Una aproximación operativa para la función de supervivencia cuando la siniestralidad sigue la distribución de Pareto

Abstract

Uno de los problemas más frecuentemente abordados por la literatura actuarial es el cálculo de la probabilidad de supervivencia para el horizonte infinito, modelizado mediante una siguiente ecuación de Volterra de segunda clase. Entre los modelos de mayor interés para el actuario aplicados a las cuantías individuales de los siniestros destacan los de funciones de cola larga, debido a dos razones: la capacidad de reflejar siniestralidades catastróficas y, como consecuencia de ésta, la preocupación por controlar una eventual ruina. La solución de la anterior ecuación integral cuando la distribución de la cuantía de un siniestro es un función de cola larga -el acercamiento a la unidad de la función de distribución es muy lento para los valores crecientes de su argumento x- presenta complicaciones. Los métodos numéricos de cuadratura basados en las llamada "Newton-cotes"! se muestran muy poco operativos cuando el valor de las reservas iniciales no es pequeño -caso interesante para funciones para funciones de cola no exponencial- debido a la aparición de pseudo-singularidades. La literatura actuarial ha aportado soluciones generales a este problema. En el presente trabajo nos centramos en encontrar una expresión algebraica que nos permita aproximar la probabilidad de ruina cuando la siniestralidad individual esta distribuida Pareto. Utilizando transformadas de Laplace y ajustes mínimo-cuadráticos hemos encontrado una aproximación para la probabilidad de ruina muy sencilla y con un grado de precisión muy aceptable (3-6 dígitos significativos). Recordemos que la distribución de Pareto representa el caso de "mayor riesgo" debido a que el comportamiento asintónico de la cola de la función de distribución es el de tendencia más lenta al 1.