2D Topological Quantum Field Theories, Frobenius Structures, and Higher Algebra

Abstract

An oriented TQFT is a symmetric monoidal functor Z ∶ Cobₙ → Vectₖ . Equivalently, this is a rule which assigns to each oriented closed (n − 1)-manifold M a vector space Z(M) and to each n-cobordism B ∶ M → N a linear map Z(M) → Z(N), satisfying certain conditions. The classification for 2D oriented TQFTs is a classical “folklore” result; they are equivalent to commutative Frobenius algebras — k-algebras A equipped with a linear functional ε ∶ A → k whose kernel contains no non-trivial ideals. This extends to a categorical equivalence Fun^⊗(Cob_2, Vectₖ) ≃ cFrobₖ.

A framed extended TQFT is a symmetric monoidal functor Z ∶ Bordᶠʳₙ → C, where here Bordᶠʳₙ and C are (∞, n)-categories. The Cobordism Hypothesis conjectures that framed extended TQFTs are determined by their image at a single point, which must be a fully dualizable object in the target category C. More precisely, the (∞, 0)-category of framed extended TQFTs is equivalent to the core ∞-groupoid of the subcategory of C spanned by its fully dualizable objects: Fun^⊗(Bordᶠʳₙ, C) ≃ Core(Cᶠᵈ).

The (∞, n)-category of framed cobordisms Bordᶠʳₙ carries an O(n)-action, which by the previous statement determines a canonical O(n)-action on Core(Cᶠᵈ) for each (∞, n)-category C. This allows stating a Cobordism Hypothesis for G-structured manifolds: G-structured extended TQFTs are equivalent to the homotopy fixed points of a certain G-action on Core(Cᶠᵈ). Notably, and up to homotopy, an orientation is the same as an SO(n)-structure.

When specializing to 2D oriented TQFTs and choosing as target the bicategory Alg₂ of algebras, bimodules and intertwiners, these SO(2)-homotopy fixed points correspond to separable symmetric Frobenius algebras. Hence, by taking loops, we recover a particular case of the classical correspondence between unextended 2D oriented TQFTs and commutative Frobenius algebras.

Una TQFT orientada es un funtor monoidal simétrico Z ∶ Cobₙ → Vectₖ . Equivalentemente, es una regla que asigna a cada (n − 1)-variedad cerrada orientada M un espacio vectorial Z(M), y a cada n-cobordismo B ∶ M → N una aplicación lineal Z(M) → Z(N), y que satisface ciertas condiciones. La clasificación de TQFTs orientadas 2D es un resultado clásico del «folklore»; son equivalentes a álgebras de Frobenius conmutativas — k-álgebras A equipadas con un funcional lineal ε ∶ A → k cuyo núcleo no contiene ideales no triviales. Podemos extender esta clasificación a una equivalencia Fun^⊗(Cob_2 , Vectₖ) ≃ cFrobₖ.

Una TQFT extendida enmarcada es un funtor monoidal simétrico Z ∶ Bordᶠʳₙ → C, donde ahora Bordᶠʳₙ y C son (∞, n)-categorías. La Hipótesis del Cobordismo conjetura que las TQFTs extendidas enmarcadas están determinadas por su imagen en un único punto, y dicha imagen debe ser un objeto completamente dualizable de la categoría C. Es más, la (∞, 0)-categoría de TQFTs extendidas enmarcadas es equivalente al ∞-grupoide subyacente de la subcategoría de C generada por sus objetos completamente dualizables: Fun^⊗(Bordᶠʳₙ, C) ≃ Core(Cᶠᵈ).

La (∞, n)-categoría de cobordismos enmarcados Bordᶠʳₙ tiene asignada una acción distinguida por O(n), y por lo anterior esto determina una O(n)-acción canónica en Core(Cᶠᵈ) para cada (∞, n)-categoría C. Esto nos permite obtener una Hipótesis del Cobordismo para variedades equipadas con una G-estructura: las TQFTs extendidas G-estructuradas son equivalentes a los puntos fijos homotópicos de cierta G-acción en Core(Cᶠᵈ). Notar que, salvo homotopía, una orientación es lo mismo que una SO(n)-estructura.

Especializando a TQFTs orientadas 2D y eligiendo como codominio la bicategoría Alg₂ de álgebras, bimódulos y morfismos de bimódulos, los puntos fijos homotópicos de la acción por SO(2) corresponden a álgebras de Frobenius simétricas separables. Por lo tanto, tomando bucles, recuperamos un caso particular de la correspondencia clásica entre TQFTs orientadas 2D sin extender y álgebras de Frobenius conmutativas.