El grupo de Galois de los polinomios de grado 5

Abstract

En este trabajo se aborda la determinación del grupo de Galois de los polinomios irreducibles de grado 5 sobre un cuerpo de característica 0. Primero, se sientan las bases necesarias sobre teoría de grupos, haciendo especial hincapíe en el estudio de los subgrupos transitivos del grupo de permutaciones S5, los únicos candidatos posibles a grupo de Galois de estos polinomios. Más adelante, se repasan los conceptos clave utilizados de la teoría de Galois. Finalmente, como objetivo central, se proporciona un procedimiento algorímico para el cálculo efectivo del grupo de Galois de los polinomios irreducibles de grado 5 a partir de una serie de criterios de caracterización en forma de condiciones necesarias y su ficientes. Para ello, se requieren únicamente los coe ficientes del polinomio, a partir de los cuales se calcula su discriminante y la llamada resolvente séxtica universal. En el Apéndice se recogen, entre otros, resultados adicionales para familias paramétricas de polinomios.

In this work we approach the identi cation of the Galois group of a 5th degree irreducible polynomial over a eld of characteristic 0. First of all, we lay the group theory foundations, with particular emphasis on studying the transitive subgroups of the permutation group S5, as they are sole candidates for being the Galois group of these polynomials. Later, we review key concepts of Galois theory which will be used. Finally, as core goal, we provide an algorithmic procedure for e ective calculation of the Galois group of every 5th degree irreducible polynomial. For that purpose, we just need to know the coe cients of the polynomial, to calculate its discriminant and the so-called universal sextic resolvent. In the Appendix, many additional results for parametric families of polynomials are set out, among other results.