Invariant subspaces for classes of operators : finite rank perturbations of normal operators and positive operators

Abstract

The Invariant Subspace Problem is, probably, one of the most important open problems in Operator Theory on Hilbert spaces. One of the most successful approaches that have been considered to obtain results for such a problem consists in studying particular classes of operators and taking advantage of their properties. This strategy has provided results for certain cases, although nowadays there are plenty of apparently simple classes of operators for which the existence of non-trivial closed invariant subspaces is still unknown. The major purpose of this PhD thesis is to study this problem for two classes of operators: finite rank perturbations of normal operators on Hilbert spaces and positive operators on Banach lattices. After the introduction of the problem and the needed mathematical preliminaries, the manuscript is divided into two parts, in order to clarify the exposition of the results. The first part of the thesis, which consists of Chapters 2-6, focuses on finite rank perturbations of diagonalizable normal operators. In Chapter 2, we study rank-one perturbations of such operators, characterizing some spectral properties such as the single-valued extension property, as well as the spectral subspaces associated to closed sets of the complex plane. As a consequence, in Chapter 3, we obtain results about the existence of non-trivial hyperinvariant subspaces for such operators, which improve considerably the previous results by Foia¸s, Jung, Ko and Pearcy [42] and Fang and Xia [39]...El Problema del Subespacio Invariante es, probablemente, uno de los problemas abiertos más importantes en Teoría de Operadores en espacios de Hilbert. Uno los enfoques más fructíferos que se han considerado para obtener resultados sobre este problema ha sido estudiar clases particulares de operadores y sacar partido de sus propiedades. Esta estrategia ha proporcionado resultados satisfactorios para ciertas casos, aunque a día de hoy hay clases de operadores aparentemente sencillas para las que aún se desconoce la existencia de subespacios cerrados e invariantes no triviales. El objetivo principal de esta tesis es estudiar dicho problema para dos clases de operadores: las perturbaciones de rango finito de operadores normales en espacios de Hilbert y los operadores positivos en retículos de Banach. Tras la exposición de la introducción del problema y los preliminares matemáticos necesarios, la memoria está dividida en dos partes para clarificar la exposición de los resultados. La primera parte de la tesis, que comprende los Capítulos 2-6, se centra en el estudio de las perturbaciones de rango finito de operadores normales diagonalizables. En el Capítulo 2, estudiamos en primer lugar perturbaciones de rango uno de tales operadores, para los que caracterizamos algunas propiedades espectrales como la single-valued extension property, así como los subespacios espectrales asociados a conjuntos cerrados del plano complejo. Como consecuencia, en el Cap´ıtulo3, obtenemos resultados sobre la existencia de subespacios cerrados e hiperinvariantes no triviales para dichos operadores, que extienden considerablemente los resultados previos de Foia¸s, Jung, Koy Pearcy [42] y Fang y Xia [39]...