Acciones de grupos sobre espacios topol�ógicos

Abstract

Este trabajo está dividido en cuatro capítulos. El primero introduce las acciones de grupo presentando los elementos básicos, algunos resultados inmediatos y un par de teoremas clásicos, el teorema de Cayley y el de recurrencia de Poincaré. El segundo capítulo sigue tratando las acciones, ahora dotadas de topología y se pasa a estudiar las órbitas de dichas acciones. El capítulo concluye con otro teorema de recurrencia que se apoya en la compacidad del espacio. El cuarto versa sobre el grupo de los homeomorfísmos H(X) de un espacio topológico localmente compacto X. Claramente H(X) es un grupo respecto la composición de aplicaciones. En H(X) hemos considerado una topología de grupo Tg, introducida por Arens bajo el nombre de g-topología, que hace continua la acción natural H(X) X  X, es decir, es admisible y por ello más fina que la compacto-abierta. La topología compacto-abierta en H(X) en general no hace continua la inversión f  f-1, y en consecuencia no es topología de grupo. Si X es compacto y T2 la topología descrita Tg coincide con la compacto-abierta. En el caso más general de X localmente compacto y T2, _g es la topología menos fina en H(X) de todas aquellas que cumplen las dos condiciones: ser topología de grupo y ser admisible.