The homotopy type of the contactomorphism group of a contact 3-manifold

Abstract

We show that the homotopy type of any connected component of the contactomorphism groupof a tight contact 3-manifold is characterized by the homotopy type of the di↵eomorphismgroup plus some data provided by the topology of the formal contactomorphism space. As aconsequence, we show that every connected component of the space of Legendrian long knotsin R3 has the homotopy type of the underlying smooth long knot space. This implies that anyconnected component of the space of Legendrian embeddings in S3 is homotopy equivalentto the space K(G, 1) ⇥ U(2), with G computed by A. Hatcher and R. Budney. Similarstatements are proven for Legendrian embeddings in R3 and for transverse embeddings inS3. We compute the homotopy type of the contactomorphism group of several tight 3-folds:S1 ⇥ S2, Legendrian fibrations over compact orientable surfaces and finite quotients of thestandard 3-sphere. In fact, the computations show that the method works whenever we haveknowledge of the topology of the di↵eomorphism group. We prove several statements on theway that have interest by themselves: the computation of the homotopy groups of the space ofnon-parametrized Legendrians, a multiparametric convex surface theory, a characterizationof formal Legendrian simplicity in terms of the space of tight contact structures on thecomplement of a Legendrian and the existence of common trivializations for multi-parametricfamilies of tight R3. We also compare the situation with the overtwisted case. Finally, weapply contact topological methods to study the topology of the space of parametrized smoothknots in R4...

En esta tesis probamos que el tipo de homotopía de cada componente conexa del grupo de contactomorfismos de una 3-variedad de contacto rígida está caracterizado por el tipo de homotopía del grupo de difeomorfismos y cierto dato que proviene del espacio de contactomorfismos formales. A consequencia de esto deducimos que cada componente conexa del espacio de encajes largos legendrianos en R3 tiene el mismo tipo de homotopía que la componente conexa del espacio de encajes largos diferenciables subyacente. Esto implica que cualquier componente conexa del espacio de encajes legendrianos en S3 tiene el tipo de homotopía de U(2) ⇥ K(G, 1), donde el grupo G fue calculado for A. Hatcher y R. Budney. Calculamos el tipo de homotopía del grupo de contactomorfismos de varias 3-variedades de contacto rígidas: S1 ⇥ S2, fibrados legendrianos sobre superficies compactas orientables y cocientes finitos de la 3-esfera. De hecho, el método utilizado para probar estos resultados funciona siempre queconozcamos el tipo de homotopía del grupo de difeomorfismos. Probamos varios resultados en el camino que tienen interés por sí mismos: calculamos los grupos de homotopía del espacio de legendrianas encajadas, desarrollamos una teoría de superficies convexas multiparamétrica, caracterizamos la simplicidad formal legendriana en términos del espacio de estructuras de contacto rígidas en el complemento de una legendriana y probamos la existencia de trivializaciones comunes de familias multiparamétricas de 3-espacios euclídeos de contacto rígidos. También comparamos la situación con el caso de contacto no rígido. Finalmente, aplicamos métodos de topología de contacto para estudiar el espacio de nudos parametrizados en R4...