Simetrías e integrabilidad en sistemas hamiltonianos y ecuaciones diferenciales

Abstract

La integrabilidad de los sistemas físicos siempre ha sido una cuestión especialmente relevante. Esta permite obtener soluciones analíticas, aunque a veces con una complejidad elevada. Es aquí donde la superintegrabilidad presente en algunos sistemas hace la obtención de soluciones analíticas radicalmente más sencilla. El análisis de un sistema clásico como el oscilador armónico isótropo permite ver claramente la dinámica de un sistema superintegrable, incluso cuando se considera en un espacio de Darboux III con curvatura no constante. Asimismo, la comparativa con el caso anisótropo ofrece una perspectiva de la fragilidad de la superintegrabilidad y de la dificultad de encontrar sistemas de este tipo. En este trabajo se desarrollan indicios de superintegrabilidad en este caso, sin ofrecer una certeza analítica. Este análisis es aplicable en sistemas cuánticos, donde se verifica también la presencia de superintegrabilidad en osciladores definidos en espacios de curvatura no constante. En estos, se pueden utilizar operadores como los de Dunkl para servirse de las simetrías que poseen los sistemas superintegrables y facilitar su tratamiento. El aprovechamiento de la superintegrabilidad, sus propiedades y simetrías, contribuye en enorme medida al entendimiento de la física. También, la modelización de casos más complejos en base a sistemas superintegrables hace que el análisis y la obtención de información sobre estos se vea mejorada, como puede ser el caso, entre otros muchos, del estudio de cadenas de espines.

The present work consists of an analysis of superintegrable physical systems. The aim is to explain their properties and their relationship with the associated internal symmetries. Moreover, the study will be applied focusing on both classical and quantum Hamiltonians, using as key examples the Darboux III and Dunkl oscillators, as well as a combined case of both. In these examples, a deformable flat space depending on a chosen parameter and an operator associated with reflection symmetry will be considered, both in low dimensions. Finally, their implications and possible applications will be analyzed.