On the rigidity of real solvable Lie algebras of rank one

Abstract

The main objetive of this memoir is the study and classification of solvable rigid Lie algebras of rank one associated to certain types of eigenvalues spectra for a maximal torus of derivationson its nilradical. The employed techniques are the Chevalley cohomology of Lie algebras and the theory of deformations, as well as the Jacobi scheme. For the study of spectra in arbitrary dimensions, a specific code in the Mathematica® language has been developed. The principal results of this study are reunited in five research papers published in specialized journals. This structures the thesis into six chapters, that are structured as follows: In Chapter one the main structural results are recalled, mainly concerning the cohomological and geometrical analysis of rigidity. We also present a schematic description of the contents of these articles, as well as the symbolic computer package used for the computation of the cohomology groups with values in the adjoint module, illustrating it by an example. The chapter is closed with some conclusions as well as a description of potential prospective research lines, some of which are currently being analyzed. In Chapters 2-6, the five articles are reproduced (without the journal format).

El principal objetivo de esta memoria es el estudio y la clasificación de álgebras de Lie rígidas resolubles reales de rango uno asociadas a ciertos tipos de espectros de autovalores para un toro maximal sobre su nilradical. Las técnicas empleadas son la cohomología de Chevalley de álgebras de Lie y la teoría de deformaciones, así como el esquema de Jacobi. Para el estudio de los espectros en dimensión arbitraria, se ha desarrollado un código específico en el lenguaje Mathematica®. Los resultados de este estudio se encuentran reunidos en cinco artículos publicados en el transcurso de la investigación, lo cual estructura esta tesis en seis capítulos, que se disponen de la siguiente manera: en el primer capítulo se reúnen los resultados estructurales utilizados a lo largo de este trabajo, principalmente referidos a la cohomología y el estudio geométrico de la rigidez. A continuación, se presenta también una descripción esquemática del contenido de los artículos publicados. El capítulo se cierra con unas conclusiones, así como una descripción de potenciales líneas de investigación futuras, algunas de las cuales ya están siendo analizadas. En los capítulos 2-6, se reproducen los cinco artículos (sin el formato de las revistas).Por último, en el apéndice A, se muestra el código simbólico empleado para el cálculo de los grupos de cohomología con valores en el módulo adjunto, ilustrando el procedimiento con un ejemplo.