FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS DOBLE GRADO EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA Pablo Manzano Crespo MATEMÁTICAS Y CINE Trabajo de Fin de Grado del doble grado de Matemáticas y F́ısica. Parte de Matemáticas. Curso 2019 - 2020 Tutora: Gloria Cabrera Gómez (Dpto. Análisis Matematico y Matemática Aplicada) Madrid, 25 de Junio de 2020 Índice 1. Introducción 1 2. Ramas Matemáticas 3 2.1. Geometŕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2. Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3. Análisis Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4. Matemática aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5. Probabilidad y Estad́ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. Matemáticos ilustres 22 4. Conclusiones 24 ii Resumen Mathematics is present in movies almost since the beginning of the film industry, making this industry a really useful tool for its dissemination. We can find a broad list of examples of mathematics concepts, theorems and propositions explained in movies, covering all mathematical fields and all levels from primary school to advanced mathematics. With scientific rigour, the film industry is also a valid tool for teaching as many professors have already proved. This rigour is highly important since some movies have mathematical mistakes or misconceptions, but, keeping these scientific standards, this tool provides the desired educational results. 1. Introducción El cine -acortación de cinematógrafo- es la técnica, arte e industria de la cinematograf́ıa, que es la cap- tación y proyección sobre una pantalla de imágenes fotográficas en movimiento. Las matemáticas aparecen constantemente en el cine, bien por protagonistas que son matemáticos, escenas con contenidos matemáti- cos o peĺıculas que tienen una clara estructura matemática. Este trabajo pretende exponer la idea del cine como herramienta para la divulgación y docencia de las matemáticas, centrando el estudio principalmente en largometrajes en los que se desarrollan conceptos matemáticos, aśı como la vida de matemáticos ilustres con sus respectivas aportaciones. El origen del cine es atribuido a los hermanos Lumière cuando en 1895 proyectaron públicamente por primera vez una serie de fotogramas, aunque ya desde 1890 se empiezan a registrar las primeras patentes de sistemas de proyección de imágenes en movimiento, y la primera peĺıcula conocida data de 1893 [1]. En cuanto a las primeras referencias matemáticas en el cine, nos podemos remontar a 1919 con la peĺıcula ((El gabinete del doctor Caligari)) (Robert Wiene, 1919) en la que más que exponer conceptos matemáticos R. Wiene se ayuda de la geometŕıa para romper la estética y crear decorados exagerados de ĺıneas oblicuas, proporciones deformadas y encuadres inclinados que reflejan las obsesiones y los miedos. Lo mismo ocurre en ((Nosferatu)) (F.W. Murnau, 1922). Para encontrar referencias matemáticas tenemos que esperar a 1932, cuando en la peĺıcula-documental ((Las Hurdes. Tierra sin pan)) (Luis Buñuel, 1932) se incluyen referencias al aprendizaje de las matemáticas en la escuela; y en un largometraje en śı, en la misma década de los años 30: ((Sucedió una noche)) (Frank Capra, 1934) y ((El mago de Oz)) (Victor Fleming, 1939) en las que se hacen alusiones matemáticas sencillas en varias escenas. Surge entonces una pregunta fundamental para la motivación de este trabajo: ¿existen en el cine suficien- tes referencias matemáticas como para considerarlo una herramienta útil en la docencia y la divulgación? Efectivamente la respuesta es que śı, como demostraremos a lo largo de este trabajo. Además, podemos encontrar una variada bibliograf́ıa sobre distintos métodos didácticos que han sido previamente aplicados es- pecialmente en la educación primaria, secundaria y bachillerato por profesores como Alfonso J. Población [3] y José Ma Sorando [4], fundamentales en la documentación de este trabajo. Por poner un ejemplo concreto, la profesora de la Universidad de Valencia Elena Thibaut Tadeo apoya el tema de los números irracionales en el cuarto curso de la E.S.O. con la peĺıcula ((Pi, fé en el caos)) (Darren Aronofsky, 1998) [5], de la que más tarde hablaremos. Existen también trabajos de mayor profundidad teórica en el campo de la pedagoǵıa sobre el cine como recurso didáctico en la enseñanza [6], [7], pero no es el objetivo de este trabajo abordarlos pues quedan fuera del campo de las matemáticas. La siguiente cuestión importante para la fundamentación del trabajo concierne a la forma en que las peĺıculas tratan las matemáticas. Como comentamos anteriormente, algunas peĺıculas únicamente hacen sencillas alusiones matemáticas en alguna de sus escenas por lo que no tienen interés real para la divulga- ción. Se expondrán por tanto en este trabajo sólo las peĺıculas que aporten valor real en el objetivo propuesto. Son muchos autores los que en este sentido clasifican la aparición de las matemáticas en el cine en distintos bloques: que las matemáticas estén en el núcleo central de la trama, peĺıculas cuyo hilo conductor es la vida de un personaje matemático, peĺıculas que hacen referencia a cierta teoŕıa -siendo las más frecuentes la Teoŕıa del Caos, Teoŕıa de la Probabilidad o Teoŕıa de Números-, peĺıculas de dibujos animados, etc. [1], [8]. 1 Ya que éste es un trabajo centrado en las matemáticas, nuestra clasificación será por ramas matemáticas y será la descripción de cada peĺıcula y sus conceptos expuestos los que muestren la clasificación de la misma atendiendo al criterio previamente mencionado. Otro aspecto importante es distinguir las verdaderas matemáticas de otros campos como la numeroloǵıa y la apofenia -experiencia de ver patrones o conexiones en sucesos aleatorios-. Incluso en ocasiones son las cŕıticas de la prensa las que confunden los ĺımites de las matemáticas y fomentan el desconocimiento generali- zado en gran parte de la sociedad de los estudios matemáticos. Son varios los t́ıtulos que podemos mencionar en este aspecto como ((El número 23)) (Joel Schumacher, 2006), en la que el protagonista que interpreta Jim Carrey parece encontrar dicho número en todas partes; la española ((El aviso)) (Daniel Calpalsoro, 2018) de la que podemos recordar numerosos titulares de la prensa española como ”Las matemáticas no mienten” [9] o ”¿Pueden las matemáticas ser culpables de asesinato” [10], mientras que las únicas referencias matemáticas en la peĺıcula se limitan a una serie de 5 números que el protagonista relaciona con una serie de asesinatos. Sorprende que la anteriormente mencionada ((Pi, fe en el caos)) incurra en el tema de la numeroloǵıa, con un protagonista obsesionado con las cifras decimales del número π incluso como forma de hallar a Dios. Todo esto no quiere decir que no puedan utilizarse estas peĺıculas para la docencia, sino que el docente debe transmitir la diferencia en estos campos, como bien hace E. Thibaut [5]. Constituyen una buena fuente para mostrar la naturaleza de los estudios matemáticos y sus ĺımites. [11]. Además, que aparezcan matemáticas en una peĺıcula tampoco garantizan que éstas sean correctas. Algu- nos de los errores más frecuentes son el confundir los términos de posibilidad y probabilidad, errores garrafales en cálculos, y uno curioso y repetido: el representar el número π con varias cifras decimales erróneas. Llama la atención que este último lo encontramos en peĺıculas como ((Pi, fe en el caos)) y ((Donald en el Páıs de las Matemáticas)) (Hamilton Luske, 1959), que tienen las matemáticas como trama central de la peĺıcula. Como curiosidad, mayor cuidado tuvieron en la serie de televisión ((Los Simpsons)) (Matt Groening, 1989 - actualidad) en la que los guionistas llegaron a hacer una consulta a cient́ıficos de la NASA para calcular la cifra decimal en la posición 40.000, ya que el personaje Apu afirma conocer de memoria todas las cifras hasta esta posición, asegurando que la última es un 1. Efectivamente este dato es correcto. Y es que el número π es bastante recurrido en el cine al mencionar las matemáticas [12]. Tampoco es necesario hacer referencias matemáticas expĺıcitas para incurrir en incongruencias, como es el caso de todas las peĺıculas con seres anormalmente grandes o pequeños: ((Alicia en el páıs de las Maravillas)) en sus dos versiones (Clyde Geronimi, Wilfred Jackson Hamilton Luske, 1951; Tim Burton, 2010), ((La mosca)) en sus tres versiones (Kurt Neumann, 1958; David Cronenberg, 1986; Chris Wales, 1989), ((King Kong)) (Peter Jackson, 2005) también con dos versiones anteriores, ((Cariño, he encogido a los niños)) (Joe Johnston, 1989) y sus secuelas, etc. Todos estos seres son ”geométricamente imposibles”de acuerdo a la Ley cuadrado - cúbica, enunciada por primera vez por Galileo Galilei en 1638 del siguiente modo: Ley cuadrado - cúbica. Cuando un objeto crece sin cambiar de forma, su superficie aumenta como el cuadrado de una longitud caracteŕıstica del mismo (por ejemplo, su altura), en tanto que su volumen se incrementa como el cubo de dicha longitud. Por tanto, biológicamente no podŕıa existir ninguno de estos seres, ya que los aumentados en tamaño quebraŕıan sus huesos al tener que soportar una masa un orden de magnitud mayor, mientras que los de un tamaño disminuido tendŕıan mayor superficie corporal en relación a la masa siendo incapaces de mantener el calor corporal [13]. En la próxima sección analizaremos algunos conceptos matemáticos dentro del contexto de cada peĺıcula. Éstos no son todos los que podemos encontrar en el cine y, de hecho, es una pequeña selección dentro del listado completo. Han sido seleccionados atendiendo a dos criterios: que sean conceptos estudiados en el grado de matemáticas -o directamente relacionados con ellos- y que la peĺıcula describa o demuestre dicho concepto con criterio cient́ıfico-matemático. Posteriormente, en la sección 3 trataremos peĺıculas biográficas de matemáticos ilustres. El motivo de separar ambas secciones es que las peĺıculas de ésta última no siempre explican las aportaciones de los respectivos matemáticos con el mismo criterio que exigimos a las de la sección 2. Aun aśı no queŕıamos dejar de mencionarlas por su valor divulgativo. 2 2. Ramas Matemáticas 2.1. Geometŕıa La Geometŕıa es una de las ciencias más antiguas y es inabarcable en su totalidad en un trabajo de esta ı́ndole. Un buen punto de partida son los Elementos de Euclides: trece libros escritos en torno al año 300 a.C. que inauguran el método axiomático sobre el que se basan las matemáticas y otras ciencias [14]. Euclides recoge en él gran parte de las matemáticas griegas, y sienta las bases de la Geometŕıa Eucĺıdea. Los seis primeros libros tratan la geometŕıa del plano, para lo cual Euclides desarrolla proposiciones a par- tir de definiciones y axiomas (postulados y nociones), y es por ello por lo que muchos historiadores datan aqúı -junto con Eudoxo de Cnido y su lema de exhausción- el comienzo de las matemáticas tal y como las entendemos hoy en d́ıa. Son varias la peĺıculas que citan este tratado, como ((Lincoln)) (Steven Spielberg, 2012) y ((Ágora)) (Alejandro Amenábar, 2008) en las que el personaje principal emplea el primer axioma, ”cosas iguales a una misma cosa son iguales entre śı”, para fundamentar su argumento sobre la igualdad religiosa o de razas; o como ((Smila, misterio en la nieve)) en la que la protagonista, una cient́ıfica aman- te de las matemáticas, narra los postulados de Euclides a otro de los protagonistas. Sin embargo en estas peĺıculas únicamente se cita dicho contenido como adorno de la trama, sin mencionar la fundamental re- levancia de lo antes comentado: la instauración del método aximático como pilar de las matemáticas [14] [15]. Siguiendo con los Elementos de Euclides, en ((El hombre sin rostro)) (Mel Gibson, 1993) el profesor Mcleod, interpretado por el propio Mel Gibson, enuncia la proposición 47 de los Elementos por el cual se halla el centro de una circunferencia de la siguiente manera: ”Traza un ćırculo A, B, C. Traza una ĺınea recta entre A y B. Ahora bisecciona AB en D y traza una ĺınea recta DC que forme ángulos rectos con AB. Ahora traza otra ĺınea recta AC. Bisecciona AC... y ya tienes el centro del ćırculo.” Figura 1: Fotograma de la peĺıcula ((El hombre sin rostro)) en la que el porfesor McLeod enuncia el postulado 47 de los Elementos de Euclides En general podemos encontrar numerosas referencias a la Geometŕıa de la Edad Antigua en el cine. Un tema muy recurrente es el Teorema de Pitágoras que aparece en peĺıculas como ((El mago de Oz)) (Victor Fleming, 1939), ((Loco por el circo)) (Michael Kidd, 1958) y ((La clase)) (Laurent Cantet, 2008); aunque en ninguna de ellas se hace mención a alguna de todas las demostraciones existentes -una de tantas está recogida en los mencionados Elementos de Euclides- [16]. La peĺıcula española ((Leyenda de fuego)) (Roberto Láza- ro, 2001) explica el concepto del número aureo y cómo hallarlo geométricamente. En ((Ágora)) (Alejandro Amenábar, 2008) la protagonista Hypatia presenta de manera muy didáctica las carcacteŕısticas de la elipse: [1] 3 ”¿Qué sabemos del ćırculo? Sabemos que su centro equidista de cualquier punto de su peŕımetro. Śı, pe- ro... ¿Y si divido ese centro en dos y lo que mantengo constante es la suma de sus distancias al peŕımetro? Te lo demostraré. Mientras muevo esta vara por la cuerda, un segmento aumenta y el otro disminuye. Y viceversa. Por tanto la suma de ambos será constante. ¿Lo ves? ¿Y si aplicamos esto al movimiento de la Tierra? ¿Qué...figura... obtendremos? ¡Una elipse! Una elipse con el sol en uno de sus focos. Porque, ¿qué es el ćırculo sino una elipse muy especial cuyos focos están tan próximos que parecen uno solo? ” Figura 2: Fotograma de la peĺıcula ((Ágora)) en la que Hypatia esboza una elipse a partir de los focos y las cuerdas. El siguiente gran avance de la Geometŕıa se debe a René Descartes (1596 - 1650), quien en su obra ”La Géométrie” introduce la Geometŕıa Anaĺıtica con sus ordenadas anaĺıticas y la reducción del problema geométrico a ecuaciones algebraicas. Pese a que Pierre de Fermat (1601 - 1665) ya hab́ıa usado el concepto de las coordenadas cartesianas y que Descartes tampoco desarrolló esta nueva rama de la Geometŕıa, se sigue atribuyendo a él el origen de la misma. Es un avance de gran importancia, ya que la Geometŕıa Anaĺıtica es la base de otras ramas de la Geometŕıa a la orden del d́ıa en la investigación matemática como son la Geometŕıa Lineal y Af́ın, la Geometŕıa Diferencial o la Geometŕıa Algebraica [2] [14]. Un problema clásico de Geometŕıa Anaĺıtica lo encontramos en ((Muerte de un ciclista)) (Juan Antonio Bardem, 1955), curiosamente rodada en la Facultad de F́ısicas de la U.C.M. -por aquel entonces edificio de F́ısica y Matemáticas- [2]. En una de las escenas vemos cómo una alumna de matemáticas desarrolla un ejercicio de curvas mecánicas y sus envolventes. Observamos en la pizarra del aula las ecuaciones paramétricas de la cicloide y las gráficas de ésta, de la epicicloide y el astroide (evoluta de una elipse, como lo es la cicloide a la circunferencia), mientras la alumna explica: ”[...] queda sólo por demostrar que el contorno aparente del toro es igual a la envolvente de las cir- cunferencias. Si suponemos que el centro de la circunferencia describe una elipse de semiejes m y n, las ecuaciones paramétricas de esta elipse serán: a = m cosα ; b = n sinα . Para obtener la envolvente de esta familia de circunferencias, habrá que derivar 2(xa)(m sinα)+2(yb)(m cosα) = 0, y eliminando α entre estas ecuaciones, resulta la ecuación (1) de la envolvente de las circunferencias, cuyos centros describen la elipse (2), cuya proyección ortogonal sobre el plano z = 0 de la circunferencia base de la superficie canal. Es decir la toroide, con lo que queda demostrado. Por tanto el toro es la única superficie [...]” Veamos que efectivamente la alumna llevaba razón, [17]: 4 Figura 3: Fotograma de la peĺıcula ((Muerte de un ciclista)) en el que observamos las ecuaciones paramétricas de la cicloide y las gráficas de ésta y de la epicicloide. Demostración. Las ecuaciones paramétricas de cualquier evoluta vienen dadas por: α = x− y′(x′ 2 + y′ 2 ) x′y′′ − x′′y′ β = y + x′(x′ 2 + y′ 2 ) x′y′′ − x′′y′ E introduciendo la ecuación de la elipse obtenemos: α = ( a− b2 a ) cos3 t β = ( b− a2 b ) sin3 t Eliminando el parámetro t obteniendo aśı la ecuación del astroide:( α β ) 2 3 + ( β α ) 2 3 = ( a2 − b2 ab ) 2 3 Por último, dada una circunferencia de radio r1 y una familia de circunferencias de radio r2 con r2 < r1 y sus centros sobre la circunferencias mayor, tenemos que su envolvente son dos circunferencias de radio r1 + r2 y r1 − r2. Proyectando todo ello sobre un plano obtenemos la superficie toroidal mencionada. Tampoco es fácil encontrar muchas más referencias expĺıcitas a la Geometŕıa avanzada dentro del cine, aśı como śı lo es en otras ramas de las matemáticas como puede ser la F́ısica Matemática, la Teoŕıa de Juegos o la Lógica Matemática. Por último, merece mención otra de las ramas de la Geometŕıa estudiada en el grado de Matemáticas: la Geometŕıa Proyectiva, que a diferencia de la Anaĺıtica olvida el concepto de 5 medida para estudiar la perspectiva. El protagonista de ((Una pura formalidad)) (Guiseppe Tornatore, 1994) explica en uno de sus diálogos el concepto de punto del infinito [2]: ”Dos rectas paralelas jamás se unen. Sin embargo es posible imaginar la existencia de un punto tan lejano en el espacio, tan lejano, en el infinito, que pudiésemos creer y admitir que las dos rectas se unen en él. Aśı es. Llamaremos a ese punto, punto impropio” 2.2. Álgebra Manteniendo el enfoque histórico, debemos citar en esta sección a Al-Guarizmi (ca. 780 - ca. 850), matemático de la Casa de la Sabiduŕıa árabe considerado el padre del Álgebra por su obra ”Álgebra et Mucabala” (reintegración y comparación) en la que recoge la tradición babilónica del estudio de ecuaciones con la idea griega de la demostración matemática y con una notación sincopada como novedad. Llevan su nombre las palabras guarismo (signo gráfico que expresa un número) y algoritmo [14]. El Álgebra conocido por aquel entonces es lo que hoy en d́ıa conocemos por Álgebra Elemental. Existen incontables escenas en el cine con alusiones al Álgebra Elemental, t́ıpicamente un alumno resolviendo un problema -o un profesor explicándolo- en una clase de matemáticas de instituto. Pero estas alusiones suelen ser bastante pobres y en algunos casos hasta incorrectas [13]. Es por ello por lo que vamos a centrar esta sección en el Álgebra Abstracta, el estudio de las estructuras algebraicas. Veremos tres ejemplos: La permutaciones dentro de la Teoŕıa Elemental de Grupos. Algebra Homológica y Teoŕıa de Categoŕıas. El Lema de la Serpiente. Teoŕıa Elemental de Grupos Un grupo es un par (X, ∗) donde X es un conjunto no vaćıo y ∗ una operación interna sobre X que cumple la propiedad asociativa, además debe existir un elemento neutro y para cada elemento de X un elemento opuesto. Si ∗ cumple la propiedad conmutativa entonces el grupo es abeliano. Consideramos ahora el conjunto SX de biyecciones de X: SX = {f : X −→ X, f es una aplicación biyectiva} El conjunto SX junto con la composición de funciones, (SX , ◦), forma el grupo de permutaciones de X, pues efectivamente existe un elemento neutro que es la identidad, y al ser f biyectiva la función inversa f−1 es el elemento opuesto de f . Toda permutación se puede escribir de manera única como producto de ciclos, siendo éstos las permutaciones denotadas por (i1 i2 ... ir) que manda i1 a i2, i2 a i3, ..., ir−1 a ir, y ir a i1, dejando fijos el resto de elementos del conjunto [18]. Estos conceptos son lo primero que podemos encontrar en cualquier libro de Teoŕıa Elemental de Grupos, y están presentes en la peĺıcula ((Cube)) (Vincenzo Natali, 1997). En ella, seis desconocidos despiertan en unas habitaciones con forma cúbica conectadas entre śı y tratarán de salir resolviendo problemas matemáti- cos y de lógica. Resulta que las habitaciones están cifradas con unos números que indican sus coordenadas cartesianas dentro de la gran estructura, también con forma de cubo, y además cada cierto tiempo se mueven según una ley ćıclica. Deducen aśı que comparando los números de varias salas adyacentes pueden averiguar en qué fase de la permutación están y sólo quedaŕıa conocer la ley que rige dicha permutación, es decir, los distintos ciclos cuyo producto la componen. En la peĺıcula no llegan a descifrar esta ley, que śı está explicada por el matemático asesor de la peĺıcula, el profesor de la Universidad de East Carolina David W. Pravica [19]. 6 Álgebra Homológica y Teoŕıa de Categoŕıas La protagonista de ((Antonia)) (Marleen Gorris, 1995) es una profesora de universidad que en una de las escenas imparte una clase sobre Álgebra Homológica. Esta rama del álgebra nació a mediados del siglo XX a partir de la Teoŕıa de Módulos y la Teoŕıa de Categoŕıas, considerando especialmente los funtores. Veamos estos conceptos fundamentales: Definición. Módulo sobre un anillo R. Sea R un anillo, un grupo abeliano M se llama R-módulo si tiene definida una operación (r, x) 7−→ rx ∈ M de forma que, para todo r, s ∈ R y x, y ∈M se cumple: 1. r(x+ y) = rx+ ry 2. (r + s)x = rx+ sx 3. (rs)x = r(sx) Definición. Categoŕıa. Una categoŕıa, C, consiste en: 1. Una clase ob(C) de objetos (que podemos denotar A, B, C, etc.). 2. Para cada par ordenado (A,B), un conjunto, homC(A,B), de morfismos con dominio A y codominio B. 3. Para cada tŕıo de objetos (A,B,C), una aplicación (f, g) 7−→ gf del conjunto producto hom(A,B)× hom(B,C) en hom(A,C) Que satisfacen las condiciones: Si (A,B) 6= (C,D) entonces hom(A,B) y hom(C,D) deben ser disjuntos. Si f ∈ hom(A,B), d ∈ hom(B,C), h ∈ hom(C,D); entonces (hg)f = h(gf). (Condición de asociativi- dad). Para cada objeto A existe un único elemento unidad 1A ∈ hom(A,A) tal que f1A = f para todo f ∈ hom(A,B), y 1Ag = g para todo g ∈ hom(B,A). (Existencia de unidad). A partir de estos conceptos y otros conceptos derivados, se desarrolla el álgebra homológica, empezando por las nociones de complejo y homomorfismo entre complejos. Estas definiciones, que no desarro- llaremos para no extender demasiado la redacción, se pueden encontrar en cualquier tratado de Álgebra Homológica [21]. La clase que vemos en ((Antonia)) versa sobre el factor algebraico de conjuntos. Lema de la serpiente Este lema, perteneciente al Álgebra Homológica, se estudia en cursos de matemáticas avanzadas, y pa- ra exponerlo y entenderlo necesitamos conocer varios conceptos del álgebra como la Teoŕıa de Anillos, los módulos, los homomorfismos, etc. Como no es el objetivo de este trabajo centrarse en un sólo resultado, vamos a suponer estos conceptos por conocidos y enunciaremos el lema aśı como la idea de la demostración que aparece en la peĺıcula ((Ahora me toca a mı́)) (Claudia Weil, 1980). Enunciado Sea R un anillo conmutativo y consideremos los R-módulos A1, A2, A3 y B1, B2, B3 tales que el siguiente diagrama conmuta: 7 Entonces, existe un homomorfismo de R-módulos δ : Ker f3 −→ Coker f1, llamado homomorfismo de conexión tales que, para las aplicaciones inducidas, la siguiente sucesión es exacta: Una sucesión de morfismos de R-módulos es exacta si la imagen de cada morfismo es igual al núcleo del morfismo consecutivo. La demostración completa y exhaustiva de este lema es bastante extensa y la podemos encontrar en las notas del investigador postdoctoral del ICMAT Ángel González - Prieto [20]. En la peĺıcula mencionada, de nuevo la protagonista es una profesora de universidad, y en una de sus clase comenta la demostración del teorema: [...] Considerando que tenemos un elemento del núcleo de f3, es decir, un elemento en A3 tal que f3 lo conduce a cero en B3. Se vuelve a A2 mediante el mapa ε, que es sobreyectiva [...] hasta un elemento de la imagen de µ, ¿de acuerdo? Entonces volvemos a un A2 fijo. Tomando f2 de A2 llegamos a cero en B3 por la conmutatividad del diagrama. Está por tanto en el núcleo del mapa ε′, y por tanto en la imagen del mapa µ′, por la exactitud de la cadena inferior [...] luego podemos retroceder a un elemento de B1 y vemos que resulta ser un módulo bien definido de la imagen de f1. Por lo tanto define un elemento en el co-kernel de f1. Ésta es la serpiente. Figura 4: Fotograma de la peĺıcula ((Ahora me toca a mı́)) en la que podemos observar el diagrama del Lema de la Serpiente. 8 Podemos observar varias palabras de la explicación destacadas en negrita. Se deben a malos doblajes de la versión original en inglés, la cual śı expresa los términos matemáticos correctos. No es la única peĺıcula -y no son pocas- cuyo doblaje al castellano conduce a errores matemáticos que no aparecen en la versión original, como es el caso de la definición del número π en la peĺıcula ((Cortina rasgada)) (Alfred Hitchcock, 1966), unos cálculos mentales de un protagonista de ((21, Blackjack)) (Robert Luketic, 2008) o varios caṕıtulos de las series ((Numbers)) y ((Los Simpsons)) [4]. Resulta anecdótico que el profesor Charles A. Weibel, de la Universidad de Rutgers, cita esta peĺıcula en su libro ”An Introduction to Homological Algebra” (ed. Cambridge University Press, 1994): ”No se incluye la demostración del lema de la serpiente porque lo mejor es visualizarla. De hecho, una prueba bastante clara es la mostrada por Jill Clayburgh en la peĺıcula ((Ahora me toca a mı́))” [2]. 2.3. Análisis Matemático T́ıpicamente los primeros cursos que se estudian sobre el Análisis Matemático son los de Cálculo Diferen- cial y Cálculo Integral. Los fundamentos de éstos son conocidos por cualquier alumno preuniversitario de la rama de ciencias, y numerosas escenas del cine muestran sencillos problemas concernientes a ellos. Es el caso de ((Academia Rushmore)) (Wes Anderson, 1998), cuya primera escena discurre en una clase de matemáticas en la que un alumno pregunta por un problema escrito en la pizarra, a lo que el profesor contesta: ”No os preocupéis por él [...]. Es probablemente la ecuación más dif́ıcil del mundo [...]. Si alguno de vosotros soluciona el problema, me encargaré personalmente de que no vuelva a abrir un libro de matemáticas el resto de su vida”. Figura 5: Fotograma de la peĺıcula ((Academia Rushmore)) con el problema del cálculo del área de una elipse. Figura 6: Protagonista de ((Academia Rushmore)) resolviendo el citado problema. 9 Si observamos el fotograma de la figura 5 vemos que el problema en cuestión consiste en calcular el área encerrada por la elipse de semiejes a y b, un problema bastante sencillo del Cálculo Integral que resuelve el alumno sin mayor dificultad (figura 6). Resulta que toda la escena es un sueño del protagonista, que realmen- te es un pésimo alumno en matemáticas y fantaseaba con ”no volver a abrir un libro de matemáticas el resto de su vida”. No es la única peĺıcula en la que se sobredimensiona la dificultad de un problema matemático, como veremos más adelante en esta misma sección en ((El indomable Will Hunting)) (Gus Can Sant, 1997). Veamos los cálculos que reproduce el alumno: Toma la ecuación de la elipse de semiejes a y b: x2 a2 + y2 b2 = 1 , y despeja: √ y2 = √ b2 a2 (a2 − x2) Y simplifica considerando los dos signos, positivo y negativo, para obtener la integral: AE = ∫ b a √ a2 − x2 − [ −b a √ a2 − x2 ] dx = 2b a ∫ √ a2 − a2sen2θ a cosθ dθ Donde ha introducido el cambio de variable x = a senθ. Por último, aplicando la fórmula del ángulo doble, cos2θ = (1 + cos2θ)/2, y calculando los ĺımites de integración llega a la integral: AE = 4ab ∫ π/2 0 1 2 + 1 2 cos2θ dθ = πab Figura 7: Protagonista de ((Academia Rushmore)) resolviendo el citado problema. Encontramos un ejercicio similar en la peĺıcula ((Un don excepcional)) (Marc Webb, 2017), que narra la historia de un niña de 7 años con altas capacidades matemáticas. Tal es su nivel, que ingresa en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (M.I.T.) tras pasar un examen de nivel en el que le piden resolver la Integral de Gauss. Además, para comprobar sus conocimientos, el profesor encargado de realizar las pruebas enuncia mal el problema, como podemos ver en la figura 8 arriba. Tras corregir el enunciado (figura 8 abajo), indicando el signo negativo dentro de la exponencial y el valor absoluto en el parámetro sigma del resultado, procede a resolverlo. Esta integral se resuelve, como bien indica el enunciado, de la siguiente manera: G = ∫ ∞ −∞ e−x 2 dx ; G2 = (∫ ∞ −∞ e−x 2 dx )2 = ∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ e−(x 2+y2) dx dy 10 por el Teorema de Fubini. Introduciendo el cambio a coordenadas polares: ∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ e−(x 2+y2) dxody = ∫ 2π 0 ∫ ∞ 0 r · e−r 2 dr dθ = 2π ∫ ∞ 0 r · e−r 2 dr = 2π [ −e −r2 2 ]∞ 0 = π Por último: G2 = π ; G = √ π ; ∫ ∞ −∞ e− x2 c2 dx = |c| ∫ ∞ −∞ e−y 2 dy (cambio var. x = cy) Figura 8: Integral de Gauss resuelta en ((Un don excepcional)). Arriba: enunciado erróneo. Abajo: corrección del enunciado por la joven protagonista. En ((Un don excepcional)) encontramos definidos los Problemas del Milenio, ya que la madre de la pro- tagonista trabajaba en uno de ellos antes de fallecer, y se convierte en el deseo de la hija el acabar su trabajo. Éstos son siete problemas establecidos por el Instituto Clay de Matemáticas en el año 2000, por cuya resolución se otorga un premio de un millón de dólares. Dichos problemas son: P vs NP, Conjetura de Hodge, Conjetura de Poincaré, Hipótesis de Riemann, Existencia de Yang-Mills y Salto de Masa, Ecuaciones de Navier-Stokes, y la Conjetura de Banach y Swinnerton-Dyer. A d́ıa de hoy, tan sólo la Conjetura de Poincaré (ya Teorema de Poincaré) está resuelto. Fue el matemático ruso Grigori Perelman quien completó su demostración en el año 2003. Otro ejemplo del Cálculo Integral y uno de sus resultados fundamentales lo encontramos en la peĺıcula española ((Mi general)) (Jaime de Armiñan, 1987), en la que a varios capitanes del ejército español se les en- carga dar cursos sobre técnica espacial para la modernización del ejército. En una de las clases encontramos el siguiente diálogo: El llamado sendero intergaláctico o de Tomacak se resume de la siguiente forma: integral circular de A diferencial de l igual a integral de superficie rotacional A diferencial de S, cuyo ı́ndice es 10 elevado a [...] El reactor Tokamak (no Tomacak como pronuncia el protagonista) es un dispositivo candidato a la ob- tención de la enerǵıa de fusión termonuclear, un tema de la f́ısica más que de las matemáticas. Lo interesante es que encontramos un ejemplo del conocido Teorema de Stokes [22]: 11 Teorema de Stokes. Sea S una superficie paramétrica simple con borde ∂S, parametrizada por φ : D 7−→ S, donde D es la región interior a una curva cerrada simple C regular a trozos en R2 orientada positivamente, y ∂S = φ(C) se supone orientada en el sentido que resulte de componer C con φ. Sea F un campo vectorial de clase C1 definido en un entorno abierto de S en R3, y con valores en R3. Entonces se tiene que:∫ S rot F ·N = ∫ ∂S F Figura 9: Escena de ((Mi general)) en la que observamos un ejemplo del Teorema de Stokes Un cuarto ejemplo de un problema de Cálculo Integral lo encontramos en ((Clandestino y Caballero)) (Fritz Lang, 1946). El protagonista de esta peĺıcula es un f́ısico nuclear al que le encargan convencer a un colega de que cese su trabajo para los nazis. En una parte de la peĺıcula se oculta dentro de un carrusel de feria, y se dedica a calcular la distancia que recorre cada caballito mediante la fórmula de cálculo de la longitud de arco de una curva: dada la curva f(x), su longitud de arco viene dada por ∫ √ 1 + (f ′(x))2 dx. Su desarollo es el siguiente: En primer lugar escribe la función de la curva senoidal y su derivada: y = a sen 4x r ; dy = 4a r cos 4x r dx Escribe la integral con la fórmula mencionada y realiza el cambio de variable ω = 4x r : S = ∫ 2πr 0 √ 1 + ( 4a r )2 cos2 4x r dx = r 4 ∫ 8π 0 √ 1 + ( 4a r )2 cos2ω dω Posteriormente hace un nuevo cambio de variable y su desarrollo en serie de Taylor en a = 0 (serie de Maclaurin): z = ( 4a r )2 cos2ω ; √ 1 + z = 1 + 1 2 z − 1 8 z2 + ... Por lo que la integral se transforma en: 12 S = r 4 [ 8π + 1 2 ∫ 8π 0 ( 4a r )2 cos2ω dω − 1 8 ∫ 8π 0 ( 4a r )4 cos4ω dω + ... ] Como indica el protagonista, se llega al resultado resolviendo ”la integral de una onda senoidal”. Esto nos lleva directamente a una rama fundamental del Análisis, estudiada tanto en matemáticas como en f́ısica e ingenieŕıas por su gran utilidad en distintos campos. Es el Análisis de Fourier, bautizada aśı por el matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que inició su desarrollo en su obra ”Teoŕıa Anaĺıtica del Calor” (1822) en la que estudiaba la ecuación del calor mediante series infinitas de funciones trigonométricas. Encontramos resultados elementales del Análisis de Fourier en la peĺıcula ((El indomable Will Hunting)) (Gus Van Sant, 1997), sin duda una de las peĺıculas por antonomasia al hablar de matemática y cine. La primera escena de la peĺıcula discurre en una clase universitaria en la que el profesor Lambeau explica el Teorema de Parseval: Teorema de Parseval. Sea f(x) una función de periodo 2π integrable (en sentido de Riemann), cuya serie de Fourier viene dada por f(x) = ∑ ciui(x), entonces:∑ |ci|2 = 1 2π ∫ π −π |f(x)|2 dx En la pizarra (figura 10) se observa parte de la demostración de este teorema junto con otros resultados de esta teoŕıa, como el siguiente teorema: Teorema. Sea {un(x)} un conjunto ortonormal en [a, b] y sn(x) = n∑ i=1 ciui(x) la serie parcial finita de f . Sea s′n = n∑ i=1 diui(x) para ciertos coeficientes di. Entonces: ∫ b a |f − sn|2 dx ≤ ∫ b a |f − s′n|2 dx Además, se da la igualdad si y sólo si di = ci para todo i. Figura 10: Fotograma de ((El indomable Will Hunting)) en el que observamos varios resultados sobre el Análisis de Fourier. A continuación el profesor Lambeau plantea a los alumnos lo que dice ser un dif́ıcil problema de ”sistemas avanzados de Fourier”. Si observamos la pizarra con el enunciado (figura 11 en la sección 2.4) resulta ser un 13 sencillo problema de Teoŕıa de Grafos. De nuevo, al igual que en ((Academia Rushmore)), el cine sobredimen- sionando la dificultad de algunos problemas matemáticos. Veremos este problema en la sección 2.4. 2.4. Matemática aplicada El campo de la Matemática Aplicada es posiblemente el de más amplia aplicación dentro de las matemáti- cas, cubriendo problemas de todas las ciencias básicas y aplicadas aśı como las ingenieŕıas. De nuevo, como no es posible cubrir todas sus aplicaciones, veremos dos de las más notables como son el Análisis Numérico y la Optimización. Otras ramas dentro de este campo son las Ecuaciones Diferenciales y en Derivadas Parciales, la Investigación Operativa, Mecánica de Fluidos y Sistemas Dinámicos, Matemática Discreta, Estad́ıstica Inferencial, etc. El Análisis Numérico tiene como objetivo aproximar soluciones de problemas de Análisis como las Ecua- ciones Diferenciales y en Derivadas Parciales mediante el desarrollo de algoritmos, aśı como la optimización de los mismos. Encontramos algunas nociones de esta rama en ((Figuras ocultas)) (Theodore Melfi, 2016), una peĺıcula basada en hechos reales que relata el fundamental trabajo de tres mujeres afroamericanas en la carrera espacial de Estados Unidos. Una de las protagonistas es escogida por sus conocimientos de Geometŕıa Anaĺıtica para el grupo de calculistas de la primera misión espacial tripulada. Al entrar en dicho grupo vemos cómo le someten a pruebas relacionadas con el Triedro de Frenet y métodos de ortogonalización. Posteriormente es ella quien resuelve, mediante el cálculo numérico, el principal problema planteado: pasar de una trayectoria eĺıptica a una parabólica. ”No se trata de una solución teórica, sino numérica”, proponiendo el método de Euler para afrontar el problema. Este método es el más simple de los denominados de Runge-Kutta para resolver un Problema de Valor Inicial. Problema de Valor Inicial Sean D un dominio de Rn+1 (conjunto abierto y conexo), una función f : D −→ Rn, un instante inicial t0 ∈ R, y un valor inicial ξ0 ∈ Rn tal que (t0, ξ0) ∈ D. Un Problema de Valor Inicial, (P.V.I.), consiste en encontrar una función diferenciable x(·) : I −→ Rn solución del problema:{ x′(t) = f(t, x(t)) , t ∈ I x(t0) = ξ0 Donde I es un intervalo de R tal que t0 ∈ I y (t, x(t)) ∈ D para todo t ∈ I Enunciamos ahora el mencionado Método de Euler: Método de Euler Dado x′(t) = ĺım h→0 x(t+ h)− x(t) h Tomando un paso h lo suficientemente pequeño tenemos: x′(t) ≈ x(t+ h)− x(t) h 14 Por lo que aproximamos: x′(ti) = f(ti, x(ti)) =⇒ x(ti+1 − x(ti)) h ≈ f(ti, x(ti)) Por último, tomando xi como aproximación de x(ti) (que es la solución exacta del P.V.I. en el punto ti), enunciamos el esquema numérico del Método de Euler: Paso 1. x0 ≈ ξ0. Paso 2. Para i = 0, 1, ..., N − 1: xi+1 = xi + hf(ti, xi) Éste es uno de los primeros métodos estudiados en los cursos de Análisis Numérico. Como comentamos previamente, pertenece al grupo de métodos de Runge-Kutta que son métodos monopaso (se calcula la aproximación en el paso i + 1). Sin embargo este método sólo alcanza orden de precisión 1. Otros métodos de Runge-Kutta como el del Trapecio o los Métodos de Taylor śı alcanzan órdenes de precisión superiores. También lo hacen los métodos multipaso (se calcula la aproximación hasta el paso i+ r para un método de r pasos) lineales, que además son más eficientes respecto al número de iteraciones necesarias para llegar a la solución [23]. El Análisis Numérico tiene un ampĺısimo abanico de aplicaciones, desde la Termodinámica, Mecánica de Sólidos y Fluidos, F́ısica del Estado Sólido e Ingenieŕıa de Materiales, Medicina, Bioloǵıa, etc. [24]. La Optimización, al igual que el Análisis Numérico, trata numerosos problemas y sus aplicaciones son muy diversas, siendo el objetivo de estos problemas el encontrar un valor extremo (máximo o mı́nimo) de una función. Existen varias ramas dentro de este campo como la Programación Lineal, Programación No Lineal, Teoŕıa de Grafos y Redes, Heuŕıstica, etc. Vamos a analizar el problema de Teoŕıa de Grafos en la peĺıcula ((El indomable Will Hunting)) que men- cionamos en la sección 2.3. Veamos el enunciado: Sea el grafo: Encontrar: 1. La matriz adyacente A. 2. La matriz que da el número de trayectorias de longitud 3. 3. La función que genera las trayectorias i 7−→ j. 4. La función que genera las trayectorias 1 7−→ 3. Podemos ver este enunciado en la figura 11. Observamos que es un sencillo problema de Teoŕıa de Grafos que cualquier alumno graduado en matemáticas podŕıa resolver. Nuestro objetivo no es resolver este proble- ma, pero śı introducir los conceptos básicos que se mencionan. 15 Figura 11: Fotograma de ((El indomable Will Hunting)) en el que observamos el problema de grafos planteado. Un grafo no dirigido o, simplemente, grafo es un par G = (V,E), donde V es un conjunto no vaćıo cuyos elementos se denominan vértices o nodos y E ⊂ V × V es un conjunto de pares no ordenados de vértices llamados aristas. Sea G = (V,E) un grafo tal que V = {1, ..., n} con n ∈ N, la matriz de adyacencia, A = (aij), de G se define por: aij = { m({i, j}) , si{i, j} ∈ E 0 , en otro caso Siendo m({i, j}) la multiplicidad de la arista {i, j}, es decir, el número de veces que aparece en el grafo. Como ejemplo, vemos que la matriz de adyacencia que piden en el apartado 1. es:  0 1 0 1 1 0 2 1 0 2 0 0 1 1 0 0  Por último, la función generatriz de las trayectorias i 7−→ j viene dada por el elemento fij(z) de: f(z) = ∞∑ n=0 A(z)n ; A(z) = ((aij) · z) Éstos son algunos de los conceptos fundamentales de la Teoŕıa de Grafos, cuyo origen podemos establecer en el problema de los Puentes de Königsberg resuelto por Leonhard Euler en 1763 [25]. De nuevo sus apli- caciones son muy variadas, como pueden ser el problema del viajante, problema de la ruta óptima o camino más corto, optimización de circuitos eléctricos, arquitectura de redes de comunicación, etc. Vista la naturaleza de los problemas abordados por el Análisis Numérico y la Optimización no resulta raro observar que haya problemas que conciernan a ambas ramas. Tenemos como ejemplo el Método de Newton (o de Newton-Raphson), que aparece como ejemplo en una clase de Ecuaciones no Lineales en las primeras escenas de ((21, Blackjack)) (Robert Luketic, 2008). No se describe el método en detalle, aparte de la polémica sobre su autoŕıa entre Isaac Newton y Joseph Raphson, [8]. 16 Método de Newton Es un método numérico para hallar los ceros de una función real, o los extremos de la misma hallando los ceros de su función derivada. Es un método abierto, es decir, su convergencia global depende de la elección del valor inicial. Su esquema numérico para la aproximación inicial ξ0 y una tolerancia τ es el siguiente: Paso 1. x0 = ξ0. Paso 2. Hasta que |xn+1 − xn| ≤ τ : xi+1 = xi + f(xi) f ′(xi) 2.5. Probabilidad y Estad́ıstica Históricamente datamos el origen del Cálculo de Probabilidades con la obra de Christiaan Huygens ”De ratiociniis in ludo aleae” (”Sobre los razonamiento de los juegos de dados”), publicada en 1657 y basada en la correspondencia entre los matemáticos Blaise Pascal y Pierre de Fermat sobre este tema. Posteriormente los avances más importantes se producen de la mano de Jan de Witt al introducir el concepto de esperanza matemática; Jacques Bernouilli con su obra ”Ars Conjectandi” (”El arte de la conjetura”), publicada de manera póstuma y que trata la Teoŕıa de Permutaciones, muestra una demostración del Teorema Binomial y la Ley de los Grandes Números; otros matemáticos de renombre como Leonhard Euler, Pierre Laplace, Karl Gauss o Andrei Markov; y más adelante, en la segunda mitad del siglo XX, con la aparición de la Teoŕıa de la Medida [2]. Por norma general el cine trata la Probabilidad de manera superflua, mencionando curiosidades sobre sus problemas y no la naturaleza de sus principales resultados. Además, es una de las ramas matemáticas donde más errores conceptuales se cometen, como por ejemplo con la noción de la media. En ((El apartamento)) (Billi Wilder, 1960) encontramos el siguiente diálogo: -”He estado leyendo una estad́ıstica sobre accidentes y enfermedades. El ciudadano neoyorkino entre los 20 y los 50 tiene dos resfriados y medio por año. +¡Qué gran responsabilidad la mı́a! -¿Por qué? +Porque como yo no me resfŕıo, para que no fallen las estad́ısticas otro infeliz ha de tener cinco resfriados.” Lo mismo sucede en ((El manantial de las colinas)) (Claude Berri, 1986) en la que un personaje asegura que lloverá los d́ıas siguientes para que se cumplan las estad́ısticas de lluvia de los últimos años [4]. Una visión más acertada de la Falacia de Montecarlo -creencia de que un suceso aleatorio, como el lanzamiento de una moneda, depende de los sucesos pasados- se da en la peĺıcula ((Rosencrantz y Guildenstern han muerto)) (Tom Stoppard, 1990). Éstos son dos personajes secundarios de ”Hamlet” de Shakespeare, y principales en esta peĺıcula. A lo largo de la peĺıcula Guildenstern lanza una moneda al aire, que cae hasta 154 veces seguidas de cara. En un diálogo un tanto metaf́ısico sobre este suceso, Guildestern comenta: ”[...] O una espectacular reivindicación de principios, según la cual una moneda tirada al aire tiene tantas probabilidades de salir cara como cruz, por lo tanto no debe sorprendernos que aśı ocurra cada vez.” A lo que Rosencrantz contesta: ”Nunca he visto nada igual”. Ciertamente es un suceso poco probable,( 1 2 )154 = 4, 38 · 10−47. Eso śı, esta probabilidad es a priori, es decir, antes del primer lanzamiento. La pro- babilidad de que el lanzamiento número 155 salga cara sigue siendo de 1 2 , [2]. Otro problema probabiĺıstico clásico es la Paradoja de Monty Hall -o Problema de las Tres Puertas-. Basado en el concurso de la televisión estadounidense ”Let’s make a deal” -del cual Monty Hall era su presentador-, su descripción y solución aparece detallada en la ya mencionada ((21, Blackjack)). En la misma 17 escena en la que se comenta la autoŕıa del Método de Newton, y de una manera no muy conexa, el profesor pregunta por este problema cuya premisa es la siguiente: Problema de Monty Hall Un concursante debe elegir entre tres puertas, dos de las cuales esconden una cabra y la otra un coche. Obtendrá el premio que descubra su puerta elegida. El concursante escoge una puerta, tras lo cual el pre- sentador abre una de las dos restantes, que esconde una cabra, y da la opción al concursante de cambiar de puerta o quedarse con la elegida. Veamos el argumento del protagonista para decidir cambiar de puerta: ”Mi respuesta está basada en la estad́ıstica, en el cambio de variable. [...] Cuando dijo por primera vez que eligiera una puerta, teńıa un 33, 3 % de hacer la elección certera. Pero cuando se ha abierto una de las puertas y puedo volver a elegir, ya tengo un 66, 7 % si elijo cambiar. Aśı que escojo la puerta número dos y gracias por ese 33, 3 % más de ventaja. Matemáticamente, definimos los sucesos: A : elección inicial de la puerta con el coche B : elección inicial de una puerta con una cabra C : el jugador gana el coche Tenemos P (A) = 1 3 , P (B) = 2 3 y queremos calcular P (C). Basta notar que {A,B} es un partición del espacio muestral Ω, es decir, A ∩B = ∅ y A ∪B = Ω. Por tanto C = (C ∩A) ∪ (C ∩B). Calculamos: P (C) = P ((C ∩A) ∪ (C ∩B)) = P (C ∩A) + P (C ∩B) = P (C|A)P (A) + P (C|B)P (B) Una vez el presentador abre una puerta que esconde una cabra, al jugador le queda la opción de cambiar o no de puerta elegida y las probabilidades de ganar son las siguientes: Cambio de puerta: P (C|A) = 0 , P (C|B) = 1 =⇒ P (C) = 2 3 Sin cambio de puerta: P (C|A) = 1 , P (C|B) = 0 =⇒ P (C) = 1 3 Observamos por tanto que no se trata de un cambio de variable estad́ıstico como expone el protagonista, sino un problema puramente probabiĺıstico. Pasando al campo de la Estad́ıstica, gracias a ((La sombra de la traición)) (Michael Brandt, 2011) podemos exponer el tema del Contraste de Hipótesis. Durante una investigación policial sobre una serie de asesinatos uno de los protagonistas plantea: ”Lo único que tienes que hacer es establecer una hipótesis nula y tratar de demostrarla. Si no puedes demostrarla, es que tu hipótesis debe ser cierta. [...] De acuerdo, tomemos un hecho. Dices que crees que Cassius siempre vuelve al lugar del crimen, ¿verdad? Y tienes fotos de todos sus cŕımenes. Establece una hipótesis, por ejemplo, que Stephen Hawking es Cassius, lo que te da la hipótesis nula de que Stephen Haw- king no es Cassius. Revisa las fotos y demuestra la hipótesis nula de que Supermán no es Cassius. Si lo consigues, querrá decir que tu hipótesis es incorrecta; si no lo consigues dependiendo del valor p, demuestras estad́ısticamente que tu hipótesis es cierta, o que Stephen Hawking es Cassius. Śı. Algunos no nos dormı́amos en clase de Estad́ıstica en Harvard. 18 Veamos los fundamentos del Contraste de Hipótesis: Una hipótesis estad́ıstica, H, es una proposición sobre una caracteŕıstica de la población de estudio. La hipótesis nula, H0, es la que deseamos contrastar, planteada en primer lugar y que se mantiene a no ser que los datos indiquen su falsedad; mientras que la hipótesis alternativa, H1, es la negación de la hipótesis nula. Con esto, un contraste de hipótesis de H0 frente a H1 para cierto nivel de significación, α, con- siste en elegir una región cŕıtica, RCα, del espacio muestral para el cual se rechaza la hipótesis nula si la muestra aleatoria pertenece a ella. De otra manera, consiste en establecer una partición del espacio muestral: Ω = RCα ∪RAα ; ∅ = RCα ∩RAα Siendo RAα la región de aceptación. Por último, el p-valor es el nivel de significación más pequeño para el que la muestra aleatoria obtenida obliga a rechazar la hipótesis nula. También podemos encontrar los conceptos de función generadora de momentos o el proceso de Poisson en la peĺıcula española ((Logaritmo Neperiano)) (Abbé Nozal, 2011). A pesar de ser bastante desconocida y no de fácil acceso hay varias escenas con un sorprendente rigor matemático, aunque acaba con argumentos ficticios ya que el personaje principal intenta demostrar que es posible conocer los números premiados en un sorteo de La primitiva. Como prefacio de su demostración calcula la probabilidad de la combinación ganadora, que proviene de tomar 6 elementos de un conjunto de 49, es decir, el coeficiente binomial: ( 49 6 ) = 49! 6!(49− 6)! = 13.983.861 Siendo la probabilidad de la combinación ganadora de una entre ∼ 14 · 106, la probabilidad de que dicha combinación contenga un número en particular es de p = 6 49 ' 0, 122 y, por tanto, el pereiodo de retorno (definido como la inversa de la probabilidad) es de p−1 ' 8, 167. La demostración en śı comienza considerando el proceso de Poisson como la regla para la aparición de números en los sorteos. Recordemos que un proceso de Poisson de parámetro λt es un proceso de recuento asociado a una sucesión de variables aleatorias independientes con distribución Exp(λ), esto es, para {Xn, n ∈ N} ∼ Exp(λ) y Sn = X1 + · · ·+Xn definimos el proceso de Poisson como [28]: N(t) = máx{n : Sn ≤ t} cuya función de masa y función generadora de momentos son respectivamente: P (N(t) = n) = e−λt (λt)n n! ; MX(z) = eλt(e z−1) Nota: la función generadora de momentos también se suele denotar como φX(z) pero la denotamos aśı porque aśı lo hacen en ((Logaritmo Neperiano)) 19 También cabe recordar que la función generadora de momentos se define, siempre que la esperanza ma- temática exista, como MX(z) = E(ezX), y se llama aśı ya que su n−ésima derivada evaluada en z = 0 genera el n−ésimo momento de la distribución: dnMX(z) dzn |z=0 = E[Xn] El protagonista calcula entonces los momentos para n = 1 y n = 2, aunque comete un error en el segundo ya que obtiene que ambos son iguales a λt. Realizando los cálculos se comprueba que ∂2MX(z) ∂z2 |z=0 = λt+ λ2t2 Salvando este error, sigue con su razonamiento tomando logaritmos a partir de la fórmula de Stirling para estabilizar la varianza. La estabilización de varianza es un método paramétrico de transformación de datos, especialmente aplicado en estudios estad́ısticos de ciencias aplicadas, para garantizar la normalidad de la muestras y la homogeneidad de las varianzas [29], [30]. Por su lado, la fórmula de Stirling es una herramienta de aproximación de grandes números: ln(x!) ≈ x ln(x)− x Y por último, introduce una integral en un espacio 6-dimensional (por aquello que son 6 los números premiados) de donde obtiene la combinación ganadora del siguiente sorteo. Claramente este último paso ca- rece de fundamento y no está argumentado en ninguno de los pasos anteriores de la demostración. Como ya comentamos, no es matemáticamente posible tal demostración por las leyes de la probabilidad; sin embargo, son de gran valor los primeros pasos que hemos ido detallando e introducen conceptos matemáticos poco frecuentes en el cine. No en vano, el director de la pelicula fue asesorado por el profesor del departamento de Estad́ıstica e Investigación Operativa de la Universidad de Valladolid Roberto San Mart́ın Fernández [27]. Figura 12: Fotograma de ((Logaritmo Neperiano)) en el que observamos la demostración planteada por el protagonista. 20 Por último debemos mencionar la peĺıcula ((Moneyball)) (Bennett Miller, 2011) basada en hechos reales y, aunque no desarrolla conceptos estad́ısticos per se, muestra la importancia de esta rama matemática. Narra la historia del entrenador del equipo americano de béisbol Athletics de Oakland, Billy Beane, el primero en aplicar el método de la Sabermetŕıa (del inglés sabermetrics por la Sociedad para la Investigación del Béisbol Americano, SABR) que básicamente es la aplicación del análisis probabiĺıstico y estad́ıstico en dicho deporte con el objetivo de formar un equipo competente. Este método se sigue aplicando hoy en d́ıa y en otros tantos deportes, aunque tiene especial calado en el béisbol debido a sus particularidades, ya que cada jugador cumple una función muy espećıfica frente a la versatilidad en otros deportes [4] [8]. 21 3. Matemáticos ilustres En esta sección trataremos peĺıculas biográficas de matemáticos ilustres, con mayor o menor grado de exposición de sus aportaciones a las Matemáticas. Aunque en muchas ocasiones el cine peca de presentar a los matemáticos, ya sean personajes reales o ficticios, con personalidades extravagantes o incluso trastornos mentales, también estas peĺıculas son interesantes para la divulgación y el acercamiento a la sociedad del trabajo de los matemáticos. Veamos varios matemáticos ilustres, por orden cronológico: Omar Khayyam. 1048 - 1131 Los escasos datos bibliogŕaficos que conocemos de Ommar Khayyam se plasman en las peĺıculas ((Omar Khayyam)) (William Dieterle, 1957) y ((El guardián: la leyenda de Omar Khayyam)) (Kayvan Mashayekh, 2005), y en esta última se muestran también algunas de sus aportaciones cient́ıficas. Khayyam fue un ma- temático y astrónomo persa, principalmente conocido por el desarrollo de unas tablas astronómicas y el calendario yalaĺı, aún en uso y con menor error que el gregoriano. Lo que sabemos de sus aportes matemáti- cos es gracias a su obra ”Sobre Álgebra” y los comentarios sobre los ”Elementos” de Euclides. Estudia la resolución de ecuaciones cúbicas con los mismos procedimientos que ya aplicara Arqúımedes, la intersección de cónicas; aśı como los números irracionales y el Quinto Postulado de la obra de Euclides. En las peĺıculas mencionadas encontramos escenas con comentarios a estos estudios aunque sin entrar en gran detalle como śı podemos ver en otros matemáticos que desarrollamos a continuación. Srinivasa Aiyangar Ramanujan. 1887 - 1920 Matemático indio con una peculiar trayectoria, cuya vida y aportaciones podemos encontrar en dos peĺıculas recientes: ((Ramanujan)) (Gnana Rajasekaran, 2014) y ((El hombre que conoćıa el infinito)) (Matt Brown, 2015), aunque la primera sólo ha sido estrenada en la India. Ramanujan fue autodidacta, y no cursó estudios matemáticos formales hasta su estancia en el Trinity College de la Universidad de Cambridge, cuan- do ya hab́ıa desarrollado avanzados teoremas en distintos campos. Sus resultados abarcan principalmente el Análisis, la Teoŕıa de Números y las Fracciones Continuas. Ramanujan llamó la atención del matemático británico Godfrey H. Hardy gracias a una carta en la que afirma conocer la fórmula para calcular la cantidad de números primos menores que uno dado. Además incluyó varios de sus resultados descubiertos como series infinitas que aproximaban el número π, entre ellos una ya expuesta por Bauer: 1− 5 ( 1 2 )3 + 9 ( 1 · 3 2 · 4 )3 − 13 ( 1 · 3 · 5 2 · 4 · 6 )3 + ... = 2 π Dicha carta hizo que Ramanujan realizase una estancia de cinco años en Cambridge colaborando con el profesor Hardy. En ((El hombre que conoćıa el infinito)) vemos algunos de los resultados que desarrollaron conjuntamente, y se hace hincapié en la importancia de las demostraciones en Matemáticas, puesto que Ra- manujan era capaz de desarrollar resultados por ”inspiración divina” mientras que Hardy le requeŕıa dichas demostraciones de cara a publicar los resultados. Parte de sus estudios los centraron en la función de partición. En Teoŕıa de Números, una partición de un número natural n ∈ N es una descomposición del mismo como suma de números naturales, mientras que la función de partición de n determina el número de particiones existentes para dicho natural. Rama- nujan y Hardy hallaron una serie asintótica no convergente para calcular de manera exacta esta función (no vamos a entrar en la aproximación asintótica, teoŕıa de la que podemos econtrar numerosa bibliograf́ıa como en [26]). Obviaremos la expresión de dicha serie dada su complejidad. 22 Otra curiosidad relatada en la peĺıcula es la anécdota que protagonizaron ambos matemáticos en rela- ción al número 1729. Este es el primer número (entendido como el menor entero) de los hoy conocidos por Números de Hardy-Ramanujan, que son aquellos que se pueden expresar como suma de dos cubos de dos maneras diferentes: 1729 = 13 + 123 = 93 + 103. Esta anécdota surgió a partir de una matŕıcula de un taxi, lo que ha dado lugar a los Números Taxicab, Ta(n), que son los menores enteros que se pueden expresar como suma de dos cubos de n maneras distintas. Claramente los Números Taxicab son la generalización de los Números de Hardy-Ramanujan, siendo el menor de estos últimos, el Ta(2). Aunque la estancia de Ramanujan en el Trinity College fue corta, la cantidad de resultados descubiertos fue grande. Gran parte de ellos se encuentran en una serie de famosos cuadernos expuestos en el Trinity College y que han inspirado numerosos estudios matemáticos. Alan Mathison Turing. 1912 - 1954 De nuevo son varias las peĺıculas que relatan la vida del matemático británico Alan Turing: ((Breaking the Code)) (Herbert Wise, 1996), ((Enigma)) (Michael Apted, 2001) y ((Descifrando Enigma)) (Morten Tyl- dum, 2014), siendo la primera y la última las de mayor valor bibliográfico y matemático. No exponen los conceptos matemáticos del trabajo de Turing del mismo modo que las peĺıculas mencionadas en la sección 2, pero recalcan la importancia que tuvo su labor matemática y criptográfica en el desenlace de la Segunda Guerra Mundial (1939 - 19459). Ambas peĺıculas tratan también los trabajos de Turing tras la Guerra, desarrollando las primeras compu- tadoras programables, formalizando el concepto de algoritmo y concibiendo el conocido ”Test de Turing”. Sobre sus trabajos matemáticos, encontramos una buena exposición del ”Entscheidungsproblem”, o proble- ma de la decisión / decibilidad. Este problema de lógica consisten en encontrar un algoritmo que decida si cualquier fórmula es un teorema (entendiendo estos conceptos como los define la lógica simbólica). John Forbes Nash. 1928 - 2015 La vida de este matemático estadounidense se narra, con ciertas licencias, en una de las peĺıculas más conocidas al hablar de matemáticas en el cine: ((Una mente maravillosa)) (Ron Howard, 2001). Aunque trata en mayor grado su enfermedad mental, también se menciona su trabajo en la Teoŕıa de Juegos No Coopera- tivos. Una de sus grandes aportaciones fue concepto de Equilibrio de Nash. La peĺıcula relata la motivación de su idea estando Nash con varios compañeros en un bar discutiendo sobre la estrategia para conquistar a la mujer más atractiva de un grupo de amigas. De nuevo encontramos un gran valor divulgativo, ya que se destaca el importante papel de las matemáti- cas para la toma de decisiones concernientes a grandes momentos históricos, en este caso la Guerra Fŕıa. Nash colabora en varias tareas criptográficas con el gobierno de Estados Unidos y, aunque la peĺıcula no muestra los detalles matemáticos de dichas colaboraciones, se hace entender que sus resultados dirigirán las estrategias militares en el conflicto bélico. 23 4. Conclusiones Hemos podido comprobar a lo largo del trabajo que son numerosos los conceptos matemáticos que se encuentran en el cine. Abarcan prácticamente todas las ramas y desde los temas más elementales a los más profundos, siendo la rigurosidad y el detalle la mayor variable según cada caso. La mejor manera de establecer unas conclusiones claras es, sin duda, responder a las preguntas que planteamos en la introducción -sección 1-. ¿Existen en el cine suficientes referencias matemáticas como para considerarlo una herramienta útil en la docencia y la divulgación? Podemos claramente afirmar que śı existen numerosas referencias matemáticas dentro del cine. Obvia- mente no cualquier concepto matemático se explica en el cine, ni teoŕıas completas desarrolladas del mismo modo que se exponen en la docencia escolar o universitaria. A lo largo de este trabajo hemos visto desde conceptos de los Elementos de Euclides hasta resultados de Álgebra Homológica correspondientes a estudios de postgrado de matemáticas avanzadas. Además, aunque con mayor o menor frecuencia, encontramos con- ceptos de prácticamente todas las ramas matemáticas. Aqúı hemos expuesto las que hemos considerado las principales acorde a los estudios del grado, pero existen otras tantas referencias en ramas como la teoŕıa de números, topoloǵıa, etc. ¿Cómo aborda el cine las matemáticas? En primer lugar, como ya hemos comentado en el cine no se exponen los conceptos del mismo modo que una clase de matemáticas. Es claro que ese no es el objetivo del cine. Que esto no sea aśı no quiere decir que las explicaciones no sean rigurosas o completas. Podemos poner como ejemplos la demostración de la proposición 47 de los Elementos en la peĺıcula ((El hombre sin rostro)) (sección 2.1), el ejercicio de curvas mecánicas en ((Muerte de un ciclista)) (sección 2.1) o el cálculo del área encerrada por una elipse en ((Academia Rushmore)) (sección 2.3) entre otros muchos. De cara a la docencia o divulgación a través del cine, podemos distinguir dos tipos de peĺıculas: las que mencionan algún concepto matemático como tema tangencial a la peĺıcula y las que las matemáticas forman parte importante del núcleo de la peĺıcula, bien porque el tema principal sean las matemáticas, haya algún personaje matemático o cient́ıfico, etc. La gran diferencia es que en este segundo grupo las explicaciones y fundamentaciones de los temas comentados suelen ser más rigurosos para darle mayor consistencia a la peĺıcula. Como ejemplo curioso podŕıamos mencionar ((Una mente maravillosa)), que podŕıamos pensar que cae dentro del segundo grupo al ser el protagonista principal uno de los matemáticos más importantes del siglo XX. Sin embargo el tema central de la peĺıcula son las enfermedades mentales más que las matemáticas. De ah́ı que no haya tanto empeño en difundir claramente la matemática como puede ocurrir en ((El hombre que conoćıa el infinito)). ¿Es todo matemáticas? Este es uno de los puntos con mayor controversia, pues fuera de la comunidad matemática no siempre quedan claros los ĺımites de las mismas. Tampoco hemos definido estos ĺımites a lo largo de este trabajo, pues el objetivo era mostrar ejemplos de verdadera matemática dentro del cine. Sin embargo no es dif́ıcil encontrar ejemplos, y como ya comentamos en la introducción -sección 1- suelen abordar la numeroloǵıa como en ((Pi, fé en el caos)) o ((El aviso)). Una vez más, queda demostrado que śı existen referencias de verdaderas matemáticas en el cine, y en todo caso queda a juicio del docente el poder marcar las diferencias. ¿Son correctas estas matemáticas? De nuevo es otro punto que no hemos tratado a fondo en este trabajo, pero existen numerosos errores y gazapos matemáticos en el cine. Tan numerosos que podemos encontrar art́ıculos únicamente dedicado a estos errores, como ”Gazapos matemáticos en el cine y en la televisión” del profesor J.M. Sorando [13], autor de varios libros divulgativos de matemáticas. Queda también a juicio del docente el exponer estos errores. 24 Referencias [1] Mart́ın, A. y Mart́ın Sierra, M. (2012). Mathsmovies: La web de las matemáticas y el cine. http://aulamatematica.com/mathsmovies/ [2] Población Sáez, A. J. Las matemáticas en el cine. Proyecto Sur de Ediciones S. L. Real Sociedad Ma- temática Española, 2006. [3] Población Sáez, A. J. Cine y matemáticas. Blog Divulgamat de la Real Sociedad Matemática Española. http://www.divulgamat.net [4] Sorando Muzás, J. M. Revista SUMA de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Ma- temáticas http://revistasuma.es [5] Thibaut Tadeo, Elena. ”Pi, fé en el caos. Una experiencia educativa”. Entrada del blog Divulgamat, Enero 2005. [6] Beltrán Teciller, Pablo. ”Series y largometrajes como recurso didáctico en matemáticas en educación secundaria”. Tesis doctoral, 2015, Facultad de Educación de la UNED. [7] Petit Pérez, M. F. 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