UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS TESIS DOCTORAL Deformación volcánica durante etapas inter-eruptivas: Three Sisters (Cordillera de las Cascadas, EE.UU) como caso de estudio MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR Sara Rodríguez Molina Directoras María Charco Romero Ana María Negredo Moreno Madrid © Sara Rodríguez Molina, 2022 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Departamento de Física de la Tierra y Astrofísica TESIS DOCTORAL Deformación volcánica durante etapas inter-eruptivas: Three Sisters (Cordillera de las Cascadas, EE.UU) como caso de estudio MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR Sara Rodríguez Molina Dirigida por las Doctoras: María Charco Romero (Instituto de Geociencias, IGEO, CSIC-UCM) Ana María Negredo Moreno (Universidad Complutense de Madrid, UCM) Madrid, 2021 A Pablo y Pluto, mis inseparables compañeros de vida A mi familia por creer siempre en mí Fall in love with some activity, and do it! Nobody ever figures out what life is all about, and it doesn’t matter. Explore the world. Nearly everything is really in- teresting if you go into it deeply enough. Work as hard and as much as you want to on the things you like to do the best. Don’t think about what you want to be, but what you want to do. Keep up some kind of a minimum with other things so that society doesn’t stop you from doing anything at all. Richard Feynman AGRADECIMIENTOS Es complicado resumir en una página todas las personas presentes en mi vida que han contribuido a la finalización de esta Tesis. En cualquier caso, gracias a todos los que de una forma u otra me habéis ayudado durante esta etapa tan importante para mí. En primer lugar quiero expresar mi más sentido agradecimiento a mis directoras de Tesis: la Dra. María Charo Romero y la Dra. Ana Mª Negredo Moreno. Gracias por vuestra generosidad, paciencia y apoyo. Gracias por esta oportunidad y por haber dirigido mi aprendizaje a lo largo de todos estos años. En segundo lugar, quería agradecer toda la ayuda recibida al Dr. Pablo J. González. Gracias por acogerme con ese cariño durante mis estancias en la Universidad de Liverpool. Gracias por estar siempre dispuesto a ayudarme, sin importar lo ocupado que estuvieras, y por transmitirme tus conocimientos y consejos. También me gustaría agradecer a David A. Schmidt su ayuda, colaboración y feedback en el estudio de la deformación observada en Three Sisters. Agradezco a los componentes del Departamento de Física de la Tierra y Astrofísica de la Facultad de Ciencias Físicas de la UCM y del Instituto de Geociencias (IGEO, CSIC-UCM), donde he desarrollado principalmente este trabajo. Durante estos años, a través de estancias doctorales y congresos he tenido el privilegio de aprender gracias a las observaciones de Daniel Dzurisin, Michael Lisowski, Roger P. Denlinger, Mike Poland, Juliet Biggs, Paul Segall, Maurizio Battaglia y un largo etcétera de brillantes investigadores. X A Mercedes, mi compañera de mesa en el IGEO. Siempre has estado ahí para escucharme, compartir devenires y burocracias. Gracias por tu generosidad, empatía y palabras de ánimo. A Yu Jiang, mi compañero en la Universidad de Liverpool. Gracias por tu ayuda y los buenos momentos vividos durante la estancia. A Tamara y Emma, mis más fieles compañeras. Sin vosotras la Tesis hubiera sido muy diferente. Gracias por llenarme de energía y alegría, por vuestra amistad y por confiar en mí. A Anabel, Iñigo, Du, Andrés, Iván, Tote, Rodolfo y a todos los compañeros de IGEO por ser tan acogedores, tener siempre un momento para hablar y hacer los días más amenos en el centro. A Fran, Roberto, Marina, Jon, Mariano, Nacho, Vicente, Jorge, Dani, Santi, Guillermo, Diana y a todos los amigos que habéis estado ahí y que no he podido ver mucho por la Tesis. Gracias por los momentos de alegría y desconexión. A Javier, Magdalena S. y Rafael S., cuya ayuda ha sido más que esencial. Por último quería hacer una mención especial a mi familia, que siempre han estado ahí, mostrándome su apoyo incondicional. A mis padres, Rocío y Toni, quienes siempre creyeron en mí. Gracias por los domingos de paella y por ser más que comprensivos con todo el tiempo que les he robado a nuestras vidas en común. A Alberto y Rut gracias por estar siempre ahí. A mis peques Gaia y Enya, porque sois mi alegría infinita. A Marilé y Alberto, mis segundos padres. Gracias por vuestros ánimos, confianza y cariño. A Pablo y Pluto (y mis otros compañeros de vida de cuatro patas), porque no sé que hubiera hecho sin vosotros. Si la Tesis salió adelante es sin duda por vuestro apoyo incondi- cional y vuestras toneladas de cariño. Gracias Pablo por tus grandes consejos y charlas, por no dudar de mí ni un momento, por tu paciencia y cariño. XI Este trabajo ha sido financiado por el Ministerio Ciencia e Innovación a través de su programa de Ayudas para contratos predoctorales para la Formación de Doctores (BES-2015- 074228), asociado al proyecto de investigación CGL2014-58821-C2-1-R. Parte de este trabajo se ha llevado a cabo durante las estancias doctorales en el Casca- des Volcano Observatory (CVO) perteneciente al U.S. Geological Survey (USGS) y en el Department of Earth, Ocean and Ecological Science de la Universidad de Liverpool. ÍNDICE GENERAL Agradecimientos IX Índice de figuras XVII Índice de tablas XXXIII Nomenclatura XLVI Resumen/ Abstract XLVII 1. Introducción 1 1.1. Motivación y contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Estructura de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Fundamentos 13 2.1. Deformación volcánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1. Teoría de la elasticidad y leyes de conservación . . . . . . . . . . . 14 2.1.2. Conceptos básicos de reología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3. Viscoelasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.4. Modelos analíticos de fuentes de deformación volcánica . . . . . . 26 2.2. Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1. Sistemas de navegación global por satélite (GNSS) . . . . . . . . . 39 XIV Índice general 2.2.2. Interferometría Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3. Problemas lineales mal condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3.1. Técnicas utilizadas para el truncamiento de valores singulares pequeños 67 2.4. Método de inversión ponderada generalizada (WGIM) . . . . . . . . . . . 72 2.5. Inversión Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3. Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) 79 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2. Contexto geodinámico y geológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3. Reactivación volcánica en Three Sisters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.4. Estudios previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.5. Procesado de datos geodésicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.5.1. CGPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.5.2. Interferometría Radar de Apertura Sintética (InSAR) . . . . . . . . 102 3.6. Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.6.1. Metodología para la caracterización de la fuente . . . . . . . . . . 109 3.6.2. Metodología para estudiar la evolución temporal de los cambios de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.7. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.7.1. Re-evaluación de la localización y geometría de la fuente magmática 118 3.7.2. Serie temporal de la inflación en Three Sisters (1996-2020) . . . . . 126 3.8. Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.8.1. Caracterización de la fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.8.2. Serie temporal del cambio de volumen: Objetivización de TSVD . . 136 3.8.3. Escalas temporales de las señales de elevación inter-eruptivas: Three Sisters y otros volcanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Índice general XV 3.9. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4. Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters 151 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.2. Modelo de fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.4. Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.4.1. Tests de sensibilidad del modelo viscoelástico . . . . . . . . . . . . 164 4.4.2. Implicaciones y limitaciones del modelo viscoelástico . . . . . . . 171 4.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5. Conclusiones generales y futuro trabajo 181 5.1. Conclusiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.2. Futuro trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Bibliografía 187 Apéndice A. 201 A.1. Álgebra de la Descomposición en Valores Singulares (SVD) . . . . . . . . 201 Apéndice B. 209 B.1. Figuras suplementarias capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 ÍNDICE DE FIGURAS 1.1. Tabla con la relación entre deformación y erupción en 198 volcanes monitori- zados sistemáticamente durante 18 años. D denota un volcán que al menos se ha deformado una vez durante el periodo de observación InSAR, D significa que los datos InSAR no registraron ninguna deformación, E que se produjo erupción y E que no hubo erupción (modificado de Biggs et al., 2014) . . . 4 1.2. Esquemas de patrones temporales de deformación volcánica. Las estrellas representan erupciones (modificado de Biggs and Pritchard, 2017) . . . . . 6 1.3. A: Mapa del relieve de la cordillera de las Cascadas, con la ubicación de los principales volcanes representativos de las Cascadas. El volcán Threee Sisters está resaltado con un cuadrado negro. B: Vista aérea desde el sur del complejo volcánico Three Sisters: South, Middle y North Sister (fotografía de John Scurlock, Servicio Geológico de Estados Unidos (USGS)). . . . . . 9 2.1. Esfuerzos que actúan en las caras de un elemento de volumen. En este caso todas las componentes del tensor de esfuerzos presentan valores positivos (modificado de Segall, 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Deformación en función del tiempo al aplicar un esfuerzo para un medio elástico (A), viscoso (B) y plástico (C). En la última fila se presenta el equivalente mecánico (modificado de Woodcock, 2008). . . . . . . . . . . 21 XVIII Índice de figuras 2.3. Deformación (creep) y función de relajación para un material Maxwell (modificado de Segall, 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4. A: Ejemplo de la estructura interna un estratovolcán (modificado de Gud- mundsson, 2012); B modelos de deformación volcánica con simetría lineal; C: modelos con simetría radial (modificado de Battaglia et al., 2013a, Pre- Meeting Workshop Using GPS to Monitor Volcanoes: From Field Data to Modeling, congreso IAVCEI Scientific Assembly 2017). . . . . . . . . . . . 27 2.5. Sistema de referencia y geometría empleada para la determinación de la deformación de la superficie producida por una fuente puntual de presión con simetría esférica en un semiespacio (modificado de Lisowski and Dzurisin, 2007; Masterlark, 2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6. A: Perfiles de los desplazamientos axisimétricos verticales (rojo), horizon- tales (azul) y módulo del desplazamiento total (negro) en función de la distancia horizontal para un proceso de inflación con una fuente de Mogi, situada en el origen a una profundidad d. Los desplazamientos están normali- zados por a3 p (1−υ)/µd2. La distancia horizontal está expresada en múltiplos de la profundidad de la fuente. B: Vectores desplazamiento de la superficie (negro) y sus respectivas componentes verticales (rojo) y horizontales (azul) para el mismo proceso de inflación (modificado de Lisowski and Dzurisin, 2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.7. Ejemplos de geometrías de cámara magmática (modificado de Battaglia et al., 2013b; Gudmundsson, 2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.8. A: Redes con base terrestre: las medidas y observaciones se obtienen en el mundo real. B:Métodos de teledetección: las medidas y el análisis se realizan con la imagen obtenida (modificado de Tempfli et al., 2009). . . . . . . . . 38 Índice de figuras XIX 2.9. A: Constelación GPS. B: Esquema de las señales GPS. C: Segmento espacial del GPS. (Modificado de https://www.gps.gov/systems/gps/control/ y Leica Geosystems) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.10. Gráfico de misiones satelitales SAR pasadas, presentes y proyectadas que operan en las frecuencias de banda L, banda C y banda X (UNAVCO). . . . 47 2.11. Capacidad de penetración para las ondas electromagnéticas en la banda X, C y L. Las flechas representan la señal radar dispersada según su capacidad de penetración (modificado de https://earth.esa.int). . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.12. A:Geometría de adquisición de un satélite artificial son un sistema de Radar de Apertura Real (RAR). B: Concepto de Radar de Apertura Sintética (SAR) (modificado de Dzurisin and Lu, 2007 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.13. A: Órbitas ascendentes y descendentes de satélites SAR. B: Diferencias entre la señal registrada por satélites con órbitas ascendentes y descendentes. En este ejemplo, el convenio de signos para desplazamiento en la dirección de vista del satélite (en inglés Line Of Sight, LOS) relaciona valores positivos con alejamiento del terreno respecto al satélite. (modificado de Geospatial In- formation Authority of Japan (GSI) https://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/sar/qanda/ qanda-e.html; imagen de la tierra de Reto Stöckli http://visibleearth.nasa.gov) 54 2.14. Distorsiones geométricas en imágenes radar (foreshortening, layover y sha- dows) (modificado de Tempfli et al., 2009) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.15. Diagrama de flujo ilustrativo con los pasos presentes en el procesado inter- ferométrico diferencial de imágenes SAR (modificado de Dzurisin and Lu, 2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 https://www.gps.gov/systems/gps/control/ https://earth.esa.int https://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/sar/qanda/qanda-e.html https://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/sar/qanda/qanda-e.html http://visibleearth.nasa.gov XX Índice de figuras 2.16. A: Ejemplo de rueda de color para la representación de valores de fase entre 0 y 2π . B: Esquema que representa el enfoque heurístico donde se asume que la diferencia real de fase absoluta entre dos puntos de datos vecinos es generalmente menor que π rad. La hipérbola representa la órbita del satélite y los discos grises representan la señal radar adquirida por el satélite en dos momentos diferentes. C: Ejemplo ilustrativo de desenrrollado de fase (modificado de ESA Advanced Training Course Remote Sensing of the Cryosphere (Andy Hooper, COMET, ESA, Universidad de Leeds)). . . . . 62 2.17. A: Clasificación de los píxeles según se comporten como píxeles coherentes (PS), reflectores distribuidos (DS) o píxeles no coherentes. B: Representación de los métodos Permanent o Persistent Scatterer Interferometry (PSI) (modi- ficado de Tre-Altamira, https://site.tre-altamira.com/insar), y Small Baseline Subset (SBAS). En el método SBAS se genera una red interconectada de pares interferométricos (líneas verdes). Las imágenes se combinan teniendo como criterio minimizar la separación espacial entre órbitas (línea de base perpendicular, Bperp) y la separación temporal entre las imágenes SAR. . . 64 2.18. Ejemplo ilustrativo de la condición discreta de Picard. a: Problema test donde solo existen errores de redondeo. b: Mismo problema test incluyendo ruido blanco en los datos d (Hansen, 2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.19. Forma genérica teórica de la curva L (L-curve) representada en escala logarít- mica. ∥Gmt −d∥2 es la norma del residual, donde G es la matriz de diseño, mt el vector del modelo regularizado y d el vector de los datos. ∥mt∥2 es la norma de la solución regularizada (Hansen, 1999). . . . . . . . . . . . . . 72 https://site.tre-altamira.com/insar Índice de figuras XXI 2.20. Ejemplo ilustrativo de la transformación de un problema de dimensión (2×2) en un nuevo sistema de coordenadas prima (′), donde el nuevo vector de los datos (d’) y parámetros del modelo (m’) tiene errores no correlacionados y con varianza igual a la unidad. A: Transformación del espacio de los datos. B: Transformación del espacio del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.1. Subducción de las placas Juan de Fuca y Gorda bajo la placa de Norteame- ricana. Los volcanes indicados en color rosa representan la localización y tamaño de los centros volcánicos más importantes del arco volcánico de las Cascadas. Los diferentes límites de placas se representan en azul turquesa (límite divergente), azul (límite convergente) y violeta (límite transformante) (modificado de Lillie (2015)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2. Diagrama con los movimientos tectónicos del bloque Oregon Coast Range (OrCR) y los bloques al sureste de Oregón (OrBR y SEOr) (modificado de McCaffrey et al. (2007)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 XXII Índice de figuras 3.3. Mapa regional de las Cascadas en los estados de Oregón y Washington. El área amarilla muestra la franja de chimeneas máficas del Cuaternario. La ubicación de los principales centros volcánicos se representan con triángulos rojos (MS, Middle Sister; SS, South Sister; B, Mount Baker; GP, Glacier Peak; R, Mount Rainier; GR, Goat Rocks; SH, Mount St. Helens; A, Mount Adams; H, Mount Hood; J, Mount Jefferson; BT, Broken Top; C, Cappy Mountain; MZ, Mount Mazama) y los estratovolcanes máficos de gran tama- ño están marcados con triángulos negros (NS, North Sister; DP, Diamond Peak; MT, Mount Thielsen; M, Mount McLoughlin). Dentro del arco volcá- nico, aparecen los nombres de cuatro campos volcánicos (I, Indian Heaven; P, Portland (Boring); T, Tumalo; B, Bachelor Chain). Las áreas de color verde simbolizan los campos volcánicos trasarco (SM, Simcoe Mountains y N, Newberry Volcano). Las líneas rojas discontinuas representan las isócronas (10− 2 Ma) de la migración de la anomalía de material fundido hacia el oeste (modificado de Fierstein et al. (2011)). . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.4. Interferograma enrollado del satélite ERS para el periodo septiembre 1996 y octubre 2000 y datos geoquímicos en la zona de deformación (columnas cian representan las concentraciones de Cl−, columnas rojas indican el ratio SO2− 4 /Cl−). (modificado de Wicks et al. (2002)). . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.5. Gráfico de sismicidad para el área de Three Sisters desde el año 2000 (Pa- cific Northwest Seismic Network, https://pnsn.org/volcanoes/three-sisters# seismicity). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 https://pnsn.org/volcanoes/three-sisters#seismicity https://pnsn.org/volcanoes/three-sisters#seismicity Índice de figuras XXIII 3.6. (A): Profundidad de los eventos sísmicos registrados desde el año 2000, ubicados bajo el volcán Three Sisters. (B): Número de terremotos localizados por semana (líneas negras) y número acumulado de terremotos a lo largo del tiempo (curva roja) (Pacific Northwest Seismic Network, https://pnsn.org/ volcanoes/three-sisters#seismicity). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.7. Perfiles norte-sur y este-oeste de los datos observados (puntos azules) y modelados (curva roja) para el stack de datos InSAR del satélite ERS, entre agosto 1995 y agosto de 2001 (modificado de Dzurisin et al. (2009)). . . . . 93 3.8. Serie temporal de inflación (círculos negros) para una fuente tipo sill a partir de 56 interferogramas de ERS y ENVISAT. Las líneas rojas indican el ajuste lineal de los datos, con dos pendientes, una desde 1998 hasta 2004 y la siguiente de 2004 a 2010. La línea punteada azul muestra el ajuste mediante una curva exponencial (modificado de Riddick and Schmidt (2011)). . . . . 95 3.9. (A): Área aproximada afectada por la deformación volcánica (área gris) y estaciones gravitatorias utilizadas en el estudio de Zurek et al. (2012), siendo los nombres de las estaciones (1)BASE, (2) BUGS, (3)BRUCE, (4) CUT y (5) CENTER. (B): Residuo gravimétrico desde 2002 hasta 2009 para cada una de las estaciones. (modificado de Zurek et al. (2012)). . . . . . . . . . 96 3.10. (A): Mapa del relieve de la cordillera de las Cascadas, con la ubicación de los principales volcanes representativos de las Cascadas. El volcán Threee Sisters está resaltado con cuadrados negros. (B): Mapa regional del volcán Three Sisters con la localización de la estación continua GPS, HUSB, a ∼ 5 km al oeste de South Sister (círculo) (Rodríguez-Molina et al., 2021). . 99 3.11. Velocidad horizontal para un subconjunto de estaciones cerca de la región de Three Sisters (flechas negras), utilizadas por el Cascade Volcano Observatory (USGS) para estimar la deformación tectónica promedio de fondo. . . . . . 100 https://pnsn.org/volcanoes/three-sisters#seismicity https://pnsn.org/volcanoes/three-sisters#seismicity XXIV Índice de figuras 3.12. Velocidad horizontal tectónica estimada por el CVO a partir de las compo- nentes horizontales de las estaciones GPS permanentes de la red Noroeste del Pacífico no afectadas del comportamiento local observado en el área de Three Sisters. La flecha azul representa la velocidad horizontal estimada para la estación CGPS HUSB. Las flechas negras representan la velocidad horizontal estimada para el resto de estaciones GPS (de campaña y continuo) del área de Three Sisters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.13. Componente norte (UNorte), este (UEste) y vertical (UVertical) del desplaza- miento registrado por la estación CGPS HUSB (Rodríguez-Molina et al., 2021). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.14. Desplazamiento LOS registrado entre julio de 1998 y octubre de 2000, por el interferograma ERS Track 113 (órbita descendente). Desplazamiento LOS negativo (positivo) significa que el terreno se acerca (aleja) al satélite, es decir existe elevación (subsidencia) del terreno. La estrella indica la ubicación horizontal aproximada de la fuente y el círculo violeta la localización de la estación CGPS HUSB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.15. Desplazamiento LOS registrado entre septiembre de 2004 y octubre 2006, por el interferograma ENVISAT Track 385 (órbita descendente). Despla- zamiento LOS negativo (positivo) significa que el terreno se acerca (aleja) al satélite, es decir existe elevación (subsidencia) del terreno. La estrella indica la ubicación horizontal aproximada de la fuente y el círculo violeta la localización de la estación CGPS HUSB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.16. Small Subset Baseline (SBAS) aplicado a los 30 pares interferométricos procesados del satélite ALOS-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Índice de figuras XXV 3.17. Velocidad LOS de la superficie (mm/año) obtenida para el track 219 del satélite ALOS-1, entre enero 2007 y marzo 2011. Los valores de velocidad LOS positivos corresponden a desplazamientos LOS con dirección hacia el satélite, es decir, tasa de elevación (Rodríguez-Molina et al., 2021). La estrella indica la ubicación horizontal aproximada de la fuente y el círculo representa el valor obtenido de la velocidad media para la estación HUSB CGPS durante el mismo período. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.18. Datos InSAR enrollados (wrapped) del satélite ERS Track 385 (órbita des- cendente), para el periodo 24 agosto 1997- 17 septiembre 2000. El cuadrado negro delimita un área sin deformación volcánica, adecuado para el análisis del semi-variograma. El cuadrado blanco demarca la zona con presencia de deformación volcánica analizada en la inversión bayesiana. La estrella indica la ubicación horizontal aproximada de la fuente y el círculo violeta la localización de la estación CGPS HUSB. Valores del desplazamiento LOS positivos corresponden a desplazamientos LOS con dirección hacia el satélite, es decir, elevación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 XXVI Índice de figuras 3.19. Datos InSAR enrollados (wrapped) del satélite ERS Track 385 (órbita des- cendente) y resultados de los diferentes modelos examinados. (A), (D), (G): Desplazamiento en la línea de visión (LOS) registrado por el satélite en un período de casi 3 años desde el 24 agosto de 1997 hasta el 17 Septiembre de 2000, considerando sólo píxeles con coherencia > 0.2. Los triángulos verdes representan el complejo volcánico de Three Sister. (B), (E), (H): mo- delo obtenido en la inversión bayesiana (fuentes Mogi, tipo sill y esferoide prolato, respectivamente) y ubicación horizontal correspondiente conside- rando el valor mediano de la probabilidad a posteriori (estrella azul). (C), (F), (I): Mapas residuales para la fuente Mogi, tipo sill y esferoide prolato (Rodríguez-Molina et al., 2021). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.20. Distribuciones de probabilidad a posteriori para los parámetros de los mode- los de fuente Mogi, tipo sill y esferoide prolato. Las líneas negras muestran el valor óptimo para el parámetro del modelo correspondiente (Tablas 3.1 y 3.2) (Rodríguez-Molina et al., 2021). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.21. Incrementos de cambio de volumen obtenidos para todos los interferogramas (ERS,ENVISAT, ALOS-1 y SENTINEL-1). La figura muestra los resultados obtenidos con el valor mediano de la profundidad de la fuente (Rodríguez- Molina et al., 2021). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.22. Incrementos de cambios de volumen acumulados para la estación CGPS HUSB. La figura muestra los resultados obtenidos con el valor mediano de la profundidad de la fuente (Rodríguez-Molina et al., 2021). . . . . . . . . 127 Índice de figuras XXVII 3.23. (A): Gráfico que muestra la condición discreta de Picard. En este caso, el problema se puede considerar estable si descartamos el último 10% de los valores singulares. (B): Resultados del L-curve , tras aplicar el pretrunca- miento dado por la condición de Picard. El valor obtenido del L-corner está representado en rojo (Rodríguez-Molina et al., 2021). . . . . . . . . . . . . 129 3.24. Gráfico con el resultado del método Generalized cross validation (GCV), tras aplicar el pretruncamiento dado por la condición de Picard. El mínimo local está marcado con la línea discontinua en rojo. . . . . . . . . . . . . . 130 3.25. Serie temporal del cambio de volumen para una fuente Mogi (inversión temporal conjunta de datos GPS e InSAR) para diferentes valores de la profundidad estimada (Tabla 3.1): valor mediano (verde claro), y percentil 95% y 5% (amarillo y verde oscuro). Las líneas continuas en azul turquesa representan las curvas del ajuste paramétrico obtenido mediante la aplicación del método de mínimos cuadrados no lineales robusto, utilizando el método del residuo mínimo absoluto (NSL-LAR) considerando la expresión dada en la ecuación 3.9. Las estrellas representan el inicio de la tendencia exponencial descrita en la ecuación 3.9 para cada una de las series temporales (verde claro, asociado con el valor mediano de la estimación de la profundidad; amarillo y verde oscuro para los valores de los percentiles 95% y 5%) (Rodríguez-Molina et al., 2021). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 XXVIII Índice de figuras 3.26. (A): Datos InSAR enrollados del satélite Sentinel-1 Path 137 (órbita ascen- dente). Patrón interferométrico obtenido para el periodo septiembre 2015 - agosto 2016, considerando sólo píxeles con coherencia > 0.35. Los triángu- los verdes representan el volcán Three Sister. (B): modelo obtenido en la inversión bayesiana (fuente Mogi) y ubicación horizontal correspondiente al valor óptimo (estrella rosa). La estrella azul corresponde el valor estimado anteriormente para el modelo Mogi con datos del satélite ERS Track 385 (órbita descendente) durante agosto de 1997 hasta septiembre de 2000). (C): Mapa del residual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.27. ∆Vi obtenidos a partir de datos de deformación InSAR y CGPS (ecuación 3.3), frente a observaciones simuladas (∆Vireconstruction =V(i+1)−Vi, ecuación 3.7). (A) y (B): Solución truncada, usando sólo el 0.2% y el 2% de los valores singulares, respectivamente. (C): solución truncada usando la condición de Picard y el criterio del L-curve. (D): caso no regularizado (Rodríguez-Molina et al., 2021). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.28. (A):Estimación del parámetro e-folding en Three Sisters y en otras series temporales geodésicas y de volumen en volcanes con episodios de actividad reciente: Okmok, Long Valley, Uturuncu, Laguna del Maule, Yellowstone, Campi Flegrei, Santorini, Alutu y Agung. (B): Ubicación geográfica y clasi- ficación según el tipo de volcán. (C, E, F): Elevación o cambio de volumen normalizado, y′ (ecuación 3.11) como función del tiempo normalizado, t ′ (ecuación 3.12) (Rodríguez-Molina et al., 2021). . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.1. Geometría de una cámara magmática esférica rodeada por una aureola vis- coelástica tipo Maxwell. R1 y d es el radio y la profundidad de la cámara magmática. R2 es el radio exterior de la aureola viscoelástica. . . . . . . . 155 Índice de figuras XXIX 4.2. Modelización de la evolución temporal del cambio de volumen asociado a una fuente puntual con simetría esférica rodeada por una aureola viscoe- lástica tipo Maxwell, para una función de presión tipo rampa (Parks et al., 2015). Aplicación a las series temporales del cambio de volumen del volcán Three Sisters, obtenidas por la combinación de datos GPS e InSAR, para di- ferentes valores de la profundidad estimada (Rodríguez-Molina et al., 2021). En verde claro se representan los datos asociados con el valor mediano de la estimación de la profundidad; en amarillo y verde oscuro los correspon- dientes para valores de los percentiles 95% y 5%. Las líneas continuas en naranja representan el ajuste robusto de mínimos cuadrados no lineal, utili- zando el método del residuo mínimo absoluto (NSL-LAR) y el algoritmo de Levenberg-Marquardt. Los círculos representan la estimación del inicio (t0) de la serie viscoelástica para cada una de las series temporales. . . . . . . . 164 4.3. Resultado del ajuste al considerar la variación de la intensidad de la fuente, α , y manteniendo fijo el resto de parámetros del modelo viscoelástico. El gráfico interior muestra la función presión para los diferentes valores de la intensidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.4. Resultado del ajuste al considerar la variación de la duración del aumento del pulso de presión, t1, y manteniendo fijo el resto de parámetros del modelo viscoelástico. El gráfico interior muestra la función presión para los diferentes valores de t1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.5. Resultado del ajuste al considerar la variación del ratio de radios, R2 R1 , y manteniendo fijo el resto de parámetros del modelo viscoelástico. El gráfico interior muestra la función presión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 XXX Índice de figuras 4.6. Resultado del ajuste al considerar la variación del tiempo característico de relajación, tR, y manteniendo fijo el resto de parámetros del modelo viscoelástico. El gráfico interior muestra la función presión. . . . . . . . . . 167 4.7. Sensibilidad de la función de ajuste considerada en el proceso de inversión a cada uno de los parámetros del modelo viscoelástico. Para obtenerla, en cada caso se considera la variación de cada uno de los parámetros del modelo (tR, t1, t0, α , y R2 R1 ), fijando el resto a su valor óptimo dado en la tabla 4.2. . . . . 169 4.8. Valor del ajuste para cada par de parámetros del modelo viscoelástico (tR, t1, t0, α , y R2 R1 ). Los colores indican el valor de la raíz del error cuadrático medio RMSE del ajuste del modelo. Para cada pareja de parámetros del modelo se evalúa un rango de valores, fijando el resto de parámetros con el valor óptimo dado en la tabla 4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.9. Relación entre el cambio de presión p0 dentro de la cámara magmática y el radio de la cámara R1 considerando fijo el parámetro α . . . . . . . . . . . 171 4.10. Tiempo característico tR versus viscosidad, η , para varios ratios R2 R1 (ecuación 4.15 b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.11. Esquema ilustrativo de la formación de mush alrededor de reservorios mag- máticos (modificado de Cashman et al., 2017). . . . . . . . . . . . . . . . . 178 A.1. Significado geométrico de la descomposición en valores singulares (SVD) (modificado de (Strang, 1993)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 B.1. Semi-variograma analizado del interferograma del satélite ERS Track 385 (órbita descendente), para el periodo 24 agosto 1997- 17 septiembre 2000. . 210 B.2. Distribuciones de probabilidad a posteriori conjunta de los parámetros del modelo de fuente puntual con simetría esférica (Mogi). . . . . . . . . . . . 211 B.3. Distribuciones de probabilidad a posteriori conjunta de los parámetros del modelo de fuente tipo sill. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Índice de figuras XXXI B.4. Distribuciones de probabilidad a posteriori conjunta de los parámetros del modelo de esferoide prolato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 ÍNDICE DE TABLAS 3.1. Intervalos de variación de los parámetros de la fuente para el caso de una fuente puntual con simetría esférica, tipo sill y esferoide prolato (Rodríguez- Molina et al., 2021). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.2. Resultados de la inversión bayesiana de la fuentes de deformación volcánica puntual con simetría esférica, tipo sill y esferoide prolato, definidos para un semiespacio elástico. Se presentan los resultados de la probabilidad a posteriori correspondientes a los valores de la mediana, y los intervalos de credibilidad del 95% (Rodríguez-Molina et al., 2021). . . . . . . . . . . . 125 3.3. Comparación de la localización de la fuente de deformación en Three Sisters entre estudios previos y la inversión bayesiana realizada en este estudio. Con el fin de realizar la comparativa, se consideran fuentes tipo Mogi (Rodríguez- Molina et al., 2021). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.4. Parámetros de la función característica del e-folding, obtenidos por un ajuste robusto de mínimos cuadrados no lineales (NLS), utilizando el método del residuo mínimo absoluto (LAR). Se muestran los límites superior e inferior de los parámetros de ajuste de la curva. Estos límites abarcan los resultados obtenidos de la serie temporal de cambio de volumen para los valores de la mediana, y los percentiles 5% y 95% de la estimación de profundidad de la fuente (Rodríguez-Molina et al., 2021). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 XXXIV Índice de tablas 4.1. Valores iniciales de búsqueda para la minimización por mínimos cuadrados para el ajuste del modelo de cámara magmática esférica rodeada por una aureola viscoelástica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.2. Resultados del ajuste de la función de cambio de volumen para una cámara magmática puntual con simetría esférica rodeada por una aureola viscoe- lástica (ecuación 4.14), mediante un ajuste robusto de mínimos cuadrados no lineal con el método del residuo mínimo absoluto y el algoritmo de Levenberg-Marquardt. Se muestran los límites superior e inferior de los pa- rámetros de ajuste de la curva. Estos límites abarcan los resultados obtenidos de la serie temporal de cambio de volumen para los valores de la mediana, y los percentiles 5% y 95% de la estimación de profundidad de la fuente. . . 163 4.3. Comparación de resultados derivados de modelizaciones viscoelásticas en otros volcanes y nuestros resultados para el volcán Three Sisters. . . . . . 175 A.1. Clasificación del la inversa generalizada G−1 g . . . . . . . . . . . . . . . . 208 NOMENCLATURA Símbolos griegos α Intensidad de la fuente (m3) βa Anchura angular del haz radar en la dirección del azimut βr Anchura angular del haz radar en la dirección del rango δi j Delta de Kronecker ε e-folding (años) εφ Efectos relativistas, multitrayectorias y otros errores, expresados en metros ερ Efectos relativistas, multitrayectorias y otros errores εθθ , εφφ Deformación (tangencial y radial) en las paredes de la cámara esférica εi j Componente del tensor de deformación εkk Deformación volumétrica o dilatación cúbica η Vicosidad (Pa · s) κ Curvatura L-curve λ Coeficiente de Lamé (Pa) λ Longitud de onda de la portadora (L1 o L2) XXXVI Nomenclatura µ Módulo de rigidez o cizalla (Pa) ∇· Operador divergencia Ω ′ Pt Matriz diagonal truncada de los valores singulares distintos de cero, en el sistema de coordenadas prima (′) φion, φtrop Retrasos de propagación ionosféricos y troposféricos expresados en metros φ s r Observable de diferencia de fase ψ Fase interferométrica ψatm Fase interferométrica debido a las condiciones de la atmósfera ψde f Fase interferométrica debido a la deformación del terreno ψt p Fase interferométrica debido al efecto Tierra plana ψruido Fase interferométrica derivado de errores en el sistema y/ o metodologías de procesado ψtopo Fase interferométrica debido a la topografía ρion, ρtrop Retrasos de propagación ionosféricos y troposféricos expresados en distancias equivalentes ρi Distancia horizontal que separa el centro de la cavidad magmática proyectada en la superficie libre con el punto i-ésimo en la superficie libre (m) σ Desviación típica o estándar de los datos σ2 Varianza de los datos σθθ , σφφ Esfuerzos circunferenciales (tangenciales y radiales) en las paredes de la cámara esférica o hoop stresses (Pa) Nomenclatura XXXVII Σd Matriz varianza-covarianza para un conjunto de datos σi j Componente del tensor de esfuerzos σrr Esfuerzo radial (Pa) σy Límite elástico o resistencia (yield strength) (Pa) τ Tiempo de viaje de la señal entre el satélite y el receptor τp Duración del pulso radar θ Ángulo de incidencia (Look Angle) υ Coeficiente de Poisson Λ d Matriz diagonal que contiene los autovalores de [covd] Λ m Matriz diagonal que contiene los autovalores de [covm] Λ p Matriz de valores singulares no nulos ζ Pendiente local del terreno Otros Símbolos a Radio cámara magmática tipo Mogi (m) B Matriz de diseño usando el método SBAS B Matriz ortonormal que contiene los autovectores asociados a [covd] BT Línea de base perpendicular c Velocidad de la luz en el vacío Ci jkl Tensor elástico XXXVIII Nomenclatura Cd Matriz de varianza-covarianza de los datos C∆V Matriz de varianza-covarianza de los incrementos de cambio de volumen Cm Matriz de varianza-covarianza de los parámetros del modelo [cov d] Matriz covarianza de los datos [cov m] Matriz covarianza a priori de los parámetros del modelo [cov m]posteriori Matriz covarianza a posteriori de los parámetros del modelo CV̇ Matriz de varianza-covarianza ’a priori’ de la tasa de cambio de volumen d Profundidad fuente magmática (m) d Matriz de datos D Anchura de la antena del satélite DS Píxeles distribuidos δh Diferencia de altitud entre dos puntos δuLOS Deformación tridimensional proyectada en la dirección de vista del satélite ∆Ag Resolución espacial en la dirección del azimut ∆Rg Resolución espacial en la dirección del rango ∆Vi j Incremento (positivo debido a una inflación o negativo debido a una deflación) de cambio de volumen (m3) entre dos épocas ti y t j ∂ ∂ t Derivada parcial D Dt Derivada material Nomenclatura XXXIX E Módulo de Young (Pa) f Fuerzas de volumen (N/m3) G Matriz de diseño GMX Operador de inversión de Máxima Probabilidad (Maximun Likelihood) H Función Heaviside K Coeficiente volumétrico o de compresibilidad (Pa) L { f (t)}= f (s) Transformada de Laplace de la función f (t) L −1{ f (s)}= f (t) Transformada inversa de Laplace L Largo de la antena del satélite L1 Onda portadora con frecuencia 1575.42 MHz L2 Portadora L2 es transmitida a 1227.60 MHz M Matriz ortonormal que contiene los autovectores asociados a [covm] m Vector incógnita de parámetros del modelo Nmaster Estructura de refracción en la imagen master Nslave Estructura de refracción en la imagen slave P Número de valores singulares no nulos p Función de cambio de presión hidrostática (Pa) p0 Máximo valor de cambio de presión (Pa) PS Píxeles coherentes XL Nomenclatura Pt Número de valores singulares usados tras el aplicar TSVD r Vector residual (r = d−Gm) R Distancia en la dirección de vista del satélite (LOS) entre la antena y el terreno R Límite superior para la regularización ri Distancia euclídea que separa el centro de la cavidad magmática con el punto i-ésimo en la superficie libre (m) Rs r Observable pseudodistancia R1 Radio cámara magmática tipo Mogi R2 Radio exterior aureola viscoelástica alrededor de una cámara magmática tipo Mogi s Variable compleja (frecuencia) del dominio de Laplace si Valores singulares T Vector tracción (Pa) ts Tiempo dado por el reloj del satélite tr Tiempo dado por el reloj del receptor tR Tiempo característico de relajación viscoelástica (años) uρ Componente horizontal del vector desplazamiento (m) ur Vector desplazamiento radial (m) uz Componente vertical del vector desplazamiento(m) u Vector desplazamiento (m) Nomenclatura XLI ui Autovectores del espacio de los datos Up Matriz autovectores del espacio de los datos V̇(t) Evolución temporal de la tasa de cambio de volumen (m3/año) ˆ̇V(t) Estimación de la evolución temporal de la tasa de cambio de volumen (m3/año) para cada época observada V̄ Media del cambio de volumen (m3) V(t) Evolución temporal del cambio de volumen (m3) v Vector velocidad (m/s) Vp Matriz autovectores del espacio del modelo wi j Componente del tensor de rotación Wa Anchura del haz en la dirección del azimut Wr Anchura del haz en la dirección del rango Acrónimos / Abreviaturas A−DInSAR Interferometría radar diferencial avanzada o multitemporal ALOS Satélite japonés de observación de la Tierra (Advance Land Observation Satellite) ASI Agencia Espacial Italiana BPDN Basis Pursuit DeNoising CGPS Sistemas continuos de navegación global por satélite norteamericano (Continuous Global Positioning System) COMET Centre for the Observation and Modelling of Earthquakes, Volcanoes and Tectonics XLII Nomenclatura COSMO−Skymed Satélite italiano de observación de la Tierra (COnstellation of small Satellites for the Mediterranean basin Observation) CSA Agencia espacial canadiense (Canadian Space Agency) CV GHM Indonesian Center for Volcanology and Geology Hazard Mitigation (CVGHM) CVO Observatorio Vulcanológico de las Cascadas (Cascades Volcano Observatory) DEM Modelo digital de elevación del terrerno (Digital Elevation Model) DInSAR Interferometría diferencial SAR (Differential InSAR) DLR Deutches Zentrum für Luft und Raumfahrt EnviSAT Satélite europeo de observación de la Tierra (Environmental Satellite) ERS Satélite europeo de observación de la Tierra (European Remote Sensing) ESA Agencia espacial europea (European Space Agency) FEM Método de Elementos Finitos (Finite Element Method) GBIS Geodetic Bayesian Inversion Software GCV Método Generalized cross validation GIPSY −OASIS GNSS-Inferred Positioning System and Orbit Analysis Simulation Software GLONASS Alternativa al GPS creada por la Unión Soviética (Global’naya Navigatsionnaya Sputnikovaya Sistema) GMT The Generic Mapping Tools GNSS Sistemas de Navegación Global por Satélite (Global Navigation Satellite Systems) Nomenclatura XLIII GPS Sistemas de Posicionamiento Global, GNSS norteamericano (Global Positioning System) GSI Geospatial Information Authority of Japan IAVCEI International Association of Volcanology and Chemistry of the Earth’s Interior InSAR Interferometría Radar de Apertura Sintética (Interferometric SAR) INTA Instituto Nacional de Técnica Aeroespacial ISCE InSAR Scientific Computing Environment ISRO Organización de inestigación espacial de la India (Indian Space Research Organiza- tion) JAXA Agencia de Exploración Aeroespacial de Japón (Japan Aerospace Exploration Agency) JERS−1 Satélite japonés de observación de la Tierra (Japanese Earth Resources Satellite 1) JPL Laboratorio de Propulsión a Reacción de la agencia espacial estadounidense NASA (Jet Propulsion Laboratory) JPL Jet Propulsion Laboratory KARI Instituto de Investigación aeroespacial de Corea (Korea Aerospace Research Institute) KOMPSat −5 Satélite coreanos de observación de la Tierra LAR Técnica de optimización técnica de Mínimas desviaciones absolutas (Least Absolute Residuals) LASSO Least Absolute Shrinkage and Selection Operator LOS Desplazamientos en la línea de visión del satélite (Line-Of-Sight displacements) XLIV Nomenclatura MAT LAB sistema de cómputo numérico que ofrece un entorno de desarrollo integrado (MATrix LABoratory) NASA National Aeronautics and Space Administration NAV STARGPS NAVigation System with Time And Ranging Global Positioning System, NAVSTAR GPS NISAR Satélite de observación de la Tierra de NASA e ISRO NLS Non linear Least Squares PDF Distribuciones de probabilidad a posteriori (posterior Probability Distribution Fun- ctions) PSInSAR Permanent o Persistent Scatterer Interferometry QOCA Quasi- observation combination analysis RADAR RAdio Detection And Ranging Radarsat Satélite canadiense de observación de la Tierra RAR Radar de Apertura Real (Real Aperture Radar) RISAT Satélite de observación de la Tierra de ISRO RMSE Raíz del error cuadrático medio (Root Mean Square Error) ROIPAC (Repeat Orbit Interferometry PACkage) SAOCOM Comisión Nacional de Actividades Espaciales SAR Radar de Apertura Sintética (Synthetic Aperture Radar) Nomenclatura XLV SBAS Algoritmo para la monitorización de la deformación de la superficie basado en SBAS DInSAR (Short Baseline Subset Approach) SBAS Técnica de procesado avanzado interferométrico (Small BAseline Subset)) Sentinel −1 Satélite europeo de observación de la Tierra (Advance Land Observation Sate- llite) SLC Imagen compleja con máxima resolución espacial, de un solo look 1 (Single Look Complex) SNAPHU ( Statistical-Cost, Network-Flow Algorithm for Phase Unwrapping) CGPS Sistemas semi permanentes de navegación global por satélite norteamericano (Semi Permanent Global Positioning System) SRT M Misión Topográfica Shuttle Radar (Shuttle Radar Topography Mission) es un proyecto internacional entre la Agencia Nacional de Inteligencia-Geoespacial (NGA) y la Administración Nacional de la Aeronáutica y del Espacio de EEUU (NASA) SRT M Misión Topográfica Shuttle Radar (Shuttle Radar Topography Mission) SSE Suma de cuadrados de los valores residuales SSR Suma de cuadrados de la regresión SST Suma total de los cuadrados StaMPS Stanford Method for Persistent Scatterers T SV D Descomposición en valores singulares (Singular Value Decomposition) 1El número de looks de un interferograma es la cantidad de píxeles promediados para generar un filtrado espacial, siendo apropiado para reducir el ruido aleatorio en los interferogramas. Un interferograma con un solo look se compone de imágenes SAR con máxima resolución espacial. XLVI Nomenclatura TerraSAR−X , TanDEM−X Satélites alemanes de observación de la Tierra T SV D Descomposición en valores singulares truncado (Truncated Singular Value Decompo- sition) UNAVCO University NAVSTAR Consortium. UNAVCO es un consorcio universitario sin fines de lucro que facilita la investigación y la educación en geociencias utilizando la geodesia. Está financiada por la National Science Foundation (NSF) y la NASA. USFS Servicio Forestal de EE.UU (U.S Forest Service) USGS Servicio Geológico de EE.UU (U.S Geological Survey) WGIM Método de inversión ponderada generalizada (Weighted Generalized Inversion Method) WLS Método mínimos cuadrados ponderados (Weighted Least Squares) RESUMEN/ ABSTRACT Resumen La gran mayoría de erupciones volcánicas están precedidas por procesos de reactivación que pueden ser detectados sobre la superficie terrestre. Por tanto, la interpretación de estos sig- nos de reactivación es esencial para el pronóstico de eventos volcánicos. En zonas volcánicas, esta vigilancia se lleva a cabo a través de la monitorización de deformaciones, mediante el uso de técnicas geodésicas espaciales como los Sistemas de Navegación Global por Satélite (GNSS) y la Interferometría Radar de Apertura Sintética (InSAR). La interpretación de señales de reactivación requiere el uso de modelos físico-matemáticos, los cuales permiten obtener la localización, geometría y cambios de volumen puntuales de distintas zonas de acumulación de magma, así como la posible dinámica de los mecanismos físicos implicados. El complejo volcánico Three Sisters (Cordillera de las Cascadas, EEUU), del cual nos ocupamos en esta tesis doctoral, es un buen ejemplo de un sistema de estratovolcanes con levantamiento inter-eruptivo monótono de larga duración sin actividad eruptiva asociada ni sismicidad significativa, que presenta un levantamiento activo del terreno desde el año 1996 hasta nuestros días. La posibilidad de futuras erupciones similares a las ocurridas hace 2000 años en la zona de South Sister, representan una clara amenaza para las poblaciones cercanas. Dentro de este contexto, esta Tesis Doctoral pretende analizar e interpretar los resultados de desplazamientos del terreno derivados de datos procedentes de Sistemas Continuos de Posicionamiento Global (CGPS) e Interferometría Radar de Apertura Sintética (InSAR), XLVIII Nomenclatura así como investigar los posibles mecánismos físicos involucrados en las deformaciones inter-eruptivas. Por ello, el objetivo principal perseguido en el marco de la Tesis Doctoral es: Estudiar los posibles mecanismos físicos que dan lugar a determinadas escalas tempo- rales de deformaciones inter-eruptivas en zonas volcánicas. Para alcanzar este objetivo principal hemos considerado como caso de estudio la defor- mación observada en Three Sisters. Así, se definen los siguientes objetivos específicos: Analizar el comportamiento temporal de la serie de deformación observada en Three Sisters mediante la combinación de datos geodésicos de diferente naturaleza. Establecer un método objetivo para la regularización de la serie temporal de cambio de volumen y precisar si la deformación del medio, que comenzó en la década de los noventa, continua en la actualidad. Estudiar los procesos concretos que han dado lugar a la deformación observada en Three Sisters. Los resultados de esta Tesis Doctoral han permitido dar un paso hacia adelante para la comprensión de la escala temporal de los procesos inter-eruptivos. Las series de cambio de volumen o elevación inter-eruptivas de los diferentes volcanes analizados muestran un comportamiento bastante simple e invariante en el tiempo. Esto parece revelar que tras estos episodios inter-eruptivos está en juego un reducido número de mecanismos físicos caracterizados por un comportamiento de decaimiento exponencial (respuesta viscoelástica y/ o presurización hidráulica). Además, la magnitud del tiempo característico, e-folding, puede ser indicativo de cambios significativos en el comportamiento de fondo de los volcanes. Hemos re-analizado la evolución temporal de la inflación observada en Three Sisters durante 26 años, extendiendo el periodo de observación hasta el 2020 y combinando datos InSAR procedentes de diferentes satélites y datos continuos de Sistemas de Posicionamiento Nomenclatura XLIX Global (CGPS). Para ello, hemos desarrollado una metodología aplicando la Descomposición Truncada en Valores Singulares (TSVD) y criterios objetivos para determinar el nivel de truncamiento óptimo (condición de Picard y test de L-curve), así como la implementación de propagación de errores en todos los pasos de la inversión. Para evitar discontinuidades temporales en la serie hemos obtenido la tasa de cambio de volumen siguiendo el método Short Baseline Subset Approach (SBAS). Con este procedimiento se garantiza la estabilidad del proceso de obtención de la serie temporal de cambio de volumen sin demasiada pérdida de resolución. Actualmente, la inflación observada en Three Sisters desde el año 1996 continúa pudiéndose detectar a pesar de que presenta un crecimiento anual de baja magnitud. La fuente que mejor explica la deformación corresponde con una fuente puntual con simetría esférica a una profundidad de [4500−6000] m. La serie temporal se caracteriza por presentar una tendencia exponencial con un tiempo característico de 9.48 (+0.12,−0.17) años. Según nuestras estimaciones, en ausencia de nuevas señales, la elevación continuará durante unas décadas más, hasta (2054± 2) años. Dado el pasado eruptivo de Three Sisters, cualquier futuro cambio en el comportamiento observado en las inmediaciones de Three Sisters debe considerarse como un indicador de posible actividad volcánica. La falta de cambio de gravedad debido a variaciones de masa del sistema entre 2002 y 2009 y la evidencia de una fuente magmática de larga duración en Three Sisters apoyan la hipótesis de que parte de la deformación observada en Three Sisters es debida a la formación de una aureola viscoelástica en la roca alrededor de la cámara magmática. Considerando una función temporal de cambio de presión tipo rampa, seguida por un valor constante de la presión y una aureola viscoelástica tipo Maxwell, hemos estimado el inicio de la serie de cambio de volumen de Three Sisters en 1998.4, el tiempo de relajación, tR, en 15.3 años, la duración del aumento del pulso de presión en 5.6 años y el ratio de radios entre la cámara magmática y la aureola en 1.5. Dado el valor óptimo obtenido de la viscosidad, 9.7 ·1017 Pa ·s, L Nomenclatura la temperatura resultante dentro de la aureola es de unos 500◦C, valor consistente con el obtenido a partir de la viscosidad efectiva del cuarzo. Como conclusión final y como queda reflejado en esta Tesis, en volcanes donde existe un levantamiento persistente es necesario controlar los indicadores relacionados con posibles futuras erupciones. Por ello, destacamos la importancia de identificar cualquier desviación en el comportamiento del volcán mediante la monitorización continua de la deformación de la superficie. En lo que respecta al pronóstico de erupciones, la elevación/ inflación por si solas no pueden usarse como precursor pre-eruptivo, siendo necesario la combinación con otros datos petrológicos y/ o geofísicos. Abstract Most volcanic eruptions are preceded by reactivation processes that can be observed on the earth’s surface. Therefore, the interpretation of these signs of reactivation is essential for the forecasting of volcanic events. In volcanic areas, this surveillance is carried out through the monitoring of deformations, using spatial geodetic techniques such as the Global Satellite Navigation Systems (GNSS) and the Synthetic Aperture Radar Interferometry (InSAR). The interpretation of reactivation signals requires the use of physical-mathematical models, which allow obtaining the location, geometry and specific volume changes of different areas of magma accumulation, as well as establishing the possible dynamics of the physical mechanisms involved. The Three Sisters volcanic complex (Cascade Range, USA), which we dealt with in this Doctoral Thesis, is a good example of a system with long lasting monotonous inter-eruptive uplift without associated eruptive activity or significant seismicity. It presents an active uplift from the year 1996 to nowadays. The possibility of future eruptions similar to those Nomenclatura LI that occurred 2000 years ago in the South Sisters area represent a clear threat to nearby populations. Within this context, this PhD Thesis aims to analyze and interpret the results of ground displacements derived from from Continuous Global Positioning Systems (CGPS) and Synthetic Aperture Radar Interferometry data (InSAR), as well as to investigate the possible physical mechanisms involved in inter-eruptive deformations. Therefore, the main objective pursued within the framework of the PhD Thesis is the following: Study the possible physical mechanisms associated with certain time scales of inter- eruptive deformations in volcanic areas. To achieve this main objective, we have considered the deformation observed in Three Sisters as a case study. Therefore, the following specific objectives are defined: Analyze the temporal behavior of the deformation time series observed in Three Sisters by combining heterogeneous geodetic datasets. Establish an objective regularization method to obtain the volume change time series and specify whether the deformation of the medium, which began in the nineties, continues until nowadays. Study the specific processes that have led to the deformation observed in Three Sisters. The result derived from this PhD Thesis is a step toward in understanding the time- scale of inter-eruptive processes. Inter-eruptive uplift/volume change signals of analyzed volcanoes show rather simple and time-scale invariant behavior. We interpret this observation as pointing to a rather reduced set of physical mechanisms underlying inter-eruptive inflation episodes that are consistent with exponential decay (viscoelastic response and/or hydraulic pressurization). Furthermore, we suggest that the magnitude of the characteristic time, e- folding, can be indicative of significant changes of the background behavior on volcanoes. LII Nomenclatura We have analyzed the inflation time-series observed in Three Sisters during 26 years, extending the observation period until 2020 and combining multiple InSAR satellite data and continuous data from Global Positioning Systems (CGPS). To do this, we have developed a methodology based on Truncated Singular Value Decomposition (TSVD), including a non-arbitrary truncation level (determined by Picard condition and textit L-curve test). Furthermore, our approach takes propagation errors into account in all inversion steps. To avoid temporary discontinuities in the series, the final time-series is determined considering volume change rates following the Short Baseline Subset Approach (SBAS) method. This procedure guarantees the stability of the process of obtaining the volume change time series without an excessive loss of resolution. We obtain that the Three Sisters volcano uplift is still on-going. The continuous uplift signal will be detectable for a few decades, considering low- magnitude volume change rates. The source that best explains the deformation corresponds to a point source with spherical symmetry at a depth of [4500− 6000] m. The time series is characterized by an exponential trend with a characteristic time of 9.48 (+0.12,−0.17) years. In the absence of different or new unrest signals, we estimate a continuous uplift signal lasting for few decades (currently estimated to 2054±2 years). Considering the wide range of eruption styles, any changes in the Three Sisters background uplift behavior should be evaluated as an important indicator of future volcanic activity. The lack of gravity change due to system mass variations between 2002 and 2009, and the evidence of a long-lived magmatic source at Three Sisters support the hypothesis that part of the observed deformation at Three Sisters is due to the formation of a viscoelastic shell around the magma chamber. Considering a ramp-type pressure change time function followed by a constant pressure value and a Maxwell-type viscoelastic shell, we have estimated the start of the volume change time series at 1998.4, the relaxation time, tR, at 15.3 years, the duration of the pressure pulse 5.6 years and the ratio of radius between magma chamber and the shell at 1.5. Given the optimum value obtained for the viscosity, 9.7× 1017 Pa · s, the Nomenclatura LIII resulting temperature inside the shell is ≃ 500◦C, a value consistent with that obtained from the effective viscosity of quartz. As a final conclusion of this PhD Thesis, we point out that it is necessary to analize the indicators associated with possible future eruptions in volcanoes with temporally persistent, long-lasting and overlapping uplift signals. We highlight the importance of high-temporal and continuous surface deformation monitoring to identify any departures from background temporal behavior as an indicator of future eruption hazard in persistent uplifting volcanoes. In regards to eruption forecasting, the uplift/inflation itself cannot be used as a pre-eruptive precursor without knowing what controls it through the combination of petrological and/or geophysical data. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.1. Motivación y contexto El pronóstico del comienzo, duración, tamaño y riesgos de una erupción a partir de la integración de observaciones con modelos cuantitativos es uno de los grandes retos de la vulcanología según el libro blanco Volcanic Eruptions and their Repose, Unrest Precursors, an Timing elaborado en 2017 por The National Academies of Sciences, Engineering and Medicine de EE.UU. La gran mayoría de erupciones volcánicas están precedidas por procesos de reactivación causados por la interacción del magma en su ascenso hacia la superficie terrestre con la roca circundante. Así, el movimiento de magma y fluidos en el interior del medio genera sismicidad, cambios de temperatura, emisión de gases, altos episodios fumarólicos, deslizamientos, variaciones de gravedad y/o deformaciones del terreno (p.ej., Phillipson et al., 2013) que se pueden observar sobre la superficie terrestre. Por tanto, para superar el reto mencionado anteriormente parece necesaria la interpretación de estos signos de reactivación, lo que supone, por un lado, el registro y análisis de datos petrológicos, geofísicos y geodésicos en volcanes activos que presenten distinta frecuencia eruptiva, estilo y composición y, por otro, el desarrollo de modelos físicos capaces de acoplar la dinámica del magma con los procesos de reactivación. 2 Introducción El ciclo volcánico común comienza con el emplazamiento de magma básico generado en el manto (parcialmente diferenciado y contaminado en su ascenso mediante la incorporación de alguna de las rocas de su alrededor) en la corteza inferior, ocasionando un cambio en el campo de esfuerzos. Posteriormente, nuevos ascensos de magma originan la formación de cámaras magmáticas en la corteza superior. El calor se transfiere por conducción en las paredes de la cámara, disminuyendo la temperatura del magma. Se produce la asimilación y la cristalización fraccionada, originando una diferenciación magmática y el desarrollo de magmas más ácidos o silícicos. Los procesos de convección permiten finalmente la mezcla de magmas. Estos procesos, junto con la posible interacción con actividad hidrotermal, pueden incrementar los volátiles dentro de la cámara magmática. El ascenso de un magma hacia la superficie terrestre muchas veces supone su almacenamiento en distintos niveles de la litosfera terrestre y, aunque la erupción directa de un magma desde una zona profunda es posible, generalmente es más común que, previamente a una erupción, el magma se acumule a pocos kilómetros de profundidad en zonas someras de la corteza. Generalmente se considera que las erupciones volcánicas ocurren cuando los esfuerzos acumulados en una zona de acumulación de magma sobrepasan el límite de fractura de la roca encajante. La acumulación de esfuerzos se debe al aumento de la presión debido principalmente a dos factores: la inyección de nuevo material en la zona de acumulación y/o la exsolución de volátiles (p.ej. Bonafede and Ferrari, 2009). La sismicidad externa o los eventos tectónicos locales cercanos también pueden contribuir a esa acumulación de esfuerzos. Las fracturas pueden dar lugar a diques rellenos del magma de la zona de acumulación que se pueden propagar hasta alcanzar la superficie (p. ej. Blake, 1981). El ciclo eruptivo puede comenzar de nuevo o terminar con el enfriamiento de la cámara, creándose rocas plutónicas, o bien con el colapso de la caldera. Por tanto, el rastreo de emplazamientos magmáticos a profundidades someras así como la migración y transporte de magma, es decir, la vigilancia de la evolución espacio-temporal de las variaciones de presión en el medio se encuentra entre las claves para 1.1 Motivación y contexto 3 entender los mecanismos conducentes a una erupción. En zonas volcánicas, esta vigilancia se lleva a cabo a través de la monitorización de deformaciones, ya que estas se relacionan directamente con las variaciones de presión, cambios de volumen del medio y/o episodios de inflación/ deflacción (p.ej., Fialko et al., 2001; McTigue, 1987; Mogi, 1958; Yang et al., 1988). El uso de técnicas geodésicas espaciales como los Sistemas de Navegación Global por Satélite (GNSS) y la Interferometría Radar de Apertura Sintética (InSAR) ha permitido incrementar significativamente la observación de deformaciones en zonas volcánicas. De hecho, estas técnicas se han posicionado como las herramientas más utilizadas en la detección y vigilancia de deformaciones del terreno frente a técnicas geodésicas clásicas como la nivelación o distanciometría, ya que, entre otras ventajas permiten la adquisición de datos de forma remota sin necesidad de intervisibilidad de estaciones. El GNSS e InSAR son técnicas geodésicas complementarias. Por un lado, el GNSS permite la monitorización de los desplazamientos tridimensionales sobre puntos discretos de la superficie terrestre. Esta monitorización se puede realizar mediante campañas de campo periódicas o de forma remota y continua, lo que puede proporcionar precisiones milimétricas. Por su parte, el InSAR, técnica de teledetección y que, por tanto, no necesita de la instalación de infraestructura sobre el terreno para la adquisición de imágenes, proporciona imágenes del desplazamiento en la línea de visión del satélite de grandes extensiones del terreno con precisiones centimétricas. Esta técnica ha revolucionado los estudios de deformación volcánica, ya que dadas sus características presenta una gran capacidad para la observación rutinaria de zonas remotas y/o de difícil acceso (p.ej. Biggs and Pritchard, 2017). La combinación de ambas técnicas permite obtener las ventajas asociadas a la alta cobertura temporal del GPS y a la alta cobertura espacial conferida por los datos InSAR. Este tipo de técnicas ha permitido monitorizar deformaciones del terreno de forma sistemática y continua en muchas zonas volcánicas con el fin de analizar la naturaleza 4 Introducción de estas deformaciones. En este sentido, como ejemplo de estudio relevante, Biggs et al. (2014) realizaron un análisis probabilístico a partir de 198 volcanes monitorizados de forma sistemática durante 18 años mediante InSAR. De los 198 volcanes considerados en el estudio, 54 mostraron deformación (indicado como D en la figura 1.1), de los cuales 25 produjeron erupción (indicado como DE en la figura 1.1). El porcentaje de volcanes que se deformaron y acabaron en erupción fue de un 46% (nº(DE)/nº(D)), frente a un 94% de volcanes que no presentaron deformación ni erupción (nº(DE)/nº(D)). Estos autores, al interpretar este estudio méramente estadístico considerando el marco geodinámico de la zona y el tipo de volcán, señalan que mientras que los volcanes en escudo suelen tener un fuerte vínculo entre deformación y erupción, las calderas generalmente se deforman sin llegar a entrar en erupción y los estratovolcanes son los volcanes más propensos a entrar en erupción sin que, en muchas ocasiones, se produzcan deformaciones apreciables sobre la superficie terrestre. Un porcentaje significativo de volcanes que erupcionaron tras presentar un evento de deformación muestra la importancia de comprender la relación deformación-erupción. Figura 1.1 Tabla con la relación entre deformación y erupción en 198 volcanes monitorizados sistemáticamente durante 18 años. D denota un volcán que al menos se ha deformado una vez durante el periodo de observación InSAR, D significa que los datos InSAR no registraron ninguna deformación, E que se produjo erupción y E que no hubo erupción (modificado de Biggs et al., 2014) 1.1 Motivación y contexto 5 La observación sistemática y continua en volcanes como el Kilauea (Hawai, EE. UU.), uno de los laboratorios naturales por excelencia, permitió en los años 80 establecer el ciclo temporal de deformación clásico que se observa en la figura 1.2 A (Biggs and Pritchard, 2017), donde las estrellas simbolizan erupciones. Este ciclo consiste en un levantamiento (o inflación del terreno) durante períodos inter-eruptivos y subsidencia (o deflación del terreno) en etapas co-eruptivas debido al vaciado del reservorio magmático. Este ciclo, en el que generalmente la inflación se produce de forma lineal (tasa constante) debido a intrusiones de magma caracterizadas por una tasa constante, ocasionalmente puede verse alterado por períodos de subsidencia del terreno o de quiescencia. En la figura 1.2 se muestran otros patrones temporales de deformación. Así, la figura 1.2 B muestra un ciclo modificado donde las intrusiones inter-eruptivas decaen exponencialmente con el tiempo. La figura 1.2 C presenta un ciclo volcánico con inflaciones rápidas del terreno y erupciones prácticamente instantáneas. La figura 1.2 D presenta un ciclo similar al mostrado en la figura 1.2 A, pero esta vez con pulsos de inflación. En la figura 1.2 E aparece un largo período de tiempo, en el que se pueden observar inflaciones, deflaciones y estados de quiesciencia sin que se produzca una erupción, causados por posibles cambios de fase, mezcla de magmas o solapamiento con un sistema hidrotermal. Por su parte la figura 1.2 F presenta la deformación asociada con la formación de plutones (línea de pendiente positiva, es decir, inflación lineal) o el enfriamiento (línea de pendiente negativa, es decir, deflación lineal) de reservorios de magma profundos. Así, podemos señalar que el ciclo de deformación de un volcán es algo complejo. Los procesos de inflación se observan en muchos marcos geodinámicos previos a eventos eruptivos (p.ej., Kilauea (Hawai) Poland et al., 2021) o a episodios intrusivos (p.ej., El Hierro (Islas Canarias) Benito-Saz et al., 2019), sin embargo, muchos volcanes muestran señales de elevación persistentes e inestables en periodos que pueden comprender días e incluso años, con o sin la presencia de pequeños cambios en otras variables geofísicas o geoquímicas, siendo difícil la interpretación de dicha actividad volcánica. Por ello, la elevación durante los 6 Introducción episodios inter-eruptivos no puede interpretarse de manera unívoca como precursor eruptivo siendo necesario la interpretación conjunta de distintas señales geodésicas, geofísicas y geoquímicas con el fin de establecer los posibles mecanismos físicos responsables de la deformación (p.ej., Biggs et al., 2014; Biggs and Pritchard, 2017; Caricchi et al., 2021; Phillipson et al., 2013). Figura 1.2 Esquemas de patrones temporales de deformación volcánica. Las estrellas repre- sentan erupciones (modificado de Biggs and Pritchard, 2017) La interpretación de los datos observados y el pronóstico del comportamiento futuro de volcanes que presentan una frecuencia de erupción baja se basa principalmente en modelos probabilísticos, que se alimentan del registro geológico de comportamientos eruptivos pasa- dos (p.ej., Rouwet et al., 2018). Sin embargo, la compleja historia magmática de muchos centros volcánicos hace que el comportamiento pasado pueda ser una guía errónea del futuro (p.e.j., Aki, 2004; Wilson, 2017). Así, ir más allá de estas extrapolaciones hacia un proceso en el que se incluya la interpretación de señales de reactivación requiere el uso de modelos físicos (p.ej., Poland and Anderson, 2020). Los modelos de deformación volcánica son 1.1 Motivación y contexto 7 una simplificación matemática que se emplea para simular la respuesta del medio ante una perturbación específica, a través de un conjunto de ecuaciones que describen los procesos físicos en juego. Los modelos clásicos utilizados para la interpretación de la deformación volcánica generalmente están basados en una visión cuasi-estática de esta, basándose prin- cipalmente en el análisis de la localización, geometría y cambios de volumen puntuales de distintas zonas de acumulación de magma. Ciertos patrones espaciales de deformación del suelo pueden, hasta cierto punto, ser diagnóstico de un proceso físico específico como causa de la deformación, por ejemplo, la intrusión de un dique, el enfriamiento de lava o de un flujo piroclástico, la presurización de un depósito de magma, etc. Todos estos procesos se caracterizan por mostrar distintos patrones de desplazamiento en los datos interferométricos InSAR (p. ej. Biggs and Pritchard, 2017). Por su parte, el patrón temporal de la deformación es muy útil para establecer la posible dinámica de los mecanismos físicos implicados en los cambios de volumen (presión) observados en el medio. Un objetivo importante en el pronóstico de erupciones volcánicas es poder entender y distinguir los diferentes procesos físicos que regulan esta dinámica, con el fin de establecer si la deformación observada en periodos inter-eruptivos es conducente o no a escenarios pre-eruptivos. Estos últimos están caracterizados por nuevas inyecciones de magma y/o incremento de volátiles o una mezcla de ambos procesos que se produce de forma simultánea. En aquellos centros volcánicos que presentan levantamiento persistente del terrero durante largos periodos es crucial poder cons- treñir qué eventos controlan su actividad. Un patrón temporal de deformación muy común observado en zonas volcánicas es el de inflaciones del terreno seguidas por un decaimiento exponencial del levantamiento (p.ej., Dvorak and Okamura, 1987; Reverso et al., 2014). Así, Le Mével et al. (2015) analizan este tipo de patrón en distintos periodos de algunos centros volcánicos (Yellowstone (Wyoming, EE. UU), Long Valley (California, EE. UU), Laguna de Maule (Chile) y Three Sisters (Oregón, EE. UU)) mostrando que este comportamiento 8 Introducción temporal es consistente con la hipótesis de que procesos similares pueden estar funcionando en distintos volcanes. Las calderas volcánicas (p.ej., Yellowstone, Long Valley, Campi Flegrei (Italia), Rabaul (Papúa Nueva Guinea)), ampliamente estudiadas por diversos autores (p. ej., Acocella et al., 2015; Galetto et al., 2017; Geyer et al., 2006), suelen mostrar largos períodos de reposo entre erupciones grandes salpicados por la presencia de algún tipo de actividad como, por ejemplo, volcanismo resurgente, subsidencia, múltiples pulsos de elevación, etc. Sin embargo, el com- portamiento de un estratovolcán muchas veces contrasta con este tipo de comportamientos, como se ha señalado anteriormente, ya que muchas veces no se observan deformaciones previas a una erupción. El complejo volcánico Three Sisters, del cual nos ocupamos en esta Tesis Doctoral, es un buen ejemplo de un sistema de estratovolcanes con levantamiento inter-eruptivo monótono de larga duración sin actividad eruptiva asociada ni sismicidad significativa. Three Sisters es un complejo volcánico formado por tres picos volcánicos (North Sister, Middle Sister y South Sister) ubicado en la Cordillera de las Cascadas, en el estado de Oregón (EEUU) (figura 1.3). Las erupciones más recientes corresponden con erupciones riolíticas cerca de South Sister, hace 2000 años (Hildreth et al., 2012). Antes del año 2001, Three Sisters era considerado un volcán inactivo. Sin embargo, el análisis de datos de interferometría radar de apertura sintética del satélite ERS-1/2, durante el periodo 1992 a 2000, reveló un levantamiento activo del terreno, ubicado a 6 km al oeste de South Sister (Wicks et al., 2002). Debido a este descubrimiento, la información geodésica del volcán Three Sisters se ha ido acumulando desde entonces, lo que ha permitido constatar que la deformación de la superficie continúa hasta nuestros días. La posibilidad de futuras erupciones similares a las ocurridas en el pasado reciente, como las ocurridas hace 2000 años en la zona de South Sisters, representa una clara amenaza para las poblaciones cercanas. 1.2 Objetivos 9 Figura 1.3 A: Mapa del relieve de la cordillera de las Cascadas, con la ubicación de los principales volcanes representativos de las Cascadas. El volcán Threee Sisters está resaltado con un cuadrado negro. B: Vista aérea desde el sur del complejo volcánico Three Sisters: South, Middle y North Sister (fotografía de John Scurlock, Servicio Geológico de Estados Unidos (USGS)). 1.2. Objetivos Teniendo en cuenta este contexto y la necesidad de estudiar deformaciones inter-eruptivas como herramienta a la hora de pronosticar erupciones volcánicas y entender los procesos de reactivación, el objetivo principal que plantea esta tesis es: 10 Introducción Estudiar los posibles mecanismos físicos que dan lugar a deformaciones inter-eruptivas en zonas volcánicas con determinadas escalas temporales, así como la relevancia de estas escalas en el ciclo de deformación. Para alcanzar este objetivo principal hemos considerado la oportunidad que nos ofrece la deformación observada a lo largo de las tres últimas décadas en Three Sisters. Así, se definen los siguientes objetivos específicos: Analizar el comportamiento temporal de la serie de deformación observada en Three Sisters. Para ello, se han usado datos geodésicos considerando datos continuos de Sistemas de Posicionamiento Global (CGPS) del Servicio Geológico de Estados Unidos (USGS) y datos InSAR disponibles hasta enero de 2020. Determinar si la deformación del medio que comenzó en la década de los noventa continua actualmente. Como objetivo subsidiario a este, nos planteamos establecer un método objetivo para la regularización de la serie temporal de deformaciones del medio. Establecer, entre los posibles mecanismos físicos causantes de los patrones temporales observados, qué procesos concretos han dado lugar a la deformación observada en Three Sisters, así como su caracterización. 1.3. Estructura de la Tesis Con el fin de explicar el desarrollo del trabajo para alcanzar estos objetivos, hemos estructurado el resto de la memoria en los siguientes capítulos: En el capítulo 2 se realiza un resumen de los fundamentos teóricos sobre los que se sustenta esta tesis. Se presentan los fundamentos físicos de la deformación volcánica, 1.3 Estructura de la Tesis 11 así como su estudio mediante modelos y observación a través de la geodesia espacial. Por último, se explican las técnicas matemáticas de inversión utilizadas en esta tesis. En el capítulo 3 se realiza un análisis exhaustivo de la evolución temporal del cambio de volumen subyacente a la señal de elevación de Three Sisters durante 26 años, con el fin de comprender los procesos que gobiernan su actividad y averiguar si aún se está inflando. Para ello, hemos combinado varios conjuntos de datos geodésicos mediante un método de regularización lineal mejorado basado en la Descomposición Truncada en Valores Singulares (TSVD) (González et al., 2013). Finalmente, hemos comparado el comportamiento temporal de Three Sisters con otros ejemplos bien conocidos de volcanes con elevación volcánica para comprender: (1) si hay una variedad de mecanismos físicos detrás de la deformación y, de ser así, (2) si las escalas de tiempo de elevación aportan información de si un determinado volcán se encuentra en una etapa tardía o temprana dentro del periodo inter-eruptivo. El contenido de este capítulo está publicado en la revista Frontiers in Earth Science, en el artículo titulado Time- Scales of Inter-Eruptive Volcano Uplift Signals: Three Sisters Volcanic Center, Oregon (United States) (Rodríguez-Molina et al., 2021). En el capítulo 4 se muestra el mecanismo físico propuesto para la interpretación de la serie temporal de cambio de volumen del volcán Three Sisters. Este modelo consiste en una aureola viscoelástica alrededor de la zona de acumulación de magma y una función de cambio de presión dentro de la cámara magmática caracterizada por una función rampa (aumento lineal seguido por un valor constante de la presión). También se presentan los tests de sensibilidad del modelo viscoelástico, así como sus implicaciones y limitaciones. Los resultados de este capítulo se recogen en un artículo en preparación para enviar a la revista Journal of Volcanology and Geothermal Research titulado Viscoelastic relaxation as the mechanism to explain the 1996-2020 inflation time-series of Three Sisters Volcano. 12 Introducción Finalmente, en el capítulo 5 se exponen las conclusiones principales extraídas de este trabajo junto con las posibles líneas de investigación futuras que se plantean. CAPÍTULO 2 FUNDAMENTOS En este capítulo se presentan los fundamentos necesarios para la modelización volcánica presentada en esta tesis. En primer lugar, se introduce la teoría de la elasticidad y las leyes de conservación, los conceptos básicos de reología de rocas y las leyes constitutivas para materiales viscoelásticos. A continuación, se explican los principales modelos analíticos de deformación volcánica para predecir la deformación de la superficie mediante las fuerzas que actúan o los desplazamientos que ocurren dentro de la corteza. En el segundo bloque se presentan las principales técnicas geodésicas espaciales (GPS e InSAR) usadas en la monitorización volcánica. Por último, se muestran las técnicas de inversión lineal matemática (Descomposición en Valores Singulares (SVD), técnicas de regularización y método de inversión ponderada generalizada (WGIM)) y la inversión bayesiana para la resolución de problemas de optimización no lineales utilizadas en esta tesis para la obtención de la geometría y localización de la cámara magmática, así como su evolución temporal. 2.1. Deformación volcánica En esta tesis se hace uso de la teoría de la elasticidad, las leyes de conservación, así como de los conceptos básicos de reología, ya que son los fundamentos a partir de la cuales se basan los modelos de deformación volcánica. 14 Fundamentos 2.1.1. Teoría de la elasticidad y leyes de conservación La teoría de la elasticidad relaciona las fuerzas que actúan en los cuerpos elásticos y las deformaciones que estas producen. En un sólido pueden actuar dos tipos de fuerzas externas: las fuerzas de volumen, que actúan sobre cada elemento de volumen del sólido y las fuerzas de superficie, que producen esfuerzos, es decir, fuerzas por unidad de superficie. En un medio continuo, cada partícula del medio se puede representar mediante un punto geométrico. Considérese un punto P en un volumen dV delimitado por un elemento de superficie dS. Sobre dicha superficie, actúa una fuerza externa d f . El límite lı́mds→0 d f dS se denomina vector de tracción, y se descompone en una componente perpendicular al área infinitesimal (tracción normal) y una componente sobre su plano tangente (tracción de cizalla). Las componentes del vector tracción en cada una de las caras perpendiculares a los ejes de coordenadas da lugar a un tensor simétrico denominado de esfuerzos, σi j (figura 2.1), con i, j = 1,2,3. Figura 2.1 Esfuerzos que actúan en las caras de un elemento de volumen. En este caso todas las componentes del tensor de esfuerzos presentan valores positivos (modificado de Segall, 2010). La descripción del desplazamiento de un cuerpo engloba la traslación, el cambio de forma o volumen y las rotaciones que experimenta dicho cuerpo al ser sometido a una fuerza. 2.1 Deformación volcánica 15 Supongamos que la partícula P, de coordenadas (x1,x2,x3), sufre deformación y pasa a ocupar la posición (x′1,x ′ 2,x ′ 3), siendo el vector desplazamiento ui = x′i − xi, con i = 1,2,3. El gradiente del vector desplazamiento se puede expresar como la suma entre el tensor de deformación, εi j, y el tensor de rotación, wi j, que están definidos como: εi j = 1 2 ( ∂ui ∂x j + ∂u j ∂xi ) wi j = 1 2 ( ∂ui ∂x j − ∂u j ∂xi ) (2.1) La ley de Hooke generalizada muestra que en el caso de un material lineal elástico, la deformación es proporcional al esfuerzo, σi j = Ci jklεkl , donde Ci jkl es el tensor elástico. Debido a las condiciones de simetría y a consideraciones energéticas, los 81 elementos de este tensor se reducen a 21. En el caso de un medio homogéneo e isótropo (es decir, donde las propiedades mecánicas del medio son constantes y no varían con la dirección), los elementos del tensor se pueden expresar como la combinación lineal de los parámetros elásticos de Lamé λ y µ . Así el tensor elástico se puede expresar como Ci jkl = λδi jδkl +µ(δikδ jl +δilδ jk) (p. ej., Malvern, 1969), por lo que la ley de Hooke para medios homogéneos, isótropos y perfectamente elásticos viene dada por: σi j = 2µεi j +λεkkδi j (2.2) donde µ es el módulo de rigidez o cizalla, que relaciona los esfuerzos de cizalla con la deformación de cizalla y δ es la delta de Kronecker (δi j = 1 si i = j, δi j = 0 en caso contrario). Nótese que adoptamos el criterio de que los índices repetidos indican suma sobre ese índice. Por tanto, εkk es la traza del tensor de deformación, que corresponde al cambio fraccional de volumen o dilatación cúbica (∆V/V). Otra constante elástica importante es el coeficiente volumétrico o de compresibilidad K =−V P ∆V , que relaciona el esfuerzo normal medio o presión hidrostática P (σkk/3) con la dilatación cúbica (εkk), tal que σkk = 3Kεkk. 16 Fundamentos De forma alternativa, la ecuación 2.2 se puede escribir en términos del módulo de Young E y el coeficiente de Poisson υ : Eεi j = (1+υ)σi j −υσkkδi j (2.3) El módulo de Young, E, relaciona el esfuerzo con la deformación en la misma dirección, para el caso especial de un esfuerzo longitudinal uniaxial. El coeficiente de Poisson, υ , mide el ratio entre la deformación en la dirección perpendicular y en la misma dirección que el esfuerzo aplicado. Aunque hay 5 constantes elásticas (µ , λ , K, υ y E), solo dos son independientes. A continuación se muestran algunas relaciones especialmente útiles entre los coeficientes elásticos: K = 2µ(1+υ) 3(1−2υ) = λ + 2 3 µ, λ = 2µυ (1−2υ) , E = 2µ(1+υ), υ = 1 2 − µ 2(λ +µ) (2.4) Siguiendo la ecuación para el coeficiente de compresibilidad (K) descrita en 2.4, el rango de valores posibles para el coeficiente de Poisson es −1 ≤ υ ≤ 1/2 (siendo K = 0 para υ = −1 y K = ∞ para υ = 1/2 ). Para el caso de µ ̸= 0 (material sólido) y υ = 1/2 el material es un sólido incompresible, ya que, la dilatación cúbica sería nula (∆V → 0). En el caso de υ < 1/8, el módulo de compresibilidad (K) es menor que el módulo de rigidez (µ), lo que indica que el cambio de volumen se produce de manera más fácil que su deformación de cizalla. Para υ > 1/8 sucede lo contrario. La llamada condición de Poisson ocurre cuando υ = 1/4, y se caracteriza porque el comportamiento elástico del material se puede definir sólo por una constante elástica de Lamé (λ = µ). El valor de υ es particularmente sensible a la composición de la roca. Para rocas comunes υ varía entre 0.20 y 0.35 (Zandt and Ammon, 1995). Un incremento en el contenido de sílice disminuye el valor de υ , mientras que un bajo 2.1 Deformación volcánica 17 contenido de sílice, aumenta su valor. Para rocas de la corteza inferior, valores de υ < 0.26 son característicos de composiciones félsicas, 0.26 < υ < 0.28 de composiciones intermedias y υ > 0.28 de composiciones máficas (Holbrook et al., 1992). Leyes de conservación El comportamiento de un cuerpo durante la deformación está gobernado por las leyes de conservación, que generalizan los conceptos de conservación de masa y de momento. Antes de entrar en detalle, introduciremos algunas relaciones importantes. En primer lugar está el teorema de la divergencia, que relaciona la integral de flujo de un campo vectorial, f, a través de una superficie cerrada, S, con la integral de volumen de la divergencia del campo en el volumen, V , delimitado por dicha superficie: ∫ S f ·n dS = ∫ V ∇ · f dV (2.5) donde n indica el vector normal al diferencial de superficie dS. Las letras en negrita denotan vectores. Por otro lado, la derivada material relaciona la variación de la propiedad f respecto al tiempo siguiendo una partícula material específica del medio continuo (descripción lagran- giana), con el ritmo de variación temporal de la propiedad instantánea en un punto fijo del espacio (descripción euleriana): Df Dt = ∂ f ∂ t +v ·∇f (2.6) donde v es el campo de velocidad. Por último, el teorema de Transporte de Reynolds da la derivada material de una integral de volumen (es decir, de un conjunto de puntos en un volumen V ) a medida que la región se 18 Fundamentos mueve y se distorsiona (p. ej. Malvern, 1969): D Dt ∫ V ρA dV = ∫ V ρ DA Dt dV (2.7) donde A es una propiedad y ρ es la densidad Euleriana. Ahora ya podemos describir las leyes de conservación de la mecánica de medios continuos. En primer lugar, se debe cumplir la conservación de masa durante la deformación. La tasa del cambio de masa en un elemento con volumen V , ∫ V (∂ρ/∂ t)dV , debe ser igual al flujo de material que sale de dicho elemento, ∫ S ρv ·ndS. Haciendo uso del teorema de la divergencia obtenemos la ecuación de continuidad: ∫ V ∂ρ ∂ t dV + ∫ S ρv ·ndS = ∫ V [ ∂ρ ∂ t +∇ ·ρv ] dV = 0 (2.8) Para un material incompresible con densidad uniforme, la ecuación de continuidad 2.8 se reduce a ∇ ·v = 0 La conservación del momento para un elemento de volumen V requiere que la tasa de cambio del momento sea igual a la suma de fuerzas de superficie y de volumen: D Dt ∫ V ρv dV = ∫ S T dS+ ∫ V ρf dV (2.9) donde T es la tracción actuando en la superficie S y f en este caso denota las fuerzas de volumen por unidad de masa. La tracción está relacionada con el esfuerzo mediante la fórmula de Cauchy T = σ ·n. Aplicando el teorema de la divergencia tenemos que: D Dt ∫ V ρvdV = ∫ V [∇ ·σ +ρf]dV (2.10) 2.1 Deformación volcánica 19 Utilizando el Teorema de Reynolds obtenemos: ∫ V [ ∇ ·σ +ρf−ρ Dv Dt ] dV = 0 (2.11) La ecuación 2.11 se debe cumplir para todos los elementos de volumen, por lo que: ∇ ·σ +ρf = ρ Dv Dt (2.12) Para pequeñas deformaciones, Dv/Dt = ü, donde u es el vector desplazamiento. En equilibrio cuasi-estático, es decir, despreciando la aceleración, ü, y en ausencia de fuerzas de volumen, es decir, sin gravedad, la ecuación 2.12 se convierte en (p.ej., Malvern (1969)): ∇ ·σ = 0 (2.13) La ecuación 2.13 es la base de todos los modelos de deformación volcánica utilizados en este trabajo. 2.1.2. Conceptos básicos de reología Los materiales del interior de la Tierra pueden sufrir distintos tipos de deformación en función de los parámetros elásticos del medio, del esfuerzo aplicado y del tiempo de duración del mismo. De forma resumida, los tipos de deformación que pueden aparecer son deformación elástica, viscosa o plástica, así como una combinación de estos comportamientos ( p. ej. Woodcock, 2008): Deformación elástica: la deformación aparece de manera instantánea al aplicar un esfuerzo y desaparece tan pronto como el esfuerzo deja de actuar. El material recupera su forma original, tratándose de una deformación reversible (figura 2.2 A). Dentro del régimen elástico de un material existe el llamado límite de proporcionalidad, por 20 Fundamentos debajo del cual la deformación es proporcional al esfuerzo aplicado, verificándose la ley de Hooke (régimen elástico lineal), y por tanto esta deformación se puede modelar como el movimiento de un muelle con una constante elástica 2µ ó E, ya definidos anteriormente. Por encima de este límite ya no existe una relación lineal y no se verifica dicha ley (régimen elástico no lineal). Deformación viscosa: el esfuerzo se relaciona con la tasa de deformación a través de la viscosidad dinámica η mediante la ley constitutiva, σ = 2ηε̇ , donde el tensor tasa de deformación ε̇ es la derivada temporal del tensor deformación. La deformación viscosa será lineal (newtoniana) si la viscosidad dinámica (η) es constante. La deformación aparece de forma gradual al aplicar un esfuerzo constante y se mantiene constante cuando éste deja de actuar (figura 2.2 B). El material no recupera su forma original, es decir, la deformación es irreversible. El comportamiento viscoso de un fluido de viscosidad η se puede modelar mediante el movimiento de un émbolo. Deformación plástica: es la deformación no recuperable que se da cuando el esfuerzo aplicado supera el límite elástico o resistencia (yield strength, σy) de los materiales. Esta deformación puede dar lugar a la ruptura de una falla (o deslizamiento con fricción a los largo de una falla preexistente) o bien a un comportamiento continuo de tipo dúctil cuando la presión y temperatura son elevadas. La ruptura de una falla se puede modelar de forma similar al movimiento horizontal de un bloque al superar la fuerza de rozamiento estático (figura 2.2 C). En geodinámica, la aproximación elástica se utiliza para describir fenómenos como la propagación de ondas sísmicas, el rebote postglacial, la isostasia regional o las deformaciones asociadas con actividad volcánica. La aproximación viscosa se utiliza para describir la convección en el manto en períodos de tiempo lo suficientemente grandes (> 1 Ma) como para poder ignorar la respuesta elástica del medio. Por su parte, la aproximación plástica se emplea por ejemplo para representar la generación fallas o la deformación dúctil de las rocas. 2.1 Deformación volcánica 21 Figura 2.2 Deformación en función del tiempo al aplicar un esfuerzo para un medio elás- tico (A), viscoso (B) y plástico (C). En la última fila se presenta el equivalente mecánico (modificado de Woodcock, 2008). 22 Fundamentos 2.1.3. Viscoelasticidad En esta sección se introducen los fundamentos de la viscoelásticidad, los cuales serán utilizados en el capítulo 4 para la modelización viscoelástica de la deformación volcánica. La elasticidad representa solo una parte del complejo sistema de procesos físicos que gobiernan la redistribución de esfuerzos en la corteza. Las medidas geodésicas y los experimentos de laboratorio han demostrado que las rocas se deforman de forma elástica y viscosa, bajo diferentes escalas de tiempo y regímenes de esfuerzos. A este tipo de comportamiento se le denomina viscoelástico. Los modelos viscoelásticos generalmente se definen a partir de leyes constitutivas simples, considerando la combinación de elementos elásticos y viscosos (Flugge, 1975; Segall, 2010). Para describir el comportamiento de un medio viscoelástico, se han desarrollado varios modelos mecánicos basados en la combinación de muelles elásticos y amortiguadores newtonianos (émbolos). Todos ellos contemplan una deformación elástica instantánea seguida de una deformación viscosa. La manera en la que se combinan los distintos muelles y amortiguadores afecta a la dependencia temporal del modelo resultante. Un material representado por una asociación en serie de un muelle y un émbolo se conoce como material Maxwell o fluido Maxwell, porque en escalas temporales grandes se comporta como un fluido viscoso, mientras que en escalas temporales pequeñas se comporta como un sólido elástico. En esta tesis estudiaremos la deformación volcánica viscoelástica asociada al material Maxwell (capítulo 4), ya que representa el material con reología lineal (newtoniana) más común y sencillo para el estudio de los procesos en la corteza. Por brevedad, en los siguientes apartados solo presentamos el análisis para el caso de un material Maxwell. Ley constitutiva de un material Maxwell Para analizar los diferentes comportamientos de los materiales, partimos de sus ecuaciones constitutivas, que relacionan esfuerzos con deformaciones y tasas de deformación. Las 2.1 Deformación volcánica 23 ecuaciones constitutivas para los casos extremos del modelo viscoelástico son σ = 2µε (estado elástico) y σ = 2ηε̇ (estado viscoso). En el caso de un material Maxwell, la tasa de deformación total es la suma de la tasa de deformación debida al muelle y la debida al émbolo. Por otro lado, el equilibrio de fuerzas requiere que el esfuerzo sea el mismo en cada elemento, aunque la deformación es diferente. Por ello, la ecuación constitutiva (función de deformación o creep function) es de la forma: ε̇total = ε̇muelle + ε̇émbolo = σ̇ 2µ + σ 2η (2.14) Al aplicar un esfuerzo inicial σ0 = cte, aparece de forma instantánea únicamente una deformación elástica εmuelle = σ0 2µ , mientras que el émbolo aún no ha comenzado a desplazarse (no hay deformación viscosa inicial). Después comienza a actuar la componente viscosa, y el material se deforma con una tasa constante ε̇émbolo = σ 2η . Al retirar el esfuerzo se recupera solamente la deformación elástica, quedando una deformación permanente ε f = εmax−εmuelle, donde εmax es la deformación máxima justo antes de retirar el esfuerzo (figura 2.3). Por otro lado, si se aplica una deformación, ε0, y se mantiene constante en el tiempo, el esfuerzo aumentará instantáneamente una cantidad 2µε0. Como después la deformación total se mantiene constante, la ecuación 2.14 queda como: σ̇ 2µ + σ 2η = 0 (2.15) Resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene la llamada función de relajación: σ = 2µε0 e− t tR , para t > 0 (2.16) donde tR = η µ es el tiempo característico de relajación. En la deducción de la ecuación 2.14 hemos supuesto por simplicidad un caso unidimen- sional. Para generalizar a cualquier dimensión debemos considerar tanto cambios de forma 24 Fundamentos como de volumen. La deformación dúctil (creep) de la roca se produce principalmente debido al cizallamiento, siendo muy limitada la relajación volumétrica que se produce en rocas con baja porosidad (Segall, 2010). Por ello, se puede considerar que la deformación volumétrica es elástica, mientras que para un medio Maxwell la tasa de deformación desviatoria (relacio- nada con el cambio de forma) es la combinación de las componentes elástica y viscosa. La ecuación constitutiva que gobierna un material tipo Maxwell en forma tensorial es: σ̇i j + µ η ( σi j − σkk 3 δi j ) = 2µε̇i j +λ ε̇kkδi j (2.17) Figura 2.3 Deformación (creep) y función de relajación para un material Maxwell (modificado de Segall, 2010). El principio de correspondencia El principio de correspondencia permite resolver un problema viscoelástico lineal a partir de las soluciones del problema elástico, reemplazando los parámetros elásticos por sus correspondientes transformadas de Laplace. Volviendo a la ecuación constitutiva para la reología viscoelástica tipo Maxwell, la ecuación 2.14 se puede reescribir como: ∂ ∂ t ε = 1 2 ( 1 µ ∂ ∂ t + 1 η ) σ (2.18) 2.1 Deformación volcánica 25 Como se observa, la relación lineal entre el esfuerzo y la deformación se conserva, pero esta vez la relación aparece gobernada por operadores diferenciales. Consideremos la transformada de Laplace: L { f (t)}= f (s) = ∫ ∞ 0 f (t) e−stdt (2.19) Si esta función se anula en t = 0, la transformada de la derivada de esta función f (t) es L {∂ f (t) ∂ t }= s f (s)− f (0) = s f (s). Asumiendo que el esfuerzo y la deformación se anulan en t = 0, la ecuación 2.18 se puede escribir como: σ = 2 µ ε (2.20) donde µ(s) = s µ−1s+η−1 (2.21) La ecuación 2.20 muestra cómo la ley constitutiva para un material viscoelástico en el dominio de transformada de Laplace guarda un paralelismo con la ley de Hooke. Así, la transformada de Laplace de un problema viscoelástico es equivalente al problema elástico. El principio de correspondencia nos indica que si conocemos la solución de un problema elástico, podemos calcular la solución del correspondiente problema viscoelástico para un material Maxwell simplemente sustituyendo µ → µ(s) y realizando la transformada inversa de Laplace L −1: L −1{ f (s)}= f (t) = 1 2πi ∫ γ+i∞ γ−i∞ f (s) estds (2.22) El principio de correspondencia asume que la viscosidad, η , es constante, por lo que no puede usarse para problemas más realistas donde la viscosidad se considera una función dependiente de la profundidad y la temperatura. 26 Fundamentos 2.1.4. Modelos analíticos de fuentes de deformación volcánica Durante el ascenso y movimiento de magma se producen interacciones con la roca y los fluidos circundantes. Esta interacción da lugar a la aparición de fracturas y conductos, permitiendo el movimiento del magma y su acumulación en depósitos subterráneos. En la figura 2.4 A se muestra un esquema con las estructuras típicas internas de un estratovolcán, como son reservorios profundos de magma, cámaras magmáticas someras, diques y sills. La formación de nuevos caminos durante el ascenso de magma, así como los cambios de presión existentes dentro de los conductos y depósitos tensionan y deforman la roca circundante. El patrón y la tasa de deformación de la superficie alrededor de los volcanes reflejan los procesos tectono-volcánicos que se han transmitido a la superficie a través de las propiedades mecánicas de la corteza ( p.ej. Lisowski and Dzurisin, 2007). Entre los patrones típicos de deformación volcánica en superficie se pueden diferenciar dos grandes grupos: patrones con simetría radial, relacionados con conductos y cámaras magmáticas con geometría esférica, esferoidal, o tipo sill; y patrones con simetría lineal, asociados con procesos producidos en diques. Así mismo, se puede diferenciar entre la amplitud de los patrones de deformación vinculados a fuentes volcánicas someras y profundas (figuras 2.4 B y C). Para poder simular la deformación volcánica observada en superficie se han desarrollado diferentes modelos matemáticos. Los modelos simulan la deformación de la superficie mediante las fuerzas que actúan o los desplazamientos que ocurren dentro de la corteza. Estas fuerzas o desplazamientos subterráneos se denominan fuentes de deformación y representan un incremento de presión del medio que desencadena su deformación. Las estimaciones cuantitativas de su ubicación, geometría y dinámica se infieren comparando o ajustando las observaciones de la superficie a las predicciones de estos modelos matemáticos idealizados. Esto se conoce como problema inverso de la Geodesia Volcánica. 2.1 Deformación volcánica 27 Figura 2.4 A: Ejemplo de la estructura interna un estratovolcán (modificado de Gudmundsson, 2012); B modelos de deformación volcánica con simetría lineal; C: modelos con simetría radial (modificado de Battaglia et al., 2013a, Pre-Meeting Workshop Using GPS to Monitor Volcanoes: From Field Data to Modeling, congreso IAVCEI Scientific Assembly 2017). 28 Fundamentos Los modelos más sencillos consideran la aproximación de una fuente de deformación volcánica dentro de un semiespacio elástico, isótropo y homogéneo. Los supuestos funda- mentales de estas soluciones son (1) las propiedades materiales del medio son elásticas y no varían en el espacio; (2) no se consideran los efectos de la topografía ni la curvatura terrestre, es decir, la superficie libre (superficie terrestre) se considera plana. A pesar de sus limita- ciones y su simplicidad, estos modelos presentan múltiples ventajas, ya que proporcionan soluciones precisas que reducen significativamente el tiempo de computación requerido a la hora de resolver el problema inverso anteriormente mencionado. Ejemplos de trabajos donde se han aplicado de forma exitosa estos modelos sencillos son los trabajos de Bartel et al. (2003) en el volcán Taal (Filipinas), Kohno et al. (2008) en el volcán Unzen (Japón), Mattioli et al. (2010) en el volcán Soufrière Hills (Montserrat), González et al. (2013) y Benito-Saz et al. (2019) en la isla de El Hierro (España) , Wicks et al. (2002), Dzurisin et al. (2009), Riddick and Schmidt (2011) en el volcán Three Sisters (EEUU) o Le Mével et al. (2016) en el volcán Laguna del Maule (Chile). En 1958, Kiyoo Mogi, del Instituto de Investigación de Terremotos de Japón, investigó los patrones de deformación de la superficie asociados con dos volcanes históricamente activos, el volcán Sakurajima (Japón) y el volcán Kilauea (Hawaii) (Mogi, 1958). Este autor determinó que los cambios de elevación del terreno y los desplazamientos horizontales asociados con las erupciones en Japón y Hawaii fueron resultado de la inflación y deflación hidrostática experimentada por las estructuras magmáticas del interior de los volcanes. La consecuencia de esta interpretación fue la formulación de una solución analítica sencilla para una fuente de presión puntual con simetría esférica, que se denomina comúnmente como modelo Mogi. En su trabajo, hizo uso de la solución matemática de Yamakawa (1955) para una cavidad presurizada hidrostáticamente en un espacio isótropo y elástico. Con el fin de obtener la solución en un semiespacio, se utiliza un artificio matemático considerando una imagen simétrica de la fuente de deformación con respecto al plano de referencia del 2.1 Deformación volcánica 29 semiespacio. De esta manera, sobre este plano de referencia se cumplen las condiciones de contorno para una superficie libre de esfuerzos en un semiespacio elástico. En la figura 2.5 se puede ver la configuración del modelo de Mogi. Esta solución predice con precisión la deformación simétrica radial observada en muchos eventos de intrusión magmática (p. ej. Lisowski and Dzurisin, 2007). Figura 2.5 Sistema de referencia y geometría empleada para la determinación de la deforma- ción de la superficie producida por una fuente puntual de presión con simetría esférica en un semiespacio (modificado de Lisowski and Dzurisin, 2007; Masterlark, 2007). Con el fin de resolver el problema de la cavidad esférica en un semiespacio elástico, isótropo y homogéneo, aquí vamos a seguir la estrategia de Segall (2010). Esta estrategia requiere dos sistemas de coordenadas, un sistema esférico (r,θ ,φ ) con el origen en el centro de la cavidad esférica y un sistema cilíndrico (ρ,θ ,z) centrado a una distancia d sobre la cavidad, en la superficie libre. Para que el problema esté bien planteado, consideramos las siguientes condiciones de contorno: 30 Fundamentos σiz = 0, en z = 0, con i = (x,y,z) (2.23a) σrr =−p , en r = a (2.23b) σrθ = σrφ = 0 , en r = a (2.23c) donde 2.23a representa la superficie libre de esfuerzos, 2.23b la aplicación de una presión uniforme p en los muros de la cavidad esférica en la que se desprecian los esfuerzos de cizalla (2.23c), siendo a el radio de la cavidad. En primer lugar, se resuelve el problema para una cavidad esférica presurizada en un espacio isótropo y elástico. La solución tiene simetría radial en todo el espacio. Para un campo de desplazamientos puramente radial, en ausencia de fuerzas de volumen, considerando la condición 2.23c y la ecuación de equilibrio que se obtiene a partir de la ecuación 2.13 en coordenadas esféricas, la ecuación de equilibrio para las fuerzas presentes en la cámara (ecuación 2.13) viene dada por: ∂σrr ∂ r + 1 r (2σrr −σθθ −σφφ ) = 0 (2.24) Por simetría, σθθ = σφφ . La deformación radial viene dada por εrr = ∂ur/∂ r. Debido a la simetría radial, la deformación tangencial en las paredes de la cavidad (hoop strains) viene dada por εθθ = εφφ = ur/r. Combinándolo con la ley de Hooke expresada en función del módulo de Young E y el coeficiente de Poisson υ (ecuación 2.3), suponiendo propiedades elásticas uniformes y usando el coeficiente de Lamé λ de la forma λ = Eυ (1−2υ)(1+υ) , se obtiene la ecuación de equilibrio en términos del desplazamiento: d dr ( dur dr +2 ur r ) = 0 (2.25) 2.1 Deformación volcánica 31 Integrándolo una vez se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, cuya solución viene dada por: ur = A r 3 + B r2 (2.26) El requisito para que el desplazamiento desaparezca en el campo lejano de la cámara magmática requiere que A = 0. Dadas las expresiones para εrr, εθθ y εφφ , la deformación volumétrica (o dilatación cúbica) se anula, εkk = εrr + εθθ + εφφ = 0. Por tanto, el esfuerzo radial queda como σrr = 2µεrr = −4µB/r3. Aplicando la condición de contorno 2.23b en las paredes de la cavidad se obtiene que B = pa3/4µ. Por tanto, el desplazamiento radial viene dado por: ur = pa3 4µr2 (2.27) El esfuerzo radial, σrr = −pa3/r3, es de compresión, mientras que los esfuerzos circun- ferenciales (tangenciales y radiales) en las paredes de la cámara esférica o hoop stresses, σθθ = σφφ = 2µur/r = p a3/2r3, son de tensión, y cancelan los esfuerzos radiales. Por tanto, el estado de esfuerzos es puramente de cizalla, ya que σkk = σrr+σθθ +σφφ = 0. Los esfuerzos decaen con la distancia como (a/r)3, por lo que en el plano z = 0, la condición de superfi- cie libre de esfuerzos se incumple para esfuerzos normales del orden de (a/d)3, violando la condición 2.23a. Evaluando la expresión del desplazamiento de la ecuación 2.27 en la superficie libre mediante el sistema de coordenadas cilíndrico, y aplicando tracciones iguales y opuestas en el plano z = 0 (siguiendo el método expuesto anteriormente considerando una fuente especular) se obtiene el desplazamiento total del punto i-ésimo de la superficie de un semiespacio elástico, isótropo y homogéneo: uri =  uzi uρi = (1−υ)p a3 µ  d/r3 i ρi/r3 i  (2.28) 32 Fundamentos donde uzi y uρi son las componentes vertical y horizontal del desplazamiento del punto i-ésimo en la superficie libre, cuyo vector posición (xi,yi,0) se define respecto al centro de la cavidad, el cual está localizado en (0,0,−d), siendo d la profundidad del centro de la cavidad. La constante de proporcionalidad, (1−υ)p a3/µ, representa la intensidad de la fuente y contiene el radio de la cavidad (a), la presión uniforme (p) dentro de la cámara magmática, el módulo de rigidez o cizalla (µ) y el coeficiente de Poisson (υ) del semiespacio. ri es la distancia euclídea que separa el centro de la cavidad con el punto i-ésimo en la superficie libre, ri = (x2 i +x2 i + z2 i ) 1/2 y ρi es la distancia horizontal que separa la proyección del centro de la cavidad en la superficie libre con el punto i-ésimo, ρi = (x2 i + y2 i ) 1/2. La solución dada en la ecuación 2.28 satisface la condición 2.23a pero sin embargo ahora viola la condición 2.23b, ya que cerca de la cámara, los esfuerzos inducidos son del mismo orden que las tracciones en la superficie, (a/d)3. Además, este modelo analítico de fuente puntual con simetría esférica presenta los siguientes inconvenientes: (1) es válido si se cumple que el radio de la cavidad es mucho menor que su profundidad (a ≪ d); (2) no es posible estimar de forma independiente el tamaño de la cámara y el cambio de presión, siendo únicamente posible estimar la profundidad, la localización y la intensidad de la fuente. Como consecuencia, un pequeño cambio de presión en una cámara grande produce la misma deformación en superficie que una cámara pequeña en la que se produce un gran cambio de presión; (3) no contempla la topografía; (4) las propiedades mecánicas no presentan estratificación o variación espacial; y (5) el material de la corteza es isotrópico. En la figura 2.6 se muestran los perfiles de los desplazamientos verticales (rojo), ho- rizontales (azul) y el módulo del desplazamiento total (negro) en función de la distancia horizontal (ρ) para un proceso de inflación con una fuente de Mogi, situada en el origen a una profundidad d. Como se observa, los desplazamientos son axisimétricos y en este caso están normalizados por la intensidad de la fuente multiplicado por la inversa al cuadrado de la profundidad ((1−υ)p a3/µ d2). La distancia horizontal está expresada en múltiplos de la 2.1 Deformación volcánica 33 profundidad de la fuente. El desplazamiento vertical presenta un máximo justo encima de la fuente. Las líneas punteadas en negro marcan las distancias con máxima deformación horizontal (±d/ √ 2 ∼ 0.7d), así como las distancias donde el desplazamiento horizontal supera al desplazamiento vertical. El valor normalizado para los puntos con desplazamiento horizontal máximo es 2/3 √ 3, equivalente al ∼ 38.5% del valor del desplazamiento máximo vertical. Al decaer más lentamente que este último, el desplazamiento horizontal supera al vertical para distancias superiores a d. En la figura 2.6 B se representan en negro los vectores desplazamiento (normalizados) de la superficie. Aunque pueda parecer paradójico hablar del cambio de volumen asociado a una fuente puntual, podemos estimar el incremento (positivo debido a una inflación o negativo debido a una deflación) del cambio de volumen de la cavidad asociado con la deformación registrada en un periodo de tiempo determinado (∆V ). Si a ≪ d, los desplazamientos en los límites de cavidad se pueden aproximar por la solución dada en la ecuación 2.27. ∆V vendrá dado por la integral del desplazamiento radial, ur, sobre la superficie de la cavidad: ∆V = ∫ S ur dr = 4πa2ur(r = a) = π pa3/µ (2.29) Por tanto la ecuación 2.28 se puede escribir como: uri =  uzi uρi = (1−υ)∆V π  d/r3 i ρi/r3 i  (2.30) Para superar las limitaciones dadas por la fuente puntual con simetría esférica o Mo- gi, McTigue (1987) determinó una solución analítica para el caso de una fuente esférica 34 Fundamentos Figura 2.6 A: Perfiles de los desplazamientos axisimétricos verticales (rojo), horizontales (azul) y módulo del desplazamiento total (negro) en función de la distancia horizontal para un proceso de inflación con una fuente de Mogi, situada en el origen a una profundidad d. Los desplazamientos están normalizados por a3 p (1−υ)/µd2. La distancia horizontal está expresada en múltiplos de la profundidad de la fuente. B: Vectores desplazamiento de la superficie (negro) y sus respectivas componentes verticales (rojo) y horizontales (azul) para el mismo proceso de inflación (modificado de Lisowski and Dzurisin, 2007) presurizada. Esta solución permite separar los términos de la presión y radio de la cámara:  uz uρ = ( (1−υ)p a3 µ ( 1+ (a d )3 · ( (1+υ) 2(−7+5υ) + 15d2(−2+υ) 4r2(−7+5υ) ))) d/r3 ρi/r3  (2.31) 2.1 Deformación volcánica 35 Los términos de la corrección tienen el factor común (a/d)3, por lo que son correcciones muy pequeñas excepto cuando el radio de la cavidad es similar a su profundidad. En la figura 2.7 se muestran ejemplos de otras geometrías sencillas no esféricas de fuentes de expansión. Entre ellas cabe destacar las soluciones dadas para un esferoide prolato (Bonaccorso and Davis, 1999; Yang et al., 1988), fuente tipo sill o esferoide oblato (Davis, 1983, 1986; Fialko et al., 2001; Yang and Davis, 1986) y diques (Okada, 1985, 1992). La deducción matemática para estas geometrías alberga más complejidad, por lo que, para más detalles, recomendamos las citas bibliográficas de Lisowski and Dzurisin (2007) y Battaglia et al. (2013b). Para reproducir patrones de deformación más complejos se han desarrollado modelos que contemplan la superposición de múltiples fuentes de deformación (por ejemplo, Lundgren and Rosen, 2003; Sturkell et al., 2006; Wright et al., 2006). Por otro lado, existen también modelos que contemplan una distribución heterogénea de las propiedades del medio, algo esperable dado el cambio de presión y temperatura asociado con la presencia de fuentes volcánicas. Algunos ejemplos son fuentes de expansión esférica en un semiespacio elástico estratificado con capas horizontales (por ejemplo Fernández et al., 1997; Rundle, 1980) o rodeado por aureolas viscoelásticas (Dragoni and Magnanensi, 1989; Segall, 2010). Actualmente, las limitaciones de estos modelos se resuelven considerando aproximaciones numéricas que permiten tener en cuenta medios más realistas tanto desde el punto de vista geomorfológico como desde el mecánico, así como en cuanto a las geometrías de fuente (p. ej. Masterlark et al., 2012, Charco and Galán del Sastre, 2014, Trasatti et al., 2015, Le Mével et al., 2016) 36 Fundamentos Figura 2.7 Ejemplos de geometrías de cámara magmática (modificado de Battaglia et al., 2013b; Gudmundsson, 2012) 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 37 2.2. Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales Las técnicas geodésicas aplicadas a la vigilancia y detección de deformaciones de la superficie han ido mejorado a lo largo de los años. En la actualidad, la detección y vigilan- cia de deformaciones del terreno se realiza principalmente mediante técnicas geodésicas espaciales, siendo menos frecuente la utilización de técnicas geodésicas clásicas como la nivelación o distanciometría. Entre las limitaciones de las técnicas geodésicas clásicas se encuentran (Blewitt, 2015): (1) la implicación de costosos despliegues en campo para al- canzar precisiones milimétricas en áreas geográficas reducidas (pocos kilómetros); (2) la necesidad la intervisibilidad entre estaciones de medición, no solo respecto al terreno presen- te entre estaciones, sino también respecto a las condiciones climatológicas en el momento de la observación; (3) el requisito de cercanía entre las estaciones, ya que los errores en las medidas aumentan según se incrementa la distancia dentro de la red de observación; (4) el efecto de la propagación de ondas en los errores de medición. La propagación de ondas ocurre completamente dentro de la troposfera y, por tanto, los errores debidos a la refracción aumentan con la distancia entre las estaciones; (5) la precisión y exactitud de los levantamientos terrestres dependen en gran medida de la habilidad y experiencia del personal encargado de realizar las mediciones y de los procedimientos desarrollados para mitigar los errores sistemáticos en el campo. Estas limitaciones se pueden reducir al utilizar técnicas espaciales ya que permiten la adquisición de datos de forma remota sin necesidad de intervisibilidad de estaciones. Además la propagación de ondas para las técnicas geodésicas espaciales solo está sujeta a refracción dentro de los 10 km de espesor óptico de la troposfera y en la ionosfera en el caso de técnicas de microondas (Blewitt, 2015). Dentro de las técnicas espaciales para la vigilancia y detección de la deformación del terreno existen dos categorías relativas a la adquisición de los datos espaciales: 38 Fundamentos Redes con base terrestre: se caracterizan por la observación de campo, es decir, por la toma de mediciones in situ. Estas medidas se pueden realizar en campaña o con estaciones instaladas de forma permanente sobre el terreno (p. ej., campañas GNSS o GNSS en continuo, respectivamente). Estos métodos operan con medidas que proceden del entorno real (figura 2.8 A). Métodos de teledetección: se basan en el uso de imágenes adquiridas por un sensor remoto, como por ejemplo las tomadas mediante cámaras aéreas, escáners o sensores radar. La información se obtiene a partir de los datos de la imagen, la cual muestra una representación limitada del mundo real (figura 2.8 B). Figura 2.8 A: Redes con base terrestre: las medidas y observaciones se obtienen en el mundo real. B:Métodos de teledetección: las medidas y el análisis se realizan con la imagen obtenida (modificado de Tempfli et al., 2009). La monitorización de la deformación volcánica mediante redes con base terrestre propor- ciona una alta cobertura temporal, siendo vital para la descripción temporal de la deformación. 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 39 Por su parte, un método de teledetección como la interferometría radar, del cual se hablará más adelante, es capaz de cubrir extensas áreas de terreno de forma remota (∼ 400×400 km2), con una alta resolución espacial (desde cm a 100 m) y con una precisión similar a la obtenida mediante redes terrestres geodésicas (Massonnet and Feigl, 1998). Ambas técnicas espaciales son, por tanto, complementarias. En esta sección introducimos de forma breve las técnicas de detección de deformación volcánicas más utilizadas: los sistemas de navegación global por satélite y la interferometría radar. 2.2.1. Sistemas de navegación global por satélite (GNSS) El sistema GNSS (Global Navigation Satellite System) es un sistema de posicionamiento espacial que proporciona información sobre la posición, velocidad y tiempo durante las 24 horas del día a los usuarios en la superficie terrestre que cuenten con el equipamiento adecuado (p.ej. Hofmann-Wellenhof et al., 2007). En 1978, el Departamento de Defensa de los EE. UU lanzó una constelación de Sistemas de Posicionamiento Global con Sistema de Navegación por Tiempo y Distancia (NAVigation System with Time And Ranging Global Positioning System, NAVSTAR GPS) para proporcionar información del posicionamiento global principalmente a usuarios militares. El sistema, comúnmente conocido como GPS, fue diseñado para proporcionar una precisión de posicionamiento de 16 m para usuarios militares y 100 m (degradado deliberadamente) para usuarios civiles. Con el fin de la guerra fría, Estados Unidos decidió abrir las frecuencias precisas para uso civil. Ahora, gracias a los equipos mejorados y algunos cambios en el sistema, provocados por la gran popularidad del GPS entre los usuarios civiles, todos los equipos pueden alcanzar una precisión de 5 a 10 m de forma rutinaria. El GPS es posiblemente la herramienta de navegación, topografía y geodesia más versátil. Entre sus diversas aplicaciones se incluyen: (1) navegación terrestre, marina y aérea; 2) 40 Fundamentos topografía, cartografía y apoyo del sistema de información geográfica (GIS); y (3) estudio de procesos geodinámicos, como el movimiento de placas tectónicas y la monitorización de la actividad volcánica. Gracias a su fiabilidad, el GPS es la técnica geodésica más operativa en los sistemas de vigilancia volcánica. El GPS permite la monitorización de los desplazamientos de la superficie en 3D, de forma remota y continua, y con precisión milimétrica. En paralelo con el GPS, la Unión Soviética también desarrolló con los mismos propósitos su propio Sistema Global de Navegación por Satélite (GLONASS). Los dos sistemas tienen diseños y capacidades similares y, en algunos casos, se complementan entre sí. Existen también otras constelaciones, dos con carácter global como Galileo (Agencia Espacial Europea, ESA) y Compass (República Popular de China), y otros proyectos de carácter regional como QZSS (Japón) y IRNSS (India), Ommi TRACS (Qualcomm, EE.UU.) y EutelTRACS (versión europea) con financiación privada. En esta memoria nos vamos a centrar en describir el GPS, ya que es el sistema de vigilancia que utilizaremos. Descripción del sistema GPS y señales GPS El sistema GPS se divide en tres segmentos diferentes ( p. ej. Dzurisin, 2007; Hofmann- Wellenhof et al., 2007; Leick, 2004): Segmento espacial: comprende como mínimo 24 satélites que giran en órbitas casi circulares, con una inclinación respecto al ecuador de 55◦, ubicadas aproximadamente a 20200 km de altura, en órbitas con un periodo de 12 horas (figura 2.9 A). En el momento de escribir esta memoria la constelación GPS consta de 32 satélites operativos1. El segmento espacial está diseñado de tal forma que se pueda contar con un mínimo de 4 satélites visibles en cualquier punto de la superficie terrestre, durante las 24 horas del día. El posicionamiento utilizando el GPS se basa en el principio geométrico de la triangulación basado en la intersección de tres esferas imaginarias de centro cada 1https://navcen.uscg.gov/?Do=constellationStatus https://navcen.uscg.gov/?Do=constellationStatus 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 41 uno de los satélites de la constelación y radio igual a la distancia de separación entre el satélite y el receptor situado sobre la superficie terrestre. Conocida la posición de cada uno de los satélites, la velocidad de propagación de la señal y el tiempo que ha tardado el receptor en registrar la señal desde su emisión, podemos determinar la distancia entre el receptor y emisor y, por tanto, materializar la intersección de las esferas (punto en que se situaría el receptor). No obstante, para determinar la posición en un punto cualquiera de la superficie terrestre se necesita al menos un cuarto satélite ya que los relojes portados por el receptor y satélite no están sincronizados. Además, la trayectoria de la onda electromagnética desde el satélite hasta el receptor ocurre dentro de la atmósfera y se generan retardos inosféricos y troposféricos. Las distancias se estiman mediante las señales que emiten los satélites. Los satélites transmiten constantemente en dos ondas sinusoidales o portadoras que se derivan de la frecuencia fundamental (10.23 MHz) generada por un reloj atómico muy preciso: • Portadora L1 es transmitida a 1575.42 MHz (10.23×154) • Portadora L2 es transmitida a 1227.60 MHz (10.23×120). En la figura 2.9 B se presenta un esquema con la estructura de la señal GPS. La portadora L1 es modulada por dos códigos. El código C/A o Código de Adquisición Gruesa que modula a 1.023 MHz (10.23/10) y el código P o Código de Precisión que modula a 10.23 MHz. L2 es modulada sólo por el código P, a 10.23 MHz. Estos códigos pseudoaleatorios son diferentes para cada satélite. El receptor genera los códigos C/A de todos los satélites con el fin de identificar el satélite cuya señal está registrando y así poder inferir el tiempo de recepción de la señal a partir de la correlación entre el código de la señal emitida por el satélite, registrada por el receptor, y la emitida por dicho receptor. 42 Fundamentos Segmento de control (figura 2.9 C): es la parte del sistema encargada del seguimiento y control del segmento espacial. Históricamente, el segmento de control consistía en 5 estaciones, una de control (Master Control Station) y 4 de seguimiento. Actualmente hay 16 estaciones de seguimiento, 6 de la Fuerza Aérea y 10 de la Agencia de In- teligencia Geoespacial Nacional (National Geospatial-Intelligence Agency, NGA), todas ellas equipadas con receptores GPS, relojes atómicos y sensores meteorológicos. Sus datos son enviados al centro de control (Colorado Springs) para el cálculo de las efemérides precisas, correcciones de los relojes, etc, que luego son enviadas a cada satélite a través de 4 antenas terrestres (Kwajalein, Diego García, Ascensión y Cabo Cañaveral) y 7 estaciones de seguimiento remoto de la Red de control de satélites de las Fuerzas Aéreas (Air Force Satellite Control Network, AFSCN). Segmento de usuario: comprende a todo usuario que reciba señales GPS con un receptor, determinando su posición y/o la hora. 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 43 Figura 2.9 A: Constelación GPS. B: Esquema de las señales GPS. C: Segmento espacial del GPS. (Modificado de https://www.gps.gov/systems/gps/control/ y Leica Geosystems) https://www.gps.gov/systems/gps/control/ 44 Fundamentos Observables y errores en el GPS Entre los observables directos del GPS se encuentran el tiempo de viaje de la señal entre el satélite y el receptor, τ , y la frecuencia de onda portadora. A partir de ellos se obtienen dos observables indirectos, la pseudodistancia (code pseudorange) y la diferencia de fase (carrier-beat phase). Para determinar el observable de pseudodistancia, primero es necesario definir los diferentes tiempos que se consideran en el problema: el tiempo GPS (t) producto de un reloj ideal, es decir, donde la medición del tiempo es perfecta; el tiempo del satélite (ts) dado por el reloj del satélite y el tiempo del receptor, (tr) dado por el reloj del receptor. El observable de pseudodistancia para cada instante t viene definido por (Dzurisin, 2007): Rs r = rs r(t, t − τ)+ c · (dtr(t)−dts(t − τ))+ρion +ρtrop + ερ (2.32) donde Rs r es el observable de pseudodistancia, rs r(t, t − τ) es la distancia geométrica entre la posición del receptor en el tiempo t y la posición del satélite en el tiempo (t − τ), c es la velocidad de la luz en el vacío, dtr(t) y dts(t − τ) representan la diferencia del tiempo de sincronización entre el tiempo GPS (t) y los obtenidos por el reloj del receptor en el instante t y el reloj del satélite en el instante (t − τ). ρion y ρtrop son los retrasos inosféricos y troposféricos, expresados en distancias equivalentes y ερ engloba los efectos relativistas y de multitrayectoria (cuando la señal del satélite no viaja directamente a la antena, sino que primero alcanza un objeto cercano y después es reflejada a la antena) y otros errores. La pseudodistancia es un observable menos preciso que la diferencia de fase debido a que la longitud (chip length) de los códigos C/A y P (293 m y 29.3 m, respectivamente) es mayor que la longitud de onda de la fase portadora de la señal L1 o L2 emitida por el satélite (19.0 cm y 24.4 cm, respectivamente). Por ello, la diferencia de fase se suele utilizar en aplicaciones de alta precisión como en geodesia o en estudios geodinámicos (Dzurisin, 2007). La diferencia de fase no es más que la diferencia entre la fase de la onda portadora 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 45 registrada y la fase generada por el reloj del receptor GPS. Sin embargo, los receptores no pueden distinguir entre ciclos, siendo la fase inicial indeterminada (ambigua). Por tanto, la diferencia real de fase tiene una ambigüedad que es un número entero de la longitud de onda de la portadora λ . El observable de diferencia de fase para cada instante t viene dado por una expresión similar a la mostrada mediante la ecuación 2.32 (Dzurisin, 2007): φ s r ·λ = rs r(t, t − τ)+ c · (dtr(t)−dts(t − τ))−φion +φtrop +N ·λ + εφ (2.33) donde φ s r es el observable de diferencia de fase expresado en unidades de ciclos, φion, φtrop son los retrasos de propagación inosféricos y troposféricos expresados en metros, y εφ engloba los efectos relativistas, de multitrayectoria y otros errores, expresado en metros. El término N ·λ es la ambigüedad de fase y λ la longitud de onda de la portadora (L1 o L2). Los observables GPS están sujetos a errores aleatorios y sistemáticos de diferente grado. Los errores que afectan a los observables indirectos del GPS, ya sean pseudodistancias o diferencias de fase, se pueden clasificar en: Errores debidos a factores orbitales: errores de las efemérides (estimación de la posición y velocidad de los satélites) y los asociados a los relojes de los satélites. Errores en el receptor: (1) debido al ruido del receptor asociado a un problema en su electrónica, o a la no sincronización entre el reloj del satélite y el receptor; (2) debido al efecto multitrayectoria o registro de reflexiones de las señales que rodean al receptor; (3) debido a la variación del centro de fase de la antena, que no coincide con el centro geométrico de la antena. Para mitigar estos errores se utilizan combinaciones de los observables GPS, como por ejemplo diferencias simples, dobles diferencias, combina- ción L3, o combinación Wide-lane y narrow-lane (Dzurisin, 2007), la utilización de modelos de antena con diseños especiales, el desarrollo de filtro sidéreos o el uso del mismo modelo de antena y orientación durante toda la campaña. 46 Fundamentos Propagación de la señal: Las señales GPS se retrasan por su propagación a través de la ionosfera (que se extiende desde los 50−60 km hasta los 2500 km de altura) y de la atmósfera neutra. Los retrasos ionosféricos tienen carácter dispersivo, es decir, depen- den de la frecuencia de la señal, y se producen cuando las ondas electromagnéticas interaccionan con electrones libres. Por el contrario, la atmósfera neutra (troposfera) no es dispersiva. La troposfera ejerce la mayor influencia y su contribución puede dividirse en una componente seca, dependiente de la presión y temperatura, y en una componente húmeda, dependiente del contenido de vapor de agua. Existen varios paquetes informáticos para el cálculo del posicionamiento preciso. Entre ellos cabe destacar el GIPSY-OASIS, desarrollado por el Jet Propulsion Laboratory (JPL), en Pasadena (California), perteneciente a la NASA (Blewitt, 1989), BERNESE, desarrollado por la Universidad de Berna en Suiza (Dach et al., 2007) o GAMIT-GLOBK, desarrollado por el Massachussetts Institute of Tecnology en Boston (Dong and Bock, 1989; Herring et al., 2009). 2.2.2. Interferometría Radar La primera imagen de la observación de la Tierra obtenida mediante un sensor Radar de Apertura Sintética (Synthetic Aperture Radar, SAR) se obtuvo en el año 1991, cuando la Agencia Espacial Europea (ESA) lanzó el satélite European Remote Sensing (ERS-1). Así, a través de la interferometría radar se obtuvo por primera vez el mapa de deformación cosísmica asociado al terremoto de Landers (California) de 1992 (Massonnet et al., 1993) o la deflación del volcán Etna tras la erupción de 1993 (Massonnet et al., 1995). Este logro supuso una revolución en las técnicas de observación de la Tierra y desde entonces su uso se ha extendido mucho para el estudio de diversos fenómenos (sismos, vigilancia volcánica, deslizamientos, glaciares, extracción de fluidos en acuíferos etc.). Las agencias que apoyan las diferentes misiones SAR son: la Agencia Espacial Europea (ESA) 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 47 (ERS-1, ERS-2, Envisat, Sentinel-1), la Agencia de Exploración Aeroespacial de Japón (JAXA) (JERS-1, ALOS-1, ALOS-2), la agencia espacial canadiense (CSA) (Radarsat-1, Radarsat-2, constelación Radarsat), Deutsches Zentrum für Luftund Raumfahrt e.V. (DLR) (TerraSAR-X, TanDEM-X), la Organización de Investigación Espacial de la India (ISRO) (RISAT-1, NISAR), la Comisión Nacional de Actividades Espaciales (SAOCOM), la Agencia Espacial Italiana (ASI) (COSMO-Skymed), Instituto Nacional de Técnica Aeroespacial (INTA) (PAZ), el Instituto de Investigación Aeroespacial de Corea (KARI) (KOMPSat-5) y la Administración Nacional de Aeronáutica y el Espacio (NASA) (NISAR) (Figura 2.10). Figura 2.10 Gráfico de misiones satelitales SAR pasadas, presentes y proyectadas que operan en las frecuencias de banda L, banda C y banda X (UNAVCO). El término radar es un acrónimo de radio detection and ranging. Los sistemas radar hacen uso de ondas electromagnéticas, en concreto microondas correspondientes a longitudes de onda (λ ) entre 30 cm y 0.3 mm. Las señales radar son capaces de penetrar nubes de agua, 48 Fundamentos nubes difusas de ceniza y vegetación (de escasa a moderada) de forma más eficaz que la luz en el espectro visible. Las señales radar de longitud de onda corta son más sensibles a pequeños cambios en el terreno, sin embargo no son capaces de penetrar nubes o vegetación de forma tan eficaz como las señales con longitud de onda más larga. Por ello, la microondas con λ corta obtienen una alta resolución con menor poder de penetración y las que tienen λ larga obtienen imágenes con menor resolución pero mayor capacidad de penetración. El rango de frecuencia utilizada está entre 1 y 12 GHz, siendo las bandas más utilizadas la banda X (λ ∼ 3 cm), la banda C (longitud de onda λ ∼ 5 cm) y la banda L (λ ∼ 20 cm). En la figura 2.11 se muestra un esquema de la capacidad de penetración de las ondas electromagnéticas en las bandas X , C y L para diferentes condiciones (vegetación, depósito aluvial y nieve). Figura 2.11 Capacidad de penetración para las ondas electromagnéticas en la banda X, C y L. Las flechas representan la señal radar dispersada según su capacidad de penetración (modificado de https://earth.esa.int). Todos los sistemas de radar emplean un transmisor de radio que envía un haz de microon- das de forma continua o mediante pulsos. El radar presenta tres características importantes https://earth.esa.int 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 49 para la monitorización de volcanes: (1) a diferencia de los sistemas ópticos e infrarrojos que son intrínsecamente pasivos (es decir, dependen de la energía natural solar reflejada o radiada), el radar es un sensor activo que proporciona su propia iluminación; (2) es igualmente eficaz en la oscuridad y a plena luz del día, así como en diferentes condiciones meteorológicas; y (3) debido a su longitud de onda más larga, las señales radar permiten una mayor capacidad para traspasar objetos que resultan opacos en longitudes de onda ópticas. Los sistemas radar están diseñados para registrar la información procedente de la distribu- ción espacial de la reflectividad de los objetivos iluminados, transformando esta información en una imagen radar. Cuando un sistema radar emite microondas, éstas interaccionan con un objetivo, parte de la energía se absorbe y otra parte es reflejada en la dirección de la antena emisora. La señal recibida por la antena se registra como un valor de fase y de intensidad, a través de un número complejo. La distancia y la naturaleza del objetivo (rugosidad, topogra- fía, propiedades eléctricas etc...) están determinados por el tiempo (fase de la señal recibida) y las características de la señal recibida (intensidad), respectivamente. No todos los objetivos reflejan las microondas por igual. Las características de la reflexión dependen del tamaño, la forma, la rugosidad, la orientación y la constante dieléctrica (fuertemente influenciada por el contenido de humedad) del objetivo. Las superficies que son rugosas generalmente aparecen más brillantes en las imágenes, ya que algunos de los elementos de rugosidad están orientados perpendicularmente a la señal entrante y reflejan la energía hacia la antena. En el caso de superficies lisas, la mayor parte de la energía se desvía lejos de la antena, lo que hace que parezcan oscuras en las imágenes radar. A diferencia de las cámaras que se utilizan para hacer fotografías aéreas verticales, los sistemas de radar apuntan hacia un lado en lugar de hacia abajo, por lo que la trayectoria de la señal radar es oblicua a la superficie que se está monitorizando. Esto es necesario para distinguir mejor entre objetivos ubicados a diferentes distancias del radar. Los sistemas de 50 Fundamentos radar de visión lateral se clasifican en Radar Apertura Real (RAR) o Radar de Apertura Sintética (SAR). Radar de Apertura Real (RAR) Los sistemas Radar de Apertura Real utilizan una antena montada en una plataforma móvil, generalmente un avión o satélite, con el eje longitudinal de la antena paralelo a la trayectoria de vuelo (figura 2.12 A). La antena emite pulsos de microondas en un haz dirigido perpendicularmente a la trayectoria de vuelo y oblicuamente hacia la superficie de la Tierra. Estos pulsos inciden en la superficie a lo largo de una franja estrecha (swath) y son dispersados en muchas direcciones, incluida la dirección de regreso a la antena. El sistema captura una fracción muy pequeña de la energía que transmite, normalmente menos del 0,0001% de los ecos del pulso regresan. Los ecos llegan a la antena en diferentes momentos, dependiendo de la distancia entre la antena y los reflectores presentes en la superficie. Con sucesivos barridos, se puede obtener una imagen muy grande (del orden de kilómetros) con una resolución de unas pocas decenas de metros (Curlander and McDonough, 1991; Hanssen, 2002; Madsen and Zebker, 1998). Las dimensiones de la antena (de anchura D y largo L) determinan la extensión del haz del radar (con longitud de onda λ ) y por lo tanto, el área del terreno que «ilumina». Así, el ancho angular del haz es βr ≈ λ/D y βa ≈ λ/L, en la dirección del rango y del azimut, respectivamente. El rango es la dirección de los pulsos enviados desde la antena hacia el terreno, formando un cierto ángulo de incidencia θ entre la línea de visión del satélite con respecto a la vertical. El azimut es la dirección de avance del satélite (figura 2.12 A). La anchura en la dirección del rango es Wr ≈ λ Rm D cosθm y en dirección del azimut es Wa ≈ λ Rm L . Rm y θm son la distancia en dirección del satélite y el ángulo de incidencia desde la antena a la mitad del área iluminada, con respecto a la vertical. Por ejemplo, para el ERS-1/2 las características son D = 1 m, L = 10 m, Rm ≈ 850km, λ = 5.66 cm (banda C) y θ ≈ 23◦, siendo las dimensiones teóricas del área iluminada Wr ∼ 50 km y Wa ∼ 5 km. 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 51 Figura 2.12 A:Geometría de adquisición de un satélite artificial son un sistema de Radar de Apertura Real (RAR). B: Concepto de Radar de Apertura Sintética (SAR) (modificado de Dzurisin and Lu, 2007 ) 52 Fundamentos Para poder distinguir dos objetos en la dirección del rango, el eco de pulso correspondiente al objeto más distante debe llegar a la antena más tarde que el eco del objeto más cercano. En otras palabras, las dos distancias en la dirección del satélite deben diferir en al menos la mitad de la longitud del pulso (τp) para que los objetos se puedan resolver. Por tanto, la resolución espacial en la dirección del rango, proyectada sobre el terreno es ∆Rg = cτp 2 sinθ , donde c es la velocidad de la luz. La mejor resolución teórica en la dirección del rango se conseguiría con la combinación de un pulso extremadamente corto y ángulo de incidencia alto. Sin embargo, esto conlleva varios problemas. En primer lugar, a la hora de conseguir una imagen con un ratio señal-ruido adecuado, la energía necesaria implicaría una duración del pulso demasiado pequeña. Por otro lado, un ángulo de incidencia alto provocaría que la señal que regresa a la antena fuera insignificante (Curlander and McDonough, 1991). Para resolver este problema, en lugar de usar una única frecuencia, se usa una frecuencia modulada o pulso chirp, con un ancho de banda B, con lo que se llegan a resolver diferencias de tiempo de 1/B. Así, la resolución espacial en la dirección del rango queda como ∆Rg = c 2 B sinθ . Por ejemplo, para los satélites de la ESA ERS-1/2 y Envisat, que poseen un ancho de banda B = 15,5MHz, se consiguía una resolución ∆Rg ≈ 25 m (Lanari and Franceschetti, 1999). En la dirección del azimut, dos objetos en el mismo rango son devueltos al mismo instante a la antena. La distancia mínima para poder distinguir dos objetos será proporcional a la anchura del haz en la dirección del azimut, por lo que la resolución en la dirección del azimut es ∆Ag =Wa ≈ λ Rm L . Por ejemplo, para un sistema operando en la banda C, orbitando a una distancia en la dirección del satélite de 850 km, y con una antena de 3 m de largo, produciría un ∆Ag ≈ 16 km. Para reducir la resolución en azimut a valores semejantes a la resolución en rango (del orden de metros), es decir ∆Ag ≈ ∆Rg, necesitaríamos una antena del orden de km, algo imposible hoy en día a nivel práctico. Para superar esta limitación se desarrolló el Radar de Apertura Sintética (SAR). 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 53 Radar de Apertura Sintética (SAR) El SAR utiliza el efecto Doppler con el fin de simular un tamaño mayor de antena. El cambio de frecuencia aparente de una onda producido por el movimiento relativo de una fuente respecto a su observador (efecto Doppler) se puede usar para obtener una imagen con una resolución espacial en la dirección del azimut equivalente a la que se obtendría con una antena cuya longitud L fuese igual a la distancia recorrida por el satélite en movimiento durante el tiempo de observación de un mismo objeto del terreno. En la figura 2.12 B se muestra cómo en el momento t2, un Radar de Apertura Real de longitud L proyecta un haz en la superficie terrestre, denominado huella (footprint). En su lugar, un Radar de Apertura Sintética aprovecha el hecho de que un mismo objetivo, localizado en un rango fijo, se ’ilumina’ continuamente y permanece en la huella desde el tiempo t1 hasta t3, mientras el radar viaja a lo largo de su trayectoria de vuelo a velocidad Vs. Los ecos producidos en cada tiempo ti experimentarán un cambio diferente en su frecuencia (efecto Doppler), respecto a la frecuencia original emitida por la antena. La diferencia Doppler se puede utilizar para separar los pulsos reflejados por un objetivo durante el trayecto comprendido entre t1 y t3, obteniendo una resolución en dirección de azimut igual a δx = L/2. Los satélites SAR repiten una trayectoria polar similar con una cierta frecuencia de paso. Sus órbitas van de un polo geográfico al opuesto, habiendo satélites con órbitas ascendentes (tránsito del Hemisferio Sur al Hemisferio Norte) y órbitas descendentes (tránsito del Hemisferio Norte al Hemisferio Sur). El haz del radar apunta en la dirección de vista del satélite (en inglés Line Of Sight, LOS), que es perpendicular a la órbita, es decir, el haz apunta hacia el este en órbitas ascendentes y hacia al oeste en órbitas descendentes (figura 2.13 A). 54 Fundamentos Figura 2.13 A: Órbitas ascendentes y descendentes de satélites SAR. B: Diferencias entre la señal registrada por satélites con órbitas ascendentes y descendentes. En este ejemplo, el convenio de signos para desplazamiento en la dirección de vista del satélite (en inglés Line Of Sight, LOS) relaciona valores positivos con alejamiento del terreno respecto al satélite. (modificado de Geospatial Information Authority of Japan (GSI) https://vldb.gsi.go. jp/sokuchi/sar/qanda/qanda-e.html; imagen de la tierra de Reto Stöckli http://visibleearth. nasa.gov) https://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/sar/qanda/qanda-e.html https://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/sar/qanda/qanda-e.html http://visibleearth.nasa.gov http://visibleearth.nasa.gov 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 55 Debido al modo de adquisición de vista lateral de la antena, las imágenes SAR presentan una serie de distorsiones geométricas y radiométricas. Estas distorsiones se deben tener en cuenta a la hora de seleccionar y tratar los datos SAR: Variaciones en la escala: El radar mide la distancia de los objetos en el rango de visión del satélite (LOS), en lugar de medir las distancias horizontales reales a lo largo del terreno. Por ello, los objetos en el rango cercano se comprimen con respecto a los objetos en el rango lejano. Para una interpretación adecuada, la imagen debe corregirse y transformarse en la geometría del rango del terreno. Distorsiones relacionadas con la topografía (figura 2.14) • Foreshortening: Es un fenómeno presente en zonas montañosas y se caracteriza por que el área de la pendiente que mira al radar aparece comprimida en la imagen. La cantidad de acortamiento depende del ángulo que forma la pendiente en relación con el ángulo de incidencia. La distorsión es máxima si el rayo del radar es casi perpendicular a la pendiente. Las áreas afectadas por foreshortening en la imagen del radar son muy brillantes. • Layover: el fenómeno se presenta en pendientes muy pronunciadas. Si el haz del radar alcanza la parte superior de la pendiente antes que la parte inferior, la pendiente se representa al revés, es decir, el orden de los elementos de la superficie aparece alterado en la imagen. El Layover es un caso extremo del Foreshortening. • Sombras (Shadows): En el caso de pendientes ocultas a la dirección del haz, el radar no puede iluminar el área y por tanto no hay energía reflejada de vuelta a la antena, apareciendo dichas regiones oscuras en la imagen. 56 Fundamentos Figura 2.14 Distorsiones geométricas en imágenes radar (foreshortening, layover y shadows) (modificado de Tempfli et al., 2009) Ruido speckle: Se trata de una distorsión radiométrica asociada con la energía recibida en la retrodispersión de las ondas radar (backscatter). La suma vectorial (módulo + fase) de los distintos ecos producidos por las reflexiones en la superficie producen un aspecto granular en la imagen, degradando la calidad de la imagen SAR. Los distintos niveles de procesado de los datos SAR son: Datos brutos (raw): son los datos SAR registrados por el sensor. Contienen la infor- mación relativa de las ondas reflejadas por los objetos del terreno (retrodispersión) captados por la antena. Las señales recibidas se muestrean y se separan en dos compo- nentes, formando un número complejo. Los componentes contienen información sobre la amplitud y la fase de la señal detectada, y son almacenadas en diferentes capas. Datos SLC: los datos brutos de cada píxel se comprimen (enfocan) en la dirección del azimut y del rango. Si en la compresión se utiliza toda la información de la retrodispersión captada para cada píxel, los datos de salida tienen el formato Single Look Complex (SLC), siendo la resolución espacial la más alta posible. 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 57 Datos multi-look: el rango total de la órbita desde la que un objeto es observado se divide en varias partes. Cada parte proporciona una dirección de observación diferente del objeto (multi-look). Haciendo el promedio se obtiene una imagen final con menor resolución espacial pero con una reducción del ruido speckle. Interferometría radar (InSAR), radar diferencial (DInSAR) y procesado avanzado o multitemporal (A-DInSAR) Las técnicas de Interferometría Radar de Apertura Sintética (InSAR), Interferometría Radar Diferencial (DInSAR) y el procesado avanzado A-DInSAR son métodos muy utilizados para monitorizar masivamente cambios y movimientos en la superficie del terreno. En esta tesis utilizamos las técnicas DInSAR y A-DInSAR para obtener la deformación del terreno debida a la actividad volcánica. Dentro del procesado avanzado A-DInSAR hemos elegido el algoritmo Small Baseline Subsets (SBAS), ya que como veremos más adelante, es un método muy apropiado para reconstruir la evolución temporal de la deformación en terrenos naturales que carecen de estructuras artificiales. La interferometría radar (InSAR) consiste en la comparación, píxel a píxel, de las diferen- cias de fase entre dos imágenes SAR complejas. La adquisición de las imágenes se obtiene de forma secuencial en el tiempo, en dos pasadas diferentes del satélite (línea de base temporal), con órbitas ligeramente diferentes (línea de base espacial). La primera imagen se denomina master y la siguiente se denomina slave. Esto da como resultado una imagen conocida como interferograma o patrón de interferencia, que contiene información, entre otras cosas, sobre la topografía del área observada. Si entre las dos adquisiciones se produce alguna deformación de la superficie, causada por ejemplo por la actividad volcánica (elevación, subsidencia,...), por deslizamientos de tierra, terremotos u otros procesos naturales, también sería registrada por el interferograma. En la figura 2.13 B se muestra un ejemplo de señal registrada (patrón de interferencia) para una órbita ascendente y otra descendente, en diferentes supuestos. Por 58 Fundamentos ejemplo, si existiera una deformación del terreno en dirección este, la órbita ascendente registrará un desplazamiento LOS que se aleja del satélite (las franjas van del color azul claro al rosa). En cambio, en la órbita descendente se observará un desplazamiento LOS de la superficie que se acerca al satélite (las franjas van del color azul claro al amarillo). La fase interferométrica, ψ , obtenida en el interferograma está compuesta por contribu- ciones de diferente naturaleza. Entre ellas están las debidas a las diferencias geométricas entre las dos adquisiciones (componente de "Tierra plana", ψt p), a la topografía (ψtopo), a la deformación del terreno (ψde f ), a las condiciones de la atmósfera en el momento de adquisición de las dos imágenes (ψatm), y al ruido derivado de errores en el sistema de sensores y/o en las metodologías de procesado (ψruido) (Hanssen, 2002): ψ = ψt p +ψtopo +ψde f +ψatm +ψruido (2.34a) ψt p = 4π λ B⊥ R tanθ −ζ (2.34b) ψtopo = 4π λ B⊥ Rsinθ δh (2.34c) ψde f = 4π λ δuLOS (2.34d) ψatm = 4π λ cosθ ∫ h 0 (Nslave −Nmaster) dh (2.34e) donde R es la distancia entre la antena y el terreno, B⊥ es la línea de base perpendicular (componente en la dirección perpendicular al azimut de la separación espacial entre órbitas del satélite), θ es el ángulo de incidencia, ζ es la pendiente local del terreno, δh es la diferencia de altitud entre dos puntos, δuLOS es el desplazamiento en la dirección de vista del satélite (LOS), y Nslave, Nmaster es la estructura de refracción (que define el retraso de la señal debido a la velocidad aparente de la onda) en la imagen slave y master, respectivamente. Para poder estudiar las contribuciones asociadas exclusivamente con la deformación del terreno (ψde f = 4π λ δuLOS), se debe sustraer la contribuciones de fase interferométrica debidas a la 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 59 topografía, y a la geometría de adquisición. El proceso de modelado y cancelación de estas contribuciones se denomina interferometría radar diferencial (DInSAR), y la fase obtenida correspondiente se denomina fase interferométrica diferencial. La componente de tierra plana se puede calcular a partir de la línea de base perpendicular y la distancia entre la antena y el terreno, obteniéndose lo que se conoce como franjas orbitales. Una forma de sustraer la componente topográfica es mediante un interferograma sintético basado en un modelo digital de elevación (DEM). El ruido y los cambios en las condiciones de la refracción de la atmósfera entre diferentes adquisiciones se pueden modelar y sustraer también de la fase interferométrica diferencial. En la figura 2.15 se presenta un diagrama de flujo con los pasos necesarios en el procesado interferométrico diferencial de imágenes SAR. De forma resumida los pasos consistirían en: (1) enfoque de la imagen (obteniendo imágenes SLC); (2) alineado de las imágenes (para hacer coincidir espacialmente los píxeles entre las imágenes), filtrado espectral (para maximizar la coherencia, que es la medida del ruido de fase del interferograma), interpolación de la imagen slave sobre la geometría de la imagen master y generación del interferograma complejo; (3) corrección por Tierra plana; (4) corrección por topografía; (5) filtrado espacial de la fase diferencial; (6) georreferenciación; y (7) desenrrollado de fase. El desenrollado de la fase es el proceso para obtener el desplazamiento uLOS para lo cual se tiene que tener en cuenta las ambigüedades. Este proceso se realiza a partir de la matriz de datos de fase donde solo se conoce el módulo 2π (rad) (datos enrollados). Las franjas características de un interferograma diferencial presentan una gama de colores (rueda de color) para valores de fase entre 0 y 2π , como se puede observar en los ejemplos de las figuras 2.13 B y 2.16 A. La diferencia real de fase entre dos puntos vecinos, donde solo se conocen los valores de fase enrollados, tiene una ambigüedad que es un número entero de 2π rad. 60 Fundamentos Figura 2.15 Diagrama de flujo ilustrativo con los pasos presentes en el procesado interfero- métrico diferencial de imágenes SAR (modificado de Dzurisin and Lu, 2007) 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 61 Desde un enfoque estricto, el desenrollado de fase es un problema mal planteado y no es posible obtener una solución única. A efectos de desenrollado, generalmente se toma un enfoque heurístico y se asume que la frecuencia de muestreo es lo suficientemente alta en la mayor parte del conjunto de datos como para evitar el aliasing (efecto que causa que señales continuas diferentes se tornen indistinguibles cuando se muestrean digitalmente). En otras palabras, la diferencia real de fase absoluta entre dos puntos de datos vecinos es generalmente menor que π rad (Hooper and Zebker, 2007) (figura 2.16 B). El problema de desenrrollado se reduce a la integración de la diferencia de fase entre puntos de datos vecinos (figura 2.16 C), con la condición de que solo se pueden tomar ciertos caminos de integración. Específicamente, no se deben permitir rutas de integración entre dos puntos adyacentes cuando la diferencia absoluta entre los dos es mayor que π , una condición conocida como discontinuidad de fase. Las discontinuidades de fase ocurren en áreas que están submuestreadas localmente o donde ocurren verdaderas discontinuidades en los datos, por ejemplo, debido al layover o debido a una falla de ruptura de superficie en un interferograma de deformación. Dada la posición de las discontinuidades de fase, el problema se resuelve fácilmente, siempre que el muestreo de datos sea lo suficientemente denso como para que no haya regiones desconectadas, es decir, regiones sin caminos permitidos que las conecten. Sin embargo, generalmente no sabemos a priori dónde ocurren las discontinuidades de fase y el objetivo principal de la mayoría de los algoritmos de desenrollado es, por lo tanto, determinar mejor sus posiciones (Hooper and Zebker, 2007). 62 Fundamentos Figura 2.16 A: Ejemplo de rueda de color para la representación de valores de fase entre 0 y 2π . B: Esquema que representa el enfoque heurístico donde se asume que la diferencia real de fase absoluta entre dos puntos de datos vecinos es generalmente menor que π rad. La hipérbola representa la órbita del satélite y los discos grises representan la señal radar adquirida por el satélite en dos momentos diferentes. C: Ejemplo ilustrativo de desenrrollado de fase (modificado de ESA Advanced Training Course Remote Sensing of the Cryosphere (Andy Hooper, COMET, ESA, Universidad de Leeds)). 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 63 La interferometría radar diferencial avanzada o multitemporal (A-DInSAR) se ha de- sarrollado para solventar la pérdida de coherencia interferométrica causada por cambios temporales en las propiedades del terreno (decorrelación temporal), y la presencia de líneas de base perpendiculares demasiado grandes entre imágenes SAR. Si disponemos de varias imágenes SAR, podemos crear varios interferogramas y reconstruir la evolución temporal de la deformación a partir de la selección de objetivos puntuales (píxeles) que permanecen estables a lo largo del tiempo en todos los interferogramas. En la figura 2.17 A se presenta de forma esquemática la clasificación de los píxeles según sean píxeles coherentes (PS), reflectores distribuidos (DS) o píxeles no coherentes. Para seleccionar esos objetivos puntua- les existen dos métodos. El método Permanent o Persistent Scatterer Interferometry (PSI) (Ferretti et al., 2000; Hooper et al., 2004), basado en selección de blancos por amplitud. Los interferogramas se forman usando una única imagen master (de referencia). El criterio para la selección de candidatos a píxeles PS se basa en establecer un umbral para el índice de dispersión de la amplitud de los interferogramas, indicativo de la estabilidad de fase. Sólo en áreas urbanas existe una gran densidad espacial de este tipo de reflectores, por lo que con este método se obtienen mejores resultados en áreas urbanas que en terrenos naturales (figura 2.17 B). El otro método de interferometría avanzada llamado Small Baseline Subsets (SBAS) (Berardino et al., 2002; Lanari et al., 2004; Mora et al., 2003; Usai, 2003) contempla todas las posibles combinaciones interferométricas para un conjunto de imágenes SAR (figura 2.17 B). El criterio de selección para evaluar la estabilidad de la fase interferométrica se basa en la coherencia espacial. Las zonas que se muestran más coherentes no suelen ser reflectores puntuales, como en el caso de los métodos PSI, sino zonas relativamente grandes que se mantienen inalteradas llamadas reflectores o blancos distribuidos. 64 Fundamentos Figura 2.17 A: Clasificación de los píxeles según se comporten como píxeles coherentes (PS), reflectores distribuidos (DS) o píxeles no coherentes. B: Representación de los métodos Permanent o Persistent Scatterer Interferometry (PSI) (modificado de Tre-Altamira, https: //site.tre-altamira.com/insar), y Small Baseline Subset (SBAS). En el método SBAS se genera una red interconectada de pares interferométricos (líneas verdes). Las imágenes se combinan teniendo como criterio minimizar la separación espacial entre órbitas (línea de base perpendicular, Bperp) y la separación temporal entre las imágenes SAR. 2.3. Problemas lineales mal condicionados En este trabajo se plantea una estrategia para resolver un problema inverso lineal, que como veremos en el Capítulo 3, presenta algunas dificultades. La gran mayoría de los problemas que se plantean en este contexto de resolución del problema inverso, hacen uso https://site.tre-altamira.com/insar https://site.tre-altamira.com/insar 2.3 Problemas lineales mal condicionados 65 de observaciones redundantes, esto implica que se tienen siempre más observaciones de las estrictamente necesarias para, mediante un sistema de ecuaciones, determinar el conjunto de parámetros incógnitas del problema. En este sentido los métodos de estimación Mínimos Cuadrados son una herramienta fundamental. Encontrar una solución exacta a un sistema de ecuaciones depende de si este está bien o mal condicionado. Cuando el sistema está mal condicionado, el estimador Mínimos Cuadrados puede producir grandes errores, por lo que se necesita utilizar otras técnicas de estimación. Por ello, en este punto vamos a revisar este tipo de problemas así como las herramientas utilizadas para la elaboración de la estrategia que permite resolver el problema de una forma objetiva. En general, un problema inverso lineal viene dado por un sistema algebraico lineal del tipo Gm = d, donde G de dimensión (N ×M) se denomina matriz de diseño, m es el vector (M×1) incógnita de parámetros del modelo asociado al espacio M-dimensional del modelo, y d es el vector (N ×1) asociado al espacio N-dimensional de datos, tal que:  G11m1 + · · ·+G1MmM = d1 ... ... ... GN1m1 + · · ·+GNMmM = dN (2.35) Cuando M = N (y rango de G es igual a M) el sistema es compatible determinado y existe matemáticamente la inversa G−1, por lo que m = G−1d. Sin embargo, en muchas ocasiones, los problemas están mal planteados, dando lugar a sistemas compatibles indeterminados (donde existe múltiples soluciones) o incompatibles (no existe solución). En los casos en los que la igualdad anterior no se cumple exactamente, y en concreto, en los casos sobredeterminados (cuando el número de ecuaciones es superior al de incógnitas, N > M), se busca una solución aproximada en el sentido L2. Esta es la solución mínimos cuadrados del sistema y se corresponde con el mejor estimador insesgado y de mínima varianza del problema inverso que estamos resolviendo. La solución mínimos cuadrados es única si G es 66 Fundamentos de rango completo, es decir, si el rango de G es M. Si el rango de G es r con r < M, implica que M− r columnas de G son linealmente dependientes, y hay M− r valores singulares de G tan pequeños que pueden considerarse cero. En este caso G es deficiente de rango, no es invertible, y la solución mínimos cuadrados no es única. En este caso, la matriz (GT G) tiene M− r autovalores tan pequeños que al obtener la inversa generalizada (GT G)−1 mediante técnicas numéricas se pueden producir grandes errores de redondeo. Así, pequeños cambios en la matriz G o en d, generalmente provenientes de observaciones, pueden causar grandes cambios en la solución. Se llama matriz mal condicionada a aquella que representa un sistema cuya solución es muy sensible a pequeños cambios. En el caso que plantearemos en el siguiente capítulo, el problema no tiene solución trivial ni siquiera en el sentido mínimos cuadrados, ya que, los datos provienen de distintas técnicas de adquisición o incluso cuando se trata de la misma técnica, como el InSAR, estos datos provienen de satélites diferentes con distintas trayectorias (órbitas). Esto genera problemas tanto deficientes de rango como mal condicionados. Para tratar estos problemas, existen dos vías diferentes, ambas basadas en técnicas de regularización. Con la regularización el problema original se reemplaza por un problema bien condicionado ’cercano’, cuya solución aproxima de forma apropiada la solución original del problema, proporcionando una solución más satisfactoria que la obtenida por otros métodos. Dentro de los métodos de regularización, por un lado están los métodos de penalización, como la regularización de Tikhonov, least absolute shrinkage and selection operator (LASSO) o the basis pursuit denoising (BPDN) (p.ej. Nasehi Tehrani et al., 2012). Por otro, existen los métodos de proyección, que son los que trataremos en esta sección. En concreto utilizaremos la Descomposición Truncada en Valores Singulares (Truncated Singular Value Decomposition method, TSVD, Menke, 1989). Para ello, mediante SVD se factoriza la matriz de diseño (G), cambiándola por una nueva matriz bien condicionada (llamada Gg) con la que poder resolver el problema d = Gm. Este método se encuentra descrito en el apéndice A de esta memoria. En concreto, se trata de 2.3 Problemas lineales mal condicionados 67 descomponer Gg en el producto de tres matrices, Gg = UPΛPVT P , donde ΛP es la matriz de valores singulares si no nulos, y UP, VP son las matrices de autovectores del espacio de los datos y del modelo, respectivamente (ver ecuaciones A.10 - A.13, sección A.1 del apéndice A). En este caso la inversa generalizada viene dada por G−1 g = VPΛ −1 P UT P . Un tema crucial es la presencia de ruido en los datos y la existencia de valores singulares cercanos a cero. La correspondencia entre vectores del espacio del modelo y del espacio de los datos se puede visualizar considerando Gg operando sobre un vector unitario del espacio del modelo vi, tal que Ggvi = UPΛPVT Pvi. Ya que VP es una matriz semiortonormal (VT PVP = IM), el resultado da Ggvi = siui, con ui un vector unitario del espacio de los datos. Esto muestra cómo un vector unitario del espacio del modelo vi es transformado en un vector en el espacio de los datos ui escalado por el valor singular si. Según sea de grande el valor de si, así será el efecto en los datos. Utilizando el mismo razonamiento, la inversa generalizada G−1 g operando sobre un vector unitario del espacio de los datos ui resulta en G−1 g ui = s−1 i vi. Esta ecuación señala el dilema de la inestabilidad presente en el problema de inversión. Si los valores singulares son muy pequeños, la presencia de ruido o pequeños cambios en los datos en la dirección ui asociada con el valor singular si, afectarán a la solución del parámetro del modelo, haciendo la inversión muy inestable. Por lo tanto, es necesario aplicar medidas para controlar la calidad y estabilidad de la inversa generalizada, mediante el truncamiento o regularización del SVD, lo que se conoce como TSVD. 2.3.1. Técnicas utilizadas para el truncamiento de valores singulares pequeños La regularización a través del SVD, consiste en encontrar las componentes asociadas a valores singulares cercanos a cero que hacen inestable la inversión y encontrar el método más apropiado para filtrarlos, es decir, para truncar la serie de valores singulares. Dentro de los criterios posibles para el truncamiento del SVD se incluyen, entre otros, la condición discreta 68 Fundamentos de Picard, el Generalized cross validation (GCV) y la curva L (L-curve) (Hansen, 1992, 2007; Hansen and O’Leary, 1993). La condición discreta de Picard nos permite inspeccionar de forma visual la estabilidad del problema matemático discreto, indicando el límite superior para el truncamiento (regularización). Los métodos como GCV a veces no logran encontrar el parámetro de regularización apropiado debido a la presencia de mínimos locales muy planos. Sin embargo, métodos como la curva L proporcionan una estimación robusta y una solución con el suavizado adecuado, siendo muy atractivo desde el punto de vista matemático (Hansen and O’Leary, 1993). En este trabajo, proponemos una combinación de la condición discreta de Picard junto con el criterio que proporciona la curva L para realizar el filtrado de la serie de valores singulares. A continuación, se describen los tres criterios para el truncamiento mencionados anteriormente. Condición discreta de Picard La estabilidad de un problema discreto mal planteado se puede inspeccionar mediante la condición discreta de Picard (Hansen, 1990a, 2007; Hossainali et al., 2010): ∥m−mt∥2 ≤ R 1 2 max 1≤i≤M−P {∣∣ui T d ∣∣ si } (2.36) donde ∥m−mt∥2 es el error de regularización, siendo m y mt la solución exacta y truncada dada por el SVD; R es el límite superior para la regularización, si son los valores singulares y∣∣ui T d ∣∣ son los llamados coeficientes de Fourier (d representa los datos y ui T los autovectores del espacio de los datos). Si ∣∣ui T d ∣∣ en promedio decae a cero más rápidamente que los valores singulares recíprocos, si, entonces la solución regularizada se considera estable, correspondiendo con el mínimo error de regularización. En la figura 2.18 se muestran dos ejemplos ilustrativos de la condición discreta de Picard. La línea azul representa los valores singulares, las cruces rojas los coeficientes de Fourier y los círculos amarillos los cocientes∣∣ui T d ∣∣/si. En la figura 2.18 A se representa un problema test donde sólo hay errores de 2.3 Problemas lineales mal condicionados 69 redondeo y en la figura 2.18 B el mismo problema pero esta vez con la presencia de ruido blanco en los datos de entrada d. El ruido blanco es una señal aleatoria (proceso estocástico) donde los valores de la señal no guardan correlación estadística. Para ambos problemas, la condición de estabilidad de Picard se cumple para los valores singulares más grandes. En el caso A sólo sería necesario descartar los últimos valores singulares, aproximadamente desde el número 21 en delante. Sin embargo, para el caso B al tener agregado ruido blanco, el problema rápidamente se convierte en inestable, por lo que pequeños cambios en los datos de entrada producirían soluciones significativamente diferentes. Aproximadamente a partir del valor singular número 10, los valores singulares decaen a cero más rápidamente que los correspondientes coeficientes de Fourier. Por ello, en este caso el truncamiento de la serie de valores singulares se debería realizar en el valor singular número 9, es decir, se descartarían todos los valores singulares desde el número 10 en adelante. Generalized cross validation (GCV) El GCV explora qué información extraída de las mediciones es la más relevante (Hansen, 2007). Si se omite un elemento arbitrario de los datos di, la solución regularizada debería poder reconstruir bien la observación. El parámetro de regularización minimiza la función GCV dada por: GCV = ∥Gmt −d∥2 2 (traza(I−GGI))2 (2.37) donde GI es la matriz que multiplicada por d proporciona la solución regularizada mt = GId. 70 Fundamentos Figura 2.18 Ejemplo ilustrativo de la condición discreta de Picard. a: Problema test donde solo existen errores de redondeo. b: Mismo problema test incluyendo ruido blanco en los datos d (Hansen, 2007). L-curve La curva L se basa en la idea fundamental de que un buen método para la elección del parámetro (nivel) de regularización debe incorporar información sobre el tamaño final de la solución, junto con información sobre su capacidad para predecir los datos u observaciones (Hansen and O’Leary, 1993). La curva L es una gráfica paramétrica donde se minimiza al mismo tiempo la norma ∥mt∥2 de la solución regularizada o truncada mt y la norma 2.3 Problemas lineales mal condicionados 71 del residuo, ∥Gmt −d∥2, proporcionando una estimación robusta y suavizado óptimo de la solución final (figura 2.19) (Hansen, 1992, 2007; Hansen and O’Leary, 1993). Llamemos η = ∥mt∥2 y ρ = ∥Gmt −d∥2. En sentido computacional, la curva L consiste en un número de puntos discretos correspondientes a diferentes valores del parámetro de regularización, en donde se evalúa η y ρ . En una situación ideal donde la curva L fuera suave, continua y doblemente diferenciable, la curvatura, κ , vendría dada por: κ = ρ̇η̈ − ρ̈η̇ ((ρ̇)2 +(η̇2))3/2 (2.38) donde (̇) denota la diferenciación con respecto al nivel de regularización (Hansen, 1992, 2007; Hansen and O’Leary, 1993). En muchas ocasiones, solo se conoce un cierto conjunto de puntos de la curva L. Por este motivo, la curvatura dada por la ecuación 2.38 no se puede calcular o directamente no existe. Para obtener el punto de máxima curvatura de forma rigurosa y así obtener el parámetro de regularización que minimiza η y ρ necesitamos definir una curva suave que englobe los puntos discretos disponibles, descartando la posible agrupación de puntos en ciertas partes de la curva, y manteniendo la forma general de la curva L, incluso en las zonas donde haya ausencia de puntos. Por ello, como señala Hansen (2007) los puntos en escala logarítmica se ajustan mediante una curva spline 2D. El punto de máxima curvatura de esta curva se denomina L-corner (figura 2.19). Este punto de máxima curvatura se aproxima al punto discreto más cercano dado por los datos y se corresponderá con el nivel óptimo de truncamiento. El L-corner representa la separación entre la familia de soluciones dominadas principalmente por errores de regularización y la familia de soluciones dominadas por el tamaño del residual. 72 Fundamentos Figura 2.19 Forma genérica teórica de la curva L (L-curve) representada en escala logarítmica. ∥Gmt −d∥2 es la norma del residual, donde G es la matriz de diseño, mt el vector del modelo regularizado y d el vector de los datos. ∥mt∥2 es la norma de la solución regularizada (Hansen, 1999). 2.4. Método de inversión ponderada generalizada (WGIM) Entre los objetivos de obtener una estrategia rigurosa y objetiva para intentar obtener una solución aproximada de un problema mal planteado, se encuentra el cálculo del error. En concreto, en esta sección nos centramos en cómo afectan los errores de observación de los datos y en cómo se puede cuantificar su efecto. Consideremos de nuevo el sistema lineal de ecuaciones Gm = d. Para incluir información a priori en el problema, como por ejemplo el error de los datos de entrada o características de los parámetros del modelo, se deben realizar variaciones en la inversa generalizada, G−1 g . El método presentado aquí es la denominada inversión ponderada generalizada (Weighted Generalized Inverse, WGIM, Menke, 1989). La variación de la inversa generalizada, G−1 g , se basa en la información contenida en la matriz varianza-covarianza ’a priori’ de los datos y parámetros del modelo. El procedimiento consta de tres pasos: (1) transformación del problema en un nuevo sistema de coordenadas 2.4 Método de inversión ponderada generalizada (WGIM) 73 prima (′), donde el vector de los datos y parámetros del modelo tiene errores no correlaciona- dos y con varianza igual a la unidad; (2) realización del análisis de la inversa generalizada mediante TSVD en el nuevo sistema de coordenadas; (3) transformación de todos los elemen- tos de vuelta al sistema de coordenadas original. Nótese que para observaciones consideradas incorreladas (matriz diagonal de varianzas-covarianzas de los datos) el paso (1) únicamente escala el nuevo sistema de coordenadas, tal que todas las varianzas sean igual a la unidad. Para comenzar el paso (1) se asume que la matriz de covarianza de los datos, [cov d], y de los parámetros del modelo, [cov m], son matrices hermíticas definidas positivas. Esto es equivalente a asumir que todas las varianzas son consideradas positivas y ninguno de los coeficientes de correlación tiene valores exactamente igual a ±1). Entonces, las matrices de covarianza se pueden descomponer como: [cov d] = BΛdBT = [ DTD ]−1 (2.39a) [cov m] = MΛmMT = [ STS ]−1 (2.39b) donde Λd es la matriz diagonal que contiene los autovalores de [cov d], B es una matriz ortonormal que contiene los autovectores asociados y D = Λd −1/2BT . Por su parte, Λm es la matriz diagonal que contiene los autovalores de [cov m], M es una matriz ortonormal que contiene los autovectores asociados y S = Λm −1/2MT . Mediante las matrices D y S se introduce la transformación de d, m y G en el nuevo sistema de coordenadas: d ′ = Dd (2.40a) m ′ = Sm (2.40b) Gnuevo = DGS−1 (2.40c) En la figura 2.20 se representa la transformación generada por las matrices D y S en el espacio de los datos (d1,d2) y del modelo (m1,m2), para un problema de dimensión (2×2) 74 Fundamentos donde las matriz de varianza-covarianza a priori [cov d] presenta correlación negativa y la matriz [cov m] correlación positiva. La matriz BT incluida en D genera una rotación de los ejes del espacio de los datos, mientras que los autovalores presentes en Λd realizan una dilatación o compresión lineal, a lo largo de cada una de las dirección principales del nuevo espacio de los datos (d′ 1, d′ 2). De esta manera, en el nuevo sistema de coordenadas prima los datos presentan varianzas igual a la unidad y con errores no correlacionados. En la figura 2.20 B se representa de forma análoga el efecto de la matriz S en el espacio de los parámetros del modelo. La matriz MT incluida en S produce la rotación y los autovalores de la matriz Λm efectúan una dilatación o compresión lineal del nuevo espacio de los parámetros del modelo (m′ 1, m′ 2). Figura 2.20 Ejemplo ilustrativo de la transformación de un problema de dimensión (2×2) en un nuevo sistema de coordenadas prima (′), donde el nuevo vector de los datos (d’) y parámetros del modelo (m’) tiene errores no correlacionados y con varianza igual a la unidad. A: Transformación del espacio de los datos. B: Transformación del espacio del modelo. El paso (2) es el análisis de la inversa generalizada. Para ello se aplica TSVD a Gnuevo en el nuevo sistema de coordenadas, con un método específico de regularización para encontrar las Componentes Principales del conjunto de observaciones (d): [Gnuevo] −g = VPt ′[ΩPt ′]−1U′T Pt (2.41) 2.5 Inversión Bayesiana 75 donde VPt ′ (M−1×Pt) y UPt ′ (N×Pt) son los vectores propios del espacio transformado del modelo y de los datos, respectivamente. [ΩPt ′]−1 es la inversa de la matriz diagonal truncada de los valores singulares distintos de cero (Pt ×Pt), en el nuevo sistema de coordenadas prima. Pt representa el nivel de truncamiento final. Por último, el problema es devuelto al sistema de coordenadas original: GMX −1 = S−1[Gnuevo] −gD (2.42a) m = GMX −1d (2.42b) [cov m]posteriori = GMX −1[cov d][GMX −1]T (2.42c) donde GMX −1 es el operador de inversión de Máxima Probabilidad (Maximum Likelihood) y [cov m]posteriori es la matriz de covarianza a posteriori de los parámetros del modelo. 2.5. Inversión Bayesiana En esta tesis hemos elegido la inversión bayesiana para la resolución de problemas de optimización no lineales. En nuestro caso, lo utilizaremos para la estimación de la ubicación (horizontal y profundidad) y geometría de las fuentes deformación volcánica. Consideremos el sistema de ecuaciones no lineal: d = G(m)+ξ (2.43) donde d = [ d1,d2, ...,dN] es el vector de datos, G es la función no lineal de los parámetros del modelo, m = [ m1,m2, ...,mM] , y ξ representa las diferentes fuentes de error. Ejemplos de este tipo de problemas discretos de inversión no lineal son la caracterización de la geometría, presión, profundidad y contenido volátil de una cámara magmática, así como la obtención de las tasas de flujo de magma a partir de datos geodésicos y geofísicos. Una manera de abordar 76 Fundamentos este tipo de problemas es a través de su optimización mediante un análisis estadístico por medio de un enfoque bayesiano (p. ej, Anderson and Segall, 2013; Bagnardi and Hooper, 2018; Benito-Saz et al., 2019). El enfoque bayesiano se diferencia de la aproximación clásica frecuentista en varios puntos. Por un lado, en el enfoque frecuentista los parámetros del modelo son considerados como valores fijos pero desconocidos, y la estimación se basa en la elección de aquellos valores de los parámetros que maximizan la probabilidad de observar los datos. Por el contrario, en el enfoque bayesiano la probabilidad se considera una medida del grado de incertidumbre, es decir, se cuantifica el nivel de conocimiento sobre una determinada predicción. Los parámetros son interpretados como variables aleatorias cuya distribución de probabilidad se estudia mediante el Teorema de Bayes. El método Bayesiano permite el análisis de una gran cantidad de inferencias estadísticas, como la media y mediana de distribuciones a posteriori, intervalos de credibilidad (p. ej. cuantiles), indicadores directos dados por las funciones de probabilidad de los parámetros (p. ej. probabilidad de que cierto parámetro sea mayor que cierto valor), así como la probabilidad conjunta y condicional entre pares de parámetros (p. ej. Bagnardi and Hooper, 2018). En la aproximación bayesiana, la función de densidad de probabilidad (PDF) a posteriori, p(m|d), describe la probabilidad asociada a un conjunto de parámetros del modelo, m, basándose en la capacidad de dichos parámetros para reconstruir los datos d, dadas las incertidumbres así como la información a priori utilizada. El Teorema de Bayes se enuncia como: p(m|d) = p(d|m) p(m) p(d) (2.44) El término p(d|m) es evaluado por los datos observados d y puede verse como una función del vector de parámetros del modelo m, en cuyo caso se denomina función de probabilidad. Esta función de probabilidad está basada en los residuos entre los datos observados y las predicciones dadas por el modelo. Expresa cómo de probable es el conjunto de datos observados para diferentes configuraciones del vector de los parámetros m. La función de 2.5 Inversión Bayesiana 77 probabilidad no es una distribución de probabilidad sobre m y su integral con respecto a m no es (necesariamente) igual a uno (p. ej. Bishop, 2006). El término p(m) es la información a priori de los parámetros del modelo y p(d) es una constante de normalización independiente de m. p(d) asegura que la distribución de probabilidad a posteriori p(m|d) sea una función de densidad de probabilidad cuya integral vale uno (p. ej. Bishop, 2006). De hecho, integrando ambos lados de la ecuación 2.44 con respecto a m, el denominador del Teorema de Bayes se puede expresar en términos de la distribución a priori y la función de probabilidad : p(d) = ∫ p(d|m)p(m)dm (2.45) Siguiendo la ecuación 2.44, podemos enunciar el teorema de Bayes en palabras (p. ej. Bishop, 2006), tal que: posterior ∝ likelihood×prior (2.46) es decir, la distribución a posteriori se aproxima por el producto de la probabilidad por la distribución a priori, donde todas estas cantidades son consideradas como funciones de m. Si se supone que los errores, ε (ecuación 2.43) siguen una distribución Gaussiana o normal multivariante (N), con media cero y matriz de varianzas-covarianzas Σd, tal que ε ∼ N(0,Σd), la función de probabilidad p(d|m) se calcula mediante la siguiente expresión: p(d|m) = 1 (2π)N/2Σ 1/2 d · e− 1 2 rT Σ −1 d r (2.47) donde N es el número de datos, r = (d−Gm) es el vector residual (diferencia entre los datos observados y los datos modelados) y Σ −1 d es la inversa de la matriz varianza-covarianza para el conjunto de datos. Si el vector de datos d está formado por k conjuntos de datos independientes entre sí, la función de probabilidad vendrá dada por el producto de las probabilidades de cada conjunto de datos, tal que p(d|m) = Πk i=1 p(d|m)k (p. ej. Fukuda and Johnson, 2008). De forma análoga, la probabilidad a priori del vector modelo, asumiendo que 78 Fundamentos todos los parámetros del modelo son independientes entre sí, es el producto de probabilidades a priori de los diferentes parámetros del modelo mi, tal que p(m) = ΠM i=1 p(mi), donde M es el número total de parámetros del modelo. CAPÍTULO 3 ESCALAS TEMPORALES DE ELEVACIÓN INTER-ERUPTIVA: EL VOLCÁN THREE SISTERS, OREGÓN (EEUU) En este capítulo, estudiamos la serie temporal de deformación del volcán Three Sisters con el fin de comprender los procesos que gobiernan su actividad y averiguar si aún se está inflando. Para este propósito, hemos utilizado por primera vez en Three Sisters un enfoque Bayesiano para estimar de forma robusta los parámetros óptimos y el rango de error asociado de la geometría y la localización de la fuente volcánica. Para ello, hemos reprocesado datos InSAR del satélite ERS-1 que abarcan el período más apropiado (tiempo más corto con mayor tasa de desplazamiento). Además, hemos aportado un análisis exhaustivo de la evolución temporal de cambio de volumen subyacente a la señal de elevación de Three Sisters. Para combinar la alta resolución espacial dada por los datos InSAR y la alta resolución temporal de los datos GPS continuos (CGPS), hemos analizado conjuntamente los datos CGPS disponi- bles desde 2001 y los datos interferométricos de múltiples satélites que abarcan el período de 1993 - 2020. Para ampliar el catálogo disponible de datos InSAR en Three Sisters (satélites ERS-1 y Envisat, Riddick and Schmidt, 2011), hemos procesando datos InSAR procedentes de los satélites ALOS-1 y Sentinel-1. Hemos propuesto combinar varios conjuntos de datos geodésicos mediante un método de regularización lineal mejorado basado en TSVD (Gon- zález et al., 2013). De esta manera, hemos encontrado un criterio de regularización óptimo 80 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) para la combinación de conjuntos de datos de Three Sister, obteniendo una serie temporal continua del cambio de volumen (y sus incertidumbres) durante 26 años. Finalmente, hemos comparado el comportamiento temporal de Three Sisters con otros ejemplos bien conocidos de volcanes con elevación volcánica para comprender: (1) si hay una variedad de mecanismos físicos detrás de la deformación y, de ser así, (2) si las escalas de tiempo de elevación aportan información de si un determinado volcán se encuentra en una etapa tardía o temprana dentro del periodo inter-eruptivo. Durante mi estancia doctoral en el Cascade Volcano Observatory (CVO, USGS) participé en una campaña GPS en Three Sisters (octubre 2017), analicé los datos GPS de la estación HUSB y me proporcionaron la predicción del modelo tectónico (actualizada y mejorada) para la corrección de los desplazamientos horizontales de las estaciones GPS. Por su parte, durante la estancia doctoral en la Universidad de Liverpool (Reino Unido), en el Department of Earth, Ocean and Ecological Science, procesé los nuevos datos InSAR incluidos en este trabajo y realicé la primera versión del software de inversión basado en TSVD. El contenido de este capítulo aparece publicado en la revista Frontiers in Earth Science, en el artículo titulado Time-Scales of Inter-Eruptive Volcano Uplift Signals: Three Sisters Volcanic Center, Oregon (United States) (Rodríguez-Molina et al., 2021) 3.1. Introducción Como hemos mencionado anteriormente en el Capítulo 1, el complejo volcánico Three Sisters es un buen ejemplo de estratovolcán que presenta un sistema de levantamiento inter- eruptivo monótono de larga duración sin actividad eruptiva asociada o sismicidad significativa. Three Sisters es un perfecto laboratorio natural donde poder analizar una serie temporal de larga duración correspondiente a un periodo inter-eruptivo y los posibles mecanismos físicos subyacentes. 3.2 Contexto geodinámico y geológico 81 Los trabajos previos en Three Sisters de Wicks et al. (2002), Dzurisin et al. (2006), Dzurisin et al. (2009) y Riddick and Schmidt (2011) estimaron la ubicación de la fuente volcánica mediante diferentes técnicas, como por ejemplo el modelado directo, el grid search o la utilización de la media aritmética para estimar un rango de valores en los parámetros del modelo. Dzurisin et al. (2009) y Riddick and Schmidt (2011) estimaron la variación temporal del cambio de volumen de la cámara magmática utilizando únicamente un tipo de datos, GPS o InSAR. Por su parte, Zurek et al. (2012) obtuvieron datos de microgravedad entre 2002 y 2009 para analizar si bajo la zona de deformación de Three Sisters existía una intrusión de nuevo material magmático. En este capítulo se pretenden mejorar los trabajos previos, integrando datos GPS e InSAR y aplicando metodologías robustas de inversión. 3.2. Contexto geodinámico y geológico Three Sisters es un complejo volcánico compuesto ubicado en la Cordillera de las Cascadas (en inglés, Cascade Range o Cascade Mountains), cadena montañosa en la costa pacífica de Norteamérica que se extiende desde el borde sur de la provincia canadiense de la Columbia Británica hasta llegar al norte del estado estadounidense de California pasando por los estados de Oregón y Washington. Dicha cordillera comprende una parte del arco volcánico de las Cascadas formado por la subducción de las placas de Juan de Fuca y Gorda bajo la placa Norteamericana (figura 3.1). Aunque dicho arco comenzó su formación hace aproximadamente 37 millones de años (Cheney, 1997), los riesgos relacionados con el vulcanismo de la zona siguen siendo importantes, relacionándose todas las erupciones históricas de Estados Unidos (con excepción de Hawaii y Alaska) con volcanes localizados en dicho arco (p. ej., la erupción de 1980 en el Mt. St. Helens). La cadena tal como se presenta en la actualidad se estableció hace entre 7 y 5 millones de años, en el comienzo del Plioceno (Joslin, 2005). 82 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Figura 3.1 Subducción de las placas Juan de Fuca y Gorda bajo la placa de Norteamericana. Los volcanes indicados en color rosa representan la localización y tamaño de los centros volcánicos más importantes del arco volcánico de las Cascadas. Los diferentes límites de placas se representan en azul turquesa (límite divergente), azul (límite convergente) y violeta (límite transformante) (modificado de Lillie (2015)). La orientación N-S del arco volcánico de las Cascadas se debe a la combinación de dos movimientos: (1) el movimiento convergente entre las placas relativo a la subducción y (2) el empuje hacia el norte de la microplaca Sierra Nevada-Great Basin. Estos dos movimientos 3.2 Contexto geodinámico y geológico 83 producen un torque en sentido horario, favoreciendo una orientación de los esfuerzos de tensión en dirección N-S de las chimeneas volcánicas dentro de las Cascadas en el estado de Oregón (McCaffrey et al., 2007). En la figura 3.2 se puede observar un diagrama de bloques con la representación de estos movimientos, así como otras rotaciones en los bloques del sureste de Oregón (OrBR, SEOr) causadas por las fuerzas de cizalla en el cinturón Walker Lane. La mayor parte de Oregón y el suroeste de Washigton está rotando en sentido horario con tasas de (0.4−1.0)◦/Ma. La convergencia de placas continúa en la actualidad a un ritmo de aproximadamente 4 cm/año. Figura 3.2 Diagrama con los movimientos tectónicos del bloque Oregon Coast Range (OrCR) y los bloques al sureste de Oregón (OrBR y SEOr) (modificado de McCaffrey et al. (2007)). Los volcanes principales actualmente activos surgieron en el Cuaternario (Fierstein et al., 2011). La figura 3.3 muestra el mapa regional de las Cascadas en los estados de Oregón y Washington. El área amarilla muestra la franja de chimeneas máficas del Cuaternario. 84 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Los triángulos rojos representan los centros volcánicos principales con composiciones no exclusivamente máficas y los triángulos negros representan los estratovolcanes máficos de gran tamaño (ver nombres de los volcanes en el pie de la figura 3.3). Aparecen destacados los nombres de cuatro campos volcánicos (I, Indian Heaven; P, Portland (Boring); T, Tumalo; B, Bachelor Chain). Las áreas de color verde simbolizan los campos volcánicos trasarco (SM, Simcoe Mountains y N, Newberry Volcano). La naturaleza de los volcanes es distinta de norte a sur. Mientras que en el estado de Washington la mayoría son estratovolcanes andesíticos con la excepción del Mt. Adams, en Oregón algunos presentan una composición intermedia alternando basaltos y andesitas, por lo que se formaron conos volcánicos menos imponentes. No obstante, a lo largo de su historia eruptiva Three Sisters, Mt Jefferson, Broken top y Mt Mazana han podido emitir dacitas y riolitas en forma de nubes ardientes y flujos piroclásticos (Bacon, 1983). La historia eruptiva del volcán Three Sisters está relacionada con la migración hacia el oeste de una anomalía de material fundido de la corteza que progresó desde mediados del Mioceno (aproximadamente 12000 años), atravesando las Cascadas en el Cuaternario y dando lugar así al inicio del vulcanismo riolítico en la zona de Three Sisters (Fierstein et al., 2011). Esta progresión durante el Cuaternario continuó a través del campo volcánico trasarco de Newberry hasta South Sister y Middle Sister. En la figura 3.3 se muestran las isócronas de la migración de la anomalía de material fundido hacia el oeste desde el Mioceno (líneas rojas discontinuas). Las líneas negras representan fallas importantes asociadas con la extensión de la cuenca y las cordilleras. El complejo volcánico incluye volcanes escudo, volcanes compuestos y conos de ceniza, con un tipo de vulcanismo que va del basáltico al riolítico. La cadena de estratovolcanes del mismo nombre (North Sister, Middle Sister y South Sister) son progresivamente más jóvenes de norte a sur y exhiben pocas similitudes (Hildreth et al., 2012) debido a que dicha migración ha propiciado erupciones bimodales de tipo basáltico y riolítico desde el Mioceno y posiblemente ha impactado en las erupciones del 3.2 Contexto geodinámico y geológico 85 Figura 3.3 Mapa regional de las Cascadas en los estados de Oregón y Washington. El área amarilla muestra la franja de chimeneas máficas del Cuaternario. La ubicación de los principales centros volcánicos se representan con triángulos rojos (MS, Middle Sister; SS, South Sister; B, Mount Baker; GP, Glacier Peak; R, Mount Rainier; GR, Goat Rocks; SH, Mount St. Helens; A, Mount Adams; H, Mount Hood; J, Mount Jefferson; BT, Broken Top; C, Cappy Mountain; MZ, Mount Mazama) y los estratovolcanes máficos de gran tamaño están marcados con triángulos negros (NS, North Sister; DP, Diamond Peak; MT, Mount Thielsen; M, Mount McLoughlin). Dentro del arco volcánico, aparecen los nombres de cuatro campos volcánicos (I, Indian Heaven; P, Portland (Boring); T, Tumalo; B, Bachelor Chain). Las áreas de color verde simbolizan los campos volcánicos trasarco (SM, Simcoe Mountains y N, Newberry Volcano). Las líneas rojas discontinuas representan las isócronas (10−2 Ma) de la migración de la anomalía de material fundido hacia el oeste (modificado de Fierstein et al. (2011)). 86 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Pleistoceno tardío y el magmatismo reciente en la región. North Sister, el edificio más viejo, es un volcán estrictamente máfico formado a partir de vulcanismo efusivo de larga duración (hace aproximadamente 300− 100 ka) (Schmidt and Grunder, 2011). En contraposición, South Sister y Middle Sister presentan un conjunto composicional diverso formado a partir de las últimas erupciones en el Pleistoceno. Middle Sister es un cono compuesto de andesita- basalto-dacita construido entre 48− 14 ka y South Sister es un edificio bimodal riolítico- intermedio construido entre 50− 2 ka, ambos con antecedentes de vulcanismo explosivo (Scott et al., 2001). Sin embargo, como hemos indicado anteriormente, la mayor parte de la actividad volcánica del área de Three sisters está presente en escudos máficos y conos de ceniza alrededor de los principales volcanes compuestos (Hildreth, 2007). Las anomalías geoquímicas sugieren que los episodios de intrusión pueden ser más frecuentes en el área de Three Sisters que lo mostrado por la edad de las chimeneas volcánicas en la zona (Evans et al., 2004). Las erupciones más recientes corresponden con erupciones riolíticas cerca de South Sister que se produjeron hace 2000 años (Hildreth et al., 2012). La posibilidad de futuras erupciones similares a las ocurridas en el pasado reciente de South Sister representan una clara amenaza para las poblaciones cercanas. La precipitación de piroclastos podría acumularse hasta alcanzar 1−2 cm de espesor en el área de la población de Bend (población de 95.000 habitantes a ∼ 63 km al este de South Sister). La formación de pequeños lahares, así como la aparición de flujos piroclásticos, podrían representar un peligro para las áreas colindantes (Sherrod et al., 2004). 3.3. Reactivación volcánica en Three Sisters Antes del año 2001, Three Sisters era considerado un volcán inactivo. Sin embargo, el análisis de datos InSAR del satélite ERS-1/2, durante el periodo 1992 a 2000, reveló un levantamiento del terreno 6 km al oeste de South Sister (Wicks et al., 2002) (figura 3.4). Debido a este descubrimiento, la información geodésica del volcán Three Sisters se ha 3.3 Reactivación volcánica en Three Sisters 87 ido acumulando desde entonces. En mayo de 2001, el Servicio Geológico de los Estados Unidos (USGS), en colaboración con el Servicio Forestal de los Estados Unidos (USFS), instaló una estación continua GPS (HUSB) en las proximidades del área volcánica que presenta la deformación activa. Hoy en día, se lleva a cabo una monitorización continua de la deformación de la superficie mediante campañas anuales de nivelación y GPS desde agosto de 2001, GPS continuo (CGPS) desde mayo de 2001 y GPS semipermanente (SPGPS) desde 2009 (Dzurisin et al., 2009, 2017). Asimismo, a partir de 2001 se comenzaron a instalar sismógrafos en el área al oeste de los volcanes principales para monitorizar el levantamiento del terreno descubierto a través de datos InSAR. De esta forma, se mejoró considerablemente la red de detección sísmica hasta el momento, donde la capacidad de detección se limitaba probablemente a terremotos de Magnitud 2.0 o mayor. El levantamiento de la superficie en Three Sisters ha tenido carácter prácticamente asísmico. Se han registrado muy pocos terremotos, un promedio de menos de dos por mes y más de la mitad de ellos ocurrieron en un enjambre de ∼ 300 terremotos de pequeña magnitud (Mmax = 1.9) en marzo de 2004 (Dzurisin et al., 2009; Moran, 2004). En la figura 3.5 se muestra el gráfico de la sismicidad de Three Sisters desde el año 2000, mostrando los epicentros, la profundidad y magnitud de los terremotos registrados. Los valores mostrados corresponden a los valores típicos de los parámetros de los terremotos que se producen en el área. Desde 2001, el número de estaciones sísmicas ubicadas en el área permite localizar de manera fiable terremotos de magnitud > 0.8. En la figura 3.6 aparecen solo los terremotos que han sido localizados de manera fiable por el USGS. El enjambre de 2004 se puede observar en la figura 3.6 A, donde se representa la evolución temporal de los eventos sísmicos producidos desde el año 2000 en función de su profundidad y en la figura 3.6 B, donde se muestra el número de terremotos localizados por semana (picos negros) y el número acumulado de terremotos a lo largo del tiempo (rojo). 88 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Figura 3.4 Interferograma enrollado del satélite ERS para el periodo septiembre 1996 y octubre 2000 y datos geoquímicos en la zona de deformación (columnas cian representan las concentraciones de Cl−, columnas rojas indican el ratio SO2− 4 /Cl−). (modificado de Wicks et al. (2002)). 3.3 Reactivación volcánica en Three Sisters 89 Figura 3.5 Gráfico de sismicidad para el área de Three Sisters desde el año 2000 (Pacific Northwest Seismic Network, https://pnsn.org/volcanoes/three-sisters#seismicity). https://pnsn.org/volcanoes/three-sisters#seismicity 90 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Figura 3.6 (A): Profundidad de los eventos sísmicos registrados desde el año 2000, ubicados bajo el volcán Three Sisters. (B): Número de terremotos localizados por semana (líneas negras) y número acumulado de terremotos a lo largo del tiempo (curva roja) (Pacific Northwest Seismic Network, https://pnsn.org/volcanoes/three-sisters#seismicity). https://pnsn.org/volcanoes/three-sisters#seismicity 3.4 Estudios previos 91 3.4. Estudios previos Durante la última década, no se han publicado estudios sobre la evolución de la defor- mación en Three Sisters. Los únicos trabajos publicados son los de Wicks et al. (2002), Dzurisin et al. (2006), Dzurisin et al. (2009), Riddick and Schmidt (2011) y Zurek et al. (2012). Como se ha señalado anteriormente, Wicks et al. (2002) analizaron imágenes SAR del satélite ERS para el periodo comprendido entre los años 1992 y 2000. Los interferogramas no mostraron deformación anterior al año 1996. La deformación comenzó a acelerarse con una tasa de desplazamiento de ∼ 3−5 cm/año entre otoño de 1998 y otoño del 2000. En la figura 3.4 se puede observar el interferograma enrollado del satélite ERS para el periodo septiembre 1996 y octubre 2000. El rango de colores indica el rango de desplazamiento en la línea de visión del satélite (LOS), con λ/2 = 28.3 mm. Para interpretar los interferogramas, dada su geometría, Wicks et al. (2002) consideraron una variación del volumen en el medio utilizando un modelo de fuente tipo Mogi. Los resultados obtenidos dieron profundidades de fuente entre 5.5−6.5 km. Los estudios geoquímicos previos de Ingebritsen et al. (1994, 1988) y Iverson (1999), cuyos resultados se muestran también en la figura 3.4, muestran una coincidencia de la anomalía geoquímica con la localización del máximo de elevación mostrado por los datos InSAR (Wicks et al., 2002). Además, se encontró una correlación positiva entre la alta concentración de Cl− y la temperatura del arroyo Separation Creek, sugiriendo la incorporación de fluidos del sistema hidrotermal del volcán en los manantiales que alimentan este arroyo. De igual modo, Iverson (1999) encontraron ratios elevados de SO2− 4 /Cl− en las zonas donde se ha observado un cambio de altitud, sugiriendo la existencia de un cambio de fase en profundidad (White et al., 1971), asociado con la presencia de un sistema hidrotermal sometido a altas temperaturas debido a la intrusión de magma. Sin embargo, datos más recientes de 2001 y 2002 (Evans et al., 2004) muestran que no hubo cambio en la concentración Cl− ni en la temperatura en Separation Creek, siendo intrusiones 92 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) previas, y no la intrusión de magma que genera la elevación reciente registrada en Three Sisters, los que controlaron el sistema hidrotermal cercano al centro de elevación. Posteriormente, Dzurisin et al. (2006) y Dzurisin et al. (2009) refinaron la interpretación de Wicks et al. (2002) utilizando una serie temporal más larga, con un mayor número de interferogramas, nuevos datos de GPS continuo, de campaña, así como de nivelación que cubrían el periodo mayo 2001-octubre 2006. En primer lugar, Dzurisin et al. (2009) ajustaron la geometría y la localización de la fuente a partir de los datos GPS y de nivelación, obteniendo como mejor resultado un esferoide prolato vertical a una profundidad de ∼ 5 km. Tras fijar la geometría y localización de la fuente Dzurisin et al. (2009) realizaron un análisis temporal de los datos de desplazamiento CGPS (2001-2006), sugiriendo que la tasa de elevación observada seguía un decaimiento exponencial. Tras realizar un ajuste paramétrico, considerando una función exponencial, obtuvieron un tiempo característico 1/e de 5.3 años. Estimaron el inicio de la serie deformación, t0, en septiembre de 1997, fecha consistente con los primeras señales de deformación registrados por datos InSAR. El cambio de volumen extrapolado para el final del episodio volcánico (t∞) fue de 45−52×106 m3. En la figura 3.7 se pueden observar dos perfiles del desplazamiento LOS obtenidos a partir de un stack de interferogramas InSAR entre agosto 1995 y agosto de 2001 proyectados en las direcciones norte-sur y este-oeste con origen en el punto correspondiente a la proyección de la fuente en superficie. Los puntos azules se corresponden con una muestra representativa de los datos InSAR a través del método adaptativo quad-tree, y la curva roja representa el modelo de ajuste para los datos GPS y de nivelación. Según Dzurisin et al. (2009), no emplearon datos InSAR en la serie temporal de desplazamientos debido a: (1) el número limitado de interferogramas, (2) la complejidad de combinar periodos temporales desconectados entre sí, y (3) la dificultad a la hora de decidir el peso de los diferentes conjuntos de datos (InSAR, GPS) en una inversión conjunta. En este capítulo intentamos dar solución a este problema, 3.4 Estudios previos 93 mostrando una metodología matemáticamente rigurosa para la combinación de datos InSAR y GPS. Figura 3.7 Perfiles norte-sur y este-oeste de los datos observados (puntos azules) y modelados (curva roja) para el stack de datos InSAR del satélite ERS, entre agosto 1995 y agosto de 2001 (modificado de Dzurisin et al. (2009)). Por su parte, Riddick and Schmidt (2011) analizaron únicamente datos InSAR proceden- tes de los satélites ERS y ENVISAT (1992−2010). Realizaron interpretaciones utilizando modelos de fuente Mogi, sill y elipsoidal. Para cada stack interferométrico asociado a dife- rentes periodos temporales, obtuvieron la tasa del incremento de cambio de volumen (∆V ) y la profundidad de la fuente (d). Para ello, invirtieron de forma iterativa los desplazamientos LOS para encontrar el valor óptimo de la tasa de ∆V , mientras variaban los valores de d. Todas las fuentes dieron resultados similares, siendo cualquiera de ellas posible. Sin embargo, debido a la carencia de sismicidad asociada con la inflación, argumentaron que una fuente tipo sill correspondiente a una profundidad de ∼ 7 km sería la más apropiada, ya que estaría 94 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) localizada fuera de la zona sismogénica (la transición frágil-dúctil tendría una profundidad de ∼ 5 km bajo zonas volcánicas (Hill, 1992)). Para estimar el inicio de la deformación volcánica obtuvieron una serie temporal del desplazamiento LOS acumulado aplicando el método Permanent o Persistent Scatterer Interferometry (PSI, figura 2.17 B) (p. ej. Hooper, 2008; Hooper et al., 2007). El inicio de la deformación lo fijaron entre junio de 1996 y julio de 1997. Por último, obtuvieron una serie temporal del cambio de volumen para la fuente tipo sill obtenida previamente, a partir de la combinación de los datos InSAR con mayor coherencia mediante una inversión mínimos cuadrados (Grandin et al., 2010). En lugar de interpretar la serie resultante como un decaimiento exponencial, como habían propuesto Dzurisin et al. (2009), Riddick and Schmidt (2011), lo interpretaron como dos tendencias lineales asociadas a dos intrusiones diferentes de magma. La primera intrusión con inicio en el año 1998, y la segunda intrusión caracterizada por un cambio de pendiente a partir del año 2004 (figura 3.8), coincidiendo con el enjambre sísmico detectado en la zona. El cambio de volumen acumulado estimado hasta 2010 fue de 5−7×107 m3. Con el fin de distinguir entre los posibles mecanismos causantes de la deformación pro- puestos por Dzurisin et al. (2009), Zurek et al. (2012) realizaron un estudio microgravimétrico para determinar las variaciones de densidad en el medio. Los datos de microgravedad han sido utilizados en numerosos volcanes como Yellowstone (EEUU) o Campi Flegrei (Italia) para constreñir e investigar las propiedades de las fuentes de deformación. Los datos de microgravedad permiten distinguir entre fuentes hidrotermales activas o intrusiones de mag- ma, ya que se puede determinar las variaciones de densidad del fluido en juego. Zurek et al. (2012) analizaron datos de microgravedad en Three Sisters recopilados entre 2002−2009 sin obtener cambios microgravimétricos significativos, descartando que una intrusión continua de material en profundidad sea la responsable de la deformación observada. En la figura 3.9 B aparecen los residuos gravimétricos para cada una de las estaciones en el periodo 2002-2009. La zona sombreada corresponde con la incertidumbre asumida para los datos (desviación 3.4 Estudios previos 95 Figura 3.8 Serie temporal de inflación (círculos negros) para una fuente tipo sill a partir de 56 interferogramas de ERS y ENVISAT. Las líneas rojas indican el ajuste lineal de los datos, con dos pendientes, una desde 1998 hasta 2004 y la siguiente de 2004 a 2010. La línea punteada azul muestra el ajuste mediante una curva exponencial (modificado de Riddick and Schmidt (2011)). estándar de ±25µGal respecto a 0). Las líneas punteadas muestran los valores esperados debido a una posible respuesta viscoelástica. El efecto gravitacional debido a una inyección continua de magma debería estar entorno a 20-35 µGal en el centro de deformación (estación CENTER) (Zurek et al., 2012). Sin embargo, el residuo gravimétrico a lo largo del tiempo no cambia de forma apreciable, ya que la mayoría de las medidas se encuentran dentro de su incertidumbre (zona sombreada). Estos resultados apoyan la hipótesis de un comportamiento viscoelástico de la corteza como causa más probable para la deformación observada entre 2002−2009. 96 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Figura 3.9 (A): Área aproximada afectada por la deformación volcánica (área gris) y es- taciones gravitatorias utilizadas en el estudio de Zurek et al. (2012), siendo los nombres de las estaciones (1)BASE, (2) BUGS, (3)BRUCE, (4) CUT y (5) CENTER. (B): Residuo gravimétrico desde 2002 hasta 2009 para cada una de las estaciones. (modificado de Zurek et al. (2012)). 3.5 Procesado de datos geodésicos 97 3.5. Procesado de datos geodésicos Con el objetivo de ampliar de forma detallada y rigurosa el historial del desplazamiento registrado en Three Sisters, hemos combinado el conjunto de datos geodésicos obtenidos mediante CGPS e InSAR disponibles hasta enero de 2020, ampliando y completando así los trabajos anteriores en los que no se consideraba la combinación de ambos tipos de datos. Mientras que las coordenadas de la estación GPS utilizada para nuestro análisis se ha obtenido de forma directa a través del USGS, los datos SAR existentes se han completado con los proporcionados por el satélite Sentinel-1 de la Agencia Espacial Europea, y se han vuelto a procesar. 3.5.1. CGPS La figura 3.10 muestra la localización de la estación HUSB, estratégicamente situada a aproximadamente ∼ 2 km al noroeste del centro del área de deformación. HUSB pertenece a la red de vigilancia del Noroeste del Pacífico del USGS. Esta institución procesa sus datos de forma automática para obtener coordenadas diarias. Ninguna otra estación continua GPS, regional o local, se encuentra dentro del área de deformación. Por ello, la serie temporal de la estación HUSB es particularmente importante a la hora de comprender la evolución de la deformación observada en el volcán Three Sisters, tanto temporal como espacialmente, ya que su localización le confiere una sensibilidad muy alta frente a posibles cambios del patrón de deformación. Los datos GPS diarios (coordenadas e incertidumbres) son analizados por el USGS utilizando el software GIPSY/ OASIS II. Los errores diarios se estiman y eliminan mediante el software QOCA (Dzurisin et al., 2009). Las componentes horizontales del GPS proporcionadas por el USGS están afectadas tanto por el movimiento tectónico de la placa en la que está instalada la estación HUSB como por los cambios de volumen que se producen en el interior del medio. Por tanto, si 98 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) queremos analizar el comportamiento debido a procesos locales en el interior del medio, las componentes horizontales deben ser corregidas de este movimiento tectónico que es producido por la combinación del empuje hacia el norte del bloque de Sierra Nevada y el movimiento convergente entre las placas relativo a la subducción. El Cascade Volcano Observatory (CVO, USGS) utilizó la velocidad horizontal de un subconjunto estaciones GPS permanentes cerca de la región Three Sisters (figura 3.11) para estimar el polo de Euler, la tasa de rotación y la deformación residual que caracterizan el movimiento tectónico de fondo, a través del método descrito por Savage et al. (2001a,b). Siguiendo los resultados del CVO, hemos eliminado de la serie temporal del GPS el movimiento de un cuerpo rígido estable con un polo de rotación ubicado cerca del borde oriental del estado de Oregón. En el caso de la estación HUSB hemos sustraído una tendencia lineal de 4.29 mm/año para la componente norte y 1.50 mm/año para la componente este (Figura 3.12). Esta predicción del modelo tectónico es una versión actualizada y mejorada de los desplazamientos horizontales en la estación HUSB y del resto del área de Three Sisters (Dzurisin et al., 2009, 2006; y comunicación personal de M. Lisowsky durante la estancia predoctoral en el CVO, 2017). 3.5 Procesado de datos geodésicos 99 Figura 3.10 (A): Mapa del relieve de la cordillera de las Cascadas, con la ubicación de los principales volcanes representativos de las Cascadas. El volcán Threee Sisters está resaltado con cuadrados negros. (B): Mapa regional del volcán Three Sisters con la localización de la estación continua GPS, HUSB, a ∼ 5 km al oeste de South Sister (círculo) (Rodríguez-Molina et al., 2021). 100 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Figura 3.11 Velocidad horizontal para un subconjunto de estaciones cerca de la región de Three Sisters (flechas negras), utilizadas por el Cascade Volcano Observatory (USGS) para estimar la deformación tectónica promedio de fondo. 3.5 Procesado de datos geodésicos 101 Figura 3.12 Velocidad horizontal tectónica estimada por el CVO a partir de las componentes horizontales de las estaciones GPS permanentes de la red Noroeste del Pacífico no afectadas del comportamiento local observado en el área de Three Sisters. La flecha azul representa la velocidad horizontal estimada para la estación CGPS HUSB. Las flechas negras representan la velocidad horizontal estimada para el resto de estaciones GPS (de campaña y continuo) del área de Three Sisters. La figura 3.13 muestra los desplazamientos de la estación CGPS HUSB entre julio de 2001 y enero de 2020. La serie CGPS revela varios periodos sin datos (de aquí en adelante utilizaremos su denominación en inglés, gaps) coincidiendo con los meses que presentan nevadas. Además, la serie muestra un gap y posterior deriva en el periodo entre agosto 2017 - agosto 2018. La estación HUSB fue reconstruida y la antena fue reemplazada en 2018 después de que un incendio forestal dañara el equipo (Lisowski et al., 2021). 102 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Figura 3.13 Componente norte (UNorte), este (UEste) y vertical (UVertical) del desplazamiento registrado por la estación CGPS HUSB (Rodríguez-Molina et al., 2021). 3.5.2. Interferometría Radar de Apertura Sintética (InSAR) El conjunto de datos de Interferometría Radar de Apertura Sintética (InSAR) que hemos utilizado incluye 85 pares interferométricos, con periodos de adquisición comprendidos entre 35 y 2894 días. Los datos analizados proceden de diferentes misiones espaciales de los satélites ERS, ENVISAT, ALOS-1 y Sentinel-1. Debido a la pequeña tasa de deformación (5.8 mm/año en el período junio 2015 - enero 2020) y la baja relación señal-ruido en las Cascadas, los datos geodésicos deben analizarse cuidadosamente (Poland et al., 2017). Siguiendo esta recomendación, hemos considerado una desviación estándar de 1 cm para los píxeles vecinos en todos los interferogramas utilizados (ERS, ENVISAT, ALOS-1 Y Sentinel-1). Esta desviación estándar representa el error del desplazamiento LOS de los interferogramas. Las imágenes SAR de los satélites ERS y ENVISAT fueron analizadas previamente por Riddick and Schmidt (2011). Las imágenes se adquirieron durante verano y otoño 3.5 Procesado de datos geodésicos 103 entre los años 1993 y 2010 (órbitas descendentes, tracks 113 y 385; ángulos de visión de ERS y ENVISAT 20.2◦ y 19.8◦, respectivamente). Para este estudio hemos utilizado 51 interferogramas de ERS y ENVISAT que han sido procesados con el software ROI PAC (Rosen et al., 2004) y desenrrollados usando SNAPHU (Chen and Zebker, 2002), con líneas de base perpendiculares hasta 500 m, tal y como explican Riddick and Schmidt (2011). Ejemplos de estos interferogramas se pueden observar en las figuras 3.14 y 3.15. Para realizar el análisis espacio-temporal de las deformaciones observadas en Three Sisters, en primer lugar, hay que fijar la geometría y localización de la fuente. Para ello, hemos procesado el par interferométrico del satélite ERS-1 track 365 (órbita descendente) correspondiente con el periodo agosto 1997- septiembre 2000 en el que la deformación es máxima, usando datos brutos de nivel de procesamiento 0. Esto permite revisar los resultados previos obtenidos por otros autores (Dzurisin et al., 2009; Riddick and Schmidt, 2011; Wicks et al., 2002). También hemos procesado pares interferométricos del satélite ERS-1 de los tracks 113 y 163 (órbitas descendentes) en el mismo periodo de tiempo, pero fueron descartados dada la baja relación señal-ruido. Además, hemos mejorado la cobertura temporal de las observaciones de los datos InSAR, ampliando el catálogo de interferogramas procesados. Con el fin de procesar todos estos interferogramas, hemos analizado imágenes brutas (nivel de procesamiento 0) del satélite ALOS-1, e imágenes complejas con máxima resolución espacial (Single Look Complex, SLC) del satélite Sentinel-1. En todos los casos hemos empleado el software InSAR Scientific Computing Environment (ISCE) desarrollado por el Laboratorio de Propulsión a Reacción de la NASA (Jet Propulsion Laboratory, JPL) (Rosen et al., 2012). Las contribuciones orbitales y topográficas han sido corregidas en todos los interferogramas mediante información precisa de las órbitas y un modelo digital de elevaciones de la Misión Topográfica Radar Shuttle (SRTM) (Farr et al., 2007). ALOS-1 suministra datos en la banda L (longitud de onda ∼ 24 cm), muy útiles para evitar la decorrelación de las imágenes SAR debida a la vegetación presente en el área de 104 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Figura 3.14 Desplazamiento LOS registrado entre julio de 1998 y octubre de 2000, por el interferograma ERS Track 113 (órbita descendente). Desplazamiento LOS negativo (positivo) significa que el terreno se acerca (aleja) al satélite, es decir existe elevación (subsidencia) del terreno. La estrella indica la ubicación horizontal aproximada de la fuente y el círculo violeta la localización de la estación CGPS HUSB. Three Sisters. Hemos procesado 30 pares interferométricos del satélite ALOS-1 para cada uno de los tracks 218 y 219 (órbitas ascendentes, ángulo de visión 38,7◦) correspondientes al periodo comprendido entre enero 2007 y marzo 2011. Sin embargo, finalmente solo hemos utilizado el track 219, ya que era el que presentaba una alta relación señal-ruido. Si tenemos en cuenta el error de observación, la tasa de desplazamiento LOS entre los años 2006 a 2010 es pequeña (alrededor de 6− 8 mm/año), dificultando que un solo interferograma de banda L pueda detectar dicha señal (Riddick and Schmidt, 2011). No obstante, una 3.5 Procesado de datos geodésicos 105 Figura 3.15 Desplazamiento LOS registrado entre septiembre de 2004 y octubre 2006, por el interferograma ENVISAT Track 385 (órbita descendente). Desplazamiento LOS negativo (positivo) significa que el terreno se acerca (aleja) al satélite, es decir existe elevación (subsidencia) del terreno. La estrella indica la ubicación horizontal aproximada de la fuente y el círculo violeta la localización de la estación CGPS HUSB. serie temporal de desplazamiento LOS acumulado (en inglés, stack interferométrico) sí puede discernir cambios de esa magnitud. Así, hemos considerado la combinación de los 30 pares interferométricos para obtener la serie temporal (figura 3.16). El procesado se ha llevado a cabo con el software Stanford Method for Persistent Scatterers (StaMPS) versión 3.3.b1 aplicando el método Small Baselines (Bekaert et al., 2017; Hooper et al., 2012). Para generar la red interconectada de pares interferométricos hemos contemplado combinaciones interferométricas minimizando la separación espacial (línea de base perpendicular, Bperp) 106 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) y temporal entre las imágenes SAR (figura 3.16). El método de Small Baselines minimiza la decorrelación en terrenos naturales. Por lo tanto, es un método apropiado para el área de Three Sisters, que carece de estructuras artificiales ofreciendo pocos centros de dispersión dominantes. Debido a que los resultados proporcionados por StaMPS son ruidosos, hemos realizado un procesado posterior para reducir las oscilaciones de origen no volcánico. Para ello, hemos aplicado un filtro paso banda con el objetivo de retener las señales de velocidad LOS con extensión espacial entre 10 y 0,8 km, utilizando un filtro de mediana (The Generic Mapping Tools (GMT) blockmedian). En este caso, siguiendo el convenio de signos de StaMPS para las gráficas de velocidad, los valores de velocidad LOS positivos corresponden a desplazamientos LOS con dirección hacia el satélite, es decir, tasa de elevación. La figura 3.17 representa la velocidad LOS media (mm/año) para el periodo enero 2007 - marzo 2011. Los triángulos negros y la estrella representan la localización del complejo volcánico de Three Sisters y del centro aproximado del área de elevación, respectivamente. Los resultados indican un patrón de elevación circular de radio/diámetro de ∼ 6 km, al oeste de South Sister con una velocidad LOS media de aproximadamente 5−10 mm/año. Esta velocidad media es consistente con el valor obtenido para la estación HUSB CGPS durante el mismo período (5.21 mm/año). También hemos procesado pares interferométricos del satélite Sentinel-1 entre septiembre de 2015 y mayo de 2018, para las órbitas descendentes (path 115, ángulo de visión 39.8◦) y ascendente (path 137, ángulo de visión 38.8◦) con el fin de extender temporalmente los datos InSAR y espacialmente los datos CGPS. El análisis de datos Sentinel-1 realizado por (Weiss et al., 2020) durante 6 años en Turquía indica que las incertidumbres de la tasa de desplazamiento están dominadas principalmente por la duración de la observación en lugar de por la utilización de un mayor número de interferogramas. Por tanto, de los interferogramas procesados hemos considerado sólo 4 pares interferométricos de buena calidad que cubren periodos de verano a verano y de verano a finales de primavera para evitar la decorrelación 3.5 Procesado de datos geodésicos 107 debido a la presencia de nieve en los meses de invierno y así poder incorporar nuevos datos durante el gap que presenta la serie del GPS entre agosto 2017 y agosto 2018. No obstante, las tasas de deformación podrían volver a examinarse en el futuro, utilizando conjuntos de datos de Sentinel-1 de mayor duración. Figura 3.16 Small Subset Baseline (SBAS) aplicado a los 30 pares interferométricos procesa- dos del satélite ALOS-1. 108 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Figura 3.17 Velocidad LOS de la superficie (mm/año) obtenida para el track 219 del satélite ALOS-1, entre enero 2007 y marzo 2011. Los valores de velocidad LOS positivos corres- ponden a desplazamientos LOS con dirección hacia el satélite, es decir, tasa de elevación (Rodríguez-Molina et al., 2021). La estrella indica la ubicación horizontal aproximada de la fuente y el círculo representa el valor obtenido de la velocidad media para la estación HUSB CGPS durante el mismo período. 3.6. Métodos En esta sección presentamos una nueva estrategia matemática para la inversión conjunta de datos InSAR (con diferentes ángulos de visión y sensores, y alta resolución espacial) y datos CGPS (con 3 componentes en un único punto del espacio con gran resolución temporal). Con esta metodología hemos obtenido de manera rigurosa la evolución de la deformación volcánica, mediante la cuantificación de una única serie temporal de las tasas de cambio de volumen en el interior del medio. Esta estrategia engloba los beneficios de cada sistema de 3.6 Métodos 109 datos. Se basa en la metodología propuesta por González et al. (2013), que está compuesta por dos pasos diferenciados. El primer paso estima la fuente (o fuentes) de deformación volcánica para un periodo de inflación determinado una vez supuesto que dicha fuente (o fuentes) es la causa de la deformación observada en toda la ventana temporal estudiada. El segundo paso genera la serie temporal de volumen a partir de diferentes conjuntos de datos InSAR (con diferentes ángulos de visión y provenientes de distintos sensores satelitales). Hemos ampliado el algoritmo de González et al. (2013) para: (1) incluir datos CGPS que presentan una alta cobertura temporal y, por lo tanto, combinar la información espacial que ofrecen las tres componentes (Norte, Este, Vertical) de esta técnica frente a la componente única (desplazamiento LOS) del InSAR; (2) considerar la incertidumbre que tienen los cambios de volumen incorporando la propagación de errores en todos los pasos del algoritmo; y (3) añadir un método no subjetivo de truncamiento en la técnica TSVD, utilizada para regularizar el problema inverso formulado para la estimación del cambio de volumen (ver sección 2.3.1 del capítulo 2). En primer lugar, presentamos el proceso utilizado para estimar la ubicación (posición horizontal y profundidad) y geometría de la fuente (o fuentes) responsables de la deformación observada en Three Sisters. En segundo lugar, una vez caracterizada la fuente, calculamos la evolución temporal de su cambio de volumen. 3.6.1. Metodología para la caracterización de la fuente Como hemos visto anteriormente, existen muchas metologías para la caracterizacion de fuentes de deformación. En este caso, hemos utilizado un método de inversión bayesiana, que permite inferir la incertidumbre de los parámetros del modelo de fuente considerando los errores de observación. La estimación de la ubicación horizontal (x,y), profundidad y geometría de la fuente de inflación se ha realizado utilizando el software Geodetic Bayesian Inversion Software (GBIS), desarrolado en MATLAB ® (Bagnardi and Hooper, 2018). GBIS estima los parámetros de la fuente a través del método Markov Chain Monte Carlo, 110 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) utilizando, entre otros, el software dMODELS (Battaglia et al., 2013a). El patrón espacial de la deformación observada en el volcán Three Sisters se puede simular con modelos de deformación simples como el de fuente puntual con simetría esférica o modelo de Mogi (Mogi, 1958) (descrito por 4 parámetros: x, y, profundidad y ∆V ), el de una fuente tipo sill (Fialko et al., 2001) (descrito por 5 parámetros: x, y, profundidad, radio y exceso de presión adimensional, ∆P/µ) o el de esferoide prolato (Yang et al., 1988) (descrito por 8 parámetros: x, y, profundidad, semi-eje principal, ratio entre semi-ejes, ∆P/µ , azimut y buzamiento). En todos ellos, el medio se considera como un semiespacio elástico, homogéneo e isotrópo con un coeficiente de Poisson de 0.25. Estudios previos señalan que la deformación está producida por una única fuente que actúa durante todo el periodo en el que se ha observado dicha deformación (Dzurisin et al., 2009, 2006; Riddick and Schmidt, 2011). Así, hemos considerado la existencia de una única fuente estacionaria. GBIS proporciona las funciones de densidad a posteriori (PDFs) para cada uno de los parámetros del modelo. Para estabilizar el procedimiento de inversión y obtener de forma fiable las PDFs de cada uno de los parámetros de la fuente, hemos considerando 2 ·106 iteraciones para el modelo de fuente puntual con simetría esférica, 5 ·106 iteraciones para el modelo de fuente tipo sill y, finalmente, 8 ·106 iteraciones para el modelo de esferoide prolato. La inversión Bayesiana, dado el carácter de la deformación así como la alta resolución espacial que ofrecen los datos InSAR, se lleva a cabo considerando como dato de entrada un interferograma del satélite ERS-1 Track 385 (órbita descendente) descrito anteriormente, que comprende el periodo entre agosto de 1997 y septiembre de 2000, en el que el desplazamiento es máximo. Este interferograma cumple dos condiciones importantes a la hora de estimar los parámetros de la fuente ajustando de manera fiable los desplazamientos LOS: (1) abarca el tiempo más corto de tiempo que cubren los pares interferométricos obtenidos durante todo el periodo en el que se observó deformación máxima; (2) el ratio señal-ruido es alto considerando todas las posibles combinaciones interferométricas para dicho periodo. El error 3.6 Métodos 111 de correlación espacial de los datos InSAR (causado principalmente por el retraso derivado de efectos de la troposfera ’húmeda’) se estima mediante el modelado de semivariogramas experimentales en regiones libres de deformación volcánica (Bagnardi and Hooper, 2018). Se ha seleccionado una muestra representativa de datos InSAR a través del método adaptativo quad-tree (Decriem et al., 2010) con el fin de reducir el costo computacional de la inversión bayesiana, principalmente para los modelos de fuente tipo sill y esferoide prolato. 3.6.2. Metodología para estudiar la evolución temporal de los cambios de volumen Una vez fijada la localización y geometría de la fuente, la inversión lineal de cada uno de los interferogramas permite obtener el incremento de cambio de volumen que se produce durante el periodo de observación que cubre, mientras que con los datos CGPS podemos obtener los incrementos de cambio de volumen acumulados desde el registro de la primera observación. Hemos combinado los resultados procedentes de datos InSAR y CGPS para inferir la evolución temporal del volumen utilizando el método TSVD. Así, el procedimiento se resume en dos pasos, la obtención de los incrementos de cambio de volumen y, posteriormente, la obtención de la serie temporal de cambio de volumen. Primer paso: Función a trozos correspondiente a los incrementos de cambio de volumen asociados a diferentes periodos temporales Tras fijar la ubicación y la geometría de la fuente, hemos determinado los cambios de volumen en los intervalos de tiempo correspondientes (incrementos de cambios de volumen ∆V , positivos debido a una inflación o negativos debido a una deflación) para los conjuntos de datos de InSAR y CGPS, los cuales hemos asumido que no están correlacionados, es decir, realizamos la inversión de cada uno de los interferogramas y del desplazamiento GPS acumulado de forma independiente. Cada incremento de cambio de volumen, ∆Vi j, registra 112 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) (1) el cambio de volumen entre dos fechas de adquisición, es decir en el intervalo (ti − t j) de un interferograma o (2) el incremento acumulado de volumen desde la primera observación, es decir, en este caso t j = t0, siendo t0 la fecha de inicio del registro de CGPS. Para obtener los incrementos de cambio de volumen hemos empleado un esquema de inversión lineal utilizando el método de mínimos cuadrados ponderados (Weighted Least Squares, WLS Menke, 1989), aplicándolo a 55 pares interferométricos (ERS, ENVISAT, Sentinel-1), un interferograma ALOS-1 (desplazamiento LOS acumulado resultante del stacking de 30 pares interferométricos ALOS-1) y al desplazamiento CGPS acumulado. El problema se define por d = Gm, donde d es el vector de datos (desplazamiento LOS o GPS), m es el vector de los parámetros del modelo (∆V), y G es la matriz de las funciones de Green, que representa el desplazamiento (LOS o tres componentes- norte, N, este, E y vertical, Z- GPS) producido por una fuente de deformación específica (puntual con simetría esférica, tipo sill o esferoide prolato) con intensidad unitaria: dInSARi = Gm →  uLOS1 ... uLOSJ  InSARi =  uLOS1Green ... uLOSJGreen  ( ∆Vi ) (3.1) dGPS = Gm →  ut1 N ut1 E ut1 Z ... utK N utK E utK Z  =  ut1 NGreen 0 · · · 0 ut1 EGreen ... ut1 ZGreen 0 . . . . . . 0 ... utK NGreen utK EGreen 0 · · · 0 utK ZGreen   ∆V1 ... ... ... ∆VK  (3.2) 3.6 Métodos 113 Considerando el tipo de datos, d viene dado por dGPS, vector (3K×1) que representa las tres componentes del desplazamiento CGPS acumulado en K épocas (de t1 a tK), o por dInSARi (J×1), desplazamiento LOS de los J píxeles en el i-ésimo interferograma correspondiente al tiempo de adquisición i (periodo master-slave). m es el incremento (positivo o negativo) de cambio de volumen que queremos resolver, es decir, ∆VGPS (K ×1) y ∆VInSARi(1×1). La matriz de las funciones de Green, G, tiene dimensión (3K ×K) ó (J×1). La solución mínimos-cuadrados de cada uno de los problemas dados mediante las expresiones 3.1 y 3.2 es: m̂ = [ GT Cd −1G ]−1 GT Cd −1d, (3.3) donde [ GT Cd −1G ]−1 se define como la matriz de varianza-covarianza del modelo, Cm̂ con dimensión (K ×1 ó 1×1). Cd es la matriz varianza-covarianza de los datos, con dimensión (3K × 3K) para el GPS y (J × J) para cada interferograma. En todos los casos hemos considerado Cd diagonal, es decir, suponemos que los datos son independientes entre sí. Así, Cd = σ2δi j, siendo σ2 la varianza de los datos, y δi j la delta de Kronecker (δi j = 1 si i = j, δi j = 0 en cualquier otro caso). Para el GPS, Cd es una matriz diagonal por bloques, con (σ2 N , σ2 E , σ2 Z). Por tanto, ignoramos el posible ruido y la correlación tanto espacial como temporal en los datos InSAR (por ejemplo, correlación de píxeles debido a artefactos atmosféricos, estructuras topográficas, adquisiciones repetidas) y entre las componentes GPS (Biggs et al., 2010; Lohman and Simons, 2005). Con esta aproximación se reduce significativamente el tiempo de computación requerido por cada estimación mínimos-cuadrados. 114 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Segundo paso: Serie temporal del cambio de volumen Una vez obtenidos los incrementos de cambio de volumen ∆V consideramos su evolución temporal. Este es un problema mal definido ya que contamos con incrementos de cambio de volumen obtenidos a partir de observaciones que provienen de distintas técnicas, sensores y que, a veces, se superponen en el tiempo. Además, no todas las adquisiciones de los satélites están conectadas temporalmente unas con otras, por lo que se pueden producir discontinuidades temporales en los incrementos de cambios de volumen, dando lugar a un problema indeterminado. Para evitar este problema, en lugar de obtener directamente el cambio de volumen (V) se considera la tasa de cambio de volumen de forma similar a la que proponen Berardino et al. (2002) mediante el método Short Baseline Subset Approach (SBAS). El vector V̇ de la tasa del cambio de volumen, de dimensión (M × 1), entre épocas adyacentes viene dado por: V̇ =  v̇1 = v1 t1−t0 ... ˙vM = vM−vM−1 tM−tM−1  (3.4) donde el punto (˙) significa diferenciación en el tiempo. El método habitual para convertir los incrementos de cambio de volumen ∆V en tasas de cambio de volumen es: BV̇ = ∆V, (3.5) donde B es la matriz de diseño (N ×M). Para determinar los elementos de B definimos un vector E (M×1), que contiene las épocas individuales t j presentes en todos los intervalos de tiempo ordenadas en orden cronológico, para j = 1, ...,M; y un vector F (N ×2), cuyas columnas son las épocas de adquisición de la imagen slave (tesclavai) y master (tmaestroi) que componen cada i-ésimo interferograma, para i = 1, ...,N. En consecuencia, la componente 3.6 Métodos 115 (i, j) de la matriz de diseño es Bi j = (t j+1 − t j) para tslavei ≤ t j < tmasteri y cero en el resto. En el caso de ∆V acumulado (es decir, GPS continuo), B presenta bloques con forma de matriz triangular inferior. Podemos ilustrar los elementos de esta matriz con un ejemplo sencillo. Sean ∆vAB, ∆vBC, ∆vAC, ∆vCD, ∆vCE y ∆vCF los incrementos (positivos o negativos) de cambio de volumen obtenidos mediante InSAR en los periodos tAB, tBC y tAC y mediante CGPS en los periodos tCD, tCE , tCF . Así, la matriz de diseño viene dada por:  (tB − tA) 0 0 0 0 0 (tC − tB) 0 0 0 (tB − tA) (tC − tB) 0 0 0 0 0 (tD − tC) 0 0 0 0 (tD − tC) (tE − tD) 0 0 0 (tD − tC) (tE − tD) (tF − tE)   v̇AB v̇BC v̇CD v̇DE v̇EF  =  ∆vAB ∆vBC ∆vAC ∆vCD ∆vCE ∆vCF  . (3.6) Si todas las épocas, tA, tB, tC, tD, tE y tF están igualmente espaciadas, en intervalos constantes de 1 año, es decir, tAB = 1 año y así sucesivamente, y ∆V = [2,1,3,1,2,3] · 106 m3, aplicando directamente el método de mínimos cuadrados se obtiene como resultado V̇ = [2,1,1,1,1] ·106 m3/año. La serie temporal del cambio de volumen será entonces V = [2,3,4,5,6] · 106 m3, lo que significa una tasa de inflación lineal de 2 · 106 m3/año para el intervalo tAB y una tasa de inflación lineal posterior de 1 ·106 m3/año. Sin embargo, en un problema real el grupo de datos ∆Vi j forma en general un conjunto de observaciones no conectado, con al menos un paso de tiempo que no está directamente relacionado con los datos. Esto provoca que la ecuación 3.6 sea un problema mal definido, sin solución, incluso para el caso de mínimos cuadrados. Así, dada una matriz P no es posible obtener la solución de mínimos cuadrados, ˆ̇V = (BT PB)−1BT ∆V, ya que la matriz BT PB 116 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) posee uno o varios valores propios de la matriz cercanos a cero. Este hecho provoca la presencia de grandes incertidumbres en las tasas de cambio de volumen estimadas, ˆ̇V. Para la estimación de ˆ̇V existen varias alternativas como la regularización de Tikhonov (Tikhonov and Arsenin, 1977), las inferencias bayesianas y estocásticas (Backus, 1988), el TSVD o el análisis de Componentes Principales (Hansen, 1990b, 1992; Lawless and Wang, 1976), como hemos mencionado antes. Nosotros hemos consideramos el método TSVD al igual que propone González et al. (2013). Regularización: Criterio para el truncamiento Una dificultad clave en la aplicación del método TSVD es cómo establecer los criterios adecuados para truncar los valores singulares, debido a la falta de una base teórica sólida para descartar los valores singulares próximos a cero no representativos, que provocan inestabilidades a la hora de invertir. Por ello, hemos desarrollado una estrategia para sortear esta dificultad basada en la condición de Picard y la metodología de la curva L (L-curve). De esta forma, hemos asegurado un buen equilibrio, filtrando suficiente ruido sin perder demasiada información en la solución calculada (Hansen and O’Leary, 1993). Además, hemos incluido las estimaciones del error de los datos (∆V) para cuantificar la incertidumbre del ˆ̇V estimado. Para calcular las incertidumbres, se ha implementado el método de inversión generalizado ponderado (WGI), permitiendo el uso de una matriz de covarianza que presenta información “a priori” de los datos C∆V (opcionalmente puede considerarse una matriz de covarianzas del modelo, CV̇). Dichas matrices se pueden descomponer como: C∆V = [DT D]−1 y CV̇ = [ST S]−1, donde las matrices D (N ×N) y S (M ×M) se determinan a partir de la matriz de autovalores y autovectores asociados a cada matriz covarianza. En nuestro caso, no hemos utilizado información a priori para la covarianza del modelo, por lo que CV̇ = I, donde I es la matriz identidad. La utilidad de D y S es la introducción de un sistema de coordenadas transformado donde los datos (y opcionalmente los parámetros del 3.6 Métodos 117 modelo) tienen errores no correlacionados y con varianza unidad. Por lo tanto, ∆Vnew =D∆V, V̇new = SV̇ y Bnew = DBS−1 dan la transformación de los datos, los parámetros del modelo y la matriz de diseño en el nuevo sistema de coordenadas. Para encontrar las componentes principales del conjunto de observaciones (∆V) hemos aplicado TSVD a la matriz Bnew en el nuevo sistema de coordenadas, utilizando un método específico de regularización (TSVD en nuestro caso). Finalmente, la serie temporal del cambio de volumen se obtiene integrando la tasa del cambio de volumen en el tiempo: V (t)≈ ∑V̇ δ t (3.7) En primer lugar, para el truncamiento de valores singulares poco representativos, hemos estudiado la gráfica de Picard para entender la inestabilidad de la inversión del problema lineal (ecuación 3.5) en las coordenadas transformadas y así descartar los valores singulares más pequeños (Hansen, 1990b, 2007; Hossainali et al., 2010): ∥∥V̇− V̇T1 ∥∥ 2 ≤ R 1 2 max 1≤i≤M−P {∣∣uT i ∆Vi ∣∣ si } (3.8) donde ∥∥V̇− V̇T1 ∥∥ 2 es el error de regularización, V̇ y V̇T1 son las soluciones SVD exacta y truncada, respectivamente; R es el valor del parámetro de regularización, si son los valores singulares, y ∣∣uT i ∆Vi ∣∣ son los llamados coeficientes de Fourier (∆Vi son los datos y ui los correspondientes vectores propios del espacio de los datos). La condición discreta de Pi- card se satisface si, para todos los valores singulares mayores que R, los correspondientes coeficientes de Fourier decaen de media más rápidamente que si. Después hemos aplicado el método L-curve a V̇T1 , solución pre-truncada resultante de haber aplicado la ecuación 3.8. Con la ayuda de una gráfica en escala logarítmica dada por el L-curve hemos analizado la norma de la solución regularizada ∥∥V̇T2 ∥∥ 2 frente a la norma del residuo correspondiente∥∥BV̇T2 −∆V ∥∥ 2. Siguiendo las recomendaciones de Hansen (1992) hemos ajustado la curva 118 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) de valores discretos mediante una curva tipo spline 2D. Para encontrar el parámetro de truncamiento, hemos calculado el L-corner (punto de máxima curvatura), es decir, el punto en el que la solución cambia de curvatura pasando de estar dominada por errores de regulari- zación a estar dominada por el tamaño residual. El L-corner obtenido para la curva teórica se aproxima finalmente al dato discreto más cercano. 3.7. Resultados 3.7.1. Re-evaluación de la localización y geometría de la fuente magmá- tica Como se ha mencionado anteriormente, con el fin de estimar las características de la fuente causante de la deformación observada en Three-Sisters, hemos seleccionado un inter- ferograma que cumple unos requisitos específicos. Así, el interferograma seleccionado es el interferograma correspondiente al periodo 24 de agosto de 1997 al 17 de septiembre de 2000 del satélite ERS, Track 385 (órbita descendente). La figura 3.18 muestra el interferograma para el área de Three Sisters y alrededores. El área delimitada por el cuadrado negro muestra la zona escogida sin presencia de deformación volcánica para el estudio de la correlación espacial de los píxeles del interferograma. Para ello, hemos examinado el semi-variograma en esa zona obteniendo así la matriz de varianza-covarianza espacial para el interferograma. El error espacial se puede aproximar a una función exponencial definida por los parámetros borde (nugget), umbral (sill) y rango (range) (Webster and Oliver, 2007). Esta correlación espacial, relacionada con la presencia de contribuciones no volcánicas (error orbital, atmosfé- rico, etc...), se elimina de los datos del interferograma (figura B.1 del apéndice B). Dicho análisis es necesario para la selección de una muestra representativa de píxeles mediante el método “quad-tree” (Decriem et al., 2010). En la figura 3.18, el cuadrado blanco demarca la 3.7 Resultados 119 región con deformación volcánica que ha sido utilizada en la inversión bayesiana con el fin de estimar la geometría y la localización de la fuente. Figura 3.18 Datos InSAR enrollados (wrapped) del satélite ERS Track 385 (órbita descen- dente), para el periodo 24 agosto 1997- 17 septiembre 2000. El cuadrado negro delimita un área sin deformación volcánica, adecuado para el análisis del semi-variograma. El cuadrado blanco demarca la zona con presencia de deformación volcánica analizada en la inversión bayesiana. La estrella indica la ubicación horizontal aproximada de la fuente y el círculo violeta la localización de la estación CGPS HUSB. Valores del desplazamiento LOS positivos corresponden a desplazamientos LOS con dirección hacia el satélite, es decir, elevación. 120 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) En cuanto a la geometría de la fuente, hemos considerado varias posibilidades: una fuente puntual con simetría esférica (tipo Mogi), un esferoide prolato y una fuente tipo sill. Los resultados se muestran en las figuras 3.19, 3.20 y en las figuras B.2, B.3 y B.4 del apéndice B. La tabla 3.1 recopila la información a priori empleada para la inversión bayesiana, y la tabla 3.2 presenta los intervalos de credibilidad del 95% y la mediana de las funciones de densidad de probabilidad (PDFs) a posteriori obtenidos tras el ajuste de todos los parámetros del modelo. Para obtener el valor central de las distribuciones de probabilidad (valor para el que se espera que la mitad de los valores sean más pequeños y la otra mitad sea más grandes) hemos escogido la mediana en lugar de la media, ya que las funciones de densidad de probabilidad a posteriori no presentan una distribución normal y por tanto, la media no es la inferencia estadística apropiada para estimar el valor central de los resultados. La inversión bayesiana evidencia que los desplazamientos de la superficie pueden explicarse mediante una fuente puntual con simetría esférica con profundidad (4500− 6000) m y ∆V (7− 13)× 106 m3; por una fuente tipo sill con profundidad (5600− 7200) m, radio (220− 400) m y exceso de presión adimensional (∆P/µ) 0.05− 0.30; y por un esferoide prolato con profundidad (5300− 7400) m, semi-eje principal (240− 720) m, ratio entre semi-ejes (0.22− 0.37) m, exceso de presión adimensional (∆P/µ) 0.38−8.61, azimut (strike) (49−102) ◦ y buzamiento (plunge) (78−85) ◦. El interferograma enrollado (wrapped) revela un patrón de deformación cuasi-radial, con un desplazamiento máximo de la superficie en la dirección LOS de ∼ 5 cm, localizado en el centro del patrón de elevación (Figuras 3.19 A, D y G). Las figuras 3.19 B, E y H presentan los interferogramas sintéticos obtenidos a partir del valor mediano de las PDFs a posteriori de cada uno de los parámetros de los modelos considerados. Las estrellas azules representan la localización horizontal estimada para las distintos tipos de fuente. Las figuras 3.19 C, F y I muestran el residuo entre el patrón interferométrico observado y el predicho por los distintos modelos. En todos los casos, el residuo es mayor tanto cerca del volcán Three Sisters (triángulos verdes) debido a las contribuciones orbitales resultantes de 3.7 Resultados 121 la topografía del terreno, como en la mitad occidental del patrón interferométrico donde el muestreo de los datos es menos denso. Como cabía esperar, dado el patrón de simetría radial, los modelos de fuente puntual con simetría esférica y tipo sill proporcionan ajustes similares, por lo que es difícil, sin información a priori, distinguir ambas geometrías. Los parámetros extra del esferoide prolato no añaden una mejora sustancial en el ajuste de datos, de hecho, el residuo que añade es superior respecto a los residuos de las otras dos fuentes. La Figura 3.20 muestra las PDFs de los cuatro parámetros de la fuente puntual con simetría esférica, para los cinco parámetros de la fuente tipo sill y los ocho parámetros del esferoide prolato. Las líneas negras continuas muestran los valores óptimos (solución de probabilidad máxima a posteriori) de las estimaciones obtenidas mediante la inversión bayesiana. Se puede observar con claridad como las PDFs correspondientes al radio y cambio de presión de la fuente tipo sill exhiben bi-modalidad (ver también la figura B.3), es decir, corresponden con resultados de inversión ligeramente inestables. Para el esferoide prolato, las PDFs del ratio entre semi-ejes y del exceso de presión también muestran una distribución bimodal, mientras que la PDF del semi-eje principal presenta múltiples máximos relativos. Por todo ello, nos decantamos por el modelo más simple capaz de ajustar el patrón de deformación. En este caso, la fuente más simple es la fuente puntual con simetría esférica. 122 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Figura 3.19 Datos InSAR enrollados (wrapped) del satélite ERS Track 385 (órbita descen- dente) y resultados de los diferentes modelos examinados. (A), (D), (G): Desplazamiento en la línea de visión (LOS) registrado por el satélite en un período de casi 3 años desde el 24 agosto de 1997 hasta el 17 Septiembre de 2000, considerando sólo píxeles con coherencia > 0.2. Los triángulos verdes representan el complejo volcánico de Three Sister. (B), (E), (H): modelo obtenido en la inversión bayesiana (fuentes Mogi, tipo sill y esferoide prolato, respectivamente) y ubicación horizontal correspondiente considerando el valor mediano de la probabilidad a posteriori (estrella azul). (C), (F), (I): Mapas residuales para la fuente Mogi, tipo sill y esferoide prolato (Rodríguez-Molina et al., 2021). 3.7 Resultados 123 Figura 3.20 Distribuciones de probabilidad a posteriori para los parámetros de los modelos de fuente Mogi, tipo sill y esferoide prolato. Las líneas negras muestran el valor óptimo para el parámetro del modelo correspondiente (Tablas 3.1 y 3.2) (Rodríguez-Molina et al., 2021). 124 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Tabla 3.1 Intervalos de variación de los parámetros de la fuente para el caso de una fuente puntual con simetría esférica, tipo sill y esferoide prolato (Rodríguez-Molina et al., 2021). Límite inferior Límite superior Paso Inicio Mogi Centro X(m) −1.00×103 1.50×104 25 2.00×103 Centro Y(m) −1.00×103 1.50×104 25 2.00×103 Profundidad(m) 5×102 2.00×104 50 1.00×103 ∆V (×106m3) 0.1 1.00×104 1.00×10−3 0.1 Sill Centro X(m) −1.00×103 1.50×104 25 2.00×103 Centro Y(m) −1.00×103 1.50×104 25 2.00×103 Profundidad(m) 5×102 2.00×104 50 1.00×103 Radio(m) 100 4000 50 100 ∆P/µ 1×10−5 10 1×10−6 1×10−2 Esferoide Centro X(m) −1.00×103 1.50×104 25 2.00×103 Centro Y(m) −1.00×103 1.50×104 25 2.00×103 Profundidad(m) 5×102 2.00×104 50 1.00×103 Semi-eje mayor(m) 100 4000 50 100 Ratio semi-ejes 0.2 0.99 0.01 0.5 ∆P/µ 1×10−5 10 1×10−6 1×10−2 Azimut(◦) 1 359 1 270 Buzamiento(◦) 0 90 1 45 3.7 Resultados 125 Tabla 3.2 Resultados de la inversión bayesiana de la fuentes de deformación volcánica puntual con simetría esférica, tipo sill y esferoide prolato, definidos para un semiespacio elástico. Se presentan los resultados de la probabilidad a posteriori correspondientes a los valores de la mediana, y los intervalos de credibilidad del 95% (Rodríguez-Molina et al., 2021). Mediana 5% 95% Mogi Longitud(◦) −121.8382 −121.8418 −121.8350 Latitud(◦) 44.1055 44.1030 44.1082 Profundidad(m) 5000 4500 6000 ∆V (×106m3) 8.99 6.98 12.66 Sill Longitud(◦) −121.8368 −121.8398 −121.8339 Latitud(◦) 44.1018 44.0997 44.1041 Profundidad(m) 6300 5600 7200 Radio(m) 250 220 400 ∆P/µ 0.23 0.05 0.30 Esferoide Longitud(◦) −121.8707 −121.8791 −121.8616 Latitud(◦) 44.1187 44.1130 44.1228 Profundidad(m) 6100 5300 7400 Semi-eje mayor(m) 400 240 720 Ratio semi-ejes 0.28 0.22 0.37 ∆P/µ 1.85 0.38 8.61 Azimut(◦) 68 49 102 Buzamiento(◦) 82 78 85 126 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) 3.7.2. Serie temporal de la inflación en Three Sisters (1996-2020) Una vez establecido tanto el tipo de fuente de deformación (fuente puntual con simetría esférica) así como su localización (horizontal y profundidad), la serie temporal del cambio de volumen la obtenemos como hemos explicado anteriormente (sección 3.6.2) considerando conjuntamente datos InSAR (ERS, ENVISAT, ALOS-1 y Sentinel-1, en cinco tracks y con ángulos de visión diferentes) y CGPS (Norte, Este, Vertical de HUSB). Las coordenadas horizontales de la fuente están bien constreñidas en la inversión bayesiana, sin embargo, el parámetro profundidad presenta un mayor rango de incertidumbre. Por ello, a la hora de la serie temporal del cambio de volumen, hemos usado los valores de profundidad correspondientes a la mediana y percentiles del 5% y 95% de las PDFs a posteriori, esto es, dmediana = 5000 m, d5% = 4500 m y d95% = 6000 m (tabla 3.2- fuente tipo Mogi). Las figuras 3.21 y 3.22 muestran los incrementos de cambio de volumen, ∆Vi, obtenidos relacionando las funciones Green (para una fuente puntual con simetría esférica) con el desplazamiento LOS observado y las tres componentes de desplazamiento del CGPS, respectivamente. Se muestran las estimaciones correspondientes al valor mediano de la profundidad estimada para la fuente (dmedian = 5000 m). Los incrementos de cambio de volumen acumulados en HUSB muestran diferentes gaps debido a la acumulación de hielo y nieve durante el invierno, así como el debido a la reconstrucción de la estación. Debido a las medidas diarias aportadas por el CGPS, los ∆Vi presentan una distribución uniforme (figura 3.22). En cambio, los incrementos de cambio de volumen asociados a los datos InSAR muestran una distribución más variable (figura 3.21). 3.7 Resultados 127 Figura 3.21 Incrementos de cambio de volumen obtenidos para todos los interferogramas (ERS,ENVISAT, ALOS-1 y SENTINEL-1). La figura muestra los resultados obtenidos con el valor mediano de la profundidad de la fuente (Rodríguez-Molina et al., 2021). Figura 3.22 Incrementos de cambios de volumen acumulados para la estación CGPS HUSB. La figura muestra los resultados obtenidos con el valor mediano de la profundidad de la fuente (Rodríguez-Molina et al., 2021). 128 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Finalmente, con el fin de obtener la serie temporal de cambios de volumen, hemos aplicado la condición de Picard (Picard Plot) para estudiar la estabilidad del problema planteado en la ecuación 3.5 y truncar convenientemente la serie de valores singulares. La solución del problema es estable cuando los coeficientes de Fourier, ∣∣uT i ∆Vi ∣∣, decaen de media más rápidamente que los valores singulares recíprocos, si. Así, la figura 3.23 A muestra cómo esta condición se cumple al descartar el último 10% de los valores singulares (correspondiente a valores singulares muy próximos a cero). No obstante, esta aproximación resulta un poco burda para establecer el nivel apropiado de truncamiento correspondiente a nuestro conjunto de datos (ecuación 3.8), por lo que conviene refinarla. Métodos como el GCV no resultan apropiados para nuestro problema ya que proporcionan un mínimo local muy plano, proporcionando cualquier punto lo suficientemente cercano a éste el mismo resultado (figura 3.24). Por ello, hemos utilizado la L-curve para determinar el nivel de truncamiento sobre los resultados obtenidos al aplicar la condición de Picard. La figura 3.23 B muestra el gráfico de la L-curve con la relación existente entre minimizar la norma del residual ( ∥∥BV̇T2 −∆V ∥∥ 2) y minimizar el tamaño de la solución regularizada ( ∥∥V̇T2 ∥∥ 2). El punto L-corner (representado en rojo) es el punto en el que la solución cambia la curvatura, pasando de ser una solución más filtrada, es decir, dominada por soluciones simples y excesivamente suavizadas, con un mayor residuo, a estar dominado por una solución menos filtrada, es decir, dominada por el tamaño de la solución regularizada, con un menor residuo. En este caso, el criterio del L-curve se cumple cuando L-corner = 1198, es decir, cuando se consideran sólo los primeros 24.1% valores singulares distintos de cero. 3.7 Resultados 129 Figura 3.23 (A): Gráfico que muestra la condición discreta de Picard. En este caso, el problema se puede considerar estable si descartamos el último 10% de los valores singulares. (B): Resultados del L-curve , tras aplicar el pretruncamiento dado por la condición de Picard. El valor obtenido del L-corner está representado en rojo (Rodríguez-Molina et al., 2021). La figura 3.25 muestra los resultados finales correspondientes a la serie temporal de cambio de volumen. La evolución temporal de la inflación sugiere una tasa de cambio de volumen máxima de ∼ 1.60 ·106 m3/año durante 1999−2001 y una tasa posterior de hasta ∼ 0.75 ·106 m3/año durante 2015 - enero 2020. El salto de los datos observado en 2018 se debe a la reconstrucción y sustitución de la antena de la estación HUSB (Lisowski et al., 2021). 130 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Figura 3.24 Gráfico con el resultado del método Generalized cross validation (GCV), tras aplicar el pretruncamiento dado por la condición de Picard. El mínimo local está marcado con la línea discontinua en rojo. Figura 3.25 Serie temporal del cambio de volumen para una fuente Mogi (inversión temporal conjunta de datos GPS e InSAR) para diferentes valores de la profundidad estimada (Tabla 3.1): valor mediano (verde claro), y percentil 95% y 5% (amarillo y verde oscuro). Las líneas continuas en azul turquesa representan las curvas del ajuste paramétrico obtenido mediante la aplicación del método de mínimos cuadrados no lineales robusto, utilizando el método del residuo mínimo absoluto (NSL-LAR) considerando la expresión dada en la ecuación 3.9. Las estrellas representan el inicio de la tendencia exponencial descrita en la ecuación 3.9 para cada una de las series temporales (verde claro, asociado con el valor mediano de la estimación de la profundidad; amarillo y verde oscuro para los valores de los percentiles 95% y 5%) (Rodríguez-Molina et al., 2021). 3.8 Discusión 131 3.8. Discusión 3.8.1. Caracterización de la fuente Los estudios previos de Three Sisters analizan diferentes conjuntos de datos, entre ellos pares y stacks interferométrios (Riddick and Schmidt, 2011; Wicks et al., 2002), datos GPS (de campaña y continuo) y datos de nivelación (Dzurisin et al., 2009). En estos trabajos se evalúan distintas geometrías de fuente, obteniendo un ajuste satisfactorio de los datos para fuentes puntuales con simetría esférica, tipo sill y elipsoidales. Nuestros resultados son consistentes con los hallazgos de estos trabajos anteriores (tabla 3.3). Sin embargo, las tasas de cambio de volumen y la profundidad varían ligeramente, posiblemente debido al hecho de que: (1) puede haber una fuente magmática más profunda mal resuelta, es decir, existe una ambigüedad entre el cambio de volumen y la profundidad de la fuente que no somos capaces de resolver; (2) las inversiones se limitan a modelos puramente cinemáticos, es decir, se analizan los desplazamientos sin tener en cuenta las fuerzas específicas que lo causan; (3) la fuente se supone como una cavidad presurizada en un semiespacio elástico, isótropo y homogéneo y tanto su geometría como su posición se consideran constantes en el tiempo, hipótesis que pueden producir sesgos a la hora de estudiar la serie temporal de cambio de volumen; (4) los trabajos consideran técnicas de inversión diferentes, lo que puede introducir errores en las estimaciones si no se realiza un manejo adecuado de estas técnicas matemáticas; (5) utilizan diferentes conjuntos de datos; y (6) el patrón de deformación introduce una ambigüedad en la geometría de la fuente. Siguiendo los resultados de Dzurisin et al. (2009) y Riddick and Schmidt (2011), suponemos como enfoque válido para estimar la serie temporal de cambio volumen un modelo simple y puramente cinemático. Por tanto, nos centramos en analizar las implicaciones de (3), (4), (5) y (6). En primer lugar, hemos revisado la hipótesis de que la posición de la fuente sea constante en todo el periodo de tiempo analizado. Riddick and Schmidt (2011) ya mostraron que 132 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Tabla 3.3 Comparación de la localización de la fuente de deformación en Three Sisters entre estudios previos y la inversión bayesiana realizada en este estudio. Con el fin de realizar la comparativa, se consideran fuentes tipo Mogi (Rodríguez-Molina et al., 2021). Inversión Profundidad(m) ∆V (×106m3) ∆Vtasa (×106m3/año) 1996−2000 InSAR(1) 6500±400 23.00±3.00 ∼ 5.75±0.75 2001−2008 Datos geodésicos de base terrestre (2) 5800 22.20 ∼ 3.14 1993−2008 InSAR(3) 5200±100 57.00[+1.95,−3.60] ∼ 3.80[+0.13,−0.24] 1997−2000 InSAR [este estudio](4) 5000 [+1000,−500] 8.99 [+3.67,−2.01] ∼ 3.00[+1.22,−0.67] (1)ERS órbita descendente (08/1996- 10/2000) (Wicks et al., 2002); (2)GPS de campaña, CGPS y nivelación (05/2001-late 2008) (Dzurisin et al., 2009); (3)ERS Track 385 órbita descendente (08/1993- 08/2008) (Riddick and Schmidt, 2011); (4)ERS Track 385 órbita descendente (08/1997-09/2000). la evolución temporal de la señal de elevación se puede explicar mediante una fuente cuya geometría y posición permanecen constantes con el tiempo suponiendo una tasa de inflación decreciente entre 1996 y 2010. La extensión del patrón de deformación permanece constante durante todo el periodo analizado, lo que es indicativo de que no existe una variación significativa de la profundidad de la fuente en dicho periodo. Así, las variaciones en profundidad que obtienen al considerar distintos intervalos de tiempo marcados por los pares interferométricos disponibles en el periodo de tiempo bajo estudio se encuentran entre las incertidumbres que proporcionan los modelos de inversión. Para completar este estudio, hemos considerado el periodo más reciente de la serie, es decir, el periodo entre 2011 y 2020. Así, podemos observar que las 3 componentes de la serie CGPS de la estación HUSB no presentan cambios sustanciales de tendencia en dicho periodo, lo que indica que, al menos, la posición de la fuente no ha cambiado de forma significativa en dicho periodo. Además, para reforzar esta hipótesis hemos realizado una inversión bayesiana de los datos interferométricos proporcionados por Sentinel-1 (2014-2018) considerando una fuente tipo Mogi. A pesar de 3.8 Discusión 133 considerar sólo píxeles con coherencia > 0.35, la baja magnitud del desplazamiento LOS observado y el bajo ratio señal-ruido hacen que los resultados de la inversión presenten grandes incertidumbres. El modelo de fuente óptimo genera grandes residuos. En la figura 3.26 se puede observar el resultado de la inversión para el interferograma Sentinel-1 Path 137 (órbita descendente) en el periodo septiembre 2015- agosto 2016. La estrella rosa marca el valor óptimo de la localización horizontal de la fuente tipo Mogi obtenida de la inversión de datos Sentinel-1 y la estrella azul la localización obtenida anteriormente para el interferograma ERS en el periodo de máxima deformación, agosto 1997 - septiembre 2000, (sección 3.7.1, figura 3.19). Aunque este resultado no es concluyente debido a lo comentado anteriormente, la fuente estimada no es capaz de predecir los desplazamientos observados en HUSB mediante la serie de tiempo CGPS. Por lo tanto, podemos asumir que la fuente no ha cambiado significativamente ni en forma ni en ubicación desde el inicio de la deformación. Figura 3.26 (A): Datos InSAR enrollados del satélite Sentinel-1 Path 137 (órbita ascendente). Patrón interferométrico obtenido para el periodo septiembre 2015 - agosto 2016, consideran- do sólo píxeles con coherencia > 0.35. Los triángulos verdes representan el volcán Three Sister. (B): modelo obtenido en la inversión bayesiana (fuente Mogi) y ubicación horizontal correspondiente al valor óptimo (estrella rosa). La estrella azul corresponde el valor estimado anteriormente para el modelo Mogi con datos del satélite ERS Track 385 (órbita descendente) durante agosto de 1997 hasta septiembre de 2000). (C): Mapa del residual. 134 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) En este estudio hemos utilizado un enfoque bayesiano para la caracterización de la geometría y la localización de la fuente de deformación frente a otro tipo de metodologías como podría ser la búsqueda sistemática de parámetros de fuente que ha sido empleada en otros trabajos (p. ej, Riddick and Schmidt, 2011). Este enfoque presenta varias ventajas: (1) es una inversión robusta que incluye la posibilidad de incluir uno o más interferogramas, con un ratio señal-ruido aceptable, y/ o datos GPS; (2) estima de forma simultánea todos los parámetros del modelo; (3) permite incluir información sobre la incertidumbre de los datos y del modelo a priori; y (4) permite obtener las PDFs a posteriori de los parámetros del modelo, proporcionando tanto un valor óptimo de los parámetros como su posible rango de variación en función de la información a priori considerada. En el caso de la inversión bayesiana, si disponemos de datos geodésicos con alta cobertura espacial, y que abarquen el período más apropiado (tiempo más corto con mayor tasa de desplazamiento) podemos obtener de forma robusta tanto la geometría como la localización de la fuente. Así, como hemos comentado anteriormente, con el fin de fijar la geometría y localización de la fuente, hemos utilizado el par interferométrico ERS-1 track 365 (órbita descendente) en el periodo agosto 1997 y septiembre 2000. Dicho interferograma verifica ambos criterios registrando un desplazamiento LOS de hasta ∼ 5 cm de deformación en la línea de visión (LOS) del satélite (figura 3.19). También hemos procesado otros interferogramas de ERS-1 durante períodos de tiempo similares. Sin embargo, no los hemos incorporado en el análisis debido a su bajo ratio señal-ruido. Tampoco hemos podido incorporar datos GPS para estudiar el período con la tasa de elevación máxima, ya que no hay datos disponibles hasta 2001. Los resultados de la inversión para la fuente puntual con simetría esférica, tipo sill y esferoide prolato muestran soluciones cuantitativamente similares en términos del ajuste de los datos así como del patrón de desplazamiento. En este estudio hemos optado por la fuente esférica puntual, la fuente de deformación posible más simple para ajustar los datos con el fin de inferir la serie temporal de la inflación observada en Three Sisters. Como señalan Dieterich 3.8 Discusión 135 and Decker (1975), para poder distinguir de forma exhaustiva entre las diferentes geometrías de fuente consideradas tendríamos que disponer de la información completa que proporciona el campo tridimensional de desplazamientos. En nuestro caso, al disponer de un patrón de deformación 2D casi simétrico no es posible resolver de forma única la geometría de la fuente, siendo igualmente probables todas las geometrías consideradas. Sin embargo, para aceptar una geometría de fuente más compleja que la fuente puntual con simetría esférica, deberíamos haber obtenido valores significativamente mejores en el ajuste de los datos. El patrón de deformación dado por los datos InSAR presenta una forma ligeramente elongada en la dirección norte-sur (figura 3.19), lo que podría hacer pensar que un esferoide prolato podría ajustar mejor este tipo patrón. Sin embargo, ninguna de las geometrías es capaz de reproducirlo a la perfección. El alargamiento del patrón al este de la región de deformación podría deberse a un efecto de la topografía en el área de Three Sisters, o a retrasos de origen troposférico en los datos interferométricos. Por otra parte, el residual asociado al esferoide prolato no es completamente consistente con el patrón de deformación observado en el área occidental de deformación (3.19 I). En este caso, hemos considerado que la topografía podría tener un efecto menor, ya que el relieve topográfico más alto se concentra en la dirección este, es decir, en el campo lejano de la señal de deformación. Con todo ello, podemos suponer que la asimetría observada en los datos de InSAR no afecta de forma significativa la interpretación general de la serie temporal de cambios de volumen. A diferencia de los estudios previos mencionados anteriormente, nuestro trabajo pro- porciona una fuente ligeramente más superficial y que, por tanto, necesita de un menor incremento de cambio de volumen para reproducir la deformación observada. A pesar de ello, considerando que todos los modelos analizados ajustan los datos de forma similar y que no presentan grandes discrepancias de ajuste, concluimos que es razonable suponer como modelo de fuente el más simple que explica la señal observada. Además, los valores de profundidad e incrementos de cambio de volumen de estudios previos se encuentran dentro 136 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) de nuestros intervalos de credibilidad del 95% (tabla 3.3). Wicks et al. (2002) procesó tres interferogramas, obteniendo un incremento de cambio de volumen de ∆V = 23 ·106 m3 y una profundidad de 6500 m para el interferograma que presentaba mayor ratio señal-ruido aparente. Fundamentalmente, una fuente más profunda tendrá asociado un ∆V mayor para reproducir la misma deformación superficial. Aunque el tiempo de adquisición del mejor in- terferograma de Wicks et al. (2002) abarca solo un año más que nuestro par interferométrico, la diferencia entre nuestro ∆Vtasa =∼ 3.00 · 106 m3/año y su ∆Vtasa =∼ 5.75 · 106 m3/año radica principalmente en su estimación de la profundidad. Nuestro interferograma coincide con otro de los interferogramas analizados por Wicks et al. (2002). Así, para ese interferogra- ma Wicks et al. (2002) proporcionan una fuente ∼ 1 km menos profunda, y por tanto, más cercana a nuestra estimación. 3.8.2. Serie temporal del cambio de volumen: Objetivización de TSVD Para evaluar el efecto del truncamiento, hemos comparado los incrementos del cam- bio de volumen (∆Vi, ecuación 3.3) con las correspondientes observaciones simuladas (∆Vireconstrucción = V(i+1)inversión −Viinversión , procedentes de la ecuación 3.7) para diferentes ni- veles de truncamiento. Las figuras 3.27 A y 3.27 B muestran la solución para un alto nivel de truncamiento, usando para ello sólo el 0.2% y el 2% de los valores singulares no nulos (ordenados en orden decreciente). El resultado es una solución muy filtrada, es decir, una solución simple y demasiado suavizada. Para el caso del 0.2%, los valores de ∆Vi asociados a los datos InSAR muestran una gran dispersión, mientras que para los ∆Vi asociados a los datos GPS se obtiene un único valor en distintos intervalos de tiempo. La figura 3.27 D presenta el caso sin truncamiento, es decir, la solución sin filtrado y que, por tanto, presenta el máximo tamaño. En este caso, el residual obtenido es mínimo (figura 3.27 D) debido a que, esta solución muy poco suavizada y con muchas oscilaciones, es capaz de reproducir incluso las perturbaciones estacionales de los datos GPS. La carga superficial de nieve durante el 3.8 Discusión 137 invierno produce una deformación que afectaría a la estación HUSB. No obstante, existe la posibilidad de que la presión interna de la cámara magmática también fluctúe estacionalmente en respuesta a este efecto. Sin embargo, sólo a partir de los datos CGPS no podemos discernir entre estas dos posibilidades. Por ello, nos decantamos por una solución más suavizada, resultante de la combinación de metodologías propuesta (condición de Picard y criterio del L-curve), para describir la serie temporal del cambio de volumen a largo plazo (figura 3.27 C). En este caso, la solución se obtiene empleando el 24.1% de los valores singulares distintos de cero ordenados de forma decreciente (figura 3.27 C). 138 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Fi gu ra 3. 27 ∆ V i ob te ni do s a pa rt ir de da to s de de fo rm ac ió n In SA R y C G PS (e cu ac ió n 3. 3) , fr en te a ob se rv ac io ne s si m ul ad as (∆ V i re co ns tr uc ti on = V ( i+ 1) − V i ,e cu ac ió n 3. 7) .( A ) y (B ): So lu ci ón tr un ca da ,u sa nd o só lo el 0. 2 % y el 2 % de lo s va lo re s si ng ul ar es , re sp ec tiv am en te .( C ): so lu ci ón tru nc ad a us an do la co nd ic ió n de Pi ca rd y el cr ite rio de lL -c ur ve .( D ): ca so no re gu la riz ad o (R od ríg ue z- M ol in a et al ., 20 21 ). 3.8 Discusión 139 3.8.3. Escalas temporales de las señales de elevación inter-eruptivas: Three Sisters y otros volcanes La serie temporal de cambio de volumen, extendida hasta enero de 2020, nos permite estudiar en detalle el proceso de inflación en Three Sisters. Así, con el fin de discernir entre distintos comportamientos hemos llevado a cabo una parametrización de esta serie. Riddick and Schmidt (2011) proponen una parametrización de la serie hasta 2010 consistente en un ajuste mediante dos rectas con diferente pendiente reflejando una variación en la tasa de cambio de volumen. La distinta pendiente de las rectas se interpreta como la existencia de dos procesos de inflación diferentes producidos por presurizaciones del medio en los años 1998 y 2004. En el año 2004 se produjo en Three Sisters un pequeño enjambre sísmico, por lo que estos autores se apoyan en este hecho para considerar este año como el inicio de un nuevo proceso de inflación en la zona. Esta parametrización proporciona un buen ajuste para las tasas del cambio de volumen hasta el año 2009. La extensión de la serie temporal así como la combinación de datos llevados a cabo en este trabajo han permitido obtener una serie temporal más larga y densa que muestra claramente un comportamiento suave y continuo en el tiempo. Hemos interpretado esta serie como una inflación rápida seguida de una relajación de la corteza (figura 3.25). Para analizar este comportamiento desde el punto de vista paramétrico, es esencial diferenciar intervalos en los que se produce un cambio en la tasa de creciemiento. Este proceso se puede reproducir de forma razonable con una función exponencial como sugieren Dzurisin et al. (2009). Por lo tanto, proponemos la siguiente parametrización de la serie: V (t) =  d , t < t0 a−b e−c·(t−t0) , t ≥ t0 (3.9) 140 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) donde a, b y d son constantes, 1/c = ε es el tiempo característico o tiempo de relajación (constante de decaimiento exponencial), a partir de ahora llamado parámetro e-folding, y t0 es el inicio de la tendencia exponencial. Para estimar los parámetros de este modelo hemos utilizado el algoritmo de Levenberg-Marquardt proporcionado por el software Curve Fitting Toolbox de MATLAB ®. Este algoritmo es un procedimiento iterativo utilizado para resolver problemas de mínimos cuadrados no lineales, a partir de una estimación inicial del vector de parámetros. La principal desventaja del ajuste por mínimos cuadrados es su sensibilidad a valores atípicos u outliers. Estos valores tienen una gran influencia en el ajuste, ya que, al elevar los residuales al cuadrado se magnifica su impacto. Para minimizar este efecto, el Curve Fitting Toolbox permite ajustar los datos mediante una regresión robusta utilizando las técnicas de mínimo residual absoluto (Least absolute residuals, LAR), que minimiza la diferencia absoluta de los valores residuales, en lugar de las diferencias cuadráticas, y el método de ponderaciones bicuadradas (Bisquare weights methods), que minimiza una suma ponderada de cuadrados, donde la ponderación dada a cada punto de datos depende de lo lejos que esté cada punto de la línea de ajuste. Asimismo hemos considerado también las incertidumbres de los datos (weighted). Para evaluar los resultados obtenidos hemos examinado las estadísticas de bondad del ajuste: RMSE = √ SSE ν (3.10a) R− cuadrado = SSR SST = 1− SSE SST (3.10b) donde SSE = ∑ ( Vi −V̂i )2 es la denominada suma de cuadrados de los valores residuales; ν denota los grados de libertad, definidos como el número de datos n menos el número de coeficientes ajustados m; SSR = ∑ ( V̂i −V̄ )2 es la suma de cuadrados de la regresión y SST = ∑(Vi −V̄ ) 2 es la suma total de los cuadrados. Vi son los datos, V̄ su media y V̂i los resultados del modelo. Antes habíamos utilizado la notación V̂i para indicar los resultados 3.8 Discusión 141 de la serie temporal del cambio de volumen para cada época ti, obtenidos para una fuente Mogi, mediante la combinación de datos GPS e InSAR y el método TSVD (figura 3.25). Sin embargo, ahora estas V̂i son nuestras observaciones y las pasamos a denotar por Vi, es decir, V̄ es la media de esos datos de cambio de volumen. Por tanto, ahora V̂i pasa a indicar la serie temporal de cambio de volumen predicha por el modelo dado por la ecuación 3.9. RMSE es la raíz del error cuadrático medio, también llamada función objetivo. R− cuadrado es el coeficiente de determinación que muestra la calidad del modelo a la hora de reproducir los datos. El valor de R− cuadrado está comprendido entre 0 y 1. El modelo explicará una mayor proporción de varianza cuánto más se acerque a 1. Por ejemplo, un valor de R−cuadrado de 0,8234 significa que el ajuste explica el 82,34% de la variación total de los datos sobre el promedio. Los cuatro métodos utilizados (Bisquare, Bisquare-Weighted, LAR, LAR-Weighted) muestran un ajuste muy similar, siendo LAR el que da mejores resultados. La figura 3.25 y la tabla 3.4 muestran los resultados obtenidos para este ajuste. La serie temporal de cambio de volumen obtenida a partir de los valores mediano y percentiles 5% y 95% del PDF a posteriori de la profundidad, junto con la varianza del ajuste de la curva, permiten restringir los límites inferior y superior de los parámetros e-folding y t0. Tabla 3.4 Parámetros de la función característica del e-folding, obtenidos por un ajuste robusto de mínimos cuadrados no lineales (NLS), utilizando el método del residuo mínimo absoluto (LAR). Se muestran los límites superior e inferior de los parámetros de ajuste de la curva. Estos límites abarcan los resultados obtenidos de la serie temporal de cambio de volumen para los valores de la mediana, y los percentiles 5% y 95% de la estimación de profundidad de la fuente (Rodríguez-Molina et al., 2021). Valor c(años−1) 1/c(años) t0(años) R− square RMSE (m3) óptimo 0.1055 9.48 1999.09 0.989 0.60×106 Límite inferior 0.1042 9.60 1998.75 0.998 0.18×106 Límite superior 0.1074 9.31 1999.59 0.988 0.87×106 La serie temporal abarca 26 años y presenta un e-folding de 9.48 [+0.12,−0.17] años. Este nuevo resultado actualiza el valor de 5.3 años obtenido por Dzurisin et al. (2009) a partir 142 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) de la serie temporal de desplazamientos GPS, entre 2001 y finales de 2008. La actualización de la serie temporal del cambio de volumen presentada aquí muestra cómo la serie sigue una clara tendencia de decaimiento exponencial, con inicio entre octubre 1998 y agosto 1999 (tabla 3.4). Este resultado descarta un cambio en la tendencia de la serie en el año 2004 como apuntaban Riddick and Schmidt (2011) al considerar una parametrización mediante dos rectas. La serie temporal obtenida sugiere que la señal de levantamiento del terreno será detectable durante algunas décadas más, considerando para ello pequeños cambios de volumen (0.1 ·106 m3). Hasta enero de 2020, nuestra serie temporal de inflación indica un volumen acumulado de 29.1 · 106 m3, con un rango de variación entre 22.7 · 106 m3 y 39.9 ·106 m3. Este rango de valores no se aleja de los predichos por Dzurisin et al. (2009) para un modelo de esferoide prolato con un volumen acumulado entre 44.9 y 51.6 ·106m3 (donde la incertidumbre corresponde a 10−20% de esos valores). A modo comparativo, esta estimación del volumen acumulado es entre 10 y 20 veces menor que el volumen expulsado en la erupción del monte St. Helens en mayo de 1980 (Wicks et al., 2002). Con el fin de establecer un posible patrón en este tipo de comportamiento, hemos seleccionado una serie de sistemas volcánicos en los que se ha observado una inflación del terreno que se caracteriza por un decaimiento exponencial: Okmok (Biggs et al., 2010), Long Valley (Hill et al., 2020), Uturuncu (Lau et al., 2018), Laguna del Maule (Le Mével et al., 2015), Yellowstone (Tizzani et al., 2015), Campi Flegrei (Troise et al., 2007), Santorini (Parks et al., 2015), Alutu (Hutchison et al., 2016) y Agung (Syahbana et al., 2019). Los intervalos de inflación estudiados van desde el comienzo de la inflación observada o desde que se produce un nuevo incremento de elevación, hasta que se observa un cambio en la tendencia de los datos definido por el comienzo de un comportamiento asintótico de la función exponencial. Por tanto, su elección se basa únicamente en la forma exponencial que presenta la deformación con independencia de que ésta se corresponda o no con una erupción del sistema (episodios pre-eruptivos o no eruptivos) y de la duración total del período 3.8 Discusión 143 inter-eruptivo. Así, sólo se puede establecer a posteriori si la deformación volcánica que presenta este tipo de decaimiento exponencial puede tomarse como indicativa de una erupción volcánica posterior. Teniendo esto en cuenta, y para evitar posibles sesgos, hemos analizado un grupo heterogéneo de volcanes (diferentes tipos, diversas ubicaciones geográficas y por tanto contextos geodinámicos, distintas series temporales de deformación o de cambio de volumen y diferentes etapas dentro de cada período inter-eruptivo) con el fin de discernir si el parámetro e-folding puede ser o no un parámetro útil para comprender la actividad volcánica a posteriori. Para comparar los diferentes sistemas volcánicos, hemos parametrizado la inflación observada en cada uno de ellos y estimado el parámetro e-folding y t0 siguiendo la ecuación 3.9. Un e-folding mayor indica tiempos de relajación característicos más largos, como se muestra en la figura 3.28 A. Los e-folding estimados varían entre 12 días y 10 años, para episodios de inflación que duran entre 60 días y 26 años. De nuestra selección de volcanes, aquellos presentes en los arcos volcánicos de Norteamérica y Sudamérica presentan mayores valores de e-folding (figura 3.28 B). Ni el tipo ni la composición de la muestra seleccionada de volcanes parecen ser decisivos para obtener una magnitud determinada del tiempo característico de relajación. Sin embargo, aquellos con un e-folding más corto muestran cambios significativos de comportamiento. Por ejemplo, Campi Flegrei exhibió un incremento de desplazamiento vertical durante 1968−1972, con un e-folding de 1.38 años. A continuación, presentó una pequeña tasa de subsidencia hasta el año 1982. Durante 1982−1984 se produjo un cambio en la tendencia de deformación presentando un nuevo episodio de levantamiento, seguido de subsidencia durante el periodo 1985− 2004. Este comportamiento se relaciona con una sobrepresión de origen magmático que a su vez actúa sobre el sistema hidrotermal del volcán (Troise et al., 2007). Alutu experimentó dos pulsos de inflación, el último mostrando un e-folding de ∼ 12 días durante el período octubre-diciembre 2008. Posteriormente se produjo una deflación lenta. La breve escala de tiempo sugiere una inyección de magma en un reservorio 144 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Figura 3.28 (A):Estimación del parámetro e-folding en Three Sisters y en otras series tempo- rales geodésicas y de volumen en volcanes con episodios de actividad reciente: Okmok, Long Valley, Uturuncu, Laguna del Maule, Yellowstone, Campi Flegrei, Santorini, Alutu y Agung. (B): Ubicación geográfica y clasificación según el tipo de volcán. (C, E, F): Elevación o cambio de volumen normalizado, y′ (ecuación 3.11) como función del tiempo normalizado, t ′ (ecuación 3.12) (Rodríguez-Molina et al., 2021). seguida de una desgasificación del reservorio o una despresurización del sistema hidrotermal (Hutchison et al., 2016). En Agung la estación GPS REND empezó a moverse hacia el norte en dirección a la cumbre del edificio volcánico entre agosto y octubre de 2017. La señal, caracterizada por un decaimiento exponencial, fue interpretada por el Indonesian Center for Volcanology and Geology Hazard Mitigation (CVGHM) como una subsidencia de la superficie debido a la deflación de una fuente más profunda. La estimación para el e-folding en ese periodo es ∼ 14 días. Este resultado obtenido para la serie del GPS REND 3.8 Discusión 145 coincide con el calculado por Albino et al. (2019) para la serie temporal del desplazamiento LOS del satélite Sentinel-1 en el mismo periodo. Esta serie de Sentinel-1 está asociada con la intrusión de un dique al noroeste del Monte Agung, lo cual podría explicar que ambas fuentes (fuente profunda y dique) estuvieran conectadas hidráulicamente. Finalmente, a finales de noviembre, tuvo lugar una erupción freatomagmática y fuertes explosiones (Syahbana et al., 2019). Santorini presenta un proceso de inflación con un e-folding de ∼ 102 días para el período comprendido entre octubre de 2011 y agosto de 2012 (Parks et al., 2015). Posteriormente, su tasa de subsidencia aumentó en el período 2012− 2017, sugiriendo la existencia de varias fuentes de deformación (Papageorgiou et al., 2019). El episodio de inflación de Okmok durante el período mayo 2002 - septiembre 2007 presenta un e-folding de 1.24 años. Aunque existen pequeños periodos de deflación (Biggs et al., 2010), la tendencia general de la serie puede modelarse como un decaimiento exponencial. Tras este periodo inter-eruptivo, se produjo una erupción freatomagmática (julio-agosto 2008 ) (Larsen et al., 2015). La serie de deformación de Long Valley presenta un e-folding de 5.31 años para el período 1978−1988. Tras el decaimiento exponencial, se inició un cambio en su actividad, caracterizado por enjambres de terremotos recurrentes y tumescencia del domo resurgente (Hill et al., 2020). Yellowstone experimentó un levantamiento durante 2005−2010, con un e-folding de 2.1 años. Desde el año 2015, la subsidencia de la caldera de Yellowstone ha continuado con una tasa promedio de 2−3 cm por año, según el Yellowstone Volcano Observatory (USGS). Laguna del Maule es el único volcán que obtiene un valor e-folding alto para un período inter-eruptivo corto (2010−14), según Le Mével et al. (2015). Sin embargo, los datos para este período también podrían seguir una tendencia lineal (no de decaimiento exponencial) con una pendiente similar a la tasa de inflación registrada al inicio de la serie. Por otro lado, Uturuncu y Three Sisters presentan un e-folding más largo (8.93 años y 9.48 años), sin mostrar cambios significativos en su actividad volcánica. Aunque el parámetro e-folding parece ser una variable informativa de la magnitud de las escalas 146 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) temporales registradas para los períodos inter-eruptivos, no proporciona ninguna información paramétrica que diferencie los episodios pre-eruptivos (Agung, Okmok) de los episodios volcánicos no eruptivos (por ejemplo, Alutu , Campi Flegrei). Para poder comparar las series temporales, las hemos escalado normalizando o bien el desplazamiento o bien el cambio de volumen (ambas denotadas genéricamente con y′), y realizando un cambio de variable considerando la constante de decaimiento e-folding (t ′): y′(t) = (y(t)− y0)/(yt∞ − y0) (3.11) t ′ = (t − t0)/ε (3.12) donde y0 es el desplazamiento o cambio de volumen en t0, yt∞ es el valor después de la relajación total (es decir, en t = t∞ ) y t0 es el inicio de la función exponencial. Las figuras 3.28 C, D y E muestran las series temporales normalizadas para cada uno de los volcanes. El patrón de todas ellas es sorprendentemente similar. Así, este comportamiento parece ser independiente del valor del e-folding o de la duración del episodio inter-eruptivo. En consecuencia, la similitud temporal podría indicar que existe un conjunto limitado de escenarios físicos subyacentes a estos episodios de inflación inter-eruptiva. Esta evidencia parece respaldar procesos físicos inter-eruptivos que presentan una solución exponencial dependiente del tiempo. Varios modelos físicos podrían explicar este patrón de deformación (p. ej., Lengliné et al., 2008, Reverso et al., 2014, Walwer et al., 2019). Dzurisin et al. (2009) señalan varias explicaciones para el caso de Three Sisters: (1) presurización hidráulica o respuesta instantánea de la corteza debido a la inyección continua de magma desde una fuente situada a mayor profundidad; (2) presurización del sistema hidrotermal; (3) respuesta viscoelástica de la corteza a una intrusión de magma. Aunque como apuntan Dzurisin et al. (2009) el mecanismo físico que actúa en Three Sisters no se puede dilucidar de manera única, hipotetizamos que es debido a una respuesta viscoelástica de la corteza. Previamente, 3.9 Conclusiones 147 Wicks et al. (2002) descartan que la deformación observada en Three Sisters esté causada por un sistema hidrotermal activo debido a la ausencia de fuentes y piscinas termales en la zona. Las erupciones riolíticas recientes cerca de South Sisters, que se produjeron hace 2000 años (Hildreth et al., 2012), junto con la evidencia previa de una fuente magmática de larga duración en Three Sisters (Evans et al., 2004; Ingebritsen et al., 1994) podrían ser indicativos de una evolución del magma acumulado en profundidad durante miles de años, necesaria para que se produzca una erupción. Esto es compatible con la formación de aureolas viscoelásticas debido a la alteración de las propiedades mineralógicas y reológicas de las rocas circundantes a la cámara magmática. Previamente, Zurek et al. (2012) hipotetizan, basándose en las evidencias de que no se han producido cambios de masa significativos en el medio provenientes de un estudio gravimétrico espacio-temporal realizado entre 2002 y 2009, que la deformación en Three Sisters refleja una respuesta viscoelástica de la corteza tras una intrusión de magma que se produjo con anterioridad. Considerando esta hipótesis como válida, hemos realizado una modelización viscoelástica del medio como se explicará en detalle en el capítulo 4. 3.9. Conclusiones En este capítulo, hemos re-analizado la evolución temporal de la inflación observada en Three Sisters extendiendo el periodo de observación hasta el 2020 y combinando datos geo- désicos de distinta naturaleza. Así, hemos combinado datos InSAR procedentes de diferentes satélites, con una gran resolución espacial, y datos CGPS de la estación HUSB que propor- cionan las tres componentes del vector desplazamiento con una gran resolución temporal (registros diarios). Hemos realizado un análisis espacio-temporal de los desplazamientos utilizando la Descomposición Truncada en Valores Singulares (TSVD). Con este método podemos combinar de forma fiable los distintos tipos de datos con el fin de obtener la serie temporal del cambio de volumen que se produce en la fuente responsable de la deformación. 148 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) Desde el punto de vista metodológico, el estudio llevado a cabo en Three Sisters, dada la cantidad y calidad de datos existente, ha permitido determinar un criterio objetivo para obtener el nivel de truncamiento óptimo necesario para garantizar la estabilidad del proceso de obtención de la serie temporal de cambio de volumen sin demasiada pérdida de resolución. Hemos propuesto un método que combina la condición discreta de Picard y el test de L-curve. Además, hemos obtenido una estimación del error considerando la propagación de los errores de observación mediante un cambio de variable a la hora de aplicar TSVD. La serie temporal final se obtiene a partir de las tasas de cambio de volumen en lugar de obtenerla de forma directa. Así, desde el punto de vista de los datos CGPS, se evitan problemas derivados de la amplificación de ruido entre datos GPS adyacentes o la propagación del error de la primera adquisición del GPS en la serie temporal. Desde el punto de vista de los datos InSAR, se evitan los problemas que surgen al aplicar este tipo de metodologías en datos procedentes de distintos satélites y desconectados temporalmente. Teniendo en cuenta la amplia gama de composición de magmas registrada en erupciones previas, y los diferentes estilos de erupción pasados, cualquier cambio en el comportamiento observado en las inmediaciones de Three Sisters debe evaluarse como un indicador de posible actividad volcánica. Actualmente, la inflación observada en Three Sisters desde el año 1996 continúa pudién- dose detectar a pesar de que presenta un decrecimiento anual de baja magnitud (∼ 1 ·106m3/año entre 2019 y 2020). El modelado paramétrico de la serie temporal de cambio de volumen obtenida al considerar las estimaciones bayesianas de profundidad ([4500−6000] m) nos permite limitar el inicio de una tendencia exponencial entre octubre 1998 y agosto 1999, y con un tiempo de relajación característico de 9.48 (+0.12,−0.17) años. Así, si esta tendencia no se interrumpe con otras señales o señales nuevas de deformación, consideramos que la ele- vación continuará durante unas décadas más (hasta (2054±2) años), con tasas decrecientes pero detectables. Finalmente, desde el punto de vista de los posibles mecanismos físicos que 3.9 Conclusiones 149 pueden generar este tipo de comportamientos temporales, hipotetizamos que el observado en Three Sisters es debido a una respuesta viscoelástica de la corteza. CAPÍTULO 4 MODELIZACIÓN VISCOELÁSTICA DEL VOLCÁN THREE SISTERS 4.1. Introducción Los modelos de deformación volcánica que consideran la corteza terrestre como un sólido perfectamente elástico (semiespacio elástico) reconstruyen de manera correcta una gran variedad de datos de deformación de la superficie, pero representan una simplificación excesiva de la reología de zonas volcánicas (Newman et al., 2001). Por norma general, la aproximación elástica es apropiada para pequeñas deformaciones de materiales de la corteza superior (hasta 10−15 km de profundidad) con temperaturas por debajo de las correspon- dientes a la transición frágil-dúctil, dependiendo de la composición y la tasa de deformación. Sin embargo, en zonas volcánicas activas, la interacción del magma con las rocas de la corteza superior puede perturbar de forma significativa el gradiente geotérmico (Newman et al., 2001). Los modelos termo-mecánicos han demostrado que en la roca localizada al- rededor de intrusiones de magma se pueden desarrollar aureolas térmicas (Gasparini et al., 1981), donde se supera la temperatura de transición frágil-dúctil. Las temperaturas dentro de las aureolas y el margen exterior de la cámara magmática permiten el flujo dúctil y la relajación del campo de esfuerzos en las cercanías de la cámara magmática. La deformación 152 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters del terreno y su evolución temporal dependen fuertemente de la rigidez y viscosidad medias del medio alrededor de la fuente volcánica (Del Negro et al., 2009). Como se explicó en el capítulo 3, la ausencia de fuentes y piscinas termales en Three Sisters (Wicks et al., 2002), la ausencia de cambio de gravedad asociado a variaciones de masa en el medio entre 2002 y 2009 (Zurek et al., 2012) y la evidencia previa de que existe una fuente magmática de larga duración (Evans et al., 2004; Ingebritsen et al., 1994) apoyan la hipótesis de que la variación espacio-temporal del cambio de volumen registrada en Three Sisters sea consecuencia de la alteración de las propiedades mineralógicas y reológicas de la roca alrededor de la cámara magmática y, por tanto, de la posible formación de una aureola viscoelástica en una zona de acumulación de magma. Muchos estudios han utilizado la modelización viscoelástica para ajustar la deformación observada en otros volcanes activos (p. ej. Bonafede et al., 1986; Bonafede and Ferrari, 2009; Currenti, 2018; Del Negro et al., 2009; Dragoni and Magnanensi, 1989; Head et al., 2019; Hickey et al., 2013, 2016; Li et al., 2021; Masterlark et al., 2010; Newman et al., 2001, 2006; Novoa et al., 2019; Parks et al., 2015; Yamasaki et al., 2018; Zurek et al., 2012). El trabajo de Bonafede et al. (1986) fue el primero que consideró el efecto de las propiedades inelásticas de la corteza terrestre en relación con la deformación volcánica, mediante una fuente puntual dentro de un semiespacio viscoelástico. La consideración de un semiespacio homogéneo viscoelástico es demasiado restrictiva y dificulta la aplicación del modelo a casos de estudio más realistas. Mientras que es razonable imaginar una respuesta de tipo viscoelástico alrededor de una cámara magmática caliente, es poco probable que toda la corteza se comporte como un medio viscoelástico (Currenti, 2018; Del Negro et al., 2009; Segall, 2010). Una solución más realista es la consideración de una aureola viscoelástica alrededor de la cámara magmática. Dragoni and Magnanensi (1989) fueron los primeros en considerar una cámara magmática rodeada por una aureola viscoelástica dentro de un espacio infinito elástico. Las soluciones analíticas obtenidas por Dragoni and Magnanensi (1989) para 4.1 Introducción 153 un espacio infinito determinan muy bien el cambio de forma del patrón de deformación pero subestiman la deformación por un factor 3 si se considera un coeficiente de Poisson igual a 0.25, al ser soluciones que no tienen en cuenta que el espacio está limitado por una superficie libre (Newman et al., 2001). Como se verá más adelante, para abordar este problema Segall (2016) y Parks et al. (2015) consideraron un semiespacio elástico, donde existe superficie libre, en lugar de un espacio elástico infinito. Estudios recientes han usado la aproximación por elementos finitos (FEM, Finite Element Method) para la modelización viscoelástica de la deformación (p. ej., Currenti, 2018; Head et al., 2019; Hickey et al., 2013, 2016; Li et al., 2021; Masterlark et al., 2010; Newman et al., 2001, 2006; Novoa et al., 2019; Yamasaki et al., 2018). Aunque FEM permite estudiar modelos de cámara magmática más complejos, aproximaciones numéricas más realistas requieren alta capacidad y tiempo de computación. En este capítulo nos centramos en la solución analítica de un modelo de aureola viscoelástica considerando un material tipo Maxwell, descrito en la sección 2.1.3. Este tipo de material permite caracterizar rocas riolíticas y graníticas por encima de la temperatura de transición frágil-dúctil, para un amplio rango de temperaturas y tasas de deformación. Este modelo ha sido descrito por Segall (2010). El trabajo de Segall (2010) presenta dos soluciones analíticas, correspondientes a distintos cambios de presión dentro de la cámara magmática, para modelar la deformación debida a una fuente puntual con simetría esférica rodeada por una aureola viscoelástica tipo Maxwell dentro de un semiespacio elástico. Las soluciones se obtienen a partir de una modificación de la solución obtenida por Dragoni and Magnanensi (1989). La primera solución dada por Segall (2010) considera la función de cambio de presión dentro de la cámara magmática como una función Heaviside, es decir, existe un aumento instantáneo y luego se mantiene la presión. La segunda solución emplea una función de cambio de presión caracterizada por un aumento gradual seguido por un decaimiento exponencial. Por su parte, Parks et al. (2015) analizan el resultado que produce una función presión tipo rampa (aumento lineal) 154 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters seguida por un valor constante de la presión. La modelización viscoelástica produce una deformación comparable en magnitud a aquella producida por modelos puramente elásticos pero requiriendo un cambio de presión mucho menor. Por ello, estimar de manera correcta la función presión dentro de la cámara es esencial para mejorar el conocimiento de los procesos físicos involucrados en la deformación volcánica, así como para estimar el peligro de posibles erupciones futuras (Del Negro et al., 2009). El objetivo de este capítulo es evaluar si un modelo de aureola con una reología viscoe- lástica tipo Maxwell es capaz de explicar la evolución temporal del cambio de volumen obtenida en el capítulo 3 (figura 3.25). Nuestra modelización está basada en una cámara mag- mática puntual con simetría esférica de radio R1 y profundidad d, rodeada por una aureola viscoelástica de radio exterior R2. En las secciones 4.2 y 4.3 se estudiará en profundidad la solución analítica del cambio de volumen dada por este tipo de fuentes, centrándonos en el caso de una variación de la presión tipo rampa. 4.2. Modelo de fuente En la figura 4.1 se representa el problema de la cámara puntual con simetría esférica, pre- surizada y rodeada por una aureola viscoelástica dentro de un semiespacio elástico, isótropo y homogéneo. Aquí se muestra un resumen de la estrategia seguida para su resolución dada por Segall (2010). Para diferenciar los parámetros en las diferentes regiones del problema, utilizamos el subíndice 1 para designar todas las propiedades reológicas correspondientes a la región dentro de la aureola viscoelástica y el subíndice 2 para las del semiespacio elástico. Primero planteamos la solución elástica para una cámara esférica presurizada en una aureola (R1 ≤ r ≤ R2) en un espacio infinito elástico (sección 2.1.4). Después usamos el principio de correspondencia (sección 2.1.3) para obtener la solución del problema viscoelástico en el dominio de la transformada de Laplace. La transformada inversa de Laplace generará la solución en un espacio infinito. Por último, para obtener la solución aproximada en un 4.2 Modelo de fuente 155 semiespacio elástico (válido para R2 ≪ d) seguiremos la metodología expuesta en la sección 2.1.4. La correspondiente solución elástica se plantea de la siguiente manera: la aureola R1 ≤ r ≤ R2 tiene módulo de rigidez µ1 y módulo de compresibilidad K1, y la región exterior r ≥ R2 tiene módulo de rigidez µ2. Debido a la simetría radial, volvemos a la solución general dada en la ecuación 2.26. Debido a que la solución debe ser finita en el límite r → ∞, el término proporcional a r debe ser cero en la región 2, tal que: u(1)r = A r 3 + B r2 , R1 ≤ r ≤ R2 (4.1a) u(2)r = C r2 , r ≥ R2 (4.1b) σ (1) rr = K1A− 4µ1B r3 , R1 ≤ r ≤ R2 (4.1c) σ (2) rr =−4µ2C r2 , r ≥ R2 (4.1d) Figura 4.1 Geometría de una cámara magmática esférica rodeada por una aureola viscoelástica tipo Maxwell. R1 y d es el radio y la profundidad de la cámara magmática. R2 es el radio exterior de la aureola viscoelástica. 156 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters Las condiciones de contorno del problema requieren que los esfuerzos y desplazamientos coincidan en la interfaz r = R2, y que el esfuerzo radial en el límite r = R1 sea igual a la presión aplicada p: u(1)r (r = R2) = u(2)r (r = R2) (4.2a) σ (1) rr (r = R2) = σ (2) rr (r = R2) (4.2b) σ (1) rr (r = R1) =−p (4.2c) Con estas condiciones de contorno se resuelven las incógnitas de las ecuaciones 4.1, obteniendo: A =−3pR3 1(µ1 −µ2)/D (4.3a) B =−pR3 1R3 2(3K1 +4µ2)/4D (4.3b) C =−pR3 1R3 2(3K1 +4µ1)/4D (4.3c) D = 3K1R3 1(µ1 −µ2)−µ1R3 2(3K1 +4µ2) (4.3d) Para encontrar la solución viscoelástica, se aplica el principio de correspondencia defi- niendo la reología tipo Maxwell para la aureola viscoelástica que rodea la cámara magmática dentro de un espacio infinito. Por tanto, µ1 se reemplaza por la expresión µ(s) (ecuación 2.21) y p se reemplaza por su transformada de Laplace: µ(s) = s µ−1s+η−1 (4.4a) p(s) = p (4.4b) donde η es la viscosidad dentro de la aureola. Siguiendo la estrategia explicada por Segall (2010), se asume que no hay relajación fuera de la aureola (región 2), por lo que µ2 es 4.2 Modelo de fuente 157 constante. Por simplicidad, se considera que la rigidez elástica intrínseca es igual en ambas regiones, es decir, µ = µ1 = µ2. Substituyendo las ecuaciones 4.4 en las ecuaciones 4.3 se obtiene que: A(s) =− p(s) 2η ( 1−2υ 1−υ )( R1 R2 )3 D−1 (s) (4.5a) B(s) = p(s)R3 1 4µ ( s+ µ η ) D−1 (s) (4.5b) C(s) = p(s)R3 1 4µ [ s+ µ(1+υ) 3η(1−υ) ] D−1 (s) (4.5c) D(s) = s+ µ(1+υ)R3 1 3η(1−υ)R3 2 (4.5d) Téngase en cuenta que de momento la función presión en el espacio de la transformada de Laplace, p(s), aún no ha sido definida, así el desplazamiento radial viene dado por: u(1)r (r, t) = L −1{A(s)} r 3 + L −1{B(s)} r2 , R1 ≤ r ≤ R2 (4.6a) u(2)r (r, t) = L −1{C(s)} r2 , r ≥ R2 (4.6b) donde los nuevos coeficientes son la transformada inversa de Laplace de las ecuaciones 4.5. Los desplazamientos radiales obtenidos en las ecuaciones 4.6 son relativos al centro de la cámara magmática en un espacio infinito. Para incorporar el efecto de la superficie libre en el campo de desplazamientos, consideramos un sistema cilíndrico (ρ,θ ,z) centrado a una distancia d sobre la cavidad, en la superficie libre, donde d es la profundidad de la cámara magmática. Pasando de coordenadas esféricas (r,θ ,φ ) a coordenadas cilíndricas (ρ,θ ,z) podemos descomponer el desplazamiento radial en la región 2 en desplazamientos verticales 158 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters y horizontales en la superficie z = 0: u(s)z (ρ,z = 0, t) = L −1{C(s)} 1 d2(1+ρ2)3/2 (4.7a) u(s)ρ (ρ,z = 0, t) = L −1{C(s)} ρ d2(1+ρ2)3/2 (4.7b) donde el superíndice (s) denota que el desplazamiento es debido a una fuente en un espacio infinito. La distancia horizontal se ha normalizado por la profundidad de la fuente, ρ = ρ̂/d. Para obtener una solución que garantice una superficie z = 0 libre de esfuerzos (σxz = σyz = σzz = 0), se usa el método de las imágenes (McTigue, 1987) explicado en la sección 2.1.4. Aplicando tracciones iguales y opuestas en la superficie del semiespacio elástico obtenemos una solución con precisión del orden O(R2/d)3 (es decir, solución válida si se cumple R2 ≪ d). Los desplazamientos generados por las tracciones aplicadas en la superficie se identifican con el superíndice (i): u(i)z (ρ,z = 0, t) = L −1{C(s)} (3−4υ) d2(1+ρ2)3/2 (4.8a) u(i)ρ (ρ,z = 0, t) = L −1{C(s)} (3−4υ)ρ d2(1+ρ2)3/2 (4.8b) Así, el desplazamiento total vendrá dado por la suma de las ecuaciones 4.7 y 4.8, es decir, u = u(s)+u(i): uz(ρ,z = 0, t) = L −1{C(s)} 4(1−υ) d2(1+ρ2)3/2 (4.9a) uρ(ρ,z = 0, t) = L −1{C(s)} 4(1−υ)ρ d2(1+ρ2)3/2 (4.9b) 4.2 Modelo de fuente 159 Comparando las ecuaciones 4.9 con la solución del modelo elástico de Mogi: uz = (1−υ)∆V π 1 d2(1+ρ2)3/2 (4.10a) uρ = (1−υ)∆V π ρ d2(1+ρ2)3/2 (4.10b) podemos inferir la serie temporal del cambio de volumen equivalente para el modelo de relajación viscoelástico: V (t) = 4πL −1{C(s)} (4.11) La ecuación 4.11 aparece aún en términos de la inversa de la transformada de Laplace de la ecuación 4.5 c. Esta transformada puede ser calculada analíticamente para determinadas funciones de presión p(t). En la literatura relacionada (p.ej., Segall, 2010), los tres tipos de función presión más utilizados son la función presión tipo Heaviside, la presión caracterizada por un decaimiento exponencial y la función presión tipo rampa. En este capítulo analizare- mos la solución dada para la función presión tipo rampa propuesta por Parks et al. (2015). Esta función se caracteriza por un crecimiento lineal de la presión asociado con una tasa constante de inyección de magma hasta el tiempo t1, seguido por un valor constante de la presión: p(t) = p0 t1 [t +(t1 − t)H(t − t1)] (4.12a) p(s) = p0 ( 1− e−st1 s2t1 ) (4.12b) donde p(t) es la evolución temporal de la función presión, p(s) es su correspondiente transformada de Laplace, p0 es el máximo cambio de presión en la cámara, que se alcanza en t = t1 y H es la función Heaviside. La función rampa es la que ofrece un mejor compromiso entre la versatilidad (la función Heaviside requiere un aumento instantáneo de presión) y la simplicidad, ya que permite estimar el tiempo t1 que marca el fin del incremento de presión. 160 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters Calculando C(s) con la ecuación 4.12 b, se obtiene que: C(s) = p0R3 1(1− e−st1) ( µ(ν+1) 3η(1−ν) + s ) 4µs2t1 ( µ(ν+1)R3 1 3η(1−ν)R3 2 + s ) (4.13) Realizando la transformada inversa de Laplace de la ecuación 4.13 e introduciéndola en la ecuación 4.11 se obtiene la evolución temporal del cambio de volumen para una fuente puntual con simetría esférica, rodeada por una aureola tipo Maxwell, donde la presión está definida por una función tipo rampa (Parks et al., 2015): V (t) = α tR t1 [ R̂3 ( t tR + e− t tR −1 ) +1− e− t tR ... −H(t − t1) ( R̂3 ( t − t1 tR −1 ) +1+(R̂3 −1)e(t1−t)/tR )] (4.14) con: R̂ = R2 R1 (4.15a) tR = 3η(1−ν)R3 2 µ(1+ν)R3 1 (4.15b) α = p0πR3 1 µ (4.15c) donde R̂ es el ratio de radios entre la cámara magmática y la aureola viscoelástica, tR es el tiempo característico de relajación y α es un factor de escala que se denomina intensidad de la fuente. 4.3 Resultados 161 4.3. Resultados En esta sección se muestran los resultados del ajuste de la serie temporal de volumen obtenida en el capítulo anterior (figura 3.25). Para realizar el ajuste de la modelización viscoelástica dada por la ecuación 4.14 se ha utilizado el software Curve Fitting Toolbox de MATLAB ® considerando como parámetros iniciales del modelo los que se muestran en la tabla 4.1. Este software utiliza el algoritmo de Levenberg-Marquardt con el fin de resolver el problema no lineal de mínimos cuadrados que se nos plantea. Para minimizar el efecto de los valores atípicos u outliers, hemos ajustado los datos mediante una regresión robusta utilizando la técnica de mínimo residual absoluto (Least absolute residuals, LAR). Los parámetros del modelo viscoelástico (tR, t1, t0, α , y R2 R1 ) se han resuelto para cada una de la series de cambio de volumen, considerando los diferentes valores de la profundidad estimada de la cámara magmática (valor mediano y percentiles 95% y 5%). El valor óptimo de cada parámetro se obtiene de la serie de cambio de volumen correspondiente a la profundidad mediana, y los límites inferior y superior de cada parámetro se determinan a partir de las series correspondientes al percentil 5% y 95% de la profundidad, respectivamente. De esta manera, proporcionamos una estimación robusta de cada parámetro del modelo. Para evaluar los resultados obtenidos hemos examinado las estadísticas de bondad del ajuste, considerando la raíz del error cuadrático medio RMSE y el coeficiente de determinación R− cuadrado (ecuaciones 3.10). Para la elección del módulo de rigidez hemos considerado los productos volcánicos más frecuentes cerca del centro de elevación en Three Sisters (composición basáltico y basáltico-andesítico), así como la alta probabilidad de que en profundidad el magma sea de composición basáltica (Zurek et al., 2012). Por ello, hemos escogido como valor del módulo de rigidez el del basalto, 13.2 GPa. Los resultados obtenidos de la modelización viscoléastica aparecen en la tabla 4.2. La figura 4.2 muestra el ajuste entre los datos y los 162 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters modelos obtenidos mediante el proceso de inversión. El valor óptimo del tiempo característico tR es 15.28 años, siendo el límite inferior y superior dado por las tres series de cambio de volumen 14.15 años y 16.27 años, respectivamente. El inicio de la serie t0 se estima en el año 1998.41, y los valores límites entre los años 1997.96−1999.15. La duración del aumento del pulso de presión t1, contabilizado desde el inicio de la serie es de 5.61 años para el valor óptimo, siendo el rango posible entre 4.76−6.04 años. El valor óptimo y los límites inferior y superior de la intensidad de la fuente α son 1.00 ·107 m3 y (0.79−1.36) ·107 m3, respectivamente. Por último, el ratio de radios R2 R1 estimado es 1.54, y los valores límites 1.52−1.57. Teniendo en cuenta la ecuación 4.15 b, el valor óptimo y los límites inferior y superior de tR y R2 R1 , hemos obtenido los correspondientes valores para la viscosidad. El valor óptimo de la viscosidad es 9.70 · 1017 Pa · s, con un rango entre (8.85− 9.95) · 1017 Pa · s. Todas las series presentan un valor de R− cuadrado superior a 0.9, siendo particularmente bueno el ajuste de la serie que considera la profundidad mediana y el percentil 5%. En estos casos, el ajuste llega a explicar el 99.7% de la variación total de los datos sobre el promedio de la serie del modelo viscoelástico. Tabla 4.1 Valores iniciales de búsqueda para la minimización por mínimos cuadrados para el ajuste del modelo de cámara magmática esférica rodeada por una aureola viscoelástica. Parámetro Valor inicial de búsqueda tR(años) 10 t1(años) 10 t0(año) 1993 R2/R1 1.5 α(m3) ∆Vmax/2 4.3 Resultados 163 Tabla 4.2 Resultados del ajuste de la función de cambio de volumen para una cámara magmática puntual con simetría esférica rodeada por una aureola viscoelástica (ecuación 4.14), mediante un ajuste robusto de mínimos cuadrados no lineal con el método del residuo mínimo absoluto y el algoritmo de Levenberg-Marquardt. Se muestran los límites superior e inferior de los parámetros de ajuste de la curva. Estos límites abarcan los resultados obtenidos de la serie temporal de cambio de volumen para los valores de la mediana, y los percentiles 5% y 95% de la estimación de profundidad de la fuente. Parámetro Óptimo Límite inferior Límite superior tR(años) 15.28 14.15 16.27 t1(años) 5.61 4.76 6.04 t0(año) 1998.41 1997.96 1999.15 R2/R1 1.54 1.52 1.57 α(m3) 1.00×107 0.79×107 1.36×107 η(Pa · s) 9.70×1017 8.85×1017 9.95×1017 R− square 0.997 0.997 0.960 RMSE (m3) 0.30×106 0.22×106 1.80×106 164 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters Figura 4.2 Modelización de la evolución temporal del cambio de volumen asociado a una fuente puntual con simetría esférica rodeada por una aureola viscoelástica tipo Maxwell, para una función de presión tipo rampa (Parks et al., 2015). Aplicación a las series temporales del cambio de volumen del volcán Three Sisters, obtenidas por la combinación de datos GPS e InSAR, para diferentes valores de la profundidad estimada (Rodríguez-Molina et al., 2021). En verde claro se representan los datos asociados con el valor mediano de la estimación de la profundidad; en amarillo y verde oscuro los correspondientes para valores de los percentiles 95% y 5%. Las líneas continuas en naranja representan el ajuste robusto de mínimos cuadrados no lineal, utilizando el método del residuo mínimo absoluto (NSL-LAR) y el algoritmo de Levenberg-Marquardt. Los círculos representan la estimación del inicio (t0) de la serie viscoelástica para cada una de las series temporales. 4.4. Discusión 4.4.1. Tests de sensibilidad del modelo viscoelástico Se ha realizado un test de sensibilidad considerando las estimaciones de los parámetros mostradas en la sección anterior. Para obtener la sensibilidad de cada uno de los parámetros del modelo de ajuste, en cada caso varía uno de los parámetros, manteniendo fijo el valor obtenido para el resto. 4.4 Discusión 165 La figura 4.3 muestra el comportamiento viscoelástico en función de la intensidad de la fuente, α . La variación de este parámetro actúa como un factor de escala en la serie de cambio de volumen, sin alterar su forma. El gráfico interior muestra la función presión para los diferentes valores de la intensidad, donde p0 se obtiene a partir de considerar un R1 = 1300 m. La figura 4.4 presenta el comportamiento viscoelástico en función de cuándo finaliza el pulso de presión (t1). A partir de ese instante, la presión se mantiene constante en el tiempo. El intervalo analizado de t1 va de 2 a 20 años desde el inicio de la serie de cambio de volumen (t0). El ajuste muestra una gran sensibilidad a este parámetro dado el crecimiento exponencial observado al inicio de la serie de cambio de volumen. En la figura 4.5 se expone el comportamiento en función del ratio de radios. Se han representado valores de R2 R1 entre 1 y 2. En este caso, el cambio de volumen va divergiendo al cambiar el ratio R2 R1 , siendo más acusada esta diferencia a partir del final del pulso de presión (t1). Es entonces, cuando la respuesta viscoelástica depende de forma significativa del tamaño del radio de la aureola viscoelástica. A diferencia de lo que ocurre con el ajuste de t1, las mayores diferencias del modelo se dan para los últimos años. Si por ejemplo la curva del modelo sobreestimase los valores observados, se podría corregir esta tendencia del modelo calibrando el valor de R2 R1 y α . Como ya señalaban Dragoni and Magnanensi (1989), la amplitud de la respuesta viscoelástica es dependiente del tamaño de la aureola. Cuanto mayor sea la aureola, mayor será la deformación observada en superficie. Por último, la figura 4.6 representa los cambios en el modelo viscoelástico debido a cambios en el valor del tiempo característico de relajación tR. Los resultados son para un rango de valores entre 5 y 80 años. tR también es una variable que influye significativamente en el modelo, no obstante, en los primeros años la deformación es muy sensible a la variación del fin de incremento de la presión y para los últimos años al ratio entre el radio de la cámara magmática y la aureola viscoelástica. 166 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters Figura 4.3 Resultado del ajuste al considerar la variación de la intensidad de la fuente, α , y manteniendo fijo el resto de parámetros del modelo viscoelástico. El gráfico interior muestra la función presión para los diferentes valores de la intensidad. Figura 4.4 Resultado del ajuste al considerar la variación de la duración del aumento del pulso de presión, t1, y manteniendo fijo el resto de parámetros del modelo viscoelástico. El gráfico interior muestra la función presión para los diferentes valores de t1. 4.4 Discusión 167 Figura 4.5 Resultado del ajuste al considerar la variación del ratio de radios, R2 R1 , y mantenien- do fijo el resto de parámetros del modelo viscoelástico. El gráfico interior muestra la función presión. Figura 4.6 Resultado del ajuste al considerar la variación del tiempo característico de rela- jación, tR, y manteniendo fijo el resto de parámetros del modelo viscoelástico. El gráfico interior muestra la función presión. 168 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters La figura 4.7 muestra la sensibilidad del ajuste a los parámetros del modelos viscoelástico relativa al cambio de volumen estimado anteriormente. Para el rango de valores considerado, todas las funciones de ajuste presentan un mínimo global bien definido. Con el objetivo de entender la interacción entre los parámetros del modelo viscoelástico, hemos realizado un estudio del ajuste considerando en este caso la variación de dos parámetros, fijando el resto de parámetros del modelo a su valor óptimo. En la figura 4.8 se muestran todos los resultados. Para las parejas α − t0, α − t1, tR − t1, t1 − R2 R1 y t0 − R2 R1 el mínimo está bien definido, coincidiendo con el valor óptimo dado en la tabla 4.2. Sin embargo, al igual que en la fuente tipo Mogi, donde el nivel de aproximación no permite estimar de forma independiente el tamaño de la cámara y el cambio de presión, en el modelo viscoelástico hay parejas de parámetros dónde múltiples pares de valores son igualmente plausibles. Las parejas de parámetros que no presentan un mínimo global, sino zonas de posibles valores igualmente probables, son las parejas formadas por α − R2 R1 , α − tR, tR− t0, tR− R2 R1 y t1− t0. Como vimos anteriormente, los parámetros que juegan un papel más importante en la inversión son tR, R2 R1 y t1. Gracias a que las parejas formadas por tR− t1 y t1− R2 R1 sí presentan un mínimo global bien definido, esto permite a la inversión constreñir de forma satisfactoria la solución óptima de las parejas que no presentan un mínimo global. Esto también se puede visualizar en los test de sensibilidad individuales. En esos casos, al menos 2 de los 3 parámetros más importantes (tR, R2 R1 , t1) están fijos, siendo posible encontrar un mínimo global bien definido en todos los casos. En cambio, al hacer el test de sensibilidad por pares de parámetros vemos cómo aparecen parejas con valores igualmente probables, siendo imprescindibles que las parejas formadas por tR − t1 y t1 − R2 R1 estén bien determinadas para lograr un buen resultado en la inversión. En caso contrario, la inversión podría subestimar o sobreestimar estos parámetros, o no converger. En ese caso, sería necesario fijar una estimación de alguno de los parámetros, mediante por ejemplo información a priori, para conseguir un buen resultado de la inversión. 4.4 Discusión 169 Figura 4.7 Sensibilidad de la función de ajuste considerada en el proceso de inversión a cada uno de los parámetros del modelo viscoelástico. Para obtenerla, en cada caso se considera la variación de cada uno de los parámetros del modelo (tR, t1, t0, α , y R2 R1 ), fijando el resto a su valor óptimo dado en la tabla 4.2. 170 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters Figura 4.8 Valor del ajuste para cada par de parámetros del modelo viscoelástico (tR, t1, t0, α , y R2 R1 ). Los colores indican el valor de la raíz del error cuadrático medio RMSE del ajuste del modelo. Para cada pareja de parámetros del modelo se evalúa un rango de valores, fijando el resto de parámetros con el valor óptimo dado en la tabla 4.2. 4.4 Discusión 171 4.4.2. Implicaciones y limitaciones del modelo viscoelástico La modelización de la aureola viscoelástica considerando la función presión tipo rampa (Parks et al., 2015) ajusta de forma satisfactoria nuestra serie temporal de cambio de volumen. Los parámetros cambio de presión p0 y radio de la cámara magmática R1 están ligados en la aproximación de Mogi (1958), por lo que no es posible estimarlos de forma independiente. Sin embargo, se puede representar la relación existente entre ambos a través del parámetro α (ecuación 4.15 c). Dicha relación, mostrada en la figura 4.9, se pude usar para calcular el tamaño de la cámara magmática dado cualquier valor de p0. Por ejemplo, si suponemos que la presión en el interior de la cámara magmática alcanzó el valor de 10 MPa, esto indicaría un radio R1 de la cámara entre ∼ (1500−1800) m. Considerando los límite inferior y superior del ratio de radios R2/R1, el radio exterior R2 alcanzaría entre ∼ (2300−2800) m. Figura 4.9 Relación entre el cambio de presión p0 dentro de la cámara magmática y el radio de la cámara R1 considerando fijo el parámetro α . 172 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters Si comparamos el valor del tiempo característico de relajación tR con el valor del paráme- tro e-folding (ε = 1/c) obtenido en el capítulo 3 para V (t)= a−b e−c·(t−t0), t ≥ t0, observamos que ambos parámetros guardan una relación. El valor óptimo del e-folding es 9.48 años, con un rango posible de valores entre (9.31−9.60) años. Por su parte, el valor óptimo del tiempo característico de relajación tR es 15.28 años, siendo el límite inferior y superior dados por las tres series de cambio de volumen 14.15 años y 16.27 años, respectivamente. Teniendo en cuenta que el inicio de la serie, t0, es semejante tanto para la modelización del e-folding como en la modelización viscoelástica (t0e-folding ∼ 1999.09, t0viscoelástica ∼ 1998.41), la relación entre ambos parámetros viene dado por (tR − t1)≃ e-folding, donde t1 es igual a 5.61 años para el valor óptimo, y (4.76−6.04) años para el límite inferior y superior. En el caso de la parametrización realizada en el capítulo 3, el comportamiento de decaimiento exponencial empezaba desde t0, por lo que el e-folding (constante de decaimiento exponencial) está definido desde t0. Sin embargo, en la modelización viscoelástica la serie se caracteriza por un incremento exponencial hasta t1, seguido por un decaimiento exponencial, por lo que el tiempo de relajación tR se define desde t1. De ahí que (tR − t1) sea similar a e-folding. Es previsible que la relación existente entre el tiempo de relajación tR y el e-folding varíe según el tipo de función de cambio de presión utilizado para la modelización viscoelástica. Para intervalos de tiempo muy cortos comparados con el tiempo de relajación de la aureola viscoelástica (t ≪ tR) la deformación es equivalente a la producida por una fuente puntual con simetría esférica de radio R1 en un semiespacio elástico. Por el contrario, para t ≫ tR el material de la aureola se relaja completamente, transmitiendo el cambio de presión dentro de la cámara magmática a las paredes exteriores de la aureola. En este límite, la deformación sería equivalente a aquella debida a una fuente puntual con simetría esférica de radio R2. Si consideramos fijo el valor del ratio R2 R1 , un tiempo de relajación tR mayor implicará una viscosidad mayor, tal y como se indica en la ecuación 4.15 b. Para el límite η → ∞ la reología de las rocas se puede considerar elástica. La curva de tR = 80 años en la figura 4.4 Discusión 173 4.6 es la que más se acercaría al caso elástico. Como se observa, el modelo viscoelástico permite trabajar con presiones más realistas que el modelo elástico, ya que, cuanto menor es la viscosidad, y por tanto tR, mayor es la deformación o cambio de volumen obtenido. A primera vista la estimación de la viscosidad parece estar lejos de ser una solución única, ya que depende tanto del tiempo de relajación tR como del ratio de radios R2 R1 estimado. Aunque las dimensiones absolutas de la cámara magmática y de la aureola pueden variar mucho, la relación entre ambas dimensiones, dada por el ratio de radios R2 R1 , es más limitada. Las cámaras magmáticas pequeñas serán capaces de calentar un pequeño volumen de rocas a su alrededor, mientras que las cámaras de gran tamaño conseguirán elevar la temperatura de un volumen de rocas mucho mayor (Newman et al., 2001). Para un tiempo característico de tR ∼ 15 años y un rango de ratios R2 R1 = 1−3, la variación de la viscosidad dada por el modelo viscoelástico es de tan sólo un orden de magnitud (de 1018 Pa · s a 1017 Pa · s) (figura 4.10). En cambio, la viscosidad puede variar hasta 10 órdenes de magnitud dependiendo del rango de temperaturas plausibles en la aureola, así como de la diferente composición de las rocas (Newman et al., 2001). En la tabla 4.3 se comparan los resultados de la viscosidad obtenida para diferentes volcanes activos: Bárðarbunga (Islandia) entre 2015− 2018 (Li et al., 2021), Laguna del Maule (Chile) entre 2007 − 2017 (Novoa et al., 2019), caldera Kutcharo (Japón) entre 1993− 1998 (Yamasaki et al., 2018), Santorini (Grecia), entre enero 2011 y julio 2012 (Parks et al., 2015), caldera Long Valley (EEUU), entre 1994−1999 (Newman et al., 2001), Three Sisters entre 2002− 2009 (Zurek et al., 2012) y entre 1993− 2020 (este estudio). Los valores más bajos de la viscosidad se dan para el volcán Santorini (4.7 · 1015 Pa · s, R2 R1 = 1.73) donde la serie temporal de deformación tan solo dura unos meses, y para la caldera Long Valley (5 ·1015 −2 ·1016 Pa · s) donde el ratio de radios considerado es R2 R1 = 3. No obstante, de la pequeña colección que aquí se muestra, parece que el orden de magnitud más común para la viscosidad es (1017−1018) Pa · s, independientemente del tipo de modelo, 174 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters Figura 4.10 Tiempo característico tR versus viscosidad, η , para varios ratios R2 R1 (ecuación 4.15 b) capa viscoelástica o aureola viscoelástica. Sin embargo, al comparar los resultados del volcán Three Sisters vemos diferencias entre el modelo de Zurek et al. (2012) y nuestro estudio. El orden de magnitud de la viscosidad obtenida por Zurek et al. (2012) para el periodo 2002− 2009 es de (1018 − 1019) Pa · s, considerando un modelo de capa elástica más capa viscoelástica. En cambio, nuestro modelo de aureola viscoelástica para el periodo 1993− 2020 prevee una viscosidad ∼ 1018 Pa · s, es decir, hacia el extremo inferior del rango dado por Zurek et al. (2012). Esto se puede deber a dos motivos: (1) la serie de Zurek et al. (2012) engloba un periodo demasiado corto, impidiendo una mejor estimación de la viscosidad y (2) la consideración de una capa viscoelástica en lugar de una aureola viscoelástica es una consideración demasiado restrictiva. De forma general la litosfera superior no participa en el flujo viscoelástico debido a su baja temperatura, por lo que este modelo es poco realista. Al considerar una región tan extensa como una capa viscoelástica, las viscosidades efectivas resultantes son de mayor magnitud. 4.4 Discusión 175 Ta bl a 4. 3 C om pa ra ci ón de re su lta do s de riv ad os de m od el iz ac io ne s vi sc oe lá st ic as en ot ro s vo lc an es y nu es tro s re su lta do s pa ra el vo lc án T hr ee Si st er s. E st ud io Vo lc án M et od ol og ía η (P a ·s ) t R L ie ta l. (2 02 1) B ár ða rb un ga ,2 01 5 − 20 18 (I sl an di a) Se m ie sp ac io co n ca pa el ás tic a + ca pa vi sc oe lá st ic a. FE M 3. 0 × 10 18 − − N ov oa et al .( 20 19 ) L ag un a de lM au le ,2 00 7 − 20 17 (C hi le ) Se m ie sp ac io el ás tic o + au re ol a vi sc oe lá st ic a FE M 1 × 10 17 − − Y am as ak ie ta l. (2 01 8) C al de ra K ut ch ar o, 19 93 − 19 98 (J ap ón ) Se m ie sp ac io co n ca pa el ás tic a + 2 ca pa s vi sc oe lá st ic as (c or te za y m an to ). FE M 4 × 10 17 (c or te za ) − − Pa rk s et al .( 20 15 ) Sa nt or in i, en e 20 11 -j ul 20 12 (G re ci a) Se m ie sp ac io el ás tic o + au re ol a vi sc oe lá st ic a So lu ci ón an al íti ca 4. 7 × 10 15 10 1 ± 4 dí as Z ur ek et al .( 20 12 ) T hr ee Si st er s, 20 02 − 20 09 (E E U U ) Se m ie sp ac io co n ca pa el ás tic a + ca pa vi sc oe lá st ic a. FL A C 6. 0 so ft w ar e 1 × 10 18 − 5 × 10 19 − − N ew m an et al .( 20 01 ) C al de ra L on g V al le y, 19 94 − 19 99 (E E U U ) Se m ie sp ac io el ás tic o + au re ol a vi sc oe lá st ic a FE M . 5 × 10 15 − 2 × 10 16 − − E st e es tu di o T hr ee Si st er s, 19 93 − 20 20 (E E U U ) Se m ie sp ac io el ás tic o + au re ol a vi sc oe lá st ic a So lu ci ón an al íti ca (8 .8 5 − 9. 95 ) × 10 17 (1 4. 15 − 16 .2 7) añ os 176 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters En zonas volcánicas, la presencia de materiales heterogéneos y altas temperaturas generan una viscosidad efectiva baja de la corteza terrestre cerca de cámaras magmáticas. Los únicos valores de la viscosidad de la corteza que han sido inferidos provienen de estudios de deformación post-sísmica y rebote isostático para el manto superior y la corteza (p. ej. Ueda et al., 2003; Wdowinski and Axen, 1992). Estos estudios estiman una viscosidad de la corteza inferior entre (1 · 1018 − 1 · 1021) Pa · s. El valor óptimo de la viscosidad estimada para la serie de cambio de volumen en Three Sisters, 9.70 · 1017, es una viscosidad efectiva muy inferior a la esperada para la corteza superior, (1 · 1021 − 1 · 1023) Pa · s (Wdowinski and Axen, 1992). En cambio, es del orden de magnitud de la viscosidad esperada en la corteza continental con condiciones de alta presión y temperatura propias de la corteza inferior. El espesor y la viscosidad de la aureola esférica depende de la temperatura y del estado térmico de las rocas circundantes (Del Negro et al., 2009). La baja viscosidad efectiva en zonas volcánicas, permite estimar el régimen térmico de la corteza alrededor de la cámara magmática. Estudios que incluyen la dependencia de la viscosidad con la temperatura muestran valores de la viscosidad entre (1 ·1015 −1 ·1020)Pa · s para aureolas viscoelásticas tipo Maxwell alrededor de fuentes tipos Mogi, considerando temperaturas de 1000 K en las paredes de la cámara magmática. Si se consideran temperaturas de 1500 K la viscosidad sería entre (1 ·1013 −1 ·1017)Pa · s (Del Negro et al., 2009). Imponer como condición de contorno que las paredes de la cámara tengan temperatura igual o superior a 1000 K equivale a asumir la cámara magmática como una fuente de calor, es decir, con entrada continua de magma (Del Negro et al., 2009). En el caso de Three Sisters, los resultados apuntan a un cambio de presión tipo rampa seguido de un mantenimiento constante de la presión, descartando una intrusión continua de material dentro de la cámara, por lo que la temperatura en las paredes de la cámara podría ser inferior a 1000 K. A la hora de inferir la temperatura dentro de la aureola viscoelática hemos utilizado la fórmula de Arrhenius: η = AD eE/(RT ) (4.16) 4.4 Discusión 177 donde AD es el parámetro de Dorn, 109Pa · s (p. ej. Del Negro et al., 2009), E es la energía de activación, con valor de 135 kJ/(mol) para el granito y la cuarcita, materiales presentes en la corteza superior (p. ej. Currenti, 2018; Hickey et al., 2016; Meissner and Tanner, 1992), R = 8.314 J/(mol ·K) es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta. Si consi- deramos el valor óptimo obtenido para la viscosidad, 9.70 ·1017 Pa · s, así como los límites inferior (8.85 · 1017 Pa · s) y superior (9.95 · 1017 Pa · s), la temperatura óptima resultante dentro de la aureola es de 784.70 K ≃ 512◦C, siendo los límites inferior y superior 515◦C y 511◦C, respectivamente. A temperaturas por encima de 300−350◦C, el comportamiento reológico de la mayoría de las rocas de la corteza superior está dominado por la deformación dúctil de su componente más débil, el cuarzo, el cual representa entre ∼ 10−15% de las rocas. La viscosidad y temperatura obtenidas de la aureola son consistentes con la viscosidad efectiva del cuarzo, la cual alcanza valores entre (1017 −1019) Pa · s para temperaturas entre 500−600◦C, asumiendo una ley no-lineal de flujo dúctil con una tasa de deformación de 10−13 s−1 (Newman et al., 2001). Estudios recientes están desafiando el concepto tradicional de cámara magmática com- puesta por un alto porcentaje de material fundido, mostrando que es más plausible que el magma se almacene en depósitos tipo mush (Cashman et al., 2017; Edmonds et al., 2019) (figura 4.11). El mush (’masa cristalina’ es español) comprende una estructura porosa y permeable de cristales muy compactos, donde el material fundido está presente en el espacio poroso (Jackson et al., 2018). La filtración de material fundido a través de los cristales produ- ce magmas químicamente diferenciados (silícicos) que ascienden hacia la superficie para formar intrusiones menos profundas o erupciones hacia la superficie. Estos magmas pueden albergar cristales mucho más antiguos, almacenados a bajas temperaturas. Los cambios en la composición local provocados por el flujo de material fundido, en lugar de por grandes aumentos de temperatura, producen un rápido aumento del porcentaje de material fundido. El flujo de este material moviliza estos cristales almacenados a baja temperatura. Según 178 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters Jackson et al. (2018) el almacenamiento y la diferenciación magmática ocurre principalmente por el flujo de material fundido dentro de depósitos de mush de larga duración, en lugar de por el proceso de cristalización fraccionada. El material tipo Maxwell utilizado en nuestra modelización es una reologia viscoelástica que reproduce bien el comportamiento de las rocas volcánicas a alta temperatura (Dragoni and Magnanensi, 1989) presentes en los sistemas tipo mush. Estos sistemas se caracterizan por tener una pequeña fracción de material fundido y no mostrar carácter eruptivo, debido a que su reología está controlada por la deformación de la parte cristalina (Cashman et al., 2017). Por ello, la reología tipo Maxwell se suele utilizar para simular reservorios tipo mush rico en cristales (p. ej. Jellinek and Depaolo (2003); Le Mével et al. (2016); Novoa et al. (2019)). Figura 4.11 Esquema ilustrativo de la formación de mush alrededor de reservorios magmáticos (modificado de Cashman et al., 2017). 4.5 Conclusiones 179 El modelo viscoelástico presentado en este capítulo presenta ciertas limitaciones. En primer lugar, en el área de Three Sisters existe un amplio catálogo de diferentes estilos de erupción y procesos geológicos, por lo que no es posible la representación de forma precisa ni de la reología ni de la composición de la corteza en dicha zona (Zurek et al., 2012). Por esta razón asumimos como valor del módulo de rigidez el correspondiente al basalto. No obstante, otras reologías más ricas en sílice también son posibles. En segundo lugar, en este modelo viscoelástico la viscosidad η de la aureola se considera constante. Desde un punto de vista físico equivaldría a obtener el valor promedio de la viscosidad dentro de la aureola viscoelástica, sin embargo, la viscosidad depende de la temperatura en la aureola. Por último, el tiempo de relajación depende de la reología considerada, es decir, del tipo de material considerado (tipo Maxwell, Kelvin, Sólido Lineal Estándar (SLS), etc.). El estudio realizado por Head et al. (2019) para una fuente puntual con simetría esférica dentro de un semiespacio viscoelástico concluye que un material tipo SLS da resultados más realistas que el tipo Maxwell, si bien estos autores consideran un semiespacio viscoelástico. Un futuro trabajo puede estar enfocado en el análisis del modelo viscoelástico para la serie temporal de cambio de volumen de Three Sisters, mediante la consideración de diferentes reologías en la aureola. Por último, futuros análisis de laboratorio en rocas a alta temperatura pueden contribuir significativamente a derivar la ley reológica que mejor describa el proceso de relajación viscoelástica (Currenti, 2018). 4.5. Conclusiones El decaimiento observado en la elevación del volcán Three Sisters es consistente con una respuesta viscoelástica de la corteza. Como vimos en el capítulo 3, la ausencia de fuentes y piscinas termales, la falta de cambio de gravedad entre 2002 y 2009 y la evidencia de una fuente magmática de larga duración en Three Sisters apoyan la hipótesis de la formación de una aureola viscoelástica tipo Maxwell en la roca alrededor de la cámara magmática. La 180 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters modelización realizada utiliza una función temporal de cambio de presión tipo rampa seguida por un valor constante de la presión. El inicio de la serie de cambio de volumen para el modelo viscoelástico de Three Sisters (t0) se estima en 1998.41, con un tiempo característico tR de 15.28 años. La duración del aumento del pulso de presión t1 se estima en 5.61 años desde el inicio de la serie. Los valores estimados para la intensidad de la fuente α y el ratio de radios R2 R1 son 1.00 ·107 m3 y 1.54, respectivamente. La viscosidad obtenida es 9.70 ·1017 Pa · s. La relación existente entre el tiempo característico tR y el e-folding es previsible que varíe según el tipo de función de cambio de presión utilizado para la modelización viscoelástica. En nuestro caso, la relación entre ambos parámetros viene dado por (tR − t1)≈ e-folding. El tiempo característico de relajación es una variable que influye notablemente en el modelo, presentando mayor sensibilidad a menores tR. No obstante, en los primeros años la deformación es muy sensible a la variación del fin de incremento de la presión y para los últimos años al ratio entre el radio de la cámara magmática y la aureola viscoelástica. El material tipo Maxwell utilizado en nuestra modelización es una reologia viscoelástica que reproduce correctamente el comportamiento de las rocas volcánicas a alta temperatura y se puede emplear para recrear reservorios tipo mush rico en cristales. El modelo viscoelástico permite trabajar con presiones más realistas que el modelo elástico, ya que, cuanto menor es la viscosidad, y por tanto tR, mayor es la deformación o cambio de volumen obtenido. A través del parámetro α se pude estimar el tamaño de la cámara magmática dado un valor de p0. Así, si la presión en el interior de la cámara magmática alcanzó el valor de 10 MPa, esto indicaría un radio R1 de la cámara entre ∼ (1500−1800) m y un radio exterior R2 entre ∼ (2300−2800) m. Si consideramos el valor óptimo obtenido de la viscosidad, 9.70 ·1017 Pa ·s, la temperatura resultante dentro de la aureola es de ≃ 500◦C, valor consistente con la viscosidad efectiva del cuarzo, la cual alcanza valores entre (1017−1019) Pa ·s para temperaturas entre 500−600◦C. CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES GENERALES Y FUTURO TRABAJO 5.1. Conclusiones generales Esta memoria de tesis doctoral se ha centrado en el análisis e interpretación de resultados de desplazamientos del terreno derivados de datos procedentes de Sistemas Continuos de Posicionamiento Global (CGPS) e Interferometría Radar de Apertura Sintética (InSAR), así como de los posibles mecanismos físicos involucrados en las deformaciones inter-eruptivas. A continuación, se describen las principales conclusiones y resultados obtenidos para cada uno de los objetivos que nos planteamos en esta tesis. En primer lugar, nos planteamos analizar el comportamiento temporal de la serie de deformación observada en Three Sisters mediante la combinación de datos geodésicos de diferente naturaleza, así como establecer un método objetivo para la regularización de la serie temporal de cambio de volumen. Para este propósito, hemos re-analizado la evolución temporal de la inflación observada en Three Sisters durante 26 años, extendiendo el periodo de observación hasta el 2020 y combinando datos InSAR procedentes de diferentes satélites, con una gran resolución espacial, y datos CGPS con una gran resolución temporal. Para ello, hemos desarrollado una metodología aplicando la Descomposición Truncada en Valores Singulares (TSVD) y criterios objetivos para determinar el nivel de truncamiento óptimo 182 Conclusiones generales y futuro trabajo (condición de Picard y test de L-curve), así como la implementación de propagación de errores en todos los pasos de la inversión. Con este procedimiento se garantiza la estabilidad del proceso de obtención de la serie temporal de cambio de volumen sin demasiada pérdida de resolución. Para evitar discontinuidades temporales en la serie hemos obtenido la tasa de cambio de volumen siguiendo el método Short Baseline Subset Approach (SBAS). En relación con el objetivo de determinar si Three Sisters sigue activo, los resultados obtenidos indican que la inflación observada en Three Sisters desde el año 1996 continua en la actualidad, pudiéndose detectar, a pesar de que presenta un crecimiento anual de baja magnitud. La fuente que mejor explica la deformación corresponde con una fuente puntual con simetría esférica a una profundidad de [4500−6000] m. La serie temporal se caracteriza por presentar una tendencia exponencial con un tiempo de relajación característico de 9.48 (+0.12,−0.17) años. Según nuestras estimaciones, en ausencia de nuevas señales, la elevación continuará durante unas décadas más, hasta (2054±2) años. Dado el pasado eruptivo de Three Sisters, cualquier futuro cambio en el comportamiento observado en las inmediaciones de Three Sisters debe considerarse como un indicador de posible actividad volcánica. A continuación, nos planteamos estudiar los procesos concretos que han dado lugar a la deformación observada en Three Sisters. La ausencia de fuentes y piscinas termales, la falta de cambio de gravedad debido a variaciones de masa del sistema entre 2002 y 2009 y la evidencia de una fuente magmática de larga duración en Three Sisters apoyan la hipótesis de que parte de la deformación observada en Three Sisters es debida a la formación de una aureola viscoelástica en la roca alrededor de la cámara magmática. Para reproducir el comportamiento de las rocas volcánicas a alta temperatura, hemos considerado un material tipo Maxwell dentro de la aureola. Considerando una función temporal de cambio de presión tipo rampa, seguida por un valor constante de la presión, hemos estimado el inicio de la serie de cambio de volumen para el modelo viscoelástico de Three Sisters en 1998.41, el 5.1 Conclusiones generales 183 tiempo característico de relajación tR en 15.28 años, la duración del aumento del pulso de presión t1 en 5.61 años y el ratio de radios en 1.54. A igual presión, el modelo viscoelástico permite trabajar con presiones más realistas que el modelo elástico, ya que, cuanto menor es la viscosidad, y por tanto tR, mayor es la deformación o cambio de volumen obtenido. La relación existente entre el tiempo característico obtenido de la parametrización de la serie temporal (e-folding) y el tiempo de relajación tR es previsible que varíe según el tipo de función de cambio de presión utilizado para la modelización viscoelástica. En nuestra modelización de Three Sisters, la relación entre ambos parámetros viene dada por (tR − t1) ≃ e-folding. Dado el valor óptimo obtenido de la viscosidad, 9.70 · 1017 Pa · s, la temperatura resultante dentro de la aureola es de T ≃ 500◦C, valor consistente con la viscosidad efectiva del cuarzo. Finalmente, nos planteamos estudiar los posibles mecanismos físicos que dan lugar a determinadas escalas temporales de deformaciones inter-eruptivas en zonas volcanicas. En este sentido, el análisis aquí presentado es un paso hacia adelante para la comprensión de la escala temporal de los procesos inter-eruptivos. Tras aplicar un escalado apropiado haciendo uso del parámetro e-folding, las series de cambio de volumen o elevación inter-eruptivas de los diferentes volcanes analizados muestran un comportamiento bastante simple e in- variante en el tiempo. Esto parece revelar que tras estos episodios inter-eruptivos está en juego un reducido número de mecanismos físicos, caracterizados por un comportamiento de decaimiento exponencial (respuesta viscoelástica, presurización hidráulica o respuesta del sistema hidrotermal). Además, la magnitud del e-folding puede ser indicativa de cam- bios significativos en el comportamiento de fondo de los volcanes. La presencia de señales temporales persistentes, duraderas y superpuestas de levantamiento de la superficie pueden crear confusión si nos basamos en el modelo clásico de ciclo de deformación volcánica (inflación-erupción-deflación). En volcanes donde existe un levantamiento persistente es necesario controlar los indicadores relacionados con posibles futuras erupciones. Por ello, 184 Conclusiones generales y futuro trabajo destacamos la importancia de identificar cualquier desviación en el comportamiento del vol- cán (potencialmente muy complejo) mediante la monitorización continua de la deformación de la superficie. En lo que respecta al pronóstico de erupciones, la elevación/ inflación por sí solas no pueden usarse como precursor pre-eruptivo, siendo necesario la combinación con otros datos petrológicos y/ o geofísicos. 5.2. Futuro trabajo Según nuestro modelo e-folding, la señal de elevación en Three Sisters será continua durante unas décadas. Por este motivo, un futuro trabajo puede estar centrado en ampliar la serie temporal de cambio de volumen para el volcán Three Sisters mediante la incorporación de un mayor número de datos geodésicos. Para mejorar la precisión en los periodos donde se registran deformaciones pequeñas, es imprescindible ampliar la base con nuevos datos GPS continuo. Asimismo, el catálogo InSAR se podría ampliar con datos de larga duración proce- dentes del satélite Sentinel y la realización de nuevas series temporales de desplazamiento LOS acumulado (stack interferométrico). Investigaciones futuras pueden estar enfocadas en ampliar el análisis del tiempo ca- racterístico, e-folding, para un número estadísticamente representativo de volcanes activos que presentan deformaciones inter-eruptivas. Ampliar de forma significativa el catálogo de volcanes analizados permitiría dilucidar si la magnitud del parámetro e-folding, además de ser indicativa de cambios significativos en el comportamiento de fondo de los volcanes, podría diferenciar entre actividad pre-eruptiva y no eruptiva o discriminar qué mecanismo físico es el dominante cuando existen varios mecanismos simultáneos. Por ejemplo, se podría analizar si valores de e-folding altos se relacionan más con mecanismos donde predomina la relajación viscoelástica de la corteza y si valores de e-folding pequeños reflejan mecanismos cuya principal contribución se debe al transporte de fluidos. Asimismo, en el caso de volcanes con valores de e-folding pequeños, se podría estudiar si los comportamientos eruptivos (p. ej. 5.2 Futuro trabajo 185 Agung y Okmok) y no eruptivos (p. ej. Alutu y Campi Flegrei) dependen de la naturaleza de los fluidos volcánicos (magmáticos o hidrotermales). Por último, proponemos ampliar la complejidad del modelo viscoelástico mediante métodos numéricos como los elementos finitos. Por un lado, se podría evaluar otros tipos de función presión. Por otro lado, la viscosidad puede variar dependiendo del rango de temperaturas plausibles en la aureola, así como de la diferente composición de las rocas. Por ello, planteamos como mejora futura el estudio de diferentes reologías en la aureola (tipo Maxwell, Kelvin, Sólido Lineal Estándar (SLS), etc.), así como la integración de modelos termo-mecánicos que relacionen el gradiente de viscosidades con la temperatura presente en la aureola. Asimismo, se podría considerar valores distintos de los parámetros elásticos dentro y fuera de la aureola. Finalmente, también se podría combinar el modelo viscoelástico con la dinámica de fluidos asociada al evento de intrusión magmática (p. ej. con un flujo tipo Hagen-Poisuille) para obtener así el tiempo característico asociado a la intrusión de magma. BIBLIOGRAFÍA Acocella, V., Di Lorenzo, R., Newhall, C., and Scandone, R. (2015). An overview of recent (1988 to 2014) caldera unrest: Knowledge and perspectives. Reviews of Geophysics 53, 896–955. doi:10.1002/2015RG000492 Aki, K. (2004). A new view of earthquake and volcano precursors. Earth, Planets and Space 56, 689–713 Albino, F., Biggs, J., and Syahbana, D. (2019). Dyke intrusion between neighbouring arc vol- canoes responsible for 2017 pre-eruptive seismic swarm at agung. Nature Communications 10, 748. doi:https://doi.org/10.1038/s41467-019-08564-9 Anderson, K. and Segall, P. (2013). Bayesian inversion of data from effusive volcanic eruptions using physics-based models: Application to mount st. helens 2004–2008. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 118, 2017–2037. doi:https://doi.org/10.1002/jgrb. 50169 Backus, G. E. (1988). Bayesian inference in geomagnetism. Geophysical Journal Internatio- nal 92, 125–142. doi:10.1111/j.1365-246X.1988.tb01127.x Bacon, C. R. (1983). Eruptive history of Mount Mazama and Crater Lake Caldera, Cascade Range, U.S.A. Journal of Volcanology and Geothermal Research Volume 18 Issues 1–4, Pages 57–115 Bagnardi, M. and Hooper, A. (2018). Inversion of Surface Deformation Data for Rapid Estimates of Source Parameters and Uncertainties: A Bayesian Approach. Geochemistry, Geophysics, Geosystems 19, 2194–2211. doi:10.1029/2018GC007585 Bartel, B. A., Hamburger, M. W., Meertens, C. M., Lowry, A. R., and Corpuz, E. (2003). Dynamics of active magmatic and hydrothermal systems at taal volcano, philippines, from continuous gps measurements. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 108. doi:https://doi.org/10.1029/2002JB002194 Battaglia, M., Cervelli, P., and Murray, J. (2013a). DMODELS: A MATLAB software package for modeling crustal deformation near active faults and volcanic centers. Journal of Volcanology and Geothermal Research 254, 1–4. doi:10.1016/j.jvolgeores.2012.12.018 Battaglia, M., Cervelli, P., and Murray, J. (2013b). Modeling crustal deformation near active faults and volcanic centers—A catalog of deformation models., vol. book 13, chap. B1, 96 p. (U.S. Geological Survey Techniques and Methods) 188 Bibliografía Bekaert, D. P. S., Hamlington, B. D., Buzzanga, B., and Jones, C. E. (2017). Spaceborne Synthetic Aperture Radar Survey of Subsidence in Hampton Roads, Virginia (USA). Scientific Reports doi:10.1038/s41598-017-15309-5 Benito-Saz, M., Sigmundsson, F., Charco, M., Hooper, A., and Parks, M. (2019). Magma flow rates and temporal evolution of the 2012–2014 post-eruptive intrusions at el hierro, canary islands. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 124. doi:10.1029/2019JB018219 Berardino, P., Fornaro, G., Lanari, R., and Sansosti, E. (2002). A new algorithm for surface deformation monitoring based on small baseline differential sar interferograms. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing 40, 2375–2383. doi:10.1109/TGRS. 2002.803792 Biggs, J., Ebmeier, S., Aspinall, W., Lu, Z., Pritchard, M., Sparks, R., et al. (2014). Global link between deformation and volcanic eruption quantified by satellite imagery. Nature communications 5, 3471. doi:10.1038/ncomms4471 Biggs, J., Lu, Z., Fournier, T., and Freymueller, J. T. (2010). Magma flux at Okmok Volcano, Alaska, from a joint inversion of continuous GPS, campaign GPS, and interferometric synthetic aperture radar. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 115, 1–11. doi: 10.1029/2010JB007577 Biggs, J. and Pritchard, M. (2017). Global Volcano Monitoring: What Does It Mean When Volcanoes Deform? Elements 13, 17–22. doi:10.2113/gselements.13.1.17 Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning (Information Science and Statistics) (Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag) Blake, S. (1981). Volcanism and the dynamics of open magma chambers. Nature 289, 783–785. doi:https://doi.org/10.1038/289783a0 Blewitt, G. (1989). Carrier phase ambiguity resolution for the global positioning system applied to geodetic baselines up to 2000 km. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 94, 10187–10203. doi:https://doi.org/10.1029/JB094iB08p10187 Blewitt, G. (2015). GPS and Space-Based Geodetic Methods. In: Gerald Schubert (editor-in- chief) Treatise on Geophysics, 2nd edition, vol. Vol 3. (Oxford: Elsevier) Bonaccorso, A. and Davis, P. (1999). Models of ground deformation from vertical volcanic conduits with application to eruptions of mount st. helens and mount etna. J. Geophys. Res. 104(B5), 10531–10542 Bonafede, M., Dragoni, M., and Quareni, F. (1986). Displacement and stress fields produced by a centre of dilation and by a pressure source in a viscoelastic half-space: application to the study of ground deformation and seismic activity at campi flegrei, italy. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society 87, 455–485. doi:https://doi.org/10.1111/j. 1365-246X.1986.tb06632.x Bonafede, M. and Ferrari, C. (2009). Analytical models of deformation and residual gravity changes due to a Mogi source in viscoelastic medium. Tectonophysics 471, 4–13. doi: 10.1016/j.tecto.2008.10.006 Bibliografía 189 Caricchi, L., Townsend, E., M.and Rivalta, and Namiki, A. (2021). The build-up and triggers of volcanic eruptions. Nature Reviews Earth and Enviroment 2, 458–476 Cashman, K. V., Sparks, R. S. J., and Blundy, J. D. (2017). Vertically extensive and unstable magmatic systems: A unified view of igneous processes. Science 355, eaag3055. doi: 10.1126/science.aag3055 Charco, M. and Galán del Sastre, P. (2014). Efficient inversion of three-dimensional finite element models of volcano deformation. Geophysical Journal International 196, 1441– 1454. doi:10.1093/gji/ggt490 Chen, C. W. and Zebker, H. A. (2002). Phase unwrapping for large SAR interferograms: sta- tistical segmentation and generalized network models. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing 40, 1709–1719 Cheney, E. (1997). What is the age and extent of the Cascade Magmatic Arc? Washington Geology 25, no. 2, p 28–32 Curlander, J. and McDonough, R. (1991). Synthetic Aperture Radar: Systems and Signal Processing (Wiley, New York) Currenti, G. (2018). Viscoelastic modeling of deformation and gravity changes induced by pressurized magmatic sources. Journal of Volcanology and Geothermal Research 356, 264–277. doi:https://doi.org/10.1016/j.jvolgeores.2018.03.020 Dach, R., Hugentobler, U., Fridez, P., and Meindl, M. (2007). User manual of the Bernese GPS Software Version 5.0. (Astronomical Institute University of Bern (AIUB), Bern, Switerland) Davis, P. (1983). Surface deformation associated with a dipping hydrofracture. J. Geophys. Res. 88(B7), 5826–5834 Davis, P. (1986). Surface deformation due to inflation of an arbitrarily oriented triaxial ellipsoidal cavity in an elastic half-space, with reference to kilauea volcano, hawaii. J. Geophys. Res. 91, 7429–7438 Decriem, J., Árnadóttir, T., Hooper, A., Geirsson, H., Sigmundsson, F., Keiding, M., et al. (2010). The 2008 May 29 earthquake doublet in SW Iceland. Geophysical Journal International - GEOPHYS J INT 181, 1128–1146. doi:10.1111/j.1365-246X.2010.04565.x Del Negro, C., Currenti, G., and Scandura, D. (2009). Temperature-dependent viscoelastic modeling of ground deformation: Application to Etna volcano during the 1993–1997 inflation period. Physics of the Earth and Planetary Interiors 172, 299 – 309. doi: https://doi.org/10.1016/j.pepi.2008.10.019 Dieterich, J. H. and Decker, R. W. (1975). Finite element modeling of surface deformation associated with volcanism. Journal of Geophysical Research (1896-1977) 80, 4094–4102. doi:10.1029/JB080i029p04094 Dong, D.-N. and Bock, Y. (1989). Global positioning system network analysis with phase am- biguity resolution applied to crustal deformation studies in california. Journal of Geophysi- cal Research: Solid Earth 94, 3949–3966. doi:https://doi.org/10.1029/JB094iB04p03949 190 Bibliografía Dragoni, M. and Magnanensi, C. (1989). Displacement and stress produced by a pressurized, spherical magma chamber, surrounded by a viscoelastic shell. Physics of the Earth and Planetary Interiors 56, 316–328. doi:https://doi.org/10.1016/0031-9201(89)90166-0 Dvorak, J. and Okamura, A. (1987). A hydraulic model to explain variations in summit tilt rate at Kilauea and Mauna Loa Volcanoes (In: Decker RW, Wright TL, Stauffer PH (eds) Volcanism in Hawaii. US Geol Surv Prof Pap 1350, 2:1281–1296) Dzurisin, D. (2007). The Global Positioning System: A multipurpose tool. In: Volcano Deformation Geodetic monitoring techniques. (Springer Praxis Books. Springer, Berlin, Heidelberg). doi:https://doi.org/10.1007/978-3-540-49302-0_4 Dzurisin, D., Lisowski, M., and Wicks, C. W. (2009). Continuing inflation at Three Sisters volcanic center, central Oregon Cascade Range, USA, from GPS, leveling, and InSAR observations. Bulletin of Volcanology 71, 1091–1110. doi:10.1007/s00445-009-0296-4 Dzurisin, D., Lisowski, M., and Wicks, C. W. (2017). Semipermanent GPS (SPGPS) as a volcano monitoring tool: Rationale, method, and applications. Journal of Volcanology and Geothermal Research 344, 40 – 51. doi:https://doi.org/10.1016/j.jvolgeores.2017.03.007. Volcano Geodesy: Recent developments and future challenges Dzurisin, D., Lisowski, M., Wicks, C. W., Poland, M. P., and Endo, E. T. (2006). Geodetic observations and modeling of magmatic inflation at the Three Sisters volcanic center, central Oregon Cascade Range, USA. Journal of Volcanology and Geothermal Research 150, 35–54. doi:10.1016/j.jvolgeores.2005.07.011 Dzurisin, D. and Lu, Z. (2007). Interferometric synthetic-aperture radar (InSAR). In: Volcano Deformation (Springer Praxis Books, Springer, Berlin, Heidelberg). doi:https://doi.org/10. 1007/978-3-540-49302-0_5 Edmonds, M., Cashman, K. V., Holness, M., and Jackson, M. (2019). Architecture and dynamics of magma reservoirs. Phil. Trans. R. Soc. A.377:20180298. 20180298 doi: http://doi.org/10.1098/rsta.2018.0298 Evans, W., van Soest, M., Mariner, R., Hurwitz, S., Ingebritsen, S., Wicks, C., et al. (2004). Magmatic intrusion west of Three Sisters, central Oregon, USA: The perspective from spring geochemistry. Geology 32. doi:10.1130/G19974.1 Farr, T. G., Rosen, P. A., Caro, E., Crippen, R., Duren, R., Hensley, S., et al. (2007). The Shuttle Radar Topography Mission. Reviews of Geophysics 45. doi:10.1029/ 2005RG000183 Fernández, J., Rundle, J. B., Granell, R. D. R., and Yu, T.-T. (1997). Programs to compu- te deformation due to a magma intrusion in elastic-gravitational layered Earth models. Computers and Geosciences 23, 231–249. doi:10.1016/S0098-3004(96)00066-0 Ferretti, A., Prati, C., and Rocca, F. (2000). Nonlinear subsidence rate estimation using permanent scatterers in differential sar interferometry. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing 38, 2202–2212. doi:10.1109/36.868878 Bibliografía 191 Fialko, Y., Khazan, Y., and Simons, M. (2001). Deformation due to a pressurized horizontal circular crack in an elastic half-space, with applications to volcano geodesy. Geophysical Journal International 146(1), 181–19 Fierstein, J., Hildreth, W., and Calvert, A. T. (2011). Eruptive history of South Sister, Oregon Cascades. Journal of Volcanology and Geothermal Research 207, 145 – 179. doi:https://doi.org/10.1016/j.jvolgeores.2011.06.003 Flugge, W. (1975). Viscoelasticity, 2nd ed. New York (Springer-Verlag.) Fukuda, J. and Johnson, K. M. (2008). A fully bayesian inversion for spatial distribution of fault slip with objective smoothing. Bulletin of the Seismological Society of America 98(3), 1128–1146. doi:https://doi.org/10.1785/0120070194 Galetto, F., Acocella, V., and Caricchi, L. (2017). Caldera resurgence driven by magma viscosity contrasts. Nature Communications 8. doi:10.1038/s41467-017-01632-y Gasparini, P., Mantovani, M., and Scandone, R. (1981). A thermal model of the magma reservoir feeding plinian eruptions at vesuvius (italy). Bulletin of Volcanology 44, 317–326. doi:10.1007/BF02600567 Geyer, A., Folch, A., and Martí, J. (2006). Relationship between caldera collapse and magma chamber withdrawal: an experimental approach. J. Volcanol. Geotherm. Res. 157(4), 375–386 González, P. J., Samsonov, S. V., Pepe, S., Tiampo, K. F., Tizzani, P., Casu, F., et al. (2013). Magma storage and migration associated with the 2011-2012 El Hierro eruption: Implica- tions for crustal magmatic systems at oceanic island volcanoes. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 118, 4361–4377. doi:10.1002/jgrb.50289 Grandin, R., Socquet, A., Doin, M.-P., Jacques, E., de Chabalier, J.-B., and King, G. C. P. (2010). Transient rift opening in response to multiple dike injections in the manda hararo rift (afar, ethiopia) imaged by time-dependent elastic inversion of interferometric synthetic aperture radar data. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 115. doi: https://doi.org/10.1029/2009JB006883 Gudmundsson, A. (2012). Magma chambers: Formation, local stresses, excess pressures, and compartments. Journal of Volcanology and Geothermal Research s 237–238. doi: 10.1016/j.jvolgeores.2012.05.015 Hansen, P. (1990a). Truncated singular value decomposition solutions to discrete ill-posed problems with ill-determined numerical rank. SIAM J. Sci. Comput., 11, 503-518. Hansen, P. C. (1990b). The discrete picard condition for discrete ill-posed problems. Bit 30, 658–672. doi:10.1007/BF01933214 Hansen, P. C. (1992). Analysis of Discrete Ill-Posed Problems by Means of the L-Curve. SIAM Review 34, 561–580. doi:10.1137/1034115 Hansen, P. C. (1999). Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems: Numerical Aspects of Linear Inversion (USA: Society for Industrial and Applied Mathematics) 192 Bibliografía Hansen, P. C. (2007). Regularization Tools version 4.0 for Matlab 7.3. Numerical Algorithms 46, 189–194. doi:10.1007/s11075-007-9136-9 Hansen, P. C. and O’Leary, D. P. (1993). The Use of the L-Curve in the Regularization of Discrete Ill-Posed Problems. SIAM Journal on Scientific Computing 14, 1487–1503. doi:10.1137/0914086 Hanssen, R. (2002). Radar Interferometry: Data Interpretation and Error Analysis (Re- mote Sensing and Digital Image Processing, Volume 2) (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London) Head, M., Hickey, J., Gottsmann, J., and Fournier, N. (2019). The influence of viscoelastic crustal rheologies on volcanic ground deformation: Insights from models of pressure and volume change. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 124, 8127–8146. doi:https://doi.org/10.1029/2019JB017832 Herring, T., King, R., and McClusky, R. (2009). GAMIT reference manual: GPS at MIT (Massachusetts Institute of Technology, 10.30a edición) Hickey, J., Gottsmann, J., and del Potro, R. (2013). The large-scale surface uplift in the altiplano-puna region of bolivia: A parametric study of source characteristics and crustal rheology using finite element analysis. Geochemistry, Geophysics, Geosystems 14, 540– 555. doi:https://doi.org/10.1002/ggge.20057 Hickey, J., Gottsmann, J., Nakamichi, H., and Iguchi, M. (2016). Thermomechanical controls on magma supply and volcanic deformation: Application to aira caldera, japan. Scientific Reports 6. doi:10.1038/srep32691 Hildreth, W. (2007). Quaternary Magmatism in the Cascades-Geologic Perspectives. U.S. Geological Survey Professional Paper 1744, 125 p Hildreth, W., Fierstein, J., and Calvert, A. T. (2012). Geologic map of Three Sisters volcanic cluster, Cascade Range, Oregon. US Geological Survey Scientific Investigations Map 3186, pamphlet 107 p. Hill, D. (1992). Temperatures at the base of the seismo- genic crust beneath long valley caldera, california, and the phlegrean fields caldera, italy. Volcanic Seismology, IAVCEI Proc. Volcanol, vol. 3, edited by P. Gasparini et al., Springer , 433–461 Hill, D., Montgomery-Brown, E., Shelly, D., Flinders, A., and Prejean, S. (2020). Post- 1978 tumescence at Long Valley Caldera, California: A geophysical perspective. Journal of Volcanology and Geothermal Research 400, 106900. doi:10.1016/j.jvolgeores.2020. 106900 Hofmann-Wellenhof, B., Lichtenegger, H., and Wasle, E. (2007). GNSS-Global Navigation Satellite Systems: GPS, Glonass, Galileo, and more (Springer-Verlag, New York.) Holbrook, W., W.D, M., and Christensen, N. (1992). Continental Lower Crust (eds Fountain, D.M, Arculus, R and Kay, R.) (Elsevier, Amsterdam) Bibliografía 193 Hooper, A. (2008). A multi-temporal insar method incorporating both persistent scatterer and small baseline approaches. Geophysical Research Letters 35. doi:https://doi.org/10. 1029/2008GL034654 Hooper, A., Bekaert, D., Spaans, K., and Arikan, M. (2012). Recent advances in SAR interferometry time series analysis for measuring crustal deformation. Tectonophysics 514-517, 1–13. doi:10.1016/j.tecto.2011.10.013 Hooper, A., Segall, P., and Zebker, H. (2007). Persistent scatterer interferometric synthetic aperture radar for crustal deformation analysis, with application to volcán alcedo, galá- pagos. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 112. doi:https://doi.org/10.1029/ 2006JB004763 Hooper, A. and Zebker, H. (2007). Phase unwrapping in three dimensions with application to insar time series. Journal of the Optical Society of America. A, Optics, image science, and vision 24, 2737–47. doi:10.1364/JOSAA.24.002737 Hooper, A., Zebker, H., Segall, P., and Kampes, B. (2004). A new method for measuring deformation on volcanoes and other natural terrains using insar persistent scatterers. Geophysical Research Letters 31. doi:https://doi.org/10.1029/2004GL021737 Hossainali, M., Becker, M., and Groten, E. (2010). Comprhensive Approach to the Analysis of the 3D Kinematics Deformation with appliction to the Kenai Peninsula. Journal of Geodetic Science 1. doi:10.2478/v10156-010-0008-1 Hutchison, W., Biggs, J., Mather, T. A., Pyle, D. M., Lewi, E., Yirgu, G., et al. (2016). Causes of unrest at silicic calderas in the East African Rift: New constraints from InSAR and soil-gas chemistry at Aluto volcano, Ethiopia. Geochemistry, Geophysics, Geosystems 17, 3008–3030. doi:10.1002/2016GC006395 Ingebritsen, S. E., Mariner, R. H., and Sherrod, D. R. (1994). Hydrothermal systems of the Cascade Range, north-central Oregon. US Geological Survey Prof. Pap. 86, 1044–L Ingebritsen, S. E., Marirer, R. H., Cassidy, D., Shepherd, L. D., Presser, T., Pringle, M. K. W., et al. (1988). Heat-flow and water-chemistry data from the Cascade Range and adjacent areas in north-central Oregon. US Geological Survey Open-File Rep. , 88 – 702 Iverson, J. T. (1999). An investigation of the chloride anomaly in Separation Creek, Lane County. Ph.D. thesis, Oregon State University, Corvallis, OR Jackson, M., Blundy, J., and Sparks, R. (2018). Chemical differentiation, cold storage and remobilization of magma in the earth’s crust. Nature 564, 405–409 Jellinek, A. and Depaolo, D. (2003). A model for the origin of large silicic magma chambers: precursors of caldera-forming eruptions. Bulletin of Volcanology 65, 363–381 Joslin, L. (2005). The Wilderness Concept and the Three Sisters Wilderness: Deschutes and Willamette National Forests, Oregon. Bend, Oregon: Wilderness Associates, ISBN 978-0-9647167-4-2 194 Bibliografía Kohno, Y., Matsushima, T., and Shimizu, H. (2008). Pressure sources beneath unzen volcano inferred from leveling and gps data. Journal of Volcanology and Geothermal Research 175, 100–109. doi:https://doi.org/10.1016/j.jvolgeores.2008.03.022. Scientific drilling at Mount Unzen Lanari, R. and Franceschetti, G. (1999). Synthetic Aperture Radar Processing, vol. volumen 24 (Electronic Engineering Systems Series. CRC Press) Lanari, R., Mora, O., Manunta, M., Mallorqui, J. J., Berardino, P., and Sansosti, E. (2004). A small-baseline approach for investigating deformations on full-resolution differential sar interferograms. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing 42, 1377–1386. doi:10.1109/TGRS.2004.828196 Larsen, J., Neal, C., Schaefer, J., Kaufman, A., and Lu, Z. (2015). The 2008 phreatomagmatIc eruption of Okmok volcano, AleutIan Islands, Alaska: Chronology, deposits, and landform changes. Tech. rep., State of Alaska, Department of Natural Resources, Division of Geological & Geophysical Surveys Lau, N., Tymofyeyeva, E., and Fialko, Y. (2018). Variations in the long-term uplift rate due to the Altiplano–Puna magma body observed with Sentinel-1 interferometry. Earth and Planetary Science Letters 491, 43–47. doi:10.1016/j.epsl.2018.03.026 Lawless, J. and Wang, P. (1976). A simulation study of ridge and other regression estimators. Commun. Statist. Theor. Meth., A5, 307-323. Le Mével, H., Gregg, P. M., and Feigl, K. L. (2016). Magma injection into a long-lived reservoir to explain geodetically measured uplift: Application to the 2007 – 2014 unrest episode at Laguna del Maule volcanic field, Chile. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 121, 6092–6108. doi:10.1002/2016JB013066 Le Mével, H., Feigl, K. L., Córdova, L., DeMets, C., and Lundgren, P. (2015). Evolution of unrest at Laguna del Maule volcanic field (Chile) from InSAR and GPS measurements, 2003 to 2014. Geophysical Research Letters 42, 6590–6598. doi:10.1002/2015GL064665 Leick, A. (2004). GPS satellite surveying (John Willey and Sons Inc., New Jersey, 3a edición.) Lengliné, O., Marsan, D., Got, J.-L., Pinel, V., Ferrazzini, V., and Okubo, P. G. (2008). Seismicity and deformation induced by magma accumulation at three basaltic volcanoes. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 113. doi:10.1029/2008JB005937 Li, S., Sigmundsson, F., Drouin, V., Parks, M. M., Ófeigsson, B. G., Jónsdóttir, K., et al. (2021). Ground deformation after a caldera collapse: Contributions of magma inflow and viscoelastic response to the 2015–2018 deformation field around bárðarbunga, iceland. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 126, e2020JB020157. doi:https://doi.org/ 10.1029/2020JB020157. E2020JB020157 2020JB020157 Lillie, R. J. (2015). Beauty from the Beast: Plate Tectonics and the Landscapes of the Pacific Northwest (Wells Creek Publishers. ISBN:9781512211894) Bibliografía 195 Lisowski, M. and Dzurisin, D. (2007). Analytical volcano deformation source models. In: Volcano Deformation: Geodetic monitoring techniques. (Springer Praxis Books. Springer, Berlin, Heidelberg). doi:10.1007/978-3-540-49302-0_8 Lisowski, M., McCaffrey, R., Wicks, C. W., and Dzurisin, D. (2021). Geodetic constraints on a 25-year magmatic inflation episode near three sisters, central oregon. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 126, e2021JB022360. doi:https://doi.org/10.1029/ 2021JB022360. E2021JB022360 2021JB022360 Lohman, R. B. and Simons, M. (2005). Some thoughts on the use of insar data to constrain models of surface deformation: Noise structure and data downsampling. Geochemistry, Geophysics, Geosystems 6. doi:https://doi.org/10.1029/2004GC000841 Lundgren, P. and Rosen, P. A. (2003). Source model for the 2001 flank eruption of mt. etna volcano. Geophysical Research Letters 30. doi:https://doi.org/10.1029/2002GL016774 Madsen, S. and Zebker, H. (1998). Imaging radar interferometry. In: Henderson, F. and Lewis, A.J. (eds), Principles and Applications of Imaging Radar, Manual of Remote Sensing (3rd edition). (Wiley, New York) Malvern, L. (1969). Introduction to the Mechanics of Continuous Medium (Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.) Massonnet, D., Briole, P., and Arnaud, A. (1995). Deflation of mount etna monitored by spaceborne radar interferometry. Nature 375, 567–570. doi:https://doi.org/10.1038/ 375567a0 Massonnet, D. and Feigl, K. L. (1998). Radar interferometry and its application to changes in the earth’s surface. Reviews of Geophysics 36, 441–500. doi:https://doi.org/10.1029/ 97RG03139 Massonnet, D., Rossi, M., Carmona, C., Adragna, F., Peltzer, G., Feigl, K., et al. (1993). The displacement field of the landers earthquake mapped by radar interferometry. Nature 364, 138–142. doi:https://doi.org/10.1038/364138a0 Masterlark, T. (2007). Magma intrusion and deformation predictions: Sensitivities to the mogi assumptions. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 112. doi:https://doi.org/ 10.1029/2006JB004860 Masterlark, T., Feigl, K. L., Haney, M., Stone, J., Thurber, C., and Ronchin, E. (2012). Nonlinear estimation of geometric parameters in fems of volcano deformation: Integrating tomography models and geodetic data for okmok volcano, alaska. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 117. doi:https://doi.org/10.1029/2011JB008811 Masterlark, T., Haney, M., Dickinson, H., Fournier, T., and Searcy, C. (2010). Rheologic and structural controls on the deformation of okmok volcano, alaska: Fems, insar, and ambient noise tomography. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 115. doi: https://doi.org/10.1029/2009JB006324 196 Bibliografía Mattioli, G. S., Herd, R. A., Strutt, M. H., Ryan, G., Widiwijayanti, C., and Voight, B. (2010). Long term surface deformation of soufrière hills volcano, montserrat from gps geodesy: Inferences from simple elastic inverse models. Geophysical Research Letters 37. doi:https://doi.org/10.1029/2009GL042268 McCaffrey, R., Qamar, A., King, R., Wells, R., Khazaradze, G., Williams, C., et al. (2007). Fault locking, block rotation and crustal deformation in the Pacific Northwest. Geophysical Journal International - GEOPHYS J INT 169, 1315–1340. doi:10.1111/j.1365-246X.2007. 03371.x McTigue, D. F. (1987). Elastic stress and deformation near a finite spherical magma body: Resolution of the point source paradox. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 92, 12931–12940. doi:https://doi.org/10.1029/JB092iB12p12931 Meissner, R. and Tanner, B. (1992). Crustal viscosities and seismic velocities. Physics of the Earth and Planetary Interiors 69, 252–256. doi:https://doi.org/10.1016/0031-9201(92) 90143-J Menke, W. (1989). Geophysical Data Analysis: Discrete Inverse Theory (Academic, San Diego, Calif.) Mogi, K. (1958). Relations between the eruptions of various volcanoes and the deformations of the ground surfaces around them. Bull. Earthquake Res. Inst. Univ. Tokyo 36, 99–134 Mora, O., Mallorqui, J. J., and Broquetas, A. (2003). Linear and nonlinear terrain deformation maps from a reduced set of interferometric sar images. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing 41, 2243–2253. doi:10.1109/TGRS.2003.814657 Moran, S. C. (2004). Seismic monitoring at Cascade Volcanic Centers, 2004- Status and Recommendations. US Geological Survey Scientific Investigations Report 5211, 22pp Nasehi Tehrani, J., McEwan, A., Jin, C., and van Schaik, A. (2012). L1 regularization method in electrical impedance tomography by using the l1-curve (pareto frontier curve). Applied Mathematical Modelling 36, 1095–1105. doi:https://doi.org/10.1016/j.apm.2011.07.055 Newman, A., Dixon, T., Ofoegbu, G., and Dixon, J. (2001). Geodetic and seismic constraints on recent activity at Long Valley Caldera, California: evidence for viscoelastic rheology. Journal of Volcanology and Geothermal Research 105, 183 – 206. doi:https://doi.org/10. 1016/S0377-0273(00)00255-9 Newman, A. V., Dixon, T. H., and Gourmelen, N. (2006). A four-dimensional viscoelastic deformation model for long valley caldera, california, between 1995 and 2000. Journal of Volcanology and Geothermal Research 150, 244–269. doi:https://doi.org/10.1016/j. jvolgeores.2005.07.017. The Changing Shapes of Active Volcanoes Novoa, C., Remy, D., Gerbault, M., Baez, J., Tassara, A., Cordova, L., et al. (2019). Viscoe- lastic relaxation: A mechanism to explain the decennial large surface displacements at the Laguna del Maule silicic volcanic complex. Earth and Planetary Science Letters 521, 46 – 59. doi:https://doi.org/10.1016/j.epsl.2019.06.005 Okada, Y. (1985). Surface deformation due to shear and tensile faults in a half-space. Bull. Seismol. Soc. Am. 75(4), 1135–1154 Bibliografía 197 Okada, Y. (1992). Internal deformation due to shear and tensile faults in a half-space. Bull. Seismol. Soc. Am. 82(2), 1018–1040 Papageorgiou, E., Foumelis, M., Trasatti, E., Guido, V., Raucoules, D., and Mouratidis, A. (2019). Multi-Sensor SAR Geodetic Imaging and Modelling of Santorini Volcano Post-Unrest Response. Remote Sensing 11. doi:10.3390/rs11030259 Parks, M. M., Moore, J. D. P., Papanikolaou, X., Biggs, J., Mather, T. A., Pyle, D. M., et al. (2015). From quiescence to unrest: 20 years of satellite geodetic measurements at Santorini volcano, Greece. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 120, 1309–1328. doi:https://doi.org/10.1002/2014JB011540 Phillipson, G., Sobradelo, R., and Gottsmann, J. (2013). Global volcanic unrest in the 21st century: An analysis of the first decade. Journal of Volcanology and Geothermal Research 264, 183–196. doi:https://doi.org/10.1016/j.jvolgeores.2013.08.004 Poland, M., Carbone, D., and Patrick, M. (2021). Onset and evolution of kı̄lauea’s 2018 flank eruption and summit collapse from continuous gravity. Earth and Planetary Science Letters 567, 117003. doi:10.1016/j.epsl.2021.117003 Poland, M. P. and Anderson, K. R. (2020). Partly cloudy with a chance of lava flows: Forecas- ting volcanic eruptions in the twenty-first century. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 125, e2018JB016974. doi:https://doi.org/10.1029/2018JB016974. E2018JB016974 2018JB016974 Poland, M. P., Lisowski, M., Dzurisin, D., Kramer, R., McLay, M., and Pauk, B. (2017). Volcano geodesy in the Cascade arc, USA. Bulletin of Volcanology 79. doi:10.1007/ s00445-017-1140-x Reverso, T., Vandemeulebrouck, J., Jouanne, F., Pinel, V., Villemin, T., Sturkell, E., et al. (2014). A two-magma chamber model as a source of deformation at Grímsvötn Volcano, Iceland. Journal of Geophysical Research: Solid Earth doi:10.1002/2013JB010569 Riddick, S. N. and Schmidt, D. A. (2011). Time-dependent changes in volcanic inflation rate near Three Sisters, Oregon, revealed by InSAR. Geochemistry, Geophysics, Geosystems 12, 1–14. doi:10.1029/2011GC003826 Rodríguez-Molina, S., González, P. J., Charco, M., Negredo, A. M., and Schmidt, D. A. (2021). Time-Scales of Inter-Eruptive Volcano Uplift Signals: Three Sisters Volcanic Center, Oregon (United States). Frontiers in Earth Science 8, 645. doi:10.3389/feart.2020. 577588 Rosen, P., Henley, S., Peltzer, G., and Simons, M. (2004). Updated Repeat Orbit Interfe- rometry Package Released. Eos, Transactions American Geophysical Union 85. doi: 10.1029/2004EO050004 Rosen, P. A., Gurrola, E., Sacco, G. F., and Zebker, H. (2012). The InSAR scientific computing environment. In EUSAR 2012; 9th European Conference on Synthetic Aperture Radar. 730–733 198 Bibliografía Rouwet, R., D.and Constantinescu, , and Sandr, L. (2018). Deterministic versus probabilistic volcano monitoring: Not “or” but “and” (In Volcanic Unrest: From Science to Society, Ed.: Gottsmann, J., Neuberg, J. And Scheu, B., Advances in Volcanology Series, Springer Open) Rundle, J. B. (1980). Static elastic-gravitational deformation of a layered half space by point couple sources. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 85, 5355–5363. doi:https://doi.org/10.1029/JB085iB10p05355 Savage, J., Gan, W., and Svarc, J. (2001a). Strain accumulation and motion in the eastern california shear zone. Journal of Geophysical Research 106, 21995–22008. doi:10.1029/ 2000JB000127 Savage, J., Svarc, J., and Prescott, W. (2001b). Strain accumulation near yucca mountain, nevada, 1993–1998. Journal of Geophysical Research 106, 16483–16488. doi:10.1029/ 2001JB000156 Schmidt, M. E. and Grunder, A. L. (2011). Deep Mafic Roots to Arc Volcanoes: Mafic Re- charge and Differentiation of Basaltic Andesite at North Sister Volcano, Oregon Cascades. Journal of Petrology 52, 603–641. doi:10.1093/petrology/egq094 Scott, W. E., Iverson, R., Schilling, S., and Fisher, B. (2001). Volcano hazards in the Three Sisters region, Oregon. US Geological Survey Open-File Report , 99–437,18 Segall, P. (2010). Earthquake and volcano deformation. Earthquake and Volcano Deformation xxiii. doi:10.1515/9781400833856 Segall, P. (2016). Repressurization following eruption from a magma chamber with a viscoelastic aureole. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 121, 8501–8522. doi:10.1002/2016JB013597 Sherrod, D. R., Taylor, E. M., Ferns, M. L., Scott, W. E., Conrey, R. M., and Smith, G. A. (2004). Geologic map of the Bend 30- x 60-minute quadrangle, central Oregon. US Geological Survey Geological Investigations Series I-2683 Strang, G. (1993). The fundamental theorem of linear algebra. The American Mathematical Monthly 100, 848–855 Sturkell, E., Sigmundsson, F., and Slunga, R. (2006). 1983–2003 decaying rate of deflation at askja caldera: Pressure decrease in an extensive magma plumbing system at a spreading plate boundary. Bulletin of Volcanology 68, 727–735. doi:10.1007/s00445-005-0046-1 Syahbana, D., Kasbani, K., Suantika, G., Prambada, O., Andreas, A., Saing, U., et al. (2019). The 2017–19 activity at Mount Agung in Bali (Indonesia): Intense unrest, monitoring, crisis response, evacuation, and eruption. Scientific Reports 9. doi:10.1038/s41598-019-45295-9 Tempfli, K., Huurneman, G., Bakker, W., Janssen, L., Feringa, W., Gieske, A., et al. (2009). Principles of remote sensing : an introductory textbook. ITC Educational Textbook Series (International Institute for Geo-Information Science and Earth Observation) Tikhonov, A. and Arsenin, V. (1977). Solutions of Ill-posed Problem (John Wiley & Sons, New York.) Bibliografía 199 Tizzani, P., Castaldo, R., Pepe, A., Zeni, G., Lanari, R., and Battaglia, M. (2015). Magma and fluid migration at Yellowstone Caldera in the last three decades inferred from InSAR, leveling and gravity measurements. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 120. doi:10.1002/2014JB011502 Trasatti, E., Polcari, M., Bonafede, M., and Stramondo, S. (2015). Geodetic constraints to the source mechanism of the 2011–2013 unrest at campi flegrei (italy) caldera. Geophysical Research Letters 42, 3847–3854. doi:https://doi.org/10.1002/2015GL063621 Troise, C., De Natale, G., Pingue, F., Obrizzo, F., De Martino, P., Tammaro, U., et al. (2007). Renewed ground uplift at Campi Flegrei caldera (Italy): New insight on magmatic processes and forecast. Geophysical Research Letters 34, –L03301+. doi:10.1029/ 2006GL028545 Ueda, H., Ohtake, M., and Sato, H. (2003). Postseismic crustal deformation following the 1993 hokkaido nansei-oki earthquake, northern japan: Evidence for a low-viscosity zone in the uppermost mantle. Journal of Geophysical Research: Solid Earth 108. doi: https://doi.org/10.1029/2002JB002067 Usai, S. (2003). A least squares database approach for sar interferometric data. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing 41, 753–760. doi:10.1109/TGRS.2003. 810675 Walwer, D., Ghil, M., and Calais, E. (2019). Oscillatory nature of the Okmok volcano’s deformation. Earth and Planetary Science Letters 506, 76 – 86. doi:https://doi.org/10. 1016/j.epsl.2018.10.033 Wdowinski, S. and Axen, G. (1992). Isostatic rebound due to tectonic denudation: A viscous flow model of a layered lithosphere. Tectonics 11, 303–315. doi:10.1029/91TC02341 Webster, R. and Oliver, M. (2007). Geostatistics for environmental scientists: Second edition. Geostatistics for Environmental Scientists: Second Edition doi:10.1002/9780470517277 Weiss, J., Walters, R., Morishita, Y., Wright, T., Lazecky, M., Wang, H., et al. (2020). High- resolution surface velocities and strain for Anatolia from Sentinel-1 InSAR and GNSS data. Geophysical Research Letters doi:10.1029/2020GL087376 White, D. E., Muffler, L. J. P., and H., T. A. (1971). Vapor-dominated hydrothermal systems compared with hot-water systems. Econ. Geol. 66, 75 – 97 Wicks, C. W., Dzurisin, D., Ingebritsen, S., Thatcher, W., Lu, Z., and Iverson, J. (2002). Magmatic activity beneath the quiescent three sisters volcanic center, central oregon cascade range, usa. Geophysical Research Letters 29, 26–1–26–4. doi:https://doi.org/10. 1029/2001GL014205 Wilson, C. (2017). Volcanoes: Characteristics, tipping points, and those pesky unknown unknowns. Elements 13, 41–46 Woodcock, N. (2008). R. j. twiss and e. m. moores 2007. structural geology, 2nd ed. xvi + 736 pp. new york: W. h. freeman. isbn 9780 7167 4951 6. Geological Magazine - GEOL MAG 145. doi:10.1017/S0016756808004627 200 Bibliografía Wright, T., Ebinger, C., Biggs, J., Ayele, A., Yirgu, G., Keir, D., et al. (2006). Magma- maintained rift segmentation at continental rupture in the 2005 afar dyking episode. Nature 442, 291–4. doi:10.1038/nature04978 Yamakawa, N. (1955). On the strain produced on a semiinfinite elastic solid by an interior source of stress. J. Seism. Soc. Japan 8, 84–98 Yamasaki, T., Kobayashi, T., Wright, T., and Fukahata, Y. (2018). Viscoelastic crustal deformation by magmatic intrusion: A case study in the kutcharo caldera, eastern hokkaido, japan. Journal of Volcanology and Geothermal Research 349, 128–145 Yang, X. and Davis, P. (1986). Deformation due to a rectangular tension crack in an elastic half-space. Bull. Seis. Soc. Am. 76(3), 865–881 Yang, X.-M., Davis, P. M., and Dieterich, J. H. (1988). Deformation from inflation of a dip- ping finite prolate spheroid in an elastic half-space as a model for volcanic stressing. Jour- nal of Geophysical Research: Solid Earth 93, 4249–4257. doi:10.1029/JB093iB05p04249 Zandt, G. and Ammon, C. (1995). Continental crust composition constrained by measu- rements of crustal poisson’s ratio. Nature ¡374, 152–154. doi:https://doi.org/10.1038/ 374152a0 Zurek, J., William-Jones, G., Johnson, D., and Eggers, A. (2012). Constraining volcanic infla- tion at three sisters volcanic field in oregon, USA, through microgravity and deformation modeling. Geochemistry, Geophysics, Geosystems 13, 1–15. doi:10.1029/2012GC004341 APÉNDICE A A.1. Álgebra de la Descomposición en Valores Singulares (SVD) La Descomposición en Valores Singulares (SVD) es una técnica en álgebra lineal para la factorización de una matriz. De forma resumida, toda matriz cuadrada simétrica es diago- nalizable y se puede descomponer a partir de una matriz ortogonal y una matriz diagonal. Cuando la matriz no es simétrica pero sí cuadrada se puede descomponer mediante una matriz diagonal y una matriz no singular aunque no necesariamente ortogonal. Sin embargo, no todas las matrices son cuadradas y diagonalizables y por ello se aplica SVD. Los tres grandes problemas que se pueden presentar al diagonalizar una matriz G son: (1) general- mente los autovectores de G no son ortogonales; (2) no siempre hay suficientes autovectores (deficiencia de rango); y (3) el problema de autovalores y autovectores GX = λX, donde X es la matriz con los autovectores de G y λi los autovalores de la matriz Σ, requiere que G sea una matriz cuadrada. La diagonalización de G mediante los vectores singulares si obtenidos por SVD resuelven todos esos problemas de forma satisfactoria. Consideremos el caso general de un sistema lineal d = Gm, donde G es una matriz no cuadrada de dimensión (N ×M), m es un vector de dimensión (M×1) incógnita y d es un 202 vector de dimensión (N ×1). Para resolver este sistema de ecuaciones hay que factorizar G mediante SVD. Una de las aplicaciones de SVD es la resolución de problemas de mínimos cuadrados en los que de todas las posibles soluciones buscamos la de norma mínima. Como hemos comentado anteriormente, no se pueden determinar los valores propios para d = Gm a no ser que M = N. En el caso de una matriz no cuadrada, G transforma un vector m desde el espacio M-dimensional en un vector d perteneciente al espacio N-dimensional, por lo que los vectores pertenecen a diferentes espacios dimensionales. Para superar esta limitación, la estrategia a seguir es la construcción de una matriz cuadrada que incluye la matriz G (y GT), donde el problema de autovalores sí se puede caracterizar. Posteriormente se aplica SVD, una forma de descomponer G en el producto de tres matrices (dos matrices de autovectores, V y U, y una matriz de valores singulares, Λ ). Considérese la siguiente matriz cuadrada hermítica B, que incluye a la matriz G: B =  0 G N ×N N ×M GT 0 M×N M×M  (A.1) El problema de autovalores de la matriz B, de dimensión (N +M)× (N +M), será: Bwi = βiwi (A.2) donde βi representa los autovalores de la matriz B. Cada autovector wi con dimensión (N ×M)×1 se puede dividir a su vez en: wi =  ui vi  ↕ N ↕ M (A.3) A.1 Álgebra de la Descomposición en Valores Singulares (SVD) 203 donde ui con i = 1, ...,N y vi con i = 1...M son los autovectores asociados con el espacio N-dimensional y M-dimensional, respectivamente. De esta manera, la ecuación A.2 presenta la siguiente forma matricial:  0 G GT 0   ui vi = βi  ui vi  (A.4) Por tanto, el sistema lineal de ecuaciones a resolver viene dado por:  Gvi = βiui , i = 1,2, ...,N +M GTui = βivi , i = 1,2, ...,N +M (A.5) Como se observa en las ecuaciones A.5, G opera en el espacio M-dimensional y devuelve un vector N-dimensional. Por su parte, GT opera en el espacio N-dimensional y devuelve un vector M-dimensional. Al combinar ambas ecuaciones en A.5, se obtiene el problema de autovalores para las matrices simétricas y cuadradas GGT y GTG, las cuales pueden ser diagonalizadas ortogonalmente:  GTGvi = β 2 i vi , i = 1,2, ...,M GGTui = β 2 i ui , i = 1,2, ...,N (A.6) Los N vectores ui y M vectores vi formarán las matrices ortogonales U y V. Según las ecuaciones A.2 y A.6, el problema de autovalores para B, GTG y GGT está definido por (N +M), M o N autovalores. Si el número P de autovalores no nulos es el mínimo entre N y M, el número de autovalores βi igual a cero será (N+M)−2P. Los valores singulares son definidos como si =+ √ β 2 i . Sea Λ la matriz (N ×M) de valores singulares: 204 Λ =  s1 0 · · · 0 0 s2 . . . ... sP ... 0 0 . . . 0 · · · 0  , para M > N (A.7) Λ =  s1 0 · · · 0 0 s2 . . . ... sP ... 0 . . . 0 · · · 0 0  , para N > M (A.8) escribiendo la ecuación Gvi = βiui en notación matricial y aplicando que V y U son ortonor- males (VVT = IM , UUT = IN), se obtiene el teorema fundamental de descomposición en que se basa el SVD. La matriz G se puede escribir como el producto de tres matrices: GV = UΛ =⇒ G = UΛVT (A.9) A.1 Álgebra de la Descomposición en Valores Singulares (SVD) 205 donde U es una matriz (N ×N) con columnas ortogonales, autovectores de GGT , V es una matriz (M ×M) con columnas ortogonales, autovectores de GT G y Λ es una matriz ’diagonal’ (N ×M) cuyos elementos son los valores singulares ordenados de mayor a me- nor. Las columnas de U y V se denominan direcciones principales de entrada y de salida, respectivamente. La mayor amplificación del tamaño de la entrada vendrá dado a través de la primera columna de V, y la ganancia máxima por el primer valor singular. SVD representa la geometría esencial para una transformación lineal. Leyendo la ecuación A.9 de derecha a izquierda: Figura A.1 Significado geométrico de la descomposición en valores singulares (SVD) (modi- ficado de (Strang, 1993)). . La matriz VT representa una proyección (rotación o reflexión) de vectores en el espacio M-dimensional sobre la base de coordenadas de las direcciones principales de entrada. La matriz Λ representa un escalado (dilatación o contracción lineal) a lo largo de cada una de las direcciones principales del espacio M-dimensional. Si N ̸= M, este paso también proyecta canónicamente el dominio M-dimensional en el dominio N- dimensional. 206 La matriz U representa una proyección (rotación o reflexión) de vectores en el espacio N-dimensional sobre la base de coordenadas de las direcciones principales de salida. En la figura A.1 se muestra la interpretación geométrica de la descomposición en valores singulares de una matriz (2×2), realizada por Strang (1993), en su artículo sobre el Teorema Fundamental del álgebra lineal. El diagrama muestra que la transformación inducida por la matriz G (flecha larga en la parte superior del diagrama) es equivalente a la composición de las tres transformaciones fundamentales (rotación, cambio de escala y rotación). La descomposición en la ecuación A.9 mantiene las partes de V y U correspondientes a los valores singulares nulos (V0 y U0). Sin embargo, el teorema de SVD para la matriz G permite la descomposición considerando sólo los autovectores asociados a valores singulares no nulos (VP y UP): G =  UP U0   Λp 0 0 0   VT P VT 0  =⇒ Gg =  UPΛP 0  VT P VT 0 = UPΛPVT P (A.10) donde: A.1 Álgebra de la Descomposición en Valores Singulares (SVD) 207 V =  ... ... ... ... ... v1 v2 · · · vP · · · vP+1 · · · vM ... ... ... ... ... =⇒ VP =  ... ... ... v1 v2 · · · vP ... ... ...  (A.11) U =  ... ... ... ... ... u1 u2 · · · uP · · · uP+1 · · · uN ... ... ... ... ... =⇒ UP =  ... ... ... u1 u2 · · · uP ... ... ...  (A.12) ΛP =  s1 0 · · · 0 0 s2 ... ... . . . 0 0 · · · 0 sP  (A.13) Dependiendo de los valores de P, M y N, hay cuatro clasificaciones para el problema d = Gm, como se puede observar en la tabla A.1. Por ejemplo, cuando el problema es sobredeterminado (P = N < M), la inversa generalizada es equivalente al problema de mínimos cuadrados (Least Squares). Usando la descomposición en valores singulares de la matriz G, se obtiene que G−1 LS = [GTG]−1GT = VPΛ −1 P UT P = G−1 g . De forma similar, para problemas indeterminados, la inversa generalizada es equivalente al operador de Minimum Length. Cuando el problema de inversión es indeterminado o P < min(N,M), un factor importante a la hora de obtener la solución de la inversa generalizada (mg) es conocer la información a priori del comportamiento de los parámetros del modelo (⟨m⟩) 208 Tabla A.1 Clasificación del la inversa generalizada G−1 g Clase Inversa generalizada G−1 g I: Compatible determinado Existe la inversa de G: (G−1) P = N = M G−1 g = G−1 = VΛ−1UT mg = G−1 g d II: Compatible sobredeterminado G−1 g equivalente al operador de Mínimos Cuadrados: P = M < N G−1 LS = [GTG]−1GT = VPΛ −1 P UT P = G−1 g U0 no vacío V0 vacío ⇒ VP = V mg = G−1 g d III:Compatible indeterminado G−1 g equivalente al operador de Minimum Length P = N < M G−1 ML = GT[GGT]−1 = VPΛ −1 P UT P = G−1 g V0 no vacío U0 vacío ⇒ UP = U mg = ⟨m⟩+G−1 g [d−G⟨m⟩] , donde⟨m⟩ es una estimación a priori IV: P < min(N,M) G−1 g no existe equivalencia G−1 g = VPΛ −1 P UT P mg = ⟨m⟩+G−1 g [d−G⟨m⟩] , donde⟨m⟩ es una estimación a priori APÉNDICE B B.1. Figuras suplementarias capítulo 3 210 Fi gu ra B .1 Se m i- va ri og ra m a an al iz ad o de li nt er fe ro gr am a de ls at él ite E R S Tr ac k 38 5 (ó rb ita de sc en de nt e) ,p ar a el pe ri od o 24 ag os to 19 97 -1 7 se pt ie m br e 20 00 . B.1 Figuras suplementarias capítulo 3 211 Figura B.2 Distribuciones de probabilidad a posteriori conjunta de los parámetros del modelo de fuente puntual con simetría esférica (Mogi). 212 Figura B.3 Distribuciones de probabilidad a posteriori conjunta de los parámetros del modelo de fuente tipo sill. B.1 Figuras suplementarias capítulo 3 213 Figura B.4 Distribuciones de probabilidad a posteriori conjunta de los parámetros del modelo de esferoide prolato. Tesis Sara Rodríguez Molina Portada Agradecimientos Índice general Índice de figuras Índice de tablas Nomenclatura Resumen/ Abstract 1 Introducción 1.1 Motivación y contexto 1.2 Objetivos 1.3 Estructura de la Tesis 2 Fundamentos 2.1 Deformación volcánica 2.1.1 Teoría de la elasticidad y leyes de conservación 2.1.2 Conceptos básicos de reología 2.1.3 Viscoelasticidad 2.1.4 Modelos analíticos de fuentes de deformación volcánica 2.2 Vigilancia geodésica mediante técnicas espaciales 2.2.1 Sistemas de navegación global por satélite (GNSS) 2.2.2 Interferometría Radar 2.3 Problemas lineales mal condicionados 2.3.1 Técnicas utilizadas para el truncamiento de valores singulares pequeños 2.4 Método de inversión ponderada generalizada (WGIM) 2.5 Inversión Bayesiana 3 Escalas temporales de elevación inter-eruptiva: el volcán Three sisters, Oregón (EEUU) 3.1 Introducción 3.2 Contexto geodinámico y geológico 3.3 Reactivación volcánica en Three Sisters 3.4 Estudios previos 3.5 Procesado de datos geodésicos 3.5.1 CGPS 3.5.2 Interferometría Radar de Apertura Sintética (InSAR) 3.6 Métodos 3.6.1 Metodología para la caracterización de la fuente 3.6.2 Metodología para estudiar la evolución temporal de los cambios de volumen 3.7 Resultados 3.7.1 Re-evaluación de la localización y geometría de la fuente magmática 3.7.2 Serie temporal de la inflación en Three Sisters (1996-2020) 3.8 Discusión 3.8.1 Caracterización de la fuente 3.8.2 Serie temporal del cambio de volumen: Objetivización de TSVD 3.8.3 Escalas temporales de las señales de elevación inter-eruptivas: Three Sisters y otros volcanes 3.9 Conclusiones 4 Modelización viscoelástica del volcán Three Sisters 4.1 Introducción 4.2 Modelo de fuente 4.3 Resultados 4.4 Discusión 4.4.1 Tests de sensibilidad del modelo viscoelástico 4.4.2 Implicaciones y limitaciones del modelo viscoelástico 4.5 Conclusiones 5 Conclusiones generales y futuro trabajo 5.1 Conclusiones generales 5.2 Futuro trabajo Bibliografía Apéndice A A.1 Álgebra de la Descomposición en Valores Singulares (SVD) Apéndice B B.1 Figuras suplementarias capítulo 3