZT M ) 1 /2 −1 (1+ZT M ) 1 /2 +(TC /T H ) ]}= T H −T C T H (5.9) Los mejores materiales utilizados en termoelectricidad tienen, actualmente, una ZT próxima a 1. En virtud de lo expresado en la ecuación (5.7), cuanto mayor sea ZT mayor será el rendimiento de una 78 celda termoeléctrica. Sin embargo, a pesar de que no existen razones ni teorías que definan un límite para este parámetro, ZT = 1 ha sido considerado un límite superior de dicho coeficiente desde hace más de 30 años [5.6]. La investigación actual de materiales busca aumentar ZT disminuyendo la conductividad térmica o aumentando el producto ασ. Celdas Peltier: Desde un punto de vista comercial, un módulo termoeléctrico consiste en la unión de varios pares de semiconductores tipo p, zona de huecos libres, y tipo n, zona de cargas libres, conectados térmicamente en paralelo y eléctricamente en serie para aumentar la tensión eléctrica de operación del mismo. Los semiconductores se conectan entre sí a través de buenos conductores eléctricos como el cobre utilizando uniones soldadas con materiales con bajo punto de fusión para no dañar los termo-elementos durante el proceso de soldadura. Estos puentes eléctricos tienen que estar aislados eléctricamente del objeto a refrigerar para evitar cortocircuitos. Sin embargo, este material aislante eléctrico debe de ser un buen conductor térmico para minimizar el salto térmico entre el par termoeléctrico y el objeto. El modelo que se utilizará en el presente trabajo es el TEC1-12710 de la empresa Hebei I.T., que dispone de 127 uniones p-n altamente dopadas y una corriente límite de 6–10 A. Las dimensiones de la misma son de 40x40x4 mm. La celda está fabricada usando como semiconductor el Bi2Te3 y como cerámica protectora Alúmina (Al2O3). 5.2 Parámetros operacionales: gradiente térmico, temperatura de operación Las temperaturas de la cara caliente, TC y de la fría, TF, así como la diferencia entre ellas (∆T) son parámetros muy importantes y, por lo tanto, deben determinarse con precisión para funcionar como se desea. La figura 5.2 representa un perfil de temperatura típico a través de un sistema termoeléctrico [5.10]. Uno de los objetivos de los fabricantes de módulos termoeléctricos es la reducción del tamaño de los termo-elementos. El costo de las materias primas es un factor importante, y existen otras ventajas adicionales si los módulos se hicieran más pequeños y livianos. Sin embargo, cuando reducimos el tamaño de un módulo, encontramos problemas asociados con la transferencia de calor. Cuanto más pequeña es el área de la sección transversal de las placas, más difícil es transferir el 79 Figure 5.2 Distribución típica de temperaturas en un sistema TEG calor de la fuente al disipador sin diferencias excesivas de temperatura. Ciertamente, es posible aliviar este problema aumentando el espacio entre los elementos térmicos, pero esto aumenta las pérdidas de calor por convección, conducción y radiación. Por lo tanto, existe una separación óptima que proporciona el mejor equilibrio entre la resistencia térmica excesiva en las placas y las pérdidas de calor no deseadas alrededor de los elementos térmicos. Se analiza este problema [5.11] utilizando el modelo que se muestra en la Figura 5.3. En el modelo descrito en la figura supondremos que los termo-elementos están aislados eléctricamente, y que dicho aislamiento ocupa una fracción g del área ocupada por los termo- elementos. Este aislamiento tiene una conductividad térmica, λ1, y se supone que no hay pérdidas por radiación o convección. La conducción del calor a través del material aislante aumenta la conductancia térmica en un factor (1+λ1g/λ), donde λ es la conductividad térmica promedio del material termoeléctrico. La figura de mérito efectiva se convierte entonces en Z /(1+λ1g/λ) (5.10). Entre los parámetros importantes a determinar en un sistema TEG está el gradiente de temperatura a través de la sección de la celda. El salto térmico en el dispositivo real no es el mismo que en el sistema aparente, la diferencia entre estos los dos saltos térmicos a menudo se ignora (ver figura 5.3). Por tanto, debido a que toda celda Peltier tiene un cierto espesor y a que existe un gradiente entre la cara caliente y la cara fría, lo que hace que los coeficientes Seebeck sean dependientes de la temperatura, en realidad se estará cometiendo un error al asumir temperaturas constantes. Se observa, además, que los resultados obtenidos no solo dependerán del salto térmico entre las caras de las celdas, sino que dependerán de la temperatura de operación, que se toma como promedio de la temperatura en ambas caras, ya que la figura de mérito, ecuación 5.8, y la eficiencia, ecuación 5.9, son dependientes de la temperatura, como ya se ha mencionado. 5.3 Aplicación a nuestro sistema La conversión directa de la energía del calor en electricidad tiene lugar en generadores termoeléctricos (TEG) hechos de material termoeléctrico tipo n y p acoplados. La eficiencia de 80 Figura 5.3 Modelo para el cálculo de las pérdidas conversión de energía está estrechamente relacionada con la eficiencia del ciclo de Carnot, y las propiedades del material expresadas por la figura de mérito termoeléctrica (ZT). Debido a que el voltaje de un solo elemento es muy pequeño, los TEG deben construirse con varios pares conectados eléctricamente en serie y térmicamente en paralelo. Como resultado, la eficiencia de TEG depende de muchos factores, como los problemas de diseño, incluidas las dimensiones de los módulos y el número de acoplamientos, los parámetros del material, ZT, resistencia de contacto eléctrica y térmica, propiedades de placas de aislamiento, y condiciones de operación, rango de temperatura, parámetros de carga, etc. Por lo tanto, un considerable número de parámetros puede limitar el rendimiento del TEG, siendo la mejor manera de comparar el comportamiento de los módulos termoeléctricos a través de la medición de su eficiencia de conversión de energía [5.12]. Para determinar la energía eléctrica generada por un anillo Peltier, conjunto de celdas acopladas en serie y paralelo entre sí, se tomarán en cuenta los estudios previos realizados [5.13, 5.14]. Cada una de las celdas fue caracterizada individualmente y posteriormente acopladas entre sí utilizando el dispositivo que se muestra en la figura 5.4. Las celdas se sometieron a diferentes gradientes de temperatura para determinar la potencia máxima suministrada. La diferencia de temperatura entre caras se varió de 21.2°C a 30.5°C. El rango de diferencia de temperatura utilizado en las pruebas corresponde a los valores esperados en el prototipo. Las curvas I-V para las diferentes pruebas se presentan en la figura 5.5. 81 Figura 5.5 Caracterización de las curvas IV para las celdas Peltier. Figura 5.4 Módulo Peltier con una placa de calentamiento y ventilador. Se puede observar que el voltaje de circuito abierto aumenta con la diferencia de temperatura. La corriente de cortocircuito no se indica en las figuras porque las pruebas no se realizaron para voltajes bajos, debido a la falta de aplicabilidad. Sin embargo, si extrapolamos la línea de tendencia, línea de puntos en la figura, hasta que cruza el eje de ordenadas, notamos que la corriente de cortocircuito también aumenta con la diferencia de temperatura. Como resultado de esta caracterización se obtuvieron las siguientes ecuaciones : V oc=4.48 ·10−2 ∆ T (5.11) I sc=2.03 ·10−2 ∆ T (5.12) I ( A )=2.03 ·10−2 ∆T −0.456 V (5.13) Una vez que se caracterizaron las células Peltier, se conectaron en serie y en paralelo para determinar qué configuración producía la potencia máxima. Se ha podido comprobar, como era esperable, que cualquier acoplamiento, sea serie o paralelo, da lugar a una pérdida de potencia asociada a la unión entre celdas; de estos estudios se detectó que el enlace paralelo presenta mejores resultados; sin embargo, ambas configuraciones fueron probadas para verificar esta situación en la operación del prototipo. Los resultados de las pruebas en ejecución se muestran en la Tabla 5.1. Serie Paralelo ∆T (ºC) Pmax (W) ∆T (ºC) Pmax (W) 21.2 0.197 21.2 0.211 24.9 0.287 24.9 0.297 27.7 0.355 27.7 0.361 30.5 0.423 30.5 0.426 Las pruebas, según la tabla 5.1 para la generación de energía termoeléctrica, muestran la diferencia en los valores de potencia máxima para las configuraciones en serie y en paralelo, a medida que aumenta la diferencia de temperatura. Podemos indicar que, del análisis comparativo entre los casos estudiados, no hay variación sustancial del comportamiento, tanto en voltaje como en potencia, en un acoplamiento serie y uno paralelo, si se trabaja con el mismo salto térmico para todas las celdas, con una desviación del voltaje serie muy reducido, en torno al 0.5%, y con un valor de la potencia en el acoplamiento paralelo superior al serie, entre un 0,7% y un 7 %, con un promedio de mejora del 2.5 %. En el caso de trabajar con celdas Peltier acopladas en serie, operando a diferentes saltos de temperatura en cada una de ellas (figura 5.5), la desviación entre el voltaje serie y la suma de voltajes individuales sigue siendo muy pequeña, en torno al 1%, si bien las pérdidas aumentan hasta 82 Tabla 5.1. Generación de potencia termoeléctrica para parejas de celdas Peltier (serie and paralelo) valores medios del 9%, prácticamente el doble de lo encontrado para el modo de operación a igual ΔT. Para el acoplamiento de 2 y 4 celdas Peltier en paralelo, respectivamente, trabajando con la misma diferencia de temperatura entre sus caras, se infiere que el conjunto muestra un buen comportamiento desde el punto de vista eléctrico, con desviaciones poco significativas, inferiores al 1%, tanto entre el voltaje de operación individual y el del sistema acoplado, como en el valor de la corriente generada de manera individual y conjunta, y con desviaciones en la potencia suministrada alrededor del 6%, lo que puede considerarse como aceptable, aunque sea ligeramente superior al valor obtenido para acoplamiento en serie. Si se realiza el mismo análisis para el acoplamiento en paralelo de 2 y 4 celdas Peltier, respectivamente, operando a diferentes valores del salto térmico para cada una de ellas, se observa que, si bien el comportamiento en cuanto a voltaje es bueno, con desviaciones inferiores al 1%, no ocurre lo mismo en cuanto a la intensidad y, por tanto, a la potencia suministradas, donde la desviación alcanza valores en torno al 12% en promedio. Se observa, asimismo, que cuanto mayor es el desacople en los valores del salto térmico para cada una de las celdas, mayor es la desviación que se obtiene en el valor de la potencia suministrada. 5.4 Diseño de un sistema de tubos Peltier para conversión termoeléctrica Si bien en los próximos capítulos se proponen otros modelos posibles para el diseño de los anillos Peltier, en éste capítulo tomamos el correspondiente a dos cilindros concéntricos, con capa aislante entre ellos, salvo en la parte correspondiente a los anillos Peltier; ya que la cara fría del anillo debe estar en contacto con el agua fría y la cara caliente con el agua caliente (ver figura 5.6). 83 A gu a fr ía temperatura p ro fu n d id ad ∆T=90ºC ∆T=70ºC G ra di en te té rm ic o Figura 5.6 Diseño de dos anillos Peltier en tubos concéntricos Los anillos consistirán en un conjunto de ns celdas conectadas en serie y np en paralelo de forma que se pueda alcanzar alrededor de 1 kW de potencia. Los anillos serán desarrollados para un ∆T= 90ºC y ∆T = 70º C y se ubicarán en lugares donde el gradiente térmico pueda ser considerado constante, es decir la misma litología, para reducir las pérdidas en la potencia. 5.5 Resultados esperados: voltaje, intensidad y potencia eléctrica En la sección del anillo de Peltier de nuestro modelo, se genera una corriente eléctrica debido al efecto Seebeck en función del gradiente de temperatura y las características termoeléctricas del anillo de Peltier. Esta corriente eléctrica produce un voltaje que viene dado por la ecuación 5.4, donde α es el coeficiente Seebeck para la unión de los dos metales, A,B y ∆T es la diferencia de temperatura entre el lado caliente (interior) y el frío del anillo. La corriente eléctrica y el voltaje generados en una celda Peltier típica muestran un comportamiento lineal, como se indica en la figura 5.7, con dos puntos característicos, la corriente de cortocircuito, ISC y el voltaje de circuito abierto, VOC [5.14] . Estos dos valores dependen de la diferencia de temperatura entre el lado frío y caliente de la celda, pero también del valor promedio de la temperatura; a medida que crece la diferencia de temperatura, también lo hacen los valores de ISC y VOC, como se muestra en la figura 5.7, donde ∆T1>∆T2>∆T3>∆T4>∆T5. Todos los gráficos I-V responden a una función del tipo: I=I SC− I SC V OC V (5.14) Donde ISC/VOC representa la pendiente de la línea. Por lo tanto, la expresión para la potencia de la celda es: P=V I SC− I SC V OC V 2 (5.15) Resultando en una parábola convexa, ver figura 5.8, donde los valores se han normalizado. La potencia máxima corresponde a la tensión máxima (VM), que, como en las células fotovoltaicas, es menor que el voltaje de circuito abierto (VOC) [5.15]. De la figura 5.6 se puede notar que PM ocurre en el punto donde VM = VOC / 2 (5.16), por lo que el valor correspondiente de la corriente viene dado por: 84 Figura 5.7 Rectas IV características para una celda Peltier como función del ∆T . Figura 5.8 Curva de la potencia característica para una celda Peltier IM=I SC− I SC V OC V OC 2 = ISC 2 (5.17) y PM= ISC V OC 2 − I SC V OC ⋅( V OC 2 ) 2 = I SC⋅V OC 4 (5.18) La corriente y el voltaje típicos en las celdas Peltier son muy bajos [5.17], por lo que los anillos se construirán como un grupo de conexiones en serie y paralelas de celdas, tal y como se ha indicado anteriormente. A partir de los valores obtenidos a través de las ecuaciones 5.16 a 5.18, podemos determinar el número de celdas en el anillo de Peltier, en serie y en paralelo, una vez que se conocen el voltaje de funcionamiento, la corriente y la potencia. Si llamamos P rec a la potencia específica que se obtendrá del anillo Peltier, que corresponde a un voltaje y corriente de funcionamiento, Vrec e Irec, respectivamente, tenemos: ns= V rec V M ; np= I rec I M →N=nS np (5.19) Donde ns indica el número de celdas de Peltier en serie, np en paralelo y N el número total. Este cálculo nos permite configurar nuestro conjunto de anillos Peltier en función del voltaje y potencia demandada por el sistema al que está conectado, sin más limitaciones que el diámetro del conducto en el que se instalan las celdas en paralelo y la longitud de conducto destinada a los anillos; en caso que no existan limitaciones en este sentido, únicamente la caída de temperatura será el factor limitante, que en nuestro caso es prácticamente despreciable. Otra componente que hay que tener en cuenta a la hora de configurar el sistema de anillos Peltier es el coste de inversión en dichos anillos y su rentabilidad económica, si bien este aspecto no es objeto de esta Tesis. 85 BIBLIOGRAFIA [5.1] Li, K.: “Comparison of Geothermal with Solar and Wind Power Generation Systems,” Proceedings, 38th Workshop on Geothermal Reservoir Engineering Stanford University, Stanford, California; (2013), February 11-13. [5.2] Thacher, E., Helenbrook, B., Karri, M. and Richter, C.: “Testing of an automobile exhaust thermoelectric generator in a light truck,” Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part D: Journal of Automobile Engineering (2007), p. 95-107. [5.3] Kajikawa, T. andOnishi, T.: “Development for advanced thermoelectric conversion exhaust thermoelectric generator in a light truck,” Proc Inst Mech Eng Part D J Automob Eng (2007), 221, 95–107. [5.4] Maneewan, S. and Chindaruksa, S.: “Thermoelectric power generation system using waste heat from biomass drying,” Journal of electronic materials 38(7), 974-980. [5.5] Hsu, C., Huang, G., Chu, H., Yu, B. and Yao, D.: “Experiments and simulations on low- temperature waste heat harvesting system by thermoelectric power generators,” Applied Energy (2011), 88(4), 1291-1297. [5.6] Introduction to Thermoelectricity Springer Series in materials science H. Julian Goldsmid. Springer Series in Material Science ISBN 978-3-642-00715-6. 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TFM alumno: Luis Cerdeño Mota, director: Carlos Armenta Déu.2016. 86 [5.14] Estudio experimental de un sistema de celdas Peltier acopladas Serie-Paralelo para generación de energía. TFM alumno: Raúl Serrano Mena, director: Carlos Armenta Déu. 2016. [5.15] The effect of temperature mismatch on thermoelectric generators electrically connected in series and parallel, A. Montecucco, J. Siviter, A. R. Knox, Elsevier Ltd, 2014. [5.16] Martin, J., Protocols for the high temperature measurement of the Seebeck coefficient in thermoelectric materials. Measurement Science and Technology 2013, 24, (8), 085601. [5.17] Analyses and Applications of Thermoelectric Modules: electrically parallel and serial structures by Guangxi Wu. Department of Electrical Engineering.Case Western Reserve University. 87 Capítulo 6 Sistema experimental: análisis energético 6.1 Estructura y diseño del modelo Con objeto de analizar la validez del planteamiento llevado a cabo en la fase anterior desde un punto de vista teórico, se procedió a diseñar y desarrollar un modelo a escala reducida de un sistema de cogeneración, térmica y eléctrica, a partir del aprovechamiento de una fuente de energía renovable representada por un lecho geotérmico simulado. En dicho modelo se estudiarán los diferentes procesos que intervienen, así como se verificará el grado de concordancia con el planteamiento teórico realizado en los capítulos anteriores. A este fin, se procedió a diseñar y desarrollar un modelo compuesto por los siguientes elementos, cuyo esquema se puede ver en la figura 6.1 Como se puede observar, el modelo consta de un recipiente paralelepipédico de 40 cm de ancho, 30 cm de profundidad y 18 cm de altura, fabricado en madera de densidad media (DIM), herméticamente sellado, y relleno de arena que simula el lecho geotérmico de baja entalpía. Sujetos a las paredes del recipiente se colocaron seis tubos pasantes de vidrio, de muy pequeño diámetro, para insertar los sensores de temperatura (figura 6.2). Estos tubos estaban distribuidos según las tres direcciones del espacio y su posición viene indicada en la figura 6.1. La caja fue aislada térmicamente con 2 cm de espuma de poliuretano (kpoly=0.034 W/m K), para disminuir las pérdidas térmicas a través de las caras. Dado que el tipo de lecho más habitual, tal y como se ha indicado en el capítulo 1, es el de roca seca caliente (HDR), se seleccionó un grano de arena muy fina, con diámetro de partícula entre 0,75 y 88 FIGURA 6.1 Esquema general de la estructura del modelo experimental FIGURA 6.2 Vista de la posición de los sensores 1,25 mm, con el fin de reducir al máximo la porosidad del lecho simulado y así representar lo más fielmente el sistema real. Para ello, se tamizó la arena y se secó en un horno a 220ºC durante un período de más de 24 horas, tras lo cual se procedió a su compactación. El vertido de la arena en el interior del recipiente se realizó por capas, introduciéndola por la parte superior mediante una tolva accionada por un motor de paso continuo para el desplazamiento lateral, que vertía la arena de manera homogénea y uniforme sobre la superficie del fondo del recipiente. Aun así, para asegurar un grado de compactación más elevado y una menor porosidad, se sometió al recipiente a un proceso de vibración mediante un dispositivo vibratorio que garantizaba que la arena quedaba completamente compactada. Una vez depositada la capa inferior de arena, se procedió a introducir la resistencia de calentamiento, cuyo fin es suministrar energía térmica al lecho simulado por medio de la conversión de corriente eléctrica en calor (efecto Joule); esta resistencia tiene una geometría que cubre, en su mayor parte, la superficie horizontal del recipiente, de modo que se puede garantizar que el flujo de calor generado en ella se repartirá de manera homogénea y uniforme. La resistencia eléctrica de calentamiento, cuyo valor era de (330±5) Ω, puede generar un potencia máxima de 160 W, que permitía alcanzar temperaturas por encima de los 180ºC, si bien, con objeto de reducir la temperatura de trabajo, se conectó a un regulador de tensión para variar el voltaje de alimentación y, con ello, la potencia eléctrica suministrada y la temperatura de operación. La conexión de la resistencia con el circuito de alimentación eléctrica exterior se realizó a través de unos pasamuros que aseguraran la hermeticidad del sistema. Asimismo, en el circuito eléctrico exterior se intercaló un controlador de temperatura regulado por un sensor de gas situado en el interior del recipiente, de forma horizontal paralelo al eje del intercambiador y en el centro del mismo. El termostato es electrónico y regula la temperatura con precisión ±1ºC. La potencia eléctrica suministrada a la resistencia se medía con un controlador de potencia, la cual puede ajustarse mediante un regulador de voltaje que permite al usuario configurar el valor con una precisión de ±1 V, lo que permite controlar la potencia seleccionada dentro de un margen de incertidumbre del orden del 1.6%. Un esquema del circuito de control de temperatura se puede ver en la figura 6.3. A continuación, se rellenó de arena el recipiente, siguiendo el procedimiento indicado, hasta alcanzar el nivel correspondiente a la base del intercambiador de calor, momento en el cual se situó este último en su posición y se colocó el sensor del controlador de temperatura de la fuente de energía; seguidamente, se rellenó de arena el recipiente hasta el borde, se colocó la tapa, pasando los conductos del circuito hidráulico que conectan con el intercambiador por los pasamuros correspondientes, y se selló ésta haciendo hermético el recipiente. El intercambiador de calor, figura 6.4, está construido con un tubo de cobre de 8 mm de diámetro con forma helicoidal de 7 espiras, 89 FIGURA 6.3 Esquema del circuito de control térmico de 16 cm de largo y 7 cm de diámetro, por donde circula agua, impulsada por una bomba centrífuga de 30W de potencia. Por último, se insertaron los sensores de temperatura en los tubos adosados a las paredes y se sellaron convenientemente. La temperatura de los diferentes puntos del lecho se registra mediante un sistema de adquisición de datos conectado a un ordenador (fig. 6.5). El modelo se completó con un circuito hidráulico que semeja el sistema de extracción de la energía geotérmica mediante un fluido caloportador, en nuestro caso agua; el circuito está conectado a la entrada y salida del intercambiador así como a un depósito de agua aislado térmicamente. El fluido es impulsado por una bomba eléctrica, siendo la temperatura del mismo controlada a la entrada y salida del intercambiador mediante dos sensores térmicos ubicados en la parte del circuito hidráulico junto a los pasamuros de la parte superior del recipiente (figura 6.1). El tubo por el que circula el agua es de silicona, con un diámetro interior de 8 mm., y se encuentra convenientemente aislado en la zona exterior al lecho mediante una capa de poliuretano de 20 mm de espesor para limitar las pérdidas térmicas del fluido hacia el medio ambiente. Por último, el anillo de celdas Peltier está constituido por cuatro celdas cuadradas de 40 mm de lado, colocadas en las caras laterales de un cubo de fibra, de 45 mm de lado, de manera que puedan conectarse entre sí en serie o en paralelo (figura 6.6a). Las celdas 1 y 3 están conectadas en serie, en tanto que la 2 y la 4 lo están en paralelo. Esta configuración de las celdas permite operar con ambos tipos de conexionado sin tener que modificar la estructura del anillo. Con objeto de poder refrigerar la cara exterior de las celdas, se insertó el anillo de celdas Peltier en un recipiente por el que se hacía circular una corriente de aire frío procedente de un sistema de aire acondicionado, que permitía reducir la temperatura hasta 5º C. 90 FIGURA 6.5 Esquema del SAD de temperatura FIGURA 6.6a Esquema del anillo Peltier FIGURA 6.4 Vista del intercambiador de calor FIGURA 6.6 b Esquema refrigeración del anillo Peltier 6.2 Modo de operación Para operar el modelo se conectó la resistencia eléctrica a una toma de corriente y se procedió a fijar una temperatura de operación con el control de temperatura, el cual, según se ha comentado, regula la temperatura en el interior del recinto que simula el lecho geotérmico por medio del sensor correspondiente ubicado en el seno del mismo. Seguidamente, se varía la tensión de alimentación de la resistencia mediante el regulador de tensión hasta alcanzar el valor de potencia previamente establecido, el cual viene indicado por el medidor de potencia intercalado entre el regulador y la toma de red (fig. 6.3). Una vez establecidas las condiciones del suministro de energía, se conecta la bomba y se hace circular el fluido a través del circuito hidráulico, midiendo el caudal mediante el medidor de flujo correspondiente (figura 6.1). A continuación, se procede a registrar las temperaturas del sistema por medio del sistema de adquisición de datos al cual van conectados los sensores de temperatura, a saber, temperatura de entrada y salida del fluido al intercambiador de calor, temperatura ambiente y temperaturas según los ejes principales del sistema, dos por cada dirección, con objeto de poder establecer el gradiente térmico en el interior del lecho. La medida y registro de temperaturas se efectuaba a intervalos regulares de 5 minutos. La medida de la temperatura en las celdas Peltier se llevó a cabo mediante un sensor acoplado a la superficie de la misma, tanto en la cara caliente como en la fría; estos sensores estaban conectados a un medidor y registrador que obtenía los valores de manera continua y los promediaba a intervalos de 1 minuto. En lo relativo a las medidas de los parámetros eléctricos, voltaje e intensidad, cada celda estaba conectada a un reóstato que permitía variar la resistencia para obtener la curva I-V de respuesta de la celda. Los valores de voltaje e intensidad se tomaron y registraron manualmente para cada uno de los valores de la resistencia variable, la cual se operó, igualmente, de forma manual. 6.3 Análisis energético del pozo geotérmico La figura 6.7 representa el esquema de operación del modelo desde un punto de vista de la generación de potencia. Se puede observar que, a partir de una fuente de energía térmica, el lecho geotérmico, cuya tasa de transferencia de calor, ˙QRB , se generan dos tipos de potencias diferentes, una, la eléctrica, producida en los anillos de las celdas Peltier, ˙W PT 1 y ˙W PT 2 , y otra, la térmica, que tiene lugar en el intercambiador de superficie ˙Qout , constituyendo lo que se conoce como un sistema de cogeneración. El modo de operación es simple, la energía térmica es transferida por el lecho de roca al fluido (agua) dentro del intercambiador de calor subterráneo, trabajando a temperatura TRB. El fluido, 91 FIGURA 6.7 Esquema de generación de potencia en el modelo (cogeneración) impulsado por una bomba de potencia Ẇ P circula hasta el primer anillo de celdas Peltier, donde se genera corriente eléctrica por efecto Seebeck. Seguidamente, el fluido alcanza el intercambiador de superficie donde se extrae parte de su entalpía cediendo calor, para retornar al intercambiador geotérmico; en el circuito de retorno se intercala un segundo anillo de celdas Peltier que dan lugar a la generación de potencia eléctrica como en el primer caso. Cabe mencionar que en nuestro sistema experimental este segundo anillo no fue incorporado por simplificar el diseño y, teniendo en cuenta que el efecto producido, en cuanto a generación de potencia, sería análogo al que ya existía. El análisis energético del sistema parte de la aplicación de la primera ley de la Termodinámica (ec. 6.1), planteando el equilibrio termodinámico del sistema en la forma: ˙Qout= ˙QRB−Q̇L− ˙W PT 1− ˙W PT 2+Ẇ P− ˙QLm (6.1) Donde: ˙QRB es la potencia calorífica aportada por el lecho geotérmico, ˙Qout la potencia calorífica liberada por el fluido en el intercambiador de superficie, Q̇L las pérdidas térmicas del fluido, y ˙QLm las pérdidas mecánicas producidas durante el transporte del fluido. Para el análisis se ha considerado un sistema geotérmico idealizado que contiene una única fuente de calor profundo (HDR), es decir el pozo pasa a través de un reservorio de roca caliente seca. El sistema se encuentra en estado estacionario, en la parte A el flujo de calor va desde el exterior hacia el interior del pozo, por lo que se desprecian las pérdidas (ver fig. 6.8). El pozo está sellado hidráulicamente de manera que no hay inyección o liberación de fluido. En estas condiciones, se puede aplicar la ley de conducción de calor de Fourier, lo que nos permite determinar la potencia térmica ganada por el fluido (agua) y la temperatura del mismo en la base del pozo. Si consideramos que el espacio que rodea al intercambiador de calor en el lecho geotérmico tiene simetría cilíndrica, y establecemos una analogía eléctrica con el proceso de transferencia de calor desde el lecho geotérmico hasta el fluido, podemos considerar las siguientes secciones (ver fig. 6.9): • Reservorio: corresponde a la zona del lecho geotérmico que transfiere calor hacia el intercambiador • Volumen de Control: es la zona límite entre el lecho geotérmico y el intercambiador; aunque está constituido por el mismo material que el propio lecho, se trata de material de 92 FIGURA 6.8 Esquema del pozo geotérmico FIGURA 6.9 Esquema de la analogía eléctrica en el proceso de transferencia de calor en el intercambiador geotérmico Anillo Peltier ∆T=40ºC Anillo Peltier ∆T=60ºC relleno, por lo que su estructura y grado de compactación es diferente, de manera que presenta propiedades térmicas distintas en cuanto a conductividad se refiere • Intercambiador de calor: representa la pared del dispositivo por el interior del cual circula el fluido caloportador • Fluido: corresponde al elemento que transporta la energía térmica desde el lecho hasta el intercambiador de superficie pasando por el anillo de celdas Peltier Recordando que no hay aporte de fluido ni, por tanto, otra fuente de energía que la debida al lecho geotérmico, para el proceso de transferencia de calor entre el lecho geotérmico y el Volumen de Control podemos escribir: ˙QRB= ˙QCV= 2 π Lρ α r c p(T CV−T RB) ln( RRB RCV ) donde Q̇RB representa la tasa de transferencia de calor aportado por el lecho geotérmico, Q̇CV es la tasa de la transferencia de calor que llega al Volumen de Control, L la longitud recta del intercambiador, ρ la densidad del material constituyente del lecho geotérmico, cp su calor específico, αr el coeficiente de difusividad térmica de dicho material, TCV y TRB las temperaturas del Volumen de Control y del lecho geotérmico, respectivamente, y RRB y RCV los radios de los cilindros correspondientes al lecho geotérmico y Volumen de Control, respectivamente, según se muestra en la parte superior de la figura 6.9 En el Volumen de Control se considera que el material de relleno es el mismo que el del lecho geotérmico, puesto que se obtiene de dicho lecho durante el proceso de excavación, por lo que la conductividad térmica la consideraremos muy próxima a la del lecho y por tanto, el coeficiente de conductividad efectiva será κvc. Asimismo, debido al elevado nivel de compactación, y si el grado de porosidad es bajo, asumimos que el término convectivo es despreciable respecto del término conductivo. Si aplicamos el mismo procedimiento al resto de las secciones del conjunto, tenemos: a) Para la tasa de transferencia de calor entre el Volumen de Control y el intercambiador: b) Para la tasa de transferencia de calor entre el intercambiador y el fluido: 93 (6.2)  2 ln CV CV HE CV HE CV HE L T T Q Q R R  κ           (6.3)  2 ln HE HE F HE F HE F L T T Q Q R R  κ           (6.4) donde Q̇HE y Q̇F representan las tasas de transferencias de calor que llegan al intercambiador y fluido, respectivamente, κHE y κCV sus respectivas conductividades térmicas, THE y TCV sus temperaturas, y RHE y RCV los respectivos radios de los cilindros asociados según la simetría cilíndrica considerada. Asumiendo que no hay pérdidas térmicas en este proceso: siendo ṁ el flujo másico del fluido caloportador que circula por el intercambiador, c su calor específico, FR el factor de transferencia entre intercambiador y fluido, y TFo y TFi las temperaturas de salida y entrada del fluido al intercambiador, respectivamente. A partir de las ecuaciones anteriores es posible obtener la temperatura en las diferentes secciones del modelo, considerando que la temperatura del Volumen de Control y la tasa de transferencia de calor del lecho geotérmico sean conocidos; en esta condiciones, se tiene: a) Para el intercambiador de calor b) Para el fluido en el intercambiador de calor Por otro lado, teniendo en cuenta que la transferencia de calor se realiza en serie y que, por tanto, todos los flujos son idénticos, utilizando la ecuación 6.7 podemos obtener la temperatura del fluido a la salida del intercambiador, en función de su temperatura de entrada Tfi de la forma: Considerando que el calentamiento del fluido en el interior del intercambiador es uniforme, se puede poner: T F= T Fo+T Fi 2 (6.9) 94  Fo Fi F HE R m c T T F Q Q       (6.5) ln 2 CV RB HE HE CV CV Q L R R T T  κ          ln 2 HE RB F F HE HE Q L R R T T  κ          (6.6) (6.7) RB R Fo Fi Q F T T mc     (6.8) de donde, combinando las ecuaciones anteriores se llega a: La ecuación (6.10) es de suma importancia porque permite determinar la temperatura del fluido a la salida del intercambiador a partir de las magnitudes térmicas características del sistema, así como de la geometría del mismo, sin mas que conocer la temperatura en el Volumen de Control y la tasa de transferencia de calor geotérmico. El conocimiento de la temperatura del fluido a la salida del intercambiador es especialmente relevante porque permite determinar la temperatura del mismo, no sólo en la zona donde se ubica el anillo de celdas Peltier, sino también en el intercambiador de superficie, lo que habilita para realizar los balances de transferencia de energía por parte del fluido, sea en forma de generación termoeléctrica en el anillo Peltier, o en forma térmica en el intercambiador de superficie. Como se puede apreciar de la observación de la ecuación (6.10), los parámetros determinantes a la hora de calcular la temperatura del fluido a la salida del intercambiador son la tasa de transferencia de calor geotérmico y la temperatura del Volumen de Control; esta última puede determinarse experimentalmente mediante la inserción de un sensor durante el proceso de colocación del intercambiador subterráneo, o bien puede estimarse, con bastante precisión, en el estado inicial, a partir del perfil de gradiente geotérmico de la zona en cuestión (ver fig. 6.10) 6.4 Análisis energético del fluido caloportador La generación de potencia en el sistema propuesto reside en la capacidad que el fluido caloportador tenga de transportar la potencia calorífica recibida del lecho geotérmico hasta el punto donde deba ser transferida; en nuestro caso esto sucede tanto en el anillo de celdas Peltier, donde se generará potencia eléctrica por termoelectricidad, como en el intercambiador de superficie, donde se verifica un proceso de transferencia de potencia térmica en forma de de calor. Dado que el fluido es un sistema termodinámico con propiedades mecánicas y térmicas, será preciso analizar el comportamiento del mismo desde cada uno de los dos puntos de vista, es decir, 95 FIGURA 6.10 Perfil de gradiente geotérmico ln ln 2 CV HE HE FRB R Fo CV CV HEL L R R R RQ F T T mc κ κ                            (6.10) es preciso estudiar sus propiedades tanto en el campo de la Dinámica de Fluidos como en el de la Termodinámica. En términos generales se puede considerar que el fluido es un cuerpo que tiene una cierta energía específica dada por la expresión: e=em+et donde em representa la energía mecánica y et la energía térmica. Esta última, desde un punto de vista puramente termodinámico, se puede asociar a su energía interna, en función de la cual el fluido adquiere una mayor o menor temperatura; la energía mecánica, en un fluido, queda asociada a energía potencial de presión y gravitatoria y a la energía cinética, siendo la primera función de la presión a la que esté sometido el fluido, la segunda de la altura respecto a un origen de energía potencial gravitatorio nula, y la última dependiente de su estado de movimiento. La forma matemática de representar la energía específica del fluido vendría dada por la combinación de las ecuaciones 4.6 y 4.12, quedando de la forma: e= P ρ +gz+ v2 2 +u (6.11) siendo P la presión ejercida sobre el fluido, ρ su densidad, z la altura, v la velocidad y u la energía interna por unidad de masa. Si analizamos el transporte de energía por parte del fluido a lo largo de un cierto recorrido, teniendo en cuenta las pérdidas de energía a lo largo del recorrido, y considerando que tanto las pérdidas de energía, o pérdidas de carga, así como las posibles variaciones de altura en el recorrido, quedan compensadas por el trabajo aportado por una bomba acoplada al circuito, el balance de energía entre dos puntos cualesquiera queda de la forma expresada por la ecuación 4.22a. Si, además, tenemos en cuenta las pérdidas térmicas debidas a procesos de transferencia de calor entre el fluido y el medio que lo rodea, la ecuación 4.23 quedaría de la forma: P2 γ + v2 2 2 g +z2+ u2 g +hp= P1 γ + v1 2 2g +z1+ u1 g −hL− qL g (6.12) donde hp corresponde al término de energía asociado a la bomba, y qL es el término que representa las pérdidas de energía del fluido en forma de calor por unidad de masa. Aplicando esta ecuación de balance al sistema formado por el tramo de conducto entre el intercambiador geotérmico (HE) y el anillo de celdas Peltier (PT), se tiene: o bien: 96   2 2 0 2 2 PT HEPT HE PT HE L PT HE p L P P v v qu u z z h h g g g g gγ γ                           (6.13a) Esta expresión varía en función del tipo de régimen de circulación del fluido, laminar o turbulento, debiendo modificarse el término de energía cinética de acuerdo a lo expresado en la ecuación 4.32, donde el coeficiente α depende de dicho régimen, siendo su valor igual a 1 para régimen turbulento totalmente desarrollado, y 2 para régimen completamente laminar, adoptando un valor intermedio cuando el régimen no se encuentra totalmente desarrollado, sea en forma laminar o turbulenta, y donde el término de pérdidas, hL, viene dado por la ecuación 4.39 Aplicando ahora la ecuación de continuidad para un fluido incompresible, homogéneo y en estado estacionario (4.18), la ecuación 6.13b se transforma en: −hp= ∆ P γ +∆ z−hL ∆ u−qL=0 ∆(v)2 2 g =0 La ecuación 6.14 puede expresarse en términos de potencia, bajo la forma: ∆̇ u−q̇L=0 dado que en el campo de la Mecánica de Fluidos es habitual trabajar con flujos másicos en lugar de con masa de fluido. Debido a la ausencia de efectos convectivos o radiativos, las pérdidas térmicas se deben, únicamente, a efectos de conducción, por lo que: donde el término ΔTo representa la caída de temperatura entre la salida del intercambiador del lecho geotérmico y el anillo Peltier, y ΔT es la diferencia de temperatura entre el fluido y el entorno que lo rodea. κ es la conductividad térmica del material del conducto hidráulico, e su espesor y S la superficie de dicho conducto en la sección entre el intercambiador geotérmico y el anillo Peltier. En el caso que el conducto vaya recubierto de un aislamiento, cosa habitual para reducir las pérdidas por conducción, la conductividad en la ecuación 6.15 viene dada por: 97 (6.14a) (6.14b) omc T S T e κ Δ  Δ (6.15)  2 0 2 L p L v qP u z h h g g gγ ΔΔ Δ Δ       (6.13b) κ eq= ∑ ei ∑ ( ei κ i ) (6.16) siendo κi la conductividad de cada uno de los elementos de la capa de aislamiento y ei su espesor. Expresando ahora ΔTo y ΔT en función de las temperaturas de las que dependen: se llega a: expresión que nos permite determinar la temperatura del fluido en el anillo Peltier a partir de las características térmicas del material del conducto, la geometría del mismo, el flujo másico del fluido caloportador y la temperatura del fluido a la salida del intercambiador geotérmico y del lecho rocoso en el entorno del conducto, TRB. El conocimiento de la temperatura del fluido en el anillo Peltier, así como la del lecho rocoso son esenciales para podoer determinar la potencia eléctrica que generará el anillo Peltier dado que, como se ha visto en el capítulo 5, ésta es función del salto térmico que se produce entre ambas caras de la celda Peltier. La ecuación 6.18 ha sido obtenida considerando que la temperatura del lecho rocoso que rodea al conducto hidráulico se mantiene constante durante todo el trayecto entre el intercambiador subterráneo y el anillo Peltier, lo que evidentemente no es correcto; por tanto, para determinar la temperatura en la zona del anillo asumiremos que el recorrido del circuito hidráulico se ve sometido a la influencia de dos zonas, una en la que existe un gradiente de temperatura geotérmico apreciable, y otra en la que dicho gradiente es muy pequeño o casi despreciable. Para la determinación de la temperatura del fluido en la zona de gradiente geotérmico es preciso utilizar un proceso de iteración a partir de la temperatura del fluido a la salida del intercambiador geotérmico, en tanto que para la zona donde el gradiente se puede despreciar, pudiendo aplicar la ecuación 6.18 sin restricciones, tomando como temperatura del fluido, TFo, la correspondiente al último elemento de la iteración, y como temperatura del lecho rocoso, TRB, la de dicho elemento. Para llevar a cabo el proceso de iteración supondremos que el conducto está dividido en n segmentos, para cada uno de los cuales la temperatura del lecho rocoso que rodea al conducto viene dada por TRBi. El proceso de iteración se realizará para cada uno de los segmentos, tomando como 98 ; 2 Fo PT o Fo PT RB T T T T T T T  Δ   Δ   (6.17) (6.18)1 2 1 2 Fo RB PT S S T T ce ceT S ce m m m κ κ κ                       temperatura de entrada del fluido la temperatura de salida del segmento anterior; en el caso del primer segmento, la temperatura de entrada corresponde a Tfo, que, como se ha indicado, es la temperatura del fluido a la salida del intercambiador geotérmico. Así pues, tenemos: (Q̇L)i= k e S (T fi−T RBi) (6.19) donde el subíndice i señala el orden de la iteración. Utilizando la definición matemática de energía interna, se tiene: u̇i=2ṁ c [(T f )i−T i−1] (6.20a) donde Ti es la temperatura del fluido al ingresar al elemento y donde se ha considerado que la temperatura del fluido en el elemento i se obtiene de la relación: T f . i=(T i+T i−1)/2 (6.20b) suponiendo que la evolución de la temperatura en el elemento varía de forma lineal. A partir del valor de u̇i se puede determinar la tasa de transferencia de energía interna en el siguiente segmento, utilizando la relación: u̇i+1=u̇i−(Q̇L)i=2 ṁ c[(T f )i+1−T i] (6.21) donde las pérdidas térmicas en cada segmento se pueden determinar a partir de la ecuación de conducción: (Q̇L)i= k e S [(T f )i−(T RB)i ] (6.22) y dado que estas pérdidas generan una disminución de la energía interna del fluido, se puede escribir : (Q̇L)i=S (U L)i[(T f )i−(T RB)i]=ṁc S (UL)i ṁ c [(T f )i−(T RB)i] (6.23a) siendo: U L=(κ /e) (6.23b) el coeficiente global de pérdidas dependiente de las características del material y del espesor De donde 99 2ṁc [(T f )i+1−T i ]=2⋅ṁ⋅c [(T f )i−T i−1 ]−ṁc K L⋅[(T f )i−(T RB)i ] (6.24) Simplificando (T f )i+1=(T f )i+T i−T i−1−( K L 2 )(T f )i+( K L 2 )(T RB)i (6.25) o bien (T f )i+1=(1− K L 2 )(T f )i+T i−T i−1+ K L 2 ⋅(T RB)i (6.26) donde el parámetro KL viene dado por: KL= U LS ṁ c (6.27) Por tanto (T f )i+1=(1− U L S 2 ṁc )(T f )i+T i−T i−1+ U L S 2 ṁc (T RB)i (6.28a) Sin embargo existe un coeficiente de ajuste, Caj, que tiene en cuenta la temperatura media de los diferentes estratos por los que atraviesa el tubo de ascenso y que viene dado por: Caj = 0.00159 (TRB,i)2 - 0.2683 TRB,i + 11.45 Por tanto la fórmula (6.30a) queda como: (T f )i+1=(1− U L S 2 ṁc )(T f )i+T i−T i−1+ U L S 2 ṁc (T RB)i+C aj (6.28b) A partir de este proceso de iteración, podemos determinar la temperatura del fluido en la zona del anillo Peltier. 6.5 Análisis energético del anillo Peltier Para el análisis energético del anillo Peltier se debe proceder, en primer lugar, a caracterizar el comportamiento de las celdas Peltier que lo componen, para lo cual es necesario obtener sus curvas I-V y P-V, con objeto de establecer la tensión, corriente y potencia suministradas en unas determinadas condiciones de trabajo, esto es, en función del salto de temperatura entre las caras y de la temperatura media de operación, según se ha indicado en el capítulo 5. Es sabido que la tensión generada por una celda Peltier es proporcional a la diferencia de temperatura existente entre sus caras (ec. 5.4), por lo que una vez determinada la temperatura del 100 fluido en el anillo Peltier, y conocida la temperatura del lecho rocoso en las inmediaciones del mismo, se puede escribir: V i=α PT [(T f )i−(T RB)i] (6.29a) o más genéricamente: V=α PT (T f−T RB) (6.29b) donde los valores de temperatura del fluido para las ecuaciones 6.29 han sido determinados a través de las ecuaciones 6.18 o 6.28, en función de si se considera que el lecho rocoso mantiene temperatura constante a lo largo del recorrido o no, siendo la temperatura de dicho lecho rocoso la representada por TRB. Considerando que el anillo Peltier debe proporcionar una tensión y corriente determinadas en función del tipo de aplicación para la cual está destinada la energía y potencia generadas, será preciso acoplar las celdas del anillo Peltier en serie o paralelo; si la combinación así definida no fuera suficiente para alcanzar los valores de voltaje e intensidad requeridos, será imprescindible acoplar varios anillos Peltier de las mismas características. En función del tipo de celdas Peltier utilizadas, cuya características eléctricas vienen dadas en función de la diferencia de temperatura (fig. 5.5), y sabiendo la tensión y corrientes requeridas, podemos escribir: nS= V op V PT (6.30a) mP= I op IPT (6.30b) siendo ns y mp el número de celdas Peltier en serie y paralelo, respectivamente, VPT e IPT el voltaje e intensidad generados por la celda Peltier, y Vop e Iop el voltaje y corriente de operación. Una cuestión relevante en el diseño de los anillos Peltier es la configuración de los mismos, dado que el número de celdas que pueden incluirse viene limitada por el tamaño de las mismas y las dimensiones del anillo. De acuerdo con lo especificado en el capítulo 5, el voltaje de una celda Peltier depende del tipo de material que conforme el par termoeléctrico, por lo que una vez establecido dicho material el voltaje queda fijado; para aumentar dicho voltaje se pueden acoplar en serie un número determinado de pares hasta alcanzar el valor deseado, de manera similar a lo que acontece en un panel fotovoltaico, donde se acoplan células para configurar un panel. El aumento en el número de pares incrementa el tamaño del conjunto, es decir, de la celda que constituye la agrupación de pares; de manera idéntica, si se quiere aumentar la intensidad, un aumento en la superficie de la celda Peltier da lugar a un aumento de la corriente suministrada, tal y como sucede con las células fotovoltaicas. El resultado global es que para aumentar bien el voltaje, bien la corriente, es decir, la potencia de la celda, ésta debe ser de mayor tamaño. 101 Si existe una limitación en cuanto al tamaño del anillo Peltier, tanto por cuestiones de diseño, de fabricación, de instalación, de espacio disponible, o simplemente de precio, tal y como se ha comentado con anterioridad, su configuración se ve limitada a un número determinado de celdas, que dan lugar a un determinado voltaje y corriente, que pueden ser, como se ha indicado, insuficientes para la aplicación a la cual debe suministrar energía; por ello, en este tipo de situaciones, se hace necesario acoplar distintos anillos que permitan alcanzar los v666\7 de voltaje e intensidad requeridos. Ante esta tesitura se plantean dos posibles tipos de configuración: a) celdas en serie dentro de un mismo anillo, y anillos conectados en paralelo entre sí b) celdas en paralelo dentro de un mismo anillo, y anillos conectados en serie entre sí En ambas configuraciones el número total de celdas utilizadas sería el mismo, puesto que ambas configuraciones deben suministrar, a priori, la misma potencia. Aunque, en principio, por el número de elementos pareciera que cualquiera de las dos configuraciones es aceptable y debe dar el mismo resultado, estudios precedentes [6.1] indican que esto no es completamente cierto, dado que en el proceso de conexionado de celdas entre sí existen pérdidas de voltaje y corriente que hacen disminuir la potencia generada. Por ello, pasaremos a analizar en detalle ambas configuraciones desde el punto de vista energético. Para llevar a cabo un análisis preciso de las pérdidas energéticas asociadas al conexionado de las celdas Peltier, estableceremos los siguientes cuatro supuestos: • Conexión en serie con el mismo salto térmico • Conexión en paralelo con el mismo salto térmico • Conexión en serie con distinto salto térmico • Conexión en paralelo con distinto salto térmicos Los dos primeros supuestos corresponden al caso en el que en la zona donde se ubica el anillo Peltier, o el conjunto de anillos en caso de necesitarse más de uno, no exista gradiente térmico vertical en el lecho rocoso, o sea prácticamente despreciable, en tanto que los dos últimos representan la situación en que dicho gradiente sí existe, y está presente. Aplicando teoría de errores a la ley de Ohm podemos poner: Δ Pt P t = ΔV V + Δ I I (6.31) que nos proporciona el error relativo de cada una de las magnitudes eléctricas involucradas, potencia, Pt, voltaje, V, y corriente, I. Basándonos en los estudios previos antes mencionados [6.1], y al hecho que los valores obtenidos en nuestros ensayos han sido prácticamente idénticos, podemos llevar a cabo el análisis de la situación para los supuestos planteados. 102 Conexión ΔT ΔV/V (%) ΔI/I (%) ΔPt/Pt (%) serie constante 0,6 4,8 5,4 paralelo constante 0,6 5,4 6,0 serie variable 0,9 8,1 9,0 paralelo variable 0,7 11,3 12,0 El planteamiento para un análisis de potencia y, por tanto de energía, de la configuración de celdas Peltier se basará en dos casos: 1. Ausencia de gradiente térmico en el lecho rocoso 2. Presencia de gradiente térmico en el lecho rocoso Asimismo, para cada uno de estos dos casos hay que analizar las dos configuraciones antes mencionadas: a) celdas en serie dentro de un mismo anillo, y anillos conectados en paralelo entre sí b) celdas en paralelo dentro de un mismo anillo, y anillos conectados en serie entre sí Por tanto, se tiene un conjunto de cuatro opciones diferentes, cada una de las cuales puede dar lugar a diferentes resultados desde el punto de vista de aprovechamiento energético. Para una correcta valoración de la pérdida energética hay que tener en cuenta que para el caso de celdas en un mismo anillo, estén conectadas en serie o en paralelo entre sí, el salto térmico es constante, mientras que la conexión entre anillos se puede producir en un entorno con ausencia o presencia de gradiente térmico, en cuyo caso tendremos el mismo o diferente salto térmico, respectivamente. Utilizando los valores proporcionados por la tabla anterior, podemos poner: 1a 1b 2a 2b Celdas 5,4 6,0 5,4 6,0 Anillos 6,0 5,4 12,0 9,0 Conjunto 11,4 11,4 17,4 15,0 La leyenda queda referida a los casos 1 y 2 así como a las configuraciones a) y b) anteriormente mencionados. 103 Tabla 6.2 Porcentaje de pérdida en la generación de potencia termoeléctrica en anillos Peltier para distintas configuraciones Tabla 6.1 Error relativo de la potencia de celdas Peltier acopladas en serie y paralelo para salto térmico constante y variable Es fácil apreciar que, en ausencia de gradiente térmico, caso 1, es indiferente la configuración que se adopte, dependiendo simplemente de otros factores distintos a los energéticos como pueden ser geométricos, económicos, etc. Por el contrario, cuando hay gradiente térmico. caso 2, la configuración más adecuada es la 2b, que da lugar a un menor índice de pérdidas; esto es, celdas en paralelo dentro de un mismo anillo y anillos conectados en serie entre sí. Por otro lado, el conexionado entre celdas dentro de un mismo anillo es más sencillo en cuanto a diseño si se conectan las celdas en paralelo que en serie. Igualmente, el tamaño del conjunto de anillos se reduce cuando los anillos se conectan en serie entre sí, con las celdas conectadas en paralelo en cada anillo, todo lo cual corrobora que la configuración 2b es la idónea en caso de existir un gradiente térmico. Como, por otra parte, en ausencia de gradiente, la configuración no tiene influencia sobre el aprovechamiento energético, se concluye que la opción de celdas en paralelo en un mismo anillo y anillos conectados en serie representa la solución óptima en caso de tener que acoplar un número de celdas elevado. 6.6 Ensayos Para ejecutar la prueba se ha suministrado una potencia eléctrica constante, la cual puede controlarse mediante un regulador de voltaje que permite al usuario configurar el valor con una precisión de ±1 V, lo que se permite ajustar la potencia seleccionada dentro de un margen de incertidumbre del orden del 1.6%. En nuestro caso, se han utilizado valores de 40W, 55W, 60W, 70 W, 80 W, 85W y 100W para los ensayos previos, eligiéndose la potencia de 70W para las pruebas finales, por ofrecer unas temperaturas intermedias equivalentes a las requeridas para el análisis. Durante la prueba, la evolución de la temperatura se registró a través de un sistema de adquisición de datos de ocho canales, marca PICOLOG, cuya resolución es de 0.1ºC, y que registra el valor de la temperatura cada 5 minutos. Los datos de temperatura se han medido tanto en el seno del lecho geotérmico como en el fluido caloportador. Para el control térmico del lecho se utilizaron seis sensores de cobre-constatan, tipo T, clase I, con precisión ±0,5ºC, dos de ellos colocados en la zona interior delantera y trasera del habitáculo que conforma nuestro modelo de lecho geotérmico, otros dos en la zona interior de cada uno de los laterales, y los dos restantes en la parte interior de la zonas próximas a la cubierta superior e inferior del recinto, respectivamente. La posición relativa de cada uno de los sensores está indicada en la figura 6.1. Asimismo, se utilizaron dos sensores para medir la temperatura del fluido caloportador a la entrada y salida del intercambiador situado en el lecho geotérmico; estos sensores también están convenientemente señalizados en la figura 6.1 y son del mismo tipo que los empleados para la medición de la temperatura en el interior del lecho. En un lecho geotérmico infinito, o semi-infinito, como el que se analiza en este trabajo, cuya composición y estructura sea uniforme, la transferencia de calor se realiza de manera prácticamente homogénea y uniforme en todas las direcciones, dado que bajo los supuestos antes indicados se puede considerar que el medio es isótropo desde el punto de vista de la conducción de calor, que es el mecanismo predominante en la transferencia de energía. Esta situación se corresponde, por otra parte, a un medio con simetría respecto al sistema de extracción de energía desde el punto de vista 104 de la fuente geotérmica, cosa que en el medio natural es frecuente encontrar, especialmente si nos ceñimos a una zona donde el lecho geotérmico represente una zona lo suficientemente amplia con relación a las dimensiones del sistema de extracción, lo que no es complicado de cumplir. Sin embargo, en nuestro modelo, estas condiciones no se cumplen totalmente debido a diferentes cuestiones, que se mencionan seguidamente. El modelo es un paralelepípedo, y no un cubo, lo que hace que el Volumen de Control que representa no mantenga equidistancia geométrica respecto al intercambiador de calor, que actúa como sistema de extracción de energía para todos los puntos del lecho geotérmico La razón por la que se eligió una geometría paralelepipédica en lugar de una cúbica se debió a la geometría del intercambiador utilizado, que es cilíndrica, lo que obliga a que una de las dimensiones del habitáculo sea mayor que las otras dos. Por otro lado, es preciso señalar que, en un prototipo real, el intercambiador de calor también sería cilíndrico, puesto que es la geometría habitualmente utilizada por los fabricantes para las aplicaciones industriales y energéticas. La diferencia fundamental, en una situación real, es que el espacio disponible en torno al intercambiador es lo suficientemente amplio como para respetar la simetría respecto al mismo, cuestión que se hacía inviable en nuestro modelo por las limitaciones de espacio. Dado que nuestro sistema corresponde a un pozo vertical, el cual se encuentra aislado en la superficie lateral, las direcciones transversales no presentan interés alguno, debido a que no se va a producir transferencia de energía apreciable. En el caso de un intercambiador enterrado, como hemos supuesto condiciones de isotropía y homogeneidad, el comportamiento sería el mismo en cualquiera de las direcciones del espacio. La fuente de energía geotérmica, representada en nuestro modelo por la resistencia eléctrica (ver figura 6.1), no se ubica en el centro geométrico del Volumen de Control, lo que hace que el propio Volumen de Control no mantenga equidistancia geométrica en todos sus puntos respecto a dicha fuente. Asimismo, no existe una simetría del flujo de calor con relación al sistema de extracción de energía, representado por el intercambiador de calor En el modelo propuesto, a diferencia de un lecho geotérmico real, donde la roca que constituye la fuente de calor se encuentra a la misma temperatura en toda la zona que rodea al sistema de extracción de energía, en nuestro modelo es preciso calentar la arena a partir de una fuente externa, lo que obliga a ubicarla en una zona diferente a la que ocupa el intercambiador de calor, motivando que no se respete la condición de simetría del flujo de calor respecto al sistema de extracción. Esta situación tampoco representa un inconveniente una vez se haya alcanzado el estado estacionario en el lecho, dado que en dicho estado la arena puede considerarse como una fuente de energía a temperatura constante. La fuente de energía, al estar ubicada en la zona inferior del habitáculo, provoca un flujo de calor en sentido vertical mayor que en horizontal, para cualquiera de las direcciones X e Y reflejadas en la 105 figura 6.1, lo que rompe nuevamente la simetría del modelo. Al igual que se ha explicado en el apartado a), la prevalencia de una dirección determinada, en nuestro caso la Z, respecto a las otras dos, no supone problema alguno para el análisis del caso, dado que el flujo de calor en cualquiera de las direcciones es el mismo siempre que se cumplan las condiciones de medio homogéneo y uniforme y fuente de energía a temperatura constante, cual es el caso que estamos considerando. El modelo de lecho geotérmico está constituido por arena que, aún siendo un medio sólido, tiene un grado de porosidad diferente a la roca geotérmica. El análisis en un medio geotérmico real se realiza con una modelización con valores medios para su análisis. En nuestro caso como la arena posee diferente granulometría y el volumen de control posee anisotropía, el medio no podría considerarse completamente homogéneo y uniforme, salvo que se realicen ciertas consideraciones. Aunque es complejo equiparar un lecho de roca geotérmico con la arena de nuestro modelo, se puede llevar a cabo una buena aproximación siempre que el grado de porosidad del medio sea lo suficientemente pequeño, para lo cual se ha elegido una granulometría que permite cumplir dicha condición dentro de unos límites bastante ajustados. De acuerdo con lo establecido en las condiciones anteriores, con objeto de establecer una adecuada correspondencia entre el modelo y un prototipo real, los ensayos llevados a cabo establecieron las siguientes condiciones: • Se opera siempre en estado estacionario. Para alcanzar este punto se deja evolucionar el sistema hasta que los registros de temperatura en el interior del habitáculo indican que ésta se mantiene prácticamente constante, dentro del margen de error establecido por los instrumentos y sensores de medida. Para alcanzar el estado estacionario es preciso un tiempo previo de calentamiento del modelo de lecho geotérmico entre 36 y 48 horas, dependiendo de la temperatura de operación seleccionada • Para determinar la temperatura del lecho se han promediado los valores obtenidos para cada uno de los sensores ubicados en el interior del mismo, dada la falta de simetría del modelo; por otra parte, debido a la falta de simetría en el modelo se optó por promediar los valores de todos los parámetros cuyos valores fueron registrados durante los ensayos 6.7 Ensayos complementarios Con objeto de verificar que las condiciones establecidas para la adecuada correspondencia entre el modelo y un prototipo real se cumplían, se llevó a cabo un conjunto de ensayos complementarios, con el objeto de caracterizar los dispositivos y sistemas utilizados; entre los más relevantes han sido: • Circuito hidráulico del sistema • Medio poroso (arena) • Control térmico 106 6.7.1 Medición del caudal de la bomba El fluido caloportador puede ser impulsado por dos tipos de bomba, una centrífuga que opera con corriente continua, cuya tensión nominal es 12 VDC, o una peristáltica que es movida por un motor eléctrico de paso continuo y corriente alterna, operando con un voltaje de trabajo de 230 VAC. En el primero de los casos, la velocidad de impulsión del fluido, y por tanto su caudal, dependen directamente de la potencia eléctrica suministrada a la bomba, la cual, a su vez, es función directa de la tensión de alimentación; por ello, y puesto que dentro del proceso de caracterización uno de los parámetros relevantes es el caudal de circulación del fluido, se procedió a suministrar a la bomba tres tensiones diferentes, 11.8 V, 12.4 V y 13.2 V, utilizando como resultado el promedio de tres mediciones para cada uno. Simultáneamente, se midió el caudal circulante por medio del caudalímetro insertado en el circuito, el cual había sido previamente calibrado por el procedimiento tradicional de recipiente aforado y cronómetro. Los valores de caudal obtenidos se han representado frente al voltaje, de modo que se pueda establecer el caudal a partir de la tensión de alimentación de forma sencilla, rápida y fiable. La figura 6.11, que se presenta a continuación, nos muestra la correlación entre el caudal del flujo caloportador y la tensión de alimentación de la bomba. Los valores obtenidos se ajustaron a una recta, cuya expresión figura en la siguiente ecuación, con un coeficiente de regresión R2=0.952 υ̇=0.0076V +0.0075 (6.32) siendo υ̇ el caudal y V la tensión de alimentación. 6.7.2 Análisis granulométrico [6.2, 6.3] La realización del análisis granulométrico tiene como finalidad comprobar la homogeneidad de las partículas de arena utilizadas como sustrato para el modelo de lecho geotérmico; para ello, se 107 11.6 11.8 12 12.2 12.4 12.6 12.8 13 13.2 13.4 0.09 0.095 0.1 0.105 0.11 0.115 Tensión de alimentación (V) C a u d a l ( l/s ) FIGURA 6.11 Dependencia del caudal de circulación del fluido caloportador con la tensión de alimentación de la bomba impulsora determinará el tamaño de partícula, así como la fracción volumétrica en la que cada tamaño interviene en el conjunto. Se entiende por tamaño, una dimensión característica del grano, en general una longitud; si se trata de un grano esférico se tomará, evidentemente, como dimensión de su tamaño su radio o su diámetro. Para una partícula fuertemente irregular desde el punto de vista geométrico, a veces es difícil definir un tamaño equivalente que sea satisfactorio desde el punto de vista físico. En el caso que nos ocupa la forma de las partículas es casi esférica, así que podremos referirnos a tamaño del grano. Se determina en general la granulometría de un conjunto de granos, el cual es a menudo una muestra aleatoria de una población mayor. Se requieren, en general, por lo menos 500-1000 gramos para que la muestra pueda representar a la población de forma satisfactoria desde el punto de vista estadístico, pero en nuestro caso el material es muy uniforme así que hemos utilizado 500 gramos, por lo que se considera suficiente para caracterizar el medio poroso utilizado. El análisis granulométrico se realizó utilizando una técnica simple de dimensionamiento de partículas. Los tamices están dispuestos en una pila con el tamaño de malla aumentando de abajo hacia arriba. La figura 6.12 y la tabla 6.3 muestran el porcentaje de partículas que pasan o quedan retenidas en función del tamaño de partícula. La elección de los tamaños de los tamices se realizó ajustando sus medidas aproximadamente a una progresión geométrica de razón 2, debido a que la experiencia dice que cuando la relación entre el mayor y menor tamiz es mayor que 20, es mejor hacer un recorte en intervalos desiguales en progresión geométrica, lo que da lugar a intervalos iguales en escala logarítmica. 108 FIGURA 6.12 Perfil granulométrico de la arena Razón: 2 Designación 1 2.5 99.9 2 1.2 83.8 3 0.6 17.7 4 0.3 2.64 5 0.15 0.82 6 0.075 0.4 7 0.042 0.29 Abertura (mm) % muestra pasa 0.010.1110100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Abertura en mm % p a s a Tabla 6.3 Análisis granulométrico de la arena En lo que concierne el número de intervalo del análisis, conviene también encontrar un compromiso entre la precisión dada por un recorte "fino" con muchos intervalos, y la pérdida de significado estadístico al tener un número demasiado pequeño de granos en ciertos intervalos; posiblemente colocando un tamiz entre el número 50 y 100 se hubiera definido mejor la curva en ese tramo; sin embargo, para el estudio que se está realizando y las características del material utilizado, se considera una muy buena caracterización de la curva granulométrica utilizando las siete sub- muestras. 6.7.3 Calibración de sensores La calibración de los sensores utilizados se llevó a cabo comparando los valores de temperatura obtenidos con los de un termómetro patrón de platino. Se realizaron 37 medidas, observando que, por lo general, la diferencia entre ambas se mantenía dentro de un margen de error de ±0.3ºC, salvo alguna excepción que superó este intervalo; ahora bien, teniendo en cuenta que la incertidumbre de los sensores, de acuerdo con las especificaciones técnicas del fabricante es de 0.5ºC, según se ha mencionado en la descripción de los elementos del sistema, ha sido necesario corregir el error mínimo de las medidas, habiéndose obtenido un valor máximo de dicho error de ±0.6ºC, que es compatible con la incertidumbre de los sensores (ver tabla 6.4). 6.8 Características del medio poroso Desde un punto de vista del análisis de los fenómenos que ocurren en un medio poroso, especialmente en lo relativo a la transferencia de calor y masa, es preciso conocer las características del medio, no solamente las estructurales, sino también las que permiten definir el movimiento de fluidos a través del mismo, lo que origina un transporte de masa que lleva aparejado un transporte de energía [6.4, 6.5, 6.6]. 109 Comprobación de la exactitud de las medidas de temperatura Termómetro- platino Sensor de temperatura Termómetro- platino Sensor de temperatura Termómetro- platino Sensor de temperatura 66.41 67.52 63.49 62.48 55.72 56.09 67.3 67.11 61.36 61.4 55.63 55.83 67.17 67.32 61.23 61.22 55.2 55.29 67.12 67.12 58.12 58.15 55.14 55.27 67.88 66.37 56.52 56.82 80.42 80.33 66.78 66.15 56.57 56.75 80.18 80 66.67 66.04 56.3 56.7 79.97 79.68 66.45 66.21 56.28 56.63 79.6 79.79 66.39 66.44 56.17 56.01 66.12 66.16 56.12 56.25 66.03 66.01 56.05 56.24 63.98 64.13 55.95 56.15 62.68 63.09 55.8 56.13 Tabla 6.4: Calibración de los sensores En efecto, si consideramos que un lecho geotérmico es un medio poroso a través del cual puede circular un cierto fluido, generalmente agua, a los fenómenos de transferencia de calor en dicho lecho generalmente originados por mecanismos de conducción, se deben añadir los ocasionados por el movimiento del fluido en el seno del medio, puesto que al tratarse de un medio poroso existe un transporte de energía debido al movimiento del fluido, además de posibles efectos convectivos en el seno del propio fluido, que contribuyen, a su vez, a los mecanismos de transferencia de calor. Desde este punto de vista, deberemos prestar atención tanto a la determinación de los parámetros estructurales, como es la porosidad del medio, como a los parámetros cinéticos, como es la velocidad de desplazamiento del fluido en el seno del lecho a través de los poros. Para la determinación de las características de la arena como medio poroso, se utilizó un porosímetro o permeámetro como se aprecia en la figura 6.13 El porosímetro utilizado es del tipo de carga constante, en el que la pérdida de presión se mantiene constante a través de la muestra de longitud L y área transversal A y la descarga es medida en función del tiempo. La cantidad ∆ υ̇ corresponde a un incremento del caudal en un tiempo ∆t constante. El coeficiente de permeabilidad se calcula a partir de la ecuación (4.41) utilizando los valores medidos en el dispositivo de la figura 6.13; para ello, se midió la diferencia de presión hidrostática a partir de la diferencia de alturas de acuerdo con la ecuación (4.51), conocido el peso específico del fluido utilizado, en nuestro caso agua. Una vez conocida la pérdida de carga hidrostática, Δh, medida la distancia vertical entre la entrada y salida, L, y determinado el caudal circulante por el procedimiento ya señalado en un apartado anterior, se pudo determinar el valor de la conductividad hidráulica, K, utilizando la relación (4.52), de donde se puede calcular el valor de la permeabilidad, empleando la ecuación (4.50), habiendo obtenido el valor de la viscosidad dinámica del fluido de las tablas para la temperatura de operación. 110 FIGURA 6.13 Porosímetro: vista del dispositivo de medida (izda) y diagrama esquemático (dcha) 1 2 6.8.1 Determinación de la densidad aparente de la arena Para el desarrollo de la caracterización estructural del medio poroso, primeramente se determinó la densidad aparente de la muestra como la relación entre el volumen y el peso seco de la muestra. Los datos característicos de la arena que se utilizó como base del medio poroso se muestran en la siguiente tabla Parámetro Valor Peso 1114 g Volumen sin compactar 720 cm3 Volumen compactado 700 cm3 Densidad sin compactar 1547 kg/m3 Densidad compactada 1591 kg/m3 6.8.2 Determinación de la porosidad total, φ, y de la porosidad eficaz, φeff La porosidad total es el espacio intersticial total de la roca, sin importar si contribuye o no al flujo de fluidos; esta propiedad determina la capacidad de almacenar agua del material. La porosidad efectiva o eficaz excluye los poros aislados y el volumen de los poros ocupado por el agua adsorbida en los minerales de arcilla u otros granos; esta propiedad influirá en la velocidad del flujo del agua y en consecuencia en el tiempo de tránsito de las partículas disueltas en ella. Por otro lado, el tamaño de las partículas del suelo determina el tamaño de los poros individuales, en tanto que la forma y la disposición de las partículas determinan la forma de los poros, y el tamaño, forma y disposición de los poros determinan la porosidad. El método elegido para la determinación de la porosidad ha sido la diferencia de volúmenes; para ello, se introdujo en la probeta del porosímetro, zona 1 de la figura 6.13, un volumen determinado de agua; seguidamente se abrió la llave permitiendo que el agua fluyera hacia el recipiente que contiene la arena, zona 2 de la figura 6.13, hasta que la arena estuviera totalmente impregnada. En ese momento se cerró la llave y se midió el volumen de agua que quedó en la probeta. La diferencia entre el volumen inicial y el restante es la porosidad total. Posteriormente, se abrió la llave inferior, para dejar salir por gravedad el agua hacia el recipiente, y se midió el volumen total del agua que se filtró, lo que permite determinar la porosidad eficaz. Finalmente, con el fin de determinar el porcentaje que ha quedado retenido, el volumen filtrado se resta del calculado anteriormente. Los resultados de las medidas realizadas se indican en la siguiente tabla: 111 Tabla 6.5 Características de la arena utilizada Parámetro Valor Volumen introducido 400 cm3 Volumen residual 120 cm3 Volumen retenido 280 cm3 Volumen filtrado 190 cm3 Volumen intersticial 90 cm3 El valor de la porosidad depende del tipo de lecho utilizado, el cual es función, a su vez, del grado de compactación del sustrato empleado como base, en nuestro caso, arena; de acuerdo con los valores obtenidos en los ensayos, la porosidad del medio valdrá: φ c=100( V ret V tot )=100( 280 700 )=40% (6.33a) φ sc=100( V ret V tot )=100( 280 720 )=38.9% (6.33b) siendo Vret el volumen de agua retenido en el medio poroso y Vtot el volumen total de dicho medio. φc y φsc son, respectivamente, la porosidad para lecho compactado y sin compactar. Como se puede observar, la diferencia entre ambos valores es muy reducida, lo que permitiría establecer el valor de la porosidad del medio como el del lecho compactado sin generar un error significativo. Para el caso de la porosidad efectiva, se utilizará como valor el correspondiente al agua de filtración, dado que es la que procede de poros no ocluidos y, por tanto, que permiten el acceso a la libre circulación del fluido a través del lecho, lo que da lugar a una transferencia de calor y masa por desplazamiento del fluido a lo largo del medio poroso. Utilizando los valores indicados en la tabla 6.6, y aplicando la relación para la porosidad, previamente expresada en la ecuación (6.33), se llega a: φ (c ,eff )=100( V filt V tot )=100 ( 190 700 )=27.1 % (6.34a) φ (sc ,eff )=100( V filt V tot )=100( 190 720 )=26.4 % (6.34b) donde Vfilt representa el volumen retenido de agua filtrada, y φc,eff y φsc,eff son, respectivamente, la porosidad efectiva para lecho compactado y sin compactar. 112 Tabla 6.6 Valores experimentales (cálculo de la porosidad) Aún cuando el valor de la porosidad efectiva es inferior al de la porosidad absoluta, el valor es significativo, lo que nos hace ver que, en presencia de fluidos, habrá que tener en cuenta los fenómenos de transporte asociados al desplazamiento del fluido en el seno del lecho, y la transferencia de calor que se produzca como consecuencia de dicho transporte. Por otra parte, existe una fracción del medio que está ocupada por poros que no son accesibles desde el exterior en condiciones normales, y que permiten almacenar fluido en su interior, intercambiando únicamente energía en forma de calor por conducción con el medio que le rodea, esto es, el lecho. Esta fracción da lugar a lo que denominamos como “porosidad ocluida”, y cuyo valor viene dado por la diferencia entre los valores de la porosidad y porosidad eficaz; de acuerdo a lo indicado en las ecuaciones (6.33) y (6.34), se puede comprobar que esta “porosidad ocluida” vale 12.9% y 12.5%, para lecho compactado y sin compactar, respectivamente. Nuevamente se observa que la diferencia entre ambos valores es prácticamente despreciable, por lo que se podrá, al igual que anteriormente, tomar como valor de referencia el del lecho compactado. 6.8.3 Determinación del caudal: υ̇ Se realizaron tres ensayos para la determinación del caudal, manteniendo la presión de carga constante. Los volúmenes de agua se midieron para un intervalo de 60 segundos, habiéndose obtenido los siguientes valores, 318 cm³, 315 cm³ y 320 cm³, respectivamente, para cada uno de los tres ensayos realizados. Una vez obtenidos dichos valores, se determinó el caudal como promedio de cada uno de los valores resultantes, de modo que: υ̇= 1 3 [∑ 1 3 ( V i t i )]= 1 3 [ (318+315+320) 60 ]=5.3cm3 /s=5.3 x 10−6 m3 / s (6.35) 6.8.4 Determinación de la velocidad de Darcy o de infiltración: v Cuando un medio poroso se encuentra en contacto con un fluido, éste tiende a ocupar parte del volumen del medio poroso en función de la diferencia de presión existente entre ambos medios; la rapidez con la que el fluido se introduce en el medio poroso depende, además del gradiente de presión, tanto de las características del medio como del propio fluido. Para caracterizar este proceso se suele recurrir a la llamada “velocidad de infiltración” o velocidad de Darcy, que nos indica la rapidez con la que el fluido penetra en el medio. De lo desarrollado con anterioridad, es preciso hacer notar que se distingue entre el promedio tomado con respecto a un elemento de volumen del medio, Vm, que incluye material sólido y fluido, y el que se toma con relación a un elemento de volumen que contiene únicamente fluido, V f. De acuerdo con esto podemos expresar el promedio de la velocidad del fluido sobre Vm mediante la expresión v=(u,v,w), donde u,v,w representan las coordenadas cartesianas de la velocidad en el elemento de volumen Vm. Esta cantidad ha recibido varios nombres, de diferentes autores, como velocidad de filtración, velocidad superficial, velocidad de Darcy o densidad de flujo volumétrico. Debido a que las variaciones de densidad son pequeñas, podemos aplicar, como se indicó anteriormente, la aproximación de Boussinesq que establece que las diferencias de densidad en el 113 fluido se pueden ignorar a menos que ocurran en términos multiplicados por la aceleración de la gravedad, considerando el fluido como incompresible. Así pues, si tomamos un promedio de la velocidad del fluido sobre un volumen Vf obtenemos la velocidad promedio intrínseca νintr, que está relacionada con la velocidad de Darcy ν por la relación Dupuit-Forchheimer: ν intr=ν /φ eff (6.36) donde la velocidad de Darcy viene dada por la expresión: ν=υ̇ / A (6.37), siendo υ̇ el caudal o flujo de fluido, y A el área de la sección transversal [6.3] [6.6]. Considerando que el depósito del material (figura 6.13) es un cilindro de diámetro 0,05 m, y teniendo en cuenta el valor del caudal anteriormente determinado (ec. 6.35), y aplicando la relación (6.37) se tiene: ν=υ̇ / A=5.3 x 10−6 / (0.052 /4)=2.7 x 10−3 m /s=0.27 cm /s (6.38) que equivale, aproximadamente, a una velocidad cercana a los 10 m/h, lo que para medios porosos se puede considerar apreciable. 6.8.5 Determinación de la velocidad lineal media, intrínseca o intersticial: νintr La velocidad de Darcy es un parámetro relevante en el estudio del movimiento del fluido en el seno del medio poroso; sin embargo, su valor no es totalmente representativo de lo que ocurre en el interior de dicho medio, puesto que hay que tener en cuenta que el desplazamiento del fluido no se realiza de manera perpendicular a la sección recta del lecho, sino que, debido a que los canales que conectan los poros entre sí, y éstos con el exterior, están dirigidos en cualquiera de las direcciones del espacio, el recorrido del fluido es mayor que la distancia geométrica recta entre la superficie de entrada y la de salida del lecho, lo que motiva una reducción de la velocidad efectiva de desplazamiento; para tener en cuenta este fenómeno se define la llamada velocidad intersticial, que representa el valor efectivo de dicha magnitud a lo largo del medio teniendo en cuenta la sinuosidad del recorrido. La velocidad intersticial se determina teniendo en cuenta la porosidad efectiva, es decir: νintr=ν/φeff=2.7 x10−3 /0,271=10−2m /s=1 cm /s (6.39) que, aún siendo menor que la velocidad de Darcy, sigue siendo significativa. 6.8.6 Determinación de la conductividad hidráulica o coeficiente de permeabilidad, K y permeabilidad intrínseca, k Por otro lado, hay que tener en cuenta la mayor o menor capacidad que un determinado medio poroso tiene para dejar pasar un fluido a su través; esta propiedad se conoce como permeabilidad y tiene unidades de velocidad, siendo un indicador de la velocidad con que el flujo atraviesa el medio. 114 Según Darcy la conductividad hidráulica viene dada por la expresión: K=−( υ̇ AT ) (Δ L) (Δ h) (6.40) y teniendo en cuenta las dimensiones del modelo, figura 6.13, operando se llega a: K=3.8x10-3 m/s , valor concordante con las arenas de grano medio como nuestro modelo [6.7]. Por otra parte, el coeficiente de permeabilidad es inversamente proporcional a la viscosidad del agua, que disminuye al aumentar la temperatura; por lo tanto, las mediciones de permeabilidad a temperaturas de laboratorio deben corregirse antes de la aplicación a las condiciones de temperatura de campo mediante la ecuación: K c= υ l υc ⋅K l (6.41) siendo υ es la viscosidad cinemática y donde los subíndices c y l corresponden a las medidas realizadas en el campo y en laboratorio respectivamente, correspondiendo la de laboratorio a 20ºC, que se toma como valor referencial. La permeabilidad es una característica del medio y, por tanto, no depende del tipo de fluido considerado; por ello, es preciso complementar este parámetro con otro que incluya magnitudes características del fluido relativas a la Dinámica de Fluidos, este parámetro es la llamada permeabilidad específica, que tiene en cuenta las fuerzas viscosas, a través de la viscosidad del fluido, las gravitatorias, y las inerciales por medio de la velocidad del fluido. Así pues, dicha permeabilidad se define matemáticamente de la forma: k= K⋅υ g (6.42) En el caso de nuestro modelo, la permeabilidad específica vale k=3.89x10-10 m². Este valor entra dentro de los límites normales para medios porosos. Análisis matemáticos y mediciones del flujo de agua a través de un medio permeable, han demostrado que la permeabilidad está determinada fundamentalmente por las áreas de los poros individuales normales a la dirección del flujo, la forma de los poros a lo largo de la dirección del flujo y el área total de los poros por unidad de área normal a la dirección del flujo. 6.8.7 Determinación de la tortuosidad: Г Un medio poroso se puede asociar a un material consistente en una matriz sólida con un espacio vacío interconectado. En la escala de poros, la escala microscópica, las cantidades de flujo, la velocidad, la presión, etc., serán claramente irregulares, pero en experimentos típicos, las cantidades de interés se miden sobre áreas que atraviesan muchos poros, y dichas cantidades promediadas en el 115 espacio (macroscópicas) cambian de manera regular con respecto al espacio y al tiempo. Debido a que no hay uniformidad en la distribución del espacio a lo largo de un lecho geotérmico, se debe definir una variable macroscópica, en el enfoque espacial, como un valor medio apropiado sobre un volumen elemental representativo (r.e.v.) suficientemente grande; esta operación produce el valor de esa variable en el centroide del r.e.v., asumiendo que el resultado es independiente de su tamaño (fig. 6.14), y en base a ésto se define la tortuosidad (fig 6.15). La tortuosidad es la magnitud que caracteriza la complejidad del proceso de difusión de fluidos a través de medios porosos. En la Mecánica de Fluidos de medios porosos, la tortuosidad es la relación entre una línea o trayectoria de flujo entre dos puntos A y B (LT) y la distancia en línea recta entre esos puntos (L); matemáticamente: Γ= LT L (6.43) Para determinarla es preciso medir el espesor de la muestra, en nuestro caso la longitud del cilindro ocupada por arena: L=35cm; seguidamente, calcular la longitud recorrida por el agua para la velocidad media lineal en 1 minuto, LT, que viene determinada por la velocidad de desplazamiento del fluido, v, y el tiempo empleado en el recorrido, t, de modo que, para nuestro caso: LT=60 cm, ya que la velocidad de desplazamiento vale 1 cm/s, y el tiempo es de 60 s. El valor de la tortuosidad es, en este caso: Γ= LT L = 60 35 = 1,76 (6.44) 6.9 Caracterización térmica del modelo Con objeto de poder realizar un análisis adecuado del modelo propuesto es preciso llevar a cabo una caracterización térmica del mismo que nos permita conocer su comportamiento desde un punto de vista termodinámico, lo que, a su vez, establecerá las condiciones necesarias para abordar el cálculo de los parámetros más relevantes y establecer el balance de energía correcto en el sistema. Entre los parámetros fundamentales para abordar el análisis termodinámico del modelo, además de la distribución de temperaturas en el mismo, es preciso conocer tanto el calor específico como la conductividad térmica del sustrato que conforma el lecho geotérmico. Estos dos parámetros nos permitirán, por un lado, determinar la capacidad que tiene el medio de absorber energía procedente de la fuente geotérmica, y por otro, la rapidez con la que la energía absorbida se transporta hacia el 116 Figura 6.14 Esquema de un volumen representativo elemental Figura 6.15 Esquema de tortuosidad en un medio poroso intercambiador geotérmico. Asimismo, para el adecuado balance de energía en el modelo deberemos determinar el coeficiente global de pérdidas, que nos permitirá calcular las pérdidas térmicas de nuestro sistema, y con ello, la energía útil remanente en el sistema en función de la aportada por la fuente. 6.9.1 Distribución de temperaturas El registro de temperaturas tiene como función principal determinar la distribución de temperatura en el modelo con el fin de establecer la presencia de gradientes térmicos y la direccionalidad del flujo de calor en el interior. Es importante conocer esta distribución puesto que la mayor o menor prevalencia de una dirección respecto a las otras, en cuanto al flujo de calor se refiere, condiciona el transporte de calor hacia el intercambiador, alterando con ello el balance de energía en el mismo. En el caso de nuestro modelo la direccionalidad del flujo de calor es sumamente importante debido a la disposición geométrica tanto de la fuente de calor, la resistencia, como del intercambiador de calor, así como a la asimetría del lecho respecto al propio intercambiador. Por otro lado, al tratarse de un modelo finito, a diferencia del prototipo real, en el que trabajamos con un medio infinito o semi-infinito, la distribución de temperaturas permite conocer la mayor o menor homogeneidad del lecho, así como la uniformidad en el comportamiento térmico del modelo. Es preciso hacer notar que, debido a que la fuente de calor ocupa gran parte de la superficie de la base del modelo, y que la geometría de éste, según se ha indicado, es de tipo paralelepipédico con una dimensión vertical inferior a las dos restantes, así como que la disposición del intercambiador de calor geotérmico, por razones de diseño, se ubica en un plano horizontal paralelo al de la fuente de calor, en un nivel superior según se puede comprobar en el esquema de la figura 6.1, se ha considerado que el proceso de caracterización térmica resulta más relevante si se aborda por regiones o capas de tipo horizontal, puesto que, en principio, se supone que es la dirección vertical donde se van a producir los cambios más significativos de temperatura; por ello, se procedió a determinar los valores medios de las temperaturas por zonas, según la distribución de sensores que refleja, igualmente, la figura 6.1. Para caracterizar térmicamente el modelo, se registraron las temperaturas con los sensores internos hasta alcanzar el estado estacionario; el proceso se llevó a cabo para potencias de 40W, 55W, 60W, 70 W, 80 W, 85W y 100W, tal y como se ha especificado con anterioridad. Los resultados se han representado gráficamente en las figuras que se muestran a continuación. En todas las figuras rige el siguiente código de colores: • Rojo: promedio de todos los sensores colocados en la arena • Amarillo: promedio de todos los sensores colocados en la arena con excepción del canal inferior • Verde: promedio de los cuatro sensores colocados en el plano horizontal • Azul: al promedio entre la temperatura del agua a la entrada y a la salida del intercambiador 117 El motivo de llevar a cabo este análisis se basa en el hecho que, puesto que la arena juega el papel de lecho geotérmico en nuestro modelo, la temperatura característica de dicho medio debe corresponder al valor promedio de las temperaturas en las diferentes secciones del sistema (rojo); sin embargo, debido a la especial configuración de nuestro modelo, el sensor situado en la zona inferior se ve fuertemente influenciado por la resistencia de calentamiento, lo que no es totalmente representativo en una situación real puesto que en un lecho geotérmico la fuente no está localizada en una zona específica sino que rodea por completo a nuestro intercambiador, de ahí que se ha ya considerado la configuración correspondiente al color amarillo. Asimismo, se ha tomado una valor medio de la temperatura en un plano horizontal para eliminar las posibles influencias derivadas de un flujo de calor transversal. Esta distribución se ha llevado a cabo teniendo en cuenta que el fin primordial es determinar la temperatura promedio, tomada como característica, de la arena, puesto que ésta juega el papel de lecho geotérmico; sin embargo, debido a la configuración del sistema, la temperatura del canal inferior se ve fuertemente influenciada por la cercanía de la resistencia que actúa como fuente de calentamiento de la arena, lo cual puede perturbar el valor característico. Asimismo, se ha buscado determinar la posible presencia de gradientes térmicos en el plano horizontal para comprobar si la dirección vertical, tomada como preferente, realmente representa la correspondiente al flujo de calor, cuestión que se verifica si el gradiente horizontal es pequeño o despreciable. Aunque el azul no corresponde a la caracterización del modelo de lecho geotérmico, se ha incluido para observar que su comportamiento es similar al del propio lecho aunque de manera atenuada. 118 Figura 6.16a Evolución de temperaturas: potencia 40 W 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0 10 20 30 40 50 60 70 tiempo [min] te m p e ra tu ra [º C ] 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 tiempo [min] te m p e ra tu ra [ ºC ] Figura 6.16b Evolución de temperaturas: potencia 55 W 119 Figura 6.16d Evolución de temperaturas: potencia 70 W Figura 6.16f Evolución de temperaturas: potencia 100 W Figura 6.16e Evolución de temperaturas: potencia 85 W 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 tiempo [min] te m pe ra tu ra [ ºC ] 14 514 1014 1514 2014 2514 3014 0 20 40 60 80 100 120 140 te m p er at u ra [ ºC ] Figura 6.16c Evolución de temperaturas: potencia 60 W 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 tiempo [min] te m p e ra tu ra [º C ] 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000 0 20 40 60 80 100 120 tiempo [min] te m pe ra tu ra [ ºC ] La representación mostrada en las figuras tiene como objetivo no solamente indicar la evolución de la temperatura del lecho a lo largo del tiempo, sino también la influencia que las distintas zonas del mismo tienen sobre dicha temperatura; en efecto, el análisis de las gráficas nos permite extraer las siguientes conclusiones: • Si se toma el lecho geotérmico como un conjunto, la temperatura del mismo, obtenida como promedio del total de las diferentes zonas, no difiere de manera significativa del valor promedio para la zona central, que es donde se ubica el intercambiador • Si se considera la mitad superior del lecho, la temperatura de dicha zona, obtenida promediando los valores para las zonas central y superior de manera conjunta, es notablemente inferior al de la zona central, señal inequívoca de la influencia que la zona superior tiene sobre el comportamiento térmico del lecho; esta diferencia se va incrementando a medida que se aumenta la potencia calorífica de la fuente • De acuerdo con lo indicado en los dos puntos anteriores, la zona superior provoca una reducción de temperatura, que se ha atribuido a posibles efectos convectivos que den lugar a pérdidas de energía • El tiempo en el que el sistema alcanza el estado estacionario, marcado por una temperatura constante, no parece depender de la potencia calorífica, excepto para potencias muy elevadas (100 W); este tiempo está dentro de un orden de magnitud que se considera aceptable para este tipo de sistemas • El tiempo que tarda la temperatura en estabilizarse nos indica el retardo en recuperar el nivel energético original a partir de la descarga térmica del reservorio geotérmico; dicho tiempo depende de la profundidad de la descarga, a mayor profundidad mayor tiempo de estabilización Se ha considerado como lecho geotérmico el volumen total de la arena incluída en nuestro dispositivo, desde el momento que se alcanza el estado estacionario, ya que la estructura de nuestro modelo imposibilita de forma práctica la división entre foco y lecho geotérmico. Por otro lado, a una escala más pequeña se asimila al terreno donde los gradientes de temperatura también varían. Del análisis de valores de temperatura máxima alcanzada, correspondiente al estado estacionario, se puede comprobar que existe una dependencia lineal entre el valor de la temperatura y la potencia suministrada; si llevamos a cabo un proceso de correlación se obtiene una regresión lineal con un elevado grado de ajuste (R2=0.997), cuya ecuación característica es: T est=1.084 Pt+23.58 (6.45) donde Pt representa la potencia suministrada, y Test es la temperatura de equilibrio en el tiempo de estabilización. La ecuación anterior permite predecir la temperatura del lecho geotérmico a partir de la potencia suministrada o, al contrario, conocer la potencia calorífica en función de la temperatura de operación del lecho, según la relación: Pt=0.9198T est−21.495 (6.46) 120 La ecuación (6.46) es especialmente útil para modelizar el comportamiento de un lecho geotérmico, puesto que nos permite determinar la potencia que éste proporciona a nuestro sistema a partir de la medida de la temperatura del lecho, lo cual, en la práctica se puede realizar de manera experimental mediante sensores introducidos durante la perforación, o estimar de forma previa a partir del perfil geotérmico de la zona; de esta manera, conocida la potencia se puede llevar a cabo un balance de energía mucho más preciso. 6.9.2 Temperatura característica Debido a que el prototipo no tiene simetría respecto a la fuente de calor y el medio es poroso, la transferencia de calor y temperatura del mismo no es uniforme, por tanto se debe encontrar una temperatura interna única representativa del modelo, la cual se calculará como promedio. Para ello se divide el lecho geotérmico en tres zonas para cada una de las direcciones del espacio, horizontal, vertical y transversal (fig. 6.17), de acuerdo a un modelo cartesiano de distribución térmica, considerando que hay transferencia de calor preferencial en cada una de dichas direcciones, y se calcula una temperatura característica en cada uno de ellos que será el promedio de las tres temperaturas anteriormente calculadas. Se han tomado como referencia para establecer la anchura de cada una de las zonas, las dimensiones del intercambiador, que es el elemento representativo en el sistema desde el punto de vista del aprovechamiento térmico del calor geotérmico; de acuerdo con dichas dimensiones, queda determinada la anchura de la zona central en cada distribución, siendo la anchura de las zonas limítrofes la mitad de la diferencia entre la dimensión total, según el eje considerado, y la anchura de la zona central, de manera que quede un sensor en los extremos y cuatro sensores en la parte central. De acuerdo con la distribución de sensores mostrada en la figura 6.1, y teniendo en cuenta el seccionamiento por zonas del modelo de lecho geotérmico indicado en la figura 6.17, podemos identificar cada uno de los sensores tal y como se muestra en la siguiente figura. Para la determinación de la temperatura intrínseca de cada una de las zonas consideradas, se tendrá en cuenta la capacidad calorífica de cada una, de manera que la contribución al valor de dicha temperatura intrínseca 121 Figura 6.17 Esquema del seccionamiento del lecho en zonas Figura 6.18 Identificación de sensores dependa, no solamente de la temperatura de la propia zona sino también de su masa, asumiendo que la densidad del lecho es homogénea y uniforme. De acuerdo a lo anterior, la temperatura intrínseca vendrá dada por la relación: T c= ∑ i mi c iT i ∑ i mic i (6.47) donde mi representa la masa de lecho de la zona considerada y ci su calor específico. Teniendo en cuenta que mi=ρiVi, siendo ρ la densidad del medio y V el volumen de la zona considerada, y recordando que asumimos que el lecho es homogéneo y uniforme, podemos suponer que tanto la densidad como el calor específico se mantienen constantes, por lo que la ecuación (6.47) se transforma en: T c= 1 V T ∑ i V iT i (6.48) Si seleccionamos una potencia de referencia de 70 W, que corresponde a una temperatura en el estacionario de 94º C, que consideraremos como la mínima a la que deberá operar el lecho geotérmico en condiciones reales, obtenemos para estas condiciones de operación las siguientes temperaturas: TS=54.1ºC, TI=160.6ºC, TLD=90.4ºC, TLI=86.3ºC, TD=88.3ºC y TT=83.7ºC, donde los subíndices S, I, LD, LI, D y T, corresponden a la zona superior, inferior, lateral derecho, lateral izquierdo, pared delantera y pared trasera del lecho geotérmico, respectivamente. Aplicando ahora la ecuación (6.48) a estos valores, y conocidos los volúmenes de las diferentes zonas, los cuales han sido calculados a partir de las dimensiones indicadas en la figura 6.17, se tiene: Configuración 1 Tc1=98.4ºC Configuración 2 Tc2=93.0ºC Configuración 3 Tc3=91.6ºC donde cada una de las configuraciones se corresponde a la indicada en la figura 6.17, esto es, seccionamiento horizontal, vertical y transversal, respectivamente. Sustituyendo en la ecuación 6.48: T c= 1 3∑ Tci=94.3 ºC (6.49) 122 Las temperaturas obtenidas para cada uno de las zonas horizontales, 160.6ºC para la inferior, 87.2ºC para la central y 54.1ºC para la superior son totalmente representativas de los que sería un lecho geotérmico real, donde la temperatura de la zona inferior se correspondería a capas profundas, por debajo de los 500 m, la de la zona central a capas en torno a los 250 m de profundidad, y la de la zona superior a capas más superficiales, alrededor de los 100 m de profundidad, según se puede ver en la figura 6.10. Por otra parte, las diferencias de temperatura entre las distintas secciones de la zona central no son significativas, mostrando una desviación máxima, respecto al valor promedio, inferior al 4%, lo que se puede considerar como muy aceptable. Este valor de la desviación en el plano horizontal de referencia, el central, nos muestra que el gradiente térmico horizontal es prácticamente despreciable frente al vertical, lo que es coherente con la estructura térmica de un lecho geotérmico real. 6.10 Parámetros térmicos característicos. En un sistema como el propuesto, el balance de energía se circunscribe a los procesos de transferencia de calor dado que no existe generación de trabajo ni intercambio con el exterior de este tipo de energía; por tanto, el balance dentro del volumen de control que representa nuestro lecho geotérmico, lo podemos plantear como una relación entre la generación de calor a partir de la fuente geotérmica, en nuestro caso la resistencia de calentamiento, y las pérdidas a través de la superficie de control, representada por las paredes del recinto. Se ha considerado que el flujo de calor es fundamentalmente conductivo, siendo prácticamente despreciables los efectos convectivos y radiativos; sin embargo, con objeto de generalizar el análisis a cualquier tipo de configuración, se tomarán en cuenta los tres procesos, obteniendo un único coeficiente equivalente de transferencia de calor, UL, que los incluya. Esto no invalida el estudio particular de nuestro sistema donde se ha considerado que es el transporte de calor por conducción el prevalente, puesto que bastaría hacer nulos los términos convectivo y radiativo del análisis general para obtener el caso particular. Para establecer adecuadamente las relaciones que definen el balance de energía desde el punto de vista de la conducción es necesario, en primer lugar, determinar algunos parámetros característicos que, aunque su valor es conocido, pueden verse afectados por las condiciones de operación, en tanto que otros parámetros son directamente desconocidos y es preciso determinarlos de forma experimental; entre estos parámetros a los que hacemos referencia se encuentran la conductividad térmica del medio, su difusividad y el calor específico del mismo. 6.10.1 Cálculo de las pérdidas Teniendo en cuenta que las pérdidas térmicas se producen a través de las caras del recipiente que constituye nuestro volumen de control, y que la transferencia de calor asociada a dichas pérdidas corresponde a un mecanismo de conducción a través del aislamiento, podemos poner, en general: 123 Q̇L=∑ i q̇ i S i (6.50) donde q̇i representa el flujo de calor a través de cada una de las caras, y Si la superficie de cada una de ellas. Suponiendo que trabajamos en el estado estacionario, el valor del término q̇i viene dado por: q̇i= k poly e i ∆ T i (6.51) donde kpoly representa la conductividad térmica del material de aislamiento, e su espesor, S la superficie de la cara en cuestión, y ΔT el salto de temperatura a través del aislamiento. Para evitar errores debidos a una posible distribución no homogénea de temperatura en cada una de las caras, se procedió a dividir cada una de ellas en 16 rectángulos iguales, y se registraron las temperaturas en el centro de cada uno, a ambos lados de la capa de aislamiento, obteniendo así el salto térmico correspondiente; esto permite, aplicando la ecuación 6.51 determinar el flujo de calor a través del aislante, lo que, dado que el flujo de calor se propaga en serie a través de todos los elementos de la pared entre el interior y el exterior (figura 6.19), nos permite determinar el flujo global a partir del flujo a través de cualquiera de los elementos, siempre que se trabaje en estado estacionario, que son las condiciones impuestas a nuestro ensayo. De acuerdo con este planteamiento la tasa de transferencia de calor a través de cada cara vendrá dado por: Q̇i=∑ i=1 16 k e ⋅Si⋅∆T i (6.52) donde se ha considerado que tanto la conductividad como el espesor del aislante se mantienen constantes en toda la superficie. En la ecuación anterior Si representa la superficie de cada una de las 16 subzonas en las que se ha dividido la superficie de la cara, y ΔTi el salto térmico correspondiente a dicha subzona, de este modo se compensan las posibles diferencias en el proceso de transferencia de calor por inhomogeneidades locales, pudiendo así determinar las pérdidas con mucha mayor exactitud. El proceso anteriormente descrito se extiende a cada una de las cuatro caras laterales y a la parte superior e inferior del recinto. 124 Figura 6.19 Esquema de la transferencia de calor (pérdidas) a través del aislamiento En la figura 6.20 se muestra la distribución de temperaturas para cada una de las caras; en todos los casos se considera que la temperatura ambiente se mantiene inalterable, por lo que su valor se toma como constante. Así pues, teniendo en cuenta los valores del espesor del aislante, 0,02 m, y de su conductividad térmica, 0.034 W/m·K, y sabiendo que la temperatura exterior es de 23ºC, se obtienen los siguientes valores (Tabla 6.7): Zona Flujo (W) Lateral derecho 3,59 Lateral izquierdo 3,67 Frente 4,82 Trasera 4,95 Parte superior 6,24 Parte inferior 8,20 Superficie de control (suma) 31,47 125 Figura 6.20 Distribución de temperaturas en cada subzona de las caras del modelo Tabla 6.7 Flujo de pérdidas de calor en la superficie de control Se puede observar que los laterales muestran valores muy parecidos en cuanto a las pérdidas, lo que es indicativo de una buena uniformidad en el valor característico de la temperatura de dicha zona, considerando como valor característico la media ponderada para toda la superficie. Asimismo, es de destacar que las pérdidas a través de dichas superficies son las menores de todo el conjunto, resultado de la geometría del modelo y de la direccionalidad del flujo de calor desde la fuente. Igualmente, las pérdidas a través de las caras delantera y trasera muestran valores muy próximos, nuevamente indicando que la temperatura característica de cada cara es muy similar, y que el flujo de calor transversal en esa dirección se produce de acuerdo con lo establecido en la teoría, donde se consideró que la dirección predominante era la vertical siendo las dos horizontales de menor relevancia. La diferencia entre el valor de las pérdidas por el lateral y por las caras frontal y trasera se debe a una cuestión de geometría, ya que como se mostró en el diseño del modelo la sección recta horizontal es rectangular y no cuadrada, con el eje mayor según la dirección X, tal y como se muestra en la figura 6.1, lo que motiva que las pérdidas sean menores. Es preciso reseñar que en el cálculo de las pérdidas por la parte frontal se han eliminado dos de los datos de temperatura, los situados en la zona central inferior, cuyo valor era anormalmente alto; la repetición de las medidas siguió mostrando la misma anomalía térmica que no ha encontrado una justificación lógica salvo influencia de la fuente de calor de forma puntual en dicha zona. Por otra parte, se puede comprobar que las mayores pérdidas se producen a través del eje vertical, prácticamente el doble que a lo largo del eje X (laterales), y un 50% superior a las obtenidas para el eje Y, frente y trasera, lo que corrobora el hecho de considerar que el flujo de calor en sentido vertical es el predominante, tal cual se consideró en el análisis teórico. Asimismo, se observa que las pérdidas por la parte inferior son considerablemente superiores a las de la parte superior, hecho que está plenamente justificado por la cercanía de la fuente a la superficie en dicha zona. Sabiendo que la potencia suministrada para este ensayo ha sido de 70 W, la potencia útil resulta ser: Pu=70-31,5=38,5 W, representando las pérdidas un porcentaje equivalente al 45% del total, un valor ciertamente elevado para un prototipo real, pero aceptable para las condiciones de operación del modelo. A partir de las pérdidas térmicas es posible determinar el coeficiente global de pérdidas del modelo, un parámetro característico que permitiría calcular las pérdidas en un prototipo real que operara en condiciones similares a las del modelo. Para el cálculo del coeficiente global de pérdidas empleamos la conocida relación: Q̇L=U L STΔT (6.53) donde UL representa el coeficiente global de pérdidas, ST el valor de la superficie de control y ΔT el salto térmico entre el interior del lecho y el medio exterior que lo rodea. Debido a que el salto térmico varía de unas zonas a otras de la superficie de control, es más preciso utilizar la relación: 126 U L= 1 n ∑ 1 n uLi (6.54) donde uLi es el coeficiente de pérdidas de cada uno de los elementos que constituyen la superficie de control; en nuestro caso las caras del recipiente que conforman el modelo de lecho geotérmico, y cuyo valor se obtiene de aplicar la ecuación (6.54) a cada una de las caras, permite expresar: uLi= Q̇Li S iΔT i (6.55) Combinando las ecuaciones (6.53) a (6.55), obtenemos los diferentes valores del coeficiente de pérdidas para cada cara, así como el valor global (ver Tabla 6.8). Como se puede comprobar, todos los valores son prácticamente idénticos salvo el lateral izquierdo que muestra un leve incremento, en torno al 3%, con relación al resto de valores y al valor global. Esta desviación no se considerara representativa y entra en el rango de incertidumbre de la propia medida. Los valores mostrados en la tabla 6.8 nos indican que, independientemente de la distribución de temperaturas en cada uno de los elementos de la superficie de control, y de la presencia de gradientes en dichos elementos, el coeficiente de pérdidas se mantiene constante, lo que nos permite validar el estudio llevado a cabo en el modelo y poder aplicarlo a un prototipo real que opere bajo las mismas condiciones que nuestro modelo. Zona UL (W/m2·K) Lateral derecho 1.84 Lateral izquierdo 1.90 Frente 1.84 Trasera 1.83 Parte superior 1.84 Parte inferior 1.84 GLOBAL 1.84 6.10.2 Cálculo del calor específico equivalente En un medio completamente homogéneo y uniforme, se puede garantizar que el calor específico se mantendrá constante en todos sus puntos, pero si se producen alteraciones en dicha homogeneidad o uniformidad, aunque sean pequeñas, su comportamiento térmico puede verse alterado desde el punto de vista de la capacidad calorífica, dado que el calor específico pudiera no ser el mismo en 127 Tabla 6.8 Coeficiente de pérdidas en la superficie de control todos los puntos; por ello, se hace preciso llevar a cabo una caracterización del medio mediante la determinación del llamado “calor específico equivalente”, que representa el papel del calor específico como si el medio fuera totalmente homogéneo y uniforme. Para determinar el calor específico equivalente de nuestro modelo se utiliza la ecuación clásica: Ẇ−Q̇L=mm cm( ΔT Δ t ) (6.56) donde Ẇ representa la potencia entregada por la fuente y Q̇L las pérdidas térmicas a través de la superficie de control del modelo, siendo mm y cm la masa y calor específico del medio, respectivamente, y ΔT/Δt el incremento de temperatura en función del tiempo. De acuerdo con la expresión anterior, conocidas la potencia de la fuente y la masa del lecho geotérmico, basta determinar la evolución temporal de la temperatura así como las pérdidas térmicas para obtener el valor del calor específico. Tanto ΔT/Δt como Q̇L se determinan de forma experimental. Los valores de ∆T/∆t, que figuran en el anexo, fueron determinados promediando los datos de los seis sensores instalados en el interior del modelo de lecho geotérmico a intervalos de cinco minutos, desde el inicio del ensayo hasta que se alcanza la temperatura característica del modelo de 94.3 ºC y Q̇L como la suma de las pérdidas a través de cada una de las caras que constituyen la superficie del volumen de control de nuestro modelo. La ecuación (6,56) no tiene en cuenta otras pérdidas que no sean las intrínsecamente debidas a transferencia de calor a través de las paredes, por lo que la determinación se tiene que hacer en ausencia de intercambiador, de manera que se eviten perturbaciones debidas a la presencia de un medio de naturaleza diferente o a la transferencia de energía desde material del lecho hacia el fluido caloportador. Por otro lado, para la determinación de la masa de arena que constituye el material de nuestro modelo de lecho geotérmico, se procedió a introducir una cierta cantidad de arena hasta cubrir por completo, de manera homogénea y uniforme, la resistencia de calentamiento con el fin de eliminar huecos; seguidamente, se introdujo arena hasta rellenar por completo el recipiente. La masa de arena se determinó sobre el total de arena introducida, utilizando una balanza de precisión (± 0.1g) Para la realización del ensayo se tomó como potencia de referencia 70W, habiéndose obtenido los resultados que se indican en la tabla 6.9. Tabla 6.9 Calor específico del modelo de lecho geotérmico masa de la arena potencia efectiva calor específico promedio 33.4 kg 70 – 31,5 = 38,5 W 731.25 J/kg K 128 6.10.3 Coeficiente de conductividad térmica. Como la transferencia de calor en los suelos se produce principalmente por conducción, [6.8, 6.9] con la convección desempeñando un papel importante solo en suelos altamente permeables como las gravas, las principales propiedades térmicas de los suelos que son de interés son la conductividad térmica y la capacidad calorífica específica, c. Mientras que la capacidad calorífica específica determina la cantidad de energía necesaria para cambiar la temperatura del suelo y, por lo tanto, influye en el tiempo necesario para alcanzar condiciones de estado estable, únicamente la conductividad térmica del suelo influye en el campo de temperaturas, por lo que el flujo de calor en el suelo en equilibrio, para cualquier suelo, puede verse afectado por la fracción de huecos y la relación de saturación, un efecto confirmado por muchos investigadores [6.10][6.11][6.12][6.13] [6.14] El coeficiente de conductividad térmica permite establecer la mayor o menor capacidad de un medio de transferir energía en forma de calor desde un punto a otro por medio de la conducción. Dado que, en nuestro modelo, este es el mecanismo más relevante, es de especial interés conocer el valor de la conductividad térmica a la hora de caracterizarlo, La conductividad térmica (κ) de lechos rocosos, así como su difusividad térmica (α), han sido estudiadas ampliamente durante los últimos cien años. Es conocido que la conductividad térmica (k) está directamente relacionada con otras propiedades del medio como son la difusividad térmica (α), el calor específico (c) y la densidad (ρ) a través de la ecuación: κ=α ρ c (6.57) Estas propiedades varían según el tipo de roca, la temperatura y la porosidad, y también dependen de la presión, aunque en la litosfera, la disminución de ρ, debido al aumento de la temperatura, es relativamente pequeña y se compensa en gran medida al aumentar la presión con la profundidad [6.15]. La conocida ley de Fourier describe la dependencia del flujo de calor con el gradiente de temperatura y la conductividad; esta ecuación se puede expresar en condiciones de estado estable como: q̇=−κ dT dr (6.58) donde la conductividad térmica κ, puede considerarse constante y el gradiente térmico, dT/dr, igual en cualquier dirección para un medio homogéneo e isótropo. Si el medio es anisótropo, como en nuestro caso, la conductividad ya no es una constante, y el gradiente térmico depende de la dirección; por lo tanto, la ley de Fourier debe transformarse en una ecuación vectorial, adoptando la siguiente forma: 129 q̇r=−κ (T )( ∆ T ∆ x î+ ∆ T ∆ y ĵ+ ∆ T ∆ z k̂ ) (6.59) donde q̇r indica el flujo de calor en cualquier dirección (x, y, z) y κ(T) la dependencia del coeficiente de conductividad térmica con la temperatura. Considerando un medio anisótropo, y una distribución de flujo de calor no simétrica, la ley de Fourier se puede expresar como: [ q̇x q̇ y q̇ z] = - [ κ xx κ xy κ xz κ yx κ zx κ yy κ yz κ zy κ zz ] [ dT dx dT dy dT dz ] (6.60) Sin embargo, incluso en medios anisótropos, κii>>κij, así la ecuación (6.60) se transforma en: [ q̇x q̇ y q̇z] = - [ κ xx κ yy κ zz ] [ dT dx dT dy dT dz ] (6.61) o en forma simplificada: [ q̇x q̇ y q̇ z ] = - [ κ x κ y κ z] [ dT dx dT dy dT dz ] (6.62) donde κx, κy y κz representan la conductividad térmica en las direcciones x, y y z, respectivamente. Las conductividades térmicas, κx, κy y κz se pueden determinar fácilmente a partir de la ecuación (6.62), siempre que se conozcan el gradiente térmico y el flujo de calor en cualquier dirección. En nuestro modelo, con predominancia de la conducción en la dirección vertical, estamos interesados solo en el valor κz de la matriz, por lo que la ecuación (6.62) se puede transformar en: [ q̇z]=−κ z [ dT dz ] (6.63) de donde: −κ z= q̇ z dT / dz (6.64) siendo q̇=Q̇/S (6.65) 130 Para la determinación de la conductividad térmica se puede utilizar un método simplificado que es el de simetría térmica; en este método se considera que el sistema se comporta, desde un punto de vista de la transferencia de calor, de manera homogénea y uniforme, sin que exista una dirección preferente. Este procedimiento simplifica enormemente el cálculo, si bien precisa de algunas consideraciones que es necesario tener en cuenta, a saber: • El material constitutivo del sistema posee densidad homogénea y uniforme en todo el volumen de control • La fuente de calor emite en todas las direcciones del espacio de forma igualmente homogénea y uniforme • Se considera que el volumen de control presenta simetría geométrica respecto a su centro. El método de simetría térmica se aplica en aquellos casos en los que, por imposibilidad o desconocimiento de la estructura y composición del medio que constituye el lecho geotérmico, se considera que éste está conformado por un material, o conjunto de materiales, con estructura homogénea y uniforme. En este caso, se cumple la condición de tener simetría geométrica además de simetría térmica. Dado que en el método de simetría térmica es preciso considerar un volumen de control con simetría geométrica, deberemos convertir nuestro modelo de lecho geotérmico en otro nuevo cuyo volumen de control corresponda a una figura geométrica regular que respete la condición de simetría; para ello, se ha transformado el volumen de control paralelepipédico original en otro con forma cúbica. Para que el nuevo volumen de control satisfaga la condición de semejanza con el original, debe cumplir las siguientes condiciones: • La masa y el volumen del sistema deben mantenerse constante • El flujo de calor generado en su interior debe permanecer inalterado • Las pérdidas de calor a través de la superficie de control deben ser las mismas que en el modelo original • El coeficiente de transferencia térmica a través de la superficie, o coeficiente global de pérdidas deberá ser el mismo • Los mecanismos de transporte y transferencia de calor deben seguir siendo los mismos, y actuar con el mismo peso específico Basándonos en estas condiciones, podemos plantear el proceso de transporte de calor por conducción por medio de la ecuación: (Q̇)cond=κ S dT dz (6.66) de donde se puede obtener una relación simple para la conductividad térmica de la forma: 131 κ= (Q̇)cond dz S dT (6.67) o bien en términos finitos: κ= (Q̇)cond Leq S eq ∆T (6.68) donde Leq y Seq representan la longitud y superficie equivalentes del nuevo modelo, y ΔT es la diferencia de temperatura entre el centro del volumen de control y el centro de cualquiera de las caras. De acuerdo con las leyes de semejanza, y teniendo en cuenta que nuestro nuevo modelo es un cubo, se puede poner: Leq=[(L1)(L2)(L3)] 1/3 (6.69) Seq=[Leq] 2 (6.70) por lo que la ecuación (6.68) se transforma en: κ= (Q̇)cond [(L1)(L2)(L3)] (1/3 ) [T c−T S] = (Q̇)cond Leq [T c−T S] (6.71) donde L1, L2 y L3 son las dimensiones del modelo original, Tc es la temperatura característica, correspondiente al centro geométrico del modelo, y TS la temperatura en el centro de cualquiera de las caras. Por otra parte, el flujo de calor por conducción se obtiene como diferencia entre el calor generado por la fuente y las pérdidas térmicas del modelo, y, considerando que se trabaja con simetría térmica, la ecuación anterior se convierte en: κ=( 1 6 ) [ ˙QGeo−Q̇L ] Leq[T c−T S] (6.72) ya que hemos considerado que el flujo se transfiere por igual a través de cualquiera de las seis caras del cubo. Para el cálculo del salto de temperatura, dado que no se dispone de la temperatura en la superficie, se considera que, al ser un sistema con simetría térmica, el gradiente de temperatura se conserva a lo largo de cualquiera de las direcciones del espacio; por tanto, se cumple: 132 T c−T S= l li (T c−T i) (6.73) donde l es la distancia entre el centro del volumen de control y el centro de cualquiera de las caras, li es la distancia entre el centro del volumen de control y la posición de cualquiera de los sensores (ver fig. 6.18), y Ti es la temperatura de dicho sensor, y dado que la distancia l es la mitad de la la longitud equivalente, se puede escribir: T S=T c (1− Leq 2li )+ Leq 2li T i (6.74) A partir de los valores obtenidos en los ensayos experimentales, podemos determinar el valor de la conductividad térmica en nuestro modelo, resultando: T S=94.3(1− 0.278 0.28 )+ 0.278 0.28 31.3=31.75 ºC (6.75) habiéndose tomado como referencia para la temperatura en el punto i la correspondiente al eje vertical. A partir de este valor, obtenemos: κ=( 1 6 ) [70−31.5] 0.278(94.3−31.75) =0.367 W /m·K (6.76) Para verificar la validez del resultado obtenido se aplica un método sencillo en el que se considera que el lecho está compuesto de arena seca, cuya conductividad térmica vale 0.582 W/m·K, y aire, con una conductividad característica de 0.024 W/m·K [6.16, 6.17]. Teniendo en cuenta la porosidad del medio, previamente determinada, y cuyo valor medio podemos tomar como 0.395, se tendría: κ=(0.024)(0.395)+(0.582)(0.605)=0.362W /m·K (6.77) que prácticamente coincide con el valor experimentalmente determinado, lo cual prueba la veracidad del resultado. En la realidad, sin embargo, es preciso suponer que el modelo de simetría térmica, aunque sencillo y cómodo de utilizar, y que proporciona valores bastante aproximados a la realidad, dentro de un margen de error inferior al 1%, no cumple exactamente con las características del medio, ya que lo más frecuente es encontrar irregularidades estructurales que generan falta de homogeneidad en las propiedades térmicas, entre ellas la conductividad. 133 En el caso de suponer asimetría térmica, podríamos seguir manteniendo la simetría geométrica, si bien el gradiente de temperatura ya no es constante y uniforme, sea cual sea la dirección del espacio considerada; por tanto, deberemos llevar a cabo un estudio en el que analicemos el comportamiento del medio desde este punto de vista, en el cual la variación de temperatura a lo largo de cualquiera de los ejes coordenados no es la misma para la misma distancia recorrida por el flujo de calor. Considerando asimetría térmica en el modelo, el gradiente térmico se puede obtener fácilmente a partir de la diferencia de temperatura entre dos puntos opuestos y la distancia entre ellos. Debido a que la ley de Fourier se ha definido para el estado estacionario, el período transitorio se descartará, enfocando el análisis hacia el tiempo final (estado estacionario). Se calculó el gradiente en la dirección Z basándose en la consideración de flujo unidireccional preferente en dicha dirección, que es el tipo de transferencia de calor al que responde nuestro modelo. Utilizando la misma potencia calefactora que en el caso de simetría térmica, 70 W, y teniendo en cuenta los valores de temperatura medidos en los dos puntos de muestreo y la distancia existente entre ellos, se pudo determinar el gradiente de temperatura, el cual resulto ser: ∇T= T z 2−T z 1 z2−z1 =450 K·m−1 (6.78) El flujo de calor, es decir la tasa de transferencia de calor por unidad de área en el eje Z se determinó a través de la cara superior del modelo, (tabla 6.10) q̇z = 46.7 W/m2, de la misma manera que se explicó anteriormente. A continuación, se calculó la conductividad térmica en la dirección Z para la potencia calorífica de 70W, resultando κz = 0,104 W/m·K Se observa que κz es muy bajo en comparación con el calculado utilizando un modelo simétrico, lo que denota la presencia de células convectivas que se han desarrollado en el modelo. Para demostrarlo, se calculó la conductividad térmica para diferentes potencias caloríficas, de acuerdo con el procedimiento que se indica a continuación. Se calcularon las pérdidas térmicas a través de la cara superior de nuestro modelo, midiendo los ∆T a través del poliuterano, así como el gradiente de temperatura, tabla 6.10. Potencia calorífica (W) 20 30 40 60 70 ∇ T (K·m-1) 155 230.7 284.3 388.6 450.0 Utilizando las ecuaciones 6.51 y 6.53, se calculó el flujo de calor conductivo (tabla 6.11) 134 Tabla 6.10 Temperaturas y gradientes térmicos en el modelo para diferentes potencias heat power (W) 20 30 40 60 70 Q̇z (W) 1.5 2.3 3.1 4.9 5.6 q̇z (W) 12.7 19.3 26.2 40.4 46.7 A partir de los valores de las tablas 6.10 y 6.11 se puede determinar el valor de la conductividad térmica, resultando (tabla 6.12): Potencia calorífica (W) 20 30 40 60 70 κcond (W/m·K) 0.082 0.084 0.092 0.102 0.104 La Tabla 6.12 muestra que la conductividad térmica aumenta con la potencia calorífica y, por tanto, con la temperatura, aunque sus valores son más pequeños que en el modelo simétrico, lo que indica la presencia de fenómenos convectivos. Para comprobarlo el flujo de calor se considera como el resultado de una transferencia conductiva y convectiva, por lo que podemos escribir: ˙qcond .eq , z=( κ e +h )⋅∆ T (6.79) Donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección. El término entre paréntesis representa la conductividad térmica efectiva, y se puede definir de la forma: κeff=( κ e +h)= ˙qcond , eq, z ∆T (6.80) Aplicando los valores de las tablas 6.10 y 6.11 a la ecuación (6.80) podemos obtener la conductividad térmica efectiva; por otro lado, relacionando ésta con la potencia se obtiene la siguiente ecuación: κeff = 3.33 10-6 P3 - 5.25 10-4 P2 + 2.69 10-2 P + 0.288 (6.81a) donde P representa la potencia calorífica suministrada, obteniéndose un coeficiente de ajuste R2=0.97. Dado que la temperatura característica del sistema, Tc, depende de la potencia calorífica suministrada de acuerdo a la relación: P(T) = 0.852 Tc -14.977 (6.82), podemos poner: κeff = 2.04 10-6 Tc 3 - 4.89 10-4 Tc 2 + 3.82 10-2 Tc - 0.243 (R2=0,98) (6.81b) 135 Tabla 6.11 Flujo de calor a través de la cara superior del modelo Tabla 6.12 Coeficiente de conductividad térmica en función de la potencia suministrada que permite determinar la conductividad efectiva en función de la temperatura característica. Graficando la ecuación (6.81b) obtenemos (ver figura 6.21): De la figura 6.21 puede observarse que las conductividades térmicas en ambos modelos coinciden a una temperatura de 21.5ºC, muy próxima a la temperatura ambiente de 23ºC. Si calculamos las desviaciones absolutas entre ambos modelos, podemos apreciar que van siendo mayores a medida que la temperatura aumenta. Si representamos la desviación de la conductividad térmica respecto a su valor medio para cada temperatura podemos observar que aumenta a medida que lo hace la temperatura (figura 6.21a), si bien se mantiene dentro de valores reducidos, lo que nos permite validar la metodología utilizada. Sin embargo, este crecimiento nos indica que el método de simetría térmica no responde a la realidad cuando existe una variación de temperatura apreciable, puesto que en ese caso la conductividad puede variar de forma significativa. Para el caso que nos atañe deberá considerarse el valor de la conductividad térmica como una función κ(T) dada por la ecuación 6.81b, donde el valor origen es la conductividad térmica obtenida calculada mediante el modelo conductivo para un medio uniforme, homogeneo e isótropo, al cual hay que agregarle la variación correspondiente a la temperatura calculada con el modelo conductivo-convectivo. 136 Figura 6.21 Variación de la conductividad térmica efectiva del lecho con la temperatura 10 20 30 40 50 60 70 80 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 0.07 0.15 0.26 0.36 0.37 heat power [W] kz d ev ia tio n [W /m K ] Figure 6.21a Desviaciones absolutas de la conductividad térmica entre los modelos simétrico y asimétrico. 10 20 30 40 50 60 70 80 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 temperature [C] ke ff [W /m 2 C ] 6.10.4 Cálculo del coeficiente de difusividad térmica equivalente Los fenómenos de difusión térmica, aunque menos relevantes que los de conducción, tienen su importancia en el caso de medios porosos, donde la presencia de fluidos en el interior de los poros modifica el proceso de transferencia de calor y, por tanto, el transporte del mismo considerado desde un punto de vista global en el interior del volumen de control. La difusividad térmica es una propiedad específica de cada material que permite caracterizar la conducción de calor en condiciones no estacionarias; este valor describe la rapidez de respuesta de un material a un cambio de temperatura. Para predecir procesos de enfriamiento o para simular campos de temperatura, es preciso conocer el valor de la difusividad térmica, parámetro necesario para resolver la ecuación de Fourier en forma diferencial para conducción de calor en condiciones no estacionarias. En presencia de convección forzada, o natural intensa, en un medio poroso, la solución del problema es más compleja, ya que puede haber una dispersión térmica significativa, es decir, transferencia de calor debido a la mezcla hidrodinámica del fluido intersticial a escala de poro. El hecho que los canales de flujo sean tortuosos significa que la distancia entre los elementos fluidos irá cambiando a medida que se vayan desplazando en el interior del medio, aún cuando su velocidad de desplazamiento sea la misma; esto viene motivado por el hecho que no todos los poros pueden ser accesibles para un elemento fluido una vez haya entrado en una ruta de flujo particular. El fenómeno de difusión térmica viene caracterizado por su coeficiente de difusividad, el cual se puede expresar, matemáticamente, de la forma [6.19]: αeff= k m ρm cm [m2/s] (6.83) Por tanto, si reemplazamos en la expresión anterior los valores obtenidos experimentalmente, utilizando valores para la temperatura ambiente, obtenemos: αeff= 0.367 1587⋅731 =3.16 x10−7 m2 / s (6.84) valor que se encuentra en el orden de magnitud de sistemas como el utilizado en nuestro modelo 6.11 Balance de energía 6.11.1. Análisis termodinámico. Rendimiento En primer lugar, consideraremos nuestro sistema como un volumen de control, que no intercambia trabajo con el exterior, por lo que el único proceso de transferencia entre el propio sistema y el medio que lo rodea se produce en forma de calor. 137 Asumiendo que se trabaja en estado estacionario, la potencia suministrada por la fuente de energía, ˙Qgeo , se invierte en calentar el medio que constituye el volumen de control, en la tasa de transferencia en forma de calor a través de la superficie de control, las llamadas pérdidas térmicas, y en la potencia calorífica evacuada por el fluido caloportador que circula en contacto con el medio a través del intercambiador geotérmico; matemáticamente: Q̇geo=Q̇m+Q̇fl+Q̇L (6.85) donde los subíndices m, fl y L corresponden, respectivamente, al medio, intercambiador y pérdidas. Teniendo en cuenta que tanto en el medio como en el fluido caloportador no se produce cambio de fase, podemos operar con calor sensible, de forma que la ecuación anterior queda de la forma: Q̇geo=mm cm ΔT m Δ t +FR ṁf c f ΔT f+UL SVCΔT (6.86) donde f representa el fluido, FR es el factor de intercambio o transferencia en el intercambiador, UL el coeficiente global de pérdidas del sistema, y SVC la superficie de control, equivalente a la superficie lateral, inferior y superior del modelo. El valor de la masa de arena fue determinado previamente mediante pesada en una balanza de precisión de 0,01g; el caudal fue determinado mediante un caudalímetro de precisión, y posteriormente verificado a través de un matraz aforado y cronómetro. El salto térmico en el intercambiador lo proporcionan los sensores ubicados a la entrada y salida del mismo. Los valores del calor específico de la arena, del salto térmico en la misma y del coeficiente global de pérdidas han sido previamente determinados, por lo que se usarán dichos valores en el cálculo. El área de la superficie de control se determina a partir de las dimensiones del modelo y el coeficiente de transferencia del intercambiador viene proporcionado por el fabricante. Si sustituimos los valores correspondientes a los diferentes parámetros de la ecuación (6.86), particularizados para nuestro modelo, se tiene: ˙Qgeo=(33.40)(731.25) (94−20) 1400 x 60 +(0.96)(0.1046)(4180)(0.04 )+(1.84)(0.49)(35)=69.86 W (6.87) que se encuentra muy próximo al valor real de la potencia suministrada que fue de 70 W, siendo la desviación del 0.1%. El análisis de la ecuación anterior nos permite inferir que el salto térmico correspondiente a la energía absorbida por el fluido que circula por el intercambiador, 0.04ºC, está por debajo de la precisión del sensor (±0.5ºC), lo que no permite tomar dicho valor como representativo, ya que el 138 error asociado a la medida, dado por el cociente entre la precisión y el valor medido resulta demasiado alto, ɛ=(0.5/0.04)100 = 1250%. Por otro lado, dado que por el modo de operación de la bomba centrífuga utilizada, era imposible reducir el caudal de fluido circulante, se sustituyó dicha bomba por otra que permitiera regular el caudal hasta valores muy bajos, lo que se consiguió con una de tipo peristáltico. Con esta bomba se ajustó el caudal al mínimo posible, obteniéndose un valor del flujo másico de 3.82x10-4 kg/s, resultando un salto térmico para el fluido en el intercambiador de 10.1 ºC; el error asociado a éste ensayo es ɛ=(0.5/10.1)100 =4.95%, un valor totalmente aceptable. Para verificar si el salto térmico correspondiente al uso de la bomba peristáltica es coherente con las condiciones de operación, se procedió a comprobar si el producto del flujo másico por el salto térmico se mantiene; de acuerdo con ello, se tiene: ṁf 1 ∆ T f 1=P1=(0.1046)(0.04)=0.004184 (6.87a) ṁ f2 ∆T f2=P2=3.82⋅10−4 10.1=0.003858 (6.87b) que presenta una desviación del 5%, lo cual es perfectamente admisible, para este tipo de ensayo. De acuerdo con los resultados anteriores, se puede aceptar que el valor de la transferencia de calor obtenido en la ecuación (6.87) es correcto. A partir de los datos obtenidos durante los ensayos, y una vez verificado el balance de energía en el sistema, podemos determinar la eficiencia de la transferencia del prototipo mediante la relación: ηtr= Q̇fl ˙Qgeo (6.88a) que para nuestro caso proporciona un valor de ηtr=0.24. El valor mencionado, corresponde al caso en que se tienen en cuenta las pérdidas térmicas a través de la superficie de control; sin embargo, en una situación real, estas pérdidas no se producen, toda vez que el lecho geotérmico actúa como foco a temperatura constante; por ello, si se prescinde de las pérdidas, Pútil, el valor de la eficiencia resulta ser ηtr=0.44, es decir el doble del anterior, un valor que está por encima de la mayoría de los dispositivos de aprovechamiento térmico utilizados actualmente como turbinas de vapor o gas, ciclos Rankine mejorados, ciclos Cheng, etc., lo que demuestra la bondad del sistema y su viabilidad desde el punto de vista de la generación de energía. Por otra parte, podemos determinar el rendimiento termodinámico del sistema a partir de la relación: η tr= Q̇ fl Putil (6.88b) 139 que en nuestro sistema proporciona un valor de ηtr=0.44, es decir un 44%, valor que se encuentra dentro de los límites para sistemas de generación geotérmica. 6.11.2 Coeficiente de operación El coeficiente de operación (COP) es un término que define la eficiencia de un sistema desde un punto de vista económico-energético, es decir, tiene en cuenta únicamente la energía que interviene en un proceso correspondiente a elementos activos del mismo, y que, por tanto, representan un coste en cuanto a términos económicos se refiere. Desde este punto de vista, el COP de un sistema se define matemáticamente de la forma: COP= ξ u ξ act (6.89a) donde ξu representa la potencia útil, Pútil, y ξact la potencia activa. En nuestro caso, la potencia útil corresponde a la absorbida por el fluido caloportador, en tanto la activa es la proporcionada por la bomba que impulsa dicho fluido, por lo que la ecuación anterior se convierte en: COP= Q̇fl Ẇ (6.89b) De acuerdo con las leyes de la Mecánica de Fluidos, la potencia proporcionada por una bomba viene dada por: Ẇ=η p γ υ̇ H (6.90) donde ηp es el rendimiento de la bomba, γ el peso específico del fluido caloportador, υ̇ el flujo de fluido circulante, y H la altura de carga hidrostática. En general, el rendimiento de la bomba es un dato que viene proporcionado por el fabricante en el diagrama de características técnicas de la misma, por lo que la determinación de su valor no representa dificultad alguna. El peso específico del fluido, conocido éste, es fácil de determinar sin más que conocer su densidad, dado que γ=ρg, siendo ρ la densidad del fluido; dado que, en nuestro caso, se trabaja con agua, el valor de γ queda perfectamente definido. Por otro lado, el caudal ha sido previamente determinado. En cuanto al cálculo de la altura de carga hidrostática, es preciso recurrir a la ecuación de Bernouilli generalizada para poder determinar su valor. Utilizando la ecuación (4.25), podemos poner: H=hbomba=∆ z+hL (6.91) donde se ha considerado como si la presión en el circuito se mantiene constante, ya que se compensa con la bomba. 140 La diferencia de altura corresponde a la distancia vertical entre la entrada del fluido a la bomba, punto más bajo del circuito hidráulico, y la entrada al intercambiador geotérmico, punto más elevado, que es fácil de determinar. El término hL, correspondiente a las pérdidas de carga, o pérdidas mecánicas, se puede determinar por métodos analíticos o empleando el diagrama de Hazen-Williams; para el cálculo por métodos analíticos, más preciso, es necesario conocer el factor de fricción, o factor de Darcy, y aplicar la relación dada por la ecuación (4.39), donde, al tratarse de un único conducto de sección circular completamente lleno, se puede escribir: hL= f L⋅v2 D⋅2 g +∑ j K j v2 2 g (6.92) siendo D y L el diámetro y longitud, respectivamente. del conducto por el que circula el fluido, cuyos valores son fácilmente determinables, y K es el coeficiente de carga para cada obstáculo, tal y como se muestra en la figura (6.22) El cálculo del coeficiente de pérdida de carga asociado a cada elemento del circuito se realiza a partir de los valores tabulados para la configuración del circuito en cada elemento [6.20]; de acuerdo con ello, se tiene (ver Tabla 6.15) Por otra parte, el coeficiente de fricción, f, se obtiene a partir de los diagramas de Moody, o utilizando las relaciones de Haaland y Colebrook [6.21], y conocido el número de Reynolds, el cual se determina por su conocida relación, de modo que: Re= vD υ = (2.1)(8 x 10−3 ) 5.115 x 10−7 =32844 (6.93) 141 Figura 6.22 Distribución de elementos con pérdidas de carga en el circuito Nº Elemento Tipo 1 intercambiador 14 codos de retorno (14)(0,2)=2,8 2 salida intercambiador 0.02 3 tubo T 0.10 0.02 flijo en línea 0.02 4 codo redondeado 90º 0.30 5 llave1 0.10 0.02 6 caudalímetro 0.10 0.02 7 codo redondeado 90º 0.30 8 Llave 2 0.10 0.02 9 entrada bomba 0.10 10 salida bomba 0.02 11 Sensor tubo T 0.10 0.02 flujo en línea 0.02 12 entrada intercambiador 0.10 4.28 KL expansión θ=30º contracción θ=20º expansión θ=30º contracción θ=20º expansión θ=30º contracción θ=20º expansión θ=30º contracción θ=20º expansión θ=30º contracción θ=20º expansión θ=30º contracción θ=20º expansión θ=30º contracción θ=20º KL=Σ KLi Tabla 6.15. Valores de los coeficientes de pérdidas que nos indica que el régimen es claramente turbulento, y donde la velocidad se ha obtenido a partir de la ecuación de continuidad: v= υ̇ A = 1,046 x 10−4 5 x 10−5 =2,1 m/ s (6.94) Considerando que el tubo tiene una rugosidad relativa prácticamente nula, ε/D=0, y utilizando el segundo diagrama de Moody con el número de Reynolds obtenido, se determina que el factor de fricción vale: f=0,023 Si se calcula analíticamente, mediante las ecuaciones de Haaland y Colebrook, el valor es: f=0,023, coincidente con lo reflejado en el diagrama de Moody. 1 √ f =−1,8 log⋅[ 6 ,9 Re +( ε /d 3 ,7 ) 1 ,11 ]→ f=0.023 (6.95) e introduciendo el valor obtenido de f en la relación: 1 √ f =−2,0 log( ε /D 3.7 + 2.51 Re√ f ) (6.96) e iterando, se obtiene, f=0.023 Igualmente, si se emplea la relación de Blausius, se obtiene: f = 0 ,316 R e 0.25 = 0.316 328440.25 =0.023 (6.97) Sustituyendo valores en la ecuación (6.92) se tiene: hL=((0.023 5 8⋅10−3 )+4,28) 2.12 19.6 =4.2 m (6.98) Sabiendo que Δz=0.9 m, se tiene que: H=0.9+4.2=5.1m; por tanto: Ph=γ υ̇H=(985.2)(9.8)(1.046 x 10−4 )(5.1)=5.2 W (6.99) que corresponde a la potencia hidráulica suministrada por la bomba. Sin embargo, la potencia eléctrica consumida por la bomba viene dada por la ley de Ohm: Pe=IV=(12.6)(2.35)=29.6W (6.100) lo que nos permite calcular la eficiencia de la bomba, que viene dada por: 142 ηp= Ph Pe = 5.2 29.6 =0.176 (6.101) es decir un rendimiento del 17.6%, que para una bomba es un valor bajo. El motivo de esta baja eficiencia es debido al empleo de una bomba centrífuga cuyo caudal para un rendimiento óptimo es de 18 l/min, esto es, 3 veces superior al que se está utilizando. Este resultado nos indica que sería factible poder instalar un sistema paralelo de 3 circuitos equivalentes al de nuestro modelo, los cuales estarían alimentados hidráulicamente por una bomba como la empleada en los ensayos. Este valor, en la realidad sería algo menor puesto que habría que tener en cuenta las pérdidas asociadas a los distribuidores que conectarían la bomba con los circuitos en paralelo. Bajo estas condiciones, el rendimiento sería: ηp= Ph P e = 5.2 29.6 /3 =0.527 (6.102) que representa un valor más acorde a este tipo de dispositivo en condiciones normales de operación. Si consideramos el coeficiente de operación de nuestro modelo el valor resultante es: COP= 16.78 29.6 =0.567 (6.103) El valor del COP inferior a la unidad indica que no se obtiene una potencia equivalente a la empleada para hacer funcionar el sistema desde el punto de vista energético-económico, lo que señala una baja rentabilidad y dificultades a la hora de implantar el proyecto. En cambio, si se utiliza una bomba dimensionada adecuadamente, o se utiliza la bomba empleada en toda su capacidad, esto es, para un circuito de tres intercambiadores, el COP valdría: COP= 16.78 29.6 /3 =1.7 (6.104) que representa un valor aceptable para un proceso de conversión energética. 143 BIBLIOGRAFIA [6.1] TFM alumno: Raúl Serrano Mena, director: Carlos Armenta Déu. 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McGraw-Hill, 5º edición. 2003. 145 Capítulo 7 Modelización y simulación 7.1 Optimización del sistema: simulación teórica Con objeto de optimizar el diseño del sistema, y en función de los resultados obtenidos en las experiencias realizadas, se procedió a llevar a cabo un proceso de corrección teórico mediante el cual se ajustara el dimensionamiento del sistema; para ello, optimizaremos teóricamente el flujo de la bomba y, consecuentemente, la potencia eléctrica demandada. Este ejercicio de simulación nos permite estimar el COP del sistema bajo condiciones óptimas de funcionamiento. De acuerdo con lo mencionado en un párrafo anterior, si el caudal óptimo de circulación es el triple del utilizado en nuestros ensayos, la bomba sería capaz de alimentar tres intercambiadores idénticos a los empleados, lo que nos permite deducir que la potencia térmica aprovechada sería el triple de la obtenida en nuestro sistema, por lo que se tendría un COP tres veces superior, tal y como se ha indicado en el capítulo anterior. COP prot=COP mod=3x0.553=1.659 (7.1) donde, COPprot corresponde al prototipo y COPmod al modelo. Por otro lado, esta simulación teórica, se puede extender a condiciones reales de funcionamiento en un lecho geotérmico real donde las pérdidas térmicas de nuestro sistema son inexistentes, puesto que el medio que rodea al intercambiador está constituido por el propio lecho que actúa como foco y que, por tanto, no da lugar a pérdidas, o bien estas pérdidas no afectan al balance termodinámico en nuestro volumen de control, tal y como se muestra en la figura adjunta. En este caso, el balance termodinámico del sistema se ve modificado, puesto que las pérdidas térmicas no deben ser consideradas, dado que las existentes desde la zona del lecho geotérmico considerado como nuestro volumen de control, VC en la figura 7.1, quedan dirigidas hacia el exterior, no afectando a la temperatura del propio lecho que es considerado como un foco térmico; por tanto, en estas condiciones, el balance termodinámico quedaría de la forma: Q̇geo=Q̇Lm 1+ ˙QLm2+Q̇m+Q̇ fl (7.2 a) 146 Figura 7.1 Recreación del modo de operación del lecho geotérmico donde Q̇Lm1 representa, ahora, la potencia calorífica transferida a la zona límite del lecho que rodea la resistencia, Q̇Lm2 la potencia calorífica transferida a la zona límite del lecho que rodea el intercambiador, Q̇m la potencia calorífica transferida por la zona límite del lecho que rodea a la resistencia al lecho o medio y Q̇fl la potencia calorífica transferida por la zona límite del lecho que rodea al intercambiador. Planteando el desarrollo para el estado estacionario y despreciando la zona límite debido a la alta compactación del medio, la ec 7.2a se transforma en: ˙Qgeo=Q̇m+Q̇fl (7.2b) Utilizando los valores obtenidos en nuestros ensayos, y aplicándolos a la simulación planteada, tendríamos: ˙Qgeo=(33.40)(731.25) (94−20) 1400 x 60 +(0.96)(0.1046)(4180)(0.04)=38.29W (7.3) de donde el nuevo rendimiento termodinámico valdría: η tr= 16.78 38.29 =0.44 (7.4) valor que prácticamente duplica el resultado obtenido en nuestros ensayos experimentales. 7.2 Optimización del intercambiador Para la optimización del modelo es preciso, en primer lugar, tener en cuenta que las pérdidas deben ser despreciables, para lo cual se asumirá que el aislamiento no permite la transferencia de calor, o lo hace de manera despreciable. En segundo lugar, es necesario considerar la fracción de flujo calorífico emitido por la fuente que realmente recibe el intercambiador, para lo cual se ha planteado un modelo geométrico que permite determinar dicha fracción a través del llamado “factor de visión” o “factor de forma” [7.1-7.2], que nos indica la sección efectiva correspondiente al flujo de energía emitido por la fuente que es interceptado por el intercambiador (ver figura 7.2). Para un análisis más preciso del flujo de energía interceptado, consideraremos que la fuente corresponde a una superficie emisora como la mostrada en la figura 7.2 donde, para mayor sencillez, hemos segmentado dicha superficie en zonas, cada una de las cuales se considera como una fuente emisora de energía calorífica. El modelo que planteamos es de orden finito, y responde a una distribución geométrica similar a la anteriormente planteada cuando se determinó la temperatura equivalente del lecho; se ha tomado, pues, una distribución de 4 zonas, cada una de las cuales subtiende un ángulo diferente. 147 La figura 7.2 muestra las dimensiones de cada una de las zonas en la que se ha dividido la superficie emisora, así como las distancias hasta el plano del intercambiador y las dimensiones de este último. Podemos definir el factor de visión como la relación entre la potencia calorífica que alcanza el intercambiador respecto a la emitida por la fuente; matemáticamente: FV= ˙Qr→i Q̇ r = ∑ i=1 4 cos ø i Ai Ar (7.5) donde Ar es el área de la superficie emisora, Ai el área de cada zona, y ϕi el correspondiente ángulo de visión. De acuerdo con los valores indicados en la figura, obtenemos: FV= [(0.16)⋅(0.08)+2⋅(0.12)⋅(0.08)⋅(0.789)+2⋅(0.16)⋅(0.11)⋅(0.292)+4(0.11)⋅(0.12)⋅(0.285)] (0,12) =0.46 (7.6) Este valor nos indica que la potencia real que se suministra al intercambiador es: Pútil=(0.46)(69.8)=32W (7.7) El nuevo dato modifica el cálculo del rendimiento térmico del sistema; si recalculamos el valor del rendimiento, de acuerdo con el valor optimizado de la potencia recibida por el intercambiador, se obtiene el siguiente resultado: 148 Figura 7.2 Esquema representativo del factor de visión para el intercambio de energía entre fuente e intercambiador η tr= (Q̇)fl Pútil = 16.78 32 =0.52 (7.8) que muestra un aumento del 20% con respecto a la situación precedente. Por otra parte, si asumimos que en un sistema real no hay pérdidas, y que, por lo tanto, la tasa de transferencia de calor correspondiente a dichas pérdidas queda absorbido por el propio lecho geotérmico, es necesario rehacer el balance energético teniendo en cuenta que parte de la potencia “extra” absorbida por el lecho se transferirá al intercambiador en virtud del aumento de temperatura generado en el propio lecho; en ese caso, podemos escribir: ˙Qgeo=Q̇m fl+Q̇m m+Q̇m L (7.9) donde los subíndices, fl, m y L corresponden al fluido, lecho y pérdidas, respectivamente y los superíndices m y p corresponden al modelo y al prototipo respectivamente. Por otra parte, teniendo en cuenta que en el prototipo las pérdidas son nulas, Qp L=0, se tiene: ˙Qgeo p =Q̇p fl+Q̇ p m (7.10) Asimismo, considerando que parte de la potencia perdida en el modelo corresponde parte a la potencia absorbida por el lecho y parte por el fluido, podemos escribir: Q̇ fl p =Q̇m fl+FQ̇m L (7.11b) Q̇m p =Q̇m m+(1−F )Q̇m L (7.11c) donde: F=( Q̇m fl Q̇fl m +Q̇m m ) (7.12) Aplicando valores a las ecuaciones 7.11 y 7.12 se obtiene: Q̇m=39.19 W Q̇ fl=30.68 W (7.13) Los valores obtenidos en la ecuación 7.13 son prácticamente coincidentes, dentro de un margen de error del 4%, con los que se obtuvieron aplicando el modelo matemático de “Factor de Forma”, que es totalmente independiente, lo que permite validar dichos resultados. A partir de cualquiera de los dos modelos se puede determinar el flujo de calor recibido por el intercambiador, bien conociendo el tamaño de intercambiador y foco y la distancia entre ellos, o considerando pérdidas nulas. 7.3 Modelo de intercambiadores múltiples En el análisis del rendimiento del sistema, se ha mencionado que el diseño no está optimizado debido a que la bomba utilizada está dimensionada para un circuito con un número mayor de 149 intercambiadores; con este motivo, se ha planteado llevar a cabo una modelización de un sistema de intercambiadores múltiples basado en el diseño original que presenta el modelo estudiado. Con el fin de calcular el número de intercambiadores que se pueden colocar en el modelo para optimizarlo, se debe calcular la distancia mínima entre intercambiadores, δ, de manera que no se produzcan interferencias entre ellos o con alguno de los elementos accesorios. El estudio se lleva a cabo aplicando la ley de Fourier para conducción de calor; y asumiendo que el sistema se encuentra en estado estacionario. Debido a que el flujo de calor no es igual para todas las caras, por la asimetría del modelo, debemos trabajar con densidad de flujo de calor como lo hicimos anteriormente. La densidad de flujo de calor, σQ, se asume constante para cualquier dirección dentro del modelo, ya que la relación entre la conductividad térmica del medio y el espesor, keq/eeq, se mantiene constante (ver figura 7.3), así como el salto térmico, pues se trabaja con temperaturas promedio. Aplicando la ecuación (6.79) se llega a: Q̇l=Q̇ fl Sl ST ;Q̇tr=Q̇ fl S tr ST (7.14) Siendo ST el área total, Sl la longitudinal y Str la transversal, Q̇l la tasa de transferencia de calor a través de las caras XY y XZ, Q̇tr la tasa de transferencia de calor a través de la cara YZ, y Q̇fl la tasa de transferencia de calor en el agua. De la definición de densidad de flujo de energía calorífica, σ, y sabiendo que el flujo de calor para el agua es constante, podemos deducir que el valor de σ es igualmente constante. Para el caso de nuestro modelo, consideraremos que cada intercambiador está rodeado de un volumen de control propio cuya forma geométrica es un paralelepípedo, de manera que no haya intersección entre ninguno de los volúmenes de control así configurados (ver figura 7.4). Se cumple 150 cobrearena aguacobrearena agua FIGURA 7.3. Componentes del modelo que todos los volúmenes de control individuales tienen el mismo tamaño y forma, es decir su volumen y superficie son idénticas. Con objeto de minimizar el tamaño de cada volumen de control individual, se ha tomado como longitud del paralelepípedo la propia longitud del intercambiador, y como anchura y altura el diámetro del propio intercambiador; de esta manera, la superficie de cada una de las caras que configuran el volumen de control individual queda perfectamente definida, dado que el tamaño del intercambiador es conocido, tanto en longitud como en diámetro, siendo estos valores, 0.16 m y 0.07 m, respectivamente. Para calcular la densidad de flujo calorífico, basta aplicar la definición: σ= Q̇ fl ST = Q̇ fl ∑ i=1 6 Si (7.15) Sustituyendo el valor de la tasa de transferencia Q̇ fl previamente determinado, y calculando el tamaño de cada una de las 6 caras que constituyen la superficie del volumen de control, se obtiene: σ= 561 W/m²; por tanto, aplicando la ecuación (6.79), se pueden calcular las respectivas tasas de transferencias a través de cada una de las caras, obteniendo: Q̇S , I=Q̇fl S l ST =σ⋅SS , I=(561)(0.0112)=6.283W (7.16a) Q̇LD , LI=Q̇ fl Str ST =σ⋅SLD , LI=(561)(0.0112)=6.283W (7.16b) Q̇D , T=Q̇ fl Sl ST =σ⋅SD , T=(561)(0.0049)=2.749W (7.16c) donde los subíndices S, I, LD, LI, D y T corresponden a la cara superior e inferior, lateral derecho e izquierdo, parte delantera y trasera, respectivamente. Seguidamente, calcularemos los espesores δ que debemos dejar para mantener la tasa de transferencia de calor en cada intercambiador, utilizando la conocida ecuación de conducción del calor: 151 tr l z x y δ1 :distancia en z δ2 :distancia en x δ3 :distancia en y FIGURA 7.4 Esquema del modelo de intercambiadores múltiples Q̇ fl= κ e S ∆T→e=δ= κ SΔT Q̇ fl (7.17) donde la conductividad térmica del medio es función de la temperatura según la ecuación 6.82 con un valor inicial κ=0,362W/mK para la temperatura ambiente; por tanto: δ Z= (0.72)⋅(0.07)⋅(0.07)⋅39 30.63 =0.0045m (7.18a) δ X= (0.72) ˙(0.07)⋅(0.16 )⋅39 30.63 =0.0102m (7.18b) δ Y= (0.72)⋅(0.07 )⋅(0.16)⋅39 30.63 =0.0102m (7.18c) Teniendo en cuenta las dimensiones de nuestro modelo de lecho geotérmico, 0.4x0.3x0.18m, y de acuerdo a la configuración indicada en la figura 7.4, se puede comprobar que las dimensiones máximas del conjunto de volúmenes de control serían: LY=n[ tr+(n−1)δ Y ] (7.19a) LX=n[ tr+(n−1)δ X ] (7.19b) LZ=n[ tr+(n−1)δ Z ] (7.19c) siendo tr la dimensión vertical del paralelepípedo imaginario que rodea al intercambiador (ver figura 7.4), y donde n es el número máximo de intercambiadores del modelo, debiendo cumplirse la condición que: LY