UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Departamento de Física de la Tierra, Astronomía y Astrofísica I MODELADO EN INVERSIÓN EN 2D Y 3D DE ANOMALÍAS GRAVIMÉTRICAS PRODUCIDAS POR CUERPOS CUYA GEOMETRÍA Y DENSIDAD DE MASA SE DESCRIBEN UTILIZANDO FUNCIONES POLINÓMICAS: APLICACIONES A DATOS GRAVIMÉTRICOS DE CÁNADA Y MÉXICO MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR Beatriz Martín Atienza Bajo la dirección de los doctores Juan García Abdeslem María Luisa Osete López Madrid, 2004 ISBN: 978-84-669-1747-6 ©Beatriz Martín Atienza, 2001 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS MODELADO E INVERSION EN 2D Y 3D DE ANOMALIAS GRAVIMETRICAS PRODUCIDAS POR CUERPOS CUYA GEOMETRIA Y DENSIDAD DE MASA SE DESCRIBEN UTILIZANDO FUNCIONES POLINOMICAS: APLICACIONES A DATOS GRAVIMETRICOS DE CANADA Y MEXICO. TESIS DOCTORAL BEATRIZ MARTIN ATIENZA Año 2001 Para Antonio, de cuyas canas me siento totalmente responsable. Yo fui niño en una época de esperanza. Quise ser científico desde mis primeros días de escuela. El momento en que cristalizó mi deseo llegó cuando capté por primera vez que las estrellas eran soles poderosos, cuando constaté lo increíblemente lejos que debían de estar para aparecer como simples puntos de luz en el cielo. No estoy seguro de que entonces supiera siquiera el significado de la palabra “ciencia”, pero de alguna manera quería sumergirme en toda su grandeza. Me llamaba la atención el esplendor del universo, me fascinaba la perspectiva de comprender cómo funcionan realmente las cosas, de ayudar a descubrir misterios profundos, de explorar nuevos mundos... quizá incluso literalmente. He tenido la suerte de haber podido realizar este sueño al menos en parte. [...] Cuando uno se enamora, quiere contarlo al mundo. Este libro es una declaración personal que refleja mi relación de amor de toda la vida con la ciencia. Carl Sagan, “El mundo y sus demonios” AGRADECIMIENTOS Quiero expresar mi más sincero agradecimiento a todas aquellas personas que han participado directa o indirectamente en la realización de esta Tesis. Soy consciente de que es imposible recordar explícitamente en estas páginas los nombres de cada una de ellas, porque la lista sería realmente interminable. Trataré de nombrar a todos, aunque si omito a alguien no es por falta de agradecimiento y cariño, sino por despiste. En primer lugar quiero agradecer su apoyo y comprensión a Juan García Abdeslem y a Mª Luisa Osete López, los directores de esta Tesis. Soy consciente de lo poco dócil que soy y de lo difícil que es trabajar conmigo, así que quiero darles también las gracias por la gran dosis de paciencia y cariño que han mostrado siempre conmigo. Sin Juan esta Tesis nunca se hubiera realizado porque es el auténtico artífice de la idea. Ha confiado en mí y me ha apoyado desde un principio. He disfrutado muchísimo de cada hora pasada con él delante de la pizarra discutiendo de Gravimetría y resolviendo integrales. Sin la amistad de Marisa nunca hubiese tenido la fuerza suficiente como para continuar con el doctorado a pesar de todos los problemas que han surgido en estos años. Me ha enseñado a ser independiente y a disfrutar de la investigación con profesionalidad. De mayor quiero ser como ella. También quiero agradecer el apoyo incondicional y la amistad que siempre me ha brindado todo el personal de investigación, técnico y administrativo de la División de Ciencias de la Tierra del Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada (CICESE), Baja California, México, donde he realizado esta Tesis, y muy especialmente a los directores de esta División, José Manuel Romo Jones y Luis Munguía Orozco, por permitirme andar por los pasillos del edificio como si estuviera en mi propia casa. Estoy en deuda con todos los miembros del Departamento de Geología del CICESE, especialmente con sus Jefes, Arturo Martín Barajas y Margarita López Martínez, por hacerme sentir un miembro más de este Departamento desde el primer día que entré por las puertas de esta institución, y por haber puesto a mi disposición los medios materiales de este Departamento para la realización de mi trabajo. A todos los miembros del Departamento de Geofísica Aplicada del CICESE y a su Jefe, Enrique Gómez Treviño, por adoptarme como una estudiante de doctorado más dentro del Departamento. Por su apoyo incondicional, tanto a nivel profesional como a nivel personal, por haberme llevado a todas las reuniones de la UGM que se han celebrado estos últimos años en Puerto Vallarta y por haberme proporcionado toda la infraestructura necesaria para realizar esta Tesis. Por supuesto no me olvido de todos los profesores, compañeros y personal administrativo del Departamento de Física de la Tierra, Astronomía y Astrofísica I de la Universidad Complutense de Madrid, donde comencé mis andanzas como estudiante de doctorado en Geofísica, y en especial a sus directores, Agustín Udías Vallina y Mª del Carmen Hernández Lucendo, por poner a mi disposición todos los medios necesarios para poder continuar con mi trabajo en las breves estancias que he pasado en dicho Departamento durante los últimos años. Este trabajo se ha financiado parcialmente en México por varios proyectos internos y las Jefaturas de los Departamentos de Geofísica Aplicada y Geología del CICESE, y en España por los proyectos CI1-CT94-0114 (Unión Europea) y PB-98-0834 (DGICYT). Mi más sincero agradecimiento a todas aquellas personas que han tenido la paciencia necesaria para revisar y corregir las diferentes versiones de esta Tesis o algunas de sus partes: a Antonio González Fernández que ha estado ahí desde el principio; a Ronald Spelz Madero, sin cuya ayuda nunca hubiera podido escribir el marco geológico de la Laguna Salada; a Luis A. Delgado Argote, que corrigió lo que escribí acerca de dicho marco geológico y que me ayudó a depurar las ideas que aprendí acerca del marco tectónico- extensional del Golfo de California; a Enrique Gómez Treviño y a Carlos Flores, cuyos comentarios han mejorado significativamente la redacción y el contenido del Capítulo I de esta Tesis. Quiero también agradecer a todos aquellos profesores de la División de Ciencias de la Tierra del CICESE que me permitieron asistir como oyente a los cursos de posgrado que imparten en esta División y que han sido vitales para la realización de esta Tesis: Edgardo Cañón Tapia, Luis A. Delgado Argote, Francisco Esparza, José Frez Cárdenas, Juan García Abdeslem, Enrique Gómez Treviño, Antonio González Fernández, Octavio Lázaro Mancilla y Francisco Suárez Vidal. Muy especialmente agradezco el apoyo desinteresado y la amistad que siempre me ha brindado Luis A. Delgado Argote que, en los primeros meses de mi estancia en el CICESE, puso a mi disposición sus proyectos de investigación para proporcionarme el material de papelería necesario para la realización de mi trabajo. Al personal administrativo de los Departamentos de Geología y Geofísica Aplicada del CICESE, muy especialmente a Mª Guadalupe Martínez Vázquez, Mª Eugenia García Campuzano, Mª del Carmen Pérez, Guadalupe Zepeda y Bárbara Uribe, por su amistad desinteresada y sus buenos consejos. A los técnicos José Mojarro, Humberto Benítez, Luis Gradilla y Víctor M. Frías Camacho, por su gran dosis de paciencia y por el tiempo que han invertido en resolver mis problemas existenciales con los ordenadores. A Agustín Udías Vallina le agradezco de todo corazón su apoyo y el cariño con el que siempre me ha tratado. Su amistad es un gran tesoro para mí. A Salvador Crespillo Maristegui, que a través de todos estos años ha mantenido intacta nuestra buena amistad. A mis buenas amigas Lourdes y Rosa, por haber mantenido nuestra amistad a pesar del tiempo y la distancia. A todos los amigos y compañeros que he tenido el gusto de conocer en CICESE, y muy especialmente a Raquel, Ronald, Lupita, Selene, Rosalía, Edgardo, Humberto, Margarita, Felipe, Irma, María Elena, Cristina, Marco, Maru, Víctor Moreno y Sarita. Gracias por vuestra amistad. A Luis, Cristina y Diego, mi “familia” mexicana. Gracias por esos ricos desayunos los domingos por la mañana. Gracias también por ayudarme a depurar mi castellano. A mis padres, mis hermanos, mis sobrinos y mis suegros, que, a pesar de todas las alegrías y disgustos que les he dado en mi vida, me quieren tanto y me apoyan incondicionalmente. Y a mi esposo y mecenas Antonio, que ha puesto a mi disposición sus proyectos de investigación, y su propio sueldo, para proveerme del material necesario con el que hacer esta Tesis. El ha sido mi compañero de alegrías y penas, me ha apoyado, me ha sufrido, me ha discutido los asuntos de esta Tesis todo lo que ha querido, y me ha amado como nunca nadie lo ha hecho jamás. A todos vosotros, muchas gracias por haber hecho posible el gran sueño de mi vida. i INDICE INTRODUCCION ........................................................................................................................ 1 I. CONCEPTOS BASICOS ........................................................................................................... 9 Introducción............................................................................................................................ 11 1.1. Ley de Newton y aceleración de la gravedad....................................................................... 11 1.2. Problema directo y problema inverso en Gravimetría........................................................... 14 1.2.1. Formulación del problema inverso no lineal............................................................... 16 1.2.1.1. Método de Marquardt-Levenberg. ................................................................. 21 1.2.1.2. Método de Marquardt-Levenberg considerando errores en los datos ................ 24 1.2.2. Análisis de la solución ............................................................................................. 27 1.2.2.1. Análisis de la sensibilidad, existencia, unicidad y estabilidad.......................... 27 1.2.2.2. Análisis de la matriz de resolución de los parámetros. .................................... 31 1.2.2.3. Análisis de la matriz de covarianza de los parámetros..................................... 34 1.2.2.4. Análisis de l a matriz de correlación de los parámetros. ................................... 36 II. PROBLEMA DIRECTO PARA FUENTES GRAVIMETRICAS EN 2D................................... 37 Introducción........................................................................................................................... 39 2.1. Planteamiento del problema directo en 2D......................................................................... 39 2.2. Fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable z.................... 41 2.2.1. Contraste de densidad que depende de la distancia horizontal x.................................. 42 2.2.2. Contraste de densidad que depende de la profundidad z............................................. 45 2.2.3. Contraste de densidad que depende de las variables x, z ............................................ 46 2.2.4. Ejemplos ................................................................................................................ 47 2.3. Fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de la variable x... 50 2.3.1. Contraste de densidad que depende de la distancia horizontal x................................. 51 2.3.2. Contraste de densidad que depende de la profundidad z............................................ 52 2.3.3. Contraste de densidad que depende de las variables x, z............................................ 54 2.3.4. Ejemplos .............................................................................................................. 56 2.4. Discusión ........................................................................................................................ 58 III. PROBLEMA DIRECTO PARA FUENTES GRAVIMETRICAS EN 3D.................................. 61 Introducción.......................................................................................................................... 63 3.1. Planteamiento del problema directo en 3D ........................................................................ 63 3.2. Fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de las variables y, z............ 64 ii 3.2.1. Contraste de densidad que depende de las distancias horizontales x, y....................... 65 3.2.2. Contraste de densidad que depende de la profundidad z. ........................................... 67 3.2.3. Contraste de densidad que depende de las variables x, y, z........................................ 68 3.2.4. Ejemplos .............................................................................................................. 69 3.3. Fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de las variables x, z ............ 73 3.3.1. Contraste de densidad que depende de las distancias horizontales x, y. ...................... 74 3.3.2. Contraste de densidad que depende de la profundidad z. ........................................... 75 3.3.3. Contraste de densidad que depende de las variables x, y, z........................................ 75 3.3.4. Ejemplos .............................................................................................................. 76 3.4. Fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de las variables x, y .................................................................................................................. 80 3.4.1. Contraste de densidad que depende de las distancias horizontales x, y. ...................... 81 3.4.2. Contraste de densidad que depende de la profundidad z. ........................................... 81 3.4.3. Contraste de densidad que depende de las variables x, y, z........................................ 83 3.4.4. Ejemplos .............................................................................................................. 84 3.5. Discusion....................................................................................................................... 87 IV. PROBLEMA INVERSO PARA FUENTES GRAVIMETRICAS EN 2D................................. 89 Introducción......................................................................................................................... 91 4.1. Fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable z................... 91 4.1.1. Ejemplo teórico con datos que no presentan errores numéricos................................. 94 4.1.1.1. Evolución de los parámetros del modelo ..................................................... 98 4.1.1.2. Análisis de la sensibilidad, existencia, unicidad y estabilidad. .................... 101 4.1.1.3. Resolución de los parámetros................................................................... 112 4.1.1.4. Covarianza de los parámetros................................................................... 112 4.1.1.5. Correlación entre los parámetros .............................................................. 114 4.1.2. Ejemplo teórico con datos que presentan errores numéricos ................................... 116 4.1.2.1. Evolución de los parámetros del modelo................................................... 120 4.1.2.2. Análisis de la sensibilidad, existencia, unicidad y estabilidad. .................... 123 4.1.2.3. Resolución de los parámetros................................................................... 133 4.1.2.4. Covarianza de los parámetros................................................................... 135 4.1.2.5. Correlación entre los parámetros .............................................................. 135 4.2. Fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de la variable x..................................................................................................................... 139 4.2.1. Ejemplo teórico con datos que no presentan errores numéricos............................... 140 4.2.1.1. Evolución de los parámetros del modelo................................................... 144 4.2.1.2. Análisis de la sensibilidad, existencia, unicidad y estabilidad. .................... 147 iii 4.2.1.3. Resolución de los parámetros................................................................... 155 4.2.1.4. Covarianza de los parámetros................................................................... 156 4.2.1.5. Correlación entre los parámetros .............................................................. 157 4.2.2. Ejemplo teórico con datos que presentan errores numéricos ................................... 158 4.2.2.1. Evolución de los parámetros del modelo................................................... 162 4.2.2.2. Análisis de la sensibilidad, existencia, unicidad y estabilidad. .................... 164 4.2.2.3. Resolución de los parámetros................................................................... 172 4.2.2.4. Covarianza de los parámetros................................................................... 173 4.2.2.5. Correlación entre los parámetros .............................................................. 174 4.3. Discusión..................................................................................................................... 176 V. PROBLEMA INVERSO PARA FUENTES GRAVIMETRICAS EN 3D................................. 179 Introducción......................................................................................................................... 181 5.1. Fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de las variables y, z ............ 181 5.1.1. Ejemplo teórico con datos que no presentan errores numéricos ................................ 184 5.1.1.1. Evolución de los parámetros del modelo..................................................... 190 5.1.1.2. Análisis de la sensibilidad, existencia, unicidad y estabilidad. ...................... 193 5.1.1.3. Resolución de los parámetros..................................................................... 207 5.1.1.4. Covarianza de los parámetros..................................................................... 207 5.1.1.5. Correlación entre los parámetros................................................................ 207 5.1.2. Ejemplo teórico con datos que presentan errores numéricos ..................................... 214 5.1.2.1. Evolución de los parámetros del modelo..................................................... 219 5.1.2.2. Análisis de la sensibilidad, existencia, unicidad y estabilidad. ...................... 223 5.1.2.3. Resolución de los parámetros..................................................................... 235 5.1.2.4. Covarianza de los parámetros..................................................................... 237 5.1.2.5. Correlación entre los parámetros................................................................ 237 5.2. Fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de las variables x, y ................................................................................................................. 244 5.2.1. Ejemplo teórico con datos que no presentan errores numéricos ................................ 245 5.2.1.1. Evolución de los parámetros del modelo..................................................... 251 5.2.1.2. Análisis de la sensibilidad, existencia, unicidad y estabilidad. ...................... 253 5.2.1.3. Resolución de los parámetros..................................................................... 263 5.2.1.4. Covarianza de los parámetros..................................................................... 263 5.2.1.5. Correlación entre los parámetros................................................................ 263 5.2.2. Ejemplo teórico con datos que presentan errores numéricos..................................... 269 5.2.2.1. Evolución de los parámetros del modelo..................................................... 273 5.2.2.2. Análisis de la sensibilidad, existencia, unicidad y estabilidad. ...................... 275 iv 5.2.2.3. Resolución de los parámetros..................................................................... 285 5.2.2.4. Covarianza de los parámetros..................................................................... 285 5.2.2.5. Correlación entre los parámetros................................................................ 286 5.3. Discusión..................................................................................................................... 292 VI. APLICACION A DATOS DE CAMPO................................................................................ 293 Introducción........................................................................................................................ 295 6.1. Estudio gravimétrico del glaciar Salmon, British Columbia, Canada................................. 295 6.1.1. Antecedentes. ...................................................................................................... 295 6.1.2. Inversión de los datos gravimétricos del glaciar Salmon. ........................................ 300 6.1.2.1. Caso 1: fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable z.......................................................................... 302 6.1.2.2. Caso 2: fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de la variable x......................................................................... 308 6.1.2.3. Discusión. ............................................................................................... 314 6.2. Estudio gravimétrico de la cuenca Laguna Salada, Baja California , México............... 315 6.2.1. Marco geológico y antecedentes............................................................................ 315 6.2.2 . Inversión de datos gravimétricos de la Laguna Salada en 2D................................... 320 6.2.2.1. Perfil P1: subcuenca principal................................................................... 322 6.2.2.1.1. Caso 1: fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable z. .......................................................... 323 6.2.2.1.2. Caso 2: fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de la variable x. .................................... 335 6.2.2.2. Perfil 2: subcuenca secundaria. ................................................................. 346 6.2.2.2.1. Caso 1: Fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable z. .......................................................... 346 6.2.2.2.2. Caso 2: Fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de la variable x. ..................................... 358 6.2.2.3. Discusión. ............................................................................................... 370 6.2.3. Inversión de datos gravimétricos de la Laguna Salada en 3D................................... 372 6.2.3.1. Caso 1: Fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de las variables y, z. ................................................................................ 374 6.2.3.2. Caso 2: Fuente limitada superior e inferiormente por funciones continuas de las variables x, y ................................................................................. 385 6.2.3.3. Discusión. ............................................................................................... 399 v VII. RESULTADOS Y CONCLUSIONES................................................................................. 401 Introducción....................................................................................................................... 403 7.1. Problema directo. ......................................................................................................... 403 7.2. Problema inverso.......................................................................................................... 404 7.3. Aplicación a datos de campo ......................................................................................... 405 7.3.1. Glaciar Salmon. .................................................................................................. 405 7.3.2. Cuenca Laguna Salada......................................................................................... 406 APENDICE A .......................................................................................................................... 409 Introducción ............................................................................................................................. 411 A.1. Cuadratura de Gauss. ......................................................................................................... 411 A.1.1. Cuadratura de Gauss para integrales simples.............................................................. 412 A.1.2. Cuadratura de Gauss para integrales dobles ............................................................... 415 APENDICE B........................................................................................................................... 419 Introducción ............................................................................................................................. 421 B.1. Fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable z ....................... 421 B.2. Fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de la variable x. .... 424 APENDICE C........................................................................................................................... 429 Introducción ............................................................................................................................. 431 C.1. Fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de las variables y, z................. 431 C.2. Fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de las variables x, y...................................................................................................................... 436 BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................... 441 vi 1 INTRODUCCION 2 Introducción 3 La mayor parte del conocimiento que se tiene acerca de la estructura interna de la Tierra se ha obtenido mediante la interpretación de los datos geofísicos registrados en la superficie de la corteza terrestre y, en menor medida, mediante el muestreo directo del material procedente de su interior. En particular, en Prospección Gravimétrica se mide la componente vertical de la aceleración de la gravedad terrestre para detectar los cambios que tienen lugar en la distribución de la densidad de las rocas en el interior de la Tierra. Esto es posible debido a que el valor de la aceleración de la gravedad medido en un punto determinado de la superficie de la Tierra, y reducido al nivel del mar mediante las correcciones pertinentes, no siempre se ajusta exactamente al valor calculado mediante la fórmula internacional de la gravedad. Hay dos métodos básicos para realizar la interpretación de los datos geofísicos y, en particular, de las anomalías de la gravedad de la Tierra. Por un lado tenemos el denominado problema directo en el cual, a partir de la información geológica y geofísica disponible para la zona de estudio, se construye un posible modelo de fuente anómala o distribución de masas considerada como responsable de la anomalía gravimétrica registrada. Posteriormente se calcula el efecto gravimétrico de dicho modelo y se compara con la gravedad observada. Si estos dos conjuntos de valores de la gravedad no se ajustan de manera satisfactoria, se modifica el modelo de fuente para conseguir un mejor ajuste entre ambos conjuntos. El otro método utilizado para realizar la interpretación de los datos de gravedad es el llamado problema inverso. Mediante este método se puede encontrar la distribución de masas responsable de una determinada anomalía, a partir de los valores de la gravedad observados en la superficie de la Tierra. Se han publicado numerosos trabajos en los que se aborda tanto la metodología como la aplicación del problema directo para fuentes anómalas bidimensionales y tridimensionales, desde el trabajo clásico de Talwani et al. (1959) para fuentes bidimensionales con densidad constante, el cual ha proporcionado hasta el momento el algoritmo más utilizado para la interpretación de las anomalías de la gravedad, hasta los trabajos más actuales, en los que se supone que la densidad de las fuentes anómalas presenta variaciones laterales y/o en profundidad. El interés en la interpretación y el modelado de anomalías gravimétricas, utilizando modelos de fuente cuyas densidades van a depender de la profundidad, proviene de la relevancia económica y geológica de las cuencas sedimentarias donde, normalmente, el contraste de densidad de este tipo de estructuras geológicas, con respecto al medio que les rodea, va a depender de la profundidad. Por ejemplo, si suponemos que la compactación diferencial simple es el proceso diagenético más importante en la evolución de una cuenca sedimentaria, la suposición de un decrecimiento exponencial del contraste de densidad con la profundidad puede dar resultados significativos en el modelado de cuencas sedimentarias. En este sentido hay que destacar varios trabajos, como por ejemplo Cordell (1973), que desarrolló un método para calcular el efecto gravimétrico producido por un prisma vertical bidimensional Introducción 4 con una densidad que decrece exponencialmente con la profundidad. Murthy y Rao (1979) extendieron el método integral de Hubert (1948) para obtener el efecto gravimétrico de un cuerpo con sección arbitraria y cuya densidad varía linealmente con la profundidad. Chai y Hinze (1988) derivaron una aproximación en el dominio de las frecuencias para calcular el efecto gravimétrico debido a un prisma vertical de base rectangular cuya densidad varía exponencialmente con la profundidad. Rao (1990) desarrolló una expresión para obtener el efecto gravimétrico producido por un cuerpo asimétrico de base trapezoidal cuya densidad viene expresada por una función polinomial cuadrática de la profundidad. García-Abdeslem (1992, 1996a) desarrolló métodos para calcular el efecto gravimétrico causado por un prisma rectangular vertical en 2D y 3D, donde la densidad puede variar como cualquier función que dependa de la profundidad. Rao et al. (1993) derivaron una aproximación bidimensional en el dominio de los números de onda para calcular el efecto gravitacional producido por varios cuerpos simétricos donde la densidad varía exponencialmente con la profundidad como un polinomio cuadrático. Sin embargo, además de la compactación diferencial simple que tiene lugar en la evolución de una cuenca, también pueden estar presentes otros procesos geológicos como, por ejemplo, la estratificación no uniforme en capas del material sedimentario, los cambios laterales de facies y la cementación química y estructural, los cuales pueden complicar la estructura geológica de una cuenca sedimentaria. Esto requiere una aproximación más general para acomodar las variaciones arbitrarias de densidad que pueden tener lugar dentro de este tipo de estructuras. En esta línea de trabajo Ruotoistenmäki (1992) desarrolló varias expresiones matemáticas para calcular las anomalías gravimétricas debidas a fuentes bidimensionales en las que la densidad viene dada por una función polinómica de quinto grado que depende o bien de la profundidad [ρ (z)] o bien de la distancia horizontal [ρ (x)], y en las que la geometría del cuerpo está descrita por funciones continuas. En esta Tesis utilizaremos métodos analíticos y numéricos de integración para desarrollar nuevas expresiones matemáticas con las que calcular el efecto gravimétrico de varios tipos de fuente, tanto bidimensionales como tridimensionales, las cuales se caracterizan por tener un contraste de densidad que varía lateralmente con la distancia horizontal, o que presenta variaciones en profundidad, o con ambos tipos de cambio al mismo tiempo, y cuyas fronteras pueden ser descritas matemáticamente por funciones continuas. A diferencia de Ruotoistenmäki (1992), en el presente trabajo se ha supuesto que el contraste de densidad de las fuentes viene descrito por polinomios de segundo grado cuyos coeficientes son funciones continuas dentro del intervalo de integración, pero la naturaleza de estas funciones matemáticas puede ser de cualquier tipo, no sólo polinomios, dando complejidad a la expresión final, la cual va a depender tanto de la distancia horizontal [∆ρ (x,y)] como de la profundidad [∆ρ (z)] o de ambos tipos de coordenadas [∆ρ (x,y,z)] a la vez, que sería el caso más general. Según ésto, se puede modelar una gran variedad de fuentes geológicas, no importa lo complejas que éstas sean. En cuanto a la estructura, se van a presentar dos tipos principales de fuente anómala, tanto en el caso bidimensional como en el tridimensional. En el primer tipo se supone que el techo y la base de la Introducción 5 estructura son planos y que las fronteras laterales vienen descritas por funciones continuas en el intervalo de integración. En el segundo tipo de fuente se supone que las fronteras laterales son planas y que el techo y la base de la estructura vienen descritos por funciones también continuas. En ambos tipos de fuentes se va a considerar que el techo de la fuente anómala coincide con la superficie donde se encuentra el observador. En este trabajo también se va a abordar el problema inverso no lineal utilizando el método iterativo de inversión de Marquardt-Levenberg (Levenberg, 1944; Marquardt, 1963; 1970), el cual ha sido ampliamente utilizado en numerosos trabajos geofísicos, no sólo en Prospección Gravimétrica, sino también en otros campos de la Geofísica (Aki y Richards, 1980; Meju, 1994; Parker, 1994). Lo novedoso del proceso de inversión presentado en esta Tesis es la utilización de los modelos de densidad y estructura de fuentes anómalas, descritos anteriormente, para el cálculo de la solución del problema. Estos modelos deben ser parametrizados convenientemente puesto que, mediante el proceso de inversión de una anomalía gravimétrica, se deben de determinar una serie de parámetros que son las incógnitas de nuestro problema y que definen las características principales de la fuente responsable de dicha anomalía. Cada modelo de fuente presenta un número máximo de parámetros que describen tanto el contraste de densidad como su estructura geométrica. El método aquí presentado tiene la flexibilidad de calcular, mediante inversión, todos los parámetros del modelo a la vez, pero también se pueden dejar fijos unos pocos que se consideran conocidos, dependiendo de la información disponible en cada caso, y así calcular el resto de parámetros del modelo de los que no se tiene ninguna información. El hecho de que las estructuras desconocidas se conciban en términos de un pequeño número de parámetros es debido a razones de cálculo más que a razones geofísicas o geológicas. Para cada tipo de fuente presentado en esta Tesis se va a considerar el caso teórico ideal en el que se supone que los datos gravimétricos que se van a invertir son conocidos exactamente y tan densamente como se necesite. También se va a tratar el caso teórico en el que el problema de inversión se realiza con datos contaminados con ruido para ver de qué manera puede afectar dicho ruido a la resolución del problema. Se podría pensar que, debido a los buenos resultados de un determinado método de inversión de datos, éste probaría ser muy utilizable para cualquier caso práctico en el que el método se aplique a datos de campo, pero a menudo esto no es cierto, ya que cualquier problema inverso en Geofísica es siempre inestable. Esto es debido a que la solución de un problema inverso va a ser muy sensible a la forma en la que estén distribuidos los datos, a los errores numéricos que pueda haber en el proceso de resolución del problema y, sobre todo, al ruido que puede estar contaminando los datos. Para estudiar la posible inestabilidad de nuestro método y ver de qué manera afecta a la solución del problema, vamos a realizar estudios de sensibilidad, existencia y estabilidad para cada caso, basándonos en los trabajos de Aki y Richards (1980), García-Abdeslem (2000), Inman (1975), Inman et al. (1973) y Lanczos (1961), entre otros. Otro problema que se plantea en Teoría de Inversión es que los problemas inversos Introducción 6 en Geofísica nunca poseen solución única y que, a la hora de interpretar datos geofísicos, hay que decidir entre una gran variedad de soluciones compatibles con los datos. Por ello, también se va a realizar un estudio de la unicidad del problema para cada tipo de fuente anómala. Para estudiar cuantitativamente de qué manera la inestabilidad del proceso y el error en los datos pueden afectar a la solución del problema, se realizará también el estudio de las matrices de resolución, covarianza y correlación en cada caso. Posteriormente se van a elegir dos conjuntos de datos de gravedad registrados en campo para estudiar la distribución de densidades y las geometrías de las fuentes anómalas responsables de las anomalías gravimétricas. Para ambos casos se realizará la inversión modelando dichas estructuras con los diferentes tipos de fuente presentados en esta Tesis, haciendo un análisis de cada solución mediante las matrices de resolución, covarianza y correlación de los parámetros calculados. Según todo lo anterior, esta Tesis está estructurada esencialmente en cinco partes, con un total de 7 capítulos. La primera parte está formada exclusivamente por el Capítulo I, en el que se presentan los conceptos básicos de Prospección Gravimétrica y Teoría de Inversión utilizados en este trabajo. El material incluye un breve resumen de los conceptos de fuerza y aceleración de la gravedad, y los conceptos de problema directo y problema inverso, pasando a describir la formulación del método de Marquardt-Levenberg para el problema de inversión no lineal, con datos libres de ruido y con datos contaminados con ruido aleatorio. Posteriormente se describen los conceptos teóricos en los que se basa el proceso que se seguirá para el análisis de la solución obtenida, como el concepto de sensibilidad, de existencia, de unicidad, de estabilidad, matriz de resolución, matriz de covarianza y matriz de correlación. La segunda parte de este trabajo se compone del Capítulo II y el Capítulo III que tratan el problema directo en Gravimetría para fuentes bidimensionales y tridimensionales, respectivamente. Para ello se supone, como ya adelantábamos anteriormente, que el contraste de densidad y la estructura de la fuente anómala van a venir descritos por funciones continuas que van a depender tanto de la profundidad como de la distancia horizontal. Para cada tipo de estructura y contraste de densidad se presenta un ejemplo en el que se han elegido, por simplicidad, funciones polinómicas para describir la fuente anómala. La tercera parte del trabajo consta de los dos capítulos siguientes y en ellos se describe el proceso de inversión de datos de gravedad generados sintéticamente mediante modelos de fuente conocidos. En el Capítulo IV se calcula el problema inverso para el caso más general de cada uno de los tipos de fuentes bidimensionales que se encuentran descritos en el Capítulo II. En el Capítulo V se presenta el problema inverso de los casos más generales de fuentes tridimensionales del Capítulo III. En los ejemplos teóricos presentados tanto en el Capítulo IV como en el Capítulo V, la inversión se realiza calculando el número máximo de parámetros con los que se describe cada tipo de fuente anómala. Para todos estos ejemplos, primeramente se considera la inversión de datos exactos y, posteriormente, la Introducción 7 inversión de datos contaminados con ruido. También se realiza un análisis de la sensibilidad, la existencia, la unicidad y la estabilidad. Además, se hace un análisis de la resolución, la covarianza y la correlación de los parámetros obtenidos como solución del problema. La cuarta parte de este trabajo está formada únicamente por el Capítulo VI. Este Capítulo está dividido en dos partes. En una primera parte se aplica el método desarrollado en los capítulos anteriores para realizar la interpretación de los datos de campo de un perfil registrado sobre el glaciar Salmon, British Columbia (Canadá), el cual es un caso clásico utilizado en la literatura para comprobar las ventajas y las limitaciones de métodos geofísicos de modelado e inversión de datos (Grant y West, 1965; Parker, 1994). Por ello se ha elegido este caso, para estudiar el comportamiento del método de interpretación desarrollado en este trabajo. En la segunda parte de este Capítulo se realiza la interpretación de los datos de gravedad registrados sobre la cuenca Laguna Salada, Baja California (México). Este caso se ha utilizado en esta Tesis para ilustrar tanto el modelado bidimensional, interpretando dos perfiles de datos que cruzan transversalmente la estructura de la cuenca, como el tridimensional. En la quinta y última parte se incluye el Capítulo VII en el que se resumen los resultados y las conclusiones obtenidas y en el que también se analizan las ventajas y las limitaciones del método de interpretación de datos gravimétricos que se ha desarrollado en el presente trabajo. Introducción 8 9 Capítulo I: CONCEPTOS BASICOS 10 Conceptos básicos 11 INTRODUCCION En este Capítulo se presentan los principios básicos de la teoría gravitacional de Newton, de los que se deducen las expresiones matemáticas necesarias para resolver el problema directo en Gravimetría. Así mismo, se plantean los fundamentos teóricos para calcular la solución del problema inverso a partir de datos gravimétricos, así como el análisis de los diferentes aspectos de la solución de este problema. 1.1. LEY DE NEWTON Y ACELERACION DE LA GRAVEDAD En 1687 Newton publicó su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en el que, entre otras leyes sobre el movimiento, presentó la Ley de la Gravitación Universal. Esta ley nos dice que la presencia de una partícula de masa m, situada en un punto P, genera un campo gravitacional alrededor de dicho punto tal que otra masa m0, situada en el punto de observación P0 , es atraída hacia P con una fuerza F que es directamente proporcional a cada una de las masas de ambas partículas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que las separa. Podemos expresar esta ley como: rF ˆ r mm G 2 0= (1.1) donde 2131110676 −−−= skgmx.G , en unidades de Sistema Internacional (SI), es la constante de Gravitación Universal según las medidas realizadas por Heyl alrededor de 1930 (Heiskanen y Moritz, 1985); la distancia r viene dada por la expresión: [ ] 212 0 2 0 2 0 / )zz()yy()xx(r −+−+−= (1.2) donde se ha supuesto un sistema de ejes cartesianos tradicional, con la parte positiva del eje x dirigida hacia el norte, la del eje y dirigida hacia el este y la del eje z dirigida hacia el nadir; r ˆ r r = es un vector unitario cuya dirección coincide con la recta que une ambas masas y su sentido está dirigido desde la fuente gravitacional P hacia el punto de observación P0 (figura 1.1). Conceptos básicos 12 FIGURA 1.1. Fuerza de atracción gravitacional entre dos masas m y m0 . Si dividimos la fuerza de atracción F por la masa atraída m0 , la ecuación (1.1) queda como: r F g ˆ r m G m )P( 2 0 0 == (1.3) El vector g se expresa en unidades de aceleración y se denomina aceleración de la gravedad. Este vector representa un campo vectorial cuyo significado físico es la atracción gravitatoria que ejerce la presencia de la masa m sobre un punto de observación P0. Si en vez de una partícula de masa tenemos una distribución continua cuya densidad es ρ, ocupando una región Ω, el campo gravitacional producido por dicha distribución, en un punto P0 situado fuera de Ω, viene expresado por la siguiente ecuación: ∫= Ω Ωρ d r ˆ G)P( 20 r g (1.4) donde r es la distancia entre el punto P donde se encuentra el elemento dΩ, y el punto P0 , donde se encuentra el observador (figura 1.2). r rm P(x,y,z) m0 P (x ,y ,z )0 0 0 0 F X Y Z Conceptos básicos 13 FIGURA 1.2. Aceleración de la gravedad producida en un punto P 0 por una distribución de masas (modificado de Blakely, 1996). Los datos proporcionados por los gravímetros corresponden a medidas de la componente vertical de la aceleración de la gravedad, esto es, la componente del vector g en la dirección del eje z. Si ahora llamamos g a dicha componente y la expresamos en coordenadas cartesianas, la ecuación (1.4) se convierte en: ∫∫∫ − = V )z,y,x( r )zz( dzdydxG)z,y,x(g ρ3 0 000 (1.5) donde la distribución de masas es una distribución de densidad ρ(x, y, z) que ocupa un volumen V y donde r viene dado por la expresión (1.2). La solución de (1.5) nos proporciona el valor de g, conocido también como el efecto gravimétrico producido por dicha distribución de masas. Galileo fue el que primero midió la aceleración de la gravedad en su famoso experimento en Pisa. En su honor, la unidad de aceleración de la gravedad en el sistema cgs (1 cm/s2) se denomina Gal y en la literatura generalmente se presenta en unidades de mGal (1 mGal = 10-3 Gal). La conversión del sistema cgs a las unidades del SI es: 1 mGal = 10 -5 m/s2 . En este trabajo se ha adoptado el SI para las unidades utilizadas, excepto para la aceleración de la gravedad (mGal) y la densidad (g /cm3) para las que se utilizará el sistema cgs , ya que ambo s son excepciones admitidas y las más utilizadas en la literatura. Conceptos básicos 14 1.2. PROBLEMA DIRECTO Y PROBLEMA INVERSO EN GRAVIMETRIA La ecuación (1.5) es un caso particular de la expresión: ∫= Ω Ωρ d)P,P(K)P()P(g 00 (1.6) donde P0(x0 , y0, z0) es la posición del observador, P(x, y, z) es el punto donde se encuentra el elemento fuente dΩ , Ω es la región finita que ocupa la fuente anómala, g(P0) es la componente vertical de la aceleración de la gravedad medida en el punto P0 , ρ(P) es una función continua que describe una cantidad física propia de la fuente anómala, en nuestro caso l a densidad, y K(P, P0) es el núcleo de los datos que describe la geometría existente entre la fuente y el observador situado en P0. La ecuación (1.6) es una ecuación de Fredholm de primera clase y la función K(P,P0) se denomina función de Green. El cálculo del valor de g(P0), mediante métodos analíticos o numéricos, se puede realizar conociendo las funciones ρ(P), K(P, P0) y Ω, es lo que se denomina problema directo y tiene solución única, ya que la gravedad g(P0) está completamente determinada por dichas funciones. Sin embargo, hay que tener en cuenta que pueden existir varias combinaciones de ρ(P), K(P,P0) y Ω que proporcionen el mismo valor de g(P0). Cuando se obtienen los valores de g(P0) experimentalmente y se desea calcular algún aspecto de ρ(P) o de Ω, se está realizando el cálculo del problema inverso . Si lo que se quiere obtener es la propiedad física de la fuente ρ(P), el problema es lineal debido a que la relación entre ρ(P) y g(P0) es lineal. Cuando se busca información acerca de la forma geométrica de la región Ω el problema es no lineal, pues la región que ocupa la fuente tiene una relación no lineal con la gravedad g(P0). En el cálculo de un problema inverso hay que tener en cuenta varios aspectos acerca de las soluciones que se quieren obtener. Primero tenemos que considerar la existencia de la solución del problema. Para un problema inverso lineal en Gravimetría existe al menos una solución, cualesquiera que sean los datos observados (Parker, 1994). La condición que se tiene que cumplir para que esto ocurra es que los núcleos de los datos K(P, P0), para cada posición del observador, deben ser linealmente independientes y esto ocurre en prácticamente la mayoría de los problemas geofísicos lineales. No ocurre lo mismo en el problema inverso no lineal ya que, en general, no existe ninguna teoría que responda a la cuestión de la existencia de soluciones para este tipo de problemas. Otro aspecto importante a estudiar es la unicidad de la solución. La solución del problema inverso lineal en Gravimetría no es única porque, como se dijo anteriormente, existen un gran número de combinaciones entre ρ(P), Ω y K(P, P0) que pueden tener el mismo efecto gravimétrico. Conceptos básicos 15 Para determinar la unicidad de la solución de un problema inverso lineal, se comprueba si existe una solución a(P) de la ecuación (1.6) que sea distinta de la solución trivial: ∫ = Ω Ω 00 d)P,P(K)P(a (1.7) Si existe alguna solución a(P), la función ρ(P) no es única. La clase de las a(P) existentes se denomina aniquilador o espacio nulo del núcleo de los datos K(P, P0) y la región Ω. Debido a que el núcleo K(P, P0) suele ser de forma complicada, no es fácil establecer la unicidad de la solución (Blakely, 1996; Parker, 1977). Para el problema inverso lineal siempre es posible encontrar un modelo de fuente que cumpla con las condiciones de los datos (Parker, 1994), pero para el problema inverso no lineal esta cuestión queda sin resolver, pues no está clara la determinación de la existencia de sus soluciones, aunque si se comprueba que existe alguna solución, ésta nunca será única (Parker, 1977). Tanto en el problema lineal como en el problema no lineal, a pesar de la gran cantidad de modelos posibles que se pueden estimar, se puede restringir su número imponiendo una serie de condiciones obtenidas a partir de un conocimiento previo, geológico o geofísico, de la fuente que queremos mode lar. Con estas restricciones podemos acotar el número de soluciones posibles. Otro de los aspectos a tener en cuenta es el de la estabilidad . La función g(P0) en el punto P0 es un promedio ponderado del efecto gravimétrico de todas las partes de la fuente, por lo que depende de toda la distribución de masas de la misma. La función peso, en este caso, es el núcleo de los datos K(P,P0). Esta función peso suele ser una función que varía suavemente haciendo que g(P0) sea una función más suave que ρ(P). Por tanto, el problema inverso lineal, por el que se calcula la solución ρ(P) a partir de la ecuación (1.6), es un proceso en el que la función g(P0) se hace menos suave. Esto implica que pequeños cambios producidos en g(P0) pueden generar grandes variaciones en ρ(P) y entonces se dice que la solución es inestable (Blakely, 1996). En el caso de problemas no lineales, aún no existe una teoría satisfactoria que realice inferencias a partir del problema inverso lineal (Parker, 1977). En general, la inversión, lineal y no lineal, en campos potenciales es inestable. Una posible forma de reducir la inestabilidad es introduciendo información adicional sobre la fuente en el problema (Blakely, 1996). Cuando la existencia de la solución está garantizada, se procede a realizar la construcción de esa solución. En general, cuando se busca una solución para un problema de inversión, es recomendable hacer uso de la Ley de Occam y suponer que el modelo que describe la fuente es lo más suave o simple posible, para evitar la sobreinterpretación de los datos y para eliminar las discontinuidades arbitrarias que pueden aparecer en el modelo, pero que no son esenciales para reproducir los datos observados (Constable, et al., 1987). Si para alcanzar la solución a un problema Conceptos básicos 16 inverso se utilizan los métodos recursivos, es necesario hacer un estudio sobre la convergencia de las iteraciones (Parker, 1977). En problemas no lineales, el principal obstáculo es la falta de capacidad que hay para asegurar la existencia de la solución. Si en la búsqueda de una solución se obtienen resultados, la existencia está asegurada. Si no se obtienen resultados, no se puede saber si esto es debido a la no existencia o a que el método de búsqueda no es el apropiado. 1.2.1. Formulación del problema inverso no lineal Por razones técnicas, las observaciones experimentales de las anomalías de la gravedad se registran en intervalos finitos y la descripción de las propiedades físicas de un modelo de fuente gravimétrica se suele realizar mediante un número finito de parámetros. Esto significa que debemos reducir el problema continuo de la ecuación (1.6) al cálculo de un conjunto de parámetros que se realiza a partir de un conjunto finito de datos. Este procedimiento se denomina parametrización del problema . Si suponemos que el conjunto de los parámetros está representado por un vector p = {pj} NE∈ , que pertenece a un espacio vectorial lineal normado con norma euclídea de dimensión N, y el conjunto de los datos observados está representado por un vector g = {g i} ME∈ , perteneciente a un espacio euclídeo de dimensión M, la ecuación (1.6) para el problema directo se puede reducir a un sistema de ecuaciones de la forma: g i = Fi [p] i = 1,2,…,M (1.8) donde Fi [p] H∈ es un funcional lineal continuo que pertenece a un espacio de Hilbert H, que relaciona los parámetros del modelo p con la medida i-ésima del vector de datos de gravedad gi ℜ∈ , donde ℜ es el espac io de los números reales. El sistema de ecuaciones (1.8) se puede reescribir en su forma compacta, obteniéndose la ecuación: g = F [p] (1.9) que es la expresión general de un problema directo. Para abordar el problema inverso, se debe realizar la inversión de dicha ecuación para obtener un estimador del vector de parámetros p. Para calcular una solución al problema inverso, es necesario tener en cuenta las dimensiones relativas del vector de los datos observados g y del vector de los parámetros del modelo p. Según esto, Conceptos básicos 17 el problema inverso se puede clasificar en sobredeterminado , cuando hay más datos que parámetros (M>N), en indeterminado, cuando hay menos datos que parámetros (M> conglomerado y lodolita calcárea conglomerado arenoso >>lodolita calcárea arenisca-lodolita calcárea>>grava y arcilla arenisca-lodolita calcárea con grava y arcilla dispersas basamento cristalino (esquisto de mica) basamento cristalino (tonalita) Un id a d 2 Un id a d 3 Un id a d 4 Aplicación a datos de campo 320 como una depresión principal en la porción central y sureste de la misma que alcanza profundidades del alrededor de 3000 m y una pequeña subcuenca al NNE del orden de 1500 m. A partir de la interpretación de los datos magnéticos, estos autores postularon la existencia de dos cuerpos intrusivos básicos en la depresión central. Por otro lado, de los tres pozos mencionados (figuras 6.18 y 6.20), el ELS-3 cortó el basamento a unos 900 m en la margen occidental de la cuenca, el pozo ELS-2 lo hizo a unos 1300 m en su parte central y el pozo ELS-1 perforó 2404 m de sedimentos en la margen oriental de la Laguna Salada sin cortar el basamento. El espesor de las secuencias sedimentarias y las variaciones litológicas que aparecen entre los pozos (figura 6.20) implican que el basamento se encuentra basculado hacia la margen oriental, alcanzando una profundidad mínima de 2500 m en esta margen de la cuenca (Vázquez-Hernández, 1996; Martín-Barajas et al., 2000). García- Abdeslem et al. (2000) han obtenido un modelo similar a partir de datos gravimétricos y magnéticos, en el que proponen un incremento del espesor de los sedimentos hacia el este, alcanzando una profundidad máxima de 3 km, de acuerdo a una estructura de semi-graben. Sánchez-Monclú (1997) interpreta, mediante el estudio de las derivadas del potencial gravitacional, que la cuenca Laguna Salada está integrada por dos o incluso tres subcuencas. La primera de ellas estaría situada al sur del cerro El Centinela (figura 6.18), limitada por dos altos estructurales que la separan, por un lado, del Valle Imperial y, por el otro, de la subcuenca principal de la Laguna Salada. La segunda subcuenca, interpretada por este autor, estaría situada en el centro de la zona de la Laguna Salada, ésta es la subcuenca principal ya que presenta la mayor extensión de todas. Por último, la tercera subcuenca estaría situada en la parte suroeste de la subcuenca principal. En la cuenca Laguna Salada se han realizado numerosos trabajos geofísicos, sobre todo de gravimetría, magnetometría, magnetotelúrica, sismicidad y geotermia. Además de los ya citados, la mayoría de estos trabajos han sido publicados como informes técnicos por el Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada (CICESE), por la Universidad de Baja California (UABC) y por la Comisión Federal de Electricidad (CFE) de México. 6.2.2. Inversión de datos gravimétricos de la Laguna Salada en 2D A continuación vamos a utilizar el método de inversión propuesto en el Capítulo IV para calcular la geometría y la distribución de densidades de la cuenca Laguna Salada a lo largo de dos perfiles trazados sobre el mapa de anomalías residuales isostáticas calculado por García-Abdeslem et al. (1995). La base de datos gravimétricos, utilizada por estos autores para calcular las anomalías residuales, integra datos registrados por Velasco-Hernández (1963), Kelm (1971), García-Abdeslem y Espinosa-Cardeña (1994) y Ramírez-Hernández et al. (1994). A partir de estos datos, García- Abdeslem et al. (1995) calcularon un mapa de anomalías de Bouguer completa de la cuenca Laguna Aplicación a datos de campo 321 Salada y áreas adyacentes. También calcularon el mapa regional utilizando el modelo de compensación isostática de Airy-Heiskanen (Heiskanen y Moritz, 1985) y un modelo digital de topografía-batimetría de la región de estudio. Supusieron una densidad para la carga topográfica en la zona de 2.67 g/cm3 , una profundidad de compensación a nivel del mar de 25 km y un contraste de densidad en la frontera Corteza-Manto de 0.35 g/cm3 . Con estos datos los autores obtuvieron el mapa de anomalías residuales isostáticas de la figura 6.21 y modelaron un perfil entre Sierra Juárez y Sierra El Mayor, encontrando una estructura de semigraben con una profundidad máxima del orden de 2500 m en la margen oriental de la cuenca. FIGURA 6.21. Mapa de anomalías residuales isostáticas sobre el mapa de la topografía de la cuenca de la Laguna Salada. Las isolíneas blancas se encuentran en unidades de mGal. Las dos líneas negras representan los perfiles que se van a interpretar en este estudio. 600 610 620 630 640 650 3520 3540 3560 3580 3600 3620 P1 P2 A A' B B' N O R T E ( km ) ESTE (km) Aplicación a datos de campo 322 Como se observa en la figura anterior, la anomalía residual isostática en la margen occidental de la cuenca Laguna Salada presenta un gradiente horizontal suave que sugiere la ausencia de contrastes de densidad bruscos en esta área. Por otro lado, en la margen oriental de esta cuenca, aparece un gradiente intenso que se puede interpretar como un cambio brusco en la densidad debido a la presencia de las fallas Laguna Salada y Cañada David. Otro rasgo que destaca en este mapa es un mínimo de -35 mGal, situado en la parte central de la cuenca Laguna Salada, y cuyo origen es debido al contraste de densidad entre el material sedimentario que rellena la cuenca y el basamento que lo rodea (García-Abdeslem et al., 2000). En la parte norte de la cuenca, al sur del Cerro El Centinela, aparece otro mínimo de -20 mGal, indicando la presencia de una posible subcuenca separada de la subcuenca principal por un alto estructural del basamento (Arellano -Guadarrama y Venegas-Salgado, 1992; Sánchez-Monclú, 1997). La forma alargada de la cuenca Laguna Salada hace que esta estructura sea idónea para realizar un estudio bidimensional de su distribución de densidades y su forma geométrica mediante el método de inversión desarrollado en el Capítulo IV. Por ello, y como se mencionó al principio de la sección, se van a extraer dos perfiles del mapa de anomalías isostáticas residuales de la figura 6.21. Uno de ellos está trazado sobre la subcuenca principal de la Laguna Salada y el otro sobre la subcuenca secundaria situada al norte de la anterior. 6.2.2.1. Perfil P1: Subcuenca principal. El perfil P1 tiene una longitud total de 28 km y cruza transversalmente la subcuenca principal de la Laguna Salada en dirección ENE. Esta orientación es subparalela a los gradientes que caracterizan las anomalías residuales de las márgenes oriental y occidental de la cuenca. Como se puede ver en la figura 6.21, las posiciones de los extremos de este perfil coinciden, aproximadamente, con el basamento que aflora al pie de las sierras que limitan la Laguna Salada. Antes de iniciar la inversión de los datos, restaremos un gradiente gravimétrico lineal al perfil P1 , para que el valor de la anomalía residual isostática en sus extremos sea de 0 mGal (figura 6.22). A continuac ión vamos a utilizar el perfil resultante, con M = 57 datos equiespaciados a 500 m, para estudiar la geometría y la distribución del contraste de densidad de la subcuenca principal de la Laguna Salada, suponiendo que la desviación estándar de los datos de gravedad es σ = 1.0 mGal. Aplicación a datos de campo 323 FIGURA 6.22. Perfil P1 sobre la subcuenca principal de la Laguna Salada. La línea sólida es la anomalía residual isostática en dicho perfil, la línea recta a trazos es el regional sustraído y la línea de cruces es la anomalía resultante que se ha utilizado como base de datos para la interpretación de este perfil. 6.2.2.1.1. Caso 1: Fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable z. Vamos a comenzar modelando la subcuenca principal de la Laguna Salada con el tipo de fuente descrito en la sección 4.1 del Capítulo IV, en el que se considera que la topografía de la zona de estudio es plana. Si observamos la figura 6.23, vemos que la topografía del perfil P1 es aproximadamente plana en el centro de la cuenca, con una altura promedio z0 = 0 m sobre el nivel del mar, mientras que en los extremos del perfil la topografía se eleva, alcanzando cotas máximas de unos 200 m sobre el nivel del mar. En este caso, podemos considerar que la frontera superior de la estructura geométrica de la fuente en este perfil es un plano z1 = z0 = 0 km, sin que se introduzcan errores importantes en el cálculo de la solución. -20 0 20 Distancia (km) -40 -20 0 20 g (m G al ) ∆ A A' Aplicación a datos de campo 324 FIGURA 6.23. Topografía del perfil P1 . Para este tipo de fuentes, el número máximo de parámetros es N = 15. En principio no vamos a considerar invariable ninguno de ellos en el proceso de inversión, para ver cómo se comporta el método al aplicarlo a un problema con datos de campo, en el que no se ha tenido en cuenta la información disponible acerca del contraste de densidad o la estructura de la fuente. Por ello, el vector de parámetros que hay que calcular tiene 15 componentes y viene dado por la expresión (4.5). Como el número de datos en este perfil es M = 57, el problema de inversión en este caso es un problema sobredeterminado. Como modelo inicial se ha elegido el modelo de la figura 6.24, en el que consideraremos que un valor razonable para el contraste de densidad promedio en la cuenca, entre el material sedimentario y el basamento que le rodea, es ∆ρ = p1 = -0.3 g/cm3 (Kelm, 1971), dado por el polinomio (4.1). En cuanto a la estructura de dicho modelo, sólo hemos tenido en cuenta la información obtenida directamente en superficie, por lo que consideraremos que las fronteras laterales vienen descritas por los polinomios (4.4), donde f1(z) = p7 = -12 km y f2(z) = p1 1 = 12 km, que son los puntos donde aflora el basamento en este perfil, los cuales están lo suficientemente alejados de los bordes del mismo como para evitar una posible falta de resolución en el cálculo de las fronteras laterales, como ocurrió en el caso del glaciar Salmón. En cuanto a la frontera inferior, se va a suponer que ésta viene dada por z2 = p1 5 = 2 km, la cual podría considerarse como una profundidad promedio para la cuenca. Con este modelo iniciamos un proceso de inversión de 200 iteraciones para el cálculo de la solución de nuestro problema. En la figura 6.25 se puede observar la evolución del desajuste durante el proceso iterativo. El valor de este parámetro disminuye de manera constante y estable a lo largo de todo el proceso y no se llega a alcanzar una solución mínima para los parámetros del modelo de fuente. A partir de la décima iteración el desajuste alcanza valores menores de qσ = 10 y, como el valor de la tolerancia en este caso es T = M = 57, ésto nos indica que estamos sobredeterminando los datos de gravedad, por tanto elegiremos como solución aquélla cuyo valor del desajuste sea lo más parecido a la tolerancia permitida. Es te valor se alcanza en la cuarta iteración, siendo qσ = 55.04, con un factor de amortiguación β -1 = 82.6. La solución resultante se presenta en la figura 6.26, donde vemos que hay -20 0 20 Distancia (km) -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 Pr of un di da d (k m ) A A' Aplicación a datos de campo 325 un buen ajuste entre la anomalía residual isostática y la anomalía correspo ndiente al modelo de fuente. Sin embargo, la geometría de la fuente anómala obtenida no se parece a la estructura de un semigraben que se deduce tanto de los datos geológicos como geofísicos presentados en otros trabajos, y los rasgos generales del contraste de densidad obtenido en el modelo presentan capas sedimentarias casi verticales en la margen izquierda de la fuente, cambiando progresivamente su pendiente hasta ser casi horizontal en la parte central -derecha de la estructura. En cuanto a la profundidad obtenida, ésta es del orden de 2.2 km. Este valor se podría considerar como un promedio de la profundidad de la cuenca, aunque sabemos, por los datos obtenidos de las perforaciones de la Comisión Federal de Electricidad (Alvarez-Rosales y González-López, 1995), que la profundidad de la cuenca es mayor de 2.4 km en la margen oriental de la misma y menor de 1 km en su margen occidental. En conclusión, el modelo obtenido no es el modelo esperado para la cuenca Laguna Salada por lo que será desechado como modelo final. FIGURA 6.24. (a) Fuente anómala utilizada como modelo inicial en el proceso de inversión para el estudio de los datos de la anomalía residual isostática de la cuenca Laguna Salada. Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P1. (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). 0-10-20 20 0 1 Pr of un di da d (k m ) Distancia (km) (a) -40 -20 0 g (m G al ) ∆ (b) 10 2 f(z)1 f(z)2 A A’ Aplicación a datos de campo 326 FIGURA 6.25. Evolución del desajuste qσ a lo largo de las 200 iteraciones del proceso de inversión. FIGURA 6.26. (a) Modelo resultante para el perfil P1 sobre la cuenca Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable z. Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P1. (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). 50 100 150 200 No. de iteración 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 D es aj us te 0-10-20 20 0 2 Pr of un di da d (k m ) Distancia (km) (a) 10 -40 0 g (m G al ) ∆ (b) -10 -20 -30 A A’ Aplicación a datos de campo 327 Como vimos en el caso del glaciar Salmon, el método de inversión propuesto en este trabajo permite fijar algunos de los parámetros de la fuente anómala dejándolos invariables y permitiendo la evolución de los parámetros restantes durante todo el proceso de inversión. Por ello, vamos a seguir un nuevo procedimiento de trabajo en el que, primeramente, vamos a calcular la estructura geométrica de la Laguna Salada con un contraste de densidad constante que sería el promedio para toda la estructura. Para ésto, vamos a considerar fijos, y de valor 0, cinco de los seis parámetros del polinomio (4.1) de la densidad: p2 , p3 , p4 , p5 , p6 . También consideraremos fijos los parámetros p7 = - 12 km y p1 1 = 12 km para las fronteras laterales, dadas por los polinomios (4.4), que son los puntos donde aflora el basamento cristalino a lo largo del perfil y sus posiciones son conocidas. El resto de los parámetros son las incógnitas de nuestro problema que deben ser determinadas en la inversión. Por tanto, el vector de parámetros a calcular es: p = { p1 , p8, p9 , p1 0 , p1 2 , p1 3 , p1 4 , p1 5} (6.3) teniendo un total de N = 8 incógnitas y M = 57 datos, por lo que el problema es sobredeterminado. El modelo inicial para este caso es el mismo que para el caso anterior y viene dado por la figura 6.24. Iniciando con este modelo se realiza un proceso de inversión de 200 iteraciones. En la figura 6.27 se observa la evolución del desajuste, cuyo valor presenta una disminución continua y estable en todo el proceso. A partir de la undécima iteración, el valor del desajuste es menor de 35, que es bastante más pequeño que el valor de la tolerancia para este caso ( T = M = 57). Esto indica que las anomalías correspondientes a los modelos alcanzados en las siguientes iteraciones sobredeterminan los datos del problema. Como no se ha alcanzado una solución mínima para nuestro problema, elegiremos el modelo resultante en la décima iteración como posible solución, con β -1 = 25.5 y qσ = 51.0, que tiene un valor cercano a la tolerancia del problema. La forma del modelo resultante se puede ver en la figura 6.28. FIGURA 6.27. Evolución del desajuste qσ a lo largo de las 200 iteraciones del proceso de inversión . 50 100 150 200 No. de iteración 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 D es aj us te Aplicación a datos de campo 328 La estructura geométrica del modelo resultante tiene la forma de un semigraben con mayor subsidencia en la margen derecha de la misma, como se puede observar en la figura 6.28. La profundidad máxima alcanzada es z2 = p1 5 = 2.66 km y el contraste de densidad promedio en toda la sección es ∆ρ = p1 = -0.37 g/cm3. Esta solución presenta un modelo de estructura satisfactorio de acuerdo con los trabajos geológicos y geofísicos realizados en la zona anteriormente. FIGURA 6.28. (a) Modelo resultante para el perfil P1 sobre la cuenca Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable z y con contraste de densidad constante. Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P1 . (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). En la figura 6.29 podemos ver la matriz de resolución correspondiente a este caso. Para calcular esta matriz se ha utilizado una varianza residual cuyo valor es σ̂ 2 = 1.04 mGal 2. El valor numérico de esta varianza es casi el mismo que el de la varianza estimada para los datos (σ 2 = 1.0 mGal2). Esto significa que la anomalía del modelo resultante se ajusta de manera satisfactoria a los datos observados, como podemos ver en la figura 6.27(b). En la matriz de la figura 6.29 podemos 0-10-20 20 0 2 Pr of un di da d (k m ) Distancia (km) (a) 10 3 -40 0 g (m G al ) ∆ (b) -10 -20 -30 1 ∆ρ = -0.37 g/cm3 A A' Aplicación a datos de campo 329 apreciar que el parámetro con mayor resolución es el p1, correspondiente al contraste de densidad de la fuente. En cuanto a los parámetros de las fronteras laterales, observamos que los correspondientes a la frontera derecha presentan mayor resolución, en términos generales, que los parámetros correspondientes a la frontera izquierda. El parámetro p1 5 , que es el que determina la frontera inferior del cuerpo, presenta una resolución intermedia. FIGURA 6.29. Matriz de resolución de los parámetros de la fuente. Los valores numéricos de los elementos de la matriz de covarianza se presentan en la tabla 6.8. A partir de los elementos de la diagonal principal podemos obtener las incertidumbres de los ocho parámetros que nos dan la solución del problema. En la tabla 6.9 se pueden ver las soluciones obtenidas para los parámetros y las incertidumbres correspondientes, con un intervalo de confianza de + 2.58 σ (99 %) . La matriz de correlación se puede ver en la figura 6.30. En líneas generales, se observa la existencia de correlación entre los parámetros de la frontera izquierda. También se puede ver que existe correlación entre los parámetros de la frontera derecha. Así mismo, hay correlación entre el parámetro de la densidad y los parámetros p1 0 y p1 4 de las fronteras laterales. El único parámetro que presenta correlaciones bajas con respecto a los demás es el parámetro que determina la frontera inferior, esto es, el parámetro p1 5 , aunque se aprecia correlación con el p9 . En la tabla 6.10 se presentan los valores numéricos de estas correlaciones. -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 p1 p8 p9 p10 p12 p13 p14 p15 p 1 p8 p9 p10 p12 p 13 p14 p15 Aplicación a datos de campo 330 p1 p 8 p 9 p 10 p 12 p 13 p 14 p 15 1.567 10-4 -1.367 10 -4 -3.046 10 -4 -8.345 10 -4 -8.696 10 -5 8.270 10-5 4.657 10-4 -6.433 10-5 p1 5.746 10-3 2.323 10-3 -1.679 10 -3 4.390 10-6 -7.539 10 -5 -5.701 10 -4 8.525 10-4 p8 2.588 10-3 3.052 10-4 2.073 10-4 -1.441 10 -4 -1.088 10 -3 1.619 10-3 p9 5.986 10-3 3.592 10-4 -5.344 10 -4 -2.213 10 -3 -1.795 10-4 p10 6.269 10-3 1.801 10-3 -3.125 10 -3 1.403 10-3 p12 1.602 10-3 -9.648 10 -4 -5.745 10-4 p13 3.106 10-3 -8.694 10-4 p14 5.953 10-3 p15 TABLA 6.8. Elementos de la matriz de covarianza de los parámetros. DENSIDAD FRONT. IZQUIERDA FRONT. DERECHA FRONT. INFERIOR p1 = -0.37 + 0.03 g/cm3 p8 = 1.9 + 0.2 p12 = -0.3 + 0.2 p 15 = 2.66 + 0.19 km p 9 = 1.42 + 0.13 km -1 p 13 = -0.44 + 0.10 km-1 p10 = 0.06 + 0.19 km -2 p 14 = -0.10 + 0.14 km-2 TABLA 6.9. Parámetros del modelo resultante e incertidumbres correspondientes. FIGURA 6.30. Matriz de correlación de los parámetros de la fuente. p1 p8 p9 p10 p12 p13 p14 p15 p1 p 8 p9 p10 p12 p13 p14 p15 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Aplicación a datos de campo 331 p 1 p 8 p 9 p 10 p 12 p13 p14 p15 1.000 10+0 -1.441 10 -1 -4.783 10 -1 -8.615 10 -1 -8.772 10-2 1.651 10-1 6.675 10 -1 -6.659 10-2 p1 1.000 10+0 6.023 10-1 -2.863 10 -1 7.310 10-4 -2.485 10-2 -1.350 10-1 1.458 10 -1 p8 1.000 10+0 7.754 10-2 5.147 10-2 -7.076 10-2 -3.837 10-1 4.126 10-1 p9 1.000 10+0 5.864 10-2 -1.726 10-1 -5.133 10-1 -3.007 10-2 p 10 1.000 10+0 5.682 10-1 -7.082 10-1 2.296 10 -1 p 12 1.000 10 +0 -4.326 10-1 -1.860 10-1 p 13 1.000 10 +0 -2.022 10-1 p 14 1.000 10 +0 p 15 TABLA 6.10. Elementos de la matriz de correlación de los parámetros. En el proceso de inversión anterior hemos obtenido una estructura geométrica satisfactoria para la fuente responsable de la anomalía gravimétrica observada en el perfil P1 de la Laguna Salada, con un contraste de densidad constante de –0.37 g/cm3 entre el material sedimentario que rellena dicha cuenca y el basamento que le rodea. A continuación vamos a realizar otro proceso de inversión de los datos del perfil P1 para calcular un contraste de densidad que varíe con la distancia horizontal y con la profundidad, según el polinomio dado por la expresión (4.1) y así obtener la forma más general de la subcuenca principal de la Laguna Salada. En este segundo proceso iterativo vamos a considerar invariables los valores de los parámetros que determinan la estructura de la fuente desde el modelo inicial hasta el modelo resultante, siendo esta estructura la misma que la del modelo de la figura 6.28. Esto significa que, en este nuevo proceso de inversión, no vamos a calcular ningún parámetro de la estructura, sólo vamos a calcular los parámetros que determinan el contraste de densidad de la fuente. Por otro lado, también vamos a considerar invariable el término independiente del polinomio (4.1) del contraste de densidad, con un valor p1 = -0.67 g/cm3, ya que corresponde al contraste de densidad que vamos a encontrar en el centro del perfil x0 = 0 km y en el nivel de la topografía z0 = 0 km, y que correspondería al material sedimentario no consolidado de densidad promedio 2.0 g/cm3 que se encuentra en la superficie de la cuenca (García-Abdeslem, comunicación personal). Según las condiciones anteriores, el problema de inversión que se desea calcular es un problema lineal con M = 57 datos y N = 5 parámetros, pertenecientes al polinomio del contraste de dens idad, siendo el vector incógnita: p = { p2 , p3 , p4, p5 , p6} (6.4) por lo que es un problema sobredeterminado. Aplicación a datos de campo 332 El modelo inicial con el que comienza la inversión de los datos de este perfil tiene la misma estructura que el modelo de la figura 6.28 pero con un contraste de densidad constante ∆ρ = p1 = -0.67 g/cm3 . Se ha realizado un proceso de 200 iteraciones para calcular las soluciones de los cinco parámetros restantes que determinan el polinomio que describe el contraste de densidad. En la figura 6.31 se presenta la evolución del desajuste a lo largo de todas las iteraciones. El valor de este parámetro converge hacia qσ = 36.7 en las primeras iteraciones y permanece constante en este valor hasta el final del proceso. Como ya sabemos, la tolerancia en este caso es T = 57, por lo que la solución proporcionada con este desajuste está sobredeterminando los datos. En cuanto a las soluciones de los parámetros, a partir de la décima iteración los valores de las mismas permanecen constantes hasta la última iteración, indicando que se ha alcanzado un mínimo dentro del espacio de soluciones. Por tanto, elegiremos este mínimo como solución del problema, con β - 1 = 18.3 y qσ = 36.7. La fuente anómala correspondiente y su anomalía gravimétrica se pueden ver en la figura 6.32. Esta solución presenta un modelo con un contraste de densidad distribuido en capas subparalelas basculadas hacia el este. En la margen de recha podemos ver que estas capas se distribuyen de manera casi vertical, indicando una variación lateral de densidad que sugiere un cambio de facies subvertical para esta zona. El modelo resultante es un modelo satisfactorio de acuerdo con la estructura de semigraben esperada para la Laguna Salada. La varianza residual para este caso tiene el valor σ̂ 2 = 0.7 mGal2 que es menor aunque muy parecido al de la varianza estimada para los datos (σ 2 = 1.0 mGal 2), indicando que la anomalía del modelo solución se ajusta satisfactoriamente a los datos observados. A partir de esta varianza residual se calcula la matriz de resolución, la cual se presenta en la figura 6.33. En esta figura podemos ver que el parámetro que presenta peor resolución es el p3 . Este parámetro corresponde al coeficiente de la variable z del polinomio (4.1) que determina el contraste de densidad de la fuente. En general, esta matriz es bastante parecida a la matriz identidad, indicando que los parámetros de la densidad de la fuente presentan muy buena resolución, lo cual está de acuerdo con los resultados obtenidos en los modelos teóricos estudiados en el Capítulo IV. La matriz de covarianza de los parámetros se presenta en la tabla 6.11. En esta matriz se puede ver que el parámetro que tiene mayor varianza es el que también presenta peor resolución, esto es, el parámetro p3. Con los elementos de la diagonal principal de esta matriz calculamos las incertidumbres de los cinco par ámetros que nos proporcionan el contraste de densidad de la fuente. En la tabla 6.12 se presentan las soluciones numéricas obtenidas para los parámetros y sus incertidumbres, suponiendo un intervalo de confianza de +2.58 σ (99 %) . Εn la figura 6.34 se presenta la matriz de correlación. En líneas generales se observa una fuerte correlación entre todos los parámetros de la densidad, como ya se obtuvo en los ejemplos teóricos del Capítulo IV. En la tabla 6.13 se presentan l os valores numéricos de estas correlaciones y se observa que dichos valores son muy cercanos a la unidad. Aplicación a datos de campo 333 FIGURA 6.31. Evolución del desajuste qσ a lo largo de las 200 iteraciones del proceso de inversión. FIGURA 6.32. (a) Modelo resultante para el perfil P1 sobre la cuenca Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable z y con contraste de densidad dado por el polinomio (4.1). Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P1 . (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). 50 100 150 200 No. de iteración 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5 D es aj us te -40 0 g (m G al ) ∆ (b) -10 -20 -30 0-10-20 20 0 2 Pr of un di da d (k m ) Distancia (km) (a) 10 3 1 A A' Aplicación a datos de campo 334 FIGURA 6.33. Matriz de resolución de los parámetros de la fuente. p2 p3 p4 p5 p6 5.450 10 -6 -9.864 10 -5 -9.439 10 -6 3.465 10 -7 6.912 10 -5 p 2 3.572 10 -3 2.179 10 -4 -1.126 10 -5 -2.441 10 -3 p 3 1.779 10 -5 -7.401 10 -7 -1.513 10 -4 p 4 3.885 10-8 7.683 10 -6 p 5 1.671 10 -3 p 6 TABLA 6.11. Elementos de la matriz de covarianza de los parámetros. DENSIDAD p2 = 0.003 + 0.006 km g/cm 3 p3 = 0.33 + 0.15 km g/cm 3 p4 = -0.015 + 0.011 2 3 km g/cm p5 = 0.0016 + 0.0005 2 3 km g/cm p6 = -0.04 + 0.11 2 3 km g/cm TABLA 6.12. Parámetros del modelo resultante e incertidumbres correspondientes. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p2 p3 p4 p5 p6 p2 p3 p4 p5 p6 Aplicación a datos de campo 335 FIGURA 6.34. Matriz de correlación de los parámetros de la fuente. p2 p3 p4 p5 p6 1.000 10 +0 -7.070 10 -1 -9.585 10 -1 7.530 10 -1 7.242 10 -1 p 2 1.000 10 +0 8.644 10 -1 -9.555 10 -1 -9.991 10 -1 p 3 1.000 10 +0 -8.902 10 -1 -8.776 10 -1 p 4 1.000 10 +0 9.535 10 -1 p 5 1.000 10 +0 p 6 TABLA 6.13. Elementos de la matriz de correlación de los parámetros. 6.2.2.1.2. Caso 2: Fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de la variable x. A continuación vamos a realizar la inversión de los datos del perfil gravimétrico P1 , presentados en la figura 6.21, considerando el modelo de fuente descrito en la sección 4.2 del Capítulo IV. Este modelo tiene en cuenta la forma de la topografía sobre la que se han registrado los datos y supone que las fronteras laterales del cuerpo son planas y verticales. En este caso, la topografía del perfil P1 se puede aproximar por un polinomio de quinto grado z0 = g1(x), como se puede ver en la figura 6.35, de manera que se mantenga el carácter suave de las funciones que modelan la fuente anómala. p2 p3 p4 p5 p6 p2 p3 p4 p5 p6 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Aplicación a datos de campo 336 FIGURA 6.35. La línea sólida representa la topografía del perfil P1 . La línea discontinua representa el polinomio de quinto grado que ajusta la topografía. Como vimos en el Capítulo IV, para determinar las características de este modelo de fuente es necesario calcular un total de N = 12 incógnitas, con lo que el vector de parámetros viene dado por la expresión (4.14) y el problema de inversión es un problema sobredeterminado. El modelo inicial con el que comenzaremos la inversión de los datos es el mismo que el de la figura 6.24 pero, en este caso, la función que describe la frontera inferior de la fuente viene dada por el polinomio (4.13), donde g2 (x) = p7 = 2 km, y las fronteras laterales son ahora las funciones constantes x1 = p1 1 = -12 km y x2 = p1 2 = 12 km. Con este modelo inicial realizamos un proceso iterativo que consta de 200 iteraciones, en el que el desajuste evoluciona de manera suave a lo largo de todo el proceso, como se puede ver en la figura 6.36. FIGURA 6.36. Evolución del desajuste qσ a lo largo de las 200 iteraciones del proceso de inversión. A partir de la decimotercera iteración, el desajuste presenta valores menores de qσ = 10 y no llega a alcanzarse una solución constante. Con valores del desajuste tan bajos estamos sobredeterminando los datos, por tanto, vamos a elegir como solución del problema aquel modelo cuyo valor del desajuste sea cercano a la tolerancia permitida T = M = 57. Esta solución se alcanza en -20 0 20 Distancia (km) -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 Pr of un di da d (k m ) A A' 50 100 150 200 No. de iteración 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 D es aj us te Aplicación a datos de campo 337 la tercera iteración, con qσ = 40.3 y β - 1 = 20.2. La representación geométrica de la solución resultante se presenta en la figura 6.37(a), donde vemos la forma de la fuente anómala y su contraste de densidad con respecto al medio que le rodea. FIGURA 6.37. (a) Modelo resultante para el perfil P1 sobre la cuenca Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de la variable x. Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P1. (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). En la figura 6.37(b) podemos ver el ajuste entre la anomalía residual isostática y la anomalía correspondiente al modelo de fuente anómala. A pesar de haber alcanzado un buen ajuste entre ambas anomalías, podemos ver que el contraste de densidad, entre el material sedimentario que rellena la cuenca y el basamento que le rodea, es negativo pero aumenta con la profundidad. Esto está en contradicción con la distribución del contraste de densidad típica en una cuenca sedimentaria, el cual es negativo y disminuye con la profundidad. Por otro lado, la profundidad máxima obtenida en este modelo es del orden de 3.5 km en la parte izquierda del modelo, la cuál corresponde a la margen occidental de la Laguna Salada. Este valor de la profundidad no es el esperado para esta zona, ya que -20 -10 0 10 20 -1 0 1 2 3 4 -0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -40 -30 -20 -10 0 P ro fu nd id ad ( km ) ∆ g (m G al ) Distancia (km) (b) (a) A A' Aplicación a datos de campo 338 los datos proporcionados por las perforaciones de la Comisión Federal de Electricidad (Alvarez- Rosales y González-López, 1995) indican que la profundidad de la cuenca en su margen occidental es menor de 1 km. Por todo lo anterior, el modelo resultante en el proceso de inversión es rechazado como solución a nuestro problema. Debido a la flexibilidad que tiene el método de inversión desarrollado en el presente trabajo, para decidir cuáles de los parámetros de la estructura y el contraste de densidad van a permanecer invariables y cuáles van a evolucionar a lo largo del proceso de inversión, vamos a seguir el procedimiento ya utilizado en el caso 1 para este mismo perfil. Primeramente vamos a considerar fijos y de valor cero los parámetros p2, p3 , p4, p5 , p6 del polinomio del contraste de densidad del cuerpo dado por la expr esión (4.1), permitiendo que dicho contraste de densidad sea constante y con un valor p1 = –0.37 g/cm3 , que es el obtenido para el contraste de densidad promedio del modelo de la figura 6.27. Dicho parámetro también permanecerá invariable durante todo el proceso. Por otro lado, también vamos a considerar fijos los parámetros p1 1 = -12 km y p1 2 = 12 km de las fronteras laterales, ya que son los puntos donde aflora el basamento a lo largo del perfil y, por tanto, se conocen sus valores. Con estos valores determinados, el vector de parámetros a calcular es: p = { p7 , p8, p9 , p1 0} (6.5) todos pertenecientes al polinomio (4.13) que describe la frontera inferior del cuerpo, que es la incógnita para este caso. Este problema tiene un total de N = 4 i ncógnitas y M = 57 datos, por lo que es un problema sobredeterminado. Vamos a iniciar el proceso de inversión, de 200 iteraciones, con la estructura geométrica presentada en el modelo de la figura 6.24 pero con el contraste de densidad p1 = –0.37 g/cm3 definido anteriormente. Los valores del desajuste en todo el proceso se pueden ver en la figura 6.38. FIGURA 6.38. Evolución del desajuste qσ a lo largo de las 200 iteraciones del proceso de inversión. 50 100 150 200 No. de iteración 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 D es aj us te Aplicación a datos de campo 339 Este desajuste presenta una disminución muy rápida de su valor en las primeras iteraciones del proceso. A partir de la quinta iteración, el desajuste alcanza un valor constante qσ = 53.0, lo mismo que los valores de los parámetros que determinan la frontera inferior del cuerpo, lo que indica que se ha alcanzado un mínimo en el espacio de soluciones. El valor del desajuste para el modelo correspondiente es muy parecido al del nivel de tolerancia T = 57, con lo que podemos suponer que el proceso de iteración ha alcanzado una solución que puede ser satisfactoria para nuestro problema. Por tanto, vamos a elegir este resultado como solución final, con β - 1 = 26.5. En la figura 6.39 se presenta la solución alcanzada así como la anomalía gravimétrica correspondiente. La estructura geométrica obtenida para la Laguna Salada en este caso también se asemaja a un semigraben con mayor subsidencia en la margen derecha de la estructura, con una profundidad máxima de 2.7 km y un contraste de densidad promedio de –0.37 g/cm3 . FIGURA 6.39. (a) Modelo resultante para el perfil P1 sobre la cuenca Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de la variable x y con contraste de densidad constante.Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P1 . (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). -20 -10 0 10 20 Distancia (km) 0 1 2 3pr of un di da d (k m ) -40 -30 -20 -10 0 (m G al ) (a) ( b) ∆ g ∆ρ = -0.37 g/cm3 A A' Aplicación a datos de campo 340 En la figura 6.40 se presenta la matriz de resolución calculada con una varianza residual σ̂ 2 = 1.0 mGal 2 , cuyo valor coincide con el de la varianza estimada para los datos σ 2 = 1.0 mGal 2, lo que indica que el modelo resultante de fuente anómala explica satisfactoriamente los datos observados, como se puede ver en la figura 6.38(b). Como se observa en la figura 6.39, los cuatro parámetros de la frontera inferior del cuerpo presentan muy buena resolución. FIGURA 6.40. Matriz de resolución de los parámetros de la fuente. A continuación se presenta la matriz de covarianza de los parámetros en la tabla 6.14, la cual nos proporciona las incertidumbres de los parámetros del modelo resultante. Podemos ver que los elementos de dicha matriz presentan valores muy pequeños. En la tabla 6.15 vemos los parámetros del modelo y sus incertidumbres, suponiendo un intervalo de confianza de + 2.58 σ (99%). En la figura 6.41 se presenta la matriz de correlación entre parámetros en la que se observa la existencia de correlación entre los parámetros p7 y p9 y entre los parámetros p8 y p10. En la tabla 6.16 se presentan los valores numéricos de los elementos de esta matriz, en la que se ve que ambas correlaciones son negativas. p7 p8 p9 p 10 3.931 10 -4 1.995 10-5 -5.816 10 -6 -2.521 10 -7 p7 3.689 10-5 -3.186 10 -7 -3.938 10 -7 p8 1.227 10-7 4.693 10-9 p9 4.611 10-9 p10 TABLA 6.14. Elementos de la matriz de covarianza de los parámetros. p7 p8 p9 p10 p7 p8 p9 p10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Aplicación a datos de campo 341 FRONT. INFERIOR p7 = 2.45 + 0.05 km p 8 = 0.13 + 0.02 P9 = -0.0143 + 0.0009 km -1 p10 = -0.0008 + 0.0002 km-2 TABLA 6.15. Parámetros del modelo resultante e incertidumbres correspondientes. FIGURA 6.41. Matriz de correlación de los parámetros de la fuente. p 7 p 8 p 9 p10 1.000 10+0 1.657 10-1 -8.376 10-1 -1.873 10-1 p7 1.000 10+0 -1.498 10-1 -9.547 10-1 p8 1.000 10+0 1.973 10-1 p9 1.000 10 +0 p10 TABLA 6.16. Elementos de la matriz de correlación de los parámetros. p7 p8 p9 p10 p7 p8 p9 p10 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Aplicación a datos de campo 342 Con el modelo anterior se ha obtenido un modelo de estructura de la fuente anómala responsable de la anomalía gravimétrica del perfil P1, registrado sobre la subcuenca principal de la Laguna Salada. El contraste de densidad promedio entre el material sedimentario y el basamento de la cuenca se ha supuesto constante y de valor –0.37 g/cm3 . A continuación vamos a realizar la segunda parte del procedimiento de trabajo en la que se calculan los coeficientes del polino mio (4.1), que describen el contraste de densidad de la fuente, variando con la distancia horizontal y la profundidad, suponiendo fija la estructura de la figura 6.39. De los seis parámetros que determinan dicho polinomio, vamos a considerar invariable el p1, esto es, el término independiente, con un valor p1 = ∆ρ (0,0) = -0.67 g/cm3 , el cual corresponde al contraste de densidad que tienen los sedimentos no consolidados presentes en la capa más superficial de la cuenca. Los cinco parámetros restantes, que definen el contraste de densidad como el polinomio (4.1), serán las incógnitas del problema. Con esto, nuestro problema de inversión es un problema lineal sobredeterminado con M = 57 datos y N = 5 parámetros, cuyo vector incógnita viene dado por la expresión (6.4). El modelo inicial que vamos a considerar tiene la estructura de la figura 6.39 y un contraste de densidad constante ∆ρ = p1 = -0.67 g/cm3 . Como es habitual, se realiza un proceso de 200 iteraciones para calcular las soluciones de los cinco parámetros restantes del polinomio ∆ρ(x,z). En la figura 6.42 se presenta la evolución del desajuste a lo largo del proceso. Como se puede observar, este parámetro converge hacia el valor qσ = 28.7 a partir de la tercera iteración y permanece constante en este valor hasta el final del proceso. A partir de la séptima iteración, los parámetros del modelo de fuente obtenido también permanecen constantes hasta la última iteración. Esta solución está sobredeterminando los datos, puesto que el valor del desajuste es bastante menor que el de la tolerancia (T = 57), no obstante, es el valor más cercano a T, por lo que supondremos que es la solución del problema. En la figura 6.43 se puede ver el modelo resultante, en el que el factor de amortiguación es β -1 = 14.3. FIGURA 6.42. Evolución del desajuste qσ a lo largo de las 200 iteraciones del proceso de inversión. 50 100 150 200 No. de iteración 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5 D es aj us te Aplicación a datos de campo 343 FIGURA 6.43. (a) Modelo resultante para el perfil P1 sobre la cuenca Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de la variable x y con contraste de densidad dado por el polinomio (4.1). Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P1 . (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). Como vemos en la figura anterior, la solución obtenida para el contraste de densidad presenta un modelo satisfactorio de acuerdo con la estructura de semigraben esperada para la Laguna Salada, en el que la distribución de las isolíneas nos muestra la presencia de estratos sedimentarios basculados hacia el este, lo mismo que en el mode lo obtenido para el caso 1, como se puede ver en la figura 6.32. Hay que destacar la presencia de un contraste de densidad positivo en la parte más profunda del modelo de la figura 6.43, esto puede ser debido a que la estructura geométrica obtenida para este caso es más ancha en esta parte del modelo que la obtenida para el caso 1 (ver figura 6.28), y como el método de inversión tiene que acomodar la distribución del contraste de densidad de manera que haya un compromiso entre la forma fija de la estructur a y el contraste de densidad promedio ( -0.37 g/cm3) que se le ha impuesto al modelo, se hace necesaria la presencia de este contraste para alcanzar un buen ajuste entre la anomalía calculada y los datos de gravedad. -40 -30 -20 -10 0 (m G al ) (b) Distancia (km) -20 -10 0 10 20 0 1 2 3pr of un di da d (k m ) (a) -0.5 0.0 ∆ g Aplicación a datos de campo 344 A continuación vamos a calcular las matrices de resolución, covarianza y correlación para este caso, en el que la varianza residual presenta el valor σ̂ 2 = 0.6 mGal 2 . Este valor es menor que el de la varianza estimada para los datos σ 2 = 1.0 mGal2, lo que indica que la anomalía del modelo solución está sobredeterminando la anomalía observada, esto es, está intentando modelar también el ruido presente en los datos. En la figura 6.44 se presenta la matriz de resolución que es muy parecida a la matriz identidad, indicando que los cinco parámetros del contraste de densidad presentan muy buena resolución. La matriz de covarianza se presenta en la tabla 6.17 cuyos elementos de la diagonal principal nos proporcionan las incertidumbres de los parámetros calculados en el proceso de inversión. Los valores de estos parámetros y sus incertidumbres se presentan en la tabla 6.18, suponiendo un intervalo de confianza de +2.58 σ (99%). Εn la figura 6.45 se puede ver una representación gráfica de la matriz de correlación y los valores numéricos de sus elementos se pueden ver en la tabla 6.19. Se observa una correlación muy fuerte entre los cinco parámetros de la densidad, como ya se vio en la matriz de correlación de la figura 6.33 para el caso 1 de la Laguna Salada. FIGURA 6.44. Matriz de resolución de los parámetros de la fuente. p2 p3 p4 p5 p6 1.771 10 -6 -2.628 10 -5 -2.888 10 -6 1.080 10 -7 1.775 10 -5 p 2 1.351 10 -3 6.445 10 -5 -4.525 10 -6 -8.743 10 -4 p 3 5.377 10 -6 -2.512 10 -7 -4.287 10 -5 p 4 1.768 10 -8 2.926 10 -6 p 5 5.674 10 -4 p 6 TABLA 6.17. Elementos de la matriz de covarianza de los parámetros. p2 p3 p4 p5 p6 p2 p3 p4 p5 p6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Aplicación a datos de campo 345 DENSIDAD p2 = 0.006 + 0.003 km g/cm3 p3 = 0.11 + 0.09 km g/cm 3 p4 = -0.024 + 0.006 2 3 km g/cm p5 = 0.0024 + 0.0003 2 3 km g/cm p6 = 0.10 + 0.06 2 3 km g/cm TABLA 6.18. Parámetros del modelo resultante e incertidumbres correspondientes. FIGURA 6.45. Matriz de correlación de los parámetros de la fuente. p2 p3 p4 p5 p6 1.000 10 +0 -5.373 10 -1 -9.359 10 -1 6.101 10 -1 5.600 10 -1 p 2 1.000 10 +0 7.563 10 -1 -9.261 10 -1 -9.987 10 -1 p 3 1.000 10 +0 -8.146 10 -1 -7.761 10 -1 p 4 1.000 10 +0 9.238 10 -1 p 5 1.000 10 +0 p 6 TABLA 6.19. Elementos de la matriz de correlación de los parámetros. p2 p3 p4 p5 p6 p2 p3 p4 p5 p6 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Aplicación a datos de campo 346 6.2.2.2. Perfil 2: Subcuenca secundaria. El perfil P2 tiene una longitud total de 17.5 km y está trazado sobre la subcuenca situada al sur del Cerro El Centinela (figura 6.18). Al igual que para el perfil P1 , su orientación es subparalela a los gradientes que caracterizan las anomalías residuales de las márgenes oriental y occidental de la cuenca, y sus extremos coinciden con el basamento cristalino que aflora al pie de las sierras que limitan esta estructura (figura 6.21). Como se puede ver en la figura 6.46, se ha restado un gradiente gravimétrico lineal al perfil P2 para que el valor de la anomalía residual isostática sea de 0 mGal en sus extremos. El perfil resultante será utilizado como base de datos para realizar la inversión, suponiendo una de sviación estándar de σ =1.0 mGal. FIGURA 6.46. Perfil P2 sobre la subcuenca secundaria de la Laguna Salada. La línea sólida es la anomalía residual isostática en dicho perfil, la línea recta a trazos es el regional sustraído y la línea de cruces es la anomalía resultante que se ha utilizado como base de datos para la interpretación de este perfil. 6.2.2.2.1. Caso 1: Fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable z. Vamos a realizar la inversión de los M = 36 datos del perfil P2 , los cuales se encuentran equiespaciados a 500 m, mediante el tipo de fuente descrito en la sección 4.1 del Capítulo IV. Para ello, vamos a aproximar la topografía de la subcuenca secundaria por un plano z0 = 0 km, como se observa en la figura 6.47. -10 -5 0 5 10 Distancia (km) -30 -20 -10 0 10 g (m G al ) ∆ B B' Aplicación a datos de campo 347 FIGURA 6.47. Topografía del perfil P2 . Como hicimos en el perfil P1 , vamos a realizar un primer proceso de inversión en el que dejaremos evolucionar todos los parámetros de la fuente. En total serán N = 15 parámetros que nos van a definir el contraste de densidad y la estructura de la fuente responsable de la anomalía gravimétrica negativa registrada en el perfil P2 . El modelo con el que se inicia el proceso de inversión es el modelo homogéneo la figura 6.48, con un contraste de densidad promedio para esta subcuenca de ∆ρ = p1 = -0.37 g/cm3 , que es el valor obtenido para el perfil P1. Como se ve en esta figura, las fronteras laterales del modelo son dos funciones continuas f1(z) = p7 = -6.5 km y f2(z) = p1 1 = 7 km, que son los puntos donde aflora el basamento en el perfil P2 , y la profundidad es z2 = p1 5 = 1.5 km. En la figura 6.49 se observa la evolución del desajuste durante la inversión. Este parámetro cae de manera brusca en las diez primeras iteraciones del proceso y, a partir de este punto, converge continuamente hacia el valor qσ =1.6. En este caso no se alcanza un mínimo por lo que, como el valor de la tolerancia es T = M = 36, vamos a elegir como solución la alcanzada en la novena iteración, puesto que presenta un desajuste qσ = 40.1, el más parecido al valor de T. Esta solución presenta un factor de amortiguación β -1 = 60.1 y la forma de la estructura y su contraste de densidad se pueden ver en la figura 6.50. La estructura obtenida no tiene una forma parecida a la de una cuenca sedimentaria, al menos en su frontera izquierza. Lo mismo ocurre con la distribución de densidades, ya que en la parte derecha de la fuente se puede ver que el contraste de densidad es negativo pero aumenta con la profundidad, lo que no concuerda con los datos geológicos de esta zona. Como se deduce de lo anterior, el modelo no es un modelo satisfactorio para la subcuenca secundaria norte de la Laguna Salada aunque, como se puede ver en la figura 6.50(b), el ajuste entre el modelo resultante y los datos de gravedad de este perfil es bueno. Como ya se hizo para el perfil P1 de la subcuenca principal, vamos a mantener fijos algunos de los parámetros de la fuente durante la inversión de los datos. Estos parámetros son: p2, p3, p4, p5 y p6 del polinomio (4.1) del contrate de densidad, los cuales serán iguales a cero, el parámetro p1 = -0.37 g/cm3 , que es el término independiente de dicho polinómio, y los parámetros p7 = -6.5 km y p1 1 = 7 km que son las fornteras laterales, dadas por los polinomios (4.4). Según esto, el vector de -10 -5 0 5 10 Distancia (km) -0.2 -0.1 0.0 0.1Pr of un di da d (k m ) z = 0o B B' Aplicación a datos de campo 348 parámetros que se va a calcular en el proceso de inversión viene dado por la expresión (6.1) quedando un problema de inversión sobredeterminado, con N = 7 incógnitas y M = 37 datos. FIGURA 6.48. (a) Fuente anómala utilizada como modelo inicial en el proceso de inversión para el estudio de los datos de la anomalía residual isostática de la cuenca Laguna Salada. Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P2. (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). FIGURA 6.49. Evolución del desajuste qσ a lo largo de las 200 iteraciones del proceso de invers ión. -10 -5 0 5 10 0.0 1.5 (a)P ro fu nd id ad ( km ) -30 -20 -10 0 (b) B B' ∆ g (m G al ) Distancia (km) ∆ρ = -0.3 g / cm3 Aplicación a datos de campo 349 FIGURA 6.50. (a) Modelo resultante para el perfil P2 sobre la cuenca Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable z. Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P2. (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). Para calcular este problema, consideraremos como modelo inicial el que se presenta en la figura 6.48. Después de realizar un proceso de 200 iteraciones, se elige la solución resultante para nuestro problema a partir del estudio de la evolución del desajuste. En la figura 6.51 se puede observar que dicho desajuste presenta una disminución continua y estable durante su evolución hacia el valor qσ = 17.5, que es bastante menor que el valor de la tolerancia. Elegiremos como solución de nuestro problema el modelo que presente un desajuste parecido a T, el cual es alcanzado en la iteración número 23, con qσ = 36.06 y β - 1 = 18.03. La fuente resultante se puede ver en la figura 6.52, cuya frontera inferior alcanza una profundidad máxima z2 = p1 5 = 2.18 km. Como se puede apreciar, la estructura geométrica de la fuente también es de tipo semigraben con mayor subsidencia en su margen derecha y una profundidad máxima de 2.18 km. Esta solución presenta un modelo de -0.6 -0.1 -0.2 -30 -20 -10 0 (b) B B' -10 -5 0 5 10 0 1 2 (a) P ro fu nd id ad ( km ) Distancia (km) ∆ g (m G al ) Aplicación a datos de campo 350 estructura satisfactorio para el perfil P2 de acuerdo con los datos geológicos y geofísicos que se tienen acerca de la subcuenca secundaria norte de la Laguna Salada. FIGURA 6.51. Evolución del desajuste qσ a lo largo de las 200 iteraciones del proceso de inversión. FIGURA 6.52. (a) Modelo resultante para el perfil P2 sobre la cuenca Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable z y con contraste de densidad constante. Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P2 . (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). -10 -5 0 5 10 0 1 2 (a) -30 -20 -10 0 g (m G al ) ∆ (b) B B' Pr of un di da d (k m ) Distancia (km) ∆ρ = -0.37 g / cm 3 Aplicación a datos de campo 351 Como se dijo anteriormente, la desviación estándar de los datos es σ = 1.0 mGal, por lo que la varianza correspondiente es σ 2 = 1.0 mGal2. Si calculamos la varianza residual para este caso, el valor alcanzado es σ̂ 2 = 1.2 mGal 2 . Como se puede apreciar, este valor numérico es parecido al de la varianza estimada para los datos aunque algo mayor. Esto indica que el modelo resultante para la fuente explica de manera satisfactoria la anomalía del modelo resultante aunque, como se puede ver en la figura 6.52(b), existen desajustes locales entre ambas anomalías. A continuación vamos a estudiar la matriz de resolución de los siete parámetros de la fuente. En la figura 6.53 podemos ver dicha matriz, en la que podemos apreciar que los parámetros de ambas fronteras laterales presentan buena resolución, en especial el parámetro p1 0 de la frontera izquierda y el parámetro p1 4 de la frontera derecha, ambos son los coeficientes que acompañan al término en z3 en los polinomios correspondientes. El parámetro que presenta peor resolución es el p15, que describe la front era inferior del cuerpo. En cuanto a la matriz de covarianza, sus valores numéricos se presentan en la tabla 6.20. En la tabla 6.21 se presentan los valores numéricos de los ocho parámetros calculados en el proceso de inversión junto con las incertidumbres correspondientes, calculadas a partir de los elementos de la diagonal principal de la matriz de covarianza, suponiendo un intervalo de confianza de + 2.58 σ (99%). La matriz de correlación de los parámetros se puede ver en la figura 6.54. Existe una fuerte correlación entre los parámetros p8, p9 y p1 5. Así mismo, existe también fuerte correlación entre los parámetros p1 2 y p1 4 de la frontera derecha y una correlación moderada entre estos dos parámetros y los tres de la frontera izquierda. También se observa correlación entre los parámetros p8, p9, p10, p14 y p1 5. En la tabla 6.22 se presentan los valores numéricos de la matriz de correlación. FIGURA 6.53. Matriz de resolución de los parámetros de la fuente. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 p8 p9 p10 p12 p13 p14 p15 p8 p9 p10 p12 p13 p14 p15 Aplicación a datos de campo 352 p 8 p 9 p10 p12 p13 p14 p15 1.122 10-2 3.122 10 -3 -6.003 10-3 -5.595 10 -4 -5.539 10 -4 3.586 10 -4 8.038 10 -4 p 8 1.611 10 -3 -1.405 10-3 -7.416 10 -4 -2.752 10 -4 8.520 10 -4 4.660 10 -4 p 9 4.639 10 -3 -2.564 10 -4 5.794 10 -4 8.360 10 -4 -5.854 10 -4 p 10 1.170 10 -2 2.520 10 -3 -6.949 10 -3 -4.789 10 -4 p 12 1.201 10 -3 -1.185 10 -3 -3.155 10 -4 p 13 5.574 10 -3 3.888 10 -4 p 14 2.834 10 -4 p 15 TABLA 6.20. Elementos de la matriz de covarianza de los parámetros. FRONT. IZQUIERDA FRONT. DERECHA FRONT. INFERIOR p8 = 4.3 + 0.3 p1 2 = 0.7 + 0.3 p1 5 = 2.18 + 0.04 km p9 = 1.36 + 0.10 km-1 p1 3 = -0.36 + 0.09 km-1 p1 0 = -0.7 + 0.2 km -2 p1 4 = -0.4 + 0.2 km -2 TABLA 6.21. Parámetros del modelo resultante e incertidumbres correspondientes. FIGURA 6.54. Matriz de correlación de los parámetros de la fuente. p8 p9 p10 p12 p13 p14 p15 p8 p9 p10 p12 p13 p14 p15 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Aplicación a datos de campo 353 p8 p9 p10 p12 p13 p14 p15 1.000 10 +0 7.343 10 -1 -8.320 10 -1 -4.884 10 -2 -1.509 10 -1 4.534 10 -2 4.508 10 -1 p 8 1.000 10 +0 -5.140 10 -1 -1.708 10 -1 -1.979 10 -1 2.843 10 -1 6.896 10 -1 p 9 1.000 10 +0 -3.481 10 -2 2.455 10 -1 1.644 10 -1 -5.106 10 -1 p10 1.000 10 +0 6.724 10 -1 -8.605 10 -1 -2.630 10 -1 p12 1.000 10 +0 -4.582 10 -1 -5.409 10 -1 p13 1.000 10 +0 3.093 10 -1 p14 1.000 10 +0 p15 TABLA 6.22. Elementos de la matriz de correlación de los parámetros . Una vez obtenido un modelo satisfactorio para la estructura geométrica de la subcuenca secundaria de la Laguna Salada, con un contraste de densidad constante, vamos a calcular un posible modelo, más complejo, para la distribución de este contraste de densidad. Para ello, vamos a considerar invariables los parámetros que determinan la forma de la estructura y vamos a calcular el contraste de densidad como el polinomio dado por la expresión (4.1). Así mismo vamos a considerar también invariable el término independiente de este polinomio, con un valor ∆ρ (0,0) = p1 = -0.67 g/cm3 , como ya hicimos para el perfil P1 sobre la subcuenca principal, puesto que el material sedimentario situado en la superficie de la cuenca tiene una densidad promedio de 2.0 g/cm3, y se ha considerado que el basamento que rodea a esta cuenca tiene una densidad de 2.67 g/cm3 también en promedio. El problema de inversión sigue siendo sobredeterminado pero lineal, con M = 57 datos y N = 5 parámetros, siendo el vector incógnita el de la expresión (6.4). La estructura geométrica del modelo inicial utilizado es el de la figura 6.52, pero esta vez el contraste de densidad es ∆ρ = p1 = -0.67 g/cm3. Después de realizar un proceso de 200 iteraciones, se obtiene la evolución del desajuste a lo largo de todo este proceso. La gráfica de esta evolución se puede ver en la figura 6.55. Este parámetro alcanza rápidamente el valor qσ = 28.8 en las cinco primeras iteraciones, permaneciendo invariable el resto del proceso. Lo mismo ocurre con los parámetros del contraste de densidad, lo que indica que hemos alcanzado un mínimo dentro del espacio de soluciones, el cual será elegido como posible solución del problema. El modelo de fuente anómala correspondiente y su anomalía gravimétrica se pueden observar en la figura 6.56. Esta solución presenta un modelo de densidad en el que se aprecian capas subparalelas inclinadas de acuerdo a una estructura de semigraben. El problema con este modelo es que las isolíneas del contraste de densidad alcanzan valores muy positivos en la parte inferior de la estructura, así como en el márgen superior derecho de la misma, el cual no es un comportamiento lógico para el contraste de densidad de una cuenca sedimentaria. Aplicación a datos de campo 354 FIGURA 6.55. Evolución del desajuste qσ a lo largo de las 200 iteraciones del proceso de inversión. FIGURA 6.56. (a) Modelo resultante para el perfil P2 sobre la cuenca Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la var iable z y con contraste de densidad dado por el polinomio (4.1). Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P2 . (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isos tática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). -30 -20 -10 0 g (m G al ) ∆ (b) B B' -10 -5 0 5 10 0 1 2 (a)Pr of un di da d (k m ) Distancia (km) -0.4 0.0 Aplicación a datos de campo 355 El comportamiento que se aprecia en el modelo del contraste de densidad de la figura anterior viene impuesto por el coeficiente p6 del término z2 del polinomio (4.1). Para evitar su influencia se puede repetir el proceso de inversión de nuevo, haciendo que dicho coeficiente sea nulo y permanezca así durante las 200 iteraciones del proceso. En este caso el vector incógnita de los parámetros tiene sólo cuatro componentes: p = (p2 , p3, p 4 , p5) (6.6) La evolución del desajuste correspondiente para este caso se puede ver en la figura 6.57. Este desajuste ha alcanzado un valor qσ = 32.6 constante en las primeras iteraciones, lo mismo que los cuatro parámetros del contraste de densidad calculados, lo que indica que hemos alcanzado un mínimo dentro del espacio de soluciones, el cual puede ser considerado como solución del problema. El factor de amortiguamiento para este caso es β - 1 = 16.3. FIGURA 6.57. Evolución del desajuste qσ a lo largo de las 200 iteraciones del proceso de inversión. El modelo de fuente resultante se puede observar en la figura 5.58. Vemos como el contraste de densidad presenta un comportamiento más lógico para una cuenca sedimentaria, con estratos basculados hacia el este, indicando una estructura de semigraben para la Laguna Salada. En la margen derecha de esta estructura las isolíneas aparecen con una tendencia vertical, lo mismo que en los modelos obtenidos para el perfil P1 . Aplicación a datos de campo 356 FIGURA 6.58. (a) Modelo resultante para el perfil P2 sobre la cuenca Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable z y con contraste de densidad dado por el polinomio (4.1). Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P2 . (b) La curva formada por las cruces e s la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). La varianza residual obtenida a partir de la solución elegida es σ̂ 2 = 1.0 mGal2 , la cual presenta el mismo valor que el de la varianza estimada para los datos (σ 2 = 1.0 mGal2). Esto nos indica que la anomalía gravimétrica del modelo se ajusta de manera satisfactoria a los datos observados. La matriz de resolución, como se puede ver en la figura 6.59, es muy parecida a la matriz identidad, indicando que los parámetros del contraste de densidad tienen un resolución muy alta. Los elementos de la matriz de covarianza se presentan en la tabla 6.23 y los cinco parámetros calculados y las incertidumbres correspo ndientes se pueden ver en la tabla 6.24, con intervalos de confianza calculados según +2.58 σ (99%). -30 -20 -10 0 g (m G al ) ∆ (b) B B' -10 -5 0 5 10 0 1 2 (a)Pr of un di da d (k m ) Distancia (km) -0.5 -0.2 Aplicación a datos de campo 357 FIGURA 6.59. Matriz de resolución de los parámetros de la fuente. p 2 p 3 p 4 p 5 8.197 10-5 1.239 10-4 -1.505 10-4 1.754 10-6 p2 2.983 10-4 -2.630 10-4 3.322 10-6 p3 3.033 10-4 -5.658 10-6 p4 4.238 10-7 p5 TABLA 6.23. Elementos de la matriz de covarianza de los parámetros. DENSIDAD p2 = 0.01 + 0.02 km g/cm 3 p3 = 0.46 + 0.05 km g/cm 3 p4 = -0.08 + 0.05 2 3 km g/cm p 5 = 0.007 + 0.002 2 3 km g/cm TABLA 6.24. Parámetros del modelo resultante e incertidumbres correspondientes. p2 p3 p4 p5 p2 p3 p4 p5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Aplicación a datos de campo 358 En cuanto a la matriz de correlación, ésta se puede ver en el gráfico de la figura 6.60, en el que se observa una fuerte correlación entre los los parámetros p2, p3 y p4 . Los valores numéricos de estas correlaciones se presentan en la tabla 6.25. FIGURA 6.60. Matriz de correlación de los parámetros de la fuente. p 2 p 3 p 4 p 5 1.000 10+0 7.925 10-1 -9.546 10 -1 2.975 10-1 p2 1.000 10+0 -8.745 10 -1 2.955 10-1 p3 1.000 10+0 -4.990 10 -1 p4 1.000 10+0 p5 TABLA 6.25. Elementos de la matriz de correlación de los parámetros. 6.2.2.2.2. Caso 2: Fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de la variable x. Vamos a calcular ahora la estructura y el contraste de densidad de la cuenca Laguna Salada en el perfil P2 , pero a partir del modelo de fuente descrito en la sección 4.2 del Capítulo IV, en el que se tiene en cuenta la forma de la topografía sobre la que se han registrado los datos y en el que se considera que las fronteras laterales de la estructura son planas y verticales. p2 p3 p4 p5 p2 p3 p4 p5 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Aplicación a datos de campo 359 La topografía de este perfil puede ser aproximada por un polinomio de octavo grado z0 = g1(x), que se puede ver en la figura 6.61. Los parámetros necesar ios para calcular este modelo de fuente son en total N = 12. Por tanto, el vector de parámetros correspondiente viene dado por la expresión (4.14) y, puesto que tenemos M = 36 datos, el problema de inversión es un problema sobredeterminado. FIGURA 6.61. La línea sólida representa la topografía del perfil P2 . La línea discontinua representa el polinomio de octavo grado que ajusta la topografía. Comenzaremos el proceso de inversión con el modelo inicial de la figura 6.48 pero ahora la notación de las funciones que describen las fronteras del cuerpo cambia, siendo z0 = g1(x) = 0 km para la función topografía y g2 (x) = p7 = 1.5 km, dada por el polinomio (4.13), para la función que describe la frontera inferior. Las fronteras laterales son ahora las dos funciones constantes: x1 = p11 = - 6.5 km y x2 = p1 2 = 7 km. El proceso consta de 200 iteraciones donde, en las seis primeras, el desajuste cae bruscamente y, a partir de ahí evoluciona de manera suave tendiendo a converger al valor qσ = 4.0, como se puede ver en la figura 6.62. FIGURA 6.62. Evolución del desajuste qσ a lo largo de las 200 iteraciones del proceso de inversión. -10 -5 0 5 10 Distancia (km) -0.2 -0.1 0.0 0.1 Pr of un di da d (k m ) B' B Aplicación a datos de campo 360 Con valores del desajuste tan bajos los modelos calculados están sobredeterminando los datos de gravedad. Como no se ha alcanzado un mínimo en el espacio de soluciones, elegiremos aquella cuyo valor del desajuste sea cercano a la tolerancia permitida, T = M = 36, dentro de la zona de estabilidad. Una posible solución a nuestro problema es la alcanzada en la iteración número 6, con qσ = 33.0 y β - 1 = 16.5, cuya representación se puede ver en la figura 6.63(a). En la figura 6.63(b) se puede observar que el ajuste entre los datos de gravedad y la anomalía correspondiente al modelo resultante es muy bueno, pero la estructura del cuerpo no es la esperada a partir de los datos geológicos y geofísicos de la zona. Si observamos el contraste de densidad, podemos ver que éste aumenta con la profundidad, lo que está en desacuerdo con la distribución típica del contraste de densidad en una cuenca sedimentaria. Por todo ello, el modelo de la figura 6.63 es rechazado como solución para el perfil P2 de la Laguna Salada. FIGURA 6.63. (a) Modelo resultante para el perfil P2 sobre la cuenca Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable x. Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P2. (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). 0 3 -0.5 -1.0 P ro fu nd id ad ( km ) -10 -5 0 5 10 Distancia (km) (a) 1 2 -30 -20 -10 0 ∆g ( m G al B B' (b) Aplicación a datos de campo 361 A continuación, vamos a hacer fijos algunos de los parámetros del contraste de densidad y la estructura de la fuente, y los vamos a mantener así durante todo el proceso iterativo permitiendo que el resto de los parámetros evolucionen libremente. Consideraremos fijos, y de valor cero, los parámetros p2 , p3 , p4 , p5, p6 del contraste de densidad ∆ρ . De la misma forma también serán fijos p11 = -6.5 km y p1 2 = 7 km, para las fronteras laterales, y el parámetro p1 del polinomio ∆ρ con un valor – 0.37 g/cm3 obtenido como contraste de densidad promedio para la Laguna Salada en los modelos del perfil P1 . El vector de parámetros correspondiente es el de la expresión (6.5), con un total de 4 incógnitas y 36 datos con los que realizar el problema de inversión. Como es usual, realizamos un proceso de 200 iteraciones comenzando con el modelo de la figura 6.48. La evolución del desajuste se puede observar en la figur a 6.64. Como se puede apreciar, en las primeras iteraciones el valor del desajuste cae bruscamente, convergiendo al valor qσ = 37.3 a partir de la décima iteración, que es bastante cercano al valor de la tolerancia para este caso. A partir de esta misma iteración, los parámetros de la fuente alcanzan valores que permanecen fijos durante el resto del proceso, con lo que podemos suponer que se ha alcanzado una solución a nuestro problema de inversión y cuyo factor de amortiguación correspondiente es β - 1 = 18.6. FIGURA 6.64. Evolución del desajuste qσ a lo largo de las 200 iteraciones del proceso de inversión. En la figura 6.65 se presenta la solución del problema junto con la anomalía gravimétrica correspondiente, en la que se observa que la estructura geométrica de la fuente corresponde a un semigraben con mayor subsidencia en su margen derecha y 2 km de profundidad máxima, que concuerda con el resultado obtenido en el caso 1 de este mismo perfil. Para obtener las matrices de resolución, de covarianza y de correlación es necesario calcular la varianza residual. Para este caso se obtiene una valor de σ̂ 2 = 1.2 mGal 2 , cuyo valor es un poco mayor que el de la varianza estimada para los datos σ 2 = 1.0 mGal2. Esto indica que el modelo Aplicación a datos de campo 362 solución no sólo intenta ajustarse a los datos observados, sino que intenta también ajustarse al ruido de los mismos. De todas formas, el ajuste puede considerarse satisfactorio, como se puede ver en la figura 6.65(b). FIGURA 6.65. (a) Modelo resultante para el perfil P2 sobre la cuenca Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable x con contraste de densidad constante. Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P2 . (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). En la figura 6.66 se puede ver la matriz de resolución que, para este caso, es similar a la matriz identidad, lo que indica que todos los parámetros calculados presentan muy buena resolución. En la tabla 6.26 se presentan los elementos de la matriz de covarianza de los parámetros. La diagonal principal de esta matriz nos proporciona las incertidumbres correspondientes a los cuatro paráme tros calculados que, junto con los mismos, aparecen en la tabla 6.27, suponiendo un intervalo de confianza de + 2.58 σ (99%). Una imagen de la matriz de correlación se presenta en la figura 6.67, en la que se observa la existencia de correlación entre todos los parámetros, pero especialmente entre p7 y p9 y también entre p8 y p1 0. Los elementos de esta matriz se presentan en la tabla 6.28. -30 -20 -10 0 (b) g (m G al ) ∆ B B' -10 -5 0 5 10 0 1 2 (a) Pr of un di da d (k m ) Distancia (km) ∆ρ = -0.37 g / cm3 Aplicación a datos de campo 363 FIGURA 6.66. Matriz de resolución de los parámetros de la fuente. p 7 p 8 p 9 p10 1.140 10-3 1.828 10-4 -5.565 10-5 -7.378 10-6 p7 3.570 10-4 -7.398 10-6 -1.240 10-5 p8 3.783 10-6 3.572 10-7 p9 4.709 10-7 p10 TABLA 6.26. Elementos de la matriz de covarianza de los parámetros. FRONT. INFERIOR p7 = 1.48 + 0.09 km p 8 = 0.25 + 0.05 p 9 = -0.020 + 0.005 km -1 p 10 = -0.004 + 0.002 km -2 TABLA 6.27. Parámetros del modelo resultante e incertidumbres correspondientes. p7 p8 p9 p10 p7 p8 p9 p10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Aplicación a datos de campo 364 FIGURA 6.67. Matriz de correlación de los parámetros de la fuente. p 7 p 8 p 9 p 10 1.000 10+0 2.866 10-1 -8.475 10 -1 -3.184 10 -1 p7 1.000 10+0 -2.013 10 -1 -9.566 10 -1 p8 1.000 10+0 2.677 10-1 p9 1.000 10+0 p10 TABLA 6.28. Elementos de la matriz de correlación de los parámetros. Una vez obtenida una posible estructura para el perfil P2 en la subcuenca secundaria de la Laguna Salada, vamos a calcular cinco de los seis coeficientes del polinomio (4.1) que describen el contraste de densidad de la fuente. Para ello, consideraremos invariable el término independiente de dicho polinomio con un valor p1 = ∆ρ (0 ,0) = -0.67 g/cm3, ya que el material sedimentario que se encuentra en la superficie de la cuenca no está consolidado, por lo que vamos a suponer que tiene una densidad promedio de 2.0 g/cm3, siendo la densidad del basamento de 2.67 g/cm3 . En este caso tendremos que calcular N = 5 incógnitas con M = 36 datos. El vector de parámetros es el de la expresión 6.4. Realizaremos un total de 200 iteraciones comenzando con un modelo inicial cuya estructura es la que presenta el modelo de la figura 6.65, pero con un c ontraste de densidad constante ∆ρ = p1 = -0.67 g/cm3 . La evolución del desajuste de este problema se presenta en la figura 6.68. Este parámetro converge rápidamente al valor qσ = 30.5 en las primeras quince iteraciones y permanece constante hasta el final del proceso. La solución para el contraste de densidad de la fuente se alcanza en la iteración número 20, con un factor de amortiguación β -1 = 15.2, y los valores de sus parámetros p7 p8 p9 p10 p7 p8 p9 p10 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Aplicación a datos de campo 365 también permanecen constantes hasta el final. En la figura 6.69 se puede observar la forma del contraste de densidad que se ha obtenido. FIGURA 6.68. Evolución del desajuste qσ a lo largo de las 200 iteraciones del proceso de inversión. FIGURA 6.69. (a) Modelo resultante para el perfil P2 sobre la cuenca Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable x con contraste de densidaddado por el polinomio (4.1). Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P2 . (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). -30 -20 -10 0 (b) g (m G al ) ∆ B B' (a) -10 -5 0 5 10 0 1 2 Pr of un di da d (k m ) -0.4 0.0 Aplicación a datos de campo 366 Como podemos observar en la figura anterior, las isolíneas del contraste de densidad llegan a ser positivas y de valor 0.4 g/cm3 en la parte más profunda del cuerpo anómalo. Por otro lado, el valor del contraste de densidad va disminuyendo desde el centro del cuerpo hacia la parte superior derecha del mismo, lo que no es esperable en una cuenca sedimentaria. Todo ésto hace que el modelo de la figura 6.69 no sea satisfactorio, por lo que vamos a realizar otro proceso de inversión de 200 iteraciones para buscar una nueva solución al problema. En este nuevo proceso vamos a mantener invariable el parámetro p6, el cual es el coeficiente de z2 en el polinomio (4.1), puesto que es el parámetro que más influye en la forma global del contraste de densidad del modelo anterior. Ahora el problema es calcular las cuatro componentes del vector (6.6) mediante la inversión de los datos de gravedad del perfil P2 . El desajuste correspondiente a este nuevo problema se puede ver en la figura 6.70. En las primeras iteraciones disminuye rápidamente hasta alcanzar el valor qσ = 33.4, que permanece constante hasta la última iteración. Lo mismo ocurre con los valores de los cuatro parámetros calculados, lo que indica que se ha alcanzado un mínimo en el espacio de soluciones del problema. El modelo correspondiente a dicho mínimo se puede ver en la figura 6.71, que nos muestra un contraste de densidad que coincide con el modelo de semigraben esperado para la Laguna Salada. FIGURA 6.70. Evolución del desajuste qσ a lo largo de las 200 iteraciones del proceso de inversión. Aplicación a datos de campo 367 FIGURA 6.71. (a) Modelo resultante para el perfil P2 sobre la cuenca Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de la variable x con contraste de densidaddado por el polinomio (4.1). Los círculos negros situados en la frontera superior del cuerpo corresponden a las posiciones del observador en el perfil P2 . (b) La curva formada por las cruces es la anomalía residual isostática del perfil. La línea sólida es la anomalía gravimétrica del cuerpo anómalo de la figura (a). Como es usual, vamos a analizar la solución obtenida mediante las matrices de resolución, covarianza y correlación. Para ello, primeramente calculamos la varianza residual, obteniendo el valor σ̂ 2 = 1.0 mGal2 . Como vemos, este valor es el mismo que el de la varianza de los datos σ 2 = 1.0 mGal2, indicando que la anomalía calculada con el modelo resultante se ajusta satisfactoriamente los datos de gravedad, como se puede ver en la figura 6.71(b). La figura 6.72 es la representación gráfica de la matriz de resolución. Como se puede ver en dicha figura, todos los parámetros presentan muy buena resolución. -30 -20 -10 0 (b) g (m G al ) ∆ B B' -10 -5 0 5 10 0 1 2 (a) Pr of un di da d (k m ) Distancia (km) -0.5 -0.3 Aplicación a datos de campo 368 FIGURA 6.72. Matriz de resolución de los parámetros de la fuente. Los elementos de la matriz de covarianza se presentan en la tabla 6.29. De su diagonal principal se obtienen las incertidumbres de los parámetros, cuyos valores numéricos se presentan en la tabla 6.30, con un intervalo de confianza de +2.58 σ (99%). p 2 p 3 p 4 p 5 7.542 10-5 9.437 10-5 -1.349 10-4 2.189 10-6 p2 2.228 10-4 -2.036 10-4 3.680 10-6 p3 2.722 10-4 -7.111 10-6 p4 5.657 10-7 p5 TABLA 6.29. Elementos de la matriz de covarianza de los parámetros. p2 p3 p4 p5 p2 p3 p4 p5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Aplicación a datos de campo 369 DENSIDAD p2 = 0.01 + 0.02 km g/cm 3 p3 = 0.47 + 0.04 km g/cm 3 p4 = -0.09 + 0.04 2 3 km g/cm p5 = 0.008 + 0.002 2 3 km g/cm TABLA 6.30. Parámetros del modelo resultante e incertidumbres correspondientes. Y, por último, la matriz de correlación se puede ver en la figura 6.73, en la que se observa la existencia de fuertes correlaciones entre todos los parámetros, como era de esperar ya que todos ellos corresponden a cinco de los coeficientes del polinomio que describe el contraste de densidad. FIGURA 6.73. Matriz de correlación de los parámetros de la fuente. p 2 p 3 p 4 p 5 1.000 10+0 7.280 10-1 -9.412 10-1 3.351 10-1 p2 1.000 10+0 -8.267 10-1 3.277 10-1 p3 1.000 10+0 -5.730 10-1 p4 1.000 10+0 p5 TABLA 6.31. Elementos de la matriz de correlación de los parámetros. p2 p3 p4 p5 p2 p3 p4 p5 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Aplicación a datos de campo 370 6.2.2.3. Discusión. Para obtener un modelo general de la estructura y el contraste de densidad para la cuenca de la Laguna Salada, a partir de los dos perfiles de datos de gravedad trazados sobre la misma, se ha aplicado el método de inversión de Marquardt-Levenberg con los dos tipos de modelos de fuentes presentados en los Capítulos II y IV. La aplicación del modelo de fuente con topografía plana, al estudio de una estructura de la cual se tienen datos de topografía, puede hacer que el resultado obtenido no sea el esperado. Esto es debido a que el observador toma las medidas de la gravedad sobre la topografía en vez de sobre la frontera superior del cuerpo. Por ello, hay que ser cuidadoso en la utilización de este modelo y usarlo sólo cuando las condiciones del problema lo permitan, esto es, cuando la topografía de la zona de estudio pueda ser aproximada por un plano. Cuando ésto no es posible, debido a la presencia de una topografía compleja, es conveniente no utilizar este modelo, sino aquél que considera la forma real de la topografía como frontera superior de la estructura de la fuente anómala. Para el caso de la cuenca Laguna Salada, las topografías de los dos perfiles permiten la utilización del modelo con topografía plana sin que se produzcan errores importantes en el cálculo de la solución del problema. En este Capítulo hemos visto que las soluciones obtenidas con ambos tipos de modelos, tanto para la subcuenca principal de la Laguna Salada como para la cuenca secundaria, son modelos compatibles entre sí y nos proporcionan información muy parecida. En la inversión de los datos de gravedad para los dos perfiles, y para cada tipo de fuente, lo primero que se ha hecho es permitir la evolución de todos los parámetros que describen la fuente anómala a lo largo del proceso iterativo, comenzando con un modelo homogéneo y sencillo, sin aplicar ningún tipo de restricción al problema. Debido a la falta de unicidad del método, las soluciones obtenidas en cada caso, para el modelo inicial elegido, no han resultado ser soluciones aceptables desde el punto de vista geológico, aunque se haya conseguido un buen ajuste entre la anomalía observada y la anomalía calculada en cada caso. La decisión de utilizar un modelo inicial homogéneo, teniendo en cuenta únicamente los datos reales conocidos para su construcción, ha sido debida a que este tipo de modelos no introducen tendencias en el cálculo de las fronteras y el contraste de densidad, pe rmitiendo la evolución libre de todos los parámetros de la fuente hasta alcanzar una posible solución al problema. Una forma de acotar las soluciones del problema es aprovechar la flexibilidad que posee el método de inversión, desarrollado en este trabajo, para decidir cuáles de los parámetros de la fuente van a permanecer fijos y cuáles van a evolucionar a lo largo del proceso iterativo de inversión. Esto disminuye la dimensión del espacio de soluciones y también el número de soluciones posibles para cada caso. Por esto, en la búsqueda de un modelo satisfactorio que describa la estructura de la cuenca Laguna Salada, primeramente se ha planteado el problema de inversión no lineal más sencillo, en el que se ha impuesto un contraste de densidad constante y se ha calculado su valor junto con los valores Aplicación a datos de campo 371 de los parámetros que determinan la estructura geométrica de la fuente, obteniendo un semigraben con mayor subsidencia en la margen oriental, lo cual está de acuerdo con las evidencias geológicas y geofísicas para ambas subcuencas. Una vez obtenido un modelo de estructura satisfactorio, no lo hemos considerado como solución final al problema puesto que, debido a la compactación de los sedimentos y a otros fenómenos físicos que se producen en una cuenca sedimentar ia, cabe esperar que el contraste densidad varíe con la profundidad y, en menor medida, con la distancia horizontal. Por esta razón, también se ha aplicado el método de inversión al cálculo del contraste de densidad, dejando fija la estructura obtenida, para obtener una solución más realista del problema para cada subcuenca, de acuerdo a los datos geológicos y geofísicos disponibles. Como hemos visto, el hecho de imponer restricciones en el cálculo de los parámetros de la fuente introduce estabilidad al método y reduce el número de posibles soluciones al problema. Los modelos obtenidos para el perfil P1 , sobre la subcuenca principal de la Laguna Salada, muestran una estructura en la que la margen occidental de la misma presenta una pendiente menor que la margen oriental, correspondiendo a una estructura de semigraben cuya profundidad máxima es del orden de 2.7 km. El contraste de densidad también tiene la forma de un semigraben, presentando una variación en profundidad muy suave, desde unos –0.67 g/cm3 en superficie, debido a la presencia de sedimentos no consolidados en esta zona, hasta alcanzar -0.1 g/cm3 cerca de la frontera inferior. Por otro lado, también se observa una variación lateral del contraste de densidad en la margen oriental de la estructura, lo que sugiere un cambio de facies subvertical similar al descrito por Dorsey y Martín-Barajas (1999) para esta zona de la cuenca. En el perfil P2 , trazado sobre la subcuenca secundaria norte de la Laguna Salada, se muestra una estructura más pequeña y menos profunda que la subcuenca principal. Se puede observar que la frontera izquierda de la estructura tiene menos pendiente que la frontera derecha y que esta última presenta una pendiente casi vertical en superficie, al menos hasta una profundidad de casi 1 km. Esto está de acuerdo con los datos geológicos obtenidos en los que se describe la existencia de fallas en escalón para esta zona de la cuenca (Mueller y Rockwell, 1991). La máxima subsidencia de esta subcuenca tiene lugar también en la margen oriental de la estructura, alcanzando una profundidad del orden de 2 km. En cuanto al contraste de densidad obtenido para este perfil de datos, se puede observar que los modelos presentan un basculamiento de las capas sedimentarias hacia el oriente y también una variación lateral de densidad en la zona superficial de la margen oriental de la estructura, lo mismo que ocurría para el perfil P1 . Los resultados finales para cada perfil, y para cada uno de los tipos de fuentes utilizados, han resultado ser satisfactorios desde el punto de vista de la validación del método, puesto que todos los modelos presentados corroboran los modelos propuestos en otros trabajos (García-Abdeslem et al., 1995; Vázquez-Hernández, 1996; Martín-Barajas et al., 2000). Aplicación a datos de campo 372 6.2.3. Inversión de datos gravimétricos de la Laguna Salada en 3D. Una vez obtenidos los modelos bidimensionales de la cuenca Laguna Salada, el siguiente paso es calcular su geometría y su contraste de densidad en 3D a partir de la anomalía residual isostática de la figura 6.21, utilizando el método desarrollado en el Capítulo V. Debido a la geometría de los modelos que se van a utilizar en este problema, y a los grados de los polinomios que describen la frontera inferior del cuerpo, se hace necesario modelar únicamente la subcuenca principal de la Laguna Salada y prescindir de la subcuenca secundaria norte sobre la que se trazó el perfil P2 . Esto hace que la Laguna Salada quizá no sea la estructura más idónea para aplicar el método en 3D desarrollado en este trabajo, ya que l a subcuenca principal no es una cuenca cerrada ni en su parte norte ni en su parte sur. No obstante, éste resulta ser un ejemplo muy ilustrativo de la metodología desarrollada en este trabajo, ya que sirve para ver de qué manera podemos aplicar al estudio en tres dimensiones la información aportada por los modelos bidimensionales obtenidos anteriormente, así como para evidenciar las limitaciones del método de modelado en 3D propuesto en esta Tesis. Para poder modelar esta cuenca, primeramente vamos a rotar 12º la anomalía de la figura 6.21. Con ésto, situamos el eje longitudinal de dicha anomalía paralelamente a los bordes de la malla de datos, con lo que se facilita el cálculo de las fronteras laterales del modelo. El resultado de esta rotación se puede ver en la figura 6.74(a). A continuación extraemos de este mapa el área correspondiente a la subcuenca principal, la cual se puede observar en la figura 6.74(b). Si observamos detenidamente la anomalía de este mapa, podemos ver que está afectada por un regional que debemos eliminar para poder obtener la anomalía debida únicamente a la subcuenca principal. Para ello, vamos a restarle un mapa regional calculado a partir de la suposición de que en los bordes laterales de la anomalía debe encontrarse la isolínea d e 0.0 mGal, de la misma manera que hicimos con el perfil P1 en el caso de las dos dimensiones. El regional calculado se presenta en la figura 6.75(a) y el resultado de la resta de ambos mapas se puede ver en la figura 6.75(b). En ambos mapas se ha realizado también una traslación de coordenadas de manera que ambos se encuentran centrados en la coordenada (0,0), de esta manera los coeficientes de los polinomios utilizados en el modelado de la cuenca son numéricamente sencillos. El mapa de la figura 6.75(b) está formado por una malla que consta de 31 filas y 15 columnas, sumando un total de M = 465 datos, los cuales están equiespaciados cada 2 km. Estos son los datos de gravedad que vamos a utilizar para modelar en 3D la subcuenca principal de la Laguna Salada. Aplicación a datos de campo 373 FIGURA 6.74. (a) Mapa de anomalías residuales isostáticas sobre el mapa de la topografía de la cuenca Laguna Salada, ambos rotados 12 º, en dirección de las agujas del reloj, con respecto a la dirección del norte geográfico. (b) Anomalía residual isostática sobre la subcuenca princioal de la Laguna Salada. Las isolíneas en ambos mapas se encuentran en unidades de mGal. 1980 2000 2020 2040 2060 2080 X (km) 2950 2970 2990 3010 3030 3050 Y ( km ) 2020 2030 2040 X (km) 2970 2980 2990 3000 3010 3020 3030 Y ( km ) (a) (b) N Aplicación a datos de campo 374 FIGURA 6.75. (a) Mapa regional. (b) Malla de datos de gravedad utilizados en el proceso de inversión. La línea de mayor grosor es la isolínea de 0 mGal. 6.2.3.1. Caso 1: Fuente anómala limitada lateralmente por funciones continuas de las variables y, z. Como ya hemos visto en el Capítulo V, este caso se caracteriza por suponer que la topografía del lugar y la frontera inferior del cuerpo son perfectamente planas y horizontales. Con el problema de inversión se calculan un máximo de 33 parámetros que nos describen tanto la estructura como el contraste de densidad de la fuente mediante funciones polinómicas. En el caso de la Laguna Salada, el mapa topográfico presentado en la figura 6.74(a) nos muestra que la topografía de la cuenca es aproximadamente plana sobre la zona sedimentaria, con una altura promedio de 0 km, pero que se eleva bruscamente hacia las sierras que la limitan. Esto no es un problema siempre que las fronteras laterales del cuerpo, utilizado como modelo de la estructura sedimentaria, no alcancen estas sierras. Por otro lado, evidencias geofísicas (Sánc hez-Monclú, 1997) indican que al NNW y al SSE de la subcuenca principal existen sendos altos en la topografía del basamento de la cuenca. Esto sí representa un problema para la suposición de que la cuenca posea una frontera inferior plana, lo cuál es un inconveniente para la aplicación del método de inversión con este tipo de fuentes, como veremos más adelante. -14 -7 0 7 14 X (km) -30 -15 0 15 30 Y ( km ) -14 -7 0 7 14 X (km) -30 -15 0 15 30 Y ( km ) (a) (b) Aplicación a datos de campo 375 Para calcular todos los parámetros que determinan la estructura de la fuente anómala a partir de los datos de la figura 6.75(b), vamos a seguir el mismo procedimiento de trabajo que en el caso bidimensional. Primeramente vamos a considerar el caso de una fuente anómala con densidad constante y calcularemos los parámetros que describen su estructura geométrica. Por tanto, en este problema de inversión se van a resolver un total de N = 23 parámetros, todos ellos pertenecientes a la estructura de la fuente, con lo que el vector incógnita tiene la forma: p = ( p 11, p 12, p 13, p14, p15, p16, p 17, p 18, p19, p20, p21, p 22, p 23, p24, p25, p26, p27, p28, p29, p30, p31, p32, p33) (6.7) Este problema es un problema sobredeterminado, ya que el número de datos es 465, mucho mayor que el número de parámetros. Para construir el modelo inicial del proceso iterativo, no sólo disponemos de información geológica relacionada con la subcuenca, también podemos hacer uso de la información proporcionada por los modelos 2D obtenidos en el presente trabajo. Por ello, vamos a comenzar el problema de inversión a partir del modelo de la figura 6.28, de forma que las fronteras laterales del cuerpo, en la dirección del eje x, vienen dadas por h1(y,z) = -12+1.9 z +1.42z2 +0.06z3 , h2(y,z) =12 - 0.3z - 0.44z2 - 0.1z3 , cuyas expresiones generales son los polinomios (5.4). Las fronteras en la dirección del eje y son planas, verticales y vienen dadas por los valores y1 = -25 km e y2 = 25 km, y la frontera inferior del cuerpo es el plano horizontal z2 = 2.66 km. En cuanto al contraste de densidad promedio para la subcuenca principal de la Laguna Salada, vamos a suponer que viene dada por la función constante ∆ρ = -0.37 g/cm3 y va a permanecer fija durante todo el proceso iterativo. La forma de este modelo y su anomalía gravimétrica se pueden ver en la figura 6.76. En la figura 6.77 se muestra la evolución del desajuste a lo largo de todo el proceso de inversión de 200 iteraciones. Vemos cómo este valor decae de manera continua alcanzando la convergencia a partir de las primeras 50 iteraciones hacia el valor 1189. Este valor es bastante mayor que la tolerancia permitida T = N = 467, por lo que elegiremos el modelo obtenido en la última iteración como modelo resultante para este proceso, el cual tiene un desajuste qσ = 1189.8 y un factor de amortiguación β - 1 = 594.9. El modelo resultante obtenido en la iteración número 200 del proceso se puede ver en la figura 6.78. Este cuerpo tiene una densidad constante de –0.37 g/cm3, está limitado en dirección del eje y por las fronteras laterales y1 = p3 1 = -24 km e y2 = p3 2 = 32.8 km y presenta una profundidad máxima z2 = p3 3 = 3.2 km. En dicha figura se muestran varios perfiles de la estructura en distintas posiciones en el eje y con respecto a la malla de datos. Esta forma de representación ayuda a tener una idea más clara de cómo se comportan las fronteras laterales de la fuente h1(y,z) y h2(y,z). Podemos ver cómo dichas fronteras forman una estructura de semigraben en todos los perfiles, en la cual la frontera derecha presenta una pendiente más suave que la izquierda, haciendo que la máxima subsidencia de la cuenca Aplicación a datos de campo 376 se encuentre hacia la margen derecha de la misma. La profundidad máxima obtenida es constante para toda la estructura, de ahí que, debido a la naturaleza de la anomalía gravimétrica, podemos ver que, en los perfiles situados en las posiciones y =25 km e y= –20 km, las dos fronteras laterales se cruzan, indicando que en estas zonas la frontera inferior de la estructura debe ser menos profunda que en el centro de la cuenca. El cruce inevitable entre ambas fronteras produce un cambio de signo en la integral (5.3) que se traduce en una densidad positiva de 0.37 g/cm3 para las zonas rayadas en los perfiles. La presencia de estas zonas de densidad positiva hacen que la anomalía gravimétrica del modelo sea menos negativa en los extremos NNW y SSE del mapa. FIGURA 6.76. (a) Fuente anómala utilizada como modelo inicial en el proceso de inversión para el estudio de los datos de la anomalía residual isostática de la cuenca Laguna Salada. (b) Anomalía gravimétrica producida por la fuente (a). La línea resaltada representa la posición de la fuente con respecto a la anomalía. 0 2 Z ( km ) ∆ρ = - 0.37 g/cm 3 (b) (a) Aplicación a datos de campo 377 FIGURA 6.77. Evolución del desajuste qσ. FIGURA 6.78. Perfiles trazados sobre la estructura del modelo resultante en el modelo de inversión. Las zonas grises presentan un contraste de densidad constante de –0.37 g/cm3. Las zonas rayadas presentan un contraste de densidad positivo de 0.37 g/cm3 , debido al cambio de posición de las fronteras laterales que conlleva un cambio de signo en la integral que calcula el efecto gravimétrico de este cuerpo mediante la ecuación (5.3). y = -20 km 0 2 4 z (k m ) y = -10 km 0 2 4 z (k m ) y = 0 km 0 2 4 z (k m ) y = 10 km 0 2 4z (k m ) y = 20 km 0 2 4z (k m ) y = 25 km 0 2 4 z (k m ) -14 0 14 x (km) h(y,z) 2h(y,z) 1 Aplicación a datos de campo 378 En la figura 6.79(a) podemos ver la anomalía gravimétrica producida por el cuerpo de la figura anterior y en la figura 6.79(b) se muestra la forma del residual del problema, calculado al comparar dicha anomalía resultante con los datos de gravedad del mapa 6.75(b) utilizados en la inversión. En el mapa 6.79(b) vemos que, en los bordes superior e inferior, el valor del residual presenta valores de hasta 5 mGal, mientras que el centro de la malla presenta valores de unos –0.5 mGal, siendo el máximo de anomalía de –35 mGal. Esta diferencia en el residual es la causante del alto valor que tiene el desajuste, que hace que sea mayor que el valor de la tolerancia permitida para este caso. FIGURA 6.79. (a) Anomalía gravimétrica correspondiente al modelo resultante en el proceso de inversión. Las líneas resaltadas representan las posiciones de los perfiles de la figura 6.78. (b) Residual obtenido al comparar los datos de gravedad del problema y la anomalía gravimétrica (a). A continuación se calculan las matrices de resolución, covarianza y correlación para este caso, con una varianza residual =σ̂ 2.7 mGal2 , bastante mayor que la varianza de los datos de gravedad, la cuál tiene el valor σ2 = 1.0 mGal 2. Según ésto, el modelo resultante no se ajusta a los datos de manera satisfactoria, como podemos ver en el residual de la figura 6.79(b), sobre todo en los bordes superior e inferior de la malla, aunque en el centro se alcanza aproximadamente el valor de la anomalía residual isostática. -14 -7 0 7 14 X (km) -30 -20 -10 0 10 20 30 Y ( km ) -14 -7 0 7 14 X (km) -30 -20 -10 0 10 20 30 Y ( km ) (a) (b) Aplicación a datos de campo 379 En la figura 6.80 se presenta una imagen de la matriz de resolución. En esta matriz podemos ver que algunos de los parámetros de la estructura tienen una resolución baja, como por ejemplo p11, p13 y p1 6 de la frontera izquierda, que son los coeficientes correspondientes al término independiente y a los términos en z y z2 del polinomio h1(y,z) respectivamente. También presentan baja resolución los parámetros p2 1 , p2 3 y p2 6 de la frontera derecha, correspondientes a los mismos términos del polinomio h2(y,z). La forma de ambos polinomios se pueden ver en las expresiones ( 5.4) del Capítulo V. Otros dos parámetros que presentan baja resolución son el p3 2, correspondiente a la frontera y2 y el p3 3, correspondiente a la frontera inferior del cuerpo. En la tabla 6.32 se presentan los valores numéricos de los elementos de la matriz de covarianza, siendo su diagonal principal la que nos va a proporcionar las varianzas de los parámetros del modelo. La raíz cuadrada de estas varianzas nos dan las correspondientes desviaciones estándar. En la tabla 6.33 se pueden ver los valores de cada uno de los parámetros de la frontera lateral h1(y,z), los parámetros correspondientes a la frontera lateral h2(y,z) y los parámetros de las fronteras y1, y2 e inferior z2 . También se presentan las incertidumbres correspondientes, considerando un intervalo de confianza con + 2.58 σ. En la figura 6.81 está representada la matriz de correlación. Como se puede ver en esta figura, la tendencia general es que existen correlaciones entre los parámetros de cada una de las fronteras laterales h1(y,z) y h2(y,z). Por otro lado, se puede ver también que existen ciertas correlaciones entre los elementos de estas dos fronteras. En cuanto a los parámetros correspondientes a las fronteras y1 = p3 1, y2 = p3 2 y z2 =p3 3 , vemos que no presentan correlaciones importantes entre sí o con el resto de los parámetros. Para ver si las correlaciones entre parámetros son negativas o positivas, se presentan los valores numéricos de los elementos de la matriz de correlación en la tabla 6.34. FIGURA 6.80. Matriz de resolución de los parámetros de la fuente. p11 p12 p26 p27 p32 p33p13 p14 p30p29p28p 25p24p23p22p21p 20p19p18p 17p16p15 p31 p11 p12 p26 p 27 p32 p 33 p13 p14 p30 p29 p28 p25 p24 p 23 p22 p 21 p20 p19 p18 p 17 p16 p15 p31 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 p11 p 12 p 13 p 14 p 15 p 16 p 17 p 18 p 19 p 20 p 21 p 22 5.430 10-4 -1.402 10-5 2.219 10-4 4.221 10-6 -2.389 10-6 1.115 10-4 -9.255 10-8 -3.263 10-6 6.872 10-8 -1.007 10-4 -1.335 10-5 -3.924 10-6 p11 3.133 10-4 -7.680 10-6 -2.822 10-4 -3.639 10-6 -1.166 10-5 5.522 10-6 6.207 10-5 -2.760 10-7 -3.805 10-5 3.476 10-6 4.452 10-5 p12 2.279 10-4 -7.100 10-6 -1.181 10-6 1.746 10-4 -6.909 10-7 2.148 10-6 4.887 10-8 -5.795 10-5 -1.589 10-5 8.207 10-6 p13 8.257 10-4 9.473 10-6 -1.163 10-5 -1.107 10-5 -2.922 10-4 -1.819 10-7 2.175 10-5 -2.331 10-6 -1.019 10-4 p14 7.504 10-7 -1.892 10-7 -5.174 10-7 -2.452 10-6 -1.633 10-8 2.925 10-6 -4.028 10-8 -9.588 10-7 p15 1.791 10-4 -2.077 10-6 7.961 10-6 5.035 10-8 5.054 10-5 -3.051 10-6 6.989 10-6 p16 7.698 10-7 1.838 10-6 2.399 10-9 -6.062 10-6 -5.049 10-7 3.617 10-6 p17 1.389 10-4 1.004 10-7 7.701 10-6 1.557 10-6 3.691 10-5 p18 1.215 10-9 4.051 10-8 7.429 10-9 -5.908 10-8 p19 3.746 10-4 2.268 10-5 -1.634 10-5 p20 5.886 10-4 1.152 10-5 p21 3.111 10-4 p22 TABLA 6.32. Elementos de la matriz de covarianza de los parámetros. p 23 p 24 p 25 p 26 p 27 p 28 p 29 p 30 p 31 p 32 p 33 4.611 10-6 -1.194 10-5 -5.967 10-7 8.927 10-6 -1.743 10-7 5.065 10-6 3.279 10-8 6.191 10 -7 -1.133 10-6 -1.679 10-6 -9.702 10-6 p11 4.037 10-6 -1.701 10-5 1.038 10-6 -8.181 10-7 1.948 10-6 -8.014 10-6 -1.358 10-7 -2.563 10-5 -1.399 10-6 7.468 10-7 2.227 10-5 p12 1.529 10-5 -4.078 10-5 -3.674 10-7 2.621 10-5 -4.742 10-7 1.541 10-5 2.816 10-8 2.167 10-5 3.086 10-6 -1.171 10-6 -6.165 10-5 p13 -1.853 10-5 -4.078 10-5 -2.051 10-6 -2.527 10-5 -2.423 10-6 4.260 10-5 1.597 10-7 -9.353 10-6 -8.874 10-6 -9.415 10-7 -5.413 10-5 p14 -2.219 10-7 2.761 10-6 -8.340 10-8 -1.413 10-7 -2.264 10-8 -9.197 10-7 -9.159 10-10 7.885 10-7 -2.758 10-6 -1.710 10-8 -2.969 10-7 p15 2.795 10-5 -4.295 10-5 3.784 10-7 4.824 10-5 -1.447 10-6 1.728 10-5 3.229 10-8 7.038 10-5 8.394 10-6 -4.059 10-7 -6.076 10-5 p16 -4.670 10-7 -3.786 10-6 9.235 10-8 -9.035 10-7 2.769 10-7 -3.157 10-7 -8.171 10-9 -2.790 10-6 6.802 10-7 3.777 10-8 2.529 10-7 p17 8.514 10-6 4.638 10-5 7.266 10-7 1.355 10-5 -1.064 10-6 -1.182 10-5 -1.297 10-8 1.648 10-5 -4.762 10-6 1.877 10-7 1.974 10-5 p18 1.799 10-8 -8.535 10-9 3.572 10-10 3.099 10-8 -4.792 10-9 3.182 10-8 3.315 10-10 5.364 10-8 1.099 10-7 -4.554 10-10 6.223 10-9 p19 2.700 10-5 -7.304 10-7 2.760 10-6 7.324 10-5 -4.032 10-6 5.668 10-6 3.673 10-8 2.015 10-4 2.073 10-5 6.589 10-7 3.476 10-5 p20 2.813 10-4 -2.427 10-5 -2.878 10-6 1.118 10-4 9.092 10-7 6.792 10-6 3.413 10-8 -1.374 10-4 -7.259 10-7 1.842 10-6 1.452 10-6 p21 -2.860 10-6 -3.299 10-4 -1.080 10-6 -5.990 10-6 3.879 10-6 8.587 10-5 -2.399 10-7 -3.971 10-5 1.335 10-5 2.568 10-6 1.345 10-5 p22 2.266 10-4 -7.434 10-6 -1.437 10-6 1.501 10 -4 -1.353 10-7 3.077 10-6 3.713 10-8 -8.631 10-5 -1.061 10-6 -8.651 10-7 -3.713 10-5 p23 8.418 10-4 2.153 10-6 -2.547 10-5 -2.984 10-6 -2.790 10-4 -5.867 10-8 -1.439 10-5 2.237 10-6 -4.978 10-6 1.710 10-5 p24 4.048 10-7 2.201 10-8 -2.090 10-7 -5.375 10 -7 -2.741 10-9 3.524 10-6 4.685 10-7 -9.537 10-9 1.437 10-6 p25 1.409 10-4 -1.591 10-6 1.149 10-5 5.713 10-8 1.502 10-5 -3.167 10-6 -1.465 10-6 -3.590 10-5 p26 4.121 10-7 -7.665 10-7 -9.279 10-9 -5.306 10-6 9.230 10-7 2.602 10-8 -1.263 10-8 p27 1.101 10-4 6.628 10-8 1.370 10-5 -6.040 10-6 1.585 10-6 -1.278 10-5 p28 8.214 10-10 1.126 10-7 -6.561 10-8 -6.837 10-10 -2.244 10-8 p29 3.011 10-4 -9.737 10-6 7.117 10-7 3.792 10-5 p30 8.408 10-4 3.135 10-7 -3.429 10-6 p31 1.894 10-6 -2.686 10-7 p32 3.217 10-4 p33 TABLA 6.32 (Continuación). Elementos de la matriz de covarianza de los parámetros. Aplicación a datos de campo 382 FRONTERA h1(y,z) FRONTERA h2(y,z) FRONTERAS y1 , y 2 , z 2 p1 1= -12.27 + 0.06 g/cm3 p2 1 = 12.50 + 0.06 km P3 1 = 23.99 + 0.08 km p1 2 = -0.03 + 0.05 km g/cm3 p2 2 =-0.01 + 0.05 p3 2 = 32.829 + 0.004 km p1 3 = 3.55 + 0.04 km g/cm3 P2 3 =-1.24 + 0.04 P 3 3 = 3.20 + 0.05 km p14 = -0.28 + 0.07 km g/cm3 p2 4 = -0.07 + 0.07 km-1 p1 5 = -0.004 + 0.002 2 3 km g/cm p2 5 = 0.003 + 0.002 km-1 p1 6 = 1.79 + 0.03 2 3 km g/cm p2 6 = -0.01 + 0.03 km-1 p1 7 = 0.008 + 0.002 2 3 km g/cm p2 7 = -0.003 + 0.002 km-2 p1 8 = 0.10 + 0.03 2 3 km g/cm p2 8 = 0.04 + 0.03 km-2 p1 9 = 0.00033 + 0.00009 2 3 km g/cm p2 9 = 0.00011 + 0.00007 km-2 p2 0 = -0.33 + 0.05 2 3 km g/cm p3 0 = 0.33 + 0.05 km-2 TABLA 6.33. Parámetros del modelo resultante e incertidumbres correspondientes. FIGURA 6.81. Matriz de correlación de los parámetros de la fuente. p11 p12 p26 p27 p32 p33p13 p14 p 30p29p28p25p24p23p 22p21p20p19p18p17p16p15 p31 p11 p12 p26 p27 p32 p33 p 13 p14 p30 p29 p28 p25 p24 p23 p22 p21 p20 p19 p 18 p17 p16 p15 p31 -1.0 -0.8 -0.2 -0.6 -0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p11 p 12 p 13 p 14 p 15 p 16 p 17 p 18 p 19 p 20 p 21 p 22 1.000 10+0 -3.400 10-2 6.308 10-1 6.303 10-3 -1.183 10-1 3.574 10-1 -4.527 10-3 -1.188 10-2 8.460 10-2 -2.233 10-1 -2.361 10-2 -9.547 10-3 p11 1.000 10+0 -2.874 10-2 -5.548 10-1 -2.374 10-1 -4.923 10-2 3.556 10-1 2.975 10-1 -4.472 10-1 -1.111 10-1 8.095 10-3 1.426 10-1 p12 1.000 10+0 -1.637 10-2 -9.029 10-2 8.642 10-1 -5.216 10-2 1.207 10-2 9.285 10-2 -1.983 10-1 -4.338 10-2 3.082 10-2 p13 1.000 10+0 3.806 10-1 -3.026 10-2 -4.390 10-1 -8.626 10-1 -1.815 10-1 3.911 10-2 -3.344 10-3 -2.011 10-1 p14 1.000 10+0 -1.632 10-2 -6.808 10-1 -2.402 10-1 -5.408 10-1 1.745 10-1 -1.917 10-3 -6.276 10-2 p15 1.000 10+0 -1.769 10-1 5.047 10-2 1.079 10-1 1.951 10-1 -9.397 10-3 2.961 10-2 p16 1.000 10+0 1.777 10-1 7.844 10-2 -3.570 10-1 -2.372 10-2 2.338 10-1 p17 1.000 10+0 2.442 10-1 3.376 10-2 5.445 10-3 1.776 10-1 p18 1.000 10+0 6.004 10-2 8.784 10-3 -9.608 10-2 p19 1.000 10+0 4.831 10-2 -4.787 10-2 p20 1.000 10+0 2.693 10-2 p21 1.000 10+0 p22 TABLA 6.34. Elementos de la matriz de correlación de los parámetros. p 23 p 24 p 25 p 26 p 27 p 28 p 29 p 30 p 31 p 32 p 33 1.315 10-2 -1.767 10-2 -4.024 10-2 3.227 10-2 -1.165 10-2 2.071 10-2 4.910 10-2 1.531 10-3 -1.677 10-3 -5.235 10-2 -2.321 10-2 p11 1.515 10-2 -3.312 10-2 9.217 10-2 -3.894 10-3 1.714 10-1 -4.314 10-2 -2.678 10-1 -8.345 10-2 -2.726 10-3 3.066 10-2 7.015 10-2 p12 6.728 10-2 -9.310 10-2 -3.825 10-2 1.462 10-1 -4.893 10-2 9.727 10-2 6.507 10-2 8.271 10-2 7.050 10-3 -5.636 10-2 -2.277 10-1 p13 -4.283 10-2 -4.891 10-2 -1.122 10-1 -7.409 10-2 -1.314 10-1 1.412 10-1 1.939 10-1 -1.876 10-2 -1.065 10-2 -2.381 10-2 -1.050 10-1 p14 -1.702 10-2 1.099 10-1 -1.513 10-1 -1.374 10-2 -4.072 10-2 -1.012 10 -1 -3.689 10-2 5.246 10-2 -1.098 10-1 -1.435 10-2 -1.911 10-2 p15 1.388 10-1 -1.106 10-1 4.444 10-2 3.037 10-1 -1.684 10-1 1.231 10-1 8.420 10-2 3.031 10-1 2.163 10-2 -2.204 10-2 -2.532 10-1 p16 -3.536 10-2 -1.487 10-1 1.654 10-1 -8.675 10-2 4.917 10-1 -3.429 10-2 -3.249 10-1 -1.833 10-1 2.674 10-2 3.129 10-2 1.607 10-2 p17 4.799 10-2 1.356 10-1 9.689 10-2 9.682 10-2 -1.406 10-1 -9.552 10-2 -3.840 10-2 8.056 10-2 -1.393 10-2 1.157 10-2 9.336 10-2 p18 3.428 10-2 -8.439 10-3 1.611 10-2 7.488 10-2 -2.142 10 -1 8.698 10-2 3.318 10-1 8.867 10-2 1.087 10-1 -9.494 10-3 9.953 10-3 p19 9.269 10-2 -1.301 10-3 2.241 10-1 3.188 10-1 -3.245 10-1 2.790 10-2 6.621 10-2 6.001 10-1 3.694 10-2 2.474 10-2 1.001 10-1 p20 7.704 10-1 -3.448 10-2 -1.865 10-1 3.882 10-1 5.838 10-2 2.668 10-2 4.909 10-2 -3.263 10-1 -1.032 10-3 5.517 10-2 3.338 10-3 p21 -1.077 10-2 -6.447 10-1 -9.626 10-2 -2.861 10-2 3.426 10-1 4.639 10-1 -4.745 10-1 -1.298 10-1 2.611 10-2 1.058 10-1 4.252 10-2 p22 1.000 10+0 -1.702 10-2 -1.500 10-1 8.399 10 -1 -1.400 10-2 1.948 10-2 8.607 10-2 -3.304 10-1 -2.430 10-3 -4.176 10-2 -1.375 10-1 p23 1.000 10+0 1.166 10-1 -7.394 10-2 -1.602 10-1 -9.162 10-1 -7.056 10-2 -2.858 10-2 2.660 10-3 -1.247 10-1 3.285 10-2 p24 1.000 10+0 2.914 10-3 -5.118 10-1 -8.049 10-2 -1.503 10-1 3.192 10-1 2.540 10-2 -1.089 10-2 1.259 10-1 p25 1.000 10+0 -2.088 10-1 9.223 10-2 1.679 10-1 7.292 10-2 -9.200 10-3 -8.971 10-2 -1.686 10-1 p26 1.000 10+0 -1.138 10-1 -5.044 10-1 -4.764 10-1 4.959 10-2 2.945 10-2 -1.097 10-3 p27 1.000 10+0 2.203 10-1 7.523 10-2 -1.985 10-2 1.098 10-1 -6.789 10-2 p28 1.000 10+0 2.264 10-1 -7.895 10-2 -1.734 10-2 -4.365 10-2 p29 1.000 10+0 -1.935 10-2 2.980 10-2 1.218 10-1 p30 1.000 10+0 7.856 10-3 -6.593 10-3 p31 1.000 10+0 -1.088 10-2 p32 1.000 10+0 p33 TABLA 5.34 (Continuación). Elementos de la matriz de correlación de los parámetros. Aplicación a datos de campo 385 Con la estructura del cuerpo anómalo, presentada en la figura 6.78, se ha calculado el polinomio de segundo grado que nos proporciona el contraste de densidad responsable de los datos de gravedad del problema. El resultado final obtenido no ha sido satisfactorio para el modelo de semigraben esperado para la Laguna Salada. Esto es debido, principalmente, a la existencia del cruce entre las dos fronteras laterales h1(y,z) y h2(y,z) en estas zonas, producido por la condición de mantener plana la frontera inferior en este tipo de fuentes. Para ver si es posible mejorar el resultado obtenido para la estructura, también se ha intentado calcular este caso realizando el problema iterativo a partir de otros modelos iniciales, pero los resultados obtenidos han sido similares. En consecuencia, aunque el modelo de fuente con contraste de densidad constante, obtenido en esta sección, nos ha proporcionado una idea general satisfactoria del tipo de estructura de semigraben esperada para la zona central de la subcuenca principal de la Laguna Salada, este tipo de modelos no es del todo satisfactorio para el caso que estamos tratando, ya que la frontera inferior de esta subcuenca no es en realidad plana. 6.2.3.2. Caso 2: Fuente limitada superior e inferiormente por funciones continuas de las variables y, z. A continuación vamos a modelar la subcuenca principal de la Laguna Salada mediante el modelo que introduce la topografía de la zona de estudio en el modelado, y considera las cuatro fronteras laterales como planos verticales. Los datos de gravedad son los mismos que para el caso anterior, esto es, la malla de la figura 6.75(b), con 465 datos espaciados 2 km. Primeramente vamos a aproximar la topografía de la cuenca Laguna Salada mediante un polinomio de cuarto grado que depende de las variables x e y . Este polinomio se ha graficado en la figura 6.82 sobre el mapa de isolíneas de la topografía de la subcuenca principal de la Laguna Salada. Como en el caso anterior, vamos a suponer que el cuerpo que se va a modelar tiene un contraste de densidad constante de valor ∆ρ = -0.37 g/cm3, que permanecerá invariable a lo largo del proceso de inversión. Por tanto, se van a calcular un total de 14 parámetros que definen la estructura del cuerpo anómalo, diez de ellos son los coeficientes del polinomio (5.10), que nos definen la frontera inferior del cuerpo, y los otros cuatro representan los planos laterales que limitan la estructura. En total vamos a calcular N = 14 parámetros con M = 465 datos, lo cual constituye un problema sobredeterminado. El vector de parámetros para este caso es de la forma: p = ( p 1 1, p1 2, p1 3, p1 4, p1 5, p1 6, p1 7, p1 8, p1 9 , p2 0 , p21, p22, p23, p24) (6.8) Aplicación a datos de campo 386 FIGURA 6.82. Las isolíneas sólidas representan la topografía de la zona de la subcuenca principal de la Laguna Salada. Las isolíneas discontinuas representan el polinomio de cuarto grado que ajusta la topografía. Los valores de igual altura en ambos casos vienen dados en km. El modelo inicial, con el que comienza el proceso iterativo, se va a construir a partir del modelo de estructura de la figura 6.39 obtenido en el caso bidimensional, esto es, la frontera inferior del cuerpo va a venir dada por el polinomio l2(x,y) = 2.45 + 0.13 x - 0.0143x2 - 0.0008x3. Las fronteras laterales en dirección del eje x son x1 = -12 km y x2 = 12 km, y las fronteras laterales en dirección del eje y son y1 = -25 km e y2 = 25 km. La estructura de este modelo y la anomalía gravimétrica que produce se puede ver en la figura 6.83. Para resolver el problema de inversión se ha realizado un proceso de 200 iteraciones. En l a figura 6.84 se presenta la evolución del desajuste a lo largo de todas esas iteraciones. Podemos ver que el desajuste decae de manera continua y que a partir de la iteración 50 tiende a converger hacia el valor qσ = 2330. A partir de la iteración número 109 los valores de los parámetros apenas presentan variaciones a partir de la cuarta cifra decimal, indicando que hemos llegado a una posible solución del problema. Por tanto, vamos a considerar el modelo alcanzado en dicha iteración, con qσ = 2330.2 y β -1 = 1165.1, como el modelo resultante de nuestro proceso de inversión, el cuál se presenta en la figura 6.85. Como podemos observar, el modelo tiene una estructura geométrica de semigraben con una profundidad máxima de 2.32 km hacia su margen derecha, lo cual es coherente con los modelos obtenidos en el estudio bidimensional de la cuenca. -14 -7 0 7 14 X (km) -30 -20 -10 0 10 20 30 Y ( km ) Aplicación a datos de campo 387 FIGURA 6.83. (a) Fuente anómala utilizada como modelo inicial en el proceso de inversión para el estudio de los datos de la anomalía residual isostática de la cuenca Laguna Salada. (b) Anomalía gravimétrica producida por la fuente (a). Las isolíneas de la anomalía gravimétrica vienen expresadas en mGal. La línea resaltada representa la posición de la fuente con respecto a la malla de datos. FIGURA 6.84. Evolución del desajuste qσ . 0 2 Z ( km ) ∆ρ = - 0.37 g/cm 3 (b) (a) Aplicación a datos de campo 388 FIGURA 6.85. (a) Modelo resultante para la subcuenca principal de la Laguna Salada considerando una fuente anómala limitada superior e inferiormente por funciones continuas de las variables x e y , con un contraste de densidad constante de valor –0.37 g/cm3. Las isolíneas de igual profundidad están espaciadas cada 0.2 km. (b) Anomalía gravimétrica producida por el modelo (a). Las isolíneas de la anomalía gravimétrica vienen expresadas en mGal. Al igual que en el caso 1, podemos ver que el valor del desajuste es bastante mayor que la tolerancia permitida T = N = 465. Esto se debe a las diferencias que hay entre la anomalía gravimétrica del modelo resultante y los datos de gravedad, principalmente en los bordes de la anomalía. Estas diferencias se pueden ver en la figura 6.86, donde se presenta el residual del problema. podemos ver que en dichos bordes el máximo valor del residual es del orden de 7 mGal. 0 2 Z ( km ) Aplicación a datos de campo 389 FIGURA 6.86. Residual obtenido al comparar los datos de gravedad del problema y la anomalía gravimértrica del modelo resultante en el proceso de inversión. La varianza residual para este caso es 25.ˆ =σ mGal2 . Con este valor calculamos las matrices de resolución y covarianza a partir de l as ecuaciones (1.55) y (1.63), respectivamente. En la figura 6.87 podemos ver la primera, que nos muestra que los diez parámetros de la frontera inferior tienen muy buena resolución, mientras que los parámetros de las fronteras laterales presentan una resolución muy baja. En la tabla 6.35 se presentan los valores numéricos de los elementos de la matriz de covarianza cuya diagonal principal nos proporciona las varianzas de los parámetros. Calculando la raíz cuadrada de las mismas obtenemos las desviaciones e stándar correspondientes con los que obtenemos las incertidumbres de los parámetros suponiendo un intervalo de confianza + 2.58 σ (99%). En la tabla 6.36 se pueden ver los valores numéricos de los parámetros del modelo junto con dichas incertidumbres. Hay que destacar que el parámetro p2 4 presenta una valor mayor de 30, esto es, la frontera y2 del modelo resultante se encuentra situada fuera de los límites de la malla de datos, de ahí que este parámetro sea el que tenga peor resolución de todos. La matriz de correlación de los parámetros se presenta en la figura 6.88. En dicha figura podemos ver que, en general, existe correlación entre los parámetros de la frontera inferior y que los parámetros de las fronteras laterales no tienen correlación entre sí o con el resto de parámetros. -14 -7 0 7 14 X (km) -30 -20 -10 0 10 20 30 Y ( km ) Aplicación a datos de campo 390 FIGURA 6.87. Matriz de resolución de los parámetros de la fuente. p11 p12 p13 p14 p15 p16 p17 p18 p19 p20 p21 p22 p23 p24 p11 p12 p13 p14 p15 p16 p17 p18 p19 p20 p21 p22 p23 p24 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 p11 p12 p 13 p 14 p 15 p 16 p 17 p 18 p 19 p 20 p 21 p 22 p 23 p 24 9.457 10-4 5.927 10-5 -2.167 10-5 5.015 10-7 -1.080 10-5 -2.071 10-6 1.682 10-7 -3.966 10-8 -5.817 10-7 5.290 10-8 -7.415 10-8 -2.366 10-5 -3.218 10-5 7.088 10-7 p11 2.049 10-4 1.229 10-6 5.948 10 -7 -1.742 10-6 -1.825 10-8 -1.542 10-8 -1.085 10-7 -1.899 10-6 -1.240 10-9 -3.389 10-6 8.903 10-7 -6.636 10-6 9.680 10-8 p12 2.834 10-5 -3.533 10-8 2.990 10-8 2.806 10-7 -1.222 10-7 2.035 10-9 -2.794 10-8 -4.421 10-8 4.273 10-6 5.317 10-7 6.220 10-6 -1.742 10-8 p13 1.070 10-7 -3.960 10-9 -2.990 10-9 2.661 10-9 -3.092 10-9 -1.436 10-9 -2.592 10-11 3.161 10-7 -7.257 10-8 3.102 10-8 4.422 10-10 p14 5.966 10-7 -3.793 10-8 -7.175 10-9 -1.139 10-9 3.280 10-8 9.451 10-10 9.382 10-7 -7.759 10-7 -9.932 10-7 -1.376 10-8 p15 2.582 10-8 2.242 10-10 4.253 10-10 -1.657 10-9 -9.935 10-10 -1.193 10-7 1.425 10-7 9.294 10-7 -2.010 10-9 p16 2.717 10-9 -2.566 10-11 2.343 10-10 -1.200 10-11 -1.505 10-7 -2.519 10-9 4.557 10-8 -1.483 10-10 p17 4.537 10 -10 -4.784 10-11 -7.340 10-12 3.010 10-8 1.334 10-8 1.196 10-9 1.025 10-10 p18 2.337 10-8 4.992 10-11 -9.787 10-8 -1.224 10-7 6.580 10-8 -2.087 10-9 p19 1.085 10-10 3.121 10-9 -2.305 10-9 -4.389 10-8 8.546 10-11 p20 8.995 10-4 -1.100 10-5 2.551 10-6 1.404 10-6 p21 4.544 10-4 8.462 10-6 3.732 10-6 p22 1.107 10-3 -1.233 10-6 p23 2.538 10-6 p24 TABLA 6.35. Elementos de la matriz de covarianza de los parámetros. Aplicación a datos de campo 392 FRONTERA INFERIOR FRONTERAS LATERALES p1 1= 2.03 + 0.08 km p2 1 =-11.91 + 0.08 km p1 2 = 0.09 + 0.04 p2 2 = 11.94 + 0.06 km p1 3 = 0.022 + 0.014 P 2 3 =-23.96 + 0.09 km p14 = 0.0007 + 0.0008 km -1 p2 4 = 32.486 + 0.004 km p1 5 = -0.008 + 0.002 km-1 p1 6 = -0.0011 + 0.0004 km -1 p1 7 = -0.00014 + 0.00013 km-2 p1 8 = 0.-0.00005 + 0.00006 km-2 p1 9 = -0.0005 + 0.0004 km -2 p2 0 = -0.00002 + 0.00003 km-2 TABLA 6.36. Parámetros del modelo resultante e incertidumbres correspondientes. FIGURA 6.88. Matriz de correlación de los parámetros de la fuente. p11 p12 p13 p14 p15 p16 p17 p18 p19 p20 p21 p22 p23 p24 p11 p12 p13 p14 p15 p16 p17 p18 p19 p20 p21 p22 p23 p24 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p11 p12 p 13 p 14 p 15 p 16 p 17 p 18 p 19 p 20 p 21 p 22 p 23 p 24 1.000 10+0 1.346 10-1 -1.324 10-1 4.985 10-2 -4.548 10-1 -4.191 10-1 1.049 10-1 -6.055 10-2 -1.237 10-1 1.651 10-1 -8.000 10-5 -3.610 10-2 -3.145 10-2 1.447 10-2 p11 1.000 10+0 1.613 10-2 1.270 10 -1 -1.575 10-1 -7.932 10-3 -2.067 10-2 -3.559 10-1 -8.680 10-1 -8.319 10-3 -7.895 10-3 2.918 10-3 -1.393 10-2 4.245 10-3 p12 1.000 10+0 -2.029 10-2 7.271 10-3 3.280 10-1 -4.404 10-1 1.795 10-2 -3.433 10-2 -7.972 10-1 2.676 10-2 4.686 10-3 3.511 10-2 -2.054 10-3 p13 1.000 10+0 -1.567 10-2 -5.687 10-2 1.560 10-1 -4.437 10-1 -2.872 10-2 -7.606 10-3 3.222 10-2 -1.041 10-2 2.850 10-3 8.490 10-4 p14 1.000 10+0 -3.056 10-1 -1.782 10-1 -6.924 10-2 2.778 10-1 1.175 10-1 4.050 10-2 -4.713 10-2 -3.865 10-2 -1.118 10-2 p15 1.000 10+0 2.676 10-2 1.242 10-1 -6.746 10-2 -5.936 10-1 -2.475 10-2 4.160 10-2 1.738 10-1 -7.850 10-3 p16 1.000 10+0 -2.311 10-2 2.940 10-2 -2.211 10-2 -9.626 10-2 -2.267 10-3 2.627 10-2 -1.786 10-3 p17 1.000 10+0 -1.469 10-2 -3.308 10-2 4.712 10-2 2.938 10-2 1.687 10-3 3.020 10-3 p18 1.000 10+0 3.135 10-2 -2.135 10-2 -3.755 10-2 1.294 10-2 -8.571 10-3 p19 1.000 10+0 9.989 10-3 -1.038 10-2 -1.266 10-1 5.151 10-3 p20 1.000 10+0 -1.720 10-2 2.556 10-3 2.939 10-2 p21 1.000 10+0 1.193 10-2 1.099 10-1 p22 1.000 10+0 -2.327 10-2 p23 1.000 10+0 p24 TABLA 6.37. Elementos de la matriz de correlación de los parámetros. Aplicación a datos de campo 394 Con el modelo resultante de la figura 6.85 hemos obtenido la estructura geométrica de un cuerpo de densidad constante que podría explicar la anomalía gravimétrica registrada sobre la subcuenca principal de la Laguna Salada. A continuación vamos a considerar que los parámetros de la tabla 6.36 que definen la estructura de dicho cuerpo van a permanecer fijos y vamos a suponer que el contraste de densidad del cuerpo no es constante, sino que va a venir definido por el polinomio de segundo grado en las variables x , y y z dado por la expresión (5.2). Como ya hicimos para el caso en 2D, vamos a considerar fijo el término independiente de dicho polinomio en todo el proceso de inversión, con un valor p1 = -0.67 g/cm3, puesto que es la medida del contraste de densidad promedio correspondiente al material sedimentario no consolidado depositado en la superficie de la cuenca, el cual es conocido. Por tanto, las incógnitas que se deben calcular son los otros nueve coeficientes que determinan el po linomio (5.2), por tanto, el vector de parámetros tiene nueve componentes: p = ( p 2 , p 3 , p 4 , p 5 , p 6 , p 7 , p 8 , p 9 , p 10 ) (6.9) que deben ser calculadas con los 465 datos de la malla 6.75(b). Se han realizado varios procesos de inversión con diferentes modelos iniciales para el contraste de densidad. En todos ellos aparece el mismo tipo de comportamiento, en el que el contraste de densidad es negativo y está distribuido en capas casi horizontales cuyos valores son decrecientes en magnitud y tienden hacia el valor de 0 mGal, sin llegar a alcanzarlo, desde el nivel de la topografía hasta una profundidad aproximada de 1 a 1.5 km de profundidad. A partir de este punto, el contraste de densidad sigue distribuido en capas horizontales, pero su magnitud va creciendo a medida que aumenta la profundidad, lo cual no es lógico en este tipo de estructuras. Este comportamiento nos está indicando que el coeficiente p1 0 del término z2 del polinomio (5.2) está dominando el comportamiento del modelo para el contraste de densidad, impidiendo la obtención de un modelo satisfactorio. Por tanto, haciendo uso de la flexibilidad que tiene el método de inversión desarrollado en este trabajo, para decidir cuáles de los parámetros deben permanecer constantes y cuáles deben evolucionar a través de las iteraciones, vamos a tomar la decisión de mantener dicho coeficiente fijo y con el valor p10 = 0 km-2, y así volver a realizar la inversión. En este caso vamos a elegir un modelo inicial para el contraste de densidad basado en el modelo bidimensional obtenido para la subcuenca principal de la Laguna Salada, que se puede ver en la figura 6.43. Por tanto, el polinomio que describe el contraste de densidad del modelo inicial es ∆ρ =-0.67 + 0.006 x + 0.11 z + 0.024 xz + 0.0024 x2 . donde, como vemos, el término en z2 es nulo y va a permanecer así durante el proceso iterativo de inversión. Por tanto, ahora el vector de parámetros que hay que calcular tiene un total de ocho component es: p = ( p 2 , p 3 , p 4 , p5 , p 6 , p 7 , p 8 , p 9 ) (6.10) Aplicación a datos de campo 395 Para calcular su solución se va a realizar un total de 200 iteraciones. En la figura 6.89 se presenta la evolución del desajuste. Podemos ver que a partir de la cuarta iteración el desajuste alcanza el valor qσ = 2311.3, permaneciendo constante hasta el final. Lo mismo ocurre con los ocho parámetros calculados, indicando que se ha obtenido un mínimo en el espacio de soluciones que puede ser una posible solución para el problema de inversión. FIGURA 6.89. Evolución del desajuste qσ . En la figura 6.90 se presentan tres secciones del modelo de estructura y contraste de densidad de la fuente anómala, obtenido para la subcuenca principal de la Laguna Salada, en distintas posiciones a lo largo del eje y , para mostrar el comportamiento del contraste de densidad correspondiente. Podemos ver que el modelo presenta el basculamiento de las capas sedimentarias de la cuenca de acuerdo a la estructura de semigraben esperada para la Laguna Salada. También se puede ver que, en la margen oriental de la estructura, las isolíneas son casi verticales, indicando un cambio de facies subvertical para esta zona de la cuenca. Según todo lo anterior, el modelo en 3D obtenido corrobora los modelos bidimensionales calculados para la cuenca Laguna Salada. La figura 6.91(a) nos muestra la anomalía gravimétrica del modelo resultante y la figura 6.91(b) presenta el residual obtenido al comparar dicha anomalía con los datos de gravedad de la figura 6.75(b). El máximo valor del residual es de 7 mGal y se encuentra en los bordes del mapa. Aplicación a datos de campo 396 FIGURA 6.90. Tres perfiles de estructura y densidad para el modelo resultante para el caso de una fuente limitada superior e inferiormente por funciones continuas de las variables x e y. FIGURA 6.91. (a) Anomalía gravimétrica correspondiente al modelo resultante en el proceso de inversión. Las líneas resaltadas representan las posiciones de los perfiles de la figura 6.90. (b) Residual obtenido al comparar los datos de gravedad del problema y la anomalía gravimétrica (a). -14 -7 0 7 14 X (km) -30 -20 -10 0 10 20 30 Y ( km ) -14 -7 0 7 14 X (km) -30 -20 -10 0 10 20 30 Y ( km ) (a) (b) 0 1 2 -0.5 -0.3 Z ( km ) y = 20 km 0 1 2 -0.5 -0.3Z ( km ) y = 0 km -14 -7 0 7 14 0 1 2 -0.4 -0.3 X (km) Z ( km ) y = -20 km Aplicación a datos de campo 397 La matriz de resolución de este problema se puede ver en la figura 6.92, que ha sido calculada a partir de la ecuación (1.55) donde la varianza residual es 15.ˆ =σ mGal. Como po demos ver en dicha figura, la matriz de resolución es casi la matriz identidad, lo que indica que los ocho parámetros tienen una resolución muy buena. En la tabla 6.38 se presentan los valores numéricos de los elementos de la matriz de covarianza cuya diagonal principal nos proporciona las varianzas de los parámetros. En la tabla 6.39 se muestran las soluciones de los parámetros junto con las incertidumbres correspondientes calculadas suponiendo un intervalo de confianza + 2.58 σ. La matriz de correlación se presenta en la figura 6.93 y sus elementos en la tabla 6.40. Podemos ver que existe correlación entre todos lod parámetros en mayor o menor medida, destacando las correlaciones entre los parámetros p2 y p7 y entre los paráme tros p3 y p6 . FIGURA 6.92. Matriz de resolución de los parámetros de la fuente. p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 3.013 10 - 5 1.551 10 - 6 2.968 10 - 5 6.854 10 - 8 - 1.365 10-6 - 4.333 10-5 4.076 10 - 7 - 4.918 10-8 p2 4.327 10 - 6 9.419 10 - 6 5.160 10 - 8 - 5 .659 10 -6 - 1.895 10-6 - 5.479 10-8 - 4.708 10-9 p3 1.377 10 - 4 2.803 10 - 7 - 1.295 10-5 - 4.739 10-5 - 4.956 10-7 - 1.419 10-7 p4 9.435 10 - 9 -9.235 10-8 - 1.410 10-7 2 .642 10-10 - 1.588 10-11 p5 7.871 10 - 6 1.551 10 - 6 1.027 10 - 7 - 3.186 10-9 p6 6.604 10 - 5 -7.662 10-7 7.748 10 - 8 p7 4.987 10 - 8 -1.690 10-9 p8 8.335 10-10 p9 TABLA 6.38. Elementos de la matriz de covarianza de los parámetros. p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Aplicación a datos de campo 398 DENSIDAD p2 = 0.000 + 0.014 km p3 = -0.002 + 0.005 p4 = 0.29 + 0.03 p5 = 0.0000 + 0.0003 km-1 p6 = -0.001 + 0.007 km-1 p7 = -0.01 + 0.02 km-1 p8 = 0.0016 + 0.0006 km -2 p9 = -0.00021 + 0.00007 km-2 TABLA 6.39. Parámetros del modelo resultante e incertidumbres correspondientes. FIGURA 6.93. Matriz de correlación de los parámetros de la fuente. p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 1.000 10+ 0 1.358 10 - 1 4.608 10 - 1 1.285 10 - 1 - 8.864 10-2 - 9.712 10-1 3.325 10 - 1 - 3.104 10-1 p2 1.000 10+ 0 3.858 10 - 1 2.554 10 - 1 - 9.697 10-1 - 1.121 10-1 - 1.179 10-1 - 7.839 10-2 p3 1.000 10+ 0 2.459 10 - 1 - 3.935 10-1 - 4.969 10-1 - 1.891 10-1 - 4.188 10-1 p4 1.000 10+ 0 -3.389 10-1 - 1.786 10-1 1.218 10 - 2 - 5.663 10-3 p5 1.000 10+ 0 6.804 10 - 2 1.640 10 - 1 - 3.933 10-2 p6 1.000 10+ 0 -4.221 10-1 3.302 10 - 1 p7 1.000 10+ 0 -2.622 10-1 p8 1.000 1 0+ 0 p9 TABLA 6.40. Elementos de la matriz de correlación de los parámetros. p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Aplicación a datos de campo 399 6.2.3.3. Discusión La inversión de los datos del mapa de anomalías isostáticas residuales, para la cuenca principal de la Laguna Salada, se ha realizado a partir de los resultados obtenidos en 2D para el perfil P1 y para cada tipo de fuente anómala tridimensional descrito en los Capítulos III y V. Esto supone la introducción en el modelo inicial de una serie de tendencias que ayudan en la búsqueda de la solución del problema mediante el proceso iterativo de Marquardt-Levenberg. Por la gran cantidad de parámetros que participan en cada caso, se ha hecho uso de la flexibilidad que posee el método de inversión para decidir el número de parámetros de la fuente que van a permanecer fijos y los que van a evolucionar a lo largo de todo el proceso. Esto va a disminuir la inestabilidad inherente en los procesos de inversión, puesto que se van a reducir las dimensiones del espacio de soluciones y también el número de soluciones posibl es para cada caso. El modelo de fuente con topografía y frontera inferior planas y horizontales no es un modelo que se pueda aplicar satisfactoriamente a este tipo de estructuras, en las que la frontera inferior está lejos de ser plana. Esto es debido a que el método va a llegar a un compromiso entre la forma de las fronteras laterales y la posición de la frontera inferior del modelo, para que su efecto gravimétrico se ajuste lo mejor posible a los datos de gravedad. Debido a esta limitación, en este caso no se ha calculado la distribución del contraste de densidad. No obstante, el modelo obtenido para la estructura, suponiendo un contraste de densidad constante, nos da una idea satisfactoria de la forma de esta cuenca en su parte central, que es compatible con el resultado obtenido para el modelo correspondiente en dos dimensiones del perfil P1 . En cuanto al modelo de fuente con fronteras laterales planas y verticales, observamos que la forma de la frontera inferior nos muestra la estructura de un semigraben con mayor subsidencia cerca de la margen oriental, con una profundidad máxima del orden de 2.5 km. Esto concuerda con los resultados obtenidos en el estudio 2D del perfil P1 . También se observa que la forma de la estructura es más estrecha en la zona NNW que en la SSE, donde es más ancha pero menos profunda. Por otro lado, las isolíneas del contraste de densidad también presentan la forma de un semigraben, con el basculamiento de las capas sedimentarias hacia la margen oriental de la subcuenca, presentando una variación en profundidad muy suave, desde unos –0.67 g/cm3 en superficie, hasta alcanzar -0.1 g/cm3 cerca de la frontera inferior. Por otro lado, al igual que ocurría en el modelo bidimensional para esta subcuenca, se observa una tendencia vertical de los sedimentos en la margen oriental de la estructura, lo que sugiere un cambio de facies subvertical similar al descrito por Dorsey y Martín-Barajas (1999). También hay que destacar que, para el modelo resultante, el residual obtenido presenta valores al tos sobre todo en las zonas periféricas del área de estudio. Esto podría llevar a rechazar el modelo como solución del problema, pero hay que tener en cuenta que los datos utilizados para la inversión corresponden a una anomalía real, no teórica, en la que las isolíneas presentan una serie de Aplicación a datos de campo 400 variaciones que no se pueden modelar satisfactoriamente ni con el polinomio cuadrático que define el contraste de densidad ni con los polinomios de tercer grado que describen las fronteras laterales de la fuente. No obstante, esta limitación no impide que el método nos proporcione un modelo para la subcuenca compatible con la información geológica y geofísica disponible, por lo que este modelo resultante se puede considerar como un modelo satisfactorio para la subcuenca principal de la Laguna Salada. 401 Capítulo VII: CONCLUSIONES Y RESULTADOS 402 Conclusiones y Resultados 403 INTRODUCCION A continuación vamos a presentar los resultados y conclusiones más importantes obtenidos en este trabajo, agrupados en las tres partes principales en las que se divide esta Tesis. En el primer apartado se agrupan los resultados y conclusiones de la metodología del problema directo, y en el segundo apartado se presentan los del problema inverso, tanto en 2D como en 3D. El tercer apartado contiene los resultados geofísicos obtenidos al aplicar el método de esta Tesis a los datos del glaciar Salmon y a los de la cuenca Laguna Salada, así como las conclusiones a las que se ha llegado mediante el procedimiento de trabajo seguido. 7.1. PROBLEMA DIRECTO - En este trabajo se presenta el desarrollo de las expresiones matemáticas para un nuevo método de modelado directo de anomalías gravimétricas en 2D y 3D, mediante métodos analíticos y numéricos de integración, utilizando varios tipos de fuente cuyas geometrías y distribuciones de densidad están descritas mediante funciones continuas. - En particular, para fuentes bidimensionales se han desarrollado dos tipos de modelo, uno de ellos presenta las fronteras superior e inferior planas y horizontales, mientras que las dos fronteras laterales vienen descritas por funciones continuas. En el segundo tipo de modelo las fronteras laterales son planas y verticales, mientras que tanto la frontera superior como la inferior vienen dadas por funciones continuas. En ambos casos, la densidad puede variar con la profundidad, con la distancia horizontal o con respecto a ambas simultáneamente. - Para fuentes en tres dimensiones se han desarrollado tres tipos de modelos. Dos de ellos presentan tanto la frontera superior como la inferior planas y horizontales, y vienen limitados lateralmente por cuatro fronteras, dos de ellas son planas y verticales y las otras dos están descritas por funciones continuas. El tercer tipo de modelo está limitado lateralmente por cuatro planos verticales y las fronteras superior e inferior son funciones continuas. Al igual que para fuentes bidimensionales, la densidad puede variar con la profundidad, con la distancia horizontal o con respecto a ambas simultáneamente. Conclusiones y Resultados 404 - En este método se ha supuesto que los techos de las estructuras de las fuentes anómalas coinciden con la topografía. Aunque, en algunos casos, esta coincidencia produce la aparición de singularidades en los puntos donde se encuentra el observador, estas singularidades se pueden tratar de manera eficaz mediante el método numérico de integración de Gauss-Legendre, haciendo posible el cálculo del efecto gravimétrico de las fuentes. - Las funciones continuas de carácter suave, en particular las polinómicas, permiten modelar estructuras geológicas de diversas formas complejas que no presenten cambios bruscos en su interior. Esto le hace ser un método idóneo para el modelado de cuencas sedimentarias. 7.2. PROBLEMA INVERSO - Haciendo uso de los diferentes tipos de fuente presentados en esta Tesis, para el caso particular de funciones polinómicas se han abordando los correspondientes problemas inversos, utilizando el conocido método iterativo de inversión de Marquardt -Levenberg. - Debido a la sencilla parametrización de las funciones polinómicas que describen las fuentes, el número de parámetros a calcular no es elevado, incluso mucho menor que el número de datos utilizados, haciendo que el método de inversión sea muy rápido de ejecutar en comparación con otros métodos tradicionales en los que se utiliza la teselación de la región anómala. - En los ejemplos teóricos utilizados para ilustrar el método de inversión descrito en este trabajo se puede ver que este método es muy robusto porque es capaz de obtener la solución real de problema a pesar de la inestabilidad inherente en todo proceso de inversión. - La adición de ruido a los datos de gravedad produce una desviación del modelo resultante con respecto al modelo real. No obstante, el método es lo suficientemente robusto como para que la diferencia observada no sea demasiado significativa. - Los estudios de sensibilidad realizados en cada ejemplo nos muestran que todos los parámetros de los modelos presentan una buena resolución debido a la buena distribución de los datos de gravedad utilizados. - En todos los casos teóricos se ha visto que existe una solución única para un determinado modelo inicial. Conclusiones y Resultados 405 - En general, los parámetros del contraste de densidad presentan mejor resolución que los parámetros de las fronteras de la fuente. De estos últimos, aquéllos relacionados con la frontera inferior del cuerpo son habitualmente los de menor resolución. - En todos los ejemplos, las matrices de covarianza presentan varianzas pequeñas y las correlaciones existentes entre los parámetros de la fuente suelen presentarse agrupadas. Un grupo está formado, generalmente, por todos los parámetros correspondientes al contraste de densidad, y presentan correlaciones muy altas entre sí. Otro grupo suele estar formado por los parámetros de la estructura y sus correlaciones son algo menores. Las correlaciones existentes entre estos dos conjuntos de parámetros suelen ser escasas y presentan menor intensidad. 7.3. APLICACION A DATOS DE CAMPO 7.3.1. Glaciar Salmon - Se ha utilizado la anomalía gravimétrica del glaciar Salmon por ser un caso clásico, para validar el método desarrollado en este t rabajo y así poder ver las ventajas y las limitaciones que presenta dicho método. Para este caso hemos incorporado la información disponible previamente, acerca de la geometría y el contraste de densidad de la estructura geológica, dentro del proceso de inversión, haciendo uso de la flexibilidad que tiene el método para elegir el número de parámetros que se van a mantener fijos y los que deben ser calculados mediante la inversión. Al disminuir el número de incógnitas del problema, se tiene un mayor número de grados de libertad. El método se hace más estable y más rápido, con lo que se facilita la obtención de una solución lógica para el problema tratado. - Con este caso hemos podido ver la importancia que tiene la distribución de los datos de gravedad en la región de estudio. Si los datos se encuentran mal distribuidos y no cubren las zonas de máxima sensibilidad, se dificulta la obtención de un modelo resultante satisfactorio. - Para el glaciar Salmon se ha obtenido una estructura con forma de valle que presenta una profundidad máxima de, aproximadamente, 1 km. Esto está de acuerdo con los resultados geológicos y geofísicos obtenidos por otros autores acerca del glaciar. Conclusiones y Resultados 406 7.3.2. Cuenca Laguna Salada - En este caso se ha vuelto a comprobar que si se util iza la información disponible para disminuir el número de parámetros-incógnita del problema, se produce una estabilización del método y se obtienen modelos geológicamente razonables. - Como procedimiento de trabajo es útil obtener un primer modelo con densidad constante en el que se ha calculado la geometría del cuerpo. Después se calcula un segundo modelo, utilizando el modelo anterior como modelo inicial, para obtener el contraste de densidad final del problema. Esta es una forma de separar el cálculo de l contraste de densidad (problema lineal) del cálculo de la geometría del cuerpo (problema no lineal) dentro del proceso de inversión. - Los modelos en 2D para la Laguna Salada nos muestran una estructura de semigraben con mayor subsidencia hacia la margen oriental de la estructura. El modelo calculado mediante el perfil que pasa por el mínimo gravimétrico de la subcuenca principal, indica una profundidad máxima de 2.7 km para esta subcuenca. Para la subcuenca situada al norte, la profundidad máxima calcul ada es de 2 km. - Este método es incluso capaz de mostrar el basculamiento de las capas sedimentarias de ambas subcuencas, siguiendo la geometría del semigraben. También aparecen buzamientos subverticales en la margen oriental, lo que puede indicar la existencia de cambios laterales de facies. - A partir de los resultados obtenidos en los modelos 2D, se ha procedido a estudiar la estructura y distribución de densidades de la subcuenca principal de la Laguna Salada mediante la metodología en 3D. Ha vuelto a ser de gran utilidad el procedimiento seguido en el modelado 2D, en el que primeramente se calcula la estructura suponiendo un contraste de densidad constante, para después calcular dicho contraste en función tanto de la profundidad como de la distancia horizontal. Este procedimiento añade estabilidad al problema y agiliza el proceso de inversión. - El modelo 3D con topografía y frontera inferior planas no es del todo satisfactorio para la Laguna Salada, puesto que existen importantes variaciones en la profundidad de su estructura en la dirección de su eje longitudinal, las cuales hacen imposible la aproximación de la frontera inferior por un plano. - El modelo 3D final obtenido para la Laguna Salada con las cuatro fronteras laterales planas, nos muestra una subcuenca principal con forma de semigraben de 2.5 km de profundidad máxima, en consonancia con los modelos bidimensionales. Para esta subcuenca, el basamento aflora, o casi aflora, Conclusiones y Resultados 407 en las márgenes oriental y occidental, limitando la cuenca en ambos lados. En la parte central de los extremos NNW y SSE, el basamento asciende sin aflorar hasta 1.4 km y 1 km, respectivamente. En ambas direcciones el material sedimentario presenta continuidad hacia otras subcuencas. Conclusiones y Resultados 408 409 Apéndice A: CUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE 410 Apéndice A 411 INTRODUCCION A continuación vamos a describir el método de integración que se ha utilizado para calcular la solución numérica de las integrales que se plantean en este trabajo. El método elegido es un caso particular de las Cuadraturas de Gauss: la Cu adratura de Gauss-Legendre . A.1. CUADRATURA DE GAUSS Supongamos que queremos calcular la integral numérica de la función f(t) con respecto a la variable t en el intervalo [a, b]: ( )∫= b a tfdt)f(I (A.1) Una Cuadratura de Gauss es un método de integración de rápida convergencia (Atkinson, 1989). Realiza una aproximación polinómica de f(t) proporcionando resultados extremadamente precisos en la mayoría de los casos. La fórmula general de las Cuadraturas Gausianas es: )f(E)t(fw)t(f)t(wdt n n j jj b a += ∑∫ =1 (A.2) donde w(t) es una función peso no negativa e integrable en el intervalo [a , b], y En ( f ) es el error cometido en la integración. Los nodos de integración { tj}, situados en el eje de abcisas, y los pesos {wj} se eligen de tal manera que la igualdad de la ecuación (A.2) se cumple para la función f (t) del integrando que puede ser aproximada por un polinomio de grado 2 n-1 o menor, y para que el error En ( f ) sea cero (Atkinson, 1989). Como se puede apreciar, una característica de las Cuadraturas de Gauss es que las fórmulas de integración son de orden más alto que las de los métodos clásicos (Regla de Simpson, Regla del trapezoide, Fórmulas de Newt on-Cotes). Esto es una ventaja siempre que el integrando se pueda Apéndice A 412 aproximar fácilmente por un polinomio. Otra característica es que, a diferencia de dichos métodos clásicos, en las Cuadraturas de Gauss las abcisas no están igualmente espaciadas. A.1.1. Cuadratura de Gauss-Legendre para integrales simples Supongamos que la función peso es w(t) = 1. La integral que queremos calcular es la ecuación general (A.1). De esta manera, la ecuación (A.2), para el intervalo de integración [-1,1], queda de la forma: n n j jj E)t(fw)t(fdt += ∑∫ =− 1 1 1 (A.3) donde las posiciones de los nodos de integración { tj}j=1,…,n∈[-1,1] en el eje de abcisas corresponden a los ceros del polinomio de Legendre de grado n , Pn(t) y los pesos {wj}j=1,…,n van a depender de la primera derivada de dichos polinomios según la expresión (Press et al, 1996): ( ) n,.....,,j )t(P)t( w jnj j 21 1 2 22 = ′− = (A.4) Así, el integrando es evaluado en n puntos desigualmente espaciados en el intervalo [-1,1]. Las ecuaciones (A.3) y (A.4) constituyen el caso especial de la Cuadratura de Gauss denominada Cuadratura de Gauss-Legendre. Para integrales cuyo intervalo de integración sea [a, b] se realiza el cambio de variable: 22 ab u ab t jj + + − = a < t j < b , -1 < uj < 1 (A.5) Aplicando este cambio a la integral de la expresión (A.1) se obtiene: ∫∫∫ −−       − =      + + −       − = 1 1 1 1 2222 )u(fdu abab u ab fdu ab )t(fdt b a (A.6) Con el cambio de variable aplicado, la integral general (A.1) se reduce a una integral evaluada en el intervalo [-1,1] y así podemos aplicar la Cuadratura de Gauss-Legendre. Apéndice A 413 El número de nodos de integración y de pesos dependerá del grado de precisión que se necesite en cada caso. Los valores de estos nodos y pesos se pueden encontrar en numerosos textos que tratan de la Cuadratura de Gauss-Legendre (Atkinson, 1989; Davis y Polonski, 1972). En este trabajo se han utilizado 32 nodos y 32 pesos, incluidos en la tabla A.1. Nodos jtm Pesos jw 0.997263861849481563545 0.985611511545268335400 0.964762255587506430774 0.934906075937739689171 0.896321155766052123965 0.849367613732569970134 0.794483795967942406963 0.732182118740289680387 0.663044266930215200975 0.587715757240762329041 0.506899908932229390024 0.421351276130635345364 0.331868602282127649780 0.239287362252137074545 0.144471961582796493485 0.048307665687738316235 0.007018610009470096600 0.016274394730905670605 0.025392065309262059456 0.034273862913021433103 0.042835898022226680657 0.050998059262376176196 0.058684093478535547145 0.065822222776361846838 0.072345794108848506225 0.078193895787070306472 0.083311924226946755222 0.087652093004403811143 0.091173878695763884713 0.093844399080804565639 0.095638720079274859419 0.096540088514727800567 TABLA A.1. Nodos y pesos para la Cuadratura de Gauss-Legendre (Davis y Polowski, 1972). Para el caso particular del problema directo en dos dimensiones, en el que la fuente anómala se encuentra limitada superior e inferiormente por funciones continuas de la variable x (sección 2.3), las integraciones con respecto a dicha variable son impropias en la posición del observador ( x0, z0) para los tres tipos distintos de contraste de densidad, debido a las características de las funciones que se encuentra en los integrandos de las ecuaciones (2.27), (2.36) y (2.43). Un ejemplo de este comportamiento se puede ver en la figura A1 donde se presenta la anomalía gravimétrica para la fuente anómala del Apéndice A 414 ejemplo de la figura 2.9(a), calculada a partir de la ecuación (2.43) sin tener en cuenta la existencia de las singularidades. Como se puede observar, esta anomalía no tiene un comportamiento suave. En la figura A.2 se presenta la gráfica del primer sumando del integrando de la ecuación (2.43), que es responsable de dicho comportamiento, para una determinada posición del observador. FIGURA A.1. Anomalía gravimétrica de la figura 2.9. La línea más oscura es la anomalía calculada sin tener en cuenta la existencia de singularidades en el integrando de la ecuación (2.43), La línea más clara representa la anomalía calculada evitando las singularidades mediante el método de la expresión (A.7). FIGURA A.2. Comportamiento casi-singular que ocurre cuando la abcisa del punto de observación se encuentra muy cercana a la posición del nodo de integración de Gauss-Legendre. -10 -5 0 5 10 Distancia (km) 0 5 10 15 g (m G al ) 8 16 24 32 Nodos de Gauss-Legendre (km) -1 0 1 2 g (m G al ) Apéndice A 415 La Cuadratura de Gauss puede manejar de manera eficaz intervalos de integración en los que la integral sea impropia por la presencia de alguna singularidad, pero estas singularidades deben encontrase en los extremos de dicho intervalo (Atkinson, 1989). Por tanto, para que la Cuadratura de Gauss resuelva la integración numérica, se debe dividir el intervalo de integración en dos partes alrededor del punto (x0 , z0), quedando la integración con respecto a la variable x de la forma:         += ∫∫ 2 0 0 1 00 x x x x )x(fdx)x(fdx)z,x(g (A.7) Cada una de las dos integrales de la expresión anterior se resuelve numéricamente siguiendo el método de integración descrito en este Apéndice. Procediendo de esta manera para el ejemplo que nos ocupa, se obtiene el comportamiento suave que se muestra también en la figura A.1. Por todo lo anterior, aunque las integraciones con respecto a la variable z, que tienen lugar en las ecuaciones (2.16) y (2.22) del apartado 2.2, también son impropias en el punto (x0, z0), la singularidad se encuentra situada en el extremo z1 = z0 del intervalo de integración, pudiendo ser evitada en la integración numérica. A.1.2. Cuadratura de Gauss-Legendre para integrales dobles. En el caso del problema directo para fuentes gravimét ricas en 3D la integración numérica se aplica a integrales dobles de la forma: ∑∑∫∫ ==−− = n j jiji m i )t,q(fww)t,q(fdtdq 11 1 1 1 1 (A.8) donde los nodos de integración {qi}i=1,…m ∈[-1,1] son los ceros del polinomio de Legendre de grado m, Pm(q), y los nodos {t j}j=1,…, n∈[-1,1] son los ceros del polinomio Pn(t) . Para integrales dobles cuyos intervalos de integración sean distintos de [-1, 1], la solución numérica de la cuadratura de Gauss-Legendre es: ∑∑∫∫ ==       −       − = n j jiji m i t t q q )u,v(fww ttqq )t,q(fdtdq 11 1212 22 2 1 2 1 (A.8) Apéndice A 416 donde se han realizado los cambios de variables: 22 1212 qq v qq q ii + + − = q1 < qi < q2 , -1 < vi < 1 (A.9) 22 1212 tt u tt t jj + + − = t1 < tj < t2 , -1 < u j < 1 Para el caso en el que la fuente anómala es tridimensional y se encuentra limitada lateralmente por funciones continuas de las variables y y z (apartado 3.2), las integraciones con respecto a y son impropias en la posición del observador (x0 , z0) para los tres tipos distintos de contraste de densidad. Esto es debido a las funciones que se encuentran en los integrandos de las ecuaciones (3.12), (3.14) y (3.18). Lo mismo ocurre con las integrales con respecto a la variable x en el caso en el que la fuente se encuentra limitada lateralmente por funciones continuas que dependen de x y z (ecuaciones (3.23), (3.25) y (3.28) ). Para evitar este comportamiento singular en ambos tipos de fuente, se dividen los intervalos de integración correspondientes a las variables y y x , respectivamente, en dos partes alrededor del punto (x0 , y0, z0) : ∫ ∫∫           += 2 1 2 0 0 1 000 z z y y y y )z,y(fdy)z,y(fdydz)z,y,x(g (A.10) para el tipo de fuente del apartado 3.2, y: ∫ ∫∫           += 2 1 2 0 0 1 000 z z x x x x )z,x(fdx)z,x(fdxdz)z,y,x(g (A.11) para el tipo de fuente del apartado 3.3. De este modo, la Cuadratura de Gauss-Legendre es capaz de manejar la naturaleza casi-singular del integrando de manera eficaz, resolviendo numéricamente cada una de las integrales anteriores de manera independiente aplicando la expresión (A.8). Para el caso en el que la fuente se encuentra limitada superior e inferiormente por funciones continuas que dependen de las variables x e y (apartado 3.4), la integración doble que tiene lugar en las ecuaciones (3.32), (3.42) y (3.46) es impropia en la posición del observador (x0 , y0 , z0) debido a la naturaleza de las funciones implicadas en los integrandos de dichas ecuaciones. Para evitar este Apéndice A 417 comportamiento se dividen los intervalos de integración correspondientes a las variables x e y en dos partes, alrededor del punto (x0 , y0 , z0):         +++= ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ 2 0 2 0 2 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 1 000 x x y y x x y y x x y y x x y y )y,x(fdydx)y,x(fdydx)y,x(fdydx)y,x(fdydx)z,y,x(g (A.12) Como ejemplo del comportamiento cuasi-singular de los integrandos que hacen las integrales impropias, se presenta la gráfica del primer sumando del integrando de la ecuación (3.46), para el caso de la fuente de la figura 3.15(a), en el que no se ha tenido en consideración la existencia de singularidades (figura A.3). FIGURA A.3. Comportamiento casi-singular que ocurre cuando las abcisas del punto de observación (x0 , y0 ) se encuentran muy cercanas a las posiciones de los nodos de integración de Gauss-Legendre para cada uno de los ejes correspondientes. Apéndice A 418 419 Apéndice B: CALCULO DEL JACOBIANO PARA FUENTES EN 2D 420 Apéndice B 421 INTRODUCCION A continuación vamos a presentar las ecuaciones que definen las columnas de la matriz jacobiano de cada problema de inversión planteado en los diferentes tipos de fuente anómala bidimensionales que se han desarrollado en el presente trabajo. B.1. FUENTE ANOMALA LIMITADA LATERALMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LA VARIABLE Z Para calcular la matriz Jacobiano J correspondiente a este caso, se calculan las derivadas del funcional F[p] de la ecuación (4.3) con respecto a cada uno de los parámetros que componen el vector p y para cada una de las M estaciones donde se registran las medidas de la gravedad del perfil. Las expresiones de las derivadas de dicho funcional con respecto a los parámetros que determinan la función contraste de densidad ∆ρ(x,z), correspondientes a las seis primeras columnas del jacobiano, son: [ ] ∫               − − = ∂ 2 1 2 1 0 0 1 2 z z )zf )z(f zz xx arctandzG p F p (B.1) [ ] [ ] )z(f )z(f z z zz xx arctanx)zz()xx(ln)zz(dzG p F 2 1 2 1 0 0 0 2 0 2 00 2 2           − − +     −−−−= ∂ ∂ ∫p (B.2) [ ] )z(zdzG p F z z ∫= ∂ 2 1 1 3 2 α p (B.3) donde α1(z) es el integrando de la ecuación (B.1). Apéndice B 422 [ ] )z(zdzG p F z z ∫= ∂ 2 1 2 4 α p (B.4) donde α2(z) es el integrando de la ecuación (B.2). [ ] [ ] )z(f )z(f z z )xx()zz( zz xx arctan))zz(x()zz()xx(ln)zz(xdzG p F 2 1 2 1 00 0 02 0 2 0 2 0 2 000 5 2     −−+      − − −−+     −−−−= ∂ ∫p (B.5) [ ] )z(zdzG p F z z ∫= ∂ 2 1 1 2 6 2 α p (B.6) A continuación vamos a presentar las derivadas del funcional de la ecuación (4.3) con respecto a los parámetros que definen la función polinómica f1(z) para una estación situada en el punto (x0 , z0). Estas expresiones son las correspondientes a las columnas comprendidas entre la séptima y la décima de la matriz jacobiano: [ ]     −+        −+− − −−+             −+− − −++−= ∂ ∂ ∫ )zz(p )zz()x)z(f( zz )zz(p)z,x( )zz()x)z(f( )x)z(f( )zz()xpzpp(dzG p F z z 052 0 2 01 02 050 2 0 2 01 01 00542 7 2 1 22 ][ ρ∆ p (B.7) A partir de la ecuación anterior, llamando α3(z) al integrando, podemos expresar de forma sencilla las derivadas del funcional F[p] con respecto a los otros tres parámetros que definen la frontera f1(z): )z(zdzG p F z z 3 8 2 1 2 ][ α∫−= ∂ ∂ p (B.8) ∫−= ∂ ∂ 2 1 3 2 9 2 ][ z z )z(zdzG p F α p (B.9) Apéndice B 423 ∫−= ∂ ∂ 2 1 3 3 10 2 ][ z z )z(zdzG p F α p (B.10) Seguidamente, presentamos las derivadas del funcional de la ecuación (4.3) con respecto a los parámetros que definen la función f2(z), también para una estación (x0, z0), y que corresponden desde la undécima a la decimocuarta columna del jacobiano: ( )     −+        −+− − −−+             −+− − −++= ∂ ∂ ∫ )zz(p )zz()x)z(f( zz )zz(p)z,x( )zz()x)z(f( )x)z(f( )zz()xpzpp(dzG p F z z 052 0 2 02 02 050 2 0 2 02 02 00542 11 2 1 22 ][ ρ∆ p (B.11) Llamando α4(z) al integrando de la ecuación anterior, las derivadas del funcional F[p] con respecto a los parámetros p1 2, p1 3 y p1 4 vienen dadas por las siguientes expresiones: ∫= ∂ ∂ 2 1 4 12 2 ][ z z )z(zdzG p F α p (B.12) ∫= ∂ ∂ 2 1 4 2 13 2 ][ z z )z(zdzG p F α p (B.13) ∫= ∂ ∂ 2 1 4 3 14 2 ][ z z )z(zdzG p F α p (B.14) Y por último, la columna decimoquinta es la derivada del funcional F[p] de la ecuación (4.3) con respecto al parámetro p1 5 . Para calcularla, aplicamos el Teorema fundamental del Cálculo (Kaplan, 1981) a dicha ecuación, obteniendo la expresión: Apéndice B 424 [ ] [ ] ( ) [ ]     −−+               − − −      − − −−+             −+− −+− −++= ∂ ∂ )p(f)p(f)zp(p zp x)p(f arctan zp x)p(f arctan)zp(p)p,x( )zp(x)p(f )zp(x)p(f )zp()xpppp(G p F ln 1511520155 015 0152 015 01522 0155150 2 015 2 0151 2 015 2 0152 015051542 15 2 2 2 ][ ρ∆ p (B.15) donde 2 156 2 051504153021150 ppxppxpppxpp)p,x( +++++=∆ρ , siendo x0 la abcisa de la posición del observador. Para calcular cada uno de los elementos de las quince columnas del jacobiano J, se evalúan estas quince ecuaciones para cada una de las M estaciones (x0 , z0) del perfil de datos y se calcula su solución numérica mediante el método de Gauss-Legendre, formando una matriz de dimensiones Mx15. B.2. FUENTE ANOMALA LIMITADA SUPERIOR E INFERIORMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LA VARIABLE X Las derivadas del funcional (4.12) con respecto a los parámetros que determinan la función contraste de densidad, para una estación situada en el punto (x0 , z0), corresponden a las expresiones que determinan los elementos de las primeras seis columnas del jacobiano J para el problema inverso de este tipo de fuentes. Los elementos de la primera columna de dicha matriz vienen determinados por la expresión: ( ) ( ){ }∫         −+−= ∂ ∂ 2 1 2 1 2 0 2 0 1 x x )x(g )x(g zzxxlndxG p F ][ p (B.16) donde, llamando β1(x) al integrando, la ecuación para los elementos de la segunda columna se puede expresar de manera sencilla como: )x(xdxG p F x x ∫= ∂ ∂ 2 1 1 2 β ][ p (B.17) Apéndice B 425 La tercera columna de J viene determinada por la expresión: ( ) ( ){ } )x(g )x(g x x )zz( xx zz arctan)xx(zzxxlnzdxG p F 2 1 2 1 0 0 0 0 2 0 2 00 3 22     −+      − − −−     −+−= ∂ ∂ ∫][ p (B.18) y, llamando β2(x) al integrando de la ecuación anterior, podemos escribir de manera sencilla la expresión de la cuarta columna: )x(xdxG p F x x ∫= ∂ ∂ 2 1 2 4 β ][ p (B.19) Los elementos de la quinta columna se pueden expresar como: )x(xdxG p pF x x ∫= ∂ ∂ 2 1 1 2 5 β ][ (B.20) donde β 1(x) es el integrando de la ecuación (B.16). Los elementos de la sexta columna vienen dados por la expresión: ( ) ( ) ( ){ } [ ] [ ] )x(g )x(g x x zzzzz xx zz arctan)xx(zzzxxln)xx(zdxG p F 2 1 2 1 2 0 2 00 0 0 00 2 0 2 0 2 0 2 0 6 24     −+−+      − − −−     −+−−−= ∂ ∂ ∫][ p (B.21) Las derivadas del funcional de la ecuación (4.12) con respecto a los parámetros que definen la función g2(x), se corresponden con las columnas séptima a décima del jacobiano del problema, y sus expresiones son las que presentamos a continuación: [ ] ( ) ( )[ ]     ++++         −+− − ++−             −+− − −−= ∂ ∂ ∫ 026432 02 2 0 2 0 0643 2 02 2 0 022 060 7 2 2 ][ 2 1 z)x(gpxpp )z)x(g()xx( )xx( zpxpp )z)x(g()xx( )z)x(g( )xx(p)z,x(dxG p F x x ρ∆ p (B.22) si llamamos β3(x) al integrando de la ecuación anterior, tendremos las expresiones: Apéndice B 426 )x(xdxG p F x x 3 8 2 1 2 ][ β∫= ∂ ∂ p (B.23) ∫= ∂ ∂ 2 1 3 2 9 2 ][ x x )x(xdxG p F β p (B.24) ∫= ∂ ∂ 2 1 3 3 10 2 ][ x x )x(xdxG p F β p (B.25) Por último, para calcular la derivada del funcional de la ecuación (4.12), con respecto a los parámetros p1 1 y p1 2, hacemos uso del Teorema fundamental del Cálculo, con lo que obtenemos las expresiones: [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]      −+−+++ +               − − −      − − −++− −              −+− −+− −−−= ∂ ∂ )p(g)p(gp)p(g)p(g)zpppp( xp z)p(g arctan xp z)p(g arctan)xp(zpppp z)p(gxp z)p(gxp ln)xp(f)z,p(G p F 11 2 111 2 26111112061143 011 0111 011 0112 011061143 2 0111 2 011 2 0112 2 0112 011011 11 2 ]2[2 ρ∆ p (B.26) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]      −+−+++ +               − − −      − − −++− −              −+− −+− −−ρ∆= ∂ ∂ )p(g)p(gp)p(g)p(g)zpppp( xp z)p(g arctan xp z)p(g arctan)xp(zpppp z)p(gxp z)p(gxp ln)xp(f)z,p(G p F 12 2 112 2 26121122061243 012 0121 012 0122 012061243 2 0121 2 012 2 0122 2 0122 012012 12 2 ]2[2 p (B.27) Apéndice B 427 que corresponden a las columnas undécima y duodécima del jacobiano, respectivamente. Evaluando estas doce ecuaciones en las M estaciones del perfil, y calculando sus soluciones numéricas, se forma el jacobiano J del problema inverso, resultando una matriz de dimensiones Mx12. Apéndice B 428 429 Apéndice C: CALCULO DEL JACOBIANO PARA FUENTES EN 3D 430 Apéndice C 431 INTRODUCCION En este apéndice presentamos las ecuaciones del jacobiano para cada uno de los problemas de inversión desarrollados para los diferentes tipos de fuentes anómalas tridimensionales que se han tratado en este trabajo. C.1. FUENTE ANOMALA LIMITADA LATERALMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LAS VARIABLES Y, Z. Para calcular la matriz Jacobiano J de este caso, se calculan las derivadas del funcional F[p] de la ecuación (3.18) con respecto a cada uno de los parámetros que componen el vector p y para cada una de las M estaciones donde se registran las medidas de la gravedad. Las derivadas del funcional de dicha ecuación, con respecto a los parámetros que determinan la función contraste de densidad, corresponden a las expresiones que determinan los elementos de las primeras diez columnas del jacobiano y sus expresiones analíticas, que son: [ ] [ ] )z,y(h )z,y(h p z p p r)zz()yy( )xx( )zz(dzG F 2 1 33 0 32 31 2 0 2 0 0 0∫ ∫         −+− − −= ∂ ∂ 1p p (C.1) donde r viene dado por la ecuación (1.2); [ ] [ ] )z,y(h )z,y(h p z p p rr)zz()yy( )xx(x )zz(dzG p F 2 1 33 0 32 31 1 2 0 2 0 00 0 2     − −+− −     −= ∂ ∂ ∫ ∫p (C.2) [ ] ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 10 3 p z p p )z,y(ydy)zz(dzG p F γ p (C.3) Apéndice C 432 [ ] ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 10 4 p z p p )z,y(dy)zz(zdzG p F γ p (C.4) donde γ1(y,z) es el integrando de la ecuación (C.1); [ ] ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 20 5 p z p p )z,y(ydy)zz(dzG p F γ p (C.5) donde γ2(y,z) es el integrando de la ecuación (C.2); [ ] ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 10 6 p z p p )z,y(ydy)zz(zdzG p F γ p (C.6) [ ] ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 20 7 p z p p )z,y(dy)zz(zdzG p F γ p (C.7) [ ] [ ] )z,y(h )z,y(h p z p p r)xx(ln r )xx( )zz(dzG p F 2 1 33 0 32 31 0 0 0 8   +−+ + −−= ∂ ∂ ∫ ∫p (C.8) [ ] ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 1 2 0 9 p z p p )z,y(ydy)zz(dzG p F γ p (C.9) [ ] ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 10 2 10 p z p p )z,y(dy)zz(zdzG p F γ p (C.10) Apéndice C 433 Las derivadas del funcional de la ecuación (3.18) con respecto a los parámetros que definen la frontera lateral h1(y,z), para una estación situada en el punto (x0 , z0), son las columnas comprendidas entre la undécima y la vigésima del jacobiano y sus expresiones son las siguientes: [ ] [ ]     −+−+++     −−= ∂ ∂ ∫ ∫ 2 0 2 180175203 1 0 11 33 0 32 31 1 x)z,y(hpx)z,y(h)zpypp()z,y,x( r dy)zz(dzG p ][F p z p p ρ∆ p (C.11) donde ( ) ( ) ( )2 0 2 0 2 011 zzyyx)z,y(hr −+−+−= . Si llamamos γ3(y,z) al integrando de la ecuación anterior, las derivadas de F[p] con respecto al resto de los parámetros que determinan la frontera h1(y,z) son: ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 3 12 p z p p )z,y(ydydzG p ][F γ p (C.12) ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 3 13 p z p p )z,y(dyzdzG p ][F γ p (C.13) ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 3 14 p z p p )z,y(ydyzdzG p ][F γ p (C.14) ∫ ∫−= ∂ ∂ 31 0 32 31 3 2 15 p z p p )z,y(ydydzG p ][F γ p (C.15) ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 3 2 16 p z p p )z,y(dyzdzG p ][F γ p (C.16) ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 3 2 17 p z p p )z,y(ydyzdzG p ][F γ p (C.17) Apéndice C 434 ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 3 2 18 p z p p )z,y(ydyzdzG p ][F γ p (C.18) ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 3 3 19 p z p p )z,y(ydydzG p ][F γ p (C.19) ∫ ∫−= ∂ ∂ 33 0 32 31 3 3 20 p z p p )z,y(dyzdzG p ][F γ p (C.20) De la misma manera, las derivadas del funcional de la ecuación (3.18) con respecto a los parámetros que definen la frontera h2(y,z) son: [ ] [ ]     −+−+++     −= ∂ ∂ ∫ ∫ 2 0 2 280275203 2 0 21 33 0 32 31 1 x)z,y(hpx)z,y(h)zpypp()z,y,x( r dy)zz(dzG p ][F p z p p ρ∆ p (C.21) donde ( ) ( ) ( )2 0 2 0 2 022 zzyyx)z,y(hr −+−+−= ; ∫ ∫= ∂ ∂ 33 0 32 31 4 22 p z p p )z,y(ydydzG p ][F γ p (C.22) ∫ ∫= ∂ ∂ 33 0 32 31 4 23 p z p p )z,y(dyzdzG p ][F γ p (C.23) ∫ ∫= ∂ ∂ 33 0 32 31 4 24 p z p p )z,y(ydyzdzG p ][F γ p (C.24) Apéndice C 435 ∫ ∫= ∂ ∂ 33 0 32 31 4 2 25 p z p p )z,y(ydydzG p ][F γ p (C.25) ∫ ∫= ∂ ∂ 33 0 32 31 4 2 26 p z p p )z,y(dyzdzG p ][F γ p (C.26) ∫ ∫= ∂ ∂ 33 0 32 31 4 2 27 p z p p )z,y(ydyzdzG p ][F γ p (C.27) ∫ ∫= ∂ ∂ 33 0 32 31 4 2 28 p z p p )z,y(ydyzdzG p ][F γ p (C.28) ∫ ∫= ∂ ∂ 33 0 32 31 4 3 29 p z p p )z,y(ydydzG p ][F γ p (C.29) ∫ ∫= ∂ ∂ 33 0 32 31 4 3 30 p z p p )z,y(dyzdzG p ][F γ p (C.30) donde la función γ4(y,z) representa el integrando de la expresión (C.17). A partir de las últimas diez ecuaciones, se calculan los elementos de las columnas vigesimoprimera hasta la trigésima del jacobiano. Y, por último, para calcular las derivadas de la ecuación (3.18) con respecto a los parámetros p3 1, p3 2 y p33 , utilizamos del Teorema fundamental del Cálculo, obteniendo las expresiones: [ ] )z,p(h )z,p(h p z )zz()yp()xx()xx(lnp )zz()yp()xx( )xx(pzpppp )zz()yp()xx()zz()yp( )xx()z,p,x( )zz(dzG p ][F 312 311 31 1 2 0 2 031 2 0082 0 2 031 2 0 0873152 2 0 2 031 2 0 2 0 2 031 0310 0 31         −+−+−+−+ −+−+− ++++ −     −+−+−−+− −−−= ∂ ∂ ∫ ρ∆p (C.31) Apéndice C 436 [ ] )z,p(h )z,p(h p z )zz()yp()xx()xx(lnp )zz()yp()xx( )xx(pzpppp )zz()yp()xx()zz()yp( )xx()z,p,x( )zz(dzG p ][F 322 321 32 0 2 0 2 032 2 008 2 0 2 032 2 0 0873252 2 0 2 032 2 0 2 0 2 032 0320 0 32         −+−+−+−+ −+−+− ++++ −     −+−+−−+− − −= ∂ ∂ ∫ ρ∆p (C.32) [ ] )p,y(h )p,y(h p p )zp()yy()xx()xx(lnp )zp()yy()xx( )xx(pppypp )zp()yy()xx()zp()yy( )xx()p,y,x( dy)zp(G p ][F 332 331 32 31 2 033 2 0 2 008 2 033 2 0 2 0 0833752 2 033 2 0 2 0 2 033 2 0 0330 033 33         −+−+−+−+ −+−+− ++++ −     −+−+−−+− − −= ∂ ∂ ∫ ρ∆p (C.33) que corresponden a las columnas trigesimoprimera, trigesimosegunda y trigesimotercera del jacobiano, respectivamente. Evaluando estas treinta y tres ecuaciones en las M estaciones de medida y calculando sus soluciones numéricas, se construye el jacobiano J del problema inverso, resultando una matriz de dimensiones Mx25. C.2. FUENTE ANOMALA LIMITADA SUPERIOR E INFERIORMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LAS VARIABLES X, Y. Los elementos de las primeras diez columnas de la matriz J se obtienen mediante las expresiones: [ ] ∫ ∫      − = ∂ ∂ 2 1 2 1 2 1 1 1 x x y y )y,x(l )y,x(l r dydxG p F p (C.34) [ ] ∫ ∫= ∂ ∂ 2 1 2 1 1 2 x x y y )y,x(dyxdxG p F δ p (C.35) Apéndice C 437 [ ] ∫ ∫= ∂ ∂ 2 1 2 1 1 3 x x y y )y,x(ydydxG p F δ p (C.36) donde δ1(x,y) es el integrando de la ecuación (C.26); [ ] [ ] )y,x(l )y,x(l x x y y r)zz(ln r z dydxG p F 2 1 2 1 2 1 0 4     +−+   − = ∂ ∂ ∫ ∫p (C.37) [ ] ∫ ∫= ∂ ∂ 2 1 2 1 1 5 x x y y )y,x(ydyxdxG p F δ p (C.38) [ ] ∫ ∫= ∂ ∂ 2 1 2 1 2 6 x x y y )z,x(ydydxG p F δ p (C.39) [ ] ∫ ∫= ∂ ∂ 2 1 2 1 2 7 x x y y )z,x(dyxdxG p F δ p (C.40) donde δ2(x,y) es el integrando de la ecuación (C.37); [ ] ∫ ∫= ∂ ∂ 2 1 2 1 1 2 8 x x y y )y,x(dyxdxG p F δ p (C.41) [ ] ∫ ∫= ∂ ∂ 2 1 2 1 1 2 9 x x y y )y,x(ydydxG p F δ p (C.42) Apéndice C 438 [ ] [ ] )y,x(l )y,x(l x x y y rr)zz(lnz r z dydxG p F 2 1 2 1 2 1 22 00 2 10     ++−+     − = ∂ ∂ ∫ ∫p (C.43) La derivada del funcional de la ecuación (3.46) con respecto al parámetro p1 1 de la frontera l2(x,y) es: [ ] [ ][ ]∫ ∫         − = ∂ ∂ 18 17 20 19 3 2 022 11 p p p p r z)y,x(l)y,x(l,y,x dydxG p F ∆p (C.44) donde ahora ( ) ( ) ( )202 2 0 2 02 z)y,x(lyyxxr −+−+−= . Llamando δ3(x,y) al integrando de la ecuación anterior, las derivadas de F[p] con respecto al resto de los parámetros que determinan la frontera l2(x,y) son: ∫ ∫= ∂ ∂ 18 17 20 19 3 12 p p p p )y,x(dyxdxG p ][F δ p (C.45) ∫ ∫= ∂ ∂ 18 17 20 19 3 13 p p p p )y,x(ydydxG p ][F δ p (C.46) ∫ ∫= ∂ ∂ 18 17 20 19 3 14 p p p p )y,x(ydyxdxG p ][F δ p (C.47) ∫ ∫= ∂ ∂ 18 17 20 19 3 2 15 p p p p )y,x(dyxdxG p ][F δ p (C.48) ∫ ∫= ∂ ∂ 18 17 20 19 3 2 16 p p p p )y,x(ydydxG p ][F δ p (C.49) Apéndice C 439 ∫ ∫= ∂ ∂ 18 17 20 19 3 2 17 p p p p )y,x(ydyxdxG p ][F δ p (C.50) ∫ ∫= ∂ ∂ 18 17 20 19 3 2 18 p p p p )y,x(ydyxdxG p ][F δ p (C.51) ∫ ∫= ∂ ∂ 18 17 20 19 3 3 19 p p p p )y,x(dyxdxG p ][F δ p (C.52) ∫ ∫= ∂ ∂ 18 17 20 19 3 3 20 p p p p )y,x(ydydxG p ][F δ p (C.53) Y, por último, para calcular las derivadas de la ecuación (3.46) con respecto a los parámetros p1 7, p1 8, p1 9 y p2 0, utilizamos del Teorema fundamental del Cálculo, obteniendo las expresiones: [ ] [ ] )y,p(l )y,p(l p p )zz()yy()xp(p )zz()yy()xp()zz(lnpzppypp )zz()yy()xp( )z,y,p( dyG p F 172 171 20 19 2 0 2 0 2 01710 2 0 2 0 2 017010017764 2 0 2 0 2 017 17 17 2 2     −+−+−+ +    −+−+−+−++++     + −+−+− − −= ∂ ∂ ∫ ρ∆p (C.54) [ ] [ ] )y,p(l )y,p(l p p )zz()yy()xp(p )zz()yy()xp()zz(lnpzppypp )zz()yy()xp( )z,y,p( dyG p F 182 181 20 19 2 0 2 0 2 01810 2 0 2 0 2 018010018764 2 0 2 0 2 018 18 18 2 2     −+−+−+ +    −+−+−+−++++     + −+−+− ρ∆− = ∂ ∂ ∫p (C.55) Apéndice C 440 [ ] [ ] )p,x(l )p,x(l p p )zz()yp()xx(p )zz()yp()xx()zz(lnpzxpppp )zz()yp()xx( )z,p,x( dxG p F 192 191 18 17 2 0 2 019 2 010 2 0 2 019 2 0010071964 2 0 2 019 2 0 19 19 2 2     −+−+−+ +    −+−+−+−++++     + −+−+− ρ∆− −= ∂ ∂ ∫p (C.56) [ ] [ ] )p,x(l )p,x(l p p )zz()yp()xx(p )zz()yp()xx()zz(lnpzxpppp )zz()yp()xx( )z,p,x( dxG p F 202 201 18 17 2 0 2 020 2 010 2 0 2 020 2 0010072064 2 0 2 020 2 0 20 20 2 2     −+−+−+ +    −+−+−+−++++     + −+−+− ρ∆− = ∂ ∂ ∫p (C.57) que corresponden a las columnas desde la decimoséptima a la vigésima del jacobiano, respectivamente. Calculando la solución numérica de las veinte ecuaciones anteriores, en cada una de las M estaciones de medida, se construye el jacobiano J del problema inverso. 441 BIBLIOGRAFIA 442 Bibliografía 443 Aki, K. y Richards, P.G., 1980. Quantitative seismology: Theory and methods. Vol. II. W.H. Freeman & Co. 932 pp. Alvarez-Rosales, J. y González-López, M., 1995. Resultados de los pozos exploratorios en Laguna Salada, B.C. Sociedad Geológica Peninsular , Proceedings of the III International Meeting on the Geology of the Baja California Peninsula, La Paz, BCS, México, 4-5. Arellano-Guadarrama, J.F. y Venegas -Salgado, S., 1992. Estado actual de la exploración geotermica en Laguna Salada, B.C. Geotermia, Rev. Mex. de Geoenergía, 8, 331-356. Atkinson, K.E., 1989. An introduction to numerical analysis. John Wiley & Sons, Inc., 693 pp. Axen, G.J., 1995. Extensional segmentation of the main Gulf escarpment, Mexico and United States. Geology, 23, 515-518. 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FUENTE ANOMALA LIMITADA SUPERIOR E INFERIORMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LA VARIABLE X 2.3.1. Contraste de densidad que depende de la distancia horizontal x 2.3.2. Contraste de densidad que depende de la profundidad z 2.3.3. Contraste de densidad que depende de las variables x, z 2.3.4. Ejemplos 2.4. DISCUSION Capítulo III: PROBLEMA DIRECTO PARA FUENTES GRAVIMETRICAS EN 3D INTRODUCCION 3.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DIRECTO EN 3D 3.2. FUENTE ANOMALA LIMITADA LATERALMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LAS VARIABLES Y,Z 3.2.1. Contraste de densidad que depende de las distancias horizontales x, y 3.2.2. Contraste de densidad que depende de la profundidad z 3.2.3. Contraste de densidad que depende de las variables x, y, z 3.2.4. Ejemplos 3.3. FUENTE ANOMALA LIMITADA LATERALMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LAS VARIABLES X,Z 3.3.1. Contraste de densidad que depende de las distancias horizontales x, y 3.3.2. Contraste de densidad que depende de la profundidad z 3.3.3. Contraste de densidad que depende de las variables x, y, z 3.3.4. Ejemplos 3.4. FUENTE ANOMALA LIMITADA SUPERIOR E INFERIORMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LAS VARIABLES X,Y 3.4.1. Contraste de densidad que depende de las distancias horizontales x, y 3.4.2. Contraste de densidad que depende de la profundidad z 3.4.3. Contraste de densidad que depende de las variables x, y, z 3.4.4. Ejemplos 3.5. DISCUSION Capítulo IV: PROBLEMA INVERSO PARA FUENTES GRAVIMETRICAS EN 2D INTRODUCCION 4.1. FUENTE ANOMALA LIMITADA LATERALMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LA VARIABLE Z 4.1.1. Ejemplo teórico con datos que no presentan errores numéricos 4.1.2. Ejemplo teórico con datos que presentan errores numéricos 4.2. FUENTE ANOMALA LIMITADA SUPERIOR E INFERIORMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LA VARIABLE X 4.2.1. Ejemplo teórico con datos que no presentan errores numéricos 4.2.2. Ejemplo teórico con datos que presentan errores numéricos 4.3 DISCUSION Capítulo V: PROBLEMA INVERSO PARA FUENTES GRAVIMETRICAS EN 3D INTRODUCCION 5.1. FUENTE ANOMALA LIMITADA LATERALMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LAS VARIABLES Y,Z 5.1.1. Ejemplo teórico con datos que no presentan errores numéricos 5.1.2. Ejemplo teórico con datos que presentan errores numéricos 5.2. FUENTE ANOMALA LIMITADA SUPERIOR E INFERIORMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LAS VARIABLES X,Y 5.2.1. Ejemplo teórico con datos que no presentan errores numéricos 5.2.2. Ejemplo teórico con datos que presentan errores numéricos 5.3. DISCUSION Capítulo VI: APLICACION A DATOS DE CAMPO INTRODUCCION 6.1. ESTUDIO GRAVIMETRICO DEL GLACIAR SALMON, BRITISH COLUMBIA, CANADA 6.1.1. Antecedentes 6.1.2. Inversión de los datos gravimétricos del glaciar Salmon 6.2. ESTUDIO GRAVIMETRICO DE LA CUENCA LAGUNA SALADA, BAJA CALIFORNIA , MEXICO 6.2.1. Marco geológico y antecedentes 6.2.2. Inversión de datos gravimétricos de la Laguna Salada en 2D 6.2.3. Inversión de datos gravimétricos de la Laguna Salada en 3D. Capítulo VII: CONCLUSIONES Y RESULTADOS INTRODUCCION 7.1. PROBLEMA DIRECTO 7.2. PROBLEMA INVERSO 7.3. APLICACION A DATOS DE CAMPO 7.3.1. Glaciar Salmon 7.3.2. Cuenca Laguna Salada Apéndice A: CUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE INTRODUCCION A.1. CUADRATURA DE GAUSS A.1.1. Cuadratura de Gauss-Legendre para integrales simples A.1.2. Cuadratura de Gauss-Legendre para integrales dobles. Apéndice B: CALCULO DEL JACOBIANO PARA FUENTES EN 2D INTRODUCCION B.1. FUENTE ANOMALA LIMITADA LATERALMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LA VARIABLE Z B.2. FUENTE ANOMALA LIMITADA SUPERIOR E INFERIORMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LA VARIABLE X Apéndice C: CALCULO DEL JACOBIANO PARA FUENTES EN 3D INTRODUCCION C.1. FUENTE ANOMALA LIMITADA LATERALMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LAS VARIABLES Y, Z. C.2. FUENTE ANOMALA LIMITADA SUPERIOR E INFERIORMENTE POR FUNCIONES CONTINUAS DE LAS VARIABLES X, Y. BIBLIOGRAFIA