Reduction by fiberwise actions andhigher-order reduction in Field Theory

Abstract

The aim of this thesis is to develop two new types of reduction by symmetries for covariant Lagrangian field theories; namely, reduction by fiberwise actions, also known as local gauge reduction or, simply, gauge reduction, and higher-order Euler–Poincaré reduction. The technique utilized in both cases consists of studying the geometry of the reduced configuration bundle, i.e., the quotient of the original configuration bundle by the corresponding action, and next transferring the principle of stationary action or Hamilton’s principle to that reduced bundle. The reduced variations are not free any more, but they are restricted, and when applied to the reduced Lagrangian they yield the reduced field equations. In addition, the reconstruction problem, which consists of finding the compatibility condition that guarantee that the solutions of the reduced equations come from solutions of the original equations, and the relation of the reduced equations (or some of them) with the Noether conservation law are addressed...El objetivo de esta tesis es desarrollar dos nuevos tipos de reducción por simetrías para teorías de campos lagrangianas covariantes, a saber, reducción por acción fibrada, también conocida como reducción gauge local o, simplemente, reducción gauge, y reducción de Euler–Poincaré de orden superior. En ambos casos, la técnica empleada consiste en estudiar la geometría del fibrado de configuración reducido, esto es, el cociente del fibrado de configuración original por la acción correspondiente, y a continuación transferir el principio de acción estacionaria o principio de Hamilton a dicho fibrado reducido. Las variaciones reducidas ya no son libres, sino que están restringidas, y al aplicarlas a la lagrangiana reducida se obtienen las ecuaciones de campo reducidas. Además de lo anterior, se abordan el problema de reconstrucción, dando las condiciones de compatibilidad que garantizan que las soluciones de las ecuaciones reducidas proceden de soluciones de las ecuaciones originales, y la relación de las ecuaciones reducidas (o parte de ellas) con las leyes de conservación dadas por el teorema de Noether...