Estudio en tiempo discreto de la expansión de una epidemia

Abstract

A lo largo de toda la historia, la Humanidad se ha visto afectada por grandes epidemias como la peste, la viruela o el sida. Estas epidemias se han estudiado matemáticamente dando lugar a diversos modelos epidemiológicos. Estos modelos tienen dos posibles enfoques, el determinista que se modeliza mediante sistemas de ecuaciones diferenciales y el enfoque estocástico que nosotros lo modelizaremos mediante cadenas de Markov y cuyo modelo subyacente es el modelo SIS estocástico. En ambos casos disponemos de ciertos indicadores los cuales nos permitirán cuantificar la epidemia. Estos son el número reproductivo básico, el número reproductivo exacto y el número reproductivo poblacional. El objetivo principal de este trabajo es el estudio en tiempo discreto de una epidemia en poblaciones de tamaño moderado sin inmunidad y aunque la mayor parte de los estudios son en tiempo continuo estos no se ajustan bien a los datos disponibles en la vida real porque se suelen tener datos medidos sobre intervalos de tiempo como por ejemplo días o meses y no en cualquier instante (inspecciones). La metodología usada para el estudio del modelo epidemiológico, objeto de este trabajo, es la que concierne a las cadenas de Markov en tiempo discreto, en concreto a los procesos de nacimiento y muerte. Al modelizarse mediante cadenas de Markov se garantiza que todos los brotes epidémicos finalicen en un tiempo esperado finito y por ello se estudia el número de etapas hasta la finalización de la epidemia. Para su análisis hemos usado ecuaciones en diferencias finitas, método de la primera transición. Su posterior análisis numérico para evaluar la influencia de los parámetros del modelo se ha realizado con el software R.