Contributions to the theory of P-adic L-functions

Abstract

En el presente trabajo, por un lado, exponemos las diversas construcciones de las funciones L p-ádicas asociadas a extensiones abelianas de los números racionales y mostramos su equivalencia. También se comenta cómo el enfoque en términos de distribuciones p-ádicas permite su generalización a extensiones abelianas reales de cuerpos totalmente reales, formas modulares y curvas elípticas. Detallamos la construcción debida a Mazur, Tate y Teitelbaum y demostramos que la función L p-ádica ciclotómica no es idénticamente nula sobre los caracteres p-ádicos de orden infinito en el caso ordinario, para peso par arbitrario, una cuestión formulada por Darmon en 2008. Además, mostramos que el orden de anulación de la función L p-ádica ciclotómica es finito en cualquier punto. Construímos funciones L p-ádicas asociadas a puntos cuadráticos mediante una teoría propia de integración a lo largo de geodésicas que conectan estos puntos. Mostramos la relación de nuestra construcción con la producción de puntos algebraicos sobre curvas elípticas modulares y generalizamos nuestra construcción a formas automorfas para curvas de Shimura asociadas a álgebras de cuaterniones indefinidas sobre el cuerpo racional. Para ello desarrollamos una teoría de símbolos modulares cuadráticos en curvas de Shimura compactas y la relacionamos con la teoría clásica. Damos además algoritmos explícitos de descomposición en la homología de algunas de estas curvas.