Conjuntos minimales en foliaciones holomorfas

Abstract

En este trabajo presentamos una introducción a las foliaciones holomorfas con singularidades sobre variedades complejas (centrando la atención en el caso del espacio proyectivo complejo) orientado al estudio del problema de existencia de conjuntos minimales no triviales. El problema lo resolvió Alcides Lins-Neto en [14] para foliaciones holomorfas singulares de codimensión uno sobre el espacio proyectivo complejo n-dimensional, cuando n es mayor o igual a tres, pero en el caso del plano proyectivo complejo aún está por resolver. Si una foliación de codimensión uno en el plano proyectivo complejo tiene minimal no trivial sabemos que:solo hay un conjunto minimal no trivial, el minimal no es una sola hoja, las hojas son hiperbólicas (como superficies de Riemann), existe una hoja en el minimal con un lazo con holonomía hiperbólica. La última propiedad es un trabajo de Bonatti, Langevin y Moussu [1]. Pero el problema todavía está abierto, por lo que es necesario introducir nuevas herramientas para atacarlo. Algunos trabajos de Sullivan [18] sobre foliaciones reales contienen la idea de utilizar las corrientes para estudiar la dinámica de las hojas. En esta línea Fornaess y Sibony ([7] y [8]) están desarrollando unas técnicas basadas en el estudio de corrientes armónicas dirigidas por la foliación para atacar el problema del minimal no trivial.