La función de Takagi y sus generalizaciones

Abstract

La función de Takagi es un ejemplo clásico de una función continua no derivable en ningún punto de su dominio. A lo largo del tiempo, numerosos autores han estudiado sus extraordinarias propiedades redescubriendo ésta en diversos campos de la matemática como la teoría de números o la teoría de la probabilidad. En este trabajo estudiamos la función de Takagi desde diferentes aproximaciones. En primer lugar, adoptamos una perspectiva funcional considerando la función de Takagi como solución de un sistema de ecuaciones funcionales. En segundo lugar, consideramos una perspectiva analítica utilizando diversas técnicas del análisis no diferencial. Y en tercer lugar, estudiamos las propiedades cualitativas de su grafo. Este análisis en profundidad nos permitirá tomar conciencia de estas sorprendentes características. Finalmente, realizamos un recorrido por las generalizaciones más relevantes de la función de Takagi desde las más clásicas hasta la más actual, introducida en 2018. Estas generalizaciones tienen por objetivo extender las cualidades intrínsecas de la función de Takagi a una familia más amplia de funciones. Como novedad, obtendremos resultados que generalizan los ya conocidos utilizando técnicas del cálculo subdiferencial.The Takagi function is a classical example of a continuous nowhere differentiable function. Over time many mathematicians have researched its extraordinary properties rediscovering the Takagi function in a surprising number of different mathematical contexts such as probability theory or number theory. In this work we present the Takagi function from different approaches. Firstly, we carry out a functional study which considers it as the solution of a system of functional equations. Secondly, we study the Takagi function from an analytical approach by using different techniques of nonsmooth analysis. And thirdly, we examine the qualitative properties of its graph. This in-depth analysis will make us aware of these amazing properties. Finally, we make a tour through the most important generalizations of the Takagi function from the most classic generalization to the most current one introduced in 2018. The aim of these generalizations is to extend the intrinsic properties of the Takagi function to a wider family of functions. As a novelty, we will obtain more general results to those already known by using a nonsmooth approach.