Growth in Groups of Non-positive Curvature

Abstract

Esta tesis se centra en preguntas que comparan números fáciles de definir pero no fáciles de calcular. La acción de un grupo G sobre un espacio métrico X se dice propia si para cada r > 0, y para cada x ∈ X, el número de elementos u ∈ G que mueven x a distancia a lo sumo r es finito. Sea G un grupo actuando mediante isometrías y propiamente sobre un espacio métrico X. La tasa de crecimiento exponencial relativa de la acción de un subconjunto U ⊂ G sobre X es el número.. ω(U,X) = lim supr→∞1rlog |{ u ∈ U : |ux − x| ⩽ r }|, cuyo valor es independiente del punto x ∈ X. Si G es el grupo fundamental de una variedad hiperbólica cerrada M que actúa sobre el espacio recubridor universal X, entonces ω(G,X)tiene numerosas interpretaciones. Coincide con la entropía de volumen de la variedad M,[71, 62]; el exponente crítico de la serie de Poincaré de G, [67, 75]; la entropía topológica del flujo geodésico en el fibrado tangente unitario de M, [60]; la dimensión de Hausdorff del conjunto límite radial de G, [28], etc. En este contexto, el número ω(G,X) es la piedra angular que une grupos, geometría y dinámica. La discreción de la órbita de G y la curvatura negativa de M juegan un papel determinante en este fenómeno...Cette thèse est centré au tour des questions qui comparent des nombres faciles à définir mais pas faciles à calculer. L'action d'un groupe G sur un espace métrique X est propresi pour tout r > 0, et pour tout x ∈ X, le nombre d'éléments u ∈ G qui déplacent x àdistance au plus r est fini. Soit G un groupe agissant par isométries et proprement sur une space métrique X. Le taux de croissance exponentiel relatif de l'action d'un sous-ensemble U ⊂ G sur X est le nombreω(U,X) = lim supr→∞1rlog |{ u ∈ U : |ux − x| ⩽ r }|,dont la valeur est indépendante du point x ∈ X. Si G est le groupe fondamental d'une variété hyperbolique fermée M agissant sur le revêtement universel X, alors ω(G,X) a de nombreuses interprétations. Elle correspond à l'entropie de volume de la variété M,[71, 62] ; l'exposant critique de la série de Poincaré de G, [67, 75] ; l'entropie topologique du flot géodésique dans le fibré unitaire tangent de M, [60] ; la dimension Hausdorff de l'ensemble radial limite de G, [28], etc. Dans ce contexte, le nombre ω(G,X) est la pierre angulaire qui unit les groupes, la géométrie et la dynamique. L'orbite discrète de G et la courbure négative de M jouent un rôle déterminant dans ce phénomène...