Tangent measures and Lp estimation of tangent maps

Abstract

We analyze under what conditions the best Lp- linear fittings of the action of a mapping f on small balls give reliable estimates of the tangent map Df. We show that there is an inverse relationslúp between the conditions on the regularity, in terms of local densities, of the underlying measure and the smoothness of the mapping f which are required to ensure the goodness of the estimates. The above results can be applied to the estimation of tangent maps in two empirical settings: from fiuite samples of a given probability distribution on mn and from fiuite orbits of smooth dynamical systems.En este artículo se analiza bajo qué condiciones las mejores estimaciones lineales en norma Lp- para la acción de una función f sobre bolas de radio pequeño, proporcionan estimaciones fiables de la aplicación tangente Df. Se comprueba que existe una relación inversa entre las condiciones de regularidad, en términos de densidades locales, de la medida subyacente y la suavidad que se requiere a la transformación f para asegurar la bondad de las estimaciones. Los resultados anteriores pueden aplicarse para estimar la aplicación tangente en dos situaciones que se presentan en el trabajo empírico: a partir de muestras finitas de una distribución de probabilidad en IRn y a partir de órbitas finitas de sistemas dinámicos diferenciables.