Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  41      Problemas de Geología Estructural  4. Proyección polar de un plano. Proyección π    Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.    1Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas.  Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid.  rosbabin@geo.ucm.es  2Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles.  david.gomez@urjc.es      Resumen: la representación estereográfica de planos puede llevarse a cabo también si  se proyecta únicamente el polo del plano en lugar de su intersección con la esfera de  proyección  (ciclográfica),  de  manera  que  se  simplifica  de  manera  importante  la  representación  de  grandes  volúmenes  de  datos,  facilitando  así  su  interpretación.  También es esencial para  resolver algunos problemas  como  la obtención del ángulo  entre dos planos.    Palabras clave: polo de un plano. Diagrama de polos. Proyección π.      INTRODUCCIÓN      Con el estudio de  los artículos anteriores  (Babín  y Gómez, 2010 a, b  y  c),  y  la  repetición de los problemas ya resueltos, el alumno debe haber aprendido a visualizar  y proyectar  líneas y planos en el espacio mediante proyección estereográfica. Ahora  vamos  a  introducir un nuevo  concepto, polo  de un plano o proyección polar de un  plano, que va a ser muy útil para calcular ángulos entre estructuras.    Una vez comprendido el concepto de polo de un plano y su proyección, veremos  que  cualquier  estructura  puede  ser  girada  fácilmente  en  el  espacio,  y  cambiada  de  orientación en una falsilla de proyección. Tanto la proyección polar de planos como las  rotaciones  en  el  espacio,  nos  permiten  resolver  muchos  problemas  prácticos  en  Geología Estructural.      CONCEPTO DE POLO DE UN PLANO      Cuando  en  un  estereograma  aparecen  gran  cantidad  de  círculos  mayores  correspondientes a proyecciones  β de planos, es difícil hacer una  lectura y posterior  Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  42    interpretación,  ya  que  las  trazas  de  los  diferentes  planos  se  cruzan  entre  si  y  son  difíciles de separar e identificar.    Afortunadamente, es posible representar la orientación de un plano mediante la  normal a ese plano (Fig. 1). La normal es la línea perpendicular al plano y por tanto se  proyecta como un punto que recibe el nombre de polo del plano y por definición, se  sitúa a 90º del centro del círculo mayor que representa al plano.          Figura 1. a) Proyección en el hemisferio inferior de la esfera, de un plano y su polar. b) Estereograma  del plano anterior y de su polo.    Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  43    En  la  proyección  esférica  de  la  figura  1  A,  se  observa  la  relación  entre  la  proyección  ciclográfica  del  plano  (representada  por  un  círculo mayor)  y  su  normal  (representada  por  un  punto).  Este  corresponde  al  punto  de  corte  del  hemisferio  inferior de  la esfera con  la  línea de esa orientación que pasa por su centro, y que es  perpendicular al plano. El estereograma de la figura 1 B, muestra la relación ortogonal  del plano y su polo.    La  distancia  del  polo  al  centro  de  la  primitiva  es  r∙tan(β/2)  siendo  β  el  buzamiento del plano y r el radio del estereograma. Cada plano tiene una única normal  que  se  proyecta  como  un  único  punto  en  la  proyección,  por  tanto  podemos  representar  la  orientación  de  cualquier  plano mediante  su  polo.  Los  diagramas  que  representan polos de planos se conocen como diagramas π o diagramas de polos.    La  relación  de  perpendicularidad  entre  normal  y  plano  ha  de  ser  recordada  siempre.  Esto  significa  que  si  el  plano  tiene  un  buzamiento  de  20º,  su  línea  perpendicular (la normal al plano) tendrá una inmersión de 90‐20 = 70º. La normal de  un plano vertical  será una  línea horizontal que  se proyectará  sobre  la circunferencia  primitiva. La normal de una superficie horizontal será una  línea vertical, por  tanto el  polo se proyectará en el centro de la falsilla. Las relaciones ortogonales plano/normal  significan  que  la  dirección  de  la  normal  está  a  90º  de  la  dirección  del  plano,  en  el  sentido opuesto al buzamiento del plano.      MÉTODO PARA PROYECTAR EL POLO DE UN PLANO      Conocemos  la  orientación  de  un  plano  definido  mediante  dirección  y  buzamiento,  y  vamos  a  proyectar  este  plano  tanto  en  proyección  ciclográfica  como  polar, para visualizar  las relaciones entre  los dos tipos de proyección. El plano es, por  ejemplo, N40ºE‐30ºS.    En  primer  lugar  y  como  es  costumbre,  marcar  la  dirección  del  plano  en  la  primitiva y girar el transparente hasta que esta marca esté situada sobre el diámetro  N‐S  de  la  falsilla.  Podemos  dibujar  el  círculo  mayor  correspondiente  (proyección  ciclográfica) en primer lugar, como ya sabemos (Fig. 2).    En esta misma posición, (dirección del plano sobre el diámetro N –S de la falsilla),  el polo vendrá representado por la perpendicular al plano, situada sobre el diámetro E‐ O. Contamos desde el  centro de  la  falsilla  y en  sentido  contrario  al buzamiento del  plano el valor del ángulo de buzamiento, y este punto representa el polo (P), o bien,  desde  la  primitiva  hacia  dentro  el  ángulo  complementario  al  valor  del  buzamiento  (ángulo de inmersión del polo, en este caso 60º, ya que 90º‐30º = 60º) y obtenemos el  mismo punto anterior. Para comprobar que efectivamente esta línea es perpendicular  al  plano,  contamos  sobre  el  diámetro  E‐O  el  ángulo  entre  el  plano  y  su  polo,  y  efectivamente es de 90º. La forma más rápida para dibujar directamente el polo, una  vez  colocada  la dirección del plano  sobre el diámetro N‐S de  la  falsilla, es  contar el  Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  44    buzamiento del plano desde la chincheta hacia la primitiva, en sentido contrario al del  buzamiento del plano.    Una vez conocido el concepto de polo del plano, podemos resolver una serie de  problemas que explicamos a continuación.        Figura 2. Proyección de un plano mediante un círculo mayor (ciclográfica) y su normal (polar).      MEDIDAS DE ÁNGULOS ENTRE LÍNEAS Y PLANOS    Medida del ángulo diedro entre dos planos    Un ángulo diedro es el ángulo formado por dos planos que se cortan, medido en un  tercer plano que es perpendicular a  los anteriores  (Fig. 3). Se puede medir  fácilmente  mediante el ángulo entre los polos de los planos en un estereograma, o bien dibujando el  plano perpendicular a la línea de corte de los dos planos, que es el plano perpendicular a  los dos planos y contiene ambos polos. Como  los polos son  líneas, el ángulo entre dos  líneas  se mide en el plano que  las  contiene, por  tanto, en el estereograma, el  ángulo  entre los dos polos se mide a lo largo del círculo mayor en el cual están contenidos.    En muchos casos, el ángulo diedro se especifica como un ángulo agudo (Ej.: entre  diaclasas conjugadas), pero no siempre es así, ya que el ángulo buscado puede ser mayor  de 90º (Ej.: ángulo entre un dique y una superficie de estratificación).    Caso  especial  es  la medida  del  ángulo  interlimbo  (ángulo  formado  por  los  dos  flancos de un pliegue), en ocasiones no muy claro. El estereograma ofrece dos posibles  ángulos, uno agudo y otro obtuso. El problema principal es que no siempre es obvio cual  Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  45    de los dos ángulos es el idóneo si no conocemos suficientes datos acerca del pliegue. En  el capítulo de pliegues (Babín y Gómez, 2010 d) intentaremos resolver este problema.    Figura 3. Medida del ángulo entre dos planos, utilizando la proyección ciclográfica (a, b) y polar (c).  Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  46     Medida usando círculos mayores ( proyección ciclográfica)     Proyectar ambos planos como círculos mayores a partir de sus orientaciones.     La  línea  de  intersección  (L)  de  estos  dos  planos,  corresponde  al  punto  de  intersección de los círculos mayores (Fig. 3 A).     Dibujar el plano perpendicular a esta línea. Es el plano cuyo polo es la línea de  intersección, por tanto es el plano perpendicular a los dos planos anteriores.  (Fig. 3 B).     Medir en este tercer plano el ángulo diedro.    Tener en cuenta que existen dos posibilidades. En la Figura 3 B se observa que hay  un ángulo agudo y otro obtuso entre los dos planos. La suma de ambos es 180º.    Si  se mide el ángulo en otro plano que no es perpendicular a  los anteriores, el  resultado  obtenido  es  distinto  y no  corresponde  al  verdadero  valor  del  ángulo  diedro.     Medida usando polos de planos (proyección polar)    Este método se basa en el hecho de que el ángulo diedro entre dos planos es igual  al ángulo formado por las normales a estos planos.     Proyectar los dos planos anteriores mediante sus polos.     Mover el transparente hasta que los dos polos coincidan en un círculo mayor.     Dibujar el círculo y medir el ángulo entre los polos (agudo y obtuso) (Fig. 3 C).     Medida del ángulo entre un plano y una línea    El ángulo entre una línea y un plano es el mismo que el formado por la línea y la  perpendicular al plano (normal o polo del plano). Este ángulo se mide (Fig. 4) en  un segundo plano que contiene la línea y la perpendicular al plano. En proyección  estereográfica, el ángulo entre una  línea y un plano se mide en el círculo mayor  que contiene a la línea (L) y al polo del plano (P).    Cálculo del plano bisector del ángulo entre dos planos    El plano bisector del ángulo entre dos planos, es aquel que contiene a  la  línea de  intersección de  los dos planos y a  la  línea que bisecta el ángulo diedro formado por  los  dos planos. En el caso de algunos pliegues angulares  (kinks, chevron,.etc.) es razonable  asumir que el plano que bisecta el ángulo entre los dos flancos del pliegue y contiene a la  línea de charnela, es el plano axial del pliegue.  Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  47        Figura 4. Medida del ángulo entre un plano de orientación conocida y una línea L.   Cálculo utilizando círculos mayores (proyección ciclográfica)    Partimos de dos planos  cuyas orientaciones  son: 095º‐60ºN  y 330º‐30ºSO. El  método a seguir es el que se explica a continuación (Fig. 5).      Proyectar ambos planos como círculos mayores. Su punto de corte define la  línea de intersección de los planos L, cuya orientación es: 288º/21º.     Dibujar el plano perpendicular a la línea de intersección.     Contar en este plano el ángulo que forman los dos planos y hallar su punto  medio (A).     Dibujar el plano que contiene  la  línea de  intersección L y el punto medio  del ángulo A. Este plano será bisector del ángulo entre los planos, bien del  agudo o del obtuso, según el que se haya elegido.    En la figura 5, el plano bisector elegido es el correspondiente al ángulo obtuso  (100º)  y  su  orientación  es  115º‐74ºSO.  El  punto  medio  correspondiente  al  ángulo agudo es el punto B. Uniendo B y L podemos dibujar el plano bisector  correspondiente al ángulo agudo.    Comprobar  que  los  planos  bisectores  de  los  ángulos  agudo  y  obtuso,  son  perpendiculares entre sí.  Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  48        Figura  5.  Cálculo  de  la  orientación  del  plano  bisector  entre  dos  planos  conocidos,  utilizando  la  proyección ciclográfica.     Cálculo utilizando los polos (proyección polar)     Proyectar los polos de los planos (P1 y P2) (Fig. 6).     Dibujar el círculo mayor que contiene a los dos polos.     La  línea de corte de  los dos planos (L), corresponde al polo del plano que  contiene a los dos polos anteriores.     Contar  los ángulos ente polos y hallar sus puntos medios respectivos (A y  B). Trazando el círculo mayor que contiene la línea de corte y cada uno de  los puntos medios, obtenemos los planos bisectores agudo y obtuso.      CONCLUSIONES      Es posible proyectar cualquier plano en proyección estereográfica mediante un  punto  que  representa  su  normal  (línea  perpendicular  al  plano).  Este  hecho  es  especialmente  importante cuando se  trabaja con un número elevado de planos y en  aquellos casos en los que es necesario conocer valores angulares entre planos, líneas o  planos y líneas. La mecánica de estos problemas es sencilla y rápida como se ha visto,  por ello es la proyección más utilizada por los geólogos estructurales para la resolución  de casos semejantes.  Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  49        Figura 6. Cálculo de la orientación del plano bisector entre dos planos conocidos, mediante proyección  polar.      PROBLEMAS      Problema 1    Proyectar mediante proyección ciclográfica y polar,  las siguientes orientaciones  correspondientes a superficies de estratificación (Fig. 7).    a)  360º‐40ºE; b) N90ºE‐26ºS; c) 045º‐90º; d) horizontal.     Marcar la dirección dada en la primitiva y hacerla coincidir con el diámetro N‐S  de  la falsilla. Contar el buzamiento desde  la primitiva hacia el centro, sobre el  diámetro E‐O. Dibujar el círculo mayor correspondiente.     Sin mover el  transparente,  con  la dirección del plano  sobre el diámetro N‐S,  contar  sobre el diámetro E‐O el ángulo de buzamiento, desde el  centro  y en   dirección opuesta al sentido de buzamiento del plano. Colocar el polo del plano  en ese lugar.     Comprobar  que  el  polo  tiene  un  ángulo  de  inmersión  cuyo  valor  es  complementario al de buzamiento.    Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  50     Comprobar que el plano y su polo están a 90º uno de otro, contando el ángulo  entre ellos a lo largo del diámetro E‐O de la falsilla.     Comprobar  que  la  dirección  de  la  línea  (polo)  está  a  90º  de  la  dirección  del  plano.    Seguiremos el mismo procedimiento para proyectar cualquiera de  los datos del  problema.  Todos  ellos  se  pueden  proyectar  en  una  misma  hoja,  visualizando  la  orientación de cada uno en el espacio.        Figura 7. Resolución del problema 1. Ver texto para su explicación.      Problema 2    Dados  dos  planos  con  orientaciones  N30ºE‐30ºSE  y  20º/250º,  hallar  la  orientación de su línea de intersección, dando el valor de la inmersión y de los ángulos  de cabeceo sobre cada uno de los planos.    Visualizar el problema  (Fig. 8). La  línea de  intersección de  los dos planos  (L), si  estos se representan en proyección ciclográfica, será el punto en la proyección donde  se cortan los dos círculos mayores. Si la representación es en proyección polar, la línea  buscada será el polo del plano que une los polos de los planos dados.     En  este  caso,  dado  que  el  problema  nos  pide  los  valores  de  los  ángulos  de  cabeceo,  lo  resolveremos  mediante  círculos  mayores  para  hacer  la  medida  directamente.  Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  51     Dibujar los círculos mayores para cada uno de los planos.     La  línea  de  intersección  se  lleva  a  un  diámetro  vertical,  y  en  él  se mide  la  dirección e inmersión de la línea, 189º/11º.     Se coloca cada uno de los planos alternativamente sobre un círculo mayor, y se  mide según los círculos menores el valor correspondiente al ángulo de cabeceo  de la línea sobre cada uno de los planos, 21ºS y 34ºS.        Figura 8. Estereograma correspondiente al problema 2. Ver texto para su explicación.      Problema 3    Utilizando  los  datos  del  problema  anterior,  calcular  el  valor  del  ángulo  que  forman entre si los dos planos y la orientación del plano bisector de dicho ángulo.    Utilizar  un  nuevo  papel  transparente  y  proyectar  nuevamente  los  dos  planos  anteriores, bien mediante sus círculos mayores o mediante sus polos.    Si hemos proyectado los círculos mayores (Fig. 9 A):     Dibujar  el  plano  perpendicular  a  estos  dos  planos,  colocando  la  línea  de  intersección sobre el diámetro E‐O de la falsilla.    Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  52     Contar  a  lo  largo  de  este  nuevo  plano,  los  valores  correspondientes  a  los  ángulos agudo y obtuso, 56º y 134º. Hallar y marcar el punto medio de cada  uno de ellos (puntos A y B).     Trazar  los planos que contienen respectivamente a  la  línea de  intersección y a  cada  uno  de  los  puntos  medios  del  ángulo  elegido.  Estos  nuevos  planos  representan los planos bisectores agudo y obtuso.     Leer  las  orientaciones  correspondientes  a  estos  planos  bisectores,  que  son  010º‐84ºO y 080º‐11ºS.    Si hemos representado los planos en proyección polar (Fig. 9B):     Dibujar el plano que contiene  los dos polos. Este plano es perpendicular a  los  dos planos anteriores.     Contar  a  lo  largo  de  este  plano  los  valores  correspondientes  a  los  ángulos  agudo y obtuso. Marcar los puntos medios de dichos ángulos (A y B).     Dibujar  la  posición  del  polo  de  este  plano.  Corresponde  a  la  línea  de  intersección de los dos planos anteriores (L).    Los  planos  bisectores  pedidos  serán  aquellos  que  contienen  a  la  línea  de  intersección y a cada uno de los dos puntos medios.    Observar  que  en  este  tipo  de  problemas,  siempre  que  no  haya  más  datos,  existirán dos soluciones, sin que podamos decidir cuál de ellas es  la válida. En el caso  de  que  hayamos  resuelto  el  problema  en  dos  transparentes  distintos,  colocar  uno  sobre otro y estudiar la relación entre polos y planos.      Problema 4    Calcular el valor del ángulo  formado entre el plano de orientación 224º/36 y  la  lineación mineral 010º/26º.    Como ya  se ha explicado anteriormente, el valor del ángulo  formado entre un  plano y una  línea, es el mismo que el  formado entre  la  línea y el polo del plano. El  proceso a seguir se detalla a continuación (Fig. 10).     Proyectar la línea en el transparente (L).     Proyectar el polo del plano (P1).     Dibujar el círculo mayor que contiene el polo del plano y la línea.  Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  53     Contar  el  valor  del  ángulo  a  lo  largo  de  este  círculo  mayor,  utilizando  los  círculos menores. En la figura se ha calculado el valor correspondiente al ángulo  agudo, que es de 37º.            Figura  9.  Estereograma  correspondiente  al  problema  3.  A)  mediante  proyección  ortográfica.  B)  mediante proyección polar.    Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  54        Figura 10. Resolución del problema 4. Ver texto para su explicación.      Problema 5    Un  plano  de  falla  de  orientación  N16ºE‐32ºSE,  muestra  unas  estrías  de  deslizamiento  con  un  ángulo  de  cabeceo  de  30ºN.  En  el mismo  plano  aparece  un  conjunto de escalones con dirección 150º. Orientar ambas líneas mediante dirección e  inmersión y calcular el ángulo que forman medido sobre el plano de falla, así como los  ángulos entre el plano de falla y cada una de las líneas.     Proyectar el plano de falla mediante su círculo mayor correspondiente.     Colocar en este plano la línea correspondiente a las estrías, contando desde el  norte el ángulo de cabeceo.     Llevar  la  dirección  150º  sobre  un  diámetro  vertical  de  la  falsilla  y  colocar  la  posición de los escalones dentro del plano de falla.    En este momento, ya están proyectados todos  los elementos del problema (Fig.  11). A partir de aquí, vamos obteniendo las soluciones.     Colocamos  cada  una  de  las  líneas  sobre  un  plano  vertical  de  la  falsilla,  y  medimos el ángulo de inmersión. En el caso de las estrías medimos su dirección  sobre  la  primitiva  que  es  042º  y  su  inmersión,  16º.  La  inmersión  correspondiente a los escalones es de 24º según los 150º.  Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  55     Proyectamos el polo del plano de  falla  (F) y dibujamos el plano que contiene  este polo y las estrías y el plano que contiene el mismo polo y los escalones. En  cada uno de estos planos medimos el ángulo entre el plano de falla y estrías /  escalones y resulta ser de 90º en ambos casos.        Figura 11. Estereograma correspondiente al problema 5. Ver texto para su explicación.      BIBLIOGRAFÍA      Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  a.  Problemas  de  Geología  Estructural.  1.  Conceptos generales. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 1‐10.    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  b.  Problemas  de  Geología  Estructural.  2.  Orientación  y  proyección  de  planos  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie  Geología Estructural, 2 (1): 11‐23.    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  c.  Problemas  de  Geología  Estructural.  3.  Orientación  y  proyección  de  líneas  en  el  espacio.  Reduca  (Geología).  Serie  Geología Estructural, 2 (1): 24‐40.    Babín  Vich,  R.  B.  y  Gómez  Ortiz,  D.  2010  d.  Problemas  de  Geología  Estructural.  7.  Pliegues. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 95‐123, 2010.        Reduca (Geología). Serie Geología Estructural.  2 (1): 41‐56, 2010.                                               ISSN: 1989‐6557  56    BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA      Davis, G. H. 1984. Structural Geology of rocks and Regions. Wiley & Sons. 492 pp.    Lheyson,  P.  R.;  Lisle,  R.  J.  1996.  Stereographic  projection  techniques  in  Structural  Geology. Butterworth‐Heinemann Ltd. Oxford. 104 pp.    Marshak, S & Mitra, G. 1982. Basic methods of structural geology. Prentice & Hall. 446  pp.    Phillips, F. C. 1971. The use of stereographic projection  in Structural Geology. Edward  Arnol. London. 90 pp.    Ragan, D. M. 1987. Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona. 210 pp.    Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw  Hill. New York. 545 pp.      Recibido: 18 noviembre 2009.  Aceptado: 22 diciembre 2009.