Mathematical Modeling and Numerical Simulation of Thermal Ablation Treatments in Heart Arrhythmias

Abstract

Catheter ablation is a procedure that is used to treat cardiovascular diseases, specially arrhythmias. A catheter, that is inserted through a vein, is placed in the affected area of the heart, and an electric shock is applied in order to destroy the abnormal tissue. If the temperature of the cardiac tissue exceds a certain threshold stream pops occur, and this phenomenon can lead to serious complications. Therefore, a very helpful aspect consists of obtaining the temperature distribution in the cardiac tissue.

The number of studies centered in the mathematical modelization of the problem is limited, and the existing ones lack important sections as numerical scheme validations or certain correlation justifications. This is the reason why it is necessary to extend the preceding studies, the objective being to obtain results as realistic as possible. Taking into account the previous remarks, the main goal of this work is to take a first step towards analising the problem, considering a simple three-dimensional model; in particular, assuming rotational symmetry and approximating blood velocity by mean values. Moreover, making additional simplifications the problem can be reduced to a system of two parabolic equations and two elliptic equations, both of them subjected to compatibility conditions. The system is solved numerically by means of a spectral method.

With respect to the results, the temperature values that are obtained in standard conditions are coherent. Furthermore, a parametric study of the procedure is performed, together with an assessment of the importance of several assumptions made in the model. The results section concludes with an optimal control analysis of the system.

La ablación con catéter es un procedimiento que se emplea para tratar enfermedades cardiovasculares, especialmente arritmias. Un catéter se inserta a través de una vena, se sitúa en el área afectada del corazón y se aplica un descarga eléctrica con el objetivo de inutilizar el tejido anormal. Si la temperatura del tejido cardíaco supera un valor umbral se producen burbujas de vapor, y este fenómeno puede dar lugar a serias complicaciones. Por consiguiente, un aspecto de gran utilidad reside en la obtención de la distribución de temperatura en el tejido cardiaco. El número de trabajos centrados en la modelización matemática del problema es limitado, ylos existentes carecen de apartados importantes como de validación de esquemas numéricos o de justificación de determinadas correlaciones. Es por ello por lo que es necesario ampliar los estudios previos, con el objetivo de obtener resultados lo más realistas posibles. Tendiendo en cuenta las ideas anteriores, el propósito principal de este trabajo es el de dar un primer paso a la hora de analizar el problema, considerando un modelo tridimensional sencillo; en concreto, asumiendo simetría de revolución y aproximando la velocidad de la sangre por valores medios. Asimismo, realizando simplificaciones adicionales el problema puede reducirse a un sistema de dos ecuaciones parabólicas y dos ecuaciones elípticas, ambas sometidas a condiciones de compatibilidad. Dicho sistema se resuelve numéricamente por medio de un método espectral. En lo que respecta a los resultados, los valores de temperatura que se obtienen en condiciones estándar son coherentes. Además, se realiza un estudio paramétrico del procedimiento, junto con una valoración de la importancia que poseen varias de las hipótesis realizadas en el modelo. El apartado de resultados concluye con un análisis sobre el control óptimo del sistema.