Haantjes Geometry and Integrable Systems: A Tensorial Approach to Geometric Mechanics

Abstract

This thesis is framed within the quest for a unified theoretical approach to address the integrability of finite-dimensional Hamiltonian systems through an in-depth study of Haantjes geometry. Building upon the fundamentals of geometric mechanics and the classical theory of integrability in the Arnold-Liouville sense, ourwork explores the decisive role played by Nijenhuis and Haantjes operators in structuring dynamical systems. The key of this approach lies in the vanishing of the torsion of these operators, which guarantees the integrability of the eigen distributions generated by their eigenvectors and enables the construction of local charts in which these operators assume diagonal or block-diagonal forms. Such tensorial properties provide a powerful and elegant criterion for achieving the separation of variables in the Hamilton-Jacobi equation..

Esta tesis propone un marco teórico unificado para estudiar la integrabilidad de sistemas hamiltonianos de dimensión finita mediante la geometría de Haantjes. Combinando los fundamentos de la mecánica geométrica con la teoría clásica de integrabilidad de Arnold-Liouville, demostramos el papel crucial de los operadores de Nijenhuis y Haantjes en la estructura de los sistemas dinámicos. La clave reside en que la anulación de la torsión de estos operadores asegura la integrabilidad de las distribuciones de sus autovectores y permite construir cartas locales donde estos operadores adoptan formas diagonales o por bloques. Estos resultados ofrecen un criterio elegante y potente para la separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi...