Explanation (as friendly as possible) of the PCP theorem and its proof

Abstract

Since the discovery of NP-completeness in 1972, many researchers have focused on the possibility of efficiently computing approximate solutions to NP-hard optimization problems. Researchers noticed that even when restricting ourselves to NP-hard problems, the level of approximation depends heavily on the problem at hand. Cook-Levin-Karp reductions are not useful when approximating solutions.

The PCP theorem provides a new characterization of the NP class. One view of the PCP theorem provides an important result about approximations. It proves that for some (not all) NP-complete optimization problems, computing a sufficiently approximate solution is as hard as computing an exact solution, which has significant real-world implications.

Essentially, the PCP theorem tells us that we can write every mathematical proof in a format such that we can probabilistically test whether it is correct by checking only two random statements of fixed size from the proof. On April 7, 1992,

The New York Times published an article entitled “New Short Cut Found for Long Math Proofs” in order to popularize this new characterization of the NP class.

In the first part of the thesis, the PCP theorem will be presented along with an important practical consequence. Subsequently, we provide a proof of the PCP theorem, with additional details extended in the appendices. The proof aims to strike a balance between mathematical rigor and intuitive clarity, thereby facilitating a deeper understanding of the underlying reasoning.

Desde que se descubrió la NP-completitud en 1972, muchos investigadores se han centrado en la posibilidad de calcular de forma eficiente soluciones aproximadas a problemas de optimización NP-duros. Los investigadores se dieron cuenta de que, incluso restringiéndonos a problemas NP-duros, el grado de la aproximación dependía mucho del problema en específico y las reducciones al estilo Cook-Levin-Karp no sirven a la hora de estudiar aproximación de soluciones. El teorema PCP nos da una nueva caracterización de la clase NP. Una forma de ver el teorema PCP nos da un resultado importante sobre las aproximaciones. Nos demuestra que para algunos (no todos) problemas de optimización NP-completos es igual de difícil calcular una solución suficientemente aproximada que una solución exacta, lo que tiene gran importancia en el mundo real.

Básicamente, el teorema PCP nos dice que podemos escribir cualquier demostración matemática en cierto formato de tal manera que revisando dos partes aleatorias de tamaño constante de la demostración podemos comprobar de manera probabilística si es correcta o no, lo cual fue muy contraintuitivo en su momento. El 7 de abril de 1992 The New York Times publicó un artículo llamado “New Short Cut Found for Long Math Proofs” con el fin de popularizar esta nueva caracterización de la clase NP.

En la primera parte de la memoria se presentará el teorema PCP junto con una consecuencia prácticas importantes. Posteriormente, se demostrará el teorema PCP llegando a extender la demostración con detalles adicionales en los apéndices. En la demostración se busca un equilibrio entre el rigor matemático y la claridad intuitiva, lo que facilita comprender el razonamiento.