Homogenization and Shape Differentiation of Quasilinear Elliptic Equations

Abstract

Esta tesis se ha divido en dos partes de tamaños desiguales. La primera parte es la componentecentral del trabajo del candidato. Se encarga de la optimización de reactores químicosde lecho fijo, y el estudio de su efectividad, como se expondrá en los siguientes párrafos. Lasegunda parte es el resultado de la visita del candidato al Prof. Häim Brezis en el InstitutoTecnológico de Israel (Technion) en Haifa, Israel. Se entra en una pregunta concreta sobrebases óptimas en L2, que es de importancia en Tratamiento de Imágenes, y que fue formuladopor el Prof. Brezis.La primera parte de la tesis, que estudio reactores químicos, se ha dividido en 4 capítulos.Estudia un modelo establecido que tiene aplicaciones directas en Ingeniería Química, y lanoción de efectividad. Una de las mayores dificultades con la que nos enfrentamos es elhecho que, por las aplicaciones en Ingeniería Química, estamos interesados en reacciones deorden menor que uni (de tipo raíz).El primer capítulo se centra en la modelización: obtener un modelo macroscópico (homogéneo)a partir de un comportamiento microscópico prescrito. A este método se le conocecomo homogeneización. La idea es considerar partículas periódicamente repetidas, de formafija G0, a una distancia ε, y que han sido reescaladas por un factor aε . La expresión habitualde este factor es aε = C0εα, donde α ≥ 1 y C0 es una constante positiva. El objetivo esestudiar los diferentes comportamientos cuando ε →0, y ya no se consideran las partículas.Primero, los casos de partículas grandes y partículas pequeños se tratan de formas distintas.Este segundo, que ha sido el central en esta tesis, se divide en subcrítico, crítico y supercrítico.En términos generales, existe un valor α∗ tal que los comportamientos de los casos α = 1(partículas grandes), 1 < α < α∗ (partículas subcríticos), α = α∗ (partículas críticos) yα > α∗ (partículas supercríticos) son significativamente distintos...

This thesis has been divided into two parts of different proportions. The first part is the mainwork of the candidate. It deals with the optimization of chemical reactors, and the study ofthe effectiveness, as it will explained in the next paragraphs. The second part is the result ofthe visit of the candidate to Prof. Häim Brezis at the Israel Institute of Technology (Technion)in Haifa, Israel. It deals with a particular question about optimal basis in L2 of relevance inImage Proccesing, which was raised by Prof. Brezis.The first part of the thesis, which deals with chemical reactors, has been divided intofour chapters. It studies well-established models which have direct applications in ChemicalEngineering, and the notion of “effectiveness of a chemical reactor”. One of the maindifficulties we faced is the fact that, due to the Chemical Engineering applications, we wereinterested in dealing with root-type nonlinearities. The first chapter focuses on modeling: obtaining a macroscopic (homogeneous) modelfrom a prescribed microscopic behaviour. This method is known as homogenization. Theidea is to consider periodically repeated particles of a fixed shape G0, at a distance ε, whichhave been rescaled by a factor aε . This factor is usually of the form aε =C0εα, where α ≥ 1and C0 is a positive constant. The aim is to study the different behaviours as ε →0, whenthe particles are no longer considered. It was known that depending of this factor there areusually different behaviours as ε →0. First, the case of big particles and small particles aretreated differently. The latter, which have been the main focus of this chapter, are dividedinto subcritical, critical and supercritical holes. Roughly speaking, there is a critical valueα∗ such that the behaviours α = 1 (big particles), 1 < α < α∗(subcritical particles), α = α∗(critical particles) and α > α∗ (supercritical particles) are significantly different...