f JUAN JOSÉ DÍAZ Y VICENTE BERMEJO l, NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS EN ALUMNOS URBANOS Y RURALES LEVEL OF ABSTRACTION OF ARITHMETIC PROBLEMS IN URBAN AND RURAL STUDENTS RESUMEN. En este estudio se analiza la incidencia' que tiene el grado de abstracción en la resolución de problemas de adición y sustracción en alumnos urbanos y rurales. La muestra se formó con 192 alumnos de primero a cuarto año de educación primaria; el 50% pertenecía a un contexto rural y el 50% restante a un contexto urbano de México. Las tareas empíricas consistieron en resolver problemas aritméticos con objetos, dibujos, algoritmos y verbales. 1;os resultados muestran que la presencia d~ objetos o dibujos mejora el rendimiento de los alumnos de primero y segundo año, y baja en los de tercero. Igualmente, conviene destacar que los alumnos rurales obtienen sus mejores resultados en los problemas verbales. Las estrategias de modelado se emplean de modo parecido en todos los cursos del contexto rural, mientras que en el urbano.se ocupan especialmente en primero y segundo. Los alumnos rurales utilizan más las. estrategias de conteo, y en los urbanos son más comunes las estrategias de hechos numéricos. Finalmente, se señalan algunas aplicaciones educativas a partir de los resultados de este estudio. PALABRAS CLA VE: Contexto, estrategias, niveles de abstracción, problemas matemáticos. ABSTRACT. This study analyzes the incidence of the level of abstraction in the resolution of problems of addition and subtraction in urban and rural students. The sample was made up of 192 students from frrst to fourth grade ·of primary education; 50%' carne from a Mexican rural environment and the remaining 50% from a Mexican urban environment. Empirical tasks consisted in resolving arithmetical problems with objects, drawings, algorithms and verbally. The results show that the presence of objects or drawings improves performance in frrst and second grade students, and lowers performance in third grade students. It should also be pointed out that rural students obtained their best results in verbal problems. Modeling strategies are used in similar ways in all the courses in the rural environment, while in an urban setting they are primarily used in first and second grades. Rural students make use of counting strategies, and urban students lean more toward using numerical facts. Finally, some educative applications will be suggested from the results of the study. KEY WORDS: Context, strategies, levels of abstraction, mathematical problems. RESUMO. Neste estudo se analisa a incidenci;'l que tem o grau de abstra~ao na resolu9ao de problemas de adi9ao e subtra9ao em alunos urbanos e rur~is. Amostra foi coletada de 192 alunos Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (2007) 10(3): 335-364 Recepción: Octubre 23, 2006/Aceptación: Agosto 13,2007 http:urbano.se 336 JUAN JOSÉ DÍAZ Y VICENTE BERMEJO qe primeiro ao quarto ano do ensino fundamental; 50 % pertence a um contexto rural e 50 % restante a uro 'contexto urbano do México. As tarefas empíricas consistiram em resolver problemas aritméticos com objetos, desenhos, algoritmos y verbais. Os resultados mostram que a presencia de objetos ou desenhos melhoram o rendimento dos alunos de primeiro e segundo ano, e baixa nos de terceiro. Igualmente, convém destacar que os alunos rurais obtém seus melhores resultados nos problemas verbais. As estratégias de modeIagem se empregam de modo parecido em todos os cursos do contexto rural, enquanto que no urbano se ocupam especialmente em primeiro e segundo. Os alunos rurais utilizam mais as estratégias de cálculo, e nos urbanos sao mais comuns as estratégias de fatos numéricos. Finalmente, se registram algumas apli~óes educativas a partir dos resultados deste estudo. PALA VRAS CRA VE: Contexto, estratégias, níveis de abstra9ao, problemas matemáticos. RÉSUMÉ. Cette étude analyse l'incidence du niveau .d'abstraction dans la résolution des problemes d'addítion et de soustraction chez les éleves urbains et ruraux. L'échantillon est composé de 192 éleves de la premiere a la quatrieme année de l'école élémentaire, 50 % appartenant aun contexte rural et les 50 % restant appartenant aun contexte urbain aMéxico. Les taches empiriques ont consisté en la résolution de problemes aritlnnétiques qui portent sur les objets, dessins, algorithmes et d'autres en langage nature!. Les résuItats montrent que la présence d'objets ou de dessins améliore l'efficacité des éleves de la premiere et la deuxieme année mais qu'elle l'affaibli en troisieme. De meme, iI est convenable de signaler que les éleves ruraux obtiennent leurs meilleurs résultats dans les problemes en 1angage naturel. 'Les stratégies de modélisation sont employées de maniere similaire dans tous les coms (lCre au 4em") du contexte rural, tandis que dans le contexte urbain elles sont employées principalement dans le premier et deuxieme cours. Les éleves ruraux utilisent plus les stratégies d'eslimatiou mais les éleves urbains sont plus habitué s aux stratégies des faits numériques. Finalement, sont signalés quelques applications éducatives apartir des résultats de cette étude. MOTS CLÉS: Contexte, stratégies, niveaux d'abstractíon, probJemes m.athématiques -. 1. INTRODUCCIÓN Los resultados que arrojó la evaluación internacional de la OCDE (.2002, 2005) sobre el rendimiento en matemáticas ubicaron a México en el último lugar. Ello debería suponer al menos· una llamada para profesores, investipfores Y demás personas responsables de la educación en este país, a fin de ÜIaementar esfuerzos que vayan encaminados a mejorar la fonnacióo 1TIl."í"Iiá1ica de nuestros escolares. Las acciones de esta índole conviene inhiBIR desde los primeros años del currículo escolar, es decir, desde preescolar o al menos desde . el primer año de educación primaria (Alanís, CantoraI, Cotdero,. hIibJ,. Garza Y Rodríguez, 2000). NIVEL DE ABSTRi El constructivismo so matemático de una manera 1 que los problemas aritméti ampliamente según su dific respuestas incorrectas de 1 estudios que traten el gra( relación con el contexto so un proceso de abstracción q abstracto, lo cual ocurre e interacciones y situaciones s Bajo esta idea, la pres incidencia del grado de abs tomando a dos contextos I urbano. Lo sujetos de inves educación primaria. 2.M Para contar con una perspec problema de investigación, i de cambio y su nivel de e abstracción como proceso d con la cognición matemáticl urbanos y rurales. Los problemas de cam considerando la presencia ( cambio en la cantidad inie caramelos. Lupita le da c Jorge?", mientras que un lápices. Le da cuatro lápic Ahora bien, la dificultad d ocupa la incógnita. LosI J problemas cuando la incóf l desciende cuando la inc especialmente en el primero I De Corte y Verschaffel, 19~ I I 1 337 BERMEJO )ertence a um contexto rural e 50 % :as consistiram em resolver problemas I resultados mostram que a presencia e primeiro e segundo ano, e baixa nos S obtém seus melhores resultados nos gam de modo parecido em todos os :upam especialmente em primeiro e lculo, e nos urbanos sao mais comuns llgumas aplic~s educativas a partir lrraO, problemas matemáticos. ['abstraction dans la résolution des urbains et ruraux. L'échantillon est mnée de l'école élémentaire, 50 % nt aun contexte urbain aMéxico. Les aes arithmétiques qui portent sur les .es résultats montrent que la présence . premiere et la deuxieme année mais le de signaler que les éleves ruraux n langage natureI. Les stratégies de .s les cours (1 ere au 4eme) du contexte ~es principalement dans le premier et s d'estimation mais les éleves urbains Finalement, sont signalés quelques oblemes mathématiques Dnal de la OCDE (2002, 2005) vIéxico en el último lugar. Ello esores, investigadores y demás e país, a fin de incrementar la formación matemática de conviene iniciarlas desde los le preescolar o al menos desde toral, Cordero, Farfán, Garza y NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS El constructivismo sostiene que los nmos construyen el conOCImIento matemático de una manera activa a lo largo de su desarrollo (Rico, 1997); de ahí que los problemas aritméticos de adición y sustracción se hayan investigado ampliamente según su dificultad, comprensión, procedimientos de resolución y respuestas incorrectas de los alumnos. Sin embargo, existe una carencia de estudios que traten el grado de abstracción en los problemas verbales y su relación con el contexto sociocultural. Dicho conocimiento implicaría analizar un proceso de abstracción que partiría del nivel concreto hasta alcanzar el nivel abstracto, lo cual ocurre en un contexto sociocultural donde' un conjunto de interacciones y situaciones sociales modelan el desarrollo cognitivo individual. Bajo esta idea, la presente investigación tiene como intención estudiar la incidencia del grado de abstracción en los problemas de adición y sustracción, tomando a dos contextos educativos significativos de México, el rural y el urbano. Lo sujetos de investigación serán alumnos de primero a cuarto año de educación primaria. 2. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA Para contar con una perspectiva sobre los planteamientos importantes respecto al problema de investigación, se exponen a continuación la definición de problema de cambio y su nivel de dificultad; las estrategias de solución; el grado de abstracción como proceso de conocimiento; la noción de contexto y su relación con la cognición matemática, así como las características cognitivas de los niños urbanos y rurales. Los problemas de cambio se precisan debido a su estructura semántica, considerando la presencia de una acción implícita o explícita que produce un cambio en la cantidad inicial. Un ejemplo de adición es: "Jorge tiene ocho caramelos. Lupita le da cuatro caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene ahora Jorge?", mientras que un ejemplo de sustracción sería: "María tiene ocho lápices. Le da cuatro lápices a Sonia. ¿Cuántos lápices tiene ahora María?". Ahora bien, la dificultad de estos problemas es diferente, según el lugar que ocupa la incógnita. Los niños manifiestan un mayor rendimiento en los problemas cuando la incógnita es la cantidad final; sin embargo, este nivel desciende cuando la incógnita se sitúa en uno de los subconjuntos, especialmente en el primero (Bermejo, 1990; Carpenter, Hiebert y Moser, 1981; De'Corte y Verschaffel, 1987). Por un lado, Bermejo, Lago y Rodríguez (1998) ¡ J 338 JUAN JOSÉ DÍAZ YVICENTE BERMEJO jerarquizan los problemas verbales de adición y sustracción en función de la dificultad que presentan para los niños de preescolar, primero y segundo de educación primaria. Por otro, Bermejo, Dopico, Lago, Lozano y Rodríguez (2002) afirman que los niños tienen una dificultad creciente en los tipos de problemas, de acuerdo con la secuencia siguiénte: algoritmo, cambio, combinación, igualación, comparación y relacional. Con relación a los procedimientos de solución, Carpenter y Moser (1982) enGuentran tt:es tipos de estrategias infantiles en los problemas verbales tanto de , adición como de sustracción: modelado directo, conteo y hechos numéricos. La de modelado directo consiste en representar con dedos u objetos los conjuntos de la operación para encontrar después el resultado. Se manifiesta en la adición (3 +4 = 7) mediante el procedimiento contar todo con modelos (el niño extiende en una mano un dedo, luego el segundo dedo, después un tercer dedo .. .luego en la otra mano extiende un dedo, después el segundo, > el tercero y el cuarto ... Ahora los cuenta en el mismo orden: "uno, dos, tres", "uno, dos, tres, cuatro" y dice: "uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, son siete"), mientras que en la sustracción (8 - 5 =7) ocurre a través de los procedimientos separar de (el niño construye el conjunto mayor, 8 objetos, y entonces separa un número de objetos igual al número menor, 5 objetos. Al contar el conjunto de objetos restantes, 3 objetos, ocurre la respuesta para el problema: "tres"), separar a (el niño separa 3 objetos del conjunto mayor, dejando sólo 5 objetos y cuenta los objetos separados; la respuesta es "tres"), añadir a (el niño coloca un conjunto de 8 objetos y enseguida realiza un conjunto de 5 objetos. Posteriormente agrega 3 objetos a este último conjunto para tener 8 objetos. La respuesta es el número de objetos agregados: "tres"), y emparejamiento (el niño coloca un conjunto de 8 objetos y otro conjunto de 5 objetos; el número de objetos sin emparejar es la respuesta: "tres"), como los describen Baroody (1987), y Bermejo y Rodríguez (1993). La estrategia de conteo implica el uso de secuencias de conteo para obtener la solución del problema,> sin necesidad de representar los términos de la operación. En el caso de la adición, se recurre a los procedimientos contar todo sin modelos (W10, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete), contar a partir del primer sumando ("tres; cuatro, cinco, seis, siete"), y contar a partir del sumando mayor ("cinco, seis, siete"), referidos por Baroody (1987), y Bem1ej o y Rodríguez (1993). En cuanto a la sustracción, se encuentran los procedimientos contar hacia atrás a partir de (el niño cuenta hacia atrás a partir del minuendo tantos pasos como marca la cantidad menor; el último número pronunciado es la respuesta: "siete, seis, cinco, cuatro, tres"), contar hacia atrás (el niño cuenta NIVEL DE ABSTRAC hacia atrás desde el número elementos contados es la resf dado (el niño cuenta a parti respuesta se obtiene contand conjuntos: "seis, siete, ocho' Rodríguez (1993). La estrategia de hechos derivados. La primera ocurre, sustracción de dos números "11- 5 =6 porque once men, alude a la obtención del result descomposición (6 + 7 = ? " porque 7 es uno más que 6, y menos 5 es igual a 5; 9,es 1 m 4"), como se detalla en B Putnam, De Bettencourt y Leí Bermejo et al. (1998) l1 primera dice que el tipo de e incógnita y el tipo de operad La segunda plantea que las e: nivel escolar. En tal sentido, 1, a las estrategias de modelado conteo y los de segundo men Por tanto, se considera que la de lo material (uso de objetos: numéricos conocidos) (Bem Carpenter y Moser, 1982; De I La perspectiva construct concreto hacia lo abstracto ( Kirkland y Lewis, 2001; Kato niveles de abstracción que s pictórico, numérico y verbal, ' de lo concreto hacia lo abstra uso de objetos en la instrucci no su concretividad; es decir mismos, sino como instrumer de un concepto nuevo o sÍm1: Kirkland y Lewis (2001) al 339 ERMEJO sustracción en función de la colar, primero y segundo de. Lago, Lozano y Rodríguez tad creciente en los tipos de ~uiente: algoritmo, cambio, ~~ Ca,rpenter y Moser (1982) s problemas verbales tanto de mteo y hechos numéricos. La dos u objetos los conjuntos de Se manifiesta en la adición con modelos (el niño extiende més un tercer dedo .. .luego en Ildo,' el tercero y el cuarto ... es", "uno, dos, tres, cuatro" y In siete"), mientras que en la dimientos separar de (el niño ¡ separa un número de objetos njunto de objetos restantes, 3 "), separar a (el niño separa 3 bjetos y cuenta los objetos liño coloca un conjunto de 8 ~tos. Posteriormente agrega ~ La respuesta es el número de niño coloca un conjunto de 8 le objetos sin emparejar es la 987), y Bermejo y Rodríguez encias de conteo para obtener >resentar los términos de la IS procedimientos contar todo :e), contar a partir del primer r a partir del sumando mayor 87), y Bermejo y Rodríguez Lll los procedimientos contar : a partir del minuendo tantos ) número pronunciado es la r hacia atrás (el niño cuenta NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS hacia atrás desde el número mayor hasta alcanzar el menor; el número de elementos contados es la respuesta: "ocho, siete, seis"), y contar a partir de lo dado (el niño cuenta a partir del número menor hasta alcanzar el mayor; la respuesta se obtiene contando los numerales emitidos para equiparar ambos conjuntos: "seis, siete, ocho"), indicados por Baroody (1987), y Bermejo y Rodríguez (1993). La estrategia de hechos numéricos puede ser de ,dos tipos: conocidos y derivados. La primera ocurre cuando el niño recuerda el resultado de la adición o sustracción de dos números (" 3 +4 =7 porque tres más cuatro son siete", y "11- 5 =6 porque once menos cinco es igual a seis"), mientras que la segunda alude a la obtención del resultado mediante los procedimientos de composición y descomposición (6 + 7 = ? "Yo sé que 6 más 6 es igual a 12; 6 más 7 es 13 porque 7 es uno más que 6, y 13 es uno más que 12", y 9 - 5 = ? "Yo sé que 10 menos 5 es igual a 5; 9 es 1 menos que 10; así, separo 1 de la respuesta 5 y tengo 4"), como se detalla en Baroody (1987), Bermejo y Rodríguez (1993), y Putnam, De Bettencourt y Leinhardt (1990). Bermejo et al. (1998) resaltan dos cuestiones sobre las estrategias. La primera dice que el tipo de estrategia se relaciona más con la ubicación de la incógnita y el tipo de operación que con la estructura semántica del problema. La segunda plantea que las estrategias de los niños cambian en relación con el nivel escolar. En tal sentido, los niños de preescolar recurren con más frecuencia a las estrategias de modelado directo, los alumnos de primero de primaria las de conteo y los de segundo mencionan principalmente a las de hechos numéricos. Por tanto, se considera que la secuencia como se desarrollan las estrategias parte de lo material (uso de objetos) hacia lo verbal (contar) y luego lo mental (hechos numéricos conocidos) (Bermejo, 1990, 2004; Bermejo y Rodríguez, 1993; Carpenter y Moser, 1982; De Corte y Verschaffel, 1987). La perspectiva constructivista señala .que el proceso cognitivo de lo concreto hacia 10 abstracto ocurre a través de niveles de desarrollo (Kamii, Kirkland y Lewis, 2001; Kato, Kamii, Ozaki y Nagahiro, 2002). Ahora bien, los niveles de abstracción que se consideran en esta investigación son concreto, pictórico, numérico y verbal, que siguen un orden progresivo en la comprensión de lo concreto hacia lo abstracto. En cuanto al nivel concreto, se afirma que el uso de objetos en la instrucción de las matemáticas puede ser efectivo, aunque no su concretividad; es decir, los alumnos no se centran en los objetos en sí mismos, sino como instrumentos que facilitan el aprendizaje y la comprensión de un concepto nuevo o símbolo escrito (NCTM, 2000). En este nivel, Kamii, Kirkland y Lewis (2001) apuntan que' es útil la manipulación de material 340 mAN JOSÉ DÍAZ Y VICENTE BERMEJO concreto para adquirir el conOCImIento lógico-matemático. Estos autores consideran que el uso de dicho material sirve para solucionar el problema' mediante la construcción de relaciones mentales por medio de la abstracción reflexionante. Tocante al nivel pictórico, se precisa que los dibujos sirven para establecer una conexión de lo concreto con lo abstracto. Se ha propuesto que este nivel abarque la enseñanza de la estructura semántica de los problemas de adición y sustracción dentro de un diagrama parte-todo (Wolters, 1983), a través de dibujos esquemáticos -como un diagrama de flechas- o mediante la construcción de dibujos libres que representen el problema (De Corte y Verschaffel, 1987; Fuson y Willis, 1988). De cualquier forma, los alumnos construyen una representación pictórica adaptada a sus propias ideas o nivel evolutivo. Además, Fuson.y Willis (1988) reportaron que los niños de segundo· año de primaria son capaces de identificar la estructura semántica del problema dibujado, escribir los números del problema en el lugar apropiado del dibujo y detern1inar si se suman o restan los dos números conocidos. Referente al nivel numérico, se ha analizado la representación simbólica convencional. Kamii et al. (2001) plantean que los niños de primero de primaria se familiarizan con los algoritmos al escribir expresiones convencionales (3 + 2 = 5 Y 3 + 2), aunque otros sólo escribían dos números o uno, incluso omitían los signos + ó =. Estos autores explican que las relaciones entre 3, 2 Y 5 implican una relación jerárquica dificil de comprender para los niños pequeños, debido que, al sumar dos números, se yombinan dos enteros (3 y 2); para hacer un número de orden superior (5), se requiere que los números anteriores sean las partes, mientras que las relaciones entre tales partes (3 + 2) no involucran una· relación jerárquica. Además, el uso del signo = es poco frecuente y la relación entre los tres números (3, 2 Y 5) se considera como una dificultad en los niños de· primer curso para hacer relaciones parte-todo jerárquicas. Lo anterior significa que el niño no puede representar (externar) una relación parte-todo 'que no existe en su mente. Por último, en el nivel verbal se representa el grado más elevado de abstracción, cuando existe la comprensión sobre la estructura semántica de los problemas de adición y sustracción. La competencia cognitiva abstracta se centra en dominar las relaciones semánticas o el significado entre las cantidades por encima de las relaciones simbólicas convencionales establecidas en el algoritmo. En este nivel, además, se incorporan los planteamientos anteriores sobre los problemas verbales. NIVEL DE ABSTRA1 A continuación, expondr del ámbito sociocultural de 1 Es esperable que, si exist, matemático entre dos o vario diferencias relevantes entre interior de un país. En dicho la cognición matemática, matemático de niños urbanos Los estudios en tomo Carraher y Schliemann, 19: contextos diferentes desam pensamiento, de modo qu componente en el desarrollo 1990). De acuerdo con Abre de vista: como una caracterís cultural particular que se PI característica social producto concreto, el cual sanciona 1 Estas formas se conocen sir permite participar en determi identidad social (Abreu, 199: ciertas comunidades que se le Por tanto, podemos defin un conjunto de instrumento conocimiento, mediante un p social, donde se legitimaI significados dentro de una es Si se toma como base a lo contexto sociocultural en e práctica social con la que aprendizaje de las matemáti informal han mostrado difeI cuanto a su comprensión de ( 1985; Carraher, Carraher y ~ 1993; Schliemann y Carrahel conocimiento matemático en reglas y procedimientos ma i 341 BERMEJO NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS ~o-matemático. Estos autores : para solucionar el problema s por medio de la abstracción ; dibujos sirven para establecer ,e ha propuesto que este nivel de los problemas de adición y (Wolters, 1983), a través de de flechas- o mediante la m el problema (De Corte y cualquier forma, los alumnos la a sus propias ideas o nivel taron que los niños de segundo . ructura semántica del problema el lugar apropiado del dibujo y :.;onocidos. do la representación simbólica l)S niños de primero de primaria )resiones convencionales (3 + 2 neros o uno, incluso omitían los aciones entre 3, 2 Y 5 implican ara los niños pequeños, debido enteros (3 y 2); para hacer un los números anteriores sean las artes (3 + 2) no involucran una· es poco frecuente y la relación, 110 una dificultad en los niños de ~rárquicas, Lo anterior significa 'elación parte-todo que no existe mta el grado más elevado de e la estructura semántica de los lcia cognitiva abstracta se centra ~ficado entre las cantidades por r.es ~lecidas en el algoritmo. ¡reanTIentos anteriores sobre los A continuación, expondremos los planteamientos sobre la posible influencia del ámbito sociocultural de los alumnos en la resolución de tareas matemáticas. Es esperable que, si existen diferencias transculturales en el rendimiento matemático entre dos o varios países (Resnick, 1989), podemos suponer que hay diferencias relevantes entre distintas culturas o contextos socioculturales al interior de un país. En dicho sentido se requiere abordar la noción del 'Contexto y la cognición matemática, así como las características del conocimiento matemático de niños urbanos y rurales. Los estudios en torno a la cognición a través del contexto (Carraher, Carraher y Schliemann, 1985; Saxe, 1991, 2002) indican que los niños de contextos diferentes desarrollan de distinta manera las mismas tareas de pensamiento, de modo que los contextos socioculturales constituyen un componente en el desarrollo cognitivo (Brown, Collins y Duguid, 1989; Rogoff, 1990). De acuerdo con Abreu (1998), la noción de contexto incluye dos puntos de vista: como una característica física o un instrumento producido por un grupo cultural particular que se presenta en el momento de la acción, y como una característica social producto de la historia de un grupo dentro de un orden social concreto, el cual sanciona las formas legítimas de conocimiento matemático. Estas formas se conocen simbólicamente por los actores sociales, lo cual les permite participar en determinadas posiciones en la estructura social y crear una identidad social (Abreu, 1995). De tal modo, el conocimiento empieza dentro de ciertas com~idades que se localizan en estruchrras sociales particulares. Por tanto, podemos definir al contexto como un entorno cultural que facilita un conjunto de instrumentos. empleados por lo niños en la construcción -del conocimiento, mediante un proceso activo que se manifiesta en una interacción· social, donde se legitiman las formas y procedimientos para construir significados dentro de una estructura social en un tiempo y situación específicos. Si se toma como base a 10 anterior, podemos destacar que la influencia del contexto sociocultural en el conocimiento matemático está mediada por la práctica social con la que se construye el. significado contextualizado en el aprendizaje de las matemáticas (Saxe, 1991). Los trabajos sobre el contexto informal han mostrado diferencias entre los niños de diferentes contextos en cuanto a su comprensión de diversos problemas de matemáticas (Carraher et al., 1985; Carraher, Carraher y Schliemann, 1987; Nunes, Schliemann y Carraher, 1993; Schliemann y Carraher, 2002). En términos generales, la construcción del conocimiento matemático en contextos específicos se fundamenta con el uso de reglas y procedimientos matemáticos como ijerramientas para realizar metas I 342 JUAN JOSÉ DÍAZ YVICENTE BERMEJO particulares. Entonces, las estrategias tienen un significado sociocultural (Nunes et al., 1993; Resnick, 1987; Schliemann, 1995). Finalmente, con respecto a las características del conocimiento matemático de los niños urbanos y rurales, Saxe y Gearhart (1990) encuentran que los niños rurales tienen una habilidad espacial mayor que los urbanos. No obstante, los niños urbanos desarrollan formas cognitivas de acuerdo con su práctica económica de ventas, mientras que los rurales generan un conocimiento específico mayor en los problemas espaciales que se presentan durante su práctica de tejer. Además, Saxe (1991) contrasta la existencia de diferencias entre las estrategias de los niños vendedores de la calle con los no vendedores, tanto en el contexto urbano como en el rural, atendiendo a la práctica específica y la evolución de su conocimiento informal. Este autor identifica un mayor rendimiento en los alumnos urbanos, al compararlo con los rurales. 2.1. Objetivos El objetivo general del presente estudio consiste en investigar el patrón evolutivo que tienen los niños de distinto contexto sociocultural en la solución de problemas de cambio aumento y cambio disminución, según el nivel de abstracción. De aquí se desprenden dos objetivos particulares: el primero implica determinar si existen diferencias de rendimiento entre los alumnos de los contextos urbano y rural en la resolución de problemas de cambio; el segundo es analizar las estrategias empleadas por los niños de cada contexto durante la solución del problema. 2.2. Planteamiento La investigación tiene como propósito analizar el rendimiento y las estrategias que, según su nivel de abstracción, ocupan los escolares de primero hasta cuarto año de primaria en ambos contextos socioculturales, con respecto a los problemas de cambio aumento y cambio disminución. El diseño experimental incluye problemas de cambio aumento y cambio disminución. Las variables intrasujetos son el nivel de abstracción (concreto, dibujos, numérico y verbal) y el lugar de la incógnita (cantidad final, cantidad inicial), las cuales atañen al curso escolar, que comprende desde primero hasta NIVEL DE ABSTRA cuarto año de educación PI urbano al cual pertenecen 101 Para el primer objetivo ¿cuáles son las diferencias c escolar, nivel de abstrac, disminución, y la incógnita escuelas urbanas y rurales alumnos de cada contexto: distinta según el nivel de ab: la incógnita cantidad fi.nal o • En esta sección describirem( características de los particiI basado en el uso de entrevist: 3.1. Participantes Un total de 192 niños selecci eran alumnos rurales y 96 Uf. primaria en varias escuelas p deed; Curso e Prim Segu Tere Cua; La Tabla 1 presenta los dé 343 3ERMEJO gnificado sociocultural (Nunes : del conocimiento matemático 1990) encuentran que los niños los urbanos. No obstante, los de acuerdo con su práctica es generan un conocimiento que se presentan durante su ta la existencia de diferencias ,a calle con los no vendedores, ldiendo a la práctica específica :ste autor identifica un mayor .o con los rurales. n investigar el patrón evolutivo ~iocu1tural en la solución de minución, según el nivel de pmiiculares: el primero implica Ita entre los alumnos de los lemas de cambio; el segundo es s de cada contexto durante la ~l rendimiento y las estrategias colares de primero hasta cuarto llturales, con respecto a los ;ión. de cambio aumento y cambio uvel de abstracción (concreto, Jgnita (cantidad [mal, cantidad :omprende desde primero hasta NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS cuarto año de educación primaria, así como el contexto sociocultural rural y urbano al cual pertenecen los participantes. Para el primer objetivo se formula la siguiente pregunta de investigación: ¿cuáles son las diferencias de rendimiento en las distintas tareas según el curso escolar, nivel de abstracción, es.tructura de cambio aumento y cambio disminución, y la incógnita en 'la cantidad final o inicial entre los alumnos de escuelas urbanas y rurales? El segundo objetivo implica la pregunta: ¿los alumnos de cada contexto sociocultural emplean las estrategias de manera distinta según el nivel de abstracción, cambio aumento y cambio disminución, y la incógnita cantidad final o inicial en el problema? 3. MÉTODO En esta sección describiremos la metodología de la investigación a partir de las características de los participantes, los materiales empleados y el procedimiento basado en el uso de entrevistas como protocolos verbales. 3 .1. Participantes Un total de 192 niños seleccionados al azar tomaron parte en la investigación: 96 eran alumnos rurales y 96 urbanos, quienes cursaban de primero a cuarto año de primaria en varias escuelas públicas del estado de Zacatecas, México. TABLA 1 Puntuación media de edad en los al---­ r~----r------ Alumnos Alumnos Curso escolar urbanos rurales Primero 6.8 6.6 Segundo 7.7 7.5 Tercero 8.4 8.5 Cuarto 9.8 9.7 La Tabla 1 presenta los datos sobre la edad de los participantes. La muestra 344 JUAN JOSÉ DÍAZ YVICENTE BERMEJO NIVEL DE ABSTRAI rural se integró por 24 alumnos de cada curso escolar, de los cuales el 50% eran niñas y 50% niños; 10 mismo ocurrió con la muestra de alumnos urbanos, que se formó con 50 niños y 46 niñas. El contexto rural es el municipio de Luis Moya, ubicado en el centro-norte de México, a 60 kilómetros de la capital del estado de Zacatecas, mientras que el urbano es el área metropolitana de la ciudad de Zacatecas: Todos los participantes en el estudio pertenecen a familias con nivel socioeconómico bajo. En estas escuelas el programa de matemáticas presenta la operación de suma en la segunda mitad del primer curso, mientras que la resta empieza en la segunda mitad del segundo curso. Para aplicar la tarea se solicitó el permiso de los padres y directores de los centros educativos. En la Tabla II se indican el nivel de abstracción. C2 familiares para los alumnos, resultaron similares a través algunos problemas que se pre Nivel concreto de cambio di con incógnita cantidad final 3.2. Material El material consistió en 16 problemas de cambio aumento y cambio disminución con dos posiciones de la incógnita -cantidad inicial y' cantidad final-, bajo cuatro 'niveles de abstracción: objetos, dibujos, algoritmos y problemas verbales. TABLAII Matena'1es emplea1 dos en os problemas, segun e 1mve e a stracClOn. 1 d b Nivel concreto Nivel dibujos Nivel numérico Nivel verbal Canicas Dibujos de 3+4=?· Juan tenía tres canicas. Lupita ' canIcas le da cuatro canicas. ¿Cuántas canicas tiene ahora Juan? Lápices Dibujos de ?+3=8 Juan tenía algunos lápices. lápices Lupita le da tres lápices. Ahora ' tiene ocho lápices. ¿Cuántos lápices tenía Juan al principio? Caramelos Dibujos de 8-2=? Pepe tenía ocho caramelos. Le caramelos dio dos caramelos a María. ¿Cuántos caramelos tiene Pepe ahora? Galletas Dibujos de ?-4=5 Pepe tenía algunas galletas. galletas Le dio cuatro galletas a María. Ahora tiene cinco. ¿Cuántas galletas tenía Pepe al principio? Nivel concreto de cambio di: con incógnita cantidad inicial Figura 1. Ejemplos de los 3.3. Procedimiento Los problemas de cambio al participantes durante dos sesi y los ocho restantes en la segl de adición y sustracción estu todos los participantes. Además, cada alumno fu los problemas concretos se PI entrevistador formulaba el pro señalan). Lupita le regala Cl Juanito ahora? (se señala el e: se mostraron los símbolos COI alumnos mantuvieran visible, relaciones semánticas entre h niveles de abstracción. En h al alumno y también el 1m dibujos correspondientes. 345 BERMEJO colar, de los cuales el 50% eran stra de alumnos urbanos, que se 1 es el municipio de Luis Moya, letros de la capital del estado de metropolitana de la ciudad de pertenecen a familias con nivel lS presenta la operación de suma as que la resta empieza en la a tarea se solicitó el permiso de aumento y cambio disminución inicial y cantidad final-, bajo 19oritmos y problemas verbales. ;ún el nivel de abstracción Nivel verbal lan tenía tres canicas. Lupita da cuatro canicas. ¿Cuántas lnicas tiene ahora Juan? Lan tenía algunos lápices. Llpita le da tres lápices. hora tiene ocho lápices. :::uántos lápices tenía Juan al :inciQio? ~pe tenía ocho caramelos. Le .0 dos caramelos a María. ::;uántos caramelos tiene ~Ee ahora? ~pe tenía algunas galletas. e dio cuatro galletas a María. hora tiene cinco. ¿Cuántas ,tlletas tenía Pepe al rinciQio? NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS En la Tabla II se indican los materiales empleados en los problemas, según el nivel de abstracción. Cabe mencionar que los objetos con<:;retos fueron. familiares para los alumnos, y que el cambio aumento y cambio disminución resultaron similares a través de los niveles de abstracción. La Figura 1 muestra algunos problemas que se presentaron a los participantes. Nivel concreto de cambio disminución Nivel dibujos de cambio aumento. con con incógnita cantidad final incógnita cantidad inicial Nivel concreto de cambio disminución Nivel dibujos de cambio aumento con con incógnita cantidad inicial incógnita cantidad final Figura l. Ejemplos de los niveles de abstracción presentados a los alumnos. 3.3. Procedimiento Los problemas de cambio aumento y cambio disminución se mostraron a los participantes durante dos sesiones. En la primera se presentaron ocho problemas y los ocho restantes en la segunda. El orden en que se dieron a conocer las tareas de adición y sustracción estuvo contrabalanceado al azar de· igual manera para todos los participantes. Además, cada alumno fue entrevistado bajo el siguiente procedimiento. En los problemas concretos se presentaban los objetos sobre la mesa al alumno y el entrevistador formulaba el problema. Por ejemplo: Juanito tiene tres canicas (se señalan). Lupita le regala cuatro canicas (se indican). ¿Cuántas canicas tiene Juanito ahora? (se señala el espacio de la incógnita). En este nivel de concreción se mostraron los símbolos concretos de la operación y el signo igual para que los alumnos mantuvieran visible, y no en la memoria o en el nivel lingüístico, las relaciones semánticas entre las cantidades de manera consistente con los demás niveles de abstracción. En los problemas con dibujos se presentaban las tarjetas al alumno y también el investigador enunciaba el problema, señalando sus dibujos correspondientes. 346 JUAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO En los problemas numéricos se mostraba el algoritmo y el experimentador planteaba el problema, indicando sus términos en relación con la ecuación, lo cual implicaba que la expresión numérica no fuera un simple ejercicio, sino que mostrara la estructura semántica de cambio, al igual que en los demás niveles. En los problemas verbales se daba la tarjeta con el problema escrito para que la leyera cada participante, al mismo tiempo, el investigador leía pausadamente el problema. Tras la resolución, se preguntaba a los participantes cómo lo habían hecho, a fin de conocer con precisión la estrategia utilizada. Veamos el caso de una alumna de cuarto año en la solución del problema sobre dibujos de cambio disminución con la incógnita la cantidad inicial. Experimentador: luan tenía algunas galletas (se señala el espacio de la incógnita). Le dio 4 galletas a María (se indican). Ahora tiene 5 (se señalan). ¿Cuántas galletas tenía al principio, Juan? l.María: Nueve. Experimentador: ¿Cómo le has hecho para saber que son nueve? 1. Maria: Contando las galletas y después restándole. Experimentador: ¿Cómo las contaste y cómo le restas? l. María: Cinco más cuatro, nueve. Y le quitamos las que están aquí, cuatro, y quedan cinco. Cada entrevista tuvo una duración aproximada de 20 minutos. Las sesiones se grabaron en video, los problemas se aplicaron en las escuelas durante el horario escolar, mientras que las respuestas infantiles se consideraron verdaderas o erróneas. Las estrategias de adición y sustracción se categorizaron de acuerdo con Carpenter y Moser (1982): modelado directo, conteo y hechos numéricos. Un ejemplo de la estrategia modelado en el problema verbal de cambio aumento con la incógnita la cantidad final fue explicado por un alumno de primer año: 1. Pablo: Uno, dos, tres (muestra 3 dedos extendidos), uno, dos, tres, cuatro (muestra 4 dedos extendidos). Experimentador. ¿Cuál es la respuesta? 1. Pablo: Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete (cuenta 7 dedos) ... siete. 4. ANÁLISIS y DISCUSIÓN DE RESULTADOS En este apartado nos ocuparemos primero del rendimiento de los alumnos y después analizaremos las estrategias utilizadas en la resolución de los problemas planteados. NIVEL DE ABSTR¡ 4.1. Rendimiento Las respuestas de los partic fiabilidad de 0.90. Dichos. varianza (ANOVA) mixto primero vs. segundo vs. ten vs. dibujos vs. numérico vs. disminución), X 2 (lugar de medidas repetidas en los tre El rendimiento de los alurnr dependiente. Ahora bien, los resul principales de los factores c' F (3, 552) = 3.13, p < .05, incógnita F (1, 184) = 155.; 184) = 3.09, P = .08 aunqt notorias en algunos cursos I abstracción, la operación rendimiento de los participa Materiales empl Contexto Curso' Primero Rural Segundo Tercero Cuarto Primero Urba.no Segundo Tercero Cuarto Nota: e = nivel concreto, 1 La Tabla III contiene la de los alumnos rurales y u aumento, según el context( lugar de la incógnita. La 1 347 EBERMEJO ~l algoritmo y el experimentador , en relación con la ecuación, lo lera un simple ejercicio, sino que igual que en los demás niveles. n el problema escrito para que la lvestigador leía pausadamente el los participantes cómo lo habían :gia utilizada. Veamos el caso de 'oblema sobre dibujos de cambio ¡la el espacio de la incógnita). Le dio hora tiene 5 (se señalan). ¿Cuántas : son nueve? .s? las que están aquí, cu~tro, y quedan lada de 20 minutos. Las sesiones :aron en las escuelas durante el mtiles se consideraron verdaderas ción se categorizaron de acuerdo :cto, conteo y hechos numéricos. blema verbal de cambio aumento por un alumno de primer año: lS), uno, dos, tres, cuatro (muestra 4 ~nta 7 dedos) ... siete. 1 RESULTADOS ~l rendimiento de los alumnos y en la resolución de los problemas NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 4.1. Rendimiento Las respuestas de los participantes presentan un índice de Cronbach (alpha) de fiabilidad de 0.90. Dichos resultados se han estudiado mediante el análisis de varianza (ANOVA) mixto 2 (contexto: rural vs. urbano), X 4 (curso escolar: primero vs. segundo vs. tercero vs. cuarto), X 4 (nivel de abstracción: concreto vs. dibujos vs. numérico vs. verbal), X 2 (operación: cambio aumento vs. cambio disminución), X 2 (lugar de la incógnita: cantidad final vs. cantidad inicial), con medidas repetidas en los tres últimos factores mediante el programa SPSS 11.0. El rendimiento de los alumnos en las distintas tareas se considera como variable dependiente. Ahora bien, los resultados indican que son significativos los efectos principales de los factores curso F (3, 184) = 57.24, P < .01, nivel de abstracción F (3, 552) = 3.13, P < .05, operación F (1, 184) = 4.00, P < .05 Y lugar de la incógnita F (1, 184) = 155.16, P < .01. No hubo efecto del factor contexto F (1, 184) = 3.09, P = .08 aunque, como veremos después, las diferencias se hacen notorias en algunos cursos o situaciones. Por tanto, el curso escolar, el nivel de abstracción, la operación y la incógnita afectan significativamente el rendimiento de los participantes. ' TABLA III Materiales empleados en los problemas de cambio aumento Cambio disminución Incógnita cantidad Incógnita cantidad Contexto Curso' inicial final C D N V C D N V Primero .33 .25 .20 .20 .41 .33 .33 .54 Rural Segundo Tercero .50 .50 .37 .50 .33 .54 .29 '.75 .37 .66 .29 .66 .37 .79 .75 .87 Cuarto .87 .83 .83 .91 LO' 1.0 1.0 1.0 Primero .33 .37 .33 .08 .37 .37 .45 .50 Urbano Segundo Tercero .70 .62 .70 .58 .54 .62 .41 .66 .62 .41 .54 .62 .58 .83 .83 .91 Cuarto .79 .79 .75 .79 .95 .91 .95 1.0 . Nota: e = nivel concreto, D = nivel dibujos, N = nivel numérico, V = nivel verbal La Tabla III contiene las puntuaciones medias sobre el nivel de abstracción de los alumnos rurales y urbanos en la solución de los problemas de cambio aumento, según el contexto, grado escolar, nivel de abstracción, operación y lugar de la incógnita. La Tabla IV contiene las puntuaciones medias sobre el .. 348 mAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO nivel de abstracción de los alumnos rurales y urbanos en la solución de los problemas de cambio disminución, según el contexto, grado escolar, nivel de abstracción, operación y lugar de la ·incógnita. TABLA IV Materiales empleados en los problemas de cambio disminución Cambio aumento Incógnita cantidad Incógnita cantidad Contexto Curso inicial :f;inal C D N V C D N V Primero .20 .25 .16 .12 .54 .45 .50 .66 Segundo .12 .20 .29 .29 .91 .75 .37 .87Rural Tercero .37 .45 .45 .54 .70 .70 .91 .83 Cuarto .87 .91 .87 .87 1.0 1.0 1.0 1.0 Primero .08 .04 .08 .16 . .70 .70 .58 .70 Segundo .41 .33 .37 .20 .87 .91 .70 .83Urbano Tercero .54 .58 .79 .54 .95 .95 1.0 .95 Cuarto .83 .87 .91 .83 1.0 .95 .95 J.O Nota: e = nivel concreto, D = nivel dibujos, N = nivel numérico, V = nivel verbal En el primer año, los alumnos rurales obtienen un mayor rendimiento en el nivel verbal de cambio aumento con la incógnita cantidad final (.66), mientras que los urbanos destacan más en los niveles concreto, con dibujos y verbal (.70). En el segundo año, los niños rurales muestran mayores destrezas en el nivel concreto de cambio aumento con la incógnita cantidad fmal (.91), mientras que los urbanos ofrecen mejores habilidades en el nivel dibujos de cambio aumento con la incógnita cantidad final (.91). En el tercer año, los escolares rurales y urbanos manifiestan mayor competencia en el nivel numérico de cambio aumento con la incógnita cantidad final (.91 y 1.0, respectivamente). Con respecto al cuarto año, los estudiantes rurales logran el más alto rendimiento en todos los niveles de abstracción, tanto en cambio aumento como en cambio disminución con la incógnita cantidad final (1.0), mientras que los urbanos consiguen el mejor rendimiento en los niveles concreto y verbal de cambio aumento con la incógnita cantidad final, así como en el nivel verbal de cambio disminución con la incógnita cantidad final (1.0). En la Tabla V se muestran los resultados del estudio de comparaciones múltiples de Tuckey. Dentro del factor curso se hallan diferencias significativas entre los escolares de cuarto con relación a los demás cursos, los alumnos de tercero difieren respecto a los de segundo y primero; asimismo, hay diferencias NIVEL DE ABSTRAI significativas entre segundo los de otros estudios (Carpe] que plantean un patrón ev~ aumento y cambio disminuci, Datos de las Pares Curso 40.-curso 30. Curso 40.-curso 20. Curso 40-curso 1 ere Curso 30.-curso 20. Curso 30-curso 1 ere Curso 20-curso 1 ere Nivel verbal-nivel numérico Pares Nivel verbal-nivel dibujos Cambio aumento­ cambio disminuciór Incógnita cantidad fina1~incógnita cantidad inicial Nota: La diferencia de I La comparación por p abstracción encuentra difere: de dibujos; estos datos conc en el aspecto de que en el n el algoritmo y la presentaci< aparecen diferencias de cam1 Asimismo, se confirma! que la adición es más fácil c 349 ,BERMEJO urbanos en la solución de los mtexto, grado escolar, nivel de le cambio disminución bio aumento Incógnita cantidad final 1 C D N V 2 .54 .45 .50 .66 :9 .91 .75 .37 .87 4 .70 .70 .91 .83 :7 1.0 1.0 1.0 1.0 6' .70 .70 .58 .70 O .87 .91 .70 .83 4 .95 .95 1.0 .95 3 1.0 .95 .95 1.0 vel numérico, V = nivel verbal Len un mayor rendimiento en el ;a cantidad final (.66), mientras reto,'con dibujos.y verbal (.70). mayores destrezas en el nivel .ntidad final (.91), mientras que vel dibujos de cambio aumento y urbanos manifiestan mayor nento con la incógnita cantidad ) al cuarto año, los estudiantes os niveles de abstracción, tanto 1 con la incógnita cantidad final ~jor rendimiento en los niveles ógnita cantidad final, así como ncógnita cantidad final (1.0). del estudio de comparaciones hallan diferencias significativas demás cursos, los alumnos de lero; asimismo, hay diferencias NNEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS significativas entre segundo y primero. Dichos resultados son consistentes con los de otros estudios (earpenter y Moser, 1982; Riley, Greeno y Heller, 1983) que plantean un patrón evolutivo del rendimiento en las tareas de cambio aumento y cambio disminución. TABLA V Datos de las comparaciones de la prueba de Tukey Pares Diferencias Error Significación entre medias típico Curso 40.-curso 30. .23 .04 .00 Curso 40.-curso 20. .39 .04 .00 Curso 40-curso lero. .55 .04 .00 Curso 30.-curso 20. .16 .04 .00 Curso 30-curso 1 ero. .32 .04 .00 Curso 2o-curso 1 ero. .16 .04 .00 Nivel verbal-nivel numérico .04 .02 .03 Pares Diferencias Error Significación entre medias típico Nivel verbal-nivel dibujos .05 .02 .01 Cambio aumento- cambio disminución .03 .01 .04 Incógnita cantidad final-incógnita .24 .01 .00 cantidad inicial L _ .. - Nota: La diferencia de medias es significativa al nivel .05 La comparación por pares con la prueba de Tuckey en el factor nivel de abstracción em;uentra diferencias del nivel verbal con respecto al numérico y al de dibujos; estos datos concuerdan con los identificados por (Riley et al. 1983), en el aspecto de que en el nivel verbal se obtiene un rendimiento mayor que en el algoritmo y la presentación de dibujos. 'Por otra parte, en el factor operación aparecen diferencias de cambio aumento con respecto a cambio disminución. Asimismo, se confirman los resultados de (Riley et al., 1983) en cuanto a que la adición es más fácil que la sustracción, si bien otros estudios (Bermejo et 350 JUAN JOSÉ DÍAZ YVICENTE BERMEJO NIVEL DE ABSTRA( al. 1998, 2002) no han encontrado diferencias significativas en la resolución de ambas operaciones. En el factor incógnita, las diferencias son notorias entre su ubicación en la cantidad final, lo que concuerda con los datos reportados en otros estudios (Bermejo y Rodríguez, 1987; De Corte y Verschaffel, 1987) donde se indica que la incógnita cantidad final es más fácil que la incógnita cantidad inicial. En la Tabla VI aparecen las interacciones significativas. Si nos centramos en la interacción Contexto X Curso X Nivel de abstracción X Operación X Incógnita, encontramos que el análisis sobre los efectos simples del factor nivel de abstracción en los niveles de los demás factores señala que se contrasta el nivel concreto de cambio aumento con la incógnita cantidad final respecto a los niveles numérico y dibujos. Igualmente, los niveles dibujos y verbal difieren con relación al nivel numérico en los alumnos mrales de segundo curso: F (3, 182) = 16.08, P < .01. Además, en estos alumnos se muestran diferencias significativas del nivel verbal de cambio disminución con la incógnita cantidad final respecto a los niveles concreto, dibujos y numérico F (3, 182) = 6.03, P < .01. TABLA VI I t . 'fi f 1 d"lIDIento d 1n eraCClOnes slgm lca lvas en e ren e os a uronos Interacciones Valor F Significancia Curso X Nivel de abstracción F (9,552) = 3.41 p< .01 Curso X Incógnita F (3, 184) = 3.93 P < .01 Nivel de abstracción X F (3,552) = 11.24 P <.01 Incógnita Operación X Incógnita F (1, 184) = 42.29 P < .01 Contexto X Curso X Operación F(3,184)=3.11 P < .05 Curso X Nivel de abstracción F (9, 552) =3.56 p<.Ol X Incógnita Curso X Operación X F (3, 184) = 8.08 P <.01 Incógnita Nivel de abstracción X F (3, 552) = 10.27 P < .01Operación X Incógnita Curso X Nivel de abstracción F (9, 552) = 2.69 p < .01X Operación X Incógnita Contexto X Curso X Nivel de abstracción X Operación X F (9,552) =2.14 P <.05 Incógnita Los niños urbanos de sel disminución con incógnita ( dibujos F (3, 182) = 2.65, P significativas en los niveles incógnita cantidad inicial, el1 182) = 3.73, p < .05. Asin abstracción en los prob1em expresan más los niveles infe la misma operación. Por su parte, los niños url de cambio aumento con la in dibujos y verbal F (3, 182) significativas en el nivel d cantidad final respecto al ni, verbal de cambio disminuciót niveles concreto y dibujos F I más los niveles superiores de dificiles de cambio disminuci, Analicemos con más de! niveles de los demás factore~ rendimiento de los escolares 1 el nivel dibujos de cambio al; 5.72, p < .05. Los alumnos 1 problemas fáciles de cambio! También hay diferencias urbanos de segundo año y lo con la incógnita cantidad inicl la incógnita cantidad final, e incógnita cantidad final, en incógnita cantidad inicial y incógnita cantidad final [F (1, (1, 184) = 3.98, P < .05; F (1 respectivamente]. Los niños ~ mrales en los problemas dific disminución. Además, los eSe en los problemas dificiles de e de cambio aumento. l 1 http:F(3,184)=3.11 351 'EBERMEJO significativas en la resolución de diferencias son notorias entre su :rda con los datos reportados en De Corte y Verschaffel, 1987) al es más fácil que la incógnita 19nificativas. Si nos centramos en de abstracción X Operación X s efectos simples del factor nivel ctores señala que se contrasta el ~nita cantidad final respecto a los eles dibujos y verbal difieren con ~s de segundo curso: F (3, 182) = lUestran diferencias significativas tlcógnita cantidad final respecto a 82) = 6.03, p < .01. miento de los alumnos .lor F Significancia ;2) = 3.41 p < .01 ¡4) = 3.93 p< .01 2) = 11.24 p< .01 4) = 42.29 p< .01 14)=3.11 P < .05 52) =3.56 p< .01 14) = 8.08 p< .01 2) = 10.27 p< .01 ;2) = 2.69 p < .01 ;2) = 2.14 P < .05 NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS Los niños urbanos de segundo año contrastan en el nivel verbal de cambio disminución con incógnita cantidad final respecto a los niveles numérico y dibujos F (3, 182) = 2.65, P = .05. Estos escolares también tienen diferencias significativas en los niveles concreto y dibujos en cambio disminución con la incógnita cantidad inicial, en relación con los niveles numérico y verbal F (3, 182) = 3.73, P < .05. Asimismo, desarrollan más los niveles superiores de abstracción en los problemas fáciles de cambio disminución, mientras que expresan más los niveles inferiores de abstracción en los problemas difíciles con la misma operación. Por su parte, los niños urbanos de tercer año contrastan en el nivel numérico de cambio aumento con la incógnita cantidad inicial sobre los niveles concreto, dibujos y verbal F (3, 182) = 3.30, P < .05. Además, muestran diferencias significativas en el nivel dibujos de cambio disminución con la incógnita cantidad final respecto al nivel concreto, así como en los niveles numérico y verbal de cambio disminución con la incógnita cantidad final en relación con los niveles concreto y dibujos F (3, 182) = 11.88, p < .01. En este curso se emplean más los niveles superiores de abstracción tanto en los problemas fáciles como difíciles de cambio disminución. Analicemos con más detalle los efectos simples del factor contexto en los niveles de los demás factores. El análisis revela diferencias significativas en el rendimiento de los escolares urbanos de primer año con respecto a los rurales en . el nivel dibujos de cambio aumento con la incógnita cantidad final F (3, 184) = l· 5.72, P < .05. Los alumnos urbanos son más pictóricos que los rurales en los I problemas fáciles de cambio aumento. También hay diferencias significativas en el rendimiento de los alumnos urbanos de segundo año y los rurales en el nivel concreto de cambio aumento con la incógnita cantidad inicial, en el nivel concreto de cambio disminución con la incógnita cantidad final, en el nivel dibujos de cambio disminución con la incógnita cantidad final, en el nivel dibujos de cambio disminución con la incógnita cantidad inicial y en el nivel numérico de cambio aumento con la incógnita cantidad final [F (1, 184) = 5.90, P < .05; F (1, 184) = 3.96, p < .05; F (1, 184) = 3.98, p < .05; F (1, 184) = 6.15, p < .05; F (1, 184) = 9.73, p < .01, respectivamente]. Los niños urbanos de segundo año son más concretos que los mrales en los problemas difíciles de cambio aumento y en los fáciles de cambio disminución. Además, los escolares urbanos son más pictóricos que los rurales en los problemas difíciles de cambio disminución y más numéricos en los fáciles de cambio aumento. i 1. http:14)=3.11 352 JUAN JOSÉ DÍAZ YVICENTE BERMEJO NIVEL DE ABSTRA Igualmente, los alumnos urbanos de tercer año difieren con respecto a los rurales en los niveles concreto y dibujos de cambio aumento con la incógnita cantidad final, y en el nivel numérico de cambio aumento con la incógnita cantidad inicial [F (1, 184) = 5.90, P < .05; F (1, 184) = 5.90, P < .05; F (1, 184) = 5.90, P < .. 05; F (1, 184) = 5.90, P < .05; F (1, 184) = 5.90, P < .01, respectivamente]. Los alumnos urbanos emplean más que los rurales los niveles inferiores de abstracción en los problemas fáciles de cambio aumento, mientras que los rurales difieren significativamente de los urbanos en el nivel concreto de cambio disminución con la incógnita cantidad final F (1, 184) = 3.96, p < .05. La Figura 2 ilustra la puntuación media en los niveles de abstracción de los alumnos de primaria, tanto en el contexto rural como en el urbano. Existe un patrón evolutivo en ambos grupos, aunque los niños de primero y segundo año tienden a limitar su proceso de abstracción. También se aprecia un mejor desarrollo a partir de tercero hasta cuarto año. Las diferencias de rendimiento entre los alumnos de ambos contextos indican un predominio de los alumnos urbanos hasta tercer año, pues en cuarto destacan más los rurales. I I , 0.9 --Ir-- Contexto rural - ___ - Contexto mbano0.8 0.7 B 0.6 .@ 0.5 .§ "" 004 &! '" 0.3 0.2 0.1 O 00 -;¡ B (5 8 -;¡ o o -;¡ 00 o 00 o -;¡B O) '5' -e '5' .:,¡ .2, .~ '5' .~ .o .o ~5 ~ il .~ l:! ,g ~tl > tl -t :> ~ " ~ <.> :> o es S;; ~ E a S o Q '0) S'" '" "'" 8 uU z 8 z" ~ z" Primer curso Segundo curso Tercer curso Cuarto curso Figura 2. Niveles de abstracción de los alumnos de primaria de los contextos rural y urbano. En conformidad con el primer objetivo de esta investigación, conviene resaltar que según las puntuaciones medias los niños urbanos rinden mejor que los rurales durante los tres primeros años, especialmente en segundo y tercero. También es pertinente subrayar que ambos contextos muestran un patrón evolutivo en el rendimiento, que se incrementa de acuerdo con los problemas más abstractos en los dos úJ cambio, los alumnos de p particularmente los niños ru más concretas, excepto el rendimientos en el contexto significativo del aprendizaje tareas de cambio aumento disminución, con excepción ( Si bien no hay en gen algunas diferencias significa: rurales de segundo año rel abstracción en los problem urbanos emplean dichos nive Por tanto, aunque la evolu determina por los factores so de las competencias necesari cambio disminución. Así, va sus mejores rendimientos en En cambio, con respecte segundo año el rendimient abstracción, de modo que e resulta a los niños más peq alumnos de tercer año, en e distractor al resolver los prol aprendizaje de las matemátic dejaría de serlo cuando el al' necesario precisar que aunqu entre los alumnos de distin contexto en el empleo de estJ de que se han identificad manifestados por los alumno: 4.2. Análisis de las estrategiG Para analizar las estrategias análisis de varianza (ANOV primero vs. segundo vs. terc vs. dibujos vs. numérico vs. 1 i 353 EBERMEJO . año difieren con respecto a los ambio aumento con la incógnita mbio aumento con la incógnita , 184) = 5.90, P < .05; F (1, 184) 5; F (1, 184) = 5.90, p < .01, lB más que los rurales los niveles les de cambio aumento, mientras IS urbanos en el nivel concreto de inal F (1, 184) = 3.96, P < .05. los niveles de abstracción de los como en el urbano. IS, aunque los niños de primero y ,stracción. También se aprecia un cuarto año. Las diferencias de (tos indican un predominio de los o destacan más los rurales. .. ..... / 1/ ~ ~ oo ,o Oi o o Oi o O> .S' .:lg 'S' :5 il .n il~ -t o ,e o i5El > El >" '" :J Z" 8 Z Tercer curso Cuarto curso in de los alumnos de ~xtos rural y urbano. de esta investigación,conviene ; niños urbanos rinden mejor que ecialmente en segundo y tercero. contextos muestran un patrón ta de acuerdo con los problemas NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS más abstractos en los dos últimos cursos y con la incógnita cantidad final. En cambio; los alumnos de primero y segundo año -sobre todo este curso,' particularmente los niños rurales- obtienen mejores rendimientos en las tareas más concretas, excepto en los problemas verbales, donde hay mejores rendimientos en el contexto rural. Tal hecho se debe probablemente al efecto significativo del aprendizaje informal de dichos escolares. Por otra parte, las tareas de cambio aumento se resuelven en general mejor que las de cambio disminución, con excepción de las que tratan la incógnita cantidad inicial. Si bien no hay en general un efecto del factor contexto, se encuentran algunas diferencias significativas entre los contextos. Por ejemplo, los alumnos rurales de segundo año recurren especialmente a los niveles inferiores de abstracción en los problemas fáciles de cambio aumento, mientras que los urbanos emplean dichos niveles en los problemas fáciles de cambio disminución. Por tanto, aunque la evolución del pensamiento matemático infantil no se determina por los factores sociales, éstos influyen en las diferencias individuales de las competencias necesarias para resolver un problema de cambio aumento o cambio disminución. Así, vale la pena resaltar que los alumnos rurales obtienen sus mejores rendimientos en todos los cursos en el nivel verbal. En cambio, con respecto a los demás niveles de abstracción, en primero y segundo año el rendimiento se incrementa en sentido inverso al nivel de abstracción, de modo que cuanto más concreta es la situación, más fácil les resulta a los niños más pequeños. Sin embargo, esa tendencia cambia en los alumnos de tercer año, en el sentido de que 10 concreto puede llegar a ser un distractor al resolver.1os problemas. Por tanto, el uso de objetos o dibujos en el aprendizaje de las matemáticas parece eficaz en los inicios del aprendizaje, mas dejaría de serlo cuando el aprendizaje está avanzado o conseguido. Además, es necesario precisar que aunque no hay diferencias significativas en el rendimiento entre los alumnos de distinto contexto, ·se continuará analizando la variable contexto en el empleo de estrategias durante la solución de problemas, en virtud de que se han identificado diferencias relevantes en los procedimientos manifestados por los alumnos de distintos contextos (Saxe, 1991). 4.2. Análisis de las estrategias I Para analizar las estrategias de los alumnos en ambos contextos hicimos tres análisis de varianza (ANOVA) mixto 2 (contexto: rural vs. urbano) X 4 (curso: I primero vs. segundo vs. tercero vs. cuarto) X 4 (nivel de abstracción: concreto vs. dibujos vs. numérico vs. verbal) X 2 (operación: cambio aumento vs. cambio I t L. 354 I NIVEL DE ABSTRA( JUAN JOSÉ DÍAZ Y VICENTE BERMEJO disminución) X 2 (lugar de la incógnita: cantidad final vs. cantidad inicial), poniendo medidas repetidas en los tres últimos factores con cada tipo de estrategia, mediante el programa SPSS 11.0. Las estrategias de modelado directo, conteo y hechos numéricos se consideraron como variables dependientes. Respecto a las estrategias de modelado directo, se encuentran efectos principales de los factores curso F (3, 184) = 5.97, P < .05, nivel de abstracción F (3, 552) = 28.89, P < .01, operación F (1, 184) = 28.95, P < .01 Y lugar de la incógnita F (1, 184) = 84.36, P < .01. Por tanto, el curso escolar, nivel de abstracción, operación y lugar de la incógnita afectan a la frecuencia con la que los alumnos utilizan dicha estrategia. En otras palabras, el uso de las estrategias de modelado directo depende del curso al que pertenecen los alumnos; cambia según el nivel de abstracción presentado; se modifica cuando la operación es cambio aumento o cambio disminución, y depende si la incógnita se ubica en la cantidad final o inicial de la operación. En el estudio de comparaciones múltiples de Tuckey, se hallan diferencias significativas entre los escolares de cuarto año con relación a los demás cursos (p < .05), mientras que los alumnos de tercero tienen diferencias respecto a los de segundo y primero (p < .05); sin embargo, las diferencias no son significativas entre los de segundo y primer año. Los datos son consistentes con otros estudios (Bermejo et al., 1998; Bemlejo y Rodríguez, 1993; Carpenter, 1985, 1986) donde se muestra que las estrategias de modelado directo se emplean más en los primeros cursos que en los superiores. De igual manera, encontramos que el nivel concreto difiere del numérico y el verbal (p < .01). La Tabla VII muestra los datos tocantes a las int~racciones significativas en el uso de estrategias de modelado directo por parte de los participantes. En las siguientes figuras se presentan dos interacciones relevantes. TABLA VII Interacciones significativas en el uso de estrategias de modelado directo (parte 1) Interacciones Valor F Significancia Contexto X Nivel de abstracción F (3, 552) = 4.01 P< .05 Curso X Incógnita F (3, 184) = 3.63 P< .05 Contexto X Curso F (3, 184) = 3.66 P< .05 Contexto X Curso X Nivel de F (9, 552) = 2.22 P<.05 abstracción Ir en el uso de es Interacciones Curso X Operación X In Nivel de abstracción X ( X Incógnita Curso X Nivel'de abstrRl Operación X Incógnita Contexto X Curso X Ni, abstracción X Operaciór Incógnita En la Figura 3 se apre( abstracción, según las estrateJ cambia en los distintos ce abstracción que tiene la tarea evolutivo indica que los niv estrategias de modelado dire que los niños rurales las usa verbal. Los niveles inferiores de estrategias de modelado ( superiores (numérico, verbal) alumnos urbanos, ya que los 1 o '"O oS 0.5 (l) '"O o 0.4El - o ~ ,e :~ > " ,e a > § ,e S >­a oC> C>u el Z " u C> uu Z" Z" Z" Primer curso Segundo curso Tercero curso Cuarto curso Figura 5. Interacción contexto por curso por nivel de abstracción en las estrategias conteo. En dicha figura se observa que los alumnos de contexto rural utilizan en general dichos recursos más frecuentemente que los alumnos urbanos, especialmente los de tercero y cuarto año. Ello puede deberse a que en estos años los alumnos urbanos prefieren las estrategias de hechos numéricos. NIVEL DE ABSTIU Además, en el contexto rura sobre todo en el nivel verbal nivel numérico. En 10 tocante a las es efectos principales en los fa (3, 184) = 88.39, P < .01 Y Il ende, el contexto, el curso e; estrategias de hechos nurr comparaciones múltiples dI escolares de cuarto año con 1 tercero muestran diferencias (p < .05), Y finalmente los 1 primero (p < .05). Dichos investigadores (Bem1ejo et ~ que las estrategias de hec alumnos de cursos superioff en el factor contexto indica respecto al rural (p < .01), d~ frecuencia dichas estrategia: factor nivel de abstracción, niveles (p < .01), mientras· dibujos (p < .01). En la Tabla IX se pl' alumnos al usar las estrategi ellas, en comparación con 10; en el uso de e: Interaccione Curso X Nivel de abstracl Contexto X Operación Curso X Incógnita Nivel de abstracción X O Nivel de abstracción X In Operación X Incógnita - - - - 359 TEBERMEJO catiyas llor F Significancia (3, 552) = 3.95 p< .05 (9,552) = 3.74 p< .01 (9, 552) = 3.57 P < .01 (3, 184) = 4.05 p< .05 (3, 552) = 6.54 p< .01 (9,552) = 2.06 p< .05 significativas correspondientes al llas aparece en la Figura 5, que :le abstracción en las estrategias de ---A--Contexto rural • • ... • Contexto urbano ~ i o o o '" o .. :3 Q :> .. " :; ~ " :;,~ ,~,e,e E ;> '" E ;> uQ Z" Z " ero curso Cuarto curso o por curso por nivel .s estrategias conteo. mos de contexto rural utilizan en nte que los alumnos urbanos, 110 puede deberse a que en estos strategias de hechos numéricos. NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS Además, en el contexto rural en los dos primeros años se usan estas estr: ~gias, sobre todo en el nivel verbal, mientras que en los dos últimos años se hacen en el nivel numérico. En lo tocante a las estrategias de hechos numencos, el análisis detecta efectos principales en los factores contexto F (1, 184) = 13.05, P < .01, curso F (3, 184) = 88.39, P < .01 Y nivel de abstracción F (3, 552) = 26.95, P < .01. Por ende, el contexto, el curso escolar y el nivel de abstracción afectan al uso de las estrategias de hechos numéricos en los alumnos. Al hacer el estudio de comparaciones múltiples de Tuckey, hay diferencias significativas entre los escolares de cuarto año con relación a los demás cursos (p < .05), los alumnos de tercero muestran diferencias significativas respecto a los de segundo y primero (p < .05), Y finalmente los niños de segundo difieren significativamente de los primero (p < .05). Dichos resultados concuerdan con los hallados por otros investigadores (Bermejo et al., 1998; Carpenter y Moser, 1982) en el sentido de que las estrategias de hechos numéricos' son ocupadas principalmente por alumnos de cursos superiores. La comparación por pares con la prueba Tuckey en el factor contexto indica diferencias significativas del contexto urbano con respecto al rural (p < .01), de modo que los alumnos urbanos emplean cop mayor frecuencia dichas estrategias que los rurales. Asimismo, hay diferencias en el factor nivel de abstracción, ya que el nivel verbal contrasta con los demás niveles (p < .01), mientras que el numérico difiere con los niveles concreto y dibujos (p < .01). En la Tabla IX se presentan las interacciones significativas entre los alumnos al usar las estrategias de hechos numéricos; los urbanos recurren más a ellas, en comparación con los rurales. TABLA IX Interacciones significativas --- -- ---- -------0---- -------- ------------- \.1::...---- ­~- ~- Interacciones Valor F Significancia Curso X Nivel de abstracción F (9, 552) = 2.80 P < .05 Contexto X Operación F (1, 184) = 4.74 P < .05 Curso X Incógnita F (3, 184) = 2.80 P < .05 Nivel de abstracción X Operación F (3, 552) = 10.06 p< .01 Nivel de abstracción X Incógnita F (3, 552) = 3.34 P < .05 Operación X Incógnita F (1, 184) = 27.18 p < .01 360 JUAN JOSÉ DÍAZ Y VICENTE BERMEJO NIVEL DE ABSTRAO TABLA IX Interacciones significativas en el uso de estrategias de hechos numéricos (parte 2) Contexto X Nivel de abstracción X F (3,552) = 3.16 p< .05 Incógnita Curso X Operación X Incógnita F (3,184) = 7.60 P < .01 Nivel de abstracción X Operación X F (3, 552) = 8.83 P < .01 Incógnita Contexto X Nivel de abstracción X F (3, 552) = 2.65 p< .05 Operación X Incógnita : Contexto X Curso X Nivel de F (9, 552) = 2.86 P < .05 abstracción X Operación X Incógnita Con respecto al segundo objetivo, se afirma que los alumnos del contexto rural emplean más que los del urbano las estrategias de modelado directo y conteo en la mayoría de los niveles de abstracción. En cambio, los escolares de las escuelas urbanas superan a los de las rurales en el uso de las estrategias de hechos numéricos en todos los niveles de abstracción presentados en el estudio. Los resurtados son consistentes con los de otros trabajos (Carraher et al. 1985; Saxe, 1991) sobre la cuestión necesaria de analizar el contexto social en el aprendizaje de las matemáticas, visto como una práctica específica. Los niños rurales son más concretos que los urbanos en el nivel verbal, lo cual reafirma la idea de la especificidad del conocimiento infantil. Por tanto, el patrón de estrategia se manifiesta a partir de una interacción social basada en el conocimiento informal que se adquiere mediante la manipulación de objetos cotidianos. Dicho patrón de desarrollo ocurre dentro de las características sociales de una cultura rural. 5. CONCLUSIONES En esta investigación se confirman los siguientes planteamientos. Por una parte, la tendencia evolutiva que marca el rendimiento de los alumnos, pues en general el comportamiento de los participantes mejora sensiblemente a medida que se avanza de primero a cuarto año de educación primaria. También se comprueba la secuencia de abstracción de lo concreto a 10 abstracto, aunque con patrones evolutivos diferentes, ya que en general durante los dos primeros años el rendimiento de los alumnos baja a medida que se incrementa el nivel de abstracción de las tareas prop especialmente notorio en los rendimientos mejoran globab abstracción de los problemas a presencia de objetos o dibuj< funcionan como distractores a Por otra parte, se confin comportamiento matemático ( más fáciles con la incógnita obstante, tal afirmación hay matemática planteada, como resaltamos la importancia del j sido estadísticamente signific cursos y situaciones matemáti educación primaria, donde los rurales, sobre todo en los nive embargo, no hay diferencias rurales en ninguno de los cuatr, Sobre las estrategias que problemas planteados, se verif procedimientos. Los alumnos ( más que los de tercero y cw diferencias significativas entre conteo, pero se observa un des: uso de los procedimientos de h Con respecto a los conte: utilizar la estrategia de model cuatro años, mientras que los l. primeros cursos. En cuanto a . emplean con mayor frecuenci: mientras que las de hechos nUI que avanzan los cursos escolal los niños urbanos, sobre todo el Desde el punto de vista de el desajuste en la planificacil conocimiento matemático ¡nfa mejor rendimiento en los proM 361 ITEBERMEJO lcativas ¡ numéricos (parte 2) 3,552) = 3.16 I p < .05 3, 184) = 7.60 p< .01 :J, 552) = 8.83 P < .01 :J, 552) = 2.65 p < .05 :9, 552) = 2.86 P < .05 rma que los alumnos del contexto ~strategias de modelado directo .y ~ción. En cambio, los escolares de des en el uso de las estrategias de tracción presentados en el estudio. ros trabajos (Carraher et al. 1985; analizar el contexto social en el una práctica específica. Los niños el nivel verbal, lo cual reafirma la infantil. Por tanto, el patrón de interacción social basada en el liante la manipulación de objetos lITe dentro de las características NES ltes planteamientos. Por una parte, ItO de los alumnos, pues en general ra sensiblemente a medida que se :>rimaria. También se comprueba la .0 abstracto, aunque con patrones mante los dos primeros años el i que se incrementa el nivel de NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS abstracción de las tareas propuestas, excepto en el nivel verbal, 10 cual resulta especialmente notorio en los alumnos rurales. Sin embargo, en tercer año los rendimientos mejoran globalmente a medida que se incrementa el nivel de abstracción de los problemas aritméticos, debido a que en este nivel evolutivo la presencia de objetos o dibujos no sólo no facilitan, sino que probablemente funcionan como distractores a lo largo de la resolución de problemas. Por otra parte, se confirma que la incógnita afecta significativamente al .comportamiento matemático de los escolares, de modo que ·las tareas resultan más fáciles con la incógnita cantidad final que con la cantidad inicial. No obstante, tal afirmación hay que matizarla en función del tipo de situación matemática planteada, como hemos visto con cierto detalle. Finalmente, resaltamos la importancia del factor contexto socioeconómico, que si bien no ha sido estadísticamente significativo, las diferencias son notorias en algunos cursos y situaciones matemáticas. Así ocurre, por ejemplo, en segundo año de educación primaria, donde los alumnos urbanos puntúan muy por encima de los rurales, sobre todo en los niveles de abstracción concreto-dibujo-numérico. Sin embargo, no hay diferencias en el nivel verbal entre los alumnos urbanos y rurales en ninguno de los cuatro años que se han investigado en este trabajo. Sobre las estrategias que ocupan los alumnos en la resolución de los problemas planteados, se verifica igualmente el empleo específico y variado de procedimientos. Los alumnos de primero y segundo utilizan el modelado directo más que los de tercero y cuarto de educación primaria. En cambio, no hay diferencias significativas entre los cursos respecto al uso de las estrategias de conteo, pero se observa un desarrollo progresivo entre los cursos en 10 tocante al uso de los procedimientos de hechos .numéricos. Con respecto a los contextos rural y urbano, los alumnos rurales suelen utilizar la estrategia de modelado directo de modo parecido a lo largo de los cuatro años, mientras que los urbanos recurren a ella sobre todo durante los dos primeros cursos. En cuanto a las estrategias de conteo, los alumnos rurales las emplean con mayor frecuencia que los urbanos en los cursos más avanzados, mientras que las de hechos numéricos se desarrollan progresivamente a medida que avanzan los cursos escolares, siendo especialmente frecuente su empleo en los niños urbanos, sobre todo en los niveles verbal y numérico. Desde el punto de vista de la práctica educativa, esta investigación evidencia el desajuste en la planificación de la enseñanza formal y el desarrollo del conocimiento matemático infantil; por ejemplo, los alumnos rurales obtienen mejor rendimiento en los problemas verbales que en el algoritmo. El aprendizaje 362 JUAN JOSÉ DÍAZ Y VICENTE BERMEJO mecánico de los alumnos quedó de manifiesto en la solución de los problemas, una situación que atañe al diseño de los libros de texto, el cual se orienta fundamentalmente al aprendizaje memorístico. Ahora bien, esos textos podrían modificarse por una metodología que modele la comprensión de los problemas de cambio aumento y cambio disminución. Resulta pertinente proponer el aprendizaje de estas operaciones en función de la secuencia del nivel de abstracción y la estructura semántica de los problemas en el aula de matemáticas. Por tanto, huelga recomendar la implantación del marco teórico-metodológico constructivista en el proceso de instrucción de las matemáticas en el aula. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bagni, G. (2000): "Simple" rules and general rules in sorne high school students' mistakes. Journaljür Mathematik Didaktik 21(2), 124-138. Abreu, G. de (1995). Understanding how children experience the relationship between home and school mathematics. Mind, Culture and Activity 2(2), 119-142. Abreu, G. de (1998). The mathematics leaming in sociocultural contexts: the mediating role of social valorisation. Learning and Instruction 8(6), 567-572. 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O formalizado, procedimentos, pro entre intuiyllo, formalizayao e rig( PALAVRAS CHAVE: Problem epistémica, configura¡;ao cognitiv RÉSUMÉ. Dans cet artiele nous ¡ de 38 étudiants d'ingénierie adel Revista Latinoamericana de Inves Recepción: Enero 22, 2007/ Acept mailto:jjdddl@mixmail.com