Nodal solutions of a class of one-dimensional BVP’s: analytical and numerical aspects

Abstract

This PhD Thesis studies the following one dimensional boundary value problem subject to homogeneous Dirichlet boundary value conditions: ß↑u↗↗(x) = εu(x) ↑ a(x)u3(x) in (0, 1),u(0) = u(1) = 0,(1) where ε ↔ R is regarded as a bifurcation parameter and a ! 0 is a piece-wise constant function, either nonnegative, or non-positive. In particular, we focus our attention on the phenomena of multiplicity of positive and nodal solutions with one (interior) node z, in the interval (0, 1). In the specialized literature, problem (1) is said to be of sublinear type, non-degenerate, ifa(x) > 0 for all x ↔ [0, 1], (2) whereas if there exist ϱ, ς ↔ [0, 1], with ϱ < ς, such that [ϱ, ς] ↘ a↑1(0), then, the problem is said to be sublinear degenerate. When, instead of a ≃ 0, one has that a ⇐ 0, then the problem is said to be of superlinear type, non-degenerate if a(x) < 0 for all x ↔ [0, 1] and degenerate if a vanishes on some open subset of (0, 1), like in the classical problem studied by Moore and Nehari in 1959 for the special case ε = 0 (see [64])...

Esta tesis estudia el siguiente problema unidimensional con valores de contorno homogéneos de tipo Dirichlet: ß↑u↗↗(x) = εu(x) ↑ a(x)u3(x) en (0, 1),u(0) = u(1) = 0,(3) en donde ε ↔ R es considerado un parámetro de bifurcación y a ! 0 es una función constante por tramos, bien no negativa o bien no positiva. En particular, nos centraremos en los fenómenos de multiplicidad de soluciones positivas y nodales con un nodo (interior) z, en el intervalo (0, 1). En la literatura especializada, se dice que el problema (3) es de tipo sublineal, no degenerado, cuando a (x) > 0 para todo x ↔ [0, 1], (4)mientras que si existen ϱ, ς ↔ [0, 1], con ϱ < ς, tales que [ϱ, ς] ↘ a↑1(0), entonces el problema pasa a ser de tipo sublineal degenerado. Si por el contrario, en lugar de a ≃ 0, tenemos que a ⇐ 0, entonces se dice que el problema es de tipo superlineal, no degenerado si a(x) < 0 para todo x ↔ [0, 1] y degenerado si a se anula en algún subconjunto abierto de (0, 1), como en el problema clásico estudiado por Moore y Nehari en 1959 en el caso especial ε = 0 (ver [64]).