Sobre la estructura de los espacios 
de operadores de Lorentz 

Por FERNANDO COBOS 

Recibido: 18 diciembre 1984 

Presentado por el académico numerario D. Miguel de Guzman 

Abstract 

ON THE STRUCTURE OF LORENTZ OPERATOR SPACES 

We show that, expcept in the trivial case p^ ^Qn ^2, the Lorentz operator space S ¿y is not 

isomorphic to a subspace of S for 1 < PQ, p^ ^ 2 , I <.q^<,^ , I <^q^ < ° « and q^ i=^q^. 

Resumen 

Demostramos que, salvo en el caso trivial /?Q ^ ^n ^ ^ ' ®̂  espacio de operadores de Lorentz 

5' no es isomorfo a ningún subespacio de 5" para 1 <Cp , p =^2, 1 ̂ ^ ^ ^^^^ , 1 =^^j <°Q 

1. INTRODUCCIÓN 

Sea H un espacio de Hilbert complejo, separable y de dimensión infi­
nita. Denotamos por Sp q (1 < p < o o , 1 < ^ < o o ) e l espacio de Banach for­
mado por todos los operadores T lineales y continuos sobre i/cuyos núme­
ros de aproximación (a„(T)) pertenecen al espacio de sucesiones de Lorentz 
Ip q ' Cuando p = q escribiremos simplemente Sp en lugar de 5^ p. 

C. Giel y C. Cleaver [6] han probado que si 1 </7o < P i < 2, entonces 

S no es isomorfo a ningún subespacio de 5 .El objetivo de esta nota es 

demostrar que, salvo en el caso trivial p^ = q^ = 2, el espacio S no es 

isomorfo a ningún subespacio de 5 para 1 < Po^Pi < 2, 1 <^o <oo, 



502 FERNANDO COBOS 

l < ^ i < o o y QQ ^ qj^. Leí técnica que empleamos para demostrarlo es to­
talmente diferente de la empleada en [6] y está basada en los resultados de 
M. Levy [9, 10] sobre la presencia de subespacios isomorfos a Iq en el espacio 
de interpolación real (AQ, A 1)0^ g. Demostramos también que el resultado 
de C. Giel y C. Cleaver se verifica en el caso general. 

2. PRELIMINARES 

En lo que sigue usaremos la notación y definiciones de [12, 13] y de 
[2, 17] para los conceptos relativos a la geometría de los espacios de Banach 
y a la teoría de los espacios de interpolación, respectivamente. 

Denotaremos por Ipq al espacio de sucesiones de Lorentz, formado 
por todas las sucesiones de escalares (^^ ) convergentes a cero y tales que la 
norma que sigue es finita 

S Í l < p < o o , K ^ < o o 

donde 

Cp,q =i^ n ) y (^^) 

designa la sucesión obtenida reordenando los elementos de (¿„) por magni­

tud de sus módulos: \¿^\>\{\> ... (ver [15], 13.9 y [17], 1.18.3). Para 

p = q se obtiene el clásico espacio de sucesiones p—sumables que se denota 
por (Ip II \\p), teniendo ambos espacios normas equivalentes (ver [15], 
Prop. 13. 9. 5. y [17], Thm. 1. 18. 3/1). 

Sea H un espacio de Hubert complejo, separable y de dimensión infini­
ta. Para l < / ^ < o o , l < ^ < o o ^ denotamos por Sp^ al espacio de opera­
dores de Lorentz, constituido por todos los operadores T lineales y conti­
nuos sobre H, tales que la sucesión (a„ (T)) formada por los números de 
aproximación de 7(ver [15], 11.2) pertenece a/p^ ^. 

Para cada T G Sp^ ^ ponemos Tp^q(T) = mniTDW^p^y Como 



SOBRE LA ESTRUCTURA DE S^., 503 

(Ip^ ^ Il II ) es un ideal de sucesiones normado con la propiedad de domi­

nación (ver [15], Chap. 3), se sigue de [15], Thm. 15. 4. 4 que {Sp^ q Tpq) 

es un espacio de Banach. Además, puesto que para cada operador compacto 
T sobre H, los números de aproximación (a„(r)) coinciden con los números 
singulares (s^iT)) de T, es decir, con los valores propios del operador posi­
tivo [r* T]^^^, se tiene que lap—clase de Schatten (ver [7]). 

oo 

5p = ( r G C{H, H): Op{D = (i: s„ {Tf y^p < oo} 

es igual aSpp, teniendo ambos espacios normas equivalentes. 

De las inclusiones existentes entre los espacios Ipq se deduce que los 
espacios de operadores de Lorentz están ordenados en el siguiente sentido: 

Sp^ q está continuamente inyectado QÜ S^^s si 1 ^ P ^^ ^ ^ Y Spq 

está continuamenta inyectado en 5^^ ^ si Kq <s<^ . 

Por otra parte, para l < p < o o y I <: q <oo ^ ol espacio Spq es sepa­

rable ya que tiene base (ver [5]). El espacio 5'̂ ^ „ contiene un subespacio iso-

morfo a L (ver [3], Prop. 3) luego no es separable. Además, ^2 es un espacio 
deHilbert[15],Thm. 15.5 .6 . 

Se demuestra en [14] que para I <:PQ =^pi < o o , l < ç < o o ^ O < 0 < l 

1 1 - 0 e 
y -« = ^ gg válida la siguiente fórmula de interpolación. 

P Po Pi 

^p q "^ (S , *S )Q ^ (con normas equivalentes) (1) 

De aquí se obtiene, como consecuencia directa de los resultados de M. Levy 
[10] sobre la presencia de subespacios isomorfos a Iq en el espacio de inter­
polación real, el teorema que sigue: 

Teorema L.— Sean 1 <p <r<ooy l < ç < o o . Todo subespacio cerra­
do de dimensión infinita de Sp^ q sobre el que las topologías dt Spq y Sf 
no coincidan, contiene un subespacio isomorfo a Iq. 

Finalmente, recordemos las nociones de tipo y cotipo: 

Definición ([13], p. 72).— Un espacio de Banach X se dice que es de 
tipo p para algún 1 < p < 2 (resp. de cotipo s para algún 2 < ^ < <» ) si existe 



504 FERNANDO COBOS 

una constante M < o© tal que, para todo conjunto finito de vectores {Xf> 
7 = 1 

en X, se tiene 

Il 2 rfit)Xf 
4, /=i 

| | d i < M ( S \\Xf\\Py^P 
/ = 1 

(resp. ( 2 llxylP)!/ ^ < ili j || S r^W ^/ll àt) 
7 = 1 

^/ lis r;a)X;| 
^ 7 = 1 

donde (r„) designa las funciones de Rademacher, definidas por r^it) = 

signo(sen(2" irt)) para 0 < í < 1. 
Se prueba en [16] que los espacios Sp (1 < p < ©o ) son de tipo 

mín(2, p) y cotipo máx(2, p). El tipo y cotipo de 5^ g (1 < p < oo ^ 
1 < ^ < oo ) ha sido calculado en [3]. 

3. LOS RESULTADOS 

El teorema que sigue prueba que en el caso general se verifica también 
el resultado de C. Giel y C. Cleaver [6] mencionado en la introducción. 

Teorema 1.— Sean 1 < p =^ q <oo con p 9̂  2. El espacio Sp no es iso­
morfo a ningún subespacio dt Sq. 

Demostración: Supongamos que p ¥= 2 y que Sp es isomorfo a un 
subespacio de Sq. Entonces Sq contiene un subespacio isomorfo a /^, ya que 

Sp lo contiene. Usando [1], Cor. 3. 2, se obtiene que Iq contiene un subespa­
cio isomorfo a Z ,̂ de donde se sigue, por [12], Prop. 2. a. 1 y Prop. 1. a. 12, 
quep = ^. 

Para los espacios de operadores de Lorentz tenemos: 

Teorema 2.— Sean 1 <Po,Pi ^ 2 , I <:qQ <:Oo , ^ ^Qi <^y QQ i=q\> 

El espacio S ^ no es isomorfo a ningún subespacio de S , salvo si 

Po =qo= 2. 



505 

Demostración: Supongamos que / es un isomorfismo de 5 ^ so-

bre un subespacio 5 de 5 . Teniendo en cuenta la fórmula de interpo-

lación(l) y los resultados de [9], se puede localizar también un subespacio 4̂ 

de 5 ^ isomorfo a / . Razonemos distinguiendo los seis casos siguien-

tes: 

F' ') Caso: ^o = ^ • 
Entonces B no es separable, luego ^i = ^̂  . 

2°) Caso: K p o , Pi < 2, l < 9 o < « ^ -
Ahora se tiene alguna de las situaciones que siguen: 

(z) f{A) no es cerrado en S2 • 
Aplicando el Teorema L obtenemos q u e / ( ^ ) contiene un 

subespacio isomorfo a / . Así pues / contiene un sub-

espacio isomorfo a L , siendo 1 =̂  ^o? í i < °^ • Por tanto 
1 

se sigue de [12], Prop. 2. a 1 y Prop. \.a. 12, que QQ = q^. 

{n)fiA) es cerrado en ^2. 

Entonces QQ = 2. Pero B = fiS ^ ) no es cerrado en ^2 

ya que ningún espacio Sp q (1 < p < o o , l < ç < o o ) e s 

isomorfo a un espacio de Hubert, salvo ú p = q = 2 (ver 
[11] y [4]). Por tanto, aplicando otra vez el Teorema L, 

tenemos que B contiene un subespacio D isomorfo a / . 

Con lo cual, si f'^(D) es cerrado en S2, se tiene que 
qi = 2, y si/~^ (D) no es cerrado en ^2, entonces contiene 
un subespacio isomorfo a I2, por lo tanto también qi = 2. 

3^0 Caso: 1 <pi <po =2,l<qo<2. 
Si f{A) no es cerrado en ^2, razonando como en la situación (/) 
del apartado anterior, se obtiene qQ = qi- En caso contrario, 

el espacio / debe ser isomorfo a I2, luego q^ — 2. 

4°) Caso: 1 < p i < p o = 2 , 2 < ^ o < ^ -
Ahora f{A) no puede ser cerrado en ^2, ya que ¿70 > 2. Por 



506 FERNANDO COBOS 

tanto f{A) contiene un subespacio isomorfo a / , de donde se 
^ 1 

sigúelo = Qi-

5°) Caso: 1 <po <Pi = 2 , \<qo < o o . 

Se tiene una de las dos situaciones siguientes: 

(/) /(A) no es cerrado en Sp para ningún p>2. 

Entonces/(^) contiene a / , por tanto q^ = q^. 

{ii)f{A) es cerrado en Sp para algún p>2. 

Entonces l^ es de cotipo 2 + 6 para todo e > O y de ti-
I ^ 0 

po 2, luego qQ = 2. Pero el espacio B =f(S ' ) de coti-

po 2 ([3], Prop. 2) no puede ser cerrado en Sp si p > 2, 
pues en ese caso sería también de tipo 2 y por consiguien­
te [8] isomorfo a un espacio de riilbert. Por tanto B con­
tiene un subespacio D isomorfo a / . Ahora puede ocurrir 

que f~^{D) sea cerrado en 52, lo que implica q^ = 2, 
o que / "̂  (D) no sea cerrado en S2, en cuyo caso f^ (D) 
contiene un subespacio isomorfo a /2 y de nuevo qi = 2. 

6°)Caso:po = Pi = 2, I <qQ <oo , 
El resultado se obtiene de nuevo distinguiendo las situaciones 
(/) e O'/) del apartado anterior. 

Observación 1 . - Es fácil comprobar (ver por ejemplo [4], Remark 2. 1) 
que Spq (I <p <oo ^ l < q r < o o ) contiene subespacios isomorfos a S 2 

Observación 2.— La idea de emplear el Teorema L para obtener resul­
tados sobre la estructura de los espacios de operadores de Lorentz Sp^ q 
ha sido tomada de [10]. 

BIBLIOGRAFÍA 

[1] A R A Z Y , J .: Basic sequences, embeddings, and the uniqueness of the symmetric structure in 

unitary matrix spaces, J. Funct. Anal. 40, 302 - 340 (1981). 

[2] B E R G H , J . AND LôFSTRôM, J . : "Interpolation spaces, an introduction", Springerr—Ver-

lag, Berlin-Heidelberg-New York, (1976) 

[3] C O B O S , F . : On the type of interpolation spaces and Sp^ q, Math. Nachr. 113, 59-64 (1983) 



SOBRE LA ESTRUCTURA DE S^,, ^ 507 

[4] C O B O S , F . : some results on Lorentz operator spaces, preprint. 

[5] FUGAROLAS, M. A . AND COBOS, F . : On Schauder bases in the Lorentz operator ideal, 

J. Math. Anal. Appl. 95 ,235-242 (1983). 

[6] GiEL C. AND C L E A V E R , C .: Packing spheres in Cp spaces, Studia Math. 72, 1-8 (1982) 

[7] GOHBERG, I . e . AND K R E I N , M. G.: "Introduction à la théorie des opérateurs linéaires 

non auto—adjoints dans un espace hilbertian", Dunod, Paris, (1971) 

[8] KWAPIEN, S .: Isomorphic characterizations of inner product spaces by orthogonal series with 

vector valued coefficients. Studia Math. 44,583-595 (1972). 

[9] L E V Y , M . : L'espace d'interpolation réel {A , A )0 p contient / ^, Compt. Rend. Acad. Sci. 

Paris 289, A675-A677 (1979). 

[ 10] L E V Y , M .: These, L'unversité Pierre et Marie Curie. (1980) 

[11] L E W I S , D . R . : An isomorphic characterization of the Schmidt class, Compositio Math. 30, 

293-297 (1975) 

[12] LiNDENSTRAUSS J . AND TZAFRIRI, L.: "Classical Banach spaces. Vol. I, Sequence spa­

ces", Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg—New York, 1977. 

[13] LiNDENSTRAUSS, J . AND TZAFRIRI, L.: "Classical Banach spaces. Vol. II, Function spa­

ces". Springer—Verkag, Berlin—Heidelberg—New York, (1979). 

[14] M E R U C C I , C : Interpolation dans C ^ ( / 0 , Compt. Rend. Acad. Sci. Paris 274, A I 1 6 3 - A I 166 

(1972) 

[15] P I E T S C H , A . : "Operator ideals", North-Holland, Amsterdam-New York-Oxford, (1980). 

[16] T O M C Z A K - J A E G E R M A N N , N . : The moduli of smootheness and convexity and the Rade-

macher averages of trace classes 5p (1 Kp <i^), Studia Math. 50, 163-182 (1974). 

[17] T R I E B E L , H . : "Interpolation theory, function spaces, differential operators". North—Holland, 

Amsterrdam-New York-Oxford, (1978)