Teoría del grado de Brouwer-Kronecker

Abstract

En este trabajo se estudian los elementos básicos de la teoría del grado de Brouwer-Kronecker. Se demuestran los resultados de existencia de difeotopías y de aproximación de aplicaciones continuas (propias) con homotopía que permiten definir consistentemente el grado de una aplicación suave y su extensión a aplicaciones continuas, respectivamente. La invariancia por homotopía del grado se utiliza para probar varios resultados topológicos profundos incluyendo el teorema de Borsuk-Hirsch sobre el grado de aplicaciones pares e impares en esferas y el de Jordan-Brouwer sobre la desconexión de espacios afines por hipersuperficies.In this work we study the basics of Bouwer-Kronecker degree theory. In order to define consistently de degree of a smooth mapping and its extension to continuous mappings, we prove results regarding the existence of diffeotopies and the approximation with homotopy of (proper) continuous mappings. The homotopy invariance of the degree is applied in order to tackle some deep topological theorems as the Borsuk-Hirsch theorem addressing the degree of even and odd mappings in spheres and the Jordan-Brouwer theorem on the separation of affine spaces by hypersurfaces.