Interrelación entre lo matemático y lo didáctico en la reconstrucción escolar de los sistemas de numeración

Abstract

Ce travail propose une réponse au problème didactique de comment mettre en place un processus d’étude sur les systèmes de numération qui fasse apparaître, de manière explicite, les raisons d’être de ce savoir, c’est-à-dire des questions successives auxquelles cette organisation mathématique apporte une réponse. Nos analyses font apparaître les dépendances entre, d’une part, les tâches didactiques mises en oeuvre par le professeur et ses élèves, les techniques didactiques disponibles pour réaliser ces tâches et le discours technologique qui sert à interpréter et justifier ces techniques et, d’autre part, les composants et la raison d’être de l’organisation mathématique à mettre en place. Nous montrons aussi que l’objectif du processus didactique ne peut pas se réduire à l’organisation mathématique finalement construite, mais doit embrasser tout le parcours d’étude, car ce sont justement les organisations intermédiaires qui donnent sens à la construction finale. Le cas présenté est ainsi une illustration exemplaire de détermination réciproque entre le mathématique et le didactique.

This paper addresses the didactic problem of how to work out a process of study related to systems of numeration that explicitly shows the raisons d’être of this piece of knowledge, that is the successive questions to which this mathematical organization gives an answer. Our analyses highlight the dependences between didactic and mathematical organizations. These dependences affect, on the one hand, the didactic tasks carried out by the teacher and the students, the didactic techniques available and the technological discourse to interpret and justify them and, on the other hand, the components and the rationale of the mathematical organization at stake. We also show that the objective of the didactic process may not be reduced to the mathematical organization finally obtained, but has to include the course of study, as the intermediate organizations are precisely the ones that give sense to the final result. The considered case is thus a model example of the reciprocal determination between the mathematics and the didactics.