UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS TESIS DOCTORAL MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR Marta. Folgueira López DIRECTOR: M. J. Sevilla de Lerma Madrid, 2015 © Marta. Folgueira López, 1998 Series solución del movimiento de rotación de la tierra obtenidas por métodos analíticos Departamento de Astronomía y Geodesia. ERSIDAD COM 53 2 9 6 3 LU 256X ENSE I T OCM Universidad Com plutense de Madrid Facultad de Ciencias M atem aticas Seccion Departam ental de Astronom ia y G eodesia Series Solucion del M ovim iento de Rotacion de la Tierra obtenidas por M etodos Analfticos Memoria para optar al titulo de Doctora en Ciencias Matematicas de M arta Folgueira Lopez Director: M iguel J. Sevilla de Lerma 1998 * 4 % Agradecim ientos La entrega a la labor de formacion cientifica del catedratico de Astronomia y Geodesia D. Miguel J. Sevilla de Lerma, su ayuda y direccion ban hecho posible este trabajo, por lo que quiero expresarle mi agradecimiento. También quiero expresar mi mas sincera gratitud a los cistronomos, Jean Souchay (Obser- vatorio de Paris) e Hiroshi Kinoshita (Observatorio de Tokio) por su apoyo cienti'fico y por la confianza que ban depositado en mi en la elaboracion de los trabajos conjuntos realiza- dos durante este ultim o ano y que fueron esenciales en la ultim a parte de esta Memoria. Asi mismo, deseo expresarles mi reconocimiento por su im portante labor investigadora en este tema. Deseo también agradecer a la profesora D“ Pilar Romero Pérez sus valiosos consejos espe- cialmente en los momentos iniciales y en la fase final de esta Memoria y al profesor D. Juan Getino Fernandez por sus im portantes comentarios durante mis estancias en la Universidad de Valladolid. Por ultimo quiero dar las gracias a todas aquellas personas y en especial a mis padres y bermana que, con su constante aliento, me ban ayudado y animado en la realizacion de este trabajo. A mis padres y hermana Indice Introduccion v 1 El estudio de la R otacion de la Tierra rfgida desde la A ntigüedad hasta el siglo X X 1 1.1 Introduccion............................................................................................................................... 1 1.2 Precesion, Nutacion y Movimiento del polo...................................................................... 2 1.3 Ejes de rotacion, momento angular y de figura................................................................ 2 1.4 Origenes del estudio de la Rotacion de la Tierra. Periodo griego................................. 4 1.5 Periodo arabe............................................................................................................................ 8 1.6 Siglos XIV al XVI.................................................................................................................... 10 1.7 Siglo XVII.................................................................................................................................. 1 2 1.8 Siglo X V III................................................................................................................................. 13 1.9 Siglo XIX .................................................................................................................................... 15 1.10 Siglo XX...................................................................................................................................... 16 2 Desarrollo del potencial lunisolar de primer orden 19 2.1 Introduccion............................................................................................................................... 19 2.2 Resultados previos.................................................................................................................... 20 2.2.1 Ecuaciones del movimiento de Ham ilton.............................................................. 20 2.2.2 Transformaciones canonicas...................................................................................... 21 2.3 Las variables de Andoyer....................................................................................................... 2 2 2.3.1 Las variables de Andoyer y el Hamiltoniano referido a la ecliptica movil. 23 2.4 Energia cinética en funcion de las variables de Andoyer............................................... 24 2.5 Energia potencial gravitatoria............................................................................................... 25 2.5.1 Formulas fundamentales. Polinomios modificados de Jacobi.......................... 25 2.6 Aplicacion del desarrollo en armonicos esféricos a la energia potencial gravitatoria. 26 2.6.1 Transformacion de variables del ecuador de figura al ecuador momento angular.......................................................................................................................... 26 2.6.2 Transformacion de variables del ecuador momento angular a la ecliptica de la fecha.................................................................................................................... 27 2.6.3 Transformacion de variables de la ecliptica de la fecha a la orbita del cuerpo perturbador.................................................................................................... 28 2.7 Expresiones de las coordenadas eclipticas de la Luna. Las variables modificadas de Delaunay............................................................................................................................... 28 ii Indice 2.7.1 Las variables modificadas de Delaunay................................................................ 28 2.7.2 Expresiones de las coordenadas eclipticas de la Luna..................................... 30 2.8 Desarrollo de la energia potencial gravitatoria debida a la Luna. Prim er orden. . 41 2.9 Desarrollo de la energia potencial gravitatoria debida al Sol. Prim er orden. . . . 44 2.10 Conclusiones y resultados numericos................................................................................. 45 3 Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de primer orden 81 3.1 Introduccion............................................................................................................................. 81 3.2 Los terminos de segundo orden del potencial.................................................................... 81 3.2.1 Contribucion de J 3 .................................................................................................... 81 3.2.2 Contribucion de J 4 ................................................................................................... 85 3.2.3 Contribucion de los armonicos no zonales de tercer grado...................... 87 3.2.4 Contribucion de los armonicos no zonales C4 1 y S 4 1 ................................ 92 3.3 La influencia de los planet as en la nutacion.................................................................... 96 3.3.1 Efectos planetarios indirectos. Contribucion al potencial solar de primer orden............................................................................................................................. 97 3.4 Conclusiones y tab las............................................................................................................. 98 4 Series solucion del m ovim iento de R otacion de la Tierra rfgida 127 4.1 Introduccion................................................................................................................................ 127 4.2 Teorias canonicas de perturbacion........................................................................................127 4.3 Resultados previos: Parentesis de Poisson............................................................................128 4.4 El método de Hori. Derivacion del efecto nutacional......................................................... 129 4.5 Perturbaciones de prim er orden.............................................................................................131 4.5.1 Perturbacion periodica debida a V / s ...................................................................... 132 4.5.2 Perturbacion periodica debida a Wa ...................................................................... 136 4.5.3 Efectos del cambio secular de la oblicuidad sobre los términos de nutacion. 136 4.6 Perturbaciones de segundo orden debidas a la Luna......................................................... 138 4.6.1 Términos de nutacion que provienen de .......................................................... 138 4.6.2 Términos de nutacion que provienen de U2 *.......................................................... 140 4.6.3 Términos de nutacion que provienen de .........................................................140 4.6.4 Términos de nutacion que provienen de .......................................................... 144 4.7 Conclusiones................................................................................................................................145 5 R esultados numéricos de la nutacion lunisolar en longitud y en oblicuidad 147 5.1 Introduccion................................................................................................................................147 5.2 Términos de la nutacion relacionados con el arménien zonal J 3 .....................................147 5.2.1 Nutacion del piano perpendicular al eje momento angular................................147 5.2.2 Nutacion del ecuador de figura..................................................................................149 5.3 Coeficientes de la nutacion debidos a la influencia de los armonicos no zonales de grado 3.....................................................................................................................................150 5.3.1 Términos diurnos.......................................................................................................... 150 5.3.2 Términos semidiurnos..................................................................................................155 5.3.3 Términos terciodiurnos................................................................................................157 Indice ill 5.4 Términos de la nutacion relacionados con el arménien zonal J 4 ................................... 158 5.4.1 Nutacién del piano perpendicular al eje momento angular................................ 158 5.5 Términos de la nutacién relacionados con los arméniens no zonales C4 1 y S 4 1 . . . 159 5.6 Contribucién solar......................................................................................................................160 5.7 Coeficientes numéricos de la nutacién correspondientes a los términos 160 5.7.1 Nutacién del piano perpendicular al eje momento angular................................ 160 5.7.2 Nutacién del ecuador de figura................................................................................. 163 5.8 Comparaciones y conclusiones................................................................................................ 164 Apéndice 1 167 Apéndice 2 169 Conclusiones 175 Bibliografia 196 iv Indice Introduccion La actual teon'a de nutacion adoptada por la lAU (International Astronomical Union) en 1980 [Seidelmann 1982] comprende las series de nutacion construidas, por una parte, a partir de la funcion de transferencia para las nutaciones de una Tierra con m anto elàstico, niicleo interno solido, niicleo externo Ifquido y sin océanos [Wahr 1979]; y por o tra parte, a partir de la teoria de Kinoshita de precesion-nutacion de un modelo de Tierra rfgida basada en el uso de las ecuaciones canonicas de Hamilton aplicadas a un elipsoide en rotacion [Kinoshita 1977]. Por tanto, la precision de la teorfa de la nutacion depende principalmente de 2 factores: • La construccion de un modelo terrestre que describa perfectamente las propiedades reo- logicas de la Tierra para la determinacion précisa de la funcion de transferencia. • La precision de la nutacion de un modelo de Tierra rfgida. La razon esta en que la am plitud de cada término de nutacion para un modelo de Tierra no-rfgido esta relacionado con la am plitud correspondiente para un modelo de Tierra rfgido mediante una razon dehnida por la funcion de transferencia que depende del modelo terrestre elegido [Wahr 1979]. La comparacion entre las series teoricas de la nutacion de la lAU 1980 con las estimadas a partir de las observaciones realizadas con técnicas muy précisas como VLBI (Very Long Base­ line Interferom etry), LLR (Lunar Laser Ranging) y GPS (Global Positioning System) muestra diferencias en am plitud tanto en el dominio del tiempo (hasta 2 0 mas -milisegundos de arco-) como en el dominio de frecuencia (hasta varios mas) [Dehant & Defraigne 1997a]. En la XXIII Asamblea General de la lAU (1997) (Resoîucion JD3) se acordo corregir y mejorar las series de la nutacion de la lAU 1980 con el fin de reducir las diferencias entre la teorfa y la observacion [Dehant h Fukushima 1997], [lAU 1998]. Entre las diversas mejoras que hay que introducir para el establecimiento de estas nuevas series de nutacion, destacan: • La adopcion de un modelo terrestre que tenga en cuenta tam bién efectos geoffsicos como el aplanamiento del nücleo, la inelasticidad del manto, efectos atmosféricos, existencia de océanos, etc. Entre los recientes trabajos que tra tan algunos de los efectos anteriores destacan los de [Dehant 1986], [Dehant 1990], [Lefftz et al. 1991], [Dehant et al. 1993], [Defraigne et al. 1995], [Dehant et al. 1996], [Dehant & Capitaine 1997], [Dehant & De­ fraigne 1997b], [Dehant et al. 1997a], [Dehant et al. 1997c] y [Dehant et al. 1997d]. vi Introduccion • Extender y comparar las diversas teorias existentes de la nutacion de la Tierra rfgida. Estas teorfas estan considerando el orden de truncam iento para cada am plitud individual de 0 . 1 fias (microsegundos de arco), orden de precision de las observaciones actuales. El orden de precision de las series de Kinoshita (1977) para la nutacion de una Tierra rfgida es de solamente 0.1 mas. Por tanto, si se quiere alcanzar el orden de precision requerido por la mejora en la precision de las observaciones sera necesario completar y refinar la teorfa de Kinoshita. A este orden de precision, efectos que anteriormente fueron despreciados, como los debidos a la accion planetaria directa e indirecta, a la triaxialidad de la Tierra, a los coeficientes armonicos zonales y no-zonales del geopotencial de grado 3 y 4: J 3 , J 4 , Csm, Ssm (m = 1 ,2,3), C4 m y S 4 m (m = 1 ,2 ,3 ,4 ), el efecto de interaccion entre el movimiento orbital de la Luna y la com- ponente zonal J 2 ”spin-orblt coupling effect” y la influencia de la nutacion misma sobre el par ejercido por la Luna y el Sol ’’crossed-nutation effect”, deberàn tenerse en cuenta. Desde hace varios ahos, la teorfa de la nutacion de la Tierra rfgida ha sido objeto de mu chas revisiones y mejoras. Entre los primeros trabajos que realizan una extension de la teorfa oûcial destacan los de [Zhu & Groten 1989] y [Kinoshita & Souchay 1990a]. El procedimiento utilizado por Zhu & Groten (1989) es una combinacion de dos metodos de câlculo: el utilizado por Kinoshita (1977) y el elaborado por Melchior (1983). Aunque este procedimiento résulta un poco ambigüo e inhomogéneo, con pérdidas de precision en la deter­ minacion de algunos coeficientes nuevos de largo perfodo [Souchay 1993, p. 276], es uno de los primeros trabajos en los que se plantea la necesidad de mejorar la teorfa oûcial de la nutacion de la Tierra rfgida. Kinoshita & Souchay (1990) realizaron una reconstruccion compléta de las series de nutacion de Kinoshita (1977) utilizando las teorfas ELP2000 y VSOP82 para el movimiento de la Luna, del Sol y de los planetas [Bretagnon 1982], [Bretagnon 1984], [Chapront-Touzé 1982], [Chapront-Touzé & Chapront 1983]. Para ello tuvieron en cuenta todas las contribuciones in­ d iv idua ls que llegaban hasta 0.005 mas, lo que implicaba el estudio de los efectos planetarios directos e indirectos, la influencia de los términos de segundo orden del potencial terrestre (triaxialidad, J 3 y J 4 ) y mejoras debidas a una extension de la teorfa al segundo orden como los efectos de interaccion entre el movimiento orbital de la Luna y el movimiento rotacional terrestre. Con esta mejora de la teorfa de la nutacion para un modelo terrestre rfgido al segundo orden se incremento notablem ente el numéro de coeficientes y se modified tam bién el valor de muchas de las amplitudes obtenidas por Kinoshita (1977). Recientemente, Williams (1994, 1995), Roosbeek & Dehant (1997), Souchay & Kinoshita (1996, 1997), Souchay et al. (1997), H artm ann & Soffel (1994, 1997) y Bretagnon et al. (1997) han mejorado de nuevo la teorfa de la nutacion de la Tierra rfgida. Introduccion vii Parece conveniente resumir cada estudio: • Williams (1994, 1995) hizo nuevas e im portantes aportaciones con respecto a trabajos anteriores. En su prim er trabajo dio una estimacion de la elipticidad dinâmica de la T ierra (Hd = 0.0032737634) proxima a la de Kinoshita & Souchay (1990) pero basada en las recientes estimaciones de la precesion general en longitud [Williams 1994]. En el segundo articulo calculé el efecto directo de los planetas con un truncam iento de sus series al nivel de 1 pas [Williams 1995]. # e H artm ann & Soffel (1996) calcularon las series de nutacion de la T ierra rfgida a partir del desarrollo del potencial de m area elaborado por H artm ann & Wenzel (1995). Sus calcules incluyen todos los efectos ya investigados por Kinoshita &: Souchay (1990) pero al nivel de 0.45 pas en lugar de 5 pas como en este ultimo trabajo. Ademâs mostraron que el armonico J 4 daba origen a coeficientes de la componente de 18.6 ahos al nivel de unos pocos pas. El valor que obtuvieron de la elipticidad dinâmica era Hd = 0.0032737925 [Hartmann & Soffel 1994], [Hartmann & Soffel 1997]. Roosbeek & Dehant (1997) han calculado la nutacion para un modelo de Tierra rfgida de una forma clâsica, mediante la integracion de las ecuaciones relativas al momento angular [Roosbeek & Dehant 1997]. Para este proposito, usaron las mismas efemérides de Kinoshita & Souchay (1990) pero en la nueva version VSOP87 para calcular el potencial ejercido por el Sol y los planetas [Bretagnon & Francou 1988], y ELP2000 para calcular el potencial debido a la Luna [Chapront-Touzé & Chapront 1988]. Bretagnon et al. (1997) calcularon la precesion y la nutacion de la Tierra rfgida a partir de las ecuaciones de Euler y las teorfas semianalfticas del movimiento de la Luna del Bureau des Longitudes [Bretagnon 1997a]. Su trabajo es complete y tienen en cuenta la influencia de todos los armonicos zonales y no-zonales, hasta el grado 4 inclusive, sobre el potencial lunisolar [Bretagnon 1997b], [Bretagnon et al. 1997]. Souchay & Kinoshita (1996) recalcularon la precesion y los términos principales (influencia del armonico zonal J 2 ) de la nutacion para un modelo de Tierra rfgida siguiendo el mismo procedimiento que Kinoshita & Souchay (1990). Para ello, utilizaron las mis­ mas efemérides que Roosbeek & Dehant (1997) y tuvieron en cuenta la correccion de la precesion general en longitud con respecto al valor convencional [Lieske et al. 1977], apuntada anteriorm ente por Williams (1994). Demostraron que esta correccion influye notable y directam ente sobre el valor de Hd, lo que implied que todos los coeficientes de la nutacidn tuvieron que ser modificados. Ademâs, Souchay & Kinoshita observaron algunos errores en las tablas de Kinoshita & Souchay (1990) y fueron corregidos en este trabajo [Souchay &: Kinoshita 1996]. En un segundo artfculo, Souchay &: Kinoshita (1997) calcularon de nuevo los términos de la nutacidn debidos a los coeficientes de segundo orden del geopotencial: J 3 , J 4 , C 2 2 y S 2 2 y tam bién la influencia directa de los planetas sobre la nutacidn con un Ifmite viii Introduccion de truncam iento de 0.1 pas. Sus resultados fueron comparados con los de Hartmann & Soffel (1994) y Williams (1995), observândose una diferencia absoluta en la amplitud de los coeficientes que no excede de 1 pas excepto para unos pocos términos. El hecho de que los très caminos de determinacion de los coeficientes sean bast antes diferentes y que los resultados esten muy proximos confirma la validez de los términos encontrados [Souchay & Kinoshita 1997]. e En un tercer trabajo, actualm ente en prensa, Souchay et al. (1997) calculan al nivel de 0 . 1 pas los efectos de interaccion de segundo orden divididos en dos categorfas: (a) en el llamado efecto ”spin-orbit coupling”, se estudia la interaccion entre el movimiento orbital de la Luna y la componente J 2 del geopotencial. (b) En el denominado efecto ’’crossed- nutation” se estudia la influencia de la nutacion misma sobre el par ejercido por la Luna y el Sol, es decir, se tiene en cuenta el pequeno desplazamiento del eje de figura debido a la nutacion. El prim er efecto fue estudiado por Kubo (1982) y Kinoshita &: Souchay (1990) [Kubo 1982]; [Kinoshita & Souchay 1990a]. El segundo fue calculado parcialmente por Kinoshita (1977) y recalculado por Kinoshita & Souchay (1990) [Souchay et al. 1997]. En este trabajo se present an también las tablas finales para la nutacion del modelo de Tierra rfgida REN-2000 en las que se incluyen todas las mejoras hechas en los trabajos previos [Souchay & Kinoshita 1996, Souchay & Kinoshita 1997] y las componentes diur- nas y subdiurnas de la nutacion relacionadas con los armonicos no-zonales de grado 3 y 4, calculadas por Folgueira et al. (1997a, 1997b). Los resultados de estos dos tra ­ bajos anexos; [Folgueira et al. 1997a], [Folgueira et al. 1997b] se expusieron en la XXIII Asamblea General de la lAU (21 de Agosto de 1997) y actualm ente han sido aceptados para publicar en la revista Celestial Mechanics. En una cart a particular enviada por el segundo autor que flrma estos trabajos, Jean Souchay, se destaca y reconoce el impor­ tante trabajo de investigacion realizado por Mart a Folgueira en la elaboracion de dichos artfculos [Souchay 1997b]. El proposito principal de esta Memoria consiste en obtener las series teoricas y los coefl- cientes numéricos de nutacion de una Tierra rfgida bajo la influencia lunisolar, introduciendo unas nuevas variables en la expresion de la energfa potencial gravitatoria debida al Sol y a la Luna. Este grupo de cinco variables, formado por las très variables modificadas de Delaunay junto con la longitud media del Sol y la longitud del perigeo solar, describe perfectamente el movimiento perturbado de la Luna alrededor de la Tierra. Estas nuevas variables tienen algu- nas vent a j as sobre las consideradas por Kinoshita (1977) y Kinoshita & Souchay (1990) que detallaremos a lo largo de este trabajo. Entre las principales mejoras respecto a los trabajos citados destacaremos: • Se considéra, en toda la Memoria, un unico grupo de variables para la representacion del movimiento perturbado de la Luna. Es decir, una vez définidas y elegidas estas cinco va­ riables, cuya combinacion lineal determ inarâ los argumentos de los términos de nutacion, se expresan todos los desarrollos en funcion de este grupo de variables y se mantiene Introduccion ix en todo el trabajo . Ademâs, en dicho grupo de variables, estân bien diferenciadas las variables propi as de la Luna de las del Sol. Sin embargo, K inoshita & Souchay (1990) utilizan varios grupos de variables en la teoria de segundo orden de precesion-nutaciôn de la Tierra rfgida: — Consideran el grupo (II, Iq , F, D, 0 ) - ver Capftulo 2 - en la descripcion del movimien­ to perturbado de la Luna, siendo D la diferencia entre una variable propia de la Luna y una variable propia del Sol. — Los desarrollos de la energfa potencial gravitatoria correspondiente al Sol estân en funcion de la longitud del Sol. (En realidad utilizan tam bién la longitud del perigeo solar, pero le asignan una valor constante) [Kinoshita &: Souchay 1990a, p. 197]. — En la extension de la teorfa al segundo orden, concretamente en el estudio de los efec­ tos de interaccion entre el movimiento orbital de la Luna y el movimiento rotacional terrestre consideran doce variables canonicas: las seis variables de Andoyer corres­ pondientes al movimiento de rotacion de la T ierra y las seis variables de Delaunay, correspondientes al movimiento orbital lunar. La razon de considerar conjuntamente estas doce variables estâ en que estos efectos se determ inan a partir de los paréntesis de Poisson, en el método de integracion de Hori. Para calcular dichos paréntesis es necesario que todas las variables sean canonicas, por lo tanto , K inoshita & Souchay (1990) tuvieron que transform ar los argumentos de los términos mayores (y con velocidades pequehas) a las variables de Delaunay [Kinoshita & Souchay 1990a, p. 222-228]. En nuestro caso, nos evitarfamos hacer esta transformacion puesto que las variables modificadas de Delaunay son canonicas e incluso estân mejor definidas que las variables de Delaunay [Fukushima 1994]. Por tanto, simplificamos y homogeneizamos el problema al considerar un unico grupo de variables, aplicable al estudio de todos los efectos considerados en la teorfa Hamiltoniana de Rotacion de una T ierra rfgida. • Las variables utilizadas conducen a expresiones de la nutacion en longitud y oblicuidad similares a las de Kinoshita & Souchay (1990). En el caso concreto de la nutacion en oblicuidad del ecuador momento angular, las expresiones se simplifican un poco puesto que aparecen multiplicadas por la suma de todos los coeficientes que multiplican a las cinco variables consideradas y esta suma, en un mismo desarrollo, es siempre igual a un valor fijo, facilitando la programacion de las expresiones correspondientes. También se han extendido algunos desarrollos de la teorfa de Kinoshita & Souchay (1990) como la expresion de la energfa potencial gravitatoria debida al armonico zonal de grado 3, J 3 , y las series de nutacion en longitud y oblicuidad correspondientes. Con esta extension se obtienen los térm inos Oppolzer relacionados con el armonico J3, no incluidos en la teorfa de segundo orden. Introduccion O tra nueva e interesante aportacion que tam bién se ha llevado a cabo ha consistido en estu- diar la influencia del cambio secular de la oblicuidad sobre los términos de nutacion y obtener, mediante la formulacion ham iltoniana, los coeficientes relacionados con dicha influencia. Finalmente, hemos realizado la programacion en MAPLE V-4 de las diversas formulas y pro- cedimientos estudiados, obteniéndose mediante el ordenador Silicon Graphics de la Facultad de CC. Matematicas de la Universidad Complutense de Madrid, las tablas y valores numéricos que présentâmes en el ultim o Capitule. Los resultados numéricos se han comparado con los obtenidos recientemente por Souchay et a i (1997) y Bretagnon (1997) bas ados en las mismas hipotesis pero que utilizan otras variables para el movimiento de la Luna y del Sol e incluso otros procedimientos diferentes como es el caso del ultimo trabajo mencionado. La comparacion se ha hecho con los términos de la nutacion que provienen de la parte de la energfa potencial gravitatoria lunisolar de segundo orden, obteniéndose pequenas diferencias con respecto a los valores de Souchay et al. (1997) y Bretagnon (1997), lo que confirma la validez de los câlculos realizados, de nuestras series y posiblemente la mejora de las teorfas existentes. Este trabajo se desarrolla en cinco Capftulos que se pueden resumir como sigue; CAPITULO 1: El estudio de la Rotacion de la Tierra rigida desde la Antigüedad hasta el siglo En este Capftulo introductorio se definen los conceptos de precesion, nutacion y movimiento del polo y se describe esquemâticamente el estudio de la Rotacion terrestre desde la Antigüedad hasta nuestros dfas. CAPITULO 2: Desarrollo del potencial lunisolar de primer orden. Siguiendo la teorfa desarrollada por Kinoshita (1977) y utilizando para el movimiento or­ bital perturbado de la Luna cinco variables distintas a las consideradas por él, se obtienen las energfas potenciales lunar y solar al primer orden. CAPITULO 3: Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden. Se estudian las aportaciones al potencial lunisolar de primer orden de los armonicos zonales y no-zonales de grado 3 y 4. CAPITULO 4^ Series solucion del movimiento de Rotacion de la Tierra rigida. A partir de la nueva expresion de la energfa potencial gravitatoria se obtienen las series de nutacion utilizando el método de perturbacion elaborado por Hori. Se estudian también, teoricamente, los efectos del cambio secular de la oblicuidad sobre los términos de nutacion. Introduccion xi CAPITULO 5: Resultados numéricos de la nutacion lunisolar en longitud y en oblicuidad Se obtienen los valores numéricos de la nutacion lunisolar correspondientes a la influencia de los armonicos zonales y no-zonales de grado 3 y 4 y se realiza la comparacion con los resultados obtenidos por Souchay et al. (1997) y Bretagnon (1997). También se calculan los coeficientes de la nutacion debidos a la introduccion de la variacion secular de la oblicuidad en nuestros câlculos. xii Introduccion Capftulo 1 El estudio de la Rotacion de la Tierra rfgida desde la Antigüedad hasta el siglo X X 1.1 Introduccion. El estudio de la rotacion terrestre, junto con el de la revolucion orbital de la Tierra, es uno de los problemas clâsicos de la Mecânica Celeste. En realidad, estos dos movimientos terrestres son la base de las definiciones dinâmicas de los sistemas de posicion y tiempo. Pero aunque clâsico este problem a es actual, no solo en los campos de la Astronomia y Geodesia sino en cualquiera de las ciencias de la Tierra tanto desde el punto de vista ffsico como matemâtico. El desarrollo historico de la rotacion de la Tierra no ha sido lineal. El camino seguido para llegar a las actuales teorfas ha sido largo, tan largo, que debemos rem ontâm es a los filosofos y matemâticos griegos si queremos seguir su diffcil y ardua trayectoria. El proposito de este Capftulo es dar una vision historica del estudio de la rotacion de la Tierra, describiendo las principales teorfas de los astronomes y pensadores que han contribuido a lo largo de la Historia a este estudio, tanto directam ente como aportando conclusiones de ciencias afines (Geodesia, Geoffsica, etc.) necesarias para comprender su evolucion. Para el resumen historico de los principales estudios sobre rotacion desde la Antigüedad hasta el siglo XIX, elaborado en las secciones 1.4 a 1.9, se han utilizado los siguientes textes rela­ cionados con la Historia de la Astronomfa; [Waterfield 1938], [Berry 1961], [Pannekoek 1961], [Boyer 1969], [Lopez 1969], [Coulston 1970], [Mersman 1970], [Mersman 1971], [Renan 1972], [Goldstein 1976], [Kuhn 1978], [Torroja 1980], [Torroja 1981], [Newton 1983], [Newton 1987a], [Newton 1987b], [Abbott 1984], [Mason 1985a], [Mason 1985b], [Mason 1986], [Ptolomeo 1987), [Taton & Wilson 1989], [Ekman 1991]. De forma breve y concisa hemos definido prim eramente los conceptos de precesion, nutacion y movimiento del polo y otros conceptos relacionados que van a aparecer continuamente a lo largo de este trabajo. 1 2 Captulo 1. El estudio de la Rotacion de la Tierra rigida desde la Antigüedad hasta el siglo X X 1.2 Precesion, Nutacion y M ovim iento del polo. Las variaciones de un sistema de coordenadas fijo a la T ierra respecto a un sistema fijo en el espacio son debidas principalmente a los pares producidos por la atraccion gravitacional de la Luna, y en menor grado a los del Sol y planetas, sobre el abultam iento ecuatorial terrestre y a mécanismes geoffsicos o deformaciones de la T ierra [Seidelmann 1982]. El movimiento de largo periodo del eje de rotacion de la T ierra respecto al eje que pasa por el polo de la eclfptica, debido al par lunisolar se conoce como precesion lunisolar. Los planetas afectan a la orient acion del piano orbital medio de la Tierra, originando una lent a rotacion de la eclfptica sobre un eje de rotacion que se mueve lent ameute, y esto se llam a precesion planetaria. El resultado de esto es un movimiento del equinoccio y, en el présente, una disminucion de la oblicuidad de la eclfptica. La combinacion de estas dos precesiones es la precesion general. El movimiento periodico del eje de rotacion de la T ierra respecto al sistema de coordenadas fijo en el espacio se conoce como nutacion. Incluye la nutacion forzada que da cuenta del movimiento debido a todos los pares externes y la nutacion libre que es la solucion que résulta de hacer cero la funcion fuerza y puede ser excitada por procesos internes cuyas amplitudes pueden solo determinarse por observacion. La precesion y nutacion cambian las coordenadas celestes observadas (ascension recta y declinacion). El movimiento del polo se refiere al movimiento del mismo eje de rotacion con respecto a la corteza de la Tierra. 1.3 Ejes de rotacion, momento angular y de figura. En este trabajo utilizaremos las siguientes definiciones [Seidelmann 1982]: Un eje es una Ifnea recta paralela a un vector asociado, que pasa por el centro de mas as de la Tierra. El punto en que el eje corta a la superficie de la T ierra o a la esfera celeste es un polo] en el prim er caso es un polo terrestre y en el segundo un polo celeste. Si no se dice explfcitamente se entenderâ polo terrestre. Se supone que la esfera celeste sirve para définir un sistema de coordenadas fijo en el espacio. El vector velocidad de rotacion w de un cuerpo rfgido describe el movimiento de una partfcula de vector de posicion P (t) por: | p ( i ) = w A P ( « ) (1.3.1) Siguiendo a [Munk & MacDonald 1960], para un cuerpo no rfgido podemos seleccionar un vector velocidad angular instantdneo como aquél que mininiza: 1.3. Ejes de rotacion, momento angular y de figura. / ^ ( | r ( « ) - 0 ! A P ( t ) ) d V (1,3.2) donde V représenta el volumen de la T ierra o, mas general, esa porcion de Tierra cuya velocidad angular instantanea deseamos conocer. El eje instantanée de rotacion R es una linea en direccion del vector velocidad angular ins­ tantanée de la Tierra, que pasa por el centro de masas de la Tierra. La interseccion de R con la superficie de la T ierra es el polo instantdneo terrestre de rotacion P R t . La interseccion de R con la esfera celeste es el polo instantdneo celeste de rotacidn PRc- El vector momento angular instantdneo M se define como el momento de la cantidad de movimiento respecto del centro de masas de la Tierra, viene expresado por [Lambeck 1980]; M = j P (t) A [Cj A P {t)) dM (1.3.3) la integral en (1.3.3) estâ extendida a toda la masa de la Tierra. El eje momento angular instantdneo M es una recta en direccion del vector momento an­ gular instantâneo de la T ierra que pasa por el centro de masas de la Tierra. La interseccion de M con la superficie de la Tierra es el polo momento angular instantdneo terrestre P M t - La interseccion de M con la esfera celeste es el polo momento angular instantdneo celeste PMc- Los ejes principales de inercia de un cuerpo son Imeas ortogonales que definen un sistema de coordenadas cartesian as en el cual el tensor de inercia es diagonal, es decir, los ejes prin­ cipales en direccion de los autovectores del tensor de inercia. Para un elipsoide de revolucion rfgido, los momentos principales de inercia son iguales sobre dos de los ejes principales y mayor sobre el ter cero. Este ultim o es el eje de figura. La Tierra se parece imperfectam ente a un elipsoide de revolucion y, ademâs, es deformable. Asf su tensor de inercia, y las direcciones de los ejes principales, son funciones del tiempo. No obstante, el eje instantdneo de figura F puede definirse como la Ifnea que pasando por el centro de masas de la Tierra tiene la direccion del autovector prim ario del tensor de inercia instantâneo de la Tierra. La interseccion de F con la superficie de la T ierra es el polo instantdneo de figura P F t- La interseccion de F con la esfera celeste serâ PFc- El eje instantâneo de figura de una Tierra deformable estâ sujeto a movimientos debidos a distorsiones de la T ierra taies como las causadas por las mareas del cuerpo. Este efecto hace diffcil in terpretar los movimientos del eje F anterior en términos de conceptos intuitivos del cuerpo rfgido. Entonces, résulta util définir el eje medio geogrdfico de superficie B como un eje ligado a la superficie exterior de la T ierra en un sentido de mfnimos cuadrados. Consideremos una red de observatories sobre una T ierra rfgida y un eje fijo con respecto a la posicion de los observatories. El unico movimiento posible de la red de observatories es una rotacion rfgida, posiblemente dependiente del tiempo; la porcion de rotacion rfgida que no es paralela al eje 4 Capitula 1. El estudio de la Rotacion de la Tierra rigida desde la Antigüedad hasta el siglo X X produciri un movimiento del eje como résultante del movimiento de los observatories que la definen. Sobre un planeta deformable existirâ la posibilidad de otros movimientos de los ob- servatorios y generalizaremos la définicion del eje tal que se defina en el sentido de mmimos cuadrados por las posiciones de los observatories. El eje B es exactam ente este eje en el caso limite de un numéro infinite de observatories uniformemente distribuidos. Entonces, si des- componemos el movimiento de la superficie de la T ierra en una rotacion media rfgida mas una deformacion residual, B se mueve en el sentido prescrite por la rotacion media. El eje B no responde a las mareas del cuerpo. La interseccion de B con la superficie de la Tierra se dé­ signa po: P B t y la interseccion con la esfera celeste por P B c- Obsérvese que para una Tierra rfgida B coincide con F y PB con FF para cualquier tiempo. No hay movimiento periodico que no sea de m area de los observatorios sobre la superficie de la T ierra respecto a P B t - Puede haber movimientos de los observatorios con respecto a P B t originados por movimientos de la corteza que no han sido todavfa modelados adecuadamente y por otros tipos de fuerzas internas. Las crientaciones de todos los ejes estân en general, cambiando continuamente. Si deseamos calcular el movimiento de uno de estos ejes debemos considerar la solucion compléta de las ecua­ ciones diferenciales, esto es, la solucion libre mâs la solucion forzada. La solucion forzada es la solucion de las ecuaciones de rotacion que tiene en cuenta todas las fuerzas externas (fuerzas gravitaconales debidas al Sol, Luna y planetas). La solucion libre es la solucion de las ecua­ ciones de rotacion que resultan de igualar a cero la funcion fuerza (es la solucion particular de las ecuaciones del movimiento) [Seidelmann 1982]. Nota: A lo largo de este trabajo se considerarân los pianos perpendiculares a los ejes de rotacion, momento angular y de figura pasando por el centro de masas a la Tierra. 1.4 Origenes del estudio de la Rotacion de la Tierra. Periodo griego. Los primeros estudios sobre la rotacion terrestre datan del siglo VII a.d.C., Taies de Mileto (% 640 a.d.C) fue el primero que se ocupo de buscar una explicacion a la constitucion y movimientos del sistema del Mundo. Algunos de los antiguos historiadores griegos afirmaron de Taies que consideraba la T ierra esférica, mientras que para otros defendfa que no era sino un discc piano circular fiotando sobre el océano. Manejo tam bién los pianos de la eclfptica y del ecuador. Anazimandro (610-545 a.d.C) discfpulo de Taies, parece que fue el primero que determine la oblicuidad de la eclfptica. No se tiene seguridad en cuanto a sus ideas sobre la forma de la Tierri, pues segün unos, la consideraba esférica girando alrededor de un eje y segün otros, cilfndrica, siendo la altura de este cilindro el triple del diâmetro de la base. Pitàjoras (570-472 a.d.C) discfpulo también de Taies, consideraba la T ierra esférica, inmovil en el centro del mundo. El movimiento diurno, como ya se adm itfa anteriorm ente a él, es debido 1.4. Or/genes del estudio de la Rotacion de la Tierra. Peri'odo griego. 5 a la rotacion de la esfera celeste. Las ideals de Pitagoras tuvieron una im portante influencia en la Astronomfa antigua y medieval. No solamente las estrellas fijas a una esfera de cristal giraban diariam ente alrededor de un eje que pasaba a través de la Tierra, sino que cada uno de los siete planetas (incluidos tam bién el Sol y la Luna) se movfa en su propia esfera. Las distancias de estas esferas a la T ierra eran fijas de acuerdo con ciertas nociones especulativas de Pitagoras como los numéros y la müsica; de ahf que cuando Icis esferas giraban producfan sonidos armoniosos; este es el origen de la ’’Müsica de las esferas” . Hicetas (s. V a.d.C), sin embargo, ya sostenfa la idea de la rotacion de la Tierra alrededor de un eje ligado a ella. Por otro lado, Filolao (segunda m itad del s. V a.d.C) imaginé un mundo en el que Dios habfa colocado un gran fuego en el centro del Universo, fuego que era la sede de la divinidad y principio de todos los movimientos celestes. Suponfa que la Tierra giraba de occi- dente a oriente alrededor del fuego central, explicando el movimiento diurno sin necesidad de recurrir al movimiento de rotacion de la esfera de estrellas. Pero, en este movimiento, la Tierra dirige siempre la m ism a cara hacia el fuego, que es precisamente la region de las antfpodas de la parte habitada (lo que llamo la anti-T ierra), por lo cual el hombre nunca puede ver ese fuego. La sucesién de los dfas y las noches era debida a la variacion de las posiciones relativas del Sol (que afirmaba que no era luminoso por sf mismo sino que era una masa transparente iluminada por el fuego superior -fuego situado en los limites del Universo-) y de la T ierra alrededor del fuego central. Esta idea fue abandonada en el siglo siguiente. Fmpédocles (484-424 a.d.C) sostenfa tam bién unos puntos de vista astronomicos muy primitives. Explico el dfa y la noche suponiendo que un hemisferio brillante y otro oscuro rotaban alrededor de la Tierra. En el siglo IV a.d.C, Fcphantos apoyo las ideas de Hicetas. Platon (428-347 a.d.C) adopté al final de su vida la creencia de la rotacién de la Tierra y que el centro del universo no estaba ocupado por la T ierra sino por otro cuerpo mejor (” El Timaeus”). Aristôteles (384-322 a.d.C) tam bién aporté nuevas ideas. Sus principales escritos sobre cos- mologfa y astronomfa estân recopilados en el cuarto volumen del ” Decaelo” . Sostenfa la idea de que el Universo no podfa ser infinite ya que, segün su punto de vista, adopt ado a partir de los trabajos de Fudosio (408-355 a.d.C) y de Calipo (370-300 a.d.C), el Universo consistfa en una serie de esferas concéntricas, en las cuales estaban las estrellas fijas, que rotaban alrededor de una Tierra central y estacionaria. Aristételes tam bién demostré la esfericidad terrestre obser- vando la sombra circular que la T ierra proyectaba sobre la Luna durante un eclipse. Mas tarde, Fratostenes (275-194 a.d.C) en su trabajo ”Sobre la medida de la T ierra” realizé la primera determinacién del radio de la Tierra. Aristételes no adm itié el movimiento de rotacién de la Tierra, incluso demostré que esto era imposible confirmando tam bién sus argumentos con la observacién: si lanzamos una piedra hacia arriba, la piedra caerâ siempre sobre el mismo punto desde que se lanzé, cosa que no ocurrirfa si la T ierra girase. Herdclides de Ponto (388-315 a.d.C) rechazé el modelo de Universo de Aristételes. Herâclides 6 Capi'tulo 1. El estudio de la Rotacion de la Tierra rigida desde la Antigüedad hasta el siglo X X pensé que era prâcticam ente imposible que las inmensas esferas de estrellas y planetas rotaran una vez en 24 boras y sostenfa que era la T ierra la que giraba alrededor de su eje, de oeste a este, una vez cada 24 horas. También pensé, a partir de los movimientos observados de Mercurio y Venus, que estos parecfan orbitar alrededor del Sol. Sin embargo, no adopté completamente un modelo heliocéntrico. El propuso que el Sol se movfa en una érb ita circular y que Mercurio y Venus se movfan en epiciclos alrededor del Sol como centro. Aristarco de Samos (% 320-250 a.d.C), en su trabajo ’’Sobre la m agnitud y distancias del Sol y de la Tierra” establece la prim era teorfa heliocéntrica del Universo, describiendo el Sol y las estrellas fijas como estacionarios en el cosmos, y los planetas, incluida la Tierra, viajando en érbitas circulares alrededor del Sol. Ademâs, afirmé que la rotacién aparente diurna de la esfera de estrellas era debida a la rotacién terrestre alrededor de su eje cuando la T ierra viaja alrededor de su érbita. No obstante, su teorfa causé poco im pacto entre sus contemporâneos debido principalmente a que las ideas filoséficas, religiosas y astronémicas estaban basadas en modèles geocéntricos del Universo. El modelo propuesto por Aristarco dem andaba unas di- mensiones del Universo que excedfan de la imaginacién de los cosmélogos contemporâneos a él y no fueron aceptadas. Aristarco propuso un modelo cosmolégico basado, no en la armonfa m atem âtica sino en la realidad ffsica observada. Seleucus de Seleucia (s.II a.d.C) sostuvo una opinién similar. Arquimedes (287-212 a.d.C) acepté tam bién el sistema del mundo de Aristarco que transcribié en su ” Arenario” . Apolonio de Rodas (% 220 a.d.C) introduce la idea de los epiciclos y deferentes para explicar el movimiento de los cuerpos celestes. Para explicar el movimiento diurno, tanto en las estrellas como en los planetas, afirmaba que los deferentes de estos son arrastrados por la rotacién de la esfera de estrellas fijas de este a oeste, con un perfodo de 23^56’”̂ . En el siglo siguiente, Hiparco (180-120 a.d.C) descubrié el fenémeno de la precesién. Com- parando las coordenadas de estrellas calculadas por él con las determ inadas un siglo y medio antes, Hiparco observé un decrecimiento sistemâtico de I cls longitudes eclfpticas de las estre­ llas. Interprété esta variacién como un movimiento continuo de los equinoccios a lo largo de la eclfptica. Su descubrim ientofue publicado en el 125 a.d.C con el tftulo ’’Sobre el desplazamiento de los puntos solsticiales y equinocciales” . En este trabajo calculé la constante de precesién anual (49"/aho). También déterm iné la duracién del aho terrestre (365 | dfas) y el perfodo lunar (29‘̂ 12^44’” 2®.25 ). No pudo apreciar variacién alguna en la oblicuidad de la eclfptica. Claudio Ptolomeo (100-174 d.d.C) escribié, entre otras obras, ”La gran composicién m atem â­ tica de la Astronomfa o sintaxis m atem âtica” conocida universalmente con el nombre de Al- magesto (150 d.d.C). En esta obra Ptolomeo supo abarcar los conocimientos astronémicos de su época presentândolos de una forma ordenada. El Almagesto consta de 13 libros, en el primero de los cuales adm ite que el cielo y la Tierra son esféricos. Situa a ésta en el centro del cielo y afirma que no puede experiment ar ningun movimiento que la desplace del centro. No adm ite la rotacién de la T ierra para tra ta r de 1.4. Origenes del estudio de la Rotacion de la Tierra. Periodo griego. 7 explicar el movimiento diurno y esgrime tam bién el mismo argum ento de Aristételes. Sin em­ bargo, reconoce que, de adm itirse este movimiento de rotacién de la Tierra, se encontraria una explicacién mâs sencilla a los fenémenos observados. En el libro II da los procedimientos para determ inar el valor de la oblicuidad de la ecliptica y la la titud del lugar. En los libros VII y V III da un catâlogo con las longitudes, latitudes y magnitudes de 1022 estrellas de la lista de Hiparco. Dedica tam bién un capftulo a la precesién pero no acepta el punto de vista de Hiparco. Ptolomeo estaba convencido de que la precesién era debida a la rotacién uniforme hacia el este de la esfera de estrellas fijas respecto a la eclfptica. La constante de precesién que él obtuvo era de 36"/aho. San Agustin (354-430) adm ite que la Tierra es esférica, pero pone en duda la existencia de las antfpodas. Aryabhata I (s.V d.d.C), en contraste con los astrénomos indios, supuso la rotacién diurna de la T ierra alrededor de su eje. Cosmas Indicopîeustes (s.VI d.d.C) escribié una ’’Topograffa cristiana” en la que expone una teorfa sobre el sistem a del Mundo. Afirmaba que la Tierra es plana y rectangular, dos veces mâs larga que ancha, lim itada por grandes paredes verticales cerradas por una béveda cilfndrica, rodeada por agua por todas partes. Los astros se mueven empujados por los ângeles, provocando asf la sucesién de los dfas y las noches. Con este sistema pretendfa sustituir al de Ptolomeo, cuya obra rebatié. Paralelam ente al estudio de la rotacién terrestre empezaron los primeros descubrimientos en el estudio de las mareas. En el siglo III a.d.C, Antigono de Caristia y Eratéstenes bus- caron, por vez prim era, en el movimiento de la Luna la justificacién de las mareas oceânicas. También, Phyteas , en su trabajo ’’Sobre el océano” (330 a.d.C) llegé a la misma conclusién y observé que la am plitud de las m areas dependfa de las fases de la Luna. Seleukos descubrié lo que hoy se conoce como desigualdad diurna (150 a.d.C). Poseidonios (135-50 a.d.C) fue el primero en distinguir los très perfodos de las mareas (semidiurno, semimensual y semianual). Sin embargo, dio una explicacién prim itiva de la teorfa de m areas partiendo de la teorfa de la simpatfa universal que el defendfa. Plinio el Viejo (23-79 d.d.C) en su trabajo ’’Historia natural” (77 d.d.C) resume los conocimientos de laa mareas de su tiempo. San Isidore de Sevilla (560-636) escribié varias obras, entre ellas ’’Etimologfas” y ”De rerum natura” . Sostenfa que el cielo es una esfera que gira alrededor de un eje que pasa por la Tierra. Estudié tam bién las m areas afirmando que estaban producidas por la Luna pero muy perturbadas por las corrientes submarinas. Su obra contribuyé a conservar la ciencia clâsica. En el comienzo del siglo VIII, Beda el Venerable (673-735) descubre el retraso en fase de las mareas y llegé a la conclusién de que la prediccién de la m area debfa hacerse localmente. En su obra ”De rerum n a tu ra” explica que la T ierra es una esfera y que estâ rodeada por las esferas de aire, éter, el olimpo, la esfera del fuego, la de los cuerpos celestes, el cielo de los ângeles y la Trinidad. La esfera de los cuerpos celestes gira alrededor de la T ierra y en ella se mueven los planetas en epiciclos y deferentes. 8 Capitula 1. El estudio de la Rotacion de la Tierra rigida desde la Antigüedad hasta el siglo X X 1.5 Periodo arabe. El legado de la astronomfa griega paso en los siglos IX al XV a manos de los arabes prin­ cipalmente. Durante estos siglos, numerosos cientfficos del mundo islâmico aportaron nuevas ideas al estudio de la rotacion terrestre y de las mareas. En el siglo IX, Thabit ibn Qurra (836-901) estudio el Almagesto y, viendo los valores obtenidos de la constante de precesion hasta entonces, llego a la conclusion de que tal constante no era constante. De esta forma introdujo la idea, bastante extendida posteriormente, de la trepidaciôn o movimiento oscilatorio de los puntos equinocciales, que hace que la precesion sea una funcion complicada del tiempo. La trepidaciôn fue tam bién conocida en Europa como movimiento de la octava esfera en contraposicion con el movim iento de la n oven a esfera corres­ pondiente a la precesion de Ptolomeo. La idea de la trepidaciôn fue ampliamente aceptada. Hubo, sin embargo, algunos cientfficos que expresaron sus dudas, entre ellos. Mohammed Al-Battini (Albategnius) (850-929) que, en su trabajo ”Opus astronomicum” , hizo una redeterminaciôn de la constante de precesion (54"/ano). Al-Fargâni (s. IX) escribié un libro ’’Sobre los movimientos celestes” en el que resume las teorfas de Ptolomeo. Albumasar (787-886) en su trabajo ”Introductiorium in as- tronom iam ” incluye una teorfa de las mareas. Al-Biruni (973-1050), en su coleccién astronémica ’’Qanun al-Mas’udi” tra ta los principales problemas de la astronomfa. En particular destaca por sus contribuciones a la trigonometrfa, su nuevo método sobre la medida de la T ierra y su discusién (no muy acertada) sobre los movimientos de traslacién y rotacién terrestre en el que alega una serie de razones en contra de ambos: si damos un salto hacia el este o hacia el oeste, y la T ierra girase, el impulso dado a nuestro cuerpo se sumarfa o restarfa al debido a la rotacién terrestre, lo que deberfa notarse en la longitud recorrida al s altar en una u otra direccién. Y como esto no ocurre, se puede afirmar que la Tierra no gira. Ibn Sinâ (Avicena) (980-1037) adm ite la existencia real de las esferas de Aristételes como seres vivos, dotados de un aim a que les perm ite moverse por su propia voluntad; ’Todos los seres creados proceden del ûujo creador segün un orden y una jerarqula’. Avicena situa las estrellas en 2 esferas distintas. Su hipétesis fue comentada por Fajr al-Din al-Râzi, quien dice: ’Es imposible afirmar la unidad de la esfera del m ovim iento diurno. Fs posible que se trate de multiples esferas cuyos movimientos diûeren en una cantidad m inim a que no pueden determi­ narse en el curso de nuestra vida’. En cuanto a los movimientos de los astros en estas esferas adm ite Avicena très posibilidades: que sean las esferas que se muevan quedando los astros fijos en ellas; que estén fijas las esferas, y los astros se muevan sobre ellas, o una combinacién de ambos movimientos. La obra de Avicena infiuyé poderosamente en las opiniones de los astrénomos posteriores, en especial entre los hispano-arabes. 1.5. Periodo arabe. Una aportacion interesante fue la de Ibn al-Haytam (Alhacén) (965-1039) que en sus obras tituladas ’’Resumen de Astronomia” y ”La forma del universo” afirmaba que la Tierra es esférica e inmovil y que estâ situada en el centro del Universo, rodeada de agua, aire y fuego. El mundo estâ limitado por una esfera que él llama esfera Suprema. Debajo de ella se encuentra la esfera de estrellas fijas que gira alrededor del eje del mundo, de oriente a occidente. En el siglo XI se inicia la decadencia de la Astronomia y, en general, de toda la ciencia ârabe en el Oriente Medio. Esta decadencia coincide con el nacimiento de un im portante movimiento cientifico en Espana, donde a partir de este siglo, se inicia en el al-Andalus, concretamente alrededor del califato de Cordoba, un ûoreciente desarrollo de la ciencia. A principios del siglo XI, Ibn Yunus obtiene como valor de la constante de precesion 51"/aho. Azarquid (1029-1100) en su obra ’’Tratado sobre el movimiento de las estrellas fijas” estudio el movimiento de precesion de los equinoccios, que fijo en 46"/aho y el de la oblicuidad de la ecliptica variando entre 23°33' y 23° 53'. Para explicar las variaciones en la precesion y en la oblicuidad de la eclfptica modified la teorfa de la trepidaciôn de Thabit ibn Qurra. En el siglo XII, Johannes Hispaîensis (Avendent) (1135-1153) escribié un corto tratado astronémico sobre la teorfa de la precesién. Ibn Rusd (Averroes) (1120-1198) rechazé la teorfa de la trepidacién. Abu Ishâq al-Bitrûyi (Alpetragio) (segunda m itad del siglo XII) escribié varias obras de- dicadas al estudio de la Astronomfa, entre ellas ’’Teorfa planetaria” y ”De la esfera celeste” . Suponfa que el centro del Mundo estâ rodeado por los cuatro elementos: tierra, agua, aire y fuego y éstos a su vez estân rodeados por 9 esferas concéntricas con el centro del Mundo. Las esferas poseen un aim a que las mueve. Desde la esfera exterior a la interior la perfeccién va decreciendo, tanto en lo que se refiere al aim a como al cuerpo. La novena esfera no contiene ningun astro, se mueve por sf misma con un movimiento de rotacién, de oriente a occidente, alrededor de un eje cuyos polos son los del Universo. En la octava esfera estân situadas las estrellas fijas y en las siete restantes los planetas, correspon- diendo la séptim a esfera al planeta mâs alejado de la Tierra que se conocfa, es decir, Saturno. La esfera de estrellas fijas tiene un movimiento de rotacién de oriente a occidente alrededor del eje del Mundo, pero un poco mâs lento que el de la novena debido a la imperfeccién. La diferencia de la velocidad es tal que al cabo de 36000 ahos, la octava esfera habrâ perdido una rotacién compléta con relacién a la novena. Explicando asf el fenémeno de precesién. Alpetragio afirmaba tam bién que a la Tierra, dada su distancia a la novena esfera, no le llega en absolute la fuerza motriz de aquélla, por lo que permanece inmévil, sin rotacién. Las ideas de Alpetragio fueron muy bien recibidas por los pensadores que se oponfan a las ideas de Ptolomeo. Su obra tuvo influencia hasta el siglo XVI. La aportacién de Alfonso X el Sabio (1226-1284) al desarrollo de la Astronomfa estâ com- prendida en dos obras: ’’Los libros del saber de Astronomfa” y ”Las tablas alfonsfes” (1272). Reunié a un equipo de eruditos judfos, cristianos y ârabes para colaborar con él en estas dos 10 Capi'tülo 1. El estüdio de la Rotaciôn de la Tierra ngida desde la Antigüedad hasta el siglo X X grandes obras. Los astronomes de Alfonso X aceptaron la precesion de Ptolomeo y la trepi- dacion de Azarquiel y m antenian la idea de que el movimiento diurno era debido a la rotacion de la esfera de estrellas fijas de oriente a occidente. A principios del siglo XIV se vuelve a cuestionar la veracidad de la teon'a de la trepidacion. Asi, Levi ben Gerson (1288-1344) aseguro que la oblicuidad de la ecliptica no habia variado desde la Antigüedad y que su valor habia si do siempre 23°33'. Anâlogamente, argumenté que la velocidad de precesion no habia cambiado y que no habia razon alguna para introducir la teon'a de la trepidacion. En cuanto al estudio de las mareas durante estos siglos, conviene destacar a Zakariya Al- Qazwini (1203-1283) que fue el primer cientifico que tra to de explicar el origen de las mareas. En su libro sobre los interrogantes de la creacion sostema que la m area estaba causada por el Sol y la Luna que calentaban las aguas y por lo tanto hacian que estas se expandieran. 1.6 Siglos XIV al XVI. Excluyendo la labor realizada por Alfonso X el Sabio, en Occidente no se registre apenas ningün desarrollo de la Astronomi'a hasta el siglo XIV, y durante bastante tiempo se vuelve incluse a pensar que la T ierra es un disco. Nicole de Oresme (1320-1382), en su libre ’’Livre du ciel et du monde” (1377), afirmo que la atmosfera tom aba tam bién parte en la rotacion de la Tierra. Nicolas de Cusa (1401-1464) pensé que la T ierra no podia hallarse en repose y que el Universe no podia concebirse como finite; el mundo, segün él, séria como un simil m atem àtico para expresar la omnipotencia de Bios. Nicolas Copérnico (1473-1543) afirma, en su libro ”De revolutionibus erbium caelestium” (24-5-1543), que el modelo planetario geocéntrico establecido por Ptolomeo era complejo e im­ precise. Copérnico propone reemplazar las ideas de Ptolomeo por un modelo en el cuàl los planetas -incluyendo la Tierra- orbitaran alrededor del Sol situado en el centre. La Tierra describiria una érb ita compléta alrededor del Sol en un ano, mientras que la Luna orbitan'a alrededor de la Tierra. Asi mismo, afirmé que la Tierra ro taba diariam ente alrededor de su eje (que estaba inclinado 23°.5 del piano de la érbita) lo que explicaba la rotacién aparente diurna de la esfera de estrellas fijas. Copérnico tam bién propone en su libro que la atmésfera, o al menos parte de ella, rotaba con la Tierra. Dedica tam bién algunos capitules a la teon'a lunar. La estructura general del modelo y los paramétrés geométricos son los mismos que los utilizados por Ibn ash-Shatir (1304-1376) un siglo antes. Los argumentes que empleaba Copérnico para sostener su teon'a eran fundam entalmente de naturaleza m atem atica. Consideraba que una teon'a cienti'fica era un grupo de ideas deduci- 1.6. Siglos X IV al X V I. 11 das de determ inadas suposiciones o proposiciones. Las suposiciones verdaderas, sostema, h an de realizar dos cosas. En prim er lugar, han de salvar las apariencias esto es, dar cuenta de los movimientos observados de los cuerpos celestes. En segundo lugar, no han de contradecir los conceptos bâsicos pitagoricos segün los cuales los movimientos de los cuerpos celestes son circulares y uniformes. En opinion de Copérnico, un supuesto que no concordase con las ob- servaciones poseia un defect o no menos grave que aquel que discrepase del concepto basico de que los movimientos de los cuerpos celestes son circulares y uniformes [Kuhn 1978]. Copérnico consideraba que el sistema ptolemaico no era suficientemente absoluto, ni suû- cientemente aceptable para el entendimiento, dado que Ptolomeo habia abandonado la estricta observancia de los conceptos bâsicos pitagoricos. Al suponer que la T ierra rotaba sobre su eje diariamente y que se movia en torno al Sol por una orbita anual, Copérnico redujo, de este modo, el numéro de circules précisés para explicar los movimientos aparentes de los cielos, pasando de los aproxim adam ente ochenta utilizados en las versiones elaboradas del sistema ptolemaico a cuarenta y echo. A pesar de que el sistema copernicano era mas simple y elegante que el sistema ptolemaico, hubo objeciones fisicas a este sistema. La mas séria fue la objecion de que, en caso de que la Tierra rotase, el aire tenderia a quedarse atrâs, produciendo un constante viento del este. Copérnico ofrecio dos respuestas. La prim era consisti'a en un tipo de explicacion medieval, segün la cual el aire rota con la Tierra por contener particulas terrosas que poseen la misma naturaleza que la Tierra, impulsando aisf al aire para que se mueva con la Tierra. Su segunda explicacion es mas moderna: el aire ro ta sin resistencia, dada que el aire se halla contiguo a la Tierra en rotaciôn constante. Una objecion similar senalaba que una piedra arrojada al aire hacia arriba habn'a de quedar retrasada debido a la rotaciôn de la Tierra, cayendo al oeste del punto de proyeccion. A esta objecion Copérnico afirmo que puesto que los objetos oprimidos por su peso son îundam entalm ente térreos, no cabe duda de que las partes mantienen la misma naturaleza que su todo por lo que rot an con la Tierra. Una ulterior objecion consistia en senalar que si la T ierra rotase, se deshan'a en pedazos por la fuerza centrifuga. Copérnico respondi'a que si la T ierra no rotase, entonces habria de hacerlo la inmensamente mayor esfera de las estrellas fijas con una velocidad muy grande, por lo que séria mucho mas susceptible de fragmentaciôn debido a la fuerza centrifuga. Este argumente no era reaiment e concluyente en la época, ya que se pensaba que los cielos estaban compuestos del perfecto y sin peso quinto elemento, la quintaesencia^ que no estaba influenciado por ac- ciones terrestres del tipo de la fuerza centrifuga. No obstante, la idea aristotélica original de la quintaesencia se habia tornado un tanto grosera durante la Edad Media, considerândose las esteras celestes como algo rigido, vitreo o cristalino, lo que apoyaba el argum ente de Copérnico. También hallaba o tra salida a la dihcultad sugiriendo que la fuerza centrifuga tan solo se daba en los movimientos violentes y no naturales o artihciales, y no en los naturales como los de la Tierra y los cuerpos celestes. Argument aba que, ”Las cosas regidas por la naturaleza producen efectos contraries a los de las regidas por la 12 Capitula 1. El estudio de la Rotaciôn de la Tierra ri'gida desde la Antigüedad hasta el siglo X X violencia. Las cosas en las que se imprime fuerza e impetus han de disolverse, no pudiendo subsistir durante mucho tiempo; mas lo que hace la naturaleza es que se ordena correctamente y préserva su ôptim a composiciôn. Asïpues, hierra Ptolomeo al temer que la Tierra y las cosas terrestres se puedan dispersar por la rotaciôn producida por la acciôn de la naturaleza”. En la segunda m itad del siglo XVI, Tycho Brake (1546-1601) llega a la conclusion de que la trepidacion no existia (1588). También, en 1557, Julius Caesar Scaliger (1484-1558) expone nuevas hipotesis sobre el origen de las mareas. Espana acogio las ideas renovadoras heliocéntricas de Copérnico frente a la hostil acogida en el resto de Europa. Los cientificos espanoles que aceptaron la teoria copernicana fueron Diego Pérez de Mesa, Simon Pérez Abril, Francisco Suârez Argüello y Andrés Garcia Géspedes. Sin embargo, a partir del ultimo tercio del siglo XVI y como consecuencia del predominio del escolasticismo contrarreformista se produce un retroceso en el desarrollo de la critica de los esquemas tradicionales. Se vuelve incluso a aceptar las teorias aristotélicas y a los astronomos espanoles se les prohibio adherirse a la doctrina heliocéntrica, condenada por la Sagrada Con- gregacion del Indice. En esta época se produce un aislamiento ideologico de nuestro pais y Felipe II prohibe a los espanoles estudiar y ensenar en otros paises. 1.7 Siglo XVII. En 1609, Johannes Kepler (1571-1630) explica en su trabajo "Astronomia nova” que las mareas se producian por una fuerza, de naturaleza magnética, atractiva del Sol y la Luna. Sin embargo, Galileo Galilei (1564-1642) defendio la idea de Copérnico que ahrm aba que las mareas estaban producidas por el efecto combinado de la rotacion de la Tierra alrededor de su eje y su movimiento orbital alrededor del Sol. René Descartes (1596-1650) dio una nueva explicacion sobre el origen lunar de las mareas (1655). El sostema la idea de que la Luna y la Tierra estaban rodeadas por un gran torbellino. La presion ejercida por el torbellino de la Luna en el de la Tierra se transm itia bajo la superficie de la Tierra dando lugar a las mareas. En 1666, John Wallis (1616-1703) dio una nueva version extendida de la teoria de Galileo, incluyendo en la teoria la influencia de la Luna. En 1687, Isaac Newton (1642-1727) publica ’’Philosophiae naturalis principia m athem atica” que contiene, entre otras cosas, la ley de la Gravitacion Universal. Con esta ley. Newton pudo explicar el origen de las mareas. El afirmo que las mareas estaban creadas por la atraccion del Sol y la Luna siendo diferentes a distintas distancias de los cuerpos celestes. Con su teoria pudo explicar las très propiedades fundamentales de las mareas: el periodo principal de 1 2 horas, la dependencia de la am plitud con las fases lunares y la desigualdad diurna. 1.8. Siglo X V III. 13 Newton afirmo que la precesion estaba originada por las fuerzas gravitacionales de la Luna y del Sol en combinacion con la deformacion de la Tierra. También penso que la T ierra de- berfa estar achatada por los polos como consecuencia de su rotacion y que sobre un planeta esférico no podn'a existir nunca el fenomeno de la precesion. Realizo tam bién un câlculo teorico de la constante de precesion (41” para la precesion lunar y 9” para la precesion solar) y del aplanamiento terrestre (1/231). En este siglo, en Espana, se tom a conciencia del aislamiento ideologico. Aunque es en las dos ultimas décadas del siglo XVII cuando se rompe abiertam ente con la autoridad de los clâsicos y con los principios del saber tradicional, la asimilacion sistem âtica de la ciencia moderna aparece ya en las obras de algunas figuras del periodo central del siglo, como los fisicos, astronomos y matemâticos Juan Caramuel y José Zaragoza. 1.8 Siglo XVIII. Los cientificos ingleses en este siglo aceptaron en general la teoria newtoniana, siendo ensenada en Cambridge por el sucesor de Newton, William Whiston, y, en Edimburgo, por David Gregory. Sin embargo, en el continente la aceptacion de las ideas de Newton fue mucho mas lent a, levant ando polémicas en la Academia de Ciencias de Paris durante los anos treinta, ya que se entrentaba a la vigorosa oposicion de los directores del observatorio parisino, \afam ilia Gassini. El primer francés de la época que se déclaré abiertam ente newtoniano fue Pierre Louis Moreau Maupertuis (1698-1759). Sin duda, la notoriedad publica que alcanzo Maupertuis en Francia durante la cuarta y quinta décadas del siglo XVIII, fue debida al hecho de haber sido el defensor del newtonismo en la Academia de Ciencias de Paris. Todo ello tiene una historia cuyo antecedente inm ediato es la polémica en torno a la figura de la Tierra. Un expedicion francesa a Cayena en 1673, habia hallado que la longitud del péndulo que bate segundos en las proximidades del ecuador era mas corta que la del péndulo que bate se- gundos en Paris. Newton habia interpretado esto en el senti do de que la fuerza de la gravedad era menor en el ecuador que en los polos, ahrmando que la Tierra era un esferoide oblongo, achatado por los polos y ensanchado en el ecuador (Principia, III, 18-20). Sugeria que dicha forma era un result ado de la rotacion de la T ierra en torno a su eje cuando estaba en un est ado de plasticidad. Esta idea fue apoyada tam bién por Huygens en el ’’Discours sur la cause de la pensanteur” (1690). En la década de los tre in ta del siglo XVIII, cuando la hlosofia natural de Newton llego a Francia, el segundo de los Cassini, Jacques (1677-1756) se opuso a esta teoria de la forma de la Tierra. A partir de las longitudes de un grado de latitud que se habian medido en Dunquerque en el norte y Perpignan en el sur de Francia, Cassini m antenia por el contrario que la T ierra se ensanchaba por los polos y se achataba por el ecuador. Unas mediciones pos- teriores de dos arcos de meridiano, uno cerca del polo y otro cerca del ecuador conhrmaron los resultados teoricos de Newton. Por o tra parte, el astronome inglés James Bradley (1693-1762) fue quien explico en este siglo la nutacion principal de la T ierra (1748). John Machin (1680-1751) le sugirio a Bradley 14 Capitula 1. El estudio de la Rotaciôn de la Tierra n'gida desde la Antigüedad hasta el siglo X X un método geométrico para describir la nutacion. El polo verdadero del ecuador celeste se mueve en un pequeno circulo, el circulo de nutacion con un periodo igual al de los nodos de la orbita de la Luna, 18.6 anos, alrededor del polo medio. Este polo medio se mueve a lo largo de un circulo de precesion con un periodo de 25800 anos alrededor del polo de la ecliptica. En 1749, Jean le Rond D ’Alembert (1717-1783) présenta su trabajo ’’Recherches sur la précession des équinoxes et sur la nutation de l’axe de la Terre” que contiene la teoria m atem atica de la precesion y de la nutacion. En particular, D ’Alembert mostro que el circulo de nutacion deberia reemplazarse por una elipse de nutacion con el eje mayor dirigido hacia el polo de la ecliptica. En el mismo ano que D ’Alembert présenté su trabajo, Leonhard Euler (1707-1783) llega también a los mismos resultados. Ademâs, Euler encontré un término de nutacién que de- pendia del Sol, con un periodo de 1/2 ano. Esta nutacién ya habia sido mencionada por Newton. En 1758, Euler publica ” Sobre el movimiento de rotacién de los cuerpos sélidos alrededor de un eje variable” . En este trabajo obtiene las ecuaciones para la rotacién de cuerpos rigidos conocidas como ecuaciones de Euler. Una consecuencia im portante de estas ecuaciones fue el descubrimiento del movimiento del polo. Guiseppe Lodovico Lagrange (1736-1836) présenta en su libro ’’Mechanique analitique” (1788) un método elegante en el que se deducen las ecuaciones del movimiento de un cuerpo en rotacién. En el estudio de las mareas, Daniel Bernoulli (1700-1782) escribié un trabajo sobre las mareas bas ado en la teoria de Newton (1740) aunque no présenté un gran avance. Bernoulli se dio cuenta que Newton habia sobreestimado la razén entre las mareas lunares y solares y dio un valor mas préximo al valor actual (2.5). En 1754, Immanuel Kant (1724-1804) escribié un articule titulado ”0 b die erde in ihrer umdrehung um die achse einige verânderung erlitten habe” en el que afirma que la friccién causada por la m area podria originar un retarde pronunciado de la rotacién de la Tierra. En 1799, Pierre de Laplace (1749-1827) publica el primero de los dieciséis volümenes de su ’’Traité de mécanique céleste” . En él desarrolla la teoria m atem atica de mareas y encuentra la férmula conocida como férm ula de Laplace para el potencial de m area en funcién de la latitud, declinacién y ângulo horario. En este mismo trabajo, Laplace élabora un nuevo tratam iento de la teoria de precesién-nutacién aplicando las ecuaciones de Euler. Ademâs muestra la posibili- dad de expresar la precesién-nutacién como serie de arménicos. Laplace estudié la posibilidad de que la duracién del movimiento de rotacién de la Tierra podia ser alterada por causas interiores, taies como los temblores de Tierra y los volcanes. Su resultado fue negative. Dedicé tam bién un capitule al examen de las fluctuaciones que la fuerza 1.9. Siglo X IX . 15 atractiva de la Luna puede tener en nuestra atmosfera. 1.9 Siglo XIX. Durante este siglo, se dio una especial im portancia a la posible relacion entre la precesion y la Edad de Hielo. Asi, en 1842, Joseph Adhémar (1797-1862) afirmo en su libro ’’Révolutions de la m er” que la precesion era la causante de repetidas glaciaciones, alternativam ente en los hemisferios norte y sur. En 1875, James Croîl (1821-1890) dio una version modificada de la teoria de Adhémar. Croll penso que la precesion en combinacion con las variaciones periodicas de la excentricidad y la inclinacion de la orbita de la Tierra podrian producir glaciaciones. En 1839, William Hopkins (1793-1866) hizo el prim er intento de explicar los efectos de la constitucion interna de la Tierra sobre la precesion y la nutacion. Considéré para ello la Tierra formada por una corteza y un fiuido interior. Louis Poinsot (1777-1859) propuso un método geométrico para el estudio del movimiento de rotacién de un cuerpo en rotacién libre (1834; 1851). Hay que destacar tam bién los trabajos sobre Rotacién de un Cuerpo Rigido de Sofia Sonia Cotvin-Krukovsky Kovalevskaya (1850-1891). En 1863, William Thomson -Lord Kelvin- (1824-1907) en su trabajo ”0 n the rigidity of the E arth” propone la existencia de las mareas terrestres. Cinco anos después introduce el analisis arménico en la teon'a de las mareas. Por otra parte, afirmé que el movimiento del polo podn'a estar influido por posibles redistribuciones de m ateria dentro y sobre la Tierra. También estudié la relacién entre la precesién y las propiedades dinâmicas de la Tierra. En 1884, Friedrich Helmert (1843-1917) estudié la posible relacién entre la dériva secular del polo y la repercusién postglacial. Friedrich Küstner (1856-1936) fue el primero en detectar la variacién de la latitud (1888). Seth Carlo Chandler (1846-1913) en su trabajo ”0 n the variation of latitude” m ostré que la revolucién del polo terrestre tem'a un periodo de 427 di'as (1891; 1892). En 1892, Simon Newcomb (1835-1909) estudié el efecto de la elasticidad y de la marea oceânica sobre el movimiento del polo en su trabajo ”0 n the dynamics of the E arth ’s rotation, with respect to the periodic variations of latitude” . Con los dos efectos juntos, Newcomb llegé a un periodo teérico de 443 di'as, ligeramente superior al valor observado por Chandler. Un ano mas tarde, en 1893, François Folie (1833-1905) estudié la influencia del nucleo fiuido de la Tierra en el movimiento del polo. 16 Capitula 1. El estudio de la Rotaciôn de la Tierra n'gida desde la Antigüedad hasta el siglo X X A finales de este siglo, en 1895, dos cientificos Sydney Samuel Hough (1870-1923) y Fe­ dor Sludsky (1841-1897) llegaron independientemente a la conclusion de que el nucleo fiuido acortaba el periodo del movimiento del polo. En lo referente al estudio de las mareas terrestres, William Ferrel (1817-1891) apunto, en 1864, que la friccion de m area era la causante del alargamiento de la duracion del dia en 1 segundo cada 300000 anos. Dos anos mas tarde. George Airy (1801-1892) llego a la misma conclusion y afirmo tam bién que la friccion de m area era la causante del aumento de la distan- cia Luna-Tierra. Charles Delaunay (1816-1872), trabajando independientemente, obtuvo los mismos resultados que W. Ferrel. Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868) realizo la demostracion experimental de la rotacion de la Tierra. Foucault, junto con Fizeau, fueron también los pioneros de la astronomfa fo- togrâfica. Las largas exposiciones necesarias para fotografiar las estrellas requerfan que el teles- copio permaneciera continuamente apuntando al objeto celeste. Para regular el movimiento del telescopio. Foucault en 1847 puso en prâctica un proyecto de Christian Huygens para un reloj con un péndulo conico. Observé que el péndulo giraba gradualmente con respecto al suelo y en la direccién del movimiento diurno de la esfera celeste. Encontré tam bién que el giro horario estaba relacionado con el seno de la latitud del lugar. En 1882, Ceorge Darwin (1845-1912) en su trabajo ”A numerical estim ate of the rigidity of the E arth” obtiene el valor numérico del numéro que hoy conocemos como 7 , es decir, la razén entre la altura de la m area oceânica para una Tierra elâstica y para una Tierra rigida. También afirmé que la friccién de m area jugaba un papel fundamental en la evolucién del sis­ tem a Tierra-Luna y que hace millones de anos, la Luna habfa estado mucho mâs préxim a a la Tierra. Los primeros esfuerzos en la investigacién de modelos terrestres con nucleo liquido se deben a Hopkins (1839), Hough (1895) y Sludskii (1836) quienes descubrieron independientemente la posible existencia del basculamiento libre casi diurno (NDFW) para un cuerpo en rotacién con nucleo liquido. 1.10 Siglo XX. A lo largo de este Capitulo se ha hecho un resumen histérico, desde la Antigüedad hasta el siglo XX, de las diversas teorfas sobre el estudio de la Rotacién terrestre. Cierto es que el problema de la Rotacién de la Tierra estâ lejos de ser un tem a cerrado. Durante este siglo, muchos cientificos se han ocupado de profundizar en este tema. Las ültimas très décadas han visto la floracién de nuevas teorias con aplicacién de potentes técnicas de la Mecânica clâsica. Algunos de los autores que mayormente han contribuido a este estudio se encuentran en las referencias de este trabajo. 1.10. Siglo X X .______________________________________________________________________ 17 Los tratam ientos standard de la precesion y nutacion de una Tierra rigida se deben a Woolard (1953) y especialmente a Kinoshita (1977) y Kinoshita Sz Souchay (1990). También destancan los trabajos de Capitaine (1986-1991) y Yan & Croten (1992) [Capitaine et al. 1986, Capitaine 1990], [Yan & Groten 1992]. Recientemente, muchos autores han orient ado sus estu- dios hacia la teoria de nutacion de la Tierra rigida, entre ellos: Zhu & Groten (1989), Williams (1994), Roosbeek & Dehant (1997), Souchay & Kinoshita (1996, 1997), Hartmann & Soffel (1997) y Bretagnon (1997), como ya se apunto en la Introduccion de esta Memoria. También se han aplicado métodos de integracion numérica al estudio del movimiento rota- cional de un cuerpo rigido: [Schastok et al. 1990], [Souchay & Kinoshita 1991] y [Fukushima 1995]. En cuanto al estudio de la rotacion terrestre de una Tierra no rigida hay que destacar los trabajos de Poincaré (1910), que considéré un modelo con corteza rigida y con un nucleo liquido afectado por un movimiento de tipo simple gobernado por las ecuaciones de Helmholtz; Bullen (1936, 1940); Takeuchi (1950); Jeffreys (1948); Jeffreys & Vicente (1957), extendieron el problema a un modelo de Tierra con un nucleo liquido y un manto elâstico esférico, Molodensky (1953, 1961), utiliza una aproximacién esférica de las ecuaciones de la elasticidad para el manto y las ecuaciones de la hidrodinâmica para el nucleo liquido, obteniendo resultados numéricos ex- celentes; Dahlen (1968); Rochester (1970)] Stacey (1973); Toomre (1974); Toper (1973); Smylie & Chong (1975); Okamoto & Sakai (1977); Aoki (1971); Kakuta (1971); Munk & MacDonald (1975); Shen Sz Mansinha (1976); Duncome Sz Van Flandern (1976); Kubo (1979); Sasao, Okubo & Saito (1980), extienden el problema de Molodensky incluyendo los efectos perturbadores del nucleo; Lambeck (1980, 1989); Wahr (1979, 1981); M o r i t z ^ Mueller (1985); Kolaczeck (1989); Paquet, Dehant, Capitaine, Defraigne (1997); etc. Entre sus trabajos mâs relevantes, destacan : [Munk & MacDonald 1960], [Dahlen 1968], [Aoki Sz K akuta 1971], [Kubo 1979], [Wahr 1979], [Sasao et al. 1980], [Lambeck 1980], [Aoki et al. 1981], [Wahr et al. 1981], [Aoki & Kinoshita 1983], [Wahr 1986a], [Wahr 1986b], [Dehant 1986], [Moritz Sz Mueller 1987], [Aoki 1988], [Ki­ noshita Sz Sasao 1989], [Kolaczek 1989], [Lambeck 1989], [Dehant 1990], [Kubo 1991], [Lefftz et al. 1991], [Dehant et al. 1993], [Defraigne et al. 1995], [Roosbeek Sz Dehant 1997], [Dehant et al. 1996], [Dehant Sz Capitaine 1997], [Paquet et al. 1997] y [Dehant Sz Defraigne 1997a,b,c,d]. En Espana hay que resaltar los trabajos de Sevilla (1982-1986; 1990-1997), Camacho (1982- 1986), Romero (1983-1986) y Cetino Sz Ferrândiz (1989-1997). Sevilla Sz Camacho (1983) trataron el problema de Molodensky para un nucleo homogéneo. Romero (1984) y Romero Sz Sevilla (1985) presentaron un elegante tratam iento del problema de Molodensky, obteniendo las ecuaciones del movimiento del polo de Sasao-Okubo-Saito a partir de la aplicacién de la teoria Hamiltoniana. Recientemente, Getino Sz Ferrândiz (1995) han estudiado el efecto de la elasticidad del m anto sobre la nutacién basândose también en la formulacién Hamiltoniana. Los grupos espanoles de trabajo sobre Rotacién de la Tierra han sido reconocidos inter- nacionalmente. Cabe destacar tam bién no sélamente la actividad investigadora de la Seccién Departam ental de Astronomfa y Geodesia de la Facultad de CC. M atemâticas (UCM) sino 18 Capitulo 1. El estudio de la Rotaciôn de la Tierra n'gida desde la Antigüedad hasta el siglo X X también la labor docente realizada desde 1981 hasta 1996, en donde se han im partido numerosos Cursos de Doctorado relacionados con este tem a. La cantidad de trabajos cientificos publicados por los grupos de trabajo de Madrid y de Valladolid es muy numerosa, los mâs interesantes se encuentran en las referencias de esta Memoria: [Camacho Sz Sevilla 1981], [Sevilla 1982], [Sevilla & Camacho 1982], [Sevilla Sz Camacho 1983a,b], [Sevilla Sz Romero 1983a,b], [Cama­ cho 1983], [Romero 1983], [Camacho Sz Sevilla 1984a,b,c], [Romero 1984], [Romero Sz Sevilla 1985a,b,c], [Sevilla &: Romero 1985], [Sevilla & Romero 1986], [Romero Sz Sevilla 1986a,b,c], [Sevilla et al. 1986], [Sevilla Sz Romero 1987], [Getino 1989], [Getino Sz Ferrândiz 1990], [Geti­ no Sz Ferrândiz 1991a,b,c], [Folgueira 1991], [Folgueira Sz Sevilla 1991], [Getino 1992], [Getino 1993] [Getino Sz Ferrândiz 1994], [Getino Sz Ferrândiz 1995a,b], [Getino 1995a,b], [Getino Sz Ferrândiz 1996a,b], [Sevilla Sz Folgueira 1996] y [Folgueira Sz Sevilla 1996a,b,c]. Capitulo 2 Desarrollo del potencial lunisolar de primer orden 2.1 Introduccion. Entre los diversos grupos de variables canonicas clâsicos en Mecânica Celeste, destacaremos dos: las variables de Delaunay para el movimiento orbital eliptico [Brouwer & Clemence 1961, Cap. XI, Secc. 9] y las variables de Andoyer pa,ra el movimiento rotacional [Andoyer 1923] utilizadas por [Jupp 1972], [Kinoshita 1972,1977,1991], [Kinoshita & Souchay 1990], [Sevilla & Romero 1985,1986], [Getino & Ferrândiz 1989-1996]. Aunque las variables canonicas de Delau­ nay y Andoyer son las mâs convenientes para los eistudios teoricos de los movimientos orbitales y rotacionales, respectivamente, ambas tienen defectos similares: present an problemas con ex- centricidades o inclinaciones pequenas. Hay dos formas de evitar este tipo de dificultades. Una es adoptar variables no canonicas [Brouwer & Clemence 1961, Cap. XI, Secc. 7], lo que obligan'a a abandonar las vent a j as que proporciona la teoria de perturbaciones al utilizar las variables canonicas. La otra es utilizar variables canonicas diferentes. Por lo tanto, si cambiamos de variables, estas deberân cumplir todos o la mayoria de los siguientes requisitos: 1 . que sean canonicas, 2 . que estén bien dehnidas, 3. que tengan un claro significado geométrico o cinemâtico, 4. que conduzcan a la forma de una solucion no mâs complicada que la obtenida con las variables originales. A lo largo de este Capitulo, y siguiendo el trabajo de Kinoshita (1977), utilizaremos las variables de Andoyer para describir la rotacion terrestre, e introduciremos las variables mo- 19 20 Capitulo 2. Desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden dificadas de Delaunay en la expresion general de la energia potencial gravitatoria debida a la Luna. 2.2 Resultados previos. 2.2.1 Ecuaciones del movimiento de Ham ilton. En la formulacién de Lagrange, un sistema con n grados de libertad posee n ecuaciones del movimiento de la forma [Goldstein 1988, p. 25]: 1 % ° = (2 .2 . 1 ) Como las ecuaciones (2.2.1) son de segundo orden, el movimiento del sistema estarâ siempre determinado cuando se especifiquen 2n valores iniciales. En esta ecuacién, Çi ( i= l,..,n ) son las llamadas coordenadas generalizadas, qi représenta una abreviatura de la derivada de ç, respecto al tiempo y £ es la funciôn de Lagrange o Lagrangiana (diferencia entre la energia cinética y potencial; C = T — U). En la formulacién de Hamilton se describe el movimiento mediante un sistema de 2n ecua­ ciones independientes de prim er orden expresadas en funcién de 2 n variables independientes. Normalmente, se tom an como variables las n coordenadas generalizadas y las cantidades de movimiento conjugadas o generalizadas (o impulsas), pi, [Goldstein 1988, p. 67] : Pt = — (% = 1 , ..,n ) (2 .2 .2 ) oqi Las cantidades (q,p) se denominan variables canonicas. La funcién: = qiPi - (z = l," ,m ) (2.2.3) recibe el nombre de Hamiltoniana. Cuando U no depende de la velocidad generalizada çp , 7i représenta la energia to tal del sistema [T-LU). Considerando esta nueva funcién, las ecuaciones de Lagrange se transform an en: dH dpi dH -Pi dqi dC dH dt dt (2.2.4) 2.2. Resultados previos. 21 Las ecuaciones (2.2.4) son las llamadas ecuaciones canonicas de Hamilton; constituyen un sistema de 2 n + l ecuaciones del movimiento de prim er orden. 2.2.2 Transformaciones canonicas. Consideremos la siguiente transformacion de las coordenadas y cantidades de movimiento independientes (qi,Pi) a un nuevo sistema (Q i,P ,) con ecuaciones de transformacion: Qi = Pi = Pi(q,p,t) (2.2.5) Asi, las nuevas coordenadas estar an definidas no solo en funcion de las antiguas coorde­ nadas sino tam bién en funcion de las cantidades de movimiento antiguas. Las transformaciones (2.2.5) para las cuales las nuevas variables [Q, P) sean canonicas se denominan transformaciones canonicas. Este requisite se cumplirâ si existe una cierta funcion K tal que las ecuaciones de movimiento en este nuevo sistem a (Ç, P) estén en la forma de Hamilton: = S p. = (2.2.6) (La funcion /C desempena el papel del Hamiltoniano en el nuevo sistema de coordenadas). Aplicando el principio de Hamilton modificado [Goldstein 1988, p. 446] se llega a que la transformacion entre dos sistemas de coordenadas canonicas (q,p) y (Q,P) satisfarâ también la ecuacion: dW PiqiH = PiQi — /C -f (2.2.7) La funcion W es una funcion arbitraria que hace las veces de puente entre los dos sistemas de variables canonicas y se denomina funcion generatriz de la transformacion. Las transforma­ ciones canonicas tienen las cuatro propiedades que caracterizan a un grupo: 1. La transformacion identidad es canonica, 2 . Si una transformacion es canonica, tam bién lo es su inversa, 3. Dos transformaciones canonicas sucesivas (operacion ’’producto” ) dehnen una trans­ formacion que tam bién es canonica, 4. La operacion producto es asociativa. 22 Capitulo 2. Desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden /E cuador morne nto angular Figura 2.1; Relaciones entre los ângulos de Euler y las variables de Andoyer. 2.3 Las variables de Andoyer. Las variables canonicas de Andoyer que utilizaremos vienen definidas por la Figura 2.1 [Kinoshita 1977], [Kinoshita & Souchay 1990a]. Los diferentes elementos que aparecen en esta figura son: • {X,Y,Z} sistema de referencia inercial. El origen esta situado en el centro de mas as de la Tierra (sistema geocéntrico). El piano fijo XY es el piano de la ecliptica fija, correspondiente a J2000.0. El eje X positive esta dirigido hacia el equinoccio medio fijo 7J2000.0, el eje Y, 90° hacia el este, y el eje Z hacia el polo norte de la ecliptica fija. • {x,y,z} sistema fijo a la Tierra. El eje z, alrededor del cual el momento de inercia es mâximo, se llama eje de figura. El piano perpendicular a este eje es el ecuador de figura. Los ejes x e y est an en este piano. El eje x esta dirigido hacia el meridiano de Greenwich, 90° hacia el este se encuenta el eje y. • son los dngulos de Euler [Woolard 1953]. • M dénota el vector momento angular. Las variables de Andoyer se denotan por (l,g,h) y los impulsos correspondientes por [L,G,H)., donde: l es el ângulo en el ecuador de figura, entre el eje x y la linea nodal P (interseccion del ecuador de figura y el ecuador momento angular). g es el ângulo entre la Imea nodal Q (interseccion de la ecliptica y el ecuador momento angular) y la Ifnea nodal P. 2.3. Las variables de Andoyer. 23 h es el ângulo entre el eje X y la Imea nodal Q. L es la componente z del vector momento angular de la Tierra. G es el modulo del vector momento angular de la Tierra. H es la componente Z del vector momento angular de la Tierra. 2.3.1 Las variables de Andoyer y el Hamiltoniano referido a la ecliptica mo vil. Ifptica môvil ica fija G Ecuador de figura Ecuador momento angular Figura 2.2: El piano movil de referencia. Consideremos la Figura 2.2. En ella: TTi es la inclinacion de la ecliptica movil - de la fecha - respecto de la ecliptica fija (correspon­ diente a J2000.0). Ill es la longitud geocéntrica del nodo ascendente heliocéntrico, interseccion de la ecliptica fija con la ecliptica movil, contado desde el equinoccio medio fijo de 7J2000.0 & lo largo de la ecliptica fija de J2000.0. Se comprueba que la transformacion: (/i, G, L ) . (/i%y, F, G% 1 0 ECLfPTICA FIJA ECLÎPTICA MÔVIL con. 24 Capitulo 2. Desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden h' = X Q ' = X M - \ - M Q ' g' = Q'P î' = P x = / H ' = G COS r G' = G L' = L = G cas J (2.3.8) es una transformacion canonica [Kinoshita 1977, p. 283]. Con esta transformacion, el nuevo hamiltoniano tom a la forma: K = T + E (2.3.9) siendo E el hamiltoniano correspondiente a las variables referidas a la ecliptica fija y F' tiene la expresion [Kinoshita 1977, p. 283]: E = H'{1 — co sT T i)-^ + G' s e n i ' sen 7Ti cos{h' — l l i ) —̂ sen{h' — 1 1 %) dt dt Nota: En lo que sigue no pondremos el signo ' a las variables referidas al piano movil, (2.3.10) 2.4 Energia cinética en funcion de las variables de An­ doyer. La expresion general de la energia cinética de rotacion es [Moritz & Mueller 1987, p. 101]: donde My, M^) son las componentes del vector momento angular M en el sistema {x,y,z} fijo a la T ierra y A ,B y G son los momentos principales de inercia de la Tierra. Estas compo­ nentes est an relacionadas con las variables canonicas de Andoyer por [Moritz & Mueller 1987, p. 1 0 1 ]: = V G 2 - L 2 sen/ M y = VG2 - L 2 cos / (2.4.12) Mz = L Sustituyendo (2.4.12) en (2.4.11) obtenemos [Moritz & Mueller 1987, p. 101]: 2.5. Energia potencial gravitatoria. 25 2.5 Energia potencial gravitatoria. La energia potencial gravitatoria debida a la accion de un cuerpo externo, la Luna o el Sol, viene dada, en el sistema {x,y,z}, por la expresion [Tisserand 1892], [Kinoshita 1977]: U = k^M M ' ^ n = l JnPno(sen S) - Pnm(sen S)(Cnm COS m a + Snm sen m a) m=l (2.5.14) siendo, constante de gravitacion, M, a masa y radio ecuatorial terrestre, M ',a ,S ,r masa, ascension recta y declinacién, referidas a los ejes principales de la Tierra, del cuerpo perturbador y distancia desde el centro de masas de M ' al centro de masas de la Tierra. (Cuando el cuerpo perturbador sea la Luna, se escribirâ el submdice m en las coordenadas, cuando sea el Sol, se utilizarâ el submdice 5 ). dm Cnm, Snm coehcieutes arménicos del geopotencial. {Pno, Pnm}(senê) polinomios de Legendre y funciones asociadas de Legendre. Tomando como origen el centro de masas de la T ierra -no hay térm ino correspondiente a n = l- , podemos escribir: U = Ui-\-U 2 con. k^M' Ui = \2 C - A - B T2 o(sen 6 ) -f- A - B T2 2 (sen 6 ) cos 2 a (2.5.15) (2.5.16) n = 3 n JnPno{sen S) - Pnm(sen 6 ){Cnm COS m a + s, m = l >nm sen m a) (2.5.17) 2.5.1 Formulas fundamentales. Polinomios modificados de Jacobi. Sean A y /? la longitud y la latitud de un punto sobre la esfera y A' y /?' , la longitud y la latitud de ese mismo punto que rota en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del eje x con ângulo J. Entonces, los arménicos esféricos de grado n, (sen , se pueden expresar mediante combinaciones lineales de P^m' ( s e n [Wigner 1959, Kinoshita et al. 1974]: e = ± l m '= 0 7T m'eX + —(m — m') (2.5.18) 26 Capitulo 2. Desarrollo del potencial lunisolar de primer orden donde, <3!.'"'”‘'> (£ ,c o s J ) = £"-’"Q l’"''"'>(ecos J ) (2.5.19) El indice e en la ecuacion anterior tom a los valores +1 y -1 para m ' ^ 0 y el valor + 1 para m' = 0. son los llamados polinomios modificados de Jacobi y estân definidos por [Szegô 1939, formula de Rodrigues; p. 67]: ( — f ) ( tTI T u ) ! , m+m' m -m ' X —m ^ ( 1 + z)"+ '" '(l - z)— (2.5.20) Las expresiones explicitas de los polinomios modificados de Jacobi estân dadas en la Tabla 2 .1 , hasta (n ,m ,m ')=(4 ,l,4). En esta tabla, la cuarta columna indica los factores numéricos, la quinta, sexta y séptim a columnas, las potencias de sen J , (1 + cos J ) y cos J. Las otras columnas muestran los coehcientes de los polinomios en cos J , empezando por constante [Kinoshita et al. 1974]. 2.6 Aplicacion del desarrollo en armônicos esféricos a la energia potencial gravitatoria. Teniendo en cuenta las formulas anteriores, vamos a expresar U en funcion de las variables canonicas de Andoyer y de los elementos orbitales que nos den la posicion de los cuerpos per­ turbadores. El proceso de transformacion de variables consta de los siguientes pasos: ECUADOR DE FIGURA ̂ECUADOR MOMENTO ANGULAR ECUADOR MOMENTO ANGULAR________^ ECLÎPTICA DE LA FECHA ECLfPTICA DE LA FECHA________ ̂ÔRBITA DEL CUERPO PERTURBADOR 2.6.1 Transformacion de variables del ecuador de figura al ecuador m omento angular. En esta transformacion expresamos las coordenadas (a , 6 ) referidas al ecuador de figura en funcion de las coordenadas (a, h) referidas al ecuador momento angular (Figura 2.3). Utilizando la formula (2.5.18), que exprès a la transformacion lineal de arménicos esféricos, tenemos: Pnm (sen ^ cos J)Pnm '(sen h) exp | i m pa + ^ ( m - m ) P = ± l m '= 0 ^ (2 .6 .2 1 ) 2.6. Aplicacion del desarrollo en armônicos esféricos a la energia potencial gravitatoria. 27 / Ecuador momento angular Ecuador de figura Figura 2.3: 2.6.2 Transformacion de variables del ecuador momento angular a la ecliptica de la fecha. Con esta transformacion, relacionamos las coordenadas (a + p, b) referidas al ecuador mo­ mento angular con las coordenadas (A — h, fi) en la ecliptica movil (Figura 2.4). Utilizando de nuevo la formula (2.5.18), tenemos: P„„.(senè)e-'’'" '‘"+“) = £ f l 01’”''"‘"H e.cos/)P„„«(sen/3) x e = ± l Tn"=0 exp pem"(X — h) A —p(m ' — m") | (2.6.22) Sustituyendo (2.6.22) en (2.6.21), se tiene: Ecifptica de la fecha X - h Ecuador momento angular Figura 2.4: 28 Capitulo 2. Desarrollo del potencial lunisolar de primer orden P„„(sen^)e™ “ = ^ cos "■")(£, cos (sen/3) x p,e=dtl m',m"=0 exp |z p e m ' \ \ — h) — m l — m'pg -f- —(m — m') + —p{m' — m") | (2.6.23) 2.6.3 Transformacion de variables de la ecliptica de la fecha a la orbita del cuerpo perturbador. Distinguiremos en esta transformacion los dos cuerpos principales externes (la Luna y el Sol) que afectan al movimiento de rotacion terrestre. Desarrollaremos esta transformacion en los siguientes apart ados. 2.7 Expresiones de las coordenadas eclipticas de la Luna. Las variables modificadas de Delaunay. Vamos a expresar las coordenadas eclipticas de la Luna {Xm i ^ m ) en funcion de las varia­ bles modificadas de Delaunay y de los elementos orbitales. Definiremos primero estas nuevas variables. 2.7.1 Las variables modificadas de Delaunay. Supongamos que el Sol es el linico cuerpo que perturba el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. Las definiciones de las variables de Delaunay est an dadas en la Figura 2.5. En esta figura, tenemos: h'j^ = D es la longitud media del nodo ascendente de la orbita de la Luna, Um es el perigeo lunar, 9m — ^ es el argum ente del perigeo lunar (ângulo desde N a Um ), i es la inclinacion del piano orbital de la Luna respecto al piano de referencia (ecliptica de la fecha), l'j ̂ es la anomalia media de la Luna, V es la anomalia verdadera de la Luna. [I'm , q'm 5 ) son las variables angulares de Delaunay. Los impulsos canonicos correspon­ dientes vienen dados por las expresiones [Smart 1953]: 2.7. Expresiones de las coordenadas eclipticas de la Luna. Las variables modificadas de Delaunay. 29 X ' / Orbita lunar Figura 2.5: Variables de Delaunay. — \ / G'm = H'm = \JpaM{l - e\j) cos i (2.7.24) siendo p = k^{M + M m ), M es la masa de la Tierra y M m es la masa de la Luna, cm es la excentricidad de la orbita de la Luna y üm es el semieje mayor de la orbita de la Luna. Los argumentos de Delaunay vienen dados en funcion del tiempo por [Kinoshita & Souchay 1990b], [Seidelmann 1992]: /L ='M 9m 2.35555590 + 83286.91427T + 0.01570T^ -0.72765067 + 1047.74731T - 0.02164T^ 2.18243920 - 337.57045T + 0.00362T^ (2.7.25) siendo T = {JD — 2451545.0)/36525, el numéro de siglos julianos de 36525 dfas de 86400® de tiempo dinamico a partir de la época fundamental de J2000.0. Aqui a utilizaremos el siguiente grupo de variables modificadas de Delaunay [Brouwer & Clemence 1961, p .539]: 30 Capitulo 2. Desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden Im = + ^a / 5 longitud media de la Luna, 1m = 3.81034443 + 83997.09113T - 0.00232T^ 9 m = 9 m longitud del perigeo lunar, qm = 1.45478853 + 710.17686T - 0.01802T^ longitud media del nodo ascendente de la Luna, (2.7.26) L m — L m — yj Gm = G'm — L'j^ — \Z/^aM(\/(l — e ^ ) — 1 ) H m = — G'j^ = y//aA f(l ~ G^)(oos z — 1 ) A la vista de las definiciones (2.7.26) de las variables modificadas de Delaunay, se observa que estas variables cumplen, de momento, las très primeras condiciones que exigiamos para cambiar de variables: 1 . Son variables canonicas, [Smart 1953, C ap .ll; p. 170] al ser estas combinaciones li­ neales de las variables canonicas de Delaunay. 2. Estan mejor definidas, para el caso de excentricidades e inclinaciones pequenas, que las variables de Delaunay [Fukushima 1994]. 3. Tienen un claro significado geométrico y cinemâtico. 2.7.2 Expresiones de las coordenadas eclipticas de la Luna. Longitud ecliptica. M ovim iento no perturbado. \ m es la longitud ecliptica de la Luna referida al equinoccio medio de la fecha y a la ecliptica de la fecha. Consideremos la Figura 2.6, el triângulo esférico de la Figura 2.5. Como la inclinacion i de la orbita de la Luna respecto a la ecliptica es pequena [i = 5°. 145396), podemos hacer la siguiente aproximacién: ^ 9m + ^ de aqui résulta: ^ (longitud verdadera de la Luna) (2.7.27) La ecuacion del centro nos da la diferencia entre la anomalia verdadera u y la anomalia media [Sevilla 1989]: 2.7. Expresiones de las coordenadas eclipticas de la Luna. Las variables modificadas de Delaunay. 31 - j sen + ( 4 ^ ^ ~ ^ Ï 2 103 + sen 4/5̂ + O(e^) = ^ De (2.7.28), (2.7.27) y (2.7.26), obtenemos: + ^ = /m + ^ (2.7.28) (2.7.29) A cotacion del error en la aproximacion (2.7.27) Vamos a évaluai el error cometido en la aproximacion (2.7.27). Para ello dividimos el triângulo esférico de la Figura 2.6 en dos triangulos esféricos rectangulos (Figura 2.7). Acotare- mos el error cuando x y sea menor que 90°. En este caso, los lados Y ^ estan en el mismo cuadrante. Utilizando la ley de los cosenos para angulos en el triângulo esférico 2, tenemos [Folgueira & Sevilla 1996a]: de ahi que. o, en este caso: sen E = sen i cos y sen E \<\ sen i E < i Considerando el mismo triângulo esférico, tenemos: sen (AM — h'j^) cos E = sen y (a) cos (AM — h'f^) sen y = sen(AM — h'j^) cos y cos i ( 6 ) (2.7.30) (2.7.31) Figura 2.6: 32 Capitulo 2. Desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden Figura 2.7: Ahora, sustituimos (a) en (b) de (2.7.31). El resultado es: c o s ( A m — h'j^) cos E = cos y cos i Con la ayuda de la relacion (2.7.30): c o s ( A m - h'j^) < cosy luego, y ^ Am — /̂ M Sabemos que: 2 ̂ + y = ^ entonces, I (Sm + ^) “ (Am — ^m) I — ^ (2.7.32) Utilizando la segunda formula de Bessel en el triângulo 1 y en todo el triângulo, tenemos: sen X = sen sen E sen /3m = sen i sen(^jy^ + u) de ahi que. I sen a; |< | sen (3m seni |= | sen^ i sen{g'j^ + u) |< | sen^ i Como 1=5^.145396, entonces x < 6.469 x 1 0 “ ̂ rad. (2.7.33) (2.7.34) Longitud ecifptica. M ovim iento perturbado. La expresion (2.7.29) obtenida para la longitud ecifptica de la Luna Am es solamente vâlida en el caso de considerar el movimiento de la Luna elfptico y no perturbado. Sin embargo, la 2.7. Expresiones de las coordenadas eclipticas de la Luna. Las variables modificadas de Delaunay. 33 Luna en su movimiento alrededor de la Tierra sufre perturbaciones producidas por la accion gravitatoria del Sol - que son las principales Existen ademâs otras perturbaciones menores como las debidas a los planetas (que actüan de forma directa sobre la orbita lunar y de forma indirecta sobre la orbita terrestre, que a su vez influirâ sobre la de la Luna), las debidas a la forma irregular de la Tierra y de la Luna, etc. En este trabajo se considerân solamente las perturbaciones principales que constituyen el llamado Problema principal de la teoria de la Luna. En este caso, la longitud ecliptica de la Luna viene dada por la expresion [Brouwer 1961, Cap. 1 2 ], [Sevilla 1989, p. 256]: Am — Im t ^ t ^Am (2.7.35) siendo, 11 15 <̂ Am = — m^sen2(/M - /s) + — ï^eM sen(/M + yM - 2 /5 ) - 3 m esen (/s -^ fs) o 4 — — m — sen{lM — I s ) n — e sen(/M — yg) (2.7.36) o as 2, as con, Is es la longitud media del Sol, g s es la longitud del perigeo solar, e es la excentricidad de la orbita de la Tierra, as es el semieje mayor de la orbita de la Tierra, m = "̂M Um es el movimiento medio de la Luna, Us es el movimiento medio del Sol. Los términos primero, segundo, tercero y cuarto del segundo miembro de (2.7.36) consti­ tuyen los principales términos periôdicos y se denominan respectivamente variacién, eveccion, ecuacion anual y desigualdad paraldctica. Latitud ecliptica. Funciones asociadas y polinom ios de Legrendre. M ovim iento no perturbado. Tenemos tam bién que expresar (3m en funcion de las nuevas variables. La latitud ecliptica de la Luna /3m es el argum ente de los polinomios y de las funciones asociadas de Legendre que aparecen en la expresion (2.6.23); por lo tanto, tendremos que expresar Pno(sen I3m ) y 34 Capitulo 2. Desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Pnm(sen /3m) en funcion de las variables modificadas de Delaunay y de los elementos orbitales. Con este fin, utilizaremos las siguientes formulas de Bessel aplicadas al triângulo esférico de la Figura 2.6: V B e s s e l : cos j3m = cos(gj^ + v) cos(Xm ~ h'j^)-h sen(g'j^ P v) sen(XM ~ Ii'm) ̂ (o) cos(g'j^ -\-v) = cos /3m c o s ( A m - h'j^) {b) 2 °-Besse l : sen^M = sen z sen(^M + ' )̂ (c) 3̂ B̂ esse l : sen(^j^ + u) cos i = cos (3m sen(AM — (d) (2.7.37) Expresion de P2o{sen (3m)- Utilizando la relacion (2.7.37c), tenemos: P 2 o(sen (3m) = — ^ cos^ (3m ~ 2 ] = — — [1 — 3 sen^(^M 4" ' )̂ sen^ z] (2.7.38) y con (2.7.29): sen{g'j^ + u) sen z = sen(/M — + ^ ) sen z (a) sen^(^{^ + v) sen^ z = — |[c o s 2 (/m — /im + ^ ) — 1 ] sen^ z ( 6 ) La sustitucion de (2.7.39b) en (2.7.38) lleva a: F 2 o(sen/?m) = < ^ 0 T cq cos 2(/m 4" ^ ) (2.7.40) con, i - 3 2 3 (2.7.39) flo — — " 2 ai = — js e n ^ z (2.7.41) E x p r e s io n d e P 2i( s e n ^ M )- M u ltip lican d e (6) x (c) y (d) x (c) en (2.7.37), tenem os: sen(^M 4- v) cos{g'j^ + v) sen z = sen (3m cos (3m cos(Am - /î'm) (®) (2.7.42) sen^(^{^ + v) sen z cos z = sen (3m cos ^ m sen(AM — h'j^) (6) haciendo (a)^ + (6)^ en (2 .7 .42), ob tenem os: sen^ (3m cos^ (3m = sen^{g'j^ -f v) sen^ z [1 — sen^(^{^ + u) sen^ z] 2.7. Expresiones de las coordenadas ech'pticas de la Luna. Las variables modiûcadas de Delaunay. 35 entonces, P21 (sen j3m) = 3 sen/3m cos/3m = 3sen(g'j^ + v )sen i [ 1 — sen^(g'j^ + u) sen^ Aplicando la formula de Taylor, al primer orden de aproximacion: P 2 i(sen/?M) = 3sen(^J^ + v) seni [1 — ^ sen^(pj^ + sen^ z] (2.7.43) Sustituyendo las relaciones (a) y (b) de (2.7.39) en (2.7.43), P2 i(sen ^m) se convierte en: 7 ^ 1 (sen (3m ) — ^ 0 sen(ÎM — H" ^ ) "b ^ 1 sen 3(Im — T ^ ) (2.7.44) con, 3 bo — - sen z [8 — 3 sen^ z] 8 hi = ^sen^z (2.7.45) 8 E x p re s io n d e P 2 2 (sen ^m )- Con la ayuda de (2.7.37c) podemos escribir P 2 2 (sen /9m) como: 7 2̂ 2 (sen/?M) = 3[1 — sen^ ^m] = 3[1 — sen^ (g'j^ + u) sen^ z] (2.7.46) la relacion (2.7.39b) conduce a: 7 "2 2 (sen^M) = Q) 4 - ci cos 2(/m ~ T ^ ) (2.7.47) con, 3 Co = -[2 —sen^z] Cl = ^sen^z (2.7.48) E x p re s io n d e P 3 o(sen^M )- Con ayuda de las relaciones (2.7.37) podemos expresar: 7 ^ 0 ( sen/^M) = ̂ de la forma: 7^0(sen /3m) — do sen(ÎM ~ hM T ^ ) 4- sen 3(Im ~ ^m T ^ ) (2.7.49) P 3 o(sen /3m) = - sen /3m [5 sen^/3m - 3] con. do = - sen z [15 sen^ z — 12] 8 di = —^sen ^z (2.7.50) 8 36 Capitula 2. Desarrollo del potencial lunisolar de primer orden E x p re s io n de P 3 i(sen^M )- Utilizando la segunda formula de Bessel, podemos escribir: 1 „ 2 P 3 i(sen I3m ) = ~ cos [15 sen ~ 3] como: T 3 i ( s e n /9m ) — cq + c i c o s 2 ( /m ~ T ^ ) 4- C2 c o s 4 ( /m ~ 4- ^ ) ( 2 .7 .5 1 ) con, 3 eo = — [—16 + 4 4 sen^ z — 15 sen'* z] 3 ei = - sen^ z [—11 + 5 sen^ z] 8 62 = — — sen'* z ( 2 .7 .5 2 ) 3 2 ̂ ^ E x p res io n de P32(sen^M )- La funcion de Legendre: 7^2 (sen ^M) = 15 cos^^M sen /9m se puede escribir de la siguiente manera: 7 3 2 (sen /9m ) = f o sen(^M ~ + ^ ) + / i sen 3 ( /m ~ + ^ ) ( 2 .7 .5 3 ) con, / o = ^ sen z [4 — 3 sen^ z] / i = ^ sen^z ( 2 .7 .5 4 ) E x p re s io n de P ^ ^ / s e n ^ m )- La funcion de Legendre: 7^3 (s e n ^ M ) = 1 5 cos^/9m se puede expresar como: Ps3 (sen ^m) = 5 'o 4- 5̂ 1 cos 2(/m ~ 4 -^ ) 4- P2 cos4(/m ~ 4 -’Î ) (2.7.55) con, 2 ; , o _ 4go = — [16 —12 sen z 4 * 3 sen z] 1̂ 2 • ro 2 1gi = — sen z [3 — sen zj 9 2 = — sen^ z (2.7.56) 2.7. Expresiones de las coordenadas ech'pticas de la Luna. Las variables modificadas de Delaunay. 37 E x p re s io n de P 4 o(sen^M )- Utilizando las relaciones de Bessel (2.7.37) podemos expresar: 7̂ 40(sen ^ m ) = ^ [ 3 - 3 0 sen^ /3m + 35 sen'* /3m ] o de la forma: 7Ao(sen /9m) — ho h\ cos 2(Im — hM 4" ^ ) T ^ 2 cos ^{Im ~ hM 4- ^ ) (2.7.57) con, ho — « 2 . 105 4 ; 3 — 15 sen i 4— — sen z 1C 2 • 35 4 .15 sen z ----— sen z A 35 4 .h 2 = - — sen z d4 E x p re s io n de P 4 1 ( s e n /9m)- Podemos escribir: (2.7.58) p 4 i(sen ^m) = - sen /9m cos ^M [ - 3 4- 7 sen^ /9m] como: P 41 ( s e n /9m ) — zg se n ( /M — 4~ ^ ) 4~ zi s e n 3(1 m — 4" ^ ) 4- Z2 s e n 5 ( /m — 4" ^ ) (2 .7 .5 9 ) c o n . z 4 - — sen^ 7 ;n ̂z — - 6 1 sen^ 6 5 r 7, Zo = bo — —b{ 2 [ 4 5 [i. , 7z’i = ----- 6 1 4" — 2 1 2 35 Z2 = ~24 6 1 sen z (2.7.60) E x p re s io n de P4 2 (sen /3m)- La funcion de Legendre: 15 7̂ 2(s e n /9M) = y cos^/9m [ - 1 4- 7 sen^/9m] se puede escribir de la forma: 7̂ 2( s e n ^ M ) = io 4- j i c o s 2( /m - /im 4- ^ ) 4- j 2C o s4(/M - /im 4- ^ ) (2.7.61) 38 Capitulo 2. Desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden con, 5 r 7 jo = 2 —Co 4" — s e n 5 7 il = 2 —Cl 4- - se n 35 72 = ■ — Cl s e n I 8 (2.7.62) E x p re s io n de P4 3 (sen /3m)- La funcion: 7 ^ 3 (sen ^Af) = 105 cos^^M sen/?M se puede expresar de la forma: 7 ^ 3 (sen /?m) — sen(/M — T ^ ) 4" sen 3(/m — 4" ^ ) T ^ 2 sen 5(/m — 4" ^ ) (2.7.63) con, , _ 35 - J Co60 — -C l60 4- -C l61 = f L _ 35 . «2 — — Cl 61 D Co î 4" -C l 60 E x p re s io n de 7 4̂ (sen^M )- La funcion de Legendre: (2.7.64) P 4 4 (sen/?M) = 105 cos'*/?M se puede escribir como: p 4 4 ( s e n /9m) = ^ 0 4“ /i c o s 2(/m ~ 4- ^ ) 4- ^ 2 c o s 4(/m ~ T ^ ) con. / -lo - J ; - 70h — -^CgCi Co + 2 ^ 1 (2.7.65) (2.7.66) Los valores numéricos de , 6 ̂ , Ck, dk ̂ Ck , fk ̂9 k ̂ hk , ik , jk Y h (k=0,l,2 ) se encuentran en la Tabla 2.2. 2.7. Expresiones de las coordenadas ech'pticas de la Luna. Las variables modificadas de Delaunay. 39 Latitud ecliptica. Funciones asociadas y polinom ios de Legendre. M ovim iento perturbado. Vamos a obtener expresiones de las funciones asociadas y los polinomios de Legendre cuando considérâmes el movimiento perturbado de la Luna alrededor de la Tierra. Para ello, utilizare- mos las expresiones obtenidas en el apartado anterior del movimiento no perturbado. Podemos escribir la la titud ecliptica del movimiento perturbado como: 0 m = 0m + (2.7.67) siendo la latitud ecliptica correspondiente al movimiento eliptico de la Luna alrededor de la T ierra considerada en el apartado anterior y 6 (3m es la perturbacion principal en latitud cuya expresion es: 3 <̂ /?M = ô"^7®cn(/M - 2 /5 + /zm) (2.7.68) o con 7 = sen i. Expresion de P2o{sen ^m)- Utilizando (2.7.67) y (2.7.68), podemos escribir P2o{sen ^m)- para el movimiento perturbado como: P 2 o(sen /?m) = P 2 o(sen /9j^) + 3 sen (3̂ ̂cos 6 ^m (2.7.69) El primer término del segundo miembro de la expresion anterior ya lo hemos calculado en el apartado correspondiente al movimiento no perturbado y esta dado por (2.7.40). Con ayuda de la expresion (2.7.43) podemos escribir (2.7.69) de una forma aün mas explicita en funcion de las funciones asociadas de Legendre del movimiento no perturbado, es decir: P2o(sen/9M) = P2o(sen/9^) + P2 i(sen (31̂ ) 6(3m (2.7.70) Expresion de P 2 i(sen^M )- Utilizando de nuevo (2.7.67) y (2.7.68), podemos escribir la funcion P 2 i(sen^M ) para el movimiento perturbado como: P2i(sen^M ) = P2 i{sen^ lf) -f 3 { l - 2seii^(3^^ S/3m (2.7.71) El primer término del segundo miembro de la expresion (2.7.71) lo hemos calculado previamente y viene dado por la ecuacion (2.7.44). 40 Capitula 2. Desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden E x p re s io n de P 2 2 (sen ^m)- Procediendo de la misma forma que en los apart ados anteriores, podemos escribir P2 2 (sen /3m) para el movimiento perturbado como: p 2 2 (sen /3m) = P2 2 (sen /3^) - 6 sen /3^ cos /3^ 6 (3m (2.7.72) El primer término del segundo miembro de la expresion anterior se obtuvo en el apartado correspondiente al movimiento no perturbado y viene dado por la ecuacion (2.7.47). Con ayuda de la expresion (2.7.43) podemos escribir (2.7.72) de la forma: P22{sen (3m) = p22(sen/9^) — 2P2i(sen^M ) (2.7.73) E x p re s io n de P3 o(sen (3m)- La expresion obtenida para el polinomio de Legendre de grado 3, para el movimiento perturbado, es: P 3o{sen (3m) = P 3o is e n (3% ) + P 31 ( se n 0 l j ) 6 (3m (2.7.74) E x p re s io n de P3 i (sen (3m)- La relacion obtenida, después de algunos calcules, es: p3i(sen^M ) = p3i(sen/9%^) + ^ sen ^ lf \^1 3 - 15sen^/9j^} <9/9m (2.7.75) E x p res io n de Pa2 (sen (3m)- La expresion que hemos obtenido para esta funcion de Legendre P32(seny^M) = P3 2 (sen (3lj) + 15 cos ^ ^ { l - 3 se n ^ ^ ^ j (2.7.76) es: Expresion de p33(sen (3m)- La expresion final para esta funcion de Legendre tiene la forma: P33{sen(3M ) = 7 3 3 ( s e n ^ M ) - 3 P32{sen (3^) 6^ m ( 2 .7 .7 7 ) Expresion de 74o(sen^Af)- La expresion obtenida para el polinomio de Legendre de grado 4, para el movimiento perturbado, es: P 4 o (s e n ^ A f) = f 4 o ( s e n ^ ^ ) + P4 1 (sen (3lf) 6 /3m (2 .7 .7 8 ) Expresion de P4i(sen^A/)- La relacion obtenida, después de algunos calculos, es: 7 ^ 1 (sen /^Af ) = 7 4 1 (sen ^ ^ sen^ ^ M 4" 2 8 s e n '* ^ ^ } (2 .7 .7 9 ) 2.8. Desarrollo de la energïa potencial gravitatoria debida a la Luna. Primer orden. 41 E x p re s io n de ^ 4 2 (sen /3m)- La expresion que hemos obtenido para esta funcion de Legendre es: P42(sen/3m) = 7^2( s e n - 10 7̂ 21 (sen /9^) { - 4 + 7 sen ĵd ̂j S/3m (2.7.80) E x p re s io n d e 74g(sen /9m)- La expresion final para esta funcion de Legendre tiene la forma: P 4 3 (sen /3m) = 7^3(sen /9m) + 35 7̂ 22(sen /9^) { l - 4 8(3m (2.7.81) E x p re s io n de P 4 4 (sen /3m)- la expresion obtenida para esta funcion es: 7^4(sen ^M) = Pt4(sen^M) - 4 7^3(sen /9^) <̂ /9M (2.7.82) 2.8 Desarrollo de la energia potencial gravitatoria de­ bida a la Luna. Primer orden. Para calcular las expresiones de (1/rJ^) P2o(sen<9M) y (I/^m ) ^ 2 2 (sen <9m) cos 2qm tenemos primero que encontrar las expresiones de ( l / r ^ ) P 2 m(sen^M)- Hasta el cuarto orden de cm, tenemos, para el movimiento perturbado [Sevilla 1989, p. 256]: ^ = ( ^ ) (2.8.83) z'M V Cm / 0 V tm / siendo. 1 + ^ c m c o s ( /m — ç m ) + cos 2 ( /m — 9 m ) g 4 4- -C m C o s 3 ( /m — 5'm) 4 - -C m c o s 4 ( /m — 5^m) (2.8.84) 6 f — 1 cos 2 ( /m — Is) H— —mcM c o s ( /m 4- 9m ~ 2 /5 ) — — m — c o s ( /m — Is) \C M / 4 l o a s — — 4- T — c c o s { I m — 9 s) (2.8.85) I 4 « 5 Podemos aproximar = Am — h (longitud referida al equinoccio momento angular), que aparece en la energfa potencial gravitatoria debida a la Luna, a Am de la relacion (2.7.35) (longitud referida al equinoccio medio de la fecha y la ecliptica de la fecha) debido a que el polo de rotacion y el polo momento angular estan muy proximos. Entonces, desarrollando 42 Capitula 2. Desarrollo del potencial lunisolar de primer orden las funciones P 2 o(sen^M) , P 2 i(sen )^M){sen A^, cos y P 2 2 (sen /9M){sen 2A^, cos 2A,ŷ } en se­ ries trigonométricas obtenemos las expresiones que se m uestran a continuacion. Las Tablas 2.3, 2.4 y 2.5 m uestran los coeficientes de cada desarrollo. El câlculo numérico se ha hecho con los ordenadores SunOS y Silicon Graphics de la Facultad de M atematicas de la Universi- dad Complutense de M adrid y se ha utilizado MAPLE V 3-4 para desarrollar nuestras series trigonométricas finitas. En los calculos hemos eliminado previamente la ecuacion del centro, de los argumentos en donde aparece. Para ello, hemos realizado aproximaciones de c o s { '5 ,2 ^ ,3 ^ ,4 ^ ,5 ^ } s e n { ^ ,2 ^ ,3 ^ ,4 ^ ,5 ^ } hasta el cuarto orden de la excentricidad de la orbit a de la Luna. En todos los calculos se consideran 10 décimales. El resultado es: ( — ) P 2 o(sen /3m ) = ^ cos Xi (a) Vc m / V ) P 2 i(sen /3m ) sen A] cos %, (61) \ C M / ,• f — ) P 2 1 (sen /3m ) cos = ' ^ À] sen %, (62) V Cm / ,• f — ) P2 2 {sen/3m) sen 2Xm = sen Xi (cl) V C M / j ) P 2 2 (sen^M )cos 2 A^ = ^ A-cosx» (c2 ) \ CM / (2 .8 .86) con. Xi = zi/m + Z2^m + ishM + u h T is9 s (2.8.87) i = (*1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 ) A partir de la naturaleza de las funciones trigonométricas, tenemos: ÂJ = -A J Â? = A^ (2 .8 .8 8 ) Los coeficientes (2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 ) verihcan las siguientes relaciones: 2.8. Desarrollo de la energfa potencial gravitatoria debida a la Luna. Primer orden. 43 • En el desarrollo (a) de (2.8.86): ii + Z] + 2 3 + 2 4 -f * 5 = 0. • En los desarrollos (b l) y (b2) de (2.8.86): 2 i + 2 2 + 2 3 + * 4 + 2 5 = 1. • En los desarrollos (c l) y (c2) de (2.8.86): 2 i + * 2 + 2 3 + z'4 + 2 5 = 2. A partir de las expresiones (2.8.86) y (2.8.88), tenemos: f — ) P 2 o(sen (3m ) c o s u = ^ ^ ^ A - cos(u - 6%,) V c m / i %] ) P2i(sen/9M)sen(A„i - £u) = ^ ^ A* cos(u - ext) (2.8.89) £ = ± 1 £ = ± 1 i ^ 1 P 2 2 (sen/?M) cos(2Am - e u ) = ^ ^ A- cos(u - e x i ) £ = ± 1 E = ± l i siendo u una combinacion lineal de las variables de Andoyer I y g. Sustituyendo (2.8.89) y las expresiones explicitas de los polinomios modificados de Jacobi en (2.6.23), obtenemos: f — ) P2o{sen 6 m) = ^(3 cos^ J - 1) ^ B, cos x% V Cm / 2 j- - | s e n 2 J ^ Q ( s ) c o s ( p - 6 Xi) ^ £ = ± 1 i + ^ senV ^ D,(g) cos(2^ - axi) (2.8.90) £ = ± 1 t qm P 2 2 (sen<9 M) cos 2 «m = — - sen^J Y l Bj cos(2 / — exi) 2 E=±l i 3 Y1 p s e n J ( 1 + p c o s J ) Yh ^ Q (e ) cos(2pZ + p - Gx%) p=±i £ = ± 1 t - j ^ ( 1 4-pcos J)^ Y X) A (e )c o s( 2 p/ + 25r-£X i) p = ± l £ = ± 1 i (2.8.91) con, 44 Capitula 2. Desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Bi = |[3 cos^ I — 1 ]A° — I sen 21 A] — ^ serPl A f Ci^s) = ̂sen 2 1 -f- ^ ( 1 -f- e cos / ) ( —1 A 2c cos 7)A* A sen / (1 A ^ cos I)A^ (2.8.92) Di{e) = I sen^J A° A sen / (1 A £ cos 7)AJ — ^ (1 A £ cos 7)^A? Las expresiones ( 2 .8 .9 0 ) y ( 2 .8 .9 1 ) se sustituyen en la expresion ( 2 .5 .1 6 ) de Ui obteniéndose el desarrollo de la energfa potencial gravitatoria debida a la Luna al primer orden. 2.9 Desarrollo de la energia potencial gravitatoria de­ bida al Sol. Primer orden. Consideremos ahora el Sol como astro perturbador. Entonces, tenemos aproximadamente: = 0 (2.9.93) de ahf que solamente tenemos que calcular: ' ^ s \ ^ f o \ 1 / a g V(%) ~ - 2 (%) ^ P 2 2 (sen ^ 5 ) cos(2 A5 — 2/i) % 3 ^ — ^ cos(2 Ag — 2A) (2.9.94) donde rs es la distancia Tierra-Sol, as el semieje mayor y A5 la longitud verdadera del Sol a lo largo de la ecliptica de la fecha, medida a partir del equinoccio de la fecha. Vamos a expresar los desarrollos (2.9.94) en funcion de las variables Is (longitud media del Sol) y g s (longitud del perigeo solar). Las expresiones de estas variables en funcion del tiempo son: Is = -1.38812231 A 6283.31966T A 0.00052T^ gs = -7.62818244 A 0.30011T A 0.00078T2 (2.9.95) Hasta el cuarto orden de la excentricidad de la orbita de la Tierra, e, tenemos: y = 1 A c o s ( /5 -P 5 ) + - y j cos2 ( /5 - p s ) A ^ e ^ c o s3 ( /5 -P 5 ) A ^e'*cos4(/5 - ps) (2.9.96) 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 45 La longitud del Sol, referida al equinoccio de la fecha: \ s = is-h (2.9.97) donde représenta la ecuacion del centro y viene dada por [Sevilla 1989]: g2 ̂ 23 ^ ' = (2 - — )esen(ls - gs) A ( - - — e^)e^ sen2(Zg - gs) A — sen3(/g - gs) 103 A e'* sen 4(/g — ^^) A O(e^) (2.9.98) Procediendo de la misma forma que en el desarrollo de la energia gravitatoria debida a la Luna, aproximamos Xg = Xs — h a Xs dehnido en (2.9.97). Entonces, podemos escribir (2.9.94) de la forma: ) P 2 o(sen (3s) = Y cos %, P22(sen/55)cos2Aa = Ç A - ^ c o s x t (2.9.99) donde x* es una combinacion lineal de las variables Is y gs- Los valores de los coeficientes y A3 estan dados en las Tablas 2.6 y 2.7. Estos ultimos desarrollos se incluiràn en la expresion (2.5.16) de Ui obteniéndose la energfa potencial gravitatoria debida al Sol al primer orden. 2.10 Conclusiones y resultados numéricos. Las tablas 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 y 2.7 muestran todos los coeficientes del desarrollo del potencial lunisolar (primer orden) incluyendo todos los términos hasta 0 .1x10“® rad. calculados con las formulas (2.8.86) y (2.9.99). El câlculo de las series se ha hecho con MAPLE V 3-4. Dichas series se han truncado en el cuarto orden de las excentricidades de la orbita de la Luna y del Sol y en el tercer orden del seno de la inclinacion de la orbita lunar. A la vista de los resultados obtenidos, se observa que las variables utilizadas en esta Memo- ria conducen a un desarrollo de la energfa potencial similar al obtenido por Kinoshita (1977) por lo que el grupo de variables considerado cumple tam bién el cuarto requisito apuntado en la introduccion de este Capftulo. Ademâs se verifican una serie de relaciones entre los coeficientes (û , *2 , *3 , *4 , zs) que simplificarân algo la programacion de las expresiones correspondientes. 46 Capitula 2. Desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Los polinomios y las funciones asociadas de Legendre para el movimiento perturbado se han obtenido a partir de las correspondientes al movimiento no perturbado. A partir de (2.7.70), (2.7.73), (2.7.74), (2.7.77), (2.7.78) y (2.7.82) vemos que existen una serie de relaciones de recurrencia, al primer orden de aproximacion de S/3m ■ Pno(sen/?M) = Fno(sen /3^) + Pni ( s e n /3^) S/3m (2.10.100) Pnn(sen/3M) = Pnn(sen/3^) - nPn(n-i)(sen/3^)S/3M (2 .10.101) Las variables utilizadas por Kinoshita (1977) y Kinoshita & Souchay (1990) para describir el movimiento perturbado de la Luna estan relacionadas con las variables utilizadas en este trabajo mediante unas sencillas ecuaciones de transformacion: (^M, ffM, hM, Is, 9s) -----------► (h , /©, P , P , f î) Im — P + ü Çm — —h A p A n hM — ü h = F - P A 9s = A P - P A H (2 . 10 .102 ) donde. Il es la anomalia m edia de la Luna, /© es la anomalia m edia del Sol, F es la diferencia entre la longitud media de la Luna y la longitud media del nodo ascendente de la Luna, D es la diferencia entre la longitud media de la Luna y la longitud media del Sol, Q es la longitud del nodo ascendente de la Luna. Folgueira & Sevilla (1996) han comparado algunos de los coeficientes mas im portantes en ambos desarrollos. Nuestros coeficientes y los obtenidos por Kinoshita (1977) y Kinoshita & Souchay (1990) se diferencian a partir del cuarto decimal [Folgueira & Sevilla 1996c]. Esta pequeha discrepancia puede ser debida a varias razones, entre ellas, los diferentes valores numéricos de las constantes que intervienen en los desarrollos de las series trigonométricas, aproximaciones en los desarrollos de los polinomios y las funciones de Legendre, etc. Los valores numéricos de las diferentes constantes utilizadas en este Capftulo se encuentran recopilados en el Apéndice 1. 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 47 Tabla 2.1: = cos J ) n m m' Factor Num. sen J l+ z z z» z^ z* 2 0 0 1 /2 0 0 0 0 3 2 0 1 1/2 1 0 1 2 0 2 1 /8 2 0 0 1 2 1 0 3 1 0 1 1 2 1 1 1 /2 0 1 0 2 2 1 2 1 /4 1 1 0 2 2 0 3 2 0 0 1 2 2 1 1 1 1 0 1 2 2 2 1 /4 0 2 0 1 3 0 0 1/2 0 0 0 -3 0 5 3 0 1 1 /8 1 0 1 1 0 -5 3 0 2 1 /8 2 0 0 1 3 0 3 1 /48 3 0 1 3 1 0 3 /2 1 0 0 0 5 3 1 1 1 /8 0 1 0 -10 15 3 1 2 1 /8 1 1 0 1 -3 3 1 3 1 /16 2 1 0 1 3 2 0 15 2 0 1 1 3 2 1 5 /4 1 1 0 3 3 2 2 1 /4 0 2 0 -2 3 3 2 3 1 /8 1 2 0 3 3 0 15 3 0 0 1 3 3 1 15/4 2 1 0 1 3 3 2 3 /4 1 2 0 1 3 3 3 1 /8 0 3 0 1 4 0 0 1 /2 0 0 0 0 -30 0 35 4 0 1 1 /8 1 0 1 0 -7 4 0 2 1 /48 2 0 0 0 7 4 0 3 1 /48 3 0 1 4 0 4 1/384 4 0 0 1 4 1 0 5 /2 1 0 1 -3 0 7 4 1 1 1 /8 0 1 0 -6 -21 28 4 1 2 1/24 1 1 0 1 7 -14 4 1 3 1 /48 2 1 0 4 4 1 4 1 /96 3 1 0 Tabla 2.2: Movimiento no perturbado. Valores numéricos de las constantes. k= 0 k = l k= 2 -0.493967660 -0.006032339 bk 0.268238824 0.000270500 Ck 2.987935320 0.012064679 dk -0.133172660 -0.000450834 Ck -1.466913104 -0.033056572 -0.000030324 f k 1.337136614 0.002705005 9k 14.90969685 0.090242503 0.000060649 hk 0.360025284 0.015045471 0.000035378 ik -0.661161272 -0.003816226 -0.000003173 3k -7.259980026 -0.239595433 -0.000424540 kk 9.331744114 0.028307367 0.000019037 Ik 104.1580197 0.841131255 0.000849080 48 Capitula 2. Desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Tabla 2.3: Desarrollo de P 2 o(sen^M)- Im 9 M 55 A? X 10-® (rad) PERlO D O (dias) 1 0 0 0 0 0 -496207707.9 2 1 -1 0 0 0 -81324719.3 27.55455 3 1 1 0 -2 0 -23193352.2 31.81194 4 2 0 0 -2 0 -9844897.3 14.76529 5 2 -2 0 0 0 -6689253.5 13.77727 6 2 0 -2 0 0 -5934765.0 13.60611 7 0 2 0 -2 0 -1282144.6 -205.89221 8 3 -1 -2 0 0 -1137912.8 9.10846 9 3 -1 0 -2 0 -586414.6 9.61372 10 3 -3 0 0 0 -540786.4 9.18485 11 0 0 2 -2 0 293067.7 -173.31004 12 1 0 0 -1 0 267912.2 29.53059 13 2 2 0 -4 0 -178757.9 15.90597 14 1 1 -2 0 0 175956.1 26.87829 15 3 1 0 -4 0 -140529.0 10.08460 16 3 1 -2 -2 0 -134242.0 9.53006 17 1 -1 -2 2 0 -99338.0 23.77462 18 1 -3 0 2 0 -88013.6 24.30219 19 4 -2 -2 0 0 -80151.4 6.84558 20 1 0 0 0 -1 -79287.6 27.32168 21 4 0 -2 -2 0 -72689.8 7.08101 22 0 2 -2 0 0 72533.6 1095.17505 23 4 -4 0 0 0 -43073.9 6.88864 24 4 -2 0 -2 0 -41225.4 7.12709 25 4 0 0 -4 0 -30561.3 7.38265 26 2 -2 -2 2 0 -19014.1 12.76270 27 0 1 0 -1 0 18807.1 -411.78443 28 2 -1 0 -1 0 14718.9 14.25418 29 1 -1 2 -2 0 13719.0 32.76364 30 5 -3 -2 0 0 -11422.3 5.48332 31 5 -1 -2 -2 0 -9299.6 5.63335 32 2 2 -2 -2 0 8343.6 14.56887 33 1 1 2 -4 0 7348.4 38.96398 34 2 -4 0 2 0 -6287.0 12.91319 35 1 -3 2 0 0 5941.0 28.26571 36 1 3 0 -4 0 -4995.2 37.62535 37 0 1 0 0 -1 -4366.3 3232.86180 38 2 -1 0 0 -1 -4366.3 13.71881 39 2 1 0 -3 0 4158.3 15.31442 40 2 0 2 -4 0 2749.1 16.14039 41 1 3 -2 -2 0 1706.9 30.91397 42 3 0 -2 -1 0 1618.3 9.31449 43 1 0 -2 1 0 1521.6 25.23137 44 6 -4 -2 0 0 -1318.7 4.57325 45 4 2 -2 -4 0 -990.4 7.33321 46 5 1 -2 -4 0 -908.9 5.79181 47 3 -3 -2 2 0 -698.7 8.72258 48 6 -2 -2 -2 0 -566.4 4.67714 49 2 -4 2 0 0 491.5 13.95280 50 1 0 -2 0 1 -478.3 27.10364 51 3 0 -2 0 -1 -478.3 9.08287 52 5 -3 0 -2 0 -392.9 5.66247 53 5 -1 0 -4 0 -363.9 5.82261 54 2 0 -4 2 0 329.8 12.61569 55 2 -2 2 -2 0 326.1 14.96708 56 0 2 2 -4 0 -293.5 -94.10067 57 2 -1 -2 1 0 281.0 13.17092 58 4 -1 -2 -1 0 266.2 6.96130 59 6 0 -2 -4 0 -252.3 4.78585 60 4 -4 -2 2 0 -160.2 6.62530 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 49 Tabla 2.3: Continuacion. Im 9 M b-M as A ° X 10-® (rad) PERlO D O (dias) 61 3 3 -2 -4 0 97.4 9.99258 62 0 4 -2 -2 0 95.4 -253.56164 63 1 0 2 -3 0 -93.9 35.59582 64 0 1 -2 1 0 -92.8 299.26222 65 3 0 0 -3 0 91.3 9.84353 66 1 -3 -2 4 0 -89.7 21.31353 67 7 -5 -2 0 0 -86.4 3.92227 68 3 -1 -4 2 0 81.4 8.65366 69 2 -1 -2 0 1 -78.9 13.66362 70 4 -1 -2 0 -1 -78.9 6.83111 71 7 -3 -2 -2 0 -74.4 3.99844 72 2 1 -2 -1 0 -67.9 14.07104 73 2 2 2 -6 0 63.3 17.51330 74 3 -5 2 0 0 60.2 9.26253 75 4 2 0 -6 0 -58.4 7.65721 76 5 1 0 -6 0 -48.0 5.99206 77 3 1 2 -6 0 42.4 10.70766 78 6 -4 0 -2 0 -36.7 4.69720 79 1 2 -2 -1 0 -28.5 28.75523 80 1 1 -4 2 0 -28.3 23.26948 81 1 0 0 -2 1 -27.0 32.12809 82 1 0 2 -2 27.0 32.43492 83 1 0 -2 2 27.0 23.60106 84 3 0 0 -2 -27.0 9.58521 85 0 1 -2 0 1 26.9 1656.25277 86 2 1 -2 0 26.9 13.54909 87 6 -2 0 -4 0 -25.7 4.80686 88 1 -2 2 -1 0 -25.2 30.34893 89 4 1 -2 -3 0 25.1 7.20491 90 7 -1 -2 -4 0 -17.5 4.07762 91 3 -3 2 -2 0 17.2 9.69886 92 5 -5 -2 2 0 -16.7 5.34107 93 2 4 -2 -4 0 14.0 15.67826 94 0 1 2 -3 0 13.7 -121.97411 95 6 0 0 -6 0 -11.7 4.92176 96 4 -1 0 -3 0 10.0 7.25262 97 1 -5 2 2 0 9.3 24.85370 98 0 2 -4 2 0 -8.8 149.63111 99 3 -2 -2 1 0 8.4 8.91135, 100 1 -1 -4 4 0 8.2 20.90665 101 1 2 -2 0 -1 7.7 26.65667 102 1 -2 2 0 -1 7.7 28.02072 103 3 1 -4 0 0 7.3 9.03333 104 4 -2 2 -4 0 -6.9 7.43275 105 4 0 2 -6 0 6.5 7.71113 106 8 -4 -2 -2 0 -6.1 3.49175 107 5 -2 -2 -1 0 6.0 5.55732 108 3 -1 2 -4 0 5.5 10.17832 109 1 3 2 -6 0 5.1 48.05885 110 8 -6 -2 0 0 -4.7 3.43352 111 4 0 -4 0 0 4.4 6.80306 112 2 -4 -2 4 0 4.3 12.01776 113 4 -2 -4 2 0 4.0 6.58546 114 0 1 2 -2 -1 3.0 -183.12728 115 2 -1 0 -2 1 -3.0 14.83304 116 2 -1 -2 2 -1 3.0 12.71252 117 4 -1 0 -2 -1 -3.0 7.11141 118 3 2 -2 -3 0 -2.8 9.75584 119 5 0 -2 -3 0 2.8 5.71148 120 4 -6 2 0 0 2.5 6.93224 50 Capitula 2. Desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden Tabla 2.3: Continuacion. 9 m b-M h 5S X 10-® (rad) PERlODO (di'as) 121 1 -2 -2 3 0 2.4 22.47691 122 0 0 4 -4 0 1.9 -86.65502 123 3 3 0 -6 0 1.8 10.60398 124 3 -2 -2 0 1 - 1.8 9.13420 125 5 -2 -2 0 -1 - 1.8 5.47403 126 7 -5 0 -2 0 - 1.8 4.01309 127 2 -2 -4 4 0 1.7 11.88731 128 4 -4 2 -2 0 - 1.6 7.17378 129 7 -3 0 -4 0 - 1.6 4.09286 130 3 -5 0 2 0 1.5 8.79261 131 5 -5 2 -2 0 -1.5 5.69190 132 2 1 2 -5 0 -1.4 16.79884 133 4 1 0 -5 0 1.4 7.51742 134 5 -3 2 -4 0 -1.4 5.85373 135 0 3 -2 -1 0 - 1.1 -659.90960 136 0 4 0 -4 0 1.1 -102.94611 137 6 -3 -2 -1 0 1.1 4.62461 138 4 -3 -2 1 0 1.0 6.73364 139 5 -3 -4 2 0 1.0 5.31515 140 2 2 -4 0 0 -0.9 13.43915 141 1 -3 4 -2 0 -0.8 33.77403 142 2 -3 2 -1 0 -0.8 14.44216 143 6 -6 -2 2 0 -0.8 4.47387 144 1 2 0 -3 0 -0.7 34.47529 145 5 -1 2 -6 0 -0.7 6.02503 146 3 -2 2 -3 0 0.6 9.93281 147 5 -1 -4 0 0 0.6 5.45600 148 1 -1 4 -4 0 -0.5 40.40137 149 1 -2 0 1 0 -0.5 25.82638 150 3 -5 -2 4 0 -0.5 8.36807 151 7 -1 0 -6 0 -0.5 4.17587 152 2 -6 2 2 0 0.4 13.06726 153 3 -2 0 1 0 0.4 9.39439 154 8 -2 -2 -4 0 -0.4 3.55199 155 9 -5 -2 -2 0 -0.4 3.09904 156 9 -7 -2 0 0 -0.4 3.05308 157 0 3 -2 0 -1 0.3 818.04978 158 1 5 -2 -4 0 0.3 36.37564 159 2 4 0 -6 0 0.3 17.23765 160 2 -3 2 0 -1 0.3 13.89284 161 4 -3 -2 0 1 -0.3 6.86011 162 5 -2 0 -3 0 0.3 5.74142 163 5 -5 0 0 0 -0.3 5.51091 164 6 -3 -2 0 -1 -0.3 4.56679 165 1 2 0 -2 -1 0.2 31.50196 166 1 3 -4 0 0 -0.2 26.23444 167 1 -2 0 2 -1 0.2 24.12087 168 1 -2 2 -2 1 -0.2 33.09908 169 1 -5 0 4 0 0.2 21.73655 170 2 3 -2 -3 0 -0.2 15.10322 171 2 -1 2 -3 0 -0.2 15.53161 172 3 -2 2 -2 -1 -0.2 9.66985 173 5 -4 -2 1 0 0.2 5.41126 174 7 -4 -2 -1 0 0.2 3.95999 175 9 -3 -2 -4 0 -0.2 3.14639 176 0 4 2 -6 0 0.1 -64.58352 177 1 -2 -2 2 1 0.1 23.95076 178 3 -2 0 -2 1 -0.1 9.64239 179 5 -2 0 -2 -1 -0.1 5.65257 180 6 -4 -4 2 0 0.1 4.45567 181 8 -4 0 -4 0 -0.1 3.56355 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 51 Tabla 2.4: Desarrollo de P 2 i(sen/?M) sen A, Im 9 m b-M I s 9S A ] X 10-® (rad) PERlO DO (dias) 1 0 0 1 0 0 133631856.6 -6798.38366 2 2 0 0 0 -131982862.9 13.63340 3 3 -1 0 0 -25415681.1 9.12068 4 -1 1 1 0 0 10970398.3 -27.44332 5 1 -1 1 0 0 10917117.4 27.66669 6 1 1 1 -2 0 4115288.7 31.96150 7 3 1 -2 0 -3986231.5 9.54344 8 1 1 0 0 3834334.3 26.98498 9 0 0 2 0 3260951.7 177.84378 10 4 -2 0 0 -2591277.8 6.85248 11 4 0 -2 0 -2329047.1 7.08839 12 -1 -1 1 2 0 2076395.5 -31.66378 13 2 0 1 -2 0 -1830522.2 14.79743 14 1 -1 2 0 -1607173.7 23.85806 15 0 2 0 0 804629.2 1305.47920 16 -2 0 1 2 0 706605.1 -14.73330 17 3 -1 1 -2 0 -412597.6 9.62733 18 5 -1 -2 0 -345686.0 5.63802 19 5 -3 0 0 -276123.1 5.48774 20 2 -2 2 0 -269624.6 12.78671 21 0 2 1 -2 0 255326.1 -199.83997 22 0 0 1 1 -1 -250494.5 385.99833 23 0 0 1 -1 1 250494.4 -346.63579 24 2 0 -1 1 -247479.2 14.16200 25 2 0 1 -1 247479.0 13.14284 26 2 2 -2 0 210499.1 14.60016 27 -1 1 2 0 162620.0 -32.60650 28 -2 0 0 0 133021.8 -13.57893 29 4 0 -3 0 0 -128028.7 6.80987 30 -2 2 1 0 0 105167.7 -13.74941 31 2 -2 1 0 0 99843.5 13.80525 32 0 -2 1 2 0 81443.3 212.32250 33 3 1 1 -4 0 -74819.7 10.09958 34 -1 -1 4 0 62796.6 -38.74193 35 1 0 1 -1 0 -60022.6 29.65942 36 3 0 -1 0 59657.4 9.32727 37 4 0 1 -4 0 -49956.4 7.39067 38 2 2 1 -4 0 48426.7 15.94327 39 3 -1 1 -1 47644.9 8.89848 40 3 -1 -1 1 -47644.9 9.35426 41 4 -2 1 -2 0 -46087.6 7.13457 42 5 1 -4 0 -44382.7 5.79675 43 4 2 -4 0 -44314.0 7.34113 44 5 -1 -3 0 0 -39288.6 5.46038 45 6 -2 -2 0 -31316.6 4.68036 46 6 -4 0 0 -29616.1 4.57633 47 -3 1 0 0 25178.0 -9.09627 48 1 3 -2 0 24806.8 31.05519 49 3 0 0 21436.6 -28.14868 50 1 1 -1 1 20594.7 -25.52549 51 1 1 1 -1 -20594.6 -29.67274 52 1 -1 1 1 -1 -20390.1 25.71862 53 1 -1 1 -1 1 20390.0 29.93405 54 3 1 -3 0 0 19152.6 9.04535 55 3 -3 2 0 -18068.1 8.73379 56 1 0 1 0 -1 17965.5 27.43192 57 3 0 0 -1 -17834.2 9.09502 58 -2 0 4 0 17550.4 -16.10216 59 2 0 -3 2 0 14500.3 12.63914 60 6 0 -1 -4 0 -13871.5 4.78922 52 Capftulo 2. Desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Tabla 2.4: Continuacion. W 3 M b-M i s 9 S A \ X 10-® (rad) PERlO D O (dias) 61 0 0 3 -2 0 -13647.5 -169.00171 62 -3 1 1 2 0 13527.2 -9.60014 63 -1 0 1 1 0 -12369.6 -29.40287 64 4 -1 -1 0 10513.2 6.96844 65 1 0 1 0 10429.1 25.32536 66 -3 3 1 0 0 7360.7 -9.17246 67 1 -3 1 2 0 -7268.7 24.38937 68 3 -3 1 0 0 7033.0 9.19728 69 1 1 1 -7011.7 25.12851 70 1 1 -1 1 7011.7 29.13764 71 0 -2 4 6550.5 95.42146 72 5 -1 1 -4 -6260.9 5.82760 73 -1 -1 1 1 1 5899.5 -29.13786 74 -1 -1 1 3 -5899.4 -34.66919 75 1 1 1 -1 -5705.4 29.38979 76 1 1 1 -3 1 5705.0 35.02644 77 -1 3 1 -2 -5674.9 -24.21562 78 3 1 -3 1 -5596.5 9.79948 79 3 1 -1 5596.4 9.30044 80 0 0 3 -5213.0 119.60734 81 0 0 1 1 5209.2 346.60436 82 1 -1 1 1 -5103.0 25.52532 83 1 -1 3 5102.5 22.39524 84 5 -3 1 -2 -4907.6 5.66719 85 4 -2 1 4765.3 6.72629 86 4 -2 -1 1 -4765.2 6.98349 87 2 0 1 -3 1 -4554.1 15.42222 88 2 0 1 -1 4550.2 14.22130 89 0 1 1 -1 0 -4258.2 -388.26675 90 -1 -1 0 0 -4066.5 -26.77244 91 0 -2 0 0 -4037.7 -943.22731 92 2 -1 1 -1 0 -3913.8 14.28413 93 3 1 1 4 0 3781.7 -10.06966 94 5 1 -3 -2 0 -3686.3 5.60914 95 -1 0 1 0 1 3562.7 -27.21232 96 3 3 -4 0 3505.8 10.00729 97 1 0 0 1 -3433.0 27.21212 98 6 -2 -3 0 0 -3371.1 4.55728 99 2 2 -3 0 0 3290.4 13.46577 100 -4 2 1 2 0 -3150.8 -7.11963 101 4 0 -1 -1 3051.8 6.95345 102 4 0 -3 1 -3047.9 7.22868 103 7 -3 -2 0 -2758.4 4.00079 104 4 -1 0 -1 -2750.6 6.83798 105 6 0 -3 -2 0 -2699.4 4.66044 106 -2 0 1 1 1 2450.3 -14.16205 107 2 1 -1 0 -2448.0 14.10023 108 -2 0 1 3 -1 -2446.4 -15.35256 109 -1 1 -2 0 2329.8 -23.69177 110 7 -5 0 0 -2174.5 3.92453 111 1 3 1 -4 0 2091.6 37.83474 112 4 -4 2 0 -2018.1 6.63176 113 -3 -1 2 0 2001.6 -9.51672 114 2 -1 1 0 1995.1 13.19649 115 -4 0 1 4 0 -1784.5 -7.37464 116 0 1 1 0 -1 1572.3 6164.10044 117 3 -1 -3 2 0 1536.3 8.66469 118 7 -1 -4 0 -1528.3 4.08007 119 0 1 1 0 -1402.8 313.04221 120 2 1 1 -3 0 -1392.3 15.34900 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 53 Tabla 2.4: Continuacion. w 9 M h M i s 9 s A ] X 10-® (rad) PERlODO (dias) 121 4 1 -3 0 1363.2 7.21255 122 3 0 1 -3 0 1293.0 9.85780 123 1 1 -3 2 0 -1105.1 23.34940 124 5 1 1 -6 0 -1079.7 5.99735 125 4 2 1 -6 0 -1077.1 7.66584 126 1 -3 4 0 1067.8 21.38056 127 -2 2 1 1 -1 -1043.9 -14.28722 128 -2 2 1 -1 1 1043.9 -13.25062 129 -4 0 2 0 910.7 -7.07364 130 2 -2 1 1 -892.8 13.25057 131 2 -2 3 -1 892.8 12.35422 132 3 -1 1 -3 1 -856.0 9.88795 133 3 -1 1 -1 -1 855.8 9.38010 134 0 -1 1 1 0 -855.2 438.33478 135 5 -2 -1 0 809.7 5.56187 136 0 1 0 1 789.8 2189.72290 137 2 -1 1 0 -1 787.5 13.74655 138 2 -1 0 1 -770.8 13.69113 139 4 2 -3 -2 0 700.9 7.04281 140 -1 0 3 0 -695.6 -35.41041 141 -2 2 -2 0 684.2 -12.73879 142 -1 -3 1 4 0 -673.8 -37.41826 143 0 2 1 -1 -660.6 285.40598 144 0 2 -1 1 660.6 -507.15692 145 5 -5 1 0 0 -655.3 5.51538 146 -5 5 1 0 0 -641.9 -5.50645 147 -2 2 2 0 -636.2 -14.93420 148 -2 -2 1 4 0 -621.2 -15.86884 149 -4 2 0 0 -617.4 -6.83869 150 1 -1 -2 0 -608.4 32.92230 151 5 0 -3 0 541.9 5.71628 152 7 -1 -3 -2 0 -528.7 3.98623 153 6 -2 1 -4 0 -516.4 4.81026 154 7 -3 -3 0 0 -513.7 3.91052 155 -3 1 4 0 -490.7 -10.16311 156 -4 4 1 0 0 479.4 -6.88166 157 -5 3 1 2 0 -468.1 -5.65776 158 1 2 -1 0 -464.1 28.87737 159 1 -3 0 0 -462.6 28.38373 160 6 -4 1 -2 0 -456.7 4.70044 161 1 1 -4 0 -450.2 39.18858 162 5 -3 1 450.0 5.40652 163 5 -3 -1 1 -450.0 5.57145 164 -3 5 0 447.4 -9.24993 165 5 -1 -1 425.9 5.55231 166 5 -1 -3 1 -425.4 5.72641 167 2 1 0 411.6 13.57614 168 1 0 2 410.4 23.68328 169 3 0 1 -2 -395.4 9.59875 170 0 -1 1 0 1 394.5 -2190.97768 171 -2 1 1 0 1 -392.9 -13.69118 172 -3 0 1 3 0 385.7 -9.82930 173 0 -1 3 0 -366.2 124.20250 174 4 -4 1 0 0 361.3 6.89562 175 -1 1 1 1 325.2 -29.93428 176 -1 1 3 -1 -325.1 -35.80257 177 2 2 -1 -1 -324.5 14.03900 178 2 2 -3 1 324.5 15.20806 179 -3 2 1 1 0 317.5 -9.38143 180 0 -2 1 1 1 309.1 507.08966 54 Capitula 2. Desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Tabla 2.4: Continuacion. W 9 m h-M i s 9S A \ X 10-® (rad) PERlODO (dias) 181 0 -2 1 3 -1 -309.1 134.27153 182 6 0 1 -6 0 -304.1 4.92533 183 0 2 1 -1 -1 -303.1 -441.26237 184 0 2 1 -3 1 303.1 -129.16922 185 2 4 -4 0 302.1 15.71450 186 -5 1 1 4 0 -292.9 -5.81762 187 -2 -1 1 3 0 289.5 -15.28000 188 -1 2 1 0 -284.3 -30.21405 189 0 -1 2 1 277.2 188.19672 190 -2 -1 1 2 1 -250.9 -14.66646 191 -2 0 1 -1 -249.2 -14.10323 192 -2 0 -1 1 249.2 -13.09222 193 4 1 -2 -1 -245.2 7.07289 194 6 2 -6 0 -244.0 4.90328 195 1 -1 -3 4 0 243.8 20.97115 196 2 1 1 -2 -1 241.0 14.73001 197 4 0 -3 1 -1 240.2 6.68523 198 4 0 -3 -1 1 -240.2 6.93924 199 8 -4 -2 0 -235.2 3.49354 200 -4 -2 1 6 0 -232.1 -7.64860 201 -2 4 0 0 216.4 -13.92422 202 1 -2 1 1 0 210.9 25.92486 203 3 3 1 -6 0 210.4 10.62055 204 3 -2 1 -1 0 206.7 9.40739 205 0 2 -3 2 0 -199.5 152.99858 206 2 -4 4 0 197.4 12.03904 207 -2 -2 6 0 196.5 -17.46830 208 -5 3 0 0 194.6 -5.47890 209 -1 0 2 1 193.9 -32.28091 210 -1 -3 6 0 191.9 -47.72150 211 4 -1 1 -3 0 190.6 7.26036 212 -3 -3 1 6 0 -189.0 -10.58747 213 5 -5 2 0 -188.7 5.34527 214 5 -2 0 -1 -188.6 5.47844 215 0 4 1 -4 0 -184.5 -101.41048 216 2 0 -4 0 -184.0 16.17880 217 1 0 1 -2 1 -179.9 32.28064 218 4 -2 -3 2 0 -169.6 6.59184 219 0 4 -2 0 168.8 -244.44451 220 -3 3 2 0 -165.9 -9.68504 221 5 3 -6 0 -161.2 5.96468 222 -2 -2 2 0 -160.5 -14.53772 223 -3 2 1 0 1 -147.8 -9.14651 224 -1 -1 3 1 138.2 -35.02676 225 -1 -1 5 -1 -138.2 -43.33874 226 2 -2 -2 0 136.5 15.00011 227 5 0 -2 -1 -134.5 5.62820 228 -3 3 1 1 -1 -133.3 -9.40873 229 -3 3 1 -1 1 133.3 -8.94776 230 8 -6 0 0 -133.1 3.43526 231 3 1 1 -3 -1 127.2 9.82785 232 3 1 1 -5 1 -127.2 10.38678 233 -1 2 1 -1 0 126.1 -25.72864 234 7 1 -6 0 -125.9 4.16256 235 -3 1 1 1 1 125.8 -9.35428 236 -3 1 1 3 -1 -125.5 -9.85927 237 -3 0 1 2 1 -123.5 -9.57172 238 1 2 0 -1 114.0 26.76160 239 3 2 -3 0 -110.4 9.76986 240 8 -2 -4 0 -107.0 3.55385 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 55 Tabla 2,4: Continuacion. i u 9M h-M i s 5S A ] X 10-®^rad) PERlODO (dias) 241 -1 0 1 2 -1 102.2 -31.97697 242 -4 2 4 0 -96.9 -7.42463 243 -5 -1 1 6 0 -96.8 -5.98678 244 -1 2 0 1 96.5 -27.90570 245 3 3 -3 -2 0 92.8 9.46099 246 3 0 -2 1 90.5 9.57169 247 8 -4 -3 0 0 -86.9 3.42451 248 4 -2 1 -1 -1 85.9 6.99788 249 4 -2 1 -3 1 -85.9 7.27671 250 0 -1 1 2 -1 84.3 199.23732 251 2 1 -2 1 82.5 14.66640 252 2 -2 1 1 -1 -80.8 13.30248 253 2 -2 1 -1 1 80.8 14.34753 254 0 -4 1 4 0 -77.5 104.52896 255 1 -2 3 0 -76.4 22.55147 256 0 1 1 -2 1 -74.4 -188.20598 257 5 -1 -3 1 -1 73.7 5.37996 258 5 -1 -3 -1 1 -73.7 5.54325 259 3 -2 1 0 -1 -73.1 9.17118 260 -2 4 1 -2 0 -72.4 -12.88871 261 3 -3 1 1 -71.4 8.94774 262 3 -3 3 -1 71.4 8.52983 263 4 0 1 -3 -1 69.7 7.24410 264 4 0 1 -5 1 -69.6 7.54330 265 6 -1 -3 0 69.4 4.73416 266 6 -3 -1 0 68.0 4.62776 267 1 3 -3 0 0 67.3 26.33606 268 -4 4 2 0 -66.8 -7.16622 269 -1 -3 2 0 -62.8 -30.77403 270 6 -6 1 0 0 -59.9 4.59553 271 -6 6 1 0 0 -58.8 -4.58932 272 -1 0 3 -1 0 -58.7 -25.13808 273 5 0 -3 -1 0 58.0 5.53376 274 -5 1 3 2 0 56.6 -5.62868 275 1 -2 1 0 1 -55.7 27.90550 276 -2 0 3 1 55.6 -15.42228 277 -2 0 5 -1 -55.5 -16.84475 278 3 -5 1 2 0 -53.1 8.80400 279 -3 5 1 -2 0 -52.1 -8.78125 280 1 2 1 -3 0 -50.9 34.65101 281 2 -2 -3 4 0 49.1 11.90813 282 4 -1 1 -2 -1 -48.3 7.11886 283 7 1 -3 0 -47.1 4.06493 284 -3 1 3 1 -47.1 -9.32859 285 -3 1 3 1 47.1 -8.87525 286 3 -3 1 1 45.5 8.97138 287 3 -3 1 1 -45.5 9.43485 288 2 2 1 -3 -45.4 15.27647 289 2 2 1 -5 1 45.4 16.67095 290 -2 -2 1 3 1 45.4 -15.20812 291 -2 -2 1 5 -45.4 -16.58958 292 2 -1 2 -45.2 12.73633 293 -4 0 6 0 -44.2 -7.70239 294 -1 -2 1 3 0 44.0 -34.30135 295 8 -2 -3 -2 0 -43.9 3.48244 296 6 -4 1 -1 43.2 4.51970 297 6 -4 -1 1 -43.2 4.63439 298 -3 3 3 -2 0 -43.1 -8.71141 299 2 -4 3 0 0 -42.9 13.98150 300 -1 5 -1 -2 0 42.5 -24.76317 56 Capftulo 2. Desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Tabla 2.4: Continuacion. 9 M i s 9 s A \ X 10-® (rad) PERlODO (dias) 301 -3 -1 -1 6 0 -42.1 -10.69082 302 4 2 -1 -3 -1 41.3 7.19649 303 4 2 -1 -5 1 -41.3 7.49170 304 -2 1 -1 3 0 40.0 -15.49621 305 0 0 -3 4 0 38.9 87.77382 306 6 2 -3 -4 0 -38.7 4.76837 307 5 1 -1 -3 -1 38.2 5.70619 308 5 1 -1 -5 1 -38.2 5.89023 309 7 -3 1 -4 0 -36.3 4.09533 310 3 1 -3 1 -1 -35.5 8.82676 311 3 1 -3 -1 1 35.5 9.27504 312 6 -2 -1 -1 -1 34.6 4.62114 313 6 -2 -1 -3 1 -34.6 4.74111 314 -3 -1 1 3 1 34.5 -9.79950 315 -3 -1 1 5 -1 -34.4 -10.35514 316 4 1 1 -5 0 33.5 7.52574 317 1 -2 -1 2 1 32.2 24.03544 318 -6 4 1 2 0 -31.3 -4.69395 319 0 -2 -1 3 1 -30.5 129.16485 320 0 -2 -1 5 -1 30.5 75.65669 321 -6 4 3 0 0 29.1 -4.57017 322 8 0 -1 -6 0 -27.1 3.61626 323 0 0 3 -1 -1 26.5 -314.53252 324 0 0 3 -3 1 -26.5 -115.54177 325 2 0 -3 1 1 26.5 13.09217 326 2 0 -3 3 -1 -26.5 12.21641 327 7 -5 1 -2 0 -25.0 4.01546 328 -4 3 1 1 0 24.7 -6.99862 329 7 -1 1 -6 0 -24.0 4.17844 330 1 2 1 -2 -1 23.4 31.64861 331 0 -4 6 0 23.3 65.20294 332 -2 2 1 1 21.5 -14.34758 333 -2 2 3 -1 -21.4 -15.57084 334 -4 1 1 3 0 21.0 -7.24489 335 -5 5 2 0 -20.7 -5.68714 336 3 -2 0 1 - 20.6 9.14648 337 1 0 1 1 -2 - 20.2 25.51564 338 -1 0 1 -1 2 20.2 -25.32553 339 -2 1 2 1 -20.1 -14.86553 340 1 0 -1 2 -19.9 29.40264 341 3 0 1 -2 19.9 8.87406 342 -1 2 1 0 -1 18.5 -27.67828 343 -1 0 0 -1 17.8 -26.99601 344 2 -1 1 -2 1 -17.7 14.86547 345 0 1 2 -1 17.6 168.57050 346 5 -3 -3 2 0 17.5 5.31931 347 8 0 -3 -4 0 -17.5 3.54235 348 5 0 -3 0 -1 -17.4 5.45118 349 6 -1 -3 -1 0 16.8 4.60828 350 -4 6 0 0 -16.6 -6.92518 351 4 4 -6 0 16.5 7.61256 352 -5 3 4 0 -16.0 -5.84869 353 1 -3 1 1 1 -15.9 26.13444 354 1 -3 1 3 -1 15.9 22.86276 355 4 -3 1 -1 0 15.9 7.01306 356 6 -3 0 -1 -15.8 4.56986 357 6 -1 -2 -1 -15.7 4.67359 358 9 -5 -2 0 -15.7 3.10045 359 3 -3 3 -2 0 15.5 9.71271 360 1 3 -1 -1 -1 -15.2 28.62171 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 57 Tabla 2.4: Continuacion. w 9 M i s 9 S A ] X 10-® (rad) PERlO DO (dias) 361 1 3 -1 -3 1 15.2 33.94092 362 3 -5 -1 4 0 14.7 8.37838 363 -4 6 1 -2 0 -14.4 -6.65909 364 -1 3 -1 1 -1 -14.0 -30.49909 365 -1 3 -1 -1 1 14.0 -26.13462 366 -6 0 1 6 0 -12.9 -4.91820 367 5 -2 1 -3 0 12.7 5.74628 368 -3 0 3 1 0 -12.5 -9.30175 369 4 -3 -1 1 0 -12.4 6.74031 370 5 0 1 -5 0 12.3 5.91125 371 -1 1 -3 4 0 -12.0 -40.16269 372 -4 3 1 0 1 -11.9 -6.86705 373 -4 4 1 1 -1 -11.3 -7.01381 374 -4 4 1 -1 1 11.3 -6.75441 375 4 -1 -1 -2 1 11.2 7.10397 376 6 -6 -1 2 0 -11.1 4.47682 377 6 0 -1 -3 -1 11.0 4.72724 378 6 0 -1 -5 1 - 11.0 4.85285 379 -1 2 1 -2 1 - 10.8 -24.03559 380 2 -3 1 1 0 10.6 13.35744 381 -2 1 3 -1 0 - 10.6 -13.14545 382 -3 0 -1 5 0 10.3 -10.42029 383 -2 1 1 2 -1 10.0 -14.80075 384 -3 2 -1 3 0 10.0 -9.91832 385 9 -7 -1 0 0 -9.9 3.05445 386 3 2 1 -5 0 -9.6 10.35351 387 -4 1 1 2 1 -9.5 -7.10398 388 4 1 -3 -1 0 -9.3 6.92438 389 5 3 -3 -4 0 9.3 5.76623 390 3 -2 -1 1 0 -9.2 8.92304 391 2 4 1 -6 0 9.0 17.28146 392 -6 2 1 4 0 -8.9 -4.80346 393 -3 -2 1 5 0 8.7 -10.32207 394 9 -3 -1 -4 0 -8.4 3.14785 395 9 -5 -3 0 0 -8.2 3.04596 396 -1 3 3 -4 0 8.2 -21.24691 397 5 2 -1 -5 0 8.0 5.87952 398 -1 -1 3 1 -1 7.9 -28.89000 399 -1 -1 3 -1 1 -7.9 -24.94412 400 5 -3 1 -1 -1 7.8 5.58061 401 5 -3 1 -3 1 -7.8 5.75651 402 0 -2 3 1 -1 7.7 596.09365 403 0 -2 3 -1 1 -7.7 -263.29866 404 2 -3 -1 3 0 -7.7 12.40161 405 5 -1 1 -3 -1 7.7 5.73608 406 5 -1 1 -5 1 -7.7 5.92208 407 -1 -2 -1 5 0 -7.5 -42.76544 408 -5 1 -1 6 0 -7.5 -6.01969 409 7 -4 -1 -1 0 7.1 3.96229 410 -4 0 1 3 1 7.0 -7.22869 411 -4 0 1 5 -1 -7.0 -7.52660 412 9 -3 -3 -2 0 -6.9 3.09170 413 1 0 3 -3 0 6.6 35.78318 414 6 2 1 -8 0 -6.6 5.04604 415 -6 2 3 2 0 -6.6 -4.67392 416 -2 3 -1 1 0 6.5 -14.41154 417 2 3 -1 -3 0 -6.4 15.13685 418 6 1 -1 -5 0 6.4 4.84558 419 -2 -1 -1 4 1 -6.3 -16.02236 420 -4 -2 -1 8 0 -6.3 -8.00173 58 Capitula 2. Desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden Tabla 2.4: Continuacion. Im 9 M i s 9 S A \ X 10-® (rad) PERlODO (dias) 421 6 -2 -3 1 -1 6.2 4.50112 422 6 -2 -3 -1 1 -6.2 4.61486 423 1 5 -1 -4 0 -6.1 36.57132 424 4 1 1 -4 -1 -6.1 7.37382 425 4 -4 -1 1 1 -6.1 6.75440 426 4 -4 -1 3 -1 6.1 6.51350 427 -1 3 1 -1 -1 -6.1 -25.93504 428 -1 3 1 -3 1 6.1 -22.71002 429 2 -4 1 2 0 5.9 12.93776 430 -2 1 1 1 0 -5.7 -14.22436 431 -3 -1 3 1 1 5.6 -9.27506 432 -3 -1 3 3 -1 -5.6 -9.77131 433 -3 -3 -1 8 0 -5.6 -11.27633 434 2 2 3 -6 0 -5.5 17.55853 435 -4 -1 1 5 0 5.5 -7.50912 436 2 2 -3 1 -1 -5.4 12.98698 437 3 2 -1 -2 -1 5.4 9.51535 438 1 -3 -1 3 1 -5.2 22.70988 439 1 -3 -1 5 -1 5.2 20.19825 440 5 1 -3 -1 -1 5.2 5.52431 441 5 1 -3 -3 1 -5.2 5.69662 442 -4 4 3 -2 0 5.2 -6.61885 443 7 -2 -1 -3 0 5.1 4.04004 444 3 0 -3 1 0 5.0 8.85093 445 1 -2 1 2 -1 -4.9 24.20675 446 4 -6 1 2 0 -4.9 6.67216 447 5 3 1 -8 0 -4.9 6.17728 448 3 -5 3 0 0 -4.8 9.27517 449 -2 3 1 0 -1 4.8 -13.80814 450 6 -1 -3 0 -1 -4.6 4.55087 451 0 -4 3 2 0 -4.5 263.38521 452 4 -4 1 1 -1 4.5 6.76786 453 4 -4 1 1 1 -4.5 7.02831 454 -2 3 1 -1 0 4.5 -13.30515 455 4 -3 1 0 -1 -4.4 6.88095 456 -4 2 1 1 1 4.4 -6.98351 457 -4 2 1 3 -1 -4.4 -7.26116 458 0 3 1 -3 0 4.3 -134.54497 459 1 2 -1 -2 1 4.3 31.35640 460 3 1 3 -6 0 -4.2 10.72455 461 -1 3 -3 2 0 -4.1 -33.60708 462 -1 -2 1 2 1 -4.1 -31.35666 463 -2 -1 -1 5 0 4.1 -16.75743 464 3 -3 -3 4 0 3.9 8.31477 465 -3 2 -1 2 1 -3.9 -9.65611 466 -2 -4 1 6 0 -3.8 -17.19405 467 -5 -1 3 4 0 -3.8 -5.78688 468 3 3 -1 -3 -1 -3.7 9.74043 469 3 3 -1 -5 1 3.7 10.28919 470 0 4 -3 0 0 -3.6 595.55775 471 6 0 -3 -1 -1 3.6 4.60172 472 6 0 -3 -3 1 -3.6 4.72067 473 -3 0 3 0 1 3.6 -9.07075 474 -2 1 3 0 -1 3.5 -13.63621 475 2 -1 -1 -1 2 -3.3 14.22431 476 3 0 -3 0 1 -3.3 9.07073 477 3 -1 3 -4 0 3.3 10.19358 478 4 -1 -1 1 -2 3.3 6.71232 479 1 -5 1 4 0 3.2 21.80627 480 5 0 1 -4 -1 -3.2 5.81711 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 59 Tabla 2.4; Continuacion. 9M i s 9 S A ] X 10-® (rad) PERfODO (dias) 481 -5 7 -1 0 0 -3.1 -5.53427 482 7 1 1 -8 0 -3.0 4.26500 483 -4 0 3 1 1 3.0 -6.93926 484 -4 0 3 3 -1 -3.0 -7.21334 485 3 -2 -1 2 -1 -2.9 8.71026 486 4 -2 3 -4 0 2.9 7.44089 487 5 -2 1 -2 -1 -2.9 5.65727 488 -3 0 -1 4 1 -2.9 -10.13126 489 0 -1 3 -1 0 2.8 -286.64425 490 7 -5 -1 1 -1 2.8 3.88281 491 7 -5 -1 -1 1 - 2.8 3.96716 492 -1 0 -1 4 -1 2.7 -39.21184 493 2 -3 1 0 1 -2.6 13.86446 494 -1 5 1 -4 0 -2.6 -21.66727 495 4 1 -3 0 -1 2.4 6.79556 496 8 -4 1 -4 0 -2.4 3.56541 497 9 -1 -3 -4 0 -2.4 3.13883 498 -2 3 -1 0 1 -2.4 -13.86451 499 -5 -1 -1 8 0 -2.4 -6.20099 500 3 0 1 -4 1 2.3 10.13123 501 7 -3 -1 -1 -1 2.3 3.95744 502 7 -3 -1 -3 1 -2.3 4.04510 503 -1 1 3 -1 -1 -2.3 -25.33508 504 -1 1 3 -3 1 2.3 -22.24866 505 -6 0 3 4 0 -2.3 -4.78249 506 9 -1 -1 -6 0 -2.2 3.19673 507 2 1 -3 1 0 -2.1 13.03937 508 4 1 -1 -4 1 2.1 7.35784 509 7 -7 1 0 0 -2.1 3.93864 510 -2 -1 1 4 -1 2.1 -15.94712 511 2 -3 -1 2 1 2.0 12.83748 512 4 -1 -3 1 0 2.0 6.69908 513 -7 7 1 0 0 -2.0 -3.93409 514 1 0 3 -2 -1 -1.9 32.59041 515 1 1 -3 1 1 -1.9 24.94395 516 1 1 -3 3 -1 1.9 21.94646 517 1 -2 3 -1 0 1.9 30.48501 518 3 0 -3 2 -1 1.9 8.64153 519 -3 3 -1 1 1 1.9 -9.43487 520 -3 3 -1 3 -1 -1.9 -9.94884 521 -2 4 1 -1 -1 -1.8 -13.36014 522 -2 4 1 -3 1 1.8 -12.44941 523 -7 3 1 4 0 1.8 -4.09040 524 1 0 -3 3 0 -1.7 22.09646 525 2 -4 1 1 1 -1.7 13.41286 526 2 -4 1 3 -1 1.7 12.49518 527 7 -4 -1 0 -1 -1.6 3.91977 528 -2 3 1 -2 1 -1.6 -12.83753 529 1 -2 -1 4 -1 -1.5 21.24008 530 3 2 -3 -1 0 -1.5 9.24850 531 4 -4 3 -2 0 1.5 7.18135 532 -4 1 3 1 0 -1.4 -6.95418 533 5 -5 1 1 -1 1.3 5.43334 534 5 -5 1 -1 1 -1.3 5.59994 535 6 1 -3 -3 0 1.3 4.71379 536 7 0 -1 -5 0 1.3 4.12090 537 8 -2 1 -6 0 -1.3 3.62824 538 8 -6 1 -2 0 -1.3 3.50472 539 -1 4 -1 -1 0 1.3 -26.34761 540 -1 -5 1 6 0 1.3 -45.72890 60 Ca,pitulo 2. Desarrollo del po tenda l lunisolar de prim er orden Tabla 2.4: Continuacion. 3 m 3 S Aj X 10 ̂ (rad) PERlODO (dias) 541 -2 4 1 -1.3 -14.47607 542 -2 4 -1 1 1.3 -13.41290 543 -2 -2 5 1 1.3 -16.67102 544 -2 -2 7 -1.3 -18.34567 545 -3 4 1 1.3 -9.46249 546 0 4 1 -5 1 -1.2 -79.37331 547 0 -1 0 -1.2 -1331.79491 548 2 1 -3 0 1 1.2 13.52209 549 2 3 -2 1.2 14.53452 550 3 5 -6 1.2 10.51854 551 4 2 1 -5 1.2 7.50827 552 4 2 1 -7 1 -1.2 7.83018 553 5 2 -4 -1.2 5.78638 554 6 -1 1 -5 1.2 4.86712 555 -1 -2 1 4 1.2 -37.85642 556 -3 -2 1 4 1 - 1.2 -10.03839 557 0 1 1 1 -2 - 1.1 344.82661 558 0 1 -1 2 1.1 -438.38503 559 0 -1 1 -1 2 1.1 -313.06785 560 1 2 1 -4 1 - 1.1 38.28277 561 1 3 1 -3 - 1.1 34.28355 562 1 3 1 -5 1 1.1 42.20664 563 1 -1 -1 1.1 30.20023 564 1 -1 -3 1 -1.1 36.18368 565 1 -5 6 0 1.1 19.36919 566 2 1 1 -2 -1.1 13.08962 567 2 -1 1 1 -2 - 1.1 13.24796 568 3 2 1 -4 -1 1.1 10.06813 569 3 2 -4 1 1.1 10.03837 570 4 -1 -3 0 1 - 1.1 6.82424 571 6 -3 1 -3 0 1.1 4.75472 572 7 -2 -3 -1 0 1.1 3.94801 573 -2 1 1 -1 2 1.1 -13.19653 574 -4 -1 1 4 1 - 1.1 -7.35785 575 -5 4 1 1 1.1 -5.58108 576 0 -3 1 2 1 1.0 227.24727 577 0 -3 5 - 1.0 77.46967 578 1 5 1 -6 -1.0 46.35247 579 4 2 -3 -1 -1.0 6.90958 580 4 2 -3 -3 1 1.0 7.18128 581 4 4 -3 -4 1.0 7.29225 582 4 -3 0 1 1.0 6.86703 583 5 1 1 -5 1.0 5.90046 584 5 1 1 -7 1 -1.0 6.09746 585 6 1 -4 -1.0 4.78214 586 7 -2 -2 -1.0 3.99585 587 -1 -3 1 3 1 1.0 -33.94122 588 -1 -3 1 5 -1.0 -41.68900 589 10 -4 -3 -2 -1.0 2.77980 590 1 -3 3 1 0.9 26.33711 591 1 -3 3 -1 1 -0.9 30.77522 592 2 -6 1 4 0.9 12.17285 593 4 -2 -3 1 1 -0.9 6.71299 594 4 -2 -3 3 0.9 6.47499 595 7 -1 -1 -3 0.9 4.03500 596 7 -1 -1 -5 1 -0.9 4.12616 597 7 -3 -3 1 0.9 3.86909 598 7 -3 -3 -1 1 -0.9 3.95284 599 7 -7 -1 2 0 -0.9 3.85112 600 -3 1 -1 3 1 0.9 -9.88798 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 61 Tabla 2.4: Continuacion. 9 m ^ M 9 s A ] X 1 0 -9 (rad) PERlODO (di'as) 601 -3 1 5 -1 -0.9 -10.45398 602 -3 5 1 -1 -0.9 -9.49026 603 -3 5 -1 1 0.9 -9.02147 604 -3 -1 5 1 0.9 -10.38681 605 -3 -1 7 -1 -0.9 -11.01316 606 -5 7 1 -2 0 -0.9 -5.36302 607 4 3 -5 0 -0.8 7.47438 608 5 -2 -2 1 0.8 5.64787 609 -1 -2 4 1 0.8 -38.28316 610 -2 2 3 -1 -1 -0.8 -13.19912 611 -2 2 3 -3 1 0.8 -12.30948 612 -2 2 -3 4 0 -0.8 -16.34244 613 -2 4 3 -4 0 -0.8 -11.99655 614 -3 4 1 0 -1 0.8 -9.19856 615 -3 4 1 -1 0 -0.8 -8.97259 616 -5 4 1 0 1 -0.8 -5.49708 617 -5 5 3 -2 0 0.8 -5.33688 618 -7 3 3 2 0 0.8 -3.99609 619 10 -6 -1 -2 0 -0.8 2.78687 620 0 3 1 -2 -1 0.7 -213.00704 621 0 3 -1 0 -1 -0.7 929.95080 622 1 -1 -3 3 1 0.7 22.24853 623 1 -1 -3 5 -1 -0.7 19.83248 624 2 -1 -3 3 0 -0.7 12.26275 625 3 -1 -3 1 1 0.7 8.87523 626 3 -1 -3 3 -1 -0.7 8.46391 627 3 -2 1 -2 1 0.7 9.65609 628 4 0 3 -6 0 -0.7 7.71988 629 4 -4 -3 4 0 0.7 6.38735 630 7 0 -3 -3 0 0.7 4.02519 631 7 -1 -3 -1 -1 0.7 3.94319 632 7 -1 -3 -3 1 -0.7 4.03021 633 -5 0 1 5 0 0.7 -5.90099 634 0 0 -1 0 2 0.6 6786.31719 635 0 1 3 -3 0 -0.6 -119.82426 636 0 -1 -1 4 -1 0.6 92.68574 637 1 0 1 -3 2 -0.6 35.41009 638 1 0 -1 3 -2 -0.6 22.24117 639 1 1 3 -3 -1 0.6 35.39145 640 1 1 3 -5 1 -0.6 43.89843 641 1 -2 3 0 -1 -0.6 28.13669 642 2 0 1 0 -2 0.6 13.68835 643 3 0 1 -1 -2 0.6 9.35296 644 4 0 -1 0 -2 -0.6 6.82355 645 6 -4 1 -1 -1 0.6 4.64072 646 6 -4 1 -3 1 -0.6 4.76172 647 -1 0 -1 1 2 0.6 -29.65965 648 -1 -2 3 1 0 0.6 -28.63411 649 -2 0 1 0 2 -0.6 -13.63344 650 -3 2 1 2 -1 0.6 -9.62874 651 -3 7 -1 -2 0 -0.6 -8.85223 652 -5 3 3 1 -1 -0.6 -5.56233 653 -5 3 3 -1 1 0.6 -5.39793 654 -6 6 -1 2 0 -0.6 -4.71416 655 -7 5 1 2 0 0.6 -4.01072 656 10 -4 -1 -4 0 -0.6 2.82511 657 10 -6 -3 0 0 -0.6 2.74277 658 10 -8 -1 0 0 -0.6 2.74965 659 0 3 -1 -1 0 0.5 -601.52082 660 2 1 1 -4 1 0.5 16.02229 62 Capi'tulo 2, Desarrollo del po tenda l lunisolar de prim er orden Tabla 2.4: Continuacion. W 9M h 9S A \ X 10-9 (radj PERlODO (dias) 661 3 2 -3 0 -1 0.5 9.02011 662 3 -4 3 0 -0.5 8.55240 663 4 -6 4 0 0.5 6.42482 664 5 -4 1 0 -0.5 5.41557 665 5 -5 1 1 -0.5 5.42466 666 5 -5 3 -1 0.5 5.26818 667 6 -2 1 -3 -1 0.5 4.74774 668 6 -2 1 -5 1 -0.5 4.87445 669 7 -5 -3 2 0 -0.5 3.83763 670 8 0 1 -8 0 -0.5 3.69333 671 -1 0 3 -2 1 -0.5 -23.51941 672 -2 -1 3 1 0 0.5 -14.04198 673 -3 2 3 -1 0 0.5 -8.89968 374 -3 -3 3 4 0 -0.5 -9.97792 675 -5 2 1 3 0 -0.5 -5.73658 676 -5 2 3 1 0 0.5 -5.55278 677 -7 1 1 6 0 0.5 -4.17331 678 0 3 -1 -2 1 0.4 -227.26077 679 1 0 -3 2 1 0.4 23.51927 680 1 -5 3 2 0 -0.4 24.94489 681 2 -1 -3 2 1 0.4 12.68875 682 3 -4 1 1 0 -0.4 8.99634 683 4 -6 3 0 0 -0.4 6.93932 684 5 0 -1 -4 1 0.4 5.80716 685 5 -4 1 -1 0 0.4 5.59026 686 8 -5 -1 -1 0 0.4 3.46415 687 -1 2 -1 2 -1 -0.4 -32.93872 688 -1 -1 -3 6 0 -0.4 -49.89567 689 -2 6 1 -4 0 -0.4 -12.12941 690 -2 -2 3 1 1 -0.4 -13.98125 691 -2 -2 3 3 -1 0.4 -15.14032 692 -2 -4 -1 8 0 -0.4 -19.08774 693 -3 4 -1 0 1 -0.4 -9.22354 694 -4 3 -1 3 0 0.4 -7.29314 695 -5 0 3 3 0 0.4 -5.70669 696 -7 1 3 4 0 -0.4 -4.07518 697 0 1 -3 3 0 0.3 111.55157 698 0 2 -3 1 1 -0.3 263.28053 699 0 2 -3 3 -1 0.3 107.83081 700 0 -4 1 3 1 -0.3 146.43544 701 0 -4 1 5 -1 0.3 81.27105 702 1 2 -3 1 0 -0.3 24.75297 703 1 3 3 -6 0 -0.3 48.40101 704 1 -4 1 3 0 -0.3 23.02560 705 2 -2 3 -1 -1 -0.3 14.40840 706 2 -2 3 -3 1 0.3 15.64250 707 4 -1 -3 2 -1 0.3 6.57843 708 4 -3 -1 2 -1 -0.3 6.61819 709 5 2 -3 -3 0 -0.3 5.68660 710 5 -3 3 -4 0 0.3 5.85877 711 6 -1 1 -4 -1 -0.3 4.80311 712 7 0 -1 -4 -1 -0.3 4.07493 713 8 -3 -1 -3 0 0.3 3.52344 714 -1 4 -1 0 -1 -0.3 -28.39592 715 -3 0 1 4 -1 0.3 -10.10112 716 -3 -2 -1 7 0 0.3 -10.97577 717 -4 2 3 1 -1 0.3 -6.96918 718 -4 2 3 -1 1 -0.3 -6.71301 719 -4 -1 3 3 0 0.3 -7.19728 720 -5 0 1 4 1 -0.3 -5.80717 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 63 Tabla 2.4: Continuacion. 9 m f^M 9 s A j X 1 0-9 (radj^ PERiODO (dias) 721 -5 1 3 1 1 0.3 -5.54326 722 -5 1 3 3 -1 -0.3 -5.71678 723 -5 2 1 2 1 -0.3 -5.64788 724 -7 5 3 0 0 -0.3 -3.92000 725 0 0 -3 3 1 0.2 115.53828 726 0 0 -3 5 -1 -0.2 70.76792 727 0 6 -1 -4 0 -0.2 -111.75909 728 1 3 -3 1 -1 -0.2 24.56488 729 1 3 -3 -1 1 0.2 28.38251 730 1 4 -1 -3 0 0.2 33.58829 731 1 5 -3 -2 0 -0.2 30.19886 732 2 0 3 -3 -1 0.2 15.49257 733 2 0 3 -5 1 -0.2 16.92864 734 2 1 3 -5 0 0.2 16.84045 735 2 3 1 -5 0 -0.2 16.58541 736 2 4 -3 -1 -0.2 15.06631 737 2 4 -5 1 0.2 16.42098 738 2 4 -3 -2 0 -0.2 14.40808 739 2 -3 -1 0 0.2 14.47290 740 2 -4 3 1 -0.2 12.44937 741 2 -4 5 -1 0.2 11.65489 742 3 -2 -1 2 -0.2 9.38145 743 3 -4 2 1 0.2 8.75745 744 3 -5 1 1 1 -0.2 9.02145 745 3 -5 1 3 -1 0.2 8.59679 746 4 4 1 -8 0 0.2 7.96230 747 4 -1 1 -4 1 0.2 7.40761 748 5 2 1 -7 0 0.2 6.08598 749 5 -2 1 -2 0.2 5.39749 750 5 -5 -2 0 0.2 5.69667 751 6 0 1 -5 -1 0.2 4.85980 752 6 0 1 -7 1 -0.2 4.99265 753 6 1 1 -7 0 0.2 4.98496 754 6 1 -3 -2 -1 -0.2 4.65373 755 6 -3 1 -2 -1 -0.2 4.69362 756 6 -4 -3 2 0 0.2 4.45860 757 6 -5 1 -1 0 0.2 4.64739 758 7 0 -3 -2 -1 -0.2 3.98132 759 7 -2 -3 0 -1 -0.2 3.90579 760 8 2 -3 -6 0 -0.2 3.60436 761 8 -3 -3 -1 0 0.2 3.45323 762 8 -8 1 0 0 -0.2 3.44606 763 -1 2 3 -3 0 -0.2 -22.40284 764 -1 -2 3 0 1 -0.2 -26.55255 765 -1 -3 3 1 1 -0.2 -28.38272 766 -1 -3 3 3 0.2 -33.60537 767 -4 3 -1 2 1 -0.2 -7.15037 768 -4 -1 3 2 1 -0.2 -7.05820 769 -4 -2 3 4 -0.2 -7.32531 770 -5 2 3 0 1 -0.2 -5.46963 771 -5 3 1 1 1 0.2 -5.57146 772 -5 3 1 3 -0.2 -5.74678 773 -5 5 1 1 0.2 -5.59073 774 -5 5 1 -1 1 -0.2 -5.42467 775 -5 -3 3 6 0 -0.2 -5.95423 776 -6 0 -1 8 0 -0.2 -5.06185 777 -6 4 -1 4 0 -0.2 -4.82462 778 -6 -2 3 6 0 -0.2 -4.89622 779 -8 6 3 0 0 -0.2 -3.43179 780 -8 8 1 0 0 -0.2 -3.44257 64 Capitula 2. Desarrollo del po tenda l lunisolar de prim er orden Tabla 2.4: Continuacion. Im 9 M ^Af h 9 s A ] X 1 0-9 (rad)^ PERlODO (dias) 781 10 -2 -3 -4 0 -0.2 2.81784 782 0 1 -3 2 1 -0.1 160.59910 783 0 4 1 -3 -1 0.1 -140.38761 784 0 -3 1 3 0 -0.1 140.08995 785 1 2 -1 1 -2 -0.1 24.93470 786 1 -2 1 -1 2 -0.1 30.21381 787 1 -3 -3 6 0 0.1 19.03258 788 2 1 -3 2 -1 -0.1 12.58992 789 2 3 1 -4 -1 0.1 15.86503 790 2 -1 3 -3 0 0.1 15.56717 791 2 -2 -3 3 1 0.1 12.30944 792 2 -2 -3 5 -1 -0.1 11.53216 793 2 -3 -1 4 -1 -0.1 11.99437 794 3 3 -3 -1 -1 -0.1 9.22212 795 3 3 -3 -3 1 0.1 9.71257 796 3 -2 1 1 -2 0.1 8.94655 797 3 -2 3 -3 0 -0.1 9.94734 798 3 -2 -3 3 0 -0.1 8.48613 799 5 0 -3 -2 1 0.1 5.61889 800 6 -6 1 1 -1 0.1 4.53843 801 6 -6 1 -1 1 -0.1 4.65408 802 7 3 -3 -6 0 -0.1 4.14680 803 8 -1 -1 -5 0 0.1 3.58478 804 8 -1 -3 -3 0 0.1 3.51214 805 8 -4 -1 -1 -1 0.1 3.46045 806 8 -4 -1 -3 1 -0.1 3.52728 807 8 -4 -3 1 -1 0 .1 3.39271 808 8 -4 -3 -1 1 -0.1 3.45692 809 8 -6 -1 1 -1 0.1 3.40325 810 8 -6 -1 1 1 -0.1 3.46787 811 9 1 -3 -6 0 -0.1 3.18742 812 9 -5 1 -4 0 -0.1 3.15693 813 2 -1 -1 2 0.1 -25.92504 814 5 -1 -1 -1 -0.1 -26.56411 815 5 -1 -3 1 0.1 -23.19092 816 -3 -1 5 1 0.1 -42.20711 817 -3 -1 7 -1 -0.1 -54.89337 818 -2 0 -3 6 0 -0.1 -17.75144 819 -2 1 -1 4 -1 0.1 -16.18276 820 -2 6 -3 0 0 -0.1 -14.10354 821 -3 0 3 2 -1 0.1 -9.54482 822 -3 4 1 -2 1 -0.1 -8.75747 823 -3 7 1 -4 0 -0.1 -8.42206 824 -4 0 -1 5 1 0.1 -7.54332 825 -4 0 -1 7 -1 -0.1 -7.86831 826 -4 1 -1 4 1 -0.1 -7.40762 827 -4 1 -1 5 0 0.1 -7.56096 828 -4 5 -1 1 0 0.1 -7.04364 829 -4 -1 -1 7 0 0.1 -7.84921 830 -5 0 3 2 1 -0.1 -5.61890 831 -6 2 -1 6 0 0.1 -4.94039 832 -7 -1 3 6 0 -0.1 -4.15747 833 -8 4 1 4 0 0.1 -3.56168 834 10 -2 -1 -6 0 -0.1 2.86441 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 65 Tabla 2.5: Desarrollo de ( 7 ^ ) P2 2 (sen/3m) cas 2Xj Im 9M h M h 9S X 1 0-9 (rad) PERlO DO (dias) 1 2 0 0 0 0 2941390722.0 13.66079 2 3 -1 0 0 0 563951087.4 9.13293 3 3 1 0 -2 0 111147523.5 9.55685 4 1 1 0 0 0 -83480845.1 27.09252 5 4 0 0 -2 0 67478931.6 7.09579 6 4 -4 0 0 0 39737572.6 6.88864 7 0 2 0 0 0 -35987102.8 1615.74782 8 1 -1 0 2 0 22372376.8 23.94208 9 2 0 0 1 -1 -11028801.2 13.16829 10 2 0 0 -1 1 11028799.8 14.19156 11 5 -1 0 -2 0 9596104.2 5.64270 12 0 0 2 0 0 6009605.5 -3399.19183 13 4 0 -2 0 0 5715139.5 6.81670 14 5 -3 0 0 0 5675819.1 5.49218 15 2 2 0 -2 0 -5666883.0 14.63159 16 -1 1 0 2 0 -3944792.8 -32.45086 17 -1 3 0 0 0 -2909146.5 -28.03261 18 2 -2 0 2 0 2372668.2 12.81080 19 3 -1 0 1 -1 -2113971.0 8.91014 20 3 -1 0 -1 1 2113960.2 9.36715 21 3 0 0 -1 0 -1859739.6 9.34009 22 5 -1 -2 0 0 1760218.9 5.46477 23 5 1 0 -4 0 1522551.5 5.80170 24 4 2 0 -4 0 1482684.5 7.34907 25 1 3 0 -2 0 -1421782.6 31.19770 26 3 1 -2 0 0 -847944.7 9.05740 27 6 -4 0 0 0 847523.9 4.57941 28 6 -2 0 -2 0 694356.3 4.68358 29 0 -2 0 4 0 -619871.2 96.77985 30 3 0 0 0 -1 561703.1 9.10720 31 -1 -1 0 4 0 -530218.5 -38.52241 32 -1 1 2 0 0 484717.8 -27.33298 33 1 -1 2 0 0 482360.0 27.77974 34 6 0 0 -4 0 477078.6 4.79260 35 0 0 0 2 0 -372734.5 182.62109 36 2 0 -2 2 0 -334376.0 12.66268 37 1 1 0 -1 1 -312402.0 29.26306 38 1 1 0 1 -1 312384.2 25.22174 39 1 -1 0 1 1 270040.6 25.62152 40 1 -1 0 3 -1 -270021.8 22.46926 41 1 0 0 1 0 256472.8 25.42006 42 3 1 0 -1 -1 -249360.5 9.31318 43 3 1 0 -3 1 249351.1 9.81362 44 -2 4 0 0 0 -241738.1 -13.89576 45 1 1 2 -2 0 228708.9 32.11247 46 2 0 2 -2 0 -223599.0 14.82971 47 4 -1 0 -1 0 -219923.7 6.97559 48 5 1 -2 -2 0 205240.3 5.61377 49 6 -2 -2 0 0 187442.4 4.56034 50 -2 0 0 4 0 -164762.1 -16.06411 51 6 0 -2 -2 0 156495.9 4.66364 52 4 -2 0 1 -148153.6 6.73295 53 4 -2 0 -1 1 148152.8 6.99067 54 4 0 0 -1 -135806.5 6.96057 55 4 0 0 -3 1 135633.8 7.23637 56 4 -1 0 0 135210.6 6.84487 57 0 2 0 -1 1 -134736.7 -471.94965 58 0 2 0 1 134735.4 297.91279 59 0 1 0 1 0 132762.8 328.15251 60 3 3 0 -4 0 -117957.2 10.02205 66 Capitula 2. Desarrollo del po tenda l lunisolar de primer orden Tabla 2.5: Continuacion. Im 9 M h’M h 55 X 1 0-9 (rad) PERlODO (dias) 61 3 -3 0 2 0 -113675.9 8.74502 62 2 2 -2 0 0 -110744.1 13.49249 63 1 -3 0 4 0 -106240.7 21.44801 64 -2 2 2 0 0 -102496.9 -13.72166 65 2 -2 2 0 0 -102475.0 13.83334 66 0 4 0 -2 0 -94333.2 -235.96026 67 0 0 0 1 1 79702.0 365.22475 68 0 0 0 3 -1 -79531.4 121.74933 69 1 0 0 0 1 -79224.6 27.32148 70 7 -3 0 -2 0 75156.2 4.00315 71 2 -1 0 1 0 -68379.4 13.22215 72 7 -5 0 0 0 58870.6 3.92680 73 -2 2 0 2 0 -50517.4 -14.90147 74 7 -1 0 -4 0 49608.7 4.08252 75 4 1 0 -3 0 -49350.1 7.22021 76 -1 -1 2 2 0 45361.1 -31.51698 77 3 -1 2 -2 0 -43449.2 9.64098 78 2 -2 0 1 1 42577.8 13.27645 79 2 -2 0 3 -1 -42577.4 12.37671 80 2 1 0 -1 0 -41631.5 14.12953 81 4 2 -2 -2 0 -37679.0 7.05011 82 3 -1 -2 2 0 -37527.8 8.67575 83 7 -1 -2 -2 0 33128.1 3.98857 84 0 1 0 0 1 30550.4 3230.13064 85 -3 5 0 0 0 -29702.8 -9.23736 86 0 -1 0 3 0 -25826.0 126.51384 87 0 0 2 1 -1 -22522.6 409.23379 88 0 0 2 -1 1 22522.6 -329.81899 89 7 -3 -2 0 0 21971.8 3.91277 90 2 -1 0 0 1 -21858.9 13.71876 91 4 0 -2 -1 1 21443.5 6.94633 92 4 0 -2 1 -1 -21443.4 6.69181 93 2 4 0 4 0 -20344.0 15.75091 94 5 0 0 -3 0 -19992.8 5.72109 95 1 1 -2 2 0 19891.2 23.42987 96 -1 2 0 1 0 19866.9 -30.08036 97 0 2 2 -2 0 17526.4 -194.13338 98 5 -1 0 -1 -17442.5 5.55685 99 5 -1 0 -3 1 17414.2 5.73124 100 -1 0 0 3 17130.0 -35.22693 101 2 2 0 -3 1 -15388.4 15.24216 102 2 2 0 -1 15388.1 14.06805 103 -3 1 0 4 -14217.8 -10.14794 104 2 1 0 0 13110.5 13.60331 105 5 -3 0 1 -12073.5 5.41082 106 5 -3 0 -1 1 12073.5 5.57602 107 0 -1 0 2 1 -11684.4 193.55481 108 -1 3 0 1 11226.9 -30.36287 109 -1 3 0 -1 1 -11226.9 -26.03454 110 4 1 0 -2 11123.0 7.08025 111 6 2 0 -6 0 10812.0 4.90682 112 5 -2 0 -1 0 -10181.6 5.56642 113 3 1 2 -4 0 -10177.2 10.11461 114 -2 -2 0 6 0 -9845.7 -17.42353 115 -1 -3 0 6 0 -9438.1 -47.38885 116 1 2 0 -1 0 9117.4 29.00055 117 5 -2 0 0 -1 8781.7 5.48286 118 -1 5 0 -2 0 -8641.4 -24.67330 119 2 -4 0 4 0 -8363.5 12.06040 120 -3 3 2 0 0 -8341.1 -9.16010 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 67 Tabla 2.5; Continuacion. W 9 M h M h A? X 10-® (rad) PERlO D O (di'as) 121 3 -3 2 0 0 -8312.3 9.20974 122 -1 1 0 1 1 -8259.3 -29.80306 123 -1 1 G 3 -1 8249.7 -35.61501 124 -3 1 2 2 0 -8086.3 -9.58660 125 4 -4 0 2 0 7529.0 6.63824 126 8 -4 0 -2 0 7485.2 3.49534 127 5 0 0 -2 -1 7182.1 5.63286 128 5 3 0 -6 0 7168.1 5.96992 129 5 -1 -2 1 -1 -6602.0 5.38422 130 5 -1 -2 -1 1 6602.0 5.54777 131 5 -5 0 2 0 6355.8 5.34948 132 4 0 2 -4 0 -6349.2 7.39872 133 7 1 0 -6 0 5502.8 4.16511 134 0 2 -2 2 0 5474.5 156.52111 135 2 -1 0 2 -1 4717.2 12.76024 136 -2 0 2 2 0 4710.3 -14.70143 137 1 0 0 2 -1 4520.0 23.76607 138 3 0 0 -2 1 -4422.6 9.58519 139 3 -2 0 0 1 -4116.0 9.15881 140 8 -4 -2 0 0 4045.9 3.42624 141 1 3 -2 0 0 4002.7 26.43848 142 -1 3 2 -2 0 -3997.5 -24.12968 143 3 3 -2 -2 0 -3777.3 9.47418 144 1 0 2 -1 0 -3776.4 29.78939 145 -3 -1 0 6 0 -3741.7 -10.67403 146 5 0 -2 -1 0 -3667.3 5.53827 147 8 -6 0 0 0 3663.4 3.43699 148 3 -2 0 1 0 3560.7 8.93477 149 1 -1 -2 4 0 -3453.9 21.03604 150 8 -2 -2 -2 0 3313.5 3.48422 151 2 2 2 -4 0 3254.8 15.98075 152 7 1 -2 -4 0 3244.7 4.06736 153 1 3 0 -1 3173.8 28.74272 154 1 3 0 -3 1 -3173.8 34.11122 155 3 1 -2 1 3160.0 8.83824 156 3 1 -2 -1 1 -3160.0 9.28771 157 2 1 0 -2 1 -3137.8 14.69811 158 -1 0 0 2 1 -3056.3 -32.12836 159 -3 3 0 2 0 -2867.5 -9.67126 160 -4 2 0 4 0 2840.0 -7.41653 161 8 -2 0 -4 0 2700.5 3.55570 162 6 2 -2 -4 0 2587.1 4.77172 163 0 -2 0 3 1 2162.8 131.66643 164 0 -2 0 5 2162.6 76.50812 165 1 -2 0 3 2076.5 22.62652 166 3 -3 0 1 1 1938.8 8.95953 167 3 -3 0 3 -1938.8 8.54055 168 4 -2 2 -2 -1930.4 7.14207 169 1 -2 0 2 1 -1838.1 24.12071 170 4 2 0 -3 -1837.8 7.20412 171 4 2 0 -5 1 1837.8 7.49997 172 -1 1 2 1 -1817.4 -29.54379 173 -1 1 2 -1 1 1817.4 -25.43001 174 1 -1 2 1 -1786.6 25.81629 175 1 -1 2 -1 1 1786.6 30.06643 176 2 -2 -2 4 -1734.8 11.92903 177 5 1 0 -3 -1703.0 5.71099 178 5 1 0 -5 1 1701.7 5.89534 179 1 2 0 0 -1662.2 26.86736 180 6 -1 0 -3 0 -1649.5 4.73746 68 Capitula 2. Desarrollo del po tenda l lunisolar de prim er orden Tabla 2.5: Continuacion. Im 9 M h-M (g 9S A; X 10 ® (rad) PERlODO (dias) 181 4 -2 -2 2 0 1614.2 6.59824 182 3 -2 0 2 -1 1456.5 8.72143 183 -1 -1 0 3 1 1329.8 -34.84722 184 -1 -1 0 5 -1 -1328.5 -43.06421 185 -2 2 0 1 1 -1326.9 -14.31737 186 -2 2 0 3 -1 1325.9 -15.53526 187 8 0 -2 -4 0 1257.9 3.54420 188 -4 6 0 0 0 -1228.0 -6.91813 189 1 -3 2 2 0 -1185.0 24.47719 190 6 -1 0 -2 -1 1177.9 4.67680 191 -4 4 0 2 0 1165.8 -7.15867 192 -3 -1 2 4 0 -1158.5 -10.05477 193 1 0 2 0 -1 1146.6 27.54306 194 6 -3 0 -1 0 -1144.2 4.63091 195 -2 -2 2 4 0 -1137.9 -15.83189 196 8 0 0 -6 0 1137.7 3.61819 197 2 0 -2 3 -1 1132.7 12.23841 198 2 0 -2 1 1 -1132.4 13.11743 199 0 -4 0 6 0 1127.6 65.83435 200 5 0 -2 0 -1 1092.3 5.45555 201 3 -5 0 4 0 -1086.1 8.38872 202 1 2 0 -2 1 1053.3 31.50170 203 2 0 2 -3 1 -1039.7 15.45728 204 2 0 2 -1 -1 1039.3 14.25111 205 -2 3 0 1 0 988.1 -14.38105 206 -2 1 0 3 0 976.6 -15.46096 207 6 -4 0 1 -1 -970.1 4.52271 208 6 -4 0 -1 1 970.1 4.63755 209 -2 4 0 1 -1 931.9 -14.44531 210 -2 4 0 -1 1 -931.9 -13.38649 211 -4 2 2 2 0 -927.0 -7.11218 212 1 5 0 -4 0 913.9 36.76912 213 1 0 0 1 2 888.3 29.53036 214 3 0 0 1 -2 -888.3 8.88565 215 0 4 -2 0 0 865.9 652.73960 216 6 -2 0 -1 -1 -860.9 4.62428 217 6 -2 0 -3 1 859.9 4.74442 218 6 -1 -2 -1 0 -843.9 4.61141 219 6 -3 0 0 -1 811.3 4.57293 220 3 2 0 -3 0 805.5 9.78392 221 4 4 0 -6 0 -797.2 7.62109 222 5 -3 -2 2 0 -791.6 5.32348 223 3 0 -2 1 0 764.3 8.86247 224 6 -2 -2 1 -1 -703.4 4.50411 225 6 -2 -2 -1 1 703.4 4.61800 226 -4 4 2 0 0 -691.9 -6.87471 227 4 -1 0 -2 1 -689.7 7.11140 228 -2 6 0 -2 0 -654.8 -13.01722 229 5 -1 2 -4 0 -653.5 5.83260 230 5 3 -2 -4 0 -598.4 5.77113 231 -1 -1 2 1 1 530.3 -29.01351 232 -1 -1 2 3 -1 -530.3 -34.49329 233 0 1 2 -1 0 -508.5 -367.29021 234 1 1 2 -1 -1 -496.6 29.51740 235 1 1 2 -3 1 496.6 35.20783 236 6 0 0 -3 -1 -477.1 4.73053 237 6 0 0 -5 1 476.8 4.85632 238 -1 1 -2 4 0 469.7 -39.92682 239 -1 0 2 1 0 464.9 -29.27625 240 5 1 -2 -1 -1 -463.7 5.52880 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 69 Tabla 2.5: Continuacion. w 3 m h M ^5 3 S A f X 10-® (rad) PERlO DO (dias) 241 5 1 -2 -3 1 463.7 5.70140 242 -4 0 2 4 0 -439.5 -7.36665 243 -2 1 0 2 1 429.2 -14.83310 244 9 -5 0 -2 0 423.4 3.10186 245 -4 0 0 6 0 -421.7 -7.69367 246 2 2 -2 1 -1 416.8 13.01184 247 2 2 -2 -1 1 -416.8 14.01001 248 9 -5 -2 0 0 415.0 3.04732 249 -1 -2 0 5 0 394.5 -42.49810 250 6 -1 -2 0 -1 390.7 4.55392 251 2 -2 2 1 -1 390.4 13.32856 252 2 -2 2 -1 1 -390.4 14.37787 253 -2 2 2 1 -1 383.6 -14.25726 254 -2 2 2 -1 1 -383.6 -13.22484 255 9 -3 -2 -2 0 378.0 3.09310 256 5 2 0 -5 0 -373.0 5.88461 257 5 -3 2 -2 0 -365.9 5.67192 258 3 -3 -2 4 0 -346.4 8.32496 259 4 1 -2 -1 0 339.9 6.93144 260 0 0 4 -2 0 -337.9 -164.90238 261 6 0 -2 -1 -1 -320.6 4.60484 262 6 0 -2 -3 1 320.2 4.72395 263 4 -4 2 0 0 -319.9 6.90263 264 9 -7 0 0 0 319.5 3.05583 265 -2 1 2 1 0 316.8 -14.19466 266 4 0 -4 2 0 -313.8 6.55873 267 1 3 2 -4 0 277.0 38.04648 268 1 -3 0 3 1 272.8 22.78600 269 1 -3 0 5 -1 -272.8 20.25843 270 6 1 0 -5 0 -265.2 4.84904 271 2 3 0 -3 0 255.9 15.17063 272 6 -6 0 2 0 247.9 4.47977 273 -5 3 0 4 0 247.2 -5.84366 274 0 3 0 -1 0 244.9 -552.62461 275 -5 5 0 2 0 242.9 -5.68239 276 2 4 -2 -2 0 241.6 14.43868 277 3 -1 -2 1 1 240.9 8.88683 278 3 -1 -2 3 -1 -240.8 8.47446 279 4 -3 0 0 1 -240.6 6.87398 280 -2 4 2 -2 0 236.1 -12.86432 281 9 -3 0 -4 0 223.7 3.14931 282 -2 -1 0 5 0 220.3 -16.71623 283 -2 0 2 1 1 218.6 -14.13261 284 -2 0 2 3 -1 -218.2 -15.31797 285 2 1 -2 1 0 206.8 13.06442 286 0 -1 2 1 0 -197.8 468.54482 287 9 -1 -2 -4 0 195.7 3.14028 288 2 -3 0 3 0 189.5 12.42428 289 7 -4 0 -1 0 -188.4 3.96460 290 3 0 2 -3 0 181.6 9.87212 291 0 4 0 -1 181.3 -666.56749 292 0 4 0 -3 1 -181.3 -143.35314 293 3 3 0 -3 180.9 9.75440 294 3 3 0 -5 1 -180.9 10.30479 295 5 -5 2 0 -180.6 5.51986 296 -2 3 0 0 1 179.8 -13.83629 297 3 2 0 -2 177.6 9.52869 298 3 -1 2 -1 171.0 9.39306 299 3 -1 2 -3 1 -171.0 9.90236 300 -1 0 2 0 1 -169.1 -27.10383 70 Capitula 2. Desarrollo del po tenda l lunisolar de primer orden Tabla 2.5: Continuacion. 9 M h M 5 s A? X 10-® (rad) PERlODO (dias) 301 -5 5 2 0 0 -168.3 -5.50199 302 -1 3 -2 2 0 162.4 -33.44176 303 0 -2 2 2 0 -159.8 219.16739 304 4 2 2 -6 0 -156.3 7.67450 305 5 1 2 -6 0 -155.4 6.00264 306 0 1 2 0 -1 149.1 66068.15238 307 2 2 0 -1 146.7 13.77440 308 2 0 -1 2 146.5 14.25413 309 4 0 1 -2 -146.5 6.71896 310 3 0 -2 0 1 -145.9 9.08285 311 4 -4 0 1 1 144.7 6.76111 312 4 -4 0 3 -1 -144.7 6.51975 313 6 -4 -2 2 0 -136.9 4.46152 314 -2 0 0 5 -1 -127.2 -16.80311 315 -2 0 0 3 1 126.9 -15.38737 316 -1 2 0 0 1 -125.7 -27.79163 317 5 -1 -4 2 0 -115.9 5.29773 318 -3 5 0 1 -1 113.5 -9.47703 319 -3 5 0 -1 1 -113.5 -9.00951 320 4 -2 -2 1 1 113.2 6.71963 321 4 -2 -2 3 -1 -113.2 6.48116 322 3 5 0 -6 0 -108.2 10.53484 323 -3 3 0 1 1 -108.2 -9.42179 324 -3 3 0 3 -1 108.2 -9.93430 325 4 -3 0 2 -1 103.5 6.62463 326 5 -4 0 1 0 -103.2 5.41989 327 4 1 -2 0 -1 -102.3 6.80235 328 7 -4 0 0 -1 94.1 3.92203 329 4 1 0 -4 1 -93.9 7.36581 330 6 1 -2 -3 0 -93.8 4.71706 331 0 -1 0 4 -1 91.6 93.96684 332 4 2 -2 -1 -1 89.4 6.91661 333 4 2 2 -3 1 -89.4 7.18887 334 7 -2 0 -3 0 -88.6 4.04244 335 2 -3 0 2 1 -87.8 12.86177 336 2 1 2 -3 0 -86.7 15.38373 337 2 1 -2 0 1 79.2 13.54904 338 -3 2 0 3 0 -78.8 -9.90387 339 9 -1 0 -6 0 73.5 3.19823 340 0 6 0 -4 0 -73.2 -109.95159 341 1 -2 0 4 -1 72.0 21.30665 342 -3 2 2 1 0 67.2 -9.36850 343 3 1 -4 2 0 65.9 8.60756 344 1 1 -2 1 1 65.7 25.03581 345 1 1 -2 3 -1 -65.7 22.01754 346 -1 -3 2 4 0 -65.2 -37.21344 347 0 1 0 2 -1 -64.9 172.85660 348 7 -3 -2 1 -1 -64.4 3.87130 349 7 -3 -2 -1 1 64.4 3.95514 350 3 -2 2 -1 0 64.1 9.42043 351 3 2 -2 -1 0 63.8 9.26110 352 -5 1 2 4 0 -63.2 -5.81265 353 7 -1 -2 -1 -1 -62.7 3.94548 354 -3 2 0 2 1 62.7 -9.64242 355 7 -1 -2 -3 1 62.6 4.03260 356 7 -2 0 -2 -1 62.6 3.99820 357 -1 -2 0 4 1 -61.9 -38.06878 358 2 -1 -2 3 0 60.9 12.28491 359 4 -1 -2 0 1 -60.1 6.83110 360 7 -2 -2 -1 0 -59.5 3.95030 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 71 Tabla 2.5: Continuacion. 9 M h M h 9S A f X 10-® (rad) PERlODO (dias) 361 6 -4 2 -2 0 -59.2 4.70370 362 5 2 0 -4 -1 57.7 5.79131 363 -5 1 0 6 0 57.7 -6.01436 364 6 1 0 -4 -1 56.5 4.78551 365 3 0 -2 2 -1 -54.7 8.65253 366 0 -2 -2 6 0 54.2 62.10125 367 0 4 2 -4 0 -54.0 -99.91998 368 10 -4 -2 -2 0 52.4 2.78093 369 3 0 2 -2 -1 -52.0 9.61232 370 -1 -1 -2 6 0 52.0 -49.53214 371 0 3 0 0 -1 51.8 1077.31697 372 -1 5 -2 0 0 50.2 -28.76900 373 7 0 -2 -3 0 -50.1 4.02758 374 0 1 0 -1 2 -50.0 -411.82878 375 2 1 0 1 -2 50.0 13.11487 376 3 -3 2 1 -1 49.8 8.98323 377 3 -3 2 -1 1 -49.8 9.44796 378 -3 1 0 3 1 -48.6 -9.87362 379 -3 1 0 5 -1 48.6 -10.43793 380 -2 -1 2 3 0 48.1 -15.24573 381 4 -1 -2 1 0 -45.3 6.70569 382 -3 4 0 1 0 45.2 -9.44933 383 -1 1 4 -2 0 -45.0 -23.60949 384 7 -2 -2 0 -1 44.3 3.90804 385 4 4 -2 -4 0 -43.9 7.30008 386 -2 1 2 0 1 43.6 -13.66367 387 3 2 0 -4 1 -42.8 10.05321 388 6 0 2 -6 0 -42.4 4.92890 389 0 0 -2 4 0 41.6 88.92189 390 7 0 0 -5 0 -41.6 4.12340 391 0 2 2 -1 -1 -40.7 -414.36706 392 0 2 2 -3 1 40.7 -126.76077 393 -3 0 2 3 0 39.6 -9.81511 394 7 -5 0 1 -1 -38.6 3.88503 395 7 -5 0 1 38.6 3.96947 396 4 -4 -2 4 0 -38.4 6.39335 397 -1 4 0 0 -34.5 -26.24590 398 7 -3 0 -1 -34.2 3.95975 399 7 -3 0 -3 1 34.2 4.04751 400 7 -7 0 2 0 32.8 3.85331 401 7 -1 0 -3 -1 -32.4 4.03740 402 7 -1 0 -5 1 32.4 4.12867 403 -2 -1 0 4 1 -32.2 -15.98468 404 5 -2 0 -2 1 -32.1 5.65256 405 -3 3 2 -1 1 -31.9 -8.93600 406 -3 3 2 1 -1 31.8 -9.39573 407 1 5 -2 -2 0 31.5 30.33360 408 2 3 0 -2 -1 -31.2 14.56566 409 -3 0 0 5 0 31.1 -10.40434 410 10 -6 -2 0 0 30.7 2.74387 411 1 -1 -2 3 1 -28.5 22.32158 412 1 -1 -2 5 -1 28.5 19.89050 413 0 -1 2 0 1 -26.3 -1656.97053 414 0 -3 0 5 0 26.2 78.36263 415 2 4 0 -3 -1 26.1 15.09977 416 2 4 0 -5 1 -26.1 16.46074 417 3 1 2 -3 -1 26.0 9.84206 418 3 1 2 -5 1 -26.0 10.40267 419 4 0 0 0 -2 25.8 6.83041 420 0 0 0 0 2 -25.3 72 Capitula 2. Desarrollo de! po tenda l lunisolar de prim er orden Tabla 2.5: Continuacion. 9M h-M 5S A? X 10-® (rad) PERÏODO (dias) 421 -3 4 0 0 1 25.0 -9.21104 422 0 -2 2 1 1 23.9 547.96200 423 0 -2 2 3 -1 -23.9 136.97690 424 3 -2 2 0 -1 -23.4 9.18357 425 -2 -1 2 2 1 -23.0 -14.63488 426 6 -6 2 0 0 -22.2 4.59864 427 8 2 -2 -6 0 21.8 3.60627 428 -4 -2 2 6 0 -20.8 -7.64000 429 3 3 2 -6 0 20.7 10.63716 430 2 -1 -2 2 1 -20.6 12.71248 431 6 1 -2 -2 -1 20.6 4.65692 432 -3 5 2 -2 0 -19.7 -8.76993 433 2 -1 2 -1 0 -19.6 14.31421 434 -3 7 0 -2 0 -19.1 -8.84072 435 -6 6 0 2 0 19.1 -4.71089 436 5 0 0 -4 1 -19.0 5.81213 437 0 -4 2 4 0 18.9 106.16125 438 7 0 0 -4 -1 18.9 4.07737 439 2 1 2 -2 -1 18.7 14.76200 440 -1 5 0 -1 -1 17.6 -26.46072 441 -1 5 0 -3 1 -17.6 -23.11207 442 3 2 -2 0 -1 -17.3 9.03210 443 -6 6 2 0 0 -17.3 -4.58623 444 1 -2 2 1 0 17.1 26.02410 445 -6 4 0 4 0 17.0 -4.82120 446 10 -8 0 0 0 17.0 2.75076 447 4 3 0 -5 0 16.8 7.48261 448 -3 -3 2 6 0 -16.8 -10.57100 449 7 0 -2 -2 -1 16.4 3.98365 450 10 -2 -2 -4 0 16.3 2.81901 451 0 1 -2 3 0 -15.9 113.41251 452 10 -6 0 -2 0 15.8 2.78801 453 4 -1 2 3 0 15.4 7.26813 454 -2 0 -2 6 0 15.3 -17.70521 455 0 2 -2 1 1 15.2 273.88735 456 0 2 -2 3 -1 -15.2 109.56871 457 2 2 -1 0 14.4 -25.63163 458 1 2 0 1 -2 14.2 25.02649 459 2 0 -1 2 -14.2 -25.82655 460 4 0 0 -1 14.2 -28.27781 461 1 -5 0 6 0 -14.1 19.42453 462 -3 0 4 -1 14.1 12.01557 463 1 3 -2 1 -1 -14.0 24.65396 464 1 3 -2 -1 1 14.0 28.50150 465 1 1 4 -4 0 -13.7 39.41579 466 3 -5 2 2 0 13.4 8.81541 467 4 0 2 -3 -1 13.2 7.25182 468 4 0 2 -5 1 -13.2 7.55168 469 5 2 -2 -3 0 13.0 5.69136 470 9 1 -2 -6 0 12.9 3.18892 471 5 -2 -2 0 1 -12.5 5.47403 472 2 -2 4 -2 0 12.4 15.03328 473 -6 2 0 6 0 12.4 -4.93680 474 10 -4 0 -4 0 12.3 2.82628 475 6 -2 -4 2 0 -11.9 4.44342 476 7 3 -2 -6 0 11.7 4.14933 477 2 3 0 -4 1 11.6 15.82803 478 4 -1 2 -2 -1 -11.3 7.12632 479 1 -3 2 1 1 -10.9 26.23529 480 1 -3 2 3 -1 10.9 22.93991 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 73 Tabla 2.5: Continuacion. W 3M h M ^5 5S A? X 10-® (rad) PERlO D O (dias) 481 5 1 -4 0 0 -10.9 5.43764 482 0 1 2 -2 1 -10.4 -183.13605 483 -1 0 2 2 -1 10.0 -31.82727 484 1 2 2 -3 0 -9.9 34.82853 485 3 -2 -2 3 0 9.7 8.49673 486 5 0 -2 -2 1 -9.4 5.62354 487 5 -3 -2 1 1 9.4 5.40221 488 5 -3 -2 3 -1 -9.4 5.24700 489 -5 -1 2 6 0 -9.4 -5.98152 490 6 0 -4 0 0 -9.3 4.54143 491 5 -4 0 0 1 9.1 5.50152 492 2 2 -4 2 0 8.9 12.51795 493 4 -6 0 4 0 8.9 6.43090 494 8 -4 -2 1 -1 -8.8 3.39440 495 8 -4 -2 -1 1 8.8 3.45868 496 -1 3 2 -1 -1 8.8 -25.83648 497 -1 3 2 -3 1 -8.8 -22.63441 498 -2 6 -2 0 0 8.8 -14.07434 499 0 -1 2 2 -1 8.7 205.25257 500 1 -1 4 -2 0 -8.7 33.08251 501 -3 0 2 2 1 -8.7 -9.55826 502 4 -1 -2 2 -1 -8.6 6.58480 503 -2 2 4 -2 0 8.1 -12.71496 504 0 -3 0 4 1 -7.9 99.76649 505 3 3 -2 -1 -1 7.9 9.23465 506 3 3 -2 -3 1 -7.9 9.72647 507 3 -4 0 2 1 -7.9 8.76874 508 6 -2 2 -4 0 -7.6 4.81367 509 7 -5 -2 2 0 7.6 3.83980 510 4 -3 0 1 0 7.5 6.74700 511 -2 2 -2 4 0 -7.5 -16.30325 512 8 -1 -2 -3 0 -7.4 3.51395 513 0 0 -2 3 1 -7.2 117.53580 514 0 0 -2 5 -1 7.2 71.51233 515 5 -1 0 0 -2 7.0 5.47358 516 6 -5 0 1 0 -6.8 4.52904 517 -3 2 2 0 1 6.7 -9.13422 518 2 -6 0 6 0 -6.6 11.39303 519 8 -3 -2 -1 0 -6.5 3.45499 520 -4 3 0 3 0 -6.4 -7.28532 521 5 -2 -2 1 0 -6.3 5.39320 522 -4 3 2 1 0 6.1 -6.99143 523 8 -5 0 -1 0 -5.8 3.46592 524 2 0 4 -4 0 -5.6 16.21739 525 3 -2 -2 2 1 -5.6 8.69909 526 -4 1 2 3 0 5.6 -7.23718 527 0 3 0 -2 1 5.5 -219.90950 528 1 2 -2 0 1 -5.5 26.65648 529 5 -4 0 2 -1 5.5 5.34064 530 3 0 -4 3 0 5.4 8.43132 531 5 -5 0 1 1 5.4 5.42899 532 5 -5 0 3 -1 -5.4 5.27226 533 5 -5 -2 4 0 -5.4 5.18930 534 -4 6 2 -2 0 -5.4 -6.65258 535 1 0 -2 2 1 5.2 23.60092 536 4 1 2 -5 0 5.2 7.53408 537 8 -2 -2 -1 -1 -5.2 3.45130 538 8 -2 -2 -3 1 5.2 3.51778 539 -5 3 2 2 0 5.2 -5.65305 540 0 3 -2 1 0 -5.0 252.49595 74 Capitula 2. Desarrollo del po tenda l lunisolar de prim er orden Tabla 2.5: Continuacion. w 9 M h M 9 S A l X 10-® (rad) PERlODO (dias) 541 3 5 -2 -4 0 5.0 9.93116 542 4 1 -2 -2 1 -5.0 7.06552 543 1 -3 -2 6 0 -4.9 19.08602 544 2 -4 2 2 0 -4.9 12.96243 545 8 -5 0 0 4.8 3.43334 546 -4 6 0 1 4.8 -7.05169 547 -4 6 0 -1 1 -4.8 -6.78954 548 -4 3 0 2 1 4.7 -7.14285 549 -6 4 2 2 -4.5 -4.69071 550 11 -5 -2 -2 4.5 2.52600 551 -4 2 2 1 1 -4.4 -6.97634 552 -4 2 2 3 4.4 -7.25342 553 -4 4 0 1 1 -4.3 -7.02106 554 -4 4 0 3 4.3 -7.30178 555 1 -1 0 0 -4.2 27.55435 556 2 2 2 -3 -4.2 15.31087 557 2 2 2 -5 1 4.2 16.71193 558 4 -2 2 -1 4.2 7.00509 559 4 -2 2 -3 1 -4.2 7.28450 560 4 -3 2 -1 4.2 7.02031 561 -1 1 0 0 4.2 -27.55475 562 -2 -2 2 3 1 4.1 -15.17418 563 -2 -2 2 5 -4.1 -16.54920 564 -1 0 0 4 4.0 -38.98697 565 8 -1 -2 -2 3.8 3.48047 566 7 1 -2 -3 -3.7 4.02257 567 7 1 -2 -5 1 3.7 4.11316 568 4 -4 2 1 3.6 6.77460 569 4 -4 2 -1 1 -3.6 7.03558 570 -5 7 0 0 0 3.6 -5.52977 571 1 2 -2 1 0 3.4 24.84342 572 6 4 -2 -6 0 -3.4 4.88493 573 0 4 -2 1 -1 -3.3 234.20394 574 0 4 -2 -1 1 3.3 -829.34277 575 3 -2 0 -1 2 3.3 9.39437 576 5 -2 0 1 -2 -3.3 5.40178 577 10 0 -2 -6 0 3.3 2.85814 578 11 -7 -2 0 0 3.3 2.49538 579 6 2 -2 -3 -1 -3.2 4.71019 580 6 2 -2 -5 1 3.2 4.83488 581 -4 2 0 3 1 -3.2 -7.26894 582 -4 2 0 5 -1 3.2 -7.57025 583 -3 -1 2 3 1 3.1 -9.78540 584 -3 -1 2 5 -1 -3.1 -10.33939 585 -4 5 0 0 1 3.1 -6.90336 586 4 -3 2 0 -1 -3.0 6.88792 587 1 2 2 -2 -1 2.9 31.79663 588 2 4 2 -6 0 2.9 17.32550 589 3 2 -2 -2 1 2.9 9.50203 590 4 2 -4 0 0 2.9 6.77453 591 -1 2 2 0 -1 -2.9 -27.56605 592 -1 7 0 -4 0 -2.9 -22.03295 593 8 -3 0 -2 -1 2.8 3.49157 594 -4 4 2 1 -1 2.7 -7.00658 595 -4 4 2 -1 1 -2.7 -6.74770 596 0 -1 -2 5 0 -2.6 73.12999 597 2 -4 -2 6 0 -2.6 11.27573 598 -1 -1 4 0 0 -2.5 -26.66743 599 0 6 -2 -2 0 2.4 -300.76041 600 3 -1 -4 4 0 -2.4 8.26215 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 75 Tabla 2.5: Continuacion. 9M h u (g 5S A \ X 1 0 -9 (rad)^ PERÏODO (di'as) 601 -6 2 2 4 0 2.4 -4.80007 602 2 6 0 -6 0 -2.3 17.05569 603 5 2 -2 -2 -1 -2.3 5.60404 604 6 -1 -2 -2 1 -2.3 4.67037 605 -1 4 0 -2 1 2.3 -24.48641 606 0 1 -2 2 1 -2.2 164.48474 607 7 -1 2 -6 0 -2.2 4.18101 608 7 -1 -4 0 0 -2.2 3.89884 609 5 -2 -2 2 -1 2.1 5.31473 610 8 -1 0 -4 -1 2.1 3.55180 611 -1 2 -2 3 0 -2.0 -36.39768 612 2 -2 -2 3 1 -1.9 12.33177 613 2 -2 -2 5 -1 1.9 11.55176 614 3 4 0 -5 0 1.9 10.27205 615 5 0 2 -5 0 1.9 5.91640 616 8 -3 0 -3 0 -1.9 3.52526 617 -1 -2 2 3 0 -1.9 -34.12915 618 -4 1 0 4 1 1.9 -7.39956 619 1 0 2 1 -2 -1.8 25.61176 620 1 -2 2 2 -1 1.8 24.29325 621 1 -5 2 4 0 1.8 21.87644 622 6 -3 -2 1 0 1.8 4.51039 623 -1 0 2 -1 2 1.8 -25.23154 624 -1 0 -2 5 0 -1.8 -44.21381 625 1 -2 2 0 1 -1.7 28.02052 626 2 -1 2 -2 1 1.7 14.89805 627 3 0 -2 -1 2 1.7 9.31447 628 5 0 -2 1 -2 -1.7 5.37526 629 -4 1 0 5 0 -1.7 -7.55256 630 11 -3 -2 -4 0 1.7 2.55737 631 1 0 -2 3 0 -1.6 22.16852 632 4 3 0 -4 -1 1.6 7.33240 633 -6 0 2 6 0 -1.6 -4.91465 634 7 -3 2 -4 0 -1.5 4.09780 635 7 -3 -4 2 0 -1.5 3.82638 636 -1 5 2 -4 0 -1.5 -21.59843 637 0 2 4 -4 0 -1.4 -91.56583 638 1 4 0 -3 0 1.4 33.75506 639 2 -4 0 3 1 1.4 12.47221 640 2 -4 0 5 -1 -1.4 11.67491 641 3 1 0 0 -2 1.4 9.08162 642 3 -3 4 -2 0 1.4 9.72661 643 6 -3 -2 0 1 -1.4 4.56678 644 7 -5 2 -2 0 -1.4 4.01783 645 -1 1 -2 3 1 1.4 -35.99245 646 -1 1 -2 5 -1 -1.4 -44.82688 647 -3 3 -2 4 0 -1.4 -10.24285 648 0 0 4 -1 -1 1.3 -300.62392 649 0 0 4 -3 1 -1.3 -113.61090 650 0 -1 -2 4 1 1.3 91.43692 651 4 3 -2 -3 0 1.3 7.17292 652 7 -7 2 0 0 -1.3 3.94093 653 8 0 -2 -3 -1 -1.3 3.51014 654 8 0 -2 -5 1 1.3 3.57892 655 -1 2 2 -2 1 1.3 -23.95091 656 4 0 -4 1 1 -1.2 6.67865 657 4 0 -4 3 -1 1.2 6.44303 658 4 1 2 -4 -1 -1.2 7.38182 659 6 2 2 -8 0 -1.2 5.04979 660 8 2 0 -8 0 1.2 3.68291 76 Capitula 2. Desarrollo del po tenda l lunisolar de primer orden Tabla 2.5: Continuacion. Im 9 M h-M 9 s A l X 10-® (rad) PERlODO (dias) 661 8 -6 0 1 -1 1.2 3.40495 662 8 -6 0 -1 1 -1.2 3.46964 663 9 -4 -2 -1 0 -1.2 3.07004 664 4 -6 2 2 0 -1.1 6.67872 665 5 -1 2 -3 -1 1.1 5.74092 666 5 -1 2 -5 1 -1.1 5.92724 667 -1 -3 -2 8 0 1.1 -65.22306 668 -2 -2 -2 8 0 1.1 -19.37097 669 -4 -2 0 8 0 -1.1 -7.99232 670 1 0 2 -2 1 1.0 32.43465 671 2 -4 2 1 1 -1.0 13.43937 672 2 -4 2 3 -1 1.0 12.51818 673 6 -3 0 -2 1 -1.0 4.69038 374 8 -6 -2 2 0 1.0 3.37016 675 -1 -2 2 2 1 -1.0 -31.21269 676 -3 5 -2 2 0 1.0 -9.75742 677 -3 -3 0 8 0 -1.0 -11.25766 678 0 3 2 -3 0 0.9 -131.93390 679 2 1 -2 2 -1 0.9 12.61328 680 2 -3 2 0 1 0.9 13.89279 681 4 -5 0 3 0 -0.9 6.53292 682 5 3 2 -8 0 -0.9 6.18290 683 5 -7 0 4 0 -0.9 5.21401 684 6 -1 0 -4 1 -0.9 4.79972 685 -3 7 -2 0 0 0.9 -9.31594 686 -7 7 2 0 0 -0.9 -3.93181 687 2 3 -2 -1 0 -0.8 13.94956 688 5 3 -2 -3 -1 0.8 5.68136 689 5 3 -2 -5 1 -0.8 5.86377 690 8 -8 0 2 0 0.8 3.38056 691 9 -5 -2 1 -1 -0.8 3.02211 692 9 -5 -2 -1 1 0.8 3.07296 693 -2 1 2 2 -1 0.8 -14.76859 694 -7 3 2 4 0 0.8 -4.08794 695 2 4 -2 -1 -1 -0.7 13.88963 696 2 4 -2 -3 1 0.7 15.03293 697 4 -2 -4 4 0 -0.7 6.35625 698 4 -3 -2 3 0 0.7 6.49418 699 5 0 2 -4 -1 -0.7 5.82209 700 6 -4 -2 1 1 0.7 4.51669 701 6 -4 -2 3 -1 -0.7 4.40768 702 7 2 -2 -5 0 -0.7 4.10794 703 7 3 0 -8 0 0.7 4.25111 704 8 -4 0 -1 -1 0.7 3.46221 705 8 -4 0 -3 1 -0.7 3.52911 706 9 1 0 -8 0 0.7 3.24869 707 -2 6 0 -1 -1 0.7 -13.49828 708 -2 6 0 -3 1 -0.7 -12.56928 709 -3 -2 2 5 0 0.7 -10.30643 710 0 -3 2 3 0 -0.6 143.03742 711 1 5 0 -3 -1 0.6 33.40626 712 1 5 0 -5 1 -0.6 40.88482 713 2 0 -4 4 0 0.6 11.80049 714 2 -3 2 1 0 0.6 13.38373 715 3 2 2 -5 0 -0.6 10.36931 716 8 1 -2 -5 0 -0.6 3.57497 717 9 -4 -2 0 -1 0.6 3.04445 718 -1 3 -2 1 1 0.6 -30.63678 719 -1 3 -2 3 -1 -0.6 -36.81214 720 -2 3 2 0 -1 0.6 -13.78015 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 77 Tabla 2.5: Continuacion. 9M h u 5S A ] X 10-® (rad) PERlODO (dias) 721 -2 3 2 -1 0 -0.6 -13.27917 722 -3 1 -2 6 0 0.6 -10.77909 723 -5 5 2 1 -1 0.6 -5.58614 724 -5 5 2 -1 1 -0.6 -5.42034 725 10 -2 0 -6 0 0.6 2.86562 726 0 3 0 1 -2 0.5 272.77609 727 0 -3 2 2 1 0.5 235.10608 728 1 0 -2 4 -1 -0.5 20.90004 729 1 1 -4 4 0 0.5 20.63959 730 1 3 2 -3 -1 -0.5 34.45731 731 1 3 2 -5 1 0.5 42.47031 732 1 3 -4 2 0 -0.5 22.93912 733 2 6 -2 -4 0 0.5 15.52759 734 3 0 2 -4 1 0.5 10.14635 735 3 -2 2 -2 1 0.5 9.66982 736 3 -3 -2 3 1 0.5 8.51912 737 3 -3 -2 5 -1 -0.5 8.13944 738 4 -1 -2 -1 2 0.5 6.96129 739 4 -3 -2 2 1 -0.5 6.61174 740 6 -1 -2 1 -2 -0.5 4.49784 741 6 -6 -2 4 0 -0.5 4.36689 742 7 1 2 -8 0 -0.5 4.26767 743 8 -2 0 -3 -1 0.5 3.52142 744 8 -2 0 -5 1 -0.5 3.59066 745 9 -2 -2 -3 0 -0.5 3.11651 746 -1 4 -2 1 0 -0.5 -30.92989 747 -2 3 0 -1 2 -0.5 -13.33129 748 -2 4 -2 2 0 -0.5 -15.10702 749 -3 1 4 0 0 0.5 -9.08412 750 -4 0 2 3 1 0.5 -7.22101 751 -4 0 2 5 -1 -0.5 -7.51828 752 -4 2 -2 6 0 -0.5 -7.74810 753 -4 -1 2 5 0 0.5 -7.50083 754 -5 4 2 1 0 0.5 -5.57650 755 -5 7 2 -2 0 -0.5 -5.35879 756 -5 -1 0 8 0 -0.5 -6.19534 757 1 2 -2 2 -1 0.4 23.26129 758 1 4 0 -4 1 0.4 37.19213 759 1 -2 -2 5 0 0.4 20.01364 760 1 -4 0 5 0 -0.4 20.38618 761 2 -1 -2 4 -1 -0.4 11.88517 762 2 -6 2 4 0 0.4 12.19469 763 3 -1 4 -4 0 0.4 10.20889 764 3 -4 0 4 -1 0.4 8.36701 765 4 -5 0 2 1 -0.4 6.65190 766 5 -1 -4 1 1 -0.4 5.37569 767 5 -1 -4 3 -1 0.4 5.22199 768 5 -5 2 1 -1 0.4 5.43768 769 5 -5 2 -1 1 -0.4 5.60456 770 9 -2 -2 -2 -1 0.4 3.09015 771 9 -3 -2 -1 -1 -0.4 3.06713 772 9 -3 -2 -3 1 0.4 3.11952 773 -1 -5 2 6 0 0.4 -45.42336 774 -2 0 4 0 0 -0.4 -13.55187 775 -2 1 0 4 -1 -0.4 -16.14433 776 -2 3 0 2 -1 0.4 -14.97047 777 -2 4 2 -1 -1 0.4 -13.33394 778 -2 4 2 -3 1 -0.4 -12.42666 779 -2 5 0 -2 1 0.4 -12.96502 780 -3 0 0 4 1 0.4 -10.11618 78 Capitula 2. Desarrollo del po tenda l lunisolar de primer orden Tabla 2.5: Continuacion. 9 m hM 5S A l X 10-® (rad) PERlODO (dias) 781 -3 4 2 -1 0 -0.4 -8.96077 782 -3 -1 -2 8 0 0.4 -11.37458 783 11 -1 -2 -6 0 0.4 2.58954 784 1 4 -2 -1 0 -0.3 28.25242 785 2 1 -2 -1 2 -0.3 14.07099 786 3 3 -4 0 0 0.3 8.98311 787 3 -4 2 1 0 -0.3 9.00826 788 4 1 -2 1 -2 0.3 6.67799 789 4 3 -2 -2 -1 -0.3 7.03477 790 5 -2 2 -3 0 -0.3 5.75114 791 6 -2 0 0 -2 0.3 4.56647 792 6 -3 -2 2 -1 0.3 4.45537 793 6 -5 0 2 -1 0.3 4.47357 794 7 -4 -2 1 0 -0.3 3.87594 795 8 -1 0 -5 0 -0.3 3.58667 796 8 -4 -4 2 0 -0.3 3.35982 797 -1 0 -2 4 1 0.3 -39.43973 798 -1 2 -2 2 1 0.3 -33.09937 799 -1 3 4 -4 0 0.3 -21.18072 800 -1 7 -2 -2 0 0.3 -25.24197 801 -2 2 0 0 2 0.3 -13.77732 802 -4 4 -2 4 0 -0.3 -7.46710 803 -5 3 2 1 1 -0.3 -5.56690 804 -5 3 2 3 -1 0.3 -5.74192 805 12 -6 -2 -2 0 0.3 2.31388 806 12 -8 -2 0 0 0.3 2.28816 807 0 3 -2 0 1 -0.2 817.87479 808 0 -2 4 0 0 0.2 -828.30579 809 0 -2 -2 5 1 -0.2 74.82254 810 0 -2 -2 7 -1 0.2 53.07711 811 0 -4 -2 8 0 0.2 47.71073 812 1 0 4 -3 0 0.2 35.97252 813 1 2 2 -4 1 0.2 38.49957 814 1 5 2 -6 0 -0.2 46.67068 815 1 -2 -2 4 1 0.2 21.17381 816 1 -4 0 4 1 -0.2 21.59125 817 2 1 2 -4 1 0.2 16.06014 818 2 2 4 -6 0 -0.2 17.60400 819 2 3 -2 0 -1 0.2 13.43641 820 2 3 -2 -2 1 -0.2 14.50346 821 2 -2 0 0 2 -0.2 13.77723 822 2 -3 2 2 -1 -0.2 12.91067 823 2 -5 0 5 0 0.2 11.71722 824 3 1 -4 1 1 0.2 8.81530 825 3 1 -4 3 -1 -0.2 8.40939 826 3 -4 2 0 1 0.2 9.23605 827 3 -7 0 6 0 -0.2 8.06032 828 4 2 2 -5 -1 0.2 7.51657 829 4 2 2 -7 1 -0.2 7.83921 830 4 -2 4 -4 0 0.2 7.44904 831 5 0 -4 1 0 0.2 5.36677 832 5 1 2 -5 -1 0.2 5.90559 833 5 1 2 -7 1 -0.2 6.10294 834 5 5 -2 -6 0 -0.2 5.93755 835 5 -2 2 -2 -1 -0.2 5.66199 836 5 -4 2 0 -1 -0.2 5.51045 837 6 1 -2 -4 1 -0.2 4.77877 838 6 2 0 -5 -1 -0.2 4.84177 839 6 2 0 -7 1 0.2 4.97363 840 6 -5 0 0 1 0.2 4.58590 2.10. Conclusiones y resultados numéricos. 79 Tabla 2.5: Continuacion. 9M h-M 5S A ] X 10-® (rad) PERlO DO (dias) 841 6 -6 0 1 1 -0.2 4.53540 842 6 -6 0 3 -1 0.2 4.42549 843 6 -8 0 4 0 -0.2 4.38438 844 7 1 0 -5 -1 -0.2 4.11815 845 7 1 0 -7 1 0.2 4.21315 846 7 1 -4 -2 0 -0.2 3.97409 847 7 -2 -2 -2 1 -0.2 3.99349 848 8 -2 2 -6 0 0.2 3.63018 849 8 -2 -4 0 0 -0.2 3.41555 850 8 -4 2 -4 0 -0.2 3.56729 851 9 -1 -2 -3 -0.2 3.11351 852 9 -1 -2 -5 1 0.2 3.16751 853 -1 1 4 -1 0.2 -25.24101 854 -1 1 4 -3 1 -0.2 -22.17609 855 -1 5 -2 1 -0.2 -31.22866 856 -1 5 -2 -1 1 0.2 -26.66850 857 -2 3 2 -2 1 0.2 -12.81333 858 -2 -1 2 4 0.2 -15.90980 859 -2 -2 0 5 1 0.2 -16.63024 860 -2 -2 0 7 -0.2 -18.29629 861 -3 3 4 -2 0.2 -8.70026 862 -3 -1 0 5 1 0.2 -10.37096 863 -3 -1 0 7 -0.2 -10.99535 864 -4 1 2 2 1 0.2 -7.09657 865 -4 6 -2 2 0 -0.2 -7.20577 866 -5 2 2 2 1 0.2 -5.64319 867 -7 5 2 2 0 0.2 -4.00836 868 10 0 0 -8 0 0.2 2.90607 869 12 -4 -2 -4 0 0.2 2.34018 870 0 1 2 1 -2 -0.1 363.25139 871 0 4 -4 2 0 -0.1 136.94858 872 0 -1 2 -1 2 0.1 -299.28564 873 0 -4 2 3 1 -0.1 149.65906 874 0 -4 2 5 -1 0.1 82.25435 875 1 0 0 3 -2 -0.1 22.31417 876 1 0 2 -3 2 -0.1 35.59549 877 1 0 -2 1 2 -0.1 25.23121 878 1 -3 4 0 0 0.1 28.50273 879 2 -1 2 1 -2 -0.1 13.27383 880 2 -3 -2 5 0 0.1 11.59318 881 3 0 0 -3 2 0.1 9.84350 882 3 0 2 -1 -2 0.1 9.36584 883 3 0 -2 3 -2 0.1 8.45230 884 3 1 4 -6 0 -0.1 10.74149 885 3 -5 0 3 1 -0.1 8.58591 886 3 -5 0 5 -1 0.1 8.20039 887 4 -3 0 -1 2 -0.1 7.00582 888 4 -4 4 -2 0 0.1 7.18895 889 5 0 0 -1 -2 -0.1 5.54732 890 5 -4 -2 3 0 0.1 5.25553 891 5 -7 2 2 0 -0.1 5.37574 892 6 2 -4 -2 0 -0.1 4.64386 893 6 3 -2 -5 0 0.1 4.82766 894 6 4 0 -8 0 -0.1 5.02661 895 6 -3 0 1 -2 0.1 4.51639 896 7 2 -2 -4 -1 0.1 4.06225 897 7 -5 -2 1 1 0.1 3.88059 898 7 -5 -2 3 -1 -0.1 3.79985 899 8 1 -2 -4 -1 0.1 3.54032 900 8 -8 2 0 0 -0.1 3.44781 80 Capi'tulo 2. Desarrollo del po tenda l lunisolar de primer orden Tabla 2.5: Continuacion. w 9M h-M 5S A l X 10-9 (rad) PERlODO (dias) 901 9 0 -2 -5 0 -0.1 3.16441 902 -1 0 0 1 2 0.1 -29.53082 903 -1 -1 -2 5 1 -0.1 -43.61729 904 -1 -1 -2 7 0.1 -57.30287 905 -1 -2 2 4 0.1 -37.64679 906 -2 1 2 -1 0.1 -13.17096 907 -2 2 -2 3 1 0.1 -15.60665 908 -2 2 -2 5 -0.1 -17.06494 909 -3 1 2 3 0.1 -9.84500 910 -3 4 2 0 0.1 -9.18613 911 -3 -2 2 4 1 -0.1 -10.02359 912 -5 0 2 5 0 0.1 -5.89587 913 -5 4 2 0 1 0.1 -5.49264 914 10 -5 -2 -1 0 -0.1 2.76228 915 11 -5 0 -4 0 0.1 2.56336 916 11 -7 0 -2 0 0.1 2.53184 Tabla 2.6: Desarrollo de P2 o(sen^s)- w 9M h M 9S A ' ^ X 10-® (rad) PERÏODO (dias) 1 0 0 0 0 0 -500209456.4 2 0 0 0 1 -1 -25070799.8 365.25964 3 0 0 0 2 -2 -628286.7 182.62982 4 0 0 0 3 -3 -15455.0 121.75321 5 0 0 0 4 -4 -375.1 91.31491 6 0 0 0 5 -5 -5.8 73.05193 Tabla 2.7: Desarrollo de T2 2 ( s e n c o s 2 Ag. ^M 9M hM h 9S A '2 X 10-® (rad) PERÏODO (dias) 1 0 0 0 2 0 2997902146.0 182.62109 2 0 0 0 3 -1 175248846.8 121.74933 3 0 0 0 1 1 -25146093.1 365.22475 4 0 0 0 4 -2 3763016.1 91.31273 5 0 0 0 0 2 -3351539.1 6 0 0 0 5 -3 162266.5 73.05053 7 0 0 0 -1 3 -83695.4 -365.29453 8 0 0 0 6 -4 5681.4 60.87564 9 0 0 0 -2 4 -2095.5 -182.63854 10 0 0 0 7 -5 130.7 52.17924 11 0 0 0 -3 5 -61.2 -121.75709 12 0 0 0 8 -6 2.7 45.65691 13 0 0 0 -4 6 -1.3 -91.31709 Capitulo 3 Contribuciones al desarrollo del potendal lunisolar de primer orden 3.1 Introduccion. La mejora de la precision de las observaciones de VLBl en la ultim a decada conduce a estimaciones de los coeficientes de la nutacion de la Tierra con precisiones de unos pocos mi- crosegundos de arco. Esto obliga a considerar, al menos, valores de los coeficientes de la nutacion para un modelo de Tierra rigido al nivel del microsegundo de arco y a introducir correcciones y otras contribuciones (planetarias, potencial lunisolar de segundo orden, etc.) a los coeficientes de las series de nutacion adoptadas por la lAU en 1980 [Seidelmann 1982]. Las nuevas contribuciones ban sido estudiadas por muchos autores [Zhu & Groten 1989], [Kinosbita & Soucbay 1990], [Soucbay 1993], [Williams 1994, 1995], [Soucbay et a/., 1995, 1996], [Soucbay & Kinosbita 1996, 1997], [Hartmann & SofFel 1994], [Bretagnon et al. 1997], [Soucbay 1997], [Roosbeek & Debant 1997], [Soucbay et al. 1997] y [Folgueira et al. 1997a,b]. En este Capi'tulo consideraremos las aportaciones al potencial lunisolar de primer orden de los armonicos zonales J 3 y J 4 , de los armonicos no zonales de grado 3: Csm Y Ssm {m =l,2,3}, de los armonicos C4 1 y S 4 1 y del efecto planetario directo e indirecto. 3.2 Los termines de segundo orden del potencial. 3.2.1 Contribucion de J3 . Consideremos abora los efectos en la nutacion del term ino mas significativo del potencial de segundo orden debido a la Luna, esto es, la parte que contiene solamente el armonico zonal J 3 . Este termino viene dado por (2.5.17): J A { s e n S M ) ( 3 .2 .1) 81 82 Capi'tulo 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de primer orden El polinomio de Legendre que aparece en la expresion anterior puede expresarse en funcion de Fsm" (sen j3m ), combinaciones lineales de Am y las variables de Andoyer y los polinomios modificados de Jacobi \ e , c o s I ) . A partir de (2.6.23), tenemos: Psoisen 6m ) = X I È 0 3 ° '" '\/) ,c o s J ) \ e , cos I ) Psm"(sen/3m ) x P t€= ±l m ',m " = 0 7T 7T cos pem"(ÀM — h) — m'pg — —m' + —p(m ' — m") (3.2.2) Sustituyendo en (3.2.2) las expresiones de los polinomios modificados de Jacobi, podemos aproximar P 3 o(sen 6 m) a: jP3o(se:n 64, ) =3 -k (3.2.3) En (3.2.3) denotamos por ̂ a la parte de P 3 o(sen^M) que esta relacionada con el polinomio modificado de Jacobi (̂/>, cos J ) . En la expresion anterior hemos considerado solamente las funciones Psq'^ ̂ que verifiquen que estas o sus derivadas con respecto a J no tengan sen J como factor. Como veremos en el siguiente Capi'tulo, la funcion contribuira a los terminos de Poisson, mientras que P;jo'^^ estara directamente relacionada con los terminos Oppolzer. Las expresiones de estas funciones tienen la forma: p3o'°^ = i COS J(—3 + 5 c o s ^ J) | i COS/ ( — 3 4 - 5 c o s ^ / ) P 3 o ( s e n y^M) 4- i sen 7(1 — 5 cos^ 7 )7 ^ 1 (sen ^M) sen(AM — h) — - sen^I cos 7 7 3 2 (sen j3m) c o s 2(Am — h) + ^ sen^7 7 3 3 (sen /3m) sen 3(Am - & ) j (3.2.4) 1 r 3 Pso^^ = - s e n J (1 — 5 cos^ J ) I - s e n I (—1 -h 5 cos^ I) P3 o(sen/3m) COS g 4- ^ ^ e ( l 4 - £ cos 7 )(—1 — lOe cos 7 4 - 15 cos^ 7)73%(sen /3m) sen(\M — h — eg) e = ± l ° — X ÏÏ ^ (1 4 - £ COS 7)(1 — 3 e cos 7)P32(sen ^ m ) c o s ( 2 (A m — h) — eg) £ = ± 1 ° - X sen^7 (1 4- £ cos 7)7s3(sen )^M) sen(3(AM - fi) - £^) / (3.2.5) £ = ± 1 I 3.2. Los term inos de segundo orden del potencial. 83 Procediendo de la misma forma que en los desarrollos de prim er orden, podemos expresar las diferentes funciones que aparecen en la expresion del polinomio de Legendre de tercer grado de la forma, utilizando (2.7.35), (2.7.74), (2.7.75), (2.7.76), (2.7.77) y (2.8.83): ( — ) i 3̂ o(sen ^ m ) = X sen %, (a) \ / ,• f — ) 7 3 i(sen Pm ) sen = X G] «enXi (61) ( — ) 7*31 (sen P m ) c o s A,^ = X cos %, (62) ) 732(sen/?m) sen 2 A„, cos %, (cl) \ / ,• ( — ) P 3 2 (sen /5m) cos 2 A^ = X ^ ^ sen Xi (c2 ) \ / ,• f — ) 7 3̂ 3 (sen Pm ) sen 3Am = X sen %, (dl) \ 'Cm / ,• ( — ) 7 ^3 (sen Pm) cos 3Am = X cos Xi (d2 ) \Cm y con. (3.2.6) G) = GJ G? = -G ^ G? = G? (3.2.7) Los coeficientes ( 2 1 , 2 2 5 *3 5 ^ 5 *5 ) verifican tam bién las siguientes relaciones: • En el desarrollo (a) de (3.2.6): 2i + 22 + *3 + *4 + *5 = 0, • En los desarrollos (b l) y (b2) de (3.2.6): 2 i + 2 2 + *3 + *4 + 2 5 = 1, • En los desarrollos (cl) y (c2) de (3.2.6): 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 -f 2 5 = 2, • En los desarrollos (d l) y (d2) de (3.2.6): 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 -f- 2 5 = 3. Las Tablas 3 . 1 a 3.4 m uestran los terminos correspondientes a cada desarrollo. A partir de las ecuaciones (3.2.6) y (3.2.7), tenemos: 84 Capi'tulo 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden ( — ) P3 o(sen/3m) cos u = X \Cm / ^ E=±l i f—) 7 *3o(sen/5M)senu = ̂ X X V rM / X 1 P3i(sen^M )sen(A^ - eu) = - X X sen(u - eXt) = ± 1 £ = ± 1 i X f — ) 7^1 (sen jg^) cos(Am - £u) = X X “ ^A:0 —L1 \Cm / ..—U1 : X ( — 1 P 3 2 (sen^M) sen(2 A^ — £u) — — X X G^ cos(u — ex*) £ = ± 1 £ = ± 1 i X ) P 3 2 { s e n ^ m ) c o s { 2Xm - e u ) = - s e n { u - e x i ) £ = ± 1 £ = ± 1 i X f — 1 P 33(sen ;^m) sen(3A„i — eu) = — X X ^G? sen(u — ex») £ = ± 1 £ = ± 1 i X ( — 1 P 3 3 (sen^M) cos(3A„i — eu) = X X cos(u — ex,) (3.2.8) £ = ± 1 / £ = ± 1 ,• siendo u una combinacion lineal de las variables de Andoyer I y g. A partir de (3.2.3), (3.2.4), (3.2.5) y (3.2.8), llegamos a: f — ) 730(sen ^m ) « ^ cos J ( - 3 + 5 cosV ) X sen x« V tm / \ cm/ '' ' ' 2 + - send (1 — 5cos^J) X X (^) sen(gr — ex«) (3.2.9) ^ £ = ± 1 t‘ siendo. ^ cos / ( —3 + 5 cos^ 7)G° + ^ sen 7(1 — 5 cos^ 7)G- — j sen^7 cos 7G^ + — sen^7 Gf M /(e) = — yesen 7 ( — 1 + 5cos^ 7)G° — i ( l + eco s7 )(—1 — lOecos 7 + 15cos^ 7)Gj 4 8 + ye sen 7(1 + e cos 7)(1 — 3e cos 7)Gf + — sen^7 (1 + e cos 7)Gf 8 I d (3.2.10) 3.2. Los términos de segundo orden del potencial. 85 A partir de (3.2.9) podemos escribir (3.2.1) de la forma: l//» « 73 [ p M + p(».»] (3.2.11) 0-Ayf y La contribucion del armonico zonal J 3 a las nutaciones solares es mas pequena que la correspondiente a las nutaciones lunares. No obstante, se ban obtenido componentes mayores a la precision considerada [Souchay & Kinoshita 1996]. Las expresiones correspondientes a la parte solar de la energia potencial son anâlogas a las desarrolladas anteriormente para la parte lunar, reemplazando el submdice m por 5 . En este caso, los desarrollos se simplifican considerablemente pues se considéra, en el teorema de Wigner de transformacion de armonicos esféricos, el valor de la latitud ecliptica /3s igual a cero. Las funciones de Legendre de grado 3, P3 m"(^)i en (2.6.23) se anulan cuando m" es par. Las tablas 3.5 y 3.6 m uestran los términos correspondientes a la parte solar de la energia potencial debida al armonico zonal de grado 3. 3.2,2 Contribucion de J4 . La influencia del coeficiente J 4 en la nutacion es pequena. Kinoshita (1977) hizo un breve estudio y apunto que esta influencia era despreciable de acuerdo con la precision que consi- deraba. Kinoshita & Souchay (1990) calcularon solamente la influencia de J 4 en la precesion. Recientemente, Souchay & Kinoshita (1997) han hallado 3 términos, siendo el mayor el de argum ente Km = ^ [Souchay & Kinoshita 1997]. Calcularemos los principales términos del potencial lunar relacionado con J4. A partir de (2.5.17): Ui' = J4Pio{senSM) (3.2.12) P 4 o(sen^M) se puede expresar en funcion de los polinomios modiflcados de Jacobi [Kinoshita et al. 1974], aproximando cos J a l : P 4 o(sen<^M) = ^(3 — 30cos^ / + 35cos'‘ / ) P 4 o(sen^M) + - s e n / c o s / ( 3 — 7 co s^ /)P 4 i(sen/?M)sen(AM —/i) % — — sen^Z (—1 + 7 cos^ 7)^42(sen /3m ) cos 2(Am — h) + 24 ^ P i 3 (sen /?m) sen 3(Am — h) + sen'^Z + 4 4 (sen ;^M) cos 4(AM — /̂ ) (3.2.13) Las diferentes funciones que aparecen en la expresion del polinomio de Legendre de cuarto orden se pueden escribir de la forma, con la ayuda de (2.7.35), (2.7.78), (2.7.79), (2.7.80), (2.7.81), (2.7.82) y (2.8.83): 86 Capi'tulo 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de primer orden con, f — ) Ao(sen /3m ) = cos X»' («) (—) Ai(sen /3m ) sen ^ 77/ cos Xi (61) \ / ,• f — ) 7̂41 (sen /?m ) cos A ̂ = ^ P / sen %, (62) \ / i ( — ) P42(sen /3m ) sen 2A^ = J 2 ^ i sen X, (d ) / t ) Pi2 (sen ^ m ) c o s 2A^ = ^ cos (c2) \ / ,■ ( — ) p 4 3 (sen )^m ) sen 3Am = ^ 77f cos %, (dl) (—) 7^3(sen /3m ) cos 3A^ = ' ^ H f sen %, (d2) / ,• ( — ) P44(sen/^M)sen4A„i = ^ P /s e n X t (el) +4 4 (sen ^m) c o s 4A^ = ^ 77/ cos %, (e2) Los coeficientes (%i,%2 ,%3 , %4 ,^s) verifican las relaciones: • En el desarrollo (a) de (3.2.14): i\ + %2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 0, • En los desarrollos (b l) y (b2) de (3.2.14): i\ + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 1, • En los desarrollos (c l) y (c2) de (3.2.14): 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 2, • En los desarrollos (d l) y (d2) de (3.2.14): + + 2 2 + 2 3 + û + 2 5 = 3, • En los desarrollos (el) y (e2) de (3.2.14): 2 i + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 4. (3.2.14) H ] = - H i H f = H f H f = - H f H f = H f (3.2.15) 3.2. Los términos de segundo orden del potencial. 87 Las Tablas 3.7 a 3.11 m uestran los términos correspondientes a cada desarrollo. Sustituyendo (3.2.13) y (3.2.14) en la expresion de obtenemos: Ui' = J , 7V“ cos Xi (3.2,16) aM siendo, AT» = t ( 3 - 3 0 c o s ^ / + 3 5 c o s" /) i ï“ + t s e i i / c o s / ( 3 - 7 c o s ^ / ) i / / 8 4 - ; y s e n " / ( - l + 7 c o s " / ) F ? + ; ^ s e n ^ / c o s / / / f + A - s e n U ^ f (3.2.17) 24 24 192 3.2.3 Contribucion de los armonicos no zonales de tercer grado. La influencia sobre la nutacion de los armonicos no zonales de tercer grado es, de hecho, del mismo orden que la influencia de J 3 . Por lo tanto, no es despreciable con respecto a la actual precision de las medidas VLBI y LLR, es decir, unos pocos microsegundos de arco [Dehant et al. 1997b]. La influencia de estos armonicos, Csm y 8 3 ^ {m =l,2,3}, ha sido estu- diada en detalle [Folgueira et al. 1997a]. En esta seccion, resumiremos dicho estudio. La parte lunar de la energia potencial gravitatoria correspondiente a estos armonicos es (2.5.17): Ü2 ^ = ^ P3^(sen6M) [Cam cos maM + 5am sen maM] (3.2.18) m=l Las funciones de Legendre que aparecen en la expresion anterior tienen la forma (2.6.23): +3^(sen 6m) cos(maM + 7 -3 ^ ) = ^ ^ (̂/?, cos J ) ^(e, cos/ ) x p,e=±l m',m"=0 + 3 m " ( s e n / ) M ) COS p e m ' ' { \ M — h ) — m l — m'pg + ^ (m - m') + ^/o(m' - m") + (3.2.19) en donde hemos tenido en cuenta que: Cam COS maM + 5'am sen m^M = \JC |^ + S l ^ cos(maM + Tg^) (3.2.20) siendo, Capitula 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de primer orden tan Tsm = - (3.2.21) G 3m Sustituyendo las expresiones de los polinomios modiflcados de Jacobi en (3.2.19) obtenemos: 7 ^ 1 (sen 6 ^ ) cos(aM + T3 1 ) % + 7^/"') + (3.2.22) En (3.2.22) denotamos por + 3 /'"^ ̂ a la parte de 7 s i(sen^M) cos(aM + T3 1 ) que esta rela- cionada con el polinomio modiflcado de Jacobi ^(p, cos J ) . Teniendo en cuenta las ex­ presiones de dichos polinomios y que el ângulo J es muy pequeno, tenemos solamente que considerar las funciones + 3 /'"^ ̂ que cumplan que estas, o sus derivadas con respecto a J , no tengan sen J como factor [Folgueira et ai 1997a]. Estas funciones tienen la forma: 3 r 1- sen J ( — 1 + 5 cos^J) y - cos 7 (—3 + 5cos^7) P3 o{sen^M) sen(/ — T3 1 ) + ^ i e s e n 7 ( l — 5cos^7)Pai(sen/?M)cos(A,„ — e/ + e ra i) ?(1.0) _ 31 — 3 ,- sen J + £ = ± 1 ° + £ = ± 1 ° + E —. S i 48 (3.2.23) + 3+ = ^ -(1 + pcos J ) ( —1 — lOpcos J + 15cos^J) X p=±l ° r 3| - s e n 7 ( - l + 5cos^7) Pao(sen ^̂ m) sen(p/ g - pr3 i) + ^ ̂ —(1 + £ COS 7)(—1 — lOs cos 7 + 1 5 cos^7) + 3 %(sen /^m ) cos(A^ — psi — sg + /^ct’si) £ = ± 1 ° + sen7(l + £ cos 7)(1 — 3e cos 7) + 3 2 (sen,^M) sen(2 Am — pel — eg + psTai) £ = ± 1 ° - ^ -^ se n ^ 7 ( l + £cos7)P33(sen/?M)cos(3A„i - p e / + perai) > (3.2.24) £ = ± 1 I 3.2. Los términos de segundo orden del potencial. 89 +3 /'^ ̂ = ^ ^/?sen J (1 + /?cos J ) ( l — 3pcos J ) X /9=±1 15sen^/cos/P3o(sen^M )sen(p/ -\-2 g — pr^i) 5 + y ] —£ se n /( l + £ cos / ) ( — 1 + 3£ cos/ ) P 3 i(sen ^m) cos(A^ — pel — 2 e g p e T ^ i ) e = ± l ^ + X / 2 ( 1 T ^ cos 7)^(—2 + 3£ cos 7) 7 ^ 2 (sen /3m ) sen(2A^ — pel — 2eg + p^^si) e = ± l ^ + ^ ^£sen7 ( 1 + £ cos 7 )^P3 3 (sen/?M) cos(3A ^-/? £ / —2 £^ + /9 £T3 i) > (3.2.25) £ = ± 1 ° J Teniendo en cuenta las simplificaciones y notaciones previas, tenemos también: +32(sen 6 m) cos(2aM + T3 2 ) % + 3 2 '̂ ̂ + + 3 2 '̂ ̂ + + 3 2 ’̂ ̂ (3.2.26) con, +3 2 '̂ ̂ = XI T sen + ( 1 + p cos+ )(—! + 3p cos+) x p = ± i r 3| - - s e n 7 ( - l + 5cos^7)+ 3 o(sen)5 M )cos(2 p/ g - PT3 2 ) — ^ ] —£(1 + £ cos 7 ) ( —1 — 10£ cos 7 + 15 cos^7) X £ = ± 1 ° + 3i(sen/?M ) sen (Am - 2 pel - eg 3- P6T32) + X2 % sen 7 (1 + £ cos 7)(1 - 3£ cos 7) +32(sen ^ m ) cos(2A^ — 2 pel — eg -\- peTs2 ) £ = ± 1 ° + ^ 2 sen^7 ( 1 + £ COS 7) P 3 a(sen ^m) sen(3A^ — 2 /)£ /— £5 f + /7£T32) > (3.2.27) £ = ± 1 J + 32'^̂ = ^ - p ( l + pcos J ) ^ ( —2 + 3pcos J ) X p = ± i — 15 sen^7 cos 7 + 30(sen /3m) cos{2pl -\-2g — PT3 2 ) 5 — y ] — sen 7 (1 + £ COS 7)( — 1 + 3£ cos 7) +31 (sen /3m) sen(A^^ ̂ — 2 pel — 2 eg + PCT3 2 ) £ = ± 1 ^ + ^ ̂ —£ (1 + £ COS 7)^(—2 + 3£ cos 7) 7^ 2(sen /3m) c o s (2 A ^ — 2pel — 2eg + P^^zt) 5 = ± 1 — ^ ^ s e n 7 ( l + £ c o s 7 )^ P 33( se n ^ M )s e n (3A^ — 2/0£ / — 2£5 ̂ + /9£T32) i (3.2.28) £ = ± 1 ° J 90 Capi'tulo 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden P32 = — ^ - sen J (1 + /9 cos J)^ i — 15 sen^I +30(sen c o s (2/9/ + 3^ — PT32) p = ± i ° ^ 15 — ^ —- £ s e n ^ / (1 + e cos 7) P 3i ( s e n /9Af) sen(A ^ — 2/95/ — 3£p + /9£T32) £ = ± 1 ^ 3 + y ̂ — sen 7 (1 + 6 cos 7)^ + 32(sen j3m) c o s (2A^ — 2pcl — 3s^ + psT32) £ = ± 1 ^ + Xv g S ( l + £ cos 7)^ p 33(sen/?m) sen(3A,7i — 2/9£/— 3£5f + /9£T32) i (3.2.29) £ = ± 1 ° J F in alm en te, con las ap roxim acion es anteriores, ob tenem os: 733( s e n 6m )cos(3o ;m + T33) % + 33'̂ ̂+ + 33'̂ ̂ (3 .2 .30) con, 3 r + 33'̂ ̂ = ^ -/9 sen J (1 + /9 cos J)^ j — 15 sen^7 cos 7 + 3o(sen /?M) sen (3p / + 2^ — /9T33) p=±i 5 - ^ - £ s e n 7 ( l + £ c o s 7 ) ( —1 + 3 £ co s7 )P 3 i( sen )^ M )co s (A ^ — 3/9£/— 2£5f + /9£T33) £ = ± 1 ^ - —(1 + £ cos 7 )^ (—2 + 3£ cos 7) 732(sen /Sm ) s e n (2A^ — 3pcl — 2sg + P6T33) £ = ± 1 ^ - i £ s e n 7 ( l + £ cos7)^ P33(sen^M )cos(3A ^ — 3/9£/- 2£5f + /0£T33) > (3.2.31) £ = ± 1 ° J + 33'̂ ̂ = i ( l + /9 cos +)^ I - 15 sen^7 + 30(sen /?m) sen(3p l 3g - PT33) p=±i ° ^ 15 — X^ X (1 + s cos 7) +31 (sen /^m) cos(A ^ — 3pel — 3eg + pST33) £ = ± 1 ^ 3 — V ) - £ sen 7 (1 + £ cos 7)^ + 32(sen Pm) sen(2A^^ — 3pel — 3eg + per33) £=±i 4 + i ( l+ £ c o s 7 ) ^ P 3 3 ( s e n /? M ) c o s ( 3 A ,„ - 3/9£/- 3£^ + /9£T33) i (3.2.32) £ = ± 1 ° J 3.2. Los términos de segundo orden del potencial. 91 Sustituyendo (3.2.8) en (3.2.22) a (3.2.32), llegamos a: — 1 +31 ( s e n 6m ) co s(û ;m + T3 1 ) % ) { + 3 1 '°̂ + + 3 1 '̂ ̂ + P s i '^ 4 \ rM / '' = 5 g en + ( - l + 5 c o s V ) X i cos(/ - T31 - 6%̂) ̂ £ = ± 1 i + ^ ( 1 + /̂ c o s + ) ( — 1 — 10/9 c o s + + 15 COS ̂J ) X I (^ ) COs(/9/ g — pT^i — £X t) p = ± l £ = ± 1 i + X i ^ p s e n + (l+ /9CO S J ) ( l - 3 / Î C O S + ) X i X cos(/)/ + 2^ - /9T31 - £x%) p=±i £ = ± 1 1 (3.2.33) ( — ) + 32(sen 6 m) c o s ( 2 q m + T3 2 ) % f — \ + + 3 2 '̂ ̂ + + 3 2 '^4 V tm / y^M y ^ 5 = X T s e n + (1 + /9C O S + )( - l + 3/9COS J ) X X sen(2/9/ + g' - /9T32 - £Xi) p = ± i £ = ± 1 t + X j p ( l + /OCOS J ) ^ ( - 2 + 3pcos J ) X sen(2 /9 / + 2p - /9 T3 2 - £X«) p = ± i £ = ± 1 t — X - sen + (1 + pcos+)^ X X ^ i ( ^ ) sen(2p/ + 3^ — PT32 — £Xi) (3.2.34) p = ± i £ = ± 1 t — ) +33(sen6M) cos(3q m + T33) % 1 { + 33'̂ ̂ + + 33'^ }̂ tm / V tm / ^ = - X j /^ sen + ( l + /OCOS J)2 X X cos(3p/ + 2^ - ,9733 - £x%) p=dbl £ = ± 1 i — X 3- J)^ X X ^ i ( ^ ) cos(3p/ -{-3g — PT3 3 — £X:) (3.2.35) p = ± l £ = ± 1 i con, %/(£) = - £ c o s / ( —3 + 5 c o s ^ 7 )G /+ ^ £ s e n / ( l — 5cos^/)Cj 4 8 — —£ sen^7 cos 7 G/ + ——£ sen^7 G/ 8 48 X l ( e ) = j £ s e n 7 ( — 1 + 5 c o s ^ 7 ) G ° + - ( 1 + £ c o s 7 ) ( — 1 — 10£cos7+15cos^7)G j 4 8 — —£ sen 7 (1 + £ cos 7)(1 — 3£ cos 7)G/ — —— sen^7 (1 + £ cos 7)G/ 8 16 92 Capi'tulo 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de primer orden % /( £ ) = sen ^ /COS / G / + sen 7 ( 1 + £ COS/ ) ( —! + 3 e COS 7)Gj — — ( 1 + £ COS 7 ) ^ ( — 2 + 3s cos 7)G/ + —e sen 7 ( 1 + 6 cos 4 8 15 15 (e) = — £ sen^7 G° + — sen^7 ( 1 + £ cos 7)Gj — j £ sen 7 (1 + £ cos 7)^G/ — ^(1 + £ cos 7)^Gf 4 8 Recopilando, podemos escribir (3.2.18) de la forma: U.cs 2 T m J C3 1 + S 31 p(l>0) I p ( l > l ) I p ( l ' 2 ) -‘ 3 1 I -‘ 31 + -* /3 1 (3.2.36) + -H -f + ^ J c h + s h } (3.2.37) Bretagnon et al (1997) y Folgueira et al. (1997a) ban estudiado la influencia de los armonicos C^m Y Ssm {m > 1 ) sobre las correspondientes nutaciones solares. Solamente para m = 1 se obtienen componentes mayores a la precision considerada. La expresion de la parte solar de la energia potencial gravitatoria debida a estos armonicos es similar a la expresion de la parte lunar, cambiando el subindice m por 5 e igualando la latitud ecliptica del Sol a 0. 3.2.4 Contribucion de los armonicos no zonales C4 1 y G4 1 . La influencia de estos armonicos en la nutacion aunque pequena no es despreciable. Recien­ temente, Bretagnon et al. (1997) y Folgueira et al. (1997b) han estudiado esta contribucion. Bretagnon et al. (1997) obtuvo los efectos de estos armonicos a partir de un método clasico y de las teorias del movimiento de la Luna del Bureau des Longitudes. Folgueira et al. (1997b) obtuvieron resultados similares extendiendo la teoria desarrollada por Kinoshita (1977) y Ki­ noshita & Souchay (1990). En esta seccion resumiremos dicha contribucion. La parte lunar de la energia potential gravitatoria relacionada con estos armonicos, G4 1 y +4 1 , se puede escribir de la forma [Kinoshita 1977]: — + 4 j(sen Sm) [G4 1 cos q m + + 4 1 sen « m ] (3.2.38) La funcion asociada de Legendre en (3.2.38) se puede expresar de la forma [Kinoshita et al. 1974]: 3.2. Los términos de segundo orden del potencial. 93 +4 i(se ii6 M) cos(aM + T4 1 ) = X X ^(p,cos J ) q I ”" c o s 7 ) +4 ,n»(sen )^m) x p ,£ = ± l m ' , m " = 0 COS p £ m ' \ \M — h) — î — m'pg + — ( 1 — rn!) + —p{m' — m") + 7 4 % (3.2.39) en la cual, y siguiendo la misma notacion que en la seccion anterior, hemos considerado que: C4 1 cos qm + +41 sen «m = yjC4 1 + + 4 1 cos(o!m + Ui) (3.2.40) siendo. c tanT 4 i = ——̂ (3.2.41) G4 1 La expresion (3.2.39) la podemos escribir de forma simbolica y aproximada como: + 4 1 (sen 6 m ) c o s ( q m + T4 1 ) % (3.2.42) en donde hemos tenido en cuenta las mismas aproximaciones realizadas en la seccion anterior. Las expresiones de las funciones que aparecen en (3.2.42) tienen la forma: + 4 /'°^ = - sen J cos J (—3 + 7 cos^J) | - (3 — 30 cos^7 + 35 cos'^7) + 4 o(sen Pm ) sen(/ — T4 1 ) 2 18 + X g £ sen 7 co s7 (3 — 7 cos^7 )+ 4 i(sen^M)cos(Ar,i — £ /+ £T4 i) £ = ± 1 ° + 4 ^ ^ sen^7 ( — 1 + 7 cos^7) +4 2 (sen Pm) sen(2 A^ — cl £T4 i) £ = ± 1 + X sen^7 cos 7 +43(sen Pm) cos(3A,n — el 6T41) £ = ± 1 — X sen^^7+4 4 (sen/9m) sen(4Arn — c / + £T4 i) i (3.2.43) £ = ± 1 I 94 Capi'tulo 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden P41 = X ( 1 + /̂ >cos J )(3 — 6/9COS J — 21 cos^ J + 2 8 / 9 c o s ^ J ) x p=±i ° f 5 s e n /c o s / ( —3 + 7 cos^I) P4o(senPm) sen(pl -h g — PT4 1 ) + y ̂ —£ ( 1 + £ cos 7)(3 — 6 £ COS I — 21 COŜ 7 + 28£ cos I) x £ = ± 1 ° +41 (sen/9m) cos(A^ - p£l - £g per4 i) + X sen 7 (1 + £ cos 7)(1 + ?£ cos 7 — 14 cos^7) x £ = ± 1 + 4 2 (sen / 9 m ) sen(2 A„ - p£l - £g + per4 i) — X ^£sen^7(l + £ c o s 7 ) ( — 1 + 4 £ c o s 7 ) x £ = ± 1 + 4 s(sen/9 M) cos(3Am - pel - eg per4 i) + X ^ sen^7 (1 + £ COS 7) x £ = ± 1 + 4 4 (sen Pm) sen(4Am - pel - eg + per4 i) | (3.2.44) + 4 /'^ ̂ = X sen J (1 + pcos J ) ( l + 7/Jcos J — 14cos^J) x p=±i {15 — sen^7 (—1 + 7 cos^7) + 4 0 (sen Pm) sen(pl -\-2g — PT4 1 ) 3 + X - sen 7 (1 + £ cos 7 ) ( — 1 — 7£ cos 7 + 14cos^7) x £ = ± 1 ^ + 4 1 (sen Pm) cos(A^ - p£l - 2£g + peT4 i) + X ^6(1 + £ cos 7)^(1 — 7£ cos 7 + 7 cos^7) x £ = ± 1 ^ + 4 2 ( s e n / 9 m ) sen(2A yyi — pel — 2 £g + peT4 \) — X - sen 7 ( 1 + £ COS 7)^(1 — 2£ COS 7) x E=±l ° + 4 3 (sen/9 M) cos(3A^ - pel — 2£g + per4 x) — X sen^7 (1 + £ cos 7)^ x £ = ± 1 + 4 4 (sen Pm) sen(4Am — pel — 2 £g + p£T4 i) | (3.2.45) A partir de (3.2.14) y (3.2.15), tenemos: 3.2. Los térm inos de segundo orden del potencial. 95 — 1 +4o(sen)5M)senu = ^ X X ^ s=±i 1 X ( — ) P4 i{sen P m ) cos{Xm - e u ) = X X ^ ^ / “ ^xO £ = ± 1 £ = ± 1 i 5 X 1 +42(sen,gM) sen(2A^ - su) = - X X “ ^xO = ± 1 ^ / G = ± l i X ) +43(seii)5M)cos(3A^ - £u) = X “ x̂O r = ± l 6 = ± 1 ,• X ( — '] P4 4 {senPM)sen{4:Xm - eu) = - ' ^ ' ^ e H f sen(u - exi) L1 \TM /_________________________________ __ L1 (3.2.46) siendo u una combinacion lineal de las variables de Andoyer I y g. Sustituyendo (3.2.46) en (3.2.43), (3.2.44) y (3.2.45) obtenemos: ( — ) + 4 1 (sen 8 m) c o s ( û ; m + T41 ) % + + 4 1 '^^ + + 4 1 '^4 VrM/ \ r M / ̂ ■’ 5 = - sen J c o s J (—3 + 7 cos^J) X X sen(/ — T4 1 — £%,) ^ £ = ± 1 i + X -/? (1 + />cos+)(3 — 6 /7 COS + — 21 cos^J + 28/)cos^J) x p = ± i ° X X (^) sen(/?/ g — pT4 \ — exi) £ = ± 1 i + X sen + ( 1 + p cos + ) ( 1 + 7 / 9 cos + — 14 cos^J) x p=±i X X sen(/9 / + 2gf- /9T41 - £Xt) (3.2.47) £ = ± 1 I con. PP- = — (3 — 30 cos^ 7 + 35 cos'* 7 )7 7 / + - sen 7 cos 7 (3 — 7 cos^ 7)77/ 16 8 - G s e n ' / ( - 1 + 7 co s ' / ) / / , ' + s e n ' / c o s / ^ s e n V H f 4 o 4 o o o 4 96 Capi'tulo 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden +J(e) = - s e n I cos I {—3 -j-7 cos^ I ) H f + —(1 + £ COS 7)(3 — 6 £ cos I — 21 cos^ I + 28£ cos^/)+7/ 8 - — £sen / (1 + £ cos 7)(1 + 7e cos 7 — 14 cos^ 7)77/ - X sen^7 (1 + £ cos 7 )(—1 + 4£ cos 7)77/ — -^£ sen^7 ( 1 + £ cos 7)77/ 48 96 77/(£) = ^ sen^7(—1 + 7 cos^7)77/ + sen 7(1 + £cos7)(—1 — 7£ cos 7 + 14cos^7)77/ - -(1 + £ cos 7)^(1 — 7£ COS 7 + 7 cos^7)77/ — -£ sen 7 (1 + £ cos 7)^(1 — 2e cos 7)77/ 4 8 1 + ^ sen^7 (1 + £ cos 7)^77/ (3.2.48) Finalmente, escribimos (3.2.38) de la siguiente forma simbolica: U. p ( l ,0 ) I p ( l , l ) I p (1 .2 ) J 41 "T ^ 41 "T ^ 41 (3.2.49) 3.3 La influencia de los planetas en la nutacion. La Luna y el Sol dominan las fuerzas gravitacionales sobre la T ierra achatada. Las pequenas fuerzas originadas por los planetas tam bién pueden alterar la direccion del eje de rotacion te­ rrestre. Con la precision alcanzada por lets observaciones modernas, los efectos planetarios son significantes. Estos efectos fueron estudiados por Woolard (1953) y Kinoshita (1977) pero no incluyeron los términos de nutacion relacionados con estos efectos en sus resultados finales, pues estos eran muy pequehos comparados con la precision que ellos consideraban. Vondrak (1983) y Kinoshita & Souchay (1990) los clasihcaron en très categorias: • La fuerza directa sobre la Tierra. • Efectos indirectos debidos a sus perturbaciones sobre la ecliptica. • Efectos indirectos debidos a sus perturbaciones en el movimiento orbital de la Luna. Existen trabajos previos en el calculo de los términos de la nutacion planetaria: Kinoshita & Souchay (1990) consideraron términos directos e indirectos hast a 0.005 mas, Hartm ann & Soffel (1994), Williams (1995) obtuvo lets nutaciones planetarias directas utilizando una técnica numérica y Souchay & Kinoshita (1996,1997). Recientemente, en la circular 16 del lAU-IUGG 3.3. La inûuencia de los planetas en la nutacion. 97 Working Group sobre la Nue va Teoria de Nutacion de la T ierra No-Rigida (Resolucion JD3-1) se recomienda tener en cuenta los efectos planetarios directos de Venus, Jupiter, Marte y Sa­ turne y los efectos planetarios indirectos [Dehant & Fukushima 1997]. En lo que sigue, estudiaremos en detalle solamente los efectos indirectos planetarios debidos a sus perturbaciones sobre la ecliptica. 3.3.1 Efectos planetarios indirectos. Contribucion al potencial solar de primer orden. En el Capitule anterior hemos determinado los coeficientes del potencial solar considerando las coordenadas esféricas solares (rs, Xs^ Ps) con respecto a la ecliptica media de la fecha (È) que no esta sujet a a oscilaciones de corto periodo. Como consecuencia el valor de la latitud Ps es igual a cero. Sin embargo, el Sol no esta sobre E sino sobre la ecliptica verdadera de la fecha (E). Ambos pianos est an muy proximos pero no son iguales. Entonces la coordenada Ps, aunque muy pequena, no es igual a cero. La nutacion de la Tierra esta entonces infiuenciada por la expresion: ^ + 2 1 (sen /9g) sen Ag % 3 sen sen Ag (3.3.50) Para calcular la influencia anterior consideramos très pianos: E q (ecliptica media en J2000.0), E (ecliptica media en t) y + (ecliptica perturbada en t). La Figura 3.1 représenta estos très pianos. El movimiento de E con respecto a È viene dado por la longitud del nodo /im = D y la inclinacion i entre los pianos E y È [Souchay & Kinoshita 1996]: sen Ps = senisen{Xs — Hm ) (3.3.51) Sustituyendo esta relacion en la expresion anterior y utilizando (2.9.97), tenemos: ( — 1 + 2 1 (sen^g) sen Ag — f — 1 sen z {cos(—h\j 2 ls 2 ^ ' ) — cos \ r s / I \ Ts J 3 / o g TsJ ' ' 2 \ r s (3.3.52) viene dada por la expresion (2.9.98) y senz se calcula a partir de los valores de p y q [Bretagnon 1982], [Bretagnon & Francou 1988]: q = sen(-)cos/iM p = sen(j)sen/iM 98 Capi'tulo 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden SOL Eclfptica media de J2ÜG0.0 Eclfptica verdadera de la fech a Eclfptica media de la fech a Figura 3.1: Los ties pianos basicos en el estudio del efecto planetario indirecte. Entonces, sen : % 2(p^ + ss 0.002278496 T (3.3.53) 3.4 Conclusiones y tablas. A lo largo de este Capitule se han estudiado las contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden, necesarias para la reconstruccion de una teoria de nutacion de la Tierra rigida de gran precision. Las tablas 3.1 a 3.9 m uestran los términos correspondientes a los desarrollos del potencial lunisolar debido a los armonicos J 3 , J 4 , Csm, S 3 m {m =l,2,3}, C4 1 y 5 4 1 , obtenidos con nuestras variables y con las expresiones desarrolladas en el Capitule precedente. Las nuevas series han servido de test de aquellas que han sido publicadas recientemente y se observa que los resultados son bast ante similares a los obtenidos por otros autores [Ki­ noshita & Souchay 1990], discrepando las amplitudes de los términos a partir del cuarto decimal. El proposito de este Capitule ha sido primero comparar nuestras series con las obtenidas por otros autores y segundo extender y mejorar la teoria de rotacion de la T ierra rigida de Kinoshita & Souchay (1990). 3.4. Conclusiones y tablas. 99 Tabla 3.1; Desarrollo de ( 7 ^ ) ^soisen Im 9M f^M h 3S G? X 1 0 -5 (rad) PERIODO (dias) 1 1 0 -1 0 0 -13254.5 27.21222 2 2 -1 -1 0 0 -2179.0 13.69116 3 0 1 -1 0 0 -719.9 2190.35011 4 2 1 -1 -2 0 -411.4 14.66643 5 0 1 1 -2 0 387.2 -188.20135 6 3 -2 -1 0 0 -224.4 9.14650 7 1 0 1 -2 0 -209.3 32.28078 8 3 0 -1 -2 0 -208.0 9.57171 9 1 -2 -1 2 0 -53.7 24.03551 10 3 0 -3 0 0 -43.7 9.07074 11 2 -1 1 -2 0 -36.9 14.86550 12 4 -1 -1 -2 0 -25.9 7.10398 13 4 -3 -1 0 0 -23.7 6.86704 14 1 -2 1 0 0 14.3 27.90560 15 4 -1 -3 0 0 -12.0 6.82425 16 1 2 -1 -2 0 -10.9 31.35653 17 2 1 1 -4 0 -8.2 16.02232 18 2 0 -1 -1 0 4.8 14.16202 19 0 0 -1 1 0 4.7 346.62008 20 3 2 -1 -4 0 -4.7 10.03838 21 2 -3 -1 2 0 -4.6 12.83751 22 3 0 1 -4 0 -4.4 10.13124 23 1 2 1 -4 0 4.1 38.28297 24 3 -2 1 -2 0 -4.1 9.65610 25 4 1 -1 -4 0 -4.1 7.35785 26 1 0 -3 2 0 3.7 23.51934 27 2 1 -3 0 0 2.7 13.52211 28 5 -4 -1 0 0 -2.4 5.49708 29 5 -2 -1 -2 0 -2.3 5.64787 30 0 0 1 0 -1 1.4 -6792.34506 31 2 0 -1 0 -1 -1.4 13.63342 32 4 1 -3 -2 0 -1.3 7.05819 33 1 2 -3 0 0 1.2 26.55246 34 5 0 -1 -4 0 -1.1 5.80717 35 5 -2 -3 0 0 -0.9 5.46963 36 1 -1 -1 1 0 0.8 25.52541 37 5 0 -3 -2 0 -0.8 5.61889 38 3 -1 -1 -1 0 0.7 9.35427 39 2 -1 -3 2 0 -0.6 12.68877 40 0 3 1 -4 0 0.5 -98.32485 41 0 3 -1 -2 0 0.5 -227.25402 42 3 -4 -1 2 0 -0.5 8.75746 43 4 -1 1 -4 0 -0.5 7.40761 44 4 -3 1 -2 0 -0.4 7.15036 45 3 -2 -3 2 0 -0.3 8.68798 46 1 1 -1 -1 0 0.2 29.13775 47 1 -1 -1 0 1 -0.2 27.44322 48 2 -3 1 0 0 -0.2 13.86448 49 3 -1 -1 0 -1 -0.2 9.12069 50 6 -3 -1 -2 0 -0.2 4.68714 51 6 -3 -3 0 0 -0.2 4.56372 52 6 -5 -1 0 0 -0.2 4.58282 53 0 1 3 -4 0 -0.1 -90.22450 54 0 3 -3 0 0 0.1 730.11670 55 1 -1 1 -1 0 -0.1 29.93417 56 2 0 1 -3 0 0.1 15.42225 57 3 1 -1 -3 0 0.1 9.79949 58 3 2 1 -6 0 -0.1 10.65557 59 3 2 -3 -2 0 0.1 9.48878 60 3 -4 1 0 0 -0.1 9.22353 61 4 1 1 -6 0 -0.1 7.68407 62 6 -1 -3 -2 0 -0.1 4.66717 100 Capi'tulo 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden Tabla 3.2: Desarrollo de ( 7 ^ ) P 3 i(sen^Af) sen A, 9 M /g 5 s G} X 10-5 (rad) PERlODO (di'as) 1 1 0 0 0 0 -146057.7 27.32158 2 2 -1 0 0 0 -24012.0 13.71879 3 0 1 0 0 0 -8057.4 3231.49565 4 2 1 0 -2 0 -5687.8 14.69814 5 0 -1 0 2 0 -3506.9 193.55971 6 3 0 0 -2 0 -3099.8 9.58520 7 3 -2 0 0 0 -2473.5 9.15882 8 -1 0 2 0 0 -1644.3 -27.10373 9 3 0 -2 0 0 -1603.4 9.08286 10 -1 0 0 2 0 -1239.8 -32.12822 11 4 -1 -2 0 0 -442.4 6.83111 12 1 -2 0 2 0 -440.6 24.12079 13 4 -1 0 -2 0 -410.8 7.11141 14 1 0 0 1 -1 273.8 25.42014 15 1 0 0 -1 1 -273.8 29.53047 16 -2 1 2 0 0 -267.6 -13.66364 17 4 -3 0 0 0 -261.4 6.87398 18 1 2 0 -2 0 -183.9 31.50183 19 -1 2 0 0 0 -167.9 -27.79152 20 1 0 -2 2 0 99.5 23.60099 21 2 1 -2 0 0 97.1 13.54906 22 3 2 0 -4 0 -87.1 10.05322 23 0 -1 2 0 0 -86.6 -1656.61157 24 1 0 2 -2 0 82.3 32.43479 25 4 1 0 -4 0 -82.2 7.36582 26 2 0 0 -1 0 79.3 14.19158 27 4 1 -2 -2 0 -59.7 7.06553 28 0 1 2 -2 0 -54.8 -183.13167 29 5 -2 -2 0 0 -52.8 5.47403 30 2 -1 0 1 -1 45.0 13.22217 31 2 -1 0 -1 1 -45.0 14.25416 32 5 0 -2 -2 0 -40.0 5.62354 33 5 -2 0 -2 0 -38.2 5.65257 34 -2 -1 2 2 0 -38.0 -14.63485 35 2 -3 0 2 0 -34.9 12.86179 36 0 0 0 1 0 26.9 365.24219 37 5 -4 0 0 0 -25.9 5.50153 38 5 0 0 -4 0 -24.6 5.81213 39 1 2 -2 0 0 24.1 26.65657 40 2 0 0 0 -1 -23.6 13.66082 41 -2 1 0 2 0 -19.6 -14.83307 42 1 -2 2 0 0 18.1 28.02062 43 -1 -2 0 4 0 -17.5 -38.06859 44 -3 0 2 2 0 -17.1 -9.55825 45 2 -2 2 0 -16.1 12.71250 46 0 1 0 1 -1 15.2 328.16659 47 0 1 0 -1 1 -15.2 -411.80661 48 2 2 -2 0 11.9 14.89808 49 3 0 -1 0 11.6 9.36716 50 -2 0 4 0 -9.3 -15.98465 51 0 0 1 1 -8.9 411.76226 52 0 0 3 -1 8.9 126.51593 53 2 1 0 -1 -1 8.5 14.12956 54 2 1 0 -3 1 -8.5 15.31439 55 -1 2 2 -2 0 -8.5 -23.95083 56 -3 2 2 0 0 -8.1 -9.13421 57 6 -1 -2 -2 0 -7.9 4.67038 58 0 0 0 0 1 -7.7 0.00000 59 6 -3 -2 0 0 -6.6 4.56678 60 3 -2 -2 2 0 -6.3 8.69910 61 3 2 -2 -2 0 5.4 9.50204 3.4. Conclusiones y tablas. 101 Tabla 3.2: Continuacion. w 9M h-M 5S Gj X 1 0-5 (rad) PERlO DO (dîas) 62 1 -1 0 1 0 4.6 25.62161 63 3 -2 0 1 -1 4.5 8.93478 64 3 -2 0 -1 1 -4.5 9.39438 65 3 0 0 -1 -1 4.4 9.34010 66 3 0 0 -3 1 -4.4 9.84352 67 0 3 0 -2 0 4.0 -219.90317 68 1 1 0 -1 0 3.7 29.26317 69 3 -4 0 2 0 -3.7 8.76875 70 6 -3 0 -2 0 -3.7 4.69038 71 2 1 2 -4 0 3.5 16.06017 72 -1 0 0 1 1 -3.5 -29.53070 73 -1 0 0 3 3.5 -35.22677 74 -1 0 2 1 3.1 -29.27614 75 -1 0 2 -1 1 -3.1 -25.23146 76 3 0 -2 1 3.0 8.86248 77 3 0 -2 -1 1 -3.0 9.31448 78 3 -1 0 0 -3.0 9.13294 79 2 -3 2 0 0 2.7 13.89282 80 0 -1 -2 4 0 2.6 91.43801 81 3 1 0 -3 0 2.5 9.81364 82 -3 2 0 2 0 2.5 -9.64240 83 6 -1 0 -4 0 -2.2 4.79972 84 6 -5 0 0 0 -2.1 4.58591 85 3 0 2 -4 0 1.9 10.14636 86 -2 3 0 0 0 1.8 -13.83626 87 0 1 -2 2 0 1.7 164.48828 88 -3 0 4 0 0 -1.5 -9.05865 89 5 0 -4 0 0 -1.4 5.44680 90 -4 1 2 2 0 -1.4 -7.09656 91 1 1 0 0 -1 -1.3 27.09262 92 1 -1 0 0 1 -1.3 27.55445 93 -4 3 2 0 0 -1.3 -6.86011 94 1 -2 0 1 1 - 1.2 25.82629 95 1 -2 0 3 -1 1.2 22.62659 96 -1 2 0 1 -1 1.2 -30.08024 97 -1 2 0 -1 1 - 1.2 -25.82647 98 0 3 -2 0 0 1.1 817.96228 99 6 1 -2 -4 0 -1.0 4.77878 100 -3 4 0 0 0 1.0 -9.21103 101 0 0 2 -1 0 0.9 -329.80476 102 0 -3 0 4 0 -0.9 99.76779 103 3 -2 2 -2 0 0.9 9.66983 104 4 0 -2 -1 0 0.9 6.94634 105 5 2 -2 -4 0 -0.9 5.78145 106 7 -4 -2 0 0 -0.9 3.91751 107 2 3 0 -4 0 -0.8 15.82806 108 4 0 0 -3 0 0.8 7.23638 109 4 -1 -2 1 -1 0.8 6.70570 110 4 -1 -2 -1 1 -0.8 6.96130 111 7 -2 -2 -2 0 -0.8 3.99350 112 1 2 2 -4 0 -0.7 38.49976 113 4 -2 0 -1 0 0.7 6.99068 114 -1 0 -2 4 0 0.7 -39.43952 115 -4 1 0 4 0 0.7 -7.39955 116 4 -1 0 -1 -1 0.6 6.97560 117 4 -1 0 -3 1 -0.6 7.25261 118 5 2 0 -6 0 -0.6 5.98097 119 -1 4 0 -2 0 0.6 -24.48634 120 -2 0 0 3 0 -0.6 -15.38734 121 -3 0 0 4 0 -0.6 -10.11617 122 0 -3 2 2 0 0.5 235.11331 123 4 -3 -2 2 0 -0.5 6.61174 102 Capi'tulo 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Tabla 3.2: Continuacion. Im 9 m f^M fs 5S GJ X 1 0-5 (rad) PERlODO (di'as) 124 6 -1 -4 0 0 -0.5 4.54782 125 -1 -2 2 2 0 -0.5 -31.21257 126 -2 1 2 1 -1 0.5 -14.19463 127 -2 1 2 -1 1 -0.5 -13.17094 128 -2 2 0 1 0 -0.5 -14.31734 129 -2 -3 0 6 0 0.5 -17.33009 130 -3 -2 0 6 0 0.5 -10.63889 131 0 2 0 -1 0 -0.4 -471.92052 132 1 4 0 -4 0 0.4 37.19230 133 3 1 0 -2 -1 -0.4 9.55687 134 4 3 0 -6 0 -0.4 7.63911 135 4 -3 0 1 -1 0.4 6.74701 136 4 -3 0 -1 1 -0.4 7.00583 137 -1 1 0 0 1 0.4 -27.55465 138 -1 2 -2 2 0 -0.4 -33.09923 139 -1 -1 0 2 1 0.4 -31.81207 140 -4 1 4 0 0 -0.4 -6.81741 141 0 0 2 0 -1 -0.3 -3397.68151 142 1 -2 -2 4 0 0.3 21.17387 143 3 -4 2 0 0 0.3 9.23606 144 4 0 -2 0 -1 -0.3 6.81670 145 4 1 -4 0 0 0.3 6.78876 146 6 1 0 -6 0 -0.3 4.91428 147 7 0 -2 -4 0 -0.3 4.07249 148 7 -4 0 -2 0 -0.3 4.00811 149 -2 0 2 1 0 0.3 -14.13258 150 -2 5 0 -2 0 0.3 -12.96500 151 0 0 0 2 -1 -0.2 182.62546 152 0 -1 2 1 -1 0.2 468.57353 153 0 -1 2 -1 1 -0.2 -299.27393 154 1 0 2 -1 -1 -0.2 29.78950 155 1 0 2 -3 1 0.2 35.59565 156 1 0 -2 3 -1 -0.2 22.16858 157 1 2 0 -1 -1 0.2 29.00066 158 1 2 0 -3 1 -0.2 34.47514 159 1 -4 0 4 0 0.2 21.59131 160 2 0 -2 1 0 0.2 13.11745 161 2 1 -2 1 -1 -0.2 13.06445 162 2 1 -2 -1 1 0.2 14.07102 163 3 0 -4 2 0 0.2 8.63055 164 4 0 0 -2 -1 -0.2 7.09580 165 4 -1 2 -4 0 0.2 7.41570 166 4 -2 0 0 -1 -0.2 6.85940 167 5 -1 -2 -1 0 0.2 5.54778 168 7 -2 0 -4 0 -0.2 4.08769 169 -1 0 4 -2 0 0.2 -23.43825 170 -2 0 0 2 1 0.2 -14.76532 171 -2 2 0 0 1 0.2 -13.77730 172 -3 -2 2 4 0 -0.2 -10.02358 173 -4 3 0 2 0 0.2 -7.14285 174 -4 -1 0 6 0 0.2 -7.67540 175 -5 4 2 0 0 -0.2 -5.49264 176 0 3 2 -4 0 -0.1 -96.92306 177 0 -2 0 3 0 -0.1 131.66870 178 1 1 0 -2 1 0.1 31.81181 179 1 -1 0 2 -1 -0.1 23.94215 180 2 0 0 -2 1 0.1 14.76527 181 4 3 -2 -4 0 0.1 7.31661 182 4 -5 0 2 0 -0.1 6.65190 183 7 -6 0 0 0 -0.1 3.93158 184 8 -3 -2 -2 0 -0.1 3.48798 185 -1 1 2 -1 0 0.1 -25.42993 3.4. Conclusiones y tablas. 103 Tabla 3.2: Continuacion. 9M I s 5S G] X 10-5 (rad) PERlODO (dias) 186 -1 -2 0 3 1 -0.1 -34.47545 187 -2 1 0 1 1 -0.1 -14.25421 188 -2 1 0 3 0.1 -15.46093 189 -2 3 0 1 0.1 -14.38103 190 -2 3 0 -1 1 -0.1 -13.33127 191 -4 -1 2 4 0 -0.1 -7.34989 192 -5 4 0 2 0 0.1 -5.67241 Tabla 3.3: Desarrollo de ( ^ ) f 3 2 (sen cos 2 Â W 9m h-M h Sfs G? X 1 0-5 (rad) PERÎODO (dias) 1 1 0 1 0 0 -66545.2 27.43183 2 3 0 0 0 64903.5 9.09501 3 4 -1 0 0 17906.4 6.83798 4 2 -1 1 0 0 -10805.1 13.74653 5 2 1 0 0 -3848.6 13.57612 6 0 1 1 0 0 -3602.6 6159.13567 7 2 1 1 -2 0 -3118.6 14.72998 8 4 1 -2 0 2901.7 7.07288 9 5 -2 0 0 2135.5 5.47844 10 5 0 -2 0 2009.0 5.62820 11 1 0 2 0 -1722.8 23.68321 12 0 -1 1 2 0 -1040.0 199.23213 13 1 2 0 0 -976.2 26.76151 14 -1 2 1 0 0 723.8 -27.67838 15 2 -1 2 0 637.4 12.73631 16 6 -1 -2 0 404.1 4.67359 17 3 -2 1 0 0 -322.7 9.17117 18 6 -3 0 0 267.5 4.56985 19 1 0 1 1 -1 249.5 25.51555 20 1 0 1 -1 1 -249.5 29.65931 21 3 2 -2 0 -248.9 9.51534 22 -1 0 1 2 0 -244.1 -31.97710 23 3 0 1 -1 -243.4 8.87405 24 3 0 -1 1 243.4 9.32726 25 4 -1 1 -2 0 212.9 7.11885 26 3 -2 2 0 185.1 8.71025 27 3 0 1 -2 0 136.0 9.59874 28 -1 0 0 0 -134.6 -26.99610 29 5 0 -3 0 0 124.6 5.45117 30 1 2 1 -2 0 -116.0 31.64848 31 -2 3 1 0 0 110.6 -13.80816 32 1 -2 1 2 0 -108.4 24.20668 33 4 -1 1 -1 -67.2 6.71232 34 4 -1 -1 1 67.2 6.96843 35 3 2 1 -4 0 -57.7 10.06811 36 6 1 -4 0 55.7 4.78214 37 4 -3 1 0 0 -53.5 6.88094 38 5 2 -4 0 49.5 5.78637 39 6 -1 -3 0 0 49.5 4.55087 40 2 0 1 -1 0 48.1 14.22127 104 Capi'tulo 3. Contribuciones aï desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Tabla 3.3: Continuacion. 9M h 9 s G? X 1 0-5 (rad) PERIODO (di'as) 41 4 0 -1 0 -46.9 6.95345 42 0 1 2 0 -45.2 168.56679 43 7 -2 -2 0 45.2 3.99584 44 2 3 -2 0 -44.1 14.53449 45 0 3 0 0 -43.2 929.83772 46 2 -1 1 1 -1 40.4 13.24794 47 2 -1 1 -1 1 -40.4 14.28411 48 0 -1 4 0 -39.5 92.68462 49 0 3 1 -2 0 37.6 -213.01297 50 5 0 1 -4 0 37.3 5.81711 51 7 -4 0 0 35.1 3.91977 52 5 -2 1 -2 0 32.8 5.65727 53 4 1 1 -4 0 32.7 7.37381 54 4 1 -3 0 0 -23.3 6.79555 55 -2 1 1 2 0 22.0 -14.80078 56 -2 1 0 0 -21.5 -13.63623 57 7 0 -4 0 20.5 4.07493 58 -1 2 2 0 18.3 -32.93886 59 1 -2 4 0 -15.3 21.24002 60 2 0 1 0 -14.4 13.68832 61 2 1 1 14.3 13.08960 62 2 1 -1 1 -14.3 14.10020 63 4 0 0 14.0 6.82355 64 0 1 1 1 13.5 344.81106 65 0 1 1 -1 1 -13.5 -388.28647 66 3 0 -3 2 0 - 12.6 8.64152 67 5 -1 -1 0 -12.3 5.55231 68 -3 4 1 0 0 12.1 -9.19857 69 4 -3 2 0 11.4 6.61818 70 -2 -1 1 4 0 11.1 -15.94715 71 1 0 -2 0 10.5 32.59027 72 -1 -2 1 4 0 9.7 -37.85661 73 0 -1 1 1 1 -8.0 438.30965 74 0 -1 1 3 8.0 128.91500 75 5 -2 1 -8.0 5.39749 76 5 -2 -1 1 8.0 5.56186 77 2 1 1 -1 7.7 14.15899 78 2 1 1 -3 1 -7.7 15.34897 79 6 -1 1 -4 7.5 4.80311 80 4 1 -1 -7.3 6.93852 81 4 1 -3 1 7.3 7.21254 82 3 -1 1 -1 0 7.2 9.38008 83 -1 0 4 0 -6.9 -39.21204 84 0 -1 0 0 -6.8 -1332.02689 85 2 -1 1 1 6.7 13.19646 86 2 -1 3 -1 -6.7 12.30717 87 5 -4 1 0 0 -6.6 5.50598 88 7 -2 -3 0 0 6.2 3.90579 89 4 3 -4 0 -5.9 7.32449 90 2 -3 1 2 0 5.7 12.88617 91 -3 2 1 2 0 5.6 -9.62875 92 6 1 -3 -2 0 5.3 4.65373 93 0 1 -2 0 -5.2 -178.32795 94 8 -3 -2 0 5.1 3.48977 95 1 0 1 1 -4.8 25.32528 96 1 0 3 -1 4.8 22.24111 97 1 -2 0 0 4.6 28.13659 98 5 0 -1 -1 -4.6 5.54279 99 5 0 -3 1 4.6 5.71628 100 -1 4 1 -2 0 4.6 -24.39846 3.4. Conclusiones y tablas. 105 Tabla 3.3: Continuacion. Im 9 M ^ M f s 5S G? X 1 0-5 (rad) PERlO DO (dias) 101 7 0 -3 -2 0 4.5 3.98132 102 6 -3 1 -2 0 4.3 4.69362 103 3 2 -3 0 0 -4.1 9.02010 104 1 2 1 -1 3.7 24.93462 105 1 2 -1 1 -3.7 28.87726 106 5 -1 0 -1 3.7 5.46917 107 8 -5 0 0 3.6 3.43161 108 -3 0 1 4 0 3.3 -10.10114 109 3 1 -1 0 3.2 9.30043 110 2 -3 4 0 -3.1 11.99435 111 3 0 1 -3 1 3.1 9.85779 112 3 0 1 -1 -1 -3.0 9.35295 113 -1 0 1 1 1 -3.0 -29.40298 114 -1 0 1 3 -1 3.0 -35.04518 115 8 -1 -4 0 2.9 3.54994 116 -1 2 1 1 -1 -2.7 -29.94773 117 -1 2 1 -1 1 2.7 -25.72872 118 -2 3 2 0 2.6 -15.00354 119 -3 2 0 0 2.5 -9.12195 120 3 -1 1 0 -1 -2.2 9.14523 121 4 -1 -3 2 0 -2.2 6.57843 122 1 1 1 -1 0 2.1 29.38968 123 -2 -1 2 0 -2.0 -14.60342 124 0 -3 1 4 0 1.8 101.25371 125 3 -2 1 1 1.8 8.92303 126 3 -2 3 -1 -1.8 8.50737 127 3 1 1 -3 0 1.7 9.82782 128 2 -1 -2 0 1.6 14.93080 129 5 1 -3 0 -1.6 5.70619 130 -4 5 1 0 0 1.5 -6.89635 131 2 1 -3 2 0 1.3 12.58990 132 2 3 1 -4 0 -1.3 15.86500 133 5 -4 2 0 1.3 5.33645 134 6 1 1 -6 0 1.3 4.91783 135 1 4 -2 0 -1.2 30.75958 136 2 0 1 0 1.2 13.14281 137 3 -2 1 1 -1 1.2 8.94654 138 3 -2 1 -1 1 -1.2 9.40738 139 5 2 -3 -2 0 -1.2 5.59942 140 6 -2 -1 0 -1.2 4.62114 141 4 -1 1 -1 -1 - 1.1 6.98276 142 4 -1 1 -3 1 1.1 7.26036 143 8 -1 -3 -2 0 1.1 3.47869 144 -1 4 0 0 -1.1 -28.39603 145 1 -2 1 1 1 -1.0 25.92478 146 1 -2 1 3 -1 1.0 22.70215 147 3 1 0 -1 -1.0 9.06950 148 5 2 1 -6 0 1.0 5.98624 149 -1 2 -2 0 -1.0 -23.86675 150 1 4 1 -4 0 0.9 37.39690 151 6 -1 -1 -1 -0.9 4.61454 152 6 -1 -3 1 0.9 4.73416 153 -2 1 4 0 0.9 -16.18280 154 1 1 1 0 0.8 25.12843 155 3 4 -4 0 -0.8 9.97640 156 6 0 -3 0 0.8 4.72724 157 6 -3 1 -1 -0.8 4.51339 158 6 -3 -1 1 0.8 4.62775 159 7 -2 1 -4 0 0.8 4.09015 160 8 -3 -3 0 0 0.8 3.42089 106 Capitula 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden Tabla 3.3: Continuacion. Im 9M ^ M h 9S G? X 10-5 (rad) PERlODO (dias) 161 2 2 -1 -1 0 0.7 14.03897 162 2 -3 3 0 0 0.7 13.92126 163 3 2 -1 -1 0.7 9.27375 164 3 2 -3 1 -0.7 9.76985 165 4 0 1 -3 0 -0.7 7.24409 166 -1 1 1 1 0 -0.7 -29.67286 167 -3 0 2 0 -0.7 -9.54483 168 0 2 1 -1 0 -0.6 -441.28783 169 1 1 1 0 -1 -0.6 27.20102 170 1 -1 3 0 0.6 22.39518 171 2 1 -4 0 0.6 16.09820 172 7 -4 1 -2 0 0.6 4.01048 173 -1 -1 1 3 0 -0.6 -34.66935 174 -2 5 1 -2 0 0.6 -12.94032 175 0 -3 6 0 -0.5 63.91334 176 3 -4 4 0 -0.5 8.35672 177 5 0 -3 1 -1 -0.5 5.37101 178 5 0 -3 -1 1 0.5 5.53376 179 7 0 1 -6 0 0.5 4.17305 180 7 2 -6 0 0.5 4.15720 181 9 -4 -2 0 0.5 3.09748 182 -1 0 1 -1 0.5 -29.15061 183 -1 0 -1 1 -0.5 -25.13816 184 -2 0 1 3 0 -0.5 -15.35259 185 -2 2 1 1 0 -0.5 -14.28725 186 -3 -2 1 6 0 0.5 -10.62227 187 0 0 3 0 0.4 119.60547 188 0 2 1 0 0.4 285.39533 189 1 -1 2 1 -0.4 23.85798 190 4 3 1 -6 0 -0.4 7.64770 191 6 -2 0 -1 0.4 4.56340 192 -1 -1 1 2 1 0.4 -31.66391 193 -2 3 1 1 -1 -0.4 -14.35067 194 -2 3 1 -1 1 0.4 -13.30518 195 -2 -3 1 6 0 0.4 -17.28602 196 0 0 1 1 0 0.3 385.97885 197 0 1 1 1 -0.3 313.02940 198 0 1 3 -1 0.3 115.33832 199 1 2 -3 2 0 0.3 23.18190 200 1 -1 1 1 0 0.3 25.71854 201 2 0 2 -1 -0.3 12.68633 202 2 -2 1 1 0 -0.3 13.30245 203 3 1 1 -2 -1 -0.3 9.57032 204 3 -4 1 2 0 -0.3 8.78008 205 5 1 -2 -1 0.3 5.61842 206 5 -1 1 -3 0 -0.3 5.73608 207 6 3 -6 0 0.3 4.89585 208 8 1 -6 0 0.3 3.61222 209 9 -2 -4 0 0.3 3.14479 210 9 -6 0 0 0.3 3.05157 211 -4 1 1 4 0 0.3 -7.39151 212 -4 3 1 2 0 0.3 -7.13535 213 0 2 1 0 0.2 2120.06386 214 0 3 1 0.2 262.24452 215 0 3 -1 1 -0.2 -601.56814 216 0 -1 3 1 -0.2 124.20049 217 0 -1 5 0.2 73.92592 218 1 1 0 1 -0.2 26.98489 219 1 2 1 -1 0.2 29.12491 220 1 2 1 -3 1 -0.2 34.65085 3.4. Conclusiones y tablas. 107 Tabla 3.3: Continuacion. 9M 5S G? X 1 0 -5 (rad) PERlO DO (dias) 221 1 -1 1 0 1 0.2 27.66659 222 1 -4 1 4 0 0.2 21.66010 223 2 2 0 -1 -0.2 13.51935 224 2 -1 -3 4 0 -0.2 11.86441 225 2 -2 3 0 0.2 12.35420 226 3 -1 0 1 -0.2 9.12067 227 4 0 1 -2 -1 0.2 7.10321 228 4 1 1 -3 -1 -0.2 7.22789 229 4 1 1 -5 1 0.2 7.52574 230 4 2 -3 0 0.2 7.19649 231 4 3 -3 -2 0 -0.2 7.02749 232 4 -2 1 0 0.2 6.72628 233 4 -3 1 1 0.2 6.74031 234 4 -3 3 -0.2 6.50040 235 6 0 -2 0.2 4.66684 236 6 -1 -3 1 -0.2 4.49486 237 6 -1 -3 -1 1 0.2 4.60828 238 6 -5 2 0 0.2 4.47063 239 9 -4 -3 0 0 0.2 3.04309 240 -1 1 1 0 1 0.2 -27.44342 241 -2 -1 6 0 0.2 -17.56324 242 -3 4 2 0 0.2 -9.71415 243 -4 -1 1 6 0 0.2 -7.66674 244 -5 6 1 0 0 0.2 -5.51585 245 0 0 1 0 1 0.1 -6804.43300 246 0 0 1 2 -0.1 187.66676 247 0 0 2 1 -0.1 177.83964 248 0 2 0 1 -0.1 1305.25636 249 0 3 1 -1 -0.1 -511.04595 250 0 3 1 -3 1 0.1 -134.54734 251 0 -2 1 3 -0.1 134.26918 252 253 1 1 1 2 1 -2 -4 1 0.1 -0.1 31.96137 38.71903 254 1 -1 1 2 -0.1 24.02677 255 1 -2 3 1 0.1 22.55140 256 1 -2 5 -0.1 20.07278 257 2 0 1 -2 1 0.1 14.79740 258 2 0 0 1 -0.1 13.63337 259 2 3 -1 0.1 13.97827 260 2 3 -3 1 -0.1 15.13682 261 2 -2 1 0 1 0.1 13.80523 262 3 -1 2 0.1 8.68684 263 4 0 -2 1 -0.1 7.08839 264 4 -2 0 1 -0.1 6.85247 265 5 0 1 -3 -0.1 5.72592 266 5 0 1 -5 1 0.1 5.91125 267 5 -2 1 -1 -0.1 5.57099 268 5 -2 1 -3 1 0.1 5.74627 269 5 -2 -3 2 0 0.1 5.31057 270 7 -1 -3 0 -0.1 4.03500 271 7 -3 -1 0 -0.1 3.95744 272 8 1 -3 -4 0 0.1 3.53847 273 9 -2 -3 -2 0 0.1 3.08874 274 -1 -2 6 0 -0.1 -48.43680 275 -2 0 1 2 1 0.1 -14.73332 276 -2 2 1 0 1 0.1 -13.74944 277 -2 3 -2 0 0.1 -12.78921 278 -2 5 0 0 -0.1 -13.98448 279 -3 2 4 0 0.1 -10.19517 280 -4 3 3 0 0 0.1 -6.85320 108 Capi'tulo 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Tabla 3.4: Desarrollo de ^ ( s e n sen 3A, 9M S's G \ X 10-^ (rad) PERlODO (dias) 1 3 0 0 0 0 1448166.6 9.10719 2 4 -1 0 0 0 396094.9 6.84486 3 2 1 0 0 0 -84551.8 13.60328 4 4 1 0 -2 0 75551.0 7.08025 5 5 0 0 -2 0 53237.5 5.63286 6 1 2 0 0 0 -39879.4 26.86727 7 5 -2 0 0 0 29588.4 5.48286 8 2 -1 0 2 0 10543.7 12.76022 9 6 -1 0 -2 0 9856.2 4.67680 10 3 0 0 1 -1 -8145.0 8.88564 11 3 0 0 -1 1 8145.0 9.34007 12 3 2 0 -2 0 -6674.6 9.52867 13 6 -3 0 0 0 5471.9 4.57293 14 1 0 2 0 0 4489.5 27.54296 15 0 3 0 0 0 -4439.1 1077.16522 16 5 0 -2 0 0 4160.6 5.45555 17 4 -1 0 1 -1 -2226.9 6.71895 18 4 -1 0 -1 1 2226.9 6.97558 19 2 3 0 -2 0 -2199.4 14.56563 20 1 0 0 2 0 -2157.1 23.76600 21 3 -2 0 2 0 1699.0 8.72142 22 6 -1 -2 0 0 1649.0 4.55391 23 6 1 0 -4 0 1615.8 4.78550 24 5 2 0 -4 0 1414.9 5.79130 25 4 0 0 -1 0 -1305.6 6.96057 26 7 -4 0 0 0 807.9 3.92203 27 7 -2 0 -2 0 804.1 3.99819 28 4 1 -2 0 0 -769.8 6.80235 29 2 -1 2 0 0 714.7 13.77438 30 0 1 0 2 0 -683.7 172.85269 31 1 -2 0 4 0 -652.6 21.30659 32 7 0 0 -4 0 580.7 4.07737 33 0 -1 0 4 0 -512.9 93.96568 34 2 1 0 1 -1 474.8 13.11485 35 2 1 0 -1 1 -474.8 14.12951 36 -1 4 0 0 0 -426.0 -28.27792 37 4 0 0 0 -1 391.7 6.83040 38 5 -1 0 -1 0 -344.1 5.55685 39 2 -1 0 1 1 273.1 13.22213 40 2 -1 0 3 -1 -273.1 12.32949 41 2 0 0 1 0 256.5 13.16827 42 3 0 -2 2 0 -250.8 8.65252 43 2 1 2 -2 0 246.1 14.76197 44 4 1 0 -1 -1 -242.3 6.94561 45 4 1 0 -3 1 242.3 7.22020 46 0 1 2 0 0 234.2 65502.22771 47 1 2 0 1 -1 224.3 25.02641 48 1 2 0 -1 1 -224.3 29.00044 49 1 4 0 -2 0 -210.3 30.89939 50 7 -2 -2 0 0 206.1 3.90804 51 6 1 -2 -2 0 205.6 4.65692 52 4 3 0 -4 0 -180.9 7.33239 53 7 0 -2 -2 0 180.4 3.98365 54 5 -2 0 1 -1 -166.2 5.40177 55 5 -2 0 -1 1 166.2 5.56642 56 4 -3 0 2 0 -157.6 6.62463 57 -1 2 2 0 0 -154.9 -27.56615 58 5 0 0 -1 -1 -154.2 5.54731 59 5 0 0 -3 1 154.1 5.72109 60 8 -3 0 -2 0 150.2 3.49156 3.4. Conclusiones y tablas. 109 Tabla 3.4: Continuacion. Im 9M f^M h 5S G? X 10-5 (rad) PERÎODO (dias) 61 2 -3 0 4 0 -149.7 12.01555 62 3 2 -2 0 0 -133.7 9.03209 63 3 0 2 -2 0 -112.0 9.61231 64 5 -1 0 0 -1 103.3 5.47358 65 3 1 0 -1 0 91.3 9.31317 66 3 -2 2 0 0 -84.1 9.18356 67 2 0 0 0 1 -81.1 13.66077 68 8 -5 0 0 0 76.4 3.43334 69 8 -1 0 -4 0 74.6 3.55180 70 -1 0 0 4 0 -71.5 -38.98717 71 1 0 0 1 1 71.0 25.41998 72 1 0 0 3 -1 -70.9 22.31411 73 3 -2 0 1 1 62.9 8.93476 74 3 -2 0 3 -1 -62.9 8.51803 75 3 -1 0 1 0 59.6 8.91013 76 4 -1 -2 2 0 -49.9 6.58480 77 5 2 -2 -2 0 -47.5 5.60404 78 5 1 0 -3 0 -47.2 5.71098 79 8 -1 -2 -2 0 46.0 3.48047 80 3 4 0 -4 0 -45.1 9.99106 81 4 -1 2 -2 0 -44.0 7.12632 82 -2 5 0 0 0 -40.8 -13.95577 83 2 2 0 -1 0 40.2 14.06802 84 0 -1 2 2 0 32.7 205.24706 85 6 -3 0 1 -1 -30.6 4.51638 86 6 -3 0 -1 1 30.6 4.63091 87 1 -1 0 3 0 27.5 22.46920 88 2 1 -2 2 0 26.8 12.61326 89 3 1 0 0 -1 -26.8 9.08161 90 8 -3 -2 0 0 26.5 3.42261 91 3 -1 0 0 1 -26.3 9.13292 92 6 0 0 -3 0 -26.0 4.73053 93 6 -1 0 -1 -1 -26.0 4.61768 94 6 -1 0 -3 1 25.9 4.73746 95 1 0 2 1 -1 -25.2 25.61168 96 1 0 2 1 25.2 29.78927 97 6 -2 0 0 -25.2 4.62428 98 0 3 0 1 -1 24.3 272.76636 99 0 3 0 1 -24.3 -552.66455 100 3 2 0 -1 23.9 9.28642 101 3 2 0 -3 1 -23.9 9.78391 102 5 0 -2 1 -1 -23.5 5.37526 103 5 0 -2 1 23.5 5.53827 104 -2 3 2 0 0 -22.0 -13.78017 105 0 5 0 -2 0 -20.7 -254.54700 106 -1 2 0 2 0 19.9 -32.78003 107 -2 1 0 4 0 -18.8 -16.14437 108 7 2 0 -6 0 16.7 4.15975 109 9 -4 0 -2 0 15.8 3.09889 110 0 -3 0 6 0 15.1 64.51990 111 -1 -2 0 6 0 -14.6 -48.09414 112 0 1 0 1 1 -14.5 328.13843 113 0 1 0 3 -1 14.5 117.32887 114 4 -2 0 1 0 14.5 6.73295 115 3 -4 0 4 0 -13.9 8.36700 116 0 0 0 3 0 13.7 121.74740 117 -2 3 0 2 0 12.8 -14.97050 118 1 2 2 -2 0 12.7 31.79650 119 1 -1 0 2 1 -11.9 23.94200 120 5 1 0 -2 -1 10.5 5.62306 110 Capi'tulo 3. Contribuciones ai desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Tabla 3.4: Continuacion. W 9 M h u 55 G f X 1 0-5 (rad) PERIOD 0 (di'as) 121 6 3 0 -6 0 10.1 4.89938 122 6 -1 -2 1 -1 -9.3 4.49784 123 6 -1 -2 -1 1 9.3 4.61141 124 8 1 0 -6 0 9.3 3.61414 125 4 1 2 -4 0 -8.8 7.38182 126 0 3 2 -2 0 -8.0 -206.54143 127 6 -2 0 0 -1 7.5 4.56647 128 1 2 -2 2 0 7.2 23.26121 129 5 0 2 -4 0 -7.2 5.82209 130 2 2 0 0 -1 -7.1 13.54628 131 2 -2 0 3 0 7.1 12.37669 132 6 0 0 -2 -1 7.1 4.67005 133 2 3 0 -1 -1 6.9 14.00707 134 2 3 0 -3 1 -6.9 15.17060 135 4 3 -2 -2 0 -6.7 7.03477 136 4 -2 0 0 1 -5.9 6.85939 137 9 -6 0 0 0 5.9 3.05294 138 9 -2 0 -4 0 5.7 3.14624 139 4 2 0 -3 0 5.6 7.20411 140 9 -2 -2 -2 0 5.4 3.09015 141 -3 2 0 4 0 5.4 -10.17990 142 3 2 2 -4 0 5.2 10.08305 143 9 -4 -2 0 0 5.2 3.04445 144 5 -4 0 2 0 5.1 5.34064 145 8 1 -2 -4 0 5.1 3.54031 146 4 -3 2 0 0 -4.9 6.88791 147 4 0 0 -2 1 -4.7 7.09579 148 3 -1 0 2 -1 4.6 8.69796 149 6 -5 0 2 0 4.4 4.47357 150 4 1 -2 1 -1 4.3 6.67798 151 4 1 -2 -1 1 -4.3 6.93144 152 7 -1 0 -3 0 -4.1 4.03739 153 -2 -1 0 6 0 -4.1 -17.51798 154 2 0 2 -1 0 -4.0 14.25108 155 2 -1 2 1 -1 -4.0 13.27381 156 2 -1 2 -1 1 4.0 14.31418 157 0 2 0 1 0 -3.8 297.90119 158 6 0 -2 -1 0 -3.8 4.60484 159 -3 6 0 0 0 -3.8 -9.26384 160 7 2 -2 -4 0 3.6 4.06225 161 0 0 0 2 1 -3.5 182.61673 162 2 0 0 2 -1 3.5 12.71005 163 1 -2 0 3 1 3.4 22.62646 164 1 -2 0 5 -1 -3.4 20.13222 165 0 2 0 0 1 -3.3 1615.40650 166 3 1 0 -2 1 -3.3 9.55684 167 4 -3 0 1 1 3.3 6.74700 168 4 -3 0 3 -1 -3.3 6.50662 169 1 3 0 -1 0 3.2 28.74261 170 2 5 0 -4 0 -3.1 15.67451 171 2 -1 -2 4 0 -3.1 11.88516 172 7 -4 0 1 -1 -3.0 3.88037 173 7 -4 0 -1 1 3.0 3.96460 174 -1 0 2 2 0 -3.0 -31.82740 175 -1 0 4 0 0 3.0 -26.88933 176 -1 2 0 1 1 -3.0 -30.08048 177 -1 2 0 3 -1 3.0 -36.01190 178 5 -2 2 -2 0 -2.9 5.66198 179 -2 1 2 2 0 -2.9 -14.76862 180 7 -3 0 -1 0 -2.8 3.95975 3.4. Conclusiones y tablas. I l l Tabla 3.4: Continuacion. 9M h 9S G? X 1 0-5 (rad) PERlO DO (di'as) 181 1 -4 0 6 0 -2.7 19.30847 182 2 3 -2 0 0 2.7 13.43639 183 2 -2 0 2 1 -2.7 12.81078 184 6 1 0 -3 -2.7 4.72362 185 6 1 0 -5 1 2.7 4.84903 186 5 2 0 -3 -2.6 5.70091 187 5 2 0 -5 1 2.6 5.88460 188 7 0 -4 0 0 2.6 3.89414 189 3 -2 -2 4 0 -2.5 8.30356 190 4 -5 0 4 0 -2.5 6.41812 191 -3 4 2 0 0 -2.4 -9.18614 192 -1 4 0 1 -1 2.3 -30.65087 193 -1 4 0 -1 1 -2.3 -26.24599 194 9 0 0 -6 0 2.2 3.19507 195 9 0 -2 -4 0 2.2 3.13723 196 -1 1 0 3 0 -2.1 -35.61517 197 0 -1 0 3 1 1.9 126.51174 198 0 -1 0 5 -1 1.9 74.73863 199 5 4 0 -6 0 -1.8 5.95891 200 7 -2 0 -1 -1 -1.8 3.95490 201 7 -2 0 -3 1 1.8 4.04244 202 -1 -2 2 4 0 -1.8 -37.64697 203 1 -2 2 2 0 1.7 24.29318 204 -2 -1 2 4 0 -1.7 -15.90983 205 7 -1 -2 -1 0 -1.5 3.94548 206 -1 6 0 -2 0 -1.5 -24.86313 207 1 4 -2 0 0 1.4 26.22393 208 8 -1 -4 0 0 1.4 3.41195 209 -1 3 0 1 0 -1.4 -30.36299 210 0 1 2 1 -1 -1.3 363.23414 211 0 1 2 -1 1 1.3 -367.30785 212 2 -3 2 2 0 -1.3 12.91064 213 3 3 0 -3 0 1.3 9.75439 214 6 -3 -2 2 0 -1.3 4.45537 215 7 -1 0 -2 -1 1.3 3.99325 216 2 0 2 0 -1 1.2 13.71594 217 3 0 -2 1 1 -1.2 8.86246 218 3 0 -2 3 -1 1.2 8.45229 219 7 -2 -2 1 -1 -1.2 3.86667 220 7 -2 -2 -1 1 1.2 3.95030 221 10 -5 0 -2 0 1.2 2.78561 222 1 1 0 1 0 1.1 25.22166 223 5 -1 0 -2 1 -1.1 5.64269 224 5 -3 0 1 0 1.1 5.41081 225 6 0 -2 0 -1 1.1 4.54751 226 6 3 -2 -4 0 -1.1 4.76468 227 6 -1 2 -4 0 -1.1 4.80651 228 10 -3 0 -4 0 1.1 2.82381 229 3 0 2 -1 -1 1.0 9.36583 230 3 0 2 -3 1 -1.0 9.87210 231 4 0 -2 1 0 1.0 6.69181 232 4 2 0 -2 -1 -1.0 7.06477 233 4 -2 0 2 -1 1.0 6.61108 234 -1 4 2 -2 0 -1.0 -24.31121 235 -3 4 0 2 0 1.0 -9.70029 236 2 0 0 -1 2 0.9 14.19153 237 4 0 0 1 -2 -0.9 6.70502 238 7 0 0 -3 -1 -0.9 4.03236 239 7 0 0 -5 1 0.9 4.12340 240 -1 2 2 1 -1 0.9 -29.81639 112 Capitula 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Tabla 3.4: Continuacion. 9M 5̂ G \ X 1 0 -5 (rad) PERlO D O (dias) 241 -1 2 2 -1 1 -0.9 -25.63172 242 0 0 2 1 0 0.8 409.21189 243 0 -1 2 1 1 0.8 468.51612 244 0 -1 2 3 -0.8 131.40681 245 2 1 2 -1 -0.8 14.18854 246 2 1 2 -3 1 0.8 15.38370 247 3 2 -2 1 0.8 8.81413 248 3 2 -2 -1 1 -0.8 9.26109 249 5 -4 0 1 1 0.8 5.41989 250 5 -4 0 3 -0.8 5.26368 251 6 1 -4 0 0 -0.8 4.53506 252 7 -3 0 0 -1 0.8 3.91728 253 10 -3 -2 -2 0 0.8 2.77854 254 3 -3 0 3 0 0.7 8.54054 255 4 -3 -2 4 0 -0.7 6.38073 256 5 1 -2 -1 0 0.7 5.52879 257 6 1 -2 -1 -1 -0.7 4.59829 258 6 1 -2 -3 1 0.7 4.71706 259 0 -2 0 5 0 0.6 76.50736 260 1 4 0 -1 -1 0.6 28.48932 261 1 4 0 -3 1 -0.6 33.75491 262 2 -3 0 3 1 0.6 12.42426 263 2 -3 0 5 -1 -0.6 11.63288 264 3 -1 2 -1 0 -0.6 9.39304 265 -4 3 0 4 0 0.6 -7.43360 266 10 -5 -2 0 0 0.6 2.74154 267 1 0 4 -2 0 -0.5 32.74726 268 1 0 -2 4 0 0.5 20.89998 269 3 -2 2 1 -1 0.5 8.95833 270 3 -2 2 -1 1 -0.5 9.42042 271 5 0 -4 2 0 -0.5 5.28905 272 6 2 0 -5 0 -0.5 4.84177 273 6 -3 2 -2 0 -0.5 4.69686 274 7 0 -2 -1 -1 -0.5 3.94067 275 7 0 -2 -3 1 0.5 4.02758 276 7 1 0 -5 0 -0.5 4.11815 277 -1 1 0 2 1 0.5 -32.45099 278 -2 1 4 0 0 0.5 -13.60894 279 -2 2 0 3 0 -0.5 -15.53529 280 2 2 0 -2 1 0.4 14.63156 281 2 3 2 -4 0 0.4 15.90211 282 4 3 0 -3 -1 0.4 7.18810 283 4 3 0 -5 1 -0.4 7.48260 284 4 5 0 -6 0 -0.4 7.60316 285 4 -1 -2 1 1 0.4 6.70569 286 4 -1 -2 3 -1 -0.4 6.46819 287 5 -3 0 0 1 -0.4 5.49217 288 7 -1 -2 0 -1 0.4 3.90332 289 8 -4 0 -1 0 -0.4 3.46221 290 -3 0 0 6 0 0.4 -10.70941 291 -3 0 2 4 0 -0.4 -10.08615 292 10 -1 -2 -4 0 0.4 2.81655 293 10 -7 0 0 0 0.4 2.74842 294 0 0 2 0 1 -0.3 -3400.70349 295 0 3 -2 2 0 0.3 149.29007 296 1 1 0 2 -1 -0.3 23.59256 297 3 4 -2 -2 0 0.3 9.44648 298 4 -1 2 -1 -1 0.3 6.98994 299 4 -1 2 -3 1 -0.3 7.26812 300 5 2 2 -6 0 -0.3 5.99151 3.4. Conclusiones y tablas. 113 Tabla 3.4: Continuacion. w 9m 55 Gf X 1 0 -5 (rad) PERlO DO (di'as) 301 5 -1 -2 1 0 0.3 5.38421 302 5 -2 -2 1 1 0.3 5.39320 303 5 -2 -2 3 -1 -0.3 5.23850 304 6 1 2 -6 0 -0.3 4.92140 305 8 -2 0 -3 0 -0.3 3.52142 306 8 -3 0 -1 -1 -0.3 3.45850 307 8 -3 0 -3 1 0.3 3.52526 308 8 -5 0 1 -1 -0.3 3.40137 309 8 -5 0 -1 1 0.3 3.46592 310 -1 0 2 1 1 0.3 -29.27636 311 -1 0 2 3 -1 -0.3 -34.86545 312 -1 -1 0 5 0 0.3 -43.06445 313 -4 1 0 6 0 0.3 -7.71203 314 -4 5 0 2 0 0.3 -7.17456 315 -4 5 2 0 0 -0.3 -6.88936 316 0 1 4 -2 0 0.2 -173.76981 317 0 2 2 -1 0 0.2 -414.38952 318 0 4 0 -1 0 0.2 -666.62560 319 0 -3 2 4 0 -0.2 102.78457 320 1 1 2 -1 0 -0.2 29.51728 321 1 4 2 -4 0 -0.2 37.60375 322 1 6 0 -4 0 -0.2 36.35545 323 1 -2 4 0 0 -0.2 28.25352 324 2 1 -2 1 1 0.2 13.06440 325 2 1 -2 3 -1 -0.2 12.19223 326 3 1 2 -3 0 -0.2 9.84205 327 3 3 0 -2 -1 -0.2 9.50067 328 3 -1 0 -1 2 0.2 9.36714 329 3 -1 2 0 -1 0.2 9.15755 330 3 -3 0 2 1 -0.2 8.74501 331 4 0 2 -3 0 0.2 7.25182 332 4 0 -2 0 1 -0.2 6.81669 333 5 1 -2 0 -1 -0.2 5.44636 334 5 2 -2 -1 -1 0.2 5.51936 335 5 2 -2 -3 1 -0.2 5.69136 336 5 -1 0 1 -2 -0.2 5.39276 337 5 -4 2 0 0 -0.2 5.51045 338 6 -1 -4 2 0 -0.2 4.43732 339 6 -5 2 0 0 -0.2 4.59210 340 7 -4 -2 2 0 -0.2 3.83524 341 8 -2 -2 -1 0 -0.2 3.45130 342 9 -2 -4 0 0 0.2 3.03601 343 -2 3 0 1 1 -0.2 -14.38108 344 -2 3 0 3 -1 0.2 -15.61031 345 -2 4 0 1 0 -0.2 -14.44534 346 -2 5 0 1 -1 0.2 -14.51018 347 -2 5 0 -1 1 -0.2 -13.44218 348 -3 2 4 0 0 -0.2 -9.10973 349 -4 7 0 0 0 -0.2 -6.93297 350 0 5 -2 0 0 0.1 543.04774 351 0 -1 4 0 0 0.1 -1113.79737 352 1 1 0 0 1 -0.1 27.09242 353 1 -1 0 4 -1 0.1 21.16709 354 1 -2 -2 6 0 0.1 18.97395 355 1 -3 0 5 0 0.1 20.25838 356 2 -2 0 4 -1 0.1 11.97106 357 4 1 -4 2 0 0.1 6.54544 358 4 2 -2 -1 0 0.1 6.91661 359 5 1 0 -4 1 -0.1 5.80169 360 5 2 -4 0 0 -0.1 5.42850 114 Capitula 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Tabla 3.4: Continuacion. W 9M P S G; X 10 ̂ (rad) PERlODO (dias) 361 5 4 -2 -4 0 -0.1 5.76084 362 5 -1 -2 0 1 -0.1 5.46477 363 5 -3 0 2 -1 0.1 5.33183 364 7 1 -2 -3 0 -0.1 4.02256 365 8 0 0 -5 0 -0.1 3.58270 366 8 1 -4 -2 0 0.1 3.46944 367 8 -1 -2 -1 -0.1 3.44762 368 8 -1 -2 -3 1 0.1 3.51395 369 8 -3 -2 1 -0.1 3.39084 370 8 -3 -2 -1 1 0.1 3.45498 371 8 -4 0 0 0.1 3.42970 372 9 0 -4 -2 0.1 3.08145 373 -2 1 0 3 1 -0.1 -15.46100 374 -2 1 0 5 0.1 -16.89094 375 -2 3 2 1 0.1 -14.32044 376 -2 3 2 -1 1 -0.1 -13.27919 377 -2 5 2 -2 0 -0.1 -12.91574 378 -3 2 2 2 0 -0.1 -9.61513 379 10 -1 0 -6 0 0.1 2.86308 380 11 -4 -2 -2 0 0.1 2.52402 Tabla 3.5: Desarrollo de P 3 i(sen/? 5 ) sen 9M fs 9S G 'i X 1 0-5 (rad) PERÎODO (dias) 1 0 0 0 1 0 -150083.7 365.24219 2 0 0 0 2 -1 -7519.4 182.62546 3 0 0 0 0 1 -2506.6 4 0 0 0 3 -2 -235.6 121.75127 5 0 0 0 -1 2 -15.7 -365.27708 6 0 0 0 4 -3 -7.6 91.31382 7 0 0 0 5 -4 -0.2 73.05123 8 0 0 0 -2 3 0.1 -182.63418 Tabla 3.6: Desarrollo de P 3 a(sen ^ 5 ) sen3As. 9m ^ M (s 9S G|5 X 1 0-5 (rad) PERlODO (dias) 1 0 0 0 3 0 1497480.8 121.74740 2 0 0 0 4 -1 125034.5 91.31164 3 0 0 0 2 1 -25180.3 182.61673 4 0 0 0 1 2 -3719.7 365.20730 5 0 0 0 5 -2 2868.4 73.04983 6 0 0 0 6 -3 158.9 60.87515 7 0 0 0 0 3 -126.0 8 0 0 0 7 -4 7.1 52.17888 9 0 0 0 -1 4 -3.7 -365.31198 10 0 0 0 8 -5 0.2 45.65664 11 0 0 0 -2 5 -0.1 -182.64290 3.4. Conclusiones y tablas. 115 Tabla 3.7: Desarrollo de P4 o{sen W 9 M (g PS H l x 1 0 -3 (rad) PERlODO (dias) 1 0 0 0 0 0 361.0 2 1 -1 0 0 0 99.2 27.55455 3 1 1 0 -2 0 28.8 31.81194 4 2 0 -2 0 0 14.9 13.60611 5 2 0 0 -2 0 13.9 14.76529 6 2 -2 0 0 0 10.9 13.77727 7 3 -1 -2 0 0 3.7 9.10846 8 0 2 0 -2 0 3.2 -205.89221 9 3 -1 0 -2 0 1.6 9.61372 10 3 -3 0 0 0 1.1 9.18485 11 0 0 2 -2 0 -0.6 -173.31004 12 3 1 -2 -2 0 0.6 9.53006 13 1 -1 -2 2 0 0.5 23.77462 14 2 2 0 -4 0 0.5 15.90597 15 1 1 -2 0 0 0.4 26.87829 16 3 1 0 -4 0 0.4 10.08460 17 4 -2 -2 0 0 0.4 6.84558 18 1 0 0 -1 0 -0.3 29.53059 19 1 -3 0 2 0 0.3 24.30219 20 4 0 -2 -2 0 0.3 7.08101 21 4 -2 0 -2 0 0.2 7.12709 22 0 2 -2 0 0 -0.1 1095.17505 23 1 0 0 0 -1 0.1 27.32168 24 1 -1 2 -2 0 -0.1 32.76364 25 2 -2 -2 2 0 0.1 12.76270 26 4 0 0 -4 0 0.1 7.38265 27 4 -4 0 0 0 0.1 6.88864 Tabla 3.8: Desarrollo de P 4 i(sen^M ) sen A 9 M PS H } X 1 0-3 (rad) PERlODO (dias) 1 0 0 1 0 0 -331.2 -6798.38366 2 2 0 -1 0 0 326.9 13.63340 3 3 -1 -1 0 0 80.7 9.12068 4 -1 1 1 0 0 -45.2 -27.44332 5 1 -1 1 0 0 -44.7 27.66669 6 3 1 -1 -2 0 15.1 9.54344 7 0 0 -1 2 0 -15.0 177.84378 8 1 1 1 -2 0 -14.4 31.96150 116 Capitula 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Tabla 3.8: Continuacion. 9 M h 9 S H } X 1 0-3 (rad) PERlO D O (dias) 9 4 -2 0 0 11.1 6.85248 10 2 0 1 -2 0 10.6 14.79743 11 -1 -1 1 2 0 -10.5 -31.66378 12 4 0 -2 0 9.4 7.08839 13 1 1 0 0 8.1 26.98498 14 1 -1 2 0 7.2 23.85806 15 -2 0 1 2 0 -4.6 -14.73330 16 -2 2 1 0 0 -3.0 -13.74941 17 2 -2 1 0 0 -2.9 13.80525 18 3 -1 1 -2 0 2.7 9.62733 19 -2 0 0 0 -1.9 -13.57893 20 2 -2 2 0 1.8 12.78671 21 4 0 -3 0 0 1.8 6.80987 22 5 -1 -2 0 1.8 5.63802 23 0 2 1 -2 0 -1.7 -199.83997 24 -1 1 2 0 -1.6 -32.60650 25 5 -3 0 0 1.4 5.48774 26 0 2 0 0 -1.3 1305.47920 27 0 -2 1 2 0 -1.0 212.32250 28 5 -1 -3 0 0 0.7 5.46038 29 0 0 1 1 -1 0.6 385.99833 30 0 0 1 -1 1 -0.6 -346.63579 31 2 0 1 -1 -0.6 13.14284 32 2 0 -1 1 0.6 14.16200 33 3 1 1 -4 0 0.6 10.09958 34 -1 -1 4 0 -0.5 -38.74193 35 -3 1 0 0 -0.5 -9.09627 36 4 0 1 -4 0 0.4 7.39067 37 4 -2 1 -2 0 0.4 7.13457 38 -3 1 1 2 0 -0.4 -9.60014 39 2 2 1 -4 0 -0.3 15.94327 40 4 2 -4 0 0.3 7.34113 41 5 1 -4 0 0.3 5.79675 42 1 0 1 -1 0 0.2 29.65942 43 2 0 -3 2 0 -0.2 12.63914 44 3 0 -1 0 -0.2 9.32727 45 3 1 -3 0 0 -0.2 9.04535 46 3 -1 1 -1 -0.2 8.89848 47 3 -1 -1 1 0.2 9.35426 48 3 -3 1 0 0 -0.2 9.19728 49 3 -3 2 0 0.2 8.73379 50 6 -2 -2 0 0.2 4.68036 51 6 -4 0 0 0.2 4.57633 52 -2 0 4 0 -0.2 -16.10216 53 -3 3 1 0 0 -0.2 -9.17246 54 0 0 -2 0 0.1 -169.00171 55 1 0 1 0 -0.1 25.32536 56 1 3 -2 0 -0.1 31.05519 57 1 -1 1 1 -1 0.1 25.71862 58 1 -1 1 -1 1 -0.1 29.93405 59 5 1 -3 -2 0 0.1 5.60914 60 6 0 -4 0 0.1 4.78922 61 6 -2 -3 0 0 0.1 4.55728 62 0 1 1 0 0.1 -29.40287 63 1 1 1 -1 0.1 -29.67274 64 1 1 -1 1 -0.1 -25.52549 65 3 1 -2 0 -0.1 -24.21562 66 3 0 0 -0.1 -28.14868 67 -2 2 2 0 -0.1 -14.93420 68 -2 -2 1 4 0 -0.1 -15.86884 3.4. Conclusiones y tablas. 117 Tabla 3.9: Desarrollo de P 4 2 (seii;^M) cos 2A^. 9M tl-M (g PS H f X 1 0-3 (rad) PERlODO (dias) 1 2 0 0 0 0 -7189.0 13.66079 2 3 -1 0 0 0 -1764.8 9.13293 3 3 1 0 -2 0 -387.4 9.55685 4 4 0 0 -2 0 -249.3 7.09579 5 4 -2 0 0 0 -199.4 6.85939 6 1 1 0 0 0 -192.2 27.09252 7 1 -1 0 2 0 -174.6 23.94208 8 0 0 2 0 0 -120.0 -3399.19183 9 0 2 0 0 0 71.3 1615.74782 10 0 0 0 2 0 -48.3 182.62109 11 5 -1 0 -2 0 -46.1 5.64270 12 5 -1 -2 0 0 -41.2 5.46477 13 2 -2 0 2 0 -33.7 12.81080 14 2 0 0 1 -1 27.0 13.16829 15 2 0 0 -1 1 -27.0 14.19156 16 5 -3 0 0 0 -26.1 5.49218 17 -1 1 2 0 0 -16.1 -27.33298 18 1 -1 2 0 0 -15.9 27.77974 19 3 1 -2 0 0 10.6 9.05740 20 5 1 0 -4 0 -8.8 5.80170 21 4 2 0 -4 0 -8.4 7.34907 22 3 -1 0 1 -1 6.6 8.91014 23 3 -1 0 -1 1 -6.6 9.36715 24 2 0 -2 2 0 6.2 12.66268 25 6 -2 -2 0 0 -6.1 4.56034 26 3 0 0 -1 0 5.9 9.34009 27 5 1 -2 -2 0 -5.9 5.61377 28 6 -2 0 -2 0 -5.0 4.68358 29 6 0 -2 -2 0 -4.6 4.66364 30 1 3 0 -2 0 4.5 31.19770 31 2 0 2 -2 0 3.3 14.82971 32 6 0 0 -4 0 -3.1 4.79260 33 -1 1 0 2 0 3.1 -32.45086 34 -1 -1 2 2 0 -2.8 -31.51698 35 2 2 -2 0 0 2.7 13.49249 36 3 -3 0 2 0 -2.4 8.74502 37 3 0 0 0 -1 -1.7 9.10720 38 -2 2 0 2 0 1.4 -14.90147 39 -2 4 0 0 0 1.3 -13.89576 40 1 -1 0 1 1 -1.1 25.62152 41 1 -1 0 3 -1 1.1 22.46926 42 2 -2 2 0 0 1.1 13.83334 43 4 -1 0 -1 0 1.1 6.97559 44 7 -1 -2 -2 0 -1.1 3.98857 45 -2 2 2 0 0 1.1 -13.72166 46 3 1 0 -1 -1 1.0 9.31318 47 3 1 0 -3 1 -1.0 9.81362 48 3 -1 2 -2 0 1.0 9.64098 49 -2 0 2 2 0 -1.0 -14.70143 50 2 2 0 -2 0 -0.9 14.63159 51 3 -1 -2 2 0 -0.9 8.67575 52 0 2 2 -2 0 -0.8 -194.13338 53 0 4 0 -2 0 0.8 -235.96026 54 1 1 0 1 -1 0.8 25.22174 55 1 1 0 -1 1 -0.8 29.26306 56 4 -2 0 1 -1 0.8 6.73295 57 4 -2 0 -1 1 -0.8 6.99067 58 7 -3 -2 0 0 -0.8 3.91277 59 1 0 0 1 0 0.7 25.42006 60 4 2 -2 -2 0 0.7 7.05011 118 Capitula 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden Tabla 3.9: Continuacion, 9 M h 9 s H f X 1 0 -3 (rad) PERÏODO (dias) 61 4 0 0 -1 -1 0.6 6.96057 62 4 0 0 -3 1 -0.6 7.23637 63 4 -2 -2 2 0 -0.6 6.59824 64 -1 -1 0 4 0 0.6 -38.52241 65 2 -1 0 1 0 0.5 13.22215 66 7 -3 0 -2 0 -0.5 4.00315 67 0 0 0 1 1 -0.4 365.22475 68 0 0 0 3 -1 0.4 121.74933 69 0 0 2 1 -1 0.4 409.23379 70 0 0 2 -1 1 -0.4 -329.81899 71 0 1 0 1 0 -0.4 328.15251 72 2 1 0 -1 0 0.4 14.12953 73 4 0 -2 1 -1 0.4 6.69181 74 4 0 -2 -1 1 -0.4 6.94633 75 7 -1 0 -4 0 -0.4 4.08252 76 -3 3 0 2 0 0.3 -9.67126 77 0 1 0 0 1 0.2 3230.13064 78 0 -1 0 3 0 -0.2 126.51384 79 0 -2 0 4 0 0.2 96.77985 80 0 -2 2 2 0 -0.2 219.16739 81 1 0 0 0 1 -0.2 27.32148 82 1 -1 -2 4 0 0.2 21.03604 83 1 -3 0 4 0 0.2 21.44801 84 2 -2 0 1 1 -0.2 13.27645 85 2 -2 0 3 -1 0.2 12.37671 86 3 1 2 -4 0 0.2 10.11461 87 3 -3 2 0 0 0.2 9.20974 88 4 0 2 -4 0 0.2 7.39872 89 4 1 0 -3 0 0.2 7.22021 90 4 -1 0 0 -1 -0.2 6.84487 91 5 -1 -2 1 -1 0.2 5.38422 92 5 -1 -2 -1 1 -0.2 5.54777 93 6 0 -4 0 0 -0.2 4.54143 94 7 -5 0 0 0 -0.2 3.92680 95 8 -2 -2 -2 0 -0.2 3.48422 96 -2 0 4 0 0 -0.2 -13.55187 97 -3 3 2 0 0 0.2 -9.16010 98 -3 5 0 0 0 0.2 -9.23736 99 0 2 -2 2 0 -0.1 156.52111 100 1 0 2 -1 0 0.1 29.78939 101 1 3 -2 0 0 0.1 26.43848 102 2 2 2 -4 0 -0.1 15.98075 103 2 4 0 -4 0 0.1 15.75091 104 4 -2 2 -2 0 0.1 7.14207 105 4 -4 0 2 0 -0.1 6.63824 106 5 0 0 -3 0 0.1 5.72109 107 5 0 -2 -1 0 0.1 5.53827 108 5 -1 0 -1 -1 0.1 5.55685 109 5 -1 0 -3 1 -0.1 5.73124 110 5 -2 0 -1 0 0.1 5.56642 111 5 -3 0 1 -1 0.1 5.41082 112 5 -3 0 -1 1 -0.1 5.57602 113 6 2 0 -6 0 -0.1 4.90682 114 6 2 -2 -4 1 -0.1 4.77172 115 7 1 -2 -4 0 -0.1 4.06736 116 8 -4 -2 0 0 -0.1 3.42624 117 -1 0 0 3 0 -0.1 -35.22693 118 -1 2 0 1 0 -0.1 -30.08036 119 -1 -3 0 6 0 0.1 -47.38885 120 -2 -2 0 6 0 0.1 -17.42353 121 -3 1 0 4 0 0.1 -10.14794 3.4. Conclusiones y tablas. 119 Tabla 3.10: Desarrollo de P 4 3 (sen^M) sen SÂ 9M h 9S H f X 1 0-3 (rad) PERlODO (dias) 1 2 0 1 0 0 4617.5 13.68830 2 4 0 0 0 -4446.2 6.82354 3 5 0 0 -1600.2 5.46917 4 3 1 0 0 1116.1 9.14522 5 3 1 0 0 409.0 9.06948 6 3 1 1 -2 0 288.8 9.57031 7 5 1 -2 0 -261.1 5.61841 8 6 -2 0 0 -208.4 4.56340 9 6 0 -2 0 -207.2 4.66684 10 2 2 0 0 133.0 13.51932 11 0 2 1 0 0 -129.7 2119.47626 12 2 0 2 0 126.4 12.68631 13 1 1 1 0 0 116.2 27.20092 14 1 -1 1 2 0 71.8 24.02670 15 4 0 1 -2 0 55.4 7.10321 16 7 -1 -2 0 -50.6 3.99091 17 4 -2 1 0 0 43.9 6.86632 18 4 2 -2 0 33.0 7.05743 19 3 -1 2 0 -32.3 8.68683 20 7 -3 0 0 -30.6 3.91502 21 2 0 1 1 -1 -26.0 13.19385 22 2 0 1 -1 1 26.0 14.22125 23 4 0 1 -1 25.0 6.69840 24 4 0 -1 1 -25.0 6.95344 25 -1 3 1 0 0 -22.6 -27.91750 26 4 -2 2 0 -16.1 6.60465 27 0 0 0 0 14.2 -2266.12789 28 6 0 -3 0 0 -12.7 4.54447 29 2 -2 1 2 0 12.0 12.83499 30 5 -3 1 0 0 10.1 5.49662 31 5 -1 1 -2 0 -9.6 5.64738 32 1 3 0 0 9.5 26.54170 33 0 0 1 2 0 9.4 187.66216 34 5 -1 1 -1 9.0 5.38848 35 5 -1 -1 1 -9.0 5.55231 36 1 3 1 -2 0 -8.3 31.34153 37 3 3 -2 0 8.2 9.48740 38 7 1 -4 0 -7.3 4.06980 39 4 2 1 -4 0 7.2 7.35702 40 8 -2 -2 0 -6.5 3.48601 41 3 -1 1 1 -1 -6.3 8.92184 42 3 -1 1 -1 1 6.3 9.38007 43 7 -1 -3 0 0 -6.2 3.90108 44 6 2 -4 0 -5.9 4.77507 45 8 -4 0 0 -4.9 3.42797 46 3 0 1 -1 0 -4.6 9.35294 47 5 0 -1 0 4.5 5.54279 48 -1 1 1 2 0 -3.6 -32.29669 49 1 -1 4 0 3.5 21.10133 50 0 2 2 0 -3.2 160.20966 51 6 0 1 -4 0 -3.2 4.79598 52 8 0 -4 0 -3.0 3.54605 53 5 1 -3 0 0 2.8 5.44199 54 -2 4 1 0 0 -2.8 -13.86742 55 2 2 1 -2 0 2.4 14.66314 56 2 -2 4 0 2.3 11.95000 57 3 1 1 -1 -2.3 8.84974 58 3 1 -1 1 2.3 9.30042 59 6 -2 1 -2 0 -2.3 4.68681 60 0 -2 1 4 0 -1.8 98.17748 120 Capitula 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Tabla 3.10: Continuacion. 3 M I s 9S H f X 10-3 (rad) PERlODO (dias) 61 1 -1 3 0 0 1.8 27.89372 62 -1 1 3 0 0 1.8 -27.22353 63 -1 -1 1 4 0 -1.7 -38.30535 64 6 -4 1 0 0 1.6 4.58250 65 0 4 1 -2 0 -1.5 -228.04520 66 3 0 1 0 -1 1.4 9.11942 67 6 -2 1 -1 1.4 4.50709 68 6 -2 -1 1 -1.4 4.62114 69 5 0 0 -1 -1.3 5.45993 70 4 0 -3 2 0 1.2 6.56506 71 6 -1 -1 0 1.2 4.61454 72 1 -1 1 1 1 1.1 25.71845 73 1 -1 1 3 -1 - 1.1 22.54377 74 3 1 1 -1 -1 -1.0 9.32595 75 3 1 1 -3 1 1.0 9.82781 76 5 3 -4 0 1.0 5.77603 77 2 0 -2 0 -0.9 14.86213 78 3 -1 1 1 -0.9 8.89846 79 3 -1 3 -1 0.9 8.48504 80 5 1 -1 -1 0.9 5.53330 81 5 1 -3 1 -0.9 5.70618 82 7 -1 1 -4 0 -0.9 4.08498 83 8 -2 -3 0 0 -0.9 3.41727 84 1 1 -2 0 0.8 32.26488 85 2 2 1 -1 -0.8 13.03679 86 2 2 -1 1 0.8 14.03894 87 5 -3 2 0 -0.8 5.32765 88 9 -3 -2 0 -0.8 3.09451 89 0 2 1 1 -1 0.7 311.56596 90 0 2 1 -1 1 -0.7 -441.31330 91 1 1 1 1 -1 -0.7 25.31566 92 1 1 1 -1 1 0.7 29.38956 93 4 -1 1 1 0 -0.7 6.98276 94 5 1 1 -4 0 -0.7 5.80665 95 6 0 -1 -1 0.7 4.60796 96 6 0 -3 1 -0.7 4.72724 97 7 1 -3 -2 0 -0.7 3.97642 98 8 0 -3 -2 0 -0.7 3.47495 99 1 1 2 0 0.6 23.51090 100 2 4 -2 0 0.6 14.46941 101 3 -3 1 2 0 -0.6 8.75629 102 3 -3 4 0 0.6 8.33516 103 4 2 -3 0 0 0.6 6.78129 104 -2 2 1 2 0 -0.6 -14.86888 105 0 1 1 1 0 0.5 344.79551 106 0 4 0 0 0.5 722.06821 107 2 0 1 1 0.5 13.14279 108 2 0 3 -1 -0.5 12.26048 109 2 1 1 -1 0 -0.5 14.15896 110 2 -2 0 0 -0.5 13.86155 111 3 0 1 0 -0.5 8.87404 112 4 -2 1 1 -1 -0.5 6.73963 113 4 -2 1 -1 1 0.5 6.99787 114 7 -3 1 -2 0 -0.5 4.00550 115 9 -1 -4 0 -0.5 3.14173 116 9 -5 0 0 -0.5 3.04869 117 -1 3 2 0 -0.5 -33.27806 118 -2 2 0 0 -0.5 -13.69402 119 0 0 1 1 1 0.4 385.95937 120 0 0 1 3 -1 -0.4 123.96945 3.4. Conclusiones y tablas. 121 Tabla 3.10: Continuacion. W I s PS H f X 10-3 (rad) PERÏODO (dias) 121 1 -3 1 4 0 -0.4 21.51589 122 2 1 1 0 -0.4 13.08958 123 2 -1 1 1 0 -0.4 13.24792 124 -2 0 1 4 0 -0.4 -16.02624 125 -3 5 1 0 0 -0.4 -9.22483 126 0 0 4 0 0.3 90.10039 127 1 0 1 1 0 0.3 25.51547 128 4 -1 1 0 0.3 6.71231 129 4 -2 1 1 -0.3 6.72628 130 4 -2 3 -1 0.3 6.48735 131 5 -1 -3 2 0 0.3 5.30186 132 6 -1 0 -1 -0.3 4.55697 133 6 -4 2 0 -0.3 4.46445 134 0 1 1 0 1 -0.2 6154.17888 135 2 1 0 1 0.2 13.57610 136 2 4 1 -4 0 -0.2 15.78749 137 2 -1 3 0 -0.2 12.30715 138 2 -2 1 1 1 0.2 13.30243 139 2 -2 1 3 -1 -0.2 12.39929 140 3 1 -3 2 0 -0.2 8.61847 141 3 -1 -2 0 -0.2 9.65468 142 4 4 -4 0 0.2 7.30793 143 5 -1 1 -1 -1 0.2 5.56140 144 5 -1 1 -3 1 -0.2 5.73607 145 6 2 1 -6 0 -0.2 4.91036 146 6 2 -3 -2 0 0.2 4.64703 147 7 1 1 -6 0 -0.2 4.16766 148 7 -1 -1 -1 0.2 3.94777 149 7 -1 -3 1 -0.2 4.03500 150 7 -3 1 -1 0.2 3.87350 151 7 -3 -1 1 -0.2 3.95744 152 9 -1 -3 -2 0 -0.2 3.08579 153 -1 -1 2 0 0.2 -31.37155 154 0 -1 1 3 0 0.1 128.91283 155 1 0 1 0 1 -0.1 27.43173 156 3 0 0 1 0.1 9.09500 157 4 0 1 -1 -1 0.1 6.96771 158 4 0 1 -3 1 -0.1 7.24408 159 4 1 1 -3 0 -0.1 7.22789 160 4 2 -1 -1 -0.1 6.92366 161 4 2 -3 1 0.1 7.19648 162 4 -1 1 0 -1 0.1 6.85177 163 4 -4 1 2 0 0.1 6.64473 164 5 0 1 -3 0 0.1 5.72591 165 6 1 -3 0 0.1 4.72033 166 7 -2 -1 0 0.1 3.95260 167 9 -3 -3 0 0 -0.1 3.04023 168 1 4 0 -0.1 -39.69370 169 2 1 1 0 0.1 -29.94785 170 3 1 1 -1 0.1 -30.22787 171 3 1 -1 1 -0.1 -25.93522 172 5 1 -2 0 -0.1 -24.58407 122 Capi'tulo 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de prim er orden Tabla 3.11: Desarrollo de P 4 4 (sen^M) cos 4A, PM h-M h 9 s H f X 1 0 -3 (rad) PERlODO (dias) 1 4 0 0 0 0 99285.3 6.83040 2 5 -1 0 0 0 35275.8 5.47357 3 3 1 0 0 0 -9032.5 9.08160 4 5 1 0 -2 0 6557.6 5.62306 5 6 0 0 -2 0 5270.0 4.67004 6 2 2 0 0 0 -4888.1 13.54626 7 6 -2 0 0 0 2749.1 4.56647 8 7 -1 0 -2 0 1155.6 3.99325 9 4 2 0 -2 0 -870.7 7.06477 10 4 0 0 1 -1 -744.6 6.70501 11 4 0 0 -1 1 744.6 6.96056 12 1 3 0 0 0 -690.8 26.64573 13 3 -1 0 2 0 671.8 8.69795 14 7 -3 0 0 0 630.0 3.91728 15 2 0 2 0 0 415.7 13.71591 16 6 0 -2 0 0 375.3 4.54750 17 3 3 0 -2 0 -350.8 9.50066 18 2 0 0 2 0 -293.0 12.71003 19 5 -1 0 1 -1 -264.4 5.39276 20 5 -1 0 -1 1 264.4 5.55684 21 7 1 0 -4 0 196.5 4.07223 22 7 -1 -2 0 0 182.9 3.90332 23 6 2 0 -4 0 156.1 4.77843 24 4 -2 0 2 0 150.4 6.61108 25 5 0 0 -1 0 -116.4 5.54731 26 8 -4 0 0 0 116.1 3.42970 27 8 -2 0 -2 0 105.7 3.48780 28 3 -1 2 0 0 98.2 9.15754 29 5 1 -2 0 0 -84.9 5.44635 30 2 -2 0 4 0 -79.5 11.97104 31 8 0 0 -4 0 79.0 3.54790 32 0 4 0 0 0 -76.3 807.87391 33 3 1 0 1 -1 67.6 8.86128 34 3 1 0 -1 1 -67.6 9.31316 35 1 -1 0 4 0 -57.8 21.16703 36 1 1 0 2 0 -56.4 23.59249 37 2 4 0 -2 0 -46.7 14.50028 38 6 -1 0 -1 0 -40.4 4.61767 39 2 2 0 1 -1 36.6 13.06184 40 2 2 0 -1 1 -36.6 14.06800 41 5 0 0 0 -1 35.0 5.46432 42 3 -1 0 1 1 32.0 8.91012 43 3 -1 0 3 -1 -32.0 8.49564 44 3 1 2 -2 0 29.6 9.58380 45 5 3 0 -4 0 -29.4 5.78094 46 5 1 0 -1 -1 -27.3 5.53780 47 5 1 0 -3 1 27.3 5.71098 48 3 0 0 1 0 26.5 8.88563 49 8 -2 -2 0 0 25.2 3.41899 50 0 2 2 0 0 -24.0 3079.56784 51 7 1 -2 -2 0 23.4 3.97875 52 4 0 -2 2 0 -23.3 6.57141 53 8 0 -2 -2 0 23.3 3.47672 54 3 -3 0 4 0 -22.3 8.34539 55 5 -3 0 2 0 - 20.8 5.33183 56 6 -2 0 1 -1 -20.2 4.51008 57 6 -2 0 -1 1 20.2 4.62428 58 6 0 0 -1 -1 -20.0 4.61109 59 6 0 0 -3 1 19.9 4.73053 60 4 2 -2 0 0 -19.5 6.78806 3.4. Conclusiones y tablas. 123 Tabla 3.11: Continuacion. W 9M h 9S H f X 1 0-3 (rad) PERÏODO (dias) 61 9 -3 0 -2 0 15.3 3.09592 62 9 -5 0 0 0 12.1 3.05006 63 4 1 0 -1 0 11.6 6.94560 64 9 -1 0 -4 0 11.6 3.14318 65 4 -2 0 1 1 9.6 6.73294 66 4 -2 0 3 -1 -9.6 6.49354 67 4 4 0 -4 0 -9.5 7.31579 68 1 1 2 0 0 9.4 27.31019 69 -1 5 0 0 0 -8.9 -28.52755 70 3 0 0 0 1 -8.4 9.10718 71 4 -2 2 0 0 -8.3 6.87326 72 4 -1 0 1 0 7.8 6.71895 73 0 2 0 2 0 7.7 164.07625 74 2 0 0 1 1 7.2 13.16825 75 2 0 0 3 -1 -7.2 12.28263 76 9 -1 -2 -2 0 6.8 3.08719 77 5 -1 -2 2 0 -6.7 5.30600 78 6 2 -2 -2 0 -6.7 4.65021 79 6 -1 0 0 -1 6.0 4.56003 80 2 1 0 0 1 -5.9 13.60326 81 0 0 0 4 0 -5.1 91.31055 82 1 3 0 1 -1 4.8 24.83408 83 1 3 0 -1 1 -4.8 28.74250 84 2 -1 0 3 0 4.7 12.32947 85 5 -1 2 -2 0 -4.7 5.65208 86 -1 3 2 0 0 -4.4 -27.80332 87 4 0 2 -2 0 -4.3 7.11064 88 3 2 0 -1 0 4.0 9.28640 89 1 5 0 -2 0 -3.9 30.60673 90 4 2 0 -1 -1 3.9 6.93071 91 4 2 0 -3 1 -3.9 7.20411 92 6 1 0 -3 0 -3.9 4.72361 93 7 -1 0 -1 -1 -3.9 3.95007 94 7 -1 0 -3 1 3.9 4.03739 95 9 -3 -2 0 0 3.7 3.04159 96 -1 1 0 4 0 3.7 -39.46328 97 7 -2 0 -1 0 -3.5 3.95490 98 3 1 -2 2 0 3.2 8.62941 99 6 -4 0 2 0 -3.2 4.46738 100 2 0 2 1 -1 -3.1 13.21951 101 2 0 2 -1 1 3.1 14.25106 102 7 0 0 -3 0 -3.1 4.03236 103 1 -1 2 2 0 2.9 24.11191 104 6 0 -2 1 -1 -2.8 4.49158 105 6 0 -2 -1 1 2.8 4.60484 106 1 1 0 1 1 -2.6 25.22157 107 1 1 0 3 -1 2.6 22.16108 108 8 2 0 -6 0 2.6 3.61010 109 1 -3 0 6 0 -2.5 19.19379 110 4 -4 0 4 0 -2.3 6.40540 111 0 -2 0 6 0 -2.2 63.25692 112 5 -2 0 1 0 2.2 5.40177 113 1 3 2 -2 0 -1.7 31.48668 114 7 -3 0 1 -1 -1.7 3.87571 115 7 -3 0 -1 1 1.7 3.95974 116 10 -4 0 -2 0 1.7 2.78321 117 9 1 0 -6 0 1.6 3.19191 118 1 2 0 1 0 1.5 25.02633 119 3 3 0 -1 -1 1.4 9.25981 120 3 3 0 -3 1 -1.4 9.75438 124 Capi'tulo 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Tabla 3.11: Continuacion. W 9M h-M (g fls H f X 10-3 (rad) PERÏODO (dias) 121 3 -2 0 3 0 1.4 8.51802 122 7 3 0 -6 0 1.4 4.15440 123 7 -1 -2 1 -1 -1.4 3.86204 124 7 -1 -2 -1 1 1.4 3.94548 125 2 -1 0 2 1 -1.3 12.76020 126 5 3 -2 -2 0 -1.3 5.59434 127 -2 2 0 4 0 1.3 -16.22543 128 1 0 0 3 0 1.2 22.31404 129 6 1 0 -2 -1 1.2 4.66331 130 2 2 -2 2 0 1.1 12.56422 131 3 5 0 -4 0 - 1.0 9.96026 132 6 0 2 -4 0 - 1.0 4.79937 133 10 -6 0 0 0 1.0 2.74609 134 0 0 2 2 0 -0.9 192.98942 135 4 2 2 -4 0 0.9 7.36499 136 10 -2 -2 -2 0 0.9 2.77615 137 9 1 -2 -4 0 0.8 3.13419 138 10 -4 -2 0 0 0.8 2.73922 139 1 2 0 0 1 -0.7 26.86717 140 2 2 2 -2 0 0.7 14.69484 141 3 -1 2 1 -1 -0.7 8.93356 142 3 -1 2 -1 1 0.7 9.39303 143 5 1 2 -4 0 -0.7 5.81162 144 7 0 0 -2 -1 0.7 3.98833 145 8 -1 0 -3 0 -0.7 3.51759 146 10 -2 0 -4 0 0.7 2.82135 147 0 2 0 1 1 -0.6 297.88958 148 0 2 0 3 -1 0.6 113.21816 149 2 1 0 1 0 -0.6 13.11483 150 2 -4 0 6 0 -0.6 11.31326 151 3 0 0 2 -1 0.6 8.67461 152 5 1 -2 1 -1 0.6 5.36633 153 5 1 -2 -1 1 -0.6 5.52879 154 5 -2 0 0 1 -0.6 5.48286 155 -1 3 0 2 0 0.6 -33.11596 156 -2 4 0 2 0 0.6 -15.04018 157 -2 4 2 0 0 -0.6 -13.83919 158 0 4 0 1 -1 0.5 251.53465 159 0 4 0 -1 1 -0.5 -666.68372 160 1 0 0 2 1 -0.5 23.76592 161 2 -2 0 3 1 0.5 12.37667 162 2 -2 0 5 -1 -0.5 11.59115 163 3 0 2 -1 0 -0.5 9.36582 164 4 1 0 -2 1 -0.5 7.08024 165 4 -1 0 2 -1 0.5 6.59758 166 5 2 0 -3 0 0.5 5.70091 167 5 -3 0 1 1 0.5 5.41081 168 5 -3 0 3 -1 -0.5 5.25512 169 8 2 -2 -4 0 0.5 3.53644 170 -1 -1 0 6 0 -0.5 -48.82074 171 -2 6 0 0 0 -0.5 -14.01631 172 0 0 4 0 0 0.4 -1699.59591 173 2 3 0 -1 0 0.4 14.00704 174 5 0 0 -2 1 -0.4 5.63286 175 5 -5 0 4 0 -0.4 5.19724 176 6 2 0 -3 -1 -0.4 4.71672 177 6 2 0 -5 1 0.4 4.84177 178 6 4 0 -6 0 -0.4 4.89196 179 6 -2 2 -2 0 -0.4 4.69004 180 7 0 -2 -1 0 -0.4 3.94067 3.4. Conclusiones y tablas. 125 Tabla 3.11: Continuacion. 9 M h 9 S H f X 1 0 -3 (rad) PERÏODO (dias) 181 7 1 0 -3 -1 -0.4 4.02733 182 7 1 0 -5 1 0.4 4.11815 183 8 -3 0 -1 0 -0.4 3.45850 184 -1 1 2 2 0 -0.4 -32.14399 185 10 0 0 -6 0 0.4 2.86055 186 10 0 -2 -4 0 0.4 2.81410 187 0 1 0 3 0 -0.3 117.32707 188 0 6 0 -2 0 -0.3 -276.31230 189 0 -2 2 4 0 -0.3 99.61607 190 1 -1 0 3 1 0.3 22.46913 191 1 -1 0 5 -1 -0.3 20.00758 192 2 -2 2 2 0 0.3 12.85927 193 3 3 -2 0 0 -0.3 9.00691 194 3 -1 -2 4 0 -0.3 8.28228 195 4 0 2 -2 0 -0.3 7.11064 196 4 -2 -2 4 0 -0.3 6.36816 197 7 -1 2 -4 0 -0.3 4.08743 198 8 0 -4 0 0 0.3 3.40835 199 -1 -1 2 4 0 -0.3 -38.09073 200 0 2 2 1 0.2 326.53067 201 0 2 2 -1 1 -0.2 -414.41198 202 2 4 0 -1 0.2 13.94662 203 2 4 0 -3 1 -0.2 15.09971 204 2 4 -2 0 0.2 13.38075 205 3 2 0 -2 1 -0.2 9.52866 206 3 -2 0 2 1 -0.2 8.72141 207 3 -3 2 2 -0.2 8.76758 208 4 0 2 -1 0.2 6.97485 209 4 0 2 -3 1 -0.2 7.25181 210 4 0 -2 1 1 -0.2 6.69180 211 4 0 -2 3 0.2 6.45527 212 6 -3 0 1 0 0.2 4.51638 213 7 3 -2 -4 0 -0.2 4.05715 214 7 -3 2 -2 0 -0.2 4.00787 215 7 -5 0 2 0 0.2 3.84414 216 8 0 0 -3 -1 -0.2 3.51377 217 8 0 0 -5 1 0.2 3.58270 218 8 -1 -2 -1 0 -0.2 3.44761 219 8 -2 0 -1 -1 -0.2 3.45481 220 8 -2 0 -3 1 0.2 3.52142 221 8 -2 -2 1 -1 -0.2 3.38728 222 8 -2 -2 -1 1 0.2 3.45130 223 9 -1 -4 0 0 0.2 3.03316 224 -2 0 0 6 0 0.2 -17.61346 225 -3 3 0 4 0 0.2 -10.21207 226 11 -5 0 -2 0 0.2 2.52788 227 1 0 2 1 0 0.1 25.61159 228 1 3 -2 2 0 0.1 23.09497 229 1 -1 2 1 1 0.1 25.81611 230 1 -1 2 3 -0.1 22.61878 231 3 0 2 0 0.1 9.13167 232 3 1 2 -1 -0.1 9.33877 233 3 1 2 -3 1 0.1 9.84204 234 3 2 0 0 -0.1 9.05616 235 3 -3 0 3 1 0.1 8.54053 236 3 -3 0 5 -0.1 8.15898 237 4 1 0 0 -0.1 6.81599 238 4 2 -2 1 0.1 6.66421 239 4 2 -2 -1 1 -0.1 6.91660 240 4 3 0 -3 0 0.1 7.18809 126 Capi'tulo 3. Contribuciones al desarrollo del potencial lunisolar de primer orden Tabla 3.11: Continuacion. Im 9 M S s H f X 1 0-3 (rad) PERÏODO (dias) 241 4 -1 2 -1 0 -0.1 6.98993 242 4 -3 0 3 0 0.1 6.50661 243 5 0 -2 1 0 0.1 5.37526 244 5 5 0 -6 0 -0.1 5.94794 245 5 -1 -2 1 1 0.1 5.38421 246 5 -1 -2 3 -1 -0.1 5.23002 247 5 -3 -2 4 0 -0.1 5.17269 248 6 1 -2 -1 0 0.1 4.59829 249 6 -1 0 -2 1 -0.1 4.67680 250 6 -2 -2 2 0 -0.1 4.44924 251 7 0 -2 0 -1 0.1 3.89861 252 7 1 -4 0 0 -0.1 3.88945 253 7 -3 -2 2 0 -0.1 3.83069 254 8 -4 0 1 -1 -0.1 3.39779 255 8 -4 0 -1 1 0.1 3.46221 256 8 -6 0 2 0 0.1 3.37350 257 -3 5 0 2 0 0.1 -9.72950 258 11 -3 -2 -2 0 0.1 2.52205 259 11 -5 -2 0 0 0.1 2.49153 260 11 -7 0 0 0 0.1 2.49722 Capitulo 4 Series solucion del m ovim iento de R otacion de la Tierra rigida 4.1 Introduccion. La inmensa m ayona de los problemas de la Mecanica no pueden resolverse de manera exac- ta. Este impulsa a desarrollar métodos de resolucion aproximados. Afortunadamente, sucede a menudo que en un problema fisico que no se pueda resolver directam ente, el Hamiltoniano solo difiere ligeramente del Hamiltoniano correspondiente a un problema que pueda resolverse de manera rigurosa. Se dice entonces que el problema mas complicado es una perturbacion del problema soluble y la diferencia entre ambos Hamiltonianos se denomina hamiltoniano de per­ turbacion. La teoria de perturbacion consiste en técnicas para obtener soluciones aproximadas, basândose aquellas en la pequenez del Hamiltoniano de perturbacion. Hay que destacar, sin embargo, que aün cuando el cambio del Hamiltoniano debe ser pequeno, el efecto que pueda tener la perturbacion sobre el movimiento puede ser grande. 4.2 Teorias canonicas de perturbacion. El desarrollo de la teoria de perturbacion esta ligado a los primeros tiempos de la Mecânica Celeste. Newton, se dio cuenta de que la mayon'a de las oscilaciones del movimiento de la Luna se debian a pequenas variaciones de la atraccion solar en el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. Sus intentos iniciales de una teoria lunar que incluyera dichos efectos correspondia aproximadamente a una forma de la teoria de perturbacion. Muchos desarrollos posteriores de la estructura formai de la Mecânica clâsica, como la teoria canonica de Hamilton, necesitaron de nuevas técnicas de perturbacion. La necesidad de pre- decir orbitas muy précisas para satélites artificiaies y el enorme incremento de la capacidad de calcules h an impulsado recientemente aun mas la teoria de perturbacion. Entre los métodos de perturbacion mas im portantes desarrollados a lo largo de este siglo destancan el de von Zeipel (1916), que le sirvio a Brouwer (1959) para integrar el problema 127 128 Capi'tulo 4. Series solucion del movimiento de Rotacion de la Tierra ri'gida de movimiento de un satélite artificial bajo la accion gravitatoria terrestre, en un sistema de variables de Delaunay. El método de von Zeipel présenta, sin embargo, varias desventajas. La mas im portante es que la funcion generatriz depende de las nuevas y antiguas variables y como consecuencia, la inversion de los resultados para obtener una solucion en funcion de las coordenadas originales résulta ser un proceso tedioso y en algunos casos hasta imposible de realizar. En las très ultim as décadas ban surgido numerosos métodos de perturbacion utilizados en la resolucion de sistemas canonicos. Entre estos destacan los de Hori y Deprit que estân bas ados en la transformacion canonica de Lie [Hori 1966, Hori 1973], [Deprit 1969). Estos métodos tienen la ventaja de que: 1. La funcion generatriz no es mezcla de las antiguas y nuevas coordenadas. 2. Estân basados en el uso de los paréntesis de Poisson, y de ahi, las teorias son canonicamente invariantes. 3. Es posible expresar directamente cualquier funcion de las variables antiguas en términos de las nuevas variables. La relacion entre el método de Hori y el método de von Zeipel ha sido estudiada por el primero [Hori 1970). La equiValencia entre los métodos de Hori y Deprit ha sido probada por Campbell y Jeffery s [Campbell & Jeffery s 1970] y Mersmann [Mersman 1970]. Este ultimo también ha estudiado la conexion entre estas dos teorias y la de von Zeipel [Mersman 1971]. Una extension de la teoria de Hori al estudio de sistemas no canonicos fue efectuada por el mismo autor en 1971 mientras que Kamel ha dado una generalizacion del método de Deprit en anâlogo sentido [Kamel 1969]. Choi y Tapley han desarrollado también una teoria de pertur­ bacion para sistemas dinâmicos no conservativos que consiste en transform ar cualquier sistema dinâmico en otro canonico équivalente y aplicar cualquier método de perturbacion canonica [Choi & Tapley 1973]. 4.3 Resultados previos: Paréntesis de Poisson. El paréntesis de Poisson de dos funciones u y v respecto a las variables canonicas (ç,p) se define de la m anera siguiente [Goldstein 1988, p. 484]: = I l Una propiedad muy im portante de los paréntesis de Poisson es que son invariantes canonicos, es decir, el paréntesis de Poisson siempre tiene el mismo valor cuando se calcule respecto a cualquier sistema canonico de variables. Por lo tanto, mientras se utilicen variables canonicas no es necesario el submdice en los corchetes. O tras propiedades de interés [Goldstein 1988, p. 486-487]: 4.4. El método de Hori. Derivaciôn del efecto nutacional. 129 {u, it} = 0 (a) {u,u} = {u,u} (6) {au + bu, w] = a{u, w] + b{u, w} (linealidad) (c) {uv, w} = {u, iu}u + u{v, w} (d) (u , {u,u;}} + {u, {tu,u}} + {lü, {u,u}} = 0 (Identidad de Jacobi) (e) La identidad de Jacobi nos dice que la suma de las perturbaciones ciclicas del paréntesis doble de Poisson de très funciones es nula y mediante esta identidad se observa que el producto de paréntesis de Poisson no es asociativo. Las propiedades (b), (c) y (e) definen un tipo particular de Algebra no asociativa llamada Algebra de Lie a la cual obedece el paréntesis de Poisson [Goldstein 1988, p. 488]. En el Capitulo anterior senalabamos que las transformaciones canonicas forman un grupo. Las transformaciones canonicas que sean funciones anali'ticas de param étrés continues forman grupos separados que pertenecen a la clase conocida con el nombre de grupos de Lie. 4.4 El m étodo de Hori. Derivaciôn del efecto nutacional. Las ecuaciones del movimiento rotacional de la Tierra rigida son [Kinoshita 1977, p. 285]: i (L, G, H) = dt d( l ,g ,h ) d _ dK d é ’^' ̂ d ( L ,G ,H ) ■Jlihs.h) - (4.4.2) siendo /C el Hamiltoniano: fC = T A U - h E (4.4.3) Las expresiones de T , U y E estân dadas en el Capitule 2. La energi'a potencial U = Ui A U2 , solamente depende de l y g, ademâs de las variables angulares que aparecen en el movimiento de la Luna y el Sol. U no depende explicitamente del tiempo t. E représenta el efecto debido al movimiento de la ecli'ptica originado por las perturbaciones planetarias. Escribimos el Hamiltoniano )C como suma de los términos: Ko = T + E /Cl = U (4.4.4) 130 Capi'tulo 4. Series solucion del m ovim iento de Rotacion de la Tierra rigida K\ es el Hamiltoniano de perturbacion y es funcion de un pequeno parâm etro J. El sistema de ecuaciones diferenciales (4.4.2) se puede resolver directam ente si U = 0 (que es el caso de que no existiera la accion de la Luna y el Sol). Aunque U no depende explicitamente del tiempo t si depende impHcitamente pues es funcion de las variables angulares que aparecen en el movimiento de la Luna y el Sol y estas son funciones del tiempo. Podemos escribir entonces: Ki = U = Usee + Uper (4.4.5) donde los submdices sec Y per representan la parte secular y la parte periodica de la funcion U , respectivamente. Nuestro objetivo es separar la nutacion de la precesion, es decir, los términos periodicos de los seculares. Por lo tanto, parece logico buscar una transformacion canonica: (h,g,l ,H,G,L)--------- ^ { h % g \ l ' , H \ G % L ' ) h a m il to n ia n o : )C K,* en la que podamos eliminar el parâm etro tiempo del nuevo Hamiltoniano /C*. G. Hori (1966) obtuvo un algoritmo para la determinacion de este nuevo Hamiltoniano junto con la funcion generatriz W , de forma récurrente. El resultado es [Hori 1966, p. 291]: K * = / c ; + / c t + / c ; + . . . W — W i + W 2 + ... ORDEN 0 : Kq = )Co = T E ORDEN \ \ K,\ = /Claec = U\sec (4.4.6) W i = J K i p e r d t = J U i p e r d t ORDEN 2 : /Cg = U 2s e c - \ - ^ { U i 4- K l , W i } s e c = j U2^rdt + 1 y {t/, + ICI Wi} per d t donde el corchete { ....... } représenta el paréntesis de Poisson. Se observa que estas ecuaciones estân en invarianza canonica en virtud de la invarianza canonica de los paréntesis de Poisson. ICI y Wk determinados por (4.4.6) estân entonces en invarianza canonica. Las diferencias entre las nuevas y las antiguas variables estân dadas, al segundo orden por [Hori 1966, p. 268], [Hori 1973, p. 235]: = (A .G .K , - ( r . G - , , , ' ) . _ 1 4.5. Perturbaciones de prim er orden. 131 t . w } (4 A Ï) La présente teoria de perturbaciones es independiente del grupo particular de variables canonicas utilizadas. El nuevo Hamiltoniano y la funcion generatriz asociada obtenida en términos de un cierto grupo de variables canonicas dan directam ente los comportamientos de cualquier otro grupo de variables o funciones de ellas en virtud de (4.4.7) {Teorema de Lie 4.5 Perturbaciones de primer orden. Las perturbaciones periodicas de prim er orden de (f) = l A 9 (ângulo rotacional de la Tierra, medido desde el equinoccio verdadero hasta el meridiano cero sobre el ecuador), h (longitud del equinoccio verdadero) e / (inclinacion del ecuador momento angular en el piano de la echptica) se obtienen a partir de (4.4.7) [Kinoshita 1977], [Aoki & Kinoshita 1983]; ■ -sèiriTT A i^ = —c o s I A i h en donde los asteriscos utilizados para las variables canonicas transformadas se omiten por sim- plicidad. Las variables que aparecen en los segundos miembros de las ecuaciones son las nuevas. A partir de (4.4.6), tenemos para la Luna: ORDEN 0 : Kq = Ko = T d- E (4.5.9) ORDEN 1 : K l = ^ — — (3cos^J — l)(3cos^7 — l)A(’o_o,o,o,o) (4.5.10) ^4 IKi = W s + W a (4.5.11) En esta ultim a expresion: Ws = 1(3 cosV - - 1 sen 2J + 1 sen V (4.5.12) con. 132 Capi'tulo 4. Series solucion del m ovim iento de Rotacion de la Tierra ri'gida ^4°^ = (4.5.13) ̂ sen(p - exi) (4.5.14) t £=±1 ^9 o f ' - I n sen(2g - EXi) (4.5.15) i £ = ± 1 ^ ^ 9 y = (Luna, Sol) (4.5.16) ®M,5 2 dfCiNi = - ^ = i\n\j^ d- i 2 ngj^-\-h^hM d-Îat^Is d-isfigs (4.5.17) Wa = \ senV W^A^ + ^ /)sen J (1 + pcos 7)ivi'> + j ^ (1 + fcos JfW^A^ (4.5.18) con, 9 ^ \ ■ r / ^ ' X p = ± l p=± l < ' - K ^ I Ç . § . s r b ; ”-P'-»'' i“ ‘»> < ' - E Z 4 f :■ a , - ( V + ' - » ) (“ ■“ > < ’ - - ( V + 2 , - -» .) 1 4 " . ) En las expresiones anteriores, hemos considerado la oblicuidad I constante. 4.5.1 Perturbacion periodica debida a Ws . Nutacion del piano perpendicular al eje m om ento angular. Las expresiones que hemos obtenido hasta el primer orden en J son: A s h = —k I — — 4- %2 4- %3 4- %4 4- 2 5 ) I'̂ h t&R 7 1 sen Xi (4.5.22) A s l = -------- 7 ^ ( U + * 2 + * 3 + Û + *5 )“;^ cos Xi (4.5.23) sen 7 “ JXi 4.5. Perturbaciones de prim er orden. 133 siendo, Ei = c o s I - l ^ ^ A j (4.5.24) 3 sen y t = ^ % 2C A B (Luna, Sol) (4.5.25) Las nutaciones en longitud y en oblicuidad del eje momento angular reciben el nombre de términos de Poisson pues A s h y A s l satisfacen exact amente las ecuaciones de Poisson en las perturbaciones periodicas de prim er orden. Las expresiones (4.5.22) y (4.5.23) son similares a las obtenidas por [Kinoshita 1977]. La ùnica diferencia es que en nuestro caso aparece la suma de los cinco coehcientes de los argu- mentos que componen Xt (^n esta incluido en los movimientos medios de las cinco variables (Im i QMi IsiQs))- Como vimos en el Capitulo anterior, la suma de estos coehcientes verihca una serie de relaciones que simplihcarân el câlculo de los coehcientes numéricos. N utacion del ecuador de figura. La relacion entre la longitud hf y \a oblicuidad I f del ecuador de hgura con sus correspon- dientes para el ecuador momento angular se puede obtener a partir del tri ângulo Q P R de la hgura 2.1 del Capitulo 2. Al desarrollar por Taylor, las relaciones hnales son [Moritz & Mueller 1987]: I f = 7 -f J cos g hf = h-\ sen^ (4.5.26) sen 7 Las ecuaciones (4.5.26) se utilizan para hallar los términos de nutacion en longitud y en oblicuidad del ecuador de hgura. Las expresiones obtenidas son, hasta el prim er orden en J: A s h f = A s h + —^ E X: (4.5.27) sen7 Y e ^ i r i g - e N i Ag7y = Ag7 + A; ^ g ^os x, (4.5.28) t £=±1 ^5 134 Capi'tulo 4. Series solucion del m ovim iento de Rotacion de la Tierra ri'gida Nutacion del piano normal al eje de rotacion. La relacion entre la longitud hr y la oblicuidad R del piano normal al eje de rotacion con sus correspondientes para el ecuador momento angular viene dada por [Kinoshita 1977]: (4.5.29) L f , C C \ J Entonces, la nutacion en longitud y en oblicuidad del eje perpendicular al eje de rotacion viene dada por: (4.5.30) A s l . - (4.5.31) Los segundos términos de las expresiones (4.5.27), (4.5.28), (4.5.30) y (4.5.31) se denominan términos Oppolzer y tienen el mismo argumento que los términos de Poisson. También se observa que los términos Oppolzer del eje de rotacion son mas pequehos que los del eje de figura, pues los primeros estân multiplicados por el factor (1 - C/2A - C/2B)% 1/300. Perturbaciones periodicas del m ovim iento del polo. El movimiento del polo se define como el movimiento del eje de rotacion respecto al eje de figura [Kinoshita 1977]: G , .Xp = —— sen J sen l Auj G Pp = — s enJ c os / (4.5.32) Jdüj Las perturbaciones periodicas del movimiento del polo son: (J AsXp = — A g (J sen/) AsVp = A g (J cos/) (4.5.33) siendo A s { J s e u l ) = k Y , ̂“ ^Xi) (4.5.34) £=±1 t ^5 4.5. Perturbaciones de prim er orden. 135 A s { J cosl) = k + / - exi) (4.5.35) £ = ± 1 » ^ 9 Los términos principales para las perturbaciones lunisolares del movimiento del polo en funcion de las variables utilizadas en este trabajo se pueden encontrar en [Folgueira & Sevilla 1996]. Las constantes numéricas y su influencia en les coeficientes de les térm inos de nutacion. Los factores de escala k correspondientes a la Luna y al Sol dados en (4.5.25), que deno- taremos de ahora en adelante por k"^ y kg^ respectivamente, y que aparecen en los términos de la nutacion se calculan a partir de las expresiones [Kinoshita 1977]: M m + M e M s + M m + M e (4.5.36) siendo M 5 , M e y M m las mas as del Sol, Tierra y Luna, respectivamente; tim y ug los movimien- tos medios de la Luna y del baricentro Tierra-Luna y uje la velocidad angular de rotacion de la Tierra. Hd es la elipticidad o aplanamiento dinamico de la Tierra, cuya expresion es: % = + (4,5.37) Esta constante se déterm ina a partir del actual valor observado de la constante de precesion: p = 50".2877/afio , corregida por efectos planetarios (directes e indirectes), de segundo orden, relativistas, etc. [Williams 1994], [Williams 1995], [Souchay et al. 1995], [Souchay & Kinoshita 1996], [Dehant & Capitaine 1997], [Dehant et al. 1997a], [Fukushima 1991]. El valor que hemos encontrado para la constante Hd es igual a 0.00327382. Por supuesto, como se explico en [Dehant et al. 1997b], cada teon'a de nutacion de la T ierra rigida obtendrâ su propio valor de Hd. Estes valores, para la actual constante de precesion, estân variando solamente en el sexto decimal. Sustituyendo el valor de la elipticidad dinàmica terrestre obten- emos los siguientes valores numéricos para los factores de escala k"^ y kg^ : k'j^ = 7546".819838/siglo k ÿ = 3475".258549/siglo (4.5.38) valores muy proximos a los obtenidos recientemente por [Souchay & Kinoshita 1996]. 136 Capitula 4. Series soluciôn del movimiento de Rotacion de la Tierra rigida 4.5.2 Perturbacion periodica debida a Wa • Discutiremos ahora la perturbacion periodica debida a la triaxialidad de la T ierra en el potencial. Esta perturbacion esta caracterizada por la razon: Kinoshita (1977) mostro que esta razon produce algunos términos de la nutacion que no podian despreciarse en el orden de precision con que él trabajaba (0 . 1 mas - milisegundos de arco -) y calculé la correspondiente perturbacion para los 3 términos mayores. Posteriormente, Kinoshita y Souchay (1990) con la ampliacion de la teoria de segundo orden, y considerando un nivel de precision de 5 pas - microsegundos de arco -, encontraron 7 términos. Recientemente, Souchay y Kinoshita (1996) han calculado los coeficientes de 34 términos hasta un orden de precision de 0.01 pas [Souchay & Kinoshita 1996]. N utacion del piano normal al eje m om ento angular. Las expresiones encontradas son: - - 2 Z & S S i S . S , 2„ . - «■> ( • “ ’ > 4.5.3 Efectos del cambio secular de la oblicuidad sobre los términos de nutacion. El valor convencional adoptado para la oblicuidad del ecuador sobre la ecliptica de la fecha, /e s [Kinoshita & Souchay 1990a]: I = -23°26'21".448 + 46".815 T = /o + A / T (4.5.41) En los desarrollos anteriores asi como en los trabajos de Kinoshita (1977) y Kinoshita & Souchay (1990) se ha considerado la oblicuidad / constante ( / = I q). En esta seccion vamos a incluir la variacion secular de / en los términos de nutacion. Las funciones caracterfsticas (4.5.12) y (4.5.18) variarân de la forma: A W s = l (3 c o s V - - lsen2JA H 7< '> + IsenV A V K i^’ (4.5.42) = lsen V A W ^i“>+ ^ sen J ( 1 + /)cos7)AW l'> + 1 ^ (1 + pcos J)"'AH4'> (4.5.43) /9=±1 P=±l 4.5. Perturbaciones de prim er orden. 137 Aqui solamente consideraremos la perturbacion debida a AVF5 puesto que en A W a aparece el producto R A I % 7.43 x 10"^ md, siendo R el factor que caracteriza la triaxialidad de la Tierra, por lo tanto, su efecto es casi despreciable. Las expresiones de AM/g°\ AlTg^^ y AWg^^ en (4.5.42) tienen la forma: AM{g° ̂ = I sen (A /t) cos Xt'dt (4.5.44) AVFç^ ̂ = ^ CJ(&) I s e n ( A I t ) cos{g — £Xi)dt (4.5.45) % £ = ± 1 do AM{ĝ ̂ = ^ D |( 6 ) I sen{AI t) cos{2g — exi)dt (4.5.46) t £ = ± 1 do con. = — — sen 2 / 0 — — cos 2 / q Al — — sen 2Io — 2 2 / 0 A^ — —5 ( 1 T 4 e c o s I q ) sen I q A] + — 6 (cos I q 4~ £ c o s ( 2 / q ) ) A ^ D\{^£.) = — sen 2Iq A ^ T —c (cos Iq 4~ £ c o s ( 2 / q ) ) AJ T —£ sen /o (1 ~\~ £ cos Iq)A ^ (4.5.47) Integrando y después de algunos càlculos, simplificaciones y aproximaciones: ATf4°^ % A;' ^ ^ cos X, 4- sen %, j (4.5.48) AĤ î ) « Ç D’(e) I } (4.5.50) Nutacion del piano perpendicular al eje m om ento angular. Las expresiones a las que hemos llegado son: A f ‘ h = - * M , s S - ^ . ' | ^ “ sXi + ^ ^ s e n x . | (4.5.51) 138 Capitula 4. Series soluciôn del m ovim iento de Rotacion de la Tierra rigida U'^2 ( A T T 1 = ------------------- + * 2 + *3 + H + ^s)Bi \ %: “I---- /ÿ~ X* f (4.5.52) s e n / o j-^Q ( A',- N{ J siendo, EJ = ^ cos /o A- (4.5.53) sen io o N utacion del ecuador de figura. Las relaciones obtenidas son, hasta el prim er orden en J: A f ; , . 4 f ; + « . , Ç E c ; ( , ) { p ; ; ^ « n x , + ; ; ^ „ „ . ) ( . , 5 55) N utacion del piano norm al al eje de rotacion. La nutacion en longitud y en oblicuidad del piano perpendicular al eje de rotacion corres­ pondiente al efecto del cambio secular en oblicuidad, viene dada por: A f h r = A f h + { 1 -A C - A I , S A I T \ (^ ■ ^ ■ ^ ) i i n ô Ç E . Q ( 4 1 I (4 .5 .5 6 ) A f l . = A f / + ( l - g . - ki}_s E C .'w { X' + } (4 .5 .5 7 ) 4.6 Perturbaciones de segundo orden debidas a la Luna. 4.6.1 Térm inos de nutacion que provienen de La funcion generatriz asociada al potencial C// ̂ se puede calcular a partir de la integral: dt « (4.6.58) siendo VFJo’”̂ ̂ la parte de la funcion generatriz relacionada con la funcion ̂ calculada en el Capitulo anterior. 4.6. Perturbaciones de segundo orden debidas a la Luna. 139 N utacion del piano perpendicular al eje m om ento angular. Puesto que no tiene sen J como factor, la funcion sera la ünica que con- tribuirâ al câlculo de los términos de Poisson que provienen de (7/^. Entonces, los términos de nutacion correspondientes al ecuador momento angular vienen dados por las expresiones, [Kinoshita & Souchay 1990a]: (4.6.59) A^»/ = A |r > / = f c i S E ^ s e n x . (4.6.60) siendo. = 7/3 = y 1 5 2 r - + -C O S I Gf-h 1 5 — cot I — — sen 27 1 1 2r- - - sen 7 6 4 Gf - — sen 27 Gf 12 5 cos^ 7 —1 Gj + — sen 27 G] - — sen^7 Gf (4.6.61) (4.6.62) y ^J 2 CLM (4.6.63) N utacion del ecuador de figura. Los términos de Oppolzer que provienen de son mas pequehos que los términos de Poisson correspondientes. Estos términos no han sido considerados por otros autores, por lo que desarrollaremos en detalle las expresiones correspondientes al calcule de estos términos de nutacion del ecuador de figura. La funcion generatriz asociada a estos términos es puesto que su derivada no tiene senJ como factor. Esta funcion tiene la forma: g sen J ( 1 - 5 cos^ J) E E cos{g - exi) (4.6.64) Las expresiones finales para los términos Oppolzer, reemplazando cos J por 1 y sen J por J , son: A (0,1) / « / s e n g f V sen 7 1 -^ /(^ ) 3 sen 7 i - eNi cos Xt (4.6.65) 140 Capitula 4. Series soluciôn del movimiento de Rotaciôn de la Tierra rigida y, A i ld^ (Jcosg ) % Z ) Z i (4.6.66) £ = ± 1 t ^ 9 4.6.2 Términos de nutacion que provienen de La funcion generatriz asociada al potencial se obtiene a partir de la expresion; dt (4.6.67) Los términos de nutacion del ecuador momento angular vienen dados por las expresiones; / / (4.6.68) (4.6.69) siendo, H f + — 4 CSC 7 — 36 sen 7 + 35 sen^7 77/3 cos 7 — 7 cos^ 7 + — cos 7 —4 + 7 cos^ 7 ] 7 7 / + ^ sen 7 —1 + 4 cos^ 7] H f + sen^7 cos 7 77/ r \ L J / X I- J I A / L 7+ = — — cos 7 [~3 + 7 cos^ 7 77/ — — sen 7 | —1 + 7 cos^ 7 — sen^/ cos / H f — + - sen^/ H f 24 • 144 h ; (4.6.70) (4.6.71) = % (^)A ( '_ ^ y J 2 \ 0 .mJ 4.6.3 Térm inos de nutacion que provienen de (4.6.72) La funcion generatriz asociada a los términos del potencial tiene la expresion: dt = J U l l dt + J U f l dt + J dt = (4.6.73) 4.6. Perturbaciones de segundo orden debidas a la Luna. 141 N utacion del piano perpendicular al eje m om ento angular. Despreciando los términos que tienen sen J como factor, podemos aproximar las funciones generatrices de la siguiente forma [Folgueira et al. 1997a]: Wf' « f Z E + 3 - r z i - e X i ) ^ = ^ E E 2 „^ + 2 n , - eiV, - ^ : # E E + . ) - T33 - .X .) con. _ \/C'Im + a — ; " 5Âm = ̂ — A:]g ; m = 1,2,3 (4.6.76) J 2 CLm Los términos de nutacion correspondientes al ecuador momento angular vienen dados por las expresiones: E ^ E + 9 - ^3, - 6 x 0 E ^ E 2 „^ + 2 n , \ ,N . ‘̂ °®(2 (/ + ÿ) - T3 , - £xO (4-6.77) A ^ 'A = ^ m ^ E E s e n (3(Z + 5 ) - T33 - ex.) ^ i . S i Ç + S - 3̂1 - exO = S ^ . S i S 2„, / 21!" - e/V, a(3,3)j _ 1 A;^ ^ 3 3 ~ 3 ^ . S i S 3n, + L , - £JV, + siendo, 142 Capitula 4. Series soluciôn del m ovim iento de Rotaciôn de la Tierra rigida 1 = - 6 cot 7 — l l + 15cos^7 G/ + — 4 24 l i e — 10cos 7 — 45e cos^ 7 G] 24 1 2 + 7e cos 7 — 4 cos^ 7 — 9e cos^ 7 CSC 7 Gj — — [—e + 3 cos 7] [1 + e cos 7] G/ 4o (4.6.79) 5 1 5 r y -̂ (̂e) = —e —1 + 3 cos^ 7 G / + esc 7 —2 — 7e cos 7 + 4 cos^ 7 + 9e cos^ 7 Gj — Y2 ̂ [1 + £ cos 7] [1 — 9e cos 7] G/ + [1 + e cos 7] [—2 + 3e cos 7] esc 7 G/ y^^(e) = —- ^ e s e n 2 7 G /— ^ [—e + 3cos 7] [ 1 + ecos 7] Gj + — [ 1 + e cos 7] [—2 + 3e cos 7] esc 7 G/ — —e [1 + e cos 7] G/ 4 8 (4.6.80) (4.6.81) Zf{e) = je s e n 2 / [ — 1 + 5cos^/] G|* 8 ■* + — [ 1 + e cos 7] —1 — 10e cos 7 + 15 cos^ 7 [—e + cos 7] G\ 8 — - e sen 7 [1 + e cos 7] [1 — 3e cos 7] [—2e + cos 7] G/ 8 — sen^7 [ 1 + e cos 7] [—3e + cos 7] G/ (4.6.82) (e) = ~4 ^ sen^ 27 G/ + sen 7 [ 1 + e cos 7] [ — 1 + 3e cos 7] [—e + 2 cos 7] G\ — — [ 1 + e cos 7] [—2 + 3e cos 7] [—e + cos 7] G/ + —e sen 7 [1 + e cos 7] [—3e + 2 cos 7] G/ (4.6.83) Zf(e) = —-^ e s e n ^ 7 c o s 7 G /— ^ s e n ^ 7 [ l + ecos7] [—e + 3cos7] Gj 3 3 + —e sen 7 [1 + e cos 7] [—2e + 3 cos 7] G/ + — [1 + e cos 7] [—e + cos 7] G/ 4 8 (4.6.84) N utacion del piano perpendicular al eje de figura. Las funciones generatrices asociadas a los términos Oppolzer que tenemos que tener en cuenta vienen dadas por las siguientes expresiones: 4.6. Perturbaciones de segundo orden debidas a la Luna. 143 ^ 3 1 G sen J ( - 1 + 5cosV ) Z Z sen(/ - T31 - exi) ^ £ = ± 1 i = —— k ^ G ^ psen J { 1 pcos J ) ( l — Spcos J) x ^ 3 2 ’̂ ̂ = G z sen J (1 + /9 COS J ) ( —1 + 3 /9 COS J ) x p=±i S , Ç 2pn, + n % eN, ® 24 £ Ç 2 p n , ' + 3 n ! - TiV, ~ E y + / > c o s J ) y E Ç ^ ^ ^ ^ E | l £ ) ^ s e n ( 3 p / + 3 5 -p T 3 3 -£ X ,) (4.6.85) Las expresiones finales para los términos Oppolzer tienen la forma, reemplazando cos J por 1 y sen J por J: ” - Æ , 5 , < ’' ( S ) “ ^ J ? .g s ''“ ( i J t ) “ ■ s i .5 , Ç 2«, +1 «ÎÎ- «», + 29 - ™ - y, 144 Capitulo 4, Series soluciôn del m ovim iento de Rotaciôn de la Tierra rigida ^ 3 1 °̂ ( J cos g) % - 2 Z Z cos(Z + g - T31 - ex.) £=±1 i A < + ( 7 c o s 9 ) « - ^ E £JV, - ^31 - ex .) A < + ( J cos5) «1 - 5 E ^ E 2„, / t ' - e i V . A r ' ( J c o s s ) « - 1 Z E 2 „, + t / - eiV, - "X.) ^ 3 3 ( J COS % A:^ ^ Z ô — M + % - 7-33 “ ^ X i ) (4.6.87) e = ± l i dTLl + S l ' i 4.6.4 Términos de nutacion que provienen de Las funciones generatrices asociadas al potencial tienen la forma: = J dt f» (4.6.88) Nutacion del piano perpendicular al eje de figura. [Folgueira et al. 1997b] han comprobado numéricamente que los términos correspondientes al ecuador momento angular son despreciables, por lo tanto solamente escribiremos aqui las expresiones de las funciones generatrices asociadas a los términos Oppolzer: W j!" ' = ^ j t ^ G s e n 7 c o s J ( - 3 + 7cosV ) x E ^ E ; ^ ; ^ c o s ( / - r « - . x . ) Z sen J (1 + ^cos J ) ( l + 7pcos J — 14cos^J) x ‘ 2 p=±i . £ Ç 2 n , + ^ p l f - e N , siendo. = (4.6.90) d2 VûM/ el factor de escala obtenido a partir de k ^ y de los armonicos no-zonales C41 y S u . 4.7. Conclüsiones. 145 Las expresiones finales de los términos Oppolzer correspondientes a estos armonicos tienen la forma final: “ 7 . 5 , y, ( j cos^r) % A: ̂ z z — sen(f g - Ui - £Xi) c= ± l i 7̂ ^ A l + ( 7 cos g ) « - l ^ M E E ^ 2/ ^ - eJV- + g - r , i - e x ,) (4 .6 .92) 4.7 Conclüsiones. A lo largo de este Capftulo se han desarrollado teoricamente las expresiones de la nutacion lunar y solar, en longitud y en oblicuidad, debidas a la influencia de todos los armonicos zonales y no-zonales hasta el grado 4 y el orden 1. Las expresiones de las perturbaciones de segundo orden debidas al Sol son similares a las de la Luna, intercambiando el submdice m por el subindice 5 . También se han estudiado los efectos del cambio secular de la oblicuidad sobre los términos de nutacion, obteniéndose las expresiones teoricas correspondientes. Los valores numéricos de los factores de escala se encuentran recopilados en el Apéndice 1 . 146 Capitulo 4. Series soluciôn del movimiento de Rotaciôn de la Tierra rigida Capitulo 5 R esultados numéricos de la nutacion lunisolar en longitud y en oblicuidad 5.1 Introducciôn. En vista de la abundante produccion de trabajos sobre el estudio de la nutacion de la Tierra rigida recientemente publicados, es necesaria una comparacidn de las amplitudes de los términos obtenidos con las diferentes teorias o procedimientos. En este Capitulo, se obtendran prim eramente los términos de nutacion que provienen de los armonicos zonales J 3 y J 4 y las nutaciones diurnas y subdiurnas relacionadas con los armonicos no zonales de grado 3 y 4. Posteriormente, evaluaremos los coeficientes de la nutacion debidos a la introduccion en los calculos de la variacion secular de la oblicuidad. Finalmente, se com- pararàn los principales términos con los recientes resultados de [Souchay &: Kinoshita 1997], [Bretagnon et al. 1997], [Folgueira et al. 1997a] y [Folgueira et al. 1997b]. 5.2 Términos de la nutacion relacionados con el arménien zonal J3. Evaluaremos en esta seccion los términos de Poisson y los términos Oppolzer relacionados con el armonico zonal J 3 . Estos ultimos términos, que no han sido considerados en los ültimos trabajos en los que se utiliza la formulacion Hamiltoniana, son mas pequenos que los corres­ pondientes términos de Poisson y deberan anadirse en las tablas finales de la nutacion de la Tierra rigida. 5.2.1 Nutacion del piano perpendicular al eje m om ento angular. Las tablas 5.1 y 5.2 m uestran los términos de Poisson relacionados con el armonico zonal J 3 obtenidos a partir de las expresiones (4.6.59) hasta (4.6.63). 147 148 Capitulo 5. Resultados numéricos de la nutacion lunisolar en longitud y en oblicuidad Tabla 5.1: Coeficientes de Im 9 M 9S PERlO DO (di'as) COEFICIENTE (tias) 1 0 0 0 27.21222 -7.380 2 -1 0 0 13.69116 -0.610 0 1 0 0 2190.35011 -32.262 2 1 -2 0 14.66643 -0.123 0 1 1 -2 0 -188.20135 -1.491 1 0 1 -2 0 32.28078 -0.138 1 0 0 0 0 27.32158 15.910 2 -1 0 0 0 13.71879 1.313 0 1 0 0 0 3231.49565 103.810 2 1 0 -2 0 14.69814 0.333 0 -1 0 2 0 193.55971 2.706 3 0 0 -2 0 9.58520 0.118 3 -2 0 0 0 9.15882 0.090 -1 0 2 0 0 -27.10373 -0.178 3 0 -2 0 0 9.08286 0.058 -1 0 0 2 0 -32.12822 -0.159 0 -1 2 0 0 -1656.61157 -0.572 1 0 1 0 0 27.43183 -2.959 3 0 0 0 9.09501 0.957 4 -1 0 0 6.83798 0.198 2 -1 1 0 0 13.74653 -0.241 2 1 0 0 13.57612 -0.085 0 1 1 0 0 6159.13567 -35.967 2 1 1 -2 0 14.72998 -0.074 1 0 2 0 23.68321 -0.066 0 -1 1 2 0 199.23213 -0.336 0 3 0 0 929.83772 -0.065 3 0 0 0 0 9.10719 2.557 4 -1 0 0 0 6.84486 0.526 2 1 0 0 0 13.60328 -0.223 4 1 0 -2 0 7.08025 0.104 5 0 0 -2 0 5.63286 0.058 1 2 0 0 0 26.86727 -0.208 0 3 0 0 0 1077.16522 -0.927 Tabla 5.2: Coeficientes de Agg^V. 9 m ^ M h 9S PERlODO (dîas) COEFICIENTE {(xas) 1 0 0 0 0 27.32158 13.608 2 -1 0 0 0 13.71879 1.123 0 1 0 0 0 3231.49565 88.788 2 1 0 -2 0 14.69814 0.285 0 -1 0 2 0 193.55971 2.315 3 0 0 -2 0 9.58520 0.101 3 -2 0 0 0 9.15882 0.077 -1 0 2 0 0 -27.10373 -0.152 3 0 -2 0 0 9.08286 0.050 -1 0 0 2 0 -32.12822 -0.136 0 -1 2 0 0 -1656.61157 -0.489 1 0 1 0 0 27.43183 -1.416 3 0 -1 0 0 9.09501 0.458 5.2. Términos de la nutacion relacionados con el armonico zonal J 3 . 149 Tabla 5.2: Continuacion. w 9M 9S PERlODO (dias) COEFICIENTE (/ma) 4 -1 -1 0 0 6.83798 0.095 2 -1 1 0 0 13.74653 -0.115 0 1 1 0 0 6159.13567 -17.211 0 -1 1 2 0 199.23213 -0.161 3 0 0 0 0 9.10719 1.109 4 -1 0 0 0 6.84486 0.228 2 1 0 0 0 13.60328 -0.097 1 2 0 0 0 26.86727 -0.090 0 3 0 0 0 1077.16522 -0.402 5.2.2 N utacion del ecuador de figura. Las tablas 5.3 y 5.4 m uestran los términos Oppolzer correspondientes al ecuador de figura, obtenidos a partir de las expresiones (4.6.65) y (4.6.66) del Capitulo precedente, que estan por encima del limite de precision considerado actualm ente en todos los desarrollos teoricos sobre el estudio de la nutacion de la T ierra rigida (0.1 pas). Tabla 5.3: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura ( ŝen”/ ) 9M ^Af I s 9 s PERlODO (dias) COEFICIENTE (fias) 1 0 0 0 0 27.32158 1.267 2 -1 0 0 0 13.71879 0.213 0 1 0 0 0 3231.49565 0.068 2 1 0 -2 0 14.69814 0.050 1 0 1 0 0 27.43183 -0.134 3 0 -1 0 0 9.09501 0.139 3 0 0 0 0 9.10719 0.338 4 -1 0 0 0 6.84486 0.096 Tabla 5.4: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura A 3 o^^(Jcosg)f. 9M 9S PERlODO (dîas) COEFICIENTE (/ios) 1 0 0 0 0 27.32158 -0.504 2 -1 0 0 0 13.71879 -0.084 1 0 1 0 0 27.43183 0.053 3 0 -1 0 0 9.09501 -0.054 3 0 0 0 0 9.10719 -0.135 150 Capitulo 5. Resultados numéricos de la nutacion lunisolar en longitud y en oblicuidad 5.3 Coeficientes de la nutacion debidos a la influencia de los armonicos no zonales de grado 3. Los términos de la nutacion relacionados con los armonicos C sm y S sm han sido calculados recientemente por [Bretagnon e t al. 1997] y [Folgueira e t al. 1997a]. Bretagnon e t al. han cal­ culado esta contribucion utilizando las ecuaciones clàsicas de Euler y las teorias semianahticas del movimiento de la Luna y del Sol del B u r e a u d e s L o n g i t u d e s . Folgueira e t al. han obtenido estos términos con la ayuda de las ecuaciones canonicas de Hamilton y siguiendo el proce- dimiento desarrollado por [Kinoshita 1977] y [Kinoshita & Souchay 1990a]. Estos términos se pueden clasificar en très categorias atendiendo a su perfodo: los términos diurnos, originados a partir de C 3 1 y S 3 1 , los términos semidiurnos que provienen de C 3 2 y S 3 2 y finalmente los términos terciodiurnos, originados a partir de C 3 3 y S 3 3 . En las siguientes secciones recalculâmes estos términos utilizando los desarrollos de las funciones de Legendre de grado 3 obtenidas en el Capitulo 3. 5.3.1 Términos diurnos. N utacion del piano perpendicular al eje m om ento angular. Las tablas 5.5 y 5.6 muestran los términos correspondientes a la nutacion del piano perpen­ dicular al eje momento angular debidos a los armonicos C 3 1 y S 3 1 y obtenidos a partir de las expresiones (4.6.77) y (4.6.78). Tabla 5.5: Coeficientes de / + 5 9 m ^ M / s 9 S PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (/ma) COEFICIENTE - cos - (/ifls) 1 -1 0 1 0 0 1.03521 0.142 0 1 1 0 -1 0 0 0.96201 -0.132 0 1 -1 0 0 0 0 1.03505 2.504 0.308 1 -2 1 0 0 0 1.07545 0.428 0.053 1 0 -1 0 0 0 0.99758 0.133 0 1 -2 -1 0 2 0 1.06986 0.101 0 1 0 1 0 -2 0 1.00243 0.058 0 1 -3 0 0 2 0 1.11308 0.058 0 1 1 0 0 0 0 0.96215 -1.143 -0.141 1 2 -1 0 0 0 0.92969 -0.182 0 1 0 1 0 0 0 0.99696 -0.066 0 1 -1 0 -1 0 0 1.03489 0.151 0 1 -3 0 1 0 0 1.12009 -0.159 0 1 1 0 1 0 0 0.96229 0.062 0 1 3 0 -1 0 0 0.89872 -0.057 0 1 -3 0 0 0 0 1.11990 -1.253 -0.154 1 -4 1 0 0 0 1.16735 -0.357 0 1 -2 -1 0 0 0 1.07616 0.070 0 1 -4 -1 0 2 0 1.16077 -0.067 0 1 -5 0 0 2 0 1.21182 -0.050 0 1 3 0 0 0 0 0.89884 -0.092 0 5.3. Coeficientes de la nutacion debidos a la influencia de los armonicos no zonales de grado 3. 151 Tabla 5.6: Coeficientes de ̂ + 5 Im 9M h M 9S PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (/xas) COEFICIENTE - cos - (/tas) 1 -1 0 1 0 0 1.03521 0 0.133 1 1 0 -1 0 0 0.96201 0 -0.123 1 -1 0 0 0 0 1.03505 0 0.080 1 1 0 0 0 0 0.96215 0.078 -0.637 1 2 -1 0 0 0 0.92969 0 -0.101 1 -1 0 -1 0 0 1.03489 0 -0.137 1 -3 0 1 0 0 1.12009 0 0.145 1 -3 0 0 0 0 1.11990 -0.087 0.707 1 -4 1 0 0 0 1.16735 0 0.201 1 3 0 0 0 0 0.89884 0 -0.046 N utacion del ecuador de figura. Los términos Oppolzer del eje de figura debidos a la influencia de los armonicos no zonales de grado 3 y orden 1 se encuentran en las tablas 5.7 a 5.10. Como se puede observar las amplitudes de las componentes de la nutacion del piano perpendicular al eje momento angular son mas pequenas que las correspondientes a los términos Oppolzer. Tabla 5.7: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura Agj’̂ ^ i + 9 9M h’M h 9S PERlODO (dîasj COEFICIENTE - sen - (/tas) COEFICIENTE - cos - (/tas) 1 -1 0 1 0 0 1.03521 5.091 0.626 1 -2 1 1 0 0 1.07562 0.439 0.054 1 0 -1 1 0 0 0.99772 2.960 0.364 1 -2 -1 1 2 0 1.07003 0.088 0 1 0 -1 2 0 0.99201 2.932 0.360 1 -1 0 2 0 1.02906 0.094 0 1 1 0 0 0 0.96201 6.089 0.748 1 2 -1 0 0 0.92956 0.480 0.059 1 0 1 0 0 0.99682 -3.917 -0.481 1 2 1 -2 0 0.93378 0.097 0 1 0 1 1 -2 0 1.00258 0.693 0.085 1 1 0 1 -2 0 0.96738 0.116 0 1 -1 0 0 0 0 1.03505 32.399 3.982 1 -2 1 0 0 0 1.07545 2.789 0.343 1 0 -1 0 0 0 0.99758 19.845 2.439 1 -2 -1 0 2 0 1.06986 0.706 0.086 1 0 1 0 -2 0 1.00243 3.672 0.451 1 -3 0 0 2 0 1.11308 0.255 0 1 -3 2 0 0 0 1.11913 0.195 0 1 1 0 -2 0 0 0.96188 -0.433 -0.053 152 Capitulo 5. Resultados numéricos de la nutacion lunisolar en longitud y en oblicuidad Tabla 5.7: Continuacion. ̂+ 9 9 m ^ M h 9 s PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (/tas) COEFICIENTE - cos - (fias) 1 -3 0 2 0 0 1.12027 0.125 0 1 1 0 0 -2 0 0.96725 -0.394 -0.048 2 0 -2 0 1.04028 0.087 0 0 0 -1 1 1.03799 -0.057 0 0 0 1 -1 1.03213 0.066 0 -2 0 2 0 1.02987 0.047 0 1 1 -2 0 0 0 0.96272 -0.046 0 1 0 1 -2 0 0 0.99667 0.286 0 1 0 -1 -2 2 0 0.99187 -0.222 0 1 0 -1 0 1 -1 0.99486 0.158 0 1 1 0 0 0 0 0.96215 38.783 4.767 1 2 -1 0 0 0 0.92969 3.052 0.375 1 0 1 0 0 0 0.99696 -23.976 -2.947 1 2 1 0 -2 0 0.93390 0.777 0.096 1 0 -1 0 2 0 0.99216 16.471 2.024 1 3 0 0 -2 0 0.90329 0.271 0 1 3 -2 0 0 0 0.89934 0.206 0 1 -1 0 2 0 0 1.03537 -0.362 0 1 3 0 -2 0 0 0.89861 0.133 0 0 0 2 0 1.02922 -0.319 0 1 1 -2 0 2 0 0.95767 0.102 0 1 1 0 0 1 -1 0.95962 -0.067 0 1 1 0 0 -1 1 0.96469 0.079 0 1 1 2 0 -2 0 0.96667 0.056 0 1 0 -1 2 0 0 0.99787 -0.198 0 1 0 1 2 -2 0 1.00273 -0.056 0 1 0 0 0 1 0 0.99455 0.437 0.054 1 0 1 0 1 -1 0.99423 0.571 0.070 1 0 -1 0 1 1 0.99486 -0.092 0 1 -1 0 0 0 1.03489 -1.685 -0.207 1 -3 0 1 0 0 1.12009 0.577 0.071 1 -4 1 1 0 0 1.16755 0.120 0 1 -2 1 0 0 1.07528 -0.143 0 1 -2 -1 1 0 0 1.07633 -0.051 0 1 0 -1 0 0 0.99743 -1.052 0 1 0 1 -2 0 1.00229 -0.126 0 1 1 0 1 0 0 0.96229 -2.019 -0.248 1 3 0 0 0 0.89872 0.612 0.075 1 4 -1 0 0 0.87034 0.126 0 1 2 -1 1 0 0 0.92981 -0.157 0 1 2 1 0 0 0.92903 -0.055 0 1 0 1 1 0 0 0.99711 1.161 0.143 1 2 1 1 -2 0 0.93403 -0.049 0 1 0 -1 1 2 0 0.99230 -0.602 -0.074 1 -3 0 0 0 0 1.11990 0.931 0.114 1 -4 1 0 0 0 1.16735 0.193 0 1 -2 -1 0 0 0 1.07616 -0.080 0 1 -1 -2 0 0 0 1.03571 -0.071 0 1 0 -3 0 0 0 0.99819 -0.076 0 1 3 0 0 0 0 0.89884 0.989 0.121 1 4 -1 0 0 0 0.87045 0.201 0 1 2 1 0 0 0 0.92915 -0.087 0 1 1 2 0 0 0 0.96158 -0.085 0 1 0 3 0 0 0 0.99635 0.137 0 5.3. Coeficientes de la nutacion debidos a la infiuencia de los armonicos no zonales de grado 3. 153 Tabla 5.8: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura ( ^slT/ ) 1 + 9 W 9M h 9 s PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (nas) COEFICIENTE - cos - (fias) 1 -1 0 0 0 0 1.03505 -0.572 -0.070 1 -2 1 0 0 0 1.07545 -0.095 0 1 1 0 0 0 0 0.96215 -0.051 0 1 -1 0 -1 0 0 1.03489 -0.108 0 1 -3 0 1 0 0 1.12009 0.109 0 1 -3 0 0 0 0 1.11990 0.644 0.079 1 -4 1 0 0 0 1.16735 0.180 0 Tabla 5.9: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura cos g)/. ( + 9 9 M h 9 s PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (nas) COEFICIENTE - cos - (fias) 1 -1 0 1 0 0 1.03521 0.249 -2.025 1 -2 1 1 0 0 1.07562 0 -0.175 1 0 -1 1 0 0 0.99772 0.145 -1.177 1 0 -1 2 0 0.99201 0.143 -1.166 1 1 0 0 0 0.96201 0.298 -2.423 1 2 -1 0 0 0.92956 0 -0.190 1 0 1 0 0 0.99682 -0.192 1.558 1 0 1 1 -2 0 1.00258 0 -0.276 1 1 0 1 -2 0 0.96738 0 -0.047 1 -1 0 0 0 0 1.03505 1.584 - 12.888 1 -2 1 0 0 0 1.07545 0.136 -1.110 1 0 -1 0 0 0 0.99758 0.970 -7.894 1 -2 -1 0 2 0 1.06986 0 -0.281 1 0 1 0 -2 0 1.00243 0.180 -1.461 1 -3 0 0 2 0 1.11308 0 -0.101 1 -3 2 0 0 0 1.11913 0 -0.077 1 1 0 -2 0 0 0.96188 0 0.172 1 -3 0 2 0 0 1.12027 0 -0.050 1 1 0 0 -2 0 0.96725 0 0.157 1 0 1 -2 0 0 0.99667 0 -0.114 1 0 -1 -2 2 0 0.99187 0 -0.088 1 1 0 0 0 0 0.96215 1.896 -15.427 1 2 -1 0 0 0 0.92969 0.149 -1.214 1 0 1 0 0 0 0.99696 -1.172 9.537 1 2 1 0 -2 0 0.93390 0 -0.309 1 0 -1 0 2 0 0.99216 0.805 -6.552 1 3 0 0 -2 0 0.90329 0 -0.108 1 3 -2 0 0 0 0.89934 0 -0.082 1 -1 0 2 0 0 1.03537 0 0.144 1 3 0 -2 0 0 0.89861 0 -0.053 1 -1 0 0 2 0 1.02922 0 0.127 1 0 -1 2 0 0 0.99787 0 0.078 1 0 0 0 1 0 0.99455 0 -0.174 1 0 1 0 1 -1 0.99425 0 -0.227 1 -1 0 -1 0 0 1.03489 0.082 0.670 154 Capitulo 5. Resultados numéricos de la nutacion lunisolar en longitud y en obltuidad Tabla 5.9: Continuacion. ̂+ 5 9M 9 s PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (fias) COEFICIENTE - cos - (fias) 1 -3 0 1 0 0 1.12009 0 -0.229 1 -4 1 1 0 0 1.16755 0 -0.048 1 -2 1 0 0 1.07528 0 0.057 1 0 -1 0 0 0.99743 -0.051 0.419 1 0 1 -2 0 1.00229 0 0.051 1 1 0 1 0 0 0.96229 0.099 0.803 1 3 0 0 0 0.89872 0 -0.243 1 4 -1 0 0 0.87034 0 -0.051 1 2 -1 1 0 0 0.92981 0 0.062 1 0 1 1 0 0 0.99711 0.057 -0.463 1 0 -1 1 2 0 0.99230 0 0.239 1 -3 0 0 0 0 1.11990 0.046 -0.370 1 -4 1 0 0 0 1.16735 0 -0.076 1 3 0 0 0 0 0.89884 0.048 -0.393 1 4 -1 0 0 0 0.87045 0 -0.080 Tabla 5.10: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura J cos 1 + 9 9M Is 9S PERlODO (d la^ COEFICIENTE - sen - (fias) COEFICIENTE - cos - (/tas) 1 -1 0 0 0 0 1.03505 0 -0.227 1 -3 0 0 0 0 1.11990 0 0.256 1 -4 1 0 0 0 1.16735 0 0.071 Nutacion del piano perpendicular al eje de rotaciôn. Las componentes de la nutacion del piano perpendicular al eje de rotaciôn relacionadas con los armonicos C3 1 y S 3 1 se obtienen m ultiplicande los términos Oppolzer del eje de igura, (4.6.86) y (4.6.87), por el factor 1 — ^ ^ = 0.0032845. Tabla 5.11: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de rotaciôn ( ŝen”/ ) ̂+ 5 9 m f^M h 9S PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (fias) COEFICIENTE - cos - (fias) 1 -1 0 0 0 0 1.03505 0.106 0 1 0 -1 0 0 0 0.99758 0.065 0 1 1 0 0 0 0 0.96215 0.127 0 1 0 1 0 0 0 0.99696 -0.079 0 1 0 -1 0 2 0 0.99216 0.054 0 5.3. Coeficientes de la nutacion debidos a la influencia de los armonicos no zonales de grado 3. 155 Tabla 5.12; Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de rotacion cos^r), 1 + 9 9 m ^ M 9 s PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (fias) COEFICIENTE - cos - (fias) 1 1 0 0 0 0 0.96215 0 0.051 5.3.2 Térm inos semidiurnos. N utacion del piano perpendicular al eje m om ento angular. Las tablas 5.13 y 5.14 m uestran los términos correspondientes a la nutacion del piano per­ pendicular al eje momento angular debidos a los armonicos C3 2 y S 3 2 y obtenidos a partir de las expresiones (4.6.77) y (4.6.78). Tabla 5.13: Coeficientes de ̂+ 5 ^M 9 M f>-M ^s 9 s PERlODO (dîasy COEFICIENTE - sen - (/tas) COEFICIENTE - cos - (/tas) 2 -1 0 0 0 0 0.50790 -0.157 -0.229 2 1 0 0 0 0 0.48970 -0.067 -0.097 2 -1 0 -1 0 0 0.50787 0 0.061 2 -3 0 1 0 0 0.52756 0 -0.062 2 -3 0 0 0 0 0.52752 0.236 0.344 2 -4 1 0 0 0 0.53781 0.066 0.096 Tabla 5.14: Coeficientes de Agg'^V. i + 9 9 m ^ M 9 S PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (/tas) COEFICIENTE - cos - (/tas) 2 -1 0 0 0 0 0.50790 -0.161 0.110 2 1 0 0 0 0 0.48970 -0.049 0 2 -3 0 0 0 0 0.52752 -0.253 0.173 2 -4 1 0 0 0 0.53781 -0.071 0.049 156 Capitula 5. Resultados numéricos de la nutacion lunisolar en longitud y en oblicuidad N utacion del ecuador de figura. Los términos Oppolzer del eje de figura debidos a la influencia de los armonicos C3 2 y S 3 2 se encuentran en las tablas 5.15 a 5.18. Tabla 5.15: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura ( ̂ sen/ ) 1 + 9 9 M h 9 s PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (fias) COEFICIENTE - cos - (fias) 2 -1 0 1 0 0 0.50794 -0.059 -0.086 2 1 0 -1 0 0 0.48966 0.055 0.080 2 -1 0 0 0 0 0.50790 0.398 0.580 2 -2 1 0 0 0 0.51744 0.068 0.099 2 1 0 0 0 0 0.48970 0.135 0.197 2 -1 0 -1 0 0 0.50787 -0.051 -0.075 2 -3 0 1 0 0 0.52756 0.054 0.079 2 -3 0 0 0 0 0.52752 0.138 0.201 2 -4 1 0 0 0 0.53781 0 0.058 Tabla 5.16: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura Agg'^̂ ( ŝenY ) 1 + 9 9 m f^M ^s 9 s PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (/ma) COEFICIENTE - cos - (/tas) 2 -3 0 0 0 0 0.52752 -0.196 -0.286 2 -4 1 0 0 0 0.53781 -0.054 -0.079 Tabla 5.17: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura Ag2 ’̂ ^(Jcosg)f. 1 + 9 ^M 9 M ^ M ^s 9 s PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (/tas) COEFICIENTE - cos - (/tas) 2 -1 0 0 0 0 0.50790 0.231 -0.158 2 1 0 0 0 0 0.48970 0.078 -0.054 2 -3 0 0 0 0 0.52752 0.080 -0.055 5.3. Coeficientes de la nutacion debidos a la infiuencia de los armonicos no zonales de grado 3. 157 Tabla 5.18; Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura Ag2 '̂ (̂ J cos g)f 1 + 9 W 9M h M h 9S PERlODO (di'fis) COEFICIENTE - sen - (fiaa) COEFICIENTE - cos - (fias) 2 -3 0 0 0 0 0.52752 0.114 -0.078 5.3.3 Términos terciodiurnos. Nutacion del piano perpendicular al eje m om ento angular. Las tablas 5.19 y 5.20 m uestran los términos correspondientes a la nutacion del piano perpen­ dicular al eje momento angular debidos a los armonicos C3 3 y S 3 3 , obtenidos a partir de las expresiones (4.6.77) y (4.6.78). Tabla 5.19: Coeficientes de A ^ ’̂ ^h. 1 4- g 9M I s 9 s PERlODO (dias) COEFICIENTE - sen - (fias) COEFICIENTE - cos - (fias) 3 -1 0 0 0 0 0.33652 0.104 0.205 3 -3 0 0 0 0 0.34502 -0.116 -0.228 Tabla 5.20: Coeficientes de Agg^V. f 4-a 9M ^s 9S PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (fias) COEFICIENTE - cos - (fias) 3 -1 0 0 0 0 0.33652 -0.097 0.049 3 -3 0 0 0 0 0.34502 0.108 -0.055 Nutacion del ecuador de figura. Los términos Oppolzer del eje de figura debidos a la influencia de los armonicos C 3 3 y S33 se encuentran en las tablas siguientes. 158 Capitulo 5. Resultados numéricos de la nutacion lunisolar en longitud y en oblicuidad Tabla 5.21: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura 1 + 9 9 M ht4 9 s PERlODO (di'as) COEFICIENTE - sen - (fias) COEFICIENTE - cos - (fias) 3 -1 0 0 0 0 0.33652 -0.158 -0.310 3 -2 1 0 0 0 0.34068 0 -0.052 3 -1 0 -1 0 0 0.33650 0 -0.059 3 -3 0 1 0 0 0.34503 0 0.059 3 -3 0 0 0 0 0.34502 0.178 0.349 3 -4 1 0 0 0 0.34939 0.049 0.097 Tabla 5.22: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura Agg^^( J cos g)f / + 9 9 M ^s 9 S PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - [fiaa) COEFICIENTE - cos - (/tas) 3 -1 0 0 0 0 0.33652 -0.123 0.062 3 -3 0 0 0 0 0.34502 0.139 -0.071 5.4 Términos de la nutacion relacionados con el armonico zonal J4. 5.4.1 Nutacion del piano perpendicular al eje mom ento angular. Las tablas 5.23 y 5.24 m uestran las componentes de la nutacion del piano normal al eje momento angular relacionadas con el armonico zonal de grado 4, J 4 . Estos términos se obtienen a partir de las expresiones (4.6.68) a (4.6.72). Tabla 5.23: Coeficientes de A%'°^A. W 9 m f^M h 9 s PERlO DO (dîas) COEFICIENTE (/tas) 1 -1 0 0 0 27.55455 0.082 0 0 1 0 0 -6798.38366 -5.225 2 0 0 0 0 13.66079 0.128 0 0 2 0 0 -3399.19183 -0.532 0 2 0 0 0 1615.74782 -0.150 0 2 1 0 0 2119.47626 -0.049 5.5. Términos de la nutacion relacionados con los armonicos no zonales C u y S.4 1 - 159 Tabla 5.24: Coeficientes de 9M f^M h 9 s PERlODO (dîas) COEFICIENTE (fias) 0 0 1 0 0 -6798.38366 6.727 2 0 0 0 0 13.66079 0.072 0 0 2 0 0 -3399.19183 -0.298 0 2 0 0 0 1615.74782 -0.084 5.5 Términos de la nutacion relacionados con los armoni­ cos no zonales C41 y S41. [Bretagnon et al. 1997] y [Folgueira et al. 1997b] han estudiado la influencia de todos los armonicos no zonales de grado 4: C4 m y 5 '4 m (m =l,2,3,4). Solamente para m = l existen com­ ponentes mayores a 0.1 pas, por lo que para m > 2 los términos son despreciables. Las tablas 5.25 y 5.26 m uestran los términos de la nutacion correspondientes a los armonicos G4 1 y S' 4 1 obtenidos a partir de Icis expresiones (4.6.91) y (4.6.92). Tabla 5.25: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura ( ^senV) • ̂ -H 9 9 m 9S PERlODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (fias) COEFICIENTE - cos - (fias) 1 0 0 0 0 0 0.99727 -1.323 1.100 1 0 0 -1 0 0 0.99712 0.527 -0.438 1 0 0 1 0 0 0.99742 0.482 -0.400 1 -2 0 0 0 0 1.07581 -0.057 0.047 1 2 0 0 0 0 0.92942 0.062 -0.052 Tabla 5.26: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura A 4 j’°^(J cosg)f 1 + 9 Im 9M t s 9 s PERiODO (dîas) COEFICIENTE - sen - (/tas) COEFICIENTE - CCS - (fias) 1 0 0 0 . 0 0 0.99727 -0.438 -0.527 1 0 0 -1 0 0 0.99712 0.174 0.209 1 0 0 1 0 0 0.99742 0.160 0.192 160 Capi'tulo 5. Resultados numéricos de la nutaciôn lunisolar en longitud y en oblicuidad 5.6 Contribucion solar. Las tablas 5.27, 5.28 y 5.29 m uestran los coeficientes de la nutaciôn solar correspondientes al armonico zonal J 3 y a los armonicos zonales C31 y S 3 1 . La influencia de los otros armonicos es despreciable [Folgueira et al. 1997a]. Tabla 5.27: Coeficientes de y P arte solar. 9 m g s I PERÎODO (dîas) | LONGITUD I OBLICUIDAD (fias) 0 0 365.24219 -0.259 0.221 Tabla 5.28: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura ( "̂sen”/ ) • solar. 1 -t- 9 w 9 M 9 S PERÎODO (dias) COEFICIENTE (/ias) 1 0 0 0 -1 0 1.00000 -0.263 1 0 0 0 1 0 0.99455 2.908 Tabla 5.29: Coeficientes de los términos Oppolzer del eje de figura cos g)j. Parte solar. i + 9 9 M h-M h 9 s PERÎODO (dfas) COEFICIENTE (^las) 1 0 0 0 -1 0 1.00000 0.105 1 0 0 0 1 0 0.99455 -1.157 5.7 Coeficientes numéricos de la nutaciôn correspondien- tes a los términos Ag\h , I ) . 5.7.1 Nutaciôn del piano perpendicular al eje m om ento angular. Las tablas 5.30 y 5.31 m uestran los coeficientes numéricos de la nutaciôn del piano perpen­ dicular al eje momento angular que provienen de introducir la variacion secular de la oblicuidad en los càlculos. 5.7. Coeficientes numéricos de la nutaciôn correspondientes a los términos 161 Tabla 5.30: Coeficientes de la nutaciôn en longitud del eje momento angular debidos a la introduccion de la variacion secular de / en los càlculos. 9 M h-M I s 55 PERlODO (dias) COEFICIENTE - cos - (pas) COEFICIENTE - T sen - (pas) 1 -1 0 0 0 27.55455 9.463 1 1 0 -2 0 31.81194 1.864 2 0 0 -2 0 14.76529 1.182 2 -2 0 0 0 13.77727 1.036 2 0 -2 0 0 13.60611 -3.386 0 2 0 -2 0 -205.89221 0.133 3 -1 -2 0 0 9.10846 0.072 3 -1 0 -2 0 9.61372 0.064 3 -3 0 0 0 9.18485 0.651 0 0 2 -2 0 -173.31004 -0.101 2 2 0 -4 0 15.90597 -0.061 4 0 -2 -2 0 7.08101 -1.018 2 -2 -2 2 0 12.76270 0.099 1 3 0 -4 0 37.62535 0.181 0 0 1 0 0 -6798.38366 -5.753 1914.988 2 0 0 0 13.63340 3.846 3 -1 0 0 9.12068 0.496 -1 1 1 0 0 -27.44332 0.644 1 -1 1 0 0 27.66669 -0.646 1 1 1 -2 0 31.96150 -0.281 3 1 -2 0 9.54344 0.081 1 1 0 0 26.98498 -0.221 0 0 2 0 177.84378 -1.240 -1 -1 1 2 0 -31.66378 0.141 2 0 1 -2 0 14.79743 0.060 1 -1 2 0 23.85806 0.082 0 2 0 0 1305.47920 -2.245 0 2 1 -2 0 -199.83997 0.109 0 0 1 1 -1 385.99833 0.207 0 0 1 -1 1 -346.63579 0.186 2 0 0 0 0 13.66079 -366.875 3 -1 0 0 0 9.13293 -47.026 3 1 0 -2 0 9.55685 -9.699 1 1 0 0 0 27.09252 20.650 4 0 0 -2 0 7.09579 -4.371 4 -4 0 0 0 6.88864 -2.499 0 2 0 0 0 1615.74782 0.374 530.897 1 -1 0 2 0 23.94208 -4.891 2 0 0 1 -1 13.16829 1.326 2 0 0 -1 1 14.19156 -1.429 5 -1 0 -2 0 5.64270 -0.494 0 0 2 0 0 -3399.19183 -0.276 186.514 4 0 -2 0 0 6.81670 -0.356 5 -3 0 0 0 5.49218 -0.285 2 2 0 -2 0 14.63159 0.757 -1 1 0 2 0 -32.45086 -1.169 -1 3 0 0 0 -28.03261 -0.745 2 -2 0 2 0 12.81080 -0.278 3 -1 0 1 -1 8.91014 0.172 3 -1 0 -1 1 9.36715 -0.181 3 0 0 -1 0 9.34009 0.159 5 -1 -2 0 0 5.46477 -0.878 5 1 0 -4 0 5.80170 -0.081 4 2 0 -4 0 7.34907 -0.099 1 3 0 -2 0 31.19770 0.405 3 1 -2 0 0 9.05740 0.070 0 -2 0 4 0 96.77985 0.545 -1 -1 0 4 0 -38.52241 -0.186 -1 1 2 0 0 -27.33298 0.120 1 -1 2 0 0 27.77974 -0.122 162 Capi'tulo 5. Resultados numéricos de la nutaciôn lunisolar en longitud y en oblicuidad Tabla 5.30; Continuacion. w 9m ^ M 9S PERÎODO (dîas) COEFICIENTE - cos - (pas) COEFICIENTE - T sen - (pas) 0 0 0 2 0 182.62109 0.621 1 1 0 -1 1 29.26306 0.083 1 1 0 1 -1 25.22174 -0.072 1 -1 0 1 1 25.62152 -0.063 1 -1 0 3 -1 22.46926 0.055 1 0 0 1 0 25.42006 -0.059 1 1 2 -2 0 32.11247 -0.067 0 2 0 -1 1 -471.94965 -0.581 0 2 0 1 -1 297.91279 -0.366 0 1 0 1 0 328.15251 -0.398 0 4 0 -2 0 -235.96026 -0.203 0 0 0 1 1 365.22475 -0.266 0 0 0 3 -1 121.74933 0.088 0 1 0 0 1 3230.13064 -0.901 0 0 2 1 -1 409.23379 0.084 0 0 2 -1 1 -329.81899 0.068 0 0 0 1 -1 365.25964 0.678 0 0 0 2 0 182.62109 -0.183 -2301.874 0 0 0 1 1 365.22475 38.614 0 0 0 3 -1 121.74933 -89.709 0 0 0 4 -2 91.31273 -1.445 0 0 0 -1 3 -365.29453 -0.129 0 0 0 5 -3 73.05053 -0.050 Tabla 5.31: Coeficientes de la nutaciôn en oblicuidad del eje momento angular debidos a la introduccion de la variacion secular de / en los càlculos. W 9M 9S PERÎODO (di'as) COEFICIENTE - sen - (pas) COEFICIENTE - T cos - (pas) 0 0 1 0 0 -6798.38366 11.506 3883.976 2 0 0 0 13.63340 7.693 3 -1 0 0 9.12068 0.991 -1 1 1 0 0 -27.44332 1.287 1 -1 1 0 0 27.66669 -1.291 1 1 1 -2 0 31.96150 -0.562 3 1 -2 0 9.54344 0.162 1 1 0 0 26.98498 -0.442 0 0 2 0 177.84378 -2.479 4 -2 0 0 6.85248 0.076 4 0 -2 0 7.08839 0.071 -1 -1 1 2 0 -31.66378 0.281 2 0 1 -2 0 14.79743 0.116 1 -1 2 0 23.85806 0.164 0 2 0 0 1305.47920 -4.491 0 2 1 -2 0 -199.83997 0.218 0 0 1 1 -1 385.99833 0.413 0 0 1 -1 1 -346.63579 0.371 2 -2 1 0 0 13.80525 -0.074 5.7. Coeficientes numéricos de la nutaciôn correspondientes a los términos A f^(/i,/). 163 Tabla 5.31: Continuacion. 9M I s 9S PERÎODO (dias) COEFICIENTE - sen - (pas) COEFICIENTE - T cos - (pas) 2 0 0 0 0 13.66079 91.719 3 -1 0 0 0 9.13293 11.757 3 1 0 -2 0 9.55685 2.425 1 1 0 0 0 27.09252 -5.163 4 0 0 -2 0 7.09579 1.093 4 -4 0 0 0 6.88864 0.625 0 2 0 0 0 1615.74782 0.093 -132.724 1 -1 0 2 0 23.94208 1.223 2 0 0 1 -1 13.16829 -0.332 2 0 0 -1 1 14.19156 0.357 5 -1 0 -2 0 5.64270 0.124 0 0 2 0 0 -3399.19183 -0.069 -46.629 4 0 -2 0 0 6.81670 0.089 5 -3 0 0 0 5.49218 0.071 2 2 0 -2 0 14.63159 -0.189 -1 1 0 2 0 -32.45086 0.292 -1 3 0 0 0 -28.03261 0.186 2 -2 0 2 0 12.81080 0.069 1 3 0 -2 0 31.19770 -0.101 0 -2 0 4 0 96.77985 -0.137 0 0 0 2 0 182.62109 -0.155 0 2 0 -1 1 -471.94965 0.145 0 2 0 1 -1 297.91279 0.092 0 1 0 1 0 328.15251 0.099 0 4 0 -2 0 -235.96026 0.051 0 0 0 1 1 365.22475 0.066 0 1 0 0 1 3230.13064 0.225 0 0 0 2 0 182.62109 -0.046 575.469 0 0 0 1 1 365.22475 -9.653 0 0 0 3 -1 121.74933 22.427 0 0 0 4 -2 91.31273 0.367 5.7.2 Nutaciôn del ecuador de figura. Las tablas 5.32 y 5.33 m uestran los coeficientes numéricos de la nutaciôn del ecuador de figura relacionados con la introduccion de la variacion secular de la oblicuidad en los càlculos. Tabla 5.32: Términos Oppolzer de la nutaciôn en longitud del eje de figura debidos a la intro­ duccion de la variacion secular de / en los càlculos. 9m f^M h 9S PERIODO (dias) COEFICIENTE - T sen - (pas) 0 0 1 0 0 -6798.38366 -0.331 2 0 -1 0 0 13.63340 0.416 164 Capi'tulo 5. Resultados numéricos de la nutaciôn lunisolar en longitud y en oblicuidad Tabla 5.32: Continuacion. w 9M h 9S PERlODO (dias) COEFICIENTE - T sen - (pas) 3 -1 -1 0 0 9.12068 0.089 2 0 0 0 0 13.66079 -8.891 3 -1 0 0 0 9.13293 -1.760 3 1 0 -2 0 9.55685 -0.346 1 1 0 0 0 27.09252 0.245 4 0 0 -2 0 7.09579 -0.217 4 -4 0 0 0 6.88864 -0.129 0 2 0 0 0 1615.74782 0.103 1 -1 0 2 0 23.94208 -0.066 0 0 0 2 0 182.62109 -3.953 0 0 0 3 -1 121.74933 -0.231 Tabla 5.33: Términos Oppolzer de la nutaciôn en oblicuidad del eje de figura debidos a la introduccion de la variacion secular de I en los càlculos. 9M h 9S PERIODO (dîas) COEFICIENTE - T cos - (pas) 1 -1 0 0 0 27.55455 -0.413 1 1 0 -2 0 31.81194 -0.118 2 0 0 -2 0 14.76529 -0.050 0 0 1 0 0 -6798.38366 0.483 2 0 -1 0 0 13.63340 -0.489 3 -1 -1 0 0 9.12068 -0.096 2 0 0 0 0 13.66079 2.743 3 -1 0 0 0 9.13293 0.552 3 1 0 -2 0 9.55685 0.108 1 1 0 0 0 27.09252 -0.075 4 0 0 -2 0 7.09579 0.069 0 0 0 0 0 -0.058 0 0 0 2 0 182.62109 1.175 0 0 0 3 -1 121.74933 0.069 5.8 Comparaciones y conclusiones. Las tablas 5.34, 5.35, 5.36 y 5.37 m uestran las comparaciones entre los principales coefi­ cientes de la nutaciôn de una Tierra rfgida debidos a los armonicos zonales y no zonales de grado 3 y 4, obtenidos por [Souchay & Kinoshita 1997], [Bretagnon et al. 1997], [Folgueira et al. 1997a,b] y los calculados en este trabajo. Se observa que la diferencia absoluta entre los coeficientes no excede del microsegundo de arco, en la mayoria de los casos. Esto puede considerarse como una buena prueba de la validez de nuestros càlculos, pues el método utilizado es bastante diferente al de Bretagnon [Bretagnon 1997b, Bretagnon et al. 1997] y aunque es el mismo que el elaborado por Kinoshita & Souchay (1990), los desarrollos correspondientes a la energfa potencial lunisolar son distintos. 5.8. Comparaciones y conclusiones. 165 Tabla 5.34: Los principales términos de la nutaciôn en longitud y oblicuidad de la Tierra rfgida (en pas) que provienen de J 3 , comparados con Souchay & Kinoshita (1997) [SK]. w 9M h 9S PERÎODO (diM) [SK] A h (sen) A I (cos) AQUÏ A h (sen) A I (cos) [SK] A h (sen) - AQUI A I (cos) 0 1 0 0 0 3231.49565 104.5 89.1 103.81 88.79 0.7 0.3 0 1 1 0 0 6159.13567 -36.0 -17.6 -35.97 -17.21 0.0 -0.4 0 1 -1 0 0 2190.35011 -32.8 — -32.26 — -0.5 — 1 0 0 0 0 27.32158 16.2 13.8 15.91 13.61 0.3 -0.4 1 0 -1 0 0 27.21222 -7.4 — -7.38 — 0.0 — Tabla 5.35: Los principales términos de la nutaciôn en longitud y oblicuidad de la Tierra rfgida (en pas) que provienen de J 4 , comparados con Souchay & Kinoshita (1997) [SK]. 9 m h M 9 s PERÎODO (di£is) [SK] A h (sen) A I (cos) AQUI A h (sen) A I (cos) [SK] A h (sen) - AQUÏ A I (cos) 0 0 1 0 0 -6798.38366 0.73 6.83 -5.23 6.73 5.9 0.1 2 0 0 0 0 13.66079 0.13 0.07 0.13 0.07 0.0 0.0 0 0 2 0 0 -3399.19183 -0.61 -0.34 0.53 -0.30 -1.1 0.0 Tabla 5.36: Los principales términos de la nutaciôn en longitud de la Tierra rfgida que provienen de C s m y S s m (en pas)^ comparados con Bretagnon et al. (1997) [BRS] y Folgueira et al. (1997) [FSK]. 1 + 9 w 9M ^ M ^s 9 s PERÎODO (dΣis) [BRS] A h j (sen) A h f (cos) [FSK] A h f (sen) A h f (cos) AQUÏ A h f (sen) A h f (cos) [FSK] A h f (sen) - AQUI A h f (cos) 1 1 0 0 0 0 0.96215 38.13 4.70 38.23 4.70 38.23 4.71 0.0 0.0 1 -1 0 0 0 0 1.03505 34.82 4.27 35.40 4.35 31.48 3.87 3.9 0.5 1 0 1 0 0 0 0.99696 -23.93 -2.99 -24.14 -2.96 -23.99 -2.95 -0.1 -0.1 1 0 -1 0 0 0 0.99758 19.85 2.49 19.94 2.45 19.84 2.44 0.1 0.1 1 1 0 -1 0 0 0.96201 6.01 0.74 6.05 0.74 5.88 0.74 0.2 0.0 1 -1 0 1 0 0 1.03521 5.34 0.66 5.31 0.65 5.18 0.62 0.1 0.1 1 0 1 -1 0 0 0.99682 -4.02 -0.50 -4.03 -0.49 -3.92 -0.48 -0.1 -0.1 166 Capitula 5. Resultados numéricos de la nutaciôn lunisolar en longitud y en oblicuidad Tabla 5.37: Los principales términos de la nutaciôn en oblicuidad de la T ierra rfgida que provienen de Csm y •S'â (en pas), comparados con Bretagnon et al. (1997) [BRS] y Folgueira et al. (1997) [FSK]. 1 + 9 9 m ^ M 9 s PERlODO (dias) [BRS] A 4 (sen) A 4 (cos) [FSK] A 4 (sen) A 4 (cos) AQUI A 4 (sen) A 4 (cos) [FSK] A / / (sen) - AQUI A // (cos) 1 -1 0 0 0 0 1.03505 1.64 -13.37 1.58 -12.91 1.57 -12.58 0.1 -0.3 1 0 -1 0 0 0 0.99758 0.99 -7.87 0.97 -7.91 0.97 -7.89 0.0 0.0 1 1 0 0 0 0 0.96215 1.86 -15.12 1.86 -15.11 1.95 -15.87 -0.1 -0.9 1 0 1 0 0 0 0.99696 -1.19 9.52 -1.16 9.46 -1.17 9.54 0.1 0.0 1 -1 0 1 0 0 1.03521 0.26 -2.15 0.26 -2.17 0.25 -1.87 0.0 -0.3 1 1 0 -1 0 0 0.96201 0.29 -2.37 0.29 -2.35 0.29 -2.51 0.0 0.1 1 0 1 -1 0 0 0.99682 -0.20 1.60 -0.20 1.60 -0.19 1.56 0.0 0.0 Apéndice 1 Las siguientes tablas m uestran los valores numéricos de las constantes mas im portantes que aparecen a lo largo de la Memoria, con su respectivo origen [Lieske et al. 1977], [Bursa 1992], [Seidelmann 1992]. CONSTANTE VALOR UNIDADES ORiGEN J 2 1.08262607 x 10“ ^ - GEM-T3 J 3 -2 .53251607 x 10“ ® - GEM-T3 J i -1 .61856360 X 10-® - GEM-T3 C31 2.19018166 X 10-® - GEM-T3 531 0.26918523 X 10-® - GEM-T3 C 3 2 0.30893556 X 10-® - GEM-T3 532 -0 .21158167 X 10-® - GEM-T3 C33 0.10044696 X 10-® - GEM-T3 S 3 3 0.19715677 X 10-® - GEM-T3 C41 -0 .508637 X 10-® - GEM-T3 541 -0 .449140 X 10-® - GEM-T3 T31 -0.122292 rad - T32 0.600501 rad - T33 -1.099595 rad - T4I 2.264553 rad - 167 168 Apéndice 1 CONSTANTE VALOR UNIDADES O RiGEN 7546.819838 " /sig lo - 3475.258549 "/sig lo - -0.292654 "/sig lo - -0.000347 "/sig lo - -0.003101 "/sig lo - 0.254999 "/sig lo - 0.000302 "/sig lo - 0.043270 "/sig lo - 0.025570 "/sig lo - 0.001300 "/sig lo - n s 129597742.26 rad,100 anos [Bretagnon 1982] 1732559343.18 rad,100 anos [Chapront-Touzé & Chapront 1983] rig + nj 2301216.529 rad,1000 anos - a 6378.1363 km lERS Standards 1992 “ M 384747.980674 km [Seidebneinn 1992] a s 149598028 km [Seidelmann 1992] Cm 0.05490 - [Seidelmann 1992] C5 0.016708617 - [Seidelmarm 1992] t 0.0898041 rad [Seidelmann 1992] Apéndice 2 El uso del M APLE V en el câlculo de los coeficientes de la nutaciôn Todos los resultados numéricos recopilados en las Tablas de los Capitulos 2, 3 y 5 de esta Memoria se ban obtenido utilizando MAPLE V 3-4. A modo de ejemplo, comentaremos uno de los programas realizados: nu0h3001 en el que se calculan los términos Oppolzer en longitud relacionados con el armonico zonal J 3 . # # TÉRMINOS OPPOLZER: ( w / ^ ) # # Matriz A 3 := Tabla 3.1 # Matriz B 3:= Tabla 3.2 # Matriz C 3:= Tabla 3.3 # Matriz D 3 := Tabla 3.4 # with(linalg): = matrix(62,7,[ 1, 0, -1, 0, 0. -13254.5, 27.21222 ...........]): = matrix(192,7,[ 1, 0. 0, 0. 0, -146057.7, 27 .32158 ........... ]): = matrix(280,7,[ 1, G, 1, G, G, -66545.2, 27 .43183........... ]): A3 B3 C3 D 3:= matrix(38G,7,[ 3, G, G, G, G, 1448166.6, 9.1G719, ........]): # Movimientos medics de las variales que forman el argumente %, IM1:=83997.G9113: gM l:=71G .17686: hM l:=-337.57G45: IS1:=6283.31966: gSl:=G.3GGll: 169 170 Aféndice 2 # Valor constante de la oblicuidad de la ech'ptica:= In P l:=3.14159265: ln:=-23 .43929111*P I/180: # nu0h 3001r:= Fichero de resultados writeto(nu0h3001r); # Constantes que intervienen en la formula (4 .6 .65) k J 3 0 := -(2 .9265388 /3 )*10: kJ3:=kJ30/(s in(ln )): # Ngl:= rig ni = velocidad de rotacion de la Tierra Ngl:=2301216.5: N g:=1.0032737634*N gl: # Coeficientes A f/ para e = 1 MiO:= - (3 /4 )* ( s in ( ln ) )* ( - l + 5 * (cos(ln )) " 2): Mil Mi2 Mi3 = - (1 /8 )* ( 1 + c o s ( ln ) )* ( - l - 10*cos(ln) -f 15*(cos(ln)) * 2): = ( l / 8 ) * ( s in ( ln ) ) * ( l + c o s ( ln ) ) * ( l - 3*cos(ln)): = ( l /1 6 )* ( ( s in ( ln ) )" 2 )*(1 + cos(ln)): # Coeficientes M / para e = —1 miO:= (3 /4 )* ( s in ( ln ) )* ( - l + 5*(cos( ln )) " 2): m il mi2 mi3 = - ( 1 /8 )* ( 1 - c o s ( ln ) )* ( - l + 10*cos(ln) + 15*(cos(ln)) " 2): = - ( l / 8 ) * ( s i n ( l n ) ) * ( l - c o s ( ln ) ) * ( l + 3*cos(ln)): = ( l /1 6 )* ( ( s in ( ln ) )" 2 )*(1 - cos(ln)): n 0 := v ecto r( [IM l,g M l,h M l,IS l ,g S l ,0 ,0 ]) : # Calcules con la matriz A3 (e = 1) NI0:=multiply(A3,n0): N gll0:=vector(62 ,l): Nglll:=scalarmul(NgllO,Ng): N l l := matadd(Nglll,NIC,1,-1): NI2:=i if N ll[i]()0 then 1 /N ll[ i] elif N ll[ i]= 0 then 9999999999999' fi: NI3:=vector(62,NI2): Apéndice 2 171 A3I0 A3I1 A3I2 =co l(A 3 ,6): =scalarmul(A3IO,MiO): =scalarm ul(A 3ll,kJ3): f := (i j ) if i=j then A3l2[i] elif i()j then 0 fi: A 3l3:=m atrix(62,62,f): COEFA3:=multiply(A3l3,NI3): # Calcules con la matriz A3 (e = —1) nil nl2 nl3 =matadd(Ngll l ,NIO,l ,l ): = i if nll[i](>0 then l /n l l [ i ] elif n ll[ i]= 0 then ’9999999999999' fi: =vector(62,n l2): a3ll:=scalarmul(A3IO,miO): a3l2:=scalarmul(a3ll,kJ3): ff:=(i,j) —> if i=j then a3l2[i] elif i()j then 0 fi: a3l3:=m atrix(62,62,ff): coefA3:=multiply(a3l3,nl3); # Calcules con la matriz B3 (e = 1) NJ0:=multiply(B3,n0): N glJ0:=vector(192 ,l): NglJl:=scalarmul(NglJO,Ng): N J1:= m atadd(N glJ l,N JO ,l,- l) : NJ2:=i -> if NJl[i]()0 then l /N J l [ i ] elif N J l[ i ]= 0 then 9999999999999' fi: N J3:=vector(192,NJ2): B3IO:=col(B3.6): B3ll:=scalarmul(B3IO,M il): B3l2:=scalarm ul(B3ll,kJ3): g := ( i j ) if i=j then B3l2[i] elif i()j then 0 fi: B3l3:=m atrix(192,192,g): COEFB3:=multiply(B3l3,NJ3): # Calcules con la matriz B3 (e = —1) nJl nJ2 nJ3 = m a ta d d (N g lJ l ,N J O ,l , l ) : = i if nJl[i]()0 then l /n J l [ i ] elif n J l[ i ]= 0 then 9999999999999' fi: =vector(192,nJ2): b3ll:=scalarmul(B3IO,mil): b3l2:=scalarm ul(b3ll,kJ3): 6 g ‘= ( 'J ) —̂ if i=j then b3l2[i] elif i()j then 0 fi: b3l3:=m atrix(192,192,gg): 172 Apéndice 2 coefB3:=multiply(b3l3,nJ3); # Calcules con la matriz C3 (e = 1) NK0:=multiply(C3,n0): N glK 0:=vector(280 ,l); NglKl:=scalarmul(NglKO,Ng): N K l:= m a ta d d (N g lK l,N K 0 .1 ,- l ) : NK2:=i - , if NKl[i](>0 then l /N K l[ i ] elif N K l[i]= 0 then ’9999999999999’ fi: NK 3:=vector(280,NK 2): C3IO:=col(C3,6): C3ll:=scalarmul(C3IO,Mi2): C3l2:=scalarmul(C3ll,kJ3): k:=(i,j) —, if i=j then C3l2[i] elif i()j then 0 fi: C3l3:=m atrix(280,280,k): COEFC3:=multiply(C3l3.NK3); # Calcules con la matriz C3 {e = —1) nK l nK2 nK3 c3 l l c3l2 = m a ta d d (N g lK l,N K O ,l , l ) : = i -H. if nKl[i]()0 then l /n K l[ i ] elif n K l[ i]=0 then ’9999999999999’ fi: =vector(280,nK 2): =scalarmul(C3IO,mi2): =scalarm ul(c3ll,kJ3): kk:=(i j ) —, if i=j then c3l2[i] elif i()j then 0 fi: c3l3:=matrix(280,280,kk): coefC3:=multiply(c3l3,nK3); # Calcules con la matriz D3 {e = 1) NS0:=multiply(D3,n0): N glS0:=vector(380 ,l): NglSl:=scalarmul(NglSO,Ng): N S l:= m a ta d d (N g lS l ,N S O ,l , - l ) : N S2:=i -> if NSl[i]()0 then l /N S l [ i ] elif N S l[ i ]= 0 then ’9999999999999’ fi: N S3:=vector(380,N S2): D3I0 D3I1 D3I2 =co l(D 3 ,6): =scalarmul(D3IO,Mi3): =scalarm ul(D3ll,kJ3): s := ( i ,j ) —, if i=j then D3l2[i] elif i()j then 0 fi: D 3l3:=m atrix(380,380,s): C OEFD3:=multiply(D3l3.NS3): Apéndice 2 173 # Càlculos con la matriz D3 (e = —1 ) n Sl nS2 nS3 = m a ta d d (N g lS l ,N S O ,l , l ) : = i - , if nSl[i]()0 then l /n S l [ i ] elif n S l[ i]= 0 then ’9999999999999’ fi: = vector(380 ,nS2): d3ll:=scalarmul(D3IO,mi3): d3l2:=scalarm ul(d3ll,kJ3): ss := ( i ,j ) —, if i=j then d3l2[i] elif i()j then 0 fi: d3l3:=m atrix(380,380,ss): coefD3:=m ultiply(d3l3,nS3); writeto(terminal); Los resultados obtenidos COEFA3, coefA3, COEFB3, coefB3, COEFC3, coefC3, COEFD3 y coefD 3 apareceràn en forma de vector. La Tabla 5.3 m uestra los términos Oppol­ zer en longitud mayores a 0 . 1 pas. 174 Apéndice 2 Conclusiones En la présenté Memoria se ha revisado la teon'a de la Rotacion de una Tierra rfgida que es uno de los problemas abiertos mas interesantes y actuales en Astronomfa y Geodesia. Los nuevos avances introducidos y desarrollados en este trabajo han mejorado las teorfas mas re- cientes en los siguientes puntos: 1 . Se ha obtenido un desarrollo de la energfa potencial gravitatoria debida al Sol y a la Luna en funcion de un grupo de cinco variables formado por las très variables modihcadas de Delaunay, la longitud media del Sol y la longitud del perigeo solar. Para ello, se han expresado los polinomios y las funciones asociadas de Legendre del movimiento perturbado de la Luna en funcion de las correspondientes al movimiento no perturbado, obteniéndose algunas relaciones de recurrencia (Capftulo 2 ). 2. Las cinco variables consideradas en la descripcion del movimiento de la Luna per­ turbado por el Sol se han m antenido a lo largo de todo este trabajo, a diferencia de otros trabajos en los que se utiliza también la formulacion Hamiltoniana. Ademàs, estas variables se pueden aplicar al estudio de todos los efectos que deben tenerse en cuenta en la teorfa de la rotacion de una Tierra rfgida. De esta forma hemos homegeneizado el problema considerado. 3. las variables modihcadas de Delaunay que hemos utilizado present an las siguientes vent a j as: (a) Son variables canonicas. Esta caracterfstica es im portante para el estudio de los efectos de interaccion mencionados en la introduccion de esta Memoria. (b) Estàn mejor dehnidas, para el caso de excentricidades e inclinaciones pequehas, que las variables de Delaunay. (c) Tienen un claro signihcado geométrico y cinemàtico. (d) Conducen a expresiones no mas complicadas que las obtenidas por Kinoshita (1977) y Kinoshita & Souchay (1990). 175 176 Conclusiones 4. La siguiente tab la m uestra el numéro de términos considerados en cada desarrollo de Qm ,5 n + l { P n o (s e n /3m ,s ) , -Pnm(sen /3m ,s ) {cos, s e n } mÀrn,s} n m Desarrollo debido a Nûm. de términos 2 0 Luna 181 2 1 Luna 834 2 2 Luna 916 2 0 Sol 6 2 2 Sol 13 3 0 Luna 62 3 1 Luna 192 3 2 Luna 280 3 3 Luna 380 3 1 Sol 8 3 3 Sol 11 4 0 Luna 27 4 1 Luna 68 4 2 Luna 121 4 3 Luna 172 4 4 Luna 260 5. Se ha extendido el desarrollo de Kinoshita & Souchay (1990) de la parte de la energfa potencial gravitatoria correspondiente al armonico zonal J 3 . Con esta extension se han calculado los términos Oppolzer del eje de figura, obteniéndose 8 nuevos términos en longitud y 5 en oblicuidad, por encima de 0.1 pas. Las figuras A y B m uestran la evolucion temporal (50 anos desde el 1 de Enero de 1998) de estos términos, en longitud y en oblicuidad. 6 . Se ha estudiado, desde el punto de vista Hamiltoniano, el efecto sobre la nutaciôn que se produce al introducir la variacion secular de la oblicuidad en nuestros càlculos, obteniéndose 87 términos de la nutaciôn en longitud y 54 en oblicuidad, por encima del orden de precision considerado en las teorfas actuales de la nutaciôn de la Tierra rfgida. Las figuras C, D, E y F m uestran la evolucion temporal (50 anos desde el 1 de Enero de 1998) de estos términos, en longitud y en oblicuidad. 7. Hemos obtenido, con nuestras nuevas variables, los términos de la nutaciôn que provienen de los armonicos Csm, Ssm (m = 1,2,3) y Cm y ^ 4 1 . También hemos hecho una comparacion entre nuestros principales términos y los obtenidos con otros desarrollos y teorfas, resultando diferencias en am plitud muy Conclusiones 177 pequehas que no exceden de 1 pas, en la mayoria de los casos, lo que prueba la validez de las modernas teorfas de la nutaciôn de la Tierra rfgida de los diversos autores y en especial de la desarrollada en esta Memoria, La principal razon por la que los términos relacionados con los armonicos no zonales de grado 3 y 4 han estado ausentes, hasta ahora, de las teorfas de nutaciôn es que estos términos estàn solamente relacionados con las nutaciones diurnas y subdiurnas, que no estàn incluidas en la teorfa general de la lAU (1980) pues esta teorfa està referida al Polo Celeste de Efemérides (CEP), es decir un polo correspondiente al eje de figura medio, libre de movimientos diurnos y subdiurnos con respecto al sistema fijo a la T ierra y fijo al espacio [Moritz & Mueller 1987]. Tenemos que distiguir entre este CEP denominado "realised” y el CEP "astrométri- co”, défini do por la posicion instantànea verdadera del eje de figura en el espacio. La diferencia entre estos dos polos es lo que se llama "Celestial Pole Offset", medido a partir de las observaciones VLBI. En la actualidad, la VLBI proporciona estas diferencias con una resolucion temporal muy corta, hasta 15 minutos [Bolotin et al. 1997]. Sin embargo, algunos procesos geoffsicos, principalmente los debidos a los océanos y a la atmosfera, de perfodo diurno y subdiurno y relacionados con la diferencia entre los dos CEP, no estàn todavfa bien modelados [Dehant et al. 1997b]. Por lo tanto, con el fin de estudiar estos fenomenos y validar los modelos es necesario corregir las observaciones para las nutaciones en las bandas de frecuencia diurnas y subdiurnas. Por estas razones, y teniendo en cuenta el orden de precision alcanzado con las observaciones, se hace necesario incluir las contribuciones diurnas y subdiurnas en la teorfas de nutaciôn [Roosbeek 1997]. El estudio de modelos deformables està fuera del contenido de esta Memoria, pero ahora, con las ait as precisiones alcanzadas aquf, se està en disposicion de acometerlo con precision, pudiéndose contrastar los resultados con los que se obtienen por VLBI. Esta Ifnea de investigacion la recomendamos vivamente. 178 Conclusiones 2 00 0 ' ' 4 00 0 ' ' 6 000 ' ' 8 0 00 ' ' I'odoo ' ’ 12(ioO 14600 16(10 0 I'scJoO DIAS JULIANOS Figura A: Evolucion tem poral de los términos Oppolzer en longitud del eje de figura debidos al armonico J 3. Las unidades de las amplitudes estàn en p a s. Conclusiones 179 ; 2o'od 4000 6 00 0 8 000 ' ' l'odoo 12 60 0 14 60 0 ' 16600 18(1 DIAS JULIANOS Figura B: Evolucion tem poral de los términos Oppolzer en oblicuidad del eje de figura debidos al armonico J 3 . Las unidades de las amplitudes estàn en pas. 180 Conclusiones 2 00 0 ' ' 4 00 0 ' ' 6 000 80 00 ' I'ocJoO ' ' 12 60 0 148 0 0 ' 1660 0 18 80 0 DIAS JULIANOS Figura C: Evolucion tem poral de los términos de Poisson en longitud debidos a la introduccion de la variacion secular en nuestros càlculos. Las unidades de las am plitudes estàn en pas. Conclusiones 181 2 0 0 - - 1 0 0 - - - 1 0 0 - - - 2 0 0 - - 1 2 6 0 0 ' ' 1 4 8 0 62 0 0 0 4000 6000 8 0 0 0 l o b o o DIAS JULIANOS 16 00 Figura D: Evolucion tem poral de los términos de Poisson en oblicuidad debidos a la introduccion de la variacion secular en nuestros càlculos. Las unidades de las am plitudes estàn en /las. 182 Conclusiones 2000 4000 6000 8 0 0 0 l o d o o DIAS JULIANOS Figura E: Evolucion tem poral de los términos Oppolzer del eje de figura en longitud debidos a la introduccion de la variacion secular en nuestros càlculos. Las unidades de las amplitudes estàn en f i a s . Conclusiones 183 2000 4000 6000 8 0 0 0 10 6 0 0 12 ci 0 0 ' 14 ci 0 0 ' 16cioO 18(ic)0 DIAS JULIANOS Figura F: Evolucion tem poral de los términos Oppolzer del eje de figura en oblicuidad debidos a la introduccion de la variacion secular en nuestros càlculos. Las unidades de las amplitudes estàn en f i a s . 184 Conclusiones Bibliografia [Abbott 1984] A bbott D. (Ed.): 1984, ‘Astronomers. The biographical dictionary of scientist’. Blond Educational. [Andoyer 1923] Andoyer H.: 1923, ‘Cours de Mechanique Celeste’. Vol. 1 , Gauthier-Villars, Pan's. [Aoki & K akuta 1971] Aoki S. and K akuta C.: 1971, ‘The excess secular change in the obli­ quity of the ecliptic and its relation to the internal motion of the E arth ’. Celest. Mech. 4, pp. 171-181. [Aoki et al. 1981] Aoki S., Guinot B., Kaplan G.H., Kinoshita H., M cCarthy D.D. and Seidel- m ann P.K.: 1981, ‘The new definition of universal tim e’. Astron. Astrophys. 105, pp. 359-361. 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