Teoría de Bifurcación

Abstract

Uno de los mayores avances en la matemática moderna ha sido la generalización de los conceptos del Álgebra Lineal y el Análisis Real a una categoría más amplia de espacios, los de Banach. Así es como nace el Análisis Funcional, herramienta fundamental para tratar problemas matemáticos que en principio parecen de distinta naturaleza con las herramientas tradicionales del Cálculo de los espacios Euclídeos. Esto generó mucho progreso especialmente en el campo de las Ecuaciones Diferenciales, pues la mayoría de los espacios de funciones de interés tienen estructura de espacio de Banach. Un ejemplo de ello es la Teoría de la Bifurcación, que utiliza estas herramientas para estudiar el comportamiento topológico del conjunto de ceros de un operador abstracto, el cual en la mayoría de casos representa la solución a un problema de Ecuaciones Diferenciales. Este trabajo pretende ser una introducción a dicha teoría, exponiendo sus principales resultados y su uso para analizar un problema de Ecuaciones Diferenciales. El trabajo se divide fundamentalmente en cuatro capítulos. En el primero se hace una introducción a la Teoría de la Bifurcación mediante el estudio de un problema de contorno, introduciendo la terminología más básica de la materia. En el segundo se expone el Teorema de la Función Implícita en espacios de Banach, herramienta fundamental en la Teoría de la Bifurcación, con la que se demuestran muchos de sus resultados. En el tercero se estudia el Teorema de Crandall–Rabinowitz, uno de los principales resultados de la teoría, y se utiliza para resolver de forma alternativa el problema de contorno planteado en la introducción en un marco un tanto más general. En el cuarto y último capítulo se desarrollaran algunos teoremas abstractos de bifurcación, como las Reducciones de Lyapunov–Schmidt y el Teorema de Ize, y se dan algunos resultados para analizar la estructura topológica del conjunto de ceros de cierto tipo de operadores. Como referencias principales se han utilizado los libros [4], [14], [23] y los apuntes sobre Teoría de Bifurcación [11]. Debido a la gran carga de Análisis Funcional y Cálculo Diferencial que posee el trabajo, se añaden en los apéndices los resultados necesarios para su desarrollo. Adicionalmente, se añade un apéndice sobre espacios de funciones con las propiedades más importantes que se usan en diversos capítulos. En cualquier caso, para el lector que desee profundizar sobre la teoría desarrollada o su contexto, se le recomienda consultar cualquiera de las fuentes de la bibliografía. Todas las Figuras expuestas han sido diseñadas por el autor utilizando el programa matemático Geogebra. Se espera que este trabajo sirva como base para el estudio de la Teoría de Bifurcación y motive al lector interesado a profundizar más por su cuenta.One of the biggest advances in modern mathematics was the generalization of Linear Algebra and Real Analysis to a wider category of spaces, Banach spaces. This is how Functional Analysis was born, a fundamental tool used to treat mathematical problems of seemingly different nature with the traditional techniques of Calculus from the Euclidean space. This prompted a significant advancement specially in the field of Differential Equations, since the majority of function spaces of interest are Banach spaces. An example of this is Bifurcation Theory, which uses these tools to study the topological structure of the zero set of an abstract operator, which in many applications represents the solutions to a Differential Equation’s problem. This essay pretends to be a short but solid introduction to the theory, presenting its most fundamental results and how to apply them to Differential Equations. The project is divided into four chapters. The first one includes an introduction to Bifurcation Theory by studying a second order boundary problem, and introducing some basic terminology along the way. The second one presents the Implicit Function Theorem on Banach spaces, which will later be used to prove most of the results that follow. The third one studies Crandall–Rabinowitz’s Theorem, a fundamental result in Bifurcation Theory, and will be used to solve the introductory boundary problem in a more general fashion. The fourth and last chapter develops some abstract results of the theory, like Lyapunov–Schmidt’s reductions and Ize’s Theorem, together with some other results concerning the topological structure of the zero set of certain types of operators. The principal references used in development were the books [4], [14], [23] and the lecture notes on Bifurcation Theory [11]. Due to the extensive use of Functional Analysis and Differential Calculus, the reader will be able to find the necessary concepts on the subjects in the appendix. Additionally, a section about the function spaces used throughout the book is also added in the appendix. In any case, for the reader who wishes to expand his/her knowledge of the theory or its context any reference in the bibliography will do. All the Figures presented were originally designed by the author using the mathematical program Geogebra. Hopefully this project will help as an introduction to Bifurcation Theory and encourage the interested reader to dive deeper into subject on his/her own.