LD-QBD Processes with Applications in Epidemic Models

Abstract

This thesis focuses on level-dependent quasi-birth-death (LD-QBD) processes, i.e., bivariate Markov chains X = {(I(t), J(t)) : t ≥ 0} defined on the state space S =∪∞i=0l(i), which is structured by levels l(i) = {(i, j) : j ∈ {0, ...,Mi}}, for Mi ∈ N0and i ∈ N0, so that the corresponding q-matrix has a block-tridiagonal form. In this context, our main interest is to study first-passage times and related hitting probabilities, sojourn times, and extreme values, under the taboo of certain sets of states and sample paths. We first consider the framework of finite QBD processes, where the state space S is restricted to ∪Ni=0l(i) with N ∈ N. In particular, we derive recursive expressions for the distribution and moments of first-passage times to higher levels l(K) and restricted hitting probabilities, as well as the number of jumps from states in level l(K − 1) tolevel l (K) before the first visit to level l(0)...Esta tesis se centra en los procesos de cuasi nacimiento y muerte dependientes del nivel (LD-QBD, por sus siglas en inglés), es decir, cadenas de Markov bivariantes X = {(I(t), J(t)) : t ≥ 0} definidas en el espacio de estados S = ∪∞i=0l(i), que está estructurado por niveles l(i) = {(i, j) : j ∈ {0, ...,Mi}}, para Mi ∈ N0 y i ∈ N0, de modo que el correspondiente generador infinitesimal tiene una forma tridiagonal por bloques. En este contexto, nuestro principal interés es estudiar los tiempos de primer paso y las probabilidades de acceso, los tiempos de permanencia y los valores extremos, bajo el tabú de ciertos conjuntos de estados y trayectorias muestrales. En primer lugar, consideramos el marco de los procesos QBD finitos, donde el espacio de estados S se restringe a ∪Ni=0l(i) con N ∈ N. En particular, obtenemos expresiones recursivas para la distribución y los momentos de los tiempos de primer paso hacia niveles superiores l(K) y las probabilidades de acceso restringidas, así como para el número de saltos desde los estados del nivel l(K − 1) al nivel l(K) antes de laprimera entrada al nivel l(0)...