Índice de punto fijo en hiperespacios e índice de Conley

Abstract

La presente Memoria tiene por objeto la construcción y el estudio de cierto tipo de índices asociados a los conjuntos compactos, invariantes y aislados de sistemas dinámicos discretos. Estos índices, de propiedades análogos a las del índice de Conley, nos permitirán obtener información sobre la dinámica en los conjuntos mencionados. Dividimos el contenido de este texto en tres partes. En la primera de ellas (Capítulo I) construimos el índice "shape" asociado a un compacto invariante y aislado de un sistema dinámico discreto definido sobre un espacio métrico. Lo novedoso de esta construcción es que prescinde de la condición de compacidad local del espacio, resolviendo así un problema planteado por M.Mrozek. En la segunda parte (Capítulos II y III) asociamos a un compacto invariante y aislado de un sistema dinámico discreto f en un ANR localmente compacto X, los índices de punto fijo de las aplicaciones inducidas por f en ciertos espacios de X. Calcularemos sus valores y veremos cuál es su significado dinámico. Sea f: U C R2 -: R2 un homeomorfismo sobre la imagen y sea K un compacto invariante, aislado y conexo. La tercera y última parte de este estudio (Capítulo IV) calcula el índice de punto fijo, en los entornos aislantes de K, de las interaciones de f, iR2(fk,U(k)). Presentamos un teorema, demostrado de manera simple y geométrica, que generaliza un resultado de P. Le Calvez y J.C. Yoccoz. Obtenemos como corolario la no existencia de homeomorfismos minimales en ciertos subconjuntos de S2.