Dinámica de Hamilton–Jacobi para el cierre de microfisuras en hueso cortical

Abstract

La biología se ha convertido en una de las principales fuentes de problemas matemáticos de este siglo. En particular, la modelización de fenómenos biomédicos con técnicas matemáticas avanzadas resulta de gran interés, por la nueva perspectiva que aporta para el avance de la medicina moderna. Un claro ejemplo de esto son los modelos matemáticos sobre la remodelación de hueso que han aparecido en los últimos años, consúltese [2]. Este trabajo busca utilizar uno de dichos modelos, [1], junto con técnicas sobre dinámica de curvas, para modelar la remodelación del hueso cortical cuando aparecen microfisuras internas. El trabajo se divide en cinco capítulos. En el primero se dan los fundamentos biológicos del proceso de reparación de hueso, junto con una descripción del modelo [1]. En el segundo capítulo se expone la teoría necesaria sobre dinámica de curvas. En particular se presenta la base sobre el Método de Conjuntos de Nivel y el Flujo por Curvatura Media. En el tercero se explican los métodos numéricos utilizados para resolver numéricamente las ecuaciones de Flujo por Curvatura Media. En el cuarto capítulo se presentan los resultados de añadir al modelo [1] una dinámica de Flujo por Curvatura Media para la remodelación del hueso cortical. En el quinto y último capítulo se recopilan las conclusiones del trabajo. Como referencias principales se utilizaron los artículos y libros [1, 5, 6, 7, 9]. Debido a la carga geométrica que poseen tanto el Método de Conjuntos de Nivel como las ecuaciones de Flujo por Curvatura Media, hemos añadido un apéndice con los conceptos básicos de Geometría Diferencial necesarios para el trabajo, tomando de referencia el libro [8]. Además, añadimos otro apéndice con una deducción de las ecuaciones de Flujo por Curvatura Media, siguiendo las pautas de [3, 4]. En cualquier caso, para el lector que desee profundizar sobre la teoría desarrollada o su contexto, se le recomienda consultar cualquiera de las fuentes de la bibliografía. Todas las figuras expuestas han sido diseñadas por el autor utilizando la herramienta de presentaciones Power Point. Se espera que este trabajo sirva como base para el estudio de modelos matemáticos con aplicaciones biológicas y motive al lector interesado a profundizar más por su cuenta.Biology has become one of the main sources of mathematical problems in the last century. In particular, modeling biomedical phenomena with advanced mathematical techniques is of great interest, due to the fresh perspective it brings for the advancement of modern medicine. A clear example of this are the mathematical models for bone remodeling that have been developed in recent years; see [2]. This essay seeks to use one of these models, [1], together with curve dynamics, to model the remodeling behavior of cortical bone when an internal fracture occurs. The work is divided into five chapters. Chapter one gives the biological foundations of the bone remodeling process, along with a description of the mathematical model presented in [1]. The second chapter presents the necessary theory on curve dynamics for the essay. In particular, it presents the basis for the Level Set Method and Mean Curvature Flow equations. The third chapter explains the numerical methods used to solve the Mean Curvature Flow equations. Chapter four presents the results of adding a Mean Curvature Flow dynamic to [1] in order to replicate cortical bone remodeling. The fifth and final chapter is dedicated to the conclusions of the essay. The main references used are the articles and books [1, 5, 6, 7, 9]. Due to the extensive use of Differential Geometry to describe the Level Set Method and the Mean Curvature Flow equations, we added an appendix with basic concepts needed for the essay, taking the book [8] as reference. Additionally, we added another appendix with a deduction of the Mean Curvature Flow equations, following the guidelines of [3, 4]. In any case, for the reader who wishes to dive deeper into the developed theory or its context, it is recommended to consult any of the sources in the bibliography. All figures presented have been designed by the author using Power Point. We hope that this work will serve as a basis for the study of mathematical models with biological applications, and will motivate the interested readers to explore the subject in greater depth.