Integrabilidad, caos y entrelazamiento en sistemas cuánticos

Abstract

Estudiamos el papel de las matrices aleatorias en la mecánica cuántica. Exploramos en primer lugar cómo el comportamiento del hamiltoniano bajo invariancia temporal determina el tipo de colectividad que lo representa e introducimos las colectividades gaussianas: la ortogonal, la simpléctica y la unitaria. Estudiamos cómo a partir de las transformaciones de simetría características de cada una de estas colectividades se pueden deducir sus distribuciones y propiedades. A continuación, analizamos el espectro (niveles de energía) de estas matrices aleatorias. Calculamos la distribución de los autovalores e introducimos la ley del semicírculo de Wigner, que aproxima asintóticamente esta distribución. Estudiamos también el espaciado entre niveles de energía consecutivos, tras normalizar el espectro mediante el unfolding, introduciendo la distribución que deberían seguir estos espaciados en función de la colectividad a la que pertenece la matriz. Comprobamos estos resultados teóricos mediante simulaciones que generan y analizan matrices de estas colectividades. Finalmente, exploramos cómo la distribución de estos espaciados dependen de si el análogo clásico del modelo es integrable o caótico, presentando las conjeturas de Berry-Tabor y Bohigas-Giannoni-Schmit.