Apuntes de curvas algebraicas

Abstract

El objetivo de estas notas es presentar una introducción a las curvas algebraicas planas, es decir, curvas en el plano afín o proyectivo definidas por los ceros de un polinomio. La filosofía general es que, en el plano proyectivo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, las curvas son completas en el sentido de que no les falta ningún punto. Por ejemplo, el Teorema de Bézout permite saber exactamente en cuántos puntos se cortan dos curvas. Se pueden contar otros invariantes (fórmulas de Plücker), como el número de puntos de inflexión o rectas tangentes a la curva desde un punto (generalizando a una curva arbitraria las nociones de recta polar o cónica dual, que se deben haber estudiado para cónicas en Geometría Proyectiva). Aparte de estos resultados globales (que incluyen el estudio de sistemas lineales), necesitaremos estudiar localmente las curvas, decidiendo cuántas veces una curva pasa por un mismo punto, y en qué forma lo hace. En una última sección esbozaremos brevemente cómo se generalizan todos los conceptos y resultados obtenidos cuando estudiamos geometría en dimensión superior, es decir, consideramos ceros de un número arbitrario de polinomios en un espacio de dimensión cualquiera.