New developments and applications of the inverse problem of the calculus of variations.

Abstract

Gran parte del trabajo incluido en esta tesis tiene un tema común que es el problema inverso del calculo de variaciones. De manera concisa, este problema inverso se refiere a si un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden (SODE para abreviar) es equivalente a un sistema Lagrangiano regular. Este problema se remonta a finales del siglo XIX, momento en el que solo se comprenda completamente el caso unidimensional. Cuarenta años mas tarde, el medallista Fields J.Douglas dio una clasificación para sistemas bidimensionales [55]. Después de esto no se ha clasificado completamente ninguna otra dimensión, pero se ha conseguido una comprensión geométrica mas profunda del problema gracias a las contribuciones de varias personas incluyendo G. Prince, W. Sarlet,M. Crampin, I. Anderson y G. Thompson [49, 144], que hicieron posible la extensión de algunos de los casos de la clasificación de Douglas a dimensiones arbitrarias [3, 47].Las condiciones de Helmholtz son un conjunto bien conocido de ecuaciones algebraicas y ecuaciones en derivadas parciales que son necesarias y suficientes para que una SODE sea variacional, es decir,equivalente a un sistema Lagrangiano regular. Estas condiciones vienen dadas en términos de una matriz de multiplicadores, que corresponde a la matriz Hessiana del Lagrangiano buscado con respecto a las velocidades, y fueron utilizadas por Douglas para describir su clasificación. Hay un teorema de M.Crampin que caracteriza el problema en términos de la existencia de una 2-forma de Poincare-Cartan. Nos referiremos a este resultado como Teorema de Crampin [43]...