Actualidad y aplicaciones de la topología y el análisis funcional

Abstract

El principal objetivo que se persigue en este artículo es el tratamiento conjunto de la Topología y el Análisis Funcional como dos ramas inseparables de las matemáticas, destacando el papel de la Topología algebraica en el estudio de determinadas cuestiones en los diferentes campos de la Ciencia, así como la gran ayuda que supone el Análisis Funcional en la solución de importantes problemas que se plantean en dichos campos. Por lo que respecta a la Topología, además de una síntesis sobre lo esencial de su evolución y contenido, se hace una incursión en la Teoría de Catástrofe y en las Matemáticas del Caos como ramas emanadas de la misma. Por lo que respecta al Análisis Funcional estudiamos los espacios vectoriales topológicos, los espacios normados, los espacios de Banach, el espacio topológico dual, el cálculo operacional, la noción de espectro del operador, y el espacio de Hilbert. Finalmente se pone de relieve la aplicación del Análisis Funcional a dos ramas bien distintas de la Ciencia: la Mecánica Cuántica y la Economía.

Our aim in this article is to consider Topology and Functional Analysis as closely related branches of mathematics, highlighting the role of the use of algebraic topology in the treatment of certain issues in different fields of Science, as well as the great help of using functional analysis in solving important problems that arise in these fields. With regard to Topology, in addition to a synthesis on the essential of its evolution and content, is carried out as derived from it, a properly formalized exposition of the Catastrophe Theory and the Mathematics of Chaos. Insofar as the Functional Analysis, inseparable from the Topology, we studied the topological vector spaces, the normed spaces, and among them the Banach one, the dual topological space, the operational calculation, the notion of spectrum of the operator, and the Hilbert space. Finally, the application of Functional Analysis to two specific branches of Science is addressed: Quantum Mechanics and Economics.