Topological quantum field theories for character varieties

Abstract

La presente tesis doctoral esta dedicada al estudio de las estructuras de Hodge de un tipo especial de variedades algebraicas complejas que reciben el nombre de variedades de caracteres. Para este n, proponemos utilizar una poderosa herramienta de naturaleza algebro-geometrica, proveniente de la física teorica, conocida como Teoría Topologica de Campos Cuanticos (TQFT por sus siglas en ingles). Con esta idea, en la presente tesis desarrollamos un formalismo que nos permite construir TQFTs a partir de dos piezas mas sencillas de informacion: una teoría de campos (informacion geometrica) y una cuantizacion (informacion algebraica). Como aplicacion, construimos una TQFT que calcula las estructuras de Hodge de variedades de representaciones y la usamos para calcular explícitamente los polinomios de Deligne-Hodge de SL2(C)-variedades de caracteres parabolicas.

This PhD Thesis is devoted to the study of Hodge structure on a special type of complex algebraic varieties, the so-called character varieties. For this purpose, we propose to use a powerful algebrogeometric tool coming from theoretical physics, known as Topological Quantum Field Theory (TQFT). With this idea in mind, in the present Thesis we develop a formalism that allows us to construct TQFTs from two simpler pieces of data: a field theory (geometric data) and a quantisation (algebraic data). As an application, we construct a TQFT computing Hodge structures on representation varities and we use it for computing explicity the Deligne-Hodge polynomials of parabolic SL2(C)-character varieties.