Ecuaciones de reacción-difusión y formación de patrones

Abstract

La difusión es un proceso presente en multitud de situaciones biológicas, siendo la más conocida la propagación de energía térmica en forma de calor. Usualmente, la difusión viene acompañada de procesos químicos de creación o degradación celular, dando lugar a las ecuaciones de reacción-difusión. En el primer capítulo deduciremos dichas ecuaciones. Bajo determinadas condiciones, las soluciones de sistemas de 2 ecuaciones de reacción-difusión pueden formar patrones espaciales, lo que permite explicar matemáticamente la formación de las rayas de las cebras, las manchas del guepardo o los dedos del ser humano ([7],[8]). En el segundo capítulo estudiaremos el mecanismo Turing, uno de los más conocidos para la formación de patrones. Posteriormente, aplicaremos los resultados obtenidos a un modelo concreto cuyo estudio analítico y posterior simulación numérica nos permitirá observar dichos patrones.

Diffusion is a process that takes place in a lot of biological situations, being the best known the propagation of thermal energy in the form of heat. Usually, diffusion takes place with chemical processes of cell creation or degradation, giving reaction-diffusion equations. In the first chapter we will deduce these equations. Under certain conditions, the solutions of systems of 2 reaction-diffusion equations can form spatial patterns, being able to explain mathematically several interesting phenomena in biology like the formation of zebra stripes, cheetah spots or human fingers ([7],[8]). In the second chapter we will study the Turing mechanism, one of the best known in pattern formation. Afterwards, we will apply the results to a particular model whose analytic study and later numerical simulation will allow us to see the patterns.