The Jordan Wigner transformations and the fermionization of the XYZ spin Heisenberg chain. Algebra, geometry and physics?

Abstract

We generalize our previous results for the (anisotropic) fermion XYZ Heisenberg chain; we avoid the free-fermion restriction. The departing point in the definition of two different Jordan Wigner transformations, significant for the Hamiltonians. Afterwards, with `their´ square roots we define four different formulations of the local transition matrices with fermions. Due to our generalizations of the Yang-Baxter relation we observe a special role for the sign associated to the modulus k of the Jacobi elliptic functions. We define four Hamiltonians. We obtain the conserved quantities. Our construction and results suggest the importance of the geometry of the time and the space in various ways and a possible application to the elementary particles.

Generalizamos nuestros resultados previos para la cadena de Heisenberg fermiónica (anisotrópica); evitamos la restricción conocida como “free-fermión”. El punto de partida en la definición de dos transformaciones de Jordan Wigner diferentes, significativas para los Hamiltonianos. Tras ello, con `sus´ raices cuadradas definimos cuatro formulaciones diferentes de las matrices de transición locales con fermiones. Gracias a nuestra generalización de la relación de Yang-Baxter observamos un papel especial del signo asociado a el modulo k de las funciones elípticas de Jacobi. Definimos cuatro Hamiltonianos. Obtenemos las cantidades conservadas. Nuestra construcción y resultados sugieren la importancia de la geometría del tiempo y del espacio en diferentes formas y una posible aplicación a las partículas elementales.