Estabilidad del fibrado universal restringido a congruencias

Abstract

Esta tesis se ocupa de contribuir al problema de determinar si, dados dos enteros arbitrarios a y b, existe una congruencia de G(1,3) con bigrado (a,b). Dolgachev y Reider introdujeron un modo de encontrar restricciones para el bigrado de una congruencia S, consistente en estudiar la semiestabilidad del fibrado universal cociente sobre G(1,3) restringido a S, Q│S. En concreto, conjeturaron que si S es una congruencia no degenerada como superficie de P^5, entonces el fibrado Q│S es semiestable. Un paso previo al estudio de la estabilidad de un fibrado es el estudio de su simplicidad. En la presente tesis se demuestra que sólo hay cuatro tipos de congruencias en la Grassmanniana G(1,3) para las que el fibrado universal Q restringido no es simple. De aquí se deduce en particular que Q no es simple si y sólo si es escindido. Con respecto al problema de la estabilidad, en esta tesis se demuestra un resultado mediante el cual se deducen condiciones geométricas para una congruencia S dependiendo de la pendiente de un subhaz lineal saturado de Q│S. También se comprueba que la conjetura de Dolgachev y Reider es cierta para las congruencias de grado menor o igual que 10, calculando además la pendiente máxima que alcanzan los subhaces lineales de Q│S para cada congruencia S de grado menor o igual que 9.