Introducción a la física no lineal: solitones en el modelo Frenkel-Kontorova

Abstract

Este Trabajo de Fin de Grado tiene como objetivo el estudio de las soluciones de tipo solitón en el modelo de Frenkel-Kontorova (FK), el cual es un modelo discreto, presenta fenómenos característicos que no aparecen en modelos continuos como la ecuación de Sine-Gordon (SG) o la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV). Para ello se toma la ecuación de movimiento derivada del Hamiltoniano de FK, a la que se añade un término disipativo asociado a la pérdida de energía por fricción, y se analiza la dinámica de solitones topológicos, aquellos en los que las fases conectan valores de 0 a 2π,bajo condiciones de contorno periódicas, correspondientes a una cadena cerrada.

Este estudio se ha llevado a cabo mediante simulaciones numéricas en C++, y el análisis gráfico se ha realizado a través de Python. Mediante estos programas se estudian dos escenarios: el primero sin fuerza externa, y el segundo con fuerza externa constante con el fin de analizar la barrera de Peierls-Nabarro en la energía (EPN), los modos internos, las velocidades preferentes y las resonancias.This Bachelor’s Thesis aims to study soliton-type solutions in the Frenkel Kontorova model (FK), which, being a discrete system, exhibits characteristic phenomena not present in continuous models such as the Sine-Gordon (SG) or Korteweg-de Vries (KdV) equations. To this end, the equation of motion de rived from the FK Hamiltonian is considered, with an added dissipative term accounting for energy loss due to friction. The dynamics of topological soli tons, those in which the phases connect values from 0 to 2π, are analyzed under periodic boundary conditions, corresponding to a close particle chain.

This study has been carried out through numerical simulations using C++, and graphical analysis is performed using Python. Two main scenarios are explored: the first when no external force is applied, and the second with a con stant force, with the objective to analyze the Peierls-Nabarro potential (EPN), internal modes, preferred velocities, and resonance phenomena.