UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID 
 

FACULTAD DE EDUCACIÓN 
 

Departamento de Didáctica y Organización Escolar 
 
 

 
 

TESIS DOCTORAL   
 

Didáctica de la geometría: análisis de la enseñanza de la geometría a 
partir de un estudio de campo según el modelo de Van Hiele 

 
 
 

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR 
 

PRESENTADA POR 

  
Florencio J. I. López de Silanes Valgañón 

 
 
 

Directores 
 

Antonio Monclús Estella  
María Carmen Sabán Vera 

 
 

Madrid, 2013 
 

 
 
ISBN: 978-84-695-8271-8 
 
                                  © Florencio J. I. López de Silanes Valgañón, 2011 



 

 
 

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID 
 
 
 
 

DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA: 
ANÁLISIS DE LA ENSEÑANZA DE 
LA GEOMETRÍA A PARTIR DE UN 
ESTUDIO DE CAMPO SEGÚN EL 

MODELO DE VAN HIELE 
 
 

TESIS DOCTORAL 
 
 
 

DOCTORANDO: 
FLORENCIO J. I. LÓPEZ DE SILANES VALGAÑÓN 

 
 

DIRECTORES:  
DR. ANTONIO MONCLÚS ESTELLA


DRA. MARÍA CARMEN SABÁN VERA 
 

 
 

DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA  
Y ORGANIZACIÓN ESCOLAR 
FACULTAD DE EDUCACIÓN 

 
 

CURSO: 2010-2011 



 



I



II



III



IV



V



VI



VII



VIII



IX



X



XI



XII



XIII



XIV



XV





 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  1 

 

 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 1 

   

INTRODUCCIÓN 

 

 Hemos orientado esta investigación hacia un trabajo de campo que de 

alguna forma nos permita medir la eficacia de nuestro sistema educativo en 

relación con la enseñanza de la geometría. Este planteamiento surgió de la 

observación del bajo nivel de conocimientos en geometría con que llegan los 

alumnos de bachillerato a la Facultad de Formación del Profesorado de la 

Universidad Autónoma de Madrid, visto desde mi perspectiva como profesor de 

geometría en dicho centro durante más de 25 años. El objetivo es la realización 

de medidas objetivas del grado del conocimiento de la geometría de los 

alumnos que nos permita analizar el sistema educativo que ha producido 

alumnos con tan bajo nivel. Por esto hemos seleccionado la teoría de van Hiele 

en el marco de nuestro sistema educativo, para estudiar la evolución de los 

conocimientos en geometría de los alumnos a lo largo de las distintas etapas 

educativas, así como relacionar su nivel con el de alumnos de otros países. 

Hemos organizado la presentación de nuestro estudio en dieciséis 

capítulos, de los cuales los tres primeros se dedican a la exposición del marco 

teórico, los siete restantes constituyen la presentación del estudio empírico, a 

los que añadiremos otros dos, el presente como introducción y el último de 

conclusiones. Pasamos a exponer de forma sintética el contenido de dichos 

capítulos para proceder así a la primera presentación del trabajo.   



Florencio López de Silanes 

 

2 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Los capítulos del tres al siete exponen los fundamentos teóricos de este 

trabajo con las principales opciones metodológicas que han guiado nuestra 

investigación y que hemos considerado más idóneas con relación a nuestros 

objetivos.  

- En primer lugar, mostramos la elección de la metodología cualitativa 

como paradigma adecuado para analizar la interacción en los contextos 

educativos, que nos permite comprender los fenómenos de la enseñanza 

de la geometría, dentro del contexto del sistema educativo.  

- En segundo lugar, los informes PISA contienen una metodología 

observacional objetiva de los resultados de los sistemas educativos en 

diferentes países, y dentro de España, en sus Comunidades Autónomas. 

- Finalmente, el modelo de van Hiele nos proporciona la metodología 

cuantitativa, es decir, un sistema de medida para caracterizar el sistema 

educativo español. 

El trabajo lo concebimos para el estudio y el análisis de los resultados 

metodológicos aportados por los tres componentes anteriores aplicados a la 

enseñanza de la geometría en el contexto del sistema educativo español actual. 

Partimos de una revisión de la situación de la enseñanza de la 

geometría, que realizamos en el Capítulo tres, a la luz de la visión general y 

actual que nos proporcionan la estructura y la configuración de los Sistemas 

Educativos, pues la enseñanza de la geometría debemos de enmarcar la dentro 

de la perspectiva global e integrada de la enseñanza en España. A lo largo del 

capítulo recorremos los procesos y etapas propios de un Sistema Educativo. 

El recorrido del sistema educativo lo hacemos en la línea de diferentes 

estudios planteados por los profesores Antonio Monclús y Carmen Sabán de la 

Universidad Complutense de Madrid, aportando algunos aspectos generales de 

la enseñanza de la geometría, así como algún resultado concreto de nuestra 

investigación. 

En el marco de la enseñanza de la geometría hay dos teorías que 

determinan los modelos didácticos actuales: 

- La teoría de Van Hiele, desarrollada en la década de los años 50 por el 

matrimonio van Hiele en Holanda. Al principio pasó desapercibido el 



 Introducción 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  3 

 

trabajo de los van Hiele hasta que los soviéticos utilizaron su metodología 

para configurar el currículum de la URSS en su reforma educativa. Los 

estudios posteriores de las escuelas de Chicago y de Nueva York han 

dado cuerpo al modelo actual, hasta convertirse en el primer referente 

mundial como modelo educativo para la enseñanza de la geometría. 

- La teoría del constructivismo cognitivo de Piaget. Esta teoría fue 

desarrollada en los años 60 principalmente, en ella, adquiere especial 

importancia la evolución conceptual del espacio geométrico en el niño. 

Las investigaciones y la metodología de trabajo de esta investigación se 

escriben en el marco del modelo educativo elaborado por el matrimonio van 

Hiele, de modo que en este trabajo no haremos referencia más que al modelo 

de van Hiele. 

De esta forma, recorremos todos los procesos y etapas del sistema 

educativo, como la sociología, psicología, filosofía, pedagogía didáctica, 

epistemología, metodología, materiales, ética, estética y evaluación. Desde el 

punto de vista del modelo de van Hiele, hacemos especial hincapié en aquellos 

factores que se relacionan directamente con él como: el constructivismo, el 

currículum, los contenidos, y la metodología en cuanto a las estrategias de 

aprendizaje. 

Proponemos dibujar el escenario didáctico del aprendizaje de la 

geometría, aportando algunas pinceladas sociológicas que nos sumergen en la 

realidad de los desajustes entre los objetivos y los resultados de la enseñanza de 

la geometría en España, derivados de los informes PISA y de nuestra experiencia 

profesional. 

También revisamos cuáles son las destrezas del alumno que se 

desarrollan en la enseñanza de la geometría. Pues estas destrezas son a la vez el 

punto de partida y el objetivo de la metodología del aprendizaje.  

Abordamos los objetivos básicos de la enseñanza de la geometría en el 

marco conceptual del modelo de van Hiele como: la adquisición de las 

habilidades propias de la geometría, el conocimiento geométrico, las medidas, 

el dibujo, la resolución de problemas, y la capacidad de transmitir los 

conocimientos geométricos para la formación de los futuros profesores. 



Florencio López de Silanes 

 

4 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

En el capítulo cuatro abordamos los informes PISA como una de las 

fuentes para el conocimiento de la problemática del sistema de la enseñanza de 

la geometría en España. Sin pretender analizar las causas que conduce a los 

resultados expuestos en los informes PISA, el estudio de estos resultados 

configura una radiografía certera de la situación del sistema de enseñanza de la 

geometría en España. La comparación de los resultados globales de las 

matemáticas entre los diferentes países, y dentro de España entre sus 

Comunidades Autónomas dibuja una realidad indiscutible para la valoración de 

los sistemas de enseñanza de la geometría. 

El análisis de las distribuciones de las calificaciones en el informe PISA 

nos introduce en la realidad del sistema educativo de la enseñanza de la 

geometría, que es consecuencia de un conjunto de factores propios de cada 

comunidad humana. Estos factores condicionan desde la política de inversiones 

educativas, a la configuración de los centros educativos, hasta la cultura de los 

alumnos influenciada por los estratos sociales, el sexo y otros factores 

socioculturales. 

Los tres capítulos siguientes describen los fundamentos del modelo de 

van Hiele, y son la base teórica del trabajo empírico. En el capítulo cinco 

mostramos las características principales del modelo de van Hiele, mientras que 

en los dos capítulos siguientes buscamos los descriptores de nivel y de fase, que 

son comúnmente admitidos por la comunidad científica, para poder aplicar la 

teoría de van Hiele a la determinación de los niveles de razonamiento 

resultantes del análisis del sistema educativo español, y los que han adquirido 

los estudiantes de este país. 

Revisaremos las aportaciones realizadas al modelo de van Hiele por los 

principales investigadores. Así en el capítulo cinco recogemos las 

caracterizaciones del modelo configurado por sus cinco niveles de 

razonamiento, recorridos en las cinco fases de aprendizaje, sin olvidar las cinco 

propiedades que los caracterizan. Apuntamos levemente la relación del modelo 

de van Hiele con las redes conceptuales, aunque no es nuestro interés caminar 

por esa dirección. Analizamos las coincidencias y diferencias del modelo de van 

Hiele y otras teorías inscritas en el sistema educativo de la enseñanza de la 

geometría. Finalmente, mostramos las funciones de distribución porcentuales 

de los niveles de razonamiento obtenidos de 110 alumnos universitarios 



 Introducción 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  5 

 

encuestados en el curso académico 2008-09 de segundo curso de Educación 

Primaria en la Facultad de Formación del Profesorado de la UAM, para mostrar 

el modelo desde un punto de vista práctico. 

Para facilitar la aplicabilidad del modelo de van Hiele a la medida del 

nivel de razonamiento, y la homologación de las medidas que nosotros 

realicemos con las de otros investigadores, hemos seleccionado en el capítulo 

siete los descriptores de los niveles de razonamiento comúnmente admitidos, y 

el cuestionario de Usiskin para la medida del nivel de razonamiento de van 

Hiele, por ser el único cuestionario que ha sido aplicado en muchos países de los 

cinco continentes desde el comienzo de las investigaciones educativas basadas 

en el modelo de van Hiele. Pensamos de esta forma que las medidas de los 

niveles de razonamiento de este trabajo son homologables a las realizadas por 

otros investigadores que han trabajado con estas hipótesis. 

Para poder aplicar también el modelo de van Hiele al análisis curricular 

del sistema educativo de la geometría, necesitamos referenciarnos en unos 

descriptores de fase determinados. En el capítulo ocho examinamos diferentes 

conjuntos de descriptores de fase, para quedarnos con los descriptores de fase 

admitidos comúnmente por los investigadores. Entendemos que el uso de un 

conjunto estándar de descriptores de las fases de aprendizaje, homologará 

nuestras calificaciones curriculares del sistema educativo de la geometría con 

las de otros investigadores. 

Realizamos nuestro primer trabajo de campo de esta tesis en el capítulo 

nueve, determinando los niveles de razonamiento y las fases de aprendizaje de 

las actividades de geometría propuestas por diferentes libros de texto a los 

estudiantes de las etapas Educación Primaria, Educación Secundaria Obligatoria 

y Bachillerato. Buscamos libros de texto de editoriales reconocidas en el 

mercado español, para asegurarnos de que estos textos podrían ser estudiados 

en una parte importante de los centros educativos españoles de esas etapas. 

Entendemos que los resultados de esta medida constituyen una radiografía 

objetiva de los niveles de razonamiento de van Hiele que el sistema educativo 

español desea que alcancen sus estudiantes. Pensamos que estos resultados 

son una referencia ineludible para compararlos con los niveles de razonamiento 

de los alumnos,  y para evaluar el grado de consecución de los objetivos en el 

aprendizaje de la geometría. 



Florencio López de Silanes 

 

6 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Una vez seleccionado el cuestionario de Usiskin como nuestra vara de 

medida estándar el nivel de razonamiento de van Hiele, nos faltaba realizar los 

tests de prueba y validación de dicho cuestionario. Acometimos esta tarea en el 

capítulo nueve donde aplicamos el cuestionario a un grupo de alumnos míos de 

geometría de la Universidad Autónoma de Madrid, de los que conocía por otra 

vía su nivel de razonamiento. Mostramos en este capítulo, el procedimiento del 

cálculo del nivel de razonamiento partiendo de las respuestas al cuestionario, 

mediante unos algoritmos que son una actualización de los utilizados por 

Usiskin en su día, y que conducen a los mismos valores. Estudiamos también la 

fiabilidad de los resultados, y la incidencia en estos valores de los caracteres 

estadísticos de la muestra. 

Con anterioridad a la selección del cuestionario de Usiskin, habíamos 

aplicado un cuestionario, que denominamos Cuestionario de Autovaloración, a 

estudiantes universitarios que conocían el modelo de van Hiele. En el capítulo 

diez mostramos la prueba y la validación de este cuestionario, así como el 

procedimiento del cálculo del nivel de razonamiento derivado de sus 

respuestas. Estudiamos también la fiabilidad del cuestionario de 

Autovaloración, y la incidencia de diversas variables estadísticas en sus 

resultados. Como habíamos aplicado a la vez a dos grupos de alumnos 

universitarios los cuestionarios de Usiskin y Autovaloración, determinamos un 

procedimiento que convirtiera los niveles de razonamiento obtenidos por el 

cuestionario de Autovaloración en los niveles de razonamiento propios del 

cuestionario de Usiskin. Este procedimiento de conversión nos permitirá pasar 

los resultados de ambos cuestionarios a un formato único, el del cuestionario de 

Usiskin, que es el referencial para los valores de los niveles de razonamiento 

utilizados en este trabajo. 

En el capítulo once describimos la estrategia y la metodología de 

nuestro trabajo de campo para realizar la medición de los niveles de 

razonamiento de los alumnos de las etapas que van desde Educación Primaria a 

Educación Universitaria. Contamos con un conjunto de 934 alumnos a los que se 

aplicaron 1120 cuestionarios. Además de los ya mencionados cuestionarios de 

Usiskin y de Autovaloración, se aplicaron otros cuatro relacionados con la 

percepción que los alumnos tienen de la enseñanza de la geometría. En este 

capítulo se analiza solamente el cuestionario denominado de Conocimiento de 

la Geometría, para evaluar el nivel de los conocimientos en geometría de dos 



 Introducción 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  7 

 

grupos de alumnos universitarios. El resto de los cuestionarios referentes a la 

visión que los alumnos tienen de la enseñanza de la geometría, se estudian y 

analizan en el capítulo doce. Mostramos el análisis de la muestra de 934 

alumnos relativo a los diversos caracteres estadísticos que definen la muestra, 

como el sexto de los alumnos, la titularidad de su centro de estudios, la 

especialidad elegida durante el bachillerato, las etapas educativas, la edad, etc., 

todo ello para enriquecer el conocimiento de los alumnos y de los cuestionarios 

que les fueron aplicados en este trabajo de campo. 

Agradecemos la colaboración prestada por los cuatro centros 

educativos de Enseñanza Media de Madrid donde hemos aplicado el 

Cuestionario de Usiskin. Los centros son: 

- El CEIP Carlos V, un colegio de titularidad pública situado en el Barrio de 

la Concepción, donde aplicamos el cuestionario a alumnos de Educación 

Primaria. 

- El IES Juan de la Cierva. Instituto de titularidad pública donde se cursan 

las etapas de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato.  

- El Colegio Montpellier situado en el Barrio de la Concepción, de 

titularidad privada pero que imparte enseñanzas de forma concertada, 

donde se aplicaron los cuestionarios a alumnos de Educación Primaria, 

ESO y Bachillerato. 

- El colegio Khalil Gibran. Un centro totalmente privado donde aplicamos el 

cuestionario a alumnos de Educación Primaria, Secundaria y Bachillerato. 

Además, en el campus universitario hemos aplicado los cuestionarios a 

los grupos que detallaremos posteriormente, a quienes también agradecemos 

su colaboración: 

- En la Facultad de Formación del Profesorado de la Universidad Autónoma 

de Madrid un grupo de primer curso de la especialidad Educación 

Primaria, otro grupo de segundo curso de la especialidad Educación 

Infantil y cinco grupos de segundo curso de la especialidad Educación 

Primaria. 



Florencio López de Silanes 

 

8 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

- A nivel global de la Universidad Autónoma de Madrid aplicamos el 

cuestionario a mis alumnos de la asignatura Geometría Sagrada, 

procedentes de las diversas facultades del Campus. 

- Finalmente, aplicamos  también el Cuestionario de Usiskin a un grupo de 

segundo curso de la especialidad Educación Infantil de la Facultad de 

Educación de la Universidad Complutense de Madrid. 

Reflexionamos sobre las implicaciones de las respuestas de los alumnos 

a los cuestionarios sobre la Enseñanza de la Geometría en el capítulo doce. El 

análisis de estas respuestas configura la relación de los alumnos con el sistema 

educativo de la enseñanza de la geometría, da cuenta de cómo fue su 

experiencia pasada en el aprendizaje de la geometría, lo que esperan del 

sistema educativo de la enseñanza de la geometría, y su predisposición y gusto 

hacia la geometría. 

Mostramos en el capítulo trece los resultados de la medida del nivel de 

razonamiento de van Hiele obtenido al aplicar el cuestionario de Usiskin a los 

alumnos de Educación Primaria, Secundaria, Bachillerato y Enseñanza 

Universitaria. Mostramos el análisis de la fiabilidad de los resultados del 

cuestionario a través del coeficiente KR20, con buenos valores. Estudiaremos la 

distribución porcentual de los niveles de razonamiento a lo largo de las 

diferentes etapas educativas. Contrastaremos los niveles de razonamiento 

medidos con los niveles de razonamiento que obtuvimos en el capítulo ocho 

mediante el análisis de los libros de texto de geometría, para estimar la eficacia 

en el aprendizaje de la geometría, o la eficacia del sistema educativo para 

alcanzar los niveles de razonamiento propuestos. 

En el capítulo catorce mostramos los resultados de los cuestionarios de 

Autovaloración aplicados a alumnos universitarios. Analizamos la fiabilidad de 

los resultados del cuestionario utilizando el coeficiente Alfa de Cronbach con 

unos resultados muy buenos. Los niveles de razonamiento obtenidos de las 

respuestas del cuestionario de Autovaloración los expresamos en el mismo 

formato que los del cuestionario de Usiskin. Analizamos el comportamiento de 

las funciones porcentuales de distribución de los niveles de razonamiento 

obtenidos del cuestionario de Autovaloración en relación a los diversos 

caracteres estadísticos que definen a estos alumnos universitarios. 



 Introducción 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  9 

 

Comparamos los niveles de razonamiento medidos a los alumnos de 

segundo curso de la especialidad de Enseñanza Primaria de la Facultad de 

Formación del Profesorado de la Universidad Autónoma de Madrid, con los 

niveles de razonamiento de van Hiele medidos a los profesores de Enseñanza 

Primaria en USA para valorar la posición de nuestros maestros con los de otros 

países en relación a la enseñanza de la geometría. 

En el decimoquinto y último capítulo presentamos las conclusiones en 

relación a los objetivos generales planteados al inicio de nuestra investigación, 

como:   

1.- Establecer el marco del sistema educativo y su incidencia en el 

aprendizaje de la geometría  

2.- Caracterizar el sistema educativo español de la enseñanza de la 

geometría mediante el nivel de razonamiento de van Hiele.  

3. Determinar los niveles de razonamiento de los alumnos de las diversas 

etapas educativas. Estudiar y analizar su evolución, así como su relación 

respecto de los caracteres estadísticos que la configuran. 

4. Analizar la eficiencia del sistema educativo en relación con la 

enseñanza de la geometría. 

5. Analizar los libros de texto de geometría para estudiar su coherencia 

con el modelo de van Hiele, y especificar el nivel que debieran alcanzar 

los alumnos según los cursos y etapas. 

Finalmente, se detallan las principales aportaciones de nuestra 

investigación al estudio del sistema educativo de la enseñanza de la geometría, 

y se apuntan nuevas perspectivas y horizontes para la investigación del sistema 

de enseñanza de la geometría en el ámbito del modelo de van Hiele.  

 





Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  11 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PRIMERA PARTE 

 

 

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA 

 

 

 

Y cuando el Todo hubo 

comenzado a ordenarse… 

todos los elementos recibieron 

de Dios sus Figuras (geométricas) 

por la acción de las Ideas y de 

los Números… 

Platón (Timeo) 





Justificación de la investigación. Antecedentes. Metodología 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  13 

 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 2 

 

JUSTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN. ANTECEDENTES. METODOLOGÍA 

 

2.1.- Algo hacemos mal en la enseñanza de la geometría 

Discurría el mes de abril de 2009, cuando un profesor de geometría que 

también impartía la asignatura “Matemáticas y su didáctica II” en la Facultad de 

Formación del Profesorado de la Universidad Autónoma de Madrid, me hizo 

comentarios acerca del bajo nivel de sus alumnos. Por estar de acuerdo con las 

presunciones de mi compañero, decidí realizar a mis alumnos unas pruebas 

básicas, que de alguna forma midieran y compararan los conocimientos de 

geometría de los niños de 14 años de ESO con mis alumnos de segundo curso de 

universidad.  

Por esta razón, en el examen final incluí un ejercicio que contenía tres 

problemas de una colección de 70 ejercicios elaborado para niños de 14 años 

por un colegio sevillano. Un ejercicio de aplicación directa del teorema de 

Pitágoras, otro del cálculo del área de un polígono, y un tercero con operaciones 

elementales con ángulos. Este ejercicio no influyo en la calificación del examen. 

El nivel de dificultad de estos problemas era o el básico o el medio de entre los 

problemas de la mencionada colección. 

Lo anterior puso de manifiesto las siguientes situaciones: 



Florencio López de Silanes 

 

14 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

- Que los alumnos que llegan a la universidad lo hacen con importantes 

lagunas en sus conocimientos de geometría.  

- La existencia de deficiencias importantes en el sistema educativo de 

primaria y bachillerato que conducen a ellas. 

- La incapacidad de un curso universitario de geometría para cubrir estas 

lagunas, bien porque no sean el objetivo del curso, bien por deficiencias 

metodológicas, o porque la orientación del curso no tiene presente los 

métodos y vicios de los alumnos durante la enseñanza primaria y media 

en el aprendizaje de la geometría. 

Todo esto trae consigo que en la universidad sea difícil impartir un curso 

de geometría a alumnos del perfil estudiado. Pero si es complejo el aprendizaje 

de la geometría básica en la universidad por la razones aludidas, ¿qué podremos 

decir de la dificultad para impartir conocimientos que precisan de una buena 

base en geometría, como puede ser estudiar Geometría Sagrada?. 

Sea como fuere, si ni en la Educación Primaria, Secundaria y 

Bachillerato, y si ni en la enseñanza superior hemos sido capaces de generar un 

sistema de aprendizaje válido de la geometría, es obvio que "algo hacemos mal" 

en la enseñanza de la geometría. 

 

2.2.- Objetivo del trabajo 

Las consideraciones anteriores nos animaron a plantearnos una 

investigación sobre el sistema educativo para la enseñanza de la geometría en 

España, a estudiar el estado de la enseñanza de la geometría y la eficiencia del 

sistema en el estudio de la geometría, todo ello dentro de la perspectiva que 

puede ofrecer el modelo para la enseñanza de la geometría que en su día 

elaboraron los esposos van Hiele. 

Nos hemos marcado en este trabajo los objetivos principales de la 

medida del nivel de razonamiento de van Hiele, y la evaluación de la eficiencia 

del sistema educativo de la enseñanza de la geometría, aplicado a los alumnos 

de Enseñanza Primarias, Secundaria y Bachillerato. 



Justificación de la investigación. Antecedentes. Metodología 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  15 

 

Para los alumnos universitarios de las Facultades de Profesorado, 

además de lo anterior, nuestro objetivo principal es facultarles como futuros 

profesores de geometría dentro de la perspectiva del modelo de van Hiele. Para 

lo cual, hemos de trabajar en los siguientes ámbitos:  

- El lenguaje de la topología plana y espacial asociada a conceptos dentro, 

afuera, abierto, cerrado, superior, inferior... 

- Construcción de los conceptos de las transformaciones en el plano. 

- Sintetización de las operaciones geométricas básicas, como la medida de 

longitudes, áreas, volúmenes y ángulos.  

- Estructuración de sus conocimientos de geometría dentro del marco 

conceptual de una teoría, es decir, la relación existente entre axiomas, 

postulados, teoremas y las aplicaciones. Todo esto llevado al marco de la 

geometría métrica euclidiana al nivel de Secundaria. 

Es una realidad que en los cursos superiores como Bachillerato y en 

particular en la Universidad, la Geometría se enseña con un enfoque axiomático 

y formal. Con la enseñanza abordada de esta forma, los estudiantes tienen 

dificultades para aprender Geometría, y fracasa en alto número. Estas 

dificultades pueden deberse a que los alumnos no tiene la madurez matemática 

para realizar las tareas y demostraciones que ese tipo de trabajo requiere o 

bien, a que no se presentan generalmente, actividades tendientes a la inducción 

de descubrimientos tales como: diseño, exploración, modelización, conjeturas, 

definición, argumentación que conllevan a la demostración. 

Para poder cubrir las anteriores expectativas, nos marcamos los 

siguientes objetivos al realizar este trabajo: 

- Conocimiento preciso del modelo de van Hiele como fundamentación 

teórica del trabajo de campo. 

- Estudiar los conocimientos de geometría propuestos en el sistema 

educativo español. 

- Estudiar el nivel de los conocimientos en geometría de los alumnos de 

Educación Primaria, Secundaria, Bachillerato, y de los alumnos 

universitarios de las Facultades de Educación. 



Florencio López de Silanes 

 

16 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

- Estudiar la formación en geometría de los futuros maestros. 

 

2.3.- Estado de los conocimientos a nivel de trabajo de campo aplicando 

el modelo de van Hiele 

 

Desde la década de los años 50 se ha trabajado en diferentes países 

aplicando el modelo de van Hiele a objetivos de la didáctica de la geometría, de 

todos los trabajos destacaremos en este capítulo solamente los realizados en 

USA porque marcaron la metodología a seguir en trabajos posteriores. 

 

2.3.1.- Modelo de van Hiele 

En la década de los años 50 el matrimonio van Hiele creó el modelo que 

lleva su nombre para ayudar a los alumnos en el estudio de la geometría. Por la 

sencillez y la fuerza de los planteamientos didácticos del mismo, obtuvieron una 

rápida implantación a nivel mundial, tanto para la realización del currículo de la 

geometría en los sistemas educativos de los diferentes países, como para el 

aprendizaje de la geometría. 

El modelo de van Hiele propone cinco niveles de razonamiento que son: 

Nivel 1: Básico, reconocimiento o visualización, Nivel 2: Análisis, Nivel 3: 

Deducción informal u orden. Nivel 4: Deducción. Nivel 5: Rigor. A estos 

añadiremos el Nivel 0 formado por aquellos que no han superado el Nivel 1. 

 

2.3.2.- Trabajos de campo para la determinación del nivel de 

razonamiento de van Hiele en USA 

Desde el punto de vista de nuestro trabajo de campo, destacamos como 

referentes los trabajos llevados a cabo por los equipos de las universidades de 

Chicago y de Obregón en los Estados Unidos de América. 

 



Justificación de la investigación. Antecedentes. Metodología 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  17 

 

2.3.2.1.- La Universidad de Chicago. El trabajo de Usiskin. 

Zalman Usiskin dirigió un proyecto de investigación en la Universidad de 

Chicago en el año 1982, para la determinación del nivel de razonamiento de van 

Hiele en un grupo de estudiantes de Secundaria (entre 14 y 17 años) 

aplicándoles diversos cuestionarios antes y después de un curso de geometría. 

Diseñó un cuestionario de 25 ítems de respuesta múltiple (a elegir una entre las 

cinco posibles respuestas por cada ítem) para determinar el nivel de 

razonamiento de los alumnos. El diseño del cuestionario contemplaba cinco 

ítems para cada nivel de razonamiento. (Usiskin, 1982) 

Del trabajo de Usiskin así como sus implicaciones, de la validación del 

modelo teórico y de su implantación internacional, hablaremos sobradamente a 

lo largo de este trabajo de investigación.  

En este trabajo se dedican cinco capítulos para la exposición del modelo 

de van Hiele, el sistema de medida realizado por Usiskin, la determinación de 

los descriptores de nivel y de pase, y la validación de nuestro sistema de 

medida. 

 

2.3.2.2.-La Universidad de Oregón 

Burger y Shaughnessy en 1986 desarrollaron un sistema para la medida 

del nivel de razonamiento de van Hiele basado en lo que llamaban Entrevistas 

Clínicas, es decir, la entrevista del alumno por un miembro del equipo, 

aplicando el cuestionario diseñado por estos investigadores planteando 

cuestiones sobre triángulos y cuadriláteros. La entrevista duraba un mínimo de 

una hora para cada estudiante, y debían entrevistar a más de 100 alumnos de 

Primaria y Secundaría, cosa que desbordó la capacidad del equipo investigador. 

Con independencia del análisis de los resultados obtenidos por estos 

investigadores, que gozan de prestigio en la comunidad internacional, nosotros 

no disponemos de recursos para una aplicación masiva de estos cuestionarios, 

así como pensamos que en alguna forma, en los resultados puede intervenir la 

subjetividad del entrevistador. (Burger y Shaughnessy, 1986). 

 



Florencio López de Silanes 

 

18 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

2.4.-Estado de los conocimientos en España a nivel de trabajo de campo 

aplicando el modelo de van Hiele 

 

En España se han publicado algunos ensayos sobre el modelo de van 

Hiele y de la aplicación de este modelo al estudio de la geometría, o de algún 

área específica de la geometría. Sin embargo, a nivel de trabajos de campo para 

el estudio del conocimiento de la geometría por los alumnos tenemos poco, de 

los que resaltamos los más interesantes, los realizados en la Universidades de 

Valencia y La Laguna. 

 

2.4.1.-La investigación de la Universidad de Valencia 

La Universidad de Valencia llevó a cabo una investigación que se plasmó 

en la publicación "Diseño y evaluación de una propuesta curricular de 

aprendizaje de la geometría en enseñanza secundaria basada en el modelo de 

razonamiento de van Hiele", realizada por Rosa Corberán Salvador, Ángel 

Gutiérrez Rodríguez, Manuel Pedro Huerta Palau, Adela Jaime Pastor, Antonio 

Peñas Pascual y Enrique Ruiz Pérez, publicada por el departamento CIDE del 

Ministerio de Educación y Ciencia el año 1994. (Gutiérrez Rodríguez, 1994). 

Desde el punto de vista del trabajo de campo, en la investigación 

participaron 96 estudiantes de siete Institutos de Formación Profesional. A 61 

de ellos se les hizo un test al comienzo de un curso y a otros 35 el mismo test al 

final de dicho curso, los primeros pertenecían a cuatro institutos de formación 

profesional, mientras que los segundos a otros tres institutos diferentes 

también de formación profesional. Es decir, no se aplicó el mismo test dos veces 

a ningún alumno. 

El equipo dirigido por Ángel Gutiérrez Rodríguez desarrolló un 

cuestionario propio así como una metodología propia para la medida del nivel 

de razonamiento de van Hiele. Lamentablemente no conocemos los resultados 

numéricos de estas medidas a no ser lo que puede deducirse de unas gráficas 

del programa SPSS. Lo que sí analizan exhaustivamente son las consecuencias 

derivadas de esas mediciones. En este sentido vemos una falta de trazabilidad 

en el trabajo, por lo que no hemos podido utilizarlo como referencia muy a 



Justificación de la investigación. Antecedentes. Metodología 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  19 

 

pesar nuestro. Desconocemos las razones por las que este equipo no ha hecho 

público los valores numéricos de las medidas realizadas del el nivel de 

razonamiento de van Hiele aplicando su propio cuestionario y su propia 

metodología. (Gutiérrez Rodríguez, 1994). 

Al utilizar una metodología y un cuestionario elaborados 

específicamente para este proyecto, y al haber hecho el mismo equipo otros 

desarrollos posteriores de cuestionarios para la medida de nivel de 

razonamiento de van Hiele, no tenemos la seguridad de que los resultados de 

las medidas del nivel de razonamiento de van Hiele realizados por el equipo de 

la Universidad de Valencia estén en sintonía con las medidas comúnmente 

aceptadas y que están basadas en el cuestionario de Usiskin. Por estas razones, 

este trabajo que yo creo que es el trabajo más importante realizado hasta esa 

fecha en España, no será un referente nuestro, y personalmente lamentamos la 

oportunidad que tuvo la Universidad de Valencia para desarrollar algo 

interesante en los trabajos de campo de la medida del nivel de razonamiento de 

van Hiele en España, y que se quedó en la verificación experimental de unos 

modelos teóricos. Por otra parte este trabajo tampoco contempla el modelo 

educativo español en general.  

 

2.4.2.-La investigación de la Universidad de La Laguna en Canarias 

En el año 2003, María Candelaria Alfonso Martín publicó una 

interesante tesis doctoral en la Universidad de La Laguna, titulada " Los niveles 

de pensamiento geométrico de Van Hiele. Un estudio con profesores en 

ejercicio". Este trabajo está orientado hacia el estudio de los perfiles de los 

profesores de Primaria y Secundaria en ejercicio aplicando el modelo de van 

Hiele. (Alfonso Martín, 2003). 

El trabajo publica los perfiles individuales de los 11 profesores en 

ejercicio que se sometieron a las pruebas. Publica los resultados de las 

entrevistas así como de los cuestionarios de Usiskin aplicados. Los niveles de 

razonamiento publicados en este trabajo para los 11 profesores son: 4, (2-3), 1, 

2, 4, (2-3), 2, 2, 2, 2, y (2-3) respectivamente. Donde por ejemplo los aciertos del 

tercer profesor son (3, 2, 1, 0, 0), los del décimo son (4, 4, 2, 1, 1), y los del 

undécimo (3, 4, 2, 1, 1). (Alfonso Martín, 2003: 201). 



Florencio López de Silanes 

 

20 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Anotamos los aciertos al cuestionario de Usiskin junto a los niveles de 

razonamiento asignados para determinar el criterio utilizado en la medida. 

Según esto, el criterio seguido por esta autora es que se ha superado un nivel 

cuando se han conseguido tres aciertos sobre cinco preguntas, mientras que 

nosotros utilizaremos en nuestro trabajo el criterio de cuatro aciertos sobre 

cinco preguntas, que es el normalmente admitido por los investigadores. No es 

admisible por otra parte calificaciones del tipo (2-3) indicando que está entre el 

segundo y tercer nivel por ejemplo para el profesor undécimo, que según el 

criterio comúnmente aceptado estaría solamente en el segundo nivel.  

Al publicar en este trabajo todos los resultados como son los aciertos en 

el cuestionario, los niveles de razonamiento asignados, etc. nos parece un 

interesante precedente de nuestro trabajo en España, pero no hemos utilizarlo 

podido como referente, por utilizar diferente criterio en la medida del nivel de 

razonamiento de van Hiele, por estar aplicado solamente a 11 personas, y por 

estar orientado exclusivamente al estudio de los profesores. No obstante, nos 

ha parecido un trabajo interesante en su marco teórico. 

  

 

 

 

 



Justificación de la investigación. Antecedentes. Metodología 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  21 

 

 2.5.- Metodología 

 

En los capítulos posteriores hablaremos extensamente sobre los 

fundamentos metodológicos de nuestro trabajo en las cuatro direcciones 

siguientes. Hemos tomado como referente del sistema educativo para la 

enseñanza de la geometría los modelos con que se trabaja en España en la 

Universidad Complutense de Madrid. Como metodología para la realización y 

análisis del trabajo de campo la de la Universidad de Chicago que ha sido la 

referencia en la mayoría de los estudios de campo posteriores basados en el 

modelo de van Hiele. El currículo japonés para el estudio de la geometría fue el 

primer referente mundial de los currículos fundamentados en el modelo de van 

Hiele. Los chinos fueron quienes aplicaron el mayor número de cuestionarios 

para el conocimiento del nivel de razonamiento de los alumnos. En este 

apartado apuntamos solamente estos componentes metodológicos, que serán 

desarrollados exhaustivamente en los capítulos posteriores para el trabajo de 

campo que hemos realizado en España. 

 

2.5.1.- El modelo del sistema educativo 

 

Como referencia del modelo del sistema educativo tomaremos las 

investigaciones de los profesores de la Facultad de Educación de la Universidad 

Complutense de Madrid, dirigidas por los profesores Antonio Monclús, Primitivo 

Sánchez Delgado, Miguel Fernández Pérez, Isidro Moreno Herrero, Carmen 

Sabán y otros. A ellos nos referiremos frecuentemente a lo largo de todo el 

trabajo y en particular en el capítulo tercero. A este modelo, aportamos algunos 

aspectos generales de la enseñanza de la geometría. 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

22 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

2.5.2.- Metodología americana 

 

Los trabajos de campo más documentados apoyados en la teoría de Van 

Hiele, fueron realizados en Estados Unidos hacia finales en la década de los años 

80. Los más importantes son los realizados en las universidades de Chicago y 

Oregón que hemos mencionado anteriormente, y que han dado cuerpo a la 

concepción actual del modelo de van Hiele, hasta que este modelo se ha 

convertido  en el primer referente mundial para la enseñanza de la geometría. 

 

2.5.3.- El modelo japonés 

 

El diseño curricular de la enseñanza de geometría en Japón ha sido la 

referencia para muchos países. Lo conocemos fundamentalmente a través de 

los trabajos dirigidos por Whitman en 1997 (Whitman, 1997) para comparar los 

planes de estudios de geometría en Estados Unidos y Japón en relación con el 

modelo de van Hiele. Y de la publicación de Eleanor Louise Pusey realizó sobre 

una revisión de la literatura de los libros de texto de geometría. (Pusey, 2003).  

Analizamos los libros de texto de geometría españoles en las etapas de 

Educación Primaria, Secundaria y Bachillerato, para analizar la distribución de 

los niveles de razonamiento de van Hiele, y las fases de aprendizaje con que se 

recorren los niveles, a través de las actividades educativas propuestas por estos 

materiales.  

En la tabla 1 mostramos la evolución de la distribución porcentual de los 

niveles de razonamiento de van Hiele medidos por Whitman  y Pusey medidos 

en los libros de texto de geometría comprendidos entre Primer y Sexto Grado 

en Japón.  

 

 

 



Justificación de la investigación. Antecedentes. Metodología 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  23 

 

 

  Japón 
Grado N1 N2 N3 

1 100 0 0 
2 3 95 2 
3 0 80 20 
4 0 82 18 
5 0 47 53 
6 0 92 8 

Tabla 1  

 

Aunque los valores de los tres países son muy similares en las tablas, la 

gran diferencia va estar en la distribución de los valores en los niveles de 

razonamiento. Efectivamente, veamos cómo la distribución de los niveles de 

razonamiento configura diferentes modelos de los libros de texto. 

En la gráfica 1 vemos la evolución con los cursos o grados de los 

diferentes niveles de razonamiento de van Hiele en que están redactadas las 

actividades de los libros de texto en el Japón. Vemos que de los niveles de 

razonamiento van moviéndose de forma que predomina el nivel inferior en los 

cursos más bajos, hasta el predominio de los niveles superiores en los cursos 

más altos, pasando por una distribución más o menos equilibrada de los niveles 

de razonamiento en los cursos intermedios. 

 

2.5.4.- El trabajo de los chinos 

 

Para realizar en España a casi 1000 alumnos la medida del nivel de 

razonamiento de van Hiele, podemos tener en cuenta el trabajo realizado en 

Taiwán en el año 2005 por los investigadores Der-bang Wu y Hsiu-lan Ma 

quienes midieron el nivel de razonamiento de van Hiele a 5.581 estudiantes de 

Taiwán, El estudio fue financiado por el Consejo Nacional de Ciencias de Taiwán. 

Los principales objetivos de este estudio fueron determinar la distribución de 

los niveles de razonamiento van Hiele de entre 1 º y 6 º grado”. (Der-bang Wu y 

Hsiu-lan Ma, 2005). 

Gráfico 1 



Florencio López de Silanes 

 

24 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Participaron 5.581 estudiantes pertenecientes a los seis grados 

equivalentes a los seis cursos de Educación Primaria en España, seleccionados al 

azar de 25 escuelas primarias de los 23 condados y ciudades en Taiwán. De ellos 

2.717 eran niñas y 2.864 niños. El reparto de la muestra era equilibrado, 

participando  910, 912, 917, 909, 920, 1.013 estudiantes de 1º a 6º grado 

respectivamente.  

 

  Taiwán  (China) 
  Triángulo Cuadrado Circunferencia 
Grado No N1 N2 N3 No N1 N2 N3 No N1 N2 N3 

1 51,9 48,1 0 0 68,9 31,1 0 0 24,2 75,8 0 0 
2 37,4 62,6 0 0 53,5 46,5 0 0 10,6 89,4 0 0 
3 17,1 55,9 27 0 34,2 39,1 26,7 0 6,5 32 61,3 0,2 
4 8,8 50,6 40,6 0 15,2 31,6 53,2 0 2,3 15,2 82,3 0,2 
5 7,8 29,9 51,3 11 11,9 11,6 60,9 15,6 2,6 4,1 74,9 18,4 
6 5,6 19,8 53,9 20,7 9,6 8 57,9 24,5 1,5 4 66,2 28,3 

Tabla 2 

 

Wu diseñó unos cuestionarios que se centraban en tres figuras 

geométricas básicas: triángulo, cuadrilátero y círculo. Los criterios de 

puntuación se basaron en el cuestionario  desarrollado por Usiskin (1982, 

Proyecto CDASSG), donde cada nivel tenía cinco preguntas. (Der-bang Wu y 

Hsiu-lan Ma, 2005). 

 

 

Gráfico 2 Gráfico 3  



Justificación de la investigación. Antecedentes. Metodología 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  25 

 

Los resultados los mostramos en la siguiente tabla 2 y los gráficos 2, 3 y 

4, donde apreciamos que el porcentaje de estudiantes que no cumplieron con 

los criterios de nivel 1 (por debajo del nivel 1), para el triángulo fue del 20,8%, el 

30,3% para el cuadrilátero, y el 7,7% para círculo. Por lo que parece que el 

concepto de círculo es el más fácil para los estudiantes, seguido del concepto de 

triángulo, y del cuadrilátero. (Der-bang Wu y Hsiu-lan Ma, 2005). 

En las tres gráficas 

siguientes vemos la distribución de 

los porcentajes de alumnos que han 

superado los niveles 1, 2 y 3 (N1, N2 

y N3), así como el de los que no han 

superado el primer nivel (N0) por 

cursos. 

Con los datos publicados 

por Der-bang Wu y Hsiu-lan Ma, 

hemos montado estas tablas y gráficas con Microsoft Excel que usaremos 

masivamente en este trabajo. Según estos autores "La geometría es uno de los 

temas más importantes de las matemáticas”. 

                                         Gráfico 4  





Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  27 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 3 

 

ENSEÑANZA Y GEOMETRÍA 

 

 

3.1.- Introducción 

 

La geometría es la ciencia de la medida de la tierra como su propio nombre 

indica, ya que está compuesto de dos raíces; GEO hace referencia a la tierra, 

mientras que METRIA hace referencia a la medida. En definitiva la palabra 

geometría significa medida de la tierra, efectivamente, la geometría nació hace 

más de 5000 años en el Egipto faraónico, precisamente para medir los campos 

después de las inundaciones anuales del Nilo, y poder reconstruir los lindes y la 

superficies de las parcelas de la inundación había hecho desaparecer bajo el lodo 

depositado. Posteriormente, los egipcios utilizaron con sabiduría la geometría para 

la construcción de sus fortificaciones, presas, templos, pirámides, etc. Los egipcios 

elaboraron una ciencia completa de la geometría que no solamente utilizaron para 

las aplicaciones que hemos mencionado anteriormente, sino que fueron capaces 

de determinar la distancia de la Tierra al Sol y de medir el diámetro de la Tierra 

haciendo uso de sus conocimientos de geometría, que incluía tanto el bloque 

conceptual de la geometría, como los procedimientos de medida y de dibujo. 

 



Florencio López de Silanes 
 

28 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

La primera sistematización de los conocimientos geométricos que ha 

llegado a nosotros fue realizada por los griegos. Pero los griegos bebieron en las 

fuentes del conocimiento geométrico egipcio, así lo reconoce el propio Herodoto, a 

quien los sacerdotes egipcios le revelaron las características geométricas de la 

construcción de las pirámides hace más de 2000 años (que son exactamente las 

mismas que conocemos actualmente), y el propio Euclides reconoce haberse 

formado el Egipto, y muchos autores piensan que gran parte de la obra de Euclides 

que es una buena sistematización de la geometría egipcia del tiempo de Euclides. 

La geometría egipcia incluía también la ciencia de la armonía que ellos 

denominaron Geometría Sagrada, y que ocupará un lugar relevante en estos 

escritos. 

  

Desde este punto de vista, vemos que el cuerpo geométrico formado por 

conceptos, conocimientos, dibujo, medida de la geometría se nos ha transmitido 

tal cual es desde la antigüedad, y así lo tomamos, y así lo vamos a tratar aquí. 

 

La enseñanza de la geometría tiene unas características propias que la 

diferencia de otras ramas del conocimiento, y particularmente, de otras ramas de 

las matemáticas. El conocimiento de la geometría exige habilidades y destrezas 

propias, diferentes a las del álgebra, o a las del cálculo, por ejemplo. Los conceptos 

y las entidades geométricas tienen una personalidad y un carácter propio y bien 

definido, por ejemplo si hablamos le ángulos, longitudes, superficies etc. su 

tratamiento requiere de un lenguaje específico y su enseñanza de unas técnicas 

apropiadas. La enseñanza de la geometría también requiere de recursos y medios 

específicos, diferentes a otros conocimientos matemáticos, y en general a otros 

conocimientos. Por lo que la enseñanza de la geometría forma un cuerpo con 

entidad propia y bien diferenciada de la enseñanza de otras disciplinas. 

 

En general, los momentos del ciclo didáctico de la enseñanza pueden 

adaptarse a la enseñanza de la geometría: Programación (que tiene que aprender 

el alumno); Metodología (cómo voy a ayudarle a que lo aprenda) y Evaluación 

(averiguar lo que el alumno ha aprendido), (Fernández Pérez; 2005: 147), “Hablar 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  29 
 

del mencionado "ciclo didáctico", con sus tres clásicos momentos de: A) 

programación, B) metodología y C) evaluación (es decir: A) decidir que tiene que 

aprender mi alumno, B) cómo voy a ayudarle a que aprenda, C) cómo voy a 

averiguar qué he conseguido que mi alumno consiga aprender) se ignora que 

considerar estos tres "momentos" como una consecuencia a rigurosamente 

cronológica constituye una severa ingenuidad epistemológica para analizar 

cómodamente una realidad mucho más compleja, irreductible a la comodidad de 

un análisis unidimensional de tipo lineal en su pretendida secuencia”. 

 

En particular, la enseñanza de la geometría presenta las siguientes 

características: 

 

- Necesidad del aprendizaje reposado de los conceptos, deben ser asimilados, 

concebidos en el espacio correspondiente, deben ser capaces de 

reproducirlos en papel u otro medio. 

 

- Constructivismo de la geometría como ciencia (en secuencia y en 

estructura): ángulos, longitudes, superficies y volúmenes. En los 

movimientos: traslación, rotación, simetrías, homotecias, etc. el aprendizaje 

de un concepto requiere necesariamente el dominio de los anteriores de la 

cadena (en geometría existen conocimientos y procedimientos que están 

encadenados). 

 

- Tratamiento multidimensional de los conocimientos y procedimientos, por 

ejemplo longitud (conceptos, ejercicios, dibujo, medidas, enseñanza), 

superficies (conceptos, ejercicios, dibujo, medidas, enseñanza), y así con 

todas las entidades geométricas. 

 

- Necesidad de prácticas de cálculo, de medida, de dibujo y de didáctica. 

 

- Es una ciencia antigua, hay que incorporar desde la antigua geometría a la 

moderna. 

 

- Hay que resaltar los aspectos prácticos de la geometría: el dibujo, la 



Florencio López de Silanes 
 

30 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

arquitectura, el urbanismo, los mapas, vuelos espaciales, los mapas y los 

planos, las pesas y capacidades, la vivienda y el mobiliario. 

 

- Planificación curricular muy estructurado y secuenciado en las enseñanzas 

primaria, secundaria, bachillerato y universitaria. 

 

Con estas premisas, trataremos de ubicar los temas analizados en los 

capítulos de este trabajo dentro de un esquema general para la Enseñanza de la 

Geometría. Como marco del esquema general de la Enseñanza de la Geometría nos 

referiremos al libro: “Enseñar y aprender”, (Sánchez Delgado, 2005), elaborado por 

el equipo formado por Primitivo Sánchez Delgado (Coordinador), Antonio Monclús 

Estella, Miguel Fernández Pérez,  Moreno Herrero, 2005, Ediciones Témpora, 

Salamanca”. 

 

Para ello, examinaremos los principales componentes de la enseñanza y del 

proceso de aprendizaje descritos en la obra anteriormente citada, para valorar, de 

alguna manera, la enseñanza de la geometría en España, y buscar las pautas que 

puedan situarnos en los problemas de la enseñanza de la geometría, para tratar de 

comprenderlo. 

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  31 
 

3.2.- Sociología de la educación 

 

Hace referencia al contexto en el que se desarrollan los procesos de 

enseñanza y aprendizaje.  

 

Desde el punto de vista de la enseñanza de la geometría, lo primero que 

tenemos que tener presente son las características de las personas a las que va 

dirigida esta enseñanza, características de tipo social y de perfil humano, que van a 

configurar un escenario didáctico que nos obligará a trabajar de una forma 

determinada.  

 

En este sentido, Sánchez Delgado (2005:13) reconoce las aportaciones de 

la sociología educativa en el proceso de aprendizaje: 

 

“Las aportaciones de la sociología de la educación son muy 
importantes para la toma de decisiones didácticas, pero la sociología por sí 
misma no puede establecer ni determinar los procesos de intervención en las 
aulas. La sociología educativa se preocupa del contexto en el que se 
desarrollan los procesos de enseñanza y aprendizaje, contexto en el que se 
seleccionan y organizan los contenidos atendiendo a diversos criterios como 
la sociología crítica ha demostrado cómo no neutrales, y el contexto para el 
cual se distribuye el conocimiento, que la misma sociología ha mostrado que 
se hace de modo desigual atendiendo a las características sociales, 
culturales y económicas de los sujetos implicados”.  

 

En este capítulo conviene resaltar algunos aspectos que configuran la 

cultura de nuestro actual alumnado de Magisterio en la UAM como son la 

procedencia predominante del alumnado de centros públicos, la preponderancia 

del alumnado femenino, que tienen como consecuencia: 

- La traslación de la cultura de las aulas de los centros de enseñanza media a 

la universidad. 

- Nuevo marco del papel del profesor en el aula. 



Florencio López de Silanes 
 

32 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

- El nuevo roll del alumno en la clase. 

- Nuevas actividades académicas (universitarias) para los alumnos, en base a 

diferentes papeles según el tipo de pedagogía utilizado. 

 

Que se va a traducir en un entorno de trabajo en el aula diferente para el profesor, 

al que tenía por ejemplo hace un lustro. El profesor tiene que adaptarse a: 

- Unas aulas con un porcentaje significativo de alumnos que habitualmente 

charlan mientras se imparte cualquier tipo de docencia. Al enfrentamiento 

entre dos grupos de alumnos: los que charlan en clase y los que desean que 

se callen. 

- Un cambio sustancial en las relaciones alumno-profesor. 

- En el caso de la geometría, trabajar con los alumnos mientras usan los útiles 

de dibujo. 

  

 

3.2.1.- Factores sociales e Informe PISA 

 

En cada uno de los estudios, además de las pruebas de conocimientos y 

competencias sobre las materias señaladas, también se recoge información sobre 

el origen social, el contexto de aprendizaje y la organización de la enseñanza a 

través de cuestionarios dirigidos a los propios alumnos y a los directores de sus 

centros, con el fin de identificar los factores asociados a los resultados educativos. 

(M. E. C., 2004: 03). 

 

En los estudios de comparación internacional, como PISA, los resultados 

educativos suelen estar en correspondencia con otros indicadores que caracterizan 

la posición relativa de un país en el concierto internacional. (M. E. C., 2004: 17). 

 

El Informe Pisa 2003 pone de manifiesto la diferencia de resultados en 

matemáticas entre alumnos de diferentes sexos (M. E. C., 2004: 10): 

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  33 
 

“Las alumnas españolas obtienen en Matemáticas una puntuación 

media (481 puntos) menor que la de los alumnos (490). La diferencia de 9 

puntos a favor de los alumnos es estadísticamente significativa”. 

 

Así mismo el Informe PISA también insiste en la diferencia de resultados en 

matemáticas entre según la titularidad (pública o privada) de los centros donde 

cursaron estudios de Enseñanza Media (M. E. C.,  2004: 11): 

 

“Los alumnos escolarizados en centros educativos privados obtienen 

un promedio en Matemáticas de 507 puntos; este es superior al de los 

escolarizados en centros públicos que se queda en 472 puntos”.  

 

En el epígrafe "características de los alumnos cuestionados" se pusieron de 

manifiesto los perfiles básicos de los alumnos, estos perfiles pueden extenderse a 

los alumnos que cursan Magisterio sin que creamos que existan desviaciones 

apreciables. Las edades dominantes entre 19:21 años, un alumnado 

predominantemente femenino en un 77%, la procedencia donde realizaron los 

estudios de enseñanza media, básicamente en centros públicos (57%), de los que el 

92,1 % realizo estudios de bachiller, predominando el bachiller de Letras con un 

42% sobre otras modalidades del bachillerato. 

 

Sin embargo el Informe PISA 2006 es más explícito que el informe 2003, 

describiendo la influencia de otros factores sociológicos sobre el resultado de las 

pruebas realizadas el año 2006, como la influencia del factor inmigración, las 

expectativas de empleo o las actividades profesionales de los padres de los 

alumnos.  

 

Resultados de los alumnos en función del lugar de nacimiento (M. E. C.,  

2006: 80): 



Florencio López de Silanes 
 

34 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

“El 7% del alumnado matriculado en los centros españoles son de 

nacimiento extranjero. La puntuación de los alumnos de nacimiento 

extranjero es 55 puntos inferior a la de sus compañeros nacidos en España”. 

 

Resultados y porcentaje de estudiantes que esperan una ocupación 

relacionada con la ciencia a la edad de 30 años (M. E. C.,  2006: 83-84): 

 

“En todos los países participantes en PISA 2006 hay una diferencia 

significativa a favor de aquellos alumnos con una expectativa laboral 

relacionada con las ciencias”. 

 

“Las puntuaciones entre los alumnos españoles con expectativas de 

un trabajo relacionado con la ciencia y las de los promedios de los países de 

la OCDE son similares, entorno a los 535 puntos”.  

 

Resultados de los estudiantes que tienen por lo menos uno de sus padres 

cuyo trabajo está relacionado con la ciencia (M. E. C.,  2006: 84-86). 

 

“En España, sólo el 12% de los alumnos de 15 años tienen por lo 

menos a un progenitor empleado en una actividad laboral relacionada con la 

ciencia”.  

 

“Las puntuaciones en ciencias de los alumnos, que esperan tener un 

trabajo relacionado con las ciencias y alguno de sus padres tiene una 

actividad laboral de carácter científico, alcanzan los 554 puntos, sólo 

superada en la escala de países por Finlandia”.  

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  35 
 

“Los sistemas educativos pueden fomentar el interés por los 

conocimientos científicos pero los criterios y valores, que mueven la 

sociedad, y la economía en particular, influyen de manera importante en el 

interés del alumnado por la ciencia”.  

 

 

 

Los rendimientos de los alumnos en general y en las matemáticas en particular 

están influenciados por diferentes factores entre los que destacamos los siguientes 

de acuerdo con el informe PISA:  

 

a) Rendimiento en Matemáticas e inversión en educación. 

 

El rendimiento en matemáticas con respecto al PIB de los países 

participantes los clasifica de la siguiente manera: (M. E. C.,  2004: 17). 

 

- Globalmente existe una correspondencia bastante acusada entre los 

resultados obtenidos por los países y su Producto Interior Bruto per capita. A 

mayor nivel de riqueza, mejores resultados educativos. 

 

- Según muestra la posición de España respecto a la recta de regresión, los 

resultados educativos de España en el informe PISA 2003 son los esperables 

de un país con su nivel de riqueza. Los demás países mediterráneos quedan 

por debajo de lo esperable, salvo Francia, que queda ligeramente por encima. 

 



Florencio López de Silanes 
 

36 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 
Gráfica 1. (M. E. C.,  2004) 

 

 

De un modo similar, los resultados educativos suelen también estar en 

correspondencia con el nivel de inversiones en educación. El siguiente gráfico 

muestra los resultados en Matemáticas de los distintos países en PISA 2003 junto a 

su inversión pública en educación, medida en porcentaje sobre el PIB. (M. E. C.,  

2004: 18). 

 

 

 
Gráfica 2. (M. E. C.,  2004) 

 

Las posiciones de los países son en este caso más dispersas y la recta de 

regresión logra un bajo nivel de ajuste (12,71%). En esas condiciones la tendencia 

expresada por la recta de regresión indica una correlación baja entre el nivel de 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  37 
 

inversión en educación y las puntuaciones alcanzadas. En todo caso, España está 

ligeramente por encima de la recta de regresión, es decir por encima de lo 

esperable. Los países mediterráneos están de nuevo por debajo, a excepción de 

Francia. (M. E. C.,  2004: 18). 

 

b) Rendimiento en Matemáticas y estatus socio-económico y cultural. 

 

A partir de las respuestas de los alumnos sobre su entorno personal y 

familiar, PISA ha calculado un índice de estatus socio-económico y cultural, en el 

que juega un papel importante el nivel de estudios de los padres, el prestigio de sus 

profesiones, los recursos educativos puestos a disposición de los alumnos y el 

número de libros en casa. (M. E. C.,  2004: 19). 

 

En todo caso, este índice da más importancia a los aspectos culturales que 

a los de riqueza puramente material. El siguiente gráfico presenta, para cada país, 

las puntuaciones medias obtenidas en Matemáticas en relación con el valor 

promedio de estatus socioeconómico y cultural de los alumnos participantes en 

PISA 2003. (M. E. C.,  2004: 19). 

 

 

 

Gráfica 3. (M. E. C.,  2004) 

 

 



Florencio López de Silanes 
 

38 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

La recta de regresión muestra una correspondencia acusada (51,18%) en el 

conjunto de países entre estatus socio-económico y cultural puntuaciones 

obtenidas en Matemáticas. Los resultados de España, junto con Portugal y Francia, 

quedan, en este caso también, ligeramente por encima de lo esperable. (M. E. C.,  

2004: 19). 

 

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  39 
 

3.3.- Psicología educativa 

 

La psicología educativa, se refiere al diagnóstico y estudio de las 

capacidades de los alumnos.  

 

Sánchez Delgado pone de manifiesto la importancia del perfil psicológico 

de los alumnos en el rendimiento de las tareas de aprendizaje (Sánchez Delgado; 

2005: 13): 

 

“A la psicología le preocupa, por ejemplo, qué son capaces de 

aprender los sujetos de determinada edad, a la didáctica le preocupa cómo 

conseguir que un grupo concreto de alumnos aprendan determinados 

contenidos, porque seleccionar esos contenidos, etc.” 

 

Aunque nosotros nada podemos decir sobre el perfil psicológico de los 

alumnos de Magisterio, y particularmente de la muestra de alumnos estudiados, ya 

que el objetivo de dicho cuestionario no era precisamente determinar este perfil. 

 

El Informe PISA 2006 describe la influencia de otros factores psicológicos 

sobre el resultado de las pruebas realizadas el año 2006, como el curso en el que 

están matriculados los alumnos que realizaron dicho examen. 

 

Dicho informe dice sobre los resultados obtenidos por los alumnos 

españoles según el curso en el que están matriculados, (M. E. C.,  2006: 78). 

 

“El 40% de los alumnos españoles que participaron en PISA 2006 

estaban matriculados en 2º o 3º de ESO: es decir, habían repetido uno o dos 

años. Pues bien, como ha ocurrido en los estudios PISA de 2000 y 2003, se 



Florencio López de Silanes 
 

40 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

comprueba que la repetición y el retraso en el estudio no benefician en 

absoluto los resultados académicos de los alumnos en la adquisición de las 

competencias básicas. 

 

Los alumnos españoles que no han repetido curso y se encuentran en 

4º de ESO, que es el curso que les corresponde por edad, obtienen 528 

puntos en ciencias, netamente por encima del Promedio OCDE o del Total 

OCDE. Este resultado es muy similar al de los alumnos de los países que 

obtienen mejores resultados y donde la tradición de repetición es escasa o 

prácticamente inexistente como Australia. La diferencia entre los alumnos de 

2º de ESO y los de 4º es de 142 puntos, pero también la diferencia de los de 

4º con los de 3º de ESO es de 89 puntos, superior a un nivel de rendimiento. 

 

Si se considera el porcentaje de alumnos que han repetido 2 veces, 

se encuentran en 2º ESO y obtienen peores resultados de manera 

significativa, es Galicia la que tiene el porcentaje más alto (11%) seguido de 

Andalucía (10%). En cuanto a las comunidades con menor porcentaje de 

alumnos con 2 cursos de retraso, se encuentra Cataluña (3%) y el País Vasco 

(4%). 

 

Los alumnos españoles que no han repetido curso obtienen 528 

puntos en ciencias, resultado similar a países con buenos resultados como 

Nueva Zelanda o Australia”. 

 

Resaltamos, de esta manera, la importancia que da el Informe PISA 2006, al 

reconocimiento del hecho de que repetir curso no mejora los resultados 

académicos de los alumnos. Este reconocimiento de un informe oficial, contrasta 

con el respaldo institucional existente en España para que los alumnos no repitan 

curso en la enseñanza media, incluso cuando arrastren varias asignaturas 

suspensas. 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  41 
 

 

Para la enseñanza de la geometría, dado su carácter constructivista, y de 

que no debieran existir lagunas en el conocimiento del curriculum de la geometría, 

entendemos que lo más acertado son las orientaciones académicas que aseguren 

más eficientemente la recuperación de los contenidos pendientes de geometría; lo 

que no implica la repetición de curso de los alumnos que suspendan las 

matemáticas, ya que de acuerdo con el mencionado Informe PISA 2006, la 

repetición de curso no aporta mejores resultados en el conocimiento de los 

alumnos de ESO. 

 

 

3.4.- Filosofía de la educación 

 

Entenderemos por “Filosofía de la Educación”, el análisis teórico de la 

comprensión de la experiencia educativa como fenómeno universal. (Sánchez 

Delgado; 2005: 12). Este autor nos sugiere recurrir a la Filosofía de la Educación 

para contemplar otras aristas importantes del proceso de aprendizaje. 

 

En este punto conviene recordar las bases de PISA como fundamento de la 

futura Filosofía de la Educación para los países de la OCDE (M. E. C.,  2004: 03): 

 

“El Programa para la Evaluación Internacional de los Alumnos de 

PISA, es un estudio de  evaluación internacional del rendimiento de los 

alumnos de 15 años, realizado a iniciativa y bajo la coordinación de la 

Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico (OCDE). Las 

materias evaluadas son: Matemáticas, Lectura, Ciencias y Solución de 

problemas.”  

 

“PISA evalúa el conocimiento y las destrezas de los alumnos de 15 

años. El objetivo general es conocer como están preparados los alumnos de 



Florencio López de Silanes 
 

42 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

esa edad para afrontar los retos de la vida adulta en un contexto de vida 

cotidiana.”  

 

“PISA no es una evaluación curricular en la que se evalúa lo que se 

les ha enseñado a los alumnos en la escuela. Es una evaluación de los 

conocimientos y destrezas esperables en un alumno próximo a terminar su 

escolaridad obligatoria y a punto de incorporarse al mercado laboral o de 

proseguir estudios no obligatorios. El carácter no curricular de PISA facilita 

que los resultados entre países sean comparables, con independencia de los 

distintos modos de organizar las enseñanzas en cada país.”  

 

“En PISA 2003 han participado 41 países, los 30 países miembros de 

la OCDE y 11 no miembros. Entre ellos quedan incluidos los 15 países que 

eran miembros de la Unión Europea en 2003. No se publican los datos del 

Reino Unido porque su tasa de respuesta no permite una adecuada 

comparación con el resto de los países participantes.”  

 

Así, con el Informe PISA 2003, se ha elegido un marco referencial, como 

Filosofía de la Educación, marcado por una metodología de trabajo fundamentada 

en exámenes sobre problemas para adultos en un contexto de la vida ordinaria, es 

decir, se les pide resolver problemas propios de la formación de personas que 

próximamente serán adultos, no se resalta la resolución de problemas, por ejemplo 

de carácter científico, que se dejan para otros escenarios. 

 

Otro componente del Informe PISA está en su carácter hacia la 

universalidad, si bien en 2003 participaron 41 países, en el año 2006 lo hicieron 57 

países (M. E. C.,  2006: 15-17). 

 

“El estudio PISA está organizado y dirigido cooperativamente por los 

países miembros de la OCDE, en colaboración con un número cada vez 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  43 
 

mayor de países asociados. El total de países participantes fue de 32 en 

2000, 41 en 2003, 57 en 2006 y será de 64 en 2009; de ellos, los 30 países 

miembros de la OCDE y 34 países asociados.” 

 

“El estudio PISA 2006, como se ha dicho, quedó enfocado en la 

competencia científica. Los países participantes entonces supusieron una 

representación de un tercio de la población mundial y casi el 90 % del PIB 

(Producto Interior Bruto) mundial, más de lo que ningún otro estudio 

internacional de este tipo ha abarcado hasta la fecha. En total participaron 

57 países, incluidos los 30 de la OCDE y otros 27 países asociados. La 

muestra comprendió de 4.500 a 20.000 alumnos en cada país.”  

 

Pero PISA va más allá del examen de los problemas para la vida, quiere 

conocer la realidad en términos absolutos y relativos, y, la posibilidad de marcar 

pautas correctoras (M. E. C., 2006: 16-17). 

 

“Para ello, y también para evitar las limitaciones que acarrearía, en 

un estudio comparativo internacional, un enfoque curricular de la 

evaluación, PISA adopta una perspectiva competencial. Ésta se centra en 

averiguar hasta qué punto los alumnos son capaces de usar los 

conocimientos y destrezas que han aprendido y practicado en la escuela 

cuando se ven ante situaciones, muchas veces nuevas para ellos, en los que 

esos conocimientos pueden resultar relevantes. Es decir, evalúa cómo los 

alumnos pueden hacer uso de su capacidad lectora para comprender e 

interpretar distintos tipos de material escrito con el que probablemente se 

van a encontrar al gestionar su vida diaria; de qué forma pueden utilizar su 

competencia matemática para resolver distintos tipos de retos y problemas 

relacionados con las matemáticas; y el modo en que los alumnos pueden 

hacer uso de sus conocimientos y destrezas científicas para comprender e 

interpretar distintos tipos de contextos científicos. Las competencias 

adquiridas reflejarían la posibilidad de los alumnos de continuar 



Florencio López de Silanes 
 

44 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

aprendiendo a lo largo de su vida, aplicando lo que aprenden en la escuela y 

fuera de ella, evaluando sus opciones y tomando decisiones.”  

“Además de analizar el nivel de rendimiento de los alumnos en las 

áreas evaluadas, PISA aporta información sobre distintos aspectos de su 

entorno familiar y escolar y también datos de los centros sobre su 

organización y oferta educativa. Con esta información se facilita un estudio 

pormenorizado de los factores que pueden estar asociados con los distintos 

niveles de competencia lectora, matemática y científica de los alumnos de 15 

años de cada país. Entre otros factores, se estudia la importancia del nivel de 

estudios y la cualificación profesional de los padres, el grado de bienestar 

económico del hogar, la relación de profesores y alumnos, las horas 

dedicadas a cada área dentro y fuera del aula, y las estrategias de apoyo o 

ayuda a los alumnos con dificultades de aprendizaje. Se valora también la 

influencia en el rendimiento de los alumnos según el país de procedencia de 

las familias, el porcentaje de alumnos inmigrantes y sus posibles dificultades 

de aprendizaje. En relación con las circunstancias específicas de los alumnos, 

se investigan las diferencias de rendimiento y actitudes según el sexo, la 

importancia de la historia escolar del alumno, su confianza en la capacidad 

de superar obstáculos en las distintas áreas, las estrategias de aprendizaje 

que utilizan y el interés o gusto por el estudio de cada área. También, se 

observa la relación entre los resultados y el PIB per cápita o la inversión 

pública de cada país en educación.”  

 

“Otro interés de PISA es la conexión de lo que se aprende en la 

escuela con el aprendizaje a lo largo de la vida, pues no se limita a evaluar 

las competencias curriculares y transversales de los alumnos, sino que 

también informa sobre su motivación para aprender, la percepción de sí 

mismos y las estrategias que utilizan como sujetos de aprendizaje.”  

“Los análisis resultantes de la combinación de niveles de rendimiento 

y factores posiblemente asociados serán de enorme interés para los 

responsables políticos de los países participantes y para los investigadores 

que buscan comprender mejor la realidad de nuestra educación.”  

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  45 
 

3.5.- Pedagogía 

 

La pedagogía se ocupa de la explicación y mejora de la educación. (Sánchez 

Delgado; 2005: 12). Este autor pone de manifiesto la importancia de la pedagogía 

en el aprendizaje. 

 

Los estudios PISA se repiten cada tres años. En cada uno de ellos se 

profundiza especialmente en una de las materias. En el primer estudio, realizado 

en el año 2000, se profundizó en Lectura; participaron 32 países. En el segundo, 

realizado en 2003 y cuyos primeros resultados se presentan ahora, se ha 

profundizado en Matemáticas; han participado 41 países. El tercer estudio se 

llevará a cabo en 2006 y la materia principal serán las Ciencias; se espera que 

participen más de cincuenta países. (M. E. C., 2004: 3). 

 

 

3.6.- Didáctica 

 

La didáctica es la disciplina que tiene como objeto básico el estudio y 

acción de los procesos de enseñanza y aprendizaje con la intención de conocerlos 

para conformarlos en una dinámica de mejora constante dirigida por la integración 

dialéctica constante entre la teoría y la práctica en ámbitos formales y no formales. 

(Sánchez Delgado; 2005: 12). Este autor pone de manifiesto la importancia de la 

didáctica en las tareas de aprendizaje.  

 

El modelo Van Hiele, detallado anteriormente, constituye un modelo 

referencial para la didáctica de la geometría, ya que estructura todos los procesos 

de enseñanza y aprendizaje de la geometría. 

 

 

 



Florencio López de Silanes 
 

46 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

3.7.- El constructivismo 

 

Aunque los contenidos han jugado siempre un papel decisivo en las 

orientaciones y programas oficiales, en las programaciones de los profesores y en 

la organización práctica de las actividades concretas de enseñanza y aprendizaje en 

las aulas (estando permanentemente en el centro del debate educativo), Coll 

recuerda que en las últimas décadas ha habido una cierta tendencia a minimizar su 

importancia de interés, cuando no ha considerar los como una especie de mal 

necesario. Caricaturizando la situación, piensa que se podría decir que algunos 

profesores han estado durante los últimos años escindidos entre la necesidad de 

enseñar contenidos en el aula y la aceptación, más o menos reflexionada y 

argumentada de una filosofía educativa que de en el excesivo peso lado 

tradicionalmente a los contenidos el origen de una gran parte de los males que han 

aquejado a la educación escolar. (Monclús; 2005: 138). 

 

La importancia que se atribuye en la concepción tradicional a los 

contenidos aparece estrechamente vinculada a una interpretación trasmisiva y 

acumulativa de la enseñanza y el aprendizaje, mientras que su cuestionamiento o 

relativización con la concepción progresista está unida a una interpretación 

cognitiva y constructivista del aprendizaje. (Monclús; 2005: 138). 

 

3.7.1.- Constructivismo y el modelo Van Hiele 

 

Andrés de la Torre Gómez después de disertar largo y tendido sobre el 

constructivismo y sus problemas, particularmente a comienzos del siglo XX, 

concluye sobre el modelo de Van Hiele. (De la Torre Gómez; 2003: 99-121). 

 

“En vista de que van Hiele se enmarca en la concepción 

constructivista del aprendizaje, conviene examinar la relación de dicha 

concepción con las dos grandes corrientes acerca de la naturaleza del 

conocimiento humano, a saber, el racionalismo y el empirismo. 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  47 
 

 

Entre los continuadores de Piaget, se cuentan los esposos Pierre y 

Dina Van Hiele, quienes introdujeron en Holanda, a partir de 1957, el modelo 

de los niveles de pensamiento con el propósito de desarrollar en los alumnos 

de la escuela elemental el insigtht en la geometría.  El modelo despertó de 

inmediato el interés de los psicólogos en la Unión Soviética, hasta el punto 

que A. M. Pyshkalo, en 1963, lo tomó como base para su programa de 

enseñanza de la geometría.  En los Estados Unidos, Izaak Wirszup introdujo 

formalmente las ideas de los Van Hiele mediante la conferencia titulada 

“Some Breakthroughs in the Psychology of Learning and Teaching 

Geometry”, ante el encuentro anual del “National Council of Teachers of 

Mathematics (NCTM)”, de Atlantic City, realizado en 1974.” 

 

El modelo de van Hiele será expuesto detalladamente en los capítulos 5, 6 

y 7, así como sobre sus derivaciones. En este trabajo se realiza estudios relacionado 

con los hechos originalmente en la Unión Soviética y posteriormente en otros 

países, tanto a nivel de los estudios curriculares como la de datos mediante este 

trabajo de campo. 

 

Aunque van Hiele recibió una fuerte influencia de Piaget, se separó de éste 

en puntos cruciales, como los siguientes (Van Hiele, 1986: 5-6): 

  

1) “La teoría psicológica de Piaget se refiere primordialmente al desarrollo 

del niño, más que al aprendizaje. En el modelo de Van Hiele, en cambio, 

es esencial el asunto de cómo estimular a los niños para que asciendan 

de un nivel al siguiente. La teoría de las fases de aprendizaje de van Hiele 

responde a esta necesidad. 

 

2) Piaget no captó en toda su dimensión el papel que juega el lenguaje en el 

paso de un nivel a otro por parte del aprendiz. En el modelo de Van Hiele, 

en cambio, el aprendiz desarrolla un lenguaje específico para cada nivel 

de pensamiento. 



Florencio López de Silanes 
 

48 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

3) Van Hiele concibe las estructuras de un nivel superior como el resultado 

del estudio de un nivel inferior: Sólo se alcanza el nivel superior si las 

reglas que gobiernan el nivel inferior han sido hechas explícitas y 

estudiadas, convirtiéndose así ellas mismas en una nueva estructura. En 

la teoría de Piaget, en cambio, los niños nacen dotados de la estructura 

superior y sólo necesitan tomar conciencia de ella.  

 

4) Para Piaget el desarrollo del espíritu humano conduce inevitablemente a 

ciertos conceptos teóricos. Van Hiele, en cambio, pone el énfasis en que 

dichos conceptos son construcciones humanas resultantes de procesos de 

aprendizaje en los cuales interviene el periodo histórico.” 

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  49 
 

3.8.- Epistemología 

 

La epistemología en la enseñanza abarca los contenidos, los 

procedimientos y los medios puestos a disposición de enseñantes. 

 

La epistemología centra su atención en el qué enseñar. Parece evidente la 

intensa relación que debe existir entre el qué y el cómo enseñar si queremos 

mantener la coherencia en el proceso de enseñanza y aprendizaje. (Sánchez 

Delgado; 2005: 15). 

 

Hay que ver también la diferencia entre “el qué enseñar” como 

planteamiento, y “el qué se enseña” como realización del acto de enseñanza. Al 

primer aserto corresponden los curricula, los contenidos, y los procedimientos. 

 

Contemplando el sistema educativo como un subsistema social, en relación 

con otros sus sistemas, comprobamos como las distintas corrientes de 

pensamiento fundamental, la puesta en marcha de los curricula y de la práctica 

educativa. Desde la consideración de corrientes estructuralistas que predeterminan 

como ha de ser el producto final, puesto que las personas forman parte de 

estructuras y son éstas las que determinan las formas de actuar, hasta el 

pensamiento más crítico que define el carácter personal de los individuos con 

capacidad para transformar la realidad y donde lo que importan son los procesos. 

(Moreno Herrero; 2005: 171). 

 

Hay que recordar que lo metodológico no es un problema secundario, a 

veces se ha enseñado en la escuela tradicional o en la mayoría de nuestros Centros 

de Enseñanza. El hecho de que el término método signifique camino no justifica el 

considerarlo como un accesorio de la meta a lograr. (Monclús; 2005: 38). 

 



Florencio López de Silanes 
 

50 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Es interesante el análisis realizado por Monclús del “el qué se enseña”, que 

trasciende “el qué enseñar”, llegando a replantear totalmente los curricula, los 

contenidos, los procedimientos y los medios de la enseñanza. 

 

Asimismo hay que recordar una vez más el resultado de una célebre 

investigación didáctica según el cual los maestros aplicaban los métodos que les 

habían aplicado y no los que les habían enseñado. Es el modo de enseñar lo que en 

definitiva capta el alumno en una enseñanza determinada y no propiamente los 

contenidos -en un sentido tradicional- que pueden estar también expuestos en un 

libro, en un audiovisual, en un CD-Rom, o en una plataforma digital. Y el alumno 

capta porque es sabido del proceso de adquisición del conocimiento conforma la 

personalidad. Los análisis de epistemología genética de Piaget, los de Vigotsky o 

Freire, el constructivismo que acabamos de analizar son bastante elocuentes al 

respecto. (Monclús; 2005: 38). 

 

Generalmente, y no sólo en la enseñanza tradicional, se suele caer en la 

infraconsideración de la forma, de lo formal, por estimar que, al fin y al cabo, lo 

importante es el fondo. La vieja polémica forma-fondo, forma-contenidos subyace 

de este modo en la sicología escolar, situando frecuentemente a la forma en 

cuanto una especie de prolegómenos del verdadero problema. Toda la filosofía del 

DCB, por ejemplo, tendía a superar esta dicotomía, y tal vez fuera el segundo de los 

aspectos menos discutibles (Monclús; 2005: 38). 

 

Incluso la tecnología educativa ha venido a replantear el tema, pues no 

pocos de los profesores tradicionales se han encontrado, por ejemplo, con el sin 

sentido que presuponía seguir diciendo que el concepto es superior a la imagen, 

cuando sus alumnos iban construyendo su personalidad influidos decisivamente 

por la imagen, cada vez más generalizada en nuestra sociedad por la implantación 

de los “mass media”. La revolución teleinformática no ha hecho más que dar 

nuevos datos para un enfoque nuevo del problema. Así, la introducción del 

ordenador en la escuela ha supuesto la toma de conciencia de que una forma 

determinada de enseñar puede resultar el problema principal para el educador, 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  51 
 

toda vez que los contenidos, en cuanto que datos de información, son o pueden ser 

transmitidos perfectamente por la informática. (Monclús; 2005: 39). 

 

La metodología en la enseñanza y la escuela se concretan en la utilización 

de una serie de recursos o medios identificados de diferentes formas. Aparte de lo 

relativo a las características estratégicas personales y profesionales del profesor, es 

esencial en la metodología del capítulo recursos materiales, desde el esperado 

convencional o los libros de texto a los últimos avances en la tecnología informática 

y plataformas digitales. (Monclús; 2005: 39). 

 

La interdependencia entre estrategias y recursos didácticos, es tal que a 

veces parece difícil distinguir las características del método de los recursos. Las 

sugestivas tesis de Mac Luhan, entre otras cosas, llamaron la atención sobre el 

relevante valor, nada desdeñable, de los propios medios no sólo como portadores 

sino como constructores del mensaje. Todo ello ha contribuido a estudiar las 

características de la actuación del profesor, de la naturaleza del aprendizaje del 

alumno, de las relaciones de comunicación profesor-alumno, así como del propio 

diseño y desarrollo curricular en función de la utilización de determinados medios. 

Desde el tradicional medio impreso a las nuevas tecnologías de informática y las 

redes de información, pasando por el medio audio de soporte sonoro, o el visual, 

bien sea fílmico, televisión, CD-Rom, las posibilidades metodológicas que se 

favorecen son muy distintas. (Monclús; 2005: 39). 

 

Conocer el lenguaje de la informática, diferente al del libro de texto de 

consulta, no es un problema que se puede eludir en una planificación y realización 

de un currículum determinado. El querer eludirlo, además de ejercer una 

pretensión engañosa, no sólo no impide que sea un hecho que está presente en la 

teoría y la práctica curriculares, sino que es fuente de diversos problemas, como el 

qué se plantea por quienes no tienen en cuenta el lenguaje de los medios cuando 

se afirma que unos buenos programas audiovisuales e informáticos ya sobre la 

figura del profesor. (Monclús; 2005: 39). 



Florencio López de Silanes 
 

52 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

En el caso de la geometría el qué y el cómo se enseña adquieren un 

carácter propio y singular. No solo por la estructuración y el progresismo de los 

contenidos, sino que la singularidad de los procedimientos de construcción del 

conocimiento geométrico, unas veces intuitivo, otras axiomático, la importancia del 

dibujo y de la representación gráfica de las entidades geométricas, etc, configuran 

una metodología singular de trabajo en la enseñanza. 

 

Estas características del conocimiento de la geometría, conlleva 

necesariamente a una metodología propia para el desarrollo de las destrezas 

propias que sirvan a dicho objetivo en los alumnos, y sin las cuales, el acceso y la 

adquisición de los conocimientos de la geometría se hacen difíciles, costosos e 

inseguros. 

 

Son  destrezas a desarrollar en la enseñanza de la geometría: 

- El adiestramiento de la intuición geométrica. 

- La representación gráfica de las entidades geométricas. 

- El tratamiento gráfico de los procedimientos de la geometría. 

- La estructuración del pensamiento y de los conocimientos geométricos. 

- Realización de ensayos, prueba-error gráficamente. 

- Desarrollo de habilidades de medida gráficamente. 

- Tratamiento mental de las entidades geométricas. 

- Proceso mental de los procedimientos de la geometría. 

- Construcción gráfica de la resolución de los problemas de geometría. 

- La integridad y coherencia gráfica y mental de los resultados y 

conocimientos geométricos. 

- Comprobación mental, gráfica y dibujada de los resultados y planteamientos 

geométricos. 

- Secuenciación propia de los problemas y planteamientos geométricos. 

- Realización de medidas directas, gráficas, etc. 

- Utilización de los recursos geométricos para la realización de medidas 

indirectas. 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  53 
 

- Dibujo de entidades de la vida real en una, dos y tres dimensiones. 

- Realización de dibujos proporcionados. 

- Lectura de planos y mapas. 

- Cálculos en planos y mapas. 

- Trabajo  con rompecabezas (puzzles) en una, dos y tres dimensiones. 

- Trabajar gráficamente las traslaciones de figuras y objetos. 

- Trabajar mentalmente las traslaciones de figuras y objetos. 

- Trabajar gráficamente las rotaciones de figuras y objetos. 

- Trabajar mentalmente las rotaciones de figuras y objetos. 

- Trabajar gráficamente las homotecias de figuras y objetos. 

- Trabajar mentalmente las homotecias de figuras y objetos. 

- Trabajar gráficamente las semejanzas de figuras y objetos. 

- Trabajar mentalmente las semejanzas de figuras y objetos. 

- Trabajar gráficamente los movimientos de figuras y objetos. 

- Trabajar mentalmente los movimientos de figuras y objetos. 

- Trabajar gráficamente y mentalmente la relación de las entidades 

geométricas con otras ciencias, técnicas o actividades como la física, 

ingeniería, arquitectura, pintura ... 

- La topología en la recta, el plano y el espacio. 

- Los caminos en el plano y en el espacio. 

- Los movimientos en la recta, el plano y el espacio. 

- Figuras y objetos cóncavos y convexos.  

- La secuenciaron en geometría. 

- La seriación en geometría. 

- Las construcciones geométricas planas y espaciales. 

- Geometría plana. 

- Geometría espacial. 

- Geometría esférica. 

- Geometría terrestre. 

- Geometría y astronomía. 

- Geometría y arte. 

- La armonía de las proporciones. 

- La belleza. 

 



Florencio López de Silanes 
 

54 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

3.9.- Curriculum 

 

Normalmente entendemos por curriculum la especificación de los 

conocimientos que se imparten y el modo como se hace, en un margen de tiempo 

determinado y dirigido a un alumnado específico. 

 

Didáctica y curriculum pertenecen a tradiciones distintas, pero hoy son 

equivalentes y se ocupan del estudio del proceso de enseñanza y aprendizaje para 

su mejora constante. Mantienen relaciones con otras ciencias de la educación, 

pero no se confunden con ellas. (Sánchez Delgado, 2005: 27). 

 

El curriculum implica una serie de dimensiones que interrelacionadas y 

secuenciadas constituyen el conjunto de una enseñanza determinada en un marco 

escolar determinado. (Monclús, 2005: 29). 

 

Una vez planteado el diseño y desarrollo curricular, diferentes dimensiones 

o elementos lo configuran y constituyen, tanto a nivel del proceso de enseñanza y 

aprendizaje, como en relación al ámbito escolar en que se realiza. Se suelen 

establecer cuatro dimensiones entorno a las que, desde diferentes ángulos 

posiciones, se analiza el complejo campo del currículum: los objetivos, los 

contenidos, la metodología, y la evaluación. (Monclús, 2005: 29). 

 

3.9.1.- Fases del curriculum 

 

Sánchez Delgado (2005:17) plantea la secuencia o fases, y la importancia 

del desarrollo curricular. Estas son: Currículum prescrito, presentado y el desarrollo 

del curriculum: 

 

- Currículum prescrito: características de currículum tal como aparece en las 

leyes, decretos y normativas establecidas por la Administración educativa.  



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  55 
 

 

- Currículum presentado: el currículum presentado suele estar constituido por 

dos tipos básicos de materiales: los dirigidos al profesorado y los dirigidos al 

alumnado.  

 

- Desarrollo del currículum: es la última fase, la puesta en práctica del 

currículum.  

 

3.9.2.- Modelos curriculares 

 

Los sistemas educativos establecen en su curriculum en función de unas 

teorías o corrientes de pensamiento que lo fundamentan. La diferencia entre unos 

y otros estriba básicamente en el protagonismo de los que intervienen, de como se 

toman las decisiones y en la importancia que se da a unos y a otros elementos del 

currículum. En el ámbito de la práctica del estilo de los centros educativos estará 

determinado por la opción o el modelo curricular en que fundamenten su forma de 

hacer. (Moreno Herrero; 2005: 172). 

 

Así, según las orientaciones con las que se realiza el curriculum, Isidro 

Moreno Herrero plantea tres tipos de curricula: técnico (reproducción de los 

contenidos y modelos sociales; adquisición de conocimientos; verificación si 

alcanzan los objetivos); práctico (el profesor elabora el currículum; objetivos en 

función de capacidades; contenidos con hechos, procedimientos y principios; 

evaluación de carácter formativo; aprendizajes significando la realidad; 

metodología activa) y estratégico (análisis crítico de la sociedad para transformarla; 

el profesor está para facilitar la comunicación entre los miembros de la comunidad 

educativa). 

 

De esta manera, este autor, describe los tipos curriculares mediante 

paradigmas: 

 

 



Florencio López de Silanes 
 

56 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

3.9.2.1.- Paradigma técnico 

 

Desarrolla una teoría curricular cuya principal característica es la 

reproducción de los contenidos y modelos sociales. El papel del profesorado es el 

de transmitir conocimientos y ejecutar las orientaciones que les llegan fundadas. La 

finalidad principal es el logro de objetivos y éstos vienen formulados en términos 

de conductas observables. El aprendizaje se entiende como una actividad por la 

que el alumnado a quiere una serie de conocimientos que constituyen el bagaje 

cultural y social que se desea transmitir y perpetuar. La evaluación es el 

instrumento que permite verificar si se alcanza la conducta esperada; tiene pues, 

un carácter instructivo y sancionador. (Moreno Herrero; 2005: 172). 

 

Desde esta perspectiva el uso que se hace de los medios es un uso 

transmisor, cuyas características principales son la linealidad en el diseño, la escasa 

adecuación a la realidad y el papel reproductor y ejecutor del profesorado. 

(Moreno Herrero; 2005: 172). 

 

3.9.2.2.- Paradigma práctico 

 

También llamado situacional, que inspira un modelo curricular práctico o 

interpretativo. Lo más característico de este modelo son los planteamientos o 

diseños abiertos con el fin de adecuarlos a la realidad. Se plantea el análisis de la 

realidad para dar significado a todas las situaciones. El papel del profesorado 

adquiere un carácter más activo puesto que se le permite tomar decisiones para 

elaborar el currículum. Se parte de un curriculum básico con normas que 

prescriben ciertas tareas, pero cada equipo pedagógico debe adecuar y completar 

un currículum acorde con las características de su centro. En este caso no importan 

los productos finales sino los procesos. (Moreno Herrero; 2005: 173). 

 

Los objetivos se plantean en términos de capacidades que mediante 

diversas acciones educativas se deben desarrollar en cada persona; por tanto un, 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  57 
 

no son medibles ni se pueden evaluar directamente sino por medio de la 

constatación de los aprendizajes. El los contenidos los hechos, procedimientos y 

principios generales de las ciencias son tenidos en cuenta, así como el carácter 

cambiante de estas. La evaluación tiene un carácter formativo, importa comprobar 

los procesos con el fin de rectificar y mejorarlos. El aprendizaje se entiende como la 

adquisición de conocimientos para dar significado a la rebeldía; es algo que se 

construye de forma gradual y en donde se ponen en marcha una serie de 

mecanismos que permitan elaborar y reelaborar redes conceptuales cada vez más 

complejas, lo que posteriormente permitirá aplicar aquellos que se aprendió a 

todas situaciones. (Ibídem). 

 

Se emplean diversas metodologías en las que el profesorado adquiere un 

papel más activo. Metodologías que acarrean la utilización de materiales diversos, 

no sólo el libro de texto, incluso la elaboración de los propios materiales. Los 

recursos de todo tipo son tenidos en cuenta y están al servicio de las estrategias 

metodológicas. (Ibídem). 

 

Desde esta racionalidad se plantean diseños abiertos que tienen en cuenta 

la realidad y la utilización de recursos y la de los medios que permiten aprender y 

utilizar sistemas de representación simbólica, solucionar problemas e interpretar y 

relacionarse con el medio físico, social y cultural. (Ibídem). 

 

3.9.2.3.- Paradigma estratégico 

 

Desarrolla una teoría curricular basada en los principios de la corriente 

socio-crítica. Se puede considerar como un paso más allá del anterior paradigma. 

Plantea el análisis crítico de la sociedad para transformarla. Ahora no es una teoría 

la que dicta la práctica. La práctica -praxis- y la teoría se complementan recíproca y 

dialécticamente. (Ibídem). 

 



Florencio López de Silanes 
 

58 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Se entiende el papel del profesorado como el sujeto que facilita la 

comunicación entre los miembros de la comunidad educativa, quienes a su vez 

deben convertirse en agentes del cambio social. (Ibídem). 

 

Esta teoría crítica inspira un uso crítico y transformador de los medios, el 

los que éstos son utilizados como elementos de análisis y reflexión sobre la práctica 

incidiendo en la propia realidad con el fin de transformarla y mejorarla. (o.c. : 174). 

 

De esta forma, podemos ver que el Modelo Van Hiele para la enseñanza de 

la geometría va asociado al modelo curricular técnico, ya que ambos estructuran y 

secuencian los contenidos, y establecen que el paso a un nivel superior solamente 

es realizable cuando se conoce perfectamente el nivel actual. 

 

Al paradigma práctico podemos asociar el desarrollo de las capacidades y 

habilidades geométricas, el estudio de la realidad desde la perspectiva de la 

Geometría y de la Geometría Sagrada, el estudio de la geometría del hombre, 

animales, plantas, continentes, sistemas planetarios. También la Geometría de las 

artes como: arquitectura, pintura, escultura, música y poesía. 

 

En el paradigma estratégico, podrían tener cabida la relación de la 

geometría con el amor y el gusto por el buen urbanismo, y el conocimiento de la 

geometría de los medios públicos ciudadanos.    

 

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  59 
 

3.10.- Objetivos 

 

Para Monclús los objetivos del curriculum son inseparables de su propia 

naturaleza, y siempre estuvieron y están presentes en el curriculum. 

 

Desde la Segunda Guerra Mundial, y frecuentemente en el contexto 

norteamericano, surge el tema de los objetivos como el gran descubrimiento, bien 

por razones ideológicas eficientistas te plasmaban el educación los parámetros 

empresariales, o bien por aplicación a la enseñanza de la manipulación psicológica 

del conductismo, o bien por tratar de encontrar un enfoque más completos, más 

científico para enseñanza y la escuela. Por esta diferentes razones, y de forma 

ambigua, el tema de los objetivos llegó a convertirse para el currículum, y para el 

mundo de la educación generar, en el elemento definitorio de la nueva época, al 

punto de llamar pedagogía por objetivos a todo un paradigma curricular nuevo, y a 

toda una teoría educativa novedosa. (Monclús; 2005: 30). 

 

La consideración del curriculum desde un planteamiento moderno, basada 

en objetivos tiene sus antecedentes también en los dos libros clásicos de Bobbitt, 

“The Curriculum de 1918 y el How to Make a Curriculum”, de 1994, quien mantenía 

al respecto que la educación que prepara para la vida es la que ayuda definitiva y 

adecuadamente al éxito de la realización de actividades específicas en que consiste 

la vida humana. (o. c. : 31). 

 

Desde el punto de vista crítico, Stenhouse revisa los aspectos positivos y los 

puntos débiles del enfoque del diseño y desarrollo curricular por objetivos. 

(Ibídem). 

 

Para él, en áreas de acción o "ciencias normativas" como el estudio del 

currículum, la teoría posee dos funciones. La primera función sirve para organizar 

los datos, los hechos con los que contamos, de modo que proporcione una 



Florencio López de Silanes 
 

60 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

comprensión, y si no va más allá de nuestro conocimiento y no se basa en 

afirmaciones dudosas se encuentra "bien fundamentada". Si abarca una amplia 

serie de datos y consideraciones es ampliado o de "alto nivel". La segunda función 

de la teoría de una ciencia normativa es la de suministrar una base para la acción. 

La base para actuar como seriedad que la teoría tiene que tener un vértice 

normativo, así como una vertiente reflexiva. (o. c. : 32). 

 

Sin embargo, Stenhouse plantea aquellas objeciones que considera como 

fundamentales para aplicación universal del modelo de objetivos, distingue 

aquellas áreas en las que cree que éste resultara, con frecuencia, razonablemente 

útil. (Ibídem). 

 

En la enseñanza de la geometría hemos de marcar los siguientes objetivos 

básicos: 

 

- Adquirir las habilidades propias de la geometría, que han de redundar en 

beneficio de los otros objetivos. 

- El conocimiento de la geometría. 

- Saber realizar medidas directas e indirectas. 

- Realización de dibujo geométrico. 

- La resolución de problemas geométricos. 

- La trasmisión del conocimiento geométrico. 

 

 

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  61 
 

3.11.- Contenidos 

 

Pero el punto central de los curricula ha estado siempre marcado por los 

contenidos, e incluso, en muchas ocasiones, solamente por los contenidos, quienes 

han sido también la diana solitaria de la enseñanza, y actualmente lo son para 

muchos enseñantes. 

 

El capítulo de los contenidos en el diseño y desarrollo curricular ha pasado 

por planteamientos muy diferentes, desde quienes los excluían, reduciéndola 

didáctica a objetivos, metodología y evaluación, hasta quienes, como en el Diseño 

Curricular Base de la reforma educativa española, lo sitúan como eje central del 

currículum ampliando su consideración tradicional. (Ibídem). 

 

Dentro el ámbito universitario, Zabalza sostiene que quizás la influencia 

formativa más clara impertinente puede producirse de forma indirecta, a través del 

trabajo sobre los contenidos. En efecto, el tipo de contenidos que se seleccionan, la 

forma de encararlos, la metodología empleada, en las exigencias generadas para la 

superación del curso, etcétera, constituyen elementos que implican, bien 

empleados, una gran capacidad de impacto formativo sobre los alumnos. (Monclús; 

2005: 34). 

 

El otro texto clásico, de gran influencia hace unos años, Fernández, 

Sarramona y Tarín planteaban la cuestión de como contenidos instructivos, que, en 

ocasiones, se confunden con el estudio de los programas escolares. Planteaban que 

el término "programa" no está perfectamente definido un que incluye desde la 

negra relación de los contenidos instructivos de unas materias según las 

orientaciones de los cuestionarios, hasta el proceso instructivo como tal. El esta 

forma, el programa se identificaría como la enumeración de temas, desglosados en 

preguntas que componen una materias, con un índice más o menos analítico según 

el desglose, es así como tradicionalmente aparecía en muchos libros de texto de 

muchos centros, incluidos los universitarios, y como todavía sigue apareciendo en 



Florencio López de Silanes 
 

62 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

no pocos casos. Para el diseño que pretenden estos factores, el programa cuadraría 

con la interrelación de contenidos, actividades y material. Podría decirse que los 

contenidos como puntos de partida pueden considerarse como un sistema 

orgánico de valores culturales que se traducen, en el caso de tal programa escolar, 

en determinadas normas y habilidades. Por lo tanto, estos autores señalan que, la 

propia operatividad del sistema prohíbe plantear los contenidos antes que los 

objetivos. Pero para muchos profesores tradicionalmente el temario es el punto 

inicial de su enseñanza, comenzando por los contenidos y por imponer un 

determinado libro de texto como instrumento fundamental y determinante de los 

objetivos, material y método, haciendo que todo el proceso gire entorno así su 

libro elegido. Lo lógico, sin embargo, sería entonces comenzar por los objetivos 

generales que ofrecen una visión del campo para pasar después a la concreción de 

los objetivos específicos y a la selección de los contenidos. (o. c. : 35). 

 

El contenido de los objetivos puede ser el conocimiento científico, pero 

esos objetivos son objetivos concretos que dan contenido a otros objetivos de un 

nivel superior de abstracción y que hacen ya alusión a la proyección del contenido. 

Situar los contenidos en términos de objetivos supone plasmar el valor de 

aplicación que pueden tener estos contenidos en la vida social y las 

transformaciones correspondientes de ellos derivadas. Es decir, que se relativiza el 

papel de los contenidos poniéndolos al servicio de ábaco, lo que significa dar la 

posibilidad de una pedagogía y no meramente transmisora de contenidos 

acabados. (o. c. : 36). 

 

El contenido en el diseño, por lo tanto, viene a responder a la pregunta de 

que y porque enseñar un determinado campo disciplinar (científico, cultural, 

metodológico, disposicional, destreza de acción, etcétera.). Más adelante este 

autor define el contenido como el conjunto de teorías, datos, modelos, esquemas, 

etcétera., que se ofrecen al sujeto para ser conocidos. La enseñanza y la escuela no 

pueden desconocer elementos esenciales del acerbo humano como el pensar, 

conocer y actuar, si no se han de ofrecer a los sujetos las mejores posibilidades 

para que continúen un estilo de pensamiento riguroso, innovador, que permita un 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  63 
 

modo nuevo de conocer el pensar, abierto y critico para incorporarlo presionado el 

contraste riqueza de la propia práctica. (Ibídem). 

 

El profesor Monclús concluye indicando (o. c.: 37) que el esfuerzo por 

sintetizar la problemática general sobre los contenidos, algunos autores señalan 

que el contenido del currículum es el contenido de las materias del proceso de 

enseñanza-aprendizaje y, como tal, incluye el conocimiento, las habilidades y los 

valores asociados a tales materias. La selección de contenidos tiende a enfatizar 

tanto un enfoque de la materia (conocimiento) como un enfoque del proceso 

(habilidades). 

 

3.11.1.- Criterios de selección de los contenidos. 

 

En este sentido, Print plantea que los criterios para seleccionar el 

contenido efectivo de un currículum pueden ser: 

 

1. Significancia: lo que es esencial para la materia. 

 

2. Validez: lo apropiado o cierto que es. 

 

3. Relevancia: si es de valor para la sociedad. 

 

4. Utilidad: lo útil que es el contenido para el funcionamiento del adulto. 

 

5. Aprendibilidad: si el estudiante es capaz de adquirir ese contenido. 

 

6. Interés: si posee un interés intrínseco para los estudiantes. 

 

Los contenidos en el diseño y desarrollo curricular plantean una serie de 

temas a tener en cuenta como la selección, secuenciación y estructuración 

funcional, la perspectiva sociocultural y científica, la dimensión personal y las 

aportaciones psicológicas sobre el aprendizaje de los contenidos y el tema de la 



Florencio López de Silanes 
 

64 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

globalización en cuanto perspectiva de organización y desarrollo curricular. 

(Monclús; 2005: 37). 

 

El examen mediante estos criterios de los contenidos del cuestionario de 

geometría aporta, sin duda, la certeza de la orientación que se sigue en el trabajo 

didáctico. Así para los temas tratados en las preguntas del cuestionario realizado a 

los alumnos, tenemos la certeza de haber seleccionado adecuadamente todos los 

contenidos, ya que todos los contenidos del cuestionario aplicado a los alumnos 

universitarios cumplen los criterios de selección, según mostramos en la tabla 1. 

 

  

 

Criterios de Selección de Contenidos 

Significancia Validez Relevancia Utilidad Aprendibilidad Interés 

C
o

n
te

n
id

o
s 

d
e

l c
u

e
st

io
n

ar
io

 

Unidades X X X X X X 

Semejanza X X X X X X 

Poliedros X X X X X X 

Ángulos X X X X X X 

Dibujo X X X X X X 

Polígonos X X X X X X 

Medida X X X X X X 

Circunferencia X X X X X X 

Pitágoras X X X X X X 

Transformaciones X X X X X X 

T. Coseno X X X X X X 

 

Tabla 1 

 

 

 

 

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  65 
 

3.11.2.- Los tres nuevos tipos de contenidos 

 

También estos autores retomaron la distinción que Coll establece según la 

cual se diferencian tres grandes tipos de contenidos: el primer bloque, de carácter 

conceptual, lo constituyen los hechos, conceptos y principios; el segundo bloque se 

refiere a los procedimientos; y el tercer bloque reúne los contenidos relativos a 

valores, normas y actitudes. Coll y Marchesi, define de esta forma cada uno de los 

contenidos de la tipología (Monclús, 2005: 141-142): 

 

- Hecho remite a un objeto, suceso o símbolo discreto. 

 

- Concepto designa el conjunto de objetos, sucesos o símbolos que tienen 

ciertas características comunes. 

 

- Principio es un enunciado porque describe como los cambios que se 

producen en un objeto, un suceso, una situación o un símbolo - o en un 

conjunto de objetos, sucesos, situaciones o símbolos se relacionan con los 

cambios que se producen en otro objeto, suceso, situación o símbolo - o 

en otro conjunto de objetos, sucesos, situaciones o símbolos. Los 

principios suelen describir relaciones causa-efecto, pero pueden describir 

también otras relaciones de covariación por anhelos se utiliza el término 

"arreglar" o "ley" como sinónimo de principio.  

 

- Procedimiento es un conjunto de acciones coordinadas y generalizadas, 

es decir, orientadas hacia la finalidad de una meta. Para que un conjunto 

de acciones constituya un procedimiento, es necesario que esté orientado 

hacia una meta y que las acciones o pasos se suceda al concierto orden. 

La complejidad de los procedimientos varía en función del número de 

acciones, o pasos implicados en su realización, del grado de libertad en el 

orden de sucesión de las acciones o pasos y de la naturaleza de la meta a 

cuya consecución se orientan. A menudo se utilizan los términos 

destrezas, técnica, método o estrategia como sinónimos le 

procedimiento. 

 



Florencio López de Silanes 
 

66 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

- Valor es un principio normativo que preside regular el comportamiento 

de las personas en cualquier momento o situación. Los valores se 

concretan en normas, que son reglas de conducta que deben respetar las 

personas en determinadas situaciones. Una actitud es una tendencia a 

comportarse sistemáticamente de una forma como asistente ante 

situaciones, objetos, sucesos o personas. Valores, actitudes y normas 

forman un continuo, ya que las actitudes son el reflejo comportamental 

de los valores y de las normas.  

 

En el caso de la geometría incluiríamos algunos de los conceptos claves en 

los siguientes bloques: 

 

- Bloque 1: hechos, conceptos, principios. AXIOMAS. HECHOS. LEMAS, 

TEOREMAS. INTUICION. CONCEPCION. 

- Bloque 2: procedimientos. DIBUJO. MEDIDA. DIDACTICA DE LA GEOMETRÍA. 

- Bloque 3: actitudes, valores, normas. APLICACIONES DE LA GEOMETRIA A LA 

VIDA ORINARIA. URBANISMO. MEDIDA DE CAMPOS. MEDIDA DE LOS 

PRODUCTOS, VOLUMENES, CAPACIDAD, PESOS, ETC. 

 

 

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  67 
 

3.12.- Metodología 

 

La metodología se refiere al cómo enseñar. La función de la metodología es 

encauzar adecuadamente todos los elementos que intervienen en los procesos de 

enseñanza y aprendizaje. El profesor Sánchez Delgado (Sánchez Delgado; 2005: 15) 

insiste además que según Medina: "el sistema metodológico es el conjunto 

integrado de decisiones que toma el profesorado para comunicar su saber y 

configurar las situaciones de enseñanza más adecuadas a cada estudiante y 

ambiente de clase". 

 

3.12.1.- Estrategias de aprendizaje 

 

Las estrategias de aprendizaje incluyen aquellas actividades específicas 

ofrecidas a los estudiantes que les permitirán comprender el contenido del 

currículum y, por lo tanto considerar los objetivos respectivos. (Monclús; 2005: 37). 

 

Las estrategias enseñanza-aprendizaje pueden incluir: 

 

- Enseñanza expositiva: flujo de información desde la fuente al estudiante. 

 

- Enseñanza interactiva: intercambio incorporado entre la fuente y el 

estudiante. 

 

- Enseñanza de pequeños grupos: enfatizar la participación del grupo. 

 

- Enseñanza de indagación: los estudiantes se comprometen activamente a 

la solución de problemas. 

 

- Individualización: realización de tareas apropiadas a nivel de capacidad del 

estudiante. 

 

- Modelos de realidad: implicar al estudiante las repeticiones del mundo 



Florencio López de Silanes 
 

68 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

real. 

 

- Realidad: implicar a los estudiantes, fuera de las instituciones educativas, 

aprendiendo a través de la experiencia. 

 

- Globalización: como un enfoque global encargado de las diferentes 

dimensiones o perspectivas del enseñanza. (o. c. : 38). 

 

A estas podríamos añadir las estrategias específicas de la geometría: 

 

-Aplicación de los contenidos a campos de enseñanza determinadas (física, 

ingeniería, arquitectura, arte, urbanismo, belleza, ...). 

 

-Carácter científico del contenido geométrico, elaboración de teorías, 

modelos teóricos, etcétera. 

 

En el cuestionario realizado a los alumnos1 se les ofreció que eligieran tres 

entre las nueve opciones diferentes de metodología de enseñanza de la geometría, 

algunas coincidentes con las descritas arriba, y otras diferentes, optando los 

alumnos por la metodología participativa, por la aplicación a la vida cotidiana y la 

manipulación directa de las entidades geométricas.  

                                                      
1
 Los resultados aportados aquí y mostrados en el siguiente gráfico, fueron obtenidos de la aplicación del 

cuestionario durante el curso 2008-2009 a 110 alumnos de un total de 187 matriculados en la asignatura 
“Matemáticas y su didáctica II” de segundo curso de la especialidad Educación Primaria de la Facultad de 
Formación de Profesorado de la UAM. 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  69 
 

Metodología deseada por los alumnos

1

1

9

23

11

22

5

10

19

0 5 10 15 20 25

Más ejercicios.

Menos ejercicios

Más trabajo personal 

Aplicación en vida real

Esfuerzo del profesor

Softw are geométrico

Manipular el alumno 

Metodología Participativa

Clases Magistrales

Porcentaje

 
 

Gráfica 4. 

 

3.12.2.- Metodología del Informe PISA 2006 

 

En las conclusiones del Informe PISA 2006 (M. E. C., 2006: 98-101), se 

describe no solo los resultados, sino los fundamentos de la metodología de las 

pruebas, así como algunas conclusiones básicas, que pasamos a resumir: 

 

•  PISA se inició a fines de los años 90 como un estudio comparativo, 

internacional y periódico del rendimiento educativo de los alumnos de 15 

años, a partir de la evaluación de la competencia lectora, la matemática y 

la científica; estas competencias son evaluadas cada tres años, desde la 

primera convocatoria que tuvo lugar en 2000. 

 

•  La competencia básica principal en PISA 2006 ha sido ciencias, después 

de que en PISA 2000 fuera la lectura y en PISA 2003 las matemáticas. En 

cada uno de los estudios, a la competencia principal se le dedica 

aproximadamente el 55% del tiempo de evaluación. 

 

•  Además de analizar el nivel de rendimiento de los alumnos en las áreas 



Florencio López de Silanes 
 

70 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

evaluadas, PISA aporta información sobre distintos aspectos de su entorno 

familiar y escolar y también datos de los centros sobre su organización y 

oferta educativa. Con esta información se facilita un estudio pormenorizado 

de los factores que pueden estar asociados con los distintos niveles de 

competencia lectora, matemática y científica de los alumnos de 15 años de 

cada país. 

 

•  En 2006 han participado 57 países, incluidos los 30 de la OCDE y otros 27 

países asociados. La muestra comprendió de 4.500 a 20.000 alumnos en 

cada país. En 2006, además de la muestra estatal española, hubo muestra 

representativa de diez comunidades autónomas: Andalucía, Aragón, 

Asturias, Cantabria, Castilla y León, Cataluña, Galicia, La Rioja, Navarra y 

País Vasco. Esto significa que en España fueron evaluados unos 20.000 

alumnos. 

 

•  Los resultados globales se recogen en una escala en la que se hace 

equivaler a 500 puntos el promedio de las puntuaciones medias de los 

países de la OCDE. Los resultados promedio de España en ciencias son 

similares al Total OCDE (media de alumnos) y ligeramente inferiores a los 

del Promedio OCDE (media de países). Estos resultados en competencia en 

ciencias han sido mejores que los de 2003 en competencia matemática y 

similares a los de 2000 en comprensión lectora. 

 

•  Nueve de las diez comunidades autónomas españolas que han 

participado se sitúan por encima de la media española y siete lo hacen 

también por encima de los promedios OCDE y de buena par te de los de los 

países europeos que han participado en este estudio. Los resultados de 

alguna comunidad autónoma se encuentran entre los mejores de los países 

europeos. 

 

•  Cuando se analizan los resultados en las distintas subáreas de ciencias, se 

comprueba que en los sistemas físicos, los resultados promedio españoles 

(477) son inferiores a los obtenidos en los sistemas vivos (498) y en los 

sistemas de la Tierra y del espacio (493). En la subárea de los sistemas 

vivos, tanto el promedio español, como los resultados de las comunidades 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  71 
 

autónomas son bastante aceptables. España obtiene en esta subárea 498 

puntos, resultado prácticamente igual al Promedio OCDE y superior al Total 

OCDE. En este caso, cuatro comunidades autónomas obtienen una 

puntuación que se sitúa entre las de los 6 países con mejores resultados. 

 

•  Si se desglosan las puntuaciones medias por niveles de rendimiento, se 

comprueba que el sistema educativo español ofrece resultados mejores en 

ciencias que la media de la OCDE para los alumnos que se sitúan en los 

niveles más bajos de rendimiento. En siete comunidades autónomas hay, 

además, más alumnos en los niveles intermedios y prácticamente el mismo 

porcentaje en niveles superiores. 

 

•  El sistema educativo español es comparativamente uno de los que ofrece 

mayor equidad a sus alumnos, próxima a la de los países nórdicos. Además, 

las diez comunidades autónomas que han ampliado muestra tienen 

mejores resultados en equidad que la media española y que los promedios 

OCDE. 

 

•  Si todos los países y regiones participantes en la muestra tuvieran un 

índice social, económico y cultural similar, España y todas las comunidades 

autónomas mejorarían su puntuación. España lo haría en 10 puntos, 

igualando el Promedio OCDE, y situándose a una distancia no significativa 

de Reino Unido, Alemania o Francia. La más notable mejoría corresponde a 

Andalucía, cuyo resultado mejoraría en 21 puntos, situándose 

prácticamente en el Total OCDE y a una distancia no significativa de Suecia, 

España o el Promedio OCDE y por delante de Dinamarca, Estados Unidos y 

Noruega. 

 

•  Debe resaltarse que los alumnos españoles que pertenecen a familias con 

los índices sociales, económicos y culturales más bajos obtienen mejores 

resultados que los de sus homólogos de la OCDE. 

 

•  El entorno cultural de los alumnos es el factor más influyente en los 

resultados PISA. Las puntuaciones de los alumnos cuyos padres no han 

finalizado los estudios obligatorios son 85 puntos inferiores a las de 



Florencio López de Silanes 
 

72 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

aquellos cuyos padres tienen estudios universitarios. Esta diferencia se 

eleva a 135 puntos entre los alumnos españoles en cuyos hogares hay de 0 

a 10 libros y aquellos en los que hay más de 500. 

 

•  Las diferencias en los resultados de los alumnos debidas a factores 

relacionados con los centros en los que están escolarizados alcanzan en 

España un valor inferior a la mitad del que se obtiene en el conjunto de la 

OCDE y similar a los de Suecia. 

 

•  El resultado promedio español 2006 en competencia matemática es 

similar a los obtenidos en 2003 y 2000. Las diferencias entre los tres años 

son ligeras y los tres promedios españoles se sitúan próximos a los 

promedios OCDE, como ocurre en ciencias . 

 

•  Sin embargo, se ha producido un descenso general en todos los países en 

comprensión lectora 2006, y este descenso es muy notable en el promedio 

español, que se sitúa diez puntos por encima del Total Internacional, pero 

23 por debajo del Total OCDE y 31 por debajo del Promedio OCDE. Es cierto 

que la comparación en este caso es la menos adecuada, por el escaso 

número de preguntas (15% del total), pero no por ello deja de ser 

preocupante. Este resultado español en comprensión lectora de PISA 2006 

está en consonancia con el obtenido en el estudio PIRLS de la IEA, que 

valora la comprensión lectora a los 9 años (4º de primaria). 

 

•  Los alumnos españoles que no han repetido curso obtienen 528 puntos 

en ciencias, resultado similar a países con buenos resultados. Si han 

repetido un curso, el promedio desciende a 439 puntos y si han repetido dos 

a 386 puntos: es decir, una diferencia entre repetir dos veces o no repetir de 

142 puntos. El informe internacional OCDE resalta estas diferencias y la 

ineficacia de la repetición como medida educativa. 

 

•  El 7% del alumnado matriculado en los centros españoles ha nacido fuera 

de España y su puntuación es 55 puntos inferior a la de sus compañeros 

nativos. 

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  73 
 

•  En todos los países participantes en PISA 2006 hay una diferencia 

significativa a favor de aquellos alumnos con una expectativa laboral 

relacionada con las ciencias. Las puntuaciones en ciencias de los alumnos 

españoles que esperan tener un trabajo relacionado con las ciencias y 

alguno de sus padres tiene una actividad laboral de carácter científico, 

alcanzan los 554 puntos, sólo superada en la escala de países por Finlandia. 

 

•  La diferencia de resultados medios de España por tipo de centros 

favorece a los privados en 38 puntos. Pero si se detraen los efectos del 

índice social, económico y cultural sobre los resultados de sus respectivos 

alumnos, las diferencias entre unos centros y otros no son estadísticamente 

significativas. 

 

•  La autonomía de los centros españoles es inferior a la del promedio de la 

OCDE, particularmente en los aspectos relacionados con la posibilidad de 

proponer sus necesidades de profesorado y de favorecer la promoción y la 

gratificación del mismo. Esta autonomía es también menor en lo relativo al 

alumnado. 

 

Los resultados PISA 2006 aconsejan una reflexión que debería extenderse a 

los diferentes aspectos que resaltan como debilidades o fortalezas del sistema 

educativo español: la mejora del rendimiento de todos los alumnos y el 

mantenimiento de los buenos resultados españoles en equidad, procesos 

compatibles, como demuestra PISA; el trabajo en el entorno educativo de los 

alumnos para conseguir contrarrestar el efecto de las diferencias culturales, 

económicas y sociales de los contextos familiares y de los centros; el estímulo y la 

promoción de la formación docente para que sea más eficaz el trabajo con los 

alumnos en la adquisición de las competencias básicas; el esfuerzo educativo y del 

conjunto de la sociedad por la lectura y la mejora de la comprensión lectora de los 

alumnos españoles y la decidida actuación a favor de la autonomía de los centros 

educativos. 

 

 



Florencio López de Silanes 
 

74 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

3.13.- Los materiales 

 

3.13.1.- Medios y materiales 

 

El término que encontramos más veces definido sea el de materiales; así el 

Prof. Moreno Herrero (Moreno Herrero; 2005: 170) recurre a Zabala (1990) para 

definir los materiales curriculares como: "instrumentos y medios que provee al 

educador de pautas y criterios para la toma de decisiones, tanto en la planificación 

como en la intervención directa en el proceso de enseñanza".  

 

El mismo autor busca una definición clásica en Mattos (1983) para quien 

los recursos didácticos son: "los medios materiales de que se dispone para conducir 

el aprendizaje de los alumnos". (o. c. : 171). 

 

Entendemos, no obstante, que sí hay diferencia en los términos, así el 

término recurso es más amplio y englobaría a los otros. Desde una perspectiva 

didáctica podríamos decir que recurso es una forma de actuar, como asumir la 

capacidad de decidir sobre el tipo de estrategias que se van a utilizar el los 

procesos de enseñanza; es por tanto, una característica inherente a la capacidad de 

acción de las personas. (Ibídem). 

 

Los medios didácticos podríamos definirlos como el instrumento del que 

nos servimos para la construcción del conocimiento; y finalmente, los materiales 

didácticos serían los productos diseñados para ayudar en los procesos de 

aprendizaje. (Ibídem). 

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  75 
 

3.13.2.- Criterios de utilización didáctica 

 

Desde el punto de vista de su utilización didáctica los medios y los 

materiales curriculares debe reunir algunos criterios de funcionalidad (o. c. : 175) 

tales como: 

 

- Deben ser una herramienta de apoyo o ayuda para nuestro aprendizaje, 

por tanto: deben ser útiles infuncionales. Nunca debe sustituir al 

profesorado en su tarea de enseñar, ni al alumnado en su tarea de 

aprender.  

 

- Su utilización de selección debe corresponder al principio de racionalidad. 

Luego: se deben establecer criterios de selección. Desde una perspectiva 

crítica, se deben ir construyendo entre todas las personas implicadas en 

el proceso de aprendizaje.  

 

En concreto refiriéndose sólo al software educativo en su análisis de las 

distintas tentativas y propuestas existentes sobre los criterios de selección. 

Concluye su análisis caldo esos criterios en tres grandes grupos: por el tipo de 

aplicación, referido a las tareas que pueden desarrollar los programas; por su 

función educativa, en relación con la que el software es capaz de realizar, haciendo 

hincapié en el diseño; y por la fundamentación educativa, es decir, por los distintos 

paradigmas que inspiran. (Ibídem). 

 

Una posible propuesta, referida a los medios en general, debería tener en 

cuenta al menos tres marcos de referencia como son la funcionalidad de los 

medios, sus posibilidades didácticas y fundamentación educativa; y los aspectos 

técnicos. (Ibídem). 

 



Florencio López de Silanes 
 

76 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

3.13.3.- Criterios referenciales de los materiales 

 

A modo de ejemplo se sugieren algunos de los posibles criterios para cada 

marco de referencia (Moreno Herrero; 2005: 175): 

 

a) Sobre la funcionalidad: 

 

-Los sistemas tecnológicos cubren las necesidades del centro. 

 

-Su incorporación contribuye a mejorar la organización pedagógica y 

administrativa del centro. 

 

-Supone un ahorro de recursos (personales, tiempo, espacio). 

 

-Son viables en términos de coste / beneficios. 

 

-Permite el control por parte de los usuarios (forma de interactuar en las 

personas con las máquinas). 

 

-Ubicación y acceso fáciles 

 

- Permite facilidad para el aprendizaje y sencillez de manejo. 

 

-Permite la flexibilidad de uso. 

 

-Garantizan la privacidad de la información. 

 

-Facilitan el descubrimiento de nuevos usos. 

 

-Son buenos recursos para el aprendizaje y para la enseñanza. 

 

 

b) sobre las posibilidades didácticas: 

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  77 
 

-Responden a la concepción que tenemos sobre educar, enseñar, etc.. 

 

-Corresponden a nuestros planteamientos didácticos y metodológicos. 

 

-Permiten la manipulación en función de nuestras necesidades. 

 

-Ayudan a la realización de proyectos educativos curriculares, etc.. 

 

-Permiten adoptar el trabajo a las necesidades educativas y organizativas del 

centro. 

 

-Permiten el realizar las distintas secuencias de objetivos, contenidos, 

actividades, evaluación. 

 

-Permiten adoptar las actividades a las necesidades e intereses del 

alumnado, atendiendo a la diversidad. 

 

-Predisponen y motivan para trabajar en equipo e individualmente tanto al 

alumnado como al profesorado. 

 

-Permite organizar actividades de motivación, de aplicación, de síntesis, de 

refuerzo, de ampliación, etc.. 

 

-Favorecen el aprendizaje significativo, las relaciones interpersonales, el 

conocimiento de la realidad, la utilización de distintos lenguajes, la 

colaboración y cooperación, etc.. 

 

 

c) sobre los aspectos técnicos: 

 

-Adquisición fácil y servicio técnico de posventa. 

 

- Económicos. 

 

- Sencillez de manejo y manipulación 



Florencio López de Silanes 
 

78 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

- Mantenimiento sencillo o de fácil control. 

 

- Móviles, estáticos. 

 

- Adecuados a nuestras instalaciones y necesidades. 

 

- Permiten la producción de materiales de paso, de software. 

 

- Utilización flexible. 

 

- Posibilidad de interacción con otros medios etc. 

 

 

3.13.4.- Software informático 

 

Por lo que se refiere algunos aspectos del software informático, cabría 

contemplar algunas cuestiones tales como: 

 

-Control de seguridad. 

 

-Utilización modular de los paquetes integrados, que permite el uso de 

programas individuales o de forma integrada. 

 

-Actualización de las aplicaciones, que permita su puesta al día. 

 

-La posibilidad de trabajar en un entorno multitarea y multiusuario. 

 

-Adaptabilidad a informes y documentos legales en de normativa vigente y a 

la creación de nuestros propios documentos, etc. (Moreno Herrero; 2005: 

177). 

 

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  79 
 

3.13.5.- Posibilidades didácticas de los materiales 

 

De los anteriores rasgos característicos arranca nuestra forma de plantear 

las posibilidades didácticas que nos ofrecen los medios y el general todos los 

materiales. Lo haremos a partir de tres ejes con formas de utilización están 

estrechamente relacionadas con estos tres ejes que son (Ibídem): 

 

a) Los medios como instrumento y recursos. En este sentido nos vamos a 

servir de los medios materiales didácticos como un instrumento al servicio 

de las estrategias metodológicas 

 

b) Los medios como recurso de expresión y comunicación. La comunicación 

como actividades que permite la relación entre las personas y para el 

intercambio de información es compartida tanto por la educación como por 

buena parte de los medios didácticos. 

 

c) Los medios como análisis crítico de la información. Es prioritario que la 

educación articule sistemas de enseñanza que capacite al alumnado para 

desarrollar actitudes y habilidades en el manejo y tratamiento de la 

información por una de las nuevas funciones del profesorado apunta en esta 

dirección. Muchos de los contenidos de los medios de comunicación, por 

ejemplo, se muestran oportunos para llevar a cabo ese análisis. 

 

No cabe olvidar que todo este planteamiento no se puede dar por aislado. 

Debe estar inmerso a lo largo de todo el proceso de aprendizaje y en todas las 

situaciones de enseñanza. Forma parte del currículum y como tal hemos de 

contemplarlo, algunas veces como procedimientos para desarrollar ciertas 

habilidades y estrategias didácticas, otras veces como adquisición de conceptos y 

por supuesto, siempre como desarrollo de actitudes y valores. (o. c. : 179). 

 



Florencio López de Silanes 
 

80 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

3.13.6.- Clasificación de los materiales 

 

Ya se ha visto como las distintas racionalidades dan lugar a distintas formas 

de entender y desarrollar el curriculum. Siguiendo a Cook y Reichardt se pueden 

establecer dos formas básicas de entender y desarrollar el currículum a las que 

llamaremos cerrada, perteneciente a una corriente racionalista o cuantitativa; y 

abierta, inspirada en tendencias naturalistas, cualitativas. Ambas se corresponden 

con dos formas distintas de analizar la realidad que provienen de dos perspectivas 

teóricas de las ciencias sociales: el positivismo y la fenomenología. (Moreno 

Herrero; 2005: 180). 

 

Los diversos materiales se podrían agrupar como sigue (o. c.: 181): 

 

a) Soporte papel: libros de divulgación, de texto, de consulta, de 

información, de información y actividades, de actividades diversas; 

cuadernos de ejercicios, auto correctivos, diccionarios, enciclopedias, 

carpeta de trabajo, folletos, alias, catálogos, etcétera. 

 

b) Técnicas blandas: pizarras, rotafolio, paneles, carteles, franelogramas, 

diorogramas, etcétera 

 

c) Audiovisuales y medios de comunicación: sistemas de audio: 

reproducción, grabación, radio, televisión, medio. Imagen: fotografía, 

diapositivas, retroproyección, vídeo, televisión, cine. Sistemas mixtos: 

prensa escrita, fotonovela, foto relatos, tebeos, carteles, diaporamas.  

 

d) Sistemas informáticos: paquetes integrados, programa de diseño y 

fotografía, hipertextos e hipermedia, sistemas multimedia, sistemas 

matemáticos, paredes, encarna, correo electrónico, chat, videoconferencia, 

etcétera.  

 

En la geometría que estamos repasando, debiéramos considerar: 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  81 
 

- Los medios. los medios propuestos en el cuestionario.  

- Medios para el aprendizaje de la geometría.  

- Medios para medir (directa e indirectamente).  

- Medios para el dibujo.  

- Medios y recursos para la enseñanza. 

 



Florencio López de Silanes 
 

82 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

3.13.7.- El libro de texto 

 

El libro escolar o de texto debe ser: elemento didáctico/referencial, 

utilizable en la educación obligatoria, instrumento abierto a las iniciativas del 

profesorado, uniformidad de los libros de texto, deben hacer referencia al campo 

de las actitudes valores destrezas, y la secuenciación psicológica de los contenidos 

debe ser planificada con cuidado. 

Como ya sea ocultado los materiales el soporte de papel, sobre todo el 

libro de texto, sigue siendo el más utilizado. Tanto es así que, como señala 

Parcerisa, lo más adecuado es plantearse como mejorar la calidad y el uso 

didácticos de los libros de texto. Este mismo autor arre produce las conclusiones 

del III Encuentro Nacional sobre el Libro Escolar de 1993. (Moreno Herrero; 2005: 

180): 

- El libro escolar, como elemento didáctico referencial, suscitador de 

actividades significativas y funcionales, tiene que seguir presente en la 

educación, aunque nunca como única fuente de aprendizaje. 

 

- Cualquier libro escolar a utilizar en la educación obligatoria debe estar 

concebido desde una óptica abierta e interdisciplinar. 

 

- Tiene que ser un instrumento abierto a las iniciativas del profesorado. 

 

- No se considera conveniente la uniformidad de los libros de texto para 

contextos educativos diferentes. 

 

- Los libros podrán referirse también a espacios educativos inferiores o 

superiores a un año académico. 

 

- Los libros y otros materiales didácticos también deben hacer referencia al 

campo de las a dudas, los valores, las destrezas. 

 

- -La secuenciación, tanto psicológica como de contenidos, a de ser 

planificada con cuidado.  

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  83 
 

3.14.- Ética 

 

Todos los actos de la enseñanza deben tener una componente ética, pero 

donde principalmente ser percibe esta es en la evaluación, entre otras cosas, por la 

trascendencia de los resultados evaluativos en la vida docente, personal y 

profesional del alumno evaluado. 

 

La evaluación puede tener consecuencias negativas para el alumno si es 

arbitraria, blanda, dura, etc. En la introducción de este trabajo, se puso de 

manifiesto la existencia de importantes lagunas en los conocimientos de la 

geometría nivel de enseñanza media, tan importantes son estas lagunas, que 

dificultan la realización de un curso de geometría a nivel universitario. Estas 

lagunas fueron producidas, entre otras causas, por una evaluación blanda en las 

matemáticas de dicho nivel. 

 

Ética: la mayoría de las decisiones importantes en educación son las 

técnicas. Las decisiones técnicas son relativamente simples y sencillas, pero sólo 

resuelven problemas simples sencillos y la mayoría de las decisiones importantes 

en educación se refiere a problemas muy complejos que sobrepasan los aspectos 

observables, medibles y cuantificables. La mayoría de las decisiones educativas, son 

decisiones éticas, decisiones relacionadas con los actos humanos realizados 

consciente y libremente, y regulados por unas normas, decisiones que no tienen 

una solución clara preestablecida a la que se puede llegar por medio de un 

algoritmo. (Sánchez Delgado; 2005: 15). 

 

 



Florencio López de Silanes 
 

84 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

3.15.- Estética 

 

Como toda actividad humana, también la enseñanza tiene una 

componente estética, que va del docente hacia discente.  

 

Estética: La didáctica tiene una dimensión artística ya que debe desarrollar 

una actividad creativa constante, pues su acción se produce sobre situaciones en 

constante cambio que deben enfrentarse con actitudes innovadoras. (Ibídem). 

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  85 
 

3.16.- Evaluación 

 

3.16.1.- Funciones de la evaluación 

 

Por otro lado, Santos propone cinco funciones partiendo de la 

consideración de que evaluar es atribuir valor a las cosas, afirmar algo sobre su 

mérito. Desde esta perspectiva, la evaluación desempeña las siguientes funciones 

(Monclús; 2005: 43): 

 

1. Evaluación como diagnóstico, puesto que la evaluación permite saber 

entre otras cosas, cuales el estado, cognoscitivo y actitudinal de los 

alumnos, un diagnóstico que permitirá ajustar la acción a las características 

de cada alumno. 

 

2. Evaluación como selección, dado que permite al sistema educativo 

seleccionar a los estudiantes, mediante las calificaciones con las que la 

escuela va clasificando a los alumnos. 

 

3. Evaluación como jerarquización, puesto que la capacidad de decidir qué 

es evaluable, que a de ser evaluado y qué es lo que tiene éxito en la 

valoración confiere un poder legal, aunque no siempre moral, al profesor. 

 

4. La evaluación como comunicación, puesto que el profesor se relaciona 

con el alumno a través del método, de la experiencia, y de la misma 

evaluación. 

 

5. Evaluación como formación, ya que puede estar también, al servicio de la 

comprensión y, por lo tanto, de la formación, puesto que la evaluación 

permite conocer cómo se ha realizado el aprendizaje, día y se puede deducir 

una toma de decisiones racional y beneficiosa para el nuevo proceso de 

aprendizaje. (Monclús; 2005: 43). 

 

 



Florencio López de Silanes 
 

86 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

3.16.2.- Marco de la evaluación PISA 2006 

 

El marco de la evaluación PISA 2006 en ciencias (M. E. C., 2006: 19-21): 

 

La cuestión de partida que informa el enfoque adoptado por los estudios 

PISA en esta área podría ser: ¿qué competencia en ciencias necesitan adquirir los 

ciudadanos? Que los alumnos adquieran la competencia en ciencias, como el resto 

de las competencias, es un reto para profesores y responsables de la política 

educativa. La educación debe proveer a los estudiantes de educación obligatoria de 

las herramientas necesarias para poder acometer una formación académica más 

profunda, si ése es su deseo, pero también debe tener como objetivo esencial el 

conseguir que los adultos de mañana puedan ser capaces de comprender 

conceptos científicos y aplicar una perspectiva científica a los problemas que se 

vayan encontrando a lo largo de su vida. Por otra parte, la ciencia no debe ser un 

objetivo educativo sólo para la élite, sino que la totalidad de la sociedad merece 

también una buena educación científica. Por un lado, el número de alumnos que 

eligen ciencias como opción está disminuyendo, tanto en la Unión Europea en su 

con- junto como en muchos países de la OCDE. Sin embargo, en estos países existe 

una creciente demanda de trabajadores con formación científica y tecnológica. 

 

El concepto de competencia científica que utiliza PISA incluye actitudes y 

valores, además de conocimientos y destrezas. Así, esta competencia queda 

definida como: “la capacidad de emplear el conocimiento científico para identificar 

problemas, adquirir nuevos conocimientos, explicar fenómenos científicos y 

extraer conclusiones basadas en pruebas sobre cuestiones relacionadas con la 

ciencia. Además, comporta la comprensión de los rasgos característicos de la 

ciencia, entendida como un método del conocimiento y la investigación humanas, 

la percepción del modo en que la ciencia y la tecnología conforman nuestro 

entorno material, intelectual y cultural, y la disposición a implicarse en asuntos 

relacionados con la ciencia y con las ideas sobre la ciencia como un ciudadano 

reflexivo”. 

 



Enseñanza y Geometría 
 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  87 
 

Esta definición comprende, pues, tres dimensiones: 

 

•  Conocimiento y conceptos científicos, que se evaluarán a través de su 

empleo en aspectos específicos de la vida real (p.e., cambio atmosférico; 

transformación de la energía; ecosistemas; estructura y propiedades de la 

materia); 

 

•  Procesos científicos, también denominados en este estudio competencias 

(p. e., reconocer cuestiones científicas; predecir fenómenos científicos; 

interpretar las pruebas científicas); 

 

•  Situaciones o contextos en los que se evalúan el conocimiento y los 

procesos que adoptan la forma de problemas de contenido científico (áreas 

de aplicación como salud, enfermedad y nutrición; producción y pérdida de 

suelo; eliminación de residuos). 

 

Los dos primeros dominios se utilizan tanto para la elaboración de las 

preguntas de la prueba como para la descripción del rendimiento de los alumnos. 

El tercer dominio garantiza que, al elaborar las pruebas, se haga intervenir un 

abanico amplio de situaciones pertinentes para la evaluación de la competencia 

científica. 

 

Una innovación de la aplicación PISA 2006 ha sido la incorporación de la 

evaluación de las actitudes de los alumnos hacia las ciencias, con preguntas 

integradas en la prueba cognitiva, no en el cuestionario del alumno, como se había 

hecho en ediciones anteriores. Estas cuestiones sobre actitudes son contrasta- das 

con los resultados de la parte cognitiva de la prueba. El problema puede surgir al 

introducir un aspecto subjetivo y valorativo en una prueba que se quiere 

considerar objetiva y libre de juicios de valor. (M. E. C., 2006: 19-21) 

 

Si se comparan los resultados de los alumnos españoles y finlandeses por 

niveles de rendimiento, se comprueba que a una y otra población les separa un 

promedio en cada uno de los porcentajes equivalente a un nivel de rendimiento. 



Florencio López de Silanes 
 

88 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Dicho de otro modo: si todos los alumnos españoles mejoraran su rendimiento en 

la puntuación que equivale a un nivel, los resultados españoles serían equivalentes 

a los de Finlandia, país con los mejores resultados en ciencias en 2006. De esta 

comparación se desprende que debe trabajarse en la mejora del sistema educativo 

con actuaciones dirigidas a todos los alumnos. (M. E. C., 2006: 41). 

 

 
 

Gráfica 5. 

 

Este gráfico pone de manifiesto la diferencia entre un país de cabecera 

(Finlandia) y España, aparte de la diferencia del pico (en Finlandia en el nivel 4 

mientras que en España en el 3). Por otra parte, España presenta valores altos en 

los niveles bajos, y valores bajos en los niveles altos, en contraposición a los 

resultados obtenidos por Finlandia. 

 

 

 



Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  89 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 4 

 

INFORME PISA 

 

4.1.- Introducción 

 

Bajo las siglas PISA subyace el Programa Internacional para la Evaluación 

de Estudiantes, derivado de sus siglas en inglés (Programme for International 

Student Assessment) y en francés (Programme international pour le suivi des 

acquis des élèves). Es un programa internacional donde concurren centros 

públicos y privados de muchos países al objeto de realizar cada tres años un 

análisis del rendimiento a los estudiantes, a partir de unos exámenes o pruebas 

estandarizadas, y obtener así una valoración internacional de los alumnos 

realizada por la Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico 

(OCDE).    

 

Las principales características del Programa  para  la  Evaluación  

Internacional  de  los Alumnos (Evaluación PISA) son:  

 

- Las materias evaluadas en PISA son: Matemáticas, Lectura, Ciencias y 

Solución de problemas. 

 

- PISA examina a estudiantes de una determinada edad y no de un nivel 

escolar específico. 

 



Florencio López de Silanes 

 

90 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

- El programa PISA evalúa el conocimiento y las destrezas de los alumnos 

de 15 años de diferentes países. Su objetivo es conocer como están 

preparados los alumnos de esa edad para afrontar los  retos  de  la  vida  

cotidiana en la etapa de persona adulta. 

 

- PISA no es una evaluación curricular de los conocimientos adquiridos por 

los alumnos en la escuela. Es una  evaluación  de las destrezas y 

conocimientos en alumnos próximos a terminar su escolarización  

obligatoria y a punto de incorporarse al mercado laboral o de proseguir 

estudios no obligatorios. Este carácter no curricular de PISA, facilita que 

los resultados de países sean comparables, con independencia de las 

enseñanzas impartidas en los diferentes países. 

 

- El Informe PISA se realiza por encargo de los gobiernos y sus instituciones 

educativas. 

 

- Los estudios PISA se realizan cada tres años. Cada informe PISA cubre las 

tres áreas principales de competencia: lectura, matemáticas, ciencias y 

solución de problemas. Aunque en cada ocasión se revisa una de éstas 

con mayor profundidad que las otras. Así, en el año 2000 se examinó con 

más detenimiento la lectura, en el 2003 las matemáticas y en el 2006 las 

ciencias naturales.  

 

- Además de pruebas de destrezas, conocimientos y competencias sobre 

las materias señaladas, también se recoge información sobre el origen 

social, el contexto de aprendizaje y la organización de la enseñanza, a  

través de cuestionarios dirigidos tanto a los propios alumnos como a los 

directores de sus centros, con el fin de identificar los factores asociados a 

los resultados educativos. 

 

- La finalidad de PISA no es sólo describir la situación de la educación 

escolar en los países, sino también promover el mejoramiento de la 

misma. 

 

Además con cada prueba se estudia otro tema relacionado con la 

educación. Así se revisaron en el 2000 las estrategias de estudio, en el 2003 la 

solución de problemas y en el 2006 la formación básica de técnicas de 

información. 



Informe PISA 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  91 
 

 

4.2.- Pruebas, evaluación y resultados 

 

Bajo el encargo de la OCDE, la organización de PISA realiza sus funciones 

con cooperación de diversas comisiones asesoras y centros nacionales 

relacionados con la educación de los diferentes países. 

  

El examen incluye una sesión cognitiva con una duración de 2 horas y 

una sesión de cuestionarios con una duración aproximada de 1 hora. En el 

examen cognitivo no todos los estudiantes resuelven los mismos problemas. 

 

Las soluciones de los estudiantes se registran digitalmente y se envían al 

centro del proyecto internacional en Australia, donde se evalúan. Ahí, las 

preguntas y los problemas se califican como “correctos” o “incorrectos”. Según 

la cantidad de estudiantes que hayan respondido un problema de forma 

“correcta” se define la “dificultad” del problema. Dependiendo también de la 

cantidad de problemas que haya resuelto un estudiante, se reconoce un margen 

de valores de competencia “plausibles” en el mismo. Después se establecen las 

escalas de dificultad y de competencia, de forma que la puntuación promediada 

dentro de los estados de la OCDE sea de 500 y el desvío sea de 

aproximadamente 100. Por esto, los informes de la OCDE se presentan 

generalmente en forma de listas de países o escalafones. 

  

A continuación se evalúa la distribución estadística de las competencias 

de los estudiantes en los países participantes o en poblaciones específicas. Las 

estadísticas más frecuentes en el informe PISA son aquéllas que resume el 

rendimiento de los estudiantes mediante promedios de las puntaciones 

obtenidas. 

 

Como muestra de las puntuaciones globales obtenidas, presentamos 

aquí las tablas procedentes de [9], con los resultados para estados de la OCDE y 

algunos estados no pertenecientes a la OCDE (en cursivas), describiendo tanto 

la puntuación obtenida en Matemáticas, Lectura, Ciencias, en las pruebas de los 

http://es.wikipedia.org/wiki/Cognitivismo


Florencio López de Silanes 

 

92 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

años 2000, 2003 y 2006, así como el lugar ocupado por cada país perteneciente 

a la OCDE (entre paréntesis) según la calificación obtenida. (Tendencias en PISA 

2000, 2003 y 2006, 2007: 62-63) ANEP. (2007) 

 

 

  Matemáticas Lectura Ciencias naturales 

  2000 2003 2006 2000 2003 2006 2000 2003 2006 

Alemania 

490 

(20) 

503 

(16) 

504 

(14) 

484 

(21) 

491 

(18) 

495 

(14) 

487 

(20) 

502 

(15) 516 (8) 

Australia     520 (9)     513 (6)     527 (5) 

Liechtenstein 514 536   483 525   476 525   

Luxemburgo 

446 

(26) 

493 

(20) 

490 

(22) 

441 

(26) 

479 

(23) 

479 

(22) 

443 

(26) 

483 

(24) 

486 

(25) 

Austria 

515 

(11) 

506 

(15) 

505 

(13) 

507 

(10) 

491 

(19) 

490 

(16) 519 (8) 

491 

(20) 

511 

(12) 

Suiza 529 (7) 527 (7) 530 (4) 

494 

(17) 

499 

(11) 

499 

(11) 

496 

(18) 513 (9) 

512 

(11) 

Bélgica 520 (9) 529 (6) 520 (8) 

507 

(11) 507 (9) 

501 

(10) 

496 

(17) 

509 

(11) 

510 

(13) 

Finlandia 536 (4) 544 (1) 548 (1) 546 (1) 543 (1) 547 (2) 538 (3) 548 (1) 563 (1) 

Francia 

517 

(10) 

511 

(13) 

496 

(17) 

505 

(14) 

496 

(14) 

488 

(17) 

500 

(12) 

511 

(10) 

495 

(19) 

Italia 

457 

(24) 

466 

(26) 

462 

(27) 

487 

(20) 

476 

(25) 

469 

(24) 

478 

(23) 

483 

(24) 

475 

(26) 

Japón 557 (1) 534 (4) 523 (6) 522 (8) 

498 

(12) 

498 

(12) 550 (2) 548 (2) 531 (3) 

Canadá 533 (6) 532 (5) 527 (5) 534 (2) 528 (3) 527 (3) 529 (5) 519 (8) 534 (2) 

México 

387 

(27) 

385 

(29) 

406 

(30) 

422 

(27) 

400 

(29) 

410 

(29) 

422 

(27) 

405 

(29) 

410 

(30) 

Países Bajos - 538 (3) 531 (3) - 513 (8) 507 (9) - 524 (5) 525 (6) 

Turquía - 

423 

(28) 

424 

(29) - 

441 

(28) 

447 

(28) - 

434 

(28) 

424 

(29) 

Estados Unidos de 

América 

493 

(19) 

483 

(24) 474(25) 

504 

(15) 

495 

(15) - 

499 

(14) - 

489 

(21) 

Tabla 1 

 

En estos datos resumen de los exámenes de los años 2000, 2003 y 2006 

vemos que junto a Finlandia, Japón y Canadá se encuentran también Corea, 

Nueva Zelanda, Australia y Hong Kong a la cabeza de la puntuación. Por el 

contrario, al final de la lista se encuentran Turquía y México. 

http://es.wikipedia.org/wiki/Alemania
http://es.wikipedia.org/wiki/Australia
http://es.wikipedia.org/wiki/Liechtenstein
http://es.wikipedia.org/wiki/Luxemburgo
http://es.wikipedia.org/wiki/Austria
http://es.wikipedia.org/wiki/Suiza
http://es.wikipedia.org/wiki/Bélgica
http://es.wikipedia.org/wiki/Finlandia
http://es.wikipedia.org/wiki/Francia
http://es.wikipedia.org/wiki/Italia
http://es.wikipedia.org/wiki/Japón
http://es.wikipedia.org/wiki/Canadá
http://es.wikipedia.org/wiki/México
http://es.wikipedia.org/wiki/Países_Bajos
http://es.wikipedia.org/wiki/Turquía
http://es.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidos_de_América
http://es.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidos_de_América
http://es.wikipedia.org/wiki/Finlandia
http://es.wikipedia.org/wiki/Jap%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Canad%C3%A1
http://es.wikipedia.org/wiki/Corea
http://es.wikipedia.org/wiki/Nueva_Zelanda
http://es.wikipedia.org/wiki/Australia
http://es.wikipedia.org/wiki/Hong_Kong
http://es.wikipedia.org/wiki/Turqu%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9xico


Informe PISA 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  93 
 

 

Si se desglosa la información según los grupos de lengua, se reconoce 

por ejemplo que: 

 

- En la zona neerlandesa de Bélgica el rendimiento de los estudiantes es 

considerablemente mejor que en la zona francófona. De hecho, en el 

primer caso los resultados se comparan con los de los países a la cabeza.  

 

- En Suiza no hay diferencias importantes entre las zonas alemana y 

francesa, sin embargo, la región italiana se encuentra un poco detrás.  

 

- Los resultados del Tirol del Sur son excelentes y se comparan con los de 

los países con puntaje más alto. No parece haber una diferencia 

significativa entre los institutos alemanes e italianos en esta zona.  

 

- En Finlandia, los resultados de la minoría sueca (aproximadamente un 5% 

de la población) aparecen 10 a 35 puntos debajo de la población 

finlandesa. 

 

- La mayoría anglófona en Canadá obtuvo mejores resultados que la 

minoría francófona.  

 

Según la misma fuente los países que obtuvieron la máxima puntuación 

en las pruebas de 2003, para las cuatro competencias estudiadas, (Tendencias 

en PISA 2000, 2003 y 2006, 2007: 62-63) fueron: 

 

Matemáticas Lectura Ciencia Resolución de Problemas 

  Hong Kong 550   Finlandia 543   Finlandia 548   Corea del Sur 550 

  Finlandia 544   Corea del Sur 534   Japón 548   Finlandia 548 

  Corea del Sur 542   Canadá 528   Hong Kong 539   Hong Kong 548 

  Holanda 538   Australia 525   Corea del Sur 538   Japón 547 

  Liechtenstein 536   Liechtenstein 525   Liechtenstein 525   Nueva Zelanda 533 

  Japón 534   Nueva Zelanda 522   Australia 525   Macao 532 

      Macao 525   

Tabla 2 

 

http://es.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9lgica
http://es.wikipedia.org/wiki/Franc%C3%B3fona
http://es.wikipedia.org/wiki/Suiza
http://es.wikipedia.org/wiki/Tirol_del_Sur
http://es.wikipedia.org/wiki/Finlandia
http://es.wikipedia.org/wiki/Angl%C3%B3fona
http://es.wikipedia.org/wiki/Canad%C3%A1
http://es.wikipedia.org/wiki/Franc%C3%B3fona
http://es.wikipedia.org/wiki/Macao


Florencio López de Silanes 

 

94 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

4.3.- El informe PISA 2003 para España. Competencia de las Matemáticas 

 

A continuación, mostraremos diversos resultados de la publicación: 

 

M. E. C. (2004). EVALUACIÓN PISA 2003. Resumen de los primeros resultados en 

España. Programa para la Evaluación Internacional de los Alumnos. Ministerio 

de Educación y Ciencia. Instituto Nacional de Evaluación y Calidad del Sistema 

Educativo (INECSE). 

 

 

Para centrarnos en los datos relativos a España, y sobre todo, porque el 

informe PISA 2003 es el que más se ha centrado en la competencia de las 

matemáticas, presentando también algunos resultados relativos a la geometría 

englobada en la subárea de Espacio y Formas. Trataremos también de obtener 

las conclusiones a que hubiera lugar, dada la naturaleza de este trabajo 

orientado hacia la didáctica de la geometría. 

 

Para no ser reiterativo en las citas, ponemos de manifiesto que todos 

los datos y citas que se realicen en este capitulo, proceden de la anterior 

publicación, obtenida del portal de internet del  Ministerio de Educación y 

Ciencia. 

 



Informe PISA 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  95 
 

4.4.- La participación de España en el informe PISA 2003 

 

La participación de España en PISA 2003, ha sido liderada por el 

Ministerio de Educación y Ciencia a través del Instituto Nacional de Evaluación y 

Calidad del Sistema Educativo (INECSE) y en estrecha colaboración con las 

Administraciones educativas de las Comunidades Autónomas. 

 

Se resalta la participación de las Comunidades Autónomas de Castilla y 

León, Cataluña y País Vasco en el proyecto PISA 2003, por el número de 

alumnos, de centros y por la calidad de los resultados obtenidos, (M.E.C., 2004: 

03) presentado el siguiente cuadro participativo: 

 

Territorio Alumnos Centros 

Castilla y León 1.490 51 

Cataluña 1.516 50 

País Vasco 3.885 141 

Otros Territorios 3.870 141 

Total España 10.761 383 
                                  Tabla 3 

 

 

Los datos que conocemos no dicen nada sobre la naturaleza de los 

centros educativos españoles, el perfil social y humano de los alumnos, y de las 

circunstancias concretas en que fueron realizados los exámenes. Si que han sido 

publicados las preguntas de los exámenes de las cuatro competencias.  

 

Los alumnos realizaron las pruebas en las cinco lenguas oficiales o 

propias del Estado. Se utilizó exclusivamente el catalán en Cataluña y Baleares. 

Se utilizó parcialmente el gallego  en  Galicia, el valenciano en  la  Comunidad 

Valenciana y el vasco en el País Vasco y Navarra. En todos los demás casos se 

utilizó el castellano. Los porcentajes globales de utilización de las lenguas  

(M.E.C., 2004: 04)  fueron: 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

96 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

CCAA Castellano Catalán Gallego Valenciano Vasco Total 

Andalucía 100%     100% 

Aragón 100%     100% 

Asturias 100%     100% 

Baleares  100%    100% 

Canarias 100%     100% 

Cantabria 100%     100% 

Castilla La Mancha 100%     100% 

Castilla y León 100%     100% 

Cataluña  100%    100% 

Extremadura 100%     100% 

Galicia 39%  61%   100% 

La Rioja 100%     100% 

Madrid 100%     100% 

Murcia 100%     100% 

Navarra 76%    24% 100% 

País Vasco 85%    15% 100% 

Com. Valenciana 86%   14%  100% 

Total España 77,40% 15,10% 1,60% 0,40% 5,50% 100% 

Tabla 4 

 

 



Informe PISA 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  97 
 

4.5.- Resultados globales en Matemáticas 

 

Para el Informe PISA 2003, “la competencia matemática es la aptitud de 

un individuo para identificar y comprender el papel que desempeñan las 

matemáticas en el mundo, alcanzar razonamientos bien fundados y utilizar y 

participar en las matemáticas en función de las necesidades de su vida como 

ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo”. (M.E.C., 2004: 05). 

 

 
Tabla 5 

 

Como reconoce el informe el propio M.E.C: “Los  alumnos  españoles  de 

15 años  muestran un rendimiento en matemáticas 15 puntos por debajo del 

promedio de la OCDE, fijado en 500  puntos. Esta diferencia es estadísticamente 



Florencio López de Silanes 

 

98 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

significativa. El rendimiento de los alumnos de Castilla y León y del País Vasco es 

significativamente superior al del conjunto de España”. (M.E.C., 2004: 05). 

 

En otras palabras, la tabla muestra que España con sus 485 puntos en 

matemáticas estaría solamente por encima países europeos como Rusia, 

Portugal, Italia, Grecia, Servia y Turquía, que obtuvieron alrededor de 465 

puntos, o de otros como México, Indonesia, Túnez y Brasil hacia 360 puntos. 

 

El informe menciona las calificaciones obtenidas en matemáticas por los 

representantes de las comunidades autónomas de Castilla y León (503), del País 

Vasco (502) y de Cataluña (494), por estar por encima de la calificación global 

española. Lo que implica que dada participación tan significativa de estas tres 

comunidades autónomas en alumnos, aportando el 64 % del global español, y 

en centros con el 63 % de los centros españoles presentados, que otras 

comunidades autónomas españolas debieron obtener resultados en 

matemáticas del orden de Indonesia o Turquía. 

 

Sea como fuere, leyendo el resultado global español (la posición 26 

entre 40) o las comunidades autónomas no especificadas, llegamos a la 

conclusión de que en la enseñanza de las matemáticas en España serían 

deseables resultados muy mejorables, cualitativamente y cuantitativamente 

superiores a los aportados en el Informe PISA 2003. 

 



Informe PISA 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  99 
 

4.6.- Resultados por sub-áreas en Matemáticas 

 

Para obtener los datos relativos a geometría en España, hemos de ir a 

los resultados por las sub-áreas de matemáticas en el informe PISA 2003: 

Espacio y forma (Geometría), Cambio y relaciones  (Álgebra),  Cantidad  

(Aritmética)  e Incertidumbre (Estadística). (M.E.C., 2004: 06). 

 

 
Tabla 6 

 

Si bien es cierto lo que dice el informe, no por eso dejan de ser ciertas 

las conclusiones del apartado anterior también para la enseñanza de la 

geometría en España:  



Florencio López de Silanes 

 

100 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

”Los alumnos españoles se muestran relativamente más débiles en  las  

sub-áreas de Espacio y forma (476 puntos) y Cambio y relaciones (481). Se 

muestran más fuertes en la de Incertidumbre (489) y, sobre todo, en la de 

Cantidad (492). 

 

Las posiciones ocupadas por España en las cuatro subáreas son 

consistentes, en lugares que oscilan entre los puestos 26 y 28. Las puntuaciones 

y posiciones correspondientes a los alumnos de Castilla y León y País Vasco son 

casi siempre significativamente superiores a las de los alumnos del conjunto de 

España”. (M.E.C., 2004: 06-07). 

 



Informe PISA 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  101 
 

 

4.7.- Análisis de la distribución de las calificaciones 

 

El informe PISA 2003 también habla de las distribuciones de las 

puntuaciones en matemáticas (Porcentajes por niveles de rendimiento) para 

todos los países examinados. Esta distribución se hace fijando siete tramos: “La   

distribución de puntuaciones individuales en Matemáticas ha sido dividida en 

siete niveles de rendimiento. Los niveles se numeran del 1 al 6, pero el nivel 

inferior se denomina “nivel menor que 1” ya que agrupa a aquellos alumnos con 

un rendimiento tan bajo que PISA no es capaz de describirlo adecuadamente.” 

 

“Los resultados de los alumnos españoles se caracterizan por una cierta 

homogeneidad. Hay menos alumnos con rendimientos muy altos o muy bajos, 

situándose la mayoría de los alumnos en los niveles intermedios de 

rendimiento. 

 

En el nivel 6 de competencia matemática, el nivel más alto, se sitúa un 

1,4% de los alumnos españoles frente a un 4,0% de los alumnos de los países 

miembros de la OCDE que  se  sitúan  en este nivel. En consecuencia, España 

tiene relativamente pocos alumnos con resultados excelentes en Matemáticas 

en comparación con los países de la OCDE. 

 

En los niveles < 1 y 1, los de más bajo rendimiento matemático, se sitúa 

un 23,0% de los alumnos españoles frente al 21,4% de los alumnos de los países 

de la OCDE. Como resultado, España tiene un porcentaje de alumnos con 

resultados deficientes en Matemáticas ligeramente mayor que el conjunto de 

países de la OCDE. 

 

El grueso de los alumnos españoles (69,1%) se concentra en los tres 

niveles intermedios 2, 3 y 4, en mayor medida que la mayoría de los países y 

que el promedio de la OCDE (63,9%), como puede verse en el gráfico siguiente. 

Esto es más acusado aún en el caso de los alumnos de Castilla y León, País Vasco 

y Cataluña que ocupan el primer, segundo y cuarto lugar en la clasificación por 



Florencio López de Silanes 

 

102 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

niveles intermedios, ya que agrupan los mayores porcentajes (74,0%; 73,0% y 

70,4%) de alumnos en estos niveles intermedios”. (M.E.C., 2004: 07-08). 

 

 
Gráfica 1 

 

Los países con asterisco no son miembros de la OCDE 

Países ordenados según el porcentaje de alumnos en los niveles < 1, 1 y 2 



Informe PISA 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  103 
 

 

 

Las  anteriores distribuciones de las puntuaciones individuales en 

Matemáticas, son más significativas si en vez de representarlas en un diagrama 

de colores, utilizamos la gráfica estandar de la distribución. Así podemos 

comparar los resultados de las distribuciones de las calificaciones españolas, con 

las de Finlandia e Indonesia, como primer y último clasificados en el informe 

PISA; y las de España con las de la Comunidad Autónoma de Castilla y León, 

quien obtuvo la mejor clasificación española. 

 

Distribución de las calificaciones 

de Finlandia en matemáticas

1

5

16

26

17

7

28

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7

P
o

rc
e
n

ta
je

 
Gráfica 2 



Florencio López de Silanes 

 

104 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Distribución de las calificaciones  

de España en matemáticas

25

27

7

1

18

15

8

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7

P
o

rc
e
n

ta
je

 
Gráfica 3 

 

 

Distribución de las calificaciones 

de Indonesia en matemáticas

50

28

15

5
1 1 0

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7

P
o

rc
e

n
ta

je

 
Gráfica 4 

 

 



Informe PISA 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  105 
 

Distribución de las calificaciones 

de Castilla y León en matemáticas

5

10

2

9

2223

28

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7

P
o

rc
e
n

ta
je

 
Gráfica 5 

 

La función de distribución de las calificaciones españolas en 

matemáticas es coherente con su posición dentro del ranking de países, estando 

el 48% por debajo de la posición media española, mientras que sólo el 26% esta 

por encima, siendo la posición media el nivel cuatro, ocupado por el 27% de los 

participantes españoles. 



Florencio López de Silanes 

 

106 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

4.8.- Comparación con los resultados de PISA 2000 

 

Aunque los alumnos españoles obtuvieron una puntuación media de 

476 puntos en PISA 2000, esa puntuación no se puede comparar con rigor 

estadístico con la media de 485 puntos obtenida en PISA 2003 por haberse 

producido un cambio de escala y porque determinadas subáreas evaluadas en 

2003 no estaban presentes en PISA 2000. (M.E.C., 2004: 09). 

 

Tabla 7 

 

 

 

La puntuación de los resultados en Matemáticas en PISA 2000 ha sido 

reescalada de acuerdo a la más precisa y completa escala de PISA 2003 (por ser 

aquí la materia principal e incluir nuevas sub-áreas y un mayor tiempo de 

evaluación). (M.E.C., 2004: 09). 

 

De acuerdo con la nueva escala sólo se pueden comparar las sub-áreas 

de Espacio y forma y de Cambio y relaciones. En ambas se ha producido una 

mejora con respecto a los resultados de PISA 2000. El incremento en los 

resultados de la subárea de  Cambio y relaciones (Álgebra) es estadísticamente 

significativo, mientras que en Espacio y forma (Geometría) es reflejo de una 

posible tendencia  hacia  mejores  resultados  que  habrá  que confirmar en 

estudios posteriores. (M.E.C., 2004: 09). 

 

 



Informe PISA 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  107 
 

 

4.9.- Diferencias de género en los resultados de matemáticas 

 

Es interesante poner de manifiesto que en todos los países examinados 

en el informe PISA 2003 en Matemáticas, los alumnos ha conseguido mejores 

calificaciones que las alumnas salvo en dos: Islandia y Tailandia, llegando en el 

caso de Liechtenstein a cobrar una diferencia máxima de 29 puntos. El mismo 

informe pone de manifiesto que las habilidades de las mujeres para la lectura 

están por encima de las de los hombres en todos los países examinados en el 

informe PISA 2003. 

 

En el caso de España: “Las alumnas españolas obtienen en Matemáticas 

una puntuación media (481  puntos) menor que la de los alumnos (490). La 

diferencia de 9 puntos a favor de los alumnos es estadísticamente significativa. 

 

Las diferencias prácticamente no existen entre alumnas y alumnos en el 

País Vasco (1 punto, diferencia no significativa), y se incrementan en Castilla y 

León (11 puntos, no significativa) y en Cataluña (18 puntos, diferencia 

significativa), siempre a favor de los alumnos 

 

El sentido de las diferencias entre las alumnas y los alumnos españoles 

es el mismo que en el promedio de países de la OCDE y que en el de la mayoría 

de los países”. (M.E.C., 2004: 10). 

 



Florencio López de Silanes 

 

108 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Diferencias de género en Matemáticas 

 
Gráfica 6 

Valores negativos: diferencia a favor de las mujeres, Positivos: diferencia a favor de los varones 



Informe PISA 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  109 
 

4.10.- Diferencias por titularidad de los centros educativos en 

matemáticas 

 

Los alumnos escolarizados en centros educativos privados obtienen un 

promedio en Matemáticas de 507 puntos (OCDE: 520); este es superior al de los 

escolarizados en centros públicos que se queda en 472 puntos (OCDE: 482). 

(M.E.C., 2004: 11). 

 

Entre los países de la OCDE, es mayoritario el grupo de países con 

resultados similares, en los que la enseñanza privada demuestra mejor 

rendimiento que la pública (M.E.C., 2004: 11), como puede observarse en el 

gráfico siguiente: 

 

Gráfica 7 

 

En el caso de España, la superior eficacia de los centros privados se 

debe en buena parte a que acogen predominantemente a una población escolar 

con superior nivel socio-económico y cultural. (M.E.C., 2004: 11). 

 

 

 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

110 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

4.11.- Diferencias por titularidad de los centros educativos 

 

En las tres materias restantes, los alumnos españoles escolarizados  en 

centros públicos obtienen una puntuación media inferior a la de los 

escolarizados en centros  privados. Las  diferencias  se  acercan  pero  no 

superan los 40 puntos en la escala PISA (un 7 a 8 %). (M.E.C., 2004: 16). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tabla 8 

 

 

En el conjunto de países de la OCDE se observa la misma tendencia: los 

alumnos de los centros públicos puntúan globalmente por debajo de los 

alumnos de los centros privados. Las diferencias son algo menores que en el 

caso de España y más diversas: 30 puntos en Lectura, 34 en Ciencias y 41 en 

Solución de Problemas (del 6 al 8 por ciento). (M.E.C., 2004: 16). 

 

Las razones que explicarían este rendimiento diferencial en estas 

materias son las mismas que las ya apuntadas al comentar los resultados 

homólogos en Matemáticas. (M.E.C., 2004: 16). 

 



Informe PISA 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  111 
 

4.12.- Rendimientos medios 

  

Los resultados promedio de los alumnos españoles de 15 años muestran 

un rendimiento en Lectura, Ciencias y Solución de problemas por debajo del 

promedio de la OCDE. El rendimiento de los alumnos de Castilla y León y País 

Vasco es significativamente superior al del conjunto de  España  en  Lectura  y  

Solución  de  problemas.  Sin embargo,  en  Ciencias  los  resultados  de  los  

alumnos catalanes son significativamente superiores a los de los alumnos 

españoles, así como a los de Castilla y León y a los del País Vasco. (M.E.C., 2004: 

12). 

 
Tabla 9 

 



Florencio López de Silanes 

 

112 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

4.13.- Rendimiento en Matemáticas e inversión en educación 

 

En las tres materias, los resultados de los alumnos españoles y los de las 

Comunidades Autónomas que han ampliado su muestra son inferiores a los del 

promedio OCDE. Estas diferencias son estadísticamente significativas. (M.E.C., 

2004: 14). 

 

De un modo similar, los resultados educativos suelen también estar en 

correspondencia con el nivel de inversiones en educación. El siguiente gráfico 

muestra los resultados en Matemáticas de los distintos países en PISA 2003 

junto a su inversión pública en educación, medida en porcentaje sobre el PIB. 

(M.E.C., 2004: 18). 

 

Las posiciones de los países son en este caso más dispersas y la recta de 

regresión logra un bajo nivel de ajuste (12,71%). En esas condiciones la 

tendencia expresada por la recta de regresión indica una correlación baja entre 

el nivel de inversión en educación y las puntuaciones alcanzadas. En todo caso, 

España está ligeramente por encima de la recta de regresión, es decir por 

encima de lo esperable. Los países mediterráneos están de nuevo por debajo, a 

excepción de Francia. (M.E.C., 2004: 18). 

 



Informe PISA 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  113 
 

 
Gráfica 8 

 



Florencio López de Silanes 

 

114 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

4.14.- España en el Informe PISA 2009. Rendimiento en Matemáticas 

 

El informe PISA 2009 se centró en el estudio de las competencias, pero 

también publica los resultados de la competencia matemática. Es nuevo en esta 

publicación la posibilidad de extraer datos de los resultados mediante diferentes 

parámetros, en el formato de tablas establecido para esta edición PISA.  

 

En líneas generales, el rendimiento en matemáticas para España está en 

la línea de las ediciones anteriores, como puede apreciarse en la gráfica extraída 

directamente de dicho informe. (M. E. C., 2010:147) 

 

 

Gráfica 9 

 

La variación en un margen del orden del 1% del rendimiento entre las 

pruebas de los años 2003 y 2009, puede considerarse como un valor estable, ya 

que manejamos variaciones del rendimiento inferiores al error de estimación. La 

conclusión es clara, el rendimiento en matemáticas de España en los informes 

PISA no ha variado durante la última década y media. 

 



Informe PISA 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  115 
 

El ministerio de Educación español ha cuidado la selección de 24 países 

que concurrieron a las pruebas del 2009 para posicionar a España en el lugar 12 

de la gráfica 10, que hemos seleccionado de la publicación española (M. E. C., 

2010:76), para poner de manifiesto el margen tan ancho del rendimiento 

obtenido tanto entre los diferentes países como entre las CC. AA. españolas, 

encerradas en el rectángulo rojo. 

 

 

Gráfica 10 

 
 



Florencio López de Silanes 

 

116 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

 

Gráfica 11 



Informe PISA 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  117 
 

Pero la variación tan amplia de los valores del rendimiento medio y sus 

errores típicos los suministramos en gráfica 11, (M. E. C., 2010:167) para los 

países que concurrieron a la prueba, y la gráfica 12 a nivel de las CC. AA. 

españolas (M. E. C., 2010:168). 

 

Gráfica 12 

 

Si la variación del rendimiento a nivel de todos países es del 55,1%, 

entre Shanghái (China) y Kirguistán, dentro de España es del 21,7% entre Castilla 

y León y Melilla. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 



Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  119 
 

 

 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 5 

 

EL MODELO VAN HIELE 

 

5.1.- Introducción 

 

El objetivo de este trabajo de campo es la realización de medidas de 

el nivel de razonamiento de van Hiele en alumnos que van desde Educación 

Primaria hasta la Universidad. Para fundamentar este trabajo debemos de 

conocer en profundidad el modelo de van Hiele. A lo largo de las páginas 

siguientes veremos cómo nació este modelo, sus primeros pasos hasta que 

consiguió un reconocimiento internacional de primer orden, siendo hoy 

imprescindible a la hora de realizar cualquier nuevo planteamiento curricular 

particularmente en el campo de la geometría. 

Los fundamentos del modelo de van Hiele que veremos en este 

capítulo, los utilizaremos en el resto de este trabajo, bien sea para analizar 

los descriptores de nivel y de fase que sirven para identificar los niveles de de 

razonamiento y las fases de aprendizaje del modelo de van Hiele, y que será 

el objetivo de los dos próximos capítulos, así como en la puesta a punto del 

sistema de medida del nivel de razonamiento de van Hiele, que lo haremos 

en otros dos capítulos, o la determinación del nivel de razonamiento de van 

Hiele de las actividades propuestas por los libros de texto de geometría que 

será el objetivo del capítulo que sigue a los anteriores, y finalmente, la 

Lo que aquí entiendo por belleza de la forma no es lo 
que el vulgo comprende generalmente bajo este 
nombre como, por ejemplo, la de los objetos vivos o 
de sus reproducciones, sino algo de rectilíneo y 
circular, y de las superficies y cuerpos sólidos 
compuestos con lo rectilíneo y lo circular por medio 
del compás, de la cuerda y de la escuadra. Pues estas 
formas no son, como las otras, bellas solo bajo ciertas 
condiciones, sino que son siempre bellas en sí 
mismas. 

Platón. Timeo 
(Pasaje del Filebo) 



Florencio López de Silanes 

120 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

determinación del nivel de razonamiento de casi un millar de alumnos, que 

trataremos en otros dos capítulos. Es decir, trabajaremos con el modelo de 

van Hiele en los siete capítulos siguientes. 

En el presente capítulo vamos a describir las características que 

configuran el modelo de van Hiele, como son los niveles de razonamiento, las 

fases de aprendizaje, las propiedades de los niveles de razonamiento, y las 

especificaciones básicas de estos niveles. 

El modelo van Hiele fue creado en la década de los años cincuenta 

por los esposos Pierre M. van Hiele y Dina van Hiele-Geldof, que trabajaban 

como profesores de geometría de enseñanza secundaria en Holanda. A partir 

de su experiencia docente, elaboraron un modelo para explicar por un lado 

cómo se produce la evolución del razonamiento geométrico de los 

estudiantes y por otro lado para que el profesor ayude a los alumnos a 

mejorar la calidad del razonamiento.  

De esta forma los componentes principales del modelo van Hiele son 

la "teoría de los niveles de razonamiento", que explica cómo se produce el 

desarrollo en la calidad de razonamiento geométrico de los estudiantes 

cuando estudian geometría, y las "fases de aprendizaje", que son su 

propuesta didáctica para la secuenciación de actividades de enseñanza-

aprendizaje en el aula, para facilitar el ascenso de los estudiantes de un nivel 

de razonamiento al inmediatamente superior.  

Aunque el modelo de Van Hiele para el estudio de la geometría no es 

reciente, ya que data de finales de los años cincuenta, pero su sencillez y el 

alto nivel de difusión y aceptación, así como la adaptación de sus niveles y 

fases a la didáctica actual, y a los estudios realizados para la enseñanza de la 

geometría, hacen que esté en plena vigencia, y que sus ideas principales 

como los niveles de razonamiento y las fases de aprendizaje, sean la base 

para una didáctica eficiente de la geometría. Así, el modelo de van Hiele tiene 

gran interés para la elaboración de los curricula abiertos de Geometría. Los 

niveles ayudan a secuenciar los contenidos y las fases organizan el diseño de 

las actividades en las unidades didácticas.  

En el modelo de Van Hiele concurren cinco componentes 

fundamentales que configuran un sistema coherente y completo para la 

didáctica de las matemáticas, y en particular para la didáctica de la 

geometría; ya que el corpus científico, particularmente de la geometría 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  121 
 

euclidiana, se adapta muy bien a la estructura conceptual desarrollada por 

los esposos Van Hiele (Dina Van Hiele Geldof y Pierre Marie Van Hiele). Los 

cinco componentes referidos son (VAN HIELE, P. M., 1986): 

- La fundamentación del desarrollo del pensamiento filosófico, 

geométrico y matemático, sobre la que descansa la estructura del 

modelo conceptual y pedagógico. 

- La estructuración en cinco niveles de razonamiento de los contenidos 

geométricos, como estadios independientes con personalidad propia, 

en la escalera que conduce desde los cocimientos geométricos más 

rudimentarios, concretos y básicos, a los más abstractos y científicos. 

Por razones obvias, el nivel que sustenta el conocimiento científico de 

la geometría no ha sido de interés de los investigadores pedagógicos, 

cuyos esfuerzos se han centrado en los niveles más inferiores. Pero en 

la enseñanza universitaria, entiendo que deberíamos de contemplar 

todos los niveles de igual manera, ya que es en el nivel más alto en el 

que debemos trabajar en la universidad, y como veremos, es un nivel 

fuertemente repercutido por las deficiencias en que se ha trabajado 

en los niveles inferiores desde la enseñanza infantil al bachillerato. 

Este modelo nos ayuda a entender las dificultades que nos 

encontramos en la enseñanza de la geometría en la universidad, 

proporcionando también algunas pautas para solventar estos 

problemas y ayudar a nuestros alumnos a alcanzar sus objetivos 

académicos. 

- La caracterización de los niveles, en sí mismos y con relación a los 

precedentes y consecuentes. El trabajo propio en cada nivel, y paso al 

nivel superior, que en definitiva es para lo que se trabaja en cada uno 

de los niveles. El modelo de Van Hiele termina en el nivel ya 

mencionado del trabajo científico, y del aprendizaje de la geometría 

con estas características, no contemplando los campos de la 

investigación geométrica, ni los trabajos aplicativos de la geometría, ya 

que estos no tienen una componente didáctica. 

- El siguiente componente está en la puesta en práctica de la enseñanza 

de la geometría utilizando la anterior estructura y su caracterización. 

Son las llamadas fases de aprendizaje de las entidades y procesos de 

la geometría, que los Van Hiele estructuraron en otras cinco etapas, 

en las que el profesor debe planificar su intervención para conducir a 



Florencio López de Silanes 

122 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

los alumnos a cubrir los objetivos de los anteriores niveles y conseguir 

la subida al nivel superior con todas las garantías. 

- Queda solamente las orientaciones e indicaciones para encajar cada 

uno de los objetos, entidades y procesos geométricos dentro de los 

niveles y fases de aprendizaje anteriormente aludidos. Es en definitiva 

la puesta en práctica de los anteriores esquemas al servicio de las 

diferentes entidades de la geometría, donde no solamente se hace uso 

de la capacidad conductiva y expositiva del profesor, quien podrá 

utilizar, de acuerdo con su criterio los recursos didácticos que estén a 

su alcance: manipulativos, en la vida cotidiana, geoplanos, 

informáticos, software geométrico, programas aplicativos a diferentes 

áreas, técnicas de dibujo, técnicas de medición indirecta, etc. 

En este trabajo se incluye las bases para el diseño y discusión de los 

datos proporcionados por un cuestionario aplicado a alumnos universitarios 

de segundo curso, donde se dibuja claramente donde estamos y que hemos 

conseguido en la enseñanza de la geometría con el sistema educativo vigente 

en España, y lo que nos separa de la situación ideal prevista en una correcta y 

total aplicación del modelo Van Hiele.  

Resumiendo, diríamos que el modelo van Hiele del pensamiento 

geométrico, proporciona ayudas en la enseñanza y el aprendizaje de la 

geometría, así como en la evolución de las habilidades geométricas de los 

alumnos. 

La base del modelo está conformada por sus cinco niveles del 

entendimiento de la geometría, que describen  las características del proceso 

de pensamiento geométrico, auxiliado por las experiencias de aprendizaje 

adecuadas, estos son los niveles de: visualización, análisis, deducción 

informal, deducción formal y rigor. (van Hiele, P. M., 1986). 

El objetivo de la enseñanza de la geometría utilizando el modelo Van 

Hiele consistirá en llevar a una persona que se encuentra en una actividad 

geométrica concreta en un nivel determinado hasta el siguiente nivel.  



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  123 
 

5.2.- Fundamentos del modelo 

 

Los esposos holandeses Dina y Pierre van Hiele en sus clases como de 

enseñanza secundaria, observaron que, a pesar de explicar los temas de 

geometría numerosas veces y de manera distintas no los entendían. Además 

comprobaron que todos los años los alumnos presentaban los mismos 

conflictos; que en ocasiones los alumnos no sabían seguir el proceso de 

resolución de un ejercicio, y en otros casos, no entendían lo que el profesor 

les pedía.  

A partir de dichas observaciones, los van Hiele diseñaron lo que hoy 

se conoce como “el modelo de razonamiento geométrico de van Hiele” 

(Jaime, 1994), presentaron su trabajo en sus respectivas tesis doctorales en 

1957, dirigidas por Freudenthal. Así mientras que, Pierre fue el diseñador 

teórico del modelo, su esposa desarrolló la aplicación de éste a la enseñanza 

de la geometría. En 1959 se publicó el artículo “La pensée de l´enfant et la 

geométrie” en el Bulletin de l´A.P.M.E.P., que representa la primera 

exposición pública a nivel internacional del modelo de van Hiele.  

A pesar de los esfuerzos de Freudenthal y de los 

van Hiele, el modelo no logró captar la atención del 

mundo occidental. Pero este artículo resultó de gran 

interés para los educadores soviéticos, quienes se 

hallaban inmersos en un proyecto de reforma curricular. 

Tras unos años de intensas investigaciones y 

experimentaciones, se incorporó el modelo de van Hiele 

como base teórica de la elaboración del nuevo 

currículum de enseñanza de la geometría en la U.R.S.S., 

cuya implantación definitiva se produce en 1964. Lo increíble de la historia es 

que hasta 1974 la comunidad educativa de los países occidentales, con 

excepción de Holanda, siguió ignorando el modelo de van Hiele hasta que 

Wirszup dio una conferencia en la reunión anual del N.C.T.M.9 y publicó en 

1976 un artículo (Wirszup, 1976) con un contenido similar.  

Wirszup hizo una descripción del currículum soviético y del modelo 

de van Hiele y alertó a los profesores de su país ante el hecho de que el 

currículum de geometría soviético era más eficaz dado que “los alumnos 

soviéticos aprenden antes, más y mejor que en EE.UU.” (Guillén, Gutiérrez, 

Jaime y Cáceres; 1992: 5). Actualmente, el interés por este modelo, tanto 

Gráfico 1 



Florencio López de Silanes 

124 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

desde el punto de vista de la investigación educativa como del de la práctica 

docente, ha crecido en tal envergadura, que casi todas las investigaciones en 

geometría lo tienen en cuenta (Jaime, 1994). 

De acuerdo con Gloria María Braga: “Si hacemos una revisión de los 

trabajos de investigación de didáctica psicológica relacionados con la 

enseñanza de la geometría, nos encontramos con un escasísimo número de 

ellos, sobre todo en comparación con los referidos al número y a las 

operaciones aritméticas. Las dos escuelas psicopedagógicas que más ideas 

han aportado al respecto, han sido la escuela piagetiana y la de los esposos 

van Hiele, que aunque han publicado sus estudios e investigaciones con 

anterioridad a los años 60, han permanecido ignorados hasta muy 

recientemente”. (Braga; 1991: 01). Vamos a explicar brevemente en qué 

consisten los componentes del modelo. 

 

5.3.-  Ideas básicas del modelo 

 

La idea básica de partida, es que “el aprendizaje de la Geometría se 

hace pasando por unos determinados niveles de pensamiento y 

conocimiento”, “que no van asociados a la edad” y “que sólo alcanzado un 

nivel se puede pasar al siguiente”. Es más, se señala que cualquier persona, 

pasa por todos esos niveles y, su mayor o menor dominio de la Geometría, 

influirá en que lo haga más o menos rápidamente”. 

En su libro “Structure and insight, Academic Press, New York, 1986”, 

(van Hiele, P. M., 1986) Van Hiele concreta que “alcanzar un nivel superior de 

pensamiento significa que, con un nuevo orden de pensamiento, una persona 

es capaz, respecto a determinadas operaciones, de aplicarlas a nuevos 

objetos”. 

Cada nivel supone la comprensión y utilización de los conceptos 

geométricos de una manera distinta, lo cual se refleja en una manera 

diferente de interpretarlos, definirlos, clasificarlos y hacer demostraciones. 

El modelo abarca dos aspectos: 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  125 
 

- Descriptivo, mediante el cual se identifican diferentes formas de 

razonamiento geométrico de los alumnos y se puede valorar el 

progreso de estos. 

 

- Instructivo, que marca unas pautas a seguir por los profesores para 

favorecer el avance de los estudiantes en su nivel de razonamiento 

geométrico. 

 

La idea central de la componente descriptiva, es que a lo largo del 

proceso de aprendizaje de la geometría, los estudiantes, pasan por una serie 

de niveles de razonamiento, que son secuénciales, ordenados y tales que no 

se puede saltar ninguno. 

La componente instructiva del modelo, se basa en las fases de 

aprendizaje, estas constituyen unas directrices para fomentar el desarrollo de 

la capacidad de razonamiento matemático de los estudiantes y su paso de un 

nivel de razonamiento al siguiente, mediante actividades y problemas 

particulares para cada fase. 

Antes de  señalar los  niveles concretos, es importante  señalar 

algunas  ideas previas al modelo y referidas a los estudiantes que, basadas en 

la experiencia del trabajo del matrimonio van Hiele, marcan el diseño del 

modelo. Podemos señalar entre otras que, en la base del aprendizaje de la 

Geometría, hay dos elementos importantes “el lenguaje utilizado” y “la 

significación de los contenidos”. Lo primero implica que los niveles, y su 

adquisición, van muy unidos al dominio del lenguaje adecuado y, lo segundo, 

que sólo van a asimilar aquello que les es presentado a nivel de su 

razonamiento. Si no es así se debe esperar a que lo alcancen para enseñarles 

un contenido matemático nuevo. 

Van Hiele señala que “no hay un método panacea para alcanzar un 

nivel nuevo pero, mediante unas actividades y enseñanza adecuadas se puede 

predisponer a los estudiantes a su adquisición”. (van Hiele, P. M., 1986). 

 



Florencio López de Silanes 

126 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

5.4.- Componentes del modelo de van Hiele 

 

El modelo de van Hiele lleva intrínsecamente una concepción global 

del sistema de la enseñanza de la geometría. El modelo está orientado a la 

generación de las actividades educativas propias de la geometría. En este 

sentido el modelo consta de tres componentes: el Insight, un componente 

instructivo y los componentes descriptivos. Los conocimientos se estructuran 

en niveles de razonamiento, son el componente descriptivo de la teoría, de 

forma que todos los niveles tienen las mismas propiedades. Los niveles de 

razonamiento con sus propiedades son la columna vertebral del modelo, de 

forma que el aprendizaje se produce en el recorrido de las actividades 

asignadas a cada nivel. Las actividades en un nivel están estructuras por las 

caracterizaciones de las fases de aprendizaje, de forma que el recorrido de 

todos los niveles se realiza a través de las mismas fases de aprendizaje 

secuenciadas de la misma manera.    

 

 

 
Gráfico 2 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  127 
 

Veamos así los tres componentes principales del modelo de van 

Hiele: en primer lugar está el Insight, los niveles de razonamiento y las fases 

de aprendizaje.  

 

 

5.4.1.- El Insight 

 

El Insight según van Hiele (van Hiele, P. M.; 1986: 24) se define como 

“comprensión”. Esta parte de este modelo educativo, hace referencia a “los 

cambios que presenta un alumno en su forma de razonamiento, frente a un 

concepto específico, a lo largo de una intervención pedagógica, se puede 

observar y analizar a través del aumento progresivo en el lenguaje empleado 

por él, y a su vez, en la forma como manifiesta, analiza y emplea el nuevo 

conocimiento adquirido en nuevas situaciones". (van Hiele, P. M.; 1986). 

De acuerdo con P. van Hiele (1986), el Insght se logra la comprensión 

cuando una persona “actúa adecuadamente" en una “nueva situación", (van 

Hiele, P.; 1957). La idea fundamental de su trabajo de investigación es que 

son las circunstancias no vividas las que ponen en manifiesto las capacidades 

que posee el estudiante para resolver problemas de manera favorable. 

Según P. M. van Hiele (1986), se denomina Insight y lo define como 

comprensión y aunque no realiza una definición propia, pues se propone 

estudiar la comprensión tal y como existe en la enseñanza de las 

matemáticas. Intenta en lo posible ceñirse al contenido conceptual que se ha 

venido dando a la “comprensión" en ese contexto. Es por ello que “desiste de 

la metodología que resulta más eficaz en matemáticas: elaborar una 

definición de comprensión para obtener un contenido conceptual con el que 

trabajar cómodamente".  

 



Florencio López de Silanes 

128 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

5.4.2.- Los niveles de razonamiento 

Los niveles de razonamiento describen los distintos tipos de 

razonamiento geométrico de los estudiantes a lo largo de su formación 

matemática, que va desde el razonamiento intuitivo de los niños de 

preescolar hasta el formal y abstracto de los estudiantes de las Facultades de 

Ciencias. De acuerdo con el modelo de van Hiele si el aprendiz es guiado por 

experiencias de instrucción adecuadas, avanza a través de los cinco niveles de 

razonamiento, empezando con el reconocimiento de figuras como todos 

(nivel 1), progresando hacia el descubrimiento de las propiedades de las 

figuras (nivel 2), y hacia el razonamiento informal acerca de estas figuras y 

sus propiedades (nivel 3), y culminando con un estudio riguroso de geometría 

axiomática (niveles 4 y 5). El nivel 1 es denominado nivel de reconocimiento o 

visualización; el nivel 2, nivel de análisis; el nivel 3 clasificación o abstracción; 

el nivel 4 deducción, y el nivel 5 rigor. (Braga, 1991: 02). 

 

5.4.3.- Las fases de aprendizaje 

Por último, las fases de aprendizaje, que son fase 1, información; fase 

2, orientación dirigida; fase 3, explicitación; fase 4, libre orientación; fase 5, 

integración; las fases están orientadas a ayudar a progresar a un alumno 

desde un nivel de razonamiento al inmediatamente superior, constituyendo 

un esquema para organizar la enseñanza. Tanto los niveles como las fases, 

tienen como propósito fundamental promover el insight, que según van 

Hiele, se obtiene “. . . cuando una persona actúa adecuadamente en una 

nueva situación y con intención” (van Hiele, P. M., 1986: 24). 

 

5.4.4.- Propiedades de los niveles de razonamiento 

El paso de un nivel a otro es independiente de la edad. Muchos 

adultos se encuentran en un nivel porque no han tenido oportunidad de 

enfrentarse con experiencias que les invitasen a pasar al nivel siguiente. Un 

profesor, a través de los contenidos y los métodos de enseñanza, puede 

provocar el paso de un nivel a otro. 

El modelo es recursivo, es decir cada nivel se construye sobre el 

anterior, coincidiéndose el desarrollo de los conceptos espaciales y 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  129 
 

geométricos como una secuencia desde planteamientos inductivos y 

cualitativos, hacia formas de razonamiento cada vez más deductivas y 

abstractas. En la bibliografía existente sobre el tema se pueden encontrar 

listas muy completas de las características de los distintos niveles. (Braga; 

1991: 02). 

De esta manera el modelo de van Hiele queda configurado 

básicamente con los quince siguientes elementos: cinco niveles de 

razonamiento que se caracterizan todos ellos mediante con las mismas cinco 

propiedades, como soportes de las actividades educativas organizadas con 

los criterios de las cinco fases de aprendizaje. 

 

 

Gráfico 3 

 

 



Florencio López de Silanes 

130 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

5.5.- Los niveles de razonamiento del modelo de van Hiele 

 

En este estado el alumno puede trabajar en una variedad de sistemas 

axiomáticos, esto es, se pueden estudiar las geometrías no-euclídeas, y se 

pueden comparar sistemas diferentes. Se ve la geometría en abstracto. 

Es importante señalar que, un estudiante puede estar, según el 

contenido trabajado, en un nivel u otro distinto. Se piensa que el quinto nivel 

que es inalcanzable para los estudiantes no universitarios, prescinde  de  él 

cuando se realizan trabajos sólo de interés didáctico. Otros trabajos 

realizados señalan que los estudiantes no universitarios, como mucho, 

alcanzan los tres primeros niveles.  

De esta forma, concluiremos que la capacidad de razonamiento 

geométrico evoluciona pasando por los diferentes niveles: 

- En el primer nivel se maneja solamente información visual, y su forma 

de razonamiento no puede ser considerada como matemática. 

 

-  En el segundo nivel se reconoce la presencia de propiedades 

matemáticas en los objetos geométricos, continuando el 

razonamiento basándose  en la percepción. 

 

- En el tercer nivel se comienza a desarrollar la capacidad de  

razonamiento, llegando a ser capaces  capaz de manejar los elementos 

más simples del razonamiento formal, como las definiciones o las 

implicaciones. 

 

- El cuarto nivel capacita el razonamiento formal. 

 

- Finalmente en el quinto nivel en el que se adquieren los 

conocimientos y se desarrolla toda la capacidad de razonamiento. 

 

En los más de 50 años transcurridos desde la primera formulación del 

Modelo de van Hiele, este se desarrollado y transformado, ajustándose a la 

realidad que pretende describir. En la primera formulación de los van Hiele 

del año 1957, el modelo constaba sólo de tres niveles, que correspondían con 

los niveles 2, 3 y 4 anteriores. Como consecuencia de la experiencia, los 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  131 
 

comentarios y las críticas, los van Hiele añadieron el primer nivel actual. Van 

Hiele (1986) explica esta modificación: 

"La diferencia está causada por el hecho de no haber 

observa- do la importancia del nivel visual (que es el que ahora 

llamamos primero) en esa época.  Aún así,  por entonces había  

personas (como Joh  Wansink) que me decían: Creo que tus niveles de 

pensamiento son muy  interesantes;  pero no obstante  me gustaría 

saber lo que hay en el nivel 0 (el primer nivel nuestro)." 

Como consecuencia de las investigaciones realizadas en  la Unión 

Soviética, recogidas en Wirszup  (1976), se presenta  el  modelo como 

integrado  por cinco niveles, que coinciden con los que acabamos de 

describir. No obstante, van Hiele (1986) dice: 

"Como se habrá observado, no intentamos  describir niveles 

superiores al cuarto. Aquellos niveles superiores son mucho más difíciles de 

distinguir que los niveles 2, 3 y 4. Además, nos hemos dado cuenta de que 

esos  niveles son  fácilmente  supervalorados. Y ¿qué vamos a hacer con esos 

niveles? En la escuela  tenemos que trabajar con los  Niveles 2, 3 y 4. Si  

nuestros alumnos  no nos comprenden,  es en estos niveles y no cuando 

hablamos del quinto o quizás niveles superiores. Algunas personas están 

ahora examinando a los alumnos para ver si han alcanzado el quinto o niveles 

superiores. Creo que esto tiene simplemente un valor teórico." 

Algunas investigaciones realizadas en los últimos años para analizar la 

coherencia interna de los  niveles de Van Hiele han puesto de relieve una 

falta de consistencia del quinto nivel respecto de los anteriores (Gutiérrez, 

Jaime, 1987)  y (Mayberry, 1983). Estos datos, unidos a la realidad de que el 

quinto nivel sería difícilmente alcanzable fuera de los últimos cursos de una 

Facultad de Matemáticas (por lo cual es poco interesante desde un punto de 

vista didáctico),  hacen que en  una  mayoría de investigaciones actuales  se 

considere el  Modelo de Van Hiele como formado  por los niveles 1 a 4 

descritos anteriormente. 

Por lo que a nosotros respecta, en este proyecto de investigación que 

engloba a estudiantes desde Enseñanza Primaria a la Universidad, desde los 6 

años a más de 20 años, trabajaremos con los cinco niveles, siendo 

conscientes de que la mayoría de los estudiantes con que hemos tratado 

pueden englobarse en los tres primeros niveles de razonamiento.  



Florencio López de Silanes 

132 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

5.6.- Las fases de aprendizaje 

 

Mientras que los niveles de razonamiento nos orientan acerca de 

cómo secuenciar y organizar el currículo geométrico de una forma global, el 

objetivo de las Fases de aprendizaje es favorecer el desplazamiento del 

alumno de un nivel al inmediatamente superior mediante la organización de 

las actividades de enseñanza-aprendizaje, lo que ha permitido que el modelo 

tuviera una influencia real en la elaboración de currículos de geometría en 

distintos países como es el caso de la Unión Soviética, E.E.U.U., Países Bajos, 

etc. (Braga; 1991: 03) 

Las fases de aprendizaje son las siguientes: 

• Información.  

• Orientación dirigida.  

• Explicitación.  

• Orientación libre. 

• Integración.  

 

Resumiendo. Las características fundamentales de cada fase, en la 

primera se ponen a discusión del alumno material clarificador del contexto de 

trabajo. En la segunda fase se proporciona material por medio del cual el 

alumno aprenda las principales nociones del campo de conocimiento que se 

está explorando. El material y las nociones a trabajar, se seleccionarán en 

función del nivel de razonamiento de los alumnos. En la tercera fase 

conduciendo las discusiones de clase, se buscará que el alumno se apropie 

del lenguaje geométrico pertinente. En la cuarta fase se proporcionará al 

alumno materiales con varias posibilidades de uso y el profesor dará 

instrucciones que permitan diversas formas de actuación por parte de los 

alumnos. En la quinta fase se invitará a los alumnos a reflexionar sobre sus 

propias acciones en las fases anteriores. Como resultado de esta quinta fase, 

los autores entienden que el alumno accede a un nuevo nivel de 

razonamiento. El estudiante adopta una nueva red de relaciones que conecta 

con la totalidad del dominio explorado. Este nuevo nivel de pensamiento, 

que ha adquirido su propia intuición, ha sustituido al dominio de 

pensamiento anterior. (Braga; 1991: 03) 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  133 
 

¿Qué tipo de problemas hemos de presentar a los alumnos para que 

su actividad e investigación en torno a los mismos les conduzca hacia formas 

superiores de intuición y abstracción geométrica? 

En la situación actual de la enseñanza de la geometría, y 

particularmente en el caso español, la insistencia de enseñar geometría se 

hace patente. Ahora bien, ya no se trata sólo de defender la importancia y 

necesidad de enseñar geometría, sino que el problema crucial en este 

momento es el de discutir qué geometría debe ser enseñada en la Escuela y 

cómo. En definitiva nos encontramos en un momento histórico en el que la 

reacción al carácter deductivo y formal que la enseñanza de la geometría ha 

adoptado en los últimos tiempos nos obliga a investigar los problemas 

didácticos implicados en su enseñanza. Para ello el modelo de van Hiele se 

presenta como enormemente rico. 

Si a eso le unimos el proceso de reforma curricular en la que se 

encuentra nuestro país en la actualidad, y en el que la enseñanza de la 

geometría parece volver a tener un papel relevante en la enseñanza primaria 

y secundaria, alejándose de la postura claramente “modernista” adoptada en 

los Programas Renovados, la necesidad de dar a conocer el modelo en el 

campo educativo español parece relevante y necesaria. (Ibídem) 

 

 



Florencio López de Silanes 

134 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

5.7.- Estudio detallado de los niveles de razonamiento del modelo Van 

Hiele 

 

Los cinco niveles de Van Hiele los designamos con los números del 1 al 5,  que 

se corresponden con los niveles del 0 al 4 en otros autores. 

Las caracterizaciones de los cinco niveles las mostramos en el gráfico 4.   

 

 
Gráfico 3 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  135 
 

5.7.1.- Nivel 1: Visualización o reconocimiento 

 

Para estudiar la caracterización de los niveles, utilizaremos las 

descripciones realizadas por diversos autores. De esta forma no 

caracterizaciones nuevas de los niveles de van Hiele equivalentes entre sí y a 

las primeras determinadas por P. M. van Hiele. En este punto seguiremos a 

los autores A. Jaime, A. Gutiérrez, F. Fouz y Rizzolo, que se ajustan a las 

caracterizaciones generales de los niveles de razonamiento de comúnmente 

admitidas.  

 

Para Fouz tres son las características fundamentales de este nivel 

(Fouz, 2003: 69): 

1) Los objetos se perciben en su totalidad como una unidad, sin 

diferenciar sus atributos y componentes. 

2) Se describen por su apariencia física mediante descripciones 

meramente visuales y asemejándoles a elementos familiares del 

entorno (parece una rueda, es como una ventana, etc). No hay 

lenguaje geométrico básico para llamar a las figuras por su 

nombre correcto. 

3) No reconocen de forma explícita componentes y propiedades 

de los objetos motivo de trabajo. 

Un estudiante de este nivel puede aprender vocabulario geométrico, 

identificar formas específicas y reproducir una figura dada, Por ejemplo: 

dados varios cuadriláteros, puede reconocer si son cuadrados o rectángulos, 

porque son similares por sus formas a cuadrados o rectángulos con los que se 

ha encontrado previamente. Dado un geoplano o un papel, podría copiar las 

figuras. No reconocería que las figuras tienen ángulos rectos o si los lados 

opuestos son paralelos o no. Es decir, un estudiante de este nivel no suele 

reconocer las partes que componen las figuras ni sus propiedades 

matemáticas. (Rizzolo, S. A., 2005). 

Los alumnos perciben las figuras como un todo global, en su 

conjunto, pudiendo incluir en sus descripciones atributos irrelevantes, 

generalmente sobre la forma, tamaño o posición de las figuras o sus 



Florencio López de Silanes 

136 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

elementos destacados. Se reconocen por sus formas visibles y no se 

reconocen las partes y componentes de las figuras y no se explicitan las 

propiedades determinantes de las figuras. (Ibídem). 

Pueden, sin embargo, producir una copia de cada figura particular en 

un geoplano o en papel o reconocerla. Puede nombrarla, identificarla o 

compararla basándose sólo en su apariencia. (Ibídem). 

Por ejemplo, sobre las propiedades que distinguen un rombo de un 

rectángulo, podrán hablarnos de “el rectángulo es más largo”, "el rombo es 

más picudo”, etc. Es decir, se limitan a la descripción del aspecto físico de las 

figuras, sin entrar en otras relaciones de semejanzas y diferencias que 

puedan existir entre ellas. O distinguen entre un rectángulo y un romboide. 

(Ibídem). 

Descripción del primer nivel según Jaime y Gutierrez (1996): 

a) Percepción global de las figuras: en las descripciones se 

incluyen atributos irrelevantes, generalmente referidos a la 

forma, tamaño o posición de figuras específicas o sus elementos 

destacados. 

b) Percepción individual de las figuras: cada figura es 

considerada como un objeto, independiente de otras figuras de 

la misma clase. No se generalizan las características de una 

figura a otras de su misma clase, en particular si sus formas son 

bastante diferentes. 

e) Uso de propiedades imprecisas para identificar, comparar, 

ordenar, o caracterizar figuras. 

d) Aprendizaje de un vocabulario matemático básico para 

hablar de las figuras, describirlas, etc., acompañado de otros 

términos de uso común que sustituyen a los matemáticos. 

e) No se suelen reconocer explícitamente las partes que 

componer las figuras ni sus propiedades matemáticas.  



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  137 
 

5.7.2.- Nivel 2: Análisis 

 

Para estudiar la caracterización de este nivel, utilizaremos también 

las descripciones realizadas por estos autores: A. Jaime, A. Gutiérrez, F. Fouz 

y Rizzolo. 

Para Fouz en este nivel (Fouz, 2003: 69): 

1) Se perciben las componentes y propiedades (condiciones 

necesarias) de los objetos y figuras. Esto lo obtienen tanto desde 

la observación como desde la experimentación. 

2) De una manera informal pueden describir las figuras por sus 

propiedades pero no de relacionar unas propiedades con otras o 

unas figuras con otras. Como muchas definiciones en Geometría 

se elaboran a partir de propiedades, no pueden elaborar 

definiciones. 

3) Experimentando con figuras u objetos pueden establecer 

nuevas propiedades. 

4) Sin embargo no realizan clasificaciones de objetos y figuras a 

partir de sus propiedades.  

Es decir, a través de la observación y la experimentación los 

estudiantes empiezan a discernir las características de las figuras, y sus 

propiedades. Las propiedades que surgen de esta manera, se usan para 

clasificar las figuras. Las figuras se reconocen por sus partes y sus 

propiedades, pero no son capaces de relacionar unas propiedades con otras, 

por lo que no pueden hacer clasificaciones lógicas de figuras basándose en 

sus  elementos  o propiedades. 

Para Rizzolo en este nivel: Los individuos pueden analizar las partes o 

elementos y propiedades particulares de las figuras. Las propiedades de las 

figuras se establecen experimentalmente mediante una serie de actividades 

como la observación, medición, corte o doblaje. Ninguna propiedad implica 

cualquier otra porque cada una se percibe de manera aislada y sin relacionar. 

Estas propiedades emergentes se utilizan para conceptualizar clases de 

figuras. (Rizzolo, S. A., 2005). 



Florencio López de Silanes 

138 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Por ejemplo: “los rectángulos tienen las diagonales iguales”, pero no 

explicitan relaciones entre distintas familias de figuras; por ejemplo, un 

rombo o un rectángulo no se perciben explícitamente como un 

paralelogramo. (Ibídem). 

Los estudiantes miran las figuras de forma diferentes, ya que son 

conscientes que están formadas por elementos y que tienen ciertas 

propiedades diferenciadoras. Las propiedades que se detectan sirven para 

realizar clasificaciones o relaciones de inclusión. Es el primer nivel en el que 

descubren y generalizan ciertas propiedades que no conocían. (Ibídem). 

Así la descripción del segundo nivel según Jaime y Gutiérrez es (Jaime y 

Gutiérrez, 1996): 

a) Reconocimiento de que las figuras geométricas están 

formadas por partes o elementos y están dotadas de 

propiedades matemáticas. Se describen las partes que integran 

una figura y se enuncian sus propiedades. Se es capaz de 

analizar las propiedades matemáticas de las figuras. 

b) La definición de un concepto consiste en el recitado de una 

lista de propiedades, lo más exhaustiva posible, pero en la que 

puede haber omisiones de características necesarias. 

e) No se relacionan diferentes propiedades de una figura entre 

sí o con las de otras figuras. No se establecen clasificaciones a 

partir de relaciones entre propiedades. 

d) La deducción de propiedades se hace mediante 

experimentación. Se generalizan dichas propiedades a todas las 

figuras de la misma familia. 

e) La demostración de una propiedad se realiza mediante su 

comprobación en uno o pocos casos.  

 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  139 
 

 

 

 

Gráfico 4. Estructura de los niveles de razonamiento de van Hiele. 



Florencio López de Silanes 

140 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

5.7.3.- Nivel 3: Deducción informal, u, ordenación o clasificación 

 

Estudiaremos la caracterización de este nivel, utilizando las 

descripciones realizadas por los autores anteriores. 

En este nivel (Fouz; 2003: 69): 

1) Se describen las figuras de manera formal, es decir, se 

señalan las condiciones necesarias y suficientes que deben 

cumplir. Esto es importante pues conlleva entender el 

significado de las definiciones, su papel dentro de la Geometría 

y los requisitos. 

2)  Realizan  clasificaciones lógicas  de  manera formal ya que el 

nivel  de  su razonamiento matemático  ya  está iniciado. Esto  

significa que  reconocen cómo unas propiedades derivan de 

otras, estableciendo relaciones entre propiedades y las 

consecuencias de esas relaciones. 

3) Siguen las demostraciones pero, en la mayoría de los casos, 

no las entienden en cuanto a su estructura. Esto se debe a que 

en su nivel de razonamiento lógico son capaces de seguir pasos 

individuales de un razonamiento pero no de asimilarlo en su 

globalidad. Esta carencia les impide captar la naturaleza 

axiomática de la Geometría. 

Por tanto se pueden establecer las interrelaciones en las figuras y 

entre figuras, deducir las propiedades de una figura y reconocer las clases de 

figuras. 

Para Rizzolo en este nivel: Pueden describir una figura de manera 

formal, es decir dando las definiciones matemáticamente correctas, y 

comprenden el papel de las definiciones y los requisitos de una definición 

correcta. Comprenden los pasos individuales de un razonamiento lógico 

formal, pero no entienden  la necesidad  del encadenamiento de estos pasos, 

ni la estructura de la demostración. Al no ser capaces de realizar 

razonamientos lógicos formales ni su necesidad, no comprenden la 

estructura axiomática de las matemáticas y, particularmente, de la 

geometría. (Rizzolo, S. A., 2005). 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  141 
 

En este nivel se puede usar cierto razonamiento lógico informal para 

deducir propiedades de las figuras. Las relaciones entre las propiedades de la 

figura y las relaciones entre figuras llegan a ser el principal objetivo de 

estudio. (Ibídem). 

Se determinan las figuras por sus propiedades: “cada cuadrado es un 

rectángulo”, pero son incapaces de organizar una secuencia de 

razonamientos que justifiquen sus observaciones. Se comprenden 

implicaciones lógicas específicas, por ejemplo se puede asumir que en el caso 

de los cuadriláteros la igualdad de ángulos opuestos implique el paralelismo 

de los lados. (Ibídem). 

Se pueden comprender las primeras definiciones que describen las 

interrelaciones de las figuras con sus partes constituyentes. En este nivel 

Crowley ve la aparición de los razonamientos formales (Crowley, 1987): 

"Con frecuencia se utilizan resultados empíricos junto con técnicas 

deductivas. Se puede seguir la demostración formal, pero el estudiante no ve 

cómo se podría cambiar el orden lógico y no ve cómo construir una 

demostración partiendo de premisas diferentes o no familiares"  

Descripción del tercer nivel según Jaime y Gutiérrez (Jaime y Gutiérrez, 1996): 

a) Capacidad para relacionar propiedades de una figura entre sí 

o con las de otras figuras. 

b) Comprensión de lo que es una definición matemática y sus 

requisitos. Se definen correctamente conceptos y familias de 

figuras. 

c) La demostración de una propiedad se basa en la justificación 

general de su veracidad, para lo cual se usan razonamientos 

deductivos informales. 

d) Comprensión y realización de implicaciones simples en un 

razonamiento formal. Comprensión de los pasos de una 

demostración explicada por el profesor. Capacidad para repetir 

tal demostración y adaptada a otra situación análoga. 

e) Incapacidad para realizar demostraciones formales 

completas. No se logra una visión global de las demostraciones 

y no se comprende su estructura. 



Florencio López de Silanes 

142 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

5.7.4.- Nivel 4: Deducción formal 

 

Estudiaremos la caracterización de este nivel, utilizando las 

descripciones realizadas por los autores anteriores. 

El cuarto nivel para Fouz, (Fouz, 2003: 70): 

1) En este nivel ya se realizan deducciones y demostraciones 

lógicas y formales, viendo su necesidad para justificar las 

proposiciones planteadas. 

2) Se comprenden y manejan las relaciones entre propiedades, y 

se formalizan en sistemas axiomáticos, por lo que ya se 

entiende la naturaleza axiomática de las Matemáticas. 

3) Se comprende cómo se puede llegar a los mismos resultados 

partiendo de proposiciones o premisas distintas lo que permite 

entender que se puedan realizar distintas forma de 

demostraciones para obtener un mismo resultado. 

Es claro que, adquirido este nivel, al tener un alto nivel de 

razonamiento lógico, se tiene una visión globalizadora de las Matemáticas. 

Llegando a comprender la estructura axiomática de las matemáticas, 

perciben la utilidad de sus componentes, como: términos no definidos, 

axiomas, teoremas,… Ven la posibilidad de llegar al mismo resultado desde 

premisas diferentes, y trabajan con definiciones equivalentes del mismo 

concepto. (Rizzolo, S. A., 2005). 

Los individuos pueden desarrollar secuencias de proposiciones para 

deducir una propiedad de otra, es decir, realizar razonamientos lógicos 

formales. Las demostraciones tienen sentido y se siente su necesidad como 

único medio para verificar la verdad de una afirmación. "Una persona en este 

nivel puede construir, y no sólo memorizar las demostraciones, se ve la 

posibilidad de desarrollar una demostración de varias formas"  (Crowley, 

1987). Así, por ejemplo, se puede demostrar que el postulado de las paralelas 

implica que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º. Sin 

embargo, no se reconoce la necesidad del rigor en los razonamientos. 

 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  143 
 

Descripción del cuarto nivel según Jaime y Gutiérrez (1996): 

a) Realización de las demostraciones mediante razonamientos 

deductivos formales. 

b) Capacidad para comprender y desarrollar demostraciones 

formales. Capacidad para adquirir una visión global de las 

demostraciones y para comprender la misión de cada 

implicación simple en el conjunto. 

e) Aceptación de la posibilidad de demostrar un resultado 

mediante diferentes formas de demostración o a partir de 

distintas premisas. 

d) Aceptación de la existencia de definiciones equivalentes de un 

concepto y uso indistinto de ellas. 

e) Capacidad para comprender la estructura axiomática de las 

matemáticas: Significado y uso de axiomas, definiciones, 

teoremas, términos no definidos, etc. 

 

 

5.7.5.- Nivel 5: Rigor 

 

Para estudiar la caracterización de este nivel, utilizaremos las descripciones 

realizadas por los autores A. Jaime, A. Gutiérrez, F. Fouz y Rizzolo. 

Fouz lo describe como el nivel en el que (Fouz, 2003: 70): 

1) Se  conoce  la  existencia  de  diferentes  sistemas  

axiomáticos  y  se  pueden analizar y comparar permitiendo 

comparar diferentes geometrías. 

2) Se puede trabajar la Geometría de manera abstracta sin 

necesidad de ejemplos concretos, alcanzándose el más alto nivel 

de rigor matemático.  

Este nivel tiene que ver con el aspecto formal de la deducción. Los 

individuos están capacitados para analizar el grado de rigor de varios 

sistemas deductivos. Pueden apreciar la consistencia, la independencia y la 



Florencio López de Silanes 

144 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

completitud de los axiomas de los fundamentos de la geometría propuestos 

por Hilbert. Este último nivel, por su alto grado de abstracción debe ser 

considerado en una categoría aparte. (Rizzolo, S. A., 2005). 

El paso de un nivel a otro es independiente de la edad. Muchos 

adultos se encuentran en un nivel porque no han tenido oportunidad de 

enfrentarse con experiencias que les invitasen a pasar al nivel siguiente. Un 

profesor, a través de los contenidos y los métodos de enseñanza, puede 

provocar el paso de un nivel a otro. (Ibídem). 

Descripción del quinto nivel según Jaime y Gutierrez (1996): 

a) Posibilidad de trabajar en sistemas axiomáticos distintos del 

usual de la geometría euclídea. 

b) Capacidad para realizar deducciones abstractas basándose 

en un sistema de axiomas determinado. 

e) Capacidad para establecer la consistencia de un sistema de 

axiomas. Capacidad para comparar sistemas axiomáticos 

diferentes y decidir sobre su equivalencia. 

d) Comprensión de la importancia de la precisión al tratar los 

fundamentos y las relaciones entre estructuras matemáticas.  

 

 

5.8.- Características de los niveles 

 

Con independencia del nivel de razonamiento que se trate, los 

niveles de van Hiele cumplen todos las mismas cinco propiedades: secuencial, 

progresivo, intrínseco y extrínseco, lingüístico y desajuste. Sanz describe la 

caracterización de los niveles de la forma (Sanz, I., 2001: 120): 

“Secuencial. Una persona debe recorrer los niveles en orden. Para 

tener éxito en un nivel el estudiante tiene que haber adquirido las 

estrategias de los niveles precedentes. 

Progresivo. El progreso de un nivel a otro depende más del contenido 

y métodos de instrucción que de la edad. 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  145 
 

Intrínseco y extrínseco (explícito/implícito). Los objetos inherentes (o 

implícitos) en un nivel pasan a ser objetos de estudio explícitos en el 

nivel siguiente. 

Lingüístico. Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus 

propios sistemas de relaciones entre símbolos. 

Desajuste. Si el profesor, los materiales empleados, el contenido, el 

vocabulario, etc. están en un nivel superior al del estudiante, este no 

será capaz de comprender lo que se le presente y no progresará.“  

Estas son las propiedades que han de cumplir todos los niveles de 

razonamiento de van Hiele para que estén bien configurados .El gráfico 6 

resume las configuración de las propiedades de los niveles. 

 

 

A continuación describimos con mayor precisión las propiedades todos los 

niveles de razonamiento de van Hiele. 

 Gráfico 5 



Florencio López de Silanes 

146 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

5.8.1.- Secuencial 

 

Al estar estructurado el modelo de Van Hiele en cinco niveles, el 

estudiante ha de recorrerlos secuencialmente, sin saltarse ninguno, so pena 

de producir lagunas importantes en su formación, por lo que debe avanzar en 

orden a lo largo de los niveles. 

De esta manera el aprendizaje de la Geometría está secuencializado 

en 5 niveles de conocimiento, de forma que, si los estudiantes están en un 

nivel de conocimiento n y se les presenta una situación de aprendizaje que 

requiere un vocabulario, unos conceptos y unos conocimientos del nivel n+1, 

no serán capaces de progresar en la situación presentada y, por tanto, se 

produciría el fracaso en su enseñanza, ya que no se llevaría a cabo su 

aprendizaje. 

Así, para tener éxito en un nivel particular, debe haber asimilado las 

estrategias de los niveles precedentes. 

A. Gutiérrez lo pone muy bien de manifiesto al afirmar: “Pensar 

según el  segundo nivel no es posible sin  la capacidad de razonamiento del 

primero, pues en el segundo nivel se sigue utilizando la observación de 

atributos físicos, si bien ahora éstos se interpretan en  términos de 

propiedades  geométricas; pensar según el tercer nivel no es posible sin la 

capacidad de razonamiento del segundo pues en el tercer nivel sigue 

utilizándose la experimentación como fuente de información  y los ejemplos 

concretos  son la base de los argumentos; pensar según el cuarto nivel no es 

posible sin la capacidad de razonamiento del tercero, pues es en éste en el 

que se adquieren los elementos  básicos de los métodos de razonamiento 

formal.” (Jaime, A.; Gutiérrez A.; y otros; 1994: 22). 

 

5.8.2.- Ascenso o jerarquización 

 

El orden de los niveles no se puede alterar, y además los niveles “son 

recursivos”, en el sentido de que lo que es para un nivel, lo es también para 

el siguiente. 

Pasar o no de un nivel a otro depende más del contenido y los 

métodos de instrucción recibidos, que de la edad.  



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  147 
 

Ningún método de enseñanza lleva a un estudiante a brincar un nivel, 

algunos incrementan los progresos, mientras que otros retardan o incluso 

previenen un movimiento entre niveles. 

El paso de un nivel al siguiente se produce de forma  continua. 

Aunque en los escritos de los Van Hiele podemos encontrar afirmaciones en 

favor de la discontinuidad de los niveles, las investigaciones posteriores y la 

línea  hacia  la que  ha evolucionado el Modelo de van Hiele, nos lleva a 

considerar actualmente que dicha evolución entre los niveles es de manera 

continua. 

Ya que para Jaime y Gutiérrez; “el aprendizaje de una nueva forma de 

razonar no se realiza de golpe. La experiencia en la realización de actividades  

y la resolución de problemas hace que poco a poco se vayan adquiriendo esas  

nuevas destrezas. Al  principio  los  estudiantes sólo serán capaces de 

aplicarlas en situaciones sencillas y con el tiempo adquirirán la confianza y 

destreza suficientes como para aplicarlas también en situaciones  más 

complejas. Un ejemplo de la realidad de esta situación lo tenemos en el hecho 

de que los estudiantes del Ciclo Medio de E.G.B. están, generalmente, en los 

niveles de Van Hiele 1 y 2 y hasta la Enseñanza Media no es fácil encontrar 

estudiantes que tengan  plenamente adquirido el nivel  3. Esto quiere decir 

que se  necesitan  varios años  para adquirir la experiencia necesaria para 

pasar del nivel 2 al 3.” (Jaime, A.; Gutiérrez A.; y otros; 1994: 23). 

 

5.8.3.- Recursividad: elementos implícitos y explícitos 

 

La recursividad debemos entenderla en el sentido de que “lo que es 

implícito en un nivel debe ser explícito en el siguiente nivel”, es decir, los 

objetos inherentes a un nivel se convierten en objetos de estudio en el 

siguiente. 

Fouz (Fouz; 2003) muestra una tabla bastante acertada relacionando 

las características más representativas de cada nivel, como elementos 

implícitos del nivel precedente y explícito en dicho nivel:  



Florencio López de Silanes 

148 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Tabla 1 (Recursividad de los niveles) 

 

Es decir, en un nivel, utilizan de forma implícita, y por lo tanto 

inconsciente, determinadas habilidades y herramientas  mentales, 

produciéndose el  paso al nivel siguiente cuando esas habilidades y 

herramientas llegan a utilizarse de forma consciente y voluntaria, por lo que 

es posible reflexionar sobre ellas. Por lo que, para adquirir un nivel de 

razonamiento es necesario haber adquirido antes el nivel  precedente. 

(Jaime, A.; Gutiérrez; A. y otros; 1994; 22). En la tabla 1 están vinculadas por 

el mismo color las actividades que son implícitas en un nivel y explícitas en el 

siguiente. 

 

5.8.4.- Lenguaje 

 

Las diferentes capacidades de razonamiento asociadas a los niveles 

de Van Hiele no solo se reflejan en la forma de resolver los problemas 

propuestos, sino en la forma de expresarse y en el significado que se le da a 

cada vocabulario. 

De este modo, cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus 

propios sistemas de relaciones de conexión de estos símbolos. Una relación 

“correcta” en un nivel puede ser modificada en otro. Por ejemplo, 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  149 
 

inicialmente, un cuadrado puede ser un rectángulo y, posteriormente, 

considerarlo como un paralelogramo. Jaime, y Gutiérrez, lo describen: 

“Dos personas que razonan en diferentes  niveles y  que, por lo  

tanto, interpretan  los argumentos expuestos de formas diferentes, no 

podrán entenderse. El ejemplo más claro de esta diferencia entre los 

lenguajes de los  diferentes niveles lo tenemos  en la palabra  más  

típicamente matemática: Demostrar. 

Para una persona razonando en el segundo nivel, demostrar 

una propiedad geométrica significa, simplemente, encontrar uno o 

más ejemplos adecuados  y comprobar experimentalmente (midiendo, 

etc.) que  se  verifica  dicha propiedad.  La constatación de unos pocos 

ejemplos (a veces de uno solo) le bastará para estar seguro de que la 

propiedad tiene validez universal. 

En el tercer nivel la palabra "demostrar" ya adquiere un 

significado análogo al que le damos los matemáticos, pues las 

demostraciones  son  razonamientos  lógicos. No obstante, el  

contenido de esos razonamientos es de tipo informal y está basado en 

la experimentación y las deducciones obtenidas a partir de casos 

concretos. Por  último,  una  persona  en  el  cuarto  nivel  entenderá  

por "demostrar"  lo mismo que los matemáticos, es decir la 

organización de una secuencia de implicaciones formales basadas en 

las hipótesis del problema y en otros elementos del sistema axiomático 

(definiciones, otras propiedades ya demostradas, etc.). 

 Son bastantes cientos, o miles, los profesores de Matemáticas 

de Enseñanza Media que, tras plantear algunos problemas a sus 

alumnos, ven con desesperación cómo éstos los resuelven limitándose 

a comprobar la veracidad  de los enunciados en  uno o  varios casos 

concretos, en vez de redactar la cuidadosa demostración formal que 

los profesores esperaban. Desde la óptica del Modelo de Van Hiele, el 

motivo de esta desesperación está totalmente claro: Los profesores 

estaban  preguntando con el lenguaje del nivel 4, mientras que los 

estudiantes estaban respondiendo con el lenguaje del nivel 2. Y 

también está igualmente clara la forma de resolver el conflicto: Los 

profesores deben adaptarse al nivel de razonamiento de sus alumnos, 

ya que éstos  no pueden adaptarse al de sus  profesores,  por mucho 

que lo deseen. ” (Jaime, A.;  Gutiérrez, A.;  y otros; 1994; 23-24). 



Florencio López de Silanes 

150 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

5.8.5.- Falta de concordancia o desajuste 

 

Si un estudiante está en un nivel y la instrucción que recibe en otro, 

puede que no ocurra el aprendizaje y el progreso deseado. 

En particular si el discurso del profesor, los materiales didácticos para 

la enseñanza, los contenidos, el vocabulario, etc., están en un nivel más alto, 

al estudiante no le será posible seguir el proceso de pensamiento empleado. 

 

5.9.- Estudio detallado de las Fases de Aprendizaje 

 

No es posible enseñar a los estudiantes a razonar; se les pueden 

enseñar los aspectos mecánicos y lingüísticos  del razonamiento, pero esto no 

es razonar. Esto es lo que ocurre habitualmente en la Enseñanza Secundaria, 

cuando los estudiantes se ven obligados a memorizar las demostraciones 

formales de los teoremas que el profesor puede preguntarles en el examen, 

sin haberlas entendido realmente. Por lo tanto, al evaluar el nivel de 

razonamiento de los estudiantes se debe tener cuidado para distinguir entre 

un razonamiento real y uno aparente. El Modelo de Van Hiele tiene una 

recomendación didáctica para que los profesores de Geometría puedan 

organizar su enseñanza siguiendo las pautas del modelo Van Hiele, estas 

pautas son las "Fases de Aprendizaje". 

Desde el punto de vista pedagógico se plantea también la pregunta 

de cómo pasar de un nivel de razonamiento al siguiente, y qué puede hacer 

el profesor para facilitar este paso. La respuesta la tenemos también en las 

“Fases de Aprendizaje” del modelo de van Hiele. Las Fases de Aprendizaje se 

aplican a todos los niveles, según las características propias de cada nivel. 

Pero para pasar de una manera satisfactoria de un nivel al siguiente, hemos 

de realizar el recorrido didáctico a través de las Fases de Aprendizaje en el 

nivel actual. 

Los van Hiele caracterizaban el aprendizaje como resultado de la 

acumulación de la cantidad suficiente de experiencias adecuadas; por lo que 

la misión de la educación matemática escolar es proporcionar experiencias 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  151 
 

adicionales, bien organizadas, para que sean los más útiles posibles. Además 

afirmaban que el avance a través de los niveles depende más de la enseñanza 

recibida que de la edad o madurez. 

 

 
Gráfico 6. Estructura de las fases de aprendizaje de van Hiele. 

 

 

Así, el método y organización de la enseñanza, además del contenido 

y los materiales empleados, son áreas importantes de referencia pedagógica.  

Para ello, propusieron cinco fases secuenciales en el aprendizaje: 

diagnóstico, orientación dirigida, explicitación, orientación libre e integración. 

La enseñanza desarrollada de acuerdo con esta secuencia,  tiene por objeto la 

adquisición de cada nivel. Las fases declaradas en el modelo de Van Hiele son 

las siguientes: 

- Información: su finalidad es la obtención de información recíproca 

profesor alumno (precisa lo que saben los alumnos y los alumnos 

conocen el objetivo del nivel para el concepto que van a estudiar).  

 

http://www.monografias.com/trabajos27/profesor-novel/profesor-novel.shtml
http://www.monografias.com/trabajos10/teca/teca.shtml


Florencio López de Silanes 

152 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

- Orientación: dirigida: el profesor dirige a los alumnos para que estos 

vayan descubriendo lo que va a constituir la esencia del nivel. El 

alumno construye los elementos fundamentales del nivel.  

 

- Explicitación: su objetivo es que el alumno sea consciente de las 

características y propiedades aprendidas anteriormente.  

 

- Orientación libre: orientada a consolidar los aspectos básicos del nivel.  

 

- Integración: tiene como objetivo establecer y completar la red de 

relaciones objeto de ese nivel para el concepto que se trabaja. 

 

A lo largo de estas fases, el docente debe procurar que sus alumnos 

construyan la red mental de relaciones del nivel de razonamiento al que 

deben acceder, creando primero los vértices de la red, y después las 

conexiones entre ellos. Dicho de otra manera es necesario conseguir en 

primer lugar, que los estudiantes adquieran de manera comprensiva, los 

conocimientos básicos necesarios, (nuevos conceptos, propiedades, 

vocabulario…) con los que tendrán que trabajar, para después centrar su 

actividad, en aprender a utilizarlos y combinarlos. 

 

5.9.1.- Fase 1: Diagnóstico o información 

 

Es una fase de toma de contacto con el tema y con los conocimientos 

que los alumnos poseen del tema en cuestión. Informando a los alumnos 

sobre el tema en el que van a trabajar, los conceptos  que se van a manejar, 

los problemas más interesantes que se podrán resolver, los materiales que se 

van a utilizar, el método de trabajo a seguir, etc. 

El profesor debe averiguar los conocimientos previos de los 

estudiantes sobre el tema, ya que puede ocurrir que hayan estudiado con 

anterioridad este tema, en cuyo caso el profesor debe saber qué 

conocimientos  (correctos o incorrectos) tienen sus alumnos y, en particular, 

qué nivel de razonamiento  tienen en ese tema concreto; o que los alumnos 

no hayan abordado con anterioridad el tema. 

De esta manera, el profesor se acercará lo más posible a la situación real de 

los alumnos. Se cumpliría la famosa afirmación de Ausubel: “Si tuviera que 

http://www.monografias.com/Computacion/Redes/


El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  153 
 

reducir toda la Psicología Educativa a un solo principio diría lo siguiente: el 

factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno sabe. 

Averígüese esto y enséñese en consecuencia”. (Fouz, 2003: 72) 

 

 
Gráfico 7 

 

Para Jaime y Gutiérrez presenta dos características (Jaime y Gutiérrez, 1996: 

90): 

“a) En esta fase se procede a tomar contacto con el nuevo tema 

objeto de estudio. El profesor tiene la oportunidad de identificar 

los conocimientos previos que puedan tener sus alumnos sobre 

este nuevo campo de trabajo y su nivel de razonamiento en el 

mismo. 

b) Los alumnos deben recibir información para conocer el 

campo de estudio que van a iniciar, los tipos de problemas que 

va a resolver, los métodos y materiales que utilizarán, etc. “.  



Florencio López de Silanes 

154 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Esto es, se presentan a los estudiantes situaciones de aprendizaje 

dando el vocabulario y las observaciones necesarias para el trabajo, y 

permitiendo la familiarización con el material propuesto. 

Las actividades educativas son el material básico del enseñante, 

Crowley  aseguraba sobre esto: "El propósito de estas actividades es doble: el 

profesor ve cuáles son los conocimientos previos de los estudiantes en 

relación al tema, y los estudiantes ven qué dirección tomarán los estudios 

posteriores"  (Crowley, 1987). 

 

5.9.2.- Fase 2: Orientación dirigida 

 

Los estudiantes todavía no están capacitados para realizar, por sí 

solos, un aprendizaje eficaz, por lo que se le propondrán actividades dirigidas 

hacia los conceptos, propiedades, etc. Del tema en estudio. La misión del 

profesor será dirigirles en la línea de la solución, dándoles indicaciones que 

les ayuden a superar sus dificultades 

Así, los estudiantes exploran el tema de estudio mediante materiales 

que el profesor ha ordenado cuidadosamente. Esas actividades podrían 

revelar gradualmente a los estudiantes las estructuras características de este 

nivel. La mayoría de los materiales serán tareas breves, diseñadas para lograr 

respuestas específicas. 

El profesor y los estudiantes conversan y hacen actividades acerca de 

los objetivos de estudio para ese nivel. Se hacen observaciones, se plantean 

preguntas y se introduce el vocabulario específico. 

De esta forma, en esta fase los estudiantes empiezan a explorar el 

campo de estudio por medio de investigaciones basadas en el material que 

les ha sido proporcionado. El objetivo principal de esta fase es conseguir que 

los estudiantes descubran, comprendan, y aprendan cuales son los 

conceptos, propiedades, figuras etc. principales en el área de la geometría 

que están estudiando.  

En esta fase se construirán los elementos básicos de la red de 

relaciones del nuevo nivel. Van Hiele afirma, refiriéndose a esta fase, que “las 

actividades, si son escogidas cuidadosamente, forman la base adecuada del 

pensamiento del nivel superior”. (Rizzolo, S. A., 2005). 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  155 
 

El profesor, propone una secuencia graduada de actividades a 

realizar y explorar. Estas actividades deberán permitir que los estudiantes 

descubran y aprendan las propiedades de los conceptos implicados.  

Consecuentemente, las actividades propuestas deberán ser tareas 

cortas y diseñadas para obtener respuestas específicas que les lleven 

directamente a los resultados y propiedades que los estudiantes deben 

entender y aprender. 

La ejecución y la reflexión propuesta, guiada por el profesor, servirán 

de motor para propiciar el avance en los niveles de conocimiento. (Ibídem). 

 

5.9.3.- Fase 3: Explicitación 

 

Es la interacción por el intercambio de ideas y experiencias entre 

alumnos, y en la que el papel del profesor se reduce a los contenidos nuevos 

y, sin embargo, su actuación va dirigida a corregir el lenguaje de los alumnos 

conforme a lo requerido en ese nivel. El papel del profesor es ayudarles en el 

uso de un lenguaje cuidadoso y apropiado. (Ibídem). 

Al construir sobre sus experiencias previas, los estudiantes expresan 

e intercambian sus expresiones acerca de las estructuras que han observado. 

Durante esa fase el sistema de relaciones del nivel comienza a hacerse claro. 

(Ibídem). 

Para Jaime y Gutiérrez: “Los estudiantes expresan de palabra o por 

escrito los resultados que han obtenido, intercambian sus experiencias y 

discuten sobre ellas con sus compañeros y el profesor, con el fin de que 

lleguen a ser plenamente conscientes de las características y relaciones 

descubiertas y afiancen el lenguaje técnico que se corresponde al tema objeto 

de estudio” (Jaime y Gutierrez, 1996: 91). 

Consecuentemente el tipo de trabajo es de discusión y comentarios 

sobre las actividades anteriores, sobre los elementos y propiedades que se 

hayan utilizado y observado. 

El papel del profesor será ayudar a los estudiantes a que usen un 

lenguaje preciso y apropiado para describir sus experiencias y comunicar sus 



Florencio López de Silanes 

156 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

conocimientos, lo que ayuda a afianzar los nuevos conocimientos. Durante 

esta fase el estudiante estructurará el sistema de relaciones exploradas. 

Esta fase tiene también la misión de conseguir que los estudiantes 

terminen de aprender el nuevo vocabulario; en la tercera fase se tendrá que 

hacer el paso del vocabulario informal  creado por los estudiantes al usual. Es 

frecuente, sobre todo con niños de Enseñanza Primaria, que los profesores 

eviten introducir al mismo tiempo nuevos conceptos, vocabulario y símbolos, 

por lo que recurren en un primer momento al uso de nombres puestos por 

los niños y que resultan significativos para ellos; entonces, en esta fase se 

debería completar el paso al vocabulario estándar. 

Esta fase debe entenderse “como una actitud permanente de diálogo 

y discusión en todas las actividades de las diferentes fases de aprendizaje” (o. 

c.: 91). 

 

5.9.4.- Fase 4: Orientación libre 

 

Ahora los alumnos deben aplicar los conocimientos y lenguaje que 

acaban de adquirir a otras investigaciones diferentes de las anteriores. Los 

alumnos mejoran los conocimientos del tema en estudio mediante el 

planteamiento por el profesor de problemas que, puedan desarrollarse de 

diversas formas o que puedan llevar a diferentes soluciones. En estos 

problemas se colocaran indicios que muestren el camino a seguir, pero de 

forma que el estudiante tenga que combinarlos adecuadamente, aplicando 

los conocimientos y la forma de razonar que han adquirido en las fases 

anteriores. 

Los problemas de esta fase deben presentar situaciones nuevas, ser 

abiertos, con varios caminos de solución. Los estudiantes aplican sus 

conocimientos y lenguaje de forma significativa a otras situaciones distintas 

de las presentadas, pero con estructura comparable. Serán tareas abiertas 

más complejas que puedan presentarse de diferentes formas. (Rizzolo, S. A., 

2005). 

Para Jaime y Gutiérrez presenta dos características (Jaime y Gutiérrez, 1996: 

91): 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  157 
 

“a) En esta fase se debe producir la consolidación del 

aprendizaje realizado en las fases anteriores. Los estudiantes 

deberán utilizar los conocimientos adquiridos para resolver 

actividades y problemas diferentes de los anteriores y, 

generalmente, más complejos. 

b) Los problemas que se planteen en esta fase no deben ser una 

simple aplicación directa de una definición o un algoritmo 

conocidos, sino que contendrán nuevas relaciones o proiedades. 

Estos problemas serán más abiertos que los de las fases 

anteriores, preferiblemente con varias vías de resolución y con 

una o varias soluciones aprendizaje“.  

 

5.9.5.- Fase 5: Integración 

 

Es importante que estas comprensiones globales no le aporten 

ningún concepto o propiedad nuevo al estudiante. Solamente deben ser una 

acumulación, comparación y combinación de  cosas que ya conoce. 

Completada esta fase los alumnos tendrán a su disposición una 

nueva red de relaciones mentales, mas amplia que la anterior, y que la 

sustituye, y habrán adquirido un nuevo nivel de razonamiento. 

En  esta  fase,  no  se  trabajan  nuevos contenidos sino  que  sólo  se  

sintetizan  los  ya  trabajados.  Se  trata  de  crear  una  red interna de 

conocimientos aprendidos o mejorados que sustituya a la que ya poseía. Es el 

momento de explicar y cerrar el tema. El profesor, al final del proceso, pone 

en orden todo lo que ha ido apareciendo en las fases anteriores y ordena el 

conocimiento. (Rizzolo, S. A., 2005). 

Sin embargo, el Prof. Blanco ve esta fase de una forma diferente  (J. L. 

Blanco, 2006): 

“Los objetos y las relaciones son unificadas e interiorizadas en 

su sistema mental de conocimientos, adquiriendo así una visión 

general. Las actividades de esta fase deben favorecer este objetivo, al 

mismo tiempo que permitir a los profesores evaluar sobre lo 

conseguido. 



Florencio López de Silanes 

158 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

El profesor debe presentar una síntesis de lo que los 

estudiantes han trabajado y aprendido, para ayudar a los estudiantes 

a revisar, integrar y diferenciar los conceptos, propiedades, 

procedimentos, etc. Es importante que las actividades que se 

propongan no impliquen nuevos conceptos, sino sólo la organización 

de los aya adquiridos.”  

 

5.10.- Generalidades del Modelo de van Hiele 

5.10.1.- Consideraciones globales 

 

La adquisición de los niveles superiores, en particular el 3 y el 4, suele 

ser un proceso de varios años, por lo que no es de extrañar que al terminar el 

curso los estudiantes sigan estando en el mismo nivel que al principio, si bien 

estarán más cercas de lograr el nivel superior. 

Dentro de  una programación global que incluya varios niveles se  

presentará muy difusa la diferencia entre las actividades de las fases 4 o 5 de 

un nivel y las fases 1 o 2 del siguiente. Por este motivo en la práctica no se 

producirá ningún cambio brusco cuando se termine de trabajar en un nivel y 

se empiece a trabajar en el siguiente. 

La secuencia de niveles es inalterable,  por lo que no se debe 

pretender que una persona alcance un nivel de razonamiento,  mientras no 

haya adquirido suficiente destreza en los anteriores niveles. 

No  se  debe  intentar  seguir  las  pautas  de  ninguna  teoría  

pedagógica-didáctica- psicológica-educativa al pie de la letra, pues nos 

movemos en un terreno, en el que el elemento principal, nuestros alumnos, 

es  enormemente diverso  y, por lo tanto,  es necesario que los profesores 

estemos libres para hacer modificaciones de acuerdo con la situación 

concreta del momento. 

En lo que se refiere a las fases de aprendizaje, las fases 2, 3, y 4 son 

fundamentales para conseguir un buen aprendizaje de los contenidos  y  un 

buen desarrollo de las capacidades de razonamiento por lo que  no  debe ser 

obviada ninguna de  ellas, ni deben desordenarse. 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  159 
 

La fase 3 no debe entenderse como un período  concreto de tiempo 

entre la  2 y 4 dedicado exclusivamente al diálogo, sino que hay que 

entenderla  más como  una actitud por  parte  del profesor, continua durante 

todo el  tiempo, de incitar a los alumnos a que dialoguen que expliquen sus 

descubrimientos,  formas de  trabajo, dudas, fallos, opiniones, etc. 

Cuando tanto profesores como alumnos tienen ya información 

adecuada, la fase 1 no será necesaria. Esto sucede  cuando en un curso la 

adquisición de un nivel y  el comienzo del trabajo sobre el nivel siguiente, por 

lo que el trabajo de las fases 4 o 5 se continúa con la fase 2 del nivel 

siguiente. 

La  fase  5  podría  eliminarse  en determinados casos,  por  ejemplo 

en los niveles inferiores de razonamiento o cuando el tema de trabajo es 

nuevo y muy desligado de los otros temas que conocen los alumnos. 

En resumen: las fases de aprendizaje deben reflejarse en un estilo de 

enseñanza de la geometría y de la organización de la docencia. 

La idea  central del modelo de Van Hiele en  lo que  respecta a la 

relación entre la enseñaza de las matemáticas y el desarrollo de las 

capacidades de razonamiento, es que la adquisición por una persona de 

nuevas habilidades es fruto de su propia experiencia. La enseñanza adecuada 

es por lo tanto aquella que proporcione dicha experiencia. Serán más válidos 

los métodos activos, inductivos, es decir, aquellos en los cuales el alumno es 

algo más que un simple receptor pasivo de información, frente a las clases 

magistrales, la lectura del libro, y los demás métodos de enseñanza 

típicamente deductivos en los que se presenta el producto final. 

La maduración que lleva a un nivel superior tiene lugar de una forma 

especial. Se pueden revelar varias fases en ella (esta maduración debe 

considerarse, por encima de todo, como un proceso de aprendizaje, y no 

como una maduración de tipo biológico). Por lo tanto es posible y deseable 

que el profesor ayude y la acelere. El objetivo de enseñar es precisamente 

enfrentarse a la cuestión de saber como se pasa a través de estas fases y 

como se puede ayudar al estudiante de forma eficaz. 

Este planteamiento marca una diferencia entre Piaget y Van Hiele, ya 

que para el primero el aprendizaje matemático y  el desarrollo  intelectual  

están íntimamente ligados  al desarrollo biológico. Van  Hiele (1986) es  más  



Florencio López de Silanes 

160 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

explicito  todavía cuando postula:  “La imposibilidad de  los  niños  para  

pensar  lógicamente  no  procede  de  la  falta  de maduración, sino de una 

ignorancia de las reglas de la lógica. El niño no tiene a su disposición la 

estructura a partir de las cuales se originan las preguntas.” 

Un análisis crítico del modelo permite considerar tres elementos (Jaime y 

Gutiérrez, 1996): 

- El establecimiento de los niveles de razonamiento geométrico por 

los que pasa la comprensión geométrica, queda muy amplio, pues 

la ubicación de los alumnos en cada nivel se dificulta, por cuanto la 

comprensión geométrica no se da necesariamente en un grado. La 

precisión de las habilidades en cada nivel queda muy abierta a lo 

que el alumno construye.  

- La abstracción del modelo está basada en estudiantes de 

secundaria básica, los que poseen características psicológicas y 

sociales determinadas. 

- La base epistemológica sobre la que se erige el modelo es el 

constructivismo, por cuanto considera que es el alumno quien 

construye todo su conocimiento; sin embargo si bien se considera 

que el uso racional de esta corriente no es nociva para la enseñanza 

de la Matemática, su absolutización no es positiva. 

 

Finalmente, ponemos de manifiesto que para Rizzolo (Rizzolo; 2005: 18), 

“Hay una estrecha relación con las cuatro etapas del aprendizaje: 

a) Incompetencia inconsciente: uno se siente excitado por 

resolver un problema, pero como nunca lo hizo antes no sabe 

que es lo que necesita aprender. 

b) Incompetencia consciente: al constatar un fracaso en la 

resolución del problema, se da cuenta de que hay cosas que no 

sabe. 

c) Competencia consciente: por medio del ensayo y error uno 

corrige los errores. Ha observado, generalmente en el nivel 

inconsciente, que es lo que hizo que causó el error. 

d) Competencia inconsciente: ya no piensa en lo que hace. 

Tiene el conocimiento necesario y automáticamente lo utiliza 

para resolver un problema.”  

http://www.monografias.com/trabajos11/constru/constru.shtml


El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  161 
 

Completada esta secuencia  de cinco fases  de aprendizaje  para un 

área de la Geometría (cosa que puede llevar varios cursos en el contexto de 

la enseñanza ordinaria), los estudiantes deben  haber alcanzado un nuevo 

nivel de razonamiento. Ahora debe comenzar de nuevo el proceso, 

empezando por una nueva primera fase y, probablemente, retomando los 

temas que se han estudiado en las fases anteriores,  pero dándoles otra 

perspectiva  acorde con  el  nuevo nivel superior de razonamiento que se 

desea alcanzar. 

Por lo tanto, el Modelo de van Hiele sugiere una enseñanza cilíndrica, 

en la que una parte de la Geometría (o, en general, de las Matemáticas) se 

retoma para completar y mejorar su comprensión, utilizando unas formas de 

razonamiento más sofisticadas que cuando se estudió con anterioridad. El 

diagrama intenta representar este proceso. (Jaime y Gutiérrez, 1994: 29). 

 

El gráfico 9 muestra la estructura de las actividades educativas en el modelo 

de van Hiele. Cada nivel ha de estar recorrido por las cinco fases de 

aprendizaje configurando una matriz 5x5 para cualificarlas de acuerdo con los 

niveles y fases. Otra visión equivalente es la helicoidal, donde los niveles se 

Gráfico 8. Las actividades educativas según los niveles de razonamiento y las fases de aprendizaje. 



Florencio López de Silanes 

162 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

estructuran de acuerdo con la altura y las fases de acuerdo con el ángulo del 

cilindro helicoidal. 

 

5.10.2.- Evaluación en el modelo de Van Hiele 

 

La evaluación es una de las claves de este modelo ya que la 

asignación de niveles, el punto de partida para la didáctica, el seguimiento 

del avance en las fases, etc. debe hacerse con una evaluación adecuada. 

(Fouz, 2003). 

Como ya señalamos anteriormente el test-entrevista es la 

herramienta que se considera más útil para realizarla y, para ello se deben 

tener en cuenta algunas ideas previas, así apuntamos que: 

 

o 1. El nivel de razonamiento de los alumnos depende del área de 

las Matemáticas que se trate. 

o 2. Se debe evaluar cómo los alumnos contestan y el por qué de 

sus respuestas, más que lo que no contestan o contestan bien o 

mal. 

o 3. En las preguntas no está el nivel de los alumnos/as sino que 

está en sus respuestas. 

o 4. En unos contenidos se puede estar en un nivel y, en otros 

diferentes, en nivel distinto. 

o 5. Cuando se encuentran en el paso de un nivel a otro puede 

resultar difícil determinar la situación real en que se encuentran. 

 

5.10.3.- Ventajas del modelo de Van Hiele frente a otras teorías 

 

                A partir de la década de los 80 se produce un uso general de 

modelos didácticos. Joyce y Weil define un modelo didáctico "unos planes 

estructurados que pueden usarse para configurar un currículo, para diseñar 

materiales de enseñanza y para orientar la enseñanza en las aulas". En 

definitiva, los modelos didácticos están determinados por metodologías 

concretas y basadas en unas teorías determinadas. 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  163 
 

En la enseñanza de la geometría hay dos teorías que determinan los 

modelos didácticos actuales: 

- La teoría de Van Hiele, que estamos exponiendo en este capítulo. 

- La teoría del constructivismo cognitivo de Piaget.  

Destacamos esta teoría desarrollada en los años 60 principalmente 

por la importancia que adquiere en geometría la evolución del espacio en el 

niño. Piaget distingue dos conceptos: 

1-La percepción (conoce objetos por su contacto directo con ellos) y 2-

La representación (reproduce las formas). En esta evolución pasa por 

diferentes etapas con la consiguiente diferenciación de propiedades 

geométricas que pueden ser: 

a) Las topológicas son como las primeras características 

geométricas de su entorno natural, independientes de la forma 

o tamaño (hasta los 6 años): 

- Cercanía (cara con ojos muy pegados aunque estén mal 

situados).  

- Separación (no separa cabeza y tronco). 

- orden (nariz por debajo de ojos y por encima de la 

boca). 

- Cerramiento (dibujar los ojos dentro de la cabeza, 

distinguen una curva cerrada de una abierta). 

- Continuidad de líneas (piernas prolongación del 

tronco). 

b) Las proyectivas en las que el niño puede predecir que 

aspecto presentará. Hace referencia a la posición y orientación 

del objeto (arriba, abajo, derecha, izquierda, delante, detrás). 

c) Las propiedades euclídeas que se refieren a tamaños, 

distancias que conducen a la medida de magnitudes, longitud, 

superficie,  ángulos...(distingue el rombo del cuadrado porque 

el ángulo es propiedad euclídea). 

Si comparamos la teoría de Piaget con la de Van Hiele, observamos 

varias similitudes, una y otra conciben el desarrollo de los conceptos 

espaciales y geométricos como una secuencia desde planteamientos 

http://www.monografias.com/trabajos14/cognitivismo/cognitivismo.shtml
http://servicio.cid.uc.edu.ve/educacion/revista/


Florencio López de Silanes 

164 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

inductivos y cualitativos hacia formas de razonamiento deductivas y 

abstractas. 

Los dos se basan en niveles de carácter recursivo. Sin embargo 

presentan diferencias que hacen que el modelo de Van Hiele resulte más 

didáctico: 

 La teoría de Piaget es una teoría del desarrollo, no del aprendizaje, por 

lo que no se plantea como avanzar de un nivel al siguiente, Piaget lo 

considera un proceso madurativo.  

 Van Hiele en su preocupación por el problema didáctico de como 

ayudar a los alumnos en el ascenso de un nivel de razonamiento al 

siguiente, desarrolla una teoría de la enseñanza aprendizaje, no 

psicogenética. Da gran importancia a los contextos interactivos en el 

aula y al papel del profesor.  

 Otra diferencia importantes es el papel que Van Hiele otorga al 

lenguaje como estructuración del pensamiento, a cada nivel de 

razonamiento geométrico le corresponde un lenguaje específico.  

 

           Sin embargo el modelo de van Hiele es para Arrieta "En el modelo de 

Van Hiele se considera el aprendizaje como actividad, una estructura de capas 

desde formas intuitivas iniciales hasta formas deductivas finales, presentando 

la enseñanza estructurada en forma helicoidal, de modo que los contenido 

puedan ser retomado y tratarlos en todos los niveles de razonamiento que 

sea capaz de alcanzar el alumno". 

 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  165 
 

5.11.- Redes conceptuales 

 

Dado que el modelo de Van Hiele piensa  el aprendizaje  como un 

proceso constructivo obligatoriamente ligado al dominio de redes 

conceptuales cada vez más complejas es importante que está para una buena 

planificación de las unidades didácticas construyéndose las redes 

conceptuales a tratar.  

Los mapas y redes conceptuales, surgieron como una forma de 

instrumentalizar la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel, en 

especial, en lo referente a la evolución de  las  ideas previas que poseen  los  

alumnos, fueron desarrollados por J. D. Novak, y divulgados a través del libro 

·Aprendiendo a Aprender”, en el cual, se pretendía entre  otros,  un  objetivo  

medular:  liberar  el  potencial  de  aprendizaje  en  los  alumnos  que  

permanece  sin desarrollar y que en muchas prácticas educativas lo único que 

hacen es obstaculizarlo más que facilitarlo. (Esteban Duarte; 2004: 02). 

Según Novak y Gowin, (1999), los mapas conceptuales “tienen por 

objeto representar relaciones significativas entre conceptos en forma de 

proposiciones. Una proposición consta de dos o más términos conceptuales 

unidos por palabras para formar una unidad semántica”. (Ibídem). 

Otras formas de representar conceptos, son entre otras, los 

diagramas de flujo, los organigramas, las redes semánticas,  los diagramas de 

predicabilidad, etc, pero ninguna de ellas, esta basada en la teoría del 

aprendizaje significativo,  ni  en  la  teoría  del  conocimiento  que  

constituyen  la  base  de  la  elaboración  de  los  mapas conceptuales. 

(Ibídem). 

Esta manera gráfica de representar los conceptos y sus relaciones, 

proveen a los profesores y alumnos una forma para organizar y comunicar su 

estructura mental sobre un tema determinado, Ausubel, citado por Maya y 

Diaz,  (2002) sostiene que “la estructura cognitiva  de  una  persona es el 

factor  que decide acerca de la significación  del  material nuevo y  de su 

adquisición y retención”,  por lo tanto, un concepto  podrá o no,  ser 

incorporado de acuerdo a la estructura cognitiva que el alumno posea, y a las 

tareas de aprendizaje que se le presenten. (Ibídem). 



Florencio López de Silanes 

166 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Según Ausubel (1989), la adquisición del lenguaje es lo que permite 

en gran parte a los humanos el aprendizaje significativo, de una vasta 

cantidad de conceptos y principios que, por si solos, no podrían nunca 

descubrir a lo largo de sus vidas. Es por eso que se hace relevante dejar 

explícito el papel que juega el lenguaje dentro de la construcción  de los 

mapas conceptuales, ya que según Novak  y  Gowin, (1999)  “es útil  para 

traducir regularidades que reconocemos normalmente, en códigos que 

podemos utilizar para describir nuestros pensamientos, sentimientos y 

acciones”. En concordancia con el modelo educativo de referencia, el 

lenguaje que el alumno emplee  para expresarse es  de suma importancia, ya 

que  según Gutiérrez, (1990)   “las  diferentes capacidades de razonamiento 

asociados a los niveles de van Hiele no sólo se reflejan en la forma de resolver 

los problemas  propuestos,  sino  en  la  forma  de  expresarse  y  en  el  

significado  que  se  le  da  a  determinado vocabulario”. Debido a esto, el 

lenguaje, no solo es esencial en la creación de las experiencias de 

aprendizaje, sino también, para que el docente se haga comprender por sus 

alumnos, lo contrario 

provocará la incomprensión 

mutua, tal como lo describe 

van  Hiele, (1957) “dos 

personas  que razonan en 

diferentes niveles no podrán 

comprenderse”. (Esteban 

Duarte; 2004: 03). 

Así, por ejemplo, la 

clasificación de los 

cuadriláteros, podemos 

desarrollarla en la forma 

siguiente (Rizzolo; 2005: 29): 

 
                                                                  
 
 

 
                                                                                                Gráfico 9 

 

 

 

 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  167 
 

 

Para estudiar las propiedades de los paralelogramos.  Una vez 

estudiado el paralelogramo y vistas sus propiedades, tendría las siguientes 

consecuencias en el estudio de las propiedades del rectángulo. (o. c. : 30-31). 

 

 

 

 

 

 

 

Gráfico 10 



Florencio López de Silanes 

168 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

 

 

 

 

 

                                                  

 

 

 

Gráfico 11 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  169 
 

 

5.12.- Cuestionario aplicado a los alumnos de la Universidad 

Autónoma de Madrid 

 

5.12.1.- Planteamiento 

 

En junio de 2009 aplicamos nuestro primer cuestionario sobre la 

enseñanza de la geometría en los niveles de enseñanza Primaria, Enseñanza 

secundaria, Bachiller y Universidad, a los alumnos de segundo curso de la 

Facultad de Formación de Profesorado, estudiantes de Magisterio en la 

especialidad de Enseñanza Primaria, matriculados en los turnos mañana y 

tarde, que conocían el modelo de van Hiele, con el objetivo de conocer sus 

impresiones en cuanto a si habían estudiado a no geometría en los citados 

niveles, y sus impresiones y valoraciones sobre la enseñanza de la geometría 

en las citadas etapas, así como estimar los niveles de razonamiento de van 

Hiele de estos alumnos universitarios. 

El cuestionario consta de dieciocho preguntas sobre diferentes 

contenidos geométricos elementales, para que el alumno emita una opinión 

de cómo les han sido enseñados esos contenidos tanto en la enseñanza 

primaria y media, como en la universitaria, de cómo les gustaría que les 

hubieran sido enseñados esos mismos contenidos, y finalmente una 

autovaloración de su nivel de conocimiento de cada uno de dichos 

contenidos. 

Para cada una de las dieciocho cuestiones, se le preguntó al alumno 

que se auto valorara su nivel en dicho tema utilizando los cinco niveles del 

Modelo de Van Hiele. Es decir, qué nivel entendía el alumno que poseía en 

cada una de los temas formulados, donde debía elegir solo uno de los niveles 

del Modelo Van Hiele. Se les formuló de la manera siguiente: 

VH.- Nivel al que ha aprendido el contenido  

(Modelo de Van Hiele). Elegir uno. 

1 Reconocimiento o visualización. 

2 Análisis o experimentación. 

3 Clasificación o ordenación. 

4 Deducción formal o demostración. 



Florencio López de Silanes 

170 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

5 Rigor. Axiomas. Abstracciones. 

 

El modelo que se suministró a los alumnos es el descrito en el 

Apéndice A del Capítulo 10, formado por seis preguntas para ser respondidas 

pensando en como han sido enseñadas y aprendidas en la enseñanza 

Primaria, Secundaria y Bachillerato, y otras doce para su correlativo en la 

Enseñanza Universitaria. Las dieciocho cuestiones, como ya hemos apuntado 

anteriormente debían ser auto valoradas de acuerdo con el nivel en  ellos 

creen que están en el tema propuesto de acuerdo con la escala del Modelo 

de van Hiele. 

De los resultados del cuestionario anterior incluiremos en este 

apartado los diversos perfiles que hemos llamado de van Hiele aplicados a 

cada alumno, y a nivel global, a la enseñanza de la geometría en el nivel de 

Primaria, Secundaria y Bachillerato, en el Nivel Universitario, y a nivel Global 

de toda el cuestionario. 

Cada perfil está compuesto por la suma de las respuestas de los 

niveles del Modelo de van Hiele que los alumnos creen poseer en cada uno 

de los dieciocho temas que les han sido mostrados.  

Una de las primeras conclusiones a destacar es la heterogeneidad de 

los niveles que creen poseer en los diversos temas, como lo alto que se han 

auto calificado. De todas las formas, insistimos, esta no es una calificación del 

profesor, sino que una autovaloración del propio alumno. 

 

5.12.2.- Perfil van Hiele del cuestionario 

 

De esta forma, sumando las respuestas a las dieciocho preguntas del 

cuestionario, del nivel que cada alumno cree poseer en cada uno de los 

temas solicitados, tendremos un diagrama del número de respuestas 

obtenidas por cada uno de los niveles de Van Hiele, que denominaremos 

Perfil de Van Hiele del Global Cuestionario. 

La curva se asemeja a una campana de Gaus asimétrica con el pico 

sobre el nivel 4 (Nivel de deducción formal o demostración), llamándome la 

atención que las respuestas obtenidas en el menor nivel, el nivel 1 (nivel de 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  171 
 

reconocimiento o visualización), es ligeramente inferior a la mitad del pico, 

del valor máximo de la gráfica.  

En otras palabras, los valores altos de los niveles 1, 2 y 3 respecto al 

pico de la gráfica, nos están hablando del bajo nivel de conocimiento 

geométrico de la muestra en que se realizó el cuestionario. Una población de 

estudiantes universitarios debiera haber arrojado un perfil también centrado 

en el nivel 4, pero con valores mucho más altos en el nivel 5, valores bajos en 

los niveles 2 y 3, y un valor no significativo para el nivel 1. Es decir, estamos 

frente a un grupo que va a tener problemas para seguir un curso universitario 

de geometría. 

 

 
Gráfico 12 

 

No olvidemos que este perfil es el resultado de la autovaloración de 

los alumnos. Este perfil no se adapta, en opinión del profesor, a las 

características del grupo. En mi criterio, el perfil del grupo, se correspondería 

con una curva centrada en el nivel 3, con valores altos para los niveles 1 y 2, y 

poco significativos en los niveles 4 y 5.   

Pero cuando en perfil cobra su valor es cuando está fundado sobre 

datos relativos, por ejemplo, porcentaje de respuestas o de alumnos, 

indicando como se han visto en los niveles de Van Hiele para en los temas 



Florencio López de Silanes 

172 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

que les han sido presentados, ya que estos números pueden ser comparados 

con cualquier otra muestra.  

 

 
Gráfico 13 

 

Por ejemplo con la estimación realizada por el profesor del perfil de 

este grupo en sus conocimientos de geometría. 

 

 
Gráfico 14 

 

No deja de sorprender, sin embargo, los resultados que arroja el 

cuestionario a nivel de las Enseñanzas Primaria, Secundaria y Bachillerato, 



El modelo de van Hiele 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  173 
 

por un lado, y la Enseñanza Universitaria por el otro. Pues si bien presentan 

valores similares en el pico sobre el nivel 4, los valores de los niveles 

inferiores crecen escalonadamente de forma razonable en el perfil asociado a 

la geometría de la   Enseñanza media, mientras que presenta valores 

similares en los tres primeros niveles en la enseñanza universitaria. 

 

  
Gráfico 15 

 

Si bien este trazado puede considerarse normal para alumnos de 

enseñanza media, indica una clara falta de confianza en los que han 

aprendido a nivel universitario. Esto es importante, quizás la falta de 

conocimientos geométricos sólidos de los alumnos de la muestra, que ya 

hemos apuntado antes, y la presencia de lagunas muy notables, como se 

indica claramente por los valores muy significativos e importantes de los 

niveles bajos de Van Hiele, tengan como consecuencia, tanto dificultades 

importantes en el aprendizaje de la geometría a nivel universitario, como una 

falta de confianza en los conocimientos adquiridos en este nivel. 

Es muy significativo que un alumno universitario catalogue en los 

niveles 1 y 2 de Van Hiele aproximadamente el 17 % de los contenidos vistos 

durante el curso de geometría. Se está indicando de una forma clara y precisa 

que el 34 % de los alumnos, o si se quiere la tercera parte, está muy lejos de 

alcanzar el nivel exigido, el nivel 4.  

La segunda lectura está que el 54 % de los alumnos no llegan al nivel 

4, nivel recomendado en el curso de geometría impartido en la universidad. Y 



Florencio López de Silanes 

174 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

todo esto lo decimos en base a las autoevaluaciones realizadas por los 

propios alumnos, cuando ya hemos apuntado anteriormente, el hecho de 

que el profesor correría al menos un nivel hacia la izquierda los resultados 

procedentes del cuestionario. 

Es consecuente que el valor del nivel 5 sea superior en la enseñanza 

universitaria que en la enseñanza media. 

 

 
Gráfico 16 

 

Vemos, de esta manera, que el modelo de Van Hiele también puede 

ayudar a detectar algunos de los problemas presentes en la enseñanza de la 

geometría. Veremos más adelante algunas de las pautas para corregir los 

problemas detectados. 

Otra componente importante de modelo de Van Hiele, es que 

podemos establecer también los perfiles de Van Hiele, a nivel individual de 

cada alumno mediante un cuestionario de este tipo, lo cual los clasifica de 

una manera mucho más precisa que lo que puede ser por ejemplo las notas 

de curso, u otro tipo de evaluaciones. 

 

 



Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  175 

 

 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 6 

 

DESCRIPTORES DE LOS NIVELES DE RAZONAMIENTO  

DEL MODELO DE VAN HIELE 

 

 

6.1.- Introducción 

 

En el capítulo precedente se describió el Modelo de los Niveles de 

Razonamiento de van Hiele, donde se expuso la estructura del modelo en los 

cinco niveles de razonamiento que contienen la globalidad y la generalidad de 

los conocimientos de la geometría. A modo de recordatorio, digamos que estos 

cinco niveles de razonamiento son: 

Nivel 1. Reconocimiento. 

Nivel 2. Análisis.  

Nivel 3. Clasificación. 

Nivel 4. Deducción formal. 

Nivel 5. Rigor. 

 

Para poder trabajar con estos niveles, como por ejemplo, para poder 

decir si una persona está en uno u otro nivel de razonamiento, es preciso definir 

con precisión las especificaciones que han de exigirse a esa persona haber 

superado un nivel de razonamiento determinado. Estas especificaciones que se 

han de cumplir para superar un nivel de razonamiento se llaman Descriptores 

de Nivel. 



Florencio López de Silanes 

 

176 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

En cierta forma, los descriptores de nivel juegan en el modelo de van 

Hiele el mismo papel que la unidad de medida en una magnitud determinada, 

es decir, el nivel de razonamiento resultante de la medida de los conocimientos 

en geometría de una persona será uno u otro según los descriptores de niveles 

que se apliquen en dicha medida. Los descriptores de los niveles de van Hiele 

son una de las piedras angulares que van a configurar el modelo de van Hiele. 

A pesar de la importancia de los descriptores de los niveles, 

afortunadamente no existe demasiada literatura sobre este tema, ya que en 

caso contrario, estaríamos en una situación similar a la creada cuando se quiere 

describirse una misma situación en diferentes lenguajes y formas; así, no solo 

no entenderíamos muchos de estos resultados, sino que además, serían 

intrínsicamente diferentes. Consecuentemente, solo serán homologables 

aquellos trabajos sobre los niveles de van Hiele que utilicen los mismos 

descriptores de los niveles, o bien que, los descriptores de los niveles sean 

equivalentes. Solamente si trabajamos bajo estas premisas podremos comparar 

los resultados. Hubo un día en que también sucumbí a la tentación de 

desarrollar mis propios descriptores de los niveles y comencé a escribirlos, pero 

finalmente, preferí utilizar los descriptores de los niveles de van Hiele que son 

comúnmente admitidos a favor de la homologación de los resultados y de las 

conclusiones de este y otros trabajos. 

En este capítulo se describen los descriptores de los niveles de van Hiele 

que utilizaremos en este trabajo; como han surgido estos descriptores de los 

niveles desde los van Hiele hasta ahora, su trazabilidad dentro de la teoría de los 

niveles de van Hiele, y su relación con otros descriptores de nivel diferentes. 

Si los descriptores de nivel similares a la unidad de medida, el 

cuestionario que se aplica el la regla con que mediremos los niveles de 

razonamiento de los alumnos y en general, de las personas. Si a los descriptores 

de nivel les hemos pedido que sean homologables a los criterios comúnmente 

admitidos y consistentes con el modelo de van Hiele, los cuestionarios han de 

ser además estándares, si que remos sacar conclusiones comparando los 

resultados de las medidas hechas. Los resultados de este trabajo no serán, en 

ningún caso comparables con los obtenidos mediante cuestionarios y 

descriptores de los niveles cocinados de forma casera. 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  177 

 

De los diversos cuestionarios existentes, se ha seleccionado el 

cuestionario de Usiskin, ya que conocemos trabajos realizados en los cinco 

continentes, tanto a países pobres como desarrollados, que han utilizado este 

cuestionario, es decir, a pesar de su antigüedad, es como la referencia estandar 

para medir el nivel de razonamiento de van Hiele. Aunque muchos de los que 

han escrito sus propios descriptores de los niveles han creado también su 

propio cuestionario, entendemos que los resultados de este trabajo tampoco 

son comparables a los obtenidos mediante estos cuestionarios caseros. 

Para la coherencia y trazabilidad del modelo teórico, se ha visto 

también que el cuestionario de Usiskin cumple con los descriptores de los 

niveles aportados por los van Hiele y Usiskin.  

 

 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

178 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

6.2.-Los descriptores de nivel de Usiskin basados en los escritos de los 

van Hiele 

 

6.2.1.-Descriptores de Zalman Usiskin 

 

              Zalman Usiskin 1 utilizó en el proyecto CDASSG, la caracterización de los 

niveles que surgía de los escritos del matrimonio van Hiele, al examinar el 

equipo de dicho proyecto las publicaciones disponibles en ese momento del 

matrimonio van Hiele.2  De todo ello le resultó la siguiente lista de descriptores 

para cada nivel: 

 

Nivel 1. Reconocimiento 

 

U.1.1. 3 "Las figuras son reconocidas por su apariencia." (van Hiele, P. M., 1958 - 

59). 

 

U.1.2.  "Un niño reconoce un rectángulo por su forma, su traza".  (Ibídem)  

 

U.1.3.  "… y el rectángulo parece diferente a un cuadrado.".  (Ibídem). 

 

U.1.4.  "Cuando se ha enseñado a un niño de seis años lo que es un rombo, un 

rectángulo, un cuadrado, un paralelogramo, es capaz de reproducir estas figuras 

sin error en un tablero de Gattegno, incluso en situaciones difíciles.” (Ibídem). 

 

U.1.5.  "Un niño no reconoce un paralelogramo en un rombo".  (Ibídem). 

 

U.1.6.  "El rombo no es un paralelogramo. El rombo aparece… como algo muy 

diferente." (Ibídem). 

                                                 
1
 Zalman Usiskin comenzó su contribución a los estudios sobre la enseñanza de las matemáticas en 

EE.UU. al término de su doctorado en la Universidad de Michigan, donde fue autor del trabajo 

“Precálculo y geometría: Un Enfoque de transformación”. Desde 1987, ha sido director general en la 

Universidad de Chicago del “Proyecto de Matemática Escolar para los grados medios”. Ha jugado un 

papel importante en las reuniones del “Congreso Internacional de Educación Matemática” desde 1972. 

Usiskin ha sido miembro de diversos grupos de profesionales, como NCTM. Como miembro de la “Junta 

de Ciencias en la Educación Matemática”, Usiskin ha contribuido sustancialmente en la reforma de la 

educación matemática en EE.UU. 
2
 Según la memoria realizada fueron un total de nueve obras, cuatro originalmente escritas en Inglés, y 

cinco traducidas al inglés, neerlandés, alemán o francés. 
3
 Los “Descriptores de nivel de Usiskin”, los referenciamos como U.x.y  Donde x indica el nivel del 

descriptor, e y es un número secuencial que refiere el descriptor dentro de cada nivel. 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  179 

 

 

U.1.7. "Cuando uno dice que una figura es un cuadrilátero cuyos cuatro lados 

son iguales, como en un rombo; esta sentencia no será suficiente para que los 

estudiantes principiantes [a partir de lo cual deduzco que se trata de su nivel 1] 

deduzcan que los paralelogramos llamados cuadrados son parte del conjunto de 

los rombos. (van Hiele, P. M., 1968). 

 

U.1.8.  Sobre la cuestión que implica el reconocimiento de un cuadrado como 

un cuadrado. "Al nivel básico. Porque usted puede verlo". (van Hiele, P. M., 

1979).  

 

Nivel 2. Análisis. 

  

U.2.1.  "Es capaz de asociar el nombre de" triángulo isósceles "con un triángulo 

específico, sabiendo que dos de sus lados son iguales, y concluir que las dos 

ángulos correspondientes son iguales ... ". (van Hiele, P. M., 1957).  

 

U.2.2.  “… un alumno que conoce las propiedades del rombo y su nombre, 

también podrá entender el triángulo isósceles como un semi-rombo”. (van 

Hiele-Geldof, Dina, 1957) y (van Hiele P. M.; van Hiele-Geldof, Dina, 1958). 

 

U.2.3.  "Las figuras son los soportes de sus propiedades”. (Ibídem). 

 

U.2.4.   "Que la figura rectángulo significa que tiene cuatro ángulos rectos, 

aunque la figura no esté trazada con mucho cuidado”. (Ibídem). 

 

U.2.5.  "Las figuras son identificadas por sus propiedades. Por ejemplo, si la 

figura trazada en la pizarra tiene cuatro ángulos rectos, es un rectángulo, 

aunque la cifra no se trace con mucho cuidado.". (Ibídem). 

 

U.2.6.  "Las características aún no están organizadas de tal manera que un 

cuadrado es identificado como un rectángulo”. (Ibídem). 

 

U.2.7.  "El niño aprende a ver el rombo como un cuadrilátero equilátero con 

ángulos opuestos idénticos y diagonales perpendiculares que se bisectan". (van 

Hiele, P. M.,1959). 

 

U.2.8.  (Un nivel medio entre este y el siguiente nivel) "Una vez que el niño llega 



Florencio López de Silanes 

 

180 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

a la etapa en la que conoce el rombo, y reconoce el triángulo isósceles como un 

semi-rombo, también será capaz de determinar de improviso un cierto número 

de propiedades del triángulo isósceles”. (Ibídem).  

 

U.2.9.  "Una vez que se ha decidido que una estructura es un "triángulo 

isósceles", el niño conocerá también cierto número de propiedades que tienen 

que estar presente, sin tener que memorizarlas en este caso en especial." 

(Ibídem)..  

 

U.2.10.  "La inversa de una función aún pertenece al nivel siguiente." (van Hiele, 

P. M.,  1976).  

 

U.2.11.  "La semejanza, reglas de la probabilidad, las potencias, ecuaciones, 

funciones, relaciones, establecidas de esta forma, pueden establecerse del nivel 

primero al segundo. " (Ibídem).  

 

Nivel 3. Clasificación 

  

U.3.1.  “Los alumnos…  que pueden entender lo que se entiende por "prueba" 

en geometría, han llegado al tercer nivel de razonamiento." (van Hiele-Geldof, 

Dina, 1957). 

 

U.3.2.  "Se puede manipular la interrelación de las características de los 

modelos geométricos”. (van Hiele, P. M.,  1957). 

 

U.3.3.  "Por ejemplo, si la congruencia de los teoremas, es capaz de deducir la 

igualdad de ángulos o segmentos lineales de figuras concretas." (Ibídem). 

 

U.3.4.  Las propiedades están ordenadas. Están deducidas unas de otras: una 

propiedad precede o sigue a otra propiedad." (van Hiele, P. M.,  1958-59).  

 

U.3.5.  "El significado intrínseco de la deducción no es entendido por el 

estudiante." (Ibídem). 

 

U.3.6.  "El cuadrado es reconocido como un rectángulo, porque en este nivel se 

juega con las definiciones de las figuras." (Ibídem). 

 

U.3.7. "El niño … reconoce el rombo por medio de algunas de sus propiedades … 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  181 

 

por ejemplo, es un cuadrilátero cuyas diagonales se bisectan 

perpendicularmente entre sí." (van Hiele, P. M., 1959). 

 

U.3.8.  "El niño no es capaz de estudiar la geometría en el sentido estricto de la 

palabra." (Ibídem). 

 

U.3.9. "El niño sabe cómo razonar de acuerdo con el sistema lógico…  esto no 

es, sin embargo, idéntico al razonamiento con la fuerza de la lógica formal." 

(Ibídem). 

 

U.3.10.  "La cuestión de si la inversa de una función es una función, pertenece al 

tercer nivel." (van Hiele, P. M., 1976). 

 

U.3.11.  "La comprensión de la implicación, equivalencia, negación de una 

implicación pertenece al tercer nivel." (Ibídem). 

 

U.3.12. "Son capaces de entender estructuras de pensamiento avanzado, tales 

como:" el paralelismo de las líneas implica (de acuerdo con su carácter 

señalado) la presencia de una sierra, y por lo tanto (de acuerdo con su carácter 

simbólico) de la igualdad de ángulos interiores alternados”. (van Hiele, P. M., 

1978). 

 

U.3.13.  "Yo (el estudiante) puedo aprender una definición de memoria. Niveles 

inferiores. Es necesario poder entender que las definiciones son necesarias 

para: es el tercer nivel". (Ibídem). 

 

U.3.14.  “…sabe el significado de *el uso de "alguno" y "todo"+ tercer nivel”. 

(Ibídem). 

 

Nivel 4. Deducción formal 

 

U.4.1.  "Va a llegar al cuarto nivel de pensamiento cuando se inicia la 

manipulación de las características intrínsecas de las relaciones. Por ejemplo: si 

se puede distinguir entre una proposición y la inversa". (van Hiele, P. M., 1957). 

 

U.4.2.  "Podemos empezar a estudiar un sistema deductivo de proposiciones, es 

decir, la forma en que se efectúa la interdependencia de las relaciones. 

Definiciones y proposiciones están ahora dentro del horizonte intelectual de los 



Florencio López de Silanes 

 

182 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

alumnos". (van Hiele-Geldof, Dina, 1957). 

 

U.4.3. "En paralelismo de las líneas implica la igualdad de los correspondientes 

ángulos y viceversa”. (Ibídem). 

 

U.4.4.  "El alumno será capaz, por ejemplo, de distinguir entre una proposición y 

su inversa”. (van Hiele P. M.; van Hiele-Geldof, Dina, 1956). 

 

U.4.5.  "Es … posible desarrollar un sistema axiomático de geometría”. (Ibídem). 

  

U.4.6. "La mente está ocupada con el significado de la deducción, de la 

demostración de un teorema, de un axioma, de las condiciones necesarias y 

suficientes.” (van Hiele, P. M., 1958-59).  

 

U.4.7.  “… podría decirle (al estudiante) que una prueba es realmente una 

cuestión de conocimiento, si estas tesis son verdaderas o no, o más bien la 

relación entre la verdad entre estas tesis y algunas otras. Sin entender sus 

relaciones, no podemos explicar a los estudiantes que hay que recurrir a los 

axiomas. (He inducido el nivel desde la primera parte de este planteamiento; el 

estudiante no identifica nunca el nivel)”. (van Hiele, P. M.,  1968). 

 

Nivel 5. Rigor 

 

U.5.1.  "Un estudio comparativo de los diversos sistemas deductivos dentro del 

ámbito de las relaciones geométricas… está reservado a aquellos que han 

alcanzado el quinto nivel…". (van Hiele-Geldof, Dina, 1957). 

 

U.5.2.  "Por fin en el quinto nivel (difícilmente alcanzable en la enseñanza 

secundaria), el pensamiento lógico en sí mismo puede convertirse en un tema.". 

(van Hiele P. M.; van Hiele-Geldof, Dina, 1958). 

 

U.5.3.  “Las axiomáticas por si mismas pertenecen al quinto nivel.” (Ibídem). 

 

U.5.4. "Uno no hace preguntas como: ¿cuáles son los puntos, líneas, superficies, 

etc.?.... Las figuras se definen sólo por símbolos conectados por relaciones. Para 

encontrar el significado específico de los símbolos, hay que recurrir a niveles 

más bajos donde se ha visto su significado específico”. (van Hiele, P. M., 1958-

59). 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  183 

 

 

 

6.2.2.-Crítica de Usiskin 

 

Hay una escasez de conductas en el nivel 5, e incluso los cuatro 

comportamientos enumerados son muy vagos. Por ejemplo, el segundo 

comportamiento menciona el "pensamiento lógico por sí mismo" como un 

tema. Una persona puede interpretar esta declaración para referirse a la 

axiomática (como sugiere el comportamiento tercero) o la lógica simbólica (que 

es más común en las aulas).  

Se describe una variedad de comportamientos para el nivel 4, pero las 

descripciones son a menudo vagas. Por ejemplo, el sexto comportamiento de 

ese nivel depende del significado de las palabras "ocupado" y "significado".  

Aunque un profesor puede, en el curso de un año típico de estudio de la 

geometría, identificar una serie de declaraciones de los estudiantes que 

parezcan un ejemplo de este comportamiento, una situación que evalúa si la 

ocupación o la importancia podrían ser mostradas no es evidente de forma 

inmediata.  

En los niveles 1, 2, y 3 hay comportamientos en cantidad suficiente y 

detallada para permitir la prueba. Así llegamos a la conclusión de que los 

principios de la teoría de van Hiele son fácilmente comprobables en los tres 

primeros niveles que, con algún esfuerzo podría ponerse a prueba en el nivel 4, 

pero en el nivel 5 es cuestionable su verificabilidad. (Usiskin, Z., 1982). 



Florencio López de Silanes 

 

184 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

6.2.3.-Análisis de los descriptores de nivel de Usiskin 

 

En la lectura de los descriptores de  nivel de Usiskin, apreciamos el 

recurso continuo a los triángulos y cuadriláteros en los tres primeros niveles. El 

problema se plantea cuando trabajemos con un alumno con una figura 

diferente, como puede ser el pentágono o el cono, o con entidades geométricas 

como el Teorema de Pitágoras, ¿sabremos entonces en que nivel estamos 

trabajando?. 

Cuando los van Hiele elaboraron el modelo teórico de los niveles, no 

tuvieron presente el esquema global de la geometría, y construyeron el modelo 

haciendo referencia en la enseñanza de la geometría recurriendo a ejemplos 

sencillos y figuras elementales. Entonces, cuando Usiskin construyó los 

descriptores de nivel, recurriendo a las fuentes originales, es decir, a los escritos 

de los van Hiele, se encontró con que estos habían referenciado los niveles 

utilizando figuras elementales como los triángulos y los cuadrados, así como sus 

propiedades más básicas. De esta manera, el resultado de los descriptores de 

nivel de Usiskin, se basó en las figuras más elementales y sus propiedades más 

básicas. 

Esta situación ¿resta generalidad y amplitud al trabajo los van Hiele y de 

Usiskin?. Entiendo que no. Los tres primeros niveles están dirigidos a alumnos 

de enseñanza media, donde el objeto del estudio de la geometría está 

orientado a las figuras elementales y sus propiedades y relaciones. Uno de los 

principios fundamentales de la metodología geométrica es la descomposición 

de las figuras complejas en triángulos o cuadrados para realizar en estas figuras 

elementales las medidas de ángulos, longitudes o superficies. Lo mismo sucede 

con los volúmenes más complejos, que son referidos a los elementales cuyas 

caras son triángulos o cuadrados. Sin el conocimiento preciso de las 

correspondientes propiedades de los triángulos y cuadrados, no se puede pasar 

al siguiente nivel de van Hiele. 

Por otra parte, en la geometría que aprendemos en la vida, que se 

maneja cotidianamente, y que necesitamos para vivir y poder desenvolvernos 

en cualquier situación, las figuras recurrentes son, ¡como no!, los cuadriláteros, 

los prismas, las circunferencias y las esferas. El conocimiento de la geometría de 

estas entidades es la base de la geometría de nuestra vida, y están incluidas en 

los descriptores de nivel de Usiskin. 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  185 

 

La solución para utilizar los descriptores de nivel Usiskin en una visión 

globalizada de la geometría la entramos en los verbos en los descriptores y en 

su contexto. Siguiendo esta vía podremos aplicar estas especificaciones de nivel 

al contexto de toda la geometría. 

En los descriptores del nivel 1 observamos que las palabras claves son 

reconocer, diferenciar, reproducir entidades geométricas elementales, haciendo 

referencia a las relaciones más elementales entre entidades geométricas y sus 

propiedades.  

Sin embargo en los descriptores del nivel 2 encontramos las palabras 

encontramos las palabras claves: propiedades, asociar, concluir, relacionar y 

organizar, aplicadas a las entidades geométricas básicas. 

Ya en el nivel 3 vemos que al aparecen palabras como entender, 

relación de características, deducir, ordenación de propiedades, definición, 

razonar, entender y los cuantificadores, que son los primeros peldaños de una 

teoría, forman el sustrato básico para a poder entender y trabajar con la 

geometría tanto en la escuela como en la vida. 

Las palabras proposiciones, sistema deductivo, axiomas, teoremas, 

condición necesaria y suficiente, demostración aplacadas a la geometría, que 

encontramos en los descriptores del nivel 4 de Usiskin, son los requisitos para 

estudiar y trabajar la geometría, en los escenarios elementales para las 

realizaciones de dibujos geométricos, y medidas directas  e indirectas. Es decir, 

se puede ya trabajar la geometría a los niveles de estudios geométricos y 

realizaciones profesionales. 

El manejo de sistemas deductivos, del pensamiento lógico y de la 

axiomática de la geometría, relega el quinto nivel a estudiosos de la geometría 

con diferentes niveles, orientaciones y propósitos. 

En este breve recorrido realizado por los descriptores de Usiskin, hemos 

visto la vía de transformar estos descriptores en otros con una visión más 

generalista, y sobre todo, que puedan aplicarse a la realización de trabajos y 

estudios prácticos de la enseñanza y los conocimientos de la geometría, 

utilizando el modelo de los niveles de razonamiento de van Hiele.  

 

 



Florencio López de Silanes 

 

186 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

6.3.- Descriptores de nivel de Burger y Shaughnessy 

 

 

Quizás fueran las razones señaladas anteriormente por nosotros, o 

quizás por otras diferentes, las que llevaron a William F. Burger y Shaughnessy J. 

Michael, investigadores de la Oregon State  University, a realizar una 

formulación nueva de los descriptores de los niveles en su artículo 

“Characterizing the van hiele levels of development in geometry”. (Burger y 

Shaughnessy, 1986). 

Los descriptores de nivel aportados por Burger y Shaughnessy 

especifican los requisitos generales que deben cumplirse para cada nivel, que 

surgen de las palabras claves de los descriptores de nivel que especificamos en 

el apartado anterior. 

Los descriptores de nivel aportados por Burger y Shaughnessy son los 

siguientes (Ibídem): 

 

Nivel 1. Reconocimiento 

 

1. El uso de propiedades imprecisas o cualidades para comparar las figuras y 

para identificar, caracterizar y clasificar las figuras. 

  

2. Las referencias a prototipos visuales para caracterizar las figuras. 

  

3. La inclusión de los atributos irrelevantes cuando se identifican y describen las 

figuras, como la orientación de la figura en la página.  

 

4. La incapacidad de concebir una infinita variedad de tipos de formas.  

 

5. Clasificaciones inconsistentes, es decir, clasificaciones por las propiedades 

que no comparten las figuras ordenadas.  

 

6. Incapacidad para utilizar las propiedades como condiciones necesarias para 

determinar una figura.  

 

 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  187 

 

Nivel 2. Análisis 

 

1. La comparación de figuras explícitamente por medio de las propiedades de 

sus componentes. 

  

2. Prohibir las inclusiones de clases entre tipos generales de figuras, tales como 

cuadriláteros. 

  

3. Clasificación por atributos individuales, como las propiedades de los lados, 

dejando de lado los ángulos, simetría, y así sucesivamente.  

 

4. Aplicación de una letanía de propiedades necesarias en lugar de determinar 

las propiedades suficientes al identificar las figuras, se explican las 

identificaciones y se deciden por una figura propuesta. 

  

5. Las descripciones de los tipos de las figuras mediante el uso explícito de sus 

propiedades, en lugar de nombres de los tipos, incluso cuando los conocen. Por 

ejemplo, en vez del rectángulo, se puede describir la figura como un 

cuadrilátero con todos los ángulos rectos.  

 

6. El rechazo explícito a las definiciones de las figuras de libros de texto en favor 

de las caracterizaciones de tipo personal. 

  

7. El tratamiento de la geometría como si fuera la física cuando se prueba la 

validez de una proposición, por ejemplo, basándose en una variedad de dibujos 

y formulando observaciones sobre ellos.  

 

8. Carencia explícita de la comprensión de la prueba matemática.  

 

Nivel 3.  Clasificación 

 

1. Formación de definiciones completas de los tipos de figuras.  

 

2. Capacidad para modificar las definiciones y usar inmediatamente las 

definiciones de los nuevos conceptos.  

 

3. Referencia explícita a las definiciones.  



Florencio López de Silanes 

 

188 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

4. Capacidad para aceptar las definiciones equivalentes de las figuras.  

 

5. La aceptación de la ordenación parcial y lógica entre los tipos de figuras, 

incluyendo las inclusiones de clases.  

 

6. Capacidad para ordenar figuras según una variedad de atributos 

matemáticamente precisos. 

  

7. El uso explícito de enunciados de la forma "si, entonces".  

 

8. Capacidad para construir correctamente argumentos deductivos informales, 

utilizando implícitamente formas lógicas como regla de la cadena (si p implica q 

ya q implica r, entonces p implica r) y la ley de la separación (modus ponendo 

ponens). 

  

9. La confusión entre el papel del axioma y del teorema. 

  

Nivel 4. Deducción formal 

 

1. Clarificación de preguntas ambiguas y reformulación de problemas en un 

lenguaje preciso.  

 

2. Conjeturas frecuentes e intentos de comprobar las conjeturas 

deductivamente. 

  

3. La confianza en la prueba como la autoridad final para decidir la verdad de 

una proposición matemática. 

  

4. La comprensión de las funciones de los componentes del lenguaje de un 

discurso matemático, como axiomas, definiciones, teoremas, demostraciones, 

etc.  

 

5. Aceptación implícita de los postulados de la geometría euclidiana.  

 

 

Estos descriptores de nivel son una generalización de los aportados por 

Usiskin, pero también incluyen algunos descriptores nuevos. 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  189 

 

En el apartado siguiente se estudia la equivalencia entre los 

descriptores de Usiskin y los de Burger y Shaughnessy, apuntando 

específicamente cuales de estos últimos son nuevos. La equivalencia de estos 

conjuntos de descriptores de nivel es importante para poner de manifiesto la 

trazabilidad de la teoría de los niveles de van Hiele, y ver que cosas son 

introducidas específicamente por cada investigador. 

Pero la diferencia fundamental entre los descriptores de Usiskin, y 

Burger y Shaughnessy, estriba en que estos últimos no especifican los 

descriptores del nivel 5. En contra de quienes han apuntado que los 

descriptores del nivel 4 de Burger y Shaughnessy, engloban los niveles 4 y 5 de 

van Hiele, pensamos que al igual que la mayoría de los investigadores, no 

consideran didácticamente interesante al nivel 5, por lo que renuncian 

explícitamente a trabajar en dicho nivel. Por otra parte, tal como se pone de 

manifiesto en el apartado siguiente, los descriptores de Burger y Shaughnessy 

para el nivel 4, se derivan directamente de los correspondientes descriptores de 

Usiskin, incluso los 4.3 y 4.5 que, aunque están marcados como nuevos, se 

derivan del contexto general de los descriptores de Usiskin para el nivel 4. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

190 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

6.4.- Los descriptores de nivel utilizados en nuestra investigación 

 

El problema es contar con unos descriptores de los niveles de 

razonamiento de van Hiele, para cualificar el nivel de los conocimientos en 

geometría de los alumnos de acuerdo con el modelo de van Hiele, así como los 

planes de estudio y los textos de geometría que se ofertan a los alumnos 

derivados de los currícula. 

Los descriptores de los niveles de van Hiele aportados por Burger y 

Shaughnessy satisfacen este requisito dentro del marco general de la geometría, 

y cuentan desde su publicación hasta nuestros días con un grado de aceptación 

considerable dentro de la comunidad científica, de manera que son un 

referente ineludible en la materia. El problema es que abarcan solamente a los 

cuatro niveles inferiores, olvidándose del último nivel. 

Como según se verá en el siguiente apartado, los descriptores de Burger 

y Shaughnessy son equivalentes a los descriptores de Usiskin de los noveles 

correspondientes, y más aún, la mayoría de los descriptores de Burger y 

Shaughnessy pueden derivarse directamente de los correspondientes de 

Usiskin, simplemente abstrayendo las circunstancias específicas de las 

consideraciones de los escritos de los van Hiele en que se basó Usiskin. Así 

podemos afirmar, que los descriptores de nivel de Usiskin están contenidos o 

implican los de Burger y Shaughnessy.  

Así, nuestra propuesta, es utilizar los descriptores de nivel de Burger y 

Shaughnessy para los cuatro primeros niveles, y para el quinto nivel los de 

Usiskin tal y como él lo formuló. De esta manera disponemos de un conjunto de 

descriptores de nivel aplicables a la geometría en general, coherentes con la 

teoría de los niveles de van Hiele, ya que son derivables de los escritos de los 

creadores de dicho modelo teórico, que están formulados en un lenguaje 

asimilable a las situaciones generales de la geometría, y que pueden ser 

aplicables en los trabajos de campo.     

Con estas premisas, los descriptores de nivel que utilizaremos en este 

trabajo quedan de la forma siguiente: 

 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  191 

 

Nivel 1. Reconocimiento 

 

S.1.1. 4 El uso de propiedades imprecisas o cualidades para comparar las figuras 

y para identificar, caracterizar y clasificar las figuras. 

  

S.1.2. Las referencias a prototipos visuales para caracterizar las figuras. 

  

S.1.3. La inclusión de los atributos irrelevantes cuando se identifican y describen 

las figuras, como la orientación de la figura en la página.  

 

S.1.4. La incapacidad de concebir una infinita variedad de tipos de figuras.  

 

S.1.5. Clasificaciones inconsistentes, es decir, clasificaciones por las propiedades 

que no comparten las figuras ordenadas.  

 

S.1.6. Incapacidad para utilizar las propiedades como condiciones necesarias 

para determinar una figura.  

 

Nivel 2. Análisis 

 

S.2.1. La comparación de figuras explícitamente por medio de las propiedades 

de sus componentes. 

  

S.2.2. Prohibir las inclusiones de clases entre tipos generales de figuras, tales 

como cuadriláteros. 

  

S.2.3. Clasificación por atributos individuales, como las propiedades de los 

lados, dejando de lado los ángulos, simetría, y así sucesivamente.  

 

S.2.4. Aplicación de una letanía de propiedades necesarias en lugar de 

determinar las propiedades suficientes al identificar las figuras, se explican las 

identificaciones y se deciden por una figura propuesta. 

  

S.2.5. Las descripciones de los tipos de las figuras mediante el uso explícito de 

sus propiedades, en lugar de nombres de los tipos, incluso cuando los conocen. 

                                                 
4
 Los “Descriptores de nivel utilizados por nosotros” los indicaremos como S.x.y. Donde x hace 

referencia al nivel del descriptor, e y es un número secuencial que refiere el descriptor dentro de cada 

nivel. 



Florencio López de Silanes 

 

192 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Por ejemplo, en vez del rectángulo, se puede describir la figura como un 

cuadrilátero con todos los ángulos rectos.  

 

S.2.6. El rechazo explícito a las definiciones de las figuras de libros de texto en 

favor de las caracterizaciones de tipo personal. 

  

S.2.7. El tratamiento de la geometría como si fuera la física cuando se prueba la 

validez de una proposición, por ejemplo, basándose en una variedad de dibujos 

y formulando observaciones sobre ellos.  

 

S.2.8. Carencia explícita de la comprensión de la prueba matemática.  

 

Nivel 3. Clasificación 

 

S.3.1. Formación de definiciones completas de los tipos de figuras.  

 

S.3.2. Capacidad para modificar las definiciones y usar inmediatamente las 

definiciones de los nuevos conceptos.  

 

S.3.3. Referencia explícita a las definiciones.  

 

S.3.4. Capacidad para aceptar las definiciones equivalentes de las figuras.  

 

S.3.5. La aceptación de la ordenación parcial y lógica entre los tipos de figuras, 

incluyendo las inclusiones de clases.  

 

S.3.6. Capacidad para ordenar figuras según una variedad de atributos 

matemáticamente precisos. 

  

S.3.7. El uso explícito de enunciados de la forma "si, entonces".  

 

S.3.8. Capacidad para construir correctamente argumentos deductivos 

informales, utilizando implícitamente formas lógicas como regla de la cadena (si 

p implica q ya q implica r, entonces p implica r) y la ley de la separación (modus 

ponendo ponens). 

  

S.3.9. La confusión entre el papel del axioma y del teorema. 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  193 

 

  

Nivel 4. Deducción formal 

 

S.4.1. Clarificación de cuestiones ambiguas y reformulación de problemas en un 

lenguaje preciso.  

 

S.4.2. Conjeturas frecuentes e intentos de comprobar las conjeturas 

deductivamente. 

  

S.4.3. La confianza en la prueba como la autoridad final para decidir la verdad 

de una proposición matemática. 

  

S.4.4. La comprensión de las funciones de los componentes del lenguaje de un 

discurso matemático, como axiomas, definiciones, teoremas, demostraciones, 

etc.  

 

S.4.5. Aceptación implícita de los postulados de la geometría euclidiana.  

 

 

Nivel 5. Rigor 

 

S.5.1.  El estudio comparativo de los diversos sistemas deductivos dentro del 

ámbito de las relaciones geométricas … está reservado a aquellos que han 

alcanzado el quinto nivel.  

 

S.5.2.  En el quinto nivel (difícilmente alcanzable en la enseñanza secundaria), el 

pensamiento lógico en sí mismo puede convertirse en un tema. 

 

S.5.3.  Las axiomáticas por si mismas pertenecen al quinto nivel. 

 

S.5.4. No se hacen preguntas como: ¿cuáles son los puntos, líneas, superficies, 

etc.?. Las figuras se definen sólo por símbolos conectados por relaciones. Para 

encontrar el significado específico de los símbolos, hay que recurrir a niveles 

más bajos donde se ha visto su significado específico”. 

 



Florencio López de Silanes 

 

194 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

6.5.- Consideraciones generales sobre los descriptores de nivel 

 

El modelo de niveles de razonamiento de van Hiele, es extendible de la 

Geometría a las Matemáticas en general, y de aquí, a cualquier otra disciplina. 

De hecho, está siendo utilizado en otras ciencias, tan distantes aparentemente 

de la Geometría como el Arte o la Geografía.  

Las claves para que el modelo funcione bien, en la geometría o en otra 

ciencia, está en el modelo sea consistente y coherente. Esto trasladado al 

modelo de van Hiele se traduce en que los niveles de razonamiento que se 

especifiquen cumplan escrupulosamente las propiedades de los niveles de 

razonamiento. 

La primera pregunta que surge es ¿Cuántos niveles de razonamiento 

debemos plantearnos para estudiar un tema determinado de acuerdo con el 

modelo de van Hiele?. La respuesta la hallaremos siempre al aplicar con 

precisión la Recursividad entre la base de los conocimientos de partida y 

aquellos que esperamos alcanzar. Este abanico de conocimientos, debemos 

estructurarlo en tantos niveles entre el de partida y el final, como necesitemos 

para hacer que recursivamente sean coherentes, en el sentido ya dicho. Lo que 

se trata implícitamente en un nivel, debe explicitarse en el nivel siguiente; con 

criterios de explicitación que sean consistentes con la tarea que deseamos 

desarrollar. La recursividad de los niveles marcará, de esta forma, su número y 

la estructura de lo que estamos construyendo.  

Si los niveles de razonamiento y de conocimiento no son recursivos, en 

el sentido indicado, no tendremos una garantía de que partiendo de un nivel 

hemos creado un nivel diferente y superior al nivel de partida. De esta manera 

vemos la intima relación existente entre la recursividad de niveles y su 

jerarquía. Es decir, la recursividad no es solamente la máquina generadora de 

los niveles de van Hiele, sino que además, aplicada correctamente, los niveles 

resultantes estarán perfectamente jerarquizados, de acuerdo con los criterios 

específicos para el diseño del sistema de conocimiento en cuestión. 

El tratar explícitamente los elementos que en el nivel anterior eran 

implícitos, surgen elementos nuevos y diferentes a los tratados en el nivel 

anterior, por lo que necesitaremos un lenguaje diferente al del nivel anterior, al 

menos, para poder manipular y estudiar los nuevos elementos que han surgido 

por la explicitación. Es decir, la diferencia de lenguaje entre dos niveles 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  195 

 

consecutivos estará en que el lenguaje del nivel superior será más amplio, para 

poder tratar con más elementos, o de mayor profundidad, por decirlo de alguna 

manera, para trabajar con las características o propiedades nuevas de los 

elementos descritos en el nivel precedente, así como las de los elementos del 

nivel presente. El lenguaje propio de cada nivel, es así también, producto de la 

recursividad entre niveles sucesivos. 

Un alumno que no posea este sistema de conocimiento, y que quiera 

alcanzarlo, ha de recorrer secuencialmente estos niveles, desde el primero al 

último. Requiriéndose para poder realizarse esta travesía con éxito, que pueda 

trabajar sin dificultades en el primer nivel, y que todos los niveles sean 

coherentes, en el sentido de que un nivel posterior no introduzca procesos  o 

conocimientos nuevos con los que el alumno no pueda trabajar, bien por que no 

están a su nivel, bien porque no sean producto de la recursividad de los niveles. 

La secuencialidad en el trabajo de los niveles sucesivos de razonamiento, exige 

además, la coherencia intrínseca de los mismos, y la idoneidad del estado de 

partida del alumno. 

Parece de esta manera, que la llave del modelo de niveles de van Hiele, 

está en la recursividad de los niveles sucesivos.  

 



Florencio López de Silanes 

 

196 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

6.6.- Recapitulación sobre los descriptores de los niveles de 

razonamiento de van Hiele 

 

Llegados aquí, hemos visto que los van Hiele no realizaron 

explícitamente ninguna relación de los “Descriptores de Nivel”, para ellos quizás 

los niveles de razonamiento estarían suficientemente identificados con las 

propiedades y comportamientos surgidos de los primeros documentos en los 

que el modelo comenzaba a dibujarse; o quizás, no habían pensado todavía en 

llevar el modelo al terreno práctico, manteniéndose ellos exclusivamente en el 

plano especulativo y teórico. Lo cierto es que el modelo se desarrolló y 

completó en EE.UU. y la URSS. tanto en el plano teórico como experimental. Los 

científicos de estos dos países, muy amigos del trabajo por objetivos y de 

resultados contrastables, vieron en la idea de los niveles de los van Hiele una 

cantera y un repositorio sobre los que sustentar los conocimientos y los 

procesos de la enseñanza de la geometría de forma global. Esta posición se 

contrapone a la de sus colegas centro-europeos más entusiasmados con las 

teorías propiamente especulativas de la enseñanza de la geometría. 

Zalman Usiskin fue quien primero vio la necesidad de especificar de una 

forma concreta y precisa las condiciones que debían exigirse a un alumno para 

considerar que había superado un determinado nivel de razonamiento, es decir, 

creó los descriptores de los niveles de razonamiento del modelo van Hiele. Su 

fuente fueron todos los escritos conocidos en esa fecha del matrimonio van 

Hiele. El resultado es lo que hemos denominado aquí “Descriptores de nivel de 

Usiskin, y que hemos referenciado cada descriptor como U.x.y donde x hace 

referencia al nivel del descriptor, e y es un número secuencial que refiere el 

descriptor dentro de cada nivel. Este conjunto de descriptores, que Usiskin 

pensó que describían de forma precisa la idea que los van Hiele tenían de sus 

niveles, le fue ratificada esta certidumbre en varios encuentros en congresos en 

Europa y América, donde Z. Usiskin y P. M. van Hiele tuvieron ocasión de 

conocerse personalmente. 

La idea de pasar el mismo cuestionario a todos los alumnos, para medir 

su nivel de razonamiento no entusiasmó demasiado a los investigadores de la 

Oregon State  University, William F. Burger y Shaughnessy J. Michael, quienes 

creían determinar de mejor manera el nivel de razonamiento con un 

cuestionario básico moderado y dirigido específicamente para cada alumno en 

el curso de una entrevista personal. Para cualificar las actitudes, 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  197 

 

comportamientos y conocimientos de los alumnos, especificaron un nuevo 

conjunto de descriptores de nivel para los cuatro primeros niveles, con un 

lenguaje más aplicativo, pero que son equivalentes a los descriptores de nivel 

de Usiskin.  

Para poder trabajar con en conjunto de descriptores que sean aplicables 

a diversos escenarios, 5 y que sean equivalentes a los de Usiskin, y por tanto, a 

la idea de los van Hiele, hemos creado los descriptores que llamamos 

“Descriptores de nivel utilizados en esta investigación”, donde hemos tomado 

los Descriptores de nivel de Burger y Shaughnessy para los cuatro primeros 

niveles, y para el quinto nivel los Descriptores de Usiskin correspondientes al 

mayor nivel. 

La equivalencia entre los Descriptores de nivel utilizados por nosotros y 

los Descriptores de Usiskin, y por tanto, la equivalencia también entre aquellos 

descriptores y los Descriptores de Usiskin, se deduce del estudio realizado en el 

Apéndice A, donde la tabla muestra la relación entre los correspondientes 

“Descriptores de nivel utilizados por nosotros” 6 y los “Descriptores de Usiskin”. 

Aunque los “Descriptores de nivel de Burger y Shaughnessy” y los “Descriptores 

de nivel utilizados por nosotros” contienen algún descriptor nuevo, podemos 

asegurar de esta manera que los “Descriptores de Usiskin” implican 

“Descriptores de nivel utilizados por nosotros”. 

Como herramienta de medida del nivel de razonamiento de van Hiele se 

utilizará en este trabajo el cuestionario de Usiskin, descrito en el Apéndice B. 

Este cuestionario consta de 25 preguntas con cinco soluciones propuestas para 

cada una. El cuestionario está estructurado de forma que cinco preguntas se 

correspondan con cada naivel de razonamiento de van Hiele. De esta manera las 

preguntas del 1 al 5 se corresponden con el nivel 1, del 6 al 10 con el nivel 2, del 

11 al 15 con el nivel 3, del 16 al 20 con el nivel 4, y finalmente, las preguntas del 

21 al 25 están asociadas al quinto nivel. 

Para ser coherentes hemos de ver si el citado cuestionario se 

corresponde o no con los “descriptores de nivel de Usiskin” y con “los 

descriptores de nivel utilizados por nosotros”. Aunque Usiskin no hace este 

análisis (Zalman Usiskin; 1982), nosotros hemos establecido, en la tabla del 

                                                 
5
 Se trata de unos descriptores de nivel que aplicaremos tanto para la realización de cuestionarios como 

para el estudio de los currícula de geometría. 
6
 Los “Descriptores de nivel utilizados por nosotros” se refieren como S.x.y. Donde x hace referencia al 

nivel del descriptor, e y es un número secuencial que refiere el descriptor dentro de cada nivel. 
 



Florencio López de Silanes 

 

198 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Apéndice C, la correspondencia entre cada uno de los 25 ítems del cuestionario 

de Usiskin y los correspondientes “descriptores de nivel de Usiskin” y/o los 

“descriptores de nivel utilizados por nosotros”. Del estudio de esta 

correspondencia se deduce que este cuestionario está elaborado de acuerdo 

con los “descriptores de nivel de Usiskin” y de acuerdo con los “descriptores de 

nivel utilizados por nosotros”. 

De esta forma las tablas de los Apéndices A y C nos suministran, 

además, información sobre la trazabilidad entre los diferentes componentes de 

la teoría y las herramientas de medida, o lo que es lo mismo, la trazabilidad a lo 

largo del modelo de van Hiele. 

Aludíamos al principio de la escasa documentación existente sobre los 

descriptores de nivel del modelo van Hiele, pero esto no es siempre cierto. Por 

ejemplo, hemos encontrado en nuestros compañeros de la Universidad de 

Valencia (España), una producción de alta capacidad y sin límite de los 

descriptores de nivel. De esta manera se muestra en los Apéndices D y E dos 

conjuntos de descriptores de los niveles de van Hiele distintos para la geometría 

en general producidos por el mismo autor, y según el autor, utilizando casi las 

mismas fuentes. Esto es un ejemplo de descriptores de nivel confeccionados 

pret a porter específicos y para cada trabajo. De esta manera se elaboraron 

unos descriptores de nivel para fundamentar un trabajo teórico de la relación 

de ciertos procesos con el modelo de van Hiele, como se crearon otros 

descriptores de nivel diferentes para sustentar unos tests realizados a alumnos 

de enseñanza media en Valencia. El mismo autor ha publicado descriptores de 

nivel específicos para la Semejanza (Apéndice F), las Isometrías (Apéndice G) y el 

estudio de los cuadriláteros (Apéndice H), lo cual es también discutible, ya que 

no se especifican ni los niveles de partida ni los finales.  

 

 

 

 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  199 

 

6.7.- Apéndice A. Equivalencia entre los descriptores de Usiskin y los 

utilizados por nosotros 

 

Descriptor utilizado por nosotros Descriptores de Usiskin 

equivalentes 

Nivel 1  

S.1.1 
7
 U.1.1, U.1.2,  U.1.3,  U.1.5 

8
 

S.1.2 U.1.8 

S.1.3 U.1.8 

S.1.4 Nuevo 

S.1.5 U.1.6,  U.1.7 

S.1.6 U.1.7 

Nivel 2  

S.2.1 U.2.1,  U.2.3,  U.2.4 

S.2.2 U.2.1,  U.2.6 

S.2.3 U.2.6 

S.2.4 U.2.8 

S.2.5 U.2.1,  U.2.5 

S.2.6 Nuevo 

S.2.7 U.2.5 

S.2.8 Nuevo 

Nivel 3  

S.3.1 U.3.6,  U.3.13 

S.3.2 U.3.6,  U.3.13 

S.3.3 U.3.6,  U.3.13 

S.3.4 U.3.6,  U.3.13 

S.3.5 U.3.4 

S.3.6 U.3.4 

S.3.7 U.3.9 

S.3.8 U.3.9 

S.3.9 U.3.9 

Nivel 4  

S.4.1 U.4.2,  U.4.5  U.4.6 

S.4.2 U.4.2 

S.4.3 Nuevo 

S.4.4 U.4.5,  U.4.7 

S.4.5 Nuevo 

Nivel 5  

S.5.1 U.5.1 

S.5.2 U.5.2 

S.5.3 U.5.3 

S.5.4 U.5.4 

                                                 
7
 Los “Descriptores de nivel utilizados por nosotros” se refieren como S.x.y. Donde x hace referencia al 

nivel del descriptor, e y es un número secuencial que refiere el descriptor dentro de cada nivel. 
8
 Los “Descriptores de nivel de Usiskin”, se referencian como U.x.y donde x hace referencia al nivel del 

descriptor, e y es un número secuencial que refiere el descriptor dentro de cada nivel. 



Florencio López de Silanes 

 

200 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

6.8.- Apéndice B. Cuestionario de Usiskin para medir los niveles de van 

Hiele 

 

 

1o   ¿Cuáles de las siguientes figuras son cuadrados? 

Sólo K. 

A. Sólo L. 

B. Sólo M 

C. Sólo L y M. 

E.  Todos son cuadrados. 

 

2o   ¿Cuáles de las siguientes figuras son triángulos? 

 

 

 

 

 

A. Ninguno es un triángulo.  

B. Sólo V. 

C. Sólo W.  

D. Sólo W y X. 

E. Sólo V y W. 

 

3o   ¿Cuáles de las siguientes figuras son rectángulos? 

 

 

 

 

A. Sólo S. 

B. Sólo T. 

C.  Sólo S y T.  

D.  Sólo S y U. 

E.  Todos son rectángulos 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  201 

 

 

 

4o   ¿Cuáles de las siguientes figuras son cuadrados? 

 

 

 

 

 

 

A. Ninguno es un cuadrado.  

B. Sólo G. 

C. Sólo F y G.  

D. Sólo I y G. 

E. Todos son cuadrados. 

 

5o   ¿Cuáles de las siguientes figuras son paralelogramos? 

 

 

 

 

 

A. Sólo J.  

B. Sólo L. 

C.  Sólo J y M.  

D.  Ninguno es un paralelogramo. 

E.  Todos son paralelogramos. 

 

6o   PQRS es un cuadrado. 

 

De las siguientes relaciones ¿cual es verdadera para todos los cuadrados? 

 

A. PR y RS tienen la misma longitud.  

B. QS y PR son perpendiculares. 

C.  PS y QR son perpendiculares.  

D.  PS y QS tienen la misma longitud. 

E.  El ángulo Q es mayor que el ángulo R. 

 



Florencio López de Silanes 

 

202 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 
 

 

7o   GJ y KH son las diagonales del rectángulo GHJK. 

 

 

 

 

 

 

 

 

¿Cual de las siguientes afirmaciones A-D no es verdadera en todos los rectángulos? 

 

A. Tienen cuatro ángulos rectos.  

B. Tienen cuatro lados. 

C. Las diagonales tienen la misma longitud.  

D. Los lados opuestos tienen la misma longitud. 

E.  Todas las afirmaciones de A -  D son verdaderas en todos los rectángulos. 

 

 

8o   Un rombo es una figura de cuatro lados de igual longitud. (Como los tres 

ejemplos se muestran). 

 

 

 

 

 

 

 

¿Cuál de las respuestas A-D no es verdadera en todos los rombos? 

 

A.  Las dos diagonales tienen la misma longitud. 

B.   Cada diagonal bisecta dos ángulos del rombo. 

C.  Las dos diagonales son perpendiculares. 

D.  Los ángulos opuestos tienen la misma medida. 

D. Todas las respuestas A-D son ciertas en todos los rombos. 

 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  203 

 

 
 

 
 

 

9o   Un triángulo isósceles es un triángulo con dos lados de igual longitud. Como 

estos tres ejemplos. 

 

 

 

 

 

 

 

 ¿Cuál de las afirmaciones A-D es cierta en todos los triángulos isósceles? 

 

A. Los tres lados deben tener la misma longitud. 

B. Uno de sus lados tiene la misma longitud que cualquiera de los otros dos. 

C. Deben tener al menos dos ángulos iguales.  

D. Los tres ángulos deben tener la misma medida. 

E .  Ninguna de las afirmaciones A – D es cierta en todos los triángulos isósceles. 

 

10o   Dos circunferencias de centros P y Q intersectan en los puntos R y S 

formando la figura de cuatro lados PRQS. Como en los dos ejemplos siguientes. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ¿Cuál de las afirmaciones A-D no es siempre cierta? 

 

A. PRQS tiene dos pares de lados de la misma longitud. 

B. PRQS tiene al menos dos ángulos de igual medida. 

C. Las líneas PQ y RS son perpendiculares.  

D. Los ángulos P y Q son de igual medida. 

E . Todas las afirmaciones  A – D son ciertas. 

 



Florencio López de Silanes 

 

204 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

11o   He aquí dos sentencias: 

 

Sentencia 1a   La figura F es un rectángulo. 

Sentencia 2a   La figura F es un triángulo. 

¿Cuál es la respuesta correcta? 

A. Si la 1a  es cierta, entonces la 2a  es cierta.  

B. Si la 1a  es falsa, entonces la 2a  es falsa. 

C. La 1ª y la 2ª  no pueden ser ciertas simultáneamente.  

D. La 1ª y la 2ª  no pueden ser falsas simultáneamente. 

E.  Ninguna de las afirmaciones A – D es correcta. 

 

12o   He aquí dos sentencias: 

 

Sentencia 1a   El triángulo “ABC” tiene tres lados iguales. 

Sentencia 2a   En el triángulo “ABC”, los ángulos B y C tienen la misma medida. 

¿Cuál es la respuesta correcta? 

A. Las sentencias 1a  y 2a  no pueden ser ciertas a la vez.  

B. Si la 1a  es cierta, entonces la 2a  es cierta. 

C. Si la 2a  es cierta, entonces la 1a  es cierta.  

D. Si la 1a  es falsa, entonces la 2a  es falsa. 

E. Ninguna de las A - D es correcta. 

 

13o   ¿Cuáles de las siguientes figuras pueden ser llamadas rectángulos? 

 

 

 

 

 

A. Todos son rectángulos.  

B. Sólo Q. 

C. Sólo R.  

D. Sólo P y R. 

E. Sólo Q y R. 

 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  205 

 

14o   ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?: 

 

A. Todas las propiedades de los rectángulos lo son de los cuadrados.  

B. Todas las propiedades de los cuadrados lo son de los. rectángulos 

C. Todas las propiedades de los rectángulos lo son de los paralelogramos.  

D. Todas las propiedades de los cuadrados lo son de los paralelogramos. 

E.   Ninguna de las A - D es cierta. 

 

15º   ¿Qué tienen todos los rectángulos que no tienen algunos paralelogramos? 

 

A. Lados opuestos iguales.  

B. Diagonales iguales. 

C. Lados opuestos paralelos.  

D. Ángulos opuestos iguales. 

E.   Ninguna de las A - D. 

 

16o   Sea el triángulo rectángulo ABC, y los triángulos equiláteros ACE, ABF y BCD 

construidos sobre los lados del triángulo ABC.    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En lo anterior, podemos probar que las líneas AD, BE, y CF tienen un punto en común. 

¿Qué diría Ud. de esta prueba?. 

 

A. Solo en el triángulo dibujado podemos estar seguros de que AD, BE, y CF tienen 

un punto en común.  

B. En algunos, pero no en todos los triángulos rectángulos, AD, BE, y CF tienen un 

punto en común. 

C. En cualquier  triángulo rectángulo, AD, BE, y CF tienen un punto en común.  

D. En cualquier  triángulo, AD, BE, y CF tienen un punto en común. 

E.   En cualquier  triángulo equilátero, AD, BE, y CF tienen un punto en común. 



Florencio López de Silanes 

 

206 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

17o   Sean tres propiedades de una figura: 

Propiedad 1ª: Tiene diagonales de igual longitud. 

Propiedad 2ª: Es un cuadrado. 

Propiedad 3ª: Es un rectángulo. 

¿Cual es verdadera?: 

A.  1ª implica 2ª lo que implica 3ª. 

B.  1ª implica 3ª lo que implica 2ª. 

C.  2ª implica 3ª lo que implica 1ª.  

D.  3ª implica 1ª lo que implica 2ª. 

E.    3ª implica 2ª lo que implica 1ª. 

 

 

18o  Sean las dos sentencias siguientes: 

 

1ª:  Si una figura es un rectángulo, entonces sus diagonales se bisectan entre sí.  

2ª: Si las diagonales de una figura se bisectan entre sí, la figura es un rectángulo 

¿Cuál, entre las siguientes respuestas, es correcta? 

A. Para probar que “1ª” es cierto, es suficiente probar que “2ª” es cierto.  

B. Para probar que “2ª” es cierto, es suficiente probar que “1ª” es cierto. 

C. Para probar que “2ª” es cierto, es suficiente encontrar un rectángulo, cuyas 

diagonales se bisecten entre sí. 

D. Para probar que “2ª” es falsa, es suficiente encontrar un no-rectángulo, cuyas 

diagonales se bisecten entre sí. 

E. Ninguna de las respuestas A-D es correcta. 

 

 

19o   En geometría: 

A. Cada término tiene que estar definido, y cada sentencia verdadera tiene que 

estar probada. 

B. Cada término tiene que estar definido, pero es necesario asumir que ciertas 

sentencias son verdaderas. 

C. Algunos términos pueden estar indefinidos, pero cada sentencia verdadera 

puede ser probada como verdadera.  

D. Algunos términos pueden estar indefinidos, y es necesario asumir como 

verdaderas algunas sentencias. 

E. Ninguna de las A – D es correcta. 

 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  207 

 

20o   Examina estas tres sentencias: 

1ª   Dos líneas perpendiculares a la misma línea son paralelas. 

2ª Una línea que es perpendicular a una de dos líneas paralelas, es perpendicular 

a la otra (de esas líneas paralelas). 

3ª Si dos líneas son equidistantes, entonces son paralelas. 

 

En la figura de abajo, las líneas m y p son perpendiculares, y las líneas n y p 

también son perpendiculares. ¿En cuál de las sentencias de abajo tendría sentido 

que la línea m es paralela a la línea n? 

 

A.   Sólo 1ª.  

B.   Sólo  2ª. 

C.  Sólo  3ª.  

D. 1ª ó 2ª. 

E. 2ª  ó 3ª. 

 

 

21o   La F-geometría se caracteriza como diferente de la geometría usual por la relación 

entre cuatro puntos y seis líneas en la forma siguiente. Cada línea contiene exactamente 

dos puntos. Si los puntos son P, Q, R, y S, las líneas son:  {P, Q}, {P, R}, {P, S}, {Q, R}, {Q, S}, y 

{R, S]. 

 

 

 

 

 

 

Definimos los términos líneas secantes y paralelas en F-geometría de esta manera. Las 

líneas {P, Q} y {P, R} son secantes porque tienen en común el punto P. Las líneas {P, Q} y 

{R, S} son paralelas por no tener puntos en común. 

Con las premisas anteriores, ¿cual es la respuesta correcta?  

A. {P, R}, y {Q, S} son secantes.  

B. {P, R}, y {Q, S} son paralelas. 

C. {Q, R}, y {R, S} son paralelas. 

D. {P, S}, y {Q, R} son secantes. 

E. Ninguna de la A – D es correcta. 

 



Florencio López de Silanes 

 

208 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

22o   Trisectar un ángulo es dividirlo en tres partes iguales. En 1847, P. L. Wantzel probó 

que, en general, es imposible trisectar ángulos usando solamente un compás y una regla 

no calibrada. Con esta prueba, ¿qué puede Ud. concluir?        

 

A. En general, es imposible bisectar ángulos usando solamente un compás y una regla no 

calibrada.  

B. En general, es imposible trisectar ángulos usando solamente un compás y una regla 

calibrada. 

C. En general, es imposible trisectar ángulos usando cualquier instrumentos de dibujo. 

D. Es posible que en el futuro alguien encuentre la forma de trisectar ángulos usando 

solamente un compás y una regla no calibrada. 

E. Nunca se encontrará un método para trisectar ángulos usando solamente un compás y 

una regla no calibrada 

 

 

23o   En la geometría inventada por el matemático J es cierta la premisa siguiente: 

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180º. 

¿Cual es correcta?: 

A. J cometió un error midiendo los ángulos de un triángulo. 

B. J cometió un error en el razonamiento lógico. 

C. J tiene una idea equivocada del significado del término “verdadero”. 

D. J partió de postulados diferentes de los de la geometría usual. 

E. Ninguna de la A – D es correcta. 

 

24o   Los libros de geometría definen la palabra rectángulo de diferentes maneras. ¿Cuál 

de las afirmaciones siguientes es verdadera?. 

 

A. Uno de los libros tiene un error.  

B. Una de las definiciones es errónea. No pueden existir dos definiciones diferentes para 

el rectángulo. 

C. Los rectángulos de unos libros deben tener propiedades diferentes a las de otros 

libros. 

D. Los rectángulos de unos libros deben tener las mismas propiedades que las de otros 

libros. 

E. Las propiedades de los rectángulos en dos libros tienen que ser diferentes. 

 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  209 

 

25o   Suponga que ha probado las afirmaciones “1ª” y “2ª”:  

 

1ª.- Si “p”, entonces “q”. 

2ª.- Si “s”, entonces “no q”. 

 

¿Qué afirmación se deduce de las sentencias anteriores “1ª” y “2ª”?:  

 

A. Si “p”, entonces “s”. 

B. Si “no p”, entonces “no q”. 

C. Si “p ó q”, entonces “s”. 

D. Si “s”, entonces “no p”. 

E. Si “no s”, entonces “p”. 

 



Florencio López de Silanes 

 

210 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

6.9.- Apéndice C. El cuestionario de Usiskin y los descriptores de nivel 

 
Item nº Cumple con los descriptores  

Nivel 1  

1 U.1.1,  U.1.3,  S.1.1,  S.1.2 
9
 

2 U.1.1,  U.1.4,  S.1.1 

3 U.1.1,  U.1.7,  S.1.3 

4 U.1.3,  S.1.3 

5 U.1.5,  S.1.6 

Nivel 2  

6 U.2.5,  S.2.5 

7 U.2.3,  S.2.1 

8 U.2.3,  S.2.1 

9 U.2.3,  S.2.1,  S.2.5 

10 U.2.2,  U.2.5,  S.2.4,  S.2.5 

Nivel 3  

11 U.3.3,  U.3.7,  U.3.11,  S.3.3,  S.3.7 

12 U.3.3,  U.3.7,  U.3.11,  S.3.3,  S.3.7 

13 U.3.7,  S.3.1,  S.3.3 

14 U.3.4,  S.3.5,  S.3.6 

15 U.3.2,  U.3.4,  S.3.5,  S.3.6 

Nivel 4  

16 U.4.5,  S.4.3 

17 U.4.4,  U.4.5,  S.4.2 

18 U.4.5,  S.4.1,   S.4.5 

19 U.4.5,  U.4.7,  S.4.2,  S.4.3 

20 U.4.7,  S.4.2,   S.4.3 

Nivel 5  

21 U.5.1,  U.5.3,  S.5.1,  S.5.3 

22 U.5.4,  S.5.4 

23 U.5.1,  S.5.1 

24 U.5.1,  S.5.1 

25 U.5.3,  S.5.3 

 

 

 

                                                 
9
 Los “Descriptores de nivel de Usiskin”, se referencian como U.x.y. Los “Descriptores de nivel 

utilizados por nosotros” se refieren como S.x.y.  Donde x hace referencia al nivel del descriptor, e y es un 

número secuencial que refiere el descriptor dentro de cada nivel. 

 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  211 

 

6.10.- Apéndice D. Los descriptores de los niveles de razonamiento de 

van Hiele 

 

 

En este apartado exponemos los descriptores generales de nivel 

utilizados por Gutiérrez y Jaime, están fundamentados en diferentes 

publicaciones como Usiskin (1982), Burger y Shaughnessy (1986), y Gutiérrez y 

Jaime (1998). 

Los descriptores de los niveles de van Hiele son (Gutiérrez A. ; Jaime A., 

1998): 

 

Nivel 1. Reconocimiento 

 

- Los estudiantes razonan sobre conceptos geométricos básicos, tales como 

figuras simples, principalmente por medio de consideraciones visuales del 

concepto como un todo sin considerar explícitamente las propiedades 

matemáticas de sus componentes.  

- Ellos algunas veces utilizan vocabulario geométrico, pero tales términos 

tienen un significado visual más que uno matemático. 

- Realizan clasificaciones de los objetos considerando similitudes o 

diferencias físicas globales entre ellos. 

 

Nivel 2. Análisis 

 

- Los estudiantes razonan sobre conceptos geométricos por medio de un 

análisis informal de las partes componentes y atributos. 

- Reconocen las propiedades matemáticas del concepto, pero son incapaces 

de relacionar unas propiedades con otras, lo que les impide hacer 

clasificaciones lógicas de figuras basándose en sus elementos o propiedades.  

- Los estudiantes en este nivel no entienden la estructura lógica de las 

definiciones, esto es, el conjunto de propiedades necesarias y suficientes de 

un concepto.  

- Demuestran propiedades mediante la comprobación en uno o en pocos 

casos y la generalizan inductivamente. 

 



Florencio López de Silanes 

 

212 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Nivel 3.  Clasificación 

 

- Los estudiantes ordenan lógicamente las propiedades de los conceptos. 

- Construyen y usan definiciones abstractas y pueden distinguir entre la 

necesidad y suficiencia de un conjunto de propiedades al determinar un 

concepto, además, pueden establecer relaciones entre ellas. 

- Pueden realizar clasificaciones lógicas de los objetos considerando 

propiedades o relaciones ya conocidas. 

- Para demostrar una propiedad utilizan razonamientos deductivos 

informales. Se detecta en los estudiantes una necesidad de justificar de 

manera global la veracidad de una propiedad. 

- Comprenden los pasos de un razonamiento formal si se les ayuda, pero aún 

no están preparados para entender la estructura de una demostración 

formal ni para realizar demostraciones de forma autónoma. 

 

 

Nivel 4. Deducción formal 

 

- Los estudiantes razonan formalmente dentro del contexto de un sistema 

matemático completo, con términos indefinidos, axiomas, un sistema lógico 

subyacente, definiciones y teoremas.  

- Pueden entender y escribir demostraciones formales estándar. Las figuras 

específicas algunas veces son usadas para ayudar a escoger la propiedad 

adecuada en la demostración, pero los estudiantes saben que la figura es 

solamente un caso y que para probar una afirmación es necesario desarrollar 

una secuencia de implicaciones basada en propiedades ya establecidas, 

definiciones, etc. 

- Admiten la posibilidad de llegar al mismo resultado desde diversos 

principios o mediante diferentes formas de demostración, es decir, admiten 

la equivalencia de definiciones. 

 

Se considera que un estudiante debe ser considerado como que ha 

alcanzado un nivel de razonamiento sólo cuando este muestra dominio en los 

procesos que integran tal nivel.  



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  213 

 

 

6.11.- Apéndice E. Descriptores de los niveles de van Hiele de A. Jaime y 

A. Gutiérrez 

 

Las descripciones que presentamos a continuación son una síntesis de 

escritos de los propios esposos Van Hiele y de otros autores posteriores que han 

investigado sobre las características de los  niveles: Burger, Shaughnessy  

(1986); Crowley  (1987); Fuys, Geddes, Tischler (1988); Jaime, Gutiérrez  (1990),  

Van  Hiele (1957), (1986); Van Hiele-Geldof (1957).  

Los descriptores de nivel propuestos son: (Jaime A., Gutiérrez A.  y 

otros, 1994): 

 

Nivel 1 (Reconocimiento): El razonamiento geométrico de este nivel se 

caracteriza porque los estudiantes: 

 

Usan propiedades imprecisas de las figuras geométricas para 

compararlas, ordenarlas, describirlas o identificarlas. 

 

Hacen referencia a prototipos visuales para caracterizar figuras. 

 

Perciben las figuras geométricas en su totalidad, de manera global, como 

unidades. Los estudiantes se limitan a describir el aspecto físico de las 

figuras. 

 

Al identificar o describir figuras, incluyen atributos irrelevantes, 

normalmente de tipo físico o visual (por ej., la orientación en el papel o el 

tamaño). 

 

Pueden aprender vocabulario geométrico, identificar figuras 

determinadas y, dada una figura, pueden reproducirla (por ej., dándoles 

un geoplano  o una hoja de papel, los estudiantes podrían construir o 

dibujar las figuras). 

 

Perciben las figuras como objetos individuales, es decir que los 

estudiantes no son capaces de generalizar las características que 

reconocen en una figura a otras de su misma clase. 



Florencio López de Silanes 

 

214 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Comparan  y clasifican figuras geométricas  basándose en su apariencia 

global. Por ejemplo,  suelen utilizar expresiones como  "... se  parece  a  

...", "... tiene  la forma de  ...", "...es como ...",etc. 

 

No reconocen explícitamente como tales las propiedades Matemáticas 

de las figuras.  

 

Aunque los estudiantes de este nivel pueden reconocer algunas 

propiedades o elementos de una figura, éstas no juegan un papel 

apreciable en el reconocimiento de dicha figura. 

 

Identifican partes de una figura, pero: 

a) No analizan una figura en términos de sus componentes. 

b) No piensan en las propiedades como características de una 

clase de figuras. 

c) No hacen generalizaciones sobre figuras  ni  usan  un  lenguaje 

apropiado. 

 

Nivel 2 (Análisis): El razonamiento geométrico de este nivel se caracteriza 

porque los estudiantes: 

 

Son conscientes de que las figuras geométricas están formadas por 

partes y  de que están  dotadas de propiedades  matemáticas. Pueden 

describir  sus partes  y enunciar sus propiedades, siempre de manera 

informal, utilizando vocabulario apropiado para componentes y 

relaciones (por ejemplo, "lados opuestos", "los ángulos correspondientes 

son iguales", "las diagonales se cortan en el punto medio", etc.). 

 

Cuando se les pide que definan una figura, recitan una lista de 

propiedades necesarias  para identificar  la figura, en vez de determinar 

propiedades necesarias y suficientes. 

 

Comparan figuras mediante el uso explícito de propiedades de sus 

componentes. 

 

Rechazan las definiciones dadas por el libro (o el profesor) en favor de las 

definiciones  propias. No comprenden la necesidad ni la misión de las 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  215 

 

definiciones. 

 

Reconocen las propiedades Matemáticas mediante la observación de las 

figuras y sus elementos. También pueden deducir propiedades 

generalizándolas a partir de la experimentación. Al comprobar la validez 

de una afirmación, tratan la Geometría como si fuera una ciencia 

experimental: Observan una variedad de figuras y sacan conclusiones 

generales sobre ellas. Después de utilizar varias veces un tipo de 

ejemplos con  unas figuras, pueden hacer generalizaciones a la clase de 

figuras en cuestión. 

 

No son capaces de relacionar unas propiedades con otras, por lo que  no 

pueden  hacer clasificaciones  lógicas de figuras basándose en sus 

elementos o propiedades. 

 

No son capaces de deducir unas propiedades de otras, porque perciben 

cada una de forma  aislada  y sin relación  con  las demás. 

 

Todavía no pueden explicar las relaciones  entre las propiedades, no ven 

las relaciones lógicas entre clases de figuras. 

 

Muestran una ausencia explícita de comprensión de qué es una 

demostración matemática. 

 

No admiten la inclusión de clases entre  diversas familias de figuras, por 

ejemplo de cuadriláteros. 

 

Nivel 3 (Clasificación): El  razonamiento geométrico de este nivel se caracteriza 

porque los estudiantes: 

 

Comienzan a desarrollar su capacidad de razonamiento matemático: Son 

capaces de reconocer que  unas propiedades  se deducen de otras y de 

deducir esas implicaciones (de un solo paso).  Sin embargo,  no 

comprenden  el  significado  de la deducción como un todo ni el papel de 

los axiomas. 

 

Comprenden los sucesivos pasos individuales de un razonamiento lógico 

formal, pero no entienden la estructura de una demostración. Pueden 



Florencio López de Silanes 

 

216 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

entender una demostración explicada por el profesor o el libro de texto, 

pero no son capaces de construirla por sí mismos. Tampoco ven cómo 

podría alterarse el orden lógico de una demostración ni saben cómo 

construir una demostración a partir de premisa diferentes de las que han 

visto. 

 

Saben cómo razonar de acuerdo con un sistema lógico deductivo, pero 

esto no es equivalente a razonar con la fuerza de la lógica formal. En  

particular,  no distinguen con claridad una implicación (p implica  q ) de 

su recíproca (q implica p ). 

 

Son capaces de realizar razonamientos deductivos informales, usando 

implícitamente reglas lógicas, por ej. la  regla de la cadena (si p implica q  

y q implica r  entonces p implica r ). 

 

Pueden comprender demostraciones formales cuando se las explica el 

profesor o el libro de texto. 

  

Utilizan las representaciones físicas de las figuras más como una forma de  

verificar  sus deducciones que como un medio para realizarlas. 

 

Pueden clasificar lógicamente diferentes familias de figuras a partir de 

propiedades suyas ya conocidas formuladas con precisión matemática. 

No obstante, sus razonamientos lógicos se siguen  apoyando en la  

manipulación  y sus demostraciones son de tipo informal. 

 

Comprenden el significado de "al menos un", "todo", etc. 

 

Comprenden el papel de las definiciones  y pueden dar definiciones 

matemáticamente correctas. 

 

Son capaces de: 

a) Identificar conjuntos diferentes de propiedades que 

caracterizan a una clase de figuras y comprobar su suficiencia. 

b) Identificar conjuntos mínimos de propiedades que pueden 

caracterizar a una figura. 

c) Formular y utilizar una definición para una clase de figuras. 

 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  217 

 

 

Pueden modificar definiciones y usar inmediatamente definiciones de 

conceptos nuevos. 

 

En sus demostraciones, hacen referencias explícitas a las definiciones. 

 

Son capaces de aceptar formas equivalentes de una definición. 

 

Nivel 4 (Deducción formal): El razonamiento  geométrico de este nivel se 

caracteriza porque los estudiantes: 

 

Pueden  entender y realizar razonamientos lógico formales. Las 

demostraciones  (de varios pasos)  ya tienen  sentido para ellos y aceptan 

su necesidad como único medio para verificar la veracidad de una 

afirmación. 

 

Realizan con frecuencia conjeturas e intentos de verificar las conjeturas 

deductivamente. 

 

Pueden construir, no sólo memorizar, demostraciones y ven la posibilidad  

de desarrollar  una  demostración  de  distintas maneras. Pueden 

comparar y contrastar demostraciones diferentes de un mismo teorema. 

 

Comprenden las interacciones entre las condiciones necesarias y las 

suficientes y distinguen entre una implicación (p implica q) y su recíproca 

(q implica p ). 

  

Aceptan la existencia de definiciones equivalentes del mismo concepto y 

son capaces de demostrar su equivalencia. 

 

Pueden comprender la estructura axiomática de las Matemáticas, es 

decir el sentido y la utilidad de términos no definidos, axiomas, teoremas. 

 

Pueden  pensar en las mismas cuestiones que en el nivel anterior pero 

razonando o justificando las afirmaciones de manera rigurosa. 

 

Dan argumentos deductivos formales, pero no investigan  los sistemas  

axiomáticos en  sí mismos  ni  comparan  sistemas axiomáticos diferentes. 



Florencio López de Silanes 

 

218 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Nivel 5 (Rigor): El razonamiento geométrico de este nivel se caracteriza porque 

los estudiantes: 

 

Se encuentran en el  máximo nivel de rigor matemático según los 

parámetros actuales. 

Son capaces de prescindir de cualquier  soporte concreto para desarrollar 

su actividad matemática. 

 

Aceptan  la existencia  de  sistemas axiomáticos  diferentes  y puede 

analizarlos y compararlos. 

 

 

 

 

 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  219 

 

6.12.- Apéndice F. Descriptores de los niveles de van Hiele para la 

semejanza 

 

De esta manera se confeccionó la lista de los indicadores de nivel de van 

Hiele para la semejanza, como sigue (Gutiérrez Rodríguez, A.; Gualdrón Pinto, 

E.,  2007):  

 

Nivel 1. Reconocimiento 

 

- Reconocen figuras semejantes basándose solamente en la apariencia de 

ellas.  

- En este nivel los estudiantes ven las figuras como un todo y describen las 

diferencias y semejanzas de ellas usando lenguaje tal como, más grande, 

más pequeño, estirado, ampliado. Por ejemplo, cuando esté decidiendo 

la semejanza de dos dibujos podría decir, “la cabeza es demasiado 

grande, si se compara con el tronco”, o “este rectángulo no es tan largo 

como éste”. Además de incluir atributos irrelevantes en las descripciones 

que hacen. 

- Los estudiantes empiezan a percibir las características matemáticas de la 

semejanza, pero aún lo hacen de manera aislada. 

 

Nivel 2. Análisis 

 

- Los estudiantes se centran en aspectos matemáticos específicos de las 

figuras tales como las longitudes de los lados y medidas de los ángulos así 

que ellos pueden deducir cuáles son las condiciones necesarias para que 

las figuras sean semejantes.  

 

- Las transformaciones usadas en semejanza, las ampliaciones y 

reducciones, son centrales en todas las actividades en las cuales los 

estudiantes crean figuras semejantes. 

- La orientación de las figuras semejantes es vista como irrelevante. 

- Pueden realizar construcciones de figuras semejantes al darles el factor 

de semejanza y además predecir si la figura resultante será una 

ampliación, una reducción o una figura idéntica a la dada. 



Florencio López de Silanes 

 

220 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

- Realiza la deducción de propiedades matemáticas mediante 

experimentación y generalización. Además, generaliza dichas 

propiedades a otros tipos de figuras. 

- Realiza demostraciones que tienen que ver con la semejanza de figuras 

verificando que se cumple en algunos casos. 

  

Nivel 3. Clasificación 

 

- Los estudiantes son capaces de comprender y manipular relaciones entre 

propiedades de figuras semejantes. Por ejemplo, ellos pueden deducir 

que si dos triángulos son equiangulares entonces las longitudes de los 

lados correspondientes serán proporcionales. 

- Aquí los estudiantes distinguen entre condiciones suficientes y necesarias 

para la semejanza de figuras. Por ejemplo, ellos reconocen que es 

suficiente que en los triángulos haya ángulos correspondientes iguales 

para que éstos sean semejantes, mientras que en los demás polígonos no 

es suficiente dicha condición. 

- No intentan justificar formalmente la semejanza de figuras, aunque sí 

pueden seguir los pasos de un razonamiento formal en el tema. 

 

Nivel 4. Deducción formal 

 

- Habilidad para razonar deductivamente en la justificación de la 

semejanza de figuras. 

- Demostraciones formales pueden aparecer. 

- Comprensión y utilización de definiciones equivalentes de la semejanza. 

 

 

La diferencia básica entre el nivel 2 y el nivel 1 es que los estudiantes 

han cambiado su forma de ver las figuras semejantes, ya son conscientes que no 

sólo es suficiente observar las figuras y decidir por su parecido, sino que 

también hay condiciones matemáticas que deben cumplirse. 

En los niveles 2 ó superiores se sigue usando el reconocimiento visual 

(nivel 1) para decidir si dos figuras son o no semejantes y, a continuación, se 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  221 

 

pasa a usar un nivel de razonamiento superior para justificar la relación 

observada mediante propiedades o relaciones matemáticas adecuadas.  

Otro avance importante en el razonamiento del segundo nivel respecto 

del anterior está en el desarrollo por parte del estudiante de la capacidad de 

reconocer que las figuras semejantes concretas que está manipulando pueden 

ser representantes de unas familias, por ejemplo el caso de los n-ágonos 

regulares, circunferencias, etc. Por tanto, este nivel es el primero que ofrece un 

razonamiento “matemático”, puesto que es en este en el que los estudiantes 

son capaces de descubrir y generalizar (a partir de la observación y la 

manipulación) propiedades que aún no conocían; por ejemplo, que siempre que 

el factor de semejanza sea mayor que 1, la figura se amplía, cuando es menor 

que 1, se reduce, y cuando es igual a 1, la figura se mantiene. (Ibídem). 



Florencio López de Silanes 

 

222 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

6.13.- Apéndice G. Descriptores de los niveles de van Hiele para las 

Isometrías 

 

Los descriptores de nivel para las isometrías presentados por estos 

autores son (Jaime, A y Gutiérrez, A; 1996): 

 

Nivel 1. (Reconocimiento o visualización): 

 

a) Percepción global de las figuras: en las descripciones se incluyen 

atributos irrelevantes, generalmente referidos a la forma, tamaño o 

posición de figuras específicas o sus elementos destacados. 

b) Percepción individual de las figuras: cada figura es considerada como 

un objeto, independiente de otras figuras de la misma clase. No se 

generalizan las características de una figura a otras de su misma clase, en 

particular si sus formas son bastante diferentes. 

e) Uso de propiedades imprecisas para identificar, comparar, ordenar, o 

caracterizar figuras. 

d) Aprendizaje de un vocabulario matemático básico para hablar de las 

figuras, describirlas, etc., acompañado de otros términos de uso común 

que sustituyen a los matemáticos. 

e) No se suelen reconocer explícitamente las partes que componer las 

figuras ni sus propiedades matemáticas. 

 

Nivel 2. (Análisis): 

 

a) Reconocimiento de que las figuras geométricas están formadas por 

partes o elementos y están dotadas de propiedades matemáticas. Se 

describen las partes que integran una figura y se enuncian sus 

propiedades. Se es capaz de analizar las propiedades matemáticas de las 

figuras. 

b) La definición de un concepto consiste en el recitado de una lista de 

propiedades, lo más exhaustiva posible, pero en la que puede haber 

omisiones de características necesarias. 

e) No se relacionan diferentes propiedades de una figura entre sí o con 

las de otras figuras. No se establecen clasificaciones a partir de relaciones 

entre propiedades. 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  223 

 

d) La deducción de propiedades se hace mediante experimentación. Se 

generalizan dichas propiedades a todas las figuras de la misma familia. 

e) La demostración de una propiedad se realiza mediante su 

comprobación en uno o pocos casos. 

 

Nivel 3. (De clasificación o de Deducción informal u orden): 

 

a) Capacidad para relacionar propiedades de una figura entre sí o con las 

de otras figuras. 

b) Comprensión de lo que es una definición matemática y sus requisitos. 

Se definen correctamente conceptos y familias de figuras. 

c) La demostración de una propiedad se basa en la justificación general 

de su veracidad, para lo cual se usan razonamientos deductivos 

informales. 

d) Comprensión y realización de implicaciones simples en un 

razonamiento formal. Comprensión de los pasos de una demostración 

explicada por el profesor. Capacidad para repetir tal demostración y 

adaptada a otra situación análoga. 

e) Incapacidad para realizar demostraciones formales completas. No se 

logra una visión global de las demostraciones y no se comprende su 

estructura. 

 

Nivel 4. (Deducción): 

 

a) Realización de las demostraciones mediante razonamientos deductivos 

formales. 

b) Capacidad para comprender y desarrollar demostraciones formales. 

Capacidad para adquirir una visión global de las demostraciones y para 

comprender la misión de cada implicación simple en el conjunto. 

e) Aceptación de la posibilidad de demostrar un resultado mediante 

diferentes formas de demostración o a partir de distintas premisas. 

d) Aceptación de la existencia de definiciones equivalentes de un 

concepto y uso indistinto de ellas. 

e) Capacidad para comprender la estructura axiomática de las 

matemáticas: Significado y uso de axiomas, definiciones, teoremas, 

términos no definidos, etc. 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

224 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Nivel 5. (Rigor):  

 

a) Posibilidad de trabajar en sistemas axiomáticos distintos del usual de la 

geometría euclídea. 

b) Capacidad para realizar deducciones abstractas basándose en un 

sistema de axiomas determinado. 

e) Capacidad para establecer la consistencia de un sistema de axiomas. 

Capacidad para comparar sistemas axiomáticos diferentes y decidir sobre 

su equivalencia. 

d) Comprensión de la importancia de la precisión al tratar los 

fundamentos y las relaciones entre estructuras matemáticas. 

 

 



Descriptores de los niveles de  razonamiento 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  225 

 

 

6.14.- Apéndice H. Descriptores de los niveles en el estudio de los 

cuadriláteros 

 

En este apartado mostramos otro conjunto más de descriptores elaborados en 

este caso para el estudio de los cuadriláteros por los mismos autores Jaime y 

Gutiérrez (Jaime, A y Gutiérrez, A.; 1996), como una muestra del universo de 

descriptores de nivel existentes, que han hecho que este tema sea inmanejable, 

ya que muchos autores se han dedicado a escribir su propio conjunto de 

descriptores. 

 

 

Nivel 1: 

 

Los estudiantes identifican cuadrados, rombos, trapecios, etc. por su 

aspecto físico. Consideran cada clase disjunta con las demás. También hacen 

clases diferentes  con  algunos polígonos  de formas muy diferenciadas como, 

por ejemplo, los rectángulos de la figura adjunta. 

Los estudiantes pueden dibujar, recortar o construir los diferentes tipos 

de cuadriláteros conocidos. También pueden reconocer cuadriláteros en 

diferentes contextos y utilizar sus nombres estándar. 

 

Nivel 2: 

 

Los estudiantes definen los polígonos mediante una enumeración 

exhaustiva de sus propiedades. Por ejemplo, identifican un rectángulo como un 

polígono de 4 lados, paralelos dos a dos, con 4 ángulos rectos, con diagonales 

iguales, etc. Por lo tanto, no son capaces de dar definiciones correctas. 

Los estudiantes  no relacionan todavía los diferentes  tipos de 

cuadriláteros: Las siguen percibiendo como clases disjuntas. 

 



Florencio López de Silanes 

 

226 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Nivel 3: 

 

Los estudiantes hacen clasificaciones lógicas de las figuras en base a sus 

propiedades: Ya reconocen que cualquier cuadrado es un rombo pero que no 

todos los rombos son cuadrados, etc. 

Los estudiantes pueden deducir (de manera informal) unas propiedades 

a partir de otras.  Por ejemplo, paralelismo implica igualdad de lados, 

perpendicularidad implica paralelismo de lados opuestos, etc. 

Los estudiantes ya son capaces de definir correctamente (condiciones 

necesarias y suficientes) los diferentes tipos de cuadriláteros que conocen. 

 

Nivel 4: 

 

Los estudiantes pueden manejar las propiedades de los cuadriláteros 

dentro de un contexto formal. 

Los estudiantes pueden comprender y aceptar la existencia de 

diferentes definiciones de una figura, analizarlas y relacionarlas entre sí. Por 

ejemplo: 

* Un rectángulo es un cuadrilátero con los ángulos rectos. 

* Un  rectángulo  es  un cuadrilátero  con diagonales  iguales que se 

cortan en el punto medio. 

* Un rectángulo es un paralelogramo con un ángulo recto. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  227 
 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 7 

 

DESCRIPTORES DE LAS FASES DE APRENDIZAJE  

DEL MODELO DE VAN HIELE 

 

 

7.1.- Introducción 

Para poder realizar nuestros trabajo de campo con las fases de 

aprendizaje del modelo de van Hiele, necesitamos una referencia de estas fases, 

es decir, unos descriptores de los que tengamos seguridad que son 

comúnmente aceptados. Solo así podremos contrastar los resultados de nuestra 

investigación con otras. Como muchos autores han desarrollado diferentes 

conjuntos de descriptores de fase, en este capítulo, estudiaremos descriptores 

de diversas procedencias, para poder seleccionar aquellos descriptores de fase 

comúnmente aceptados desde el origen del modelo de van Hiele.   

Hemos visto los tres principales componentes del modelo de van Hiele: 

el “Insight”, que según van Hiele se define como “comprensión” van Hiele, (P. 

M., 1986: 24). En segundo lugar tenemos los cinco niveles de razonamiento que 

son: nivel 1 o reconocimiento; nivel 2 o de análisis; nivel 3 de clasificación; nivel 

4 o deducción formal; y nivel 5 o de rigor. Por último, las cinco fases de 

aprendizaje: fase 1, información; fase 2, orientación dirigida; fase 3, 

explicitación; fase 4, libre orientación; y, fase 5, integración.  Si el objetivo 

básico de los niveles de razonamiento es estructurar los conocimientos de un 

tema dado, el de las fases de aprendizaje es ayudar a progresar al alumno desde 

un nivel de razonamiento al inmediatamente superior.  



Florencio López de Silanes 

 

228 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

De esta manera, la combinación de los niveles de razonamiento con sus 

correspondientes fases de aprendizaje para cada nivel, constituye un esquema 

para organizar la enseñanza de acuerdo con el modelo van Hiele. Así, el 

recorrido de los  niveles de razonamiento con sus fases de aprendizaje se 

propone promover el “Insight”. (van Hiele, P. M.,  1986). 

 

El Insight. 

 

Dentro del modelo de van Hiele, el “Insight” hace referencia a “los 

cambios que presenta un alumno en su forma de razonamiento, frente a un 

concepto específico, a lo largo de una intervención pedagógica. El “Insight” se 

puede observar y analizar a través del aumento progresivo en el lenguaje 

empleado, y a su vez, en la forma como manifiesta, analiza y emplea el nuevo 

conocimiento adquirido en las nuevas situaciones" (Vasco, E.; Bedoya, J., 2005: 

20). 

Van Hiele considera el “Insight” como “comprensión”, y aunque no 

realiza una definición propia, pues se propone estudiar la comprensión tal y 

como existe en la enseñanza de las matemáticas, intenta en lo posible ceñirse al 

contenido conceptual que se ha venido dando a la “comprensión" en ese 

contexto. Es por ello que “desiste de la metodología que resulta más eficaz en 

matemáticas: elaborar una definición de comprensión para obtener un 

contenido conceptual con el que trabajar cómodamente" (Van Hiele, P.; 1957: 

1). Se alcanza la comprensión para van Hiele, cuando una persona “actúa 

adecuadamente" en una “nueva situación" (van Hiele, P. M., 1986: 24). Las 

actividades rutinarias impiden las relaciones con otros contextos y por ende los  

aprendizajes comprensivos. 

Para aplicar el modelo van Hiele a un concepto específico se requiere el 

establecimiento de una serie de descriptores para cada uno de los niveles de 

razonamiento que permitan la detección de los mismos a partir de las 

actividades de los aprendices. Por esto las tareas o los cuestionarios diseñados 

para la medida de los niveles, deben recoger la relación existente entre un nivel 

y el lenguaje apropiado en cada uno de ellos. La aplicación de estos 

cuestionarios debe tener como objetivo primordial la detección de los niveles 

de pensamiento sin confundirlos con niveles de habilidad o conocimientos 

previos. (van Hiele, P. M., 1986). 



Descriptores de las Fases de Aprendizaje 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  229 
 

Sin embargo, las fases de aprendizaje se proponen para ayudar en la 

instrucción correspondiente a un alumno para que este progrese en su nivel de 

razonamiento. Es importante resaltar que, desarrolladas estas cinco fases, los 

alumnos habrán adquirido una nueva red de relaciones mentales más amplia 

que la anterior, completándola y reformulándola.  

 



Florencio López de Silanes 

 

230 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

7.2.- Las fases de aprendizaje 

 

Las fases de aprendizaje tienen como fin, ayudar a progresar a un 

alumno desde un nivel de razonamiento al inmediatamente superior, y 

básicamente constituyen un esquema para organizar la enseñanza. Las fases de 

aprendizaje son cinco y según Gutiérrez  se describen, (Gutiérrez, A., 1990: 295 

– 384), de la siguiente forma: 

 

Fase 1. Información 

 

Se trata de toma de contacto; el profesor debe informar a los alumnos 

sobre el campo de estudio en el que van a trabajar, que tipo de problemas se 

van a plantear, que materiales van a utilizar, etc. Así mismo, los alumnos 

aprenderán a manejar el material y adquirirán una serie de conocimientos 

básicos imprescindibles para el trabajo matemático propiamente dicho. 

 

Fase 2. Orientación dirigida 

 

Los alumnos empiezan a explorar el campo de estudio por medio de las 

investigaciones basadas en el material que les ha sido proporcionado. El 

objetivo principal de esta fase es conseguir que los alumnos descubran, 

comprendan y aprendan cuales son los conceptos, propiedades, figuras, etc., 

principales en el área que se esta estudiando. En esta fase se construirán los 

elementos básicos de la red de relaciones del nuevo nivel. 

 

Fase 3. Explicitación 

 

Los alumnos intercambian sus experiencias, comentan las regularidades 

observadas, y explican como han resuelto las actividades. Además, se debe 

prestar gran atención a las diferencias en los puntos de vista, ya que el intento 

de cada alumno por justificar su opinión haría que tenga que analizar con 

cuidado sus ideas, ordenarlas y expresarlas con claridad. Es importante recalcar 

que esta fase, no es una fase de aprendizaje de cosas nuevas, sino de revisión 



Descriptores de las Fases de Aprendizaje 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  231 
 

del trabajo hecho antes, de puesta a punto de conclusiones, de práctica y 

perfeccionamiento en la forma de expresarse. 

 

Fase 4. Orientación libre 

 

Los estudiantes aplican los conocimientos y el lenguaje adquirido en 

otras actividades (investigaciones) diferentes a las anteriores. El campo de 

estudio que es en gran parte conocido por los alumnos, debe ser perfeccionado, 

esto se consigue mediante el planteamiento de actividades, que 

preferiblemente puedan desarrollarse de diversas formas o que impliquen 

diferentes soluciones.  

En estas actividades se colocarán indicios que muestren el camino a 

seguir, pero de forma que el estudiante tenga que combinarlos adecuadamente, 

aplicando los conocimientos y la forma de razonar que han adquirido en las 

fases anteriores. 

Este tipo de actividades es la que permitirá completar la red de 

relaciones que se empezó a formar en las fases anteriores, dando lugar a que se 

establezcan relaciones más complejas e importantes". 

 

Fase 5. Integración 

 

Se refuerza la visión general sobre los contenidos, relacionando los 

conocimientos adquiridos con otros campos ya estudiados, pero no aportando 

ningún concepto o propiedad nuevos al estudiante, esta solo debe ser una 

acumulación, comparación e integración de cosas que ya conoce. 

Completadas esta cinco fases, los alumnos habrán adquirido una nueva 

red de relaciones mentales, más amplia que la anterior, complementándola y 

reformulándola, y a partir de ese momento, el alumno ha progresado a un 

nuevo nivel de razonamiento.  

 



Florencio López de Silanes 

 

232 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

7.3.- Módulos de instrucción 

 

Las tareas, actividades y experiencias de aprendizaje propuestas para 

lograr este propósito se denomina “módulos de instrucción” (Fuys, D., 1995: 

11). Un módulo de instrucción es la colección de todas las actividades realizadas 

para cada una de las fases de aprendizaje del modelo de van Hiele para el 

concepto objeto de estudio. Fuys, afirma que el “módulo de instrucción”, debe 

estar basado en el modelo de van Hiele y diseñado para utilizarlo como una 

herramienta de investigación en una prueba que se ajusta a una instrucción 

docente–alumno” (Ibídem). 

Un módulo de instrucción está compuesto por experiencias de 

aprendizaje que pueden ser entendidas no sólo como las que se realizan en el 

aula sino también como aquellas que promueven aprendizajes significativos, 

independientemente del contexto donde se lleven a cabo. Éstas se enfocan de 

tal manera que los alumnos se involucran en procesos de enseñanza y 

aprendizaje más específicos. Así mismo, las experiencias de aprendizaje serán 

aquellas que se realicen con propósitos formativos con el fin de que el alumno 

adquiera nuevas habilidades y destrezas frente al concepto objeto de estudio. 

(Vasco, E.; Bedoya, J., 2005). 

En este mismo sentido, y según las características del modelo de van 

Hiele, dichas experiencias deben ser desarrolladas de forma que permitan al 

alumno participar su propio aprendizaje. Según Gutiérrez “la adquisición por 

una persona de nuevas habilidades de razonamiento es fruto de su propia 

experiencia. Esta experiencia se adquiere unas veces fuera del aula y otras veces 

dentro de ella. La enseñanza adecuada es, aquella que proporciona esa 

experiencia” (Gutiérrez, A., 1990: 330). 

El papel del módulo de instrucción es fundamental para impartir la 

instrucción ya que permite establecer un orden secuencial para la aplicación de 

las actividades propuestas en cada una de las fases de aprendizaje. 

La combinación de los niveles de razonamiento con las fases de 

aprendizaje, nos sugiere una especificación de las actividades con la 

nomenclatura Aij, donde el índice i hace referencia al nivel, y el índice j se 

refiere a la fase de aprendizaje. Así, por ejemplo, A32 se referirá al conjunto de 

actividades existentes o diseñadas para trabajar el tema en cuestión en el nivel 



Descriptores de las Fases de Aprendizaje 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  233 
 

3 y en la fase 2. Los módulos de instrucción los designaremos como Aij, con 

ambos índices comprendidos entre los números 1 y 5.  

Los “módulos de instrucción” los referiremos de esta manera en la 

aplicación del modelo de van Hiele para la especificación de las actividades a 

realizar en el aprendizaje de un tema o concepto en un nivel y fase dados, y a la 

inversa, si deseamos clasificar, de acuerdo con el modelo de van Hiele, textos 

relativos a la enseñanza de conceptos o temas de geometría que se propongan 

a los estudiantes, también nos regiremos por la nomenclatura anterior. 

 

Actividades Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 Fase 5 

Nivel 1 A11 A12 A13 A14 A15 

Nivel 2 A21 A22 A23 A24 A25 

Nivel 3 A31 A32 A33 A34 A35 

Nivel 4 A41 A42 A43 A44 A45 

Nivel 5 A51 A52 A53 A54 A55 
Tabla 1 

 

Para poder realizar la clasificación propuesta anteriormente de las 

actividades de la enseñanza de la geometría de acuerdo con las los niveles de 

razonamiento y las fases de aprendizaje, precisaremos tanto de los 

“descriptores de nivel” como de los “descriptores de fase” que han de cumplir 

los módulos de instrucción anteriores. Los “descriptores de nivel” fueron ya 

definidos en el tema anterior. El objetivo fundamental del tema actual será 

concretar el conjunto de “descriptores de fase” que serán utilizados en este 

trabajo. 

 



Florencio López de Silanes 

 

234 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

7.4.- Descriptores de las fases de aprendizaje  

 

De esta forma, para poder realizar una actividad docente de acuerdo 

con el modelo de van Hiele, o para poder especificar las actividades docentes a 

desarrollar para conseguir la comprensión de un tema o un concepto, o para 

poder decir si una actividad docente está en uno u otro nivel de aprendizaje, es 

preciso definir con precisión las especificaciones que han de exigirse a las 

actividades de una determinada fase de aprendizaje Estas especificaciones que 

han de cumplirse en cada fase aprendizaje se llaman “Descriptores de Fase”. 

En cierta forma, también los descriptores de fase juegan en el 

aprendizaje con referencia al modelo de van Hiele el mismo papel que la unidad 

de medida en una magnitud determinada. Es decir, la fase de aprendizaje 

resultante de la medida de un texto de geometría para la enseñanza será una u 

otra según los descriptores de fase que se apliquen en dicha medida. También 

los descriptores de las fases de van Hiele son una de las piedras angulares que 

configuran el modelo de van Hiele. 

En este capítulo se describen los descriptores de las fases de van Hiele 

que utilizaremos en este trabajo; como han surgido estos descriptores de las 

fases desde los van Hiele hasta ahora, su trazabilidad dentro de la teoría de las 

fases de van Hiele, y su relación con otros descriptores de fase diferentes. 

 

7.4.1.- Alcances de la aplicación de las fases de aprendizaje 

 

A través de las observaciones realizadas durante la aplicación de 

experiencias de aprendizaje, y de los resultados obtenidos, podrá observarse 

cómo los alumnos van adquiriendo el lenguaje propio del nuevo nivel de 

razonamiento para concepto o temática objeto de estudio. 

Por otra parte, el diseño de los módulos de instrucción para los 

conceptos o temas estudiados, debe permitir planificar, desarrollar y aplicar 

actividades de aprendizaje, para que el alumno progrese a través de los niveles 

de razonamiento del modelo de van Hiele.  

Además, al integrar las actividades propuestas en cada una de las fases, 

se dota a los alumnos de herramientas que les permitirán potenciar tanto la 



Descriptores de las Fases de Aprendizaje 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  235 
 

utilización del lenguaje del nivel correspondiente, como alcanzar el nivel de 

razonamiento para los conceptos o temas objeto de estudio. 

 

7.4.2.- Implicaciones curriculares del modelo de van Hiele 

 

Mientras que los niveles de razonamiento nos orientan acerca de cómo 

secuenciar y organizar el currículo geométrico de una forma global, el objetivo 

de las fases de aprendizaje es favorecer el desplazamiento del alumno de un 

nivel al inmediatamente superior mediante la organización de las actividades de 

enseñanza. Esto ha permitido que el modelo tuviera una influencia real en la 

elaboración de los currícula de geometría en distintos países como fue el caso 

de la Unión Soviética, E.E.U.U., Países Bajos, etc.  

De esta manera, El modelo de van Hiele proporcionó un esquema útil de 

organización del currículo y del material de aprendizaje, que fue la base, como 

ya se dijo, de la elaboración de currícula de geometría en distintos países, como 

es el caso de la Unión Soviética. Los educadores soviéticos fueron los pioneros, a 

excepción de los holandeses (como país de origen del modelo), que al conocerlo 

y tras unos años de intensas investigaciones y experimentaciones, incorporaron 

el modelo de van Hiele como base teórica para la elaboración de la nueva forma 

curricular que estaban poniendo en marcha y cuya implantación definitiva se 

produjo en 1964. Mucho más tarde ser iniciaron en E.E.U.U. y Europa 

investigaciones curriculares en esta línea, aunque de mucha menos relevancia 

que los trabajos soviéticos.  

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

236 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

7.5.- Los descriptores de fase utilizados en nuestra investigación 

 

Es deseable que los descriptores de fase que utilicemos se adapten al 

entorno y al país en que estamos trabajando. Con este criterio, hemos estimado 

que trabajaremos con un conjunto de descriptores de fase que cumplan las 

condiciones siguientes: 

- Los descriptores de fase se aplicarán a la geometría en general.  

- Deben poder aplicarse a los diferentes currícula de geometría que se 

imparten habitualmente en España. 

- Que se correspondan con las fases de aprendizaje especificadas por los 

van Hiele. 

- Han de estar en consonancia con los criterios comúnmente aceptados 

para las fases de aprendizaje en el contexto de la geometría en general. 

- Que puedan ser aplicados por maestros,  profesores de enseñanza media 

y de enseñanza universitaria. 

 

Teniendo presente los condicionantes anteriores, se ha seleccionado el 

conjunto de descriptores utilizado por L. J. Blanco en “Didáctica de las 

matemáticas II (Didáctica de la Geometría)” y por Sanz en sus trabajos docentes 

con los alumnos de magisterio (Sanz, I. , 2001: 121-127); que ha su vez, derivan 

de diferentes trabajos de investigación, como los de Crowley, para quien "El 

método y la organización de la instrucción, así como los contenidos y el material 

utilizado, son áreas importantes de interés pedagógico"  (Crowley, 1987). 

Los descriptores que utilizaremos los referimos con la nomenclatura F i 

j, donde el índice i hace referencia a la fase a que pertenece el descriptor, y el 

índice j es un número secuencial dentro de cada fase de aprendizaje.  

De esta forma, contamos con los siguientes descriptores de fase: 

 

Fase 1: Información 

 

F.1.1 “En esta fase se procede a tomar contacto con el nuevo tema objeto de 

estudio. El profesor tiene la oportunidad de identificar los conocimientos 



Descriptores de las Fases de Aprendizaje 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  237 
 

previos que puedan tener sus alumnos sobre este nuevo campo de trabajo y su 

nivel de razonamiento en el mismo. 

 

F.1.2 Los alumnos deben recibir información para conocer el campo de estudio 

que van a iniciar, los tipos de problemas que va a resolver, los métodos y 

materiales que utilizarán, etc.“ (Jaime y Gutiérrez, 1996, 90).  

 

Esto es, se presentan a los estudiantes situaciones de aprendizaje dando el 

vocabulario y las observaciones necesarias para el trabajo, y permitiendo la 

familiarización con el material propuesto. 

 

F.1.3 "El propósito de estas actividades es doble: el profesor ve cuáles son los 

conocimientos previos de los estudiantes en relación al tema, y los estudiantes 

ven qué dirección tomarán los estudios posteriores"  (Crowley, M. L., 1987). 

 

 

Fase 2: Orientación dirigida 

 

F.2.1 El profesor, propone una secuencia graduada de actividades a realizar y 

explorar. Estas actividades deberán permitir que los estudiantes descubran y 

aprendan las propiedades de los conceptos implicados. Consecuentemente, las 

actividades propuestas deberán ser tareas cortas y diseñadas para obtener 

respuestas específicas que les lleven directamente a los resultados y 

propiedades que los estudiantes deben entender y aprender. 

 

F.2.2 La ejecución y la reflexión propuesta, guiada por el profesor, servirán de 

motor para propiciar el avance en los niveles de conocimiento. 

 

 

Fase 3: Explicitación 

 

F.3.1 “Los estudiantes expresan de palabra o por escrito los resultados que han 

obtenido, intercambian sus experiencias y discuten sobre ellas con sus 

compañeros y el profesor, con el fin de que lleguen a ser plenamente 

conscientes de las características y relaciones descubiertas y afiancen el 



Florencio López de Silanes 

 

238 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

lenguaje técnico que se corresponde al tema objeto de estudio” (Jaime y 

Gutiérrez, 1996: 91). 

 

Consecuentemente el tipo de trabajo es de discusión y comentarios sobre las 

actividades anteriores, sobre los elementos y propiedades que se hayan 

utilizado y observado. 

 

F.3.2 El papel del profesor será ayudar a los estudiantes a que usen un lenguaje 

preciso y apropiado para describir sus experiencias y comunicar sus 

conocimientos, lo que ayuda a afianzar los nuevos conocimientos. Durante esta 

fase el estudiante estructurará el sistema de relaciones exploradas. 

 

F.3.3 Esta fase debe entenderse “como una actitud permanente de diálogo y 

discusión en todas las actividades de las diferentes fases de aprendizaje“. 

(Ibídem). 

 

 

Fase 4: Orientación libre 

 

F.4.1 Los estudiantes aplican sus conocimientos y lenguaje de forma significativa 

a otras situaciones distintas de las presentadas, pero con estructura 

comparable. Serán tareas abiertas más complejas que puedan presentarse de 

diferentes formas. 

 

F.4.2 “En esta fase se debe producir la consolidación del aprendizaje realizado 

en las fases anteriores. Los estudiantes deberán utilizar los conocimientos 

adquiridos para resolver actividades y problemas diferentes de los anteriores y, 

generalmente, más complejos. 

 

F.4.3 Los problemas que se planteen en esta fase no deben ser una simple 

aplicación directa de una definición o un algoritmo conocidos, sino que 

contendrán nuevas relaciones o propiedades. Estos problemas serán más 

abiertos que los de las fases anteriores, preferiblemente con varias vías de 

resolución y con una o varias soluciones aprendizaje (Ibídem)“.  

 



Descriptores de las Fases de Aprendizaje 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  239 
 

Fase 5: Integración 

 

F.5.1 Los objetos y las relaciones son unificadas e interiorizadas en su sistema 

mental de conocimientos, adquiriendo así una visión general. Las actividades de 

esta fase deben favorecer este objetivo, al mismo tiempo que permitir a los 

profesores evaluar sobre lo conseguido. 

 

F.5.2 El profesor debe presentar una síntesis de lo que los estudiantes han 

trabajado y aprendido, para ayudar a los estudiantes a revisar, integrar y 

diferenciar los conceptos, propiedades, procedimientos, etc. Es importante que 

las actividades que se propongan no impliquen nuevos conceptos, sino sólo la 

organización de los aya adquiridos. 

 



Florencio López de Silanes 

 

240 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

7.6.- Consideraciones sobre los descriptores de fase 

 

Ya habíamos profundizado en la idea de que el modelo de niveles de 

razonamiento de van Hiele, es extensible de la Geometría a las Matemáticas en 

general, y de aquí, a cualquier otra disciplina. Si esto es así con los niveles de 

razonamiento, cuanto más con las fases de aprendizaje. La idea de sintetizar en 

cinco fases el aprendizaje de un tema propuesto por los van Hiele para la 

geometría, es también aplicable a otras disciplinas. Para que esto funcione 

adecuadamente, la estructura y características de las fases han de ser coherente 

y consistente. Esto trasladado al modelo de van Hiele se traduce en que las 

fases de aprendizaje que se especifiquen, cumplan escrupulosamente sus 

descriptores de fase. 

Así como la recursividad establecía claramente la jerarquía entre los 

niveles de razonamiento, en el establecimiento de las fases de aprendizaje no 

disponemos de un indicador tan potente y efectivo. Esto se ha traducido que 

una característica de fase esté en una u otra fase dependiendo del autor en 

cuestión. Por otra parte, la secuenciación de las actividades didácticas, que está 

relacionada indefinitiva, con la secuenciación de las fases de aprendizaje, ha 

sido también tratada de manera diferente por distintos autores.  

Los van Hiele tampoco realizaron explícitamente ninguna relación de los 

“Descriptores de Fase”. Para ellos quizás las fases de aprendizaje estarían 

suficientemente identificadas con las propiedades y comportamientos surgidos 

de los primeros documentos en los que el modelo comenzaba a dibujarse; o 

quizás, no habían pensado todavía en llevar el modelo al terreno práctico, 

manteniéndose ellos exclusivamente en el plano especulativo y teórico.  

De esta manera, el trabajo con los descriptores de fase tiene unas 

restricciones más difusas que el correspondiente con los descriptores de nivel. 

Aquí puede cobrar sentido la realización de descriptores de fase de acuerdo con 

el tema que se está estudiando. Un buen ejemplo los tenemos en los 

descriptores de fase creados para el estudio de la aproximación local (Apéndice 

A) y en particular para lo anterior mediante haces convergentes de tangentes 

(Bedoya Beltrán y otros, 2007), donde se explicitan los descriptores generales 

utilizados por nosotros, para este tema en concreto con el lenguaje propio del 

nivel de razonamiento requerido. 

 



Descriptores de las Fases de Aprendizaje 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  241 
 

7.7.- Apéndice A. Descriptores de fase para estudiar la aproximación 

local 

 

Tomando como base estas definiciones y los diferentes trabajos 

enmarcados dentro del modelo de van Hiele en lo relativo a conceptos del 

análisis matemático, se presentan las pautas teóricas que se tuvieron en cuenta 

para el diseño de experiencias de aprendizaje en cada una de las fases de 

aprendizaje que conforman el modulo de instrucción con relación al concepto 

de aproximación local. En particular, estas pautas han sido implementadas en la 

manifestación de recta tangente a una curva plana en un punto dado sobre ella. 

(Bedoya, B. y otros, 2007).  

 

Fase 1, Información 

• Aplicación de una técnica que permita detectar la información que los 

alumnos poseen en su estructura cognitiva frente a la manifestación del 

concepto de recta tangente a una curva en un punto dado sobre ella. 

• Puesta en común del lenguaje que los alumnos deben tener para estar 

ubicados en este nivel. 

• Manejo del mecanismo seleccionado. 

• Análisis de los datos obtenidos en esta fase y diseño de las experiencias 

de aprendizaje para la siguiente fase. 

 

Fase 2, Orientación dirigida 

• Análisis de distintas situaciones que con lleven por parte del alumno a 

la interiorización de la noción de aproximación. 

• Apropiación del infinito potencial con el cual se abordará el estudio de 

la manifestación del concepto de aproximación local seleccionado. 

• Integración y diferenciación de las situaciones desarrolladas con el 

manejo del mecanismo. 

• Verificación del lenguaje adquirido y el significado dado a las nuevas 

relaciones válidas que realicen los alumnos. 

 

Fase 3, Explicitación 

• Recapitulación del proceso realizado, mediante la implementación de 

actividades que conlleven a la aplicación del concepto de tangente. 



Florencio López de Silanes 

 

242 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Dichas actividades pueden ser orientadas a través de asistentes 

matemáticos, como el Derive o Matlab,  entre otros, o de tests de 

razonamiento. 

• Revisión del lenguaje adquirido, como base del nuevo nivel de 

razonamiento. Debe hacerse énfasis en la forma de expresarse los 

alumnos y las relaciones y propiedades establecidas o creadas durante el 

transcurso del trabajo. 

• Análisis del lenguaje y de las relaciones presentadas por los alumnos. 

 

Esta etapa del proceso debe realizarse en forma individual y grupal, 

dando mayor importancia a los conceptos básicos del trabajo. Además, se 

deben realizar actividades que inviten al descubrimiento de nuevas situaciones 

que lleven a la implementación del mecanismo para determinar si existe o no la 

tangente en un punto de una curva o en una situación práctica. 

 

Fase 4, Orientación libre 

• Planteamiento y análisis de problemas cotidianos en diferentes 

contextos que con lleven a la implementación del mecanismo y 

argumentar cuando la solución existe y cuando no. 

• Revisión y evaluación general del proceso haciendo énfasis en el 

lenguaje adquirido y el significado que el alumno le da al mismo, las 

nuevas relaciones validas construidas y la aplicación del mecanismo en 

situaciones favorables o desfavorables. Como es una fase de evaluación 

del proceso, si no es superado a satisfacción debe retornar a la fase 2 y 

revisar cuidadosamente las actividades propuestas en esta y en las fases 

3 y 4. 

 

Fase 5, Integración 

• Integración de las actividades presentadas anteriormente con otros 

campos del saber que se hayan estudiado previamente. 

• Planteamiento por parte de los alumnos de situaciones amplias, 

aplicadas a otras áreas del saber, en donde la manifestación del concepto 

estudiado tenga relevancia en la solución de las mismas. 

• Verificación de la incorporación del lenguaje propio del nuevo nivel. 

 

 



Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 243 


































SEGUNDA
PARTE








ESTUDIO

DE

CAMPO






 


A

LA

DIVINA

PROPORCIÓN




A
#,
maravillosa
disciplina,


media,
extrema
razón
de
la
hermosura,

que
claramente
acata
la
clausura


viva
en
la
malla
de
tu
ley
divina.





A
#,
cárcel
feliz
de
la
re#na,

áurea
sección,
celeste
cuadratura,


misteriosa
fontana
de
mesura

que
el
Universo
armónico
origina.




A
#,
mar
de
los
sueños,
angulares,


flor
de
las
cinco
formas
regulares,

dodecaedro
azul,
arco
sonoro.


Luces
por
alas
un
compás
ardiente.

Tu
canto
es
una
esfera
transparente.


A
#,
divina
proporción
de
oro.





Rafael
Alber#





















Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 245 






















CAPÍTULO
8





LA
MEDIDA
DEL
NIVEL
DE
RAZONAMIENTO
DE
VAN
HIELE
EN
LOS
LIBROS

DE
TEXTO
DE
GEOMETRÍA
EN
EDUCACIÓN
PRIMARIA,
ENSEÑANZA


SECUNDARIA
OBLIGATORIA,
Y
BACHILLERATO





8.1.‐
Introducción
y
objeLvos
del
estudio
e
invesLgación


En
 los
 tres
 capítulos
 precedentes
 hemos
 estudiado
 las
 caracterís#cas

del
 modelo
 de
 van
 Hiele,
 como
 fue
 concebido,
 su
 estructura,
 su
 campo
 de

aplicación...
 Hemos
 dedicado
 dos
 capítulos
 a
 los
 descriptores
 de
 nivel
 de

razonamiento
y
de
fase
de
aprendizaje
para
poder
aplicar
el
modelo.
El
trabajo

con
el
modelo
de
van
Hiele
exige
como
condición
previa
el
conocimiento
de
los

niveles
 de
 razonamiento
 de
 los
 materiales
 o
 personas
 con
 que
 estamos

trabajando.
 Si
 además
 trabajamos
 con
 ac#vidades
 de
 enseñanza
 es
 preciso

también
 conocer
 además
 la
 fase
 de
 aprendizaje
 en
 que
 dichas
 ac#vidades
 se

aplican.


El
objeto
de
este
estudio
es
la
medida
del
nivel
de
razonamiento
de
los

alumnos
 que
 cursan
 estudios
 de
 geometría
 en
 las
 etapas
 de
 enseñanza:

Enseñanza
 Primaria,
 Enseñanza
 Secundaria
 Obligatoria,
 Bachillerato
 y

Enseñanza
 Universitaria.
 El
 nivel
 de
 razonamiento
 de
 los
 alumnos
 lo

obtendremos
 mediante
 la
 aplicación
 del
 cues#onario
 de
 Usiskin
 pero
 los

resultados
de
esta
medición
nos
dirán
muy
poco
si
no
tenemos
una
referencia




Florencio
López
de
Silanes





246 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




para
 compararlos.
 Es
 decir,
 es
 preciso
 conocer
 el
 nivel
 de
 razonamiento
 que

debieran
 tener
 los
 alumnos
 que
 cursan
 las
 etapas
 educa#vas
 anteriores,
 es

decir,
el
Nivel
de
Razonamiento
requerido
en
dichas
etapas.


La
diversidad
de
estudios
existentes
en
 la
Enseñanza
Universitaria
nos

obliga
 a
 rechazar
 una
 referencia
 en
 esta
 etapa
 educa#va,
 ya
 que
 no
 #ene

sen#do
 comparar
 los
 conocimientos
 de
 geometría
 de
 estudiantes
 de

Matemá#cas
o
Física
con
estudiantes
de
Letras
o
Psicología,
por
elegir
algunas

disciplinas
en
concreto.
No
sucede
lo
mismo
en
las
otras
tres
etapas
educa#vas

que
cuentan
con
un
currículo
unitario
para
los
alumnos
hasta
segundo
curso
de

bachillerato.



Por
 esta
 razón,
 nos
 vamos
 a
 centrar
 en
 conocer
 el
 nivel
 de

razonamiento
 que
 debieran
 tener
 los
 alumnos
 de
 geometría
 en
 las
 etapas
 de

Enseñanza
Primaria,
ESO
y
Bachillerato.
Para
ello
es
 indispensable
disponer
de

los
 contenidos
 reales
 que
 cursan
 los
 alumnos
 de
 estas
 tres
 etapas,
 y
 además

que
esta
información
pueda
ser
tratada
con
el
modelo
de
van
Hiele.
Lo
primero

que
tenemos
que
conocer
entonces,
son
los
contenidos
curriculares
reales
que

estudian
los
alumnos
en
los
colegios
e
ins#tutos.


Cuando
se
diseñan
 los
contenidos
curriculares
de
un
plan
de
estudios,

intervienen
 un
 conjunto
 de
 factores
 cuyo
 análisis
 no
 es
 el
 objeto
 de
 este

estudio,
 pero
 que
 van
 a
 incidir
 considerablemente
 en
 el
 resultado
 de
 ese

trabajo.
Normalmente
se
trazan
unos
obje#vos
por
las
autoridades
académicas,

administra#vas
y
polí#cas,
que
van
a
fijar
el
escenario
del
plan
de
estudios.


En
 geometría,
 los
 contenidos
 en
 diferentes
 planes
 de
 estudios
 se
 han

adaptado
 a
 las
 modas
 y
 tendencias
 de
 diferentes
 épocas
 y
 corrientes
 de

pensamiento.
 Hemos
 conocido
 planes
 de
 estudio
 donde
 la
 geometría
 era

considerada
 como
 el
 objeto
 cienUfico
 y
 central,
 rodeado
 de
 todo
 #po
 de

procedimientos
 y
métodos
 para
 su
 desarrollo
 y
 aplicación.
 Sin
 embargo
 otros

planes
 de
 estudios
 como
 los
 amparados
 por
 la
 escuela
 francesa
 que
 se

denominó
Bourbakí,
crearon
planes
de
estudios
donde
no
cabían
los
contenidos

matemá#cos
 ajenos
 al
 lenguaje
 derivado
 de
 la
 teoría
 de
 conjuntos,
 y
 en

consecuencia,
 la
 enseñanza
 de
 la
 geometría
 estuvo
 relegada
 no
 sólo
 a
 los

úl#mos
 capítulos
 de
 los
 programas
 escolares
 de
 matemá#cas,
 sino
 que,
 se

redujeron
 considerablemente
 sus
 contenidos,
 cambiándose
 además
 los




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 247 




contenidos
de
índole
métrico
por
otros
de
índole
topológico,
es
decir,
el
estudio

de
relaciones
como:
dentro,
fuera,
arriba,
abajo,
cerrado,
abierto,
etc.



El
programa
curricular
actual
de
geometría
en
España,
es
consecuencia

de
las
úl#mas
reformas
educa#vas.
El
objeto
del
estudio
se
centrará
en
analizar

este
currículo
desde
el
punto
de
vista
del
modelo
de
van
Hiele.
Aunque
dicho

modelo
se
tuviera
o
no
presente
en
la
elaboración
del
currículo
de
geometría
en

España,
 punto
 que
 ignoramos,
 resultaría
 interesante
 conocer
 el
 análisis
 del

currículo
educa#vo
español
en
geometría
desde
el
punto
de
vista
del
modelo
de

van
Hiele.


Para
la
realización
de
esta
tarea,
nos
hemos
planteado
varias
vías:


‐ El
estudio
de
las
especificaciones
del
curriculum
educa#vo
de
geometría

de
las
diferentes
en#dades
públicas,
es
decir,
la
administración
central,
y

las
comunidades
autónomas.


‐ La
 toma
 en
 consideración
 de
 las
 regulaciones
 para
 el
 estudio
 de
 la

geometría
en
algunos
centros
educa#vos.


‐ Ir
 directamente
 a
 los
 contenidos
 estudiados
 por
 los
 alumnos
 de

Educación
Primaria,
Educación
Secundaria,
y
Bachillerato.
Los
contenidos

en
geometría,
al
igual
que
en
otras
materias,
que
comúnmente
cursan
los

alumnos,
 están
 reflejados
 en
 los
 libros
 de
 texto,
 con
 mayor
 o
 menor

fortuna,
 con
 mayor
 o
 menor
 éxito,
 pero
 pensamos
 que
 son
 un
 buen

referente
de
los
contenidos
cursados
realmente.
De
forma
que,
cualquier

modificación
 curricular
 o
 metodológica
 establecida
 por
 las

administraciones
 educa#vas
 del
 estado
 o
 de
 las
 comunidades

autónomas,
es
inmediatamente
recogida
por
los
libros
de
texto.


Pensamos
que
los
libros
de
texto
de
geometría,
registran
los
contenidos

geométricos
estudiados
por
 los
alumnos,
 con
mayor
fidelidad
que
otra
 fuente

de
 información
 curricular.
 De
 esta
 forma,
 nuestro
 obje#vo
 es
 analizar

estrictamente
los
contenidos
geométricos
cursados
en
las
Enseñanzas
Primaria,

Secundaria,
y
Bachillerato,
con
la
metodología
surgida
del
modelo
de
van
Hiele;

abstrayéndonos
 de
 otras
 consideraciones,
 obje#vos,
 competencias,
 etc.
 que

todo
programa
educa#vo
lleva
aparejado.


Veremos
 que,
 el
 modelo
 de
 van
 Hiele
 con#ene
 implícitamente

herramientas
para
la
realización
del
estudio
mencionado
anteriormente.




Florencio
López
de
Silanes





248 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




De
 esta
 forma,
 para
 un
 determinado
 curso
 de
 enseñanza
 primaria,

secundaria,
o
de
bachillerato,
se
han
seleccionado
diversos
manuales
de
texto,

para
calificar
solamente
sus
capítulos
de
geometría,
de
acuerdo
con
los
niveles
y

las
 fases
del
modelo
de
van
Hiele.
Así
obtendremos
el
mapa
de
 los
niveles
de

razonamiento
de
van
Hiele,
y
de
las
fases
de
aprendizaje
del
mismo
modelo,
de

los
doce
cursos
correspondientes
a
las
etapas
anteriores.


Con
 el
 conocimiento
 de
 los
 Niveles
 de
 Razonamiento
 y
 las
 Fases
 de

Aprendizaje
requeridos
para
estas
tres
Etapas,
podremos
comparar
y
valorar
los

resultados
 de
 los
 cues#onarios
 aplicados
 a
 los
 alumnos
 de
 dichas
 Etapas.

Además,
el
 conocer
 las
distribuciones
de
 los
Niveles
de
Razonamiento
y
Fases

de
 Aprendizaje,
 aportará
 criterios
 para
 valorarlas,
 ver
 su
 estructura
 y

adecuación
al
modelo
de
van
Hiele.




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 249 







8.2.‐
El
currículo
de
la
geometría
en
la
Enseñanza
Primaria,
Secundaria
y


Bachillerato


El
primer
paso
de
aproximación
al
currículo
de
geometría
en
Enseñanza

Primaria,
Secundaria
y
Bachillerato,
fue
analizar
las
especificaciones
curriculares

de
 los
 organismos
 oficiales
 académicos
 del
 gobierno
 español
 y
 de
 las

comunidades
 autónomas.
 En
 este
 sen#do,
 se
 han
 seleccionado
 los
 requisitos

promulgados
 por
 el
 Ministerio
 de
 Educación
 y
 Ciencia,
 así
 como
 de
 las

Comunidades
Autónomas
de
Andalucía
y
Madrid.


Los
curricula
de
geometría
para
las
Comunidades
de
Andalucía
y
Madrid

se
describen
en
los
siguientes
decretos:


‐ Curriculum
 Primaria
 Decreto
 230/2007,
 por
 el
 que
 se
 establece
 la

ordenación
y
las
enseñanzas
en
Primaria
en
Andalucía.



‐ Curriculum
ESO,
Decreto
231/2007,
por
el
que
se
establece
la
ordenación

y
las
enseñanzas
en
la
ESO
en
Andalucía.


‐ Curriculum
 Bachillerato,
 Decreto
 416/2008,
 por
 el
 que
 se
 establece
 la

ordenación
 y
 las
 enseñanzas
 correspondientes
 al
 Bachillerato
 en

Andalucía.


‐ Decreto
22/2007,
de
10
de
mayo,
del
Consejo
de
Gobierno,
por
el
que
se

establece
 para
 la
 Comunidad
 de
 Madrid
 el
 currículo
 de
 la
 Educación

Primaria.



‐ 
Decreto
23/2007,
de
10
de
mayo,
del
Consejo
de
Gobierno,
por
el
que
se

establece
 para
 la
 Comunidad
 de
 Madrid
 el
 currículo
 de
 la
 Educación

Secundaria
Obligatoria.
 


‐ Decreto
67/2008,
de
19
de
junio,
del
Consejo
de
Gobierno,
por
el
que
se

establece
para
la
Comunidad
de
Madrid
el
currículo
del
Bachillerato.


Las
bases
sobre
las
que
se
sustentan
los
contenidos
de
geometría
en
la

Enseñanza
 Primaria
 se
 describen
 en
 el
 Apéndice
 D,
 cuyos
 contenidos
 son
 un

extracto
de
 las
correspondientes
páginas
web
de
 las
Comunidades
Autónomas

de
Madrid
y
Andalucía.










Florencio
López
de
Silanes





250 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




8.2.1.‐
Currículo
de
geometría
de
la
Comunidad
Autónoma
de
Madrid


Sobre
 la
 importancia
de
 la
enseñanza
de
 la
geometría,
dentro
del
área

de
 las
matemá#cas
en
 la
Comunidad
Autónoma
de
Madrid,
podemos
apuntar

las
siguientes
notas
tomadas
de
la
lectura
de
este
apéndice.
Sólo
dos
de
los
16

obje#vos
para
la
enseñanza
de
las
matemá#cas
hacen
referencia
a
la
enseñanza

de
 la
 geometría
 (Apéndice
 D,
 8.13.1.2).
 De
 la
 misma
 forma,
 sólo
 dos
 de
 los

nueve
 contenidos
 del
 área
 de
 las
 matemá#cas
 se
 refieren
 a
 la
 geometría,

englobando
 aquí
 tanto
 la
 geometría
 propiamente
 dicha
 como
 la
 temá#ca

rela#va
a
 las
medidas
en
general
(Apéndice
D,
8.13.1.3.2
y
8.13.1.3.3).
Esto
da

idea
 del
 poco
 peso
 específico
 dado
 a
 la
 enseñanza
 de
 la
 geometría
 en
 el

currículo
 de
 matemá#cas
 de
 esta
 Comunidad
 Autónoma,
 cuando
 dos
 de
 los

cuatro
bloques
de
contenidos
de
las
matemá#cas
son
del
área
de
la
geometría

(Apéndice
 D,
 8.13.1.3).
 Lo
mismo
 podemos
 decir
 en
 cuanto
 a
 los
 criterios
 de

evaluación
 sugeridos
 para
 el
 área
 de
 matemá#cas,
 donde
 sólo
 10
 de
 los
 32

criterios
 apuntados
 corresponden
 al
 área
 de
 conocimiento
 de
 la
 geometría

(Apéndice
D,
8.13.1.4).


Lo
 anterior
 contrasta
 en
 que
 cuando
 el
 citado
 documento
 hace

referencia
a
las
"Matemá#cas
para
la
vida",
solamente
se
muestran
situaciones

relacionadas
con
la
geometría.


Desde
el
punto
de
vista
de
las
competencias,
el
citado
documento
de
la

Comunidad
 Autónoma
 de
 Madrid,
 reserva
 exclusivamente
 al
 área
 de
 la

geometría
estas
dos
competencias
(Apéndice
D,
8.13.1.6):


‐ Conocimiento
e
integración
en
el
mundo
ksico.

‐ El
conocimiento
matemá#co
es
expresión
universal
de
la
cultura.


Podemos
 así
 decir,
 que
 desde
 el
 punto
 de
 vista
 de
 la
 programación
 y

planificación
de
 la
 enseñanza
de
 las
matemá#cas
en
 la
Comunidad
Autónoma

de
Madrid,
que
aunque
la
geometría
#ene
asignado
dos
de
 los
cuatro
bloques

correspondientes
 a
 las
 matemá#cas,
 su
 peso
 en
 la
 planificación,
 obje#vos,

#empos,
 etc.
 estaría
 en
 el
 orden
 del
 25%,
 sufriendo
 de
 esta
 forma
 un

desplazamiento
 respecto
 de
 otros
 contenidos
 matemá#cos
 (Apéndice
 D,

8.13.1.3).







Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 251 




8.2.2.‐
Currículo
de
geometría
de
la
Comunidad
Autónoma
de
Andalucía





El
 Apéndice
 D
 también
 describir
 las
 bases
 para
 el
 currículo
 de
 la

geometría
en
 los
ciclos
de
Enseñanza
Primaria
en
 la
Comunidad
Autónoma
de

Andalucía.
 En
 esta
 Comunidad
 Autónoma
 se
 destaca
 la
 relevancia
 de
 la

"Resolución
de
problemas",
de
 los
 "Medios
 tecnológicos"
y
del
 "Conocimiento

del
 desarrollo
 histórico
de
 las
matemáticas"
 como
pilares
 importantes
 para
 la

enseñanza
de
las
matemá#cas.
Se
en#ende
la
enseñanza
de
la
geometría
como

"el
estudio
de
las
formas
y
sus
propiedades,
en
especial
las
de
nuestro
entorno"

(Apéndice
D,
8.13.2.2).


Se
define
la
geometría
como
"clasificación,
descripción
y
análisis
de
las

relaciones
y
propiedades
de
las
figuras
en
el
plano
y
en
el
espacio"
(Apéndice
D,

8.13.2.4.2).
De
 los
 seis
núcleos
 temá#cos
contemplados
para
 las
matemá#cas,

sólo
 el
 quinto
 "Las
 formas,
 las
 figuras
 y
 sus
 propiedades",
 y
 parte
 del
 cuarto

"Desarrollo
del
sen#do.
Medida
de
magnitudes"
hacen
referencia
a
contenidos

geométricos
(Apéndice
D,
8.13.2.2).


Es
 importante
 en
 esta
 Comunidad
 Autónoma
 la
 referencia
 con#nua
 a

los
diversos
 recursos
para
apoyar
 la
enseñanza
de
 la
geometría.
Destaquemos

de
 igual
 forma
 que
 existe
 en
 Andalucía
 la
 “Sociedad
 Thales”
 ubicada
 en
 la

Universidad
 de
 Cádiz,
 cuyo
 obje#vo
 es
 proporcionar
 al
 profesorado
 el

conocimiento
de
los
recursos
y
medios
para
la
enseñanza
de
la
geometría
y
de

las
matemá#cas
en
general.
El
autor
es
miembro
de
Thales.


Nos
ha
sorprendido
gratamente
la
referencia
explícita
al
modelo
de
van

Hiele
en
la
Comunidad
Autónoma
de
Andalucía,
cuando
dice
"desarrollo
de
las

capacidades
 geométricas
 siguiendo
 el
 modelo
 de
 van
 Hiele"
 (Apéndice
 D,

8.13.2.4.4).


Por
otra
parte,
son
numerosas
las
referencias
a
las
transformaciones
en

el
plano
como:
las
traslaciones,
giros,
simetrías
y
homotecias,
relacionadas
con

los
 problemas
 co#dianos
 de
 la
 geometría
 de
 la
 vida,
 planos,
 mapas,
 etc.

(Apéndice
D,
8.13.2.3).







Florencio
López
de
Silanes





252 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




8.2.3.‐
 Los
 contenidos
de
 geometría
 de
 la
 Comunidades
Autónomas
de

Andalucía
y
Madrid





La
 base
 de
 los
 contenidos
 en
 geometría
 para
 la
 asignatura
 de

matemá#cas
en
 las
Comunidades
Autónomas
de
Andalucía
y
Madrid
descritas

en
 el
 Apéndice
 E,
 han
 sido
 bajadas
 de
 las
 páginas
 web
 oficiales
 de
 dichas

Comunidades
 Autónomas,
 para
 las
 Enseñanzas
 Primaria,
 Secundaria
 y
 de

Bachillerato
(Apéndice
E).


En
 general,
 y
 para
 las
 Enseñanzas
 Primaria
 y
 Secundaria
 (Apéndice
 E,

8.14.1
y
8.14.2),
se
ha
asimilado
a
la
geometría
los
temas
rela#vos
a
las
medidas

en
 general,
 es
 decir,
 a
 las
medidas
 de
 naturaleza
 geométrica
 o
 no,
 ya
 que
 la

enseñanza
 de
 magnitudes
 como
 los
 ángulos
 y
 el
 #empo
 sigue
 en
 la
 misma

metodología,
 y
 los
 libros
de
 texto
de
matemá#cas
 los
 incluyen
 en
 los
mismos

capítulos.
Lo
mismo
sucede
con
magnitudes
como
el
volumen
y
el
peso.
De
esta

forma
 hemos
 asimilado
 a
 la
 enseñanza
 de
 la
 geometría
 el
 estudio
 de
 las

magnitudes
 geométricas
 como:
 ángulos,
 longitudes,
 áreas
 y
 volúmenes,

juntamente
 con
 el
 estudio
 de
 las
 magnitudes
 no
 estrictamente
 geométricas

como
pueden
ser:
el
#empo,
peso,
etc.


La
 especificación
 de
 los
 contenidos
 se
 hace
 a
 nivel
 global
 de
 la

Enseñanza
 Primaria,
 Secundaria,
 y
 de
 Bachillerato
 en
 ambas
 Comunidades

Autónomas,
 sin
 descender
 en
 los
 contenidos
 a
 nivel
 de
 los
 cursos
 que

componen
 cada
 una
 de
 estas
 enseñanzas.
 No
 obstante,
 se
 aprecia
 por
 la

descripción
de
dichos
contenidos
su
Nivel
de
Razonamiento
según
el
modelo
de

van
Hiele.


De
esta
forma,
se
aprecia
en
la
Enseñanza
Primaria
que,
 la
Comunidad

Autónoma
 de
 Andalucía
 describe
 los
 bloques
 de
Medidas
 y
Magnitudes,
 y
 de

conocimientos
 geométricos
 (Apéndice
 E,
 8.14.1.1)
 en
 el
 primer
 nivel
 de

razonamiento
del
modelo
de
van
Hiele,
mientras
que
la
Comunidad
Autónoma

de
 Madrid,
 describe
 en
 el
 primer
 nivel
 de
 razonamiento
 el
 bloque

correspondiente
a
las
Medidas,
mientras
que
el
bloque
de
Geometría
lo
hace
en

el
primer
y
segundo
nivel
de
razonamiento
del
modelo
de
van
Hiele
(Apéndice

E,
 8.14.1.2).
 Observamos
 también
 diferencias
 de
 nivel
 en
 los
 contenidos

asignados
 a
 la
 Enseñanza
 Secundaria
 (ESO)
 entre
 ambas
 comunidades.
 Así,




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 253 




mientras
que
calificamos
en
el
segundo
nivel
de
razonamiento
los
contenidos
de

geometría
de
la
Comunidad
Autónoma
de
Andalucía
(Apéndice
E,
8.14.2.1);
los

de
 la
 Comunidad
Autónoma
de
Madrid
 están
 en
 el
 segundo
 y
 tercer
 nivel
 de

razonamiento
del
modelo
de
van
Hiele
(Apéndice
E,
8.14.2.2).
Los
contenidos
de

ambas
Comunidades
Autónomas
para
la
etapa
de
Bachillerato
se
corresponden

con
 él
 cuarto
 nivel
 de
 razonamiento
 del
 modelo
 de
 van
 Hiele
 (Apéndice
 E,

8.14.3).
Según
lo
dicho,
observamos
que
la
Comunidad
Autónoma
de
Andalucía,

al
pasar
de
la
etapa
de
Secundaria
a
Bachillerato
pasamos
del
nivel
dos
al
nivel

cuatro
del
modelo
de
van
Hiele,
 es
decir
nos
 falta
el
 tercer
nivel
 en
el
diseño

curricular
de
los
contenidos
de
Geometría
(Apéndice
E,
8.14.3.1).
Si
este
fallo
en

el
 diseño
 curricular
 no
 fuera
 corregido
 por
 los
 profesores
 o
 los
 centros

educa#vos,
 los
estudiantes
de
 la
Comunidad
Autónoma
de
Andalucía
 tendrían

algunos
 problemas
 para
 realizar
 los
 estudios
 de
 geometría
 en
 la
 etapa
 de

Bachillerato
al
nivel
que
se
ha
especificado.





8.2.4.‐
Temario
de
geometría
por
cursos


Para
 resumir
este
apartado,
nos
 faltaría
 completarlo
 con
un
programa

de
 los
 estudios
 de
 geometría
 en
 estas
 tres
 etapas.
 En
 este
 sen#do,
 en
 el

Apéndice
 F
 recogemos
 por
 cursos
 la
 proposición
 temá#ca
 realizada
 por
 estar

dos
 Comunidades
 Autónomas.
 Esta
 información,
 que
 puede
 ser
 interesante

desde
el
punto
de
vista
documenta#vo,
por
su
estructura
y
la
forma
en
que
está

especificada,
no
es
tratable
con
los
procedimientos
que
estamos
u#lizando.
En

los
 apartados
 siguientes
 se
 realizará
 un
 análisis
 detallado
 del
 temario
 de

geometría
por
cursos.























Florencio
López
de
Silanes





254 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




8.3.‐
 La
 Educación
 MatemáLca
 Realista
 y
 los
 libros
 de
 texto
 de

matemáLcas


Un
 precedente
 relacionado
 con
 el
 trabajo
 de
 este
 capítulo
 lo

encontramos
en
la
Educación
Matemá#ca
Realista
(EMR),
que
estudió
los
textos

escolares
 de
 matemá#ca
 u#lizados
 en
 Holanda.
 La
 Educación
 Matemá#ca

Realista
fue
el
objeto
central
del
trabajo
realizado
por
Flavia
Irene
Santamaría.


Flavia
 Irene
 Santamaría
 realizó
 en
 2006
 un
 análisis
 descrip#vo
 de
 los

libros
de
texto
para
la
escuela
primaria
que
se
u#lizaban
en
Holanda.
Dado
que

la
 corriente
didác#ca
dominante
en
ese
país
es
 la
EMR,
 los
 criterios
u#lizados

para
 el
 análisis
 de
 los
 libros
 de
 textos
 se
 basó:
 
 en
 la
 concepción
 de
 la

matemá#ca
 como
 ac#vidad
 humana,
 la
 dis#nción
 entre
 matema#zación

horizontal
y
ver#cal,
el
uso
de
construcciones
y
producciones
libres
como
punto

de
 par#da
 para
 los
 procesos
 de
 esquema#zación
 y
 formulación
 progresiva,
 el

uso
de
modelos,
 se
da
una
gran
 importancia
a
 la
 interacción
entre
 los
actores

del
 proceso
 educa#vo
 dentro
 del
 aula
 y
 una
 fuerte
 interrelación
 entre
 los

diferentes
ejes
curriculares
(Santamaría,
2006)


Para
 esta
 autora:
 “La
 EMR
 es
 una
 perspecAva
 que
 se
 desarrolló
 en

Holanda
 desde
 fines
 de
 los
 años
 setenta
 en
 torno
 al
 trabajo
 del
 matemáAco

Hans
 Freudenthal
 (1905‐1990).
 Desde
 entonces
 se
 ha
 publicado
 numerosa

literatura
que
refleja
los
resultados
posiAvos
de
esta
teoría.
Por
ejemplo,
en
los

EE.UU,
el
enfoque
de
la
EMR
fue
adoptado
en
los
libros
de
texto
de
la
colección

�MatemáAca
en
context�.
Esta
corriente
ha
inspirado
mu
la
 reforma
 en
 la
 enseñanza
 de
 la
 matemáAca
 en
 varios
 países
 tales
 como

Inglaterra,
 Alemania,
 Dinamarca,
 España,
 Portugal,
 Sudáfrica,
 EE.UU.,
 Japón,

Malasia
y
Puerto
Rico”.


La
 Educación
 Matemá#ca
 Realista
 se
 relaciona
 directamente
 con
 el

modelo
 de
 van
 Hiele.
 De
 acuerdo
 con
 el
modelo
 de
 los
 niveles
 de
 van
 Hiele,

según
De
Lange,
el
proceso
de
aprendizaje
procede
a
través
de
tres
niveles
de

pensamiento
(De
Lange,
1996).
Así,
un
alumno
alcanzará:



El
primer
nivel
de
pensamiento
cuando,
a
través
de
la
experimentación,

llegue
 a
 establecer
 caracterís#cas
 fundamentales
 del
 objeto
 de
 estudio

(sin
 relacionarlas
entre
 sí).
Por
ejemplo:
en
este
nivel
el
 alumno
 llega
a

establecer
que
un
triángulo
posee
tres
 lados,
que
existen
dis#ntos
#pos




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 255 




de
 triángulos
según
 la
 longitud
de
 los
 lados
o
considerando
 la
amplitud

de
los
ángulos,
etc.


El
 segundo
nivel,
 tan
pronto
como
aprenda
a
establecer
 interrelaciones

entre
esas
caracterís#cas.
En
este
nivel
puede
encontrar
que
no
existen

triángulos
 equiláteros
 rectángulos,
 o
 que
 todo
 triángulo
 equilátero
 es

equiángulo,
o
que
existe
una
relación
entre
los
lados
y
los
ángulos
de
un

triángulo,
por
ejemplo.


El
tercer
nivel,
cuando
el
alumno
sea
capaz
de
jus#ficar
esas
relaciones
o

interrerelaciones
 a
 par#r
 de
 sus
 propiedades
 y
 del
 uso
 del
 método

matemá#co.
 Es
 capaz
 de
 demostrar
 que
 si
 un
 triángulo
 es
 equilátero

entonces
 es
 equiángulo,
 o
 que
 en
 un
 triángulo
 al
 ángulo
 mayor
 le

corresponde
el
lado
mayor
o
la
llamada
propiedad
triangular,
etc.



Una
diferencia
 importante
entre
 la
 instrucción
 tradicional
 y
 la
 EMR
es

que,
mientras
en
 la
primera
se
comienza
a
 trabajar
desde
el
 segundo
o
 tercer

nivel,
la
EMR
empieza
desde
el
primero
(De
Lange,
1996).


La
Educación
Matemá#ca
Realista
se
basa
en
los
siguientes
principios:


‐ Principio
de
acLvidad:
se
ve
reflejado
en
 la
mul#plicidad
de
situaciones

problemáticas
que
van
desde
el
entorno
co#diano
de
los
alumnos
hasta

situaciones
 dentro
 de
 la
 matemá#ca
 misma
 que
 invitan
 a
 trabajar
 en

ellas.



‐ El
principio
de
realidad:
se
nota
claramente
el
interés
de
los
autores
por

la
 búsqueda
 de
 situaciones
 realistas
 para
 los
 alumnos,
 en
 contextos

diversos
 (reales,
 fantasiosos
 o
 matemá#cos)
 y
 bajo
 dis#ntos
 soportes

(gráficos,
 pictóricos,
 verbales)
 para
 que
 la
 matemá#ca
 surja
 como
 una

matema#zación
de
la
realidad.



‐ Principio
de
niveles:
En
coherencia
con
lo
anterior
se
nota,
a
lo
largo
de

las
 ac#vidades,
 un
 proceso
 que
 #ende
 a
 apoyar
 la
 evolución
 del

conocimiento
matemá#co
 de
 los
 alumnos
mediante
 el
 uso
 de
modelos

como
 puentes
 que
 conectan
 a
 la
 matemá#ca
 de
 las
 situaciones

par#culares
 con
 las
 formulaciones
 más
 abstractas
 y
 formales
 del

conocimiento
implicado.


‐ Principio
 de
 interrelación
 o
 interconexión:
 La
 can#dad
 de
 ac#vidades

rela#vas
al
número
y
a
 las
operaciones
marca
el
peso
que
 la
aritmé#ca

#ene
 en
 los
 primeros
 años
 según
 la
 EMR
 y
 se
 desarrollan

simultáneamente.




Florencio
López
de
Silanes





256 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




La
 relación
de
 la
aritmé#ca
con
 la
geometría
 se
 realiza
a
 través
de
 los

contextos
 de
 los
 problemas
 y
 de
 la
 medida.
 Sin
 embargo,
 es
 cierto
 que
 las

ac#vidades
 referidas
 a
 la
 medida
 y
 a
 la
 geometría
 no
 abundan
 en
 los
 libros

analizados.
 Tal
 como
 lo
 expresa
 van
 Die
 (van
 Die;
 2001)
 pareciera
 que
 en
 la

mayoría
de
las
escuelas
aún
no
se
le
da
prioridad
a
la
geometría
y
están
faltando

libros
guía
que
den
apoyo
a
los
docentes.
(Santamaría,
2006).


Otro
 precedente
 relacionado
 con
 el
 análisis
 de
 los
 libros
 de
 texto
 de

matemá#cas
lo
encontramos
en
los
trabajos
realizados
en
la
Unión
Sovié#ca
en

la
década
de
1960
para
 la
 construcción
curricular
de
 su
 sistema
educa#vo.
En

efecto,
a
pesar
de
los
esfuerzos
de
Freudenthal
y
de
los
van
Hiele
por
la
difusión

del
 modelo
 de
 van
 Hiele,
 el
 modelo
 no
 logró
 captar
 la
 atención
 del
 mundo

occidental.
 Sin
 embargo,
 este
 modelo
 resultó
 de
 gran
 interés
 para
 los

educadores
sovié#cos,
quienes
se
hallaban
inmersos
en
un
proyecto
de
reforma

curricular.
Tras
unos
años
de
 intensas
 inves#gaciones
y
experimentaciones,
 se

incorpora
el
modelo
de
van
Hiele
como
base
teórica
de
la
elaboración
del
nuevo

currículum
 de
 enseñanza
 de
 la
 geometría
 en
 la
 U.R.S.S.,
 cuya
 implantación

defini#va
 se
produce
en
1964.
 Lo
 increíble
de
 la
historia
es
que
hasta
1974
 la

comunidad
 educa#va
 de
 los
 países
 occidentales,
 con
 excepción
 de
 Holanda,

siguió
ignorando
el
modelo
de
van
Hiele
hasta
que
Wirszup
dio
una
conferencia

en
la
reunión
anual
del
N.C.T.M.9
y
publicó
en
1976
un
arUculo
(Wirszup,
1976)

con
un
contenido
similar.
(Santamaría,
2006).


Wirszup
hizo
una
descripción
del
currículum
sovié#co
y
del
modelo
de

van
Hiele
y
alertó
a
los
profesores
de
su
país
ante
el
hecho
de
que
el
currículum

de
 geometría
 sovié#co
 era
 más
 eficaz
 dado
 que
 “los
 alumnos
 sovié#cos

aprenden
 antes,
 más
 y
 mejor
 que
 en
 EE.UU.”
 Actualmente,
 el
 interés
 por
 el

modelo
de
van
Hiele,
tanto
desde
el
punto
de
vista
de
la
inves#gación
educa#va

como
del
de
la
prác#ca
docente,
ha
crecido
en
tal
envergadura,
que
casi
todas

las
inves#gaciones
en
geometría
lo
#enen
en
cuenta.
(Ibídem).


La
 Educación
Matemá#ca
 Realista
 y
 nosotros
 estamos
 trabajando
 con

los
 libros
 de
 texto
 pero
 con
 obje#vos
 muy
 diferentes,
 pues
 mientras
 que
 la

Educación
Matemá#ca
 Realista
 construye
 todo
 el
 sistema
 didác#co,
 nosotros

solamente
 pretendemos
 realizar
medidas
 del
 Nivel
 de
 Razonamiento
 y
 de
 las

Fases
de
Aprendizaje
de
las
ac#vidades
propuestas
por
los
libros
de
texto.







Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 257 




8.4.‐
Metodología


8.4.1.‐
 Bases
 para
 la
 medida
 del
 nivel
 de
 razonamiento
 y
 la
 fase
 de

aprendizaje
 a
 través
 de
 libros
 de
 texto
 en
 la
 Enseñanza
 Primaria,

Enseñanza
Secundaria
Obligatoria
y
Bachillerato


Como
ya
 indicamos
anteriormente,
el
obje#vo
de
esta
 inves#gación
es

realizar,
 si
 es
 posible,
 una
 radiograka
 de
 la
 enseñanza
 de
 la
 geometría
 en
 la

Enseñanza
Primaria,
Enseñanza
Secundaria
Obligatoria
y
Bachillerato
en
España

analizando
los
contenidos
propuestos
por
los
libros
de
texto.


Lo
primero
que
hicimos
 fue
contar
con
un
conjunto
de
 libros
de
 texto

completo
para
los
12
cursos
que
cons#tuyen
las
tres
etapas
anteriores
que
van

desde
los
6
a
los
18
años
de
los
estudiantes.
En
todos
los
cursos
contamos
con

dos
libros
de
texto
alterna#vos,
salvo
en
el
segundo
ciclo
de
Enseñanza
Primaria

y
en
los
dos
cursos
de
Bachillerato.


El
 Apéndice
 A
 relaciona
 el
 contenido
 de
 nuestra
 biblioteca
 para
 el

análisis
de
los
textos
de
geometría
objeto
de
este
trabajo.
Los
libros
de
texto
de

la
editorial
Anaya
fueron
la
columna
en
que
basamos
nuestro
análisis
en
toda
la

Educación
Primaria
salvo
en
segundo
curso
donde
fue
sus#tuido
por
el
libro
de

la
 editorial
 SM,
 por
 no
 disponer
 de
 un
 texto
 de
 la
 primera
 editorial.
 Los

anteriores
 libros
de
 texto
de
 Enseñanza
Primaria
 fueron
 complementados
por

otros
de
las
editoriales
Vicens
Vives,
SM
y
Bruño.


En
 la
 Enseñanza
 Secundaria
 Obligatoria
 nuestros
 textos
 de
 referencia

fueron
los
de
la
editorial
Edebé,
completados
con
otros
de
las
editoriales
Vicens

Vives,
 Edelvives
 y
Mc
Graw
Hill.
 En
 la
 etapa
de
Bachillerato
 solamente
hemos

contado
con
los
libros
de
texto
de
Editex.


Sea
 como
 fuere,
 consideramos
 que
 la
 calidad
 de
 los
 libros
 de
 texto

mencionados
anteriormente,
 son
una
muestra
 representa#va
de
 la
enseñanza

de
 la
 geometría
 en
 la
 Comunidad
 de
 Madrid,
 que
 también
 puede
 hacerse

extensiva
a
todo
el
 territorio
español.
Pensamos
que
el
análisis
de
otros
 libros

de
texto
de
otras
editoriales
no
añadiría
elementos
significa#vos
a
este
estudio.

Por
otra
parte,
todas
las
editoriales
mencionadas
son
de
pres#gio
en
el
mercado

de
libros
de
texto
de
las
tres
etapas
educa#vas
citadas
en
el
territorio
español.


De
 todos
 estos
 libros
 de
 texto,
 hemos
 estudiado
 los
 capítulos
 que
 se

consideran
con
contenido
geométrico,
como
son
los
rela#vos
a
los
estudios
de




Florencio
López
de
Silanes





258 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




topología,
es
decir,
los
estudios
de
las
situaciones
en
la
recta,
en
el
plano
y
en
el

espacio
por
un
observador.
Se
han
incluido
también,
los
capítulos
rela#vos
a
los

sistemas
 de
 unidades
 de
 medida,
 no
 sólo
 en
 las
 magnitudes
 como
 ángulos,

longitudes,
áreas
y
volúmenes;
sino
que
también
las
directamente
relacionadas

con
 ellas
 como
 la
 capacidad
 y
 el
 peso
 que
 tienen
 una
 relación
 directa
 con
 el

volumen.
 Aunque
 las
 unidades
 de
 #empo
 no
 están
 relacionadas
 con
 la

geometría,
 sin
 embargo
 en
 los
 libros
 de
 texto,
 se
 estudian
 en
 los
 mismos

capítulos
 que
 las
 magnitudes
 angulares
 ya
 que
 en
 los
 ángulos
 y
 el
 #empo

u#lizamos
 el
 sistema
 sexagesimal.
 De
 esta
 forma,
 hemos
 incluido
 en
 este

estudio
todos
los
capítulos
de
los
libros
de
texto
rela#vos
a
la
descripción
de
las

unidades,
sus
sistemas,
y
su
medida.


Obviamente,
deben
estar
presentes
en
este
estudio
todos
los
capítulos

de
 los
 libros
 de
 texto
 mencionados
 anteriormente
 que
 hacen
 referencia

explícita
a
los
contenidos
propiamente
geométricos,
ya
sean
éstos
descrip#vos,

metodológicos,
de
medida,
de
análisis,
de
formulaciones
teóricas,
de
cálculo,
o

de
aplicaciones.


El
 objetivo
 es
 entonces
 asignar
 a
 todos
 los
 ítems
 que
 componen
 los

capítulos
de
geometría
de
 los
 libros
de
texto,
el
nivel
de
razonamiento
en
que

están
formulados,
así
como
el
descriptor
de
nivel
que
jus#fica
dicha
asignación

de
nivel,
de
acuerdo
con
los
descriptores
de
nivel
que
formulamos
en
el
capítulo

seis.
De
igual
forma,
se
asigna
la
fase
de
aprendizaje
en
que
se
encuentran
cada

uno
de
los
ítems
o
ac#vidades
de
los
capítulos
de
los
libros
de
texto,
así
como
el

descriptor
de
fase
que
la
jus#fica,
todo
de
acuerdo
con
los
descriptores
de
fase

que
acordamos
u#lizar
en
este
trabajo
en
el
capítulo
siete.


Recordemos
 una
 vez
 más
 que
 trabajaremos
 con
 los
 cinco
 niveles
 de

razonamiento
de
van
Hiele:


‐ Nivel
1.
Razonamiento.

‐ Nivel
2.
Análisis.

‐ Nivel
3.
Clasificación.

‐ Nivel
4.
Deducción
formal.

‐ Nivel
5.
Rigor.




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 259 




Y
las
cinco
Fases
de
aprendizaje
siguientes:


‐ Fase
1.
Información.

‐ Fase
2.
Orientación
dirigida.

‐ Fase
3.
Explicitación.

‐ Fase
4.
Orientación
libre.

‐ Fase
5.
Integración.


Con
estas
premisas
hemos
analizado
todos
los
ítems
de
los
capítulos
de

geometría
 de
 los
 libros
 de
 texto
 relacionados
 anteriormente.
 El
 resultado
 de

este
 análisis,
 ha
 sido
 una
 tabla
 donde
 relacionamos
 cursos,
 capítulos
 e
 ítems,

con
 el
 Nivel
 de
 Razonamiento
 de
 van
 Hiele,
 la
 Fase
 de
 Aprendizaje

correspondiente
 a
 cada
 ítem,
 y
 los
 descriptores
 de
 nivel
 y
 fase
 que
 jus#fican

estas
 asignaciones.
 Esta
 tabla
 con
 casi
 800
 registros
 del
 Apéndice
 B,
 es
 el

resultado
 de
 este
 trabajo
 de
 campo,
 es
 decir,
 del
 análisis
 de
 los
 contenidos

geométricos
de
 los
 libros
de
texto
anteriormente
mencionados.
Los
resultados

de
 esta
 inves#gación
 se
 derivarán
 del
 análisis
 de
 los
 datos
 de
 esta
 tabla.

Veremos
que
 la
 tabla
con#ene
diversas
radiograkas
muy
 interesantes
sobre
el

estado
de
la
enseñanza
de
la
geometría
en
España
vista
desde
la
perspec#va
del

modelo
de
van
Hiele.


Añadiremos
que
no
conocemos
ningún
precedente
de
la
medida
de
los

niveles
y
de
las
fases
de
van
Hiele
sobre
los
libros
de
texto
de
los
estudiantes
de

las
 etapas
 de
 Primaria
 Secundaria
 y
 Bachillerato.
 Al
 comienzo
 de
 esta

inves#gación
 desconocíamos
 totalmente
 la
 función
 de
 distribución
 de
 los

niveles
de
razonamiento
y
de
las
fases
de
aprendizaje
sobre
los
libros
de
texto,

sobre
los
cursos
de
estas
etapas
educa#vas












Gráfico

1

Gráfico
2





Florencio
López
de
Silanes





260 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




Pensábamos
 que
 la
 situación
 ideal
 de
 la
 distribución
 del
 nivel
 de

razonamiento
 sobre
 un
 curso
 debiera
 de
 ser
 uniforme
 a
 lo
 largo
 de
 todo
 el

curso,
 sin
variaciones
 significa#vas
en
el
nivel
a
 lo
 largo
de
 todo
el
 curso
y
de

todos
 los
 capítulos
 de
 geometría.
 De
 la
 misma
 forma
 pensábamos
 que
 la

distribución
de
 las
 Fases
de
Aprendizaje
del
modelo
de
 van
Hiele
o
bien
 seria

plana,
 o
 bien
 seguiría
 como
 una
 distribución
 #po
 gausiana,
 como
 parece

derivarse
de
la
formulación
del
modelo
de
van
Hiele.
Es
decir,
como
las
figuras

siguientes
 donde
 los
 valores
 de
 las
 distribuciones
 se
 expresan
 en
 porcentajes

sobre
el
total
para
un
curso,
tanto
para
la
función
de
distribución
#po
gausiana

como
para
la
plana:


Las
gráficas
1
y
2
muestran
la
dualidad
interpreta#va
de
la
teoría
de
van

Hiele
 para
 la
 función
 de
 distribución
 de
 las
 Fases
 de
 Aprendizaje
 en
 un

determinado
 Nivel
 de
 Razonamiento.
 La
 función
 de
 distribución
 uniforme
 se

jus#ficaría
 porque
 el
 modelo
 da
 igual
 importancia
 a
 todas
 las
 fases
 de

aprendizaje,
mientras
que
la
función
de
distribución
#po
gausiana
se
deriva
de

un
 primer
 análisis
 realizado
 de
 las
 ac#vidades
 propuestas
 en
 un
 proceso
 de

aprendizaje,
 ya
 que
 el
 número
 de
 ac#vidades
 observadas
 en
 la
 fase
 de

Explicitación
 (fase
 3)
 son
 mayores
 que
 las
 observadas
 en
 las
 fases
 de

Orientación
 Dirigida
 y
 Orientación
 Libre
 (fases
 2
 y
 4),
 y
 éstas
 a
 su
 vez
 son

mayores
que
las
observadas
en
las
fases
de
Información
e
Integración
(fases
1
y

5).


De
acuerdo
con
el
modelo
de
van
Hiele,
podemos
considerar
un
proceso

de
 aprendizaje
 completo
 aquel
 que
 lleva
 a
 los
 alumnos
 de
 un
 nivel
 de

razonamiento
al
superior,
es
decir,
que
se
produce
un
incremento
posi#vo
en
el

nivel
 de
 razonamiento.
 Este
 proceso
 incremental
 del
 nivel
 de
 razonamiento

puede
 ser
 realizado
 a
 lo
 largo
 de
 varios
 cursos
 académicos,
 como
 veremos

posteriormente
 como
 resultado
 del
 análisis
 de
 los
 libros
 de
 texto.
 En

consecuencia,
 los
períodos
de
análisis
de
 las
Fases
de
Aprendizaje
serán
de
un

curso
o
de
un
Período
de
Aprendizaje
con
el
consiguiente
incremento
del
Nivel

de
Razonamiento.







Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 261 




8.4.2.‐
Comentarios
sobre
los
libros
de
texto
analizados


En
los
 libros
de
texto
u#lizados
para
clasificar
 los
contenidos
mediante

los
 niveles
 de
 razonamiento
 del
 modelo
 de
 van
 Hiele,
 hemos
 u#lizado
 como

unidad
de
clasificación
cada
uno
de
 los
 temas
en
que
 los
autores
han
dividido

los
 capítulos
 de
 estos
 libros.
 Por
 ejemplo,
 en
 un
 capítulo
 denominado
 "Los

polígonos",
 se
 ha
 calificado
 individualmente
 cada
 uno
 de
 sus
 ítems
 como

podrían
 ser:
 los
 triángulos,
 los
 cuadriláteros,
etc.
esto
es
 cierto
para
 todos
 los

niveles
salvo
para
los
dos
primeros
cursos
de
la
Enseñanza
Primaria,
donde
por

las
caracterís#cas
de
estos
niveles
y
de
sus
textos
se
ha
calificado
cada
uno
de

los
temas
relacionados
con
la
geometría
que
se
han
ido
encontrando
a
lo
largo

del
texto.
No
obstante,
y
para
facilitar
la
calificación
por
capítulos,
en
la
tabla
de

calificaciones
donde
aparece
nombre
de
cada
capítulo,
pondremos
 también
 la

calificación
 de
 nivel
 y
 fase
 más
 representa#va
 de
 ese
 capítulo.
 Como
 en
 los

textos
 de
 los
 dos
 primeros
 cursos
 de
 la
 Enseñanza
 Primaria
 no
 se
 ha

referenciado
los
capítulos,
se
ha
colocado
en
la
cabecera
de
cada
libro
de
texto

"En
todo
el
 libro"
para
añadir
aquí
 la
calificación
de
nivel
y
fase
más
propia
de

estos
libros
de
texto.


En
 los
 dos
 libros
 de
 texto
 de
 Primer
 Curso
 de
 Enseñanza
 Primaria

coinciden
no
sólo
los
temas
de
geometría
tratados,
sino
que
también,
los
niveles

de
razonamiento
y
las
fases
de
aprendizaje,
así
como
los
descriptores
de
nivel
y

de
 fase
 u#lizados
 en
 esta
 clasificación.
 Echamos
 en
 falta
 que
 a
 pesar
 de
 que

solamente
 se
 ha
 trabajado
 en
 la
 fase
 dos
 (Orientación
 dirigida),
 los
 textos
 no

han
hecho
uso
de
ac#vidades
que
estuvieran
en
la
fase
uno
y
cinco
(Información

e
Integración).


En
Segundo
Curso
de
Enseñanza
Primaria,
hemos
u#lizado
los
textos
de

las
 editoriales
 SM
 y
 Vicens
 Vives.
 Aunque
 hay
 coincidencia
 en
 los
 temas

tratados,
sin
embargo
apreciamos
que
algunos
son
tratados
en
fases
diferentes

por
ellas.
Así
por
ejemplo,
 la
editorial
Vicens
Vives
trata
a
 la
"Medida"
en
fase

tres
 mientras
 que
 la
 editorial
 SM
 lo
 hace
 en
 fase
 cuatro.
 Aunque
 ambas

editoriales
 trabajan
en
el
mismo
nivel,
 sin
embargo
 la
editorial
 SM
 lo
hace
en

una
 fase
 de
 aprendizaje
 más
 avanzada.
 En
 los
 textos
 de
 ambas
 editoriales

seguimos
 echando
 en
 falta
 las
 fases
 de
 aprendizaje
 de
 Reconocimiento
 y
 de

Integración.







Florencio
López
de
Silanes





262 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




Como
 una
muestra
 de
 la
 incoherencia
 del
 lenguaje
 u#lizado
 en
 estos

libros
de
texto,
apuntamos:


‐ Editorial
SM
página
41,
"un
polígono
es
una
línea
poligonal
cerrada
y
su

interior",
 donde
 vemos
 que
 en
 esta
 definición
 se
 hace
 referencia
 a
 lo

definido.


‐ En
la
página
172
del
texto
de
la
misma
editorial
se
comete
el
mismo
fallo

en
 la
 definición
 de
 cuerpos
 redondos
 al
 decir
 que
 "#enen
 partes

redondas".


Esto
 nos
 da
 una
 idea
 del
 lenguaje
 poco
 cuidado
 que
 han
 u#lizado
 los

autores
de
estos
textos,
o
quizás
el
escaso
celo
de
algunas
editoras
en
el
nivel

de
sus
autores.


En
 los
 dos
 primeros
 cursos
 de
 Educación
 Primaria,
 los
 contenidos

rela#vos
a
la
geometría
están
distribuidos
a
lo
largo
de
todo
el
texto,
insertados

con
otros
contenidos
como
 los
números,
etc.
Por
esta
 razón
en
 la
 tabla
no
se

especifica
 el
 capítulo
 (capítulo
 cero)
 donde
 se
 encuentran
 los
 ítems

referenciados.


El
Tercer
Curso
de
Educación
Primaria,
solamente
hemos
dispuesto
del

texto
 de
 la
 Editorial
 Anaya.
 Los
 capítulos
 de
 geometría
 del
 8
 al
 14
 con

contenidos
de
geometría
de
este
 texto,
 todos
 siguen
 la
misma
estructura
que

incluye
los
siguientes
epígrafes:


‐ Leer
para
aprender,
al
principio
del
capítulo.

‐ Repasó
la
unidad,
al
final
del
capítulo.

‐ Mis
competencias,
al
final
del
capítulo.

‐ Vuelvo
atrás,
al
final
del
capítulo.


Vemos
que
en
este
curso
se
trabaja
ya
en
los
niveles
de
razonamiento
1

y
2,
es
decir,
Reconocimiento
y
Análisis.


En
 el
 curso
 siguiente,
 Cuarto
 Curso
 de
 Educación
 Primaria,
 se
 siguen

fielmente
 las
 pautas
 establecidas
 en
 el
 libro
 del
 curso
 anterior
 de
 la
 editorial

Anaya.
 Se
 trabaja
 básicamente
 en
 los
mismos
 niveles
 y
 fases
 que
 en
 el
 curso

anterior.


En
currículo
de
geometría
para
los
cursos
cuarto
y
quinto
de
Educación

Primaria
 ofertado
 por
 la
 editorial
 Anaya,
 se
 repiten
 prác#camente
 los
 dignos




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 263 




temas
en
ambos
cursos,
pero
en
quinto
curso
vemos
cómo
aparecería
el
nivel

tres
de
razonamiento
en
algunos
apartados.


Finalmente,
 la
 editorial
 Anaya
 cierra
 su
 propuesta
 curricular
 para
 la

Enseñanza
Primaria,
 en
 la
misma
 línea
de
 los
dos
 cursos
precedentes,
 pero
 la

aparición
 de
 sencillos
 cálculos
 de
 longitudes,
 perímetros
 de
 figuras,
 áreas,
 y

operaciones
 elementales
 con
 algunos,
 hacen
 aparecer
 ligeramente
 ya
 el
 nivel

tercero
de
los
niveles
de
razonamiento
de
van
Hiele.


El
tercer
nivel
de
razonamiento
de
van
Hiele
se
manifiesta
Umidamente

en
el
 libro
de
 la
editorial
Bruño
para
quinto
curso
de
Enseñanza
Primaria,
 con

mo#vo
de
la
clasificación
de
los
polígonos
y
de
los
poliedros.


Terminamos
de
esta
forma
el
tercer
ciclo
de
la
Enseñanza
Primaria,
con

el
 libro
 de
 texto
 de
 la
 editorial
 Bruño
 para
 sexto
 curso,
 donde
 aflora
 de
 una

forma
 ligera
y
difusa
el
 tercer
nivel
de
razonamiento
del
modelo
de
van
Hiele,

mo#vado
 por
 el
 cálculo
 con
 números
mixtos
 o
 de
 expresión
 compleja
 de
 los

ángulos,
el
#empo
y
otras
unidades,
así
como
 la
clasificación
de
 los
polígonos,

los
poliedros,
los
triángulos,
los
cuadriláteros,
etc.


La
 travesía
 por
 el
 primer
 ciclo
 de
 la
 siguiente
 etapa
 educa#va,
 la

Enseñanza
 Secundaria
 o
 bien
 la
 Enseñanza
 Secundaria
 Obligatoria,
 la

realizaremos
a
caballo
de
las
editoriales
Edebé
y
Vicens
Vives.


El
 libro
 de
 texto
 de
 la
 editorial
 Edebé
 para
 el
 primer
 curso
 de
 la

Educación
 Básica
 Obligatoria
 contempla
 varias
 innovaciones.
 En
 las

innovaciones
de
#po
metodológico
resaltamos
 la
 importancia
de
 las
siguientes

secciones:


‐ Competencias
básicas
y
preparación
de
la
unidad

‐ Resolución
de
problemas

‐ Resumen


Pero
 la
 principal
 innovación
 está
 en
 el
 tratamiento
 de
 los
 contenidos

que
 observamos
 en
 las
 sesiones
 "ángulos
 de
 la
 circunferencia"
 y
 "área
 del

círculo",
 donde
 se
 introduce
 ya
 un
 razonamiento
 deduc#vo
 propio
 del
 tercer

nivel
de
razonamiento
del
modelo
de
van
Hiele.







Florencio
López
de
Silanes





264 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




El
 libro
 de
 texto
 de
 la
 editorial
 Vicens
 Vives
 de
 primer
 curso
 de

Educación
Secundaria
Obligatoria,
cuenta
con
algunos
elementos
interesantes:


‐ Una
sección
introductoria
que
la
llaman
"Calentando
motores",
donde
se

realiza
una
recopilación
de
los
conocimientos
precisos
para
el
desarrollo

del
 capítulo,
 y
 que
 se
 en#ende
 que
 ya
 deben
 haber
 sido
 estudiados
 y

aprehendidos
por
el
alumno.


‐ Terminan
los
capítulos
con
una
sección
denominada
"Lo
esencial",
con
un

buen
resumen
de
los
contenidos
tratados
en
el
capítulo.


‐ Otra
sección
al
final
del
capítulo
es
"Para
profundizar"
presentando
una

colección
de
ejercicios
donde
se
trabaja
la
Fase
4
de
Aprendizaje.


Los
contenidos
de
geometría
tratados
en
este
curso
son
esenciales
para

poder
trabajar
y
dominar
 la
geometría
métrica
euclidiana.
De
 la
misma
forma,

es
un
curso
cuyos
contenidos
pueden
cubrir
muy
bien
las
lagunas
que
el
alumno

pudiera
 traer
 consigo
 de
 cursos
 anteriores.
 En
 defini#va,
 es
 un
 curso
 que
 va

servir
de
cierre
para
el
Nivel
2
de
los
niveles
de
razonamiento
del
modelo
de
van

Hiele,
y
que
puede
ser
 la
 llave
para
 los
niveles
superiores
de
razonamiento
en

los
estudios
de
geometría.


El
estudio
de
la
geometría
realizado
por
el
libro
de
texto
de
la
editorial

Edebé
 de
 segundo
 curso
 de
 Enseñanza
 Secundaria
 Obligatoria,
 ya
 va

adquiriendo
 el
 nivel
 básico
 para
 la
 geometría
 métrica
 euclidiana,
 es
 decir,
 el

Nivel
3
de
razonamiento
de
van
Hiele,
ya
que
con#nuamente
se
hace
referencia

a
 las
definiciones
de
 forma
precisa.
En
 todos
 los
apartados
ya
se
 trabaja
en
el

Nivel
 3,
 así
 como
en
 la
 Fase
de
Aprendizaje
3,
 que
 llamamos
de
Explicitación,

sobre
 todo
por
 la
u#lización
de
un
 lenguaje
preciso.
Son
 también
 importantes

las
 demostraciones
 intui#vas
 realizadas
 por
 ejemplo,
 para
 el
 volumen
 de
 la

pirámide
par#endo
del
volumen
del
cubo,
la
superficie
de
la
esfera
par#endo
de

la
del
cilindro,
y
el
volumen
de
la
esfera
par#endo
del
volumen
de
la
pirámide.


El
 texto
 de
 la
 editorial
 Edelvives
 para
 segundo
 curso
 de
 Enseñanza

Secundaria
Obligatoria
destaca
por
la
belleza
y
la
mul#tud
de
sus
ilustraciones.

Desde
el
punto
de
vista
del
nivel
de
los
contenidos,
no
hay
grandes
diferencias

respecto
al
los
libros
de
texto
del
úl#mo
ciclo
de
la
Enseñanza
Primaria,
estando

solamente
algunos
ítems
en
el
Nivel
3
de
Razonamiento.
Desde
el
punto
de
vista

metodológico
es
un
texto
que
está
más
en
línea
con
los
de
el
úl#mo
ciclo
de
la




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 265 




Enseñanza
 Primaria
 que
 de
 la
 ESO,
 proponiendo
 casi
 siempre
 ac#vidades

exploratorias
más
que
definiciones
y
deducciones.


En
 la
proposición
para
 tercer
curso
de
 la
ESO
realizada
por
 la
editorial

Edebé,
 se
 dedica
 tanto
 a
 trabajar
 los
 contenidos
 ya
 aprendidos
 como
 a

consolidarlos
y
a
cerrarlos,
trabajando
de
esta
forma
la
geometría
al
Nivel
3
en

las
Fases
de
Aprendizaje
3,
4
y
5.
Man#enen
las
secciones
de:


‐ Competencias
 básicas.
 Preparación
 de
 la
 unidad.
 Al
 comienzo
 del

capítulo.


‐ Ac#vidades
resueltas.
Al
final
del
capítulo.

‐ Repasa.
Al
final
del
capítulo.


El
libro
de
la
editorial
MC
Graw
Hill
para
tercer
curso
de
la
ESO
está
en

línea
con
las
otras
editoriales
en
cuanto
al
Nivel
de
los
contenidos
y
a
las
Fases

de
Aprendizaje.
Nos
ha
llamado
la
atención
el
capítulo
8
como
una
Introducción

a
 la
 Geometría
 Analí#ca,
 realizada
 en
 los
 niveles
 anteriores
 así
 como
 en
 las

mismas
fases
de
aprendizaje.
Al
comienzo
y
final
de
los
capítulos
trabaja
con
las

siguientes
secciones:


‐ ¿Recuerdas
qué
es?

‐ Para
repasar
en
grupo

‐ Curiosidades
juegos
y
desakos


El
 libro
 de
 la
 editorial
 Edebé
 para
 cuarto
 curso
 de
 la
 Enseñanza

Secundaria
Obligatoria
completa
el
programa
de
contenidos
para
 la
Enseñanza

Secundaria
 con
 los
 tres
 temas
 siguientes:
 Semejanza
 en
 el
 espacio,

Trigonometría,
y
Geometría
analí#ca
en
el
plano.
En
este
úl#mo
tema
apunta
ya

hacia
 los
 métodos
 de
 Nivel
 4.
 Con#núa
 manteniendo
 las
 secciones

complementarias
que
ya
vimos
en
otros
libros
de
texto
de
esta
editorial.


Del
libro
de
texto
de
la
editorial
MC
Graw
Hill
puede
afirmarse
que
#ene

todas
 las
 caracterís#cas
 del
 libro
 de
 la
 editorial
 Edebé
 para
 cuarto
 curso
 de

Enseñanza
Secundaria
Obligatoria.


La
 propuesta
 realizada
 por
 la
 editorial
 Editex
 para
 primer
 curso
 de

Bachillerato,
 es
 uniforme
 en
 cuanto
 al
 nivel,
 donde
 hemos
 detectado
 algún

a#sbo
del
Nivel
5
en
el
 tratamiento
de
 los
movimientos
en
el
plano
mediante

Números
 Complejos.
 Aparecen
 asimismo,
 los
 esquemas
 conceptuales
 con

precisión
 para
 el
 trabajo
 del
 alumno
 en
 la
 Fase
 5
 de
 Aprendizaje.
 Lo
 mismo




Florencio
López
de
Silanes





266 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




sucede
 con
 la
 propuesta
 de
 esta
 editorial
 para
 el
 úl#mo
 de
 los
 cursos
 de

Bachillerato,
que
se
desarrolla
en
el
Nivel
4
y
en
la
Fase
4
de
Aprendizaje.







Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 267 




8.5.‐
Contenidos
del
currículo
de
geometría
en
 las
etapas
de
Enseñanza

Primaria,
Secundaria
y
Bachillerato


Para
 el
 estudio
 de
 los
 contenidos
 del
 currículo
 de
 geometría
 en
 las

etapas:
Enseñanza
Primaria,
ESO
y
Bachillerato,
u#lizaremos
 los
 resultados
del

análisis
de
los
libros
de
texto
de
geometría
en
estas
tres
etapas.
Nos
ha
parecido

interesante
disponer
de
un
programa
de
 los
contenidos
cursados
en
estas
tres

etapas.
Una
buena
aproximación
al
programa
de
geometría
en
estas
tres
etapas

la
tenemos
en
el
Apéndice
G,
que
es
un
extracto
de
los
programas
curriculares

publicados
en
los
Bole#nes
Oficiales
de
las
Comunidades
Autónomas
de
Madrid

y
 Andalucía.
 Pero
 nuestro
 obje#vo
 no
 está
 en
 el
 análisis
 de
 estas
 fuentes

curriculares,
 sino
 que
 en
 la
 realización
 de
 un
 trabajo
 de
 campo
 que
 los

contenidos
que
realmente
estudian
los
alumnos,
de
los
contenidos
propuestos

por
los
libros
de
texto
de
estas
tres
etapas.


El
 listado
de
 los
nombres
de
 las
 ac#vidades
 recogidas
 en
 los
 libros
de

texto
 a
 lo
 largo
 de
 estos
 doce
 cursos
 es
 un
 buen
 representante
 de
 los

contenidos
de
la
geometría
cursada
en
estas
etapas.
El
problema
está
en
que
no

puede
trabajarse
de
una
forma
eficiente
con
una
lista
tan
grande
de
contenidos.

En
este
sen#do,
hemos
elaborado
una
lista
de
los
contenidos
cursados
en
estas

tres
etapas,
una
lista
que
con#ene
16
temas,
que
no
servirá
de
referencia
para

los
 estudios
 que
 realicemos
 a
 con#nuación
 en
 este
 apartado.
 La
 lista
 de
 los

temas
de
geometría
con
que
trabajaremos
en
estas
tres
etapas
es
la
siguiente:


Los
movimientos
en
el
plano
y
en
el
espacio

los
 hemos
 incluido
 en
 las
 semejanzas,
 ya
 que
 los

movimientos
 de
 traslación
 y
 giro
 en
 los
 diferentes

libros
 de
 texto,
 mal
 casi
 siempre
 asociados
 a
 las

representaciones
en
el
plano.
Hemos
dejado
aparte

las
simetrías,
ya
que
en
estos
 libros
de
 texto,
 tanto

las
 simetrías
 centrales
 como
 las
 axiales
 están

vinculadas
 al
 estudio
 de
 los
 polígonos
 y
 de
 los

poliedros.


Cada
una
de
 las
 ac#vidades
propuestas
por

los
libros
de
texto
se
asocia
a
uno
de
estos
temas
de

geometría,
 como
 vemos
 en
 el
 Apéndice
 B.
 En
 este

trabajo
de
calificación
de
 las
ac#vidades
por
temas,


se
ha
excluido
las
ac#vidades
del
contenido
general
en
cada
capítulo,
como
son


Ángulos

Áreas

Circunferencia

Cuerpos
redondos

Geometría
Analí#ca

Longitudes

Números
complejos

Poliedros

Polígonos

Resolución
de
Triángulos

Semejanzas.
Movimientos

Simetrías

Topología

Trigonometría.

Unidades

Volúmenes




Florencio
López
de
Silanes





268 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




las
que
hacen
referencia
a
la
 introducción
de
los
capítulos,
 las
de
resumen,
las

de
competencias,
problemas...
ya
que
estas
ac#vidades
generales
normalmente

hacen
referencia
a
las
diversas
ac#vidades
tratadas
en
los
capítulos,
que
pueden

ser
de
temas
diferentes,
por
ejemplo,
estas
ac#vidades
con
él
hace
referencia
a

la
 vez
 a
 diferentes
 polígonos,
 circunferencias,
 perímetros,
 áreas...
 y
 en
 estos

casos,
 no
 tenemos
 un
 criterio
 para
 asociarlas
 a
 uno
 de
 los
 temas
 propuestos

anteriormente.


La
 tabla
 siguiente
 resume
 el
 número
 de
 ac#vidades
 por
 curso

clasificadas
según
los
16
Temas
de
Geometría,
que
es
un
buen
índice
no
sólo
de

los
 temas
 curriculares
de
 los
12
 cursos
de
estas
 tres
etapas,
 sino
que
además

muestran
 la
 destrucción
 de
 los
 temas
 de
 geometría
 es
 un
 tratados
 en
 estos

cursos.





Etapa
 Curso
 Á
ng

ul
os



Á
re
as



Ci
rc
un

fe
re
nc
ia



Cu
er
po

s

re
do

nd
os



G
eo

m
et
rí
a

A
na

líL
ca



Lo
ng

it
ud

es



N
úm

er
os

c
om

pl
ej
os



Po
lie
dr
os



Po
líg
on

os



Re
so
lu
ci
ón


d
e


Tr
iá
ng

ul
os



Se
m
ej
an

za
s.



M
ov

im
ie
nt
os



Si
m
et
rí
as



To
po

lo
gí
a


Tr
ig
on

om
et
rí
a.



U
ni
da

de
s


V
ol
úm

en
es



Total


Primaria
 1º
Pri
 
 
 8
 

 

 

 

 

 23
 

 

 

 62
 

 8
 
 2




 2º
Pri
 
 
 

 

 

 

 

 8
 25
 

 

 17
 33
 

 17
 
 2




 3º
Pri
 10
 

 14
 

 

 

 

 7
 24
 

 

 

 

 

 45
 

 9




 4º
Pri
 14
 

 4
 4
 

 

 

 11
 18
 

 14
 7
 

 

 29
 

 8




 5º
Pri
 10
 10
 2
 3
 

 11
 

 11
 17
 

 8
 2
 

 

 19
 8
 9




 6º
Pri
 18
 12
 6
 5
 

 5
 

 5
 15
 

 11
 3
 

 

 12
 8
 10


ESO
 1º
Eso
 17
 13
 9
 1
 

 5
 

 4
 37
 

 

 

 

 

 9
 4
 14




 2º
Eso
 12
 9
 

 7
 4
 1
 

 8
 6
 

 36
 2
 

 

 1
 13
 13




 3º
Eso
 1
 12
 9
 4
 9
 4
 

 12
 16
 

 15
 7
 

 

 

 10
 10




 4º
Eso
 

 

 3
 

 25
 

 

 

 

 6
 33
 

 

 33
 

 

 5


Bachillerato
 1º
Bach
 3
 3
 3
 

 31
 3
 21
 

 

 3
 

 

 

 36
 

 

 11




 2º
Bach
 

 4
 

 4
 72
 12
 

 

 

 

 

 4
 

 

 

 4
 7


Total
 

 9
 7
 5
 3
 12
 4
 2
 6
 15
 1
 11
 3
 2
 6
 11
 5
 100


Tabla
1


De
la
observación
de
la
tabla
deducimos
que
los
estudios
de
geometría

a
 lo
 largo
 de
 estos
 12
 cursos
 se
 agrupan
 en
 cuatro
 fases,
 de
 acuerdo
 con
 los

contenidos
que
predominan
en
cada
una
de
estas
fases,
y
que
en
la
tabla
hemos

diferenciado
por
colores:


‐ La
 primera
 fase
 se
 corresponde
 con
 el
 predominio
 de
 los
 estudios
 de

topología,
durante
los
cursos
primero
y
segundo
de
Enseñanza
Primaria.




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 269 




La
 tabla
 nos
 muestra
 claramente
 el
 predominio
 de
 las
 ac#vidades
 de

topología
y
en
segundo
lugar
la
introducción
al
estudio
de
los
polígonos.

En
 esta
 fase
 se
 introduce
 a
 los
 alumnos
 al
 estudio
 de
 la
 geometría

intui#va.


‐ Los
 temas
 que
 predominan
 en
 la
 segunda
 fase
 son
 los
 rela#vos
 a
 las

"Unidades"
 y
 los
 "Polígonos".
 En
 esta
 fase
 que
 abarca
 los
 cursos

comprendidos
entre
tercero
y
quinto
de
Enseñanza
Primaria,
los
alumnos

se
preparan
para
el
estudio
de
la
geometría
métrica
con
el
conocimiento

de
 las
 unidades
 de
 medida,
 y
 los
 elementos
 a
 los
 que
 aplicarán
 las

medidas:
los
ángulos,
los
polígonos
y
los
poliedros.


‐ En
 la
 tercera
 fase
 que
 va
 desde
 sexto
 curso
 de
 Enseñanza
 Primaria
 a

tercer
curso
de
ESO,
se
estudian
los
contenidos
propiamente
métricos
de

la
geometría
euclidiana,
así
como
las
bases
para
el
dibujo
geométrico.
Los

temas
que
predominan
en
esta
fase
#enen
que
ver
con
esta
afirmación,

son
las
medidas
de
ángulos,
áreas,
volúmenes
y
los
polígonos.


‐ La
cuarta
fase
está
relacionada
con
la
introducción
a
la
geometría
formal.

Los
 temas
 tratados
aquí
 son
"Trigonometría"
y
 "Geometría
Analí#ca",
a

los
 que
 se
 introduce
 al
 alumno
 en
 cuarto
 curso
 de
 ESO,
 para
 que
 los

desarrolle
en
los
dos
cursos
de
Bachillerato.


Si
 lo
 dicho
 anteriormente
 su
 interesante
 desde
 el
 punto
 de
 vista

cualita#vo,
no
es
menos
cierto
que,
el
estudio
de
la
distribución
del
número
de

ac#vidades
 por
 cursos,
 nos
 proporciona
 la
mejor
 herramienta
 para
 el
 estudio

cuan#ta#vo,
de
acuerdo
con
la
gráfica
3.





Gráfico
3





Florencio
López
de
Silanes





270 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




Para
 la
 realización
 de
 la
 distribución
 de
 las
 ac#vidades
 por
 cursos,

hemos
 sumado
 todas
 las
 ac#vidades
 a
 nivel
 de
 curso,
 y
 una
 vez
 totalizadas,

hemos
sacado
los
porcentajes
correspondientes
a
cada
curso,
como
se
muestra

en
 la
 gráfica
 3.
 Esta
 gráfica
 además
 de
 mostrar
 claramente
 las
 cuatro
 fases

aludidas
 en
 el
 párrafo
 anterior:
 la
 preparación
 para
 la
 geometría
 en
 los
 dos

primeros
cursos
se
corresponde
con
la
parte
más
baja
de
la
gráfica;
la
fase
de
de

clasificación
 de
 los
 objetos
 geométricos
 y
 del
 estudio
 de
 las
 unidades
 es
 el

rellano
existente
entre
 los
cursos
tercero
y
quinto
de
Primaria;
 la
fase
caliente

del
estudio
de
 la
geometría
a
estos
niveles
se
corresponde
con
el
pico
de
esta

gráfica
de
ac#vidades
comprendido
entre
los
cursos
sexto
de
Primaria
y
tercero

de
ESO;
le
sigue
el
valle
de
cuarto
curso
de
ESO
correspondiente
al
cambio
de
la

geometría
intui#va
a
la
geometría
formal
que
se
asocia
al
segundo
pico
de
esta

gráfica
en
los
cursos
de
Bachillerato.


La
situación
ideal
de
la
distribución
de
las
ac#vidades
de
geometría
a
lo

largo
de
estos
12
cursos
sería
una
distribución
plana
del
8,3%
a
lo
largo
de
todos

los
cursos.
Vemos
que
esto
es
así
entre
los
cursos
tercero
de
Primaria
y
segundo

de
Bachillerato
con
las
oscilaciones
propias
de
un
proceso
como
éste,
que
pone

claramente
de
manifiesto
lo
lejos
está
de
esta
línea
el
número
de
ac#vidades
de

geometría
cursadas
en
el
Primer
Ciclo
de
Primaria.


De
 acuerdo
 con
 lo
 anterior
 entendemos
 que,
 se
 estudia
 muy
 poca

geometría
 en
 los
 dos
 primeros
 cursos
 de
 Enseñanza
 Primaria,
 ya
 que
 las

ac#vidades
tratadas
en
estos
cursos
están
al
75%
por
debajo
de
la
media
de
las

ac#vidades
de
geometría
en
estas
tres
etapas,
con
lo
que
ahí
se
contaría
con
un

margen
muy
 ancho
 para
 incrementar
 los
 estudios
 de
 geometría
 en
 el
 primer

ciclo
de
Primaria.


La
 lista
 siguiente
 de
 las
 ac#vidades
 cursadas
 en
 las
 tres
 etapas

ordenadas
 de
 mayor
 a
 menor,
 muestra
 claramente
 cómo
 se
 distribuyen
 el

estudio
de
la
geometría
en
las
etapas
de
Enseñanza
Primaria,
ESO
y
Bachillerato.

Casi
 el
 60%
 de
 las
 ac#vidades
 corresponden
 a
 cuatro
 temas:
 polígonos,

geometría
 analí#ca,
 movimientos
 y
 unidades.
 El
 tema
 de
 "Semejanzas.

Movimientos"
está
asociado
a
una
de
 las
modas
 introducidas
en
 la
década
de

los
 90
 para
 la
 didác#ca
 y
 la
 enseñanza
 de
 la
 geometría.
 Consideramos
 que
 el

peso
 tan
 fuerte
 que
 este
 tema
 con#núa
 teniendo
 en
 el
 sistema
 educa#vo

español
no
se
corresponde
con
los
criterios
actuales.




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 271 




El
 mismo
 análisis
 que
 he
 realizado
 en
 el
 párrafo
 anterior,
 podemos

hacerlo
 con
 las
 ac#vidades
 geométricas
 totalizadas
 a
 nivel
 de
 etapa,
 como
 se

demuestra
en
las
tres
tablas
siguientes.





Primaria
 

 ESO
 

 Bachillerato
 


AcLvidades
 Porcentaje
 AcLvidades
 Porcentaje
 AcLvidades
 Porcentaje


Unidades
 24
 Semejanzas.
Movimientos
 19
 Geometría
Analí#ca
 47


Polígonos
 19
 Polígonos
 18
 Trigonometría.
 22


Ángulos
 12
 Ángulos
 10
 Números
complejos
 13


Poliedros
 8
 Áreas
 10
 Longitudes
 6


Semejanzas.
Movimientos
 7
 Volúmenes
 8
 Áreas
 3


Circunferencia
 6
 Geometría
Analí#ca
 7
 Ángulos
 2


Áreas
 5
 Poliedros
 7
 Circunferencia
 2


Topología
 4
 Circunferencia
 5
 Cuerpos
redondos
 2


Longitudes
 4
 Trigonometría.
 4
 Resolución
de
Triángulos
 2


Volúmenes
 4
 Cuerpos
redondos
 4
 Simetrías
 2


Simetrías
 3
 Longitudes
 3
 Volúmenes
 2


Cuerpos
redondos
 3
 Unidades
 3
 Poliedros
 


Geometría
Analí#ca
 
 Simetrías
 2
 Polígonos
 


Números
complejos
 
 Resolución
de
Triángulos
 1
 Semejanzas.
Movimientos
 


Resolución
de
Triángulos
 
 Números
complejos
 
 Topología
 


Trigonometría.
 
 Topología
 
 Unidades
 


Total
 100
 Total
 100
 Total
 100

Tabla
2





A
 nivel
 de
 la
 Enseñanza
 Primaria
 los
 cuatro
 temas
 dominantes
 son:

unidades,
polígonos,
ángulos
y
poliedros,
lo
que
estaría
en
consonancia
con
los

obje#vos
de
la
enseñanza
de
la
geometría
en
esta
etapa.


Sin
embargo
observamos
que,
en
la
Etapa
de
Secundaria
predomina
el

estudio
de
 los
 "Movimientos"
 sobre
 los
obje#vos
propios
en
esta
etapa
 como

son:
el
estudio
de
los
polígonos,
y
los
cálculos
de
longitudes,
áreas
y
volúmenes.


Finalmente,
 la
 Etapa
 de
 Bachillerato
 es
 la
 más
 coherente
 ya
 que
 sus

obje#vos
 en
 los
 estudios
 de
 geometría
 coinciden
 con
 los
 temas
 dominantes,

como
son:
 la
geometría
analí#ca,
 trigonometría
y
 los
números
complejos;
que

son
aplicados
al
cálculo
de
 longitudes,
áreas
y
volúmenes,
así
como
al
estudio

de
las
cónicas,
rectas
y
planos.







Florencio
López
de
Silanes





272 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 







Primaria,
ESO
y
Bachillerato
 


AcLvidades
 Porcentaje

Polígonos
 15

Geometría
Analí#ca
 12

Semejanzas.
Movimientos
 11

Unidades
 11

Ángulos
 9

Áreas
 7

Poliedros
 6

Trigonometría.
 6

Volúmenes
 5

Circunferencia
 5

Longitudes
 4

Cuerpos
redondos
 3

Simetrías
 3

Números
complejos
 2

Topología
 2

Resolución
de
Triángulos
 1

Total
 100


Tabla
3




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 273 




8.6.‐
Resultados
de
la
medida
del
Nivel
de
Razonamiento
del
modelo
de

van
Hiele
en
los
libros
de
texto.


Para
 estudiar
 los
 resultados
 de
 nuestra
 inves#gación
 plasmados
 en
 la

tabla
del
Apéndice
B,
hemos
consolidado
todos
los
datos
de
la
tabla
a
los
niveles

de
 etapa
 y
 de
 curso,
 contando
 los
 niveles
 de
 razonamiento
 de
 los
 citados

registros,
posteriormente
reducimos
estos
datos
a
los
correspondientes
valores

porcentuales
a
nivel
de
cada
curso,
para
obtener
 la
distribución
porcentual
de

los
 Niveles
 de
 Razonamiento
 de
 van
 Hiele
 para
 los
 12
 cursos
 de
 las
 etapas

Primaria,
Secundaria
y
Bachillerato
como
recogemos
en
la
tabla
siguiente.





Distribución
porcentual
de
los
niveles
de

razonamiento
por
cursos



 
 Niveles

Etapa
 Curso
 1
 2
 3
 4
 5
 Total

Primaria
 1º
Pri
 100
 
 
 
 
 100



 2º
Pri
 100
 
 
 
 
 100



 3º
Pri
 26
 74
 
 
 
 100



 4º
Pri
 23
 77
 
 
 
 100



 5º
Pri
 3
 76
 21
 
 
 100



 6º
Pri
 3
 74
 23
 
 
 100

ESO
 1º
Eso
 2
 88
 10
 
 
 100



 2º
Eso
 
 35
 65
 
 
 100



 3º
Eso
 
 6
 94
 
 
 100



 4º
Eso
 
 8
 92
 
 
 100

Bachillerato
 1º
Bach
 
 
 13
 84
 2
 100



 2º
Bach
 
 
 7
 90
 4
 100


Tabla
4





La
 tabla
 precedente
 muestra
 la
 distribución
 de
 los
 niveles
 de

razonamiento
obtenidos
al
analizar
las
ac#vidades
propuestas
a
los
alumnos
en

los
 libros
 de
 texto.
 Los
 valores
 porcentuales
 de
 los
 niveles
 de
 razonamiento

correspondientes
a
dichas
ac#vidades
están
agrupados
por
etapas
y
cursos
(Pri

indica
 Primaria,
 ESO
 indica
 Enseñanza
 Secundaria
 Obligatoria,
 y
 Bach
 resume

Bachillerato).
En
cada
curso
se
indica
el
porcentaje
de
ac#vidades
de
cada
nivel

propuestas
por
los
libros
de
texto,
y
totalizados
en
la
columna
de
la
derecha.




Florencio
López
de
Silanes





274 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




Es
 significa#vo
que
en
 los
 dos
primeros
 cursos
 de
 Enseñanza
Primaria

solamente
se
trabaja
en
el
Primer
Nivel
de
Razonamiento.
Esto
es
lógico
desde

el
 punto
 de
 vista
 de
 que
 los
 alumnos
 no
 disponen
 de
 otro
 nivel,
 y
 todos
 los

esfuerzos
están
orientados
a
la
consolidación
de
dicho
nivel.


En
 el
 Segundo
 Ciclo
 de
 Enseñanza
 Primaria,
 correspondiente
 a
 los

cursos
 tercero
y
 cuarto
de
esta
etapa,
 las
editoriales
proponen
ac#vidades
de

los
 niveles
 primero
 y
 segundo
 del
 modelo
 de
 van
 Hiele,
 pero
 resaltamos
 en

negrilla
que
los
valores
más
altos
son
los
correspondientes
al
segundo
nivel.



También
 los
 mayores
 porcentajes
 de
 nivel
 de
 razonamiento
 se

corresponde
con
el
segundo
nivel
para
los
cursos
del
tercer
ciclo
de
Enseñanza

Primaria
y
el
primer
curso
de
ESO,
sin
embargo,
en
estos
tres
cursos
los
libros
de

texto
proponen
ac#vidades
en
 los
tres
primeros
niveles
de
van
Hiele.
Es
decir,

los
 libros
 de
 texto
 proponen
 ac#vidades
 predominantemente
 en
 el
 segundo

nivel
de
van
Hiele
para
los
cursos
que
van
de
tercero
de
Primaria
a
primero
de
la

ESO,
juntamente
con
ac#vidades
en
primer
y
tercer
nivel
de
razonamiento.
Los

valores
del
primer
nivel
de
razonamiento
no
son
significa#vos,
mientras
que
lo

son
los
del
tercer
nivel.


En
 las
 ac#vidades
 propuestas
 para
 los
 tres
 úl#mos
 cursos
 de
 la
 ESO

predomina
el
porcentaje
 correspondiente
al
 tercer
nivel.
Así
 como,
en
 los
dos

cursos
de
Bachillerato
donde
se
trabaja
en
 los
 tres
úl#mos
niveles
del
modelo

de
van
Hiele,
pero
 las
ac#vidades
se
centran
predominantemente
en
el
cuarto

nivel.


Si
 asignamos
 a
 cada
 curso
el
Nivel
 de
Razonamiento
 asociado
al
 valor

máximo
de
las
distribuciones
anteriores,
tendríamos
la
propuesta
de
Niveles
de

Razonamiento
del
modelo
de
van
Hiele,
realizadas
por
las
editoras
de
libros
de

texto
para
las
tres
Etapas
Educa#vas
que
estamos
estudiando,
y
que
resumimos

en
el
gráfico
4.








Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 275 







Gráfico
4






De
 acuerdo
 con
 esto,
 el
 Primer
 Nivel
 (Nivel
 de
 Reconocimiento)
 se

corresponde
 con
 los
 dos
 primeros
 cursos
 de
 Educación
 Primaria.
 El
 Segundo

Nivel
(Nivel
de
Análisis)
iría
desde
tercer
curso
de
Enseñanza
Primaria
a
primer

curso
 de
 ESO,
 ambos
 inclusive.
 El
 Tercer
 Nivel
 (Nivel
 de
 Clasificación)
 estaría

asociado
 a
 los
 tres
 úl#mos
 cursos
 de
 la
 ESO.
 Finalmente,
 los
 dos
 cursos
 de

Bachillerato
 están
 asociados
 al
 Cuarto
 Nivel
 (Nivel
 de
 Deducción
 Formal)
 de

Razonamiento
del
modelo
de
van
Hiele.


La
siguiente
tabla
muestra
los
valores
medios
de
los
porcentajes
de
las

distribuciones
 de
 los
 niveles
 de
 razonamiento
 en
 que
 trabajan
 las
 editoriales

estudiadas
cuando
se
alcanza
el
aprendizaje
de
un
nivel
determinado,
es
decir,

en
 los
 siguientes
 cursos:
 segundo
 de
 Primaria,
 primero
 y
 cuarto
 de
 ESO,
 y

segundo
curso
del
Bachillerato.
















Florencio
López
de
Silanes





276 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




Distribución
porcentual
media
de
los
niveles
de

razonamiento
cuando
se
Alcanza
el
Nivel
de


Razonamiento


 
 Niveles
trabajados

Etapa
 Curso
 1
 2
 3
 4
 5
 Total
 N

iv
el
es



A
lc
an

za
do

s


Primaria
 1º
Pri
 

 
 
 
 
 
 




 2º
Pri
 100
 
 
 
 
 100
 1



 3º
Pri
 

 

 
 
 
 
 




 4º
Pri
 25
 75
 
 
 
 100
 2



 5º
Pri
 

 

 

 
 
 
 




 6º
Pri
 

 

 

 
 
 
 


ESO
 1º
Eso
 3
 80
 17
 
 
 100
 2



 2º
Eso
 
 

 

 
 
 
 




 3º
Eso
 
 

 

 
 
 
 




 4º
Eso
 
 18
 82
 
 
 100
 3

Bachillerato
 1º
Bach
 
 
 

 

 

 
 




 2º
Bach
 
 
 11
 86
 3
 100
 4

Total

 

 4
 40
 39
 16
 1
 100
 

Total
Nivel
2
 1º
Eso
 7
 79
 14
 
 
 100
 2


Tabla
5


Como
ya
dijimos
anteriormente,
 en
 los
dos
 cursos
del
 Primer
Ciclo
de

Enseñanza
Primaria
 las
editoriales
estudiadas
proponen
solamente
ac#vidades

en
el
Primer
Nivel
de
Razonamiento
del
modelo
de
van
Hiele,
como
vemos
en
el

gráfico
5.





Gráfico
5





Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 277 




Mientras
 que
 en
 el
 Segundo
 Ciclo
 de
 Enseñanza
 Primaria
 proponen

ac#vidades
 en
 los
 dos
 primeros
 niveles
 de
 razonamiento
 del
 modelo
 de
 van

Hiele
 con
 los
 valores
que
muestra
el
 gráfico
6.
 En
 las
 ac#vidades
del
 segundo

nivel
predominan
 los
estudios
de
geometría
de
este
ciclo
en
el
 segundo
nivel,

pero
no
debemos
olvidar
que
el
25%
de
las
ac#vidades
se
corresponden
con
el

primer
nivel
como
consecuencia
de
los
repasos,
y
para
comenzar
los
estudios
de

los
temas
nuevos
de
geometría
de
este
ciclo.








Gráfico
6






Nos
 
 llama
profundamente
 la
 atención
 que
 las
 ac#vidades
 propuestas

en
el
Tercer
Ciclo
de
Enseñanza
Primaria
y
primer
curso
de
ESO
se
corresponden

con
los
tres
primeros
niveles
de
razonamiento
de
van
Hiele
en
el
segundo
nivel

centrados
 con
un
 valor
del
 80%.
 La
presencia
del
 17%
de
ac#vidades
de
nivel

tres
 en
 esta
 etapa,
 es
 decir,
 en
 un
 nivel
 de
 razonamiento
 superior
 al

correspondiente
 en
dichos
 cursos,
 es
 algo
que
 se
 sale
 de
 los
 buenos
usos
 del

modelo
de
van
Hiele,
y
que
dicho
modelo
no
aconseja
explícitamente,
ya
que,

para
 asumir
 los
 contenidos
 del
 tercer
 nivel
 debemos
 terminar
 el
 ciclo
 de

aprendizaje
del
segundo
nivel.







Florencio
López
de
Silanes





278 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 







Gráfico
7


El
 estudio
 de
 las
 ac#vidades
 propuestas
 por
 estas
 editoriales
 para
 el

tercer
nivel
de
razonamiento,
se
realiza
durante
los
tres
úl#mos
cursos
de
ESO.

Al
 igual
 que
 en
 el
 caso
 anterior,
 el
 18%
 de
 las
 ac#vidades
 que
 los
 alumnos

trabajan
 son
 del
 segundo
 nivel,
 y
 se
 corresponde
 fundamentalmente
 con
 la

introducción
 a
 los
 nuevos
 temas
 de
 geometría
 que
 esta
 etapa
 abre
 a
 los

alumnos,
así
como
a
repasos
de
las
etapas
anteriores.








Gráfico
8




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 279 




Durante
 los
 dos
 cursos
 de
 Bachillerato
 los
 alumnos
 trabajan
 las

ac#vidades
 del
 cuarto
 nivel
 que
 proponen
 los
 libros
 de
 texto.
 En
 esta
 etapa

observamos
la
existencia
del
3%
de
ac#vidades
de
quinto
nivel
(Nivel
de
Rigor),

es
decir
a
un
nivel
por
encima
del
alcanzado
por
 los
alumnos,
 y
por
 tanto,
en

una
 situación
 de
 aprendizaje
 no
 recomendada
 por
 el
 modelo
 de
 van
 Hiele.

Tenemos
 también
 un
 11%
 de
 ac#vidades
 del
 tercer
 nivel,
 como
 ac#vidades

repaso
o
introductorias
a
los
nuevos
temas
de
geometría
de
esta
etapa.





Gráfico
9






Finalmente
 el
 gráfico
 10
 expresa
 la
 distribución
 de
 los
 niveles
 de

razonamiento
de
 van
Hiele
durante
 la
 etapa
en
que
 los
 alumnos
adquieren
el

segundo
nivel,
que
va
desde
el
tercer
curso
de
Primaria
hasta
primer
curso
de

ESO.
En
toda
esta
etapa
intermedia,
las
ac#vidades
del
segundo
nivel
son
el
79%

de
 los
estudios
de
geometría.
Ya
hemos
mostrado
nuestros
reparos
al
14%
de

las
ac#vidades
en
el
tercer
nivel,
el
inmediatamente
superior
al
nivel
trabajado,

porque
posiblemente
gran
parte
de
los
alumnos
no
lleguen
a
asimilarlas.
El
7%

de
las
ac#vidades
que
se
realizan
al
primer
nivel
durante
esta
etapa
se
des#nan

básicamente
a
abrir
los
temas
de
geometría
propias
de
esta
etapa.







Florencio
López
de
Silanes





280 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 







Gráfico
10






¿Pero
cuáles
fueron
los
descriptores
de
nivel
u#lizados
en
la
medida
de

los
niveles
de
razonamiento
de
las
ac#vidades
propuestas
por
los
libros
de
texto

de
geometría
en
 las
etapas
educa#vas
de
Primaria,
Secundaria
y
Bachillerato?.

¿Cómo
se
distribuyó
el
uso
de
los
descriptores
de
nivel?.


La
 primera
 columna
 de
 la
 tabla
 siguiente
muestra
 los
 descriptores
 de

nivel
u#lizados
para
cualificar
los
cinco
niveles
de
razonamiento
del
modelo
de

van
Hiele.
Al
 igual
 que
 la
 tabla
que
mostraba
 la
 distribución
de
 los
niveles
de

razonamiento,
 esta
 presenta
 una
 estructura
 en
 diagonal
 desde
 los
 primeros

descriptores
 de
 nivel
 para
 los
 primeros
 cursos
 de
 Primaria
 hasta
 los
 valores

mayores
en
los
cursos
de
Bachillerato.


Esta
 matriz
 diagonal
 cuyas
 cajas
 van
 asociadas
 a
 los
 valores
 del

coeficiente
de
razonamiento,
muestra
a
las
claras
que
el
mayor
ancho
de
banda

de
los
descriptores
de
nivel
fue
u#lizado
en
la
determinación
del
segundo
nivel

de
 razonamiento.
 De
 igual
 forma,
 podemos
 ver
 los
 descriptores
 de
 nivel
más

u#lizados
que
son:
el
2.1
u#lizado
en
el
19%
de
 las
valoraciones
 realizadas,
el

3.4
con
el
12,9%
de
ellas,
el
3.1
con
el
9,5%
y
el
2.3
que
fue
u#lizado
en
el
8,8%

de
dichas
valoraciones.


Esta
 matriz
 diagonal
 cuyas
 cajas
 van
 asociadas
 a
 los
 valores
 del

coeficiente
de
razonamiento,
muestra
a
las
claras
que
el
mayor
ancho
de
banda




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 281 




de
los
descriptores
de
nivel
fue
u#lizado
en
la
determinación
del
segundo
nivel

de
 razonamiento.
 De
 igual
 forma,
 podemos
 ver
 los
 descriptores
 de
 nivel
más

u#lizados
que
son:
el
2.1
u#lizado
en
el
19%
de
 las
valoraciones
 realizadas,
el

3.4
con
el
12,9%
de
ellas,
el
3.1
con
el
9,5%
y
el
2.3
que
fue
u#lizado
en
el
8,8%

de
dichas
valoraciones.





Descriptores
de
nivel
uLlizados.
Porcentajes
a
nivel
de
curso



 Primaria
 

 

 

 

 Secundaria
 

 

 Bachillerato





1º

Pri


2º

Pri


3º

Pri


4º

Pri


5º

Pri


6º

Pri


1º

Eso


2º

Eso


3º

Eso


4º

Eso


1º

Bach


2º

Bach


Media

general


1,1
 100
 33
 
 
 

 

 4
 
 
 
 
 
 2,9

1,2
 

 

 24
 13
 2
 

 

 
 
 
 
 
 2,6

1,3
 

 42
 18
 25
 

 

 

 
 
 
 
 
 3,4

1,5
 

 25
 

 

 4
 7
 

 
 
 
 
 
 1,7

2,1
 
 
 45
 50
 65
 38
 4
 
 
 
 
 
 19,0

2,3
 
 
 

 

 

 

 57
 
 
 
 
 
 8,8

2,4
 
 
 14
 13
 8
 6
 4
 4
 

 

 
 
 4,6

2,5
 
 
 
 
 1
 30
 24
 

 

 

 
 
 7,2

2,7
 
 
 
 
 7
 5
 

 37
 

 

 
 
 6,7

2,8
 
 
 
 
 

 

 

 4
 8
 11
 
 
 2,2

3,1
 
 
 
 
 

 

 

 49
 20
 

 
 
 9,5

3,2
 
 
 
 
 7
 9
 1
 

 1
 6
 
 
 2,5

3,3
 
 
 
 
 7
 2
 4
 6
 

 

 9
 9
 3,7

3,4
 
 
 
 
 

 

 

 

 65
 72
 8
 

 12,9

3,6
 
 
 
 
 

 

 

 

 6
 7
 

 

 1,2

3,8
 
 
 
 
 

 5
 2
 

 

 4
 

 

 1,1

4,3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 66
 68
 7,6

4,4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17
 21
 2,1

5,1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 3
 0,1


Total
 100
 100
 100
 100
 100
 100
 100
 100
 100
 100
 100
 100
 100

Tabla
6







Florencio
López
de
Silanes





282 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




8.7.‐
Resultados
de
 la
medida
de
 la
Fase
de
Aprendizaje
del
modelo
de

van
Hiele
en
los
libros
de
texto


Como
ya
habíamos
apuntado
anteriormente,
no
 sólo
es
 interesante
el

coeficiente
de
razonamiento
de
las
ac#vidades
propuestas
para
el
estudio
de
la

geometría
 por
 los
 libros
 de
 texto,
 sino
 que
 también
 lo
 son
 las
 Fases
 de

Aprendizaje
 del
 modelo
 de
 van
 Hiele
 correspondientes
 a
 dichas
 ac#vidades.

Recordemos
 aquí
 que
 el
 modelo
 de
 van
 Hiele
 propone
 trabajar
 en
 todas
 las

fases
en
cada
nivel
de
razonamiento.
En
este
sen#do,
la
tabla
siguiente
resume

los
 valores
 porcentuales
 por
 cursos
 de
 la
 distribución
 de
 las
 Fases
 de

Aprendizaje
correspondiente
a
las
ac#vidades
propuestas
por
los
libros
de
texto

de
geometría.





Distribución
porcentual
de
las
Fases
por
cursos


 
 Fases
trabajadas

 

Etapa
 Curso
 1
 2
 3
 4
 5
 Total


Primaria
 1º
Pri
 
 100
 

 

 
 100



 2º
Pri
 
 36
 27
 36
 
 100



 3º
Pri
 9
 29
 7
 9
 47
 100



 4º
Pri
 4
 22
 16
 16
 41
 100



 5º
Pri
 4
 34
 20
 13
 29
 100



 6º
Pri
 5
 44
 20
 11
 20
 100

ESO
 1º
Eso
 3
 38
 34
 8
 17
 100



 2º
Eso
 3
 31
 47
 12
 7
 100



 3º
Eso
 3
 

 61
 35
 2
 100



 4º
Eso
 4
 

 55
 33
 9
 100

Bachillerato
 1º
Bach
 
 
 58
 29
 14
 100



 2º
Bach
 
 
 63
 24
 13
 100


Tabla
7





Esta
tabla
está
obtenida
directamente
de
los
resultados
medidos
de
los

Niveles
 y
 Fases
 de
 las
 ac#vidades
 de
 geometría
 de
 los
 libros
 de
 texto
 y

mostrados
en
el
Apéndice
B,
donde
hemos
contado
las
fases
trabajadas
en
cada

Etapa,
para
cada
curso
y
para
todos
 los
capítulos
de
 las
editoriales
estudiadas.

Los
valores
de
esta
tabla
están
expresados
en
los
porcentajes
asignados
a
cada




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 283 




una
de
 las
 fases
 totalizadas
a
nivel
de
 los
12
 cursos
que
 componen
estas
 tres

etapas
educa#vas.


El
primer
resultado
que
nos
ha
llamado
la
atención
fue
que
en
el
primer

curso
de
Primaria
 todas
 las
 ac#vidades
propuestas
 se
 encuadren
dentro
de
 la

Segunda
Fase
de
Aprendizaje
(Fase
2
es
de
Orientación
Dirigida).
Decimos
esto

al
hilo
de
que
el
modelo
de
van
Hiele
recomienda
trabajar
todos
los
niveles
de

razonamiento
en
 las
 cinco
 fases
de
aprendizaje,
 y
en
este
 curso
 solamente
 se

trabaja
 en
 la
 segunda
 fase
 obviando
 los
 libros
 de
 texto
 manejados
 proponer

ac#vidades
 en
 las
 otras
 cuatro
 fases
 de
 aprendizaje.
 Esto
 trata
 de
 corregirse

parcialmente
 en
 el
 segundo
 curso
 de
 Primaria
 donde
 el
 abanico
 de
 las
 fases

trabajadas
 se
 amplía
 a
 tres,
 pero
 no
 llega
 a
 las
 cinco
 fases.
 El
 prescindir

explícitamente
 en
 este
 Primer
 Ciclo
 de
 Primaria
 de
 las
 fases
 uno
 y
 cinco,
 es

decir,
 de
 las
 fases
 de
 Información
 e
 Integración,
 supone
 que
 las
 editoriales

trabajadas
no
conkan
en
que
los
alumnos
de
esas
edades
tengan
desarrolladas

las
capacidades
para
poder
trabajar
y
aprovechar
dichas
fases.


La
 tabla
 anterior
 también
 pone
 de
 manifiesto
 un
 segundo
 hecho

relevante,
al
proponer
como
ac#vidades
más
importantes
las
trabajadas
en
fase

dos
 desde
 Primer
 Curso
 de
 Primaria
 hasta
 Primer
 Curso
 de
 ESO.
 Esto
 supone

que
 en
 estos
 cursos
 los
 alumnos
 aprenden
 geometría
 básicamente
 por
 las

ac#vidades
que
les
propone
el
profesor,
o
en
este
caso,
las
ac#vidades
dirigidas

por
 el
 profesor
 y
 propuestas
 por
 los
 libros
 de
 texto
 de
 geometría,
 dejando
 la

preponderancia
 de
 las
 ac#vidades
 en
 fase
 tres
 (Fase
 de
 Explicitación)
 para
 el

resto
de
los
cursos
superiores
de
estas
tres
etapas
educa#vas.


Entendemos
que,
al
igual
que
el
modelo
de
van
Hiele,
las
ac#vidades
de

fase
uno
y
cinco,
o
de
 Información
o
 Integración
son
 imprescindibles
en
todos

los
niveles
educa#vos.
Nos
preocupa
la
ausencia
de
ac#vidades
en
fase
dos
o
de

Orientación
 Dirigida
 en
 cursos
 a
 par#r
 de
 Tercer
 Curso
 de
 ESO,
 así
 como
 la

ausencia
 de
 ac#vidades
 en
 fase
 uno
 y
 dos,
 o
 de
 Información
 y
 Orientación

Dirigida.


Podríamos
 resumir
 de
 esta
 forma,
 que
 las
 propuestas
 de
 los
 libros
 de

texto
de
geometría
basculan
en
torno
a
dos
ejes,
 las
ac#vidades
en
fase
dos
o

de
Orientación
Dirigida
para
 los
cursos
 inferiores
a
Primer
Curso
de
ESO,
y
 las

ac#vidades
en
fase
tres
o
de
Explicitación
para
los
cursos
superiores
a
Segundo

Curso
de
ESO.
De
esta
forma,
parece
que
dejamos
las
ac#vidades
de
fase
cuatro

o
de
Orientación
libre
para
la
Enseñanza
Superior.




Florencio
López
de
Silanes





284 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




Si
 asignamos
a
 cada
curso
de
estas
 tres
etapas
 la
 fase
dominante
o
 la

fase
 en
 la
 que
 más
 se
 trabaja
 en
 dicho
 curso
 según
 las
 propuestas
 de
 las

ac#vidades
de
los
libros
de
texto,
obtendremos
un
diagrama
Cursos
y
Fases
de

Aprendizaje
 similar
 al
 que
 realizamos
 cuando
 estudiábamos
 los
 Niveles
 de

Razonamiento.
Vemos
así
 que
en
estas
 tres
Etapas
 se
 trabaja
básicamente
en

dos
 Fases
 de
 Aprendizaje,
 la
 Segunda
 y
 la
 Tercera,
 es
 decir,
 las
 fases
 de

Orientación
Dirigida
y
de
Explicitación,
tal
como
se
expresa
en
la
gráfica
11.








Gráfico
11






Otro
punto
importante
es
el
estudio
de
cómo
se
distribuyen
las
Fases
de

Aprendizaje
a
lo
largo
de
las
dos
etapas
significa#vas
para
este
estudio
es
decir,

la
etapa
que
denominaremos
de
"Fase
2"
comprendida
entre
Primer
Curso
de

Primaria
y
Primer
Curso
de
ESO,
y
la
"Fase
3"
comprendida
entre
Segundo
Curso

de
ESO
y
Segundo
Curso
de
Bachillerato.
Los
porcentajes
de
 la
distribución
de

las
Fases
Trabajadas
en
esas
dos
etapas
se
resumen
en
la
tabla
siguiente.







Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 285 







Distribución
porcentual
de
las
Fases
por

etapas
de
Fases
2
y
3




Fases


trabajadas

 

Etapa
de
 1
 2
 3
 4
 5
 Total


Fase
2
 5
 43
 21
 16
 31
 100

Fase
3
 3
 31
 56
 27
 9
 100

Media
general
 4
 42
 37
 21
 20
 100


Tabla
8





La
 distribución
 de
 los
 porcentajes
 de
 las
 Fases
 Trabajadas
 en
 las

ac#vidades
propuestas
por
los
libros
de
texto
en
los
cursos
comprendidos
entre

primer
curso
de
Primaria
y
primer
curso
de
ESO,
es
decir,
 la
etapa
"Fase
2"
se

asimila
a
una
gausiana
con
el
pico
en
la
Fase
2
y
un
máximo
rela#vo
en
la
Fase
5.

Este
 valor
 quizás
 anómalo
 de
 la
 Fase
 5
 procede
 del
 alto
 número
 de
 las

ac#vidades
de
esta
fase
en
los
cursos
del
Segundo
Ciclo
de
Enseñanza
Primaria.











Gráfico
12








Florencio
López
de
Silanes





286 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




Al
 analizar
 la
 distribución
 de
 los
 porcentajes
 de
 las
 Fases
 Trabajadas

anuncian
 una
 durante
 el
 período
 que
 llamamos
 "Fase
 3",
 que
 va
 desde
 el

segundo
curso
de
ESO
al
final
de
Bachillerato,
observamos
que
se
distribuyen
de

acuerdo
con
una
gausiana
centrada
en
la
Fase
3.








Gráfico
13



De
 esta
 forma
 los
 valores
 medios
 de
 las
 anteriores
 distribuciones,

forman
una
función
de
distribución
asimétrica
cuyo
valor
máximo
está
en
Fase

2.





Gráfico
14





Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 287 




Al
igual
que
hicimos
con
los
descriptores
de
nivel,
aquí
vamos
a
mostrar

los
 descriptores
 de
 fase
 que
 han
 sido
 u#lizados
 en
 esta
 calificación.
 Los

descriptores
de
fase
van
desde
el
1,2
al
5,2
distribuidos
casi
uniformemente
a
lo

largo
de
los
cursos
de
estas
tres
etapas
de
enseñanza.
El
mayor
ancho
de
banda

de
la
aplicación
de
descriptores
de
fase,
va
desde
el
segundo
ciclo
de
Enseñanza

Primaria
hasta
el
final
de
ESO.





Descriptores
de
las
fases
de
aprendizaje
uLlizadas.
Porcentajes
a
nivel
de
curso




 Primaria
 

 

 

 

 Secundaria
 

 

 Bachillerato




 1º
Pri
 2º
Pri
 3º
Pri
 4º
Pri
 5º
Pri
 6º
Pri
 1º
Eso
 2º
Eso
 3º
Eso
 4º
Eso
 1º
Bach
 2º
Bach
 Media


1,2
 

 

 4
 

 

 

 4
 

 

 

 

 

 1


1,3
 

 

 14
 13
 12
 11
 4
 8
 8
 11
 

 

 8


1,5
 

 

 6
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 0


2,1
 100
 25
 35
 33
 46
 51
 0
 40
 

 

 

 

 24


2,2
 

 25
 

 

 

 3
 49
 

 

 

 

 

 8


2,3
 

 

 4
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 0


3,1
 

 

 6
 17
 18
 17
 20
 

 11
 6
 

 

 10


3,2
 

 25
 

 

 

 

 8
 40
 53
 30
 8
 

 16


3,3
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 22
 58
 71
 9


4,2
 

 

 

 

 9
 7
 4
 8
 21
 15
 

 

 7


4,3
 

 25
 6
 13
 

 

 1
 

 6
 11
 25
 21
 6


5,1
 

 

 12
 13
 

 

 4
 

 1
 6
 9
 9
 4


5,2
 

 

 14
 13
 15
 10
 4
 4
 

 

 

 

 6


Total
 100
 100
 100
 100
 100
 100
 100
 100
 100
 100
 100
 100
 100


Tabla
9







Florencio
López
de
Silanes





288 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




8.8.‐
Tablas
Niveles
de
Razonamiento
–
Fases
de
Aprendizaje


Hasta
ahora,
hemos
estudiado
separadamente
bajo
el
punto
de
vista
de

los
niveles
de
razonamiento
del
modelo
de
van
Hiele,
o
bajo
 la
perspec#va
de

las
 fases
 de
 aprendizaje
 del
 mismo
 modelo
 los
 resultados
 del
 análisis
 de
 los

libros
 de
 texto.
 Pero
 el
 modelo
 de
 van
 Hiele
 nos
 permite
 también
 cruzar
 los

datos
que
tengamos,
por
ejemplo
de
un
currículo,
por
Niveles
y
Fases
formando

así
 las
 tablas
Niveles‐Fases,
 que
nos
dan
una
 idea
muy
precisa
de
 la
 situación

curricular
del
tema
que
estemos
analizando.


En
 las
 tablas
 Niveles‐Fases
 disponemos
 en
 las
 filas
 los
 niveles
 de

razonamiento
y
en
las
columnas
las
fases
de
aprendizaje.
De
forma
que,
para
un

tema
 determinado,
 podamos
 ver
 la
 evolución
 de
 las
 ac#vidades
 de
 su

aprendizaje
a
través
de
los
cinco
niveles
de
razonamiento
y
de
las
cinco
fases
de

aprendizaje.
El
total
resultan
25
casillas
para
describir
las
diversas
caracterís#cas

de
 las
 ac#vidades
 de
 aprendizaje
 de
 los
 temas
 el
 estudio.
 Esta
 técnica
 tan

sencilla
 de
 calificar
 las
 ac#vidades
 por
 su
 nivel
 de
 razonamiento
 y
 su
 fase
 de

aprendizaje,
 nos
 permite
 mostrar
 de
 una
 forma
 muy
 intui#va
 y
 completa
 la

radiograka
de
un
tema
para
su
estudio
por
los
alumnos.


Como
dicho,
en
las
25
casillas
podemos
registrar
diferentes
atributos
de

las
ac#vidades
de
aprendizaje.
Si
estamos,
por
ejemplo,
estudiando
el
currículo

de
 la
 enseñanza
 de
 la
 geometría
 en
 España
 a
 lo
 largo
 de
 las
 etapas
 de

Enseñanza
 Primaria,
 Enseñanza
 Secundaria
 Obligatoria
 y
 Bachillerato,
 un

currículo
bastante
largo
en
sus
12
cursos,
puede
resultar
interesante
mostrar
en

la
 tabla
 Niveles‐Fases
 el
 número
 de
 ac#vidades
 para
 cada
 nivel
 y
 fase
 que

hemos
 registrado
 en
 un
 tema
 por
 ejemplo
 "La
 Circunferencia",
 ac#vidades

registradas
en
los
libros
de
texto
que
mencionamos
anteriormente.



 
 Circunferencia
 


 
 Fases

 


 
 1
 2
 3
 4
 5
 Total


1
 4
 2
 2
 2
 1
 11

2
 5
 18
 7
 3
 4
 37

3
 

 1
 14
 5
 1
 21

4
 

 

 2
 2
 

 4
N

iv
el
es



5

 

 

 

 

 

 



 Total
 9
 21
 25
 12
 6
 73


Tabla
10




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 289 




Además
del
número
de
ac#vidades
para
cada
nivel
y
fase,
observamos

que
la
circunferencia
se
estudia
en
todas
sus
fases
de
aprendizaje
para
los
dos

primeros
niveles
de
razonamiento,
que
en
el
tercer
nivel
de
razonamiento
no
se

trabaja
 al
 estudio
 de
 la
 circunferencia
 en
 la
 fase
 primera,
 la
 fase
 de

"Información".
 En
 el
 cuarto
 nivel
 de
 razonamiento
 el
 estudio
 de
 la

circunferencia
solamente
se
trabaja
en
las
fases
tercera
y
cuarta,
en
las
fases
de

"Explicitación"
 y
 "Orientación
 Libre".
 Y
 que
 en
 este
 sistema
 educa#vo
 la

circunferencia
no
se
trabaja
en
el
quinto
nivel
de
razonamiento,
en
el
nivel
de

"Rigor".
De
igual
manera
observamos
que,
en
el
primer
nivel
el
número
mayor

de
ac#vidades
se
corresponden
con
la
fase
uno
(nivel
de
Reconocimiento),
con

la
 fase
 de
 "Información",
 mientras
 que
 en
 el
 nivel
 dos
 (nivel
 de
 Análisis)
 el

número
 mayor
 de
 ac#vidades
 se
 centra
 en
 la
 fase
 dos
 o
 de
 "Orientación

Dirigida".
 Y
 si
 pasamos
 al
 tercer
 nivel
 (Clasificación)
 el
 mayor
 número
 de

ac#vidades
 se
 centran
 o
 fase
 de
 "Explicitación".
Mientras
 que
 para
 el
 cuarto

nivel
 de
 razonamiento
 las
 pocas
 ac#vidades
 presentes
 en
 este
 currículo
 se

reparten
por
igual
entre
la
tercera
y
cuarta
fase
de
aprendizaje.


De
acuerdo
con
 la
filosoka
del
modelo
de
van
Hiele,
el
aprendizaje
de

un
tema
en
un
nivel
determinado
exige
a
recorrer
las
cinco
fases
de
aprendizaje

correspondientes
a
ese
nivel.
En
consecuencia,
en
este
 sistema
de
enseñanza,

no
se
trabaja
correctamente
los
niveles
tercero
y
cuarto
en
la
enseñanza
de
la

"Circunferencia",
 ya
 que
 falta
 trabajar
 la
 fase
 uno
 en
 el
 nivel
 tres,
 y
 las
 fases

uno,
dos
y
cinco
en
el
nivel
cuatro.
El
que
no
se
estudie
la
"Circunferencia"
en
el

quinto
 nivel
 solamente
 indica
 que
 no
 es
 un
 obje#vo
 el
 estudio
 de
 la

"Circunferencia"
ha
dicho
nivel
en
ese
sistema
educa#vo.


Si
 queremos
 tener
 una
 idea
 de
 los
 cursos
 en
 que
 se
 estudia
 la

"Circunferencia"
en
las
citadas
tres
etapas
educa#vas
como
aquella
que
nivel
y

fase
se
trabaja
en
cada
curso,
listaremos
ahora
los
cursos
a
que
pertenecen
las

ac#vidades
 educa#vas
 que
 registramos
 anteriormente
 en
 cada
 una
 de
 las
 25

casillas
de
 la
 tabla
Niveles‐Fases.
El
 resultado
es
una
tabla
nueva
que
muestra

los
cursos
que
se
estudia
la
"Circunferencia"
para
cada
nivel
y
para
cada
fase.




Florencio
López
de
Silanes





290 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 








 
 Circunferencia


 
 Fases


 
 1
 2
 3
 4
 5


1
 3º
Pri,

6º
Pri,

1º

Eso


1º
Pri
 2º
Pri,

3º
Pri
 2º
Pri,

3º
Pri
 3º
Pri


2
 5º
Pri,

6º
Pri,

1º

Eso,

3º
Eso


3º
Pri,

4º
Pri,

5º

Pri,

6º
Pri,

1º
Eso


3º
Pri,

6º
Pri,


1º
Eso


5º
Pri,

6º

Pri,

1º
Eso


5º
Pri,

6º

Pri,

1º
Eso


3
 

 6º
Pri
 1º
Eso,

3º

Eso,

4º
Eso


1º
Eso,

3º

Eso


1º
Bach


4
 

 

 1º
Bach
 1º
Bach
 



N
iv
el
es



5
 

 

 

 

 



Tabla
10





Vemos
 de
 esta
 forma
 que
 en
 el
 primer
 nivel
 de
 razonamiento
 no
 se

estudia
la
circunferencia
en
las
fases
uno
y
cinco
hasta
tercer
curso
de
Primaria.

O
por
ejemplo
que,
 la
fase
cinco
del
tercer
nivel
se
trabaja
en
primer
curso
de

Bachillerato,
mientras
que
en
ese
curso
se
trabaja
en
las
fases
tres
y
cuatro
en
el

cuarto
nivel
de
razonamiento.



No
llama
también
la
atención
que
la
fase
de
primera
del
primer
nivel
se

trabaja
en
 tres
cursos:
 tercero
y
sexto
de
Primaria,
y
primer
curso
de
ESO.
De

igual
manera
 la
 segunda
 fase
del
 segundo
nivel
 se
 trabaja
 en
 los
 cinco
 cursos

comprendidos
entre
tercer
curso
de
Primaria
y
primer
curso
de
ESO.
Al
igual
que

por
 ejemplo,
 la
 fase
 tres
 del
 tercer
 nivel
 se
 trabaja
 también
 en
 tres
 cursos

diferentes:
primer
curso,
tercer
curso,
y
cuarto
curso
de
ESO.
Recordemos
que

la
tercera
fase
es
la
fase
de
"Explicitación",
es
decir
la
fase
en
la
que
el
alumno

trabaja
los
contenidos.


De
 lo
 anterior
 deducimos
 que,
 el
 estudio
 de
 la
 "Circunferencia"
 en
 el

sistema
 educa#vo
 estamos
 analizando,
 se
 registran
 las
 siguientes

incongruencias
con
el
modelo
de
van
Hiele:


‐ La
 repe#ción
 del
 trabajo
 o
 estudio
 del
 mismo
 tema
 al
 mismo
 nivel
 de

razonamiento
y
en
la
misma
fase
de
aprendizaje
en
dis#ntos
cursos.
Esto

se
 pone
 de
manifiesto
 por
 ejemplo
 en
 el
 estudio
 de
 la
 conferencia
 en

nivel
 dos
 y
 fase
 dos
 en
 cinco
 cursos
 diferentes,
 como
 su
 estudio
 en
 el




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 291 




nivel
 tres
 y
 fase
 tres
 en
 tres
 cursos
 diferentes,
 por
 no
mencionar
 ya
 el

estudio
 de
 la
 circunferencia
 en
 nivel
 dos
 y
 fase
 uno
 en
 cuatro
 cursos

diferentes...


‐ Las
 Fases
 de
 Aprendizaje
 no
 se
 completan
 en
 cada
 Nivel
 de

Razonamiento.
 En
 este
 tema
el
modelo
 de
 van
Hiele
 es
muy
preciso
 al

asegurar
que
se
completa
el
aprendizaje
de
un
nivel
de
razonamiento,
o

si
 se
 quiere
 se
 pasa
 de
 un
 nivel
 de
 razonamiento
 al
 inmediatamente

superior,
 cuando
 se
 ha
 trabajado
 con
 éxito
 en
 las
 cinco
 fases
 de

aprendizaje
de
ese
nivel.
 Este
hecho
 se
pone
 claramente
de
manifiesto

en
los
niveles
tres
y
cuatro
de
la
anterior
tabla
11
de
la
circunferencia.


‐ Las
Fases
de
Aprendizaje
se
completan
en
un
nivel
con
ac#vidades
de
un

nivel
superior.
Este
hecho
ya
lo
pusimos
de
manifiesto
por
ejemplo
en
las

ac#vidades
 del
 nivel
 uno
 y
 fase
 uno,
 que
 son
 todas
 ellas
 de
 los
 cursos

correspondientes
al
nivel
dos.


La
aparición
sistemá#ca
de
estas
tres
incidencias
en
todos
los
niveles
de

razonamiento
 en
 la
 tabla
 11
 de
 los
 Niveles‐Fases
 del
 estudio
 de
 la

"Circunferencia",
 no
 nos
 deja
 otra
 alterna#va
 que,
 calificar
 este
 currículo
 del

estudio
 de
 la
 "Circunferencia"
 como
 caó#co.
 Efec#vamente
 este
 currículo
 es

contrario
al
modelo
de
van
Hiele
en
dos
de
sus
líneas
maestras:


‐ La
 secuencialidad
 de
 las
 Fases
 de
 Aprendizaje
 en
 los
 Niveles
 de

Razonamiento.


‐ El
recorrido
de
las
Fases
de
Aprendizaje
debe
de
ser
completo
para
pasar

de
un
Nivel
de
Razonamiento
ahorro
superior.


Si
 queremos
 tener
 una
 información
más
 detallada
 del
 currículo
 de
 la

"Circunferencia"
 respecto
 de
 los
 niveles
 de
 razonamiento
 y
 las
 fases
 de

aprendizaje,
tendremos
que
recurrir
a
listar
en
cada
una
de
las
25
casillas
de
la

Tabla
de
Niveles‐Fases,
 tanto
el
Utulo
específico
de
 las
ac#vidades
educa#vas,

como
el
curso,
la
editorial
y
el
capítulo
donde
se
proponen
dichas
ac#vidades.


Como
 es
mucha
 la
 información
 a
 detallar
 en
 cada
 una
 de
 las
 casillas,

hemos
 cambiado
 el
 formato
 de
 tabla
 ha
 listado,
 tal
 y
 como
 lo
 vemos
 en
 el

Apéndice
C,
donde
hemos
agrupado
las
ac#vidades
que
pertenecen
a
la
misma

casilla
por
el
mismo
color
en
las
columnas
de
nivel
y
fase.


Este
 listado
 suministra
 además
 de
 las
 informaciones
 detalladas
 en
 las

tablas
anteriores,
un
análisis
más
detallado
de
 los
contenidos
concretos
de
 las




Florencio
López
de
Silanes





292 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




ac#vidades
ofertadas
para
cada
nivel
y
fase
por
los
libros
de
texto
de
geometría

que
hemos
analizado
en
este
trabajo.


Todas
las
observaciones
realizadas
anteriormente
para
el
currículo
de
la

"Circunferencia"
vamos
a
ver
que
son
ciertas
también
en
el
currículo
del
estudio

de
un
 tema
de
menor
 recorrido
en
 los
niveles
de
 razonamiento
 como
es
 "Los

Polígonos".
Según
podemos
ver
en
 la
tabla
12,
 las
ac#vidades
propuestas
para

los
polígonos
por
los
libros
de
texto
se
encuadran
en
los
tres
primeros
niveles
de

razonamiento,
 pero
 las
 ac#vidades
 contenidas
 en
 las
 13
 casillas

cumplimentadas
de
la
tabla
12,
adolecen
de
los
mismos
defectos
que
las
de
la

circunferencia
desde
el
punto
de
vista
del
modelo
de
van
Hiele.
Efec#vamente,

no
se
completan
las
fases
de
aprendizaje
del
tercer
nivel;
hay
casillas
de
fases
de

aprendizaje
que
con#enen
ac#vidades
de
un
nivel
de
razonamiento
superior,
y

la
mayor
parte
de
estas
 casillas
 conviven
ac#vidades
de
diferentes
niveles.
 En

defini#va,
 la
 planificación
 de
 la
 enseñanza
 de
 los
 "Polígonos"
 es
 caó#ca
 en
 el

currículo
que
estamos
analizando.






 
 Polígonos


 
 Fases


 
 1
 2
 3
 4
 5


1
 3º
Pri,
4º
Pri,
5º

Pri,
6º
Pri,
1º
Eso


1º
Pri,
2º
Pri
 2º
Pri
 3º
Pri,

4º
Pri


3º
Pri,
4º
Pri


2
 5º
Pri,
6º
Pri,
1º

Eso


4º
Pri,
5º
Pri,
6º

Pri,
1º
Eso


5º
Pri,
6º

Pri,
1º
Eso


5º
Pri,

6º
Pri


4º
Pri,
5º
Pri,
6º

Pri,
1º
Eso


3
 

 5º
Pri
 6º
Pri
 1º
Eso
 



4
 

 

 

 

 



N
iv
el
es



5
 

 

 

 

 



Tabla
11





Nos
 hemos
 propuesto
 seleccionar
 algunos
 temas
 que
 sean
 trabajados

en
 los
cinco
niveles
de
 razonamiento
de
van
Hiele
en
 las
etapas
de
Educación

Primarias,
 Educación
 Secundaria
 Obligatoria,
 y
 Bachillerato,
 para
 ver
 si

con#núan
 siendo
 válidas
 las
 apreciaciones
 que
 hicimos
 anteriormente,
 así




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 293 




como,
 si
 es
 posible
 obtener
 otras
 conclusiones.
 En
 este
 sen#do
 se
 han

seleccionado
los
temas
de:
la
Línea
Recta,
y
el
Volumen.


En
el
currículo
de
estas
tres
etapas
educa#vas,
se
estudia
la
línea
recta

desde
las
consideraciones
más
elementales
de
la
topología
en
el
plano,
hasta
las

formulaciones
más
complejas
de
la
Geometría
Analí#ca
para
estos
niveles.






 
 Línea
recta


 
 Fases


 
 1
 2
 3
 4
 5


1
 3º
Pri,
4º
Pri,

6º
Pri,
1º
Eso


1º
Pri,
2º
Pri,
5º

Pri




 2º
Pri,
3º
Pri,

4º
Pri


3º
Pri,
4º
Pri


2
 2º
Eso,
3º

Eso,
4
º
Eso


3º
Pri,
4º
Pri,
5º

Pri,
6º
Pri,
1º
Eso,

2º
Eso


6º
Pri,
1º

Eso,
2º
Eso




 3º
Pri,
1º
Eso


3
 

 

 2º
Eso,
3º

Eso,


4
º

Eso


6º
Pri,
1º
Eso,

3º
Eso,
4
º
Eso


4
º
Eso,
1º

Bach,
2º

Bach


4
 

 

 1º
Bach,










2º
Bach


1º
Bach,









2º
Bach






N
iv
el
es



5
 

 

 2º
Bach
 

 



Tabla
12





El
 estudio
 del
 volumen
 abarca
 también
 los
 cinco
 niveles
 de

razonamiento
 de
 van
 Hiele,
 y
 se
 trabaja
 desde
 segundo
 curso
 de
 Enseñanza

Primaria,
 formando
parte
de
 los
conceptos
más
 intui#vo
de
 los
cuerpos,
hasta

segundo
curso
de
Bachillerato,
donde
se
sugieren
diversos
procesos
del
cálculo

del
volumen
basados
en
la
Geometría
Analí#ca.


Los
comentarios
que
hicimos
en
torno
al
currículo
de
la
circunferencia
y

los
polígonos
son
válidos
para
la
línea
recta
y
el
volumen.
Agravados
aún
más
si

cabe,
cuando
contemplamos
ac#vidades
de
seis
cursos
diferentes
en
las
casillas

de
nivel
dos
y
fase
dos
tanto
para
la
línea
recta
como
para
el
volumen.













Florencio
López
de
Silanes





294 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 





 
 Volumen


 
 Fases


 
 1
 2
 3
 4
 5


1
 3º
Pri,
4º
Pri,

5º
Pri,
6º
Pri,

1º
Eso


2º
Pri
 2º
Pri
 4º
Pri
 3º
Pri,
4º

Pri


2
 5º
Pri,
6º
Pri,

1º
Eso,


2º
Eso,
3º
Eso


3º
Pri,
4º
Pri,
5º

Pri,
6º
Pri,
1º

Eso,
2º
Eso


5º
Pri,
6º
Pri,

1º
Eso,
2º

Eso


5º
Pri,
6º
Pri,
2º

Eso


3º
Pri,
5º

Pri,
6º
Pri,

1º
Eso


3
 

 5º
Pri,
2º
Eso
 6º
Pri,
2º

Eso,
3º
Eso,

4º
Eso


5º
Pri,
1º
Eso,

2º
Eso,
3º
Eso,

4
º
Eso


2º
Eso,
3º

Eso


4
 

 

 2º
Bach
 2º
Bach
 



N
iv
el
es



5
 

 

 2º
Bach
 1º
Bach
 



Tabla
13





Prescindiendo
 de
 otro
 #po
 de
 consideraciones,
 el
 hecho
 apuntado
 da

una
 idea
del
alto
nivel
de
caos
presente
en
 los
currícula
de
geometría
para
 las

etapas
de
Enseñanza
Primaria,
Enseñanza
Secundaria
Obligatoria
y
Bachillerato.
















Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 295 




8.9.‐
Conclusiones


En
 los
 capítulos
 precedentes
 vimos
 cómo
 se
 estructuraban
 los
 tres

vectores
 que
 caracterizan
 el
 modelo
 de
 van
 Hiele:
 los
 cinco
 niveles
 de

razonamiento,
 las
 cinco
 fases
 de
 aprendizaje,
 y
 las
 cinco
 propiedades
 de
 los

niveles
 de
 razonamiento.
 Posteriormente
 caracterizamos
 cada
 uno
 de
 estos

niveles
 de
 razonamiento
 mediante
 un
 grupo
 de
 descriptores,
 y
 u#lizamos

asimismo,
otros
descriptores
para
especificar
las
fases
de
aprendizaje.


El
obje#vo
de
este
capítulo,
es
el
estudio
del
currículo
de
geometría
en

las
 etapas
 de
 Enseñanza
 Primaria,
 Enseñanza
 Secundaria
 Obligatoria
 y

Bachillerato
 u#lizando
 la
 metodología
 del
 modelo
 van
 Hiele.
 Con
 este
 fin,

analizamos
 diversas
 fuentes
 para
 obtener
 la
 información
 precisa
 sobre
 el

currículo
de
 la
geometría
que
en
estas
 tres
etapas
y
que
 fuera
 tratable
por
 la

metodología
 del
 modelo
 de
 van
 Hiele.
 Desde
 esta
 óp#ca,
 descartamos
 los

decretos
 de
 los
 Bole#nes
 Oficiales
 del
 Estado
 Español
 y
 de
 las
 Comunidades

Autónomas,
así
 como
 las
Guías
Educa#vas;
no
porque
sus
contenidos
no
sean

válidos,
 sino
 porque
 no
 pueden
 ser
 tratados
 mediante
 la
 metodología
 del

modelo
van
Hiele,
ya
que
no
desarrollan
las
ac#vidades
educa#vas
en
el
campo

de
la
geometría.


Hemos
 formado
 una
 biblioteca
 con
 libros
 de
 texto
 de
matemá#cas,
 y

por
tanto
de
geometría,
que
abarca
desde
primer
curso
de
Enseñanza
Primaria

hasta
 segundo
 curso
 de
 Bachillerato,
 pretendiendo
 abarcar
 estas
 tres
 Etapas

Educa#vas
del
sistema
español.
Se
ha
pretendido
cubrir
cada
uno
de
estos
doce

cursos
 con
 dos
 libros
 de
 texto
 de
 diferentes
 editoriales,
 salvo
 en
 la
 etapa
 de

Bachillerato
donde
solamente
disponemos
de
los
libros
de
texto
de
Editex.


Nos
 hemos
 marcado
 como
 obje#vo
 el
 estudio
 de
 la
 enseñanza
 de
 la

geometría
 a
 través
 de
 las
 ac#vidades
 propuestas
 por
 estos
 libros
 de
 texto
 y

analizadas
bajo
la
óp#ca
del
modelo
de
van
Hiele.
Ha
resultado
un
trabajo
duro

y
largo
en
el
#empo,
pero
interesante
en
el
desarrollo
de
inicia#vas,
ya
que
no

conocemos
 otro
 trabajo
 precedente
 de
 las
 mismas
 caracterís#cas.

Consideramos
como
muy
interesantes
e
importantes
las
conclusiones
derivadas

de
este
estudio,
ya
que
aplicando
 la
metodología
basada
en
el
modelo
de
van

Hiele,
 obtenemos
 una
 información
 precisa
 tanto
 de
 los
 aciertos
 y
 fallos
 del

sistema
como
del
punto
preciso
en
que
se
producen.




Florencio
López
de
Silanes





296 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




De
esta
forma,
hemos
analizado
las
758
ac#vidades
para
el
estudio
de
la

geometría
propuestas
por
los
libros
de
texto,
para
calificarlas
según
su
Nivel
de

Razonamiento
 y
 Fase
 de
 Aprendizaje
 en
 que
 deben
 ser
 aplicados
 en
 la

enseñanza
de
la
geometría.
En
esta
calificación
no
hemos
tenido
presente
si
 la

ac#vidad
 estudiada
 nos
 gusta
 o
 no,
 como
está
 concebida
 y
 desarrollada,
 ni
 si

puede
o
no
cumplir
los
obje#vos
que
se
presupone,
ni
si
yo
la
realizaría
de
una
u

otra
forma,
solamente
los
descriptores
de
niveles
de
razonamiento
y
de
fases
de

aprendizaje
que
cumplen.


Se
ha
calificado
cada
una
de
las
ac#vidades
propuestas
en
los
libros
de

texto
 según
 las
 especificaciones
 que
 deben
 cumplir
 para
 estar
 en
 un
 nivel
 de

razonamiento
o
en
una
fase
de
aprendizaje
según
los
descritores
de
nivel
y
fase.

En
 cada
una
de
 las
 ac#vidades
 clasificadas
 se
ha
especificado
el
descriptor
de

nivel
 y
 fase
 que
 cumple.
 Recordemos
 aquí,
 que
 a
 cada
 nivel
 o
 fase
 se
 le

asignaron
varios
descriptores.
Una
ac#vidad
se
dice
que
pertenece
a
un
nivel
o

fase
determinado
si
cumple
con
uno
de
los
descriptores
de
ese
nivel
o
fase.
No

debe
sa#sfacer
todos
los
descriptores
de
un
nivel
o
fase
en
concreto,
sino
que,

cumpliendo
con
uno
solo
de
los
descriptores
ya
pertenece
a
ese
nivel
o
fase.
Si

una
ac#vidad
cumple
con
varios
descriptores
de
nivel
o
fase
se
le
asigna
el
nivel

superior
o
la
fase
superior
correspondiente
con
estos
descriptores.


Con
esta
metodología
de
 trabajo,
 se
 analizaron
 las
 758
ac#vidades
de

geometría
 propuestas
 por
 los
 libros
 de
 texto
 de
 nuestra
 biblioteca.
 A
 cada

ac#vidad
se
le
asignó
el
nivel
de
razonamiento
y
la
fase
de
aprendizaje
en
que

está
desarrollada,
así
como
los
descriptores
de
nivel
y
fase
que
jus#fican
dichas

asignaciones.
El
resultado
de
este
trabajo
se
muestra
en
el
listado
del
Apéndice

B.
En
 la
 tabla
del
Apéndice
B
se
 lista
 también
el
curso,
 la
editorial
del
 libro
de

texto
 y
 el
 capítulo
 donde
 se
 localiza
 dicha
 ac#vidad.
 Todos
 los
 datos
 de
 este

estudio
 están
 contenidos
 en
 dicho
 apéndice,
 y
 en
 el
 estudio
 y
 en
 sus

conclusiones
no
se
han
u#lizado
otros
datos.


En
primer
lugar
analizamos
los
Niveles
de
Razonamiento
que
surgieron

de
 este
 estudio
 y
 que
 están
 listados
 en
 el
 apéndice
 B.
 Los
 Niveles
 de

Razonamiento
medidos
en
estas
tres
etapas
educa#vas
par#endo
de
 los
 libros

de
texto
son:




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 297 




‐ Nivel
 1.
 Reconocimiento.
 Las
 ac#vidades
 propuestas
 por
 los
 libros
 de

texto
 trabajan
 en
 este
 nivel
 en
 los
 cursos
 Primero
 y
 Segundo
 de

Enseñanza
Primaria.


‐ Nivel
 2.
 Análisis.
 Este
 nivel
 se
 corresponde
 con
 las
 ac#vidades
 de
 los

cursos
comprendidos
entre
Tercer
Curso
de
Enseñanza
Primaria
y
Primer

Curso
de
ESO.



‐ Nivel
3.
Clasificación.
Para
los
cursos
Segundo,
Tercero,
y
Cuarto
de
ESO.

‐ Nivel
 4.
 Reducción
 Formal.
 Es
 el
 nivel
 en
 el
 que
 se
 desarrollan
 las


ac#vidades
propuestas
para
los
dos
cursos
de
Bachillerato.

‐ Nivel
 5.
 Rigor.
 Se
 apunta
 solamente
 en
 escasas
 ac#vidades
 de


Bachillerato.


No
 tenemos
 nada
 que
 decir
 sobre
 esta
 distribución
 de
 niveles
 de

razonamiento
 y
 su
 relación
 con
 las
 etapas
 educa#vas.
 Esta
distribución
de
 los

niveles
 de
 razonamiento
 es
 el
 punto
 de
 par#da
 para
 las
 consideraciones

sucesivas.


Por
 otra
 parte,
 la
 distribución
 anterior
 de
niveles
 de
 razonamiento
 en

los
cursos
de
las
tres
etapas
educa#vas,
no
servirá
de
referencia
para
contrastar

con
 los
 resultados
 de
 los
 niveles
 de
 razonamiento
 medidos
 a
 los
 alumnos

mediante
 la
 aplicación
 de
 un
 cues#onario
 de
 Usiskin,
 y
 poder
 analizar
 las

diferencias
que
pudiera
haber
entre
 los
niveles
de
razonamiento
propuestos
a

nivel
curricular,
y
los
niveles
de
razonamiento
alcanzados
por
los
alumnos.


En
segundo
lugar
hemos
analizando
las
Fases
de
Aprendizaje
de
las
758

ac#vidades
 propuestas
 por
 los
 libros
 de
 texto.
 La
mayor
 complejidad
 de
 este

estudio
nos
fue
recompensada
con
una
mayor
riqueza
de
sus
conclusiones:


‐ Los
 libros
 de
 texto
 trabajados
 proponen,
 el
 general,
 las
 cinco
 Fases
 de

Aprendizaje
para
los
Niveles
de
Razonamiento
correspondientes.


‐ No
obstante,
las
ac#vidades
propuestas
para
cada
curso
se
desarrollan
en

una
 determinada
 Fase
 de
 Aprendizaje,
 de
 esta
 forma,
 las
 fases
 de

aprendizaje
que
predominan
en
estas
tres
etapas
educa#vas
son:


o Fase
2.
Orientación
Dirigida.
Se
trabaja
en
esta
fase
en
 los
cursos

comprendidos
entre
Primer
Curso
de
Enseñanza
Primaria
y
Primer

Curso
de
ESO.


o Fase
3.
Explicitación.
Desde
Segundo
Curso
de
ESO
hasta
Segundo

Curso
de
Bachillerato.




Florencio
López
de
Silanes





298 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




‐ El
Segundo
Curso
de
ESO
es
trascendental,
ya
que
en
las
ac#vidades
que

se
 proponen
 para
 este
 curso
 por
 los
 libros
 de
 texto
 registran

simultáneamente
 el
 crecimiento
 del
 segundo
 al
 tercer
 nivel
 de

razonamiento
y
de
 la
 segunda
a
 la
 tercera
 fase
de
aprendizaje.
 En
 este

momento,
 no
 tenemos
 datos
 sobre
 la
 incidencia
 del
 buen

aprovechamiento
 en
 este
 curso
 sobre
 el
 aprendizaje
 de
 los
 cursos

sucesivos.


‐ No
 se
 completan
 todas
 las
 Fases
 de
 Aprendizaje
 en
 los
 Niveles
 de

Razonamiento
correspondientes
a
estas
etapas
educa#vas.
Esta
carencia

es
importante
desde
el
punto
de
vista
del
modelo
de
van
Hiele,
ya
que
el

aprendizaje
en
un
nivel
de
razonamiento
sólo
se
produce
cuando
se
han

superado
 con
 éxito
 las
 cinco
 fases
 de
 aprendizaje
 correspondientes
 a

dicho
 nivel.
 Por
 lo
 que
 según
 lo
 visto,
 el
 aprendizaje
 de
 un
 nivel
 no
 se

produce
no
se
produce
en
ninguno
de
los
niveles.








Gráfico
15



A
 con#nuación
 se
 estudiaron
 las
 tablas
 Nivel‐Fase
 de
 cuatro
 temas

pertenecientes
 al
 currículo
 de
de
 esas
 tres
 etapas
 educa#vas
 como
 fueron:
 la

circunferencia,
 los
 polígonos,
 la
 línea
 recta,
 y
 el
 volumen.
 Con
 los
 mismos

criterios
 se
 podrían
 haber
 seleccionado
 otros
 temas,
 pero
 se
 consideró
 el




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 299 




conjunto
de
los
cuatro
temas
anteriores
como
unos
buenos
representantes
del

currículo
de
la
geometría.


Las
 tablas
 Niveles‐Fases
 al
 enlazar
 los
 niveles
 de
 razonamiento
 y
 las

fases
de
aprendizaje
de
las
ac#vidades
producen
conclusiones
tan
interesantes

como
 representa#vas
 del
 estado
 curricular
 de
 los
 temas
 estudiados.
 De
 esta

forma
podemos
asegurar
que
los
curricula
de
la
geometría
en
estas
tres
etapas

educa#vas
 presentan
 las
 siguientes
 carencias
 a
 la
 luz
 de
 la
 metodología
 del

modelo
de
van
Hiele:


‐ Que
las
Fases
de
Aprendizaje
no
se
completan
en
ninguno
de
los
Niveles

de
Razonamiento
con
las
fases
de
aprendizaje
correspondientes
al
mismo

nivel
de
razonamiento,
sino
que
en
muchas
ocasiones
se
completan
con

fases
 de
 aprendizaje
 correspondientes
 a
 niveles
 de
 razonamiento

superiores,
esto
sucede
par#cularmente
con
las
fases
de
aprendizaje
uno

y
cinco
(fases
de
reconocimiento
e
integración
respec#vamente).


‐ Que
para
determinados
niveles
de
razonamiento
y
fases
de
aprendizaje,

los
libros
de
texto
asignan
hasta
seis
ac#vidades
educa#vas
de
diferentes

cursos
 académicos.
 Esto
 tropieza
 directamente
 con
 la
 metodología
 del

modelo
 de
 van
 Hiele,
 ya
 que
 no
 es
 pensable
 recorrer
 un
 nivel
 de

razonamiento
determinado
con
ac#vidades
de
diferentes
cursos.


‐ La
repe#ción
de
diversas
ac#vidades
del
mismo
nivel
de
razonamiento
y

fase
de
aprendizaje
en
varios
cursos
dis#ntos.



Como
 consecuencia
 de
 lo
 dicho
 anteriormente
 el
 currículo
 de
 las
 tres

etapas
educa#vas
analizadas
se
presenta
a
 la
vez
como
caó#co
e
 ineficiente,
y

dikcilmente
asimilable
a
la
concepción
estructurada
del
modelo
de
van
Hiele.










Florencio
López
de
Silanes





300 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 







8.10.‐
 Apéndice
 A.
 Relación
 de
 los
 libros
 de
 texto
 uLlizados
 para
 la

calificación
 de
 sus
 contenidos
 de
 geometría
 en
 Primaria,
 Secundaria
 y

Bachillerato








Tabla
14










Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 301 




8.11.‐
Apéndice
B.
Resultado
de
las
medidas
de
nivel
de
razonamiento
y

fase
 de
 aprendizaje
 realizadas
 en
 libros
 de
 texto
 en
 las
 etapas
 de

Enseñanza
Primaria,
ESO
y
Bachillerato










Florencio
López
de
Silanes





302 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 















Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 303 















Florencio
López
de
Silanes





304 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 















Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 305 















Florencio
López
de
Silanes





306 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 















Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 307 


















Florencio
López
de
Silanes





308 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 















Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 309 















Florencio
López
de
Silanes





310 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 















Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 311 















Florencio
López
de
Silanes





312 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 















Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 313 















Florencio
López
de
Silanes





314 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 















Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 315 















Florencio
López
de
Silanes





316 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 















Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 317 















Florencio
López
de
Silanes





318 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 















Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 319 















Florencio
López
de
Silanes





320 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 















Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 321 







8.12.‐
Apéndice
C.
Tabla
nivel‐fase
para
el
estudio
de
la
circunferencia










Florencio
López
de
Silanes





322 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 















Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 323 







8.13.‐
 Apéndice
 D.
 Bases
 curriculares
 para
 la
 enseñanza
 para
 la

geometría
en
las
comunidades
autónomas
de
Madrid
y
Andalucía





8.13.1.1.‐

BASES
CURRICULARES

DE
LA
GEOMETRÍA
EN
LA
COMUNIDAD

AUTONOMA
DE
MADRID


1De
acuerdo
con
el
DECRETO
22/2007
de
10
de
mayo,
publicado
en
el
BoleUn

Oficial
de
la
Comunidad
de
Madrid
(BOCAM)
el
24/05/2007.


PRINCIPIOS
METODOLÓGICOS


El
 currículo
 de
 segundo
 ciclo
 se
 fundamenta
 en
 los
 siguientes
 principios

metodológicos:


1
ENSEÑANZA
INDIVIDUALIZADA


El
 punto
 de
 par#da
 es
 el
 nivel
 de
 desarrollo
 del
 alumno
 y
 sus
 aprendizajes

previos.
 Asimismo,
 el
 proceso
 de
 enseñanza‐aprendizaje
 se
 adaptará
 a
 sus

intereses,
capacidades
y
mo#vaciones.


En
 línea
con
este
principio
de
enseñanza
 individualizada,
el
currículo
cotempla

medidas
de
atención
a
la
diversidad.


2
APRENDIZAJE
SIGNIFICATIVO


Se
 otorga
 prioridad
 al
 análisis
 y
 la
 comprensión
 de
 los
 contenidos
 frente
 al

aprendizaje
mecánico
de
modo
que
el
alumno
pueda
comprobar
 la
u#lidad
de

lo
aprendido
y
fomentar
el
interés
por
aprendizajes
nuevos.


3
FOMENTO
DEL
APRENDIZAJE
AUTÓNOMO


El
desarrollo
de
estrategias
de
aprendizaje
autónomo
se
llevará
a
cabo
de
forma

gradual
a
través
de
la
adquisición
de
herramientas
de
trabajo
como
esquemas,

resúmenes,
búsqueda
de
información,
etc.


4
ENFOQUE
GLOBALIZADOR
































































1
Este
apartado
es
un
extracto
de
la
siguiente
página
Web:

hvp://www.educa.madrid.org/portal/c/portal/layout?p_l_id=426.37




Florencio
López
de
Silanes





324 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




Consistente
 en
 es#mular
 las
 conexiones
 de
 contenidos
 por
 medio
 de
 una

perspec#va
que
abarque
diversas
áreas.


5
CONTRIBUIR
AL
ESTABLECIMIENTO
DE
UN
CLIMA
DE
ACEPTACIÓN
PROPIA
Y

DE
SOCIALIZACIÓN


Se
favorece
la
autoes#ma
y
el
proceso
de
socialización
promoviendo
equipos
de

trabajo,
tareas
de
responsabilidad,
entre
otros.


6
 ESTIMULAR
 Y
 DESARROLLAR
 CAPACIDADES
 GENERALES
 Y
 COMPETENCIAS

BÁSICAS


Esto
 cons#tuye
 el
 eje
 principal
 del
 proceso
 de
 enseñanza‐aprendizaje
 y
 se

persigue
a
través
de
las
diferentes
áreas.





8.13.1.2.‐

ÁREA
de

MATEMÁTICAS


OBJETIVOS


1.
U#lizar
los
números
naturales
de
hasta
6
cifras,
los
números
decimales
y
los

números
fraccionarios
en
situaciones
de
la
vida
co#diana
para
medir,
ordenar
y

expresar
can#dades.


2.
 Aplicar
 la
 suma,
 resta,
mul#plicación
 y
 división
 de
 números
 naturales
 para

resolver
 situaciones
 problemá#cas
 en
 su
 medio
 habitual
 realizando
 una

es#mación
previa
del
resultado.


3.
Explicar
de
forma
oral
y
escrita
el
razonamiento
seguido
en

los
procesos
de

resolución
 de
 problemas
 en
 los
 que
 intervienen
 los
 números
 naturales,
 las

fracciones
y
los
números
decimales.



4.
 Desarrollar
 estrategias
 personales
 de
 cálculo
mental
 y
 cálculo
 aproximado

aplicándolas
 a
 la
 resolución
 de
 problemas
 de
 sumas,
 restas
 y
mul#plicación
 y

división.


5.
 Expresar
 los
 resultados
de
dis#ntas
mediciones
de
 las
magnitudes
 longitud,

capacidad
y
masa
en
las
unidades
per#nentes.


6.
Reconocer
las
monedas
y
billetes
de
curso
legal
valorando
la
importancia
del

dinero
y
del
fomento
del
consumo
responsable.




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 325 




7.
U#lizar
diferentes
fuentes
de
información
(enciclopedias)
y
las
Tecnologías
de

la
 Información
 y
 de
 las
 Comunicaciones
 para
 la
 construcción
 de
 contenidos

relacionados
con
el
área.


8.
 Analizar
 los
 elementos
 de
 las
 formas
 y
 cuerpos
 geométricos
 polígonos,

círculos,
 cubos,
 prismas,
 pirámides,
 cilindros
 y
 esferas)
 del
 entorno

desarrollando
gusto
por
apreciar
el
valor
esté#co
de
las
mismas.


9.
Construir
figuras
y
cuerpos
geométricos
(poliédricos
y
redondos),
a
par#r
de

otros
por
descomposición
y
composición
manipula#va.


10.
 U#lizar
 la
 calculadora
 para
 el
 desarrollo
 del
 razonamiento
 lógico‐
matemá#co
 y
 como
 instrumento
 para
 la
 realización
 de
 par#cularizaciones

ensayo‐error.


11.
 Interpretar
 representaciones
 espaciales
 (croquis,
 planos,
 maquetas)
 de
 la

localización
 o
 desplazamiento
 de
 un
 objeto
 en
 relación
 a
 puntos
 de
 vista

diferentes
al
suyo.


12.
Interpretar
la
información
recogida
en
tablas
de
doble
entrada
relacionadas

con
ac#vidades
de
la
vida
co#diana
(horario
escolar,
horario
de
trenes…)


13.
 Elaborar
 informaciones
 relacionadas
 con
hechos
de
 la
 vida
 co#diana
en
 la

Comunidad
Autónoma
aplicando
los
conocimientos
matemá#cos
adquiridos.


14.
 Par#cipar
 de
 forma
 ac#va
 en
 el
 trabajo
 en
 grupo
 y
 en
 el
 aprendizaje

organizado
a
par#r
de
la
inves#gación
sobre
situaciones
relacionadas
con
la
vida

co#diana.


15.
 Describir
 de
 forma
 oral
 y
 escrita
 los
 elementos
 significa#vos
 de
 gráficos

sencillos
 rela#vos
 a
 fenómenos
 familiares
 relacionados
 con
 el
 entorno
 de
 la

Comunidad
Autónoma.


16.
Desarrollar
gradualmente
una
ac#tud
de
atención,
perseverancia
y
esfuerzo

en
las
tareas
relacionadas
con
el
área.













Florencio
López
de
Silanes





326 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 







8.13.1.3.‐

CONTENIDOS



Contenidos
comunes
a
todos
los
bloques.


‐

Confianza
en
las
propias
posibilidades
y
constancia
para
u#lizar
los
números,

sus
 relaciones
 y
 operaciones
 para
 obtener
 y
 expresar
 informaciones,

manifestando
inicia#va
personal
en
los
procesos
de
resolución
de
problemas
de

la
vida
co#diana.


‐
 
 Interés
por
 la
presentación
 limpia,
ordenada
y
clara
de
 los
cálculos
y
de
sus

resultados.


‐
 Disposición
 para
 desarrollar
 aprendizajes
 autónomos
 en
 relación
 con
 los

números,
sus
relaciones
y
operaciones.


‐
 Confianza
 en
 las
 propias
 posibilidades
 y
 por
 compar#r
 con
 los
 demás
 los

procesos
que
u#lizan
 la
medida
para
obtener
y
expresar
 informaciones
y
para

resolver
problemas
en
situaciones
reales.


‐
 
 Interés
por
 la
presentación
 limpia
y
ordenada
del
proceso
y
 la
expresión
de

medidas.


‐
 Interés
 por
 la
 elaboración
 y
 por
 la
 presentación
 cuidadosa
 de
 las

construcciones
geométricas.


‐
 Confianza
 en
 las
 propias
 posibilidades
 y
 constancia
 para
 u#lizar
 las

construcciones
geométricas
y
los
objetos
y
las
relaciones
espaciales.


‐
Confianza
en
las
propias
posibilidades,
y
curiosidad,
interés
y
constancia
en
la

interpretación
de
datos
presentados
de
forma
gráfica.


‐
 Gusto
 por
 compar#r
 los
 procesos
 de
 resolución
 y
 los
 resultados
 obtenidos.

Colaboración
ac#va
y
responsable
en
el
trabajo
en
equipo.













Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 327 




8.13.1.3.1.‐

Bloque
1.
Números
y
operaciones


Números
naturales,
decimales
y
fracciones.


‐
Los
números
naturales
menores
que
el
999.999:
lectura
y
escritura.


‐
El
Sistema
de
Numeración
Decimal:
valor
posicional
de
las
cifras.


‐
Orden
entre
los
números.
Notación.


‐
Redondeo
de
números
naturales
a
las
decenas
y
centenas.


‐
Concepto
de
fracción
como
relación
entre
las
partes
y
el
todo.


‐
Fracciones
propias
e
impropias.
Número
mixto.
Representación
gráfica.


‐
Fracciones
equivalentes
a
una
fracción
propia.


‐
Ordenación
de
fracciones
sencillas.


‐
Iniciación
al
número
decimal:
décimas
y
centésimas.


‐
Escritura
decimal
y
fraccionaria
de
un
número
no
natural.





Operaciones.


‐
 
 Operaciones
 con
 números
 naturales:
 adición,
 sustracción,
 mul#plicación
 y

división,
entera
y
con
un
decimal,
por
un
número
de
una
cifra.


‐
 Iden#ficación
 y
 uso
 de
 los
 términos
 propios
 de
 la
 mul#plicación:
 factores,

mul#plicando,
mul#plicador
y
producto.


‐
Mul#plicación
de
un
número
por
 la
unidad
seguida
de
ceros
y
por
decenas
y

centenas
completas.


‐
 U#lización
 en
 situaciones
 familiares
 de
 la
 mul#plicación
 para
 efectuar

recuentos,
en
disposiciones
rectangulares
y
en
problemas
combinatorios
en
los

que
interviene
la
ley
del
producto.


‐
 Iden#ficación
y
uso
de
 los
términos
propios
de
 la
división:
dividendo,
divisor,

cociente
y
resto.


‐
U#lización
en
contextos
reales
de
la
división
para
repar#r
y
para
agrupar.




Florencio
López
de
Silanes





328 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




‐
Uso
de
 la
relación
que
existe
entre
dividendo,
divisor,
cociente
y
resto
como

prueba
de
la
división,
en
casos
sencillos.


‐
U#lización
de
 los
números
y
el
 cálculo
numérico
para
 resolver
problemas
en

situaciones
 reales,
 explicando
 oralmente
 y
 por
 escrito
 los
 procesos
 de

resolución
y
los
resultados
obtenidos.





Estrategias
de
cálculo


‐
 
 Descomposición,
 de
 forma
 adi#va
 y
 de
 forma
 adi#vo‐mul#plica#va,
 de

números
menores
que
999.999,
atendiendo
al
valor
posicional
de
sus
cifras.


‐

Construcción
de
series
numéricas
de
cadencias
2,
10,
100
a
par#r
de
cualquier

número
 y
 de
 cadencias
 5,
 25
 y
 50
 a
 par#r
 de
 múl#plos
 de
 5,
 25
 y
 50

respec#vamente,
tanto
ascendentes
como
descendentes.


‐
 U#lización
 de
 los
 algoritmos
 estándar,
 en
 contextos
 de
 resolución
 de

problemas,
de
suma,
resta,
mul#plicación
y
división
por
una
cifra.


‐

Elaboración
y
uso
de
estrategias
de
cálculo
mental.


‐
Es#mación
de
resultados,
asegurándose,
mediante
algún
#po
de
estrategia,
de

que
el
resultado
obtenido
es
razonable.


‐

U#lización
de
la
calculadora
en
la
resolución
de
problemas
de
la
vida
co#diana

cuando,
a
juicio
del
maestro,
lo
aconseje
la
complejidad
de
los
cálculos.





8.13.1.3.2.‐

Bloque
2.
La
medida:
esLmación
y
cálculo
de
magnitudes.


Longitud,
capacidad,
peso
y
superficie.


‐

Unidades
del
Sistema
Métrico
Decimal
y
equivalencias.


‐

Expresión
en
forma
simple
de
una
medida
de
longitud,
capacidad
o
peso
dada

en
forma
compleja
y
viceversa.


‐
 
 Sumar
 y
 restar
medidas
 de
 longitud,
 capacidad,
 peso
 y
 superficie
 dadas
 en

forma
simple.




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 329 




‐
 Realización
 de
 mediciones
 usando
 instrumentos
 y
 unidades
 de
 medida

convencionales
en
contextos
co#dianos.


‐
Elección
de
la
unidad
más
adecuada
para
la
expresión
de
una
medida.


‐
Comparación
y
ordenación
de
unidades
y
can#dades
de
una
misma
magnitud.


‐
Elaboración
y
u#lización
de
estrategias
para
medir.


‐
Es#mación
de
medidas
de
objetos
de
la
vida
co#diana.


‐
Explicación
oral
y
escrita
del
proceso
seguido
y
de
la
estrategia
u#lizada
en
la

medición.


‐
 Interés
 por
 conocer
 y
 u#lizar
 la
 medida
 y
 por
 expresar
 los
 resultados

numéricos
de
las
mediciones
manifestando
las
unidades
u#lizadas
y
explicando

oralmente
y
por
escrito
el
proceso
seguido.





Medida
del
#empo.


‐
 Lectura
 correcta
 en
 relojes
 analógicos
 y
 digitales,
 u#lizando
 medidas
 de

#empo
(segundo,
minuto,
hora,
día
y
año).


‐
Equivalencias
entre
diferentes
unidades
de
#empo.


‐
Expresión
en
minutos
y
segundos
de
una
can#dad
de
#empo
dada
en
 forma

compleja.


‐

Cálculo
de
la
hora
un
intervalo,
antes
o
después,
de
una
hora
determinada.





Sistema
monetario
de
la
Unión
Europea.


‐
Unidad
principal:
el
euro.


‐
Múl#plos
y
submúl#plos
de
la
unidad
principal.


‐
Equivalencias
entre
monedas
y
billetes.










Florencio
López
de
Silanes





330 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




8.13.1.3.3.‐

Bloque
3.
Geometría


La
situación
en
el
espacio.


‐
Localización
precisa
de
elementos
en
el
espacio.


‐
 Representación
 elemental
 de
 espacios
 conocidos:
 planos
 y
 maquetas.

Descripción
de
posiciones
y
movimientos
en
un
contexto
topográfico.


‐
Localización
de
puntos,
dado
un
sistema
de
referencia
ortonormal,
u#lizando

coordenadas
cartesianas.


‐
Interpretación
de
croquis
y
planos
sencillos.


‐
Líneas
rectas
y
curvas.
Rectas
paralelas,
perpendiculares
y
oblicuas.


‐

Relación
entre
el
concepto
de
ángulo
y
el
de
giro.





Formas
planas
y
espaciales.


‐
Figuras
geométricas.
Elementos
básicos:
 lado,
vér#ce,
base,
diagonal,
ángulo,

ejes
de
simetría.


‐
 La
 circunferencia
 y
 el
 círculo.
 Elementos
 básicos:
 centro,
 radio,
 diámetro,

cuerda
y
arco.


‐
 Cuerpos
 geométricos:
 reconocimiento
 de
 prismas,
 pirámides
 y
 cuerpos

redondos.
Elementos
básicos
de
poliedros:
caras,
vér#ces
y
aristas.


‐
Clasificación
de
figuras
y
cuerpos
geométricos
u#lizando
diversos
criterios.


‐
Iden#ficación
de
figuras
planas
y
espaciales
en
la
vida
co#diana.


‐
 Descripción
 de
 la
 forma
 de
 objetos
 u#lizando
 el
 vocabulario
 geométrico

básico.


‐
 Construcción
 de
 figuras
 geométricas
 planas
 a
 par#r
 de
 datos
 y
 de
 cuerpos

geométricos
 a
 par#r
 de
 un
 desarrollo.
 Exploración
 de
 formas
 geométricas

elementales.


‐
 Comparación
 y
 clasificación
 de
 ángulos:
 rectos,
 agudos,
 obtusos,
 llanos,

mayores
de
180°
y
completos.




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 331 




Regularidades
y
simetrías.


‐
Transformaciones
métricas:
traslaciones,
giros
y
simetrías.


‐
 Iden#ficación
de
 traslaciones,
giros
y
 simetrías
en
el
entorno
 familiar
y
en
 la

naturaleza.





8.13.1.3.4.‐
 
 Bloque
 4.
 Tratamiento
 de
 la
 información,
 azar
 y

probabilidad


Gráficos
y
tablas.


‐
Recogida
y
registro
de
datos
sobre
objetos,
fenómenos
y
situaciones
familiares

u#lizando
técnicas
elementales
de
encuesta,
observación
y
medición.


‐
 Lectura,
 interpretación
 y
 elaboración
 de
 tablas
 de
 doble
 entrada
 de
 uso

habitual
en
la
vida
co#diana.


‐
Construcción
de
tablas
de
frecuencias
absolutas.


‐
 Interpretación
 y
 descripción
 verbal
 de
 elementos
 significa#vos
 de
 gráficos

sencillos
rela#vos
a
fenómenos
familiares.


‐
Realización
de
gráficas
sencillas:
pictogramas,
diagramas
de
barras.


‐
 Disposición
 a
 la
 elaboración
 y
 presentación
 de
 gráficos
 y
 tablas
 de
 forma

ordenada
y
clara.


‐
Carácter
aleatorio
de
algunas
experiencias.


‐
 Valoración
de
 los
 resultados
de
experiencias
 en
 las
que
 interviene
 la
 suerte,

para
 apreciar
 que
 hay
 sucesos
 más
 o
 menos
 probables
 y
 la
 imposibilidad
 de

predecir
un
resultado
concreto.


‐
Introducción
al
lenguaje
del
azar.

















Florencio
López
de
Silanes





332 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




8.13.1.4.‐


CRITERIOS
DE
EVALUACION


1.
 Leer
 y
 escribir
 números
 naturales
 de
 hasta
 seis
 cifras
 descomponiendo
 los

números
en
forma
de
suma,
atendiendo
al
valor
posicional
de
sus
cifras.


2.
 U#lizar
 los
 números
 hasta
 6
 cifras
 en
 situaciones
 de
 la
 vida
 co#diana
 para

medir,
ordenar,
y
expresar
can#dades.


3.
 Iden#ficar
 el
 anterior
 y
 posterior,
 orden
 y
 representación
 de
 números

cardinales
hasta
6
cifras.


4.
U#lizar
las
operaciones
suma,
resta,
mul#plicación
y
división
en
la
resolución

de
situaciones
de
la
vida
co#diana
verbalizando
los
procesos
seguidos.


5.
 Resolver
 problemas
 relacionados
 con
 situaciones
 de
 la
 vida
 co#diana

aplicando
las
operaciones
suma,
resta,
mul#plicación
y
división
verbalizando

los

procesos
seguidos.


6.
 Aplicar
 en
 situaciones
 del
 entorno
 la
 mul#plicación
 como
 suma
 abreviada

u#lizándola
en
disposiciones
rectangulares
y
problemas
combinatorios.


7.
 Aplicar
 la
 propiedad
 distribu#va
 de
 la
 mul#plicación
 respecto
 a
 la
 suma

sacando
factor
común.


8.
Mul#plicar
can#dades
por
un
número
de
más
de
dos
cifras
esforzándose
en

conseguir
gradualmente
una
presentación
ordenada
y
limpia.


9.
U#lizar
el
carácter
inverso
de
las
operaciones
de
multiplicar
y
dividir.


10.
Diferenciar
entre
división
exacta
y
división
no
exacta
aplicando
la
prueba
de

la
división
como
método
de
comprobación.


11.
Dividir
can#dades
de
dos
o
más
cifras
entre
números
de
una
cifra.


12.
 Elaborar
 estrategias
 personales
 de
 cálculo
 mental
 sobre
 las
 cuatro

operaciones
que
permitan
resolver
situaciones
problemá#cas
de
la
realidad
y
la

vida
co#diana.


13.
 U#lizar
 la
 calculadora
 para
 la
 búsqueda
 de
 regularidades
 y
 reglas
 en
 las

relaciones
numéricas.


14.
Expresar
las
décimas
y
las
centésimas
en
forma
decimal
y
fraccionaria.




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 333 




15.
Clasificar
pares
de
rectas
dadas
en
paralelas,
perpendiculares
o
secantes.


14.
 Es#mar
 can#dades
 pequeñas
 de
 forma
 oral
 o
mediante
 escritura
 cifrada,

escogiendo
entre
las
respuestas
razonables
el
resultado
de
un
cálculo.


15.
Leer
y
escribir
fracciones
cuyo
denominador
sea
un
número
menor
que
10.


16.
Representar
gráficamente
el
concepto
de
fracción.


18.
 Expresar
 de
 forma
 oral
 y
 escrita
 en
 una
 situación
 problemá#ca
 los
 datos

conocidos,
desconocidos,
irrelevantes,
etc.


19.
U#lizar
 las
equivalencias
de
monedas
y
billetes
de
€,
y
uso
del
dinero
para

compras
con
devolución.


20.
U#lizar
 las
unidades
principales
de
#empo
 (hora,
minuto,
día,
mes
y
año),

longitud
 (m,
 cm,
mm,
 km),
masa
 (g,
 kg),
 capacidad
 (l,
 dl,
 cl,
ml),
 temperatura

(°C),
y
superficie
(cuadradas
no
convencionales).


21.
 Realizar
 mediciones
 de
 longitudes,
 masas
 y
 capacidad
 u#lizando
 las

equivalencias
 entre
 estas
 para
 expresar
 el
 resultado
 de
 las
 mismas
 en
 las

unidades
apropiadas.


23.
Trazar
e
iden#ficar
los
ángulos
recto,
agudo
y
obtuso,
con
cuidado
en
el
uso

de
instrumentos
de
dibujo.


24.
Clasificar
polígonos
por
el
número
de
lados
iden#ficando
los
regulares.


25.
Clasificar
triángulos
por
sus
lados
y
sus
ángulos.


26.
Clasificar
cuadriláteros
en
paralelogramos
y
no
paralelogramos.


27.
Diferenciar
circunferencia
y
círculo
y
conocer
sus
elementos.


28.
 Clasificar
 los
 cuerpos
 geométricos
 (prisma
 y,
 su
 caso
 par#cular,
 el
 cubo,

cilindro,
pirámide
y
esfera)
en
el
entorno,
u#lizando
el
vocabulario
preciso.


29.
 Iden#ficar
 en
 el
 entorno
 escolar,
 domés#co,
 natural,
 arquitectónico
 y

cultural
madrileño
 formas
planas,
poliedros
y
 cuerpos
 redondos
u#lizando
 sus

propiedades
 para
 describir
 la
 realidad
 y
 desarrollando
 gusto
 por
 apreciar
 el

valor
esté#co
de
las
mismas.


30.
 Predecir
 la
 probabilidad
 de
 un
 suceso
 en
 experimentos
 simples

aproximándose
a
la
comprobación
de
dicha
predicción.




Florencio
López
de
Silanes





334 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




31.
Construir
 una
 tabla
 a
par#r
de
 los
datos
de
un
enunciado
proporcionados

desde
dis#ntos
medios
(impresos,
internet…).


32.
 U#lizar
 los
 recursos
 tecnológicos
 para
 el
 descubrimiento
 y
 exploración
 de

relaciones

numéricas,
geométricas
y
lógicas.







Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 335 







8.13.1.5.‐

METODOLOGÍA


Las
Matemá#cas
 cons#tuyen
 un
 conjunto
 de
 conocimientos
 que
 desempeñan

un
 importante
 papel
 en
 su
 interrelación
 con
 otros
 conocimientos
 y
 en
 la

necesidad
 de
 resolver
 problemas
 prác#cos.
 Gracias
 a
 los
 aprendizajes
 que

favorecen,
los
alumnos
desarrollan
su
capacidad
de
pensamiento
y
de
reflexión

lógica
 y
 adquieren
unos
 instrumentos
para
explorar
 la
 realidad,
 representarla,

explicarla,
predecirla
y
actuar
en
y
sobre
ella.



























1.
 Crear
 un
 hábito
 de
 trabajo
 y
 convivencia
 que
 facilite
 del
 proceso
 de

enseñanza
 y
 aprendizaje
 que
 resulte
 es#mulante
 intelectualmente
 y

sa#sfactorio.


El
 aprendizaje
par#cipa
 tanto
de
 la
dimensión
 cogni#va
 como
de
 la
 afec#va
 y

social.
 Es
 necesario
 crear
 en
 el
 aula
 un
 clima
 que
 facilite
 y
 propicie
 el

aprendizaje.
 Un
 factor
 decisivo
 para
 ello
 es
 la
 existencia
 de
 unas
 fluidas

relaciones
 de
 comunicación
 que
 contribuyan
 a
 desarrollar
 ac#tudes
 posi#vas

hacia
el
aprendizaje.
No
debe
primar
la
perfección
o
la
respuesta
correcta,
sino

más
 bien
 la
 idea
 que
 las
 matemá#cas
 implican
 es,
 la
 comprensión
 y
 el

descubrimiento.
 Es
 esencial
 que
 se
 fomenten
 ideas
 racionales
 y
 construc#vas

acerca
 de
 los
 conocimientos
 matemá#cos.
 Se
 ajustará
 el
 tratamiento

pedagógico
a
las
diferentes
necesidades,
lo
que
comporta
un
trato
personal
con

cada
alumno,
y
una
determinada
organización
del
aula
que
permita
atender
a

los
diferentes
ritmos
de
aprendizaje.


Ha
 de
 considerarse
 especialmente
 la
 organización
 espacial
 y
 temporal,

posibilitando
 la
 de
 experiencias
 contextualizadas
 de
 carácter
 global,
 y
 los

momentos
 de
 reflexión
 más
 específicos
 y
 generalmente
 de
 carácter
 más

analí#co.


2.
Uso
de
modos
de
expresión
propiamente
matemá#cos
y
no
convencionales.


El
 proceso
 de
 formalización
 creciente
 de
 los
 conceptos
 matemá#cos
 exige
 el

conocimiento
 y
 uso
 de
 los
 códigos
 de
 representación
 progresivamente
 más

abstractos,
resultando
conveniente
que
la
realización
de
algunas
ac#vidades
y
la

reflexión
 acerca
 de
 ellas
 se
 realicen
 en
 grupo.
 La
 interacción
 comunica#va

facilita
 la
 apropiación
de
 conocimientos
 tales
 como
el
 sistema
de
numeración

decimal
 las
 unidades
 de
 medidas
 habituales,
 los
 procedimientos
 algorítmicos




Florencio
López
de
Silanes





336 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




más
 usuales,
 que
 por
 ser
 convencionales,
 han
 de
 transmi#rse
 mediante
 esta

forma.


En
 el
 diseño
 y
 realización
 de
 ac#vidades
 y
 situaciones
 de
 aprendizajes
 se

procurará
 que
 los
 alumnos
 hablen
 de
 matemá#cas,
 expongan
 opiniones,

formulen
 hipótesis,
 expliquen
 y
 debatan
 sobre
 procedimientos
 y
 resultados,

verbalicen
lo
que
hacen
y
dialoguen
sobre
ello.


3.
Par#r

del
conocimiento
matemá#co.


Los
conocimientos
previos
desempeñan
un
importante
papel
en
el
aprendizaje

significa#vo,
ya
que
éste
implica
una
construcción
a
par#r
de
ideas
y
significados

anteriores.
Debe
adoptarse
una
ac#tud
 recep#va
ante
 la
matemá#ca
 informal

de
los
alumnos,
fomentando
en
ellos
una
imagen
posi#va
de
sus
experiencias
y

conocimientos.


4.
Crear
un
contexto
sobre
las
ac#vidades.


Para
que
el
aprendizaje
sea
realmente
construc#vo,
las
ac#vidades
y
situaciones

propuestas
han
de
sintonizar
con
los
esquemas
mentales,
intereses
y
formas
de

aprendizajes
propias
de
los
alumnos
de
esta
etapa.


Una
matemá#ca
de
 contenidos
abstractos,
 sin
 referencias
 reales
 les
 resultaría

ajena,
falta
de
interés
e
inaccesible.
En
cambio
si
las
técnicas,
ideas
y
estrategias

matemá#cas
aparecen
ante
el
alumno
de
manera
contextualizada,
 ligadas
a
 la

realidad
 circundante,
 contactarán
 fácilmente
 con
 sus
 necesidades
 y

competencias,
dotando
de
interés
y
significado
a
los
aprendizajes
construidos.


Se
aprovecharán
aquellas
situaciones
apropiadas,
cercanas
a
la
vida
del
alumno

que
 sean
 suscep#bles
 de
 tratamiento
 matemá#co;
 se
 tendrán
 en
 cuenta
 los

conocimientos
 o
 ac#vidades
 de
 otras
 áreas
 cuyo
 aprendizaje
 requiera
 de

aplicaciones
 matemá#cas.
 Es
 muy
 importante
 aprovechar
 la
 experiencia

co#diana
de
los
niños,
como
orientarse
en
un
espacio
conocido,
usar
el
dinero

en
situaciones
de
compra,
ordenar
objetos,
medir,
etc.


El
aprendizaje
matemá#co
ha
de
adecuarse
al
nivel
evolu#vo
de
los
alumnos,
a

su
formación
y
es#lo
cogni#vo,
a
sus
intereses,
par#cularidades
socio
culturales

y
necesidades.







Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 337 




5.
Tratar
los
contenidos
de
forma
integrada.


La
propia
estructura
de
esta
área
hace
que
algunas
nociones
se
fundamenten
en

otras,
 apareciendo
 jerarquizadas,
 lo
 que
 habrá
 de
 tenerse
 en
 cuenta
 para
 la

secuenciación
y
presentación
de
los
contenidos;
los
conocimientos
matemá#cos

poseen
 una
 organización
 coherente
 en
 la
 que
 todos
 sus
 elementos
 aparecen

interrelacionados.
 Aquellos
 conocimientos
 de
 cada
 núcleo,
 que
 puedan

relacionarse,
serán
organizados,
presentados
y
tratados
de
forma
integrada.


Las
 estrategias
 y
 procedimientos
 matemá#cos
 van
 desarrollándose
 a
 medida

que
 se
 ponen
 en
 juego;
 por
 tanto
 se
 aplicarán
 de
 forma
 reiterada.
 Las

experiencias
 o
 situaciones
 de
 aprendizajes
 diseñadas
 deberán
 integrar

conocimientos
 rela#vos
 a
 los
 dis#ntos
 ámbitos
 matemá#cos
 programándose

ac#vidades
 que
 permitan
 el
 tratamiento
 cíclico
 de
 los
 contenidos,
 que
 serán

trabajados
 varias
 veces
 durante
 la
 educación
 Primaria,
 bajo
 formas
 cada
 vez

más
elaboradas
y
complejas.







Florencio
López
de
Silanes





338 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




8.13.1.6.‐
CONTRIBUCIÓN
DEL
ÁREA
DE
MATEMÁTICAS
AL
DESARROLLO

DE
LAS
COMPETENCIAS
BÁSICAS





Competencia
matemáLca


Como
 dice
 K.
 Devlin
 (cit.
 Alsina,
 2004),
 “…el
 obje#vo
 de
 la
 educación

matemá#ca
debe
ser
preparar
ciudadanos
educados
y
no
una
pobre
 imitación

de
una
calculadora
de
30
€“.
En
palabras
de
Niss,
M.
(1999,
cit.
González
Mari,

2004),
 “Tener
 competencia
 matemá#ca
 significa:
 poseer
 habilidad
 para

comprender,
juzgar,
hacer
y
usar
las
matemá#cas
en
una
variedad
de
contextos

intra
 y
 extra
matemá#cos
 y
 situaciones
 en
 las
 que
 las
matemá#cas
 juegan
 o

pueden
tener
un
protagonismo”


Cualquier
 definición
 de
 competencia
 matemá#ca
 plantea
 aplicar
 las

matemá#cas
 en
 un
 contexto
 real,
 es
 decir,
 en
 el
 entorno
 natural,
 social
 y

cultural
 donde
 vivimos.
 Desde
 las
matemá#cas
 debemos
 educar
 para
 que
 las

personas
 puedan
 beneficiarse
 de
 la
 cultura
matemá#ca
 para
 actuar,
 lo
mejor

posible,
en
este
mundo
real
que
es
su
mundo.
Actuar
a
nivel
personal,
social
y

profesional
tanto
en
el
presente
inevitable
como
en
el
futuro
previsible.





Competencia
lingüísLca


Comprender
y
producir
textos
que
usen
el
código
y
el
lenguaje
matemá#co.
En

todas
 las
 relaciones
 de
 enseñanza
 y
 aprendizaje
 de
 las
 matemá#cas
 y
 en

par#cular
 en
 la
 resolución
 de
 problemas,
 adquiere
 especial
 importancia
 la

expresión
 tanto
 oral
 como
 escrita
 de
 los
 procesos
 realizados
 y
 de
 los

razonamientos
seguidos,
puesto
que
ayudan
a
formalizar
el
pensamiento.


El
lenguaje
matemá#co
es,
en
sí
mismo,
un
vehículo
de
comunicación
de
ideas

que
 destaca
 por
 la
 precisión
 en
 sus
 términos
 y
 por
 su
 gran
 capacidad
 para

transmi#r
conjeturas
gracias
a
un
léxico
propio
de
carácter
sinté#co,
simbólico
y

abstracto.
 La
 incorporación
 de
 lo
 esencial
 del
 lenguaje
 matemá#co
 a
 la

expresión
habitual
y
la
adecuada
precisión
en
su
uso.







Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 339 




Conocimiento
e
interacción
con
el
mundo
osico


El
desarrollo
del
pensamiento
matemá#co
hace
posible
una
mejor
comprensión

y
una
descripción
más
ajustada
del
entorno:


•
El
desarrollo
de
la
visualización
(concepción
espacial),
mejora
la
capacidad
del

alumnado
 para
 hacer
 construcciones
 y
 manipular
 mentalmente
 figuras
 en
 el

plano
y
en
el
espacio,
lo
que
les
sería
de
gran
u#lidad
para
el
empleo
de
mapas,

planificación
de
rutas,
diseño
de
planos,
elaboración
de
dibujos,
etc.


•
 A
 través
 de
 la
 medida
 se
 logra
 un
 mejor
 conocimiento
 de
 la
 realidad
 y
 se

aumentan
las
posibilidades
de
interactuar
con
ella
y
de
transmi#r
informaciones

cada
vez
más
precisas
sobre
aspectos
cuan#ficables
del
entorno.


•
 La
 destreza
 en
 la
 u#lización
 de
 representaciones
 gráficas
 para
 interpretar
 la

información
aporta
una
herramienta
muy
valiosa
para
conocer
y
analizar
mejor
la

realidad.
 La
 modelización
 exige
 iden#ficar
 y
 seleccionar
 las
 caracterís#cas

relevantes
 de
 una
 situación
 real,
 representarla
 simbólicamente
 y
 determinar

pautas
de
comportamiento,
regularidades
e
invariantes,
a
par#r
de
las
que
poder

hacer
predicciones
sobre
la
evolución,
la
precisión
y
las
limitaciones
del
modelo.





Tratamiento
de
la
información
y
competencia
digital


Destrezas
 de
 uso
 de
 los
 números,
 facilitando
 así
 la
 comprensión
 de

informaciones
que
incorporan
can#dades
o
medidas.


La
 incorporación
de
herramientas
 tecnológicas
 como
 recurso
didác#co
para
el

aprendizaje
y
para
la
resolución
de
problemas.


La
u#lización
de
los
lenguajes
gráfico
y
estadís#co
ayuda
a
interpretar
mejor
la

realidad
expresada
por
los
medios
de
comunicación.


La
 interacción
entre
 los
dis#ntos
#pos
de
 lenguaje:
natural,
numérico,
gráfico,

geométrico
y
algebraico
como
forma
de
 ligar
el
 tratamiento
de
 la
 información

con
la
experiencia
del
alumnado.


Facilita
 las
 destrezas
 relacionadas
 con
 la
 búsqueda,
 selección,
 recogida
 y

procesamiento
 de
 la
 información
 procedente
 de
 diferentes
 soportes,
 el

razonamiento
de
 la
 información
y
 la
evaluación
y
 selección
de
nuevas
 fuentes

de
información.




Florencio
López
de
Silanes





340 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




Aprender
a
aprender


U#lizar
las
herramientas
matemá#cas
básicas
o
comprender
informaciones
que

u#lizan
soportes
matemá#cos
como
requisitos
para
el
aprendizaje.


Los
 contenidos
 relacionados
 con
 la
 autonomía,
 la
 perseverancia
 y
 el
 esfuerzo

para
abordar
situaciones
de
creciente
complejidad,
la
sistema#zación,
la
mirada

crí#ca
 y
 la
 habilidad
 para
 comunicar
 con
 eficacia
 los
 resultados
 del
 propio

trabajo.


La
verbalización
del
proceso
seguido
en
el
aprendizaje
ayuda
a
la
reflexión
sobre

qué
se
ha
aprendido,
qué
falta
por
aprender,
cómo
y
para
qué
lo
que
potencia

el
desarrollo
de
estrategias
que
facilitan
el
aprender
a
aprender.


En
la
metodología
del
área
están
implícitas
las
estrategias
que
contribuyen
a
la

competencia
 de
 aprender
 a
 aprender,
 (ac#vidad
 creadora
 del
 alumnado,
 su

labor
 inves#gadora,
 par#r
 de
 los
 conocimientos
 que
 sobre
 un
 tema

determinado
 ya
 poseen…)
 que
 le
 harán
 sen#rse
 capaz
 de
 aprender,

aumentando
su
autonomía
y
responsabilidad
y
compromiso
personal.





Competencia
social
y
ciudadana


La
u#lización
de
las
matemá#cas
para
describir
fenómenos
sociales.


El
análisis
funcional
y
 la
estadís#ca
aportan
criterios
cienUficos
para
predecir
y

tomar
decisiones.


Enfocar
 los
errores
come#dos
en
los
procesos
de
resolución
de
problemas
con

espíritu
construc#vo,
lo
que
permite
de
paso
valorar
los
puntos
de
vista
ajenos

en
plano
de
igualdad
con
los
propios
como
formas
alterna#vas
de
abordar
una

situación.


Refuerzan
 la
 capacidad
 de
 trabajar
 en
 equipo:
 aceptación
 de
 puntos
 de
 vista

ajenos
a
la
hora
de
u#lizar
estrategias
personales
de
resolución
de
problemas,
el

gusto
 por
 el
 trabajo
 bien
 hecho,
 el
 diseño
 y
 realización
 reflexiva
 de
modelos

materiales,
el
fomento
de
la
imaginación
y
de
la
crea#vidad.







Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 341 




Autonomía
e
iniciaLva
personal


La
 resolución
 de
 problemas
 #ene,
 al
menos,
 tres
 ver#entes
 complementarias

asociadas
al
desarrollo
de
esta
 competencia:
 la
planificación,
 la
 ges#ón
de
 los

recursos
y
la
valoración
de
los
resultados:


•
La
planificación
está
aquí
asociada
a
la
comprensión
en
detalle
de
la
situación

planteada
para
trazar
un
plan
y
buscar
estrategias
y,
en
defini#va,
para
tomar

decisiones.


•
 La
 ges#ón
 de
 los
 recursos
 incluye
 la
 op#mización
 de
 los
 procesos
 de

resolución.


•
La
evaluación
periódica
del
proceso
y
la
valoración
de
los
resultados
permite

hacer
 frente
 a
 otros
 problemas
 o
 situaciones
 con
 mayores
 posibilidades
 de

éxito.


•
Desarrollo
de
ac#tudes
asociadas
con
la
confianza
en
la
propia
capacidad
para

enfrentarse
con
éxito
a
situaciones
inciertas.


En
la
medida
en
que
la
enseñanza
de
las
Matemá#cas
incida
en
estos
procesos
y

se
 planteen
 situaciones
 abiertas,
 verdaderos
 problemas,
 se
 mejorará
 la

contribución
del
área
a
esta
competencia.
Ac#tudes
asociadas
con
la
confianza

en
la
propia
capacidad
para
enfrentarse
con
éxito
a
situaciones
inciertas,
están

incorporadas
a
través
de
diferentes
contenidos
del
currículo.





Competencia
cultural
y
arpsLca


Estudio
 de
 prác#cas
 matemá#cas
 de
 otras
 culturas
 (de
 numeración
 y
 de

medición,
por
ejemplo).
Referencia
a
figuras
destacadas
(hombres
y
mujeres)
de

la
historia
de
las
Matemá#cas.





El
conocimiento
matemáLco
es
expresión
universal
de
la
cultura


La
geometría
es
parte
integral
de
la
expresión
arUs#ca
pues
ofrece
medios
para

describir
 y
 comprender
 el
 mundo
 que
 nos
 rodea
 y
 apreciar
 la
 belleza
 de
 las

estructuras
que
ha
creado.







Florencio
López
de
Silanes





342 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 





8.13.2.‐
 
 BASES
CURRICULARES
DE
 LA
GEOMETRÍA
 EN
 LA
COMUNIDAD

AUTÓNOMA
DE
ANDALUCÍA:


2Todo
debe
desarrollarse
mediante
un
 triple
 enfoque
en
el
 aprendizaje
de
 las

matemá#cas
en
esta
etapa
educa#va
que
nunca
debe
perderse
de
vista.






8.13.2.1.‐

Se
aprende
matemá#cas
porque
son
ú#les
e
incluso
imprescindibles

para
 la
 vida
 co#diana
 y
 para
 el
 desarrollo
 de
 las
 ac#vidades
 profesionales
 de

todo
 #po,
 porque
 nos
 ayudan
 a
 comprender
 la
 realidad
 que
 nos
 rodea
 y

también,
 porque
 su
 aprendizaje
 contribuye
 a
 la
 formación
 intelectual
 general

potenciando
las
capacidades
cogni#vas
de
niños
y
niñas.


Para
estos
fines,
la
resolución
de
problemas
debe
concebirse
como
un
aspecto

fundamental
para
el
desarrollo
de
las
capacidades
y
competencias
básicas
en
el

área
 de
 matemá#cas
 y
 como
 elemento
 esencial
 para
 la
 construcción
 del

conocimiento
matemá#co.
Es
por
ello
fundamental
su
incorporación
sistemá#ca

y
metodológica
a
los
contenidos
de
dicha
materia.


Los
 medios
 tecnológicos
 son
 hoy
 día
 herramientas
 esenciales
 para
 enseñar,

aprender
y
en
defini#va,
para
hacer
matemá#cas,
por
lo
que
su
presencia
debe

ser
 habitual
 en
 los
 procesos
 de
 enseñanza
 y
 aprendizaje
 de
 esta
materia.
 En

este
 sen#do,
 la
 adopción
 de
 medidas
 para
 el
 impulso
 de
 la
 sociedad
 del

conocimiento
 y,
 en
 par#cular,
 la
 apuesta
 por
 la
 introducción
 de
 las
 TIC
 en
 el

ámbito
 educa#vo,
 cons#tuyen
 una
 importante
 contribución
 de
 carácter
 social

en
 Andalucía
 que
 debe
 aprovecharse
 para
 la
 mejora
 de
 los
 procesos
 de

enseñanza
 y
 aprendizaje
 en
 general
 y
 en
 el
 área
 de
Matemá#cas
 de
manera

específica.


Por
otro
 lado,
el
conocimiento
del
desarrollo
histórico
de
 las
matemá#cas
y
 la

contribución
de
éstas
a
la
sociedad
en
todos
los
#empos
y
culturas
servirán
para

concebir
 el
 saber
 matemá#co
 como
 una
 necesidad
 básica
 para
 todos
 los

ciudadanos.
































































2
Este
apartado
es
un
extracto
de
la
siguiente
página
Web::

hvp://www.e‐torredebabel.com/leyes/Primaria‐Loe‐Andalucia/matema#cas‐primaria‐loe‐
andalucia.htm




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 343 




Estos
 tres
 aspectos:
 la
 resolución
 de
 problemas,
 sobre
 todo;
 el
 uso

sistemá#camente
adecuado
de
los
medios
tecnológicos;
y
la
dimensión
social
y

cultural
de
las
matemá#cas,
deben
entenderse
como
ejes
transversales
que
han

de
 estar
 siempre
 presentes
 en
 la
 construcción
 del
 conocimiento
 matemá#co

durante
esta
etapa.


El
desarrollo
del
sen#do
numérico
y
de
la
simbolización
algebraica,
el
estudio
de

las
 formas
 y
 sus
 propiedades,
 en
 especial
 las
 de
 nuestro
 entorno,
 y
 la

interpretación
de
los
fenómenos
ambientales
y
sociales
a
través
del
tratamiento

de
la
información
y
la
probabilidad,
completan
la
propuesta
de
contenidos
para

esta
etapa
educa#va.





8.13.2.2.‐
Núcleos
temáLcos


1.
Resolución
de
problemas
(transversal).


2.
Uso
de
los
recursos
TIC
en
la
enseñanza
y
el
aprendizaje
de
las

matemá#cas
(transversal).


3.
 Dimensión
 histórica,
 social
 y
 cultural
 de
 las
 matemá#cas

(transversal).


4.
Desarrollo
del
sen#do
numérico.
Medida
de
magnitudes.


5.
Las
formas,
las
figuras
y
sus
propiedades.


6.
Tratamiento
de
la
información,
azar
y
probabilidad.


Es
 preciso
 indicar
 que
 estos
 bloques
 temá#cos
 no
 deben
 considerarse

compar#mentos
 estancos.
 En
 este
 sen#do,
 es
 esencial
 la
 organización
 del

aprendizaje
desde
 la
autonomía
de
cada
centro
y
de
cada
equipo
docente.
En

todo
caso
debe
abordarse
la
enseñanza
y
aprendizaje
de
los
contenidos.
















Florencio
López
de
Silanes





344 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




8.13.2.3.‐

Dimensión
histórica,
social
y
cultural
de
las
matemáLcas


Relevancia
y
senLdo
educaLvo:


La
perspec#va
histórica
nos
acerca
a
las
matemá#cas
como
ciencia
humana,
no

endiosada,
ni
apartada
de
la
realidad
y
en
ocasiones
falible,
pero
capaz
también

de
corregir
 sus
errores.
Nos
aproxima
a
 las
 interesantes
personalidades
de
 los

hombres
y
mujeres
que
han
ayudado
a
 impulsar
 las
matemá#cas
a
 lo
 largo
de

muchos
 siglos,
 por
 mo#vaciones
 muy
 dis#ntas,
 y
 nos
 hace
 plenamente

conscientes
 del
 carácter
 profundamente
 histórico,
 es
 decir,
 dependiente
 del

momento
y
de
 las
circunstancias
sociales,
ambientales,
prejuicios,
así
como
de

los
mutuos
 y
 fuertes
 impactos
 que
 la
 cultura
 en
 general,
 las
matemá#cas,
 la

tecnología
y
las
diversas
ciencias
han
ejercido
unas
sobre
otras.


La
 historia
 se
 puede
 y
 se
 debe
 u#lizar,
 por
 ejemplo,
 para
 entender
 y
 hacer

comprender
 una
 idea
más
 o
 menos
 compleja
 del
 modo
más
 adecuado,
 pero

además
nos
puede
ayudar
a
contrastar
las
situaciones
sociales
de
otros
#empos

y
 culturas
 con
 las
 realidades
 de
 nuestra
 sociedad
 actual,
 a
 hacer
 patente
 la

forma
 peculiar
 de
 aparecer
 las
 ideas
 matemá#cas,
 a
 enmarcar
 temporal
 y

espacialmente
 las
 grandes
 ideas
 y
 problemas
 junto
 con
 su
 mo#vación
 y

precedentes,
a
señalar
los
problemas
de
cada
época
y
su
evolución,
y
a
apuntar

las
conexiones
históricas
de
las
matemá#cas
con
otras
ciencias.





Contenidos
relevantes:


El
 estudio
 de
 la
 historia
 de
 las
 matemá#cas
 en
 las
 dis#ntas
 épocas
 y
 en
 las

diferentes
 culturas
 ayudará
 a
 concebir
 a
 Andalucía
 como
 crisol
 cultural:
 las

matemá#cas
en
la
India,
en
especial
en
su
etapa
de
madurez
en
la
época
clásica

(s.
I
al
VIII)
(el
sistema
de
numeración
en
base
diez,
la
astronomía,
la
aritmé#ca,

entre
 otros);
 las
 matemá#cas
 en
 el
 An#guo
 Egipto
 (los
 números
 y
 las

operaciones,
 las
 fracciones,
 el
 triángulo,
 el
 círculo,
 la
 pirámide,
 el
 cilindro,
 el

acercamiento
 al
 número
 pi,
 etc.);
 las
 matemá#cas
 en
 la
 época
 helénica
 (la

geometría
 euclidiana
 y
 las
 figuras
matemá#cas
 relevantes
 de
 esta
 etapa);
 las

matemá#cas
en
el
mundo
árabe,
en
especial
desde
finales
del
s.
VIII
al
s.
XV
(el

desarrollo
de
la
aritmé#ca,
el
sistema
sexagesimal,
la
astronomía,
entre
otros),

haciendo
 especial
 énfasis
 al
 desarrollo
 de
 la
 misma
 durante
 el
 período
 del

Califato
de
Córdoba,
y
las
matemá#cas
en
nuestro
#empo.




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 345 




8.13.2.4.‐

Desarrollo
del
senLdo
numérico.
Medida
de
magnitudes





8.13.2.4.1.‐

Relevancia
y
senLdo
educaLvo:


El
desarrollo
del
sen#do
numérico
será
entendido
como
el
dominio
reflexivo
de

las
 relaciones
 numéricas
 que
 se
 pueden
 expresar
 en
 capacidades
 como:

habilidad
para
descomponer
números
de
 forma
natural,
 comprender
y
u#lizar

las
estructura
del
sistema
de
numeración
decimal,
u#lizar
las
propiedades
de
las

operaciones
 y
 las
 relaciones
 entre
 ellas
 para
 realizar
 cálculos
 mentales
 y

razonados.
 Interesa
 principalmente
 la
 habilidad
 para
 el
 cálculo
 con
 diferentes

procedimientos
y
la
decisión
en
cada
caso
del
más
adecuado.


A
 lo
 largo
de
 la
etapa
se
pretende
que
el
alumnado
calcule
con
fluidez
y
haga

es#maciones
razonables,
fundamentalmente
cuando
se
cuan#fican
magnitudes

y
 se
 informa
 sobre
 situaciones
 reales
 que
 niñas
 y
 niños
 deben
 llegar
 a

interpretar
 correctamente.
 La
 realización
 de
 mediciones
 de
 diferentes

magnitudes
 y
 en
 diferentes
 contextos
 llevará
 al
 manejo
 de
 un
 número

progresivamente
 mayor
 de
 unidades,
 a
 la
 elección
 de
 unidad
 y
 a
 la
 idea
 de

aproximación.


Más
 importante
 que
 el
 ejercicio
 de
 destrezas
 basadas
 en
 cálculos

descontextualizados
 es
 relacionar
 las
 dis#ntas
 formas
 de
 representación

numérica
con
sus
aplicaciones,
especialmente
en
lo
que
concierne
a
 la
medida

de
 magnitudes,
 y
 comprender
 las
 propiedades
 de
 los
 números
 para
 poder

realizar
un
uso
razonable
de
las
mismas.





8.13.2.4.2.‐

Las
formas
y
figuras
y
sus
propiedades





Relevancia
y
senLdo
educaLvo.


La
geometría
 se
centra
sobre
 todo
en
 la
clasificación,
descripción
y
análisis
de

relaciones
 y
 propiedades
 de
 las
 figuras
 en
 el
 plano
 y
 en
 el
 espacio.
 El

aprendizaje
 de
 la
 geometría
 debe
 ofrecer
 con#nuas
 oportunidades
 para

conectar
 a
 niños
 y
 niñas
 con
 su
 entorno
 y
 para
 construir,
 dibujar,
 hacer

modelos,
medir
o
clasificar
de
acuerdo
con
criterios
previamente
elegidos.




Florencio
López
de
Silanes





346 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




Para
 el
 estudio
 de
 la
 geometría
 no
 son
 necesarios
 demasiados
 requisitos

previos,
 lo
cual
puede
permi#r
que
todo
el
alumnado
tenga
 la
oportunidad
de

adentrarse
 en
 sus
 atrac#vas
 caracterís#cas,
 desarrollando
 capacidades
 que

facilitarán
una
ac#tud
posi#va
hacia
el
aprendizaje
de
las
matemá#cas.
Con
ello

el
profesorado
dispone
de
situaciones
ideales
para
la
 introducción
o
el
estudio

de
otros
conceptos
matemá#cos.


Contenidos
relevantes.


Los
contenidos
a
tratar
se
encuentran
recogidos
en
el
Real
Decreto
1513/2006,

de
7
de
diciembre:
Bloque
3,
Geometría,
de
primero,
segundo
y
tercer
ciclo.





8.13.2.4.3.‐

Interacción
con
otros
núcleos
temáLcos
y
de
acLvidades.


Este
 núcleo
 temá#co
 está
 relacionado
 con
 los
 siguientes
 contenidos
 sobre

matemá#cas
 del
 Real
 Decreto
 1513/2006,
 de
 7
 de
 diciembre,:
 Bloque
 1,

Números,
de
primero,
segundo
y
tercer
ciclo;
Bloque
2,
La
medida:
es#mación
y

cálculo
 de
 magnitudes,
 de
 primero,
 segundo
 y
 tercer
 ciclo;
 y
 Bloque
 4,

Tratamiento
de
la
información,
estadís#ca
y
probabilidad,
de
primero,
segundo

y
tercer
ciclo.


El
 aprendizaje
 de
 la
 geometría
 también
 debe
 relacionarse
 con
 los
 núcleos

temá#cos
 Paisajes
 andaluces
 y
 el
 patrimonio
 en
 Andalucía,
 del
 área
 de

Conocimiento
del
medio
natural,
social
y
cultural.





8.13.2.4.4.‐
 
Sugerencias
acerca
de
líneas
metodológicas
y
uLlización
de

recursos


Para
el
estudio
de
 la
Geometría
es
conveniente
conjugar
 la
experimentación
a

través
 de
 la
 manipulación
 con
 las
 posibilidades
 que
 ofrece
 el
 uso
 de
 la

tecnología.
 Es
 recomendable
 el
 uso
 de
 materiales
 manipulables,
 como

geoplanos
 y
 mecanos,
 puzzles,
 libros
 de
 espejos,
 materiales
 para
 formar

poliedros,
etc.,
así
como
la
incorporación
de
programas
de
geometría
dinámica

para
 construir,
 inves#gar
 y
 deducir
 propiedades
 geométricas.
 En
este
 sen#do,

se
potenciará
el
uso
del
taller
y/o
laboratorio
de
matemá#cas.




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 347 




Además,
los
conocimientos
geométricos
deben
relacionarse
con
la
resolución
de

problemas,
 a
 través
 de
 planteamientos
 que
 requieran
 la
 construcción
 de

modelos
o
 situaciones
 suscep#bles
de
 ser
 representadas
a
 través
de
figuras
o

formas
geométricas.


La
 observación
 y
 manipulación
 de
 formas
 y
 relaciones
 en
 el
 plano
 y
 en
 el

espacio
presentes
en
la
vida
co#diana
(juegos,
hogar,
colegio,
etc.)
y
en
nuestro

patrimonio
cultural,
arUs#co
y
natural
servirán
para
desarrollar
las
capacidades

geométricas,
 siguiendo
 el
 modelo
 de
 Van
 Hiele
 para
 el
 reconocimiento
 de

formas,
propiedades
y
relaciones
geométricas,
invir#endo
el
proceso
que
parte

de
 las
 definiciones
 y
 fórmulas
 para
 determinar
 otras
 caracterís#cas
 o

elementos.


Educar
a
través
del
entorno
facilitará
 la
observación
y
búsqueda
de
elementos

suscep#bles
de
estudio
geométrico,
de
 los
que
se
establecerán
clasificaciones,

determinarán
 caracterís#cas,
 deducirán
 analogías
 y
 diferencias
 con
 otros

objetos
y
figuras.


La
geometría
debe
servir
para
establecer
relaciones
con
otros
ámbitos
como
la

naturaleza,
el
arte,
la
arquitectura
o
el
diseño,
de
manera
que
el
alumnado
sea

capaz
 de
 comenzar
 a
 reconocer
 su
 presencia
 y
 valorar
 su
 importancia
 en

nuestra
historia
y
en
nuestra
cultura.
Concretamente,
la
presencia
de
mosaicos

y
frisos
en
dis#ntos
monumentos
permi#rá
descubrir
e
 inves#gar
 la
geometría

de
 las
 transformaciones
 para
 explorar
 las
 caracterís#cas
 de
 las
 reflexiones

(geometría
 desde
 el
 primer
 ciclo),
 giros
 y
 traslaciones
 (geometría
 a
 par#r
 del

segundo
ciclo).


El
 reconocimiento,
 representación
 y
 clasificación
 de
 figuras
 y
 cuerpos

geométricos
 se
debe
abordar
 a
 través
de
 la
observación
 y
de
 la
manipulación

ksica
o
virtual.
El
estudio
de
formas
algo
más
complejas
debe
abordarse
a
través

del
proceso
de
descomposición
en
figuras
elementales,
 fomentando
el
sen#do

esté#co
y
el
gusto
por
el
orden.


El
cálculo
de
áreas
y
volúmenes
de
figuras
geométricas
debe
iniciarse
por
medio

de
descomposiciones,
desarrollos,
etc.
y
solo
al
final
del
proceso
es
conveniente

obtener
las
fórmulas
correspondientes.
El
proceso
de
obtención
de
la
medida
es

lo
que
dará
significado
a
esas
fórmulas.





 




Florencio
López
de
Silanes





348 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




8.13.2.4.5.‐

Criterios
de
valoración
de
los
aprendizajes


La
 evaluación
 debe
 evitar
 planteamientos
 memorís#cos.
 Es
 conveniente

fomentar
 y
 valorar
 los
 procesos
 de
 inves#gación
 y
 deducción
 realizados
 para

determinar
 las
 caracterís#cas
 y
 propiedades
 de
 las
 dis#ntas
 formas
 planas
 y

espaciales,
 a
 la
 vez
 que
 se
 valoran
 los
 procesos
 seguidos
 en
 el
 análisis,

planteamiento
y
resolución
de
las
situaciones
y
problemas
de
la
vida
co#diana.





Contenidos
relevantes:


Los
contenidos
a
tratar
se
encuentran
recogidos
en
el
Real
Decreto
1513/2006,

de
 7
 de
 diciembre:
 Bloque
 1,
Números
 y
 operaciones,
 de
 primero,
 segundo
 y

tercer
ciclo;
y
Bloque
2,
La
medida:
es#mación
y
cálculo,
de
primero,
segundo
y

tercer
ciclo.





8.13.2.4.6.‐

Interacción
con
otros
núcleos
temáLcos
y
de
acLvidades:


Este
 núcleo
 temá#co
 está
 relacionado
 con
 los
 siguientes
 contenidos
 sobre

matemá#cas
 del
 Real
 Decreto
 1513/2006,
 de
 7
 de
 diciembre,:
 Bloque
 1,

Números,
de
primero,
segundo
y
tercer
ciclo;
Bloque
2,
La
medida:
es#mación
y

cálculo
 de
 magnitudes,
 de
 primero,
 segundo
 y
 tercer
 ciclo;
 y
 Bloque
 4,

Tratamiento
de
la
información,
estadís#ca
y
probabilidad,
de
primero,
segundo

y
tercer
ciclo.


El
 aprendizaje
 de
 la
 geometría
 también
 debe
 relacionarse
 con
 los
 núcleos

temá#cos
 Paisajes
 andaluces
 y
 El
 patrimonio
 en
 Andalucía,
 del
 área
 de

Conocimiento
del
medio
natural,
social
y
cultural.




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 349 




8.14.‐
 Apéndice
 E.
 Contenidos
 de
 Geometría
 en
 la
 asignatura
 de

MatemáLcas
en
las
Comunidades
Autónomas
de
Andalucía
y
Madrid


8.14.1.‐


ENSEÑANZA
PRIMARIA


8.14.1.1.‐

COMUNIDAD
AUTÓNOMA
DE
ANDALUCÍA


MEDIDAS
Y
MAGNITUDES


‐
Necesidades
y
funciones
de
la
medida.


‐
La
medida
de
longitudes,
unidades
corporales,
palmos,
pie,
paso...)
unidades

arbitrarias
(nudo,
palo...),
unidades
convencionales
(Litro,
medio
litro....).


‐
La
medida
del
#empo:
orientación
temporal,
unidades
de
medida
(día,

semana,
año,
estaciones,
hora,
media
hora,
cuarto
hora)
lectura
del
reloj.


‐
La
medida
de
capacidades,
masas
(litro,
medio
litro...
kilogramo,
medio
kilo....)


‐
El
sistema
monetario:
monedas
más
usuales.


‐
Relaciones
entre
can#dades
de
una
misma
magnitud.


‐
Reconocimiento
y
realización
de
unidad
(longitudes,
capacidades
y
masas).


‐
U#lización
de
instrumentos
de
medida.


‐
Relaciones
temporales:
ayer,
hoy,
mañana...


‐
Empleo
del
calendario
y
lectura
de
horas
en
el
reloj.


‐
Reconocimiento
y
uso
de
monedas
de
curso
legal.


‐
Valoración
de
la
importancia
de
las
mediciones
y
es#maciones
en
la
vida

co#diana.





CONOCIMIENTO,
ORIENTACION
Y
REPRESENTACION
ESPACIAL


‐
Orientación
espacial
(situaciones
de
un
objeto
en
el
espacio:
delante,
detrás,

izquierda,
derecha
arriba,
abajo,
dentro,
fuera,
en
el
borde,
al
lado
de,
encima,

debajo,
etc...).




Florencio
López
de
Silanes





350 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




‐
Formas:
Circulares,
Cuadradas,
triangulares,
Rectangulares.
Líneas,
curvas

abiertas
y
cerradas,
interior
y
exterior
de
una
figura
plana,
líneas
poligonales

abiertas
y
cerradas,
figuras
simétricas;
circulo,
esfera
y
circunferencia


‐
Interpretación
y
reconocimiento
de
sencillas
situaciones
espaciales.


‐
Descripción
verbal
de
la
situación
de
objetos
en
el
espacio.
Situación
y

localización.


‐Reconocimiento
y
descripción
de
formas
planas
o
cuerpos
geométricos
en

objetos
que
sean
familiares.


‐Interés
y
justo
fin
de
descripción
de
situaciones,
orientaciones
y
relaciones

espaciales.





8.14.1.2.‐

COMUNIDAD
AUTÓNOMA
DE
MADRID


LA
MEDIDA:
ESTIMACIÓN
Y
CÁLCULO
DE
MAGNITUDES:


Buscan
 facilitar
 la
 comprensión
 de
 los
 mensajes
 en
 los
 que
 se
 cuan#fican

magnitudes
y
se
 informa
sobre
situaciones
reales
que
 los
niños
deben
 llegar
a

interpretar
correctamente.
A
par#r
del
conocimiento
de
diferentes
magnitudes

se
 pasa
 a
 la
 realización
 de
 mediciones
 y
 a
 la
 u#lización
 de
 un
 número

progresivamente
 mayor
 de
 unidades.
 Debe
 considerarse
 la
 necesidad
 de
 la

medición,
 manejando
 la
 medida
 en
 situaciones
 diversas,
 y
 estableciendo
 los

mecanismos
 para
 efectuarla:
 elección
 de
 unidad,
 relaciones
 entre
 unidades
 y

grado
 de
 fiabilidad.
 Se
 puede
 par#r
 para
 ello
 de
 unidades
 corporales
 (palmo,

pie,
 etc.),
 arbitrarias
 (cuerdas,
 varas,
 etc.)
 para
 pasar
 a
 las
 medidas

normalizadas,
que
surgen
como
superación
de
las
anteriores.


GEOMETRÍA:


El
 alumnado
aprenderá
 sobre
 formas
 y
 estructuras
 geométricas.
 La
 geometría

es
 describir,
 analizar
 propiedades,
 clasificar
 y
 razonar
 y
 no
 sólo
 definir.
 El

aprendizaje
de
 la
geometría
requiere
pensar
y
hacer,
y
debe
ofrecer
con#nuas

oportunidades
 para
 clasificar,
 construir,
 dibujar
 y
 medir,
 desarrollando
 la

capacidad
 para
 visualizar
 relaciones
 geométricas.
 Todo
 ello
 se
 logra

estableciendo
relaciones
constantes
con
el
resto
de
 los
bloques
del
área
y
con




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 351 




otros
ámbitos
como
el
mundo
del
arte
o
de
la
ciencia,
pero
también
asignando

un
 papel
 relevante
 a
 la
 parte
 manipuladora
 a
 través
 del
 uso
 de
 materiales

(geoplanos
 y
 mecanos,
 tramas
 de
 puntos.
 libros
 de
 espejos,
 material
 para

formar
 poliedros,
 etc.)
 y
 de
 la
 ac#vidad
 personal
 (realizando
 plegados,

construcciones,
etc.)
para
llegar
al
concepto
a
través
de
modelos
reales.
A
este

mismo
 fin
 puede
 contribuir
 el
 uso
 de
 programas
 informá#cos
 de
 geometría

dinámica.





8.14.2.‐


ENSEÑANZA
SECUNDARIA


8.14.2.1.‐

COMUNIDAD
AUTÓNOMA
DE
ANDALUCÍA


GEOMETRIA



Resolución
de
problemas



Las
formas
y
las
figuras.
Propiedades.






8.14.2.2.‐

COMUNIDAD
AUTÓNOMA
DE
MADRID



GEOMETRIA


‐
El
radián.
Medida
de
un
ángulo
en
radianes.
Equivalencias
entre
las
medidas

en
grados
sexagesimales
y
radianes.


‐
Razones
trigonométricas,
seno,
coseno
y
tangente,
de
ángulos
cuya
medida
no

excede
de
180º.


‐
Iden#dades
trigonométricas
fundamentales.


‐
Resolución
de
triángulos.


‐
Iniciación
a
la
geometría
analí#ca
plana.
Vectores
en
el
plano,
con
y
sin

coordenadas.


‐
Operaciones
con
vectores:
Adición,
sustracción
y
mul#plicación
por
un
escalar.


‐
Aplicaciones
de
los
vectores
a
la
resolución
de
problemas
geométricos.

Dis#ntas
formas
de
la
ecuación
de
la
recta.









Florencio
López
de
Silanes





352 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




8.14.3.‐

BACHILLERATO


8.14.3.1.‐

COMUNIDAD
AUTÓNOMA
DE
ANDALUCÍA



GEOMETRIA


‐
Vectores
en
el
espacio.


‐
Rectas
y
planos
en
el
espacio.

‐
Problemas
métricos
en
el
espacio.

‐
Lugares
geométricos
en
el
plano
y
en
el
espacio.




8.14.3.2.‐

COMUNIDAD
AUTÓNOMA
DE
MADRID



GEOMETRIA

‐Ampliación
del
concepto
de
ángulo.
El
radián.
Medida
de
un
ángulo
en

radianes.


‐Razones
trigonométricas
de
un
ángulo
cualquiera.

‐Teorema
del
seno
y
del
coseno.
Resolución
de
triángulos:
Rectángulos
y
no

rectángulos.

‐Razones
trigonométricas
de
la
suma
o
diferencia
de
dos
ángulos,
del
ángulo

doble
y
del
ángulo
mitad.

‐Resolución
de
ecuaciones
trigonométricas
sencillas.

‐Forma
trigonométrica
de
los
números
complejos.
Operaciones.

‐Vectores
libres
en
el
plano.
Operaciones
geométricas:
Adición,
sustracción
y

mul#plicación
por
un
escalar.


‐Componentes
de
un
vector
en
un
sistema
de
referencia
ortonormal.
Módulo
de

un
vector.
Operaciones
con
vectores
mediante
sus
componentes.
Aplicaciones
a

la
resolución
de
problemas.

‐Ángulo
entre
vectores.
Producto
escalar
de
dos
vectores.


‐Ecuaciones
de
la
recta.
Incidencia,
paralelismo
y
perpendicularidad.
Cálculo
de

distancias
entre
puntos
y
rectas.
Cálculo
de
ángulos
entre
rectas.
Resolución
de

problemas.

‐Lugares
geométricos
del
plano:
Mediatriz
de
un
segmento,
bisectriz
de
un

ángulo
y
cónicas.
Ecuaciones
de
la
circunferencia,
elipse,
hipérbola
y
parábola.




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 353 




8.15.‐
Apéndice
F.
Resumen
de
los
contenidos
de
geometría
en
Primaria,

Secundaria
y
Bachillerato






ENSEÑANZA
PRIMARIA


1º
de
Primaria


‐ El
reloj
y
las
horas.



‐ La
longitud
a
nivel
general
sin
unidades,
se
u#lizan
ejemplos
para
medir


las
 cosas,
 clips
 para
 medir
 cosas
 pequeñas
 y
 pies
 para
 medir
 cosas


grandes.


‐ Conceptos
 básicos
 de
 la
 forma
 triangular
 que
 implica
 al
 triangulo
 y
 los


lados
para
asociados.


2º
de
Primaria


‐ La
recta
numérica,
el
concepto
de
doble
y
mitad,
 iniciación
a
la
división,


aparición
de
las
unidades
de
medida
y
equivalencias,
metro,
cenUmetro,


litro
y
kilo.


‐ Líneas
 curvas,
 rectas,
 cerradas,
 abiertas,
 los
 polígonos,
 el
 círculo
 y
 la


circunferencia.
 Las
 monedas
 de
 1
 a
 50
 cén#mos.
 El
 triangulo
 y
 el


cuadrado,
el
punto
y
la
línea.



‐ El
 uso
 de
 la
 regla,
 los
 billetes
 y
 las
 monedas
 hasta
 500
 euros,


equivalencias
de
1€=100
cén#mos.


‐ Las
gráficas
de
barras,
la
cuadricula,
coordenadas.


‐ Superficies
 curvas
 y
 planas,
 el
 cono,
 el
 cilindro,
 la
 esfera,
 el
 cubo
 y
 el


prisma.
Los
vér#ces,
las
aristas
y
las
caras.



‐ Iden#ficación
de
las
figuras
geométricas.


‐ Definición
 de
 cuarto
 de
 hora
 y
 media
 hora,
 los
 meses
 del
 año,
 el


concepto
de
ayer,
hoy
y
mañana,
la
balanza,
las
longitudes,
el
peso
y
las


capacidades.





Florencio
López
de
Silanes





354 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




3º
Primaria


‐ Concepto
 de
 izquierda
 y
 derecha,
 la
 dis#nción
 entre
 Ancho‐Estrecho
 y


Largo‐Corto.
 Líneas
 curvas,
 rectas,
 abiertas
 y
 cerradas.
 Concepto
 de


interior
y
exterior.


‐ Los
cuadriláteros,
los
triángulos,
las
gráficas
y
estadís#cas
y
la
es#mación


de
pesos.


‐ El
 reloj,
el
 concepto
de
“la
hora
en
punto”,
 la
media
hora,
 cén#mos
de


euro
y

localización
en
un
plano.





4º
de
Primaria


‐ La
 medida
 de
 longitud:
 metro,
 decímetro,
 cenUmetro
 y
 milímetro,


kilómetro


‐ La
medida
de
#empo:
horas
del
día,
minutos,
segundos,
lectura
del
reloj.


‐ La
 medida
 de
 superficie:
 medidas
 de
 superficies,
 comparación
 de
 las


mismas,
medidas
con
diferentes
unidades.


‐ La
medida
de
peso
y
de
capacidad:
el
kilo,
el
medio
kilo,
el
cuarto
de
kilo,


el
gramo,
la
tonelada.
El
litro,
el
medio
litro,
el
cuarto
de
litro,
el
decilitro


y
el
cen#litro.


‐ Simetrías.
Planos
y
lectura
de
gráficos.
Figuras
con
su
eje
de
simetría,
los


polígonos
 y
 sus
 simetrías.
 Planos
 y
 sus
 interpretaciones
 y
 la
 lectura
 y


comparación
de
gráficas
lineales.


5º
de
Primaria


‐ La
 moneda,
 el
 euro,
 equivalencias
 entre
 cén#mos
 y
 euros,
 pagos
 y


devoluciones,
operaciones
con
euros,
aplicación
de
 la
moneda
a
 la
vida




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 355 




real,
 redondeo
 de
 precios
 y
 la
 capacidad
 para
 ordenar
 y
 comparar
 los


precios
con
cén#mos.


‐ Rectas
 y
 ángulos;
 Medida
 de
 ángulos
 y
 su
 construcción.
 Clases
 de


ángulos.
Mediatriz
de
un
segmento
y
bisectriz
de
un
ángulo.


‐ Polígonos;
Clasificación
de
 los
polígonos.
Clases
de
 triángulos,
 concepto


de
 base
 y
 altura,
 y
 su
 aplicación
 a
 los
 triángulos.
 Construcción
 de


triángulos.
Los
cuadriláteros,
sus
clases
y
el
resto
de
polígonos
regulares.



‐ Los
 primas
 y
 las
 pirámides.
 Los
 poliedros
 regulares,
 los
 elementos
 y
 el


desarrollo
de
la
pirámide
y
el
prisma.



‐ Los
cuerpos
con
superficies
curvas,
cilindro,
cono
y
esfera.


‐ Concepto
de
volumen.


‐ Longitud;
 Unidades
 de
 longitud,
 expresión
 compleja
 e
 incompleja
 de


estas
unidades,
 la
relación
entre
la
longitud
y
los
decimales,
cambios
de


unidades,
el
uso
de
los
ceros
en
los
cambios
de
unidad
y
aplicaciones
en


las
escalas
de
los
mapas.


‐ Peso,
múl#plos
y
submúl#plos
del
gramo,
la
aplicación
de
fracciones
del


kilo,
la
tonelada.


‐ Superficie;
 El
 metro
 cuadrado.
 La
 superficie
 del
 rectángulo,
 de
 los


triángulos
rectángulos
y
la
superficie
del
romboide.


‐ Medida
del
Tiempo;
Unidades
de
#empo,
sumas
y
restas
de
unidades
de


#empo
y
expresiones
complejas
e
incomplejas.


6º
de
Primaria


‐ Tiempo,
 suma
 y
 resta
 en
 el
 sistema
 sexagesimal.
 Husos
 horarios
 y


expresión
compleja
e
incompleja.


‐ Peso,
 longitud
 y
 superficie;
 Unidades
 de
 longitud,
 peso,
 superficie.


Unidades
 agrarias
 de
 superficie
 y
 de
 uso
 local,
 cambios
 de
 unidades


propios
en
todas
ellas.




Florencio
López
de
Silanes





356 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




‐ Capacidad
 y
 volumen,
 múl#plos
 y
 submúl#plos
 del
 litro,
 cambios
 de


unidades.
Concepto
de
las
unidades
de
volumen
y
capacidad.


‐ Ángulos,
medida
de
ángulos.
Ángulos
complementarios
y
suplementarios.


Suma
y
 resta
de
ángulos.
Ángulos
de
un
 triangulo
y
de
un
cuadrilátero.


Concepto
de
la
bisectriz
de
un
ángulo.


‐ Figuras
 planas.
 El
 área
 del
 cuadrado,
 rectángulo,
 romboide,
 triangulo,


trapecio,
circulo
y
rombo


‐ Longitud
de
una
circunferencia,
concepto
del
numero
π,
relación
entre
la


circunferencia
y
su
diámetro.





ENSEÑANZA
SECUNDARIA


1º
de
ESO


‐ Elementos
básicos
de
la
geometría
del
plano.



‐ El
 paralelismo
 y
 perpendicularidad
 entre
 rectas.
 Las
 relaciones
 entre


ángulos,
la
bisectriz
de
un
segmento
y
la
mediatriz
de
un
ángulo.



‐ Figuras
 planas
 elementales.
 El
 triángulo
 y
 sus
 elementos
 notables.
 Los


cuadriláteros,
y
los
polígonos
regulares,
la
circunferencia.


‐ Cálculo
de
áreas
y
perímetros.



‐ Simetría
axial
en
el
plano.






2º
de
ESO


‐ Geometría
del
plano.


‐ Teorema
de
Pitágoras.


‐ Semejanza,
razón
de
semejanza
y
escalas.



‐ Elementos
básicos
del
 espacio:
 puntos,
 rectas
 y
 planos,
 y
 las
 relaciones


entre
ellos.





Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 357 




‐ Incidencia,
paralelismo
y
perpendicularidad
entre
rectas
y
planos.


‐ Cuerpos
geométricos,
y
el
cálculo
de
longitudes,
áreas
y
volúmenes.






3º
de
ESO


‐ Geometría
del
plano.


‐ Lugar
geométrico.



‐ Aplicación
 de
 los
 teoremas
 de
 Tales
 y
 de
 Pitágoras
 en
 la
 resolución
 de


problemas
geométricos..


‐ Movimientos
del
plano:
traslaciones,
giros
y
simetrías.



‐ Geometría
del
espacio.
Movimientos
en
el
espacio.


‐ Posiciones
rela#vas
de
esferas
y
planos.


‐ Globo
terráqueo
(husos
horarios,
longitud
y
la#tud
de
un
lugar).






4º
de
ESO


Opción
B


‐ Figuras
y
cuerpos
semejantes.



‐ Trigonometría
 (razones
 trigonométricas
 y
 resolución
 de
 triángulos


rectángulos)
y,
su
aplicación
en
la
resolución
de
problemas.



‐ Iniciación
 a
 la
 geometría
 analí#ca
 plana
 (coordenadas
 de
 un
 punto,


distancia
 entre
 dos
 puntos,
 representación
 de
 las
 soluciones
 de
 una


ecuación
de
primer
grado
con
dos
incógnitas).
















Florencio
López
de
Silanes





358 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




BACHILLERATO


1º
de
Bachillerato


‐ Medida
 de
 ángulos.
 Razones
 trigonométricas.
 Razones
 trigonométricas


de
 cualquier
 ángulo.
 Razones
 trigonométricas
 de
 30º,
 45º
 y
 60º.


Relaciones
 trigonométricas
 fundamentales.
 Ángulos
 complementarios.



Ángulos
 suplementarios.
 Ángulos
 que
 se
 diferencian
 en
 180°.
 Ángulos


opuestos.
Ángulos
nega#vos
y
mayores
de
360º.
Razones
trigonométricas


de
otros
ángulos.



‐ Resolución
de
triángulos
rectángulos.
Razones
trigonométricas.
Teorema


de
los
senos
y
del
coseno.


‐ Funciones
trigonométricas.
Ecuaciones
trigonométricas.


‐ Resolución
triángulos.


‐ Números
 imaginarios.
 Potencias
 de
 la
 unidad
 imaginaria.
 Números


complejos
 en
 forma
 binómica.
 Representación
 gráfica
 de
 los
 números


complejos.
Operaciones
de
números
complejos
en
la
forma
binómica.


‐ Números
 complejos
 en
 forma
 polar.
 Números
 complejos
 iguales,


conjugados,
 opuestos
 e
 inversos.
 Producto
 y
 cociente
 de
 complejos
 en


forma
 polar.
 Potencia
 de
 complejos
 en
 forma
 polar.
 Raíz
 enésima
 de


complejos
en
forma
polar.


‐ Coordenadas
 cartesianas
 y
 polares.
 Números
 complejos
 en
 forma


trigonométrica.


‐ Vectores.
 Operaciones
 con
 Vectores.
 Combinación
 lineal.
 Vectores


linealmente
dependientes
e
independientes.
Base.
Sistema
de
referencia.


Aplicaciones.


‐ Producto
escalar.
Ecuación
vectorial
de
la
recta.
Ecuaciones
paramétricas


de
la
recta.
Ecuación
con#nua
de
la
recta.
Ecuación
punto‐pendiente
de


la
 recta.
 Ecuación
 general
 de
 la
 recta.
 Ecuación
 de
 la
 recta
 en
 forma




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 359 




explícita.
Ecuación
de
la
recta
que
pasa
por
dos
puntos.
Rectas
paralelas


al
 eje
 OX
 y
 al
 OY.
 Ángulo
 que
 forman
 dos
 rectas.
 Rectas
 paralelas
 y


perpendiculares.
 Incidencia.
Posiciones
rela#vas
de
dos
rectas.
Distancia


de
 un
 punto
 a
 una
 recta.
Mediatriz
 de
 un
 segmento.
 Bisectrices
 de
 los


ángulos
determinados
por
dos
rectas.



‐ Estudio
de
las
cónicas.
Ecuación
de
la
circunferencia.
Intersección
de
una


cónica
 y
 una
 recta.
 Estudio
 de
 la
 elipse.
 Excentricidad.
 Ecuación
 de
 la


elipse.
 
Estudio
de
 la
Hipérbola.
Excentricidad.
Ecuación
de
 la
hipérbola.


Hipérbola
equilátera.
Estudio
de
la
Parábola.
Ecuación
de
la
parábola.







2º
de
Bachillerato


‐ Ecuación
de
la
recta
tangente.


‐ Ecuación
de
la
recta
normal.


‐ Aplicaciones
ksicas
de
la
derivada.


‐ Rectas
y
Planos
en
el
espacio.


‐ Lugares
geométricos
en
el
plano
y
en
el
espacio.


‐ Cónicas.




Florencio
López
de
Silanes





360 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




8.16.‐
 Apéndice
 G.
 Programa
 de
 geometría
 para
 las
 etapas:
 Enseñanza

Primaria,
ESO
y
Bachillerato


Curso
1º
de
Enseñanza
Primaria


‐ Cuerpos
geométricos


‐ Triangulo,
circulo
cuadrado
y
rectángulo.


‐ Polígonos,
triángulos
y
cuadriláteros.


‐ Tipos
de
líneas.


‐ Diferencia
entre
grande,
mediano
y
pequeño.


‐ Diferencia
entre
largo‐corto
y
ancho‐estrecho.


‐ El
palmo,
paso
y
pie.


‐ Diferencia
entre
peso
y
volumen.


‐ Días
de
la
semana
y
meses
del
año,
el
reloj.





Curso
2º
de
Enseñanza
Primaria


‐ Unidades
de
medida,
peso,
capacidad,
volumen.


‐ Calendario
completo.


‐ El
reloj.


‐ Diferencia
entre
izquierda‐derecha,
arriba‐abajo.


‐ Tipos
de
líneas
y
el
punto.


‐ Los
polígonos.


‐ La
circunferencia
y
el
círculo.


‐ Figuras
simétricas.


‐ Prismas
y
componentes.


‐ El
cubo
y
las
pirámides.


‐ Cuerpos
redondos.







Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 361 




Curso
3º
de
Enseñanza
Primaria


‐ Medida
de
longitudes.


‐ Los
triángulos
según
sus
lados
y
sus
ángulos.


‐ Clases
de
cuadriláteros
y
de
paralelogramos.


‐ Medida
del
#empo.


‐ Tipos
de
línea
y
de
ángulos.


‐ 
Los
cuerpos
geométricos
y
superficies.
Objetos
y
formas.


‐ Circunferencia
y
círculo.



Curso
4º
de
Enseñanza
Primaria


‐ Unidades
de
medida,
longitud,
#empo,
superficie,
peso
y
capacidad.


‐ Simetrías.


‐ Polígonos.


‐ Lectura
de
gráficos
e
interpretación
de
planos.


‐ Rectas
y
ángulos.


‐ Clasificación
de
triángulos.


‐ Cuerpos
geométricos.
Poliedros.


Curso
5º
de
Enseñanza
Primaria


‐ Polígonos,
regulares
y
no
regulares.


‐ Triángulos,
base
y
altura
de
triángulos.


‐ Cuadriláteros.


‐ Ángulos
de
los
polígonos
y
concepto
de
perímetro.


‐ Unidades
de
longitud
y
sus
relaciones.


‐ Unidades
de
superficie,
calculo
de
áreas.


‐ Unidades
de
peso
y
sus
relaciones.


‐ Expresiones
complejas
e
incomplejas.


‐ Cuerpos
geométricos,
poliedros,
prismas,
pirámides,
cono,
cilindro
y
esfera.




Florencio
López
de
Silanes





362 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




Curso
6º
de
Enseñanza
Primaria


‐ Ángulos,
clases
y
medidas.
Suma
y
resta
de
ángulos.


‐ Longitud
y
superficie,
perímetro
y
área.


‐ Paralelogramos,
Triángulos,
círculo
y
Circunferencia.


‐ Unidades
agrarias.


‐ Área
del
triangulo,
rombo,
rectángulo,
cuadrado
y
romboide.


‐ Poliedros.


‐ Cono,
esfera
y
cilindro.


‐ Volumen
y
sus
medidas.


‐ Capacidad
y
sus
medidas.


‐ Traslaciones
y
giros
sobre
el
plano.


‐ Figuras
con
simetría.


Curso
1º
de
Enseñanza
Secundaria
(E.S.O.)


‐ Unidades
de
medida,
magnitudes,
 longitud,
masa,
volumen,
superficie
y


capacidad.


‐ Ángulos,
conceptos,
medida,
clasificación,
operaciones
y
relaciones.


‐ Posiciones
de
la
recta,
semirrecta
y
segmentos.


‐ Polígonos,
triángulos
y
cuadriláteros.


‐ Perímetro
y
área
de
cuadriláteros,
triángulos
y
otros
polígonos.


‐ Teorema
de
Pitágoras.


‐ Las
formas
planas,
la
circunferencia
y
el
círculo.


‐ Polígonos
inscritos
y
circunscritos
en
la
circunferencia.


‐ Longitud
de
la
circunferencia.


‐ Área
del
círculo.


‐ Cuerpos
en
el
espacio,
cubo,
ortoedro,
prisma
y
cilindro.


‐ Suma
de
ángulos
de
un
polígono.




Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 363 







Curso
2º
de
Enseñanza
Secundaria
(E.S.O.)


‐ Razón
y
proporcionalidad
de
segmentos.


‐ Rectas
secantes
cortadas
en
segmentos
por
rectas
paralelas.


‐ Teorema
de
Tales.


‐ Geometría
y
semejanza.


‐ Figuras
semejantes.


‐ Escalas.


‐ Ángulos
triédricos
y
poliédricos.
Ángulos



‐ Poliedros.


‐ Relación
de
Euler.


‐ Simetrías.


‐ Prismas,
Pirámides
y
paralelepípedos.


‐ Coordenadas
cartesianas.


‐ Volúmenes
de
las
pirámides,
paralelepípedos
y
unidades
de
volumen.





Curso
3º
de
Enseñanza
Secundaria
(E.S.O.)


‐ Polígonos
Regulares.







































































‐ Rectas
Notables
y
Ecuaciones
de
la
Recta.


































‐ Circunferencias.
















































































‐ Áreas.


































































































‐ Trabajos
en
el
Plano.








































































‐ Función
Lineal
y
Función
akn.

























































‐ Geometría
en
el
Plano.





































































‐ Ángulos,
Vectores,
Giros
y
Traslaciones.







































‐ Prismas,
Pirámides,
Esferas
y
Volúmenes
de
los
Poliedros.









Florencio
López
de
Silanes





364 Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele. 




Curso
4º
de
Enseñanza
Secundaria
(E.S.O.)


‐ Semejanzas
en
el
plano
y
en
el
espacio.








































‐ Vectores
en
el
plano.









































































‐ Rectas
en
el
plano.













































































‐ Teorema
de
Tales.














































































‐ Escalas,
planos,
mapas
y
maquetas.








‐ Unidades
de
Medida
de
ángulos.


‐ Razones
trigonométricas












































Curso
1º
de
Bachillerato


‐ Razones
y
ecuaciones
trigonométricas
y
trigonometría















‐ Resolución
de
triángulos




































































‐ Reducción
de
un
ángulo
al
primer
giro
y
primer
cuadrante.








‐ Teorema
del
seno
y
del
coseno,
de
adición.





































‐ Transformaciones
de
sumas
de
dos
razones
en
productos.










‐ Números
complejos.













































































‐ Vectores
y
ecuaciones
con
vectores.

















































‐ Lugares
geométricos
(cónicas).



























































‐ Rectas
tangentes
y
normales
a
una
circunferencia
en
un
punto.





‐ La
elipse,
la
hipérbola
y
la
parábola.





















































Curso
2º
de
Bachillerato


‐ Geometría
Euclides.












































































‐ Producto
escalar.

















































































‐ Ángulos
entre
elementos
del
espacio.















































Medidas
en
los
libros
de
texto
de
geometría


Enseñanza
de
la
Geometría.
Modelo
de
van
Hiele.
 365 




‐ Rectas
que
se
apoyan
sobre
otras
dos
rectas
dadas.





















‐ Distancia
en
el
plano.










































































‐ Productos
vectoriales
y
mixtos.
Vectores.







































‐ La
esfera.
































































































‐ Ecuaciones
de
la
recta.




























































































Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  367 

 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 9 

 

LA MEDIDA DEL NIVEL DE RAZONAMIENTO EN LOS ALUMNOS 

EN GEOMETRÍA. VALIDACIÓN DEL CUESTIONARIO DE USISKIN 

 

 

9.1.- Medida del nivel de razonamiento mediante el cuestionario de 

Usiskin. Prueba y validación del cuestionario de Usiskin 

 

Conocido el modelo de los niveles de razonamiento de van Hiele, y si 

queremos llevar a la práctica este modelo, tendremos que resolver el problema 

de cómo medimos los niveles de razonamiento en estudiantes de Geometría. El 

tema entonces, se plantea de la siguiente manera, dada una persona, o un 

grupo de ellas, ¿cómo les asignamos un número del uno al cinco que caracteriza 

su nivel de razonamiento van Hiele?. 

Este proceso de asignación ha de cumplir las condiciones siguientes. 

- Tiene que ser coherente con las propiedades inherentes al modelo van 

Hiele, es decir, ha de tener presente e incorporar la estructura y las 

características de los niveles, sino estaríamos midiendo otra cosa. Tiene 

que contemplar la dinámica entre los niveles, es decir, las restricciones 

que introduce el movimiento entre los niveles de van Hiele. 

- Como todas las medidas, ha de ser fiable y repetible, es decir, que los 

resultados arrojados en la medida se correspondan con el estado de 

conocimiento y de razonamiento de la persona o personas a que se 

aplica la medida, y que si no ha existido un crecimiento o deterioro en su 



Florencio López de Silanes 

 

368 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

estado de razonamiento o conocimiento, el resultado de la medida sea el 

mismo al aplicarse a las mismas personas. Veremos que esta condición 

introducirá severas restricciones en el mecanismo de medida. 

- Tenemos que definir la vara de medir, sin esto no sabremos nunca cómo 

y que estamos midiendo. Si vamos a medir los niveles de razonamiento 

de van Hiele, tendremos que especificar entonces los requisitos que 

hemos de exigir a cada persona para superar un nivel determinado. A 

estos requisitos de cada nivel van Hiele, algunos autores los han llamado 

indicadores de nivel. En este trabajo no definiremos nuevos indicadores 

de nivel para no crear más confusión sobre este tema, de forma que 

caracterizaremos los niveles de razonamiento de van Hiele mediante los 

indicadores de nivel o caracterizaciones de los niveles realizados por 

otros autores, aunque hemos de confesar que también hemos 

establecido nuestros propios indicadores. 

- Dadas unas caracterizaciones de los niveles de razonamiento de van 

Hiele y una persona o un grupo de ellas, la única manera de saber si 

dichas personas cumplen o no, o hasta que punto con esos indicadores 

de nivel, es realizar una valoración a dichas personas de acuerdo con los 

indicadores de los niveles de razonamiento de van Hiele establecidos y 

las características y estructura de los niveles de razonamiento de van 

Hiele. 

- Para desarrollar el punto anterior solamente conozco dos técnicas, o bien 

preguntamos a las personas a valorar mediante un cuestionario, o bien lo 

hacemos directamente en el trascurso de una entrevista personal. Si 

ambos procedimientos son válidos, debieran arrojar los mismos 

resultados. 

- El proceso de los datos resultantes de los cuestionarios o entrevistas 

aplicadas ha de ser también coherente con el modelo de los niveles de 

razonamiento de van Hiele, y ha de resultar fiable e independiente de las 

personas que aplican o procesan los cuestionarios y las entrevistas. 

- Una característica deseable a las medidas realizadas debiera de ser 

universalidad, es decir, que fueran comparables con las medidas hechas 

en España y en otros países, permitiendo de esta manera, no solo 

elaborar criterios y conclusiones en tu propio taller, sino que ampliar y 

extrapolar estas con las características de otras partes del mundo. Para 

cumplir con este objetivo, hemos de recurrir a: 

o Una caracterización estándar de los niveles de razonamiento de 

van Hiele, es decir, seleccionar los indicadores de nivel 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  369 

 

comúnmente admitidos en la mayor parte de los países, 

subordinando el de si estos indicadores reproducen mejor o peor 

las características de tales niveles según diferentes autoridades en 

la materia, por su nivel de aceptación, implantación o que existan 

resultados concretos en esa línea. Creo que no estamos 

desacertados en esta línea, pues si muchos enseñantes, 

investigadores e instituciones reconocen y aceptan una 

caracterización de los niveles de razonamiento de van Hiele es por 

algo.  

o La selección de un cuestionario para la medida de los niveles de 

razonamiento de van Hiele que haya sido aplicado en muchos 

países, que los datos publicados en los diferentes países se hayan 

obtenido mediante este cuestionario, con independencia de que 

haya sido aplicado por investigadores o instituciones públicas o 

docentes. 

o Que los criterios que utilicemos para el tratamiento de los datos 

surgidos de los cuestionarios anteriores, o sean los mismos, o sean 

coherentes, o sean un desarrollo y actualización de los asumidos 

mayormente en el mundo. 

Solo si cumplimos escrupulosamente estas condiciones, estaremos 

seguros de que los resultados de nuestro trabajo e investigación 

podrán ser aportar datos coherentes al conocimiento común de 

las características de los conjuntos estudiados por nosotros. 

Manifiesto en este punto, he sucumbido también a la tentación 

del desarrollo de especificaciones propias y personales de los 

niveles de razonamiento de van Hiele, así como también el diseño 

y confección un cuestionario para la medida de los niveles de 

razonamiento de van Hiele. Pero también manifiesto que, he 

aparcado estos desarrollos personales para sustituirlos por 

aquellos que he considerado como estándares en base a su nivel 

aceptación, y que además, estas especificaciones de nivel y 

cuestionarios son los únicos que han sido aplicados en todos los 

continentes. 

 

Vemos de esta manera, que en mi opinión, hemos de aplicar en los 

procesos de medida de los niveles de razonamiento de van Hiele, unos criterios 

que sean coherentes con los de cualquier sistema de medida comúnmente 



Florencio López de Silanes 

 

370 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

aceptado, esperamos de esta forma, tener el beneficio de los sistemas 

estandarizados. 

Lamentablemente no podremos comparar nuestros resultados con los 

de otros investigadores españoles que nos han precedido en estos estudios, ya 

que sus supercuestionarios (que así los denominan algunos) no son los mismos 

que hemos aplicado aquí, a que se han aplicado en países europeos, Rusia, 

Estados Unidos, Sudáfrica, Japón, Turquía, Nigeria, Jordania, China, Malasia, 

Portugal, Singapur … 

Al hilo de lo que acabamos de expresar, en este capítulo detallaremos el 

sistema de medida de los niveles de razonamiento de van Hiele, así: 

- Describiremos las características de cada nivel de razonamiento de van 

Hiele, ya que las debe de contemplar el sistema de medida. 

- Detallamos las propiedades comunes a todos los niveles de razonamiento 

de van Hiele. 

- El sistema de medida ha de ser compatible con las fases de aprendizaje 

del modelo de van Hiele, por lo que se toca también este tema. 

- Se describen los indicadores de los niveles de razonamiento de van Hiele 

comúnmente aceptados, y que han de ser incorporados en el proceso de 

medida de los niveles. 

- Se selecciona un cuestionario existente, se estudia que es compatible con 

los puntos anteriores, y que además existen publicaciones de datos 

relativos a los niveles de razonamiento de van Hiele obtenidos en 

muchos países del mundo aplicando exactamente este cuestionario. 

- Se diseña una estrategia y unos criterios para la medida y el tratamiento 

de los datos resultantes del cuestionario anterior, y se compara y asimila 

a la vara de medir utilizada en otras partes del mundo. 

- Se realiza una prueba del cuestionario, para ver si los resultados que 

arroja se corresponden o no con la caracterización de los niveles de 

razonamiento de van Hiele que podamos poseer del grupo medido. Es 

como una calibración de este instrumento de medida. 

- Se dan las pautas para el tratamiento de los datos que surjan de la 

aplicación de este cuestionario a diferentes grupos de diversos niveles de 

enseñanza. 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  371 

 

9.2.- Validación de la prueba 

 

Para la realización de la prueba de validación, o no, del cuestionario de 

Usiskin, se seleccionó a un grupo de estudiantes de la Facultad de Educación de 

la Universidad Complutense de Madrid. Estos alumnos estudiaban segundo 

curso de Educación Infantil en el turno de mañana. La profesora cedió 

gustosamente la primera parte de su tiempo lectivo a la realización del 

cuestionario, en la mañana del 9 de marzo de 2009. 

El cuestionario se realizó sin aviso previo a los alumnos. No obstante, se 

les explicó el propósito del mismo, su obligatoriedad y se les pidió la 

colaboración en el proyecto. A continuación de que alguna persona abandonara 

el aula, se explicó de forma precisa la pautas y normas para cumplimentar el 

cuestionario, después de que fueran entregados a cada alumno un cuadernillo 

de preguntas y la correspondiente hoja de respuestas. Estaban presentes en el 

cuestionario 59 alumnos. 

La primera tarea fue la explicación del formato de datos personales de 

los alumnos, se matizó la no obligatoriedad de cumplimentar su nombre, pero sí 

el resto de datos de propósito estadístico. Se concedió un tiempo de 35 minutos 

para cumplimentar el cuestionario. Durante este tiempo, la prueba fue vigilada 

por dos profesores, contestando yo a las preguntas formuladas por los alumnos, 

pero solamente a aquellas cuestiones relativas a la interpretación del lenguaje 

de los ítems del cuadernillo.  

Las preguntas de los alumnos, nos marcaron la pauta para ajustar en el 

cuadernillo el lenguaje de los ítems nº 8, 14 y 18, quedando así en la redacción 

definitiva que se ha mostrado anteriormente. 

Transcurridos los 35 minutos, se recogieron las hojas de respuestas y los 

cuadernillos, continuando los alumnos con su clase ordinaria. La profesora 

estimó la asistencia a su clase en ese día como normal, estando presentes los 

alumnos que habitualmente concurren a ella.  

La identificación de los registros de los alumnos se hizo con los códigos 

de clave CSXX, donde CS son las iniciales de la profesora que autorizó la prueba 

a los alumnos, la Dra. Carmen Sabán, y las posiciones XX para indicar un 

contador secuencial de los alumnos. Todos los datos de los alumnos irán 

asociados a estas referencias, así como los resultados de las pruebas y los 



Florencio López de Silanes 

 

372 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

cálculos realizados con ellos. En este caso tendremos códigos de referencia de 

alumnos que van de CS01 a  CS59. Y los análisis de conjunto englobarán todas 

estas referencias. 

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  373 

 

9.3.- Análisis de la muestra y resultados de la prueba de validación 

 

La prueba se aplicó a 59 alumnos de 2º curso de Educación Infantil del 

turno de mañana en la Facultad de Educación de la Universidad Complutense de 

Madrid.  

 

9.3.1.- Identificación de alumnos en el cuestionario 

 

Llama la atención en primer lugar la resistencia de los alumnos a 

identificarse con nombres y apellidos en el cuestionario, ya que se identificaron 

menos de la mitad, el 47%, prefiriendo el resto permanecer en el anonimato, 

quizás por la desconfianza en un resultado brillante en una prueba de 

geometría, quizás por la falta de interés en los resultados, ya que se les previno 

expresamente en que los resultados de la prueba no tenían ninguna influencia 

en sus calificaciones. 

 

Alumnos Identificados en el cuestionario

Sin Identificar

53%

Identificados

47%

 
Gráfico  1  

 

 

9.3.2.- Edades de los alumnos 

 

Las edades de los alumnos estaban comprendidas entra 19 y 44 años, 

con una distribución en curva hiperbólica como indica la figura siguiente. Sobre 

el papel la distribución de edades del grupo es buena, ya que el 46% de sus 



Florencio López de Silanes 

 

374 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

componentes tienen la edad mínima reglamentaria para cursar esos estudios, 

de acuerdo a la normativa española al respecto.  

 

Para poder estudiar la distribución de edades en el grupo, se distribuyó 

sus alumnos en “clases de edad”, designando cada clase por los alumnos que la 

componen: 19, 20, 21 …. años. Agrupando a los 6 alumnos mayores de 24 años 

en una única clase de edad denominada (“<24”) mayores de 24 años. Hubo tres 

alumnos no especificaron su edad, lo que equivale al 5% de la muestra, por lo 

que fuera cual fuera la edad de estas personas, no modificarían este cuadro mas 

que localmente. Poco significativas son también las clases de edad asociadas a 

los 21 y 24 años, con uno y dos alumnos respectivamente. 

 

Edad de los alumnos

14

2

12

3

10

5

8

46

0

10

20

30

40

50

19 20 21 22 23 24 >24 N/C

Años

P
o

rc
e
n

ta
je

 
Gráfico  2  

 

9.3.3.- Distribución por el sexo 

 

La siguiente característica del grupo que estudiamos es la distribución 

del sexo de los alumnos.  Todos los alumnos respondieron a esta pregunta, 

registrándose solamente un varón en el grupo. Esto también suele ser común en 

los grupos de “Educación Infantil” donde predominan las mujeres casi con 

carácter de exclusividad. La uniformidad del grupo en este carácter hace que no 

sea interesante su estudio en este grupo. 

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  375 

 

Distribución de los alumnos por sexo

Mujeres

98%

Hombres

2%

 
Gráfico  3  

 

9.3.4.- Tipo de bachillerato estudiado por los alumnos 

 

Todos los alumnos respondieron a las preguntas relativas a sus estudios 

de bachiller, salvo la alumna (CS07) que no cumplimentó ningún dato salvo el 

sexo, y que la hemos incluido en la clase “Sin especificar”. Todos los alumnos 

reconocer haber estudiado bachillerato, por lo que hemos hecho tres clases 

para estudiar carácter: Bachillerato de Letras, Bachillerato de Ciencias y 

Bachillerato sin especificar, para agrupar todas las respuestas de los alumnos. 

En el grupo predominan los alumnos procedentes de Bachillerato de Letras con 

un 41%, el 32% proceden del Bachillerato de Ciencias, y el resto no ha 

especificado el bachillerato que han estudiado, según la figura siguiente. 

 

Bachiller estudiado por los alumnos

LETRAS

41%

Sin Especificar

27%

CIENCIAS

32%

 
Gráfico  4  



Florencio López de Silanes 

 

376 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

9.3.5.- Titularidad del centro de enseñanza media 

 

La última de las variables personales que se les requirió en el 

cuestionario fue la titularidad del centro donde cursaron estudios de enseñanza 

media. En este apartado se han contemplado cuatro clases: Centros de 

titularidad Privada, Centros de titularidad Pública, Centros de Enseñanza 

Concertada y, aquellos cuya titularidad o nombre no ha sido especificada por los 

alumnos (N/C). En la gráfica 5 se observa que antes de acceder a la universidad, 

la mayoría de estos alumnos cursaron estudios bien en centros de titularidad 

pública, bien en centros de enseñanza concertada, estando los primeros con un 

38% ligeramente por delante de los últimos con un 36%. Nos llama la atención 

el porcentaje importante del 12%, de los alumnos que cursaron estudios en 

centros totalmente privados. Por otra parte, el porcentaje de alumnos 

procedentes de centros privados, el 48%, es mayor que el 38%, correspondiente 

a los alumnos procedentes de centros de titularidad pública en sus estudios de 

enseñanza media. 

 

Titularidad Centro Enseñanza Media 

Concertado

36%

Privado

12%

N/C

14%
Público

38%

 
Gráfico  5  

 

9.3.6.- Titularidad del penúltimo centro de enseñanza media 

 

A pesar de que la mayoría de alumnos (el 81%) no especificaron la 

titularidad del centro anterior al último antes de acceder a la universidad, bien 

porque no cambiaron de centro educativo durante la enseñanza media, bien 

por otro tipo de circunstancias, hemos considerado interesante analizar esta 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  377 

 

característica, aunque no de forma global, sino que relativa a la población total 

que especificó este epígrafe.  

 

Titularidad Antiguo Centro Enseñanza Media 

Publico

10%

Privado

2%

Concertado

7%

N/C

81%

 
Gráfico  6  

 

Con las premisas anteriores, la muestra correspondiente a la titularidad 

del penúltimo centro de enseñanza media en que los alumnos cursaron estudios 

antes de acceder a la universidad quedaría como en el gráfico 7. Ponemos de 

manifiesto que con los términos “Antiguo Centro” y “Penúltimo Centro” 

queremos significar exactamente lo mismo. 

 

                               

Titularidad Penúltimo Centro 

Enseñanza Media

Público; 

54,5

Privado 

Concerta

do; 36,4

Privado; 

9,1

 
Gráfico  7  

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

378 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

9.4.-  Resultados de la prueba de validación 

 

La prueba se aplicó a 59 alumnos de 2º curso de Educación Infantil del 

turno de mañana en la Facultad de Profesorado de la Universidad Complutense 

de Madrid. Los resultados de la prueba fueron recogidos en la hoja de 

respuestas presentada en el Apéndice A. En estas hojas se registran para cada 

pregunta las respuestas de los alumnos relativas a: 

- Cuestionario de geometría, para la medida de los niveles de 

razonamiento de van Hiele. Eligiendo una de las cinco preguntas 

marcadas como A, B, C, D y E. En la captura de estos datos, se ha 

sustituido estas letras por los números del 1 al 5, por lo que en todas las 

tablas de respuestas no veremos las letras A, B, C, D o E, sino que se 

registrarán los números 1, 2, 3, 4, y 5 respectivamente. La razón está en 

que los números son más fáciles de capturar, y permiten más 

operaciones aritméticas y lógicas para facilitar el proceso de datos. 

- De cómo se le ha enseñado la geometría al alumno. Se cuenta con seis 

columnas divididas en dos grupos de tres: 

o Las tres primeras indican tanto si el alumno ha estudiado estos 

contenidos como si los ha aprendido o no. 

o Las otras tres son relativas a la empatía del alumno con dichos 

contenidos. 

Las respuestas correspondientes a estos últimos 6 apartados, aunque en 

la hoja de respuestas se indican con letras, por las razones ya expuestas, 

se capturan o procesan con dos secuencias de números 1,2 y 3, para 

registrar cómo le han enseñado la geometría y su empatía con ese tema. 

- Se suministran nueve columnas para elegir has tres de ellas referentes a 

como le gustaría al alumno que le enseñaran esos contenidos de 

geometría. 

 

De todas las formas, en este capítulo solamente serán estudiadas las 

respuestas correspondientes al primer apartado, las respuestas para determinar 

el nivel de razonamiento de van Hiele con relación a la pregunta formulada. 

Los 25 items del cuestionario hacen referencia a los 5 niveles de 

razonamiento de van Hiele en la siguiente manera: 

- Nivel 1. Items del 1 al 5, ambos inclusive. 

- Nivel 2. Items del 6 al 10. 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  379 

 

- Nivel 3. Items del 11 al 15. 

- Nivel 4. Items del 16 al 20. 

- Nivel 5. Items del 21 al 25. 

 

9.5.-  Respuestas al cuestionario. 

Las respuestas aportadas por los 59 alumnos a las 25 preguntas se 

describen en la tabla 1, donde los alumnos se codifican al azar y 

secuencialmente del CS01 al CS59, haciéndose un resumen de preguntas 

contestadas por preguntas y por niveles de van Hiele. 

Resulta interesante analizar cómo han respondido los alumnos. Al 

plantearles el cuestionario se les indicó que el final estaría marcado por el reloj 

o por su capacidad, aconsejándoles finalizar la prueba cuando no se sintieran 

cómodos con las preguntas o seguros de sus respuestas. Pero siempre parece 

estar presente la tendencia a completar el cuestionario en su totalidad. La figura 

siguiente resume por niveles de razonamiento de van Hiele el porcentaje de 

alumnos que han contestado alguna de las preguntas de un determinado nivel. 

Vemos que frente a que todos los alumnos han sido capaces de contestar 

alguna de las preguntas de los tres primeros niveles, solo el 85% han contestado 

alguna pregunta del cuarto nivel, y solo el 68% ha contestado a preguntas del 

último nivel. Estas consideraciones elementales nos sugieren que el 25% de los 

alumnos se sintió incapaz de contestar a preguntas del nivel 4, y por tanto, se 

retiró en el nivel 3. Y de igual manera, el 32% de los alumnos entrega el 

cuestionario sin responder a ninguna pregunta del nivel 5. Indudablemente, 

esta figura determina de alguna manera que el nivel 3 es un nivel umbral que 

difícilmente superará el nivel medio de los niveles de razonamiento de van Hiele 

de este grupo. 

Contestar alguna pregunta de un nivel

100 100 100

67,8

84,7

50

60

70

80

90

100

"1" "2" "3" "4" "5"

Niveles van Hiele

P
o

rc
e
n

ta
je

 
           Gráfico  8  



Florencio López de Silanes 

 

380 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 
Tabla  1  

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  381 

 

Otra lectura de las preguntas contestadas de acuerdo con los niveles de 

razonamiento de van Hiele, la tenemos al estudiar la media de las preguntas 

contestadas por los niveles de razonamiento de van Hiele, cuyos resultados los 

tenemos en las dos figuras siguientes; en la primera en número de preguntas 

contestadas por los alumnos, y la segunda indicando el porcentaje medio de las 

preguntas contestadas por los alumnos en cada nivel de van Hiele. Podemos 

decir que todos los alumnos han respondido a las cinco preguntas del primer 

nivel, con la excepción del alumno CS39 que ni respondió a la primera cuestión. 

En las respuestas a los ítems 6 al 10 correspondientes al segundo nivel, 

algunos alumnos comienzan a dar señales de flaqueza, y ya el grupo, por así 

decirlo, no responde a todas las preguntas, a casi todas, la media está en algo 

más de 4 preguntas respondidas, o lo que es lo mismo, se responde al 92% de 

las preguntas planteadas en el cuestionario. Esta misma tendencia se observa 

en las preguntas respondidas en el nivel 3, donde los alumnos han respondido 

también a más de 4 preguntas del nivel, en media, llegando casi a responder al 

90% de las cuestiones planteadas en este nivel. Es decir, podemos afirmar que 

en los tres primeros niveles de razonamiento de van Hiele de este cuestionario, 

los alumnos han respondido con confianza. 

Solamente las preguntas 2, 3, 4, 5 y 13 fueron respondidas por todos los 

alumnos, por lo que son preguntas que han inspirado mayor confianza. En el 

otro lado de la balanza se sitúan los ítems 25, 22 y 16. 

 

Media de respuestas contestadas

5

2,9

2,1

4,5

4,6

0

1

2

3

4

5

"1" "2" "3" "4" "5"

Niveles van Hiele

R
e
s
p

u
e
s
ta

s
 c

o
n

te
s
ta

d
a
s

 
Gráfico  9  



Florencio López de Silanes 

 

382 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

No sucede lo mismo en los niveles 4 y 5, donde se aprecia una bajada 

considerable en la confianza con que los alumnos responden al cuestionario. 

Apenas llega a tres preguntas respondidas en el nivel 3 la media de las 

respuestas de los alumnos, que se traduce en poco más de dos preguntas 

respondidas la media del nivel 5. 

 

Porcentaje medio de repuestas por niveles de VH

99,7

58,6

41,0

92,5 89,8

0

20

40

60

80

100

"1" "2" "3" "4" "5"

Niveles VH

P
o

rc
e
n

ta
je

 
                  Gráfico  10  
 

De esta manera, de acuerdo con el criterio VH45, si cualificamos que se 

ha superado un nivel cuando se aciertan 4 de las 5 preguntas de dicho nivel, y se 

han superado los niveles precedentes, concluimos a la vista de las respuestas 

emitidas en la imposibilidad de que este grupo supere el nivel 4.  



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  383 

 

9.6.- Fiabilidad de las respuestas del cuestionario 

 

Alfa de Cronbach 

Se utilizan diversas técnicas para medir una cualidad no observable, 

como la fiabilidad de un cuestionario aplicado a un grupo de alumnos. Para ello, 

se miden n variables observables como los n-ítems de un cuestionario aplicado 

a cada alumno. Estos ítems deben estar relacionados con la magnitud que 

deseamos medir, como el nivel de razonamiento de van Hiele, y deben realizar 

mediciones estables y consistentes, con un elevado nivel de correlación entre 

ellos. 

El alfa de Cronbach no deja de ser una media ponderada de las 

correlaciones entre las variables (o ítems) que forman parte de la escala. Puede 

calcularse de dos formas: a partir de las varianzas o de las correlaciones de los 

ítems. Hay que advertir que ambas fórmulas son versiones de la misma y que 

pueden deducirse la una de la otra. (Meliá, J. , 2001). 

 

   
 

Donde: 

 

  es la varianza del ítem i, En la fórmula se suman para todos los ítems. 

  es la varianza de la suma de todos los ítems para cada alumno 

K    es el número de ítems. 

De esta forma, el alfa de Cronbach no deja de ser una media ponderada 

de las correlaciones entre las variables (o ítems) que forman parte de la escala 

de medida.  

El nivel máximo de correlación se alcanza cuando los resultados dentro 

de cada ítem son iguales. En tal caso, las varianzas de los ítems serían nulas, 

como la suma de la varianza de todos los ítems y, por lo que el valor del alfa es, 

muy próximo a 1. Así cuanto más se aproxime a su valor máximo, 1, mayor es la 

fiabilidad de la escala. Se considera que valores del alfa superiores a 0,7 o 0,8 

(dependiendo de la fuente) son suficientes para garantizar la fiabilidad de la 

escala. (Ibídem) 

http://es.wikipedia.org/wiki/Correlaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Varianza


Florencio López de Silanes 

 

384 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Si los ítems fuesen independientes entre sí, la varianza de la suma de 

todos los ítems para todos los alumnos, sería igual a la suma de las varianzas de 

los ítems, por lo que el valor de alfa sería nulo. 

 
Cálculo del Coeficiente Alfa en las Respuestas  

Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Suma 

CS01 4 4 3 2 1 2 5 1 2 3 5 2 2 3 2           41 

CS02 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 1 1 2 4 3 4 3 4 1     59 

CS03 2 4 3 2 5 2 5 5 3  3 1 5 5     1     2  48 

CS04 2 4 3 2 3 2 5 1 3 4 3 2 1 1 2  1 4  3 1     47 

CS05 4 4 3 2 5 2 5 1 3 4   1 1 5 3 5 4 3 4 5 5 4   73 

CS06 2 4 3 2 3 2  1 3  3 1 5 4 5  1  1       40 

CS07 2 4 3 2 5 3 5 1 4 4 5 4 1 5 2           50 

CS08 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 1 1 2  3 5 1 1 1 5 2 4 4 66 

CS09 2 4 5 2 5 2 5 1 2 4 3 2 1 1 5  3 4 3 5 1 4 4 4 2 74 

CS10 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 5 1 5 1 5  3 4 3 5 5 4 4 4 2 82 

CS11 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 1 1 2  3 4 1 1 1 2 1 4 2 59 

CS12 4 4 3 5 5 2 5 1 2 4 3 2 1 3 2           46 

CS13 2 4 3 2 5 2  1 3 4 3 3 1 1 2           36 

CS14 2 4 3 2 3 2 5 1 3 4 3 2 1 1 5 5 1 4  4 1     56 

CS15 2 4 3 2 3 2 5 1 3 4 3 2 1 1 5 4 1 4  4 1     55 

CS16 2 4 3 4 5 2 5 1 3 4 3 2 1 1 5 5 1 4  4 1     60 

CS17 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 1  2 4 3 4 1  4     55 

CS18 2 4 3 2 5 2 5 1 5 4 3 2 5 5 2  3 5 1 1 1     61 

CS19 2 4 3 2 5 2 5 1 2 4 3 2 1 1 5  3 4        49 

CS20 2 4 3 2 5 2 5 1 2 4 3 2 1 1 5  3   1 5 4 1 4 2 62 

CS21 2 4 4 2 5 2 5 1   2 2 1  5 4 3  1 1      44 

CS22 2 4 3 2 5 5  2 3 4 3 2 5 1 5  3 4 3 5 1 2 4 4 2 74 

CS23 2 4 3 2 3 2 5 1 3 2  2 1 5 2  4 3 1 1 1   4  51 

CS24 2 4 3 2 5 2 3 1 5 3 3 2 5 1   3 4  5 1     54 

CS25 2 4 3 2 5 2 5 1 5 3 3 1 5  2  3 4  5 1     56 

CS26 2 4 3 2 5 2 5 1 2  3 2 5 4 2  3 4  3      52 

CS27 2 4 3 2 5 2 5 1 2  3  5  2   4   1     41 

CS28 2 4 3 2 5 2 5 1 3  3 2 1  2  2 4   1  1  2 45 

CS29 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 1 1 2 3 2  1 2    4  52 

CS30 2 4 3 2 3 2 5 1 2 4 3 2 1 5 5 4 3 4 1 4 1 3 1 4 4 73 

CS31 3 4 5 2 5 2 5 5 3 4 4 2 1 3 3  3 4 2 4 5 1 4 4 2 80 

CS32 4 4 5 3 5 2 5 1 3 4 1 2 1 1 5 3 3 4 1 3 4 2 4 4 4 78 

CS33 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 5 4  1 2 1 1 1 1 1 1  59 

CS34 2 4 3 2 5  5 1 3 5 3 2 1 1            37 

CS35 2 4 3 2 5 2 3 1 3 4 3  1 1 2 4 5 4 1 1      51 

CS36 2 4 3 2 3 2  1 3  5 1 5 4 5  1  1     4  46 

CS37 2 4 5 2 5 2 5 1 3 2   1 4 2 5 5  2 3      53 

CS38 2 4 4 2 5 2 5 1 3 4 3 2 1 1 4           43 

CS39  4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 1 1            36 

CS40 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 1 1 4           42 

CS41 2 4 3 4 5 2 5 1 2 5 3 2 1 1 2 1 3 4 1 1 5 4 1 4 2 68 

CS42 2 4 3 4 5 2 5 3 3 5 3 2 5 1 2 1 3 4 1 1 5 4 1 4 2 75 

CS43 2 4 3 2 3 2 5 1  5 3  5  4 5   1 1 5 2    53 

CS44 2 4 3 2 5 2 5 1 3  3  5 1   4   4      44 

CS45 4 4 3 5 5 2 5 1 3 5 5 1 5 5 3 1 4 2        63 

CS46 2 4 3 2 3 2 5 1 3 4 3 5 1 5 5  5 4  1  4 5 4  71 

CS47 2 4 3 2 3 2 5 1 3 4 3 5 1 5 5  5 4  1  4 5 4  71 

CS48 4 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 4 5 1 2 4 5 3 1 2 5 2 5 4 4 83 

CS49 2 4 3 2 5 4 5 1 3 4 3 2 1 1 2 3 2  1       48 

CS50 4 4 3 2 5 2 5 1 2  3 1 5 2   5 2 1 4      51 

CS51 4 4 5 3 5 2 5 1 3  3 3 1 2 2  1   4  3 1 4 2 58 

CS52 4 4 3 5 5 2 2  2  3 2 2     2 2   4 4 2 4 52 

CS53 4 4 3 5 5 2 2  2    5     3    5 2 2 4 48 

CS54 4 4 3 5 5 4 4 5 3 5 4 3 5 4  5 5 1 1 1  1 4 1  77 

CS55 1 4 3 2 5 2 5 5 3 5   5 5 2 1  3 1 4 1  1 1  59 

CS56 4 4 3 5 3 2 5 1 3  5 2 4 5 3  3 4  1   1 4 4 66 

CS57 4 4 3 5 5 1 5 2 3 5 5 4 1 1 3 3 1 5 1 3 1 1 2 5 3 76 

CS58 4 4 3 2 5 3 5 1 2 3 3 5 5 1 2  3 4      4 4 63 

CS59 4 4 3 2 3 3 5 3 4 3 2 3 5 3 5           52 

V Item 0,8 0,0 0,3 1,1 0,9 0,3 0,5 1,1 0,5 0,5 0,6 0,9 3,7 2,9 1,9 1,9 1,7 0,7 0,6 2,4 3,3 1,9 2,5 1,2 0,9 32,87 

Var Al                          155,98 

Alfa                          0,80 

Tabla  2  



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  385 

 

 

Para poder calcular la fiabilidad de un cuestionario, este debe cumplir 

con dos requisitos previos (Ibídem): 

1. Estar formado por un conjunto de ítems que se combinan 

aditivamente para hallar una puntuación global (esto es, la puntuaciones 

se suman y dan un total que es el que se interpreta). 

2. Todos los ítems miden la característica deseada en la misma dirección. 

Es decir, los ítems de cada una de las escalas tienen el mismo sentido de 

respuesta, por ejemplo, a mayor puntuación, mayor nivel de 

razonamiento. 

 

La tabla 2 recoge el cálculo del coeficiente alfa de Cronbach con las 

respuestas emitidas a los 25 ítem del cuestionario por los 59 alumnos. 

El valor de 0,80 del coeficiente alfa de Cronbach cualifica según los 

estándares comúnmente admitidos a los resultados de esta prueba como con 

buena fiabilidad, desde el punto de vista de la alta probabilidad de la repetición 

de resultados. En las tablas 3 y 4 se determina el alfa de Cronbach para cada 

uno de los cinco niveles de razonamiento, obteniéndose los valores de 0,35. 

0,73, 0,34, 0,76 y 0,78 para los niveles  de van Hiele del 1 al 5 respectivamente. 

No se aprecia ninguna tendencia en esta secuencia de coeficientes, al igual que 

le sucedía a Usiskin, quizás la razón esté en que al determinar el alfa de 

Cronbach por niveles, tengamos pocos ítems en la prueba. (Usiskin, 1982). 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

386 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 
Cálculo del Coeficiente Alfa en las Respuestas  

Item 1 2 3 4 5 Suma   6 7 8 9 10 Suma   11 12 13 14 15 Suma 

CS01 4 4 3 2 1 14  2 5 1 2 3 13  5 2 2 3 2 14 

CS02 2 4 3 2 5 16  2 5 1 3 4 15  3 2 1 1 2 9 

CS03 2 4 3 2 5 16  2 5 5 3  15  3 1 5 5  14 

CS04 2 4 3 2 3 14  2 5 1 3 4 15  3 2 1 1 2 9 

CS05 4 4 3 2 5 18  2 5 1 3 4 15    1 1 5 7 

CS06 2 4 3 2 3 14  2  1 3  6  3 1 5 4 5 18 

CS07 2 4 3 2 5 16  3 5 1 4 4 17  5 4 1 5 2 17 

CS08 2 4 3 2 5 16  2 5 1 3 4 15  3 2 1 1 2 9 

CS09 2 4 5 2 5 18  2 5 1 2 4 14  3 2 1 1 5 12 

CS10 2 4 3 2 5 16  2 5 1 3 4 15  5 1 5 1 5 17 

CS11 2 4 3 2 5 16  2 5 1 3 4 15  3 2 1 1 2 9 

CS12 4 4 3 5 5 21  2 5 1 2 4 14  3 2 1 3 2 11 

CS13 2 4 3 2 5 16  2  1 3 4 10  3 3 1 1 2 10 

CS14 2 4 3 2 3 14  2 5 1 3 4 15  3 2 1 1 5 12 

CS15 2 4 3 2 3 14  2 5 1 3 4 15  3 2 1 1 5 12 

CS16 2 4 3 4 5 18  2 5 1 3 4 15  3 2 1 1 5 12 

CS17 2 4 3 2 5 16  2 5 1 3 4 15  3 2 1  2 8 

CS18 2 4 3 2 5 16  2 5 1 5 4 17  3 2 5 5 2 17 

CS19 2 4 3 2 5 16  2 5 1 2 4 14  3 2 1 1 5 12 

CS20 2 4 3 2 5 16  2 5 1 2 4 14  3 2 1 1 5 12 

CS21 2 4 4 2 5 17  2 5 1   8  2 2 1  5 10 

CS22 2 4 3 2 5 16  5  2 3 4 14  3 2 5 1 5 16 

CS23 2 4 3 2 3 14  2 5 1 3 2 13   2 1 5 2 10 

CS24 2 4 3 2 5 16  2 3 1 5 3 14  3 2 5 1  11 

CS25 2 4 3 2 5 16  2 5 1 5 3 16  3 1 5  2 11 

CS26 2 4 3 2 5 16  2 5 1 2  10  3 2 5 4 2 16 

CS27 2 4 3 2 5 16  2 5 1 2  10  3  5  2 10 

CS28 2 4 3 2 5 16  2 5 1 3  11  3 2 1  2 8 

CS29 2 4 3 2 5 16  2 5 1 3 4 15  3 2 1 1 2 9 

CS30 2 4 3 2 3 14  2 5 1 2 4 14  3 2 1 5 5 16 

CS31 3 4 5 2 5 19  2 5 5 3 4 19  4 2 1 3 3 13 

CS32 4 4 5 3 5 21  2 5 1 3 4 15  1 2 1 1 5 10 

CS33 2 4 3 2 5 16  2 5 1 3 4 15  3 2 5 5 4 19 

CS34 2 4 3 2 5 16   5 1 3 5 14  3 2 1 1  7 

CS35 2 4 3 2 5 16  2 3 1 3 4 13  3  1 1 2 7 

CS36 2 4 3 2 3 14  2  1 3  6  5 1 5 4 5 20 

CS37 2 4 5 2 5 18  2 5 1 3 2 13    1 4 2 7 

CS38 2 4 4 2 5 17  2 5 1 3 4 15  3 2 1 1 4 11 

CS39  4 3 2 5 14  2 5 1 3 4 15  3 2 1 1  7 

CS40 2 4 3 2 5 16  2 5 1 3 4 15  3 2 1 1 4 11 

CS41 2 4 3 4 5 18  2 5 1 2 5 15  3 2 1 1 2 9 

CS42 2 4 3 4 5 18  2 5 3 3 5 18  3 2 5 1 2 13 

CS43 2 4 3 2 3 14  2 5 1  5 13  3  5  4 12 

CS44 2 4 3 2 5 16  2 5 1 3  11  3  5 1  9 

CS45 4 4 3 5 5 21  2 5 1 3 5 16  5 1 5 5 3 19 

CS46 2 4 3 2 3 14  2 5 1 3 4 15  3 5 1 5 5 19 

CS47 2 4 3 2 3 14  2 5 1 3 4 15  3 5 1 5 5 19 

CS48 4 4 3 2 5 18  2 5 1 3 4 15  3 4 5 1 2 15 

CS49 2 4 3 2 5 16  4 5 1 3 4 17  3 2 1 1 2 9 

CS50 4 4 3 2 5 18  2 5 1 2  10  3 1 5 2  11 

CS51 4 4 5 3 5 21  2 5 1 3  11  3 3 1 2 2 11 

CS52 4 4 3 5 5 21  2 2  2  6  3 2 2   7 

CS53 4 4 3 5 5 21  2 2  2  6    5   5 

CS54 4 4 3 5 5 21  4 4 5 3 5 21  4 3 5 4  16 

CS55 1 4 3 2 5 15  2 5 5 3 5 20    5 5 2 12 

CS56 4 4 3 5 3 19  2 5 1 3  11  5 2 4 5 3 19 

CS57 4 4 3 5 5 21  1 5 2 3 5 16  5 4 1 1 3 14 

CS58 4 4 3 2 5 18  3 5 1 2 3 14  3 5 5 1 2 16 

CS59 4 4 3 2 3 16  3 5 3 4 3 18  2 3 5 3 5 18 

V Item 

0,8

0 

0,0

0 

0,3

3 

1,0

6 

0,8

6 3,06  

0,3

4 

0,4

5 

1,1

5 

0,4

7 

0,4

6 2,86  

0,6

2 

0,9

3 

3,6

7 

2,8

6 

1,8

7 9,94 

Var Al      4,69       10,13       15,00 

Alfa      0,35       0,73       0,34 

Tabla  3  
 

 

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  387 

 

 
Cálculo del Coeficiente Alfa en las Respuestas  

Item 16 17 18 19 20 Suma   21 22 23 24 25 Suma 

CS01      0       0 

CS02 4 3 4 3 4 18  1     1 

CS03    1  1     2  2 

CS04  1 4  3 8  1     1 

CS05 3 5 4 3 4 19  5 5 4   14 

CS06  1  1  2       0 

CS07      0       0 

CS08  3 5 1 1 10  1 5 2 4 4 16 

CS09  3 4 3 5 15  1 4 4 4 2 15 

CS10  3 4 3 5 15  5 4 4 4 2 19 

CS11  3 4 1 1 9  1 2 1 4 2 10 

CS12      0       0 

CS13      0       0 

CS14 5 1 4  4 14  1     1 

CS15 4 1 4  4 13  1     1 

CS16 5 1 4  4 14  1     1 

CS17 4 3 4 1  12  4     4 

CS18  3 5 1 1 10  1     1 

CS19  3 4   7       0 

CS20  3   1 4  5 4 1 4 2 16 

CS21 4 3  1 1 9       0 

CS22  3 4 3 5 15  1 2 4 4 2 13 

CS23  4 3 1 1 9  1   4  5 

CS24  3 4  5 12  1     1 

CS25  3 4  5 12  1     1 

CS26  3 4  3 10       0 

CS27   4   4  1     1 

CS28  2 4   6  1  1  2 4 

CS29 3 2  1 2 8     4  4 

CS30 4 3 4 1 4 16  1 3 1 4 4 13 

CS31  3 4 2 4 13  5 1 4 4 2 16 

CS32 3 3 4 1 3 14  4 2 4 4 4 18 

CS33  1 2 1 1 5  1 1 1 1  4 

CS34      0       0 

CS35 4 5 4 1 1 15       0 

CS36  1  1  2     4  4 

CS37 5 5  2 3 15       0 

CS38      0       0 

CS39      0       0 

CS40      0       0 

CS41 1 3 4 1 1 10  5 4 1 4 2 16 

CS42 1 3 4 1 1 10  5 4 1 4 2 16 

CS43 5   1 1 7  5 2    7 

CS44  4   4 8       0 

CS45 1 4 2   7       0 

CS46  5 4  1 10   4 5 4  13 

CS47  5 4  1 10   4 5 4  13 

CS48 4 5 3 1 2 15  5 2 5 4 4 20 

CS49 3 2  1  6       0 

CS50  5 2 1 4 12       0 

CS51  1   4 5   3 1 4 2 10 

CS52   2 2  4   4 4 2 4 14 

CS53   3   3   5 2 2 4 13 

CS54 5 5 1 1 1 13   1 4 1  6 

CS55 1  3 1 4 9  1  1 1  3 

CS56  3 4  1 8    1 4 4 9 

CS57 3 1 5 1 3 13  1 1 2 5 3 12 

CS58  3 4   7     4 4 8 

CS59      0       0 

V Item 1,86 1,68 0,73 0,57 2,36 7,20  3,32 1,86 2,48 1,21 0,94 9,81 

Var Al      28,40       42,35 

Alfa      0,76       0,78 

Tabla  4  
 

 



Florencio López de Silanes 

 

388 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

9.7.- Aciertos en el cuestionario 

 

La tabla 5 muestra marcando con el número 1 los aciertos en las 

preguntas planteadas a los alumnos (referenciados del CS01 al CS59), y las 

preguntas erradas o no respondidas se identifican con 0. 

Aciertos en el cuestionario de Usiskin. Alumnos de 2º curso de Ens. Infantil UCM Curso 2009/10 

Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Aci/Al % Aci/Al 

CS01 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 32 

CS02 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 17 68 

CS03 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 36 

CS04 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 15 60 

CS05 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 15 60 

CS06 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 32 

CS07 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 40 

CS08 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 19 76 

CS09 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 15 60 

CS10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 14 56 

CS11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 18 72 

CS12 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 44 

CS13 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 52 

CS14 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 14 56 

CS15 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 14 56 

CS16 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 14 56 

CS17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 16 64 

CS18 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 14 56 

CS19 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 15 60 

CS20 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 15 60 

CS21 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 11 44 

CS22 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 13 52 

CS23 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 12 48 

CS24 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 12 48 

CS25 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 12 48 

CS26 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 13 52 

CS27 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 11 44 

CS28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 14 56 

CS29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 64 

CS30 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 14 56 

CS31 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 12 48 

CS32 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 15 60 

CS33 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 13 52 

CS34 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 48 

CS35 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 15 60 

CS36 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 28 

CS37 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 40 

CS38 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 52 

CS39 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 52 

CS40 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 56 

CS41 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 15 60 

CS42 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 14 56 

CS43 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 9 36 

CS44 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 44 

CS45 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 28 

CS46 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 13 52 

CS47 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 13 52 

CS48 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 13 52 

CS49 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 60 

CS50 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 32 

CS51 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 36 

CS52 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 8 32 

CS53 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 6 24 

CS54 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 6 24 

CS55 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 32 

CS56 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 11 44 

CS57 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 9 36 

CS58 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 12 48 

CS59 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 16 

Aciertos/Item 41 59 52 47 46 51 50 49 39 31 42 34 34 29 25 5 21 27 0 15 0 3 8 1 8   

% Aciertos/Item 69,5 100 88,1 79,7 78,0 86,4 84,7 83,1 66,1 52,5 71,2 57,6 57,6 49,2 42,4 8,5 35,6 45,8 0,0 25,4 0,0 5,1 13,6 1,7 13,6   

Aciertos/Nivel 4,2 3,7 2,8 1,2 0,3   

% Aciertos/Nivel 83,1 74,6 55,6 23,1 6,8   

Tabla  5  



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  389 

 

Pero el cuestionario se realiza para cuantificar los niveles de aciertos y 

de las respuestas, por lo que los aciertos son el atributo determinante del 

cuestionario. En parte inferior de la tabla 5 o de los aciertos, se consolidan los 

resultados por los niveles de razonamiento de van Hiele, que serán el objeto del 

estudio de este apartado; mientras que en la derecha de la tabla 5 se consolidad 

a nivel de alumno, dando lugar a la distribución de los aciertos que serán 

estudiados en el siguiente apartado. 

Los valores medios de los aciertos por niveles al cuestionario planteado 

a los alumnos que han sido calculados en la parte inferior de la tabla 5 de 

aciertos, se representan en la gráfica 11. Solo en el nivel 1 el valor medio de los 

aciertos supera el 80%, que se corresponden con acertar 4 de las 5 preguntas 

del nivel, en consonancia con la especificación VH45.  

 

Porcentaje medio de aciertos por niveles de VH

83,1

23,1

6,8

74,6

55,6

0

20

40

60

80

100

"1" "2" "3" "4" "5"

Niveles VH

P
o

rc
e
n

ta
je

 
              Gráfico  11  
 

El valor medio de los aciertos del nivel 2 no alcanza el 80%, quedando ya 

los niveles superiores a este lejos de alcanzar los 4 aciertos de las 5 preguntas. El 

valor del nivel 5 del 6,8% es insignificante, no llega ni a una pregunta (el 20% en 

esta escala). 

Según estas consideraciones generales, podríamos decir que el grupo a 

nivel colectivo podría alcanzar el nivel 1 de los niveles de razonamiento de van 

Hiele, pero esto no es mas que una primera aproximación, ya que el nivel medio 

de un grupo se deriva de los niveles de sus miembros, y no de consideraciones 

sobre los aciertos; es decir, la evaluación del nivel de una colectividad es más 



Florencio López de Silanes 

 

390 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

restrictiva, y su evaluación bastante más compleja, como veremos a 

continuación. 

Un ejercicio que puede arrojar consideraciones diferentes alas 

anteriores es comparar los aciertos frente a los ítems contestados, en lugar de 

hacerlo frente al número total de ítems, como hemos hecho anteriormente. Si 

comparamos los ítems acertados frente a los respondidos, como podemos ver 

en la siguiente figura, se apreciará que el desfasaje entre los ítems respondidos 

y acertados crece a medida que aumentamos de nivel. 

 

Porcentaje medio de repuestas y aciertos por niveles de VH

99,7

58,6

41,0

89,892,5

6,8

23,1

55,6

74,683,1

0

20

40

60

80

100

"1" "2" "3" "4" "5"

Niveles VH

P
o

rc
e
n

ta
je

 
Gráfico  12  

 

De esta forma vemos que el porcentaje de preguntas acertadas sobre 

las respondidas decrece del 83,3% al 16,5% al pasar del nivel 1 al nivel 5. 

 

Porcentaje medio de acietros sobre las repuestas emitidas 

por niveles de VH

83,3

39,3

16,5

61,9
80,6

0

20

40

60

80

100

"1" "2" "3" "4" "5"

Niveles VH

P
o

rc
e
n

ta
je

 
Gráfico  13  

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  391 

 

Pero en este sentido es más ilustrativo estudiar la relación entre las 

preguntas respondidas y las acertadas al recorrer los niveles de razonamiento 

de van Hiele. En efecto, esta relación se multiplica casi por 6 al pasar del nivel 1 

al nivel 5. 

La lectura de la gráfica 14 nos indica que para obtener un acierto en los 

niveles 1 y 2, debemos responder a 1,2 preguntas; mientras que para obtener 

un acierto en el nivel 5 debemos responder al menos a 6 preguntas. O lo que es 

lo mismo, salvo las excepciones que las hay, la mayor parte de las respuestas en 

el nivel 5 se han emitido sin conocimiento del tema encuestado o se ha 

contestado al azar o ambas cosas simultáneamente. En estas condiciones se 

dispara el coste para tener un acierto a algo más de 6 respuestas. 

 

Relación respuestas/aciertos por niveles de VH

6,1

2,5

1,61,2 1,2

0

1

2

3

4

5

6

7

"1" "2" "3" "4" "5"

Niveles VH

P
o

rc
e
n

ta
je

 
Gráfico  14  

 

En general, podemos afirmar que, más allá del nivel 2 de los niveles de 

razonamiento de van Hiele, las respuestas al azar o sin seguridad o 

conocimiento del tema van creciendo con el nivel, adquiriendo unos valores 

considerables en el nivel 5. 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

392 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

9.8.- Distribución de los aciertos 

 

En la parte derecha de la tabla 5 de aciertos, se especifica el número 

total de aciertos, y el porcentaje de respuestas acertadas por cada alumno 

sobre las 25 preguntas planteadas. Esta información además de servir para 

ordenar a los alumnos con relación a las preguntas acertadas, nos servirá para 

establecer la función de distribución de los aciertos de los alumnos en esta 

prueba. 

 

 

Distribución de los alumnos por los aciertos

1

12

2

13

18

9

4

0

5

10

15

20

10 a 20 20 a 30 30 a 40 40 a 50 50 a 60 60 a 70 70 a 80

Porcentaje de aciertos en el cuestionario

N
ú

m
e
ro

 d
e
 a

lu
m

n
o

s

 
Gráfico  14  

 

Puesto que el porcentaje a nivel global de los aciertos de los alumnos en 

la prueba oscila entre 16% y el 76%, se construyeron siete clases con una 

anchura del 10% para distribuir los 59 alumnos entre estas clases según que las 

preguntas acertadas estén comprendidas entre el 10 y 20 %, entre el 20 y 30 %, 

y así sucesivamente.  

El resultado de la distribución de los aciertos de los alumnos es una 

campana de Gaus, con marcada asimetría hacia los valores altos, y el máximo 

número de aciertos en la prueba se corresponde con los alumnos que han 

acertado entre el 50 y 60 %. Los valores extremos de la campana son residuales, 

ya que la primera clase aloja solamente a un alumno, y la última a dos. 

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  393 

 

Pero es mucho más indicativa la función de distribución expresada en 

valores relativos, como el porcentaje de alumnos, en lugar del número de 

alumnos, tal y como se expresa en la gráfica 15.  

 

 

Distribución de los alumnos por los aciertos

1,7

22,0

30,5

20,3

3,4

6,8

15,3

0

10

20

30

40

10 a 20 20 a 30 30 a 40 40 a 50 50 a 60 60 a 70 70 a 80

Porcentaje de aciertos en el cuestionario

P
o

rc
e
n

ta
je

 d
e
 a

lu
m

n
o

s

 
Gráfico  15  

 

Para poder hacer el estudio estadístico de la función de distribución 

hemos asignado el porcentaje de alumnos de intervalo al valor central de cada 

intervalo, según se muestra en la gráfica 16. 

 

Distribución de los alumnos por los aciertosr

1,7

15,3

22,0

30,5

20,3

3,4

6,8

0

10

20

30

40

15 25 35 45 55 65 75

Porcentaje de aciertos en el cuestionario

P
o

rc
e
n

ta
je

 d
e
 a

lu
m

n
o

s

 
Gráfico  16  

 



Florencio López de Silanes 

 

394 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Con estas premisas se ha procedido al cálculo de los parámetros de la 

distribución, obteniéndose los siguientes resultados.  

 
 

Análisis de la distribución de los aciertos. 

Xi fi fiXi D=Xi-X D
2
 fiD

2
 D

3
 fiD

3
 D

4
 fiD

4
 

15 1,69 25,42 -34,75 1207,27 2046,22 -41947,45 -71097,37 1457496,09 2470332,35 

25 6,78 169,49 -24,75 612,35 4151,54 -15153,14 -102733,13 374975,92 2542209,61 

35 15,25 533,90 -14,75 217,44 3316,84 -3206,28 -48909,39 47279,07 721206,22 

45 22,03 991,53 -4,75 22,52 496,25 -106,89 -2355,10 507,25 11176,75 

55 30,51 1677,97 5,25 27,61 842,25 145,05 4425,37 762,15 23251,94 

65 20,34 1322,03 15,25 232,69 4732,71 3549,54 72193,94 54145,45 1101263,45 

75 3,39 254,24 25,25 637,78 2161,95 16106,56 54598,51 406758,87 1378843,61 

 100,00 4974,58   17747,77  -93877,17  8248283,93 

  49,75   177,48  -938,77  82482,84 

     13,32  -0,40  2,62 

Tabla  6  

 

 

Valor medio = 49,75 % 

Desviación cuadrática media = 13,32 

Coeficiente de asimetría = -0,40 

Coeficiente de prominencia = 2,62 

 

 

 

 

 

 

 

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  395 

 

9.9.- Fiabilidad de los aciertos del cuestionario 

 

Aunque el Diccionario de la Real Academia Española de la lengua define 

Fiabilidad como probabilidad de buen funcionamiento de algo o como cualidad 

de fiable, es decir, que ofrece seguridad o buenos resultados. En el campo de la 

psicología, la educación y la investigación social, diversos autores definen 

Fiabilidad como “La capacidad de obtener resultados consistentes en 

mediciones sucesivas del mismo fenómeno”. Esto quiere decir, cuando se 

apliquen varias veces un instrumento de medición (por ejemplo, un cuestionario 

a una persona o grupo de personas varias veces) los resultados obtenidos sean 

parecidos, lo que implicaría una alta fiabilidad del instrumento utilizado. En 

definitiva la Fiabilidad está relacionada con la probabilidad de repetir resultados 

en un experimento y con la consistencia interna del experimento. 

La fórmula 20 de Kuder-Richarson (KR-20) para la medida de la fiabilidad 

y consistencia interna publicada en el año 1937, desarrolla un procedimiento 

basado en los resultados obtenidos para cada ítem por lo que se denomina 

unidimensional. Es análoga al coeficiente α de Cronbach, pero el KR-20 como 

dijimos, es aplicable a sistemas unidimensionales. Está relacionado con los 

métodos de medida desarrollados por Rulon, Alfa de Cronbach, Spearman, y 

Brown.  Kuder y Richardson desarrollaron un procedimiento basado en los 

resultados obtenidos con cada ítem, para estimar la consistencia interna. 

(Meliá, J. L.; 2001). El coeficiente KR20 varía entre 0 y 1, indicando los valores 

altos (por ejemplo > 0.90) la homogeneidad de los resultados de un 

cuestionario.  

El cálculo del KR20 adopta la misma lógica que los ítems, por lo que 

llama unidimensional. El KR20 se aplica en la caja dicotómica de ítems. (Meliá, J. 

L.; 2001) 

El coeficiente KR20 se calcula como sigue:  

 

 
 

= varianza de la suma de todos los ítems para cada alumno de la prueba. 

n = es el número total de ítems del cuestionario. 

http://www.angelfire.com/nt/sas/LOSIENTO.html


Florencio López de Silanes 

 

396 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

pi = es la proporción de respuestas correctas del ítem i. (suma de respuestas del 

ítem i/nº alumnos). 

qi = es la proporción de respuestas incorrectas del ítem i. (es decir qi = 1 – pi) 

 

Uno puede mostrar que el KR20 es el promedio de los Índices de la 

fidelidad el cuál se obtendrá si se calcula la fidelidad para todas las particiones 

posibles en dos.  

Hay una conexión simple entre el KR20 y el alfa de Cronbach. Esta 

última es una generalización. Cronbach substituye los productos piqi por la 

varianza de cada ítem calculado según la fórmula tradicional. Esta fórmula se 

explica con cualquier escala métrica. (Meliá, 2001). 

 

 

http://www.angelfire.com/nt/sas/anexo2.html
http://www.angelfire.com/nt/sas/LOSIENTO.html
http://www.angelfire.com/nt/sas/LOSIENTO.html


Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  397 

 

9.10.- Fiabilidad de los resultados del cuestionario 

En la tabla 7 estructuramos el cálculo del coeficiente KR20 para los 

aciertos en la aplicación del cuestionario de Usiskin.  

En esta tabla el valor 1 se corresponde con un acierto en el ítem, 

mientras que el valor 0 indica un fallo o un ítem no respondido. 

El valor de 0,65 del coeficiente KR20 se considera suficiente para 

asegurar una adecuada de los resultados de la prueba. En las  tablas 8 y 9 se 

determina el coeficiente KR29 para cada uno de los cinco niveles de 

razonamiento, obteniéndose los valores de 0,15. 0,47, 0,79 0,33 y 0,30 para los 

niveles de van Hiele del 1 al 5 respectivamente. Además de obtenerse valores 

bajos para el KR20, no se aprecia ninguna tendencia en esta secuencia de 

coeficientes, al igual que le sucedía a Usiskin, quizás la razón esté en que al 

determinar el alfa de Cronbach por niveles, tengamos pocos ítems en la prueba. 

(Usiskin, 1982). 

Recordemos aquí que en la prueba de determinación de los niveles de 

razonamiento de van Hiele aplicada por Usiskin, calculó también los coeficientes 

KR20 correspondientes a cada uno de los niveles de van Hiele, obteniendo para 

los cuestionarios de otoño los valores de 0,31, 0,44, 0,49, 0,13 y 0.10, y para los 

cuestionarios de primavera los valores 0,39, 0,55, 0,56, 0,30 y 0,26. Una de las 

razones para los valores bajos de la fiabilidad lo atribuyó al pequeño número de 

ítems, frente a las pruebas similares realizadas con 25 ítems. Los valores bajos 

del índice KR20 de fiabilidad en los niveles 4 y 5 pueden ser un subproducto de 

la falta de especificación de la teoría van Hiele a estos niveles. (Ibídem). 



Florencio López de Silanes 

 

398 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

Cálculo de KR20 para los acieros en el cuestionario de Usiskin 

ITEM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Suma 

CS01 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 

CS02 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 17 

CS03 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 

CS04 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 15 

CS05 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 15 

CS06 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 

CS07 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 

CS08 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 19 

CS09 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 15 

CS10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 14 

CS11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 18 

CS12 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 

CS13 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 

CS14 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 14 

CS15 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 14 

CS16 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 14 

CS17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 16 

CS18 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 14 

CS19 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 15 

CS20 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 15 

CS21 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 11 

CS22 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 13 

CS23 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 12 

CS24 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 12 

CS25 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 12 

CS26 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 13 

CS27 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 11 

CS28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 14 

CS29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 

CS30 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 14 

CS31 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 12 

CS32 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 15 

CS33 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 13 

CS34 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 

CS35 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 15 

CS36 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 

CS37 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 

CS38 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 

CS39 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 

CS40 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 

CS41 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 15 

CS42 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 14 

CS43 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 9 

CS44 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 

CS45 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 

CS46 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 13 

CS47 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 13 

CS48 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 13 

CS49 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 

CS50 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 

CS51 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 

CS52 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 8 

CS53 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 6 

CS54 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 6 

CS55 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 

CS56 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 11 

CS57 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 9 

CS58 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 12 

CS59 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 

p 0,7 1,0 0,9 0,8 0,8 0,9 0,8 0,8 0,7 0,5 0,7 0,6 0,6 0,5 0,4 0,1 0,4 0,5 0,0 0,3 0,0 0,1 0,1 0,0 0,1 9,86 

q 0,3 0,0 0,1 0,2 0,2 0,1 0,2 0,2 0,3 0,5 0,3 0,4 0,4 0,5 0,6 0,9 0,6 0,5 1,0 0,7 1,0 0,9 0,9 1,0 0,9  

pq 0,2 0,0 0,1 0,2 0,2 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,1 0,2 0,2 0,0 0,2 0,0 0,0 0,1 0,0 0,1 3,74 

                         KR20 0,65 

Tabla  7  



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  399 

 

 

Cálculo de KR20 para los acieros en el cuestionario de Usiskin Niveles 1, 2 y 3 

ITEM 1 2 3 4 5 Suma ITEM 6 7 8 9 10 Suma ITEM 11 12 13 14 15 Suma 

CS01 0 1 1 1 0 3  CS01 1 1 1 0 0 3  CS01 0 1 0 0 1 2 

CS02 1 1 1 1 1 5  CS02 1 1 1 1 1 5  CS02 1 1 1 1 1 5 

CS03 1 1 1 1 1 5  CS03 1 1 0 1 0 3  CS03 1 0 0 0 0 1 

CS04 1 1 1 1 0 4  CS04 1 1 1 1 1 5  CS04 1 1 1 1 1 5 

CS05 0 1 1 1 1 4  CS05 1 1 1 1 1 5  CS05 0 0 1 1 0 2 

CS06 1 1 1 1 0 4  CS06 1 0 1 1 0 3  CS06 1 0 0 0 0 1 

CS07 1 1 1 1 1 5  CS07 0 1 1 0 1 3  CS07 0 0 1 0 1 2 

CS08 1 1 1 1 1 5  CS08 1 1 1 1 1 5  CS08 1 1 1 1 1 5 

CS09 1 1 0 1 1 4  CS09 1 1 1 0 1 4  CS09 1 1 1 1 0 4 

CS10 1 1 1 1 1 5  CS10 1 1 1 1 1 5  CS10 0 0 0 1 0 1 

CS11 1 1 1 1 1 5  CS11 1 1 1 1 1 5  CS11 1 1 1 1 1 5 

CS12 0 1 1 0 1 3  CS12 1 1 1 0 1 4  CS12 1 1 1 0 1 4 

CS13 1 1 1 1 1 5  CS13 1 0 1 1 1 4  CS13 1 0 1 1 1 4 

CS14 1 1 1 1 0 4  CS14 1 1 1 1 1 5  CS14 1 1 1 1 0 4 

CS15 1 1 1 1 0 4  CS15 1 1 1 1 1 5  CS15 1 1 1 1 0 4 

CS16 1 1 1 0 1 4  CS16 1 1 1 1 1 5  CS16 1 1 1 1 0 4 

CS17 1 1 1 1 1 5  CS17 1 1 1 1 1 5  CS17 1 1 1 0 1 4 

CS18 1 1 1 1 1 5  CS18 1 1 1 0 1 4  CS18 1 1 0 0 1 3 

CS19 1 1 1 1 1 5  CS19 1 1 1 0 1 4  CS19 1 1 1 1 0 4 

CS20 1 1 1 1 1 5  CS20 1 1 1 0 1 4  CS20 1 1 1 1 0 4 

CS21 1 1 0 1 1 4  CS21 1 1 1 0 0 3  CS21 0 1 1 0 0 2 

CS22 1 1 1 1 1 5  CS22 0 0 0 1 1 2  CS22 1 1 0 1 0 3 

CS23 1 1 1 1 0 4  CS23 1 1 1 1 0 4  CS23 0 1 1 0 1 3 

CS24 1 1 1 1 1 5  CS24 1 0 1 0 0 2  CS24 1 1 0 1 0 3 

CS25 1 1 1 1 1 5  CS25 1 1 1 0 0 3  CS25 1 0 0 0 1 2 

CS26 1 1 1 1 1 5  CS26 1 1 1 0 0 3  CS26 1 1 0 0 1 3 

CS27 1 1 1 1 1 5  CS27 1 1 1 0 0 3  CS27 1 0 0 0 1 2 

CS28 1 1 1 1 1 5  CS28 1 1 1 1 0 4  CS28 1 1 1 0 1 4 

CS29 1 1 1 1 1 5  CS29 1 1 1 1 1 5  CS29 1 1 1 1 1 5 

CS30 1 1 1 1 0 4  CS30 1 1 1 0 1 4  CS30 1 1 1 0 0 3 

CS31 0 1 0 1 1 3  CS31 1 1 0 1 1 4  CS31 0 1 1 0 0 2 

CS32 0 1 0 0 1 2  CS32 1 1 1 1 1 5  CS32 0 1 1 1 0 3 

CS33 1 1 1 1 1 5  CS33 1 1 1 1 1 5  CS33 1 1 0 0 0 2 

CS34 1 1 1 1 1 5  CS34 0 1 1 1 0 3  CS34 1 1 1 1 0 4 

CS35 1 1 1 1 1 5  CS35 1 0 1 1 1 4  CS35 1 0 1 1 1 4 

CS36 1 1 1 1 0 4  CS36 1 0 1 1 0 3  CS36 0 0 0 0 0 0 

CS37 1 1 0 1 1 4  CS37 1 1 1 1 0 4  CS37 0 0 1 0 1 2 

CS38 1 1 0 1 1 4  CS38 1 1 1 1 1 5  CS38 1 1 1 1 0 4 

CS39 0 1 1 1 1 4  CS39 1 1 1 1 1 5  CS39 1 1 1 1 0 4 

CS40 1 1 1 1 1 5  CS40 1 1 1 1 1 5  CS40 1 1 1 1 0 4 

CS41 1 1 1 0 1 4  CS41 1 1 1 0 0 3  CS41 1 1 1 1 1 5 

CS42 1 1 1 0 1 4  CS42 1 1 0 1 0 3  CS42 1 1 0 1 1 4 

CS43 1 1 1 1 0 4  CS43 1 1 1 0 0 3  CS43 1 0 0 0 0 1 

CS44 1 1 1 1 1 5  CS44 1 1 1 1 0 4  CS44 1 0 0 1 0 2 

CS45 0 1 1 0 1 3  CS45 1 1 1 1 0 4  CS45 0 0 0 0 0 0 

CS46 1 1 1 1 0 4  CS46 1 1 1 1 1 5  CS46 1 0 1 0 0 2 

CS47 1 1 1 1 0 4  CS47 1 1 1 1 1 5  CS47 1 0 1 0 0 2 

CS48 0 1 1 1 1 4  CS48 1 1 1 1 1 5  CS48 1 0 0 1 1 3 

CS49 1 1 1 1 1 5  CS49 0 1 1 1 1 4  CS49 1 1 1 1 1 5 

CS50 0 1 1 1 1 4  CS50 1 1 1 0 0 3  CS50 1 0 0 0 0 1 

CS51 0 1 0 0 1 2  CS51 1 1 1 1 0 4  CS51 1 0 1 0 1 3 

CS52 0 1 1 0 1 3  CS52 1 0 0 0 0 1  CS52 1 1 0 0 0 2 

CS53 0 1 1 0 1 3  CS53 1 0 0 0 0 1  CS53 0 0 0 0 0 0 

CS54 0 1 1 0 1 3  CS54 0 0 0 1 0 1  CS54 0 0 0 0 0 0 

CS55 0 1 1 1 1 4  CS55 1 1 0 1 0 3  CS55 0 0 0 0 1 1 

CS56 0 1 1 0 0 2  CS56 1 1 1 1 0 4  CS56 0 1 0 0 0 1 

CS57 0 1 1 0 1 3  CS57 0 1 0 1 0 2  CS57 0 0 1 1 0 2 

CS58 0 1 1 1 1 4  CS58 0 1 1 0 0 2  CS58 1 0 0 1 1 3 

CS59 0 1 1 1 0 3  CS59 0 1 0 0 0 1  CS59 0 0 0 0 0 0 

p 0,7 1,0 0,9 0,8 0,8 0,74  p 0,9 0,8 0,8 0,7 0,5 1,38  p 0,7 0,6 0,6 0,5 0,4 2,17 

q 0,3 0,0 0,1 0,2 0,2   q 0,1 0,2 0,2 0,3 0,5   q 0,3 0,4 0,4 0,5 0,6  

pq 0,2 0,0 0,1 0,2 0,2 0,65  pq 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,86  pq 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 1,19 

       KR20 0,15          KR20 0,47         KR20 0,79 

Tabla  8  



Florencio López de Silanes 

 

400 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

 
Cálculo de KR20 para los acieros en el cuestionario de Usiskin Niveles 4 y 5 

ITEM 16 17 18 19 20 Suma ITEM 21 22 23 24 25 Suma 

CS01 0 0 0 0 0 0  CS01 0 0 0 0 0 0 

CS02 0 1 1 0 0 2  CS02 0 0 0 0 0 0 

CS03 0 0 0 0 0 0  CS03 0 0 0 0 0 0 

CS04 0 0 1 0 0 1  CS04 0 0 0 0 0 0 

CS05 1 0 1 0 0 2  CS05 0 1 1 0 0 2 

CS06 0 0 0 0 0 0  CS06 0 0 0 0 0 0 

CS07 0 0 0 0 0 0  CS07 0 0 0 0 0 0 

CS08 0 1 0 0 1 2  CS08 0 1 0 0 1 2 

CS09 0 1 1 0 0 2  CS09 0 0 1 0 0 1 

CS10 0 1 1 0 0 2  CS10 0 0 1 0 0 1 

CS11 0 1 1 0 1 3  CS11 0 0 0 0 0 0 

CS12 0 0 0 0 0 0  CS12 0 0 0 0 0 0 

CS13 0 0 0 0 0 0  CS13 0 0 0 0 0 0 

CS14 0 0 1 0 0 1  CS14 0 0 0 0 0 0 

CS15 0 0 1 0 0 1  CS15 0 0 0 0 0 0 

CS16 0 0 1 0 0 1  CS16 0 0 0 0 0 0 

CS17 0 1 1 0 0 2  CS17 0 0 0 0 0 0 

CS18 0 1 0 0 1 2  CS18 0 0 0 0 0 0 

CS19 0 1 1 0 0 2  CS19 0 0 0 0 0 0 

CS20 0 1 0 0 1 2  CS20 0 0 0 0 0 0 

CS21 0 1 0 0 1 2  CS21 0 0 0 0 0 0 

CS22 0 1 1 0 0 2  CS22 0 0 1 0 0 1 

CS23 0 0 0 0 1 1  CS23 0 0 0 0 0 0 

CS24 0 1 1 0 0 2  CS24 0 0 0 0 0 0 

CS25 0 1 1 0 0 2  CS25 0 0 0 0 0 0 

CS26 0 1 1 0 0 2  CS26 0 0 0 0 0 0 

CS27 0 0 1 0 0 1  CS27 0 0 0 0 0 0 

CS28 0 0 1 0 0 1  CS28 0 0 0 0 0 0 

CS29 1 0 0 0 0 1  CS29 0 0 0 0 0 0 

CS30 0 1 1 0 0 2  CS30 0 0 0 0 1 1 

CS31 0 1 1 0 0 2  CS31 0 0 1 0 0 1 

CS32 1 1 1 0 0 3  CS32 0 0 1 0 1 2 

CS33 0 0 0 0 1 1  CS33 0 0 0 0 0 0 

CS34 0 0 0 0 0 0  CS34 0 0 0 0 0 0 

CS35 0 0 1 0 1 2  CS35 0 0 0 0 0 0 

CS36 0 0 0 0 0 0  CS36 0 0 0 0 0 0 

CS37 0 0 0 0 0 0  CS37 0 0 0 0 0 0 

CS38 0 0 0 0 0 0  CS38 0 0 0 0 0 0 

CS39 0 0 0 0 0 0  CS39 0 0 0 0 0 0 

CS40 0 0 0 0 0 0  CS40 0 0 0 0 0 0 

CS41 0 1 1 0 1 3  CS41 0 0 0 0 0 0 

CS42 0 1 1 0 1 3  CS42 0 0 0 0 0 0 

CS43 0 0 0 0 1 1  CS43 0 0 0 0 0 0 

CS44 0 0 0 0 0 0  CS44 0 0 0 0 0 0 

CS45 0 0 0 0 0 0  CS45 0 0 0 0 0 0 

CS46 0 0 1 0 1 2  CS46 0 0 0 0 0 0 

CS47 0 0 1 0 1 2  CS47 0 0 0 0 0 0 

CS48 0 0 0 0 0 0  CS48 0 0 0 0 1 1 

CS49 1 0 0 0 0 1  CS49 0 0 0 0 0 0 

CS50 0 0 0 0 0 0  CS50 0 0 0 0 0 0 

CS51 0 0 0 0 0 0  CS51 0 0 0 0 0 0 

CS52 0 0 0 0 0 0  CS52 0 0 1 0 1 2 

CS53 0 0 0 0 0 0  CS53 0 1 0 0 1 2 

CS54 0 0 0 0 1 1  CS54 0 0 1 0 0 1 

CS55 0 0 0 0 0 0  CS55 0 0 0 0 0 0 

CS56 0 1 1 0 1 3  CS56 0 0 0 0 1 1 

CS57 1 0 0 0 0 1  CS57 0 0 0 1 0 1 

CS58 0 1 1 0 0 2  CS58 0 0 0 0 1 1 

CS59 0 0 0 0 0 0  CS59 0 0 0 0 0 0 

p 0,1 0,4 0,5 0,0 0,3 1,01  p 0,0 0,1 0,1 0,0 0,1 0,39 

q 0,9 0,6 0,5 1,0 0,7   q 1,0 0,9 0,9 1,0 0,9  

pq 0,1 0,2 0,2 0,0 0,2 0,74  pq 0,0 0,0 0,1 0,0 0,1 0,30 

       KR20 0,33        KR20 0,30 

Tabla  9  



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  401 

 

 

 

9.11.- La medida de los niveles de van hiele. Valoración de los resultados 

del cuestionario 

 

9.10.1.- Administración de la prueba 

 

Para poner a prueba el cuestionario, se planificó aplicarlo a estudiantes 

que no tuvieran una relación directa con la enseñanza de la geometría, que 

conocieran los procesos lógicos, pero que no tuvieran en principio un nivel 

destacado en geometría, que por sus estudios no hayan estudiado 

específicamente la geometría. De esta forma, se seleccionó el grupo de 2º curso 

de Magisterio correspondiente a la Enseñanza Infantil, de la Facultad de 

Educación de la Universidad Complutense de Madrid. El cuestionario fue 

aplicado en la mañana del 9 de marzo de 2010, a las 9:30 durante una clase de 

la Dra. Carmen Sabán. Se siguieron las indicaciones de Zelman Usiskin para la 

aplicación, cuyo tiempo máximo fue de 35 minutos, custodiados por la 

susodicha Dra. y el que escribe estas líneas. 

Durante la aplicación del cuestionario, algunas preguntas que me 

formulaban algunos alumnos evidenciaban que tenían problemas para superar 

del nivel 2 de van Hiele, como si todos los rectángulos son cuadrados o 

viceversa, o de la misma manera, si los triángulos equiláteros son isósceles o 

viceversa. Muchas más frecuentes fueron las precisiones pedidas por los 

alumnos sobre el lenguaje del nivel dos, desconociendo muchos de ellos 

términos como intersectar y bisectar y lo que hay de común y de diferente entre 

ellos. A lo largo de la prueba observamos también la dificultad de muchos 

alumnos en el manejo de los cuantificadores: solo, alguno, ninguno, todos... 

Más aún, nos percatamos de la existencia de alumnos con dificultades 

en el primer nivel, con problemas importantes a la hora de utilizar el lenguaje 

de este nivel, o bien por no tener clara la idea de paralelogramo, de rombo, e 

incluso por no saber diferenciar entre cuadrado y cuadrilátero, no están 

hablando de estas figuras a nivel conceptual, sino que a nivel de 

reconocimiento.  



Florencio López de Silanes 

 

402 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

En el lenguaje de nivel 3, las principales dificultades observadas se 

relacionaban con la construcción de sentencias abstractas, algunos alumnos si 

no eran capaces visualizar con un ejemplo geométrico preciso las sentencias 

propuestas en las cuestiones de este nivel, no podían concebir ningún tipo de 

relación entre ellas.  

La carencia de preguntas en el nivel 4 o la formulación de preguntas con 

sentido en este nivel, evidenciaba que la mayoría de estos alumnos no 

alcanzaba este nivel. No observé ninguna formulación deductiva en las 

cuestiones de este nivel, en los borradores que realizaban. Los comentarios que 

me realizaban solo manifestaban su desorientación e incomprensión del nivel 4, 

como esta cuestión tiene más de una solución válida, o esta otra está mal 

planteada. 

Me llamó la atención el hecho de que algunos alumnos pudieron 

resolver alguna de las cuestiones del nivel 5 por lo que habían estudiado sobre 

los razonamientos y silogismos en filosofía, en concreto la resolución de la 

cuestión nº 25. En este sentido, me sorprendió gratamente que 5 alumnos (de 

un total de 59 alumnos) resolvieran acertadamente 2 cuestiones de nivel 5, pero 

dos no es suficiente frente a los criterios de tres o cuatro de cinco para ser 

homologado en un nivel de van Hiele. Este hecho, es coherente también con el 

planteamiento de que para llegar a este nivel, hay que tener conocimientos y 

estudios de matemáticas a nivel universitario relacionados con el tratamiento 

científico de la geometría y en general de las matemáticas. 

La incoherencia del nivel de estos alumnos se pone de manifiesto por el 

bajo nivel de aciertos en las cuestiones de los primeros niveles habiendo tenido 

resultados aceptables en los niveles medios en un porcentaje importante de 

alumnos. La condición para ser homologado en un nivel de haber cubierto todos 

los niveles anteriores, ha penalizado los resultados del cuestionario con este 

perfil, como no podía ser de otra manera. 

 

 

 

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  403 

 

9.11.2.- Codificación de las respuestas del cuestionario 

 

Las característica más importante del modelo de van Hiele son sus 

niveles de razonamiento. Por esta razón, todos los análisis de los datos de 

acuerdo este modelo se realizarán a través de estos niveles, y particularmente 

la determinación del nivel de razonamiento de los alumnos utilizando el 

cuestionario de Usiskin.  

Ref Contestadas Aciertos  Ref Contestadas Aciertos 

CS01 55500 33200  CS31 53324 34221 

CS02 55555 55520  CS32 53114 25332 

CS03 55500 53100  CS33 54530 55210 

CS04 55544 45510  CS34 55453 53400 

CS05 53440 45222  CS35 55533 54420 

CS06 55545 43100  CS36 55541 43000 

CS07 55545 53200  CS37 54311 44200 

CS08 54400 55522  CS38 55533 45400 

CS09 55450 44421  CS39 55555 45400 

CS10 54545 55121  CS40 55530 55400 

CS11 53521 55530  CS41 55343 43530 

CS12 54524 34400  CS42 54533 43430 

CS13 55340 54400  CS43 55441 43110 

CS14 55500 45410  CS44 54423 54200 

CS15 45400 45410  CS45 55555 34000 

CS16 55500 45410  CS46 55541 45220 

CS17 55555 55420  CS47 55555 45220 

CS18 55442 54320  CS48 55545 45301 

CS19 55555 54420  CS49 54440 54510 

CS20 54332 54420  CS50 55541 43100 

CS21 55545 43220  CS51 55522 24300 

CS22 55545 52321  CS52 55551 31202 

CS23 55431 44310  CS53 54411 31002 

CS24 55500 52320  CS54 55531 31011 

CS25 54500 53220  CS55 55520 43100 

CS26 55541 53320  CS56 55500 24131 

CS27 55541 53210  CS57 55353 32211 

CS28 54320 54410  CS58 55525 42321 

CS29 55530 55510  CS59 53520 31000 

CS30 55431 44321     

       
     Tabla  10  

 



Florencio López de Silanes 

 

404 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Para el tratamiento de las respuestas de los alumnos al cuestionario, 

hemos asignado a los alumnos una referencia del tipo CSXX, donde las letras CS 

sirven en este caso para identificar a los alumnos por el nombre de su 

profesora, y los números secuenciales XX se asignaron aleatoriamente en el 

proceso de la captura de datos. 

De acuerdo con el criterio anterior, los resultados de los cuestionarios 

los hemos registrado por niveles mediante la secuencia de números menores 

que cinco de la forma ABCDE, donde A es el número de contestaciones a las 

preguntas del nivel 1 (ítems de del 1 al 5), B es el número de contestaciones a 

las preguntas del nivel 2 (ítems de del 6 al 10), y así con los cinco niveles. El 

mismo sistema se ha adoptado para registrar el número de aciertos en el 

cuestionario. Es decir, los aciertos obtenidos por los alumnos en el cuestionario 

se han registrado por niveles siguiendo secuencias numéricas menores de la 

forma UVXYZ, donde U es el número de aciertos obtenidos en los ítems de nivel 

1 (ítems de del 1 al 5), V es el número de aciertos de los ítems preguntas de 

nivel 2 (ítems de del 6 al 10), y así sucesivamente. 

Con este criterio mostramos en la tabla 10 los resultados obtenidos por 

los alumnos en la prueba en cuanto preguntas contestadas y acertadas se 

refiere.  

Pero el objetivo del cuestionario es medir nivel de razonamiento de los 

alumnos de acuerdo con el modelo de van Hiele. De esta forma, en los 

apartados posteriores estudiaremos los diferentes criterios para determinar qué 

condiciones han de cumplir los aciertos obtenidos por un alumnos en el 

cuestionario para superar un nivel determinado, de forma que sea coherente y 

consistente con el modelo de van Hiele, y con las condiciones estadísticas que 

ha de superar un cuestionario, para que sea considerado como aceptable.   

 

 

 

 

 

 

 

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  405 

 

9.11.3.- Criterios de medida de Usiskin 

 

Usiskin diseñó una prueba y un cuestionario para determinar el nivel de 

van Hiele del estudiante. Su primera valoración fue si tal determinación era 

posible. Partió de los escritos de los van Hieles sobre el comportamiento 

esperado del estudiante en cada nivel, creando así los primeros descriptores de 

nivel, que hemos descrito anteriormente. Con referencia a estos descriptores 

elaboró las preguntas para cada nivel, que pondrían probar si un estudiante se 

encontraba en ese nivel. Así montó un cuestionario de 25-ítems de elección 

multip1e asignando 5 puntos a cada nivel. Este cuestionario lo puso a prueba en 

clases completas en cuatro escuelas, para asegurarse de que no sería 

demasiado largo para contestarlo en 35 minutos. (Usiskin, 1982). 

Los ítems fueron rechazados o modificadas sólo si las respuestas de los 

estudiantes no parecían reflejar el nivel apropiado de van Hiele. El criterio de los 

ítems no estaba en su facilidad o dificultad para abordar un tema, aunque se 

marcaron el objetivo de que los temas fueran fáciles para cada nivel van Hiele. 

Este cuestionario ya lo hemos mostrado en el tema anterior.  

La cuestión en los test de nivel van Hiele más conceptuales que los 

encontrados en los exámenes estándar e incluso los elementos de bajo nivel 

exigen algún tipo de análisis. En el nivel 1, uno se pregunta si se ajusta un dibujo 

de una concepción de un miembro de una clase de figuras. En el nivel 2, uno se 

maravilla si una propiedad es verdad siempre, no sólo en una sola figura. En el 

nivel 3, el orden de las propiedades, la necesidad de saber si una sentencia sigue 

siempre de otra.  

Usiskin estudió dos criterios diferentes para  determinar si un alumno 

supera un nivel de razonamiento de van Hiele, (Ibídem): 

 

- El criterio clásico, que designaremos como VH35, mediante el cual un 

alumno supera un nivel cuando ha acertado al menos 3 de las 5 

respuestas de dicho nivel, y ha superado los niveles anteriores. 

- El criterio estricto, que designaremos como VH45, por el que para 

superar un nivel ha de acertar al menos 4 de las 5 respuestas de dicho 

nivel, y superar los niveles precedentes. 

 



Florencio López de Silanes 

 

406 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

A la hora de contar los cumplimientos de nivel en el cuestionario, 

hemos de diferenciar el nivel de razonamiento en que se producen. Una forma 

de tener esto en cuenta es asignar un peso estadístico diferente al 

cumplimiento del criterio dependiendo de los niveles. 

De esta forma, para las pruebas van Hiele, se asigna a cada estudiante 

una puntuación para la suma ponderada de la siguiente manera (o. c.: 22):  

1 puntos para el cumplimiento del criterio establecido en los 

artículos 1-5 (Nivel 1)  

2 puntos para el cumplimiento del criterio establecido en los 

artículos 6-10 (Nivel 2)  

4 puntos para el cumplimiento del criterio establecido en los 

artículos 11-15 (Nivel 3)  

8 puntos para el cumplimiento del criterio establecido en los 

artículos 16 -20 (nivel 4)  

16 puntos para el cumplimiento del criterio establecido en los 

artículos 21 - 25 (nivel 5). 

 

El cálculo de la suma ponderada de los pesos, permite a una persona 

determinar hasta que niveles ha cumplido el criterio exigido. Por ejemplo, una 

puntuación de 19 (1+2+16) indica que el alumno se alcanzó el criterio en los 

niveles 1, 2, y 5. De esta manera, un solo número del 0 a 31 es equivalente a 

tener 5 decisiones “si o no” por separado en los 5 niveles. (o. c.: 23). 

 

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  407 

 

9.11.4.- Los modelos operativos 

 

Usiskin consideró dos modelos operativos: 

 

1.- El modelo Clásico de van Hiele, que considera todos los niveles de la teoría a 

los que asigna los siguientes pesos:  

 

Modelo 

clásico VH 

Nivel Peso 

0 0 

1 1 

2 3 

3 7 

4 15 

5 31 
Tabla  11  
 

3. El modelo Modificado de van Hiele, en el que excluye el nivel 5. Los pesos 

asignados en este modelo son:  

 

Modelo 

Modificado 

VH 

Nivel Peso 

0 0 

  16 

1 1 

  17 

2 3 

  19 

3 7 

  23 

4 15 

  31 
Tabla  12  
 



Florencio López de Silanes 

 

408 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

La asignación de niveles en el criterio clásico o modificado requiere que 

las respuestas de los estudiantes satisfacer la primera propiedad de los niveles 

de van Hiele, es decir, que el estudiante en el nivel n satisfacer el criterio no sólo 

en ese nivel, sino también a todos los niveles anteriores. Así, un estudiante que 

cumple el criterio en los niveles 1, 2 y 5, por ejemplo, habría una suma 

ponderada de los puntos 1 + 2 + 16 que suma 19, no tendría clásica van nivel de 

Hiele, sino que se les asignará el nivel 2 en la modificada van Hiele. Un 

estudiante que cumple el criterio en el nivel 3 no sólo no sería asignado ya sea 

clásica o modificada por el nivel van Hiele. Ninguno de estos estudiantes se diría 

que encajan en la clásica modelo van Hiele. (Usiskin, 1982; 25). 

 

9.11.5.- Selección del modelo operativo. 

 

La elección de un criterio depende de la naturaleza del cuestionario, 

depende si se quiere reducir los errores de Tipo I o II. Recordemos que t-Tipo de 

error se refiere a una decisión tomada (en este caso los alumnos que satisfagan 

el criterio) cuando no se debería haber hecho.  

 

P (3 de 5 acertadas por azar) = 0,05792  

P (4 de 5 acertadas por azar) = 0.00672  

 

Así que el criterio 4 de 5 evita alrededor del 5% de los casos en que se 

manifieste un error de tipo I. Sin embargo, si tenemos en cuenta la probabilidad 

de error de tipo II, la probabilidad de que un estudiante que está operando en 

un determinado nivel, digamos un dominio del 90%, una vez este criterio fuerte, 

se encontrará en la prueba sin cumplir el criterio.  

 

P (menos de 3 de 5 correctas, dada 90% de probabilidad en cada ítem) = 

0.00856   

P (menos de 4 de 5 correctas, dada 90% de probabilidad en cada ítem) = 

0.08146  

 

Son del mismo orden de magnitud, en la otra dirección, como las 

probabilidades asociadas con el error de tipo I. El criterio 3 de 5 evita alrededor 

de 7% de los casos en que se espera que aparezca el error de tipo II. Si el 

dominio es más débil, digamos 80%, de un estudiante que se espera que opere 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  409 

 

en un determinado nivel, entonces es absolutamente necesario utilizar el 

criterio 3 de 5, ya que los errores de Tipo II con el criterio más estricto son 

demasiado frecuentes.  

 

P (menos de 3 de 5 correctas dada 80% de probabilidad en cada ítem) = 0,05792  

P (menos de 4 de la correcta dada 80% de probabilidad en cada ítem) = 0. 26272 

(Usiskin, 1982: 23 y 24) 

 



Florencio López de Silanes 

 

410 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

9.11.6.- Clasificación de los resultados de la prueba 

 

Las respuestas de los estudiantes a la prueba de nivel van Hiele fueron 

grabadas en ordenados por estudiantes en ficheros de formato Excel, una hoja 

contenía los datos específicos de los alumnos, y otra todas las respuestas a las 

preguntas de todos los alumnos. Los datos fueron procesados utilizando Excel y 

SPSS v18. La exactitud de todas las transcripciones fue verificada de manera 

independiente.  

 

Con estas premisas, se establece la relación de respuestas acertadas por 

niveles y alumnos según vimos anteriormente. Pero lo que primeramente 

calificará si un alumno está en un determinado nivel es determinar si cumple el 

criterio establecido, ya sea el criterio 3 de 5 (VH35) o 4 de 5 (VH45). 

 

Si se cumple el criterio en un nivel lo indicaremos poniendo 1 y en caso 

contrario 0, de esta forma, tendremos cadenas de cinco números para indicar 

los criterios que un alumno ha cumplido en los cinco niveles. O si se quiere, los 

criterios satisfechos por los alumnos se representarán mediante números 

binarios de cinco cifras. En adelante trabajaremos con los números binarios que 

representan el cumplimiento de los criterios, ya que es más operativo. De esta 

forma, a cada alumno le asignaremos un número binario diferente según el 

criterio, tal y como se muestra en la tabla 13, donde los alumnos cuentan con 

un número binario diferente según sea el criterio de 3 de 5 o 4 de 5 aciertos. 

Así, si tenemos el alumno CS30 que ha obtenido en los cinco niveles de 

razonamiento de van Hiele los aciertos 44321, cumple el criterio VH35 en los 

niveles 1, 2 y 3, y no lo cumple en los niveles 4 y 5, por lo que el cumplimiento 

del criterio VH35 se representará por el número 11100. Mientras que dicho 

alumno solo ha cumplido en los dos primeros niveles el criterio VH45, por lo que 

el número binario 11000 representará su grado de cumplimientos con dicho 

criterio. Vemos así que los resultados pueden ser muy diferentes según criterio 

utilizado para analizar los resultados del cuestionario. 

 

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  411 

 

Ref Aciertos 

Criterio 

VH35 

Criterio 

VH45   Ref Aciertos 

Criterio 

VH35 

Criterio 

VH45 

                  

CS01 33200 11000 00000   CS30 44321 11100 11000 

CS02 55520 11100 11100   CS31 34221 11000 01000 

CS03 53100 11000 10000   CS32 25332 01110 01000 

CS04 45510 11100 11100   CS33 55210 11000 11000 

CS05 45222 11000 11000   CS34 53400 11100 10100 

CS06 43100 11000 10000   CS35 54420 11100 11100 

CS07 53200 11000 10000   CS36 43000 11000 10000 

CS08 55522 11100 11100   CS37 44200 11000 11000 

CS09 44421 11100 11100   CS38 45400 11100 11100 

CS10 55121 11000 11000   CS39 45400 11100 11100 

CS11 55530 11110 11100   CS40 55400 11100 11100 

CS12 34400 11100 01100   CS41 43530 11110 10100 

CS13 54400 11100 11100   CS42 43430 11110 10100 

CS14 45410 11100 11100   CS43 43110 11000 10000 

CS15 45410 11100 11100   CS44 54200 11000 11000 

CS16 45410 11100 11100   CS45 34000 11000 01000 

CS17 55420 11100 11100   CS46 45220 11000 11000 

CS18 54320 11100 11000   CS47 45220 11000 11000 

CS19 54420 11100 11100   CS48 45301 11100 11000 

CS20 54420 11100 11100   CS49 54510 11100 11100 

CS21 43220 11000 10000   CS50 43100 11000 10000 

CS22 52321 10100 10000   CS51 24300 01100 01000 

CS23 44310 11100 11000   CS52 31202 10000 00000 

CS24 52320 10100 10000   CS53 31002 10000 00000 

CS25 53220 11000 10000   CS54 31011 10000 00000 

CS26 53320 11100 10000   CS55 43100 11000 10000 

CS27 53210 11000 10000   CS56 24131 01010 01000 

CS28 54410 11100 11100   CS57 32211 10000 00000 

CS29 55510 11100 11100   CS58 42321 10100 10000 

      CS59 31000 10000 00000 
Tabla  13  

 

 



Florencio López de Silanes 

 

412 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Pero la secuencialidad de los niveles de razonamiento de van Hiele 

puede introducir aún diferencias mayores en la determinación del nivel de un 

alumnos. Para ser coherentes con el modelo de van Hiele, hemos de admitir que 

para que un alumno supere un nivel ha de haber superado todos los niveles 

precedentes, con independencia de los resultados en el nivel estudiado y en los 

niveles posteriores. Así el alumno CS12 cuyos aciertos en los cinco niveles 

fueron 34400, y que satisface el cumplimiento del criterio VH35 de la forma 

11100, tendrá un nivel 3 de acuerdo al criterio VH35, mientras que por haberse 

comportado como 01100 por el criterio VH45, tendrá un nivel 0 con este 

criterio, ya que no ha superado el primer nivel. Por esta razón Usiskin introdujo 

nivel 0, para que en este nivel se incluyeran no solo aquellos alumnos que no 

superen propiamente el nivel 0, que los hay, sino que además recogiera 

aquellos casos incoherentes. Si repasamos la tabla 13 veremos que no solo el 

alumnos CS12 no ha superado el nivel 1 en todos los criterios, que en una 

situación similar se encuentran los alumnos CS31, CS32, CS45, CS51, CS52, CS53, 

CS54, CS56, CS57 y CS59. En otras palabras, el nivel 0 puede llegar a tener un 

peso importante en el resultado de la prueba. 

 

Para tener en cuenta el hecho de que los niveles han de ser superados 

secuencialmente por los alumnos, el equipo de Usiskin introdujo una diferencia 

del peso estadístico de los niveles que han superado el criterio. (Usiskin, Z.; 

1982). Estos pesos estadísticos que ya adelantamos arriba, se corresponden con 

las potencias de dos en la forma 2(n-1) donde n representa el número del nivel 

en que se ha superado el criterio.  

   

 

Nivel Peso 2(n-1) 

1 1 2(0) 

2 2 2(1) 

3 4 2(2) 

4 8 2(3) 

5 16 2(4) 
Tabla  14  

De esta forma, en el modelo clásico de van Hiele, Usiskin consideró que 

los pesos 0, 1, 3, 7, 15 y 31,  (Usiskin, 1982), calculaban los niveles de 

razonamiento de van Hiele de acuerdo con la superación de criterios y la 

secuencialidad de los niveles. Esto lo expresamos en la tabla 15, donde además 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  413 

 

hemos añadido el número binario que representa la situación estudiada por 

Usiskin y el cálculo del peso para esa situación  

 

 

 

Modelo clásico VH 

Nivel 

Num 

Binario Cálculo Peso 

0 00000  0 

1 10000 2(0) 1 

2 11000 2(0)+2(1) 3 

3 11100 2(0)+2(1)+2(2) 7 

4 11110 2(0)+2(1)+2(2)+2(3) 15 

5 11111 2(0)+2(1)+2(2)+2(3)+2(4) 31 
Tabla  15  

En el modelo modificado Usiskin introduce dos pesos para cada nivel, 

además de prescindir del nivel 5, que pasa a formar parte del nivel 4 (Usiskin, Z.; 

1982).  En la tabla 16 se muestran los pesos para cada nivel, así como el número 

binario que representa los cumplimientos de criterios y el cálculo de los pesos 

asociados. 

 

 

Modelo Modificado VH 

Nivel 

Num 

Binario Cálculo Peso 

0 00000   0 

  00001 2(4) 16 

1 10000 2(0)=1 1 

  10001 2(0)+2(4)=1+16 17 

2 11000 2(0)+2(1)  = 1+2 3 

  11001 2(0)+2(1)+2(4) =1+2+16 19 

3 11100 2(0)+2(1)+2(2) = 1+2+4 7 

  11101 2(0)+2(1)+2(2)+2(4) = 1+2+4+16 23 

4 11110 2(0)+2(1)+2(2)+2(3) = 1+2+4+8 15 

  11111 2(0)+2(1)+2(2)+2(3)+2(4) = 1+2+4+8+16 31 
Tabla  16  



Florencio López de Silanes 

 

414 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

9.11.7.- Cálculo de los niveles de razonamiento 

 

Nosotros consideramos todos los casos posibles en el cumplimiento del 

criterio de superación de un nivel de razonamiento de van Hiele. Esto no es otra 

cosa que contar en binario desde 00000 a 11111, distribuidos en los seis niveles, 

ya que hemos considerado también los niveles 0 y 5.    

 

Criterio cumplido en 

el nivel   

Número 

Binario 
 1 2 3 4 5   

Nivel 0 0 0 0 0 0  00000 

 0 0 0 0 1  00001 

 0 0 0 1 0  00010 

 0 0 0 1 1  00011 

 0 0 1 0 0  00100 

 0 0 1 0 1  00101 

 0 0 1 1 0  00110 

 0 0 1 1 1  00111 

 0 1 0 0 0  01000 

 0 1 0 0 1  01001 

 0 1 0 1 0  01010 

 0 1 0 1 1  01011 

 0 1 1 0 0  01100 

 0 1 1 0 1  01101 

 0 1 1 1 0  01110 

 0 1 1 1 1  01111 

        

Nivel 1 1 0 0 0 0  10000 

 1 0 0 0 1  10001 

 1 0 0 1 0  10010 

 1 0 0 1 1  10011 

 1 0 1 0 0  10100 

 1 0 1 0 1  10101 

 1 0 1 1 0  10110 

 1 0 1 1 1  10111 

        

Nivel 2 1 1 0 0 0  11000 

 1 1 0 0 1  11001 

 1 1 0 1 0  11010 

 1 1 0 1 1  11011 

        

Nivel 3 1 1 1 0 0  11100 

 1 1 1 0 1  11101 

        

Nivel 4 1 1 1 1 0  11110 

        

Nivel 5 1 1 1 1 1  11111 

Tabla  17  



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  415 

 

Para determinar el nivel de razonamiento de van Hiele de un alumno no 

hemos recurrido a la ponderación de los diferentes casos especificados en la 

tabla 17 para todos los niveles. Sino que como todos los casos posibles de 

cumplimiento de criterios están ordenados de acuerdo con el correspondiente 

número binario asociado, hemos recurrido a un algoritmo en cascada para la 

selección del nivel de razonamiento de acuerdo con el valor binario que 

representa el cumplimiento del criterio determinado. De este algoritmo en 

cascada resultan los mismos niveles de razonamiento que con el algoritmo de 

los pesos utilizado por Usiskin y prácticamente todos los investigadores que han 

tratado el cálculo de los niveles. El algoritmo en cascada en seis pasos se 

describe en la tabla 18.   

Este algoritmo en cascada y ordenado quedaría como se expresa a 

continuación: 

 

Si Num > 11110 entonces Nivel = 5  Fin del proceso 
Sino ir a 2  
Si Num > 11101 entonces Nivel = 4  Fin del proceso 
      Sino ir a 3  
Si Num > 11011 entonces Nivel = 3  Fin del proceso 
Sino ir a 4  
Si Num > 10111 entonces Nivel = 2  Fin del proceso 
Sino ir a 5  
Si Num > 01111 entonces Nivel = 1 Fin del proceso  
Sino ir a 6  
Nivel = 0  Fin del proceso  
 

La determinación del nivel de razonamiento de acuerdo con el 

algoritmo anterior para implementarlo sobre una hoja de cálculo en formato 

Excel, se ha realizado reservando seis columnas, una para cada una de las 

condiciones anteriores, más una séptima, en la que se escribe el valor máximo 

de las anteriores columnas, que es el nivel de razonamiento determinado por 

este procedimiento.   

 

 



Florencio López de Silanes 

 

416 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

Criterio cumplido 

en el nivel   

Número 

Binario  
Determinación del Nivel de van Hiele 

 1 2 3 4 5    Paso Condición 

Nivel 0 0 0 0 0 0  00000  6 Nivel = 0 

 0 0 0 0 1  00001    

 0 0 0 1 0  00010    

 0 0 0 1 1  00011    

 0 0 1 0 0  00100    

 0 0 1 0 1  00101    

 0 0 1 1 0  00110    

 0 0 1 1 1  00111    

 0 1 0 0 0  01000    

 0 1 0 0 1  01001    

 0 1 0 1 0  01010    

 0 1 0 1 1  01011    

 0 1 1 0 0  01100    

 0 1 1 0 1  01101    

 0 1 1 1 0  01110    

 0 1 1 1 1  01111  5 

Si Num > 01111 entonces Nivel = 1 

Sino ir a 6  

           

Nivel 1 1 0 0 0 0  10000    

 1 0 0 0 1  10001    

 1 0 0 1 0  10010    

 1 0 0 1 1  10011    

 1 0 1 0 0  10100    

 1 0 1 0 1  10101    

 1 0 1 1 0  10110    

 1 0 1 1 1  10111  4 

Si Num > 10111 entonces Nivel = 2 

Sino ir a 5  

           

Nivel 2 1 1 0 0 0  11000    

 1 1 0 0 1  11001    

 1 1 0 1 0  11010    

 1 1 0 1 1  11011  3 

Si Num > 11011 entonces Nivel = 3 

Sino ir a 4  

           

Nivel 3 1 1 1 0 0  11100    

 1 1 1 0 1  11101  2 

Si Num > 11101 entonces Nivel = 4 

Sino ir a 3  

           

Nivel 4 1 1 1 1 0  11110  1 

Si Num > 11110 entonces Nivel = 5 

Sino ir a 2  

           

Nivel 5 1 1 1 1 1  11111    

Tabla  18  

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  417 

 

9.12.- Resultados del cuestionario de validación 

 

Este apartado nos servirá para estudiar los niveles de razonamiento 

resultantes de aplicar los criterios VH35 y VH45 a los aciertos obtenidos por los 

alumnos en el cuestionario aplicado. La tabla 19 muestra para cada alumno 

niveles superados en la aplicación de los criterios anteriores, los niveles de 

razonamiento resultantes de la aplicación de estos criterios y, la diferencia entre 

las dos valoraciones de nivel de razonamiento de van Hiele así obtenidos. 

 

Ref 

Criterio 

VH35 

VH35 

Nivel 

Criterio 

VH45 

VH45 

Nivel 

Dif 

VH35 

VH45   Ref 

Criterio 

VH35 

VH35 

Nivel 

Criterio 

VH45 

VH45 

Nivel 

Dif 

VH35 

VH45 

                          

CS01 11000 2 00000 0 2   CS30 11100 3 11000 2 1 

CS02 11100 3 11100 3 0   CS31 11000 2 01000 0 2 

CS03 11000 2 10000 1 1   CS32 01110 0 01000 0 0 

CS04 11100 3 11100 3 0   CS33 11000 2 11000 2 0 

CS05 11000 2 11000 2 0   CS34 11100 3 10100 1 2 

CS06 11000 2 10000 1 1   CS35 11100 3 11100 3 0 

CS07 11000 2 10000 1 1   CS36 11000 2 10000 1 1 

CS08 11100 3 11100 3 0   CS37 11000 2 11000 2 0 

CS09 11100 3 11100 3 0   CS38 11100 3 11100 3 0 

CS10 11000 2 11000 2 0   CS39 11100 3 11100 3 0 

CS11 11110 4 11100 3 1   CS40 11100 3 11100 3 0 

CS12 11100 3 01100 0 3   CS41 11110 4 10100 1 3 

CS13 11100 3 11100 3 0   CS42 11110 4 10100 1 3 

CS14 11100 3 11100 3 0   CS43 11000 2 10000 1 1 

CS15 11100 3 11100 3 0   CS44 11000 2 11000 2 0 

CS16 11100 3 11100 3 0   CS45 11000 2 01000 0 2 

CS17 11100 3 11100 3 0   CS46 11000 2 11000 2 0 

CS18 11100 3 11000 2 1   CS47 11000 2 11000 2 0 

CS19 11100 3 11100 3 0   CS48 11100 3 11000 2 1 

CS20 11100 3 11100 3 0   CS49 11100 3 11100 3 0 

CS21 11000 2 10000 1 1   CS50 11000 2 10000 1 1 

CS22 10100 1 10000 1 0   CS51 01100 0 01000 0 0 

CS23 11100 3 11000 2 1   CS52 10000 1 00000 0 1 

CS24 10100 1 10000 1 0   CS53 10000 1 00000 0 1 

CS25 11000 2 10000 1 1   CS54 10000 1 00000 0 1 

CS26 11100 3 10000 1 2   CS55 11000 2 10000 1 1 

CS27 11000 2 10000 1 1   CS56 01010 0 01000 0 0 

CS28 11100 3 11100 3 0   CS57 10000 1 00000 0 1 

CS29 11100 3 11100 3 0   CS58 10100 2 10000 1 1 

        CS59 10000 1 00000 0 1 

Tabla  19  
 



Florencio López de Silanes 

 

418 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

La distribución de los niveles de razonamiento que cumplen el criterio 

VH35, adopta la forma normal para este y en esta prueba. Presenta el pico en el 

nivel 3, y su valor medio está entre los niveles 2 y 3. 

 

Nivel de razonamiento. Criterio VH35

3

20

25

3

0

8

0

10

20

30

"0" "1" "2" "3" "4" "5"

Niveles VH

N
u

m
. 

A
lu

m
n

o
s

 
Gráfico  17  

 

Con el criterio VH35 no se registra ningún alumno en el máximo nivel, lo 

cual ya era de espera. Nos llama la atención que el 5.1% de los alumnos están 

en el nivel o y en el nivel 4. Pero el criterio VH35 sitúa a casi la mitad de los 

alumnos (el 42,4%) en el nivel 3. Más del 75 % de la población está distribuida 

entre los niveles de razonamiento 2 y 3. En definitiva, el resultado producido 

por el criterio VH35 muestra unos niveles de razonamiento en geometría, 

aunque bajos, son estructurados y equilibrados, arrojando fuera sistema solo al 

5,1 % de los alumnos. Presenta una situación que no pensamos que se 

corresponda con la realidad, a la vista de las preguntas que me realizaron, y 

otros tipos de observaciones realizadas.  

 

 

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  419 

 

Nivel de razonamiento. Criterio VH35

5,1

33,9

42,4

5,1

0,0

13,6

0

10

20

30

40

50

"0" "1" "2" "3" "4" "5"

Niveles VH

P
o

rc
e
n

ta
je

  
A

lu
m

n
o

s

 
            Gráfico  18  
 

Sin embargo, la distribución de los resultados a la luz del cumplimiento 

del criterio VH45 es más interesante. Según este criterio, ningún alumno de este 

grupo se encuentra en los dos niveles superiores de razonamiento; y aunque el 

pico sigue estando en el nivel 3, parece como si en los alumnos encuestados 

hubiera dos grupos bien diferenciados. El más importante parece estar centrado 

en el nivel 1 y el otro en el nivel 3, que se corresponderían con alumnos que han 

cursado en la enseñanza media estudios de letra y ciencias respectivamente, 

pero que presentan un nivel de razonamiento y de conocimientos en geometría 

coherentes. 

Nivel de razonamiento. Criterio VH45

12
11

0 0

1917

0

5

10

15

20

"0" "1" "2" "3" "4" "5"

Niveles VH

N
u

m
. 

A
lu

m
n

o
s

 
      Gráfico  19  

 



Florencio López de Silanes 

 

420 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Pero lo más relevante sin duda, es la importancia que tiene el nivel 0 en 

esta distribución, ya que el 20,3 % de estos alumnos pertenecen a este nivel de 

razonamiento. Recordemos que se llega a este nivel cuando no se satisface el 

criterio en el nivel 1, con independencia de la satisfacción del criterio en otros 

niveles superiores. 

 

 

Nivel de razonamiento. Criterio VH45

20,3

32,2

0,0 0,0

18,6

28,8

0

10

20

30

40

"0" "1" "2" "3" "4" "5"

Niveles VH

P
o

rc
e
n

ta
je

  
A

lu
m

n
o

s

 
     Gráfico  19  

 

De los 12 alumnos calificados con nivel o, 6 alumnos presentan el 

registro 00000 como cumplimiento del criterio, mientras que los otros seis se 

corresponden con los resultados 01000 o bien 01100. Evidentemente el primer 

grupo se corresponde con alumnos con unos conocimientos muy bajos de 

geometría, mientras que el segundo grupo se corresponde con alumnos con 

importantes lagunas en los conocimientos más básicos, o bien poseen 

conocimientos desestructurados, repartiéndose al 50 % la población  del nivel 0 

los que presentan conocimientos muy bajos o desestructurados en geometría. 

Desafortunadamente, función de distribución suministrada por el cumplimiento 

del criterio 4 de 5 aciertos para cada nivel, se ajusta más a la realidad del grupo, 

que la proporcionada por el criterio 3 de 5 aciertos. 

 

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  421 

 

Nivel de razonamiento. Criterios VH35 y VH45

5,1

33,9

42,4

5,1

0,0

20,3

0,0

13,6

28,8

0,0

32,2

18,6

0

10

20

30

40

50

"0" "1" "2" "3" "4" "5"

Niveles VH

P
o

rc
e
n

ta
je

  
A

lu
m

n
o

s

VH35

VH45

 
Gráfico  20 

 

El gráfico 20 muestra la diferencia entre los niveles de razonamiento 

determinados por el cumplimiento de los criterios VH35 y VH45. Las diferencias 

más importantes las encontramos en los extremos de las funciones de 

distribución.   

Como es natural, para cada alumno la diferencia del nivel de 

razonamiento suministrado el cumplimiento del criterio VH35 restado el criterio 

correspondiente al criterio VH45 es siempre positiva. En más de la mitad de los 

casos, el 52,5 % la diferencia es nula, es decir, ambos criterios proporcionan el 

mismo nivel de razonamiento. Para algo más de la tercera parte de la población, 

el 33,9 %, el criterio VH45 les da en un nivel de razonamiento más bajo que el 

nivel menos restrictivo. Sin embargo consideramos que son muy importantes 

los porcentajes de alumnos para los la diferencia de niveles son 2 o 3 escalones 

en los niveles de razonamiento de van Hiele. De estos últimos, solo el 6,8 % de 

los alumnos están en el nivel 0. 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

422 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Diferencia entre los criterios VH35 y VH45

52,5

8,5 5,1

33,9

0

10

20

30

40

50

60

"0" "1" "2" "3"

Valor de la diferencia entre los criterios VH35 y VH45

P
o

rc
e
n

ta
je

 A
lu

m
n

o
s

 
Gráfico  21  

 

 

 

 

 

 

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  423 

 

9.13.- Nivel de razonamiento del grupo. 

 

Siguiendo el criterio primeramente adoptado por Usiskin, adoptamos el 

criterio VH45 para le medida del nivel de razonamiento de acuerdo al modelo 

de van Hiele, y en adelante nos referiremos en exclusiva al modelo modificado 

pero de la forma ampliada que hemos expuesto en arriba. La razón doble, por 

una parte, deseamos acotar por debajo del 5% los aciertos al azar en los 

cuestionarios, o lo que es lo mismo, mantener bajo el error Tipo II; de otra parte 

al ser más restrictivo es más fiable. La contrapartida está en que siguiendo este 

modelo nos podemos encontrar con valores no residuales  en el nivel 0, máxime 

si tenemos presente que, en este estudio no será rechazado ningún resultado 

de forma sistemática. Con estas premisas, los niveles de razonamiento 

obtenidos por los alumnos de 2º curso de Enseñanza Infantil correspondientes 

al turno de mañana de la Facultad de Educación de la UCM son: 

A nivel de grupo es importante estudiar la función de distribución de 

estos resultados, es decir, la distribución de los porcentajes de alumnos con 

respecto a los niveles de razonamiento. Al no existir alumnos calificados en los 

dos niveles superiores, resultará una distribución muy desplazada hacia los 

niveles bajos de razonamiento. 

 

Análisis de la distribución de los Niveles de van Hiele

32,2

0,00,0

28,8

18,6
20,3

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5

Niveles de van Hiele

P
o

rc
e

n
ta

je
 d

e
 a

lu
m

n
o

s

 
           Gráfico  22  

 



Florencio López de Silanes 

 

424 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

 

Ref Criterio Nivel   Ref Criterio Nivel 

              

CS01 00000 0   CS30 11000 2 

CS02 11100 3   CS31 01000 0 

CS03 10000 1   CS32 01000 0 

CS04 11100 3   CS33 11000 2 

CS05 11000 2   CS34 10100 1 

CS06 10000 1   CS35 11100 3 

CS07 10000 1   CS36 10000 1 

CS08 11100 3   CS37 11000 2 

CS09 11100 3   CS38 11100 3 

CS10 11000 2   CS39 11100 3 

CS11 11100 3   CS40 11100 3 

CS12 01100 0   CS41 10100 1 

CS13 11100 3   CS42 10100 1 

CS14 11100 3   CS43 10000 1 

CS15 11100 3   CS44 11000 2 

CS16 11100 3   CS45 01000 0 

CS17 11100 3   CS46 11000 2 

CS18 11000 2   CS47 11000 2 

CS19 11100 3   CS48 11000 2 

CS20 11100 3   CS49 11100 3 

CS21 10000 1   CS50 10000 1 

CS22 10000 1   CS51 01000 0 

CS23 11000 2   CS52 00000 0 

CS24 10000 1   CS53 00000 0 

CS25 10000 1   CS54 00000 0 

CS26 10000 1   CS55 10000 1 

CS27 10000 1   CS56 01000 0 

CS28 11100 3   CS57 00000 0 

CS29 11100 3   CS58 10000 1 

     CS59 00000 0 
Tabla  20 

 

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  425 

 

El cálculo de los parámetros de tendencia central arroja los siguientes 

resultados: 

 

 

Análisis de la distribución de los aciertos. 

Xi fi fiXi D=Xi-X D2 fiD2 D3 fiD3 D4 fiD4 

0 20,3 0,00 -1,63 2,65 53,85 -4,31 -87,62 7,01 142,56 

1 28,8 28,81 -0,63 0,39 11,33 -0,25 -7,11 0,15 4,46 

2 18,6 37,29 0,37 0,14 2,59 0,05 0,97 0,02 0,36 

3 32,2 96,61 1,37 1,88 60,70 2,59 83,33 3,55 114,40 

4 0,0 0,00 2,37 5,63 0,00 13,36 0,00 31,70 0,00 

5 0,0 0,00 3,37 11,38 0,00 38,37 0,00 129,42 0,00 

 100 162,71   128,47  -10,43  261,78 

  1,63   1,28  -0,10  2,62 

     1,13  -0,07  1,59 
Tabla  21  

 

Valor medio: 1,63 

Error cuadrático medio: 1,13 

Coeficiente de asimetría: -0,07 

Coeficiente de prominencia: 1,59 

 

Es decir, el nivel medio de razonamiento de van Hiele del grupo es bajo 

1,63. Pero al ser tan grande la desviación estándar, del orden del valor medio. 

Nos produce el resultado que la mayor parte de la población la tenemos en el 

intervalo que va de 1,63 – 1,13 = 0,5 y,  1,63 – 1,13 = 2,76, es decir entre los 

niveles de razonamiento de 0,5 y 2,76.  Se trata como ya dijimos, de una 

distribución muy ancha y hacia los valores bajos. 



Florencio López de Silanes 

 

426 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

9.14.- Análisis de los resultados de la prueba de validación 

 

A continuación examinaremos los resultados del cuestionario de Usiskin 

para la medida del nivel de razonamiento de van Hiele. Como hemos señalado 

en anteriores ocasiones, el cuestionario se aplicó a 59 alumnos de 2º curso de 

Educación Infantil del turno de mañana en la Facultad de Educación de la 

Universidad Complutense de Madrid.  

 

9.14.1- Identificación de alumnos en el cuestionario 

 

En este hubo cierta resistencia de los alumnos a identificarse con 

nombres y apellidos en el cuestionario. Se identificaron menos de la mitad, el 

47%, prefiriendo el resto permanecer en el anonimato. 

 

 Nivel VH45 y la Identificación de los alumnos

1,7
1,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Identificados NO Identificados

N
iv

e
l 
V

H
4

5

 
Gráfico  23  

 

Se construyeron dos “clases de alumnos”: los Identificados (28 alumnos) 

y los No Identificados (31 alumnos), para ver si la identificación de los alumnos 

pudiera estar relacionada con los resultados de la prueba, estudiamos el 

número de aciertos y el resultado final de la prueba (nivel van Hiele alcanzado 

VH45) según los alumnos se identificaran o no en la prueba, pero ni la diferencia 

de 1,4 puntos en el promedio de preguntas acertadas, o la diferencia de 2 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  427 

 

décimas, ambas a favor de los alumnos que se han identificado, creo que no 

permiten concluir nada.     

 

Resultados/Identificación Identificados 

NO 

Identificados 

Promedio de Aciertos 12,9 11,5 

Promedio Nivel VH45 1,7 1,5 
Tabla  22  

 

Por lo que los alumnos se han identificado o no, siguiendo el dictado de 

sus deseos personales, y no para ocultar las lagunas o deficiencias de su proceso 

formativo en geometría. 

 

9.14.2- Edades de los alumnos 

 

Vimos que las edades de los alumnos estaban comprendidas entra 19 y 

44 años. Para poder estudiar la distribución de edades en el grupo, se distribuyó 

sus alumnos en “clases de edad”, designando cada clase por la edad de los 

alumnos que la componen, y agrupando a los alumnos mayores de 24 años en 

una única clase denominada (“<24” o mayores de 24 años).  

 

Para estudiar la posible incidencia de la edad en los resultados de la 

prueba se agruparon los aciertos a los ítems del cuestionario, y el nivel de 

razonamiento de van Hiele resultante en la medida VH45 de cada alumno en las 

respectivas “clases de edad” para poder promediar separadamente los valores. 

Esto se resume en la tabla 23 donde en la primera fila “Alumnos Clase Edad” se 

especifica el número de alumnos pertenecientes a la clase de la cabecera. El 

mismo dato, pero porcentual, se indica en la segunda fila “% alumnos Clase 

Edad”. La tercera fila indica el valor medio de los aciertos de los alumnos de 

cada clase en número de aciertos. Finalmente, la información de la cuarta fila es 

el nivel medio de los niveles de razonamiento de van Hiele obtenidos por los 

alumnos de cada “clase de edad” en la prueba realizada, medidos estos niveles 

de razonamiento de acuerdo con la especificación VH45. 



Florencio López de Silanes 

 

428 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

Resultados /  

"Clase Edad" 19 20 21 22 23 24 >24 N/C Total o Media 

Alumnos “Clase Edad” 27 8 1 7 5 2 6 3 59 

% alumnos Clase Edad 46 14 2 12 8 3 10 5 100 

Promedio de Aciertos 12,1 12,5 14,0 13,3 11,8 14,0 10,2 12,0 12,2 

Nivel medio VH45  1,5 1,6 3,0 2,1 1,0 2,5 1,5 1,7 1,6 

Tabla  23  
 

Los valores altos de nivel de razonamiento correspondientes a las 

“clases de edad” de 21 y 24 años no son estadísticamente relevantes, ya que se 

corresponden con los  niveles de razonamiento individuales de unos alumnos, al 

contar dichas clase con uno y dos miembros respectivamente. Vista esta 

salvedad, vemos que los valores medio de los niveles de razonamiento de van 

Hiele respecto a la edad de los alumnos, oscilan entorno al valor medio del 

grupo 1,6 sin apreciarse ninguna tendencia. Por lo que los resultados de este 

cuestionario no están influidos por la edad de los alumnos. 

 

Nivel VH45 y la edad de los alumnos

3,0

2,1 1,5

2,5

1,6
1,5

1,0

1,7

0

1

2

3

4

5

19 20 21 22 23 24 >24 N/C

Años

N
iv

e
l 

V
H

4
5

 
Gráfico  24  

 

La razón de este resultado quizás la encontremos en lo bajo que es el 

nivel medio del nivel de razonamiento de van Hiele del grupo. Ya que al no 

llegar el valor medio del nivel de razonamiento al segundo nivel de van Hiele, 

quedándose su conocimiento geométrico en el nombre de las figuras, su 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  429 

 

clasificación y propiedades básicas, y poco más, nos está indicando, que el bajo 

perfil de conocimientos geométricos del grupo, y su distribución homogénea 

para las edades. 

 

9.14.3- Distribución por sexo 

 

La uniformidad del grupo en el carácter estadístico “Sexo”, ya que tos 

son mujeres salvo un varón, hacen que los resultados de la prueba en este 

carácter sean irrelevantes estadísticamente hablado, pues el coeficiente de 

razonamiento asignado a Hombres no representa a una colectividad, sino que a 

un solo varón.  

 

 Hombres Mujeres Total 

VH45 Nivel 3 1,6 1,6 

Alumnos 1 58 59 
Tabla  24  

 

No obstante, mostramos los resultados, con la objeción que hemos 

apuntado. 

 

 Nivel VH45 y el Sexo

3,0

1,6

0

1

2

3

4

Hombres Mujwres

N
iv

e
l 
V

H
4

5

 
    Gráfico  25 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

430 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

9.14.4- Tipo de bachillerato estudiado por los alumnos 

 

Para estudiar la incidencia del tipo de bachillerato estudiado por los 

alumnos, y sus resultados en el cuestionario aplicado, se dividió a los alumnos 

en tres clases: Bachillerato de Letras, Bachillerato de Ciencias y Bachillerato sin 

especificar, según respondieron en sus datos personales. 

 

La tabla 25 muestra unas conclusiones bastante claras, pues mientras 

los que han estudiado bachillerato de letras, en valores medios, han obtenido 

10 aciertos, los de ciencias aciertan más de 14 items. Esto sirve para que los 

alumnos del bachillerato de ciencias se distancien sustancialmente de los de 

letras, obteniendo más del doble en el valor medio del nivel de razonamiento de 

van Hiele, medido según la especificación VH45. No obstante, ambos niveles de 

razonamiento de van Hiele son bajos, pues si bien los alumnos que cursaron 

estudios de bachillerato de letras se sitúan en el nivel 1, muy justitos, los de 

ciencias están lejos de alcanzar un nivel 3.  

 

 Nivel VH45 y el Bachillerato

2,2

1,0

1,8

0

1

2

3

CIENCIAS LETRAS Sin Especificar

N
iv

e
l 
V

H
4

5

 
Gráfico  26  

 

Los alumnos que no especificaron el bachillerato que estudiaron, 

muestran estar a un nivel intermedio entre los alumnos del bachillerato de 

ciencias y de letras. No por esperados, resultan menos sorprendentes los 

resultados del cuestionario dependiendo del tipo de bachillerato estudiado por 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  431 

 

los alumnos, ya que la mayoría no estudió otra geometría que la de su 

curriculum de enseñanza media. 

 

BACHILLERATO CIENCIAS LETRAS Sin especificar Total o Media 

Alumnos 19 24 16 59 

Promedio de Aciertos 14,2 10,0 13,1 12,2 

Nivel medio van Hiele VH45 2,2 1,0 1,8 1,6 

Tabla  25  

 

 

9.14.5- Titularidad del centro de enseñanza media. 

 

Para estudiar la relación entre la titularidad del centro donde los 

alumnos del grupo cursaron estudios de enseñanza media, y los resultados del 

cuestionario; se dividieron los alumnos en cuatro clases según la titularidad de 

su centro antes de acceder a la universidad: Público, Privado-Concertado, 

Privado, y la clase N/C para los alumnos que no especificaron esta característica 

de su centro de enseñanza media. 

 

 Nivel VH45 y Titularidad Centro Enseñanza Media

1,4
1,7

1,9

1,9

0

1

2

3

Público Privado

Concertado

Privado N/C

N
iv

e
l 
V

H
4

5

 
    Gráfico  27  

 

Aunque en la media de aciertos destaca los alumnos procedentes de 

centros Privados-Concertados, el mayor nivel de razonamiento van Hiele 

medido con la especificación VH45 corresponde a la clase N/C y a los alumnos 



Florencio López de Silanes 

 

432 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

procedentes de centros de titularidad Privada. Los alumnos procedentes de 

centros de titularidad Pública aportan el nivel más bajo en los resultados de este 

cuestionario.  

 

Titularidad Centro E. Media Público Privado Concertado Privado N/C Total o media 

Alumnos 23 21 7 8 59 

Promedio de Aciertos 11,7 13,0 11,4 11,6 12,2 

Media Nivel de van Hiele VH45 1,4 1,7 1,9 1,9 1,6 

Tabla  26  



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  433 

 

9.14.6- Titularidad del penúltimo centro de enseñanza media 

 

La mayoría de alumnos (el 81%) no especificaron la titularidad del 

penúltimo centro  donde cursaron estudios de enseñanza media. Con este 

carácter estadístico se han clasificado los 11 alumnos en tres clases, que se 

corresponden con la titularidad del penúltimo centro educativo como; Público, 

Privado-Concertado y concertado.  

 

 Nivel VH45 y Titularidad Penúltimo Centro Enseñanza Media

1,5

1,8

1,0

0

1

2

3

Público Privado Concertado Privado

N
iv

e
l 
V

H
4

5

 
Gráfico  28  

 

El valor tan bajo del nivel de razonamiento van Hiele correspondiente a 

la columna de los Centros Privados es estadísticamente irrelevante, ya que se 

corresponde con el valor particular del único miembro de esta clase en esta 

muestra. Llama también la atención que los valores de los niveles de 

razonamiento de van Hiele aportados en este análisis son ligeramente 

superiores a los que vimos anteriormente, de acuerdo con la tabla 27.  

  
Titularidad Penúltimo  

Centro Enseñanza Media Público 

Privado 

Concertado Privado 

Total o 

Media 

Alumnos 6 4 1 11 

% Alumnos 54,5 36,4 9,1 100,0 

Promedio de Aciertos 12,8 13,3 13,0 13,0 

Media Nivel van Hiele VH45 1,5 1,8 1,0 1,5 

Tabla  27  

 



Florencio López de Silanes 

 

434 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

9.15- Conclusiones 

 

La tarea siguiente a la aplicación del cuestionario de Usiskin es realizar 

las medidas de los niveles de razonamiento. Hemos analizado las dos 

posibilidades que contempló Usiskin con los datos de nuestra prueba: 

 

- El criterio VH35, es decir, se considera que pasa el nivel si se aciertan 3 

respuestas de las 5 preguntas que plante al cuestionario para cada nivel. 

 

- El criterio VH45, cuando para pasar de nivel hay que acertar 4 preguntas 

de las 5 que plantea al cuestionario para cada nivel. 

 

A lo anterior hay que añadir la condición de que para superar un nivel 

hay que haber superado previamente los niveles anteriores, en consonancia con 

la secuencialidad de los niveles de van Hiele.  

 

Estas restricciones justifican la introducción del nivel 0 para acoger a los 

que bien pertenecen propiamente a este nivel, es decir que no alcanzan el nivel 

1, o bien que, no cumplen las restricciones anteriores. 

 

Al igual que Usiskin y otros investigadores, hemos justificado las razones 

para elegir el criterio VH45, a pasar de que genera unos valores más bajos, y de 

que puede alojar en el nivel 0 a un número considerable de alumnos, pensamos 

que los valores de los niveles de razonamiento que suministra se acercan más a 

la realidad. 

 

Por otra parte, la distribución de los niveles de razonamiento de van 

Hiele obtenidos en esta prueba están en consonancia con las presentadas por 

otros investigadores. (Usiskin, 1982). Los estudios de fiabilidad realizados 

arrojan unos coeficientes a nivel global mayores a 0,6, superando así los 

criterios comúnmente aceptados  para la confianza en este tipo de 

cuestionarios. 

 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  435 

 

En definitiva, en este capítulo, hemos ajustado y puesto a prueba el 

mecanismo de medida del nivel de razonamiento de van Hiele, que será 

utilizado en lo sucesivo, o que si se utilizara otro mecanismo de medida 

alternativo, el que hemos probado en este capítulo será la referencia.  

 

 

 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

436 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

9.16- Apéndice A. Hoja de respuestas del cuestionario de Usiskin 

aplicado 

  9 de Marzo de 2010 
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID 

FACULTAD DE EDUCACIÓN 
Educación Infantil     Segundo Curso 

Referencia ______ 
DATOS DEL ALUMNO 

 
Nombre y Apellidos ______________________________________________________ 
Edad _____ Sexo __________  
Enseñanza:  Bachillerato ______ Ciencias______ Letras_______E. Profesional _______ 
Facultad (Procedencia):    ___________________  Curso ____  Especialidad ___________ 

 
Centro de Enseñanza Media 

Nombre ________________________________________________________________ 
Ciudad  _____________  Público ______ Privado-Concertado ______ Privado ______ 

 
Centro de Enseñanza Media (si ha estado en varios, el anterior) 

Nombre ________________________________________________________________ 
Ciudad  _____________  Público ______ Privado-Concertado ______ Privado ______ 
 

GUÍA PARA CUMPLIMENTAR EL CUESTIONARIO 
No abrir el cuadernillo antes de comenzar el cuestionario. 
El cuestionario contiene 25 preguntas. No se espera que el alumno conozca todas las 
respuestas planteadas en este cuestionario. 
Cada pregunta admite cuatro respuestas diferentes. 

I.  Sobre el contenido geométrico. Marcar una respuesta entre A, B, C, D, E. 

II. Cómo le han enseñado a Ud. el contenido a que hace referencia la pregunta. Marcar 
una respuesta entre: R. No lo he dado. S. Lo he dado y no aprendido. T Lo he dado y 
aprendido. 

III. Cómo se siente Ud. con el contenido a que hace referencia la pregunta. Marcar una 
respuesta entre: X. No me gusta Y. Me gusta. Z. Me gusta bastante. 

IV. Cómo le gustaría a Ud. que le hubieran enseñado el contenido a que hace referencia la 
pregunta. Marcar tres respuestas entre: 1 Más ejercicios. 2 Menos ejercicios.        3 
Más trabajo personal para el alumno. 4 Ver la aplicación en la vida real. 5 Más esfuerzo 
del profesor. 6 Utilizar software geométrico o de dibujo. 7 Manipular el alumno los 
contenidos. 8 Utilizar Metodología Participativa. 9 Más Clases Magistrales o Teóricas. 

Cuando empiece a responder al cuestionario: 

V. Lea atentamente cada pregunta. 

VI. Decida sobre la respuesta que considera correcta. Hay solamente una respuesta 
correcta para cada pregunta. 

VII. Utilice una hoja aparte para dibujar, hacer figuras, diagramas, etc. No utilice el 
cuadernillo,  ni la hoja de respuestas como borrador. 

VIII. Tache la respuesta correcta. Si desea cambiar una respuesta, borre completamente la 
primera respuesta, si utiliza el lápiz, o táchela totalmente si utiliza bolígrafo o tinta.  

IX. El tiempo para realizar el cuestionario es de 40 minutos Bachillerato o Universidad, 50 
para Secundaria y 60 en Primaria. 

Para comenzar el cuestionario, espere la señal del profesor. 



Validación del Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  437 

 

CLAVES PARA LAS RESPUESTAS 
 

 

 CUESTIONARIO GEOMETRÍA Elegir 

una. 

  Cómo se ha ENSEÑADO. Elegir 

dos (1 a 3) y (4 a 6). 

  Cómo te GUSTARÍA QUE SE ENSEÑARA.  

Elegir hasta tres. 

A 1ª Respuesta  R No lo he dado.  1 Más ejercicios. 

B 2ª Respuesta  S Lo he dado y no aprendido.  2 Menos ejercicios. 

C 3ª Respuesta  T Lo he dado y aprendido.  3 Más trabajo personal para el alumno. 

D 4ª Respuesta.     4 Ver la aplicación en la vida real. 

E 5ª Respuesta  X No me gusta  5 Más esfuerzo del profesor. 

   Y Me gusta  6 Utilizar software geométrico o de dibujo. 

   Z Me gusta bastante  7 Manipular el alumno los contenidos. 

      8 Utilizar Metodología Participativa. 

      9 Más Clases Magistrales o Teóricas. 

 

RESPUESTAS AL CUESTIONARIO 

 
 

Nº  GEOMETRIA  Cómo se ha ENSEÑADO  GUSTARÍA QUE SE ENSEÑARA 

                         

1  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

2  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

3  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

4  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

5  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

                         

6  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

7  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

8  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

9  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

10  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

                         

11  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

12  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

13  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

14  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

15  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

                         

16  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

17  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

18  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

19  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

20  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

                         

21  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

22  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

23  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

24  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

25  A B C D E  R S T  X Y Z  1 2 3 4 5 6 7 8 9 

 

 

 



 



Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  439 

 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 10 

 

MEDIDA DEL NIVEL DE RAZONAMIENTO MEDIANTE EL 

CUESTIONARIO DE AUTOVALORACIÓN. PRUEBA Y VALIDACIÓN 

DEL CUESTIONARIO DE AUTOVALORACIÓN. LOS 

CUESTIONARIOS DE AUTOVALORACIÓN Y DE USISKIN 

 
 

10.1.- Introducción 

 
El cuestionario de autovaloración estuvo asociado a nuestros primeros 

pasos en el trabajo de campo con el modelo de van Hiele. Efectivamente, 

después de mostrar a mis alumnos de geometría, las características del modelo 

de van Hiele, decidí aplicarles un cuestionario para que autovaloraran sus 

conocimientos de geometría de acuerdo con el modelo de van Hiele, así como 

que mostraran sus impresiones sobre cómo habían aprendido la geometría en la 

enseñanza media y universitaria, y de cómo les hubiera gustado aprenderla. 

 

Algunas de las características de este estudio realizado en junio del año 

2009, las describimos en el capítulo 5, y las reproduciremos el apartado 

siguiente, porque creemos que encierran el sentido inicial de esta investigación: 

el conocimiento de la realidad presente de nuestros alumnos, la detección de 

sus problemas con la geometría, y la propuesta de las posibles vías para 

corregirlos. 

No entre aquí  
quien no sepa geometría 
 

Pitágoras 

 



Florencio López de Silanes 

 

440 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Pero el propósito de este tema es mucho más amplio. A pesar de que 

con posterioridad aplicamos el cuestionario de Usiskin para el conocimiento del 

nivel de razonamiento de los alumnos de acuerdo con el modelo de van Hiele, 

no dejamos de aplicar el cuestionario de autovaloración a alumnos de nivel 

universitario que conocían las características del modelo de van Hiele. La razón 

está en que este cuestionario hace referencia a 18 temas básicos de la 

geometría euclidiana, que entendemos que, debieran conocer los alumnos de 

nivel universitario de acuerdo con el currículo de la enseñanza de la geometría 

en España en el nivel medio. Si el cuestionario de Usiskin tiene la capacidad de 

medir de forma precisa el nivel de razonamiento de los alumnos, el cuestionario 

de autovaloración puede mostrar las áreas específicas en que los alumnos 

presentan lagunas en sus conocimientos de geometría. 

 

Por estas razones consideramos interesante e imprescindible, añadir en 

este estudio los resultados de los cuestionarios de autovaloración realizados a 

alumnos de nivel universitario con conocimientos del modelo de van Hiele. Pero 

antes de mostrar estos resultados, tendremos que verificar la consistencia de 

los mismos, su coherencia dentro del modelo de van Hiele, y su relación con los 

resultados obtenidos mediante la aplicación del cuestionario de Usiskin. 

 

Para la realización de este propósito, contamos con dos grupos de 

alumnos que han realizado ambos cuestionarios y que van a permitir cruzar los 

resultados obtenidos en ambos, analizar su coherencia, y estudiar la relación 

entre los resultados de los cuestionarios de autovaloración y Usiskin. 

 

 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  441 

 

 

10.2.-  Aplicación del cuestionario de Autovaloración 

 
 

La aplicación de la prueba de autovaloración se ha realizado en dos 

grupos de alumnos de la Facultad de Profesorado de la Universidad Autónoma 

de Madrid, que cursaban estudios de Enseñanza Primaria en el Turno de Tarde. 

El primero de estos grupos fueron mis alumnos de Matemáticas II y su didáctica, 

del curso 2009 - 2010, que cursaron estudios de geometría en el segundo 

cuatrimestre de dicho curso, es decir, entre los meses de febrero y junio del año 

2010. A comienzos de dicho cuatrimestre, se les aplicó ambos cuestionarios en 

días diferentes, por lo que no todos los alumnos de dicho grupo realizaron 

ambos cuestionarios. Los alumnos de este grupo los hemos codificado con las 

siglas ASTP (Autónoma Segundo Tarde Primaria) y dos dígitos numéricos 

secuenciales 

A comienzos del curso 2009 se aplicó el cuestionario de autovaloración 

a dos grupos de primer curso del Grado de Enseñanza Primaria. La codificación 

de estos alumnos es TXXXX, donde la T indica Tarde, y los siguientes son cuatro 

dígitos secuenciales. Posteriormente, a comienzos del curso académico 2010 - 

2011 se aplicó el cuestionario de Usiskin a uno de estos grupos cuando cursaban 

Matemáticas II y su didáctica, en segundo curso de Enseñanza Primaria en el 

Turno de Tarde. Por lo que también aquí, no todos los que realizaron el 

Cuestionario de Autovaloración, a realizaron en Cuestionario de Usiskin. No 

obstante, contamos con una muestra de 50 alumnos que realizaron ambos 

cuestionarios, que entendemos que es estadísticamente suficiente para realizar 

una comparación estadística de los resultados de ambos cuestionarios, y 

estudiar la correlación de estos. 

Describiremos en primer lugar las características de esta muestra 

formada por dos cursos de la Facultad de Formación del Profesorado de la 

Universidad Autónoma de Madrid, en cuanto a las edades de los alumnos, el 

sexo, el tipo de bachiller que estudiaron y la titularidad del centro de Enseñanza 

Media en que cursaron antes de ingresar en la universidad. 

 

El objetivo en este capítulo es realizar un estudio exhaustivo de los 

resultados de la Prueba de Autovaloración, y describir el cálculo de los niveles 

de razonamiento de van Hiele que suministra del cuestionario de 



Florencio López de Silanes 

 

442 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Autovaloración, mostraremos distintos resultados estadísticos a nivel global de 

esta prueba. Para ello, hemos mostrado a los alumnos 18 temas de geometría, 

en los que hemos pedido a los alumnos conocedores del modelo de van Hiele, 

que respondan según el repertorio siguiente. (ver Apéndice A). 

 

VH.- Nivel al que ha aprendido el contenido  
(Modelo de Van Hiele). Elegir uno. 
1 Reconocimiento o visualización. 
2 Análisis o experimentación. 
3 Clasificación o ordenación. 
4 Deducción formal o demostración. 
5 Rigor. Axiomas. Abstracciones. 

 
Posteriormente, estudiaremos la correlación entre los niveles de 

razonamiento de van Hiele obtenidos por los cuestionarios de Autovaloración y 

de Usiskin, así como también estudiaremos la coherencia interna y la fiabilidad 

de los resultados del Cuestionario de Autovaloración. 

En este asunto, para cada uno de los 18 temas de geometría que se 

mostraron a los alumnos, se les preguntó cómo habían aprendido este tema, y 

cómo les gustaría que se lo hubieran enseñado según el repertorio siguiente. 

(Ver Apéndice A). 

 
EN.- Como se ENSEÑA. Elegir uno. 
1 No lo he dado. 
2 Lo he dado y no aprendido. 
3 Lo he dado y aprendido. 
 
ALUMNO.- Como le gustaría al ALUMNO que se enseñara. Elegir hasta 3. 
1 Más ejercicios. 
2 Menos ejercicios. 
3 Más trabajo personal para el alumno. 
4 Ver la aplicación en la vida real. 
5 Más esfuerzo del profesor. 
6 Utilizar software geométrico o de dibujo. 
7 Manipular el alumno los contenidos.  
8 Utilizar Metodología Participativa. 
9 Más Clases Magistrales 

 
 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  443 

 

 

10.3.-  Análisis de la muestra 

 
La muestra formada por 167 alumnos, de los cuales 91 alumnos 

estudiantes de Grado y el resto que cursaban el plan de estudios antiguo, los ha 

servido de base para realizar el estudio de la aplicación del Cuestionario de 

Autovaloración. En esta muestra, analizaremos aparte del Nivel de 

Autovaloración, otros caracteres estadísticos propios como son la edad de los 

alumnos, su sexo, el tipo de bachillerato que estudiaron, la titularidad del centro 

en que acusaron su Enseñanza Media, y cuando podamos, también la titularidad 

del penúltimo centro de enseñanza media. Posteriormente examinaremos 

también si estos caracteres de los alumnos han influido en los resultados del 

Cuestionario de Autovaloración. 

 
 

10.3.1.-  Edades de los alumnos 

 
Para construir la distribución por edades de esta muestra, hemos 

formado clases de edad incluyendo a los alumnos en la clase que indiquen sus 

años, agrupando a los mayores de 30 años en la clase >30. Nos ha llamado la 

atención que la clase más numerosa es la de los alumnos que no ha 

complementado su edad en el cuestionario, siendo estos el 18,3 % de los 

alumnos. 

 

Desde el punto de vista de las edades es un grupo que podríamos decir 

normal para este tipo de estudiantes universitarios, estando el 46,7% de los 

alumnos con edades comprendidas entre los 18 y 20 años, porcentaje en 

términos absolutos, que en términos de los alumnos que han especificado su 

edad en el cuestionario este porcentaje es bastante mayor que la mitad del 

alumnado. La aparición de un pequeño grupo de alumnos con 17 años se 

corresponde a los alumnos que realizaron el cuestionario en el Primer Curso de 

Grado. 

 
 



Florencio López de Silanes 

 

444 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Edad de los alumnos

1,8

14,6

17,7

14,6

7,9

4,9
5,5

2,4
1,2 1,2

1,8

4,3

18,3

3,7

0

5

10

15

20

17 18 19 20 21 22 23 24 25 27 29 30 >30 N/C

Años

P
o

rc
e

n
ta

je
 A

lu
m

n
o

s

 
Gráfico  1  

 
 
 

10.3.2.- Distribución por sexo 

 
Para realizar el estudio de la distribución de la muestra por el sexo de 

los alumnos se formaron dos clases, la de mujeres y la de varones, con un 

abrumador predominio de las mujeres en la muestra con un porcentaje de 74%. 

Esto viene siendo normal en los grupos de estudiantes de Magisterio. 

 

Distribución de los alumnos por sexo

Mujeres

74%

Varones

26%

 
Gráfico  2  

 
 
 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  445 

 

 

10.3.3.- Tipo de bachillerato estudiado por los alumnos 

 
 

Los alumnos de la muestra fueron agrupados según los estudios de 

bachillerato que realizaron antes de acceder a la universidad. En este carácter 

nos encontramos también con un grupo importante de alumnos (20%) que no. 

especificaron los estudios de enseñanza media que realizaron. La procedencia 

de estudiantes de bachillerato de letras con un 49% es la predominante en esta 

muestra, como viene siendo habitual entre los estudiantes de Magisterio. 

 

Bachillerato estudiado por los alumnos

Ciencias 

sociales

2%

Ciencias

29%

Letras

49%

N/C

20%

 
Gráfico  3  

 
 

10.3.4.- Titularidad del centro de enseñanza media 

 
De la misma forma agrupamos a los alumnos de acuerdo con la 

titularidad del centro en que cursaron sus estudios de enseñanza media, 

predominando con un 50% los alumnos procedentes de centros de enseñanza 

media de titularidad pública. Es considerable los alumnos de tampoco han 

especificado la titularidad de su centro de enseñanza media, que con un 

porcentaje del 22% coinciden aproximadamente con los alumnos que no han 

especificado otros caracteres de los alumnos y de la muestra. 

 
 



Florencio López de Silanes 

 

446 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Titularidad del Centro de Enseñanza Media

Privado 

Concertado

23%

Privado

5%

N/C

22%

Público

50%

 
Gráfico  4  

 
 

10.3.5.- La enseñanza profesional 

 
Por último, hemos querido también contemplar la incidencia de los 

alumnos procedentes de Enseñanza Profesional tanto a nivel de muestra como 

posteriormente a nivel de resultados. Los alumnos que manifiesta proceder de 

Enseñanza Profesional con un 14% son una parte importante de la muestra, y 

veremos que incidencia puede tener o no en los resultados de la encuesta. 

 

Enseñanza Profesional y Bachillerato

Bachillerato

69%

Ens. 

Profesional

14%

N/C

17%

 
Gráfico  5  



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  447 

 

 

 10.4.- Resultados del cuestionario de Autovaloración 

La tabla 1 (A y B) muestra las respuestas obtenidas en el Cuestionario de 

Autovaloración por alumnos e ítem. Los alumnos se han autovalorado en cada 

ítem de geometría entre 1 y 5 correspondiendo con los niveles del 1 al 5 del 

modelo de van Hiele. 

 
Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
APST03 1 4 4 2 2 4  4  4  4  4  4 2  
APST04 2 1 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 2 
APST06 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 
APST13 2 2 3 4 4 4 1 2 2 2  3 1 1 3 2  3 
APST15 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 3 3 2 
APST16 4 3 3 3 4 2 3 2 1 3 1 3 1 2 3 3 3 1 
APST17 5 4 4 5 5 5 5 5 5 4 1 5  5 5 5 5 3 
APST21 2 3 4 4 4 3 3 4 3 4 2 4 2 3 3 4 3 3 
APST23 3 2 3 3 4 4 4 3 3 2 1 3 2 4 3 4 3 3 
APST27 3 2 2 3 2 3 2 4 3 3 2 2 1 3 3 4 3 1 
APST28 3 2 3 2 3 4 2 4 3 3 4 3 4 2 1 3 3 3 
APST29 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
APST32 3 2 4 4 4 4 3 3 2 4 2 4 1 1 3 4 4 2 
APST33 3 2 3 3 4 2 2 4 3 4 2 3 1 3 3 4 2 1 
APST35 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 2 3 2 2 3 
APST38 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 2 1 2 3 3 1 
APST39 4 4 3  4 3 3 3 3 3 2 3 2 2 3 4 3 2 
APST42 3 2 3 3 3 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 
APST46 1 2 3 3 1 4 4 4 3 4 4 3 4 5 4 4 4 2 
APST48 2 4 5 3 4 4 4 4 4 3 4 5 5 4 3 5 4 4 
APST49 4 5 4 5 3 5 3 3 3 5 3 5 1 3 2 5 1 3 
APST50 3 4 3 3 4 3 2 3 2 2 2 3 1 1 2 4 2 2 
APST54 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 3 4 4 4 4 4 
APST58 2 4 3 2 4 3 3 5 3 3 3 2 1 4 1 4 4 2 
APST59 5 4 5 4 5 5 4 5 5 5  5  5 5 5 5 5 
APST62 2 4 3 3 2 3 2 1  3  2 2 2  4   
APST64 3 4 3 4 1 4 3 4 4 3 3 4 4 4 4 4 4 4 
APST65 3 3 3 3 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 3 2 2 
APST66 2 1 1 4 4 4 2 5 4 4 4 4 4 4 4 5 4 4 
APST69 3 3 3 3 4 3 1 3 3 3 3 4 1 3 4 4 1 3 
APST76 4 3 3 3 4 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 4 
P0001 3 3 3 2 4 3 2 4   3 4 2   4   
P0002 3 2 3 3 4 3 3 4 3 4 1 3 3 3 2 4 2 3 
P0003 3 1 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2 2   2 2  
P0004 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 2 1 3 3 4 3 1 
P0005 3 2 2 1 4 2 3 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 1 
P0006 3 1 3 2 4 2 1 3 2 3 2 2 4 2 2 3 2 4 
P0007 4 2 3 2 4 1 1 3 2 2 1 2 1 4 1 4 1 3 
P0008 3 4 4 3 2 3 1 1 2 2 1 2 1 2 3 3 1 1 
P0009 5 4 4 4 4 4 3 4 4 4 3 4 3 4 3 5 4 5 
P0010 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 
P0011 4 4 3 4 5 4 2 5 5 4  4 1 4 4 5 4 2 
P0012 3 1 3 3 3 3 3 3 1 3 1 3 1 3 3 4 3 1 
P0013 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
P0014 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 1 4 3 1 
P0015 4 4 4 3 2 3 2 3 3 2 3 2  3  4 4 2 
P0016 2 2 3 3 4 2 1 4 1 2 1 4 1 1 1 2 1 2 
P0017 3 2 2 1 3 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 3 1 1 
P0018 4 4 3 3 1 3 4 4 2 2 4 3 4 4 1 4 3 1 
P0019 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 
P0020 2 4 2 3 4 4  3 2 2 2 2  2 2 2   
P0021 1 3 2 2 4 4 1 1 1 3 1 1 1 1 1 4 3 2 
P0022 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 
P0023 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 
P0024 2 2 1 1 2  1 2  1    1 1 3 1 2 
P0025 3 2 3 3 3 4 1 3 3 2 1 3 1 3 1 3 1 3 

Tabla 1-A 

 



Florencio López de Silanes 

 

448 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 
Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
P0026 2 3 3 3 4 3  3 2 3 3 3    3 3  
P0027 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 
P0028 3 3 3 2 3 3 1 3 3 3 1 3  3 2 3 3 2 
P0029 3 3 3 3 4 3  5 5 3 3 5    5 5  
P0030 4 4 4 4 4 5 5 5 5 4 4 5 5 5 5 5 5 4 
P0031 3 5 4 5 3 4 3 4 4 4 4 3 4 4 3 5 3 3 
P0032 3 2 3 3 2 3 2 3 3 4 3 3 3 2 3 3 4 2 
P0033 4 4 5 5 5 5 4 4 4 5 4 5 5 5 4 5 4 5 
P0034 4 5 3 5 5 4 4 5 5 4 3 4 2 5 3 5 5 3 
P0035 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 
P0036 3 2 4 4 4 4 3 1 1 3 4 3 1 3  4 4 1 
P0037 1 3 2 2 4 2 1 3 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 
P0039 2 4 3 3 3 3 3 4 3 3  3  3 3 3 3 2 
P0040 1 1 2 3 2 2 1 1 1 3 1 3 1 1 1 4 1 1 
P0041 3  2 4 2 4 2 3 3 3 4 2 2 2 2 3 3 2 
P0043 3 4 4 4 3 4 3 4 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 
P0044 3 1 1 4 1 5 3 1 5 3 4 4 1 2 2 4 1 1 
P0045 4 4 4 5 5 4 5 5 5 4 5 5 1 4 5 5 4 5 
P0046 4 4 2 2 1 4 4 5 5 4  4  4 4 5 4 1 
P0047 2 1 1 1 3 1 2 4 2 2 3 2 1 4 3 4 2 3 
P0048 2 1 1 4 5 2  5 1 2 5 4 3 1 3 5 4 1 
P0049 5 4 4 5 4 4 3 5 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 
P0050 3 2 1 3 3 3  2 1 3 2 1 2 1 1 1 2  
P0051 3 3 3 2 3 3  3  3  3 3 3  3 1  
P0052 4 2 4 4 4 3 4 4 3 4 1 4 3 4 2 1 1 1 
P0053 4 2 1 2 4 4 2 4 2 4 4 3 4 4 1 4 3 3 
P0054 3 4 5 3 4 4 3 5 4 5 4 3 1 4 3 4 4 1 
P0055 3 4 4 4 5 4 4 4 3 4 5 3 2 1 3 5 4 3 
P0056 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 
P0057 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 
P0058 5 4 4 4 3 5 4 4 3 4 4 4 4 3 3 5 4 4 
P0059 3 4 3 4 4 4 3 3 3 4 3 4 2 3 2 4 3 2 
P0060 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
P0061 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 
P0062 4 3 4 4 5 4 3 4 4 4 3 2 1 2 1 4 1 1 
P0063 4 2 4 3 4 3 2 4 2 3 2 3 1 3 2 4 2 1 
P0064 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 
P0065 1 1 1 3 1 1 1 3 1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 
P0066 4 4 4 4 4 4 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 4 3 
P0067 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 
P0068 4 3 3 4 3 4 3 2 3 3 3 4 2 3 4 4 4 3 
P0069 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 4 4 3 5  5 4 5 
P0070 4 4 3 4 4 3 4 4  5  4  5  5 4 5 
P0071 3 3 4 1 4 2 1 2 3 3 2 4 2 3 2 4 2 2 
P0072 3 2 3 2 1 3  2 2  2 2   2 2   
P0073 4  4 4 5 4  3 4 4 3 5  2 2 4 4 1 
P0074 4 2 2 2 3 3 2 3 3 2  3  3 2 3 2  
P0075 4 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 5 4 4 
P0076 4 4 3 4 4 4 3 4 4 4 3 3 2 1 2 4 4 2 
P0077 4 4 4 3 1 4 4 4 1 4 4 4 4  4 5 4 4 
P0078 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4  4  4 4 4 
P0079 4 4 4 3 3 4 3 4 4 3 4 3 3 4 4 4 4 3 
P0080 4 4 5 4 5 5 4 5 4 5 4 4 3 5 5 5 5 3 
P0081 3 5 3 4 2 5 4 3 4 4  2 5 5 4 5 4  
Respuestas 110 108 110 109 110 109 101 110 104 108 98 109 94 104 98 110 105 98 
Al Medio 3,1 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 2,7 3,2 2,9 3,1 2,7 3,1 2,2 2,8 2,6 3,6 2,8 2,4 

Tabla 1-B 

 

Al final de la tabla 1-B especificamos el nivel medio de cada una de las 

18 preguntas del cuestionario. Advertimos que estos niveles medios son los que 

libremente cada alumno se ha autoconcedido en la prueba, y que nos 

suministran información de cómo ellos creen conocer la geometría en los ítem 

que se les ha especificado. 

 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  449 

 

 

En la gráfica 6 se representan estos niveles entre el 1 y 5 que se han 

autoconcedido los alumnos para cada pregunta. Se observa que una variación 

monótona en los seis primeros ítems, y una fuerte oscilación entre los ítem 7 y 

18. Es decir, un comportamiento monótono en los ítems correspondientes a la 

enseñanza de la geometría en la Enseñanza Media, como si los conocimientos 

adquiridos en enseñanza media estuvieran más o menos al mismo nivel, y una 

oscilación ostensible en los conocimientos que debieran adquirir en la 

Universidad, como si existiera diferente grado de dificultad y de adquisición de 

conocimientos de geometría en el nivel universitario. 

 
 

Autovaloración del Alumno Medio

2

2,5

3

3,5

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Item

V
a

lo
r 

M
e

d
io

 d
e

l 
It

e
m

 
Gráfico  6  

 
El mismo fenómeno observamos en la gráfica 7 donde se representa la 

forma en que los alumnos han respondido a las 18 preguntas. Con un número 

de respuestas alto y estable para los temas que han aprendido en Enseñanza 

Media, y un comportamiento muy irregular que se manifiesta por las 

oscilaciones en las respuestas al aprendizaje de la geometría en el nivel 

universitario. 

 



Florencio López de Silanes 

 

450 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Respuestas a los Items (Max 110)

90

95

100

105

110

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Item

N
ú

m
e

ro
 d

e
 r

e
s

p
u

e
s

ta
s

 p
o

r 
It

e
m

 
Gráfico  7  

Los 18 temas que se les planteó son una muestra significativa del 

conocimiento básico de la geometría: 

1.- Las unidades de volumen y capacidad. Conversión entre ellas.   
2.- Teorema de Thales y semejanza de triángulos.     
3.- Los poliedros. Desarrollo y construcción. Prismas, cilindros, conos y 
pirámides. Áreas y volúmenes.       
4.- Ángulos. Sistema sexagesimal. Operaciones con ángulos.    
5.- Las herramientas de dibujo: Escuadra, cartabón, regla, compás y 
transportador. Utilización.       
6.- Polígonos regulares. Ángulos, perímetros y áreas.     
7.- Poliedros. Clasificación. Caras, aristas y vértices, teorema de Euler. 
Cuerpos platónicos.       
8.- Trazado de la bisectriz, mediatriz, medianas y alturas en un triángulo.  
9.- Trazado de un hexágono y sus propiedades: Estrella de seis puntas.  
10.- Concepto de ángulo. Su didáctica. Medida. Formas de medir un 
ángulo.  
11.- Área del triángulo. Fórmula de Herón.      
12.- Longitud de la circunferencia, del arco de circunferencia y de la 
cuerda.  
13.- Medida indirecta de alturas. Método de la sombra. Método de la 
estaca.  
14.- Teorema del coseno.       
15.- Ángulos en una circunferencia: central, inscrito, interior y exterior.  
16.- Teorema de Pitágoras.       
17.- Ángulos en un polígono regular.       
18.- Transformaciones en el plano.       



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  451 

 

 

 
Sobre los seis primeros se les preguntaba acerca de su el nivel que había 

adquirido en sus estudios de Enseñanza Media, y sobre el nivel adquirido en sus 

estudios universitarios en los ítems del 7 al 18.  

 

Se observa las mismas oscilaciones en el nivel adquirido (según los 

alumnos) y el número de respuestas emitidas en los distintos ítems del 

cuestionario. Llama la atención que según ellos, lo que peor aprendieron en el 

colegio o instituto fue el Teorema de Thales y la semejanza de triángulos, que es 

la base y el fundamento de la geometría métrica, es decir, sin el Teorema de 

Thales es difícil tener una buena comprensión de la geometría métrica 

euclidiana. 

 

Los temas en que se muestran más seguros, a los que respondieron 

todos los alumnos y se otorgaron el mayor nivel fueron el 8 y 16, es decir, el 

trazado de la bisectriz, mediatriz, medianas y alturas en un triángulo, y el 

Teorema de Pitágoras. Pero mi experiencia en el aula me ha mostrado que son 

pocos los alumnos que conocen los puntos de intersección de las bisectrices, 

mediatrices, medianas y alturas en un triángulo, mucho menos los que conocen 

los nombres de incentro, circuncentro, baricentro y ortocentro, así como sus 

propiedades. 

 

De la misma forma, el Teorema de Pitágoras les suena a todos, y así lo 

manifiestan en el cuestionario. Otra cosa saber su contenido y sobre todo sus 

aplicaciones, donde muchos alumnos chocan con problemas aritméticos, como 

los son el cálculo y las operaciones con raíces cuadradas.  

 

Los temas en que manifiestan tener más dificultades son: el cálculo del 

área de un triángulo conociendo sus lados, la realización de mediciones, los 

ángulos respecto a una circunferencia y las transformaciones en el plano. Todo 

esto es coherente con el perfil de los alumnos y la subsiguiente formación 

recibida en geometría en la Enseñanza Media.  

 



Florencio López de Silanes 

 

452 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

10.5.- Respuestas al cuestionario. Nivel de Autovaloración 

Si consolidamos por niveles de razonamiento de van Hiele los resultados 

mostrados en la tabla 1, obtendremos el número de respuestas en cada nivel en 

que el alumno se ha reconocido dentro de dicho nivel. Es decir, tendremos el 

perfil por niveles como se visto cada alumno en el cuestionario de 

Autovaloración.   

 

Al final de la tabla 2 se consolidan las respuestas para cada nivel, y su 

valor medio, es decir obtendremos, el valor medio de las respuestas por nivel, 

como se muestra en el gráfico 8.  Llama la atención que los alumnos se han 

autocalificado con una distribución cuyo pico está en el nivel 3, pero con valores 

casi tan altos en el nivel 4.  Esta autocalificación tan optimista sería la esperada 

para un grupo de alumnos universitarios, pero veremos más adelante que dista 

mucho de la realidad. 

 

Conocimientos de Geometría

2,9 2,9

5,2
5,0

1,3

0

2

4

6

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 Nivel 5

Niveles de van Hiele

N
u

m
 M

e
d

io
 d

e
 r

e
s

p
u

e
s

ta
s

 
Gráfico  8  

 

Los valores anteriores expresados en respuestas no indican nada ya este 

resultado depende del número de preguntas cuestionario, por lo que lo hemos 

reducido a porcentajes. 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  453 

 

 

 

 
Ref 1 2 3 4 5 Total Nivel VH  Ref 1 2 3 4 5 Total Nivel VH 

APST03 1 3  8  12 3  P0026  2 10 1  13 2 

APST04 3 9 6   18 2  P0027  1 17   18 2 

APST06 1  17   18 2  P0028 2 3 12   17 2 

APST13 3 6 4 3  16 2  P0029   7 1 5 13 3 

APST15  10 8   18 2  P0030    8 10 18 4 

APST16 4 3 9 2  18 2  P0031   7 8 3 18 3 

APST17 1  1 3 12 17 4  P0032  5 11 2  18 2 

APST21  3 8 7  18 3  P0033    8 10 18 4 

APST23 1 3 9 5  18 3  P0034  1 4 5 8 18 4 

APST27 2 6 8 2  18 2  P0035 1   17  18 3 

APST28 1 4 9 4  18 2  P0036 4 1 5 7  17 2 

APST29 16  2   18 1  P0037 10 4 3 1  18 1 

APST32 2 4 4 8  18 3  P0039  2 12 2  16 3 

APST33 2 5 7 4  18 2  P0040 11 3 3 1  18 1 

APST35  6 12   18 2  P0041  8 6 3  17 2 

APST38 2 5 11   18 2  P0043   12 6  18 3 

APST39  4 9 4  17 3  P0044 7 2 3 4 2 18 2 

APST42  9 9   18 2  P0045 1   7 10 18 4 

APST46 2 2 4 9 1 18 3  P0046 2 2  9 3 16 3 

APST48  1 3 10 4 18 3  P0047 5 6 4 3  18 2 

APST49 2 1 7 2 6 18 3  P0048 5 3 2 3 4 17 2 

APST50 2 7 6 3  18 2  P0049   2 13 3 18 4 

APST54   2 15 1 18 3  P0050 6 5 5   16 1 

APST58 2 4 6 5 1 18 2  P0051 1 1 11   13 2 

APST59    3 13 16 4  P0052 4 2 3 9  18 2 

APST62 1 6 4 2  13 2  P0053 2 4 3 9  18 3 

APST64 1  5 12  18 3  P0054 2  5 8 3 18 3 

APST65  8 10   18 2  P0055 1 1 5 8 3 18 3 

APST66 2 2  12 2 18 3  P0056 1  17   18 2 

APST69 3  11 4  18 2  P0057   18   18 3 

APST76 1  14 3  18 3  P0058   4 11 3 18 3 

P0001  3 5 4  12 3  P0059  3 8 7  18 3 

P0002 1 3 10 4  18 2  P0060 18     18 1 

P0003 1 7 7   15 2  P0061 17 1    18 1 

P0004 3 1 13 1  18 2  P0062 4 2 3 8 1 18 3 

P0005 9 5 3 1  18 1  P0063 2 6 5 5  18 2 

P0006 2 8 5 3  18 2  P0064 13 5    18 1 

P0007 6 5 3 4  18 2  P0065 14 1 3   18 1 

P0008 6 5 5 2  18 2  P0066   5 13  18 3 

P0009   4 11 3 18 3  P0067    18  18 4 

P0010 14 4    18 1  P0068  2 9 7  18 3 

P0011 1 2 1 9 4 17 3  P0069   1 9 7 17 4 

P0012 5  12 1  18 2  P0070   2 8 4 14 4 

P0013 17  1   18 1  P0071 2 7 5 4  18 2 

P0014 2  2 14  18 3  P0072 1 8 3   12 2 

P0015  5 6 5  16 3  P0073 1 2 2 8 2 15 3 

P0016 7 6 2 3  18 2  P0074  7 7 1  15 2 

P0017 5 10 3   18 1  P0075  1  15 2 18 4 

P0018 3 2 5 8  18 3  P0076 1 3 4 10  18 3 

P0019    18  18 4  P0077 2  1 13 1 17 3 

P0020  9 2 3  14 2  P0078    16  16 4 

P0021 9 3 3 3  18 2  P0079   7 11  18 3 

P0022 9 9    18 1  P0080   2 7 9 18 4 

P0023 12 6    18 1  P0081  2 3 6 5 16 3 

P0024 7 5 1   13 1  Total  319 317 569 545 145 1895 2 

P0025 5 2 10 1  18 2  V. Med 2,9 2,9 5,2 5,0 1,3   2,46 

Tabla 2 

 
 
 
 
 



Florencio López de Silanes 

 

454 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Conocimientos de Geometría

30,0
28,8

16,716,8

7,7

0

10

20

30

40

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 Nivel 5

Niveles de van Hiele

P
o

rc
e

n
ta

je
 d

e
 r

e
s

p
u

e
s

ta
s

 
Gráfico  9  

 
El nivel de razonamiento asociado a cada alumno se ha determinado 

calculando la media ponderada de las respuestas en cada nivel, y tomando la 

parte entera del resultado, es decir por ejemplo, para  el alumno P0018 

tendremos 

 
Nivel (P0018) = Entero( (1*3+2*2+3*5+4*8+5*0)/(3+2+5+8+0)) = 3 
 

Así, en el cuestionario de autovaloración tendremos para cada alumno 

un perfil de van Hiele, con los resultados de la prueba, y un “Nivel de 

Autovaloración”. Para el alumno anterior estos serían: 

 
 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  455 

 

 

Perfil del alumno P0018  

"Nivel Autoevaluación" = 3

17

11

28

44

0
0

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5

Niveles de van Hiele

P
o

rc
e

n
ta

je

 
Gráfico  10  

 

Con estas consideraciones, tendremos a nivel de grupo el perfil de van 

Hiele que muestra la siguiente figura, con un Nivel Medio de Autovaloración de 

2,46.  

  

Para formar la distribución de los niveles de razonamiento obtenidos en 

la prueba, totalizamos el número de alumnos sobre cada nivel, o mejor aún, los 

porcentajes por cada nivel, para expresar la distribución de niveles de 

razonamiento en valores relativos, como se ve en el gráfico 11. 

 
 



Florencio López de Silanes 

 

456 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Distribución de los Niveles de Autoevaluación

14

39

35

13

0
0

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5

Niveles de van Hiele

P
o

rc
e

n
ta

je
 d

e
 A

lu
m

n
o

s

 
Gráfico  11  

 

Del análisis de la distribución anterior obtenemos parámetros que la 

determinan, El más significativo es el valor medio del nivel de razonamiento 

como 2,46, con un error de 0,88. Es decir, la mayoría de los alumnos han 

obtenido un nivel de razonamiento entre 1,58 y 3.38.  

 
Análisis de la distribución de los Niveles de Autovaloración 

Xi fi fiXi D=Xi-X D2 fiD2 D3 fiD3 D4 fiD4 
1 13,64 13,64 -1,46 2,14 29,21 -3,14 -42,76 4,59 62,58 
2 39,09 78,18 -0,46 0,21 8,40 -0,10 -3,90 0,05 1,81 
3 34,55 103,64 0,54 0,29 9,94 0,15 5,33 0,08 2,86 
4 12,73 50,91 1,54 2,36 30,04 3,63 46,15 5,57 70,91 
5 0,00 0,00 2,54 6,43 0,00 16,32 0,00 41,39 0,00 

 100 246,36   77,60  4,83  138,16 
  2,46   0,78  0,05  1,38 
     0,88  0,07  2,29 

Tabla 2 

 
Valor medio = 2,46 
Error cuadrático medio = 0,88 
Coeficiente de simetría = 0,07 
Coeficiente de prominencia = 2,29 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  457 

 

 

10.6.- Resultados por caracteres estadísticos 

 
Una vez conocidos los niveles de autovaloración de los alumnos, 

podremos estudiar este resultado por cada uno de los caracteres estadísticos 

que hemos considerado. 

 

10.6.1.- Edad de los alumnos 

 
Se han formado 11 clases atendiendo a la edad de los alumnos, cada 

clase con los alumnos de igual edad, incluyendo en la clase >30 a los alumnos 

con más de 30 años. Dentro de cada clase se ha promediado los valores del 

Nivel de Autovaloración. 

 

Nivel Medio Auto VH

2,3
2,5 2,4

2,1
2,4

2,0

2,4 2,3

3,0

2,5

2,6

0

1

2

3

4

5

17 18 19 20 21 22 23 24 25 29 >30

Años Edad

A
u

to
 N

iv
e

l 
M

e
d

io

 
          Gráfico  12  

 

En la gráfica 12 no se observa ninguna tendencia del valor del Nivel de 

Autovaloración con la edad de los alumnos, por lo que concluiremos, que no 

hemos observado influencia de la edad de los alumnos en el Nivel de 

Autovaloración. 



Florencio López de Silanes 

 

458 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

10.6.2.- El sexo de los alumnos 

 
Los resultados del nivel de razonamiento obtenido en el cuestionario de 

Autovaloración muestran una ligera diferencia a favor de los varones. No 

sabemos si esta diferencia está relacionada con el sexo de los alumnos, o se 

derivaría de otras características como la titularidad del centro de educación 

media, u otra. 

 

Nivel Medio Auto VH

2,4

2,6

0

1

2

3

4

5

Mujeres Varones

Sexo

A
u

to
 N

iv
e

l 
M

e
d

io

 
Gráfico  13  

 

10.6.3.- Bachillerato estudiado por los alumnos 

 
El bachillerato estudiado por los alumnos también tiene una influencia 

sobre el nivel de razonamiento, como es de esperar. Lógicamente, en esta 

característica esperamos que los alumnos que siguieron el bachillerato de 

Ciencias obtengan un nivel de razonamiento superior. 

 
 
 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  459 

 

 

Nivel Medio Auto VH

2,3 2,3

2,7

0

1

2

3

4

5

Ciencias Ciencias sociales Letras

Tipo de Bachillerato

A
u

to
 N

iv
e

l 
M

e
d

io

 
       Gráfico  14  

 

10.6.4.- Enseñanza profesional 

 
Los alumnos procedentes de enseñanza profesional tienen un 

coeficiente ligeramente inferior del que tienen los procedentes del bachillerato, 

del orden del 8%. 

 

Nivel Medio Auto VH

2,5
2,3

0

1

2

3

4

5

Bachillerato Enseñanza Profesional

Tipo de Enseñanza

A
u

to
 N

iv
e

l 
M

e
d

io

 
        Gráfico  15  



Florencio López de Silanes 

 

460 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

10.6.5.- Titularidad del Centro de Enseñanza Media 

 
La titularidad del centro de enseñanza media del que proceden los 

alumnos universitarios, no parece incidir de forma decisiva sobre los resultados 

de este cuestionario de Autovaloración. 

 

Nivel Medio Auto VH

2,4 2,5

2,6

0

1

2

3

4

5

Privado Privado Concertado Público

Titularidad Centro de Enseñanza

A
u

to
 N

iv
e

l 
M

e
d

io

 
Gráfico  16  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  461 

 

 

10.7.-  Cuestionario de Usiskin 

 

10.7.1.- Respuestas 

 

Nivel 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 
Resp 
Cor 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 1 1 2 3 3 4 4 1 2 5 4 5 4 

Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 

P0030 2 4 3 2 5 2 5 1 2 4 3 2 1 1 2 3 3 4 4 2 1 5 4 4 4 

P0033 2 4 3 2 5 2 3 1 5 4 3 2 5 3 5 4 1 4 1 1 1 5 4 3 5 

P0034 2 4 3 2 5 2 5 1 2 4 3 2 5 5 2   2 4  1 2 1 4 5 

P0035 2 3 3 2 3 4 5 1 3  1 2 5 3 1    3 2      

P0036 2 3 5 2 5 3 5 1 3  5  5  4  1  1 4 5     

P0037 2 4 3 2  4 5 1 1 3 1  1      1       

P0039 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 1 2 5 5 4 3 1 4 1 4 1 2 2 3 1 

P0041 2 4 3 2 5 1 5 4 3 5 4 1 5 3  2 3 4 1 5 1 2    

P0046 2 3 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 2 2 5 2  1 4 1 2 1 4 5 

P0062 2 3 3 2 5 2 5 1 4 3 3 2 4 2 2 1 1  4 2 4 2  2 5 

P0063 2 3 3 2 3 3 5 1 3 5   5 4 2    1 1  4 5 4 2 

P0064 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 5 4 5 3         

P0066 2 4 3 2 3 2 4 1 2 5 3 1 5 3 1 5 5 2 2 2 5 5 4 3 2 

P0067 2 4 3 2 3 2 5 1 3 4 3 2 5 3 3 4 5 4 2 4 5   4 4 

P0068 2 3 3 2 3 4 5 1 2 4 3 4 5 5 2 3   3  3     

P0069 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 5 2 4 3 4 1 3 1 5 5 4  

P0070 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 1 5 2 4 2 1 1 4 5  1 2  

P0071 2 4 1 1 1 2 5 5 3 1 3 1 2 5 1 4 1 1 1 2 5 5 5 2 3 

P0072 4 4 3 5 5 2 5 5 3 4 3  5 5 4  1  1 4  2 5   

P0073 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 3 2 3 1   5      

P0074 2 4 3 2 5 2 5 1 3    1 5 4 5 4         

P0076 2 4 3 2 5 2 5 1 2  3  5  4  1 4  1 3  1   

P0077 2 4 3 2 2 2 5 1 4 4 4 1 5 4 3 3 3 4 1 4 1 4 2 4 2 

P0078 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 5 1 5 1 4 1 4 1 4 1 5 4 4 2 

P0079 2 4 3 2 5 2  1 1 1 3 2 1 1  2 3 2 1 4      

P0080 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 1 1 5 5 4 3 4  1 2      

P0100 4 4 3 3 3 3 5 1 4 4 3 2 5 3 2  1 5 3 5 1 5   5 

P0101 1 4 3 2 5 2 4 5 1 5 1 2 1 3 2 1 3 3 1 3 5 2 1 4 4 

P0102 4 4 3 3 3 3 5  1  1 3 5 3 5   4 3 5 1   1 5 

P0103 2 4 3 2 5 2 5 5 3 4  2 1 5 2 1 3 4 1 5 5  2 4 5 

P0104 2 4 3 2 5 2 5 1 2 4 3 4 1 5 5  2 5 1  5 4 2 4 4 

P0105 2 4 3 5 2 1 4 3 2    1  4    3 3 1    1 

P0106 2 4 3 2 5 3 4 1 3  3 5 5 5 4  4 5     5 2 1 

P0107 2 4 3 3 5 2 5 1 3 1 5 2 1 1 2  3  1 2 1 4 2 4 4 

P0108 2 4 3 2 5 2 4 5 3 5 3 2 5 5 5 3 4 4  2 1 5 4 4 2 

P0109 2 4 3 2 3 1 5 1 3 5 1 2 5 3 5    3      5 

Tabla 3-A 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

462 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Nivel 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 

Resp Cor 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 1 1 2 3 3 4 4 1 2 5 4 5 4 

Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 

APST02 2 4 3 2 5 3 5 1 3 5 3 1 5 3 5 3 3 4 1 2 5 1 1 5 2 

APST04 2 4 3 5 5 2 4 3 3 4 3 1 5 5 2 1 1 1 4 2      

APST06 3 4 3 2 5 4 5 1 3  3 2 1 1 1 4 2 4   1  4 4 4 

APST08 2 4 3 2 5  3 5 3    5 5          4  

APST09 2 4 3 2 5 3 5 5 5 3 5 5 1 5   2 1  3  2 4 4 2 

APST13 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 5 2 1 1  1 5 5 5 1 2 4 

APST15 1 4 3 2 5 3 5 5 3 4 3 1 1 3 5 3 5 2 1 2 5 5 1 1 2 

APST16 2 4 3 4 5 1 5 1 2  3 1 5 5 2 1 1    1     

APST17 2 4 3 2 5 2 5 1 2 4 4 2 5 3 5 1 4 4 1 5 4 1  5 5 

APST19 2 4 3 2 5 2 4 4 4  3 2 5 3 2 5 2 4 1 2 1 4 2 4 3 

APST21 2 4 3 2 5 2    5 4  5 5  4 3  1 4 1 4 2   

APST24 2 3 4 2 5 1 5 5 3 1 2 1 5 3 5 5 1 3 3 1 4 2 4 2 1 

APST27 2 4 3 2 5 2 5  3    5 3 2    1  1   2  

APST28 2 4 3 2 3 2 5 1 3 4 3 2 5  2  5  1 3 1 1  4 5 

APST29 1 4 3 2 3 2 5 1 3 4 3 2 1 1 2 4 5 5 1 3 1 4  4 2 

APST30 2 4 3 2 5 3 3 1 3 5  3 1 2 1  1  1 1  1 5 4 4 

APST31 2 4 3 2  3 5 3 3 4 3  5  1   3   1 2 5 4  

APST32 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 1 5 5 1 3  1 2 1 5 1 4 4 

APST33 2 4 3 2 5 2 5 2 3 4 3 1 5 4 1    2  1   4  

APST34 2 4 3 2 1 1 3 4 2 4 2 4 5 2 3 3 1   1  2 1 4 4 

APST36 2 4 3 3 5 1 5 1 3 4 3 3 5 5 2 3  1 1 4 2 5 5 4 5 

APST38 2 4 3 2 5 2 5 1 2 5 3 2 5 5 5 5 4 5 1 1    4 5 

APST39 1 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 5 2  3 4 1 1 1 2 2 4 5 

APST42 2 4 3 2 5 2  1 2 4 3 2 5 5 1 4 1 4 1 4 2 5 4 4 4 

APST43 2 4 3 2 5 3 5 1 3 5 3  1  2 3 1 4  3      

APST44 2 4 3 2 5 1  1 1 4 5 1 5 3 4   2 1 5 5 1   2 

APST47 2 4 5 2 3 2 5 1   5  5  5      5    5 

APST49 2 4 3 2 3 1 4 5 3 2 4 5 5 3 3  3 1 3  1 5 1 2 1 

APST50 3 4 3 2 3 2 5 1 3 5 3 2 5 5 2 4 4 4        

APST53 4 4 3 5 5 2 5 5 3 3 1 4 5 3 3 1 4 4 3  1 3  1 4 

APST58 3 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 1 5 3 5 1 1 2 1 1 5 5 5 4 2 

APST59 2 4 3 2 5 2 5 1 5 4 3 1 5 5 3    1 3 1 1  4  

APST60 2 4 3 2 3 2  5 2 5 3 2 1 5 2 4 3 4 1 5 1 4 2 4 2 

APST61 1 4 3 2 5 3 3 1 5 2 3 3 1 5 5 5 5 4 2 1 1 2    

APST62 2 3 3 2 5 2 5 1 2 5 3 5 5 5 5  4 4 1 4      

APST64 2 4 3 2 5 3 5 1 3 5 2 2 1 3 2 3 4 4 1 2 5   4 1 

APST65 2 4 3 2 5 2 5  3 4   5 3 2  1 4 1 4 4  4  4 

APST66 2 4 3 2 3 2 5 1 3 4 3 1 5 3 5 1  2 1 5 5 1 3 3 3 

APST68 2 4 3 2 5 1 5 2 1 5 5 1 5 5 2 3          

APST69 2 4 3 2 5 3 5 1 2 3 1 2 5 5 1 1 4 4 4 1 1 2 1 4 1 

APST70 2 4 3 2 3 2 5 1 2 4 2 5 5 5  3 4  1  2   4  

APST72 2 4 3 2 5 1 5  3 4 5 5 5 3  1 2 1 1   1  1 2 

APST75 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 5 2 4 5 4 1 5  2    

Tabla 4-B 

 

 

 

 

 

 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  463 

 

 

Un total de 79 alumnos de la muestra anterior realizaron el cuestionario 

de Usiskin, entre los tres grupos que la componen. La tabla 4 recoge las 

respuestas al cuestionario. Aquí hemos totalizado las respuestas por niveles, 

independientemente de que sean o no correctas. (Usiskin, 1982). 

 

Los alumnos contestaron a todas las preguntas solamente en el nivel 1, 

es decir, a los ítems del 1 al 5.  Mantienen un nivel alto de respuestas en los 

niveles 2 y 3, contestando por término medio a 4,7 y 4,6 ítems respectivamente, 

decayendo el número medio de contestaciones en los niveles 4 y 5, con unas 

respuestas medias de 3,8 y 3,6 respectivamente, lo que sin duda pone de 

manifiesto dos cosas: 

- La pérdida de seguridad en la respuesta, a medida que crece el nivel. 
- La tendencia de los alumnos a contestar a todas las preguntas. 

 

Respuestas por niveles

3,6

4,64,7
5,0

3,2

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

Niveles de van Hiele

N
ú

m
e

ro
 d

e
 I
te

m
s

 
          Gráfico  17  

 



Florencio López de Silanes 

 

464 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

10.7.2.- Aciertos 

Pero lo que computamos en los resultados del cuestionario no son las 

respuestas, que también, sino los aciertos. La tabla 5 muestra los aciertos por 

alumnos y por ítems al cuestionario de Usiskin, totalizando los aciertos por 

alumnos, y porcentualmente sobre el número total de ítems (25 en este caso), 

Así como los valores medios de aciertos por niveles e ítem (máximo 79 aciertos 

en este caso). El valor medio de aciertos por alumno es del 42,6%, que es algo 

menor que el obtenido en la prueba del capítulo anterior del 49,7%. 

Nivel 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5     

Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Total % 

APST02 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 13 52 

APST04 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 10 40 

APST06 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 14 56 

APST08 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 24 

APST09 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 8 32 

APST13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 15 60 

APST15 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 11 44 

APST16 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 32 

APST17 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 12 48 

APST19 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 10 40 

APST21 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 7 28 

APST24 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 7 28 

APST27 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 36 

APST28 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 48 

APST29 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 52 

APST30 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 10 40 

APST31 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 32 

APST32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 16 64 

APST33 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 40 

APST34 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 8 32 

APST36 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 13 52 

APST38 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 11 44 

APST39 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 15 60 

APST42 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 15 60 

APST43 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 13 52 

APST44 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 28 

APST47 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 24 

APST49 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 7 28 

APST50 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 11 44 

APST53 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 8 32 

APST58 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 12 48 

APST59 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 40 

APST60 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 11 44 

APST61 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 9 36 

APST62 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 9 36 

APST64 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 13 52 

APST65 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 13 52 

APST66 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 40 

APST68 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 32 

APST69 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 11 44 

APST70 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 10 40 

APST72 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 32 

APST75 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 14 56 

Tabla 5-A 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  465 

 

 

 

 

 

 
Nivel 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5     

Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Total % 

P0030 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 21 84 

P0033 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 14 56 

P0034 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 13 52 

P0035 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 28 

P0036 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 24 

P0037 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 28 

P0039 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 13 52 

P0041 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 9 36 

P0046 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 48 

P0062 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 11 44 

P0063 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 8 32 

P0064 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 13 52 

P0066 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 9 36 

P0067 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 13 52 

P0068 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 36 

P0069 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 16 64 

P0070 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 56 

P0071 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 7 28 

P0072 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 32 

P0073 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 56 

P0074 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 40 

P0076 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 11 44 

P0077 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 11 44 

P0078 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 15 60 

P0079 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 12 48 

P0080 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 44 

P0100 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 9 36 

P0101 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 10 40 

P0102 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 16 

P0103 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 14 56 

P0104 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 12 48 

P0105 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 16 

P0106 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 32 

P0107 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 14 56 

P0108 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 13 52 

P0109 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 32 

Total 67 71 75 69 57 49 61 54 47 39 46 34 21 5 29 15 15 28 5 11 3 15 10 2 13   

Porcen 85 90 95 87 72 62 77 68 59 49 58 43 27 6 37 19 19 35 6 14 4 19 13 3 16  42,6 
Med 
Nivel 86 63 34 19 11   

Tabla 5-B 

 

 

Es importante observar como disminuye el valor medio de aciertos por 

nivel al pasar del nivel 1 al nivel 5, donde el número medio de aciertos se divide 

casi por 8, tal como se puede contemplar en el gráfico 18, y menor a la relación 

similar del capítulo anterior donde al dividir los aciertos del nivel 1 entre los del 

nivel 5 teníamos la razón de 12,2.  

 



Florencio López de Silanes 

 

466 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Aciertos por niveles

11

86

63

34

19

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5

Niveles de van Hiele

P
o

rc
e

n
ta

je

 
          Gráfico  18  

 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  467 

 

 

10.7.3.- Codificación de las respuestas del cuestionario de Usiskin 

 
Como en el capítulo anterior representaremos mediante números de 

cinco dígitos menores o iguales que cinco cada dígito, el resumen de los ítems 

contestados, acertados y que pasan el criterio VH45 (4 aciertos en 5 respuestas) 

por cada nivel. La tabla 6 resume el resultado del cuestionario de Usiskin en 

cuanto a preguntas contestadas, acertadas por niveles, así como los niveles que 

han superado el criterio VH45 por cada alumno. 

 
En la tabla 8 mostramos los valores medios de las respuestas 

contestadas y acertadas (sobre un máximo de 395 = 79*5 posibles) por niveles, 

así como el número de veces que se supera el criterio VH45 en cada nivel.  

 
Niveles 1 2 3 4 5 
Contestadas 393 369 357 283 246 
Acertadas 339 250 135 74 43 
Superan Criterio 65 32 7 1 1 

Tabla 4 

 
Si queremos comparar las tres filas de la tabla 8 o tener números que 

representen lo mismo, tendremos que multiplicar los criterios superados por 4 

para reducir los criterios superados a preguntas, ya que se supera el criterio en 

un nivel si se aciertan al menos 4 de sus preguntas.  

 
 
Niveles 1 2 3 4 5 
Contestadas 393 369 357 283 246 
Acertadas 339 250 135 74 43 
Superan Criterio 260 128 28 4 4 

Tabla 5 

 
De esta forma, las preguntas contestadas, las acertadas y los niveles que 

superan criterio quedarían como indica la tabla 7, es decir, se relacionan como 

se ve en la siguiente figura, donde la relación preguntas contestadas a 

acertadas, y de estas a las que superan criterio aumenta considerablemente con 

el nivel. 

 



Florencio López de Silanes 

 

468 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

 

Refer Contestadas Acertadas Criterio 
VH45   

Refer Contestadas Acertadas Criterio 
VH45 

APST02 55555 53131 10000  APST70 55432 44011 11000 

APST04 55550 43210 10000  APST72 54443 53000 10000 

APST06 54534 43412 10100  APST75 55551 55310 11000 

APST08 53201 51000 10000  P0030 55555 54543 11110 

APST09 55434 51101 10000  P0033 55555 53222 10000 

APST13 55545 55302 11000  P0034 55525 54310 11000 

APST15 55555 43211 10000  P0035 54520 33100 00000 

APST16 54521 42200 10000  P0036 54331 33000 00000 

APST17 55554 54111 11000  P0037 45210 42100 10000 

APST19 54555 51310 10000  P0039 55555 55120 11000 

APST21 52343 51010 10000  P0041 55452 52020 10000 

APST24 55555 32011 00000  P0046 55545 45300 11000 

APST27 53312 53100 10000  P0062 55544 43310 10000 

APST28 55434 45300 11000  P0063 55324 33110 00000 

APST29 55554 35500 01100  P0064 55520 55210 11000 

APST30 55434 52111 10000  P0066 55555 42102 10000 

APST31 45314 43100 10000  P0067 55553 45211 11000 

APST32 55545 55312 11000  P0068 55521 33210 00000 

APST33 55512 54100 11000  P0069 55554 55321 11000 

APST34 55534 41021 10000  P0070 55553 55400 11100 

APST36 55545 44212 11000  P0071 55555 23101 00000 

APST38 55552 53210 10000  P0072 55432 34100 01000 

APST39 55545 45330 11000  P0073 55530 55310 11000 

APST42 54555 53214 10001  P0074 54320 54100 11000 

APST43 55340 53320 10000  P0076 54332 53120 10000 

APST44 54533 52000 10000  P0077 55555 44030 11000 

APST47 53302 33000 00000  P0078 55555 55212 11000 

APST49 55535 41011 10000  P0079 54450 52410 10100 

APST50 55530 34310 01000  P0080 55540 55010 11000 

APST53 55544 33011 00000  P0100 55543 23301 00000 

APST58 55555 45111 11000  P0101 55555 41311 10000 

APST59 55523 54100 11000  P0102 53533 21010 00000 

APST60 54555 41420 10100  P0103 55454 54320 11000 

APST61 55552 41220 10000  P0104 55535 54201 11000 

APST62 55540 43110 10000  P0105 54222 30100 00000 

APST64 55553 53320 10000  P0106 54523 52100 10000 

APST65 54343 54112 11000  P0107 55535 44411 11100 

APST66 55545 45100 11000  P0108 55545 52222 10000 

APST68 55510 51110 10000  P0109 55511 43100 10000 

APST69 55555 52130 10000      
Tabla 6 

 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  469 

 

 

Respuestas Contestadas, Acertadas y que 

superan el Criterio VH45 (max 395 resp)

339

135

393

369
357

283

246250

74
43

260

128

28
4 4

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

1 2 3 4 5

Niveles de Van Hiele

R
e
s
p

u
e
s
ta

s

Contestadas Acertadas Superan Criterio

 
Gráfico  19  

Para tener una visión más general de este fenómeno, expresaremos los 

resultados anteriores en porcentajes, obteniéndose así los siguientes 

resultados. 

 

Niveles 1 2 3 4 5 
Contestadas 99 93 90 72 62 
Acertadas 86 63 34 19 11 
Superan Criterio 66 32 7 1,0 1,0 

Tabla 7 

 
 

La gráfica 20 es muy expresiva mostrando por ejemplo que, mientras 

que en el nivel 1 superan el criterio el 66% del 99% de las respuestas, en el nivel 

5 solo superan el criterio el 1% del 66% de las respuestas.  

 

De esto se deriva la inseguridad creciente de los alumnos con el nivel de 

razonamiento respondiendo a los ítems del cuestionario.  

 



Florencio López de Silanes 

 

470 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Respuestas Contestadas, Acertadas 

y que superan el Criterio VH45

86

34

62

72

90
93

99

11

19

63

11
7

32

66

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5

Niveles de Van Hiele

P
o

rc
e
n

ta
je

Contestadas Acertadas Superan Criterio

 
   Gráfico  20  

 
 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  471 

 

 

10.7.4.- Nivel de razonamiento en el cuestionario de Usiskin 

Para el cálculo del nivel de razonamiento en el cuestionario de Usiskin 
recurriremos al algoritmo detallado en el capítulo anterior. En la tabla 10 se 
pone de manifiesto la relación entre los aciertos, la superación del criterio 4 de 
5, y el correspondiente Nivel VH45 asignado a cada alumno. (Usiskin, 1982).    

 

Referencias Aciertos 
Criterio 
 4 de 5 Nivel VH45   Referencias Aciertos 

Criterio 
 4 de 5 Nivel VH45 

APST02 53131 10000 1  APST70 44011 11000 2 

APST04 43210 10000 1  APST72 53000 10000 1 

APST06 43412 10100 1  APST75 55310 11000 2 

APST08 51000 10000 1  P0030 54543 11110 4 

APST09 51101 10000 1  P0033 53222 10000 1 

APST13 55302 11000 2  P0034 54310 11000 2 

APST15 43211 10000 1  P0035 33100 00000 0 

APST16 42200 10000 1  P0036 33000 00000 0 

APST17 54111 11000 2  P0037 42100 10000 1 

APST19 51310 10000 1  P0039 55120 11000 2 

APST21 51010 10000 1  P0041 52020 10000 1 

APST24 32011 00000 0  P0046 45300 11000 2 

APST27 53100 10000 1  P0062 43310 10000 1 

APST28 45300 11000 2  P0063 33110 00000 0 

APST29 35500 01100 0  P0064 55210 11000 2 

APST30 52111 10000 1  P0066 42102 10000 1 

APST31 43100 10000 1  P0067 45211 11000 2 

APST32 55312 11000 2  P0068 33210 00000 0 

APST33 54100 11000 2  P0069 55321 11000 2 

APST34 41021 10000 1  P0070 55400 11100 3 

APST36 44212 11000 2  P0071 23101 00000 0 

APST38 53210 10000 1  P0072 34100 01000 0 

APST39 45330 11000 2  P0073 55310 11000 2 

APST42 53214 10001 1  P0074 54100 11000 2 

APST43 53320 10000 1  P0076 53120 10000 1 

APST44 52000 10000 1  P0077 44030 11000 2 

APST47 33000 00000 0  P0078 55212 11000 2 

APST49 41011 10000 1  P0079 52410 10100 1 

APST50 34310 01000 0  P0080 55010 11000 2 

APST53 33011 00000 0  P0100 23301 00000 0 

APST58 45111 11000 2  P0101 41311 10000 1 

APST59 54100 11000 2  P0102 21010 00000 0 

APST60 41420 10100 1  P0103 54320 11000 2 

APST61 41220 10000 1  P0104 54201 11000 2 

APST62 43110 10000 1  P0105 30100 00000 0 

APST64 53320 10000 1  P0106 52100 10000 1 

APST65 54112 11000 2  P0107 44411 11100 3 

APST66 45100 11000 2  P0108 52222 10000 1 

APST68 51110 10000 1  P0109 43100 10000 1 

APST69 52130 10000 1      

 
Tabla 8 

 



Florencio López de Silanes 

 

472 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Para formar la distribución de los niveles de razonamiento VH45 

obtenidos en la prueba, totalizamos el número de alumnos sobre cada nivel, o 

mejor aún, los porcentajes por cada nivel, para expresar la distribución de 

niveles de razonamiento en valores relativos, como se ve en el gráfico 21. 

Distribución VH45

32,9

2,5 1,3 0,0

17,7

45,6

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5

Niveles de van Hiele

P
o

rc
e

n
ta

je

 
Gráfico  21  

Del análisis de la distribución anterior obtenemos parámetros que la 

determinan, El más significativo es el valor medio del nivel de razonamiento 

como 1, 24, con un error de 0,81. Es decir, la mayoría de los alumnos han 

obtenido un nivel de razonamiento entre 0,43 y 1,0.  

 
Análisis de la distribución de los Niveles VH45 

Xi fi fiXi D=Xi-X D2 fiD2 D3 fiD3 D4 fiD4 
0 17,72 0,00 -1,24 1,54 27,27 -1,91 -33,83 2,37 41,97 
1 45,57 45,57 -0,24 0,06 2,64 -0,01 -0,63 0,00 0,15 
2 32,91 65,82 0,76 0,58 18,98 0,44 14,42 0,33 10,95 
3 2,53 7,59 1,76 3,10 7,84 5,45 13,79 9,58 24,26 
4 1,27 5,06 2,76 7,61 9,64 21,01 26,60 57,99 73,40 
5 0 0,00 3,76 14,13 0,00 53,14 0,00 199,76 0,00 

 100 124,05   66,37  20,34  150,73 
  1,24   0,66  0,20  1,51 
     0,81  0,38  3,42 

Tabla 9 

 
Valor medio = 1.24 
Error cuadrático medio = 0.81 
Coeficiente de simetría = 0.38 
Coeficiente de prominencia = 3.42 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  473 

 

 

10.8.- Resultados por caracteres 

 
Una vez conocidos los niveles de razonamiento VH45 de los alumnos, 

podemos estudiar este resultado por cada uno de los caracteres estadísticos 

que hemos considerado. 

 
 

10.8.1.- Edad de los alumnos 

 
Para estudiar la incidencia de los resultados en la edad de los alumnos, 

se han formado 11 clases atendiendo a la edad de los alumnos, cada clase con 

los alumnos de igual edad, incluyendo en la clase >30 a los alumnos con más de 

30 años. Dentro de cada clase se ha promediado los valores del Nivel de 

Razonamiento VH45. 

 

Nivel Medio VH45

1,3
1,1

1,6

1,4

1,2

0,6

2,0

1,0 1,0 1,0
1,1

0,0

1,0

2,0

3,0

18 19 20 21 22 23 24 25 27 29 >30

Años Edad

N
iv

e
l 
M

e
d

io

 
Gráfico  22  

 

En la gráfica 22 no se observa ninguna tendencia del valor del Nivel de 

Razonamiento VH45 con la edad de los alumnos, por lo que concluiremos, que 

no hemos observado influencia de la edad de los alumnos en el Nivel de 

Razonamiento VH45. 



Florencio López de Silanes 

 

474 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

10.8.2.- El sexo de los alumnos 

 
También en este cuestionario, los resultados del Nivel de Razonamiento 

VH45 obtenidos muestran una ligera diferencia a favor de los varones. No 

sabemos si esta diferencia está relacionada con el sexo de los alumnos, o se 

derivaría de otras características como la titularidad del centro de educación 

media, u otra. 

 

Nivel Medio VH45

1,2

1,4

0

1

2

3

Mujeres Varones

 

N
iv

e
l 
M

e
d

io

 
Gráfico  23  

 

 

10.8.3.- Bachillerato estudiado por los alumnos 

 
El bachillerato estudiado por los alumnos también tiene una influencia 

sobre el Nivel de Razonamiento VH45, como es de esperar. Lógicamente, en 

esta característica esperamos que los alumnos que siguieron el Bachillerato de 

Letras obtengan un nivel de razonamiento más bajo. 

 
 
 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  475 

 

 

Nivel Medio VH45

1,5

2,0

1,1

0

1

2

3

Ciencias Ciencias sociales Letras

Bachillerato

N
iv

e
l 
M

e
d

io

 
         Gráfico  24  

 

10.8.4.- Enseñanza profesional 

 
Los alumnos procedentes de enseñanza profesional tienen un Nivel de 

Razonamiento VH45 ligeramente superior del que tienen los procedentes del 

bachillerato, del orden del 16%. 

 
 

Nivel Medio VH45

1,2
1,4

0

1

2

3

Bachillerato Enseñanza Profesional

Tipo de Enseñanza

N
iv

e
l 
M

e
d

io

 
          Gráfico  25  

 



Florencio López de Silanes 

 

476 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

10.8.5.- Titularidad del Centro de Enseñanza Media 

 
La titularidad del centro de enseñanza media del que proceden los 

alumnos universitarios, no parece incidir de forma decisiva sobre los resultados 

de este cuestionario de de Usiskin. 

 
 

Nivel Medio VH45

1,5

1,3 1,3

0

1

2

3

Privado Privado Concertado Público

Titularidad del Centro de Enseñanza

N
iv

e
l 
M

e
d

io

 
         Gráfico  26  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  477 

 

 

10.9.- Correlación entre los Niveles de Autovaloración y los Niveles VH45 

 
 

10.9.1.- Correlación 

 
No todos los miembros de ambos grupos realizaron los cuestionarios: el 

de autovaloración y el cuestionario de Usiskin, más bien al contrario. De los 

alumnos de 2º curso de Enseñanza Primaria del Turno de Tarde solo 24 alumnos 

concurrieron a ambas pruebas. Otro tanto pasó con los alumnos de Grado, ya 

que en el año 2009 dos cursos de grado se sometieron al cuestionario de 

Autovaloración, mientras que solo una parte de dichos grupos realizó el 

cuestionario de Usiskin el año 2010. Hay que poner también de manifiesto, que 

de estos últimos realizaron el cuestionario de Usiskin, en los días que 

precedieron a sus estudios de Geometría en la Facultad, por lo que 

presumiblemente, los alumnos se encontraban en 2009 y 2010 sin haber 

emprendido nuevos estudios de Geometría, y por tanto en iguales condiciones 

para que los resultados de ambos cuestionarios sean comparables. En estas 

condiciones en la tabla 12 resumimos los resultados de ambos cuestionarios 

para los alumnos que los realizaron, mostrando las puntuaciones de cada 

alumno del “Nivel VH Autovalor” para el cuestionario de Autovaloración y, como 

“Nivel VH45” para el nivel de razonamiento de van Hiele obtenido del 

cuestionario de Usiskin con el criterio de 4 aciertos en 5 respuestas por nivel. 

Con estos 50 resultados pretendemos llegar a la mejor fórmula que nos 

relacione los niveles de razonamiento obtenidos mediante los dos cuestionarios 

que hemos aplicado. Una fórmula que nos permita convertir los resultados de 

los cuestionarios de Autovaloración en los correspondientes niveles de 

razonamiento de van Hiele obtenidos con el cuestionario de Usiskin, así como el 

margen de error de esta conversión y, el escenario de aplicabilidad de la misma. 

 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

478 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Ref Nivel 
VH 

Auto 

Nivel 
VH45 

Ref Nivel 
VH 

Auto 

Nivel 
VH45 

APST04 2 1 P0030 4 4 

APST06 2 1 P0033 4 1 

APST13 2 2 P0034 4 2 

APST15 2 1 P0035 3 0 

APST16 2 1 P0036 2 0 

APST17 4 2 P0037 1 1 

APST21 3 1 P0039 3 2 

APST27 2 1 P0041 2 1 

APST28 2 2 P0046 3 2 

APST29 1 0 P0062 3 1 

APST32 3 2 P0063 2 0 

APST33 2 2 P0064 1 2 

APST38 2 1 P0066 3 1 

APST39 3 2 P0067 4 2 

APST42 2 1 P0068 3 0 

APST49 3 1 P0069 4 2 

APST50 2 0 P0070 4 3 

APST58 2 2 P0071 2 0 

APST59 4 2 P0072 2 0 

APST62 2 1 P0073 3 2 

APST64 3 1 P0074 2 2 

APST65 2 2 P0076 3 1 

APST66 3 2 P0077 3 2 

APST69 2 1 P0078 4 2 

   P0079 3 1 

   P0080 4 2 
Tabla 10 

 

Para el estudio de la correlación entre dos variables lo determinante son 

los pares de valores y su frecuencia. Tomamos como variable independiente los 

“Niveles de Autovaloración”  y como variable dependiente el “Nivel VH45”, por 

lo que los resultados anteriores los hemos agrupado en parejas y contado las 

veces que se repiten, es decir, su frecuencia, que mostramos en la tabla 13. 

Estos mismos resultados nos producen un diagrama de dispersión como 

muestra la siguiente figura, donde vemos que si es posible correlación lineal 

entre ambas variables. 

Estos 13 pares de valores con sus frecuencias sirvieron para alimentar 

una hoja en formato Excel que hice para calcular los parámetros de la 

correlación lineal entre dos variables, según mostramos en la tabla 13. 

 

El coeficiente de correlación lineal r toma el valor de 0,4708 que aunque 

no es malo, puede considerarse como relativamente bajo. Creo que este hecho 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  479 

 

 

se deriva de la propia naturaleza de los datos que estamos manejando, ya que 

ambas variables son discretas, es decir varían por unidades enteras, con unas 

variaciones relativas del 25% de su rango de variación. Es decir, al variar por 

valores enteros de unidad en unidad, en un intervalo de 1 a 4, o de 0 a 4, no 

encontramos con que el intervalo de variación es del orden de los valores de las 

variables. Hecho este comentario, vemos que la correlación entre ambos niveles 

de razonamiento es buena. 

 
Nivel VH 

Auto 
Nivel 
VH45 

Frec. 

1 0 1 
1 1 1 
1 2 1 
2 0 5 
2 1 10 
2 2 6 
3 0 2 
3 1 7 
3 2 7 
4 1 1 
4 2 7 
4 3 1 
4 4 1 

Tabla 11 

 
 

La situación mencionada anteriormente tiene también que ver con el 

valor alto del error en la correlación ro = 0,7436, que es del orden de las 

variaciones discretas que estamos manejando. No podría ser de otra manera 

con las restricciones de los valores enteros de los niveles de razonamiento que 

estamos manejando. 

 



Florencio López de Silanes 

 

480 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Diagrama de dispersión de los niveles 

de Autovaloración y VH45 

4; 4

4; 3

4; 2

4; 1

3; 2

3; 1

3; 0

2; 2

2; 0

2; 1

1; 2

1; 1

1; 0

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

Niveles de Autovaloracion

N
iv

e
le

s
 V

H
4
5

 
Gráfico  27  

 

El resultado es la recta de regresión que mostramos a continuación. Su 

ecuación es de la forma (y-y0) = m (x-x0), siendo la pendiente m = 0,46, y x0 e y0 

los valores medios de las variables que estamos correlacionando, x0 = 2,660, e 

y0 = 1,360.  

 

Recta de Regresión  entre Niveles Autovaloración y VH45

2,4

2,0

1,5

1,1

0,6

0,1
0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0 1 2 3 4 5

Niveles Autovaloración

N
iv

e
le

s
 V

H
4

5

 
Gráfico  28  



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  481 

 

 

Xi Yi fi fiXi fiYi fiXiXi fiYiYi fiXiYi 
        

1 0 1 1 0 1 0 0 
1 1 1 1 1 1 1 1 
1 2 1 1 2 1 4 2 
2 0 5 10 0 20 0 0 
2 1 10 20 10 40 10 20 
2 2 6 12 12 24 24 24 
3 0 2 6 0 18 0 0 
3 1 7 21 7 63 7 21 
3 2 7 21 14 63 28 42 
4 1 1 4 1 16 1 4 
4 2 7 28 14 112 28 56 
4 3 1 4 3 16 9 12 
4 4 1 4 4 16 16 16 

  50 133 68 391 128 198 
        
   2,660 1,360 0,744 0,710 0,342 
   X0 y0 s2

x s2
y sxy 

        
     0,8628 0,8429  
     sx sy  
       0,4708 
       r 
       0,46 
       m 
       0,7436 
       ro 
        

Tabla 12 

 

Una vez que tenemos la ecuación correlación lineal  y = 0,46 y + 0,1364, 

ya podemos calcular los niveles VH45 correspondientes los niveles de 

Autovaloración, como en la tabla 15, siendo x e y respectivamente, estos niveles 

de razonamiento. 

Auto VH45 
0 0,14 
1 0,60 
2 1,06 
3 1,52 
4 1,98 
5 2,44 

Tabla 13 

 



Florencio López de Silanes 

 

482 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

10.9.2.- Ajuste a los niveles de razonamiento con el criterio VH45 

 
Pero una correlación entre niveles de razonamiento de estas 

características no es válida, ya que los valores que toman los niveles de 

razonamiento VH45 son enteros y nunca valores decimales. Los números 

asociados a los niveles de razonamiento son números secuenciales y enteros 

que están asociados a determinados procesos como hemos visto. El problema 

está ahora en encontrar una distribución en valores discretos del nivel VH45, 

que sea compatible con el proceso que estamos estudiando, que sea coherente 

con el modelo de los niveles de razonamiento de van Hiele, y que se aproxime lo 

máximo posible a los valores de la tabla 15. 

 

Para poder tener como resultado de la correlación solo valores enteros 

para los niveles VH45, hemos probado con tres distribuciones que se ajustan a 

la gráfica 28 y que hemos denominado D1, D2 y D3. Sus valores para Niveles 

VH45 están determinados en la tabla 16, así como los resultados de la 

correlación anterior que hemos tomado como referencia. 

 
 
VHAuto VH45 D1 D2 D3 

0 0,14 0 0 0 
1 0,60 1 1 0 
2 1,06 1 1 1 
3 1,52 2 2 1 
4 1,98 2 2 2 
5 2,44 3 2 2 

Tabla 14 

 
El diagrama de dispersión de las distribuciones D1, D2 y D3 para los 

niveles VH45 recubre la recta de regresión resultante del proceso anterior. 

 
 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  483 

 

 

Dispersión de las Distribuciones D1, D2 y D3

0; 0

1; 1 2; 1

4; 23; 2

5; 3

5; 2

4; 23; 2

2; 1

0; 0

1; 1

1; 0

0; 0

2; 1

4; 2
5; 2

3; 1

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

Niveles de Autovaloracion

N
iv

e
le

s
 V

H
4
5

D1 D2 D3

 
          Gráfico  29  

 
 

Hemos realizado las regresiones lineales de las distribuciones D1, D2 y 

D3, utilizando el proceso ya mostrado anteriormente. La tabla 17 muestra los 

parámetros resultantes de dichos cálculos, para compararlos con la primera 

regresión.  

 
 

  VH45 D1 D2 D3 
X0 2,66 2,50 2,50 2,50 
Y0 1,36 1,50 1,33 1,00 
m 0,46 0,54 0,40 0,46 
r 0,47 0,97 0,92 0,96 
r0 0,74 0,24 0,30 0,24 
Desv Cuadra  Media  0,07 0,01 0,08 

Tabla 15 

 
 

Nos llama la atención que en las tres distribuciones el coeficiente de 

correlación es mayor que 0,9, es decir, son muy buenas. De la misma forma se 

ha calculado la desviación cuadrática media de las distribuciones D1, D2 y D3, 



Florencio López de Silanes 

 

484 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

respecto a los valores calculados de VH45 que aparecen en la tabla 17. La 

distribución D2 es la que más se aproxima los valores de VH45. 

 

Rectas de Regresión de las distribuciones 

VH45, D1, D2, y D3

0,0

1,0

2,0

3,0

0 1 2 3 4 5

Niveles Autovaloración

N
iv

e
le

s
 V

H
4

5

VH45 D1 D2 D3

 
Gráfico  30  

 
En el intervalo de trabajo de los niveles de razonamiento de van Hiele, 

entre 0 y 5, la recta de los valores resultantes de la regresión de VH45 está 

acotada superiormente por la de la regresión D1 e inferiormente por D3. La 

Distribución D2 corta a VH45. 

 

Pero la distribución más coherente con los resultados y el modelo de 

van Hiele es la distribución D1, ya que permite en la salida el nivel 3, y no nos 

cierra en los niveles más bajos. 

 
 
 
 
 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  485 

 

 

Recta de Regresión de la Dispersión D1

2,86

2,31

1,77

1,23

0,69

0,14
0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0 1 2 3 4 5

Niveles Autovaloración

N
iv

e
le

s
 V

H
4

5

 
Gráfico  31  

 
Utilizando la distribución D1, la correspondencia entre los valores 

obtenidos en el cuestionario de Autovaloración y el cuestionario de Usiskin, 

quedaría como indica la gráfica 32. 

 

Función de conversión entre lis niveñes 

de Autovaloración y VH45

5; 3

3; 2 4; 2

2; 11; 1

0; 0

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

Niveles de Autovaloracion

N
iv

e
le

s
 V

H
4
5

 
    Gráfico  32  

 
 



Florencio López de Silanes 

 

486 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

10.10.- Resultados de los cuestionarios 

 

10.10.1.- Niveles VH45 calculados y medidos 

 
Los cuestionarios para la determinación del nivel de razonamiento de 

van Hiele por el método de Autovaloración y por el cuestionario de Usiskin 

solamente fueron cumplimentados por 50 alumnos. Con los resultados en 

ambos cuestionarios vamos a estudiar la diferencia estadística entre los valores  

medidos de los niveles, los niveles VH45, y los niveles calculados con la 

distribución D1 partiendo de los resultados de la aplicación del cuestionario de 

Autovaloración, Auto VH. Esto constituye la comprobación de la consistencia de 

los modelos que estamos utilizando. 

 
Referencia Auto 

VH 
VH45 VH45 

Calculado 
con D1  

Referencia Auto 
VH 

VH45 VH45 
Calculado 

con D1 

APST04 2 1 1  P0030 4 4 2 

APST06 2 1 1  P0033 4 1 2 

APST13 2 2 1  P0034 4 2 2 

APST15 2 1 1  P0035 3 0 2 

APST16 2 1 1  P0036 2 0 1 

APST17 4 2 2  P0037 1 1 1 

APST21 3 1 2  P0039 3 2 2 

APST27 2 1 1  P0041 2 1 1 

APST28 2 2 1  P0046 3 2 2 

APST29 1 0 1  P0062 3 1 2 

APST32 3 2 2  P0063 2 0 1 

APST33 2 2 1  P0064 1 2 1 

APST38 2 1 1  P0066 3 1 2 

APST39 3 2 2  P0067 4 2 2 

APST42 2 1 1  P0068 3 0 2 

APST49 3 1 2  P0069 4 2 2 

APST50 2 0 1  P0070 4 3 2 

APST58 2 2 1  P0071 2 0 1 

APST59 4 2 2  P0072 2 0 1 

APST62 2 1 1  P0073 3 2 2 

APST64 3 1 2  P0074 2 2 1 

APST65 2 2 1  P0076 3 1 2 

APST66 3 2 2  P0077 3 2 2 

APST69 2 1 1  P0078 4 2 2 

     P0079 3 1 2 

     P0080 4 2 2 
Tabla 16 

 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  487 

 

 

Los valores de la tabla 18 son para construir las funciones de 

distribución sobre los niveles de van Hiele de los niveles de razonamiento 

medidos con el cuestionario de Usiskin y con el de Autovaloración. Los 

resultados se recogen en la tabla 19.  

 
 
Nivel 0 1 2 3 4 5 
VH45 8 19 21 1 1 0 
VH45 Calculado con D1 0 24 26 0 0 0 

Tabla 17 

 
 

La figura 33 muestra la representación gráfica de estas funciones de 

distribución, donde apreciamos las diferencias de resultados por nivel, pero lo 

más importante es que ambas funciones de distribución se comportan de 

manera idéntica, con una desviación cuadrática media = 3,046%.  

 

Funciones de distribución de los Niveles VH45

22

16

4238

0 0
0

00

48 52

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5

Niveles de van Hiele

P
o

rc
e

n
ta

je

VH45 Usiikin VH45 Autovaloración

 
Gráfico  33  

 
Como siempre, los valores significativos son los valores relativos, por 

eso hemos reducido los valores anteriores a porcentajes. 

 



Florencio López de Silanes 

 

488 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

10.10.2.- Niveles VH45 medidos por los cuestionarios de Autovaloración 

y de Usiskin 

 
Otro análisis interesante es la diferencia entre los valores de los niveles 

de razonamiento medidos por el cuestionario de Autovaloración y el de Usiskin, 

mostrados en la tabla 19 de resultados. En esta tabla se han agrupados los 

alumnos que tienen igual diferencia entre los valores mediados del coeficiente 

de razonamiento por los cuestionarios de autovaloración y Usiskin. Los 

resultados expresados en porcentaje se muestran en la tabla 20.  

 
Dif entre Niveles -1 0 1 2 3 
Porcentaje 2,0 16,3 36,7 38,8 6,1 

Tabla 18 

 
Esta función de distribución muestra el pico entre los valores 1 y 2 de la 

diferencia de los niveles de razonamientos medidos por los cuestionarios. 

Distribución de la Diferencia 

Niveles Autovaloración y VH45

2,0

16,3

6,1

36,7 38,8

0

10

20

30

40

-1 0 1 2 3

Diferencia entre Niveles

P
o

rc
e

n
ta

je

 
Gráfico  34  

 

El estudio de esta función de distribución muestra que el valor medio de 

la diferencia de los niveles de razonamiento medidos es de 1,31 con un error 

cuadrático medio de 0,89, es decir, la mayor parte de los alumnos están en una 

diferencia de niveles de razonamiento comprendida entre 0,42 y 2,2 para los 

niveles de razonamiento. 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  489 

 

 

 
Análisis de la distribución de la diferencia entre niveles 

Xi fi fiXi D=Xi-X D2 fiD2 D3 fiD3 D4 fiD4 
-1 2,04 -2,04 -2,31 5,32 10,85 -12,26 -25,03 28,28 57,72 
0 16,33 0,00 -1,31 1,71 27,85 -2,23 -36,38 2,91 47,51 
1 36,73 36,73 -0,31 0,09 3,44 -0,03 -1,05 0,01 0,32 
2 38,78 77,55 0,69 0,48 18,67 0,33 12,95 0,23 8,99 
3 6,12 18,37 1,69 2,87 17,57 4,86 29,76 8,23 50,40 

 100 130,61   78,38  -19,75  164,95 
  1,31   0,78  -0,20  1,65 
     0,89  -0,28  2,68 

Tabla 19 

 
 
Valor medio = 1,31 
Error cuadrático medio = 0,89 
Coeficiente de simetría = -0,28 
Coeficiente de prominencia = 2,68 



Florencio López de Silanes 

 

490 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

10.11.- Conclusiones 

 
En este capítulo hemos mostrado el “Cuestionario de Autovaloración” 

para la medida del nivel de razonamiento de van Hiele, aplicable solo a personas 

conocedoras del Modelo de van Hiele. Al nivel de razonamiento resultante los 

hemos llamado “Nivel de Autovaloración”, o bien, “Auto VH”, para diferenciarlo 

del nivel de razonamiento surgido de la aplicación del Cuestionario de Usiskin. 

 

En el contexto del “Nivel de Autovaloración” se han analizado los 

siguientes aspectos: 

 
- Se ha definido el procedimiento para el cálculo del “Nivel de 

Autovaloración” con los datos suministrados por el cuestionario de 
Autovaloración. 

 
- Se ha estudiado la distribución de los valores de los niveles de 

razonamiento de van Hiele surgidos de la aplicación del cuestionario de 
Autovaloración. Su coherencia con el modelo de van Hiele. 

 
- Se ha estudiado la fiabilidad de los resultados del cuestionario, 

obteniéndose un alto coeficiente de fiabilidad, que pone de manifiesto la 
coherencia de la metodología utilizada. 

 
- A un mismo grupo, se le han aplicado el cuestionario de Autovaloración y 

el cuestionario de Usiskin, para estudiar los valores de los niveles de 
razonamiento suministrados por ambos cuestionario. 

 
- Se ha estudiado la correlación entre los niveles de Autovaloración y los 

niveles VH45, y a pesar de que los dos sistemas de valores de los niveles 
de razonamiento estudiados solo toman valores discretos entre 0 y 5, el 
coeficiente de correlación es de 0.5, es decir, bastante bueno para este 
tipo de datos. 

 
- Se ha determinado la función para convertir los niveles de autovaloración 

en niveles VH45, y se ha acotado el error de esta conversión de niveles. 
 

- Por lo tanto se ha definido, estudiado y acotado el procedimiento de 
conversión de los niveles de autovaloración en niveles VH45, que 
consideramos a estos últimos como los valores estándar de los niveles de 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  491 

 

 

razonamiento de van Hiele medidos. 
 

El trabajo realizado en este capítulo nos faculta para poder convertir los 

resultados de los cuestionarios de Autovaloración, que aplicamos en medios 

universitarios con anterioridad a los que aplicamos de Usiskin, en los 

correspondientes niveles de razonamiento de van Hiele del tipo VH45. 

 

Este capítulo nos servirá de guía metodológica para el estudio de los 

resultados de los cuestionarios del tipo que hemos llamado “Autovaloración”, 

aplicados a alumnos con conocimientos del modelo de van Hiele que estaban 

realizando estudios universitarios. La metodología desarrollada en este capítulo 

no permitirá incorporar las pruebas de campo basadas en el cuestionario de 

Autovaloración de forma coherente con las características y requisitos de este 

trabajo. 



Florencio López de Silanes 

 

492 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

10.12.- Apéndice A. Cuestionario de Autovaloración aplicado 

 

 
 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  493 

 

 

 

 

 
 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

494 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

10.13.- Apéndice B. Fiabilidad de las respuestas al cuestionario 

Autovaloración aplicado 

 
 

 
  Estudio de Fiabilidad   Cálculo Coeficiente Alfa 

Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Total 

APST03 1 4 4 2 2 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 2 0 39 
APST04 2 1 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 2 39 
APST06 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 52 
APST13 2 2 3 4 4 4 1 2 2 2 0 3 1 1 3 2 0 3 39 
APST15 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 3 3 2 44 
APST16 4 3 3 3 4 2 3 2 1 3 1 3 1 2 3 3 3 1 45 
APST17 5 4 4 5 5 5 5 5 5 4 1 5 0 5 5 5 5 3 76 
APST21 2 3 4 4 4 3 3 4 3 4 2 4 2 3 3 4 3 3 58 
APST23 3 2 3 3 4 4 4 3 3 2 1 3 2 4 3 4 3 3 54 
APST27 3 2 2 3 2 3 2 4 3 3 2 2 1 3 3 4 3 1 46 
APST28 3 2 3 2 3 4 2 4 3 3 4 3 4 2 1 3 3 3 52 
APST29 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 
APST32 3 2 4 4 4 4 3 3 2 4 2 4 1 1 3 4 4 2 54 
APST33 3 2 3 3 4 2 2 4 3 4 2 3 1 3 3 4 2 1 49 
APST35 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 2 3 2 2 3 48 
APST38 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 2 1 2 3 3 1 45 
APST39 4 4 3 0 4 3 3 3 3 3 2 3 2 2 3 4 3 2 51 
APST42 3 2 3 3 3 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 45 
APST46 1 2 3 3 1 4 4 4 3 4 4 3 4 5 4 4 4 2 59 
APST48 2 4 5 3 4 4 4 4 4 3 4 5 5 4 3 5 4 4 71 
APST49 4 5 4 5 3 5 3 3 3 5 3 5 1 3 2 5 1 3 63 
APST50 3 4 3 3 4 3 2 3 2 2 2 3 1 1 2 4 2 2 46 
APST54 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 3 4 4 4 4 4 71 
APST58 2 4 3 2 4 3 3 5 3 3 3 2 1 4 1 4 4 2 53 
APST59 5 4 5 4 5 5 4 5 5 5 0 5 0 5 5 5 5 5 77 
APST62 2 4 3 3 2 3 2 1 0 3 0 2 2 2 0 4 0 0 33 
APST64 3 4 3 4 1 4 3 4 4 3 3 4 4 4 4 4 4 4 64 
APST65 3 3 3 3 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 3 2 2 46 
APST66 2 1 1 4 4 4 2 5 4 4 4 4 4 4 4 5 4 4 64 
APST69 3 3 3 3 4 3 1 3 3 3 3 4 1 3 4 4 1 3 52 
APST76 4 3 3 3 4 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 4 55 
P0001 3 3 3 2 4 3 2 4 0 0 3 4 2 0 0 4 0 0 37 
P0002 3 2 3 3 4 3 3 4 3 4 1 3 3 3 2 4 2 3 53 
P0003 3 1 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2 2 0 0 2 2 0 36 
P0004 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 2 1 3 3 4 3 1 48 
P0005 3 2 2 1 4 2 3 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 1 32 
P0006 3 1 3 2 4 2 1 3 2 3 2 2 4 2 2 3 2 4 45 
P0007 4 2 3 2 4 1 1 3 2 2 1 2 1 4 1 4 1 3 41 
P0008 3 4 4 3 2 3 1 1 2 2 1 2 1 2 3 3 1 1 39 
P0009 5 4 4 4 4 4 3 4 4 4 3 4 3 4 3 5 4 5 71 
P0010 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 22 
P0011 4 4 3 4 5 4 2 5 5 4 0 4 1 4 4 5 4 2 64 
P0012 3 1 3 3 3 3 3 3 1 3 1 3 1 3 3 4 3 1 45 
P0013 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20 
P0014 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 1 4 3 1 64 
P0015 4 4 4 3 2 3 2 3 3 2 3 2 0 3 0 4 4 2 48 
P0016 2 2 3 3 4 2 1 4 1 2 1 4 1 1 1 2 1 2 37 
P0017 3 2 2 1 3 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 3 1 1 34 
P0018 4 4 3 3 1 3 4 4 2 2 4 3 4 4 1 4 3 1 54 
P0019 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 72 
P0020 2 4 2 3 4 4 0 3 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 36 
P0021 1 3 2 2 4 4 1 1 1 3 1 1 1 1 1 4 3 2 36 
P0022 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 27 
P0023 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 24 
P0024 2 2 1 1 2 0 1 2 0 1 0 0 0 1 1 3 1 2 20 
P0025 3 2 3 3 3 4 1 3 3 2 1 3 1 3 1 3 1 3 43 

 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  495 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
  Estudio de Fiabilidad   Cálculo Coeficiente Alfa 

Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Total 

P0026 2 3 3 3 4 3 0 3 2 3 3 3 0 0 0 3 3 0 38 
P0027 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 53 
P0028 3 3 3 2 3 3 1 3 3 3 1 3 0 3 2 3 3 2 44 
P0029 3 3 3 3 4 3 0 5 5 3 3 5 0 0 0 5 5 0 50 
P0030 4 4 4 4 4 5 5 5 5 4 4 5 5 5 5 5 5 4 82 
P0031 3 5 4 5 3 4 3 4 4 4 4 3 4 4 3 5 3 3 68 
P0032 3 2 3 3 2 3 2 3 3 4 3 3 3 2 3 3 4 2 51 
P0033 4 4 5 5 5 5 4 4 4 5 4 5 5 5 4 5 4 5 82 
P0034 4 5 3 5 5 4 4 5 5 4 3 4 2 5 3 5 5 3 74 
P0035 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 69 
P0036 3 2 4 4 4 4 3 1 1 3 4 3 1 3 0 4 4 1 49 
P0037 1 3 2 2 4 2 1 3 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 31 
P0039 2 4 3 3 3 3 3 4 3 3 0 3 0 3 3 3 3 2 48 
P0040 1 1 2 3 2 2 1 1 1 3 1 3 1 1 1 4 1 1 30 
P0041 3 0 2 4 2 4 2 3 3 3 4 2 2 2 2 3 3 2 46 
P0043 3 4 4 4 3 4 3 4 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 60 
P0044 3 1 1 4 1 5 3 1 5 3 4 4 1 2 2 4 1 1 46 
P0045 4 4 4 5 5 4 5 5 5 4 5 5 1 4 5 5 4 5 79 
P0046 4 4 2 2 1 4 4 5 5 4 0 4 0 4 4 5 4 1 57 
P0047 2 1 1 1 3 1 2 4 2 2 3 2 1 4 3 4 2 3 41 
P0048 2 1 1 4 5 2 0 5 1 2 5 4 3 1 3 5 4 1 49 
P0049 5 4 4 5 4 4 3 5 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 73 
P0050 3 2 1 3 3 3 0 2 1 3 2 1 2 1 1 1 2 0 31 
P0051 3 3 3 2 3 3 0 3 0 3 0 3 3 3 0 3 1 0 36 
P0052 4 2 4 4 4 3 4 4 3 4 1 4 3 4 2 1 1 1 53 
P0053 4 2 1 2 4 4 2 4 2 4 4 3 4 4 1 4 3 3 55 
P0054 3 4 5 3 4 4 3 5 4 5 4 3 1 4 3 4 4 1 64 
P0055 3 4 4 4 5 4 4 4 3 4 5 3 2 1 3 5 4 3 65 
P0056 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 52 
P0057 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 54 
P0058 5 4 4 4 3 5 4 4 3 4 4 4 4 3 3 5 4 4 71 
P0059 3 4 3 4 4 4 3 3 3 4 3 4 2 3 2 4 3 2 58 
P0060 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18 
P0061 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 19 
P0062 4 3 4 4 5 4 3 4 4 4 3 2 1 2 1 4 1 1 54 
P0063 4 2 4 3 4 3 2 4 2 3 2 3 1 3 2 4 2 1 49 
P0064 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 23 
P0065 1 1 1 3 1 1 1 3 1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 25 
P0066 4 4 4 4 4 4 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 4 3 67 
P0067 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 72 
P0068 4 3 3 4 3 4 3 2 3 3 3 4 2 3 4 4 4 3 59 
P0069 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 4 4 3 5 0 5 4 5 74 
P0070 4 4 3 4 4 3 4 4 0 5 0 4 0 5 0 5 4 5 58 
P0071 3 3 4 1 4 2 1 2 3 3 2 4 2 3 2 4 2 2 47 
P0072 3 2 3 2 1 3 0 2 2 0 2 2 0 0 2 2 0 0 26 
P0073 4 0 4 4 5 4 0 3 4 4 3 5 0 2 2 4 4 1 53 
P0074 4 2 2 2 3 3 2 3 3 2 0 3 0 3 2 3 2 0 39 
P0075 4 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 5 4 4 72 
P0076 4 4 3 4 4 4 3 4 4 4 3 3 2 1 2 4 4 2 59 
P0077 4 4 4 3 1 4 4 4 1 4 4 4 4 0 4 5 4 4 62 
P0078 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0 4 0 4 4 4 64 
P0079 4 4 4 3 3 4 3 4 4 3 4 3 3 4 4 4 4 3 65 
P0080 4 4 5 4 5 5 4 5 4 5 4 4 3 5 5 5 5 3 79 
P0081 3 5 3 4 2 5 4 3 4 4 0 2 5 5 4 5 4 0 62 

Varianza 1,00 1,55 1,10 1,21 1,33 1,18 1,74 1,48 1,78 1,26 1,94 1,24 1,94 1,99 1,91 1,30 1,84 1,94 27,71 

Var Alum                   242,68 

Coef alfa                   0,938 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

496 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

 

10.14.- Apéndice C. Fiabilidad de las respuestas al cuestionario de 

Usiskin aplicado 

 

 
 Estudio Fiabilidad   Cálculo Coeficiente Alfa             

Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Suma 

APST02 2 4 3 2 5 3 5 1 3 5 3 1 5 3 5 3 3 4 1 2 5 1 1 5 2 77 

APST04 2 4 3 5 5 2 4 3 3 4 3 1 5 5 2 1 1 1 4 2 0 0 0 0 0 60 

APST06 3 4 3 2 5 4 5 1 3 0 3 2 1 1 1 4 2 4 0 0 1 0 4 4 4 61 

APST08 2 4 3 2 5 0 3 5 3 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 41 

APST09 2 4 3 2 5 3 5 5 5 3 5 5 1 5 0 0 2 1 0 3 0 2 4 4 2 71 

APST13 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 5 2 1 1 0 1 5 5 5 1 2 4 73 

APST15 1 4 3 2 5 3 5 5 3 4 3 1 1 3 5 3 5 2 1 2 5 5 1 1 2 75 

APST16 2 4 3 4 5 1 5 1 2 0 3 1 5 5 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 46 

APST17 2 4 3 2 5 2 5 1 2 4 4 2 5 3 5 1 4 4 1 5 4 1 0 5 5 79 

APST19 2 4 3 2 5 2 4 4 4 0 3 2 5 3 2 5 2 4 1 2 1 4 2 4 3 73 

APST21 2 4 3 2 5 2 0 0 0 5 4 0 5 5 0 4 3 0 1 4 1 4 2 0 0 56 

APST24 2 3 4 2 5 1 5 5 3 1 2 1 5 3 5 5 1 3 3 1 4 2 4 2 1 73 

APST27 2 4 3 2 5 2 5 0 3 0 0 0 5 3 2 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 40 

APST28 2 4 3 2 3 2 5 1 3 4 3 2 5 0 2 0 5 0 1 3 1 1 0 4 5 61 

APST29 1 4 3 2 3 2 5 1 3 4 3 2 1 1 2 4 5 5 1 3 1 4 0 4 2 66 

APST30 2 4 3 2 5 3 3 1 3 5 0 3 1 2 1 0 1 0 1 1 0 1 5 4 4 55 

APST31 2 4 3 2 0 3 5 3 3 4 3 0 5 0 1 0 0 3 0 0 1 2 5 4 0 53 

APST32 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 1 5 5 1 3 0 1 2 1 5 1 4 4 69 

APST33 2 4 3 2 5 2 5 2 3 4 3 1 5 4 1 0 0 0 2 0 1 0 0 4 0 53 

APST34 2 4 3 2 1 1 3 4 2 4 2 4 5 2 3 3 1 0 0 1 0 2 1 4 4 58 

APST36 2 4 3 3 5 1 5 1 3 4 3 3 5 5 2 3 0 1 1 4 2 5 5 4 5 79 

APST38 2 4 3 2 5 2 5 1 2 5 3 2 5 5 5 5 4 5 1 1 0 0 0 4 5 76 

APST39 1 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 5 2 0 3 4 1 1 1 2 2 4 5 70 

APST42 2 4 3 2 5 2 0 1 2 4 3 2 5 5 1 4 1 4 1 4 2 5 4 4 4 74 

APST43 2 4 3 2 5 3 5 1 3 5 3 0 1 0 2 3 1 4 0 3 0 0 0 0 0 50 

APST44 2 4 3 2 5 1 0 1 1 4 5 1 5 3 4 0 0 2 1 5 5 1 0 0 2 57 

APST47 2 4 5 2 3 2 5 1 0 0 5 0 5 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 5 49 

APST49 2 4 3 2 3 1 4 5 3 2 4 5 5 3 3 0 3 1 3 0 1 5 1 2 1 66 

APST50 3 4 3 2 3 2 5 1 3 5 3 2 5 5 2 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 60 

APST53 4 4 3 5 5 2 5 5 3 3 1 4 5 3 3 1 4 4 3 0 1 3 0 1 4 76 

APST58 3 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 1 5 3 5 1 1 2 1 1 5 5 5 4 2 76 

APST59 2 4 3 2 5 2 5 1 5 4 3 1 5 5 3 0 0 0 1 3 1 1 0 4 0 60 

APST60 2 4 3 2 3 2 0 5 2 5 3 2 1 5 2 4 3 4 1 5 1 4 2 4 2 71 

APST61 1 4 3 2 5 3 3 1 5 2 3 3 1 5 5 5 5 4 2 1 1 2 0 0 0 66 

APST62 2 3 3 2 5 2 5 1 2 5 3 5 5 5 5 0 4 4 1 4 0 0 0 0 0 66 

APST64 2 4 3 2 5 3 5 1 3 5 2 2 1 3 2 3 4 4 1 2 5 0 0 4 1 67 

APST65 2 4 3 2 5 2 5 0 3 4 0 0 5 3 2 0 1 4 1 4 4 0 4 0 4 62 

APST66 2 4 3 2 3 2 5 1 3 4 3 1 5 3 5 1 0 2 1 5 5 1 3 3 3 70 

APST68 2 4 3 2 5 1 5 2 1 5 5 1 5 5 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 51 

APST69 2 4 3 2 5 3 5 1 2 3 1 2 5 5 1 1 4 4 4 1 1 2 1 4 1 67 

APST70 2 4 3 2 3 2 5 1 2 4 2 5 5 5 0 3 4 0 1 0 2 0 0 4 0 59 

APST72 2 4 3 2 5 1 5 0 3 4 5 5 5 3 0 1 2 1 1 0 0 1 0 1 2 56 

APST75 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 5 2 4 5 4 1 5 0 2 0 0 0 69 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  497 

 

 

 

 

 
  Estudio Fiabilidad   Cálculo Coeficiente Alfa   

Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Suma 

P0030 2 4 3 2 5 2 5 1 2 4 3 2 1 1 2 3 3 4 4 2 1 5 4 4 4 73 

P0033 2 4 3 2 5 2 3 1 5 4 3 2 5 3 5 4 1 4 1 1 1 5 4 3 5 78 

P0034 2 4 3 2 5 2 5 1 2 4 3 2 5 5 2 0 0 2 4 0 1 2 1 4 5 66 

P0035 2 3 3 2 3 4 5 1 3 0 1 2 5 3 1 0 0 0 3 2 0 0 0 0 0 43 

P0036 2 3 5 2 5 3 5 1 3 0 5 0 5 0 4 0 1 0 1 4 5 0 0 0 0 54 

P0037 2 4 3 2 0 4 5 1 1 3 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 28 

P0039 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 1 2 5 5 4 3 1 4 1 4 1 2 2 3 1 70 

P0041 2 4 3 2 5 1 5 4 3 5 4 1 5 3 0 2 3 4 1 5 1 2 0 0 0 65 

P0046 2 3 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 2 2 5 2 0 1 4 1 2 1 4 5 69 

P0062 2 3 3 2 5 2 5 1 4 3 3 2 4 2 2 1 1 0 4 2 4 2 0 2 5 64 

P0063 2 3 3 2 3 3 5 1 3 5 0 0 5 4 2 0 0 0 1 1 0 4 5 4 2 58 

P0064 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 5 4 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 58 

P0066 2 4 3 2 3 2 4 1 2 5 3 1 5 3 1 5 5 2 2 2 5 5 4 3 2 76 

P0067 2 4 3 2 3 2 5 1 3 4 3 2 5 3 3 4 5 4 2 4 5 0 0 4 4 77 

P0068 2 3 3 2 3 4 5 1 2 4 3 4 5 5 2 3 0 0 3 0 3 0 0 0 0 57 

P0069 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 5 2 4 3 4 1 3 1 5 5 4 0 78 

P0070 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 1 5 2 4 2 1 1 4 5 0 1 2 0 64 

P0071 2 4 1 1 1 2 5 5 3 1 3 1 2 5 1 4 1 1 1 2 5 5 5 2 3 66 

P0072 4 4 3 5 5 2 5 5 3 4 3 0 5 5 4 0 1 0 1 4 0 2 5 0 0 70 

P0073 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 2 5 3 2 3 1 0 0 5 0 0 0 0 0 55 

P0074 2 4 3 2 5 2 5 1 3 0 0 0 1 5 4 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0 46 

P0076 2 4 3 2 5 2 5 1 2 0 3 0 5 0 4 0 1 4 0 1 3 0 1 0 0 48 

P0077 2 4 3 2 2 2 5 1 4 4 4 1 5 4 3 3 3 4 1 4 1 4 2 4 2 74 

P0078 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 3 5 1 5 1 4 1 4 1 4 1 5 4 4 2 76 

P0079 2 4 3 2 5 2 0 1 1 1 3 2 1 1 0 2 3 2 1 4 0 0 0 0 0 40 

P0080 2 4 3 2 5 2 5 1 3 4 1 1 5 5 4 3 4 0 1 2 0 0 0 0 0 57 

P0100 4 4 3 3 3 3 5 1 4 4 3 2 5 3 2 0 1 5 3 5 1 5 0 0 5 74 

P0101 1 4 3 2 5 2 4 5 1 5 1 2 1 3 2 1 3 3 1 3 5 2 1 4 4 68 

P0102 4 4 3 3 3 3 5 0 1 0 1 3 5 3 5 0 0 4 3 5 1 0 0 1 5 62 

P0103 2 4 3 2 5 2 5 5 3 4 0 2 1 5 2 1 3 4 1 5 5 0 2 4 5 75 

P0104 2 4 3 2 5 2 5 1 2 4 3 4 1 5 5 0 2 5 1 0 5 4 2 4 4 75 

P0105 2 4 3 5 2 1 4 3 2 0 0 0 1 0 4 0 0 0 3 3 1 0 0 0 1 39 

P0106 2 4 3 2 5 3 4 1 3 0 3 5 5 5 4 0 4 5 0 0 0 0 5 2 1 66 

P0107 2 4 3 3 5 2 5 1 3 1 5 2 1 1 2 0 3 0 1 2 1 4 2 4 4 61 

P0108 2 4 3 2 5 2 4 5 3 5 3 2 5 5 5 3 4 4 0 2 1 5 4 4 2 84 

P0109 2 4 3 2 3 1 5 1 3 5 1 2 5 3 5 0 0 0 3 0 0 0 0 0 5 53 

Varianza 0,3 0,1 0,2 0,5 1,6 0,6 1,6 2,4 0,9 2,9 1,7 1,9 3,1 2,8 2,6 3,3 2,8 3,6 1,2 3,2 3,5 3,8 3,4 3,4 3,8 55,4 

Var Alum                                                   130,2 

Coef alfa                          0,60 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

498 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

10.15.- Apéndice D. Fiabilidad en los aciertos al cuestionario de Usiskin 

aplicado 

 

 
  Estudio Fiabilidad   Cálculo Coeficiente KR20   

Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Suma 

APST02 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 13 

APST04 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 10 

APST06 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 14 

APST08 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 

APST09 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 8 

APST13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 15 

APST15 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 11 

APST16 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 

APST17 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 12 

APST19 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 10 

APST21 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 7 

APST24 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 7 

APST27 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 

APST28 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 

APST29 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 

APST30 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 10 

APST31 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 

APST32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 16 

APST33 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 

APST34 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 8 

APST36 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 13 

APST38 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 11 

APST39 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 15 

APST42 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 15 

APST43 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 13 

APST44 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 

APST47 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 

APST49 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 7 

APST50 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 11 

APST53 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 8 

APST58 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 12 

APST59 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 

APST60 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 11 

APST61 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 9 

APST62 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 9 

APST64 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 13 

APST65 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 13 

APST66 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 

APST68 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 

APST69 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 11 

APST70 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 10 

APST72 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 

APST75 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 14 

 

 

 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  499 

 

 

 
  Estudio Fiabilidad   Cálculo Coeficiente KR20   

Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Suma 

P0030 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 21 

P0033 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 14 

P0034 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 13 

P0035 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 

P0036 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 

P0037 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 

P0039 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 13 

P0041 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 9 

P0046 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 

P0062 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 11 

P0063 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 8 

P0064 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 13 

P0066 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 9 

P0067 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 13 

P0068 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 

P0069 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 16 

P0070 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 

P0071 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 7 

P0072 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 

P0073 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 

P0074 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 

P0076 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 11 

P0077 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 11 

P0078 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 15 

P0079 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 12 

P0080 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 

P0100 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 9 

P0101 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 10 

P0102 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 

P0103 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 14 

P0104 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 12 

P0105 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 

P0106 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 

P0107 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 14 

P0108 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 13 

P0109 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 

p 0,4 0,4 0,4 0,4 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,2 0,3 0,2 0,1 0,0 0,2 0,1 0,1 0,2 0,0 0,1 0,0 0,1 0,1 0,0 0,1 9,34 

q 0,6 0,6 0,6 0,6 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,8 0,7 0,8 0,9 1,0 0,8 0,9 0,9 0,8 1,0 0,9 1,0 0,9 0,9 1,0 0,9  

pq 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,1 0,0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,0 0,1 0,0 0,1 0,1 0,0 0,1 3,38 

KR20                          0,67 

 

Para el estudio de la fiabilidad de los aciertos resultantes en los 

cuestionarios de Usiskin hemos calculado el coeficiente KR20 para los alumnos 

encuestados obteniendo el valor de 0,67. Estos valores están en consonancia 

con los obtenidos por Usiskin: 0,74, 0,82, 0,88, 0,43, y 0,38 en otoño, y 0,79, 

0,88, 0,88, 0,69 y 0,65 en primavera. Donde la suma de las covarianzas de los 

ítems es 3,38, y la covarianza de los aciertos totales de los alumnos es 9.34. 

(Usiskin, Z.; 1982). 

En los Apéndices siguientes mostramos el coeficiente KR20 calculado en 

los cinco niveles. Los valores obtenidos los cinco niveles son 0,23, 0,49, 0,53, 

0,16 y 0,43 respectivamente, que no indican nada por no mostrar ninguna 

tendencia. Estos valores están también en consonancia con los valores 

obtenidos por Usiskin 0,31, 0,44, 0,48, 0,13 y 0,10 para sus cuestionarios de 

otoño, y 0,39, 0,55, 0,56, 0,30 y 0,26 para primavera. (Usiskin, 1982). 

 



Florencio López de Silanes 

 

500 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

10.16.- Apéndice E. Fiabilidad por niveles de los resultados del 

cuestionario de Usiskin aplicado 

 
Cálculo del coeficiente KR20 para los niveles 1, 2 y 3. 
 
  Estudio Fiabilidad   Cálculo Coeficiente KR20 

Item 1 2 3 4 5 Total 6 7 8 9 10 Total 11 12 13 14 15 Total 

APST02 1 1 1 1 1 5   0 1 1 1 0 3   1 0 0 0 0 1 

APST04 1 1 1 0 1 4   1 0 0 1 1 3   1 0 0 0 1 2 

APST06 0 1 1 1 1 4   0 1 1 1 0 3   1 1 1 1 0 4 

APST08 1 1 1 1 1 5   0 0 0 1 0 1   0 0 0 0 0 0 

APST09 1 1 1 1 1 5   0 1 0 0 0 1   0 0 1 0 0 1 

APST13 1 1 1 1 1 5   1 1 1 1 1 5   1 1 0 0 1 3 

APST15 0 1 1 1 1 4   0 1 0 1 1 3   1 0 1 0 0 2 

APST16 1 1 1 0 1 4   0 1 1 0 0 2   1 0 0 0 1 2 

APST17 1 1 1 1 1 5   1 1 1 0 1 4   0 1 0 0 0 1 

APST19 1 1 1 1 1 5   1 0 0 0 0 1   1 1 0 0 1 3 

APST21 1 1 1 1 1 5   1 0 0 0 0 1   0 0 0 0 0 0 

APST24 1 0 0 1 1 3   0 1 0 1 0 2   0 0 0 0 0 0 

APST27 1 1 1 1 1 5   1 1 0 1 0 3   0 0 0 0 1 1 

APST28 1 1 1 1 0 4   1 1 1 1 1 5   1 1 0 0 1 3 

APST29 0 1 1 1 0 3   1 1 1 1 1 5   1 1 1 1 1 5 

APST30 1 1 1 1 1 5   0 0 1 1 0 2   0 0 1 0 0 1 

APST31 1 1 1 1 0 4   0 1 0 1 1 3   1 0 0 0 0 1 

APST32 1 1 1 1 1 5   1 1 1 1 1 5   1 1 1 0 0 3 

APST33 1 1 1 1 1 5   1 1 0 1 1 4   1 0 0 0 0 1 

APST34 1 1 1 1 0 4   0 0 0 0 1 1   0 0 0 0 0 0 

APST36 1 1 1 0 1 4   0 1 1 1 1 4   1 0 0 0 1 2 

APST38 1 1 1 1 1 5   1 1 1 0 0 3   1 1 0 0 0 2 

APST39 0 1 1 1 1 4   1 1 1 1 1 5   1 1 0 0 1 3 

APST42 1 1 1 1 1 5   1 0 1 0 1 3   1 1 0 0 0 2 

APST43 1 1 1 1 1 5   0 1 1 1 0 3   1 0 1 0 1 3 

APST44 1 1 1 1 1 5   0 0 1 0 1 2   0 0 0 0 0 0 

APST47 1 1 0 1 0 3   1 1 1 0 0 3   0 0 0 0 0 0 

APST49 1 1 1 1 0 4   0 0 0 1 0 1   0 0 0 0 0 0 

APST50 0 1 1 1 0 3   1 1 1 1 0 4   1 1 0 0 1 3 

APST53 0 1 1 0 1 3   1 1 0 1 0 3   0 0 0 0 0 0 

APST58 0 1 1 1 1 4   1 1 1 1 1 5   1 0 0 0 0 1 

APST59 1 1 1 1 1 5   1 1 1 0 1 4   1 0 0 0 0 1 

APST60 1 1 1 1 0 4   1 0 0 0 0 1   1 1 1 0 1 4 

APST61 0 1 1 1 1 4   0 0 1 0 0 1   1 0 1 0 0 2 

APST62 1 0 1 1 1 4   1 1 1 0 0 3   1 0 0 0 0 1 

APST64 1 1 1 1 1 5   0 1 1 1 0 3   0 1 1 0 1 3 

APST65 1 1 1 1 1 5   1 1 0 1 1 4   0 0 0 0 1 1 

APST66 1 1 1 1 0 4   1 1 1 1 1 5   1 0 0 0 0 1 

APST68 1 1 1 1 1 5   0 1 0 0 0 1   0 0 0 0 1 1 

APST69 1 1 1 1 1 5   0 1 1 0 0 2   0 1 0 0 0 1 

APST70 1 1 1 1 0 4   1 1 1 0 1 4   0 0 0 0 0 0 

APST72 1 1 1 1 1 5   0 1 0 1 1 3   0 0 0 0 0 0 

APST75 1 1 1 1 1 5   1 1 1 1 1 5   1 1 0 0 1 3 

 

 

 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  501 

 

 

 

 

 
 Estudio Fiabilidad   Cálculo Coeficiente KR20 

Item 1 2 3 4 5 Total 6 7 8 9 10 Total 11 12 13 14 15 Total 

P0030 1 1 1 1 1 5  1 1 1 0 1 4  1 1 1 1 1 5 

P0033 1 1 1 1 1 5  1 0 1 0 1 3  1 1 0 0 0 2 

P0034 1 1 1 1 1 5  1 1 1 0 1 4  1 1 0 0 1 3 

P0035 1 0 1 1 0 3  0 1 1 1 0 3  0 1 0 0 0 1 

P0036 1 0 0 1 1 3  0 1 1 1 0 3  0 0 0 0 0 0 

P0037 1 1 1 1 0 4  0 1 1 0 0 2  0 0 1 0 0 1 

P0039 1 1 1 1 1 5  1 1 1 1 1 5  0 1 0 0 0 1 

P0041 1 1 1 1 1 5  0 1 0 1 0 2  0 0 0 0 0 0 

P0046 1 0 1 1 1 4  1 1 1 1 1 5  1 1 0 0 1 3 

P0062 1 0 1 1 1 4  1 1 1 0 0 3  1 1 0 0 1 3 

P0063 1 0 1 1 0 3  0 1 1 1 0 3  0 0 0 0 1 1 

P0064 1 1 1 1 1 5  1 1 1 1 1 5  1 1 0 0 0 2 

P0066 1 1 1 1 0 4  1 0 1 0 0 2  1 0 0 0 0 1 

P0067 1 1 1 1 0 4  1 1 1 1 1 5  1 1 0 0 0 2 

P0068 1 0 1 1 0 3  0 1 1 0 1 3  1 0 0 0 1 2 

P0069 1 1 1 1 1 5  1 1 1 1 1 5  1 1 0 0 1 3 

P0070 1 1 1 1 1 5  1 1 1 1 1 5  1 1 1 0 1 4 

P0071 1 1 0 0 0 2  1 1 0 1 0 3  1 0 0 0 0 1 

P0072 0 1 1 0 1 3  1 1 0 1 1 4  1 0 0 0 0 1 

P0073 1 1 1 1 1 5  1 1 1 1 1 5  1 1 0 0 1 3 

P0074 1 1 1 1 1 5  1 1 1 1 0 4  0 0 1 0 0 1 

P0076 1 1 1 1 1 5  1 1 1 0 0 3  1 0 0 0 0 1 

P0077 1 1 1 1 0 4  1 1 1 0 1 4  0 0 0 0 0 0 

P0078 1 1 1 1 1 5  1 1 1 1 1 5  1 0 1 0 0 2 

P0079 1 1 1 1 1 5  1 0 1 0 0 2  1 1 1 1 0 4 

P0080 1 1 1 1 1 5  1 1 1 1 1 5  0 0 0 0 0 0 

P0100 0 1 1 0 0 2  0 1 1 0 1 3  1 1 0 0 1 3 

P0101 0 1 1 1 1 4  1 0 0 0 0 1  0 1 1 0 1 3 

P0102 0 1 1 0 0 2  0 1 0 0 0 1  0 0 0 0 0 0 

P0103 1 1 1 1 1 5  1 1 0 1 1 4  0 1 1 0 1 3 

P0104 1 1 1 1 1 5  1 1 1 0 1 4  1 0 1 0 0 2 

P0105 1 1 1 0 0 3  0 0 0 0 0 0  0 0 1 0 0 1 

P0106 1 1 1 1 1 5  0 0 1 1 0 2  1 0 0 0 0 1 

P0107 1 1 1 0 1 4  1 1 1 1 0 4  0 1 1 1 1 4 

P0108 1 1 1 1 1 5  1 0 0 1 0 2  1 1 0 0 0 2 

P0109 1 1 1 1 0 4  0 1 1 1 0 3  0 1 0 0 0 1 

p 0,85 0,90 0,95 0,87 0,72 0,71  0,62 0,77 0,68 0,59 0,49 1,83  0,58 0,43 0,27 0,06 0,37 1,70 

q 0,15 0,10 0,05 0,13 0,28   0,38 0,23 0,32 0,41 0,51   0,42 0,57 0,73 0,94 0,63  

pq 0,13 0,09 0,05 0,11 0,20 0,58  0,24 0,18 0,22 0,24 0,25 1,12  0,24 0,25 0,20 0,06 0,23 0,98 

KR20     N 1 0,23      N 2 0,49      N 3 0,53 

 



Florencio López de Silanes 

 

502 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Cálculo del coeficiente KR20 para los niveles 4 y 5. 
 

 
Estudio Fiabilidad   Cálculo Coeficiente KR20 

Item 16 17 18 19 20 Total 21 22 23 24 25 Total 

APST02 1 1 1 0 0 3   0 0 0 1 0 1 

APST04 0 0 0 1 0 1   0 0 0 0 0 0 

APST06 0 0 1 0 0 1   0 0 1 0 1 2 

APST08 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

APST09 0 0 0 0 0 0   0 0 1 0 0 1 

APST13 0 0 0 0 0 0   0 1 0 0 1 2 

APST15 1 0 0 0 0 1   0 1 0 0 0 1 

APST16 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

APST17 0 0 1 0 0 1   0 0 0 1 0 1 

APST19 0 0 1 0 0 1   0 0 0 0 0 0 

APST21 0 1 0 0 0 1   0 0 0 0 0 0 

APST24 0 0 0 0 1 1   0 0 1 0 0 1 

APST27 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

APST28 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

APST29 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

APST30 0 0 0 0 1 1   0 0 0 0 1 1 

APST31 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

APST32 0 1 0 0 0 1   0 1 0 0 1 2 

APST33 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

APST34 1 0 0 0 1 2   0 0 0 0 1 1 

APST36 1 0 0 0 0 1   1 1 0 0 0 2 

APST38 0 0 0 0 1 1   0 0 0 0 0 0 

APST39 0 1 1 0 1 3   0 0 0 0 0 0 

APST42 0 0 1 0 0 1   1 1 1 0 1 4 

APST43 1 0 1 0 0 2   0 0 0 0 0 0 

APST44 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

APST47 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

APST49 0 1 0 0 0 1   0 1 0 0 0 1 

APST50 0 0 1 0 0 1   0 0 0 0 0 0 

APST53 0 0 1 0 0 1   0 0 0 0 1 1 

APST58 0 0 0 0 1 1   0 1 0 0 0 1 

APST59 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

APST60 0 1 1 0 0 2   0 0 0 0 0 0 

APST61 0 0 1 0 1 2   0 0 0 0 0 0 

APST62 0 0 1 0 0 1   0 0 0 0 0 0 

APST64 1 0 1 0 0 2   0 0 0 0 0 0 

APST65 0 0 1 0 0 1   0 0 1 0 1 2 

APST66 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

APST68 1 0 0 0 0 1   0 0 0 0 0 0 

APST69 0 0 1 1 1 3   0 0 0 0 0 0 

APST70 1 0 0 0 0 1   1 0 0 0 0 1 

APST72 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

APST75 0 0 1 0 0 1   0 0 0 0 0 0 

 

 



Validación del Cuestionario de Autovaloración 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  503 

 

 

 

 

 

 
Estudio Fiabilidad   Cálculo Coeficiente KR20 

Item 16 17 18 19 20 Total 21 22 23 24 25 Total 

P0030 1 1 1 1 0 4   0 1 1 0 1 3 

P0033 0 0 1 0 1 2   0 1 1 0 0 2 

P0034 0 0 0 1 0 1   0 0 0 0 0 0 

P0035 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

P0036 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

P0037 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

P0039 1 0 1 0 0 2   0 0 0 0 0 0 

P0041 0 1 1 0 0 2   0 0 0 0 0 0 

P0046 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

P0062 0 0 0 1 0 1   0 0 0 0 0 0 

P0063 0 0 0 0 1 1   0 0 0 0 0 0 

P0064 0 1 0 0 0 1   0 0 0 0 0 0 

P0066 0 0 0 0 0 0   0 1 1 0 0 2 

P0067 0 0 1 0 0 1   0 0 0 0 1 1 

P0068 1 0 0 0 0 1   0 0 0 0 0 0 

P0069 0 1 1 0 0 2   0 1 0 0 0 1 

P0070 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

P0071 0 0 0 0 0 0   0 1 0 0 0 1 

P0072 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

P0073 1 0 0 0 0 1   0 0 0 0 0 0 

P0074 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

P0076 0 0 1 0 1 2   0 0 0 0 0 0 

P0077 1 1 1 0 0 3   0 0 0 0 0 0 

P0078 0 0 1 0 0 1   0 1 1 0 0 2 

P0079 0 1 0 0 0 1   0 0 0 0 0 0 

P0080 1 0 0 0 0 1   0 0 0 0 0 0 

P0100 0 0 0 0 0 0   0 1 0 0 0 1 

P0101 0 1 0 0 0 1   0 0 0 0 1 1 

P0102 0 0 1 0 0 1   0 0 0 0 0 0 

P0103 0 1 1 0 0 2   0 0 0 0 0 0 

P0104 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 1 1 

P0105 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

P0106 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

P0107 0 1 0 0 0 1   0 0 0 0 1 1 

P0108 1 0 1 0 0 2   0 1 1 0 0 2 

P0109 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 

p 0,19 0,19 0,35 0,06 0,14 0,82  0,04 0,19 0,13 0,03 0,16 0,70 

q 0,81 0,81 0,65 0,94 0,86   0,96 0,81 0,87 0,97 0,84  

pq 0,15 0,15 0,23 0,06 0,12 0,72  0,04 0,15 0,11 0,02 0,14 0,46 

KR20     N 4 0,16      N 5 0,43 

 

 

 

 



 

 



Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  505 
 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 11 

 

PLANTEAMIENTO DEL TRABAJO DE CAMPO PARA LA MEDIDA 

DEL NIVEL DE RAZONAMIENTO DE VAN HIELE. 

ANÁLISIS DEL CUESTIONARIO DE CONOCIMIENTO  
 

11.1.- Introducción y objetivos 

Este capítulo está dedicado a la planificación del trabajo de campo de 

esta investigación. En él vamos a describir y analizar las muestras que son 

objeto de nuestro estudio. Recordemos que en los dos capítulos anteriores 

pusimos a punto la metodología y las herramientas para realizar las medidas de 

campo aplicando los cuestionarios de Usiskin y de Autovaloración. (Usiskin, 

1982). De esta manera, con la muestra y la metodología de trabajo, 

analizaremos en los tres capítulos siguientes los 1120 cuestionarios que 

cumplimentaron 924 alumnos procedentes de 6 centros educativos, abarcando 

las etapas que van desde la Educación Primaria a la Universidad. 

En este sentido agradecemos la colaboración de cinco centros 

educativos de Enseñanza Media de la ciudad de Madrid donde hemos podido 

tomar los datos a sus alumnos aplicándoles el Cuestionario de Usiskin para la 

determinación de nivel de razonamiento de van Hiele. Estos centros son: 

- El CEIP Carlos V. Es un colegio de titularidad pública situado en el Barrio 

de la Concepción, donde se cursan las etapas de Educación Infantil y 

Educación Primaria. En este centro hemos aplicado el Cuestionario de 

Usiskin al único grupo de sexto curso de Educación Primaria. 

La armonía es la unificación de lo diverso  
y la disposición concordante de lo discordante. 
 

Filolao de Crotona  
(Discípulo de Pitágoras) 

 



Florencio López de Silanes 

 

506 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

- El IES Juan de la Cierva. Es un instituto de titularidad pública donde se 

cursan las etapas de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato. En 

este centro se ha aplicado el cuestionario a dos grupos de cuarto curso 

de ESO y a tres de primer curso de Bachillerato. 

- El Colegio Montpellier es un centro situado en el Barrio de la Concepción, 

de titularidad privada pero que imparte enseñanzas de forma 

concertada. En este centro han cumplimentado el Cuestionario de 

Usiskin los alumnos de cuatro grupos de sexto curso de Educación 

Primaria, dos grupos de cuarto curso de ESO y otros dos grupos de 

segundo curso de Bachillerato. 

- El colegio Khalil Gibran se encuentra ubicado en la ciudad madrileña de 

Fuenlabrada. Es un centro totalmente privado donde han cumplimentado 

el Cuestionario de Usiskin un grupo de sexto curso de Educación 

Primaria, dos grupos de cuarto curso de Educación Secundaria (uno de 

ciencias y otro de letras), y dos grupos de segundo curso de Bachillerato 

(uno de ciencias y otro de letras). 

Pero el campo de experimentación de nuestros cuestionarios fueron los 

alumnos universitarios de las Facultades de Educación de la Universidad 

Autónoma de Madrid y Universidad Complutense de Madrid. Las tareas de 

homologación, validación y optimización se realizaron con alumnos 

universitarios. Además, en el campus universitario hemos aplicado los 

diferentes cuestionarios a los grupos que detallaremos posteriormente. 

- En la Facultad de Formación del Profesorado de la Universidad Autónoma 

de Madrid han respondido a nuestros cuestionarios un grupo de primer 

curso de la especialidad Educación Primaria, otro grupo de segundo curso 

de la especialidad Educación Infantil y cinco grupos de segundo curso de 

la especialidad Educación Primaria. 

- A nivel global de la Universidad Autónoma de Madrid cumplimentó el 

cuestionario el grupo de la asignatura Geometría Sagrada, con alumnos 

de diversas facultades del Campus. 

- Finalmente, respondió también al Cuestionario de Usiskin un grupo de 

segundo curso de la especialidad Educación Infantil de la Facultad de 

Educación de la Universidad Complutense de Madrid. 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  507 
 

Si todos los alumnos de Educación Primaria, Secundaria y Bachillerato 

realizaron solo el Cuestionario de Usiskin, una parte de los alumnos 

universitarios cumplimentó varios cuestionarios diferentes. (Usiskin, 1982). Los 

cuestionarios aplicados en este trabajo de campo son los siguientes: 

- Cuestionario de Usiskin, es el que tomaremos por referencia en este 

trabajo, de forma que los datos o resultados de otros cuestionarios los 

convertiremos en formato el estándar del cuestionario de Usiskin, 

siempre que esto sea posible. Las medidas estándar del Cuestionario de 

Usiskin las describimos en el Capítulo nueve, así como su fiabilidad y 

validez. (Ibídem). 

- El Cuestionario de Autovaloración fue aplicado de forma singular a 

algunos grupos de la Universidad Autónoma de Madrid. A dos grupos de 

dicha universidad se aplicó ambos cuestionarios para estudiar la 

reducción o conversión de los resultados del Cuestionario de 

Autovaloración al Cuestionario de Usiskin. En el capítulo 10 estudiamos 

esta conversión, así como la fiabilidad y la validez de los resultados 

obtenidos mediante el Cuestionario de Autovaloración. El Cuestionario 

de Autovaloración se ha aplicado en dos modalidades: la modalidad de 

Geometría y la de Medida, de acuerdo con el contenido de los ítems de 

dichos cuestionarios. 

- El Cuestionario de Conocimiento lo aplicamos a dos grupos de la 

Universidad Autónoma de Madrid antes de comenzar este trabajo, para 

hacernos una idea del nivel en geometría de los alumnos de las 

facultades de Educación. Aunque los resultados de este cuestionario no 

están relacionados con los otros dos, los mostraremos también, ya que 

son muy ilustrativos sobre el nivel de los alumnos en los temas básicos de 

la geometría euclidiana. 

En la planificación de los cuestionarios se tuvo presente además de la 

medida del nivel de razonamiento de van Hiele, la evaluación de algunas 

cuestiones relativas a la enseñanza de la geometría en las diferentes etapas 

educativas, así como el gusto o la empatía de los alumnos hacia este área de 

conocimiento, y cómo les gustaría que se les enseñara la geometría. 

De esta forma, en cada ítem de los cuestionarios de Usiskin y 

Autovaloración, se pidió a los alumnos que se manifestaran en tres aspectos 

relacionados con la enseñanza de la geometría: 



Florencio López de Silanes 

 

508 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

- Como había estudiado la geometría el alumno de acuerdo al contenido 

de cada ítem, si lo había estudiado o no, si lo había estudiado pero no lo 

aprendió en su día, o si lo había estudiado y aprendido en su día. 

- Cómo le gustaría que le enseñaran la geometría, para lo cual les 

presentaron nueve opciones diferentes para que seleccionaran hasta tres 

por ítem, relativas a cómo les hubiera gustado recibir esos conocimientos 

de geometría, tanto en el pasado como en los estudios presentes. 

- Finalmente, en cada ítem de los cuestionarios de Usiskin y de 

Autovaloración se le pregunta al alumno si le gusta es el contenido, o si 

no le gusta, o si le gusta bastante. 

Los resultados de estos tres últimos cuestionarios son independientes 

de los cuestionarios anteriores, y sus resultados no son reducibles, por lo que se 

presentan de forma independiente a los cuestionarios para la determinación del 

nivel de razonamiento de van Hiele. Los resultados de estos tres cuestionarios 

se presentan y analizan en el capítulo siguiente. 

En este capítulo solamente analizaremos el Cuestionario de 

Conocimiento por ser el que motivó esta investigación. Entendemos que sus 

resultados son tan convincentes y claros, que hemos considerado conveniente 

asociarlo a las características de la muestra, aunque el cuestionario de 

Conocimiento solamente se aplicó a una parte muy pequeña de esta muestra. 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  509 
 

11.2.- Metodología 

11.2.1.- Los alumnos 

Examinaremos a continuación como se ha procedido en este trabajo de 

campo, cuyo objetivo es la medida del nivel de razonamiento de van Hiele de los 

alumnos y su análisis, así como que nos comuniquen sus preferencias en el 

estudio de la geometría, y las conclusiones que de ello puedan derivarse.  

En este estudio de campo participaron 934 alumnos con edades 

comprendidas entre 11 y 51 años, distribuidos en las etapas educativas que van 

desde Educación Primaria a la Universitaria. Los alumnos cursaban estudios en 

seis centros diferentes entre los años 2008 y 2010, ambos inclusive. La 

distribución de los alumnos según los centros es la que sigue: 

 

Alumnos por Centros 

Centro Total  

CEIP_CV 29 

IESJC 139 

KHALIL GIBRAN 63 

MONTPELLIER 232 

UAM 412 

UCM 59 

Total  934 
Tabla 1 

 

La Facultad de Formación del Profesorado de la Universidad Autónoma 

de Madrid es donde mayor número de alumnos han respondido a nuestros 

cuestionarios. Esto es así por dos razones: al pertenecer a dicho centro yo como 

profesor de matemáticas, tengo mayor contacto con estos alumnos que han 

colaborado siempre en la homologación de los cuestionarios, y en la puesta a 

punto de los protocolos de aplicación de los cuestionarios. La validación de los 

resultados de los cuestionarios también se ha hecho con estos alumnos, ya que 

al ser muchos de ellos alumnos míos disponía de otras fuentes de información 

para cualificarlos. Con los procedimientos testeados en este banco de pruebas 

hemos aplicado los cuestionarios al resto de los alumnos. 

Ha sido muy importante contar con la colaboración del Colegio 

Montpellier de titularidad concertada, ya que al ser un colegio muy importante 



Florencio López de Silanes 

 

510 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

de casi 2000 alumnos, nos ha permitido aplicar los cuestionarios a varios grupos 

del último curso de las etapas de Educación Primaria, Secundaria y Bachillerato. 

Al contar con la participación de otros colegios de otras titularidades, 

nos ha permitido abarcar totalmente el abanico de las titularidades de los 

centros educativos, yendo desde centros totalmente privados como el colegio 

Khalil Gibran hasta las escuelas o institutos públicos como el grupo escolar 

Carlos V o el Instituto Juan de la Cierva. 

Todas las colaboraciones han sido importantes con independencia del 

número de alumnos que aportara el centro a este proyecto, variando desde los 

29 alumnos del grupo escolar Carlos V, a los 412 de la Universidad Autónoma de 

Madrid. 

Los cuestionarios se aplicaron a 29 grupos de diferentes centros y 

etapas educativas como se muestra en la tabla 2. 

Se ha pretendido que la codificación de los grupos sea lo más auto 

explicativa posible, recogiendo en el nombre de cada grupo de los centros de 

enseñanza media el nombre del centro educativo, el curso y la especialidad 

(ciencias o letras) cuando ha sido posible. De esta forma en las referencias 

aparecen los números 6 o 4 refiriéndose a los cursos sexto de Primaria o cuarto 

de Secundaria, y el 1 o el 2 indican el primer o segundo curso de Bachillerato. 

Los grupos de Enseñanza Universitaria se han codificado poniendo en 

primer lugar el nombre de la Universidad (UAM o UCM), seguido del curso y la 

especialidad de Magisterio (1PRI, 2INF o 2PRI para indicar primero de Educación 

Primaria, segundo de Infantil o segundo de Primaria respectivamente), seguido 

del turno (MAÑ o TAR para indicar los turnos de mañana o tarde 

respectivamente) y el curso académico en que se aplicó el cuestionario. El grupo 

de Geometría Sagrada se ha codificado como UAM_SACRA_2008, por no 

pertenecer a la licenciatura de Magisterio.  

No aparece el número de alumnos del grupo  UAM_2PRI_TAR_2010 

BOLONIA por estar todos incluidos en el grupo UAM_1PRI_TAR_2010. 

 

 

 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  511 
 

Distribución de los alumnos por grupos 

Centro Grupo Total  

CEIP_CV CEIP_CV_6 29 

Total CEIP_CV  29 

IESJC IESJC_1A 30 

 IESJC_1B 35 

 IESJC_1E 36 

 IESJC_4B 22 

 IESJC_4D 16 

Total IESJC  139 

KHALIL GIBRAN KHALIL GIBRAN_2CIENCIAS 19 

 KHALIL GIBRAN_2LETRAS 13 

 KHALIL GIBRAN_4CIENCIAS 11 

 KHALIL GIBRAN_4LETRAS 5 

 KHALIL GIBRAN_6 15 

Total KHALIL 

GIBRAN  63 

MONTPELLIER MONTPELLIER_2A 25 

 MONTPELLIER_2B 27 

 MONTPELLIER_4A 25 

 MONTPELLIER_4B 25 

 MONTPELLIER_4C 22 

 MONTPELLIER_6A 27 

 MONTPELLIER_6B 26 

 MONTPELLIER_6C 27 

 MONTPELLIER_6D 28 

Total 

MONTPELLIER  232 

UAM UAM_1PRI_TAR_2010 91 

 UAM_2INF_TAR_2010 49 

 UAM_2PRI_MAÑ_2009 47 

 UAM_2PRI_MAÑ_2010 77 

 UAM_2PRI_TAR_2009 69 

 UAM_2PRI_TAR_2010 50 

 

UAM_2PRI_TAR_2010 

BOLONIA  

 UAM_SACRA_2008 29 

Total UAM  412 

UCM UCM_2INF_MAÑ_2010 59 

Total UCM  59 

Total    934 

Tabla 2 

 



Florencio López de Silanes 

 

512 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Pero quizá lo más interesante sea la distribución de los alumnos con 

respecto a las etapas educativas especificando además el cuestionario aplicado 

en cada caso como se indica. 

 
Alumnos que han participado en los cuestionarios 

Cuestionario Modalidad Etapa Grupo Total 

Autovaloración Geometría Universidad UAM_1PRI_TAR_2010 91 

  

 

  UAM_2PRI_MAÑ_2009 47 

  

 

  UAM_2PRI_TAR_2009 69 

  

 

  UAM_SACRA_2008 29 

  

 

Total Universidad 

 

236 

  Total Geometría 

  

236 

Total Autoval 

   

236 

Usiskin General Primaria CEIP_CV_6 29 

  

 

  KHALIL GIBRAN_6 15 

  

 

  MONTPELLIER_6A 27 

  

 

  MONTPELLIER_6B 26 

  

 

  MONTPELLIER_6C 27 

  

 

  MONTPELLIER_6D 28 

  

 

Total Primaria 

 

152 

  

 

Secundaria IESJC_4B 22 

  

 

  IESJC_4D 16 

  

 

  KHALIL GIBRAN_4CIENCIAS 11 

  

 

  KHALIL GIBRAN_4LETRAS 5 

  

 

  MONTPELLIER_4A 25 

  

 

  MONTPELLIER_4B 25 

  

 

  MONTPELLIER_4C 22 

  

 

Total Secundaria 

 

126 

  

 

Bachillerato IESJC_1A 30 

  

 

  IESJC_1B 35 

  

 

  IESJC_1E 36 

  

 

  KHALIL GIBRAN_2CIENCIAS 19 

  

 

  KHALIL GIBRAN_2LETRAS 13 

  

 

  MONTPELLIER_2A 25 

  

 

  MONTPELLIER_2B 27 

  

 

Total Bachillerato 

 

185 

  

 

Universidad UAM_2INF_TAR_2010 49 

  

 

  UAM_2PRI_MAÑ_2010 77 

  

 

  UAM_2PRI_TAR_2010 50 

  

 

  UCM_2INF_MAÑ_2010 59 

  

 

Total Universidad 

 

235 

  Total General 

  

698 

Total Usiskin 

   

698 

Total general       934 

Tabla 3 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  513 
 

La tabla 3 cuenta con 28 grupos ya que no muestra el grupo 

UAM_2PRI_TAR_2010 BOLONIA por estar sus alumnos incluidos en el grupo 

UAM_1PRI_TAR_2010. 

Recordemos que hemos aplicado dos cuestionarios para la medida del 

nivel de razonamiento de van Hiele: el de Usiskin y el de Autovaloración. A su 

vez, el Cuestionario de Autovaloración presenta dos modalidades: Geometría y 

Medida,  mientras que el Cuestionario de Usiskin presenta una única modalidad 

que hemos llamado General. Así, si no se muestra en la tabla 3 la modalidad de 

Medida para el Cuestionario de Autovaloración, es porque todos los alumnos 

que realizaron el cuestionario de Medida complementaron también el de 

Geometría, de forma que todos los alumnos que realizaron el cuestionario de 

Medida realizaron también el cuestionario de Geometría. De igual forma, no se 

registra en la tabla 3 a los alumnos que respondieron al Cuestionario de 

Conocimiento ya que todos ellos realizaron también el Cuestionario de 

Autovaloración en la modalidad de Geometría. 

Los datos personales que aportaron los alumnos en los cuestionarios 

fueron grabados en el “Fichero de los Alumnos” que con tiene un registro por 

cada alumno, como son 934 alumnos, el fichero contiene el mismo número de 

registros. En el Apéndice A listamos los datos más relevantes de los alumnos 

como: su nombre, edad, sexo, centro al que pertenecen, curso, grupo, 

especialidad en Bachillerato, nombre y titularidad del centro, etc. 

En el Apéndice B mostramos los alumnos que han realizado varios 

cuestionarios, para estudiar los solapes de los alumnos, y las acciones tomadas 

para que no se cuenten varias veces. 

En el Apéndice C mostramos el listado de las respuestas al cuestionario 

CG o Cuestionario de Conocimiento, con un registro por cada alumno que 

contiene tanto las calificaciones y las notas porcentuales a los cinco ejercicios. 

 



Florencio López de Silanes 

 

514 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

11.2.2.- Los cuestionarios 

 

En este apartado analizaremos las distribuciones de los 1120 

cuestionarios. Como muestra la tabla 4, la mayoría de los cuestionarios 

aplicados corresponden al Cuestionario de Usiskin, del que se aplicaron 727 en 

las cuatro etapas educativas, estando equilibrados los cuestionarios aplicados 

en Educación Primaria, Secundaria y Bachillerato en torno a 150, mientras que 

se disparan los cuestionarios aplicados en la enseñanza universitaria a 264. Con 

estos 727 cuestionarios de Usiskin determinaremos los niveles de razonamiento 

de van Hiele de los alumnos de estas cuatro etapas. 

 

Cuestionarios realizados por Niveles 

Cuestionario Modalidad Etapa Total 

Conocimiento Problemas Universidad 87 

Total 

Conocimiento     87 

Autovaloración Geometría Universidad 251 

  Total Geometría   251 

  Medida Universidad 55 

  Total Medida   55 

Total Autoval     307 

Usiskin General Primaria 152 

    Secundaria 126 

    Bachillerato 185 

    Universidad 264 

Total Usiskin     727 

Total      1120 
Tabla 4 

 

Con el objetivo de la determinación del nivel de razonamiento de van 

Hiele, se aplicaron 307 cuestionarios a alumnos universitarios, de los que 55 lo 

fueron en la modalidad de Medida y el resto en la modalidad general de 

Geometría. Éstos cuestionarios fueron los primeros que elaboramos y los 

primeros que aplicamos, y nos permitieron ver las posibles diferencias en los 

niveles de razonamiento de van Hiele aplicados a los conocimientos generales 

de la geometría y a las medidas geométricas. No olvidemos que tanto el dibujo 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  515 
 

como las medidas geométricas son actividades inherentes al estudio y la 

aplicación de la geometría. 

Por otra parte, los 307 Cuestionarios de Autovaloración para la 

determinación de los niveles de razonamiento de van Hiele, sumados a los 727 

Cuestionarios de Usiskin, amplía nuestro campo de los resultados a 1034 

cuestionarios para la determinación del nivel de razonamiento. 

Los cuestionarios que hemos denominado de Conocimiento están 

basados en ejercicios elementales sobre temas básicos de geometría, y no están 

encaminados a la determinación del nivel de razonamiento de van Hiele de los 

alumnos universitarios, sino que fue el primer cuestionario que realizamos para 

estimar su grado de conocimiento, y ver si fallaban y hasta qué nivel eran 

importantes estas carencias en los temas más elementales de la geometría. 

En la tabla 5 mostramos la distribución de los cuestionarios por el tipo 

de cuestionario, las etapas educativas y los centros en que los alumnos 

cursaban sus estudios. 

Distribución de los cuestionarios por Centros y Cuestionarios 

Tipo Cuestionario C
o

n
o

ci
m

ie
n

to
 

To
ta

l C
o

n
o

ci
m

ie
n

to
 

A
u

to
va

lo
ra

ci
ó

n
 

      To
ta

l A
u

to
va

l 

U
si

sk
in

 

        To
ta

l U
si

sk
in

 

To
ta

l  

Modalidad P
ro

b
le

m
as

 

  G
e

o
m

e
tr

ía
 

To
ta

l G
e

o
m

e
tr

ía
 

M
e

d
id

a 

To
ta

l M
e

d
id

a 

  G
e

n
e

ra
l 

      To
ta

l G
e

n
e

ra
l 

    

Etapas U
n

iv
e

rs
id

ad
 

  U
n

iv
e

rs
id

ad
 

  U
n

iv
e

rs
id

ad
 

    P
ri

m
ar

ia
 

Se
cu

n
d

ar
ia

 

B
ac

h
ill

e
ra

to
 

U
n

iv
e

rs
id

ad
 

      

CEIP_CV        29       29 29 29 

IESJC          38 101   139 139 139 

KHALIL GIBRAN        15 16 32   63 63 63 

MONTPELLIER        108 72 52   232 232 232 

UAM 87 87 251 251 55 55 307       205 205 205 598 

UCM              59 59 59 59 

Total  87 87 251 251 55 55 307 152 126 185 264 727 727 1120 

Tabla 5 

 



Florencio López de Silanes 

 

516 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Efectivamente, la tabla 5 nos permite conocer más de cerca la 

aplicación de los cuestionarios. Resaltemos una vez más que a los alumnos de 

Educación Primaria, Secundaria y Bachillerato sólo les fue aplicado una vez el 

cuestionario de Usiskin, mientras que a algunos alumnos universitarios se les 

aplicó varios cuestionarios. 

En este sentido nos llama la atención que en la Universidad Autónoma 

de Madrid se aplicaron casi la mitad de los cuestionarios, ya que la línea 

correspondiente a la UAM contiene los 87 Cuestionarios de Conocimiento, los 

251 cuestionarios de la modalidad de Geometría, los 55 cuestionarios de la 

modalidad de Medida, estos dos últimos como Cuestionarios de Autovaloración, 

a los que hay que sumar los 205 cuestionarios de Usiskin, totalizando así los 598 

cuestionarios que fueron aplicados a los alumnos de la UAM. 

Entre los cuestionarios aplicados en Enseñanza Media, destacamos por 

el número los 108 cuestionarios aplicados en Primaria en el colegio Montpellier, 

así como los 101 cuestionarios de Bachillerato del Instituto de Juan de la Cierva, 

como exponentes de las mayores concentraciones de alumnos de Educación 

Primaria en los colegios Concertados y de Bachillerato en los Institutos Públicos. 

Pero la radiografía más precisa de la aplicación de los cuestionarios por 

grupos la presentamos en la tabla 6. 

Los grupos más numerosos de enseñanza media fueron los del Instituto 

Público Juan de la Cierva donde todos los grupos de Bachillerato superaban los 

30 alumnos, mientras que en los grupos de Secundaria de dicho centro estaban 

alrededor de 20 alumnos. Esto es sin duda, una consecuencia del movimiento 

de alumnos hacia los institutos públicos para estudiar Bachillerato.  

En contrapartida los grupos menos numerosos son los del colegio Khalil 

Gibran en todas las etapas educativas. Este hecho pudiera estar vinculado sin 

duda, a la titularidad privada de este colegio, y por tanto, es el más selectivo de 

todos por razones económicas. 

 

 

 

 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  517 
 

Cuestionarios aplicados 

Cuestionario Modalidad Centro Grupo Total 

Conocimiento Problemas UAM UAM_2PRI_TAR_2009 53 

      UAM_2PRI_TAR_2010 34 

    Total UAM 

 

87 

  Total Problemas 

  

87 

Total Conocimiento 

   

87 

Autovaloración Geometría UAM UAM_1PRI_TAR_2010 81 

      UAM_2PRI_MAÑ_2009 47 

      UAM_2PRI_TAR_2009 63 

      UAM_2PRI_TAR_2010 31 

      UAM_SACRA_2008 29 

    Total UAM 

 

251 

  Total Geometría 

  

251 

  Medida UAM UAM_2PRI_TAR_2009 55 

    Total UAM 

 

55 

  Total Medida 

  

55 

Total Autoval 

   

306 

Usiskin General CEIP_CV CEIP_CV_6 29 

    Total CEIP_CV 

 

29 

    IESJC IESJC_1A 30 

      IESJC_1B 35 

      IESJC_1E 36 

      IESJC_4B 22 

      IESJC_4D 16 

    Total IESJC 

 

139 

    KHALIL GIBRAN KHALIL GIBRAN_2CIENCIAS 19 

      KHALIL GIBRAN_2LETRAS 13 

      KHALIL GIBRAN_4CIENCIAS 11 

      KHALIL GIBRAN_4LETRAS 5 

      KHALIL GIBRAN_6 15 

    Total KHALIL GIBRAN 

 

63 

    MONTPELLIER MONTPELLIER_2A 25 

      MONTPELLIER_2B 27 

      MONTPELLIER_4A 25 

      MONTPELLIER_4B 25 

      MONTPELLIER_4C 22 

      MONTPELLIER_6A 27 

      MONTPELLIER_6B 26 

      MONTPELLIER_6C 27 

      MONTPELLIER_6D 28 

    Total MONTPELLIER 

 

232 

    UAM UAM_2INF_TAR_2010 49 

      UAM_2PRI_MAÑ_2010 77 

      UAM_2PRI_TAR_2010 43 

      UAM_2PRI_TAR_2010 BOLONIA 36 

    Total UAM 

 

205 

    UCM UCM_2INF_MAÑ_2010 59 

    Total UCM 

 

59 

  Total General 

  

727 

Total Usiskin 

   

727 

Total general       1120 

Tabla 6 

 

La configuración de los grupos de alumnos universitarios es más 

numerosa y heterogénea. 



Florencio López de Silanes 

 

518 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Quizás pueda llamar la atención la presencia de 33 grupos en la tabla 6. 

Este hecho es causado por la repetición de los grupos a los que se han aplicado 

varios cuestionarios. Recordemos que nuestra referencia son 29 grupos 

diferentes. 

La tabla 7 muestra los cuestionarios aplicados por centros, grupos, 

cuestionarios, modalidades de cuestionarios, y etapas educativas. Es la mayor 

explicitación de los datos que mostramos en este trabajo, totalizándose el 

número de cuestionarios a nivel de las etapas educativas y de los centros de 

enseñanza. 

En esta tabla pueden diferenciarse bien aquellos grupos que han 

realizado varios cuestionarios como son: 

- En el grupo UAM_2PRI_TAR_2009, 53 alumnos realizaron el cuestionario 

de Conocimiento, 63 el cuestionario de Autovaloración en su modalidad 

de Geometría y 55 el mismo cuestionario en la modalidad de Medida. 

- En el grupo UAM_2PRI_TAR_2010, 34 alumnos realizaron el cuestionario 

de Conocimiento, 31 el cuestionario de Autovaloración en la modalidad 

de Geometría, y 43 el cuestionario de Usiskin. Vemos cómo este grupo 

fue utilizado para comparar los niveles de razonamiento de van Hiele 

resultantes de los cuestionarios de Autovaloración y Usiskin. 

- Por otra parte, los 36 alumnos del grupo UAM_2PRI_TAR_2010 BOLONIA 

que realizaron el cuestionario de Usiskin son una parte de los 81 alumnos 

del grupo UAM_1PRI_TAR_2010 que complementaron el cuestionario de 

Autovaloración en la modalidad de geometría. 

El estudio que hemos realizado de los solapamientos de los 

cuestionarios para estos tres grupos de alumnos, se muestra en el Apéndice B, 

con las tablas realizadas para no contar varias veces los alumnos que han 

complementado varios cuestionarios. 

 

 

 

 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  519 
 

Distribución de los cuestionarios realizadas 

Centro Grupo                     

Cuestionario  C
o

n
o

ci
m

ie
n

to
 

A
u

to
va

lo
ra

ci
ó

n
 

  To
ta

l A
u

to
va

l 

Usiskin To
ta

 U
si

sk
in

 

To
ta

l  

Modalidad  P
ro

b
le

m
as

 

G
e

o
m

e
tr

ía
 

M
e

d
id

a 

  General   

Etapa  U
n

iv
er

si
d

ad
 

U
n

iv
er

si
d

ad
 

U
n

iv
er

si
d

ad
 

  P
ri

m
ar

ia
 

Se
cu

n
d

ar
ia

 

B
ac

h
ill

e
ra

to
 

U
n

iv
er

si
d

ad
 

  

CEIP_CV CEIP_CV_6     29      29 29 

Total CEIP_CV      29      29 29 

IESJC IESJC_1A         30  30 30 

 IESJC_1B         35  35 35 

 IESJC_1E         36  36 36 

 IESJC_4B       22    22 22 

 IESJC_4D       16    16 16 

Total IESJC       38 101  139 139 

KHALIL GIBRAN KHALIL GIBRAN_2CIENCIAS         19  19 19 

 KHALIL GIBRAN_2LETRAS         13  13 13 

 KHALIL GIBRAN_4CIENCIAS       11    11 11 

 KHALIL GIBRAN_4LETRAS       5    5 5 

 KHALIL GIBRAN_6     15      15 15 

Total KHALIL GIBRAN      15 16 32  63 63 

MONTPELLIER MONTPELLIER_2A         25  25 25 

 MONTPELLIER_2B         27  27 27 

 MONTPELLIER_4A       25    25 25 

 MONTPELLIER_4B       25    25 25 

 MONTPELLIER_4C       22    22 22 

 MONTPELLIER_6A     27      27 27 

 MONTPELLIER_6B     26      26 26 

 MONTPELLIER_6C     27      27 27 

 MONTPELLIER_6D     28      28 28 

Total MONTPELLIER      108 72 52  232 232 

UAM UAM_1PRI_TAR_2010  81   81       81 

 UAM_2INF_TAR_2010          49 49 49 

 UAM_2PRI_MAÑ_2009  47   47       47 

 UAM_2PRI_MAÑ_2010          77 77 77 

 UAM_2PRI_TAR_2009 53 63 55 119       171 

 UAM_2PRI_TAR_2010 34 31   31    43 43 108 

 UAM_2PRI_TAR_2010 BOLONIA          36 36 36 

 UAM_SACRA_2008  29   29       29 

Total UAM  87 251 55 307    205 205 600 

UCM UCM_2INF_MAÑ_2010        59 59 59 

Total UCM         59 59 59 

Total    87 251 55 307 152 126 185 264 727 1120 

Tabla 7 

 



Florencio López de Silanes 

 

520 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

La misma tabla muestra claramente los cuestionarios realizados por los 

alumnos universitarios de esta forma: 

- Cuatro grupos realizaron el cuestionario de Usiskin. 

- Cinco grupos cumplimentaron el cuestionario de Autovaloración en la 

modalidad de Geometría. 

- Un grupo realizó el cuestionario de Autovaloración en la modalidad de 

Medida. 

- Dos grupos hicieron el cuestionario de Conocimiento. 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  521 
 

11.2.3.- El proceso de datos 

Los datos obtenidos de los cuestionarios fueron grabados en dos 

ficheros diferentes: uno con los datos de los alumnos y el otro con las 

respuestas a los cuestionarios. 

Distribución de los registros informáticos de los cuestionarios 

Centro Grupo                     

Cuestionario 

 

C
o

n
o

ci
m

ie
n

to
 

A
u

to
va

lo
ra

ci
ó

n
 

  To
ta

l A
u

to
va

l 

Usiskin To
ta

l U
si

sk
in

 

To
ta

l 

Modalidad 

 

P
ro

b
le

m
as

 

G
e

o
m

e
tr

ía
 

M
e

d
id

a 

  General     

Etapa 

 

U
n

iv
er

si
d

ad
 

U
n

iv
er

si
d

ad
 

U
n

iv
er

si
d

ad
 

  P
ri

m
ar

ia
 

Se
cu

n
d

ar
ia

 

B
ac

h
ill

e
ra

to
 

U
n

iv
er

si
d

ad
 

    

CEIP_CV CEIP_CV_6 

    

725       725 725 

Total CEIP_CV 

     

725 

   

725 725 

IESJC IESJC_1A 

    

    750   750 750 

 

IESJC_1B 

    

    875   875 875 

 

IESJC_1E 

    

    900   900 900 

 

IESJC_4B 

    

  550     550 550 

 

IESJC_4D 

    

  400     400 400 

Total IESJC 

      

950 2525 

 

3475 3475 

KHALIL GIBRAN KHALIL GIBRAN_2CIENCIAS 

    

    475   475 475 

 

KHALIL GIBRAN_2LETRAS 

    

    325   325 325 

 

KHALIL GIBRAN_4CIENCIAS 

    

  275     275 275 

 

KHALIL GIBRAN_4LETRAS 

    

  125     125 125 

 

KHALIL GIBRAN_6 

    

375       375 375 

Total KHALIL GIBRAN 

     

375 400 800 

 

1575 1575 

MONTPELLIER MONTPELLIER_2A 

    

    625   625 625 

 

MONTPELLIER_2B 

    

    675   675 675 

 

MONTPELLIER_4A 

    

  625     625 625 

 

MONTPELLIER_4B 

    

  625     625 625 

 

MONTPELLIER_4C 

    

  550     550 550 

 

MONTPELLIER_6A 

    

675       675 675 

 

MONTPELLIER_6B 

    

650       650 650 

 

MONTPELLIER_6C 

    

675       675 675 

 

MONTPELLIER_6D 

    

700       700 700 

Total MONTPELLIER 

     

2700 1800 1300 

 

5800 5800 

UAM UAM_1PRI_TAR_2010 

 

1458   1458 

   

  

 

1458 

 

UAM_2INF_TAR_2010 

 

    

    

1225 1225 1225 

 

UAM_2PRI_MAÑ_2009 

 

846   846 

   

  

 

846 

 

UAM_2PRI_MAÑ_2010 

 

    

    

1925 1925 1925 

 

UAM_2PRI_TAR_2009 53 1134 605 1739 

   

  

 

1792 

 

UAM_2PRI_TAR_2010 34 558   558 

   

1075 1075 1667 

 

UAM_2PRI_TAR_2010 BOLONIA 

 

    

    

900 900 900 

 

UAM_SACRA_2008 

 

522   522 

   

  

 

522 

Total UAM 

 

88 4518 605 5123 

   

5125 5125 10347 

UCM UCM_2INF_MAÑ_2010 

       

1475 1475 1475 

Total UCM 

        

1475 1475 1475 

Total    87 4518 605 5123 3800 3150 4625 6600 18175 23387 

Tabla 8 

 



Florencio López de Silanes 

 

522 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

El fichero de los datos de los alumnos contiene un registro por alumno, 

es decir 934 registros. El listado del Apéndice A es un extracto del fichero, 

donde se han listado sólo los datos más relevantes. 

En el fichero de las respuestas de los cuestionarios grabamos un registro 

por cada ítem, de forma que este fichero tiene 23.387 registros. El número de 

registros grabados varía según los cuestionarios, así para los cuestionarios de 

conocimiento se grabó un registro por cada alumno, mientras que para los 

cuestionarios de Usiskin se grabaron 25 registros por cada cuestionario. En el 

cuestionario de Autovaloración de la modalidad Geometría se grabaron 18 

registros, y en la modalidad Medida 11 registros por cuestionario.  

La tabla 8 muestra la distribución de los registros del Fichero de 

Respuestas de los cuestionarios por los cuestionarios aplicados, etapas y grupos 

de alumnos.  

Para los grupos de las etapas de Enseñanza Primaria, Secundaria y 

Bachillerato existe una relación sencilla entre el número de registros y el de 

alumnos, ya que al aplicarse un cuestionario por alumno, para obtener el 

número de registros bastará multiplicar por 25 el número de alumnos. Sin 

embargo para los alumnos universitarios la relación es más compleja al tener 

cuestionarios con distinto número de ítems, y diferente número de registros por 

ítem como es el caso del cuestionario de Conocimiento. 

Como hemos dicho, en cada registro grabamos las respuestas a cada 

ítem, y recordemos que en cada ítem contiene las siguientes respuestas: 

- Respuestas para la determinación del nivel de razonamiento de van 

Hiele. 

- Respuestas de cómo se le ha enseñado la geometría. 

- Respuestas de cuanto le gusta la geometría. 

- Respuestas de cómo le hubiera gustado al alumno que le hubieran 

enseñado el contenido de dicho ítem. 

Es decir, cada registro contiene mucha información, toda la información 

necesaria para reconstruir posteriormente la respuesta completa al ítem 

respondido por el alumno. 

Los listados de las respuestas a los ítems de los cuestionarios para 

determinar el nivel de razonamiento de van Hiele de los alumnos los mostramos 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  523 
 

en los Apéndices de los dos capítulos siguientes, donde serán estudiados y 

analizados. Así el Apéndice A del siguiente capítulo muestra las respuestas de 

una parte de los contenidos de los registros, donde los alumnos expresan su 

punto de vista sobre cómo han aprendido la geometría. Es una visión subjetiva, 

pero es la única que los alumnos pueden aportar sobre esta cuestión. En el 

Apéndice B del siguiente capítulo mostramos las respuestas dadas por los 

alumnos a la pregunta si les gusta o no, o cuánto les gusta el tema de cada uno 

de los ítems de los cuestionarios. Y en el Apéndice C del siguiente capítulo 

listamos las respuestas emitidas por los alumnos sobre cómo les gustaría que les 

enseñarán el tema geométrico asociado a cada uno de los ítems. 

Gráfico  1  



Florencio López de Silanes 

 

524 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

           La gráfica 1 esquematiza de forma global el proceso de los datos que 

hemos realizado en este trabajo. La captura de los datos de los cuestionarios de 

Usiskin, Autovaloración, y de Conocimiento se ha realizado sobre hojas de 

formato Excel. Los resultados de los cuestionarios de Usiskin y de 

Autovaloración en las modalidades de Geometría y Medida tienen el mismo 

formato, de un registro por cada ítem. Sin embargo los resultados del 

Cuestionario de Conocimiento se grabaron en un formato diferente, utilizando 

un registro para cada cuestionario. 

No obstante, todos los datos de los cuestionarios se grabaron en el 

Fichero de Respuestas con independencia del cuestionario del que provinieran, 

ya en que cada registro existen unos campos que identifican el cuestionario y la 

modalidad de cuestionario al que el registro está asociado. 

De la misma forma, los datos asociados a los alumnos se grabaron en el 

Fichero de Alumnos, cruzándose ambos ficheros por la Referencia asociada a 

cada alumno, que es la clave más importante utilizada en el tratamiento de 

datos. 

Cruzando los datos de de los ficheros de Alumnos y Respuestas, se han 

creado otros ficheros específicos que han permitido los listados y los procesos 

asociados a todos los cuestionarios, como se indica en la gráfica 1. 

 

 

 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  525 
 

11.3.- Análisis de las muestras 

 

Entenderemos por análisis de las muestras el estudio relativo a las 

personas y a los cuestionarios que han participado en esta investigación. No 

realizaremos en este apartado un análisis de los contenidos, pero sí del 

comportamiento de las muestras respecto a las variables estadísticas que los 

alumnos y los cuestionarios llevan asociados. 

 

11.3.1.- Análisis de la muestra de alumnos 

 

Vamos a proceder a continuación a estudiar la distribución de la 

muestra de alumnos que han realizado los diferentes cuestionarios con respecto 

a las variables estadísticas de los alumnos que respondieron a los cuestionarios.  

 

11.3.1.1.- Etapas Educativas de los alumnos y la Titularidad del Centro 

Para el estudio de la composición de la muestra de alumnos según la 

titularidad del centro donde cursan actualmente estudios y las correspondientes 

etapas educativas de los cursos cuando cumplimentaron los cuestionarios, 

hemos elaborado la tabla 9. 

 

Alumnos según Etapas y Titularidad del Centro 

Titularidad Primaria Secundaria Bachillerato Universidad Total 

Público 29 38 101 471 639 

Concertado 108 72 52 

 

232 

Privado 15 16 32 

 

63 

Total 152 126 185 471 934 
Tabla 9 

 

Una de las características de la muestra con que trabajamos es que 

todos los alumnos universitarios están realizando sus estudios en universidades 

públicas, lo cual puede descompensar de alguna manera los resultados 

estadísticos. 



Florencio López de Silanes 

 

526 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Pero lo importante es estudiar las distribuciones según los parámetros 

que hemos apuntado. Desde el punto de vista de las etapas educativas los 

alumnos se distribuyen de acuerdo a la gráfica 2, donde vemos que el 50% de 

los alumnos de la muestra son universitarios. La pertenencia de los alumnos a 

las tres etapas anteriores está equilibrada, con un 16% de alumnos de 

Educación Primaria, un 14% de Secundaria y un 20% de alumnos de Bachillerato.  

 

 
Gráfico  2 

 

Desde el punto de vista de la titularidad del centro que realiza estudios, 

la distribución de los alumnos de la muestra está todavía más descompensada 

ya que hemos de sumar a los alumnos universitarios los alumnos que cursan en 

centros públicos de enseñanza media. De esta forma tenemos que nuestra 

muestra está formada por el 68% de alumnos que están cursando en Centros 

Públicos, contra el 25% que lo hacen en Centros Concertados y el 7% que 

estudian en Colegios Privados, según lo muestra la gráfica 3.  

 

 
Gráfico 3  

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  527 
 

11.3.1.2.- Etapas Educativas de los alumnos y el sexo de los alumnos 

 

La distribución de los alumnos de la muestra por el sexo es uno de los 

análisis necesarios para poder luego contrastar con los resultados de los 

cuestionarios que analizaremos también por el sexo. La tabla 10 muestra la 

distribución de los alumnos de la muestra según el sexo y las etapas educativas, 

los valores de la tabla 10 están en número de alumnos para cada casilla. 

 

Alumnos por Etapas y Sexo 

Etapa Mujeres Varones N/C Total  

Primaria 72 71 9 152 

Secundaria 73 53 

 

126 

Bachillerato 99 86 

 

185 

Universidad 388 81 2 471 

Total  632 291 11 934 
Tabla 10 

 

A nivel general podemos decir, que esta muestra está descompensada 

desde el punto de vista del sexo por el predominio que tienen las mujeres con 

un 68% sobre los varones que sólo alcanzan el 32% de esta muestra. 

 

 
Gráfico 4  

 

Sin embargo, los porcentajes de alumnos para cada sexo están más o 

menos compensados en las etapas de Primaria, Secundaria y Bachillerato. Así 



Florencio López de Silanes 

 

528 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

por ejemplo, en la etapa de Educación Primaria los porcentajes de alumnos en 

la muestra son iguales para las Mujeres y los Varones, como observamos en la 

gráfica 5. Las diferencias a favor de las Mujeres que observamos en las etapas 

de Secundaria y Bachillerato pueden ser quizás consecuencia de la ligera 

preponderancia de las Mujeres sobre los Varones en nuestra pirámide de 

población.  

 

 
Gráfico 5  

 

 

Pero donde se manifiesta más descompensada por el exceso de mujeres 

de esta muestra es en la Universidad, como puede observándose en la gráfica 6. 

De los alumnos universitarios de esta muestra, el 83% son Mujeres sobre el 17% 

de Varones. La razón de esta descompensación no es otra que los estudios de 

Magisterio son elegidos preponderantemente por mujeres. 

 

 
Gráfico 6  

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  529 
 

11.3.1.3.- Etapas Educativas de los alumnos y la especialidad de 

Bachillerato en los alumnos 

La distribución de los alumnos según la especialidad que han elegido en 

el Bachillerato la mostramos en la tabla 11. Lógicamente los alumnos de 

Educación Primaria y Secundaria han respondido en blanco en esta variable 

estadística, a pesar de que en algún centro como en el Khalil Gibran tengan las 

especialidades de Ciencias y Letras en Secundaria. 

Alumnos por Etapas y Especialidades de Bachillerato  

Etapas CIENCIAS LETRAS OTROS EN 

BLANCO 

N/C Total 

Primaria 

   

152 

 

152 

Secundaria 

   

126 

 

126 

Bachillerato 136 49 

   

185 

Universidad 130 224 47 3 67 471 

Total 266 273 47 281 67 934 
Tabla 11 

 

Pero con esta variable estadística debemos hacer también la 

diferenciación entre los alumnos de Bachillerato y los alumnos de Universidad, 

ya que los primeros están cursando estas especialidades, y los alumnos 

universitarios lo hicieron en cursos anteriores. En la muestra de alumnos de 

Bachillerato que estamos estudiando, el 74% de los alumnos se han decantado 

mayoritariamente por la especialidad de Ciencias, mientras que solamente el 

26% ha elegido la especialidad de Letras.  

 

 
Gráfico 7  



Florencio López de Silanes 

 

530 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

Sin embargo, la distribución de las especialidades estudiadas en 

Bachillerato para los alumnos universitarios es bien diferente de acuerdo con la 

gráfica 8. Desde este punto de vista, no podemos decir que la muestra de 

estudiantes universitarios sea típica de bachillerato, sino más bien propia de los 

alumnos que estudian Magisterio, donde predominan los alumnos que eligieron 

Letras con un 56% sobre los de Ciencias con un 32%. La presencia de otras 

especialidades como Humanidades, Artes, etc. es significativa presentando un 

porcentaje del 12%. 

 

 
Gráfico 8  

 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  531 
 

11.3.1.4.- Titularidad del último y penúltimo centro de enseñanza media 

en los alumnos universitarios 

 

El rendimiento de los alumnos en algunas materias en la Universidad, 

como pueden ser las Matemáticas, puede estar relacionado con la titularidad 

del centro donde estudiaron Bachillerato y Enseñanza Media. Por esta razón 

pedimos a los alumnos que especificaran la titularidad del último y penúltimo 

centro de enseñanza media en que cursaron estudios antes de acceder a la 

Universidad. 

La tabla 12 muestra la distribución de la titularidad del último centro de 

enseñanza media donde estudiaron los alumnos universitarios de nuestra 

muestra. 

 

 

Titularidad Centro Enseñanza Media de los Alumnos 

Universitarios 

Etapa Público Concertado Privado N/C BLANCO Total  

Primaria 

    

152 152 

Secundaria 

    

126 126 

Bachillerato 

    

185 185 

Universidad 268 142 30 27 4 471 

Total  268 142 30 27 467 934 
Tabla 12 

 

 

Vemos que los alumnos universitarios que estamos estudiando 

proceden en un 61% de centros de titularidad pública, mientras que el 32% 

proceden de centros de enseñanza media de titularidad concertada, 

procediendo el 7% de los alumnos de centros de titularidad privada. Sin duda el 

que la mayoría procedan de centros de titularidad pública configurará de alguna 

forma estos grupos universitarios.  



Florencio López de Silanes 

 

532 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 
Gráfico 9  

 

También preguntamos en los cuestionarios sobre la titularidad del 

centro de enseñanza media que precedió al anterior. Aunque más de la mitad 

de los alumnos universitarios no respondieron a esta cuestión, como mostramos 

en la tabla 13, consideramos que su estudio es también de interés. 

 

Titularidad Penúltimo Centro Enseñanza Media de los Alumnos 

Universitarios 

Etapa Público Concertado Privado N/C BLANCO Total  

Primaria 

    

152 152 

Secundaria 

    

126 126 

Bachillerato 

    

185 185 

Universidad 155 49 16 251 

 

471 

Total  155 49 16 251 463 934 
Tabla 13 

 

 

Entre los alumnos que cumplimentaron este apartado del cuestionario, 

observamos que, los alumnos procedentes de centros de titularidad privada 

continúan siendo el 7%. Y que el porcentaje de alumnos procedentes de centros 

de titularidad pública ha aumentado hasta el 71%. 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  533 
 

 
Gráfico 10  

 

Es decir, nuestra muestra de alumnos universitarios está formada por 

alumnos que proceden predominantemente de centros de enseñanza media de 

titularidad pública, tanto el último centro como el anterior en que realizaron 

dichos estudios. 

 



Florencio López de Silanes 

 

534 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

11.3.1.5.- Las edades de los alumnos 

 

Otra de las variables estadísticas que va a caracterizar nuestra muestra 

de alumnos es la edad que tenían al cumplimentar el cuestionario, como 

muestra la tabla 14. Una tabla de este tipo que distribuye los alumnos por 

edades y etapas educativas vemos que se configura básicamente como una 

matriz diagonal por cajas con algunos solapamientos. 

 

Edad (años) Distribución de las edades de los alumnos encuestados por niveles y centros 

Etapas Centro 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 >30 N/C Total  

Primaria CEIP_CV 16 9 3 

                 

1 29 

  KHALIL GIBRAN 15     

                 

  15 

  MONTPELLIER 84 24   

                 

  108 

Total Primaria 115 33 3 

                 

1 152 

Secundaria IESJC 

   

1 15 20 1 1 

            

  38 

  KHALIL GIBRAN 

   

  11 5     

            

  16 

  MONTPELLIER 

   

1 48 17   1 

            

5 72 

Total Secundaria 

   

2 74 42 1 2 

            

5 126 

Bachillerato IESJC 

     

57 36 6 2       

         

101 

  KHALIL GIBRAN 

     

  22 6 2 1   1 

         

32 

  MONTPELLIER 

     

  36 15 1       

         

52 

Total Bachillerato 

     

57 94 27 5 1   1 

         

185 

Universidad UAM 

      

3 24 107 72 48 26 32 25 19 5 8 5 4 21 13 412 

  UCM 

      

    27 8 1 7 5 2 1 1 1 1   1 3 59 

Total Universidad 

      

3 24 134 80 49 33 37 27 20 6 9 6 4 23 16 471 

Total por años 115 33 3 2 74 99 98 53 139 81 49 34 37 27 20 6 9 6 4 23 22 934 

Porcentaje por años 12 4 0 0 8 11 10 6 15 9 5 4 4 3 2 1 1 1 0 2 2 100 

Tabla 14 

 

 

Hemos de tener presente que las edades de los alumnos tenemos que 

asociarlas a las que tenían en los cursos en que realizaron los cuestionarios. Es 

decir, las edades de Primaria se corresponden con sexto curso de Primaria, las 

edades de Secundaria son las que tenían cuando estudiaban cuarto curso de 

Secundaria, las edades de Bachillerato son las que tenían cuando estudiaban 

primer curso los alumnos del Instituto Juan de la Cierva, y segundo curso el 

resto de los alumnos. El rango de edades para alumnos universitarios es 

bastante mayor por las características de este tipo de estudios. 

Vemos que no se solapan las cajas correspondientes a las edades de los 

alumnos de Primaria y Secundaria ya que hay cuatro años de distancia entre 

ellos y un control bastante riguroso de las edades de los alumnos en estas 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  535 
 

etapas. Sin embargo la caja de las edades de los alumnos de Bachillerato se 

solapa con la de Secundaria ya que entre estas dos etapas sólo hay una máxima 

de dos cursos. Lo mismo sucede entre las cajas de Bachillerato y la de las edades 

de los alumnos universitarios ya que ahí la diferencia mínima es tan sólo de un 

curso académico. 

 

 
Gráfico 11  

 

 

La gráfica 11 muestra la distribución de los alumnos con la edad 

expresadas en porcentajes. Los picos se corresponden con las edades típicas de 

los cursos en que se ha realizado el cuestionario. Así vemos que la mayoría de 

los alumnos de Primaria que realizaron el cuestionario tenían 11 años, mientras 

que los alumnos de Secundaria tenían 15 y 16 años. La mayoría de los alumnos 

de Bachillerato tenían 17 años al realizar el cuestionario, y el pico de edad para 

los alumnos universitarios que realizaron el cuestionario es de 19 años. 

 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

536 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

11.3.2.- Análisis de los cuestionarios 

 

Del análisis de las distribuciones de los cuestionarios realizados por los 

alumnos con las diferentes variables estadísticas, solamente estudiaremos la 

incidencia de las edades de los alumnos en la distribución de los cuestionarios, 

ya que las otras variables estadísticas entendemos que han incidido de forma 

similar en la muestra de los cuestionarios y de los alumnos. Así por ejemplo, en 

las etapas de Educación Primaria, Secundaria y Bachillerato como se ha aplicado 

un cuestionario a cada alumno, el comportamiento de los grupos de 

cuestionarios y alumnos es el mismo.  

 

11.3.2.1.- Distribución de los cuestionarios con la edad de los alumnos 

 

La distribución de los cuestionarios por edades, etapas y centros la 

mostramos en la tabla 15 cuyos valores están en número de cuestionarios. 

 

Distribución de los Cuestionarios por edades, etapas y centros 

Edad   11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 >30 N/C 

Total 

Niveles 

Etapa Centro 

                      Primaria CEIP_CV 16 9 3 

                 

1 29 

  

KHALIL 

GIBRAN 15     

                 

  15 

  MONTPELLIER 84 24   

                 

  108 

Total Primaria   115 33 3 

                 

1 152 

Secundaria IESJC 

   

1 15 20 1 1 

            

  38 

  

KHALIL 

GIBRAN 

   

  11 5     

            

  16 

  MONTPELLIER 

   

1 48 17   1 

            

5 72 

Total 

Secundaria   

   

2 74 42 1 2 

            

5 126 

Bachillerato IESJC 

     

57 36 6 2       

         

101 

  

KHALIL 

GIBRAN 

     

  22 6 2 1   1 

         

32 

  MONTPELLIER 

     

  36 15 1       

         

52 

Total Bachillerato 

     

57 94 27 5 1   1 

         

185 

Total 

Universidad   

      

3 24 165 115 73 47 54 40 30 11 11 11 5 43 25 657 

Total por Años   115 33 3 2 74 99 98 53 170 116 73 48 54 40 30 11 11 11 5 43 31 1120 

Porcentaje por Años 10 3 0 0 7 9 9 5 15 10 7 4 5 4 3 1 1 1 0 4 3 100 

Tabla 15 

 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  537 
 

La configuración de esta tabla de los cuestionarios es exactamente la 

misma que la que mostramos anteriormente para los alumnos. Se ha añadido 

en la última fila el porcentaje de cuestionarios correspondiente a cada una de 

las edades que dibujamos en el gráfico 12. Los máximos de esta gráfica de los 

porcentajes de cuestionarios son los mismos que los de la gráfica de las edades 

de los alumnos. Los máximos de los cuestionarios aplicados por nosotros se 

producen a las edades de 11,15, 16 y 19 años. 

 

 
Gráfico 12 

 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

538 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

11.4.- Conocimientos Elementales de Geometría  (CG) 

 

 

El presente apartado trata de responder a “que conocimientos tienen 

los alumnos” y "qué conocimientos mínimos de geometría serían precisos para 

realizar con un aprendizaje óptimo" un curso de geometría como el de la 

asignatura “Matemáticas y su didáctica II” correspondiente a la especialidad de 

Educación Primaria de las facultades de Educación de la Universidad Autónoma 

de Madrid. Puede pensarse, y con acierto, que cuando hacemos este 

planteamiento, es porque hemos impartido cursos que no nos ha dejado 

satisfecho las tasas de aprendizaje que hemos medido. 

Planteamos aquí esta cuestión desligada de otros cuestionarios y temas, 

ya que fue el punto de partida de este trabajo de tesis. 

 

11.4.1.- Planteamiento de la situación 

 

Discurría el mes de abril de 2009 cuando otro profesor que también 

impartía la asignatura “Matemáticas y su didáctica II”, me hizo algunos 

comentarios sobre el nivel tan bajo que tenían sus alumnos. 

Por estar de acuerdo básicamente con las presunciones de mi 

compañero, decidí realizar a mis alumnos unas pruebas básicas que de alguna 

forma midieran y compararan los niveles de conocimientos geométricos entre 

los niños de 13 años y mis alumnos de 20 años en segundo curso de 

universidad. Por esta razón, cuando a finales de mayo terminó el curso, distribuí 

mediante correo electrónico un resumen de la teoría para la medida de ángulos, 

longitudes, áreas y volúmenes, acompañado del consiguiente glosario de 

fórmulas de geometría al efecto, y de una colección de 70 ejercicios con sus 

correspondientes soluciones, elaborado para niños de 13 años por un colegio 

sevillano. (López de Silanes, 2007). 

En el examen final incluí un problema que contenía tres ejercicios de los 

mencionados anteriormente, uno de aplicación directa del teorema de 

Pitágoras, otro del cálculo del área de un polígono, y un tercero con operaciones 

elementales con ángulos. Los dos primeros precisaban de una sola aplicación de 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  539 
 

una fórmula, mientras que el tercero de dos operaciones con ángulos. El nivel 

de dificultad de estos tres ejercicios era o básico o medio entre los ejercicios de 

la mencionada colección. 

 

11.4.2.- Primeras valoraciones 

 

En las tutorías siete alumnos me consultaron sobre los ejercicios 

distribuidos de ESO, en la mayor parte de las consultas incluyeron casualmente 

sobre los ejercicios que fueron propuestos en el examen, presumiendo que 

estos siete alumnos han ayudado a su vez, a otros. (Apuntes de Geometría, 

2007). El resultando fue que estos siete alumnos han sacado buena nota en el 

examen en el ejercicio de ESO. Sobre los resultados de la prueba podemos decir: 

- Los alumnos que suspendieron la prueba de ESO suspendieron también 

el examen de la asignatura, salvo una excepción. Todos los alumnos que 

aprobaron la prueba del nivel de ESO aprobaron el examen de la 

asignatura. 

- Los alumnos que suspendieron la prueba de ESO suspendieron también 

el ejercicio de teoría del examen, salvo la misma excepción. Suponemos 

que de alguna forma, esta excepción copió el ejercicio de geometría. Sin 

embargo, muchos de los alumnos que aprobaron la prueba de ESO han 

suspendido el ejercicio de teoría del examen. 

- Finalmente, los alumnos que suspendieron la prueba de ESO 

suspendieron también el curso, salvo dos excepciones, el mencionado 

anteriormente y otro más. 

 

11.4.3.- Nota del examen de segundo curso de ESO para estudiantes 
universitarios 

 

La prueba o examen del nivel segundo curso de ESO que se presentó a 

los alumnos de segundo curso de la Facultad de Formación del Profesorado de 

la Universidad Autónoma de Madrid en junio de 2009, costaba de tres 

ejercicios: 



Florencio López de Silanes 

 

540 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

- Uno de aplicación directa del Teorema de Pitágoras, valorado hasta 3 

puntos, que se corresponde con el número 19 o 21 de los apuntes de 

geometría de segundo curso de ESO mencionados. (Apuntes de 

Geometría, 2007). 

- Otro para el cálculo del área de un polígono, valorado hasta 3 puntos, 

correspondiéndose con el nº 33 o 50 de dicha colección de problemas. 

(Apuntes de Geometría, 2007). 

- Finalmente, otro de operaciones con ángulos en el sistema sexagesimal, 

valorado hasta 4 puntos, tal y como indica el ejercicio nº 7 o 14 de dicha 

colección. (Apuntes de Geometría, 2007). 

De esta forma tenemos una valoración global de la prueba hasta los 10 

puntos estándares. 

El resultado fue una curva gausiana centrada en la nota de 7 puntos con 

una fuerte asimetría hacia las calificaciones bajas. Esto es al menos algo que 

debiera esperarse de unos alumnos universitarios, que debieran de poseer un 

nivel en geometría superior a los alumnos de segundo curso de ESO. Pero las 

cosas no están tan claras.  

Lo primero que llama la atención es que el 18,5% de los alumnos de 20 

años no han superado el nivel en geometría exigido a alumnos de 13 años. Por 

mi experiencia, percepción y valoración a lo largo del curso, puedo asegurar, 

pero no cuantificar, que un buen grupo de alumnos de “Matemáticas y su 

didáctica II”, ha cubierto la laguna de los conocimientos de geometría de 

segundo curso de ESO, durante el curso en la universidad. Aún más, por lo visto 

en las tutorías, otro buen número de alumnos no había llegado a cubrir estas 

lagunas con las clases del curso (no asistieron a clase, baja capacidad para la 

geometría, …) y lo hicieron durante las tutorías. Por lo que no podemos afirmar 

nada sobre cuántos de nuestros alumnos universitarios poseen una base sólida 

de los conocimientos que el currículo exige a los alumnos de 13 años o de 

segundo curso de ESO. Si esto estamos afirmando sobre el colectivo que 

concurrió al examen, ¿Qué podríamos decir sobre el casi 30% de los alumnos 

matriculados que no se presentaron a examen?.  ¿Podemos asegurar 

objetivamente que a la fecha del examen, casi el 50% de los alumnos 

universitarios de la muestra, no superaban el nivel exigido a los alumnos de 13 

años?. Y eso que los ejercicios seleccionados para prueba eran muy sencillos 

dentro del nivel de segundo curso de ESO. 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  541 
 

  

 

 
Gráfico 13  

 

Los mismos resultados podemos observarlos en la distribución 

acumulada de las notas del examen de segundo curso de eso aplicado a 

alumnos universitarios, donde observamos que el 18,5% de los alumnos 

universitarios suspendieron un examen de dificultad media de segundo curso de 

ESO, y que el 72,2% no consiguió pasar del notable. 

 

 
 Gráfico 14  

 

 



Florencio López de Silanes 

 

542 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Pero como veremos más adelante, al presentar el resultado global de la 

prueba, se está ocultando la realidad de este problema, el de la base en 

geometría de nuestros alumnos universitarios. Vemos así, que el problema de la 

enseñanza de la geometría puede presentar caracteres dramáticos.  

 

11.4.4.- Nota de teoría en el examen. ¿Cómo estudian geometría los 

alumnos? 

 

Para ahondar más en el problema de la enseñanza de la geometría a 

todos los niveles, pasamos a estudiar las calificaciones obtenidas por este 

colectivo de 52 alumnos en la pregunta de teoría del examen de junio, donde se 

les pidió desarrollar uno de los contenidos teóricos explicados en clase, y que 

además, fue distribuido por Internet a todos los alumnos en formato de 

apuntes, al igual que el resto de los contenidos teóricos y ejercicios realizados 

en clase. 

El resultado no puede ser más descorazonador, la función de 

distribución adquiere aquí la forma de una recta decreciente, con un valor 

máximo en las calificaciones entre 0 y 1 puntos, con un pico del 31,5% de los 

alumnos presentados a examen, y donde un hubo ningún alumno que obtuviera 

notas superiores a 8 puntos. 

 

 

Gráfico 15  
 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  543 
 

Este resultado no es más que una constatación del siguiente hecho: que 

los alumnos no estudian las teorías matemáticas, que ya es muy grave, sino de 

la cultura instalada en la enseñanza media de solo estudiar y examinar de 

problemas, no haciendo hincapié en el estudio de la teoría. 

Si bien una teoría sin práctica es un conocimiento estéril, no es menos 

cierto, que una práctica sin teoría es un conocimiento vacío de contenido, y que 

normalmente en matemáticas, y en geometría en particular, se convierte en la 

aplicación de un conjunto de reglas o procedimientos de resolución de 

problemas, pero carentes de toda fundamentación. Este hecho se percibe 

claramente cuando se corrigen los problemas en los cursos de universidad o en 

las pruebas de acceso a la universidad. 

Si el estudio de la teoría es importante en todas las matemáticas en 

general, es más crucial en la geometría en particular, ya que está directamente 

relacionado con la adquisición de las habilidades de la geometría euclidiana, 

como es la percepción plana y espacial de las figuras y de los cuerpos, el análisis 

de sus propiedades geométricas, las relaciones geométricas entre sus diferentes 

entidades, la visión geométrica para la resolución de problemas, la destreza en 

el dibujo, la percepción de las metodologías de la medida, … 

 

11.4.5.- Análisis por preguntas del examen de nivel de segundo curso de 

ESO a estudiantes universitarios 

 

Ya habíamos indicado que el examen de geometría al nivel de segundo 

curso de ESO aplicado a estudiantes universitarios contenía tres ejercicios que 

habíamos designado como: Pitágoras,  polígonos y ángulos; calificando 

respectivamente hasta 3, 3 y 4 puntos. (Apuntes de Geometría, 2007). Para 

poder comparar las calificaciones de los tres ejercicios se redujo las del tercero 

también a 3 puntos, obteniéndose el siguiente resultado: 

El primer hecho notable es que en cada pregunta la distribución de 

alumnos se corresponde con una curva de Gaus pero al revés, es decir, con un 

bajo peso de las calificaciones medias frente a las bajas y altas. Esto es una 

anomalía muy interesante, ya que pone de manifiesto la importancia del peso 

de las lagunas en los conocimientos básicos de geometría al nivel de segundo 

curso de ESO para esta muestra de 54 alumnos universitarios de segundo curso. 



Florencio López de Silanes 

 

544 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

El peso de las lagunas en conocimientos de geometría es muy 

importante, según resume la tabla 16, y  los datos del gráfico 16. 

 

% Suspendidos Aprobados Not y Sobr 

Pitágoras 20,4 5,6 74,1 

Polígonos 33,3 18,5 48,1 

Ángulos 38,9 14,8 46,3 
Tabla 16 

 

 

Donde se pone de manifiesto que el 20% no sabe resolver triángulos 

pitagóricos, que el 33% no sabe resolver polígonos y que el 39% no sabe operar 

con ángulos. Es decir, el 30,8% de los alumnos de la muestra no saben resolver 

situaciones básicas de la geometría elemental, de la geometría de segundo 

curso de ESO. Y todo esto, después de un curso básico de geometría en la 

Universidad.  

 

 

Gráfico 16 
 

Esta situación pone de manifiesto: 

- Que uno de cada tres alumnos universitarios no poseen en geometría un 

nivel más allá del de segundo curso de ESO, o del de alumnos de 13 años. 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  545 
 

- Que un grupo importante de los alumnos universitarios de referencia han 

cubierto la laguna de los conocimientos del nivel correspondiente a 

segundo curso de ESO durante un curso de geometría en la universidad. 

11.4.6.- Situación de la enseñanza de la geometría 

 

Mediante los datos aportados anteriormente se ponen de manifiesto las 

siguientes situaciones: 

- Los alumnos que llegan a la universidad lo hacen con importantes lagunas 

en sus conocimientos de geometría, que en este estudio, se han 

contrastado con el nivel básico de segundo curso de ESO. 

- La existencia de deficiencias importantes en el sistema educativo de 

primaria y bachillerato que conducen a ellas. 

- La incapacidad de un curso universitario de geometría para cubrir estas 

lagunas, bien porque dichas lagunas no sean el objetivo del curso, bien 

deficiencias metodológicas, o que la orientación del curso no coincide 

con los métodos y vicios de aprendizaje que los alumnos arrastran de la 

enseñanza primaria y media. 

Todo esto trae consigo que en la universidad sea difícil impartir un curso 

de geometría a los alumnos del perfil estudiado. Pero si es complejo el 

aprendizaje de la geometría en la universidad por la razones aludidas, ¿qué 

podremos decir de la dificultad para impartir conocimientos que precisan de 

una buena base en geometría, como puede ser estudiar Geometría Sagrada?, 

esto ya se presenta en alumnos de este perfil como un objetivo difícil. 

En el apartado siguiente describimos todos los resultados de la 

aplicación del Cuestionario de Conocimiento, o el cuestionario que hemos 

llamado CG. 



Florencio López de Silanes 

 

546 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

11.5.- Cuestionario sobre los Conocimientos Elementales de Geometría  

(CG) 

 

El punto de partida de este trabajo estuvo en un cuestionario aplicado a 

mis alumnos en el año 2009 sobre el estado de sus conocimientos elementales 

de la geometría. (Apuntes de Geometría, 2007). Si parte del tiempo de mis 

clases de geometría en la UAM está dedicado a revisar, organizar y estructurar 

los conocimientos básicos de la geometría métrica euclidiana, y observar que 

una parte importante de mis alumnos seguían con dificultad los trabajos de 

clase, trabajos que si los hubiéramos realizado en un aula de Educación 

Secundaria hubieran tenido resultados mejores, nos indujo todo ello, a revisar el 

estado de los conocimientos básicos de mis alumnos en geometría, 

precisamente a ese nivel, al nivel de Educación Secundaria. 

Con ese objetivo, se diseñó un cuestionario básico de los conocimientos 

mínimos exigibles que debiera tener un alumno para seguir con 

aprovechamiento un curso de geometría. Es algo así como si quisiéramos 

conocer que alumnos saben realizar las cuatro operaciones aritméticas 

elementales pero en geometría. Con este criterio se seleccionaron las cuatro 

operaciones elementales en geometría que debía conocer un alumno 

universitario para poder cursar esta asignatura al nivel que se está impartiendo. 

(Apuntes de Geometría, 2007).  Las cuatro operaciones elementales 

geométricas seleccionadas fueron: 

- Aplicar el teorema de Pitágoras. Conocimiento de una relación 

fundamental. 

- Medir el perímetro de un polígono elemental. Medir una longitud. 

- Medir el área de un polígono elemental. Medir una superficie. 

- Operaciones elementales con ángulos. Operar con una magnitud 

geométrica. 

De la misma forma seleccionamos el nivel al que debían realizarse las 

cuatro operaciones geométricas anteriores. Consideramos que era suficiente 

que los alumnos realizarán con éxito estas cuatro operaciones al nivel de 

segundo curso de Educación Secundaria. 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  547 
 

Con este objetivo, se les propuso un cuestionario basado en la 

resolución de unos problemas tomados directamente del currículo de la 

geometría que se imparte actualmente en España en un segundo curso de 

Educación Secundaria Obligatoria y con un grado medio de dificultad.  La 

calificación del cuestionario será porcentual, por lo que el resultado esperado 

del cuestionario debiera de ser una semi gausiana centrada en el valor 100% y 

con valores insignificantes a su izquierda. 

Este apartado lo vamos a dedicar a comentar los resultados de este 

cuestionario y a examinar cuanto se alejan los resultados obtenidos de los que 

habíamos previsto. 

 



Florencio López de Silanes 

 

548 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

11.5.1.- Análisis de los resultados de la aplicación del Teorema de 

Pitágoras en el cuestionario CG 

 

En la tabla 17 mostramos las calificaciones porcentuales sobre una 

escala porcentual de notas del ejercicio de aplicación directa del teorema de 

Pitágoras. 

 

Aplicación del Teorema de Pitágoras  

Escala Porcentual Notas 0 33,3 66,7 100 

Porcentaje Alumnos 13,8 8,0 6,9 71,3 
Tabla 17 

 

Vemos que en este caso, que es el que más se aproxima al resultado 

esperado, el 71,3% de los alumnos han aplicado correctamente el teorema de 

Pitágoras, que casi un 15% ha intentado hacerlo, pero que un 13,8% no saben 

nada de la aplicación del teorema de Pitágoras. 

 

 
         Gráfico 17  

 

Consideramos que un grupo donde casi un 15% de los alumnos no 

saben aplicar el teorema de Pitágoras, realizará con dificultades este curso de 

geometría. 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  549 
 

En este apartado debemos acostumbrarnos a trabajar con funciones de 

distribución cuyos máximos se ubican en sus extremos, como en la gráfica 17. 

11.5.2.- Análisis de los resultados del cálculo del Perímetro de los 

Polígonos en el cuestionario CG 

 

La tabla 18 muestra las calificaciones porcentuales sobre una escala 

porcentual de notas, del ejercicio de medida del perímetro de un polígono. En 

estas notas vemos que ha bajado el porcentaje de alumnos que han obtenido la 

máxima y la mínima puntuación. 

 

Perímetro de Polígonos 

Escala Porcentual 

Notas 0 33,3 50,0 66,7 83,3 100,0 

Porcentaje Alumnos 10,3 17,2 8,0 3,4 1,1 59,8 
Tabla 18 

 

Pero no por eso podemos decir que el resultado sea peor que en el 

anterior ejercicio, ya que sólo el 60% de los alumnos saben calcular 

correctamente el perímetro de un polígono elemental con grado medio de 

dificultad. 

 

 
          Gráfico 18  



Florencio López de Silanes 

 

550 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

La gráfica 18 muestra que el 39% de los alumnos no han sabido resolver 

el perímetro de un polígono elemental. Y de estos, más del 10% no han sabido 

hacer nada. 

 

11.5.3.- Análisis de los resultados del cálculo del Área de los Polígonos en 

el cuestionario CG 

La tabla 19 muestra las calificaciones porcentuales sobre una escala 

porcentual de notas, del ejercicio relativo a la medida de la superficie de un 

polígono. Vemos que ha bajado el porcentaje de alumnos que han obtenido la 

máxima calificación, y al mismo tiempo vemos que han subido los de 

puntuación mínima. 

 

Áreas de Polígonos 

Escala Porcentual 

Notas 0 20 40 80 100 

Porcentaje Alumnos 14,7 5,9 11,8 20,6 47,1 
Tabla 19 

 

La mayor dispersión de las notas de este ejercicio seguramente esté 

relacionada con el hecho de que hay que hacer más operaciones para el cálculo 

del área, y por tanto hay más elementos a valorar en la resolución del ejercicio. 

 

 
    Gráfico 19 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  551 
 

Pero no debemos perder de vista, que menos de la mitad del grupo han 

resuelto satisfactoriamente el cálculo del área de un polígono elemental. Que 

podemos considerar que alrededor de la tercera parte de los alumnos (el 32,3% 

de los alumnos han obtenido una nota inferior al 80%) han suspendido el 

ejercicio, y que casi el 15% no saben nada de cálculos de áreas. 



Florencio López de Silanes 

 

552 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

11.5.4.- Análisis de los resultados de la Suma de Ángulos en el 

cuestionario CG 

 

Las operaciones con ángulos expresados en el sistema sexagesimal son 

muy parecidas a las operaciones con los tiempos expresados en las unidades 

ordinarias de segundos, minutos, horas, etc. La tabla 20 muestra las 

calificaciones porcentuales sobre una escala porcentual de notas, obtenidas en 

un ejercicio en que se les pidió a los alumnos para realizar una suma de ángulos 

expresados en el sistema sexagesimal. Vemos que nuevamente ha disminuido el 

porcentaje de alumnos con calificación máxima y ha aumentado el porcentaje 

de alumnos con calificación mínima. 

 

Suma de Ángulos 

Escala Porcentual 

Notas 0,0 12,5 25,0 37,5 50,0 75,0 100,0 

Porcentaje Alumnos 17,2 8,0 10,3 1,1 13,8 11,5 37,9 
Tabla 20 

 

No obstante, la gráfica 20 muestra que los valores están distribuidos 

entre los máximos de los extremos. Pero es más importante todavía considerar 

que no llegan al 40% los alumnos que han realizado bien una suma de ángulos, y 

que el 17,2% no conoce la suma de ángulos. 

 

 
     Gráfico 20 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  553 
 

 

Es también muy importante extender estos resultados a los cálculos con 

la magnitud tiempo expresada en unidades ordinarias. 

 

11.5.5.- Análisis de los resultados del producto y división de un Ángulo 

por un Entero en el cuestionario CG 

 

Finalmente, se les propuso a los alumnos para realizar el producto de un 

ángulo por un número y la división de un ángulo por un entero. Estas 

operaciones son similares a la multiplicación de un tiempo por un entero o la 

división de un tiempo por un número. La tabla 21 muestra los resultados 

porcentuales de este ejercicio sobre una escala de notas también porcentual. 

 

División de un ángulo por un entero 

Escala Porcentual 

Notas 0,0 16,7 33,3 50,0 66,7 100,0 

Porcentaje Alumnos 29,4 2,9 11,8 8,8 29,4 17,6 
Tabla 21 

 

Vemos en la gráfica 21 que el máximo valor se corresponde con los 

alumnos que han obtenido la calificación mínima, y que solamente el 17,6% han 

sabido resolver el ejercicio. 

 
Gráfico 21 



Florencio López de Silanes 

 

554 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

11.6.- Conclusiones 

 

El objetivo de este capítulo es analizar la muestra de los alumnos a 

quienes hemos aplicado los cuestionarios para la determinación del nivel de 

razonamiento de van Hiele. Hemos visto que también hemos aplicado otros 

cuestionarios dirigidos a conocer la percepción de la enseñanza de la geometría 

que tienen a los alumnos. Hay un cuestionario más para medir el nivel de los 

conocimientos de la geometría básica que poseen los alumnos. En este 

apartado hablaremos solamente de la radiografía de la muestra de los alumnos, 

y de los resultados del cuestionario del conocimiento CG. 

La tabla 22 muestra la distribución de los 924 alumnos que 

complementaron los 1120 cuestionarios clasificados por Etapas Educativas y 

Centros de Enseñanza por una parte, y Cuestionarios aplicados y Titularidad del 

centro y Sexo de los alumnos por la otra. 

Distribución alumnos por titularidad del centro, sexo y cuestionarios 

    Titularidad del centro Sexo   

Tipo Cuestionario   A
u

to
va

l 

To
ta

l A
u

to
va

l 

U
si

sk
in

 

    To
ta

l U
si

sk
in

 

A
u

to
va

l 

    To
ta

l A
u

to
va

l 

U
si

sk
in

 

    To
ta

l  
U

si
sk

in
 

To
ta

l 

Modalidad Cuestionario G
e

o
m

e
tr

ia
 

G
e

o
m

e
tr

ía
 

  G
e

n
e

ra
l 

      G
e

o
m

e
tr

ía
 

      G
e

n
e

ra
l 

      

    Pu   Pu Con Pri   M V N/C   M V N/C     

Primaria CEIP_CV 

  

29     29 

    

10 10 9 29 29 

  KHALIL GIBRAN 

  

    15 15 

    

6 9   15 15 

  MONTPELLIER 

  

  108   108 

    

56 52   108 108 

Total Primaria   

  

29 108 15 152 

    

72 71 9 152 152 

Secundaria IESJC 

  

38     38 

    

18 20   38 38 

  KHALIL GIBRAN 

  

    16 16 

    

13 3   16 16 

  MONTPELLIER 

  

  72   72 

    

42 30   72 72 

Total Secundaria   

  

38 72 16 126 

    

73 53   126 126 

Bachillerato IESJC 

  

101     101 

    

51 50   101 101 

  KHALIL GIBRAN 

  

    32 32 

    

19 13   32 32 

  MONTPELLIER 

  

  52   52 

    

29 23   52 52 

Total Bachillerato   

  

101 52 32 185 

    

99 86   185 185 

Universidad UAM 236 236 176     176 172 62 2 236 158 18   176 412 

  UCM     59     59         58 1   59 59 

Total Universidad   236 236 235     235 172 62 2 236 216 19   235 471 

Total    236 236 403 232 63 698 172 62 2 236 460 229 9 698 934 

Tabla 22 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  555 
 

La tabla 22 resume casi todos los datos importantes de la muestra de 

934 alumnos, como el número de alumnos clasificados mediante los criterios 

anteriores, es decir, las etapas educativas, cuestionarios, centros, titularidad, y 

sexo. 

De esta forma podemos conocer que de los alumnos que hemos 

encuestado, el 16% son de Educación Primaria, el 14% de Educación Secundaria 

Obligatoria, el 20% de Bachillerato y el 50% de la muestra realizan estudios 

universitarios. Desde este punto de vista, es una muestra fuertemente escorada 

hacía la Enseñanza Universitaria, ya que es en ese escenario donde realizamos 

nuestra tarea docente.  

De igual forma podemos decir que el 68% de los alumnos cursaban 

estudios en centros de Titularidad Pública, el 25% en centros Concertados, y el 

7% en centros de titularidad exclusivamente Privada. 

Sabemos también que estaba compuesta del 68% de Mujeres y el 32% 

de Varones. En esta estadística ha incidido fuertemente el alto porcentaje de 

mujeres que cursan sus estudios en las Facultades de Educación. Otro dato 

complementario de la muestra es que el 74% de los alumnos cursan o han 

cursado estudios de Ciencias mientras que el 26% cursan o han cursado estudios 

de Letras.  

Uno de los primeros resultados aflorados en el cuestionario CG o 

"Conocimiento de la Geometría" es la forma en que los alumnos estudian las 

matemáticas en general y la geometría en particular. En la gráfica 22 

observamos las calificaciones de un examen de un tema de teoría de la 

geometría aplicado a alumnos de segundo curso de Educación Primaria de la 

Facultad de Formación del Profesorado de la Universidad Autónoma de Madrid. 

 

         Gráfico 22  



Florencio López de Silanes 

 

556 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

El gráfico 22 es la distribución acumulada de los porcentajes de las 

notas obtenidas por los alumnos en el citado examen de un tema de teoría de la 

geometría. Los valores de cada una de estas barras se obtienen sumando a cada 

porcentaje de notas en el de la barra anterior. La ventaja que tiene una 

distribución acumulada es que si leemos el valor de una de las barras sabemos 

que hace referencia a la suma de los valores anteriores más el propio de la 

barra. Es decir, el porcentaje de los alumnos suspendidos en esa prueba es del 

78% que es el valor de la barra de la nota cuatro. Del mismo modo podemos 

decir que el 87% de los alumnos no alcanzaron el notable, y que a partir de la 

nota ocho que alcanzó el valor del 100% no existieron otras calificaciones.  

Que el 74% de los alumnos suspendan un examen de teoría no es un 

índice de la dureza del mismo ni de la rigurosidad de la calificación, si no de la 

forma adquirida de estudiar las matemáticas en general y la geometría en 

particular orientada casi exclusivamente a la resolución de ejercicios numéricos. 

En este sentido podemos asegurar que los alumnos universitarios de la muestra 

no saben ni son capaces de estudiar las matemáticas, pensando que el saber 

que encierran es solamente la resolución de problemas matemáticos. Pero 

sabemos que "Si bien una teoría sin práctica es un conocimiento estéril, no es 

menos cierto, que una práctica sin teoría es un conocimiento vacío de 

contenido", y que esta aseveración es aplicable a este conjunto de alumnos 

universitarios. 

Los resultados del cuestionario CG profundizan algo más en lo anterior 

como podemos ver en la gráfica 23 que muestra el porcentaje de alumnos que 

han superado totalmente las cinco pruebas. 

 

 

Gráfico 23 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  557 
 

Al corresponderse estas cinco pruebas con el nivel de los alumnos de 

segundo curso de ESO, bien podríamos esperar en todas ellas resultados muy 

próximos al 100%. Pero vemos que solamente en el ejercicio de la aplicación del 

Teorema de Pitágoras obtuvieron un porcentaje alto aunque bastante distante 

del 100%. Nos da una idea muy gráfica que sólo el 60% sean capaces de medir el 

perímetro de un polígono, o que sólo el 47% realizaron correctamente el cálculo 

del área.  

Los resultados son más descorazonadores en las operaciones con 

ángulos, ya que en este tema obtuvimos los porcentajes menores de aciertos. 

Decimos esto en el sentido de que las operaciones con ángulos expresados en el 

sistema sexagesimal, siguen las mismas normas que las operaciones con el 

tiempo expresado en las unidades ordinarias, o en general con las operaciones 

de los números mixtos. De esta forma vemos que no llega al 38% los alumnos 

que realizaron correctamente una suma de ángulos, y que sólo el 17,6% de ellos 

supo multiplicar un ángulo por un número, algo similar a preguntar, si un albañil 

hace una pared en 2 horas 34 minutos y 47 segundos, ¿cuánto tiempo tardaría 

en hacer tres paredes de las mismas características?. 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

558 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

11.6.-Apéndice A. Listado de los alumnos que han participado en los 

cuestionarios 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  559 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

560 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  561 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

562 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 
 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  563 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

564 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  565 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

566 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  567 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

568 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  569 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

570 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  571 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

572 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  573 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

574 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  575 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

576 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  577 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

578 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  579 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

580 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  581 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

582 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  583 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

584 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

11.7.-Apéndice B. Análisis de los alumnos universitarios que realizaron 

varios cuestionarios 

 
Distribución de los alumnos que han realizado varios cuestionario 

Tipo Cuestionario Conocimiento Auto VH   VH45    

Tema Cuestionario Problemas Geometría Medida General 

Total 

Cuestionarios 

Total 

Alumnos 

Grupo 

Total 

Cuestionarios 

UAM_2PRI_TAR_2010 APSC02   APST02 2   

  APSG03   1   

  APSG04  APST04 2   

 APSC06 APSG06  APST06 3   

 APSC07    1   

 APSC08   APST08 2   

    APST09 1   

 APSC13 APSG13  APST13 3   

 APSC15 APSG15  APST15 3   

 APSC16 APSG16  APST16 3   

 APSC17 APSG17  APST17 3   

    APST19 1   

 APSC21 APSG21  APST21 3   

 APSC23 APSG23   2   

    APST24 1   

 APSC27 APSG27  APST27 3   

 APSC28 APSG28  APST28 3   

 APSC29 APSG29  APST29 3   

    APST30 1   

    APST31 1   

 APSC32 APSG32  APST32 3   

 APSC33 APSG33  APST33 3   

    APST34 1   

 APSC35 APSG35   2   

    APST36 1   

 APSC38 APSG38  APST38 3   

 APSC39 APSG39  APST39 3   

 APSC42 APSG42  APST42 3   

 APSC43 APSG46  APST43 3   

 APSC44   APST44 2   

 APSC47   APST47 2   

  APSG48   1   

 APSC49 APSG49  APST49 3   

 APSC50 APSG50  APST50 3   

    APST53 1   

 APSC54 APSG54   2   

 APSC58 APSG58  APST58 3   

 APSC59 APSG59  APST59 3   

 APSC60   APST60 2   

 APSC61   APST61 2   

  APSG62  APST62 2   

 APSC64 APSG64  APST64 3   

 APSC65 APSG65  APST65 3   

 APSC66 APSG66  APST66 3   

 APSC67    1   

 APSC68   APST68 2   

  APSG69  APST69 2   

  APSG76  APST70 2   

    APST72 1   

    APST75 1   

Total Grupo 34 31  43  50 108 

 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  585 
 

 
Distribución de los alumnos que han realizado varios cuestionario 

Tipo Cuestionario Conocimiento Auto VH   VH45    

Tema Cuestionario Problemas Geometría Medida General 

Total 

Cuestionarios 

Total 

Alumnos 

Grupo 

Total 

Cuestionarios 

UAM_2PRI_TAR_2009 TC01 T001 TM01  3   

 TC02 T002 TM02  3   

 TC03 T003 TM03  3   

  T004   1   

  T005   1   

 TC06 T006 TM06  3   

  T007 TM07  2   

 TC08 T008 TM08  3   

 TC09 T009 TM09  3   

 TC10 T010 TM10  3   

  T011 TM11  2   

 TC12 T012 TM12  3   

  T013 TM13  2   

 TC14 T014 TM14  3   

 TC15 T015 TM15  3   

 TC16 T016 TM16  3   

 TC17 T017 TM17  3   

 TC18 T018 TM18  3   

 TC19 T019 TM19  3   

 TC20 T020 TM20  3   

 TC21 T021 TM21  3   

 TC22 T022 TM22  3   

 TC23 T023 TM23  3   

  T024   1   

 TC25 T025 TM25  3   

 TC26 T026 TM26  3   

 TC27 T027 TM27  3   

 TC28 T028 TM28  3   

 TC29 T029 TM29  3   

  T030   1   

 TC31 T031 TM31  3   

 TC32 T032 TM32  3   

 TC33 T033 TM33  3   

 TC34 T034 TM34  3   

  T035 TM35  2   

 TC36 T036 TM36  3   

 TC37 T037 TM37  3   

 TC38 T038 TM38  3   

 TC39 T039 TM39  3   

  T040   1   

 TC41 T041   2   

 TC42 T042 TM42  3   

  T043   1   

 TC44 T044 TM44  3   

  T045   1   

  T046   1   

 TC47 T047 TM47  3   

 TC48 T048 TM48  3   

 TC49 T049 TM49  3   

 TC50 T050 TM50  3   

  T051 TM51  2   

 TC52 T052 TM52  3   

 TC53 T053 TM53  3   

  T054   1   

 TC55 T055 TM55  3   

 TC56 T056   2   

 TC57 T057 TM57  3   

 TC58 T058 TM58  3   

 TC59 T059 TM59  3   

 TC60 T060 TM60  3   

  T061   1   

  T062   1   

 TC63 T063 TM63  3   

 TC64  TM64  2   

 TC65    1   

 TC66  TM66  2   

 TC67  TM67  2   

 TC68  TM68  2   

 TC70  TM70  2   

Total Grupo 53 63 55   69 171 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

586 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

 
Distribución de los alumnos que han realizado varios cuestionario 

Tipo Cuestionario Conocimiento Auto VH   VH45    

Tema Cuestionario Problemas Geometría Medida General 

Total 

Cuestionarios 

Total 

Alumnos 

Grupo 

Total 

Cuestionarios 

UAM_1PRI_TAR_2010  P0001   1   

UAM_2PRI_TAR_2010 BOLONIA  P0002   1   

  P0003   1   

  P0004   1   

  P0005   1   

  P0006   1   

  P0007   1   

  P0008   1   

  P0009   1   

  P0010   1   

  P0011   1   

  P0012   1   

  P0013   1   

  P0014   1   

  P0015   1   

  P0016   1   

  P0017   1   

  P0018   1   

  P0019   1   

  P0020   1   

  P0021   1   

  P0022   1   

  P0023   1   

  P0024   1   

  P0025   1   

  P0026   1   

  P0027   1   

  P0028   1   

  P0029   1   

  P0030  PB030 2   

  P0031   1   

  P0032   1   

  P0033  PB033 2   

  P0034  PB034 2   

  P0035  PB035 2   

  P0036  PB036 2   

  P0037  PB037 2   

  P0038   1   

  P0039  PB039 2   

  P0040   1   

  P0041  PB041 2   

  P0042   1   

  P0043   1   

  P0044   1   

  P0045   1   

  P0046  PB046 2   

  P0047   1   

  P0048   1   

  P0049   1   

  P0050   1   

  P0051   1   

  P0052   1   

  P0053   1   

  P0054   1   

  P0055   1   

  P0056   1   

  P0057   1   

  P0058   1   

  P0059   1   

  P0060   1   

  P0061   1   



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  587 
 

 

 
Distribución de los alumnos que han realizado varios cuestionario 

Tipo Cuestionario Conocimiento Auto VH   VH45    

Tema Cuestionario Problemas Geometría Medida General 

Total 

Cuestionarios 

Total 

Alumnos 

Grupo 

Total 

Cuestionarios 

UAM_1PRI_TAR_2010  P0062  PB062 2   

UAM_2PRI_TAR_2010 BOLONIA  P0063  PB063 2   

  P0064  PB064 2   

  P0065   1   

  P0066  PB066 2   

  P0067  PB067 2   

  P0068  PB068 2   

  P0069  PB069 2   

  P0070  PB070 2   

  P0071  PB071 2   

  P0072  PB072 2   

  P0073  PB073 2   

  P0074  PB074 2   

  P0075   1   

  P0076  PB076 2   

  P0077  PB077 2   

  P0078  PB078 2   

  P0079  PB079 2   

  P0080  PB080 2   

  P0081   1   

    PB100 1   

    PB101 1   

    PB102 1   

    PB103 1   

    PB104 1   

    PB105 1   

    PB106 1   

    PB107 1   

    PB108 1   

    PB109 1   

Total Grupo  81  36  91 117 

Total           210 396 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

588 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

11.8.-Apéndice C. Listado del cuestionario conocimientos básicos de 

geometría 

 

 



Planteamiento del trabajo de campo 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  589 
 



 

 



Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  591 
 

 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 12 

 

ANÁLISIS DE LOS CUESTIONARIOS SOBRE  

LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA 

 

12.1.- Introducción y objetivos 

Utilizando los 1120 cuestionarios para la determinación del nivel de 

razonamiento de van Hiele, aplicados a 924 alumnos procedentes de seis 

centros educativos que abarcan las etapas que van desde la Educación Primaria 

a la Universidad, se quiso obtener más información acerca de la posición de los 

alumnos hacia la geometría, y que visión pudieran tener de esta materia como 

tema de estudio. Aunque estos puntos estuvieran cargados de subjetividad en 

las respuestas, consideramos que eran de importancia primordial en el estudio 

de la geometría. 

Así se quiso que además de la medida del nivel de razonamiento de van 

Hiele, los cuestionarios incluyeran algunos temas relativos a la evaluación de la 

enseñanza de la geometría en las diferentes etapas educativas. (Usiskin, Z.; 

1982). De esta forma, sobre el tema de cada ítem de los cuestionarios de Usiskin 

y Autoevaluación se les planteó tres preguntas: si habían lo estudiado y/o 

aprendido dicho tema, si le gusta o no dicho tema, y cómo les gustaría que se 

les enseñara el tema en cuestión. Así, se pidió a los alumnos que se 

manifestaran subjetivamente en tres aspectos relacionados con la enseñanza de 

la geometría, formando así tres cuestionarios: 

Tenía  un muro  grande  y  alto.    
Que tenía  doce  puertas.   
Del lado de  oriente,  tres  puertas,  
del lado de  septentrión,  tres  puertas,  
del lado de  mediodía,  tres  puertas,  
del lado de  poniente,  tres  puertas 
 

Poema de Jerusalén 
San Juan, Apocalipsis 

 



Florencio López de Silanes 

 

592 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

- Cuestionario CEG o “Como te han Enseñado la Geometría”. 

Respondiendo a la pregunta de cómo había estudiado la geometría el 

alumno de acuerdo al contenido de cada ítem, si lo había estudiado o no, 

si lo había estudiado pero no lo aprendió en su día, o si lo había 

estudiado y aprendido en su día. 

- Cuestionario GG o del “Gusto por la Geometría”. En cada ítem de los 

cuestionarios de Usiskin y de Autovaloración se le pregunta al alumno si 

le gusta el contenido, o si no le gusta, o si le gusta bastante. 

- Cuestionario CGEG o de “Como le Gustaría que le Enseñaran la 

Geometría”. En este cuestionario les presentamos nueve opciones 

diferentes para que seleccionaran hasta tres por ítem, relativas a cómo 

les hubiera gustado recibir esos conocimientos de geometría, tanto en el 

pasado como en los estudios presentes. 

Los resultados de estos tres cuestionarios son independientes de los 

cuestionarios de Usiskin o de Autovaloración, y sus resultados no son reducibles 

a niveles de razonamiento, por eso los presentamos y analizamos de forma 

independiente en este capítulo. 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  593 
 

12.2.- Metodología 

 

La toma de datos para los cuestionarios CEG, GG y CGEG se realizó al 

mismo tiempo que los alumnos cumplimentaban los cuestionarios de Usiskin y 

de Autovaloración. Además de responder a las preguntas propias para la 

determinación de los niveles de razonamiento de van Hiele propios de cada uno 

de los anteriores cuestionarios, se les pidió que respondieran a las preguntas de 

los cuestionarios sobre la "Enseñanza de la Geometría". 

Tanto con el cuestionario de Usiskin como con el de Autovaloración, 

muchos alumnos tendían a cumplimentar primero las respuestas propias de la 

determinación de los niveles de razonamiento, dejando para el final las 

respuestas sobre la "Enseñanza de la Geometría", para responder igual en todos 

los ítems de los cuestionarios de "Enseñanza de la Geometría". (Sánchez 

Delgado y otros, Primitivo; 2005). 

Por esta razón, y a pesar de que al principio de cada cuestionario 

aplicado, insistiéramos verbalmente en que para pasar al siguiente ítem 

debieran de haber completado todas las preguntas del ítem actual, vigilamos 

muy de cerca, y alumno por alumno, la forma en que iban cumplimentando los 

cuestionarios, y a aquellos alumnos que se veía que dejaban los cuestionarios 

de "Enseñanza de la Geometría" para el final, se les pedía que respondieran a la 

vez a todas las preguntas de cada ítem. 

Los datos procedentes de estos tres cuestionarios, se grabaron en las 

mismas tablas de excel que las respuestas para la determinación del nivel de 

razonamiento en el Fichero de Respuestas. Posteriormente montamos procesos 

específicos para obtener la relación de las respuestas vertidas por cada alumno 

a los cuestionarios de la "Enseñanza de la Geometría". 

De esta forma en el Apéndice A mostramos el listado de las respuestas 

de los alumnos al cuestionario CEG o "Cómo me han Enseñado la Geometría", 

donde el número de respuestas R1, R2 y R3 se corresponden con el número de 

veces que el alumno ha respondido: No lo he dado, Lo he dado y no aprendido, 

o, Lo he dado y aprendido, respectivamente. También listamos las respuestas en 

blanco, que sumadas a las respondidas forman el total de respuestas que son 25 

para el cuestionario de Usiskin, 18 para el cuestionario de Autovaloración en la 

modalidad de Geometría, y 11 para el cuestionario de Autovaloración en la 

modalidad de Medida. (Usiskin, 1982). 



Florencio López de Silanes 

 

594 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Transformando estos datos según convenga, hemos realizado el análisis 

de los resultados del cuestionario CEG que mostramos a continuación. 

El listado que mostramos en el Apéndice B tiene el mismo formato que 

el apéndice anterior, pero estos datos están referidos al cuestionario GG o 

"cuánto me Gusta la Geometría", donde el número de respuestas R1, R2 y R3 se 

corresponden con el número de veces que el alumno ha respondido: No me 

gusta, Me gusta, y Me gusta bastante, respectivamente. Transformando estos 

datos según convenga, hemos realizado el análisis de los resultados del 

cuestionario GG que mostramos en el apartado siguiente. 

También el listado que mostramos en el Apéndice C tiene el mismo 

formato que los apéndices anteriores, pero estos datos están referidos al 

cuestionario CGEG o "Como me Gustaría que me Enseñaran la Geometría", 

donde el número de respuestas R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, yR9  se 

corresponden respectivamente con el número de veces que el alumno ha 

respondido:  

1 Más ejercicios. 

2 Menos ejercicios. 

3 Más trabajo personal para el alumno. 

4 Ver la aplicación en la vida real. 

5 Más esfuerzo del profesor. 

6 Utilizar software geométrico o de dibujo. 

7 Manipular el alumno los contenidos.  

8 Utilizar Metodología Participativa. 

9 Más Clases Magistrales.  

 

Transformando estos datos, hemos realizado el análisis de los 

resultados del cuestionario CGEG que mostramos en los siguientes apartados. 

 

 

 

 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  595 
 

12.3.- Cuestionario “Cómo le han enseñado la Geometría” (CEG) 

 

Cuando diseñamos la aplicación de los cuestionarios de Usiskin y 

Autovaloración para la medida del nivel de razonamiento de van Hiele, 

pensamos en aprovechar esta oportunidad para conocer de forma sencilla la 

visión que tenían los alumnos de la enseñanza de la geometría, así nacieron los 

cuestionarios CEG, GG y CGEG. 

Nuestro primer interés fue el conocer la percepción que tenían los 

alumnos de cómo se les había enseñado la geometría. Para ello planteamos 

diversos grupos de preguntas, con intención de eliminar en lo posible la 

subjetividad en las respuestas. Por esta razón nos quedamos con tres preguntas 

para que los alumnos respondieran de la forma más objetiva posible sobre 

cómo habían aprendido la geometría, y que a su vez pudieran darnos una visión 

de la eficacia de los métodos de enseñanza de la geometría desde su punto de 

vista. 

Este cuestionario le hemos llamado "Cuestionario de Como le han 

Enseñado la Geometría (CEG)". En el cuestionario CEG pedimos a los alumnos 

que seleccionen en cada ítem de los cuestionarios de Usiskin y Autovaloración 

una de las tres respuestas siguientes: 

o No lo he dado. 

o Lo he dado y no aprendido. 

o Lo he dado y aprendido. 

 

De esta forma utilizando el lenguaje vulgar, pretendemos que el alumno 

aporte su visión particular de cómo ha aprendido los diferentes temas de 

geometría que le hemos propuesto. 

 



Florencio López de Silanes 

 

596 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.3.1.- Análisis de los resultados globales del cuestionario CEG 

 

A nivel global los alumnos respondieron a la pregunta de "como me han 

enseñado la geometría" seleccionando una de las tres opciones descritas 

anteriormente. En la tabla 1 mostramos los resultados del cuestionario CEG en 

número de respuestas totalizadas a nivel de etapa de enseñanza, a nivel de 

respuesta y a nivel global. 

 

Como se ha enseñado la geometría 

  Primaria Secundaria Bachillerato Universidad Global 

No Dado 144 94 112 355 705 

Dado y No Aprendido 112 81 111 457 761 

Dado y Aprendido 148 118 175 551 992 

Total 404 293 398 1363 2458 

Tabla 1 

    

Como siempre convertiremos éstos datos en magnitudes porcentuales, 

o si se quiere números relativos, y compararlos con otros resultados. La 

totalización de los porcentajes a nivel de las respuestas no aporta otra cosa que 

la distribución de la muestra por los niveles educativos según sus pesos que ya 

conocemos. Por tanto, utilizaremos los porcentajes a nivel de las etapas 

educativas como mostramos en la tabla 2. 

 

   Gráfico   1 
 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  597 
 

A nivel global y para los contenidos en que se ha preguntado a los 

alumnos, vemos que confiesan haber aprendido el 40% de los contenidos de 

geometría que han estudiado; pero que no han aprendido el 31% de los temas 

estudiados. O lo que es lo mismo, que de los temas que estudiaron reconocen 

que han aprendido el 60%, y que no aprendieron el 40%. Estos resultados son 

interesantes desde el punto de vista que muestra el porcentaje que los alumnos 

reconocen como de la eficacia del aprendizaje en la geometría que estudiaron. 

Otro resultado muy importante es el que muestra la gráfica 1, donde los 

alumnos denuncian que no han dado o estudiado el 29% de los temas que les 

hemos propuesto, es decir, los alumnos dicen que no han estudiado o que no 

les han enseñado casi la tercera parte de los temas básicos de la geometría. 

 

12.3.2.- Análisis de los resultados de cuestionario CEG por etapas 

educativas 

 

La tabla 2 nos muestra los resultados porcentuales del cuestionario CEG 

totalizados para las cuatro etapas educativas. 

 

Cómo se ha enseñado la geometría 

  Primaria Secundaria Bachillerato Universidad Global 

No Dado 36 32 28 26 29 

Dado y No Aprendido 28 28 28 34 31 

Dado y Aprendido 37 40 44 40 40 

Total 100 100 100 100 100 

Tabla 2 

 

 

En la tabla 2 se pone de manifiesto que a medida que avanzamos en las 

etapas educativas obtenemos mejores resultados en el cuestionario. Así es 

llamativa y grave la visión que aportan los alumnos de Educación Primaria y que 

mostramos en la gráfica 2, donde disminuyen los porcentajes de "dado y 

aprendido" y "dado y no aprendido" respecto de los porcentajes medios, y 

aumenta al mismo tiempo el porcentaje de "no dado", es decir los temas que no 

han sido estudiados. Vemos que en este sentido, los alumnos de Educación 

Primaria, están bastante por debajo de la media global. 



Florencio López de Silanes 

 

598 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 
                                                       Gráfico   2  
 

Como contrapartida, los alumnos de Enseñanza Universitaria resultan 

que están por encima de la media global, según ponemos de manifiesto en la 

gráfica. 3 Ya que este colectivo presenta el valor más bajos en la respuesta "no 

dado" con un valor del 26%, y el valor más alto en "dado y no aprendido" con un 

porcentaje del 34%, mientras que el porcentaje para "dado y aprendido" se 

mantiene en un valor del 40%. (Sánchez Delgado y otros, Primitivo; 2005). 

 

 

                                                    Gráfico   3  
 

La representación gráfica de los porcentajes especificados en la tabla 2 

contra las etapas educativas como hacemos en las gráficas 4, 5 y 6 cada una de 

las tres respuestas posibles del cuestionario, aporta resultados bastante 

interesantes sobre el aprendizaje de la geometría de este grupo de alumnos. 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  599 
 

Así en la gráfica 4 vemos que en las respuestas del tipo "no dado", los 

porcentajes disminuyen a medida que crecemos en la etapa educativa. Este 

resultado es lógico ya que al pasar los cursos se estudian más contenidos de 

geometría. 

 

 

                                                                     Gráfico   4  
 

Las respuestas del tipo "dado y no aprendido" mantienen un porcentaje 

constante en las tres primeras etapas, mientras que crece considerablemente 

en la etapa universitaria, indicando que los alumnos universitarios de nuestra 

muestra han estudiado la geometría con menor eficacia en el aprendizaje que 

los alumnos de las otras tres etapas anteriores. 

 

 
Gráfico   5  



Florencio López de Silanes 

 

600 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

Al mismo resultado nos lleva el análisis de la gráfica 6 de las respuestas 

del tipo "dado y aprendido", pues mientras que los porcentajes de este tipo 

crecen en las tres primeras etapas educativas, baja considerablemente al pasar 

a los alumnos universitarios, indicando que el aprendizaje de los alumnos 

universitarios es inferior al de los alumnos de bachillerato, y del mismo orden 

que el de los alumnos de secundaria.  

 

 

Gráfico   6  
 

 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  601 
 

12.3.3.- Análisis de los resultados del cuestionario CEG por los centros de 

enseñanza 

 

También hemos estudiado la distribución de las tres respuestas de este 

cuestionario a nivel de cada uno de los seis centros donde cursan los alumnos 

de nuestra muestra, como indicamos en la tabla 3. 

Los porcentajes más bajos de la tabla son para los alumnos 

universitarios y el tipo de respuesta "no dado", lo que es coherente con los 

resultados anteriores, donde ya indicamos que este tipo de respuestas 

disminuía a medida que se avanzaba en las etapas educativas. Este mismo 

colectivo presenta un valor más alto que la media para las respuestas "dado que 

no aprendido". Por otra parte los porcentajes más altos corresponden a la 

respuesta del tipo "dado y aprendido". 

 

Cómo se ha enseñado la geometría 

  No Dado Dado y No Aprendido Dado y Aprendido Total 

CEIP_CV 37 29 33 100 

IESJC 27 28 45 100 

KHALIL GIBRAN 35 26 39 100 

MONTPELLIER 33 28 39 100 

UAM 26 33 41 100 

UCM 28 37 36 100 

Global 29 31 40 100 

Tabla 3 

 

 

Es interesante ver la distribución de los tres tipos de respuestas en cada 

uno de los seis centros educativos como mostramos en las seis gráficas 

siguientes (de la 7 a la 12). 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

602 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

Gráfico   7  
 

Para el grupo escolar Carlos V, el mayor porcentaje lo presentan las 

respuestas del tipo "no dado", lo que es lógico ya que en este centro sólo hemos 

encuestado a alumnos de Educación Primaria. Los porcentajes correspondientes 

a las otras dos respuestas se distribuyen casi por igual según vemos en el gráfico 

7. 

 

 

Gráfico   8  
 

En el Instituto Juan de la Cierva nos ha llamado la atención el alto valor 

del porcentaje del 45% asignado por los alumnos a los contenidos “dados y 

aprendidos” de geometría según vemos en el gráfico 8. Este es el valor máximo 

de los porcentajes registrados en todos los centros. Los porcentajes asignados a 

los otros dos tipos de respuestas son casi iguales en este Instituto. 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  603 
 

 

 

Gráfico   9  
 

Los alumnos de los colegios Khalil Gibran y Montpellier manifiestan 

haber "dado y aprendido" el 39% de los contenidos que se les presentaron, 

según mostramos en los gráficos 9 y 10. Manteniendo ambos centros privados 

una distribución similar en los temas "no dados" y "dados y no aprendidos". No 

obstante vemos como preocupante que no han aprendido el 61% de los temas 

de geometría estudiados en los tres primeros niveles. Esto pone de manifiesto la 

existencia de importantes lagunas en el conocimiento de la geometría con 

independencia de sus causas, bien porque no se han explicado estos temas a los 

alumnos, bien porque no hayan sido capaces de aprenderlos. 

 

 

Gráfico   10  
 

 



Florencio López de Silanes 

 

604 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

Los alumnos universitarios sean de la UAM o de la UCM, manifiestan un 

porcentaje muy similar en las respuestas "no dado" con un valor en torno al 

27%. 

 

 

    Gráfico   11  
 

Los alumnos de la Universidad Autónoma de Madrid presentan un nivel 

ligeramente superior a la Universidad Complutense de Madrid, lo que debe 

vincularse con el hecho de que todos los estudiantes encuestados de la 

Universidad Complutense de Madrid eran de la especialidad Educación Infantil.  

 

 

 

      Gráfico   12  
 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  605 
 

Lo más positivo de estas distribuciones de los alumnos de la Universidad 

Autónoma de Madrid está en el valor más bajo para los porcentajes a las 

respuestas del tipo "no dado", y el alto porcentaje de temas que dicen haber 

"dado y aprendido". 

 

 

12.3.4.- Análisis de los resultados del cuestionario CEG la titularidad de 

los centros de enseñanza 

 

Otro estudio interesante es analizar por la titularidad de los centros de 

enseñanza, las distribuciones de las respuestas del cuestionario CEG. La tabla 4 

muestra los porcentajes de estas distribuciones totalizadas a nivel de la 

titularidad de los centros educativos. 

 

Cómo se ha enseñado la geometría 

  Público Concertado Privado Global 

No Dado 27 33 35 29 

Dado y No Aprendido 32 28 26 31 

Dado y Aprendido 41 39 39 40 

Total 100 100 100 100 
Tabla 4 

 

De acuerdo con la tabla 4 el mejor comportamiento en las tres 

respuestas lo hemos obtenido en los centros de titularidad pública ya que 

presentan el porcentaje más bajo en los temas "no dado", y el más alto para 

"dado y aprendido". Esta valoración quizás sea consecuencia de que todos los 

alumnos universitarios de nuestra muestra cursen estudios en centros de 

titularidad pública. 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

606 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

Gráfico   13  
 

La gráfica 13 muestra la distribución de los porcentajes obtenidos para 

los alumnos que cursan estudios en centros de titularidad pública. Estos 

alumnos manifiestan que el 41% de los temas de geometría los han "dado y 

aprendido" mientras que "no han dado" el 27% de los temas del currículo de 

geometría. 

 

 

Gráfico   14  
 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  607 
 

En contrapartida, los alumnos de centros privados (de enseñanza 

privada o concertada) sólo han "dado y aprendido" el 39% de los temas que les 

hemos propuesto. La gráfica 15 muestra en los centros privados el menor 

porcentaje de respuestas del tipo "dado y no aprendido" y por tanto la mayor 

eficacia en el aprendizaje de la geometría. 

 

 

Gráfico   15  
 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

608 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.3.5.- Análisis de los resultados del cuestionario CEG por sexo 

 

En las respuestas al cuestionario CEG por sexo los porcentajes a la 

respuesta "no dado" debieran ser iguales para ambos sexos, ya que en principio, 

en este punto no debiera haber ninguna diferencia al compartir las mismas 

aulas todos los alumnos con independencia de su sexo. Sin embargo en la tabla 

5 observamos una diferencia del 1% en la apreciación hecha por los alumnos de 

ambos sexos en los temas "no dados" de geometría. 

 

Cómo se ha enseñado la geometría 

  Varones Mujeres Global 

No Dado 27 28 29 

Dado y No Aprendido 32 32 31 

Dado y Aprendido 41 40 40 

Total 100 100 100 
Tabla 5 

 

El comportamiento en estas tres respuestas de las mujeres de de esta 

muestra es ligeramente inferior al de los  varones, ya que las mujeres 

respondieron con un porcentaje más bajo a los temas "dado y aprendido" y 

superior en los temas "no dados". Pero los porcentajes obtenidos son tan 

similares en las tres respuestas que casi no existen diferencias. 

Las gráficas siguientes muestran las distribuciones de los porcentajes a 

los tres temas que se les preguntó en este cuestionario. 

 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  609 
 

 

Gráfico   16  
 

Podemos afirmar entonces que los alumnos han dado y aprendido algo 

más del 40% de los temas que se les mostró, mientras que no reconocen del 

orden del 27% de los temas, por lo que los han calificado como "no dados". 

(Sánchez Delgado y otros, Primitivo; 2005). 

 

 

Gráfico   17  
 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

610 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.3.6.- Análisis de los resultados del cuestionario CEG con la edad de los 

alumnos 

 

Para el análisis del cuestionario CEG por las edades, hemos totalizado 

los porcentajes a nivel de edad ya que totalizándolos por respuestas 

simplemente obtendríamos la distribución con respecto a la edad de la 

población que ya conocemos. 

 

Cómo se ha enseñado la geometría 

Edad 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 >30 

No Dado 36 35 25 40 33 28 29 30 28 27 23 25 26 26 19 25 23 16 18 31 25 

Dado y No Aprendido 27 28 38 20 27 28 28 29 32 31 34 37 34 34 37 30 36 42 36 31 34 

Dado y Aprendido 37 36 38 40 40 44 43 40 39 41 43 38 40 40 44 45 41 42 45 38 42 

Total 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 

Tabla 6 

 

El dibujo de los porcentajes a estas tres respuestas, como podemos ver 

en el gráfico 18, nos muestra tres gráficas con valores oscilantes entre el 20% y 

el 45%. 

 

 
Gráfico   18  

 

 

La gráfica que presenta mayores valores con independencia de las 

edades de los alumnos es la correspondiente a las respuestas del tipo " dado y 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  611 
 

aprendido", ya que está por encima de las otras dos en toda la gama de edades. 

Mientras que la gráfica de los temas "dados y no aprendidos" muestra 

normalmente los valores más bajos de las tres gráficas para los alumnos 

menores de 16 años, lo que no se está indicando que el aprendizaje de la 

geometría es más costoso para los alumnos menores de 16 años. 

El hecho de que la gráfica correspondiente a los temas " no dados" esté 

por debajo de las otras tres para alumnos mayores de 16 años es un resultado 

congruente con otros obtenidos anteriormente, que mueren simplemente de 

manifiesto que, cuántos más años se estudia geometría se trabaja en un 

número mayor de temas. 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

612 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.4.- Cuestionario “Gusto de la Geometría” (GG) 

 

En cada uno de los ítems de los Cuestionarios de Usiskin y de 

Autovaloración se les pidió a los alumnos que respondieran si les gustaba o no, 

o cuánto les gustaba el tema de geometría sobre el que versaba dicho ítem. Se 

refería al alumno que marcara una de estas tres opciones: 

o No me gusta. 

o Me gusta. 

o Me gusta bastante. 

 

Al cuestionario así planteado le hemos llamado "cuestionario sobre el 

Gusto de la Geometría (GG)". 

A continuación procederemos al análisis de los resultados del 

cuestionario GG, y al comportamiento de estos resultados respecto de las 

diferentes variables estadísticas. 

 

12.4.1.- Análisis global de los resultados del cuestionario GG 

    Las respuestas al Cuestionario GG fueron las últimas modificaciones 

introducidas al Cuestionario de Usiskin, por esta razón el número de respuestas 

que tenemos del cuestionario GG son menores que las del cuestionario CEG. La 

tabla 7 nos muestra el número de respuestas del  cuestionario con relación a sus 

tres preguntas y a las etapas de enseñanza. 

 

Cuánto te gusta la geometría 

Etapas Primaria Secundaria Bachillerato Universidad Global 

No me gusta 126 85 113 235 559 

Me gusta 137 95 152 299 683 

Me gusta bastante 105 34 72 104 315 

Total 368 214 337 638 1557 

Tabla 7 

 

A pesar de que en el cuestionario GG sólo tengamos 1557 respuestas 

frente a las 2438 del cuestionario CEG, son suficientes para poder emitir 

resultados válidos mediante un análisis estadístico de los datos. 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  613 
 

Así a nivel global podemos afirmar que la respuesta de los alumnos ha 

sido que les gustan el 44% de los temas de geometría que se les propuso, y que 

les gusta bastante el 20% de los temas propuestos. En definitiva, a los alumnos 

de esta muestra les gustan el 64% de los temas de geometría, y no les gustan el 

36% de dichos temas. (Sánchez Delgado y otros, Primitivo; 2005). 

 

Gráfico   19  
 

La empatía de los alumnos por los temas en los que van a trabajar o 

estudiar es un factor importante, y que es sin duda, incidirá en los resultados 

del aprendizaje. Si a los alumnos les gustan el 64% de los temas propuestos, y 

los resultados en el aprendizaje de la geometría no son buenos, quiere decir, 

que debemos buscar otras justificaciones para el fracaso o no en la enseñanza 

de la geometría a lo largo de las cuatro etapas educativas que estamos 

estudiando: Enseñanza Primaria, Secundaria, Bachillerato y Enseñanza 

Universitaria. 

 



Florencio López de Silanes 

 

614 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.4.2.- Análisis de los resultados del cuestionario GG con las respuestas 

 

En la tabla 8 mostramos la distribución de los porcentajes de las 

respuestas totalizadas por las preguntas realizadas en el cuestionario. Es curioso 

observar que en este análisis los alumnos universitarios ganan en todo. 

 

Cuánto te gusta la geometría 

Etapas Primaria Secundaria Bachillerato Universidad Global 

No me gusta 23 15 20 42 100 

Me gusta 20 14 22 44 100 

Me gusta bastante 33 11 23 33 100 

Total 24 14 22 41 100 

Tabla 8 

 

El mayor número de los alumnos de la muestra que manifiestan que no 

les gusta la geometría el 42%, ver gráfico 20 son universitarios. 

 

 
Gráfico   20  

 

La distribución de los alumnos se manifiesta que les gusta la geometría 

tiene una forma similar a la anterior, de estos el 14% son de enseñanza 

Secundaria, mientras que el 44% son alumnos universitarios. Los porcentajes de 

alumnos que han manifestado que les gusta o que no les gusta la geometría en 

Educación Primaria son muy similares. Algo similar ocurre con los alumnos de 

Bachillerato que han manifestado que no les gusta la geometría con unos 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  615 
 

porcentajes muy similares al porcentaje de los alumnos que han respondido que 

les gusta la geometría. 

 

 
Gráfico   21  

 

Sin embargo varía bastante con respecto a las anteriores, la distribución 

de los porcentajes de los alumnos que han respondido que les gusta bastante la 

geometría. Así tenemos que de los alumnos que han respondido positivamente 

a esta opción, el 33% son estudiantes universitarios y un porcentaje igual son 

estudiantes de Educación Primaria, mientras que el 23% son estudiantes de 

Bachillerato, y el grupo que menos respuestas afirmativas ha dado a esta 

pregunta son los estudiantes de Educación Secundaria, como podemos observar 

en el gráfico 22.   

 
Gráfico   22  



Florencio López de Silanes 

 

616 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.4.3.- Análisis de los resultados del cuestionario GG con las etapas 

educativas 

 

Si los datos de la tabla 7 los convertimos en porcentajes totalizados a 

nivel de las cuatro etapas educativas obtendremos la tabla 9 con una 

distribución más equilibrada de los porcentajes sobre las diferentes etapas 

educativas. 

 

Cuánto te gusta la geometría 

Etapas Primaria Secundaria Bachillerato Universidad Global 

No me gusta 34 40 34 37 36 

Me gusta 37 44 45 47 44 

Me gusta bastante 29 16 21 16 20 

Total 100 100 100 100 100 

Tabla 9 

 

El 37% de los estudiantes de Educación Primaria manifiestan que les 

gusta la geometría, y el 29% que les gusta bastante, lo que nos proporciona un 

porcentaje del 66% de los alumnos de Primaria que les gusta la geometría frente 

al 34% que no les gusta. En esta etapa vemos que dos de cada tres alumnos les 

gusta la geometría. El gusto por la geometría en esta etapa educativa es 

importante, ya que es durante la Educación Primaria donde se introducen los 

conceptos y los elementos básicos que van a configurar la geometría euclidiana 

así como sus relaciones.  

 

Gráfico   23  



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  617 
 

 

Durante la Educación Secundaria los alumnos asisten al desarrollo y a la 

consolidación de los conocimientos básicos de la geometría euclidiana. La 

empatía hacia la geometría en esta etapa es importante para una adecuada 

adquisición de los conocimientos geométricos. 

 

 

Gráfico   24  
 

En el gráfico 24 vemos que el 44% de los estudiantes de Secundaria han 

manifestado que les gusta la geometría, más un 16% que les gusta bastante, 

totalizan un 60% de alumnos que les gusta en mayor o menor medida la 

geometría frente a un 40% que no les gusta la geometría.  

El alto porcentaje de un 40% de alumnos que no les gusta la geometría 

en Educación Secundaria, en una etapa tan importante para aprender los 

elementos básicos que conforman la geometría euclidiana, puede tener 

incidencia en dos aspectos muy importantes: 

- El bajo rendimiento en el aprendizaje de la geometría que hemos 

observado durante la Enseñanza Media, y que luego incidirá 

necesariamente en los resultados de los estudios de la geometría en las 

etapas posteriores. 

- Quizás este alto porcentaje de alumnos de Educación Secundaria que no 

les gusta la geometría sea producido porque no se trabaja 



Florencio López de Silanes 

 

618 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

adecuadamente la geometría a nivel curricular o en las aulas. Sea como 

fuere, si al 40% de los alumnos no les gusta la geometría, es razón más 

que suficiente para replantearse la enseñanza de la geometría a nivel 

global. 

Durante la etapa de Bachillerato volvemos a tener un porcentaje del 

34% de alumnos que no les gusta la geometría. Durante esta etapa, es muy 

importante el dominio de los conceptos básicos de la geometría euclidiana así 

como la destreza en su utilización dentro del marco de la geometría analítica 

tanto para el estudio de la geometría analítica propiamente dicha, como para el 

estudio de las funciones y del cálculo diferencial y del cálculo integral. 

 

Gráfico   25  
 

Vemos de esta forma que la destreza o no en los conocimientos básicos 

de la geometría euclidiana puede hacer de cierre o no a otras materias como 

son: la geometría analítica, el estudio de las funciones, el cálculo diferencial, y el 

cálculo integral, que son el repertorio mayoritario en el currículo de las 

matemáticas en Bachillerato. 

En el gráfico 25 vemos que el 45% de los alumnos de Bachillerato 

responden afirmativamente que les gusta la geometría más un 21% que afirma 

que les gusta bastante, hace un 66% de alumnos de Bachillerato que les gusta la 

geometría, frente a ese 34% que afirma que no les gusta la geometría. (Sánchez 

Delgado y otros, Primitivo; 2005). 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  619 
 

El alto porcentaje del 37% de los alumnos universitarios de nuestra 

muestra que afirman no gustarles la geometría, no me preocupa tanto como los 

altos porcentajes registrados en esta opción en las etapas anteriores, ya que un 

alto porcentaje de estos alumnos universitarios proceden de estudios de Letras. 

 

 
Gráfico   26  



Florencio López de Silanes 

 

620 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.4.4.- Análisis de los resultados del cuestionario GG con el sexo de los 

alumnos 

 

En la tabla 10 mostramos las respuestas dadas por los alumnos varones 

y mujeres a las tres cuestiones sobre si les gusta o no la geometría. Vemos que 

el porcentaje de los alumnos que no han respondido al sexo es pequeño por lo 

que prescindiremos de en este análisis. 

 

Cuánto te gusta la geometría 

Sexo Mujeres Hombres N/C Global 

No me gusta 381 168 10 559 

Me gusta 458 213 12 683 

Me gusta bastante 168 142 5 315 

Total  1007 523 27 1557 
Tabla 10 

 

Estos valores convertidos a porcentajes totalizados sobre los hombres y 

mujeres los presentamos en la tabla 11. Vemos que las tendencias de las 

respuestas de las tres columnas es la misma con independencia del sexo y de 

N/C. 

 

Cuánto te gusta la geometría 

Sexo Mujeres Hombres N/C Global 

No me gusta 38 32 37 36 

Me gusta 45 41 44 44 

Me gusta bastante 17 27 19 20 

Total  100 100 100 100 
Tabla 11 

 

Vemos en la tabla 11 que a los hombres les gusta la geometría algo más 

que a las mujeres. El 38% de las mujeres respondió que no las gustaba la 

geometría contra el 32% de los hombres. Esta diferencia de seis puntos entre 

los sexos por el gusto de la geometría es un valor importante. 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  621 
 

En la gráfica 27 mostramos la distribución del gusto por la geometría en 

las mujeres, donde ya expresamos que al 38% no las gusta la geometría. No 

obstante, el 45% de las mujeres respondió que las gustaba la geometría, más el 

17% que manifestó que las gustaba mucho, lo que totaliza un 62% de las 

mujeres de esta muestra que tienen una empatía positiva hacia la geometría. 

 

Gráfico   27  
 

 

De la otra parte, el 41% de los hombres de la muestra ha manifestado 

su gusto por la geometría, más el 27% que dice que le gusta bastante, lo que 

totaliza un 68% de los hombres que tienen una visión positiva de la geometría 

frente a un 32% que afirman que no les gusta la geometría, como ponemos de 

manifiesto en la gráfica 28.  

 

Gráfico   28  



Florencio López de Silanes 

 

622 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

12.4.5.- Análisis de los resultados del cuestionario GG con la especialidad 

del bachillerato 

 

Es tan interesante conocer en la visión de los alumnos hacia la 

geometría según la especialidad del Bachillerato que están estudiando, pues 

aunque podríamos presuponer los resultados por la naturaleza de la 

especialidad, sin embargo las diferencias no son tan grandes. En la tabla 12 

mostramos la distribución de las respuestas dependiendo de la especialidad 

elegida por el alumno en Bachillerato. Vemos que en número de alumnos la 

elección entre Ciencias y Letras está bastante equilibrada, y que el número de 

alumnos que cursan cada una de estas especialidades es cinco veces superior al 

de las otras especialidades juntas. 

 

Cuánto te gusta la geometría 

Bachillerato CIENCIAS LETRAS OTROS Global 

No me gusta 127 175 30 332 

Me gusta 201 194 37 432 

Me gusta bastante 97 60 15 172 

Total  425 429 82 936 
Tabla 12 

 

En la tabla 13 hemos transformado los resultados anteriores en 

porcentajes totalizados a nivel de las especialidades de Bachillerato. 

 

Cuánto te gusta la geometría 

Bachillerato CIENCIAS LETRAS OTROS Global 

No me gusta 30 41 37 35 

Me gusta 47 45 45 46 

Me gusta bastante 23 14 18 18 

Total  100 100 100 100 
Tabla 13 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  623 
 

Vemos que a nivel global, existe una diferencia porcentual de 11 puntos 

a favor de los alumnos de Letras en las respuestas a la pregunta "no me gusta la 

geometría", y otra diferencia porcentual de otros 11 puntos en favor de los 

alumnos de Ciencias en las respuestas a la pregunta "me gusta bastante la 

geometría".  

Pues aunque los porcentajes entre las especialidades de Ciencias y 

Letras sean muy similares en las respuestas a la pregunta "me gusta la 

geometría", las dos diferencias anteriormente apuntadas desequilibran la 

balanza del gusto por la geometría en favor de los alumnos de Ciencias, como 

era de prever. 

La distribución de las respuestas de los alumnos que estudian "Otras 

especialidades" de bachillerato, se asimila más a los alumnos de Letras que a los 

de Ciencias. 

La gráfica 29 muestra la distribución del gusto por el estudio de la 

geometría para los alumnos de la especialidad de Ciencias en el Bachillerato, 

dice que al 30% de los alumnos de Ciencias no les gusta la geometría. 

 

 

Gráfico   29  
 

Este dato es muy importante ya que, como habíamos manifestado 

anteriormente, la geometría es clave para el trabajo en la mayor parte de las 

áreas de conocimiento de las matemáticas de Bachillerato como pueden ser, la 



Florencio López de Silanes 

 

624 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

geometría analítica, el cálculo diferencial, el estudio de las funciones, y el 

cálculo integral. 

 

 

 

Gráfico   30  
 

Aunque la mayor parte de los conocimientos de matemáticas que 

estudian los alumnos de Letras no se apoyan directamente en la geometría, sin 

embargo, para los futuros profesores de matemáticas la geometría debe ser 

importante, ya que son quienes han de guiar los primeros pasos del 

conocimiento de la geometría en los niños. Esto difícilmente podrá realizarlo un 

colectivo en el que al 41% no les gusta la geometría. 

 

El conocimiento de la geometría no es esencial para los estudios de 

otras especialidades de bachillerato, donde trabajarán áreas de las matemáticas 

como la estadística... 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  625 
 

 

Gráfico   31  
 

En la gráfica 31 mostramos la distribución del gusto por la geometría 

para los alumnos que han optado por especialidades diferentes a las de ciencias 

o letras en el bachillerato. A pesar de que han manifestado el 63% de los 

alumnos que les gusta la geometría, entendemos que el porcentaje del 37% de 

los alumnos asociados a los que no les gusta la geometría es muy alto para 

algunos tipos de estudios como Artes, etc. 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

626 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.4.6.- Análisis de los resultados del cuestionario GG con la titularidad 

del centro 

 

Desde el punto de vista de los estudios universitarios es interesante 

conocer el gusto por la geometría vinculado a la titularidad del centro de 

enseñanza media donde el alumno realizó sus estudios de Bachillerato. Las 

respuestas obtenidas que cumplen estas condiciones las mostramos en la tabla 

14. 

 

Titularidad Centro donde estudió Bachillerato 

Cuánto te gusta la geometría 

  Público Concertado Privado Global 

No me gusta 133 77 18 228 

Me gusta 175 90 18 283 

Me gusta bastante 69 28 4 101 

Total  377 195 40 612 
      Tabla 14 

 

Al existir un desfasaje tan alto entre los alumnos procedentes de 

centros públicos, concertados o privados, los números anteriores no indican 

nada por lo que los reducimos a porcentajes totalizados sobre la titularidad de 

los centros educativos, como mostramos en la tabla 15. 

 

Titularidad Centro donde estudió Bachillerato 

Cuánto te gusta la geometría 

  Público Concertado Privado Global 

No me gusta 35 39 45 37 

Me gusta 46 46 45 46 

Me gusta bastante 18 14 10 17 

Total  100 100 100 100 
      Tabla 15 

 

En esta tabla ya disponemos de datos comparables o del mismo rango, 

donde observamos que el 45% o el 46% de los alumnos manifiestan que les 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  627 
 

gusta la geometría con independencia de la titularidad del centro en que 

cursaron sus estudios de bachillerato. 

Nos llama la atención que sean los alumnos de centros de titularidad 

pública quienes hayan manifestado poseer un mayor gusto por la geometría, 

frente a los alumnos procedentes de centros de titularidad privada que se 

adhirieron a las preguntas de menor gusto por la geometría. 

Efectivamente, pues aunque los porcentajes de alumnos que han 

manifestado que les gusta la geometría son muy similares, sin embargo el 45% 

de los alumnos procedentes de centros privados han manifestado 

expresamente que no les gusta la geometría. En contrapartida el 18% de los 

alumnos vinculados a centros de enseñanza pública ha manifestado que les 

gusta bastante la geometría, lo que totaliza un 64% de los alumnos en centros 

públicos con un gusto por la geometría frente a un 55% de los alumnos 

procedentes de centros privados. 

La gráfica 32 muestra la distribución del gusto por el estudio de la 

geometría que han manifestado los alumnos procedentes de centros de 

enseñanza pública. 

 

 

Gráfico   32  
 

En esta distribución puede observarse que el 65% de los alumnos 

procedentes de centros de titularidad pública manifiestan su gusto por la 

geometría frente al 35% que afirman que no les gusta. 



Florencio López de Silanes 

 

628 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

La gráfica 33 se corresponde con la distribución de los porcentajes por 

el gusto de la geometría de los alumnos procedentes de centros concertados, 

donde realizaron sus estudios de bachillerato. 

 

 

Gráfico   33  
 

Esta distribución es intermedia entre los centros de titularidad pública y 

privada. La gráfica 34 muestra la distribución de los porcentajes del gusto por la 

geometría de los alumnos procedentes de centros privados. Llama 

poderosamente la atención la igualdad de los porcentajes de los alumnos que 

manifiestan que les gusta o que no les gusta la geometría con un valor del 45%, 

siendo poco más que testimonial el porcentaje de los alumnos a los que les 

gusta bastante la geometría.  

 

Gráfico   34  
 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  629 
 

12.4.7.- Análisis de los resultados del cuestionario GG con las edades de 

los alumnos 

 

Para el estudio de los resultados del cuestionario GG con la edad de los 

alumnos presentamos la tabla 16 de las respuestas para los alumnos con edades 

comprendidas entre 11 y 25 años. 

 

Número de alumnos con los años   

Cuánto te gusta la geometría   

Años 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Global 

No me gusta 99 23 3 1 51 56 57 24 85 46 23 18 25 15 8 534 

Me gusta 108 27 2 2 55 79 82 22 96 56 33 25 29 14 11 641 

Me gusta bastante 82 22 

 

1 13 42 34 14 28 18 13 12 9 6 4 298 

Total 289 72 5 4 119 177 173 60 209 120 69 55 63 35 23 1473 
Tabla 16 

 

Para poder realizar comparaciones objetivas hemos reducido los datos 

anteriores a porcentajes totalizados sobre los tres tipos de respuestas como 

mostramos en la tabla 17 que nos muestra valores del mismo rango para las 

diferentes edades. 

 

Porcentaje de los alumnos por las respuestas   

Cuánto te gusta la geometría   

Años 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Global 

No me gusta 18,5 4,3 0,6 0,2 9,6 10,5 10,7 4,5 15,9 8,6 4,3 3,4 4,7 2,8 1,5 100 

Me gusta 16,8 4,2 0,3 0,3 8,6 12,3 12,8 3,4 15,0 8,7 5,1 3,9 4,5 2,2 1,7 100 

Me gusta bastante 27,5 7,4 0,0 0,3 4,4 14,1 11,4 4,7 9,4 6,0 4,4 4,0 3,0 2,0 1,3 100 

Total 19,6 4,9 0,3 0,3 8,1 12,0 11,7 4,1 14,2 8,1 4,7 3,7 4,3 2,4 1,6 100 

Tabla 17 

 

La gráfica 35 nos muestra las distribuciones de estos porcentajes de 

acuerdo con las edades y los tipos de respuestas dadas por los alumnos. 

 



Florencio López de Silanes 

 

630 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

Gráfico   35  
 

En la gráfica 35 podemos observar el mismo comportamiento de las tres 

curvas de distribución con respecto a las edades de los alumnos. No obstante, 

vemos que para edades inferiores a los 16 años predominan los alumnos que les 

gusta bastante la geometría, mientras que para edades mayores de 18 años 

predominan los porcentajes de los alumnos que no les gusta la geometría o 

simplemente les gusta la geometría. 

 

 

 

 

 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  631 
 

12.5.- Cuestionario “Cómo le Gustaría que le Enseñaran  la Geometría” 

(CGEG) 

 

 

No podía faltar preguntar a los alumnos cómo les gustaría que le 

enseñaran la geometría según la experiencia que tenía. Por otra parte, y dada la 

heterogeneidad de alumnos a los que iba dirigido el cuestionario, la pregunta 

debía ser formulada de una forma sencilla y con referencia a modelos de 

enseñanza de la geometría que todos los alumnos pudieran identificar. Después 

de varias consultas con geómetras, enseñantes y pedagogos, planteé nueve 

preguntas para que eligieran hasta tres de ellas. 

Así cada ítem de los cuestionarios de Usiskin y de Autovaloración 

llevaba también asociado la respuesta al cuestionario "Como le Gustaría que le 

Enseñaran la Geometría", que hemos abreviado como cuestionario "CGEG”, y 

que tenía la forma siguiente: 

Cómo le gustaría al ALUMNO que se enseñara. Elegir hasta tres. 

1 Más ejercicios. 

2 Menos ejercicios. 

3 Más trabajo personal para el alumno. 

4 Ver la aplicación en la vida real. 

5 Más esfuerzo del profesor. 

6 Utilizar software geométrico o de dibujo. 

7 Manipular el alumno los contenidos.  

8 Utilizar Metodología Participativa. 

9 Más Clases Magistrales.  

 

La pregunta de cómo le gustaría al alumno que se enseñara se refiere a 

los contenidos de cada uno de los ítems de los cuestionarios. Por esta razón esta 

pregunta se hace en cada ítem y no a nivel global. En el Apéndice C, listamos las 

respuestas de los alumnos al cuestionario CGEC, las que analizaremos en el 

presente apartado. 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

632 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.5.1.- Análisis global de los resultados del cuestionario CGEG 

 

 

En la tabla 18 mostramos el número de respuestas totalizadas al nivel 

de las preguntas planteadas y las etapas educativas. Al ser hasta tres posibles 

las respuestas por cada ítem, el número de respuestas se ha disparado hasta 

43.378, que es un número estadísticamente bueno como número de casos. 

 

Otra cara de esta tabla está ligada al hecho de que el número de 

respuestas se relacionan directamente con el número de personas, como es 

lógico, por eso las totalizaciones que se hagan a nivel de línea reproducirán 

simplemente las proporciones con el número de individuos de la muestra, por 

esta razón, los análisis que realizaremos a continuación serán de las funciones 

de distribución similares a las columnas de esta tabla. 

 

No realizaremos más que un análisis de las funciones de distribución 

asociadas a las preguntas, y serán con valores normalizados de las respuestas de 

las líneas de la tabla 18. 

 
Cómo gustaría que se enseñara la geometría (Número de respuestas) 

Etapas Primaria Secundaria Bachillerato Universidad Total 

Más ejercicios 1025 857 1186 5488 8556 

Menos ejercicios 744 413 316 466 1939 

Más trabajo personal para el alumno 665 389 694 2180 3928 

Ver la aplicación en la vida real 1192 940 1815 4623 8570 

Más esfuerzo del profesor 276 372 338 2234 3220 

Utilizar software geométrico o de dibujo 905 624 1032 2158 4719 

Manipular el alumno los contenidos  781 228 377 2698 4084 

Utilizar Metodología Participativa 930 614 892 3770 6206 

Más Clases Magistrales 460 250 288 1158 2156 

Total 6978 4687 6938 24775 43378 

Tabla 18 

 

 

A nivel global, los alumnos han optado por una enseñanza de la 

geometría basada en estas tres opciones: 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  633 
 

o Más ejercicios. 

o Ver la aplicación en la vida real. 

o Utilizar metodología participativa. 

 

De la misma forma, las opciones menos valoradas por los alumnos son 

las tres siguientes: 

o Menos ejercicios. 

o Más clases magistrales. 

o Más esfuerzo del profesor. 

 

Nos llama la atención que opciones tan importantes como "Más trabajo 

del alumno" o  "Manipular el alumno los contenidos" se hayan quedado entre 

los valores centrales del número de las respuestas de los alumnos. 

 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

634 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.5.2.- Análisis de los resultados del cuestionario CGEG con las 

respuestas 

 

Para la realización del estudio de las distribuciones de las respuestas 

con las etapas educativas totalizadas a nivel de las preguntas realizadas en el 

cuestionario, hemos normalizado los valores de las respuestas para evitar que 

estos valores estuvieran asociados al número de alumnos de las etapas. Es decir, 

evitar que en las distribuciones los valores mayores correspondieran a la 

Universidad o los más bajos a Secundaria, ya que si fuera así, estas 

distribuciones no nos indicarían nada puesto que ya conocemos la distribución 

de la población con respecto a las etapas educativas. Los porcentajes están 

totalizados por las preguntas del cuestionario. 

 

Cómo gustaría que se enseñara la geometría (Porcentajes por Ítem) 

Etapas Primaria Secundaria Bachillerato Universidad Total 

Más ejercicios 20,3 25,3 23,7 30,7 100 

Menos ejercicios 41,2 34,0 17,6 7,3 100 

Más trabajo personal para el alumno 26,0 22,7 27,3 24,0 100 

Ver la aplicación en la vida real 20,8 24,5 31,9 22,8 100 

Más esfuerzo del profesor 15,3 30,8 18,9 35,0 100 

Utilizar software geométrico o de dibujo 26,0 26,7 29,8 17,5 100 

Manipular el alumno los contenidos  34,6 15,0 16,8 33,6 100 

Utilizar Metodología Participativa 24,5 24,0 23,6 27,9 100 

Más Clases Magistrales 31,8 25,7 20,0 22,5 100 

Global 26,7 25,4 23,3 24,6 100 

Tabla 19 

 

En la gráfica 36 mostramos el comportamiento de las distribuciones de 

las respuestas de los alumnos por etapas educativas sobre las preguntas 

realizadas en el cuestionario CGEG. Este modelo de gráfico con porcentajes en 

el eje de las ordenadas y en nombre de las preguntas realizadas en el eje de las 

Abscisas lo utilizaremos recurrentemente a lo largo de este apartado. 

La gráfica 36 nos muestra que las distribuciones de las respuestas de las 

Etapas oscilan alrededor del valor medio que está en el 25%. Esto se aprecia 

mejor si observamos el comportamiento a nivel global que presenta pequeñas 

oscilaciones en torno al 25%, como podemos ver en la última línea de la tabla 

19. 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  635 
 

La mayor dispersión de los resultados los tenemos para la pregunta 

"Menos ejercicios", cuyos valores oscilan entre el mínimo correspondiente a los 

alumnos de Universidad, y el máximo valor para los alumnos de Primaria. 

Recapitulando sobre el significado de estas respuestas, nos indican que los 

alumnos del Educación Primaria desean menos hacer ejercicios quizás porque la 

enseñanza de la geometría en esta etapa se realiza básicamente con ejemplos 

concretos y ejercicios sencillos, mientras que los alumnos universitarios están 

acostumbrados a la enseñanza de las matemáticas orientada hacia la resolución 

de ejercicios, y por tanto no conciben otro tipo de enseñanza que no tenga esa 

orientación. 

La oposición entre los alumnos universitarios y de Primaria también la 

tenemos en la pregunta "Más esfuerzo del profesor", donde los alumnos 

universitarios piden que el esfuerzo del profesor sea mayor, mientras que los 

alumnos de Primaria son quienes menos valoran el esfuerzo del profesor. 

Quizás este hecho esté relacionado con las diferencias entre los modelos de 

enseñanza universitario y de Primaria, donde el seguimiento a los alumnos en el 

primer caso es mínimo. 

 



Florencio López de Silanes 

 

636 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 
Gráfico   36  

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  637 
 

12.5.3.- Análisis de los resultados del cuestionario CGEG con las etapas 

educativas 

 

Para analizar los resultados del cuestionario CGEG por etapas 

educativas hemos totalizado los porcentajes a nivel de las etapas, como se 

muestra en la tabla 20.  

 

Cómo gustaría que se enseñara la geometría (Porcentajes por Etapas) 

Etapas Primaria Secundaria Bachillerato Universidad Total 

Más ejercicios 14,7 18,3 17,1 22,2 19,7 

Menos ejercicios 10,7 8,8 4,6 1,9 4,5 

Más trabajo personal para el alumno 9,5 8,3 10,0 8,8 9,1 

Ver la aplicación en la vida real 17,1 20,1 26,2 18,7 19,8 

Más esfuerzo del profesor 4,0 7,9 4,9 9,0 7,4 

Utilizar software geométrico o de dibujo 13,0 13,3 14,9 8,7 10,9 

Manipular el alumno los contenidos  11,2 4,9 5,4 10,9 9,4 

Utilizar Metodología Participativa 13,3 13,1 12,9 15,2 14,3 

Más Clases Magistrales 6,6 5,3 4,2 4,7 5,0 

Total 100 100 100 100 100 

Tabla 20 

 

De esta forma es más fácil hacer el seguimiento como puede verse en la 

última columna de la tabla para ordenar los resultados que quedarían de la 

siguiente forma: 

 

Cómo gustaría que se enseñara la 

geometría Total 

Ver la aplicación en la vida real 19,8 

Más ejercicios 19,7 

Utilizar Metodología Participativa 14,3 

Utilizar software geométrico o de dibujo 10,9 

Manipular el alumno los contenidos  9,4 

Más trabajo personal para el alumno 9,1 

Más esfuerzo del profesor 7,4 

Más Clases Magistrales 5,0 

Menos ejercicios 4,5 
Tabla 21 

 



Florencio López de Silanes 

 

638 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

La tabla 21 es un fiel reflejo del modelo de enseñanza de la geometría 

que han tenido los alumnos, como una enseñanza dirigida a la resolución de 

ejercicios. En las respuestas emitidas, los alumnos han optado por las cosas que 

conocen y entienden, es decir conocer la resolución de ejercicios, pero no 

entienden los contenidos de las clases magistrales. De esta forma conciben la 

enseñanza de la geometría como un conjunto de reglas aplicables a la 

resolución de problemas y carentes de contenidos geométricos. 

No olvidemos por otra parte que lo más anhelado por los alumnos es 

"conocer la aplicación en la vida real de los contenidos que están estudiando en 

la geometría". En este sentido los alumnos nos están indicando que debemos 

desarrollar la Fase uno de "Información" del modelo de van Hiele, donde debe 

trabajarse explícitamente este tema. 

Nuevamente la realidad es tozuda, al hacernos ver que en tercer lugar 

los alumnos han optado por "Utilizar una metodología participativa", o lo que es 

lo mismo, trabajar más la fase cuatro o de "orientación libre" de las fases de 

aprendizaje del modelo de van Hiele. 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  639 
 

 

Gráfico   37  
 

La gráfica 37 nos muestra claramente estas preferencias de los alumnos 

por la altura de los picos y de los valles sobre las Preguntas del cuestionario 

CGEG. 

Vemos así que son los alumnos universitarios los que piden "Más 

ejercicios" y "Metodología participativa", mientras que los de Bachillerato optan 

más por "La aplicación en la vida real" y "utilización del software geométrico", y 

los de Primaria por "Manipular los contenidos". 



Florencio López de Silanes 

 

640 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.5.4.- Análisis de los resultados del cuestionario CGEG con el centro 

educativo 

 

A continuación vamos a proceder a analizar la distribución de las 

respuestas al cuestionario CGEG por los centros educativos. En este sentido, la 

tabla 22 nos muestra los porcentajes de las respuestas a las preguntas del 

cuestionario totalizados para cada centro. 

 

Cómo gustaría que se enseñara la geometría (Porcentajes por Centro) 

Centro CEIP_CV IESJC KHALIL 

GIBRAN 

MONTP

ELLIER 

UAM UCM Global 

Más ejercicios 11,0 17,3 22,7 15,1 22,3 20,9 19,7 

Menos ejercicios 15,6 4,4 3,9 9,9 2,1 0,5 4,5 

Más trabajo personal para el alumno 10,4 12,0 11,8 7,3 9,3 4,7 9,1 

Ver la aplicación en la vida real 10,7 23,7 13,4 23,2 18,8 17,2 19,8 

Más esfuerzo del profesor 1,6 7,1 4,2 5,1 8,4 14,1 7,4 

Utilizar software geométrico o de dibujo 26,0 15,6 13,9 11,4 8,4 10,9 10,9 

Manipular el alumno los contenidos  7,1 5,8 9,4 7,8 10,9 10,6 9,4 

Utilizar Metodología Participativa 15,5 9,9 14,2 14,1 14,7 19,1 14,3 

Más Clases Magistrales 2,2 4,2 6,5 6,0 5,0 1,9 5,0 

Total 100 100 100 100 100 100 100 

Tabla 22 

 

Estar distribuciones de las respuestas la representamos en la gráfica 38, 

realizando una gráfica para cada centro de nuestra muestra. Vemos de este 

modo que los alumnos de la Universidad Complutense de Madrid, alumnos de 

segundo curso de la especialidad de Educación Infantil de la Facultad de 

Profesorado, destaca por elegir la "Metodología participativa" en la enseñanza 

de la geometría así como manifestar que qué no les gusta una enseñanza 

basada en realizar "Menos ejercicios". 

Sin embargo los alumnos del grupo escolar Carlos V, de sexto curso de 

Primaria, son quienes apuestan más favorablemente por hacer "Menos 

ejercicios" y la utilización del "Software geométrico" en la enseñanza de la 

geometría. Estos mismos alumnos son los que menos valoran el "Esfuerzo del 

profesor". 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  641 
 

El resto de las distribuciones del resto de los centros están 

comprendidas entre estar distribuciones anteriores que acotan las variaciones 

de las demás. 

 

 

        Gráfico   38  
 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

642 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 

12.5.5.- Análisis de los resultados del cuestionario CGEG con sexo de los 

alumnos 

 

La tabla 23 nos muestra las distribuciones de los porcentajes de las 

respuestas al cuestionario CGEG totalizadas por sexos de los componentes de la 

muestra. 

 

Cómo gustaría que se enseñara la geometría (Porcentajes por sexo) 

Sexo Mujeres Varones Global 

Más ejercicios 22,1 15,0 19,8 

Menos ejercicios 2,9 7,5 4,4 

Más trabajo personal para el alumno 9,0 9,4 9,1 

Ver la aplicación en la vida real 19,9 19,4 19,8 

Más esfuerzo del profesor 7,6 7,3 7,5 

Utilizar software geométrico o de dibujo 8,6 15,4 10,8 

Manipular el alumno los contenidos  10,1 7,6 9,3 

Utilizar Metodología Participativa 15,2 12,6 14,4 

Más Clases Magistrales 4,6 6,0 5,0 

Total 100 100 100 

Tabla 23 

 

Como también puede apreciarse en la gráfica 39, a pesar de que las 

preferencias siguen la misma tónica, sin embargo existen diferencias por el sexo 

en las respuestas dadas al cuestionario CGEG. 

Las mujeres prefieren hacer "más ejercicios" y son más partidarias de la 

"metodología participativa", mientras que los varones valoran más la enseñanza 

utilizando "software geométrico" y son menos partidarios en la "manipulación 

directa" de los objetos geométricos. 

Las mujeres y los varones han valorado de igual manera el "esfuerzo del 

profesor", el "esfuerzo del alumno", y el conocimiento de "las aplicaciones a la 

vida real". 

 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  643 
 

 

 

Gráfico   39  
 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

644 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.5.6.- Análisis de los resultados del cuestionario CGEG con la 

especialidad de Bachillerato 

 

El análisis de las distribuciones de las respuestas al cuestionario CGEG 

por la especialidad escogida en el Bachillerato cuando se realizan dichos 

estudios ofrece también algunos resultados interesantes. En la tabla 24 

mostramos estas distribuciones para los grupos de las especialidades de 

Ciencias y Letras, donde el resto de especialidades de Bachillerato han sido 

englobadas en la especialidad que hemos llamado "Otros". Esta tabla contiene 

una parte de la población de la tabla 18, por lo que los resultados globales 

presentan alguna ligera variación. 

 

Cómo gustaría que se enseñara la geometría  

(Porcentajes por Especialidad en Bachillerato) 

Bachillerato CIENCIAS LETRAS OTROS Global 

Más ejercicios 18,9 22,8 20,3 20,9 

Menos ejercicios 3,1 2,3 1,6 2,6 

Más trabajo personal para el alumno 8,8 9,5 10,1 9,3 

Ver la aplicación en la vida real 23,2 19,0 15,7 20,6 

Más esfuerzo del profesor 5,2 10,1 10,0 8,0 

Utilizar software geométrico o de dibujo 13,4 8,1 6,8 10,3 

Manipular el alumno los contenidos  9,1 8,3 12,8 9,0 

Utilizar Metodología Participativa 14,1 14,5 18,1 14,6 

Más Clases Magistrales 4,2 5,4 4,5 4,8 

Total 100 100 100 100 
Tabla 24 

 

La gráfica 40 muestra el comportamiento de estas tres distribuciones 

con respecto a las preguntas del cuestionario. Podemos observar que los 

alumnos de Letras reclaman "Más ejercicios" que los de Ciencias. 

Los alumnos de Ciencias votaron mayoritariamente por conocer "la 

aplicación en la vida real" y por la utilización del "software de dibujo", mientras 

que fueron los que menos valoraron "el esfuerzo del profesor". 

Los alumnos de las especialidades "Otros", fueron quienes menos 

valoraron el conocer "la aplicación en la vida real" de los conocimientos 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  645 
 

geométricos, y la utilización del "software de dibujo", sin embargo están a la 

cabeza de todos proponiendo la utilización de "métodos participativos" en la 

enseñanza de la geometría. 

 

Gráfico   40  
 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

646 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.5.7.- Análisis de los resultados del cuestionario CGEG con la 

titularidad del centro 

 

En este apartado vamos a estudiar la incidencia de la titularidad del 

centro educativo en las respuestas a este cuestionario cuyas distribuciones 

mostramos en la tabla 25 totalizadas según las titularidades de los centros. 

 

Cómo gustaría que se enseñara la geometría  

(Porcentajes por la Titularidad Centro del alumno) 

Titularidad Centro donde estudia 

alumno Público Concertado Privado Global 

Más ejercicios 21,0 15,1 22,7 19,7 

Menos ejercicios 2,8 9,9 3,9 4,5 

Más trabajo personal para el alumno 9,4 7,3 11,8 9,1 

Ver la aplicación en la vida real 19,2 23,2 13,4 19,8 

Más esfuerzo del profesor 8,4 5,1 4,2 7,4 

Utilizar software geométrico o de dibujo 10,5 11,4 13,9 10,9 

Manipular el alumno los contenidos  9,9 7,8 9,4 9,4 

Utilizar Metodología Participativa 14,4 14,1 14,2 14,3 

Más Clases Magistrales 4,5 6,0 6,5 5,0 

Total 100 100 100 100 
Tabla 25 

 

Como podemos observar en la gráfica 41, la incidencia de este 

parámetro estadístico en el comportamiento de las distribuciones es muy baja. 

Resaltan los alumnos que realizan sus estudios en centros concertados 

al votar mayoritariamente el conocer "la aplicación en la vida real" de las 

entidades de la geometría, y tener la menor necesidad de "realizar problemas". 

 

 

 

 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  647 
 

 

Gráfico   41  
 

 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

648 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.5.8.- Análisis de los resultados del cuestionario CGEG con la 

titularidad del último centro de Enseñanza Media para alumnos 

universitarios 

 

También queremos ver la influencia de la titularidad del último centro 

de enseñanza media en que cursaron sus estudios los alumnos universitarios 

sobre las respuestas al cuestionario CGEG, cuyas distribuciones por porcentajes 

totalizados sobre la titularidad de los centros educativos mostramos en la tabla 

26. 

 

Cómo gustaría que se enseñara la geometría  

(Porcentajes por Titularidad Centro Enseñanza Media) 

Titularidad Centro Enseñanza Media Público Concertado Privado Global 

Más ejercicios 22,7 21,3 20,8 22,1 

Menos ejercicios 2,0 1,7 1,4 1,9 

Más trabajo personal para el alumno 8,9 7,9 11,7 8,8 

Ver la aplicación en la vida real 18,9 19,0 11,7 18,4 

Más esfuerzo del profesor 9,6 8,6 9,0 9,2 

Utilizar software geométrico o de dibujo 8,0 9,6 10,4 8,7 

Manipular el alumno los contenidos  10,6 11,0 13,5 10,9 

Utilizar Metodología Participativa 14,9 15,7 16,7 15,3 

Más Clases Magistrales 4,5 5,1 4,8 4,7 

Total 100 100 100 100 

Tabla 26 

 

Vemos en la gráfica 42 que el comportamiento de las tres distribuciones 

es prácticamente el mismo salvo la distribución correspondiente a los alumnos 

procedentes de centros privados con valores más bajos en las cuestiones de 

"ver la aplicación en la vida real" de los conocimientos de la geometría y "más 

trabajo personal para el alumno". 

 

 

 

 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  649 
 

 
Gráfico   42  

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

650 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.5.9.- Análisis de los resultados del cuestionario CGEG con la edad 

Finalmente estudiaremos la influencia de la edad en las respuestas al 

cuestionario CGEG como muestra la tabla 27 donde recogemos las respuestas 

para los alumnos comprendidos entre 11 y 25 años, por eso, el número de 

respuestas es algo inferior a 43.378. En la última línea de la tabla mostramos los 

porcentajes totalizados por edades. 

 

Cómo gustaría que se enseñara la geometría (Número de Respuestas) 

Edad 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Global 

Más ejercicios 771 235 19 0 590 562 734 406 1663 852 656 399 456 339 201 7883 

Menos ejercicios 560 162 22 0 231 239 136 79 112 84 52 18 52 30 38 1815 

Más trabajo personal para el alumno 458 192 15 0 206 417 310 178 471 429 282 136 273 155 75 3597 

Ver la aplicación en la vida real 954 237 1 0 571 854 966 334 1155 867 546 379 395 310 178 7747 

Más esfuerzo del profesor 238 38 0 0 215 258 144 166 778 444 184 176 209 110 61 3021 

Utilizar software geométrico o de dibujo 684 200 21 0 353 571 523 260 631 375 240 157 143 155 72 4385 

Manipular el alumno los contenidos  609 172 0 0 132 227 186 122 605 330 335 232 265 149 185 3549 

Utilizar Metodología Participativa 718 205 7 0 435 406 428 290 1043 678 390 294 356 221 140 5611 

Más Clases Magistrales 335 125 0 0 164 179 112 210 316 212 116 74 111 58 35 2047 

Total 5327 1566 85 0 2897 3713 3539 2045 6774 4271 2801 1865 2260 1527 985 39655 

Porcentajes sobre el total 13 4 0 0 7 9 9 5 17 11 7 5 6 4 2 100 

Tabla 27 

 

Vemos en la gráfica 43 que el comportamiento se aparta muy poco de 

las distribuciones de las respuestas por edades obtenidas en otros 

cuestionarios. 

 

 

Gráfico   43  
 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  651 
 

12.6.- Conclusiones 

 

Los resultados y su análisis de tres cuestionarios CEG, GG y CGEG nos 

han llevado a unos puntos de interés general y muy importante desde el punto 

de vista de la Enseñanza de la Geometría desde Educación Primaria hasta la 

Universitaria. (Usiskin, Z.; 1982). 

En el capítulo de la perfección de los alumnos de cómo se les ha 

enseñado la geometría y lo que han aprendido, a nivel general podemos 

quedarnos con que "No han aprendido" el 60% de los contenidos bien sea 

porque no los han dado o porque no consiguieron aprehenderlos, mientras que 

han dado el 71% de los contenidos. 

 

 

Gráfico   44  
 

El mayor problema detectado por este cuestionario está en que los 

alumnos reconocen como "No dado" casi el 30% de los temas de geometría que 

les fueron presentados. Este hecho hace referencia sin duda, a que 

sistemáticamente no son estudiados los temas de geometría o bien por muchos 

profesores, o bien a nivel de centros, como un mal endémico del sistema 

educativo, o bien por no tener preparación los profesores en geometría. Sea 

como fuere, el hecho es que gran parte de los alumnos que llegan a la 

universidad, reconocen no haber estudiado muchos temas de geometría a lo 

largo de la Enseñanza Media. Este hecho puede ser particularmente grave en el 



Florencio López de Silanes 

 

652 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

caso de los futuros profesores de niños, ya que si no son capaces de cubrir estas 

lagunas a nivel de conocimientos, y adquirir un gusto por el estudio y la 

enseñanza de la geometría, no harán más que trasladar a sus alumnos los 

problemas que ellos recibieron. 

Para poder enseñar geometría a los niños, los futuros profesores de 

matemáticas han de tener cierta empatía hacia esta materia. Sin embargo, a 

nivel general, los alumnos muestran que no les gustan el 36% de los temas que 

les hemos presentado, es decir, que no les gustan más de la tercera parte de los 

temas que les hemos presentado. Esta poca atracción de la geometría en los 

alumnos puede tener dos razones básicas: que no les gustan los temas de 

geometría porque no los conocen, o que no muestran una empatía hacia esta 

área del conocimiento. Yo más bien me inclino a creer que este 36% de los 

temas que no les gustan a los alumnos sea un efecto combinado de las dos 

causas anteriores. 

 

 

Gráfico   45  
 

En contrapartida los alumnos manifiestan que les gustan el 64% de los 

temas que les hemos presentado, que les gustan con mayor o menor 

intensidad, pero en definitiva que les gustan. Éste es un buen resultado como 

punto de partida para la enseñanza de la geometría, pero no como una 

valoración de los resultados de la enseñanza de la geometría después de varios 

años. Por otra parte, nuestra experiencia nos indica que cuando llevamos los 

niveles de razonamiento de las clases que impartimos a los niveles que poseen 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  653 
 

los alumnos, los resultados son satisfactorios, es decir que a una gran parte de 

los alumnos les gusta la geometría cuando obtienen buenos resultados, y ven 

que son capaces de crecer en este conocimiento. 

En el cuestionario CGEG de "Como me Gustaría que me Enseñaran la 

Geometría", destacan dos opciones mayoritarias que han acaparado cada una 

de ellas el 20% de las respuestas. La primera de estas opciones, hacer "más 

ejercicios" quizás responda a la rutina que ha primado durante la enseñanza de 

la geometría a estos alumnos, hacer ejercicios, pensando que haciendo 

ejercicios saben geometría, y además están calificados para llevar la geometría a 

la vida ordinaria, pero sabemos muy bien que este punto de vista dista mucho 

de ser cierto. El hacer ejercicios sin un conocimiento que lo sustente, no 

capacita al alumno más que para eso, para resolver los ejercicios específicos que 

les han enseñado aplicando ciertas reglas nemotécnicas, pero ni los alumnos 

están capacitados para resolver otros problemas diferentes del mismo nivel, ni 

saben geometría. 

La segunda opción más votada quizás responda más a un anhelo de los 

alumnos por "aplicar la geometría a la vida real" que una vía didáctica en 

concreto. Muchos de los fracasos de la enseñanza de las matemáticas derivan 

de que no hemos sido capaces de transmitir a los alumnos la utilidad de los 

conocimientos matemáticos en general, y geométricos en particular. No haber 

sido capaces de transmitir a los alumnos como nacen los conocimientos de la 

geometría, de donde surge la geometría, y cómo utilizando a la geometría 

podemos transformarnos a nosotros mismos y a la realidad que nos rodea. No 

haber sido capaces de enseñar que el mundo está organizado 

geométricamente, que las actividades de la vida cotidiana precisan de la 

geometría, y que una concepción geométrica del mundo facilita el desarrollo de 

las actividades humanas. 

 



Florencio López de Silanes 

 

654 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 
Gráfico   46  

 

Sin embargo, las opciones que siguieron en número de votos como 

"Utilizar Metodología Participativa" y "Utilizar software geométrico de dibujo" 

apuntan más en una dirección propiamente didáctica. Pero quizás con la 

primera de estas podríamos también plantearnos, si la escogieron solamente 

porque representa un arquetipo contrario al tipo de enseñanza al que están 

acostumbrados. Además la "utilización del software geométrico de dibujo" en la 

enseñanza de la geometría en el aula, es poco eficiente a no ser que todos los 

alumnos dispongan en el aula de las mismas herramientas informáticas que el 

profesor. Yo personalmente no recomiendo la "utilización del software 

geométrico de dibujo" por parte del profesor, si los alumnos no tienen ese 

mismo software, ya que no serían capaces de seguir las enseñanzas. Solamente 

cuando todos dispongamos de las mismas herramientas, podremos seguir la 

enseñanza soportada en ellas con un aprovechamiento óptimo. 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  655 
 

12.7.-Apéndice A. Listado del cuestionario “cómo me han enseñado la 

geometría” 

 



Florencio López de Silanes 

 

656 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  657 
 

 
 



Florencio López de Silanes 

 

658 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 
 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  659 
 

 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

660 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  661 
 

 
 



Florencio López de Silanes 

 

662 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 
 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  663 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

664 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  665 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

666 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  667 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

668 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  669 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

670 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  671 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

672 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  673 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

674 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

12.8.-Apéndice B. Listado del cuestionario “cuánto me gusta la 

geometría” 

 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  675 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

676 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  677 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

678 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  679 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

680 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  681 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

682 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  683 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

684 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  685 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

686 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  687 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

688 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  689 
 

12.9.-Apéndice C. Listado del cuestionario “cómo me gustaría que me 

enseñaran geometría” 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

690 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  691 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

692 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  693 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

694 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  695 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

696 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  697 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

698 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  699 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

700 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  701 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

702 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  703 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

704 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  705 
 

 



Florencio López de Silanes 

 

706 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 
 

 



Cuestionarios de Enseñanza de la Geometría 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  707 
 



  

 

 



Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  709 

 

 

 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 13 

 

MEDIDA DEL NIVEL DE RAZONAMIENTO DE VAN HIELE APLICANDO EL 

CUESTIONARIO DE USISKIN A ALUMNOS DE LAS ETAPAS: ENSEÑANZA 

PRIMARIA, ENSEÑANZA SECUNDARIA OBLIGATORIA, BACHILLERATO Y 

UNIVERSIDAD 

 

13.1.- Introducción y objetivos del estudio e investigación 

En el capítulo nueve de este trabajo pusimos a punto nuestra 

maquinaria para realizar las medidas del nivel de razonamiento de van Hiele 

mediante la aplicación del cuestionario de Usiskin. En aquella ocasión 

solamente tratamos con un grupo de alumnos para probar la fiabilidad del 

sistema de medida, y vimos que era fiable, y que los niveles de razonamiento de 

van Hiele resultantes de esta medida estaban de acuerdo con el nivel de la 

muestra. 

Ahora vamos a aplicar el sistema de medida desarrollado en el capítulo 

nueve, a todo el conjunto de alumnos al que aplicamos el Cuestionario de 

Usiskin y estudiaremos sus resultados. (Usiskin, 1982). El cuestionario se ha 

aplicado a 727 alumnos de las cuatro etapas de enseñanza: Educación Primaria, 

ESO (Educación Secundaria Obligatoria), Bachillerato y Enseñanza Universitaria. 

Un punto hay en el Círculo, 

Que en el Cuadrado y el Triángulo se coloca. 

¿Conoces tú ese punto? ¡Todo saldrá bien! 

¿No lo conoces?  ¡Todo será en vano! 
 

Cuarteto medieval de Maestros talladores  

P. Le Cour 

 



Florencio López de Silanes 

 

710 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Los alumnos pertenecientes a las tres etapas proceden de diversos centros 

educativos de enseñanza media de la Comunidad Autónoma de Madrid, 

mientras que los estudiantes de Enseñanza Universitaria cursaban estudios de 

Formación del Profesorado en las facultades de la Universidad Complutense y 

en la Universidad Autónoma de Madrid. 

La distribución de los alumnos a quienes se ha aplicado el cuestionario 

lo mostramos en la tabla 1. 

 

Distribución de los Cuestionarios  por  

Centros y Etapas 

Centro P
ri

m
ar

ia
 

Se
cu

n
d

ar
ia

 

B
ac

h
ill

er
at

o
 

U
n

iv
e

rs
id

ad
 

To
ta

l V
H

4
5

 

CEIP_CV 29       29 

IESJC   38 101   139 

KHALIL GIBRAN 15 16 32   63 

MONTPELLIER 108 72 52   232 

UAM       205 205 

UCM       59 59 

Total  152 126 185 264 727 

Tabla 1 

 

El cuestionario se ha aplicado a alumnos de los siguientes centros que se 

recogen también en la tabla: 

- CEIP_CV .- Son las siglas de CEIP Carlos V ubicado en la ciudad de Madrid. 

- IESJC.- Es el IES Juan de la Cierva también de la ciudad de Madrid. 

- KHALIL GIBRAN.- Se corresponde con el colegio KHALIL GIBRAN situado 

en Fuenlabrada en la Comunidad Autónoma de Madrid. 

- MONTPELLIER.- El colegio MONTPELLIER está situado en el distrito de 

Ciudad Lineal de Madrid,  como el CEIP Carlos V. 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  711 

 

- UCM.- Con estas siglas queremos englobar a los alumnos del grupo de 

Mañana de segundo curso de la especialidad Infantil de la Facultad de 

Educación de la Universidad Complutense de Madrid. 

- UAM.- Estas letras abarcan alumnos de primer y segundo curso de las 

especialidades "Educación Primaria" y "Educación Infantil" de la facultad 

de Formación de Profesorado de la Universidad Autónoma de Madrid. 

La tabla 1 muestra también la distribución de los alumnos por Centros y 

por Etapas, donde vemos que, aunque la distribución en las tres primeras 

etapas está compensada, tenemos un número de alumnos universitarios mayor 

que cada una de las etapas educativas anteriores. Esto es así, porque es en el 

medio universitario donde inicialmente realizamos nuestra investigación y 

donde pusimos a punto el mecanismo de medida del nivel de razonamiento de 

van Hiele. Una vez que el sistema fue probado, se aplicó a los alumnos de las 

tres primeras etapas y a más alumnos universitarios. 

El objetivo de este capítulo es la determinación de los niveles de 

razonamiento de van Hiele de los 727 alumnos encuestados, y analizar estos 

resultados a la luz de la información que tenemos de los alumnos. (de Villiers, 

2010). 

Trataremos de relacionar los niveles de razonamiento medidos por la 

aplicación del cuestionario de Usiskin, con los niveles de razonamiento que 

surgieron del análisis de los libros de texto para alumnos de Enseñanza Primaria, 

ESO y Bachillerato. (Usiskin, 1982). 

Desde el punto de vista de los estudios de geometría, y particularmente 

desde la perspectiva de los niveles de razonamiento de van Hiele, englobaremos 

a los alumnos universitarios en una etapa educativa homologable al 

Bachillerato, ya que la mayoría de ellos, no han realizado ningún estudio de 

geometría en la Universidad, y el programa de geometría de las facultades de 

"Educación" no tiene por objetivo el incrementar el nivel de razonamiento de 

van Hiele de los alumnos. 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

712 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

13.2.- Metodología 

Conviene recordar en este momento que el Cuestionario de Usiskin que 

hemos aplicado a 727  alumnos consta de 25 preguntas, cinco por cada nivel, de 

la 1 a la 5 para el nivel uno, de la 6 a la 10 para el nivel dos, de la 11 a las 15 para 

el nivel tres, de la 16 a la 20 para nivel cuatro, y de la pregunta 21 a la 25 para el 

nivel cinco. Todos estos cuestionarios fueron aplicados a los alumnos según las 

indicaciones que constan en la hoja de respuestas. (Usiskin, 1982). 

Las respuestas de los cuestionarios fueron grabadas en los siguientes ficheros: 

- En el fichero de los datos personales de los alumnos, los datos que 

figuran en el anverso de la hoja respuestas, tales como, la identificación, 

edad, sexo, centros educativos, etcétera. 

- El fichero de las respuestas al cuestionario, donde en cada registro se 

grabó la respuesta a cada uno de los 25 ítems del cuestionario, 

respondiera o no el alumnos a dicho ítem.  

- El cruce de entre ambos ficheros se realiza mediante la referencia 

asignada a cada alumno. Estas referencias contienen información del 

centro de enseñanza y del grupo o curso de dicho centro. Se diferencian 

los alumnos mediante una referencia secuencial asignada 

arbitrariamente. 

- No suministraremos los listados de estos dos ficheros, ya que son 

solamente operativos para este trabajo. Pero si suministraremos la 

información que contienen en el formato adecuado para cada caso. 

De esta forma, las respuestas a los 25 ítems del cuestionario aplicado a 

los 727 alumnos, se grabaron en un fichero que contiene 18.205 registros, un 

registro por cada ítem, y que ha servido de base para todo el proceso posterior 

de datos. Para la obtención de las diversas estadísticas, se cruzaron estos datos 

con el fichero de los datos personales de los alumnos, que contiene 727 

registros, uno por cada alumno. Los listados suministrados en este capítulo 

sobre las respuestas al cuestionario, los aciertos, los niveles de razonamiento 

etc. son el resultado del cruce de estos ficheros y de la selección adecuada de 

los datos que en cada caso queremos estudiar. 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  713 

 

El primer resultado de interés, es conocer las respuestas dadas por los 

alumnos a los 25 ítems, tal como se muestra en el Apéndice A, donde tenemos 

de una forma cualitativa las respuestas, y de una forma cuantitativa el resumen 

de las respuestas codificadas en un número de cinco cifras, todas con valores de 

cero a cinco según el número de ítems respondidos por cada nivel. Así por 

ejemplo el número 45310 indica que el alumno ha respondido a cuatro ítems 

del 1 al 5, a los cinco ítems comprendidos entre el 6 y el 10, a tres de los ítems 

que van del 11 al 15, a uno de los ítems comprendidos entre el 16 y el 20, y a 

ninguno de los ítems que van del 21 al 25. (Usiskin, 1982). 

La fiabilidad de las respuestas del cuestionario fue analizada calculando 

el coeficiente Alfa de Cronbach de dichas respuestas agrupadas por etapas 

educativas. Se consideró que la fiabilidad era suficientemente buena como para 

continuar el estudio. (Meliá, 2001). 

De la misma forma se grabó una máscara con las soluciones correctas a 

los 25 ítems del cuestionario. Los aciertos a los ítems del cuestionario se 

obtuvieron por comparación de la respuesta emitida por el alumno y el valor de 

esta máscara. De esta forma, los aciertos a los ítems se grabaron con un uno, 

mientras que los fallos o la no respuesta se grabaron con un cero. De esta forma 

tenemos el listado de aciertos a los ítems por cada alumno, tal y como se ven en 

el Apéndice B. 

En el Apéndice B resumimos también los aciertos mediante un número 

de cinco cifras todas menores o iguales a cinco. De forma que, por ejemplo, el 

número 34251 indica que el alumno ha obtenido tres aciertos en el nivel uno 

(ítems del uno al cinco), cuatro aciertos en el nivel dos (ítems del seis al diez), 

dos en el nivel tres (ítems del 11 al 15), cinco en el nivel cuatro (ítems del 16 al 

20), y un acierto en el nivel cinco (ítems del 21 al 25). (Usiskin, 1982).De esta 

forma no diferenciamos entre las respuestas acertadas por cada nivel sino que 

solamente computamos el número de aciertos por nivel. 

La fiabilidad de los aciertos obtenidos por los alumnos en los 25 ítems, 

fue analizada mediante el cálculo del coeficiente KR20 agrupados por etapas 

educativas. Los coeficientes KR20 así obtenidos presentan valores algo 

inferiores a los coeficientes Alfa de Cronbach que obtuvimos para las 

correspondientes respuestas. (Meliá, 2001). Éste resultado es lógico, ya que hay 

menos aciertos que respuestas contestadas para cada alumno, pero el valor de 

los coeficientes se consideró suficiente para poder continuar el estudio. 



Florencio López de Silanes 

 

714 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Al igual que en el capítulo nueve, hemos utilizado como criterio válido 

para superar un nivel de razonamiento de van Hiele, el obtener más de cuatro 

aciertos para dicho nivel. De esta forma, consideramos que se ha superado el 

criterio 4 sobre 5 para cada nivel cuando el número de aciertos es cuatro o cinco 

en dicho nivel. (Usiskin, 1982). De esta forma el criterio 4 sobre 5 para cada 

alumno se expresa mediante un número binario de cinco cifras donde el dígito 1 

quiere decir que se ha superado el criterio en dicho nivel. De esta forma el 

anterior número correspondiente a los aciertos de la forma 34251 

correspondería en cuanto a los criterios al número 01010, ya que solamente se 

supera el criterio en los niveles dos y cuatro de dicho número, o si se quiere, de 

las respuestas de dicho alumno. 

Una de las características del modelo de van Hiele es la secuencialidad, 

es decir, que para superar un nivel es preciso haber superado los niveles más 

bajos. (De Lange, 1996). De esta forma, a un alumno con el criterio expresado 

mediante el número precedente 01010, y que tiene el máximo nivel en el nivel 

cuatro, no se le puede asignar el nivel cuatro de razonamiento por no haber 

superado el nivel tres, y no puede tampoco asignarse el nivel dos por no haber 

superado el nivel uno, y tampoco puede asignarse a este alumno el nivel uno ya 

que no ha superado el criterio para dicho nivel, por tanto, a este alumno se le 

asignará el nivel cero, es decir, que no ha superado el nivel uno. Así, a un 

alumno con el número de criterio 54321 no puede asignársele ni el nivel tres, ni 

el cuatro, ni el cinco ya que no ha superado el criterio en dichos niveles, y se le 

asignará el nivel dos de los de razonamiento de van Hiele, por haber superado el 

criterio en el nivel uno y en el nivel dos. 

De esta forma, se ha calculado el nivel de razonamiento de van Hiele 

para cada alumno utilizando el algoritmo que fue descrito en el capítulo nueve. 

El nivel de razonamiento así obtenido lo hemos identificado con las siglas VH45, 

indicando que es un nivel de Van Hiele que responde a los criterio de cuatro 

aciertos sobre cinco preguntas. (Usiskin, 1982). 

El Apéndice C recoge el resumen de las contestaciones al cuestionario, 

listando para cada alumno el número de respuestas por nivel, el número de 

aciertos por nivel, los criterios cuatro de cinco superados para cada nivel, y el 

nivel de razonamiento asignado al alumno de acuerdo con el modelo de van 

Hiele. (Usiskin, 1982). 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  715 

 

La tabla 2 recoge los grupos o cursos y los centros donde aplicamos el 

cuestionario, así como la etapa educativa a que pertenece cada uno de estos 

grupos o cursos. En el grupo escolar Carlos V  solamente pasamos el 

cuestionario al único grupo de sexto curso de Educación Primaria. En el Instituto 

Juan de la Cierva aplicamos el cuestionario a tres grupos de cuarto curso de 

Educación Secundaria y dos grupos de primer curso de Bachillerato. 

En el colegio KHALIL GIBRAN cumplimentaron el cuestionario a todos los 

grupos disponibles de dicho centro, es decir,  un grupo de sexto curso de 

Educación Primaria,  los dos grupos de Educación Secundaria, uno de Ciencias y 

otro de Letras, y los dos grupos de segundo curso de Bachillerato, uno de 

Ciencias y otro de Letras. 

En el colegio Montpellier respondieron al cuestionario los seis grupos de 

sexto curso de Educación Primaria, los tres grupos de cuarto curso de Educación 

Secundaria, y los dos grupos de segundo curso de Bachillerato. 

En la Universidad Complutense de Madrid se realizó la prueba del 

cuestionario en el grupo de segundo curso de "Educación Infantil" 

correspondiente al grupo de "Mañana" de la Facultad de Educación. 

Finalmente, en la Facultad de "Formación de Profesorado" de la 

Universidad Autónoma de Madrid, pasaron el cuestionario cuatro grupos de 

segundo curso, un grupo del turno de "Mañana" y el resto del turno de "Tarde", 

todos de Educación Primaria", salvo uno que era de "Educación Infantil". 



Florencio López de Silanes 

 

716 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Distribución de los cuestionarios realizados 

Centro Grupo           

Etapa 

 

P
ri

m
ar

ia
 

Se
cu

n
d

ar
ia

 

B
ac

h
ill

e
ra

to
 

U
n

iv
e

rs
id

ad
 

To
ta

l  

CEIP_CV CEIP_CV_6 29     

 

29 

Total CEIP_CV 

 

29     

 

29 

IESJC IESJC_1A     30 

 

30 

 

IESJC_1B     35 

 

35 

 

IESJC_1E     36 

 

36 

 

IESJC_4B   22   

 

22 

 

IESJC_4D   16   

 

16 

Total IESJC 

  

38 101 

 

139 

KHALIL GIBRAN KHALIL GIBRAN_2CIENCIAS     19 

 

19 

 

KHALIL GIBRAN_2LETRAS     13 

 

13 

 

KHALIL GIBRAN_4CIENCIAS   11   

 

11 

 

KHALIL GIBRAN_4LETRAS   5   

 

5 

 

KHALIL GIBRAN_6 15     

 

15 

Total KHALIL GIBRAN 15 16 32 

 

63 

MONTPELLIER MONTPELLIER_2A     25 

 

25 

 

MONTPELLIER_2B     27 

 

27 

 

MONTPELLIER_4A   25   

 

25 

 

MONTPELLIER_4B   25   

 

25 

 

MONTPELLIER_4C   22   

 

22 

 

MONTPELLIER_6A 27     

 

27 

 

MONTPELLIER_6B 26     

 

26 

 

MONTPELLIER_6C 27     

 

27 

 

MONTPELLIER_6D 28     

 

28 

Total MONTPELLIER 108 72 52 

 

232 

UAM UAM_2INF_TAR_2010 

   

49 49 

 

UAM_2PRI_MAÑ_2010 

   

77 77 

 

UAM_2PRI_TAR_2010 

   

43 43 

 

UAM_2PRI_TAR_2010 BOLONIA 

   

36 36 

Total UAM 

    

205 205 

UCM UCM_2INF_MAÑ_2010 

   

59 59 

Total UCM 

    

59 59 

Total    152 126 185 264 727 

Tabla 2 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  717 

 

13.3.- Fiabilidad de los cuestionarios 

 

A los resultados obtenidos mediante la aplicación de los 727 

cuestionarios a los alumnos de Enseñanza Primaria, Enseñanza Secundaria 

Obligatoria, Bachillerato y Enseñanza Universitaria, según aparecen listados en 

los apéndices, se les ha aplicado los estudios de fiabilidad, para poder 

cualificarlos según estas técnicas. 

Entendemos por fiabilidad de los resultados de los cuestionarios, su 

capacidad para la repetición de sus resultados, cualificada mediante 

coeficientes con valores entre cero y uno, y comúnmente aceptados por la 

comunidad científica. 

En este sentido, hemos calculado el coeficiente conocido como Alfa de 

Cronbach para analizar las respuestas directas a los 25 ítems del cuestionario ya 

que sus valores están comprendidos entre cero y cinco. Sin embargo, hemos 

calculado el coeficiente KR20 a los aciertos del cuestionario, ya que este 

coeficiente es solamente aplicable a distribuciones bidimensionales, y los 

aciertos los hemos calificado como cero o uno según se produzca fallo o acierto 

para cada ítem respondido o no por los alumnos. (Meliá, 2001). 

 

13.3.1- Análisis de las respuestas al cuestionario 

Al igual que hicimos en el Capítulo 9 de este trabajo, hemos analizado la 

respuestas a los 25 ítems del cuestionario mediante tablas con la misma 

estructura que aquellas que presentamos en dicho capítulo para o tener el 

coeficiente Alfa de Cronbach (Ibídem) de estas respuestas por Etapas 

Educativas, según indicamos en la tabla 3. 

Etapa Alfa 

Primaria 0,74 

Secundaria 0,67 

Bachillerato 0,56 

Universidad 0,64 
Tabla 3 

 



Florencio López de Silanes 

 

718 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Los valores del coeficiente Alfa de Cronbach no son altos, pero sí lo 

suficientemente buenos para asegurarnos que podemos trabajar con estos 

datos con una confianza alta de que son buenos. (Ibídem). 

Los valores del coeficiente Alfa de Cronbach oscilan entre 0,56 y 0,74 

según las etapas en que fueron calculados, lo representamos en la gráfica 1. 

Consideramos que un valor medio aproximado del 0,65 del Alfa de Cronbach es 

suficiente. (Usiskin, 1982). 

 

 
Gráfico  1 

 

 

Aprovechando los cálculos para obtener el coeficiente Alfa de Cronbach, 

hemos extraído en la tabla 4 la distribución del las varianza las de los ítems del 

cuestionario por etapas educativas. 

 

Distribución de la Varianza de los ítems 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 

Primaria 0,0 0,7 0,3 0,2 2,6 1,5 3,0 2,5 1,2 3,1 3,5 2,8 1,2 3,2 3,0 2,1 2,9 2,9 1,9 3,1 1,9 2,6 3,9 3,1 3,4 

Secundaria 0,5 0,1 0,2 0,6 1,5 0,5 1,7 1,0 1,0 2,4 2,0 1,7 4,1 2,7 2,5 2,6 2,3 2,9 1,9 2,5 3,3 3,4 3,5 3,2 3,6 

Bachillerato 0,1 0,1 0,2 0,2 0,8 0,2 1,1 1,0 0,6 1,8 1,0 1,3 4,0 3,2 1,9 2,9 2,1 2,7 1,7 2,8 2,7 3,2 3,4 3,1 3,1 

Universidad 0,4 0,1 0,2 0,6 1,1 0,5 1,4 1,4 1,0 3,2 1,4 1,8 3,4 3,4 2,7 3,4 3,0 3,3 0,9 3,2 3,4 3,7 3,2 3,5 3,4 

Tabla 4 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  719 

 

De la representación de estos valores en la gráfica 2, observamos que la 

varianza carece a medida que avanzamos en los ítems independientemente de 

la etapa educativa que estemos tratando. 

 

 

 
Gráfico  2 

 

El crecimiento de la varianza a medida que avanza el número de ítems 

del cuestionario es un índice de la confianza con que los alumnos respondieron 

a las preguntas del cuestionario. Es decir, respondieron con mucha confianza a 

las cinco primeras preguntas correspondientes al nivel uno de van Hiele. La 

confianza en sus respuestas fue mermando hasta las últimas cinco preguntas 

correspondientes al nivel cinco, con unos valores de varianza entre tres y 

cuatro, es decir, del orden del valor de las respuestas. 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

720 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

13.3.2.- Análisis de los aciertos al cuestionario 

 

 

Hemos calculado el coeficiente KR20 correspondiente a los aciertos 

obtenidos en los 25 ítems del cuestionario, siguiendo la misma técnica que en el 

capítulo 9 de este trabajo. Los resultados correspondientes a este coeficiente se 

muestran en la tabla 5. 

 

Etapa KR20 

Primaria 0,47 

Secundaria 0,58 

Bachillerato 0,59 

Universidad 0,57 
Tabla 5 

 

Los valores que representamos en la gráfica 3 son el coeficiente KR20 

por etapas educativas, estos no son altos pero lo suficiente para asegurar la 

fiabilidad de los resultados del cuestionario. (Meliá, 2001). 

 

 

Gráfico  3 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  721 

 

 

Puede convenir en este punto, comparar nuestros valores para el 

coeficiente KR20, con los obtenidos  por Usiskin en los cuestionarios aplicados 

en otoño y primavera y que dicho autor calculó por niveles (Usiskin, 1982: 29) 

de acuerdo con la tabla 6. Vemos que los coeficientes KR20 calculados por 

Usiskin son del orden de los nuestros. 

 

KR20 N1 N2 N3 N4 N5 

Otoño 0,74 0,82 0,88 0,43 0,38 

Primavera 0,79 0,88 0,88 0,69 0,65 
Tabla 6 

 

De las tablas de cálculo del coeficiente KR20, hemos sacado los valores 

en tanto por uno de las respuestas acertadas para cada ítem para las cuatro 

etapas educativas, y que mostramos en la tabla 7. 

 

 

 

Respuestas correctas por item  (Tanto por uno) 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 

Primaria 1,0 0,7 0,9 0,9 0,6 0,4 0,5 0,5 0,6 0,2 0,4 0,2 0,0 0,1 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,1 0,1 0,1 0,0 0,1 

Secundaria 0,9 0,9 0,9 0,8 0,7 0,7 0,9 0,8 0,6 0,5 0,6 0,4 0,4 0,1 0,4 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,0 0,3 

Bachillerato 1,0 0,9 0,9 1,0 0,9 0,8 0,9 0,9 0,7 0,5 0,8 0,6 0,4 0,2 0,6 0,2 0,3 0,5 0,1 0,2 0,1 0,2 0,2 0,0 0,2 

Universidad 0,9 0,9 0,9 0,9 0,7 0,8 0,8 0,8 0,6 0,4 0,7 0,5 0,3 0,2 0,4 0,2 0,2 0,4 0,0 0,2 0,0 0,2 0,1 0,0 0,2 

Tabla 7 

 

En la gráfica 4 vemos como este coeficiente pierde valor a medida que 

avanzamos en los ítems del cuestionario. Esta proporción correcta a las 

respuestas de los diferentes ítems, es también una buena medida de la 

confianza con que los alumnos han respondido a los diferentes ítems.  

 



Florencio López de Silanes 

 

722 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 
Gráfico  4 

 

 

En este sentido vemos que los alumnos han respondido con confianza a 

las cinco primeras preguntas, correspondientes al nivel uno de razonamiento de 

van Hiele, mientras que la confianza en la respuestas a los cinco últimos ítems 

es muy baja. 

Es interesante también observar que por lo general, la confianza de los 

alumnos más pequeños, la confianza de los alumnos de Educación Primaria es 

inferior a la del resto, diferenciándose la curva de los alumnos más pequeños de 

las otras tres etapas educativas. 

Lemos asimismo que se ha respondido con menor confianza a los ítems 

2, 6, 10, 13 y 19; por los valores mínimos registrados en las curvas precedentes 

para dichos ítems. 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  723 

 

13.4.- Distribución de los resultados por etapas educativas 

 

13.4.1.- Resultados por etapas 

Los resultados de la medida del nivel de razonamiento del modelo de 

van Hiele a través del cuestionario de Usiskin para toda la muestra de 727 

alumnos correspondientes a las etapas educativas de Enseñanza Primaria, ESO, 

Bachillerato y Universidad se muestran en la tabla 8. Esta será una de las pocas 

tablas donde expresaremos los resultados por número de alumnos y no en 

porcentaje, para poner de manifiesto al alcance de los resultados. 

Distribución por etapas y niveles de razonamiento 

Número de Alumnos 

Etapa Niveles de razonamiento 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Primaria 42 88 22 

   

152 

Secundaria 24 41 53 8 

  

126 

Bachillerato 11 53 80 40 1 

 

185 

Universidad 39 101 97 26 1 

 

264 

Total 116 283 252 74 2 

 

727 

Tabla 8 

 

El hecho más notorio que nos muestra esta tabla es el alto número de 

alumnos que han quedado sin clasificar por su nivel de razonamiento al no 

haber alcanzado el nivel uno. Éste tema que ya mencionamos anteriormente 

como un "Conocimiento Desestructurado de la Geometría" debe tener una 

lectura diferente según las etapas educativas. Pues si bien en Educación 

Primaria se refiere a los alumnos que no han alcanzado el nivel uno; en las 

etapas de Bachillerato o Universidad además de esto, nos está indicando la 

desestructuración del conocimiento de los alumnos, en el sentido de que en el 

nivel cero, por ejemplo, hay alumnos capaces de calcular la distancia de un 

punto a un plano aplicando los métodos analíticos, pero incapaces, por ejemplo, 

de diferenciar un cuadrilátero de un paralelogramo. En este sentido dichos 

alumnos no han superado el nivel uno de razonamiento, de acuerdo con los 

criterios aplicados por Usiskin, y que también nosotros hemos aplicado, al igual 

que, el resto de investigadores que han trabajado con este sistema. (Usiskin, 

1982). 



Florencio López de Silanes 

 

724 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Distribución porcentual por etapas y niveles de 

razonamiento 

Etapa Niveles de razonamiento 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Primaria 27,6 57,9 14,5 

   

100 

Secundaria 19,0 32,5 42,1 6,3 

  

100 

Bachillerato 5,9 28,6 43,2 21,6 0,5 

 

100 

Universidad 14,8 38,3 36,7 9,8 0,4 

 

100 

Total 16,0 38,9 34,7 10,2 0,3 

 

100 

Tabla 9 

 

La tabla 9 muestra los mismos resultados pero expresados en 

porcentajes calculados sobre el total de alumnos para cada etapa. Vemos 

claramente que el porcentaje de alumnos en el nivel cero decrece a medida que 

avanzamos en las etapas educativas, salvo para los alumnos universitarios, 

donde casi el 15% de los alumnos que están en el nivel cero. Posteriormente 

comentaremos este hecho que es también de mucha relevancia. 

Observamos también que el valor máximo de la distribución está en el 

nivel uno para los alumnos de Educación Primaria, en el nivel dos para los 

alumnos de ESO, y en el mismo nivel para los alumnos de Bachillerato. 

Para profundizar en los temas anteriores vamos a necesitar de las 

representaciones gráficas. La gráfica 5 nos muestra la distribución porcentual de 

los niveles de razonamiento de los 727 alumnos que realizaron el cuestionario 

de Usiskin. Los máximos de esta distribución no son significativos ya que esta 

muestra abarca alumnos que van desde los seis hasta los 40 años.  

Pero si nos vamos a quedar con el 16% de alumnos en el nivel cero, es 

decir, que por una u otra razón no han sido capaces de alcanzar el nivel uno con 

independencia de su edad y de su formación. Además, sólo el 0,3% consiguen 

superar el nivel cuatro, y el 10,2 % superan el nivel tres. Mientras que el 34,7% 

han superado el nivel dos, y el grupo más extenso del 39,9% solamente supera 

el nivel uno. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  725 

 

 

Gráfico  5 

 

El perfil de los alumnos de Educación Primaria se muestra claramente 

en la gráfica 6. Casi un 60% de los alumnos están en el nivel uno de 

razonamiento, siendo casi un 30% de los alumnos los que no han llegado al nivel 

uno, y el resto de los alumnos son del nivel dos. 

La preponderancia de un valor muy alto del nivel uno sobre los demás, 

consideramos que es un perfil típico de los alumnos de Primaria. Recordemos 

aquí, que el cuestionario de Usiskin se realizó para alumnos de sexto curso de 

Primaria, donde según el análisis de los textos que hicimos para este curso, el 

74% de los contenidos se correspondían con el nivel dos de razonamiento 

mientras que sólo el 23% lo eran del nivel tres. En este sentido, estamos viendo 

que, a pesar que desde tercer curso de Primaria los alumnos trabajan 

actividades del nivel dos, sólo un 14,5% han adquirido ese nivel, estando el 

57,9% todavía en el nivel uno. 

Vemos que el peso del nivel cero en su muy importante en esta etapa 

educativa, y más aún, el que el Sexto curso de Educación Primaria tengamos casi 

un 30% de los alumnos con un nivel cero de razonamiento, va a ser una losa que 

arrastrarán a lo largo de las sucesivas etapas educativas, y que marcará con este 

estigma al sistema español de enseñanza de la geometría. En este sentido, sería 

muy recomendable realizar las acciones precisas para reducir a valores no 

significativos esa bolsa tan importante. 



Florencio López de Silanes 

 

726 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Gráfico  6 

 

En esta etapa de Educación Primaria los alumnos que se han 

posicionado en el nivel cero, están indicando realmente que no han sido 

capaces de superar el nivel uno de razonamiento. En etapas posteriores, 

veremos que podemos dar otra lectura a estos datos. 

Los resultados de los cuestionarios realizados a alumnos de cuarto curso 

de Secundaria los tenemos en la gráfica 7, que presenta un máximo significativo 

con un valor superior al 42% en el nivel dos de razonamiento. Es significativo 

también que el valor del nivel uno esté por encima del 32%, que indica 

claramente que aunque el grupo más numeroso ha superado el nivel dos, más 

de la tercera parte sólo ha superado el nivel uno, habiendo superado el nivel 

tres poco más del 6% de los alumnos de estos cursos. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  727 

 

 

Gráfico  7 

Recordaremos aquí que en el análisis del nivel de razonamiento de los 

textos que realizamos anteriormente, al final de la etapa de Secundaria, los 

alumnos llevaban tres cursos trabajando en nivel tres de van Hiele. No obstante 

consideramos el perfil del gráfico 7 como representativo de los grupos de 

alumnos que están trabajando el nivel tres. 

El perfil obtenido para los alumnos que cursan segundo de Bachillerato 

es muy similar al de los alumnos de Secundaria, como lo muestra la gráfica 8. 

 

 
Gráfico  8 

 



Florencio López de Silanes 

 

728 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Efectivamente, los perfiles de Secundaria y Bachillerato presentan el 

máximo en el nivel dos de razonamiento, sin embargo, los valores del nivel tres 

son muy superiores en el perfil de Bachillerato, mientras que los del nivel uno 

son más altos en el perfil de Secundaria que en Bachillerato. Además, hay 

alumnos en el perfil de Bachillerato que han superado el nivel cuatro de 

razonamiento; aunque sólo sea un 0,5%, este dato indica que el perfil de 

Bachillerato, es desde el punto de vista cualitativo, diferente al de Secundaria. 

No obstante nos llama la atención que ambos perfiles presenten en el nivel dos 

unos valores muy similares y ligeramente superiores al 40%. 

Finalmente, el perfil de los alumnos universitarios que han realizado el 

cuestionario de Usiskin no aporta nada nuevo, no se diferencia sustancialmente 

del perfil de los alumnos de Bachillerato. Lo que sin lugar a dudas indica que el 

perfil de los alumnos universitarios que hemos encuestado se corresponde con 

un perfil de Bachillerato. 

 

 

 
Gráfico  9 

 

 

Las diferencias que observamos entre los perfiles de los alumnos de 

Bachillerato y Universidad nos indican que el conjunto de alumnos universitarios 

que hemos estudiado corresponden a un perfil de Bachillerato, pero un perfil 

Bajo de Bachillerato, por así decirlo. Efectivamente, todas las diferencias entre 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  729 

 

ambos perfiles son malas para los alumnos universitarios, ya que han obtenido 

valores más bajos en los niveles dos, tres y cuatro, es decir, valores más bajos en 

los niveles más altos del perfil, y valores más altos en los niveles bajos del perfil, 

en los niveles cero y uno. En este sentido, estos alumnos universitarios deben 

corresponderse con alumnos de bachillerato que están en la franja baja, en 

cuanto a los estudios de geometría se refiere. Lo cual es lógico ya que muchos 

de ellos proceden del Bachillerato de Letras.  

La mayor diferencia entre los perfiles de los alumnos de Bachillerato y 

los Universitarios, está en que estos últimos casi triplican el porcentaje del nivel 

cero, es decir, que los alumnos de las Facultades de Educación llegan a la 

Universidad con unos conocimientos de geometría altamente desestructurados. 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

730 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

13.4.2.- Objetivos por etapas 

Pero todavía nos quedan algunos efectos interesantes por resaltar. 

Primeramente debemos responder a la pregunta ¿Se consiguen los niveles 

propuestos por los libros de texto?. La respuesta a este interrogante podemos 

verla en el gráfico 10, donde los puntos rojos indican los niveles propuestos por 

los libros de texto y determinados en el anterior capítulo para los cursos sexto 

de Primaria, cuarto de Secundaria y segundo de Bachillerato; y los puntos azules 

los niveles medidos mediante el cuestionario de Usiskin en dichos cursos. 

Observamos que, mientras en los dos primeros cursos la diferencia entre el 

nivel medido y el propuesto es de un nivel, el segundo curso de Bachillerato 

esta diferencia se convierte en dos niveles de razonamiento. Parece como si, a 

medida que crecen los cursos, también lo hace la diferencia entre el nivel de 

razonamiento propuesto y el conseguido para un curso determinado. Es decir, 

los niveles de razonamiento de van Hiele son más difíciles de alcanzar cuanto 

más altos sean. 

 

 
Gráfico  10 

Otro fenómeno relacionado con el anterior estaría en estudiar los 

alumnos que superan el nivel de razonamiento de van Hiele asignado a cada 

curso académico. Los resultados medidos por el cuestionario de Usiskin los 

mostramos en el gráfico 11 para los cursos sexto de Primaria, cuarto de 

Secundaria y segundo de Bachillerato que se corresponden con los niveles de 

razonamiento 2, 3, y 4 respectivamente. Observamos que sí son pocos (14,5%) 

los que superan el nivel dos en el sexto curso de Primaria, son menos todavía 

(6,3%) los que superan el nivel tres el cuarto curso de Secundaria, y aún menos 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  731 

 

(0,5%) los que superan el nivel cuatro en segundo curso de Bachillerato. Es 

decir, los niveles de razonamiento bajos del modelo de van Hiele se superan con 

más facilidad, mientras que cuesta mucho trabajo superar los niveles altos. 

(Usiskin, 1982). 

 

 
Gráfico  11 

Observamos el mismo efecto cuando analizamos los alumnos que 

superan un nivel inferior al asignado al curso académico. Es decir, para los 

cursos sexto de Primaria, cuarto de Secundaria y segundo de Bachillerato, los 

niveles asignados son dos, tres, y cuatro respectivamente, por lo tanto, los 

niveles inmediatamente inferiores serían uno, dos, y tres respectivamente, que 

los superan el 57,9%, el 42,1% y el 21,6% respectivamente. Por lo que podemos 

concluir de estas mediciones que, a medida que crece el nivel de razonamiento, 

es más costoso superarlo en ese valor y en el nivel de razonamiento 

inmediatamente inferior. 

 

 
Gráfico  12 



Florencio López de Silanes 

 

732 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

13.5.- Distribución de los resultados por cursos y centros 

En la tabla 10 recogemos la distribución porcentual de los niveles de van 

Hiele para los cursos donde hemos aplicado el Cuestionario de Usiskin. (Usiskin, 

1982). 

 

Etapa Centro Curso N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Primaria CEIP_CV CEIP_CV_6 17,2 37,9 44,8 

   

100 

  Total CEIP_CV   17,2 37,9 44,8 

   

100 

  KHALIL GIBRAN KHALIL GIBRAN_6 20 60 20 

   

100 

  Total KHALIL G   20 60 20 

   

100 

  MONTPELLIER MONTPELLIER_6A 22,2 77,8 

    

100 

  

 

MONTPELLIER_6B 46,2 50 3,8 

   

100 

  

 

MONTPELLIER_6C 11,1 77,8 11,1 

   

100 

  

 

MONTPELLIER_6D 46,4 46,4 7,1 

   

100 

  Total MONTPELLIER   31,5 63 5,6 

   

100 

Total Primaria     27,6 57,9 14,5       100 

Secundaria IESJC IESJC_4B 36,4 27,3 31,8 4,5 

  

100 

  

 

IESJC_4D 

 

43,8 50 6,3 

  

100 

  Total IESJC   21,1 34,2 39,5 5,3 

  

100 

  KHALIL GIBRAN KHALIL GIBRAN_4 CIENCIAS 

 

72,7 27,3 

   

100 

  

 

KHALIL GIBRAN_4 LETRAS 60 40 

    

100 

  Total KHALIL G   18,8 62,5 18,8 

   

100 

  MONTPELLIER MONTPELLIER_4A 16 24 60 

   

100 

  

 

MONTPELLIER_4B 24 32 44 

   

100 

  

 

MONTPELLIER_4C 13,6 18,2 40,9 27,3 

  

100 

  Total MONTPELLIER   18,1 25 48,6 8,3 

  

100 

Total Secundaria     19 32,5 42,1 6,3     100 

Bachillerato IESJC IESJC_1A 6,7 26,7 56,7 10 

  

100 

  

 

IESJC_1B 

 

34,3 40 25,7 

  

100 

  

 

IESJC_1E 2,8 25 69,4 2,8 

  

100 

  Total IESJC   3 28,7 55,4 12,9 

  

100 

  KHALIL GIBRAN KHALIL GIBRAN_2 CIENCIAS 21,1 26,3 26,3 21,1 5,3 

 

100 

  

 

KHALIL GIBRAN_2 LETRAS 23,1 30,8 38,5 7,7 

  

100 

  Total KHALIL G   21,9 28,1 31,3 15,6 3,1 

 

100 

  MONTPELLIER MONTPELLIER_2A 

 

12 12 76 

  

100 

  

 

MONTPELLIER_2B 3,7 44,4 40,7 11,1 

  

100 

  Total MONTPELLIER   1,9 28,8 26,9 42,3 

  

100 

T. Bachillerato     5,9 28,6 43,2 21,6 0,5   100 

Universidad UAM UAM_2INF_TAR_2010 16,3 61,2 20,4 2 

  

100 

  

 

UAM_2PRI_MAÑ_2010 6,5 23,4 64,9 5,2 

  

100 

  

 

UAM_2PRI_TAR_2010 11,6 58,1 30,2 

   

100 

  

 

UAM_2PRI_TAR_2010 BOL 25 30,6 36,1 5,6 2,8 

 

100 

  Total UAM   13,2 41 42 3,4 0,5 

 

100 

  UCM UCM_2INF_MAÑ_2010 20,3 28,8 18,6 32,2 

  

100 

  Total UCM   20,3 28,8 18,6 32,2 

  

100 

T. Universidad     14,8 38,3 36,7 9,8 0,4   100 

Todas Etapas     16 38,9 34,7 10,2 0,3   100 

Tabla 10 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  733 

 

Para cada uno de los grupos especificados en esta tabla, después de 

realizado el cuestionario, se ha evaluado el nivel de van Hiele de acuerdo con el 

proceso especificado anteriormente, y se ha distribuido porcentualmente estos 

Niveles de Razonamiento sobre el número total de alumnos de cada curso. El 

Cuestionario de Usiskin se aplicó a 33 cursos que van desde Educación Primaria 

a la Universidad. Después del estudio realizado en el párrafo anterior de los 

Niveles de Razonamiento por las Etapas Educativas, vamos afrontar ahora, el 

estudio de estos resultados frente a los cursos, especialidades y centros a que 

pertenecen los alumnos. 

 

13.6.- Diferencias entre los alumnos de Ciencias y Letras 

Sobre los estudios seguidos de Ciencias o Letras en Educación 

Secundaria y Bachillerato, tenemos datos de dos centros de enseñanza: Khalil 

Gibran y Montpellier. 

Las diferencias en el nivel de razonamiento entre los alumnos que 

cursan Secundaria en las especialidades de Ciencias y Letras es importante en el 

colegio Khalil Gibran como observamos en el gráfico 13, donde los alumnos de 

Letras tienen el máximo valor en el nivel cero, el nivel que corresponde al 

conocimiento desestructurado, mientras que para los alumnos de Ciencias el 

valor máximo está en el nivel uno sin registrar valores en el nivel cero. 

 

 
Gráfico  13 



Florencio López de Silanes 

 

734 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Sin embargo los alumnos del mismo centro educativo de Bachillerato, 

presentan perfiles más similares para las especialidades de Ciencias y Letras, 

con unos valores muy similares para el nivel cero, pero estando por encima los 

niveles de los alumnos de Letras para los niveles bajos de van Hiele, mientras 

que los alumnos de Ciencias presentan valores más altos en los niveles 

superiores de van Hiele llegando hasta el nivel cuatro, mientras que los alumnos 

de Letras se quedan en el nivel tres. De los dos perfiles que presenta el gráfico 

14, es mejor sin duda alguna el que corresponde a los alumnos de Ciencias. 

 

 
Gráfico  14 

 

 

Son mayores las diferencias existentes entre los alumnos de Ciencias y 

Letras del nivel de Bachillerato del colegio Montpellier. Los alumnos de Letras 

presentan un típico de esta especialidad, teniendo valores en el nivel cero, el 

nivel del conocimiento geométrico desestructurado, y con valores más altos en 

los niveles uno y dos de van Hiele, mientras que presentan valores bajos en el 

nivel tres, que es justo donde los alumnos de Ciencias presentan valores 

significativos. El perfil de los alumnos de Bachillerato de este centro educativo 

es muy bueno de acuerdo con el modelo de van Hiele, por presentar valores 

muy bajos en el nivel uno y dos, con un valor alto en el nivel tres, lástima que 

este perfil no presentara valores significativos en el nivel cuatro de van Hiele 

para ser un perfil referencial de esta etapa. 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  735 

 

 

 
Gráfico  15 

 

Una diferencia similar cualitativamente a la existente entre los alumnos 

de Ciencias y Letras, es la que hemos observado entre los alumnos de la 

Universidad Complutense de Madrid y los de la Universidad Autónoma de 

Madrid, según se refleja en el gráfico 16. Ya que mientras los alumnos de la 

Universidad Complutense de Madrid presentan un perfil casi plano entre los 

niveles cero y tres con valores oscilantes entre el 20% y 30% aproximadamente, 

con un valor del 20% en el nivel cero, los alumnos de la Universidad Autónoma 

de Madrid presentan valores cuantitativamente más bajos en el nivel cero, 

valores por encima del 40% en los niveles dos y tres,  y llegan hasta el nivel 

cuatro. 

 

 
Gráfico  16 



Florencio López de Silanes 

 

736 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Concluiremos diciendo que una de las características de los alumnos de 

la especialidad de Letras en Enseñanza Media, es que presentan valores muy 

significativos para el nivel cero, así como valores altos en los niveles bajos de los 

del modelo de van Hiele. (Usiskin, 1982). Podemos así decir que presentan 

generalmente unos niveles de van Hiele bajos, además de, un alto grado de 

conocimiento desestructurado de la geometría básica. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  737 

 

13.7. – Distribuciones por centros 

 

13.7.1.- Los niveles de van Hiele en los centros educativos 

Una de las preguntas que nos hemos planteado es si pudiera haber 

diferencias sustanciales en los niveles de van Hiele entre los diferentes centros 

educativos en los que realizamos los cuestionarios de Usiskin. Para analizar este 

punto, contamos con los datos que se muestran en la tabla 11 y en la gráfica 17. 

(Usiskin, 1982). Esta tabla y gráfica reúne en los centros educativos agrupando 

las diferentes etapas, y van desde los centros CEIP donde solamente se 

imparten estudios de Enseñanza Primaria a las Universidades. 

 

 

Centro N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

CEIP_CV 17,2 37,9 44,8 

   

100 

IESJC 7,9 30,2 51,1 10,8 

  

100 

KHALIL 

GIBRAN 20,6 44,4 25,4 7,9 1,6 

 

100 

MONTPELLIER 20,7 43,5 23,7 12,1 

  

100 

UAM 13,2 41,0 42,0 3,4 0,5 

 

100 

UCM 20,3 28,8 18,6 32,2 

  

100 

General 16,0 38,9 34,7 10,2 0,3   100 
Tabla 11 

 

 

A pesar de las diferencias existentes en el nivel educativo entre estos 

centros, observamos que, en el tramo de la enseñanza que corresponde a cada 

centro con respecto a los niveles de van Hiele, los resultados van adaptándose a 

una curva de tendencia que va desde el nivel cero con valores entre el 10% y el 

20%, al nivel uno con valores entre el 30% y 40%, en el nivel dos con unos 

valores similares, para bajar a unos valores en torno al 20% en el nivel tres y 

terminar con valores en torno al 3% en el nivel cuatro del modelo de van Hiele. 

De esta curva de tendencia se desvían solamente los alumnos de la Universidad 

Complutense de Madrid. 



Florencio López de Silanes 

 

738 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

 
Gráfico  17 

 

 

Es una curva que podemos considerarlas como representante del 

sistema educativo español de la enseñanza de la geometría según los resultados 

de los cuestionarios que hemos realizado. Lo más significativo de esta curva de 

tendencia son los altos valores detectados en el nivel cero y que hemos de 

asociar necesariamente con algunos hechos del proceso educativo que 

justifiquen este alto nivel de desestructuración del conocimiento de geometría 

presente en los alumnos que han realizado este cuestionario. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  739 

 

13.7.2.- Los niveles de van Hiele en los centros por Etapas 

Para profundizar más en lo anterior, presentamos en la tabla 12 de los 

porcentajes asociados a los niveles de razonamiento de van Hiele para cada una 

de las etapas educativas de los centros donde hemos realizado el cuestionario. 

(Usiskin, 1982). En la tabla hemos juntado los centros CEIP y IES a fin de tener 

las tres etapas de Primaria, Secundaria y Bachillerato. 

 

Centro Etapa N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

CEIP_CV Primaria 17,2 37,9 44,8 

   

100 

IESJC Secundaria 21,1 34,2 39,5 5,3 

  

100 

  Bachillerato 3,0 28,7 55,4 12,9 

  

100 

Total IESJC   7,9 30,2 51,1 10,8     100 

KHALIL GIBRAN Primaria 20,0 60,0 20,0 

   

100 

  Secundaria 18,8 62,5 18,8 

   

100 

  Bachillerato 21,9 28,1 31,3 15,6 3,1 

 

100 

Total KHALIL GIBRAN   20,6 44,4 25,4 7,9 1,6   100 

MONTPELLIER Primaria 31,5 63,0 5,6 

   

100 

  Secundaria 18,1 25,0 48,6 8,3 

  

100 

  Bachillerato 1,9 28,8 26,9 42,3 

  

100 

Total MONTPELLIER   20,7 43,5 23,7 12,1     100 

UAM Universidad 13,2 41,0 42,0 3,4 0,5 

 

100 

UCM Universidad 20,3 28,8 18,6 32,2 

  

100 

General   16,0 38,9 34,7 10,2 0,3   100 

Tabla 12 

 

 

En el colegio Montpellier las distribuciones de los niveles de 

razonamiento de las tres etapas están diferenciadas de una forma coherente, 

siendo los valores del nivel cero mayores en Primaria que en Secundaria, y los 

de esta mayores que en Bachillerato. Las gráficas correspondientes a cada una 

de las etapas parecen estar corridas hacia la derecha, hacia los valores altos de 

los niveles de razonamiento, y los valores máximos en cada una de las etapas se 

corresponden con niveles de razonamiento más altos. La etapa de Enseñanza 

Primaria presenta el máximo en el nivel uno de razonamiento, la Enseñanza 

Secundaria lo tiene en el nivel dos de razonamiento, mientras que la curva de 

Bachillerato lo presenta en el nivel tres de razonamiento. Pero mientras que en 

las etapas de Primaria y Secundaria se presentan valores significativos aunque 

bajos en los niveles dos y tres respectivamente, en los alumnos de Bachillerato 

no han conseguido alcanzar el nivel cuatro de razonamiento. No nos ha llamado 



Florencio López de Silanes 

 

740 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

profundamente la atención la pérdida del valor máximo a medida que aumenta 

la etapa, pues mientras en Primaria el máximo tiene un valor del 63% en el nivel 

uno, en Secundaria el máximo es del 48,6% en el nivel dos, y para Bachillerato 

sólo es del 42,3% en el nivel tres. Casi podríamos decir, que los máximos 

alcanzados en las tres etapas educativas están alineados en la gráfica que tiene 

por abscisas los niveles de razonamiento de van Hiele.  

 

 
Gráfico  18 

 

 

Las gráficas de las etapas de Enseñanza Primaria y Secundaria coinciden 

en la gráfica del colegio Khalil Gibran, mientras que la correspondiente a 

Bachillerato se diferencia de las anteriores. La coincidencia mostrada 

anteriormente, podría indicar algún problema existente en la enseñanza de la 

geometría en Educación Secundaria en dicho centro, pero no nos aventuramos 

a realizar ningún tipo de hipótesis sobre este hecho. Vemos también que el 

máximo correspondiente a la etapa de Bachillerato es un valor menor que el de 

las etapas educativas precedentes. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  741 

 

 
Gráfico  19 

 

 

Nos ha llamado profundamente la atención que presenten la misma 

tendencia que las distribuciones de Enseñanza Secundaria y Bachillerato para el 

IES Juan de la Cierva, esto podría ser causado porque el cuestionario se aplicó a 

primer curso de Bachillerato, y en consecuencia, no debía existir mucha 

diferencia entre los alumnos del citado curso y los de cuarto curso de 

Secundaria. Las tres gráficas que aportamos de estos dos centros de Titularidad 

Pública presentan el máximo valor en el nivel dos, lo cual es muy extraño, 

particularmente para los alumnos de Enseñanza Primaria. A la luz de las tres 

gráficas de las etapas de estos dos últimos centros, es difícil diferenciar las 

etapas por las gráficas aportadas. 

 

 
Gráfico  20 



Florencio López de Silanes 

 

742 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

En líneas generales podemos decir, que la función de distribución de los 

niveles de van Hiele para estos cuatro centros educativos presentan una tónica 

muy similar, con las salvedades que hemos apuntado anteriormente. Nos 

preocupa lo que consideramos valores altos (en torno al 20%) para el nivel cero 

en las dos primeras etapas educativas en los cuatro centros. Es también muy 

significativo el bajo porcentaje de alumnos que alcanzan el nivel cuatro en la 

etapa de Bachillerato en los centros anteriores. Entendemos que este hecho 

quizás esté asociado a que la enseñanza de la geometría en esta etapa está más 

dirigida a la resolución de problemas para superar las Pruebas de Acceso a la 

Universidad, que al trabajo deductivo y al análisis del formalismo geométrico 

que son los objetivos de los estudios de la geometría en Bachillerato. 

 

 

 

 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  743 

 

13.8. – Distribuciones por sexo 

 

13.8.1.- Distribución de los resultados por sexo 

No debemos dejar pasar la ocasión, de ver si estos datos apuntan 

alguna tendencia con relación al sexo de los alumnos. La tabla 13 contiene los 

datos a nivel global del cuestionario por sexo sin diferenciar ni las etapas, ni los 

centros, ni otras caracterizaciones que puedan diferenciar a los alumnos. 

(Usiskin, 1982). Los porcentajes se han calculado con respecto al número total 

de mujeres o de varones que han participado en la prueba. La línea N/C expresa 

la distribución de los niveles de los alumnos que no manifestaron su sexo en el 

cuestionario, y que a nivel global, es un porcentaje pequeño sobre el total de los 

alumnos. 

 

Sexo N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Mujeres 17,9 38,5 32,6 10,9 

  

100 

Varones 11,9 38,7 39,5 9,1 0,8 

 

100 

N/C 22,2 66,7 11,1 

   

100 

Total 16,0 38,9 34,7 10,2 0,3   100 
Tabla 13 

A nivel general, los resultados obtenidos por los varones en el 

cuestionario son algo superiores a los que arrojan las mujeres como se ve en la 

gráfica 21. En efecto, los varones tienen un valor sustancialmente inferior en el 

nivel cero, el mismo en el nivel uno, estando ligeramente por encima en los 

siguientes niveles. O si se quiere, en los varones están por debajo de las mujeres 

en los niveles bajos y en el nivel cero, es decir, en los niveles no deseados, y por 

encima en el resto de los niveles de razonamiento de van Hiele. 



Florencio López de Silanes 

 

744 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 
Gráfico  21 

Pero quizás merezca la pena estudiar estas diferencias por etapas 

educativas como se muestra la tabla 14. 

 

Etapa Sexo N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Primaria Mujeres 29,2 56,9 13,9 

   

100 

  Varones 26,8 57,7 15,5 

   

100 

Secundaria Mujeres 26,0 32,9 34,2 6,8 

  

100 

  Varones 9,4 32,1 52,8 5,7 

  

100 

Bachillerato Mujeres 9,1 28,3 40,4 22,2 

  

100 

  Varones 2,3 29,1 46,5 20,9 1,2 

 

100 

Universidad Mujeres 15,6 39,0 34,6 10,8 

  

100 

  Varones 9,1 33,3 51,5 3,0 3,0 

 

100 

General   16,0 38,9 34,7 10,2 0,3   100 
Tabla 14 

En este sentido, y como muestra el gráfico 22, en la Enseñanza Primaria 

el resultado obtenido de los Niveles de Razonamiento por ambos sexos, es casi 

exactamente el mismo. En esta primera etapa, los currícula de estudios de 

geometría seguidos por ambos sexos son exactamente los mismos, tengamos 

además presente que, los resultados mostrados en la gráfica 22, fueron 

obtenidos por el cuestionario aplicado a los niños de sexto curso de Primaria. 

Hasta ese momento, no ha habido ninguna diferenciación curricular por 

especialidades, por lo que ambos sexos han estudiado los mismos contenidos 

con el mismo rendimiento, según las medidas realizadas por nosotros. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  745 

 

 
Gráfico  22 

 

Sin embargo, en la Enseñanza Secundaria, los varones han obtenido 

unos resultados más favorables que las mujeres, al presentar valores para el 

nivel cero inferiores al de las mujeres, y en el nivel tres valores sustancialmente 

superiores a las muchachas. Sin embargo llama la atención que los valores para 

ambos sexos en el nivel tres sean prácticamente iguales. Estos resultados 

proceden del cuestionario aplicado en cuarto curso de ESO, donde ya ha habido 

en algunos centros una diferenciación entre las especialidades de Ciencias y 

Letras, siguiendo esta última especialidad un porcentaje de mujeres muy 

superior al de varones. Obviamente, los alumnos que siguen la especialidad de 

Letras obtienen peores resultados en geometría que los de Ciencias. 

 

 
Gráfico  23 



Florencio López de Silanes 

 

746 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

 

Los resultados para varones y mujeres en la etapa de Bachillerato 

reproducen otra vez los de la etapa anterior, añadiendo además que algunos 

varones alcanzan el nivel cuatro mientras que ninguna mujer lo ha alcanzado en 

la muestra que hemos trabajado. 

 

 
Gráfico  24 

Finalmente, la etapa universitaria incide cualitativamente en los mismos 

resultados que en las dos etapas anteriores, es decir los varones han obtenido 

valores inferiores en el nivel cero y en el nivel uno, y valores superiores en el 

nivel dos, y además, algunos muchachos muestran que han alcanzado el nivel 

cuatro, mientras que ninguna de las mujeres ha llegado a ese nivel. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  747 

 

 
Gráfico  25 

 

Recordemos por otra parte que, este resultado que muestra a los 

varones de matemáticas ligeramente por encima de las mujeres, es coherente 

con los resultados de los informes PISA. 



Florencio López de Silanes 

 

748 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

13.8.2.- Distribución de los resultados por el Centro y Sexo 

Otra forma de contemplar los resultados de los Niveles de 

Razonamiento de van Hiele obtenidos por ambos sexos es analizarlos por los 

centros de enseñanza,  por si pudiera haber alguna diferencia entre ellos, tal y 

como lo muestra la tabla 15. 

 

Centro Sexo N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

CEIP_CV Mujeres 10,0 30,0 60,0 

   

100 

  Varones 20,0 20,0 60,0 

   

100 

  N/C 22,2 66,7 11,1 

   

100 

IESJC Mujeres 11,6 24,6 46,4 17,4 

  

100 

  Varones 4,3 35,7 55,7 4,3 

  

100 

KHALIL 

GIBRAN Mujeres 23,7 47,4 23,7 5,3 

  

100 

  Varones 16,0 40,0 28,0 12,0 4,0 

 

100 

MONTPELLIER Mujeres 24,4 43,3 22,0 10,2 

  

100 

  Varones 16,2 43,8 25,7 14,3 

  

100 

UAM Mujeres 13,9 42,2 39,9 4,0 

  

100 

  Varones 9,4 34,4 53,1 

 

3,1 

 

100 

UCM Mujeres 20,7 29,3 19,0 31,0 

  

100 

  Varones 

   

100,0 

  

100 

General   16,0 38,9 34,7 10,2 0,3   100 
Tabla 15 

 

 

En el CEIP Carlos V las mujeres han obtenido mejores valores que los 

varones, con valores inferiores en el nivel cero, y superiores en los niveles uno y 

dos. Recordemos aquí que en este centro se imparte solamente la Enseñanza 

Primaria. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  749 

 

 
Gráfico  26 

 

 

Sin embargo, los alumnos del Instituto Juan de la Cierva de Enseñanza 

Secundaria y Bachillerato, presentan las clásicas curvas de distribución de 

niveles favorables a los varones, con valores para estos inferiores en el nivel 

cero y superiores en los niveles uno y dos, nos llama la atención que las mujeres 

han tenido mejores resultados en el nivel tres. 

 

 
Gráfico  27 

 

El colegio Montpellier también reproduce unas curvas favorables a los 

varones con valores inferiores en el nivel cero, los mismos resultados en el nivel 

uno, y superiores para los niveles dos y tres. 



Florencio López de Silanes 

 

750 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 
Gráfico  28 

 

 

Los resultados son del mismo tipo en el colegio Khalil Gibran, donde 

además hay que añadir que algunos varones han alcanzado el nivel cuatro. 

 

 
Gráfico  29 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  751 

 

13.8.3.- Distribución de los resultados por Especialidades y Sexo 

 

Aunque normalmente el número de alumnas que escoge la especialidad 

de Letras es mayor al de alumnos, y que por tanto, en un análisis de los niveles 

de razonamiento obtenidos por los alumnos de Ciencias debieran ser superior al 

de Letras, nos parece interesante analizar los resultados por las especialidades 

de Ciencias y Letras obtenidos por los varones y las mujeres. Lo primero que 

hemos hecho fue listar en la tabla 16 los niveles obtenidos por especialidades y 

sexo. (Usiskin, 1982). Como el porcentaje de varones es pequeño en los estudios 

de Magisterio en las especialidades de Infantil y Primaria, hemos optado por 

estudiar solamente las especialidades de Ciencias y Letras en las tres primeras 

etapas. 

 

 

Especialidad Sexo N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

CIENCIAS Mujeres 13 40,6 29 17,4 0 

 

100 

  Varones 5,56 22,2 40,7 29,6 1,85 

 

100 

LETRAS Mujeres 46,2 30,8 23,1 0 0 

 

100 

  Varones 0 40 40 20 0 

 

100 

M_Infantil Mujeres 18,9 44,3 18,9 17,9 0 

 

100 

  Varones 0 0 50 50 0 

 

100 

M_Primaria Mujeres 12,8 34,4 48 ,8 0 

 

100 

  Varones 9,68 35,5 51,6 0 3,23 

 

100 

General   16 38,9 34,7 10,2 0,28   100 
Tabla 16 

 

 

En la especialidad de "Ciencias" los varones han obtenido una 

distribución de niveles mejor que las mujeres, ya que la curva de los varones 

presenta valores más bajos en los niveles cero y uno, y más alto en los niveles 

dos y tres, alcanzando solamente algunos varones el nivel cuatro. Hemos de 

poner de manifiesto que estos resultados afectan solamente al 17% del total de 

nuestra muestra. 

 



Florencio López de Silanes 

 

752 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 
Gráfico  30 

 

 

La muestra para la especialidad de "Letras" es solamente el 2,5% del 

total. Pero la distribución de valores de los niveles de razonamiento van Hiele es 

también favorable a los varones por las mismas razones que apuntamos en el 

párrafo anterior. 

 

 
Gráfico  31 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  753 

 

13.9. – Distribuciones por la titularidad del centro 

 

13.9.1.- Distribución de los resultados con la Titularidad del Centro 

Otro de los parámetros que pueden determinar el rendimiento de los 

alumnos y por tanto los resultados del cuestionario es la titularidad del centro 

educativo. (Usiskin, 1982). En España disponemos básicamente de tres tipos de 

titularidad: los centros Públicos o aquellos que están gestionados por 

Ayuntamientos, Comunidades Autónomas o el Gobierno Español; los centros 

Concertados que reciben dinero de las entidades públicas y son gestionados por 

entidades privadas; y finalmente los centros Privados que no reciben 

subvenciones de las entidades públicas y son gestionados totalmente por ellos 

mismos. 

Los resultados de los cuestionarios aplicados a los alumnos y 

clasificados por la titularidad del centro educativo en el que cursan sus estudios 

se muestran en la tabla 17 como distribuciones sobre los niveles de van Hiele, y 

los datos se expresan en porcentajes calculados sobre la totalidad de los 

cuestionarios que se aplicaron según la titularidad de los centros. 

 

Tit. Centro N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Concertado 20,7 43,5 23,7 12,1 

  

100 

Privado 20,6 44,4 25,4 7,94 1,59 

 

100 

Público 12,7 35,6 41,9 9,49 0,23 

 

100 

Ceneral 16 38,9 34,7 10,2 0,28   100 
Tabla 17 

 

La distribuciones de los niveles de van Hiele del porcentaje de alumnos 

que ha superado cada uno de estos niveles los mostramos en la gráfica 32. 

 



Florencio López de Silanes 

 

754 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 
Gráfico  32 

 

 

Los resultados de los centros de titularidad privada y concertada son 

prácticamente los mismos, como se puede apreciar en la gráfica 32, con la 

salvedad de que algún alumno perteneciente a un centro privado ha alcanzado 

el nivel cuatro de van Hiele. Hagamos aquí la anotación de que las curvas de los 

centros concertados y privados abarcan solamente la Educación Primaria, 

Secundaria y Bachillerato, mientras que el gráfico correspondiente a las 

entidades públicas incluye también la etapa Universitaria. En el gráfico 32 se 

muestra del mismo modo que los resultados obtenidos por los alumnos que han 

cursado en entidades públicas son mejores al obtener valores más bajos en el 

nivel cero y en el nivel uno, y más alto en el nivel tres. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  755 

 

13.9.2.- Distribución de los resultados por Etapas y Titularidad del Centro 

Para realizar un estudio más detallado veremos también cómo se 

distribuyen los datos anteriores a través de las etapas educativas, tal como se 

muestra en la tabla 18. 

 

Etapa Tit. Centro N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Primaria Concertado 31,5 63,0 5,6       100 

  Privado 20,0 60,0 20,0       100 

  Público 17,2 37,9 44,8       100 

Secundaria Concertado 18,1 25,0 48,6 8,3     100 

  Privado 18,8 62,5 18,8       100 

  Público 21,1 34,2 39,5 5,3     100 

Bachillerato Concertado 1,9 28,8 26,9 42,3     100 

  Privado 21,9 28,1 31,3 15,6 3,1   100 

  Público 3,0 28,7 55,4 12,9     100 

Universidad Público 14,8 38,3 36,7 9,8 0,4   100 

General   16,0 38,9 34,7 10,2 0,3   100 
Tabla 18 

En Educación Primaria los resultados obtenidos en los centros de 

titularidad privada y concertada se comportan de la misma forma siendo 

mejores los valores aportados por los centros de titularidad privada, ya que es 

menor su valor en el nivel cero, y mayor el valor en el nivel tres, como se ve en 

la gráfica 33. 

 
Gráfico  33 



Florencio López de Silanes 

 

756 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Sin embargo la función de distribución de los centros públicos es 

diferente a los anteriores correspondientes a esta titularidad de centro, mejores 

resultados de la Educación Primaria, ya que los porcentajes correspondientes a 

los niveles cero y uno son inferiores, mientras que, es superior el porcentaje 

obtenido en el nivel dos. 

Los resultados en Educación Secundaria son totalmente diferentes a los 

que vimos para la Educación Primaria según se muestra en el gráfico 34, donde 

los peores resultados corresponden al centro de titularidad privada por haber 

tenido el mayor valor en el nivel bajo, en el nivel uno, y el más bajo en el nivel 

dos, además de que ningún alumno del centro de titularidad privada ha 

alcanzado el nivel tres de razonamiento. 

 

 
Gráfico  34 

 

En la etapa de Educación Secundaria, el comportamiento de los 

alumnos de centros concertados y públicos es bastante similar, con valores del 

mismo orden para los niveles cero y tres, y con mejores resultados en los niveles 

uno y dos para el centro de titularidad concertada. 

Los resultados correspondientes a la etapa de Bachillerato son asimismo 

diferentes a los de las dos etapas anteriores. Digamos que aquí los resultados 

son más equilibrados, pues mientras que los alumnos de centros privados 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  757 

 

presentan un alto porcentaje para el nivel cero, es decir el nivel no deseado, sin 

embargo sus alumnos han alcanzado el nivel cuatro. 

En cuanto a los alumnos de centros concertados y públicos, vemos que 

presentan un comportamiento similar en el nivel cero y en el nivel uno, 

mientras que en el nivel dos es más alto el porcentaje de los alumnos de centros 

públicos, y en el nivel tres el de los centros concertados. 

No realizamos aquí ningún tipo de consideración sobre los alumnos de 

estudios universitarios, ya que todos los datos que tenemos en esta etapa 

educativa corresponden a centros de titularidad pública. 

 

 
Gráfico  35 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

758 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

13.9.3.- Distribución de los resultados por Sexo y Titularidad del Centro 

Solamente nos queda por examinar si pudiera existir algún tipo de 

relación entre la titularidad de los centros educativos y el sexo de los alumnos, 

por aquello de ver si existe algún tipo de preferencia en la selección de los 

centros, y si ésta estuviera relacionada o no con el rendimiento en los estudios 

de geometría. 

Los datos anteriores clasificados por la titularidad del centro, también 

los clasificamos en relación sexo de los alumnos, y los mostramos en la tabla 19, 

donde en los centros públicos se ha agrupado también el nivel universitario. 

 

Sexo Tit. Centro N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Mujeres Concertado 24,4 43,3 22,0 10,2 

  

100 

  Privado 23,7 47,4 23,7 5,3 

  

100 

  Público 14,5 35,5 38,1 11,9 

  

100 

Varones Concertado 16,2 43,8 25,7 14,3   

 

100 

  Privado 16,0 40,0 28,0 12,0 4,0 

 

100 

  Público 7,1 33,6 54,9 3,5 0,9 

 

100 

N/C Público 22,2 66,7 11,1 

   

100 

General   16,0 38,9 34,7 10,2 0,3   100 
Tabla 19 

 

 

En la figura próxima vemos que el comportamiento de las mujeres sigue 

exactamente la misma tónica que vimos anteriormente. Los centros 

concertados y privados se comportan de la misma forma, mientras que las 

mujeres que estudian en un centro público han obtenido unos resultados algo 

mejores por tener valores más bajos en los niveles cero y uno, y algo más 

elevados en los niveles dos y tres. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  759 

 

 
Gráfico  36 

 

El mismo comportamiento lo observamos en los resultados de los 

varones procedentes de centros concertados y privados, ya que ambos se 

comportan en la misma tónica según vemos en la gráfica 37. Aquí vemos 

también que los varones que cursan estudios en un centro público han obtenido 

mejores resultados por presentar porcentajes más bajos en los niveles cero y 

uno, más alto en el nivel tres, y haber alcanzado el nivel cuatro un pequeño 

grupo de estudiantes. 

 

 
Gráfico  37 

 



Florencio López de Silanes 

 

760 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

13.10.- Distribución de los resultados con la Edad de los alumnos 

 

Para el estudio de la distribución de los niveles de razonamiento de van 

Hiele con las edades del grupo de alumnos que hemos encuestado, (Usiskin, Z; 

1982)  presentamos en la tabla 20 el número de alumnos que ha superado cada 

uno de los niveles, o que se encuentran en el nivel cero distribuidos por sus 

edades, para cada una de las cuatro etapas educativas. 

 

 

Edad N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total Ponderado 

11 26,1 60,9 13,0 

   

100 0,9 

12 30,3 48,5 21,2 

   

100 0,9 

15 21,6 27,0 45,9 5,4 

  

100 1,4 

16 9,1 31,3 48,5 11,1 

  

100 1,6 

17 8,4 27,4 41,1 22,1 1,1 

 

100 1,8 

18 3,4 37,9 27,6 31,0 

  

100 1,9 

19 13,8 36,2 39,4 10,6 

  

100 1,5 

20 13,5 38,5 42,3 5,8 

  

100 1,4 

21 7,4 33,3 48,1 7,4 3,7 

 

100 1,7 

22 17,4 17,4 43,5 21,7 

  

100 1,7 

23 28,0 44,0 20,0 8,0 

  

100 1,1 

24 9,1 18,2 54,5 18,2 

  

100 1,8 

25 11,1 33,3 55,6 

   

100 1,4 

General 16 38,9 34,7 10 0,3   100 

 Tabla 20 

 

Esta tabla que muestra el número de alumnos por nivel y edad para 

cada etapa educativa, sirve muy bien para ver qué grupos o edades no son 

significativos desde el punto de vista estadístico, aparte de diferenciar los 

grupos que con las mismas edades se solapan en las diferentes etapas. 

Excluidos los grupos no significativos, estadísticamente hablando, y 

traduciendo los valores anteriores a porcentajes sobre el número total de 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  761 

 

alumnos para cada edad, dispondremos de datos con los que podremos 

comparar los resultados para todas las edades, según mostramos en la tabla 21. 

 

Etapa Edad N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Primaria 11 30 70 15       115 

  12 10 16 7       33 

  13 2 1         3 

  N/C   1         1 

Total Primaria 

 

42 88 22 

   

152 

Secundaria 14   1   1     2 

  15 16 20 34 4     74 

  16 8 15 17 2     42 

  17   1         1 

  18   1 1       2 

  N/C   3 1 1     5 

Total Secundaria 

 

24 41 53 8 

  

126 

Bachillerato 16 1 16 31 9     57 

  17 8 25 39 21 1   94 

  18 1 10 7 9     27 

  19   2 3       5 

  20       1     1 

  22 1           1 

Total Bachillerato 11 53 80 40 1 

 

185 

Universidad 19 13 32 34 10     89 

  20 7 20 22 2     51 

  21 2 9 13 2 1   27 

  22 3 4 10 5     22 

  23 7 11 5 2     25 

  24 1 2 6 2     11 

  25 1 3 5       9 

  26 1 2         3 

  27   2   1     3 

  28   3         3 

  29 1 1         2 

  30   2   1     3 

  31 1 1         2 

  32 1           1 

  33   2         2 

  34   1         1 

  35     1       1 

  38   1 1       2 

  40   1         1 

  44   1         1 

  N/C 1 3   1     5 

Total Universidad 39 101 97 26 1 

 

264 

Total   116 283 252 74 2   727 

Tabla 21 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

762 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Si asignamos a cada edad el nivel de razonamiento correspondiente al 

pico de las distribuciones por edad de la tabla 21, podemos ver la evolución del 

nivel de razonamiento de los alumnos con la edad. 

 

 

Gráfico  38 

De esta forma, la gráfica 39 muestra que los grupos de edades de los 

alumnos que alcanzan el nivel uno de razonamiento, tienen 11 y 12 años, que 

alcanzan el nivel dos de razonamiento a los 15 años, pero que permanecen 

estacionados en este nivel de por vida a nivel de grupos. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  763 

 

 
Gráfico  39 

 

 

Como hemos manejado solamente los niveles uno y dos en el análisis 

anterior, para intentar profundizar más en este análisis, hemos calculado los 

niveles ponderados sobre el valor de 100 por grupo de edad, para cada una de 

las edades de la tabla 21, y estos resultados de los niveles ponderados los 

hemos representado en la gráfica 39, donde vemos que el nivel de 

razonamiento de los alumnos crece de una forma continua hasta los 18 años 

alcanzando un valor de 1,9, es decir, el nivel dos de razonamiento, y que a partir 

de esa edad no crece el nivel de razonamiento. 

Este resultado podría ser previsible desde el punto de vista que, en el 

grupo de alumnos que hemos estudiado nosotros, no desarrollan estudios de 

geometría en la Universidad dirigidos a elevar su nivel de razonamiento, sino 

que los estudios de geometría que cursan los alumnos universitarios de este 

grupo, están orientados a afianzar estos conocimientos, y aplicarlos en el campo 

de la enseñanza. 

 



Florencio López de Silanes 

 

764 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

13.11.- Conclusiones 

 

Recordaremos en este momento que, hemos encuestado a 727 

alumnos de las cuatro Etapas Educativas importantes desde el punto de vista de 

la enseñanza, es decir, de Educación Primaria, Educación Secundaria 

Obligatoria, Bachillerato y Universidad, distribuidos los alumnos de acuerdo a la 

tabla 22. El número de alumnos encuestados en Primaria, Secundaria y 

Bachillerato es muy similar, mientras que el grupo de estudiantes universitarios 

encuestados es sensiblemente mayor, pero esto no tiene nada que ver para la 

veracidad de las conclusiones que podemos extraer del análisis realizado 

previamente. 

 

Cuestionarios por Etapas 

  Etapa Total 

 

Primaria 152 

  Secundaria 126 

  Bachillerato 185 

  Universidad 264 

Total    727 
Tabla 22 

 

El objetivo del estudio realizado en este capítulo es reconocer el nivel 

de razonamiento de van Hiele de los alumnos a los que se les ha aplicado el 

cuestionario de Usiskin, así como poder comparar algunas de estas medidas, 

con las realizadas por otros autores, para contrastar tanto los resultados de las 

medidas, como el nivel entre los distintos grupos de alumnos. (Usiskin, Z; 1982). 

Los resultados de la distribución de los niveles de razonamiento de van 

Hiele para las tres primeras Etapas Educativas los expresamos en la tabla 23, y 

en la gráfica 40. 

Los niveles de razonamiento de los alumnos de Educación Primaria 

medidos en un sexto curso de Primaria, son los que podría esperarse de un 

grupo de estas características, aunque un poco bajos. Efectivamente, lo 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  765 

 

resultado nos indican que casi el 58% de los alumnos han superado el nivel uno 

de razonamiento, que solamente el 14,5% ha superado el nivel dos de 

razonamiento y, casi el 28% de estos alumnos o no han llegado a superar el nivel 

uno de razonamiento o presentan unos conocimientos de geometría 

desestructurados que les pesan gravemente para progresar en esta vía, cuando 

no les inhabilitan para ello. 

No olvidemos por otra parte que, el cuestionario fue aplicado en sexto 

curso de Primaria, es decir, cuando los alumnos llevaban dos cursos académicos 

trabajando en nivel uno, más otros cuatro cursos trabajando en nivel dos, por lo 

que entendemos que el resultado de que solamente el 14,5% de estos alumnos 

hayan superado el nivel dos es muy pobre. El alto valor de los alumnos que 

solamente han superado el nivel uno de razonamiento se justifica solamente 

por el escaso número de alumnos que han superado el nivel dos.  

 

Etapa N0 N1 N2 N3 N4 N5 

Bachillerato 5,9 28,6 43,2 21,6 0,5 

 Secundaria 19,0 32,5 42,1 6,3 

  Primaria 27,6 57,9 14,5 

   Tabla 23 

 

Casi podemos decir lo mismo de los resultados del cuestionario pasado 

a los alumnos de cuarto curso de Secundaria, donde después de tres cursos 

trabajando en el nivel tres, solamente el 6,3% de los alumnos han superado 

dicho nivel. En términos cualitativos y cuantitativos este resultado es peor que 

el de Primaria, pero no es independiente de lo dicho anteriormente. Es decir, el 

bajo porcentaje de alumnos que al final de la Enseñanza Secundaria ha 

superado el nivel tres, está relacionado sin duda, con la rémora que arrastran de 

la etapa anterior. De esta forma, durante los cursos de Educación Secundaria el 

42,1% de los alumnos han conseguido superar el nivel dos rebajando 

sustancialmente el pico del 57,9% del nivel uno que existía al final de la 

Educación Primaria, en lugar de crecer del nivel dos al nivel tres de 

razonamiento de van Hiele. Un logro importante en esta etapa ha sido el reducir 

los alumnos que están en el nivel cero del 27,6% al 19%. No obstante, el hecho 

de tener casi el 20% de los alumnos en el nivel cero al final de la Educación 



Florencio López de Silanes 

 

766 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Secundaria, va marcar a estos uno de cada cinco alumnos para no poder realizar 

estudios de geometría. 

 

 

Gráfico  40 

El resultado que aporta la etapa de Bachillerato está en el nivel tres, 

donde los alumnos que han superado este nivel pasan del 6% al 21%, es decir se 

han multiplicado por tres. También crece discretamente durante esta etapa el 

porcentaje de alumnos que supera el nivel dos pasando del 42,1% al 43,2%. 

Pero el hecho de que en el perfil de los alumnos que terminan el Bachillerato 

tengamos que su característica es que la mayoría de ellos han superado 

solamente el nivel dos de van Hiele es muy pobre, ya que es una etapa de dos 

cursos durante los que se trabaja en el nivel cuatro de razonamiento de van 

Hiele. Al final de esta etapa se ha conseguido reducir el número de alumnos que 

no han superado el nivel uno, o que tienen unos conocimientos 

desestructurados de la geometría a casi el 6%; pienso que este porcentaje de 

alumnos se sitúa en la segunda de las dos hipótesis anteriores. 

En el gráfico de barras precedente (40) podemos observar cómo 

disminuye el porcentaje de alumnos en los niveles cero y uno cuando crecemos 

en las etapas educativas, y cómo aumenta el porcentaje de alumnos que han 

superado los niveles dos y tres al crecer en estas etapas educativas. Es muy 

simbólico el bajo porcentaje de alumnos de Bachillerato que han conseguido 

superar el nivel cuatro. 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  767 

 

 

 

Gráfico  41 

Si deseamos globalizar los resultados obtenidos en las etapas de 

Primaria, Secundaria y Bachillerato frente a los niveles que presuntamente 

debieran alcanzarse a lo largo de ellas, esto estaría representado en el gráfico 

41 de barras, donde las barras rojas representan el nivel en que se trabaja en 

cada curso académico, mientras que las barras azules representan el nivel de 

van Hiele alcanzado por los alumnos en dichos cursos. Vemos que la diferencia 

entre los niveles alcanzados y los niveles en que se trabaja son mayores a 

medida que crecen los cursos. Una diferencia de dos niveles en los cursos de 

Bachillerato es inaceptable en términos estadísticos. E incluso, una diferencia de 

un nivel en Bachillerato para ese 21, 6% que ha superado el nivel tres es 

ciertamente pobre. Es decir, que solamente uno de cada cinco alumnos de 

Bachillerato están preparados para seguir, aunque con dificultades y mucho 

trabajo, los estudios universitarios de geometría. 

No debemos olvidar que durante la etapa de Bachillerato y los últimos 

años de ESO existen diferentes especialidades de las que solamente nos vamos 

a fijar en las de "Ciencias" y "Letras". Si comparamos los perfiles de los niveles 

de van Hiele que han superado los alumnos de estas dos especialidades, las 

diferencias cantan a la vista. Pues mientras los alumnos de "Ciencias" presentan 

un máximo en el nivel dos, los de "Letras" lo tienen en el nivel cero, es decir que 

uno de cada tres alumnos de "Letras" o bien no han superado el nivel uno, o 



Florencio López de Silanes 

 

768 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

bien poseen un conocimiento desestructurado de la geometría. Vemos también 

que más del 30% de los alumnos de "Letras" sólo han conseguido superar el 

nivel uno de los de van Hiele, o lo que es lo mismo, del orden del 70% de los 

alumnos de esta especialidad no serían capaces de realizar con éxito cualquier 

estudio de geometría en la Universidad, incluidos los estudios de geometría de 

"Enseñanza Primaria" de la Facultad de Educación. 

 

 

Gráfico  42 

Otro tema que me he planteado es conocer el perfil de van Hiele de los 

alumnos que en la Universidad cursan estudios en la Facultad de Educación. Los 

valores porcentuales de los niveles de razonamiento medidos por nosotros 

correspondientes a los alumnos de Bachillerato y Universidad los mostramos en 

la tabla 24, pero quizá sea más descriptiva su representación gráfica para 

mostrar las diferencias fundamentales entre estos perfiles. 

Etapa N0 N1 N2 N3 N4 N5 

Bachillerato 5,9 28,6 43,2 21,6 0,5 

 Universidad 14,8 38,3 36,7 9,8 0,4 

 Tabla 24 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  769 

 

En la gráfica 43 mostramos el perfil resultado de nuestras medidas para 

los estudiantes de Bachillerato, que muestra que han superado el nivel dos el 

43,2% de los alumnos. Frente a este perfil tenemos el de los alumnos de 

Universidad, que son todos ellos estudiantes de las Facultades de Educación. 

Vemos que, más del doble de estos estudiantes de Universidad quede 

Bachillerato están en el nivel cero. Que el pico del perfil de estos estudiantes 

universitarios está en los alumnos que han superado el nivel uno, presentando 

para el resto de los valores porcentajes por debajo de los correspondientes a los 

alumnos de Bachillerato. Esto es un índice de que estos alumnos universitarios 

presentan por lo general, un perfil bastante bajo en su nivel y en sus 

conocimientos de geometría. 

 

 

Gráfico  43 

 

Si comparamos los perfiles del van Hiele para los alumnos de las dos 

especialidades principales de la Facultad de Educación, es decir, "Magisterio 

Infantil" y "Magisterio de Primaria" podremos apreciar diferencias similares a 

las dos especialidades anteriores (Ciencias y Letras)de los estudios de enseñanza 

media. 

 



Florencio López de Silanes 

 

770 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Gráfico  44 

 

Efectivamente, los perfiles correspondientes a los alumnos de las 

especialidades de "Magisterio Infantil" y "Magisterio de Primaria" que han 

respondido a nuestro cuestionario, son muy diferentes. Pues mientras que los 

alumnos que estudian "Magisterio Infantil" presentan un porcentaje muy alto 

para el nivel cero, y aproximadamente el 45% ha superado el nivel uno mientras 

que son porcentajes inferiores al 20% los que han superado los niveles dos y 

tres puntos, los alumnos de "Magisterio de Primaria" presentan valores más 

bajos para los niveles cero y uno, y casi el 50% de ellos ha superado el nivel dos 

de los de van Hiele. Estos resultados, que no por esperados, hablan claramente 

de las diferencias existentes entre los alumnos de las dos especialidades 

universitarias. 

De todas formas, el perfil de los alumnos de la especialidad de 

"Magisterio de Primaria" es bajo para impartir docencia en la etapa de 

Educación Primaria ya que como vimos anteriormente, entre los cursos segundo 

y sexto de Primaria se trabaja en el nivel dos. Por tanto para estar capacitados 

para impartir enseñanza de geometría en el nivel dos los maestros deberán 

poseer el nivel tres de razonamiento de los de van Hiele. El problema que se 

plantea entonces en las Facultades de Educación es elevar un nivel de 

razonamiento de los de van Hiele a los alumnos que poseen ese perfil.  



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  771 

 

¿Existe algún precedente de hacer crecer a los alumnos un nivel de 

razonamiento durante un curso académico?.  Usiskin menciona los resultados 

que obtuvo durante un curso académico diseñado expresamente para 

incrementar el nivel de razonamiento de los alumnos de enseñanza primaria, 

midiendo su nivel al comienzo del curso, es decir en otoño, y volviendo a medir 

el nivel de razonamiento de los alumnos al final del curso, en primavera. En la 

tabla 25 describimos los datos porcentuales que obtuvo Usiskin aplicando su 

cuestionario a 2170 alumnos en otoño, y de ellos a 1771 en primavera (Usiskin, 

1982: 98, 104 y 105). El experimento de Usiskin se hizo con alrededor de 2700 

alumnos procedentes de 13 High Schools de todo EEUU de diferentes niveles 

socioeconómicos en los cursos 1979-80 y 1980-81. 

 

 

N0 N1 N2 N3 N4 N5 

VHF Otoño 33,5 46,5 15,6 4,3 0,2 0,0 

VHS  Primavera 15,6 25,7 29,0 23,3 6,4 0,0 
Tabla 25 

 

El 33,5% de los alumnos no alcanzaban el nivel uno en otoño, 

reduciéndose este porcentaje al 15,6% al final del curso, es decir el porcentaje 

indeseado del nivel cero se redujo a algo menos de la mitad. De igual modo, el 

porcentaje del 46,5% de los alumnos que habían superado el nivel uno en 

otoño, se redujo al 25,7% en primavera, casi a la mitad. Contrariamente, si en 

otoño solamente habían superado el 15,6% de los alumnos el nivel dos, este 

porcentaje creció al 29% en primavera. Y lo más importante de todo fue el 

crecimiento en el nivel tres que pasó del 4,3% en otoño al 23,3% en primavera. 

Según estos datos, el incremento ponderado del crecimiento del nivel de 

razonamiento en este experimento fue en algo más de un nivel. Vemos de esta 

manera como se transformó la curva puntiaguda sobre el nivel uno del otoño, 

en una curva más achatada recorriendo los niveles uno, dos y tres, es llegando a 

presentar un porcentaje interesante del 6,4% de los alumnos que han superado 

el nivel cuatro. Insistimos en que esto es el resultado de un curso académico 

diseñado explícitamente para incrementar el nivel de razonamiento de los 

alumnos. Nos preguntamos asimismo, cuáles serían los requisitos precisos para 

incrementar el nivel de razonamiento de nuestros alumnos del nivel dos al nivel 

tres. 



Florencio López de Silanes 

 

772 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

 

Gráfico  45 

Pero antes de todo nos ha parecido interesante conocer el perfil de los 

niveles de razonamiento de van Hiele de los profesores para tener una 

referencia. En este sentido, Halat nos proporciona unos datos que consideramos 

interesantes relativos a profesores de Educación Primaria y Secundaria en 

Estados Unidos. Los niveles de razonamiento de estos profesores se obtuvieron 

aplicándoles el cuestionario de Usiskin. 

Participaron en la prueba 281 profesores, de los que 125 (el 44,5%) eran 

de Enseñanza Primaria;  de los que 68 (el 54,4%) fueron mujeres  y 57 (el 45,6%)  

eran varones; y 156 profesores (el 55,5%)  de Enseñanza Secundaria, de los que 

72 (el 46,2%) eran mujeres y  84 (el 83,8%) fueron hombres. Según Hendogat 

Halat que hace referencia a Usiskin. (Halat, 2008). 

 

N0 N1 N2 N3 N4 N5 

Profesores Primaria 7,2 11,2 36,0 44,0 1,6 0,0 

Profesores Secundaria 0,0 21,2 36,5 35,9 4,5 1,9 
Tabla 26 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  773 

 

Los perfiles de ambos grupos de profesores son similares, con la 

salvedad de que todos los profesores de Secundaria han superado el nivel uno, 

y que de ellos, casi un 2% han superado el nivel cinco, mientras que los 

profesores de Primaria presentan un valor significativo en los que no han 

superado el nivel uno, y ninguno ha llegado a superar el nivel cinco. En el resto 

de los niveles los valores son del mismo orden, pero a pesar de ello, los 

profesores de Secundaria presentan un mejor perfil en los niveles de 

razonamiento de van Hiele. 

 

 

Gráfico  46 

 

Procedería ahora comparar el perfil anterior de los niveles de van Hiele 

de de los profesores de Primaria de Estados Unidos, con el de los alumnos de 

segundo curso de Enseñanza Primaria de la Facultad de Formación de 

Profesorado de la UAM, ya que según su currículum, no realizarán más estudios 

de geometría durante sus estudios universitarios. 

La gráfica 47 contrasta el perfil de la gráfica 46 de los Profesores 

Primaria de Estados Unidos con los datos que he obtenido a través del 

cuestionario para los alumnos de segundo curso de Enseñanza Primaria de la 

Facultad de Formación de Profesorado de la Universidad Autónoma de Madrid. 



Florencio López de Silanes 

 

774 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Ambas gráficas aunque tienen la misma forma son muy diferentes. Para 

decirlo de una forma sencilla, la gráfica de los alumnos de Magisterio de 

Primaria de la UAM esta corrida hacia la izquierda un nivel. Según esto, estamos 

produciendo maestros que tienen un nivel de razonamiento más bajo que los de 

Estados Unidos.  

Esto no tendría mayor importancia a no ser porque solamente el 50% de 

los futuros profesores ha superado el nivel dos, y de los que restan solamente el 

35% ha superado el nivel uno y de los que quedan, el 12% no ha superado el 

nivel uno. Todo esto para unos profesores que van a tener que trabajar 

habitualmente con materiales didácticos y actividades de geometría que se 

encuadran en el nivel dos de razonamiento de los de van Hiele. 

 

 

Gráfico  47 

La conclusión es que los alumnos de segundo curso de Educación 

Primaria de la Facultad de Profesorado de la UAM necesitan incrementar un 

nivel de razonamiento para poder realizar con garantías una docencia con 

materiales didácticos del nivel dos, según los requisitos curriculares vigentes, o 

para equipararse a los profesores como los de otros países. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  775 

 

13.12.- Apéndice A. Listado de las respuestas al cuestionario 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

776 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  777 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

778 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  779 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

780 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  781 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

782 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  783 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

784 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  785 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

786 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  787 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

788 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  789 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

790 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  791 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

792 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  793 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

794 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  795 

 

13.13.- Apéndice B. Listado de los aciertos en el cuestionario 

 



Florencio López de Silanes 

 

796 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  797 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

798 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  799 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

800 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  801 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

802 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  803 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

804 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  805 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

806 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  807 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

808 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  809 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

810 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  811 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

812 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  813 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

814 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  815 

 

 

13.14.- Apéndice C. Listado de los criterios superados y del nivel de 

razonamiento de van Hiele obtenido en el cuestionario 

 



Florencio López de Silanes 

 

816 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  817 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

818 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  819 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

820 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  821 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

822 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  823 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

824 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  825 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

826 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario de Usiskin 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  827 

 

 

 

 



 

 

 

 



Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  829 

 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 14 

 

MEDIDA DE LOS NIVELES DE RAZONAMIENTO DE VAN HIELE APLICANDO 

EL CUESTIONARIO DE AUTOVALORACIÓN A ALUMNOS UNIVERSITARIOS 

 

14.1.- Introducción y objetivos del estudio e investigación 

El cuestionario que llamamos de “Autovaloración”, es el más antiguo de 

los utilizados en este trabajo. Ya en el trabajo del DEA analizamos los resultados 

de algunos de los alumnos que cumplimentaron este cuestionario. Pero el 

análisis que allí realizamos no tenía la perspectiva de este capítulo, ni la 

metodología que aquí seguiremos. Los trabajos que realizaremos a continuación 

son de un nivel muy superior al que entonces hicimos, y asimismo, 

normalizaremos los resultados obtenidos mediante el “Cuestionario de 

Autoevaluación”, para que puedan ser comparados con los resultados 

obtenidos por otros cuestionarios, como por ejemplo, el “Cuestionario de 

Usiskin”, (Usiskin, 1982). 

En primer lugar cabría señalar que todos los alumnos que respondieron 

al “Cuestionario de Autoevaluación” conocían el modelo de van Hiele, y que a 

los 236 alumnos que cumplimentaron este cuestionario, les expliqué las 

características del modelo de van Hiele, dentro de las clases ordinarias de 

matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid. 

El Cuestionario de Autoevaluación con que trabajamos en este capítulo, 

se presentó a los alumnos bajo la forma de dos modalidades diferentes como: 

La tetrackis es el conjunto  

de los cuatro números  

cuyas razones representan 

los acordes musicales esenciales. 
 

Delatte. Estudios sobre  

la literatura pitagórica 



Florencio López de Silanes 

 

830 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

- Cuestionario de Geometría. Designamos con este nombre al cuestionario 

cuyas preguntas versan sobre temas generales de geometría, bien 

estudiadas en el currículo de Enseñanza Media, o bien sean trabajadas en 

los programas de geometría de las asignaturas de matemáticas 

integrados en los cursos de las Facultades de Educación. Con este 

cuestionario trabajamos en el capítulo 10 de esta memoria, así como en 

el informe del DEA. Esta modalidad de cuestionario es por otra parte, el 

cuestionario referencial dentro de la metodología de los Cuestionarios de 

Autoevaluación. El Cuestionario con la modalidad de Geometría propone 

18 preguntas relativas a la geometría general, ver Apéndice C. 

- Cuestionario de Medida. Uno de los objetivos asociados a la Geometría 

es realizar Medidas, tal y como indica el propio nombre de "Geometría". 

Las medidas a que hace referencia este cuestionario son las medidas de 

campo con una orientación didáctica y docente. En este cuestionario se 

proponen 11 preguntas relativas a los conceptos de medida y a las 

técnicas y principios básicos de las medidas realizadas, por ejemplo, en el 

campus universitario, en el parque, en el entorno urbano... La forma en 

que se plantean las preguntas es la misma que en el cuestionario 

anterior, y solamente varían la temática y el número de preguntas entre 

ambos cuestionarios, ver Apéndice D. 

De esta manera, se aplicaron los cuestionarios anteriores a 236 alumnos 

de la Facultad de Formación de Profesorado de la Universidad Autónoma de 

Madrid. De los que 251 realizaron el Cuestionario de Geometría, de los que 55 

de estos cumplimentaron también el Cuestionario de Mérida. El análisis de las 

respuestas de los 236 alumnos a los 306 cuestionarios es el objetivo del 

presente capítulo. Puede llamar la atención que el número de cuestionarios sea 

mayor al de alumnos, lo que pone de manifiesto que algunos han contestado a 

varios cuestionarios como indicaremos a continuación. 

Posteriormente analizaremos el comportamiento de los Niveles de 

Razonamiento obtenidos en los Cuestionarios de Autoevaluación, con las 

mismas variables estadísticas que en el capítulo anterior. Pero en este caso, al 

ser la UAM un centro de titularidad pública, la dependencia de los resultados 

respecto de la titularidad del centro educativo lo realizaremos respecto a la 

titularidad del centro en que realizaron sus estudios de Bachillerato, o 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  831 

 

Secundaria. De esta forma, veremos si la titularidad del centro de enseñanza 

media tiene o no influencia en el nivel alcanzado por los alumnos, ya que no han 

realizado más estudios de geometría hasta la aplicación de este cuestionario, 

que los cursados en dichas etapas por la mayoría de estos alumnos.  

De la misma forma, cuando analicemos los resultados desde el punto de 

vista de los estudios de "Ciencias" o "Letras", nos referiremos al tipo de 

Bachillerato realizado por los alumnos en su centro de enseñanza media. 

Una parte importante de los alumnos que cumplimentaron estos 

cuestionarios cursaron la asignatura Matemáticas y su Didáctica II, 

correspondiente al segundo curso de "Educación Primaria", mientras que otros 

alumnos proceden de la especialidad de "Educación Infantil", que no estudian 

en la Universidad geometría salvo algunos de sus contenidos de tipo topológico. 

Esto nos va a permitir también diferenciar los resultados entre ambos grupos de 

alumnos. 

Un caso particular son los alumnos de la asignatura "Geometría 

Sagrada" que han realizado este cuestionario. Esta asignatura tenía el carácter 

de “propuesta específica” para todos los alumnos de la Universidad. No se ha 

impartido desde el curso 2009 como consecuencia de la aplicación de los planes 

de estudios de Bolonia. A partir del próximo curso, se continuará impartiendo 

esta área de conocimiento dentro de las asignaturas de “libre elección”. A las 

clases de Geometría Sagrada concurrieron a alumnos procedentes de las más 

diversas Facultades o Escuelas de la UAM. Solamente hemos podido realizar el 

Cuestionario de Geometría a unos pocos alumnos del curso 2008-2009 de 

Geometría Sagrada. 

A continuación mostramos los programas oficiales de las asignaturas 

“Matemáticas y su didáctica II” correspondiente a los estudios de Magisterio en 

la especialidad de Educación Primaria en la Facultad de Formación del 

Profesorado de la UAM; y “Geometría Sagrada” de “Oferta Específica” para toda 

la UAM. 

 



Florencio López de Silanes 

 

832 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.2.- Matemáticas y su Didáctica II, y el estudio de la geometría 

 

La asignatura Matemáticas y su Didáctica II se cursa en segundo curso 

de la especialidad de Educación Primaria dentro de los estudios de la Facultad 

de Formación del Profesorado de la Universidad Autónoma de Madrid, tiene por 

objeto entre otros, la revisión de los conocimientos de geometría de los 

alumnos para sistematizarlos dentro de un nivel tres de razonamiento de van 

Hiele. Esta asignatura obligatoria es de seis créditos. Recordemos aquí que el 

nivel tres es el que debieran alcanzar los alumnos al terminar los estudios de 

Secundaria. Recordemos también que, en la etapa de Educación Primaria, los 

alumnos entre 6 y 12 años trabajan la geometría en el nivel uno y en el nivel dos 

de van Hiele. 

Desde este punto de vista, si los futuros Profesores de Educación 

Primaria fuera capaces de manejar la geometría habiendo superado el nivel tres 

de van Hiele, y conocieran los recursos didácticos propios de esta materia, 

estarían en condiciones óptimas para formar a los alumnos entre 6 y 12 años en 

la etapa de Educación Primaria. 

Los contenidos específicos del programa oficial de esta materia en la 

Universidad Autónoma de Madrid son: 

1. INTRODUCCIÓN. Historia de la evolución de los conceptos geométricos 

y aparición de las distintas geometrías. Repercusiones en la didáctica de 

esta disciplina.  

2. GEOMETRÍA ELEMENTAL DEL PLANO. Plano, rectas y puntos. 

Semirrectas y segmentos. Ángulos. Paralelismo y perpendicularidad. 

Polígonos. Áreas. Sugerencias didácticas.  

3. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. Circunferencia. Posiciones relativas. 

Arcos y ángulos en la circunferencia. Longitud de la circunferencia. Áreas 

de figuras circulares. Sugerencias didácticas.  

4. RELACIONES MÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO. Teorema de Thales. 

Aplicaciones. Semejanza de triángulos. Teorema de Pitágoras. 

Aplicaciones. Sugerencias didácticas.  

5. GEOMETRÍA ELEMENTAL DEL ESPACIO. Puntos, rectas y planos. 

Semiespacio. Figuras convexas y cóncavas. Diedros, medida y 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  833 

 

propiedades. Poliedros. Superficies y cuerpos de revolución. Áreas y 

volúmenes. Sugerencias didácticas.  

 6. LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA Y LA MEDIDA EN PRIMARIA. 

Análisis del desarrollo de la geometría en el currículum de Primaria. 

Materiales y recursos didácticos. Actividad matemática. Resolución de 

problemas geométricos. Concepto de medida. Medida en geometría.  

 

Estos temas están orientados a estructurar los conocimientos de los 

alumnos que ya debieran traer aprendidos y estructurados de sus estudios de 

Secundaria y Bachillerato. La falsedad de este supuesto hace que se dediquen 

más esfuerzos a la vertiente conceptual que la metodológica. En este capítulo 

veremos además el nivel de razonamiento real de los alumnos, y los problemas 

para que alcancen el deseado nivel tres de van Hiele. 

 

14.3.- Geometría Sagrada 

 

Comenzamos nuestra andadura con la “Geometría Sagrada” 

impartiéndola conjuntamente con la Geometría Recreativa, para hacerse frente 

a las reticencias de las autoridades académicas universitarias, que no veían clara 

la ubicación de esta materia, y si tenía o no contenidos religiosos. Pero yo he 

persistido siempre en mantener el nombre estricto nombre de una disciplina 

que cuenta en su haber con más de 5000 años de historia. Puedo comentar 

también, que raro es el año que al principio de curso no se persone en el aula 

algún alumno preguntando si es aquí donde se estudia religión. 

Durante tres cursos académicos en que oferté la asignatura con el 

nombre "Geometría Recreativa y Geometría Sagrada",  como una asignatura de 

Oferta Específica, es decir, una asignatura que se oferta a todos los alumnos de 

la Universidad, con 4,5 créditos que les computan para su carrera, con 

independencia de que sean estudiantes de Ciencias, Historia, Psicología, 

Medicina, Magisterio... Después de esta andadura, pudimos ofertar al fin la 

asignatura con su nombre propio, "Geometría Sagrada", como asignatura de 

“oferta específica”. Puedo decir que casi todos los años se cubrió el cupo 

ofertado de 40 plazas, con un alumnado muy heterogéneo, no sólo por la 



Florencio López de Silanes 

 

834 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

diversidad de las Facultades o Escuelas de que procedían, sino que más bien por 

la heterogeneidad de sus conocimientos de geometría. 

La convivencia en la misma aula de alumnos de Matemáticas o 

Ingeniería con otros de Letras o Psicología, impartiendo los mismos contenidos, 

es una experiencia cada día más interesante. Aunque pueda parecer difícil, 

todos aprenden lo mismo, con independencia de que los de ciencias estén más 

capacitados para los temas de geometría, que los de letras tengan más 

habilidades para el arte, o los de psicología para los temas humanos, etc. 

Actualmente la asignatura tiene nombre de "Geometría, arte y 

naturaleza" con seis créditos, y de carácter optativo, cuya docencia se imparten 

el primer semestre, en la Facultad de Formación del Profesorado de la 

Universidad Autónoma de Madrid. Pero pensamos en devolverla su carácter de 

asignatura de “oferta específica” para que puedan concurrir los alumnos de las 

diferentes Facultades o Escuelas de la UAM. 

El programa actual de la asignatura tiene los contenidos siguientes: 

1.- Más de 5000 años de historia. 

2.- La armonía de los segmentos. Las series aritméticas de Fibonacci. La 

serie geométrica de las armonías. El maestro de Carabanchel. 

3.- La armonía de los polígonos. La catedral de Toledo. 

4.- La armonía de los poliedros. Compostela. 

5.- La armonía de las esferas. La escuela pitagórica. 

6.- La armonía del cosmos. El templo de Salomón.  

7.- Uso de las técnicas de la Geometría Sagrada.  

 

En el tema 2 incluimos uno de los temas desarrollados por mi "La serie 

de los números de la armonía, o también serie de Silanes” como el desarrollo de 

mi fórmula de los números de la armonía. También enseño a construir 

geométricamente el número de oro, tal y como yo lo hago, qué es un método 

muy sencillo, y diferente a otros que pueden encontrar en la bibliografía 

especializada. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  835 

 

14.4.- Metodología 

De los 471 alumnos universitarios que respondieron a los diversos 

cuestionarios, como se indica en la tabla 1, solamente 236 realizaron el 

“Cuestionario de Autoevaluación”, bien en la modalidad de Geometría o bien en 

el modo de Medida. Las referencias de los grupos de alumnos de esta tabla y del 

resto del capítulo, indican en primer lugar la Universidad (UAM o UCM), a 

continuación el curso dentro de la facultad seguido de la especialidad (1PRI 

indica primer curso de Primaria, 2INF indica segundo curso de Infantil), le sigue 

el turno de Mañana o Tarde (MAÑ, TAR), y finalmente, se hace referencia al año 

del curso académico en que cursaron dichas enseñanzas. 

 

Alumnos que han participado en los cuestionarios 

Centro Grupo Total 

UAM UAM_1PRI_TAR_2010 91 

  UAM_2INF_TAR_2010 49 

  UAM_2PRI_MAÑ_2009 47 

  UAM_2PRI_MAÑ_2010 77 

  UAM_2PRI_TAR_2009 69 

  UAM_2PRI_TAR_2010 50 

  UAM_SACRA_2008 29 

Total UAM   412 

UCM UCM_2INF_MAÑ_2010 59 

Total UCM   59 

Total   471 

Tabla 1  

La distribución de los 236 alumnos que realizaron estos cuestionarios la 

tenemos en la tabla 2. Para cuadrar el número de alumnos con el de 

cuestionarios y con los grupos académicos hemos de tener en cuenta las 

siguientes consideraciones. De los 50 alumnos del grupo UAM_2PRI_TAR_2010, 

34 realizaron el Cuestionario de Problemas, 31 que el de Autoevaluación en la 

modalidad de Geometría, y 49 el Cuestionario de Usiskin. 

De los 91 alumnos del grupo UAM_1PRI_TAR_2010, 81 hicieron el 

cuestionario de Geometría, y al curso siguiente 36 de ellos complementaron el 

Cuestionario de Usiskin, cuando estudiaban segundo curso con la referencia 

nuestra de UAM_2PRI_TAR_2010_BOLONIA. 

 



Florencio López de Silanes 

 

836 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Alumnos que han participado en los cuestionarios 

Cuestionario Tema Grupo Total 

Autovaloración Geometría UAM_1PRI_TAR_2010 91 

  

 

UAM_2PRI_MAÑ_2009 47 

  

 

UAM_2PRI_TAR_2009 69 

  

 

UAM_SACRA_2008 29 

  Total Geometría   236 

Tabla 2 

 

De la misma manera, de los 69 alumnos del curso 

UAM_2PRI_TAR_2009, 53 realizaron el cuestionario de Problemas, 47 el de 

Geometría, y además, de este curso salieron también los 55 cuestionarios de 

Medida. 

 

Alumnos que han participado en los cuestionarios 

Centro Cuestionario Grupo Especialidad Total 

UAM Autovaloración UAM_1PRI_TAR_2010 M_Primaria 91 

    UAM_2PRI_MAÑ_2009 M_Primaria 47 

    UAM_2PRI_TAR_2009 M_Primaria 69 

    UAM_SACRA_2008 Ciencias 2 

      Económicas 1 

      Esc. Superior Politécnica 1 

      Profesorado y Educación  14 

      Psicología 11 

    Total UAM_SACRA_2008 

 

29 

  Total Autoval     236 

  Usiskin UAM_2INF_TAR_2010 M_Infantil 49 

    UAM_2PRI_MAÑ_2010 M_Primaria 77 

    UAM_2PRI_TAR_2010 M_Primaria 50 

  Total Usiskin 

  

176 

Total 

UAM       412 

UCM Usiskin UCM_2INF_MAÑ_2010 M_Infantil 59 

Total UCM       59 

Total       471 

Tabla  3  

Con esto solapes entre los cursos, grupos de alumnos y cuestionarios, 

tenemos plenamente justificados los cuestionarios realizados por alumnos del 

entorno universitario. En las etapas de Primaria, Secundaria y Bachillerato, 

aplicamos solamente un cuestionario a cada alumno, por lo que en éstas 

coincide el número de cuestionarios con el de alumnos. Mientras que, como ya 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  837 

 

hemos indicado, a algunos alumnos universitarios se les ha aplicado más de un 

cuestionario, por lo que el número de cuestionarios en esta etapa es superior al 

de alumnos. 

 

Un caso particular son los alumnos de Geometría Sagrada que en las 

tablas y gráficas se referencia como UAM_SACRA_2008, siguiendo las mismas 

normas de codificación que los otros cursos. La tabla 3 nos muestra además las 

facultades o escuelas en que estuvieron matriculados los 29 alumnos 

encuestados en el curso 2008-2009.  

La tabla 4 nos muestra la distribución de los 306 “Cuestionarios de 

Autovaloración” y los grupos académicos que los cumplimentaron, de los que 

251 son de la modalidad de Geometría, y 55 son de Medida. Debemos de tener 

presente que los 55 cuestionarios de Medida y 69 cuestionarios de Geometría 

proceden de un único grupo, el referenciado como UAM_2PRI_TAR_2009. 

 

Num de cuestionarios  UAM 

Cuestionario Grupo Total 

Geometría UAM_1PRI_TAR_2010 81 

  UAM_2PRI_MAÑ_2009 47 

  UAM_2PRI_TAR_2009 63 

  UAM_2PRI_TAR_2010 31 

  UAM_SACRA_2008 29 

Total Geometría 

 

251 

Medida UAM_2PRI_TAR_2009 55 

Total Medida 

 

55 

Total   306 

Tabla 4  

El mayor número de cuestionarios proceden de la especialidad de 

Educación Primaria como se especifica en la tabla 5. Ya que el 88,4% de los 

cuestionarios de Geometría fueron cumplimentados por alumnos de Educación 

Primaria, al igual que el 100% de los cuestionarios de Medida. 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

838 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Num de cuestionarios   UAM - Educación Primaria 

Cuestionario Grupo Total 

Geometría UAM_1PRI_TAR_2010 81 

  UAM_2PRI_MAÑ_2009 47 

  UAM_2PRI_TAR_2009 63 

  UAM_2PRI_TAR_2010 31 

Total Geometría 

 

222 

Medida UAM_2PRI_TAR_2009 55 

Total Medida 

 

55 

Total   277 

Tabla  5  

Lamentablemente, no todos los alumnos de Geometría Sagrada 

realizaron el Cuestionario de Autoevaluación, por lo que los datos de la tabla 6, 

indica solamente la distribución de los alumnos que realizaron el cuestionario, y 

no de las facultades de que procedían los alumnos de esta asignatura. Estos 

datos los tenemos en nuestro archivo, pero consideramos que no es interesante 

aportarlos aquí, ya que no tienen una relación directa con los resultados de las 

medidas de estos cuestionarios. 

 

UAM -  Geometría Sagrada 

Grupo Facultad Total 

UAM_SACRA_2008 Biología 1 

  Ciencias 1 

  Esc.  Superior Politécnica 1 

  Profesorado y Educación  14 

  Psicología 11 

  Económicas 1 

Total UAM_SACRA_2008   29 

Tabla  6  

Los resultados del Cuestionario de Autoevaluación, tanto en la 

modalidad de Geometría como Medida, se grabaron en dos ficheros con el 

mismo formato que los utilizados para el tratamiento de los datos del 

Cuestionario de Usiskin. Lo único que varió en los ficheros fue el número de 

registros por cuestionario. Se utilizaron 25 registros para el cuestionario de 

Usiskin, 18 registros para él Cuestionario de Autovaloración en la modalidad de 

Geometría, y solamente 11 registros para la modalidad de Medida, todo de 

acuerdo con el número de ítems de cada cuestionario. De esta forma, los 

resultados se grabaron en los ficheros: 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  839 

 

- Fichero de Datos de los Alumnos. Que contiene todos los datos 

personales y académicos que los alumnos especificaron en la hoja de 

respuestas del cuestionario. 

- Fichero de Respuestas del Cuestionario. Este fichero tiene un registro 

para cada uno de los ítems de los cuestionarios, con independencia de 

que se respondiera o no el ítem del cuestionario.  

El cruce entre ambos ficheros se realiza utilizando como claves el campo 

Referencia del alumno, ya que dicho campo es clave en los ficheros anteriores. 

Con los datos de estos ficheros, hemos elaborado el listado de las 

respuestas al Cuestionario de Autoevaluación que mostramos en el Apéndice A. 

El listado muestra las respuestas a los 18 ítems del Cuestionario de Geometría, o 

a los 11 ítems del Cuestionario de Medida, con números comprendidos entre el 

cero y el cinco. El cero o blanco indica que el ítem del cuestionario no ha sido 

respondido, mientras que el número comprendido entre uno y cinco indica el 

nivel de van Hiele con que el alumno se autocalifica en el contenido de dicho 

ítem. 

Con los datos del Apéndice A, se ha construido el listado de los niveles 

que mostramos en el Apéndice B. Donde los contadores C1, C2, C3, C4 y C5 

especifican el número de veces que el alumno se ha auto valorado en los niveles 

de van Hiele del uno al cinco respectivamente. Posteriormente, se realiza la 

media ponderada de los valores contenidos en los contadores anteriores, siendo 

la parte entera de este valor lo que hemos llamado Nivel de Autoevaluación. 

Este último valor se convierte en el nivel de razonamiento de van Hiele con el 

criterio de cuatro aciertos sobre cinco respuestas (VH45) utilizando la fórmula 

que deducimos y admitimos en el capítulo 10. De esta manera en el Apéndice B 

mostramos los niveles de razonamiento de van Hiele (VH45) comparables a los 

obtenidos del Cuestionario de Usiskin en el capítulo precedente. 

Con estos valores de los niveles de razonamiento de van Hiele (VH45) 

trabajaremos en el presente capítulo, y no utilizaremos para nada el nivel que 

hemos llamado de Autoevaluación, ya que este valor no es homologable. 

Hemos de tener presente, que los niveles de van Hiele obtenidos del 

Cuestionario de Autoevaluación tiene solo sentido estadístico, al nivel del grupo 

que se quiera construir, pero no tienen sentido a nivel individual, ya que no 



Florencio López de Silanes 

 

840 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

tenemos certeza de que un alumno en concreto responda con sinceridad o no 

las preguntas del cuestionario. 

Las preguntas planteadas por el “Cuestionario de Autoevaluación en la 

modalidad de Geometría” son: 

1.- Las unidades de volumen y capacidad. Conversión entre ellas. 

2.- Teorema de Thales y semejanza de triángulos. 

3.- Los poliedros. Desarrollo y construcción. Prismas, cilindros, conos y 

pirámides. Áreas y volúmenes. 

4.- Ángulos. Sistema sexagesimal. Operaciones con ángulos. 

5.- Las herramientas de dibujo: Escuadra, cartabón, regla, compás y 

transportador. Utilización. 

6.- Polígonos regulares. Ángulos, perímetros y áreas. 

7.- Poliedros. Clasificación. Caras, aristas y vértices, teorema de Euler. 

Cuerpos platónicos. 

8.- Trazado de la bisectriz, mediatriz, medianas y alturas en un triángulo 

9.- Trazado de un hexágono y sus propiedades: Estrella de seis puntas. 

10.- Concepto de ángulo. Su didáctica. Medida. Formas de medir un 

ángulo. 

11.- Área del triángulo. Fórmula de Herón. 

12.- Longitud de la circunferencia, del arco de circunferencia y de la 

cuerda. 

14.- Medida indirecta de alturas. Método de la sombra. Método de la 

estaca. 

14.- Teorema del coseno. 

15.- Ángulos en una circunferencia: central, inscrito, interior y exterior. 

16.- Teorema de Pitágoras. 

17.- Ángulos en un polígono regular. 

18.- Transformaciones en el plano. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  841 

 

Del mismo modo, las preguntas planteadas por el “Cuestionario de 

Autoevaluación en la modalidad de Medida” son las siguientes: 

 

1.- Medidas de ángulos y de longitudes. 

2.- El teorema de Pitágoras y la medida indirecta de longitudes. 

3.- Estudio en clase de la semejanza de triángulos y la medida indirecta 

de longitudes. 

4.- La medida de objetos alcanzables. 

5.- La medida de objetos inalcanzables y la necesidad de hacer varias 

medidas. 

6.- Preparación de la práctica de medida. 

7.- Soporte a la realización de la práctica de medida en el campo. 

8.- Explicaciones en el campo de la práctica de medida. 

9.- Comprensión de la práctica. ¿Visualizó la semejanza de triángulos para 

medir?. 

10.- La memoria de la práctica. 

11.- Su valoración global de la práctica de medida en campo en 

geometría. 

 



Florencio López de Silanes 

 

842 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.5.- Fiabilidad de los cuestionarios 

  

En el capítulo 10 habíamos estudiado la fiabilidad de los resultados del 

Cuestionario de Autoevaluación para el grupo de alumnos que habrían realizado 

el Cuestionario de Autoevaluación y el Cuestionario de Usiskin. En este apartado 

estudiaremos la fiabilidad de los 306 cuestionarios de autovaloración aplicados 

a 236 alumnos de la Facultad de Formación de Profesorado de la UAM. 

Estudiamos la fiabilidad de los resultados medidos en el cuestionario de 

autoevaluación (Meliá, 2001), como es la repetitividad del resultado al aplicar 

muchas veces el mismo cuestionario a la misma muestra de alumnos. 

Como en el Cuestionario de Autoevaluación las respuestas a cada ítem 

son números comprendidos entre el cero y el cinco, calcularemos solamente el 

Alfa de Cronbach para los cuestionarios aplicados. Recordemos aquí que, el 

valor del coeficiente Alfa de Cronbach está comprendido entre cero y uno 

(Ibídem), siendo más fiable el resultado del cuestionario cuanto más se 

aproxime dicho coeficiente a la unidad. 

Como en este capítulo hemos aplicado el Cuestionario de 

Autovaloración en las formas de "Cuestionario de Geometría" y "Cuestionario 

de Medida", estudiaremos por separado la fiabilidad de los resultados de ambos 

cuestionarios. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  843 

 

14.5.1- Fiabilidad de las respuestas del Cuestionario de Geometría 

 

Al igual que hicimos en el Capítulo 10 de este trabajo, hemos analizado 

la respuestas a los 18 ítems del cuestionario mediante tablas con la misma 

estructura que aquellas que presentamos en dicho capítulo para obtener el 

coeficiente Alfa de Cronbach de las respuestas de los 251 cuestionarios de 

geometría (Meliá, 2001) aplicados a los alumnos de la Universidad Autónoma de 

Madrid. Habiendo obtenido el siguiente resultado: 

Alfa de Cronbach del Cuestionario de Geometría = 0,89878843 

Este valor del coeficiente de fiabilidad que se acerca a 0,9, es un buen 

resultado de la fiabilidad del cuestionario de autoevaluación (Ibídem) en la 

modalidad de cuestionario de geometría. 

Al igual que en estudios procedentes, analizaremos también las 

varianzas de los ítems, que mostramos en la tabla 7. 

 

 

 

Distribución de la Varianza de los ítems  

Ítems 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 

Varianza 1,2 1,4 1,1 1,2 1,5 1,2 1,3 1,5 1,5 1,2 1,5 1,3 1,8 1,7 1,5 1,3 1,4 1,6 

Tabla  7  

 

Vemos en la gráfica 1 la fluctuación de la varianza con respecto a los 18 

ítems del cuestionario de autoevaluación, donde observamos que crece con el 

valor numérico de los ítems, lo que interpretaremos como un ligero crecimiento 

de la desconfianza de los alumnos en las respuestas dadas a medida que crece 

el valor de los ítems. 

En este sentido llama también la atención que los alumnos hayan 

respondido con menos confianza a los ítems: 2, 5, 8, 9, 11, y 13. 

 



Florencio López de Silanes 

 

844 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Gráfico  1  

 

De lo anterior se deriva que de los 18 temas propuestos, los que 

suscitan menor confianza entre los alumnos universitarios de la muestra son: 

- Teorema de Thales y semejanza de triángulos. 

- Las herramientas de dibujo: Escuadra, cartabón, regla, compás y 

transportador. Utilización. 

- Trazado de la bisectriz, mediatriz, medianas y alturas en un triángulo 

- Trazado de un hexágono y sus propiedades: Estrella de seis puntas. 

- Área del triángulo. Fórmula de Herón. 

- Medida indirecta de alturas. Método de la sombra. Método de la estaca. 

 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  845 

 

14.5.2- Fiabilidad de las respuestas del Cuestionario de Medida 

 

 La misma metodología ha sido seguida en el análisis de la fiabilidad de 

las respuestas de los 55 cuestionarios de Medida aplicados al mismo número de 

alumnos (Meliá, 2001). Con dicho análisis determinamos que el coeficiente de 

fiabilidad calculado es: 

Alfa de Cronbach del Cuestionario de Medida = 0,89950011 

Este coeficiente que casi alcanza el valor 0,9 entendemos que es un 

buen coeficiente de fiabilidad (Ibídem) para la respuestas al cuestionario de 

medida. 

 

 

Distribución de la Varianza de los ítems  

Ítems 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 

Varianza 1,5 1,4 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,1 1,4 1,2 1,2 

Tabla  8  

 

La tabla 8 muestra el cálculo de la varianza de dos 11 ítems del 

Cuestionario de Medida aplicado. Estas varianzas las hemos representado en la 

gráfica 2, donde vemos que su valor desciende ligeramente a medida que crece 

el número de ítems, o lo que es lo mismo, que en general los alumnos fueron 

ganando confianza a medida que respondían al Cuestionario de Medida. 

 



Florencio López de Silanes 

 

846 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Gráfico  2  

 

Observamos de la misma forma, que el ítem 8 (Explicaciones en el 

campo de la práctica de medida) fue el respondido con mayor confianza, 

mientras que los ítems 1 y 9 fueron los que más desconfianza suscitaron en los 

alumnos (Medidas de ángulos y de longitudes. Comprensión de la práctica. 

¿Visualizó la semejanza de triángulos para medir?). 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  847 

 

14.6.- Estudio de los resultados de los cuestionarios  aplicados 

 

En este apartado procederemos al estudio de los resultados de los 

cuestionarios aplicados. Recordemos aquí que se ha aplicado el Cuestionario de 

Autoevaluación con dos modalidades diferentes: 

- Cuestionario de Autoevaluación con la modalidad de Geometría, que 

consta de 18 ítems de geometría general. 

- Cuestionario de Otorgación con la modalidad de Medida, que se ha 

aplicado con 11 ítems relativos a las medidas geométricas de campo. 

Estudiaremos el comportamiento de las distribuciones de los alumnos 

sobre los niveles de razonamiento de van Hiele, medidas en valores relativos, es 

decir, en porcentajes, para poder homologarlas con otros resultados. 

 

14.6.1.- Distribución de los resultados por el tema del cuestionario 

aplicado 

La tabla 9 presenta los niveles de van Hiele obtenidos por todos los 

cursos a los que se ha aplicado el Cuestionario de Autoevaluación, mostrando el 

porcentaje de alumnos asignados a cada uno de los niveles de van Hiele, según 

la autovaloración realizada por los propios alumnos, y reducida por nosotros al 

nivel de razonamiento equivalente al criterio estándar de cuatro aciertos sobre 

cinco preguntas. 

 

Cuestionario Curso N1 N2 N3 N4 N5 Total  

Geometría UAM_1PRI_TAR_2010 16 80 4,3 0 0 100 

  UAM_2PRI_MAÑ_2009 21 79 0 0 0 100 

  UAM_2PRI_TAR_2009 12 82 5,3 0 0 100 

  UAM_2PRI_TAR_2010 6,8 88 5,1 0 0 100 

  UAM_SACRA_2008 16 78 6,1 0 0 100 

Total Geometría 15 81 4,1 0 0 100 

Medida UAM_2PRI_TAR_2009 12 76 12 0 0 100 

Total Medida 

 

12 76 12 0 0 100 

Total   14 80 5,5 0 0 100 

Tabla  9  



Florencio López de Silanes 

 

848 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

La primera visión de los resultados nos la proporciona la modalidad del 

cuestionario aplicado de autoevaluación, es decir, los que denominamos 

"Cuestionario de Geometría" o "Cuestionario de Medida". Aunque los 55 

alumnos que realizaron el "Cuestionario de Medida" es una parte del grupo 

UAM_2PRI_TAR_2009, existe una ligera diferencia entre los resultados de 

ambos cuestionarios que se aplicaron a alumnos del mismo grupo, como puede 

apreciarse en la tabla 9, particularmente en los valores correspondientes a los 

niveles dos y tres. No obstante, el comportamiento de ambas distribuciones es 

el mismo. 

 

 

Gráfico  3  

La gráfica 3 nos muestra el resultado global de ambas modalidades de 

cuestionarios. Salvo ligeras diferencias, el comportamiento de ambas 

distribuciones es tan similar que no merece la pena resaltar las diferencias. Así 

podríamos decir que, los resultados obtenidos por la aplicación del Cuestionario 

de Autoevaluación en las modalidades de  Geometría y Medida son idénticos. 

La misma apreciación es válida cuando observamos la distribución de 

los niveles de van Hiele para los cinco grupos de la Universidad Autónoma de 

Madrid a quienes que se aplicó el cuestionario en su modalidad de "Geometría", 

según puede observarse en la gráfica 4. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  849 

 

 

Gráfico  4  

Aunque el mejor resultado corresponde al grupo UAM_2PRI_TAR_2010, 

las distribuciones del resto de los grupos siguen la misma tendencia con 

pequeñas oscilaciones en los niveles uno, dos, y tres. 

Podríamos pensar que los resultados obtenidos por los alumnos de 

"Geometría Sagrada" (UAM_SACRA_2008) pudieran haberse diferenciado de los 

demás, por el hecho de incorporar en este curso alumnos procedentes de 

diversas Facultades de la Universidad Autónoma de Madrid, sin embargo, a 

pesar de haber obtenido el mayor nivel en el nivel tres, los resultados de los dos 

niveles anteriores están en el margen de los de los otros cursos. Por otra parte, 

a pesar de que tuvimos un alumnado muy variado, entre los alumnos que 

realizaron el cuestionario predominaban los de la Facultad de Formación del 

Profesorado, tal como expusimos en el segundo apartado de este capítulo. 

 



Florencio López de Silanes 

 

850 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Gráfico  5  

La gráfica 6 muestra la distribución de los porcentajes de los niveles de 

van Hiele obtenidos en el Cuestionario de Autovaloración en la modalidad de 

Medida, que arroja unos resultados comparables a los del cuestionario de la 

modalidad de Geometría. 

 

Gráfico  6  



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  851 

 

14.6.2.- Distribución de los resultados por el curso o grupo 

El Cuestionario de Autovaloración se aplicó tanto a alumnos de primer 

curso como de segundo de la especialidad de Educación Primaria de la Facultad 

de Profesorado de la Universidad Autónoma de Madrid. Los alumnos del primer 

curso no habían realizado ningunos estudios de geometría en dicha facultad, 

mientras que a los alumnos de segundo curso el cuestionario les fue aplicado al 

comienzo del curso de geometría (Matemáticas y su didáctica II), por lo que en 

principio no debiera existir una diferencia funcional entre los resultados de los 

alumnos de ambos cursos. 

 

Gráfico  7  

Las gráficas 7 y 8 muestran la veracidad de esta afirmación, ya que el 

comportamiento de las cuatro distribuciones es el mismo y presenta valores 

similares. 

 

Gráfico  8  



Florencio López de Silanes 

 

852 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.6.3.- Distribución de los resultados con la Titularidad del Último 

Centro en que cursaron Enseñanza Media 

En el formulario del cuestionario pedimos a los alumnos que nos 

aportaran datos sobre el centro educativo en que cursaron estudios antes de 

ingresar en la Universidad que denominamos "Último Centro de Enseñanza 

Media" o también, "Último Centro de Bachillerato", para diferenciarlo en su 

caso del centro que precedió a este, y que denominamos "Penúltimo Centro de 

Enseñanza Media". Las características de estos centros debieran incidir, sin 

duda, en el perfil del alumno. En cuanto al "Último Centro de Enseñanza Media" 

vamos a estudiar solamente la incidencia de su titularidad (Público, Concertado 

y Privado) en la distribución de los niveles de van Hiele de los alumnos, tal y 

como mostramos en la tabla 10. 

 

Cuestionario de Geometría 

Titularidad Centro Enseñanza Media 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Concertado 0 30,4 65,2 4,35 0 0 100 

Privado 7,14 14,3 71,4 7,14 0 0 100 

Público 0,67 25,5 73,2 0,67 0 0 100 

Tabla  10  

La distribución de los porcentajes obtenidos para cada nivel de la tabla 

10 están totalizados la modalidad del cuestionario (Geometría y Medida) y la 

titularidad del centro educativo. 

 

 

Gráfico  9  



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  853 

 

Como puede verse en la gráfica 9 en que representamos los resultados 

obtenidos del Cuestionario de Autoevaluación, la mejor gráfica corresponde a 

los alumnos que cursaron sus estudios de bachillerato en un centro de 

titularidad "Privada" ya que han obtenido el mayor valor para el nivel tres y el 

valor del nivel dos casi alcanza al de titularidad Pública, y además presenta el 

menor de los valores en el nivel uno, o si se quiere, en los centros de Titularidad 

Privada donde cursaron estudios los alumnos de nuestra muestra, el porcentaje 

de alumnos que han superado los niveles bajos es mayor que en los centros de 

las otras titularidades. 

Sin embargo, no hay ningún alumno que proceda de un centro privado y 

que haya cumplimentado el Cuestionario de Medida, por lo que para este 

cuestionario solamente podemos comparar los resultados obtenidos por los 

alumnos procedentes de centros concertados o públicos, según indicamos en la 

tabla 11. 

 

Cuestionario de Medida 

Titularidad Centro Estudios Medios 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Concertado 0 21,1 68,4 10,5 0 0 100 

Público 0 18,8 75 6,25 0 0 100 

Tabla  11  

A pesar de que los alumnos de centros Concertados dan un valor de 

cuatro puntos por encima en el nivel cuatro, entiendo que el mejor resultado en 

esta prueba ha sido obtenido por los alumnos procedentes de centros de 

Titularidad Pública, ya que los alumnos que han superado el nivel uno en este 

caso son casi el 81,25%, mientras que sólo casi el 79% de los alumnos 

procedentes de centros de Titularidad Concertada consiguieron superar dicho 

nivel, según mostramos en la gráfica 10. 

 



Florencio López de Silanes 

 

854 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Gráfico  10  

 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  855 

 

14.6.4.- Distribución de los resultados por la Titularidad del Penúltimo 

Centro en que cursaron Enseñanza Media 

Todos los alumnos universitarios que complementaron el Cuestionario 

de autovaloración, proceden de la Universidad Autónoma de Madrid, que es un 

centro de titularidad Pública. A la hora de analizar la incidencia de la titularidad 

del centro en los niveles de razonamiento de van Hiele de los alumnos, 

tendremos que remitirnos a los centros que precedieron a su etapa 

universitaria. El último centro donde cursaron estudios los alumnos antes de la 

etapa universitaria lo analizamos en el apartado precedente. Ahora 

estudiaremos la incidencia en los niveles de razonamiento de los alumnos, del 

centro que precedió al anterior en su carrera educativa, y que hemos 

denominado "Penúltimo Centro de Enseñanza Media". El porcentaje de 

alumnos universitarios que han complementado los datos de este centro ha 

sido más bajo, pero suficiente para tratar de ver la incidencia de la titularidad de 

estos centros en los alumnos, y que mostramos a continuación. 

 

Cuestionario de Geometría 

Titularidad del penúltimo Centro Estudios Medios 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Concertado 3,2 12,9 83,9 0,0 0,0 0,0 100 

Privado 0,0 30,8 69,2 0,0 0,0 0,0 100 

Público 0,9 28,3 69,0 1,8 0,0 0,0 100 

Tabla  12  

 

La tabla 12 nos muestra la distribución de los porcentajes sobre los 

niveles de razonamiento de van Hiele obtenidos por los alumnos según la 

titularidad del penúltimo centro en que cursaron estudios antes acceder a la 

Universidad, para los alumnos que realizaron el Cuestionario de Autoevaluación 

en la modalidad de "Geometría". 

 



Florencio López de Silanes 

 

856 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Gráfico  11  

La gráfica 11 muestra claramente que el mejor resultado en este 

cuestionario fue el obtenido por los alumnos procedentes de centros de 

titularidad "Concertada", ya que casi el 84% de estos alumnos han superado en 

nivel dos, y los valores para los alumnos que han superado el nivel de uno son 

sustancialmente más bajos que el de los alumnos procedentes de centros de 

titularidad privada o pública, cuyo comportamiento es muy similar en este 

aspecto. 

Lo mismo podemos decir para los alumnos que realizaron el 

cuestionario en la modalidad de "Medida", según se muestra en la tabla 13. 

 

Cuestionario de Medida 

Titularidad del penúltimo Centro Estudios Medios 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Concertado 0,0 14,3 71,4 14,3 0,0 0,0 100 

Privado 0,0 25,0 75,0 0,0 0,0 0,0 100 

Público 0,0 21,4 67,9 10,7 0,0 0,0 100 

Tabla  13  

 

Efectivamente, de acuerdo con la gráfica 12 a resaltamos también que 

el mejor comportamiento corresponde a los alumnos procedentes de centros de 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  857 

 

titularidad "Concertada", ya que presentan los valores más altos para los niveles 

tres y dos. 

 

 

 

Gráfico  12  

 

Los alumnos procedentes de centros de titularidad concertada aparte 

de mostrar los valores más altos en los niveles dos y tres, obtuvieron también 

los valores más bajos para el nivel uno. 

 



Florencio López de Silanes 

 

858 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.6.5.- Distribución de los resultados por el sexo de los alumnos 

encuestados 

La influencia del sexo de los alumnos que realizan un cuestionario es 

uno de los parámetros que siempre se estudia. De acuerdo con esta tendencia, 

hemos estudiado la incidencia del sexo en los resultados del Cuestionario de 

Autovaloración en las modalidades de Geometría y Medida. La tabla 14 nos 

muestra la distribución de los porcentajes sobre los niveles de razonamiento de 

van Hiele por el sexo de los alumnos, para el cuestionario en la modalidad de 

Geometría. 

 

Cuestionario de Geometría 

Niveles de Razonamiento y Sexo 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Mujeres 1,09 25,5 71,7 1,63 0 0 100 

Varones 0 26,2 69,2 4,62 0 0 100 

Tabla   14  

La representación gráfica es siempre una buena ayuda para cuantificar 

los resultados, como es el caso de la gráfica 13, donde vemos que los resultados 

son muy similares para ambos sexos. Sin embargo, el porcentaje de los alumnos 

varones que han superado el nivel tres está tres puntos por encima al de las 

mujeres, mientras que el porcentaje obtenido por las mujeres que han superado 

el nivel dos está dos puntos y medio por encima del de los varones. Por lo que 

globalmente, los varones estarían muy ligeramente por encima de las mujeres. 

 

Gráfico  13  



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  859 

 

El comportamiento de las distribuciones por sexo está más claro para 

los alumnos que realizaron el cuestionario la modalidad de Medida, según se 

muestra en la tabla 15. 

 

Cuestionario de Medida 

Niveles de Razonamiento y Sexo 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Mujeres 0 27,9 67,4 4,65 0 0 100 

Varones 0 0 83,3 16,7 0 0 100 

Tabla  15  

 

Aquí los varones que han superado el nivel dos están 26 puntos por 

encima de las mujeres, y también los que han superado el nivel tres están 12 

puntos por encima de los resultados de las mujeres. 

 

 

 

Gráfico  14  

De esta forma, podríamos concluir que los varones obtuvieron mejores 

resultados que las mujeres en el Cuestionario de Autoevaluación. 

 



Florencio López de Silanes 

 

860 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.6.6.- Distribución de los resultados por la Especialidad de los estudios 

de Bachillerato de los alumnos 

Uno de los factores determinantes en los resultados de un cuestionario 

de geometría, como el Cuestionario de Autovaloración, podría ser la 

especialidad (ciencias, letras...) de los estudios de Bachillerato de los alumnos. 

En principio, los alumnos de Ciencias debieran tener mejores resultados que los 

de Letras. Las especialidades que los alumnos estudiaron en Bachillerato las 

hemos agrupado en tres: Ciencias, Letras y Otros, donde hemos agrupado en 

esta última especialidad a todas las que no son ni Ciencias ni Letras, como 

pueden ser el bachillerato de Humanidades, Artes, etcétera. 

Las distribuciones de los porcentajes obtenidos por los alumnos para los 

niveles de razonamiento de van Hiele por las especialidades de bachillerato las 

mostramos en la tabla 16, para el cuestionario de autovaloración en su 

modalidad de Medida. 

 

Cuestionario de Geometría 

Especialidad en Bachillerato 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

CIENCIAS 1,28 19,2 73,1 6,41 0 0 100 

LETRAS 0 26,9 72,2 0,93 0 0 100 

OTROS 1,54 30,8 67,7 0 0 0 100 

Tabla  16  

Como era de esperar, los alumnos de la Especialidad de Ciencias 

obtuvieron mejores resultados al presentar mayor porcentaje de alumnos que 

han superado el nivel tres y el nivel dos, con un porcentaje también menor en el 

nivel uno. Sin embargo, los alumnos de Letras no están muy lejos de dichos 

valores, como sucede para los alumnos de las otras especialidades. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  861 

 

 

Gráfico  15  

 

Los resultados son coherentes con los obtenidos en el cuestionario en la 

modalidad de Medida, como mostramos en la tabla 17. 

 

Cuestionario de Medida 

Especialidad en Bachillerato 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

CIENCIAS 0 14,3 78,6 7,14 0 0 100 

LETRAS 0 16,1 77,4 6,45 0 0 100 

OTROS 0 50 40 10 0 0 100 

Tabla  17  

 

Efectivamente, el porcentaje de los alumnos de la especialidad de 

Ciencias que han superado el nivel tres y el nivel dos es superior al de las otras 

dos especialidades, mientras que además han obtenido el menor porcentaje en 

el nivel uno, lo cual también es favorable. 

 



Florencio López de Silanes 

 

862 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Gráfico  16  

Nos ha llamado la atención los resultados para los grupos de alumnos 

englobados en la clase “Otros” de la especialidad de bachillerato, por presentar 

el mayor porcentaje en el nivel uno. Una curva de distribución de estas 

características sobre los niveles de van Hiele, no es deseable para ningún grupo 

universitario. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  863 

 

14.6.7.- Distribución de los resultados con la Edad de los alumnos 

 

La edad de los alumnos encuestados es el último de los parámetros 

cuya incidencia queremos estudiar para los alumnos que hemos encuestado. 

Para el estudio de la distribución de los niveles de razonamiento de van Hiele 

con la edad, presentamos en la tabla 18 el número de alumnos que han 

superado cada uno de los niveles, o que se encuentran en el nivel cero 

distribuidos por sus edades, y para los cuestionarios con tema "Geometría" y 

"Medida". Presentamos esta tabla donde mostramos los resultados por el 

número de alumnos, para poder excluir aquellas edades que estadísticamente 

no sean significativas, ya que el abanico de edades es un ancho, yendo desde los 

17 a los 51 años.  

Entenderemos por edades no significativas estadísticamente, aquellas 

que agrupen a menos de tres alumnos, o bien al grupo de alumnos que no han 

especificado su edad y que hemos catalogado con las siglas s/n. De esta manera, 

excluimos de nuestro análisis a los alumnos con edades superiores a 30 años, ya 

que son estadísticamente irrelevantes. 

 

Cuestionario de Geometría 

Niveles de Razonamiento y Edad 

Edad N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total Nivel 

17 0 0 100 0 0 0 100 2 

18 4,2 25 71 0 0 0 100 2 

19 0 30 68 2 0 0 100 2 

20 0 33 65 2,3 0 0 100 2 

21 3,1 31 63 3,1 0 0 100 2 

22 0 31 69 0 0 0 100 2 

23 0 27 73 0 0 0 100 2 

24 0 16 79 5,3 0 0 100 2 

25 0 18 82 0 0 0 100 2 

26 0 25 75 0 0 0 100 2 

27 0 40 60 0 0 0 100 2 

28 0 0 100 0 0 0 100 2 

29 0 0 67 33 0 0 100 2 

30 0 50 50 0 0 0 100 2 

Total 0,8 25 71 2,4 0 0 100   

Tabla  18  



Florencio López de Silanes 

 

864 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Excluidos los grupos no significativos en el sentido estadístico, y 

traduciendo los valores anteriores a porcentajes sobre el número total de 

alumnos para cada edad, dispondremos de los datos con los que podremos 

comparar los resultados por edades, y según mostramos en la tabla 19. Si 

asignamos a cada edad el nivel de razonamiento correspondiente al pico de las 

distribuciones por edad de la tabla 19, podemos ver la evolución del nivel de 

razonamiento con la edad de los alumnos. 

La gráfica 17 muestra la distribución por edades de los niveles de 

razonamiento de los alumnos que realizaron el Cuestionario de Autoevaluación 

en la modalidad de Geometría. Puede observarse que es una distribución plana 

sobre la edad para un valor dos del nivel de razonamiento de van Hiele. 

Este resultado podría parecer lógico ya que los cuestionarios los 

complementaron alumnos del primer curso y de segundo curso de Educación 

Primaria de la Facultad de Formación de Profesorado de la Universidad 

Autónoma de Madrid, todos ellos antes de realizar estudios de geometría en 

esta facultad, y por tanto, arrastrando en geometría el nivel de razonamiento 

que traían consigo de sus estudios de Bachillerato. 

 

 

Gráfico  17  

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  865 

 

 

Niveles según las edades de los alumnos 
Cuestionario Edad N0 N1 N2 N3 N4 N5 Alumnos 

Geometría 17 

  

3 

   

3 

  18 1 6 17 

   

24 

  19 

 

15 34 1 

  

50 

  20 

 

14 28 1 

  

43 

  21 1 10 20 1 

  

32 

  22 

 

5 11 

   

16 

  23 

 

4 11 

   

15 

  24 

 

3 15 1 

  

19 

  25 

 

2 9 

   

11 

  26 

 

1 3 

   

4 

  27 

 

2 3 

   

5 

  28 

  

2 

   

2 

  29 

  

2 1 

  

3 

  30 

 

1 1 

   

2 

  31 

  

1 

   

1 

  32 

  

1 

   

1 

  33 

 

1 

    

1 

  34 

  

2 

   

2 

  35 

  

1 

   

1 

  36 

  

1 

   

1 

  38 

  

2 

   

2 

  39 

  

1 

   

1 

  40 

  

1 

   

1 

  42 

  

1 

   

1 

  51 

   

1 

  

1 

  N/C 

  

9 

   

9 

Total Geometría   2 64 179 6     251 

Medida 19 

 

3 6 2 

  

11 

  20 

 

1 6 1 

  

8 

  21 

 

1 5 

   

6 

  22 

 

1 2 

   

3 

  23 

  

5 

   

5 

  24 

 

2 2 

   

4 

  25 

  

4 

   

4 

  26 

  

2 

   

2 

  27 

  

1 

   

1 

  28 

  

3 

   

3 

  33 

  

1 

   

1 

  35 

 

1 

    

1 

  39 

   

1 

  

1 

  42 

 

1 

    

1 

  51 

  

1 

   

1 

  N/C 

 

2 1 

   

3 

Total Medida     12 39 4     55 

Total   2 76 218 10     306 

Tabla  19  

 

La gráfica 18 nos muestra la distribución de los porcentajes de los 

niveles de razonamiento de van Hiele para los alumnos que complementaron el 



Florencio López de Silanes 

 

866 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

cuestionario en la modalidad de Medida para las edades estadísticamente 

relevantes. 

 

Cuestionario de Medida 

Niveles de Razonamiento y Edad 

Edad N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total Nivel 

19 0 27 55 18 0 0 100 2 

20 0 13 75 13 0 0 100 2 

21 0 17 83 0 0 0 100 2 

22 0 33 67 0 0 0 100 2 

23 0 0 100 0 0 0 100 2 

24 0 50 50 0 0 0 100 2 

25 0 0 100 0 0 0 100 2 

26 0 0 100 0 0 0 100 2 

27 0 0 100 0 0 0 100 2 

28 0 0 100 0 0 0 100 2 

Total 0 22 71 7,3 0 0 100   

Tabla  20  

Al igual que en el caso anterior, la distribución de los valores pico de los 

niveles de razonamiento es también plana, para el segundo nivel de 

razonamiento de van Hiele. 

 

 

Gráfico  18  

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  867 

 

14.7.- Validez de los resultados 

 

Hemos estudiado anteriormente la fiabilidad de los resultados medidos 

en el cuestionario de autoevaluación, en el sentido de la repetitividad del 

mismo resultado al aplicar muchas veces el mismo cuestionario a la misma 

muestra de alumnos. En este apartado estudiaremos la validez de los resultados 

analizando si se corresponden o no con los niveles de razonamiento de van 

Hiele de la muestra a la que hemos aplicado con el Cuestionario de 

Autocorrección. 

Para el estudio de la validez de los resultados anteriores, debemos 

contrastarlos en dos sentidos diferentes: 

- Mediante la comparación de los valores de los niveles de razonamiento 

de van Hiele obtenidos por la aplicación de los diversos cuestionarios, o a 

los valores reducidos al formato estándar VH45. 

- El análisis del comportamiento de las distribuciones de los niveles de van 

Hiele obtenidos en los diversos cuestionarios frente a las diferentes 

variables estadísticas que hemos considerado en este trabajo como: 

sexo, especialidad de bachillerato, la modalidad del cuestionario, la 

titularidad del centro de enseñanza media... 

 



Florencio López de Silanes 

 

868 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.7.1.- Comparación de los valores de los niveles de razonamiento 

 

En este apartado analizaremos y compararemos las distribuciones de los 

niveles de van Hiele resultantes de la aplicación de los diversos cuestionarios de 

autoevaluación, así como del cuestionario de Usiskin (Usiskin, 1982). 

Los problemas que puede plantearse a la metodología utilizada en el 

Cuestionario de Autoevaluación se derivan de la veracidad de las respuestas de 

los alumnos. Es lógico que los alumnos encuestados tiendan a sobrevalorarse, a 

decirnos que saben más que lo que realmente saben, a mostrarnos en el 

cuestionario un nivel de razonamiento superior al que tienen. Éste asunto nunca 

nos ha preocupado ciertamente, ya que es matemáticamente tratable como 

vimos en el capítulo 10, donde suministramos la regla o fórmula para convertir 

los valores de los niveles que sean auto arrogaban los alumnos, en sus niveles 

de razonamiento reales. No obstante, siempre hemos admitido que, los 

resultados del cuestionario de autoevaluación son válidos para una muestra 

estadística, y no para un individuo, ya que disponemos de mecanismos para 

realizar la reducción de las medidas a nivel de una muestra estadística, pero no 

a nivel de cada individuo de dicha muestra. 

 

14.7.1.1.- Comparación de los resultados del Cuestionario de 

Autoevaluación con los del Cuestionario de Usiskin para alumnos de 

Educación Primaria de la UAM 

Para el conjunto de alumnos universitarios que realizaron el 

Cuestionario de Autoformación, mostramos en la tabla 21 la correspondencia 

entre los valores suministrados por el cuestionario y los niveles reducidos a los 

valores estándar de VH45. 

 

Niveles de Razonamiento de Autovaloración y VH45 Auto 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

VH45_Autovaloracion 0,0 14,5 81,4 4,1 0,0 0,0 100 

VH_Autovaloración 0,8 4,4 21,1 45,8 25,5 2,4 100 

Tabla  21  



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  869 

 

La gráfica 19 muestra la correlación entre los niveles medios 

directamente del cuestionario de autoevaluación (VH_Autoevaluación) y los 

niveles reducidos a los valores estándar que utilizamos en este trabajo 

(VH45_Autoevaluación). 

 

 

Gráfico  19  

Como se muestra en la gráfica 19, el nivel de razonamiento real de los 

alumnos es un punto inferior al que ellos dicen tener. Como consecuencia de 

ello, los porcentajes que antes estaban distribuidos entre cuatro niveles, pasan 

a distribuirse entre tres, por lo que el valor de pico de las distribuciones de los 

niveles una vez corregidas es sensiblemente superior al de la distribución 

resultante de la medida directa. 

 



Florencio López de Silanes 

 

870 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.7.1.2.- Comparación de los resultados del Cuestionario de 

Autoevaluación con los del Cuestionario de Usiskin para alumnos de 

Educación Primaria de la UAM 

 

Entendemos asimismo que, la distribución que más se ajusta al estado 

de conocimiento de los alumnos es la distribución corregida (Usiskin, 1982). 

Para ahondar más en este asunto, basta que comparemos estos resultados con 

los que obtuvimos al aplicar el Cuestionario de Usiskin a los alumnos de 

Educación Primaria de la Universidad Autónoma de Madrid, y que mostramos 

en la tabla 22. 

 

Niveles de Razonamiento de Autovaloración y del Cuestionario de 

Usiskin 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

UAM_Primaria_Usiskin 12,2 34,6 48,7 3,8 0,6 0,0 100 

VH_Autovaloración 0,8 4,4 21,1 45,8 25,5 2,4 100 

Tabla  22  

Los resultados del cuestionario de Usiskin (UAM_Primaria_Usiskin) 

están un nivel de razonamiento (Usiskin, 1982) por debajo de los obtenidos del 

cuestionario de autoevaluación (VH_Autovaloración), como se muestra en la 

gráfica 20. 

 

 

Gráfico  20  



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  871 

 

Este efecto de corrimiento hacia la izquierda de un nivel se consigue 

perfectamente por el proceso de reducción de las medidas a los valores 

estándar VH45 que deducimos en el capítulo 10. 

 



Florencio López de Silanes 

 

872 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.7.1.3.- Comparación de los resultados reducidos del Cuestionario de 

Autoevaluación (VH45 Auto) con los del Cuestionario de Usiskin para 

alumnos de Educación Primaria de la UAM 

Terminaremos esta sección comparando los resultados reducidos al 

formato estándar VH45 (UAM_Autovaloracion) de la aplicación del Cuestionario 

de Autoevaluación aplicado a los 306 alumnos de la UAM, con los obtenidos por 

el Cuestionario de Usiskin (UAM_Primaria_Usiskin) para los alumnos 

universitarios de Educación Primaria también de la UAM (Usiskin, 1982). 

En la tabla 23 mostramos los porcentajes de estados destrucciones 

pagan los niveles de razonamiento de van Hiele. 

 

Curso N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

UAM_Autovaloracion 0 15 81 4,1 0 0 100 

UAM_Primaria_Usiskin 12 35 49 3,8 0,6 0 100 

Tabla  23  

Observamos la concordancia entre las dos gráficas en la abscisa del pico 

que se produce en el nivel dos, presentando valores muy similares en el nivel 

tres y cuatro. 

 

 

Gráfico  21  



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  873 

 

 

Por otra parte, las medidas realizadas por la aplicación del cuestionario 

de Usiskin suministran valores notables para el nivel cero y el nivel uno, muy por 

encima de los valores aportados por el cuestionario de autoevaluación (Usiskin, 

1982). Lógico por tanto, que el pico de la distribución del cuestionario de 

autoevaluación esté por encima del pico del cuestionario de Usiskin, al 

concentrar en el pico la diferencia entre los valores correspondientes a los 

niveles que están a la izquierda del valor máximo de la distribución resultante 

de la aplicación del cuestionario de Usiskin (Ibídem). 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

874 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.7.1.4.- Nivel de Autovaloración medido, VH45 Calculado y la 

modalidad del Cuestionario 

El siguiente paso estará en verificar si hay coincidencia en los resultados 

del Cuestionario de Autoevaluación para las modalidades de "Geometría" y 

"Medida". En este sentido la tabla 24 nos muestra las distribuciones de los 

porcentajes de los niveles razonamiento de van Hiele, para los niveles medidos 

directamente del cuestionario de evaluación en la modalidad de Geometría (VH 

Autovaloración) y los valores reducidos de dichos niveles de razonamiento al 

formato (VH45 Calculado). 

 

Cuestionario de Geometría 

Niveles de Autovaloración y VH45 Calculado 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

VH45 Calculado 0 21,8 70,9 7,3 0 0 100 

VH Autovaloración 0 7,3 14,5 34,5 36,4 7,3 100 

Tabla  24  

En el caso del cuestionario de Geometría, vemos que presenta el 

máximo en el nivel cuatro con un valor ligeramente superior al del nivel tres, 

pero en cualquier caso, la reducción a los niveles VH45 sigue definiéndose 

claramente con un máximo en el nivel dos. 

 

 

Gráfico  22  



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  875 

 

Las distribuciones para el Cuestionario de Autovaloración en la 

modalidad de Medida, y correspondiente a los mismos niveles que el párrafo 

anterior, lo mostramos en la tabla 25. 

 

Cuestionario de Medida 

Niveles de Autovaloración y VH45 Calculado 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

VH45 Calculado 0,8 25,5 71,3 2,4 0 0 100 

VH Autovaloración 0,8 4,4 21,1 45,8 25,5 2,4 100 

Tabla  25  

Las similitudes de los casos anteriores en el comportamiento de ambas 

distribuciones de los niveles de van Hiele, nos lleva a reafirmarnos en las 

conclusiones precedentes. 

 

 

Gráfico  23  

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

876 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.7.2.- Comportamiento de las distribuciones de los niveles de van 

Hiele. La identidad del comportamiento 

El siguiente paso es verificar si se comportan de la misma forma las 

distribuciones de los niveles de razonamiento de van Hiele obtenidas 

directamente del Cuestionario de Autoevaluación, y las distribuciones de dichos 

niveles de razonamiento reducidas al formato VH45, aunque sea sobre 

diferentes valores de los niveles razonamiento de van Hiele. Si fuera así, 

tendríamos una identidad en el comportamiento de dichas distribuciones, y por 

tanto, las distribuciones de los niveles de razonamiento de van Hiele medidas 

directamente en el cuestionario de autovaloración y las reducidas al formato 

VH45 serían idénticas. Veamos que efectivamente, ambas distribuciones son 

idénticas. 

 

14.7.2.1.- Nivel de Autovaloración medido, VH45 Calculado y Sistema 

Medida 

La tabla 26 nos muestra las distribuciones de los niveles de van Hiele de 

los cuestionarios de Geometría y Medida, con los valores de los niveles de 

razonamiento obtenidos directamente del cuestionario de autovaloración, en 

los niveles reducidos de los valores anteriores. 

 

Nivel de Autovaloración medido, VH45 Calculado y 

Sistema Medida 

  N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Geometría VH45 0,8 25 71 2,4 0 0 100 

Medida VH45 0 22 71 7,3 0 0 100 

Geometría VH Auto 0,8 4,4 21 46 25 2,4 100 

Medida VH Auto 0 7,3 15 35 36 7,3 100 

Tabla  26  

En la gráfica 24 debemos fijarnos en la correspondencia entre las dos 

gráficas del cuestionario de Geometría, y las dos gráficas del cuestionario de 

Medida, en la correlatividad entre ambos pares de distribuciones. 

Pero es más importante apreciar que, el comportamiento de las 

distribuciones de los niveles derivados del cuestionario de autoevaluación, es de 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  877 

 

la misma forma que las distribuciones de los niveles reducidos de los valores 

anteriores. 

 

 

Gráfico  24  

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

878 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.7.2.2.- Sexo, niveles y el sistema de medida de los niveles 

Veamos ahora que el comportamiento de las distribuciones de los 

valores obtenidos directamente del cuestionario de autoevaluación, y las 

distribuciones de los valores reducidos de los anteriores, se comportan de la 

misma forma frente a la variable "sexo de los alumnos" que realizaron los 

cuestionarios. 

 

Sexo y Sistema Medida N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Mujeres VH Auto 2 13 46 104 57 5 227 

Varones VH Auto 

 

2 15 29 26 5 77 

Mujeres VH45 2 59 161 5 

  

227 

Varones VH45 

 

17 55 5 

  

77 

N/C VH Auto 

   

1 1 

 

2 

N/C VH45 

  

2 

   

2 

Tabla  27  

Las tablas 27 y 28 nos muestran las distribuciones de los niveles de 

razonamiento de van Hiele por mujeres y varones, para los valores obtenidos 

directamente del cuestionario de autoevaluación, y las distribuciones obtenidas 

por reducción de los valores anteriores. Mostramos estas distribuciones tanto 

en el número de alumnos como en los porcentajes de los niveles de 

razonamiento sobre el número total de cada distribución, para mostrar que las 

distribuciones de los alumnos que no identificaron su sexo en el cuestionario 

son estadísticamente irrelevantes. De forma que en la gráfica 25 solo 

mostraremos las distribuciones correspondientes a los porcentajes de los 

alumnos que han superado los diferentes niveles de razonamiento de van Hiele 

con valores porcentuales. Aunque son seis las destrucciones mostradas en estas 

tablas, solo estudiaremos cuatro y prescindiremos de aquellas distribuciones 

que son estadísticamente irrelevantes. 

 

Sexo y Sistema Medida N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Mujeres VH Auto 0,9 5,7 20 46 25 2,2 100 

Varones VH Auto 0 2,6 19 38 34 6,5 100 

Mujeres VH45 0,9 26 71 2,2 0 0 100 

Varones VH45 0 22 71 6,5 0 0 100 

N/C VH Auto 0 0 0 50 50 0 100 

N/C VH45 0 0 100 0 0 0 100 

Tabla  28  



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  879 

 

En la gráfica 25 vemos las distribuciones obtenidas directamente del 

cuestionario de autoevaluación. El mejor resultado corresponde a los varones, 

ya que presentan valores más altos en el nivel cuatro y cinco, y valores 

inferiores en los tres niveles más bajos. Todo esto se corresponde con el 

comportamiento de las distribuciones de los valores reducidos que ya 

estudiamos anteriormente, y que están representadas en la zona izquierda de la 

gráfica. 

 

 

Gráfico  25  

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

880 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.7.2.3.- La especialidad de Bachillerato estudiada por los alumnos y el 

sistema de medida de los niveles en el Cuestionario de Autovaloración 

Realizaremos ahora el mismo estudio para la variable estadística 

"especialidad de bachillerato", que recordamos presentaba tres valores: 

Ciencias, Letras y Otros. En la tabla 29 mostramos los valores porcentuales 

correspondientes a las seis distribuciones, tres de derivadas de la medida 

directa del cuestionario de autoevaluación y las otras tres reducidas de los 

valores anteriores. 

Bachiller y Sistema Medida N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

CIENCIAS VH Auto 1,1 5,4 13 41 33 6,5 100 

LETRAS VH Auto 0 5,8 19 44 29 2,2 100 

OTROS VH Auto 1,3 2,7 31 47 17 1,3 100 

CIENCIAS VH45 1,1 18 74 6,5 0 0 100 

LETRAS VH45 0 24 73 2,2 0 0 100 

OTROS VH45 1,3 33 64 1,3 0 0 100 

Tabla  29  

Como cuando estudiamos las tres distribuciones reducidas, los alumnos 

de ciencias presentan la mejor distribución de los valores obtenidos 

directamente del cuestionario de autoevaluación, ya que han obtenido valores 

superiores en los niveles cuatro y cinco, e inferiores en los tres primeros niveles. 

Como entonces, los valores correspondientes a la clase de alumnos Otros son 

los peores, por presentar valores superiores en los tres primeros niveles de 

razonamiento de van Hiele. 

 

 

Gráfico  26  



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  881 

 

 

El comportamiento de las distribuciones reducidas lo realizamos 

anteriormente, y están presentados en la parte izquierda de la gráfica. 

 



Florencio López de Silanes 

 

882 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.4.2.4.- Distribución de los resultados por Titularidad del Centro de 

Enseñanza Media en que estudiaron los alumnos y el sistema de medida 

de los niveles 

Estudiaremos finalmente, que el comportamiento de los dos grupos de 

distribuciones es el mismo, también para la variable "Titularidad del Centro de 

Enseñanza Media" en que estudiaron los alumnos antes de ingresar en la 

Universidad. 

Dicha variable tiene tres valores: Público, Concertado y Privado. De esta 

forma, presentamos la tabla 30 las seis distribuciones con los valores 

porcentuales correspondientes a esta variable estadística. 

Titul Centro EM y Sistema Medida N0 N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Público VH Auto 0,6 3,9 20 45 29 1,7 100 

Concertado VH Auto 0 9,1 19 41 25 5,7 100 

Privado VH Auto 7,1 0 14 50 21 7,1 100 

Público VH45 0,6 24 73 1,7 0 0 100 

Concertado VH45 0 28 66 5,7 0 0 100 

Privado VH45 7,1 14 71 7,1 0 0 100 

Tabla  30  

Al igual que cuando estudiamos las tres distribuciones reducidas, que 

están representadas en la parte izquierda de la gráfica; de las tres distribuciones 

de la derecha, el mejor comportamiento corresponde a los alumnos 

procedentes de centros privados ya que presentan los valores más altos en el 

nivel tres y cinco, y los más bajos en los niveles dos y uno. 

 

Gráfico  27  



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  883 

 

14.8.- Conclusiones 

 

Con anterioridad a trabajar con los cuestionarios de Usiskin para 

determinar los niveles de razonamiento de los alumnos, hicimos cumplimentar 

a los alumnos universitarios que conocían el modelo de van Hiele, el 

cuestionario que denominamos "Cuestionario de Autoevaluación", basado en 

una autovaloración de su nivel de razonamiento. 

En el capítulo 10 de este trabajo, determinamos el procedimiento para 

convertir estos resultados subjetivos del "Cuestionario de Autoevaluación" en 

los niveles de razonamiento estándar VH45 surgidos del "Cuestionario de 

Usiskin" (Usiskin, 1982), aplicando ambos cuestionarios a un grupo determinado 

de alumnos universitarios. Vimos también que el procedimiento diseñado en 

este capítulo ofrecía resultados fiables. Entendimos que la autovaloración de los 

alumnos era muy optimista, y que por tanto debía de corregirse para llevar los 

niveles de razonamiento determinados por el cuestionario de autoevaluación a 

unos valores que se correspondieran con la realidad. 

 

 

Gráfico  28  

 

En el capítulo presente hemos mostrado los resultados de los 306 

cuestionarios de autoevaluación aplicados a 236 alumnos universitarios, y 



Florencio López de Silanes 

 

884 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

hemos reducido los resultados a los niveles VH45 estándar que manejamos en 

el capítulo anterior (Usiskin, 1982). 

En la gráfica 28 comparamos los valores obtenidos en el Capítulo 12 

para los alumnos que cursan Educación Primaria en la UAM, con los resultados 

obtenidos en este capítulo para un conjunto de alumnos diferente y que 

también cursaron estudios de Educación Primaria en la UAM. La coordinabilidad 

entre ambas distribuciones de los niveles de razonamiento es buena, con la 

salvedad de que el modelo derivado del cuestionario de Usiskin desplaza un 

gran número de alumnos hacia el nivel cero mientras que el cuestionario de 

autovaloración no (Usiskin, 1982). Las diferencias existentes entre los niveles de 

ambos modelos se derivan básicamente del hecho anterior. 

La incorporación de estos 306 cuestionarios a los 727 cuestionarios del 

capítulo anterior, hace crecer hasta 1033 el número de cuestionarios aplicados 

para la determinación del nivel de razonamiento de van Hiele. De la misma 

forma la población a aplicamos los cuestionarios para la determinación del nivel 

de razonamiento de van Hiele pasa de 727 a 934 personas. 

 

Cuestionarios Nivel Razonamiento de van Hiele 

Cuestionario Etapa Tema Cuestionario Alumnos 

Ninguno 

  

22 

VHAutoval Universidad Geometría 220 

Total VHAutoval 

  

220 

VHUsiskin Primaria General 152 

  Secundaria General 126 

  Bachillerato General 185 

  Universidad General 229 

Total VHUsiskin 

  

692 

Total     934 

Tabla 31  

Estas dos tablas 31 y 32, muestran la distribución de la población y de 

los cuestionarios que hemos aplicado para la determinación del nivel de 

razonamiento de van Hiele en nuestro trabajo de campo para alumnos de las 

etapas educativas que van desde la Educación Primaria a los estudios 

universitarios. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  885 

 

Cuestionarios de medida Nivel Razonamiento van Hiele 

Cuestionario Etapa Tema Cuestionario Total 

VHAutoval Universidad Geometría 251 

  

 

Medida 55 

Total VHAutoval 

  

306 

Usiskin Primaria General 152 

  Secundaria General 126 

  Bachillerato General 185 

  Universidad General 264 

Total VHUsiskin 

  

727 

Total     1033 

Tabla  32  

Al incorporar los niveles de razonamiento de van Hiele de los 306 

Cuestionarios de Autoevaluación aplicados a los alumnos universitarios, a los 

obtenidos por la aplicación de los 727 Cuestionarios de Usiskin descritos en el 

capítulo anterior, variarán los resultados generales de nuestro trabajo de 

campo. 

De esta forma, la distribución general de los niveles de razonamiento de 

van Hiele obtenidos mediante la aplicación de todos los cuestionarios descritos 

en este trabajo, quedará como se muestra en la tabla 33. Los resultados de esta 

tabla se especifican como el número de alumnos que ha superado los niveles 

determinados o que se encuentran en el nivel cero. 

 

Alumnos y Nieles de Razonamiento  

  No N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Ninguno 

      

22 

Primaria 42 88 22 

   

152 

Secundaria 24 41 53 8 

  

126 

Bachillerato 11 53 80 40 1 

 

185 

Universidad 32 151 237 29 

  

449 

Total 109 333 392 77 1   934 

Tabla  33  

Los datos de las distribuciones expresados en número de alumnos no 

son comparables con otras muestras o con los resultados de otros 

investigadores. Por esta razón los reducimos a los porcentajes mostrados en la 

tabla 34. 

 



Florencio López de Silanes 

 

886 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Alumnos y Nieles de Razonamiento  

  No N1 N2 N3 N4 N5 Total 

Primaria 28 58 14 0 

  

100 

Secundaria 19 33 42 6 

  

100 

Bachillerato 5,9 29 43 22 1 

 

100 

Universidad 7,1 34 53 6 

  

100 

Total 12 36 42 8 0,1 0 100 

Tabla  34  

Observamos que la distribución de los niveles de razonamiento de los 

alumnos de Educación Primaria presenta su valor máximo en el nivel uno, 

donde un 58% de los alumnos han superado dicho nivel. Es importante resaltar 

que el 14% de los alumnos de Primaria han superado el nivel dos al final de 

dicha etapa, mientras que casi un tercio de los alumnos de Primaria no han 

conseguido superar el nivel uno de los de van Hiele. 

Al final de la etapa Educación Secundaria Obligatoria el 42% de los 

alumnos han superado el nivel dos y sólo el 6% consiguieron superar el nivel 

tres de razonamiento de van Hiele. En contrapartida, quedan la tercera parte de 

los alumnos, el 33%, que solamente han superado el nivel uno, que por tanto, 

no han llegado al nivel dos de razonamiento de van Hiele que es el objetivo de 

esta etapa, a esto hay que añadir que más el 19% de los alumnos se han 

quedado sin superar el nivel uno. Esto supone que el 52% de los alumnos no 

han alcanzado el nivel tres de razonamiento, que es el objetivo propuesto para 

esta etapa por el análisis que hicimos de los libros de texto y de los currícula. 

En la distribución de los niveles de razonamiento para los alumnos de 

Bachillerato, observamos que, el valor máximo continúa estando en el nivel tres 

de razonamiento, que aunque posee un valor del 43%, que es sólo ligeramente 

superior al de los alumnos que han finalizado Educación Secundaria, y que el 

22% de los alumnos han superado el nivel tres, los resultados del nivel de 

razonamiento de esta etapa distan mucho de su objetivo (el nivel cuatro) que 

solamente es alcanzado por el 1% de los alumnos. Además, casi el 35% no ha 

conseguido todavía superar adecuadamente el nivel uno de razonamiento, 

permaneciendo en el nivel cero casi un 6% de los alumnos que terminan la 

etapa de Bachillerato. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  887 

 

 

Gráfico  29  

La presentación del nuevo perfil de los alumnos universitarios que han 

realizado todos los cuestionarios para la determinación del nivel de 

razonamiento de van Hiele, no hace sino qué poner las cosas en su punto. 

Efectivamente, la distribución de los niveles de razonamiento de los alumnos 

universitarios encuestados, presenta el mismo perfil que la de los alumnos de la 

etapa de Bachillerato, pero con unos valores más bajos de los niveles de 

razonamiento. Esto quiere decir que, la muestra de alumnos universitarios que 

realizó estos cuestionarios, desde el punto de vista de los niveles de 

razonamiento de van Hiele, se corresponde con un perfil bajo de los alumnos de 

Bachillerato. Pues aunque el 53% han superado el nivel dos, sólo el 6% han 

superado el nivel tres, con un 34% de alumnos que solamente han superado el 

nivel uno, manteniéndose un 7,1% de los alumnos de esta muestra que no han 

alcanzado ni siquiera el nivel uno. 

Estos resultados se representan en el gráfico 29 de prismas resumiendo 

estas situaciones. La lectura de este gráfico tridimensional podemos hacerla 

mirándola desde dos de sus ejes para contemplarlos desde la perspectiva de los 

niveles de razonamiento o de las etapas educativas. 

De esta forma, la gráfica 30 nos muestra el comportamiento de las 

distribuciones de los niveles de razonamiento correspondientes a las cuatro 

etapas. La distribución de las etapas de Educación Primaria y Secundaria se 

corresponde con lo dicho anteriormente, mientras observamos el 

entrecruzamiento de las distribuciones correspondientes a las etapas de 



Florencio López de Silanes 

 

888 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Bachillerato y Universidad, indicando claramente que son de la misma 

naturaleza, pero con valores más bajos para la distribución de los niveles de los 

alumnos universitarios. 

 

 

Gráfico  30    

Es muy interesante analizar el comportamiento de las distribuciones de 

los niveles de razonamiento por etapas que podemos observar en la gráfica 31. 

Vemos que, los alumnos que permanecen en el nivel cero decrecen en las tres 

primeras etapas, llegando a un plateau entre las etapas de Bachillerato y 

Universidad. Algo parecido sucede con la distribución del nivel uno, pero el 

crecimiento de este nivel al pasar de Bachillerato a Universidad indica 

claramente que la muestra universitaria es de calidad más baja que la media de 

Bachillerato. 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  889 

 

 

Gráfico  31  

La distribución de los valores del nivel dos es coherente al crecer 

siempre con las etapas educativas. La distribución del nivel tres crece durante 

las tres primeras etapas educativas, pero la caída de valores entre bachillerato y 

universidad indica nuevamente que la muestra de alumnos universitarios que 

han realizado el cuestionario se corresponde con alumnos de bachillerato con 

un bajo perfil en geometría. 

De esta forma, vemos que los resultados de los niveles de razonamiento 

obtenidos por la aplicación del Cuestionario de Autoevaluación son congruentes 

con los obtenidos del Cuestionario de Usiskin en el capítulo anterior, y 

solamente refuerzan las conclusiones que ya obtuvimos, incidiendo en las 

carencias de los alumnos de la Facultad de Educación, desde el punto de vista 

de sus conocimientos en Geometría. 

 

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

890 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.9.- Apéndice A. Listado de las respuestas al cuestionario 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  891 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

892 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  893 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

894 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  895 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

896 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

14.10.- Apéndice B. Listado de los niveles 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  897 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

898 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  899 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

900 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  901 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

902 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  903 

 

 



Florencio López de Silanes 

 

904 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  905 

 

14.11.- Apéndice C. Cuestionario de Autoevaluación. Modalidad de 

Geometría 

 



Florencio López de Silanes 

 

906 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 



Medida Nivel de Razonamiento. Cuestionario Autovaloración 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  907 

 

14.12.- Apéndice D. Cuestionario de Autoevaluación. Modalidad de 

Medida 

 



Florencio López de Silanes 

 

908 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

 



Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  909 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TERCERA PARTE 

 

 

CONCLUSIONES Y PROPUESTAS 

 

  

Haec est clara  

dies clararum  

clara dierum!. 

 

Haec est festas  

dies festarum  

festa dierum!. 
 

Fulcanelli.  

El misterio de las catedrales 

 





  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  911 

 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 15 

 

CONCLUSIONES GENERALES 

 

Hemos dividido este último capítulo en tres apartados, en el primero 

hacemos referencia a las conclusiones que en este trabajo no han sido citadas 

en capítulos anteriores bien por su naturaleza, o bien porque son generales para 

este trabajo o para el tema en cuestión. Le sigue un apartado relativo a las 

discretas aportaciones que creemos haber realizado para conformar el modelo 

de van Hiele en nuestro sistema educativo de la geometría. Finalizamos con lo 

que creemos que son las recomendaciones válidas para la continuación de este 

trabajo, bien por nosotros mismos o bien por quien quisiera tomar el testigo. 

 

 

15.1.- Conclusiones generales 

 

15.1.1.- Medida en los libros de texto 

Un grupo de investigadores dirigidos por Whitman en 1997 compararon 

los planes de estudios de geometría en Estados Unidos y Japón en relación con 

el modelo de van Hiele. Posteriormente Eleanor Louise Pusey realizó (bajo la 

dirección del Dr. Hollylynne Stohl) una revisión de la literatura de los libros de 

texto de geometría. (Pusey, 2003). Consistía en examinar la utilización del 



Florencio López de Silanes 

912 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

modelo de Van Hiele para describir la evolución del conocimiento en los 

estudiantes de geometría, y las implicaciones que pudiera tener la teoría de Van 

Hiele en los planes de estudios, así como en la formación del profesorado y en 

el trabajo en las aulas. Para ello, Eleanor Louise Pusey tomó como referencia las 

medidas realizadas  por Whitman en los libros de texto de USA y Japón en 1997. 

(Whitman, 1997). 

Con independencia de lo anterior, nosotros estudiamos los libros de 

texto de geometría españoles en las etapas de Educación Primaria, Secundaria y 

Bachillerato, para analizar la distribución de los niveles de razonamiento de van 

Hiele, y las fases de aprendizaje con que se recorren los niveles, a través de las 

actividades educativas propuestas por estos materiales. Los resultados de esta 

investigación los mostramos en el Capítulo 5, así como sus implicaciones en el 

sistema educativo español. 

En la tabla siguiente mostramos la evolución de la distribución 

porcentual de los niveles de razonamiento medidos por Whitman y Pusey en 

Japón y USA para los libros de texto de geometría comprendidos entre Primer y 

Sexto Grado. En la misma tabla exponemos correlativamente las distribuciones 

de los niveles de razonamiento que medimos nosotros en los seis cursos de 

Educación Primaria en España, y que ya comentamos en el Capítulo 5 de este 

trabajo. A juzgar por los valores de los niveles de razonamiento, los seis grados 

de Japón y USA deben corresponderse con los seis cursos de Primaria españoles. 

 

  Japón USA España   
Grado N1 N2 N3 N1 N2 N3 N1 N2 N3 Curso 

1 100 0 0 100 0 0 100     1º Pri 
2 3 95 2 100 0 0 100     2º Pri 
3 0 80 20 93 27 0 26 74   3º Pri 
4 0 82 18 83 17 0 23 77   4º Pri 
5 0 47 53 76 13 0 3 76 21 5º Pri 
6 0 92 8 70 29 1 3 74 23 6º Pri 

         Tabla 1: Niveles de razonamiento en Japón, USA y España. 

 

Aunque los valores de los tres países son muy similares en las tablas, la 

gran diferencia va estar en la distribución de los valores en los niveles de 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  913 

 

razonamiento. Efectivamente, veamos cómo la distribución de los niveles de 

razonamiento configura diferentes modelos de los libros de texto. 

 

 

Gráfica 1. Niveles de Razonamiento. 

En el gráfico 1 vemos la evolución con los cursos o grados de los 

diferentes niveles de razonamiento de van Hiele en que están redactadas las 

actividades de los libros de texto en el Japón. Por los datos suministrados por 

Whitman, vemos que los libros de geometría del primer grado están pensados 

en el primer nivel de razonamiento, y que la incidencia de este nivel de 

razonamiento disminuye rápidamente al pasar a segundo grado. 

Simultáneamente ya en segundo grado la mayoría de las actividades son de 

nivel dos, y aparecen las de nivel tres. A medida que crecen los grados va 

creciendo las actividades de nivel tres, mientras que las de nivel dos van 

decreciendo salvo en el último curso. 

Este diseño de los niveles de razonamiento que va moviéndose de 

forma que predomina el nivel inferior en los cursos más bajos, hasta el 

predominio de los niveles superiores en los cursos más altos, pasando por una 

distribución más o menos equilibrada de los niveles de razonamiento en los 

cursos intermedios, es un modelo digamos que equilibrado. 



Florencio López de Silanes 

914 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Gráfica 2. Niveles de Razonamiento. 

 

El modelo anterior contrasta con la distribución de los niveles de 

razonamiento determinada por Whitman para los libros de geometría de USA, 

donde hemos tenido que girar 180° la perspectiva del dibujo anterior, para 

observar cómodamente la distribución de los niveles de razonamiento con los 

cursos o grados. Vemos que en esta distribución predominan las actividades 

escritas para el primer nivel en todos los cursos sobre las de otros niveles, que 

no existen actividades para el nivel tres salvo unas pocas en sexto grado, y que 

las de segundo nivel crecen tímidamente frente a las de nivel uno.  

Este es un modelo de libros de texto de geometría muy desequilibrado 

hacia las actividades de nivel bajo, describiendo los diferentes objetos y 

procedimientos geométricos en los seis cursos al primer nivel, por tanto, no hay 

evolución apreciable del nivel de razonamiento de los alumnos a lo largo de los 

seis cursos o grados. 

 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  915 

 

 

Gráfica 3. Niveles de Razonamiento. 

 

El gráfico anterior muestra la distribución de los niveles de 

razonamiento de los libros de texto españoles actuales analizados a lo largo de 

los cursos de Educación Primaria. Vemos que se parece al modelo japonés y que 

no tiene nada que ver con el modelo americano de los estudiados por Whitman.  

En el modelo español la distribución de los niveles de razonamiento está 

más equilibrados que en el modelo japonés. Las actividades de nivel uno que 

copan totalmente los dos primeros cursos de Primaria de crecen 

paulatinamente hasta tener valores insignificantes en los dos últimos cursos de 

esta etapa. A partir de tercer curso predominan las actividades en el nivel dos, y 

las actividades en el nivel tres adquieren valores significativos en los dos últimos 

cursos. 

En resumen, en aquellos años existía en USA y Japón una preocupación 

sobre los programas de la geometría y los libros de texto, desarrollándose la 

adaptación de los libros de texto a los niveles de van Hiele para apoyar la 

progresión geométrica del estudiante a los niveles de razonamiento, con 

ediciones para el profesor y material complementario necesario que incluyera 

las recomendaciones y directrices que ayuden a los maestros para impartir a los 

estudiantes enseñanzas que vayan desde los niveles inferiores a los más altos de 

van Hiele. En aquellos años los planes de estudios de la Unión Soviética y Japón 



Florencio López de Silanes 

916 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

fueron la referencia para la elaboración de currículos de geometría de acuerdo 

con el modelo de van Hiele en otros países.  

Estos problemas del currículo de geometría deben ser incluidos en los 

programas docentes, para facilitar su transición y transformación, para mejorar 

la capacidad de razonamiento de los estudiantes. "La validez de la teoría de Van 

Hiele no sólo tiene fuertes implicaciones para el desarrollo curricular, sino que 

gran medida debe influir en cómo los futuros profesores están capacitados para 

la enseñanza de la geometría en las escuelas "(Whitman, 1997: 217). 

 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  917 

 

15.1.2.-Los libros de texto de geometría en España. Niveles de 

razonamiento 

Continuando en la línea anterior, en la tabla siguiente mostramos los 

niveles de razonamiento de las actividades propuestas por los libros de texto de 

geometría que hemos estudiado para España. Vemos una distribución de los 

niveles de razonamiento de van Hiele equilibrada en las etapas de Educación 

Primaria y Secundaria. 

 

 

Gráfica 4. Niveles de Razonamiento. 

Las actividades presentadas en nivel uno ocupan totalmente los dos 

primeros cursos de Primaria, y van perdiendo valor paulatinamente de forma 

que no existen actividades de este nivel en los tres últimos cursos de 

Secundaria. Las actividades de nivel dos aparecen en tercer curso de Primaria, 

con el nacimiento del segundo ciclo de esta etapa, y en general van 

disminuyendo paulatinamente hasta los dos últimos cursos de Secundaria 

donde solo presentan valores testimoniales. Las actividades del nivel tres 

aparecen en quinto curso de Primaria, y manifiestan una tendencia creciente en 

el resto de los cursos de las etapas de Primaria y Secundaria. 

Desde nuestro punto de vista esta distribución de los niveles de 

razonamiento en los libros de texto a lo largo de los diez cursos en las etapas 

Primaria y Secundaria, es un buen ejemplo de la adaptación al modelo de van 



Florencio López de Silanes 

918 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Hiele de un currículo de geometría, presentando una distribución razonable y 

equilibrada de los niveles de razonamiento de las actividades propuestas para el 

estudio de la geometría. 

 

  España 
Curso N1 N2 N3 N4 N5 
1º Pri 100         
2º Pri 100         
3º Pri 26 74       

4º Pri 23 77       
5º Pri 3 76 21     
6º Pri 3 74 23     
1º Eso 2 88 10     
2º Eso   35 65     
3º Eso   6 94     
4º Eso   8 92     
1º Bach     13 84 2 
2º Bach     7 90 4 

Tabla 2: Niveles de razonamiento en 
libros de texto. 

 

En el gráfico siguiente podemos observar la distribución de los niveles 

de razonamiento para las etapas de Primaria, Secundaria y Bachillerato donde 

están presentes los cinco niveles de razonamiento, aunque los valores del 

quinto nivel son poco más que testimoniales en los cursos de Bachillerato. 

Observamos que al pasar de Secundaria a Bachillerato se produce un 

cambio muy brusco de la distribución de los niveles de razonamiento. Es decir, 

al pasar de cuarto curso de Secundaria primer curso de Bachillerato, pasamos 

de una distribución en la que predominan las actividades de nivel tres con 

valores muy altos, a otra con predominio con valores también altos de las 

actividades de nivel cuatro. Un salto similar tuvo lugar al pasar del primer curso 

a segundo curso de ESO, donde cambiamos de una distribución con valores muy 

altos en el nivel dos, a otra con predominio del nivel tres pero con valores 

significativos del nivel dos. El paso de primero a segundo curso de ESO no es tan 

fuerte como el paso de esta etapa a la de Bachillerato. 

 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  919 

 

 

Gráfica 5. Niveles de Razonamiento. 

El currículo de la geometría en España a lo largo de las etapas de 

Primaria, Secundaria y Bachillerato, presenta una distribución de los niveles de 

razonamiento equilibrada y adecuadamente distribuida de acuerdo a los 

criterios del modelo de van Hiele. Existen dos saltos importantes en la 

distribución de los niveles de van Hiele como ya apuntamos, el primero entre los 

cursos primero y segundo de Secundaria, con una variación cualitativa de la 

distribución de los niveles de razonamiento pasando bruscamente del segundo 

al tercer nivel, y el segundo salto se produce por una variación muy fuerte entre 

el tercer y cuarto nivel en la distribución de los niveles de razonamiento de van 

Hiele. 

En general podemos decir, que si existe algún problema en el sistema 

educativo de la enseñanza de la geometría, no ha de ser por los libros de texto, 

que secuencian de una forma equilibrada los contenidos de acuerdo con los 

niveles de van Hiele, donde muy bien pueden introducirse mejoras. Por otra 

parte, nos ha parecido que los materiales de texto que hemos manejado para 



Florencio López de Silanes 

920 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

realizar esta investigación eran de una calidad aceptable desde el punto de vista 

de la presentación de los contenidos. 

 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  921 

 

15.1.3.-Los libros de texto de geometría en España. Fases de Aprendizaje 

Mostramos en la siguiente tabla y gráfica las distribuciones 

porcentuales de las actividades educativas según la Fase de Aprendizaje y los 

cursos de Primaria, Secundaria y Bachillerato, medidas en libros de texto de 

geometría correspondientes a estas etapas. 

España Fase Aprendizaje 

Curso F1 F2 F3 F4 F5 

1º Pri   100       

2º Pri   36 27 36   

3º Pri 9 29 7 9 47 

4º Pri 4 22 16 16 41 

5º Pri 4 34 20 13 29 

6º Pri 5 44 20 11 20 

1º Eso 3 38 34 8 17 

2º Eso 3 31 47 12 7 

3º Eso 3   61 35 2 

4º Eso 4   55 33 9 

1º Bach     58 29 14 

2º Bach     63 24 13 
Tabla 3: Fases de Aprendizaje en 

libros de texto. 

 

Vimos que los niveles de razonamiento medidos en los mismos libros 

presentaban una distribución que tendía a estar de acuerdo con el modelo de 

van Hiele, pero no podemos decir lo mismo en cuanto a la distribución respecto 

de las Fases de Aprendizaje. Más bien parece que en el diseño curricular de los 

programas de geometría, no se ha tenido en cuenta las Fases de Aprendizaje del 

modelo de van Hiele, como en la mayor parte de los currículum de geometría 

del mundo, que tienen presente los niveles de razonamiento pero no las fases 

de aprendizaje del modelo de van Hiele. 

Desde el punto de vista del modelo de van Hiele, una situación ideal 

para la distribución de las fases de aprendizaje sería que no apareciera ningún 

hueco vacío ni en la tabla ni en la gráfica de este apartado. Los huecos en la 

tabla o en la gráfica significan que no se han desarrollado actividades para 

dichos niveles y fases de aprendizaje. Recordemos que el modelo de van Hiele 

recomienda explícitamente que hay que recorrer todas las fases de aprendizaje 



Florencio López de Silanes 

922 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

de cada nivel de razonamiento para que se produzca el aprendizaje de dicho 

nivel.  

Desde el punto de vista de la distribución de las fases de aprendizaje en 

cada nivel de razonamiento determinado, la situación ideal es que la forma de 

estas distribuciones se similar, por así decirlo, a una curva de Gaus centrada en 

la tercera fase (fase de explicitación). Sin embargo podemos observar que la 

forma de las distribuciones de las fases de aprendizaje se aleja del modelo ideal 

en todos los cursos de estas tres etapas. 

 

 

Gráfica 6. Niveles de Razonamiento. 

Es preciso tener en cuenta las fases de aprendizaje del modelo de van 

Hiele en la elaboración del currículo de geometría. Al día de hoy, no conocemos 

ninguna especificación curricular de geometría que tenga presente las fases de 

aprendizaje de van Hiele. Esta es una carencia importante del diseño curricular, 

o si se quiere, un paso más que hay que dar en el futuro. 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  923 

 

15.1.4.-Las medidas del nivel de razonamiento por Usiskin y en la 

presente investigación 

 
 

En este apartado pretendemos poner de manifiesto que las medidas 

que hemos realizado a los alumnos españoles están en concordancia en valores 

y calidad con las realizadas en otras partes que han seguido las mismas 

especificaciones que nosotros, que son las más utilizadas en cuanto se refiere a 

la medida de los niveles de razonamiento de van Hiele. En la tabla y en la gráfica 

siguiente mostramos las medidas que hemos realizado a alumnos de 

bachillerato en España, y las realizadas en su día por Usiskin. 

La gráfica de las medidas de Usiskin, muestra los niveles de 

razonamiento medidos a 1619 alumnos de un conjunto de 2057, que a su vez 

forma parte de otro de 2699 estudiantes, de los que el 56% eran hombres y el 

53% mujeres. Estudiantes de USA en el año 1981 con un entre los Secundaria y 

Bachillerato de España, de los que el 51% tenían 17 años. 

 

Porcentajes N0 N1 N2 N3 N4 N5 

High School USA (Usiskin) 16,4 26,8 29,1 20,7 4,5 2,5 

Bachillerato España (Silanes) 5,9 29 43 22 1 0 
Tabla 4: Niveles de razonamiento. 

 

 

 

Gráfica 7. Niveles de Razonamiento. 



Florencio López de Silanes 

924 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

La gráfica anterior muestra la concordancia entre los valores y las 

tendencias de las distribuciones de los niveles de razonamiento medidos por 

Usiskin y nosotros. Desde 1981 las medidas realizadas por Usiskin han sido la 

referencia para gran parte de los investigadores del modelo de van Hiele, de 

acuerdo con lo reflejado en la bibliografía. 

 

 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  925 

 

15.1.5.-Evolución del nivel de razonamiento en los alumnos 

 

Las limitaciones de medios que tenemos no nos han permitido llegar a 

estudiar la evolución del nivel de razonamiento de van Hiele en los doce cursos 

que conforman las etapas de Primaria, Secundaria y Bachillerato en España. Nos 

hemos tenido que conformar con conocer los niveles de razonamiento de los 

alumnos en el último curso de cada una de las etapas anteriores. 

En el año 2005, Der-bang Wu y Hsiu-lan Ma realizaron el estudio del 

nivel de razonamiento de van Hiele aplicado a los seis cursos o grados en 

Taiwán, de la etapa equivalente a Primaria en España. El estudio fue financiado 

por el Consejo Nacional de Ciencias de Taiwán. Participaron 5.581 estudiantes 

de primaria, seleccionados al azar en 23 condados y ciudades en Taiwán. Según 

Der-bang Wu Hsiu-lan Ma, " La geometría es uno de los temas más importantes 

en matemáticas (Ministerio de Educación de Taiwán (MET), 1993, 2000, 2003, 

Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM), 1989, 1991, 1995, 

2000). El currículo de Geometría en Taiwán está desarrollado y diseñado de 

acuerdo con el modelo de Van Hiele (MET, 1993, 2000, 2003). Los principales 

objetivos de este estudio fueron determinar la distribución de los niveles de 

razonamiento van Hiele de entre 1 º y 6 º grado”. (Der-bang, 2005). 

En la tabla y gráfica siguiente mostramos las distribuciones de los 

niveles de razonamiento correspondientes a los alumnos de primaria de Taiwán. 

 

  Taiwan 

Grado No N1 N2 N3 

1 48,3 51,7 0,0 0,0 

2 33,8 66,2 0,0 0,0 

3 19,3 42,3 38,3 0,1 

4 8,8 32,5 58,7 0,1 

5 7,4 15,2 62,4 15,0 

6 5,6 10,6 59,3 24,5 
Tabla 5: Niveles de razonamiento. 

 

La gráfica siguiente la mostramos como un buen ejemplo de la 

evolución del nivel de razonamiento de los estudiantes de primaria. 



Florencio López de Silanes 

926 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Observamos que en primer curso están equilibrados los porcentajes de los 

alumnos que han superado el primer nivel (N1) y el de los que no lo han 

conseguido (N0). Que el porcentaje de los alumnos que no supera el primer 

nivel disminuye paulatinamente. El porcentaje de alumnos que superan el 

primer nivel disminuye a partir del segundo curso. El porcentaje de alumnos que 

superan el segundo nivel (N2) tiene un valor significativo a partir del tercer 

curso, siendo dominante en los tres últimos cursos de este ciclo. Y finalmente, 

los alumnos comienzan a superar el tercer nivel (N3) a partir del quinto curso. 

(Der-bang, 2005). 

 

Gráfica 8. Niveles de Razonamiento. 

Vemos en este gráfico que los medios oficiales de Taiwán dan un buen 

rendimiento del nivel de razonamiento de van Hiele en esta etapa, al 

predominar en el último curso los alumnos que han superado el segundo nivel. 

Como ya dijimos, nosotros sólo hemos aplicado el cuestionario de 

medida a los alumnos de sexto curso de Primaria, obteniéndose que predomina 

el nivel uno al final de esta etapa educativa. Según esto, los estudiantes 

españoles de geometría estarían un nivel por debajo de los taiwaneses al final 

de los estudios de Primaria. La tabla siguiente muestra la distribución de los 

niveles de razonamiento obtenida por nosotros al final en las etapas de 

Primaria, Secundaria y Bachillerato. 

 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  927 

 

España 

Etapa N0 N1 N2 N3 N4 N5 

Primaria 28 58 15       

Secundaria 19 33 42 6     

Bachillerato 6 29 43 22 1   
Tabla 6: Niveles de razonamiento. 

 

En la gráfica siguiente mostramos la evolución del nivel de 

razonamiento de van Hiele en España al final de cada una de las etapas de 

Primaria, Secundaria y Bachillerato. Observamos que tanto en Secundaria como 

en Bachillerato predominan los dos alumnos que han superado el segundo nivel, 

no obstante la evolución durante la etapa de bachillerato es coherente ya que 

disminuyen los porcentajes de los alumnos que no han superado el primer nivel 

y que han superado el primer nivel, mientras que aumentan en los otros niveles 

superiores. 

 

 

Gráfica 9. Niveles de Razonamiento. 



Florencio López de Silanes 

928 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

15.1.6.-El nivel de razonamiento de los alumnos de Educación Primaria 

en España 

Como consecuencia del desfasaje existente entre los estudiantes de 

Primaria de España y Taiwán, hemos tenido que aportar los niveles de 

Secundaria de España, para poder comparar y acotar los niveles de los 

estudiantes de Taiwán, según mostramos en la gráfica y tabla siguiente. 

 

  Niveles de razonamiento 

Curso N0 N1 N2 N3 

Primaria España 27,6 57,9 14,5 
 Secundaria España 19,0 32,5 42,1 6,3 

6º Grado Taiwan 5,6 10,6 59,3 24,5 
Tabla 7: Niveles de razonamiento. 

 

Vemos en la gráfica siguiente que los estudiantes de 6º Grado de 

Taiwán, están sustancialmente por encima de los estudiantes de Primaria 

españoles. Sólo son comparables a los resultados taiwaneses la distribución de 

los niveles de razonamiento de los alumnos de Secundaria en España, pero yo 

me quedo con los resultados de los alumnos taiwaneses ya que ganan en todo, 

en el porcentaje de alumnos que han superado el segundo nivel, y por tener al 

final de esta etapa un número de alumnos menor que no han superado el 

primer nivel, o que sólo han superado el primer nivel. 

 

 

Gráfica 10. Niveles de Razonamiento. 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  929 

 

De todo lo anterior se deduce que en España urge una remodelación del 

sistema educativo de la geometría para aumentar su rendimiento desde 

Educación Primaria. 

 



Florencio López de Silanes 

930 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

15.1.7.-Crecimiento del nivel de razonamiento. Aprendizaje 

 

Para determinar los niveles de Van Hiele de los estudiantes, Usiskin en 

1982 aplicó sus cuestionarios a 2.699 estudiantes matriculados en Geometría en 

trece escuelas secundarias en los EE.UU.  Para determinar el incremento del 

nivel de razonamiento de van Hiele en un curso diseñado específicamente para 

ello, aplicó el cuestionario en otoño (VHF van Hiele Fall) a 2082 alumnos, a 

comienzos de curso, y a 1619 alumnos al final del curso en la primavera (VHS). 

Las distribuciones de los niveles de razonamiento al principio (VHF) y al final 

(VHS) del curso los mostramos en la tabla siguiente. Los valores de los tomamos 

directamente de su publicación (Usiskin; 1982) en el estándar que hemos 

manejado en este trabajo, es decir, con el criterio de cuatro aciertos sobre cinco 

respuestas y en la forma clásica de los niveles (del nivel cero al quinto nivel). 

 
 
Porcentajes N0 N1 N2 N3 N4 N5 

VHF 4 de 5 Clasical 34,0 46,6 15,1 4,0 0,2 0,0 

VHS 4 de 5 Clasical 16,4 27 29 21 4,5 2,5 
Tabla 8: Niveles de razonamiento. 

 

En la representación gráfica vemos que mientras la curva de otoño 

(VHF) presenta el máximo en el nivel uno, la de primavera (VHS) lo tiene en el 

nivel dos. Ha habido un crecimiento de un nivel como consecuencia del curso de 

geometría realizado por los alumnos. 

 

Gráfica 11. Niveles de Razonamiento. 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  931 

 

La diferencia entre las dos curvas no está solo en el pico que determina 

su nivel de razonamiento, sino que la gráfica en rojo es bastante mejor por 

presentar valores menores en los niveles bajos (N0 y N1) y valores mayores en 

los niveles altos (N2, N3, N4 y N5). 

 

A lo largo del curso han migrado los alumnos hacia niveles superiores, 

es decir ha habido una transferencia desde el nivel N0 al N1, del N1 al N2, y así 

sucesivamente transformándose la gráfica azul en la gráfica roja. 

 

En 1984 Matos tradujo y adaptó las pruebas de Usiskin para los 

portugueses, y lo aplicó para caracterizar el nivel de razonamiento geométrico 

de los estudiantes de ESCO (Secundaria) en Beja y Faro. Probó la metodología 

de Usiskin en un grupo de 28 alumnos de séptimo grado. Maria Margarida 

Bettencourt de Beires Junqueira en 1994 publicó los resultados de dicha prueba, 

de la que extraemos las distribuciones de los niveles de razonamiento de estos 

alumnos, medidos al comienzo y al final de un curso para incrementar su nivel 

de razonamiento de van Hiele, como mostramos en la tabla siguiente. 

(Bettencourt, 1994). 

 
 

 Porcentajes N0 N1 N2 N3 

Cuestionario Previo 14 50 32 4 

Cuestionario Posterior 7,7 23 54 15 
Tabla 9: Niveles de razonamiento. 

 

En el cuestionario previo al curso, el valor máximo de la distribución de 

niveles está en el primer nivel (N1), mientras que en la distribución del 

cuestionario posterior al curso está en el segundo nivel (N2). El nivel del grupo 

se ha incrementado en un nivel de razonamiento.  

 



Florencio López de Silanes 

932 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

 

Gráfica 12. Niveles de Razonamiento. 

La distribución de los niveles de razonamiento del grupo después del 

curso no sólo ha crecido en un nivel, sino que en la función de distribución de 

los niveles es mejor por tener valores menores en los niveles bajos (N0 y N1) y 

valores mayores en los niveles más altos (N2 y N3). 

Sonja van Putten en la Universidad de Pretoria (Suráfrica) desarrolló un 

cuestionario propio de 28 preguntas basado en el cuestionario de Usiskin. El 

tiempo de aplicación del cuestionario fue de 60 minutos. Lo aplicó a 32 

personas, de las que 19 hablaban africanis, 2 inglés, y 11 las lenguas africanas. 

De los 32 alumnos, 22 eran hombres y  10 mujeres; y 16 procedían de escuelas 

rurales, 12 de ciudadanas y 4 privadas. Las distribuciones de los niveles de 

razonamiento al aplicar el cuestionario al comenzar y al terminar un curso 

destinado a incrementar el nivel de razonamiento del grupo, los mostramos en 

la tabla siguiente. (van Putten, 2008). 

 

Porcentaje N1 N2 N3 

Cuestionario Previo 38,1 34,2 27,7 

Cuestionario Posterior 37,1 31,9 31 
        Tabla 10: Niveles de razonamiento. 

 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  933 

 

Las funciones de distribución respectivas a los cuestionarios previo y 

posterior al curso las representamos en la tabla siguiente. Vemos que la gráfica 

correspondiente al cuestionario posterior es algo mejor que la del cuestionario 

previo al curso, ya que presenta valores menores para los niveles más bajos, en 

este caso el primer y segundo nivel, y valores superiores para el tercer nivel, el 

más alto. 

Apreciamos en la representación gráfica que los valores obtenidos para 

los tres niveles son muy similares en ambas gráficas, con valores que oscilan en 

torno al 33%. Desde mi punto de vista esto significa que el cuestionario no 

discrimina adecuadamente los niveles, asignando a cada nivel un valor cercano 

al 33,3%, ya que en este caso tenemos tres niveles. Es decir, distribuye los 

resultados uniformemente entre los niveles. En consecuencia, este cuestionario 

no sirve para medir los niveles de razonamiento de van Hiele ya que no 

discrimina los niveles. Ponemos también de manifiesto que estos datos no los 

presenta el autor de esta manera. (van Putten, 2008). 

 

 

Gráfica 13. Niveles de Razonamiento. 



Florencio López de Silanes 

934 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

15.1.8.-El nivel de razonamiento de los profesores. 

Uno de los temas que más nos preocupa es la formación de los futuros 

profesores de Educación Primaria y Secundaria. En el Capítulo 13 ya habíamos 

apuntado la diferencia de un nivel de van Hiele entre los futuros profesores de 

geometría de USA y España. Ahora vamos a tratar de enriquecer más estas 

diferencias tomando las referencias de otros países. 

Erdogan Halat publicó en 2008 los resultados de un estudio realizado en 

2006 con 148 maestros de escuela secundaria la parte occidental de Anatolia en 

Turquía. De ellos 80 fueron hombres y 68 mujeres. Con una experiencia en la 

enseñanza entre uno y 26 años. La distribución porcentual de los niveles de 

razonamiento de estos profesores la mostramos en la tabla siguiente con los 

datos extraídos de la publicación de este autor. (Halat, 2008 (2)). 

En el año académico 2008-09, Chew Cheng Meng y Lim Chap Sam 

aplicaron el cuestionario de Usiskin a 147 maestros del pre-servicio de 

matemáticas de secundaria, matriculados 137 en Licenciatura en Ciencias 

(Educación) y 10 en Licenciatura en Educación (Ciencias), de los que 117 era 

mujeres y 30 varones, de edades comprendidas entre 21 y 25 años, asistentes a 

un curso de métodos de enseñanza de las matemáticas. En la tabla siguiente 

mostramos la distribución de los niveles de razonamiento de estos profesores 

de acuerdo con los datos tomados de la publicación. (Cheng Meng,  2009). 

En otra publicación Halat nos proporciona el perfil de los profesores de 

USA, quizás para compararlos con los de Turquía.  Participaron en la prueba 281 

profesores, de los que 125 (el 44,5%) eran de Enseñanza Primaria;  y 156 

profesores (el 55,5%) de Secundaria. (Halat, 2008). Los niveles de razonamiento 

de estos profesores se obtuvieron aplicando el cuestionario de Usiskin, y se 

muestran en la siguiente tabla. 

Comparamos estos perfiles con el de los alumnos de segundo curso de 

Enseñanza Primaria de la Facultad de Formación de Profesorado de la UAM, ya 

que según su currículum, no realizarán más estudios de geometría durante sus 

estudios universitarios. 

 

 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  935 

 

    N0 N1 N2 N3 N4 N5 

Profesores Primaria USA 7,2 11,2 36,0 44,0 1,6 0,0 

Profesores Secundaria Turquía 
 

12,8 22,3 48,6 10,1 6,1 

Alumnos Magisterio Primaria UAM 12,2 34,6 48,7 3,8 0,6 0,0 

Profesores Secundaria Malasia 11,4 37,1 44,3 6,4 0,7 0,0 
Tabla 11: Niveles de razonamiento. 

 

Como siempre, la representación gráfica es más elocuente que las 

tablas numéricas. En el gráfico se observan dos grupos, el de más bajo nivel 

tiene el máximo en el segundo nivel (N2) y está formado por las distribuciones 

de los niveles de razonamiento de los profesores de España y Malasia; el grupo 

de más alto nivel está formado por los profesores de USA y Turquía presenta el 

valor máximo en el tercer nivel (N3). Es decir, hay una diferencia de un nivel de 

van Hiele entre los profesores de USA o Turquía, y los de Malasia o España. Esta 

diferencia de un nivel es muy importante, ya que las enseñanzas a los alumnos 

en los cuatro países deben realizarse en el segundo nivel de van Hiele, lo que 

implica que los profesores de Malasia y España están al mismo nivel de 

razonamiento que sus alumnos, mientras que los profesores de Turquía y USA 

están un nivel de razonamiento por encima del de sus alumnos. 

Un profesor que esté en el mismo nivel de razonamiento que sus 

alumnos, aunque domine los contenidos a impartir, entendemos que no está 

cualificado para el desarrollo de esta competencia, mientras que si el profesor 

está un nivel de van Hiele por encima del de sus alumnos, es más que suficiente 

para el desarrollo adecuado de la función docente. 

 

Gráfica 14. Niveles de Razonamiento. 



Florencio López de Silanes 

936 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Entendemos que la formación y el nivel de los profesores determina de 

forma directa el resultado de la tarea docente. Decimos esto al hilo de que 

Malasia es el país que ha obtenido peores resultados en el informe PISA, y 

seguro que algo tiene que ver la formación de los profesores malayos en esta 

calificación. 

Esto no tendría mayor importancia para España, a no ser porque 

solamente el 50% de los futuros profesores han superado el nivel dos, y de los 

que restan solamente el 35% han superado el nivel uno, y de los que quedan, el 

12% no ha superado el nivel uno. Todo esto para unos profesores que van a 

tener que trabajar habitualmente con materiales didácticos y actividades de 

geometría que se encuadran en el nivel dos de razonamiento de los de van 

Hiele. La conclusión es que los alumnos de segundo curso de Educación Primaria 

de la Facultad de Profesorado de la UAM necesitan incrementar un nivel de 

razonamiento para poder realizar con garantías una docencia con materiales 

didácticos del nivel dos, según los requisitos curriculares vigentes, o para 

equipararse a los profesores como los de otros países. 

La conclusión es que los alumnos de segundo curso de Educación 

Primaria de la Facultad de Profesorado de la UAM necesitan incrementar un 

nivel de razonamiento para poder realizar con garantía una docencia con 

materiales didácticos del nivel dos, según los requisitos curriculares vigentes, o 

para equipararse a los profesores de otros países. 

 

 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  937 

 

15.2.-Resumen de las contribuciones. 

 

15.2.1.-La utilización de mediciones estandarizadas en el Nivel de 

Razonamiento. 

En este trabajo de campo hemos utilizado para la medida del nivel de 

razonamiento de van Hiele el cuestionario y los procedimientos más extendidos 

y aceptados en todo el mundo. Esto nos permite relacionar y comparar nuestros 

resultados con la mayor parte de los publicados por otros investigadores. 

Estos valores estándar los hemos utilizado para relacionar tanto los 

niveles de razonamiento de los libros de texto de otros países con los nuestros, 

como para comparar los niveles de nuestros alumnos con los de otros lugares, 

así como para especificar el nivel que debiéramos exigir a nuestros profesores 

de Primaria para homologarlos con los de otras partes del mundo. 

 

15.2.2.-Análisis de los textos de geometría 

Hemos estudiado y calificado simultáneamente los Niveles de 

Razonamiento y las Fases de Aprendizaje del modelo de van Hiele, las 

actividades expuestas en libros de texto de geometría pertenecientes a las 

etapas educativas de Enseñanza Primaria, Secundaria y Bachillerato. Este 

trabajo se ha realizado aplicando escrupulosamente los descriptores de nivel y 

fase. Hacemos hincapié en este punto, ya que hemos dedicado dos capítulos en 

este trabajo, a la selección y el estudio de los descriptores, lo que da idea de la 

importancia y cuidado con que hemos tratado el tema. Hacemos también 

hincapié en que es el único trabajo que conocemos donde se miden 

simultáneamente los niveles de razonamiento y las fases de aprendizaje en los 

libros de texto. 

Publicamos todos los datos de los niveles de razonamiento y de las fases 

de aprendizaje medidas en los libros de texto, así como los descriptores que 

justifican esa medida en cada caso. 

Realizamos un análisis curricular global de todos los cursos de 

Enseñanza Primaria, Secundaria y Bachillerato, bajo la perspectiva de los niveles 



Florencio López de Silanes 

938 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

de razonamiento y las fases de aprendizaje de van Hiele, medidas en los 

correspondientes libros de texto. Hemos visto, que en muchos países, los 

diseños curriculares de la geometría tienen presente los niveles de 

razonamiento de van Hiele, pero que olvidan incluir todas las fases de 

aprendizaje para cada nivel de razonamiento, así como la configuración de las 

fases de aprendizaje de las actividades educativas en los libros de texto. Nos 

congratulamos de que al día de hoy, el diseño curricular de los libros de texto de 

geometría estén diseñados de acuerdo a la distribución de los niveles de 

razonamiento recomendada por el modelo de van Hiele. Pero tenemos todavía 

pendiente un objetivo similar para la distribución de las fases de aprendizaje de 

las actividades que configuran dichos niveles de razonamiento a lo largo de los 

cursos del sistema educativo. No debemos olvidar que de acuerdo con el 

modelo de van Hiele, es importante trabajar adecuadamente tanto las fases de 

aprendizaje como los niveles de razonamiento para obtener una eficiencia 

adecuada en la enseñanza de la geometría. 

Realizamos algunos análisis curriculares por temas (circunferencia, 

polígonos, áreas, volúmenes,...) y por cursos en Primaria, Secundaria y 

Bachillerato, teniendo presente tanto los niveles de razonamiento como las 

fases de aprendizaje. Asimismo, hemos marcado las pautas para el análisis de 

otros temas de la geometría. 

Las medidas de los niveles de razonamiento de los libros de texto de 

geometría son muy importantes ya que también marcan los niveles de 

razonamiento de referencia que han de conseguir los alumnos. Cuando se dan 

los resultados de las medidas de los niveles de razonamiento de van Hiele, 

vemos el nivel que tienen los alumnos pero inmediatamente nos preguntamos 

el nivel que debían haber alcanzado o el nivel esperado. Éste trabajo al medir el 

nivel de razonamiento de los libros de texto nos da información del nivel de 

razonamiento de van Hiele que debieran de tener los alumnos. 

La medida del nivel de razonamiento en los libros de texto de geometría 

y el conocimiento del nivel de razonamiento medido a los alumnos, nos va a 

permitir de alguna forma, estimar la eficiencia del sistema educativo para la 

geometría, por ejemplo a nivel de cursos. Como ya vimos en el capítulo trece, la 

ineficiencia del sistema de la enseñanza de la geometría crece a medida que 

vamos pasando de curso. De esta forma, podemos afirmar que al final de la 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  939 

 

etapa de Educación Primaria el 27,6% de los alumnos no ha superado el nivel 

uno, mientras que al final de Secundaria los alumnos que no han superado el 

nivel dos son el 51,5%, y al final de la etapa de Bachillerato el 77,7% de los 

alumnos no han superado el nivel tres. 

 

Porcentaje de alumnos que no han superado el 
nivel de razonamiento de su etapa 

Etapa N0 N1 N2 N3 N4 N5 

Primaria   27,6         

Secundaria     51,5       

Bachillerato       77,7     
Tabla 12: Niveles de razonamiento. 

 

Como consecuencia del resultado anterior, nos parece imprescindible la 

realización de cursos diseñados para la elevación del nivel de razonamiento que 

van Hiele, al menos uno para cada etapa educativa. De esta manera se podrá 

corregir parcialmente el crecimiento de la ineficiencia del sistema educativo de 

la enseñanza de la geometría. 

 

15.2.3.-Medida del nivel de razonamiento de van Hiele aplicado a los 

alumnos 

Hemos aplicado 1120 cuestionarios a 934 alumnos en España. No 

conocemos a nivel español trabajos de campo basados en el modelo de van 

Hiele con aplicaciones del orden del millar tanto a nivel de alumnos como de 

cuestionarios en este país, y abarcando un espectro tan amplio de las etapas 

educativas. 

En este trabajo se ha medido el nivel de razonamiento de los alumnos 

de cuatro etapas educativas: Enseñanza Primaria, Enseñanza Secundaria 

Obligatoria y Bachillerato, y además, de la Enseñanza Universitaria de alumnos 

de la Facultad de Educación o de la facultad de Formación del Profesorado. Es 

un trabajo de campo de amplio espectro, y no conocemos otros precedentes en 

España de estas características. En este sentido es comparable a los trabajos 

realizados en Taiwán (China). Lo normal en este tipo de trabajo hasta ahora, ha 



Florencio López de Silanes 

940 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

sido estudiar un grupo de unas características determinadas y pequeño, para 

evaluar su nivel de razonamiento en un trabajo de investigación. 

Publicamos todos los datos y resultados que hemos obtenido 

(numéricos y gráficos), así como las distribuciones de los niveles de 

razonamiento de van Hiele en las muestras que hemos analizado en España. 

Esto facilitará a otros investigadores analizar estos datos y sacar las 

conclusiones que ellos consideren pertinentes. Nos hemos encontrado con 

numerosas publicaciones que no son trazables, tanto en España como en el 

extranjero, por omitir información, que en la mayoría de los casos son los datos 

medidos; pasando directamente de los modelos teóricos, a las conclusiones que 

se derivan de sus medidas, omitiendo los resultados directos de la medida. 

Desde el principio, este trabajo fue diseñado para estudiar la evolución 

del nivel de razonamiento de los alumnos a lo largo de cuatro etapas 

educativas: primaria, secundaria, bachillerato y estudios universitarios (esta 

etapa universitaria está restringida a las Facultades de Educación). 

En los cinco cuestionarios que hemos aplicado, estudiamos el 

comportamiento de los resultados medidos de la muestra con respecto a los 

caracteres estadísticos que la determinan, como son la titularidad de los centros 

educativos, la edad de las personas, su sexo, la especialidad elegida en el 

bachillerato, y para alumnos universitarios tanto la especialidad del bachillerato 

que estudiaron como la titularidad de los centros donde cursaron estudios de 

enseñanza media. 

En la aplicación masiva de cuestionarios que hemos realizado, todos han 

sido corregidos y evaluados por ordenador mediante la aplicación estricta de los 

criterios y algoritmos expuestos en este trabajo, y particularmente para el 

cuestionario de Usiskin se ha aplicado estrictamente el criterio de superar un 

nivel cuando se producen cuatro aciertos sobre cinco preguntas en el escenario 

llamado "clásico" del modelo de van Hiele que incluye seis niveles, los cinco 

niveles del modelo de van Hiele, más el nivel cero donde están quienes no han 

conseguido superar el primer nivel. Insistimos en la cuestión de la calificación 

objetiva e igualitaria de los resultados, ya que lo habitual en la bibliografía es 

que la asignación de los niveles de razonamiento la realizan directamente los 

investigadores sin recurrir a otros recursos. 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  941 

 

15.2.4.-Cuestionarios de la visión del alumno de la Enseñanza de la 

Geometría 

Hemos aplicado 1033 cuestionarios, donde los alumnos manifestaban 

su visión en los siguientes puntos: 

- Cómo le han enseñado la geometría. 

- Cuánto le gusta la geometría. 

- Cómo le gustaría que le enseñaran la geometría. 

 

Es interesante ver cómo cuestionarios tan sencillos ponen de manifiesto 

deficiencias importantes del sistema de enseñanza de la geometría, al 

manifestar que no han estudiado el 29% de los temas que les presentamos. 

Estos temas son básicos en el currículo de la geometría. Así, no nos sorprenderá 

que no hayan aprendido el 60% de los temas que les presentamos. En el lado 

positivo, manifiestan que les gustan el 64% de los temas expuestos. Esta 

cuestión es muy importante, ya que teniendo buenos alumnos a los que les 

gusta la geometría, o no les enseñamos geometría, o bien no somos capaces de 

que aprendan eficazmente la geometría que les enseñamos, según sus propias 

manifestaciones. 

A nivel global, los alumnos optan por una enseñanza de la geometría 

basada en: realizar más ejercicios, quieren ver la aplicación en la vida real, y 

prefieren utilizar metodología participativa. 

 

15.2.5.-El cuestionario del conocimiento de la geometría 

Este cuestionario fue aplicado a 87 alumnos universitarios, y tenía como 

objetivo era conocer si los alumnos son capaces de realizar las operaciones 

geométricas básicas como: cálculo de longitudes, áreas, volúmenes, y 

operaciones con ángulos. Es un cuestionario equivalente al que haríamos en 

aritmética para conocer si los alumnos saben sumar, restar, multiplicar, dividir y 

hacer raíces. Este tipo de prospecciones son importantes para conocer el estado 

de los conocimientos y de las lagunas en geometría de los alumnos. 

Sus resultados son concluyentes acerca del estado del sistema 

educativo de la geometría, nos hablan de que el 74% de los alumnos no saben 



Florencio López de Silanes 

942 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

estudiar la geometría, de que más del 26,9% no saben aplicar el teorema de 

Pitágoras, o que entre el 62 y el 83% no son capaces de operar con ángulos. 

Pensamos nuevamente que el sistema de educativo de la enseñanza de 

la geometría debería tener cuestionarios específicos para detectar las carencias 

en los conocimientos de los alumnos por áreas, cursos y temas, así como 

procedimientos para cubrir estas necesidades. 

 

15.2.6.-El nivel de razonamiento de los futuros Profesores de Primaria 

Este apartado es una de las piedras angulares para el buen 

funcionamiento del sistema educativo de la geometría. Ya mostramos en este 

trabajo los niveles de razonamiento de los alumnos que han terminado en la 

Universidad los estudios de geometría, y que presumiblemente no habrán 

elevado su nivel de razonamiento de van Hiele cuando ejerzan como Profesores 

de Primaria.  

El problema está en que el nivel de razonamiento medido por nosotros 

de los futuros profesores de Primaria es el mismo que el medido en los libros de 

texto de Educación Primaria. Pensamos que un profesor debe tener un nivel de 

razonamiento mayor que el de los conocimientos que ha de enseñar. En este 

caso, los futuros profesores de Primaria están en el nivel dos, y los libros de 

texto de geometría de Educación Primaria se presentan en el mismo nivel de 

razonamiento. Por tanto sería necesario impartir en las Facultades de Educación 

un curso específico para elevar el nivel de razonamiento al nivel tres en los 

alumnos de la especialidad de Educación Primaria. 

La afirmación anterior se ve corroborada cuando hemos mencionado en 

este trabajo que los profesores de Primaria de Turquía o  USA alcanzan el nivel 

tres de los niveles de razonamiento de van Hiele, mientras que los de España o 

Malasia se quedan en el segundo nivel.  

 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  943 

 

15.3.- La enseñanza en España. Educación Primaria 

 

Comenzamos esta investigación haciendo referencia al Modelo 

Educativo y a los Informes PISA, no solo a nivel documentativo, sino como 

sistemas referenciales para los resultados de la investigación basada en el 

trabajo de campo. Tiempo es ahora de encuadrar los resultados dentro del 

esquema teórico en general, y para España en particular, pues es España la 

fuente de nuestros datos y el soporte de sus resultados.    

De las etapas educativas en España, analizaremos la Educación Primaria 

en particular, ya que solo para esta etapa disponemos de datos relativos a los 

alumnos, profesores y libros de texto. 

La enseñanza de la geometría debe inscribirse dentro del contexto 

general de todo el sistema educativo.  

 

15.3.1. – Estado del rendimiento del sistema educativo en España 

 

En el estudio se ha puesto de manifiesto reiteradamente las cualidades 

del material que trabajamos, los alumnos españoles inscritos en la realidad 

sociológica del modelo educativo español.  

En la tabla 5 del Capítulo 4 recogimos los resultados del rendimiento en 

matemáticas de los alumnos de 40 países de la OCDE (M.E.C., 2004: 05), donde 

España ocupaba la posición 26ª, resultado que se nos hacía bajo dadas las 

características educativas españolas y las de los países que se sitúan en su 

entorno en dicha clasificación. Sus causas han de buscarse en la realidad de su 

sistema educativo. 

En el Capítulo 4 (gráfica 8) mostramos los datos publicados en el 

Informe PISA relativos a los resultados educativos y su correspondencia con el 

nivel de inversiones en educación de 34 países de la OCDE. PISA publicó este 

gráfico para estudiar la correlación por países entre las inversiones en 

educación y el rendimiento, y realizar la regresión lineal entre ambas variables. 



Florencio López de Silanes 

944 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Pero recuperamos aquí esos resultados para analizar la posición de España 

respecto a los demás países. En el gráfico 15 hemos trazado unos ejes centrados 

en España que divide el área en cuatro cuadrantes que hemos designado como 

1, 2, 3, y 4. Los países que están en el cuadrante 1 invierten menos recursos que 

España y obtienen un mejor rendimiento, es decir, tienen una enseñanza más 

barata con mejores resultados, son el ejemplo a seguir. Los que están en el 

cuadrante 2 tienen mejores resultados invirtiendo más recursos que España. Es 

la política de la mayoría de los países, aumentar las inversiones para mejorar los 

resultados. 

 

 

Gráfica 15. Rendimiento e inversión en educación. Informe PISA 2003. 

 

Los que están en el cuadrante 3 obtienen peores resultados que España 

invirtiendo menos recursos. Finalmente en el cuadrante 4 están los países 

donde el sistema educativo funciona peor que en España desde este punto de 

vista, ya que invierten más recursos obteniendo resultados más bajos. 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  945 

 

De igual manera hemos anotado en el gráfico 15 el porcentaje de países 

que están en cada cuadrante, donde observamos que el rendimiento es más 

bajo que el español solo en el 32%  de dichos países, además podemos afirmar 

que el sistema funciona peor que en España solo en el 18% de dichos países. 

Estos resultados ubican a España en el tercio de cola de los países de la OCDE 

que concurrieron a dicha prueba. 

Visto ya el posicionamiento donde el informe PISA sitúa a España, 

veamos ahora qué han dicho los estudiantes españoles de geometría. En el 

Capítulo 12 vimos que los estudiantes reconocían  que no habían estudiado el 

29% de los temas que les presentamos, y no aprendieron el 60%. Ambos 

resultados son muy expresivos acerca de las deficiencias del sistema educativo 

de la geometría en España: no se completa el estudio de los programas, y el 

nivel de aprendizaje es relativamente bajo en geometría.  

 

 

Gráfica 16. Porcentajes de temas  de geometría estudiados. 

 

Sobre la relación de los alumnos con la geometría mostramos también 

en el Capítulo 12, la respuesta de los alumnos a nuestros cuestionarios, como 

vemos en el gráfico 17 que muestra los porcentajes de los temas que les gustan 

o no a los alumnos. Vemos que el 64% de los temas les gustan a los alumnos en 

mayor o menor grado, lo que entendemos que es una actitud muy positiva del  

alumnado en relación a la geometría. 

De esta forma contamos en España con buenos alumnos para la 

geometría. De esta forma, podemos precisar que, las posibles deficiencias del 



Florencio López de Silanes 

946 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

sistema educativo español para la enseñanza de la geometría no proceden de 

los alumnos.    

 

 

Gráfica 17. Porcentajes de temas que les gustan o no a los alumnos. 

 

 

15.3.2. – Profesores, textos y alumnos de Primaria 

 

Un elemento estratégico en el sistema de la enseñanza de la geometría 

es la configuración de la Enseñanza Primaria.  En este trabajo de campo hemos 

obtenido resultados, en esta etapa, al nivel de alumnos, de profesores y de los 

objetivos marcados por los libros de texto. La armonización entre estos tres 

elementos incidirá en el rendimiento de esta etapa.  

La gráfica 18 muestra las distribuciones porcentuales de los niveles de 

razonamiento de los libros de texto de geometría en Educación Primaria (para 

6º curso de Primaria), con valores procedentes de la tabla 4 del Capítulo 8; de 

los niveles; la distribución de los niveles de de razonamiento de los alumnos de 

6º curso de Primaria con valores tomados de la tabla 9 del Capítulo 13; y la 

distribución de los niveles de razonamiento de los futuros profesores de 

Primaria de la UAM cuyos resultados los tomamos de la tabla 10 del Capítulo 13.  

Se forman así tres funciones de distribución, a la izquierda la de los 

alumnos, la de los profesores es la más centrada, y la de los textos a la derecha. 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  947 

 

El funcionamiento de la enseñanza de la geometría en la etapa lo marcará la 

relación de la distribución de los niveles de los profesores con los alumnos y con 

los textos. De igual forma, el rendimiento lo obtendremos al contrastar las 

distribuciones de los alumnos y los textos. 

 

 

Gráfica 18. Distribución porcentual de los niveles de los alumnos, profesores y textos en Primaria. 

 

Al final de la etapa de Primaria el 72% de los alumnos superan el nivel 1, 

pero los textos del curso suministran el 74%  de las actividades en nivel 2, y solo 

el 15% de los alumnos de Primaria están capacitados para estudiarlas.  Este 

alejamiento entre los niveles de los textos y los alumnos marca una carencia en 

el sistema que se agrandará con el trascurso de los años. Un buen índice de la 

eficiencia del sistema está en que solo el 15% de los alumnos han superado el 

nivel marcado como objetivo de la etapa, el nivel 2 de razonamiento de los de 

van Hiele. 

Al comparar los perfiles de los profesores y de los textos, observaremos 

que el 47% de los profesores (12% + 35%) no han superado el nivel 2, por lo que 

no están capacitados para llevar a cabo tareas docentes en dicho nivel y por 

tanto en Primaria. Que solo el 4% de los profesores trabajaría cómodamente en 

el nivel 2, mientras que el 49% lo haría con dificultades. Visto que el 47% de los 

futuros profesores de Primaria no alcanzan el nivel requerido por el sistema de 



Florencio López de Silanes 

948 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

la enseñanza de la geometría, no extraña que no se estudien casi el 30% de los 

temas básicos de la geometría, o que los alumnos digan que han aprendido 

solamente el 40% de los temas.  

De acuerdo con el perfil de los profesores, solo el 49% de los futuros 

profesores de Primaria formados en la UAM estarían capacitados para enseñar 

geometría en toda la etapa de Educación Primaria, el 12% de estos profesores 

no es recomendable que enseñen geometría en ningún curso de dicha etapa, y 

el 88% de los profesores están capacitados para enseñar geometría en el primer 

ciclo de Primaria. Por otra parte, si comparamos la distribución de los niveles de 

razonamiento de los futuros profesores con los de la tabla 2, veremos que no 

tienen nivel para ejercer tareas docentes en Educación Secundaria. 

De lo anterior se deriva que quizás uno de los principales problemas que 

nos encontramos para la enseñanza de la geometría en la etapa de Educación 

Primaria está en la insuficiente formación de los Maestros en los conocimientos 

de esta materia. 

 

15.3.3. – El sistema Educativo para la Enseñanza de la Geometría 

 

Veamos finalmente algunas implicaciones de los resultados de este 

trabajo de campo en el sistema de enseñanza de la geometría, dentro del marco 

del sistema educativo descrito en el capítulo 2, y particularmente en las áreas 

de la didáctica de la geometría, la concepción constructivista de los procesos de 

aprendizaje, y la incidencia de este trabajo de campo en el currículo y en las 

estrategias de aprendizaje de la geometría.  

 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  949 

 

15.3.3.1. – Didáctica 

 

Conceptualizada  la didáctica en general, y particularmente la didáctica 

de la geometría en la línea del Prof. Sánchez Delgado, “La didáctica es la 

disciplina que tiene como objeto básico el estudio y acción de los procesos de 

enseñanza y aprendizaje” (Sánchez Delgado; 2005: 12). Vemos que el modelo 

Van Hiele, constituye un modelo referencial para la didáctica de la geometría, ya 

que estructura de forma muy precisa los procesos de enseñanza y aprendizaje. 

 

15.3.3.2. – Constructivismo. Modelo van Hiele 

La estructura y organización del modelo de van Hiele incide de lleno en 

la concepción constructivista de la enseñanza de la geometría, tanto en las 

orientaciones y los programas oficiales, como en las programaciones de los 

profesores y en la organización práctica de las actividades concretas de 

enseñanza y aprendizaje en las aulas. Diríamos que se posiciona del lado de la 

enseñanza  de los contenidos en el debate caricaturizado por el Prof. Monclús 

en la forma, “se podría decir que algunos profesores han estado durante los 

últimos años escindidos entre la necesidad de enseñar contenidos en el aula y la 

aceptación, más o menos reflexionada y argumentada de una filosofía educativa 

que del excesivo peso dado tradicionalmente a los contenidos el origen de una 

gran parte de los males que han aquejado a la educación escolar”. (Monclús; 

2005: 138). 

 

15.3.3.3. – Curriculum 

 

A través de las propuestas de los textos de geometría para las etapas de 

Educación Primaria, Secundaria y Bachillerato, hemos analizado en el Capítulo 8, 

tanto los niveles de razonamiento como las fases de aprendizaje de van Hiele 

del curriculo de geometría, que resumimos en el gráfico 9 del presente capítulo.  



Florencio López de Silanes 

950 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

De todo ello, podemos resumir estos resultados en que: 

- La distribución de los niveles de razonamiento a lo largo de los 12 cursos 

de las tres etapas se adapta a los criterios del modelo de van Hiele. La 

distribución de los niveles puede mejorarse particularmente en el paso 

de Secundaria a Bachillerato, y entre 1º y 2º curso de Secundaria. 

- La distribución de los niveles de razonamiento en el currículo de 

geometría en España, presenta tendencias similares a otros currículos 

como los de Japón y Taiwán.  

- Por tanto entendemos, que los problemas del sistema de la enseñanza de 

la geometría en España no se derivan de la distribución de los niveles de 

razonamiento en el currículo. 

- La distribución de las fases de aprendizaje en los libros de texto de las 

tres etapas es manifiestamente mejorable. Casi podría decirse que en el 

diseño curricular español de geometría no se han tenido presentes las 

fases de aprendizaje del modelo de van Hiele. 

 

15.3.3.4. – Estrategias de aprendizaje 

 

De acuerdo con el Prof. Monclús, “Las estrategias de aprendizaje 

incluyen aquellas actividades específicas ofrecidas a los estudiantes que les 

permitirán comprender el contenido del currículum y, por lo tanto considerar los 

objetivos respectivos” (Monclús; 2005: 37). Las estrategias de la enseñanza y del 

aprendizaje pueden incluir: Enseñanza expositiva, interactiva, de pequeños 

grupos, de indagación, de individualización, con modelos de realidad, través de 

la experiencia y de globalización. 

El modelo de van Hiele con la estructuración del aprendizaje de los 

contenidos por los niveles de razonamiento, y la secuenciación de sus fases de 

aprendizaje para cada uno de los niveles, delimita con precisión una parte de la 

metodología de las actividades educativas, pero no se precisa la estrategia de 

aprendizaje asociado a estas, dejándola al criterio de los profesores o, a la 

identificación de los alumnos con la forma de trabajar asociada a dichas 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  951 

 

estrategias de aprendizaje o, a la selección de la estrategia adecuada para la 

obtención de unos objetivos concretos u obtener el mejor rendimiento de la 

actividad educativa. 

Dentro de esta línea, se les ofreció a los alumnos, en los cuestionarios 

aplicados, que eligieran tres entre nueve opciones diferentes de estrategias de 

aprendizaje de la geometría.  

 

 

Gráfica 19. Distribución porcentual de las estrategias de aprendizaje preferidas por los alumnos. 

Los resultados del trabajo de campo nos indican claramente las 

preferencias de los alumnos. Así, en la gráfica 19 mostramos ordenadamente las 

estrategias preferidas por los alumnos para el aprendizaje de la geometría, 

donde han optado claramente por las estrategias realistas, la resolución de 

ejercicios y el modelo participativo.  

 

 

 

 



Florencio López de Silanes 

952 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

15.3.-Investigaciones futuras 

Pensamos que este trabajo nos abre el campo hacia futuras 

investigaciones como las siguientes: 

- El análisis de los libros de texto en España, incorporando libros de las 

diversas Comunidades Autónomas, así como de las diferentes lenguas 

oficiales. 

- Proposiciones curriculares de geometría, con los niveles de razonamiento 

de van Hiele más equilibrados por cursos, así como la incorporación de 

los criterios del modelo de van Hiele para las fases de aprendizaje de las 

actividades propuestas. 

- Medir el nivel de razonamiento del van Hiele en las diversas 

Comunidades Autónomas de España, para estudiar la distribución de los 

niveles de razonamiento según las Comunidades Autónomas, lenguas y 

otros factores. 

- Medir la eficiencia del sistema educativo español de la geometría a lo 

largo de todas las etapas educativas, Comunidades Autónomas, y otros 

factores. 

- Especificar el curso o cursos para subir de nivel dos al nivel tres de los de 

van Hiele, que hemos visto cómo muy necesario para alumnos de 

Bachillerato y Universidad, con discriminación curricular si fuera 

necesario por los niveles de van Hiele. Especificación de pruebas 

objetivas de la eficiencia de la enseñanza de la geometría.  

- Especificar también un posible curso para elevar a los alumnos del nivel 

tres al nivel cuatro de van Hiele, que es también necesario para alumnos 

que quieran estudiar Ciencias e Ingeniería. En bachillerato no se consigue 

el nivel cuatro, ya que los programas curriculares no se desarrollan 

suficientemente en este nivel. Con la geometría analítica se llega al 

estudio de la recta, el plano, etcétera. Pero hay que extender el lenguaje 

de la geometría analítica, del producto escalar y del producto vectorial 

para medir distancias en todas las condiciones, calcular áreas de 

polígonos, volúmenes de poliedros y medir ángulos. Es decir, completar 

el menú de la geometría métrica euclidiana. 



  Conclusiones Generales 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  953 

 

El proceso de elaboración de esta investigación nos ha enfrentado a una 

continua toma de decisiones. Cualquier elección constituye, en sí misma, la 

exclusión de otras posibles e imprime un determinado curso y dirección a la 

investigación. Nunca tendremos la certeza de que nuestras elecciones hayan 

sido las más adecuadas, pero pensamos que, en su conjunto son respetuosas y 

representan un esfuerzo de coherencia con nuestra manera de comprender el 

escenario conceptual y aplicativo del modelo educativo, y  del trabajo de campo 

realizado. 

Pretendemos que este trabajo represente una modesta contribución a 

la comprensión de las prácticas educativas para la enseñanza de la geometría. Y 

esperamos que pueda servir en un futuro, para comprender y diseñar el 

currículo, los materiales y las prácticas educativas de la geometría.  

 



 



Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  955 

 

 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 16 

 

BIBLIOGRAFÍA 

 

 

 

 

 



 



Bibliografía 

 

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.  957 

 

16.1.- Bibliografía específica para esta investigación 

 

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Florencio López de Silanes 

968 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

16.2.- Bibliografía de libros de texto de Educación Primaria, Secundaria y 

Bachillerato utilizados en la investigación 

  

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Primaria Primer ciclo. Matemáticas 1. Anaya. Autores Grupo Azul 21. 1993 

Primer ciclo. Primer curso. Cifra 1. Matemáticas. Vicens Vives. Educación Primaria. 

2004. 

 

Educación Primaria, segundo curso. 

Primer ciclo. Segundo curso. Matemáticas 2. Vicens Vives. Educación Primaria. 

2007. 

Matemáticas, Primaria. SM 2º. 2007. 

 

Educación Primaria, tercer curso. 

Matemáticas 3. Primaria. Segundo Ciclo. Anaya. 2008. Coordinación editorial, 

Ángeles Valdés. 

 

Educación Primaria, cuarto curso. 

Matemáticas 4. Primaria. Segundo Ciclo. Anaya. 2008. Coordinación editorial, 

Ángeles Valdés. 

 

 

 

Educación Primaria, quinto curso. 



Bibliografía 

 

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Matemáticas 5. Primaria. Tercer Ciclo. Anaya. 2008. Coordinación editorial, Ángeles 

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Matemáticas 5. Educación Primaria. Tercer Ciclo. Bruño. 2009. Coordinación de la 

Edición: Nieves Alverola y Begoña Pego. 

 

Educación Primaria, sexto curso. 

Matemáticas 6. Primaria. Tercer Ciclo. Anaya. 2008. Coordinación editorial, Ángeles 

Valdés. 

Matemáticas 6. Educación Primaria. Tercer Ciclo. Bruño. 2009. Coordinación de la 

Edición: Nieves Alverola y Begoña Pego. 

 

Educación Secundaria (ESO), primer curso. 

Matemáticas 1 ESO. Edebé. Educación Secundaria Obligatoria. Dirección de edición: 

José Francisco Vilchez. Barcelona 2007. 

Matemáticas 1. Fractal. Vicens Vives. Educación Secundaria. Primer Curso. Primer 

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Educación Secundaria (ESO), segundo curso. 

Matemáticas 2 ESO. Edebé. Educación Secundaria Obligatoria. Dirección de edición: 

José Francisco Vilchez Román. Barcelona 2008. 

Matemáticas 2º. Edelvives. Secundaria. Coordinación Editorial: María Luisa 

Hernández Pérez y Mª Carmen Tadeo. 

 

 



Florencio López de Silanes 

970 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 

 

Educación Secundaria (ESO), tercer curso. 

Matemáticas 3 ESO. Edebé. Educación Secundaria Obligatoria. Dirección de edición: 

José Francisco Vilchez Román. Barcelona 2007. 

Matemáticas 3º de ESO. Begoña Martínez. Purificación Montesinos. Francisco 

González. Carmen López. MC Graw Hill. 2007. 

 

Educación Secundaria (ESO), cuarto curso. 

Matemáticas 4 ESO. Edebé. Educación Secundaria Obligatoria. Dirección de edición: 

José Francisco Vilchez Román. Barcelona 2008. 

Matemáticas 4º de ESO opción B. Begoña Martínez. Purificación Montesinos. 

Alejandro Montesinos. Francisco González. Carmen López. MC Graw Hill. 2008. 

 

Bachillerato.  

Matemáticas 1. 1º Bachillerato. Editex. 2003. Edición: Carlos Pérez y Gabriel 

Villalonga. Autores Carlos González García. Jesús Llorente Medrano y María José 

Ruiz Jiménez. 

Matemáticas 2. 2º Bachillerato. Editex. 2003. Edición: Carlos Pérez. Autores Carlos 

González García. Jesús Llorente Medrano y María José Ruiz Jiménez. 

 

 

 

 





 


	Portada
	Índice
	Introducción
	JUSTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN. ANTECEDENTES. METODOLOGÍA
	ENSEÑANZA Y GEOMETRÍA
	INFORME PISA
	EL MODELO VAN HIELE
	DESCRIPTORES DE LOS NIVELES DE RAZONAMIENTO DEL MODELO DE VAN HIELE
	DESCRIPTORES DE LAS FASES DE APRENDIZAJE DEL MODELO DE VAN HIELE
	LA MEDIDA DEL NIVEL DE RAZONAMIENTO DE VAN HIELE EN LOS LIBROS DE TEXTO DE GEOMETRÍA EN EDUCACIÓN PRIMARIA, ENSEÑANZA SECUNDARIA OBLIGATORIA, Y BACHILLERATO
	LA MEDIDA DEL NIVEL DE RAZONAMIENTO EN LOS ALUMNOS EN GEOMETRÍA. VALIDACIÓN DEL CUESTIONARIO DE USISKIN
	MEDIDA DEL NIVEL DE RAZONAMIENTO MEDIANTE EL CUESTIONARIO DE AUTOVALORACIÓN. PRUEBA Y VALIDACIÓN DEL CUESTIONARIO DE AUTOVALORACIÓN. LOS CUESTIONARIOS DE AUTOVALORACIÓN Y DE USISKIN
	PLANTEAMIENTO DEL TRABAJO DE CAMPO PARA LA MEDIDA DEL NIVEL DE RAZONAMIENTO DE VAN HIELE.ANÁLISIS DEL CUESTIONARIO DE CONOCIMIENTO
	ANÁLISIS DE LOS CUESTIONARIOS SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
	MEDIDA DEL NIVEL DE RAZONAMIENTO DE VAN HIELE APLICANDO EL CUESTIONARIO DE USISKIN A ALUMNOS DE LAS ETAPAS: ENSEÑANZA PRIMARIA, ENSEÑANZA SECUNDARIA OBLIGATORIA, BACHILLERATO Y UNIVERSIDAD
	MEDIDA DE LOS NIVELES DE RAZONAMIENTO DE VAN HIELE APLICANDO EL CUESTIONARIO DE AUTOVALORACIÓN A ALUMNOS UNIVERSITARIOS
	CONCLUSIONES GENERALES
	BIBLIOGRAFÍA