
Cubismo y constructivismo

Capi CORRALES RODRIGÁÑEZ

Departamento de Álgebra

Facultad de Ciencias Matemáticas

Universidad Complutense de Madrid

E-28040 Madrid, Spain

capi@mat.ucm.es

Para Juan Tarrés, compañero de viaje durante años en el Seminario de Historia de las Matemáticas

y en el Curso de Verano Arte y Matemáticas de la UNED.

ABSTRACT

Cubismo y constructivismo ilustran dos maneras muy distintas de pensar y
trabajar el espacio a principios del siglo XX. En este art́ıculo seguimos el rastro
de ambas maneras de hacer en las matemáticas de la época.

Cubism and constructivism illustrate two different ways of thinking and working
with space at the beginning of the 20th century. In this article we trace them
both in the mathematics of the period.

Key words: History of geometry and painting. Cubism. Constructivism.

2010 Mathematics Subject Classification: 01A99.

1. Introducción: Los dos caminos abiertos por Cantor

Cuando en 1988 me incorporé al Departamento de Álgebra de la Facultad de
Matemáticas de la UCM, Mariano Mart́ınez, que hab́ıa sido profesor mı́o durante el
último año de carrera, me sugirió asistir a las reuniones del grupo de trabajo formado
por el subconjunto del Seminario de Historia que se léıa los textos. Desde que en
1979 Mariano lo fundase (con él mismo y Miguel Ángel Gómez Villegas como únicos
miembros), la forma del Seminario hab́ıa ido variando en función de los intereses de
quienes lo formaban en cada momento. Cuando yo me incorporé, el Seminario teńıa
dos secciones, por aśı decirlo; la del grupo que léıa los textos matemáticos originales
(en aquel momento, libros y art́ıculos sobre el tema del infinito) y la del grupo que
léıa cuentos (estaban, entonces, con Chejov). El primer grupo lo formaban José Luis
Caramés, Mariano Mart́ınez, Carlos Fernández Pérez, Juan Tarrés y Miguel Ángel
Gómez Villegas, y el segundo los mismos más Feliciana Serrano y Juan Tejada. Tras
unas semanas de prueba me quedé en el de los textos matemáticos, al que, cuando le
interesaban los deberes que nos pońıa Mariano, asist́ıa también Fernando Bombal.

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Porque era Mariano quien eleǵıa los temas, haćıa fotocopias para todos de libros y
art́ıculos y organizaba los horarios de las reuniones semanales en las que nos juntába-
mos en un aula para reflexionar en grupo sobre lo que ı́bamos leyendo. Una veces con
más entusiasmo y otras con menos, unas veces con más rapidez y otras con menos,
durante años léımos, debatimos y disfrutamos. En mi caso, además de matemáticas,
escuchando a Luis Caramés aprend́ı a cazar ideas con paciencia, gracias a Mariano
Mart́ınez constaté que es una estupidez contentarse con reproducciones pudiendo dis-
frutar de los originales, Carlos Fernández Pérez y Miguel Ángel Gómez Villegas me
ilustraron en el arte del bienhacer –que parte del principio de que todo, hasta amoti-
narse ante los temas propuestos por Mariano, se puede hacer si se hace bien– y, last
but not least, de la mano de Juan Tarrés pude poner dentro de un marco matemático
preciso algunas de las reflexiones e investigaciones que, sobre el imaginario del espacio
en nuestra cultura, entonces me ocupaban. Cuando me incorporé al Seminario, Juan
y Mariano me animaron a poner en limpio las notas que a lo largo de más de veinte
años hab́ıa ido tomando sobre el tema y, con Feliciana Serrano, me ayudaron a darles
estructura de texto ([4]). En el caso de Tarrés, tanto sus escritos sobre la historia de la
topoloǵıa general y de la teoŕıa de las dimensiones ([27] y [28]), como las observaciones
que sobre las matemáticas de esa época le escuché en sus intervenciones en el Semi-
nario, me resultaron esenciales para entender el papel jugado por las matemáticas del
siglo XIX en el desarrollo de la idea de espacio que subyace en mucha de la pintura
europea de principios del siglo XX.

Algunos años después, ambos fuimos ponentes en el curso de verano sobre Arte y
Matemáticas que desde 2001 (Sanlúcar de Barrameda) hasta 2007 (Mérida) Antonio
Costa e Ignacio Garijo organizaron para la UNED. Los pintores pintan cuadros y
los matemáticos hacemos matemáticas y, por lo general, los pintores no saben hacer
matemáticas ni los matemáticos sabemos pintar. Sin embargo, como Tarrés y yo in-
tentamos poner de manifiesto en el curso, hay un terreno común a ambas artes. Desde
ese terreno común, en mis ponencias yo ilustraba con cuadros concretos aspectos de
la historia y evolución recientes de algunos conceptos matemáticos, como por ejemplo
el de espacio. En el coloquio que siguió a mi primera intervención en 2001, Ignacio
Garijo me retó a ir en la otra dirección y utilizar las matemáticas para explicar algo
sobre pintura. La siguiente vez que nos vimos insistió en el tema –era insistón– y esa
vez le contesté, “Dame tiempo y te contaré matemáticamente la diferencia entre los
cubistas parisinos y los constructivistas moscovitas. Estoy en ello”.

Comencemos por consultar una de las enciclopedias de arte más utilizadas actual-
mente por la ciudadańıa.

Constructivismo. El referente inicial del movimiento está en las primeras
investigaciones sobre soporte escultórico que realiza Tatlin influido por el
cubismo de Picasso, que contempla en Paŕıs en 1913 y 1914. La conse-
cuencia inmediata, a su vuelta a Rusia, es la construcción de una serie
de maquetas en madera, metal cartón y vidrio, sin referencia posible al
entorno objetivo. Desaparece lo anecdótico en busca de la pureza del ar-
te y adquieren protagonismo las formas geométricas y el espacio frente
a la masa. El resultado es un conjunto de fuerzas dinámicas en tensión
e interdependientes que se definen como constructivistas. Rodtchenko se
une a las exploraciones escultóricas abstractas de Tatlin en 1916, Gavo y
Pevsner lo hacen en 1917, mientras Exter y Popova se incorporan con la

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pintura. (www.masdearte.com, 9 de abril de 2012)

Crećı en una familia numerosa y mi padre soĺıa llevarnos a museos los fines de semana,
una manera barata de entretenernos. Gracias a su astucia, aprendimos a distinguir dos
tipos de cuadros abstractos, los que, de manera más o menos obvia, representan cosas
de la vida real y los que no lo hacen. Cuando encontrábamos un lienzo del primer tipo,
quien identificase primero el objeto codificado en él (aśı lo describ́ıa mi padre, que era
ingeniero) ganaba un duro. Con aquel juego comprendimos que no es lo mismo hacer
abstracción a partir de la realidad (como se hace en matemáticas) que abstraerse de
ella. Puesto que los cuadros cubistas representan objetos de la vida cotidiana y los
constructivistas no, parece lógico suponer que cubismo y constructivismo son fruto de
maneras distintas de mirar y trabajar y tienen objetivos distintos. Sin embargo, las
afirmaciones rotundas (i.e., sin argumento lógico que las sustente) de que el cubismo
está en el origen del constructivismo como la que leemos en masdearte.com, siguen
siendo lugar común de la literatura popular de divulgación y los manuales educativos.
Por eso decid́ı aprovechar la ocasión, aceptar el reto que Ignacio me lanzaba y buscar
en las matemáticas de principios del siglo XX, rastro de las dos distintas maneras de
mirar y trabajar que, a mi juicio, ilustran cubismo y constructivismo.

Desafortunadamente, para cuando en 2009 un amigo me puso en las manos la
última pieza que necesitaba para completar el puzzle ([12]), Ignacio Garijo no estaba
ya con nosotros. Estas páginas recogen el relato que le habŕıa contado de estar aún
aqúı, y que pude empezar a tejer en 2002 gracias a Juan Tarrés, cuyos art́ıculos ya
mencionados, en los que encontré las primeras pistas, me sirvieron como bastidor
(figurado) sobre el que montar el rompecabezas.

Una de las cosas importantes que aprend́ı en los años que participé en el Seminario
de Historia es que, tanto para para leer matemáticas como para hacer matemáticas,
hay que atreverse a pensar de otra manera.

Por lo que tengo entendido, la primera vez que Gabriel Garćıa Márquez abrió La
metamorfósis de Kafka, era un adolescente y estaba tumbado en un sofá. Al leer

Cuando Gregor Samsa despertó una mañana de un sueño inquieto, se en-
contró en la cama convertido en un monstruoso insecto,...

Garćıa Márquez se cayó del sofá, estupefacto ante la revelación de que ¡está per-
mitido escribir aśı! Con frecuencia me ha ocurrido, y seguro que a todos los
matemáticos les pasa lo mismo, que al enterarme de alguna idea maravillosa
que alguien ha tenido, me he cáıdo del sofá (en sentido figurativo) como Garćıa
Márquez, mientras pensaba con asombro, “¡No hab́ıa cáıdo en la cuenta de que
estuviese permitido hacer eso!”(Mazur en [19, págs 65, 69].)

Los art́ıculos de Juan Tarrés [27] y [28] suponen un excelente mapa con el que aden-
trarse en el territorio recorrido por aquellos exploradores del espacio matemático que
en el siglo XIX se atrevieron a pensar y mirar en derredor de otra manera, la lectura
de cuyos textos nos da la –emocionante– oportunidad de ver a través de sus ojos. Al
llegar a Cantor, Tarrés nos expone sus ideas en torno a las dimensiones y en torno
a los conjuntos infinitos. Rastreándolas de la mano de los textos de Tarrés encontré,
inesperadamente, un marco plausible para las distintas maneras de hacer de cubistas
y constructivistas. Como intentaré ilustrar en las dos secciones siguientes, dentro de
ese territorio común a matemáticas y pintura, el cubismo comparte vecindad con las

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ideas de Georg Cantor (1845-1918) en torno a la cuestión de las dimensiones y el
constructivismo con la cuestión de los conjuntos infinitos.

2. La cuestión de las dimensiones

Antes de adentrarnos en el terreno, desplegamos el mapa, lo estudiamos y elegimos
un itinerario a seguir.

A principios del siglo XIX, cualquier teoŕıa que incluyera consideraciones de ti-
po espacial estaba condicionada por el propio espacio f́ısico, lo que conllevaba
la imposibilidad de generalización más allá del espacio geométrico tridimensio-
nal. Constituyó un gran paso adelante, sin el que dif́ıcilmente se podŕıa haber
llegado a la implantación de los espacios abstractos, el estudio de espacios de
dimensión superior a tres, iniciado por Gauss (y proseguido por otros autores
como Grassmann y Riemann) a los que se pod́ıan generalizar las ideas básicas
de la Geometŕıa. Se rompió de esta manera el cerco que representaba el espa-
cio geométrico y se entraba en consideraciones que llevaban impĺıcitos espacios
cuyos elementos no pod́ıan representarse; éste fue, a nuestro juicio, un paso im-
portante para el establecimiento de los espacios abstractos. [...] Unos años antes,
en 1874, el propio Cantor se hab́ıa planteado la cuestión siguiente: “¿Se puede
poner una superficie en correspondencia biuńıvoca con los puntos de una ĺınea?”.
Pese a que Cantor consideró la pregunta poco menos que absurda (“...pues es
evidente que dos variables independientes no pueden reducirse a una”) se pro-
puso dar una demostración de la imposibilidad de dicha correspondencia. Con
gran sorpresa por su parte, en octubre de 1877 comunica a R. Dedekind que ha
encontrado una biyección entre los puntos de un segmento y los de un cubo de
dimensión p. Este otro hecho dio pie a plantearse la cuestión de la definición
del concepto de dimensión de una figura, que estaba en conexión con el estudio
de los hiperespacios que estudiaban Gauss, Grassmann y Riemann, y que hasta
entonces se entend́ıa como el número de coordenadas independientes necesarias
para determinar cada uno de sus puntos (Tarrés en [28, págs. 192-193]).

Hay mucha maneras que recorrer el camino que lleva de Carl Friedrich Gauss (1777-
1855) a Cantor en esta cuestión. El que se propone a continuación está construido a
partir de una selección de las obras propuestas por Tarrés.

Si no se consideran las superficies como contornos de cuerpos, sino como cuerpos,
una de cuyas dimensiones es infinitamente pequeña, y también se las conside-
ra flexibles, pero no extensibles, entonces nos vemos llevados a considerar las
propiedades absolutas que aún se conservan al deformar las superficies sin rom-
perlas, estirarlas ni plegarlas (Gauss, 1828, en [11]).

Atribuimos a un objeto variación continua cuando es posible una transición
continua de una determinación del mismo a otra. La totalidad de las deter-
minaciones (o también parte de ellas, entre las que sea posible una transición
continua) constituyen entonces una variedad extensa continua, y cada una de
ellas se llama punto de esa variedad. [...] El concepto de variedad de múltiples
dimensiones subsiste independientemente de nuestras intuiciones espaciales. El
espacio, el plano, la ĺınea, son sólo los ejemplos más intuitivos de una varie-
dad de tres, dos o una dimensión. Aún sin tener la menor intuición espacial,
podŕıamos desarrollar toda la geometŕıa. [...] Si bien podŕıamos deducir anaĺıti-
camente todas las proposiciones sobre variedades de más de tres dimensiones,

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seŕıa con mucho preferible el basar la teoŕıa de las variedades de más dimen-
siones directamente sobre la geometŕıa. Quiero desarrollar esto solamente para
las variedades de 4 dimensiones. [...] Una variedad de 4 dimensiones es aqúı,
pues, algo que contiene en śı infinitos espacios. Pero nunca podemos contemplar
más que lo que está en un mismo espacio. Cuando diga, en lo sucesivo, que
dos construcciones no están en el mismo espacio, quiere ello decir que no puedo
contemplar ambas a la vez, no puedo hacerme absolutamente ninguna imagen
de su lugar rećıproco, sólo puedo extraer conclusiones lógicas a partir de las pre-
misas que hago sobre ellas, y es un requisito esencial para la comprensión de lo
que sigue, el atenerse sólo a estas conclusiones lógicas. [...] Queremos ocuparnos
de una espacialidad de cuatro dimensiones. Se trata de una espacialidad conti-
nua de mayor extensión que todo el espacio infinito. Ciertamente, con nuestra
intuición no podemos abarcar más que todo el espacio infinito, pero podemos
desplazarnos a través de diversos espacios, uno tras otro. Quiero decir con ello:
me imagino primero todo el espacio infinito, después me imagino otra vez todo
el espacio infinito, pero pensando que todos los puntos que ahora contemplo son
distintos de los puntos que contemplaba antes (Riemann, 1852/53, en [25, págs.
93-95]).

El modelo de variedad de 4 dimensiones propuesto por Bernhard Riemann (1826-1866)
–la hiperesfera–, se entiende fácilmente si pensamos en la construcción de mapas.
Desde el descubrimiento de las Américas, el mapamundi se dibuja con frecuencia
sobre dos ćırculos, cada uno de ellos representa la mitad de la esfera terrestre y su
circunferencia el ćırculo máximo terrestre común a ambos. Cuando vemos el mapa
de los dos hemisferios, para representar la Tierra no tenemos más que (mentalmente)
pegarlos por su circunferencia exterior y soplar hasta inflarlos. Ahora imaginemos
que tenemos delante de nuevo dos ćırculos, pero esta vez, sin embargo, cada uno de
ellos representa una esfera completa, con la Tierra colocada en el centro de la de la
izquierda, que tiene en su interior todo lo que hoy en d́ıa podemos ver del Universo a
través de telescopios. A continuación, imaginemos una civilización lejana, más allá del
alcance de nuestra tecnoloǵıa, situada en el centro de la esfera de la derecha, cuyo
interior contiene todo lo que pueden alcanzar mirando a través de sus lentes. Hay
varias posibilidades teóricas: que las esferas se encuentren muy lejos una de otra con
mucho universo entre ellas, que tengan partes en común, con galaxias observables para
ambas civilizaciones o, según propone Riemann, que no se corten y que, de hecho,
juntas constituyan todo el universo, como los dos hemisferios del mapa de la Tierra
juntos conforman el globo terráqueo. No tenemos más que imaginar que podemos
pegar las esferas una con otra a lo largo del borde. Este borde exterior seŕıa la esfera
ecuatorial, que divide el universo en dos partes: el viejo, el que conocemos o podremos
conocer, y el nuevo, el que nunca podremos comprender.

Incluso hoy en d́ıa, siglo y medio más tarde y pese a saber gracias al trabajo de
Albert Einstein que es plausible que el universo sea como lo imaginó Riemann, para
reproducirnos en la cabeza su espléndida visión sigue siendo imprescindible atrever-
se a pensar de otra manera. Hay una anécdota de David Hilbert (1862-1943) muy
contada en entornos matemáticos. Parece que un d́ıa se dio cuenta de que uno de
sus alumnos hab́ıa dejado de asistir a clase, y preguntó por él. Le dijeron que hab́ıa
dejado la carrera para convertirse en poeta. Hilbert comentó: “Una decisión excelente;
no teńıa imaginación suficiente como para ser matemático”. Pues bien, aunque pro-
bablemente a Hilbert le sorprendeŕıa saberlo, no fue un matemático, sino un poeta, el

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primero en describir el universo como una hiperesfera ([22]). En Paráıso ([1]), Dante
Alighieri (1265-1321) describe el universo como formado por dos esferas que compar-
ten superficie, a la que Dante llama Primer Motor. La primera de ellas comprende el
universo visible y contiene, a su vez, una serie de cielos o esferas menores transparen-
tes y concéntricas, con la Tierra en su centro. Del otro lado del Primer Motor está el
Emṕıreo, el Paráıso propiamente dicho, que Dante imagina como una segunda esfera
con varios órdenes de ángeles girando en esferas concéntricas alrededor de un centro
donde un punto de luz ilumina con intensidad casi cegadora.

La aparición de los hipersepacios provoca la necesidad de establecer una defini-
ción rigurosa de la idea de dimensión de un espacio. A principios de los años 1870
se admit́ıa como tal el número de coordenadas independientes para determinar
un punto arbitrario del mismo. (Tarrés en [28, pág. 200]).

Leamos algunos extractos de la correspondencia entre Cantor y Richard Dedekind
(1831-1916) a este respecto (en [5, pág. 578]).

Cantor a Dedekind, 5 de enero de 1874. ¿Es posible establecer una correspon-
dencia entre un cuadrado (supongamos un cuadrado en el que incluimos sus
lados) y un segmento (supongamos un segmento con sus extremos incluidos) de
tal manera que a cada punto de la superficie corresponde un punto del segmen-
to y, rećıprocamente, a cada punto del segmento le corresponde un punto de la
superficie? En este momento me parece que la respuesta a esta pregunta –por
mucho que uno esté tan tentado de responder “no”, que la demostración parezca
superflua– ofrece grandes dificultades.

Cantor a Dedekind, 29 de junio de 1877. Su última respuesta a nuestro tra-
bajo fue tan inesperada y nueva que, por decirlo de alguna manera, no seré capaz
de recuperar la compostura hasta que no haya recibido de usted, querido amigo,
una decisión sobre su validez. Mientras no lo haya confirmado sólo puedo decir:
lo veo pero no lo creo [cursivas en francés en el original]. [...] La distinción entre
dominios de dimensiones diferentes deberá ser buscada de forma muy distinta
que el caracteŕıstico número de sus coordenadas.

Dedekind a Cantor, 2 de julio de 1877. He comprobado su demostración una
vez más, y no encuentro ninguna laguna en ella; estoy convencido de que su
interesante teorema es verdad y y le felicito, [...] Pero ahora creo posible, provi-
sionalmente, el siguiente teorema: dada una correspondencia biuńıvoca entre los
puntos de una variedad continua A de dimensión a por un lado, y los puntos de
una variedad continua B de dimensión b por otro, entonces la correspondencia
en cuestión, si a y b son desiguales, es necesariamente discontinua.

Ni Cantor ni Dedekind pudieron demostrar la última afirmación de Dedekind, que se
convirtió en motor direccional de mucha de la investigación matemática de la época.

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A este respecto, en 1878, Dedekind estableció la conjetura de que toda aplica-
ción biuńıvoca entre figuras de dimensiones distintas ha de ser necesariamente
discontinua. Este enunciado se conoce como el teorema de la invariancia de la
dimensión y no fue demostrado hasta el año 1911, por Brouwer y Lebesgue,
independientemente uno de otro. Los diferentes intentos de demostración de es-
te enunciado aportaron nuevas ideas con influencia evidente en la teoŕıa de los
espacios abstractos (Tarrés en [28, pág. 193].

La preocupación por la cuestión de las dimensiones fue, de hecho, bastante general
en la Europa ilustrada de este peŕıodo.

Todo a lo largo del siglo XIX, el hecho de que el espacio cognitivo es tridimen-
sional fue un problema recurrente, aun si ligeramente marginal, dentro de la
entonces llamada Teoŕıa del Conocimiento. Es ilustrativo que las artes plásticas
comenzasen un programa para desenfatizar la tridimensionalidad (o, de hecho,
cualquier dimensionalidad) del espacio, un programa que culminó con los logros
de Cézanne (Bochner en [2, pág. 232]).

Los intentos de Cézanne por construir objetos tridimensionales sin echar mano de
trucos tales como la perspectiva, el claroscuro o las gradaciones de color, le llevan
a enfrentarse con la desagradable deformación, una lucha que, según sus escritos, le
hizo sufrir toda su vida. Aunque Cézanne no consiguiese representar sin deformación
en las formas objetos tridimensionales sobre la superficie del lienzo (lo que no es de
sorprender, puesto que Leonard Euler hab́ıa demostrado en el siglo dieciocho que es
imposible hacerlo 1), gracias a sus intentos aprendió a liberarse (y liberar de paso a
los pintores que le siguieron) de la tirańıa de la tridimensionalidad.

A fin de “construir” los objetos, Cézanne combina constantemente en sus lienzos
lo bidimensional y lo tridimensional y, utilizando ĺıneas entrecortadas, colores sólidos
o planos, sigue simultáneamente varias estrategias que podemos identificar en casi
todos sus cuadros ([17]).

i) Raramente encontramos ĺıneas continuas dibujadas alrededor de un objeto. Con
colores fuertes y ĺıneas negras y gruesas, Cézanne da profundidad al cuadro
y obtiene volúmenes, tridimensionalidad. Pero hay muchos lugares en los que
las ĺıneas se pierden, se diluyen con el fondo o simplemente están pintadas
a trozos. Estas ĺıneas que desaparecen y se disuelven ponen de manifiesto la
bidimensionalidad del lienzo.

ii) Planos verticales que se mueven hacia el fondo de la escena nos llevan de nuevo
a los cuadros planos. Con ĺıneas construye planos, con planos volúmenes.

1Leonard Euler, De raepresentatione superficiei spahericae super plano, 1778

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iii) Además, Cézanne no intenta describir la materia de la que están hechos los
objetos. Les da a todos la misma textura plana y, a veces, como en los cielos y
montañas de su serie de cuadros sobre Mont Sante Victoire, utiliza incluso el
mismo tipo de pinceladas y colores para todo (algo que también encontramos
en muchos cuadros impresionistas). Antes de este peŕıodo, la pintura intentaba
adaptarse al tacto y la textura de los distintos objetos, manteniendo lo duro
como duro, lo blando como blando, lo intocable como intocable. Esto está muy
relacionado con establecer la diferencia entre objeto y fondo, entre el espacio
como algo exterior y el objeto como lo que habita en el espacio. Gradualmente en
pintura, como en matemáticas, “cuerpos” y “espacio intermedio entre cuerpos”
van siendo considerados como equivalentes.

iv) También observamos en los cuadros de Cézanne que los tamaños nunca vaŕıan
de acuerdo con las reglas perspectivas. Profundidad y tridimensionalidad se
obtienen, por un lado, compensando los volúmenes de tal manera que respeta
la bidimensionalidad del lienzo y, por otro, variando la distancia entre planos
verticales.

Todas estas estrategias se pueden apreciar muy bien en sus series sobre Mont Saint
Victoire y Chateau Noir.

La mayor parte de estas caracteŕısticas del trabajo de Cézanne las encontramos
llevadas al extremo en los cuadros cubistas,

Cézanne fue mi solo y único maestro. Él fue la madre de todos nosotros (en
Picasso speaks, Mario Zayas, The Arts, NY 1923, págs. 315-326).

Equipados con las herramientas y estructuras desarrolladas por Cézanne, los cubis-
tas encararon la tarea deconstruir objetos tridimensionales sobre el lienzo del cuadro.
Al ser las superficies de la mayor parte de los objetos reales localmente eucĺıdeas –y,
como tales, variedades de Riemann–, la solución cubista tiene sentido desde un punto
de vista geométrico: construir los volúmenes mediante el encolado de planos.

Veamos el cuadro de Picasso considerado como un primer paso hacia el cubismo,
realizado en 1907.

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A simple vista se reconoce la influencia de
Cézanne, tanto en la construcción de es-
tructuras para representar los objetos co-
mo en el juego entre las dos y tres dimen-
siones. Sin embargo, si miramos con más
atención observamos algo más en el tra-
bajo de Picasso en este cuadro. El ojo del
pintor se mueve alrededor de la escena y
refleja sobre el lienzo varios puntos de vis-
ta. Además, en el cuadro aparecen combi-
nados distintos niveles de abstracción, lo-
grando aśı darnos simultáneamente infor-
mación sobre distintos aspectos de lo que
se representa.

Las frutas, por ejemplo, están representadas de manera más o menos realista, pero
aparecen envueltas en unas formas abstractas à la Cézanne que sugieren un trozo
de tela blanca. Lo mismo ocurre con las figuras: los dedos y algunas cabezas están
pintados con mucha precisión, mientras que otras partes de los cuerpos –algunas
caras, muslos y hombros, por ejemplo– ni tan siquiera están en armońıa con el resto del
cuerpo del que forman parte. Distintos niveles de abstracción aparecen tejidos juntos, y
de esta manera nuestros ojos reciben mayor cantidad de información. Una información
que no se percibe de inmediato: es necesario decodificarla primero, recorriendo los
distintos niveles de abstracción que el pintor, a su vez, recorrió. Arthur I. Miller,
catedrático de Historia y Filosof́ıa de la Ciencia de London University College, nos da
una pista de cómo hacerlo. Miller ha documentado exhaustivamente ([20]) la influencia
que en la elaboración de este cuadro tuvo el libro de Henri Poincaré (1854-1912) La
ciencia y la hipótesis (1902) y, especialmente, la sección titulada “El mundo de cuatro
dimensiones”del caṕıtulo IV, “El espacio y la geometŕıa”.

Lo mismo que un mundo no euclidiano, se puede representar un mundo de cua-
tro dimensiones. Las imágenes de los objetos exteriores vienen a pintarse sobre
la retina, que es un cuadro de dos dimensiones; son perspectivas. Pero como esos
objetos son móviles y como también lo es nuestro ojo, vemos sucesivamente dis-
tintas perspectivas de un mismo cuerpo, tomadas desde varios puntos de vista.
Comprendemos de este modo cómo la idea de un espacio de tres dimensiones
ha podido nacer del espectáculo de esas perspectivas, aunque cada una de ellas
sólo tenga dos dimensiones, porque ellas se suceden según ciertas leyes. Y bien,
lo mismo que se puede hacer sobre un plano la perspectiva de una figura de
tres dimensiones, se puede hacer la de una figura de cuatro dimensiones, sobre
un cuadro de tres (o de dos) dimensiones. Esto no es más que un juego para
el geómetra. También se pueden tomar muchas perspectivas de una figura des-
de muchos puntos de vista diferentes. Podemos fácilmente representarnos esas
perspectivas, puesto que no tienen más que tres dimensiones (Poincaré, 1902,
en [23, pág. 72].

Cuando los objetos descompuestos en fragmentos aparecieron en mis cuadros
hacia 1909, esto para mı́ fue una manera de acercarme más al objeto,... La
fragmentación me ayudaba a establecer el espacio y el movimiento en el espacio
(Picasso en Braque, Edwin Mullins, Thames and Hudson, Londres 1968, p. 55).

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En 1911 Picasso pintó Hombre con clarinete (Museo
Thyssen-Bornemisza de Madrid), considerado una de
las piezas claves del cubismo.
En él, todas las perspectivas que el pintor combina
para representar la figura, están tomadas desde de-
lante de ésta; más a la izquierda, más a la derecha,
más arriba o más abajo, pero siempre frente a la fi-
gura.
Con el tiempo, Picasso llegó a pulir sus herramientas
hasta el punto de poder dar la vuelta a toda la figu-
ra y hacerlo combinando tan sólo cinco planos con
los que describe cinco puntos de vista colocados a
izquierda, derecha, delante detrás y sobre la imagen.
Veamos dos ejemplos.

En el primero de estos cuadros, Mujer sentada acodada (1939, Museo Reina Sof́ıa
de Madrid), el plano en que Picasso describe uno de los ojos de la mujer y su mano
derecha está situado delante de la figura, el plano que recoge el otro ojo y uno de
los orificios nasales está a su izquierda, el segundo orificio nasal y la boca aparecen
dibujados sobre un plano a su derecha, la parte azul del sombrero está vista por
detrás, desde la espalda de la mujer y la parte roja desde arriba, sobre la coronilla.

Las claves para decodificar el segundo cuadro, Las meninas (1957, Museo Picasso
de Barcelona), las encontramos en el lienzo de Velázquez. Maŕıa Agustina Sarmiento,
la niña del búcaro, sostiene una bandeja en su mano. Las ĺıneas oscuras de su fondo
nos indican que la bandeja está descrita tal y como la ve la propia Ma. Agustina.
En la mano aparecen dibujadas las almohadillas del pulgar y de la palma, detalles
que en la escena de Velázquez sólo el propio pintor podŕıa percibir. El pelo enmarca
perfectamente el rostro de Sarmiento y el contorno de ambos aparece completo, como
sólo puede verlos la infanta, a la que Ma. Agustina mira de frente. En el ojo izquierdo
hay tres claves esenciales: el trazo horizontal de la izquierda, la acumulación de grises
a la derecha y el lugar donde está dibujada la pupila. Estas claves indican que el ojo
está visto desde el costado derecho de la joven, esto es, desde el lugar que ocupan los
reyes y los espectadores en el cuadro de Velázquez. Finalmente, el perfil –ojo derecho
y nariz– aparece en el cuadro de Picasso descrito como lo ve el visitante que aparece
por la puerta del fondo en el de Velázquez.

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Homenaje a J. Tarrés

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Capi Corrales Rodrigáñez Cubismo y constructivismo

En ambos cuadros el pintor utiliza las estructuras subyacentes que estudió Cézanne
para, utilizando las palabras de Poincaré, representar en cinco planos distintos, cinco
perspectivas distintas de una figura tridimensional. Al elegir las perspectivas de frente,
desde arriba, desde atrás, desde la izquierda y desde la derecha, consigue dar una
vuelta completa alrededor de la figura.

3. La cuestión de los conjuntos infinitos

En general, entiendo por una variedad o conjunto cualquier Multiplicidad 2

que pueda ser pensada como un Uno, i.e., cualquier colección de elementos de-
terminados que puedan ser aunados en un todo por una ley, y con esto creo
definir algo similar al ειδoζ o ειδoω Platónicos (Cantor, carta a Dedekind del 5
de noviembre de 1882).

Antes de adentrarnos en el nuevo territorio, consultemos de nuevo nuestro mapa.

En el último cuarto del siglo XIX, un hecho trascendental vino a marcar la evo-
lución de todas las ideas que de alguna manera iban conformando lo que tendŕıa
que ser la Topoloǵıa de Conjuntos: los trabajos de Georg Cantor que dieron
lugar al nacimiento de la Teoŕıa de Conjuntos de Puntos. Estos trabajos se pu-
blicaron en los Matematische Annalen en una serie de seis art́ıculos entre los
años 1879 y 1884 y que, en palabras de E. Zermelo, constituyen la quintaesencia
del trabajo de su autor. El objetivo principal de estos art́ıculos es el estudio de
los conjuntos lineales de puntos, o subconjuntos de la recta numérica, aśı como
el de los conjuntos de puntos de lo que Cantor llamaba el continuo aritmético
de dimensión n. En ellos aparecen plasmadas las ideas fundamentales de punto
ĺımite, conjunto derivado, conjunto cerrado, etc., destinadas a dar soporte a las
teoŕıas axiomáticas de los espacios abstractos, surgidas a comienzos del siglo
XX. [...] La aparición de los trabajos de Cantor, junto con la propia dinámica de
las Matemáticas de la época, llevó consigo que de manera inmediata surgieran
trabajos de diversa ı́ndole en los que se consideraban conjuntos de objetos dis-
tintos de los puntos de un espacio aritmético, pero a los que se pueden aplicar
los conceptos introducidos por Cantor de manera análoga a como éste lo hace en
los conjuntos lineales de puntos. Tales trabajos constituyen la transición entre
las teoŕıas de Cantor y los espacios abstractos propiamente dichos (Tarrés en
[28, págs. 193, 205]

Tras esta introducción, el texto de Tarrés nos invita a un recorrido desde Cantor hasta
Felix Hausdorff (1868-1942) a través de los conjuntos de Giulio Ascoli, cuyos puntos
son curvas (1883), los de Vito Volterra, cuyos puntos son funciones (1887), los de
Jacques Hadamard, cuyos puntos son funciones continuas en el intervalo [0, 1] (1897)
y los de Émil Borel, cuyos puntos son ĺıneas y planos (1903). Estos trabajos llevarán,
–de la mano de Maurice Fréchet (1906), Fredrik Riesz (1908) y, finalmente, Hermann
Weyl, que en 1913 introduce los entornos de un punto para dar una estructura al
espacio abstracto–, a las primeras definiciones de espacios abstractos, cuyos puntos
son, en palabras de Fréchet, “elementos de naturaleza arbitraria (números, curvas,
punto, etc)”. Todas estas definiciones, sin embargo, segúıan aún muy ligadas a una
estructura eucĺıdea del espacio o del plano (en el caso de Weyl). En 1914, Hausdorff,

2Mannigfaltigkeit, Manifold

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Homenaje a J. Tarrés


Capi Corrales Rodrigáñez Cubismo y constructivismo

atreviéndose a pensar de otra manera, dio el paso definitivo de desligar la noción de
espacio del imaginario eucĺıdeo (en [14], pág. 257).

Ascoli, Volterra, Hadamard, Borel, Fréchet, Reisz, Weyl, Hausdorff,... No hay mos-
covitas en la lista. Sin embargo, los lienzos de los pintores constructivistas ilustran con
toda claridad, que en el Moscú de principios del siglo XX hab́ıa artistas que miraban y
trabajaban el espacio de manera análoga a como lo estaban haciendo ellos. ¿De quien
aprendieron matemáticas y qué tipo de matemáticas aprendieron los constructivistas?

Los constructivistas surgieron en la sede de la gran utoṕıa educativa rusa, los
Talleres Superiores Art́ısticos y Técnicos del Estado en Moscú (los Vkhutemas, 1920-
1932). Investigando en los pocos documentos que han sobrevivido, encontramos que
sólo aparece mencionado un matemático entre el profesorado, Pável Florenski (1882-
1937), que impart́ıa una asignatura titulada Teoŕıa del espacio. Pude localizar ense-
guida algunos de sus apuntes para las clases que impart́ıa en los Vkhutemas ([7], [8] y
[9]), pero durante mucho tiempo me fue imposible encontrar datos sobre su relación
con la comunidad matemática rusa. Pasé años buscando y dando la lata con el tema
a todas mis amistades, hasta que durante una visita a Cambridge durante la fiesta
de Acción de Gracias de 2009, Barry Mazur me dijo “Acabo de leer un libro en que
se menciona a ese Florenski de quien tanto hablas. Igual encuentras las pistas que
buscas”, y me puso en las manos una copia de [12].

En el libro de Graham y Kantor aprend́ı que Florenski hab́ıa sido compañero de
estudios en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Moscú de Nikolai Luzin
(1883-1950) y Boris Bugaev (1880-1934). Juntos asist́ıan, entre otras, a las clases de
Nikolai Vasilievich Bugaev (1837-1903) –padre de Boris–, que inicialmente trabajó en
análisis relacionado con la teoŕıa de números y acabó especializándose en las funciones
discontinuas.

La discontinuidad es una manifestación de individualidad independiente y de
autonomı́a. La discontinuidad interviene en cuestiones de causas finales y en
problemas éticos y estéticos.(Nikolai Vasilevich Bugaev, ICM Zurich, 1897)

Florenski, Luzin y Bugaev (hijo) mantuvieron su amistad –y una estrecha y abun-
dante relación epistolar– de por vida, Al acabar los estudios, Boris Bugaev se dedicó,
con mucho éxito, a la poeśıa, que escrib́ıa con el seudónimo de Andrey Bely, Florenski
dejó también la investigación matemática –aunque no la docencia–, se ordenó sacer-
dote de la Iglesia Ortodoxa Rusa (parece que fue miembro prominente de la secta
de los Adoradores del Nombre que, a base de repetir una y otra vez el nombre –o
la oración– de Jesús, entraban en un trance durante el que afirmaban experimentar
a dios). Nikolai Luzin fue el único de los tres que, bajo la dirección de Dmitri Fe-
dorovich Egorov (1869-1931), que hab́ıa sido también alumno de Nikolai Bugaev, se
dedicó a la investigación matemática. Siguiendo los pasos de este último, Egorov y
Luzin investigaron fundamentalmente en análisis (funciones, teoŕıa de la medida, etc),
utilizando la teoŕıa de los conjuntos transfinitos de Cantor, que conocieron a través
de los trabajos de los matemáticos franceses durante sus visitas a Paŕıs.

La reacción a los conjuntos infinitos de Cantor en Francia no hab́ıa sido uniforme.
Hubo quien desconfiaba de ellos,

Ainsi, ces nombres de la 2e et surtout de la 3e classe ont un peu l’air d’une
forme sans matiére ce qui répugne á l’esprit francais (Poincaré, 1883, en carta
a Mittag-Leffler, [15, pág. 278]).

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Homenaje a J. Tarrés

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Capi Corrales Rodrigáñez Cubismo y constructivismo

hubo quien no les encontraba utilidad,

L’impression que nous produisent les mémoires de Mr Cantor est désolante;
leur lecture nous semble à tous un véritable suplice, et en rendanthommage à on
mérite, en reconnaissat quil a ouvert comme un nouveau champ de recherches,
personne de nous n’est tenté de le suivre. Il nous est impossible, parmi les
résultats qui sont suceptibles de compréhension, d’en voir un seul ayant un
intérèt actuel; la correspondance entre les points d’une ligne et d’une surface
nous laisse absolument indifferénts, et nous pensons que cette remarque, tant
qu’on n’en aura point déduit quelque chose, résulte de considérations tellement
arbitraires, que l’auteur aurait mieux fait de la garder et d’attendre (Hermite,
1883, en [15, pág. 209]).

y también hubo quienes, como Émil Borel (1871-1956), René-Louis Baire (1874-1932)
o Henri Lebesgue (1875-1941), utilizaron sin reparos las herramientas desarrolladas
por Cantor para resolver problemas importantes pendientes en las matemáticas del
momento.

En 1984, por ejemplo, Borel utilizó en su tesis la teoŕıa de conjuntos para de-
mostrar un resultado clave sobre recubrimientos de un intervalo fijo por sucesiones
infinitas de intervalos pequeños (Teorema de Heine-Borel). Esta idea supuso el primer
paso del trabajo que le llevaŕıa hasta la futura medida de Borel, concepto desarro-
llado después por Lebesgue. En 1898 utilizó de nuevo la teoŕıa de conjuntos en otro
problema distinto: dar respuesta a la pregunta ¿cómo determinar la longitud de una
circunferencia si conocemos la longitud de un segmento? En vez de seguir la estela de
Eudoxo y Arqúımedes, Borel utilizó conjuntos, dando lugar a una nueva idea, la de
conjuntos de Borel, a los que se les puede asignar una medida.

Por su parte, Baire, alumno de Borel, tras viajar a Italia en 1898 con una beca
para trabajar con Vito Volterra –que utilizaba la teoŕıa de conjuntos en análisis ma-
temático–, defendió en 1989 su tesis con t́ıtulo Clasificación de casi todas las funciones
continuas y discontinuas de una variable real –considerada por los especialistas una
obra maestra y el primer paso hacia la teoŕıa descriptiva de conjuntos–, en la que con-
siguió clasificar las funciones discontinuas que son ĺımites de funciones continuas. Su
trabajo fue descrito por Arnaud Denjoy (1884-1974), amigo de Borel, Baire y Luzin,
de la siguiente manera.

Para adivinar el enunciado preciso se necesitaban verdaderos poderes de ob-
servación, pero para demostrarlo se necesitaba utilizar en un contexto nuevo la
teoŕıa de los conjuntos transfinitos de Cantor.

Éste y los subsecuentes trabajos de Baire en el tema, fueron el punto de partida
de Lebesgue en su tesis de 1902. Con su medida de Lebesgue y su integral (que
logró definir para todas las funciones discontinuas acotadas que hab́ıa introducido
Baire), Lebesgue extendió la noción de conjuntos de Borel (los conjuntos medibles-
Lebesgue incluyen a los medibles-Borel) con éxito inmediato. Unos años después, y
de nuevo utilizando la teoŕıa de conjuntos, Lebesgue demostró en su art́ıculo Sur les
fonctions représentables analytiquement de 1905, que existe una función en cada clase
de la clasificación de Baire (resultado que utilizarán once años después Alexandrov y
Hausdorff para demostrar que entre los conjuntos de Borel de la recta real no los hay
que contradigan la Hipótesis del Continuo).

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Homenaje a J. Tarrés


Capi Corrales Rodrigáñez Cubismo y constructivismo

La situación cambió drásticamente cuando en 1904 Hilbert recibió una carta de
Zermelo que inclúıa, en el marco de una demostración del Principio de Buena Ordena-
ción que Cantor hab́ıa enunciado en 1883 (todo conjunto puede ser bien ordenado), un
enunciado expĺıcito del Axioma de Elección. Muchos de los matemáticos de la época
que llevaban años utilizando de forma impĺıcita el Axioma de Elección, reaccionaron
con hostilidad a la propuesta de Zermelo. Como si, al caer en la cuenta de lo que
estaban haciendo, les hubiese entrado el vértigo de repente y se hubiesen cáıdo al
suelo.

Resulta muy ilustrativo, en este sentido, el intercambio de cartas en 1905 entre
Borel, Baire, Lebesgue y Hadamard sobre la Teoŕıa de Conjuntos de Cantor y el Axio-
ma de Elección (AE), recogido por el último en [13]. En 1898, Borel hab́ıa utilizado
el AE en su demostración de que todo conjunto infinito tiene un subconjunto nume-
rable ([21, pág. 9]). Por otro lado, la clasificación de Baire de las funciones reales era
esencialmente equivalente a la de los conjuntos de Borel para R, y la existencia de
una función que se escapase a la jerarqúıa de Baire estaba ı́ntimamente ligada a la
existencia un conjunto no medible-Borel; para demostrar la existencia de tal conjun-
to, se necesita el AE ([21, pág. 68]). Finalmente, Lebesgue utilizó el AE en la parte
más importante de su tesis, al introducir la –después llamada– medida de Lebesgue.
Lebesgue buscaba una función m sobre los subconjuntos acotados de Rn de forma
que para todo conjunto acotado A de Rn, m(A) fuese un número no negativo con
tres propiedades: m(A) es positivo para algún conjunto A, conjuntos congruentes3

tienen igual medida y la medida de la unión numerable de conjuntos disjuntos es la
suma de sus medidas respectivas (i.e. m es numerablemente aditiva). Para resolver
este problema introdujo los conjuntos medibles, que extend́ıan las familias de Borel y
Baire y le permitieron definir la integral de Lebesgue. Pues bien, su demostración de
que la medida de Lebesgue es numerablemente aditiva requiere, de manera inevitable,
utilizar el AE ([21, pág. 69]). Estos usos sin reparo –y otros muchos4–, de la elección
infinita, no impidieron que, confrontados con su enunciado expĺıcito en la carta de
Zermelo, Borel, Baire y Lebesgue se pronunciasen abiertamente en contra de que tal
elección fuese considerada ĺıcita en matemáticas. Sorprende especialmente la virulen-
cia con que se manifiesta Lebesgue, considerando que el AE es crucial en su trabajo
5.

Para mı́, progreso en esta cuestión consistiŕıa en delimitar el dominio de
lo definible. Y, a pesar de las apariencias, en el análisis último todo debe ser
reducido a lo finito (Baire, [13, pág. 264], [21, pág. 313]).

Hacer una elección puede ser escribir o nombrar el elemento elegido. Ha-
cer una infinidad de elecciones no puede ser escribir o nombrar los elementos
elegidos, uno a uno; la vida es demasiado corta. Por lo tanto se ha de decir
qué significa hacer las elecciones. En general, entendemos por esto que se da
una regla que define los elementos elegidos. Para mı́, como para Hadamard, esta
regla es igualmente indispensable sea la infinitud numerable o no (Lebesgue,[13,
pág. 268], [21, pág. 316])

3Dos conjuntos de Rn son congruentes si podemos ir de uno a otro mediante alguna traslación
por un elemento de Rn.

4Ver el caṕıtulo Implicit uses by Future Critics en [21, págs. 64- 76]
5Ver su carta a Borel, [13, págs. 264-269] en el francés original, [21, págs. 314-317] en traducción

al inglés.

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Homenaje a J. Tarrés

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Capi Corrales Rodrigáñez Cubismo y constructivismo

Entre las dudas suscitadas por el Axioma de Elección (1904), la crisis suscitada
por la paradoja de Russell (publicada en 1903) y el antagonismo de Poincaré, Picard,
Hermite, etc., la teoŕıa de conjuntos fue poco a poco desterrada de la corriente prin-
cipal de la investigación matemática en Francia. Sin embargo, antes de que aquello
ocurriera, Egorov (que viajó a Paŕıs en 1903) y Luzin (que lo hizo en 1905 y, de
nuevo, en 1913) hab́ıan tomado el relevo. Partiendo, entre otros, de los trabajos de
Borel, Baire y Lebesgue, montaron un seminario de investigación en la Universidad
de Moscú conocido con el nombre de Lusitania, embrión de la Escuela Matemática
de Moscú (fundada por Lusin y Egorov en 1921) del que formaron parte, entre otros
y además de Lusin y Egorov, Shnirelman, Bari, Urhyson, Sierpinski y Suslin.

Egorov investigó, fundamentalmente, análisis armónico (potenciales, sistemas tri-
plemente ortogonales, teoŕıa de la medida). El teorema de Egorov (1910) afirma que si
una sucesión {fn} de funciones medibles converge puntualmente a una función f , las
restricciones de las fn al complementario de un conjunto de medida tan pequeña como
se quiera convergen uniformemente a la restricción de f . Luzin, por su parte, llegó a
ser uno de los matemáticos más importantes del siglo XX e investigó fundamental-
mente en teoŕıa descriptiva de conjuntos y análisis funcional (point-set topology). En
1912 resolvió la conjetura de Fatou al construir una serie trigonométrica que diverge
en casi todo punto (con coeficientes que convergen monótonamente a cero), en 1918
descubrió y definió los conjuntos anaĺıticos y en 1919 estudió propiedades de con-
torno de funciones anaĺıticas (comportamiento bajo aplicaciones conformes). Pese a
las reservas que en sus cartas de 1905 hab́ıa expresado, Lebesgue escribió en 1913,

Exigences mathématiques et exigences philosophiques sont constamment asso-
ciées, on peut meme dire fondues. M. Luzin examine les questions d’un point
de vue philosophique et aboutit ainsi à des résultats mathématiques: origina-
lité sans précédent! (Lebesgue, Prefacio al libro de Luzin [18, págs. ix, xi]).

Durante las conferencias sobre filosof́ıa y matemáticas que en 1932 impartió en la
Universidad de Yale, Hermann Wey leyó,

La matemática es la ciencia de lo infinito, su objetivo la comprensión simbólica
de lo infinito con medios humanos, esto es, finitos. El gran logro de los grie-
gos ha sido haber hecho el contraste entre lo finito y lo infinito fruct́ıfero para
el conocimiento de la realidad. Viniendo del Oriente, la intuición religiosa del
infinito, el απαιρoν, se asentó en el alma griega. Esta tensión entre lo finito y
lo infinito y su conciliación, se convierte en motor direccional de la investiga-
ción griega (Hermann Weyl, The open world: three lectures on the metaphysical
implications of science, Yale University Press, 1932)

Ya sea porque, como sugiere Weyl –e intentan argumentar Graham y Kantor en
su libro ya mencionado–, viniendo del Oriente –como el propio Cantor, habŕıa que
añadir– la intuición religiosa del infinito se asentó en el alma rusa, ya sea porque, como
Gauss, Riemann o Hausdorff, se atrevieron a pensar de otra manera, el caso es que
Egorov y Luzin investigaron toda su vida en torno a lo infinito y la discontinuidad.

La amistad inicial entre Luzin y Florenski pronto se hab́ıa extendido a Egorov,
como las cartas entre ambos demuestran ([12]). No sorprende, pues, que leyendo
las notas tomadas por Florenski para sus clases en [7] y [9], encontremos que las
ideas geométricas que sustentan las matemáticas de Egorov y Luzin sustenten, a
su vez, muchas de las ideas que sobre el espacio transmitió Florenski en sus clases

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de los Vkhutemas. Durante los años en que estuvo prisionero (desde 1933 hasta su
ejecución en 1937) Pável Florenski mantuvo una correspondencia regular y abundante
con su familia. En una carta que escribió en 1937 a su hijo Kirill desde el campo
de concentración de las Solovski, Florenski elabora a vuela pluma una lista de sus
intereses que comienza de la siguiente manera.

En Matemáticas: 1) Los conceptos matemáticos como constitutivos de la filo-
sof́ıa (discontinuidad, funciones, etc.). 2) La teoŕıa de los conjuntos y la teoŕıa de
las funciones de variable real. 3) Los imaginarios geométricos. 4) La individua-
lidad de los números (número, forma). 5) El estudio de las curvas in concreto.
6) Los métodos de análisis de la forma. En filosof́ıa e historia de la filosof́ıa...
(Florenski, en [10, pág. 18]).

Veamos, a continuación, algunos párrafos ilustrativos extráıdos de sus apuntes para
las clases que impartió en los Vkhutemas entre 1921 y 1924.

La estructura del espacio está caracterizada por su curvatura. Me siento muy
culpable por el hecho de molestarles con conceptos matemáticos, pero no veo otro
camino para acercarme a los problemas estéticos. Aquello que ha sido elaborado
en la matemática contemporánea puede ser transferido completamente al terreno
de la estética. Desgraciadamente, no podemos limitarnos a conceptos propios de
la estética. Por eso el concepto de curvatura me obliga a importunarles ahora
con la matemática (Florenski [10, pág. 291]).

Hablando en términos geométricos, ¿qué significa, entonces, representar alguna
realidad? Significa poner los puntos del espacio representado en correlación con
los de algún otro espacio, en este caso el del plano. Pero la realidad es por lo me-
nos tridimensional. Incluso si prescindimos de la cuarta dimensión del tiempo,
sin la cual el arte es imposible, el plano es sólo bidimensional. ¿Es posible seme-
jante correspondencia? ¿Es posible reflejar una imagen de cuatro dimensiones,
o tres para una mayor sencillez, en una superficie bidimensional? ¿Tendrá ésta
suficientes puntos de correspondencia para los puntos de la imagen? O, hablando
matemáticamente, ¿puede compararse la potencia de la imagen tridimensional
con la de la bidimensional? La respuesta que se impone naturalmente es: “Por
supuesto que no”. “Por supuesto que no, ya que dentro de una imagen tridi-
mensional hay una multitud infinita de secciones bidimensionales y, por tanto,
su potencia es infinitamente mayor que la potencia de cada sección por se-
parado.”Sin embargo, la investigación atenta de esta cuestión en la teoŕıa de
conjuntos de puntos muestra que la respuesta no es tan sencilla como parece a
primera vista; es más, la respuesta tan aparentemente natural que hemos dado
no puede darse por correcta. Más concretamente, la potencia de cualquier ima-
gen tridimensional, o incluso multidimensional, es la misma que la potencia de
cualquier imagen bidimensional, o incluso unidimensional. Se puede representar
una realidad de tres y cuatro dimensiones sobre el plano, y no sólo sobre el
plano, sino sobre cualquier segmento de una ĺınea recta o curva. Es incluso po-
sible establecer la imagen a través de una cantidad infinita de correspondencias
tanto aritméticas o anaĺıticas como geométricas. Como modelo de lo primero
puede servir el método de Georg Cantor, y de las segundas, la curva de Peano
y la curva de Hilbert. [...] Con el método de Cantor la imagen se traslada punto
por punto, de manera que cualquier punto de la imagen se corresponde sólo con
un punto de la representación y, al revés, cada punto de esta última refleja sólo
un punto de lo que representa. En este sentido, la correspondencia cantoriana

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Homenaje a J. Tarrés

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Capi Corrales Rodrigáñez Cubismo y constructivismo

satisface el concepto más común de la representación. Su otra caracteŕıstica se
aleja extraordinariamente, sin embargo, de esta última: como ocurre con el resto
de las correspondencias rećıprocamente iguales, ésta no guarda las relaciones de
vecindad con los puntos, no respeta su orden y sus proporciones, es decir, no
puede ser continua. [...] Por otro lado, la correspondencia de Peano, Hilbert,
etc., no puede ser rećıprocamente igual, como fue demostrado por Lűroth, Jur-
gens y los demás, de modo que un punto de la ĺınea no siempre se representa
con un solo punto del cuadrado y, además, esta correspondencia no es del todo
continua. En otras palabras, la representación de un cuadrado sobre una ĺınea,
o de un volumen sobre una superficie, traslada todos los puntos, pero es incapaz
de transmitir la forma de lo representado como algo entero, como un objeto in-
ternamente determinado en su estructura: se transmite el contenido del espacio
pero no su organización. Para representar un espacio con todo su contenido de
puntos es preciso, hablando metafóricamente, o bien, pulverizarlo hasta dejarlo
convertido en un polvo infinitamente fino y, una vez bien mezclado, esparcirlo
por la superficie de la representación, de manera que de su organización inicial
no quede ni rastro; o bien laminarlo en capas, de modo que no quede nada de su
forma original, para luego colocar estos estratos repitiendo los mismos elemen-
tos de la forma y por el otro lado, encajando rećıprocamente estos elementos
los unos dentro de los otros. [...] No hay manera de colocar la cáscara, o un
trozo de la cáscara de un huevo, sobre la superficie de mármol de una mesa
si no es destruyendo su forma, reduciéndola a polvo fino; por la misma razón
que no se puede representar, en sentido estricto, un huevo sobre papel o lienzo.
[...] En resumen: es posible representar un espacio sobre una superficie pero sólo
destruyendo la forma de lo representado. Mientras tanto precisamente la forma
y sólo la forma es el objeto del arte plástico. Por consiguiente, queda dictada la
sentencia final de la pintura y, en general, de las artes plásticas, pues si éstas
pretenden ofrecer un simulacro de la realidad, el naturalismo es, sencillamente,
imposible ([7, págs. 84-89]).

Si el naturalismo es imposible, ¿cuál ha de ser el objetivo del pintor? ¿qué puede
representar en su lienzo?

La tarea del artista es organizar un cierto absoluto, un cierto todo cerrado
en śı mismo, y la base de este absoluto es el espacio.Y de esto se deduce que el
espacio de la obra de arte debe, necesariamente, ser cerrado en śı mismo ([10,
pág. 286]).

Finalmente, todo el sentido del arte se reduce a la organización del espa-
cio.[...] Esquemáticamente, se puede decir que distribuyendo el color, la tinta,
sobre la tela, se presenta una nueva realidad. Nace un nuevo espacio ([10, pág.
296]).

Desde 1921 hasta 1924, Pável Florenski tuvo a su cargo en los Vkhutemas la asignatura
Teoŕıa del espacio. En la misma escuela trabajaba la pintora constructivista Lyobov
Popova, que impartió desde que éstos se abriesen en 1920 la asignatura básica troncal
La influencia máxima del color. Popova escribió en 1921 ([24, pág. 166]) el siguiente
texto como comentario a su obra.

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Homenaje a J. Tarrés


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1. La representación, en cuanto resultado de la producción art́ıstica, es un ob-
jetivo que ha satisfecho las necesidades prácticas desde el Renacimiento hasta
hace muy poco (la pintura de caballete, los iconos, los frescos, las esculturas
situadas en lugares públicos, en cortes y palacios, la arquitectura como objeto
visual, etcétera). 2. El análisis de los elementos formales del arte, que se ha con-
vertido en el objetivo de la producción en las últimas décadas, ha supuesto una
crisis en el arte pictórico. 3. El auténtico arte debeŕıa ser la śıntesis resultan-
te de este análisis: en Alemania y los páıses culturalmente afines, se expresa a
través de aproximaciones emocionales, psicológicas y metaf́ısicas a los objetivos
del arte; en Francia, la śıntesis se reduce a adquirir cierta destreza en el manejo
de los materiales como consecuencia del estudio anaĺıtico. 4. En Rusia, como
resultado de las condiciones sociales y poĺıticas que estamos experimentando,
el objetivo de la nueva śıntesis es la organización. La organización es el princi-
pio en que se basa toda actividad creativa, incluida la composición art́ıstica. 5.
La era en la que acaba de adentrarse el hombre contemporáneo se caracteriza
por el florecimiento de la industrial, y por este motivo, la organización de los
elementos de la producción art́ıstica debe establecer una relación con el orden
de los componentes materiales de la vida, es decir, con la industria y con lo
que se denomina producción. 6. Una producción industrial espećıfica, en la que
la creatividad art́ıstica desempeñe una función, no tendrá nada que ver con la
antigua aproximación estética al objeto, en la medida en que se dejará de pres-
tar atención a la decoración del objeto por medio de técnicas art́ısticas (artes
aplicadas), y la organización se convertirá en el principio directo de la creación
de los objetos prácticos, incluso cotidianos 7. Por tanto, el “arte figurativo”–la
pintura, la escultura y hasta la arquitectura (ya que hasta ahora en arquitec-
tura la imagen visual ha suplantado a la construcción espacial práctica)– ya
no desempeña función alguna, ya no es necesario para la conciencia de nuestra
época, y todo lo que el arte puede ofrecer debe considerarse sencillamente como
un salto atrás. 8. Por esta razón, las formas figurativas de cualquier tipo, como
la pintura de caballete, el dibujo, el grabado, la escultura, etc., sólo serán útiles
si (1) representan una fase experimental destinada a la búsqueda de las nuevas
técnicas que se precisan, y (2) en la medida en que actúen como proyecciones
complementarias y esquemas de construcción.

4. Conclusión

Cuenta Daniel-Henry Khanweiler ([16, pág. 44]), galerista de los cubistas en Paŕıs,
que Picasso le dijo, “En un cuadro de Rafael es imposible medir la distancia que hay
entre la punta de la nariz y la boca. Yo quiero pintar cuadros en los que esto sea
posible”. Claramente, los constructivistas no.

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5. Agradecimientos

A Mariano Mart́ınez y Juan Tarrés, por la generosidad con la que, una vez más,
me han dejado hacer uso de sus textos y sus palabras sobre las matemáticas del
siglo XIX. A Barry Mazur y Horacio Fernández por su ayuda localizando los textos
matemáticos de Pável Florensky. A José Ruiz por su ayuda localizando las cartas
de Pável Florenski desde la cárcel y los textos matemáticos anteriores a 1904 en que
se hizo uso impĺıcito del Axioma de Elección. Y, muy especialmente, José Manuel
Gamboa e Ignacio Luengo por sus correcciones, observaciones y comentarios a la
primera versión de este texto.

Referencias

[1] Dante Alighieri 1312-1321, La Divina Comedia, Paráıso, traducción al castellano de
Angel Crespo, Planeta 1990, págs. 395-591.

[2] Solomon Bochner, El papel de la matemática en el desarrollo de la ciencia (1966). Tra-
ducción al castellano de Mariano Mart́ınez, Alianza Universidad 689, 1991.

[3] Georg Cantor, Richard Dedekind, Correspondencia epistolar en torno al concepto de
dimensión, en [5].

[4] Capi Corrales, Contando el espacio, mobcoop ediciones, Madrid 2000.

[5] John Fauvel, Jeremy Gray, The History of Mathematics: a reader?, The Open University,
(1987).

[6] José Ferreirós, Riemanniana Selecta, Ediciones del CSIC, Madrid 2000.

[7] Pável Florenski, La perspectiva invertida (1920). Siruela, 2005.

[8] Pável Florenski, Lo spazio e il tempo nell’arte (1924). Adelphi Edizioni, Milano 1995.

[9] Pável Florenski, Lezioni al Vchutemas anno accademico 1923/24, en [8],págs. 243-332.

[10] Pável Florenski, Cartas de la prisión y de los campos, Ediciones Universidad de Navarra,
2005.

[11] Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1828, Werke, vol
4, sec. 13.

[12] Loren Graham, Jean-Michel Kantor, Naming Infinity. A true story of religious mysti-
cism and mathematical creativity. Harvard University Press 2009.

[13] Jacques Hadamard, Cinq lettres sur la théorie des ensembles, Bulletin de la SMF, tomo
33 (1905), págs. 261-273.

[14] Felix Hausdorff, Grundzűge der Mengenlehre (1914), edición en inglés, Chelsea P.C.,
NYC 1957.

[15] Charles Hermite, Lettres de Charles Hermite a. Gősta Mittag-Leffler (1874-1883),
Cahiers du Seminaire d’histoire des mathématiques, 5 (1984), págs. 49-285.

[16] Daniel-Henry Kahnweiler, El camino hacia el cubismo (1920), Quaderns Crema, Barce-
lona 1997.

[17] Erle Loran, Cézanne’s Composition (1943), University of California Press 1963.

[18] Nicolas Luzin, Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications, Gauthier-
Villars, Paris, 1930.

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[19] Barry Mazur, Imaginning numbers (particularly the square root of minus fifteen), Farra,
Syraus and Giroux 2003.

[20] Arthut I. Miller, Einstein, Picasso: Space, Time and the Beauty that Causes Havoc,
Basic Books 2001.

[21] Gregory H. Moore, Zermelo’s Axiom of Choice. Its origins, development and influence,
Springer-Verlag, 1982.

[22] Mark A. Petersen, Dante and the 3-sphere, American Journal of Physics 47 (1979), págs.
1031-1035.

[23] Henri Poincaré, La ciencia y la hipótesis (1902), Ediciones Austral 1963 (3a. edición).

[24] Lyubov Popova, Comentarios a los dibujos, en “Rodchenko y Popova: definiendo el
constructivismo”, Ediciones MNCA Reina Sof́ıa 2009.

[25] Bernhard Riemann, Fragmentos sobre variedades y geometŕıa, 1852/53, en [6], págs.
93-95.

[26] Bernhard Riemann, Sobre las hipótesis en que se funda la geometŕıa (Lección de habi-
litación como profesor, 1854; publicada en 1868), en [6], págs. 2-18.

[27] Juan Tarrés, Historia de la teoŕıa de la dimensión, en “Seminario de Historia de la
Matemática I”, Universidad Complutense, Madrid 1991, págs. 59-96.

[28] Juan Tarrés, La Topoloǵıa General desde sus comienzos hasta Hausdorff, en ”Historia
de la Matemática en el sigo XIX”, Edición de la Real Academia de las Ciencias Exactas,
F́ısicas y Naturales, Madrid 1994, págs. 191-211.

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